Upload
others
View
62
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
1 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ
1 Δίνεται το σύστημα 2
1
1
x y
x y
λR
α) Για ποιες τιμές του λ το σύστημα έχει μία μόνο λύση
β) Για ποιες τιμές του λ το σύστημα έχει άπειρες λύσεις και
γ) Για ποιες είναι αδύνατο
2 Δίνεται το σύστημα ( 1) 3 1
3 ( 1) 3
x y
x y
Να βρεθούν οι τιμές του λ ώστε
α) το σύστημα να έχει μοναδική λύση η οποία να βρεθεί
β) το σύστημα να είναι αδύνατο
γ) το σύστημα να είναι αόριστο
3 Δίνεται το σύστημα x
y 1
y
x
α) Να δείξετε ότι το σύστημα έχει μοναδική λύση (x0y0)
β) Να βρείτε αυτή τη λύση
γ) Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό λ ώστε να ισχύει x0-y0=1
4 Δίνεται το σύστημα ( 2) x 5 5
( 2) y 5
y
x
α) Να βρείτε τις τιμές του πραγματικού αριθμού μ για να έχει το σύστημα άπειρες λύσεις
β) Αν το σύστημα έχει μοναδική λύση (x0y0)
i να βρείτε αυτή τη λύση
ii να βρείτε τις τιμές του πραγματικού αριθμού μ ώστε να ισχύει 2x0+y0gt5
5 Δίνεται το σύστημα ( 4) x 3 3
3 ( 4) y 3
y
x
α) Να βρείτε τις τιμές του πραγματικού αριθμού λ για να έχει το σύστημα άπειρες λύσεις
β) Αν το σύστημα έχει μοναδική λύση (x0y0)
i να βρείτε αυτή τη λύση
ii να βρείτε τις τιμές του πραγματικού αριθμού λ ώστε να ισχύει 4 2
0 0 6x y 2x0+y0gt5
6 Δίνονται οι επόμενοι αριθμοί 3 62 2 2 2 και
53 12 2 2
26 39
(5 ) 5 5 50
(4 8 4 ) 5 4
α) Να βρείτε τους αριθμούς α και β
β) Να λύσετε το σύστημα x y
x y 0
2 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
5
4
3
2
1
1
4 2 2
Cf
y
y
x x3-3 1-1 0
7 Δίνεται η ορίζουσα 3
6
15 3
4
22( 5 3)
2
α) Να υπολογίσετε την τιμή της ορίζουσας α
β) Να βρείτε τα λ μ R ώστε το σύστημα x y
2 x ( 5)y 3 5
να έχει άπειρες λύσεις
όπου α η ορίζουσα του ερωτήματος α)
8 Δίνεται το σύστημα ( 1)x y 2
x ( 1)y 1
το οποίο έχει ορίζουσα DΕπίσης η εξίσωση
2x (D 5)x 4(D 1) 0 έχει μία διπλή ρίζα
α) Να βρείτε την ορίζουσα D και τη διπλή ρίζα της εξίσωσης
β) να λύσετε το σύστημα
9 Για τις ορίζουσες D Dx και Dy ενός γραμμικού συστήματος δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους
ισχύουν οι σχέσεις
x
x y
y
D D 2
D D 2
D D 8
10 Η εξίσωση 22x ( 3)x 5 3 0 έχει 2 ρίζες x1x2 για τις οποίες ισχύει 1 2x x 5 και
1 2x x 6
α) Να βρείτε τους αριθμούς λ και μ
β) Να λύσετε την παραπάνω εξίσωση
11 Η εξίσωση 2x ( )x 0 έχει ρίζες x1x2Ισχύουν οι σχέσεις
1 2 1 2x x 3 x x 2 και 2 2
1 2x x 3
Να βρείτε τους αριθμούς λ μ και ν
ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
12 Στο διπλανό σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση fC μιας
άρτιας συνάρτησης f που έχει πεδίο ορισμού το διάστημα
33 fD
α) Να βρείτε τα διαστήματα του 33x για τα οποία η f
είναι γνησίως αύξουσα και για εκείνα που η f είναι
γνησίως φθίνουσα
β) Να βρεθούν τα ακρότατα της συνάρτησης f καθώς και οι
τιμές της ανεξάρτητης μεταβλητής x που τα παρουσιάζει
γ) Να βρείτε το είδος της συμμετρίας που παρουσιάζει η fC
δ) Να βρεθεί το σύνολο τιμών της συνάρτησης f
3 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
13 Στο διπλανό σχήμα φαίνεται η γραφική παράσταση της
συνάρτησης f
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f
β) Να βρείτε τις τιμές f(-1)f(0) και f(f(1))
γ) Να λύσετε την εξίσωση f(x)=0
δ) Να λύσετε την ανίσωση f(x)lt0
ε) Να γράψετε τα διαστήματα μονοτονίας της f
στ) Να βρείτε τα ακρότατα της f
14 Δίνεται η συνάρτηση 2( )f x x x με βγ Rτης οποίας η γραφική παράσταση διέρχεται
από τα σημεία Μ(1-5) και Ν(37)Να βρείτε
α) τις τιμές των β και γ
β) την κορυφή της Cf
γ) τα διαστήματα για τα οποία η Cf βρίσκεται πάνω από τον άξονα χ΄χ
15 Δίνεται η συνάρτηση 2( )f x x x με α β γ R για την οποία ισχύουν
f(1)=6f(-1)=-8 και f(-2)=12
α) τις τιμές των α β γ
β) να βρείτε τα σημεία τομής της Cf με τους άξονες
γ) να λύσετε την εξίσωση ( ) ( 1) 20f x f x
16 Έστω περιττή συνάρτηση f
α) Από τα 4 4 5 1 1 5 5 7 να επιλέξετε εκείνο το
οποίο μπορεί να είναι πεδίο ορισμού της συνάρτησης
Δικαιολογήστε την απάντησή σας
β) Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της f διέρχεται από την αρχή των αξόνων
γ) Αν η f έχει ελάχιστη τιμή στο 0 2x και ισχύει 2 4f να δείξετε ότι
έχει μέγιστη τιμή στο 1 2x το οποίο να βρείτε
δ) Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα 2 2 να λύσετε
την ανίσωση 22
xf f
ε) Θεωρούμε τη συνάρτηση h με 2 4h x f x Να προσδιορίσετε το πεδίο
ορισμού της h και να διαπιστώσετε ότι δεν είναι συμμετρική
17 Δίνονται οι συναρτήσεις f (x) =x2 - 3|x| και g(x) = 2|x| - 4
α) Να εξετάσετε αν η συνάρτηση f είναι άρτια ή περιττή
β) Να βρείτε το διάστημα στο οποίο η γραφική παράσταση της g είναι κάτω από τον άξονα χχ
γ)Να βρείτε τα σημεία τομής των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f και g
18 Δίνεται η συνάρτηση 4 2
2
12( )
36
x xf x
x
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f
β) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με την ευθεία y = 1
γ) Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της f είναι πάνω από τον άξονα
χχ
δ) Να εξετάσετε αν η f είναι άρτια ή περιττή
4 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
19 Δίνεται η συνάρτηση 2
3
3( )
25
x af x
x x
με α R της οποίας η γραφική παράσταση διέρχεται
από το σημείο Μ(-1-1)
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f
β) Να αποδείξετε ότι α = -27
γ) Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τον
άξονα χχ
δ) Να εξετάσετε αν η f είναι άρτια ή περιττή
20 Δίνεται η συνάρτηση f (x) = x2 + 6x + 1 Έστω επίσης g(x) η συνάρτηση της οποίας η γραφική
παράσταση προκύπτει από δύο διαδοχικές μετατοπίσεις της γραφικής παράστασης της f κατά 2
μονάδες προς τα δεξιά και κατά 4 μονάδες προς τα πάνω
α) Να βρείτε τον τύπο της g
β) Να βρείτε τα σημεία τομής των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f και g
γ) Έστω (ε) η ευθεία που έχει συντελεστή διεύθυνσης λ = 2 και διέρχεται από το σημείο
Μ(-2 g(-2))Να βρείτε
i την εξίσωση της ευθείας (ε)
ii τα σημεία τομής της ευθείας (ε) και της γραφικής παράστασης της f
iiiτα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της g είναι πάνω από την ευθεία (ε)
ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ
21 α) Να λύσετε την εξίσωση 2συν2x-5συνx+2=0
β) Να βρείτε τις λύσεις της εξίσωσης που βρίσκονται στο διάστημα [02π]
22 Δίνεται η συνάρτηση ( )f x x
α)) Να λυθεί η εξίσωση 2
( )2
f x
β) Να βρείτε την περίοδο την μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της συνάρτησης
( ) 2 (4 )g x f x
γ) Να βρείτε για ποιες τιμές του x ισχύει ( ) 1g x
23 Αν η ελάχιστη τιμή της συνάρτησης f (x) = x2 + 3 είναι ίση με την μέγιστη τιμή της
συνάρτησης g(x) = αημ(βπx) α β gt 0 και η g είναι περιοδική με περίοδο Τ = 2
α να βρείτε τα α και β
β να δείξετε ότι 1 9
05 5
g g
24 Έστω η συνάρτηση x 1
f (x)x
α Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f
β Να λύσετε την εξίσωση f (x) x
γ Να αποδείξετε ότι η f είναι περιττή
5 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
25 Έστω συνάρτηση f με π
αημ 2 β6
f x x
α β Αν η γραφική παράσταση της
συνάρτησης διέρχεται από τα σημεία π
Α 3 Β 0 06
τότε
α) Να προσδιορίσετε τους πραγματικούς αριθμούς α β
β) Να προσδιορίσετε την μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της συνάρτησης καθώς και την περίοδό
της
γ) Να κατασκευάσετε την γραφική παράσταση της f χρησιμοποιώντας την γραφική παράσταση
του ημιτόνου και να αιτιολογήσετε συνοπτικά την απάντησή σας
δ) Να λύσετε την εξίσωση 3π
64
f x
26 Δίνεται η συνάρτηση ( )4
xf x a
όπου R Αν γνωρίζετε ότι η γραφική
παράσταση της f διέρχεται από τα σημεία Α(0-2) και 4
τότε
α) να αποδείξετε ότι α=-2 και β=2
β) Να βρείτε τη μέγιστη και ελάχιστη τιμή της συνάρτησης f καθώς και την περίοδό της
γ) Να λύσετε την εξίσωση f(x)=1
27 Η συνάρτηση f(x)=α+β∙συν2x με βgt0 έχει μέγιστη τιμή το 4 και η γραφική της παράσταση
Διέρχεται από το σημείο Μ(3
-5)
α) Να βρείτε τα α και β
β) Για α=-2 και β=6
i Να βρείτε την περίοδο Τ της συνάρτησης f
ii Να βρείτε την μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της συνάρτησης f
iii Να βρείτε τις τιμές του x για τις οποίες η συνάρτηση f παρουσιάζει την ελάχιστη και τη
μέγιστη τιμή της
ivΝα βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f με την ευθεία
y=1
28 Δίνεται η συνάρτηση 22 3f x x x
α) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f βρίσκεται κάτω από τον άξονα χ΄χ
β) Αν 2
f x f x
και 4
x k
k να αποδείξετε ότι
i 1
2x x ii
3
8x x
29 Δίνεται η συνάρτηση 2
2
2 2 1
2 1
xf x
x
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της
β) Να λύσετε την εξίσωση 1f x
6 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
30 Δίνεται η συνάρτηση 1 1
1 1
f x x xx x
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της
β) Να λύσετε την εξίσωση 2f x στο διάστημα 0
31 Δίνονται οι συναρτήσεις 2 2 f x x και g x x 0
Αν οι συναρτήσεις fg έχουν την ίδια μέγιστη τιμή και την ίδια περίοδο τότε
α) να αποδείξετε ότι 1
β) Να βρείτε τη τιμή της παράστασης 3 4
f g
γ) Να λύσετε την εξίσωση 3 2 f x g x στο διάστημα 2
32 Η συνάρτηση f x x έχει περίοδο π και η γραφική της παράσταση διέρχεται από το
σημείο 34
α) Να βρείτε τα ρ ω
β) Να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της f
γ) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της f
δ) Να λύσετε την εξίσωση 3 6
f x f x
33 Δίνεται η συνάρτηση 2 2f x x x
α) Να βρείτε την μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της f καθώς και την περίοδο της f
β) Να υπολογίσετε τις τιμές της f για 3
0 4 2 4
x
και να σχεδιάσετε την γραφική
παράσταση της f για 0 x
γ) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με την ευθεία 5
2y
δ) Να λύσετε την εξίσωση 2
2 4 0f x f x
34 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f με f (x) = α + βημ2x διέρχεται από τα σημεία
31
M 212
και 53
412
τότε
α) να βρείτε τα α και β
β) να βρείτε την περίοδο καθώς και τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της f
γ) να λύσετε την εξίσωση f(x)=1
δ) να Λύσετε την εξίσωση 3
f (x) f x4
ε) να κάνετε τη γραφική παράσταση της f στο διάστημα [02π]
35 Έστω η συνάρτηση f (x) = (α - β)συνγx α gt β γ gt 0
Αν η Cf τέμνει τον άξονα yy στο 4 η f έχει μέγιστο το 2α και περίοδο Τ = π
α) να βρείτε τα α β γ και την f
β) να βρείτε την ελάχιστη τιμή της f
7 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
γ) να δείξετε ότι η συνάρτηση g(x) = f2
πx είναι άρτια
36 Α Δίνεται η παράσταση f(x) = ημ2x -2συνx +2 χ εR
α) Να κάνετε γινόμενο την f(x)
β) Να δείξετε ότι f(x) 0 x εR
γ) Να βρείτε τις τιμές του x για τις οποίες f(x) = 0
Β Δίνεται η εξίσωση 23 x ( 3 1) x 1 0 με 2
lt χ π
Να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς του x
37 Δίνεται η συνάρτηση f(x)=2συνx
α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της και το σύνολο τιμών της
β) Να βρεθεί η ελάχιστη τιμή της συνάρτησης f
γ) Για ποιες τιμές του x παίρνει ελάχιστη τιμή η συνάρτηση
δ) Να λυθεί η εξίσωση f(x)+συν2x=3+ημ2x
38 Έστω η συνάρτηση f (x) = α + εφ2πx
α) Αν η Cf τέμνει τον άξονα yy στο 2 να βρείτε το α
β) Για α = 2 να λύσετε την εξίσωση 02 4
x πf f x
39 Δίνεται η συνάρτηση 2 2 1 f x x x
α) Να βρείτε τη περίοδο την μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της
β) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της f
γ) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τους άξονες
δ) Να λύσετε την εξίσωση
f x f x4
στο διάστημα 0
ε) Να αποδείξετε ότι 13
log2 log 3log log1284 12 12
f f f
στ) Να βρείτε τα για τα οποία το πολυώνυμο 3 2P x x 6x x έχει παράγοντες τα
x f4
και
x f12
ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ
40 Δίνεται το πολυώνυμο 3 3 2 2( 4 ) ( 2 ) 2 λx x x
α) Να βρείτε το βαθμό του Ρ(x) για τις διάφορες τιμές του πραγματικού αριθμού λ
β) Για λ=1
i να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης Ρ διέρχεται από το σημείο Α(1-3)
ii να βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης Ρ με την ευθεία y=-3
iii να βρείτε τα διαστήματα του x στα οποία η γραφική παράσταση της συνάρτησης Ρ
βρίσκεται κάτω από την ευθεία y=-3
8 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
41 Δίνεται το πολυώνυμο 4 3 28 5 1 8 3 6 αx x x x x
α) Να γίνει η διαίρεση του Ρ(x) δια του x2 ndash 1 και να γράψετε τη σχετική ταυτότητα
β) Να βρείτε τη τιμή του α ώστε η παραπάνω διαίρεση να είναι τέλεια
γ) Για 3 να βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης Ρ(x) = 0 καθώς και τα διαστήματα στα οποία η
γραφική παράσταση της πολυωνυμικής συνάρτησης Ρ(x) είναι κάτω από τον άξονα x΄x
42 Έστω ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου Ρ(x) με το x2 + 2x είναι 3x - 2
α Να γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης
β Να βρείτε τα Ρ(0) και Ρ(-2)
γ Αν το πολυώνυμο Ρ(x) είναι βαθμού 3 και το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ(x) με το x2 ndash 2
είναι 2x -1 να βρείτε
i το βαθμό του πηλίκου της διαίρεσης του πολυωνύμου Ρ(x) με το x2-2
ii το πολυώνυμο Ρ(x)
43 Δίνονται τα πολυώνυμα Ρ(x) και Q(x) = x3 ndash 4x Αν η πολυωνυμική συνάρτηση Ρ(x) είναι
περιττή και το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ(x) με το x-2 είναι3
α) Να δείξετε ότι Ρ(0) = 0
β) Να βρείτε το Ρ(-2)
γ) Να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ(x) με το x3 ndash 4x
44 Αν για το πολυώνυμο Ρ(x) ισχύει P(x)-2P(1-x) = 4x2-1 να βρείτε
α) τα Ρ(0) και Ρ(1)
β) το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ(x) με το πολυώνυμο 2x2 ndash 2x
45 Έστω τα πολυώνυμα Ρ(x) και Q(x) = Ρ2 (x) - 4Ρ(x) + x2 +1
α)Αν το άθροισμα των συντελεστών του Ρ(x) είναι 3 να βρείτε το άθροισμα των συντελεστών
του Q(x)
β) Να δείξετε ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης του Q(x) με το x - 2 είναι θετικός αριθμός
46 Έστω Ρ(x) πολυώνυμο 3ου βαθμού το οποίο διαιρείται με το 2x 1 έχει ρίζα το 0 και του
οποίου το άθροισμα των συντελεστών είναι ίσο με 2
α) Να αποδείξετε ότι 3(x) x x
β) Να λύσετε την ανίσωση 3 2
2 2 2x x x
47 Δίνεται το πολυώνυμο P(x)=x(x2
+λ) +κx2
+5 με παράγοντα το x-1 και P(-2)=3
α) Να βρείτε τα κ λ
β) Αν κ=-1 και λmdash5
i Να λύσετε την εξίσωση P(x)=0
ii Nα λύσετε την ανίσωση P(x)8
48 Αν το πολυώνυμο Ρ(x) = α3x3 + 5α2x2 - 10αx - 104 έχει παράγοντα το x - 2
α) Να βρείτε το α
β) Για την μεγαλύτερη τιμή του α να λύσετε την ανίσωση Ρ(x) gt 0
49 Δίνεται το πολυώνυμο P(x)=x3+αx-α +β
α) Αν έχει παράγοντες το x-2 και το x να δείξετε ότι α=β=-4
β) Για τις παραπάνω τιμές των α και β να λυθεί η εξίσωση Ρ(x)=0
γ) Να λυθεί η ανίσωση Ρ(x)gt0
9 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
50 Δίνεται το πολυώνυμο 3 2( ) 2 9 10 3P x x x x
α) Να γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης με το 2x+1
β) Να λύσετε την ανίσωση P(x) le 0
51 Δίνεται το πολυώνυμο 20 30
10 20 30P x x x x
α) Να βρείτε το βαθμό του
β) Να λύσετε την εξίσωση 0P x
γ) Να λύσετε την εξίσωση 10P x x
δ) Να λύσετε την ανίσωση 0P x
52 Έστω η συνάρτηση f(x) = 2
3 2
3 3 6
2 3 3 2
x x
x x x
α)Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f
β) Να απλοποιήσετε τον τύπο της f
γ) Να βρείτε τα διαστήματα του x που η γραφική παράσταση της f βρίσκεται κάτω από τη
γραφική παράσταση της g(x) =x2
53 Δίνεται η συνάρτηση f(x)=x3-6x2+11x-6
α Να βρεθούν τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f(x) με τον άξονα χ΄χ
β Να βρεθούν τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της f(x) είναι πάνω από
τον άξονα χ΄χ
54 Αν το πολυώνυμο x2 - 2 διαιρεί το πολυώνυμο Ρ(x) = x3 ndash 2x2 - αx + β
α) Να βρείτε τα α και β
β) Να βρείτε τα διαστήματα του x που η γραφική παράσταση της πολυωνυμικής συνάρτησης
Ρ(x) δεν βρίσκεται πάνω από τον άξονα χχ
55 Έστω το πολυώνυμο Ρ(x) = x5 + 3x2 + αx + β Αν το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ(x) με το x2-2
είναι το υ(x) = 5x + 8
α) Να βρείτε τα α και β
β) Να βρείτε το πηλίκο της διαίρεσης του Ρ(x) με το x2 - 2
γ) Να βρείτε τα διαστήματα του x που η γραφική παράσταση της πολυωνυμικής συνάρτησης
Ρ(x) βρίσκεται πάνω από την ευθεία y = 5x + 8
56 Έστω το πολυώνυμο Ρ(x) = x3-αx-2 αR Αν το Ρ(x) έχει ρίζα άρτιο θετικό ακέραιο τότε
α) να βρείτε το α
β) για α = 3 να βρείτε τις τιμές του λ ώστε για το υπόλοιπο υ της διαίρεσης του Ρ(x) με το x + λ
να ισχύει υ gt -4
57 Έστω το πολυώνυμο Ρ(x) = x4 - αx3 + βx2 - 2 α β RΑν το Ρ(x) έχει ρίζες δύο περιττούς
ακέραιους
α) να βρείτε τα α και β
β) να λύσετε την ανίσωση Ρ(x) ge 0
10 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
58 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης 3 2f (x) x x 2 x 2 3 διέρχεται από τα
σημεία Α(16) και Β(-112)Να βρείτε
α) Να βρείτε τους αριθμούς λ και μ
β) τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τους άξονες
59 Δίνεται η συνάρτηση 3 2( ) 2 9 18f x x x x Να βρεθούν οι τιμές του x για τις οποίες η
γραφική παράσταση της f(x)
α) βρίσκεται πάνω από τον άξονα χ΄ χ
β) βρίσκεται κάτω από τον άξονα χ΄ χ
60 Δίνεται το πολυώνυμο 3 2( ) ( 1) 3 2 6P x ax x x όπου α β πραγματικοί αριθμοί
α)Αν ο αριθμός 1 είναι ρίζα του πολυωνύμου Ρ(x) και το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ(x) με το
x+1 είναι ίσο με 2 να βρείτε τα α και β
β) Aν α=2 και β=4 να βρείτε
i) τα σημεία στα οποία η πολυωνυμική συνάρτηση Ρ(x) τέμνει τον άξονα χ΄χ
ii) τα διαστήματα στα οποία βρίσκεται πάνω από τον άξονα χ΄χ
61 Δίνεται το πολυώνυμο 3 2( ) 3 (2 1) 2P x x ax x όπου α β πραγματικοί αριθμοί
α) Αν ο αριθμός 1 είναι ρίζα του πολυωνύμου Ρ(x) και το υπόλοιπο της διαίρεσης του
Ρ(x) με το 1x είναι ίσο με 20να βρείτε τα α και β
β) Aν α=8 και β=4 να βρείτε
i) τα σημεία στα οποία η πολυωνυμική συνάρτηση Ρ(x) τέμνει τον άξονα χ΄χ
ii) τα διαστήματα στα οποία βρίσκεται κάτω από τον άξονα χ΄χ
62 Δίνεται το πολυώνυμο 3 2( ) ( 3) (2 1) 2P x x a x x όπου α β πραγματικοί αριθμοί
α) Αν ο αριθμός 2 είναι ρίζα του πολυωνύμου Ρ(x) και το υπόλοιπο της διαίρεσης του
Ρ(x) με το 1x είναι ίσο με -18να βρείτε τα α και β
β) Aν α=2 και β=7
2
i) Να λυθεί η εξίσωση Ρ(x) =0
ii) Να γίνει η διαίρεση του Ρ(x) με το πολυώνυμο x2+1 και να γραφεί το Ρ(x) με την
ταυτότητα της ευκλείδειας διαίρεσης
iii) Να λυθεί η ανίσωση ( ) 7 1P x x
63 Έστω πολυώνυμο P(x)=x3+αx2+βx+4 με αβ R το οποίο έχει παράγοντες τους x+1x-2
α) Να αποδείξετε ότι α=-3 και β=0
β) Για τις παραπάνω τιμές των α β να λύσετε την εξίσωση P(x)=0
γ) Έστω C η γραφική παράσταση συνάρτησης f(x)=P(x) με α=-3 και β=0 να βρείτε
i το σημείο τομής της C με τον άξονα y΄y
ii τις τιμές του x για τις οποίες ή C είναι πάνω από τον χ΄χ
64 Δίνεται το πολυώνυμο P(x) βαθμού 2 για το οποίο ισχύει
3 28( 1) ( ) (2 3) 52 8 6 16x P x x P x x x x για κάθε x
Αν το υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x) με το x-1 είναι 2
α) Να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x) με το πολυώνυμο 2
x 6x 5
β)Αν το πηλίκο της διαίρεσης του P(x) με το πολυώνυμο 2
x 6x 5 είναι το Π(x)=x+4
i Να βρεθούν τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης P(x)
11 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
α) με τον άξονα y΄y
β) με την ευθεία y=2
ii Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της συνάρτησης P(x)
είναι πάνω από την ευθεία y=2
65 α) Να λυθεί η εξίσωση y6-3y2+2 = 0
β) Να λυθεί η εξίσωση ημ6x = 1 - 3συν2x
66 Δίνεται η συνάρτηση f(x) =3
32 3
xx
x
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f
β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) =3
67 Αν το πολυώνυμο Ρ(x) = (3α - 1)x3 + x2ημπθ +1 θ (0 1) έχει θετικούς ακέραιους
συντελεστές και αρνητική ακέραια ρίζα
α να βρείτε τα θ και α
β για α = 1 και θ = 12 να βρείτε το λ ώστε το Ρ(x) να έχει παράγοντα το x + λ
ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ-ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
68 Δίνεται η συνάρτηση 1
( ) 3
x
f x
όπου x πραγματικός αριθμός
α) Να βρείτε για ποιες τιμές του ορίζεται η ( )f x
β) Να βρείτε για ποιες τιμές του η ( )f x είναι γνησίως αύξουσα
γ) Αν 7 να λύσετε την εξίσωση ( ) (2 ) 2f x f x
69 Να προσδιορισθεί ο αR ώστε η συνάρτηση 1 2
( )3
x
f x
α) να ορίζεται σε όλο το R
β) να είναι γνησίως αύξουσα στο R
γ) να είναι γνησίως φθίνουσα στο R
δ) να είναι 1-1
70 Δίνεται η συνάρτηση ( )1
x
f x
για κάθε x
α) Να βρείτε τις τιμές του ώστε η συνάρτηση f να είναι γνησίως αύξουσα
β) Αν η f είναι γνησίως αύξουσα και (2) 4f
i Nα υπολογίσετε το α
ii Για 2a να λύσετε την ανίσωση ( 1) 8f x
71 Δίνεται η συνάρτηση 6
( )4 9
x
x xf x
για κάθε x
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f
β) Nα αποδείξετε ότι η f είναι άρτια
12 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
γ) Να λυθεί η εξίσωση 12
( ) (0)13
f x f
72 Δίνεται η συνάρτηση ( ) 3 2 3 2x x
f x για κάθε x
α) Να αποδείξετε ότι η f είναι περιττή
β) Nα λυθεί η εξίσωση ( ) 4 6f x
γ) Να βρείτε τα διαστήματα του x για τα οποία η γραφική παράσταση της ( ) ( 2014)g x f x
δεν βρίσκεται πάνω από τον άξονα χ΄χ
73 Δίνεται η συνάρτηση 1 2
2 2 24( )
4 6 2 8
x x
x xf x
για κάθε x
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f
β) Nα δείξετε ότι 6
( ) 122 2
xf x x R
γ) Nα λυθεί η ανίσωση 3
( )7
f x
δ) Να βρείτε τις τιμές του έτσι ώστε η συνάρτηση ( ) ( )x
g x f a να είναι σταθερή στο
R
ε) Να λυθεί η εξίσωση h(x)+3h(x+1)=-f(3) όπου 6
( )( )
h xf x
74 Δίνεται η συνάρτηση 2
( )1
x
f x
α) Να μελετηθεί η f ως προς την μονοτονία για τις διάφορες τιμές του
β) Αν λ=1 να λυθεί η ανίσωση 2
2
2( )
3 4 2f x
γ) Αν 1 1
3 3
να λυθεί η ανίσωση 2 1(e 2 ) ( 2 )
x x x xf f e
δ) Να βρείτε τις τιμές το λ αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f διέρχεται από το σημείο
Α(f(0)3)
ε) Για λ=0 να βρείτε τα σημεία τομής των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων g και
h όπου ( ) 3 ( 1) 4g x f x ( ) (2 3) 5h x f x
στ) Για λ=0 να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης 2
( 4)( ( ) 4)(x)
(3 3 )( ( ) 2)x
x f x
e f x
75 Δίνεται η συνάρτηση ln3
f x x k
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της
β) Αν 2
ln 16
f
να βρείτε το k
γ) Αν 1k τότε
i να λύσετε την εξίσωση ln 2ln 2 ln36
x f f
13 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
ii να λύσετε την εξίσωση 1 1f x f x
e e
76 Δίνεται η συνάρτηση 1 ln 0 f x x x x
α) Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης f τέμνει τον άξονα
x΄x στο σημείο 10A
β) Να λύσετε την ανίσωση 2 51
x xf e e x
γ) Αν 0 1 x να δείξετε ότι 0f x
δ) Να δείξετε ότι για κάθε 02
ισχύει ότι ln
e
77 Δίνεται η συνάρτηση 2
2
x 68f (x) ln
100 x
α Να βρείτε το πεδίο ορισμού της
β Να λύσετε την εξίσωση f (x)e log50 log5
γ Να λύσετε την ανίσωση f(x) ge 0
78 Δίνεται η συνάρτηση 21( ) 2ln 4ln 1 0
4f x x a x a a
α Να βρεθεί ο πραγματικός αριθμός α ώστε η εξίσωση f(x)=0 να έχει διπλή ρίζα
β Να λυθεί η εξίσωση 2(0) ln 2ln 4f a a
γ Να λυθεί η ανίσωση 2( 2)ln( 2 )
8
afa e a a
79 Δίνεται η συνάρτηση 2x xf x ln e 4e 3 της οποίας η
γραφική παράσταση φαίνεται στο διπλανό σχήμα
α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της f
β) Να βρεθεί το σημείο τομής της γραφικής παράστασης της f
με τον άξονα x x
γ) Να δικαιολογήσετε (αλγεβρικά) γιατί δεν υπάρχει σημείο της
γραφικής παράστασης της f που να βρίσκεται πάνω από τον
άξονα x x
80 Δίνεται η συνάρτηση 2log 11 9 18 2log 1 f x x x x
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της
β) Να βρείτε τα σημεία στα οποία η γραφική παράσταση της f τέμνει τους άξονες
81 Δίνεται η συνάρτηση log log 1f x x
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f
β) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τον άξονα χ΄χ
γ) Να λύσετε την ανίσωση 0f x
δ) Να αποδείξετε ότι 3 101 2 1001 10001 log18f f f
14 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
82 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = ln(ex - 1)
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f
β) Να βρείτε τα διαστήματα που η γραφική παράσταση της συνάρτησης f βρίσκεται πάνω από
τον άξονα χ χ
γ) Να συγκρίνετε τους αριθμούς f(ln2) και f(l)
δ) Να λυθεί η εξίσωση f(2x)-f(x) = f(1)
83 Δίνεται η συνάρτηση f(x)=ln(ex-2)-ln(ex-1)
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f
β) Να αποδείξετε ότι f(x)=ln (1-1
1xe
)
γ) Να λύσετε την εξίσωση f(x)=-ln2
δ) Nα αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f δεν τέμνει την ευθεία με εξίσωση y=x
84 Δίνονται οι συναρτήσεις f g με τύπους f(x) = ln(ex minus 1 ) και g(x) = ln(ex + 2)
α Να βρείτε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων f και g
β Να συγκρίνετε τις τιμές f(ln2) και g( minus1)
γ Να λύσετε την εξίσωση x + f(x) = ln2 + g(x)
85 Έστω η συνάρτηση f(x) = k +log(x2-3) k
α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f
β) Να υπολογίσετε την τιμή του k ώστε f(2)= log100
γ) Για k=2
i Nα βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με την ευθεία
1
log1000
y
i i Nα λυθεί η ανίσωση f(x) gt2
86 Δίνονται οι συναρτήσεις 22log 2 1 log 3 2f x x x x και log 4 3 logg x x x
α) Να βρείτε το πεδίο των συναρτήσεων fg
β) Να βρείτε τα σημεία τομής των γραφικών τους παραστάσεων
γ) Να λύσετε τις εξισώσεις i 0f x και ii 0g x
δ) Να αποδείξετε ότι 2 2log 2 1g
87 Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο 1 1
f(x)= +1+lnx 1-lnx
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού Α της συνάρτησης
β) Να αποδείξετε ότι για κάθε xΑ ισχύει 1
f(x)=fx
γ) Να λύσετε την ανίσωση 1
f(x)+f gt4x
88 Α Να λύσετε την εξίσωση y3 + y - 2 = 0 (1)
15 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
Β Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f (x) = 27x + 1
2middot 12x lnα2 -2∙8x lnα διέρχεται από
την αρχή των αξόνων
α να αποδείξετε ότι α = e
β να βρείτε το διάστημα που η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τον άξονα xx
89 Δίνονται τα πολυώνυμα Ρ(x) = (α - ln2)x3 - (2e - β)x + 3
ln2
Q(x) = (1 ndash lnβ)x3 - (2e - 2)x + 3
ln2
Αν τα πολυώνυμα Ρ(x) και Q(x) είναι ίσα
α Να βρείτε τα α και β
β να αποδείξετε ότι Ρ(-1)gt0
90 Έστω το πολυώνυμο Ρ(x) = x3lnα + (2 - lnα)x2 + αlnβx +1 έχει θετικούς ακέραιους συντελεστές
και αρνητική ακέραια ρίζα
α Να βρείτε τα α και β
β Για α = e και β = 1 να βρείτε τα διαστήματα του x που η γραφική παράσταση της συνάρτησης
f(x) = P(ex) βρίσκεται κάτω από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης g(x) = ex + 3
91 Δίνεται η συνάρτηση f(x)= αlnx +β
α) Να βρείτε τις τιμές των α β R αν γνωρίζετε ότι η γραφική της παράσταση
διέρχεται από τα σημεία Α(10) και B(e2)
β) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f
γ) Να λυθεί η εξίσωση f(x)+f(2x)=61n2
δ) Να λυθεί η ανίσωση f(2x+1)gt f(x)
ε) Να λυθεί το σύστημα x y
f (x) f (y) 2
e e
92 Έστω η συνάρτηση f (x) = x -1 + 2ln(αx) x gt0
Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f διέρχεται από το σημείο Α(1 0)
α) να βρείτε το α
β) να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο (0+)
γ) να λύσετε την ανίσωση f(x) gt 0
93 Δίνεται η συνάρτηση 2
1( )
1
nxf x
n x
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f(x)
β) Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τον χ΄χ
γ) Να βρείτε τα σημεία τομής της Cf με την ευθεία y =1
94 Δίνεται η f( x ) = log ( 102x ndash 10x )
α) Να δειχθεί ότι το πεδίο ορισμού της f είναι το Α=( 0 + )
β) Να δειχθεί ότι f( x ) = x + log ( 10x ndash 1 )
γ) Να λυθεί η εξίσωση f( x ) = x
δ) Να λυθεί η ανίσωση f( x ) le x + 2log 2
16 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
95 Δίνεται η συνάρτηση 2( ) 5 6
x xf x n e e
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f(x)
β) Να λύσετε την ανίσωση ( ) 2f x n
γ) Να λύσετε την εξίσωση ( ) 2 f x x n
96 Δίνεται η συνάρτηση f(x)=ln(3e2xshyex-2)
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f
β) Να βρείτε την τεταγμένη του σημείου της γραφικής παράστασης με τετμημένη ln2 και να
βρείτε τη θέση του σημείου ως προς τον άξονα χ΄χ
γ) Να λυθεί η εξίσωση f(x)=3x ως προς x
97 Δίνεται η συνάρτηση 1
( )1
x
x
ef x a
e που η γραφική της παράσταση διέρχεται από το σημείο
A(ln2 3)
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f
β) Να αποδείξετε ότι α = 1
γ) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι περιττή
δ) Να λυθεί η ανίσωση f(x) gt 2
98 Δίνεται η συνάρτηση
11 2log( 1)
log( 1) 2( ) 10 100 80x
xf x
α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της
β) Να λυθεί η εξίσωση f(x) = 10
γ) Να βρείτε τα κοινά σημεία της ψ = f(x) με την ευθεία ψ = x-20
99 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = α + ln(ex - 2)
Α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f
Β) Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f διέρχεται από το σημείο A(ln3 1) middot
α) να αποδείξετε ότι α = 1
β) να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τον άξονα xx
γ) να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα
100 Δίνεται η συνάρτηση
ln 3 11( )
ln 5
xf x
x
α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της
β) Να λυθεί η εξίσωση f(x) = 2
γ) Αν x gt 6 να λύσετε την ανίσωση f(x) gt 1
101 Δίνεται η συνάρτηση ln 1
( )ln 2
xg x
x
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης ( ) ( )f x g x
β) Να βρείτε αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f τέμνει και σε ποια σημεία τους
άξονες χ΄χ και y΄y
γ) Να λύσετε την εξίσωση ( ) 1x
f e
17 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
102 Δίνεται η συνάρτηση f(x)=2(x-1)+lnx
α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της
β) Να δείξετε ότι το 1 είναι ρίζα της εξίσωσης f(x)=0
γ) Να λυθεί η εξίσωση f(x)=2(x-1)+(lnx)2
103 α) Δίνεται η συνάρτηση f (x) = 3x + 2x + lnx ndash 5Να βρείτε το f(1) και να δείξετε ότι η f είναι
γνησίως αύξουσα
β) Να λύσετε την εξίσωση 2x+ lnx = 5-3x
γ) Να λύσετε την ανίσωση 3x + lnx lt 5-2x
104 Δίνεται η συνάρτηση f (x) = 2ln 1 x x
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f
β) Να δείξετε ότι για κάθε x R f(x) + f(- x) = 0 και ότι η συνάρτηση f είναι περιττή
γ) Να συγκρίνετε τους αριθμούς f(0) και f(- 1)
δ) Να λύσετε την ανίσωση f(ex) gt x + ln3
105 Δίνεται η συνάρτηση 3
ln3
xf x
x
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f
β) Να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι περιττή
γ) Να συγκρίνετε τους αριθμούς f(0) και 1
3f
δ) Να λύσετε την εξίσωση 1 0f x f x
106 Δίνονται οι συναρτήσεις 2
2
100 10( ) ( )
10100
x xf x og g x og
xx
α) Να δείξετε ότι η f είναι άρτια και η g περιττή
β) Να βρείτε τα κοινά σημεία των γραφικών τους παραστάσεων
γ) Να λυθεί η ανισότητα f(x)gt0
107 Δίνεται η συνάρτηση f (x) = ln 9 3 x x xe
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f
β) Να δείξετε ότι f(1)lt0
γ) Να βρείτε τα διαστήματα του x που η Cf είναι πάνω από την ευθεία ε y= 2x + ln2
108 Δίνεται η συνάρτηση f (x) = 2x + 6x - 40
α) Να βρείτε το f(4)
β) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα
γ) Να λύσετε την εξίσωση f(x) =0
109 Έστω η συνάρτηση f (x) = 3x + 2ex-κ -1 που η γραφική της παράσταση διέρχεται από το
σημείο Α(0 1)
α) Να βρείτε το κ
β) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα
γ) Να λύσετε την εξίσωση 3x + 2ex = 2
δ) Να λύσετε την ανίσωση 3x + 2ex gt 2
18 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
110 Δίνεται η συνάρτηση f (x) = (ln 1)x
a
α) Να βρείτε τις τιμές του α για τις οποίες
i η συνάρτηση f ορίζεται σε όλο το R
ii η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα
β) Για α = e3 να λύσετε την εξίσωση ln 2 ln 1 f εφx f σφx
111 Δίνεται η συνάρτηση 1
ln5
x
f x
α) Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες η συνάρτηση f ορίζεται σε όλο το
β) Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα
στο
γ) Αν 11 να λύσετε την εξίσωση f f 1 6x x
112 Δίνεται η συνάρτηση f με f(x) = x + ln(ex - 3)
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της
β) Να δείξετε ότι f(ln4) lt f(ln5)
γ) Να λύσετε την ανίσωση f(x) gt lη2 + ln(ex - 2)
113 Δίνεται η συνάρτηση ( ) ln( 1) x
f x x e
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της
β) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα
γ) Να συγκρίνετε τους αριθμούς log 2f και log5f
δ) Να βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f και της ευθείας
ln 2y
114 Δίνεται η συνάρτηση 4 2
log 8 log log 100 0f x x x x x
α) Αν f(10)=25 να δείξετε ότι α = 1
β) Για την τιμή α = 1 να
i δείξετε ότι η f(x) γράφεται στη μορφή 2
2log 4 logf x x x
ii να λύσετε την εξίσωση f(x) = 0
115 Δίνονται οι συναρτήσεις ln x
f x e e και 1ln 2 2
xg x e
α) Να βρείτε το πεδίο των συναρτήσεων fg
β) Να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των fg δεν τέμνονται
γ) Να λύσετε την ανίσωση 1f x
116 Δίνονται οι συναρτήσεις x xf(x) ln e e
και x
g(x) ln ln e
α) Να βρείτε τα πεδία ορισμού των f(x) και g(x)
β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = g(x)
γ) Να λύσετε την ανίσωση f(x) gt 2g(x
117 Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) = ln(e2x-ex-2) και g(x) = ln2+ln(ex-l)
α) Να βρείτε τα πεδία ορισμού των f(x) και g(x)
β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = g(x)
γ) Να λύσετε την ανίσωση f(x) gt g(x)
19 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
118 Δίνεται η συνάρτηση 2
1ln
5
x
x
ef x
e
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f(x)
β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = 2ln2
γ) Να λύσετε την ανίσωση f(x) gt 0
119 Έστω η συνάρτηση f(x) = log(225x-54x) και η ευθεία ε y = x + log3
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f
β) Να βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της f και της ευθείας ε
γ) Να δείξετε ότι το σημείο Α3 3
2 2
f βρίσκεται πάνω από το σημείο Β με τετμημένη 3
2
της ευθείας ε
120 Δίνονται οι συναρτήσεις ( ) ln 2 3 xf x και ( ) ln(2 3) xg x
α) Να βρείτε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων f και g
β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = g(x)
γ) Να συγκρίνετε τους αριθμούς f(3) και g(3)
121 α) Να δείξετε ότι ln ln a για κάθε α β gt 0
β) Να λυθεί η ανίσωση 1
lnln 22 2 1
xx
γ) Έστω η συνάρτηση f(x) = ln xa Να βρείτε το α ώστε 5f (3) - 3f (5) gt 0
122 Δίνεται το πολυώνυμο 2 1 4 3 2 2( ) 1 ln ln 1f x e x x x x θ (0 π) το
οποίο είναι 3ου βαθμού και διαιρείται με το x-1
α) Να αποδείξετε ότι θ = 2
3
και κ =
1
e
β) Να αποδείξετε ότι το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης [f(x)x2] είναι το ίδιο
γ) Να βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της πολυωνυμικής συνάρτησης f(x)
με την ευθεία (ε) y = 5x-5
ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ
123 Δίνεται το σύστημα 2x y 7
7x 2y 11
α) Να βρείτε τη λύση (x0y0) του συστήματος
β) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης 2f (x) x x έχει κορυφή το σημείο Κ(x0y0)
i) να βρείτε τους αριθμούς β και γ
ii) να λύσετε την ανίσωση f (x) 0
iii) να λύσετε το σύστημα y f (x)
x y 6
20 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
124 Το σύστημα ( 1)x 8y 4
x ( 3)y 3 1
έχει τη μοναδική λύση (x0y0) για την οποία ισχύει
0 0x y 1
α) Να βρείτε τον αριθμό λ
β) Δίνεται η συνάρτηση 2f (x) x 2 x 6
i Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η Cf είναι πάνω από τον χ΄χ
iiΝα λύσετε το σύστημα y f (x)
2y f (x 1) 10x
125 Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f με f (x) = α + βσυν2x διέρχεται από τα σημεία
Α(0 1) και Β 24
π τότε
α) να βρείτε τα α και β
β) να βρείτε την f
γ) να δείξετε ότι η Cf έχει άξονα συμμετρίας τον yy
δ) να δείξετε ότι f (-x) - f4
πx = ημ2x - συν2x
126 Δίνεται το πολυώνυμο f (x) = 2x3 middot συν2θ - x3ημθ - x2 + 3eλ - 2
Αν το πολυώνυμο έχει παράγοντες τους x και x - 1
α) να βρείτε τους λ και θ θ [0 2
π]
β) να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του πολυωνύμου Ρ(x) με το x - 1 όπου
P(x) = x∙f(3x-2) + (2-3x)21
γ) να βρείτε τα διαστήματα που η γραφική παράσταση της συνάρτησης f βρίσκεται κάτω από
τον άξονα χ χ
127 Δίνεται η πολυωνυμική συνάρτηση f(x) = 8x3-4x2 + 2x-l
α) Αν το πολυώνυμο Ρ(x) έχει παράγοντα το x - συνθ θ 02
π να βρείτε το θ
β) Να λύσετε την ανίσωση f(lnx) lt 0
γ) Να βρείτε τα διαστήματα του χ που η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από την
ευθεία y = 10x - 5
128 Θεωρούμε το πολυώνυμο 3 2( ) ( ) 2 1P x x x x
α) Αν έχει παράγοντα το 2
1x να βρείτε τα και
β) Για τις τιμές των και που βρήκατε να λύσετε την ανίσωση ( ) 0P x
γ) Για τις ίδιες τιμές των και να λύσετε την εξίσωση ( ) 0P x
129 Δίνεται το πολυώνυμο 3 2 P x x x x α β Αν το υπόλοιπο της διαίρεσης
2 2P x x x είναι (x) 9x 3 τότε
α) να αποδείξετε ότι 3 και 3
β) να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της πολυωνυμικής συνάρτησης
P(x) βρίσκεται κάτω από τον άξονα xrsquox
21 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
γ) να λύσετε την ανίσωση 10 2 0xP
130 Δίνεται το πολυώνυμο P(x) = x4 +αx3 +βx2 ndash2x + 4 όπου α βIR Το P(x) έχει παράγοντα το
x ndash 1 και το υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x) με το x + 1 είναι το 6
α) Να δείξετε ότι α = ndash1 και β = ndash2
β) Να λύσετε την εξίσωση P(x) = 0
γ) Να λύσετε την ανίσωση P(x) gt 0
δ) Να λύσετε την εξίσωση συν4x ndashσυν3x + 2ημ2x ndash2συνx + 2 = 0 στο διάστημα [ndashπ
2 π)
131 Δίνεται το πολυώνυμο 3 2 1P x x x x που έχει παράγοντα το 1x και το
υπόλοιπο της διαίρεσης του με το 1x είναι 8
α) Να αποδείξετε ότι 2 και 7
β) Να λύσετε την ανίσωση 0x
γ) Αν 2
x
να λύσετε την εξίσωση 3 22 7 2 3 0
132 To πολυώνυμο f(x)=x3+2αx2-βx-1 έχει παράγοντα το x-1 και το υπόλοιπο της διαίρεσης
f (x) (x 1) είναι 4
α) Να βρείτε τις τιμές των α β R
β) Να βρεθούν τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της
f(x) βρίσκεται κάτω από τον άξονα χ΄χ
γ) Να λύσετε την εξίσωση 2x x1e e
2
133 Δίνεται το πολυώνυμο 3 22 7P x x x x το οποίο έχει παράγοντα το 1x και το
υπόλοιπο της διαίρεσης του με το 1x είναι 18
α) Να αποδείξετε ότι 7 και 2
β) Να λύσετε την εξίσωση 3 22 2 7 2 7 2 2 0x x x
γ) Να λύσετε την ανίσωση 2 8 7 4 7 2 2 0x x x
134 Δίνεται το πολυώνυμο 3 2( ) (log 2) log 0P x x x k x k k
α) Να αποδείξετε ότι το 1x είναι παράγοντας του ( )P x
β) Να βρείτε τις τιμές του k για τις οποίες το πολυώνυμο ( )P x έχει τρεις
πραγματικές ρίζες
γ) Για 10k να λύσετε
i την ανίσωση ( ) 0P x
ii την εξίσωση 2( ) [0 ]P x x x
135 Δίνεται το πολυώνυμο
4 3 22ln 1 2 0 0 x x x x x x
α) Αν το πολυώνυμο x είναι 3ου βαθμού και έχει παράγοντα το 1x να βρεθούν τα
β) Αν 3 2 1x x x x x να βρεθούν οι τιμές του x για τις οποίες ισχύει
0x
22 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
γ) Να λυθούν
i η εξίσωση 2 0 0 ό
ii η ανίσωση 2 ln 0
136 Δίνεται η συνάρτηση log 2 4 5 2 2x xf x
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f
β) Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τον
άξονα χ΄χ
γ) Να λύσετε στο διάστημα 0 2 την εξίσωση 2 0f x
137 Έστω η συνάρτηση ( ) ln 2 xf x ημ
α) Να αποδείξετε ότι η f είναι περιττή
β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = 0 στο (- π π)
138 Έστω η συνάρτηση f(x) = ημx + ex - 1
α) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο Α= 2 2
π π
β) Να βρείτε το f(0)
γ) Να λύσετε
i την εξίσωση ημx + ex=1 στο 2 2
π π
ii την ανίσωση ημx + ex lt1 στο 2 2
π π
139 Έστω η συνάρτηση f (x) = (3 ndash 2lnα)x
α) Να βρείτε το α ώστε η συνάρτηση f να ορίζεται σε όλο το R
β) Να βρείτε το α ώστε η συνάρτηση f να είναι γνησίως φθίνουσα
γ) Για α = e να λύσετε την εξίσωση f(2συν2θ)-f(2ημ2θ) = 3
140 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = (2lnα - 1)x
α) Να βρείτε τις τιμές του α R για τις οποίες η συνάρτηση f ορίζεται σε όλο το R
β) Να βρείτε τις τιμές του α R για τις οποίες η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα
γ) Αν α = e2 να βρείτε το θ ώστε 2 2 2 4( ) ( )
3 f συν θ ημ θ f συν θ
141 Δίνεται η συνάρτηση 2
log logf x x x
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f
β) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τον άξονα χ΄χ
γ) Να λύσετε την εξίσωση 0f x
δ) Αν για τους θετικούς αριθμούς α β με ισχύει ότι f f να αποδείξετε ότι
10000
142 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = log(4x ndash 2)
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f και να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f έχει
μοναδικό κοινό σημείο με την ευθεία y = 1 ndash log5
23 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
β) Να λύσετε την ανίσωση 1
-12
4 64 - 2 0
5 5
xx
γ) Να λύσετε την εξίσωση f(x) + f(2
x) = 1 + log
1-
124 6
4 - 25 5
xx
δ) Να λύσετε την εξίσωση ημ2x = f(5
2) + f(1) ndash f(
3
2)
143 Δίνεται το πολυώνυμο 1
4 2 1 3 225 2 3 25 1 λf x x x x x
α) Αν το (x ndash 1) είναι παράγοντας του f(x) να βρείτε το λ
β) Για 1
2
i να δείξετε ότι το (x -1)2 είναι παράγοντας του f(x)
ii να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τον
άξονα x΄x
144 Δίνεται το πολυώνυμο Ρ(x) = (21lnκ - 1)x4 + x3 + (e - 1)x2 ndash e∙x +1 + 2ημθ θ (0 2π)
Αν το πολυώνυμο Ρ(x) είναι 3ου βαθμού και έχει παράγοντα το x - 1
α) να βρείτε τα κ και θ
β) να λύσετε την ανίσωση Ρ(x) lt 0
γ) να βρείτε τα διαστήματα που η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) με
f(x) = e3x+(e-1)e2x-ex+1 βρίσκεται κάτω από τον άξονα χ χ
145 Δίνεται η συνάρτηση ln ln 3
( )ln ln
x
f x
με 3lt α lt β η οποία είναι γνησίως φθίνουσα στο
σύνολο των πραγματικών αριθμών
α) Να συγκρίνετε τους αριθμούς ln και ln
β) Να αποδείξετε ότι 23
γ) Αν 6 και 24 τότε
i) να αποδείξετε ότι 1
( )2
x
f x
ii) να αποδείξετε ότι για κάθε ισχύει η ανισότητα 22
f f f
δ)Να λυθεί η εξίσωση 2 2( ) ( ) 3f x f x
146 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x - 1 + lnx x gt 0
α) Να δείξετε ότι για κάθε x με 0 lt x lt 1 f(x) lt 0
β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = x-1-ln2x
γ) Να λύσετε την ανίσωση f (ex) gt x + 2x -1
δ) Να δείξετε ότι για κάθε θ 02
lne
147 Δίνεται το πολυώνυμο f(x) όπου f(x) = x3-2x2lnα2 + 5xlnα-2 αgt0
α) Αν το x-1 είναι παράγοντας του f(x) τότε να βρείτε το α
β) Για α = e
24 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
i να δείξετε ότι το (x-1)2 είναι παράγοντας του πολυωνύμου f(x)
ii να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της πολυωνυμικής
συνάρτησης f(x) βρίσκεται κάτω από τον άξονα χ χ
148 Έστω η συνάρτηση f(x) = ln(2 - ex)
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f
β) Έστω ότι ο αριθμοί α = 2x β = f(x) γ = ln4 είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου
i Να βρείτε το x
ii Αν ο αριθμός α είναι ο 3ος όρος της αριθμητικής προόδου να βρείτε ποιος όρος της προόδου
ισούται με 2ln2 + 5ln3
149 Δίνεται το πολυώνυμο Ρ(x) = x3 +x2 + x + 2λ2 ndashλ +1
α) Να αποδείξετε ότι η διαίρεση Ρ(x) (x -1 ) δεν είναι τέλεια
β) Αν υ(λ) το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ(x) (x -1 ) να βρεθεί το λ ώστε το υ(λ) να γίνεται
ελάχιστο και την ελάχιστη τιμή του υ(λ)
γ) Για την τιμή του λ που το υ(λ) γίνεται ελάχιστο
i να λύσετε την εξίσωση 425x-2λ-16x-2λ=48λx
ii να λύσετε την εξίσωση
2ln x 1ln
21
4 5 x2
αφού πρώτα αποδείξετε ότι
ln x ln 22 x
δ) Να λύσετε την ανίσωση 8 x 4 x 4 x 1 4 x 13 9 11 4 4
150 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = log(e2x-kex +λ) με f(0) = log2 f(ln6) = log12
α) Να δείξετε ότι κ = 5 και λ = 6
β) Αν κ = 5 και λ = 6
i Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f
ii Να λυθεί η εξίσωση f(x) = 1minuslog(ex + 1)
iii Να δείξετε ότι οι αριθμοί f(ln5)minusf(0) f(ln5) f(ln6) είναι διαδοχικοί όροι
αριθμητικής προόδου
151 Αν το πολυώνυμο f(x) = x3 + 2αx2 - βx - 1 έχει παράγοντα το x - 1 και το υπόλοιπο της
διαίρεσης Ρ(x)(x + 1) είναι 4
α) να βρείτε τους α και β
β) να λύσετε την εξίσωση 2συν4
βx- 2ημ2 x
2
= -2
γ) να βρείτε το ελάχιστο πλήθος των πρώτων όρων της αριθμητικής προόδου (αν) με α1 = α και
ω = β που απαιτούνται ώστε το άθροισμα τους να ξεπερνάει το 150
δ) να λύσετε την εξίσωση β2lnx =5 + 4∙xln2α
152 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) = x3+λx2+23x-15 (λR ) διέρχεται από το σημείο
Α(10)
α) Να βρεθεί ο λ R
β) Για ποιες τιμές του xR η ψ = f(x) βρίσκεται κάτω από τον άξονα x΄x
γ) οι τετμημένες των σημείων στα οποία η ψ = f(x) τέμνει τον άξονα x΄x είναι κατά αύξουσα
τάξη οι 3 πρώτοι όροι μιας προόδου Αν το άθροισμα των ν πρώτων όρων της είναι 400 να
βρεθεί ο ν
25 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
153 α) Έστω η συνάρτηση f (x) = 2 middot 3x + 3x - 24
i να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα και να βρείτε το f(2)
ii να λύσετε την εξίσωση f(x) = 0
β) Δύο κοινωνίες βακτηριδίων Α και Β έχουν αρχικά 24 και 2 βακτηρίδια αντίστοιχα
Η κοινωνία των βακτηριδίων Α μειώνεται σε αριθμό κάθε μια ώρα κατά 3 βακτηρίδια
Η κοινωνία των βακτηριδίων Β τριπλασιάζεται κάθε μία ώρα Να βρείτε μετά από πόσες
ώρες οι κοινωνίες των βακτηριδίων θα έχουν τον ίδιο αριθμό βακτηριδίων
2 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
5
4
3
2
1
1
4 2 2
Cf
y
y
x x3-3 1-1 0
7 Δίνεται η ορίζουσα 3
6
15 3
4
22( 5 3)
2
α) Να υπολογίσετε την τιμή της ορίζουσας α
β) Να βρείτε τα λ μ R ώστε το σύστημα x y
2 x ( 5)y 3 5
να έχει άπειρες λύσεις
όπου α η ορίζουσα του ερωτήματος α)
8 Δίνεται το σύστημα ( 1)x y 2
x ( 1)y 1
το οποίο έχει ορίζουσα DΕπίσης η εξίσωση
2x (D 5)x 4(D 1) 0 έχει μία διπλή ρίζα
α) Να βρείτε την ορίζουσα D και τη διπλή ρίζα της εξίσωσης
β) να λύσετε το σύστημα
9 Για τις ορίζουσες D Dx και Dy ενός γραμμικού συστήματος δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους
ισχύουν οι σχέσεις
x
x y
y
D D 2
D D 2
D D 8
10 Η εξίσωση 22x ( 3)x 5 3 0 έχει 2 ρίζες x1x2 για τις οποίες ισχύει 1 2x x 5 και
1 2x x 6
α) Να βρείτε τους αριθμούς λ και μ
β) Να λύσετε την παραπάνω εξίσωση
11 Η εξίσωση 2x ( )x 0 έχει ρίζες x1x2Ισχύουν οι σχέσεις
1 2 1 2x x 3 x x 2 και 2 2
1 2x x 3
Να βρείτε τους αριθμούς λ μ και ν
ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
12 Στο διπλανό σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση fC μιας
άρτιας συνάρτησης f που έχει πεδίο ορισμού το διάστημα
33 fD
α) Να βρείτε τα διαστήματα του 33x για τα οποία η f
είναι γνησίως αύξουσα και για εκείνα που η f είναι
γνησίως φθίνουσα
β) Να βρεθούν τα ακρότατα της συνάρτησης f καθώς και οι
τιμές της ανεξάρτητης μεταβλητής x που τα παρουσιάζει
γ) Να βρείτε το είδος της συμμετρίας που παρουσιάζει η fC
δ) Να βρεθεί το σύνολο τιμών της συνάρτησης f
3 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
13 Στο διπλανό σχήμα φαίνεται η γραφική παράσταση της
συνάρτησης f
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f
β) Να βρείτε τις τιμές f(-1)f(0) και f(f(1))
γ) Να λύσετε την εξίσωση f(x)=0
δ) Να λύσετε την ανίσωση f(x)lt0
ε) Να γράψετε τα διαστήματα μονοτονίας της f
στ) Να βρείτε τα ακρότατα της f
14 Δίνεται η συνάρτηση 2( )f x x x με βγ Rτης οποίας η γραφική παράσταση διέρχεται
από τα σημεία Μ(1-5) και Ν(37)Να βρείτε
α) τις τιμές των β και γ
β) την κορυφή της Cf
γ) τα διαστήματα για τα οποία η Cf βρίσκεται πάνω από τον άξονα χ΄χ
15 Δίνεται η συνάρτηση 2( )f x x x με α β γ R για την οποία ισχύουν
f(1)=6f(-1)=-8 και f(-2)=12
α) τις τιμές των α β γ
β) να βρείτε τα σημεία τομής της Cf με τους άξονες
γ) να λύσετε την εξίσωση ( ) ( 1) 20f x f x
16 Έστω περιττή συνάρτηση f
α) Από τα 4 4 5 1 1 5 5 7 να επιλέξετε εκείνο το
οποίο μπορεί να είναι πεδίο ορισμού της συνάρτησης
Δικαιολογήστε την απάντησή σας
β) Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της f διέρχεται από την αρχή των αξόνων
γ) Αν η f έχει ελάχιστη τιμή στο 0 2x και ισχύει 2 4f να δείξετε ότι
έχει μέγιστη τιμή στο 1 2x το οποίο να βρείτε
δ) Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα 2 2 να λύσετε
την ανίσωση 22
xf f
ε) Θεωρούμε τη συνάρτηση h με 2 4h x f x Να προσδιορίσετε το πεδίο
ορισμού της h και να διαπιστώσετε ότι δεν είναι συμμετρική
17 Δίνονται οι συναρτήσεις f (x) =x2 - 3|x| και g(x) = 2|x| - 4
α) Να εξετάσετε αν η συνάρτηση f είναι άρτια ή περιττή
β) Να βρείτε το διάστημα στο οποίο η γραφική παράσταση της g είναι κάτω από τον άξονα χχ
γ)Να βρείτε τα σημεία τομής των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f και g
18 Δίνεται η συνάρτηση 4 2
2
12( )
36
x xf x
x
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f
β) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με την ευθεία y = 1
γ) Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της f είναι πάνω από τον άξονα
χχ
δ) Να εξετάσετε αν η f είναι άρτια ή περιττή
4 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
19 Δίνεται η συνάρτηση 2
3
3( )
25
x af x
x x
με α R της οποίας η γραφική παράσταση διέρχεται
από το σημείο Μ(-1-1)
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f
β) Να αποδείξετε ότι α = -27
γ) Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τον
άξονα χχ
δ) Να εξετάσετε αν η f είναι άρτια ή περιττή
20 Δίνεται η συνάρτηση f (x) = x2 + 6x + 1 Έστω επίσης g(x) η συνάρτηση της οποίας η γραφική
παράσταση προκύπτει από δύο διαδοχικές μετατοπίσεις της γραφικής παράστασης της f κατά 2
μονάδες προς τα δεξιά και κατά 4 μονάδες προς τα πάνω
α) Να βρείτε τον τύπο της g
β) Να βρείτε τα σημεία τομής των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f και g
γ) Έστω (ε) η ευθεία που έχει συντελεστή διεύθυνσης λ = 2 και διέρχεται από το σημείο
Μ(-2 g(-2))Να βρείτε
i την εξίσωση της ευθείας (ε)
ii τα σημεία τομής της ευθείας (ε) και της γραφικής παράστασης της f
iiiτα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της g είναι πάνω από την ευθεία (ε)
ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ
21 α) Να λύσετε την εξίσωση 2συν2x-5συνx+2=0
β) Να βρείτε τις λύσεις της εξίσωσης που βρίσκονται στο διάστημα [02π]
22 Δίνεται η συνάρτηση ( )f x x
α)) Να λυθεί η εξίσωση 2
( )2
f x
β) Να βρείτε την περίοδο την μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της συνάρτησης
( ) 2 (4 )g x f x
γ) Να βρείτε για ποιες τιμές του x ισχύει ( ) 1g x
23 Αν η ελάχιστη τιμή της συνάρτησης f (x) = x2 + 3 είναι ίση με την μέγιστη τιμή της
συνάρτησης g(x) = αημ(βπx) α β gt 0 και η g είναι περιοδική με περίοδο Τ = 2
α να βρείτε τα α και β
β να δείξετε ότι 1 9
05 5
g g
24 Έστω η συνάρτηση x 1
f (x)x
α Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f
β Να λύσετε την εξίσωση f (x) x
γ Να αποδείξετε ότι η f είναι περιττή
5 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
25 Έστω συνάρτηση f με π
αημ 2 β6
f x x
α β Αν η γραφική παράσταση της
συνάρτησης διέρχεται από τα σημεία π
Α 3 Β 0 06
τότε
α) Να προσδιορίσετε τους πραγματικούς αριθμούς α β
β) Να προσδιορίσετε την μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της συνάρτησης καθώς και την περίοδό
της
γ) Να κατασκευάσετε την γραφική παράσταση της f χρησιμοποιώντας την γραφική παράσταση
του ημιτόνου και να αιτιολογήσετε συνοπτικά την απάντησή σας
δ) Να λύσετε την εξίσωση 3π
64
f x
26 Δίνεται η συνάρτηση ( )4
xf x a
όπου R Αν γνωρίζετε ότι η γραφική
παράσταση της f διέρχεται από τα σημεία Α(0-2) και 4
τότε
α) να αποδείξετε ότι α=-2 και β=2
β) Να βρείτε τη μέγιστη και ελάχιστη τιμή της συνάρτησης f καθώς και την περίοδό της
γ) Να λύσετε την εξίσωση f(x)=1
27 Η συνάρτηση f(x)=α+β∙συν2x με βgt0 έχει μέγιστη τιμή το 4 και η γραφική της παράσταση
Διέρχεται από το σημείο Μ(3
-5)
α) Να βρείτε τα α και β
β) Για α=-2 και β=6
i Να βρείτε την περίοδο Τ της συνάρτησης f
ii Να βρείτε την μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της συνάρτησης f
iii Να βρείτε τις τιμές του x για τις οποίες η συνάρτηση f παρουσιάζει την ελάχιστη και τη
μέγιστη τιμή της
ivΝα βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f με την ευθεία
y=1
28 Δίνεται η συνάρτηση 22 3f x x x
α) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f βρίσκεται κάτω από τον άξονα χ΄χ
β) Αν 2
f x f x
και 4
x k
k να αποδείξετε ότι
i 1
2x x ii
3
8x x
29 Δίνεται η συνάρτηση 2
2
2 2 1
2 1
xf x
x
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της
β) Να λύσετε την εξίσωση 1f x
6 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
30 Δίνεται η συνάρτηση 1 1
1 1
f x x xx x
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της
β) Να λύσετε την εξίσωση 2f x στο διάστημα 0
31 Δίνονται οι συναρτήσεις 2 2 f x x και g x x 0
Αν οι συναρτήσεις fg έχουν την ίδια μέγιστη τιμή και την ίδια περίοδο τότε
α) να αποδείξετε ότι 1
β) Να βρείτε τη τιμή της παράστασης 3 4
f g
γ) Να λύσετε την εξίσωση 3 2 f x g x στο διάστημα 2
32 Η συνάρτηση f x x έχει περίοδο π και η γραφική της παράσταση διέρχεται από το
σημείο 34
α) Να βρείτε τα ρ ω
β) Να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της f
γ) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της f
δ) Να λύσετε την εξίσωση 3 6
f x f x
33 Δίνεται η συνάρτηση 2 2f x x x
α) Να βρείτε την μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της f καθώς και την περίοδο της f
β) Να υπολογίσετε τις τιμές της f για 3
0 4 2 4
x
και να σχεδιάσετε την γραφική
παράσταση της f για 0 x
γ) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με την ευθεία 5
2y
δ) Να λύσετε την εξίσωση 2
2 4 0f x f x
34 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f με f (x) = α + βημ2x διέρχεται από τα σημεία
31
M 212
και 53
412
τότε
α) να βρείτε τα α και β
β) να βρείτε την περίοδο καθώς και τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της f
γ) να λύσετε την εξίσωση f(x)=1
δ) να Λύσετε την εξίσωση 3
f (x) f x4
ε) να κάνετε τη γραφική παράσταση της f στο διάστημα [02π]
35 Έστω η συνάρτηση f (x) = (α - β)συνγx α gt β γ gt 0
Αν η Cf τέμνει τον άξονα yy στο 4 η f έχει μέγιστο το 2α και περίοδο Τ = π
α) να βρείτε τα α β γ και την f
β) να βρείτε την ελάχιστη τιμή της f
7 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
γ) να δείξετε ότι η συνάρτηση g(x) = f2
πx είναι άρτια
36 Α Δίνεται η παράσταση f(x) = ημ2x -2συνx +2 χ εR
α) Να κάνετε γινόμενο την f(x)
β) Να δείξετε ότι f(x) 0 x εR
γ) Να βρείτε τις τιμές του x για τις οποίες f(x) = 0
Β Δίνεται η εξίσωση 23 x ( 3 1) x 1 0 με 2
lt χ π
Να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς του x
37 Δίνεται η συνάρτηση f(x)=2συνx
α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της και το σύνολο τιμών της
β) Να βρεθεί η ελάχιστη τιμή της συνάρτησης f
γ) Για ποιες τιμές του x παίρνει ελάχιστη τιμή η συνάρτηση
δ) Να λυθεί η εξίσωση f(x)+συν2x=3+ημ2x
38 Έστω η συνάρτηση f (x) = α + εφ2πx
α) Αν η Cf τέμνει τον άξονα yy στο 2 να βρείτε το α
β) Για α = 2 να λύσετε την εξίσωση 02 4
x πf f x
39 Δίνεται η συνάρτηση 2 2 1 f x x x
α) Να βρείτε τη περίοδο την μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της
β) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της f
γ) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τους άξονες
δ) Να λύσετε την εξίσωση
f x f x4
στο διάστημα 0
ε) Να αποδείξετε ότι 13
log2 log 3log log1284 12 12
f f f
στ) Να βρείτε τα για τα οποία το πολυώνυμο 3 2P x x 6x x έχει παράγοντες τα
x f4
και
x f12
ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ
40 Δίνεται το πολυώνυμο 3 3 2 2( 4 ) ( 2 ) 2 λx x x
α) Να βρείτε το βαθμό του Ρ(x) για τις διάφορες τιμές του πραγματικού αριθμού λ
β) Για λ=1
i να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης Ρ διέρχεται από το σημείο Α(1-3)
ii να βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης Ρ με την ευθεία y=-3
iii να βρείτε τα διαστήματα του x στα οποία η γραφική παράσταση της συνάρτησης Ρ
βρίσκεται κάτω από την ευθεία y=-3
8 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
41 Δίνεται το πολυώνυμο 4 3 28 5 1 8 3 6 αx x x x x
α) Να γίνει η διαίρεση του Ρ(x) δια του x2 ndash 1 και να γράψετε τη σχετική ταυτότητα
β) Να βρείτε τη τιμή του α ώστε η παραπάνω διαίρεση να είναι τέλεια
γ) Για 3 να βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης Ρ(x) = 0 καθώς και τα διαστήματα στα οποία η
γραφική παράσταση της πολυωνυμικής συνάρτησης Ρ(x) είναι κάτω από τον άξονα x΄x
42 Έστω ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου Ρ(x) με το x2 + 2x είναι 3x - 2
α Να γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης
β Να βρείτε τα Ρ(0) και Ρ(-2)
γ Αν το πολυώνυμο Ρ(x) είναι βαθμού 3 και το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ(x) με το x2 ndash 2
είναι 2x -1 να βρείτε
i το βαθμό του πηλίκου της διαίρεσης του πολυωνύμου Ρ(x) με το x2-2
ii το πολυώνυμο Ρ(x)
43 Δίνονται τα πολυώνυμα Ρ(x) και Q(x) = x3 ndash 4x Αν η πολυωνυμική συνάρτηση Ρ(x) είναι
περιττή και το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ(x) με το x-2 είναι3
α) Να δείξετε ότι Ρ(0) = 0
β) Να βρείτε το Ρ(-2)
γ) Να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ(x) με το x3 ndash 4x
44 Αν για το πολυώνυμο Ρ(x) ισχύει P(x)-2P(1-x) = 4x2-1 να βρείτε
α) τα Ρ(0) και Ρ(1)
β) το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ(x) με το πολυώνυμο 2x2 ndash 2x
45 Έστω τα πολυώνυμα Ρ(x) και Q(x) = Ρ2 (x) - 4Ρ(x) + x2 +1
α)Αν το άθροισμα των συντελεστών του Ρ(x) είναι 3 να βρείτε το άθροισμα των συντελεστών
του Q(x)
β) Να δείξετε ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης του Q(x) με το x - 2 είναι θετικός αριθμός
46 Έστω Ρ(x) πολυώνυμο 3ου βαθμού το οποίο διαιρείται με το 2x 1 έχει ρίζα το 0 και του
οποίου το άθροισμα των συντελεστών είναι ίσο με 2
α) Να αποδείξετε ότι 3(x) x x
β) Να λύσετε την ανίσωση 3 2
2 2 2x x x
47 Δίνεται το πολυώνυμο P(x)=x(x2
+λ) +κx2
+5 με παράγοντα το x-1 και P(-2)=3
α) Να βρείτε τα κ λ
β) Αν κ=-1 και λmdash5
i Να λύσετε την εξίσωση P(x)=0
ii Nα λύσετε την ανίσωση P(x)8
48 Αν το πολυώνυμο Ρ(x) = α3x3 + 5α2x2 - 10αx - 104 έχει παράγοντα το x - 2
α) Να βρείτε το α
β) Για την μεγαλύτερη τιμή του α να λύσετε την ανίσωση Ρ(x) gt 0
49 Δίνεται το πολυώνυμο P(x)=x3+αx-α +β
α) Αν έχει παράγοντες το x-2 και το x να δείξετε ότι α=β=-4
β) Για τις παραπάνω τιμές των α και β να λυθεί η εξίσωση Ρ(x)=0
γ) Να λυθεί η ανίσωση Ρ(x)gt0
9 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
50 Δίνεται το πολυώνυμο 3 2( ) 2 9 10 3P x x x x
α) Να γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης με το 2x+1
β) Να λύσετε την ανίσωση P(x) le 0
51 Δίνεται το πολυώνυμο 20 30
10 20 30P x x x x
α) Να βρείτε το βαθμό του
β) Να λύσετε την εξίσωση 0P x
γ) Να λύσετε την εξίσωση 10P x x
δ) Να λύσετε την ανίσωση 0P x
52 Έστω η συνάρτηση f(x) = 2
3 2
3 3 6
2 3 3 2
x x
x x x
α)Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f
β) Να απλοποιήσετε τον τύπο της f
γ) Να βρείτε τα διαστήματα του x που η γραφική παράσταση της f βρίσκεται κάτω από τη
γραφική παράσταση της g(x) =x2
53 Δίνεται η συνάρτηση f(x)=x3-6x2+11x-6
α Να βρεθούν τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f(x) με τον άξονα χ΄χ
β Να βρεθούν τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της f(x) είναι πάνω από
τον άξονα χ΄χ
54 Αν το πολυώνυμο x2 - 2 διαιρεί το πολυώνυμο Ρ(x) = x3 ndash 2x2 - αx + β
α) Να βρείτε τα α και β
β) Να βρείτε τα διαστήματα του x που η γραφική παράσταση της πολυωνυμικής συνάρτησης
Ρ(x) δεν βρίσκεται πάνω από τον άξονα χχ
55 Έστω το πολυώνυμο Ρ(x) = x5 + 3x2 + αx + β Αν το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ(x) με το x2-2
είναι το υ(x) = 5x + 8
α) Να βρείτε τα α και β
β) Να βρείτε το πηλίκο της διαίρεσης του Ρ(x) με το x2 - 2
γ) Να βρείτε τα διαστήματα του x που η γραφική παράσταση της πολυωνυμικής συνάρτησης
Ρ(x) βρίσκεται πάνω από την ευθεία y = 5x + 8
56 Έστω το πολυώνυμο Ρ(x) = x3-αx-2 αR Αν το Ρ(x) έχει ρίζα άρτιο θετικό ακέραιο τότε
α) να βρείτε το α
β) για α = 3 να βρείτε τις τιμές του λ ώστε για το υπόλοιπο υ της διαίρεσης του Ρ(x) με το x + λ
να ισχύει υ gt -4
57 Έστω το πολυώνυμο Ρ(x) = x4 - αx3 + βx2 - 2 α β RΑν το Ρ(x) έχει ρίζες δύο περιττούς
ακέραιους
α) να βρείτε τα α και β
β) να λύσετε την ανίσωση Ρ(x) ge 0
10 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
58 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης 3 2f (x) x x 2 x 2 3 διέρχεται από τα
σημεία Α(16) και Β(-112)Να βρείτε
α) Να βρείτε τους αριθμούς λ και μ
β) τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τους άξονες
59 Δίνεται η συνάρτηση 3 2( ) 2 9 18f x x x x Να βρεθούν οι τιμές του x για τις οποίες η
γραφική παράσταση της f(x)
α) βρίσκεται πάνω από τον άξονα χ΄ χ
β) βρίσκεται κάτω από τον άξονα χ΄ χ
60 Δίνεται το πολυώνυμο 3 2( ) ( 1) 3 2 6P x ax x x όπου α β πραγματικοί αριθμοί
α)Αν ο αριθμός 1 είναι ρίζα του πολυωνύμου Ρ(x) και το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ(x) με το
x+1 είναι ίσο με 2 να βρείτε τα α και β
β) Aν α=2 και β=4 να βρείτε
i) τα σημεία στα οποία η πολυωνυμική συνάρτηση Ρ(x) τέμνει τον άξονα χ΄χ
ii) τα διαστήματα στα οποία βρίσκεται πάνω από τον άξονα χ΄χ
61 Δίνεται το πολυώνυμο 3 2( ) 3 (2 1) 2P x x ax x όπου α β πραγματικοί αριθμοί
α) Αν ο αριθμός 1 είναι ρίζα του πολυωνύμου Ρ(x) και το υπόλοιπο της διαίρεσης του
Ρ(x) με το 1x είναι ίσο με 20να βρείτε τα α και β
β) Aν α=8 και β=4 να βρείτε
i) τα σημεία στα οποία η πολυωνυμική συνάρτηση Ρ(x) τέμνει τον άξονα χ΄χ
ii) τα διαστήματα στα οποία βρίσκεται κάτω από τον άξονα χ΄χ
62 Δίνεται το πολυώνυμο 3 2( ) ( 3) (2 1) 2P x x a x x όπου α β πραγματικοί αριθμοί
α) Αν ο αριθμός 2 είναι ρίζα του πολυωνύμου Ρ(x) και το υπόλοιπο της διαίρεσης του
Ρ(x) με το 1x είναι ίσο με -18να βρείτε τα α και β
β) Aν α=2 και β=7
2
i) Να λυθεί η εξίσωση Ρ(x) =0
ii) Να γίνει η διαίρεση του Ρ(x) με το πολυώνυμο x2+1 και να γραφεί το Ρ(x) με την
ταυτότητα της ευκλείδειας διαίρεσης
iii) Να λυθεί η ανίσωση ( ) 7 1P x x
63 Έστω πολυώνυμο P(x)=x3+αx2+βx+4 με αβ R το οποίο έχει παράγοντες τους x+1x-2
α) Να αποδείξετε ότι α=-3 και β=0
β) Για τις παραπάνω τιμές των α β να λύσετε την εξίσωση P(x)=0
γ) Έστω C η γραφική παράσταση συνάρτησης f(x)=P(x) με α=-3 και β=0 να βρείτε
i το σημείο τομής της C με τον άξονα y΄y
ii τις τιμές του x για τις οποίες ή C είναι πάνω από τον χ΄χ
64 Δίνεται το πολυώνυμο P(x) βαθμού 2 για το οποίο ισχύει
3 28( 1) ( ) (2 3) 52 8 6 16x P x x P x x x x για κάθε x
Αν το υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x) με το x-1 είναι 2
α) Να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x) με το πολυώνυμο 2
x 6x 5
β)Αν το πηλίκο της διαίρεσης του P(x) με το πολυώνυμο 2
x 6x 5 είναι το Π(x)=x+4
i Να βρεθούν τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης P(x)
11 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
α) με τον άξονα y΄y
β) με την ευθεία y=2
ii Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της συνάρτησης P(x)
είναι πάνω από την ευθεία y=2
65 α) Να λυθεί η εξίσωση y6-3y2+2 = 0
β) Να λυθεί η εξίσωση ημ6x = 1 - 3συν2x
66 Δίνεται η συνάρτηση f(x) =3
32 3
xx
x
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f
β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) =3
67 Αν το πολυώνυμο Ρ(x) = (3α - 1)x3 + x2ημπθ +1 θ (0 1) έχει θετικούς ακέραιους
συντελεστές και αρνητική ακέραια ρίζα
α να βρείτε τα θ και α
β για α = 1 και θ = 12 να βρείτε το λ ώστε το Ρ(x) να έχει παράγοντα το x + λ
ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ-ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
68 Δίνεται η συνάρτηση 1
( ) 3
x
f x
όπου x πραγματικός αριθμός
α) Να βρείτε για ποιες τιμές του ορίζεται η ( )f x
β) Να βρείτε για ποιες τιμές του η ( )f x είναι γνησίως αύξουσα
γ) Αν 7 να λύσετε την εξίσωση ( ) (2 ) 2f x f x
69 Να προσδιορισθεί ο αR ώστε η συνάρτηση 1 2
( )3
x
f x
α) να ορίζεται σε όλο το R
β) να είναι γνησίως αύξουσα στο R
γ) να είναι γνησίως φθίνουσα στο R
δ) να είναι 1-1
70 Δίνεται η συνάρτηση ( )1
x
f x
για κάθε x
α) Να βρείτε τις τιμές του ώστε η συνάρτηση f να είναι γνησίως αύξουσα
β) Αν η f είναι γνησίως αύξουσα και (2) 4f
i Nα υπολογίσετε το α
ii Για 2a να λύσετε την ανίσωση ( 1) 8f x
71 Δίνεται η συνάρτηση 6
( )4 9
x
x xf x
για κάθε x
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f
β) Nα αποδείξετε ότι η f είναι άρτια
12 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
γ) Να λυθεί η εξίσωση 12
( ) (0)13
f x f
72 Δίνεται η συνάρτηση ( ) 3 2 3 2x x
f x για κάθε x
α) Να αποδείξετε ότι η f είναι περιττή
β) Nα λυθεί η εξίσωση ( ) 4 6f x
γ) Να βρείτε τα διαστήματα του x για τα οποία η γραφική παράσταση της ( ) ( 2014)g x f x
δεν βρίσκεται πάνω από τον άξονα χ΄χ
73 Δίνεται η συνάρτηση 1 2
2 2 24( )
4 6 2 8
x x
x xf x
για κάθε x
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f
β) Nα δείξετε ότι 6
( ) 122 2
xf x x R
γ) Nα λυθεί η ανίσωση 3
( )7
f x
δ) Να βρείτε τις τιμές του έτσι ώστε η συνάρτηση ( ) ( )x
g x f a να είναι σταθερή στο
R
ε) Να λυθεί η εξίσωση h(x)+3h(x+1)=-f(3) όπου 6
( )( )
h xf x
74 Δίνεται η συνάρτηση 2
( )1
x
f x
α) Να μελετηθεί η f ως προς την μονοτονία για τις διάφορες τιμές του
β) Αν λ=1 να λυθεί η ανίσωση 2
2
2( )
3 4 2f x
γ) Αν 1 1
3 3
να λυθεί η ανίσωση 2 1(e 2 ) ( 2 )
x x x xf f e
δ) Να βρείτε τις τιμές το λ αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f διέρχεται από το σημείο
Α(f(0)3)
ε) Για λ=0 να βρείτε τα σημεία τομής των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων g και
h όπου ( ) 3 ( 1) 4g x f x ( ) (2 3) 5h x f x
στ) Για λ=0 να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης 2
( 4)( ( ) 4)(x)
(3 3 )( ( ) 2)x
x f x
e f x
75 Δίνεται η συνάρτηση ln3
f x x k
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της
β) Αν 2
ln 16
f
να βρείτε το k
γ) Αν 1k τότε
i να λύσετε την εξίσωση ln 2ln 2 ln36
x f f
13 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
ii να λύσετε την εξίσωση 1 1f x f x
e e
76 Δίνεται η συνάρτηση 1 ln 0 f x x x x
α) Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης f τέμνει τον άξονα
x΄x στο σημείο 10A
β) Να λύσετε την ανίσωση 2 51
x xf e e x
γ) Αν 0 1 x να δείξετε ότι 0f x
δ) Να δείξετε ότι για κάθε 02
ισχύει ότι ln
e
77 Δίνεται η συνάρτηση 2
2
x 68f (x) ln
100 x
α Να βρείτε το πεδίο ορισμού της
β Να λύσετε την εξίσωση f (x)e log50 log5
γ Να λύσετε την ανίσωση f(x) ge 0
78 Δίνεται η συνάρτηση 21( ) 2ln 4ln 1 0
4f x x a x a a
α Να βρεθεί ο πραγματικός αριθμός α ώστε η εξίσωση f(x)=0 να έχει διπλή ρίζα
β Να λυθεί η εξίσωση 2(0) ln 2ln 4f a a
γ Να λυθεί η ανίσωση 2( 2)ln( 2 )
8
afa e a a
79 Δίνεται η συνάρτηση 2x xf x ln e 4e 3 της οποίας η
γραφική παράσταση φαίνεται στο διπλανό σχήμα
α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της f
β) Να βρεθεί το σημείο τομής της γραφικής παράστασης της f
με τον άξονα x x
γ) Να δικαιολογήσετε (αλγεβρικά) γιατί δεν υπάρχει σημείο της
γραφικής παράστασης της f που να βρίσκεται πάνω από τον
άξονα x x
80 Δίνεται η συνάρτηση 2log 11 9 18 2log 1 f x x x x
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της
β) Να βρείτε τα σημεία στα οποία η γραφική παράσταση της f τέμνει τους άξονες
81 Δίνεται η συνάρτηση log log 1f x x
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f
β) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τον άξονα χ΄χ
γ) Να λύσετε την ανίσωση 0f x
δ) Να αποδείξετε ότι 3 101 2 1001 10001 log18f f f
14 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
82 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = ln(ex - 1)
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f
β) Να βρείτε τα διαστήματα που η γραφική παράσταση της συνάρτησης f βρίσκεται πάνω από
τον άξονα χ χ
γ) Να συγκρίνετε τους αριθμούς f(ln2) και f(l)
δ) Να λυθεί η εξίσωση f(2x)-f(x) = f(1)
83 Δίνεται η συνάρτηση f(x)=ln(ex-2)-ln(ex-1)
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f
β) Να αποδείξετε ότι f(x)=ln (1-1
1xe
)
γ) Να λύσετε την εξίσωση f(x)=-ln2
δ) Nα αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f δεν τέμνει την ευθεία με εξίσωση y=x
84 Δίνονται οι συναρτήσεις f g με τύπους f(x) = ln(ex minus 1 ) και g(x) = ln(ex + 2)
α Να βρείτε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων f και g
β Να συγκρίνετε τις τιμές f(ln2) και g( minus1)
γ Να λύσετε την εξίσωση x + f(x) = ln2 + g(x)
85 Έστω η συνάρτηση f(x) = k +log(x2-3) k
α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f
β) Να υπολογίσετε την τιμή του k ώστε f(2)= log100
γ) Για k=2
i Nα βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με την ευθεία
1
log1000
y
i i Nα λυθεί η ανίσωση f(x) gt2
86 Δίνονται οι συναρτήσεις 22log 2 1 log 3 2f x x x x και log 4 3 logg x x x
α) Να βρείτε το πεδίο των συναρτήσεων fg
β) Να βρείτε τα σημεία τομής των γραφικών τους παραστάσεων
γ) Να λύσετε τις εξισώσεις i 0f x και ii 0g x
δ) Να αποδείξετε ότι 2 2log 2 1g
87 Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο 1 1
f(x)= +1+lnx 1-lnx
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού Α της συνάρτησης
β) Να αποδείξετε ότι για κάθε xΑ ισχύει 1
f(x)=fx
γ) Να λύσετε την ανίσωση 1
f(x)+f gt4x
88 Α Να λύσετε την εξίσωση y3 + y - 2 = 0 (1)
15 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
Β Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f (x) = 27x + 1
2middot 12x lnα2 -2∙8x lnα διέρχεται από
την αρχή των αξόνων
α να αποδείξετε ότι α = e
β να βρείτε το διάστημα που η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τον άξονα xx
89 Δίνονται τα πολυώνυμα Ρ(x) = (α - ln2)x3 - (2e - β)x + 3
ln2
Q(x) = (1 ndash lnβ)x3 - (2e - 2)x + 3
ln2
Αν τα πολυώνυμα Ρ(x) και Q(x) είναι ίσα
α Να βρείτε τα α και β
β να αποδείξετε ότι Ρ(-1)gt0
90 Έστω το πολυώνυμο Ρ(x) = x3lnα + (2 - lnα)x2 + αlnβx +1 έχει θετικούς ακέραιους συντελεστές
και αρνητική ακέραια ρίζα
α Να βρείτε τα α και β
β Για α = e και β = 1 να βρείτε τα διαστήματα του x που η γραφική παράσταση της συνάρτησης
f(x) = P(ex) βρίσκεται κάτω από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης g(x) = ex + 3
91 Δίνεται η συνάρτηση f(x)= αlnx +β
α) Να βρείτε τις τιμές των α β R αν γνωρίζετε ότι η γραφική της παράσταση
διέρχεται από τα σημεία Α(10) και B(e2)
β) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f
γ) Να λυθεί η εξίσωση f(x)+f(2x)=61n2
δ) Να λυθεί η ανίσωση f(2x+1)gt f(x)
ε) Να λυθεί το σύστημα x y
f (x) f (y) 2
e e
92 Έστω η συνάρτηση f (x) = x -1 + 2ln(αx) x gt0
Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f διέρχεται από το σημείο Α(1 0)
α) να βρείτε το α
β) να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο (0+)
γ) να λύσετε την ανίσωση f(x) gt 0
93 Δίνεται η συνάρτηση 2
1( )
1
nxf x
n x
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f(x)
β) Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τον χ΄χ
γ) Να βρείτε τα σημεία τομής της Cf με την ευθεία y =1
94 Δίνεται η f( x ) = log ( 102x ndash 10x )
α) Να δειχθεί ότι το πεδίο ορισμού της f είναι το Α=( 0 + )
β) Να δειχθεί ότι f( x ) = x + log ( 10x ndash 1 )
γ) Να λυθεί η εξίσωση f( x ) = x
δ) Να λυθεί η ανίσωση f( x ) le x + 2log 2
16 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
95 Δίνεται η συνάρτηση 2( ) 5 6
x xf x n e e
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f(x)
β) Να λύσετε την ανίσωση ( ) 2f x n
γ) Να λύσετε την εξίσωση ( ) 2 f x x n
96 Δίνεται η συνάρτηση f(x)=ln(3e2xshyex-2)
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f
β) Να βρείτε την τεταγμένη του σημείου της γραφικής παράστασης με τετμημένη ln2 και να
βρείτε τη θέση του σημείου ως προς τον άξονα χ΄χ
γ) Να λυθεί η εξίσωση f(x)=3x ως προς x
97 Δίνεται η συνάρτηση 1
( )1
x
x
ef x a
e που η γραφική της παράσταση διέρχεται από το σημείο
A(ln2 3)
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f
β) Να αποδείξετε ότι α = 1
γ) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι περιττή
δ) Να λυθεί η ανίσωση f(x) gt 2
98 Δίνεται η συνάρτηση
11 2log( 1)
log( 1) 2( ) 10 100 80x
xf x
α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της
β) Να λυθεί η εξίσωση f(x) = 10
γ) Να βρείτε τα κοινά σημεία της ψ = f(x) με την ευθεία ψ = x-20
99 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = α + ln(ex - 2)
Α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f
Β) Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f διέρχεται από το σημείο A(ln3 1) middot
α) να αποδείξετε ότι α = 1
β) να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τον άξονα xx
γ) να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα
100 Δίνεται η συνάρτηση
ln 3 11( )
ln 5
xf x
x
α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της
β) Να λυθεί η εξίσωση f(x) = 2
γ) Αν x gt 6 να λύσετε την ανίσωση f(x) gt 1
101 Δίνεται η συνάρτηση ln 1
( )ln 2
xg x
x
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης ( ) ( )f x g x
β) Να βρείτε αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f τέμνει και σε ποια σημεία τους
άξονες χ΄χ και y΄y
γ) Να λύσετε την εξίσωση ( ) 1x
f e
17 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
102 Δίνεται η συνάρτηση f(x)=2(x-1)+lnx
α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της
β) Να δείξετε ότι το 1 είναι ρίζα της εξίσωσης f(x)=0
γ) Να λυθεί η εξίσωση f(x)=2(x-1)+(lnx)2
103 α) Δίνεται η συνάρτηση f (x) = 3x + 2x + lnx ndash 5Να βρείτε το f(1) και να δείξετε ότι η f είναι
γνησίως αύξουσα
β) Να λύσετε την εξίσωση 2x+ lnx = 5-3x
γ) Να λύσετε την ανίσωση 3x + lnx lt 5-2x
104 Δίνεται η συνάρτηση f (x) = 2ln 1 x x
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f
β) Να δείξετε ότι για κάθε x R f(x) + f(- x) = 0 και ότι η συνάρτηση f είναι περιττή
γ) Να συγκρίνετε τους αριθμούς f(0) και f(- 1)
δ) Να λύσετε την ανίσωση f(ex) gt x + ln3
105 Δίνεται η συνάρτηση 3
ln3
xf x
x
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f
β) Να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι περιττή
γ) Να συγκρίνετε τους αριθμούς f(0) και 1
3f
δ) Να λύσετε την εξίσωση 1 0f x f x
106 Δίνονται οι συναρτήσεις 2
2
100 10( ) ( )
10100
x xf x og g x og
xx
α) Να δείξετε ότι η f είναι άρτια και η g περιττή
β) Να βρείτε τα κοινά σημεία των γραφικών τους παραστάσεων
γ) Να λυθεί η ανισότητα f(x)gt0
107 Δίνεται η συνάρτηση f (x) = ln 9 3 x x xe
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f
β) Να δείξετε ότι f(1)lt0
γ) Να βρείτε τα διαστήματα του x που η Cf είναι πάνω από την ευθεία ε y= 2x + ln2
108 Δίνεται η συνάρτηση f (x) = 2x + 6x - 40
α) Να βρείτε το f(4)
β) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα
γ) Να λύσετε την εξίσωση f(x) =0
109 Έστω η συνάρτηση f (x) = 3x + 2ex-κ -1 που η γραφική της παράσταση διέρχεται από το
σημείο Α(0 1)
α) Να βρείτε το κ
β) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα
γ) Να λύσετε την εξίσωση 3x + 2ex = 2
δ) Να λύσετε την ανίσωση 3x + 2ex gt 2
18 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
110 Δίνεται η συνάρτηση f (x) = (ln 1)x
a
α) Να βρείτε τις τιμές του α για τις οποίες
i η συνάρτηση f ορίζεται σε όλο το R
ii η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα
β) Για α = e3 να λύσετε την εξίσωση ln 2 ln 1 f εφx f σφx
111 Δίνεται η συνάρτηση 1
ln5
x
f x
α) Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες η συνάρτηση f ορίζεται σε όλο το
β) Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα
στο
γ) Αν 11 να λύσετε την εξίσωση f f 1 6x x
112 Δίνεται η συνάρτηση f με f(x) = x + ln(ex - 3)
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της
β) Να δείξετε ότι f(ln4) lt f(ln5)
γ) Να λύσετε την ανίσωση f(x) gt lη2 + ln(ex - 2)
113 Δίνεται η συνάρτηση ( ) ln( 1) x
f x x e
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της
β) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα
γ) Να συγκρίνετε τους αριθμούς log 2f και log5f
δ) Να βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f και της ευθείας
ln 2y
114 Δίνεται η συνάρτηση 4 2
log 8 log log 100 0f x x x x x
α) Αν f(10)=25 να δείξετε ότι α = 1
β) Για την τιμή α = 1 να
i δείξετε ότι η f(x) γράφεται στη μορφή 2
2log 4 logf x x x
ii να λύσετε την εξίσωση f(x) = 0
115 Δίνονται οι συναρτήσεις ln x
f x e e και 1ln 2 2
xg x e
α) Να βρείτε το πεδίο των συναρτήσεων fg
β) Να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των fg δεν τέμνονται
γ) Να λύσετε την ανίσωση 1f x
116 Δίνονται οι συναρτήσεις x xf(x) ln e e
και x
g(x) ln ln e
α) Να βρείτε τα πεδία ορισμού των f(x) και g(x)
β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = g(x)
γ) Να λύσετε την ανίσωση f(x) gt 2g(x
117 Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) = ln(e2x-ex-2) και g(x) = ln2+ln(ex-l)
α) Να βρείτε τα πεδία ορισμού των f(x) και g(x)
β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = g(x)
γ) Να λύσετε την ανίσωση f(x) gt g(x)
19 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
118 Δίνεται η συνάρτηση 2
1ln
5
x
x
ef x
e
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f(x)
β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = 2ln2
γ) Να λύσετε την ανίσωση f(x) gt 0
119 Έστω η συνάρτηση f(x) = log(225x-54x) και η ευθεία ε y = x + log3
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f
β) Να βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της f και της ευθείας ε
γ) Να δείξετε ότι το σημείο Α3 3
2 2
f βρίσκεται πάνω από το σημείο Β με τετμημένη 3
2
της ευθείας ε
120 Δίνονται οι συναρτήσεις ( ) ln 2 3 xf x και ( ) ln(2 3) xg x
α) Να βρείτε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων f και g
β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = g(x)
γ) Να συγκρίνετε τους αριθμούς f(3) και g(3)
121 α) Να δείξετε ότι ln ln a για κάθε α β gt 0
β) Να λυθεί η ανίσωση 1
lnln 22 2 1
xx
γ) Έστω η συνάρτηση f(x) = ln xa Να βρείτε το α ώστε 5f (3) - 3f (5) gt 0
122 Δίνεται το πολυώνυμο 2 1 4 3 2 2( ) 1 ln ln 1f x e x x x x θ (0 π) το
οποίο είναι 3ου βαθμού και διαιρείται με το x-1
α) Να αποδείξετε ότι θ = 2
3
και κ =
1
e
β) Να αποδείξετε ότι το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης [f(x)x2] είναι το ίδιο
γ) Να βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της πολυωνυμικής συνάρτησης f(x)
με την ευθεία (ε) y = 5x-5
ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ
123 Δίνεται το σύστημα 2x y 7
7x 2y 11
α) Να βρείτε τη λύση (x0y0) του συστήματος
β) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης 2f (x) x x έχει κορυφή το σημείο Κ(x0y0)
i) να βρείτε τους αριθμούς β και γ
ii) να λύσετε την ανίσωση f (x) 0
iii) να λύσετε το σύστημα y f (x)
x y 6
20 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
124 Το σύστημα ( 1)x 8y 4
x ( 3)y 3 1
έχει τη μοναδική λύση (x0y0) για την οποία ισχύει
0 0x y 1
α) Να βρείτε τον αριθμό λ
β) Δίνεται η συνάρτηση 2f (x) x 2 x 6
i Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η Cf είναι πάνω από τον χ΄χ
iiΝα λύσετε το σύστημα y f (x)
2y f (x 1) 10x
125 Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f με f (x) = α + βσυν2x διέρχεται από τα σημεία
Α(0 1) και Β 24
π τότε
α) να βρείτε τα α και β
β) να βρείτε την f
γ) να δείξετε ότι η Cf έχει άξονα συμμετρίας τον yy
δ) να δείξετε ότι f (-x) - f4
πx = ημ2x - συν2x
126 Δίνεται το πολυώνυμο f (x) = 2x3 middot συν2θ - x3ημθ - x2 + 3eλ - 2
Αν το πολυώνυμο έχει παράγοντες τους x και x - 1
α) να βρείτε τους λ και θ θ [0 2
π]
β) να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του πολυωνύμου Ρ(x) με το x - 1 όπου
P(x) = x∙f(3x-2) + (2-3x)21
γ) να βρείτε τα διαστήματα που η γραφική παράσταση της συνάρτησης f βρίσκεται κάτω από
τον άξονα χ χ
127 Δίνεται η πολυωνυμική συνάρτηση f(x) = 8x3-4x2 + 2x-l
α) Αν το πολυώνυμο Ρ(x) έχει παράγοντα το x - συνθ θ 02
π να βρείτε το θ
β) Να λύσετε την ανίσωση f(lnx) lt 0
γ) Να βρείτε τα διαστήματα του χ που η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από την
ευθεία y = 10x - 5
128 Θεωρούμε το πολυώνυμο 3 2( ) ( ) 2 1P x x x x
α) Αν έχει παράγοντα το 2
1x να βρείτε τα και
β) Για τις τιμές των και που βρήκατε να λύσετε την ανίσωση ( ) 0P x
γ) Για τις ίδιες τιμές των και να λύσετε την εξίσωση ( ) 0P x
129 Δίνεται το πολυώνυμο 3 2 P x x x x α β Αν το υπόλοιπο της διαίρεσης
2 2P x x x είναι (x) 9x 3 τότε
α) να αποδείξετε ότι 3 και 3
β) να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της πολυωνυμικής συνάρτησης
P(x) βρίσκεται κάτω από τον άξονα xrsquox
21 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
γ) να λύσετε την ανίσωση 10 2 0xP
130 Δίνεται το πολυώνυμο P(x) = x4 +αx3 +βx2 ndash2x + 4 όπου α βIR Το P(x) έχει παράγοντα το
x ndash 1 και το υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x) με το x + 1 είναι το 6
α) Να δείξετε ότι α = ndash1 και β = ndash2
β) Να λύσετε την εξίσωση P(x) = 0
γ) Να λύσετε την ανίσωση P(x) gt 0
δ) Να λύσετε την εξίσωση συν4x ndashσυν3x + 2ημ2x ndash2συνx + 2 = 0 στο διάστημα [ndashπ
2 π)
131 Δίνεται το πολυώνυμο 3 2 1P x x x x που έχει παράγοντα το 1x και το
υπόλοιπο της διαίρεσης του με το 1x είναι 8
α) Να αποδείξετε ότι 2 και 7
β) Να λύσετε την ανίσωση 0x
γ) Αν 2
x
να λύσετε την εξίσωση 3 22 7 2 3 0
132 To πολυώνυμο f(x)=x3+2αx2-βx-1 έχει παράγοντα το x-1 και το υπόλοιπο της διαίρεσης
f (x) (x 1) είναι 4
α) Να βρείτε τις τιμές των α β R
β) Να βρεθούν τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της
f(x) βρίσκεται κάτω από τον άξονα χ΄χ
γ) Να λύσετε την εξίσωση 2x x1e e
2
133 Δίνεται το πολυώνυμο 3 22 7P x x x x το οποίο έχει παράγοντα το 1x και το
υπόλοιπο της διαίρεσης του με το 1x είναι 18
α) Να αποδείξετε ότι 7 και 2
β) Να λύσετε την εξίσωση 3 22 2 7 2 7 2 2 0x x x
γ) Να λύσετε την ανίσωση 2 8 7 4 7 2 2 0x x x
134 Δίνεται το πολυώνυμο 3 2( ) (log 2) log 0P x x x k x k k
α) Να αποδείξετε ότι το 1x είναι παράγοντας του ( )P x
β) Να βρείτε τις τιμές του k για τις οποίες το πολυώνυμο ( )P x έχει τρεις
πραγματικές ρίζες
γ) Για 10k να λύσετε
i την ανίσωση ( ) 0P x
ii την εξίσωση 2( ) [0 ]P x x x
135 Δίνεται το πολυώνυμο
4 3 22ln 1 2 0 0 x x x x x x
α) Αν το πολυώνυμο x είναι 3ου βαθμού και έχει παράγοντα το 1x να βρεθούν τα
β) Αν 3 2 1x x x x x να βρεθούν οι τιμές του x για τις οποίες ισχύει
0x
22 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
γ) Να λυθούν
i η εξίσωση 2 0 0 ό
ii η ανίσωση 2 ln 0
136 Δίνεται η συνάρτηση log 2 4 5 2 2x xf x
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f
β) Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τον
άξονα χ΄χ
γ) Να λύσετε στο διάστημα 0 2 την εξίσωση 2 0f x
137 Έστω η συνάρτηση ( ) ln 2 xf x ημ
α) Να αποδείξετε ότι η f είναι περιττή
β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = 0 στο (- π π)
138 Έστω η συνάρτηση f(x) = ημx + ex - 1
α) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο Α= 2 2
π π
β) Να βρείτε το f(0)
γ) Να λύσετε
i την εξίσωση ημx + ex=1 στο 2 2
π π
ii την ανίσωση ημx + ex lt1 στο 2 2
π π
139 Έστω η συνάρτηση f (x) = (3 ndash 2lnα)x
α) Να βρείτε το α ώστε η συνάρτηση f να ορίζεται σε όλο το R
β) Να βρείτε το α ώστε η συνάρτηση f να είναι γνησίως φθίνουσα
γ) Για α = e να λύσετε την εξίσωση f(2συν2θ)-f(2ημ2θ) = 3
140 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = (2lnα - 1)x
α) Να βρείτε τις τιμές του α R για τις οποίες η συνάρτηση f ορίζεται σε όλο το R
β) Να βρείτε τις τιμές του α R για τις οποίες η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα
γ) Αν α = e2 να βρείτε το θ ώστε 2 2 2 4( ) ( )
3 f συν θ ημ θ f συν θ
141 Δίνεται η συνάρτηση 2
log logf x x x
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f
β) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τον άξονα χ΄χ
γ) Να λύσετε την εξίσωση 0f x
δ) Αν για τους θετικούς αριθμούς α β με ισχύει ότι f f να αποδείξετε ότι
10000
142 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = log(4x ndash 2)
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f και να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f έχει
μοναδικό κοινό σημείο με την ευθεία y = 1 ndash log5
23 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
β) Να λύσετε την ανίσωση 1
-12
4 64 - 2 0
5 5
xx
γ) Να λύσετε την εξίσωση f(x) + f(2
x) = 1 + log
1-
124 6
4 - 25 5
xx
δ) Να λύσετε την εξίσωση ημ2x = f(5
2) + f(1) ndash f(
3
2)
143 Δίνεται το πολυώνυμο 1
4 2 1 3 225 2 3 25 1 λf x x x x x
α) Αν το (x ndash 1) είναι παράγοντας του f(x) να βρείτε το λ
β) Για 1
2
i να δείξετε ότι το (x -1)2 είναι παράγοντας του f(x)
ii να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τον
άξονα x΄x
144 Δίνεται το πολυώνυμο Ρ(x) = (21lnκ - 1)x4 + x3 + (e - 1)x2 ndash e∙x +1 + 2ημθ θ (0 2π)
Αν το πολυώνυμο Ρ(x) είναι 3ου βαθμού και έχει παράγοντα το x - 1
α) να βρείτε τα κ και θ
β) να λύσετε την ανίσωση Ρ(x) lt 0
γ) να βρείτε τα διαστήματα που η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) με
f(x) = e3x+(e-1)e2x-ex+1 βρίσκεται κάτω από τον άξονα χ χ
145 Δίνεται η συνάρτηση ln ln 3
( )ln ln
x
f x
με 3lt α lt β η οποία είναι γνησίως φθίνουσα στο
σύνολο των πραγματικών αριθμών
α) Να συγκρίνετε τους αριθμούς ln και ln
β) Να αποδείξετε ότι 23
γ) Αν 6 και 24 τότε
i) να αποδείξετε ότι 1
( )2
x
f x
ii) να αποδείξετε ότι για κάθε ισχύει η ανισότητα 22
f f f
δ)Να λυθεί η εξίσωση 2 2( ) ( ) 3f x f x
146 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x - 1 + lnx x gt 0
α) Να δείξετε ότι για κάθε x με 0 lt x lt 1 f(x) lt 0
β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = x-1-ln2x
γ) Να λύσετε την ανίσωση f (ex) gt x + 2x -1
δ) Να δείξετε ότι για κάθε θ 02
lne
147 Δίνεται το πολυώνυμο f(x) όπου f(x) = x3-2x2lnα2 + 5xlnα-2 αgt0
α) Αν το x-1 είναι παράγοντας του f(x) τότε να βρείτε το α
β) Για α = e
24 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
i να δείξετε ότι το (x-1)2 είναι παράγοντας του πολυωνύμου f(x)
ii να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της πολυωνυμικής
συνάρτησης f(x) βρίσκεται κάτω από τον άξονα χ χ
148 Έστω η συνάρτηση f(x) = ln(2 - ex)
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f
β) Έστω ότι ο αριθμοί α = 2x β = f(x) γ = ln4 είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου
i Να βρείτε το x
ii Αν ο αριθμός α είναι ο 3ος όρος της αριθμητικής προόδου να βρείτε ποιος όρος της προόδου
ισούται με 2ln2 + 5ln3
149 Δίνεται το πολυώνυμο Ρ(x) = x3 +x2 + x + 2λ2 ndashλ +1
α) Να αποδείξετε ότι η διαίρεση Ρ(x) (x -1 ) δεν είναι τέλεια
β) Αν υ(λ) το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ(x) (x -1 ) να βρεθεί το λ ώστε το υ(λ) να γίνεται
ελάχιστο και την ελάχιστη τιμή του υ(λ)
γ) Για την τιμή του λ που το υ(λ) γίνεται ελάχιστο
i να λύσετε την εξίσωση 425x-2λ-16x-2λ=48λx
ii να λύσετε την εξίσωση
2ln x 1ln
21
4 5 x2
αφού πρώτα αποδείξετε ότι
ln x ln 22 x
δ) Να λύσετε την ανίσωση 8 x 4 x 4 x 1 4 x 13 9 11 4 4
150 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = log(e2x-kex +λ) με f(0) = log2 f(ln6) = log12
α) Να δείξετε ότι κ = 5 και λ = 6
β) Αν κ = 5 και λ = 6
i Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f
ii Να λυθεί η εξίσωση f(x) = 1minuslog(ex + 1)
iii Να δείξετε ότι οι αριθμοί f(ln5)minusf(0) f(ln5) f(ln6) είναι διαδοχικοί όροι
αριθμητικής προόδου
151 Αν το πολυώνυμο f(x) = x3 + 2αx2 - βx - 1 έχει παράγοντα το x - 1 και το υπόλοιπο της
διαίρεσης Ρ(x)(x + 1) είναι 4
α) να βρείτε τους α και β
β) να λύσετε την εξίσωση 2συν4
βx- 2ημ2 x
2
= -2
γ) να βρείτε το ελάχιστο πλήθος των πρώτων όρων της αριθμητικής προόδου (αν) με α1 = α και
ω = β που απαιτούνται ώστε το άθροισμα τους να ξεπερνάει το 150
δ) να λύσετε την εξίσωση β2lnx =5 + 4∙xln2α
152 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) = x3+λx2+23x-15 (λR ) διέρχεται από το σημείο
Α(10)
α) Να βρεθεί ο λ R
β) Για ποιες τιμές του xR η ψ = f(x) βρίσκεται κάτω από τον άξονα x΄x
γ) οι τετμημένες των σημείων στα οποία η ψ = f(x) τέμνει τον άξονα x΄x είναι κατά αύξουσα
τάξη οι 3 πρώτοι όροι μιας προόδου Αν το άθροισμα των ν πρώτων όρων της είναι 400 να
βρεθεί ο ν
25 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
153 α) Έστω η συνάρτηση f (x) = 2 middot 3x + 3x - 24
i να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα και να βρείτε το f(2)
ii να λύσετε την εξίσωση f(x) = 0
β) Δύο κοινωνίες βακτηριδίων Α και Β έχουν αρχικά 24 και 2 βακτηρίδια αντίστοιχα
Η κοινωνία των βακτηριδίων Α μειώνεται σε αριθμό κάθε μια ώρα κατά 3 βακτηρίδια
Η κοινωνία των βακτηριδίων Β τριπλασιάζεται κάθε μία ώρα Να βρείτε μετά από πόσες
ώρες οι κοινωνίες των βακτηριδίων θα έχουν τον ίδιο αριθμό βακτηριδίων
3 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
13 Στο διπλανό σχήμα φαίνεται η γραφική παράσταση της
συνάρτησης f
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f
β) Να βρείτε τις τιμές f(-1)f(0) και f(f(1))
γ) Να λύσετε την εξίσωση f(x)=0
δ) Να λύσετε την ανίσωση f(x)lt0
ε) Να γράψετε τα διαστήματα μονοτονίας της f
στ) Να βρείτε τα ακρότατα της f
14 Δίνεται η συνάρτηση 2( )f x x x με βγ Rτης οποίας η γραφική παράσταση διέρχεται
από τα σημεία Μ(1-5) και Ν(37)Να βρείτε
α) τις τιμές των β και γ
β) την κορυφή της Cf
γ) τα διαστήματα για τα οποία η Cf βρίσκεται πάνω από τον άξονα χ΄χ
15 Δίνεται η συνάρτηση 2( )f x x x με α β γ R για την οποία ισχύουν
f(1)=6f(-1)=-8 και f(-2)=12
α) τις τιμές των α β γ
β) να βρείτε τα σημεία τομής της Cf με τους άξονες
γ) να λύσετε την εξίσωση ( ) ( 1) 20f x f x
16 Έστω περιττή συνάρτηση f
α) Από τα 4 4 5 1 1 5 5 7 να επιλέξετε εκείνο το
οποίο μπορεί να είναι πεδίο ορισμού της συνάρτησης
Δικαιολογήστε την απάντησή σας
β) Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της f διέρχεται από την αρχή των αξόνων
γ) Αν η f έχει ελάχιστη τιμή στο 0 2x και ισχύει 2 4f να δείξετε ότι
έχει μέγιστη τιμή στο 1 2x το οποίο να βρείτε
δ) Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα 2 2 να λύσετε
την ανίσωση 22
xf f
ε) Θεωρούμε τη συνάρτηση h με 2 4h x f x Να προσδιορίσετε το πεδίο
ορισμού της h και να διαπιστώσετε ότι δεν είναι συμμετρική
17 Δίνονται οι συναρτήσεις f (x) =x2 - 3|x| και g(x) = 2|x| - 4
α) Να εξετάσετε αν η συνάρτηση f είναι άρτια ή περιττή
β) Να βρείτε το διάστημα στο οποίο η γραφική παράσταση της g είναι κάτω από τον άξονα χχ
γ)Να βρείτε τα σημεία τομής των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f και g
18 Δίνεται η συνάρτηση 4 2
2
12( )
36
x xf x
x
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f
β) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με την ευθεία y = 1
γ) Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της f είναι πάνω από τον άξονα
χχ
δ) Να εξετάσετε αν η f είναι άρτια ή περιττή
4 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
19 Δίνεται η συνάρτηση 2
3
3( )
25
x af x
x x
με α R της οποίας η γραφική παράσταση διέρχεται
από το σημείο Μ(-1-1)
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f
β) Να αποδείξετε ότι α = -27
γ) Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τον
άξονα χχ
δ) Να εξετάσετε αν η f είναι άρτια ή περιττή
20 Δίνεται η συνάρτηση f (x) = x2 + 6x + 1 Έστω επίσης g(x) η συνάρτηση της οποίας η γραφική
παράσταση προκύπτει από δύο διαδοχικές μετατοπίσεις της γραφικής παράστασης της f κατά 2
μονάδες προς τα δεξιά και κατά 4 μονάδες προς τα πάνω
α) Να βρείτε τον τύπο της g
β) Να βρείτε τα σημεία τομής των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f και g
γ) Έστω (ε) η ευθεία που έχει συντελεστή διεύθυνσης λ = 2 και διέρχεται από το σημείο
Μ(-2 g(-2))Να βρείτε
i την εξίσωση της ευθείας (ε)
ii τα σημεία τομής της ευθείας (ε) και της γραφικής παράστασης της f
iiiτα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της g είναι πάνω από την ευθεία (ε)
ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ
21 α) Να λύσετε την εξίσωση 2συν2x-5συνx+2=0
β) Να βρείτε τις λύσεις της εξίσωσης που βρίσκονται στο διάστημα [02π]
22 Δίνεται η συνάρτηση ( )f x x
α)) Να λυθεί η εξίσωση 2
( )2
f x
β) Να βρείτε την περίοδο την μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της συνάρτησης
( ) 2 (4 )g x f x
γ) Να βρείτε για ποιες τιμές του x ισχύει ( ) 1g x
23 Αν η ελάχιστη τιμή της συνάρτησης f (x) = x2 + 3 είναι ίση με την μέγιστη τιμή της
συνάρτησης g(x) = αημ(βπx) α β gt 0 και η g είναι περιοδική με περίοδο Τ = 2
α να βρείτε τα α και β
β να δείξετε ότι 1 9
05 5
g g
24 Έστω η συνάρτηση x 1
f (x)x
α Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f
β Να λύσετε την εξίσωση f (x) x
γ Να αποδείξετε ότι η f είναι περιττή
5 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
25 Έστω συνάρτηση f με π
αημ 2 β6
f x x
α β Αν η γραφική παράσταση της
συνάρτησης διέρχεται από τα σημεία π
Α 3 Β 0 06
τότε
α) Να προσδιορίσετε τους πραγματικούς αριθμούς α β
β) Να προσδιορίσετε την μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της συνάρτησης καθώς και την περίοδό
της
γ) Να κατασκευάσετε την γραφική παράσταση της f χρησιμοποιώντας την γραφική παράσταση
του ημιτόνου και να αιτιολογήσετε συνοπτικά την απάντησή σας
δ) Να λύσετε την εξίσωση 3π
64
f x
26 Δίνεται η συνάρτηση ( )4
xf x a
όπου R Αν γνωρίζετε ότι η γραφική
παράσταση της f διέρχεται από τα σημεία Α(0-2) και 4
τότε
α) να αποδείξετε ότι α=-2 και β=2
β) Να βρείτε τη μέγιστη και ελάχιστη τιμή της συνάρτησης f καθώς και την περίοδό της
γ) Να λύσετε την εξίσωση f(x)=1
27 Η συνάρτηση f(x)=α+β∙συν2x με βgt0 έχει μέγιστη τιμή το 4 και η γραφική της παράσταση
Διέρχεται από το σημείο Μ(3
-5)
α) Να βρείτε τα α και β
β) Για α=-2 και β=6
i Να βρείτε την περίοδο Τ της συνάρτησης f
ii Να βρείτε την μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της συνάρτησης f
iii Να βρείτε τις τιμές του x για τις οποίες η συνάρτηση f παρουσιάζει την ελάχιστη και τη
μέγιστη τιμή της
ivΝα βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f με την ευθεία
y=1
28 Δίνεται η συνάρτηση 22 3f x x x
α) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f βρίσκεται κάτω από τον άξονα χ΄χ
β) Αν 2
f x f x
και 4
x k
k να αποδείξετε ότι
i 1
2x x ii
3
8x x
29 Δίνεται η συνάρτηση 2
2
2 2 1
2 1
xf x
x
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της
β) Να λύσετε την εξίσωση 1f x
6 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
30 Δίνεται η συνάρτηση 1 1
1 1
f x x xx x
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της
β) Να λύσετε την εξίσωση 2f x στο διάστημα 0
31 Δίνονται οι συναρτήσεις 2 2 f x x και g x x 0
Αν οι συναρτήσεις fg έχουν την ίδια μέγιστη τιμή και την ίδια περίοδο τότε
α) να αποδείξετε ότι 1
β) Να βρείτε τη τιμή της παράστασης 3 4
f g
γ) Να λύσετε την εξίσωση 3 2 f x g x στο διάστημα 2
32 Η συνάρτηση f x x έχει περίοδο π και η γραφική της παράσταση διέρχεται από το
σημείο 34
α) Να βρείτε τα ρ ω
β) Να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της f
γ) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της f
δ) Να λύσετε την εξίσωση 3 6
f x f x
33 Δίνεται η συνάρτηση 2 2f x x x
α) Να βρείτε την μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της f καθώς και την περίοδο της f
β) Να υπολογίσετε τις τιμές της f για 3
0 4 2 4
x
και να σχεδιάσετε την γραφική
παράσταση της f για 0 x
γ) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με την ευθεία 5
2y
δ) Να λύσετε την εξίσωση 2
2 4 0f x f x
34 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f με f (x) = α + βημ2x διέρχεται από τα σημεία
31
M 212
και 53
412
τότε
α) να βρείτε τα α και β
β) να βρείτε την περίοδο καθώς και τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της f
γ) να λύσετε την εξίσωση f(x)=1
δ) να Λύσετε την εξίσωση 3
f (x) f x4
ε) να κάνετε τη γραφική παράσταση της f στο διάστημα [02π]
35 Έστω η συνάρτηση f (x) = (α - β)συνγx α gt β γ gt 0
Αν η Cf τέμνει τον άξονα yy στο 4 η f έχει μέγιστο το 2α και περίοδο Τ = π
α) να βρείτε τα α β γ και την f
β) να βρείτε την ελάχιστη τιμή της f
7 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
γ) να δείξετε ότι η συνάρτηση g(x) = f2
πx είναι άρτια
36 Α Δίνεται η παράσταση f(x) = ημ2x -2συνx +2 χ εR
α) Να κάνετε γινόμενο την f(x)
β) Να δείξετε ότι f(x) 0 x εR
γ) Να βρείτε τις τιμές του x για τις οποίες f(x) = 0
Β Δίνεται η εξίσωση 23 x ( 3 1) x 1 0 με 2
lt χ π
Να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς του x
37 Δίνεται η συνάρτηση f(x)=2συνx
α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της και το σύνολο τιμών της
β) Να βρεθεί η ελάχιστη τιμή της συνάρτησης f
γ) Για ποιες τιμές του x παίρνει ελάχιστη τιμή η συνάρτηση
δ) Να λυθεί η εξίσωση f(x)+συν2x=3+ημ2x
38 Έστω η συνάρτηση f (x) = α + εφ2πx
α) Αν η Cf τέμνει τον άξονα yy στο 2 να βρείτε το α
β) Για α = 2 να λύσετε την εξίσωση 02 4
x πf f x
39 Δίνεται η συνάρτηση 2 2 1 f x x x
α) Να βρείτε τη περίοδο την μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της
β) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της f
γ) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τους άξονες
δ) Να λύσετε την εξίσωση
f x f x4
στο διάστημα 0
ε) Να αποδείξετε ότι 13
log2 log 3log log1284 12 12
f f f
στ) Να βρείτε τα για τα οποία το πολυώνυμο 3 2P x x 6x x έχει παράγοντες τα
x f4
και
x f12
ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ
40 Δίνεται το πολυώνυμο 3 3 2 2( 4 ) ( 2 ) 2 λx x x
α) Να βρείτε το βαθμό του Ρ(x) για τις διάφορες τιμές του πραγματικού αριθμού λ
β) Για λ=1
i να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης Ρ διέρχεται από το σημείο Α(1-3)
ii να βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης Ρ με την ευθεία y=-3
iii να βρείτε τα διαστήματα του x στα οποία η γραφική παράσταση της συνάρτησης Ρ
βρίσκεται κάτω από την ευθεία y=-3
8 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
41 Δίνεται το πολυώνυμο 4 3 28 5 1 8 3 6 αx x x x x
α) Να γίνει η διαίρεση του Ρ(x) δια του x2 ndash 1 και να γράψετε τη σχετική ταυτότητα
β) Να βρείτε τη τιμή του α ώστε η παραπάνω διαίρεση να είναι τέλεια
γ) Για 3 να βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης Ρ(x) = 0 καθώς και τα διαστήματα στα οποία η
γραφική παράσταση της πολυωνυμικής συνάρτησης Ρ(x) είναι κάτω από τον άξονα x΄x
42 Έστω ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου Ρ(x) με το x2 + 2x είναι 3x - 2
α Να γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης
β Να βρείτε τα Ρ(0) και Ρ(-2)
γ Αν το πολυώνυμο Ρ(x) είναι βαθμού 3 και το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ(x) με το x2 ndash 2
είναι 2x -1 να βρείτε
i το βαθμό του πηλίκου της διαίρεσης του πολυωνύμου Ρ(x) με το x2-2
ii το πολυώνυμο Ρ(x)
43 Δίνονται τα πολυώνυμα Ρ(x) και Q(x) = x3 ndash 4x Αν η πολυωνυμική συνάρτηση Ρ(x) είναι
περιττή και το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ(x) με το x-2 είναι3
α) Να δείξετε ότι Ρ(0) = 0
β) Να βρείτε το Ρ(-2)
γ) Να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ(x) με το x3 ndash 4x
44 Αν για το πολυώνυμο Ρ(x) ισχύει P(x)-2P(1-x) = 4x2-1 να βρείτε
α) τα Ρ(0) και Ρ(1)
β) το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ(x) με το πολυώνυμο 2x2 ndash 2x
45 Έστω τα πολυώνυμα Ρ(x) και Q(x) = Ρ2 (x) - 4Ρ(x) + x2 +1
α)Αν το άθροισμα των συντελεστών του Ρ(x) είναι 3 να βρείτε το άθροισμα των συντελεστών
του Q(x)
β) Να δείξετε ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης του Q(x) με το x - 2 είναι θετικός αριθμός
46 Έστω Ρ(x) πολυώνυμο 3ου βαθμού το οποίο διαιρείται με το 2x 1 έχει ρίζα το 0 και του
οποίου το άθροισμα των συντελεστών είναι ίσο με 2
α) Να αποδείξετε ότι 3(x) x x
β) Να λύσετε την ανίσωση 3 2
2 2 2x x x
47 Δίνεται το πολυώνυμο P(x)=x(x2
+λ) +κx2
+5 με παράγοντα το x-1 και P(-2)=3
α) Να βρείτε τα κ λ
β) Αν κ=-1 και λmdash5
i Να λύσετε την εξίσωση P(x)=0
ii Nα λύσετε την ανίσωση P(x)8
48 Αν το πολυώνυμο Ρ(x) = α3x3 + 5α2x2 - 10αx - 104 έχει παράγοντα το x - 2
α) Να βρείτε το α
β) Για την μεγαλύτερη τιμή του α να λύσετε την ανίσωση Ρ(x) gt 0
49 Δίνεται το πολυώνυμο P(x)=x3+αx-α +β
α) Αν έχει παράγοντες το x-2 και το x να δείξετε ότι α=β=-4
β) Για τις παραπάνω τιμές των α και β να λυθεί η εξίσωση Ρ(x)=0
γ) Να λυθεί η ανίσωση Ρ(x)gt0
9 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
50 Δίνεται το πολυώνυμο 3 2( ) 2 9 10 3P x x x x
α) Να γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης με το 2x+1
β) Να λύσετε την ανίσωση P(x) le 0
51 Δίνεται το πολυώνυμο 20 30
10 20 30P x x x x
α) Να βρείτε το βαθμό του
β) Να λύσετε την εξίσωση 0P x
γ) Να λύσετε την εξίσωση 10P x x
δ) Να λύσετε την ανίσωση 0P x
52 Έστω η συνάρτηση f(x) = 2
3 2
3 3 6
2 3 3 2
x x
x x x
α)Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f
β) Να απλοποιήσετε τον τύπο της f
γ) Να βρείτε τα διαστήματα του x που η γραφική παράσταση της f βρίσκεται κάτω από τη
γραφική παράσταση της g(x) =x2
53 Δίνεται η συνάρτηση f(x)=x3-6x2+11x-6
α Να βρεθούν τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f(x) με τον άξονα χ΄χ
β Να βρεθούν τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της f(x) είναι πάνω από
τον άξονα χ΄χ
54 Αν το πολυώνυμο x2 - 2 διαιρεί το πολυώνυμο Ρ(x) = x3 ndash 2x2 - αx + β
α) Να βρείτε τα α και β
β) Να βρείτε τα διαστήματα του x που η γραφική παράσταση της πολυωνυμικής συνάρτησης
Ρ(x) δεν βρίσκεται πάνω από τον άξονα χχ
55 Έστω το πολυώνυμο Ρ(x) = x5 + 3x2 + αx + β Αν το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ(x) με το x2-2
είναι το υ(x) = 5x + 8
α) Να βρείτε τα α και β
β) Να βρείτε το πηλίκο της διαίρεσης του Ρ(x) με το x2 - 2
γ) Να βρείτε τα διαστήματα του x που η γραφική παράσταση της πολυωνυμικής συνάρτησης
Ρ(x) βρίσκεται πάνω από την ευθεία y = 5x + 8
56 Έστω το πολυώνυμο Ρ(x) = x3-αx-2 αR Αν το Ρ(x) έχει ρίζα άρτιο θετικό ακέραιο τότε
α) να βρείτε το α
β) για α = 3 να βρείτε τις τιμές του λ ώστε για το υπόλοιπο υ της διαίρεσης του Ρ(x) με το x + λ
να ισχύει υ gt -4
57 Έστω το πολυώνυμο Ρ(x) = x4 - αx3 + βx2 - 2 α β RΑν το Ρ(x) έχει ρίζες δύο περιττούς
ακέραιους
α) να βρείτε τα α και β
β) να λύσετε την ανίσωση Ρ(x) ge 0
10 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
58 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης 3 2f (x) x x 2 x 2 3 διέρχεται από τα
σημεία Α(16) και Β(-112)Να βρείτε
α) Να βρείτε τους αριθμούς λ και μ
β) τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τους άξονες
59 Δίνεται η συνάρτηση 3 2( ) 2 9 18f x x x x Να βρεθούν οι τιμές του x για τις οποίες η
γραφική παράσταση της f(x)
α) βρίσκεται πάνω από τον άξονα χ΄ χ
β) βρίσκεται κάτω από τον άξονα χ΄ χ
60 Δίνεται το πολυώνυμο 3 2( ) ( 1) 3 2 6P x ax x x όπου α β πραγματικοί αριθμοί
α)Αν ο αριθμός 1 είναι ρίζα του πολυωνύμου Ρ(x) και το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ(x) με το
x+1 είναι ίσο με 2 να βρείτε τα α και β
β) Aν α=2 και β=4 να βρείτε
i) τα σημεία στα οποία η πολυωνυμική συνάρτηση Ρ(x) τέμνει τον άξονα χ΄χ
ii) τα διαστήματα στα οποία βρίσκεται πάνω από τον άξονα χ΄χ
61 Δίνεται το πολυώνυμο 3 2( ) 3 (2 1) 2P x x ax x όπου α β πραγματικοί αριθμοί
α) Αν ο αριθμός 1 είναι ρίζα του πολυωνύμου Ρ(x) και το υπόλοιπο της διαίρεσης του
Ρ(x) με το 1x είναι ίσο με 20να βρείτε τα α και β
β) Aν α=8 και β=4 να βρείτε
i) τα σημεία στα οποία η πολυωνυμική συνάρτηση Ρ(x) τέμνει τον άξονα χ΄χ
ii) τα διαστήματα στα οποία βρίσκεται κάτω από τον άξονα χ΄χ
62 Δίνεται το πολυώνυμο 3 2( ) ( 3) (2 1) 2P x x a x x όπου α β πραγματικοί αριθμοί
α) Αν ο αριθμός 2 είναι ρίζα του πολυωνύμου Ρ(x) και το υπόλοιπο της διαίρεσης του
Ρ(x) με το 1x είναι ίσο με -18να βρείτε τα α και β
β) Aν α=2 και β=7
2
i) Να λυθεί η εξίσωση Ρ(x) =0
ii) Να γίνει η διαίρεση του Ρ(x) με το πολυώνυμο x2+1 και να γραφεί το Ρ(x) με την
ταυτότητα της ευκλείδειας διαίρεσης
iii) Να λυθεί η ανίσωση ( ) 7 1P x x
63 Έστω πολυώνυμο P(x)=x3+αx2+βx+4 με αβ R το οποίο έχει παράγοντες τους x+1x-2
α) Να αποδείξετε ότι α=-3 και β=0
β) Για τις παραπάνω τιμές των α β να λύσετε την εξίσωση P(x)=0
γ) Έστω C η γραφική παράσταση συνάρτησης f(x)=P(x) με α=-3 και β=0 να βρείτε
i το σημείο τομής της C με τον άξονα y΄y
ii τις τιμές του x για τις οποίες ή C είναι πάνω από τον χ΄χ
64 Δίνεται το πολυώνυμο P(x) βαθμού 2 για το οποίο ισχύει
3 28( 1) ( ) (2 3) 52 8 6 16x P x x P x x x x για κάθε x
Αν το υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x) με το x-1 είναι 2
α) Να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x) με το πολυώνυμο 2
x 6x 5
β)Αν το πηλίκο της διαίρεσης του P(x) με το πολυώνυμο 2
x 6x 5 είναι το Π(x)=x+4
i Να βρεθούν τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης P(x)
11 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
α) με τον άξονα y΄y
β) με την ευθεία y=2
ii Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της συνάρτησης P(x)
είναι πάνω από την ευθεία y=2
65 α) Να λυθεί η εξίσωση y6-3y2+2 = 0
β) Να λυθεί η εξίσωση ημ6x = 1 - 3συν2x
66 Δίνεται η συνάρτηση f(x) =3
32 3
xx
x
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f
β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) =3
67 Αν το πολυώνυμο Ρ(x) = (3α - 1)x3 + x2ημπθ +1 θ (0 1) έχει θετικούς ακέραιους
συντελεστές και αρνητική ακέραια ρίζα
α να βρείτε τα θ και α
β για α = 1 και θ = 12 να βρείτε το λ ώστε το Ρ(x) να έχει παράγοντα το x + λ
ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ-ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
68 Δίνεται η συνάρτηση 1
( ) 3
x
f x
όπου x πραγματικός αριθμός
α) Να βρείτε για ποιες τιμές του ορίζεται η ( )f x
β) Να βρείτε για ποιες τιμές του η ( )f x είναι γνησίως αύξουσα
γ) Αν 7 να λύσετε την εξίσωση ( ) (2 ) 2f x f x
69 Να προσδιορισθεί ο αR ώστε η συνάρτηση 1 2
( )3
x
f x
α) να ορίζεται σε όλο το R
β) να είναι γνησίως αύξουσα στο R
γ) να είναι γνησίως φθίνουσα στο R
δ) να είναι 1-1
70 Δίνεται η συνάρτηση ( )1
x
f x
για κάθε x
α) Να βρείτε τις τιμές του ώστε η συνάρτηση f να είναι γνησίως αύξουσα
β) Αν η f είναι γνησίως αύξουσα και (2) 4f
i Nα υπολογίσετε το α
ii Για 2a να λύσετε την ανίσωση ( 1) 8f x
71 Δίνεται η συνάρτηση 6
( )4 9
x
x xf x
για κάθε x
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f
β) Nα αποδείξετε ότι η f είναι άρτια
12 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
γ) Να λυθεί η εξίσωση 12
( ) (0)13
f x f
72 Δίνεται η συνάρτηση ( ) 3 2 3 2x x
f x για κάθε x
α) Να αποδείξετε ότι η f είναι περιττή
β) Nα λυθεί η εξίσωση ( ) 4 6f x
γ) Να βρείτε τα διαστήματα του x για τα οποία η γραφική παράσταση της ( ) ( 2014)g x f x
δεν βρίσκεται πάνω από τον άξονα χ΄χ
73 Δίνεται η συνάρτηση 1 2
2 2 24( )
4 6 2 8
x x
x xf x
για κάθε x
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f
β) Nα δείξετε ότι 6
( ) 122 2
xf x x R
γ) Nα λυθεί η ανίσωση 3
( )7
f x
δ) Να βρείτε τις τιμές του έτσι ώστε η συνάρτηση ( ) ( )x
g x f a να είναι σταθερή στο
R
ε) Να λυθεί η εξίσωση h(x)+3h(x+1)=-f(3) όπου 6
( )( )
h xf x
74 Δίνεται η συνάρτηση 2
( )1
x
f x
α) Να μελετηθεί η f ως προς την μονοτονία για τις διάφορες τιμές του
β) Αν λ=1 να λυθεί η ανίσωση 2
2
2( )
3 4 2f x
γ) Αν 1 1
3 3
να λυθεί η ανίσωση 2 1(e 2 ) ( 2 )
x x x xf f e
δ) Να βρείτε τις τιμές το λ αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f διέρχεται από το σημείο
Α(f(0)3)
ε) Για λ=0 να βρείτε τα σημεία τομής των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων g και
h όπου ( ) 3 ( 1) 4g x f x ( ) (2 3) 5h x f x
στ) Για λ=0 να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης 2
( 4)( ( ) 4)(x)
(3 3 )( ( ) 2)x
x f x
e f x
75 Δίνεται η συνάρτηση ln3
f x x k
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της
β) Αν 2
ln 16
f
να βρείτε το k
γ) Αν 1k τότε
i να λύσετε την εξίσωση ln 2ln 2 ln36
x f f
13 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
ii να λύσετε την εξίσωση 1 1f x f x
e e
76 Δίνεται η συνάρτηση 1 ln 0 f x x x x
α) Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης f τέμνει τον άξονα
x΄x στο σημείο 10A
β) Να λύσετε την ανίσωση 2 51
x xf e e x
γ) Αν 0 1 x να δείξετε ότι 0f x
δ) Να δείξετε ότι για κάθε 02
ισχύει ότι ln
e
77 Δίνεται η συνάρτηση 2
2
x 68f (x) ln
100 x
α Να βρείτε το πεδίο ορισμού της
β Να λύσετε την εξίσωση f (x)e log50 log5
γ Να λύσετε την ανίσωση f(x) ge 0
78 Δίνεται η συνάρτηση 21( ) 2ln 4ln 1 0
4f x x a x a a
α Να βρεθεί ο πραγματικός αριθμός α ώστε η εξίσωση f(x)=0 να έχει διπλή ρίζα
β Να λυθεί η εξίσωση 2(0) ln 2ln 4f a a
γ Να λυθεί η ανίσωση 2( 2)ln( 2 )
8
afa e a a
79 Δίνεται η συνάρτηση 2x xf x ln e 4e 3 της οποίας η
γραφική παράσταση φαίνεται στο διπλανό σχήμα
α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της f
β) Να βρεθεί το σημείο τομής της γραφικής παράστασης της f
με τον άξονα x x
γ) Να δικαιολογήσετε (αλγεβρικά) γιατί δεν υπάρχει σημείο της
γραφικής παράστασης της f που να βρίσκεται πάνω από τον
άξονα x x
80 Δίνεται η συνάρτηση 2log 11 9 18 2log 1 f x x x x
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της
β) Να βρείτε τα σημεία στα οποία η γραφική παράσταση της f τέμνει τους άξονες
81 Δίνεται η συνάρτηση log log 1f x x
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f
β) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τον άξονα χ΄χ
γ) Να λύσετε την ανίσωση 0f x
δ) Να αποδείξετε ότι 3 101 2 1001 10001 log18f f f
14 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
82 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = ln(ex - 1)
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f
β) Να βρείτε τα διαστήματα που η γραφική παράσταση της συνάρτησης f βρίσκεται πάνω από
τον άξονα χ χ
γ) Να συγκρίνετε τους αριθμούς f(ln2) και f(l)
δ) Να λυθεί η εξίσωση f(2x)-f(x) = f(1)
83 Δίνεται η συνάρτηση f(x)=ln(ex-2)-ln(ex-1)
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f
β) Να αποδείξετε ότι f(x)=ln (1-1
1xe
)
γ) Να λύσετε την εξίσωση f(x)=-ln2
δ) Nα αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f δεν τέμνει την ευθεία με εξίσωση y=x
84 Δίνονται οι συναρτήσεις f g με τύπους f(x) = ln(ex minus 1 ) και g(x) = ln(ex + 2)
α Να βρείτε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων f και g
β Να συγκρίνετε τις τιμές f(ln2) και g( minus1)
γ Να λύσετε την εξίσωση x + f(x) = ln2 + g(x)
85 Έστω η συνάρτηση f(x) = k +log(x2-3) k
α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f
β) Να υπολογίσετε την τιμή του k ώστε f(2)= log100
γ) Για k=2
i Nα βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με την ευθεία
1
log1000
y
i i Nα λυθεί η ανίσωση f(x) gt2
86 Δίνονται οι συναρτήσεις 22log 2 1 log 3 2f x x x x και log 4 3 logg x x x
α) Να βρείτε το πεδίο των συναρτήσεων fg
β) Να βρείτε τα σημεία τομής των γραφικών τους παραστάσεων
γ) Να λύσετε τις εξισώσεις i 0f x και ii 0g x
δ) Να αποδείξετε ότι 2 2log 2 1g
87 Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο 1 1
f(x)= +1+lnx 1-lnx
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού Α της συνάρτησης
β) Να αποδείξετε ότι για κάθε xΑ ισχύει 1
f(x)=fx
γ) Να λύσετε την ανίσωση 1
f(x)+f gt4x
88 Α Να λύσετε την εξίσωση y3 + y - 2 = 0 (1)
15 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
Β Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f (x) = 27x + 1
2middot 12x lnα2 -2∙8x lnα διέρχεται από
την αρχή των αξόνων
α να αποδείξετε ότι α = e
β να βρείτε το διάστημα που η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τον άξονα xx
89 Δίνονται τα πολυώνυμα Ρ(x) = (α - ln2)x3 - (2e - β)x + 3
ln2
Q(x) = (1 ndash lnβ)x3 - (2e - 2)x + 3
ln2
Αν τα πολυώνυμα Ρ(x) και Q(x) είναι ίσα
α Να βρείτε τα α και β
β να αποδείξετε ότι Ρ(-1)gt0
90 Έστω το πολυώνυμο Ρ(x) = x3lnα + (2 - lnα)x2 + αlnβx +1 έχει θετικούς ακέραιους συντελεστές
και αρνητική ακέραια ρίζα
α Να βρείτε τα α και β
β Για α = e και β = 1 να βρείτε τα διαστήματα του x που η γραφική παράσταση της συνάρτησης
f(x) = P(ex) βρίσκεται κάτω από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης g(x) = ex + 3
91 Δίνεται η συνάρτηση f(x)= αlnx +β
α) Να βρείτε τις τιμές των α β R αν γνωρίζετε ότι η γραφική της παράσταση
διέρχεται από τα σημεία Α(10) και B(e2)
β) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f
γ) Να λυθεί η εξίσωση f(x)+f(2x)=61n2
δ) Να λυθεί η ανίσωση f(2x+1)gt f(x)
ε) Να λυθεί το σύστημα x y
f (x) f (y) 2
e e
92 Έστω η συνάρτηση f (x) = x -1 + 2ln(αx) x gt0
Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f διέρχεται από το σημείο Α(1 0)
α) να βρείτε το α
β) να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο (0+)
γ) να λύσετε την ανίσωση f(x) gt 0
93 Δίνεται η συνάρτηση 2
1( )
1
nxf x
n x
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f(x)
β) Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τον χ΄χ
γ) Να βρείτε τα σημεία τομής της Cf με την ευθεία y =1
94 Δίνεται η f( x ) = log ( 102x ndash 10x )
α) Να δειχθεί ότι το πεδίο ορισμού της f είναι το Α=( 0 + )
β) Να δειχθεί ότι f( x ) = x + log ( 10x ndash 1 )
γ) Να λυθεί η εξίσωση f( x ) = x
δ) Να λυθεί η ανίσωση f( x ) le x + 2log 2
16 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
95 Δίνεται η συνάρτηση 2( ) 5 6
x xf x n e e
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f(x)
β) Να λύσετε την ανίσωση ( ) 2f x n
γ) Να λύσετε την εξίσωση ( ) 2 f x x n
96 Δίνεται η συνάρτηση f(x)=ln(3e2xshyex-2)
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f
β) Να βρείτε την τεταγμένη του σημείου της γραφικής παράστασης με τετμημένη ln2 και να
βρείτε τη θέση του σημείου ως προς τον άξονα χ΄χ
γ) Να λυθεί η εξίσωση f(x)=3x ως προς x
97 Δίνεται η συνάρτηση 1
( )1
x
x
ef x a
e που η γραφική της παράσταση διέρχεται από το σημείο
A(ln2 3)
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f
β) Να αποδείξετε ότι α = 1
γ) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι περιττή
δ) Να λυθεί η ανίσωση f(x) gt 2
98 Δίνεται η συνάρτηση
11 2log( 1)
log( 1) 2( ) 10 100 80x
xf x
α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της
β) Να λυθεί η εξίσωση f(x) = 10
γ) Να βρείτε τα κοινά σημεία της ψ = f(x) με την ευθεία ψ = x-20
99 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = α + ln(ex - 2)
Α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f
Β) Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f διέρχεται από το σημείο A(ln3 1) middot
α) να αποδείξετε ότι α = 1
β) να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τον άξονα xx
γ) να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα
100 Δίνεται η συνάρτηση
ln 3 11( )
ln 5
xf x
x
α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της
β) Να λυθεί η εξίσωση f(x) = 2
γ) Αν x gt 6 να λύσετε την ανίσωση f(x) gt 1
101 Δίνεται η συνάρτηση ln 1
( )ln 2
xg x
x
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης ( ) ( )f x g x
β) Να βρείτε αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f τέμνει και σε ποια σημεία τους
άξονες χ΄χ και y΄y
γ) Να λύσετε την εξίσωση ( ) 1x
f e
17 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
102 Δίνεται η συνάρτηση f(x)=2(x-1)+lnx
α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της
β) Να δείξετε ότι το 1 είναι ρίζα της εξίσωσης f(x)=0
γ) Να λυθεί η εξίσωση f(x)=2(x-1)+(lnx)2
103 α) Δίνεται η συνάρτηση f (x) = 3x + 2x + lnx ndash 5Να βρείτε το f(1) και να δείξετε ότι η f είναι
γνησίως αύξουσα
β) Να λύσετε την εξίσωση 2x+ lnx = 5-3x
γ) Να λύσετε την ανίσωση 3x + lnx lt 5-2x
104 Δίνεται η συνάρτηση f (x) = 2ln 1 x x
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f
β) Να δείξετε ότι για κάθε x R f(x) + f(- x) = 0 και ότι η συνάρτηση f είναι περιττή
γ) Να συγκρίνετε τους αριθμούς f(0) και f(- 1)
δ) Να λύσετε την ανίσωση f(ex) gt x + ln3
105 Δίνεται η συνάρτηση 3
ln3
xf x
x
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f
β) Να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι περιττή
γ) Να συγκρίνετε τους αριθμούς f(0) και 1
3f
δ) Να λύσετε την εξίσωση 1 0f x f x
106 Δίνονται οι συναρτήσεις 2
2
100 10( ) ( )
10100
x xf x og g x og
xx
α) Να δείξετε ότι η f είναι άρτια και η g περιττή
β) Να βρείτε τα κοινά σημεία των γραφικών τους παραστάσεων
γ) Να λυθεί η ανισότητα f(x)gt0
107 Δίνεται η συνάρτηση f (x) = ln 9 3 x x xe
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f
β) Να δείξετε ότι f(1)lt0
γ) Να βρείτε τα διαστήματα του x που η Cf είναι πάνω από την ευθεία ε y= 2x + ln2
108 Δίνεται η συνάρτηση f (x) = 2x + 6x - 40
α) Να βρείτε το f(4)
β) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα
γ) Να λύσετε την εξίσωση f(x) =0
109 Έστω η συνάρτηση f (x) = 3x + 2ex-κ -1 που η γραφική της παράσταση διέρχεται από το
σημείο Α(0 1)
α) Να βρείτε το κ
β) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα
γ) Να λύσετε την εξίσωση 3x + 2ex = 2
δ) Να λύσετε την ανίσωση 3x + 2ex gt 2
18 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
110 Δίνεται η συνάρτηση f (x) = (ln 1)x
a
α) Να βρείτε τις τιμές του α για τις οποίες
i η συνάρτηση f ορίζεται σε όλο το R
ii η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα
β) Για α = e3 να λύσετε την εξίσωση ln 2 ln 1 f εφx f σφx
111 Δίνεται η συνάρτηση 1
ln5
x
f x
α) Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες η συνάρτηση f ορίζεται σε όλο το
β) Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα
στο
γ) Αν 11 να λύσετε την εξίσωση f f 1 6x x
112 Δίνεται η συνάρτηση f με f(x) = x + ln(ex - 3)
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της
β) Να δείξετε ότι f(ln4) lt f(ln5)
γ) Να λύσετε την ανίσωση f(x) gt lη2 + ln(ex - 2)
113 Δίνεται η συνάρτηση ( ) ln( 1) x
f x x e
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της
β) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα
γ) Να συγκρίνετε τους αριθμούς log 2f και log5f
δ) Να βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f και της ευθείας
ln 2y
114 Δίνεται η συνάρτηση 4 2
log 8 log log 100 0f x x x x x
α) Αν f(10)=25 να δείξετε ότι α = 1
β) Για την τιμή α = 1 να
i δείξετε ότι η f(x) γράφεται στη μορφή 2
2log 4 logf x x x
ii να λύσετε την εξίσωση f(x) = 0
115 Δίνονται οι συναρτήσεις ln x
f x e e και 1ln 2 2
xg x e
α) Να βρείτε το πεδίο των συναρτήσεων fg
β) Να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των fg δεν τέμνονται
γ) Να λύσετε την ανίσωση 1f x
116 Δίνονται οι συναρτήσεις x xf(x) ln e e
και x
g(x) ln ln e
α) Να βρείτε τα πεδία ορισμού των f(x) και g(x)
β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = g(x)
γ) Να λύσετε την ανίσωση f(x) gt 2g(x
117 Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) = ln(e2x-ex-2) και g(x) = ln2+ln(ex-l)
α) Να βρείτε τα πεδία ορισμού των f(x) και g(x)
β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = g(x)
γ) Να λύσετε την ανίσωση f(x) gt g(x)
19 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
118 Δίνεται η συνάρτηση 2
1ln
5
x
x
ef x
e
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f(x)
β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = 2ln2
γ) Να λύσετε την ανίσωση f(x) gt 0
119 Έστω η συνάρτηση f(x) = log(225x-54x) και η ευθεία ε y = x + log3
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f
β) Να βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της f και της ευθείας ε
γ) Να δείξετε ότι το σημείο Α3 3
2 2
f βρίσκεται πάνω από το σημείο Β με τετμημένη 3
2
της ευθείας ε
120 Δίνονται οι συναρτήσεις ( ) ln 2 3 xf x και ( ) ln(2 3) xg x
α) Να βρείτε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων f και g
β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = g(x)
γ) Να συγκρίνετε τους αριθμούς f(3) και g(3)
121 α) Να δείξετε ότι ln ln a για κάθε α β gt 0
β) Να λυθεί η ανίσωση 1
lnln 22 2 1
xx
γ) Έστω η συνάρτηση f(x) = ln xa Να βρείτε το α ώστε 5f (3) - 3f (5) gt 0
122 Δίνεται το πολυώνυμο 2 1 4 3 2 2( ) 1 ln ln 1f x e x x x x θ (0 π) το
οποίο είναι 3ου βαθμού και διαιρείται με το x-1
α) Να αποδείξετε ότι θ = 2
3
και κ =
1
e
β) Να αποδείξετε ότι το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης [f(x)x2] είναι το ίδιο
γ) Να βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της πολυωνυμικής συνάρτησης f(x)
με την ευθεία (ε) y = 5x-5
ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ
123 Δίνεται το σύστημα 2x y 7
7x 2y 11
α) Να βρείτε τη λύση (x0y0) του συστήματος
β) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης 2f (x) x x έχει κορυφή το σημείο Κ(x0y0)
i) να βρείτε τους αριθμούς β και γ
ii) να λύσετε την ανίσωση f (x) 0
iii) να λύσετε το σύστημα y f (x)
x y 6
20 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
124 Το σύστημα ( 1)x 8y 4
x ( 3)y 3 1
έχει τη μοναδική λύση (x0y0) για την οποία ισχύει
0 0x y 1
α) Να βρείτε τον αριθμό λ
β) Δίνεται η συνάρτηση 2f (x) x 2 x 6
i Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η Cf είναι πάνω από τον χ΄χ
iiΝα λύσετε το σύστημα y f (x)
2y f (x 1) 10x
125 Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f με f (x) = α + βσυν2x διέρχεται από τα σημεία
Α(0 1) και Β 24
π τότε
α) να βρείτε τα α και β
β) να βρείτε την f
γ) να δείξετε ότι η Cf έχει άξονα συμμετρίας τον yy
δ) να δείξετε ότι f (-x) - f4
πx = ημ2x - συν2x
126 Δίνεται το πολυώνυμο f (x) = 2x3 middot συν2θ - x3ημθ - x2 + 3eλ - 2
Αν το πολυώνυμο έχει παράγοντες τους x και x - 1
α) να βρείτε τους λ και θ θ [0 2
π]
β) να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του πολυωνύμου Ρ(x) με το x - 1 όπου
P(x) = x∙f(3x-2) + (2-3x)21
γ) να βρείτε τα διαστήματα που η γραφική παράσταση της συνάρτησης f βρίσκεται κάτω από
τον άξονα χ χ
127 Δίνεται η πολυωνυμική συνάρτηση f(x) = 8x3-4x2 + 2x-l
α) Αν το πολυώνυμο Ρ(x) έχει παράγοντα το x - συνθ θ 02
π να βρείτε το θ
β) Να λύσετε την ανίσωση f(lnx) lt 0
γ) Να βρείτε τα διαστήματα του χ που η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από την
ευθεία y = 10x - 5
128 Θεωρούμε το πολυώνυμο 3 2( ) ( ) 2 1P x x x x
α) Αν έχει παράγοντα το 2
1x να βρείτε τα και
β) Για τις τιμές των και που βρήκατε να λύσετε την ανίσωση ( ) 0P x
γ) Για τις ίδιες τιμές των και να λύσετε την εξίσωση ( ) 0P x
129 Δίνεται το πολυώνυμο 3 2 P x x x x α β Αν το υπόλοιπο της διαίρεσης
2 2P x x x είναι (x) 9x 3 τότε
α) να αποδείξετε ότι 3 και 3
β) να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της πολυωνυμικής συνάρτησης
P(x) βρίσκεται κάτω από τον άξονα xrsquox
21 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
γ) να λύσετε την ανίσωση 10 2 0xP
130 Δίνεται το πολυώνυμο P(x) = x4 +αx3 +βx2 ndash2x + 4 όπου α βIR Το P(x) έχει παράγοντα το
x ndash 1 και το υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x) με το x + 1 είναι το 6
α) Να δείξετε ότι α = ndash1 και β = ndash2
β) Να λύσετε την εξίσωση P(x) = 0
γ) Να λύσετε την ανίσωση P(x) gt 0
δ) Να λύσετε την εξίσωση συν4x ndashσυν3x + 2ημ2x ndash2συνx + 2 = 0 στο διάστημα [ndashπ
2 π)
131 Δίνεται το πολυώνυμο 3 2 1P x x x x που έχει παράγοντα το 1x και το
υπόλοιπο της διαίρεσης του με το 1x είναι 8
α) Να αποδείξετε ότι 2 και 7
β) Να λύσετε την ανίσωση 0x
γ) Αν 2
x
να λύσετε την εξίσωση 3 22 7 2 3 0
132 To πολυώνυμο f(x)=x3+2αx2-βx-1 έχει παράγοντα το x-1 και το υπόλοιπο της διαίρεσης
f (x) (x 1) είναι 4
α) Να βρείτε τις τιμές των α β R
β) Να βρεθούν τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της
f(x) βρίσκεται κάτω από τον άξονα χ΄χ
γ) Να λύσετε την εξίσωση 2x x1e e
2
133 Δίνεται το πολυώνυμο 3 22 7P x x x x το οποίο έχει παράγοντα το 1x και το
υπόλοιπο της διαίρεσης του με το 1x είναι 18
α) Να αποδείξετε ότι 7 και 2
β) Να λύσετε την εξίσωση 3 22 2 7 2 7 2 2 0x x x
γ) Να λύσετε την ανίσωση 2 8 7 4 7 2 2 0x x x
134 Δίνεται το πολυώνυμο 3 2( ) (log 2) log 0P x x x k x k k
α) Να αποδείξετε ότι το 1x είναι παράγοντας του ( )P x
β) Να βρείτε τις τιμές του k για τις οποίες το πολυώνυμο ( )P x έχει τρεις
πραγματικές ρίζες
γ) Για 10k να λύσετε
i την ανίσωση ( ) 0P x
ii την εξίσωση 2( ) [0 ]P x x x
135 Δίνεται το πολυώνυμο
4 3 22ln 1 2 0 0 x x x x x x
α) Αν το πολυώνυμο x είναι 3ου βαθμού και έχει παράγοντα το 1x να βρεθούν τα
β) Αν 3 2 1x x x x x να βρεθούν οι τιμές του x για τις οποίες ισχύει
0x
22 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
γ) Να λυθούν
i η εξίσωση 2 0 0 ό
ii η ανίσωση 2 ln 0
136 Δίνεται η συνάρτηση log 2 4 5 2 2x xf x
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f
β) Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τον
άξονα χ΄χ
γ) Να λύσετε στο διάστημα 0 2 την εξίσωση 2 0f x
137 Έστω η συνάρτηση ( ) ln 2 xf x ημ
α) Να αποδείξετε ότι η f είναι περιττή
β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = 0 στο (- π π)
138 Έστω η συνάρτηση f(x) = ημx + ex - 1
α) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο Α= 2 2
π π
β) Να βρείτε το f(0)
γ) Να λύσετε
i την εξίσωση ημx + ex=1 στο 2 2
π π
ii την ανίσωση ημx + ex lt1 στο 2 2
π π
139 Έστω η συνάρτηση f (x) = (3 ndash 2lnα)x
α) Να βρείτε το α ώστε η συνάρτηση f να ορίζεται σε όλο το R
β) Να βρείτε το α ώστε η συνάρτηση f να είναι γνησίως φθίνουσα
γ) Για α = e να λύσετε την εξίσωση f(2συν2θ)-f(2ημ2θ) = 3
140 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = (2lnα - 1)x
α) Να βρείτε τις τιμές του α R για τις οποίες η συνάρτηση f ορίζεται σε όλο το R
β) Να βρείτε τις τιμές του α R για τις οποίες η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα
γ) Αν α = e2 να βρείτε το θ ώστε 2 2 2 4( ) ( )
3 f συν θ ημ θ f συν θ
141 Δίνεται η συνάρτηση 2
log logf x x x
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f
β) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τον άξονα χ΄χ
γ) Να λύσετε την εξίσωση 0f x
δ) Αν για τους θετικούς αριθμούς α β με ισχύει ότι f f να αποδείξετε ότι
10000
142 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = log(4x ndash 2)
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f και να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f έχει
μοναδικό κοινό σημείο με την ευθεία y = 1 ndash log5
23 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
β) Να λύσετε την ανίσωση 1
-12
4 64 - 2 0
5 5
xx
γ) Να λύσετε την εξίσωση f(x) + f(2
x) = 1 + log
1-
124 6
4 - 25 5
xx
δ) Να λύσετε την εξίσωση ημ2x = f(5
2) + f(1) ndash f(
3
2)
143 Δίνεται το πολυώνυμο 1
4 2 1 3 225 2 3 25 1 λf x x x x x
α) Αν το (x ndash 1) είναι παράγοντας του f(x) να βρείτε το λ
β) Για 1
2
i να δείξετε ότι το (x -1)2 είναι παράγοντας του f(x)
ii να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τον
άξονα x΄x
144 Δίνεται το πολυώνυμο Ρ(x) = (21lnκ - 1)x4 + x3 + (e - 1)x2 ndash e∙x +1 + 2ημθ θ (0 2π)
Αν το πολυώνυμο Ρ(x) είναι 3ου βαθμού και έχει παράγοντα το x - 1
α) να βρείτε τα κ και θ
β) να λύσετε την ανίσωση Ρ(x) lt 0
γ) να βρείτε τα διαστήματα που η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) με
f(x) = e3x+(e-1)e2x-ex+1 βρίσκεται κάτω από τον άξονα χ χ
145 Δίνεται η συνάρτηση ln ln 3
( )ln ln
x
f x
με 3lt α lt β η οποία είναι γνησίως φθίνουσα στο
σύνολο των πραγματικών αριθμών
α) Να συγκρίνετε τους αριθμούς ln και ln
β) Να αποδείξετε ότι 23
γ) Αν 6 και 24 τότε
i) να αποδείξετε ότι 1
( )2
x
f x
ii) να αποδείξετε ότι για κάθε ισχύει η ανισότητα 22
f f f
δ)Να λυθεί η εξίσωση 2 2( ) ( ) 3f x f x
146 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x - 1 + lnx x gt 0
α) Να δείξετε ότι για κάθε x με 0 lt x lt 1 f(x) lt 0
β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = x-1-ln2x
γ) Να λύσετε την ανίσωση f (ex) gt x + 2x -1
δ) Να δείξετε ότι για κάθε θ 02
lne
147 Δίνεται το πολυώνυμο f(x) όπου f(x) = x3-2x2lnα2 + 5xlnα-2 αgt0
α) Αν το x-1 είναι παράγοντας του f(x) τότε να βρείτε το α
β) Για α = e
24 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
i να δείξετε ότι το (x-1)2 είναι παράγοντας του πολυωνύμου f(x)
ii να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της πολυωνυμικής
συνάρτησης f(x) βρίσκεται κάτω από τον άξονα χ χ
148 Έστω η συνάρτηση f(x) = ln(2 - ex)
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f
β) Έστω ότι ο αριθμοί α = 2x β = f(x) γ = ln4 είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου
i Να βρείτε το x
ii Αν ο αριθμός α είναι ο 3ος όρος της αριθμητικής προόδου να βρείτε ποιος όρος της προόδου
ισούται με 2ln2 + 5ln3
149 Δίνεται το πολυώνυμο Ρ(x) = x3 +x2 + x + 2λ2 ndashλ +1
α) Να αποδείξετε ότι η διαίρεση Ρ(x) (x -1 ) δεν είναι τέλεια
β) Αν υ(λ) το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ(x) (x -1 ) να βρεθεί το λ ώστε το υ(λ) να γίνεται
ελάχιστο και την ελάχιστη τιμή του υ(λ)
γ) Για την τιμή του λ που το υ(λ) γίνεται ελάχιστο
i να λύσετε την εξίσωση 425x-2λ-16x-2λ=48λx
ii να λύσετε την εξίσωση
2ln x 1ln
21
4 5 x2
αφού πρώτα αποδείξετε ότι
ln x ln 22 x
δ) Να λύσετε την ανίσωση 8 x 4 x 4 x 1 4 x 13 9 11 4 4
150 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = log(e2x-kex +λ) με f(0) = log2 f(ln6) = log12
α) Να δείξετε ότι κ = 5 και λ = 6
β) Αν κ = 5 και λ = 6
i Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f
ii Να λυθεί η εξίσωση f(x) = 1minuslog(ex + 1)
iii Να δείξετε ότι οι αριθμοί f(ln5)minusf(0) f(ln5) f(ln6) είναι διαδοχικοί όροι
αριθμητικής προόδου
151 Αν το πολυώνυμο f(x) = x3 + 2αx2 - βx - 1 έχει παράγοντα το x - 1 και το υπόλοιπο της
διαίρεσης Ρ(x)(x + 1) είναι 4
α) να βρείτε τους α και β
β) να λύσετε την εξίσωση 2συν4
βx- 2ημ2 x
2
= -2
γ) να βρείτε το ελάχιστο πλήθος των πρώτων όρων της αριθμητικής προόδου (αν) με α1 = α και
ω = β που απαιτούνται ώστε το άθροισμα τους να ξεπερνάει το 150
δ) να λύσετε την εξίσωση β2lnx =5 + 4∙xln2α
152 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) = x3+λx2+23x-15 (λR ) διέρχεται από το σημείο
Α(10)
α) Να βρεθεί ο λ R
β) Για ποιες τιμές του xR η ψ = f(x) βρίσκεται κάτω από τον άξονα x΄x
γ) οι τετμημένες των σημείων στα οποία η ψ = f(x) τέμνει τον άξονα x΄x είναι κατά αύξουσα
τάξη οι 3 πρώτοι όροι μιας προόδου Αν το άθροισμα των ν πρώτων όρων της είναι 400 να
βρεθεί ο ν
25 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
153 α) Έστω η συνάρτηση f (x) = 2 middot 3x + 3x - 24
i να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα και να βρείτε το f(2)
ii να λύσετε την εξίσωση f(x) = 0
β) Δύο κοινωνίες βακτηριδίων Α και Β έχουν αρχικά 24 και 2 βακτηρίδια αντίστοιχα
Η κοινωνία των βακτηριδίων Α μειώνεται σε αριθμό κάθε μια ώρα κατά 3 βακτηρίδια
Η κοινωνία των βακτηριδίων Β τριπλασιάζεται κάθε μία ώρα Να βρείτε μετά από πόσες
ώρες οι κοινωνίες των βακτηριδίων θα έχουν τον ίδιο αριθμό βακτηριδίων
4 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
19 Δίνεται η συνάρτηση 2
3
3( )
25
x af x
x x
με α R της οποίας η γραφική παράσταση διέρχεται
από το σημείο Μ(-1-1)
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f
β) Να αποδείξετε ότι α = -27
γ) Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τον
άξονα χχ
δ) Να εξετάσετε αν η f είναι άρτια ή περιττή
20 Δίνεται η συνάρτηση f (x) = x2 + 6x + 1 Έστω επίσης g(x) η συνάρτηση της οποίας η γραφική
παράσταση προκύπτει από δύο διαδοχικές μετατοπίσεις της γραφικής παράστασης της f κατά 2
μονάδες προς τα δεξιά και κατά 4 μονάδες προς τα πάνω
α) Να βρείτε τον τύπο της g
β) Να βρείτε τα σημεία τομής των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f και g
γ) Έστω (ε) η ευθεία που έχει συντελεστή διεύθυνσης λ = 2 και διέρχεται από το σημείο
Μ(-2 g(-2))Να βρείτε
i την εξίσωση της ευθείας (ε)
ii τα σημεία τομής της ευθείας (ε) και της γραφικής παράστασης της f
iiiτα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της g είναι πάνω από την ευθεία (ε)
ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ
21 α) Να λύσετε την εξίσωση 2συν2x-5συνx+2=0
β) Να βρείτε τις λύσεις της εξίσωσης που βρίσκονται στο διάστημα [02π]
22 Δίνεται η συνάρτηση ( )f x x
α)) Να λυθεί η εξίσωση 2
( )2
f x
β) Να βρείτε την περίοδο την μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της συνάρτησης
( ) 2 (4 )g x f x
γ) Να βρείτε για ποιες τιμές του x ισχύει ( ) 1g x
23 Αν η ελάχιστη τιμή της συνάρτησης f (x) = x2 + 3 είναι ίση με την μέγιστη τιμή της
συνάρτησης g(x) = αημ(βπx) α β gt 0 και η g είναι περιοδική με περίοδο Τ = 2
α να βρείτε τα α και β
β να δείξετε ότι 1 9
05 5
g g
24 Έστω η συνάρτηση x 1
f (x)x
α Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f
β Να λύσετε την εξίσωση f (x) x
γ Να αποδείξετε ότι η f είναι περιττή
5 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
25 Έστω συνάρτηση f με π
αημ 2 β6
f x x
α β Αν η γραφική παράσταση της
συνάρτησης διέρχεται από τα σημεία π
Α 3 Β 0 06
τότε
α) Να προσδιορίσετε τους πραγματικούς αριθμούς α β
β) Να προσδιορίσετε την μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της συνάρτησης καθώς και την περίοδό
της
γ) Να κατασκευάσετε την γραφική παράσταση της f χρησιμοποιώντας την γραφική παράσταση
του ημιτόνου και να αιτιολογήσετε συνοπτικά την απάντησή σας
δ) Να λύσετε την εξίσωση 3π
64
f x
26 Δίνεται η συνάρτηση ( )4
xf x a
όπου R Αν γνωρίζετε ότι η γραφική
παράσταση της f διέρχεται από τα σημεία Α(0-2) και 4
τότε
α) να αποδείξετε ότι α=-2 και β=2
β) Να βρείτε τη μέγιστη και ελάχιστη τιμή της συνάρτησης f καθώς και την περίοδό της
γ) Να λύσετε την εξίσωση f(x)=1
27 Η συνάρτηση f(x)=α+β∙συν2x με βgt0 έχει μέγιστη τιμή το 4 και η γραφική της παράσταση
Διέρχεται από το σημείο Μ(3
-5)
α) Να βρείτε τα α και β
β) Για α=-2 και β=6
i Να βρείτε την περίοδο Τ της συνάρτησης f
ii Να βρείτε την μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της συνάρτησης f
iii Να βρείτε τις τιμές του x για τις οποίες η συνάρτηση f παρουσιάζει την ελάχιστη και τη
μέγιστη τιμή της
ivΝα βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f με την ευθεία
y=1
28 Δίνεται η συνάρτηση 22 3f x x x
α) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f βρίσκεται κάτω από τον άξονα χ΄χ
β) Αν 2
f x f x
και 4
x k
k να αποδείξετε ότι
i 1
2x x ii
3
8x x
29 Δίνεται η συνάρτηση 2
2
2 2 1
2 1
xf x
x
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της
β) Να λύσετε την εξίσωση 1f x
6 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
30 Δίνεται η συνάρτηση 1 1
1 1
f x x xx x
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της
β) Να λύσετε την εξίσωση 2f x στο διάστημα 0
31 Δίνονται οι συναρτήσεις 2 2 f x x και g x x 0
Αν οι συναρτήσεις fg έχουν την ίδια μέγιστη τιμή και την ίδια περίοδο τότε
α) να αποδείξετε ότι 1
β) Να βρείτε τη τιμή της παράστασης 3 4
f g
γ) Να λύσετε την εξίσωση 3 2 f x g x στο διάστημα 2
32 Η συνάρτηση f x x έχει περίοδο π και η γραφική της παράσταση διέρχεται από το
σημείο 34
α) Να βρείτε τα ρ ω
β) Να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της f
γ) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της f
δ) Να λύσετε την εξίσωση 3 6
f x f x
33 Δίνεται η συνάρτηση 2 2f x x x
α) Να βρείτε την μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της f καθώς και την περίοδο της f
β) Να υπολογίσετε τις τιμές της f για 3
0 4 2 4
x
και να σχεδιάσετε την γραφική
παράσταση της f για 0 x
γ) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με την ευθεία 5
2y
δ) Να λύσετε την εξίσωση 2
2 4 0f x f x
34 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f με f (x) = α + βημ2x διέρχεται από τα σημεία
31
M 212
και 53
412
τότε
α) να βρείτε τα α και β
β) να βρείτε την περίοδο καθώς και τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της f
γ) να λύσετε την εξίσωση f(x)=1
δ) να Λύσετε την εξίσωση 3
f (x) f x4
ε) να κάνετε τη γραφική παράσταση της f στο διάστημα [02π]
35 Έστω η συνάρτηση f (x) = (α - β)συνγx α gt β γ gt 0
Αν η Cf τέμνει τον άξονα yy στο 4 η f έχει μέγιστο το 2α και περίοδο Τ = π
α) να βρείτε τα α β γ και την f
β) να βρείτε την ελάχιστη τιμή της f
7 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
γ) να δείξετε ότι η συνάρτηση g(x) = f2
πx είναι άρτια
36 Α Δίνεται η παράσταση f(x) = ημ2x -2συνx +2 χ εR
α) Να κάνετε γινόμενο την f(x)
β) Να δείξετε ότι f(x) 0 x εR
γ) Να βρείτε τις τιμές του x για τις οποίες f(x) = 0
Β Δίνεται η εξίσωση 23 x ( 3 1) x 1 0 με 2
lt χ π
Να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς του x
37 Δίνεται η συνάρτηση f(x)=2συνx
α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της και το σύνολο τιμών της
β) Να βρεθεί η ελάχιστη τιμή της συνάρτησης f
γ) Για ποιες τιμές του x παίρνει ελάχιστη τιμή η συνάρτηση
δ) Να λυθεί η εξίσωση f(x)+συν2x=3+ημ2x
38 Έστω η συνάρτηση f (x) = α + εφ2πx
α) Αν η Cf τέμνει τον άξονα yy στο 2 να βρείτε το α
β) Για α = 2 να λύσετε την εξίσωση 02 4
x πf f x
39 Δίνεται η συνάρτηση 2 2 1 f x x x
α) Να βρείτε τη περίοδο την μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της
β) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της f
γ) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τους άξονες
δ) Να λύσετε την εξίσωση
f x f x4
στο διάστημα 0
ε) Να αποδείξετε ότι 13
log2 log 3log log1284 12 12
f f f
στ) Να βρείτε τα για τα οποία το πολυώνυμο 3 2P x x 6x x έχει παράγοντες τα
x f4
και
x f12
ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ
40 Δίνεται το πολυώνυμο 3 3 2 2( 4 ) ( 2 ) 2 λx x x
α) Να βρείτε το βαθμό του Ρ(x) για τις διάφορες τιμές του πραγματικού αριθμού λ
β) Για λ=1
i να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης Ρ διέρχεται από το σημείο Α(1-3)
ii να βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης Ρ με την ευθεία y=-3
iii να βρείτε τα διαστήματα του x στα οποία η γραφική παράσταση της συνάρτησης Ρ
βρίσκεται κάτω από την ευθεία y=-3
8 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
41 Δίνεται το πολυώνυμο 4 3 28 5 1 8 3 6 αx x x x x
α) Να γίνει η διαίρεση του Ρ(x) δια του x2 ndash 1 και να γράψετε τη σχετική ταυτότητα
β) Να βρείτε τη τιμή του α ώστε η παραπάνω διαίρεση να είναι τέλεια
γ) Για 3 να βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης Ρ(x) = 0 καθώς και τα διαστήματα στα οποία η
γραφική παράσταση της πολυωνυμικής συνάρτησης Ρ(x) είναι κάτω από τον άξονα x΄x
42 Έστω ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου Ρ(x) με το x2 + 2x είναι 3x - 2
α Να γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης
β Να βρείτε τα Ρ(0) και Ρ(-2)
γ Αν το πολυώνυμο Ρ(x) είναι βαθμού 3 και το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ(x) με το x2 ndash 2
είναι 2x -1 να βρείτε
i το βαθμό του πηλίκου της διαίρεσης του πολυωνύμου Ρ(x) με το x2-2
ii το πολυώνυμο Ρ(x)
43 Δίνονται τα πολυώνυμα Ρ(x) και Q(x) = x3 ndash 4x Αν η πολυωνυμική συνάρτηση Ρ(x) είναι
περιττή και το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ(x) με το x-2 είναι3
α) Να δείξετε ότι Ρ(0) = 0
β) Να βρείτε το Ρ(-2)
γ) Να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ(x) με το x3 ndash 4x
44 Αν για το πολυώνυμο Ρ(x) ισχύει P(x)-2P(1-x) = 4x2-1 να βρείτε
α) τα Ρ(0) και Ρ(1)
β) το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ(x) με το πολυώνυμο 2x2 ndash 2x
45 Έστω τα πολυώνυμα Ρ(x) και Q(x) = Ρ2 (x) - 4Ρ(x) + x2 +1
α)Αν το άθροισμα των συντελεστών του Ρ(x) είναι 3 να βρείτε το άθροισμα των συντελεστών
του Q(x)
β) Να δείξετε ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης του Q(x) με το x - 2 είναι θετικός αριθμός
46 Έστω Ρ(x) πολυώνυμο 3ου βαθμού το οποίο διαιρείται με το 2x 1 έχει ρίζα το 0 και του
οποίου το άθροισμα των συντελεστών είναι ίσο με 2
α) Να αποδείξετε ότι 3(x) x x
β) Να λύσετε την ανίσωση 3 2
2 2 2x x x
47 Δίνεται το πολυώνυμο P(x)=x(x2
+λ) +κx2
+5 με παράγοντα το x-1 και P(-2)=3
α) Να βρείτε τα κ λ
β) Αν κ=-1 και λmdash5
i Να λύσετε την εξίσωση P(x)=0
ii Nα λύσετε την ανίσωση P(x)8
48 Αν το πολυώνυμο Ρ(x) = α3x3 + 5α2x2 - 10αx - 104 έχει παράγοντα το x - 2
α) Να βρείτε το α
β) Για την μεγαλύτερη τιμή του α να λύσετε την ανίσωση Ρ(x) gt 0
49 Δίνεται το πολυώνυμο P(x)=x3+αx-α +β
α) Αν έχει παράγοντες το x-2 και το x να δείξετε ότι α=β=-4
β) Για τις παραπάνω τιμές των α και β να λυθεί η εξίσωση Ρ(x)=0
γ) Να λυθεί η ανίσωση Ρ(x)gt0
9 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
50 Δίνεται το πολυώνυμο 3 2( ) 2 9 10 3P x x x x
α) Να γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης με το 2x+1
β) Να λύσετε την ανίσωση P(x) le 0
51 Δίνεται το πολυώνυμο 20 30
10 20 30P x x x x
α) Να βρείτε το βαθμό του
β) Να λύσετε την εξίσωση 0P x
γ) Να λύσετε την εξίσωση 10P x x
δ) Να λύσετε την ανίσωση 0P x
52 Έστω η συνάρτηση f(x) = 2
3 2
3 3 6
2 3 3 2
x x
x x x
α)Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f
β) Να απλοποιήσετε τον τύπο της f
γ) Να βρείτε τα διαστήματα του x που η γραφική παράσταση της f βρίσκεται κάτω από τη
γραφική παράσταση της g(x) =x2
53 Δίνεται η συνάρτηση f(x)=x3-6x2+11x-6
α Να βρεθούν τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f(x) με τον άξονα χ΄χ
β Να βρεθούν τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της f(x) είναι πάνω από
τον άξονα χ΄χ
54 Αν το πολυώνυμο x2 - 2 διαιρεί το πολυώνυμο Ρ(x) = x3 ndash 2x2 - αx + β
α) Να βρείτε τα α και β
β) Να βρείτε τα διαστήματα του x που η γραφική παράσταση της πολυωνυμικής συνάρτησης
Ρ(x) δεν βρίσκεται πάνω από τον άξονα χχ
55 Έστω το πολυώνυμο Ρ(x) = x5 + 3x2 + αx + β Αν το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ(x) με το x2-2
είναι το υ(x) = 5x + 8
α) Να βρείτε τα α και β
β) Να βρείτε το πηλίκο της διαίρεσης του Ρ(x) με το x2 - 2
γ) Να βρείτε τα διαστήματα του x που η γραφική παράσταση της πολυωνυμικής συνάρτησης
Ρ(x) βρίσκεται πάνω από την ευθεία y = 5x + 8
56 Έστω το πολυώνυμο Ρ(x) = x3-αx-2 αR Αν το Ρ(x) έχει ρίζα άρτιο θετικό ακέραιο τότε
α) να βρείτε το α
β) για α = 3 να βρείτε τις τιμές του λ ώστε για το υπόλοιπο υ της διαίρεσης του Ρ(x) με το x + λ
να ισχύει υ gt -4
57 Έστω το πολυώνυμο Ρ(x) = x4 - αx3 + βx2 - 2 α β RΑν το Ρ(x) έχει ρίζες δύο περιττούς
ακέραιους
α) να βρείτε τα α και β
β) να λύσετε την ανίσωση Ρ(x) ge 0
10 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
58 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης 3 2f (x) x x 2 x 2 3 διέρχεται από τα
σημεία Α(16) και Β(-112)Να βρείτε
α) Να βρείτε τους αριθμούς λ και μ
β) τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τους άξονες
59 Δίνεται η συνάρτηση 3 2( ) 2 9 18f x x x x Να βρεθούν οι τιμές του x για τις οποίες η
γραφική παράσταση της f(x)
α) βρίσκεται πάνω από τον άξονα χ΄ χ
β) βρίσκεται κάτω από τον άξονα χ΄ χ
60 Δίνεται το πολυώνυμο 3 2( ) ( 1) 3 2 6P x ax x x όπου α β πραγματικοί αριθμοί
α)Αν ο αριθμός 1 είναι ρίζα του πολυωνύμου Ρ(x) και το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ(x) με το
x+1 είναι ίσο με 2 να βρείτε τα α και β
β) Aν α=2 και β=4 να βρείτε
i) τα σημεία στα οποία η πολυωνυμική συνάρτηση Ρ(x) τέμνει τον άξονα χ΄χ
ii) τα διαστήματα στα οποία βρίσκεται πάνω από τον άξονα χ΄χ
61 Δίνεται το πολυώνυμο 3 2( ) 3 (2 1) 2P x x ax x όπου α β πραγματικοί αριθμοί
α) Αν ο αριθμός 1 είναι ρίζα του πολυωνύμου Ρ(x) και το υπόλοιπο της διαίρεσης του
Ρ(x) με το 1x είναι ίσο με 20να βρείτε τα α και β
β) Aν α=8 και β=4 να βρείτε
i) τα σημεία στα οποία η πολυωνυμική συνάρτηση Ρ(x) τέμνει τον άξονα χ΄χ
ii) τα διαστήματα στα οποία βρίσκεται κάτω από τον άξονα χ΄χ
62 Δίνεται το πολυώνυμο 3 2( ) ( 3) (2 1) 2P x x a x x όπου α β πραγματικοί αριθμοί
α) Αν ο αριθμός 2 είναι ρίζα του πολυωνύμου Ρ(x) και το υπόλοιπο της διαίρεσης του
Ρ(x) με το 1x είναι ίσο με -18να βρείτε τα α και β
β) Aν α=2 και β=7
2
i) Να λυθεί η εξίσωση Ρ(x) =0
ii) Να γίνει η διαίρεση του Ρ(x) με το πολυώνυμο x2+1 και να γραφεί το Ρ(x) με την
ταυτότητα της ευκλείδειας διαίρεσης
iii) Να λυθεί η ανίσωση ( ) 7 1P x x
63 Έστω πολυώνυμο P(x)=x3+αx2+βx+4 με αβ R το οποίο έχει παράγοντες τους x+1x-2
α) Να αποδείξετε ότι α=-3 και β=0
β) Για τις παραπάνω τιμές των α β να λύσετε την εξίσωση P(x)=0
γ) Έστω C η γραφική παράσταση συνάρτησης f(x)=P(x) με α=-3 και β=0 να βρείτε
i το σημείο τομής της C με τον άξονα y΄y
ii τις τιμές του x για τις οποίες ή C είναι πάνω από τον χ΄χ
64 Δίνεται το πολυώνυμο P(x) βαθμού 2 για το οποίο ισχύει
3 28( 1) ( ) (2 3) 52 8 6 16x P x x P x x x x για κάθε x
Αν το υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x) με το x-1 είναι 2
α) Να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x) με το πολυώνυμο 2
x 6x 5
β)Αν το πηλίκο της διαίρεσης του P(x) με το πολυώνυμο 2
x 6x 5 είναι το Π(x)=x+4
i Να βρεθούν τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης P(x)
11 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
α) με τον άξονα y΄y
β) με την ευθεία y=2
ii Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της συνάρτησης P(x)
είναι πάνω από την ευθεία y=2
65 α) Να λυθεί η εξίσωση y6-3y2+2 = 0
β) Να λυθεί η εξίσωση ημ6x = 1 - 3συν2x
66 Δίνεται η συνάρτηση f(x) =3
32 3
xx
x
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f
β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) =3
67 Αν το πολυώνυμο Ρ(x) = (3α - 1)x3 + x2ημπθ +1 θ (0 1) έχει θετικούς ακέραιους
συντελεστές και αρνητική ακέραια ρίζα
α να βρείτε τα θ και α
β για α = 1 και θ = 12 να βρείτε το λ ώστε το Ρ(x) να έχει παράγοντα το x + λ
ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ-ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
68 Δίνεται η συνάρτηση 1
( ) 3
x
f x
όπου x πραγματικός αριθμός
α) Να βρείτε για ποιες τιμές του ορίζεται η ( )f x
β) Να βρείτε για ποιες τιμές του η ( )f x είναι γνησίως αύξουσα
γ) Αν 7 να λύσετε την εξίσωση ( ) (2 ) 2f x f x
69 Να προσδιορισθεί ο αR ώστε η συνάρτηση 1 2
( )3
x
f x
α) να ορίζεται σε όλο το R
β) να είναι γνησίως αύξουσα στο R
γ) να είναι γνησίως φθίνουσα στο R
δ) να είναι 1-1
70 Δίνεται η συνάρτηση ( )1
x
f x
για κάθε x
α) Να βρείτε τις τιμές του ώστε η συνάρτηση f να είναι γνησίως αύξουσα
β) Αν η f είναι γνησίως αύξουσα και (2) 4f
i Nα υπολογίσετε το α
ii Για 2a να λύσετε την ανίσωση ( 1) 8f x
71 Δίνεται η συνάρτηση 6
( )4 9
x
x xf x
για κάθε x
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f
β) Nα αποδείξετε ότι η f είναι άρτια
12 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
γ) Να λυθεί η εξίσωση 12
( ) (0)13
f x f
72 Δίνεται η συνάρτηση ( ) 3 2 3 2x x
f x για κάθε x
α) Να αποδείξετε ότι η f είναι περιττή
β) Nα λυθεί η εξίσωση ( ) 4 6f x
γ) Να βρείτε τα διαστήματα του x για τα οποία η γραφική παράσταση της ( ) ( 2014)g x f x
δεν βρίσκεται πάνω από τον άξονα χ΄χ
73 Δίνεται η συνάρτηση 1 2
2 2 24( )
4 6 2 8
x x
x xf x
για κάθε x
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f
β) Nα δείξετε ότι 6
( ) 122 2
xf x x R
γ) Nα λυθεί η ανίσωση 3
( )7
f x
δ) Να βρείτε τις τιμές του έτσι ώστε η συνάρτηση ( ) ( )x
g x f a να είναι σταθερή στο
R
ε) Να λυθεί η εξίσωση h(x)+3h(x+1)=-f(3) όπου 6
( )( )
h xf x
74 Δίνεται η συνάρτηση 2
( )1
x
f x
α) Να μελετηθεί η f ως προς την μονοτονία για τις διάφορες τιμές του
β) Αν λ=1 να λυθεί η ανίσωση 2
2
2( )
3 4 2f x
γ) Αν 1 1
3 3
να λυθεί η ανίσωση 2 1(e 2 ) ( 2 )
x x x xf f e
δ) Να βρείτε τις τιμές το λ αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f διέρχεται από το σημείο
Α(f(0)3)
ε) Για λ=0 να βρείτε τα σημεία τομής των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων g και
h όπου ( ) 3 ( 1) 4g x f x ( ) (2 3) 5h x f x
στ) Για λ=0 να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης 2
( 4)( ( ) 4)(x)
(3 3 )( ( ) 2)x
x f x
e f x
75 Δίνεται η συνάρτηση ln3
f x x k
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της
β) Αν 2
ln 16
f
να βρείτε το k
γ) Αν 1k τότε
i να λύσετε την εξίσωση ln 2ln 2 ln36
x f f
13 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
ii να λύσετε την εξίσωση 1 1f x f x
e e
76 Δίνεται η συνάρτηση 1 ln 0 f x x x x
α) Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης f τέμνει τον άξονα
x΄x στο σημείο 10A
β) Να λύσετε την ανίσωση 2 51
x xf e e x
γ) Αν 0 1 x να δείξετε ότι 0f x
δ) Να δείξετε ότι για κάθε 02
ισχύει ότι ln
e
77 Δίνεται η συνάρτηση 2
2
x 68f (x) ln
100 x
α Να βρείτε το πεδίο ορισμού της
β Να λύσετε την εξίσωση f (x)e log50 log5
γ Να λύσετε την ανίσωση f(x) ge 0
78 Δίνεται η συνάρτηση 21( ) 2ln 4ln 1 0
4f x x a x a a
α Να βρεθεί ο πραγματικός αριθμός α ώστε η εξίσωση f(x)=0 να έχει διπλή ρίζα
β Να λυθεί η εξίσωση 2(0) ln 2ln 4f a a
γ Να λυθεί η ανίσωση 2( 2)ln( 2 )
8
afa e a a
79 Δίνεται η συνάρτηση 2x xf x ln e 4e 3 της οποίας η
γραφική παράσταση φαίνεται στο διπλανό σχήμα
α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της f
β) Να βρεθεί το σημείο τομής της γραφικής παράστασης της f
με τον άξονα x x
γ) Να δικαιολογήσετε (αλγεβρικά) γιατί δεν υπάρχει σημείο της
γραφικής παράστασης της f που να βρίσκεται πάνω από τον
άξονα x x
80 Δίνεται η συνάρτηση 2log 11 9 18 2log 1 f x x x x
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της
β) Να βρείτε τα σημεία στα οποία η γραφική παράσταση της f τέμνει τους άξονες
81 Δίνεται η συνάρτηση log log 1f x x
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f
β) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τον άξονα χ΄χ
γ) Να λύσετε την ανίσωση 0f x
δ) Να αποδείξετε ότι 3 101 2 1001 10001 log18f f f
14 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
82 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = ln(ex - 1)
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f
β) Να βρείτε τα διαστήματα που η γραφική παράσταση της συνάρτησης f βρίσκεται πάνω από
τον άξονα χ χ
γ) Να συγκρίνετε τους αριθμούς f(ln2) και f(l)
δ) Να λυθεί η εξίσωση f(2x)-f(x) = f(1)
83 Δίνεται η συνάρτηση f(x)=ln(ex-2)-ln(ex-1)
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f
β) Να αποδείξετε ότι f(x)=ln (1-1
1xe
)
γ) Να λύσετε την εξίσωση f(x)=-ln2
δ) Nα αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f δεν τέμνει την ευθεία με εξίσωση y=x
84 Δίνονται οι συναρτήσεις f g με τύπους f(x) = ln(ex minus 1 ) και g(x) = ln(ex + 2)
α Να βρείτε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων f και g
β Να συγκρίνετε τις τιμές f(ln2) και g( minus1)
γ Να λύσετε την εξίσωση x + f(x) = ln2 + g(x)
85 Έστω η συνάρτηση f(x) = k +log(x2-3) k
α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f
β) Να υπολογίσετε την τιμή του k ώστε f(2)= log100
γ) Για k=2
i Nα βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με την ευθεία
1
log1000
y
i i Nα λυθεί η ανίσωση f(x) gt2
86 Δίνονται οι συναρτήσεις 22log 2 1 log 3 2f x x x x και log 4 3 logg x x x
α) Να βρείτε το πεδίο των συναρτήσεων fg
β) Να βρείτε τα σημεία τομής των γραφικών τους παραστάσεων
γ) Να λύσετε τις εξισώσεις i 0f x και ii 0g x
δ) Να αποδείξετε ότι 2 2log 2 1g
87 Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο 1 1
f(x)= +1+lnx 1-lnx
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού Α της συνάρτησης
β) Να αποδείξετε ότι για κάθε xΑ ισχύει 1
f(x)=fx
γ) Να λύσετε την ανίσωση 1
f(x)+f gt4x
88 Α Να λύσετε την εξίσωση y3 + y - 2 = 0 (1)
15 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
Β Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f (x) = 27x + 1
2middot 12x lnα2 -2∙8x lnα διέρχεται από
την αρχή των αξόνων
α να αποδείξετε ότι α = e
β να βρείτε το διάστημα που η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τον άξονα xx
89 Δίνονται τα πολυώνυμα Ρ(x) = (α - ln2)x3 - (2e - β)x + 3
ln2
Q(x) = (1 ndash lnβ)x3 - (2e - 2)x + 3
ln2
Αν τα πολυώνυμα Ρ(x) και Q(x) είναι ίσα
α Να βρείτε τα α και β
β να αποδείξετε ότι Ρ(-1)gt0
90 Έστω το πολυώνυμο Ρ(x) = x3lnα + (2 - lnα)x2 + αlnβx +1 έχει θετικούς ακέραιους συντελεστές
και αρνητική ακέραια ρίζα
α Να βρείτε τα α και β
β Για α = e και β = 1 να βρείτε τα διαστήματα του x που η γραφική παράσταση της συνάρτησης
f(x) = P(ex) βρίσκεται κάτω από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης g(x) = ex + 3
91 Δίνεται η συνάρτηση f(x)= αlnx +β
α) Να βρείτε τις τιμές των α β R αν γνωρίζετε ότι η γραφική της παράσταση
διέρχεται από τα σημεία Α(10) και B(e2)
β) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f
γ) Να λυθεί η εξίσωση f(x)+f(2x)=61n2
δ) Να λυθεί η ανίσωση f(2x+1)gt f(x)
ε) Να λυθεί το σύστημα x y
f (x) f (y) 2
e e
92 Έστω η συνάρτηση f (x) = x -1 + 2ln(αx) x gt0
Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f διέρχεται από το σημείο Α(1 0)
α) να βρείτε το α
β) να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο (0+)
γ) να λύσετε την ανίσωση f(x) gt 0
93 Δίνεται η συνάρτηση 2
1( )
1
nxf x
n x
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f(x)
β) Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τον χ΄χ
γ) Να βρείτε τα σημεία τομής της Cf με την ευθεία y =1
94 Δίνεται η f( x ) = log ( 102x ndash 10x )
α) Να δειχθεί ότι το πεδίο ορισμού της f είναι το Α=( 0 + )
β) Να δειχθεί ότι f( x ) = x + log ( 10x ndash 1 )
γ) Να λυθεί η εξίσωση f( x ) = x
δ) Να λυθεί η ανίσωση f( x ) le x + 2log 2
16 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
95 Δίνεται η συνάρτηση 2( ) 5 6
x xf x n e e
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f(x)
β) Να λύσετε την ανίσωση ( ) 2f x n
γ) Να λύσετε την εξίσωση ( ) 2 f x x n
96 Δίνεται η συνάρτηση f(x)=ln(3e2xshyex-2)
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f
β) Να βρείτε την τεταγμένη του σημείου της γραφικής παράστασης με τετμημένη ln2 και να
βρείτε τη θέση του σημείου ως προς τον άξονα χ΄χ
γ) Να λυθεί η εξίσωση f(x)=3x ως προς x
97 Δίνεται η συνάρτηση 1
( )1
x
x
ef x a
e που η γραφική της παράσταση διέρχεται από το σημείο
A(ln2 3)
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f
β) Να αποδείξετε ότι α = 1
γ) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι περιττή
δ) Να λυθεί η ανίσωση f(x) gt 2
98 Δίνεται η συνάρτηση
11 2log( 1)
log( 1) 2( ) 10 100 80x
xf x
α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της
β) Να λυθεί η εξίσωση f(x) = 10
γ) Να βρείτε τα κοινά σημεία της ψ = f(x) με την ευθεία ψ = x-20
99 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = α + ln(ex - 2)
Α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f
Β) Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f διέρχεται από το σημείο A(ln3 1) middot
α) να αποδείξετε ότι α = 1
β) να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τον άξονα xx
γ) να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα
100 Δίνεται η συνάρτηση
ln 3 11( )
ln 5
xf x
x
α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της
β) Να λυθεί η εξίσωση f(x) = 2
γ) Αν x gt 6 να λύσετε την ανίσωση f(x) gt 1
101 Δίνεται η συνάρτηση ln 1
( )ln 2
xg x
x
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης ( ) ( )f x g x
β) Να βρείτε αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f τέμνει και σε ποια σημεία τους
άξονες χ΄χ και y΄y
γ) Να λύσετε την εξίσωση ( ) 1x
f e
17 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
102 Δίνεται η συνάρτηση f(x)=2(x-1)+lnx
α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της
β) Να δείξετε ότι το 1 είναι ρίζα της εξίσωσης f(x)=0
γ) Να λυθεί η εξίσωση f(x)=2(x-1)+(lnx)2
103 α) Δίνεται η συνάρτηση f (x) = 3x + 2x + lnx ndash 5Να βρείτε το f(1) και να δείξετε ότι η f είναι
γνησίως αύξουσα
β) Να λύσετε την εξίσωση 2x+ lnx = 5-3x
γ) Να λύσετε την ανίσωση 3x + lnx lt 5-2x
104 Δίνεται η συνάρτηση f (x) = 2ln 1 x x
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f
β) Να δείξετε ότι για κάθε x R f(x) + f(- x) = 0 και ότι η συνάρτηση f είναι περιττή
γ) Να συγκρίνετε τους αριθμούς f(0) και f(- 1)
δ) Να λύσετε την ανίσωση f(ex) gt x + ln3
105 Δίνεται η συνάρτηση 3
ln3
xf x
x
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f
β) Να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι περιττή
γ) Να συγκρίνετε τους αριθμούς f(0) και 1
3f
δ) Να λύσετε την εξίσωση 1 0f x f x
106 Δίνονται οι συναρτήσεις 2
2
100 10( ) ( )
10100
x xf x og g x og
xx
α) Να δείξετε ότι η f είναι άρτια και η g περιττή
β) Να βρείτε τα κοινά σημεία των γραφικών τους παραστάσεων
γ) Να λυθεί η ανισότητα f(x)gt0
107 Δίνεται η συνάρτηση f (x) = ln 9 3 x x xe
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f
β) Να δείξετε ότι f(1)lt0
γ) Να βρείτε τα διαστήματα του x που η Cf είναι πάνω από την ευθεία ε y= 2x + ln2
108 Δίνεται η συνάρτηση f (x) = 2x + 6x - 40
α) Να βρείτε το f(4)
β) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα
γ) Να λύσετε την εξίσωση f(x) =0
109 Έστω η συνάρτηση f (x) = 3x + 2ex-κ -1 που η γραφική της παράσταση διέρχεται από το
σημείο Α(0 1)
α) Να βρείτε το κ
β) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα
γ) Να λύσετε την εξίσωση 3x + 2ex = 2
δ) Να λύσετε την ανίσωση 3x + 2ex gt 2
18 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
110 Δίνεται η συνάρτηση f (x) = (ln 1)x
a
α) Να βρείτε τις τιμές του α για τις οποίες
i η συνάρτηση f ορίζεται σε όλο το R
ii η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα
β) Για α = e3 να λύσετε την εξίσωση ln 2 ln 1 f εφx f σφx
111 Δίνεται η συνάρτηση 1
ln5
x
f x
α) Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες η συνάρτηση f ορίζεται σε όλο το
β) Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα
στο
γ) Αν 11 να λύσετε την εξίσωση f f 1 6x x
112 Δίνεται η συνάρτηση f με f(x) = x + ln(ex - 3)
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της
β) Να δείξετε ότι f(ln4) lt f(ln5)
γ) Να λύσετε την ανίσωση f(x) gt lη2 + ln(ex - 2)
113 Δίνεται η συνάρτηση ( ) ln( 1) x
f x x e
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της
β) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα
γ) Να συγκρίνετε τους αριθμούς log 2f και log5f
δ) Να βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f και της ευθείας
ln 2y
114 Δίνεται η συνάρτηση 4 2
log 8 log log 100 0f x x x x x
α) Αν f(10)=25 να δείξετε ότι α = 1
β) Για την τιμή α = 1 να
i δείξετε ότι η f(x) γράφεται στη μορφή 2
2log 4 logf x x x
ii να λύσετε την εξίσωση f(x) = 0
115 Δίνονται οι συναρτήσεις ln x
f x e e και 1ln 2 2
xg x e
α) Να βρείτε το πεδίο των συναρτήσεων fg
β) Να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των fg δεν τέμνονται
γ) Να λύσετε την ανίσωση 1f x
116 Δίνονται οι συναρτήσεις x xf(x) ln e e
και x
g(x) ln ln e
α) Να βρείτε τα πεδία ορισμού των f(x) και g(x)
β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = g(x)
γ) Να λύσετε την ανίσωση f(x) gt 2g(x
117 Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) = ln(e2x-ex-2) και g(x) = ln2+ln(ex-l)
α) Να βρείτε τα πεδία ορισμού των f(x) και g(x)
β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = g(x)
γ) Να λύσετε την ανίσωση f(x) gt g(x)
19 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
118 Δίνεται η συνάρτηση 2
1ln
5
x
x
ef x
e
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f(x)
β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = 2ln2
γ) Να λύσετε την ανίσωση f(x) gt 0
119 Έστω η συνάρτηση f(x) = log(225x-54x) και η ευθεία ε y = x + log3
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f
β) Να βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της f και της ευθείας ε
γ) Να δείξετε ότι το σημείο Α3 3
2 2
f βρίσκεται πάνω από το σημείο Β με τετμημένη 3
2
της ευθείας ε
120 Δίνονται οι συναρτήσεις ( ) ln 2 3 xf x και ( ) ln(2 3) xg x
α) Να βρείτε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων f και g
β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = g(x)
γ) Να συγκρίνετε τους αριθμούς f(3) και g(3)
121 α) Να δείξετε ότι ln ln a για κάθε α β gt 0
β) Να λυθεί η ανίσωση 1
lnln 22 2 1
xx
γ) Έστω η συνάρτηση f(x) = ln xa Να βρείτε το α ώστε 5f (3) - 3f (5) gt 0
122 Δίνεται το πολυώνυμο 2 1 4 3 2 2( ) 1 ln ln 1f x e x x x x θ (0 π) το
οποίο είναι 3ου βαθμού και διαιρείται με το x-1
α) Να αποδείξετε ότι θ = 2
3
και κ =
1
e
β) Να αποδείξετε ότι το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης [f(x)x2] είναι το ίδιο
γ) Να βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της πολυωνυμικής συνάρτησης f(x)
με την ευθεία (ε) y = 5x-5
ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ
123 Δίνεται το σύστημα 2x y 7
7x 2y 11
α) Να βρείτε τη λύση (x0y0) του συστήματος
β) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης 2f (x) x x έχει κορυφή το σημείο Κ(x0y0)
i) να βρείτε τους αριθμούς β και γ
ii) να λύσετε την ανίσωση f (x) 0
iii) να λύσετε το σύστημα y f (x)
x y 6
20 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
124 Το σύστημα ( 1)x 8y 4
x ( 3)y 3 1
έχει τη μοναδική λύση (x0y0) για την οποία ισχύει
0 0x y 1
α) Να βρείτε τον αριθμό λ
β) Δίνεται η συνάρτηση 2f (x) x 2 x 6
i Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η Cf είναι πάνω από τον χ΄χ
iiΝα λύσετε το σύστημα y f (x)
2y f (x 1) 10x
125 Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f με f (x) = α + βσυν2x διέρχεται από τα σημεία
Α(0 1) και Β 24
π τότε
α) να βρείτε τα α και β
β) να βρείτε την f
γ) να δείξετε ότι η Cf έχει άξονα συμμετρίας τον yy
δ) να δείξετε ότι f (-x) - f4
πx = ημ2x - συν2x
126 Δίνεται το πολυώνυμο f (x) = 2x3 middot συν2θ - x3ημθ - x2 + 3eλ - 2
Αν το πολυώνυμο έχει παράγοντες τους x και x - 1
α) να βρείτε τους λ και θ θ [0 2
π]
β) να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του πολυωνύμου Ρ(x) με το x - 1 όπου
P(x) = x∙f(3x-2) + (2-3x)21
γ) να βρείτε τα διαστήματα που η γραφική παράσταση της συνάρτησης f βρίσκεται κάτω από
τον άξονα χ χ
127 Δίνεται η πολυωνυμική συνάρτηση f(x) = 8x3-4x2 + 2x-l
α) Αν το πολυώνυμο Ρ(x) έχει παράγοντα το x - συνθ θ 02
π να βρείτε το θ
β) Να λύσετε την ανίσωση f(lnx) lt 0
γ) Να βρείτε τα διαστήματα του χ που η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από την
ευθεία y = 10x - 5
128 Θεωρούμε το πολυώνυμο 3 2( ) ( ) 2 1P x x x x
α) Αν έχει παράγοντα το 2
1x να βρείτε τα και
β) Για τις τιμές των και που βρήκατε να λύσετε την ανίσωση ( ) 0P x
γ) Για τις ίδιες τιμές των και να λύσετε την εξίσωση ( ) 0P x
129 Δίνεται το πολυώνυμο 3 2 P x x x x α β Αν το υπόλοιπο της διαίρεσης
2 2P x x x είναι (x) 9x 3 τότε
α) να αποδείξετε ότι 3 και 3
β) να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της πολυωνυμικής συνάρτησης
P(x) βρίσκεται κάτω από τον άξονα xrsquox
21 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
γ) να λύσετε την ανίσωση 10 2 0xP
130 Δίνεται το πολυώνυμο P(x) = x4 +αx3 +βx2 ndash2x + 4 όπου α βIR Το P(x) έχει παράγοντα το
x ndash 1 και το υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x) με το x + 1 είναι το 6
α) Να δείξετε ότι α = ndash1 και β = ndash2
β) Να λύσετε την εξίσωση P(x) = 0
γ) Να λύσετε την ανίσωση P(x) gt 0
δ) Να λύσετε την εξίσωση συν4x ndashσυν3x + 2ημ2x ndash2συνx + 2 = 0 στο διάστημα [ndashπ
2 π)
131 Δίνεται το πολυώνυμο 3 2 1P x x x x που έχει παράγοντα το 1x και το
υπόλοιπο της διαίρεσης του με το 1x είναι 8
α) Να αποδείξετε ότι 2 και 7
β) Να λύσετε την ανίσωση 0x
γ) Αν 2
x
να λύσετε την εξίσωση 3 22 7 2 3 0
132 To πολυώνυμο f(x)=x3+2αx2-βx-1 έχει παράγοντα το x-1 και το υπόλοιπο της διαίρεσης
f (x) (x 1) είναι 4
α) Να βρείτε τις τιμές των α β R
β) Να βρεθούν τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της
f(x) βρίσκεται κάτω από τον άξονα χ΄χ
γ) Να λύσετε την εξίσωση 2x x1e e
2
133 Δίνεται το πολυώνυμο 3 22 7P x x x x το οποίο έχει παράγοντα το 1x και το
υπόλοιπο της διαίρεσης του με το 1x είναι 18
α) Να αποδείξετε ότι 7 και 2
β) Να λύσετε την εξίσωση 3 22 2 7 2 7 2 2 0x x x
γ) Να λύσετε την ανίσωση 2 8 7 4 7 2 2 0x x x
134 Δίνεται το πολυώνυμο 3 2( ) (log 2) log 0P x x x k x k k
α) Να αποδείξετε ότι το 1x είναι παράγοντας του ( )P x
β) Να βρείτε τις τιμές του k για τις οποίες το πολυώνυμο ( )P x έχει τρεις
πραγματικές ρίζες
γ) Για 10k να λύσετε
i την ανίσωση ( ) 0P x
ii την εξίσωση 2( ) [0 ]P x x x
135 Δίνεται το πολυώνυμο
4 3 22ln 1 2 0 0 x x x x x x
α) Αν το πολυώνυμο x είναι 3ου βαθμού και έχει παράγοντα το 1x να βρεθούν τα
β) Αν 3 2 1x x x x x να βρεθούν οι τιμές του x για τις οποίες ισχύει
0x
22 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
γ) Να λυθούν
i η εξίσωση 2 0 0 ό
ii η ανίσωση 2 ln 0
136 Δίνεται η συνάρτηση log 2 4 5 2 2x xf x
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f
β) Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τον
άξονα χ΄χ
γ) Να λύσετε στο διάστημα 0 2 την εξίσωση 2 0f x
137 Έστω η συνάρτηση ( ) ln 2 xf x ημ
α) Να αποδείξετε ότι η f είναι περιττή
β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = 0 στο (- π π)
138 Έστω η συνάρτηση f(x) = ημx + ex - 1
α) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο Α= 2 2
π π
β) Να βρείτε το f(0)
γ) Να λύσετε
i την εξίσωση ημx + ex=1 στο 2 2
π π
ii την ανίσωση ημx + ex lt1 στο 2 2
π π
139 Έστω η συνάρτηση f (x) = (3 ndash 2lnα)x
α) Να βρείτε το α ώστε η συνάρτηση f να ορίζεται σε όλο το R
β) Να βρείτε το α ώστε η συνάρτηση f να είναι γνησίως φθίνουσα
γ) Για α = e να λύσετε την εξίσωση f(2συν2θ)-f(2ημ2θ) = 3
140 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = (2lnα - 1)x
α) Να βρείτε τις τιμές του α R για τις οποίες η συνάρτηση f ορίζεται σε όλο το R
β) Να βρείτε τις τιμές του α R για τις οποίες η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα
γ) Αν α = e2 να βρείτε το θ ώστε 2 2 2 4( ) ( )
3 f συν θ ημ θ f συν θ
141 Δίνεται η συνάρτηση 2
log logf x x x
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f
β) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τον άξονα χ΄χ
γ) Να λύσετε την εξίσωση 0f x
δ) Αν για τους θετικούς αριθμούς α β με ισχύει ότι f f να αποδείξετε ότι
10000
142 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = log(4x ndash 2)
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f και να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f έχει
μοναδικό κοινό σημείο με την ευθεία y = 1 ndash log5
23 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
β) Να λύσετε την ανίσωση 1
-12
4 64 - 2 0
5 5
xx
γ) Να λύσετε την εξίσωση f(x) + f(2
x) = 1 + log
1-
124 6
4 - 25 5
xx
δ) Να λύσετε την εξίσωση ημ2x = f(5
2) + f(1) ndash f(
3
2)
143 Δίνεται το πολυώνυμο 1
4 2 1 3 225 2 3 25 1 λf x x x x x
α) Αν το (x ndash 1) είναι παράγοντας του f(x) να βρείτε το λ
β) Για 1
2
i να δείξετε ότι το (x -1)2 είναι παράγοντας του f(x)
ii να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τον
άξονα x΄x
144 Δίνεται το πολυώνυμο Ρ(x) = (21lnκ - 1)x4 + x3 + (e - 1)x2 ndash e∙x +1 + 2ημθ θ (0 2π)
Αν το πολυώνυμο Ρ(x) είναι 3ου βαθμού και έχει παράγοντα το x - 1
α) να βρείτε τα κ και θ
β) να λύσετε την ανίσωση Ρ(x) lt 0
γ) να βρείτε τα διαστήματα που η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) με
f(x) = e3x+(e-1)e2x-ex+1 βρίσκεται κάτω από τον άξονα χ χ
145 Δίνεται η συνάρτηση ln ln 3
( )ln ln
x
f x
με 3lt α lt β η οποία είναι γνησίως φθίνουσα στο
σύνολο των πραγματικών αριθμών
α) Να συγκρίνετε τους αριθμούς ln και ln
β) Να αποδείξετε ότι 23
γ) Αν 6 και 24 τότε
i) να αποδείξετε ότι 1
( )2
x
f x
ii) να αποδείξετε ότι για κάθε ισχύει η ανισότητα 22
f f f
δ)Να λυθεί η εξίσωση 2 2( ) ( ) 3f x f x
146 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x - 1 + lnx x gt 0
α) Να δείξετε ότι για κάθε x με 0 lt x lt 1 f(x) lt 0
β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = x-1-ln2x
γ) Να λύσετε την ανίσωση f (ex) gt x + 2x -1
δ) Να δείξετε ότι για κάθε θ 02
lne
147 Δίνεται το πολυώνυμο f(x) όπου f(x) = x3-2x2lnα2 + 5xlnα-2 αgt0
α) Αν το x-1 είναι παράγοντας του f(x) τότε να βρείτε το α
β) Για α = e
24 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
i να δείξετε ότι το (x-1)2 είναι παράγοντας του πολυωνύμου f(x)
ii να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της πολυωνυμικής
συνάρτησης f(x) βρίσκεται κάτω από τον άξονα χ χ
148 Έστω η συνάρτηση f(x) = ln(2 - ex)
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f
β) Έστω ότι ο αριθμοί α = 2x β = f(x) γ = ln4 είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου
i Να βρείτε το x
ii Αν ο αριθμός α είναι ο 3ος όρος της αριθμητικής προόδου να βρείτε ποιος όρος της προόδου
ισούται με 2ln2 + 5ln3
149 Δίνεται το πολυώνυμο Ρ(x) = x3 +x2 + x + 2λ2 ndashλ +1
α) Να αποδείξετε ότι η διαίρεση Ρ(x) (x -1 ) δεν είναι τέλεια
β) Αν υ(λ) το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ(x) (x -1 ) να βρεθεί το λ ώστε το υ(λ) να γίνεται
ελάχιστο και την ελάχιστη τιμή του υ(λ)
γ) Για την τιμή του λ που το υ(λ) γίνεται ελάχιστο
i να λύσετε την εξίσωση 425x-2λ-16x-2λ=48λx
ii να λύσετε την εξίσωση
2ln x 1ln
21
4 5 x2
αφού πρώτα αποδείξετε ότι
ln x ln 22 x
δ) Να λύσετε την ανίσωση 8 x 4 x 4 x 1 4 x 13 9 11 4 4
150 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = log(e2x-kex +λ) με f(0) = log2 f(ln6) = log12
α) Να δείξετε ότι κ = 5 και λ = 6
β) Αν κ = 5 και λ = 6
i Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f
ii Να λυθεί η εξίσωση f(x) = 1minuslog(ex + 1)
iii Να δείξετε ότι οι αριθμοί f(ln5)minusf(0) f(ln5) f(ln6) είναι διαδοχικοί όροι
αριθμητικής προόδου
151 Αν το πολυώνυμο f(x) = x3 + 2αx2 - βx - 1 έχει παράγοντα το x - 1 και το υπόλοιπο της
διαίρεσης Ρ(x)(x + 1) είναι 4
α) να βρείτε τους α και β
β) να λύσετε την εξίσωση 2συν4
βx- 2ημ2 x
2
= -2
γ) να βρείτε το ελάχιστο πλήθος των πρώτων όρων της αριθμητικής προόδου (αν) με α1 = α και
ω = β που απαιτούνται ώστε το άθροισμα τους να ξεπερνάει το 150
δ) να λύσετε την εξίσωση β2lnx =5 + 4∙xln2α
152 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) = x3+λx2+23x-15 (λR ) διέρχεται από το σημείο
Α(10)
α) Να βρεθεί ο λ R
β) Για ποιες τιμές του xR η ψ = f(x) βρίσκεται κάτω από τον άξονα x΄x
γ) οι τετμημένες των σημείων στα οποία η ψ = f(x) τέμνει τον άξονα x΄x είναι κατά αύξουσα
τάξη οι 3 πρώτοι όροι μιας προόδου Αν το άθροισμα των ν πρώτων όρων της είναι 400 να
βρεθεί ο ν
25 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
153 α) Έστω η συνάρτηση f (x) = 2 middot 3x + 3x - 24
i να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα και να βρείτε το f(2)
ii να λύσετε την εξίσωση f(x) = 0
β) Δύο κοινωνίες βακτηριδίων Α και Β έχουν αρχικά 24 και 2 βακτηρίδια αντίστοιχα
Η κοινωνία των βακτηριδίων Α μειώνεται σε αριθμό κάθε μια ώρα κατά 3 βακτηρίδια
Η κοινωνία των βακτηριδίων Β τριπλασιάζεται κάθε μία ώρα Να βρείτε μετά από πόσες
ώρες οι κοινωνίες των βακτηριδίων θα έχουν τον ίδιο αριθμό βακτηριδίων
5 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
25 Έστω συνάρτηση f με π
αημ 2 β6
f x x
α β Αν η γραφική παράσταση της
συνάρτησης διέρχεται από τα σημεία π
Α 3 Β 0 06
τότε
α) Να προσδιορίσετε τους πραγματικούς αριθμούς α β
β) Να προσδιορίσετε την μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της συνάρτησης καθώς και την περίοδό
της
γ) Να κατασκευάσετε την γραφική παράσταση της f χρησιμοποιώντας την γραφική παράσταση
του ημιτόνου και να αιτιολογήσετε συνοπτικά την απάντησή σας
δ) Να λύσετε την εξίσωση 3π
64
f x
26 Δίνεται η συνάρτηση ( )4
xf x a
όπου R Αν γνωρίζετε ότι η γραφική
παράσταση της f διέρχεται από τα σημεία Α(0-2) και 4
τότε
α) να αποδείξετε ότι α=-2 και β=2
β) Να βρείτε τη μέγιστη και ελάχιστη τιμή της συνάρτησης f καθώς και την περίοδό της
γ) Να λύσετε την εξίσωση f(x)=1
27 Η συνάρτηση f(x)=α+β∙συν2x με βgt0 έχει μέγιστη τιμή το 4 και η γραφική της παράσταση
Διέρχεται από το σημείο Μ(3
-5)
α) Να βρείτε τα α και β
β) Για α=-2 και β=6
i Να βρείτε την περίοδο Τ της συνάρτησης f
ii Να βρείτε την μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της συνάρτησης f
iii Να βρείτε τις τιμές του x για τις οποίες η συνάρτηση f παρουσιάζει την ελάχιστη και τη
μέγιστη τιμή της
ivΝα βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f με την ευθεία
y=1
28 Δίνεται η συνάρτηση 22 3f x x x
α) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f βρίσκεται κάτω από τον άξονα χ΄χ
β) Αν 2
f x f x
και 4
x k
k να αποδείξετε ότι
i 1
2x x ii
3
8x x
29 Δίνεται η συνάρτηση 2
2
2 2 1
2 1
xf x
x
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της
β) Να λύσετε την εξίσωση 1f x
6 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
30 Δίνεται η συνάρτηση 1 1
1 1
f x x xx x
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της
β) Να λύσετε την εξίσωση 2f x στο διάστημα 0
31 Δίνονται οι συναρτήσεις 2 2 f x x και g x x 0
Αν οι συναρτήσεις fg έχουν την ίδια μέγιστη τιμή και την ίδια περίοδο τότε
α) να αποδείξετε ότι 1
β) Να βρείτε τη τιμή της παράστασης 3 4
f g
γ) Να λύσετε την εξίσωση 3 2 f x g x στο διάστημα 2
32 Η συνάρτηση f x x έχει περίοδο π και η γραφική της παράσταση διέρχεται από το
σημείο 34
α) Να βρείτε τα ρ ω
β) Να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της f
γ) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της f
δ) Να λύσετε την εξίσωση 3 6
f x f x
33 Δίνεται η συνάρτηση 2 2f x x x
α) Να βρείτε την μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της f καθώς και την περίοδο της f
β) Να υπολογίσετε τις τιμές της f για 3
0 4 2 4
x
και να σχεδιάσετε την γραφική
παράσταση της f για 0 x
γ) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με την ευθεία 5
2y
δ) Να λύσετε την εξίσωση 2
2 4 0f x f x
34 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f με f (x) = α + βημ2x διέρχεται από τα σημεία
31
M 212
και 53
412
τότε
α) να βρείτε τα α και β
β) να βρείτε την περίοδο καθώς και τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της f
γ) να λύσετε την εξίσωση f(x)=1
δ) να Λύσετε την εξίσωση 3
f (x) f x4
ε) να κάνετε τη γραφική παράσταση της f στο διάστημα [02π]
35 Έστω η συνάρτηση f (x) = (α - β)συνγx α gt β γ gt 0
Αν η Cf τέμνει τον άξονα yy στο 4 η f έχει μέγιστο το 2α και περίοδο Τ = π
α) να βρείτε τα α β γ και την f
β) να βρείτε την ελάχιστη τιμή της f
7 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
γ) να δείξετε ότι η συνάρτηση g(x) = f2
πx είναι άρτια
36 Α Δίνεται η παράσταση f(x) = ημ2x -2συνx +2 χ εR
α) Να κάνετε γινόμενο την f(x)
β) Να δείξετε ότι f(x) 0 x εR
γ) Να βρείτε τις τιμές του x για τις οποίες f(x) = 0
Β Δίνεται η εξίσωση 23 x ( 3 1) x 1 0 με 2
lt χ π
Να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς του x
37 Δίνεται η συνάρτηση f(x)=2συνx
α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της και το σύνολο τιμών της
β) Να βρεθεί η ελάχιστη τιμή της συνάρτησης f
γ) Για ποιες τιμές του x παίρνει ελάχιστη τιμή η συνάρτηση
δ) Να λυθεί η εξίσωση f(x)+συν2x=3+ημ2x
38 Έστω η συνάρτηση f (x) = α + εφ2πx
α) Αν η Cf τέμνει τον άξονα yy στο 2 να βρείτε το α
β) Για α = 2 να λύσετε την εξίσωση 02 4
x πf f x
39 Δίνεται η συνάρτηση 2 2 1 f x x x
α) Να βρείτε τη περίοδο την μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της
β) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της f
γ) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τους άξονες
δ) Να λύσετε την εξίσωση
f x f x4
στο διάστημα 0
ε) Να αποδείξετε ότι 13
log2 log 3log log1284 12 12
f f f
στ) Να βρείτε τα για τα οποία το πολυώνυμο 3 2P x x 6x x έχει παράγοντες τα
x f4
και
x f12
ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ
40 Δίνεται το πολυώνυμο 3 3 2 2( 4 ) ( 2 ) 2 λx x x
α) Να βρείτε το βαθμό του Ρ(x) για τις διάφορες τιμές του πραγματικού αριθμού λ
β) Για λ=1
i να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης Ρ διέρχεται από το σημείο Α(1-3)
ii να βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης Ρ με την ευθεία y=-3
iii να βρείτε τα διαστήματα του x στα οποία η γραφική παράσταση της συνάρτησης Ρ
βρίσκεται κάτω από την ευθεία y=-3
8 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
41 Δίνεται το πολυώνυμο 4 3 28 5 1 8 3 6 αx x x x x
α) Να γίνει η διαίρεση του Ρ(x) δια του x2 ndash 1 και να γράψετε τη σχετική ταυτότητα
β) Να βρείτε τη τιμή του α ώστε η παραπάνω διαίρεση να είναι τέλεια
γ) Για 3 να βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης Ρ(x) = 0 καθώς και τα διαστήματα στα οποία η
γραφική παράσταση της πολυωνυμικής συνάρτησης Ρ(x) είναι κάτω από τον άξονα x΄x
42 Έστω ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου Ρ(x) με το x2 + 2x είναι 3x - 2
α Να γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης
β Να βρείτε τα Ρ(0) και Ρ(-2)
γ Αν το πολυώνυμο Ρ(x) είναι βαθμού 3 και το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ(x) με το x2 ndash 2
είναι 2x -1 να βρείτε
i το βαθμό του πηλίκου της διαίρεσης του πολυωνύμου Ρ(x) με το x2-2
ii το πολυώνυμο Ρ(x)
43 Δίνονται τα πολυώνυμα Ρ(x) και Q(x) = x3 ndash 4x Αν η πολυωνυμική συνάρτηση Ρ(x) είναι
περιττή και το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ(x) με το x-2 είναι3
α) Να δείξετε ότι Ρ(0) = 0
β) Να βρείτε το Ρ(-2)
γ) Να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ(x) με το x3 ndash 4x
44 Αν για το πολυώνυμο Ρ(x) ισχύει P(x)-2P(1-x) = 4x2-1 να βρείτε
α) τα Ρ(0) και Ρ(1)
β) το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ(x) με το πολυώνυμο 2x2 ndash 2x
45 Έστω τα πολυώνυμα Ρ(x) και Q(x) = Ρ2 (x) - 4Ρ(x) + x2 +1
α)Αν το άθροισμα των συντελεστών του Ρ(x) είναι 3 να βρείτε το άθροισμα των συντελεστών
του Q(x)
β) Να δείξετε ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης του Q(x) με το x - 2 είναι θετικός αριθμός
46 Έστω Ρ(x) πολυώνυμο 3ου βαθμού το οποίο διαιρείται με το 2x 1 έχει ρίζα το 0 και του
οποίου το άθροισμα των συντελεστών είναι ίσο με 2
α) Να αποδείξετε ότι 3(x) x x
β) Να λύσετε την ανίσωση 3 2
2 2 2x x x
47 Δίνεται το πολυώνυμο P(x)=x(x2
+λ) +κx2
+5 με παράγοντα το x-1 και P(-2)=3
α) Να βρείτε τα κ λ
β) Αν κ=-1 και λmdash5
i Να λύσετε την εξίσωση P(x)=0
ii Nα λύσετε την ανίσωση P(x)8
48 Αν το πολυώνυμο Ρ(x) = α3x3 + 5α2x2 - 10αx - 104 έχει παράγοντα το x - 2
α) Να βρείτε το α
β) Για την μεγαλύτερη τιμή του α να λύσετε την ανίσωση Ρ(x) gt 0
49 Δίνεται το πολυώνυμο P(x)=x3+αx-α +β
α) Αν έχει παράγοντες το x-2 και το x να δείξετε ότι α=β=-4
β) Για τις παραπάνω τιμές των α και β να λυθεί η εξίσωση Ρ(x)=0
γ) Να λυθεί η ανίσωση Ρ(x)gt0
9 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
50 Δίνεται το πολυώνυμο 3 2( ) 2 9 10 3P x x x x
α) Να γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης με το 2x+1
β) Να λύσετε την ανίσωση P(x) le 0
51 Δίνεται το πολυώνυμο 20 30
10 20 30P x x x x
α) Να βρείτε το βαθμό του
β) Να λύσετε την εξίσωση 0P x
γ) Να λύσετε την εξίσωση 10P x x
δ) Να λύσετε την ανίσωση 0P x
52 Έστω η συνάρτηση f(x) = 2
3 2
3 3 6
2 3 3 2
x x
x x x
α)Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f
β) Να απλοποιήσετε τον τύπο της f
γ) Να βρείτε τα διαστήματα του x που η γραφική παράσταση της f βρίσκεται κάτω από τη
γραφική παράσταση της g(x) =x2
53 Δίνεται η συνάρτηση f(x)=x3-6x2+11x-6
α Να βρεθούν τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f(x) με τον άξονα χ΄χ
β Να βρεθούν τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της f(x) είναι πάνω από
τον άξονα χ΄χ
54 Αν το πολυώνυμο x2 - 2 διαιρεί το πολυώνυμο Ρ(x) = x3 ndash 2x2 - αx + β
α) Να βρείτε τα α και β
β) Να βρείτε τα διαστήματα του x που η γραφική παράσταση της πολυωνυμικής συνάρτησης
Ρ(x) δεν βρίσκεται πάνω από τον άξονα χχ
55 Έστω το πολυώνυμο Ρ(x) = x5 + 3x2 + αx + β Αν το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ(x) με το x2-2
είναι το υ(x) = 5x + 8
α) Να βρείτε τα α και β
β) Να βρείτε το πηλίκο της διαίρεσης του Ρ(x) με το x2 - 2
γ) Να βρείτε τα διαστήματα του x που η γραφική παράσταση της πολυωνυμικής συνάρτησης
Ρ(x) βρίσκεται πάνω από την ευθεία y = 5x + 8
56 Έστω το πολυώνυμο Ρ(x) = x3-αx-2 αR Αν το Ρ(x) έχει ρίζα άρτιο θετικό ακέραιο τότε
α) να βρείτε το α
β) για α = 3 να βρείτε τις τιμές του λ ώστε για το υπόλοιπο υ της διαίρεσης του Ρ(x) με το x + λ
να ισχύει υ gt -4
57 Έστω το πολυώνυμο Ρ(x) = x4 - αx3 + βx2 - 2 α β RΑν το Ρ(x) έχει ρίζες δύο περιττούς
ακέραιους
α) να βρείτε τα α και β
β) να λύσετε την ανίσωση Ρ(x) ge 0
10 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
58 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης 3 2f (x) x x 2 x 2 3 διέρχεται από τα
σημεία Α(16) και Β(-112)Να βρείτε
α) Να βρείτε τους αριθμούς λ και μ
β) τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τους άξονες
59 Δίνεται η συνάρτηση 3 2( ) 2 9 18f x x x x Να βρεθούν οι τιμές του x για τις οποίες η
γραφική παράσταση της f(x)
α) βρίσκεται πάνω από τον άξονα χ΄ χ
β) βρίσκεται κάτω από τον άξονα χ΄ χ
60 Δίνεται το πολυώνυμο 3 2( ) ( 1) 3 2 6P x ax x x όπου α β πραγματικοί αριθμοί
α)Αν ο αριθμός 1 είναι ρίζα του πολυωνύμου Ρ(x) και το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ(x) με το
x+1 είναι ίσο με 2 να βρείτε τα α και β
β) Aν α=2 και β=4 να βρείτε
i) τα σημεία στα οποία η πολυωνυμική συνάρτηση Ρ(x) τέμνει τον άξονα χ΄χ
ii) τα διαστήματα στα οποία βρίσκεται πάνω από τον άξονα χ΄χ
61 Δίνεται το πολυώνυμο 3 2( ) 3 (2 1) 2P x x ax x όπου α β πραγματικοί αριθμοί
α) Αν ο αριθμός 1 είναι ρίζα του πολυωνύμου Ρ(x) και το υπόλοιπο της διαίρεσης του
Ρ(x) με το 1x είναι ίσο με 20να βρείτε τα α και β
β) Aν α=8 και β=4 να βρείτε
i) τα σημεία στα οποία η πολυωνυμική συνάρτηση Ρ(x) τέμνει τον άξονα χ΄χ
ii) τα διαστήματα στα οποία βρίσκεται κάτω από τον άξονα χ΄χ
62 Δίνεται το πολυώνυμο 3 2( ) ( 3) (2 1) 2P x x a x x όπου α β πραγματικοί αριθμοί
α) Αν ο αριθμός 2 είναι ρίζα του πολυωνύμου Ρ(x) και το υπόλοιπο της διαίρεσης του
Ρ(x) με το 1x είναι ίσο με -18να βρείτε τα α και β
β) Aν α=2 και β=7
2
i) Να λυθεί η εξίσωση Ρ(x) =0
ii) Να γίνει η διαίρεση του Ρ(x) με το πολυώνυμο x2+1 και να γραφεί το Ρ(x) με την
ταυτότητα της ευκλείδειας διαίρεσης
iii) Να λυθεί η ανίσωση ( ) 7 1P x x
63 Έστω πολυώνυμο P(x)=x3+αx2+βx+4 με αβ R το οποίο έχει παράγοντες τους x+1x-2
α) Να αποδείξετε ότι α=-3 και β=0
β) Για τις παραπάνω τιμές των α β να λύσετε την εξίσωση P(x)=0
γ) Έστω C η γραφική παράσταση συνάρτησης f(x)=P(x) με α=-3 και β=0 να βρείτε
i το σημείο τομής της C με τον άξονα y΄y
ii τις τιμές του x για τις οποίες ή C είναι πάνω από τον χ΄χ
64 Δίνεται το πολυώνυμο P(x) βαθμού 2 για το οποίο ισχύει
3 28( 1) ( ) (2 3) 52 8 6 16x P x x P x x x x για κάθε x
Αν το υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x) με το x-1 είναι 2
α) Να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x) με το πολυώνυμο 2
x 6x 5
β)Αν το πηλίκο της διαίρεσης του P(x) με το πολυώνυμο 2
x 6x 5 είναι το Π(x)=x+4
i Να βρεθούν τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης P(x)
11 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
α) με τον άξονα y΄y
β) με την ευθεία y=2
ii Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της συνάρτησης P(x)
είναι πάνω από την ευθεία y=2
65 α) Να λυθεί η εξίσωση y6-3y2+2 = 0
β) Να λυθεί η εξίσωση ημ6x = 1 - 3συν2x
66 Δίνεται η συνάρτηση f(x) =3
32 3
xx
x
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f
β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) =3
67 Αν το πολυώνυμο Ρ(x) = (3α - 1)x3 + x2ημπθ +1 θ (0 1) έχει θετικούς ακέραιους
συντελεστές και αρνητική ακέραια ρίζα
α να βρείτε τα θ και α
β για α = 1 και θ = 12 να βρείτε το λ ώστε το Ρ(x) να έχει παράγοντα το x + λ
ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ-ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
68 Δίνεται η συνάρτηση 1
( ) 3
x
f x
όπου x πραγματικός αριθμός
α) Να βρείτε για ποιες τιμές του ορίζεται η ( )f x
β) Να βρείτε για ποιες τιμές του η ( )f x είναι γνησίως αύξουσα
γ) Αν 7 να λύσετε την εξίσωση ( ) (2 ) 2f x f x
69 Να προσδιορισθεί ο αR ώστε η συνάρτηση 1 2
( )3
x
f x
α) να ορίζεται σε όλο το R
β) να είναι γνησίως αύξουσα στο R
γ) να είναι γνησίως φθίνουσα στο R
δ) να είναι 1-1
70 Δίνεται η συνάρτηση ( )1
x
f x
για κάθε x
α) Να βρείτε τις τιμές του ώστε η συνάρτηση f να είναι γνησίως αύξουσα
β) Αν η f είναι γνησίως αύξουσα και (2) 4f
i Nα υπολογίσετε το α
ii Για 2a να λύσετε την ανίσωση ( 1) 8f x
71 Δίνεται η συνάρτηση 6
( )4 9
x
x xf x
για κάθε x
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f
β) Nα αποδείξετε ότι η f είναι άρτια
12 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
γ) Να λυθεί η εξίσωση 12
( ) (0)13
f x f
72 Δίνεται η συνάρτηση ( ) 3 2 3 2x x
f x για κάθε x
α) Να αποδείξετε ότι η f είναι περιττή
β) Nα λυθεί η εξίσωση ( ) 4 6f x
γ) Να βρείτε τα διαστήματα του x για τα οποία η γραφική παράσταση της ( ) ( 2014)g x f x
δεν βρίσκεται πάνω από τον άξονα χ΄χ
73 Δίνεται η συνάρτηση 1 2
2 2 24( )
4 6 2 8
x x
x xf x
για κάθε x
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f
β) Nα δείξετε ότι 6
( ) 122 2
xf x x R
γ) Nα λυθεί η ανίσωση 3
( )7
f x
δ) Να βρείτε τις τιμές του έτσι ώστε η συνάρτηση ( ) ( )x
g x f a να είναι σταθερή στο
R
ε) Να λυθεί η εξίσωση h(x)+3h(x+1)=-f(3) όπου 6
( )( )
h xf x
74 Δίνεται η συνάρτηση 2
( )1
x
f x
α) Να μελετηθεί η f ως προς την μονοτονία για τις διάφορες τιμές του
β) Αν λ=1 να λυθεί η ανίσωση 2
2
2( )
3 4 2f x
γ) Αν 1 1
3 3
να λυθεί η ανίσωση 2 1(e 2 ) ( 2 )
x x x xf f e
δ) Να βρείτε τις τιμές το λ αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f διέρχεται από το σημείο
Α(f(0)3)
ε) Για λ=0 να βρείτε τα σημεία τομής των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων g και
h όπου ( ) 3 ( 1) 4g x f x ( ) (2 3) 5h x f x
στ) Για λ=0 να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης 2
( 4)( ( ) 4)(x)
(3 3 )( ( ) 2)x
x f x
e f x
75 Δίνεται η συνάρτηση ln3
f x x k
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της
β) Αν 2
ln 16
f
να βρείτε το k
γ) Αν 1k τότε
i να λύσετε την εξίσωση ln 2ln 2 ln36
x f f
13 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
ii να λύσετε την εξίσωση 1 1f x f x
e e
76 Δίνεται η συνάρτηση 1 ln 0 f x x x x
α) Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης f τέμνει τον άξονα
x΄x στο σημείο 10A
β) Να λύσετε την ανίσωση 2 51
x xf e e x
γ) Αν 0 1 x να δείξετε ότι 0f x
δ) Να δείξετε ότι για κάθε 02
ισχύει ότι ln
e
77 Δίνεται η συνάρτηση 2
2
x 68f (x) ln
100 x
α Να βρείτε το πεδίο ορισμού της
β Να λύσετε την εξίσωση f (x)e log50 log5
γ Να λύσετε την ανίσωση f(x) ge 0
78 Δίνεται η συνάρτηση 21( ) 2ln 4ln 1 0
4f x x a x a a
α Να βρεθεί ο πραγματικός αριθμός α ώστε η εξίσωση f(x)=0 να έχει διπλή ρίζα
β Να λυθεί η εξίσωση 2(0) ln 2ln 4f a a
γ Να λυθεί η ανίσωση 2( 2)ln( 2 )
8
afa e a a
79 Δίνεται η συνάρτηση 2x xf x ln e 4e 3 της οποίας η
γραφική παράσταση φαίνεται στο διπλανό σχήμα
α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της f
β) Να βρεθεί το σημείο τομής της γραφικής παράστασης της f
με τον άξονα x x
γ) Να δικαιολογήσετε (αλγεβρικά) γιατί δεν υπάρχει σημείο της
γραφικής παράστασης της f που να βρίσκεται πάνω από τον
άξονα x x
80 Δίνεται η συνάρτηση 2log 11 9 18 2log 1 f x x x x
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της
β) Να βρείτε τα σημεία στα οποία η γραφική παράσταση της f τέμνει τους άξονες
81 Δίνεται η συνάρτηση log log 1f x x
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f
β) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τον άξονα χ΄χ
γ) Να λύσετε την ανίσωση 0f x
δ) Να αποδείξετε ότι 3 101 2 1001 10001 log18f f f
14 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
82 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = ln(ex - 1)
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f
β) Να βρείτε τα διαστήματα που η γραφική παράσταση της συνάρτησης f βρίσκεται πάνω από
τον άξονα χ χ
γ) Να συγκρίνετε τους αριθμούς f(ln2) και f(l)
δ) Να λυθεί η εξίσωση f(2x)-f(x) = f(1)
83 Δίνεται η συνάρτηση f(x)=ln(ex-2)-ln(ex-1)
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f
β) Να αποδείξετε ότι f(x)=ln (1-1
1xe
)
γ) Να λύσετε την εξίσωση f(x)=-ln2
δ) Nα αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f δεν τέμνει την ευθεία με εξίσωση y=x
84 Δίνονται οι συναρτήσεις f g με τύπους f(x) = ln(ex minus 1 ) και g(x) = ln(ex + 2)
α Να βρείτε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων f και g
β Να συγκρίνετε τις τιμές f(ln2) και g( minus1)
γ Να λύσετε την εξίσωση x + f(x) = ln2 + g(x)
85 Έστω η συνάρτηση f(x) = k +log(x2-3) k
α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f
β) Να υπολογίσετε την τιμή του k ώστε f(2)= log100
γ) Για k=2
i Nα βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με την ευθεία
1
log1000
y
i i Nα λυθεί η ανίσωση f(x) gt2
86 Δίνονται οι συναρτήσεις 22log 2 1 log 3 2f x x x x και log 4 3 logg x x x
α) Να βρείτε το πεδίο των συναρτήσεων fg
β) Να βρείτε τα σημεία τομής των γραφικών τους παραστάσεων
γ) Να λύσετε τις εξισώσεις i 0f x και ii 0g x
δ) Να αποδείξετε ότι 2 2log 2 1g
87 Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο 1 1
f(x)= +1+lnx 1-lnx
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού Α της συνάρτησης
β) Να αποδείξετε ότι για κάθε xΑ ισχύει 1
f(x)=fx
γ) Να λύσετε την ανίσωση 1
f(x)+f gt4x
88 Α Να λύσετε την εξίσωση y3 + y - 2 = 0 (1)
15 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
Β Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f (x) = 27x + 1
2middot 12x lnα2 -2∙8x lnα διέρχεται από
την αρχή των αξόνων
α να αποδείξετε ότι α = e
β να βρείτε το διάστημα που η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τον άξονα xx
89 Δίνονται τα πολυώνυμα Ρ(x) = (α - ln2)x3 - (2e - β)x + 3
ln2
Q(x) = (1 ndash lnβ)x3 - (2e - 2)x + 3
ln2
Αν τα πολυώνυμα Ρ(x) και Q(x) είναι ίσα
α Να βρείτε τα α και β
β να αποδείξετε ότι Ρ(-1)gt0
90 Έστω το πολυώνυμο Ρ(x) = x3lnα + (2 - lnα)x2 + αlnβx +1 έχει θετικούς ακέραιους συντελεστές
και αρνητική ακέραια ρίζα
α Να βρείτε τα α και β
β Για α = e και β = 1 να βρείτε τα διαστήματα του x που η γραφική παράσταση της συνάρτησης
f(x) = P(ex) βρίσκεται κάτω από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης g(x) = ex + 3
91 Δίνεται η συνάρτηση f(x)= αlnx +β
α) Να βρείτε τις τιμές των α β R αν γνωρίζετε ότι η γραφική της παράσταση
διέρχεται από τα σημεία Α(10) και B(e2)
β) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f
γ) Να λυθεί η εξίσωση f(x)+f(2x)=61n2
δ) Να λυθεί η ανίσωση f(2x+1)gt f(x)
ε) Να λυθεί το σύστημα x y
f (x) f (y) 2
e e
92 Έστω η συνάρτηση f (x) = x -1 + 2ln(αx) x gt0
Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f διέρχεται από το σημείο Α(1 0)
α) να βρείτε το α
β) να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο (0+)
γ) να λύσετε την ανίσωση f(x) gt 0
93 Δίνεται η συνάρτηση 2
1( )
1
nxf x
n x
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f(x)
β) Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τον χ΄χ
γ) Να βρείτε τα σημεία τομής της Cf με την ευθεία y =1
94 Δίνεται η f( x ) = log ( 102x ndash 10x )
α) Να δειχθεί ότι το πεδίο ορισμού της f είναι το Α=( 0 + )
β) Να δειχθεί ότι f( x ) = x + log ( 10x ndash 1 )
γ) Να λυθεί η εξίσωση f( x ) = x
δ) Να λυθεί η ανίσωση f( x ) le x + 2log 2
16 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
95 Δίνεται η συνάρτηση 2( ) 5 6
x xf x n e e
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f(x)
β) Να λύσετε την ανίσωση ( ) 2f x n
γ) Να λύσετε την εξίσωση ( ) 2 f x x n
96 Δίνεται η συνάρτηση f(x)=ln(3e2xshyex-2)
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f
β) Να βρείτε την τεταγμένη του σημείου της γραφικής παράστασης με τετμημένη ln2 και να
βρείτε τη θέση του σημείου ως προς τον άξονα χ΄χ
γ) Να λυθεί η εξίσωση f(x)=3x ως προς x
97 Δίνεται η συνάρτηση 1
( )1
x
x
ef x a
e που η γραφική της παράσταση διέρχεται από το σημείο
A(ln2 3)
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f
β) Να αποδείξετε ότι α = 1
γ) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι περιττή
δ) Να λυθεί η ανίσωση f(x) gt 2
98 Δίνεται η συνάρτηση
11 2log( 1)
log( 1) 2( ) 10 100 80x
xf x
α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της
β) Να λυθεί η εξίσωση f(x) = 10
γ) Να βρείτε τα κοινά σημεία της ψ = f(x) με την ευθεία ψ = x-20
99 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = α + ln(ex - 2)
Α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f
Β) Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f διέρχεται από το σημείο A(ln3 1) middot
α) να αποδείξετε ότι α = 1
β) να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τον άξονα xx
γ) να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα
100 Δίνεται η συνάρτηση
ln 3 11( )
ln 5
xf x
x
α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της
β) Να λυθεί η εξίσωση f(x) = 2
γ) Αν x gt 6 να λύσετε την ανίσωση f(x) gt 1
101 Δίνεται η συνάρτηση ln 1
( )ln 2
xg x
x
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης ( ) ( )f x g x
β) Να βρείτε αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f τέμνει και σε ποια σημεία τους
άξονες χ΄χ και y΄y
γ) Να λύσετε την εξίσωση ( ) 1x
f e
17 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
102 Δίνεται η συνάρτηση f(x)=2(x-1)+lnx
α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της
β) Να δείξετε ότι το 1 είναι ρίζα της εξίσωσης f(x)=0
γ) Να λυθεί η εξίσωση f(x)=2(x-1)+(lnx)2
103 α) Δίνεται η συνάρτηση f (x) = 3x + 2x + lnx ndash 5Να βρείτε το f(1) και να δείξετε ότι η f είναι
γνησίως αύξουσα
β) Να λύσετε την εξίσωση 2x+ lnx = 5-3x
γ) Να λύσετε την ανίσωση 3x + lnx lt 5-2x
104 Δίνεται η συνάρτηση f (x) = 2ln 1 x x
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f
β) Να δείξετε ότι για κάθε x R f(x) + f(- x) = 0 και ότι η συνάρτηση f είναι περιττή
γ) Να συγκρίνετε τους αριθμούς f(0) και f(- 1)
δ) Να λύσετε την ανίσωση f(ex) gt x + ln3
105 Δίνεται η συνάρτηση 3
ln3
xf x
x
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f
β) Να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι περιττή
γ) Να συγκρίνετε τους αριθμούς f(0) και 1
3f
δ) Να λύσετε την εξίσωση 1 0f x f x
106 Δίνονται οι συναρτήσεις 2
2
100 10( ) ( )
10100
x xf x og g x og
xx
α) Να δείξετε ότι η f είναι άρτια και η g περιττή
β) Να βρείτε τα κοινά σημεία των γραφικών τους παραστάσεων
γ) Να λυθεί η ανισότητα f(x)gt0
107 Δίνεται η συνάρτηση f (x) = ln 9 3 x x xe
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f
β) Να δείξετε ότι f(1)lt0
γ) Να βρείτε τα διαστήματα του x που η Cf είναι πάνω από την ευθεία ε y= 2x + ln2
108 Δίνεται η συνάρτηση f (x) = 2x + 6x - 40
α) Να βρείτε το f(4)
β) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα
γ) Να λύσετε την εξίσωση f(x) =0
109 Έστω η συνάρτηση f (x) = 3x + 2ex-κ -1 που η γραφική της παράσταση διέρχεται από το
σημείο Α(0 1)
α) Να βρείτε το κ
β) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα
γ) Να λύσετε την εξίσωση 3x + 2ex = 2
δ) Να λύσετε την ανίσωση 3x + 2ex gt 2
18 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
110 Δίνεται η συνάρτηση f (x) = (ln 1)x
a
α) Να βρείτε τις τιμές του α για τις οποίες
i η συνάρτηση f ορίζεται σε όλο το R
ii η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα
β) Για α = e3 να λύσετε την εξίσωση ln 2 ln 1 f εφx f σφx
111 Δίνεται η συνάρτηση 1
ln5
x
f x
α) Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες η συνάρτηση f ορίζεται σε όλο το
β) Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα
στο
γ) Αν 11 να λύσετε την εξίσωση f f 1 6x x
112 Δίνεται η συνάρτηση f με f(x) = x + ln(ex - 3)
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της
β) Να δείξετε ότι f(ln4) lt f(ln5)
γ) Να λύσετε την ανίσωση f(x) gt lη2 + ln(ex - 2)
113 Δίνεται η συνάρτηση ( ) ln( 1) x
f x x e
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της
β) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα
γ) Να συγκρίνετε τους αριθμούς log 2f και log5f
δ) Να βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f και της ευθείας
ln 2y
114 Δίνεται η συνάρτηση 4 2
log 8 log log 100 0f x x x x x
α) Αν f(10)=25 να δείξετε ότι α = 1
β) Για την τιμή α = 1 να
i δείξετε ότι η f(x) γράφεται στη μορφή 2
2log 4 logf x x x
ii να λύσετε την εξίσωση f(x) = 0
115 Δίνονται οι συναρτήσεις ln x
f x e e και 1ln 2 2
xg x e
α) Να βρείτε το πεδίο των συναρτήσεων fg
β) Να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των fg δεν τέμνονται
γ) Να λύσετε την ανίσωση 1f x
116 Δίνονται οι συναρτήσεις x xf(x) ln e e
και x
g(x) ln ln e
α) Να βρείτε τα πεδία ορισμού των f(x) και g(x)
β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = g(x)
γ) Να λύσετε την ανίσωση f(x) gt 2g(x
117 Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) = ln(e2x-ex-2) και g(x) = ln2+ln(ex-l)
α) Να βρείτε τα πεδία ορισμού των f(x) και g(x)
β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = g(x)
γ) Να λύσετε την ανίσωση f(x) gt g(x)
19 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
118 Δίνεται η συνάρτηση 2
1ln
5
x
x
ef x
e
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f(x)
β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = 2ln2
γ) Να λύσετε την ανίσωση f(x) gt 0
119 Έστω η συνάρτηση f(x) = log(225x-54x) και η ευθεία ε y = x + log3
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f
β) Να βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της f και της ευθείας ε
γ) Να δείξετε ότι το σημείο Α3 3
2 2
f βρίσκεται πάνω από το σημείο Β με τετμημένη 3
2
της ευθείας ε
120 Δίνονται οι συναρτήσεις ( ) ln 2 3 xf x και ( ) ln(2 3) xg x
α) Να βρείτε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων f και g
β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = g(x)
γ) Να συγκρίνετε τους αριθμούς f(3) και g(3)
121 α) Να δείξετε ότι ln ln a για κάθε α β gt 0
β) Να λυθεί η ανίσωση 1
lnln 22 2 1
xx
γ) Έστω η συνάρτηση f(x) = ln xa Να βρείτε το α ώστε 5f (3) - 3f (5) gt 0
122 Δίνεται το πολυώνυμο 2 1 4 3 2 2( ) 1 ln ln 1f x e x x x x θ (0 π) το
οποίο είναι 3ου βαθμού και διαιρείται με το x-1
α) Να αποδείξετε ότι θ = 2
3
και κ =
1
e
β) Να αποδείξετε ότι το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης [f(x)x2] είναι το ίδιο
γ) Να βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της πολυωνυμικής συνάρτησης f(x)
με την ευθεία (ε) y = 5x-5
ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ
123 Δίνεται το σύστημα 2x y 7
7x 2y 11
α) Να βρείτε τη λύση (x0y0) του συστήματος
β) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης 2f (x) x x έχει κορυφή το σημείο Κ(x0y0)
i) να βρείτε τους αριθμούς β και γ
ii) να λύσετε την ανίσωση f (x) 0
iii) να λύσετε το σύστημα y f (x)
x y 6
20 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
124 Το σύστημα ( 1)x 8y 4
x ( 3)y 3 1
έχει τη μοναδική λύση (x0y0) για την οποία ισχύει
0 0x y 1
α) Να βρείτε τον αριθμό λ
β) Δίνεται η συνάρτηση 2f (x) x 2 x 6
i Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η Cf είναι πάνω από τον χ΄χ
iiΝα λύσετε το σύστημα y f (x)
2y f (x 1) 10x
125 Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f με f (x) = α + βσυν2x διέρχεται από τα σημεία
Α(0 1) και Β 24
π τότε
α) να βρείτε τα α και β
β) να βρείτε την f
γ) να δείξετε ότι η Cf έχει άξονα συμμετρίας τον yy
δ) να δείξετε ότι f (-x) - f4
πx = ημ2x - συν2x
126 Δίνεται το πολυώνυμο f (x) = 2x3 middot συν2θ - x3ημθ - x2 + 3eλ - 2
Αν το πολυώνυμο έχει παράγοντες τους x και x - 1
α) να βρείτε τους λ και θ θ [0 2
π]
β) να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του πολυωνύμου Ρ(x) με το x - 1 όπου
P(x) = x∙f(3x-2) + (2-3x)21
γ) να βρείτε τα διαστήματα που η γραφική παράσταση της συνάρτησης f βρίσκεται κάτω από
τον άξονα χ χ
127 Δίνεται η πολυωνυμική συνάρτηση f(x) = 8x3-4x2 + 2x-l
α) Αν το πολυώνυμο Ρ(x) έχει παράγοντα το x - συνθ θ 02
π να βρείτε το θ
β) Να λύσετε την ανίσωση f(lnx) lt 0
γ) Να βρείτε τα διαστήματα του χ που η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από την
ευθεία y = 10x - 5
128 Θεωρούμε το πολυώνυμο 3 2( ) ( ) 2 1P x x x x
α) Αν έχει παράγοντα το 2
1x να βρείτε τα και
β) Για τις τιμές των και που βρήκατε να λύσετε την ανίσωση ( ) 0P x
γ) Για τις ίδιες τιμές των και να λύσετε την εξίσωση ( ) 0P x
129 Δίνεται το πολυώνυμο 3 2 P x x x x α β Αν το υπόλοιπο της διαίρεσης
2 2P x x x είναι (x) 9x 3 τότε
α) να αποδείξετε ότι 3 και 3
β) να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της πολυωνυμικής συνάρτησης
P(x) βρίσκεται κάτω από τον άξονα xrsquox
21 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
γ) να λύσετε την ανίσωση 10 2 0xP
130 Δίνεται το πολυώνυμο P(x) = x4 +αx3 +βx2 ndash2x + 4 όπου α βIR Το P(x) έχει παράγοντα το
x ndash 1 και το υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x) με το x + 1 είναι το 6
α) Να δείξετε ότι α = ndash1 και β = ndash2
β) Να λύσετε την εξίσωση P(x) = 0
γ) Να λύσετε την ανίσωση P(x) gt 0
δ) Να λύσετε την εξίσωση συν4x ndashσυν3x + 2ημ2x ndash2συνx + 2 = 0 στο διάστημα [ndashπ
2 π)
131 Δίνεται το πολυώνυμο 3 2 1P x x x x που έχει παράγοντα το 1x και το
υπόλοιπο της διαίρεσης του με το 1x είναι 8
α) Να αποδείξετε ότι 2 και 7
β) Να λύσετε την ανίσωση 0x
γ) Αν 2
x
να λύσετε την εξίσωση 3 22 7 2 3 0
132 To πολυώνυμο f(x)=x3+2αx2-βx-1 έχει παράγοντα το x-1 και το υπόλοιπο της διαίρεσης
f (x) (x 1) είναι 4
α) Να βρείτε τις τιμές των α β R
β) Να βρεθούν τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της
f(x) βρίσκεται κάτω από τον άξονα χ΄χ
γ) Να λύσετε την εξίσωση 2x x1e e
2
133 Δίνεται το πολυώνυμο 3 22 7P x x x x το οποίο έχει παράγοντα το 1x και το
υπόλοιπο της διαίρεσης του με το 1x είναι 18
α) Να αποδείξετε ότι 7 και 2
β) Να λύσετε την εξίσωση 3 22 2 7 2 7 2 2 0x x x
γ) Να λύσετε την ανίσωση 2 8 7 4 7 2 2 0x x x
134 Δίνεται το πολυώνυμο 3 2( ) (log 2) log 0P x x x k x k k
α) Να αποδείξετε ότι το 1x είναι παράγοντας του ( )P x
β) Να βρείτε τις τιμές του k για τις οποίες το πολυώνυμο ( )P x έχει τρεις
πραγματικές ρίζες
γ) Για 10k να λύσετε
i την ανίσωση ( ) 0P x
ii την εξίσωση 2( ) [0 ]P x x x
135 Δίνεται το πολυώνυμο
4 3 22ln 1 2 0 0 x x x x x x
α) Αν το πολυώνυμο x είναι 3ου βαθμού και έχει παράγοντα το 1x να βρεθούν τα
β) Αν 3 2 1x x x x x να βρεθούν οι τιμές του x για τις οποίες ισχύει
0x
22 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
γ) Να λυθούν
i η εξίσωση 2 0 0 ό
ii η ανίσωση 2 ln 0
136 Δίνεται η συνάρτηση log 2 4 5 2 2x xf x
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f
β) Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τον
άξονα χ΄χ
γ) Να λύσετε στο διάστημα 0 2 την εξίσωση 2 0f x
137 Έστω η συνάρτηση ( ) ln 2 xf x ημ
α) Να αποδείξετε ότι η f είναι περιττή
β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = 0 στο (- π π)
138 Έστω η συνάρτηση f(x) = ημx + ex - 1
α) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο Α= 2 2
π π
β) Να βρείτε το f(0)
γ) Να λύσετε
i την εξίσωση ημx + ex=1 στο 2 2
π π
ii την ανίσωση ημx + ex lt1 στο 2 2
π π
139 Έστω η συνάρτηση f (x) = (3 ndash 2lnα)x
α) Να βρείτε το α ώστε η συνάρτηση f να ορίζεται σε όλο το R
β) Να βρείτε το α ώστε η συνάρτηση f να είναι γνησίως φθίνουσα
γ) Για α = e να λύσετε την εξίσωση f(2συν2θ)-f(2ημ2θ) = 3
140 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = (2lnα - 1)x
α) Να βρείτε τις τιμές του α R για τις οποίες η συνάρτηση f ορίζεται σε όλο το R
β) Να βρείτε τις τιμές του α R για τις οποίες η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα
γ) Αν α = e2 να βρείτε το θ ώστε 2 2 2 4( ) ( )
3 f συν θ ημ θ f συν θ
141 Δίνεται η συνάρτηση 2
log logf x x x
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f
β) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τον άξονα χ΄χ
γ) Να λύσετε την εξίσωση 0f x
δ) Αν για τους θετικούς αριθμούς α β με ισχύει ότι f f να αποδείξετε ότι
10000
142 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = log(4x ndash 2)
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f και να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f έχει
μοναδικό κοινό σημείο με την ευθεία y = 1 ndash log5
23 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
β) Να λύσετε την ανίσωση 1
-12
4 64 - 2 0
5 5
xx
γ) Να λύσετε την εξίσωση f(x) + f(2
x) = 1 + log
1-
124 6
4 - 25 5
xx
δ) Να λύσετε την εξίσωση ημ2x = f(5
2) + f(1) ndash f(
3
2)
143 Δίνεται το πολυώνυμο 1
4 2 1 3 225 2 3 25 1 λf x x x x x
α) Αν το (x ndash 1) είναι παράγοντας του f(x) να βρείτε το λ
β) Για 1
2
i να δείξετε ότι το (x -1)2 είναι παράγοντας του f(x)
ii να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τον
άξονα x΄x
144 Δίνεται το πολυώνυμο Ρ(x) = (21lnκ - 1)x4 + x3 + (e - 1)x2 ndash e∙x +1 + 2ημθ θ (0 2π)
Αν το πολυώνυμο Ρ(x) είναι 3ου βαθμού και έχει παράγοντα το x - 1
α) να βρείτε τα κ και θ
β) να λύσετε την ανίσωση Ρ(x) lt 0
γ) να βρείτε τα διαστήματα που η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) με
f(x) = e3x+(e-1)e2x-ex+1 βρίσκεται κάτω από τον άξονα χ χ
145 Δίνεται η συνάρτηση ln ln 3
( )ln ln
x
f x
με 3lt α lt β η οποία είναι γνησίως φθίνουσα στο
σύνολο των πραγματικών αριθμών
α) Να συγκρίνετε τους αριθμούς ln και ln
β) Να αποδείξετε ότι 23
γ) Αν 6 και 24 τότε
i) να αποδείξετε ότι 1
( )2
x
f x
ii) να αποδείξετε ότι για κάθε ισχύει η ανισότητα 22
f f f
δ)Να λυθεί η εξίσωση 2 2( ) ( ) 3f x f x
146 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x - 1 + lnx x gt 0
α) Να δείξετε ότι για κάθε x με 0 lt x lt 1 f(x) lt 0
β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = x-1-ln2x
γ) Να λύσετε την ανίσωση f (ex) gt x + 2x -1
δ) Να δείξετε ότι για κάθε θ 02
lne
147 Δίνεται το πολυώνυμο f(x) όπου f(x) = x3-2x2lnα2 + 5xlnα-2 αgt0
α) Αν το x-1 είναι παράγοντας του f(x) τότε να βρείτε το α
β) Για α = e
24 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
i να δείξετε ότι το (x-1)2 είναι παράγοντας του πολυωνύμου f(x)
ii να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της πολυωνυμικής
συνάρτησης f(x) βρίσκεται κάτω από τον άξονα χ χ
148 Έστω η συνάρτηση f(x) = ln(2 - ex)
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f
β) Έστω ότι ο αριθμοί α = 2x β = f(x) γ = ln4 είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου
i Να βρείτε το x
ii Αν ο αριθμός α είναι ο 3ος όρος της αριθμητικής προόδου να βρείτε ποιος όρος της προόδου
ισούται με 2ln2 + 5ln3
149 Δίνεται το πολυώνυμο Ρ(x) = x3 +x2 + x + 2λ2 ndashλ +1
α) Να αποδείξετε ότι η διαίρεση Ρ(x) (x -1 ) δεν είναι τέλεια
β) Αν υ(λ) το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ(x) (x -1 ) να βρεθεί το λ ώστε το υ(λ) να γίνεται
ελάχιστο και την ελάχιστη τιμή του υ(λ)
γ) Για την τιμή του λ που το υ(λ) γίνεται ελάχιστο
i να λύσετε την εξίσωση 425x-2λ-16x-2λ=48λx
ii να λύσετε την εξίσωση
2ln x 1ln
21
4 5 x2
αφού πρώτα αποδείξετε ότι
ln x ln 22 x
δ) Να λύσετε την ανίσωση 8 x 4 x 4 x 1 4 x 13 9 11 4 4
150 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = log(e2x-kex +λ) με f(0) = log2 f(ln6) = log12
α) Να δείξετε ότι κ = 5 και λ = 6
β) Αν κ = 5 και λ = 6
i Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f
ii Να λυθεί η εξίσωση f(x) = 1minuslog(ex + 1)
iii Να δείξετε ότι οι αριθμοί f(ln5)minusf(0) f(ln5) f(ln6) είναι διαδοχικοί όροι
αριθμητικής προόδου
151 Αν το πολυώνυμο f(x) = x3 + 2αx2 - βx - 1 έχει παράγοντα το x - 1 και το υπόλοιπο της
διαίρεσης Ρ(x)(x + 1) είναι 4
α) να βρείτε τους α και β
β) να λύσετε την εξίσωση 2συν4
βx- 2ημ2 x
2
= -2
γ) να βρείτε το ελάχιστο πλήθος των πρώτων όρων της αριθμητικής προόδου (αν) με α1 = α και
ω = β που απαιτούνται ώστε το άθροισμα τους να ξεπερνάει το 150
δ) να λύσετε την εξίσωση β2lnx =5 + 4∙xln2α
152 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) = x3+λx2+23x-15 (λR ) διέρχεται από το σημείο
Α(10)
α) Να βρεθεί ο λ R
β) Για ποιες τιμές του xR η ψ = f(x) βρίσκεται κάτω από τον άξονα x΄x
γ) οι τετμημένες των σημείων στα οποία η ψ = f(x) τέμνει τον άξονα x΄x είναι κατά αύξουσα
τάξη οι 3 πρώτοι όροι μιας προόδου Αν το άθροισμα των ν πρώτων όρων της είναι 400 να
βρεθεί ο ν
25 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
153 α) Έστω η συνάρτηση f (x) = 2 middot 3x + 3x - 24
i να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα και να βρείτε το f(2)
ii να λύσετε την εξίσωση f(x) = 0
β) Δύο κοινωνίες βακτηριδίων Α και Β έχουν αρχικά 24 και 2 βακτηρίδια αντίστοιχα
Η κοινωνία των βακτηριδίων Α μειώνεται σε αριθμό κάθε μια ώρα κατά 3 βακτηρίδια
Η κοινωνία των βακτηριδίων Β τριπλασιάζεται κάθε μία ώρα Να βρείτε μετά από πόσες
ώρες οι κοινωνίες των βακτηριδίων θα έχουν τον ίδιο αριθμό βακτηριδίων
6 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
30 Δίνεται η συνάρτηση 1 1
1 1
f x x xx x
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της
β) Να λύσετε την εξίσωση 2f x στο διάστημα 0
31 Δίνονται οι συναρτήσεις 2 2 f x x και g x x 0
Αν οι συναρτήσεις fg έχουν την ίδια μέγιστη τιμή και την ίδια περίοδο τότε
α) να αποδείξετε ότι 1
β) Να βρείτε τη τιμή της παράστασης 3 4
f g
γ) Να λύσετε την εξίσωση 3 2 f x g x στο διάστημα 2
32 Η συνάρτηση f x x έχει περίοδο π και η γραφική της παράσταση διέρχεται από το
σημείο 34
α) Να βρείτε τα ρ ω
β) Να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της f
γ) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της f
δ) Να λύσετε την εξίσωση 3 6
f x f x
33 Δίνεται η συνάρτηση 2 2f x x x
α) Να βρείτε την μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της f καθώς και την περίοδο της f
β) Να υπολογίσετε τις τιμές της f για 3
0 4 2 4
x
και να σχεδιάσετε την γραφική
παράσταση της f για 0 x
γ) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με την ευθεία 5
2y
δ) Να λύσετε την εξίσωση 2
2 4 0f x f x
34 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f με f (x) = α + βημ2x διέρχεται από τα σημεία
31
M 212
και 53
412
τότε
α) να βρείτε τα α και β
β) να βρείτε την περίοδο καθώς και τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της f
γ) να λύσετε την εξίσωση f(x)=1
δ) να Λύσετε την εξίσωση 3
f (x) f x4
ε) να κάνετε τη γραφική παράσταση της f στο διάστημα [02π]
35 Έστω η συνάρτηση f (x) = (α - β)συνγx α gt β γ gt 0
Αν η Cf τέμνει τον άξονα yy στο 4 η f έχει μέγιστο το 2α και περίοδο Τ = π
α) να βρείτε τα α β γ και την f
β) να βρείτε την ελάχιστη τιμή της f
7 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
γ) να δείξετε ότι η συνάρτηση g(x) = f2
πx είναι άρτια
36 Α Δίνεται η παράσταση f(x) = ημ2x -2συνx +2 χ εR
α) Να κάνετε γινόμενο την f(x)
β) Να δείξετε ότι f(x) 0 x εR
γ) Να βρείτε τις τιμές του x για τις οποίες f(x) = 0
Β Δίνεται η εξίσωση 23 x ( 3 1) x 1 0 με 2
lt χ π
Να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς του x
37 Δίνεται η συνάρτηση f(x)=2συνx
α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της και το σύνολο τιμών της
β) Να βρεθεί η ελάχιστη τιμή της συνάρτησης f
γ) Για ποιες τιμές του x παίρνει ελάχιστη τιμή η συνάρτηση
δ) Να λυθεί η εξίσωση f(x)+συν2x=3+ημ2x
38 Έστω η συνάρτηση f (x) = α + εφ2πx
α) Αν η Cf τέμνει τον άξονα yy στο 2 να βρείτε το α
β) Για α = 2 να λύσετε την εξίσωση 02 4
x πf f x
39 Δίνεται η συνάρτηση 2 2 1 f x x x
α) Να βρείτε τη περίοδο την μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της
β) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της f
γ) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τους άξονες
δ) Να λύσετε την εξίσωση
f x f x4
στο διάστημα 0
ε) Να αποδείξετε ότι 13
log2 log 3log log1284 12 12
f f f
στ) Να βρείτε τα για τα οποία το πολυώνυμο 3 2P x x 6x x έχει παράγοντες τα
x f4
και
x f12
ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ
40 Δίνεται το πολυώνυμο 3 3 2 2( 4 ) ( 2 ) 2 λx x x
α) Να βρείτε το βαθμό του Ρ(x) για τις διάφορες τιμές του πραγματικού αριθμού λ
β) Για λ=1
i να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης Ρ διέρχεται από το σημείο Α(1-3)
ii να βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης Ρ με την ευθεία y=-3
iii να βρείτε τα διαστήματα του x στα οποία η γραφική παράσταση της συνάρτησης Ρ
βρίσκεται κάτω από την ευθεία y=-3
8 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
41 Δίνεται το πολυώνυμο 4 3 28 5 1 8 3 6 αx x x x x
α) Να γίνει η διαίρεση του Ρ(x) δια του x2 ndash 1 και να γράψετε τη σχετική ταυτότητα
β) Να βρείτε τη τιμή του α ώστε η παραπάνω διαίρεση να είναι τέλεια
γ) Για 3 να βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης Ρ(x) = 0 καθώς και τα διαστήματα στα οποία η
γραφική παράσταση της πολυωνυμικής συνάρτησης Ρ(x) είναι κάτω από τον άξονα x΄x
42 Έστω ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου Ρ(x) με το x2 + 2x είναι 3x - 2
α Να γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης
β Να βρείτε τα Ρ(0) και Ρ(-2)
γ Αν το πολυώνυμο Ρ(x) είναι βαθμού 3 και το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ(x) με το x2 ndash 2
είναι 2x -1 να βρείτε
i το βαθμό του πηλίκου της διαίρεσης του πολυωνύμου Ρ(x) με το x2-2
ii το πολυώνυμο Ρ(x)
43 Δίνονται τα πολυώνυμα Ρ(x) και Q(x) = x3 ndash 4x Αν η πολυωνυμική συνάρτηση Ρ(x) είναι
περιττή και το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ(x) με το x-2 είναι3
α) Να δείξετε ότι Ρ(0) = 0
β) Να βρείτε το Ρ(-2)
γ) Να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ(x) με το x3 ndash 4x
44 Αν για το πολυώνυμο Ρ(x) ισχύει P(x)-2P(1-x) = 4x2-1 να βρείτε
α) τα Ρ(0) και Ρ(1)
β) το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ(x) με το πολυώνυμο 2x2 ndash 2x
45 Έστω τα πολυώνυμα Ρ(x) και Q(x) = Ρ2 (x) - 4Ρ(x) + x2 +1
α)Αν το άθροισμα των συντελεστών του Ρ(x) είναι 3 να βρείτε το άθροισμα των συντελεστών
του Q(x)
β) Να δείξετε ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης του Q(x) με το x - 2 είναι θετικός αριθμός
46 Έστω Ρ(x) πολυώνυμο 3ου βαθμού το οποίο διαιρείται με το 2x 1 έχει ρίζα το 0 και του
οποίου το άθροισμα των συντελεστών είναι ίσο με 2
α) Να αποδείξετε ότι 3(x) x x
β) Να λύσετε την ανίσωση 3 2
2 2 2x x x
47 Δίνεται το πολυώνυμο P(x)=x(x2
+λ) +κx2
+5 με παράγοντα το x-1 και P(-2)=3
α) Να βρείτε τα κ λ
β) Αν κ=-1 και λmdash5
i Να λύσετε την εξίσωση P(x)=0
ii Nα λύσετε την ανίσωση P(x)8
48 Αν το πολυώνυμο Ρ(x) = α3x3 + 5α2x2 - 10αx - 104 έχει παράγοντα το x - 2
α) Να βρείτε το α
β) Για την μεγαλύτερη τιμή του α να λύσετε την ανίσωση Ρ(x) gt 0
49 Δίνεται το πολυώνυμο P(x)=x3+αx-α +β
α) Αν έχει παράγοντες το x-2 και το x να δείξετε ότι α=β=-4
β) Για τις παραπάνω τιμές των α και β να λυθεί η εξίσωση Ρ(x)=0
γ) Να λυθεί η ανίσωση Ρ(x)gt0
9 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
50 Δίνεται το πολυώνυμο 3 2( ) 2 9 10 3P x x x x
α) Να γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης με το 2x+1
β) Να λύσετε την ανίσωση P(x) le 0
51 Δίνεται το πολυώνυμο 20 30
10 20 30P x x x x
α) Να βρείτε το βαθμό του
β) Να λύσετε την εξίσωση 0P x
γ) Να λύσετε την εξίσωση 10P x x
δ) Να λύσετε την ανίσωση 0P x
52 Έστω η συνάρτηση f(x) = 2
3 2
3 3 6
2 3 3 2
x x
x x x
α)Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f
β) Να απλοποιήσετε τον τύπο της f
γ) Να βρείτε τα διαστήματα του x που η γραφική παράσταση της f βρίσκεται κάτω από τη
γραφική παράσταση της g(x) =x2
53 Δίνεται η συνάρτηση f(x)=x3-6x2+11x-6
α Να βρεθούν τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f(x) με τον άξονα χ΄χ
β Να βρεθούν τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της f(x) είναι πάνω από
τον άξονα χ΄χ
54 Αν το πολυώνυμο x2 - 2 διαιρεί το πολυώνυμο Ρ(x) = x3 ndash 2x2 - αx + β
α) Να βρείτε τα α και β
β) Να βρείτε τα διαστήματα του x που η γραφική παράσταση της πολυωνυμικής συνάρτησης
Ρ(x) δεν βρίσκεται πάνω από τον άξονα χχ
55 Έστω το πολυώνυμο Ρ(x) = x5 + 3x2 + αx + β Αν το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ(x) με το x2-2
είναι το υ(x) = 5x + 8
α) Να βρείτε τα α και β
β) Να βρείτε το πηλίκο της διαίρεσης του Ρ(x) με το x2 - 2
γ) Να βρείτε τα διαστήματα του x που η γραφική παράσταση της πολυωνυμικής συνάρτησης
Ρ(x) βρίσκεται πάνω από την ευθεία y = 5x + 8
56 Έστω το πολυώνυμο Ρ(x) = x3-αx-2 αR Αν το Ρ(x) έχει ρίζα άρτιο θετικό ακέραιο τότε
α) να βρείτε το α
β) για α = 3 να βρείτε τις τιμές του λ ώστε για το υπόλοιπο υ της διαίρεσης του Ρ(x) με το x + λ
να ισχύει υ gt -4
57 Έστω το πολυώνυμο Ρ(x) = x4 - αx3 + βx2 - 2 α β RΑν το Ρ(x) έχει ρίζες δύο περιττούς
ακέραιους
α) να βρείτε τα α και β
β) να λύσετε την ανίσωση Ρ(x) ge 0
10 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
58 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης 3 2f (x) x x 2 x 2 3 διέρχεται από τα
σημεία Α(16) και Β(-112)Να βρείτε
α) Να βρείτε τους αριθμούς λ και μ
β) τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τους άξονες
59 Δίνεται η συνάρτηση 3 2( ) 2 9 18f x x x x Να βρεθούν οι τιμές του x για τις οποίες η
γραφική παράσταση της f(x)
α) βρίσκεται πάνω από τον άξονα χ΄ χ
β) βρίσκεται κάτω από τον άξονα χ΄ χ
60 Δίνεται το πολυώνυμο 3 2( ) ( 1) 3 2 6P x ax x x όπου α β πραγματικοί αριθμοί
α)Αν ο αριθμός 1 είναι ρίζα του πολυωνύμου Ρ(x) και το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ(x) με το
x+1 είναι ίσο με 2 να βρείτε τα α και β
β) Aν α=2 και β=4 να βρείτε
i) τα σημεία στα οποία η πολυωνυμική συνάρτηση Ρ(x) τέμνει τον άξονα χ΄χ
ii) τα διαστήματα στα οποία βρίσκεται πάνω από τον άξονα χ΄χ
61 Δίνεται το πολυώνυμο 3 2( ) 3 (2 1) 2P x x ax x όπου α β πραγματικοί αριθμοί
α) Αν ο αριθμός 1 είναι ρίζα του πολυωνύμου Ρ(x) και το υπόλοιπο της διαίρεσης του
Ρ(x) με το 1x είναι ίσο με 20να βρείτε τα α και β
β) Aν α=8 και β=4 να βρείτε
i) τα σημεία στα οποία η πολυωνυμική συνάρτηση Ρ(x) τέμνει τον άξονα χ΄χ
ii) τα διαστήματα στα οποία βρίσκεται κάτω από τον άξονα χ΄χ
62 Δίνεται το πολυώνυμο 3 2( ) ( 3) (2 1) 2P x x a x x όπου α β πραγματικοί αριθμοί
α) Αν ο αριθμός 2 είναι ρίζα του πολυωνύμου Ρ(x) και το υπόλοιπο της διαίρεσης του
Ρ(x) με το 1x είναι ίσο με -18να βρείτε τα α και β
β) Aν α=2 και β=7
2
i) Να λυθεί η εξίσωση Ρ(x) =0
ii) Να γίνει η διαίρεση του Ρ(x) με το πολυώνυμο x2+1 και να γραφεί το Ρ(x) με την
ταυτότητα της ευκλείδειας διαίρεσης
iii) Να λυθεί η ανίσωση ( ) 7 1P x x
63 Έστω πολυώνυμο P(x)=x3+αx2+βx+4 με αβ R το οποίο έχει παράγοντες τους x+1x-2
α) Να αποδείξετε ότι α=-3 και β=0
β) Για τις παραπάνω τιμές των α β να λύσετε την εξίσωση P(x)=0
γ) Έστω C η γραφική παράσταση συνάρτησης f(x)=P(x) με α=-3 και β=0 να βρείτε
i το σημείο τομής της C με τον άξονα y΄y
ii τις τιμές του x για τις οποίες ή C είναι πάνω από τον χ΄χ
64 Δίνεται το πολυώνυμο P(x) βαθμού 2 για το οποίο ισχύει
3 28( 1) ( ) (2 3) 52 8 6 16x P x x P x x x x για κάθε x
Αν το υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x) με το x-1 είναι 2
α) Να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x) με το πολυώνυμο 2
x 6x 5
β)Αν το πηλίκο της διαίρεσης του P(x) με το πολυώνυμο 2
x 6x 5 είναι το Π(x)=x+4
i Να βρεθούν τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης P(x)
11 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
α) με τον άξονα y΄y
β) με την ευθεία y=2
ii Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της συνάρτησης P(x)
είναι πάνω από την ευθεία y=2
65 α) Να λυθεί η εξίσωση y6-3y2+2 = 0
β) Να λυθεί η εξίσωση ημ6x = 1 - 3συν2x
66 Δίνεται η συνάρτηση f(x) =3
32 3
xx
x
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f
β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) =3
67 Αν το πολυώνυμο Ρ(x) = (3α - 1)x3 + x2ημπθ +1 θ (0 1) έχει θετικούς ακέραιους
συντελεστές και αρνητική ακέραια ρίζα
α να βρείτε τα θ και α
β για α = 1 και θ = 12 να βρείτε το λ ώστε το Ρ(x) να έχει παράγοντα το x + λ
ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ-ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
68 Δίνεται η συνάρτηση 1
( ) 3
x
f x
όπου x πραγματικός αριθμός
α) Να βρείτε για ποιες τιμές του ορίζεται η ( )f x
β) Να βρείτε για ποιες τιμές του η ( )f x είναι γνησίως αύξουσα
γ) Αν 7 να λύσετε την εξίσωση ( ) (2 ) 2f x f x
69 Να προσδιορισθεί ο αR ώστε η συνάρτηση 1 2
( )3
x
f x
α) να ορίζεται σε όλο το R
β) να είναι γνησίως αύξουσα στο R
γ) να είναι γνησίως φθίνουσα στο R
δ) να είναι 1-1
70 Δίνεται η συνάρτηση ( )1
x
f x
για κάθε x
α) Να βρείτε τις τιμές του ώστε η συνάρτηση f να είναι γνησίως αύξουσα
β) Αν η f είναι γνησίως αύξουσα και (2) 4f
i Nα υπολογίσετε το α
ii Για 2a να λύσετε την ανίσωση ( 1) 8f x
71 Δίνεται η συνάρτηση 6
( )4 9
x
x xf x
για κάθε x
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f
β) Nα αποδείξετε ότι η f είναι άρτια
12 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
γ) Να λυθεί η εξίσωση 12
( ) (0)13
f x f
72 Δίνεται η συνάρτηση ( ) 3 2 3 2x x
f x για κάθε x
α) Να αποδείξετε ότι η f είναι περιττή
β) Nα λυθεί η εξίσωση ( ) 4 6f x
γ) Να βρείτε τα διαστήματα του x για τα οποία η γραφική παράσταση της ( ) ( 2014)g x f x
δεν βρίσκεται πάνω από τον άξονα χ΄χ
73 Δίνεται η συνάρτηση 1 2
2 2 24( )
4 6 2 8
x x
x xf x
για κάθε x
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f
β) Nα δείξετε ότι 6
( ) 122 2
xf x x R
γ) Nα λυθεί η ανίσωση 3
( )7
f x
δ) Να βρείτε τις τιμές του έτσι ώστε η συνάρτηση ( ) ( )x
g x f a να είναι σταθερή στο
R
ε) Να λυθεί η εξίσωση h(x)+3h(x+1)=-f(3) όπου 6
( )( )
h xf x
74 Δίνεται η συνάρτηση 2
( )1
x
f x
α) Να μελετηθεί η f ως προς την μονοτονία για τις διάφορες τιμές του
β) Αν λ=1 να λυθεί η ανίσωση 2
2
2( )
3 4 2f x
γ) Αν 1 1
3 3
να λυθεί η ανίσωση 2 1(e 2 ) ( 2 )
x x x xf f e
δ) Να βρείτε τις τιμές το λ αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f διέρχεται από το σημείο
Α(f(0)3)
ε) Για λ=0 να βρείτε τα σημεία τομής των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων g και
h όπου ( ) 3 ( 1) 4g x f x ( ) (2 3) 5h x f x
στ) Για λ=0 να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης 2
( 4)( ( ) 4)(x)
(3 3 )( ( ) 2)x
x f x
e f x
75 Δίνεται η συνάρτηση ln3
f x x k
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της
β) Αν 2
ln 16
f
να βρείτε το k
γ) Αν 1k τότε
i να λύσετε την εξίσωση ln 2ln 2 ln36
x f f
13 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
ii να λύσετε την εξίσωση 1 1f x f x
e e
76 Δίνεται η συνάρτηση 1 ln 0 f x x x x
α) Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης f τέμνει τον άξονα
x΄x στο σημείο 10A
β) Να λύσετε την ανίσωση 2 51
x xf e e x
γ) Αν 0 1 x να δείξετε ότι 0f x
δ) Να δείξετε ότι για κάθε 02
ισχύει ότι ln
e
77 Δίνεται η συνάρτηση 2
2
x 68f (x) ln
100 x
α Να βρείτε το πεδίο ορισμού της
β Να λύσετε την εξίσωση f (x)e log50 log5
γ Να λύσετε την ανίσωση f(x) ge 0
78 Δίνεται η συνάρτηση 21( ) 2ln 4ln 1 0
4f x x a x a a
α Να βρεθεί ο πραγματικός αριθμός α ώστε η εξίσωση f(x)=0 να έχει διπλή ρίζα
β Να λυθεί η εξίσωση 2(0) ln 2ln 4f a a
γ Να λυθεί η ανίσωση 2( 2)ln( 2 )
8
afa e a a
79 Δίνεται η συνάρτηση 2x xf x ln e 4e 3 της οποίας η
γραφική παράσταση φαίνεται στο διπλανό σχήμα
α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της f
β) Να βρεθεί το σημείο τομής της γραφικής παράστασης της f
με τον άξονα x x
γ) Να δικαιολογήσετε (αλγεβρικά) γιατί δεν υπάρχει σημείο της
γραφικής παράστασης της f που να βρίσκεται πάνω από τον
άξονα x x
80 Δίνεται η συνάρτηση 2log 11 9 18 2log 1 f x x x x
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της
β) Να βρείτε τα σημεία στα οποία η γραφική παράσταση της f τέμνει τους άξονες
81 Δίνεται η συνάρτηση log log 1f x x
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f
β) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τον άξονα χ΄χ
γ) Να λύσετε την ανίσωση 0f x
δ) Να αποδείξετε ότι 3 101 2 1001 10001 log18f f f
14 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
82 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = ln(ex - 1)
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f
β) Να βρείτε τα διαστήματα που η γραφική παράσταση της συνάρτησης f βρίσκεται πάνω από
τον άξονα χ χ
γ) Να συγκρίνετε τους αριθμούς f(ln2) και f(l)
δ) Να λυθεί η εξίσωση f(2x)-f(x) = f(1)
83 Δίνεται η συνάρτηση f(x)=ln(ex-2)-ln(ex-1)
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f
β) Να αποδείξετε ότι f(x)=ln (1-1
1xe
)
γ) Να λύσετε την εξίσωση f(x)=-ln2
δ) Nα αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f δεν τέμνει την ευθεία με εξίσωση y=x
84 Δίνονται οι συναρτήσεις f g με τύπους f(x) = ln(ex minus 1 ) και g(x) = ln(ex + 2)
α Να βρείτε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων f και g
β Να συγκρίνετε τις τιμές f(ln2) και g( minus1)
γ Να λύσετε την εξίσωση x + f(x) = ln2 + g(x)
85 Έστω η συνάρτηση f(x) = k +log(x2-3) k
α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f
β) Να υπολογίσετε την τιμή του k ώστε f(2)= log100
γ) Για k=2
i Nα βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με την ευθεία
1
log1000
y
i i Nα λυθεί η ανίσωση f(x) gt2
86 Δίνονται οι συναρτήσεις 22log 2 1 log 3 2f x x x x και log 4 3 logg x x x
α) Να βρείτε το πεδίο των συναρτήσεων fg
β) Να βρείτε τα σημεία τομής των γραφικών τους παραστάσεων
γ) Να λύσετε τις εξισώσεις i 0f x και ii 0g x
δ) Να αποδείξετε ότι 2 2log 2 1g
87 Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο 1 1
f(x)= +1+lnx 1-lnx
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού Α της συνάρτησης
β) Να αποδείξετε ότι για κάθε xΑ ισχύει 1
f(x)=fx
γ) Να λύσετε την ανίσωση 1
f(x)+f gt4x
88 Α Να λύσετε την εξίσωση y3 + y - 2 = 0 (1)
15 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
Β Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f (x) = 27x + 1
2middot 12x lnα2 -2∙8x lnα διέρχεται από
την αρχή των αξόνων
α να αποδείξετε ότι α = e
β να βρείτε το διάστημα που η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τον άξονα xx
89 Δίνονται τα πολυώνυμα Ρ(x) = (α - ln2)x3 - (2e - β)x + 3
ln2
Q(x) = (1 ndash lnβ)x3 - (2e - 2)x + 3
ln2
Αν τα πολυώνυμα Ρ(x) και Q(x) είναι ίσα
α Να βρείτε τα α και β
β να αποδείξετε ότι Ρ(-1)gt0
90 Έστω το πολυώνυμο Ρ(x) = x3lnα + (2 - lnα)x2 + αlnβx +1 έχει θετικούς ακέραιους συντελεστές
και αρνητική ακέραια ρίζα
α Να βρείτε τα α και β
β Για α = e και β = 1 να βρείτε τα διαστήματα του x που η γραφική παράσταση της συνάρτησης
f(x) = P(ex) βρίσκεται κάτω από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης g(x) = ex + 3
91 Δίνεται η συνάρτηση f(x)= αlnx +β
α) Να βρείτε τις τιμές των α β R αν γνωρίζετε ότι η γραφική της παράσταση
διέρχεται από τα σημεία Α(10) και B(e2)
β) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f
γ) Να λυθεί η εξίσωση f(x)+f(2x)=61n2
δ) Να λυθεί η ανίσωση f(2x+1)gt f(x)
ε) Να λυθεί το σύστημα x y
f (x) f (y) 2
e e
92 Έστω η συνάρτηση f (x) = x -1 + 2ln(αx) x gt0
Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f διέρχεται από το σημείο Α(1 0)
α) να βρείτε το α
β) να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο (0+)
γ) να λύσετε την ανίσωση f(x) gt 0
93 Δίνεται η συνάρτηση 2
1( )
1
nxf x
n x
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f(x)
β) Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τον χ΄χ
γ) Να βρείτε τα σημεία τομής της Cf με την ευθεία y =1
94 Δίνεται η f( x ) = log ( 102x ndash 10x )
α) Να δειχθεί ότι το πεδίο ορισμού της f είναι το Α=( 0 + )
β) Να δειχθεί ότι f( x ) = x + log ( 10x ndash 1 )
γ) Να λυθεί η εξίσωση f( x ) = x
δ) Να λυθεί η ανίσωση f( x ) le x + 2log 2
16 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
95 Δίνεται η συνάρτηση 2( ) 5 6
x xf x n e e
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f(x)
β) Να λύσετε την ανίσωση ( ) 2f x n
γ) Να λύσετε την εξίσωση ( ) 2 f x x n
96 Δίνεται η συνάρτηση f(x)=ln(3e2xshyex-2)
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f
β) Να βρείτε την τεταγμένη του σημείου της γραφικής παράστασης με τετμημένη ln2 και να
βρείτε τη θέση του σημείου ως προς τον άξονα χ΄χ
γ) Να λυθεί η εξίσωση f(x)=3x ως προς x
97 Δίνεται η συνάρτηση 1
( )1
x
x
ef x a
e που η γραφική της παράσταση διέρχεται από το σημείο
A(ln2 3)
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f
β) Να αποδείξετε ότι α = 1
γ) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι περιττή
δ) Να λυθεί η ανίσωση f(x) gt 2
98 Δίνεται η συνάρτηση
11 2log( 1)
log( 1) 2( ) 10 100 80x
xf x
α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της
β) Να λυθεί η εξίσωση f(x) = 10
γ) Να βρείτε τα κοινά σημεία της ψ = f(x) με την ευθεία ψ = x-20
99 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = α + ln(ex - 2)
Α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f
Β) Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f διέρχεται από το σημείο A(ln3 1) middot
α) να αποδείξετε ότι α = 1
β) να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τον άξονα xx
γ) να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα
100 Δίνεται η συνάρτηση
ln 3 11( )
ln 5
xf x
x
α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της
β) Να λυθεί η εξίσωση f(x) = 2
γ) Αν x gt 6 να λύσετε την ανίσωση f(x) gt 1
101 Δίνεται η συνάρτηση ln 1
( )ln 2
xg x
x
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης ( ) ( )f x g x
β) Να βρείτε αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f τέμνει και σε ποια σημεία τους
άξονες χ΄χ και y΄y
γ) Να λύσετε την εξίσωση ( ) 1x
f e
17 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
102 Δίνεται η συνάρτηση f(x)=2(x-1)+lnx
α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της
β) Να δείξετε ότι το 1 είναι ρίζα της εξίσωσης f(x)=0
γ) Να λυθεί η εξίσωση f(x)=2(x-1)+(lnx)2
103 α) Δίνεται η συνάρτηση f (x) = 3x + 2x + lnx ndash 5Να βρείτε το f(1) και να δείξετε ότι η f είναι
γνησίως αύξουσα
β) Να λύσετε την εξίσωση 2x+ lnx = 5-3x
γ) Να λύσετε την ανίσωση 3x + lnx lt 5-2x
104 Δίνεται η συνάρτηση f (x) = 2ln 1 x x
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f
β) Να δείξετε ότι για κάθε x R f(x) + f(- x) = 0 και ότι η συνάρτηση f είναι περιττή
γ) Να συγκρίνετε τους αριθμούς f(0) και f(- 1)
δ) Να λύσετε την ανίσωση f(ex) gt x + ln3
105 Δίνεται η συνάρτηση 3
ln3
xf x
x
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f
β) Να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι περιττή
γ) Να συγκρίνετε τους αριθμούς f(0) και 1
3f
δ) Να λύσετε την εξίσωση 1 0f x f x
106 Δίνονται οι συναρτήσεις 2
2
100 10( ) ( )
10100
x xf x og g x og
xx
α) Να δείξετε ότι η f είναι άρτια και η g περιττή
β) Να βρείτε τα κοινά σημεία των γραφικών τους παραστάσεων
γ) Να λυθεί η ανισότητα f(x)gt0
107 Δίνεται η συνάρτηση f (x) = ln 9 3 x x xe
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f
β) Να δείξετε ότι f(1)lt0
γ) Να βρείτε τα διαστήματα του x που η Cf είναι πάνω από την ευθεία ε y= 2x + ln2
108 Δίνεται η συνάρτηση f (x) = 2x + 6x - 40
α) Να βρείτε το f(4)
β) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα
γ) Να λύσετε την εξίσωση f(x) =0
109 Έστω η συνάρτηση f (x) = 3x + 2ex-κ -1 που η γραφική της παράσταση διέρχεται από το
σημείο Α(0 1)
α) Να βρείτε το κ
β) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα
γ) Να λύσετε την εξίσωση 3x + 2ex = 2
δ) Να λύσετε την ανίσωση 3x + 2ex gt 2
18 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
110 Δίνεται η συνάρτηση f (x) = (ln 1)x
a
α) Να βρείτε τις τιμές του α για τις οποίες
i η συνάρτηση f ορίζεται σε όλο το R
ii η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα
β) Για α = e3 να λύσετε την εξίσωση ln 2 ln 1 f εφx f σφx
111 Δίνεται η συνάρτηση 1
ln5
x
f x
α) Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες η συνάρτηση f ορίζεται σε όλο το
β) Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα
στο
γ) Αν 11 να λύσετε την εξίσωση f f 1 6x x
112 Δίνεται η συνάρτηση f με f(x) = x + ln(ex - 3)
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της
β) Να δείξετε ότι f(ln4) lt f(ln5)
γ) Να λύσετε την ανίσωση f(x) gt lη2 + ln(ex - 2)
113 Δίνεται η συνάρτηση ( ) ln( 1) x
f x x e
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της
β) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα
γ) Να συγκρίνετε τους αριθμούς log 2f και log5f
δ) Να βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f και της ευθείας
ln 2y
114 Δίνεται η συνάρτηση 4 2
log 8 log log 100 0f x x x x x
α) Αν f(10)=25 να δείξετε ότι α = 1
β) Για την τιμή α = 1 να
i δείξετε ότι η f(x) γράφεται στη μορφή 2
2log 4 logf x x x
ii να λύσετε την εξίσωση f(x) = 0
115 Δίνονται οι συναρτήσεις ln x
f x e e και 1ln 2 2
xg x e
α) Να βρείτε το πεδίο των συναρτήσεων fg
β) Να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των fg δεν τέμνονται
γ) Να λύσετε την ανίσωση 1f x
116 Δίνονται οι συναρτήσεις x xf(x) ln e e
και x
g(x) ln ln e
α) Να βρείτε τα πεδία ορισμού των f(x) και g(x)
β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = g(x)
γ) Να λύσετε την ανίσωση f(x) gt 2g(x
117 Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) = ln(e2x-ex-2) και g(x) = ln2+ln(ex-l)
α) Να βρείτε τα πεδία ορισμού των f(x) και g(x)
β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = g(x)
γ) Να λύσετε την ανίσωση f(x) gt g(x)
19 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
118 Δίνεται η συνάρτηση 2
1ln
5
x
x
ef x
e
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f(x)
β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = 2ln2
γ) Να λύσετε την ανίσωση f(x) gt 0
119 Έστω η συνάρτηση f(x) = log(225x-54x) και η ευθεία ε y = x + log3
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f
β) Να βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της f και της ευθείας ε
γ) Να δείξετε ότι το σημείο Α3 3
2 2
f βρίσκεται πάνω από το σημείο Β με τετμημένη 3
2
της ευθείας ε
120 Δίνονται οι συναρτήσεις ( ) ln 2 3 xf x και ( ) ln(2 3) xg x
α) Να βρείτε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων f και g
β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = g(x)
γ) Να συγκρίνετε τους αριθμούς f(3) και g(3)
121 α) Να δείξετε ότι ln ln a για κάθε α β gt 0
β) Να λυθεί η ανίσωση 1
lnln 22 2 1
xx
γ) Έστω η συνάρτηση f(x) = ln xa Να βρείτε το α ώστε 5f (3) - 3f (5) gt 0
122 Δίνεται το πολυώνυμο 2 1 4 3 2 2( ) 1 ln ln 1f x e x x x x θ (0 π) το
οποίο είναι 3ου βαθμού και διαιρείται με το x-1
α) Να αποδείξετε ότι θ = 2
3
και κ =
1
e
β) Να αποδείξετε ότι το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης [f(x)x2] είναι το ίδιο
γ) Να βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της πολυωνυμικής συνάρτησης f(x)
με την ευθεία (ε) y = 5x-5
ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ
123 Δίνεται το σύστημα 2x y 7
7x 2y 11
α) Να βρείτε τη λύση (x0y0) του συστήματος
β) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης 2f (x) x x έχει κορυφή το σημείο Κ(x0y0)
i) να βρείτε τους αριθμούς β και γ
ii) να λύσετε την ανίσωση f (x) 0
iii) να λύσετε το σύστημα y f (x)
x y 6
20 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
124 Το σύστημα ( 1)x 8y 4
x ( 3)y 3 1
έχει τη μοναδική λύση (x0y0) για την οποία ισχύει
0 0x y 1
α) Να βρείτε τον αριθμό λ
β) Δίνεται η συνάρτηση 2f (x) x 2 x 6
i Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η Cf είναι πάνω από τον χ΄χ
iiΝα λύσετε το σύστημα y f (x)
2y f (x 1) 10x
125 Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f με f (x) = α + βσυν2x διέρχεται από τα σημεία
Α(0 1) και Β 24
π τότε
α) να βρείτε τα α και β
β) να βρείτε την f
γ) να δείξετε ότι η Cf έχει άξονα συμμετρίας τον yy
δ) να δείξετε ότι f (-x) - f4
πx = ημ2x - συν2x
126 Δίνεται το πολυώνυμο f (x) = 2x3 middot συν2θ - x3ημθ - x2 + 3eλ - 2
Αν το πολυώνυμο έχει παράγοντες τους x και x - 1
α) να βρείτε τους λ και θ θ [0 2
π]
β) να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του πολυωνύμου Ρ(x) με το x - 1 όπου
P(x) = x∙f(3x-2) + (2-3x)21
γ) να βρείτε τα διαστήματα που η γραφική παράσταση της συνάρτησης f βρίσκεται κάτω από
τον άξονα χ χ
127 Δίνεται η πολυωνυμική συνάρτηση f(x) = 8x3-4x2 + 2x-l
α) Αν το πολυώνυμο Ρ(x) έχει παράγοντα το x - συνθ θ 02
π να βρείτε το θ
β) Να λύσετε την ανίσωση f(lnx) lt 0
γ) Να βρείτε τα διαστήματα του χ που η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από την
ευθεία y = 10x - 5
128 Θεωρούμε το πολυώνυμο 3 2( ) ( ) 2 1P x x x x
α) Αν έχει παράγοντα το 2
1x να βρείτε τα και
β) Για τις τιμές των και που βρήκατε να λύσετε την ανίσωση ( ) 0P x
γ) Για τις ίδιες τιμές των και να λύσετε την εξίσωση ( ) 0P x
129 Δίνεται το πολυώνυμο 3 2 P x x x x α β Αν το υπόλοιπο της διαίρεσης
2 2P x x x είναι (x) 9x 3 τότε
α) να αποδείξετε ότι 3 και 3
β) να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της πολυωνυμικής συνάρτησης
P(x) βρίσκεται κάτω από τον άξονα xrsquox
21 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
γ) να λύσετε την ανίσωση 10 2 0xP
130 Δίνεται το πολυώνυμο P(x) = x4 +αx3 +βx2 ndash2x + 4 όπου α βIR Το P(x) έχει παράγοντα το
x ndash 1 και το υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x) με το x + 1 είναι το 6
α) Να δείξετε ότι α = ndash1 και β = ndash2
β) Να λύσετε την εξίσωση P(x) = 0
γ) Να λύσετε την ανίσωση P(x) gt 0
δ) Να λύσετε την εξίσωση συν4x ndashσυν3x + 2ημ2x ndash2συνx + 2 = 0 στο διάστημα [ndashπ
2 π)
131 Δίνεται το πολυώνυμο 3 2 1P x x x x που έχει παράγοντα το 1x και το
υπόλοιπο της διαίρεσης του με το 1x είναι 8
α) Να αποδείξετε ότι 2 και 7
β) Να λύσετε την ανίσωση 0x
γ) Αν 2
x
να λύσετε την εξίσωση 3 22 7 2 3 0
132 To πολυώνυμο f(x)=x3+2αx2-βx-1 έχει παράγοντα το x-1 και το υπόλοιπο της διαίρεσης
f (x) (x 1) είναι 4
α) Να βρείτε τις τιμές των α β R
β) Να βρεθούν τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της
f(x) βρίσκεται κάτω από τον άξονα χ΄χ
γ) Να λύσετε την εξίσωση 2x x1e e
2
133 Δίνεται το πολυώνυμο 3 22 7P x x x x το οποίο έχει παράγοντα το 1x και το
υπόλοιπο της διαίρεσης του με το 1x είναι 18
α) Να αποδείξετε ότι 7 και 2
β) Να λύσετε την εξίσωση 3 22 2 7 2 7 2 2 0x x x
γ) Να λύσετε την ανίσωση 2 8 7 4 7 2 2 0x x x
134 Δίνεται το πολυώνυμο 3 2( ) (log 2) log 0P x x x k x k k
α) Να αποδείξετε ότι το 1x είναι παράγοντας του ( )P x
β) Να βρείτε τις τιμές του k για τις οποίες το πολυώνυμο ( )P x έχει τρεις
πραγματικές ρίζες
γ) Για 10k να λύσετε
i την ανίσωση ( ) 0P x
ii την εξίσωση 2( ) [0 ]P x x x
135 Δίνεται το πολυώνυμο
4 3 22ln 1 2 0 0 x x x x x x
α) Αν το πολυώνυμο x είναι 3ου βαθμού και έχει παράγοντα το 1x να βρεθούν τα
β) Αν 3 2 1x x x x x να βρεθούν οι τιμές του x για τις οποίες ισχύει
0x
22 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
γ) Να λυθούν
i η εξίσωση 2 0 0 ό
ii η ανίσωση 2 ln 0
136 Δίνεται η συνάρτηση log 2 4 5 2 2x xf x
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f
β) Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τον
άξονα χ΄χ
γ) Να λύσετε στο διάστημα 0 2 την εξίσωση 2 0f x
137 Έστω η συνάρτηση ( ) ln 2 xf x ημ
α) Να αποδείξετε ότι η f είναι περιττή
β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = 0 στο (- π π)
138 Έστω η συνάρτηση f(x) = ημx + ex - 1
α) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο Α= 2 2
π π
β) Να βρείτε το f(0)
γ) Να λύσετε
i την εξίσωση ημx + ex=1 στο 2 2
π π
ii την ανίσωση ημx + ex lt1 στο 2 2
π π
139 Έστω η συνάρτηση f (x) = (3 ndash 2lnα)x
α) Να βρείτε το α ώστε η συνάρτηση f να ορίζεται σε όλο το R
β) Να βρείτε το α ώστε η συνάρτηση f να είναι γνησίως φθίνουσα
γ) Για α = e να λύσετε την εξίσωση f(2συν2θ)-f(2ημ2θ) = 3
140 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = (2lnα - 1)x
α) Να βρείτε τις τιμές του α R για τις οποίες η συνάρτηση f ορίζεται σε όλο το R
β) Να βρείτε τις τιμές του α R για τις οποίες η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα
γ) Αν α = e2 να βρείτε το θ ώστε 2 2 2 4( ) ( )
3 f συν θ ημ θ f συν θ
141 Δίνεται η συνάρτηση 2
log logf x x x
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f
β) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τον άξονα χ΄χ
γ) Να λύσετε την εξίσωση 0f x
δ) Αν για τους θετικούς αριθμούς α β με ισχύει ότι f f να αποδείξετε ότι
10000
142 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = log(4x ndash 2)
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f και να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f έχει
μοναδικό κοινό σημείο με την ευθεία y = 1 ndash log5
23 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
β) Να λύσετε την ανίσωση 1
-12
4 64 - 2 0
5 5
xx
γ) Να λύσετε την εξίσωση f(x) + f(2
x) = 1 + log
1-
124 6
4 - 25 5
xx
δ) Να λύσετε την εξίσωση ημ2x = f(5
2) + f(1) ndash f(
3
2)
143 Δίνεται το πολυώνυμο 1
4 2 1 3 225 2 3 25 1 λf x x x x x
α) Αν το (x ndash 1) είναι παράγοντας του f(x) να βρείτε το λ
β) Για 1
2
i να δείξετε ότι το (x -1)2 είναι παράγοντας του f(x)
ii να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τον
άξονα x΄x
144 Δίνεται το πολυώνυμο Ρ(x) = (21lnκ - 1)x4 + x3 + (e - 1)x2 ndash e∙x +1 + 2ημθ θ (0 2π)
Αν το πολυώνυμο Ρ(x) είναι 3ου βαθμού και έχει παράγοντα το x - 1
α) να βρείτε τα κ και θ
β) να λύσετε την ανίσωση Ρ(x) lt 0
γ) να βρείτε τα διαστήματα που η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) με
f(x) = e3x+(e-1)e2x-ex+1 βρίσκεται κάτω από τον άξονα χ χ
145 Δίνεται η συνάρτηση ln ln 3
( )ln ln
x
f x
με 3lt α lt β η οποία είναι γνησίως φθίνουσα στο
σύνολο των πραγματικών αριθμών
α) Να συγκρίνετε τους αριθμούς ln και ln
β) Να αποδείξετε ότι 23
γ) Αν 6 και 24 τότε
i) να αποδείξετε ότι 1
( )2
x
f x
ii) να αποδείξετε ότι για κάθε ισχύει η ανισότητα 22
f f f
δ)Να λυθεί η εξίσωση 2 2( ) ( ) 3f x f x
146 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x - 1 + lnx x gt 0
α) Να δείξετε ότι για κάθε x με 0 lt x lt 1 f(x) lt 0
β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = x-1-ln2x
γ) Να λύσετε την ανίσωση f (ex) gt x + 2x -1
δ) Να δείξετε ότι για κάθε θ 02
lne
147 Δίνεται το πολυώνυμο f(x) όπου f(x) = x3-2x2lnα2 + 5xlnα-2 αgt0
α) Αν το x-1 είναι παράγοντας του f(x) τότε να βρείτε το α
β) Για α = e
24 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
i να δείξετε ότι το (x-1)2 είναι παράγοντας του πολυωνύμου f(x)
ii να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της πολυωνυμικής
συνάρτησης f(x) βρίσκεται κάτω από τον άξονα χ χ
148 Έστω η συνάρτηση f(x) = ln(2 - ex)
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f
β) Έστω ότι ο αριθμοί α = 2x β = f(x) γ = ln4 είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου
i Να βρείτε το x
ii Αν ο αριθμός α είναι ο 3ος όρος της αριθμητικής προόδου να βρείτε ποιος όρος της προόδου
ισούται με 2ln2 + 5ln3
149 Δίνεται το πολυώνυμο Ρ(x) = x3 +x2 + x + 2λ2 ndashλ +1
α) Να αποδείξετε ότι η διαίρεση Ρ(x) (x -1 ) δεν είναι τέλεια
β) Αν υ(λ) το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ(x) (x -1 ) να βρεθεί το λ ώστε το υ(λ) να γίνεται
ελάχιστο και την ελάχιστη τιμή του υ(λ)
γ) Για την τιμή του λ που το υ(λ) γίνεται ελάχιστο
i να λύσετε την εξίσωση 425x-2λ-16x-2λ=48λx
ii να λύσετε την εξίσωση
2ln x 1ln
21
4 5 x2
αφού πρώτα αποδείξετε ότι
ln x ln 22 x
δ) Να λύσετε την ανίσωση 8 x 4 x 4 x 1 4 x 13 9 11 4 4
150 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = log(e2x-kex +λ) με f(0) = log2 f(ln6) = log12
α) Να δείξετε ότι κ = 5 και λ = 6
β) Αν κ = 5 και λ = 6
i Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f
ii Να λυθεί η εξίσωση f(x) = 1minuslog(ex + 1)
iii Να δείξετε ότι οι αριθμοί f(ln5)minusf(0) f(ln5) f(ln6) είναι διαδοχικοί όροι
αριθμητικής προόδου
151 Αν το πολυώνυμο f(x) = x3 + 2αx2 - βx - 1 έχει παράγοντα το x - 1 και το υπόλοιπο της
διαίρεσης Ρ(x)(x + 1) είναι 4
α) να βρείτε τους α και β
β) να λύσετε την εξίσωση 2συν4
βx- 2ημ2 x
2
= -2
γ) να βρείτε το ελάχιστο πλήθος των πρώτων όρων της αριθμητικής προόδου (αν) με α1 = α και
ω = β που απαιτούνται ώστε το άθροισμα τους να ξεπερνάει το 150
δ) να λύσετε την εξίσωση β2lnx =5 + 4∙xln2α
152 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) = x3+λx2+23x-15 (λR ) διέρχεται από το σημείο
Α(10)
α) Να βρεθεί ο λ R
β) Για ποιες τιμές του xR η ψ = f(x) βρίσκεται κάτω από τον άξονα x΄x
γ) οι τετμημένες των σημείων στα οποία η ψ = f(x) τέμνει τον άξονα x΄x είναι κατά αύξουσα
τάξη οι 3 πρώτοι όροι μιας προόδου Αν το άθροισμα των ν πρώτων όρων της είναι 400 να
βρεθεί ο ν
25 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
153 α) Έστω η συνάρτηση f (x) = 2 middot 3x + 3x - 24
i να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα και να βρείτε το f(2)
ii να λύσετε την εξίσωση f(x) = 0
β) Δύο κοινωνίες βακτηριδίων Α και Β έχουν αρχικά 24 και 2 βακτηρίδια αντίστοιχα
Η κοινωνία των βακτηριδίων Α μειώνεται σε αριθμό κάθε μια ώρα κατά 3 βακτηρίδια
Η κοινωνία των βακτηριδίων Β τριπλασιάζεται κάθε μία ώρα Να βρείτε μετά από πόσες
ώρες οι κοινωνίες των βακτηριδίων θα έχουν τον ίδιο αριθμό βακτηριδίων
7 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
γ) να δείξετε ότι η συνάρτηση g(x) = f2
πx είναι άρτια
36 Α Δίνεται η παράσταση f(x) = ημ2x -2συνx +2 χ εR
α) Να κάνετε γινόμενο την f(x)
β) Να δείξετε ότι f(x) 0 x εR
γ) Να βρείτε τις τιμές του x για τις οποίες f(x) = 0
Β Δίνεται η εξίσωση 23 x ( 3 1) x 1 0 με 2
lt χ π
Να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς του x
37 Δίνεται η συνάρτηση f(x)=2συνx
α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της και το σύνολο τιμών της
β) Να βρεθεί η ελάχιστη τιμή της συνάρτησης f
γ) Για ποιες τιμές του x παίρνει ελάχιστη τιμή η συνάρτηση
δ) Να λυθεί η εξίσωση f(x)+συν2x=3+ημ2x
38 Έστω η συνάρτηση f (x) = α + εφ2πx
α) Αν η Cf τέμνει τον άξονα yy στο 2 να βρείτε το α
β) Για α = 2 να λύσετε την εξίσωση 02 4
x πf f x
39 Δίνεται η συνάρτηση 2 2 1 f x x x
α) Να βρείτε τη περίοδο την μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της
β) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της f
γ) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τους άξονες
δ) Να λύσετε την εξίσωση
f x f x4
στο διάστημα 0
ε) Να αποδείξετε ότι 13
log2 log 3log log1284 12 12
f f f
στ) Να βρείτε τα για τα οποία το πολυώνυμο 3 2P x x 6x x έχει παράγοντες τα
x f4
και
x f12
ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ
40 Δίνεται το πολυώνυμο 3 3 2 2( 4 ) ( 2 ) 2 λx x x
α) Να βρείτε το βαθμό του Ρ(x) για τις διάφορες τιμές του πραγματικού αριθμού λ
β) Για λ=1
i να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης Ρ διέρχεται από το σημείο Α(1-3)
ii να βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης Ρ με την ευθεία y=-3
iii να βρείτε τα διαστήματα του x στα οποία η γραφική παράσταση της συνάρτησης Ρ
βρίσκεται κάτω από την ευθεία y=-3
8 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
41 Δίνεται το πολυώνυμο 4 3 28 5 1 8 3 6 αx x x x x
α) Να γίνει η διαίρεση του Ρ(x) δια του x2 ndash 1 και να γράψετε τη σχετική ταυτότητα
β) Να βρείτε τη τιμή του α ώστε η παραπάνω διαίρεση να είναι τέλεια
γ) Για 3 να βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης Ρ(x) = 0 καθώς και τα διαστήματα στα οποία η
γραφική παράσταση της πολυωνυμικής συνάρτησης Ρ(x) είναι κάτω από τον άξονα x΄x
42 Έστω ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου Ρ(x) με το x2 + 2x είναι 3x - 2
α Να γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης
β Να βρείτε τα Ρ(0) και Ρ(-2)
γ Αν το πολυώνυμο Ρ(x) είναι βαθμού 3 και το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ(x) με το x2 ndash 2
είναι 2x -1 να βρείτε
i το βαθμό του πηλίκου της διαίρεσης του πολυωνύμου Ρ(x) με το x2-2
ii το πολυώνυμο Ρ(x)
43 Δίνονται τα πολυώνυμα Ρ(x) και Q(x) = x3 ndash 4x Αν η πολυωνυμική συνάρτηση Ρ(x) είναι
περιττή και το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ(x) με το x-2 είναι3
α) Να δείξετε ότι Ρ(0) = 0
β) Να βρείτε το Ρ(-2)
γ) Να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ(x) με το x3 ndash 4x
44 Αν για το πολυώνυμο Ρ(x) ισχύει P(x)-2P(1-x) = 4x2-1 να βρείτε
α) τα Ρ(0) και Ρ(1)
β) το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ(x) με το πολυώνυμο 2x2 ndash 2x
45 Έστω τα πολυώνυμα Ρ(x) και Q(x) = Ρ2 (x) - 4Ρ(x) + x2 +1
α)Αν το άθροισμα των συντελεστών του Ρ(x) είναι 3 να βρείτε το άθροισμα των συντελεστών
του Q(x)
β) Να δείξετε ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης του Q(x) με το x - 2 είναι θετικός αριθμός
46 Έστω Ρ(x) πολυώνυμο 3ου βαθμού το οποίο διαιρείται με το 2x 1 έχει ρίζα το 0 και του
οποίου το άθροισμα των συντελεστών είναι ίσο με 2
α) Να αποδείξετε ότι 3(x) x x
β) Να λύσετε την ανίσωση 3 2
2 2 2x x x
47 Δίνεται το πολυώνυμο P(x)=x(x2
+λ) +κx2
+5 με παράγοντα το x-1 και P(-2)=3
α) Να βρείτε τα κ λ
β) Αν κ=-1 και λmdash5
i Να λύσετε την εξίσωση P(x)=0
ii Nα λύσετε την ανίσωση P(x)8
48 Αν το πολυώνυμο Ρ(x) = α3x3 + 5α2x2 - 10αx - 104 έχει παράγοντα το x - 2
α) Να βρείτε το α
β) Για την μεγαλύτερη τιμή του α να λύσετε την ανίσωση Ρ(x) gt 0
49 Δίνεται το πολυώνυμο P(x)=x3+αx-α +β
α) Αν έχει παράγοντες το x-2 και το x να δείξετε ότι α=β=-4
β) Για τις παραπάνω τιμές των α και β να λυθεί η εξίσωση Ρ(x)=0
γ) Να λυθεί η ανίσωση Ρ(x)gt0
9 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
50 Δίνεται το πολυώνυμο 3 2( ) 2 9 10 3P x x x x
α) Να γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης με το 2x+1
β) Να λύσετε την ανίσωση P(x) le 0
51 Δίνεται το πολυώνυμο 20 30
10 20 30P x x x x
α) Να βρείτε το βαθμό του
β) Να λύσετε την εξίσωση 0P x
γ) Να λύσετε την εξίσωση 10P x x
δ) Να λύσετε την ανίσωση 0P x
52 Έστω η συνάρτηση f(x) = 2
3 2
3 3 6
2 3 3 2
x x
x x x
α)Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f
β) Να απλοποιήσετε τον τύπο της f
γ) Να βρείτε τα διαστήματα του x που η γραφική παράσταση της f βρίσκεται κάτω από τη
γραφική παράσταση της g(x) =x2
53 Δίνεται η συνάρτηση f(x)=x3-6x2+11x-6
α Να βρεθούν τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f(x) με τον άξονα χ΄χ
β Να βρεθούν τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της f(x) είναι πάνω από
τον άξονα χ΄χ
54 Αν το πολυώνυμο x2 - 2 διαιρεί το πολυώνυμο Ρ(x) = x3 ndash 2x2 - αx + β
α) Να βρείτε τα α και β
β) Να βρείτε τα διαστήματα του x που η γραφική παράσταση της πολυωνυμικής συνάρτησης
Ρ(x) δεν βρίσκεται πάνω από τον άξονα χχ
55 Έστω το πολυώνυμο Ρ(x) = x5 + 3x2 + αx + β Αν το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ(x) με το x2-2
είναι το υ(x) = 5x + 8
α) Να βρείτε τα α και β
β) Να βρείτε το πηλίκο της διαίρεσης του Ρ(x) με το x2 - 2
γ) Να βρείτε τα διαστήματα του x που η γραφική παράσταση της πολυωνυμικής συνάρτησης
Ρ(x) βρίσκεται πάνω από την ευθεία y = 5x + 8
56 Έστω το πολυώνυμο Ρ(x) = x3-αx-2 αR Αν το Ρ(x) έχει ρίζα άρτιο θετικό ακέραιο τότε
α) να βρείτε το α
β) για α = 3 να βρείτε τις τιμές του λ ώστε για το υπόλοιπο υ της διαίρεσης του Ρ(x) με το x + λ
να ισχύει υ gt -4
57 Έστω το πολυώνυμο Ρ(x) = x4 - αx3 + βx2 - 2 α β RΑν το Ρ(x) έχει ρίζες δύο περιττούς
ακέραιους
α) να βρείτε τα α και β
β) να λύσετε την ανίσωση Ρ(x) ge 0
10 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
58 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης 3 2f (x) x x 2 x 2 3 διέρχεται από τα
σημεία Α(16) και Β(-112)Να βρείτε
α) Να βρείτε τους αριθμούς λ και μ
β) τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τους άξονες
59 Δίνεται η συνάρτηση 3 2( ) 2 9 18f x x x x Να βρεθούν οι τιμές του x για τις οποίες η
γραφική παράσταση της f(x)
α) βρίσκεται πάνω από τον άξονα χ΄ χ
β) βρίσκεται κάτω από τον άξονα χ΄ χ
60 Δίνεται το πολυώνυμο 3 2( ) ( 1) 3 2 6P x ax x x όπου α β πραγματικοί αριθμοί
α)Αν ο αριθμός 1 είναι ρίζα του πολυωνύμου Ρ(x) και το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ(x) με το
x+1 είναι ίσο με 2 να βρείτε τα α και β
β) Aν α=2 και β=4 να βρείτε
i) τα σημεία στα οποία η πολυωνυμική συνάρτηση Ρ(x) τέμνει τον άξονα χ΄χ
ii) τα διαστήματα στα οποία βρίσκεται πάνω από τον άξονα χ΄χ
61 Δίνεται το πολυώνυμο 3 2( ) 3 (2 1) 2P x x ax x όπου α β πραγματικοί αριθμοί
α) Αν ο αριθμός 1 είναι ρίζα του πολυωνύμου Ρ(x) και το υπόλοιπο της διαίρεσης του
Ρ(x) με το 1x είναι ίσο με 20να βρείτε τα α και β
β) Aν α=8 και β=4 να βρείτε
i) τα σημεία στα οποία η πολυωνυμική συνάρτηση Ρ(x) τέμνει τον άξονα χ΄χ
ii) τα διαστήματα στα οποία βρίσκεται κάτω από τον άξονα χ΄χ
62 Δίνεται το πολυώνυμο 3 2( ) ( 3) (2 1) 2P x x a x x όπου α β πραγματικοί αριθμοί
α) Αν ο αριθμός 2 είναι ρίζα του πολυωνύμου Ρ(x) και το υπόλοιπο της διαίρεσης του
Ρ(x) με το 1x είναι ίσο με -18να βρείτε τα α και β
β) Aν α=2 και β=7
2
i) Να λυθεί η εξίσωση Ρ(x) =0
ii) Να γίνει η διαίρεση του Ρ(x) με το πολυώνυμο x2+1 και να γραφεί το Ρ(x) με την
ταυτότητα της ευκλείδειας διαίρεσης
iii) Να λυθεί η ανίσωση ( ) 7 1P x x
63 Έστω πολυώνυμο P(x)=x3+αx2+βx+4 με αβ R το οποίο έχει παράγοντες τους x+1x-2
α) Να αποδείξετε ότι α=-3 και β=0
β) Για τις παραπάνω τιμές των α β να λύσετε την εξίσωση P(x)=0
γ) Έστω C η γραφική παράσταση συνάρτησης f(x)=P(x) με α=-3 και β=0 να βρείτε
i το σημείο τομής της C με τον άξονα y΄y
ii τις τιμές του x για τις οποίες ή C είναι πάνω από τον χ΄χ
64 Δίνεται το πολυώνυμο P(x) βαθμού 2 για το οποίο ισχύει
3 28( 1) ( ) (2 3) 52 8 6 16x P x x P x x x x για κάθε x
Αν το υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x) με το x-1 είναι 2
α) Να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x) με το πολυώνυμο 2
x 6x 5
β)Αν το πηλίκο της διαίρεσης του P(x) με το πολυώνυμο 2
x 6x 5 είναι το Π(x)=x+4
i Να βρεθούν τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης P(x)
11 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
α) με τον άξονα y΄y
β) με την ευθεία y=2
ii Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της συνάρτησης P(x)
είναι πάνω από την ευθεία y=2
65 α) Να λυθεί η εξίσωση y6-3y2+2 = 0
β) Να λυθεί η εξίσωση ημ6x = 1 - 3συν2x
66 Δίνεται η συνάρτηση f(x) =3
32 3
xx
x
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f
β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) =3
67 Αν το πολυώνυμο Ρ(x) = (3α - 1)x3 + x2ημπθ +1 θ (0 1) έχει θετικούς ακέραιους
συντελεστές και αρνητική ακέραια ρίζα
α να βρείτε τα θ και α
β για α = 1 και θ = 12 να βρείτε το λ ώστε το Ρ(x) να έχει παράγοντα το x + λ
ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ-ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
68 Δίνεται η συνάρτηση 1
( ) 3
x
f x
όπου x πραγματικός αριθμός
α) Να βρείτε για ποιες τιμές του ορίζεται η ( )f x
β) Να βρείτε για ποιες τιμές του η ( )f x είναι γνησίως αύξουσα
γ) Αν 7 να λύσετε την εξίσωση ( ) (2 ) 2f x f x
69 Να προσδιορισθεί ο αR ώστε η συνάρτηση 1 2
( )3
x
f x
α) να ορίζεται σε όλο το R
β) να είναι γνησίως αύξουσα στο R
γ) να είναι γνησίως φθίνουσα στο R
δ) να είναι 1-1
70 Δίνεται η συνάρτηση ( )1
x
f x
για κάθε x
α) Να βρείτε τις τιμές του ώστε η συνάρτηση f να είναι γνησίως αύξουσα
β) Αν η f είναι γνησίως αύξουσα και (2) 4f
i Nα υπολογίσετε το α
ii Για 2a να λύσετε την ανίσωση ( 1) 8f x
71 Δίνεται η συνάρτηση 6
( )4 9
x
x xf x
για κάθε x
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f
β) Nα αποδείξετε ότι η f είναι άρτια
12 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
γ) Να λυθεί η εξίσωση 12
( ) (0)13
f x f
72 Δίνεται η συνάρτηση ( ) 3 2 3 2x x
f x για κάθε x
α) Να αποδείξετε ότι η f είναι περιττή
β) Nα λυθεί η εξίσωση ( ) 4 6f x
γ) Να βρείτε τα διαστήματα του x για τα οποία η γραφική παράσταση της ( ) ( 2014)g x f x
δεν βρίσκεται πάνω από τον άξονα χ΄χ
73 Δίνεται η συνάρτηση 1 2
2 2 24( )
4 6 2 8
x x
x xf x
για κάθε x
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f
β) Nα δείξετε ότι 6
( ) 122 2
xf x x R
γ) Nα λυθεί η ανίσωση 3
( )7
f x
δ) Να βρείτε τις τιμές του έτσι ώστε η συνάρτηση ( ) ( )x
g x f a να είναι σταθερή στο
R
ε) Να λυθεί η εξίσωση h(x)+3h(x+1)=-f(3) όπου 6
( )( )
h xf x
74 Δίνεται η συνάρτηση 2
( )1
x
f x
α) Να μελετηθεί η f ως προς την μονοτονία για τις διάφορες τιμές του
β) Αν λ=1 να λυθεί η ανίσωση 2
2
2( )
3 4 2f x
γ) Αν 1 1
3 3
να λυθεί η ανίσωση 2 1(e 2 ) ( 2 )
x x x xf f e
δ) Να βρείτε τις τιμές το λ αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f διέρχεται από το σημείο
Α(f(0)3)
ε) Για λ=0 να βρείτε τα σημεία τομής των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων g και
h όπου ( ) 3 ( 1) 4g x f x ( ) (2 3) 5h x f x
στ) Για λ=0 να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης 2
( 4)( ( ) 4)(x)
(3 3 )( ( ) 2)x
x f x
e f x
75 Δίνεται η συνάρτηση ln3
f x x k
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της
β) Αν 2
ln 16
f
να βρείτε το k
γ) Αν 1k τότε
i να λύσετε την εξίσωση ln 2ln 2 ln36
x f f
13 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
ii να λύσετε την εξίσωση 1 1f x f x
e e
76 Δίνεται η συνάρτηση 1 ln 0 f x x x x
α) Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης f τέμνει τον άξονα
x΄x στο σημείο 10A
β) Να λύσετε την ανίσωση 2 51
x xf e e x
γ) Αν 0 1 x να δείξετε ότι 0f x
δ) Να δείξετε ότι για κάθε 02
ισχύει ότι ln
e
77 Δίνεται η συνάρτηση 2
2
x 68f (x) ln
100 x
α Να βρείτε το πεδίο ορισμού της
β Να λύσετε την εξίσωση f (x)e log50 log5
γ Να λύσετε την ανίσωση f(x) ge 0
78 Δίνεται η συνάρτηση 21( ) 2ln 4ln 1 0
4f x x a x a a
α Να βρεθεί ο πραγματικός αριθμός α ώστε η εξίσωση f(x)=0 να έχει διπλή ρίζα
β Να λυθεί η εξίσωση 2(0) ln 2ln 4f a a
γ Να λυθεί η ανίσωση 2( 2)ln( 2 )
8
afa e a a
79 Δίνεται η συνάρτηση 2x xf x ln e 4e 3 της οποίας η
γραφική παράσταση φαίνεται στο διπλανό σχήμα
α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της f
β) Να βρεθεί το σημείο τομής της γραφικής παράστασης της f
με τον άξονα x x
γ) Να δικαιολογήσετε (αλγεβρικά) γιατί δεν υπάρχει σημείο της
γραφικής παράστασης της f που να βρίσκεται πάνω από τον
άξονα x x
80 Δίνεται η συνάρτηση 2log 11 9 18 2log 1 f x x x x
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της
β) Να βρείτε τα σημεία στα οποία η γραφική παράσταση της f τέμνει τους άξονες
81 Δίνεται η συνάρτηση log log 1f x x
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f
β) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τον άξονα χ΄χ
γ) Να λύσετε την ανίσωση 0f x
δ) Να αποδείξετε ότι 3 101 2 1001 10001 log18f f f
14 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
82 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = ln(ex - 1)
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f
β) Να βρείτε τα διαστήματα που η γραφική παράσταση της συνάρτησης f βρίσκεται πάνω από
τον άξονα χ χ
γ) Να συγκρίνετε τους αριθμούς f(ln2) και f(l)
δ) Να λυθεί η εξίσωση f(2x)-f(x) = f(1)
83 Δίνεται η συνάρτηση f(x)=ln(ex-2)-ln(ex-1)
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f
β) Να αποδείξετε ότι f(x)=ln (1-1
1xe
)
γ) Να λύσετε την εξίσωση f(x)=-ln2
δ) Nα αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f δεν τέμνει την ευθεία με εξίσωση y=x
84 Δίνονται οι συναρτήσεις f g με τύπους f(x) = ln(ex minus 1 ) και g(x) = ln(ex + 2)
α Να βρείτε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων f και g
β Να συγκρίνετε τις τιμές f(ln2) και g( minus1)
γ Να λύσετε την εξίσωση x + f(x) = ln2 + g(x)
85 Έστω η συνάρτηση f(x) = k +log(x2-3) k
α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f
β) Να υπολογίσετε την τιμή του k ώστε f(2)= log100
γ) Για k=2
i Nα βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με την ευθεία
1
log1000
y
i i Nα λυθεί η ανίσωση f(x) gt2
86 Δίνονται οι συναρτήσεις 22log 2 1 log 3 2f x x x x και log 4 3 logg x x x
α) Να βρείτε το πεδίο των συναρτήσεων fg
β) Να βρείτε τα σημεία τομής των γραφικών τους παραστάσεων
γ) Να λύσετε τις εξισώσεις i 0f x και ii 0g x
δ) Να αποδείξετε ότι 2 2log 2 1g
87 Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο 1 1
f(x)= +1+lnx 1-lnx
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού Α της συνάρτησης
β) Να αποδείξετε ότι για κάθε xΑ ισχύει 1
f(x)=fx
γ) Να λύσετε την ανίσωση 1
f(x)+f gt4x
88 Α Να λύσετε την εξίσωση y3 + y - 2 = 0 (1)
15 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
Β Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f (x) = 27x + 1
2middot 12x lnα2 -2∙8x lnα διέρχεται από
την αρχή των αξόνων
α να αποδείξετε ότι α = e
β να βρείτε το διάστημα που η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τον άξονα xx
89 Δίνονται τα πολυώνυμα Ρ(x) = (α - ln2)x3 - (2e - β)x + 3
ln2
Q(x) = (1 ndash lnβ)x3 - (2e - 2)x + 3
ln2
Αν τα πολυώνυμα Ρ(x) και Q(x) είναι ίσα
α Να βρείτε τα α και β
β να αποδείξετε ότι Ρ(-1)gt0
90 Έστω το πολυώνυμο Ρ(x) = x3lnα + (2 - lnα)x2 + αlnβx +1 έχει θετικούς ακέραιους συντελεστές
και αρνητική ακέραια ρίζα
α Να βρείτε τα α και β
β Για α = e και β = 1 να βρείτε τα διαστήματα του x που η γραφική παράσταση της συνάρτησης
f(x) = P(ex) βρίσκεται κάτω από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης g(x) = ex + 3
91 Δίνεται η συνάρτηση f(x)= αlnx +β
α) Να βρείτε τις τιμές των α β R αν γνωρίζετε ότι η γραφική της παράσταση
διέρχεται από τα σημεία Α(10) και B(e2)
β) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f
γ) Να λυθεί η εξίσωση f(x)+f(2x)=61n2
δ) Να λυθεί η ανίσωση f(2x+1)gt f(x)
ε) Να λυθεί το σύστημα x y
f (x) f (y) 2
e e
92 Έστω η συνάρτηση f (x) = x -1 + 2ln(αx) x gt0
Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f διέρχεται από το σημείο Α(1 0)
α) να βρείτε το α
β) να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο (0+)
γ) να λύσετε την ανίσωση f(x) gt 0
93 Δίνεται η συνάρτηση 2
1( )
1
nxf x
n x
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f(x)
β) Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τον χ΄χ
γ) Να βρείτε τα σημεία τομής της Cf με την ευθεία y =1
94 Δίνεται η f( x ) = log ( 102x ndash 10x )
α) Να δειχθεί ότι το πεδίο ορισμού της f είναι το Α=( 0 + )
β) Να δειχθεί ότι f( x ) = x + log ( 10x ndash 1 )
γ) Να λυθεί η εξίσωση f( x ) = x
δ) Να λυθεί η ανίσωση f( x ) le x + 2log 2
16 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
95 Δίνεται η συνάρτηση 2( ) 5 6
x xf x n e e
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f(x)
β) Να λύσετε την ανίσωση ( ) 2f x n
γ) Να λύσετε την εξίσωση ( ) 2 f x x n
96 Δίνεται η συνάρτηση f(x)=ln(3e2xshyex-2)
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f
β) Να βρείτε την τεταγμένη του σημείου της γραφικής παράστασης με τετμημένη ln2 και να
βρείτε τη θέση του σημείου ως προς τον άξονα χ΄χ
γ) Να λυθεί η εξίσωση f(x)=3x ως προς x
97 Δίνεται η συνάρτηση 1
( )1
x
x
ef x a
e που η γραφική της παράσταση διέρχεται από το σημείο
A(ln2 3)
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f
β) Να αποδείξετε ότι α = 1
γ) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι περιττή
δ) Να λυθεί η ανίσωση f(x) gt 2
98 Δίνεται η συνάρτηση
11 2log( 1)
log( 1) 2( ) 10 100 80x
xf x
α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της
β) Να λυθεί η εξίσωση f(x) = 10
γ) Να βρείτε τα κοινά σημεία της ψ = f(x) με την ευθεία ψ = x-20
99 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = α + ln(ex - 2)
Α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f
Β) Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f διέρχεται από το σημείο A(ln3 1) middot
α) να αποδείξετε ότι α = 1
β) να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τον άξονα xx
γ) να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα
100 Δίνεται η συνάρτηση
ln 3 11( )
ln 5
xf x
x
α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της
β) Να λυθεί η εξίσωση f(x) = 2
γ) Αν x gt 6 να λύσετε την ανίσωση f(x) gt 1
101 Δίνεται η συνάρτηση ln 1
( )ln 2
xg x
x
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης ( ) ( )f x g x
β) Να βρείτε αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f τέμνει και σε ποια σημεία τους
άξονες χ΄χ και y΄y
γ) Να λύσετε την εξίσωση ( ) 1x
f e
17 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
102 Δίνεται η συνάρτηση f(x)=2(x-1)+lnx
α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της
β) Να δείξετε ότι το 1 είναι ρίζα της εξίσωσης f(x)=0
γ) Να λυθεί η εξίσωση f(x)=2(x-1)+(lnx)2
103 α) Δίνεται η συνάρτηση f (x) = 3x + 2x + lnx ndash 5Να βρείτε το f(1) και να δείξετε ότι η f είναι
γνησίως αύξουσα
β) Να λύσετε την εξίσωση 2x+ lnx = 5-3x
γ) Να λύσετε την ανίσωση 3x + lnx lt 5-2x
104 Δίνεται η συνάρτηση f (x) = 2ln 1 x x
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f
β) Να δείξετε ότι για κάθε x R f(x) + f(- x) = 0 και ότι η συνάρτηση f είναι περιττή
γ) Να συγκρίνετε τους αριθμούς f(0) και f(- 1)
δ) Να λύσετε την ανίσωση f(ex) gt x + ln3
105 Δίνεται η συνάρτηση 3
ln3
xf x
x
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f
β) Να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι περιττή
γ) Να συγκρίνετε τους αριθμούς f(0) και 1
3f
δ) Να λύσετε την εξίσωση 1 0f x f x
106 Δίνονται οι συναρτήσεις 2
2
100 10( ) ( )
10100
x xf x og g x og
xx
α) Να δείξετε ότι η f είναι άρτια και η g περιττή
β) Να βρείτε τα κοινά σημεία των γραφικών τους παραστάσεων
γ) Να λυθεί η ανισότητα f(x)gt0
107 Δίνεται η συνάρτηση f (x) = ln 9 3 x x xe
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f
β) Να δείξετε ότι f(1)lt0
γ) Να βρείτε τα διαστήματα του x που η Cf είναι πάνω από την ευθεία ε y= 2x + ln2
108 Δίνεται η συνάρτηση f (x) = 2x + 6x - 40
α) Να βρείτε το f(4)
β) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα
γ) Να λύσετε την εξίσωση f(x) =0
109 Έστω η συνάρτηση f (x) = 3x + 2ex-κ -1 που η γραφική της παράσταση διέρχεται από το
σημείο Α(0 1)
α) Να βρείτε το κ
β) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα
γ) Να λύσετε την εξίσωση 3x + 2ex = 2
δ) Να λύσετε την ανίσωση 3x + 2ex gt 2
18 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
110 Δίνεται η συνάρτηση f (x) = (ln 1)x
a
α) Να βρείτε τις τιμές του α για τις οποίες
i η συνάρτηση f ορίζεται σε όλο το R
ii η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα
β) Για α = e3 να λύσετε την εξίσωση ln 2 ln 1 f εφx f σφx
111 Δίνεται η συνάρτηση 1
ln5
x
f x
α) Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες η συνάρτηση f ορίζεται σε όλο το
β) Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα
στο
γ) Αν 11 να λύσετε την εξίσωση f f 1 6x x
112 Δίνεται η συνάρτηση f με f(x) = x + ln(ex - 3)
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της
β) Να δείξετε ότι f(ln4) lt f(ln5)
γ) Να λύσετε την ανίσωση f(x) gt lη2 + ln(ex - 2)
113 Δίνεται η συνάρτηση ( ) ln( 1) x
f x x e
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της
β) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα
γ) Να συγκρίνετε τους αριθμούς log 2f και log5f
δ) Να βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f και της ευθείας
ln 2y
114 Δίνεται η συνάρτηση 4 2
log 8 log log 100 0f x x x x x
α) Αν f(10)=25 να δείξετε ότι α = 1
β) Για την τιμή α = 1 να
i δείξετε ότι η f(x) γράφεται στη μορφή 2
2log 4 logf x x x
ii να λύσετε την εξίσωση f(x) = 0
115 Δίνονται οι συναρτήσεις ln x
f x e e και 1ln 2 2
xg x e
α) Να βρείτε το πεδίο των συναρτήσεων fg
β) Να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των fg δεν τέμνονται
γ) Να λύσετε την ανίσωση 1f x
116 Δίνονται οι συναρτήσεις x xf(x) ln e e
και x
g(x) ln ln e
α) Να βρείτε τα πεδία ορισμού των f(x) και g(x)
β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = g(x)
γ) Να λύσετε την ανίσωση f(x) gt 2g(x
117 Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) = ln(e2x-ex-2) και g(x) = ln2+ln(ex-l)
α) Να βρείτε τα πεδία ορισμού των f(x) και g(x)
β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = g(x)
γ) Να λύσετε την ανίσωση f(x) gt g(x)
19 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
118 Δίνεται η συνάρτηση 2
1ln
5
x
x
ef x
e
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f(x)
β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = 2ln2
γ) Να λύσετε την ανίσωση f(x) gt 0
119 Έστω η συνάρτηση f(x) = log(225x-54x) και η ευθεία ε y = x + log3
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f
β) Να βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της f και της ευθείας ε
γ) Να δείξετε ότι το σημείο Α3 3
2 2
f βρίσκεται πάνω από το σημείο Β με τετμημένη 3
2
της ευθείας ε
120 Δίνονται οι συναρτήσεις ( ) ln 2 3 xf x και ( ) ln(2 3) xg x
α) Να βρείτε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων f και g
β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = g(x)
γ) Να συγκρίνετε τους αριθμούς f(3) και g(3)
121 α) Να δείξετε ότι ln ln a για κάθε α β gt 0
β) Να λυθεί η ανίσωση 1
lnln 22 2 1
xx
γ) Έστω η συνάρτηση f(x) = ln xa Να βρείτε το α ώστε 5f (3) - 3f (5) gt 0
122 Δίνεται το πολυώνυμο 2 1 4 3 2 2( ) 1 ln ln 1f x e x x x x θ (0 π) το
οποίο είναι 3ου βαθμού και διαιρείται με το x-1
α) Να αποδείξετε ότι θ = 2
3
και κ =
1
e
β) Να αποδείξετε ότι το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης [f(x)x2] είναι το ίδιο
γ) Να βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της πολυωνυμικής συνάρτησης f(x)
με την ευθεία (ε) y = 5x-5
ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ
123 Δίνεται το σύστημα 2x y 7
7x 2y 11
α) Να βρείτε τη λύση (x0y0) του συστήματος
β) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης 2f (x) x x έχει κορυφή το σημείο Κ(x0y0)
i) να βρείτε τους αριθμούς β και γ
ii) να λύσετε την ανίσωση f (x) 0
iii) να λύσετε το σύστημα y f (x)
x y 6
20 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
124 Το σύστημα ( 1)x 8y 4
x ( 3)y 3 1
έχει τη μοναδική λύση (x0y0) για την οποία ισχύει
0 0x y 1
α) Να βρείτε τον αριθμό λ
β) Δίνεται η συνάρτηση 2f (x) x 2 x 6
i Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η Cf είναι πάνω από τον χ΄χ
iiΝα λύσετε το σύστημα y f (x)
2y f (x 1) 10x
125 Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f με f (x) = α + βσυν2x διέρχεται από τα σημεία
Α(0 1) και Β 24
π τότε
α) να βρείτε τα α και β
β) να βρείτε την f
γ) να δείξετε ότι η Cf έχει άξονα συμμετρίας τον yy
δ) να δείξετε ότι f (-x) - f4
πx = ημ2x - συν2x
126 Δίνεται το πολυώνυμο f (x) = 2x3 middot συν2θ - x3ημθ - x2 + 3eλ - 2
Αν το πολυώνυμο έχει παράγοντες τους x και x - 1
α) να βρείτε τους λ και θ θ [0 2
π]
β) να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του πολυωνύμου Ρ(x) με το x - 1 όπου
P(x) = x∙f(3x-2) + (2-3x)21
γ) να βρείτε τα διαστήματα που η γραφική παράσταση της συνάρτησης f βρίσκεται κάτω από
τον άξονα χ χ
127 Δίνεται η πολυωνυμική συνάρτηση f(x) = 8x3-4x2 + 2x-l
α) Αν το πολυώνυμο Ρ(x) έχει παράγοντα το x - συνθ θ 02
π να βρείτε το θ
β) Να λύσετε την ανίσωση f(lnx) lt 0
γ) Να βρείτε τα διαστήματα του χ που η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από την
ευθεία y = 10x - 5
128 Θεωρούμε το πολυώνυμο 3 2( ) ( ) 2 1P x x x x
α) Αν έχει παράγοντα το 2
1x να βρείτε τα και
β) Για τις τιμές των και που βρήκατε να λύσετε την ανίσωση ( ) 0P x
γ) Για τις ίδιες τιμές των και να λύσετε την εξίσωση ( ) 0P x
129 Δίνεται το πολυώνυμο 3 2 P x x x x α β Αν το υπόλοιπο της διαίρεσης
2 2P x x x είναι (x) 9x 3 τότε
α) να αποδείξετε ότι 3 και 3
β) να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της πολυωνυμικής συνάρτησης
P(x) βρίσκεται κάτω από τον άξονα xrsquox
21 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
γ) να λύσετε την ανίσωση 10 2 0xP
130 Δίνεται το πολυώνυμο P(x) = x4 +αx3 +βx2 ndash2x + 4 όπου α βIR Το P(x) έχει παράγοντα το
x ndash 1 και το υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x) με το x + 1 είναι το 6
α) Να δείξετε ότι α = ndash1 και β = ndash2
β) Να λύσετε την εξίσωση P(x) = 0
γ) Να λύσετε την ανίσωση P(x) gt 0
δ) Να λύσετε την εξίσωση συν4x ndashσυν3x + 2ημ2x ndash2συνx + 2 = 0 στο διάστημα [ndashπ
2 π)
131 Δίνεται το πολυώνυμο 3 2 1P x x x x που έχει παράγοντα το 1x και το
υπόλοιπο της διαίρεσης του με το 1x είναι 8
α) Να αποδείξετε ότι 2 και 7
β) Να λύσετε την ανίσωση 0x
γ) Αν 2
x
να λύσετε την εξίσωση 3 22 7 2 3 0
132 To πολυώνυμο f(x)=x3+2αx2-βx-1 έχει παράγοντα το x-1 και το υπόλοιπο της διαίρεσης
f (x) (x 1) είναι 4
α) Να βρείτε τις τιμές των α β R
β) Να βρεθούν τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της
f(x) βρίσκεται κάτω από τον άξονα χ΄χ
γ) Να λύσετε την εξίσωση 2x x1e e
2
133 Δίνεται το πολυώνυμο 3 22 7P x x x x το οποίο έχει παράγοντα το 1x και το
υπόλοιπο της διαίρεσης του με το 1x είναι 18
α) Να αποδείξετε ότι 7 και 2
β) Να λύσετε την εξίσωση 3 22 2 7 2 7 2 2 0x x x
γ) Να λύσετε την ανίσωση 2 8 7 4 7 2 2 0x x x
134 Δίνεται το πολυώνυμο 3 2( ) (log 2) log 0P x x x k x k k
α) Να αποδείξετε ότι το 1x είναι παράγοντας του ( )P x
β) Να βρείτε τις τιμές του k για τις οποίες το πολυώνυμο ( )P x έχει τρεις
πραγματικές ρίζες
γ) Για 10k να λύσετε
i την ανίσωση ( ) 0P x
ii την εξίσωση 2( ) [0 ]P x x x
135 Δίνεται το πολυώνυμο
4 3 22ln 1 2 0 0 x x x x x x
α) Αν το πολυώνυμο x είναι 3ου βαθμού και έχει παράγοντα το 1x να βρεθούν τα
β) Αν 3 2 1x x x x x να βρεθούν οι τιμές του x για τις οποίες ισχύει
0x
22 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
γ) Να λυθούν
i η εξίσωση 2 0 0 ό
ii η ανίσωση 2 ln 0
136 Δίνεται η συνάρτηση log 2 4 5 2 2x xf x
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f
β) Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τον
άξονα χ΄χ
γ) Να λύσετε στο διάστημα 0 2 την εξίσωση 2 0f x
137 Έστω η συνάρτηση ( ) ln 2 xf x ημ
α) Να αποδείξετε ότι η f είναι περιττή
β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = 0 στο (- π π)
138 Έστω η συνάρτηση f(x) = ημx + ex - 1
α) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο Α= 2 2
π π
β) Να βρείτε το f(0)
γ) Να λύσετε
i την εξίσωση ημx + ex=1 στο 2 2
π π
ii την ανίσωση ημx + ex lt1 στο 2 2
π π
139 Έστω η συνάρτηση f (x) = (3 ndash 2lnα)x
α) Να βρείτε το α ώστε η συνάρτηση f να ορίζεται σε όλο το R
β) Να βρείτε το α ώστε η συνάρτηση f να είναι γνησίως φθίνουσα
γ) Για α = e να λύσετε την εξίσωση f(2συν2θ)-f(2ημ2θ) = 3
140 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = (2lnα - 1)x
α) Να βρείτε τις τιμές του α R για τις οποίες η συνάρτηση f ορίζεται σε όλο το R
β) Να βρείτε τις τιμές του α R για τις οποίες η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα
γ) Αν α = e2 να βρείτε το θ ώστε 2 2 2 4( ) ( )
3 f συν θ ημ θ f συν θ
141 Δίνεται η συνάρτηση 2
log logf x x x
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f
β) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τον άξονα χ΄χ
γ) Να λύσετε την εξίσωση 0f x
δ) Αν για τους θετικούς αριθμούς α β με ισχύει ότι f f να αποδείξετε ότι
10000
142 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = log(4x ndash 2)
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f και να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f έχει
μοναδικό κοινό σημείο με την ευθεία y = 1 ndash log5
23 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
β) Να λύσετε την ανίσωση 1
-12
4 64 - 2 0
5 5
xx
γ) Να λύσετε την εξίσωση f(x) + f(2
x) = 1 + log
1-
124 6
4 - 25 5
xx
δ) Να λύσετε την εξίσωση ημ2x = f(5
2) + f(1) ndash f(
3
2)
143 Δίνεται το πολυώνυμο 1
4 2 1 3 225 2 3 25 1 λf x x x x x
α) Αν το (x ndash 1) είναι παράγοντας του f(x) να βρείτε το λ
β) Για 1
2
i να δείξετε ότι το (x -1)2 είναι παράγοντας του f(x)
ii να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τον
άξονα x΄x
144 Δίνεται το πολυώνυμο Ρ(x) = (21lnκ - 1)x4 + x3 + (e - 1)x2 ndash e∙x +1 + 2ημθ θ (0 2π)
Αν το πολυώνυμο Ρ(x) είναι 3ου βαθμού και έχει παράγοντα το x - 1
α) να βρείτε τα κ και θ
β) να λύσετε την ανίσωση Ρ(x) lt 0
γ) να βρείτε τα διαστήματα που η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) με
f(x) = e3x+(e-1)e2x-ex+1 βρίσκεται κάτω από τον άξονα χ χ
145 Δίνεται η συνάρτηση ln ln 3
( )ln ln
x
f x
με 3lt α lt β η οποία είναι γνησίως φθίνουσα στο
σύνολο των πραγματικών αριθμών
α) Να συγκρίνετε τους αριθμούς ln και ln
β) Να αποδείξετε ότι 23
γ) Αν 6 και 24 τότε
i) να αποδείξετε ότι 1
( )2
x
f x
ii) να αποδείξετε ότι για κάθε ισχύει η ανισότητα 22
f f f
δ)Να λυθεί η εξίσωση 2 2( ) ( ) 3f x f x
146 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x - 1 + lnx x gt 0
α) Να δείξετε ότι για κάθε x με 0 lt x lt 1 f(x) lt 0
β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = x-1-ln2x
γ) Να λύσετε την ανίσωση f (ex) gt x + 2x -1
δ) Να δείξετε ότι για κάθε θ 02
lne
147 Δίνεται το πολυώνυμο f(x) όπου f(x) = x3-2x2lnα2 + 5xlnα-2 αgt0
α) Αν το x-1 είναι παράγοντας του f(x) τότε να βρείτε το α
β) Για α = e
24 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
i να δείξετε ότι το (x-1)2 είναι παράγοντας του πολυωνύμου f(x)
ii να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της πολυωνυμικής
συνάρτησης f(x) βρίσκεται κάτω από τον άξονα χ χ
148 Έστω η συνάρτηση f(x) = ln(2 - ex)
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f
β) Έστω ότι ο αριθμοί α = 2x β = f(x) γ = ln4 είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου
i Να βρείτε το x
ii Αν ο αριθμός α είναι ο 3ος όρος της αριθμητικής προόδου να βρείτε ποιος όρος της προόδου
ισούται με 2ln2 + 5ln3
149 Δίνεται το πολυώνυμο Ρ(x) = x3 +x2 + x + 2λ2 ndashλ +1
α) Να αποδείξετε ότι η διαίρεση Ρ(x) (x -1 ) δεν είναι τέλεια
β) Αν υ(λ) το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ(x) (x -1 ) να βρεθεί το λ ώστε το υ(λ) να γίνεται
ελάχιστο και την ελάχιστη τιμή του υ(λ)
γ) Για την τιμή του λ που το υ(λ) γίνεται ελάχιστο
i να λύσετε την εξίσωση 425x-2λ-16x-2λ=48λx
ii να λύσετε την εξίσωση
2ln x 1ln
21
4 5 x2
αφού πρώτα αποδείξετε ότι
ln x ln 22 x
δ) Να λύσετε την ανίσωση 8 x 4 x 4 x 1 4 x 13 9 11 4 4
150 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = log(e2x-kex +λ) με f(0) = log2 f(ln6) = log12
α) Να δείξετε ότι κ = 5 και λ = 6
β) Αν κ = 5 και λ = 6
i Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f
ii Να λυθεί η εξίσωση f(x) = 1minuslog(ex + 1)
iii Να δείξετε ότι οι αριθμοί f(ln5)minusf(0) f(ln5) f(ln6) είναι διαδοχικοί όροι
αριθμητικής προόδου
151 Αν το πολυώνυμο f(x) = x3 + 2αx2 - βx - 1 έχει παράγοντα το x - 1 και το υπόλοιπο της
διαίρεσης Ρ(x)(x + 1) είναι 4
α) να βρείτε τους α και β
β) να λύσετε την εξίσωση 2συν4
βx- 2ημ2 x
2
= -2
γ) να βρείτε το ελάχιστο πλήθος των πρώτων όρων της αριθμητικής προόδου (αν) με α1 = α και
ω = β που απαιτούνται ώστε το άθροισμα τους να ξεπερνάει το 150
δ) να λύσετε την εξίσωση β2lnx =5 + 4∙xln2α
152 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) = x3+λx2+23x-15 (λR ) διέρχεται από το σημείο
Α(10)
α) Να βρεθεί ο λ R
β) Για ποιες τιμές του xR η ψ = f(x) βρίσκεται κάτω από τον άξονα x΄x
γ) οι τετμημένες των σημείων στα οποία η ψ = f(x) τέμνει τον άξονα x΄x είναι κατά αύξουσα
τάξη οι 3 πρώτοι όροι μιας προόδου Αν το άθροισμα των ν πρώτων όρων της είναι 400 να
βρεθεί ο ν
25 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
153 α) Έστω η συνάρτηση f (x) = 2 middot 3x + 3x - 24
i να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα και να βρείτε το f(2)
ii να λύσετε την εξίσωση f(x) = 0
β) Δύο κοινωνίες βακτηριδίων Α και Β έχουν αρχικά 24 και 2 βακτηρίδια αντίστοιχα
Η κοινωνία των βακτηριδίων Α μειώνεται σε αριθμό κάθε μια ώρα κατά 3 βακτηρίδια
Η κοινωνία των βακτηριδίων Β τριπλασιάζεται κάθε μία ώρα Να βρείτε μετά από πόσες
ώρες οι κοινωνίες των βακτηριδίων θα έχουν τον ίδιο αριθμό βακτηριδίων
8 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
41 Δίνεται το πολυώνυμο 4 3 28 5 1 8 3 6 αx x x x x
α) Να γίνει η διαίρεση του Ρ(x) δια του x2 ndash 1 και να γράψετε τη σχετική ταυτότητα
β) Να βρείτε τη τιμή του α ώστε η παραπάνω διαίρεση να είναι τέλεια
γ) Για 3 να βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης Ρ(x) = 0 καθώς και τα διαστήματα στα οποία η
γραφική παράσταση της πολυωνυμικής συνάρτησης Ρ(x) είναι κάτω από τον άξονα x΄x
42 Έστω ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου Ρ(x) με το x2 + 2x είναι 3x - 2
α Να γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης
β Να βρείτε τα Ρ(0) και Ρ(-2)
γ Αν το πολυώνυμο Ρ(x) είναι βαθμού 3 και το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ(x) με το x2 ndash 2
είναι 2x -1 να βρείτε
i το βαθμό του πηλίκου της διαίρεσης του πολυωνύμου Ρ(x) με το x2-2
ii το πολυώνυμο Ρ(x)
43 Δίνονται τα πολυώνυμα Ρ(x) και Q(x) = x3 ndash 4x Αν η πολυωνυμική συνάρτηση Ρ(x) είναι
περιττή και το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ(x) με το x-2 είναι3
α) Να δείξετε ότι Ρ(0) = 0
β) Να βρείτε το Ρ(-2)
γ) Να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ(x) με το x3 ndash 4x
44 Αν για το πολυώνυμο Ρ(x) ισχύει P(x)-2P(1-x) = 4x2-1 να βρείτε
α) τα Ρ(0) και Ρ(1)
β) το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ(x) με το πολυώνυμο 2x2 ndash 2x
45 Έστω τα πολυώνυμα Ρ(x) και Q(x) = Ρ2 (x) - 4Ρ(x) + x2 +1
α)Αν το άθροισμα των συντελεστών του Ρ(x) είναι 3 να βρείτε το άθροισμα των συντελεστών
του Q(x)
β) Να δείξετε ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης του Q(x) με το x - 2 είναι θετικός αριθμός
46 Έστω Ρ(x) πολυώνυμο 3ου βαθμού το οποίο διαιρείται με το 2x 1 έχει ρίζα το 0 και του
οποίου το άθροισμα των συντελεστών είναι ίσο με 2
α) Να αποδείξετε ότι 3(x) x x
β) Να λύσετε την ανίσωση 3 2
2 2 2x x x
47 Δίνεται το πολυώνυμο P(x)=x(x2
+λ) +κx2
+5 με παράγοντα το x-1 και P(-2)=3
α) Να βρείτε τα κ λ
β) Αν κ=-1 και λmdash5
i Να λύσετε την εξίσωση P(x)=0
ii Nα λύσετε την ανίσωση P(x)8
48 Αν το πολυώνυμο Ρ(x) = α3x3 + 5α2x2 - 10αx - 104 έχει παράγοντα το x - 2
α) Να βρείτε το α
β) Για την μεγαλύτερη τιμή του α να λύσετε την ανίσωση Ρ(x) gt 0
49 Δίνεται το πολυώνυμο P(x)=x3+αx-α +β
α) Αν έχει παράγοντες το x-2 και το x να δείξετε ότι α=β=-4
β) Για τις παραπάνω τιμές των α και β να λυθεί η εξίσωση Ρ(x)=0
γ) Να λυθεί η ανίσωση Ρ(x)gt0
9 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
50 Δίνεται το πολυώνυμο 3 2( ) 2 9 10 3P x x x x
α) Να γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης με το 2x+1
β) Να λύσετε την ανίσωση P(x) le 0
51 Δίνεται το πολυώνυμο 20 30
10 20 30P x x x x
α) Να βρείτε το βαθμό του
β) Να λύσετε την εξίσωση 0P x
γ) Να λύσετε την εξίσωση 10P x x
δ) Να λύσετε την ανίσωση 0P x
52 Έστω η συνάρτηση f(x) = 2
3 2
3 3 6
2 3 3 2
x x
x x x
α)Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f
β) Να απλοποιήσετε τον τύπο της f
γ) Να βρείτε τα διαστήματα του x που η γραφική παράσταση της f βρίσκεται κάτω από τη
γραφική παράσταση της g(x) =x2
53 Δίνεται η συνάρτηση f(x)=x3-6x2+11x-6
α Να βρεθούν τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f(x) με τον άξονα χ΄χ
β Να βρεθούν τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της f(x) είναι πάνω από
τον άξονα χ΄χ
54 Αν το πολυώνυμο x2 - 2 διαιρεί το πολυώνυμο Ρ(x) = x3 ndash 2x2 - αx + β
α) Να βρείτε τα α και β
β) Να βρείτε τα διαστήματα του x που η γραφική παράσταση της πολυωνυμικής συνάρτησης
Ρ(x) δεν βρίσκεται πάνω από τον άξονα χχ
55 Έστω το πολυώνυμο Ρ(x) = x5 + 3x2 + αx + β Αν το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ(x) με το x2-2
είναι το υ(x) = 5x + 8
α) Να βρείτε τα α και β
β) Να βρείτε το πηλίκο της διαίρεσης του Ρ(x) με το x2 - 2
γ) Να βρείτε τα διαστήματα του x που η γραφική παράσταση της πολυωνυμικής συνάρτησης
Ρ(x) βρίσκεται πάνω από την ευθεία y = 5x + 8
56 Έστω το πολυώνυμο Ρ(x) = x3-αx-2 αR Αν το Ρ(x) έχει ρίζα άρτιο θετικό ακέραιο τότε
α) να βρείτε το α
β) για α = 3 να βρείτε τις τιμές του λ ώστε για το υπόλοιπο υ της διαίρεσης του Ρ(x) με το x + λ
να ισχύει υ gt -4
57 Έστω το πολυώνυμο Ρ(x) = x4 - αx3 + βx2 - 2 α β RΑν το Ρ(x) έχει ρίζες δύο περιττούς
ακέραιους
α) να βρείτε τα α και β
β) να λύσετε την ανίσωση Ρ(x) ge 0
10 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
58 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης 3 2f (x) x x 2 x 2 3 διέρχεται από τα
σημεία Α(16) και Β(-112)Να βρείτε
α) Να βρείτε τους αριθμούς λ και μ
β) τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τους άξονες
59 Δίνεται η συνάρτηση 3 2( ) 2 9 18f x x x x Να βρεθούν οι τιμές του x για τις οποίες η
γραφική παράσταση της f(x)
α) βρίσκεται πάνω από τον άξονα χ΄ χ
β) βρίσκεται κάτω από τον άξονα χ΄ χ
60 Δίνεται το πολυώνυμο 3 2( ) ( 1) 3 2 6P x ax x x όπου α β πραγματικοί αριθμοί
α)Αν ο αριθμός 1 είναι ρίζα του πολυωνύμου Ρ(x) και το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ(x) με το
x+1 είναι ίσο με 2 να βρείτε τα α και β
β) Aν α=2 και β=4 να βρείτε
i) τα σημεία στα οποία η πολυωνυμική συνάρτηση Ρ(x) τέμνει τον άξονα χ΄χ
ii) τα διαστήματα στα οποία βρίσκεται πάνω από τον άξονα χ΄χ
61 Δίνεται το πολυώνυμο 3 2( ) 3 (2 1) 2P x x ax x όπου α β πραγματικοί αριθμοί
α) Αν ο αριθμός 1 είναι ρίζα του πολυωνύμου Ρ(x) και το υπόλοιπο της διαίρεσης του
Ρ(x) με το 1x είναι ίσο με 20να βρείτε τα α και β
β) Aν α=8 και β=4 να βρείτε
i) τα σημεία στα οποία η πολυωνυμική συνάρτηση Ρ(x) τέμνει τον άξονα χ΄χ
ii) τα διαστήματα στα οποία βρίσκεται κάτω από τον άξονα χ΄χ
62 Δίνεται το πολυώνυμο 3 2( ) ( 3) (2 1) 2P x x a x x όπου α β πραγματικοί αριθμοί
α) Αν ο αριθμός 2 είναι ρίζα του πολυωνύμου Ρ(x) και το υπόλοιπο της διαίρεσης του
Ρ(x) με το 1x είναι ίσο με -18να βρείτε τα α και β
β) Aν α=2 και β=7
2
i) Να λυθεί η εξίσωση Ρ(x) =0
ii) Να γίνει η διαίρεση του Ρ(x) με το πολυώνυμο x2+1 και να γραφεί το Ρ(x) με την
ταυτότητα της ευκλείδειας διαίρεσης
iii) Να λυθεί η ανίσωση ( ) 7 1P x x
63 Έστω πολυώνυμο P(x)=x3+αx2+βx+4 με αβ R το οποίο έχει παράγοντες τους x+1x-2
α) Να αποδείξετε ότι α=-3 και β=0
β) Για τις παραπάνω τιμές των α β να λύσετε την εξίσωση P(x)=0
γ) Έστω C η γραφική παράσταση συνάρτησης f(x)=P(x) με α=-3 και β=0 να βρείτε
i το σημείο τομής της C με τον άξονα y΄y
ii τις τιμές του x για τις οποίες ή C είναι πάνω από τον χ΄χ
64 Δίνεται το πολυώνυμο P(x) βαθμού 2 για το οποίο ισχύει
3 28( 1) ( ) (2 3) 52 8 6 16x P x x P x x x x για κάθε x
Αν το υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x) με το x-1 είναι 2
α) Να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x) με το πολυώνυμο 2
x 6x 5
β)Αν το πηλίκο της διαίρεσης του P(x) με το πολυώνυμο 2
x 6x 5 είναι το Π(x)=x+4
i Να βρεθούν τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης P(x)
11 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
α) με τον άξονα y΄y
β) με την ευθεία y=2
ii Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της συνάρτησης P(x)
είναι πάνω από την ευθεία y=2
65 α) Να λυθεί η εξίσωση y6-3y2+2 = 0
β) Να λυθεί η εξίσωση ημ6x = 1 - 3συν2x
66 Δίνεται η συνάρτηση f(x) =3
32 3
xx
x
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f
β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) =3
67 Αν το πολυώνυμο Ρ(x) = (3α - 1)x3 + x2ημπθ +1 θ (0 1) έχει θετικούς ακέραιους
συντελεστές και αρνητική ακέραια ρίζα
α να βρείτε τα θ και α
β για α = 1 και θ = 12 να βρείτε το λ ώστε το Ρ(x) να έχει παράγοντα το x + λ
ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ-ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
68 Δίνεται η συνάρτηση 1
( ) 3
x
f x
όπου x πραγματικός αριθμός
α) Να βρείτε για ποιες τιμές του ορίζεται η ( )f x
β) Να βρείτε για ποιες τιμές του η ( )f x είναι γνησίως αύξουσα
γ) Αν 7 να λύσετε την εξίσωση ( ) (2 ) 2f x f x
69 Να προσδιορισθεί ο αR ώστε η συνάρτηση 1 2
( )3
x
f x
α) να ορίζεται σε όλο το R
β) να είναι γνησίως αύξουσα στο R
γ) να είναι γνησίως φθίνουσα στο R
δ) να είναι 1-1
70 Δίνεται η συνάρτηση ( )1
x
f x
για κάθε x
α) Να βρείτε τις τιμές του ώστε η συνάρτηση f να είναι γνησίως αύξουσα
β) Αν η f είναι γνησίως αύξουσα και (2) 4f
i Nα υπολογίσετε το α
ii Για 2a να λύσετε την ανίσωση ( 1) 8f x
71 Δίνεται η συνάρτηση 6
( )4 9
x
x xf x
για κάθε x
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f
β) Nα αποδείξετε ότι η f είναι άρτια
12 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
γ) Να λυθεί η εξίσωση 12
( ) (0)13
f x f
72 Δίνεται η συνάρτηση ( ) 3 2 3 2x x
f x για κάθε x
α) Να αποδείξετε ότι η f είναι περιττή
β) Nα λυθεί η εξίσωση ( ) 4 6f x
γ) Να βρείτε τα διαστήματα του x για τα οποία η γραφική παράσταση της ( ) ( 2014)g x f x
δεν βρίσκεται πάνω από τον άξονα χ΄χ
73 Δίνεται η συνάρτηση 1 2
2 2 24( )
4 6 2 8
x x
x xf x
για κάθε x
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f
β) Nα δείξετε ότι 6
( ) 122 2
xf x x R
γ) Nα λυθεί η ανίσωση 3
( )7
f x
δ) Να βρείτε τις τιμές του έτσι ώστε η συνάρτηση ( ) ( )x
g x f a να είναι σταθερή στο
R
ε) Να λυθεί η εξίσωση h(x)+3h(x+1)=-f(3) όπου 6
( )( )
h xf x
74 Δίνεται η συνάρτηση 2
( )1
x
f x
α) Να μελετηθεί η f ως προς την μονοτονία για τις διάφορες τιμές του
β) Αν λ=1 να λυθεί η ανίσωση 2
2
2( )
3 4 2f x
γ) Αν 1 1
3 3
να λυθεί η ανίσωση 2 1(e 2 ) ( 2 )
x x x xf f e
δ) Να βρείτε τις τιμές το λ αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f διέρχεται από το σημείο
Α(f(0)3)
ε) Για λ=0 να βρείτε τα σημεία τομής των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων g και
h όπου ( ) 3 ( 1) 4g x f x ( ) (2 3) 5h x f x
στ) Για λ=0 να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης 2
( 4)( ( ) 4)(x)
(3 3 )( ( ) 2)x
x f x
e f x
75 Δίνεται η συνάρτηση ln3
f x x k
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της
β) Αν 2
ln 16
f
να βρείτε το k
γ) Αν 1k τότε
i να λύσετε την εξίσωση ln 2ln 2 ln36
x f f
13 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
ii να λύσετε την εξίσωση 1 1f x f x
e e
76 Δίνεται η συνάρτηση 1 ln 0 f x x x x
α) Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης f τέμνει τον άξονα
x΄x στο σημείο 10A
β) Να λύσετε την ανίσωση 2 51
x xf e e x
γ) Αν 0 1 x να δείξετε ότι 0f x
δ) Να δείξετε ότι για κάθε 02
ισχύει ότι ln
e
77 Δίνεται η συνάρτηση 2
2
x 68f (x) ln
100 x
α Να βρείτε το πεδίο ορισμού της
β Να λύσετε την εξίσωση f (x)e log50 log5
γ Να λύσετε την ανίσωση f(x) ge 0
78 Δίνεται η συνάρτηση 21( ) 2ln 4ln 1 0
4f x x a x a a
α Να βρεθεί ο πραγματικός αριθμός α ώστε η εξίσωση f(x)=0 να έχει διπλή ρίζα
β Να λυθεί η εξίσωση 2(0) ln 2ln 4f a a
γ Να λυθεί η ανίσωση 2( 2)ln( 2 )
8
afa e a a
79 Δίνεται η συνάρτηση 2x xf x ln e 4e 3 της οποίας η
γραφική παράσταση φαίνεται στο διπλανό σχήμα
α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της f
β) Να βρεθεί το σημείο τομής της γραφικής παράστασης της f
με τον άξονα x x
γ) Να δικαιολογήσετε (αλγεβρικά) γιατί δεν υπάρχει σημείο της
γραφικής παράστασης της f που να βρίσκεται πάνω από τον
άξονα x x
80 Δίνεται η συνάρτηση 2log 11 9 18 2log 1 f x x x x
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της
β) Να βρείτε τα σημεία στα οποία η γραφική παράσταση της f τέμνει τους άξονες
81 Δίνεται η συνάρτηση log log 1f x x
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f
β) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τον άξονα χ΄χ
γ) Να λύσετε την ανίσωση 0f x
δ) Να αποδείξετε ότι 3 101 2 1001 10001 log18f f f
14 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
82 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = ln(ex - 1)
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f
β) Να βρείτε τα διαστήματα που η γραφική παράσταση της συνάρτησης f βρίσκεται πάνω από
τον άξονα χ χ
γ) Να συγκρίνετε τους αριθμούς f(ln2) και f(l)
δ) Να λυθεί η εξίσωση f(2x)-f(x) = f(1)
83 Δίνεται η συνάρτηση f(x)=ln(ex-2)-ln(ex-1)
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f
β) Να αποδείξετε ότι f(x)=ln (1-1
1xe
)
γ) Να λύσετε την εξίσωση f(x)=-ln2
δ) Nα αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f δεν τέμνει την ευθεία με εξίσωση y=x
84 Δίνονται οι συναρτήσεις f g με τύπους f(x) = ln(ex minus 1 ) και g(x) = ln(ex + 2)
α Να βρείτε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων f και g
β Να συγκρίνετε τις τιμές f(ln2) και g( minus1)
γ Να λύσετε την εξίσωση x + f(x) = ln2 + g(x)
85 Έστω η συνάρτηση f(x) = k +log(x2-3) k
α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f
β) Να υπολογίσετε την τιμή του k ώστε f(2)= log100
γ) Για k=2
i Nα βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με την ευθεία
1
log1000
y
i i Nα λυθεί η ανίσωση f(x) gt2
86 Δίνονται οι συναρτήσεις 22log 2 1 log 3 2f x x x x και log 4 3 logg x x x
α) Να βρείτε το πεδίο των συναρτήσεων fg
β) Να βρείτε τα σημεία τομής των γραφικών τους παραστάσεων
γ) Να λύσετε τις εξισώσεις i 0f x και ii 0g x
δ) Να αποδείξετε ότι 2 2log 2 1g
87 Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο 1 1
f(x)= +1+lnx 1-lnx
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού Α της συνάρτησης
β) Να αποδείξετε ότι για κάθε xΑ ισχύει 1
f(x)=fx
γ) Να λύσετε την ανίσωση 1
f(x)+f gt4x
88 Α Να λύσετε την εξίσωση y3 + y - 2 = 0 (1)
15 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
Β Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f (x) = 27x + 1
2middot 12x lnα2 -2∙8x lnα διέρχεται από
την αρχή των αξόνων
α να αποδείξετε ότι α = e
β να βρείτε το διάστημα που η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τον άξονα xx
89 Δίνονται τα πολυώνυμα Ρ(x) = (α - ln2)x3 - (2e - β)x + 3
ln2
Q(x) = (1 ndash lnβ)x3 - (2e - 2)x + 3
ln2
Αν τα πολυώνυμα Ρ(x) και Q(x) είναι ίσα
α Να βρείτε τα α και β
β να αποδείξετε ότι Ρ(-1)gt0
90 Έστω το πολυώνυμο Ρ(x) = x3lnα + (2 - lnα)x2 + αlnβx +1 έχει θετικούς ακέραιους συντελεστές
και αρνητική ακέραια ρίζα
α Να βρείτε τα α και β
β Για α = e και β = 1 να βρείτε τα διαστήματα του x που η γραφική παράσταση της συνάρτησης
f(x) = P(ex) βρίσκεται κάτω από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης g(x) = ex + 3
91 Δίνεται η συνάρτηση f(x)= αlnx +β
α) Να βρείτε τις τιμές των α β R αν γνωρίζετε ότι η γραφική της παράσταση
διέρχεται από τα σημεία Α(10) και B(e2)
β) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f
γ) Να λυθεί η εξίσωση f(x)+f(2x)=61n2
δ) Να λυθεί η ανίσωση f(2x+1)gt f(x)
ε) Να λυθεί το σύστημα x y
f (x) f (y) 2
e e
92 Έστω η συνάρτηση f (x) = x -1 + 2ln(αx) x gt0
Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f διέρχεται από το σημείο Α(1 0)
α) να βρείτε το α
β) να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο (0+)
γ) να λύσετε την ανίσωση f(x) gt 0
93 Δίνεται η συνάρτηση 2
1( )
1
nxf x
n x
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f(x)
β) Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τον χ΄χ
γ) Να βρείτε τα σημεία τομής της Cf με την ευθεία y =1
94 Δίνεται η f( x ) = log ( 102x ndash 10x )
α) Να δειχθεί ότι το πεδίο ορισμού της f είναι το Α=( 0 + )
β) Να δειχθεί ότι f( x ) = x + log ( 10x ndash 1 )
γ) Να λυθεί η εξίσωση f( x ) = x
δ) Να λυθεί η ανίσωση f( x ) le x + 2log 2
16 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
95 Δίνεται η συνάρτηση 2( ) 5 6
x xf x n e e
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f(x)
β) Να λύσετε την ανίσωση ( ) 2f x n
γ) Να λύσετε την εξίσωση ( ) 2 f x x n
96 Δίνεται η συνάρτηση f(x)=ln(3e2xshyex-2)
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f
β) Να βρείτε την τεταγμένη του σημείου της γραφικής παράστασης με τετμημένη ln2 και να
βρείτε τη θέση του σημείου ως προς τον άξονα χ΄χ
γ) Να λυθεί η εξίσωση f(x)=3x ως προς x
97 Δίνεται η συνάρτηση 1
( )1
x
x
ef x a
e που η γραφική της παράσταση διέρχεται από το σημείο
A(ln2 3)
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f
β) Να αποδείξετε ότι α = 1
γ) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι περιττή
δ) Να λυθεί η ανίσωση f(x) gt 2
98 Δίνεται η συνάρτηση
11 2log( 1)
log( 1) 2( ) 10 100 80x
xf x
α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της
β) Να λυθεί η εξίσωση f(x) = 10
γ) Να βρείτε τα κοινά σημεία της ψ = f(x) με την ευθεία ψ = x-20
99 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = α + ln(ex - 2)
Α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f
Β) Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f διέρχεται από το σημείο A(ln3 1) middot
α) να αποδείξετε ότι α = 1
β) να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τον άξονα xx
γ) να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα
100 Δίνεται η συνάρτηση
ln 3 11( )
ln 5
xf x
x
α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της
β) Να λυθεί η εξίσωση f(x) = 2
γ) Αν x gt 6 να λύσετε την ανίσωση f(x) gt 1
101 Δίνεται η συνάρτηση ln 1
( )ln 2
xg x
x
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης ( ) ( )f x g x
β) Να βρείτε αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f τέμνει και σε ποια σημεία τους
άξονες χ΄χ και y΄y
γ) Να λύσετε την εξίσωση ( ) 1x
f e
17 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
102 Δίνεται η συνάρτηση f(x)=2(x-1)+lnx
α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της
β) Να δείξετε ότι το 1 είναι ρίζα της εξίσωσης f(x)=0
γ) Να λυθεί η εξίσωση f(x)=2(x-1)+(lnx)2
103 α) Δίνεται η συνάρτηση f (x) = 3x + 2x + lnx ndash 5Να βρείτε το f(1) και να δείξετε ότι η f είναι
γνησίως αύξουσα
β) Να λύσετε την εξίσωση 2x+ lnx = 5-3x
γ) Να λύσετε την ανίσωση 3x + lnx lt 5-2x
104 Δίνεται η συνάρτηση f (x) = 2ln 1 x x
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f
β) Να δείξετε ότι για κάθε x R f(x) + f(- x) = 0 και ότι η συνάρτηση f είναι περιττή
γ) Να συγκρίνετε τους αριθμούς f(0) και f(- 1)
δ) Να λύσετε την ανίσωση f(ex) gt x + ln3
105 Δίνεται η συνάρτηση 3
ln3
xf x
x
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f
β) Να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι περιττή
γ) Να συγκρίνετε τους αριθμούς f(0) και 1
3f
δ) Να λύσετε την εξίσωση 1 0f x f x
106 Δίνονται οι συναρτήσεις 2
2
100 10( ) ( )
10100
x xf x og g x og
xx
α) Να δείξετε ότι η f είναι άρτια και η g περιττή
β) Να βρείτε τα κοινά σημεία των γραφικών τους παραστάσεων
γ) Να λυθεί η ανισότητα f(x)gt0
107 Δίνεται η συνάρτηση f (x) = ln 9 3 x x xe
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f
β) Να δείξετε ότι f(1)lt0
γ) Να βρείτε τα διαστήματα του x που η Cf είναι πάνω από την ευθεία ε y= 2x + ln2
108 Δίνεται η συνάρτηση f (x) = 2x + 6x - 40
α) Να βρείτε το f(4)
β) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα
γ) Να λύσετε την εξίσωση f(x) =0
109 Έστω η συνάρτηση f (x) = 3x + 2ex-κ -1 που η γραφική της παράσταση διέρχεται από το
σημείο Α(0 1)
α) Να βρείτε το κ
β) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα
γ) Να λύσετε την εξίσωση 3x + 2ex = 2
δ) Να λύσετε την ανίσωση 3x + 2ex gt 2
18 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
110 Δίνεται η συνάρτηση f (x) = (ln 1)x
a
α) Να βρείτε τις τιμές του α για τις οποίες
i η συνάρτηση f ορίζεται σε όλο το R
ii η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα
β) Για α = e3 να λύσετε την εξίσωση ln 2 ln 1 f εφx f σφx
111 Δίνεται η συνάρτηση 1
ln5
x
f x
α) Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες η συνάρτηση f ορίζεται σε όλο το
β) Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα
στο
γ) Αν 11 να λύσετε την εξίσωση f f 1 6x x
112 Δίνεται η συνάρτηση f με f(x) = x + ln(ex - 3)
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της
β) Να δείξετε ότι f(ln4) lt f(ln5)
γ) Να λύσετε την ανίσωση f(x) gt lη2 + ln(ex - 2)
113 Δίνεται η συνάρτηση ( ) ln( 1) x
f x x e
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της
β) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα
γ) Να συγκρίνετε τους αριθμούς log 2f και log5f
δ) Να βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f και της ευθείας
ln 2y
114 Δίνεται η συνάρτηση 4 2
log 8 log log 100 0f x x x x x
α) Αν f(10)=25 να δείξετε ότι α = 1
β) Για την τιμή α = 1 να
i δείξετε ότι η f(x) γράφεται στη μορφή 2
2log 4 logf x x x
ii να λύσετε την εξίσωση f(x) = 0
115 Δίνονται οι συναρτήσεις ln x
f x e e και 1ln 2 2
xg x e
α) Να βρείτε το πεδίο των συναρτήσεων fg
β) Να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των fg δεν τέμνονται
γ) Να λύσετε την ανίσωση 1f x
116 Δίνονται οι συναρτήσεις x xf(x) ln e e
και x
g(x) ln ln e
α) Να βρείτε τα πεδία ορισμού των f(x) και g(x)
β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = g(x)
γ) Να λύσετε την ανίσωση f(x) gt 2g(x
117 Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) = ln(e2x-ex-2) και g(x) = ln2+ln(ex-l)
α) Να βρείτε τα πεδία ορισμού των f(x) και g(x)
β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = g(x)
γ) Να λύσετε την ανίσωση f(x) gt g(x)
19 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
118 Δίνεται η συνάρτηση 2
1ln
5
x
x
ef x
e
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f(x)
β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = 2ln2
γ) Να λύσετε την ανίσωση f(x) gt 0
119 Έστω η συνάρτηση f(x) = log(225x-54x) και η ευθεία ε y = x + log3
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f
β) Να βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της f και της ευθείας ε
γ) Να δείξετε ότι το σημείο Α3 3
2 2
f βρίσκεται πάνω από το σημείο Β με τετμημένη 3
2
της ευθείας ε
120 Δίνονται οι συναρτήσεις ( ) ln 2 3 xf x και ( ) ln(2 3) xg x
α) Να βρείτε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων f και g
β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = g(x)
γ) Να συγκρίνετε τους αριθμούς f(3) και g(3)
121 α) Να δείξετε ότι ln ln a για κάθε α β gt 0
β) Να λυθεί η ανίσωση 1
lnln 22 2 1
xx
γ) Έστω η συνάρτηση f(x) = ln xa Να βρείτε το α ώστε 5f (3) - 3f (5) gt 0
122 Δίνεται το πολυώνυμο 2 1 4 3 2 2( ) 1 ln ln 1f x e x x x x θ (0 π) το
οποίο είναι 3ου βαθμού και διαιρείται με το x-1
α) Να αποδείξετε ότι θ = 2
3
και κ =
1
e
β) Να αποδείξετε ότι το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης [f(x)x2] είναι το ίδιο
γ) Να βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της πολυωνυμικής συνάρτησης f(x)
με την ευθεία (ε) y = 5x-5
ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ
123 Δίνεται το σύστημα 2x y 7
7x 2y 11
α) Να βρείτε τη λύση (x0y0) του συστήματος
β) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης 2f (x) x x έχει κορυφή το σημείο Κ(x0y0)
i) να βρείτε τους αριθμούς β και γ
ii) να λύσετε την ανίσωση f (x) 0
iii) να λύσετε το σύστημα y f (x)
x y 6
20 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
124 Το σύστημα ( 1)x 8y 4
x ( 3)y 3 1
έχει τη μοναδική λύση (x0y0) για την οποία ισχύει
0 0x y 1
α) Να βρείτε τον αριθμό λ
β) Δίνεται η συνάρτηση 2f (x) x 2 x 6
i Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η Cf είναι πάνω από τον χ΄χ
iiΝα λύσετε το σύστημα y f (x)
2y f (x 1) 10x
125 Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f με f (x) = α + βσυν2x διέρχεται από τα σημεία
Α(0 1) και Β 24
π τότε
α) να βρείτε τα α και β
β) να βρείτε την f
γ) να δείξετε ότι η Cf έχει άξονα συμμετρίας τον yy
δ) να δείξετε ότι f (-x) - f4
πx = ημ2x - συν2x
126 Δίνεται το πολυώνυμο f (x) = 2x3 middot συν2θ - x3ημθ - x2 + 3eλ - 2
Αν το πολυώνυμο έχει παράγοντες τους x και x - 1
α) να βρείτε τους λ και θ θ [0 2
π]
β) να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του πολυωνύμου Ρ(x) με το x - 1 όπου
P(x) = x∙f(3x-2) + (2-3x)21
γ) να βρείτε τα διαστήματα που η γραφική παράσταση της συνάρτησης f βρίσκεται κάτω από
τον άξονα χ χ
127 Δίνεται η πολυωνυμική συνάρτηση f(x) = 8x3-4x2 + 2x-l
α) Αν το πολυώνυμο Ρ(x) έχει παράγοντα το x - συνθ θ 02
π να βρείτε το θ
β) Να λύσετε την ανίσωση f(lnx) lt 0
γ) Να βρείτε τα διαστήματα του χ που η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από την
ευθεία y = 10x - 5
128 Θεωρούμε το πολυώνυμο 3 2( ) ( ) 2 1P x x x x
α) Αν έχει παράγοντα το 2
1x να βρείτε τα και
β) Για τις τιμές των και που βρήκατε να λύσετε την ανίσωση ( ) 0P x
γ) Για τις ίδιες τιμές των και να λύσετε την εξίσωση ( ) 0P x
129 Δίνεται το πολυώνυμο 3 2 P x x x x α β Αν το υπόλοιπο της διαίρεσης
2 2P x x x είναι (x) 9x 3 τότε
α) να αποδείξετε ότι 3 και 3
β) να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της πολυωνυμικής συνάρτησης
P(x) βρίσκεται κάτω από τον άξονα xrsquox
21 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
γ) να λύσετε την ανίσωση 10 2 0xP
130 Δίνεται το πολυώνυμο P(x) = x4 +αx3 +βx2 ndash2x + 4 όπου α βIR Το P(x) έχει παράγοντα το
x ndash 1 και το υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x) με το x + 1 είναι το 6
α) Να δείξετε ότι α = ndash1 και β = ndash2
β) Να λύσετε την εξίσωση P(x) = 0
γ) Να λύσετε την ανίσωση P(x) gt 0
δ) Να λύσετε την εξίσωση συν4x ndashσυν3x + 2ημ2x ndash2συνx + 2 = 0 στο διάστημα [ndashπ
2 π)
131 Δίνεται το πολυώνυμο 3 2 1P x x x x που έχει παράγοντα το 1x και το
υπόλοιπο της διαίρεσης του με το 1x είναι 8
α) Να αποδείξετε ότι 2 και 7
β) Να λύσετε την ανίσωση 0x
γ) Αν 2
x
να λύσετε την εξίσωση 3 22 7 2 3 0
132 To πολυώνυμο f(x)=x3+2αx2-βx-1 έχει παράγοντα το x-1 και το υπόλοιπο της διαίρεσης
f (x) (x 1) είναι 4
α) Να βρείτε τις τιμές των α β R
β) Να βρεθούν τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της
f(x) βρίσκεται κάτω από τον άξονα χ΄χ
γ) Να λύσετε την εξίσωση 2x x1e e
2
133 Δίνεται το πολυώνυμο 3 22 7P x x x x το οποίο έχει παράγοντα το 1x και το
υπόλοιπο της διαίρεσης του με το 1x είναι 18
α) Να αποδείξετε ότι 7 και 2
β) Να λύσετε την εξίσωση 3 22 2 7 2 7 2 2 0x x x
γ) Να λύσετε την ανίσωση 2 8 7 4 7 2 2 0x x x
134 Δίνεται το πολυώνυμο 3 2( ) (log 2) log 0P x x x k x k k
α) Να αποδείξετε ότι το 1x είναι παράγοντας του ( )P x
β) Να βρείτε τις τιμές του k για τις οποίες το πολυώνυμο ( )P x έχει τρεις
πραγματικές ρίζες
γ) Για 10k να λύσετε
i την ανίσωση ( ) 0P x
ii την εξίσωση 2( ) [0 ]P x x x
135 Δίνεται το πολυώνυμο
4 3 22ln 1 2 0 0 x x x x x x
α) Αν το πολυώνυμο x είναι 3ου βαθμού και έχει παράγοντα το 1x να βρεθούν τα
β) Αν 3 2 1x x x x x να βρεθούν οι τιμές του x για τις οποίες ισχύει
0x
22 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
γ) Να λυθούν
i η εξίσωση 2 0 0 ό
ii η ανίσωση 2 ln 0
136 Δίνεται η συνάρτηση log 2 4 5 2 2x xf x
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f
β) Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τον
άξονα χ΄χ
γ) Να λύσετε στο διάστημα 0 2 την εξίσωση 2 0f x
137 Έστω η συνάρτηση ( ) ln 2 xf x ημ
α) Να αποδείξετε ότι η f είναι περιττή
β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = 0 στο (- π π)
138 Έστω η συνάρτηση f(x) = ημx + ex - 1
α) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο Α= 2 2
π π
β) Να βρείτε το f(0)
γ) Να λύσετε
i την εξίσωση ημx + ex=1 στο 2 2
π π
ii την ανίσωση ημx + ex lt1 στο 2 2
π π
139 Έστω η συνάρτηση f (x) = (3 ndash 2lnα)x
α) Να βρείτε το α ώστε η συνάρτηση f να ορίζεται σε όλο το R
β) Να βρείτε το α ώστε η συνάρτηση f να είναι γνησίως φθίνουσα
γ) Για α = e να λύσετε την εξίσωση f(2συν2θ)-f(2ημ2θ) = 3
140 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = (2lnα - 1)x
α) Να βρείτε τις τιμές του α R για τις οποίες η συνάρτηση f ορίζεται σε όλο το R
β) Να βρείτε τις τιμές του α R για τις οποίες η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα
γ) Αν α = e2 να βρείτε το θ ώστε 2 2 2 4( ) ( )
3 f συν θ ημ θ f συν θ
141 Δίνεται η συνάρτηση 2
log logf x x x
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f
β) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τον άξονα χ΄χ
γ) Να λύσετε την εξίσωση 0f x
δ) Αν για τους θετικούς αριθμούς α β με ισχύει ότι f f να αποδείξετε ότι
10000
142 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = log(4x ndash 2)
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f και να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f έχει
μοναδικό κοινό σημείο με την ευθεία y = 1 ndash log5
23 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
β) Να λύσετε την ανίσωση 1
-12
4 64 - 2 0
5 5
xx
γ) Να λύσετε την εξίσωση f(x) + f(2
x) = 1 + log
1-
124 6
4 - 25 5
xx
δ) Να λύσετε την εξίσωση ημ2x = f(5
2) + f(1) ndash f(
3
2)
143 Δίνεται το πολυώνυμο 1
4 2 1 3 225 2 3 25 1 λf x x x x x
α) Αν το (x ndash 1) είναι παράγοντας του f(x) να βρείτε το λ
β) Για 1
2
i να δείξετε ότι το (x -1)2 είναι παράγοντας του f(x)
ii να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τον
άξονα x΄x
144 Δίνεται το πολυώνυμο Ρ(x) = (21lnκ - 1)x4 + x3 + (e - 1)x2 ndash e∙x +1 + 2ημθ θ (0 2π)
Αν το πολυώνυμο Ρ(x) είναι 3ου βαθμού και έχει παράγοντα το x - 1
α) να βρείτε τα κ και θ
β) να λύσετε την ανίσωση Ρ(x) lt 0
γ) να βρείτε τα διαστήματα που η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) με
f(x) = e3x+(e-1)e2x-ex+1 βρίσκεται κάτω από τον άξονα χ χ
145 Δίνεται η συνάρτηση ln ln 3
( )ln ln
x
f x
με 3lt α lt β η οποία είναι γνησίως φθίνουσα στο
σύνολο των πραγματικών αριθμών
α) Να συγκρίνετε τους αριθμούς ln και ln
β) Να αποδείξετε ότι 23
γ) Αν 6 και 24 τότε
i) να αποδείξετε ότι 1
( )2
x
f x
ii) να αποδείξετε ότι για κάθε ισχύει η ανισότητα 22
f f f
δ)Να λυθεί η εξίσωση 2 2( ) ( ) 3f x f x
146 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x - 1 + lnx x gt 0
α) Να δείξετε ότι για κάθε x με 0 lt x lt 1 f(x) lt 0
β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = x-1-ln2x
γ) Να λύσετε την ανίσωση f (ex) gt x + 2x -1
δ) Να δείξετε ότι για κάθε θ 02
lne
147 Δίνεται το πολυώνυμο f(x) όπου f(x) = x3-2x2lnα2 + 5xlnα-2 αgt0
α) Αν το x-1 είναι παράγοντας του f(x) τότε να βρείτε το α
β) Για α = e
24 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
i να δείξετε ότι το (x-1)2 είναι παράγοντας του πολυωνύμου f(x)
ii να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της πολυωνυμικής
συνάρτησης f(x) βρίσκεται κάτω από τον άξονα χ χ
148 Έστω η συνάρτηση f(x) = ln(2 - ex)
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f
β) Έστω ότι ο αριθμοί α = 2x β = f(x) γ = ln4 είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου
i Να βρείτε το x
ii Αν ο αριθμός α είναι ο 3ος όρος της αριθμητικής προόδου να βρείτε ποιος όρος της προόδου
ισούται με 2ln2 + 5ln3
149 Δίνεται το πολυώνυμο Ρ(x) = x3 +x2 + x + 2λ2 ndashλ +1
α) Να αποδείξετε ότι η διαίρεση Ρ(x) (x -1 ) δεν είναι τέλεια
β) Αν υ(λ) το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ(x) (x -1 ) να βρεθεί το λ ώστε το υ(λ) να γίνεται
ελάχιστο και την ελάχιστη τιμή του υ(λ)
γ) Για την τιμή του λ που το υ(λ) γίνεται ελάχιστο
i να λύσετε την εξίσωση 425x-2λ-16x-2λ=48λx
ii να λύσετε την εξίσωση
2ln x 1ln
21
4 5 x2
αφού πρώτα αποδείξετε ότι
ln x ln 22 x
δ) Να λύσετε την ανίσωση 8 x 4 x 4 x 1 4 x 13 9 11 4 4
150 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = log(e2x-kex +λ) με f(0) = log2 f(ln6) = log12
α) Να δείξετε ότι κ = 5 και λ = 6
β) Αν κ = 5 και λ = 6
i Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f
ii Να λυθεί η εξίσωση f(x) = 1minuslog(ex + 1)
iii Να δείξετε ότι οι αριθμοί f(ln5)minusf(0) f(ln5) f(ln6) είναι διαδοχικοί όροι
αριθμητικής προόδου
151 Αν το πολυώνυμο f(x) = x3 + 2αx2 - βx - 1 έχει παράγοντα το x - 1 και το υπόλοιπο της
διαίρεσης Ρ(x)(x + 1) είναι 4
α) να βρείτε τους α και β
β) να λύσετε την εξίσωση 2συν4
βx- 2ημ2 x
2
= -2
γ) να βρείτε το ελάχιστο πλήθος των πρώτων όρων της αριθμητικής προόδου (αν) με α1 = α και
ω = β που απαιτούνται ώστε το άθροισμα τους να ξεπερνάει το 150
δ) να λύσετε την εξίσωση β2lnx =5 + 4∙xln2α
152 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) = x3+λx2+23x-15 (λR ) διέρχεται από το σημείο
Α(10)
α) Να βρεθεί ο λ R
β) Για ποιες τιμές του xR η ψ = f(x) βρίσκεται κάτω από τον άξονα x΄x
γ) οι τετμημένες των σημείων στα οποία η ψ = f(x) τέμνει τον άξονα x΄x είναι κατά αύξουσα
τάξη οι 3 πρώτοι όροι μιας προόδου Αν το άθροισμα των ν πρώτων όρων της είναι 400 να
βρεθεί ο ν
25 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
153 α) Έστω η συνάρτηση f (x) = 2 middot 3x + 3x - 24
i να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα και να βρείτε το f(2)
ii να λύσετε την εξίσωση f(x) = 0
β) Δύο κοινωνίες βακτηριδίων Α και Β έχουν αρχικά 24 και 2 βακτηρίδια αντίστοιχα
Η κοινωνία των βακτηριδίων Α μειώνεται σε αριθμό κάθε μια ώρα κατά 3 βακτηρίδια
Η κοινωνία των βακτηριδίων Β τριπλασιάζεται κάθε μία ώρα Να βρείτε μετά από πόσες
ώρες οι κοινωνίες των βακτηριδίων θα έχουν τον ίδιο αριθμό βακτηριδίων
9 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
50 Δίνεται το πολυώνυμο 3 2( ) 2 9 10 3P x x x x
α) Να γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης με το 2x+1
β) Να λύσετε την ανίσωση P(x) le 0
51 Δίνεται το πολυώνυμο 20 30
10 20 30P x x x x
α) Να βρείτε το βαθμό του
β) Να λύσετε την εξίσωση 0P x
γ) Να λύσετε την εξίσωση 10P x x
δ) Να λύσετε την ανίσωση 0P x
52 Έστω η συνάρτηση f(x) = 2
3 2
3 3 6
2 3 3 2
x x
x x x
α)Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f
β) Να απλοποιήσετε τον τύπο της f
γ) Να βρείτε τα διαστήματα του x που η γραφική παράσταση της f βρίσκεται κάτω από τη
γραφική παράσταση της g(x) =x2
53 Δίνεται η συνάρτηση f(x)=x3-6x2+11x-6
α Να βρεθούν τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f(x) με τον άξονα χ΄χ
β Να βρεθούν τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της f(x) είναι πάνω από
τον άξονα χ΄χ
54 Αν το πολυώνυμο x2 - 2 διαιρεί το πολυώνυμο Ρ(x) = x3 ndash 2x2 - αx + β
α) Να βρείτε τα α και β
β) Να βρείτε τα διαστήματα του x που η γραφική παράσταση της πολυωνυμικής συνάρτησης
Ρ(x) δεν βρίσκεται πάνω από τον άξονα χχ
55 Έστω το πολυώνυμο Ρ(x) = x5 + 3x2 + αx + β Αν το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ(x) με το x2-2
είναι το υ(x) = 5x + 8
α) Να βρείτε τα α και β
β) Να βρείτε το πηλίκο της διαίρεσης του Ρ(x) με το x2 - 2
γ) Να βρείτε τα διαστήματα του x που η γραφική παράσταση της πολυωνυμικής συνάρτησης
Ρ(x) βρίσκεται πάνω από την ευθεία y = 5x + 8
56 Έστω το πολυώνυμο Ρ(x) = x3-αx-2 αR Αν το Ρ(x) έχει ρίζα άρτιο θετικό ακέραιο τότε
α) να βρείτε το α
β) για α = 3 να βρείτε τις τιμές του λ ώστε για το υπόλοιπο υ της διαίρεσης του Ρ(x) με το x + λ
να ισχύει υ gt -4
57 Έστω το πολυώνυμο Ρ(x) = x4 - αx3 + βx2 - 2 α β RΑν το Ρ(x) έχει ρίζες δύο περιττούς
ακέραιους
α) να βρείτε τα α και β
β) να λύσετε την ανίσωση Ρ(x) ge 0
10 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
58 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης 3 2f (x) x x 2 x 2 3 διέρχεται από τα
σημεία Α(16) και Β(-112)Να βρείτε
α) Να βρείτε τους αριθμούς λ και μ
β) τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τους άξονες
59 Δίνεται η συνάρτηση 3 2( ) 2 9 18f x x x x Να βρεθούν οι τιμές του x για τις οποίες η
γραφική παράσταση της f(x)
α) βρίσκεται πάνω από τον άξονα χ΄ χ
β) βρίσκεται κάτω από τον άξονα χ΄ χ
60 Δίνεται το πολυώνυμο 3 2( ) ( 1) 3 2 6P x ax x x όπου α β πραγματικοί αριθμοί
α)Αν ο αριθμός 1 είναι ρίζα του πολυωνύμου Ρ(x) και το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ(x) με το
x+1 είναι ίσο με 2 να βρείτε τα α και β
β) Aν α=2 και β=4 να βρείτε
i) τα σημεία στα οποία η πολυωνυμική συνάρτηση Ρ(x) τέμνει τον άξονα χ΄χ
ii) τα διαστήματα στα οποία βρίσκεται πάνω από τον άξονα χ΄χ
61 Δίνεται το πολυώνυμο 3 2( ) 3 (2 1) 2P x x ax x όπου α β πραγματικοί αριθμοί
α) Αν ο αριθμός 1 είναι ρίζα του πολυωνύμου Ρ(x) και το υπόλοιπο της διαίρεσης του
Ρ(x) με το 1x είναι ίσο με 20να βρείτε τα α και β
β) Aν α=8 και β=4 να βρείτε
i) τα σημεία στα οποία η πολυωνυμική συνάρτηση Ρ(x) τέμνει τον άξονα χ΄χ
ii) τα διαστήματα στα οποία βρίσκεται κάτω από τον άξονα χ΄χ
62 Δίνεται το πολυώνυμο 3 2( ) ( 3) (2 1) 2P x x a x x όπου α β πραγματικοί αριθμοί
α) Αν ο αριθμός 2 είναι ρίζα του πολυωνύμου Ρ(x) και το υπόλοιπο της διαίρεσης του
Ρ(x) με το 1x είναι ίσο με -18να βρείτε τα α και β
β) Aν α=2 και β=7
2
i) Να λυθεί η εξίσωση Ρ(x) =0
ii) Να γίνει η διαίρεση του Ρ(x) με το πολυώνυμο x2+1 και να γραφεί το Ρ(x) με την
ταυτότητα της ευκλείδειας διαίρεσης
iii) Να λυθεί η ανίσωση ( ) 7 1P x x
63 Έστω πολυώνυμο P(x)=x3+αx2+βx+4 με αβ R το οποίο έχει παράγοντες τους x+1x-2
α) Να αποδείξετε ότι α=-3 και β=0
β) Για τις παραπάνω τιμές των α β να λύσετε την εξίσωση P(x)=0
γ) Έστω C η γραφική παράσταση συνάρτησης f(x)=P(x) με α=-3 και β=0 να βρείτε
i το σημείο τομής της C με τον άξονα y΄y
ii τις τιμές του x για τις οποίες ή C είναι πάνω από τον χ΄χ
64 Δίνεται το πολυώνυμο P(x) βαθμού 2 για το οποίο ισχύει
3 28( 1) ( ) (2 3) 52 8 6 16x P x x P x x x x για κάθε x
Αν το υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x) με το x-1 είναι 2
α) Να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x) με το πολυώνυμο 2
x 6x 5
β)Αν το πηλίκο της διαίρεσης του P(x) με το πολυώνυμο 2
x 6x 5 είναι το Π(x)=x+4
i Να βρεθούν τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης P(x)
11 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
α) με τον άξονα y΄y
β) με την ευθεία y=2
ii Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της συνάρτησης P(x)
είναι πάνω από την ευθεία y=2
65 α) Να λυθεί η εξίσωση y6-3y2+2 = 0
β) Να λυθεί η εξίσωση ημ6x = 1 - 3συν2x
66 Δίνεται η συνάρτηση f(x) =3
32 3
xx
x
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f
β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) =3
67 Αν το πολυώνυμο Ρ(x) = (3α - 1)x3 + x2ημπθ +1 θ (0 1) έχει θετικούς ακέραιους
συντελεστές και αρνητική ακέραια ρίζα
α να βρείτε τα θ και α
β για α = 1 και θ = 12 να βρείτε το λ ώστε το Ρ(x) να έχει παράγοντα το x + λ
ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ-ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
68 Δίνεται η συνάρτηση 1
( ) 3
x
f x
όπου x πραγματικός αριθμός
α) Να βρείτε για ποιες τιμές του ορίζεται η ( )f x
β) Να βρείτε για ποιες τιμές του η ( )f x είναι γνησίως αύξουσα
γ) Αν 7 να λύσετε την εξίσωση ( ) (2 ) 2f x f x
69 Να προσδιορισθεί ο αR ώστε η συνάρτηση 1 2
( )3
x
f x
α) να ορίζεται σε όλο το R
β) να είναι γνησίως αύξουσα στο R
γ) να είναι γνησίως φθίνουσα στο R
δ) να είναι 1-1
70 Δίνεται η συνάρτηση ( )1
x
f x
για κάθε x
α) Να βρείτε τις τιμές του ώστε η συνάρτηση f να είναι γνησίως αύξουσα
β) Αν η f είναι γνησίως αύξουσα και (2) 4f
i Nα υπολογίσετε το α
ii Για 2a να λύσετε την ανίσωση ( 1) 8f x
71 Δίνεται η συνάρτηση 6
( )4 9
x
x xf x
για κάθε x
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f
β) Nα αποδείξετε ότι η f είναι άρτια
12 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
γ) Να λυθεί η εξίσωση 12
( ) (0)13
f x f
72 Δίνεται η συνάρτηση ( ) 3 2 3 2x x
f x για κάθε x
α) Να αποδείξετε ότι η f είναι περιττή
β) Nα λυθεί η εξίσωση ( ) 4 6f x
γ) Να βρείτε τα διαστήματα του x για τα οποία η γραφική παράσταση της ( ) ( 2014)g x f x
δεν βρίσκεται πάνω από τον άξονα χ΄χ
73 Δίνεται η συνάρτηση 1 2
2 2 24( )
4 6 2 8
x x
x xf x
για κάθε x
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f
β) Nα δείξετε ότι 6
( ) 122 2
xf x x R
γ) Nα λυθεί η ανίσωση 3
( )7
f x
δ) Να βρείτε τις τιμές του έτσι ώστε η συνάρτηση ( ) ( )x
g x f a να είναι σταθερή στο
R
ε) Να λυθεί η εξίσωση h(x)+3h(x+1)=-f(3) όπου 6
( )( )
h xf x
74 Δίνεται η συνάρτηση 2
( )1
x
f x
α) Να μελετηθεί η f ως προς την μονοτονία για τις διάφορες τιμές του
β) Αν λ=1 να λυθεί η ανίσωση 2
2
2( )
3 4 2f x
γ) Αν 1 1
3 3
να λυθεί η ανίσωση 2 1(e 2 ) ( 2 )
x x x xf f e
δ) Να βρείτε τις τιμές το λ αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f διέρχεται από το σημείο
Α(f(0)3)
ε) Για λ=0 να βρείτε τα σημεία τομής των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων g και
h όπου ( ) 3 ( 1) 4g x f x ( ) (2 3) 5h x f x
στ) Για λ=0 να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης 2
( 4)( ( ) 4)(x)
(3 3 )( ( ) 2)x
x f x
e f x
75 Δίνεται η συνάρτηση ln3
f x x k
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της
β) Αν 2
ln 16
f
να βρείτε το k
γ) Αν 1k τότε
i να λύσετε την εξίσωση ln 2ln 2 ln36
x f f
13 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
ii να λύσετε την εξίσωση 1 1f x f x
e e
76 Δίνεται η συνάρτηση 1 ln 0 f x x x x
α) Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης f τέμνει τον άξονα
x΄x στο σημείο 10A
β) Να λύσετε την ανίσωση 2 51
x xf e e x
γ) Αν 0 1 x να δείξετε ότι 0f x
δ) Να δείξετε ότι για κάθε 02
ισχύει ότι ln
e
77 Δίνεται η συνάρτηση 2
2
x 68f (x) ln
100 x
α Να βρείτε το πεδίο ορισμού της
β Να λύσετε την εξίσωση f (x)e log50 log5
γ Να λύσετε την ανίσωση f(x) ge 0
78 Δίνεται η συνάρτηση 21( ) 2ln 4ln 1 0
4f x x a x a a
α Να βρεθεί ο πραγματικός αριθμός α ώστε η εξίσωση f(x)=0 να έχει διπλή ρίζα
β Να λυθεί η εξίσωση 2(0) ln 2ln 4f a a
γ Να λυθεί η ανίσωση 2( 2)ln( 2 )
8
afa e a a
79 Δίνεται η συνάρτηση 2x xf x ln e 4e 3 της οποίας η
γραφική παράσταση φαίνεται στο διπλανό σχήμα
α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της f
β) Να βρεθεί το σημείο τομής της γραφικής παράστασης της f
με τον άξονα x x
γ) Να δικαιολογήσετε (αλγεβρικά) γιατί δεν υπάρχει σημείο της
γραφικής παράστασης της f που να βρίσκεται πάνω από τον
άξονα x x
80 Δίνεται η συνάρτηση 2log 11 9 18 2log 1 f x x x x
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της
β) Να βρείτε τα σημεία στα οποία η γραφική παράσταση της f τέμνει τους άξονες
81 Δίνεται η συνάρτηση log log 1f x x
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f
β) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τον άξονα χ΄χ
γ) Να λύσετε την ανίσωση 0f x
δ) Να αποδείξετε ότι 3 101 2 1001 10001 log18f f f
14 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
82 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = ln(ex - 1)
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f
β) Να βρείτε τα διαστήματα που η γραφική παράσταση της συνάρτησης f βρίσκεται πάνω από
τον άξονα χ χ
γ) Να συγκρίνετε τους αριθμούς f(ln2) και f(l)
δ) Να λυθεί η εξίσωση f(2x)-f(x) = f(1)
83 Δίνεται η συνάρτηση f(x)=ln(ex-2)-ln(ex-1)
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f
β) Να αποδείξετε ότι f(x)=ln (1-1
1xe
)
γ) Να λύσετε την εξίσωση f(x)=-ln2
δ) Nα αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f δεν τέμνει την ευθεία με εξίσωση y=x
84 Δίνονται οι συναρτήσεις f g με τύπους f(x) = ln(ex minus 1 ) και g(x) = ln(ex + 2)
α Να βρείτε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων f και g
β Να συγκρίνετε τις τιμές f(ln2) και g( minus1)
γ Να λύσετε την εξίσωση x + f(x) = ln2 + g(x)
85 Έστω η συνάρτηση f(x) = k +log(x2-3) k
α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f
β) Να υπολογίσετε την τιμή του k ώστε f(2)= log100
γ) Για k=2
i Nα βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με την ευθεία
1
log1000
y
i i Nα λυθεί η ανίσωση f(x) gt2
86 Δίνονται οι συναρτήσεις 22log 2 1 log 3 2f x x x x και log 4 3 logg x x x
α) Να βρείτε το πεδίο των συναρτήσεων fg
β) Να βρείτε τα σημεία τομής των γραφικών τους παραστάσεων
γ) Να λύσετε τις εξισώσεις i 0f x και ii 0g x
δ) Να αποδείξετε ότι 2 2log 2 1g
87 Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο 1 1
f(x)= +1+lnx 1-lnx
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού Α της συνάρτησης
β) Να αποδείξετε ότι για κάθε xΑ ισχύει 1
f(x)=fx
γ) Να λύσετε την ανίσωση 1
f(x)+f gt4x
88 Α Να λύσετε την εξίσωση y3 + y - 2 = 0 (1)
15 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
Β Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f (x) = 27x + 1
2middot 12x lnα2 -2∙8x lnα διέρχεται από
την αρχή των αξόνων
α να αποδείξετε ότι α = e
β να βρείτε το διάστημα που η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τον άξονα xx
89 Δίνονται τα πολυώνυμα Ρ(x) = (α - ln2)x3 - (2e - β)x + 3
ln2
Q(x) = (1 ndash lnβ)x3 - (2e - 2)x + 3
ln2
Αν τα πολυώνυμα Ρ(x) και Q(x) είναι ίσα
α Να βρείτε τα α και β
β να αποδείξετε ότι Ρ(-1)gt0
90 Έστω το πολυώνυμο Ρ(x) = x3lnα + (2 - lnα)x2 + αlnβx +1 έχει θετικούς ακέραιους συντελεστές
και αρνητική ακέραια ρίζα
α Να βρείτε τα α και β
β Για α = e και β = 1 να βρείτε τα διαστήματα του x που η γραφική παράσταση της συνάρτησης
f(x) = P(ex) βρίσκεται κάτω από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης g(x) = ex + 3
91 Δίνεται η συνάρτηση f(x)= αlnx +β
α) Να βρείτε τις τιμές των α β R αν γνωρίζετε ότι η γραφική της παράσταση
διέρχεται από τα σημεία Α(10) και B(e2)
β) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f
γ) Να λυθεί η εξίσωση f(x)+f(2x)=61n2
δ) Να λυθεί η ανίσωση f(2x+1)gt f(x)
ε) Να λυθεί το σύστημα x y
f (x) f (y) 2
e e
92 Έστω η συνάρτηση f (x) = x -1 + 2ln(αx) x gt0
Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f διέρχεται από το σημείο Α(1 0)
α) να βρείτε το α
β) να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο (0+)
γ) να λύσετε την ανίσωση f(x) gt 0
93 Δίνεται η συνάρτηση 2
1( )
1
nxf x
n x
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f(x)
β) Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τον χ΄χ
γ) Να βρείτε τα σημεία τομής της Cf με την ευθεία y =1
94 Δίνεται η f( x ) = log ( 102x ndash 10x )
α) Να δειχθεί ότι το πεδίο ορισμού της f είναι το Α=( 0 + )
β) Να δειχθεί ότι f( x ) = x + log ( 10x ndash 1 )
γ) Να λυθεί η εξίσωση f( x ) = x
δ) Να λυθεί η ανίσωση f( x ) le x + 2log 2
16 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
95 Δίνεται η συνάρτηση 2( ) 5 6
x xf x n e e
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f(x)
β) Να λύσετε την ανίσωση ( ) 2f x n
γ) Να λύσετε την εξίσωση ( ) 2 f x x n
96 Δίνεται η συνάρτηση f(x)=ln(3e2xshyex-2)
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f
β) Να βρείτε την τεταγμένη του σημείου της γραφικής παράστασης με τετμημένη ln2 και να
βρείτε τη θέση του σημείου ως προς τον άξονα χ΄χ
γ) Να λυθεί η εξίσωση f(x)=3x ως προς x
97 Δίνεται η συνάρτηση 1
( )1
x
x
ef x a
e που η γραφική της παράσταση διέρχεται από το σημείο
A(ln2 3)
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f
β) Να αποδείξετε ότι α = 1
γ) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι περιττή
δ) Να λυθεί η ανίσωση f(x) gt 2
98 Δίνεται η συνάρτηση
11 2log( 1)
log( 1) 2( ) 10 100 80x
xf x
α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της
β) Να λυθεί η εξίσωση f(x) = 10
γ) Να βρείτε τα κοινά σημεία της ψ = f(x) με την ευθεία ψ = x-20
99 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = α + ln(ex - 2)
Α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f
Β) Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f διέρχεται από το σημείο A(ln3 1) middot
α) να αποδείξετε ότι α = 1
β) να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τον άξονα xx
γ) να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα
100 Δίνεται η συνάρτηση
ln 3 11( )
ln 5
xf x
x
α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της
β) Να λυθεί η εξίσωση f(x) = 2
γ) Αν x gt 6 να λύσετε την ανίσωση f(x) gt 1
101 Δίνεται η συνάρτηση ln 1
( )ln 2
xg x
x
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης ( ) ( )f x g x
β) Να βρείτε αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f τέμνει και σε ποια σημεία τους
άξονες χ΄χ και y΄y
γ) Να λύσετε την εξίσωση ( ) 1x
f e
17 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
102 Δίνεται η συνάρτηση f(x)=2(x-1)+lnx
α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της
β) Να δείξετε ότι το 1 είναι ρίζα της εξίσωσης f(x)=0
γ) Να λυθεί η εξίσωση f(x)=2(x-1)+(lnx)2
103 α) Δίνεται η συνάρτηση f (x) = 3x + 2x + lnx ndash 5Να βρείτε το f(1) και να δείξετε ότι η f είναι
γνησίως αύξουσα
β) Να λύσετε την εξίσωση 2x+ lnx = 5-3x
γ) Να λύσετε την ανίσωση 3x + lnx lt 5-2x
104 Δίνεται η συνάρτηση f (x) = 2ln 1 x x
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f
β) Να δείξετε ότι για κάθε x R f(x) + f(- x) = 0 και ότι η συνάρτηση f είναι περιττή
γ) Να συγκρίνετε τους αριθμούς f(0) και f(- 1)
δ) Να λύσετε την ανίσωση f(ex) gt x + ln3
105 Δίνεται η συνάρτηση 3
ln3
xf x
x
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f
β) Να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι περιττή
γ) Να συγκρίνετε τους αριθμούς f(0) και 1
3f
δ) Να λύσετε την εξίσωση 1 0f x f x
106 Δίνονται οι συναρτήσεις 2
2
100 10( ) ( )
10100
x xf x og g x og
xx
α) Να δείξετε ότι η f είναι άρτια και η g περιττή
β) Να βρείτε τα κοινά σημεία των γραφικών τους παραστάσεων
γ) Να λυθεί η ανισότητα f(x)gt0
107 Δίνεται η συνάρτηση f (x) = ln 9 3 x x xe
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f
β) Να δείξετε ότι f(1)lt0
γ) Να βρείτε τα διαστήματα του x που η Cf είναι πάνω από την ευθεία ε y= 2x + ln2
108 Δίνεται η συνάρτηση f (x) = 2x + 6x - 40
α) Να βρείτε το f(4)
β) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα
γ) Να λύσετε την εξίσωση f(x) =0
109 Έστω η συνάρτηση f (x) = 3x + 2ex-κ -1 που η γραφική της παράσταση διέρχεται από το
σημείο Α(0 1)
α) Να βρείτε το κ
β) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα
γ) Να λύσετε την εξίσωση 3x + 2ex = 2
δ) Να λύσετε την ανίσωση 3x + 2ex gt 2
18 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
110 Δίνεται η συνάρτηση f (x) = (ln 1)x
a
α) Να βρείτε τις τιμές του α για τις οποίες
i η συνάρτηση f ορίζεται σε όλο το R
ii η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα
β) Για α = e3 να λύσετε την εξίσωση ln 2 ln 1 f εφx f σφx
111 Δίνεται η συνάρτηση 1
ln5
x
f x
α) Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες η συνάρτηση f ορίζεται σε όλο το
β) Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα
στο
γ) Αν 11 να λύσετε την εξίσωση f f 1 6x x
112 Δίνεται η συνάρτηση f με f(x) = x + ln(ex - 3)
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της
β) Να δείξετε ότι f(ln4) lt f(ln5)
γ) Να λύσετε την ανίσωση f(x) gt lη2 + ln(ex - 2)
113 Δίνεται η συνάρτηση ( ) ln( 1) x
f x x e
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της
β) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα
γ) Να συγκρίνετε τους αριθμούς log 2f και log5f
δ) Να βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f και της ευθείας
ln 2y
114 Δίνεται η συνάρτηση 4 2
log 8 log log 100 0f x x x x x
α) Αν f(10)=25 να δείξετε ότι α = 1
β) Για την τιμή α = 1 να
i δείξετε ότι η f(x) γράφεται στη μορφή 2
2log 4 logf x x x
ii να λύσετε την εξίσωση f(x) = 0
115 Δίνονται οι συναρτήσεις ln x
f x e e και 1ln 2 2
xg x e
α) Να βρείτε το πεδίο των συναρτήσεων fg
β) Να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των fg δεν τέμνονται
γ) Να λύσετε την ανίσωση 1f x
116 Δίνονται οι συναρτήσεις x xf(x) ln e e
και x
g(x) ln ln e
α) Να βρείτε τα πεδία ορισμού των f(x) και g(x)
β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = g(x)
γ) Να λύσετε την ανίσωση f(x) gt 2g(x
117 Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) = ln(e2x-ex-2) και g(x) = ln2+ln(ex-l)
α) Να βρείτε τα πεδία ορισμού των f(x) και g(x)
β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = g(x)
γ) Να λύσετε την ανίσωση f(x) gt g(x)
19 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
118 Δίνεται η συνάρτηση 2
1ln
5
x
x
ef x
e
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f(x)
β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = 2ln2
γ) Να λύσετε την ανίσωση f(x) gt 0
119 Έστω η συνάρτηση f(x) = log(225x-54x) και η ευθεία ε y = x + log3
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f
β) Να βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της f και της ευθείας ε
γ) Να δείξετε ότι το σημείο Α3 3
2 2
f βρίσκεται πάνω από το σημείο Β με τετμημένη 3
2
της ευθείας ε
120 Δίνονται οι συναρτήσεις ( ) ln 2 3 xf x και ( ) ln(2 3) xg x
α) Να βρείτε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων f και g
β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = g(x)
γ) Να συγκρίνετε τους αριθμούς f(3) και g(3)
121 α) Να δείξετε ότι ln ln a για κάθε α β gt 0
β) Να λυθεί η ανίσωση 1
lnln 22 2 1
xx
γ) Έστω η συνάρτηση f(x) = ln xa Να βρείτε το α ώστε 5f (3) - 3f (5) gt 0
122 Δίνεται το πολυώνυμο 2 1 4 3 2 2( ) 1 ln ln 1f x e x x x x θ (0 π) το
οποίο είναι 3ου βαθμού και διαιρείται με το x-1
α) Να αποδείξετε ότι θ = 2
3
και κ =
1
e
β) Να αποδείξετε ότι το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης [f(x)x2] είναι το ίδιο
γ) Να βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της πολυωνυμικής συνάρτησης f(x)
με την ευθεία (ε) y = 5x-5
ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ
123 Δίνεται το σύστημα 2x y 7
7x 2y 11
α) Να βρείτε τη λύση (x0y0) του συστήματος
β) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης 2f (x) x x έχει κορυφή το σημείο Κ(x0y0)
i) να βρείτε τους αριθμούς β και γ
ii) να λύσετε την ανίσωση f (x) 0
iii) να λύσετε το σύστημα y f (x)
x y 6
20 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
124 Το σύστημα ( 1)x 8y 4
x ( 3)y 3 1
έχει τη μοναδική λύση (x0y0) για την οποία ισχύει
0 0x y 1
α) Να βρείτε τον αριθμό λ
β) Δίνεται η συνάρτηση 2f (x) x 2 x 6
i Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η Cf είναι πάνω από τον χ΄χ
iiΝα λύσετε το σύστημα y f (x)
2y f (x 1) 10x
125 Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f με f (x) = α + βσυν2x διέρχεται από τα σημεία
Α(0 1) και Β 24
π τότε
α) να βρείτε τα α και β
β) να βρείτε την f
γ) να δείξετε ότι η Cf έχει άξονα συμμετρίας τον yy
δ) να δείξετε ότι f (-x) - f4
πx = ημ2x - συν2x
126 Δίνεται το πολυώνυμο f (x) = 2x3 middot συν2θ - x3ημθ - x2 + 3eλ - 2
Αν το πολυώνυμο έχει παράγοντες τους x και x - 1
α) να βρείτε τους λ και θ θ [0 2
π]
β) να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του πολυωνύμου Ρ(x) με το x - 1 όπου
P(x) = x∙f(3x-2) + (2-3x)21
γ) να βρείτε τα διαστήματα που η γραφική παράσταση της συνάρτησης f βρίσκεται κάτω από
τον άξονα χ χ
127 Δίνεται η πολυωνυμική συνάρτηση f(x) = 8x3-4x2 + 2x-l
α) Αν το πολυώνυμο Ρ(x) έχει παράγοντα το x - συνθ θ 02
π να βρείτε το θ
β) Να λύσετε την ανίσωση f(lnx) lt 0
γ) Να βρείτε τα διαστήματα του χ που η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από την
ευθεία y = 10x - 5
128 Θεωρούμε το πολυώνυμο 3 2( ) ( ) 2 1P x x x x
α) Αν έχει παράγοντα το 2
1x να βρείτε τα και
β) Για τις τιμές των και που βρήκατε να λύσετε την ανίσωση ( ) 0P x
γ) Για τις ίδιες τιμές των και να λύσετε την εξίσωση ( ) 0P x
129 Δίνεται το πολυώνυμο 3 2 P x x x x α β Αν το υπόλοιπο της διαίρεσης
2 2P x x x είναι (x) 9x 3 τότε
α) να αποδείξετε ότι 3 και 3
β) να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της πολυωνυμικής συνάρτησης
P(x) βρίσκεται κάτω από τον άξονα xrsquox
21 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
γ) να λύσετε την ανίσωση 10 2 0xP
130 Δίνεται το πολυώνυμο P(x) = x4 +αx3 +βx2 ndash2x + 4 όπου α βIR Το P(x) έχει παράγοντα το
x ndash 1 και το υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x) με το x + 1 είναι το 6
α) Να δείξετε ότι α = ndash1 και β = ndash2
β) Να λύσετε την εξίσωση P(x) = 0
γ) Να λύσετε την ανίσωση P(x) gt 0
δ) Να λύσετε την εξίσωση συν4x ndashσυν3x + 2ημ2x ndash2συνx + 2 = 0 στο διάστημα [ndashπ
2 π)
131 Δίνεται το πολυώνυμο 3 2 1P x x x x που έχει παράγοντα το 1x και το
υπόλοιπο της διαίρεσης του με το 1x είναι 8
α) Να αποδείξετε ότι 2 και 7
β) Να λύσετε την ανίσωση 0x
γ) Αν 2
x
να λύσετε την εξίσωση 3 22 7 2 3 0
132 To πολυώνυμο f(x)=x3+2αx2-βx-1 έχει παράγοντα το x-1 και το υπόλοιπο της διαίρεσης
f (x) (x 1) είναι 4
α) Να βρείτε τις τιμές των α β R
β) Να βρεθούν τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της
f(x) βρίσκεται κάτω από τον άξονα χ΄χ
γ) Να λύσετε την εξίσωση 2x x1e e
2
133 Δίνεται το πολυώνυμο 3 22 7P x x x x το οποίο έχει παράγοντα το 1x και το
υπόλοιπο της διαίρεσης του με το 1x είναι 18
α) Να αποδείξετε ότι 7 και 2
β) Να λύσετε την εξίσωση 3 22 2 7 2 7 2 2 0x x x
γ) Να λύσετε την ανίσωση 2 8 7 4 7 2 2 0x x x
134 Δίνεται το πολυώνυμο 3 2( ) (log 2) log 0P x x x k x k k
α) Να αποδείξετε ότι το 1x είναι παράγοντας του ( )P x
β) Να βρείτε τις τιμές του k για τις οποίες το πολυώνυμο ( )P x έχει τρεις
πραγματικές ρίζες
γ) Για 10k να λύσετε
i την ανίσωση ( ) 0P x
ii την εξίσωση 2( ) [0 ]P x x x
135 Δίνεται το πολυώνυμο
4 3 22ln 1 2 0 0 x x x x x x
α) Αν το πολυώνυμο x είναι 3ου βαθμού και έχει παράγοντα το 1x να βρεθούν τα
β) Αν 3 2 1x x x x x να βρεθούν οι τιμές του x για τις οποίες ισχύει
0x
22 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
γ) Να λυθούν
i η εξίσωση 2 0 0 ό
ii η ανίσωση 2 ln 0
136 Δίνεται η συνάρτηση log 2 4 5 2 2x xf x
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f
β) Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τον
άξονα χ΄χ
γ) Να λύσετε στο διάστημα 0 2 την εξίσωση 2 0f x
137 Έστω η συνάρτηση ( ) ln 2 xf x ημ
α) Να αποδείξετε ότι η f είναι περιττή
β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = 0 στο (- π π)
138 Έστω η συνάρτηση f(x) = ημx + ex - 1
α) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο Α= 2 2
π π
β) Να βρείτε το f(0)
γ) Να λύσετε
i την εξίσωση ημx + ex=1 στο 2 2
π π
ii την ανίσωση ημx + ex lt1 στο 2 2
π π
139 Έστω η συνάρτηση f (x) = (3 ndash 2lnα)x
α) Να βρείτε το α ώστε η συνάρτηση f να ορίζεται σε όλο το R
β) Να βρείτε το α ώστε η συνάρτηση f να είναι γνησίως φθίνουσα
γ) Για α = e να λύσετε την εξίσωση f(2συν2θ)-f(2ημ2θ) = 3
140 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = (2lnα - 1)x
α) Να βρείτε τις τιμές του α R για τις οποίες η συνάρτηση f ορίζεται σε όλο το R
β) Να βρείτε τις τιμές του α R για τις οποίες η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα
γ) Αν α = e2 να βρείτε το θ ώστε 2 2 2 4( ) ( )
3 f συν θ ημ θ f συν θ
141 Δίνεται η συνάρτηση 2
log logf x x x
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f
β) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τον άξονα χ΄χ
γ) Να λύσετε την εξίσωση 0f x
δ) Αν για τους θετικούς αριθμούς α β με ισχύει ότι f f να αποδείξετε ότι
10000
142 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = log(4x ndash 2)
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f και να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f έχει
μοναδικό κοινό σημείο με την ευθεία y = 1 ndash log5
23 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
β) Να λύσετε την ανίσωση 1
-12
4 64 - 2 0
5 5
xx
γ) Να λύσετε την εξίσωση f(x) + f(2
x) = 1 + log
1-
124 6
4 - 25 5
xx
δ) Να λύσετε την εξίσωση ημ2x = f(5
2) + f(1) ndash f(
3
2)
143 Δίνεται το πολυώνυμο 1
4 2 1 3 225 2 3 25 1 λf x x x x x
α) Αν το (x ndash 1) είναι παράγοντας του f(x) να βρείτε το λ
β) Για 1
2
i να δείξετε ότι το (x -1)2 είναι παράγοντας του f(x)
ii να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τον
άξονα x΄x
144 Δίνεται το πολυώνυμο Ρ(x) = (21lnκ - 1)x4 + x3 + (e - 1)x2 ndash e∙x +1 + 2ημθ θ (0 2π)
Αν το πολυώνυμο Ρ(x) είναι 3ου βαθμού και έχει παράγοντα το x - 1
α) να βρείτε τα κ και θ
β) να λύσετε την ανίσωση Ρ(x) lt 0
γ) να βρείτε τα διαστήματα που η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) με
f(x) = e3x+(e-1)e2x-ex+1 βρίσκεται κάτω από τον άξονα χ χ
145 Δίνεται η συνάρτηση ln ln 3
( )ln ln
x
f x
με 3lt α lt β η οποία είναι γνησίως φθίνουσα στο
σύνολο των πραγματικών αριθμών
α) Να συγκρίνετε τους αριθμούς ln και ln
β) Να αποδείξετε ότι 23
γ) Αν 6 και 24 τότε
i) να αποδείξετε ότι 1
( )2
x
f x
ii) να αποδείξετε ότι για κάθε ισχύει η ανισότητα 22
f f f
δ)Να λυθεί η εξίσωση 2 2( ) ( ) 3f x f x
146 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x - 1 + lnx x gt 0
α) Να δείξετε ότι για κάθε x με 0 lt x lt 1 f(x) lt 0
β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = x-1-ln2x
γ) Να λύσετε την ανίσωση f (ex) gt x + 2x -1
δ) Να δείξετε ότι για κάθε θ 02
lne
147 Δίνεται το πολυώνυμο f(x) όπου f(x) = x3-2x2lnα2 + 5xlnα-2 αgt0
α) Αν το x-1 είναι παράγοντας του f(x) τότε να βρείτε το α
β) Για α = e
24 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
i να δείξετε ότι το (x-1)2 είναι παράγοντας του πολυωνύμου f(x)
ii να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της πολυωνυμικής
συνάρτησης f(x) βρίσκεται κάτω από τον άξονα χ χ
148 Έστω η συνάρτηση f(x) = ln(2 - ex)
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f
β) Έστω ότι ο αριθμοί α = 2x β = f(x) γ = ln4 είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου
i Να βρείτε το x
ii Αν ο αριθμός α είναι ο 3ος όρος της αριθμητικής προόδου να βρείτε ποιος όρος της προόδου
ισούται με 2ln2 + 5ln3
149 Δίνεται το πολυώνυμο Ρ(x) = x3 +x2 + x + 2λ2 ndashλ +1
α) Να αποδείξετε ότι η διαίρεση Ρ(x) (x -1 ) δεν είναι τέλεια
β) Αν υ(λ) το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ(x) (x -1 ) να βρεθεί το λ ώστε το υ(λ) να γίνεται
ελάχιστο και την ελάχιστη τιμή του υ(λ)
γ) Για την τιμή του λ που το υ(λ) γίνεται ελάχιστο
i να λύσετε την εξίσωση 425x-2λ-16x-2λ=48λx
ii να λύσετε την εξίσωση
2ln x 1ln
21
4 5 x2
αφού πρώτα αποδείξετε ότι
ln x ln 22 x
δ) Να λύσετε την ανίσωση 8 x 4 x 4 x 1 4 x 13 9 11 4 4
150 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = log(e2x-kex +λ) με f(0) = log2 f(ln6) = log12
α) Να δείξετε ότι κ = 5 και λ = 6
β) Αν κ = 5 και λ = 6
i Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f
ii Να λυθεί η εξίσωση f(x) = 1minuslog(ex + 1)
iii Να δείξετε ότι οι αριθμοί f(ln5)minusf(0) f(ln5) f(ln6) είναι διαδοχικοί όροι
αριθμητικής προόδου
151 Αν το πολυώνυμο f(x) = x3 + 2αx2 - βx - 1 έχει παράγοντα το x - 1 και το υπόλοιπο της
διαίρεσης Ρ(x)(x + 1) είναι 4
α) να βρείτε τους α και β
β) να λύσετε την εξίσωση 2συν4
βx- 2ημ2 x
2
= -2
γ) να βρείτε το ελάχιστο πλήθος των πρώτων όρων της αριθμητικής προόδου (αν) με α1 = α και
ω = β που απαιτούνται ώστε το άθροισμα τους να ξεπερνάει το 150
δ) να λύσετε την εξίσωση β2lnx =5 + 4∙xln2α
152 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) = x3+λx2+23x-15 (λR ) διέρχεται από το σημείο
Α(10)
α) Να βρεθεί ο λ R
β) Για ποιες τιμές του xR η ψ = f(x) βρίσκεται κάτω από τον άξονα x΄x
γ) οι τετμημένες των σημείων στα οποία η ψ = f(x) τέμνει τον άξονα x΄x είναι κατά αύξουσα
τάξη οι 3 πρώτοι όροι μιας προόδου Αν το άθροισμα των ν πρώτων όρων της είναι 400 να
βρεθεί ο ν
25 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
153 α) Έστω η συνάρτηση f (x) = 2 middot 3x + 3x - 24
i να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα και να βρείτε το f(2)
ii να λύσετε την εξίσωση f(x) = 0
β) Δύο κοινωνίες βακτηριδίων Α και Β έχουν αρχικά 24 και 2 βακτηρίδια αντίστοιχα
Η κοινωνία των βακτηριδίων Α μειώνεται σε αριθμό κάθε μια ώρα κατά 3 βακτηρίδια
Η κοινωνία των βακτηριδίων Β τριπλασιάζεται κάθε μία ώρα Να βρείτε μετά από πόσες
ώρες οι κοινωνίες των βακτηριδίων θα έχουν τον ίδιο αριθμό βακτηριδίων
10 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
58 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης 3 2f (x) x x 2 x 2 3 διέρχεται από τα
σημεία Α(16) και Β(-112)Να βρείτε
α) Να βρείτε τους αριθμούς λ και μ
β) τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τους άξονες
59 Δίνεται η συνάρτηση 3 2( ) 2 9 18f x x x x Να βρεθούν οι τιμές του x για τις οποίες η
γραφική παράσταση της f(x)
α) βρίσκεται πάνω από τον άξονα χ΄ χ
β) βρίσκεται κάτω από τον άξονα χ΄ χ
60 Δίνεται το πολυώνυμο 3 2( ) ( 1) 3 2 6P x ax x x όπου α β πραγματικοί αριθμοί
α)Αν ο αριθμός 1 είναι ρίζα του πολυωνύμου Ρ(x) και το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ(x) με το
x+1 είναι ίσο με 2 να βρείτε τα α και β
β) Aν α=2 και β=4 να βρείτε
i) τα σημεία στα οποία η πολυωνυμική συνάρτηση Ρ(x) τέμνει τον άξονα χ΄χ
ii) τα διαστήματα στα οποία βρίσκεται πάνω από τον άξονα χ΄χ
61 Δίνεται το πολυώνυμο 3 2( ) 3 (2 1) 2P x x ax x όπου α β πραγματικοί αριθμοί
α) Αν ο αριθμός 1 είναι ρίζα του πολυωνύμου Ρ(x) και το υπόλοιπο της διαίρεσης του
Ρ(x) με το 1x είναι ίσο με 20να βρείτε τα α και β
β) Aν α=8 και β=4 να βρείτε
i) τα σημεία στα οποία η πολυωνυμική συνάρτηση Ρ(x) τέμνει τον άξονα χ΄χ
ii) τα διαστήματα στα οποία βρίσκεται κάτω από τον άξονα χ΄χ
62 Δίνεται το πολυώνυμο 3 2( ) ( 3) (2 1) 2P x x a x x όπου α β πραγματικοί αριθμοί
α) Αν ο αριθμός 2 είναι ρίζα του πολυωνύμου Ρ(x) και το υπόλοιπο της διαίρεσης του
Ρ(x) με το 1x είναι ίσο με -18να βρείτε τα α και β
β) Aν α=2 και β=7
2
i) Να λυθεί η εξίσωση Ρ(x) =0
ii) Να γίνει η διαίρεση του Ρ(x) με το πολυώνυμο x2+1 και να γραφεί το Ρ(x) με την
ταυτότητα της ευκλείδειας διαίρεσης
iii) Να λυθεί η ανίσωση ( ) 7 1P x x
63 Έστω πολυώνυμο P(x)=x3+αx2+βx+4 με αβ R το οποίο έχει παράγοντες τους x+1x-2
α) Να αποδείξετε ότι α=-3 και β=0
β) Για τις παραπάνω τιμές των α β να λύσετε την εξίσωση P(x)=0
γ) Έστω C η γραφική παράσταση συνάρτησης f(x)=P(x) με α=-3 και β=0 να βρείτε
i το σημείο τομής της C με τον άξονα y΄y
ii τις τιμές του x για τις οποίες ή C είναι πάνω από τον χ΄χ
64 Δίνεται το πολυώνυμο P(x) βαθμού 2 για το οποίο ισχύει
3 28( 1) ( ) (2 3) 52 8 6 16x P x x P x x x x για κάθε x
Αν το υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x) με το x-1 είναι 2
α) Να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x) με το πολυώνυμο 2
x 6x 5
β)Αν το πηλίκο της διαίρεσης του P(x) με το πολυώνυμο 2
x 6x 5 είναι το Π(x)=x+4
i Να βρεθούν τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης P(x)
11 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
α) με τον άξονα y΄y
β) με την ευθεία y=2
ii Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της συνάρτησης P(x)
είναι πάνω από την ευθεία y=2
65 α) Να λυθεί η εξίσωση y6-3y2+2 = 0
β) Να λυθεί η εξίσωση ημ6x = 1 - 3συν2x
66 Δίνεται η συνάρτηση f(x) =3
32 3
xx
x
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f
β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) =3
67 Αν το πολυώνυμο Ρ(x) = (3α - 1)x3 + x2ημπθ +1 θ (0 1) έχει θετικούς ακέραιους
συντελεστές και αρνητική ακέραια ρίζα
α να βρείτε τα θ και α
β για α = 1 και θ = 12 να βρείτε το λ ώστε το Ρ(x) να έχει παράγοντα το x + λ
ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ-ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
68 Δίνεται η συνάρτηση 1
( ) 3
x
f x
όπου x πραγματικός αριθμός
α) Να βρείτε για ποιες τιμές του ορίζεται η ( )f x
β) Να βρείτε για ποιες τιμές του η ( )f x είναι γνησίως αύξουσα
γ) Αν 7 να λύσετε την εξίσωση ( ) (2 ) 2f x f x
69 Να προσδιορισθεί ο αR ώστε η συνάρτηση 1 2
( )3
x
f x
α) να ορίζεται σε όλο το R
β) να είναι γνησίως αύξουσα στο R
γ) να είναι γνησίως φθίνουσα στο R
δ) να είναι 1-1
70 Δίνεται η συνάρτηση ( )1
x
f x
για κάθε x
α) Να βρείτε τις τιμές του ώστε η συνάρτηση f να είναι γνησίως αύξουσα
β) Αν η f είναι γνησίως αύξουσα και (2) 4f
i Nα υπολογίσετε το α
ii Για 2a να λύσετε την ανίσωση ( 1) 8f x
71 Δίνεται η συνάρτηση 6
( )4 9
x
x xf x
για κάθε x
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f
β) Nα αποδείξετε ότι η f είναι άρτια
12 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
γ) Να λυθεί η εξίσωση 12
( ) (0)13
f x f
72 Δίνεται η συνάρτηση ( ) 3 2 3 2x x
f x για κάθε x
α) Να αποδείξετε ότι η f είναι περιττή
β) Nα λυθεί η εξίσωση ( ) 4 6f x
γ) Να βρείτε τα διαστήματα του x για τα οποία η γραφική παράσταση της ( ) ( 2014)g x f x
δεν βρίσκεται πάνω από τον άξονα χ΄χ
73 Δίνεται η συνάρτηση 1 2
2 2 24( )
4 6 2 8
x x
x xf x
για κάθε x
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f
β) Nα δείξετε ότι 6
( ) 122 2
xf x x R
γ) Nα λυθεί η ανίσωση 3
( )7
f x
δ) Να βρείτε τις τιμές του έτσι ώστε η συνάρτηση ( ) ( )x
g x f a να είναι σταθερή στο
R
ε) Να λυθεί η εξίσωση h(x)+3h(x+1)=-f(3) όπου 6
( )( )
h xf x
74 Δίνεται η συνάρτηση 2
( )1
x
f x
α) Να μελετηθεί η f ως προς την μονοτονία για τις διάφορες τιμές του
β) Αν λ=1 να λυθεί η ανίσωση 2
2
2( )
3 4 2f x
γ) Αν 1 1
3 3
να λυθεί η ανίσωση 2 1(e 2 ) ( 2 )
x x x xf f e
δ) Να βρείτε τις τιμές το λ αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f διέρχεται από το σημείο
Α(f(0)3)
ε) Για λ=0 να βρείτε τα σημεία τομής των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων g και
h όπου ( ) 3 ( 1) 4g x f x ( ) (2 3) 5h x f x
στ) Για λ=0 να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης 2
( 4)( ( ) 4)(x)
(3 3 )( ( ) 2)x
x f x
e f x
75 Δίνεται η συνάρτηση ln3
f x x k
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της
β) Αν 2
ln 16
f
να βρείτε το k
γ) Αν 1k τότε
i να λύσετε την εξίσωση ln 2ln 2 ln36
x f f
13 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
ii να λύσετε την εξίσωση 1 1f x f x
e e
76 Δίνεται η συνάρτηση 1 ln 0 f x x x x
α) Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης f τέμνει τον άξονα
x΄x στο σημείο 10A
β) Να λύσετε την ανίσωση 2 51
x xf e e x
γ) Αν 0 1 x να δείξετε ότι 0f x
δ) Να δείξετε ότι για κάθε 02
ισχύει ότι ln
e
77 Δίνεται η συνάρτηση 2
2
x 68f (x) ln
100 x
α Να βρείτε το πεδίο ορισμού της
β Να λύσετε την εξίσωση f (x)e log50 log5
γ Να λύσετε την ανίσωση f(x) ge 0
78 Δίνεται η συνάρτηση 21( ) 2ln 4ln 1 0
4f x x a x a a
α Να βρεθεί ο πραγματικός αριθμός α ώστε η εξίσωση f(x)=0 να έχει διπλή ρίζα
β Να λυθεί η εξίσωση 2(0) ln 2ln 4f a a
γ Να λυθεί η ανίσωση 2( 2)ln( 2 )
8
afa e a a
79 Δίνεται η συνάρτηση 2x xf x ln e 4e 3 της οποίας η
γραφική παράσταση φαίνεται στο διπλανό σχήμα
α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της f
β) Να βρεθεί το σημείο τομής της γραφικής παράστασης της f
με τον άξονα x x
γ) Να δικαιολογήσετε (αλγεβρικά) γιατί δεν υπάρχει σημείο της
γραφικής παράστασης της f που να βρίσκεται πάνω από τον
άξονα x x
80 Δίνεται η συνάρτηση 2log 11 9 18 2log 1 f x x x x
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της
β) Να βρείτε τα σημεία στα οποία η γραφική παράσταση της f τέμνει τους άξονες
81 Δίνεται η συνάρτηση log log 1f x x
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f
β) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τον άξονα χ΄χ
γ) Να λύσετε την ανίσωση 0f x
δ) Να αποδείξετε ότι 3 101 2 1001 10001 log18f f f
14 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
82 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = ln(ex - 1)
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f
β) Να βρείτε τα διαστήματα που η γραφική παράσταση της συνάρτησης f βρίσκεται πάνω από
τον άξονα χ χ
γ) Να συγκρίνετε τους αριθμούς f(ln2) και f(l)
δ) Να λυθεί η εξίσωση f(2x)-f(x) = f(1)
83 Δίνεται η συνάρτηση f(x)=ln(ex-2)-ln(ex-1)
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f
β) Να αποδείξετε ότι f(x)=ln (1-1
1xe
)
γ) Να λύσετε την εξίσωση f(x)=-ln2
δ) Nα αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f δεν τέμνει την ευθεία με εξίσωση y=x
84 Δίνονται οι συναρτήσεις f g με τύπους f(x) = ln(ex minus 1 ) και g(x) = ln(ex + 2)
α Να βρείτε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων f και g
β Να συγκρίνετε τις τιμές f(ln2) και g( minus1)
γ Να λύσετε την εξίσωση x + f(x) = ln2 + g(x)
85 Έστω η συνάρτηση f(x) = k +log(x2-3) k
α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f
β) Να υπολογίσετε την τιμή του k ώστε f(2)= log100
γ) Για k=2
i Nα βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με την ευθεία
1
log1000
y
i i Nα λυθεί η ανίσωση f(x) gt2
86 Δίνονται οι συναρτήσεις 22log 2 1 log 3 2f x x x x και log 4 3 logg x x x
α) Να βρείτε το πεδίο των συναρτήσεων fg
β) Να βρείτε τα σημεία τομής των γραφικών τους παραστάσεων
γ) Να λύσετε τις εξισώσεις i 0f x και ii 0g x
δ) Να αποδείξετε ότι 2 2log 2 1g
87 Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο 1 1
f(x)= +1+lnx 1-lnx
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού Α της συνάρτησης
β) Να αποδείξετε ότι για κάθε xΑ ισχύει 1
f(x)=fx
γ) Να λύσετε την ανίσωση 1
f(x)+f gt4x
88 Α Να λύσετε την εξίσωση y3 + y - 2 = 0 (1)
15 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
Β Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f (x) = 27x + 1
2middot 12x lnα2 -2∙8x lnα διέρχεται από
την αρχή των αξόνων
α να αποδείξετε ότι α = e
β να βρείτε το διάστημα που η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τον άξονα xx
89 Δίνονται τα πολυώνυμα Ρ(x) = (α - ln2)x3 - (2e - β)x + 3
ln2
Q(x) = (1 ndash lnβ)x3 - (2e - 2)x + 3
ln2
Αν τα πολυώνυμα Ρ(x) και Q(x) είναι ίσα
α Να βρείτε τα α και β
β να αποδείξετε ότι Ρ(-1)gt0
90 Έστω το πολυώνυμο Ρ(x) = x3lnα + (2 - lnα)x2 + αlnβx +1 έχει θετικούς ακέραιους συντελεστές
και αρνητική ακέραια ρίζα
α Να βρείτε τα α και β
β Για α = e και β = 1 να βρείτε τα διαστήματα του x που η γραφική παράσταση της συνάρτησης
f(x) = P(ex) βρίσκεται κάτω από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης g(x) = ex + 3
91 Δίνεται η συνάρτηση f(x)= αlnx +β
α) Να βρείτε τις τιμές των α β R αν γνωρίζετε ότι η γραφική της παράσταση
διέρχεται από τα σημεία Α(10) και B(e2)
β) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f
γ) Να λυθεί η εξίσωση f(x)+f(2x)=61n2
δ) Να λυθεί η ανίσωση f(2x+1)gt f(x)
ε) Να λυθεί το σύστημα x y
f (x) f (y) 2
e e
92 Έστω η συνάρτηση f (x) = x -1 + 2ln(αx) x gt0
Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f διέρχεται από το σημείο Α(1 0)
α) να βρείτε το α
β) να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο (0+)
γ) να λύσετε την ανίσωση f(x) gt 0
93 Δίνεται η συνάρτηση 2
1( )
1
nxf x
n x
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f(x)
β) Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τον χ΄χ
γ) Να βρείτε τα σημεία τομής της Cf με την ευθεία y =1
94 Δίνεται η f( x ) = log ( 102x ndash 10x )
α) Να δειχθεί ότι το πεδίο ορισμού της f είναι το Α=( 0 + )
β) Να δειχθεί ότι f( x ) = x + log ( 10x ndash 1 )
γ) Να λυθεί η εξίσωση f( x ) = x
δ) Να λυθεί η ανίσωση f( x ) le x + 2log 2
16 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
95 Δίνεται η συνάρτηση 2( ) 5 6
x xf x n e e
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f(x)
β) Να λύσετε την ανίσωση ( ) 2f x n
γ) Να λύσετε την εξίσωση ( ) 2 f x x n
96 Δίνεται η συνάρτηση f(x)=ln(3e2xshyex-2)
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f
β) Να βρείτε την τεταγμένη του σημείου της γραφικής παράστασης με τετμημένη ln2 και να
βρείτε τη θέση του σημείου ως προς τον άξονα χ΄χ
γ) Να λυθεί η εξίσωση f(x)=3x ως προς x
97 Δίνεται η συνάρτηση 1
( )1
x
x
ef x a
e που η γραφική της παράσταση διέρχεται από το σημείο
A(ln2 3)
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f
β) Να αποδείξετε ότι α = 1
γ) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι περιττή
δ) Να λυθεί η ανίσωση f(x) gt 2
98 Δίνεται η συνάρτηση
11 2log( 1)
log( 1) 2( ) 10 100 80x
xf x
α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της
β) Να λυθεί η εξίσωση f(x) = 10
γ) Να βρείτε τα κοινά σημεία της ψ = f(x) με την ευθεία ψ = x-20
99 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = α + ln(ex - 2)
Α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f
Β) Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f διέρχεται από το σημείο A(ln3 1) middot
α) να αποδείξετε ότι α = 1
β) να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τον άξονα xx
γ) να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα
100 Δίνεται η συνάρτηση
ln 3 11( )
ln 5
xf x
x
α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της
β) Να λυθεί η εξίσωση f(x) = 2
γ) Αν x gt 6 να λύσετε την ανίσωση f(x) gt 1
101 Δίνεται η συνάρτηση ln 1
( )ln 2
xg x
x
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης ( ) ( )f x g x
β) Να βρείτε αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f τέμνει και σε ποια σημεία τους
άξονες χ΄χ και y΄y
γ) Να λύσετε την εξίσωση ( ) 1x
f e
17 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
102 Δίνεται η συνάρτηση f(x)=2(x-1)+lnx
α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της
β) Να δείξετε ότι το 1 είναι ρίζα της εξίσωσης f(x)=0
γ) Να λυθεί η εξίσωση f(x)=2(x-1)+(lnx)2
103 α) Δίνεται η συνάρτηση f (x) = 3x + 2x + lnx ndash 5Να βρείτε το f(1) και να δείξετε ότι η f είναι
γνησίως αύξουσα
β) Να λύσετε την εξίσωση 2x+ lnx = 5-3x
γ) Να λύσετε την ανίσωση 3x + lnx lt 5-2x
104 Δίνεται η συνάρτηση f (x) = 2ln 1 x x
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f
β) Να δείξετε ότι για κάθε x R f(x) + f(- x) = 0 και ότι η συνάρτηση f είναι περιττή
γ) Να συγκρίνετε τους αριθμούς f(0) και f(- 1)
δ) Να λύσετε την ανίσωση f(ex) gt x + ln3
105 Δίνεται η συνάρτηση 3
ln3
xf x
x
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f
β) Να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι περιττή
γ) Να συγκρίνετε τους αριθμούς f(0) και 1
3f
δ) Να λύσετε την εξίσωση 1 0f x f x
106 Δίνονται οι συναρτήσεις 2
2
100 10( ) ( )
10100
x xf x og g x og
xx
α) Να δείξετε ότι η f είναι άρτια και η g περιττή
β) Να βρείτε τα κοινά σημεία των γραφικών τους παραστάσεων
γ) Να λυθεί η ανισότητα f(x)gt0
107 Δίνεται η συνάρτηση f (x) = ln 9 3 x x xe
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f
β) Να δείξετε ότι f(1)lt0
γ) Να βρείτε τα διαστήματα του x που η Cf είναι πάνω από την ευθεία ε y= 2x + ln2
108 Δίνεται η συνάρτηση f (x) = 2x + 6x - 40
α) Να βρείτε το f(4)
β) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα
γ) Να λύσετε την εξίσωση f(x) =0
109 Έστω η συνάρτηση f (x) = 3x + 2ex-κ -1 που η γραφική της παράσταση διέρχεται από το
σημείο Α(0 1)
α) Να βρείτε το κ
β) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα
γ) Να λύσετε την εξίσωση 3x + 2ex = 2
δ) Να λύσετε την ανίσωση 3x + 2ex gt 2
18 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
110 Δίνεται η συνάρτηση f (x) = (ln 1)x
a
α) Να βρείτε τις τιμές του α για τις οποίες
i η συνάρτηση f ορίζεται σε όλο το R
ii η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα
β) Για α = e3 να λύσετε την εξίσωση ln 2 ln 1 f εφx f σφx
111 Δίνεται η συνάρτηση 1
ln5
x
f x
α) Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες η συνάρτηση f ορίζεται σε όλο το
β) Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα
στο
γ) Αν 11 να λύσετε την εξίσωση f f 1 6x x
112 Δίνεται η συνάρτηση f με f(x) = x + ln(ex - 3)
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της
β) Να δείξετε ότι f(ln4) lt f(ln5)
γ) Να λύσετε την ανίσωση f(x) gt lη2 + ln(ex - 2)
113 Δίνεται η συνάρτηση ( ) ln( 1) x
f x x e
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της
β) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα
γ) Να συγκρίνετε τους αριθμούς log 2f και log5f
δ) Να βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f και της ευθείας
ln 2y
114 Δίνεται η συνάρτηση 4 2
log 8 log log 100 0f x x x x x
α) Αν f(10)=25 να δείξετε ότι α = 1
β) Για την τιμή α = 1 να
i δείξετε ότι η f(x) γράφεται στη μορφή 2
2log 4 logf x x x
ii να λύσετε την εξίσωση f(x) = 0
115 Δίνονται οι συναρτήσεις ln x
f x e e και 1ln 2 2
xg x e
α) Να βρείτε το πεδίο των συναρτήσεων fg
β) Να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των fg δεν τέμνονται
γ) Να λύσετε την ανίσωση 1f x
116 Δίνονται οι συναρτήσεις x xf(x) ln e e
και x
g(x) ln ln e
α) Να βρείτε τα πεδία ορισμού των f(x) και g(x)
β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = g(x)
γ) Να λύσετε την ανίσωση f(x) gt 2g(x
117 Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) = ln(e2x-ex-2) και g(x) = ln2+ln(ex-l)
α) Να βρείτε τα πεδία ορισμού των f(x) και g(x)
β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = g(x)
γ) Να λύσετε την ανίσωση f(x) gt g(x)
19 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
118 Δίνεται η συνάρτηση 2
1ln
5
x
x
ef x
e
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f(x)
β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = 2ln2
γ) Να λύσετε την ανίσωση f(x) gt 0
119 Έστω η συνάρτηση f(x) = log(225x-54x) και η ευθεία ε y = x + log3
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f
β) Να βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της f και της ευθείας ε
γ) Να δείξετε ότι το σημείο Α3 3
2 2
f βρίσκεται πάνω από το σημείο Β με τετμημένη 3
2
της ευθείας ε
120 Δίνονται οι συναρτήσεις ( ) ln 2 3 xf x και ( ) ln(2 3) xg x
α) Να βρείτε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων f και g
β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = g(x)
γ) Να συγκρίνετε τους αριθμούς f(3) και g(3)
121 α) Να δείξετε ότι ln ln a για κάθε α β gt 0
β) Να λυθεί η ανίσωση 1
lnln 22 2 1
xx
γ) Έστω η συνάρτηση f(x) = ln xa Να βρείτε το α ώστε 5f (3) - 3f (5) gt 0
122 Δίνεται το πολυώνυμο 2 1 4 3 2 2( ) 1 ln ln 1f x e x x x x θ (0 π) το
οποίο είναι 3ου βαθμού και διαιρείται με το x-1
α) Να αποδείξετε ότι θ = 2
3
και κ =
1
e
β) Να αποδείξετε ότι το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης [f(x)x2] είναι το ίδιο
γ) Να βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της πολυωνυμικής συνάρτησης f(x)
με την ευθεία (ε) y = 5x-5
ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ
123 Δίνεται το σύστημα 2x y 7
7x 2y 11
α) Να βρείτε τη λύση (x0y0) του συστήματος
β) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης 2f (x) x x έχει κορυφή το σημείο Κ(x0y0)
i) να βρείτε τους αριθμούς β και γ
ii) να λύσετε την ανίσωση f (x) 0
iii) να λύσετε το σύστημα y f (x)
x y 6
20 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
124 Το σύστημα ( 1)x 8y 4
x ( 3)y 3 1
έχει τη μοναδική λύση (x0y0) για την οποία ισχύει
0 0x y 1
α) Να βρείτε τον αριθμό λ
β) Δίνεται η συνάρτηση 2f (x) x 2 x 6
i Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η Cf είναι πάνω από τον χ΄χ
iiΝα λύσετε το σύστημα y f (x)
2y f (x 1) 10x
125 Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f με f (x) = α + βσυν2x διέρχεται από τα σημεία
Α(0 1) και Β 24
π τότε
α) να βρείτε τα α και β
β) να βρείτε την f
γ) να δείξετε ότι η Cf έχει άξονα συμμετρίας τον yy
δ) να δείξετε ότι f (-x) - f4
πx = ημ2x - συν2x
126 Δίνεται το πολυώνυμο f (x) = 2x3 middot συν2θ - x3ημθ - x2 + 3eλ - 2
Αν το πολυώνυμο έχει παράγοντες τους x και x - 1
α) να βρείτε τους λ και θ θ [0 2
π]
β) να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του πολυωνύμου Ρ(x) με το x - 1 όπου
P(x) = x∙f(3x-2) + (2-3x)21
γ) να βρείτε τα διαστήματα που η γραφική παράσταση της συνάρτησης f βρίσκεται κάτω από
τον άξονα χ χ
127 Δίνεται η πολυωνυμική συνάρτηση f(x) = 8x3-4x2 + 2x-l
α) Αν το πολυώνυμο Ρ(x) έχει παράγοντα το x - συνθ θ 02
π να βρείτε το θ
β) Να λύσετε την ανίσωση f(lnx) lt 0
γ) Να βρείτε τα διαστήματα του χ που η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από την
ευθεία y = 10x - 5
128 Θεωρούμε το πολυώνυμο 3 2( ) ( ) 2 1P x x x x
α) Αν έχει παράγοντα το 2
1x να βρείτε τα και
β) Για τις τιμές των και που βρήκατε να λύσετε την ανίσωση ( ) 0P x
γ) Για τις ίδιες τιμές των και να λύσετε την εξίσωση ( ) 0P x
129 Δίνεται το πολυώνυμο 3 2 P x x x x α β Αν το υπόλοιπο της διαίρεσης
2 2P x x x είναι (x) 9x 3 τότε
α) να αποδείξετε ότι 3 και 3
β) να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της πολυωνυμικής συνάρτησης
P(x) βρίσκεται κάτω από τον άξονα xrsquox
21 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
γ) να λύσετε την ανίσωση 10 2 0xP
130 Δίνεται το πολυώνυμο P(x) = x4 +αx3 +βx2 ndash2x + 4 όπου α βIR Το P(x) έχει παράγοντα το
x ndash 1 και το υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x) με το x + 1 είναι το 6
α) Να δείξετε ότι α = ndash1 και β = ndash2
β) Να λύσετε την εξίσωση P(x) = 0
γ) Να λύσετε την ανίσωση P(x) gt 0
δ) Να λύσετε την εξίσωση συν4x ndashσυν3x + 2ημ2x ndash2συνx + 2 = 0 στο διάστημα [ndashπ
2 π)
131 Δίνεται το πολυώνυμο 3 2 1P x x x x που έχει παράγοντα το 1x και το
υπόλοιπο της διαίρεσης του με το 1x είναι 8
α) Να αποδείξετε ότι 2 και 7
β) Να λύσετε την ανίσωση 0x
γ) Αν 2
x
να λύσετε την εξίσωση 3 22 7 2 3 0
132 To πολυώνυμο f(x)=x3+2αx2-βx-1 έχει παράγοντα το x-1 και το υπόλοιπο της διαίρεσης
f (x) (x 1) είναι 4
α) Να βρείτε τις τιμές των α β R
β) Να βρεθούν τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της
f(x) βρίσκεται κάτω από τον άξονα χ΄χ
γ) Να λύσετε την εξίσωση 2x x1e e
2
133 Δίνεται το πολυώνυμο 3 22 7P x x x x το οποίο έχει παράγοντα το 1x και το
υπόλοιπο της διαίρεσης του με το 1x είναι 18
α) Να αποδείξετε ότι 7 και 2
β) Να λύσετε την εξίσωση 3 22 2 7 2 7 2 2 0x x x
γ) Να λύσετε την ανίσωση 2 8 7 4 7 2 2 0x x x
134 Δίνεται το πολυώνυμο 3 2( ) (log 2) log 0P x x x k x k k
α) Να αποδείξετε ότι το 1x είναι παράγοντας του ( )P x
β) Να βρείτε τις τιμές του k για τις οποίες το πολυώνυμο ( )P x έχει τρεις
πραγματικές ρίζες
γ) Για 10k να λύσετε
i την ανίσωση ( ) 0P x
ii την εξίσωση 2( ) [0 ]P x x x
135 Δίνεται το πολυώνυμο
4 3 22ln 1 2 0 0 x x x x x x
α) Αν το πολυώνυμο x είναι 3ου βαθμού και έχει παράγοντα το 1x να βρεθούν τα
β) Αν 3 2 1x x x x x να βρεθούν οι τιμές του x για τις οποίες ισχύει
0x
22 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
γ) Να λυθούν
i η εξίσωση 2 0 0 ό
ii η ανίσωση 2 ln 0
136 Δίνεται η συνάρτηση log 2 4 5 2 2x xf x
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f
β) Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τον
άξονα χ΄χ
γ) Να λύσετε στο διάστημα 0 2 την εξίσωση 2 0f x
137 Έστω η συνάρτηση ( ) ln 2 xf x ημ
α) Να αποδείξετε ότι η f είναι περιττή
β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = 0 στο (- π π)
138 Έστω η συνάρτηση f(x) = ημx + ex - 1
α) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο Α= 2 2
π π
β) Να βρείτε το f(0)
γ) Να λύσετε
i την εξίσωση ημx + ex=1 στο 2 2
π π
ii την ανίσωση ημx + ex lt1 στο 2 2
π π
139 Έστω η συνάρτηση f (x) = (3 ndash 2lnα)x
α) Να βρείτε το α ώστε η συνάρτηση f να ορίζεται σε όλο το R
β) Να βρείτε το α ώστε η συνάρτηση f να είναι γνησίως φθίνουσα
γ) Για α = e να λύσετε την εξίσωση f(2συν2θ)-f(2ημ2θ) = 3
140 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = (2lnα - 1)x
α) Να βρείτε τις τιμές του α R για τις οποίες η συνάρτηση f ορίζεται σε όλο το R
β) Να βρείτε τις τιμές του α R για τις οποίες η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα
γ) Αν α = e2 να βρείτε το θ ώστε 2 2 2 4( ) ( )
3 f συν θ ημ θ f συν θ
141 Δίνεται η συνάρτηση 2
log logf x x x
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f
β) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τον άξονα χ΄χ
γ) Να λύσετε την εξίσωση 0f x
δ) Αν για τους θετικούς αριθμούς α β με ισχύει ότι f f να αποδείξετε ότι
10000
142 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = log(4x ndash 2)
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f και να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f έχει
μοναδικό κοινό σημείο με την ευθεία y = 1 ndash log5
23 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
β) Να λύσετε την ανίσωση 1
-12
4 64 - 2 0
5 5
xx
γ) Να λύσετε την εξίσωση f(x) + f(2
x) = 1 + log
1-
124 6
4 - 25 5
xx
δ) Να λύσετε την εξίσωση ημ2x = f(5
2) + f(1) ndash f(
3
2)
143 Δίνεται το πολυώνυμο 1
4 2 1 3 225 2 3 25 1 λf x x x x x
α) Αν το (x ndash 1) είναι παράγοντας του f(x) να βρείτε το λ
β) Για 1
2
i να δείξετε ότι το (x -1)2 είναι παράγοντας του f(x)
ii να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τον
άξονα x΄x
144 Δίνεται το πολυώνυμο Ρ(x) = (21lnκ - 1)x4 + x3 + (e - 1)x2 ndash e∙x +1 + 2ημθ θ (0 2π)
Αν το πολυώνυμο Ρ(x) είναι 3ου βαθμού και έχει παράγοντα το x - 1
α) να βρείτε τα κ και θ
β) να λύσετε την ανίσωση Ρ(x) lt 0
γ) να βρείτε τα διαστήματα που η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) με
f(x) = e3x+(e-1)e2x-ex+1 βρίσκεται κάτω από τον άξονα χ χ
145 Δίνεται η συνάρτηση ln ln 3
( )ln ln
x
f x
με 3lt α lt β η οποία είναι γνησίως φθίνουσα στο
σύνολο των πραγματικών αριθμών
α) Να συγκρίνετε τους αριθμούς ln και ln
β) Να αποδείξετε ότι 23
γ) Αν 6 και 24 τότε
i) να αποδείξετε ότι 1
( )2
x
f x
ii) να αποδείξετε ότι για κάθε ισχύει η ανισότητα 22
f f f
δ)Να λυθεί η εξίσωση 2 2( ) ( ) 3f x f x
146 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x - 1 + lnx x gt 0
α) Να δείξετε ότι για κάθε x με 0 lt x lt 1 f(x) lt 0
β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = x-1-ln2x
γ) Να λύσετε την ανίσωση f (ex) gt x + 2x -1
δ) Να δείξετε ότι για κάθε θ 02
lne
147 Δίνεται το πολυώνυμο f(x) όπου f(x) = x3-2x2lnα2 + 5xlnα-2 αgt0
α) Αν το x-1 είναι παράγοντας του f(x) τότε να βρείτε το α
β) Για α = e
24 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
i να δείξετε ότι το (x-1)2 είναι παράγοντας του πολυωνύμου f(x)
ii να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της πολυωνυμικής
συνάρτησης f(x) βρίσκεται κάτω από τον άξονα χ χ
148 Έστω η συνάρτηση f(x) = ln(2 - ex)
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f
β) Έστω ότι ο αριθμοί α = 2x β = f(x) γ = ln4 είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου
i Να βρείτε το x
ii Αν ο αριθμός α είναι ο 3ος όρος της αριθμητικής προόδου να βρείτε ποιος όρος της προόδου
ισούται με 2ln2 + 5ln3
149 Δίνεται το πολυώνυμο Ρ(x) = x3 +x2 + x + 2λ2 ndashλ +1
α) Να αποδείξετε ότι η διαίρεση Ρ(x) (x -1 ) δεν είναι τέλεια
β) Αν υ(λ) το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ(x) (x -1 ) να βρεθεί το λ ώστε το υ(λ) να γίνεται
ελάχιστο και την ελάχιστη τιμή του υ(λ)
γ) Για την τιμή του λ που το υ(λ) γίνεται ελάχιστο
i να λύσετε την εξίσωση 425x-2λ-16x-2λ=48λx
ii να λύσετε την εξίσωση
2ln x 1ln
21
4 5 x2
αφού πρώτα αποδείξετε ότι
ln x ln 22 x
δ) Να λύσετε την ανίσωση 8 x 4 x 4 x 1 4 x 13 9 11 4 4
150 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = log(e2x-kex +λ) με f(0) = log2 f(ln6) = log12
α) Να δείξετε ότι κ = 5 και λ = 6
β) Αν κ = 5 και λ = 6
i Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f
ii Να λυθεί η εξίσωση f(x) = 1minuslog(ex + 1)
iii Να δείξετε ότι οι αριθμοί f(ln5)minusf(0) f(ln5) f(ln6) είναι διαδοχικοί όροι
αριθμητικής προόδου
151 Αν το πολυώνυμο f(x) = x3 + 2αx2 - βx - 1 έχει παράγοντα το x - 1 και το υπόλοιπο της
διαίρεσης Ρ(x)(x + 1) είναι 4
α) να βρείτε τους α και β
β) να λύσετε την εξίσωση 2συν4
βx- 2ημ2 x
2
= -2
γ) να βρείτε το ελάχιστο πλήθος των πρώτων όρων της αριθμητικής προόδου (αν) με α1 = α και
ω = β που απαιτούνται ώστε το άθροισμα τους να ξεπερνάει το 150
δ) να λύσετε την εξίσωση β2lnx =5 + 4∙xln2α
152 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) = x3+λx2+23x-15 (λR ) διέρχεται από το σημείο
Α(10)
α) Να βρεθεί ο λ R
β) Για ποιες τιμές του xR η ψ = f(x) βρίσκεται κάτω από τον άξονα x΄x
γ) οι τετμημένες των σημείων στα οποία η ψ = f(x) τέμνει τον άξονα x΄x είναι κατά αύξουσα
τάξη οι 3 πρώτοι όροι μιας προόδου Αν το άθροισμα των ν πρώτων όρων της είναι 400 να
βρεθεί ο ν
25 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
153 α) Έστω η συνάρτηση f (x) = 2 middot 3x + 3x - 24
i να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα και να βρείτε το f(2)
ii να λύσετε την εξίσωση f(x) = 0
β) Δύο κοινωνίες βακτηριδίων Α και Β έχουν αρχικά 24 και 2 βακτηρίδια αντίστοιχα
Η κοινωνία των βακτηριδίων Α μειώνεται σε αριθμό κάθε μια ώρα κατά 3 βακτηρίδια
Η κοινωνία των βακτηριδίων Β τριπλασιάζεται κάθε μία ώρα Να βρείτε μετά από πόσες
ώρες οι κοινωνίες των βακτηριδίων θα έχουν τον ίδιο αριθμό βακτηριδίων
11 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
α) με τον άξονα y΄y
β) με την ευθεία y=2
ii Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της συνάρτησης P(x)
είναι πάνω από την ευθεία y=2
65 α) Να λυθεί η εξίσωση y6-3y2+2 = 0
β) Να λυθεί η εξίσωση ημ6x = 1 - 3συν2x
66 Δίνεται η συνάρτηση f(x) =3
32 3
xx
x
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f
β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) =3
67 Αν το πολυώνυμο Ρ(x) = (3α - 1)x3 + x2ημπθ +1 θ (0 1) έχει θετικούς ακέραιους
συντελεστές και αρνητική ακέραια ρίζα
α να βρείτε τα θ και α
β για α = 1 και θ = 12 να βρείτε το λ ώστε το Ρ(x) να έχει παράγοντα το x + λ
ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ-ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
68 Δίνεται η συνάρτηση 1
( ) 3
x
f x
όπου x πραγματικός αριθμός
α) Να βρείτε για ποιες τιμές του ορίζεται η ( )f x
β) Να βρείτε για ποιες τιμές του η ( )f x είναι γνησίως αύξουσα
γ) Αν 7 να λύσετε την εξίσωση ( ) (2 ) 2f x f x
69 Να προσδιορισθεί ο αR ώστε η συνάρτηση 1 2
( )3
x
f x
α) να ορίζεται σε όλο το R
β) να είναι γνησίως αύξουσα στο R
γ) να είναι γνησίως φθίνουσα στο R
δ) να είναι 1-1
70 Δίνεται η συνάρτηση ( )1
x
f x
για κάθε x
α) Να βρείτε τις τιμές του ώστε η συνάρτηση f να είναι γνησίως αύξουσα
β) Αν η f είναι γνησίως αύξουσα και (2) 4f
i Nα υπολογίσετε το α
ii Για 2a να λύσετε την ανίσωση ( 1) 8f x
71 Δίνεται η συνάρτηση 6
( )4 9
x
x xf x
για κάθε x
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f
β) Nα αποδείξετε ότι η f είναι άρτια
12 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
γ) Να λυθεί η εξίσωση 12
( ) (0)13
f x f
72 Δίνεται η συνάρτηση ( ) 3 2 3 2x x
f x για κάθε x
α) Να αποδείξετε ότι η f είναι περιττή
β) Nα λυθεί η εξίσωση ( ) 4 6f x
γ) Να βρείτε τα διαστήματα του x για τα οποία η γραφική παράσταση της ( ) ( 2014)g x f x
δεν βρίσκεται πάνω από τον άξονα χ΄χ
73 Δίνεται η συνάρτηση 1 2
2 2 24( )
4 6 2 8
x x
x xf x
για κάθε x
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f
β) Nα δείξετε ότι 6
( ) 122 2
xf x x R
γ) Nα λυθεί η ανίσωση 3
( )7
f x
δ) Να βρείτε τις τιμές του έτσι ώστε η συνάρτηση ( ) ( )x
g x f a να είναι σταθερή στο
R
ε) Να λυθεί η εξίσωση h(x)+3h(x+1)=-f(3) όπου 6
( )( )
h xf x
74 Δίνεται η συνάρτηση 2
( )1
x
f x
α) Να μελετηθεί η f ως προς την μονοτονία για τις διάφορες τιμές του
β) Αν λ=1 να λυθεί η ανίσωση 2
2
2( )
3 4 2f x
γ) Αν 1 1
3 3
να λυθεί η ανίσωση 2 1(e 2 ) ( 2 )
x x x xf f e
δ) Να βρείτε τις τιμές το λ αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f διέρχεται από το σημείο
Α(f(0)3)
ε) Για λ=0 να βρείτε τα σημεία τομής των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων g και
h όπου ( ) 3 ( 1) 4g x f x ( ) (2 3) 5h x f x
στ) Για λ=0 να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης 2
( 4)( ( ) 4)(x)
(3 3 )( ( ) 2)x
x f x
e f x
75 Δίνεται η συνάρτηση ln3
f x x k
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της
β) Αν 2
ln 16
f
να βρείτε το k
γ) Αν 1k τότε
i να λύσετε την εξίσωση ln 2ln 2 ln36
x f f
13 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
ii να λύσετε την εξίσωση 1 1f x f x
e e
76 Δίνεται η συνάρτηση 1 ln 0 f x x x x
α) Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης f τέμνει τον άξονα
x΄x στο σημείο 10A
β) Να λύσετε την ανίσωση 2 51
x xf e e x
γ) Αν 0 1 x να δείξετε ότι 0f x
δ) Να δείξετε ότι για κάθε 02
ισχύει ότι ln
e
77 Δίνεται η συνάρτηση 2
2
x 68f (x) ln
100 x
α Να βρείτε το πεδίο ορισμού της
β Να λύσετε την εξίσωση f (x)e log50 log5
γ Να λύσετε την ανίσωση f(x) ge 0
78 Δίνεται η συνάρτηση 21( ) 2ln 4ln 1 0
4f x x a x a a
α Να βρεθεί ο πραγματικός αριθμός α ώστε η εξίσωση f(x)=0 να έχει διπλή ρίζα
β Να λυθεί η εξίσωση 2(0) ln 2ln 4f a a
γ Να λυθεί η ανίσωση 2( 2)ln( 2 )
8
afa e a a
79 Δίνεται η συνάρτηση 2x xf x ln e 4e 3 της οποίας η
γραφική παράσταση φαίνεται στο διπλανό σχήμα
α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της f
β) Να βρεθεί το σημείο τομής της γραφικής παράστασης της f
με τον άξονα x x
γ) Να δικαιολογήσετε (αλγεβρικά) γιατί δεν υπάρχει σημείο της
γραφικής παράστασης της f που να βρίσκεται πάνω από τον
άξονα x x
80 Δίνεται η συνάρτηση 2log 11 9 18 2log 1 f x x x x
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της
β) Να βρείτε τα σημεία στα οποία η γραφική παράσταση της f τέμνει τους άξονες
81 Δίνεται η συνάρτηση log log 1f x x
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f
β) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τον άξονα χ΄χ
γ) Να λύσετε την ανίσωση 0f x
δ) Να αποδείξετε ότι 3 101 2 1001 10001 log18f f f
14 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
82 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = ln(ex - 1)
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f
β) Να βρείτε τα διαστήματα που η γραφική παράσταση της συνάρτησης f βρίσκεται πάνω από
τον άξονα χ χ
γ) Να συγκρίνετε τους αριθμούς f(ln2) και f(l)
δ) Να λυθεί η εξίσωση f(2x)-f(x) = f(1)
83 Δίνεται η συνάρτηση f(x)=ln(ex-2)-ln(ex-1)
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f
β) Να αποδείξετε ότι f(x)=ln (1-1
1xe
)
γ) Να λύσετε την εξίσωση f(x)=-ln2
δ) Nα αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f δεν τέμνει την ευθεία με εξίσωση y=x
84 Δίνονται οι συναρτήσεις f g με τύπους f(x) = ln(ex minus 1 ) και g(x) = ln(ex + 2)
α Να βρείτε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων f και g
β Να συγκρίνετε τις τιμές f(ln2) και g( minus1)
γ Να λύσετε την εξίσωση x + f(x) = ln2 + g(x)
85 Έστω η συνάρτηση f(x) = k +log(x2-3) k
α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f
β) Να υπολογίσετε την τιμή του k ώστε f(2)= log100
γ) Για k=2
i Nα βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με την ευθεία
1
log1000
y
i i Nα λυθεί η ανίσωση f(x) gt2
86 Δίνονται οι συναρτήσεις 22log 2 1 log 3 2f x x x x και log 4 3 logg x x x
α) Να βρείτε το πεδίο των συναρτήσεων fg
β) Να βρείτε τα σημεία τομής των γραφικών τους παραστάσεων
γ) Να λύσετε τις εξισώσεις i 0f x και ii 0g x
δ) Να αποδείξετε ότι 2 2log 2 1g
87 Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο 1 1
f(x)= +1+lnx 1-lnx
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού Α της συνάρτησης
β) Να αποδείξετε ότι για κάθε xΑ ισχύει 1
f(x)=fx
γ) Να λύσετε την ανίσωση 1
f(x)+f gt4x
88 Α Να λύσετε την εξίσωση y3 + y - 2 = 0 (1)
15 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
Β Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f (x) = 27x + 1
2middot 12x lnα2 -2∙8x lnα διέρχεται από
την αρχή των αξόνων
α να αποδείξετε ότι α = e
β να βρείτε το διάστημα που η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τον άξονα xx
89 Δίνονται τα πολυώνυμα Ρ(x) = (α - ln2)x3 - (2e - β)x + 3
ln2
Q(x) = (1 ndash lnβ)x3 - (2e - 2)x + 3
ln2
Αν τα πολυώνυμα Ρ(x) και Q(x) είναι ίσα
α Να βρείτε τα α και β
β να αποδείξετε ότι Ρ(-1)gt0
90 Έστω το πολυώνυμο Ρ(x) = x3lnα + (2 - lnα)x2 + αlnβx +1 έχει θετικούς ακέραιους συντελεστές
και αρνητική ακέραια ρίζα
α Να βρείτε τα α και β
β Για α = e και β = 1 να βρείτε τα διαστήματα του x που η γραφική παράσταση της συνάρτησης
f(x) = P(ex) βρίσκεται κάτω από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης g(x) = ex + 3
91 Δίνεται η συνάρτηση f(x)= αlnx +β
α) Να βρείτε τις τιμές των α β R αν γνωρίζετε ότι η γραφική της παράσταση
διέρχεται από τα σημεία Α(10) και B(e2)
β) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f
γ) Να λυθεί η εξίσωση f(x)+f(2x)=61n2
δ) Να λυθεί η ανίσωση f(2x+1)gt f(x)
ε) Να λυθεί το σύστημα x y
f (x) f (y) 2
e e
92 Έστω η συνάρτηση f (x) = x -1 + 2ln(αx) x gt0
Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f διέρχεται από το σημείο Α(1 0)
α) να βρείτε το α
β) να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο (0+)
γ) να λύσετε την ανίσωση f(x) gt 0
93 Δίνεται η συνάρτηση 2
1( )
1
nxf x
n x
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f(x)
β) Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τον χ΄χ
γ) Να βρείτε τα σημεία τομής της Cf με την ευθεία y =1
94 Δίνεται η f( x ) = log ( 102x ndash 10x )
α) Να δειχθεί ότι το πεδίο ορισμού της f είναι το Α=( 0 + )
β) Να δειχθεί ότι f( x ) = x + log ( 10x ndash 1 )
γ) Να λυθεί η εξίσωση f( x ) = x
δ) Να λυθεί η ανίσωση f( x ) le x + 2log 2
16 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
95 Δίνεται η συνάρτηση 2( ) 5 6
x xf x n e e
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f(x)
β) Να λύσετε την ανίσωση ( ) 2f x n
γ) Να λύσετε την εξίσωση ( ) 2 f x x n
96 Δίνεται η συνάρτηση f(x)=ln(3e2xshyex-2)
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f
β) Να βρείτε την τεταγμένη του σημείου της γραφικής παράστασης με τετμημένη ln2 και να
βρείτε τη θέση του σημείου ως προς τον άξονα χ΄χ
γ) Να λυθεί η εξίσωση f(x)=3x ως προς x
97 Δίνεται η συνάρτηση 1
( )1
x
x
ef x a
e που η γραφική της παράσταση διέρχεται από το σημείο
A(ln2 3)
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f
β) Να αποδείξετε ότι α = 1
γ) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι περιττή
δ) Να λυθεί η ανίσωση f(x) gt 2
98 Δίνεται η συνάρτηση
11 2log( 1)
log( 1) 2( ) 10 100 80x
xf x
α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της
β) Να λυθεί η εξίσωση f(x) = 10
γ) Να βρείτε τα κοινά σημεία της ψ = f(x) με την ευθεία ψ = x-20
99 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = α + ln(ex - 2)
Α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f
Β) Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f διέρχεται από το σημείο A(ln3 1) middot
α) να αποδείξετε ότι α = 1
β) να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τον άξονα xx
γ) να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα
100 Δίνεται η συνάρτηση
ln 3 11( )
ln 5
xf x
x
α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της
β) Να λυθεί η εξίσωση f(x) = 2
γ) Αν x gt 6 να λύσετε την ανίσωση f(x) gt 1
101 Δίνεται η συνάρτηση ln 1
( )ln 2
xg x
x
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης ( ) ( )f x g x
β) Να βρείτε αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f τέμνει και σε ποια σημεία τους
άξονες χ΄χ και y΄y
γ) Να λύσετε την εξίσωση ( ) 1x
f e
17 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
102 Δίνεται η συνάρτηση f(x)=2(x-1)+lnx
α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της
β) Να δείξετε ότι το 1 είναι ρίζα της εξίσωσης f(x)=0
γ) Να λυθεί η εξίσωση f(x)=2(x-1)+(lnx)2
103 α) Δίνεται η συνάρτηση f (x) = 3x + 2x + lnx ndash 5Να βρείτε το f(1) και να δείξετε ότι η f είναι
γνησίως αύξουσα
β) Να λύσετε την εξίσωση 2x+ lnx = 5-3x
γ) Να λύσετε την ανίσωση 3x + lnx lt 5-2x
104 Δίνεται η συνάρτηση f (x) = 2ln 1 x x
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f
β) Να δείξετε ότι για κάθε x R f(x) + f(- x) = 0 και ότι η συνάρτηση f είναι περιττή
γ) Να συγκρίνετε τους αριθμούς f(0) και f(- 1)
δ) Να λύσετε την ανίσωση f(ex) gt x + ln3
105 Δίνεται η συνάρτηση 3
ln3
xf x
x
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f
β) Να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι περιττή
γ) Να συγκρίνετε τους αριθμούς f(0) και 1
3f
δ) Να λύσετε την εξίσωση 1 0f x f x
106 Δίνονται οι συναρτήσεις 2
2
100 10( ) ( )
10100
x xf x og g x og
xx
α) Να δείξετε ότι η f είναι άρτια και η g περιττή
β) Να βρείτε τα κοινά σημεία των γραφικών τους παραστάσεων
γ) Να λυθεί η ανισότητα f(x)gt0
107 Δίνεται η συνάρτηση f (x) = ln 9 3 x x xe
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f
β) Να δείξετε ότι f(1)lt0
γ) Να βρείτε τα διαστήματα του x που η Cf είναι πάνω από την ευθεία ε y= 2x + ln2
108 Δίνεται η συνάρτηση f (x) = 2x + 6x - 40
α) Να βρείτε το f(4)
β) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα
γ) Να λύσετε την εξίσωση f(x) =0
109 Έστω η συνάρτηση f (x) = 3x + 2ex-κ -1 που η γραφική της παράσταση διέρχεται από το
σημείο Α(0 1)
α) Να βρείτε το κ
β) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα
γ) Να λύσετε την εξίσωση 3x + 2ex = 2
δ) Να λύσετε την ανίσωση 3x + 2ex gt 2
18 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
110 Δίνεται η συνάρτηση f (x) = (ln 1)x
a
α) Να βρείτε τις τιμές του α για τις οποίες
i η συνάρτηση f ορίζεται σε όλο το R
ii η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα
β) Για α = e3 να λύσετε την εξίσωση ln 2 ln 1 f εφx f σφx
111 Δίνεται η συνάρτηση 1
ln5
x
f x
α) Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες η συνάρτηση f ορίζεται σε όλο το
β) Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα
στο
γ) Αν 11 να λύσετε την εξίσωση f f 1 6x x
112 Δίνεται η συνάρτηση f με f(x) = x + ln(ex - 3)
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της
β) Να δείξετε ότι f(ln4) lt f(ln5)
γ) Να λύσετε την ανίσωση f(x) gt lη2 + ln(ex - 2)
113 Δίνεται η συνάρτηση ( ) ln( 1) x
f x x e
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της
β) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα
γ) Να συγκρίνετε τους αριθμούς log 2f και log5f
δ) Να βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f και της ευθείας
ln 2y
114 Δίνεται η συνάρτηση 4 2
log 8 log log 100 0f x x x x x
α) Αν f(10)=25 να δείξετε ότι α = 1
β) Για την τιμή α = 1 να
i δείξετε ότι η f(x) γράφεται στη μορφή 2
2log 4 logf x x x
ii να λύσετε την εξίσωση f(x) = 0
115 Δίνονται οι συναρτήσεις ln x
f x e e και 1ln 2 2
xg x e
α) Να βρείτε το πεδίο των συναρτήσεων fg
β) Να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των fg δεν τέμνονται
γ) Να λύσετε την ανίσωση 1f x
116 Δίνονται οι συναρτήσεις x xf(x) ln e e
και x
g(x) ln ln e
α) Να βρείτε τα πεδία ορισμού των f(x) και g(x)
β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = g(x)
γ) Να λύσετε την ανίσωση f(x) gt 2g(x
117 Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) = ln(e2x-ex-2) και g(x) = ln2+ln(ex-l)
α) Να βρείτε τα πεδία ορισμού των f(x) και g(x)
β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = g(x)
γ) Να λύσετε την ανίσωση f(x) gt g(x)
19 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
118 Δίνεται η συνάρτηση 2
1ln
5
x
x
ef x
e
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f(x)
β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = 2ln2
γ) Να λύσετε την ανίσωση f(x) gt 0
119 Έστω η συνάρτηση f(x) = log(225x-54x) και η ευθεία ε y = x + log3
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f
β) Να βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της f και της ευθείας ε
γ) Να δείξετε ότι το σημείο Α3 3
2 2
f βρίσκεται πάνω από το σημείο Β με τετμημένη 3
2
της ευθείας ε
120 Δίνονται οι συναρτήσεις ( ) ln 2 3 xf x και ( ) ln(2 3) xg x
α) Να βρείτε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων f και g
β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = g(x)
γ) Να συγκρίνετε τους αριθμούς f(3) και g(3)
121 α) Να δείξετε ότι ln ln a για κάθε α β gt 0
β) Να λυθεί η ανίσωση 1
lnln 22 2 1
xx
γ) Έστω η συνάρτηση f(x) = ln xa Να βρείτε το α ώστε 5f (3) - 3f (5) gt 0
122 Δίνεται το πολυώνυμο 2 1 4 3 2 2( ) 1 ln ln 1f x e x x x x θ (0 π) το
οποίο είναι 3ου βαθμού και διαιρείται με το x-1
α) Να αποδείξετε ότι θ = 2
3
και κ =
1
e
β) Να αποδείξετε ότι το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης [f(x)x2] είναι το ίδιο
γ) Να βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της πολυωνυμικής συνάρτησης f(x)
με την ευθεία (ε) y = 5x-5
ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ
123 Δίνεται το σύστημα 2x y 7
7x 2y 11
α) Να βρείτε τη λύση (x0y0) του συστήματος
β) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης 2f (x) x x έχει κορυφή το σημείο Κ(x0y0)
i) να βρείτε τους αριθμούς β και γ
ii) να λύσετε την ανίσωση f (x) 0
iii) να λύσετε το σύστημα y f (x)
x y 6
20 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
124 Το σύστημα ( 1)x 8y 4
x ( 3)y 3 1
έχει τη μοναδική λύση (x0y0) για την οποία ισχύει
0 0x y 1
α) Να βρείτε τον αριθμό λ
β) Δίνεται η συνάρτηση 2f (x) x 2 x 6
i Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η Cf είναι πάνω από τον χ΄χ
iiΝα λύσετε το σύστημα y f (x)
2y f (x 1) 10x
125 Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f με f (x) = α + βσυν2x διέρχεται από τα σημεία
Α(0 1) και Β 24
π τότε
α) να βρείτε τα α και β
β) να βρείτε την f
γ) να δείξετε ότι η Cf έχει άξονα συμμετρίας τον yy
δ) να δείξετε ότι f (-x) - f4
πx = ημ2x - συν2x
126 Δίνεται το πολυώνυμο f (x) = 2x3 middot συν2θ - x3ημθ - x2 + 3eλ - 2
Αν το πολυώνυμο έχει παράγοντες τους x και x - 1
α) να βρείτε τους λ και θ θ [0 2
π]
β) να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του πολυωνύμου Ρ(x) με το x - 1 όπου
P(x) = x∙f(3x-2) + (2-3x)21
γ) να βρείτε τα διαστήματα που η γραφική παράσταση της συνάρτησης f βρίσκεται κάτω από
τον άξονα χ χ
127 Δίνεται η πολυωνυμική συνάρτηση f(x) = 8x3-4x2 + 2x-l
α) Αν το πολυώνυμο Ρ(x) έχει παράγοντα το x - συνθ θ 02
π να βρείτε το θ
β) Να λύσετε την ανίσωση f(lnx) lt 0
γ) Να βρείτε τα διαστήματα του χ που η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από την
ευθεία y = 10x - 5
128 Θεωρούμε το πολυώνυμο 3 2( ) ( ) 2 1P x x x x
α) Αν έχει παράγοντα το 2
1x να βρείτε τα και
β) Για τις τιμές των και που βρήκατε να λύσετε την ανίσωση ( ) 0P x
γ) Για τις ίδιες τιμές των και να λύσετε την εξίσωση ( ) 0P x
129 Δίνεται το πολυώνυμο 3 2 P x x x x α β Αν το υπόλοιπο της διαίρεσης
2 2P x x x είναι (x) 9x 3 τότε
α) να αποδείξετε ότι 3 και 3
β) να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της πολυωνυμικής συνάρτησης
P(x) βρίσκεται κάτω από τον άξονα xrsquox
21 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
γ) να λύσετε την ανίσωση 10 2 0xP
130 Δίνεται το πολυώνυμο P(x) = x4 +αx3 +βx2 ndash2x + 4 όπου α βIR Το P(x) έχει παράγοντα το
x ndash 1 και το υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x) με το x + 1 είναι το 6
α) Να δείξετε ότι α = ndash1 και β = ndash2
β) Να λύσετε την εξίσωση P(x) = 0
γ) Να λύσετε την ανίσωση P(x) gt 0
δ) Να λύσετε την εξίσωση συν4x ndashσυν3x + 2ημ2x ndash2συνx + 2 = 0 στο διάστημα [ndashπ
2 π)
131 Δίνεται το πολυώνυμο 3 2 1P x x x x που έχει παράγοντα το 1x και το
υπόλοιπο της διαίρεσης του με το 1x είναι 8
α) Να αποδείξετε ότι 2 και 7
β) Να λύσετε την ανίσωση 0x
γ) Αν 2
x
να λύσετε την εξίσωση 3 22 7 2 3 0
132 To πολυώνυμο f(x)=x3+2αx2-βx-1 έχει παράγοντα το x-1 και το υπόλοιπο της διαίρεσης
f (x) (x 1) είναι 4
α) Να βρείτε τις τιμές των α β R
β) Να βρεθούν τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της
f(x) βρίσκεται κάτω από τον άξονα χ΄χ
γ) Να λύσετε την εξίσωση 2x x1e e
2
133 Δίνεται το πολυώνυμο 3 22 7P x x x x το οποίο έχει παράγοντα το 1x και το
υπόλοιπο της διαίρεσης του με το 1x είναι 18
α) Να αποδείξετε ότι 7 και 2
β) Να λύσετε την εξίσωση 3 22 2 7 2 7 2 2 0x x x
γ) Να λύσετε την ανίσωση 2 8 7 4 7 2 2 0x x x
134 Δίνεται το πολυώνυμο 3 2( ) (log 2) log 0P x x x k x k k
α) Να αποδείξετε ότι το 1x είναι παράγοντας του ( )P x
β) Να βρείτε τις τιμές του k για τις οποίες το πολυώνυμο ( )P x έχει τρεις
πραγματικές ρίζες
γ) Για 10k να λύσετε
i την ανίσωση ( ) 0P x
ii την εξίσωση 2( ) [0 ]P x x x
135 Δίνεται το πολυώνυμο
4 3 22ln 1 2 0 0 x x x x x x
α) Αν το πολυώνυμο x είναι 3ου βαθμού και έχει παράγοντα το 1x να βρεθούν τα
β) Αν 3 2 1x x x x x να βρεθούν οι τιμές του x για τις οποίες ισχύει
0x
22 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
γ) Να λυθούν
i η εξίσωση 2 0 0 ό
ii η ανίσωση 2 ln 0
136 Δίνεται η συνάρτηση log 2 4 5 2 2x xf x
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f
β) Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τον
άξονα χ΄χ
γ) Να λύσετε στο διάστημα 0 2 την εξίσωση 2 0f x
137 Έστω η συνάρτηση ( ) ln 2 xf x ημ
α) Να αποδείξετε ότι η f είναι περιττή
β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = 0 στο (- π π)
138 Έστω η συνάρτηση f(x) = ημx + ex - 1
α) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο Α= 2 2
π π
β) Να βρείτε το f(0)
γ) Να λύσετε
i την εξίσωση ημx + ex=1 στο 2 2
π π
ii την ανίσωση ημx + ex lt1 στο 2 2
π π
139 Έστω η συνάρτηση f (x) = (3 ndash 2lnα)x
α) Να βρείτε το α ώστε η συνάρτηση f να ορίζεται σε όλο το R
β) Να βρείτε το α ώστε η συνάρτηση f να είναι γνησίως φθίνουσα
γ) Για α = e να λύσετε την εξίσωση f(2συν2θ)-f(2ημ2θ) = 3
140 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = (2lnα - 1)x
α) Να βρείτε τις τιμές του α R για τις οποίες η συνάρτηση f ορίζεται σε όλο το R
β) Να βρείτε τις τιμές του α R για τις οποίες η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα
γ) Αν α = e2 να βρείτε το θ ώστε 2 2 2 4( ) ( )
3 f συν θ ημ θ f συν θ
141 Δίνεται η συνάρτηση 2
log logf x x x
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f
β) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τον άξονα χ΄χ
γ) Να λύσετε την εξίσωση 0f x
δ) Αν για τους θετικούς αριθμούς α β με ισχύει ότι f f να αποδείξετε ότι
10000
142 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = log(4x ndash 2)
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f και να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f έχει
μοναδικό κοινό σημείο με την ευθεία y = 1 ndash log5
23 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
β) Να λύσετε την ανίσωση 1
-12
4 64 - 2 0
5 5
xx
γ) Να λύσετε την εξίσωση f(x) + f(2
x) = 1 + log
1-
124 6
4 - 25 5
xx
δ) Να λύσετε την εξίσωση ημ2x = f(5
2) + f(1) ndash f(
3
2)
143 Δίνεται το πολυώνυμο 1
4 2 1 3 225 2 3 25 1 λf x x x x x
α) Αν το (x ndash 1) είναι παράγοντας του f(x) να βρείτε το λ
β) Για 1
2
i να δείξετε ότι το (x -1)2 είναι παράγοντας του f(x)
ii να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τον
άξονα x΄x
144 Δίνεται το πολυώνυμο Ρ(x) = (21lnκ - 1)x4 + x3 + (e - 1)x2 ndash e∙x +1 + 2ημθ θ (0 2π)
Αν το πολυώνυμο Ρ(x) είναι 3ου βαθμού και έχει παράγοντα το x - 1
α) να βρείτε τα κ και θ
β) να λύσετε την ανίσωση Ρ(x) lt 0
γ) να βρείτε τα διαστήματα που η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) με
f(x) = e3x+(e-1)e2x-ex+1 βρίσκεται κάτω από τον άξονα χ χ
145 Δίνεται η συνάρτηση ln ln 3
( )ln ln
x
f x
με 3lt α lt β η οποία είναι γνησίως φθίνουσα στο
σύνολο των πραγματικών αριθμών
α) Να συγκρίνετε τους αριθμούς ln και ln
β) Να αποδείξετε ότι 23
γ) Αν 6 και 24 τότε
i) να αποδείξετε ότι 1
( )2
x
f x
ii) να αποδείξετε ότι για κάθε ισχύει η ανισότητα 22
f f f
δ)Να λυθεί η εξίσωση 2 2( ) ( ) 3f x f x
146 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x - 1 + lnx x gt 0
α) Να δείξετε ότι για κάθε x με 0 lt x lt 1 f(x) lt 0
β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = x-1-ln2x
γ) Να λύσετε την ανίσωση f (ex) gt x + 2x -1
δ) Να δείξετε ότι για κάθε θ 02
lne
147 Δίνεται το πολυώνυμο f(x) όπου f(x) = x3-2x2lnα2 + 5xlnα-2 αgt0
α) Αν το x-1 είναι παράγοντας του f(x) τότε να βρείτε το α
β) Για α = e
24 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
i να δείξετε ότι το (x-1)2 είναι παράγοντας του πολυωνύμου f(x)
ii να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της πολυωνυμικής
συνάρτησης f(x) βρίσκεται κάτω από τον άξονα χ χ
148 Έστω η συνάρτηση f(x) = ln(2 - ex)
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f
β) Έστω ότι ο αριθμοί α = 2x β = f(x) γ = ln4 είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου
i Να βρείτε το x
ii Αν ο αριθμός α είναι ο 3ος όρος της αριθμητικής προόδου να βρείτε ποιος όρος της προόδου
ισούται με 2ln2 + 5ln3
149 Δίνεται το πολυώνυμο Ρ(x) = x3 +x2 + x + 2λ2 ndashλ +1
α) Να αποδείξετε ότι η διαίρεση Ρ(x) (x -1 ) δεν είναι τέλεια
β) Αν υ(λ) το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ(x) (x -1 ) να βρεθεί το λ ώστε το υ(λ) να γίνεται
ελάχιστο και την ελάχιστη τιμή του υ(λ)
γ) Για την τιμή του λ που το υ(λ) γίνεται ελάχιστο
i να λύσετε την εξίσωση 425x-2λ-16x-2λ=48λx
ii να λύσετε την εξίσωση
2ln x 1ln
21
4 5 x2
αφού πρώτα αποδείξετε ότι
ln x ln 22 x
δ) Να λύσετε την ανίσωση 8 x 4 x 4 x 1 4 x 13 9 11 4 4
150 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = log(e2x-kex +λ) με f(0) = log2 f(ln6) = log12
α) Να δείξετε ότι κ = 5 και λ = 6
β) Αν κ = 5 και λ = 6
i Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f
ii Να λυθεί η εξίσωση f(x) = 1minuslog(ex + 1)
iii Να δείξετε ότι οι αριθμοί f(ln5)minusf(0) f(ln5) f(ln6) είναι διαδοχικοί όροι
αριθμητικής προόδου
151 Αν το πολυώνυμο f(x) = x3 + 2αx2 - βx - 1 έχει παράγοντα το x - 1 και το υπόλοιπο της
διαίρεσης Ρ(x)(x + 1) είναι 4
α) να βρείτε τους α και β
β) να λύσετε την εξίσωση 2συν4
βx- 2ημ2 x
2
= -2
γ) να βρείτε το ελάχιστο πλήθος των πρώτων όρων της αριθμητικής προόδου (αν) με α1 = α και
ω = β που απαιτούνται ώστε το άθροισμα τους να ξεπερνάει το 150
δ) να λύσετε την εξίσωση β2lnx =5 + 4∙xln2α
152 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) = x3+λx2+23x-15 (λR ) διέρχεται από το σημείο
Α(10)
α) Να βρεθεί ο λ R
β) Για ποιες τιμές του xR η ψ = f(x) βρίσκεται κάτω από τον άξονα x΄x
γ) οι τετμημένες των σημείων στα οποία η ψ = f(x) τέμνει τον άξονα x΄x είναι κατά αύξουσα
τάξη οι 3 πρώτοι όροι μιας προόδου Αν το άθροισμα των ν πρώτων όρων της είναι 400 να
βρεθεί ο ν
25 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
153 α) Έστω η συνάρτηση f (x) = 2 middot 3x + 3x - 24
i να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα και να βρείτε το f(2)
ii να λύσετε την εξίσωση f(x) = 0
β) Δύο κοινωνίες βακτηριδίων Α και Β έχουν αρχικά 24 και 2 βακτηρίδια αντίστοιχα
Η κοινωνία των βακτηριδίων Α μειώνεται σε αριθμό κάθε μια ώρα κατά 3 βακτηρίδια
Η κοινωνία των βακτηριδίων Β τριπλασιάζεται κάθε μία ώρα Να βρείτε μετά από πόσες
ώρες οι κοινωνίες των βακτηριδίων θα έχουν τον ίδιο αριθμό βακτηριδίων
12 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
γ) Να λυθεί η εξίσωση 12
( ) (0)13
f x f
72 Δίνεται η συνάρτηση ( ) 3 2 3 2x x
f x για κάθε x
α) Να αποδείξετε ότι η f είναι περιττή
β) Nα λυθεί η εξίσωση ( ) 4 6f x
γ) Να βρείτε τα διαστήματα του x για τα οποία η γραφική παράσταση της ( ) ( 2014)g x f x
δεν βρίσκεται πάνω από τον άξονα χ΄χ
73 Δίνεται η συνάρτηση 1 2
2 2 24( )
4 6 2 8
x x
x xf x
για κάθε x
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f
β) Nα δείξετε ότι 6
( ) 122 2
xf x x R
γ) Nα λυθεί η ανίσωση 3
( )7
f x
δ) Να βρείτε τις τιμές του έτσι ώστε η συνάρτηση ( ) ( )x
g x f a να είναι σταθερή στο
R
ε) Να λυθεί η εξίσωση h(x)+3h(x+1)=-f(3) όπου 6
( )( )
h xf x
74 Δίνεται η συνάρτηση 2
( )1
x
f x
α) Να μελετηθεί η f ως προς την μονοτονία για τις διάφορες τιμές του
β) Αν λ=1 να λυθεί η ανίσωση 2
2
2( )
3 4 2f x
γ) Αν 1 1
3 3
να λυθεί η ανίσωση 2 1(e 2 ) ( 2 )
x x x xf f e
δ) Να βρείτε τις τιμές το λ αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f διέρχεται από το σημείο
Α(f(0)3)
ε) Για λ=0 να βρείτε τα σημεία τομής των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων g και
h όπου ( ) 3 ( 1) 4g x f x ( ) (2 3) 5h x f x
στ) Για λ=0 να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης 2
( 4)( ( ) 4)(x)
(3 3 )( ( ) 2)x
x f x
e f x
75 Δίνεται η συνάρτηση ln3
f x x k
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της
β) Αν 2
ln 16
f
να βρείτε το k
γ) Αν 1k τότε
i να λύσετε την εξίσωση ln 2ln 2 ln36
x f f
13 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
ii να λύσετε την εξίσωση 1 1f x f x
e e
76 Δίνεται η συνάρτηση 1 ln 0 f x x x x
α) Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης f τέμνει τον άξονα
x΄x στο σημείο 10A
β) Να λύσετε την ανίσωση 2 51
x xf e e x
γ) Αν 0 1 x να δείξετε ότι 0f x
δ) Να δείξετε ότι για κάθε 02
ισχύει ότι ln
e
77 Δίνεται η συνάρτηση 2
2
x 68f (x) ln
100 x
α Να βρείτε το πεδίο ορισμού της
β Να λύσετε την εξίσωση f (x)e log50 log5
γ Να λύσετε την ανίσωση f(x) ge 0
78 Δίνεται η συνάρτηση 21( ) 2ln 4ln 1 0
4f x x a x a a
α Να βρεθεί ο πραγματικός αριθμός α ώστε η εξίσωση f(x)=0 να έχει διπλή ρίζα
β Να λυθεί η εξίσωση 2(0) ln 2ln 4f a a
γ Να λυθεί η ανίσωση 2( 2)ln( 2 )
8
afa e a a
79 Δίνεται η συνάρτηση 2x xf x ln e 4e 3 της οποίας η
γραφική παράσταση φαίνεται στο διπλανό σχήμα
α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της f
β) Να βρεθεί το σημείο τομής της γραφικής παράστασης της f
με τον άξονα x x
γ) Να δικαιολογήσετε (αλγεβρικά) γιατί δεν υπάρχει σημείο της
γραφικής παράστασης της f που να βρίσκεται πάνω από τον
άξονα x x
80 Δίνεται η συνάρτηση 2log 11 9 18 2log 1 f x x x x
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της
β) Να βρείτε τα σημεία στα οποία η γραφική παράσταση της f τέμνει τους άξονες
81 Δίνεται η συνάρτηση log log 1f x x
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f
β) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τον άξονα χ΄χ
γ) Να λύσετε την ανίσωση 0f x
δ) Να αποδείξετε ότι 3 101 2 1001 10001 log18f f f
14 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
82 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = ln(ex - 1)
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f
β) Να βρείτε τα διαστήματα που η γραφική παράσταση της συνάρτησης f βρίσκεται πάνω από
τον άξονα χ χ
γ) Να συγκρίνετε τους αριθμούς f(ln2) και f(l)
δ) Να λυθεί η εξίσωση f(2x)-f(x) = f(1)
83 Δίνεται η συνάρτηση f(x)=ln(ex-2)-ln(ex-1)
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f
β) Να αποδείξετε ότι f(x)=ln (1-1
1xe
)
γ) Να λύσετε την εξίσωση f(x)=-ln2
δ) Nα αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f δεν τέμνει την ευθεία με εξίσωση y=x
84 Δίνονται οι συναρτήσεις f g με τύπους f(x) = ln(ex minus 1 ) και g(x) = ln(ex + 2)
α Να βρείτε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων f και g
β Να συγκρίνετε τις τιμές f(ln2) και g( minus1)
γ Να λύσετε την εξίσωση x + f(x) = ln2 + g(x)
85 Έστω η συνάρτηση f(x) = k +log(x2-3) k
α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f
β) Να υπολογίσετε την τιμή του k ώστε f(2)= log100
γ) Για k=2
i Nα βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με την ευθεία
1
log1000
y
i i Nα λυθεί η ανίσωση f(x) gt2
86 Δίνονται οι συναρτήσεις 22log 2 1 log 3 2f x x x x και log 4 3 logg x x x
α) Να βρείτε το πεδίο των συναρτήσεων fg
β) Να βρείτε τα σημεία τομής των γραφικών τους παραστάσεων
γ) Να λύσετε τις εξισώσεις i 0f x και ii 0g x
δ) Να αποδείξετε ότι 2 2log 2 1g
87 Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο 1 1
f(x)= +1+lnx 1-lnx
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού Α της συνάρτησης
β) Να αποδείξετε ότι για κάθε xΑ ισχύει 1
f(x)=fx
γ) Να λύσετε την ανίσωση 1
f(x)+f gt4x
88 Α Να λύσετε την εξίσωση y3 + y - 2 = 0 (1)
15 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
Β Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f (x) = 27x + 1
2middot 12x lnα2 -2∙8x lnα διέρχεται από
την αρχή των αξόνων
α να αποδείξετε ότι α = e
β να βρείτε το διάστημα που η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τον άξονα xx
89 Δίνονται τα πολυώνυμα Ρ(x) = (α - ln2)x3 - (2e - β)x + 3
ln2
Q(x) = (1 ndash lnβ)x3 - (2e - 2)x + 3
ln2
Αν τα πολυώνυμα Ρ(x) και Q(x) είναι ίσα
α Να βρείτε τα α και β
β να αποδείξετε ότι Ρ(-1)gt0
90 Έστω το πολυώνυμο Ρ(x) = x3lnα + (2 - lnα)x2 + αlnβx +1 έχει θετικούς ακέραιους συντελεστές
και αρνητική ακέραια ρίζα
α Να βρείτε τα α και β
β Για α = e και β = 1 να βρείτε τα διαστήματα του x που η γραφική παράσταση της συνάρτησης
f(x) = P(ex) βρίσκεται κάτω από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης g(x) = ex + 3
91 Δίνεται η συνάρτηση f(x)= αlnx +β
α) Να βρείτε τις τιμές των α β R αν γνωρίζετε ότι η γραφική της παράσταση
διέρχεται από τα σημεία Α(10) και B(e2)
β) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f
γ) Να λυθεί η εξίσωση f(x)+f(2x)=61n2
δ) Να λυθεί η ανίσωση f(2x+1)gt f(x)
ε) Να λυθεί το σύστημα x y
f (x) f (y) 2
e e
92 Έστω η συνάρτηση f (x) = x -1 + 2ln(αx) x gt0
Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f διέρχεται από το σημείο Α(1 0)
α) να βρείτε το α
β) να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο (0+)
γ) να λύσετε την ανίσωση f(x) gt 0
93 Δίνεται η συνάρτηση 2
1( )
1
nxf x
n x
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f(x)
β) Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τον χ΄χ
γ) Να βρείτε τα σημεία τομής της Cf με την ευθεία y =1
94 Δίνεται η f( x ) = log ( 102x ndash 10x )
α) Να δειχθεί ότι το πεδίο ορισμού της f είναι το Α=( 0 + )
β) Να δειχθεί ότι f( x ) = x + log ( 10x ndash 1 )
γ) Να λυθεί η εξίσωση f( x ) = x
δ) Να λυθεί η ανίσωση f( x ) le x + 2log 2
16 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
95 Δίνεται η συνάρτηση 2( ) 5 6
x xf x n e e
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f(x)
β) Να λύσετε την ανίσωση ( ) 2f x n
γ) Να λύσετε την εξίσωση ( ) 2 f x x n
96 Δίνεται η συνάρτηση f(x)=ln(3e2xshyex-2)
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f
β) Να βρείτε την τεταγμένη του σημείου της γραφικής παράστασης με τετμημένη ln2 και να
βρείτε τη θέση του σημείου ως προς τον άξονα χ΄χ
γ) Να λυθεί η εξίσωση f(x)=3x ως προς x
97 Δίνεται η συνάρτηση 1
( )1
x
x
ef x a
e που η γραφική της παράσταση διέρχεται από το σημείο
A(ln2 3)
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f
β) Να αποδείξετε ότι α = 1
γ) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι περιττή
δ) Να λυθεί η ανίσωση f(x) gt 2
98 Δίνεται η συνάρτηση
11 2log( 1)
log( 1) 2( ) 10 100 80x
xf x
α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της
β) Να λυθεί η εξίσωση f(x) = 10
γ) Να βρείτε τα κοινά σημεία της ψ = f(x) με την ευθεία ψ = x-20
99 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = α + ln(ex - 2)
Α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f
Β) Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f διέρχεται από το σημείο A(ln3 1) middot
α) να αποδείξετε ότι α = 1
β) να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τον άξονα xx
γ) να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα
100 Δίνεται η συνάρτηση
ln 3 11( )
ln 5
xf x
x
α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της
β) Να λυθεί η εξίσωση f(x) = 2
γ) Αν x gt 6 να λύσετε την ανίσωση f(x) gt 1
101 Δίνεται η συνάρτηση ln 1
( )ln 2
xg x
x
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης ( ) ( )f x g x
β) Να βρείτε αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f τέμνει και σε ποια σημεία τους
άξονες χ΄χ και y΄y
γ) Να λύσετε την εξίσωση ( ) 1x
f e
17 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
102 Δίνεται η συνάρτηση f(x)=2(x-1)+lnx
α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της
β) Να δείξετε ότι το 1 είναι ρίζα της εξίσωσης f(x)=0
γ) Να λυθεί η εξίσωση f(x)=2(x-1)+(lnx)2
103 α) Δίνεται η συνάρτηση f (x) = 3x + 2x + lnx ndash 5Να βρείτε το f(1) και να δείξετε ότι η f είναι
γνησίως αύξουσα
β) Να λύσετε την εξίσωση 2x+ lnx = 5-3x
γ) Να λύσετε την ανίσωση 3x + lnx lt 5-2x
104 Δίνεται η συνάρτηση f (x) = 2ln 1 x x
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f
β) Να δείξετε ότι για κάθε x R f(x) + f(- x) = 0 και ότι η συνάρτηση f είναι περιττή
γ) Να συγκρίνετε τους αριθμούς f(0) και f(- 1)
δ) Να λύσετε την ανίσωση f(ex) gt x + ln3
105 Δίνεται η συνάρτηση 3
ln3
xf x
x
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f
β) Να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι περιττή
γ) Να συγκρίνετε τους αριθμούς f(0) και 1
3f
δ) Να λύσετε την εξίσωση 1 0f x f x
106 Δίνονται οι συναρτήσεις 2
2
100 10( ) ( )
10100
x xf x og g x og
xx
α) Να δείξετε ότι η f είναι άρτια και η g περιττή
β) Να βρείτε τα κοινά σημεία των γραφικών τους παραστάσεων
γ) Να λυθεί η ανισότητα f(x)gt0
107 Δίνεται η συνάρτηση f (x) = ln 9 3 x x xe
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f
β) Να δείξετε ότι f(1)lt0
γ) Να βρείτε τα διαστήματα του x που η Cf είναι πάνω από την ευθεία ε y= 2x + ln2
108 Δίνεται η συνάρτηση f (x) = 2x + 6x - 40
α) Να βρείτε το f(4)
β) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα
γ) Να λύσετε την εξίσωση f(x) =0
109 Έστω η συνάρτηση f (x) = 3x + 2ex-κ -1 που η γραφική της παράσταση διέρχεται από το
σημείο Α(0 1)
α) Να βρείτε το κ
β) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα
γ) Να λύσετε την εξίσωση 3x + 2ex = 2
δ) Να λύσετε την ανίσωση 3x + 2ex gt 2
18 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
110 Δίνεται η συνάρτηση f (x) = (ln 1)x
a
α) Να βρείτε τις τιμές του α για τις οποίες
i η συνάρτηση f ορίζεται σε όλο το R
ii η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα
β) Για α = e3 να λύσετε την εξίσωση ln 2 ln 1 f εφx f σφx
111 Δίνεται η συνάρτηση 1
ln5
x
f x
α) Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες η συνάρτηση f ορίζεται σε όλο το
β) Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα
στο
γ) Αν 11 να λύσετε την εξίσωση f f 1 6x x
112 Δίνεται η συνάρτηση f με f(x) = x + ln(ex - 3)
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της
β) Να δείξετε ότι f(ln4) lt f(ln5)
γ) Να λύσετε την ανίσωση f(x) gt lη2 + ln(ex - 2)
113 Δίνεται η συνάρτηση ( ) ln( 1) x
f x x e
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της
β) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα
γ) Να συγκρίνετε τους αριθμούς log 2f και log5f
δ) Να βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f και της ευθείας
ln 2y
114 Δίνεται η συνάρτηση 4 2
log 8 log log 100 0f x x x x x
α) Αν f(10)=25 να δείξετε ότι α = 1
β) Για την τιμή α = 1 να
i δείξετε ότι η f(x) γράφεται στη μορφή 2
2log 4 logf x x x
ii να λύσετε την εξίσωση f(x) = 0
115 Δίνονται οι συναρτήσεις ln x
f x e e και 1ln 2 2
xg x e
α) Να βρείτε το πεδίο των συναρτήσεων fg
β) Να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των fg δεν τέμνονται
γ) Να λύσετε την ανίσωση 1f x
116 Δίνονται οι συναρτήσεις x xf(x) ln e e
και x
g(x) ln ln e
α) Να βρείτε τα πεδία ορισμού των f(x) και g(x)
β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = g(x)
γ) Να λύσετε την ανίσωση f(x) gt 2g(x
117 Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) = ln(e2x-ex-2) και g(x) = ln2+ln(ex-l)
α) Να βρείτε τα πεδία ορισμού των f(x) και g(x)
β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = g(x)
γ) Να λύσετε την ανίσωση f(x) gt g(x)
19 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
118 Δίνεται η συνάρτηση 2
1ln
5
x
x
ef x
e
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f(x)
β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = 2ln2
γ) Να λύσετε την ανίσωση f(x) gt 0
119 Έστω η συνάρτηση f(x) = log(225x-54x) και η ευθεία ε y = x + log3
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f
β) Να βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της f και της ευθείας ε
γ) Να δείξετε ότι το σημείο Α3 3
2 2
f βρίσκεται πάνω από το σημείο Β με τετμημένη 3
2
της ευθείας ε
120 Δίνονται οι συναρτήσεις ( ) ln 2 3 xf x και ( ) ln(2 3) xg x
α) Να βρείτε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων f και g
β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = g(x)
γ) Να συγκρίνετε τους αριθμούς f(3) και g(3)
121 α) Να δείξετε ότι ln ln a για κάθε α β gt 0
β) Να λυθεί η ανίσωση 1
lnln 22 2 1
xx
γ) Έστω η συνάρτηση f(x) = ln xa Να βρείτε το α ώστε 5f (3) - 3f (5) gt 0
122 Δίνεται το πολυώνυμο 2 1 4 3 2 2( ) 1 ln ln 1f x e x x x x θ (0 π) το
οποίο είναι 3ου βαθμού και διαιρείται με το x-1
α) Να αποδείξετε ότι θ = 2
3
και κ =
1
e
β) Να αποδείξετε ότι το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης [f(x)x2] είναι το ίδιο
γ) Να βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της πολυωνυμικής συνάρτησης f(x)
με την ευθεία (ε) y = 5x-5
ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ
123 Δίνεται το σύστημα 2x y 7
7x 2y 11
α) Να βρείτε τη λύση (x0y0) του συστήματος
β) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης 2f (x) x x έχει κορυφή το σημείο Κ(x0y0)
i) να βρείτε τους αριθμούς β και γ
ii) να λύσετε την ανίσωση f (x) 0
iii) να λύσετε το σύστημα y f (x)
x y 6
20 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
124 Το σύστημα ( 1)x 8y 4
x ( 3)y 3 1
έχει τη μοναδική λύση (x0y0) για την οποία ισχύει
0 0x y 1
α) Να βρείτε τον αριθμό λ
β) Δίνεται η συνάρτηση 2f (x) x 2 x 6
i Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η Cf είναι πάνω από τον χ΄χ
iiΝα λύσετε το σύστημα y f (x)
2y f (x 1) 10x
125 Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f με f (x) = α + βσυν2x διέρχεται από τα σημεία
Α(0 1) και Β 24
π τότε
α) να βρείτε τα α και β
β) να βρείτε την f
γ) να δείξετε ότι η Cf έχει άξονα συμμετρίας τον yy
δ) να δείξετε ότι f (-x) - f4
πx = ημ2x - συν2x
126 Δίνεται το πολυώνυμο f (x) = 2x3 middot συν2θ - x3ημθ - x2 + 3eλ - 2
Αν το πολυώνυμο έχει παράγοντες τους x και x - 1
α) να βρείτε τους λ και θ θ [0 2
π]
β) να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του πολυωνύμου Ρ(x) με το x - 1 όπου
P(x) = x∙f(3x-2) + (2-3x)21
γ) να βρείτε τα διαστήματα που η γραφική παράσταση της συνάρτησης f βρίσκεται κάτω από
τον άξονα χ χ
127 Δίνεται η πολυωνυμική συνάρτηση f(x) = 8x3-4x2 + 2x-l
α) Αν το πολυώνυμο Ρ(x) έχει παράγοντα το x - συνθ θ 02
π να βρείτε το θ
β) Να λύσετε την ανίσωση f(lnx) lt 0
γ) Να βρείτε τα διαστήματα του χ που η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από την
ευθεία y = 10x - 5
128 Θεωρούμε το πολυώνυμο 3 2( ) ( ) 2 1P x x x x
α) Αν έχει παράγοντα το 2
1x να βρείτε τα και
β) Για τις τιμές των και που βρήκατε να λύσετε την ανίσωση ( ) 0P x
γ) Για τις ίδιες τιμές των και να λύσετε την εξίσωση ( ) 0P x
129 Δίνεται το πολυώνυμο 3 2 P x x x x α β Αν το υπόλοιπο της διαίρεσης
2 2P x x x είναι (x) 9x 3 τότε
α) να αποδείξετε ότι 3 και 3
β) να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της πολυωνυμικής συνάρτησης
P(x) βρίσκεται κάτω από τον άξονα xrsquox
21 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
γ) να λύσετε την ανίσωση 10 2 0xP
130 Δίνεται το πολυώνυμο P(x) = x4 +αx3 +βx2 ndash2x + 4 όπου α βIR Το P(x) έχει παράγοντα το
x ndash 1 και το υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x) με το x + 1 είναι το 6
α) Να δείξετε ότι α = ndash1 και β = ndash2
β) Να λύσετε την εξίσωση P(x) = 0
γ) Να λύσετε την ανίσωση P(x) gt 0
δ) Να λύσετε την εξίσωση συν4x ndashσυν3x + 2ημ2x ndash2συνx + 2 = 0 στο διάστημα [ndashπ
2 π)
131 Δίνεται το πολυώνυμο 3 2 1P x x x x που έχει παράγοντα το 1x και το
υπόλοιπο της διαίρεσης του με το 1x είναι 8
α) Να αποδείξετε ότι 2 και 7
β) Να λύσετε την ανίσωση 0x
γ) Αν 2
x
να λύσετε την εξίσωση 3 22 7 2 3 0
132 To πολυώνυμο f(x)=x3+2αx2-βx-1 έχει παράγοντα το x-1 και το υπόλοιπο της διαίρεσης
f (x) (x 1) είναι 4
α) Να βρείτε τις τιμές των α β R
β) Να βρεθούν τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της
f(x) βρίσκεται κάτω από τον άξονα χ΄χ
γ) Να λύσετε την εξίσωση 2x x1e e
2
133 Δίνεται το πολυώνυμο 3 22 7P x x x x το οποίο έχει παράγοντα το 1x και το
υπόλοιπο της διαίρεσης του με το 1x είναι 18
α) Να αποδείξετε ότι 7 και 2
β) Να λύσετε την εξίσωση 3 22 2 7 2 7 2 2 0x x x
γ) Να λύσετε την ανίσωση 2 8 7 4 7 2 2 0x x x
134 Δίνεται το πολυώνυμο 3 2( ) (log 2) log 0P x x x k x k k
α) Να αποδείξετε ότι το 1x είναι παράγοντας του ( )P x
β) Να βρείτε τις τιμές του k για τις οποίες το πολυώνυμο ( )P x έχει τρεις
πραγματικές ρίζες
γ) Για 10k να λύσετε
i την ανίσωση ( ) 0P x
ii την εξίσωση 2( ) [0 ]P x x x
135 Δίνεται το πολυώνυμο
4 3 22ln 1 2 0 0 x x x x x x
α) Αν το πολυώνυμο x είναι 3ου βαθμού και έχει παράγοντα το 1x να βρεθούν τα
β) Αν 3 2 1x x x x x να βρεθούν οι τιμές του x για τις οποίες ισχύει
0x
22 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
γ) Να λυθούν
i η εξίσωση 2 0 0 ό
ii η ανίσωση 2 ln 0
136 Δίνεται η συνάρτηση log 2 4 5 2 2x xf x
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f
β) Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τον
άξονα χ΄χ
γ) Να λύσετε στο διάστημα 0 2 την εξίσωση 2 0f x
137 Έστω η συνάρτηση ( ) ln 2 xf x ημ
α) Να αποδείξετε ότι η f είναι περιττή
β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = 0 στο (- π π)
138 Έστω η συνάρτηση f(x) = ημx + ex - 1
α) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο Α= 2 2
π π
β) Να βρείτε το f(0)
γ) Να λύσετε
i την εξίσωση ημx + ex=1 στο 2 2
π π
ii την ανίσωση ημx + ex lt1 στο 2 2
π π
139 Έστω η συνάρτηση f (x) = (3 ndash 2lnα)x
α) Να βρείτε το α ώστε η συνάρτηση f να ορίζεται σε όλο το R
β) Να βρείτε το α ώστε η συνάρτηση f να είναι γνησίως φθίνουσα
γ) Για α = e να λύσετε την εξίσωση f(2συν2θ)-f(2ημ2θ) = 3
140 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = (2lnα - 1)x
α) Να βρείτε τις τιμές του α R για τις οποίες η συνάρτηση f ορίζεται σε όλο το R
β) Να βρείτε τις τιμές του α R για τις οποίες η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα
γ) Αν α = e2 να βρείτε το θ ώστε 2 2 2 4( ) ( )
3 f συν θ ημ θ f συν θ
141 Δίνεται η συνάρτηση 2
log logf x x x
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f
β) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τον άξονα χ΄χ
γ) Να λύσετε την εξίσωση 0f x
δ) Αν για τους θετικούς αριθμούς α β με ισχύει ότι f f να αποδείξετε ότι
10000
142 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = log(4x ndash 2)
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f και να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f έχει
μοναδικό κοινό σημείο με την ευθεία y = 1 ndash log5
23 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
β) Να λύσετε την ανίσωση 1
-12
4 64 - 2 0
5 5
xx
γ) Να λύσετε την εξίσωση f(x) + f(2
x) = 1 + log
1-
124 6
4 - 25 5
xx
δ) Να λύσετε την εξίσωση ημ2x = f(5
2) + f(1) ndash f(
3
2)
143 Δίνεται το πολυώνυμο 1
4 2 1 3 225 2 3 25 1 λf x x x x x
α) Αν το (x ndash 1) είναι παράγοντας του f(x) να βρείτε το λ
β) Για 1
2
i να δείξετε ότι το (x -1)2 είναι παράγοντας του f(x)
ii να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τον
άξονα x΄x
144 Δίνεται το πολυώνυμο Ρ(x) = (21lnκ - 1)x4 + x3 + (e - 1)x2 ndash e∙x +1 + 2ημθ θ (0 2π)
Αν το πολυώνυμο Ρ(x) είναι 3ου βαθμού και έχει παράγοντα το x - 1
α) να βρείτε τα κ και θ
β) να λύσετε την ανίσωση Ρ(x) lt 0
γ) να βρείτε τα διαστήματα που η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) με
f(x) = e3x+(e-1)e2x-ex+1 βρίσκεται κάτω από τον άξονα χ χ
145 Δίνεται η συνάρτηση ln ln 3
( )ln ln
x
f x
με 3lt α lt β η οποία είναι γνησίως φθίνουσα στο
σύνολο των πραγματικών αριθμών
α) Να συγκρίνετε τους αριθμούς ln και ln
β) Να αποδείξετε ότι 23
γ) Αν 6 και 24 τότε
i) να αποδείξετε ότι 1
( )2
x
f x
ii) να αποδείξετε ότι για κάθε ισχύει η ανισότητα 22
f f f
δ)Να λυθεί η εξίσωση 2 2( ) ( ) 3f x f x
146 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x - 1 + lnx x gt 0
α) Να δείξετε ότι για κάθε x με 0 lt x lt 1 f(x) lt 0
β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = x-1-ln2x
γ) Να λύσετε την ανίσωση f (ex) gt x + 2x -1
δ) Να δείξετε ότι για κάθε θ 02
lne
147 Δίνεται το πολυώνυμο f(x) όπου f(x) = x3-2x2lnα2 + 5xlnα-2 αgt0
α) Αν το x-1 είναι παράγοντας του f(x) τότε να βρείτε το α
β) Για α = e
24 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
i να δείξετε ότι το (x-1)2 είναι παράγοντας του πολυωνύμου f(x)
ii να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της πολυωνυμικής
συνάρτησης f(x) βρίσκεται κάτω από τον άξονα χ χ
148 Έστω η συνάρτηση f(x) = ln(2 - ex)
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f
β) Έστω ότι ο αριθμοί α = 2x β = f(x) γ = ln4 είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου
i Να βρείτε το x
ii Αν ο αριθμός α είναι ο 3ος όρος της αριθμητικής προόδου να βρείτε ποιος όρος της προόδου
ισούται με 2ln2 + 5ln3
149 Δίνεται το πολυώνυμο Ρ(x) = x3 +x2 + x + 2λ2 ndashλ +1
α) Να αποδείξετε ότι η διαίρεση Ρ(x) (x -1 ) δεν είναι τέλεια
β) Αν υ(λ) το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ(x) (x -1 ) να βρεθεί το λ ώστε το υ(λ) να γίνεται
ελάχιστο και την ελάχιστη τιμή του υ(λ)
γ) Για την τιμή του λ που το υ(λ) γίνεται ελάχιστο
i να λύσετε την εξίσωση 425x-2λ-16x-2λ=48λx
ii να λύσετε την εξίσωση
2ln x 1ln
21
4 5 x2
αφού πρώτα αποδείξετε ότι
ln x ln 22 x
δ) Να λύσετε την ανίσωση 8 x 4 x 4 x 1 4 x 13 9 11 4 4
150 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = log(e2x-kex +λ) με f(0) = log2 f(ln6) = log12
α) Να δείξετε ότι κ = 5 και λ = 6
β) Αν κ = 5 και λ = 6
i Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f
ii Να λυθεί η εξίσωση f(x) = 1minuslog(ex + 1)
iii Να δείξετε ότι οι αριθμοί f(ln5)minusf(0) f(ln5) f(ln6) είναι διαδοχικοί όροι
αριθμητικής προόδου
151 Αν το πολυώνυμο f(x) = x3 + 2αx2 - βx - 1 έχει παράγοντα το x - 1 και το υπόλοιπο της
διαίρεσης Ρ(x)(x + 1) είναι 4
α) να βρείτε τους α και β
β) να λύσετε την εξίσωση 2συν4
βx- 2ημ2 x
2
= -2
γ) να βρείτε το ελάχιστο πλήθος των πρώτων όρων της αριθμητικής προόδου (αν) με α1 = α και
ω = β που απαιτούνται ώστε το άθροισμα τους να ξεπερνάει το 150
δ) να λύσετε την εξίσωση β2lnx =5 + 4∙xln2α
152 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) = x3+λx2+23x-15 (λR ) διέρχεται από το σημείο
Α(10)
α) Να βρεθεί ο λ R
β) Για ποιες τιμές του xR η ψ = f(x) βρίσκεται κάτω από τον άξονα x΄x
γ) οι τετμημένες των σημείων στα οποία η ψ = f(x) τέμνει τον άξονα x΄x είναι κατά αύξουσα
τάξη οι 3 πρώτοι όροι μιας προόδου Αν το άθροισμα των ν πρώτων όρων της είναι 400 να
βρεθεί ο ν
25 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
153 α) Έστω η συνάρτηση f (x) = 2 middot 3x + 3x - 24
i να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα και να βρείτε το f(2)
ii να λύσετε την εξίσωση f(x) = 0
β) Δύο κοινωνίες βακτηριδίων Α και Β έχουν αρχικά 24 και 2 βακτηρίδια αντίστοιχα
Η κοινωνία των βακτηριδίων Α μειώνεται σε αριθμό κάθε μια ώρα κατά 3 βακτηρίδια
Η κοινωνία των βακτηριδίων Β τριπλασιάζεται κάθε μία ώρα Να βρείτε μετά από πόσες
ώρες οι κοινωνίες των βακτηριδίων θα έχουν τον ίδιο αριθμό βακτηριδίων
13 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
ii να λύσετε την εξίσωση 1 1f x f x
e e
76 Δίνεται η συνάρτηση 1 ln 0 f x x x x
α) Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης f τέμνει τον άξονα
x΄x στο σημείο 10A
β) Να λύσετε την ανίσωση 2 51
x xf e e x
γ) Αν 0 1 x να δείξετε ότι 0f x
δ) Να δείξετε ότι για κάθε 02
ισχύει ότι ln
e
77 Δίνεται η συνάρτηση 2
2
x 68f (x) ln
100 x
α Να βρείτε το πεδίο ορισμού της
β Να λύσετε την εξίσωση f (x)e log50 log5
γ Να λύσετε την ανίσωση f(x) ge 0
78 Δίνεται η συνάρτηση 21( ) 2ln 4ln 1 0
4f x x a x a a
α Να βρεθεί ο πραγματικός αριθμός α ώστε η εξίσωση f(x)=0 να έχει διπλή ρίζα
β Να λυθεί η εξίσωση 2(0) ln 2ln 4f a a
γ Να λυθεί η ανίσωση 2( 2)ln( 2 )
8
afa e a a
79 Δίνεται η συνάρτηση 2x xf x ln e 4e 3 της οποίας η
γραφική παράσταση φαίνεται στο διπλανό σχήμα
α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της f
β) Να βρεθεί το σημείο τομής της γραφικής παράστασης της f
με τον άξονα x x
γ) Να δικαιολογήσετε (αλγεβρικά) γιατί δεν υπάρχει σημείο της
γραφικής παράστασης της f που να βρίσκεται πάνω από τον
άξονα x x
80 Δίνεται η συνάρτηση 2log 11 9 18 2log 1 f x x x x
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της
β) Να βρείτε τα σημεία στα οποία η γραφική παράσταση της f τέμνει τους άξονες
81 Δίνεται η συνάρτηση log log 1f x x
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f
β) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τον άξονα χ΄χ
γ) Να λύσετε την ανίσωση 0f x
δ) Να αποδείξετε ότι 3 101 2 1001 10001 log18f f f
14 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
82 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = ln(ex - 1)
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f
β) Να βρείτε τα διαστήματα που η γραφική παράσταση της συνάρτησης f βρίσκεται πάνω από
τον άξονα χ χ
γ) Να συγκρίνετε τους αριθμούς f(ln2) και f(l)
δ) Να λυθεί η εξίσωση f(2x)-f(x) = f(1)
83 Δίνεται η συνάρτηση f(x)=ln(ex-2)-ln(ex-1)
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f
β) Να αποδείξετε ότι f(x)=ln (1-1
1xe
)
γ) Να λύσετε την εξίσωση f(x)=-ln2
δ) Nα αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f δεν τέμνει την ευθεία με εξίσωση y=x
84 Δίνονται οι συναρτήσεις f g με τύπους f(x) = ln(ex minus 1 ) και g(x) = ln(ex + 2)
α Να βρείτε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων f και g
β Να συγκρίνετε τις τιμές f(ln2) και g( minus1)
γ Να λύσετε την εξίσωση x + f(x) = ln2 + g(x)
85 Έστω η συνάρτηση f(x) = k +log(x2-3) k
α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f
β) Να υπολογίσετε την τιμή του k ώστε f(2)= log100
γ) Για k=2
i Nα βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με την ευθεία
1
log1000
y
i i Nα λυθεί η ανίσωση f(x) gt2
86 Δίνονται οι συναρτήσεις 22log 2 1 log 3 2f x x x x και log 4 3 logg x x x
α) Να βρείτε το πεδίο των συναρτήσεων fg
β) Να βρείτε τα σημεία τομής των γραφικών τους παραστάσεων
γ) Να λύσετε τις εξισώσεις i 0f x και ii 0g x
δ) Να αποδείξετε ότι 2 2log 2 1g
87 Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο 1 1
f(x)= +1+lnx 1-lnx
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού Α της συνάρτησης
β) Να αποδείξετε ότι για κάθε xΑ ισχύει 1
f(x)=fx
γ) Να λύσετε την ανίσωση 1
f(x)+f gt4x
88 Α Να λύσετε την εξίσωση y3 + y - 2 = 0 (1)
15 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
Β Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f (x) = 27x + 1
2middot 12x lnα2 -2∙8x lnα διέρχεται από
την αρχή των αξόνων
α να αποδείξετε ότι α = e
β να βρείτε το διάστημα που η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τον άξονα xx
89 Δίνονται τα πολυώνυμα Ρ(x) = (α - ln2)x3 - (2e - β)x + 3
ln2
Q(x) = (1 ndash lnβ)x3 - (2e - 2)x + 3
ln2
Αν τα πολυώνυμα Ρ(x) και Q(x) είναι ίσα
α Να βρείτε τα α και β
β να αποδείξετε ότι Ρ(-1)gt0
90 Έστω το πολυώνυμο Ρ(x) = x3lnα + (2 - lnα)x2 + αlnβx +1 έχει θετικούς ακέραιους συντελεστές
και αρνητική ακέραια ρίζα
α Να βρείτε τα α και β
β Για α = e και β = 1 να βρείτε τα διαστήματα του x που η γραφική παράσταση της συνάρτησης
f(x) = P(ex) βρίσκεται κάτω από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης g(x) = ex + 3
91 Δίνεται η συνάρτηση f(x)= αlnx +β
α) Να βρείτε τις τιμές των α β R αν γνωρίζετε ότι η γραφική της παράσταση
διέρχεται από τα σημεία Α(10) και B(e2)
β) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f
γ) Να λυθεί η εξίσωση f(x)+f(2x)=61n2
δ) Να λυθεί η ανίσωση f(2x+1)gt f(x)
ε) Να λυθεί το σύστημα x y
f (x) f (y) 2
e e
92 Έστω η συνάρτηση f (x) = x -1 + 2ln(αx) x gt0
Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f διέρχεται από το σημείο Α(1 0)
α) να βρείτε το α
β) να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο (0+)
γ) να λύσετε την ανίσωση f(x) gt 0
93 Δίνεται η συνάρτηση 2
1( )
1
nxf x
n x
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f(x)
β) Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τον χ΄χ
γ) Να βρείτε τα σημεία τομής της Cf με την ευθεία y =1
94 Δίνεται η f( x ) = log ( 102x ndash 10x )
α) Να δειχθεί ότι το πεδίο ορισμού της f είναι το Α=( 0 + )
β) Να δειχθεί ότι f( x ) = x + log ( 10x ndash 1 )
γ) Να λυθεί η εξίσωση f( x ) = x
δ) Να λυθεί η ανίσωση f( x ) le x + 2log 2
16 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
95 Δίνεται η συνάρτηση 2( ) 5 6
x xf x n e e
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f(x)
β) Να λύσετε την ανίσωση ( ) 2f x n
γ) Να λύσετε την εξίσωση ( ) 2 f x x n
96 Δίνεται η συνάρτηση f(x)=ln(3e2xshyex-2)
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f
β) Να βρείτε την τεταγμένη του σημείου της γραφικής παράστασης με τετμημένη ln2 και να
βρείτε τη θέση του σημείου ως προς τον άξονα χ΄χ
γ) Να λυθεί η εξίσωση f(x)=3x ως προς x
97 Δίνεται η συνάρτηση 1
( )1
x
x
ef x a
e που η γραφική της παράσταση διέρχεται από το σημείο
A(ln2 3)
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f
β) Να αποδείξετε ότι α = 1
γ) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι περιττή
δ) Να λυθεί η ανίσωση f(x) gt 2
98 Δίνεται η συνάρτηση
11 2log( 1)
log( 1) 2( ) 10 100 80x
xf x
α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της
β) Να λυθεί η εξίσωση f(x) = 10
γ) Να βρείτε τα κοινά σημεία της ψ = f(x) με την ευθεία ψ = x-20
99 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = α + ln(ex - 2)
Α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f
Β) Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f διέρχεται από το σημείο A(ln3 1) middot
α) να αποδείξετε ότι α = 1
β) να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τον άξονα xx
γ) να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα
100 Δίνεται η συνάρτηση
ln 3 11( )
ln 5
xf x
x
α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της
β) Να λυθεί η εξίσωση f(x) = 2
γ) Αν x gt 6 να λύσετε την ανίσωση f(x) gt 1
101 Δίνεται η συνάρτηση ln 1
( )ln 2
xg x
x
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης ( ) ( )f x g x
β) Να βρείτε αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f τέμνει και σε ποια σημεία τους
άξονες χ΄χ και y΄y
γ) Να λύσετε την εξίσωση ( ) 1x
f e
17 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
102 Δίνεται η συνάρτηση f(x)=2(x-1)+lnx
α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της
β) Να δείξετε ότι το 1 είναι ρίζα της εξίσωσης f(x)=0
γ) Να λυθεί η εξίσωση f(x)=2(x-1)+(lnx)2
103 α) Δίνεται η συνάρτηση f (x) = 3x + 2x + lnx ndash 5Να βρείτε το f(1) και να δείξετε ότι η f είναι
γνησίως αύξουσα
β) Να λύσετε την εξίσωση 2x+ lnx = 5-3x
γ) Να λύσετε την ανίσωση 3x + lnx lt 5-2x
104 Δίνεται η συνάρτηση f (x) = 2ln 1 x x
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f
β) Να δείξετε ότι για κάθε x R f(x) + f(- x) = 0 και ότι η συνάρτηση f είναι περιττή
γ) Να συγκρίνετε τους αριθμούς f(0) και f(- 1)
δ) Να λύσετε την ανίσωση f(ex) gt x + ln3
105 Δίνεται η συνάρτηση 3
ln3
xf x
x
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f
β) Να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι περιττή
γ) Να συγκρίνετε τους αριθμούς f(0) και 1
3f
δ) Να λύσετε την εξίσωση 1 0f x f x
106 Δίνονται οι συναρτήσεις 2
2
100 10( ) ( )
10100
x xf x og g x og
xx
α) Να δείξετε ότι η f είναι άρτια και η g περιττή
β) Να βρείτε τα κοινά σημεία των γραφικών τους παραστάσεων
γ) Να λυθεί η ανισότητα f(x)gt0
107 Δίνεται η συνάρτηση f (x) = ln 9 3 x x xe
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f
β) Να δείξετε ότι f(1)lt0
γ) Να βρείτε τα διαστήματα του x που η Cf είναι πάνω από την ευθεία ε y= 2x + ln2
108 Δίνεται η συνάρτηση f (x) = 2x + 6x - 40
α) Να βρείτε το f(4)
β) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα
γ) Να λύσετε την εξίσωση f(x) =0
109 Έστω η συνάρτηση f (x) = 3x + 2ex-κ -1 που η γραφική της παράσταση διέρχεται από το
σημείο Α(0 1)
α) Να βρείτε το κ
β) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα
γ) Να λύσετε την εξίσωση 3x + 2ex = 2
δ) Να λύσετε την ανίσωση 3x + 2ex gt 2
18 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
110 Δίνεται η συνάρτηση f (x) = (ln 1)x
a
α) Να βρείτε τις τιμές του α για τις οποίες
i η συνάρτηση f ορίζεται σε όλο το R
ii η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα
β) Για α = e3 να λύσετε την εξίσωση ln 2 ln 1 f εφx f σφx
111 Δίνεται η συνάρτηση 1
ln5
x
f x
α) Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες η συνάρτηση f ορίζεται σε όλο το
β) Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα
στο
γ) Αν 11 να λύσετε την εξίσωση f f 1 6x x
112 Δίνεται η συνάρτηση f με f(x) = x + ln(ex - 3)
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της
β) Να δείξετε ότι f(ln4) lt f(ln5)
γ) Να λύσετε την ανίσωση f(x) gt lη2 + ln(ex - 2)
113 Δίνεται η συνάρτηση ( ) ln( 1) x
f x x e
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της
β) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα
γ) Να συγκρίνετε τους αριθμούς log 2f και log5f
δ) Να βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f και της ευθείας
ln 2y
114 Δίνεται η συνάρτηση 4 2
log 8 log log 100 0f x x x x x
α) Αν f(10)=25 να δείξετε ότι α = 1
β) Για την τιμή α = 1 να
i δείξετε ότι η f(x) γράφεται στη μορφή 2
2log 4 logf x x x
ii να λύσετε την εξίσωση f(x) = 0
115 Δίνονται οι συναρτήσεις ln x
f x e e και 1ln 2 2
xg x e
α) Να βρείτε το πεδίο των συναρτήσεων fg
β) Να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των fg δεν τέμνονται
γ) Να λύσετε την ανίσωση 1f x
116 Δίνονται οι συναρτήσεις x xf(x) ln e e
και x
g(x) ln ln e
α) Να βρείτε τα πεδία ορισμού των f(x) και g(x)
β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = g(x)
γ) Να λύσετε την ανίσωση f(x) gt 2g(x
117 Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) = ln(e2x-ex-2) και g(x) = ln2+ln(ex-l)
α) Να βρείτε τα πεδία ορισμού των f(x) και g(x)
β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = g(x)
γ) Να λύσετε την ανίσωση f(x) gt g(x)
19 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
118 Δίνεται η συνάρτηση 2
1ln
5
x
x
ef x
e
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f(x)
β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = 2ln2
γ) Να λύσετε την ανίσωση f(x) gt 0
119 Έστω η συνάρτηση f(x) = log(225x-54x) και η ευθεία ε y = x + log3
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f
β) Να βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της f και της ευθείας ε
γ) Να δείξετε ότι το σημείο Α3 3
2 2
f βρίσκεται πάνω από το σημείο Β με τετμημένη 3
2
της ευθείας ε
120 Δίνονται οι συναρτήσεις ( ) ln 2 3 xf x και ( ) ln(2 3) xg x
α) Να βρείτε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων f και g
β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = g(x)
γ) Να συγκρίνετε τους αριθμούς f(3) και g(3)
121 α) Να δείξετε ότι ln ln a για κάθε α β gt 0
β) Να λυθεί η ανίσωση 1
lnln 22 2 1
xx
γ) Έστω η συνάρτηση f(x) = ln xa Να βρείτε το α ώστε 5f (3) - 3f (5) gt 0
122 Δίνεται το πολυώνυμο 2 1 4 3 2 2( ) 1 ln ln 1f x e x x x x θ (0 π) το
οποίο είναι 3ου βαθμού και διαιρείται με το x-1
α) Να αποδείξετε ότι θ = 2
3
και κ =
1
e
β) Να αποδείξετε ότι το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης [f(x)x2] είναι το ίδιο
γ) Να βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της πολυωνυμικής συνάρτησης f(x)
με την ευθεία (ε) y = 5x-5
ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ
123 Δίνεται το σύστημα 2x y 7
7x 2y 11
α) Να βρείτε τη λύση (x0y0) του συστήματος
β) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης 2f (x) x x έχει κορυφή το σημείο Κ(x0y0)
i) να βρείτε τους αριθμούς β και γ
ii) να λύσετε την ανίσωση f (x) 0
iii) να λύσετε το σύστημα y f (x)
x y 6
20 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
124 Το σύστημα ( 1)x 8y 4
x ( 3)y 3 1
έχει τη μοναδική λύση (x0y0) για την οποία ισχύει
0 0x y 1
α) Να βρείτε τον αριθμό λ
β) Δίνεται η συνάρτηση 2f (x) x 2 x 6
i Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η Cf είναι πάνω από τον χ΄χ
iiΝα λύσετε το σύστημα y f (x)
2y f (x 1) 10x
125 Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f με f (x) = α + βσυν2x διέρχεται από τα σημεία
Α(0 1) και Β 24
π τότε
α) να βρείτε τα α και β
β) να βρείτε την f
γ) να δείξετε ότι η Cf έχει άξονα συμμετρίας τον yy
δ) να δείξετε ότι f (-x) - f4
πx = ημ2x - συν2x
126 Δίνεται το πολυώνυμο f (x) = 2x3 middot συν2θ - x3ημθ - x2 + 3eλ - 2
Αν το πολυώνυμο έχει παράγοντες τους x και x - 1
α) να βρείτε τους λ και θ θ [0 2
π]
β) να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του πολυωνύμου Ρ(x) με το x - 1 όπου
P(x) = x∙f(3x-2) + (2-3x)21
γ) να βρείτε τα διαστήματα που η γραφική παράσταση της συνάρτησης f βρίσκεται κάτω από
τον άξονα χ χ
127 Δίνεται η πολυωνυμική συνάρτηση f(x) = 8x3-4x2 + 2x-l
α) Αν το πολυώνυμο Ρ(x) έχει παράγοντα το x - συνθ θ 02
π να βρείτε το θ
β) Να λύσετε την ανίσωση f(lnx) lt 0
γ) Να βρείτε τα διαστήματα του χ που η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από την
ευθεία y = 10x - 5
128 Θεωρούμε το πολυώνυμο 3 2( ) ( ) 2 1P x x x x
α) Αν έχει παράγοντα το 2
1x να βρείτε τα και
β) Για τις τιμές των και που βρήκατε να λύσετε την ανίσωση ( ) 0P x
γ) Για τις ίδιες τιμές των και να λύσετε την εξίσωση ( ) 0P x
129 Δίνεται το πολυώνυμο 3 2 P x x x x α β Αν το υπόλοιπο της διαίρεσης
2 2P x x x είναι (x) 9x 3 τότε
α) να αποδείξετε ότι 3 και 3
β) να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της πολυωνυμικής συνάρτησης
P(x) βρίσκεται κάτω από τον άξονα xrsquox
21 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
γ) να λύσετε την ανίσωση 10 2 0xP
130 Δίνεται το πολυώνυμο P(x) = x4 +αx3 +βx2 ndash2x + 4 όπου α βIR Το P(x) έχει παράγοντα το
x ndash 1 και το υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x) με το x + 1 είναι το 6
α) Να δείξετε ότι α = ndash1 και β = ndash2
β) Να λύσετε την εξίσωση P(x) = 0
γ) Να λύσετε την ανίσωση P(x) gt 0
δ) Να λύσετε την εξίσωση συν4x ndashσυν3x + 2ημ2x ndash2συνx + 2 = 0 στο διάστημα [ndashπ
2 π)
131 Δίνεται το πολυώνυμο 3 2 1P x x x x που έχει παράγοντα το 1x και το
υπόλοιπο της διαίρεσης του με το 1x είναι 8
α) Να αποδείξετε ότι 2 και 7
β) Να λύσετε την ανίσωση 0x
γ) Αν 2
x
να λύσετε την εξίσωση 3 22 7 2 3 0
132 To πολυώνυμο f(x)=x3+2αx2-βx-1 έχει παράγοντα το x-1 και το υπόλοιπο της διαίρεσης
f (x) (x 1) είναι 4
α) Να βρείτε τις τιμές των α β R
β) Να βρεθούν τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της
f(x) βρίσκεται κάτω από τον άξονα χ΄χ
γ) Να λύσετε την εξίσωση 2x x1e e
2
133 Δίνεται το πολυώνυμο 3 22 7P x x x x το οποίο έχει παράγοντα το 1x και το
υπόλοιπο της διαίρεσης του με το 1x είναι 18
α) Να αποδείξετε ότι 7 και 2
β) Να λύσετε την εξίσωση 3 22 2 7 2 7 2 2 0x x x
γ) Να λύσετε την ανίσωση 2 8 7 4 7 2 2 0x x x
134 Δίνεται το πολυώνυμο 3 2( ) (log 2) log 0P x x x k x k k
α) Να αποδείξετε ότι το 1x είναι παράγοντας του ( )P x
β) Να βρείτε τις τιμές του k για τις οποίες το πολυώνυμο ( )P x έχει τρεις
πραγματικές ρίζες
γ) Για 10k να λύσετε
i την ανίσωση ( ) 0P x
ii την εξίσωση 2( ) [0 ]P x x x
135 Δίνεται το πολυώνυμο
4 3 22ln 1 2 0 0 x x x x x x
α) Αν το πολυώνυμο x είναι 3ου βαθμού και έχει παράγοντα το 1x να βρεθούν τα
β) Αν 3 2 1x x x x x να βρεθούν οι τιμές του x για τις οποίες ισχύει
0x
22 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
γ) Να λυθούν
i η εξίσωση 2 0 0 ό
ii η ανίσωση 2 ln 0
136 Δίνεται η συνάρτηση log 2 4 5 2 2x xf x
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f
β) Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τον
άξονα χ΄χ
γ) Να λύσετε στο διάστημα 0 2 την εξίσωση 2 0f x
137 Έστω η συνάρτηση ( ) ln 2 xf x ημ
α) Να αποδείξετε ότι η f είναι περιττή
β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = 0 στο (- π π)
138 Έστω η συνάρτηση f(x) = ημx + ex - 1
α) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο Α= 2 2
π π
β) Να βρείτε το f(0)
γ) Να λύσετε
i την εξίσωση ημx + ex=1 στο 2 2
π π
ii την ανίσωση ημx + ex lt1 στο 2 2
π π
139 Έστω η συνάρτηση f (x) = (3 ndash 2lnα)x
α) Να βρείτε το α ώστε η συνάρτηση f να ορίζεται σε όλο το R
β) Να βρείτε το α ώστε η συνάρτηση f να είναι γνησίως φθίνουσα
γ) Για α = e να λύσετε την εξίσωση f(2συν2θ)-f(2ημ2θ) = 3
140 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = (2lnα - 1)x
α) Να βρείτε τις τιμές του α R για τις οποίες η συνάρτηση f ορίζεται σε όλο το R
β) Να βρείτε τις τιμές του α R για τις οποίες η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα
γ) Αν α = e2 να βρείτε το θ ώστε 2 2 2 4( ) ( )
3 f συν θ ημ θ f συν θ
141 Δίνεται η συνάρτηση 2
log logf x x x
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f
β) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τον άξονα χ΄χ
γ) Να λύσετε την εξίσωση 0f x
δ) Αν για τους θετικούς αριθμούς α β με ισχύει ότι f f να αποδείξετε ότι
10000
142 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = log(4x ndash 2)
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f και να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f έχει
μοναδικό κοινό σημείο με την ευθεία y = 1 ndash log5
23 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
β) Να λύσετε την ανίσωση 1
-12
4 64 - 2 0
5 5
xx
γ) Να λύσετε την εξίσωση f(x) + f(2
x) = 1 + log
1-
124 6
4 - 25 5
xx
δ) Να λύσετε την εξίσωση ημ2x = f(5
2) + f(1) ndash f(
3
2)
143 Δίνεται το πολυώνυμο 1
4 2 1 3 225 2 3 25 1 λf x x x x x
α) Αν το (x ndash 1) είναι παράγοντας του f(x) να βρείτε το λ
β) Για 1
2
i να δείξετε ότι το (x -1)2 είναι παράγοντας του f(x)
ii να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τον
άξονα x΄x
144 Δίνεται το πολυώνυμο Ρ(x) = (21lnκ - 1)x4 + x3 + (e - 1)x2 ndash e∙x +1 + 2ημθ θ (0 2π)
Αν το πολυώνυμο Ρ(x) είναι 3ου βαθμού και έχει παράγοντα το x - 1
α) να βρείτε τα κ και θ
β) να λύσετε την ανίσωση Ρ(x) lt 0
γ) να βρείτε τα διαστήματα που η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) με
f(x) = e3x+(e-1)e2x-ex+1 βρίσκεται κάτω από τον άξονα χ χ
145 Δίνεται η συνάρτηση ln ln 3
( )ln ln
x
f x
με 3lt α lt β η οποία είναι γνησίως φθίνουσα στο
σύνολο των πραγματικών αριθμών
α) Να συγκρίνετε τους αριθμούς ln και ln
β) Να αποδείξετε ότι 23
γ) Αν 6 και 24 τότε
i) να αποδείξετε ότι 1
( )2
x
f x
ii) να αποδείξετε ότι για κάθε ισχύει η ανισότητα 22
f f f
δ)Να λυθεί η εξίσωση 2 2( ) ( ) 3f x f x
146 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x - 1 + lnx x gt 0
α) Να δείξετε ότι για κάθε x με 0 lt x lt 1 f(x) lt 0
β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = x-1-ln2x
γ) Να λύσετε την ανίσωση f (ex) gt x + 2x -1
δ) Να δείξετε ότι για κάθε θ 02
lne
147 Δίνεται το πολυώνυμο f(x) όπου f(x) = x3-2x2lnα2 + 5xlnα-2 αgt0
α) Αν το x-1 είναι παράγοντας του f(x) τότε να βρείτε το α
β) Για α = e
24 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
i να δείξετε ότι το (x-1)2 είναι παράγοντας του πολυωνύμου f(x)
ii να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της πολυωνυμικής
συνάρτησης f(x) βρίσκεται κάτω από τον άξονα χ χ
148 Έστω η συνάρτηση f(x) = ln(2 - ex)
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f
β) Έστω ότι ο αριθμοί α = 2x β = f(x) γ = ln4 είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου
i Να βρείτε το x
ii Αν ο αριθμός α είναι ο 3ος όρος της αριθμητικής προόδου να βρείτε ποιος όρος της προόδου
ισούται με 2ln2 + 5ln3
149 Δίνεται το πολυώνυμο Ρ(x) = x3 +x2 + x + 2λ2 ndashλ +1
α) Να αποδείξετε ότι η διαίρεση Ρ(x) (x -1 ) δεν είναι τέλεια
β) Αν υ(λ) το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ(x) (x -1 ) να βρεθεί το λ ώστε το υ(λ) να γίνεται
ελάχιστο και την ελάχιστη τιμή του υ(λ)
γ) Για την τιμή του λ που το υ(λ) γίνεται ελάχιστο
i να λύσετε την εξίσωση 425x-2λ-16x-2λ=48λx
ii να λύσετε την εξίσωση
2ln x 1ln
21
4 5 x2
αφού πρώτα αποδείξετε ότι
ln x ln 22 x
δ) Να λύσετε την ανίσωση 8 x 4 x 4 x 1 4 x 13 9 11 4 4
150 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = log(e2x-kex +λ) με f(0) = log2 f(ln6) = log12
α) Να δείξετε ότι κ = 5 και λ = 6
β) Αν κ = 5 και λ = 6
i Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f
ii Να λυθεί η εξίσωση f(x) = 1minuslog(ex + 1)
iii Να δείξετε ότι οι αριθμοί f(ln5)minusf(0) f(ln5) f(ln6) είναι διαδοχικοί όροι
αριθμητικής προόδου
151 Αν το πολυώνυμο f(x) = x3 + 2αx2 - βx - 1 έχει παράγοντα το x - 1 και το υπόλοιπο της
διαίρεσης Ρ(x)(x + 1) είναι 4
α) να βρείτε τους α και β
β) να λύσετε την εξίσωση 2συν4
βx- 2ημ2 x
2
= -2
γ) να βρείτε το ελάχιστο πλήθος των πρώτων όρων της αριθμητικής προόδου (αν) με α1 = α και
ω = β που απαιτούνται ώστε το άθροισμα τους να ξεπερνάει το 150
δ) να λύσετε την εξίσωση β2lnx =5 + 4∙xln2α
152 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) = x3+λx2+23x-15 (λR ) διέρχεται από το σημείο
Α(10)
α) Να βρεθεί ο λ R
β) Για ποιες τιμές του xR η ψ = f(x) βρίσκεται κάτω από τον άξονα x΄x
γ) οι τετμημένες των σημείων στα οποία η ψ = f(x) τέμνει τον άξονα x΄x είναι κατά αύξουσα
τάξη οι 3 πρώτοι όροι μιας προόδου Αν το άθροισμα των ν πρώτων όρων της είναι 400 να
βρεθεί ο ν
25 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
153 α) Έστω η συνάρτηση f (x) = 2 middot 3x + 3x - 24
i να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα και να βρείτε το f(2)
ii να λύσετε την εξίσωση f(x) = 0
β) Δύο κοινωνίες βακτηριδίων Α και Β έχουν αρχικά 24 και 2 βακτηρίδια αντίστοιχα
Η κοινωνία των βακτηριδίων Α μειώνεται σε αριθμό κάθε μια ώρα κατά 3 βακτηρίδια
Η κοινωνία των βακτηριδίων Β τριπλασιάζεται κάθε μία ώρα Να βρείτε μετά από πόσες
ώρες οι κοινωνίες των βακτηριδίων θα έχουν τον ίδιο αριθμό βακτηριδίων
14 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
82 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = ln(ex - 1)
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f
β) Να βρείτε τα διαστήματα που η γραφική παράσταση της συνάρτησης f βρίσκεται πάνω από
τον άξονα χ χ
γ) Να συγκρίνετε τους αριθμούς f(ln2) και f(l)
δ) Να λυθεί η εξίσωση f(2x)-f(x) = f(1)
83 Δίνεται η συνάρτηση f(x)=ln(ex-2)-ln(ex-1)
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f
β) Να αποδείξετε ότι f(x)=ln (1-1
1xe
)
γ) Να λύσετε την εξίσωση f(x)=-ln2
δ) Nα αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f δεν τέμνει την ευθεία με εξίσωση y=x
84 Δίνονται οι συναρτήσεις f g με τύπους f(x) = ln(ex minus 1 ) και g(x) = ln(ex + 2)
α Να βρείτε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων f και g
β Να συγκρίνετε τις τιμές f(ln2) και g( minus1)
γ Να λύσετε την εξίσωση x + f(x) = ln2 + g(x)
85 Έστω η συνάρτηση f(x) = k +log(x2-3) k
α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f
β) Να υπολογίσετε την τιμή του k ώστε f(2)= log100
γ) Για k=2
i Nα βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με την ευθεία
1
log1000
y
i i Nα λυθεί η ανίσωση f(x) gt2
86 Δίνονται οι συναρτήσεις 22log 2 1 log 3 2f x x x x και log 4 3 logg x x x
α) Να βρείτε το πεδίο των συναρτήσεων fg
β) Να βρείτε τα σημεία τομής των γραφικών τους παραστάσεων
γ) Να λύσετε τις εξισώσεις i 0f x και ii 0g x
δ) Να αποδείξετε ότι 2 2log 2 1g
87 Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο 1 1
f(x)= +1+lnx 1-lnx
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού Α της συνάρτησης
β) Να αποδείξετε ότι για κάθε xΑ ισχύει 1
f(x)=fx
γ) Να λύσετε την ανίσωση 1
f(x)+f gt4x
88 Α Να λύσετε την εξίσωση y3 + y - 2 = 0 (1)
15 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
Β Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f (x) = 27x + 1
2middot 12x lnα2 -2∙8x lnα διέρχεται από
την αρχή των αξόνων
α να αποδείξετε ότι α = e
β να βρείτε το διάστημα που η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τον άξονα xx
89 Δίνονται τα πολυώνυμα Ρ(x) = (α - ln2)x3 - (2e - β)x + 3
ln2
Q(x) = (1 ndash lnβ)x3 - (2e - 2)x + 3
ln2
Αν τα πολυώνυμα Ρ(x) και Q(x) είναι ίσα
α Να βρείτε τα α και β
β να αποδείξετε ότι Ρ(-1)gt0
90 Έστω το πολυώνυμο Ρ(x) = x3lnα + (2 - lnα)x2 + αlnβx +1 έχει θετικούς ακέραιους συντελεστές
και αρνητική ακέραια ρίζα
α Να βρείτε τα α και β
β Για α = e και β = 1 να βρείτε τα διαστήματα του x που η γραφική παράσταση της συνάρτησης
f(x) = P(ex) βρίσκεται κάτω από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης g(x) = ex + 3
91 Δίνεται η συνάρτηση f(x)= αlnx +β
α) Να βρείτε τις τιμές των α β R αν γνωρίζετε ότι η γραφική της παράσταση
διέρχεται από τα σημεία Α(10) και B(e2)
β) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f
γ) Να λυθεί η εξίσωση f(x)+f(2x)=61n2
δ) Να λυθεί η ανίσωση f(2x+1)gt f(x)
ε) Να λυθεί το σύστημα x y
f (x) f (y) 2
e e
92 Έστω η συνάρτηση f (x) = x -1 + 2ln(αx) x gt0
Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f διέρχεται από το σημείο Α(1 0)
α) να βρείτε το α
β) να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο (0+)
γ) να λύσετε την ανίσωση f(x) gt 0
93 Δίνεται η συνάρτηση 2
1( )
1
nxf x
n x
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f(x)
β) Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τον χ΄χ
γ) Να βρείτε τα σημεία τομής της Cf με την ευθεία y =1
94 Δίνεται η f( x ) = log ( 102x ndash 10x )
α) Να δειχθεί ότι το πεδίο ορισμού της f είναι το Α=( 0 + )
β) Να δειχθεί ότι f( x ) = x + log ( 10x ndash 1 )
γ) Να λυθεί η εξίσωση f( x ) = x
δ) Να λυθεί η ανίσωση f( x ) le x + 2log 2
16 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
95 Δίνεται η συνάρτηση 2( ) 5 6
x xf x n e e
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f(x)
β) Να λύσετε την ανίσωση ( ) 2f x n
γ) Να λύσετε την εξίσωση ( ) 2 f x x n
96 Δίνεται η συνάρτηση f(x)=ln(3e2xshyex-2)
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f
β) Να βρείτε την τεταγμένη του σημείου της γραφικής παράστασης με τετμημένη ln2 και να
βρείτε τη θέση του σημείου ως προς τον άξονα χ΄χ
γ) Να λυθεί η εξίσωση f(x)=3x ως προς x
97 Δίνεται η συνάρτηση 1
( )1
x
x
ef x a
e που η γραφική της παράσταση διέρχεται από το σημείο
A(ln2 3)
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f
β) Να αποδείξετε ότι α = 1
γ) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι περιττή
δ) Να λυθεί η ανίσωση f(x) gt 2
98 Δίνεται η συνάρτηση
11 2log( 1)
log( 1) 2( ) 10 100 80x
xf x
α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της
β) Να λυθεί η εξίσωση f(x) = 10
γ) Να βρείτε τα κοινά σημεία της ψ = f(x) με την ευθεία ψ = x-20
99 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = α + ln(ex - 2)
Α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f
Β) Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f διέρχεται από το σημείο A(ln3 1) middot
α) να αποδείξετε ότι α = 1
β) να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τον άξονα xx
γ) να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα
100 Δίνεται η συνάρτηση
ln 3 11( )
ln 5
xf x
x
α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της
β) Να λυθεί η εξίσωση f(x) = 2
γ) Αν x gt 6 να λύσετε την ανίσωση f(x) gt 1
101 Δίνεται η συνάρτηση ln 1
( )ln 2
xg x
x
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης ( ) ( )f x g x
β) Να βρείτε αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f τέμνει και σε ποια σημεία τους
άξονες χ΄χ και y΄y
γ) Να λύσετε την εξίσωση ( ) 1x
f e
17 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
102 Δίνεται η συνάρτηση f(x)=2(x-1)+lnx
α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της
β) Να δείξετε ότι το 1 είναι ρίζα της εξίσωσης f(x)=0
γ) Να λυθεί η εξίσωση f(x)=2(x-1)+(lnx)2
103 α) Δίνεται η συνάρτηση f (x) = 3x + 2x + lnx ndash 5Να βρείτε το f(1) και να δείξετε ότι η f είναι
γνησίως αύξουσα
β) Να λύσετε την εξίσωση 2x+ lnx = 5-3x
γ) Να λύσετε την ανίσωση 3x + lnx lt 5-2x
104 Δίνεται η συνάρτηση f (x) = 2ln 1 x x
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f
β) Να δείξετε ότι για κάθε x R f(x) + f(- x) = 0 και ότι η συνάρτηση f είναι περιττή
γ) Να συγκρίνετε τους αριθμούς f(0) και f(- 1)
δ) Να λύσετε την ανίσωση f(ex) gt x + ln3
105 Δίνεται η συνάρτηση 3
ln3
xf x
x
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f
β) Να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι περιττή
γ) Να συγκρίνετε τους αριθμούς f(0) και 1
3f
δ) Να λύσετε την εξίσωση 1 0f x f x
106 Δίνονται οι συναρτήσεις 2
2
100 10( ) ( )
10100
x xf x og g x og
xx
α) Να δείξετε ότι η f είναι άρτια και η g περιττή
β) Να βρείτε τα κοινά σημεία των γραφικών τους παραστάσεων
γ) Να λυθεί η ανισότητα f(x)gt0
107 Δίνεται η συνάρτηση f (x) = ln 9 3 x x xe
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f
β) Να δείξετε ότι f(1)lt0
γ) Να βρείτε τα διαστήματα του x που η Cf είναι πάνω από την ευθεία ε y= 2x + ln2
108 Δίνεται η συνάρτηση f (x) = 2x + 6x - 40
α) Να βρείτε το f(4)
β) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα
γ) Να λύσετε την εξίσωση f(x) =0
109 Έστω η συνάρτηση f (x) = 3x + 2ex-κ -1 που η γραφική της παράσταση διέρχεται από το
σημείο Α(0 1)
α) Να βρείτε το κ
β) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα
γ) Να λύσετε την εξίσωση 3x + 2ex = 2
δ) Να λύσετε την ανίσωση 3x + 2ex gt 2
18 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
110 Δίνεται η συνάρτηση f (x) = (ln 1)x
a
α) Να βρείτε τις τιμές του α για τις οποίες
i η συνάρτηση f ορίζεται σε όλο το R
ii η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα
β) Για α = e3 να λύσετε την εξίσωση ln 2 ln 1 f εφx f σφx
111 Δίνεται η συνάρτηση 1
ln5
x
f x
α) Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες η συνάρτηση f ορίζεται σε όλο το
β) Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα
στο
γ) Αν 11 να λύσετε την εξίσωση f f 1 6x x
112 Δίνεται η συνάρτηση f με f(x) = x + ln(ex - 3)
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της
β) Να δείξετε ότι f(ln4) lt f(ln5)
γ) Να λύσετε την ανίσωση f(x) gt lη2 + ln(ex - 2)
113 Δίνεται η συνάρτηση ( ) ln( 1) x
f x x e
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της
β) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα
γ) Να συγκρίνετε τους αριθμούς log 2f και log5f
δ) Να βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f και της ευθείας
ln 2y
114 Δίνεται η συνάρτηση 4 2
log 8 log log 100 0f x x x x x
α) Αν f(10)=25 να δείξετε ότι α = 1
β) Για την τιμή α = 1 να
i δείξετε ότι η f(x) γράφεται στη μορφή 2
2log 4 logf x x x
ii να λύσετε την εξίσωση f(x) = 0
115 Δίνονται οι συναρτήσεις ln x
f x e e και 1ln 2 2
xg x e
α) Να βρείτε το πεδίο των συναρτήσεων fg
β) Να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των fg δεν τέμνονται
γ) Να λύσετε την ανίσωση 1f x
116 Δίνονται οι συναρτήσεις x xf(x) ln e e
και x
g(x) ln ln e
α) Να βρείτε τα πεδία ορισμού των f(x) και g(x)
β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = g(x)
γ) Να λύσετε την ανίσωση f(x) gt 2g(x
117 Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) = ln(e2x-ex-2) και g(x) = ln2+ln(ex-l)
α) Να βρείτε τα πεδία ορισμού των f(x) και g(x)
β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = g(x)
γ) Να λύσετε την ανίσωση f(x) gt g(x)
19 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
118 Δίνεται η συνάρτηση 2
1ln
5
x
x
ef x
e
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f(x)
β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = 2ln2
γ) Να λύσετε την ανίσωση f(x) gt 0
119 Έστω η συνάρτηση f(x) = log(225x-54x) και η ευθεία ε y = x + log3
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f
β) Να βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της f και της ευθείας ε
γ) Να δείξετε ότι το σημείο Α3 3
2 2
f βρίσκεται πάνω από το σημείο Β με τετμημένη 3
2
της ευθείας ε
120 Δίνονται οι συναρτήσεις ( ) ln 2 3 xf x και ( ) ln(2 3) xg x
α) Να βρείτε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων f και g
β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = g(x)
γ) Να συγκρίνετε τους αριθμούς f(3) και g(3)
121 α) Να δείξετε ότι ln ln a για κάθε α β gt 0
β) Να λυθεί η ανίσωση 1
lnln 22 2 1
xx
γ) Έστω η συνάρτηση f(x) = ln xa Να βρείτε το α ώστε 5f (3) - 3f (5) gt 0
122 Δίνεται το πολυώνυμο 2 1 4 3 2 2( ) 1 ln ln 1f x e x x x x θ (0 π) το
οποίο είναι 3ου βαθμού και διαιρείται με το x-1
α) Να αποδείξετε ότι θ = 2
3
και κ =
1
e
β) Να αποδείξετε ότι το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης [f(x)x2] είναι το ίδιο
γ) Να βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της πολυωνυμικής συνάρτησης f(x)
με την ευθεία (ε) y = 5x-5
ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ
123 Δίνεται το σύστημα 2x y 7
7x 2y 11
α) Να βρείτε τη λύση (x0y0) του συστήματος
β) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης 2f (x) x x έχει κορυφή το σημείο Κ(x0y0)
i) να βρείτε τους αριθμούς β και γ
ii) να λύσετε την ανίσωση f (x) 0
iii) να λύσετε το σύστημα y f (x)
x y 6
20 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
124 Το σύστημα ( 1)x 8y 4
x ( 3)y 3 1
έχει τη μοναδική λύση (x0y0) για την οποία ισχύει
0 0x y 1
α) Να βρείτε τον αριθμό λ
β) Δίνεται η συνάρτηση 2f (x) x 2 x 6
i Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η Cf είναι πάνω από τον χ΄χ
iiΝα λύσετε το σύστημα y f (x)
2y f (x 1) 10x
125 Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f με f (x) = α + βσυν2x διέρχεται από τα σημεία
Α(0 1) και Β 24
π τότε
α) να βρείτε τα α και β
β) να βρείτε την f
γ) να δείξετε ότι η Cf έχει άξονα συμμετρίας τον yy
δ) να δείξετε ότι f (-x) - f4
πx = ημ2x - συν2x
126 Δίνεται το πολυώνυμο f (x) = 2x3 middot συν2θ - x3ημθ - x2 + 3eλ - 2
Αν το πολυώνυμο έχει παράγοντες τους x και x - 1
α) να βρείτε τους λ και θ θ [0 2
π]
β) να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του πολυωνύμου Ρ(x) με το x - 1 όπου
P(x) = x∙f(3x-2) + (2-3x)21
γ) να βρείτε τα διαστήματα που η γραφική παράσταση της συνάρτησης f βρίσκεται κάτω από
τον άξονα χ χ
127 Δίνεται η πολυωνυμική συνάρτηση f(x) = 8x3-4x2 + 2x-l
α) Αν το πολυώνυμο Ρ(x) έχει παράγοντα το x - συνθ θ 02
π να βρείτε το θ
β) Να λύσετε την ανίσωση f(lnx) lt 0
γ) Να βρείτε τα διαστήματα του χ που η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από την
ευθεία y = 10x - 5
128 Θεωρούμε το πολυώνυμο 3 2( ) ( ) 2 1P x x x x
α) Αν έχει παράγοντα το 2
1x να βρείτε τα και
β) Για τις τιμές των και που βρήκατε να λύσετε την ανίσωση ( ) 0P x
γ) Για τις ίδιες τιμές των και να λύσετε την εξίσωση ( ) 0P x
129 Δίνεται το πολυώνυμο 3 2 P x x x x α β Αν το υπόλοιπο της διαίρεσης
2 2P x x x είναι (x) 9x 3 τότε
α) να αποδείξετε ότι 3 και 3
β) να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της πολυωνυμικής συνάρτησης
P(x) βρίσκεται κάτω από τον άξονα xrsquox
21 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
γ) να λύσετε την ανίσωση 10 2 0xP
130 Δίνεται το πολυώνυμο P(x) = x4 +αx3 +βx2 ndash2x + 4 όπου α βIR Το P(x) έχει παράγοντα το
x ndash 1 και το υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x) με το x + 1 είναι το 6
α) Να δείξετε ότι α = ndash1 και β = ndash2
β) Να λύσετε την εξίσωση P(x) = 0
γ) Να λύσετε την ανίσωση P(x) gt 0
δ) Να λύσετε την εξίσωση συν4x ndashσυν3x + 2ημ2x ndash2συνx + 2 = 0 στο διάστημα [ndashπ
2 π)
131 Δίνεται το πολυώνυμο 3 2 1P x x x x που έχει παράγοντα το 1x και το
υπόλοιπο της διαίρεσης του με το 1x είναι 8
α) Να αποδείξετε ότι 2 και 7
β) Να λύσετε την ανίσωση 0x
γ) Αν 2
x
να λύσετε την εξίσωση 3 22 7 2 3 0
132 To πολυώνυμο f(x)=x3+2αx2-βx-1 έχει παράγοντα το x-1 και το υπόλοιπο της διαίρεσης
f (x) (x 1) είναι 4
α) Να βρείτε τις τιμές των α β R
β) Να βρεθούν τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της
f(x) βρίσκεται κάτω από τον άξονα χ΄χ
γ) Να λύσετε την εξίσωση 2x x1e e
2
133 Δίνεται το πολυώνυμο 3 22 7P x x x x το οποίο έχει παράγοντα το 1x και το
υπόλοιπο της διαίρεσης του με το 1x είναι 18
α) Να αποδείξετε ότι 7 και 2
β) Να λύσετε την εξίσωση 3 22 2 7 2 7 2 2 0x x x
γ) Να λύσετε την ανίσωση 2 8 7 4 7 2 2 0x x x
134 Δίνεται το πολυώνυμο 3 2( ) (log 2) log 0P x x x k x k k
α) Να αποδείξετε ότι το 1x είναι παράγοντας του ( )P x
β) Να βρείτε τις τιμές του k για τις οποίες το πολυώνυμο ( )P x έχει τρεις
πραγματικές ρίζες
γ) Για 10k να λύσετε
i την ανίσωση ( ) 0P x
ii την εξίσωση 2( ) [0 ]P x x x
135 Δίνεται το πολυώνυμο
4 3 22ln 1 2 0 0 x x x x x x
α) Αν το πολυώνυμο x είναι 3ου βαθμού και έχει παράγοντα το 1x να βρεθούν τα
β) Αν 3 2 1x x x x x να βρεθούν οι τιμές του x για τις οποίες ισχύει
0x
22 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
γ) Να λυθούν
i η εξίσωση 2 0 0 ό
ii η ανίσωση 2 ln 0
136 Δίνεται η συνάρτηση log 2 4 5 2 2x xf x
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f
β) Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τον
άξονα χ΄χ
γ) Να λύσετε στο διάστημα 0 2 την εξίσωση 2 0f x
137 Έστω η συνάρτηση ( ) ln 2 xf x ημ
α) Να αποδείξετε ότι η f είναι περιττή
β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = 0 στο (- π π)
138 Έστω η συνάρτηση f(x) = ημx + ex - 1
α) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο Α= 2 2
π π
β) Να βρείτε το f(0)
γ) Να λύσετε
i την εξίσωση ημx + ex=1 στο 2 2
π π
ii την ανίσωση ημx + ex lt1 στο 2 2
π π
139 Έστω η συνάρτηση f (x) = (3 ndash 2lnα)x
α) Να βρείτε το α ώστε η συνάρτηση f να ορίζεται σε όλο το R
β) Να βρείτε το α ώστε η συνάρτηση f να είναι γνησίως φθίνουσα
γ) Για α = e να λύσετε την εξίσωση f(2συν2θ)-f(2ημ2θ) = 3
140 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = (2lnα - 1)x
α) Να βρείτε τις τιμές του α R για τις οποίες η συνάρτηση f ορίζεται σε όλο το R
β) Να βρείτε τις τιμές του α R για τις οποίες η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα
γ) Αν α = e2 να βρείτε το θ ώστε 2 2 2 4( ) ( )
3 f συν θ ημ θ f συν θ
141 Δίνεται η συνάρτηση 2
log logf x x x
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f
β) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τον άξονα χ΄χ
γ) Να λύσετε την εξίσωση 0f x
δ) Αν για τους θετικούς αριθμούς α β με ισχύει ότι f f να αποδείξετε ότι
10000
142 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = log(4x ndash 2)
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f και να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f έχει
μοναδικό κοινό σημείο με την ευθεία y = 1 ndash log5
23 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
β) Να λύσετε την ανίσωση 1
-12
4 64 - 2 0
5 5
xx
γ) Να λύσετε την εξίσωση f(x) + f(2
x) = 1 + log
1-
124 6
4 - 25 5
xx
δ) Να λύσετε την εξίσωση ημ2x = f(5
2) + f(1) ndash f(
3
2)
143 Δίνεται το πολυώνυμο 1
4 2 1 3 225 2 3 25 1 λf x x x x x
α) Αν το (x ndash 1) είναι παράγοντας του f(x) να βρείτε το λ
β) Για 1
2
i να δείξετε ότι το (x -1)2 είναι παράγοντας του f(x)
ii να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τον
άξονα x΄x
144 Δίνεται το πολυώνυμο Ρ(x) = (21lnκ - 1)x4 + x3 + (e - 1)x2 ndash e∙x +1 + 2ημθ θ (0 2π)
Αν το πολυώνυμο Ρ(x) είναι 3ου βαθμού και έχει παράγοντα το x - 1
α) να βρείτε τα κ και θ
β) να λύσετε την ανίσωση Ρ(x) lt 0
γ) να βρείτε τα διαστήματα που η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) με
f(x) = e3x+(e-1)e2x-ex+1 βρίσκεται κάτω από τον άξονα χ χ
145 Δίνεται η συνάρτηση ln ln 3
( )ln ln
x
f x
με 3lt α lt β η οποία είναι γνησίως φθίνουσα στο
σύνολο των πραγματικών αριθμών
α) Να συγκρίνετε τους αριθμούς ln και ln
β) Να αποδείξετε ότι 23
γ) Αν 6 και 24 τότε
i) να αποδείξετε ότι 1
( )2
x
f x
ii) να αποδείξετε ότι για κάθε ισχύει η ανισότητα 22
f f f
δ)Να λυθεί η εξίσωση 2 2( ) ( ) 3f x f x
146 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x - 1 + lnx x gt 0
α) Να δείξετε ότι για κάθε x με 0 lt x lt 1 f(x) lt 0
β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = x-1-ln2x
γ) Να λύσετε την ανίσωση f (ex) gt x + 2x -1
δ) Να δείξετε ότι για κάθε θ 02
lne
147 Δίνεται το πολυώνυμο f(x) όπου f(x) = x3-2x2lnα2 + 5xlnα-2 αgt0
α) Αν το x-1 είναι παράγοντας του f(x) τότε να βρείτε το α
β) Για α = e
24 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
i να δείξετε ότι το (x-1)2 είναι παράγοντας του πολυωνύμου f(x)
ii να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της πολυωνυμικής
συνάρτησης f(x) βρίσκεται κάτω από τον άξονα χ χ
148 Έστω η συνάρτηση f(x) = ln(2 - ex)
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f
β) Έστω ότι ο αριθμοί α = 2x β = f(x) γ = ln4 είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου
i Να βρείτε το x
ii Αν ο αριθμός α είναι ο 3ος όρος της αριθμητικής προόδου να βρείτε ποιος όρος της προόδου
ισούται με 2ln2 + 5ln3
149 Δίνεται το πολυώνυμο Ρ(x) = x3 +x2 + x + 2λ2 ndashλ +1
α) Να αποδείξετε ότι η διαίρεση Ρ(x) (x -1 ) δεν είναι τέλεια
β) Αν υ(λ) το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ(x) (x -1 ) να βρεθεί το λ ώστε το υ(λ) να γίνεται
ελάχιστο και την ελάχιστη τιμή του υ(λ)
γ) Για την τιμή του λ που το υ(λ) γίνεται ελάχιστο
i να λύσετε την εξίσωση 425x-2λ-16x-2λ=48λx
ii να λύσετε την εξίσωση
2ln x 1ln
21
4 5 x2
αφού πρώτα αποδείξετε ότι
ln x ln 22 x
δ) Να λύσετε την ανίσωση 8 x 4 x 4 x 1 4 x 13 9 11 4 4
150 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = log(e2x-kex +λ) με f(0) = log2 f(ln6) = log12
α) Να δείξετε ότι κ = 5 και λ = 6
β) Αν κ = 5 και λ = 6
i Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f
ii Να λυθεί η εξίσωση f(x) = 1minuslog(ex + 1)
iii Να δείξετε ότι οι αριθμοί f(ln5)minusf(0) f(ln5) f(ln6) είναι διαδοχικοί όροι
αριθμητικής προόδου
151 Αν το πολυώνυμο f(x) = x3 + 2αx2 - βx - 1 έχει παράγοντα το x - 1 και το υπόλοιπο της
διαίρεσης Ρ(x)(x + 1) είναι 4
α) να βρείτε τους α και β
β) να λύσετε την εξίσωση 2συν4
βx- 2ημ2 x
2
= -2
γ) να βρείτε το ελάχιστο πλήθος των πρώτων όρων της αριθμητικής προόδου (αν) με α1 = α και
ω = β που απαιτούνται ώστε το άθροισμα τους να ξεπερνάει το 150
δ) να λύσετε την εξίσωση β2lnx =5 + 4∙xln2α
152 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) = x3+λx2+23x-15 (λR ) διέρχεται από το σημείο
Α(10)
α) Να βρεθεί ο λ R
β) Για ποιες τιμές του xR η ψ = f(x) βρίσκεται κάτω από τον άξονα x΄x
γ) οι τετμημένες των σημείων στα οποία η ψ = f(x) τέμνει τον άξονα x΄x είναι κατά αύξουσα
τάξη οι 3 πρώτοι όροι μιας προόδου Αν το άθροισμα των ν πρώτων όρων της είναι 400 να
βρεθεί ο ν
25 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
153 α) Έστω η συνάρτηση f (x) = 2 middot 3x + 3x - 24
i να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα και να βρείτε το f(2)
ii να λύσετε την εξίσωση f(x) = 0
β) Δύο κοινωνίες βακτηριδίων Α και Β έχουν αρχικά 24 και 2 βακτηρίδια αντίστοιχα
Η κοινωνία των βακτηριδίων Α μειώνεται σε αριθμό κάθε μια ώρα κατά 3 βακτηρίδια
Η κοινωνία των βακτηριδίων Β τριπλασιάζεται κάθε μία ώρα Να βρείτε μετά από πόσες
ώρες οι κοινωνίες των βακτηριδίων θα έχουν τον ίδιο αριθμό βακτηριδίων
15 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
Β Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f (x) = 27x + 1
2middot 12x lnα2 -2∙8x lnα διέρχεται από
την αρχή των αξόνων
α να αποδείξετε ότι α = e
β να βρείτε το διάστημα που η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τον άξονα xx
89 Δίνονται τα πολυώνυμα Ρ(x) = (α - ln2)x3 - (2e - β)x + 3
ln2
Q(x) = (1 ndash lnβ)x3 - (2e - 2)x + 3
ln2
Αν τα πολυώνυμα Ρ(x) και Q(x) είναι ίσα
α Να βρείτε τα α και β
β να αποδείξετε ότι Ρ(-1)gt0
90 Έστω το πολυώνυμο Ρ(x) = x3lnα + (2 - lnα)x2 + αlnβx +1 έχει θετικούς ακέραιους συντελεστές
και αρνητική ακέραια ρίζα
α Να βρείτε τα α και β
β Για α = e και β = 1 να βρείτε τα διαστήματα του x που η γραφική παράσταση της συνάρτησης
f(x) = P(ex) βρίσκεται κάτω από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης g(x) = ex + 3
91 Δίνεται η συνάρτηση f(x)= αlnx +β
α) Να βρείτε τις τιμές των α β R αν γνωρίζετε ότι η γραφική της παράσταση
διέρχεται από τα σημεία Α(10) και B(e2)
β) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f
γ) Να λυθεί η εξίσωση f(x)+f(2x)=61n2
δ) Να λυθεί η ανίσωση f(2x+1)gt f(x)
ε) Να λυθεί το σύστημα x y
f (x) f (y) 2
e e
92 Έστω η συνάρτηση f (x) = x -1 + 2ln(αx) x gt0
Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f διέρχεται από το σημείο Α(1 0)
α) να βρείτε το α
β) να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο (0+)
γ) να λύσετε την ανίσωση f(x) gt 0
93 Δίνεται η συνάρτηση 2
1( )
1
nxf x
n x
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f(x)
β) Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τον χ΄χ
γ) Να βρείτε τα σημεία τομής της Cf με την ευθεία y =1
94 Δίνεται η f( x ) = log ( 102x ndash 10x )
α) Να δειχθεί ότι το πεδίο ορισμού της f είναι το Α=( 0 + )
β) Να δειχθεί ότι f( x ) = x + log ( 10x ndash 1 )
γ) Να λυθεί η εξίσωση f( x ) = x
δ) Να λυθεί η ανίσωση f( x ) le x + 2log 2
16 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
95 Δίνεται η συνάρτηση 2( ) 5 6
x xf x n e e
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f(x)
β) Να λύσετε την ανίσωση ( ) 2f x n
γ) Να λύσετε την εξίσωση ( ) 2 f x x n
96 Δίνεται η συνάρτηση f(x)=ln(3e2xshyex-2)
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f
β) Να βρείτε την τεταγμένη του σημείου της γραφικής παράστασης με τετμημένη ln2 και να
βρείτε τη θέση του σημείου ως προς τον άξονα χ΄χ
γ) Να λυθεί η εξίσωση f(x)=3x ως προς x
97 Δίνεται η συνάρτηση 1
( )1
x
x
ef x a
e που η γραφική της παράσταση διέρχεται από το σημείο
A(ln2 3)
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f
β) Να αποδείξετε ότι α = 1
γ) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι περιττή
δ) Να λυθεί η ανίσωση f(x) gt 2
98 Δίνεται η συνάρτηση
11 2log( 1)
log( 1) 2( ) 10 100 80x
xf x
α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της
β) Να λυθεί η εξίσωση f(x) = 10
γ) Να βρείτε τα κοινά σημεία της ψ = f(x) με την ευθεία ψ = x-20
99 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = α + ln(ex - 2)
Α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f
Β) Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f διέρχεται από το σημείο A(ln3 1) middot
α) να αποδείξετε ότι α = 1
β) να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τον άξονα xx
γ) να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα
100 Δίνεται η συνάρτηση
ln 3 11( )
ln 5
xf x
x
α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της
β) Να λυθεί η εξίσωση f(x) = 2
γ) Αν x gt 6 να λύσετε την ανίσωση f(x) gt 1
101 Δίνεται η συνάρτηση ln 1
( )ln 2
xg x
x
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης ( ) ( )f x g x
β) Να βρείτε αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f τέμνει και σε ποια σημεία τους
άξονες χ΄χ και y΄y
γ) Να λύσετε την εξίσωση ( ) 1x
f e
17 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
102 Δίνεται η συνάρτηση f(x)=2(x-1)+lnx
α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της
β) Να δείξετε ότι το 1 είναι ρίζα της εξίσωσης f(x)=0
γ) Να λυθεί η εξίσωση f(x)=2(x-1)+(lnx)2
103 α) Δίνεται η συνάρτηση f (x) = 3x + 2x + lnx ndash 5Να βρείτε το f(1) και να δείξετε ότι η f είναι
γνησίως αύξουσα
β) Να λύσετε την εξίσωση 2x+ lnx = 5-3x
γ) Να λύσετε την ανίσωση 3x + lnx lt 5-2x
104 Δίνεται η συνάρτηση f (x) = 2ln 1 x x
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f
β) Να δείξετε ότι για κάθε x R f(x) + f(- x) = 0 και ότι η συνάρτηση f είναι περιττή
γ) Να συγκρίνετε τους αριθμούς f(0) και f(- 1)
δ) Να λύσετε την ανίσωση f(ex) gt x + ln3
105 Δίνεται η συνάρτηση 3
ln3
xf x
x
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f
β) Να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι περιττή
γ) Να συγκρίνετε τους αριθμούς f(0) και 1
3f
δ) Να λύσετε την εξίσωση 1 0f x f x
106 Δίνονται οι συναρτήσεις 2
2
100 10( ) ( )
10100
x xf x og g x og
xx
α) Να δείξετε ότι η f είναι άρτια και η g περιττή
β) Να βρείτε τα κοινά σημεία των γραφικών τους παραστάσεων
γ) Να λυθεί η ανισότητα f(x)gt0
107 Δίνεται η συνάρτηση f (x) = ln 9 3 x x xe
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f
β) Να δείξετε ότι f(1)lt0
γ) Να βρείτε τα διαστήματα του x που η Cf είναι πάνω από την ευθεία ε y= 2x + ln2
108 Δίνεται η συνάρτηση f (x) = 2x + 6x - 40
α) Να βρείτε το f(4)
β) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα
γ) Να λύσετε την εξίσωση f(x) =0
109 Έστω η συνάρτηση f (x) = 3x + 2ex-κ -1 που η γραφική της παράσταση διέρχεται από το
σημείο Α(0 1)
α) Να βρείτε το κ
β) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα
γ) Να λύσετε την εξίσωση 3x + 2ex = 2
δ) Να λύσετε την ανίσωση 3x + 2ex gt 2
18 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
110 Δίνεται η συνάρτηση f (x) = (ln 1)x
a
α) Να βρείτε τις τιμές του α για τις οποίες
i η συνάρτηση f ορίζεται σε όλο το R
ii η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα
β) Για α = e3 να λύσετε την εξίσωση ln 2 ln 1 f εφx f σφx
111 Δίνεται η συνάρτηση 1
ln5
x
f x
α) Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες η συνάρτηση f ορίζεται σε όλο το
β) Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα
στο
γ) Αν 11 να λύσετε την εξίσωση f f 1 6x x
112 Δίνεται η συνάρτηση f με f(x) = x + ln(ex - 3)
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της
β) Να δείξετε ότι f(ln4) lt f(ln5)
γ) Να λύσετε την ανίσωση f(x) gt lη2 + ln(ex - 2)
113 Δίνεται η συνάρτηση ( ) ln( 1) x
f x x e
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της
β) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα
γ) Να συγκρίνετε τους αριθμούς log 2f και log5f
δ) Να βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f και της ευθείας
ln 2y
114 Δίνεται η συνάρτηση 4 2
log 8 log log 100 0f x x x x x
α) Αν f(10)=25 να δείξετε ότι α = 1
β) Για την τιμή α = 1 να
i δείξετε ότι η f(x) γράφεται στη μορφή 2
2log 4 logf x x x
ii να λύσετε την εξίσωση f(x) = 0
115 Δίνονται οι συναρτήσεις ln x
f x e e και 1ln 2 2
xg x e
α) Να βρείτε το πεδίο των συναρτήσεων fg
β) Να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των fg δεν τέμνονται
γ) Να λύσετε την ανίσωση 1f x
116 Δίνονται οι συναρτήσεις x xf(x) ln e e
και x
g(x) ln ln e
α) Να βρείτε τα πεδία ορισμού των f(x) και g(x)
β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = g(x)
γ) Να λύσετε την ανίσωση f(x) gt 2g(x
117 Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) = ln(e2x-ex-2) και g(x) = ln2+ln(ex-l)
α) Να βρείτε τα πεδία ορισμού των f(x) και g(x)
β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = g(x)
γ) Να λύσετε την ανίσωση f(x) gt g(x)
19 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
118 Δίνεται η συνάρτηση 2
1ln
5
x
x
ef x
e
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f(x)
β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = 2ln2
γ) Να λύσετε την ανίσωση f(x) gt 0
119 Έστω η συνάρτηση f(x) = log(225x-54x) και η ευθεία ε y = x + log3
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f
β) Να βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της f και της ευθείας ε
γ) Να δείξετε ότι το σημείο Α3 3
2 2
f βρίσκεται πάνω από το σημείο Β με τετμημένη 3
2
της ευθείας ε
120 Δίνονται οι συναρτήσεις ( ) ln 2 3 xf x και ( ) ln(2 3) xg x
α) Να βρείτε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων f και g
β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = g(x)
γ) Να συγκρίνετε τους αριθμούς f(3) και g(3)
121 α) Να δείξετε ότι ln ln a για κάθε α β gt 0
β) Να λυθεί η ανίσωση 1
lnln 22 2 1
xx
γ) Έστω η συνάρτηση f(x) = ln xa Να βρείτε το α ώστε 5f (3) - 3f (5) gt 0
122 Δίνεται το πολυώνυμο 2 1 4 3 2 2( ) 1 ln ln 1f x e x x x x θ (0 π) το
οποίο είναι 3ου βαθμού και διαιρείται με το x-1
α) Να αποδείξετε ότι θ = 2
3
και κ =
1
e
β) Να αποδείξετε ότι το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης [f(x)x2] είναι το ίδιο
γ) Να βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της πολυωνυμικής συνάρτησης f(x)
με την ευθεία (ε) y = 5x-5
ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ
123 Δίνεται το σύστημα 2x y 7
7x 2y 11
α) Να βρείτε τη λύση (x0y0) του συστήματος
β) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης 2f (x) x x έχει κορυφή το σημείο Κ(x0y0)
i) να βρείτε τους αριθμούς β και γ
ii) να λύσετε την ανίσωση f (x) 0
iii) να λύσετε το σύστημα y f (x)
x y 6
20 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
124 Το σύστημα ( 1)x 8y 4
x ( 3)y 3 1
έχει τη μοναδική λύση (x0y0) για την οποία ισχύει
0 0x y 1
α) Να βρείτε τον αριθμό λ
β) Δίνεται η συνάρτηση 2f (x) x 2 x 6
i Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η Cf είναι πάνω από τον χ΄χ
iiΝα λύσετε το σύστημα y f (x)
2y f (x 1) 10x
125 Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f με f (x) = α + βσυν2x διέρχεται από τα σημεία
Α(0 1) και Β 24
π τότε
α) να βρείτε τα α και β
β) να βρείτε την f
γ) να δείξετε ότι η Cf έχει άξονα συμμετρίας τον yy
δ) να δείξετε ότι f (-x) - f4
πx = ημ2x - συν2x
126 Δίνεται το πολυώνυμο f (x) = 2x3 middot συν2θ - x3ημθ - x2 + 3eλ - 2
Αν το πολυώνυμο έχει παράγοντες τους x και x - 1
α) να βρείτε τους λ και θ θ [0 2
π]
β) να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του πολυωνύμου Ρ(x) με το x - 1 όπου
P(x) = x∙f(3x-2) + (2-3x)21
γ) να βρείτε τα διαστήματα που η γραφική παράσταση της συνάρτησης f βρίσκεται κάτω από
τον άξονα χ χ
127 Δίνεται η πολυωνυμική συνάρτηση f(x) = 8x3-4x2 + 2x-l
α) Αν το πολυώνυμο Ρ(x) έχει παράγοντα το x - συνθ θ 02
π να βρείτε το θ
β) Να λύσετε την ανίσωση f(lnx) lt 0
γ) Να βρείτε τα διαστήματα του χ που η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από την
ευθεία y = 10x - 5
128 Θεωρούμε το πολυώνυμο 3 2( ) ( ) 2 1P x x x x
α) Αν έχει παράγοντα το 2
1x να βρείτε τα και
β) Για τις τιμές των και που βρήκατε να λύσετε την ανίσωση ( ) 0P x
γ) Για τις ίδιες τιμές των και να λύσετε την εξίσωση ( ) 0P x
129 Δίνεται το πολυώνυμο 3 2 P x x x x α β Αν το υπόλοιπο της διαίρεσης
2 2P x x x είναι (x) 9x 3 τότε
α) να αποδείξετε ότι 3 και 3
β) να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της πολυωνυμικής συνάρτησης
P(x) βρίσκεται κάτω από τον άξονα xrsquox
21 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
γ) να λύσετε την ανίσωση 10 2 0xP
130 Δίνεται το πολυώνυμο P(x) = x4 +αx3 +βx2 ndash2x + 4 όπου α βIR Το P(x) έχει παράγοντα το
x ndash 1 και το υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x) με το x + 1 είναι το 6
α) Να δείξετε ότι α = ndash1 και β = ndash2
β) Να λύσετε την εξίσωση P(x) = 0
γ) Να λύσετε την ανίσωση P(x) gt 0
δ) Να λύσετε την εξίσωση συν4x ndashσυν3x + 2ημ2x ndash2συνx + 2 = 0 στο διάστημα [ndashπ
2 π)
131 Δίνεται το πολυώνυμο 3 2 1P x x x x που έχει παράγοντα το 1x και το
υπόλοιπο της διαίρεσης του με το 1x είναι 8
α) Να αποδείξετε ότι 2 και 7
β) Να λύσετε την ανίσωση 0x
γ) Αν 2
x
να λύσετε την εξίσωση 3 22 7 2 3 0
132 To πολυώνυμο f(x)=x3+2αx2-βx-1 έχει παράγοντα το x-1 και το υπόλοιπο της διαίρεσης
f (x) (x 1) είναι 4
α) Να βρείτε τις τιμές των α β R
β) Να βρεθούν τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της
f(x) βρίσκεται κάτω από τον άξονα χ΄χ
γ) Να λύσετε την εξίσωση 2x x1e e
2
133 Δίνεται το πολυώνυμο 3 22 7P x x x x το οποίο έχει παράγοντα το 1x και το
υπόλοιπο της διαίρεσης του με το 1x είναι 18
α) Να αποδείξετε ότι 7 και 2
β) Να λύσετε την εξίσωση 3 22 2 7 2 7 2 2 0x x x
γ) Να λύσετε την ανίσωση 2 8 7 4 7 2 2 0x x x
134 Δίνεται το πολυώνυμο 3 2( ) (log 2) log 0P x x x k x k k
α) Να αποδείξετε ότι το 1x είναι παράγοντας του ( )P x
β) Να βρείτε τις τιμές του k για τις οποίες το πολυώνυμο ( )P x έχει τρεις
πραγματικές ρίζες
γ) Για 10k να λύσετε
i την ανίσωση ( ) 0P x
ii την εξίσωση 2( ) [0 ]P x x x
135 Δίνεται το πολυώνυμο
4 3 22ln 1 2 0 0 x x x x x x
α) Αν το πολυώνυμο x είναι 3ου βαθμού και έχει παράγοντα το 1x να βρεθούν τα
β) Αν 3 2 1x x x x x να βρεθούν οι τιμές του x για τις οποίες ισχύει
0x
22 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
γ) Να λυθούν
i η εξίσωση 2 0 0 ό
ii η ανίσωση 2 ln 0
136 Δίνεται η συνάρτηση log 2 4 5 2 2x xf x
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f
β) Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τον
άξονα χ΄χ
γ) Να λύσετε στο διάστημα 0 2 την εξίσωση 2 0f x
137 Έστω η συνάρτηση ( ) ln 2 xf x ημ
α) Να αποδείξετε ότι η f είναι περιττή
β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = 0 στο (- π π)
138 Έστω η συνάρτηση f(x) = ημx + ex - 1
α) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο Α= 2 2
π π
β) Να βρείτε το f(0)
γ) Να λύσετε
i την εξίσωση ημx + ex=1 στο 2 2
π π
ii την ανίσωση ημx + ex lt1 στο 2 2
π π
139 Έστω η συνάρτηση f (x) = (3 ndash 2lnα)x
α) Να βρείτε το α ώστε η συνάρτηση f να ορίζεται σε όλο το R
β) Να βρείτε το α ώστε η συνάρτηση f να είναι γνησίως φθίνουσα
γ) Για α = e να λύσετε την εξίσωση f(2συν2θ)-f(2ημ2θ) = 3
140 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = (2lnα - 1)x
α) Να βρείτε τις τιμές του α R για τις οποίες η συνάρτηση f ορίζεται σε όλο το R
β) Να βρείτε τις τιμές του α R για τις οποίες η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα
γ) Αν α = e2 να βρείτε το θ ώστε 2 2 2 4( ) ( )
3 f συν θ ημ θ f συν θ
141 Δίνεται η συνάρτηση 2
log logf x x x
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f
β) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τον άξονα χ΄χ
γ) Να λύσετε την εξίσωση 0f x
δ) Αν για τους θετικούς αριθμούς α β με ισχύει ότι f f να αποδείξετε ότι
10000
142 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = log(4x ndash 2)
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f και να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f έχει
μοναδικό κοινό σημείο με την ευθεία y = 1 ndash log5
23 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
β) Να λύσετε την ανίσωση 1
-12
4 64 - 2 0
5 5
xx
γ) Να λύσετε την εξίσωση f(x) + f(2
x) = 1 + log
1-
124 6
4 - 25 5
xx
δ) Να λύσετε την εξίσωση ημ2x = f(5
2) + f(1) ndash f(
3
2)
143 Δίνεται το πολυώνυμο 1
4 2 1 3 225 2 3 25 1 λf x x x x x
α) Αν το (x ndash 1) είναι παράγοντας του f(x) να βρείτε το λ
β) Για 1
2
i να δείξετε ότι το (x -1)2 είναι παράγοντας του f(x)
ii να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τον
άξονα x΄x
144 Δίνεται το πολυώνυμο Ρ(x) = (21lnκ - 1)x4 + x3 + (e - 1)x2 ndash e∙x +1 + 2ημθ θ (0 2π)
Αν το πολυώνυμο Ρ(x) είναι 3ου βαθμού και έχει παράγοντα το x - 1
α) να βρείτε τα κ και θ
β) να λύσετε την ανίσωση Ρ(x) lt 0
γ) να βρείτε τα διαστήματα που η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) με
f(x) = e3x+(e-1)e2x-ex+1 βρίσκεται κάτω από τον άξονα χ χ
145 Δίνεται η συνάρτηση ln ln 3
( )ln ln
x
f x
με 3lt α lt β η οποία είναι γνησίως φθίνουσα στο
σύνολο των πραγματικών αριθμών
α) Να συγκρίνετε τους αριθμούς ln και ln
β) Να αποδείξετε ότι 23
γ) Αν 6 και 24 τότε
i) να αποδείξετε ότι 1
( )2
x
f x
ii) να αποδείξετε ότι για κάθε ισχύει η ανισότητα 22
f f f
δ)Να λυθεί η εξίσωση 2 2( ) ( ) 3f x f x
146 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x - 1 + lnx x gt 0
α) Να δείξετε ότι για κάθε x με 0 lt x lt 1 f(x) lt 0
β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = x-1-ln2x
γ) Να λύσετε την ανίσωση f (ex) gt x + 2x -1
δ) Να δείξετε ότι για κάθε θ 02
lne
147 Δίνεται το πολυώνυμο f(x) όπου f(x) = x3-2x2lnα2 + 5xlnα-2 αgt0
α) Αν το x-1 είναι παράγοντας του f(x) τότε να βρείτε το α
β) Για α = e
24 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
i να δείξετε ότι το (x-1)2 είναι παράγοντας του πολυωνύμου f(x)
ii να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της πολυωνυμικής
συνάρτησης f(x) βρίσκεται κάτω από τον άξονα χ χ
148 Έστω η συνάρτηση f(x) = ln(2 - ex)
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f
β) Έστω ότι ο αριθμοί α = 2x β = f(x) γ = ln4 είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου
i Να βρείτε το x
ii Αν ο αριθμός α είναι ο 3ος όρος της αριθμητικής προόδου να βρείτε ποιος όρος της προόδου
ισούται με 2ln2 + 5ln3
149 Δίνεται το πολυώνυμο Ρ(x) = x3 +x2 + x + 2λ2 ndashλ +1
α) Να αποδείξετε ότι η διαίρεση Ρ(x) (x -1 ) δεν είναι τέλεια
β) Αν υ(λ) το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ(x) (x -1 ) να βρεθεί το λ ώστε το υ(λ) να γίνεται
ελάχιστο και την ελάχιστη τιμή του υ(λ)
γ) Για την τιμή του λ που το υ(λ) γίνεται ελάχιστο
i να λύσετε την εξίσωση 425x-2λ-16x-2λ=48λx
ii να λύσετε την εξίσωση
2ln x 1ln
21
4 5 x2
αφού πρώτα αποδείξετε ότι
ln x ln 22 x
δ) Να λύσετε την ανίσωση 8 x 4 x 4 x 1 4 x 13 9 11 4 4
150 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = log(e2x-kex +λ) με f(0) = log2 f(ln6) = log12
α) Να δείξετε ότι κ = 5 και λ = 6
β) Αν κ = 5 και λ = 6
i Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f
ii Να λυθεί η εξίσωση f(x) = 1minuslog(ex + 1)
iii Να δείξετε ότι οι αριθμοί f(ln5)minusf(0) f(ln5) f(ln6) είναι διαδοχικοί όροι
αριθμητικής προόδου
151 Αν το πολυώνυμο f(x) = x3 + 2αx2 - βx - 1 έχει παράγοντα το x - 1 και το υπόλοιπο της
διαίρεσης Ρ(x)(x + 1) είναι 4
α) να βρείτε τους α και β
β) να λύσετε την εξίσωση 2συν4
βx- 2ημ2 x
2
= -2
γ) να βρείτε το ελάχιστο πλήθος των πρώτων όρων της αριθμητικής προόδου (αν) με α1 = α και
ω = β που απαιτούνται ώστε το άθροισμα τους να ξεπερνάει το 150
δ) να λύσετε την εξίσωση β2lnx =5 + 4∙xln2α
152 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) = x3+λx2+23x-15 (λR ) διέρχεται από το σημείο
Α(10)
α) Να βρεθεί ο λ R
β) Για ποιες τιμές του xR η ψ = f(x) βρίσκεται κάτω από τον άξονα x΄x
γ) οι τετμημένες των σημείων στα οποία η ψ = f(x) τέμνει τον άξονα x΄x είναι κατά αύξουσα
τάξη οι 3 πρώτοι όροι μιας προόδου Αν το άθροισμα των ν πρώτων όρων της είναι 400 να
βρεθεί ο ν
25 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
153 α) Έστω η συνάρτηση f (x) = 2 middot 3x + 3x - 24
i να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα και να βρείτε το f(2)
ii να λύσετε την εξίσωση f(x) = 0
β) Δύο κοινωνίες βακτηριδίων Α και Β έχουν αρχικά 24 και 2 βακτηρίδια αντίστοιχα
Η κοινωνία των βακτηριδίων Α μειώνεται σε αριθμό κάθε μια ώρα κατά 3 βακτηρίδια
Η κοινωνία των βακτηριδίων Β τριπλασιάζεται κάθε μία ώρα Να βρείτε μετά από πόσες
ώρες οι κοινωνίες των βακτηριδίων θα έχουν τον ίδιο αριθμό βακτηριδίων
16 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
95 Δίνεται η συνάρτηση 2( ) 5 6
x xf x n e e
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f(x)
β) Να λύσετε την ανίσωση ( ) 2f x n
γ) Να λύσετε την εξίσωση ( ) 2 f x x n
96 Δίνεται η συνάρτηση f(x)=ln(3e2xshyex-2)
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f
β) Να βρείτε την τεταγμένη του σημείου της γραφικής παράστασης με τετμημένη ln2 και να
βρείτε τη θέση του σημείου ως προς τον άξονα χ΄χ
γ) Να λυθεί η εξίσωση f(x)=3x ως προς x
97 Δίνεται η συνάρτηση 1
( )1
x
x
ef x a
e που η γραφική της παράσταση διέρχεται από το σημείο
A(ln2 3)
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f
β) Να αποδείξετε ότι α = 1
γ) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι περιττή
δ) Να λυθεί η ανίσωση f(x) gt 2
98 Δίνεται η συνάρτηση
11 2log( 1)
log( 1) 2( ) 10 100 80x
xf x
α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της
β) Να λυθεί η εξίσωση f(x) = 10
γ) Να βρείτε τα κοινά σημεία της ψ = f(x) με την ευθεία ψ = x-20
99 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = α + ln(ex - 2)
Α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f
Β) Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f διέρχεται από το σημείο A(ln3 1) middot
α) να αποδείξετε ότι α = 1
β) να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τον άξονα xx
γ) να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα
100 Δίνεται η συνάρτηση
ln 3 11( )
ln 5
xf x
x
α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της
β) Να λυθεί η εξίσωση f(x) = 2
γ) Αν x gt 6 να λύσετε την ανίσωση f(x) gt 1
101 Δίνεται η συνάρτηση ln 1
( )ln 2
xg x
x
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης ( ) ( )f x g x
β) Να βρείτε αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f τέμνει και σε ποια σημεία τους
άξονες χ΄χ και y΄y
γ) Να λύσετε την εξίσωση ( ) 1x
f e
17 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
102 Δίνεται η συνάρτηση f(x)=2(x-1)+lnx
α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της
β) Να δείξετε ότι το 1 είναι ρίζα της εξίσωσης f(x)=0
γ) Να λυθεί η εξίσωση f(x)=2(x-1)+(lnx)2
103 α) Δίνεται η συνάρτηση f (x) = 3x + 2x + lnx ndash 5Να βρείτε το f(1) και να δείξετε ότι η f είναι
γνησίως αύξουσα
β) Να λύσετε την εξίσωση 2x+ lnx = 5-3x
γ) Να λύσετε την ανίσωση 3x + lnx lt 5-2x
104 Δίνεται η συνάρτηση f (x) = 2ln 1 x x
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f
β) Να δείξετε ότι για κάθε x R f(x) + f(- x) = 0 και ότι η συνάρτηση f είναι περιττή
γ) Να συγκρίνετε τους αριθμούς f(0) και f(- 1)
δ) Να λύσετε την ανίσωση f(ex) gt x + ln3
105 Δίνεται η συνάρτηση 3
ln3
xf x
x
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f
β) Να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι περιττή
γ) Να συγκρίνετε τους αριθμούς f(0) και 1
3f
δ) Να λύσετε την εξίσωση 1 0f x f x
106 Δίνονται οι συναρτήσεις 2
2
100 10( ) ( )
10100
x xf x og g x og
xx
α) Να δείξετε ότι η f είναι άρτια και η g περιττή
β) Να βρείτε τα κοινά σημεία των γραφικών τους παραστάσεων
γ) Να λυθεί η ανισότητα f(x)gt0
107 Δίνεται η συνάρτηση f (x) = ln 9 3 x x xe
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f
β) Να δείξετε ότι f(1)lt0
γ) Να βρείτε τα διαστήματα του x που η Cf είναι πάνω από την ευθεία ε y= 2x + ln2
108 Δίνεται η συνάρτηση f (x) = 2x + 6x - 40
α) Να βρείτε το f(4)
β) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα
γ) Να λύσετε την εξίσωση f(x) =0
109 Έστω η συνάρτηση f (x) = 3x + 2ex-κ -1 που η γραφική της παράσταση διέρχεται από το
σημείο Α(0 1)
α) Να βρείτε το κ
β) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα
γ) Να λύσετε την εξίσωση 3x + 2ex = 2
δ) Να λύσετε την ανίσωση 3x + 2ex gt 2
18 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
110 Δίνεται η συνάρτηση f (x) = (ln 1)x
a
α) Να βρείτε τις τιμές του α για τις οποίες
i η συνάρτηση f ορίζεται σε όλο το R
ii η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα
β) Για α = e3 να λύσετε την εξίσωση ln 2 ln 1 f εφx f σφx
111 Δίνεται η συνάρτηση 1
ln5
x
f x
α) Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες η συνάρτηση f ορίζεται σε όλο το
β) Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα
στο
γ) Αν 11 να λύσετε την εξίσωση f f 1 6x x
112 Δίνεται η συνάρτηση f με f(x) = x + ln(ex - 3)
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της
β) Να δείξετε ότι f(ln4) lt f(ln5)
γ) Να λύσετε την ανίσωση f(x) gt lη2 + ln(ex - 2)
113 Δίνεται η συνάρτηση ( ) ln( 1) x
f x x e
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της
β) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα
γ) Να συγκρίνετε τους αριθμούς log 2f και log5f
δ) Να βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f και της ευθείας
ln 2y
114 Δίνεται η συνάρτηση 4 2
log 8 log log 100 0f x x x x x
α) Αν f(10)=25 να δείξετε ότι α = 1
β) Για την τιμή α = 1 να
i δείξετε ότι η f(x) γράφεται στη μορφή 2
2log 4 logf x x x
ii να λύσετε την εξίσωση f(x) = 0
115 Δίνονται οι συναρτήσεις ln x
f x e e και 1ln 2 2
xg x e
α) Να βρείτε το πεδίο των συναρτήσεων fg
β) Να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των fg δεν τέμνονται
γ) Να λύσετε την ανίσωση 1f x
116 Δίνονται οι συναρτήσεις x xf(x) ln e e
και x
g(x) ln ln e
α) Να βρείτε τα πεδία ορισμού των f(x) και g(x)
β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = g(x)
γ) Να λύσετε την ανίσωση f(x) gt 2g(x
117 Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) = ln(e2x-ex-2) και g(x) = ln2+ln(ex-l)
α) Να βρείτε τα πεδία ορισμού των f(x) και g(x)
β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = g(x)
γ) Να λύσετε την ανίσωση f(x) gt g(x)
19 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
118 Δίνεται η συνάρτηση 2
1ln
5
x
x
ef x
e
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f(x)
β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = 2ln2
γ) Να λύσετε την ανίσωση f(x) gt 0
119 Έστω η συνάρτηση f(x) = log(225x-54x) και η ευθεία ε y = x + log3
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f
β) Να βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της f και της ευθείας ε
γ) Να δείξετε ότι το σημείο Α3 3
2 2
f βρίσκεται πάνω από το σημείο Β με τετμημένη 3
2
της ευθείας ε
120 Δίνονται οι συναρτήσεις ( ) ln 2 3 xf x και ( ) ln(2 3) xg x
α) Να βρείτε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων f και g
β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = g(x)
γ) Να συγκρίνετε τους αριθμούς f(3) και g(3)
121 α) Να δείξετε ότι ln ln a για κάθε α β gt 0
β) Να λυθεί η ανίσωση 1
lnln 22 2 1
xx
γ) Έστω η συνάρτηση f(x) = ln xa Να βρείτε το α ώστε 5f (3) - 3f (5) gt 0
122 Δίνεται το πολυώνυμο 2 1 4 3 2 2( ) 1 ln ln 1f x e x x x x θ (0 π) το
οποίο είναι 3ου βαθμού και διαιρείται με το x-1
α) Να αποδείξετε ότι θ = 2
3
και κ =
1
e
β) Να αποδείξετε ότι το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης [f(x)x2] είναι το ίδιο
γ) Να βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της πολυωνυμικής συνάρτησης f(x)
με την ευθεία (ε) y = 5x-5
ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ
123 Δίνεται το σύστημα 2x y 7
7x 2y 11
α) Να βρείτε τη λύση (x0y0) του συστήματος
β) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης 2f (x) x x έχει κορυφή το σημείο Κ(x0y0)
i) να βρείτε τους αριθμούς β και γ
ii) να λύσετε την ανίσωση f (x) 0
iii) να λύσετε το σύστημα y f (x)
x y 6
20 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
124 Το σύστημα ( 1)x 8y 4
x ( 3)y 3 1
έχει τη μοναδική λύση (x0y0) για την οποία ισχύει
0 0x y 1
α) Να βρείτε τον αριθμό λ
β) Δίνεται η συνάρτηση 2f (x) x 2 x 6
i Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η Cf είναι πάνω από τον χ΄χ
iiΝα λύσετε το σύστημα y f (x)
2y f (x 1) 10x
125 Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f με f (x) = α + βσυν2x διέρχεται από τα σημεία
Α(0 1) και Β 24
π τότε
α) να βρείτε τα α και β
β) να βρείτε την f
γ) να δείξετε ότι η Cf έχει άξονα συμμετρίας τον yy
δ) να δείξετε ότι f (-x) - f4
πx = ημ2x - συν2x
126 Δίνεται το πολυώνυμο f (x) = 2x3 middot συν2θ - x3ημθ - x2 + 3eλ - 2
Αν το πολυώνυμο έχει παράγοντες τους x και x - 1
α) να βρείτε τους λ και θ θ [0 2
π]
β) να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του πολυωνύμου Ρ(x) με το x - 1 όπου
P(x) = x∙f(3x-2) + (2-3x)21
γ) να βρείτε τα διαστήματα που η γραφική παράσταση της συνάρτησης f βρίσκεται κάτω από
τον άξονα χ χ
127 Δίνεται η πολυωνυμική συνάρτηση f(x) = 8x3-4x2 + 2x-l
α) Αν το πολυώνυμο Ρ(x) έχει παράγοντα το x - συνθ θ 02
π να βρείτε το θ
β) Να λύσετε την ανίσωση f(lnx) lt 0
γ) Να βρείτε τα διαστήματα του χ που η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από την
ευθεία y = 10x - 5
128 Θεωρούμε το πολυώνυμο 3 2( ) ( ) 2 1P x x x x
α) Αν έχει παράγοντα το 2
1x να βρείτε τα και
β) Για τις τιμές των και που βρήκατε να λύσετε την ανίσωση ( ) 0P x
γ) Για τις ίδιες τιμές των και να λύσετε την εξίσωση ( ) 0P x
129 Δίνεται το πολυώνυμο 3 2 P x x x x α β Αν το υπόλοιπο της διαίρεσης
2 2P x x x είναι (x) 9x 3 τότε
α) να αποδείξετε ότι 3 και 3
β) να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της πολυωνυμικής συνάρτησης
P(x) βρίσκεται κάτω από τον άξονα xrsquox
21 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
γ) να λύσετε την ανίσωση 10 2 0xP
130 Δίνεται το πολυώνυμο P(x) = x4 +αx3 +βx2 ndash2x + 4 όπου α βIR Το P(x) έχει παράγοντα το
x ndash 1 και το υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x) με το x + 1 είναι το 6
α) Να δείξετε ότι α = ndash1 και β = ndash2
β) Να λύσετε την εξίσωση P(x) = 0
γ) Να λύσετε την ανίσωση P(x) gt 0
δ) Να λύσετε την εξίσωση συν4x ndashσυν3x + 2ημ2x ndash2συνx + 2 = 0 στο διάστημα [ndashπ
2 π)
131 Δίνεται το πολυώνυμο 3 2 1P x x x x που έχει παράγοντα το 1x και το
υπόλοιπο της διαίρεσης του με το 1x είναι 8
α) Να αποδείξετε ότι 2 και 7
β) Να λύσετε την ανίσωση 0x
γ) Αν 2
x
να λύσετε την εξίσωση 3 22 7 2 3 0
132 To πολυώνυμο f(x)=x3+2αx2-βx-1 έχει παράγοντα το x-1 και το υπόλοιπο της διαίρεσης
f (x) (x 1) είναι 4
α) Να βρείτε τις τιμές των α β R
β) Να βρεθούν τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της
f(x) βρίσκεται κάτω από τον άξονα χ΄χ
γ) Να λύσετε την εξίσωση 2x x1e e
2
133 Δίνεται το πολυώνυμο 3 22 7P x x x x το οποίο έχει παράγοντα το 1x και το
υπόλοιπο της διαίρεσης του με το 1x είναι 18
α) Να αποδείξετε ότι 7 και 2
β) Να λύσετε την εξίσωση 3 22 2 7 2 7 2 2 0x x x
γ) Να λύσετε την ανίσωση 2 8 7 4 7 2 2 0x x x
134 Δίνεται το πολυώνυμο 3 2( ) (log 2) log 0P x x x k x k k
α) Να αποδείξετε ότι το 1x είναι παράγοντας του ( )P x
β) Να βρείτε τις τιμές του k για τις οποίες το πολυώνυμο ( )P x έχει τρεις
πραγματικές ρίζες
γ) Για 10k να λύσετε
i την ανίσωση ( ) 0P x
ii την εξίσωση 2( ) [0 ]P x x x
135 Δίνεται το πολυώνυμο
4 3 22ln 1 2 0 0 x x x x x x
α) Αν το πολυώνυμο x είναι 3ου βαθμού και έχει παράγοντα το 1x να βρεθούν τα
β) Αν 3 2 1x x x x x να βρεθούν οι τιμές του x για τις οποίες ισχύει
0x
22 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
γ) Να λυθούν
i η εξίσωση 2 0 0 ό
ii η ανίσωση 2 ln 0
136 Δίνεται η συνάρτηση log 2 4 5 2 2x xf x
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f
β) Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τον
άξονα χ΄χ
γ) Να λύσετε στο διάστημα 0 2 την εξίσωση 2 0f x
137 Έστω η συνάρτηση ( ) ln 2 xf x ημ
α) Να αποδείξετε ότι η f είναι περιττή
β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = 0 στο (- π π)
138 Έστω η συνάρτηση f(x) = ημx + ex - 1
α) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο Α= 2 2
π π
β) Να βρείτε το f(0)
γ) Να λύσετε
i την εξίσωση ημx + ex=1 στο 2 2
π π
ii την ανίσωση ημx + ex lt1 στο 2 2
π π
139 Έστω η συνάρτηση f (x) = (3 ndash 2lnα)x
α) Να βρείτε το α ώστε η συνάρτηση f να ορίζεται σε όλο το R
β) Να βρείτε το α ώστε η συνάρτηση f να είναι γνησίως φθίνουσα
γ) Για α = e να λύσετε την εξίσωση f(2συν2θ)-f(2ημ2θ) = 3
140 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = (2lnα - 1)x
α) Να βρείτε τις τιμές του α R για τις οποίες η συνάρτηση f ορίζεται σε όλο το R
β) Να βρείτε τις τιμές του α R για τις οποίες η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα
γ) Αν α = e2 να βρείτε το θ ώστε 2 2 2 4( ) ( )
3 f συν θ ημ θ f συν θ
141 Δίνεται η συνάρτηση 2
log logf x x x
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f
β) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τον άξονα χ΄χ
γ) Να λύσετε την εξίσωση 0f x
δ) Αν για τους θετικούς αριθμούς α β με ισχύει ότι f f να αποδείξετε ότι
10000
142 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = log(4x ndash 2)
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f και να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f έχει
μοναδικό κοινό σημείο με την ευθεία y = 1 ndash log5
23 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
β) Να λύσετε την ανίσωση 1
-12
4 64 - 2 0
5 5
xx
γ) Να λύσετε την εξίσωση f(x) + f(2
x) = 1 + log
1-
124 6
4 - 25 5
xx
δ) Να λύσετε την εξίσωση ημ2x = f(5
2) + f(1) ndash f(
3
2)
143 Δίνεται το πολυώνυμο 1
4 2 1 3 225 2 3 25 1 λf x x x x x
α) Αν το (x ndash 1) είναι παράγοντας του f(x) να βρείτε το λ
β) Για 1
2
i να δείξετε ότι το (x -1)2 είναι παράγοντας του f(x)
ii να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τον
άξονα x΄x
144 Δίνεται το πολυώνυμο Ρ(x) = (21lnκ - 1)x4 + x3 + (e - 1)x2 ndash e∙x +1 + 2ημθ θ (0 2π)
Αν το πολυώνυμο Ρ(x) είναι 3ου βαθμού και έχει παράγοντα το x - 1
α) να βρείτε τα κ και θ
β) να λύσετε την ανίσωση Ρ(x) lt 0
γ) να βρείτε τα διαστήματα που η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) με
f(x) = e3x+(e-1)e2x-ex+1 βρίσκεται κάτω από τον άξονα χ χ
145 Δίνεται η συνάρτηση ln ln 3
( )ln ln
x
f x
με 3lt α lt β η οποία είναι γνησίως φθίνουσα στο
σύνολο των πραγματικών αριθμών
α) Να συγκρίνετε τους αριθμούς ln και ln
β) Να αποδείξετε ότι 23
γ) Αν 6 και 24 τότε
i) να αποδείξετε ότι 1
( )2
x
f x
ii) να αποδείξετε ότι για κάθε ισχύει η ανισότητα 22
f f f
δ)Να λυθεί η εξίσωση 2 2( ) ( ) 3f x f x
146 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x - 1 + lnx x gt 0
α) Να δείξετε ότι για κάθε x με 0 lt x lt 1 f(x) lt 0
β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = x-1-ln2x
γ) Να λύσετε την ανίσωση f (ex) gt x + 2x -1
δ) Να δείξετε ότι για κάθε θ 02
lne
147 Δίνεται το πολυώνυμο f(x) όπου f(x) = x3-2x2lnα2 + 5xlnα-2 αgt0
α) Αν το x-1 είναι παράγοντας του f(x) τότε να βρείτε το α
β) Για α = e
24 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
i να δείξετε ότι το (x-1)2 είναι παράγοντας του πολυωνύμου f(x)
ii να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της πολυωνυμικής
συνάρτησης f(x) βρίσκεται κάτω από τον άξονα χ χ
148 Έστω η συνάρτηση f(x) = ln(2 - ex)
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f
β) Έστω ότι ο αριθμοί α = 2x β = f(x) γ = ln4 είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου
i Να βρείτε το x
ii Αν ο αριθμός α είναι ο 3ος όρος της αριθμητικής προόδου να βρείτε ποιος όρος της προόδου
ισούται με 2ln2 + 5ln3
149 Δίνεται το πολυώνυμο Ρ(x) = x3 +x2 + x + 2λ2 ndashλ +1
α) Να αποδείξετε ότι η διαίρεση Ρ(x) (x -1 ) δεν είναι τέλεια
β) Αν υ(λ) το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ(x) (x -1 ) να βρεθεί το λ ώστε το υ(λ) να γίνεται
ελάχιστο και την ελάχιστη τιμή του υ(λ)
γ) Για την τιμή του λ που το υ(λ) γίνεται ελάχιστο
i να λύσετε την εξίσωση 425x-2λ-16x-2λ=48λx
ii να λύσετε την εξίσωση
2ln x 1ln
21
4 5 x2
αφού πρώτα αποδείξετε ότι
ln x ln 22 x
δ) Να λύσετε την ανίσωση 8 x 4 x 4 x 1 4 x 13 9 11 4 4
150 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = log(e2x-kex +λ) με f(0) = log2 f(ln6) = log12
α) Να δείξετε ότι κ = 5 και λ = 6
β) Αν κ = 5 και λ = 6
i Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f
ii Να λυθεί η εξίσωση f(x) = 1minuslog(ex + 1)
iii Να δείξετε ότι οι αριθμοί f(ln5)minusf(0) f(ln5) f(ln6) είναι διαδοχικοί όροι
αριθμητικής προόδου
151 Αν το πολυώνυμο f(x) = x3 + 2αx2 - βx - 1 έχει παράγοντα το x - 1 και το υπόλοιπο της
διαίρεσης Ρ(x)(x + 1) είναι 4
α) να βρείτε τους α και β
β) να λύσετε την εξίσωση 2συν4
βx- 2ημ2 x
2
= -2
γ) να βρείτε το ελάχιστο πλήθος των πρώτων όρων της αριθμητικής προόδου (αν) με α1 = α και
ω = β που απαιτούνται ώστε το άθροισμα τους να ξεπερνάει το 150
δ) να λύσετε την εξίσωση β2lnx =5 + 4∙xln2α
152 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) = x3+λx2+23x-15 (λR ) διέρχεται από το σημείο
Α(10)
α) Να βρεθεί ο λ R
β) Για ποιες τιμές του xR η ψ = f(x) βρίσκεται κάτω από τον άξονα x΄x
γ) οι τετμημένες των σημείων στα οποία η ψ = f(x) τέμνει τον άξονα x΄x είναι κατά αύξουσα
τάξη οι 3 πρώτοι όροι μιας προόδου Αν το άθροισμα των ν πρώτων όρων της είναι 400 να
βρεθεί ο ν
25 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
153 α) Έστω η συνάρτηση f (x) = 2 middot 3x + 3x - 24
i να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα και να βρείτε το f(2)
ii να λύσετε την εξίσωση f(x) = 0
β) Δύο κοινωνίες βακτηριδίων Α και Β έχουν αρχικά 24 και 2 βακτηρίδια αντίστοιχα
Η κοινωνία των βακτηριδίων Α μειώνεται σε αριθμό κάθε μια ώρα κατά 3 βακτηρίδια
Η κοινωνία των βακτηριδίων Β τριπλασιάζεται κάθε μία ώρα Να βρείτε μετά από πόσες
ώρες οι κοινωνίες των βακτηριδίων θα έχουν τον ίδιο αριθμό βακτηριδίων
17 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
102 Δίνεται η συνάρτηση f(x)=2(x-1)+lnx
α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της
β) Να δείξετε ότι το 1 είναι ρίζα της εξίσωσης f(x)=0
γ) Να λυθεί η εξίσωση f(x)=2(x-1)+(lnx)2
103 α) Δίνεται η συνάρτηση f (x) = 3x + 2x + lnx ndash 5Να βρείτε το f(1) και να δείξετε ότι η f είναι
γνησίως αύξουσα
β) Να λύσετε την εξίσωση 2x+ lnx = 5-3x
γ) Να λύσετε την ανίσωση 3x + lnx lt 5-2x
104 Δίνεται η συνάρτηση f (x) = 2ln 1 x x
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f
β) Να δείξετε ότι για κάθε x R f(x) + f(- x) = 0 και ότι η συνάρτηση f είναι περιττή
γ) Να συγκρίνετε τους αριθμούς f(0) και f(- 1)
δ) Να λύσετε την ανίσωση f(ex) gt x + ln3
105 Δίνεται η συνάρτηση 3
ln3
xf x
x
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f
β) Να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι περιττή
γ) Να συγκρίνετε τους αριθμούς f(0) και 1
3f
δ) Να λύσετε την εξίσωση 1 0f x f x
106 Δίνονται οι συναρτήσεις 2
2
100 10( ) ( )
10100
x xf x og g x og
xx
α) Να δείξετε ότι η f είναι άρτια και η g περιττή
β) Να βρείτε τα κοινά σημεία των γραφικών τους παραστάσεων
γ) Να λυθεί η ανισότητα f(x)gt0
107 Δίνεται η συνάρτηση f (x) = ln 9 3 x x xe
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f
β) Να δείξετε ότι f(1)lt0
γ) Να βρείτε τα διαστήματα του x που η Cf είναι πάνω από την ευθεία ε y= 2x + ln2
108 Δίνεται η συνάρτηση f (x) = 2x + 6x - 40
α) Να βρείτε το f(4)
β) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα
γ) Να λύσετε την εξίσωση f(x) =0
109 Έστω η συνάρτηση f (x) = 3x + 2ex-κ -1 που η γραφική της παράσταση διέρχεται από το
σημείο Α(0 1)
α) Να βρείτε το κ
β) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα
γ) Να λύσετε την εξίσωση 3x + 2ex = 2
δ) Να λύσετε την ανίσωση 3x + 2ex gt 2
18 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
110 Δίνεται η συνάρτηση f (x) = (ln 1)x
a
α) Να βρείτε τις τιμές του α για τις οποίες
i η συνάρτηση f ορίζεται σε όλο το R
ii η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα
β) Για α = e3 να λύσετε την εξίσωση ln 2 ln 1 f εφx f σφx
111 Δίνεται η συνάρτηση 1
ln5
x
f x
α) Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες η συνάρτηση f ορίζεται σε όλο το
β) Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα
στο
γ) Αν 11 να λύσετε την εξίσωση f f 1 6x x
112 Δίνεται η συνάρτηση f με f(x) = x + ln(ex - 3)
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της
β) Να δείξετε ότι f(ln4) lt f(ln5)
γ) Να λύσετε την ανίσωση f(x) gt lη2 + ln(ex - 2)
113 Δίνεται η συνάρτηση ( ) ln( 1) x
f x x e
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της
β) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα
γ) Να συγκρίνετε τους αριθμούς log 2f και log5f
δ) Να βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f και της ευθείας
ln 2y
114 Δίνεται η συνάρτηση 4 2
log 8 log log 100 0f x x x x x
α) Αν f(10)=25 να δείξετε ότι α = 1
β) Για την τιμή α = 1 να
i δείξετε ότι η f(x) γράφεται στη μορφή 2
2log 4 logf x x x
ii να λύσετε την εξίσωση f(x) = 0
115 Δίνονται οι συναρτήσεις ln x
f x e e και 1ln 2 2
xg x e
α) Να βρείτε το πεδίο των συναρτήσεων fg
β) Να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των fg δεν τέμνονται
γ) Να λύσετε την ανίσωση 1f x
116 Δίνονται οι συναρτήσεις x xf(x) ln e e
και x
g(x) ln ln e
α) Να βρείτε τα πεδία ορισμού των f(x) και g(x)
β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = g(x)
γ) Να λύσετε την ανίσωση f(x) gt 2g(x
117 Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) = ln(e2x-ex-2) και g(x) = ln2+ln(ex-l)
α) Να βρείτε τα πεδία ορισμού των f(x) και g(x)
β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = g(x)
γ) Να λύσετε την ανίσωση f(x) gt g(x)
19 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
118 Δίνεται η συνάρτηση 2
1ln
5
x
x
ef x
e
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f(x)
β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = 2ln2
γ) Να λύσετε την ανίσωση f(x) gt 0
119 Έστω η συνάρτηση f(x) = log(225x-54x) και η ευθεία ε y = x + log3
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f
β) Να βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της f και της ευθείας ε
γ) Να δείξετε ότι το σημείο Α3 3
2 2
f βρίσκεται πάνω από το σημείο Β με τετμημένη 3
2
της ευθείας ε
120 Δίνονται οι συναρτήσεις ( ) ln 2 3 xf x και ( ) ln(2 3) xg x
α) Να βρείτε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων f και g
β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = g(x)
γ) Να συγκρίνετε τους αριθμούς f(3) και g(3)
121 α) Να δείξετε ότι ln ln a για κάθε α β gt 0
β) Να λυθεί η ανίσωση 1
lnln 22 2 1
xx
γ) Έστω η συνάρτηση f(x) = ln xa Να βρείτε το α ώστε 5f (3) - 3f (5) gt 0
122 Δίνεται το πολυώνυμο 2 1 4 3 2 2( ) 1 ln ln 1f x e x x x x θ (0 π) το
οποίο είναι 3ου βαθμού και διαιρείται με το x-1
α) Να αποδείξετε ότι θ = 2
3
και κ =
1
e
β) Να αποδείξετε ότι το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης [f(x)x2] είναι το ίδιο
γ) Να βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της πολυωνυμικής συνάρτησης f(x)
με την ευθεία (ε) y = 5x-5
ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ
123 Δίνεται το σύστημα 2x y 7
7x 2y 11
α) Να βρείτε τη λύση (x0y0) του συστήματος
β) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης 2f (x) x x έχει κορυφή το σημείο Κ(x0y0)
i) να βρείτε τους αριθμούς β και γ
ii) να λύσετε την ανίσωση f (x) 0
iii) να λύσετε το σύστημα y f (x)
x y 6
20 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
124 Το σύστημα ( 1)x 8y 4
x ( 3)y 3 1
έχει τη μοναδική λύση (x0y0) για την οποία ισχύει
0 0x y 1
α) Να βρείτε τον αριθμό λ
β) Δίνεται η συνάρτηση 2f (x) x 2 x 6
i Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η Cf είναι πάνω από τον χ΄χ
iiΝα λύσετε το σύστημα y f (x)
2y f (x 1) 10x
125 Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f με f (x) = α + βσυν2x διέρχεται από τα σημεία
Α(0 1) και Β 24
π τότε
α) να βρείτε τα α και β
β) να βρείτε την f
γ) να δείξετε ότι η Cf έχει άξονα συμμετρίας τον yy
δ) να δείξετε ότι f (-x) - f4
πx = ημ2x - συν2x
126 Δίνεται το πολυώνυμο f (x) = 2x3 middot συν2θ - x3ημθ - x2 + 3eλ - 2
Αν το πολυώνυμο έχει παράγοντες τους x και x - 1
α) να βρείτε τους λ και θ θ [0 2
π]
β) να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του πολυωνύμου Ρ(x) με το x - 1 όπου
P(x) = x∙f(3x-2) + (2-3x)21
γ) να βρείτε τα διαστήματα που η γραφική παράσταση της συνάρτησης f βρίσκεται κάτω από
τον άξονα χ χ
127 Δίνεται η πολυωνυμική συνάρτηση f(x) = 8x3-4x2 + 2x-l
α) Αν το πολυώνυμο Ρ(x) έχει παράγοντα το x - συνθ θ 02
π να βρείτε το θ
β) Να λύσετε την ανίσωση f(lnx) lt 0
γ) Να βρείτε τα διαστήματα του χ που η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από την
ευθεία y = 10x - 5
128 Θεωρούμε το πολυώνυμο 3 2( ) ( ) 2 1P x x x x
α) Αν έχει παράγοντα το 2
1x να βρείτε τα και
β) Για τις τιμές των και που βρήκατε να λύσετε την ανίσωση ( ) 0P x
γ) Για τις ίδιες τιμές των και να λύσετε την εξίσωση ( ) 0P x
129 Δίνεται το πολυώνυμο 3 2 P x x x x α β Αν το υπόλοιπο της διαίρεσης
2 2P x x x είναι (x) 9x 3 τότε
α) να αποδείξετε ότι 3 και 3
β) να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της πολυωνυμικής συνάρτησης
P(x) βρίσκεται κάτω από τον άξονα xrsquox
21 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
γ) να λύσετε την ανίσωση 10 2 0xP
130 Δίνεται το πολυώνυμο P(x) = x4 +αx3 +βx2 ndash2x + 4 όπου α βIR Το P(x) έχει παράγοντα το
x ndash 1 και το υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x) με το x + 1 είναι το 6
α) Να δείξετε ότι α = ndash1 και β = ndash2
β) Να λύσετε την εξίσωση P(x) = 0
γ) Να λύσετε την ανίσωση P(x) gt 0
δ) Να λύσετε την εξίσωση συν4x ndashσυν3x + 2ημ2x ndash2συνx + 2 = 0 στο διάστημα [ndashπ
2 π)
131 Δίνεται το πολυώνυμο 3 2 1P x x x x που έχει παράγοντα το 1x και το
υπόλοιπο της διαίρεσης του με το 1x είναι 8
α) Να αποδείξετε ότι 2 και 7
β) Να λύσετε την ανίσωση 0x
γ) Αν 2
x
να λύσετε την εξίσωση 3 22 7 2 3 0
132 To πολυώνυμο f(x)=x3+2αx2-βx-1 έχει παράγοντα το x-1 και το υπόλοιπο της διαίρεσης
f (x) (x 1) είναι 4
α) Να βρείτε τις τιμές των α β R
β) Να βρεθούν τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της
f(x) βρίσκεται κάτω από τον άξονα χ΄χ
γ) Να λύσετε την εξίσωση 2x x1e e
2
133 Δίνεται το πολυώνυμο 3 22 7P x x x x το οποίο έχει παράγοντα το 1x και το
υπόλοιπο της διαίρεσης του με το 1x είναι 18
α) Να αποδείξετε ότι 7 και 2
β) Να λύσετε την εξίσωση 3 22 2 7 2 7 2 2 0x x x
γ) Να λύσετε την ανίσωση 2 8 7 4 7 2 2 0x x x
134 Δίνεται το πολυώνυμο 3 2( ) (log 2) log 0P x x x k x k k
α) Να αποδείξετε ότι το 1x είναι παράγοντας του ( )P x
β) Να βρείτε τις τιμές του k για τις οποίες το πολυώνυμο ( )P x έχει τρεις
πραγματικές ρίζες
γ) Για 10k να λύσετε
i την ανίσωση ( ) 0P x
ii την εξίσωση 2( ) [0 ]P x x x
135 Δίνεται το πολυώνυμο
4 3 22ln 1 2 0 0 x x x x x x
α) Αν το πολυώνυμο x είναι 3ου βαθμού και έχει παράγοντα το 1x να βρεθούν τα
β) Αν 3 2 1x x x x x να βρεθούν οι τιμές του x για τις οποίες ισχύει
0x
22 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
γ) Να λυθούν
i η εξίσωση 2 0 0 ό
ii η ανίσωση 2 ln 0
136 Δίνεται η συνάρτηση log 2 4 5 2 2x xf x
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f
β) Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τον
άξονα χ΄χ
γ) Να λύσετε στο διάστημα 0 2 την εξίσωση 2 0f x
137 Έστω η συνάρτηση ( ) ln 2 xf x ημ
α) Να αποδείξετε ότι η f είναι περιττή
β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = 0 στο (- π π)
138 Έστω η συνάρτηση f(x) = ημx + ex - 1
α) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο Α= 2 2
π π
β) Να βρείτε το f(0)
γ) Να λύσετε
i την εξίσωση ημx + ex=1 στο 2 2
π π
ii την ανίσωση ημx + ex lt1 στο 2 2
π π
139 Έστω η συνάρτηση f (x) = (3 ndash 2lnα)x
α) Να βρείτε το α ώστε η συνάρτηση f να ορίζεται σε όλο το R
β) Να βρείτε το α ώστε η συνάρτηση f να είναι γνησίως φθίνουσα
γ) Για α = e να λύσετε την εξίσωση f(2συν2θ)-f(2ημ2θ) = 3
140 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = (2lnα - 1)x
α) Να βρείτε τις τιμές του α R για τις οποίες η συνάρτηση f ορίζεται σε όλο το R
β) Να βρείτε τις τιμές του α R για τις οποίες η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα
γ) Αν α = e2 να βρείτε το θ ώστε 2 2 2 4( ) ( )
3 f συν θ ημ θ f συν θ
141 Δίνεται η συνάρτηση 2
log logf x x x
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f
β) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τον άξονα χ΄χ
γ) Να λύσετε την εξίσωση 0f x
δ) Αν για τους θετικούς αριθμούς α β με ισχύει ότι f f να αποδείξετε ότι
10000
142 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = log(4x ndash 2)
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f και να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f έχει
μοναδικό κοινό σημείο με την ευθεία y = 1 ndash log5
23 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
β) Να λύσετε την ανίσωση 1
-12
4 64 - 2 0
5 5
xx
γ) Να λύσετε την εξίσωση f(x) + f(2
x) = 1 + log
1-
124 6
4 - 25 5
xx
δ) Να λύσετε την εξίσωση ημ2x = f(5
2) + f(1) ndash f(
3
2)
143 Δίνεται το πολυώνυμο 1
4 2 1 3 225 2 3 25 1 λf x x x x x
α) Αν το (x ndash 1) είναι παράγοντας του f(x) να βρείτε το λ
β) Για 1
2
i να δείξετε ότι το (x -1)2 είναι παράγοντας του f(x)
ii να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τον
άξονα x΄x
144 Δίνεται το πολυώνυμο Ρ(x) = (21lnκ - 1)x4 + x3 + (e - 1)x2 ndash e∙x +1 + 2ημθ θ (0 2π)
Αν το πολυώνυμο Ρ(x) είναι 3ου βαθμού και έχει παράγοντα το x - 1
α) να βρείτε τα κ και θ
β) να λύσετε την ανίσωση Ρ(x) lt 0
γ) να βρείτε τα διαστήματα που η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) με
f(x) = e3x+(e-1)e2x-ex+1 βρίσκεται κάτω από τον άξονα χ χ
145 Δίνεται η συνάρτηση ln ln 3
( )ln ln
x
f x
με 3lt α lt β η οποία είναι γνησίως φθίνουσα στο
σύνολο των πραγματικών αριθμών
α) Να συγκρίνετε τους αριθμούς ln και ln
β) Να αποδείξετε ότι 23
γ) Αν 6 και 24 τότε
i) να αποδείξετε ότι 1
( )2
x
f x
ii) να αποδείξετε ότι για κάθε ισχύει η ανισότητα 22
f f f
δ)Να λυθεί η εξίσωση 2 2( ) ( ) 3f x f x
146 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x - 1 + lnx x gt 0
α) Να δείξετε ότι για κάθε x με 0 lt x lt 1 f(x) lt 0
β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = x-1-ln2x
γ) Να λύσετε την ανίσωση f (ex) gt x + 2x -1
δ) Να δείξετε ότι για κάθε θ 02
lne
147 Δίνεται το πολυώνυμο f(x) όπου f(x) = x3-2x2lnα2 + 5xlnα-2 αgt0
α) Αν το x-1 είναι παράγοντας του f(x) τότε να βρείτε το α
β) Για α = e
24 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
i να δείξετε ότι το (x-1)2 είναι παράγοντας του πολυωνύμου f(x)
ii να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της πολυωνυμικής
συνάρτησης f(x) βρίσκεται κάτω από τον άξονα χ χ
148 Έστω η συνάρτηση f(x) = ln(2 - ex)
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f
β) Έστω ότι ο αριθμοί α = 2x β = f(x) γ = ln4 είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου
i Να βρείτε το x
ii Αν ο αριθμός α είναι ο 3ος όρος της αριθμητικής προόδου να βρείτε ποιος όρος της προόδου
ισούται με 2ln2 + 5ln3
149 Δίνεται το πολυώνυμο Ρ(x) = x3 +x2 + x + 2λ2 ndashλ +1
α) Να αποδείξετε ότι η διαίρεση Ρ(x) (x -1 ) δεν είναι τέλεια
β) Αν υ(λ) το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ(x) (x -1 ) να βρεθεί το λ ώστε το υ(λ) να γίνεται
ελάχιστο και την ελάχιστη τιμή του υ(λ)
γ) Για την τιμή του λ που το υ(λ) γίνεται ελάχιστο
i να λύσετε την εξίσωση 425x-2λ-16x-2λ=48λx
ii να λύσετε την εξίσωση
2ln x 1ln
21
4 5 x2
αφού πρώτα αποδείξετε ότι
ln x ln 22 x
δ) Να λύσετε την ανίσωση 8 x 4 x 4 x 1 4 x 13 9 11 4 4
150 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = log(e2x-kex +λ) με f(0) = log2 f(ln6) = log12
α) Να δείξετε ότι κ = 5 και λ = 6
β) Αν κ = 5 και λ = 6
i Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f
ii Να λυθεί η εξίσωση f(x) = 1minuslog(ex + 1)
iii Να δείξετε ότι οι αριθμοί f(ln5)minusf(0) f(ln5) f(ln6) είναι διαδοχικοί όροι
αριθμητικής προόδου
151 Αν το πολυώνυμο f(x) = x3 + 2αx2 - βx - 1 έχει παράγοντα το x - 1 και το υπόλοιπο της
διαίρεσης Ρ(x)(x + 1) είναι 4
α) να βρείτε τους α και β
β) να λύσετε την εξίσωση 2συν4
βx- 2ημ2 x
2
= -2
γ) να βρείτε το ελάχιστο πλήθος των πρώτων όρων της αριθμητικής προόδου (αν) με α1 = α και
ω = β που απαιτούνται ώστε το άθροισμα τους να ξεπερνάει το 150
δ) να λύσετε την εξίσωση β2lnx =5 + 4∙xln2α
152 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) = x3+λx2+23x-15 (λR ) διέρχεται από το σημείο
Α(10)
α) Να βρεθεί ο λ R
β) Για ποιες τιμές του xR η ψ = f(x) βρίσκεται κάτω από τον άξονα x΄x
γ) οι τετμημένες των σημείων στα οποία η ψ = f(x) τέμνει τον άξονα x΄x είναι κατά αύξουσα
τάξη οι 3 πρώτοι όροι μιας προόδου Αν το άθροισμα των ν πρώτων όρων της είναι 400 να
βρεθεί ο ν
25 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
153 α) Έστω η συνάρτηση f (x) = 2 middot 3x + 3x - 24
i να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα και να βρείτε το f(2)
ii να λύσετε την εξίσωση f(x) = 0
β) Δύο κοινωνίες βακτηριδίων Α και Β έχουν αρχικά 24 και 2 βακτηρίδια αντίστοιχα
Η κοινωνία των βακτηριδίων Α μειώνεται σε αριθμό κάθε μια ώρα κατά 3 βακτηρίδια
Η κοινωνία των βακτηριδίων Β τριπλασιάζεται κάθε μία ώρα Να βρείτε μετά από πόσες
ώρες οι κοινωνίες των βακτηριδίων θα έχουν τον ίδιο αριθμό βακτηριδίων
18 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
110 Δίνεται η συνάρτηση f (x) = (ln 1)x
a
α) Να βρείτε τις τιμές του α για τις οποίες
i η συνάρτηση f ορίζεται σε όλο το R
ii η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα
β) Για α = e3 να λύσετε την εξίσωση ln 2 ln 1 f εφx f σφx
111 Δίνεται η συνάρτηση 1
ln5
x
f x
α) Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες η συνάρτηση f ορίζεται σε όλο το
β) Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα
στο
γ) Αν 11 να λύσετε την εξίσωση f f 1 6x x
112 Δίνεται η συνάρτηση f με f(x) = x + ln(ex - 3)
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της
β) Να δείξετε ότι f(ln4) lt f(ln5)
γ) Να λύσετε την ανίσωση f(x) gt lη2 + ln(ex - 2)
113 Δίνεται η συνάρτηση ( ) ln( 1) x
f x x e
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της
β) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα
γ) Να συγκρίνετε τους αριθμούς log 2f και log5f
δ) Να βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f και της ευθείας
ln 2y
114 Δίνεται η συνάρτηση 4 2
log 8 log log 100 0f x x x x x
α) Αν f(10)=25 να δείξετε ότι α = 1
β) Για την τιμή α = 1 να
i δείξετε ότι η f(x) γράφεται στη μορφή 2
2log 4 logf x x x
ii να λύσετε την εξίσωση f(x) = 0
115 Δίνονται οι συναρτήσεις ln x
f x e e και 1ln 2 2
xg x e
α) Να βρείτε το πεδίο των συναρτήσεων fg
β) Να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των fg δεν τέμνονται
γ) Να λύσετε την ανίσωση 1f x
116 Δίνονται οι συναρτήσεις x xf(x) ln e e
και x
g(x) ln ln e
α) Να βρείτε τα πεδία ορισμού των f(x) και g(x)
β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = g(x)
γ) Να λύσετε την ανίσωση f(x) gt 2g(x
117 Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) = ln(e2x-ex-2) και g(x) = ln2+ln(ex-l)
α) Να βρείτε τα πεδία ορισμού των f(x) και g(x)
β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = g(x)
γ) Να λύσετε την ανίσωση f(x) gt g(x)
19 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
118 Δίνεται η συνάρτηση 2
1ln
5
x
x
ef x
e
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f(x)
β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = 2ln2
γ) Να λύσετε την ανίσωση f(x) gt 0
119 Έστω η συνάρτηση f(x) = log(225x-54x) και η ευθεία ε y = x + log3
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f
β) Να βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της f και της ευθείας ε
γ) Να δείξετε ότι το σημείο Α3 3
2 2
f βρίσκεται πάνω από το σημείο Β με τετμημένη 3
2
της ευθείας ε
120 Δίνονται οι συναρτήσεις ( ) ln 2 3 xf x και ( ) ln(2 3) xg x
α) Να βρείτε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων f και g
β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = g(x)
γ) Να συγκρίνετε τους αριθμούς f(3) και g(3)
121 α) Να δείξετε ότι ln ln a για κάθε α β gt 0
β) Να λυθεί η ανίσωση 1
lnln 22 2 1
xx
γ) Έστω η συνάρτηση f(x) = ln xa Να βρείτε το α ώστε 5f (3) - 3f (5) gt 0
122 Δίνεται το πολυώνυμο 2 1 4 3 2 2( ) 1 ln ln 1f x e x x x x θ (0 π) το
οποίο είναι 3ου βαθμού και διαιρείται με το x-1
α) Να αποδείξετε ότι θ = 2
3
και κ =
1
e
β) Να αποδείξετε ότι το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης [f(x)x2] είναι το ίδιο
γ) Να βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της πολυωνυμικής συνάρτησης f(x)
με την ευθεία (ε) y = 5x-5
ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ
123 Δίνεται το σύστημα 2x y 7
7x 2y 11
α) Να βρείτε τη λύση (x0y0) του συστήματος
β) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης 2f (x) x x έχει κορυφή το σημείο Κ(x0y0)
i) να βρείτε τους αριθμούς β και γ
ii) να λύσετε την ανίσωση f (x) 0
iii) να λύσετε το σύστημα y f (x)
x y 6
20 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
124 Το σύστημα ( 1)x 8y 4
x ( 3)y 3 1
έχει τη μοναδική λύση (x0y0) για την οποία ισχύει
0 0x y 1
α) Να βρείτε τον αριθμό λ
β) Δίνεται η συνάρτηση 2f (x) x 2 x 6
i Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η Cf είναι πάνω από τον χ΄χ
iiΝα λύσετε το σύστημα y f (x)
2y f (x 1) 10x
125 Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f με f (x) = α + βσυν2x διέρχεται από τα σημεία
Α(0 1) και Β 24
π τότε
α) να βρείτε τα α και β
β) να βρείτε την f
γ) να δείξετε ότι η Cf έχει άξονα συμμετρίας τον yy
δ) να δείξετε ότι f (-x) - f4
πx = ημ2x - συν2x
126 Δίνεται το πολυώνυμο f (x) = 2x3 middot συν2θ - x3ημθ - x2 + 3eλ - 2
Αν το πολυώνυμο έχει παράγοντες τους x και x - 1
α) να βρείτε τους λ και θ θ [0 2
π]
β) να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του πολυωνύμου Ρ(x) με το x - 1 όπου
P(x) = x∙f(3x-2) + (2-3x)21
γ) να βρείτε τα διαστήματα που η γραφική παράσταση της συνάρτησης f βρίσκεται κάτω από
τον άξονα χ χ
127 Δίνεται η πολυωνυμική συνάρτηση f(x) = 8x3-4x2 + 2x-l
α) Αν το πολυώνυμο Ρ(x) έχει παράγοντα το x - συνθ θ 02
π να βρείτε το θ
β) Να λύσετε την ανίσωση f(lnx) lt 0
γ) Να βρείτε τα διαστήματα του χ που η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από την
ευθεία y = 10x - 5
128 Θεωρούμε το πολυώνυμο 3 2( ) ( ) 2 1P x x x x
α) Αν έχει παράγοντα το 2
1x να βρείτε τα και
β) Για τις τιμές των και που βρήκατε να λύσετε την ανίσωση ( ) 0P x
γ) Για τις ίδιες τιμές των και να λύσετε την εξίσωση ( ) 0P x
129 Δίνεται το πολυώνυμο 3 2 P x x x x α β Αν το υπόλοιπο της διαίρεσης
2 2P x x x είναι (x) 9x 3 τότε
α) να αποδείξετε ότι 3 και 3
β) να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της πολυωνυμικής συνάρτησης
P(x) βρίσκεται κάτω από τον άξονα xrsquox
21 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
γ) να λύσετε την ανίσωση 10 2 0xP
130 Δίνεται το πολυώνυμο P(x) = x4 +αx3 +βx2 ndash2x + 4 όπου α βIR Το P(x) έχει παράγοντα το
x ndash 1 και το υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x) με το x + 1 είναι το 6
α) Να δείξετε ότι α = ndash1 και β = ndash2
β) Να λύσετε την εξίσωση P(x) = 0
γ) Να λύσετε την ανίσωση P(x) gt 0
δ) Να λύσετε την εξίσωση συν4x ndashσυν3x + 2ημ2x ndash2συνx + 2 = 0 στο διάστημα [ndashπ
2 π)
131 Δίνεται το πολυώνυμο 3 2 1P x x x x που έχει παράγοντα το 1x και το
υπόλοιπο της διαίρεσης του με το 1x είναι 8
α) Να αποδείξετε ότι 2 και 7
β) Να λύσετε την ανίσωση 0x
γ) Αν 2
x
να λύσετε την εξίσωση 3 22 7 2 3 0
132 To πολυώνυμο f(x)=x3+2αx2-βx-1 έχει παράγοντα το x-1 και το υπόλοιπο της διαίρεσης
f (x) (x 1) είναι 4
α) Να βρείτε τις τιμές των α β R
β) Να βρεθούν τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της
f(x) βρίσκεται κάτω από τον άξονα χ΄χ
γ) Να λύσετε την εξίσωση 2x x1e e
2
133 Δίνεται το πολυώνυμο 3 22 7P x x x x το οποίο έχει παράγοντα το 1x και το
υπόλοιπο της διαίρεσης του με το 1x είναι 18
α) Να αποδείξετε ότι 7 και 2
β) Να λύσετε την εξίσωση 3 22 2 7 2 7 2 2 0x x x
γ) Να λύσετε την ανίσωση 2 8 7 4 7 2 2 0x x x
134 Δίνεται το πολυώνυμο 3 2( ) (log 2) log 0P x x x k x k k
α) Να αποδείξετε ότι το 1x είναι παράγοντας του ( )P x
β) Να βρείτε τις τιμές του k για τις οποίες το πολυώνυμο ( )P x έχει τρεις
πραγματικές ρίζες
γ) Για 10k να λύσετε
i την ανίσωση ( ) 0P x
ii την εξίσωση 2( ) [0 ]P x x x
135 Δίνεται το πολυώνυμο
4 3 22ln 1 2 0 0 x x x x x x
α) Αν το πολυώνυμο x είναι 3ου βαθμού και έχει παράγοντα το 1x να βρεθούν τα
β) Αν 3 2 1x x x x x να βρεθούν οι τιμές του x για τις οποίες ισχύει
0x
22 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
γ) Να λυθούν
i η εξίσωση 2 0 0 ό
ii η ανίσωση 2 ln 0
136 Δίνεται η συνάρτηση log 2 4 5 2 2x xf x
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f
β) Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τον
άξονα χ΄χ
γ) Να λύσετε στο διάστημα 0 2 την εξίσωση 2 0f x
137 Έστω η συνάρτηση ( ) ln 2 xf x ημ
α) Να αποδείξετε ότι η f είναι περιττή
β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = 0 στο (- π π)
138 Έστω η συνάρτηση f(x) = ημx + ex - 1
α) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο Α= 2 2
π π
β) Να βρείτε το f(0)
γ) Να λύσετε
i την εξίσωση ημx + ex=1 στο 2 2
π π
ii την ανίσωση ημx + ex lt1 στο 2 2
π π
139 Έστω η συνάρτηση f (x) = (3 ndash 2lnα)x
α) Να βρείτε το α ώστε η συνάρτηση f να ορίζεται σε όλο το R
β) Να βρείτε το α ώστε η συνάρτηση f να είναι γνησίως φθίνουσα
γ) Για α = e να λύσετε την εξίσωση f(2συν2θ)-f(2ημ2θ) = 3
140 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = (2lnα - 1)x
α) Να βρείτε τις τιμές του α R για τις οποίες η συνάρτηση f ορίζεται σε όλο το R
β) Να βρείτε τις τιμές του α R για τις οποίες η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα
γ) Αν α = e2 να βρείτε το θ ώστε 2 2 2 4( ) ( )
3 f συν θ ημ θ f συν θ
141 Δίνεται η συνάρτηση 2
log logf x x x
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f
β) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τον άξονα χ΄χ
γ) Να λύσετε την εξίσωση 0f x
δ) Αν για τους θετικούς αριθμούς α β με ισχύει ότι f f να αποδείξετε ότι
10000
142 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = log(4x ndash 2)
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f και να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f έχει
μοναδικό κοινό σημείο με την ευθεία y = 1 ndash log5
23 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
β) Να λύσετε την ανίσωση 1
-12
4 64 - 2 0
5 5
xx
γ) Να λύσετε την εξίσωση f(x) + f(2
x) = 1 + log
1-
124 6
4 - 25 5
xx
δ) Να λύσετε την εξίσωση ημ2x = f(5
2) + f(1) ndash f(
3
2)
143 Δίνεται το πολυώνυμο 1
4 2 1 3 225 2 3 25 1 λf x x x x x
α) Αν το (x ndash 1) είναι παράγοντας του f(x) να βρείτε το λ
β) Για 1
2
i να δείξετε ότι το (x -1)2 είναι παράγοντας του f(x)
ii να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τον
άξονα x΄x
144 Δίνεται το πολυώνυμο Ρ(x) = (21lnκ - 1)x4 + x3 + (e - 1)x2 ndash e∙x +1 + 2ημθ θ (0 2π)
Αν το πολυώνυμο Ρ(x) είναι 3ου βαθμού και έχει παράγοντα το x - 1
α) να βρείτε τα κ και θ
β) να λύσετε την ανίσωση Ρ(x) lt 0
γ) να βρείτε τα διαστήματα που η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) με
f(x) = e3x+(e-1)e2x-ex+1 βρίσκεται κάτω από τον άξονα χ χ
145 Δίνεται η συνάρτηση ln ln 3
( )ln ln
x
f x
με 3lt α lt β η οποία είναι γνησίως φθίνουσα στο
σύνολο των πραγματικών αριθμών
α) Να συγκρίνετε τους αριθμούς ln και ln
β) Να αποδείξετε ότι 23
γ) Αν 6 και 24 τότε
i) να αποδείξετε ότι 1
( )2
x
f x
ii) να αποδείξετε ότι για κάθε ισχύει η ανισότητα 22
f f f
δ)Να λυθεί η εξίσωση 2 2( ) ( ) 3f x f x
146 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x - 1 + lnx x gt 0
α) Να δείξετε ότι για κάθε x με 0 lt x lt 1 f(x) lt 0
β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = x-1-ln2x
γ) Να λύσετε την ανίσωση f (ex) gt x + 2x -1
δ) Να δείξετε ότι για κάθε θ 02
lne
147 Δίνεται το πολυώνυμο f(x) όπου f(x) = x3-2x2lnα2 + 5xlnα-2 αgt0
α) Αν το x-1 είναι παράγοντας του f(x) τότε να βρείτε το α
β) Για α = e
24 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
i να δείξετε ότι το (x-1)2 είναι παράγοντας του πολυωνύμου f(x)
ii να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της πολυωνυμικής
συνάρτησης f(x) βρίσκεται κάτω από τον άξονα χ χ
148 Έστω η συνάρτηση f(x) = ln(2 - ex)
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f
β) Έστω ότι ο αριθμοί α = 2x β = f(x) γ = ln4 είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου
i Να βρείτε το x
ii Αν ο αριθμός α είναι ο 3ος όρος της αριθμητικής προόδου να βρείτε ποιος όρος της προόδου
ισούται με 2ln2 + 5ln3
149 Δίνεται το πολυώνυμο Ρ(x) = x3 +x2 + x + 2λ2 ndashλ +1
α) Να αποδείξετε ότι η διαίρεση Ρ(x) (x -1 ) δεν είναι τέλεια
β) Αν υ(λ) το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ(x) (x -1 ) να βρεθεί το λ ώστε το υ(λ) να γίνεται
ελάχιστο και την ελάχιστη τιμή του υ(λ)
γ) Για την τιμή του λ που το υ(λ) γίνεται ελάχιστο
i να λύσετε την εξίσωση 425x-2λ-16x-2λ=48λx
ii να λύσετε την εξίσωση
2ln x 1ln
21
4 5 x2
αφού πρώτα αποδείξετε ότι
ln x ln 22 x
δ) Να λύσετε την ανίσωση 8 x 4 x 4 x 1 4 x 13 9 11 4 4
150 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = log(e2x-kex +λ) με f(0) = log2 f(ln6) = log12
α) Να δείξετε ότι κ = 5 και λ = 6
β) Αν κ = 5 και λ = 6
i Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f
ii Να λυθεί η εξίσωση f(x) = 1minuslog(ex + 1)
iii Να δείξετε ότι οι αριθμοί f(ln5)minusf(0) f(ln5) f(ln6) είναι διαδοχικοί όροι
αριθμητικής προόδου
151 Αν το πολυώνυμο f(x) = x3 + 2αx2 - βx - 1 έχει παράγοντα το x - 1 και το υπόλοιπο της
διαίρεσης Ρ(x)(x + 1) είναι 4
α) να βρείτε τους α και β
β) να λύσετε την εξίσωση 2συν4
βx- 2ημ2 x
2
= -2
γ) να βρείτε το ελάχιστο πλήθος των πρώτων όρων της αριθμητικής προόδου (αν) με α1 = α και
ω = β που απαιτούνται ώστε το άθροισμα τους να ξεπερνάει το 150
δ) να λύσετε την εξίσωση β2lnx =5 + 4∙xln2α
152 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) = x3+λx2+23x-15 (λR ) διέρχεται από το σημείο
Α(10)
α) Να βρεθεί ο λ R
β) Για ποιες τιμές του xR η ψ = f(x) βρίσκεται κάτω από τον άξονα x΄x
γ) οι τετμημένες των σημείων στα οποία η ψ = f(x) τέμνει τον άξονα x΄x είναι κατά αύξουσα
τάξη οι 3 πρώτοι όροι μιας προόδου Αν το άθροισμα των ν πρώτων όρων της είναι 400 να
βρεθεί ο ν
25 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
153 α) Έστω η συνάρτηση f (x) = 2 middot 3x + 3x - 24
i να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα και να βρείτε το f(2)
ii να λύσετε την εξίσωση f(x) = 0
β) Δύο κοινωνίες βακτηριδίων Α και Β έχουν αρχικά 24 και 2 βακτηρίδια αντίστοιχα
Η κοινωνία των βακτηριδίων Α μειώνεται σε αριθμό κάθε μια ώρα κατά 3 βακτηρίδια
Η κοινωνία των βακτηριδίων Β τριπλασιάζεται κάθε μία ώρα Να βρείτε μετά από πόσες
ώρες οι κοινωνίες των βακτηριδίων θα έχουν τον ίδιο αριθμό βακτηριδίων
19 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
118 Δίνεται η συνάρτηση 2
1ln
5
x
x
ef x
e
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f(x)
β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = 2ln2
γ) Να λύσετε την ανίσωση f(x) gt 0
119 Έστω η συνάρτηση f(x) = log(225x-54x) και η ευθεία ε y = x + log3
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f
β) Να βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της f και της ευθείας ε
γ) Να δείξετε ότι το σημείο Α3 3
2 2
f βρίσκεται πάνω από το σημείο Β με τετμημένη 3
2
της ευθείας ε
120 Δίνονται οι συναρτήσεις ( ) ln 2 3 xf x και ( ) ln(2 3) xg x
α) Να βρείτε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων f και g
β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = g(x)
γ) Να συγκρίνετε τους αριθμούς f(3) και g(3)
121 α) Να δείξετε ότι ln ln a για κάθε α β gt 0
β) Να λυθεί η ανίσωση 1
lnln 22 2 1
xx
γ) Έστω η συνάρτηση f(x) = ln xa Να βρείτε το α ώστε 5f (3) - 3f (5) gt 0
122 Δίνεται το πολυώνυμο 2 1 4 3 2 2( ) 1 ln ln 1f x e x x x x θ (0 π) το
οποίο είναι 3ου βαθμού και διαιρείται με το x-1
α) Να αποδείξετε ότι θ = 2
3
και κ =
1
e
β) Να αποδείξετε ότι το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης [f(x)x2] είναι το ίδιο
γ) Να βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της πολυωνυμικής συνάρτησης f(x)
με την ευθεία (ε) y = 5x-5
ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ
123 Δίνεται το σύστημα 2x y 7
7x 2y 11
α) Να βρείτε τη λύση (x0y0) του συστήματος
β) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης 2f (x) x x έχει κορυφή το σημείο Κ(x0y0)
i) να βρείτε τους αριθμούς β και γ
ii) να λύσετε την ανίσωση f (x) 0
iii) να λύσετε το σύστημα y f (x)
x y 6
20 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
124 Το σύστημα ( 1)x 8y 4
x ( 3)y 3 1
έχει τη μοναδική λύση (x0y0) για την οποία ισχύει
0 0x y 1
α) Να βρείτε τον αριθμό λ
β) Δίνεται η συνάρτηση 2f (x) x 2 x 6
i Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η Cf είναι πάνω από τον χ΄χ
iiΝα λύσετε το σύστημα y f (x)
2y f (x 1) 10x
125 Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f με f (x) = α + βσυν2x διέρχεται από τα σημεία
Α(0 1) και Β 24
π τότε
α) να βρείτε τα α και β
β) να βρείτε την f
γ) να δείξετε ότι η Cf έχει άξονα συμμετρίας τον yy
δ) να δείξετε ότι f (-x) - f4
πx = ημ2x - συν2x
126 Δίνεται το πολυώνυμο f (x) = 2x3 middot συν2θ - x3ημθ - x2 + 3eλ - 2
Αν το πολυώνυμο έχει παράγοντες τους x και x - 1
α) να βρείτε τους λ και θ θ [0 2
π]
β) να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του πολυωνύμου Ρ(x) με το x - 1 όπου
P(x) = x∙f(3x-2) + (2-3x)21
γ) να βρείτε τα διαστήματα που η γραφική παράσταση της συνάρτησης f βρίσκεται κάτω από
τον άξονα χ χ
127 Δίνεται η πολυωνυμική συνάρτηση f(x) = 8x3-4x2 + 2x-l
α) Αν το πολυώνυμο Ρ(x) έχει παράγοντα το x - συνθ θ 02
π να βρείτε το θ
β) Να λύσετε την ανίσωση f(lnx) lt 0
γ) Να βρείτε τα διαστήματα του χ που η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από την
ευθεία y = 10x - 5
128 Θεωρούμε το πολυώνυμο 3 2( ) ( ) 2 1P x x x x
α) Αν έχει παράγοντα το 2
1x να βρείτε τα και
β) Για τις τιμές των και που βρήκατε να λύσετε την ανίσωση ( ) 0P x
γ) Για τις ίδιες τιμές των και να λύσετε την εξίσωση ( ) 0P x
129 Δίνεται το πολυώνυμο 3 2 P x x x x α β Αν το υπόλοιπο της διαίρεσης
2 2P x x x είναι (x) 9x 3 τότε
α) να αποδείξετε ότι 3 και 3
β) να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της πολυωνυμικής συνάρτησης
P(x) βρίσκεται κάτω από τον άξονα xrsquox
21 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
γ) να λύσετε την ανίσωση 10 2 0xP
130 Δίνεται το πολυώνυμο P(x) = x4 +αx3 +βx2 ndash2x + 4 όπου α βIR Το P(x) έχει παράγοντα το
x ndash 1 και το υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x) με το x + 1 είναι το 6
α) Να δείξετε ότι α = ndash1 και β = ndash2
β) Να λύσετε την εξίσωση P(x) = 0
γ) Να λύσετε την ανίσωση P(x) gt 0
δ) Να λύσετε την εξίσωση συν4x ndashσυν3x + 2ημ2x ndash2συνx + 2 = 0 στο διάστημα [ndashπ
2 π)
131 Δίνεται το πολυώνυμο 3 2 1P x x x x που έχει παράγοντα το 1x και το
υπόλοιπο της διαίρεσης του με το 1x είναι 8
α) Να αποδείξετε ότι 2 και 7
β) Να λύσετε την ανίσωση 0x
γ) Αν 2
x
να λύσετε την εξίσωση 3 22 7 2 3 0
132 To πολυώνυμο f(x)=x3+2αx2-βx-1 έχει παράγοντα το x-1 και το υπόλοιπο της διαίρεσης
f (x) (x 1) είναι 4
α) Να βρείτε τις τιμές των α β R
β) Να βρεθούν τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της
f(x) βρίσκεται κάτω από τον άξονα χ΄χ
γ) Να λύσετε την εξίσωση 2x x1e e
2
133 Δίνεται το πολυώνυμο 3 22 7P x x x x το οποίο έχει παράγοντα το 1x και το
υπόλοιπο της διαίρεσης του με το 1x είναι 18
α) Να αποδείξετε ότι 7 και 2
β) Να λύσετε την εξίσωση 3 22 2 7 2 7 2 2 0x x x
γ) Να λύσετε την ανίσωση 2 8 7 4 7 2 2 0x x x
134 Δίνεται το πολυώνυμο 3 2( ) (log 2) log 0P x x x k x k k
α) Να αποδείξετε ότι το 1x είναι παράγοντας του ( )P x
β) Να βρείτε τις τιμές του k για τις οποίες το πολυώνυμο ( )P x έχει τρεις
πραγματικές ρίζες
γ) Για 10k να λύσετε
i την ανίσωση ( ) 0P x
ii την εξίσωση 2( ) [0 ]P x x x
135 Δίνεται το πολυώνυμο
4 3 22ln 1 2 0 0 x x x x x x
α) Αν το πολυώνυμο x είναι 3ου βαθμού και έχει παράγοντα το 1x να βρεθούν τα
β) Αν 3 2 1x x x x x να βρεθούν οι τιμές του x για τις οποίες ισχύει
0x
22 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
γ) Να λυθούν
i η εξίσωση 2 0 0 ό
ii η ανίσωση 2 ln 0
136 Δίνεται η συνάρτηση log 2 4 5 2 2x xf x
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f
β) Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τον
άξονα χ΄χ
γ) Να λύσετε στο διάστημα 0 2 την εξίσωση 2 0f x
137 Έστω η συνάρτηση ( ) ln 2 xf x ημ
α) Να αποδείξετε ότι η f είναι περιττή
β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = 0 στο (- π π)
138 Έστω η συνάρτηση f(x) = ημx + ex - 1
α) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο Α= 2 2
π π
β) Να βρείτε το f(0)
γ) Να λύσετε
i την εξίσωση ημx + ex=1 στο 2 2
π π
ii την ανίσωση ημx + ex lt1 στο 2 2
π π
139 Έστω η συνάρτηση f (x) = (3 ndash 2lnα)x
α) Να βρείτε το α ώστε η συνάρτηση f να ορίζεται σε όλο το R
β) Να βρείτε το α ώστε η συνάρτηση f να είναι γνησίως φθίνουσα
γ) Για α = e να λύσετε την εξίσωση f(2συν2θ)-f(2ημ2θ) = 3
140 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = (2lnα - 1)x
α) Να βρείτε τις τιμές του α R για τις οποίες η συνάρτηση f ορίζεται σε όλο το R
β) Να βρείτε τις τιμές του α R για τις οποίες η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα
γ) Αν α = e2 να βρείτε το θ ώστε 2 2 2 4( ) ( )
3 f συν θ ημ θ f συν θ
141 Δίνεται η συνάρτηση 2
log logf x x x
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f
β) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τον άξονα χ΄χ
γ) Να λύσετε την εξίσωση 0f x
δ) Αν για τους θετικούς αριθμούς α β με ισχύει ότι f f να αποδείξετε ότι
10000
142 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = log(4x ndash 2)
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f και να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f έχει
μοναδικό κοινό σημείο με την ευθεία y = 1 ndash log5
23 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
β) Να λύσετε την ανίσωση 1
-12
4 64 - 2 0
5 5
xx
γ) Να λύσετε την εξίσωση f(x) + f(2
x) = 1 + log
1-
124 6
4 - 25 5
xx
δ) Να λύσετε την εξίσωση ημ2x = f(5
2) + f(1) ndash f(
3
2)
143 Δίνεται το πολυώνυμο 1
4 2 1 3 225 2 3 25 1 λf x x x x x
α) Αν το (x ndash 1) είναι παράγοντας του f(x) να βρείτε το λ
β) Για 1
2
i να δείξετε ότι το (x -1)2 είναι παράγοντας του f(x)
ii να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τον
άξονα x΄x
144 Δίνεται το πολυώνυμο Ρ(x) = (21lnκ - 1)x4 + x3 + (e - 1)x2 ndash e∙x +1 + 2ημθ θ (0 2π)
Αν το πολυώνυμο Ρ(x) είναι 3ου βαθμού και έχει παράγοντα το x - 1
α) να βρείτε τα κ και θ
β) να λύσετε την ανίσωση Ρ(x) lt 0
γ) να βρείτε τα διαστήματα που η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) με
f(x) = e3x+(e-1)e2x-ex+1 βρίσκεται κάτω από τον άξονα χ χ
145 Δίνεται η συνάρτηση ln ln 3
( )ln ln
x
f x
με 3lt α lt β η οποία είναι γνησίως φθίνουσα στο
σύνολο των πραγματικών αριθμών
α) Να συγκρίνετε τους αριθμούς ln και ln
β) Να αποδείξετε ότι 23
γ) Αν 6 και 24 τότε
i) να αποδείξετε ότι 1
( )2
x
f x
ii) να αποδείξετε ότι για κάθε ισχύει η ανισότητα 22
f f f
δ)Να λυθεί η εξίσωση 2 2( ) ( ) 3f x f x
146 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x - 1 + lnx x gt 0
α) Να δείξετε ότι για κάθε x με 0 lt x lt 1 f(x) lt 0
β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = x-1-ln2x
γ) Να λύσετε την ανίσωση f (ex) gt x + 2x -1
δ) Να δείξετε ότι για κάθε θ 02
lne
147 Δίνεται το πολυώνυμο f(x) όπου f(x) = x3-2x2lnα2 + 5xlnα-2 αgt0
α) Αν το x-1 είναι παράγοντας του f(x) τότε να βρείτε το α
β) Για α = e
24 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
i να δείξετε ότι το (x-1)2 είναι παράγοντας του πολυωνύμου f(x)
ii να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της πολυωνυμικής
συνάρτησης f(x) βρίσκεται κάτω από τον άξονα χ χ
148 Έστω η συνάρτηση f(x) = ln(2 - ex)
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f
β) Έστω ότι ο αριθμοί α = 2x β = f(x) γ = ln4 είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου
i Να βρείτε το x
ii Αν ο αριθμός α είναι ο 3ος όρος της αριθμητικής προόδου να βρείτε ποιος όρος της προόδου
ισούται με 2ln2 + 5ln3
149 Δίνεται το πολυώνυμο Ρ(x) = x3 +x2 + x + 2λ2 ndashλ +1
α) Να αποδείξετε ότι η διαίρεση Ρ(x) (x -1 ) δεν είναι τέλεια
β) Αν υ(λ) το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ(x) (x -1 ) να βρεθεί το λ ώστε το υ(λ) να γίνεται
ελάχιστο και την ελάχιστη τιμή του υ(λ)
γ) Για την τιμή του λ που το υ(λ) γίνεται ελάχιστο
i να λύσετε την εξίσωση 425x-2λ-16x-2λ=48λx
ii να λύσετε την εξίσωση
2ln x 1ln
21
4 5 x2
αφού πρώτα αποδείξετε ότι
ln x ln 22 x
δ) Να λύσετε την ανίσωση 8 x 4 x 4 x 1 4 x 13 9 11 4 4
150 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = log(e2x-kex +λ) με f(0) = log2 f(ln6) = log12
α) Να δείξετε ότι κ = 5 και λ = 6
β) Αν κ = 5 και λ = 6
i Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f
ii Να λυθεί η εξίσωση f(x) = 1minuslog(ex + 1)
iii Να δείξετε ότι οι αριθμοί f(ln5)minusf(0) f(ln5) f(ln6) είναι διαδοχικοί όροι
αριθμητικής προόδου
151 Αν το πολυώνυμο f(x) = x3 + 2αx2 - βx - 1 έχει παράγοντα το x - 1 και το υπόλοιπο της
διαίρεσης Ρ(x)(x + 1) είναι 4
α) να βρείτε τους α και β
β) να λύσετε την εξίσωση 2συν4
βx- 2ημ2 x
2
= -2
γ) να βρείτε το ελάχιστο πλήθος των πρώτων όρων της αριθμητικής προόδου (αν) με α1 = α και
ω = β που απαιτούνται ώστε το άθροισμα τους να ξεπερνάει το 150
δ) να λύσετε την εξίσωση β2lnx =5 + 4∙xln2α
152 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) = x3+λx2+23x-15 (λR ) διέρχεται από το σημείο
Α(10)
α) Να βρεθεί ο λ R
β) Για ποιες τιμές του xR η ψ = f(x) βρίσκεται κάτω από τον άξονα x΄x
γ) οι τετμημένες των σημείων στα οποία η ψ = f(x) τέμνει τον άξονα x΄x είναι κατά αύξουσα
τάξη οι 3 πρώτοι όροι μιας προόδου Αν το άθροισμα των ν πρώτων όρων της είναι 400 να
βρεθεί ο ν
25 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
153 α) Έστω η συνάρτηση f (x) = 2 middot 3x + 3x - 24
i να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα και να βρείτε το f(2)
ii να λύσετε την εξίσωση f(x) = 0
β) Δύο κοινωνίες βακτηριδίων Α και Β έχουν αρχικά 24 και 2 βακτηρίδια αντίστοιχα
Η κοινωνία των βακτηριδίων Α μειώνεται σε αριθμό κάθε μια ώρα κατά 3 βακτηρίδια
Η κοινωνία των βακτηριδίων Β τριπλασιάζεται κάθε μία ώρα Να βρείτε μετά από πόσες
ώρες οι κοινωνίες των βακτηριδίων θα έχουν τον ίδιο αριθμό βακτηριδίων
20 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
124 Το σύστημα ( 1)x 8y 4
x ( 3)y 3 1
έχει τη μοναδική λύση (x0y0) για την οποία ισχύει
0 0x y 1
α) Να βρείτε τον αριθμό λ
β) Δίνεται η συνάρτηση 2f (x) x 2 x 6
i Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η Cf είναι πάνω από τον χ΄χ
iiΝα λύσετε το σύστημα y f (x)
2y f (x 1) 10x
125 Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f με f (x) = α + βσυν2x διέρχεται από τα σημεία
Α(0 1) και Β 24
π τότε
α) να βρείτε τα α και β
β) να βρείτε την f
γ) να δείξετε ότι η Cf έχει άξονα συμμετρίας τον yy
δ) να δείξετε ότι f (-x) - f4
πx = ημ2x - συν2x
126 Δίνεται το πολυώνυμο f (x) = 2x3 middot συν2θ - x3ημθ - x2 + 3eλ - 2
Αν το πολυώνυμο έχει παράγοντες τους x και x - 1
α) να βρείτε τους λ και θ θ [0 2
π]
β) να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του πολυωνύμου Ρ(x) με το x - 1 όπου
P(x) = x∙f(3x-2) + (2-3x)21
γ) να βρείτε τα διαστήματα που η γραφική παράσταση της συνάρτησης f βρίσκεται κάτω από
τον άξονα χ χ
127 Δίνεται η πολυωνυμική συνάρτηση f(x) = 8x3-4x2 + 2x-l
α) Αν το πολυώνυμο Ρ(x) έχει παράγοντα το x - συνθ θ 02
π να βρείτε το θ
β) Να λύσετε την ανίσωση f(lnx) lt 0
γ) Να βρείτε τα διαστήματα του χ που η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από την
ευθεία y = 10x - 5
128 Θεωρούμε το πολυώνυμο 3 2( ) ( ) 2 1P x x x x
α) Αν έχει παράγοντα το 2
1x να βρείτε τα και
β) Για τις τιμές των και που βρήκατε να λύσετε την ανίσωση ( ) 0P x
γ) Για τις ίδιες τιμές των και να λύσετε την εξίσωση ( ) 0P x
129 Δίνεται το πολυώνυμο 3 2 P x x x x α β Αν το υπόλοιπο της διαίρεσης
2 2P x x x είναι (x) 9x 3 τότε
α) να αποδείξετε ότι 3 και 3
β) να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της πολυωνυμικής συνάρτησης
P(x) βρίσκεται κάτω από τον άξονα xrsquox
21 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
γ) να λύσετε την ανίσωση 10 2 0xP
130 Δίνεται το πολυώνυμο P(x) = x4 +αx3 +βx2 ndash2x + 4 όπου α βIR Το P(x) έχει παράγοντα το
x ndash 1 και το υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x) με το x + 1 είναι το 6
α) Να δείξετε ότι α = ndash1 και β = ndash2
β) Να λύσετε την εξίσωση P(x) = 0
γ) Να λύσετε την ανίσωση P(x) gt 0
δ) Να λύσετε την εξίσωση συν4x ndashσυν3x + 2ημ2x ndash2συνx + 2 = 0 στο διάστημα [ndashπ
2 π)
131 Δίνεται το πολυώνυμο 3 2 1P x x x x που έχει παράγοντα το 1x και το
υπόλοιπο της διαίρεσης του με το 1x είναι 8
α) Να αποδείξετε ότι 2 και 7
β) Να λύσετε την ανίσωση 0x
γ) Αν 2
x
να λύσετε την εξίσωση 3 22 7 2 3 0
132 To πολυώνυμο f(x)=x3+2αx2-βx-1 έχει παράγοντα το x-1 και το υπόλοιπο της διαίρεσης
f (x) (x 1) είναι 4
α) Να βρείτε τις τιμές των α β R
β) Να βρεθούν τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της
f(x) βρίσκεται κάτω από τον άξονα χ΄χ
γ) Να λύσετε την εξίσωση 2x x1e e
2
133 Δίνεται το πολυώνυμο 3 22 7P x x x x το οποίο έχει παράγοντα το 1x και το
υπόλοιπο της διαίρεσης του με το 1x είναι 18
α) Να αποδείξετε ότι 7 και 2
β) Να λύσετε την εξίσωση 3 22 2 7 2 7 2 2 0x x x
γ) Να λύσετε την ανίσωση 2 8 7 4 7 2 2 0x x x
134 Δίνεται το πολυώνυμο 3 2( ) (log 2) log 0P x x x k x k k
α) Να αποδείξετε ότι το 1x είναι παράγοντας του ( )P x
β) Να βρείτε τις τιμές του k για τις οποίες το πολυώνυμο ( )P x έχει τρεις
πραγματικές ρίζες
γ) Για 10k να λύσετε
i την ανίσωση ( ) 0P x
ii την εξίσωση 2( ) [0 ]P x x x
135 Δίνεται το πολυώνυμο
4 3 22ln 1 2 0 0 x x x x x x
α) Αν το πολυώνυμο x είναι 3ου βαθμού και έχει παράγοντα το 1x να βρεθούν τα
β) Αν 3 2 1x x x x x να βρεθούν οι τιμές του x για τις οποίες ισχύει
0x
22 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
γ) Να λυθούν
i η εξίσωση 2 0 0 ό
ii η ανίσωση 2 ln 0
136 Δίνεται η συνάρτηση log 2 4 5 2 2x xf x
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f
β) Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τον
άξονα χ΄χ
γ) Να λύσετε στο διάστημα 0 2 την εξίσωση 2 0f x
137 Έστω η συνάρτηση ( ) ln 2 xf x ημ
α) Να αποδείξετε ότι η f είναι περιττή
β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = 0 στο (- π π)
138 Έστω η συνάρτηση f(x) = ημx + ex - 1
α) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο Α= 2 2
π π
β) Να βρείτε το f(0)
γ) Να λύσετε
i την εξίσωση ημx + ex=1 στο 2 2
π π
ii την ανίσωση ημx + ex lt1 στο 2 2
π π
139 Έστω η συνάρτηση f (x) = (3 ndash 2lnα)x
α) Να βρείτε το α ώστε η συνάρτηση f να ορίζεται σε όλο το R
β) Να βρείτε το α ώστε η συνάρτηση f να είναι γνησίως φθίνουσα
γ) Για α = e να λύσετε την εξίσωση f(2συν2θ)-f(2ημ2θ) = 3
140 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = (2lnα - 1)x
α) Να βρείτε τις τιμές του α R για τις οποίες η συνάρτηση f ορίζεται σε όλο το R
β) Να βρείτε τις τιμές του α R για τις οποίες η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα
γ) Αν α = e2 να βρείτε το θ ώστε 2 2 2 4( ) ( )
3 f συν θ ημ θ f συν θ
141 Δίνεται η συνάρτηση 2
log logf x x x
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f
β) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τον άξονα χ΄χ
γ) Να λύσετε την εξίσωση 0f x
δ) Αν για τους θετικούς αριθμούς α β με ισχύει ότι f f να αποδείξετε ότι
10000
142 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = log(4x ndash 2)
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f και να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f έχει
μοναδικό κοινό σημείο με την ευθεία y = 1 ndash log5
23 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
β) Να λύσετε την ανίσωση 1
-12
4 64 - 2 0
5 5
xx
γ) Να λύσετε την εξίσωση f(x) + f(2
x) = 1 + log
1-
124 6
4 - 25 5
xx
δ) Να λύσετε την εξίσωση ημ2x = f(5
2) + f(1) ndash f(
3
2)
143 Δίνεται το πολυώνυμο 1
4 2 1 3 225 2 3 25 1 λf x x x x x
α) Αν το (x ndash 1) είναι παράγοντας του f(x) να βρείτε το λ
β) Για 1
2
i να δείξετε ότι το (x -1)2 είναι παράγοντας του f(x)
ii να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τον
άξονα x΄x
144 Δίνεται το πολυώνυμο Ρ(x) = (21lnκ - 1)x4 + x3 + (e - 1)x2 ndash e∙x +1 + 2ημθ θ (0 2π)
Αν το πολυώνυμο Ρ(x) είναι 3ου βαθμού και έχει παράγοντα το x - 1
α) να βρείτε τα κ και θ
β) να λύσετε την ανίσωση Ρ(x) lt 0
γ) να βρείτε τα διαστήματα που η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) με
f(x) = e3x+(e-1)e2x-ex+1 βρίσκεται κάτω από τον άξονα χ χ
145 Δίνεται η συνάρτηση ln ln 3
( )ln ln
x
f x
με 3lt α lt β η οποία είναι γνησίως φθίνουσα στο
σύνολο των πραγματικών αριθμών
α) Να συγκρίνετε τους αριθμούς ln και ln
β) Να αποδείξετε ότι 23
γ) Αν 6 και 24 τότε
i) να αποδείξετε ότι 1
( )2
x
f x
ii) να αποδείξετε ότι για κάθε ισχύει η ανισότητα 22
f f f
δ)Να λυθεί η εξίσωση 2 2( ) ( ) 3f x f x
146 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x - 1 + lnx x gt 0
α) Να δείξετε ότι για κάθε x με 0 lt x lt 1 f(x) lt 0
β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = x-1-ln2x
γ) Να λύσετε την ανίσωση f (ex) gt x + 2x -1
δ) Να δείξετε ότι για κάθε θ 02
lne
147 Δίνεται το πολυώνυμο f(x) όπου f(x) = x3-2x2lnα2 + 5xlnα-2 αgt0
α) Αν το x-1 είναι παράγοντας του f(x) τότε να βρείτε το α
β) Για α = e
24 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
i να δείξετε ότι το (x-1)2 είναι παράγοντας του πολυωνύμου f(x)
ii να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της πολυωνυμικής
συνάρτησης f(x) βρίσκεται κάτω από τον άξονα χ χ
148 Έστω η συνάρτηση f(x) = ln(2 - ex)
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f
β) Έστω ότι ο αριθμοί α = 2x β = f(x) γ = ln4 είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου
i Να βρείτε το x
ii Αν ο αριθμός α είναι ο 3ος όρος της αριθμητικής προόδου να βρείτε ποιος όρος της προόδου
ισούται με 2ln2 + 5ln3
149 Δίνεται το πολυώνυμο Ρ(x) = x3 +x2 + x + 2λ2 ndashλ +1
α) Να αποδείξετε ότι η διαίρεση Ρ(x) (x -1 ) δεν είναι τέλεια
β) Αν υ(λ) το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ(x) (x -1 ) να βρεθεί το λ ώστε το υ(λ) να γίνεται
ελάχιστο και την ελάχιστη τιμή του υ(λ)
γ) Για την τιμή του λ που το υ(λ) γίνεται ελάχιστο
i να λύσετε την εξίσωση 425x-2λ-16x-2λ=48λx
ii να λύσετε την εξίσωση
2ln x 1ln
21
4 5 x2
αφού πρώτα αποδείξετε ότι
ln x ln 22 x
δ) Να λύσετε την ανίσωση 8 x 4 x 4 x 1 4 x 13 9 11 4 4
150 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = log(e2x-kex +λ) με f(0) = log2 f(ln6) = log12
α) Να δείξετε ότι κ = 5 και λ = 6
β) Αν κ = 5 και λ = 6
i Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f
ii Να λυθεί η εξίσωση f(x) = 1minuslog(ex + 1)
iii Να δείξετε ότι οι αριθμοί f(ln5)minusf(0) f(ln5) f(ln6) είναι διαδοχικοί όροι
αριθμητικής προόδου
151 Αν το πολυώνυμο f(x) = x3 + 2αx2 - βx - 1 έχει παράγοντα το x - 1 και το υπόλοιπο της
διαίρεσης Ρ(x)(x + 1) είναι 4
α) να βρείτε τους α και β
β) να λύσετε την εξίσωση 2συν4
βx- 2ημ2 x
2
= -2
γ) να βρείτε το ελάχιστο πλήθος των πρώτων όρων της αριθμητικής προόδου (αν) με α1 = α και
ω = β που απαιτούνται ώστε το άθροισμα τους να ξεπερνάει το 150
δ) να λύσετε την εξίσωση β2lnx =5 + 4∙xln2α
152 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) = x3+λx2+23x-15 (λR ) διέρχεται από το σημείο
Α(10)
α) Να βρεθεί ο λ R
β) Για ποιες τιμές του xR η ψ = f(x) βρίσκεται κάτω από τον άξονα x΄x
γ) οι τετμημένες των σημείων στα οποία η ψ = f(x) τέμνει τον άξονα x΄x είναι κατά αύξουσα
τάξη οι 3 πρώτοι όροι μιας προόδου Αν το άθροισμα των ν πρώτων όρων της είναι 400 να
βρεθεί ο ν
25 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
153 α) Έστω η συνάρτηση f (x) = 2 middot 3x + 3x - 24
i να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα και να βρείτε το f(2)
ii να λύσετε την εξίσωση f(x) = 0
β) Δύο κοινωνίες βακτηριδίων Α και Β έχουν αρχικά 24 και 2 βακτηρίδια αντίστοιχα
Η κοινωνία των βακτηριδίων Α μειώνεται σε αριθμό κάθε μια ώρα κατά 3 βακτηρίδια
Η κοινωνία των βακτηριδίων Β τριπλασιάζεται κάθε μία ώρα Να βρείτε μετά από πόσες
ώρες οι κοινωνίες των βακτηριδίων θα έχουν τον ίδιο αριθμό βακτηριδίων
21 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
γ) να λύσετε την ανίσωση 10 2 0xP
130 Δίνεται το πολυώνυμο P(x) = x4 +αx3 +βx2 ndash2x + 4 όπου α βIR Το P(x) έχει παράγοντα το
x ndash 1 και το υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x) με το x + 1 είναι το 6
α) Να δείξετε ότι α = ndash1 και β = ndash2
β) Να λύσετε την εξίσωση P(x) = 0
γ) Να λύσετε την ανίσωση P(x) gt 0
δ) Να λύσετε την εξίσωση συν4x ndashσυν3x + 2ημ2x ndash2συνx + 2 = 0 στο διάστημα [ndashπ
2 π)
131 Δίνεται το πολυώνυμο 3 2 1P x x x x που έχει παράγοντα το 1x και το
υπόλοιπο της διαίρεσης του με το 1x είναι 8
α) Να αποδείξετε ότι 2 και 7
β) Να λύσετε την ανίσωση 0x
γ) Αν 2
x
να λύσετε την εξίσωση 3 22 7 2 3 0
132 To πολυώνυμο f(x)=x3+2αx2-βx-1 έχει παράγοντα το x-1 και το υπόλοιπο της διαίρεσης
f (x) (x 1) είναι 4
α) Να βρείτε τις τιμές των α β R
β) Να βρεθούν τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της
f(x) βρίσκεται κάτω από τον άξονα χ΄χ
γ) Να λύσετε την εξίσωση 2x x1e e
2
133 Δίνεται το πολυώνυμο 3 22 7P x x x x το οποίο έχει παράγοντα το 1x και το
υπόλοιπο της διαίρεσης του με το 1x είναι 18
α) Να αποδείξετε ότι 7 και 2
β) Να λύσετε την εξίσωση 3 22 2 7 2 7 2 2 0x x x
γ) Να λύσετε την ανίσωση 2 8 7 4 7 2 2 0x x x
134 Δίνεται το πολυώνυμο 3 2( ) (log 2) log 0P x x x k x k k
α) Να αποδείξετε ότι το 1x είναι παράγοντας του ( )P x
β) Να βρείτε τις τιμές του k για τις οποίες το πολυώνυμο ( )P x έχει τρεις
πραγματικές ρίζες
γ) Για 10k να λύσετε
i την ανίσωση ( ) 0P x
ii την εξίσωση 2( ) [0 ]P x x x
135 Δίνεται το πολυώνυμο
4 3 22ln 1 2 0 0 x x x x x x
α) Αν το πολυώνυμο x είναι 3ου βαθμού και έχει παράγοντα το 1x να βρεθούν τα
β) Αν 3 2 1x x x x x να βρεθούν οι τιμές του x για τις οποίες ισχύει
0x
22 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
γ) Να λυθούν
i η εξίσωση 2 0 0 ό
ii η ανίσωση 2 ln 0
136 Δίνεται η συνάρτηση log 2 4 5 2 2x xf x
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f
β) Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τον
άξονα χ΄χ
γ) Να λύσετε στο διάστημα 0 2 την εξίσωση 2 0f x
137 Έστω η συνάρτηση ( ) ln 2 xf x ημ
α) Να αποδείξετε ότι η f είναι περιττή
β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = 0 στο (- π π)
138 Έστω η συνάρτηση f(x) = ημx + ex - 1
α) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο Α= 2 2
π π
β) Να βρείτε το f(0)
γ) Να λύσετε
i την εξίσωση ημx + ex=1 στο 2 2
π π
ii την ανίσωση ημx + ex lt1 στο 2 2
π π
139 Έστω η συνάρτηση f (x) = (3 ndash 2lnα)x
α) Να βρείτε το α ώστε η συνάρτηση f να ορίζεται σε όλο το R
β) Να βρείτε το α ώστε η συνάρτηση f να είναι γνησίως φθίνουσα
γ) Για α = e να λύσετε την εξίσωση f(2συν2θ)-f(2ημ2θ) = 3
140 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = (2lnα - 1)x
α) Να βρείτε τις τιμές του α R για τις οποίες η συνάρτηση f ορίζεται σε όλο το R
β) Να βρείτε τις τιμές του α R για τις οποίες η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα
γ) Αν α = e2 να βρείτε το θ ώστε 2 2 2 4( ) ( )
3 f συν θ ημ θ f συν θ
141 Δίνεται η συνάρτηση 2
log logf x x x
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f
β) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τον άξονα χ΄χ
γ) Να λύσετε την εξίσωση 0f x
δ) Αν για τους θετικούς αριθμούς α β με ισχύει ότι f f να αποδείξετε ότι
10000
142 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = log(4x ndash 2)
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f και να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f έχει
μοναδικό κοινό σημείο με την ευθεία y = 1 ndash log5
23 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
β) Να λύσετε την ανίσωση 1
-12
4 64 - 2 0
5 5
xx
γ) Να λύσετε την εξίσωση f(x) + f(2
x) = 1 + log
1-
124 6
4 - 25 5
xx
δ) Να λύσετε την εξίσωση ημ2x = f(5
2) + f(1) ndash f(
3
2)
143 Δίνεται το πολυώνυμο 1
4 2 1 3 225 2 3 25 1 λf x x x x x
α) Αν το (x ndash 1) είναι παράγοντας του f(x) να βρείτε το λ
β) Για 1
2
i να δείξετε ότι το (x -1)2 είναι παράγοντας του f(x)
ii να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τον
άξονα x΄x
144 Δίνεται το πολυώνυμο Ρ(x) = (21lnκ - 1)x4 + x3 + (e - 1)x2 ndash e∙x +1 + 2ημθ θ (0 2π)
Αν το πολυώνυμο Ρ(x) είναι 3ου βαθμού και έχει παράγοντα το x - 1
α) να βρείτε τα κ και θ
β) να λύσετε την ανίσωση Ρ(x) lt 0
γ) να βρείτε τα διαστήματα που η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) με
f(x) = e3x+(e-1)e2x-ex+1 βρίσκεται κάτω από τον άξονα χ χ
145 Δίνεται η συνάρτηση ln ln 3
( )ln ln
x
f x
με 3lt α lt β η οποία είναι γνησίως φθίνουσα στο
σύνολο των πραγματικών αριθμών
α) Να συγκρίνετε τους αριθμούς ln και ln
β) Να αποδείξετε ότι 23
γ) Αν 6 και 24 τότε
i) να αποδείξετε ότι 1
( )2
x
f x
ii) να αποδείξετε ότι για κάθε ισχύει η ανισότητα 22
f f f
δ)Να λυθεί η εξίσωση 2 2( ) ( ) 3f x f x
146 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x - 1 + lnx x gt 0
α) Να δείξετε ότι για κάθε x με 0 lt x lt 1 f(x) lt 0
β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = x-1-ln2x
γ) Να λύσετε την ανίσωση f (ex) gt x + 2x -1
δ) Να δείξετε ότι για κάθε θ 02
lne
147 Δίνεται το πολυώνυμο f(x) όπου f(x) = x3-2x2lnα2 + 5xlnα-2 αgt0
α) Αν το x-1 είναι παράγοντας του f(x) τότε να βρείτε το α
β) Για α = e
24 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
i να δείξετε ότι το (x-1)2 είναι παράγοντας του πολυωνύμου f(x)
ii να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της πολυωνυμικής
συνάρτησης f(x) βρίσκεται κάτω από τον άξονα χ χ
148 Έστω η συνάρτηση f(x) = ln(2 - ex)
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f
β) Έστω ότι ο αριθμοί α = 2x β = f(x) γ = ln4 είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου
i Να βρείτε το x
ii Αν ο αριθμός α είναι ο 3ος όρος της αριθμητικής προόδου να βρείτε ποιος όρος της προόδου
ισούται με 2ln2 + 5ln3
149 Δίνεται το πολυώνυμο Ρ(x) = x3 +x2 + x + 2λ2 ndashλ +1
α) Να αποδείξετε ότι η διαίρεση Ρ(x) (x -1 ) δεν είναι τέλεια
β) Αν υ(λ) το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ(x) (x -1 ) να βρεθεί το λ ώστε το υ(λ) να γίνεται
ελάχιστο και την ελάχιστη τιμή του υ(λ)
γ) Για την τιμή του λ που το υ(λ) γίνεται ελάχιστο
i να λύσετε την εξίσωση 425x-2λ-16x-2λ=48λx
ii να λύσετε την εξίσωση
2ln x 1ln
21
4 5 x2
αφού πρώτα αποδείξετε ότι
ln x ln 22 x
δ) Να λύσετε την ανίσωση 8 x 4 x 4 x 1 4 x 13 9 11 4 4
150 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = log(e2x-kex +λ) με f(0) = log2 f(ln6) = log12
α) Να δείξετε ότι κ = 5 και λ = 6
β) Αν κ = 5 και λ = 6
i Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f
ii Να λυθεί η εξίσωση f(x) = 1minuslog(ex + 1)
iii Να δείξετε ότι οι αριθμοί f(ln5)minusf(0) f(ln5) f(ln6) είναι διαδοχικοί όροι
αριθμητικής προόδου
151 Αν το πολυώνυμο f(x) = x3 + 2αx2 - βx - 1 έχει παράγοντα το x - 1 και το υπόλοιπο της
διαίρεσης Ρ(x)(x + 1) είναι 4
α) να βρείτε τους α και β
β) να λύσετε την εξίσωση 2συν4
βx- 2ημ2 x
2
= -2
γ) να βρείτε το ελάχιστο πλήθος των πρώτων όρων της αριθμητικής προόδου (αν) με α1 = α και
ω = β που απαιτούνται ώστε το άθροισμα τους να ξεπερνάει το 150
δ) να λύσετε την εξίσωση β2lnx =5 + 4∙xln2α
152 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) = x3+λx2+23x-15 (λR ) διέρχεται από το σημείο
Α(10)
α) Να βρεθεί ο λ R
β) Για ποιες τιμές του xR η ψ = f(x) βρίσκεται κάτω από τον άξονα x΄x
γ) οι τετμημένες των σημείων στα οποία η ψ = f(x) τέμνει τον άξονα x΄x είναι κατά αύξουσα
τάξη οι 3 πρώτοι όροι μιας προόδου Αν το άθροισμα των ν πρώτων όρων της είναι 400 να
βρεθεί ο ν
25 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
153 α) Έστω η συνάρτηση f (x) = 2 middot 3x + 3x - 24
i να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα και να βρείτε το f(2)
ii να λύσετε την εξίσωση f(x) = 0
β) Δύο κοινωνίες βακτηριδίων Α και Β έχουν αρχικά 24 και 2 βακτηρίδια αντίστοιχα
Η κοινωνία των βακτηριδίων Α μειώνεται σε αριθμό κάθε μια ώρα κατά 3 βακτηρίδια
Η κοινωνία των βακτηριδίων Β τριπλασιάζεται κάθε μία ώρα Να βρείτε μετά από πόσες
ώρες οι κοινωνίες των βακτηριδίων θα έχουν τον ίδιο αριθμό βακτηριδίων
22 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
γ) Να λυθούν
i η εξίσωση 2 0 0 ό
ii η ανίσωση 2 ln 0
136 Δίνεται η συνάρτηση log 2 4 5 2 2x xf x
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f
β) Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τον
άξονα χ΄χ
γ) Να λύσετε στο διάστημα 0 2 την εξίσωση 2 0f x
137 Έστω η συνάρτηση ( ) ln 2 xf x ημ
α) Να αποδείξετε ότι η f είναι περιττή
β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = 0 στο (- π π)
138 Έστω η συνάρτηση f(x) = ημx + ex - 1
α) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο Α= 2 2
π π
β) Να βρείτε το f(0)
γ) Να λύσετε
i την εξίσωση ημx + ex=1 στο 2 2
π π
ii την ανίσωση ημx + ex lt1 στο 2 2
π π
139 Έστω η συνάρτηση f (x) = (3 ndash 2lnα)x
α) Να βρείτε το α ώστε η συνάρτηση f να ορίζεται σε όλο το R
β) Να βρείτε το α ώστε η συνάρτηση f να είναι γνησίως φθίνουσα
γ) Για α = e να λύσετε την εξίσωση f(2συν2θ)-f(2ημ2θ) = 3
140 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = (2lnα - 1)x
α) Να βρείτε τις τιμές του α R για τις οποίες η συνάρτηση f ορίζεται σε όλο το R
β) Να βρείτε τις τιμές του α R για τις οποίες η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα
γ) Αν α = e2 να βρείτε το θ ώστε 2 2 2 4( ) ( )
3 f συν θ ημ θ f συν θ
141 Δίνεται η συνάρτηση 2
log logf x x x
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f
β) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τον άξονα χ΄χ
γ) Να λύσετε την εξίσωση 0f x
δ) Αν για τους θετικούς αριθμούς α β με ισχύει ότι f f να αποδείξετε ότι
10000
142 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = log(4x ndash 2)
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f και να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f έχει
μοναδικό κοινό σημείο με την ευθεία y = 1 ndash log5
23 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
β) Να λύσετε την ανίσωση 1
-12
4 64 - 2 0
5 5
xx
γ) Να λύσετε την εξίσωση f(x) + f(2
x) = 1 + log
1-
124 6
4 - 25 5
xx
δ) Να λύσετε την εξίσωση ημ2x = f(5
2) + f(1) ndash f(
3
2)
143 Δίνεται το πολυώνυμο 1
4 2 1 3 225 2 3 25 1 λf x x x x x
α) Αν το (x ndash 1) είναι παράγοντας του f(x) να βρείτε το λ
β) Για 1
2
i να δείξετε ότι το (x -1)2 είναι παράγοντας του f(x)
ii να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τον
άξονα x΄x
144 Δίνεται το πολυώνυμο Ρ(x) = (21lnκ - 1)x4 + x3 + (e - 1)x2 ndash e∙x +1 + 2ημθ θ (0 2π)
Αν το πολυώνυμο Ρ(x) είναι 3ου βαθμού και έχει παράγοντα το x - 1
α) να βρείτε τα κ και θ
β) να λύσετε την ανίσωση Ρ(x) lt 0
γ) να βρείτε τα διαστήματα που η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) με
f(x) = e3x+(e-1)e2x-ex+1 βρίσκεται κάτω από τον άξονα χ χ
145 Δίνεται η συνάρτηση ln ln 3
( )ln ln
x
f x
με 3lt α lt β η οποία είναι γνησίως φθίνουσα στο
σύνολο των πραγματικών αριθμών
α) Να συγκρίνετε τους αριθμούς ln και ln
β) Να αποδείξετε ότι 23
γ) Αν 6 και 24 τότε
i) να αποδείξετε ότι 1
( )2
x
f x
ii) να αποδείξετε ότι για κάθε ισχύει η ανισότητα 22
f f f
δ)Να λυθεί η εξίσωση 2 2( ) ( ) 3f x f x
146 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x - 1 + lnx x gt 0
α) Να δείξετε ότι για κάθε x με 0 lt x lt 1 f(x) lt 0
β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = x-1-ln2x
γ) Να λύσετε την ανίσωση f (ex) gt x + 2x -1
δ) Να δείξετε ότι για κάθε θ 02
lne
147 Δίνεται το πολυώνυμο f(x) όπου f(x) = x3-2x2lnα2 + 5xlnα-2 αgt0
α) Αν το x-1 είναι παράγοντας του f(x) τότε να βρείτε το α
β) Για α = e
24 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
i να δείξετε ότι το (x-1)2 είναι παράγοντας του πολυωνύμου f(x)
ii να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της πολυωνυμικής
συνάρτησης f(x) βρίσκεται κάτω από τον άξονα χ χ
148 Έστω η συνάρτηση f(x) = ln(2 - ex)
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f
β) Έστω ότι ο αριθμοί α = 2x β = f(x) γ = ln4 είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου
i Να βρείτε το x
ii Αν ο αριθμός α είναι ο 3ος όρος της αριθμητικής προόδου να βρείτε ποιος όρος της προόδου
ισούται με 2ln2 + 5ln3
149 Δίνεται το πολυώνυμο Ρ(x) = x3 +x2 + x + 2λ2 ndashλ +1
α) Να αποδείξετε ότι η διαίρεση Ρ(x) (x -1 ) δεν είναι τέλεια
β) Αν υ(λ) το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ(x) (x -1 ) να βρεθεί το λ ώστε το υ(λ) να γίνεται
ελάχιστο και την ελάχιστη τιμή του υ(λ)
γ) Για την τιμή του λ που το υ(λ) γίνεται ελάχιστο
i να λύσετε την εξίσωση 425x-2λ-16x-2λ=48λx
ii να λύσετε την εξίσωση
2ln x 1ln
21
4 5 x2
αφού πρώτα αποδείξετε ότι
ln x ln 22 x
δ) Να λύσετε την ανίσωση 8 x 4 x 4 x 1 4 x 13 9 11 4 4
150 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = log(e2x-kex +λ) με f(0) = log2 f(ln6) = log12
α) Να δείξετε ότι κ = 5 και λ = 6
β) Αν κ = 5 και λ = 6
i Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f
ii Να λυθεί η εξίσωση f(x) = 1minuslog(ex + 1)
iii Να δείξετε ότι οι αριθμοί f(ln5)minusf(0) f(ln5) f(ln6) είναι διαδοχικοί όροι
αριθμητικής προόδου
151 Αν το πολυώνυμο f(x) = x3 + 2αx2 - βx - 1 έχει παράγοντα το x - 1 και το υπόλοιπο της
διαίρεσης Ρ(x)(x + 1) είναι 4
α) να βρείτε τους α και β
β) να λύσετε την εξίσωση 2συν4
βx- 2ημ2 x
2
= -2
γ) να βρείτε το ελάχιστο πλήθος των πρώτων όρων της αριθμητικής προόδου (αν) με α1 = α και
ω = β που απαιτούνται ώστε το άθροισμα τους να ξεπερνάει το 150
δ) να λύσετε την εξίσωση β2lnx =5 + 4∙xln2α
152 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) = x3+λx2+23x-15 (λR ) διέρχεται από το σημείο
Α(10)
α) Να βρεθεί ο λ R
β) Για ποιες τιμές του xR η ψ = f(x) βρίσκεται κάτω από τον άξονα x΄x
γ) οι τετμημένες των σημείων στα οποία η ψ = f(x) τέμνει τον άξονα x΄x είναι κατά αύξουσα
τάξη οι 3 πρώτοι όροι μιας προόδου Αν το άθροισμα των ν πρώτων όρων της είναι 400 να
βρεθεί ο ν
25 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
153 α) Έστω η συνάρτηση f (x) = 2 middot 3x + 3x - 24
i να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα και να βρείτε το f(2)
ii να λύσετε την εξίσωση f(x) = 0
β) Δύο κοινωνίες βακτηριδίων Α και Β έχουν αρχικά 24 και 2 βακτηρίδια αντίστοιχα
Η κοινωνία των βακτηριδίων Α μειώνεται σε αριθμό κάθε μια ώρα κατά 3 βακτηρίδια
Η κοινωνία των βακτηριδίων Β τριπλασιάζεται κάθε μία ώρα Να βρείτε μετά από πόσες
ώρες οι κοινωνίες των βακτηριδίων θα έχουν τον ίδιο αριθμό βακτηριδίων
23 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
β) Να λύσετε την ανίσωση 1
-12
4 64 - 2 0
5 5
xx
γ) Να λύσετε την εξίσωση f(x) + f(2
x) = 1 + log
1-
124 6
4 - 25 5
xx
δ) Να λύσετε την εξίσωση ημ2x = f(5
2) + f(1) ndash f(
3
2)
143 Δίνεται το πολυώνυμο 1
4 2 1 3 225 2 3 25 1 λf x x x x x
α) Αν το (x ndash 1) είναι παράγοντας του f(x) να βρείτε το λ
β) Για 1
2
i να δείξετε ότι το (x -1)2 είναι παράγοντας του f(x)
ii να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τον
άξονα x΄x
144 Δίνεται το πολυώνυμο Ρ(x) = (21lnκ - 1)x4 + x3 + (e - 1)x2 ndash e∙x +1 + 2ημθ θ (0 2π)
Αν το πολυώνυμο Ρ(x) είναι 3ου βαθμού και έχει παράγοντα το x - 1
α) να βρείτε τα κ και θ
β) να λύσετε την ανίσωση Ρ(x) lt 0
γ) να βρείτε τα διαστήματα που η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) με
f(x) = e3x+(e-1)e2x-ex+1 βρίσκεται κάτω από τον άξονα χ χ
145 Δίνεται η συνάρτηση ln ln 3
( )ln ln
x
f x
με 3lt α lt β η οποία είναι γνησίως φθίνουσα στο
σύνολο των πραγματικών αριθμών
α) Να συγκρίνετε τους αριθμούς ln και ln
β) Να αποδείξετε ότι 23
γ) Αν 6 και 24 τότε
i) να αποδείξετε ότι 1
( )2
x
f x
ii) να αποδείξετε ότι για κάθε ισχύει η ανισότητα 22
f f f
δ)Να λυθεί η εξίσωση 2 2( ) ( ) 3f x f x
146 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x - 1 + lnx x gt 0
α) Να δείξετε ότι για κάθε x με 0 lt x lt 1 f(x) lt 0
β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = x-1-ln2x
γ) Να λύσετε την ανίσωση f (ex) gt x + 2x -1
δ) Να δείξετε ότι για κάθε θ 02
lne
147 Δίνεται το πολυώνυμο f(x) όπου f(x) = x3-2x2lnα2 + 5xlnα-2 αgt0
α) Αν το x-1 είναι παράγοντας του f(x) τότε να βρείτε το α
β) Για α = e
24 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
i να δείξετε ότι το (x-1)2 είναι παράγοντας του πολυωνύμου f(x)
ii να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της πολυωνυμικής
συνάρτησης f(x) βρίσκεται κάτω από τον άξονα χ χ
148 Έστω η συνάρτηση f(x) = ln(2 - ex)
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f
β) Έστω ότι ο αριθμοί α = 2x β = f(x) γ = ln4 είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου
i Να βρείτε το x
ii Αν ο αριθμός α είναι ο 3ος όρος της αριθμητικής προόδου να βρείτε ποιος όρος της προόδου
ισούται με 2ln2 + 5ln3
149 Δίνεται το πολυώνυμο Ρ(x) = x3 +x2 + x + 2λ2 ndashλ +1
α) Να αποδείξετε ότι η διαίρεση Ρ(x) (x -1 ) δεν είναι τέλεια
β) Αν υ(λ) το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ(x) (x -1 ) να βρεθεί το λ ώστε το υ(λ) να γίνεται
ελάχιστο και την ελάχιστη τιμή του υ(λ)
γ) Για την τιμή του λ που το υ(λ) γίνεται ελάχιστο
i να λύσετε την εξίσωση 425x-2λ-16x-2λ=48λx
ii να λύσετε την εξίσωση
2ln x 1ln
21
4 5 x2
αφού πρώτα αποδείξετε ότι
ln x ln 22 x
δ) Να λύσετε την ανίσωση 8 x 4 x 4 x 1 4 x 13 9 11 4 4
150 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = log(e2x-kex +λ) με f(0) = log2 f(ln6) = log12
α) Να δείξετε ότι κ = 5 και λ = 6
β) Αν κ = 5 και λ = 6
i Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f
ii Να λυθεί η εξίσωση f(x) = 1minuslog(ex + 1)
iii Να δείξετε ότι οι αριθμοί f(ln5)minusf(0) f(ln5) f(ln6) είναι διαδοχικοί όροι
αριθμητικής προόδου
151 Αν το πολυώνυμο f(x) = x3 + 2αx2 - βx - 1 έχει παράγοντα το x - 1 και το υπόλοιπο της
διαίρεσης Ρ(x)(x + 1) είναι 4
α) να βρείτε τους α και β
β) να λύσετε την εξίσωση 2συν4
βx- 2ημ2 x
2
= -2
γ) να βρείτε το ελάχιστο πλήθος των πρώτων όρων της αριθμητικής προόδου (αν) με α1 = α και
ω = β που απαιτούνται ώστε το άθροισμα τους να ξεπερνάει το 150
δ) να λύσετε την εξίσωση β2lnx =5 + 4∙xln2α
152 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) = x3+λx2+23x-15 (λR ) διέρχεται από το σημείο
Α(10)
α) Να βρεθεί ο λ R
β) Για ποιες τιμές του xR η ψ = f(x) βρίσκεται κάτω από τον άξονα x΄x
γ) οι τετμημένες των σημείων στα οποία η ψ = f(x) τέμνει τον άξονα x΄x είναι κατά αύξουσα
τάξη οι 3 πρώτοι όροι μιας προόδου Αν το άθροισμα των ν πρώτων όρων της είναι 400 να
βρεθεί ο ν
25 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
153 α) Έστω η συνάρτηση f (x) = 2 middot 3x + 3x - 24
i να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα και να βρείτε το f(2)
ii να λύσετε την εξίσωση f(x) = 0
β) Δύο κοινωνίες βακτηριδίων Α και Β έχουν αρχικά 24 και 2 βακτηρίδια αντίστοιχα
Η κοινωνία των βακτηριδίων Α μειώνεται σε αριθμό κάθε μια ώρα κατά 3 βακτηρίδια
Η κοινωνία των βακτηριδίων Β τριπλασιάζεται κάθε μία ώρα Να βρείτε μετά από πόσες
ώρες οι κοινωνίες των βακτηριδίων θα έχουν τον ίδιο αριθμό βακτηριδίων
24 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
i να δείξετε ότι το (x-1)2 είναι παράγοντας του πολυωνύμου f(x)
ii να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της πολυωνυμικής
συνάρτησης f(x) βρίσκεται κάτω από τον άξονα χ χ
148 Έστω η συνάρτηση f(x) = ln(2 - ex)
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f
β) Έστω ότι ο αριθμοί α = 2x β = f(x) γ = ln4 είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου
i Να βρείτε το x
ii Αν ο αριθμός α είναι ο 3ος όρος της αριθμητικής προόδου να βρείτε ποιος όρος της προόδου
ισούται με 2ln2 + 5ln3
149 Δίνεται το πολυώνυμο Ρ(x) = x3 +x2 + x + 2λ2 ndashλ +1
α) Να αποδείξετε ότι η διαίρεση Ρ(x) (x -1 ) δεν είναι τέλεια
β) Αν υ(λ) το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ(x) (x -1 ) να βρεθεί το λ ώστε το υ(λ) να γίνεται
ελάχιστο και την ελάχιστη τιμή του υ(λ)
γ) Για την τιμή του λ που το υ(λ) γίνεται ελάχιστο
i να λύσετε την εξίσωση 425x-2λ-16x-2λ=48λx
ii να λύσετε την εξίσωση
2ln x 1ln
21
4 5 x2
αφού πρώτα αποδείξετε ότι
ln x ln 22 x
δ) Να λύσετε την ανίσωση 8 x 4 x 4 x 1 4 x 13 9 11 4 4
150 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = log(e2x-kex +λ) με f(0) = log2 f(ln6) = log12
α) Να δείξετε ότι κ = 5 και λ = 6
β) Αν κ = 5 και λ = 6
i Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f
ii Να λυθεί η εξίσωση f(x) = 1minuslog(ex + 1)
iii Να δείξετε ότι οι αριθμοί f(ln5)minusf(0) f(ln5) f(ln6) είναι διαδοχικοί όροι
αριθμητικής προόδου
151 Αν το πολυώνυμο f(x) = x3 + 2αx2 - βx - 1 έχει παράγοντα το x - 1 και το υπόλοιπο της
διαίρεσης Ρ(x)(x + 1) είναι 4
α) να βρείτε τους α και β
β) να λύσετε την εξίσωση 2συν4
βx- 2ημ2 x
2
= -2
γ) να βρείτε το ελάχιστο πλήθος των πρώτων όρων της αριθμητικής προόδου (αν) με α1 = α και
ω = β που απαιτούνται ώστε το άθροισμα τους να ξεπερνάει το 150
δ) να λύσετε την εξίσωση β2lnx =5 + 4∙xln2α
152 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) = x3+λx2+23x-15 (λR ) διέρχεται από το σημείο
Α(10)
α) Να βρεθεί ο λ R
β) Για ποιες τιμές του xR η ψ = f(x) βρίσκεται κάτω από τον άξονα x΄x
γ) οι τετμημένες των σημείων στα οποία η ψ = f(x) τέμνει τον άξονα x΄x είναι κατά αύξουσα
τάξη οι 3 πρώτοι όροι μιας προόδου Αν το άθροισμα των ν πρώτων όρων της είναι 400 να
βρεθεί ο ν
25 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
153 α) Έστω η συνάρτηση f (x) = 2 middot 3x + 3x - 24
i να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα και να βρείτε το f(2)
ii να λύσετε την εξίσωση f(x) = 0
β) Δύο κοινωνίες βακτηριδίων Α και Β έχουν αρχικά 24 και 2 βακτηρίδια αντίστοιχα
Η κοινωνία των βακτηριδίων Α μειώνεται σε αριθμό κάθε μια ώρα κατά 3 βακτηρίδια
Η κοινωνία των βακτηριδίων Β τριπλασιάζεται κάθε μία ώρα Να βρείτε μετά από πόσες
ώρες οι κοινωνίες των βακτηριδίων θα έχουν τον ίδιο αριθμό βακτηριδίων
25 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
153 α) Έστω η συνάρτηση f (x) = 2 middot 3x + 3x - 24
i να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα και να βρείτε το f(2)
ii να λύσετε την εξίσωση f(x) = 0
β) Δύο κοινωνίες βακτηριδίων Α και Β έχουν αρχικά 24 και 2 βακτηρίδια αντίστοιχα
Η κοινωνία των βακτηριδίων Α μειώνεται σε αριθμό κάθε μια ώρα κατά 3 βακτηρίδια
Η κοινωνία των βακτηριδίων Β τριπλασιάζεται κάθε μία ώρα Να βρείτε μετά από πόσες
ώρες οι κοινωνίες των βακτηριδίων θα έχουν τον ίδιο αριθμό βακτηριδίων