ЭЛЕКТРОН-ФОНОННОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ И …elibrary.lt/resursai/Uzsienio leidiniai/Uspechi_Fiz... · 9. Электрон-фононное взаимодействие

1972 г. Октябрь Том 108, вып. 2

УСПЕХИ ФИЗИЧЕСКИХ НАУК

573.311.33

ЭЛЕКТРОН-ФОНОННОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ И ХАРАКТЕРИСТИКИ

ЭЛЕКТРОНОВ МЕТАЛЛОВ

Н. В. Заварицкий

СОДЕРЖАНИЕ

1. Введение 2412. Параметры электрон-фононного взаимодействия и их расчет для металла

в нормальном состоянии 2433. Электрон-фононное взаимодействие и сверхпроводимость металлов . . . . 2454. Экспериментальное определение функции g (ω) . . *. 2495. Определение параметров электрон-фононного взаимодействия по характе-

ристикам металла в нормальном состоянии 252а) Теплоемкость (252). б) Циклотронная масса (253).

6. Зависимость электрон-фононного взаимодействия от энергии электронов 2557. Другие способы определения параметров электрон-фононного взаимодействия 2578. Влияние давления на электрон-фононное взаимодействие 2579. Электрон-фононное взаимодействие в металлах с предельно искаженной

решеткой 26210. Электрон-фононное взаимодействие в сплавах непереходных металлов . . . 26511. Электрон-фононное взаимодействие в переходных металлах 268Цитированная литература 270

1. ВВЕДЕНИЕ

В последнее десятилетие выяснено, что кинематику электроновметалла в магнитном поле определяет топология поверхности Ферми 1 .Это открыло пути для экспериментального изучения ферми-поверхностиэлектронов проводимости. В результате в настоящее время известнаповерхность Ферми большинства металлов (см. обзор 2 ). Оказалось, чтопо крайней мере у всех переходных металлов поверхности Ферми в первомприближении совпадают с результатом расчета их по модели почти сво-бодных электронов. В этой модели предполагается, что электроны прово-димости ведут себя как свободные, но из-за периодического потенциаларешетки претерпевают брэгговское отражение на границах зоны Брил-люэна.

Полностью согласовать результаты расчета с экспериментальнымиданными удается лишь после учета взаимодействия электронов с ионнымостовом. Внутри элементарной ячейки решетки обычно можно выделитьобласть вне ионного остова и область внутри его. Вне ионного остовапотенциальная энергия мала и волновая функция будет гладкой — близ-кой к плоской волне. Внутри же ионного остова волновая функция быстроосциллирует, так что кинетическая энергия частично компенсируетпотенциальную энергию остова. Для того чтобы учесть эти осцилляции,3 УФН, т. 108, вып. 2

242 Н. В. ЗАВАРИЦКИЙ

удобно использовать волновые функции внутренних оболочек. Соответ-ственно волновые функции электронов разлагают по плоским волнам,ортогонализованным по отношению к волновым функциям внутреннихоболочек (метод ортогонализованных плоских волн (ОПВ)).

Для ОПВ в уравнении Шрёдингера гладкой функции электроновв результате исключения осциллирующей части появляется отталкиваю-щий потенциал, действующий в области ионного остова. Этот потенциалкомпенсирует в значительной степени исходный потенциал притяжения.Результирующий потенциал — обычно его называют псевдопотенциа-лом — оказывается достаточно слабым, и его можно рассматривать по·теории возмущений.

Существует несколько различных методов расчета псевдопотенциала.К сожалению, все они недостаточно надежны, и поэтому окончательныерезультаты корректируют по параметрам металла, зависящим от выборапсевдопотенциала. Этими характеристиками может быть поверхностьФерми металла, энергия кристаллической и зонной структуры, спектрколебаний решетки и т. д. Все эти свойства можно использовать дляуточнения параметров псевдопотенциала, которые в настоящее времяопределены для ряда металлов. Методы расчета псевдопотенциала подроб-но разобраны в монографии Харрисона 3.

Следует отметить, что ОПВ и понятие псевдопотенциала можно исполь-зовать лишь в случае сильно локализованных внутренних оболочек элек-тронов. Это существенным образом ограничивает круг металлов, которыеможно успешно описать методом ОПВ. В частности, из рассмотренияисключаются все переходные металлы.

При введении поправок, учитывающих действие псевдопотенциаладля непереходных металлов, удается согласовать результаты расчетаповерхности Ферми с данными эксперимента. Оказывается, что учетвзаимодействия при этом существенно не сказывается на величине энер-гии Ферми, хотя остальные характеристики электронов могут несколькоизменяться по сравнению с моделью почти свободных электронов.В частности, например, несколько изменяется эффективная масса элек-тронов, хотя у большинства металлов это изменение не превосходитдесятка процентов. Результаты расчета изменения эффективной массыэлектронов, вызванного взаимодействием электронов с ионами, приведеныниже в табл. II. В расчете 4 использовался псевдопотенциал Хейне —Абаренкова (см. 3 ) .

Выше мы везде предполагали ионные остовы неподвижными. В дей-ствительности они могут совершать в решетке колебания около положе-ния равновесия. Эти колебания решетки описывают, пользуясь понятиемфононов. Наличие взаимодействия между электронами и ионным остовомприводит к тому, что система электронов и фононов в металле взаимносвязаны. В металле существует заметное электрон-фононное взаимодей-ствие (ЭФВ). Это взаимодействие играет важную роль в формированииспектра колебаний решетки; из-за него существенно изменяется связьмежду энергией и импульсом электронов вблизи поверхности Ферми;этому взаимодействию обязано и явление сверхпроводимости. Рассмотре-нию различных аспектов ЭФВ в металлах и посвящена настоящая статья.Вначале кратко представлены результаты теоретического рассмотренияпроблемы, затем разобраны экспериментальные данные. Основное внима-ние обращено на изменение в результате ЭФВ электронной системы. Рольвзаимодействия электронов с ионами в формировании спектра колеба-ний решетки мы здесь не будем рассматривать. Интересующиеся могутпознакомиться с соответствующими данными в монографии Харрисона 3

или в работе Бровмана и Кагана 5.

ЭЛЕКТРОН-ФОНОННОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ 2 4 3

2. ПАРАМЕТРЫ ЭЛЕКТРОН-ФОНОННОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯИ ИХ РАСЧЕТ ДЛЯ МЕТАЛЛА В НОРМАЛЬНОМ СОСТОЯНИИ

Расчет ЭФВ в конечном итоге сводится к учету всех возможных про-цессов обмена энергией между системой электронов с фононами. Конечно,в данном случае речь идет о виртуальных фононах, которые могут бытьвозбуждены в твердом теле. Общая теория рассмотрения этого взаимо-действия подробно изложена в ряде общедоступных монографий 6> 7,и мы приведем лишь некоторые важнейшие выводы. Так, в результате ЭФВизменяется энергия Ер и затухание Гр электронов. Отметим, что элек-троны рассматриваются как квазичастицы всей ферми-системы:

Γ ρ =-ΙΐηΣ (ρ, Ερ + ιΓρ),

где ρ — импульс электрона, Σ — неприводимая собственно энергетиче-ская часть функции Грина электронов, в которой и учитываются всевозможные пути обмена. Возможность вполне корректного расчета Σ ста-ла очевидна после работы Мигдала 1958 г. 8, в которой было показано, чтопоправки к нулевому члену имеют порядок малости (τη/Μ)1/2 ~ 10~2

(т, Μ — массы электрона и иона), и потому ими можно пренебречь.Рассчитав Σ, Мигдал обратил внимание, что Re Σ пропорциональна

ωρ при малых ωρ, где ωρ — энергия электрона, отсчитанная от поверх-ности Ферми.

Отсюда сразу следовало, что в результате ЭФВ должно изменятьсясостояние электронов вблизи ферми-поверхности, например

Vp = дЕр/др = дЕр/др + (д Re Σ №ν) дЕр/др,

νρ = vp, зон + (д Re Σ/дЕ) vp,

или, обозначая через λ = —д Re Σ/дЕ усредненный параметр ЭВФ,получаем

Vp = 1>аон/(1 + λ)и соответственно

т = тпзон(1 + λ), Ν = Ν3Οη(ί + λ), (1)

где У3ОН> тзон, Na0H—скорость, масса и плотность электронов в отсут-ствие ЭФВ, ν, т, N — те же величины при наличии ЭФВ. Можно говоритьо перенормировке состояния электронов в результате ЭФВ, если ввестикоэффициент перенормировки

Ζ = 1 + λ;тогда

νρ = v30JZ, πι = maonZ, Ν = NS0HZ.

Приведенные в дальнейшем расчеты Пранге и Каданова 9 показали,что в результате ЭФВ не изменяются энергия Ферми, аномальный скин-эффект, связанная со спинами магнитная восприимчивость, все гальвано-магнитно-термические коэффициенты, длина свободного пробега электро-нов и коэффициенты переноса, ядерная спин-решеточная релаксация,частота эффекта де Гааза — ван Альфена.

Из соотношения (1) следует, что перенормировка электронных состоя-ний в результате ЭФВ определяется параметром λ. Очевидно, что в конеч-ном итоге λ должно быть выражено через параметры электрон-ионного-взаимодействия и спектр колебаний решетки металла 7:

λ = 2 j g (ω) ω-1 άω, (2)

3*


где

g (ω) = 2 J *p J *p' % ^ δ [ω - ωρ_ρ,, σ ] / Γ ffip, (3)σ S S' в

vF — скорость ферми-электронов. Интегралы по ρ, ρ' берутся по ферми-поверхности S. Они учитывают все возможные переходы электронов изначального состояния | р) в конечное | р'). Эти переходы осуществляютсячерез возбуждение поля фононов. ςΡΡ'σ — константа электрон-фононноговзаимодействия, σ — поляризации ветвей фононного спектра, по которымпроизводится суммирование. В простейшем случае это — одна про-дольная и две поперечные ветви. Частоты фононов Шр — р-, σ соответствуютмодам первой зоны. Бриллюэна. С помощью метода псевдопотенциала 1 0

?ρρ'σ можно выразить через формфактор (р' | ЗВ | р) рассеяния электро-нов из состояния | р') в | р'} на поверхности Ферми (см. 3 ) :

, (р-р')2е2(р-р')(р' |%Нр>2 ,,,QPP'O- 2ω ρ _ ρ % σ Μ7ν ' W

где Μ — масса иона, Ν — число ионов в единице объема, ε (ρ — ρ', σ) —вектор поляризации, соответствующий частоте фонона ω,,—ρ̂ σ .

Все эти выражения упрощаются в предположении сферическойповерхности Ферми и локальном приближении для псевдопотенциала 3,в котором (р' | 9В | р) зависит только от изменения импульса q = ρ — ρ';тогда

£(ω) = Λ Μ 2 J (2π)-»<*»?Μί)δ[ω-ω,,σ], (5)О <2ftjj,

где

Lo (q) = (mW) lfj^2 I © (q) |2,

9B (q) — локальный формфактор псевдопотенциала, интеграл d3q беретсяв сфере радиуса 2кр. После работ 1 0~ 1 2 в литературе g (ω) часто представ-ляют в виде

g (ω) = α2 (ω) F (ω), (6)где

F (ω) - Ν'1 2 ί ( 2 π Γ 3 d31b Γω - ω4, «1 (7)σ

— плотность состояний спектра колебаний решетки. F (ω) можно, напри-мер, рассчитать по дисперсионным кривым для спектра колебаний решет-ки, определяемым обычно нейтронографически. α2 (ω) — параметр ЭВФ,который можно определить при сравнивании соответствующих соотно-шений (5) — (7); удобство от подобного выражения g (ω) связано с тем,что, как оказалось, α2 (ω) более плавно изменяется с энергией, чем F (ω)и соответственно соотношение (6) лишний раз подчеркивает, что изменениеg (ω) в первую очередь связано с F (ω). Как будет видно из дальнейшего,функцию g (ω) можно определить из экспериментальных данных.

Как заметил Мак-Миллан 1 3, cog· (ω) не зависит от энергии фононов(см. соотношение (3)):

где 'N 0 — плотность электронов на поверхности Ферми, (q2) — усред-ненный по поверхности Ферми квадрат электронного матричного эле-

ЭЛЕКТРОН-ФОНОННОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ 245

мента. При использовании соотношения (2) можно получить для λ при-ближенное выражение

λ = Ν30Η (дУМ (ω2), (8)где

(ω2) = \ (og (ω) άω/ \ g (ω) ω" 1 άω.

Путем использования приведенных выше выражений (2) — (5) можночисленно рассчитать λ — усредненный параметр ЭФВ. Один из первыхчисленных расчетов усредненного параметра провели Ашкрофт и Уил-кинс 1 4 для Na, A1, Pb (табл. I). В расчете был использован локальный

Таблица I

Лите-ратура

14

IS

16

17

Использованныйпсевдопотенциал

Полуэмпириче-ский

1 ОПВ Хейне-Анималу 3

2 ОПВ Хейне-Анималу 3

Хеше - Анималу3

» »

N a

0,18

0,13

0,13

0,120,15

ΑΙ

0,49

0,5

0,53

0,460,53

P b

1,12

1,67

1,55

1,691,34

псевдопотенциал, интегрирова-ние проводилось по измененнойв результате электрон-ионноговзаимодействия поверхностиФерми. В дальнейшем для этихметаллов расчет неоднократноповторяли 15~17. Хотя при этомиспользовали несколько отлич-ные псевдопотенциалы, былиполучены близкие значения λ(см. табл. I). Возможное влия-ние детального вида псевдопо-тенциала проверялось такжеотдельно для свинца в работе18.

В расчете усредненного параметра λ при интегрировании происходитусреднение всех величин. Вследствие этого учет анизотропии фононногоспектра, видимо, заметно не сказывается на полученных результатахв случае металлов с кубической решеткой. Так, на примере натрия 1 9

было показано, что максимальная анизотропия λ, связанная с анизотро-пией спектра колебаний решетки, не превосходит 2%.

Значения λ для ряда непереходных металлов, полученные расчетомв работе Аллена и Коэна 1 7, приведены в табл. П. В работе 1 7 для боль-шинства металлов была использована сферическая модель как для элек-тронов, так и для колебаний решетки. Использовавшийся при расчетепсевдопотенциал отмечен в табл. II и ссылкой на литературу. Обычнорасчет проводился с локальным потенциалом. Для металлов с гекса-гональной структурой: Be, Mg, Zn, Cd; были использованы также нело-кальные потенциалы 22· ζ 4· 2β, позволяющие более точно описать особен-ности поверхности Ферми этих металлов. По-видимому результаты, полу-ченные с этими псевдопотенциалами, более надежны. Использованныйдля расчета λ олова псевдопотенциал Вейсса (см. 3 7 ), как следует из рабо-ты 4 2, видимо, менее точен, чем потенциал Хейне — Абаренкова.

Ошибки в полученных значениях λ, вероятно, могут достигать 10—20%. Они связаны как с произволом в выборе псевдопотенциала, таки с приближениями при расчете спектра колебаний решетки.

3. ЭЛЕКТРОН-ФОНОННОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕИ СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ МЕТАЛЛОВ

Мы рассматривали изменение состояния электронов нормальногометалла. Все эти результаты в действительности имеют ограниченнуюобласть применения. Дело в том, что, как было показано Купером 4 3,взаимное притяжение между электронами приводит к появлению у элек-тронов связанного состояния, которое энергетически более устойчиво, чемсвободный газ электронов. В этом новом состоянии система электронов

Металл

Na

Mg

Be

Gd

Zn

Ga

Al

Tl

In

Sn

Hg

Pb

*) В**) В

Тс, °K

0,026

0,52

0,875

1,09

1,2

2,39

3,40

3,72

4,15

7,2

злучае двухрасчете Яс

157

406

1390 23

209 25

309

325 25

420

78,532

109

202

72

94,5

V,мдж

г• моль• "К

1,8

1,35

0,184

0,69

0,65

0,60

1,36

1,47

1,80

1,82

2,0

3,0

значений тзоп/тпо для

μ

1,26

1,33

0,37

0,74

0,86

0,59

1,47

1,10

1,44

1,30

2,0

Псевдопотенциалпри расчете

т з о н и λ * )

Хейне—Анималу20

» »22

» »

24

» »26

» »26

» »

» »

35

» )>

» »

30

» »37

» »39

» »41

Расчетт зон

то

1,00

1,011,001,280,3

0,870,540,930,590,96

1,040,97

0,820,550,890,74

0,930,73

0,8

0,86

λ(расчет ιβ)

0,15

0,190,35

0,310,10,26

0,10,400,27

0,420,25

0,530,52

1,07

0,890,84

0,790,99

0,890,98

1,341,32

λ 0**)(расчетпо (12);

см. ниже)

0,33

0,24

0,36

0,46

0,47

0,63

0,6

0,56

—

1,33

потенциала Хейне — Анималу верхнее значение — расчет 4, нижнее —было использовано среднее арифметическое значение тзон/тд.

КТ(_ (расчет

по (15);см ниже)

—

0,27

0,43

0,440,45

0,44

0,82

0,81

0,66

1,10—

1,32

17.

Τ

Xg и < iv >,Ί/эя

—

—

—

_

—

—

0,78(5)

0,83(6,9)

0,72—0,78

(9,6)

1,6

<з,з>1,5

(5,2)

а б л и ца I]

*ц

0,24 21

0,2—0,322

0,1—0,224

0,2—0,3 27

0,2—0,427

0,4—0 8 280,5—0,629

0,6 310,4—0,8 33

0,6 34

0,5—0,730

0,6 36

0,75 381,2-1,4*0

1—1,4"

аз

и

со

ω

КΆ


обладает свойством сверхпроводимости. Соответственно все результаты,полученные для нормального состояния, относятся либо к области тем-ператур выше температуры перехода в сверхпроводящее состояние Тс,либо к полям, большим критического магнитного поля сверхпровод-ников.

Теория возникновения сверхпроводимости подробно изложена в рабо-тах Бардина, Купера и Шриффера 4 4, Боголюбова, Толмачева и Ширко-ва 4 5. В этих работах было показано, что температура перехода в сверх-проводящее состояние

Тс « 0 , 7 Θ ^ 1 / Ν Β Ο Η »", (9)

где Θχι — температура Дебая, W — потенциал взаимодействия междуэлектронами. Нас будет интересовать лишь связь между параметрамиЭФВ и энергией связи пар сверхпроводника Δ.

Рассмотрение ЭФВ в случае сверхпроводимости осложняется тем,что здесь, в отличие от нормального состояния, ЭФВ уже нельзя рас-сматривать методом теории возмущений. Связано это с тем, что вызван-ная ЭФВ перестройка всей электронной системы носит качественныйхарактер. Однако и здесь решение задачи упрощается, если использоватьметод, примененный А. Б. Мигдалом к нормальному металлу. С помощьюэтого метода Элиашбергу 4 6 удалось найти систему уравнений, связываю-щих параметры электрон-фононного взаимодействия и Δ (ω). С учетомкулоновского отталкивания электронов, рассмотренного в работе Боголю-бова и др. 4 а, а затем в 4 7, эти уравнения в интегральной форме имеютвид 7> п :

Δ(ω) = φ(ω)/Ζ(ω), Δ(Δ0) = Δ0, ^

φ(ω)= JRe [(й.^\^")2]1,л j g K ) Ο+(ω", ω', ω) cfo'-Uc (coc),До

СО

Ζ (со) = 1 - со"1 \ Re J ω " ! d(f'21/2 f g (ω') Ο~ (ω", ω', ω) dco',До

где

eti" - t - ΙΊΛ' -I— (i\ -L- iS (\\n Λ- (i~\' — rn — i f\ ^ ' '

V (10)

—ω —гб

Uс (ω) —кулоновский потенциал, введенный в работе 4 7:

Uс (ω) = N30aVc [1 + AT

3OHFC In (^/ис)]- 1 , Uc (ωκ) = и*, (11)

где Vc — усредненное по ферми-поверхности кулоновское взаимодей-ствие, ωκ — конец спектра колебаний решетки.

Если сопоставить соотношения (1), (2) и (10), легко видеть, чтоизменения электронной системы в нормальном и сверхпроводящемсостояниях фактически определяет одна и та же функция g (ω).

Систему интегральных уравнений (10) можно решить относительно Δο

или Тс параметров спектра колебаний решетки и ЭФВ при некоторыхупрощениях. Наибольшей известностью пользуется в настоящее времярешение Мак-Миллана 1 3, который численно рассчитал выражение для Тс.При расчете вместо g (ω) он подставлял F (со) для ниобия, определеннуюнейтронографически. Для упрощения расчета Мак-Миллан предполагал,что g (ω') == 0 при ω' < 10 Мэв; сок = 30 Мае.

В этих предположениях

[ Jffi+3] (12)

248 Η. Β. ЗАВАРИЦКИЙ

И Л И

где

1,04(1 +λ),62λ) •]·

(ω) = g (ω) άω/ \ g (ω) ω" 1 άω.

(13)

(14)

Приближенные выражения для Тс сверхпроводников получили такжеГарлэнд и др. 4 8 и Гейликман 4 9. Эти выражения, так же как и соотноше-ние (12), не являются абсолютно точными, однако для оценки пара-метров они вполне пригодны. В табл. II были приведены значения ХТс,рассчитанные по Тс, &ю и соотношению Мак-Миллана (12). В расчетедля всех металлов было принято и* = 0,13, значения ΘΒ приведеныв табл. II.

Ме-талл

РЬHgSnΤΙCdZn

Рэксп

0,48+00,5+0

,01,03

0,47+0,0020,5+00,5+00,3+0

,1,1,01

Эрасч4 7

000

00

,47,46,42

,34,35

Эрасч50

0,485+00,48+0

0,455+00,48+0

0,385+00,415+0

,005,005,01,02,025,015

и *

————

0,12

Ме-талл

МОReOsZrСи

0,0,

о,0

Рэксп

33+0,39+0,20+0,

0,0,0+0,

050105

1

ft d7

Ррасч

00000

,3,41,25,30,35

Т а б л и ц а

Ррасч

0,35+00,355+00,225+00,15+0

0,065+0

50

,075,005,1,17,15

и

0,

о,0,0,

о,

III

*

11121715

Как известно, частота колебаний атомов решетки и соответственно6д ~ М~1/г, где Μ — масса атома. Это позволяет на образцах с раз-личным изотопическим составом проверить, в какой степени соотноше-ния (9) — (12) действительно описывают изменение критической тем-пературы образцов. В табл. III приведены результаты исследованияизотопического эффекта у различных сверхпроводящих металлов, а имен-но — величина β, определяемая по зависимости Тс ·~ Μ~Р (значения βвзяты из обзора и ) . Согласно теории БКШ (9) следовало ожидать β == 0,5, и некоторое время считали, что лишь это значение может бытьу металлов в случае сверхпроводимости, обязанной только ЭФВ. В дей-ствительности, у ряда металлов β меньше этой величины.

Уменьшение величины β объяснили Морель и Андерсон47, которыеобратили внимание на то, что зависимость и* от Θο должна изменитьсвязь Тс и М. Как следует, например, из соотношения (8), λ не должнаизменяться при изменении массы атома. Влияние величины и* на вели-чину изотопического эффекта легко проследить, воспользовавшись соот-ношением (12), из которого получаем

1 1 /'-Ύ 2 \ u In

в д 0,62λ1,45ГС 1 + λ

В табл. III приведены значения β, рассчитанные Морелем и Андерсо-ном 4 7 и Гарлэндом 5 0. Результаты расчетов β близки к данным опыта.

Таким образом, отклонение изотопического эффекта от предсказа-ний простейшей теории БКШ еще не является основанием для утвер-ждения о том, что в данном металле сверхпроводимость связанас нефононным механизмом. Учет кулоновского отталкивания позволяетобъяснить отклонение β от 0,5.


Можно использовать обратную процедуру и по значению β и TJQD

рассчитать в предположении λ < 1 значение и* по соотношению

и* = (1 — 2β)χ/2 [in (ΘΒ/1,4521,.)]-1.

Полученные таким образом значения для ряда металлов были приведеныв табл. III. Они не противоречат принятому при расчете λΤ(, значениюи* = 0,13.

Значения λτ , определенные с помощью соотношения (12), являютсяне очень точными. Ошибка в λΓ(. может достигать 10—15%; особенновелика она у металлов с большим отношением TJQD, так как F (ω) и g (ω)у них простираются до области малых энергий. Более надежным, конеч-но, являлся бы расчет λ непосредственно по функции g (ω), определеннойэкспериментально.

4. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИИ g(co)

Установление возможности определить g (ω) по туннельным харак-теристикам сверхпроводника связано с работой Гиавера и др. 1962Измеряя характеристики туннельного перехода со свинцом при Τ <авторы при энергии порядка дебаев-ской энергии свинца обнаружилиотчетливое отклонение от предска-заний теории БКШ. Согласно этойтеории (см. также 7· п ) , ток черезтуннельный переход нормальныйметалл — сверхпроводник при Τ = 0равен

νNs((o) άω,

г. 52

iVs = Ν,ι Re [ Ι ω |/(ω2 — Δ2) / 2 ] , (15)

где с — прозрачность, барьера, Δ —ширина щели в спектре электроновсверхпроводника.

В дальнейшем результаты Гиа-вера были повторены и полученыв более отчетливой форме 5 3. В этихработах, как и во всех последующихопытах, путем модуляционной мето-дики измеряли величину dl/dV. Каквидно из соотношения (15),

η /т/ч _ dISTJdV_ Ns

= Re

dlnn/dV| ω |

2_A2)V2

(16)

Рис. 1. Зависимость от энергии отно-сительной плотности состояний элек-тронов Ns/Nn свинца в сверхпроводящем

состоянии.1 — экспериментальные данные, полученныеиз туннельных измерений, 2 — расчет потеории БКШ, з — расчет" по уравнениямЭлиашберга (10) с g (ω), изображенной кри-

вой 4.

На рис. 1 штриховой линией обо-значены предсказания теории БКШ,по которой Δ не зависит от ω, исплошной линией — результаты экспе-римента. При 4; 5 и 9 Мэв видно отчетливое расхождение между предска-заниями теории и экспериментом. Природу этих отклонений удалось


понять на основе уравнений Элиашберга (10). В отличие от уравненийБКШ, они позволяли определить изменение Δ при изменении энергии ωдля ω > Δο и связать его с другими параметрами металла. Так, в работеСкалапино и Андерсона 1 0 было выяснено, что хотя Δ (ω) и F (со) связанысистемой интегральных уравнений, все основные особенности плотностисостояний фононов F (со) должны проявиться в зависимости Δ (ω) и темсамым в туннельных характеристиках. Наконец, в работе Шриффераи др. u было показано, как подбором функции g (со) можно качественно

описать экспериментальные ре-зультаты при использовании(10) и (16).

Дальнейший успех в этомнаправлении связан с работамиМак-Миллана и Роуэлла54, кото-рые показали, что с помощьюэкспериментально определеннойфункции R (F) 3 K C n можно чис-ленно восстановить функциюg (со). Расчет g (ω), производи-мый методом последовательныхприближений, в ходе которогона каждом этапе сопоставляетсяR (V)g*^\ рассчитанная по со-отношениям (10), (16) и gK (ω),с экспериментально определен-ной функцией R (F) 3 K C n. Расчетпродолжается до полного со-гласования R (lOpacif и й (F) 3 K C n.На каждом этапе итерации g (со)кулоновский потенциал и* вы-бирали таким образом, чтобырассчитанная Δο = Δ (Δο) сов-падала с опытным значением.

Результаты реконструиро-вания g (со) свинца по данным

Оβ 8 Ш

со,Мэд

Рис. 2. Сравнение g(co) свинца, реконстру-ированной по туннельным измерениям, со-гласно данным 5 4 (1), с плотностью состоянийфононов F((>>), определенных Брокхаусом идр. 5 5 из анализа нейтронографических изме-рений только вдоль направлений симметрии

(Мак-Миллана и Роуэлла пред-ставлены на рис. 2. При сравне-

{2) и данных Стедмена и др.56 (3), проведенного нии g (ω) с плотностью состоя-с учетом также несимметричных направлений. ний фононов F (со), рассчитан-

ной по измерениям Брокхауса65,оказалось, что эти кривые существенно различаются как по положению,так и по виду главных максимумов. Это расхождение нельзя было отнестиза счет α2 (ω), слабо изменяющейся при изменении энергии, и до 1967 г.причины его оставались непонятными. В 1967 г. нейтронографическиеизмерения дисперсионных кривых свинца были повторены 5 7. При этом,в отличие от предыдущих опытов, измерения проводили и для многихнесимметричных направлений кристаллической решетки. Эти результатыбыли использованы для новых расчетов плотности состояний 5 6 фононов.Оказалось, что уточненное значение F (ω) лучше совпадает с g (ω) (см.рис. 2). Некоторое систематическое различие положений максимумов,возможно, связано с различием в температуре туннельных и нейтроно-графических измерений. После всех этих измерений исчезли последниесомнения в том, что по туннельным характеристикам действительно можновосстановить функцию g (ω), описывающую ЭФВ в металле.


Свинец — это один из металлов с наиболее сильным ЭФВ. Поэтомуи особенности туннельных характеристик его выражены столь отчетливо.У других сверхпроводников они не столь велики, и для их измерениятребуется более чувствительная методика, например измерение, помимоdlldV, также и d4/dV*.

В настоящее время проявление особенностей g (ω) обнаружено в тун-нельных характеристиках большинства исследованных сверхпроводни-ков: А1 5 8, Т 1 5 9 " в \ In 54· 59~вг, Sn 54· 5 9, Hg63, Та 64· 65, La 66, Nb 6 4 и рядасплавов.

σ,ι -

О β IBω,Μΰδ

Рис. 3. Функции g(<») для ΤΙ β 1 , Hg 6 36, In 6* и Та 6 δ, реконструированные по туннель-ным характеристикам.

В случае металлов с простейшей решеткой обычно проявляются триособенности, связанные с поперечными и продольными модами колебаний,а также концом спектра. У металлов с несколькими атомами в элементар-ной ячейке (Sn, Hg) проявляются также оптические моды. Число особен-ностей на туннельных характеристиках в этом случае велико: в случаеолова их, например, семь (см. рис. 6 из работы 67) и идентифицироватьих все затруднительно, тем более что дисперсионные кривые обычно опре-деляют лишь для симметричных направлений. Это же, как было виднона примере свинца, недостаточно для определения точного вида F (ω).

Для ряда металлов была проведена полная реконструкция функцииg (ω). Она представлена на рис. 2—4. Для олова Sn рядом с кривой g (ω)представлены результаты нейтронографических измерений F (ω) Котова


и др. 6 8. Дисперсионные кривые для Sn измерял Роуэлл в 9. Совпадениерезультатов измерения g (ω) с нейтронографическими данными вполнеудовлетворительно, если учитывать невысокую точность последних.

В последнее время Роуэлл и Дайнес 70, сравнив все известные тун-нельные и нейтронографические исследования спектра колебаний решетки,пришли к выводу об их удовлетворительном совпадении.

II

Ζ0 в π 16 ζσω, Мэ1/ г-

Рис. 4. Функция g((u) для Sn, реконструированная по туннельным характеристикамМак-Милланом 54 (а), и F(a>), определенная нейтронографически Котовым и др. 68 (б).

Полученные на основании анализа измерений туннельного эффектафункции g (ω) можно использовать для расчета параметра λ (см· соот-ношение (2)). Полученные значения Xg были приведены в табл. П. По-види-мому, это — наиболее последовательный метод определения параметраЭФВ по сверхпроводящим характеристикам. Возможная ошибка в при-веденных значениях λ^ составляет в случае Kg и РЬ, вероятно, не более-3—4 %. В этих пределах лежат результаты известных нам расчетов kg,за исключением первой публикации Мак-Миллана и Роуэлла 1965 г. 8 4

(Xg = 1,33). У остальных металлов возможная ошибка в приведенныхзначениях %g может, вероятно, достигать 10—15%. Это связано какс меньшей амплитудой всех особенностей, обязанных g (ω), так и с боль-шим влиянием кулоновского потенциала и* на результаты восстановле-ния g (ω). Используемая программа восстановления g (ω) приводитк заметному различию kg и зависимости от выбора и*.

5. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ ЭЛЕКТРОН-ФОНОННОГОВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ПО ХАРАКТЕРИСТИКАМ МЕТАЛЛА

В НОРМАЛЬНОМ СОСТОЯНИИ

Как уже указывалось выше, ЭФВ приводит к изменению плотностиэлектронов, эффективной массы, скорости электронов вблизи поверхностиФерми. Очевидно, при измерении всех этих величин можно определитьпараметры ЭФВ (см. (1)).

а) Т е п л о е м к о с т ь . Из электронной теории металла известно,что теплоемкость свободных электронов Се в области низких температурравна

Се = (4л*ткЧЗ№) vm φηΐη)1'» Τ, (17)

где к — постоянная Больцмана, η — число электронов в единице объема,т — масса электрона. После подстановки численных величин имеем

Се = 0, Шри^пЦзТ мдж/г · моль = уТ,


где vm — молярный объем, па — число электронов проводимости наатом, μ = т/т0, т0 — масса свободного электрона. Из соотношения (17)получаем

μ = т/т0 = 7,3 (па^т)-1/гу. (18)

В настоящее время известны достаточно надежные измерения тепло-емкости металлов при низких температурах. В табл. II были приведены€>D и γ — коэффициенты при линейном члене теплоемкости. Для боль-шинства металлов значения взяты из обзора 7 Ι . Для некоторых металловв табл. II приведено уточнение данных в согласии с более позднимипубликациями, которые внесены в список литературы.

По значениям γ для металлов можно рассчитать с помощью (18)эффективную массу электронов проводимости. Для большинства метал-лов она отличается от массы свободных электронов. Это отличие можетбыть связано, во-первых, с некоторой деформацией поверхности Фермив силу электрон-ионного взаимодействия. Во-вторых, плотность элек-тронов может быть изменена из-за электрон-электронного и электрон-фононного взаимодействий.

Влияние деформации поверхности Ферми можно рассчитать, еслииспользовать известные псевдопотенциалы металлов. Полученные значе-ния тзон/т0 представлены в табл. II . Электрон-электронное взаимодей-ствие обычно вызывает незначительное изменение массы, и мы будемим пренебрегать. Отличие т/т30Н от единицы отнесем в основном засчет ЭФВ. Тогда можно по измерениям теплоемкости Се рассчитать

%с = (тс1тзон) — 1. (19)

Полученные таким путем значения представлены в табл. II.

б) Ц и к л о т р о н н а я м а с с а . Как известно, в магнитном полеэлектрон движется в плоскости импульсного пространства, перпендику-лярной направлению поля Н. Для свободных электронов частота обра-щения вокруг поля

соц = eHlm^c, (20)

где с — скорость света. Подобное периодическое движение в металлеиспытывают и электроны проводимости. Частоту обращения электро-нов — циклотронную частоту — можно определить по высокочастотномусопротивлению металла 1 б . В этом случае, однако, масса электрона суще-ственно отличается от массы свободного электрона. Более того, обычнонаблюдается несколько масс, величина которых сложным образом изме-няется при изменении ориентации образца. Связано это с тем, что в метал-ле электрон движется по траектории на поверхности Ферми, строго задан-ной условиями эксперимента. Соответственно в соотношении (20) рольмассы играет

"Ьон. ц = (2л)"1 dS/άω, (21)

где S — экстремальная площадь орбиты в импульсном пространстве,ω — энергия. Очевидно, что тзон = т0 лишь в случае сферы для свобод-ных электронов. При использовании информации о топологии поверхно-сти Ферми можно для каждого эксперимента рассчитать по соотноше-нию (21) эффект влияния формы траектории и полученную таким способомтЗОн ц сравнить с циклотронной массой, рассчитанной по соотноше-нию (20).

Иной способ определения массы электрона состоит в измерении тем-пературной зависимости амплитуды эффекта де Гааза — ван Альфена.


Однако точность этого способа не столь высока, как метода циклотрон-ного резонанса.

Результат подобного сравнения показывает, что хотя учет влиянияформы траектории и позволяет объяснить как наличие нескольких масс,так и анизотропию циклотронной массы, все же обычно тц оказываетсясистематически больше тзон, ц. Это различие, как и в случае теплоемкостиметалла, можно отнести за счет проявления ЭФВ и еще одним способом посоотношению, подобному (19), определить параметр λ. Полученные такимобразом значения λ4 приведены в табл. П.

Точность определения параметра λ в этом случае в первую очередьопределяется надежностью расчета т з о н . „. Ошибка экспериментальногоизмерения тц обычно не превосходит долей процента, что во много разменьше неопределенности в значении т 3 ( Ш. ц· Например, при расчетея з̂он. ц Для олова 3 6 использовалась модель почти свободных электронов;вследствие этого приведенные в табл. II значения Яц, видимо, зани-жены.

Для ряда металлов в табл. II приведено несколько значений λη.Связано это с тем, что обычно отношение тц/тзон, ц зависит от того, длякакой траектории на поверхности Ферми оно определено. Очевидно этосвязано с появлением анизотропии ЭФВ. В этом случае, в отличие оттеплоемкости, усреднение параметров ЭФВ происходит лишь вдользаданной экспериментом траектории на поверхности Ферми.

При сравнении результатов расчета с экспериментом было замечено,что тц/т30н. ц очень часто систематически отличается у траекторий элек-тронов, проходящих по различным зонам поверхности Ферми. Так, обсчетэкспериментальных данных Хайкина и Мины для свинца 7 2 и индия 3 4

показал, что у свинца для всех траекторий электронов, относящихсяк 4-й дырочной зоне, (тц/тзш. ц ) 4 = 2,0, а для траекторий 5-й элек-тронной зоны (/н.ц/т3он. Ц)Й = 2,2 — 2,4. В случае индия для траекторий2-й и 3-й зон соответственно (mn/m30Hi „)а = 1,48 —1,53 и (тц/тзш. ц ) 3 == 1,6 —1,7. Для таллияу 3-й и 4-й зон (тц/тзок, ц ) 3 » 1,4, (тц/тзон. ц ) 4 »« 1,8. Подобное систематическое расхождение наблюдается лишь приобсчете измерений циклотронной массы, и трудно предположить, что онасвязано с ошибками в расчете параметров поверхности Ферми. Вероятно,у этих металлов параметр ЭФВ λ различается на 20—30% для разныхзон поверхности Ферми.

Подобные данные могли бы представлять несомненный интерес дляпонимания природы анизотропии энергетической щели сверхпроводников.Дело в том, что ранее у олова автором 7 3 была обнаружена взаимосвязь,между величиной щели и тем, электроны какой зоны дают основной вкладв туннельный ток. В дальнейшем подобные результаты были полученыи у галлия 74, и свинца 1Ъ. Было бы очень заманчиво сопоставить пара-метры ЭФВ различных зон, определенные в нормальном состоянии,с анизотропией щели в сверхпроводящей фазе. Конечно, при этом нельзяожидать, что по анизотропии параметров ЭФВ нормальной фазы можно·прямо рассчитать анизотропию Δ, поскольку явление сверхпроводимостиявляется типично коллективным эффектом, однако корреляция этихвеличин весьма вероятна. В настоящее время этот вопрос еще недостаточ-но разработан как экспериментально, так и теоретически. Например, при-веденная выше система уравнений Элиашберга для щели (10) полученалишь для изотропного металла.

В последнее время опубликованы результаты измерения методом,туннельного эффекта анизотропии щели у РЬ 7δ, Ga 7β, Nb 7 7 и Re 7 8.В этих работах в случае переходных металлов (Nb и Re) не удалось уста-новить прямую связь между анизотропией щели и структурой ферми-по--


верхности. Из последних расчетов анизотропии щели отметим расчетыанизотропии у А1, выполненные Дайнесом и Карботтом 7 9 .

Мы рассмотрели ряд путей определения параметров ЭФВ в метал-лах. Как видно из табл. II, все они приводят к значениям, согласующимсяв пределах 10—20%. Лишь в отдельных случаях наблюдается большеерасхождение в значениях λ, вероятно, обязанное ошибкам в расчетах,например приближенности соотношения (12), ошибкам в расчете /η30Η

и т. п. Из всех рассмотренных способов в настоящее время, видимо, наи-более надежным является определение параметров ЭФВ непосредственнопо g (ω), хотя этот метод и применим к ограниченному кругу сверхпро-водников. Наибольшую точность можно было бы достичь в измеренияхХц, однако здесь необходимы дополнительные расчеты, точность которыхневелика. По-видимому, пока мы можем определять значения λ лишьс ошибкой, достигающей 10%.

Было бы очень заманчиво использовать для определения ЭФВ прямойметод, не требующий дополнительных расчетов. Для этого нам в первуюочередь необходимо рассмотреть, как ЭФВ меняется при изменениисостояния или параметров системы электронов и фононов.

6. ЗАВИСИМОСТЬ ЭЛЕКТРОН-ФОНОННОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯОТ ЭНЕРГИИ ЭЛЕКТРОНОВ

Как уже указывалось, все рассмотренные выше выражения относи-лись к предельному случаю Τ = 0, или, точнее, ω <̂ сод, где ω и ω9 —энергии электронов и фононов. Обычно энергия ферми-электронов пре-восходит во много раз энергию фононов. Следовательно, если оставатьсяв рамках представлений о ферми-системе, можно рассматривать ЭФВи вне указанного выше ограничения ω <ξ o g . Можно выделить три раз-личные области 8 : ω < ωα, ω ~ cog и ω > ω9. Результаты, относящиесяк первой области, уже рассматривались; здесь вследствие ЭФВ происхо-дит перенормировка большинства характеристик состояния электронов.Во второй области обмен энергией между системой электронов и фононовнастолько возрастает, что коэффициент затухания квазичастиц оказы-вается порядка их энергии. Очевидно, что в этих условиях само понятиеэлектрона как квазичастицы теряет смысл. Наконец, в области ω > wq

все эффекты, связанные с ЭФВ, постепенно исчезают.На рис. 5 представлены результаты расчета зависимости от энергии

коэффициента перенормировки Zn для свинца, ртути и олова. В расчетебыли использованы g (ω), представленные на рис. 2—4. Расчет произво-дился по соотношению (10) для Ζ, в котором было положено Δ (ω) = 0.Видно как резкое возрастание мнимой части Ζη при ω ~ ω3, характе-ризующей затухание квазичастиц, так и постепенное исчезновение ролиЭФВ по мере увеличения энергии Ζ (ω) ->- 1 при ω ->• оо.

По зависимости характеристик металла от энергии можно былобы прямым путем определить параметр перенормировки Ζο и тем самымЭФВ. В настоящее время подобные эксперименты находятся еще в началь-ной стадии.

Из подобных экспериментов в первую очередь рассмотрим опытыпо определению зависимости циклотронной массы от энергии. В этихопытах увеличение средней энергии электронов достигалось повышениемтемпературы образца. Наиболее подробно исследовано изменение цикло-тронной массы свинца 80· 8 1 и цинка 8 а . У обоих металлов при изменениитемпературы от 1 до 7—10 °К обнаружены возрастания циклотронноймассы (в случае свинца тп(Т)=тцМ (1 + 1,07· 10~3 Г2). Этот эффектоказался в хорошем согласии с результатами теоретических оценок


возможного возрастания массы за счет ЭФВ 8 3. На данном этапе эти опыты,помимо подтверждения роли ЭФВ, открывают возможность еще однимспособом проверить характер изменения g (ω) при ω -ν 0 у исследуемыхметаллов. Результаты, полученные в случае РЬ и Ζη, показывают, чтопри ω -*- О g (ω) ~ ωη, где η >- 2.

Во всех экспериментах наблюдали также при повышении температурырезкое уширение линии циклотронного резонанса, свидетельствующее

Ζπ(ω)

2

РЬ

О Iff

3Ζη(ω)

Ζ -

Ζπίω)Ζ

Sn

JO SOсо.Мзб

σ zo

- \

J

/ ι ι Ι 1 1 t Ι Ι

σ s 75 35 45

Рис. 5. Зависимость от энергии коэффициента перенормировки Ζη в нормальномсостоянии для Pb 5 4 , Sn 5 4 и Hg β 3 β .

Ζι и Zi — действительная и мнимая части коэффициента перенормировки.

об уменьшении времени жизни квазичастиц τ. Например, в случае свинцаτ - ι = τ - ι + ers±o,s t г д е τ ο = (0,7 8 0 -1,2 8 1 ) ·10- 9 сек, а = (1,7280 -— 181)·10~8 сек-°К~2. Этот эффект связан с возрастанием мнимой частиΖη при увеличении ω (см. (3)). Уменьшение жизни квазичастиц в первуюочередь ограничивает возможности в проведении экспериментов по зави-симости параметра перенормировки от энергии.

Хотя в настоящее время влияние температуры на параметр перенор-мировки обнаружен у цинка, свинца и, вероятно, ртути (см. ссылкув работе 8 1), очевидно, его можно обнаружить и у других металлов.

Зависимость Ζ (ω), по-видимому, должна сказаться и в изменениис температурой теплоемкости металлов. В результате следует ожидатьотклонений от линейного закона Се = уТ, составляющих, согласно расче-там 8 3 а, ~20% у РЬ и Hgn, по-видимому, около 10% у Sn и In. Очевид-но, этот эффект необходимо учитывать при строгоманализе теплоемкости


металлов в первую очередь при попытке разделить теплоемкость на свя-занную с электронами и решеткой. Хотя этот эффект впервые был рас-смотрен в 1962 г. Элиашбергом 84, на него, к сожалению, обычно не обра-щают внимания.

7. ДРУГИЕ СПОСОБЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПАРАМЕТРОВЭЛЕКТРОН-ФОНОННОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ

Помимо перечисленных выше способов определения параметров ЭФВмогут быть использованы и другие измерения.

Как следует из соотношения (1), для этой цели можно использоватьрезультаты измерения скорости нормальных электронов. Кроме высоко-ч-астотных методов, для этого применимы также явления, связанныес квантованием уровней энергии в тонких пластинках толщиной d, в пер-вую очередь так называемый эффект Томоша, который состоит в сле-дующем- При зеркальном отражении электронов от поверхности пластиныпроисходит квантование уровней энергии с расстоянием εκ = hv/2dв направлении, перпендикулярном плоскости пластины. Томаш 8 5 обна-ружил проявление этого квантования в туннельных характеристикахпленок из сверхпроводников (In, Pb, Sn) толщиною более 2 мкм.

Квантование проявлялось в виде системы дополнительных почтиэквидистантных максимумов на характеристике туннельного перехода.Но расстоянию между ними удавалось измерить ек и тем самым скоростьэлектрона. В теории этого эффекта 8 6 было показано, как следует обра-батывать экспериментальные результаты. В последнее время эффектТомаша использовали для определения зависимости времени жизниквазичастицы от энергии 8 7.

С помощью эффекта Томаша можно на одном образце одновременноизмерять величину щели в сверхпроводящем состоянии и коэффициентперенормировки скорости электронов в нормальном состоянии. Такиеэксперименты могли бы дать полезную информацию об анизотропии ЭФВв металлах. Недавно опубликованы88 результаты подобного экспериментадля свинца.

Туннельный ток в нормальном состоянии не зависит от параметровперенормировки 8 9 в случае симметричного барьера. Обычно барьерв туннельном переходе обладает некоторой асимметрией, и по туннельнымхарактеристикам можно получить некоторую информацию о ЭФВ 9 0.В последнее время Джус и Ричардз9 I обнаружили проявление ЭФМв адсорбции инфракрасного излучения в свинце. Все рассмотренные вышеметоды пока находятся в стадии разработки. С помощью их до настоящеговремени еще не удалось получить новые характеристики ЭФВ. Однакопоскольку сейчас исследование ЭФВ повсеместно интенсивно развивается,в ближайшем будущем можно ожидать новых интересных результатови в этих новых направлениях.

8. ВЛИЯНИЕ ДАВЛЕНИЯ НА ЭЛЕКТРОН-ФОНОННОЕВЗАИМОДЕЙСТВИЕ

Познакомившись с различными методами исследования ЭФВ и с рабо-тами, посвященными определению влияния на параметры ЭФВ данногометалла энергии электронов или температуры, перейдем к рассмотрениюкруга работ, в которых были предприняты попытки выяснить влияниена ЭФВ различных физических характеристик вещества. Во всех этих рабо-тах исследуется зависимость свойств системы электронов от внешних пара-метров. Такими параметрами могут быть межатомное расстояние, степень

4 УФН, т. 108, вып. 2


физических искажений в решетке, количество посторонних примесей,изотопический состав атомов и т. п. Все эти работы позволяют сравнитьвес различных параметров в свойствах металлов.

Начнем рассмотрение с работ по влиянию гидростатического давленияна металлы. В настоящее время известно большое количество работ,посвященных исследованию электронной структуры под давлением. Уста-новлено, что давление обычно приводит к незначительному изменениюбольших (сравнимых по размеру с обратной решеткой) частей поверхности

Sn

£dl*

ff ff JO 72 74 7ff

Рис. 6. Смещение иод давлением туннельных характеристик Sn и In 6 7 (у олова при6 Мае изменен масштаб шкал).

Ферми; существенное изменение наблюдается лишь у некоторых малыхее участков. Информацию относительно изменения характеристик фонон-ного спектра под давлением до последнего времени удавалось получатьиз косвенных измерений, например из температурной зависимости тепло-вого расширения кристаллов. Лишь в последнее время в работах Франкаи Келлера 92, Заварицкого, Ицкевича и Вороновского 67· 9 з, Галкинас сотрудниками 9 4 было определено методом туннельного эффекта смещениепод давлением основных особенностей фононного спектра ряда сверх-проводников.

Рассмотрим сначала результаты работы Заварицкого и др. 67, в кото-рой было определено смещение особенностей спектра решетки Pb, Sn, In,изменение щели и рассчитано изменение g (ω) у РЬ, In, Sn под давлением.На рис. 6 представлены туннельные характеристики систем А1 — А12О3 —Sn и А1 — А12О3 — In, снятые при 1 °К под давлением ~10 кбар и без

ЭЛБКТРОН-ФОНОННОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ 259

i\

1 \ I

Ш

давления. Стрелками отмечено местоположение особенностей, смещениекоторых исследовалось под давлением. Численные характеристики при-ведены в табл. IV.

Результаты восстановления g (ω) для ρ == 0 и ρ = 10 кбар пока-зывают, что у свинца под давлением происходит не только смещениеg (ω) по оси ω в согласии с данными табл. IV, но и уменьшение абсолют-ной величины g (ω) ~ 10% без заметного изменения кулоновского взаимо-действия (рис. 7). В случае оловаи индия при давлении 10 кбар g (ω) 'уменьшается на 4—5%. gfo)

Изменение величины g (ω) поддавлением не противоречит сущест-вующим теоретическим представле-ниям. Так, анализируя соотношение цд(3) — (5), Трофименков и Карботт 9 5

заметили, что если под давлениемпроисходит смещение спектра коле-баний решетки в δ раз, то

g (δω) = Bb-*g (ω), (22) ^

где В та i — коэффициент, учиты-вающий среднее изменение под дав-лением квадрата матричного элемен-та псевдопотенциала. Рассчитанноепо соотношению (22) изменение g (ω)при 10 кбар составляет для свинца12—13%, что удовлетворительно со-гласуется с данными, полученнымив результате реконструкции g((o).

Полученные результаты были ис-пользованы для расчета по соотно-шению (2) усредненного параметра ЭВФ λ и Ζ, которые приведеныв табл. IV, где дана сводка изменений характеристик Pb, Sn, In и ΤΙпод давлением. У всех рассматриваемых металлов плотность электронныхсостояний на поверхности Ферми N измерялась под давлением 9 7 ' 9 8 .Соответствующие значения d In N/dp приведены в табл. IV. Напомним(см. соотношение (1)), что N = Na04Z и соответственно din Nldp == (d In NзоJdp) + (d In Z/dp). Как видно из таблицы, величинаd In Nldp «i d In Z/dp для всех рассматриваемых металлов. Это позволялосделать вывод, что изменение ЭФВ в основном определяется зависимостьюплотности состояний электронов Pb, Sn и In от параметров решетки.

Этот вывод подтверждает и следующие простейшие оценки. Какизвестно " , у Pb, Sn и In величина d In N3mJdp совпадает со значением,следующим из модели свободных электронов, или даже меньше его. В этоймодели d In Nldp = — κ/3, где κ — сжимаемость вещества. Используяданные табл. II, легко получить, что у Pb, Sn и In din Z/dp = λ (1 + λ)~χΧΧ d In λ/dp « (1/2) d In λ/dp; далее, воспользовавшись (8), получаем

din λ/dp » (—2) din {ω)/άρ. У всех этих металлов, как видно из табл IV,d In ω/dp Ρ» 3κ. Следовательно, d In N30H/dp ж (1/10) (din Z/dp).

Еще одно проявление особенностей ЭФВ было подмечено при сопо-ставлении изменений с давлением энергетической щели и критическойтемпературы свинца 9 3 . Согласно теории БКШ отношение 2А0/кТс являет-ся универсальной константой для всех сверхпроводников. С точки зренияэтой теории следовало бы ожидать, что величины d In A0/dp и d In TJdpсовпадут. В действительности же у большинства исследованных

4*

о

Рис. 7. Изменение функции g(ω) свинцапод давлением согласно данным Зава-

рицкого и др. 6 7 .

Таблица IV

Изме-ряемаявели-чина

X

тс,°к

2Δ 0 ,Мэв

ωκ>Мэв

λ

Ζ

Νκ

χ

7,2

2,7

3,8

4,45

4,9

4,45<ωΓ)****)

8,45( ω Ι·)

9,9(ωκ)

1,49

2,49

*) Числа

Свинец

• 1 1)6dp 1 U 'бар-1

-21,6+2 а **)27-1-2,5 б22,2+1 в

32+7 а

26+4 в36+5 а33+4 в32+7 а33+4 в40+4 а

24^3 б

6 0 ± 6 а

59+6 664+4 в70+10 а

—28+2 а

- 2 8 + 2 а

2,28

в квадратных

d l n x Ю«dp

бар-1

- 5 , 3[-11,8]*)

-8,0— 10,0

g Q

[-9,5]'***)

8,4

8,0

6,5

9,0

7,1

7,1

—18,8

— 11 + 1- 8 , 3 + 1 , 5 97

Олово

X

3,79

1,2

3,5

4,8

7,6

10,6

14,2

15,9

17,4(ωκ)

0,79

1,79

dX -10»dp

бар-l

d l n x medp

6ap-l

— 13,3[-14,5] *)

--18-+-1 a _ 1 5

—18,5+1 в

22+4 a

22+10 a

50+20 a

42+5 a

5 5 ± 7 a

67+7 a

70+14 a

— 6 , 3 + 0 , 7 a

- 6 , 3 + 0 , 7

1,81

[_14,8]***)

6,3

4,6

6,5

4,0

3,9

4,2

4,0

—8

- 3 , 4 + 0 , 4

—3,6 + 0,5 98

Индий

X

3,4

1,02

3,25

4,6

12,9

15,0( ω κ)

0,82

1,82

скобках —расчет по соотношению Мак-Миллана (12).

dx medp6ap-i

-14,5+0,6 a

-14,3+1,3"

21 +-3a

26±4 a

4 8 ± 5 a

75±10 a

- 8 , 0 ± 0 , 8 a

—8±0,8 a

2,39

d l n xdp

6ap-l

-12,6[-17] *)

—14,2[13,7]***)

6,5

5,7

3,7

5,0

—9,8

-4,4+0,4

— 3,6±0,7 98

Таллий

X

2,4

3,99

9,5

dxdp 'бар-1

14,8±7в

5,45±1в

d l n xdp '

6ap-l

2,8 + 1,Зв

3,7

5,8

2,73

**) Обозначения:8 — данные Заварицкого и др. 6Ί· wi; ° — данные Франка и Келлера 9 : !; в - данные Галкина и др. а*> "°.* * * ; Расчет

****) центрпо соотношению Гейликмана и Кресина (23) с dlnTr/dp и άΐηω/dp

тяжести огибающей кривой iZV/dlz при T> Tc AI.из таблицы.

И

исо

Μ


сверхпроводников | d In A.0/dp | > | d In TJdp | (см. табл. IV). Наиболеевелико это различие у свинца. Ранее было известно 10°, что выводы теорииБКШ о постоянстве 2&01кТс не являются вполне точными. В действитель-ности это отношение несколько увеличивается вместе с TJB D.

Рассмотрев этот вопрос в рамках уравнений, полученных Элиашбер-гом, Гейликман и Кресин 1 0 1 показали, что в действительности

2AJkTc = 3,52 [1 + 5,3 (Гс/©0)2 In (<о0/ВД (23)

где ω0 — характеристическая анергия фононов, взаимодействующихс электронами. Воспользовавшись соотношением (23), Гейликман и Кре-син смогли объяснить увеличение 2А0/кТс у свинца и ртути, хотя приэтом авторы предполагали, что взаимодействие электронов происходитлишь с продольными фононами.

Результаты реконструкции g (ω) показывают, что.в действительностиво взаимодействие вступают и поперечные фононы. Более того, во всесоотношения входит g{(d)lu), и даже если g(a>) отлично от нуля в широкоминтервале энергий, основной вклад во все эффекты дает область малыхэнергий. Так, в случае свинца — это фононы с энергией ~4,5 Мэв, в слу-чае олова и индия — ~ 6 Мэв, хотя спектр колебаний решетки последнихдвух металлов простирается до ~18 Мэв. Если это учесть и подставитьв соотношение (22) в качестве ω0 энергию, соответствующую максимумуg (ω)/ω, то получим значения 2А0/кТс для свинца, практически совпа-дающие с экспериментальным значением (см. 9 3 ) .

Под давлением у сверхпроводников обычно происходит увеличениеотношения (U/TC. В результате отношение 2А0/кТс приближается к зна-чению 3,52. Если по соотношению (23) и величинам d In TJdp и d In ω/dpрассчитать d In AJdp для Pb, Sn и In, то полученные значения оказывают-ся в хорошем согласии с результатами опыта (см. табл. IV).

Величина d In AJdp входила в программу реконструкции g (ω)и, естественно, не может быть использована для проверки теории. Вели-чина d In TJdp, рассчитанная по λ, dkldp и άω/dp с помощью соотношенияМак-Миллана (12), представлена в табл. IV. Как видно из таблицы, урав-нения Мак-Миллана можно использовать лишь в первом приближениидля расчета изменения Тс под давлением.

Основные экспериментальные результаты работ Франка и Келле-ра 9 г, Галкина и др. 9 4, приведены в табл. IV. Результаты Франка и Кел-лера менее надежны, чем остальные, так как авторы имели возможностьпроводить измерения лишь до 3,3 кбар при 2 °К. В остальных работахизмерения проводились до 15 кбар. Реконструкция g· (ω) свинца прово-дилась также в работе Франка и др. 1 0 2. Согласно рисунку статьи эффектуменьшения g (ω) под давлением не был обнаружен. По оценкам резуль-татов работы 67 он должен быть при 3,3 кбар ~ 3 % , что близко к возмож-ной ошибке программы реконструкции g (ω). Однако приведенные в этойработе значения g (ω) и άλ/dp совпадают с результатами Заварицкого,Ицкевича и Вороновского 6 7. Анализ изменения под давлением Тс сверх-проводников на основании уравнений Мак-Миллана был проведен такжев обзоре Баутона и др. 1 0 3 и в работе 1 8.

В настоящее время не видно существенного расхождения в различ-ных измерениях характеристик сверхпроводников под давлением. У всехисследованных металлов изменение ЭФВ определяется в основном смеще-нием под давлением спектра колебаний решетки. Этот эффект играетпреобладающую роль по сравнению с изменением под давлением поверх-ности Ферми электронов. Этот вывод нельзя, конечно, переносить на всеметаллы. Вероятно, он относится лишь к большинству непереходныхметаллов. В дальнейшем мы вновь вернемся к этому вопросу.


-7

9. ЭЛЕКТРОН-ФОНОННОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ В МЕТАЛЛАХС ПРЕДЕЛЬНО ИСКАЖЕННОЙ РЕШЕТКОЙ

Опыты с давлением показывают, что если находиться в рамках теорииЭФВ, удается объяснить зависимость электронных свойств свинца,олова и индия от межатомного расстояния. Естественно попытаться рас-

смотреть в рамках этих представлений также свойстваметаллов с предельно искаженной кристаллической ре-шеткой. Такие искажения могут быть созданы путемконденсации металла при гелиевых температурах.

Еще в 1938 г. Шальников 1 0 4 обнаружил, что критиче-ская температура олова возрастает, если образец пригото-вить путем конденсации на поверхность, охлажденнуюдо гелиевых температур. Проведенные в дальнейшем экспе-рименты 106> 1 0 6 показали, что эти эффекты имеют местоне только у олова, но и у большинства других сверхпро-водников, при этом Букель и Хилып 1 0 6 установили, чтоотносительное возрастание Тс зависит от отношения TJ<dD.

Для того чтобы получить дополнительную информа-цию о свойствах металлов, полученных в столь аномаль-ных условиях, автором были предприняты методом тун-нельного эффекта исследования ЭФВ у ряда сверхпро-водников, сконденсированных при гелиевых температурах.Начатые нами 1 0 7· 1 0 8 исследования были продолженызатем и в других странах и·»-*1*. Были исследованы А1 1 0 7,In 1 0 8 Sn 108> 1 1 0 РЬ 107> 108> 1 1 0 Bi 1 0 8 - m Ga 108> 1 0 9 ' 1 1 2

В работах 1 0 8 туннельные переходы приготовлялись в стек-лянном приборе, изображенном на рис. 8. Пленки напы-лялись на дно стеклянного стаканчика 1. Электрическийконтакт с пленками осуществлялся через платиновыеконтакты 2, нанесенные катодным распылением, и про-паянные через стекло выводы из платины 3. Форму пленокопределяли подвижные экраны 4, укрепленные на ста-канчике проволокой 5. Испарение металла производилосьиз вольфрамовых, предварительно прокаленных спиралей6'; экран 7 защищал испаритель от взаимного загрязне-ния. Стеклянный изолятор 8 крепил испарители.

Приготовление образца шло в следующем порядке.Собранный прибор прогревался при ~500 °К при откачкедо 10~e тор. Затем при 300 °К испарением наносилсяслой алюминия. В прибор напускалось до 400 тор хорошообезвоженного воздуха и при 500 °К проводилось окисле-ние А1 для создания пленки А12О3. Время окисленияварьировалось от 2 до 12 часов в зависимости от иссле-дуемого металла. После окисления прибор откачивалсяи отпаивался. Во время испарения исследуемого металлаприбор был целиком погружен в жидкий гелий, находив-шийся при температуре ниже 2° К.

При изменении давления над жидким гелием в гелие-вой ванне в приборе можно было проводить измеренияв интервале 1—4,2 °К. Для получения более высоких тем-

ператур в полости стаканчика 1 прибора располагался миниатюрныйнагреватель и угольный термометр сопротивления. При изменении мощ-ности, выделяемой в нагревателе, можно было проводить измеренияв области 4,2—30 °К в приборе, целиком погруженном в жидкий гелий.

Рис. 8. Прибордля исследова-ния сверхпро-водников, при-

готовленныхконденсацией

при низких тем-пературах, ис-пользованный

в работах авто-ра 1 0 8.

ЭЛЕКТРОН-ФОНОННОБ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ 263

В ходе опыта обычно записывались характеристики dVldl икак функции напряжения V, по которым определялась в первую очередьширина щели Δο. Значения Δο и Тс для всех исследованных металловуказаны в табл. V, где приведены различные характеристики сверхпро-водящих металлов, сконденсированных при гелиевых температурах.

Ме-талл

Ga

Pb

Bi

Sn

In

Лите-рату-

ра

108

109

111

112

113

108

110

108

109

111

110

113

108

110

108

88888

77

6

6566

44

4

*) Расчетместоположение[Τ ] -- расчет по

=К

,4,56,47,4,45

,2,2

,11,93,1,11

,2,52

3,8

2До/

2 До

3333322

2

2222

11

1— 1

ΊΤ

, Мэв

,12,32,29,30,02

,82,70

,37

,42,33,44,2

,5,54

,7—,3**)

ТО СО],

2 Δ 0

hTc

4,25(4,3)*)4,54,54,54,1

4,5(4,5)*)4,4

4,6(4,5--4,3)*)

4,594,564,64,2

4,05(4)*)

ωι

53

4,5

3-3,5

2,2

3,5—4

Т и соотношению (23)максимумов g (αϊ), ω κ — конец спектра

λ, <ω> t[ соотношению Мак-Миллана**) Зависит от толщины пленки In.

G>2

1817,

8,

8,

8,

14

13,

5

5

5

5

5

«к

25

10

12

17,5

16

Гейликмана

13)л>

<

55

33

2

2

2

47

и

— расчет

ω>

,8,47

,8,74

,9

,86

,98

,9,9

12

21

2

2

1

10

Τ

λ

,4,25

,8,91

,7

,46

,85

,6,84

а б л и ц а V

00

00

0

0

0

00

Кресина wi;по (14)

и*

,1,17

,1,008,1

,1

,01

Л,07

ωι,все в

[гс],

7,28,5

7,66,3

5,8

5,4

5,7

6,65,6

СО2 —

Мэв);

В характеристиках всех исследованных систем при eV > Δο наблю-дались особенности, которые удавалось отчетливо зафиксировать нахарактеристиках άΆν/άΡ. На кривых dW/dIz эти особенности проявлялиськак ряд максимумов и минимумов, положение которых практическине зависело от температуры. Амплитуда этих особенностей постепенноуменьшалась при повышении температуры до Тс, при которой они исчеза-ли. После отогрева образцов до комнатной температуры эти особенностиплавно переходили в особенности, которые обычно связывали с проявле-нием g (ω). Естественно было считать, что и у металла, сконденсирован-ного при гелиевых температурах, особенности в туннельных характери-стиках при eV > Δο связаны через соотношение (10) с функцией g (ω).

Для реконструкции g (ω) в первую очередь необходимо определитьR (У) = (dlJdV) {dIJdV)~x. В случае пленок, сконденсированных принизкой температуре, здесь возникают дополнительные трудности. Делов том, что величина dlJdV может зависеть от напряжения. Обычно дляее точного измерения сверхпроводимость металла разрушается внешниммагнитным полем. У металла, сконденсированного при 1 °К, критическоемагнитное поле очень велико (например, у Bi m при 1 °К Нс да 105 э),и этот путь определения dlJdV затруднителен. Поэтому в опытах с метал-лами, сконденсированными при 2 °К, значения (dln/dV)(V)T = ι °κ опре-деляют обычно путем экстраполяции измерений, проведенных при Τ > Тс.При этом, естественно, возникает большая ошибка в величине dInldV


и тем самым в значении R (V). По данным работ 1 0 8 относительная ошибкав значении R (V) может достигать 3·10~3, что сравнимо с величиной эффек-та, используемого в расчетах g (ω). Так, отклонение R (V) от предсказа-ний теории БКШ составляет в случае свинца, висмута, галлия и оловасоответственно ЗО-Ю"3, 20-10-3, 10-10-3 и 7.10" s.

На рис. 9 представлено большинство известных нам попыток рекон-струировать g (ω) у различных металлов, сконденсированных при гелие-вых температурах. Некоторые численные характеристики^были приведены

Sn

20ω, MsS

Βί

ffl»)

σ

0,4

Ο,Ζ(fиιI

\ Ga

4"-—\\ -

1

' " \\

/~~\ \\ \

\ \

\ \\ \

σ 70 20

Рис. 9. Функции g(w) для Pb, Sn, Bi и Ga, полученных конденсацией при низкихтемпературах.

Сплошная кривая — данные автора 108, штриховая для Sn и РЬ — данные "°, для Bi и Ga — t 0 > .

в табл. V. Хотя полученные результаты показывают в общем сходныйхарактер изменения g (ω), в деталях кривые заметно различаются. Эторазличие может быть связано с двумя факторами. Во-первых, расчетg (ω) в работах производился по различным программам, при этом отно-сительная ошибка в g (ω), реконструированной по заданной кривойR (V), могла достигать, согласно108, 10—15%. Во-вторых, для всехметаллов возможно расхождение в использованной для расчета кривойR (F). В тех случаях, когда в работе приведены численные данные длярасчета, это различие обычно заметно. Особенно велико расхождениев случае Βί, где оно достигает 5-10"3 между данными 1OS и 1 0 9. Учитываявсе вышесказанное, не следует удивляться отсутствию полного совпаде-ния рассчитанных функций g (ω).

Рассмотрим изменение g (ω) в результате низкотемпературной кон-денсации. Сравнивая рис. 2—4 и 9, видим, что изменение g (ω) происхо-дит в двух направлениях; во-первых, происходит размазывание особен-ностей кривой для g (ω), соответственно на кривой cPVIdP, четким остаетсялишь максимум, отвечающий продольным модам и концу спектра коле-баний решетки. Во-вторых, происходит существенное возрастание g (ω)

ЭЛЕКТРОН-ФОНОННОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ 2 6 5

в области малых энергий и размазывание соответствующего максимумавплоть до ω = 0.

Перемещение центра тяжести всей кривой g (ω) в область малыхэнергий и уменьшение (ω) вызывает увеличение ЭФВ. В результатеизменяются все сверхпроводящие свойства металла.

Как известно, ширина щели Δο используется в операциях восстанов-ления g (ω). Тем самым, очевидно, в рамках теории, описывающейЭФВ, возрастание Δο и соответственно Те естественным образом объяс-няется изменением g (ω). Перемещение максимума g (ω) в область малыхэнергий должно привести также к возрастанию отношения 2A0//c?VВ табл. V представлены для металлов, сконденсированных при низкихтемпературах, значения 2А0//еГс, рассчитанные по соотношению (23),и значения Тс, рассчитанные по (13). Как видно из таблицы, они нахо-дятся в удовлетворительном согласии с экспериментальными данными.

Опыты с давлением показывают, что изменение g (ω) определяетсяв первую очередь изменением спектра колебаний решетки. Очевидно, этоимеет место и в случае металла, сконденсированного при низких тем-пературах. Хотя все эти идеи развиваются начиная с наших работ 1967 г.,в настоящее время нельзя однозначно указать, каким механизмом вызваноизменение спектра колебаний решетки. Это может быть связано, напри-мер, с появлением дополнительных мод колебаний решетки вблизи еедефектов, с возрастанием амплитуды колебаний в решетке, с дислокация-ми и т. п. Последняя модель была рассмотрена подробно Гарлэндоми др. 4 8 6 . В частности, авторам удалось объяснить результат Букеляи Хилыпа о связи относительного возрастания Тс и отношения TJQ D.Этот вывод следует из соотношения (12), показывающего, что dTJdX.должно резко падать при возрастании λ.

В настоящее время представления о том, что возрастание критиче-ской температуры сверхпроводников, сконденсированных при низкойтемпературе, связано с изменением спектра колебаний решетки, видимо,общепризнано. Эти представления использовали последнее время такжедля объяснения возрастания критической температуры мелко гранули-рованных образцов 1 Ϊ 5, ряда сплавов с неустойчивой решеткой и т. и.

В последнее время появился ряд новых публикаций, посвященныхисследованию свойств сверхпроводников, сконденсированных при низкихтемпературставления.температурахП6, также подтверждающих рассмотренные выше пред-

10. ЭЛЕКТРОН-ФОНОННОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ В СПЛАВАХНЕПЕРЕХОДНЫХ МЕТАЛЛОВ

Рассмотрим работы по исследованию методом туннельного эффектаЭФВ в сплавах. Исследованы следующие системы: Pb — In 1 1 7· 118°,РЬ — Т1 И 8 а . 1 1 9, Ρ\_2χΒΐχΎ\χ

I a o, In — ΤΙ β1. Образцы данного химиче-ского состава обычно приготовлялись путем последовательного пол-ного испарения многих (~100) кусочков сплава с заданной концент-рацией.

В первую очередь рассмотрим результаты, полученные на системеРЬ — In. Как известно т , в широкой области концентраций РЬ и Inобразуют систему твердых растворов замещения. Атомные веса РЬ и Inотличаются почти в два раза, и эта система оказывается удобной дляизучения изменения ЭФВ или спектра колебаний решетки при внедрениив нее атомов с сильно отличающимися массами. На рис. 9 представленырезультаты реконструирования g (ω) для этой системы согласно даннымработ 1 1 7 и 1 Н б .


го-

де-

ΰ

-

-

/I

/ι- /!

'Ii!

7

(\/

I J

1

λζ \

^ \

Μ

•

1

\

К\^

1

—<y

/

/ Л

1

\

1/ ^

\ 1

\

\ \

Внедрение примеси приводит к изменению g (ω) свинца в двух направ-лениях. Во-первых, происходит некоторое уширение и уменьшение ампли-туды основных максимумов свинца. Во-вторых, появляется новый допол-нительный максимум у функции g (ω) при 9,5 Мэв. Этот максимум связан,вероятно, с локальными модами примесных атомов, рассмотреннымиИ. М. Лифшицем т · ш . Если воспользоваться теорией 1 а з, можно было

рассчитать положениедополнительного макси-мума, которое оказалосьв согласии с даннымиопыта 1 1 7 (см. также 1 3 1 ) .

Как видно из рис.10, дополнительныймаксимум не меняет сво-его положения вплотьдо 25% индия. Придальнейшем увеличенииколичества примеси онсмещается в сторонубольших энергий. Веро-ятно, это связано с тем,что если в области от-носительно малых кон-центраций атомы индиянаходятся в поле ато-мов свинца, то при уве-личении количествапримесей начинают иг-рать роль взаимодейст-вия между соседнимиатомами индия. В ре-зультате максимум сме-щается к положению

соответствующего максимума g (ω) In, который находится при 13 Мэв.Заметим, что в данном случае речь идет о максимуме, обязанном пре-дельно коротковолновым колебаниям решетки.

Локальные моды примесных атомов до настоящего времени обнаруже-ны лишь в системе Pb — In. Попытки обнаружить моды в других системахоказались безуспешными. Это относится, согласно данным автора, и к ато-мам, внедренным методом низкотемпературной совместной конденсации.

Иным образом ведет себя система In — ΤΙ. Здесь при увеличенииконцентрации Т1 ш система последовательно переходит от гранецентри-рованной тетрагональной решетки к гранецентрированной кубической(при —20% Т1), затем (при 50—70% Т1) — к объемноцентрированнойкубической и, наконец, к гексагональной решетке чистого таллия т .

Реконструированные функции g (ω) для каждой из модификаций при-ведены на рис. 11. На каждой из кривых отмечены результаты рентгено-графического исследования структуры соответствующего образца. Экспе-риментальные данные показывают, что для гранецентрированной тетра-гональной и гранецентрированной кубической модификаций g (ω) оченьсхожи. На кривых g (ω) видны два легко различимых пика, которыеотносятся к поперечным и продольным модам колебаний. У объемоцен-трированной кубической системы у g (ω) видно три отдельных пика: два,соответствующих двум поперечным колебаниям, и один, соответствующийпродольным колебаниям. Для гексагональной системы характерно при-

в 7Ζ

Рис. 10. Функции g (ω) для сплавов Pb — In 1 1 7 . 1 1 8б.

1 — чистый свинец, г — РЬ0,,Дп (

из работы 1 1*6).(кривые


сутствие резкого пика при малых энергиях и ряд более слабых максиму-мов при больших энергиях. Из рис. 10 видно, что функция g (ω) образцас объемноцентрированной кубической решеткой заметно смещена в сторонумалых энергий по сравнению с g (со) других образцов. Если смещениев область малых энергий из-за наличия низколежащих мод колебаний

Q3-

qz~0,7 -

о

о

ΰ

о

ΰ

Л In ffMч * \ μ"=0,1Ζ5

". ГЦТ

ГЦК

°ζ β w Η 78

σ

σ

t

·-. μ°=0,133

л.'··. оцк

νΛ Τ 1 0,83ОЦК

ν ' ч и _Л^

• а ·#β- ·. '·. Г+слеЗыОЦК

τι

2 70 74 7Sω, Мэв

Рис. 11. Ф у н к ц и и g(<a) для системы I n — ΤΙ согласно данным β 1 .У каждой кривой отмечены результаты рентгенографических исследований сплава и значе-

ние и* = U·0, использованное в расчете g (ω).

типично для объемноцентрированной кубической структуры, то стано-вится понятным тот факт, что сверхпроводники с решеткой объемно-центрированного куба обладают и наиболее высокой критической тем-пературой. На системе In — ΤΙ эта тенденция отчетливо заметна. Макси-мум Τс приходится на. образец с объемноцентрированной кубическойструктурой.

Дайнес также обращает внимание на то, что переход из гранецентри-рованной в объемноцентрированную кубическую структуру не сопро-вождается качественным изменением g (ω) и, возможно, близок к фазо-вому переходу И рода.

Максимумы g (ω), особенно соответствующий продольным модамколебаний, заметно размазаны. Это свидетельствует о конечном временижизни фононов в неидеальной решетке. Относительная размазанностьмаксимума Δω/ω вблизи чистого In или Т1 пропорциональна концентрациипримеси.

Размазанность максимумов g (ω) наблюдали и в других работахпо исследованию сплавов. Это явление типично для неидеальной струк-туры. Как было показано Кнорром и Бартом ш , даже у пленок, скон-денсированных при низких температурах, можно еще увеличить ширинумаксимумов g (ω) путем совместной конденсации металла и диэлектрика.

Для ряда сплавов, изученных методом туннельного эффекта, известныи нейтронографические измерения спектра колебаний решетки1 2 4.Рассчитанная по нейтронографическим данным плотность состоянийфононов F (ω) удовлетворительно согласуется 118б> 1 2 5 с g (ω).


11. ЭЛЕКТРОН-ФОНОННОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ В ПЕРЕХОДНЫХМЕТАЛЛАХ

У переходных металлов внутренние оболочки атомов не заполнены,и в элементарной ячейке решетки нельзя выделить ионный остов с лока-лизованными внутренними оболочками атома. В результате здесь нару-шается одно из основных положений тория псевдопотенциала; вследствиеэтого соотношения (2) — (6) неприменимы для расчета ЭФВ. Однакои здесь могут быть использованы все соотношения, основанные на урав-нениях Элиашберга (10), по которым можно рассчитать значение пара-метра %тс-

Электронные зоны, связанные с внутренними оболочками атомов,обычно уже, чем зоны, обязанные внешним оболочкам. Соответственнобольше и плотность электронных состояний. Вследствие этого теплоем-кость .электронов большинства переходных металлов значительно пре-восходит теплоемкость непереходных металлов. Кроме того, в этом слу-чае плотность электронных состояний немонотонно зависит от энергииэлектронов или от числа электронов, приходящихся на атом. Это позво-ляет малыми примесями существенно изменять плотность состояния элек-тронов. На основе этого обстоятельства можно попытаться использоватьрезультаты исследования характеристик сплавов переходных металловдля выяснения роли плотности состояний электронов в параметрах ЭФВ.

ю

: и с

пла

Щ

Мет

а.]

TiT i o , 8 V O l 2

T i o s V o 5Tin 25Vo 75T i 0 ' 1 5 V 0 ' 8 5VV o 9 C r 0 ι

Vn'sCrn'2V o 75СГ0' 25

Vo,eCro,4

Zr'5

Zr o , 5 Nb o ,5

N b ' 2 5

Nbg 85MO0 15

Nb 0 , 6 Mo 0 ' , 4

N b 0 , 4 M o 0 i 6

N b 0 , 3 M o 0 , 7

N b 0 , 2 M o n , 8

W

оЕч

0,393,56,147,37,167,025,33,211,901,360,37ο,ι0,559,3

10,89,25,850,60,050 0160 095

о',з

Ψ

426235244262279283399370400425450470290238246277265371429442461483

1

;

Μ

«ο4ο

3,326,9

10,010,810,610,39,98,157,156,755,404,852,798,38,97,86,32,871,621,421,491,67

ο

0

"ε

£сго

0,521,461,311,391,361,321,311,131,020,990,830,770,420,930,980,910,790,430,260,240,240,26

0,380,540,620,650,650,650,600,530,480,450,380,330,410,880,930,820,700,410,310,290,330,36

ГЯО

ϊ33Ο05

1,550,770,990,950,950,980,900,920,920,900,900,841,071,031,020,970,961,031,271,251,451,46

Ш

и с

пл

а

Ε

ΙΜοТсRuLaHfТаWWn.gReo.lWn 85^е0 15W0 ',8Re0,2

W 0 ' l 2 R e n ' 8 jRe'OsIrMOn,95Reo>05M o 0 ) 9 R e 0 > 1

M o 0 , 8 R e 0 , 2

Mo 0 > e Re 0 ,4M o 0 , 5 R e 0 , 5

W

ϋЕч

0,928,220,494,90,094,480,0120,72,263,24,644,471,650,650,141,52,98,51,081,261,15

QΦ

460351550142252258390375365359351332415500420450440420395340320

I

(Μ

Μ

&о

1,874,43,09,42,166,00,91,632,12,22,303,762,32,32,22,22,63,84,14,44,4

T a f

ιат

ом"о

ст/э

в ·

иоСО

0,420,570,461,120,340,770,150,240,290,30,30,470,330,350,510,320,360,480,490,50,5

) Л ИЦ

0,410,50,380,850,340,650,280,420,50,540,60,70,460,3390,320,450,510,680,700,860,85

а VI

о

ΪКси

1,020,890,840,550,560,470,820,960,940,981,100,820,750,590,351,411,361,251,261,271,20

В табл. VI представлены результаты исследования большинствабинарных сплавов переходных металлов сверхпроводников. При состав-лении табл. VI были использованы данные 1 з · 1 2 7. Значения λ, приведенные


в таблице, рассчитаны по Тс и Θ Ώ с помощью обращенного соотноше-ния (12). Плотность электронов на атом iV30H рассчитана по соотношению

ΛΓ30Η = 3γ/2π%2 (1 + λ).

Сопоставляя характеристики различных сверхпроводников, Мак-Ми л лан 1 з обратил внимание на то, что у объемноцентрированных метал-лов JVgoH (<Ζ2) в соотношении (8) для λ изменяется не более чем 1,5—2 разапри изменении iV30H до 10 раз. N30H(qu) ~ 7 эв/(А)2. Это позволило емувысказать предположение, что и у переходных металлов параметры ЭФВопределяются только характеристиками спектра колебаний решетки —Μ (ω2) и

λ = C/M(CD 2 ). (24)

Если, однако, обратиться к данным табл. VI, то можно заметить, чтоу одного класса веществ с той же точностью постоянно также и iV30H Θ D

и, следовательно, λ да N30S- Наличие зависимости λ от iV30H или γ отме-чалось и ранее как в работе Мак-Миллана 1 з, так и в сообщении Исикавыи Тота ш . Более того, оказывается (см. табл. VI), что почти для всехбинарных сплавов переходных металлов λ/Ν30Η(Μ) да const = 10~2

и соответственноλ = 10-2ΛΓ3ΟΗ<Μ>, (25)

где (М) — средняя масса атомов сплава.Хотя соотношение (25) и позволяет определить значение ЭФВ по

параметрам сплава с хорошей точностью, вряд ли этому эмпирическомусоотношению, как, впрочем, и соотношению (24), следует придавать слишкоммного значения и, тем более, на основании его делать вывод о преоблада-нии какого-либо из факторов в ЭФВ у переходных металлов. По-види-мому, в данном случае играет существенную роль изменение как iV30H,так и спектра колебаний решетки.

Например, известно (см. обзор 1 0 3 ) , что у ряда переходных металловdTJdp 3s 0. Если учитывать, что под давлением происходит увеличениечастот спектра колебаний решетки, этот эффект трудно объяснить в рам-ках зависимости λ только от (ω2). Вероятно, для объяснения этих резуль-татов следует рассматривать и изменение Ν30Η.

Увеличение критической температуры сверхпроводников под давле-нием обнаружено и у ряда непереходных металлов и сплавов Ι 2 8 - 1 3 0 .В этом случае, однако, возрастание Тс происходит лишь в ограниченнойобласти давлений, а затем, как и у большинства сверхпроводников,Тс начинает уменьшаться при дальнейшем увеличении давления. Этоаномальное изменение Тс под давлением Макаров и Барьяхтар 1 2 9 объяс-нили, предполагая частичную перестройку под давлением поверхностиФерми. Однако в работе Алексеевского 1 3 0 подобное же изменение Тс поддавлением связывается с аномальной перестройкой спектра колебанийрешетки.

Как известно, в металлах лишь в первом приближении можно рас-сматривать независимо систему электронов и фононов. В действительно-сти, каждое изменение электронной системы приводит к изменениюи системы фононов. Вследствие этого возникают дополнительные трудно-сти при выяснении зависимости от плотности электронов величины ЭФВ.Нет сомнения, что здесь необходимы дополнительные исследования.

Основная часть статьи была написана во время пребывания авторав клинике I Московского медицинского института у профессора Ю. А. Пы-теля, которому я приношу свою самую искреннюю благодарность.Институт физических проблем

АН СССР

270 Н В. ЗАВАРИЦКИЙ

ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. а) И. М. Л и ф ш и ц , М. И. К а г а н о в . УФН 69. 419 (1959); 78. 411 (1962);87, 390 (1965); б) М. Я. А з б е л ь, УФН 98. 601 (1969).

2. Ю . П . Г а й д у к о в . УФН 100, 449 (1970).3. У. X а ρ ρ и с о н. Псевдопотенциалы в теории металлов, М., «Мир», 1968.4. D. W е a i г е, Ргос. Phys. Soc. (L.) 92, 956 (1967).5. Έ . Г. Б ρ о в м а н, Ю. К а г а н. ЖЭТФ 52. 557 (1967).6. А. А. А б р и к о с о в , Л. П. Г о р ь к о е . И. Е. Д з я л о ш и н с к и й , Методы

квантовой теории поля в статистической физике, М., Физматгиз, 1962, гл. IV.7. Дж. ΠΙ ρ и φ φ е р. Теория сверхпроводимости. М., «Наука», 1970. гл. 5—7.8. А. Б. Μ и г д а л, ЖЭТФ 34, 1458 (1958).9. R. Ε. Ρ г a n g e, L. Р. К a d а η о f f. Phys. Rev. A134. 566 (1964).

10. D. J. S с a 1 a ρ i η о, P. W. Α η d e г s ο η. Phys. Rev. A133. 921 (1964).11. J. E. S с h r i e f f e г et al., Phys .Rev. Lett. 10, 336 (1963); Phys. Rev. 148, 263

(1966).12. J. P. G a r b о t t e, D. С D у л е s, ibid. 172, 476 (1968).13. W. L. Μ с Μ i 1 1 a n, ibid. 167. 331 (1968).14. N. W. A s h c r o f t , J. W. W i l k i n s , Phys. Lett. 14, 285 (1965).15. J. F. J a n a k. ibid. A27. 105 (1968).16. P. Ν. Τ г о f i m e η k о f f et al., ibid., p. 394.17. P. B. A 1 1 e n, M. L. С о h e n, Phys. Rev. 187, 525 (1969).18. R. Ε. Η ο d d e r, ibid. 180, 530 (1969).19. G. G г i m ν a 1 1, Phys. kondens. Materie 6. 15 (1967).20. M. J. G. L e, Proc. Roy. Soc. A295. 440 (1966); P. S. Η ο, Phys. Rev. 169, 523 (1968).21. С. С. G г i m e s, A. F. К i p. ibid. 132, 1991 (1963).22. J. С. К i m b a 1 1 et al., ibid. 162, 600 (1967).23. G . G m e l i n , С R. Ac. Sci. 259, 3459 (1964).24. J. Η. Τ г i ρ ρ et al.. Phys. Lett. A26, 98 (1967).25. N. E. P h i l l i p s , Phys. Rev. A134, 385 (1964).26. P. W. S t а г k, L. M. F a 1 i k о v. Phys. Rev. Lett. 19, 795 (1967).27. M. P. S h a w et al., Phys. Rev. 142, 406 (1964).28. В. П. Н а б е р е ж н ы й , В. П. Т о л с т о л у ж с к и й , ЖЭТФ 46, 18 (1964).29. Ε. W. S ρ ο η g, A. F. К i ρ, Phys. Rev. A137, 431 (1965).30. N. W. A s h c r o f t , W. E. L a w r e n c e , ibid. 175, 938 (1968).31. P. Τ. Μ и н а и др.. ЖЭТФ 53. 1363 (1966).32. В. J. С. van der Η о е ν с п. Р. Н. К е е s о m. Phys. Rev. A135, 631 (1964).33. J. С. S h a w. G. Ε. Ε ν е г е 11. ibid., Bl, 537 (1970).34. P. Τ. Μ и н а. Μ. С. X а й к и н. ЖЭТФ 51. 62 (1966).35. N. W. A s с г о f t . Phil. Mag. 8, 2055 (1963).36. Μ. С. X а й к и н. ЖЭТФ 42. 27 (1962); Докт. диссертация. ИФП АН СССР, 1962.37. G. W e i s z. Phys. Rev. 149. 504 (1966).38. Α. Ε. D i χ ο η, W. R. D a t а г s. Phys. Rev. 175, 928 (1968).39. Τ. Ε. Β ο 1 g e et al., ibid. 177, 1120 (1969).40. R. G. R о u 1 s e n. W. R. D a t а г s. ibid. B4, 4202 (1971).41. J. R. Α η d e r s ο η, Α. V. G о 1 d. ibid. A139, 1459 (1965).42. Μ. D. S t a f 1 e n. A. R. V г о о m e η. Phys. Stat. Sol. 23, 675, 683 (1967).43. L. N. С о о р е г, Phys. Rev. 104. 1189 (1956).44. J. В а г d e en et al.. ibid. 108. 1175 (1957) (см. перевод в сборнике «Теория сверх-

проводимости». М., ИЛ, 1960).45. Н. Н. Б о г о л ю б о в , В. В. Т о л м а ч е в , Р. В. Ш и ρ к о в. Новый метод

в теории сверхпроводимости. М., Изд-во АН СССР, 1958.46. Г. М. Э л и а ш б е ρ г. ЖЭТФ 38, 966 (1960).47. P. M o r e l . P. W. A n d e r s o n . Phys. Rev. 125. 1263 (1962).48. a) J. W. G а г 1 а η d, Р. В. А 1 1 е η, Physica 55, 669 (1971); 6) J. W. G а г 1 a n d

et al., Phys. Rev. Lett. 21. 1315 (1968).49. B. T. G e i 1 i k m a n, N. F. Μ a s h а г о v. Phys. Stat. Sol. 41. K31 (1970).50. G. W. G а г 1 a n d. Phys. Rev. Lett. 11. 114 (1963); Phys. Rev. 153. 460 (1967).51. R. Μ ο s e г w e y. B. B. S c h w a r t z , сборник «Superconductuvity». v. 1. ed.

by R. D. Parks. Ν. Υ.. Μ. Dekker, Inc., 1969.52. J. G i a e ν e r et al., Phys. Rev. 126. 941 (1962).53. J. M. R о w e 1 1 et al.. Phys. Rev. Lett. 9. 59 (1962).54. M. L. Μ с Μ i 1 1 a η, J. Μ. R о w e 1 1, ibid. 14, 108 (1965); сборник и .55. В. N. В г о с k h о u s e et al.. Phys. Rev. 128. 1099 (1962).56. T. S t e d m a n et al., ibid. 162, 549 (1967).57. T. S t e d m a n et al., ibid., p. 545.58. S. B. W о о d s, J. S. R о g e г s. Труды X Международной конференции по физике

низких температур, т. ИВ, М., Изд. ВИНИТИ, 1967.59. J. М. R о w е 1 1, L. К о ρ f, Phys. Rev. A137. 903 (1965).


60. Т. D. С 1 а г к. Proc. Phys. Soc. (L.) Cl. 732 (1968).61. R. С. D у η e s, Phys. Rev. B2. 644 (1970).62. J. G. A d 1 e r. J. S. R o g e r s . Phys. Rev. Lett. 10. 217 (1963); J. G. A d 1 e r

et al.. Canad. J. Phys. 43. 557 (1965).63. a) S. В e г m о n; D. M. G i η s b e г g, Phys. Rev. A135. 306 (1964); 6) W. H . H u -

b i n , D . M . G i n s b e r g , ibid. 188, 716 (1969).64. A. F. G. W y a t t . Phys. Rev. Lett. 13. 160 (1964).65. L. W. L . S h e n. ibid. 24. 1104 (1970).66. J. E. R о g e r s. S. Μ. Κ h a n n, ibid. 20, 1284 (1968).67. H. B. 3 а в a ρ и ц κ и й, Ε. С. И ц κ е в и ч, А. Н. В о ρ о н о в с κ и и, ЖЭТФ

60. 1408 (1971).68. В. Α. Κ ο τ о в и др.. ФТТ 10, 513 (1968).69. J . M . R o w e l l . Phys. Rev. 163. 547 (1967).70. Ι . Μ. Η о w e l l . R. С. D y n e s , Comparison of Phonoii Spectra Determined from

Tunneling Experiments and Neutron Scattering. Bell. Tel. Lab. Preprint. New York,1971.

71. II. К e e 3 ο Μ, Η. Π и р л м а н, сборник «Физика низких температур», М., ИЛ,1959.

72. Р. Т.' Μ и н а. М. С. X а й к и н. ЖЭТФ 45, 1304 (1963).73. II. В. 3 а в а р и ц к и и, ЖЭТФ 43. 1123 (1962); 45, 1839 (1963); 48. 837 (1965)74. К. Υ о s h i h i r о, W. S a s a k i. J. Phys. Japan 28. 262 (1970).75. R. L. В 1 а с k f о r d. R. Η. Μ a r с h. Phys. Rev. 186. 397 (1969); R. L. В 1 а с k -

f o r d , Physica 55. 475 (1971).76. Κ. Υ ο s h i h i ζ ο, W. S a s a k i, J. Phys. Soc. Japan 28, 262 (1970); W. D. G r e -

g o r y et al.. Phys. Rev. Lett. 27, 1503 (1971).77. M. L. Α. Μ а с V i с a r. R. M. R о s e, J. Appl. Phys. 39, 1721 (1968).78. S. Т. О с h i a i et al.. Phys. Rev. B4, 2988 (1971).79. R. С D у η e s, J. P. С а г b о t t e, Physica 55, 462 (1971).80. P. G о у. Phys. Lett. A31, 584; A32. 474 (1970).81. И. Я. К ρ а с н о п о л и н. М. С. X а й к и п. Письма ЖЭТФ 12, 76 (1970).82. J. J. S a b о. Phys. Rev. Bl. 1325 (1970).83. a) G г i m v a 11. Phys. kondens. Materie 9, 283 (1969); б) Р. В. A 1 1 e η. Μ. L

С о h e η, Phys. Rev. Bl, 1329 (1970).84. Γ. M. Э л и а ш б е ρ ι. ЖЭТФ 43. 1105 (1962).85. W. J. T o m a s c h , Phys. Rev. Lett. 15, 672 (1965); 16. 16 (1966); сборник 5 8 ;

W. J. T o m a s c h , W. W o l f r a m . Phys. Rev. Lett. 16. 352 (1966).86. M. L. Μ а с Μ i 1 1 a n. P. W. A n d e r s о n, Phys. Rev. Lett. 16, 85 (1966).87. J. M. R о w e 1 1. M. L. Μ а с Μ i 1 1 a n. Physica 55. 718 (1971).88. G. L. L у k k e η et al.. Phys. Rev. B4. 1523 (1971).89. W . H . H a r r i s o n , ibid. 123, 85 (1961).90. I . M . R o w e l l et al.. Phys. Rev. 180. 658 (1969)91. R. J о u с e. P. L. R i с h a r d s, Phys. Rev. Lett. 24. 1007 (1970).92. J. P. F r a η с k, W. J. К e 1 1 e г, Phys. Lett. A25. 624 (1967); Phys. Rev. Lett.

20, 379 (1968).93. H. В. З а в а р и ц к и й , Ε. С. И ц к е в и ч . А. Н. В о р о н о в с к и й - Письма

ЖЭТФ 7. 271 (1968); Труды V Бакурианского коллоквиума, т. 2, Тбилиси. ИФАН Грузинской ССР. 1969; Proc. LT-11. ed. by J. F. Allen et al.. St. Adrews Uni-versity. 1968; ЖЭТФ 60. 1408 (1971).

94. А. А, Г а л к и Η и др.. ЖЭТФ 59, 77 (1970).95. R. Ν. Τ г о f i m с η к о f f, J. P. С a r b о t t e. Phys. Rev. Bl. 1136 (1970).96. А. А. Г а л к и и и др.. Phys. Stat. Sol. 30. K107 (1968); 35. 421 (1969).97. Μ. G a r f i η k e 1, D. E. M a p o t h e r , Phys. Rev. 122, 459 (1961).98. И. В. Б e ρ Μ а и и др.. ЖЭТФ 53, 124 (1967).99. Н . Б . Б р а н д т и др.. УФН 104, 459 (1971).

100. Н. В. 3 а в а р и ц к и й. ЖЭТФ 34, 1116 (1958).101. Б. Т. Г е й л и к м а н, В. 3. К ρ е с и н, ФТТ 7, 3297 (1965).102. J . P . F r a n c k et al., Solid State Comm. 7, 483 (1969).103. R. J . B o u g h t o n et al.. Progress in Low Temperature Physics, ed. by С J. Gor-

ter. v. 6. Amsterdam — London, North-Holland. 1970.104. А. И. Ill а л ь н и к о в. Nature 142, 14 (1938); ЖЭТФ 9. 255 (1939); 10, 630 (1940)105. Н. В. З а в а р и ц к и й . ДАН СССР 86. 501 (1952); Б.Г. Л а з а р е в ФММ

25, 26 (1968).106. W. В и с к е 1, R. Η i I s с h, Phys. Zs. 131. 420 (1952); 138, 109 (1954).107. Η. В. З а в а р и ц к и й . А. Я. Я ρ о ш е н к о, сборник δ 8.108. Η. В. З а в а р и ц к и й , Письма ЖЭТФ 5, 434; 6. 668 (1967): ЖЭТФ 57, 752 (1969)109. T . T . C h e n et al., Phys. Lett. A25, 679 (1967); Phys. Rev. Lett. 22, 526 (1969)"110. Κ. Κ η ο r r, N. В а г t h. Solid State Comm. 6, 791 (1968); 8. 1085 (1970).111. G. V. Μ i η η i g e г о d e. J. R о t h e η b e r g, Zs. Phys. 213, 397 (1968).112. H. W i i h l et al., Phys. Rev. Lett. 20, 1496 (1968).


113. R. E. H a r r i s , D. M. G i n s b e r g , Phys. Rev. 188, 737 (1969).114. H. В. З а в а р и ц к и й , ДАН СССР 91, 787 (1953).115. A. L e g e r, J. К 1 e i η, Phys. Lett. A28, 751 (1969).116. T . T . C h e n et al.. Physica 55, 439 (1971); J. E. J а с k s ο η et al.. Physica 55,

446 (1971); S. Ε w e r t, W. S a n d e r, Zs. Phys. 247. 21 (1971).117. J. M. R о w e 1 1 et al., Phys. Rev. Lett. 14. 633 (1965).118. a) J. G. A d 1 e r et al.. ibid. 16, 53 (1966); б) Т. М. W u, ibid. 19, 508 (1967).119. R. С D у η e s et al., Phys. Rev. 178, 713 (1969); J. G. A d 1 e r et al., Phys. Lett.

A24. 407 (1967).120. R. C. D у η e s, J. M. R о w e 1 1, Phys. Rev. 187, 821 (1969).121. M. Х а н с е н , К. А н д е р к о, сборник «Структура двойных сплавов», т. 2,

М.. Гос. научно-тех. изд-во литературы по черной и цветной металлургии. 1962,стр. 905 и 917.

122. И. М. Л и φ ш и ц. ДАН СССР 48, 83 (1945).123. I. М. L i f s h i t z. J. Phys. USSR 7, 211. 249 (1943).124. B. N. B r o c k h o u s e et al., сборник «Magnetic and Inelastic Scattering of Neu-

trons by Metals», ed. by T. J. Rowland and P. A. Beck, N. Y., Gordon andBreach, 1968; S. C. N g, B. N. B r o c k h o u s e , сборник «Neutron InelasticScattering», v. 1, Vienna. IAEA, 1968; Solid State Comm. 5, 79 (1967).

125. J. M. R о w e 1 1 et al., Phys. Rev. 178, 897 (1969).126. Μ. Υ s h i k a w a, L. Ε. Τ ο t h. Solid State Comm. 9, 799 (1971).127. P. Η e i η g e r et al., Phys. kondens. Materie 5, 243 (1966); G. G l a d s t o n e

et al.. сборник 5 1, v. 2.128. Б . Г . Л а з а р е в и др.. ЖЭТФ 48, 1065 (1965).129. В. И. М а к а р о в . В. Г. Б а р ь я χ τ а р, ЖЭТФ 98, 1715 (1965).130. Η. Ε. А л е к с е е в с к и й . Письма ЖЭТФ 9, 571 (1969).131. В. R. S o o d , Phys. Rev. B6, 136 (1972).

Documents

ЭЛЕКТРОН-ФОНОННОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ И …elibrary.lt/resursai/Uzsienio leidiniai/Uspechi_Fiz... · 9. Электрон-фононное взаимодействие