МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

имени В. Г. БЕЛИНСКОГО

ПРИНЯТО на заседании Ученого совета

физико-математического факультета Протокол заседания № 10 от « 18 » мая 2011 г. Декан факультета _________ О. П. Сурина

УТВЕРЖДАЮ Проректор по учебной работе

__________________ Ю. А. Мазей

«_____» ___________________ 2011 г.

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ

Элементы абстрактной и компьютерной алгебры

Направление подготовки 050100 Педагогическое образование

Профиль подготовки ФИЗИКА Квалификация (степень) выпускника – Бакалавр Форма обучения очная

Пенза – 2011

3

1. Цели освоения дисциплины «Элементы абстрактной и компьютерной алгебры»

Целью освоения дисциплины «Элементы абстрактной и компьютерной алгебры» яв-ляется формирование и развитие у студентов общекультурных, профессиональных и специ-альных компетенций, формирование систематизированных знаний, умений и навыков в об-ласти абстрактной и компьютерной алгебры и её основных методов, позволяющих подгото-вить конкурентноспособного выпускника для сферы образования, готового к инновационной творческой реализации в образовательных учреждениях различного уровня и профиля.

Задачи изучаемой дисциплины: Исходя из общих целей подготовки бакалавра педагогического образования по профи-

лю «Информатика»: содействовать средствами дисциплины «Элементы абстрактной и компьютерной ал-

гебры» развитию у студентов мотивации к педагогической деятельности, профессио-нального мышления, коммуникативной готовности, общей культуры;

научить студентов ясно, точно, грамотно излагать свои мысли в устной и письменной речи.

Исходя из конкретного содержания дисциплины: изучить основные виды алгебр и воспитать алгебраическую культуру.

2. Место дисциплины «Элементы абстрактной и компьютерной алгебры» в структуре ООП бакалавриата

Дисциплина «Элементы абстрактной и компьютерной алгебры» относится к вари-

ативной части профессионального цикла. Для освоения дисциплины обучающиеся используют знания, умения, сформирован-

ные в ходе изучения дисциплины вариативной части профессионального цикла: «Линейная алгебра».

Освоение данной дисциплины является основой для последующего изучения дисциплин вариативной части профессионального цикла: «Исследование операций», «Теоретические основы информатики». 3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины «Элементы абстрактной и компьютерной алгебры»

Процесс изучения дисциплины направлен на формирование элементов следующих ком-

петенций в соответствии с ФГОС ВПО по данному направлению:

Коды компетенции Наименование компетенции

Структурные элементы компетенции (в результате освоения дисциплины обуча-

ющийся должен знать, уметь, владеть) 1 2 3

ОК-1 владеет культурой мышле-ния, способен к обобще-нию, анализу, восприятию информации, постановке цели и выбору путей её до-стижения;

Знать: основные методы доказательства при обосновании собственной точки зрения. Уметь: применять методы доказательств при построении умозаключений. Владеть: методами доказательства от про-тивного, методом логического следования, методом силлогизма, методом исключенного третьего.

ОК-6 способен логически верно строить устную и письмен-

Знать: правила корректного построения умо-заключений.

4

ную речь; Уметь: применять правила логически верно-го умозаключения. Владеть: навыками логически стройной уст-ной и письменной речи.

ПК-1 способен реализовывать учебные программы базо-вых и элективных курсов в различных образовательных учреждениях;

Знать: основные понятия теории множеств, теории полей, векторных пространств, ал-гебры многочленов и их свойства. Уметь: использовать основные свойства объектов этих теорий при решении задач ба-зовых и элективных курсов. Владеть: основными методами этих теорий.

СК-1 готов применять знания теоретической информати-ки, фундаментальной и прикладной математики для анализа и синтеза информа-ционных систем и процес-сов

Знать: основные положения теории мно-жеств, групп, колец, полей, алгебры много-членов. Уметь: использовать основные положения этих разделов науки при решении задач. Владеть: основными методами алгебраиче-ских теорий.

СК-2 способен использовать ма-тематический аппарат, ме-тодологию программирова-ния и современные компь-ютерные технологии для решения практических за-дач получения, хранения, обработки и передачи ин-формации

Знать: основные методы доказательства и алгоритмы алгебры. Уметь: применять основные методы теории множеств, теории групп, алгебры многочле-нов в решении задач смежных областей ма-тематики Владеть: навыками применения основных алгоритмов алгебры во всех разделах мате-матического знания.

СК-3

владеет современными формализованными мате-матическими, информаци-онно-логическими и логи-ко-семантическими моде-лями и методами представ-ления, сбора и обработки информации

Знать: законы логики математических рас-суждений во всех разделах алгебры. Уметь: применять основные методы доказа-тельных математических рассуждений в раз-делах алгебры. Владеть: навыками использования законов логики математических рассуждений в дру-гих областях математики.

5

4. Структура и содержание дисциплины «Элементы абстрактной и компьютерной алгебры» 4.1. Структура дисциплины «Элементы абстрактной и компьютерной алгебры» Общая трудоемкость дисциплины составляет 3 зачетных единиц, 108 часов.

№ п/п

Наименование разделов и тем

дисциплины (модуля) Сем

естр

Нед

ели

семе

стра

Виды учебной работы, включая самостоятельную работу студентов и трудоемкость

(в часах)

Формы теку-щего контроля успеваемости (по неделям се-местра) Аудиторная работа

Самостоятельная работа

Все

го

Лек

ция

Пра

ктич

ески

е за

няти

я

Лаб

орат

орны

е за

няти

я

Все

го

Под

гото

вка

к ау

дито

рны

м за

няти

ям

Под

гото

вка

к со

бесе

дова

-ни

ю

Под

гото

вка

к те

стир

ова-

нию

Под

гото

вка

к ко

нтро

льно

й ра

боте

собе

седо

вани

е

тест

конт

роль

ная

рабо

та

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

1. Раздел 1.Элементы абстрактной алгеб-ры 5 1-10 30 10 20 30 10 6 6 8

1.1. Множества. Операции над множествами 5 1-2 6 2 4 6 2 4

1.2. Бинарные отношения. Виды бинарных от-ношений. 5 3-4 6 2 4 6 2 2 2 3

1.3. Алгебраические операции. Понятие алгеб-ры, алгебраической системы 5 5-6 6 2 4 6 2 4 5

1.4. Понятие группы. Смежные классы по под-группе. Понятие кольца. Факторкольцо. 5 7-8 6 2 4 6 2 4

6

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

1.5. Понятие поля. Упорядоченные поля. Ко-нечные поля. 5 9-10 6 2 4 6 2

2. Раздел 2. Элементы компьютерной ал-гебры 5 11-18 24 8 16 24 10 8

2.1. Сложность алгоритмов 5 11-12 6 2 4 6 2 4

2.2. Позиционные системы счисления. Пред-ставление данных в компьютере 5 13-14 6 2 4 6 2

2.3. Модулярная арифметика 5 15-16 6 2 4 6 4

2.4. Элементы теории делимости в коммута-тивном кольце. Алгебра многочленов 5 17-18 6 2 4 6 2 4

Общая трудоемкость, в часах 54 18 36 54 20 14

7

4.2. Содержание дисциплины «Элементы абстрактной и компьютерной алгебры» Раздел 1. Элементы абстрактной алгебры Тема 1.1. Множества. Операции над множествами

Понятие о множестве. Подмножество. Равенство множеств. Способы задания мно-жеств. Операции над множествами. Свойства операций над множествами. Универсальное множество. Дополнение множества. Свойства дополнения множества. Тема 1.2. Бинарные отношения. Виды бинарных отношений

Бинарное отношение между элементами двух множеств. Бинарное отношение на множестве. Операции над бинарными отношениями и их свойства. Функции, как бинарное отношение специального вида. Отношение эквивалентности. Отношение порядка. Тема 1.3. Алгебраические операции. Понятие алгебры, алгебраической системы.

Понятие алгебраической операции. Виды бинарных операций. Регулярные, нейтральные и симметризуемые элементы. Понятие алгебры. Гомоморфизмы алгебр с одной бинарной операцией. Понятие алгебраической системы. Тема 1.4. Понятие группы. Смежные классы по подгруппе. Понятие кольца. Фактор-кольцо

Понятие группы. Простейшие свойства группы. Подгруппа. Признак подгруппы. Смежные классы по подгруппе. Теорема Лагранжа. Понятие кольца. Характеристика кольца. Идеалы кольца. Факторкольцо. Тема 1.5. Понятие поля. Основные свойства поля. Упорядоченное поле: определение и свойства. Конечные поля

Понятие поля, как коммутативного кольца, в котором каждый элемент отличный от ну-левого обратим. Основные свойства поля. Понятие упорядоченного поля. Свойства упоря-доченных полей. Построение конечных полей. Раздел 2. Элементы компьютерной алгебры Тема 2.1. Сложность алгоритмов

Функция времени вычисления, ассоциированная с данным алгоритмом. Символ O(n) и его свойства. Теорема о мажоранте полинома. Теорема о мажоранте логарифмической функции. Определение количества базисных операций, необходимых для сложения и умно-жения двух матриц. Сложность алгоритмов нахождения значений многочлена: при непо-средственном вычислении и при вычислении по схеме Горнера. Тема 2.2. Позиционные системы счисления. Представление данных в компьютере. СКА Mathematica

Понятие о непозиционных и позиционных системах счисления. Смешанные системы счисления. Арифметические операции в позиционных системах счисления. Перевод чисел из одной системы счисления в другую. Представление натуральных, целых чисел в компью-тере. Представление рациональных чисел. Проблемы представления действительных чисел, алгебраических чисел. Основы работы в СКА Mathematica. Тема 2.3. Модулярная арифметика

Китайская теорема об остатках. Системы счисления, определенные вектором с по-парно взаимно простыми целыми положительными компонентами. Модулярная арифмети-ка. Проблема сравнения элементов в модулярной арифметике и ее решение. Смешанная си-стема счисления Кнута. Тема 2.4. Элементы теории делимости в коммутативном кольце. Алгебра многочленов

Свойства делимости элементов коммутативного кольца. Факториальные кольца. Кольца многочленов. Свойства многочленов. Вычисления в кольцах многочленах от одной и не-скольких переменных.

8

5. Образовательные технологии При проведении аудиторных занятий и организации самостоятельной работы студен-

тов по дисциплине «Элементы абстрактной и компьютерной алгебры» используются как традиционные, так и нетрадиционные образовательные технологии.

Технология традиционного обучения предусматривает такие методы и формы изуче-ния материала как лекция, практические занятия:

информационная лекция: 2.4. Основы работы в системе компьютерной алгебры Mathematica.

проблемная лекция 1.4. Понятие группы. Смежные классы по подгруппе. Понятие кольца. Факторкольцо

лекция-визуализация 2.4. Позиционные системы счисления. Представление данных в компьютере.

Практические занятия направлены на формирование у студентов умений и навыков решения задач, в том числе прикладных и исследовательских задач.

При изучении дисциплины «Элементы абстрактной и компьютерной алгебры» исполь-зуются активные и интерактивные технологии обучения, такие как: технология сотрудничества

работа в малых группах 1.1. Множества. Операции над множествами. 2.2. Позиционные системы счисления.

коллективная мыслительная деятельность: 2.1. Сложность алгоритмов.

медиатехнология подготовка и демонстрация презентаций

2.2. Система компьютерной алгебры Mathematica. кейс-технология

проблемный метод 1.5. Упорядоченное поле: определение свойства. Конечные поля. Нетрадиционные учебные занятия проводятся в форме тренинга обучение сконцен-

трировано на формирование и совершенствование умений и навыков, в форме соревнова-ния (заключительное практическое занятие по разделу).

Занятия, проводимые в интерактивной форме, в том числе с использованием интерак-тивных технологий составляют 30 % от общего количества аудиторных занятий.

Самостоятельная работа студентов включает работу под руководством преподавателя (консультации, коллоквиумы) и индивидуальную работу студента, выполняемую, в том чис-ле, в компьютерном классе с выходом в сеть «Интернет» на физико-математическом фа-культете университета.

При реализации образовательных технологий используются следующие виды самосто-ятельной работы:

работа с теоретическим материалом; решение стандартных задач и упражнений по образцу; решение вариативных задач и упражнений; поиск информации в сети «Интернет» в дополнительной и справочной литературе;

9

6. Учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины «Элементы абстрактной и компьютерной алгебры»

Самостоятельная работа студента Неделя №

темы Вид самостоятельной работы Рекомендуемая

литература Часы

1 2 3 4 5 1. Элементы абстрактной алгебры 30

1-2 1.1. Подготовка к аудиторному занятию: работа с теоретическим материалом; изучение свойств операций над множествами, спо-собы задания множеств, о доказательстве утвер-ждений в математике, дополнение множества и его свойства. решение задач и упражнений;

стандарт: установление принадлежности объ-екта данному множеству, операции над множе-ствами и их свойства, доказательство теорети-ко-множественных утверждений. вариативные: задание конечных множеств описанием свойств элементов.

подготовка к тестированию.

осн.: 1, 2 допол.: 1,2

ДЛ[4] №: 1.3.3.;

1.4.9.;1.4.17.

6

3-4 1.2. Подготовка к аудиторному занятию: работа с теоретическим материалом; бинарные отношения, как подмножества прямого произведения; операции над бинарными отноше-ниями, понятие функции, виды функций, отноше-ние эквивалентности, фактормножество; связь классов эквивалентности и разбиений множества; отношение порядка, вполне упорядоченные мно-жества, принцип индукции, метод математической индукции. решение задач и упражнений;

стандарт: установление вида бинарного от-ношения, вида функции, применение метода математической индукции к доказательству утверждений. вариативные: построение функции, обратной к данной.

подготовка к собеседованию

осн.: 1, 2, 4 допол.:1, 2

ДЛ[4] №: 1.5.17.;

1.6.6.;1.7.1.; 2.5.16..

6

5-6 1.3. Подготовка к аудиторному занятию: работа с теоретическим материалом; понятие алгебраической операции; виды бинарных операций, формы записи бинарных операций: префиксная, инфиксная, постфиксная, переход от одной формы записи к другой; нейтральные и симметризуемые относительно бинарной операции элементы; понятие алгебры, гомоморфизм и изо-морфизм алгебр

осн.: 1, 2, 4 допол.: 1,2,8

6

10

1 2 3 4 5

решение задач и упражнений; стандарт: установление вида бинарных опе-раций, алгоритмы перехода от одной формы записи операций к другой, изоморфизмы одно-типных алгебр с одной бинарной операцией. вариативные: решений задач на сохранение свойств относительно операций в изоморфных алгебрах.

подготовка к собеседованию

ОЛ[5]

№: 5401 - 5406 ДЛ[9] 5.5. Упр.

7-8 1.4. Подготовка к аудиторному занятию: работа с теоретическим материалом; понятие группы, простейшие свойства группы; подгруппы, признак подгруппы; смежные классы по подгруппе, теорема Лагранжа. Кольцо, идеалы кольца, факторкольцо, область целостности, ха-рактеристика кольца. решение задач и упражнений;

стандарт: установление вида данной алгебры, нахождение смежных классов группы по дан-ной подгруппе, перечисление возможных по-рядков подгрупп конечной группы. Кольцо: область целостности и кольца с делителями нуля; характеристика кольца; конечные кольца вариативные: построение факторкольца дан-ного кольца по данному идеалу.

подготовка к контрольной работе.

осн.: 1, 2,4 дополн. 2,8

ОЛ[5] №: 5504,5616,

6301.

6

9-10 1.5. Подготовка к аудиторному занятию: работа с теоретическим материалом; понятие поля, простейшие свойства поля; подполе, числовые поля, упорядоченное поле, как алгебра-ическая система, свойства упорядоченного поля. решение задач и упражнений;

стандарт: установление вида данной алгебры, доказательство, что данная алгебра является полем; решение уравнений и систем уравнений в различных полях. вариативные; построение конечного поля как факторкольца по простому идеалу. подготовка к контрольной работе

осн.: 1, 2,3 дополн. 3,8.

ДЛ[4] №: 3.1.1.-3.1.6;

3.2.1. ОЛ[5]

№: 6601,6618- 6620.

6

2. Элементы компьютерной алгебры 24

11-12 2.1. Подготовка к аудиторному занятию: работа с теоретическим материалом; временная сложность данного алгоритма. Символ O(n) и его свойства. мажоранта полинома. лога-рифмической функции. Определение количества базисных операций, необходимых для сложения и умножения

осн.: 6 допол.:5, 9.

6

11

1 2 3 4 5

двух матриц, сравнение алгоритмов нахождения значений многочлена: при непосредственном вы-числении и при вычислении по схеме Горнера. решение задач и упражнений;

стандарт: сравнение двух функций, подсчет количества действий арифметических опера-ций. вариативные: алгоритмы полиномиальной и экспоненциальной сложности.

подготовка к собеседованию

ДЛ[9] 5.3. Упр

13-14 2.2. Подготовка к аудиторному занятию: работа с теоретическим материалом; позиционные системы счисления, смешанные си-стемы счисления, алгоритмы арифметических операций в позиционных системах счисления, пе-ревод чисел из одной системы счисления в дру-гую; проблемы представления данных в компью-тере. Система компьютерной алгебры Mathematica. решение задач и упражнений;

стандарт: арифметические операции над чис-лами в различных системах счисления, переход от одной системы счисления к другой. Основы работы СКА Mathematica. подготовка к тестированию

осн.: 3,4,7. допол 1,6.

ОЛ[4] №: 9.1.16-

9.1.20.;

6

15-16 2.3 Подготовка к аудиторному занятию: работа с теоретическим материалом; изучение свойств сравнений в кольце целых чисел, китайская теорема об остатках и ее применение в абстрактной алгебре, модулярная арифметика, смешанная система счисления Кнута решение задач и упражнений;

арифметические операции в модулярной арифметике, сравнение целых чисел с исполь-зованием смешанной системы счисления.

подготовка к тестированию

осн.: 4, 6 допол.: 1,3,10

ДЛ[9] 10.3. Упр

6

17-18 2.4. Подготовка к аудиторному занятию: работа с теоретическим материалом; изучение свойств делимости элементов коммута-тивного кольца, факториальные кольца; построе-ние кольца многочленов от одной и нескольких переменных, операции над многочленами и их сложность, разложение многочлена на множители, свободные от квадратов. быстрое преобразование Фурье. решение задач и упражнений;

стандарт: классификация элементов коммута-тивного кольца, кольца главных идеалов

осн.:, 3, 4 допол.:1, 7,11.

[5] №: 2701-2704,

ДЛ[11] Глава 30. Упр.

6

12

1 2 3 4 5

операции над многочленами, схема Горнера, алгоритм отделения кратных множителей, вариативные: быстрое преобразование Фурье

подготовка к зачету

Вопросы и задания для контроля работы студентов.

Вопросы к собеседованию Собеседование №1

1. Понятие множества. Способы задания множеств. Примеры. 2. Операции над множествами и их свойства. 3. Прямое произведение множеств. Понятие бинарного отношения. 4. Понятие функции. Виды функций. Примеры. 5. Отношение эквивалентности. Фактормножество. Примеры. 6. Связь отношений эквивалентности и разбиений. 7. Отношение порядка. Примеры. 8. Принцип индукции. Метод математической индукции. 9. Виды бинарных операций. Формы записи бинарных операций. 10. Регулярные, нейтральные и симметризуемые элементы.

Собеседование №2 1. Алгоритмы перехода от одной формы записи бинарной операции к другой (от постфикс-

ной к инфиксной и обратно.) 2. Понятие алгебры, алгебраической системы. Примеры. 3. Гомоморфизм и изоморфизм алгебр. 4. Понятие группы, подгруппы. Примеры. 5. Отношение сравнения по подгруппе. Теорема Лагранжа. 6. Понятие кольца, области целостности. Примеры. 7. Идеалы кольца. Факторкольцо. Примеры. 8. Понятие поля. Простейшие свойства поля. 9. Конечные поля. Примеры. 10. Упорядоченные поля. Свойства.

Демонстрационный вариант контрольной работы

1. Пусть А = {-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3} и :

sin2

A Rf nn

. Определим на множестве A отно-

шение эквивалентности ( ) ( )f a f b Постройте все классы эквивалентности.

2. Замените постфиксное выражение инфиксным:

3. На множестве 2 2{( , ) , , 0}A a b a b R a b определена операция

Можно ли определить унарную операцию -1 так, чтобы алгебра 1; ,A , была группой.

4. Решить уравнение в поле ( 3)Q 2 (3 3) 4 3 3 0x x

5. Оцените количество операций (сложений, умножений, переносов, сдвигов), требую-щихся дл умножения столбиком двузначного числа на трехзначное.

13

7. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины «Элементы абстрактной и компьютерной алгебры»

Основная литература 1. Кострикин А. И. Введение в алгебру. В 3-х частях. Ч. I. Основы алгебры. – М.: Наука.

2009. 2. Михалёв А. В.. Михалёв А. А. Начала алгебры. Часть 1. М.: 2010. 3. Курош А. Г. Курс высшей алгебры. М.: 2007. 4. Винберг Э. Б. Курс алгебры. М.: МЦНМО. 2011. 5. Сборник задач по алгебре. Под редакцией А. И. Кострикина. М.: 2009. 6. Абрамов С. А. Лекции о сложности алгоритмов. М.: МЦНМО. 2009. 7. Половко А. М. Mathematica для студентов. СПб.: БХВ-Петербург, 2007.

Дополнительная литература

1. Матрос Д. Ш., Поднебесова Г. Б. Элементы абстрактной и компьютерной алгебры. – М.: Издательский центр «Академия»; 2004.

2. Куликов Л. Я. Алгебра и теория чисел.– М.: Высшая школа, 1979. 3. Бухбергер Б. и др. Компьютерная алгебра: символьные и алгебраические вычисления. –

М.: Мир, 1979. 4. Куликов Л. Я., Москаленко А. И., Фомин А. А. Сборник задач по алгебре и теории чисел.– М.:

Просвещение, 1993. 5. Акритас А. Основы компьютерной алгебры с приложениями. – М.: Мир, 1994. 6. Воробьев Е. М. Введение в систему «Mathematica». – М.: Финансы и статистика, 1998. 7. Дьяконов В. П. Энциклопедия компьютерной алгебры. Издательство ДМК-Пресс, 2009. 8. Кук Д., Бейз Г. Компьютерная математика. – М.: Наука, 1990. 9. Андерсен Д. Дискретная математика и комбинаторика. – М.: Издательский дом «Виль-

ямс», 2004. 10. Кнут Д. Искусство программирования на ЭВМ. – Т.2. М.: Мир, 1977. 11. Т. Кормен, Ч. Лейзерсон, Р. Ривест, К. Штайн. Алгоритмы: построение и анализ. М.: Из-

дательский дом «Вильямс», 2005. Программное обеспечение и Интернет-ресурсы

№ Название Электронный адрес Содержание

1.

Exponenta.ru www.exponenta.ru На сайте размещены электронные учебники, справоч-ники, статьи, примерами применения математических пакетов в образовательном процессе, демо-версии по-пулярных математических пакетов, электронные книги и свободно распространяемые программы.

2. Math.ru www.math.ru Математический сайт для школьников, студентов, учителей и всех, кто интересуется математикой.

3. Математика www.mathematics.ru Учебный материал по различным разделам матема-тики.

4. Математика для студентов и про-

чее.

www.xplusy.isnet.ru Содержит большое количество видеолекций для школьников, абитуриентов и студентов по математи-ке и физике.

5. Российское обра-зование.

www.edu.ru Федеральный образовательный портал: учреждения, программы, стандарты, ВУЗы, тесты ЕГЭ.

8. Материально-техническое обеспечение дисциплины «Элементы абстрактной и компьютерной алгебры» Для освоения данной дисциплины необходимы: – мультимедийные средства обучения (компьютер и проектор, ресурсы Интернета).

14

Рабочая программа дисциплины «Элементы абстрактной и компьютерной алгебры» состав-лена в соответствии с требованиями ФГОС ВПО с учетом рекомендаций примерной ООП ВПО по направлению подготовки 050100 «Педагогическое образование» и профилю подго-товки «Информатика». Программу составили: 1. Иванчин Н. А., старший преподаватель кафедры алгебры

(Ф.И.О., должность, подпись) Настоящая программа не может быть воспроизведена ни в какой форме без предвари-тельного письменного разрешения кафедры-разработчика программы. Программа одобрена на заседании кафедры алгебры Протокол № ___ от «____» ______________ 2011 года Зав. кафедрой ___________________О. А. Монахова

(подпись, Ф.И.О.) Программа одобрена учебно-методическим советом физико-математического факультета Протокол № ___ от «____» ______________ 2011 года Председатель учебно-методического совета физико-математического факультета _______________________ М. В. Сорокина

(подпись) (Ф.И.О.) Программа одобрена учебно-методическим управлением университета «_____» _____________ 2011 года Начальник учебно-методического управления университета ___________________________ Г. Н. Шалаева

(подпись)