Upload
others
View
24
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
laquoУфимский государственный авиационный технический университетraquo
ИССЛЕДОВАНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК СИСТЕМ
АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
Лабораторный практикум
по дисциплине
laquoТеория управленияraquo
УФА 2015
Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
laquoУфимский государственный авиационный технический университетraquo
Кафедра автоматизированных систем управления
ИССЛЕДОВАНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК СИСТЕМ
АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
Лабораторный практикум
по дисциплине
laquoТеория управленияraquo
УФА 2015
Составители О Д Лянцев А В Казанцев
УДК
ББК
Лабораторный практикум по дисциплине laquoТеория управленияraquo
Уфимск гос авиац техн ун-т Сост ОД Лянцев АВ Казанцев ndash
Уфа 2015 ndash 66 с
Цель лабораторного практикума ndash закрепление и совершенство-
вание знаний студентов по дисциплине laquoТеория управленияraquo и фор-
мирование умений работы с временными и частотными характери-
стиками типовых динамических звеньев со структурными преобра-
зованиями с критериями устойчивости со статическими и динамиче-
скими свойствами систем автоматического управления и корневым
годографом в среде математического моделирования MATLAB
Предназначен для подготовки студентов обучающихся по
специальностям 090501 (230106) ndash laquoПрименение и эксплуатация ав-
томатизированных систем специального назначенияraquo и 090301
(230100) ndash laquoИнформатика и вычислительная техникаraquo
Табл7 Ил25 Библиогр 4 назв
Рецензенты д-р техн наук проф РА Мунасыпов
кан техн наук доц РВ Насыров
copy Уфимский государственный
авиационный технический университет 2015
4
Содержание
Введениеhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
Лабораторная работа 1 laquo Динамические звенья и их
характеристики во временной областиraquohelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
1 Цель работыhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
2 Задачи работыhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
3 Теоретическая частьhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
4 Краткое описание MATLABhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
5 Моделирование передаточных функций в MATLABhelliphelliphelliphelliphellip
6 Задание на лабораторную работуhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
7 Методика выполнения работыhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
8 Требования к содержанию и оформлению отчетаhelliphelliphelliphelliphelliphellip
Контрольные вопросыhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
Лабораторная работа 2 laquoПреобразования структурных
схемraquohelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
1 Цель работыhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
2 Задачи работыhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
3 Теоретическая частьhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
4 Краткое описание MATLABhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
5 Структурные преобразования в MATLABhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
6 Задание на лабораторную работуhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
7 Методика выполнения работыhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
8 Требования к содержанию и оформлению отчетаhelliphelliphelliphelliphelliphellip
Контрольные вопросыhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
7
8
8
8
8
11
12
13
14
15
15
16
16
16
16
25
26
28
28
30
30
5
Лабораторная работа 3 laquoЧастотные характеристики
динамических звеньевraquohelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
1 Цель работыhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
2 Задачи работыhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
3 Теоретическая частьhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
4 Краткое описание MATLABhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
5 Построение частотных характеристик в MATLABhelliphelliphelliphelliphelliphellip
6 Задание на лабораторную работуhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
7 Методика выполнения работыhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
8 Требования к содержанию и оформлению отчетаhelliphelliphelliphelliphelliphellip
Контрольные вопросыhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
Лабораторная работа 4 laquoИсследование устойчивости
систем с обратной связьюraquohelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
1 Цель работыhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
2 Задачи работыhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
3 Теоретическая частьhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
4 Краткое описание MATLABhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
5 Исследование устойчивости в MATLABhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
6 Задание на лабораторную работуhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
7 Методика выполнения работыhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
8 Требования к содержанию и оформлению отчетаhelliphelliphelliphelliphelliphellip
Контрольные вопросыhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
31
31
31
31
35
36
36
37
37
37
38
38
38
38
42
42
45
45
46
47
6
Лабораторная работа 5 laquoКоррекция статических и динами-
ческих свойств САУraquohelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
1Цель работыhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
2 Задачи работыhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
3 Теоретическая частьhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
31 Коррекция статических свойств САУhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
32 Коррекция динамических свойств САУhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
4 Краткое описание MATLABhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
5 Задание на лабораторную работуhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
6 Методика выполнения работыhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
7 Требования к содержанию и оформлению отчетаhelliphelliphelliphelliphelliphellip
Контрольные вопросыhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
Лабораторная работа 6 laquoМетод корневого годографаraquohelliphellip
1 Цель работыhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
2 Задачи работыhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
3 Теоретическая частьhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
4 Краткое описание MATLABhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
5 Корневой годограф в MATLABhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
6 Задание на лабораторную работуhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
7 Методика выполнения работыhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
8 Требования к содержанию и оформлению отчетаhelliphelliphelliphelliphelliphellip
Контрольные вопросыhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
Критерии результативности лабораторного практикумаhelliphelliphelliphellip
Список литературыhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
48
48
48
48
48
51
53
54
55
56
56
58
58
58
58
61
62
64
65
65
65
66
66
7
Введение
Дисциплина laquoТеория управленияraquo предназначена для формиро-
вания у студентов систематизированного представления об осново-
полагающих принципах управления в технических системах о кон-
цепциях структурах и механизмах лежащих в основе анализа и син-
теза современных систем управления их характеристик и о со-
временных направлениях развития теории управления
В лабораторных работах рассматривается анализ характеристик
объектов управления в пространстве состояний с использованием
среды математического моделирования MATLAB (сокращение от
англ laquoMATrix LABoratoryraquo) Эта программа математического модели-
рования разработанная компанией laquoThe MathWorksraquo оперирует
LTI-моделями (Linear Time Invariant Models ndash линейные модели с по-
стоянными параметрами) что включает работу с заданием переда-
точных функций подачей тестирующих воздействий структурными
преобразованиями определение запаса устойчивости построение
графиков и годографов
В результате выполнения данного лабораторного практикума
формируются следующие компетенции
ndash владение знаниями о теоретических основах и основных
принципах управления методах исследования и синтеза систем
управления
ndash готовность использовать навык решения типовых задач ис-
следования и проектирования систем управления
ndash способность применять программное средство математическо-
го моделирования MATLAB
8
Лабораторная работа 1
ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗВЕНЬЯ И ИХ ХАРАКТЕРИСТИКИ
ВО ВРЕМЕННОЙ ОБЛАСТИ
1 Цель работы
Целью работы является изучение временных характеристик ти-
повых динамических звеньев с использованием автоматизированных
средств моделирования на ПК ndash MATLAB SIMULINK
2 Задачи работы
ndash Закрепление углубление и расширение знаний студентов при
исследовании временных характеристик динамических звеньев
ndash Приобретение умений и навыков работы с программой мате-
матического моделирования MATLAB
ndash Выработка способности логического мышления осмысление
полученных данных переходных процессов
3 Теоретическая часть Рассматривается система автоматического управления (САУ)
описываемая линейным дифференциальным уравнением вида
)()()()(
)()()()(
011
1
1
011
1
1
tubdt
tdub
dt
tudb
dt
tudb
tyadt
tdya
dt
tyda
dt
tyda
m
m
mm
m
m
n
n
nn
n
n
(1)
где u(t) ndash входной процесс y(t) ndash выходной процесс ai bi ndash постоян-
ные коэффициенты п т (п ge т) ndash постоянные числа
Если ввести обозначение р для оператора дифференцирования
p=ddt то можно записать (1) в операторной форме
)(
)(
011
1
011
1
ubpbpbpb
yapapapa
mm
mm
nn
nn
(2)
откуда получается
9
)()(
)(pW
pA
pB
u
y
где А(р) и В(р) ndash полиномы из формулы (2)
Выражение (2) по виду совпадает с определением ПФ как от-
ношения преобразования по Лапласу выходной переменной к преоб-
разованию по Лапласу входной переменной при нулевых начальных
условиях
)()(
)(
)(
)(sW
sA
sB
su
sy (3)
где s ndash комплексная переменная
Комплексные числа являющиеся корнями многочлена B(s)
называются нулями передаточной функции а корни многочлена А(s) ndash
полюсами
Описание типовых динамических звеньев приведено в
табл 1 Таблица 1
Типовые динамические звенья
Название звена Передаточная функция звена
1
Интегрирующее
s
KsW )(
2
Дифференцирующее
KssW )(
3
Усилительное
(безынерционное)
KsW )(
4
Апериодическое 1-го
порядка (инерционное)
1)(
Ts
KsW
5
Апериодическое 2-го
порядка (все корни веще-
ственные)
21
122
2
21
)( TTsTsT
KsW
10
Окончание табл 1
Название звена Передаточная функция звена
6
Колебательное
21
122
2
21
)( TTsTsT
KsW
7
Форсирующее
)1()( TsKsW
8
Интегрирующее
с запаздыванием
(реальное интегрирующее)
)1()(
Tss
KsW
9
Дифференцирующее
с запаздыванием
(реальное дифференцирую-
щее)
1)(
Ts
KssW
10
Инерционно-форсирующее
звено
1
)1()(
0
1
sT
sTKsW
11
Изодромное
s
TsKsW
)1()(
часто используется описание колебательного звена в виде
2
12
)(2
1222 T
TTT
TssT
KsW
Временные характеристики динамического звена представляют
собой зависимость выходного сигнала системы от времени при подаче
на ее вход некоторого типового воздействия Обычно выполняется
анализ выхода системы на единичный скачок (функция Хевисайда) и
импульсную функцию (функция Дирака или δ-функция)
Единичный скачок 1(t) определяется условиями
01
00)(1
tпри
tприt
Реакция САУ на единичный скачок называется переходной
11
функцией системы и обозначается h(t) При неединичном ступенчатом
воздействии g(t)=N1(t) где N = const в соответствии с принципом
суперпозиции выходная реакция системы будет )()( tNhty
Импульсная функция δ(t) определяется условиями
00
0)(
tпри
tприt
Очевидно )(1)( tt
Реакция САУ на импульсную функцию называется импульсной
переходной функцией системы (функцией веса) и обозначается w(t)
Импульсная и переходная функции системы связаны
соотношением
)()(0
dwtht
4 Краткое описание MATLAB
Лабораторная работа выполняется в программе математического
моделирования MATLAB Программа MATLAB включает в себя пакет
прикладных программ для решения технических задач и одноименный
язык программирования используемый в этом пакете
Основными компонентами системы являются базовая система
MATLAB и пакет моделирования систем Simulink Остальные пакеты
расширения разбиты на 4 категории ndash расширения Extension MATLAB и
Extension Simulink а также комплексы пакетов расширения Blockset и
Toolbox
Раздел MATLAB Extension содержит средства для подготовки ис-
полняемых приложений MATLAB (с подключаемыми библиотеками и
без них)
Раздел Toolbox (инструментальные средства) содержит самое
большое число пакетов расширений системы MATLAB такие как
laquoControl systemraquo laquoDatabaseraquo laquoFuzzy logicraquo laquoWaveletraquo и тд
В разделе Blockset расположено несколько пакетов относящихся к
12
главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink такие как
laquoDSPraquo laquoFixed-Pointraquo laquoNonlinear control designraquo и laquoPower systemsraquo
В разделе Extension Simulink имеется ряд средств предназначен-
ных для моделирования в реальном масштабе времени и событийно-
управляемом моделировании
5 Моделирование передаточных функций в MATLAB
В пакете MATLAB имеется два основных варианта для исследо-
вания передаточных функций и моделирования САУ
- использование команд пакета расширения Control System
Toolbox
- использование пакета Simulink
Control System Toolbox предназначен для работы с LTI-моделями
систем управления
Команда создающая LTI-систему с одним входом и одним вы-
ходом в виде передаточной функции имеет следующий синтаксис
])[]([ 011011 aaaabbbbtf nnmm
где 011 bbbb mm и 011 aaaa nn ndash значения коэффициентов
полиномов В и А в (3)
Например если требуется описать ПФ вида
582
12
ss
sW
и узнать значения ее нулей и полюсов то нужно ввести в окне команд
MatLab следующие команды
gtgt w=tf([1 1][2 8 5])
gtgt zero(w)
gtgt pole(w)
Исследовать реакцию LTI-модели на типовые входные воздей-
ствия можно с помощью команд
gtgt step(w)
gtgt impulse(w)
Можно получить на одном графике реакцию сразу нескольких
динамических звеньев если использовать команды вида
gtgt step(w w1 w2)
gtgt impulse(w w1 w2)
13
В приведенных примерах время моделирования выбирается ав-
томатически При необходимости его можно явно указать в команде
gtgtstep(w w1 w2t)
где t - время моделирования в секундах
Рис 1 Исследование реакции колебательного звена
На рис 1 показан пример моделирования динамики колебатель-
ного звена при различных параметрах
gtgt w=tf([1][2 03 1])
gtgt w1=tf([1][2 05 1])
gtgt w2=tf([1][2 01 1])
gtgt step(ww1w250)
В Simulink ПФ можно описать с помощью блока Transfer Fcn в
разделе библиотеки Continuous Для подачи типовых воздействий
надо использовать блок Step из раздела Sources Импульсную пере-
ходную характеристику звена можно получить подавая на вход им-
пульс маленькой длительности и большой амплитуды (приближение
δ-функции) при нулевых начальных условиях
6 Задание на лабораторную работу
С помощью пакета MATLAB построить реакцию каждого типо-
вого звена с параметрами своего варианта (см табл 2) на ступенчатое и
импульсное входное воздействие Определить влияние коэффициен-
тов входящих в описание каждого звена на параметры переходного
процесса Вариант задания назначается преподавателем
14
Таблица 2
Варианты заданий
Апери-
од зве-
но
Апериодич звено
2 пор (колеб
звено)
Ин-
тегр
звено
Изодр
звено
Реальное
диф звено
Инерц-
форс
звено
K T K T2 (T) T1( ξ ) K K T K T K T0 T1
1 3 02 3 02 20
(02)
3 3 05 3 04 3 2 08
2 4 03 4 03 15
(015)
4 4 1 4 03 4 3 12
3 5 04 5 04 25
(025)
5 5 08 5 05 5 4 15
4 6 05 6 05 16
(03)
6 6 2 6 10 6 5 20
5 7 06 7 06 28
(02)
7 7 3 7 08 7 6 20
6 8 07 8 07 22
(008)
8 8 35 8 10 8 7 20
7 9 08 9 08 21
(007)
9 9 1 9 09 9 8 30
8 10 10 10 10 30
(01)
10 10 20 10 20 10 10 40
7 Методика выполнения задания
Порядок выполнения работы
1 Задать передаточную функцию типового динамического звена
в MATLAB используя параметры приведенные в табл 2
2 Варьируя коэффициент динамического звена увеличивая его в
2 раза ndash получить вторую ПФ затем уменьшить исходный коэффици-
ент в 2 раза и получить третью ПФ
3 Построить на одном графике реакцию получившихся динами-
ческих звеньев на единичный скачок
4 Построить на одном графике реакцию получившихся динами-
ческих звеньев на импульсную функцию
5 Выполнить пп 2-4 для всех коэффициентов динамического
звена
6 Выполнить пп 1-5 для всех динамических звеньев
7 Подготовить ответы на контрольные вопросы
15
8 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) титульный лист
б) передаточные функции и схемы моделирования исследуемых
звеньев
в) экспериментально полученные характеристики при вариа-
ции параметров каждого звена
г) выводы обобщающие проделанные эксперименты по каждо-
му звену
д) ответы на контрольные вопросы
Контрольные вопросы
1 Что называется передаточной функцией
2 Что называется переходной и импульсной (весовой)
функциями Какова связь между ними
3 Как пользуясь временными характеристиками определить
параметры (коэффициенты передаточной функции) звена
Пояснить на конкретных примерах
4 Перечислите динамические характеристики САУ
5 Что называется характеристическим уравнением
16
Лабораторная работа 2
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СТРУКТУРНЫХ СХЕМ
1 Цель работы
Целью работы является изучение структурных преобразований и
нахождения передаточных функций с использованием автоматизиро-
ванных средств моделирования на ПК ndash MATLAB SIMULINK
2 Задачи работы
ndash Закрепление углубление и расширение знаний студентов при
исследовании преобразований структурных схем
ndash Приобретение умений и навыков работы с программой мате-
матического моделирования MATLAB
ndash Овладение несколькими методами преобразования структур-
ных схем
3 Теоретическая часть
Для наглядного представления сложной системы как совокупно-
сти элементов и связей между ними используются структурные
схемы
Структурной схемой называется схема САУ изображенная в
виде соединения ПФ составляющих ее звеньев
Структурная схема показывает строение автоматической систе-
мы наличие внешних воздействий и точки их приложения пути рас-
пространения воздействий и выходную величину Динамическое или
статическое звено изображается прямоугольником в котором указы-
вается ПФ звена Воздействия на систему и влияние звеньев друг на
друга (сигналы) изображаются стрелками В каждом звене воздей-
ствие передается только от входа звена к его выходу
На динамическое звено может воздействовать лишь одна вход-
ная величина поэтому используются блоки суммирования и сравне-
ния сигналов Суммироваться и сравниваться могут лишь сигналы
одной и той же физической природы
Структурная схема может быть составлена по уравнению систе-
мы в пространстве состояний или по системе дифференциальных
уравнений При составлении структурной схемы удобно начинать с
изображения задающего воздействия и располагать динамические
17
звенья составляющие прямую цепь системы слева направо до регу-
лируемой величины Тогда основная обратная связь и местные обрат-
ные связи будут направлены справа налево
Различные способы преобразования структурных схем облегча-
ют определение ПФ сложных САУ и дают возможность привести
многоконтурную систему к эквивалентной ей одноконтурной схеме
Преобразование структурной схемы должно осуществляться на
основании правил основные из них приведены в табл 1
При выполнении преобразований следует каждое имеющееся в
схеме типовое соединение заменить эквивалентным звеном Затем
можно выполнить перенос точек разветвления и сумматоров чтобы в
преобразованной схеме образовались новые типовые соединения зве-
ньев Эти соединения опять заменяются эквивалентными звеньями
затем вновь может потребоваться перенос точек разветвления и
сумматоров и т д
Различают основные соединения блоков в структурных схемах
последовательное соединение параллельное соединение антипарал-
лельное соединение (обратная связь) в свою очередь обратная связь
может быть отрицательной и положительной Таблица 1
Основные правила преобразования структурных схем
Преобразование
Структурная схема
Исходная Эквивалентная
Свертывание
последовательного
соединения
W1 W2 Wnu y
Wu y
nWWWW 21
Свертывание
параллельного
соединения
Wn
W2
W1
u y
Wu y
nWWWW 21
Свертывание
обратной связи
W1u plusmn y
W2
Wu y
21
1
1 WW
WW
18
Окончание табл 1
Преобразование
Структурная схема
Исходная Эквивалентная
Перенос узла через
звено вперед
Wu y
x
Wu y
xW1
WW
11
Перенос узла через
звено назад
Wu y
y
Wu y
yW
Перенос сумматора
через звено вперед
Wu1 y
u2
plusmn
Wu1 y
u2
plusmn
W
Перенос сумматора
через звено назад
Wu1 y
u2
plusmn
Wu1 y
u2
plusmn
W1
WW
11
Перенос прямой
связи через звено W2yu
plusmnW1
W3
W2 yu
plusmnW1
W3 W2
Перенос узла через
сумматор вперед
x1
+
- y
x1
x2
x1
+
- y
x1x2
+
+
Перенос узла через
сумматор назад
x1
+
- y
x2
y
x1
+
- y
x2y
+
-
Пример Пусть необходимо получить эквивалентное представ-
ление для структуры приведенной на рис 1
19
W1
W2 W3
W4
W5 W6
W7
+
+
+
-
Рис 1 Исходная схема САУ
Преобразование включает несколько этапов показанных на рис 2ndash5
W1
W2 W3
W4
W5 W6
W7
+
+
+
-
1W6
Рис 2 Перенос узла через звено вперед
567
659
1 WWW
WWW
6
48
W
WW
Рис 3 Свертывание обратной связи и последовательного соединения
2110 WWW
983
9311
1 WWW
WWW
Рис 4 Свертывание обратной связи и Рис 5 Свертывание последователь-
параллельного соединения ного соединения
W10 W11 WЭкв
543765
653265311110
1 WWWWWW
WWWWWWWWWWWЭкв
W1
W2
W8
W3 W9
+
+
20
Таким образом первый способ преобразования структурных
схем заключается в непосредственном использовании правил приве-
денных в табл1 Неудобство использования этого подхода заключа-
ется в том что порядок применения формул здесь достаточно произ-
волен возможны ошибочные шаги усложняющие поиск решения
Второй способ для получения ПФ многоконтурной системы за-
ключается в использовании модели системы в виде сигнального
графа
Сигнальный граф позволяет графически описать линейные связи
между переменными он состоит из узлов (вершин) и соединяющих их
направленных ветвей
Ветвь соответствует блоку структурной схемы она отражает за-
висимость между входной и выходной переменными Сумма всех
сигналов входящих в узел образует соответствующую этому узлу
переменную
Последовательность ветвей между двумя узлами называется пу-
тем Контуром называется замкнутый путь который начинается и
заканчивается в одном и том же узле причем ни один узел не встре-
чается на этом пути дважды
Контуры называются некасающимися если они не имеют общих
узлов
Сигнальный граф ndash это просто наглядный метод записи системы
алгебраических уравнений показывающий взаимосвязь между пере-
менными
r1
r2
a11
a22
x1
x2
a12a21
Рис 6 Сигнальный граф для двух алгебраических выражений
В качестве примера рассмотрим следующую систему алгебраи-
ческих уравнений
21
11212111 xrxaxa (1)
22222121 xrxaxa (2)
здесь r1 и r2 ndash входные переменные а x1 и x2 ndash выходные переменные
Сигнальный граф соответствующий уравнениям (1) и (2) изображен
на рис 6 Уравнения (1) и (2) можно записать в ином виде
1122111 )()1( raxax
2222211 )1()( raxax
Решая последнюю систему по правилу Крамера получим
212
122
21122211
2121221
)1(
)1)(1(
)1(r
ar
a
aaaa
rarax
121
211
21122211
1212112
)1(
)1)(1(
)1(r
ar
a
aaaa
rarax
В этих решениях знаменатель равен определителю составлен-
ному из коэффициентов при неизвестных и его можно записать так
21122211221121122211 1)1)(1( aaaaaaaaaa
В данном случае знаменатель равен единице минус коэффици-
енты передачи отдельных контуров a11 a22 и a12a21 плюс произведе-
ние коэффициентов передачи двух некасающихся контуров a11 и a22
Контуры a22 и a12a21 являются касающимися так же как и контуры a11
и a21a12
В решении для x1 по отношению ко входу r1 числитель равен
единице умноженной на (1-a22) те значение определителя некаса-
ющегося пути от r1 к x1 В решении для x1 по отношению ко входу
r2числитель просто равен a12 тк этот путь касается всех контуров
Числитель выражения x2 симметричен соответствующему числителю
для x1
В общем случае линейная зависимость Tij между независимой
переменной xi (часто называемой входной переменной) и зависимой
переменной xj определяется по формуле Мейсона
22
k
ijkijk
ij
P
T
где Pijk ndash коэффициент передачи k-го пути от переменной xi к пере-
менной xj Δ ndash определитель графа Δijk ndash дополнительный множитель
для пути Pijk а суммирование производится по всем возможным k пу-
тям от xi до xjДополнительный множитель Δijk равен определителю
всех касающихся контуров при удалении k-го пути
Определитель находится как
QM
qm
LSR
lsrlsrqm
K
kk LLLLLL
11
1111
1
где Kk kL
1ndash сумма коэффициентов передачи всех отдельных конту-
ров QM
qm qmLL
11ndash сумма произведений всех возможных комбина-
ций из двух некасающихся контуров LSR
lsr lsr LLL
111ndash сумма про-
изведений всех возможных комбинаций из трех некасающихся кон-
туров
Таким образом правило вычисления Δ через значение L1 L2
L3hellipLN таково Δ = 1- (сумма коэффициентов передачи всех отдель-
ных контуров) + (сумма произведений всех возможных комбинаций
из 2 некасающихся контуров) ndash (сумма произведений всех возмож-
ных комбинаций из 3 некасающихся контуров) +hellip
Формула Мейсона часто используется в несколько упрощенном
виде для определения связи между выходной переменной Y(s) и
входной переменной X(s) те
)()(
)( 1
N
iiiP
sWsX
sY
где Pi ndash i-й путь от входа к выходу N ndash количество путей Δ ndash опреде-
литель графа специальный полином который определенным образом
характеризует совокупность всех замкнутых цепей системы содер-
жащих обратные связи и вычисляется как сумма передаточных
функций разомкнутых контуров этих цепей и произведений
23
передаточных функций разомкнутых контуров пар троек и тд не со-
прикасающихся друг с другом цепей с обратными связями Δi ndash до-
полнительный множитель для пути составляется по правилу анало-
гичному Δ но только для цепей с обратными связями не соприкаса-
ющихся с i-м прямым каналом
Дополнительный множитель для i-го пути равен определителю
графа в котором приравнены нулю коэффициенты передачи конту-
ров касающихся этого пути
Рассмотрим пример получения ПФ многоконтурной системы с
использованием формулы Мейсона для структуры на рис 1 которая
соответствует графу показанному на рис 7
X(s) Y(s)W1
W2
W3 W5 W6
W4 -W7
Рис 7 Описание системы управления сигнальным графом
От входа к выходу ведут два пути
65311 WWWWP
65322 WWWWP
В графе есть 2 контура
5431 WWWL
7652 WWWL
Контур L1 пересекает контур L2 поэтому определитель графа
вычисляется по формуле
)(1 21 LL
Контуры в этом примере пересекают все пути поэтому допол-
нительные множители путей равны
24
11
12
Окончательно можно записать
1
)(543765
65326531
2
1
WWWWWW
WWWWWWWWP
sW iii
Таким образом использование сигнальных графов и применение
формулы Мейсона позволяет алгоритмизировать процесс упрощения
структурной схемы
Третий способ для получения ПФ заключается в составлении
системы уравнений Необходимо обозначить выходы сумматоров и
составить систему уравнений на основе этих обозначений На рис9
представлена исходная схема с обозначенными сумматорами
W1
W2 W3
W4
W5 W6
W7
+
+
+
-
Z H
u y
Рис 9 Исходная схема САУ с обозначенными сумматорами
Опишем все сигналы в системе в виде уравнений
)( 4521 HWWuWWZ
73 yWZWH
65 HWWy
Подставив последовательно значения сигналов найдем ПФ
))(( 734521 yWWHWWuWWH
После преобразования получим
25
1
)(
543
73231
WWW
yWuWWWWH
Подставим полученное значение H в уравнение y
1
))((
543
6573231
WWW
WWyWuWWWWy
Получим ПФ вида
1
)(543765
65326531
WWWWWW
WWWWWWWW
u
ypW
4 Краткое описание MATLAB
Лабораторная работа выполняется в программе математического
моделирования MATLAB Программа MATLAB включает в себя пакет
прикладных программ для решения технических задач и одноименный
язык программирования используемый в этом пакете
Основными компонентами системы являются базовая система
MATLAB и пакет моделирования систем Simulink Остальные пакеты
расширения разбиты на 4 категории ndash расширения Extension MATLAB и
Extension Simulink а также комплексы пакетов расширения Blockset и
Toolbox
Раздел MATLAB Extension содержит средства для подготовки ис-
полняемых приложений MATLAB (с подключаемыми библиотеками и
без них)
Раздел Toolbox (инструментальные средства) содержит самое
большое число пакетов расширений системы MATLAB такие как
laquoControl systemraquo laquoDatabaseraquo laquoFuzzy logicraquo laquoWaveletraquo и тд
В разделе Blockset расположено несколько пакетов относящихся к
главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink такие как
laquoDSPraquo laquoFixed-Pointraquo laquoNonlinear control designraquo и laquoPower systemsraquo
В разделе Extension Simulink имеется ряд средств предназначен-
ных для моделирования в реальном масштабе времени и событийно-
управляемом моделировании
26
5 Структурные преобразования в MATLAB
В пакете MATLAB имеется ряд функций с помощью которых
можно выполнять структурные преобразования (используется экви-
валентная схема)
ndash series(w1w2) ndash последовательное соединение звеньев
ndash parallel(w1w2) ndash параллельное соединение звеньев
ndash feedback(w1w2) ndash включение звена w2 в контур отрицательной об-
ратной связи к w1
ndash feedback(w1w2sign) ndash включение звена w2 в контур обратной связи
звена w1 с указанием знака + или ndash (очевидно feedback(w1w2)=
=feedback(w1w2-1))
Пример
Даны две передаточные функции
22
221
ss
sW
22
322
2
2
ss
ssW
Опишем ПФ введя в окне команд MatLab следующие команды
gtgt w1=tf([1 2][1 2 2])
gtgt w2=tf([1 2 3][1 2 2])
Выполним структурные преобразования для данных ПФ
gtgt w2=series(w1w2)
Transfer function
s^3 + 4 s^2 + 7 s + 6
------------------------------------
s^4 + 4 s^3 + 8 s^2 + 8 s + 4
gtgt w3=parallel(w1w2)
Transfer function
s^4 + 5 s^3 + 13 s^2 + 16 s + 10
----------------------------------------
s^4 + 4 s^3 + 8 s^2 + 8 s + 4
27
gtgt w4=feedback(w1w2)
Transfer function
s^3 + 4 s^2 + 6 s + 4
----------------------------------------
s^4 + 5 s^3 + 12 s^2 + 15 s + 10
Для проверки правильности проведенных преобразований необ-
ходимо собрать схему исходной САУ и соответствующую ей эквива-
лентную схему в MATLAB Simulink
Исходная схема САУ собирается как модель из соответствую-
щих элементов таких как laquoTransfer Fncraquo laquostepraquo laquosignal builderraquo
laquoscoperaquo и laquosumraquo Все эти элементы находятся в пакете laquoSimulinkraquo и
представлены в виде блоков Для того чтобы создать новую модель
необходимо нажать laquoFile-gtNew-gtModel (Simulink)raquo после откроется
окно модели в которую нужно будет добавлять элементы из библио-
теки для доступа к ней необходимо нажать на значок laquoLibrary Brows-
erraquo
Описание используемых элементов из пакета Simulink
1 Transfer Fnc ndash передаточная функция
2 Step ndash единичный скачок (функция Хэвисайда) в блоке необходи-
мо задать время начала перехода (step time)
3 Signal builder ndash блок для моделирования сигнала по заданным па-
раметрам (можно построить единичный скачок и импульсную функ-
цию)
4 Scope ndash виртуальный осциллограф отображает получившийся гра-
фик открывается двойным щелчком левой клавиши мыши и для кор-
рекции масштаба необходимо нажать правой кнопкой по графику и
из выпадающего меню выбрать laquoautoscaleraquo
5 Sum ndash сумматор в параметрах задается число сигналов соответ-
ственно laquo+raquo - положительный laquondashraquo - отрицательный
Так же нужно задать время работы модели для этого необходи-
мо выбрать laquoSimulation-gtSimulation parametersraquo и установить пара-
метр laquostop timeraquo на нужное значение и после необходимо запустить
модель на выполнение нажав на значок laquoStart simulationraquo Пример
модели составленной в MATLAB представлен на рис 10
28
Рис 10 Пример схемы САУ с блоком laquosignal builderraquo
Задача считается решенной если при подаче на вход обоих
схем одинаковых тестовых воздействий (единичный скачок импуль-
сная функция) наблюдаются одинаковые выходные сигналы
6 Задание на лабораторную работу
Выполнить преобразование структурной схемы САУ в эквива-
лентную передаточную функцию Составить модель исходной схемы
САУ в MATLAB С помощью ряда функций MATLAB (структурные
преобразования) составить эквивалентную схему Вариант задания
назначается преподавателем
7 Методика выполнения задания
Порядок выполнения работы
1 Выполнить преобразование заданного варианта структурной
схемы САУ (см табл 2) в эквивалентную ПФ тремя способами
ndash непосредственно используя правила табл 1
ndash используя представление в виде сигнального графа и формулу
Мейсона
ndash составив систему уравнений и решив еѐ
2 В качестве звеньев W1W2W3 использовать передаточные
функции звеньев представленных в табл 2
3 Составить модель исходной схемы САУ в MATLAB постро-
ить реакцию получившейся модели на ступенчатое и импульсное
воздействия
4 С помощью ряда функций MATLAB (структурные преобразо-
вания) составить эквивалентную схему и построить реакцию на сту-
пенчатое и импульсное воздействия
5 Подготовить ответы на контрольные вопросы
29
Таблица 2
Варианты структур САУ
Исходная схема
Передаточные
функции
1 W1
W3
W2
-
+
-
+
u y
+
1
31
sW
2
442
s
sW
12
133
s
sW
2 W1
W3
W2
-
+
-
+
u y
+ +
3 W3
W2
W1
-
+
-
+
u y
+ +
4 W3
W1
W2
+
+
-
+
u y
+ +
1
21
sW
2
12
sW
12
13
s
sW
5
W1
W3
W2
-
+
-
+
u y
+ +
6
W1
W3
W2
-
+
-
+
u y
+
62
31
sW
2
52
sW
1
23
s
sW
7
W1
W3
W2
-
+
-
+
u y
+ +
8
W1
W2
W3
-
+
-
+
u y
+ +
30
8 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) описание всех этапов преобразования исходной схемы и по-
лучающихся промежуточных результатов выполненными тремя спо-
собами моделирование реакции схемы на типовое воздействие (ска-
чок) до и после преобразования
б) сигнальный граф системы описание путей контуров расчет
ПФ по формуле Мейсона
в) решение составленной системы уравнений
г) схема модели и протокол команд MATLAB
д) графики переходных процессов при подаче на вход исходной
и эквивалентной схемы типовых тестирующих воздействий (скачок
импульс)
е) ответы на контрольные вопросы
Контрольные вопросы
1 Что называется структурной схемой Какие задачи можно
решить с еѐ помощью
2 Как может быть составлена структурная схема
3 Что позволяет алгоритмизировать процесс упрощения струк-
турной схемы Поясните на конкретном примере
31
Лабораторная работа 3
ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
ДИНАМИЧЕСКИХ ЗВЕНЬЕВ
1 Цель работы
Целью работы является изучение частотных характеристик ти-
повых динамических звеньев с использованием автоматизированных
средств моделирования на ПК ndash MATLAB SIMULINK
2 Задачи работы
ndash Закрепление углубление и расширение знаний студентов при
исследовании частотных характеристик динамических звеньев
ndash Приобретение умений и навыков работы с программой мате-
матического моделирования MATLAB
ndash Выработка способности логического мышления осмысление
полученных данных частотных характеристик
3 Теоретическая часть Сущность метода частотных характеристик заключается в том
что на вход исследуемой системы подается гармонический сигнал (си-
нусоидальные колебания) в широком диапазоне частот Реакция си-
стемы при разных частотах позволяет судить о ее динамических
свойствах
Пусть входной сигнал системы имеет амплитуду а и частоту ω т е
описывается формулой
)sin( tax
Выходной сигнал будет иметь амплитуду А1 и отличаться от вход-
ного по фазе на величину ψ (фазовый сдвиг)
)sin(1 tAy
Таким образом можно рассчитать усиление по амплитуде
1
a
AA
32
Для каждой частоты входного сигнала ω будут свои А и ψ
Изменяя ω в широком диапазоне можно получить зависимость
А(ω) ndash амплитудную частотную характеристику (АЧХ) и ψ(ω) ndash фазо-
вую частотную характеристику (ФЧХ)
Главное достоинство метода частотных характеристик заключа-
ется в том что АЧХ и ФЧХ объекта могут быть получены экспери-
ментально Для этого необходимо иметь генератор гармонических
колебаний который подключается к входу объекта и измеритель-
ную аппаратуру для измерения амплитуды и фазового сдвига колеба-
ний на выходе объекта
Частотные характеристики САУ могут быть получены по ее ПФ
W(s) Для суждения о реакции звена на синусоидальный сигнал доста-
точно исследовать его реакцию на гармонический сигнал вида
)( tjejx
Тогда выходной сигнал определяется по соотношению
)()( ))(( tjeAjy
и частотная ПФ получается равной
)()(
)()( )(
jeA
jx
jyjW
Формально для получения частотной ПФ надо сделать в W(s)
подстановку s = jω и тогда полученная W(jω) является комплексным
выражением которое можно представить в виде
)()(
)()()(
22
11
jba
jbajW
Для нахождения вещественной и мнимой частей частотной пе-
редаточной функции необходимо умножить числитель и знаменатель
на сопряженную знаменателю величину а затем провести
разделение
33
)()()(
)()(
)()()()(
)()(
)()()()(
))()())(()((
))()())(()((
)()(
)()()(
)(
22
22
2112
22
22
2121
2222
2211
22
11
jeAjVU
ba
babaj
ba
bbaa
jbajba
jbajba
jba
jbajW
где
)()()()(22
22
21
2122
ba
baVUjWA
)(
)())(arg()(
2
2
1
1
a
barctg
a
barctg
U
VarctgjW
Графики функции )(U и )(V называют соответственно веще-
ственной и мнимой частотной характеристиками
В практических расчетах удобно применять графики частотных
характеристик построенных в логарифмическом масштабе ndash лога-
рифмические частотные характеристики (ЛЧХ)
Логарифмическая амплитудная частотная характеристика
(ЛАЧХ) определяется следующим выражением
)(lg20)( AL
Логарифмической фазовой частотной характеристикой
(ЛФЧХ) называется график зависимости )( построенный в лога-
рифмическом масштабе частот
Единицей L(ω) является децибел (дБ) а единицей логарифма ча-
стоты ndash декада Декадой называют интервал частот на котором часто-
та изменяется в 10 раз При изменении частоты в 10 раз говорят что
она изменилась на одну декаду Ось ординат при построении ЛЧХ про-
водят через произвольную точку а не через точку ω = 0 Частоте ω = 0
соответствует бесконечно удаленная точка lgω rarr ndash infin при ω rarr 0
Основное преимущество использования ЛЧХ заключается в том
что приближенные (асимптотические) ЛАЧХ типовых динамических
звеньев изображаются отрезками прямых
Пример Построим ЛЧХ апериодического звена первого
34
порядка
Передаточная функция звена
1
)(
Ts
ksW
Частотная передаточная функция
1)(
)1(
1)(
2
T
Tjk
Tj
kjW
1)(
1)( 22
T
kTV
T
kU
Следовательно АЧХ описывается формулой
1)(
)(2
T
kA
ФЧХ строится по формуле
)()( Tarctg
ЛАЧХ апериодического звена 1-го порядка
1)(lg20lg20)( 2 TkL
По этой формуле можно построить две асимптоты ndash прямые к
которым стремится ЛАЧХ при ω rarr 0 и при ω rarr infin Так при ω rarr 0 второе
слагаемое близко к нулю и этот участок ЛАЧХ представляет собой
горизонтальную прямую
lg20)( kL
При ω rarr infin получаем наклонную прямую
1)(lg20)( 2 TL
35
Для определения наклона этой прямой можно рассмотреть гра-
ницы декады
T
1 и
10
T
Изменение ЛАЧХ между этими точками
)(2011
lg20110
lg20)(
22
декдБT
TT
TL
ЛЧХ часто называют диаграммами Боде
4 Краткое описание MATLAB
Лабораторная работа выполняется в программе математического
моделирования MATLAB Она включает в себя пакет прикладных про-
грамм для решения технических задач и одноименный язык программи-
рования используемый в этом пакете
Основными компонентами системы являются базовая система
MATLAB и пакет моделирования систем Simulink Остальные пакеты
расширения разбиты на 4 категории ndash расширения Extension MATLAB и
Extension Simulink а также комплексы пакетов расширения Blockset и
Toolbox
Раздел MATLAB Extension содержит средства для подготовки ис-
полняемых приложений MATLAB (с подключаемыми библиотеками и
без них)
Раздел Toolbox (инструментальные средства) содержит самое
большое число пакетов расширений системы MATLAB такие как
laquoControl systemraquo laquoDatabaseraquo laquoFuzzy logicraquo laquoWaveletraquo и тд
В разделе Blockset расположено несколько пакетов относящихся к
главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink такие как
laquoDSPraquo laquoFixed-Pointraquo laquoNonlinear control designraquo и laquoPower systemsraquo
В разделе Extension Simulink имеется ряд средств предназначен-
ных для моделирования в реальном масштабе времени и событийно-
управляемом моделировании
36
5 Построение частотных характеристик в MATLAB В пакете MATLAB ЛЧХ объекта заданного с помощью ПФ
можно получить командой bode
Пример
gtgt w=tf([1 2][3 4 5])
gtgt bode(w)
Для нескольких вариантов передаточной функции можно исполь-
зовать вариант команды вида
gtgt bode(ww1w2)
Например построим диаграмму Боде при различных параметрах
колебательного звена (рис 1)
gtgt w=tf([1][2 03 1])
gtgt w1=tf([1][2 05 1])
gtgt w2=tf([1][2 01 1])
gtgt bode(ww1w2)
Рис 1 ЛЧХ колебательного звена
6 Задание на лабораторную работу
С помощью пакета MATLAB построить ЛЧХ каждого типового
звена Определить влияние коэффициентов входящих в описание
каждого звена на параметры ЛАЧХ и ЛФЧХ Вариант задания назна-
чается преподавателем
37
7 Методика выполнения задания
Порядок выполнения работы
1 Задать передаточную функцию типового динамического звена
используя параметры из табл 2 лабораторной работы 1
2 Построить диаграмму Боде при различных параметрах типо-
вого динамического звена
3 Определить влияние коэффициентов входящих в описание
каждого звена на параметры ЛАЧХ и ЛФЧХ в том числе
ndash как меняется ширина асимптотических участков ЛАЧХ и
ЛФЧХ
ndash как меняется положение точек пересечения осей ЛАЧХ
4 Написать вывод по влиянию коэффициентов на типовое звено
5 Выполнить пункты 1-4 для всех типовых звеньев
6 Подготовить ответы на контрольные вопросы
8 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) титульный лист
б) краткие теоретические сведения
в) передаточные функции и схемы моделирования исследуемых
звеньев
г) экспериментально полученные характеристики при вариации
параметров каждого звена
д) выводы обобщающие проделанные эксперименты по каждо-
му звену
ж) ответы на контрольные вопросы
Контрольные вопросы
1 Как пользуясь частотными характеристиками определить па-
раметры (коэффициенты передаточной функции) звена Пояс-
нить на конкретных примерах
2 Указать особенности построения ЛАХ и ЛФХ динамических
звеньев Что понимается под асимптотической ЛАХ звена
3 Как осуществляется построение АФХ динамического звена
38
Лабораторная работа 4
ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ СИСТЕМ
С ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ
1 Цель работы
Изучение особенностей практического использования алгебраи-
ческих и частотных критериев устойчивости для анализа динамики
линейных САУ с использованием автоматизированных средств моде-
лирования на ПК ndash MATLAB SIMULINK
2 Задачи работы
ndash Закрепление углубление и расширение знаний студентов при
исследовании устойчивости систем с обратной связью
ndash Приобретение умений и навыков работы с программой мате-
матического моделирования MATLAB
ndash Овладение новыми методами проверки устойчивости систем
с обратной связью
ndash Выработка способности логического мышления осмысления
полученных данных
3 Теоретическая часть
Устойчивость САУ является одним из основных условий ее ра-
ботоспособности и включает требование затухания во времени пере-
ходных процессов
Система является устойчивой если при ограниченном входном
сигнале еѐ выходной сигнал также является ограниченным Если
система устойчива то она противостоит внешним воздействиям а
выведенная из состояния равновесия возвращается снова к нему
Система с расходящимся переходным процессом будет неустойчивой и
неработоспособной
Необходимое и достаточное условие устойчивости заключается в
том чтобы все корни характеристического уравнения (полюсы пере-
даточной функции системы) имели отрицательные вещественные ча-
сти Иначе говоря условием устойчивости системы является распо-
ложение всех полюсов в левой комплексной полуплоскости Тогда все
полюсы будут давать затухающую реакцию
Выше сформулированное условие устойчивости справедливо как
39
для линейных так и для линеаризованных систем Однако в случае
нулевых или чисто мнимых корней характеристического уравнения
вопрос об устойчивости линеаризованной системы может быть ре-
шен только на основании исследования ее нелинейных уравнений
В конце XIX и первой половине XX в задача вычисления корней
характеристического уравнения высокого порядка вызывала боль-
шие проблемы Поэтому были предложены несколько косвенных
методов оценки устойчивости позволяющих обойтись без вычисле-
ния корней ndash по значениям коэффициентов характеристического
уравнения
Критерии устойчивости разделяют на алгебраические и частот-
ные В частности к алгебраическим критериям относится критерий
Гурвица к частотным критериям ndash критерий Найквиста
Критерий Гурвица является алгебраическим критерием и при-
меняется к коэффициентам характеристического уравнения замкнутой
системы
Пусть имеется характеристическое уравнение замкнутой
системы
0011
1 apapapa n
nn
n
Из коэффициентов характеристического уравнения составляют
матрицу по правилу
1 По диагонали записываются коэффициенты от 1na до 0a
2 Каждая строка дополняется коэффициентами с возрастающи-
ми индексами слева направо так чтобы чередовались строки с нечет-
ными и четными индексами
3 В случае отсутствия индекса а также если он меньше 0 или
больше п на его место пишется 0
Таким образом матрица Гурвица приобретает следующий вид
40
Критерий устойчивости формулируется так
Чтобы система была устойчивой необходимо и достаточно что-
бы при 0na были положительными все п диагональных определи-
телей получаемых из матрицы Гурвица
Первые три определителя матрицы Гурвица имеют следующий
вид
Таким образом критерий Гурвица позволяет судить об абсо-
лютной устойчивости но он не дает возможности оценивать относи-
тельную устойчивость по корням характеристического уравнения
Частотный критерий устойчивости Найквиста анализирует
АФЧХ разомкнутой системы
Пусть имеется АФЧХ разомкнутой системы W(jω)
Для нахождения вещественной и мнимой части частотной ха-
рактеристики нужно освободиться от мнимости в знаменателе путем
умножения числителя и знаменателя на комплексную величину со-
пряженную знаменателю а затем выполнить разделение на веще-
ственную и мнимую части W(jω) приобретает вид
)()()( jQPjW
Задаваясь различными значениями частоты можно найти мно-
жество пар )()( 11 jQP )()( 22 jQP )()( nn jQP
Затем по этим парам строится АФЧХ на комплексной плоскости
Основные свойства АФЧХ разомкнутой системы
1 Если разомкнутая система не имеет интегрирующих звеньев
то при ω = 0 ее АФЧХ начинается на вещественной оси в точке
Р(ω)=К (где К ndash коэффициент усиления разомкнутой системы) За-
канчивается АФЧХ в начале координат при ω rarr infin (рис 1 а)
2 Если разомкнутая система имеет одно интегрирующее звено то
ее АФЧХ начинается при ω = 0 в бесконечности на отрицательной мни-
мой полуоси а заканчивается в начале координат при ω rarr infin (рис 1 б)
41
Рис 1 АФЧХ разомкнутой системы
Критерий устойчивости Найквиста формулируется так
1 Если разомкнутая система устойчива или находится на гра-
нице устойчивости то для того чтобы замкнутая система была
устойчива необходимо и достаточно чтобы АФЧХ разомкнутой
системы при изменении частоты ω от 0 до infin не охватывала точку с ко-
ординатами (-1 j0)
2 Если разомкнутая система неустойчива а ее передаточная
функция имеет т полюсов справа от мнимой оси на комплексной
плоскости то для устойчивости замкнутой системы необходимо и до-
статочно чтобы АФЧХ разомкнутой системы при изменении частоты
ω от -infin до +infin охватывала т раз точку с координатами (-1 j0)
При использовании этого критерия нужно учитывать две
особенности
1 Если разомкнутая система находится на границе устойчиво-
сти то ее АФЧХ уходит в бесконечность Для проверки критерия Най-
квиста нужно мысленно соединить конец АФЧХ дугой бесконечно
большого радиуса с положительной вещественной полуосью
2 На практике АФЧХ может строиться только для положитель-
ных частот (0 lt ω lt +infin) При применении критерия Найквиста счита-
ется что ветвь АФЧХ для отрицательных частот симметрична отно-
сительно вещественной оси
Физический смысл критерия устойчивости Найквиста заключа-
ется в том что система будет неустойчива если фаза выходного сиг-
нала противоположна фазе входного сигнала а коэффициент усиле-
ния больше 1 Поэтому для анализа устойчивости можно использо-
вать не АФЧХ а ЛАХ системы (для минимально-фазовых систем)
Система устойчива если на частоте среза значение фазы не превы-
шает -π Соответственно для устойчивой системы можно рассматри-
вать на ЛФЧХ запас устойчивости по фазе ndash расстояние от значения
фазы на частоте среза до уровня -π и запас устойчивости по амплиту-
42
де ndash расстояние от оси частот ЛАЧХ до значения усиления на часто-
те где фаза становится равной -π
4 Краткое описание MATLAB
Лабораторная работа выполняется в программе математического
моделирования MATLAB Программа MATLAB включает в себя пакет
прикладных программ для решения технических задач и одноименный
язык программирования используемый в этом пакете
Основными компонентами системы являются базовая система
MATLAB и пакет моделирования систем Simulink Остальные пакеты
расширения разбиты на 4 категории ndash расширения Extension MATLAB и
Extension Simulink а также комплексы пакетов расширения Blockset и
Toolbox
Раздел MATLAB Extension содержит средства для подготовки ис-
полняемых приложений MATLAB (с подключаемыми библиотеками и
без них)
Раздел Toolbox (инструментальные средства) содержит самое
большое число пакетов расширений системы MATLAB такие как
laquoControl systemraquo laquoDatabaseraquo laquoFuzzy logicraquo laquoWaveletraquo и тд
В разделе Blockset расположено несколько пакетов относящихся к
главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink такие как
laquoDSPraquo laquoFixed-Pointraquo laquoNonlinear control designraquo и laquoPower systemsraquo
В разделе Extension Simulink имеется ряд средств предназначен-
ных для моделирования в реальном масштабе времени и событийно-
управляемом моделировании
5 Исследование устойчивости САУ в MATLAB
Для проверки устойчивости САУ по Гурвицу постройте матрицу
Гурвица и найдите ее детерминант (функция det) Затем последова-
тельно уменьшая размер матрицы найдите значения всех диагональ-
ных детерминантов Пример
gtgt А=[1 14 18 2 5 2 3 4 3]
А =
1 14 18
2 5 2
3 4 3
gtgt det(A)
ans = -119
43
gtgt А1=А(12 12)
А1 =
1 14
2 5
gtgt det(A1)
ans = -23
Для проверки устойчивости САУ по Найквисту сначала нужно
выяснить является ли устойчивой разомкнутая система
Пример Пусть дана передаточная функция разомкнутой
системы
13232
12234
pppp
pW
Рассмотрим реакцию на скачок
gtgt w=tf([2 1][2 3 2 3 1])
gtgt step(w18)
График переходного процесса показан на рис 2
Рис 2 Переходная реакция
Разомкнутая система неустойчива и согласно критерию Найкви-
ста надо чтобы АФЧХ разомкнутой системы охватывала точку (-1 j0)
44
столько раз сколько полюсов имеется справа от мнимой оси Для по-
строения АФЧХ достаточно вызвать команду nyquist
gtgt nyquist(w)
Диаграмма Найквиста показана на рис 3
Рис 3 Диаграмма Найквиста для неустойчивой системы
Как показывает рис3 АФЧХ ни разу не охватывает точку
(-1 j0) поэтому замкнутая система будет неустойчивой Частотный
критерий Найквиста можно использовать и в том случае когда рас-
сматривается не АФЧХ а ЛАЧХ разомкнутой системы замкнутая
минимально-фазовая система устойчива если при достижении ЛФЧХ
значения -π ЛАЧХ будет отрицательной
Используя ЛАЧХ и ЛФЧХ можно оценить запасы устойчивости
системы по амплитуде и по фазе с помощью команды
gtgt margin(w)
Пример
gtgt w=tf([10][2 2 3 1])
gtgt margin(w)
Соответствующий график показан на рис 4
45
Рис 4 Определение запасов устойчивости по амплитуде и по фазе
6 Задание на лабораторную работу
Выполнить исследование устойчивости замкнутой системы по за-
данной передаточной функции разомкнутой системы Определить запас
устойчивости по амплитуде и по фазе Вариант задания назначается
преподавателем
7 Методика выполнения задания
Порядок выполнения работы
1 Рассчитать передаточную функцию замкнутой системы по
приведенной в табл 1 разомкнутой системе
2 Определить устойчивость замкнутой системы используя кри-
терий Гурвица
3 Определить устойчивость замкнутой системы используя кри-
терий Найквиста
4 Определить запас устойчивости по амплитуде и по фазе ис-
пользуя ЛАЧХ и ЛФЧХ
5 Выполнить моделирование переходных процессов разомкну-
той и замкнутой систем
6 Подготовить ответы на контрольные вопросы
46
Таблица 1
Варианты заданий
Передаточная функция разомкнутой системы
1 1355
2234
ssss
W
2 110050
1234
ssss
W
3 11010
123
sss
W
4 122105
100234
ssss
W
5 1248
123
sss
W
6 1223
102345
sssss
W
7 11001010
323
sss
W
8 122
1023
sss
W
9 11010
123
sss
W
10 15050332
102345
sssss
W
8 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) титульный лист
б) краткие теоретические сведения
в) переходную функцию разомкнутой системы
г) расчет передаточной функции замкнутой системы
д) расчетные выражения для обоснования устойчивости замкну-
той системы по алгебраическому критерию Гурвица
е) годограф Найквиста разомкнутой системы на основании кото-
рого делается вывод об устойчивости замкнутой системы
ѐ) переходную функцию замкнутой системы
ж) проверку полученных результатов путем компьютерного моде-
лирования переходных процессов разомкнутой и замкнутой си-
стемы в MATLAB Simulink
з) выводы по всем полученным результатам
47
Контрольные вопросы
1 Как связана устойчивость линейной САУ с видом составля-
ющих ее свободного движения
2 Зависит ли устойчивость линейных САУ от амплитуды зада-
ющих воздействий или возмущений
3 Сформулируйте критерий устойчивости Гурвица укажите на
необходимое условие устойчивости линейных САУ вытекаю-
щее из этого критерия
4 Сформулируйте критерий Найквиста для случая САУ устой-
чивых в разомкнутом состоянии а также для астатических САУ
Что такое laquoзапасы устойчивости по фазе и по амплитудеraquo
5 Что называется структурной устойчивостью
48
Лабораторная работа 5
КОРРЕКЦИЯ СТАТИЧЕСКИХ И ДИНАМИЧЕСКИХ
СВОЙСТВ САУ
1 Цель работы
Целью работы является изучение способов обеспечения иско-
мых характеристик САУ с использованием автоматизированных
средств моделирования на ПК ndash MATLAB SIMULINK
2 Задачи работы
ndash Закрепление углубление и расширение знаний студентов при
обеспечении искомых характеристик САУ
ndash Приобретение умений по обеспечению точности (уменьшение
статической ошибки) САУ и выбору значений параметров регулято-
ра обеспечивающих желаемые динамические свойства САУ
ndash Приобретение умений и навыков работы с программой мате-
матического моделирования MATLAB
3 Теоретическая часть
Коррекция статических и динамических свойств САУ имеет
своей целью повышение статической и динамической точности отра-
ботки системой задающего воздействия (или парирование возмуща-
ющего воздействия) повышение запасов ее устойчивости Наиболее
распространенными способами коррекции свойств САУ является из-
менение коэффициента усиления ее разомкнутой части введение в
САУ новых звеньев (как правило интегрирующего или дифференци-
рующего типа) охват объекта управления местной обратной связью
31 Коррекция статических свойств САУ
Статические свойства системы определяются величиной устано-
вившейся ошибки )t(уст вызванной действием задающего воздей-
ствия и определяемой по формуле
22
210 2 dttgdcdttdgctgctуст (1)
где )(tg - входное воздействие 210 ccc - коэффициенты ошибок
Коэффициенты ошибок определяются по формулам
49
dssdcdssdcscs
mmmss 00100
где s - передаточная функция САУ по ошибке управления рав-
ная
sW
sраз
1
1
sWраз - передаточная функция разомкнутой САУ
Основными способами уменьшения статической ошибки систе-
мы являются
1) увеличение коэффициента усиления прямого тракта системы
2) введение в прямой тракт системы интегрирующих звеньев
3) охват объекта управления местной неединичной положитель-
ной обратной связью
Представим структурную схему системы в виде изображенном
на рис 1 где через sW обозначена передаточная функция неизме-
няемой части системы
bsbsb
asasasW
nn
nn
mm
mm
01
1
01
1
Здесь и далее полагается что KKKsW s 000 0 ndash из-
меняемый коэффициент усиления регулятора системы
Первые два коэффициента ошибок 0c и 1c определяется выраже-
ниями
KK
c0
01
1
(2)
KK
dssdWKc
s
20
01
1
(3)
Из (2) и (3) с учетом (1) вытекает что с увеличением K
статическая ошибка в системе уменьшается и наоборот с уменьше-
нием K статическая ошибка в системе увеличивается
Введем в прямой тракт системы одно интегрирующее звено
50
(рис 2) В этом случае c 00 01 1 KKc
Так как c 00 то система на рис 2 является астатической (с
астатизмом первого порядка) Система имеет нулевую статическую
ошибку при отработке постоянного задающего воздействия
consttg и постоянную обратно пропорциональную K ошибку
constуст при отработке линейно изменяющегося воздействия
tatg
Рис 1 Схема САУ Рис 2 Схема САУ с включенным в прямой
тракт интегрирующим звеном
Охватим неизменяемую часть системы sW местной нееди-
ничной положительной обратной связью с коэффициентом усиления
осK (рис 3) Тогда эквивалентная передаточная функция sWэкв
неизменяемой части системы равна
10011
01
1
aKbsaKbsaKbsb
asasa
sWK
sWsW
ососm
mосmn
n
mm
mm
осэкв
(4)
Если коэффициент усиления K выбрать из условия
a
bKос
0
0
то свободный коэффициент (b0 - Koca0) полинома знаменателя sWэкв
обратится в нуль и sWэкв приобретает интегрирующие свойства
11
11
0
1
1
aKbsaKbsbs
asasasW
ос
m
mосm
n
n
m
m
m
mэкв
g(t) y(t)ε(t)
K W(s)-
g(t) y(t)
Ks W(s)-
ε(t)
51
Следовательно замкнутая система становится астатической (с
астатизмом 1-го порядка) Отсюда 0c =0 а коэффициент 1c будет
равен
aKb
bc
ос 11
01
ε(t)g(t) y(t)
W(s)-
Kос
Wэкв(s)
+
Рис 3 Схема САУ с местной неединичной обратной связью
32 Коррекция динамических свойств САУ
Улучшение динамических свойств САУ заключается в увеличе-
нии быстродействия САУ (уменьшении времени регулирования tрег)
уменьшении перерегулирования (см рис 4) а также увеличении
запасов устойчивости по фазе и по модулю При этом
h
hh
уст
устmax100
где maxh - максимальное значение переходной характеристики за-
мкнутой САУ th
устh - установившееся значение th
Время регулирования tрег - минимальная величина при которой удо-
влетворяется условие
устрег hth
где - заданная величина ошибки (обычно =005 устh )
52
h(t)
tрег
hустhmax
2δ
Рис 4 Быстродействие и перерегулирование САУ
Одним из эффективных средств достижения этой цели является
уменьшение отрицательных фазовых сдвигов в прямом тракте систе-
мы путем охвата неизменяемой части системы местными отрицатель-
ными обратными связями
На рис 5 R(s) представляет собой передаточную функцию регу-
лятора САУ которая считается заданной
ε(t)g(t) y(t)
W(s)-
Kос
Wэкв(s)
-
R(s)
u(t)
Рис 5 Схема САУ с местной обратной связью и регулятором
Пусть неизменяемая часть системы представляет собой аперио-
дическое звено первого порядка те
sT
K)s(W
10
0
Тогда передаточная функция sWэкв эквивалентного объекта
управления равна
sT
K
sWK
sWsW
экв
экв
осэкв
11
где зквK и эквT - коэффициент усиления и постоянная времени
эквивалентного объекта равные
53
KK
KK
осэкв
0
0
1
KK
TT
осэкв
0
0
1 (5)
Из (5) следует что соответствующим выбором осK постоянную
времени эквT эквивалентного объекта можно уменьшить в (1+ 0KKос )
раз по сравнении с постоянной времени 0T объекта без местной об-
ратной связи Тем самым уменьшаются отрицательные фазовые сдви-
ги вносимые прямым трактом системы что приводит к увеличению
запасов устойчивости системы При этом однако уменьшается в
(1+ 0KKос ) раз коэффициент усиления эквK эквивалентного объекта
по сравнению с коэффициентом усиления 0K объекта без местной
обратной связи Это нежелательно так как приводит к уменьшению
быстродействия системы вследствие уменьшения общего коэффици-
ента усиления прямого тракта системы В этом случае с целью обес-
печения необходимого быстродействия системы увеличивают коэф-
фициент усиления регулятора
4 Краткое описание MATLAB
Лабораторная работа выполняется в программе математического
моделирования MATLAB Программа MATLAB включает в себя пакет
прикладных программ для решения технических задач и одноименный
язык программирования используемый в этом пакете
Основными компонентами системы являются базовая система
MATLAB и пакет моделирования систем Simulink Остальные пакеты
расширения разбиты на 4 категории ndash расширения Extension MATLAB и
Extension Simulink а также комплексы пакетов расширения Blockset и
Toolbox
Раздел MATLAB Extension содержит средства для подготовки ис-
полняемых приложений MATLAB (с подключаемыми библиотеками и
без них)
Раздел Toolbox (инструментальные средства) содержит самое
большое число пакетов расширений системы MATLAB такие как
laquoControl systemraquo laquoDatabaseraquo laquoFuzzy logicraquo laquoWaveletraquo и тд
54
В разделе Blockset расположено несколько пакетов относящихся к
главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink такие как
laquoDSPraquo laquoFixed-Pointraquo laquoNonlinear control designraquo и laquoPower systemsraquo
В разделе Extension Simulink имеется ряд средств предназначен-
ных для моделирования в реальном масштабе времени и событийно-
управляемом моделировании
5 Задание на лабораторную работу
Выполнить исследование способов коррекции статических и
динамических свойств САУ Определить время регулирования и пе-
ререгулирования в исходной и скорректированной системах а также
для динамических свойств САУ определить запасы устойчивости в
исходной системе и найти экспериментально значение Kос обеспечи-
вающее в системе заданные показатели качества и запасы устойчиво-
сти Вариант задания назначается преподавателем
Таблица 1
Варианты заданий
варианта
Параметры
1
2
3
4
5
6
7
8
a 05 10 15 20 25 30 35 40
K0 1 2 3 4 5 6 7 8
T c 03 04 05 06 07 08 09 10
ξ 06 07 08 08 07 09 05 04
уст 0 0 005 0 010 007 0 0
tрег c le 13 15 20 25 30 35 40 40
le 0 10 10 5 5 5 0 0
В качестве исходных САУ выступают системы изображенные
на рис 6 и 7
55
ε(t)g(t) y(t)
W(s)-
g(t) y(t)
R(s) W(s)-
ε(t) u(t)
Рис 6 САУ с отрицательной Рис 7 САУ с отрицательной обратной
обратной связью связью и регулятором
6 Методика выполнения задания
При исследовании способов коррекции статических свойств
САУ в качестве исходных данных выступает передаточная функция
sW неизменяемой части системы вида
1222
0
sTsT
KsW (6)
и задающие воздействия вида ttg 1 в соответствии с таблицей 1
В процессе выполнения этой части работы необходимо
1) путем моделирования в системе MATLAB исходной САУ
(рис 6) получить графики ttytg
2) сравнить полученную таким образом экспериментальную ве-
личину t с теоретической величиной вычисленной по формуле (1)
3) применяя описанные в теоретической части методических
указаний способы коррекции статических свойств (см п 31) обес-
печить требуемую статическую ошибку εуст системы при отработке
задающего воздействия ttg 1
4) получить графики ty и t в скорректированной системе
для 1 ttg
5) сравнить время регулирования регt и перерегулирование в
исходной и скорректированной системах при 1 ttg
При исследовании рассмотренного способа коррекции динами-
ческих свойств САУ (см п 32) в качестве исходных данных высту-
пают передаточная функция sW неизменяемой части системы
вида (6) и передаточная функция регулятора вида
s
KsR
рег
56
Задающее воздействие ttg 1
В процессе выполнения данной части работы необходимо
1) получить путем моделирования в MATLAB графики ty t
в системе (рис 7)
2) определить время регулирования регt и перерегулирование
а также запасы устойчивости в исходной системе
3) применяя описанный выше способ коррекции динамических
свойств САУ найти экспериментально (путем последовательного пе-
ребора) значение осK обеспечивающее в системе заданные заданием
показатели качества ( регt ) и запасы устойчивости (при необхо-
димости увеличить коэффициент регK )
4) получить графики ty t а также ЛАХ и ЛФХ разомкну-
той системы в скорректированной САУ
7 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) титульный лист
б) структурные схемы исследуемых систем
в) полученные графики и характеристики
г) значения полученные экмпериментально которые
обеспечивают заданные показатели качества и запасы устойчивости
д) выводы обощающие проделанные эксперименты для
коррекции статических и динамических свойств САУ
е) ответы на контрольные вопросы
Контрольные вопросы 1 Дать определение статической и астатической САУ
2 Какими структурными свойствами системы определяется по-
рядок ее астатизма
3 Какой из двух приведенных выше способов придания системе
свойств астатизма 1-го порядка наиболее предпочтителен на
практике
4 Назовите основные показатели качества САУ Поясните их
смысл
5 В чѐм суть исследуемого способа коррекции динамических
свойств САУ
57
6 Назвать другие способы коррекции динамических свойств
САУ
7 Чем вызваны отрицательные фазовые сдвиги в неизменяемой
части САУ
58
Лабораторная работа 6
МЕТОД КОРНЕВОГО ГОДОГРАФА
1 Цель работы
Целью работы является построение корневого годографа и ис-
следование динамики системы с использованием автоматизирован-
ных средств моделирования на ПК ndash MATLABSIMULINK
2 Задачи работы
ndash Закрепление углубление и расширение знаний студентов при
исследование динамики системы
ndash Овладение навыком построения корневого годографа
ndash Приобретение умений и навыков работы с программой мате-
матического моделирования MATLAB
3 Теоретическая часть
Корневым годографом (КГ) называется совокупность траекто-
рий перемещения всех корней характеристического уравнения за-
мкнутой системы при изменении какого-либо параметра этой систе-
мы
Обычно метод КГ позволяет находить полюса и нули ПФ за-
мкнутой системы располагая полюсами и нулями разомкнутой си-
стемы при изменении коэффициента усиления разомкнутой системы
K
ПФ разомкнутой системы Wp(s) представим в следующем виде
)(
)(
1
1
0
n
ii
m
jj
p
ss
ssKC
sW (1)
где 0js ndash нули ПФ sWp )1( mj
is ndash полюса ПФ sWp
)1( nj n и m ndash порядки знаменателя и числителя C ndash коэффици-
ент представления (отношение коэффициентов при старших членах
числителя и знаменателя)
59
При замыкании системы с ПФ sWp единичной отрицатель-
ной обратной связью ПФ замкнутой системы sWз принимает вид
)(1
)(
sW
sWsW
p
pз
(2)
Из выражения (2) следует что нули ПФ замкнутой системы рав-
ны нулям ПФ разомкнутой системы
Для нахождения полюсов рассмотри выражение
01 sWp (3)
в соответствии с выражением (1) имеем
n
i
m
jjin
ii
m
jj
ssKCss
ss
ssKC
1 1
0
1
1
0
)()(01
)(
)(
(4)
На основании выражения (4) можно сказать что при K = 0 корни
характеристического уравнения совпадают с полюсами а при K = infin ndash
с нулями При изменении K от 0 до infin траектории корней начинаются
в полюсах и заканчиваются в нулях Обычно полюсов больше чем
нулей В этом случаем mn ветвей корневого годографа стремятся к
infin
Для определения полюсов замкнутой системы с отрицательной
обратной связью необходимо решить уравнение (его называют ос-
новным уравнением метода КГ)
1sWp (5)
Так как sWp является функцией комплексного переменного
s то уравнение (5) распадается на два уравнения уравнение модулей
1)( sWp (6)
60
и уравнение аргументов (фаза вектора -1 есть нечетное число π)
210)12()(arg sWp (7)
Как известно при умножении комплексных чисел их аргументы
складываются а при делении ndash вычитаются Поэтому исходя из вы-
ражения (1) уравнение (7) имеет наглядный геометрический смысл
Пусть точка s ndash полюс замкнутой системы Если провести в s
вектора из нулей sWp (обозначим аргументы этих векторов 0j ) и
вектора из всех полюсов sWp (обозначим аргументы этих векторов
i ) то уравнение (7) можно записать в следующем виде
m
j
n
iij
1 1
0 210)12( (8)
Углы q отсчитываются от положительного направления дей-
ствительной оси Знак угла laquo+raquo соответствует повороту против часо-
вой стрелки знак угла laquo-raquo соответствует повороту по часовой стрел-
ке
Таким образом любая точка КГ должна удовлетворять уравне-
нию (8) из которого следует что конфигурация КГ не зависит от ко-
эффициента усиления K но каждому конкретному значению K одно-
значно соответствуют точки на КГ
При умножении комплексных чисел их модули перемножаются
а при делении ndash делятся Поэтому на основании (6) можно записать
1
1
1
0
n
ii
m
jj
l
lKC
(9)
где 0jl ndash модуль (длина) вектора проведенного из j-нуля в точку s
КГ il ndash модуль вектора проведенного из i-полюса в ту же точку s
61
Таким образом траектории корней строятся только по уравне-
ниям фаз а уравнение модулей используется затем для нахождения
K
Сущность метода КГ заключается в том чтобы узнать каким
должен быть коэффициент усиления разомкнутой системы чтобы
было обеспечено желаемое положение корней замкнутой системы
Корневой годограф системы с отрицательной обратной связью
обладает следующими основными свойствами
1 Ветви КГ непрерывны и расположены на комплексной плос-
кости симметрично относительно действительной оси
2 Число ветвей КГ равно порядку системы n Ветви начинают-
ся в n полюсах разомкнутой системы при K=0 При возрастании K от
0 до infin полюса замкнутой системы двигаются по ветвям КГ
3 mветвей КГ при возрастании K от 0 до infin заканчиваются в m
нулях )(sWp а )( mn ветвей при K стремящемся к infin удаляются
от полюсов вдоль асимптот
4 При расположении ветвей корневого годографа в левой полу-
плоскости s САУ устойчива При пересечении ветвей КГ мнимой оси
слева направо САУ становится неустойчивой Пусть при K=Kкр
пере-
сечение КГ с мнимой осью произойдет в некоторой точке iωкр
Назо-
вем это значение коэффициента усиления критическим Kкр
а вели-
чину iωкр
критической угловой частотой на которой система стано-
вится неустойчивой
4 Краткое описание MATLAB
Лабораторная работа выполняется в программе математического
моделирования MATLAB Программа MATLAB включает в себя пакет
прикладных программ для решения технических задач и одноименный
язык программирования используемый в этом пакете
Основными компонентами системы являются базовая система
MATLAB и пакет моделирования систем Simulink Остальные пакеты
расширения разбиты на 4 категории ndash расширения Extension MATLAB и
Extension Simulink а также комплексы пакетов расширения Blockset и
Toolbox
Раздел MATLAB Extension содержит средства для подготовки ис-
полняемых приложений MATLAB (с подключаемыми библиотеками и
без них)
62
Раздел Toolbox (инструментальные средства) содержит самое
большое число пакетов расширений системы MATLAB такие как
laquoControl systemraquo laquoDatabaseraquo laquoFuzzy logicraquo laquoWaveletraquo и тд
В разделе Blockset расположено несколько пакетов относящихся к
главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink такие как
laquoDSPraquo laquoFixed-Pointraquo laquoNonlinear control designraquo и laquoPower systemsraquo
В разделе Extension Simulink имеется ряд средств предназначен-
ных для моделирования в реальном масштабе времени и событийно-
управляемом моделировании
5 Корневой годограф в MATLAB
В системе MATLAB существует команда zpk для преобразова-
ния модели заданной ПФ в модель заданную нулями полюсами и
обобщенными коэффициентами передачи (zpk-форма)
Пример
gtgt w=tf([10][2 2 3 1 0])
Transfer function
10
-------------------------------
2 s^4 + 2 s^3 + 3 s^2 + s
gtgt w1=zpk(w)
Zeropolegain
5
----------------------------------------------
s (s+03966) (s^2 + 06034s + 1261)
Для работы с корневым годографом удобно использовать гра-
фический интерфейс laquoSISO-Design Toolraquo предназначенный для ана-
лиза и синтеза одномерных линейных систем автоматического управ-
ления (SISO ndash Single Input Signal Output)
Запуск SISO-Design Tool осуществляется командой
gtgt sisotool
63
В появившемся окне графического интерфейса необходимо ис-
пользовать команду laquoFileImportraquo для загрузки данных из рабочего
пространства MATLAB в результате которой появляется диалоговое
окно Import System Data (рис 1)
Рис 1 Диалог для ввода параметров модели
После импортирования данных можно исследовать изменение
временных и частотных характеристик замкнутой системы при изме-
нении K Обычно при этом требуется определить условия неустойчи-
вости замкнутой САУ Определить Kкр
и iωкр
На рис 2 показано окно sisotool для описанной выше модели w1
Двигая красным курсором по КГ до пересечения ветвей с мнимой
осью можно определить значения Kкр
В данном случае Kкр
asymp 01
Значение iωкр
соответствует мнимой координате пересечения КГ
мнимой оси Просмотреть это значение можно в нижней части ин-
терфейса или выбрать меню laquoView Closed-Loop Polesraquo
64
Рис 2 Основное окно SISO-Design Tool
6 Задание на лабораторную работу
Построить КГ в соответствии с вариантом из табл 1 при помо-
щи графического интерфейса sisotool
Исследовать динамику замкнутой системы при различных зна-
чениях коэффициента усиления разомкнутой системы K в том числе
ndash запасы устойчивости в частотной области
ndash параметры переходного процесса во временной области
Таблица 1
Варианты передаточных функций
Значения параметров Передаточная функция
разомкнутой системы
1 T = 01 ζ = 1
)12( 22 sTsTs
K
2 T = 005 ζ = 0707
3 T = 003 ζ = 01
4 T = 008 ζ = 05
5 T = 001 ζ = 015
65
Окончание табл 1
Значения параметров Передаточная функция
разомкнутой системы
6 T1 = 003 T2 = 05 T3 = 01 T4 = 005
)1)(1)(1(
)1(
432
1
sTsTsTs
sTK
7 T1 = 005 T2 = 04 T3 = 008 T4 = 0033
8 T1 = 02 T2 = 045 T3 = 01 T4 = 005
9 T1 = 05 T2 = 025 T3 = 01 T4 = 002
10 T1 = 01 T2 = 025 T3 = 01 T4 = 005
Вариант задания назначается преподавателем
7 Методика выполнения задания
Порядок выполнения лабораторной работы
1 Задать передаточную функцию в MATLAB в соответствии с
вариантом коэффициент K задать любым положительным числом
2 Запустить SISO-Design Tool и осуществить ввод данных
Построить КГ
3 По КГ определить значения коэффициента K когда система
будет устойчивой на границе устойчивости и неустойчива
4 Выбрать значение коэффициента K таким образом чтобы си-
стемы была устойчива и определить запас устойчивости в частотной
области и параметры переходного процесса во временной области
8 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) титульный лист
б) передаточную функцию и этапы построения КГ
в) анализ результатов построения КГ
г) выводы по проделанной работе
д) ответы на контрольные вопросы
Контрольные вопросы 1 Дать определение КГ
2 Что обычно позволяет находить метод КГ
3 В чем заключается сущность метода КГ
4 Что можно определить по КГ
66
Критерии результативности лабораторного практикума
Лабораторная работа считается выполненной если студент
ndash выполнил все указанные задания
ndash представил отчет соответствующий всем требованиям к его
содержанию и оформлению
ndash владеет терминологией и материалом лабораторной работы
ndash способен использовать программное средство математическо-
го моделирования MATLAB
ndash способен предоставить и рассказать результаты выполненной
работы на ПК
ndash может дать пояснения к отчету и ответить на контрольные
вопросы
Список литературы
1 Александров АГ Частотная теория автоматического управле-
ния учебное пособие ndash Электросталь ЭПИ МИСиС 2010
2 Борисевич АВ Теория автоматического управления элементар-
ное введение с применением MATLAB ndash СПб Изд-во Политехн ун-
та 2011
3 Федоров ВЛ Бубнов АВ Теория автоматического управления
учебное пособие ndash Омск Изд-во ОмГТУ 2010
4 Павловская ОО Чернецкая ИВ Теория автоматического
управления учебное пособие ndash Челябинск Изд-во ЮУрГУ 2010
67
Составители ЛЯНЦЕВ Олег Дмитриевич КАЗАНЦЕВ Андрей Валерьевич
ИССЛЕДОВАНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК СИСТЕМ
АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
Лабораторный практикум
по дисциплине
laquoТеория управленияraquo
Подписано в печать Формат 60х84 116 Бумага офсетная Пе-
чать плоская Гарнитура Times New Roman Усл печ л 56 Уч-изд л
55 Тираж 100 экз Заказ
ФГБОУ ВПО Уфимский государственный авиационный технический
университет
Центр оперативной полиграфии УГАТУ
450000 Уфа-центр ул К Маркса 12
Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
laquoУфимский государственный авиационный технический университетraquo
Кафедра автоматизированных систем управления
ИССЛЕДОВАНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК СИСТЕМ
АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
Лабораторный практикум
по дисциплине
laquoТеория управленияraquo
УФА 2015
Составители О Д Лянцев А В Казанцев
УДК
ББК
Лабораторный практикум по дисциплине laquoТеория управленияraquo
Уфимск гос авиац техн ун-т Сост ОД Лянцев АВ Казанцев ndash
Уфа 2015 ndash 66 с
Цель лабораторного практикума ndash закрепление и совершенство-
вание знаний студентов по дисциплине laquoТеория управленияraquo и фор-
мирование умений работы с временными и частотными характери-
стиками типовых динамических звеньев со структурными преобра-
зованиями с критериями устойчивости со статическими и динамиче-
скими свойствами систем автоматического управления и корневым
годографом в среде математического моделирования MATLAB
Предназначен для подготовки студентов обучающихся по
специальностям 090501 (230106) ndash laquoПрименение и эксплуатация ав-
томатизированных систем специального назначенияraquo и 090301
(230100) ndash laquoИнформатика и вычислительная техникаraquo
Табл7 Ил25 Библиогр 4 назв
Рецензенты д-р техн наук проф РА Мунасыпов
кан техн наук доц РВ Насыров
copy Уфимский государственный
авиационный технический университет 2015
4
Содержание
Введениеhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
Лабораторная работа 1 laquo Динамические звенья и их
характеристики во временной областиraquohelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
1 Цель работыhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
2 Задачи работыhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
3 Теоретическая частьhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
4 Краткое описание MATLABhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
5 Моделирование передаточных функций в MATLABhelliphelliphelliphelliphellip
6 Задание на лабораторную работуhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
7 Методика выполнения работыhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
8 Требования к содержанию и оформлению отчетаhelliphelliphelliphelliphelliphellip
Контрольные вопросыhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
Лабораторная работа 2 laquoПреобразования структурных
схемraquohelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
1 Цель работыhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
2 Задачи работыhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
3 Теоретическая частьhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
4 Краткое описание MATLABhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
5 Структурные преобразования в MATLABhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
6 Задание на лабораторную работуhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
7 Методика выполнения работыhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
8 Требования к содержанию и оформлению отчетаhelliphelliphelliphelliphelliphellip
Контрольные вопросыhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
7
8
8
8
8
11
12
13
14
15
15
16
16
16
16
25
26
28
28
30
30
5
Лабораторная работа 3 laquoЧастотные характеристики
динамических звеньевraquohelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
1 Цель работыhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
2 Задачи работыhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
3 Теоретическая частьhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
4 Краткое описание MATLABhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
5 Построение частотных характеристик в MATLABhelliphelliphelliphelliphelliphellip
6 Задание на лабораторную работуhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
7 Методика выполнения работыhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
8 Требования к содержанию и оформлению отчетаhelliphelliphelliphelliphelliphellip
Контрольные вопросыhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
Лабораторная работа 4 laquoИсследование устойчивости
систем с обратной связьюraquohelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
1 Цель работыhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
2 Задачи работыhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
3 Теоретическая частьhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
4 Краткое описание MATLABhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
5 Исследование устойчивости в MATLABhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
6 Задание на лабораторную работуhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
7 Методика выполнения работыhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
8 Требования к содержанию и оформлению отчетаhelliphelliphelliphelliphelliphellip
Контрольные вопросыhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
31
31
31
31
35
36
36
37
37
37
38
38
38
38
42
42
45
45
46
47
6
Лабораторная работа 5 laquoКоррекция статических и динами-
ческих свойств САУraquohelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
1Цель работыhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
2 Задачи работыhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
3 Теоретическая частьhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
31 Коррекция статических свойств САУhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
32 Коррекция динамических свойств САУhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
4 Краткое описание MATLABhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
5 Задание на лабораторную работуhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
6 Методика выполнения работыhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
7 Требования к содержанию и оформлению отчетаhelliphelliphelliphelliphelliphellip
Контрольные вопросыhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
Лабораторная работа 6 laquoМетод корневого годографаraquohelliphellip
1 Цель работыhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
2 Задачи работыhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
3 Теоретическая частьhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
4 Краткое описание MATLABhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
5 Корневой годограф в MATLABhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
6 Задание на лабораторную работуhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
7 Методика выполнения работыhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
8 Требования к содержанию и оформлению отчетаhelliphelliphelliphelliphelliphellip
Контрольные вопросыhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
Критерии результативности лабораторного практикумаhelliphelliphelliphellip
Список литературыhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
48
48
48
48
48
51
53
54
55
56
56
58
58
58
58
61
62
64
65
65
65
66
66
7
Введение
Дисциплина laquoТеория управленияraquo предназначена для формиро-
вания у студентов систематизированного представления об осново-
полагающих принципах управления в технических системах о кон-
цепциях структурах и механизмах лежащих в основе анализа и син-
теза современных систем управления их характеристик и о со-
временных направлениях развития теории управления
В лабораторных работах рассматривается анализ характеристик
объектов управления в пространстве состояний с использованием
среды математического моделирования MATLAB (сокращение от
англ laquoMATrix LABoratoryraquo) Эта программа математического модели-
рования разработанная компанией laquoThe MathWorksraquo оперирует
LTI-моделями (Linear Time Invariant Models ndash линейные модели с по-
стоянными параметрами) что включает работу с заданием переда-
точных функций подачей тестирующих воздействий структурными
преобразованиями определение запаса устойчивости построение
графиков и годографов
В результате выполнения данного лабораторного практикума
формируются следующие компетенции
ndash владение знаниями о теоретических основах и основных
принципах управления методах исследования и синтеза систем
управления
ndash готовность использовать навык решения типовых задач ис-
следования и проектирования систем управления
ndash способность применять программное средство математическо-
го моделирования MATLAB
8
Лабораторная работа 1
ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗВЕНЬЯ И ИХ ХАРАКТЕРИСТИКИ
ВО ВРЕМЕННОЙ ОБЛАСТИ
1 Цель работы
Целью работы является изучение временных характеристик ти-
повых динамических звеньев с использованием автоматизированных
средств моделирования на ПК ndash MATLAB SIMULINK
2 Задачи работы
ndash Закрепление углубление и расширение знаний студентов при
исследовании временных характеристик динамических звеньев
ndash Приобретение умений и навыков работы с программой мате-
матического моделирования MATLAB
ndash Выработка способности логического мышления осмысление
полученных данных переходных процессов
3 Теоретическая часть Рассматривается система автоматического управления (САУ)
описываемая линейным дифференциальным уравнением вида
)()()()(
)()()()(
011
1
1
011
1
1
tubdt
tdub
dt
tudb
dt
tudb
tyadt
tdya
dt
tyda
dt
tyda
m
m
mm
m
m
n
n
nn
n
n
(1)
где u(t) ndash входной процесс y(t) ndash выходной процесс ai bi ndash постоян-
ные коэффициенты п т (п ge т) ndash постоянные числа
Если ввести обозначение р для оператора дифференцирования
p=ddt то можно записать (1) в операторной форме
)(
)(
011
1
011
1
ubpbpbpb
yapapapa
mm
mm
nn
nn
(2)
откуда получается
9
)()(
)(pW
pA
pB
u
y
где А(р) и В(р) ndash полиномы из формулы (2)
Выражение (2) по виду совпадает с определением ПФ как от-
ношения преобразования по Лапласу выходной переменной к преоб-
разованию по Лапласу входной переменной при нулевых начальных
условиях
)()(
)(
)(
)(sW
sA
sB
su
sy (3)
где s ndash комплексная переменная
Комплексные числа являющиеся корнями многочлена B(s)
называются нулями передаточной функции а корни многочлена А(s) ndash
полюсами
Описание типовых динамических звеньев приведено в
табл 1 Таблица 1
Типовые динамические звенья
Название звена Передаточная функция звена
1
Интегрирующее
s
KsW )(
2
Дифференцирующее
KssW )(
3
Усилительное
(безынерционное)
KsW )(
4
Апериодическое 1-го
порядка (инерционное)
1)(
Ts
KsW
5
Апериодическое 2-го
порядка (все корни веще-
ственные)
21
122
2
21
)( TTsTsT
KsW
10
Окончание табл 1
Название звена Передаточная функция звена
6
Колебательное
21
122
2
21
)( TTsTsT
KsW
7
Форсирующее
)1()( TsKsW
8
Интегрирующее
с запаздыванием
(реальное интегрирующее)
)1()(
Tss
KsW
9
Дифференцирующее
с запаздыванием
(реальное дифференцирую-
щее)
1)(
Ts
KssW
10
Инерционно-форсирующее
звено
1
)1()(
0
1
sT
sTKsW
11
Изодромное
s
TsKsW
)1()(
часто используется описание колебательного звена в виде
2
12
)(2
1222 T
TTT
TssT
KsW
Временные характеристики динамического звена представляют
собой зависимость выходного сигнала системы от времени при подаче
на ее вход некоторого типового воздействия Обычно выполняется
анализ выхода системы на единичный скачок (функция Хевисайда) и
импульсную функцию (функция Дирака или δ-функция)
Единичный скачок 1(t) определяется условиями
01
00)(1
tпри
tприt
Реакция САУ на единичный скачок называется переходной
11
функцией системы и обозначается h(t) При неединичном ступенчатом
воздействии g(t)=N1(t) где N = const в соответствии с принципом
суперпозиции выходная реакция системы будет )()( tNhty
Импульсная функция δ(t) определяется условиями
00
0)(
tпри
tприt
Очевидно )(1)( tt
Реакция САУ на импульсную функцию называется импульсной
переходной функцией системы (функцией веса) и обозначается w(t)
Импульсная и переходная функции системы связаны
соотношением
)()(0
dwtht
4 Краткое описание MATLAB
Лабораторная работа выполняется в программе математического
моделирования MATLAB Программа MATLAB включает в себя пакет
прикладных программ для решения технических задач и одноименный
язык программирования используемый в этом пакете
Основными компонентами системы являются базовая система
MATLAB и пакет моделирования систем Simulink Остальные пакеты
расширения разбиты на 4 категории ndash расширения Extension MATLAB и
Extension Simulink а также комплексы пакетов расширения Blockset и
Toolbox
Раздел MATLAB Extension содержит средства для подготовки ис-
полняемых приложений MATLAB (с подключаемыми библиотеками и
без них)
Раздел Toolbox (инструментальные средства) содержит самое
большое число пакетов расширений системы MATLAB такие как
laquoControl systemraquo laquoDatabaseraquo laquoFuzzy logicraquo laquoWaveletraquo и тд
В разделе Blockset расположено несколько пакетов относящихся к
12
главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink такие как
laquoDSPraquo laquoFixed-Pointraquo laquoNonlinear control designraquo и laquoPower systemsraquo
В разделе Extension Simulink имеется ряд средств предназначен-
ных для моделирования в реальном масштабе времени и событийно-
управляемом моделировании
5 Моделирование передаточных функций в MATLAB
В пакете MATLAB имеется два основных варианта для исследо-
вания передаточных функций и моделирования САУ
- использование команд пакета расширения Control System
Toolbox
- использование пакета Simulink
Control System Toolbox предназначен для работы с LTI-моделями
систем управления
Команда создающая LTI-систему с одним входом и одним вы-
ходом в виде передаточной функции имеет следующий синтаксис
])[]([ 011011 aaaabbbbtf nnmm
где 011 bbbb mm и 011 aaaa nn ndash значения коэффициентов
полиномов В и А в (3)
Например если требуется описать ПФ вида
582
12
ss
sW
и узнать значения ее нулей и полюсов то нужно ввести в окне команд
MatLab следующие команды
gtgt w=tf([1 1][2 8 5])
gtgt zero(w)
gtgt pole(w)
Исследовать реакцию LTI-модели на типовые входные воздей-
ствия можно с помощью команд
gtgt step(w)
gtgt impulse(w)
Можно получить на одном графике реакцию сразу нескольких
динамических звеньев если использовать команды вида
gtgt step(w w1 w2)
gtgt impulse(w w1 w2)
13
В приведенных примерах время моделирования выбирается ав-
томатически При необходимости его можно явно указать в команде
gtgtstep(w w1 w2t)
где t - время моделирования в секундах
Рис 1 Исследование реакции колебательного звена
На рис 1 показан пример моделирования динамики колебатель-
ного звена при различных параметрах
gtgt w=tf([1][2 03 1])
gtgt w1=tf([1][2 05 1])
gtgt w2=tf([1][2 01 1])
gtgt step(ww1w250)
В Simulink ПФ можно описать с помощью блока Transfer Fcn в
разделе библиотеки Continuous Для подачи типовых воздействий
надо использовать блок Step из раздела Sources Импульсную пере-
ходную характеристику звена можно получить подавая на вход им-
пульс маленькой длительности и большой амплитуды (приближение
δ-функции) при нулевых начальных условиях
6 Задание на лабораторную работу
С помощью пакета MATLAB построить реакцию каждого типо-
вого звена с параметрами своего варианта (см табл 2) на ступенчатое и
импульсное входное воздействие Определить влияние коэффициен-
тов входящих в описание каждого звена на параметры переходного
процесса Вариант задания назначается преподавателем
14
Таблица 2
Варианты заданий
Апери-
од зве-
но
Апериодич звено
2 пор (колеб
звено)
Ин-
тегр
звено
Изодр
звено
Реальное
диф звено
Инерц-
форс
звено
K T K T2 (T) T1( ξ ) K K T K T K T0 T1
1 3 02 3 02 20
(02)
3 3 05 3 04 3 2 08
2 4 03 4 03 15
(015)
4 4 1 4 03 4 3 12
3 5 04 5 04 25
(025)
5 5 08 5 05 5 4 15
4 6 05 6 05 16
(03)
6 6 2 6 10 6 5 20
5 7 06 7 06 28
(02)
7 7 3 7 08 7 6 20
6 8 07 8 07 22
(008)
8 8 35 8 10 8 7 20
7 9 08 9 08 21
(007)
9 9 1 9 09 9 8 30
8 10 10 10 10 30
(01)
10 10 20 10 20 10 10 40
7 Методика выполнения задания
Порядок выполнения работы
1 Задать передаточную функцию типового динамического звена
в MATLAB используя параметры приведенные в табл 2
2 Варьируя коэффициент динамического звена увеличивая его в
2 раза ndash получить вторую ПФ затем уменьшить исходный коэффици-
ент в 2 раза и получить третью ПФ
3 Построить на одном графике реакцию получившихся динами-
ческих звеньев на единичный скачок
4 Построить на одном графике реакцию получившихся динами-
ческих звеньев на импульсную функцию
5 Выполнить пп 2-4 для всех коэффициентов динамического
звена
6 Выполнить пп 1-5 для всех динамических звеньев
7 Подготовить ответы на контрольные вопросы
15
8 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) титульный лист
б) передаточные функции и схемы моделирования исследуемых
звеньев
в) экспериментально полученные характеристики при вариа-
ции параметров каждого звена
г) выводы обобщающие проделанные эксперименты по каждо-
му звену
д) ответы на контрольные вопросы
Контрольные вопросы
1 Что называется передаточной функцией
2 Что называется переходной и импульсной (весовой)
функциями Какова связь между ними
3 Как пользуясь временными характеристиками определить
параметры (коэффициенты передаточной функции) звена
Пояснить на конкретных примерах
4 Перечислите динамические характеристики САУ
5 Что называется характеристическим уравнением
16
Лабораторная работа 2
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СТРУКТУРНЫХ СХЕМ
1 Цель работы
Целью работы является изучение структурных преобразований и
нахождения передаточных функций с использованием автоматизиро-
ванных средств моделирования на ПК ndash MATLAB SIMULINK
2 Задачи работы
ndash Закрепление углубление и расширение знаний студентов при
исследовании преобразований структурных схем
ndash Приобретение умений и навыков работы с программой мате-
матического моделирования MATLAB
ndash Овладение несколькими методами преобразования структур-
ных схем
3 Теоретическая часть
Для наглядного представления сложной системы как совокупно-
сти элементов и связей между ними используются структурные
схемы
Структурной схемой называется схема САУ изображенная в
виде соединения ПФ составляющих ее звеньев
Структурная схема показывает строение автоматической систе-
мы наличие внешних воздействий и точки их приложения пути рас-
пространения воздействий и выходную величину Динамическое или
статическое звено изображается прямоугольником в котором указы-
вается ПФ звена Воздействия на систему и влияние звеньев друг на
друга (сигналы) изображаются стрелками В каждом звене воздей-
ствие передается только от входа звена к его выходу
На динамическое звено может воздействовать лишь одна вход-
ная величина поэтому используются блоки суммирования и сравне-
ния сигналов Суммироваться и сравниваться могут лишь сигналы
одной и той же физической природы
Структурная схема может быть составлена по уравнению систе-
мы в пространстве состояний или по системе дифференциальных
уравнений При составлении структурной схемы удобно начинать с
изображения задающего воздействия и располагать динамические
17
звенья составляющие прямую цепь системы слева направо до регу-
лируемой величины Тогда основная обратная связь и местные обрат-
ные связи будут направлены справа налево
Различные способы преобразования структурных схем облегча-
ют определение ПФ сложных САУ и дают возможность привести
многоконтурную систему к эквивалентной ей одноконтурной схеме
Преобразование структурной схемы должно осуществляться на
основании правил основные из них приведены в табл 1
При выполнении преобразований следует каждое имеющееся в
схеме типовое соединение заменить эквивалентным звеном Затем
можно выполнить перенос точек разветвления и сумматоров чтобы в
преобразованной схеме образовались новые типовые соединения зве-
ньев Эти соединения опять заменяются эквивалентными звеньями
затем вновь может потребоваться перенос точек разветвления и
сумматоров и т д
Различают основные соединения блоков в структурных схемах
последовательное соединение параллельное соединение антипарал-
лельное соединение (обратная связь) в свою очередь обратная связь
может быть отрицательной и положительной Таблица 1
Основные правила преобразования структурных схем
Преобразование
Структурная схема
Исходная Эквивалентная
Свертывание
последовательного
соединения
W1 W2 Wnu y
Wu y
nWWWW 21
Свертывание
параллельного
соединения
Wn
W2
W1
u y
Wu y
nWWWW 21
Свертывание
обратной связи
W1u plusmn y
W2
Wu y
21
1
1 WW
WW
18
Окончание табл 1
Преобразование
Структурная схема
Исходная Эквивалентная
Перенос узла через
звено вперед
Wu y
x
Wu y
xW1
WW
11
Перенос узла через
звено назад
Wu y
y
Wu y
yW
Перенос сумматора
через звено вперед
Wu1 y
u2
plusmn
Wu1 y
u2
plusmn
W
Перенос сумматора
через звено назад
Wu1 y
u2
plusmn
Wu1 y
u2
plusmn
W1
WW
11
Перенос прямой
связи через звено W2yu
plusmnW1
W3
W2 yu
plusmnW1
W3 W2
Перенос узла через
сумматор вперед
x1
+
- y
x1
x2
x1
+
- y
x1x2
+
+
Перенос узла через
сумматор назад
x1
+
- y
x2
y
x1
+
- y
x2y
+
-
Пример Пусть необходимо получить эквивалентное представ-
ление для структуры приведенной на рис 1
19
W1
W2 W3
W4
W5 W6
W7
+
+
+
-
Рис 1 Исходная схема САУ
Преобразование включает несколько этапов показанных на рис 2ndash5
W1
W2 W3
W4
W5 W6
W7
+
+
+
-
1W6
Рис 2 Перенос узла через звено вперед
567
659
1 WWW
WWW
6
48
W
WW
Рис 3 Свертывание обратной связи и последовательного соединения
2110 WWW
983
9311
1 WWW
WWW
Рис 4 Свертывание обратной связи и Рис 5 Свертывание последователь-
параллельного соединения ного соединения
W10 W11 WЭкв
543765
653265311110
1 WWWWWW
WWWWWWWWWWWЭкв
W1
W2
W8
W3 W9
+
+
20
Таким образом первый способ преобразования структурных
схем заключается в непосредственном использовании правил приве-
денных в табл1 Неудобство использования этого подхода заключа-
ется в том что порядок применения формул здесь достаточно произ-
волен возможны ошибочные шаги усложняющие поиск решения
Второй способ для получения ПФ многоконтурной системы за-
ключается в использовании модели системы в виде сигнального
графа
Сигнальный граф позволяет графически описать линейные связи
между переменными он состоит из узлов (вершин) и соединяющих их
направленных ветвей
Ветвь соответствует блоку структурной схемы она отражает за-
висимость между входной и выходной переменными Сумма всех
сигналов входящих в узел образует соответствующую этому узлу
переменную
Последовательность ветвей между двумя узлами называется пу-
тем Контуром называется замкнутый путь который начинается и
заканчивается в одном и том же узле причем ни один узел не встре-
чается на этом пути дважды
Контуры называются некасающимися если они не имеют общих
узлов
Сигнальный граф ndash это просто наглядный метод записи системы
алгебраических уравнений показывающий взаимосвязь между пере-
менными
r1
r2
a11
a22
x1
x2
a12a21
Рис 6 Сигнальный граф для двух алгебраических выражений
В качестве примера рассмотрим следующую систему алгебраи-
ческих уравнений
21
11212111 xrxaxa (1)
22222121 xrxaxa (2)
здесь r1 и r2 ndash входные переменные а x1 и x2 ndash выходные переменные
Сигнальный граф соответствующий уравнениям (1) и (2) изображен
на рис 6 Уравнения (1) и (2) можно записать в ином виде
1122111 )()1( raxax
2222211 )1()( raxax
Решая последнюю систему по правилу Крамера получим
212
122
21122211
2121221
)1(
)1)(1(
)1(r
ar
a
aaaa
rarax
121
211
21122211
1212112
)1(
)1)(1(
)1(r
ar
a
aaaa
rarax
В этих решениях знаменатель равен определителю составлен-
ному из коэффициентов при неизвестных и его можно записать так
21122211221121122211 1)1)(1( aaaaaaaaaa
В данном случае знаменатель равен единице минус коэффици-
енты передачи отдельных контуров a11 a22 и a12a21 плюс произведе-
ние коэффициентов передачи двух некасающихся контуров a11 и a22
Контуры a22 и a12a21 являются касающимися так же как и контуры a11
и a21a12
В решении для x1 по отношению ко входу r1 числитель равен
единице умноженной на (1-a22) те значение определителя некаса-
ющегося пути от r1 к x1 В решении для x1 по отношению ко входу
r2числитель просто равен a12 тк этот путь касается всех контуров
Числитель выражения x2 симметричен соответствующему числителю
для x1
В общем случае линейная зависимость Tij между независимой
переменной xi (часто называемой входной переменной) и зависимой
переменной xj определяется по формуле Мейсона
22
k
ijkijk
ij
P
T
где Pijk ndash коэффициент передачи k-го пути от переменной xi к пере-
менной xj Δ ndash определитель графа Δijk ndash дополнительный множитель
для пути Pijk а суммирование производится по всем возможным k пу-
тям от xi до xjДополнительный множитель Δijk равен определителю
всех касающихся контуров при удалении k-го пути
Определитель находится как
QM
qm
LSR
lsrlsrqm
K
kk LLLLLL
11
1111
1
где Kk kL
1ndash сумма коэффициентов передачи всех отдельных конту-
ров QM
qm qmLL
11ndash сумма произведений всех возможных комбина-
ций из двух некасающихся контуров LSR
lsr lsr LLL
111ndash сумма про-
изведений всех возможных комбинаций из трех некасающихся кон-
туров
Таким образом правило вычисления Δ через значение L1 L2
L3hellipLN таково Δ = 1- (сумма коэффициентов передачи всех отдель-
ных контуров) + (сумма произведений всех возможных комбинаций
из 2 некасающихся контуров) ndash (сумма произведений всех возмож-
ных комбинаций из 3 некасающихся контуров) +hellip
Формула Мейсона часто используется в несколько упрощенном
виде для определения связи между выходной переменной Y(s) и
входной переменной X(s) те
)()(
)( 1
N
iiiP
sWsX
sY
где Pi ndash i-й путь от входа к выходу N ndash количество путей Δ ndash опреде-
литель графа специальный полином который определенным образом
характеризует совокупность всех замкнутых цепей системы содер-
жащих обратные связи и вычисляется как сумма передаточных
функций разомкнутых контуров этих цепей и произведений
23
передаточных функций разомкнутых контуров пар троек и тд не со-
прикасающихся друг с другом цепей с обратными связями Δi ndash до-
полнительный множитель для пути составляется по правилу анало-
гичному Δ но только для цепей с обратными связями не соприкаса-
ющихся с i-м прямым каналом
Дополнительный множитель для i-го пути равен определителю
графа в котором приравнены нулю коэффициенты передачи конту-
ров касающихся этого пути
Рассмотрим пример получения ПФ многоконтурной системы с
использованием формулы Мейсона для структуры на рис 1 которая
соответствует графу показанному на рис 7
X(s) Y(s)W1
W2
W3 W5 W6
W4 -W7
Рис 7 Описание системы управления сигнальным графом
От входа к выходу ведут два пути
65311 WWWWP
65322 WWWWP
В графе есть 2 контура
5431 WWWL
7652 WWWL
Контур L1 пересекает контур L2 поэтому определитель графа
вычисляется по формуле
)(1 21 LL
Контуры в этом примере пересекают все пути поэтому допол-
нительные множители путей равны
24
11
12
Окончательно можно записать
1
)(543765
65326531
2
1
WWWWWW
WWWWWWWWP
sW iii
Таким образом использование сигнальных графов и применение
формулы Мейсона позволяет алгоритмизировать процесс упрощения
структурной схемы
Третий способ для получения ПФ заключается в составлении
системы уравнений Необходимо обозначить выходы сумматоров и
составить систему уравнений на основе этих обозначений На рис9
представлена исходная схема с обозначенными сумматорами
W1
W2 W3
W4
W5 W6
W7
+
+
+
-
Z H
u y
Рис 9 Исходная схема САУ с обозначенными сумматорами
Опишем все сигналы в системе в виде уравнений
)( 4521 HWWuWWZ
73 yWZWH
65 HWWy
Подставив последовательно значения сигналов найдем ПФ
))(( 734521 yWWHWWuWWH
После преобразования получим
25
1
)(
543
73231
WWW
yWuWWWWH
Подставим полученное значение H в уравнение y
1
))((
543
6573231
WWW
WWyWuWWWWy
Получим ПФ вида
1
)(543765
65326531
WWWWWW
WWWWWWWW
u
ypW
4 Краткое описание MATLAB
Лабораторная работа выполняется в программе математического
моделирования MATLAB Программа MATLAB включает в себя пакет
прикладных программ для решения технических задач и одноименный
язык программирования используемый в этом пакете
Основными компонентами системы являются базовая система
MATLAB и пакет моделирования систем Simulink Остальные пакеты
расширения разбиты на 4 категории ndash расширения Extension MATLAB и
Extension Simulink а также комплексы пакетов расширения Blockset и
Toolbox
Раздел MATLAB Extension содержит средства для подготовки ис-
полняемых приложений MATLAB (с подключаемыми библиотеками и
без них)
Раздел Toolbox (инструментальные средства) содержит самое
большое число пакетов расширений системы MATLAB такие как
laquoControl systemraquo laquoDatabaseraquo laquoFuzzy logicraquo laquoWaveletraquo и тд
В разделе Blockset расположено несколько пакетов относящихся к
главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink такие как
laquoDSPraquo laquoFixed-Pointraquo laquoNonlinear control designraquo и laquoPower systemsraquo
В разделе Extension Simulink имеется ряд средств предназначен-
ных для моделирования в реальном масштабе времени и событийно-
управляемом моделировании
26
5 Структурные преобразования в MATLAB
В пакете MATLAB имеется ряд функций с помощью которых
можно выполнять структурные преобразования (используется экви-
валентная схема)
ndash series(w1w2) ndash последовательное соединение звеньев
ndash parallel(w1w2) ndash параллельное соединение звеньев
ndash feedback(w1w2) ndash включение звена w2 в контур отрицательной об-
ратной связи к w1
ndash feedback(w1w2sign) ndash включение звена w2 в контур обратной связи
звена w1 с указанием знака + или ndash (очевидно feedback(w1w2)=
=feedback(w1w2-1))
Пример
Даны две передаточные функции
22
221
ss
sW
22
322
2
2
ss
ssW
Опишем ПФ введя в окне команд MatLab следующие команды
gtgt w1=tf([1 2][1 2 2])
gtgt w2=tf([1 2 3][1 2 2])
Выполним структурные преобразования для данных ПФ
gtgt w2=series(w1w2)
Transfer function
s^3 + 4 s^2 + 7 s + 6
------------------------------------
s^4 + 4 s^3 + 8 s^2 + 8 s + 4
gtgt w3=parallel(w1w2)
Transfer function
s^4 + 5 s^3 + 13 s^2 + 16 s + 10
----------------------------------------
s^4 + 4 s^3 + 8 s^2 + 8 s + 4
27
gtgt w4=feedback(w1w2)
Transfer function
s^3 + 4 s^2 + 6 s + 4
----------------------------------------
s^4 + 5 s^3 + 12 s^2 + 15 s + 10
Для проверки правильности проведенных преобразований необ-
ходимо собрать схему исходной САУ и соответствующую ей эквива-
лентную схему в MATLAB Simulink
Исходная схема САУ собирается как модель из соответствую-
щих элементов таких как laquoTransfer Fncraquo laquostepraquo laquosignal builderraquo
laquoscoperaquo и laquosumraquo Все эти элементы находятся в пакете laquoSimulinkraquo и
представлены в виде блоков Для того чтобы создать новую модель
необходимо нажать laquoFile-gtNew-gtModel (Simulink)raquo после откроется
окно модели в которую нужно будет добавлять элементы из библио-
теки для доступа к ней необходимо нажать на значок laquoLibrary Brows-
erraquo
Описание используемых элементов из пакета Simulink
1 Transfer Fnc ndash передаточная функция
2 Step ndash единичный скачок (функция Хэвисайда) в блоке необходи-
мо задать время начала перехода (step time)
3 Signal builder ndash блок для моделирования сигнала по заданным па-
раметрам (можно построить единичный скачок и импульсную функ-
цию)
4 Scope ndash виртуальный осциллограф отображает получившийся гра-
фик открывается двойным щелчком левой клавиши мыши и для кор-
рекции масштаба необходимо нажать правой кнопкой по графику и
из выпадающего меню выбрать laquoautoscaleraquo
5 Sum ndash сумматор в параметрах задается число сигналов соответ-
ственно laquo+raquo - положительный laquondashraquo - отрицательный
Так же нужно задать время работы модели для этого необходи-
мо выбрать laquoSimulation-gtSimulation parametersraquo и установить пара-
метр laquostop timeraquo на нужное значение и после необходимо запустить
модель на выполнение нажав на значок laquoStart simulationraquo Пример
модели составленной в MATLAB представлен на рис 10
28
Рис 10 Пример схемы САУ с блоком laquosignal builderraquo
Задача считается решенной если при подаче на вход обоих
схем одинаковых тестовых воздействий (единичный скачок импуль-
сная функция) наблюдаются одинаковые выходные сигналы
6 Задание на лабораторную работу
Выполнить преобразование структурной схемы САУ в эквива-
лентную передаточную функцию Составить модель исходной схемы
САУ в MATLAB С помощью ряда функций MATLAB (структурные
преобразования) составить эквивалентную схему Вариант задания
назначается преподавателем
7 Методика выполнения задания
Порядок выполнения работы
1 Выполнить преобразование заданного варианта структурной
схемы САУ (см табл 2) в эквивалентную ПФ тремя способами
ndash непосредственно используя правила табл 1
ndash используя представление в виде сигнального графа и формулу
Мейсона
ndash составив систему уравнений и решив еѐ
2 В качестве звеньев W1W2W3 использовать передаточные
функции звеньев представленных в табл 2
3 Составить модель исходной схемы САУ в MATLAB постро-
ить реакцию получившейся модели на ступенчатое и импульсное
воздействия
4 С помощью ряда функций MATLAB (структурные преобразо-
вания) составить эквивалентную схему и построить реакцию на сту-
пенчатое и импульсное воздействия
5 Подготовить ответы на контрольные вопросы
29
Таблица 2
Варианты структур САУ
Исходная схема
Передаточные
функции
1 W1
W3
W2
-
+
-
+
u y
+
1
31
sW
2
442
s
sW
12
133
s
sW
2 W1
W3
W2
-
+
-
+
u y
+ +
3 W3
W2
W1
-
+
-
+
u y
+ +
4 W3
W1
W2
+
+
-
+
u y
+ +
1
21
sW
2
12
sW
12
13
s
sW
5
W1
W3
W2
-
+
-
+
u y
+ +
6
W1
W3
W2
-
+
-
+
u y
+
62
31
sW
2
52
sW
1
23
s
sW
7
W1
W3
W2
-
+
-
+
u y
+ +
8
W1
W2
W3
-
+
-
+
u y
+ +
30
8 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) описание всех этапов преобразования исходной схемы и по-
лучающихся промежуточных результатов выполненными тремя спо-
собами моделирование реакции схемы на типовое воздействие (ска-
чок) до и после преобразования
б) сигнальный граф системы описание путей контуров расчет
ПФ по формуле Мейсона
в) решение составленной системы уравнений
г) схема модели и протокол команд MATLAB
д) графики переходных процессов при подаче на вход исходной
и эквивалентной схемы типовых тестирующих воздействий (скачок
импульс)
е) ответы на контрольные вопросы
Контрольные вопросы
1 Что называется структурной схемой Какие задачи можно
решить с еѐ помощью
2 Как может быть составлена структурная схема
3 Что позволяет алгоритмизировать процесс упрощения струк-
турной схемы Поясните на конкретном примере
31
Лабораторная работа 3
ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
ДИНАМИЧЕСКИХ ЗВЕНЬЕВ
1 Цель работы
Целью работы является изучение частотных характеристик ти-
повых динамических звеньев с использованием автоматизированных
средств моделирования на ПК ndash MATLAB SIMULINK
2 Задачи работы
ndash Закрепление углубление и расширение знаний студентов при
исследовании частотных характеристик динамических звеньев
ndash Приобретение умений и навыков работы с программой мате-
матического моделирования MATLAB
ndash Выработка способности логического мышления осмысление
полученных данных частотных характеристик
3 Теоретическая часть Сущность метода частотных характеристик заключается в том
что на вход исследуемой системы подается гармонический сигнал (си-
нусоидальные колебания) в широком диапазоне частот Реакция си-
стемы при разных частотах позволяет судить о ее динамических
свойствах
Пусть входной сигнал системы имеет амплитуду а и частоту ω т е
описывается формулой
)sin( tax
Выходной сигнал будет иметь амплитуду А1 и отличаться от вход-
ного по фазе на величину ψ (фазовый сдвиг)
)sin(1 tAy
Таким образом можно рассчитать усиление по амплитуде
1
a
AA
32
Для каждой частоты входного сигнала ω будут свои А и ψ
Изменяя ω в широком диапазоне можно получить зависимость
А(ω) ndash амплитудную частотную характеристику (АЧХ) и ψ(ω) ndash фазо-
вую частотную характеристику (ФЧХ)
Главное достоинство метода частотных характеристик заключа-
ется в том что АЧХ и ФЧХ объекта могут быть получены экспери-
ментально Для этого необходимо иметь генератор гармонических
колебаний который подключается к входу объекта и измеритель-
ную аппаратуру для измерения амплитуды и фазового сдвига колеба-
ний на выходе объекта
Частотные характеристики САУ могут быть получены по ее ПФ
W(s) Для суждения о реакции звена на синусоидальный сигнал доста-
точно исследовать его реакцию на гармонический сигнал вида
)( tjejx
Тогда выходной сигнал определяется по соотношению
)()( ))(( tjeAjy
и частотная ПФ получается равной
)()(
)()( )(
jeA
jx
jyjW
Формально для получения частотной ПФ надо сделать в W(s)
подстановку s = jω и тогда полученная W(jω) является комплексным
выражением которое можно представить в виде
)()(
)()()(
22
11
jba
jbajW
Для нахождения вещественной и мнимой частей частотной пе-
редаточной функции необходимо умножить числитель и знаменатель
на сопряженную знаменателю величину а затем провести
разделение
33
)()()(
)()(
)()()()(
)()(
)()()()(
))()())(()((
))()())(()((
)()(
)()()(
)(
22
22
2112
22
22
2121
2222
2211
22
11
jeAjVU
ba
babaj
ba
bbaa
jbajba
jbajba
jba
jbajW
где
)()()()(22
22
21
2122
ba
baVUjWA
)(
)())(arg()(
2
2
1
1
a
barctg
a
barctg
U
VarctgjW
Графики функции )(U и )(V называют соответственно веще-
ственной и мнимой частотной характеристиками
В практических расчетах удобно применять графики частотных
характеристик построенных в логарифмическом масштабе ndash лога-
рифмические частотные характеристики (ЛЧХ)
Логарифмическая амплитудная частотная характеристика
(ЛАЧХ) определяется следующим выражением
)(lg20)( AL
Логарифмической фазовой частотной характеристикой
(ЛФЧХ) называется график зависимости )( построенный в лога-
рифмическом масштабе частот
Единицей L(ω) является децибел (дБ) а единицей логарифма ча-
стоты ndash декада Декадой называют интервал частот на котором часто-
та изменяется в 10 раз При изменении частоты в 10 раз говорят что
она изменилась на одну декаду Ось ординат при построении ЛЧХ про-
водят через произвольную точку а не через точку ω = 0 Частоте ω = 0
соответствует бесконечно удаленная точка lgω rarr ndash infin при ω rarr 0
Основное преимущество использования ЛЧХ заключается в том
что приближенные (асимптотические) ЛАЧХ типовых динамических
звеньев изображаются отрезками прямых
Пример Построим ЛЧХ апериодического звена первого
34
порядка
Передаточная функция звена
1
)(
Ts
ksW
Частотная передаточная функция
1)(
)1(
1)(
2
T
Tjk
Tj
kjW
1)(
1)( 22
T
kTV
T
kU
Следовательно АЧХ описывается формулой
1)(
)(2
T
kA
ФЧХ строится по формуле
)()( Tarctg
ЛАЧХ апериодического звена 1-го порядка
1)(lg20lg20)( 2 TkL
По этой формуле можно построить две асимптоты ndash прямые к
которым стремится ЛАЧХ при ω rarr 0 и при ω rarr infin Так при ω rarr 0 второе
слагаемое близко к нулю и этот участок ЛАЧХ представляет собой
горизонтальную прямую
lg20)( kL
При ω rarr infin получаем наклонную прямую
1)(lg20)( 2 TL
35
Для определения наклона этой прямой можно рассмотреть гра-
ницы декады
T
1 и
10
T
Изменение ЛАЧХ между этими точками
)(2011
lg20110
lg20)(
22
декдБT
TT
TL
ЛЧХ часто называют диаграммами Боде
4 Краткое описание MATLAB
Лабораторная работа выполняется в программе математического
моделирования MATLAB Она включает в себя пакет прикладных про-
грамм для решения технических задач и одноименный язык программи-
рования используемый в этом пакете
Основными компонентами системы являются базовая система
MATLAB и пакет моделирования систем Simulink Остальные пакеты
расширения разбиты на 4 категории ndash расширения Extension MATLAB и
Extension Simulink а также комплексы пакетов расширения Blockset и
Toolbox
Раздел MATLAB Extension содержит средства для подготовки ис-
полняемых приложений MATLAB (с подключаемыми библиотеками и
без них)
Раздел Toolbox (инструментальные средства) содержит самое
большое число пакетов расширений системы MATLAB такие как
laquoControl systemraquo laquoDatabaseraquo laquoFuzzy logicraquo laquoWaveletraquo и тд
В разделе Blockset расположено несколько пакетов относящихся к
главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink такие как
laquoDSPraquo laquoFixed-Pointraquo laquoNonlinear control designraquo и laquoPower systemsraquo
В разделе Extension Simulink имеется ряд средств предназначен-
ных для моделирования в реальном масштабе времени и событийно-
управляемом моделировании
36
5 Построение частотных характеристик в MATLAB В пакете MATLAB ЛЧХ объекта заданного с помощью ПФ
можно получить командой bode
Пример
gtgt w=tf([1 2][3 4 5])
gtgt bode(w)
Для нескольких вариантов передаточной функции можно исполь-
зовать вариант команды вида
gtgt bode(ww1w2)
Например построим диаграмму Боде при различных параметрах
колебательного звена (рис 1)
gtgt w=tf([1][2 03 1])
gtgt w1=tf([1][2 05 1])
gtgt w2=tf([1][2 01 1])
gtgt bode(ww1w2)
Рис 1 ЛЧХ колебательного звена
6 Задание на лабораторную работу
С помощью пакета MATLAB построить ЛЧХ каждого типового
звена Определить влияние коэффициентов входящих в описание
каждого звена на параметры ЛАЧХ и ЛФЧХ Вариант задания назна-
чается преподавателем
37
7 Методика выполнения задания
Порядок выполнения работы
1 Задать передаточную функцию типового динамического звена
используя параметры из табл 2 лабораторной работы 1
2 Построить диаграмму Боде при различных параметрах типо-
вого динамического звена
3 Определить влияние коэффициентов входящих в описание
каждого звена на параметры ЛАЧХ и ЛФЧХ в том числе
ndash как меняется ширина асимптотических участков ЛАЧХ и
ЛФЧХ
ndash как меняется положение точек пересечения осей ЛАЧХ
4 Написать вывод по влиянию коэффициентов на типовое звено
5 Выполнить пункты 1-4 для всех типовых звеньев
6 Подготовить ответы на контрольные вопросы
8 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) титульный лист
б) краткие теоретические сведения
в) передаточные функции и схемы моделирования исследуемых
звеньев
г) экспериментально полученные характеристики при вариации
параметров каждого звена
д) выводы обобщающие проделанные эксперименты по каждо-
му звену
ж) ответы на контрольные вопросы
Контрольные вопросы
1 Как пользуясь частотными характеристиками определить па-
раметры (коэффициенты передаточной функции) звена Пояс-
нить на конкретных примерах
2 Указать особенности построения ЛАХ и ЛФХ динамических
звеньев Что понимается под асимптотической ЛАХ звена
3 Как осуществляется построение АФХ динамического звена
38
Лабораторная работа 4
ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ СИСТЕМ
С ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ
1 Цель работы
Изучение особенностей практического использования алгебраи-
ческих и частотных критериев устойчивости для анализа динамики
линейных САУ с использованием автоматизированных средств моде-
лирования на ПК ndash MATLAB SIMULINK
2 Задачи работы
ndash Закрепление углубление и расширение знаний студентов при
исследовании устойчивости систем с обратной связью
ndash Приобретение умений и навыков работы с программой мате-
матического моделирования MATLAB
ndash Овладение новыми методами проверки устойчивости систем
с обратной связью
ndash Выработка способности логического мышления осмысления
полученных данных
3 Теоретическая часть
Устойчивость САУ является одним из основных условий ее ра-
ботоспособности и включает требование затухания во времени пере-
ходных процессов
Система является устойчивой если при ограниченном входном
сигнале еѐ выходной сигнал также является ограниченным Если
система устойчива то она противостоит внешним воздействиям а
выведенная из состояния равновесия возвращается снова к нему
Система с расходящимся переходным процессом будет неустойчивой и
неработоспособной
Необходимое и достаточное условие устойчивости заключается в
том чтобы все корни характеристического уравнения (полюсы пере-
даточной функции системы) имели отрицательные вещественные ча-
сти Иначе говоря условием устойчивости системы является распо-
ложение всех полюсов в левой комплексной полуплоскости Тогда все
полюсы будут давать затухающую реакцию
Выше сформулированное условие устойчивости справедливо как
39
для линейных так и для линеаризованных систем Однако в случае
нулевых или чисто мнимых корней характеристического уравнения
вопрос об устойчивости линеаризованной системы может быть ре-
шен только на основании исследования ее нелинейных уравнений
В конце XIX и первой половине XX в задача вычисления корней
характеристического уравнения высокого порядка вызывала боль-
шие проблемы Поэтому были предложены несколько косвенных
методов оценки устойчивости позволяющих обойтись без вычисле-
ния корней ndash по значениям коэффициентов характеристического
уравнения
Критерии устойчивости разделяют на алгебраические и частот-
ные В частности к алгебраическим критериям относится критерий
Гурвица к частотным критериям ndash критерий Найквиста
Критерий Гурвица является алгебраическим критерием и при-
меняется к коэффициентам характеристического уравнения замкнутой
системы
Пусть имеется характеристическое уравнение замкнутой
системы
0011
1 apapapa n
nn
n
Из коэффициентов характеристического уравнения составляют
матрицу по правилу
1 По диагонали записываются коэффициенты от 1na до 0a
2 Каждая строка дополняется коэффициентами с возрастающи-
ми индексами слева направо так чтобы чередовались строки с нечет-
ными и четными индексами
3 В случае отсутствия индекса а также если он меньше 0 или
больше п на его место пишется 0
Таким образом матрица Гурвица приобретает следующий вид
40
Критерий устойчивости формулируется так
Чтобы система была устойчивой необходимо и достаточно что-
бы при 0na были положительными все п диагональных определи-
телей получаемых из матрицы Гурвица
Первые три определителя матрицы Гурвица имеют следующий
вид
Таким образом критерий Гурвица позволяет судить об абсо-
лютной устойчивости но он не дает возможности оценивать относи-
тельную устойчивость по корням характеристического уравнения
Частотный критерий устойчивости Найквиста анализирует
АФЧХ разомкнутой системы
Пусть имеется АФЧХ разомкнутой системы W(jω)
Для нахождения вещественной и мнимой части частотной ха-
рактеристики нужно освободиться от мнимости в знаменателе путем
умножения числителя и знаменателя на комплексную величину со-
пряженную знаменателю а затем выполнить разделение на веще-
ственную и мнимую части W(jω) приобретает вид
)()()( jQPjW
Задаваясь различными значениями частоты можно найти мно-
жество пар )()( 11 jQP )()( 22 jQP )()( nn jQP
Затем по этим парам строится АФЧХ на комплексной плоскости
Основные свойства АФЧХ разомкнутой системы
1 Если разомкнутая система не имеет интегрирующих звеньев
то при ω = 0 ее АФЧХ начинается на вещественной оси в точке
Р(ω)=К (где К ndash коэффициент усиления разомкнутой системы) За-
канчивается АФЧХ в начале координат при ω rarr infin (рис 1 а)
2 Если разомкнутая система имеет одно интегрирующее звено то
ее АФЧХ начинается при ω = 0 в бесконечности на отрицательной мни-
мой полуоси а заканчивается в начале координат при ω rarr infin (рис 1 б)
41
Рис 1 АФЧХ разомкнутой системы
Критерий устойчивости Найквиста формулируется так
1 Если разомкнутая система устойчива или находится на гра-
нице устойчивости то для того чтобы замкнутая система была
устойчива необходимо и достаточно чтобы АФЧХ разомкнутой
системы при изменении частоты ω от 0 до infin не охватывала точку с ко-
ординатами (-1 j0)
2 Если разомкнутая система неустойчива а ее передаточная
функция имеет т полюсов справа от мнимой оси на комплексной
плоскости то для устойчивости замкнутой системы необходимо и до-
статочно чтобы АФЧХ разомкнутой системы при изменении частоты
ω от -infin до +infin охватывала т раз точку с координатами (-1 j0)
При использовании этого критерия нужно учитывать две
особенности
1 Если разомкнутая система находится на границе устойчиво-
сти то ее АФЧХ уходит в бесконечность Для проверки критерия Най-
квиста нужно мысленно соединить конец АФЧХ дугой бесконечно
большого радиуса с положительной вещественной полуосью
2 На практике АФЧХ может строиться только для положитель-
ных частот (0 lt ω lt +infin) При применении критерия Найквиста счита-
ется что ветвь АФЧХ для отрицательных частот симметрична отно-
сительно вещественной оси
Физический смысл критерия устойчивости Найквиста заключа-
ется в том что система будет неустойчива если фаза выходного сиг-
нала противоположна фазе входного сигнала а коэффициент усиле-
ния больше 1 Поэтому для анализа устойчивости можно использо-
вать не АФЧХ а ЛАХ системы (для минимально-фазовых систем)
Система устойчива если на частоте среза значение фазы не превы-
шает -π Соответственно для устойчивой системы можно рассматри-
вать на ЛФЧХ запас устойчивости по фазе ndash расстояние от значения
фазы на частоте среза до уровня -π и запас устойчивости по амплиту-
42
де ndash расстояние от оси частот ЛАЧХ до значения усиления на часто-
те где фаза становится равной -π
4 Краткое описание MATLAB
Лабораторная работа выполняется в программе математического
моделирования MATLAB Программа MATLAB включает в себя пакет
прикладных программ для решения технических задач и одноименный
язык программирования используемый в этом пакете
Основными компонентами системы являются базовая система
MATLAB и пакет моделирования систем Simulink Остальные пакеты
расширения разбиты на 4 категории ndash расширения Extension MATLAB и
Extension Simulink а также комплексы пакетов расширения Blockset и
Toolbox
Раздел MATLAB Extension содержит средства для подготовки ис-
полняемых приложений MATLAB (с подключаемыми библиотеками и
без них)
Раздел Toolbox (инструментальные средства) содержит самое
большое число пакетов расширений системы MATLAB такие как
laquoControl systemraquo laquoDatabaseraquo laquoFuzzy logicraquo laquoWaveletraquo и тд
В разделе Blockset расположено несколько пакетов относящихся к
главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink такие как
laquoDSPraquo laquoFixed-Pointraquo laquoNonlinear control designraquo и laquoPower systemsraquo
В разделе Extension Simulink имеется ряд средств предназначен-
ных для моделирования в реальном масштабе времени и событийно-
управляемом моделировании
5 Исследование устойчивости САУ в MATLAB
Для проверки устойчивости САУ по Гурвицу постройте матрицу
Гурвица и найдите ее детерминант (функция det) Затем последова-
тельно уменьшая размер матрицы найдите значения всех диагональ-
ных детерминантов Пример
gtgt А=[1 14 18 2 5 2 3 4 3]
А =
1 14 18
2 5 2
3 4 3
gtgt det(A)
ans = -119
43
gtgt А1=А(12 12)
А1 =
1 14
2 5
gtgt det(A1)
ans = -23
Для проверки устойчивости САУ по Найквисту сначала нужно
выяснить является ли устойчивой разомкнутая система
Пример Пусть дана передаточная функция разомкнутой
системы
13232
12234
pppp
pW
Рассмотрим реакцию на скачок
gtgt w=tf([2 1][2 3 2 3 1])
gtgt step(w18)
График переходного процесса показан на рис 2
Рис 2 Переходная реакция
Разомкнутая система неустойчива и согласно критерию Найкви-
ста надо чтобы АФЧХ разомкнутой системы охватывала точку (-1 j0)
44
столько раз сколько полюсов имеется справа от мнимой оси Для по-
строения АФЧХ достаточно вызвать команду nyquist
gtgt nyquist(w)
Диаграмма Найквиста показана на рис 3
Рис 3 Диаграмма Найквиста для неустойчивой системы
Как показывает рис3 АФЧХ ни разу не охватывает точку
(-1 j0) поэтому замкнутая система будет неустойчивой Частотный
критерий Найквиста можно использовать и в том случае когда рас-
сматривается не АФЧХ а ЛАЧХ разомкнутой системы замкнутая
минимально-фазовая система устойчива если при достижении ЛФЧХ
значения -π ЛАЧХ будет отрицательной
Используя ЛАЧХ и ЛФЧХ можно оценить запасы устойчивости
системы по амплитуде и по фазе с помощью команды
gtgt margin(w)
Пример
gtgt w=tf([10][2 2 3 1])
gtgt margin(w)
Соответствующий график показан на рис 4
45
Рис 4 Определение запасов устойчивости по амплитуде и по фазе
6 Задание на лабораторную работу
Выполнить исследование устойчивости замкнутой системы по за-
данной передаточной функции разомкнутой системы Определить запас
устойчивости по амплитуде и по фазе Вариант задания назначается
преподавателем
7 Методика выполнения задания
Порядок выполнения работы
1 Рассчитать передаточную функцию замкнутой системы по
приведенной в табл 1 разомкнутой системе
2 Определить устойчивость замкнутой системы используя кри-
терий Гурвица
3 Определить устойчивость замкнутой системы используя кри-
терий Найквиста
4 Определить запас устойчивости по амплитуде и по фазе ис-
пользуя ЛАЧХ и ЛФЧХ
5 Выполнить моделирование переходных процессов разомкну-
той и замкнутой систем
6 Подготовить ответы на контрольные вопросы
46
Таблица 1
Варианты заданий
Передаточная функция разомкнутой системы
1 1355
2234
ssss
W
2 110050
1234
ssss
W
3 11010
123
sss
W
4 122105
100234
ssss
W
5 1248
123
sss
W
6 1223
102345
sssss
W
7 11001010
323
sss
W
8 122
1023
sss
W
9 11010
123
sss
W
10 15050332
102345
sssss
W
8 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) титульный лист
б) краткие теоретические сведения
в) переходную функцию разомкнутой системы
г) расчет передаточной функции замкнутой системы
д) расчетные выражения для обоснования устойчивости замкну-
той системы по алгебраическому критерию Гурвица
е) годограф Найквиста разомкнутой системы на основании кото-
рого делается вывод об устойчивости замкнутой системы
ѐ) переходную функцию замкнутой системы
ж) проверку полученных результатов путем компьютерного моде-
лирования переходных процессов разомкнутой и замкнутой си-
стемы в MATLAB Simulink
з) выводы по всем полученным результатам
47
Контрольные вопросы
1 Как связана устойчивость линейной САУ с видом составля-
ющих ее свободного движения
2 Зависит ли устойчивость линейных САУ от амплитуды зада-
ющих воздействий или возмущений
3 Сформулируйте критерий устойчивости Гурвица укажите на
необходимое условие устойчивости линейных САУ вытекаю-
щее из этого критерия
4 Сформулируйте критерий Найквиста для случая САУ устой-
чивых в разомкнутом состоянии а также для астатических САУ
Что такое laquoзапасы устойчивости по фазе и по амплитудеraquo
5 Что называется структурной устойчивостью
48
Лабораторная работа 5
КОРРЕКЦИЯ СТАТИЧЕСКИХ И ДИНАМИЧЕСКИХ
СВОЙСТВ САУ
1 Цель работы
Целью работы является изучение способов обеспечения иско-
мых характеристик САУ с использованием автоматизированных
средств моделирования на ПК ndash MATLAB SIMULINK
2 Задачи работы
ndash Закрепление углубление и расширение знаний студентов при
обеспечении искомых характеристик САУ
ndash Приобретение умений по обеспечению точности (уменьшение
статической ошибки) САУ и выбору значений параметров регулято-
ра обеспечивающих желаемые динамические свойства САУ
ndash Приобретение умений и навыков работы с программой мате-
матического моделирования MATLAB
3 Теоретическая часть
Коррекция статических и динамических свойств САУ имеет
своей целью повышение статической и динамической точности отра-
ботки системой задающего воздействия (или парирование возмуща-
ющего воздействия) повышение запасов ее устойчивости Наиболее
распространенными способами коррекции свойств САУ является из-
менение коэффициента усиления ее разомкнутой части введение в
САУ новых звеньев (как правило интегрирующего или дифференци-
рующего типа) охват объекта управления местной обратной связью
31 Коррекция статических свойств САУ
Статические свойства системы определяются величиной устано-
вившейся ошибки )t(уст вызванной действием задающего воздей-
ствия и определяемой по формуле
22
210 2 dttgdcdttdgctgctуст (1)
где )(tg - входное воздействие 210 ccc - коэффициенты ошибок
Коэффициенты ошибок определяются по формулам
49
dssdcdssdcscs
mmmss 00100
где s - передаточная функция САУ по ошибке управления рав-
ная
sW
sраз
1
1
sWраз - передаточная функция разомкнутой САУ
Основными способами уменьшения статической ошибки систе-
мы являются
1) увеличение коэффициента усиления прямого тракта системы
2) введение в прямой тракт системы интегрирующих звеньев
3) охват объекта управления местной неединичной положитель-
ной обратной связью
Представим структурную схему системы в виде изображенном
на рис 1 где через sW обозначена передаточная функция неизме-
няемой части системы
bsbsb
asasasW
nn
nn
mm
mm
01
1
01
1
Здесь и далее полагается что KKKsW s 000 0 ndash из-
меняемый коэффициент усиления регулятора системы
Первые два коэффициента ошибок 0c и 1c определяется выраже-
ниями
KK
c0
01
1
(2)
KK
dssdWKc
s
20
01
1
(3)
Из (2) и (3) с учетом (1) вытекает что с увеличением K
статическая ошибка в системе уменьшается и наоборот с уменьше-
нием K статическая ошибка в системе увеличивается
Введем в прямой тракт системы одно интегрирующее звено
50
(рис 2) В этом случае c 00 01 1 KKc
Так как c 00 то система на рис 2 является астатической (с
астатизмом первого порядка) Система имеет нулевую статическую
ошибку при отработке постоянного задающего воздействия
consttg и постоянную обратно пропорциональную K ошибку
constуст при отработке линейно изменяющегося воздействия
tatg
Рис 1 Схема САУ Рис 2 Схема САУ с включенным в прямой
тракт интегрирующим звеном
Охватим неизменяемую часть системы sW местной нееди-
ничной положительной обратной связью с коэффициентом усиления
осK (рис 3) Тогда эквивалентная передаточная функция sWэкв
неизменяемой части системы равна
10011
01
1
aKbsaKbsaKbsb
asasa
sWK
sWsW
ососm
mосmn
n
mm
mm
осэкв
(4)
Если коэффициент усиления K выбрать из условия
a
bKос
0
0
то свободный коэффициент (b0 - Koca0) полинома знаменателя sWэкв
обратится в нуль и sWэкв приобретает интегрирующие свойства
11
11
0
1
1
aKbsaKbsbs
asasasW
ос
m
mосm
n
n
m
m
m
mэкв
g(t) y(t)ε(t)
K W(s)-
g(t) y(t)
Ks W(s)-
ε(t)
51
Следовательно замкнутая система становится астатической (с
астатизмом 1-го порядка) Отсюда 0c =0 а коэффициент 1c будет
равен
aKb
bc
ос 11
01
ε(t)g(t) y(t)
W(s)-
Kос
Wэкв(s)
+
Рис 3 Схема САУ с местной неединичной обратной связью
32 Коррекция динамических свойств САУ
Улучшение динамических свойств САУ заключается в увеличе-
нии быстродействия САУ (уменьшении времени регулирования tрег)
уменьшении перерегулирования (см рис 4) а также увеличении
запасов устойчивости по фазе и по модулю При этом
h
hh
уст
устmax100
где maxh - максимальное значение переходной характеристики за-
мкнутой САУ th
устh - установившееся значение th
Время регулирования tрег - минимальная величина при которой удо-
влетворяется условие
устрег hth
где - заданная величина ошибки (обычно =005 устh )
52
h(t)
tрег
hустhmax
2δ
Рис 4 Быстродействие и перерегулирование САУ
Одним из эффективных средств достижения этой цели является
уменьшение отрицательных фазовых сдвигов в прямом тракте систе-
мы путем охвата неизменяемой части системы местными отрицатель-
ными обратными связями
На рис 5 R(s) представляет собой передаточную функцию регу-
лятора САУ которая считается заданной
ε(t)g(t) y(t)
W(s)-
Kос
Wэкв(s)
-
R(s)
u(t)
Рис 5 Схема САУ с местной обратной связью и регулятором
Пусть неизменяемая часть системы представляет собой аперио-
дическое звено первого порядка те
sT
K)s(W
10
0
Тогда передаточная функция sWэкв эквивалентного объекта
управления равна
sT
K
sWK
sWsW
экв
экв
осэкв
11
где зквK и эквT - коэффициент усиления и постоянная времени
эквивалентного объекта равные
53
KK
KK
осэкв
0
0
1
KK
TT
осэкв
0
0
1 (5)
Из (5) следует что соответствующим выбором осK постоянную
времени эквT эквивалентного объекта можно уменьшить в (1+ 0KKос )
раз по сравнении с постоянной времени 0T объекта без местной об-
ратной связи Тем самым уменьшаются отрицательные фазовые сдви-
ги вносимые прямым трактом системы что приводит к увеличению
запасов устойчивости системы При этом однако уменьшается в
(1+ 0KKос ) раз коэффициент усиления эквK эквивалентного объекта
по сравнению с коэффициентом усиления 0K объекта без местной
обратной связи Это нежелательно так как приводит к уменьшению
быстродействия системы вследствие уменьшения общего коэффици-
ента усиления прямого тракта системы В этом случае с целью обес-
печения необходимого быстродействия системы увеличивают коэф-
фициент усиления регулятора
4 Краткое описание MATLAB
Лабораторная работа выполняется в программе математического
моделирования MATLAB Программа MATLAB включает в себя пакет
прикладных программ для решения технических задач и одноименный
язык программирования используемый в этом пакете
Основными компонентами системы являются базовая система
MATLAB и пакет моделирования систем Simulink Остальные пакеты
расширения разбиты на 4 категории ndash расширения Extension MATLAB и
Extension Simulink а также комплексы пакетов расширения Blockset и
Toolbox
Раздел MATLAB Extension содержит средства для подготовки ис-
полняемых приложений MATLAB (с подключаемыми библиотеками и
без них)
Раздел Toolbox (инструментальные средства) содержит самое
большое число пакетов расширений системы MATLAB такие как
laquoControl systemraquo laquoDatabaseraquo laquoFuzzy logicraquo laquoWaveletraquo и тд
54
В разделе Blockset расположено несколько пакетов относящихся к
главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink такие как
laquoDSPraquo laquoFixed-Pointraquo laquoNonlinear control designraquo и laquoPower systemsraquo
В разделе Extension Simulink имеется ряд средств предназначен-
ных для моделирования в реальном масштабе времени и событийно-
управляемом моделировании
5 Задание на лабораторную работу
Выполнить исследование способов коррекции статических и
динамических свойств САУ Определить время регулирования и пе-
ререгулирования в исходной и скорректированной системах а также
для динамических свойств САУ определить запасы устойчивости в
исходной системе и найти экспериментально значение Kос обеспечи-
вающее в системе заданные показатели качества и запасы устойчиво-
сти Вариант задания назначается преподавателем
Таблица 1
Варианты заданий
варианта
Параметры
1
2
3
4
5
6
7
8
a 05 10 15 20 25 30 35 40
K0 1 2 3 4 5 6 7 8
T c 03 04 05 06 07 08 09 10
ξ 06 07 08 08 07 09 05 04
уст 0 0 005 0 010 007 0 0
tрег c le 13 15 20 25 30 35 40 40
le 0 10 10 5 5 5 0 0
В качестве исходных САУ выступают системы изображенные
на рис 6 и 7
55
ε(t)g(t) y(t)
W(s)-
g(t) y(t)
R(s) W(s)-
ε(t) u(t)
Рис 6 САУ с отрицательной Рис 7 САУ с отрицательной обратной
обратной связью связью и регулятором
6 Методика выполнения задания
При исследовании способов коррекции статических свойств
САУ в качестве исходных данных выступает передаточная функция
sW неизменяемой части системы вида
1222
0
sTsT
KsW (6)
и задающие воздействия вида ttg 1 в соответствии с таблицей 1
В процессе выполнения этой части работы необходимо
1) путем моделирования в системе MATLAB исходной САУ
(рис 6) получить графики ttytg
2) сравнить полученную таким образом экспериментальную ве-
личину t с теоретической величиной вычисленной по формуле (1)
3) применяя описанные в теоретической части методических
указаний способы коррекции статических свойств (см п 31) обес-
печить требуемую статическую ошибку εуст системы при отработке
задающего воздействия ttg 1
4) получить графики ty и t в скорректированной системе
для 1 ttg
5) сравнить время регулирования регt и перерегулирование в
исходной и скорректированной системах при 1 ttg
При исследовании рассмотренного способа коррекции динами-
ческих свойств САУ (см п 32) в качестве исходных данных высту-
пают передаточная функция sW неизменяемой части системы
вида (6) и передаточная функция регулятора вида
s
KsR
рег
56
Задающее воздействие ttg 1
В процессе выполнения данной части работы необходимо
1) получить путем моделирования в MATLAB графики ty t
в системе (рис 7)
2) определить время регулирования регt и перерегулирование
а также запасы устойчивости в исходной системе
3) применяя описанный выше способ коррекции динамических
свойств САУ найти экспериментально (путем последовательного пе-
ребора) значение осK обеспечивающее в системе заданные заданием
показатели качества ( регt ) и запасы устойчивости (при необхо-
димости увеличить коэффициент регK )
4) получить графики ty t а также ЛАХ и ЛФХ разомкну-
той системы в скорректированной САУ
7 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) титульный лист
б) структурные схемы исследуемых систем
в) полученные графики и характеристики
г) значения полученные экмпериментально которые
обеспечивают заданные показатели качества и запасы устойчивости
д) выводы обощающие проделанные эксперименты для
коррекции статических и динамических свойств САУ
е) ответы на контрольные вопросы
Контрольные вопросы 1 Дать определение статической и астатической САУ
2 Какими структурными свойствами системы определяется по-
рядок ее астатизма
3 Какой из двух приведенных выше способов придания системе
свойств астатизма 1-го порядка наиболее предпочтителен на
практике
4 Назовите основные показатели качества САУ Поясните их
смысл
5 В чѐм суть исследуемого способа коррекции динамических
свойств САУ
57
6 Назвать другие способы коррекции динамических свойств
САУ
7 Чем вызваны отрицательные фазовые сдвиги в неизменяемой
части САУ
58
Лабораторная работа 6
МЕТОД КОРНЕВОГО ГОДОГРАФА
1 Цель работы
Целью работы является построение корневого годографа и ис-
следование динамики системы с использованием автоматизирован-
ных средств моделирования на ПК ndash MATLABSIMULINK
2 Задачи работы
ndash Закрепление углубление и расширение знаний студентов при
исследование динамики системы
ndash Овладение навыком построения корневого годографа
ndash Приобретение умений и навыков работы с программой мате-
матического моделирования MATLAB
3 Теоретическая часть
Корневым годографом (КГ) называется совокупность траекто-
рий перемещения всех корней характеристического уравнения за-
мкнутой системы при изменении какого-либо параметра этой систе-
мы
Обычно метод КГ позволяет находить полюса и нули ПФ за-
мкнутой системы располагая полюсами и нулями разомкнутой си-
стемы при изменении коэффициента усиления разомкнутой системы
K
ПФ разомкнутой системы Wp(s) представим в следующем виде
)(
)(
1
1
0
n
ii
m
jj
p
ss
ssKC
sW (1)
где 0js ndash нули ПФ sWp )1( mj
is ndash полюса ПФ sWp
)1( nj n и m ndash порядки знаменателя и числителя C ndash коэффици-
ент представления (отношение коэффициентов при старших членах
числителя и знаменателя)
59
При замыкании системы с ПФ sWp единичной отрицатель-
ной обратной связью ПФ замкнутой системы sWз принимает вид
)(1
)(
sW
sWsW
p
pз
(2)
Из выражения (2) следует что нули ПФ замкнутой системы рав-
ны нулям ПФ разомкнутой системы
Для нахождения полюсов рассмотри выражение
01 sWp (3)
в соответствии с выражением (1) имеем
n
i
m
jjin
ii
m
jj
ssKCss
ss
ssKC
1 1
0
1
1
0
)()(01
)(
)(
(4)
На основании выражения (4) можно сказать что при K = 0 корни
характеристического уравнения совпадают с полюсами а при K = infin ndash
с нулями При изменении K от 0 до infin траектории корней начинаются
в полюсах и заканчиваются в нулях Обычно полюсов больше чем
нулей В этом случаем mn ветвей корневого годографа стремятся к
infin
Для определения полюсов замкнутой системы с отрицательной
обратной связью необходимо решить уравнение (его называют ос-
новным уравнением метода КГ)
1sWp (5)
Так как sWp является функцией комплексного переменного
s то уравнение (5) распадается на два уравнения уравнение модулей
1)( sWp (6)
60
и уравнение аргументов (фаза вектора -1 есть нечетное число π)
210)12()(arg sWp (7)
Как известно при умножении комплексных чисел их аргументы
складываются а при делении ndash вычитаются Поэтому исходя из вы-
ражения (1) уравнение (7) имеет наглядный геометрический смысл
Пусть точка s ndash полюс замкнутой системы Если провести в s
вектора из нулей sWp (обозначим аргументы этих векторов 0j ) и
вектора из всех полюсов sWp (обозначим аргументы этих векторов
i ) то уравнение (7) можно записать в следующем виде
m
j
n
iij
1 1
0 210)12( (8)
Углы q отсчитываются от положительного направления дей-
ствительной оси Знак угла laquo+raquo соответствует повороту против часо-
вой стрелки знак угла laquo-raquo соответствует повороту по часовой стрел-
ке
Таким образом любая точка КГ должна удовлетворять уравне-
нию (8) из которого следует что конфигурация КГ не зависит от ко-
эффициента усиления K но каждому конкретному значению K одно-
значно соответствуют точки на КГ
При умножении комплексных чисел их модули перемножаются
а при делении ndash делятся Поэтому на основании (6) можно записать
1
1
1
0
n
ii
m
jj
l
lKC
(9)
где 0jl ndash модуль (длина) вектора проведенного из j-нуля в точку s
КГ il ndash модуль вектора проведенного из i-полюса в ту же точку s
61
Таким образом траектории корней строятся только по уравне-
ниям фаз а уравнение модулей используется затем для нахождения
K
Сущность метода КГ заключается в том чтобы узнать каким
должен быть коэффициент усиления разомкнутой системы чтобы
было обеспечено желаемое положение корней замкнутой системы
Корневой годограф системы с отрицательной обратной связью
обладает следующими основными свойствами
1 Ветви КГ непрерывны и расположены на комплексной плос-
кости симметрично относительно действительной оси
2 Число ветвей КГ равно порядку системы n Ветви начинают-
ся в n полюсах разомкнутой системы при K=0 При возрастании K от
0 до infin полюса замкнутой системы двигаются по ветвям КГ
3 mветвей КГ при возрастании K от 0 до infin заканчиваются в m
нулях )(sWp а )( mn ветвей при K стремящемся к infin удаляются
от полюсов вдоль асимптот
4 При расположении ветвей корневого годографа в левой полу-
плоскости s САУ устойчива При пересечении ветвей КГ мнимой оси
слева направо САУ становится неустойчивой Пусть при K=Kкр
пере-
сечение КГ с мнимой осью произойдет в некоторой точке iωкр
Назо-
вем это значение коэффициента усиления критическим Kкр
а вели-
чину iωкр
критической угловой частотой на которой система стано-
вится неустойчивой
4 Краткое описание MATLAB
Лабораторная работа выполняется в программе математического
моделирования MATLAB Программа MATLAB включает в себя пакет
прикладных программ для решения технических задач и одноименный
язык программирования используемый в этом пакете
Основными компонентами системы являются базовая система
MATLAB и пакет моделирования систем Simulink Остальные пакеты
расширения разбиты на 4 категории ndash расширения Extension MATLAB и
Extension Simulink а также комплексы пакетов расширения Blockset и
Toolbox
Раздел MATLAB Extension содержит средства для подготовки ис-
полняемых приложений MATLAB (с подключаемыми библиотеками и
без них)
62
Раздел Toolbox (инструментальные средства) содержит самое
большое число пакетов расширений системы MATLAB такие как
laquoControl systemraquo laquoDatabaseraquo laquoFuzzy logicraquo laquoWaveletraquo и тд
В разделе Blockset расположено несколько пакетов относящихся к
главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink такие как
laquoDSPraquo laquoFixed-Pointraquo laquoNonlinear control designraquo и laquoPower systemsraquo
В разделе Extension Simulink имеется ряд средств предназначен-
ных для моделирования в реальном масштабе времени и событийно-
управляемом моделировании
5 Корневой годограф в MATLAB
В системе MATLAB существует команда zpk для преобразова-
ния модели заданной ПФ в модель заданную нулями полюсами и
обобщенными коэффициентами передачи (zpk-форма)
Пример
gtgt w=tf([10][2 2 3 1 0])
Transfer function
10
-------------------------------
2 s^4 + 2 s^3 + 3 s^2 + s
gtgt w1=zpk(w)
Zeropolegain
5
----------------------------------------------
s (s+03966) (s^2 + 06034s + 1261)
Для работы с корневым годографом удобно использовать гра-
фический интерфейс laquoSISO-Design Toolraquo предназначенный для ана-
лиза и синтеза одномерных линейных систем автоматического управ-
ления (SISO ndash Single Input Signal Output)
Запуск SISO-Design Tool осуществляется командой
gtgt sisotool
63
В появившемся окне графического интерфейса необходимо ис-
пользовать команду laquoFileImportraquo для загрузки данных из рабочего
пространства MATLAB в результате которой появляется диалоговое
окно Import System Data (рис 1)
Рис 1 Диалог для ввода параметров модели
После импортирования данных можно исследовать изменение
временных и частотных характеристик замкнутой системы при изме-
нении K Обычно при этом требуется определить условия неустойчи-
вости замкнутой САУ Определить Kкр
и iωкр
На рис 2 показано окно sisotool для описанной выше модели w1
Двигая красным курсором по КГ до пересечения ветвей с мнимой
осью можно определить значения Kкр
В данном случае Kкр
asymp 01
Значение iωкр
соответствует мнимой координате пересечения КГ
мнимой оси Просмотреть это значение можно в нижней части ин-
терфейса или выбрать меню laquoView Closed-Loop Polesraquo
64
Рис 2 Основное окно SISO-Design Tool
6 Задание на лабораторную работу
Построить КГ в соответствии с вариантом из табл 1 при помо-
щи графического интерфейса sisotool
Исследовать динамику замкнутой системы при различных зна-
чениях коэффициента усиления разомкнутой системы K в том числе
ndash запасы устойчивости в частотной области
ndash параметры переходного процесса во временной области
Таблица 1
Варианты передаточных функций
Значения параметров Передаточная функция
разомкнутой системы
1 T = 01 ζ = 1
)12( 22 sTsTs
K
2 T = 005 ζ = 0707
3 T = 003 ζ = 01
4 T = 008 ζ = 05
5 T = 001 ζ = 015
65
Окончание табл 1
Значения параметров Передаточная функция
разомкнутой системы
6 T1 = 003 T2 = 05 T3 = 01 T4 = 005
)1)(1)(1(
)1(
432
1
sTsTsTs
sTK
7 T1 = 005 T2 = 04 T3 = 008 T4 = 0033
8 T1 = 02 T2 = 045 T3 = 01 T4 = 005
9 T1 = 05 T2 = 025 T3 = 01 T4 = 002
10 T1 = 01 T2 = 025 T3 = 01 T4 = 005
Вариант задания назначается преподавателем
7 Методика выполнения задания
Порядок выполнения лабораторной работы
1 Задать передаточную функцию в MATLAB в соответствии с
вариантом коэффициент K задать любым положительным числом
2 Запустить SISO-Design Tool и осуществить ввод данных
Построить КГ
3 По КГ определить значения коэффициента K когда система
будет устойчивой на границе устойчивости и неустойчива
4 Выбрать значение коэффициента K таким образом чтобы си-
стемы была устойчива и определить запас устойчивости в частотной
области и параметры переходного процесса во временной области
8 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) титульный лист
б) передаточную функцию и этапы построения КГ
в) анализ результатов построения КГ
г) выводы по проделанной работе
д) ответы на контрольные вопросы
Контрольные вопросы 1 Дать определение КГ
2 Что обычно позволяет находить метод КГ
3 В чем заключается сущность метода КГ
4 Что можно определить по КГ
66
Критерии результативности лабораторного практикума
Лабораторная работа считается выполненной если студент
ndash выполнил все указанные задания
ndash представил отчет соответствующий всем требованиям к его
содержанию и оформлению
ndash владеет терминологией и материалом лабораторной работы
ndash способен использовать программное средство математическо-
го моделирования MATLAB
ndash способен предоставить и рассказать результаты выполненной
работы на ПК
ndash может дать пояснения к отчету и ответить на контрольные
вопросы
Список литературы
1 Александров АГ Частотная теория автоматического управле-
ния учебное пособие ndash Электросталь ЭПИ МИСиС 2010
2 Борисевич АВ Теория автоматического управления элементар-
ное введение с применением MATLAB ndash СПб Изд-во Политехн ун-
та 2011
3 Федоров ВЛ Бубнов АВ Теория автоматического управления
учебное пособие ndash Омск Изд-во ОмГТУ 2010
4 Павловская ОО Чернецкая ИВ Теория автоматического
управления учебное пособие ndash Челябинск Изд-во ЮУрГУ 2010
67
Составители ЛЯНЦЕВ Олег Дмитриевич КАЗАНЦЕВ Андрей Валерьевич
ИССЛЕДОВАНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК СИСТЕМ
АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
Лабораторный практикум
по дисциплине
laquoТеория управленияraquo
Подписано в печать Формат 60х84 116 Бумага офсетная Пе-
чать плоская Гарнитура Times New Roman Усл печ л 56 Уч-изд л
55 Тираж 100 экз Заказ
ФГБОУ ВПО Уфимский государственный авиационный технический
университет
Центр оперативной полиграфии УГАТУ
450000 Уфа-центр ул К Маркса 12
Составители О Д Лянцев А В Казанцев
УДК
ББК
Лабораторный практикум по дисциплине laquoТеория управленияraquo
Уфимск гос авиац техн ун-т Сост ОД Лянцев АВ Казанцев ndash
Уфа 2015 ndash 66 с
Цель лабораторного практикума ndash закрепление и совершенство-
вание знаний студентов по дисциплине laquoТеория управленияraquo и фор-
мирование умений работы с временными и частотными характери-
стиками типовых динамических звеньев со структурными преобра-
зованиями с критериями устойчивости со статическими и динамиче-
скими свойствами систем автоматического управления и корневым
годографом в среде математического моделирования MATLAB
Предназначен для подготовки студентов обучающихся по
специальностям 090501 (230106) ndash laquoПрименение и эксплуатация ав-
томатизированных систем специального назначенияraquo и 090301
(230100) ndash laquoИнформатика и вычислительная техникаraquo
Табл7 Ил25 Библиогр 4 назв
Рецензенты д-р техн наук проф РА Мунасыпов
кан техн наук доц РВ Насыров
copy Уфимский государственный
авиационный технический университет 2015
4
Содержание
Введениеhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
Лабораторная работа 1 laquo Динамические звенья и их
характеристики во временной областиraquohelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
1 Цель работыhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
2 Задачи работыhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
3 Теоретическая частьhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
4 Краткое описание MATLABhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
5 Моделирование передаточных функций в MATLABhelliphelliphelliphelliphellip
6 Задание на лабораторную работуhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
7 Методика выполнения работыhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
8 Требования к содержанию и оформлению отчетаhelliphelliphelliphelliphelliphellip
Контрольные вопросыhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
Лабораторная работа 2 laquoПреобразования структурных
схемraquohelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
1 Цель работыhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
2 Задачи работыhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
3 Теоретическая частьhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
4 Краткое описание MATLABhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
5 Структурные преобразования в MATLABhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
6 Задание на лабораторную работуhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
7 Методика выполнения работыhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
8 Требования к содержанию и оформлению отчетаhelliphelliphelliphelliphelliphellip
Контрольные вопросыhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
7
8
8
8
8
11
12
13
14
15
15
16
16
16
16
25
26
28
28
30
30
5
Лабораторная работа 3 laquoЧастотные характеристики
динамических звеньевraquohelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
1 Цель работыhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
2 Задачи работыhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
3 Теоретическая частьhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
4 Краткое описание MATLABhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
5 Построение частотных характеристик в MATLABhelliphelliphelliphelliphelliphellip
6 Задание на лабораторную работуhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
7 Методика выполнения работыhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
8 Требования к содержанию и оформлению отчетаhelliphelliphelliphelliphelliphellip
Контрольные вопросыhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
Лабораторная работа 4 laquoИсследование устойчивости
систем с обратной связьюraquohelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
1 Цель работыhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
2 Задачи работыhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
3 Теоретическая частьhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
4 Краткое описание MATLABhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
5 Исследование устойчивости в MATLABhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
6 Задание на лабораторную работуhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
7 Методика выполнения работыhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
8 Требования к содержанию и оформлению отчетаhelliphelliphelliphelliphelliphellip
Контрольные вопросыhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
31
31
31
31
35
36
36
37
37
37
38
38
38
38
42
42
45
45
46
47
6
Лабораторная работа 5 laquoКоррекция статических и динами-
ческих свойств САУraquohelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
1Цель работыhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
2 Задачи работыhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
3 Теоретическая частьhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
31 Коррекция статических свойств САУhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
32 Коррекция динамических свойств САУhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
4 Краткое описание MATLABhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
5 Задание на лабораторную работуhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
6 Методика выполнения работыhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
7 Требования к содержанию и оформлению отчетаhelliphelliphelliphelliphelliphellip
Контрольные вопросыhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
Лабораторная работа 6 laquoМетод корневого годографаraquohelliphellip
1 Цель работыhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
2 Задачи работыhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
3 Теоретическая частьhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
4 Краткое описание MATLABhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
5 Корневой годограф в MATLABhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
6 Задание на лабораторную работуhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
7 Методика выполнения работыhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
8 Требования к содержанию и оформлению отчетаhelliphelliphelliphelliphelliphellip
Контрольные вопросыhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
Критерии результативности лабораторного практикумаhelliphelliphelliphellip
Список литературыhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
48
48
48
48
48
51
53
54
55
56
56
58
58
58
58
61
62
64
65
65
65
66
66
7
Введение
Дисциплина laquoТеория управленияraquo предназначена для формиро-
вания у студентов систематизированного представления об осново-
полагающих принципах управления в технических системах о кон-
цепциях структурах и механизмах лежащих в основе анализа и син-
теза современных систем управления их характеристик и о со-
временных направлениях развития теории управления
В лабораторных работах рассматривается анализ характеристик
объектов управления в пространстве состояний с использованием
среды математического моделирования MATLAB (сокращение от
англ laquoMATrix LABoratoryraquo) Эта программа математического модели-
рования разработанная компанией laquoThe MathWorksraquo оперирует
LTI-моделями (Linear Time Invariant Models ndash линейные модели с по-
стоянными параметрами) что включает работу с заданием переда-
точных функций подачей тестирующих воздействий структурными
преобразованиями определение запаса устойчивости построение
графиков и годографов
В результате выполнения данного лабораторного практикума
формируются следующие компетенции
ndash владение знаниями о теоретических основах и основных
принципах управления методах исследования и синтеза систем
управления
ndash готовность использовать навык решения типовых задач ис-
следования и проектирования систем управления
ndash способность применять программное средство математическо-
го моделирования MATLAB
8
Лабораторная работа 1
ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗВЕНЬЯ И ИХ ХАРАКТЕРИСТИКИ
ВО ВРЕМЕННОЙ ОБЛАСТИ
1 Цель работы
Целью работы является изучение временных характеристик ти-
повых динамических звеньев с использованием автоматизированных
средств моделирования на ПК ndash MATLAB SIMULINK
2 Задачи работы
ndash Закрепление углубление и расширение знаний студентов при
исследовании временных характеристик динамических звеньев
ndash Приобретение умений и навыков работы с программой мате-
матического моделирования MATLAB
ndash Выработка способности логического мышления осмысление
полученных данных переходных процессов
3 Теоретическая часть Рассматривается система автоматического управления (САУ)
описываемая линейным дифференциальным уравнением вида
)()()()(
)()()()(
011
1
1
011
1
1
tubdt
tdub
dt
tudb
dt
tudb
tyadt
tdya
dt
tyda
dt
tyda
m
m
mm
m
m
n
n
nn
n
n
(1)
где u(t) ndash входной процесс y(t) ndash выходной процесс ai bi ndash постоян-
ные коэффициенты п т (п ge т) ndash постоянные числа
Если ввести обозначение р для оператора дифференцирования
p=ddt то можно записать (1) в операторной форме
)(
)(
011
1
011
1
ubpbpbpb
yapapapa
mm
mm
nn
nn
(2)
откуда получается
9
)()(
)(pW
pA
pB
u
y
где А(р) и В(р) ndash полиномы из формулы (2)
Выражение (2) по виду совпадает с определением ПФ как от-
ношения преобразования по Лапласу выходной переменной к преоб-
разованию по Лапласу входной переменной при нулевых начальных
условиях
)()(
)(
)(
)(sW
sA
sB
su
sy (3)
где s ndash комплексная переменная
Комплексные числа являющиеся корнями многочлена B(s)
называются нулями передаточной функции а корни многочлена А(s) ndash
полюсами
Описание типовых динамических звеньев приведено в
табл 1 Таблица 1
Типовые динамические звенья
Название звена Передаточная функция звена
1
Интегрирующее
s
KsW )(
2
Дифференцирующее
KssW )(
3
Усилительное
(безынерционное)
KsW )(
4
Апериодическое 1-го
порядка (инерционное)
1)(
Ts
KsW
5
Апериодическое 2-го
порядка (все корни веще-
ственные)
21
122
2
21
)( TTsTsT
KsW
10
Окончание табл 1
Название звена Передаточная функция звена
6
Колебательное
21
122
2
21
)( TTsTsT
KsW
7
Форсирующее
)1()( TsKsW
8
Интегрирующее
с запаздыванием
(реальное интегрирующее)
)1()(
Tss
KsW
9
Дифференцирующее
с запаздыванием
(реальное дифференцирую-
щее)
1)(
Ts
KssW
10
Инерционно-форсирующее
звено
1
)1()(
0
1
sT
sTKsW
11
Изодромное
s
TsKsW
)1()(
часто используется описание колебательного звена в виде
2
12
)(2
1222 T
TTT
TssT
KsW
Временные характеристики динамического звена представляют
собой зависимость выходного сигнала системы от времени при подаче
на ее вход некоторого типового воздействия Обычно выполняется
анализ выхода системы на единичный скачок (функция Хевисайда) и
импульсную функцию (функция Дирака или δ-функция)
Единичный скачок 1(t) определяется условиями
01
00)(1
tпри
tприt
Реакция САУ на единичный скачок называется переходной
11
функцией системы и обозначается h(t) При неединичном ступенчатом
воздействии g(t)=N1(t) где N = const в соответствии с принципом
суперпозиции выходная реакция системы будет )()( tNhty
Импульсная функция δ(t) определяется условиями
00
0)(
tпри
tприt
Очевидно )(1)( tt
Реакция САУ на импульсную функцию называется импульсной
переходной функцией системы (функцией веса) и обозначается w(t)
Импульсная и переходная функции системы связаны
соотношением
)()(0
dwtht
4 Краткое описание MATLAB
Лабораторная работа выполняется в программе математического
моделирования MATLAB Программа MATLAB включает в себя пакет
прикладных программ для решения технических задач и одноименный
язык программирования используемый в этом пакете
Основными компонентами системы являются базовая система
MATLAB и пакет моделирования систем Simulink Остальные пакеты
расширения разбиты на 4 категории ndash расширения Extension MATLAB и
Extension Simulink а также комплексы пакетов расширения Blockset и
Toolbox
Раздел MATLAB Extension содержит средства для подготовки ис-
полняемых приложений MATLAB (с подключаемыми библиотеками и
без них)
Раздел Toolbox (инструментальные средства) содержит самое
большое число пакетов расширений системы MATLAB такие как
laquoControl systemraquo laquoDatabaseraquo laquoFuzzy logicraquo laquoWaveletraquo и тд
В разделе Blockset расположено несколько пакетов относящихся к
12
главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink такие как
laquoDSPraquo laquoFixed-Pointraquo laquoNonlinear control designraquo и laquoPower systemsraquo
В разделе Extension Simulink имеется ряд средств предназначен-
ных для моделирования в реальном масштабе времени и событийно-
управляемом моделировании
5 Моделирование передаточных функций в MATLAB
В пакете MATLAB имеется два основных варианта для исследо-
вания передаточных функций и моделирования САУ
- использование команд пакета расширения Control System
Toolbox
- использование пакета Simulink
Control System Toolbox предназначен для работы с LTI-моделями
систем управления
Команда создающая LTI-систему с одним входом и одним вы-
ходом в виде передаточной функции имеет следующий синтаксис
])[]([ 011011 aaaabbbbtf nnmm
где 011 bbbb mm и 011 aaaa nn ndash значения коэффициентов
полиномов В и А в (3)
Например если требуется описать ПФ вида
582
12
ss
sW
и узнать значения ее нулей и полюсов то нужно ввести в окне команд
MatLab следующие команды
gtgt w=tf([1 1][2 8 5])
gtgt zero(w)
gtgt pole(w)
Исследовать реакцию LTI-модели на типовые входные воздей-
ствия можно с помощью команд
gtgt step(w)
gtgt impulse(w)
Можно получить на одном графике реакцию сразу нескольких
динамических звеньев если использовать команды вида
gtgt step(w w1 w2)
gtgt impulse(w w1 w2)
13
В приведенных примерах время моделирования выбирается ав-
томатически При необходимости его можно явно указать в команде
gtgtstep(w w1 w2t)
где t - время моделирования в секундах
Рис 1 Исследование реакции колебательного звена
На рис 1 показан пример моделирования динамики колебатель-
ного звена при различных параметрах
gtgt w=tf([1][2 03 1])
gtgt w1=tf([1][2 05 1])
gtgt w2=tf([1][2 01 1])
gtgt step(ww1w250)
В Simulink ПФ можно описать с помощью блока Transfer Fcn в
разделе библиотеки Continuous Для подачи типовых воздействий
надо использовать блок Step из раздела Sources Импульсную пере-
ходную характеристику звена можно получить подавая на вход им-
пульс маленькой длительности и большой амплитуды (приближение
δ-функции) при нулевых начальных условиях
6 Задание на лабораторную работу
С помощью пакета MATLAB построить реакцию каждого типо-
вого звена с параметрами своего варианта (см табл 2) на ступенчатое и
импульсное входное воздействие Определить влияние коэффициен-
тов входящих в описание каждого звена на параметры переходного
процесса Вариант задания назначается преподавателем
14
Таблица 2
Варианты заданий
Апери-
од зве-
но
Апериодич звено
2 пор (колеб
звено)
Ин-
тегр
звено
Изодр
звено
Реальное
диф звено
Инерц-
форс
звено
K T K T2 (T) T1( ξ ) K K T K T K T0 T1
1 3 02 3 02 20
(02)
3 3 05 3 04 3 2 08
2 4 03 4 03 15
(015)
4 4 1 4 03 4 3 12
3 5 04 5 04 25
(025)
5 5 08 5 05 5 4 15
4 6 05 6 05 16
(03)
6 6 2 6 10 6 5 20
5 7 06 7 06 28
(02)
7 7 3 7 08 7 6 20
6 8 07 8 07 22
(008)
8 8 35 8 10 8 7 20
7 9 08 9 08 21
(007)
9 9 1 9 09 9 8 30
8 10 10 10 10 30
(01)
10 10 20 10 20 10 10 40
7 Методика выполнения задания
Порядок выполнения работы
1 Задать передаточную функцию типового динамического звена
в MATLAB используя параметры приведенные в табл 2
2 Варьируя коэффициент динамического звена увеличивая его в
2 раза ndash получить вторую ПФ затем уменьшить исходный коэффици-
ент в 2 раза и получить третью ПФ
3 Построить на одном графике реакцию получившихся динами-
ческих звеньев на единичный скачок
4 Построить на одном графике реакцию получившихся динами-
ческих звеньев на импульсную функцию
5 Выполнить пп 2-4 для всех коэффициентов динамического
звена
6 Выполнить пп 1-5 для всех динамических звеньев
7 Подготовить ответы на контрольные вопросы
15
8 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) титульный лист
б) передаточные функции и схемы моделирования исследуемых
звеньев
в) экспериментально полученные характеристики при вариа-
ции параметров каждого звена
г) выводы обобщающие проделанные эксперименты по каждо-
му звену
д) ответы на контрольные вопросы
Контрольные вопросы
1 Что называется передаточной функцией
2 Что называется переходной и импульсной (весовой)
функциями Какова связь между ними
3 Как пользуясь временными характеристиками определить
параметры (коэффициенты передаточной функции) звена
Пояснить на конкретных примерах
4 Перечислите динамические характеристики САУ
5 Что называется характеристическим уравнением
16
Лабораторная работа 2
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СТРУКТУРНЫХ СХЕМ
1 Цель работы
Целью работы является изучение структурных преобразований и
нахождения передаточных функций с использованием автоматизиро-
ванных средств моделирования на ПК ndash MATLAB SIMULINK
2 Задачи работы
ndash Закрепление углубление и расширение знаний студентов при
исследовании преобразований структурных схем
ndash Приобретение умений и навыков работы с программой мате-
матического моделирования MATLAB
ndash Овладение несколькими методами преобразования структур-
ных схем
3 Теоретическая часть
Для наглядного представления сложной системы как совокупно-
сти элементов и связей между ними используются структурные
схемы
Структурной схемой называется схема САУ изображенная в
виде соединения ПФ составляющих ее звеньев
Структурная схема показывает строение автоматической систе-
мы наличие внешних воздействий и точки их приложения пути рас-
пространения воздействий и выходную величину Динамическое или
статическое звено изображается прямоугольником в котором указы-
вается ПФ звена Воздействия на систему и влияние звеньев друг на
друга (сигналы) изображаются стрелками В каждом звене воздей-
ствие передается только от входа звена к его выходу
На динамическое звено может воздействовать лишь одна вход-
ная величина поэтому используются блоки суммирования и сравне-
ния сигналов Суммироваться и сравниваться могут лишь сигналы
одной и той же физической природы
Структурная схема может быть составлена по уравнению систе-
мы в пространстве состояний или по системе дифференциальных
уравнений При составлении структурной схемы удобно начинать с
изображения задающего воздействия и располагать динамические
17
звенья составляющие прямую цепь системы слева направо до регу-
лируемой величины Тогда основная обратная связь и местные обрат-
ные связи будут направлены справа налево
Различные способы преобразования структурных схем облегча-
ют определение ПФ сложных САУ и дают возможность привести
многоконтурную систему к эквивалентной ей одноконтурной схеме
Преобразование структурной схемы должно осуществляться на
основании правил основные из них приведены в табл 1
При выполнении преобразований следует каждое имеющееся в
схеме типовое соединение заменить эквивалентным звеном Затем
можно выполнить перенос точек разветвления и сумматоров чтобы в
преобразованной схеме образовались новые типовые соединения зве-
ньев Эти соединения опять заменяются эквивалентными звеньями
затем вновь может потребоваться перенос точек разветвления и
сумматоров и т д
Различают основные соединения блоков в структурных схемах
последовательное соединение параллельное соединение антипарал-
лельное соединение (обратная связь) в свою очередь обратная связь
может быть отрицательной и положительной Таблица 1
Основные правила преобразования структурных схем
Преобразование
Структурная схема
Исходная Эквивалентная
Свертывание
последовательного
соединения
W1 W2 Wnu y
Wu y
nWWWW 21
Свертывание
параллельного
соединения
Wn
W2
W1
u y
Wu y
nWWWW 21
Свертывание
обратной связи
W1u plusmn y
W2
Wu y
21
1
1 WW
WW
18
Окончание табл 1
Преобразование
Структурная схема
Исходная Эквивалентная
Перенос узла через
звено вперед
Wu y
x
Wu y
xW1
WW
11
Перенос узла через
звено назад
Wu y
y
Wu y
yW
Перенос сумматора
через звено вперед
Wu1 y
u2
plusmn
Wu1 y
u2
plusmn
W
Перенос сумматора
через звено назад
Wu1 y
u2
plusmn
Wu1 y
u2
plusmn
W1
WW
11
Перенос прямой
связи через звено W2yu
plusmnW1
W3
W2 yu
plusmnW1
W3 W2
Перенос узла через
сумматор вперед
x1
+
- y
x1
x2
x1
+
- y
x1x2
+
+
Перенос узла через
сумматор назад
x1
+
- y
x2
y
x1
+
- y
x2y
+
-
Пример Пусть необходимо получить эквивалентное представ-
ление для структуры приведенной на рис 1
19
W1
W2 W3
W4
W5 W6
W7
+
+
+
-
Рис 1 Исходная схема САУ
Преобразование включает несколько этапов показанных на рис 2ndash5
W1
W2 W3
W4
W5 W6
W7
+
+
+
-
1W6
Рис 2 Перенос узла через звено вперед
567
659
1 WWW
WWW
6
48
W
WW
Рис 3 Свертывание обратной связи и последовательного соединения
2110 WWW
983
9311
1 WWW
WWW
Рис 4 Свертывание обратной связи и Рис 5 Свертывание последователь-
параллельного соединения ного соединения
W10 W11 WЭкв
543765
653265311110
1 WWWWWW
WWWWWWWWWWWЭкв
W1
W2
W8
W3 W9
+
+
20
Таким образом первый способ преобразования структурных
схем заключается в непосредственном использовании правил приве-
денных в табл1 Неудобство использования этого подхода заключа-
ется в том что порядок применения формул здесь достаточно произ-
волен возможны ошибочные шаги усложняющие поиск решения
Второй способ для получения ПФ многоконтурной системы за-
ключается в использовании модели системы в виде сигнального
графа
Сигнальный граф позволяет графически описать линейные связи
между переменными он состоит из узлов (вершин) и соединяющих их
направленных ветвей
Ветвь соответствует блоку структурной схемы она отражает за-
висимость между входной и выходной переменными Сумма всех
сигналов входящих в узел образует соответствующую этому узлу
переменную
Последовательность ветвей между двумя узлами называется пу-
тем Контуром называется замкнутый путь который начинается и
заканчивается в одном и том же узле причем ни один узел не встре-
чается на этом пути дважды
Контуры называются некасающимися если они не имеют общих
узлов
Сигнальный граф ndash это просто наглядный метод записи системы
алгебраических уравнений показывающий взаимосвязь между пере-
менными
r1
r2
a11
a22
x1
x2
a12a21
Рис 6 Сигнальный граф для двух алгебраических выражений
В качестве примера рассмотрим следующую систему алгебраи-
ческих уравнений
21
11212111 xrxaxa (1)
22222121 xrxaxa (2)
здесь r1 и r2 ndash входные переменные а x1 и x2 ndash выходные переменные
Сигнальный граф соответствующий уравнениям (1) и (2) изображен
на рис 6 Уравнения (1) и (2) можно записать в ином виде
1122111 )()1( raxax
2222211 )1()( raxax
Решая последнюю систему по правилу Крамера получим
212
122
21122211
2121221
)1(
)1)(1(
)1(r
ar
a
aaaa
rarax
121
211
21122211
1212112
)1(
)1)(1(
)1(r
ar
a
aaaa
rarax
В этих решениях знаменатель равен определителю составлен-
ному из коэффициентов при неизвестных и его можно записать так
21122211221121122211 1)1)(1( aaaaaaaaaa
В данном случае знаменатель равен единице минус коэффици-
енты передачи отдельных контуров a11 a22 и a12a21 плюс произведе-
ние коэффициентов передачи двух некасающихся контуров a11 и a22
Контуры a22 и a12a21 являются касающимися так же как и контуры a11
и a21a12
В решении для x1 по отношению ко входу r1 числитель равен
единице умноженной на (1-a22) те значение определителя некаса-
ющегося пути от r1 к x1 В решении для x1 по отношению ко входу
r2числитель просто равен a12 тк этот путь касается всех контуров
Числитель выражения x2 симметричен соответствующему числителю
для x1
В общем случае линейная зависимость Tij между независимой
переменной xi (часто называемой входной переменной) и зависимой
переменной xj определяется по формуле Мейсона
22
k
ijkijk
ij
P
T
где Pijk ndash коэффициент передачи k-го пути от переменной xi к пере-
менной xj Δ ndash определитель графа Δijk ndash дополнительный множитель
для пути Pijk а суммирование производится по всем возможным k пу-
тям от xi до xjДополнительный множитель Δijk равен определителю
всех касающихся контуров при удалении k-го пути
Определитель находится как
QM
qm
LSR
lsrlsrqm
K
kk LLLLLL
11
1111
1
где Kk kL
1ndash сумма коэффициентов передачи всех отдельных конту-
ров QM
qm qmLL
11ndash сумма произведений всех возможных комбина-
ций из двух некасающихся контуров LSR
lsr lsr LLL
111ndash сумма про-
изведений всех возможных комбинаций из трех некасающихся кон-
туров
Таким образом правило вычисления Δ через значение L1 L2
L3hellipLN таково Δ = 1- (сумма коэффициентов передачи всех отдель-
ных контуров) + (сумма произведений всех возможных комбинаций
из 2 некасающихся контуров) ndash (сумма произведений всех возмож-
ных комбинаций из 3 некасающихся контуров) +hellip
Формула Мейсона часто используется в несколько упрощенном
виде для определения связи между выходной переменной Y(s) и
входной переменной X(s) те
)()(
)( 1
N
iiiP
sWsX
sY
где Pi ndash i-й путь от входа к выходу N ndash количество путей Δ ndash опреде-
литель графа специальный полином который определенным образом
характеризует совокупность всех замкнутых цепей системы содер-
жащих обратные связи и вычисляется как сумма передаточных
функций разомкнутых контуров этих цепей и произведений
23
передаточных функций разомкнутых контуров пар троек и тд не со-
прикасающихся друг с другом цепей с обратными связями Δi ndash до-
полнительный множитель для пути составляется по правилу анало-
гичному Δ но только для цепей с обратными связями не соприкаса-
ющихся с i-м прямым каналом
Дополнительный множитель для i-го пути равен определителю
графа в котором приравнены нулю коэффициенты передачи конту-
ров касающихся этого пути
Рассмотрим пример получения ПФ многоконтурной системы с
использованием формулы Мейсона для структуры на рис 1 которая
соответствует графу показанному на рис 7
X(s) Y(s)W1
W2
W3 W5 W6
W4 -W7
Рис 7 Описание системы управления сигнальным графом
От входа к выходу ведут два пути
65311 WWWWP
65322 WWWWP
В графе есть 2 контура
5431 WWWL
7652 WWWL
Контур L1 пересекает контур L2 поэтому определитель графа
вычисляется по формуле
)(1 21 LL
Контуры в этом примере пересекают все пути поэтому допол-
нительные множители путей равны
24
11
12
Окончательно можно записать
1
)(543765
65326531
2
1
WWWWWW
WWWWWWWWP
sW iii
Таким образом использование сигнальных графов и применение
формулы Мейсона позволяет алгоритмизировать процесс упрощения
структурной схемы
Третий способ для получения ПФ заключается в составлении
системы уравнений Необходимо обозначить выходы сумматоров и
составить систему уравнений на основе этих обозначений На рис9
представлена исходная схема с обозначенными сумматорами
W1
W2 W3
W4
W5 W6
W7
+
+
+
-
Z H
u y
Рис 9 Исходная схема САУ с обозначенными сумматорами
Опишем все сигналы в системе в виде уравнений
)( 4521 HWWuWWZ
73 yWZWH
65 HWWy
Подставив последовательно значения сигналов найдем ПФ
))(( 734521 yWWHWWuWWH
После преобразования получим
25
1
)(
543
73231
WWW
yWuWWWWH
Подставим полученное значение H в уравнение y
1
))((
543
6573231
WWW
WWyWuWWWWy
Получим ПФ вида
1
)(543765
65326531
WWWWWW
WWWWWWWW
u
ypW
4 Краткое описание MATLAB
Лабораторная работа выполняется в программе математического
моделирования MATLAB Программа MATLAB включает в себя пакет
прикладных программ для решения технических задач и одноименный
язык программирования используемый в этом пакете
Основными компонентами системы являются базовая система
MATLAB и пакет моделирования систем Simulink Остальные пакеты
расширения разбиты на 4 категории ndash расширения Extension MATLAB и
Extension Simulink а также комплексы пакетов расширения Blockset и
Toolbox
Раздел MATLAB Extension содержит средства для подготовки ис-
полняемых приложений MATLAB (с подключаемыми библиотеками и
без них)
Раздел Toolbox (инструментальные средства) содержит самое
большое число пакетов расширений системы MATLAB такие как
laquoControl systemraquo laquoDatabaseraquo laquoFuzzy logicraquo laquoWaveletraquo и тд
В разделе Blockset расположено несколько пакетов относящихся к
главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink такие как
laquoDSPraquo laquoFixed-Pointraquo laquoNonlinear control designraquo и laquoPower systemsraquo
В разделе Extension Simulink имеется ряд средств предназначен-
ных для моделирования в реальном масштабе времени и событийно-
управляемом моделировании
26
5 Структурные преобразования в MATLAB
В пакете MATLAB имеется ряд функций с помощью которых
можно выполнять структурные преобразования (используется экви-
валентная схема)
ndash series(w1w2) ndash последовательное соединение звеньев
ndash parallel(w1w2) ndash параллельное соединение звеньев
ndash feedback(w1w2) ndash включение звена w2 в контур отрицательной об-
ратной связи к w1
ndash feedback(w1w2sign) ndash включение звена w2 в контур обратной связи
звена w1 с указанием знака + или ndash (очевидно feedback(w1w2)=
=feedback(w1w2-1))
Пример
Даны две передаточные функции
22
221
ss
sW
22
322
2
2
ss
ssW
Опишем ПФ введя в окне команд MatLab следующие команды
gtgt w1=tf([1 2][1 2 2])
gtgt w2=tf([1 2 3][1 2 2])
Выполним структурные преобразования для данных ПФ
gtgt w2=series(w1w2)
Transfer function
s^3 + 4 s^2 + 7 s + 6
------------------------------------
s^4 + 4 s^3 + 8 s^2 + 8 s + 4
gtgt w3=parallel(w1w2)
Transfer function
s^4 + 5 s^3 + 13 s^2 + 16 s + 10
----------------------------------------
s^4 + 4 s^3 + 8 s^2 + 8 s + 4
27
gtgt w4=feedback(w1w2)
Transfer function
s^3 + 4 s^2 + 6 s + 4
----------------------------------------
s^4 + 5 s^3 + 12 s^2 + 15 s + 10
Для проверки правильности проведенных преобразований необ-
ходимо собрать схему исходной САУ и соответствующую ей эквива-
лентную схему в MATLAB Simulink
Исходная схема САУ собирается как модель из соответствую-
щих элементов таких как laquoTransfer Fncraquo laquostepraquo laquosignal builderraquo
laquoscoperaquo и laquosumraquo Все эти элементы находятся в пакете laquoSimulinkraquo и
представлены в виде блоков Для того чтобы создать новую модель
необходимо нажать laquoFile-gtNew-gtModel (Simulink)raquo после откроется
окно модели в которую нужно будет добавлять элементы из библио-
теки для доступа к ней необходимо нажать на значок laquoLibrary Brows-
erraquo
Описание используемых элементов из пакета Simulink
1 Transfer Fnc ndash передаточная функция
2 Step ndash единичный скачок (функция Хэвисайда) в блоке необходи-
мо задать время начала перехода (step time)
3 Signal builder ndash блок для моделирования сигнала по заданным па-
раметрам (можно построить единичный скачок и импульсную функ-
цию)
4 Scope ndash виртуальный осциллограф отображает получившийся гра-
фик открывается двойным щелчком левой клавиши мыши и для кор-
рекции масштаба необходимо нажать правой кнопкой по графику и
из выпадающего меню выбрать laquoautoscaleraquo
5 Sum ndash сумматор в параметрах задается число сигналов соответ-
ственно laquo+raquo - положительный laquondashraquo - отрицательный
Так же нужно задать время работы модели для этого необходи-
мо выбрать laquoSimulation-gtSimulation parametersraquo и установить пара-
метр laquostop timeraquo на нужное значение и после необходимо запустить
модель на выполнение нажав на значок laquoStart simulationraquo Пример
модели составленной в MATLAB представлен на рис 10
28
Рис 10 Пример схемы САУ с блоком laquosignal builderraquo
Задача считается решенной если при подаче на вход обоих
схем одинаковых тестовых воздействий (единичный скачок импуль-
сная функция) наблюдаются одинаковые выходные сигналы
6 Задание на лабораторную работу
Выполнить преобразование структурной схемы САУ в эквива-
лентную передаточную функцию Составить модель исходной схемы
САУ в MATLAB С помощью ряда функций MATLAB (структурные
преобразования) составить эквивалентную схему Вариант задания
назначается преподавателем
7 Методика выполнения задания
Порядок выполнения работы
1 Выполнить преобразование заданного варианта структурной
схемы САУ (см табл 2) в эквивалентную ПФ тремя способами
ndash непосредственно используя правила табл 1
ndash используя представление в виде сигнального графа и формулу
Мейсона
ndash составив систему уравнений и решив еѐ
2 В качестве звеньев W1W2W3 использовать передаточные
функции звеньев представленных в табл 2
3 Составить модель исходной схемы САУ в MATLAB постро-
ить реакцию получившейся модели на ступенчатое и импульсное
воздействия
4 С помощью ряда функций MATLAB (структурные преобразо-
вания) составить эквивалентную схему и построить реакцию на сту-
пенчатое и импульсное воздействия
5 Подготовить ответы на контрольные вопросы
29
Таблица 2
Варианты структур САУ
Исходная схема
Передаточные
функции
1 W1
W3
W2
-
+
-
+
u y
+
1
31
sW
2
442
s
sW
12
133
s
sW
2 W1
W3
W2
-
+
-
+
u y
+ +
3 W3
W2
W1
-
+
-
+
u y
+ +
4 W3
W1
W2
+
+
-
+
u y
+ +
1
21
sW
2
12
sW
12
13
s
sW
5
W1
W3
W2
-
+
-
+
u y
+ +
6
W1
W3
W2
-
+
-
+
u y
+
62
31
sW
2
52
sW
1
23
s
sW
7
W1
W3
W2
-
+
-
+
u y
+ +
8
W1
W2
W3
-
+
-
+
u y
+ +
30
8 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) описание всех этапов преобразования исходной схемы и по-
лучающихся промежуточных результатов выполненными тремя спо-
собами моделирование реакции схемы на типовое воздействие (ска-
чок) до и после преобразования
б) сигнальный граф системы описание путей контуров расчет
ПФ по формуле Мейсона
в) решение составленной системы уравнений
г) схема модели и протокол команд MATLAB
д) графики переходных процессов при подаче на вход исходной
и эквивалентной схемы типовых тестирующих воздействий (скачок
импульс)
е) ответы на контрольные вопросы
Контрольные вопросы
1 Что называется структурной схемой Какие задачи можно
решить с еѐ помощью
2 Как может быть составлена структурная схема
3 Что позволяет алгоритмизировать процесс упрощения струк-
турной схемы Поясните на конкретном примере
31
Лабораторная работа 3
ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
ДИНАМИЧЕСКИХ ЗВЕНЬЕВ
1 Цель работы
Целью работы является изучение частотных характеристик ти-
повых динамических звеньев с использованием автоматизированных
средств моделирования на ПК ndash MATLAB SIMULINK
2 Задачи работы
ndash Закрепление углубление и расширение знаний студентов при
исследовании частотных характеристик динамических звеньев
ndash Приобретение умений и навыков работы с программой мате-
матического моделирования MATLAB
ndash Выработка способности логического мышления осмысление
полученных данных частотных характеристик
3 Теоретическая часть Сущность метода частотных характеристик заключается в том
что на вход исследуемой системы подается гармонический сигнал (си-
нусоидальные колебания) в широком диапазоне частот Реакция си-
стемы при разных частотах позволяет судить о ее динамических
свойствах
Пусть входной сигнал системы имеет амплитуду а и частоту ω т е
описывается формулой
)sin( tax
Выходной сигнал будет иметь амплитуду А1 и отличаться от вход-
ного по фазе на величину ψ (фазовый сдвиг)
)sin(1 tAy
Таким образом можно рассчитать усиление по амплитуде
1
a
AA
32
Для каждой частоты входного сигнала ω будут свои А и ψ
Изменяя ω в широком диапазоне можно получить зависимость
А(ω) ndash амплитудную частотную характеристику (АЧХ) и ψ(ω) ndash фазо-
вую частотную характеристику (ФЧХ)
Главное достоинство метода частотных характеристик заключа-
ется в том что АЧХ и ФЧХ объекта могут быть получены экспери-
ментально Для этого необходимо иметь генератор гармонических
колебаний который подключается к входу объекта и измеритель-
ную аппаратуру для измерения амплитуды и фазового сдвига колеба-
ний на выходе объекта
Частотные характеристики САУ могут быть получены по ее ПФ
W(s) Для суждения о реакции звена на синусоидальный сигнал доста-
точно исследовать его реакцию на гармонический сигнал вида
)( tjejx
Тогда выходной сигнал определяется по соотношению
)()( ))(( tjeAjy
и частотная ПФ получается равной
)()(
)()( )(
jeA
jx
jyjW
Формально для получения частотной ПФ надо сделать в W(s)
подстановку s = jω и тогда полученная W(jω) является комплексным
выражением которое можно представить в виде
)()(
)()()(
22
11
jba
jbajW
Для нахождения вещественной и мнимой частей частотной пе-
редаточной функции необходимо умножить числитель и знаменатель
на сопряженную знаменателю величину а затем провести
разделение
33
)()()(
)()(
)()()()(
)()(
)()()()(
))()())(()((
))()())(()((
)()(
)()()(
)(
22
22
2112
22
22
2121
2222
2211
22
11
jeAjVU
ba
babaj
ba
bbaa
jbajba
jbajba
jba
jbajW
где
)()()()(22
22
21
2122
ba
baVUjWA
)(
)())(arg()(
2
2
1
1
a
barctg
a
barctg
U
VarctgjW
Графики функции )(U и )(V называют соответственно веще-
ственной и мнимой частотной характеристиками
В практических расчетах удобно применять графики частотных
характеристик построенных в логарифмическом масштабе ndash лога-
рифмические частотные характеристики (ЛЧХ)
Логарифмическая амплитудная частотная характеристика
(ЛАЧХ) определяется следующим выражением
)(lg20)( AL
Логарифмической фазовой частотной характеристикой
(ЛФЧХ) называется график зависимости )( построенный в лога-
рифмическом масштабе частот
Единицей L(ω) является децибел (дБ) а единицей логарифма ча-
стоты ndash декада Декадой называют интервал частот на котором часто-
та изменяется в 10 раз При изменении частоты в 10 раз говорят что
она изменилась на одну декаду Ось ординат при построении ЛЧХ про-
водят через произвольную точку а не через точку ω = 0 Частоте ω = 0
соответствует бесконечно удаленная точка lgω rarr ndash infin при ω rarr 0
Основное преимущество использования ЛЧХ заключается в том
что приближенные (асимптотические) ЛАЧХ типовых динамических
звеньев изображаются отрезками прямых
Пример Построим ЛЧХ апериодического звена первого
34
порядка
Передаточная функция звена
1
)(
Ts
ksW
Частотная передаточная функция
1)(
)1(
1)(
2
T
Tjk
Tj
kjW
1)(
1)( 22
T
kTV
T
kU
Следовательно АЧХ описывается формулой
1)(
)(2
T
kA
ФЧХ строится по формуле
)()( Tarctg
ЛАЧХ апериодического звена 1-го порядка
1)(lg20lg20)( 2 TkL
По этой формуле можно построить две асимптоты ndash прямые к
которым стремится ЛАЧХ при ω rarr 0 и при ω rarr infin Так при ω rarr 0 второе
слагаемое близко к нулю и этот участок ЛАЧХ представляет собой
горизонтальную прямую
lg20)( kL
При ω rarr infin получаем наклонную прямую
1)(lg20)( 2 TL
35
Для определения наклона этой прямой можно рассмотреть гра-
ницы декады
T
1 и
10
T
Изменение ЛАЧХ между этими точками
)(2011
lg20110
lg20)(
22
декдБT
TT
TL
ЛЧХ часто называют диаграммами Боде
4 Краткое описание MATLAB
Лабораторная работа выполняется в программе математического
моделирования MATLAB Она включает в себя пакет прикладных про-
грамм для решения технических задач и одноименный язык программи-
рования используемый в этом пакете
Основными компонентами системы являются базовая система
MATLAB и пакет моделирования систем Simulink Остальные пакеты
расширения разбиты на 4 категории ndash расширения Extension MATLAB и
Extension Simulink а также комплексы пакетов расширения Blockset и
Toolbox
Раздел MATLAB Extension содержит средства для подготовки ис-
полняемых приложений MATLAB (с подключаемыми библиотеками и
без них)
Раздел Toolbox (инструментальные средства) содержит самое
большое число пакетов расширений системы MATLAB такие как
laquoControl systemraquo laquoDatabaseraquo laquoFuzzy logicraquo laquoWaveletraquo и тд
В разделе Blockset расположено несколько пакетов относящихся к
главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink такие как
laquoDSPraquo laquoFixed-Pointraquo laquoNonlinear control designraquo и laquoPower systemsraquo
В разделе Extension Simulink имеется ряд средств предназначен-
ных для моделирования в реальном масштабе времени и событийно-
управляемом моделировании
36
5 Построение частотных характеристик в MATLAB В пакете MATLAB ЛЧХ объекта заданного с помощью ПФ
можно получить командой bode
Пример
gtgt w=tf([1 2][3 4 5])
gtgt bode(w)
Для нескольких вариантов передаточной функции можно исполь-
зовать вариант команды вида
gtgt bode(ww1w2)
Например построим диаграмму Боде при различных параметрах
колебательного звена (рис 1)
gtgt w=tf([1][2 03 1])
gtgt w1=tf([1][2 05 1])
gtgt w2=tf([1][2 01 1])
gtgt bode(ww1w2)
Рис 1 ЛЧХ колебательного звена
6 Задание на лабораторную работу
С помощью пакета MATLAB построить ЛЧХ каждого типового
звена Определить влияние коэффициентов входящих в описание
каждого звена на параметры ЛАЧХ и ЛФЧХ Вариант задания назна-
чается преподавателем
37
7 Методика выполнения задания
Порядок выполнения работы
1 Задать передаточную функцию типового динамического звена
используя параметры из табл 2 лабораторной работы 1
2 Построить диаграмму Боде при различных параметрах типо-
вого динамического звена
3 Определить влияние коэффициентов входящих в описание
каждого звена на параметры ЛАЧХ и ЛФЧХ в том числе
ndash как меняется ширина асимптотических участков ЛАЧХ и
ЛФЧХ
ndash как меняется положение точек пересечения осей ЛАЧХ
4 Написать вывод по влиянию коэффициентов на типовое звено
5 Выполнить пункты 1-4 для всех типовых звеньев
6 Подготовить ответы на контрольные вопросы
8 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) титульный лист
б) краткие теоретические сведения
в) передаточные функции и схемы моделирования исследуемых
звеньев
г) экспериментально полученные характеристики при вариации
параметров каждого звена
д) выводы обобщающие проделанные эксперименты по каждо-
му звену
ж) ответы на контрольные вопросы
Контрольные вопросы
1 Как пользуясь частотными характеристиками определить па-
раметры (коэффициенты передаточной функции) звена Пояс-
нить на конкретных примерах
2 Указать особенности построения ЛАХ и ЛФХ динамических
звеньев Что понимается под асимптотической ЛАХ звена
3 Как осуществляется построение АФХ динамического звена
38
Лабораторная работа 4
ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ СИСТЕМ
С ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ
1 Цель работы
Изучение особенностей практического использования алгебраи-
ческих и частотных критериев устойчивости для анализа динамики
линейных САУ с использованием автоматизированных средств моде-
лирования на ПК ndash MATLAB SIMULINK
2 Задачи работы
ndash Закрепление углубление и расширение знаний студентов при
исследовании устойчивости систем с обратной связью
ndash Приобретение умений и навыков работы с программой мате-
матического моделирования MATLAB
ndash Овладение новыми методами проверки устойчивости систем
с обратной связью
ndash Выработка способности логического мышления осмысления
полученных данных
3 Теоретическая часть
Устойчивость САУ является одним из основных условий ее ра-
ботоспособности и включает требование затухания во времени пере-
ходных процессов
Система является устойчивой если при ограниченном входном
сигнале еѐ выходной сигнал также является ограниченным Если
система устойчива то она противостоит внешним воздействиям а
выведенная из состояния равновесия возвращается снова к нему
Система с расходящимся переходным процессом будет неустойчивой и
неработоспособной
Необходимое и достаточное условие устойчивости заключается в
том чтобы все корни характеристического уравнения (полюсы пере-
даточной функции системы) имели отрицательные вещественные ча-
сти Иначе говоря условием устойчивости системы является распо-
ложение всех полюсов в левой комплексной полуплоскости Тогда все
полюсы будут давать затухающую реакцию
Выше сформулированное условие устойчивости справедливо как
39
для линейных так и для линеаризованных систем Однако в случае
нулевых или чисто мнимых корней характеристического уравнения
вопрос об устойчивости линеаризованной системы может быть ре-
шен только на основании исследования ее нелинейных уравнений
В конце XIX и первой половине XX в задача вычисления корней
характеристического уравнения высокого порядка вызывала боль-
шие проблемы Поэтому были предложены несколько косвенных
методов оценки устойчивости позволяющих обойтись без вычисле-
ния корней ndash по значениям коэффициентов характеристического
уравнения
Критерии устойчивости разделяют на алгебраические и частот-
ные В частности к алгебраическим критериям относится критерий
Гурвица к частотным критериям ndash критерий Найквиста
Критерий Гурвица является алгебраическим критерием и при-
меняется к коэффициентам характеристического уравнения замкнутой
системы
Пусть имеется характеристическое уравнение замкнутой
системы
0011
1 apapapa n
nn
n
Из коэффициентов характеристического уравнения составляют
матрицу по правилу
1 По диагонали записываются коэффициенты от 1na до 0a
2 Каждая строка дополняется коэффициентами с возрастающи-
ми индексами слева направо так чтобы чередовались строки с нечет-
ными и четными индексами
3 В случае отсутствия индекса а также если он меньше 0 или
больше п на его место пишется 0
Таким образом матрица Гурвица приобретает следующий вид
40
Критерий устойчивости формулируется так
Чтобы система была устойчивой необходимо и достаточно что-
бы при 0na были положительными все п диагональных определи-
телей получаемых из матрицы Гурвица
Первые три определителя матрицы Гурвица имеют следующий
вид
Таким образом критерий Гурвица позволяет судить об абсо-
лютной устойчивости но он не дает возможности оценивать относи-
тельную устойчивость по корням характеристического уравнения
Частотный критерий устойчивости Найквиста анализирует
АФЧХ разомкнутой системы
Пусть имеется АФЧХ разомкнутой системы W(jω)
Для нахождения вещественной и мнимой части частотной ха-
рактеристики нужно освободиться от мнимости в знаменателе путем
умножения числителя и знаменателя на комплексную величину со-
пряженную знаменателю а затем выполнить разделение на веще-
ственную и мнимую части W(jω) приобретает вид
)()()( jQPjW
Задаваясь различными значениями частоты можно найти мно-
жество пар )()( 11 jQP )()( 22 jQP )()( nn jQP
Затем по этим парам строится АФЧХ на комплексной плоскости
Основные свойства АФЧХ разомкнутой системы
1 Если разомкнутая система не имеет интегрирующих звеньев
то при ω = 0 ее АФЧХ начинается на вещественной оси в точке
Р(ω)=К (где К ndash коэффициент усиления разомкнутой системы) За-
канчивается АФЧХ в начале координат при ω rarr infin (рис 1 а)
2 Если разомкнутая система имеет одно интегрирующее звено то
ее АФЧХ начинается при ω = 0 в бесконечности на отрицательной мни-
мой полуоси а заканчивается в начале координат при ω rarr infin (рис 1 б)
41
Рис 1 АФЧХ разомкнутой системы
Критерий устойчивости Найквиста формулируется так
1 Если разомкнутая система устойчива или находится на гра-
нице устойчивости то для того чтобы замкнутая система была
устойчива необходимо и достаточно чтобы АФЧХ разомкнутой
системы при изменении частоты ω от 0 до infin не охватывала точку с ко-
ординатами (-1 j0)
2 Если разомкнутая система неустойчива а ее передаточная
функция имеет т полюсов справа от мнимой оси на комплексной
плоскости то для устойчивости замкнутой системы необходимо и до-
статочно чтобы АФЧХ разомкнутой системы при изменении частоты
ω от -infin до +infin охватывала т раз точку с координатами (-1 j0)
При использовании этого критерия нужно учитывать две
особенности
1 Если разомкнутая система находится на границе устойчиво-
сти то ее АФЧХ уходит в бесконечность Для проверки критерия Най-
квиста нужно мысленно соединить конец АФЧХ дугой бесконечно
большого радиуса с положительной вещественной полуосью
2 На практике АФЧХ может строиться только для положитель-
ных частот (0 lt ω lt +infin) При применении критерия Найквиста счита-
ется что ветвь АФЧХ для отрицательных частот симметрична отно-
сительно вещественной оси
Физический смысл критерия устойчивости Найквиста заключа-
ется в том что система будет неустойчива если фаза выходного сиг-
нала противоположна фазе входного сигнала а коэффициент усиле-
ния больше 1 Поэтому для анализа устойчивости можно использо-
вать не АФЧХ а ЛАХ системы (для минимально-фазовых систем)
Система устойчива если на частоте среза значение фазы не превы-
шает -π Соответственно для устойчивой системы можно рассматри-
вать на ЛФЧХ запас устойчивости по фазе ndash расстояние от значения
фазы на частоте среза до уровня -π и запас устойчивости по амплиту-
42
де ndash расстояние от оси частот ЛАЧХ до значения усиления на часто-
те где фаза становится равной -π
4 Краткое описание MATLAB
Лабораторная работа выполняется в программе математического
моделирования MATLAB Программа MATLAB включает в себя пакет
прикладных программ для решения технических задач и одноименный
язык программирования используемый в этом пакете
Основными компонентами системы являются базовая система
MATLAB и пакет моделирования систем Simulink Остальные пакеты
расширения разбиты на 4 категории ndash расширения Extension MATLAB и
Extension Simulink а также комплексы пакетов расширения Blockset и
Toolbox
Раздел MATLAB Extension содержит средства для подготовки ис-
полняемых приложений MATLAB (с подключаемыми библиотеками и
без них)
Раздел Toolbox (инструментальные средства) содержит самое
большое число пакетов расширений системы MATLAB такие как
laquoControl systemraquo laquoDatabaseraquo laquoFuzzy logicraquo laquoWaveletraquo и тд
В разделе Blockset расположено несколько пакетов относящихся к
главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink такие как
laquoDSPraquo laquoFixed-Pointraquo laquoNonlinear control designraquo и laquoPower systemsraquo
В разделе Extension Simulink имеется ряд средств предназначен-
ных для моделирования в реальном масштабе времени и событийно-
управляемом моделировании
5 Исследование устойчивости САУ в MATLAB
Для проверки устойчивости САУ по Гурвицу постройте матрицу
Гурвица и найдите ее детерминант (функция det) Затем последова-
тельно уменьшая размер матрицы найдите значения всех диагональ-
ных детерминантов Пример
gtgt А=[1 14 18 2 5 2 3 4 3]
А =
1 14 18
2 5 2
3 4 3
gtgt det(A)
ans = -119
43
gtgt А1=А(12 12)
А1 =
1 14
2 5
gtgt det(A1)
ans = -23
Для проверки устойчивости САУ по Найквисту сначала нужно
выяснить является ли устойчивой разомкнутая система
Пример Пусть дана передаточная функция разомкнутой
системы
13232
12234
pppp
pW
Рассмотрим реакцию на скачок
gtgt w=tf([2 1][2 3 2 3 1])
gtgt step(w18)
График переходного процесса показан на рис 2
Рис 2 Переходная реакция
Разомкнутая система неустойчива и согласно критерию Найкви-
ста надо чтобы АФЧХ разомкнутой системы охватывала точку (-1 j0)
44
столько раз сколько полюсов имеется справа от мнимой оси Для по-
строения АФЧХ достаточно вызвать команду nyquist
gtgt nyquist(w)
Диаграмма Найквиста показана на рис 3
Рис 3 Диаграмма Найквиста для неустойчивой системы
Как показывает рис3 АФЧХ ни разу не охватывает точку
(-1 j0) поэтому замкнутая система будет неустойчивой Частотный
критерий Найквиста можно использовать и в том случае когда рас-
сматривается не АФЧХ а ЛАЧХ разомкнутой системы замкнутая
минимально-фазовая система устойчива если при достижении ЛФЧХ
значения -π ЛАЧХ будет отрицательной
Используя ЛАЧХ и ЛФЧХ можно оценить запасы устойчивости
системы по амплитуде и по фазе с помощью команды
gtgt margin(w)
Пример
gtgt w=tf([10][2 2 3 1])
gtgt margin(w)
Соответствующий график показан на рис 4
45
Рис 4 Определение запасов устойчивости по амплитуде и по фазе
6 Задание на лабораторную работу
Выполнить исследование устойчивости замкнутой системы по за-
данной передаточной функции разомкнутой системы Определить запас
устойчивости по амплитуде и по фазе Вариант задания назначается
преподавателем
7 Методика выполнения задания
Порядок выполнения работы
1 Рассчитать передаточную функцию замкнутой системы по
приведенной в табл 1 разомкнутой системе
2 Определить устойчивость замкнутой системы используя кри-
терий Гурвица
3 Определить устойчивость замкнутой системы используя кри-
терий Найквиста
4 Определить запас устойчивости по амплитуде и по фазе ис-
пользуя ЛАЧХ и ЛФЧХ
5 Выполнить моделирование переходных процессов разомкну-
той и замкнутой систем
6 Подготовить ответы на контрольные вопросы
46
Таблица 1
Варианты заданий
Передаточная функция разомкнутой системы
1 1355
2234
ssss
W
2 110050
1234
ssss
W
3 11010
123
sss
W
4 122105
100234
ssss
W
5 1248
123
sss
W
6 1223
102345
sssss
W
7 11001010
323
sss
W
8 122
1023
sss
W
9 11010
123
sss
W
10 15050332
102345
sssss
W
8 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) титульный лист
б) краткие теоретические сведения
в) переходную функцию разомкнутой системы
г) расчет передаточной функции замкнутой системы
д) расчетные выражения для обоснования устойчивости замкну-
той системы по алгебраическому критерию Гурвица
е) годограф Найквиста разомкнутой системы на основании кото-
рого делается вывод об устойчивости замкнутой системы
ѐ) переходную функцию замкнутой системы
ж) проверку полученных результатов путем компьютерного моде-
лирования переходных процессов разомкнутой и замкнутой си-
стемы в MATLAB Simulink
з) выводы по всем полученным результатам
47
Контрольные вопросы
1 Как связана устойчивость линейной САУ с видом составля-
ющих ее свободного движения
2 Зависит ли устойчивость линейных САУ от амплитуды зада-
ющих воздействий или возмущений
3 Сформулируйте критерий устойчивости Гурвица укажите на
необходимое условие устойчивости линейных САУ вытекаю-
щее из этого критерия
4 Сформулируйте критерий Найквиста для случая САУ устой-
чивых в разомкнутом состоянии а также для астатических САУ
Что такое laquoзапасы устойчивости по фазе и по амплитудеraquo
5 Что называется структурной устойчивостью
48
Лабораторная работа 5
КОРРЕКЦИЯ СТАТИЧЕСКИХ И ДИНАМИЧЕСКИХ
СВОЙСТВ САУ
1 Цель работы
Целью работы является изучение способов обеспечения иско-
мых характеристик САУ с использованием автоматизированных
средств моделирования на ПК ndash MATLAB SIMULINK
2 Задачи работы
ndash Закрепление углубление и расширение знаний студентов при
обеспечении искомых характеристик САУ
ndash Приобретение умений по обеспечению точности (уменьшение
статической ошибки) САУ и выбору значений параметров регулято-
ра обеспечивающих желаемые динамические свойства САУ
ndash Приобретение умений и навыков работы с программой мате-
матического моделирования MATLAB
3 Теоретическая часть
Коррекция статических и динамических свойств САУ имеет
своей целью повышение статической и динамической точности отра-
ботки системой задающего воздействия (или парирование возмуща-
ющего воздействия) повышение запасов ее устойчивости Наиболее
распространенными способами коррекции свойств САУ является из-
менение коэффициента усиления ее разомкнутой части введение в
САУ новых звеньев (как правило интегрирующего или дифференци-
рующего типа) охват объекта управления местной обратной связью
31 Коррекция статических свойств САУ
Статические свойства системы определяются величиной устано-
вившейся ошибки )t(уст вызванной действием задающего воздей-
ствия и определяемой по формуле
22
210 2 dttgdcdttdgctgctуст (1)
где )(tg - входное воздействие 210 ccc - коэффициенты ошибок
Коэффициенты ошибок определяются по формулам
49
dssdcdssdcscs
mmmss 00100
где s - передаточная функция САУ по ошибке управления рав-
ная
sW
sраз
1
1
sWраз - передаточная функция разомкнутой САУ
Основными способами уменьшения статической ошибки систе-
мы являются
1) увеличение коэффициента усиления прямого тракта системы
2) введение в прямой тракт системы интегрирующих звеньев
3) охват объекта управления местной неединичной положитель-
ной обратной связью
Представим структурную схему системы в виде изображенном
на рис 1 где через sW обозначена передаточная функция неизме-
няемой части системы
bsbsb
asasasW
nn
nn
mm
mm
01
1
01
1
Здесь и далее полагается что KKKsW s 000 0 ndash из-
меняемый коэффициент усиления регулятора системы
Первые два коэффициента ошибок 0c и 1c определяется выраже-
ниями
KK
c0
01
1
(2)
KK
dssdWKc
s
20
01
1
(3)
Из (2) и (3) с учетом (1) вытекает что с увеличением K
статическая ошибка в системе уменьшается и наоборот с уменьше-
нием K статическая ошибка в системе увеличивается
Введем в прямой тракт системы одно интегрирующее звено
50
(рис 2) В этом случае c 00 01 1 KKc
Так как c 00 то система на рис 2 является астатической (с
астатизмом первого порядка) Система имеет нулевую статическую
ошибку при отработке постоянного задающего воздействия
consttg и постоянную обратно пропорциональную K ошибку
constуст при отработке линейно изменяющегося воздействия
tatg
Рис 1 Схема САУ Рис 2 Схема САУ с включенным в прямой
тракт интегрирующим звеном
Охватим неизменяемую часть системы sW местной нееди-
ничной положительной обратной связью с коэффициентом усиления
осK (рис 3) Тогда эквивалентная передаточная функция sWэкв
неизменяемой части системы равна
10011
01
1
aKbsaKbsaKbsb
asasa
sWK
sWsW
ососm
mосmn
n
mm
mm
осэкв
(4)
Если коэффициент усиления K выбрать из условия
a
bKос
0
0
то свободный коэффициент (b0 - Koca0) полинома знаменателя sWэкв
обратится в нуль и sWэкв приобретает интегрирующие свойства
11
11
0
1
1
aKbsaKbsbs
asasasW
ос
m
mосm
n
n
m
m
m
mэкв
g(t) y(t)ε(t)
K W(s)-
g(t) y(t)
Ks W(s)-
ε(t)
51
Следовательно замкнутая система становится астатической (с
астатизмом 1-го порядка) Отсюда 0c =0 а коэффициент 1c будет
равен
aKb
bc
ос 11
01
ε(t)g(t) y(t)
W(s)-
Kос
Wэкв(s)
+
Рис 3 Схема САУ с местной неединичной обратной связью
32 Коррекция динамических свойств САУ
Улучшение динамических свойств САУ заключается в увеличе-
нии быстродействия САУ (уменьшении времени регулирования tрег)
уменьшении перерегулирования (см рис 4) а также увеличении
запасов устойчивости по фазе и по модулю При этом
h
hh
уст
устmax100
где maxh - максимальное значение переходной характеристики за-
мкнутой САУ th
устh - установившееся значение th
Время регулирования tрег - минимальная величина при которой удо-
влетворяется условие
устрег hth
где - заданная величина ошибки (обычно =005 устh )
52
h(t)
tрег
hустhmax
2δ
Рис 4 Быстродействие и перерегулирование САУ
Одним из эффективных средств достижения этой цели является
уменьшение отрицательных фазовых сдвигов в прямом тракте систе-
мы путем охвата неизменяемой части системы местными отрицатель-
ными обратными связями
На рис 5 R(s) представляет собой передаточную функцию регу-
лятора САУ которая считается заданной
ε(t)g(t) y(t)
W(s)-
Kос
Wэкв(s)
-
R(s)
u(t)
Рис 5 Схема САУ с местной обратной связью и регулятором
Пусть неизменяемая часть системы представляет собой аперио-
дическое звено первого порядка те
sT
K)s(W
10
0
Тогда передаточная функция sWэкв эквивалентного объекта
управления равна
sT
K
sWK
sWsW
экв
экв
осэкв
11
где зквK и эквT - коэффициент усиления и постоянная времени
эквивалентного объекта равные
53
KK
KK
осэкв
0
0
1
KK
TT
осэкв
0
0
1 (5)
Из (5) следует что соответствующим выбором осK постоянную
времени эквT эквивалентного объекта можно уменьшить в (1+ 0KKос )
раз по сравнении с постоянной времени 0T объекта без местной об-
ратной связи Тем самым уменьшаются отрицательные фазовые сдви-
ги вносимые прямым трактом системы что приводит к увеличению
запасов устойчивости системы При этом однако уменьшается в
(1+ 0KKос ) раз коэффициент усиления эквK эквивалентного объекта
по сравнению с коэффициентом усиления 0K объекта без местной
обратной связи Это нежелательно так как приводит к уменьшению
быстродействия системы вследствие уменьшения общего коэффици-
ента усиления прямого тракта системы В этом случае с целью обес-
печения необходимого быстродействия системы увеличивают коэф-
фициент усиления регулятора
4 Краткое описание MATLAB
Лабораторная работа выполняется в программе математического
моделирования MATLAB Программа MATLAB включает в себя пакет
прикладных программ для решения технических задач и одноименный
язык программирования используемый в этом пакете
Основными компонентами системы являются базовая система
MATLAB и пакет моделирования систем Simulink Остальные пакеты
расширения разбиты на 4 категории ndash расширения Extension MATLAB и
Extension Simulink а также комплексы пакетов расширения Blockset и
Toolbox
Раздел MATLAB Extension содержит средства для подготовки ис-
полняемых приложений MATLAB (с подключаемыми библиотеками и
без них)
Раздел Toolbox (инструментальные средства) содержит самое
большое число пакетов расширений системы MATLAB такие как
laquoControl systemraquo laquoDatabaseraquo laquoFuzzy logicraquo laquoWaveletraquo и тд
54
В разделе Blockset расположено несколько пакетов относящихся к
главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink такие как
laquoDSPraquo laquoFixed-Pointraquo laquoNonlinear control designraquo и laquoPower systemsraquo
В разделе Extension Simulink имеется ряд средств предназначен-
ных для моделирования в реальном масштабе времени и событийно-
управляемом моделировании
5 Задание на лабораторную работу
Выполнить исследование способов коррекции статических и
динамических свойств САУ Определить время регулирования и пе-
ререгулирования в исходной и скорректированной системах а также
для динамических свойств САУ определить запасы устойчивости в
исходной системе и найти экспериментально значение Kос обеспечи-
вающее в системе заданные показатели качества и запасы устойчиво-
сти Вариант задания назначается преподавателем
Таблица 1
Варианты заданий
варианта
Параметры
1
2
3
4
5
6
7
8
a 05 10 15 20 25 30 35 40
K0 1 2 3 4 5 6 7 8
T c 03 04 05 06 07 08 09 10
ξ 06 07 08 08 07 09 05 04
уст 0 0 005 0 010 007 0 0
tрег c le 13 15 20 25 30 35 40 40
le 0 10 10 5 5 5 0 0
В качестве исходных САУ выступают системы изображенные
на рис 6 и 7
55
ε(t)g(t) y(t)
W(s)-
g(t) y(t)
R(s) W(s)-
ε(t) u(t)
Рис 6 САУ с отрицательной Рис 7 САУ с отрицательной обратной
обратной связью связью и регулятором
6 Методика выполнения задания
При исследовании способов коррекции статических свойств
САУ в качестве исходных данных выступает передаточная функция
sW неизменяемой части системы вида
1222
0
sTsT
KsW (6)
и задающие воздействия вида ttg 1 в соответствии с таблицей 1
В процессе выполнения этой части работы необходимо
1) путем моделирования в системе MATLAB исходной САУ
(рис 6) получить графики ttytg
2) сравнить полученную таким образом экспериментальную ве-
личину t с теоретической величиной вычисленной по формуле (1)
3) применяя описанные в теоретической части методических
указаний способы коррекции статических свойств (см п 31) обес-
печить требуемую статическую ошибку εуст системы при отработке
задающего воздействия ttg 1
4) получить графики ty и t в скорректированной системе
для 1 ttg
5) сравнить время регулирования регt и перерегулирование в
исходной и скорректированной системах при 1 ttg
При исследовании рассмотренного способа коррекции динами-
ческих свойств САУ (см п 32) в качестве исходных данных высту-
пают передаточная функция sW неизменяемой части системы
вида (6) и передаточная функция регулятора вида
s
KsR
рег
56
Задающее воздействие ttg 1
В процессе выполнения данной части работы необходимо
1) получить путем моделирования в MATLAB графики ty t
в системе (рис 7)
2) определить время регулирования регt и перерегулирование
а также запасы устойчивости в исходной системе
3) применяя описанный выше способ коррекции динамических
свойств САУ найти экспериментально (путем последовательного пе-
ребора) значение осK обеспечивающее в системе заданные заданием
показатели качества ( регt ) и запасы устойчивости (при необхо-
димости увеличить коэффициент регK )
4) получить графики ty t а также ЛАХ и ЛФХ разомкну-
той системы в скорректированной САУ
7 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) титульный лист
б) структурные схемы исследуемых систем
в) полученные графики и характеристики
г) значения полученные экмпериментально которые
обеспечивают заданные показатели качества и запасы устойчивости
д) выводы обощающие проделанные эксперименты для
коррекции статических и динамических свойств САУ
е) ответы на контрольные вопросы
Контрольные вопросы 1 Дать определение статической и астатической САУ
2 Какими структурными свойствами системы определяется по-
рядок ее астатизма
3 Какой из двух приведенных выше способов придания системе
свойств астатизма 1-го порядка наиболее предпочтителен на
практике
4 Назовите основные показатели качества САУ Поясните их
смысл
5 В чѐм суть исследуемого способа коррекции динамических
свойств САУ
57
6 Назвать другие способы коррекции динамических свойств
САУ
7 Чем вызваны отрицательные фазовые сдвиги в неизменяемой
части САУ
58
Лабораторная работа 6
МЕТОД КОРНЕВОГО ГОДОГРАФА
1 Цель работы
Целью работы является построение корневого годографа и ис-
следование динамики системы с использованием автоматизирован-
ных средств моделирования на ПК ndash MATLABSIMULINK
2 Задачи работы
ndash Закрепление углубление и расширение знаний студентов при
исследование динамики системы
ndash Овладение навыком построения корневого годографа
ndash Приобретение умений и навыков работы с программой мате-
матического моделирования MATLAB
3 Теоретическая часть
Корневым годографом (КГ) называется совокупность траекто-
рий перемещения всех корней характеристического уравнения за-
мкнутой системы при изменении какого-либо параметра этой систе-
мы
Обычно метод КГ позволяет находить полюса и нули ПФ за-
мкнутой системы располагая полюсами и нулями разомкнутой си-
стемы при изменении коэффициента усиления разомкнутой системы
K
ПФ разомкнутой системы Wp(s) представим в следующем виде
)(
)(
1
1
0
n
ii
m
jj
p
ss
ssKC
sW (1)
где 0js ndash нули ПФ sWp )1( mj
is ndash полюса ПФ sWp
)1( nj n и m ndash порядки знаменателя и числителя C ndash коэффици-
ент представления (отношение коэффициентов при старших членах
числителя и знаменателя)
59
При замыкании системы с ПФ sWp единичной отрицатель-
ной обратной связью ПФ замкнутой системы sWз принимает вид
)(1
)(
sW
sWsW
p
pз
(2)
Из выражения (2) следует что нули ПФ замкнутой системы рав-
ны нулям ПФ разомкнутой системы
Для нахождения полюсов рассмотри выражение
01 sWp (3)
в соответствии с выражением (1) имеем
n
i
m
jjin
ii
m
jj
ssKCss
ss
ssKC
1 1
0
1
1
0
)()(01
)(
)(
(4)
На основании выражения (4) можно сказать что при K = 0 корни
характеристического уравнения совпадают с полюсами а при K = infin ndash
с нулями При изменении K от 0 до infin траектории корней начинаются
в полюсах и заканчиваются в нулях Обычно полюсов больше чем
нулей В этом случаем mn ветвей корневого годографа стремятся к
infin
Для определения полюсов замкнутой системы с отрицательной
обратной связью необходимо решить уравнение (его называют ос-
новным уравнением метода КГ)
1sWp (5)
Так как sWp является функцией комплексного переменного
s то уравнение (5) распадается на два уравнения уравнение модулей
1)( sWp (6)
60
и уравнение аргументов (фаза вектора -1 есть нечетное число π)
210)12()(arg sWp (7)
Как известно при умножении комплексных чисел их аргументы
складываются а при делении ndash вычитаются Поэтому исходя из вы-
ражения (1) уравнение (7) имеет наглядный геометрический смысл
Пусть точка s ndash полюс замкнутой системы Если провести в s
вектора из нулей sWp (обозначим аргументы этих векторов 0j ) и
вектора из всех полюсов sWp (обозначим аргументы этих векторов
i ) то уравнение (7) можно записать в следующем виде
m
j
n
iij
1 1
0 210)12( (8)
Углы q отсчитываются от положительного направления дей-
ствительной оси Знак угла laquo+raquo соответствует повороту против часо-
вой стрелки знак угла laquo-raquo соответствует повороту по часовой стрел-
ке
Таким образом любая точка КГ должна удовлетворять уравне-
нию (8) из которого следует что конфигурация КГ не зависит от ко-
эффициента усиления K но каждому конкретному значению K одно-
значно соответствуют точки на КГ
При умножении комплексных чисел их модули перемножаются
а при делении ndash делятся Поэтому на основании (6) можно записать
1
1
1
0
n
ii
m
jj
l
lKC
(9)
где 0jl ndash модуль (длина) вектора проведенного из j-нуля в точку s
КГ il ndash модуль вектора проведенного из i-полюса в ту же точку s
61
Таким образом траектории корней строятся только по уравне-
ниям фаз а уравнение модулей используется затем для нахождения
K
Сущность метода КГ заключается в том чтобы узнать каким
должен быть коэффициент усиления разомкнутой системы чтобы
было обеспечено желаемое положение корней замкнутой системы
Корневой годограф системы с отрицательной обратной связью
обладает следующими основными свойствами
1 Ветви КГ непрерывны и расположены на комплексной плос-
кости симметрично относительно действительной оси
2 Число ветвей КГ равно порядку системы n Ветви начинают-
ся в n полюсах разомкнутой системы при K=0 При возрастании K от
0 до infin полюса замкнутой системы двигаются по ветвям КГ
3 mветвей КГ при возрастании K от 0 до infin заканчиваются в m
нулях )(sWp а )( mn ветвей при K стремящемся к infin удаляются
от полюсов вдоль асимптот
4 При расположении ветвей корневого годографа в левой полу-
плоскости s САУ устойчива При пересечении ветвей КГ мнимой оси
слева направо САУ становится неустойчивой Пусть при K=Kкр
пере-
сечение КГ с мнимой осью произойдет в некоторой точке iωкр
Назо-
вем это значение коэффициента усиления критическим Kкр
а вели-
чину iωкр
критической угловой частотой на которой система стано-
вится неустойчивой
4 Краткое описание MATLAB
Лабораторная работа выполняется в программе математического
моделирования MATLAB Программа MATLAB включает в себя пакет
прикладных программ для решения технических задач и одноименный
язык программирования используемый в этом пакете
Основными компонентами системы являются базовая система
MATLAB и пакет моделирования систем Simulink Остальные пакеты
расширения разбиты на 4 категории ndash расширения Extension MATLAB и
Extension Simulink а также комплексы пакетов расширения Blockset и
Toolbox
Раздел MATLAB Extension содержит средства для подготовки ис-
полняемых приложений MATLAB (с подключаемыми библиотеками и
без них)
62
Раздел Toolbox (инструментальные средства) содержит самое
большое число пакетов расширений системы MATLAB такие как
laquoControl systemraquo laquoDatabaseraquo laquoFuzzy logicraquo laquoWaveletraquo и тд
В разделе Blockset расположено несколько пакетов относящихся к
главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink такие как
laquoDSPraquo laquoFixed-Pointraquo laquoNonlinear control designraquo и laquoPower systemsraquo
В разделе Extension Simulink имеется ряд средств предназначен-
ных для моделирования в реальном масштабе времени и событийно-
управляемом моделировании
5 Корневой годограф в MATLAB
В системе MATLAB существует команда zpk для преобразова-
ния модели заданной ПФ в модель заданную нулями полюсами и
обобщенными коэффициентами передачи (zpk-форма)
Пример
gtgt w=tf([10][2 2 3 1 0])
Transfer function
10
-------------------------------
2 s^4 + 2 s^3 + 3 s^2 + s
gtgt w1=zpk(w)
Zeropolegain
5
----------------------------------------------
s (s+03966) (s^2 + 06034s + 1261)
Для работы с корневым годографом удобно использовать гра-
фический интерфейс laquoSISO-Design Toolraquo предназначенный для ана-
лиза и синтеза одномерных линейных систем автоматического управ-
ления (SISO ndash Single Input Signal Output)
Запуск SISO-Design Tool осуществляется командой
gtgt sisotool
63
В появившемся окне графического интерфейса необходимо ис-
пользовать команду laquoFileImportraquo для загрузки данных из рабочего
пространства MATLAB в результате которой появляется диалоговое
окно Import System Data (рис 1)
Рис 1 Диалог для ввода параметров модели
После импортирования данных можно исследовать изменение
временных и частотных характеристик замкнутой системы при изме-
нении K Обычно при этом требуется определить условия неустойчи-
вости замкнутой САУ Определить Kкр
и iωкр
На рис 2 показано окно sisotool для описанной выше модели w1
Двигая красным курсором по КГ до пересечения ветвей с мнимой
осью можно определить значения Kкр
В данном случае Kкр
asymp 01
Значение iωкр
соответствует мнимой координате пересечения КГ
мнимой оси Просмотреть это значение можно в нижней части ин-
терфейса или выбрать меню laquoView Closed-Loop Polesraquo
64
Рис 2 Основное окно SISO-Design Tool
6 Задание на лабораторную работу
Построить КГ в соответствии с вариантом из табл 1 при помо-
щи графического интерфейса sisotool
Исследовать динамику замкнутой системы при различных зна-
чениях коэффициента усиления разомкнутой системы K в том числе
ndash запасы устойчивости в частотной области
ndash параметры переходного процесса во временной области
Таблица 1
Варианты передаточных функций
Значения параметров Передаточная функция
разомкнутой системы
1 T = 01 ζ = 1
)12( 22 sTsTs
K
2 T = 005 ζ = 0707
3 T = 003 ζ = 01
4 T = 008 ζ = 05
5 T = 001 ζ = 015
65
Окончание табл 1
Значения параметров Передаточная функция
разомкнутой системы
6 T1 = 003 T2 = 05 T3 = 01 T4 = 005
)1)(1)(1(
)1(
432
1
sTsTsTs
sTK
7 T1 = 005 T2 = 04 T3 = 008 T4 = 0033
8 T1 = 02 T2 = 045 T3 = 01 T4 = 005
9 T1 = 05 T2 = 025 T3 = 01 T4 = 002
10 T1 = 01 T2 = 025 T3 = 01 T4 = 005
Вариант задания назначается преподавателем
7 Методика выполнения задания
Порядок выполнения лабораторной работы
1 Задать передаточную функцию в MATLAB в соответствии с
вариантом коэффициент K задать любым положительным числом
2 Запустить SISO-Design Tool и осуществить ввод данных
Построить КГ
3 По КГ определить значения коэффициента K когда система
будет устойчивой на границе устойчивости и неустойчива
4 Выбрать значение коэффициента K таким образом чтобы си-
стемы была устойчива и определить запас устойчивости в частотной
области и параметры переходного процесса во временной области
8 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) титульный лист
б) передаточную функцию и этапы построения КГ
в) анализ результатов построения КГ
г) выводы по проделанной работе
д) ответы на контрольные вопросы
Контрольные вопросы 1 Дать определение КГ
2 Что обычно позволяет находить метод КГ
3 В чем заключается сущность метода КГ
4 Что можно определить по КГ
66
Критерии результативности лабораторного практикума
Лабораторная работа считается выполненной если студент
ndash выполнил все указанные задания
ndash представил отчет соответствующий всем требованиям к его
содержанию и оформлению
ndash владеет терминологией и материалом лабораторной работы
ndash способен использовать программное средство математическо-
го моделирования MATLAB
ndash способен предоставить и рассказать результаты выполненной
работы на ПК
ndash может дать пояснения к отчету и ответить на контрольные
вопросы
Список литературы
1 Александров АГ Частотная теория автоматического управле-
ния учебное пособие ndash Электросталь ЭПИ МИСиС 2010
2 Борисевич АВ Теория автоматического управления элементар-
ное введение с применением MATLAB ndash СПб Изд-во Политехн ун-
та 2011
3 Федоров ВЛ Бубнов АВ Теория автоматического управления
учебное пособие ndash Омск Изд-во ОмГТУ 2010
4 Павловская ОО Чернецкая ИВ Теория автоматического
управления учебное пособие ndash Челябинск Изд-во ЮУрГУ 2010
67
Составители ЛЯНЦЕВ Олег Дмитриевич КАЗАНЦЕВ Андрей Валерьевич
ИССЛЕДОВАНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК СИСТЕМ
АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
Лабораторный практикум
по дисциплине
laquoТеория управленияraquo
Подписано в печать Формат 60х84 116 Бумага офсетная Пе-
чать плоская Гарнитура Times New Roman Усл печ л 56 Уч-изд л
55 Тираж 100 экз Заказ
ФГБОУ ВПО Уфимский государственный авиационный технический
университет
Центр оперативной полиграфии УГАТУ
450000 Уфа-центр ул К Маркса 12
4
Содержание
Введениеhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
Лабораторная работа 1 laquo Динамические звенья и их
характеристики во временной областиraquohelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
1 Цель работыhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
2 Задачи работыhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
3 Теоретическая частьhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
4 Краткое описание MATLABhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
5 Моделирование передаточных функций в MATLABhelliphelliphelliphelliphellip
6 Задание на лабораторную работуhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
7 Методика выполнения работыhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
8 Требования к содержанию и оформлению отчетаhelliphelliphelliphelliphelliphellip
Контрольные вопросыhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
Лабораторная работа 2 laquoПреобразования структурных
схемraquohelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
1 Цель работыhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
2 Задачи работыhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
3 Теоретическая частьhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
4 Краткое описание MATLABhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
5 Структурные преобразования в MATLABhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
6 Задание на лабораторную работуhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
7 Методика выполнения работыhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
8 Требования к содержанию и оформлению отчетаhelliphelliphelliphelliphelliphellip
Контрольные вопросыhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
7
8
8
8
8
11
12
13
14
15
15
16
16
16
16
25
26
28
28
30
30
5
Лабораторная работа 3 laquoЧастотные характеристики
динамических звеньевraquohelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
1 Цель работыhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
2 Задачи работыhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
3 Теоретическая частьhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
4 Краткое описание MATLABhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
5 Построение частотных характеристик в MATLABhelliphelliphelliphelliphelliphellip
6 Задание на лабораторную работуhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
7 Методика выполнения работыhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
8 Требования к содержанию и оформлению отчетаhelliphelliphelliphelliphelliphellip
Контрольные вопросыhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
Лабораторная работа 4 laquoИсследование устойчивости
систем с обратной связьюraquohelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
1 Цель работыhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
2 Задачи работыhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
3 Теоретическая частьhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
4 Краткое описание MATLABhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
5 Исследование устойчивости в MATLABhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
6 Задание на лабораторную работуhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
7 Методика выполнения работыhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
8 Требования к содержанию и оформлению отчетаhelliphelliphelliphelliphelliphellip
Контрольные вопросыhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
31
31
31
31
35
36
36
37
37
37
38
38
38
38
42
42
45
45
46
47
6
Лабораторная работа 5 laquoКоррекция статических и динами-
ческих свойств САУraquohelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
1Цель работыhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
2 Задачи работыhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
3 Теоретическая частьhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
31 Коррекция статических свойств САУhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
32 Коррекция динамических свойств САУhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
4 Краткое описание MATLABhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
5 Задание на лабораторную работуhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
6 Методика выполнения работыhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
7 Требования к содержанию и оформлению отчетаhelliphelliphelliphelliphelliphellip
Контрольные вопросыhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
Лабораторная работа 6 laquoМетод корневого годографаraquohelliphellip
1 Цель работыhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
2 Задачи работыhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
3 Теоретическая частьhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
4 Краткое описание MATLABhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
5 Корневой годограф в MATLABhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
6 Задание на лабораторную работуhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
7 Методика выполнения работыhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
8 Требования к содержанию и оформлению отчетаhelliphelliphelliphelliphelliphellip
Контрольные вопросыhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
Критерии результативности лабораторного практикумаhelliphelliphelliphellip
Список литературыhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
48
48
48
48
48
51
53
54
55
56
56
58
58
58
58
61
62
64
65
65
65
66
66
7
Введение
Дисциплина laquoТеория управленияraquo предназначена для формиро-
вания у студентов систематизированного представления об осново-
полагающих принципах управления в технических системах о кон-
цепциях структурах и механизмах лежащих в основе анализа и син-
теза современных систем управления их характеристик и о со-
временных направлениях развития теории управления
В лабораторных работах рассматривается анализ характеристик
объектов управления в пространстве состояний с использованием
среды математического моделирования MATLAB (сокращение от
англ laquoMATrix LABoratoryraquo) Эта программа математического модели-
рования разработанная компанией laquoThe MathWorksraquo оперирует
LTI-моделями (Linear Time Invariant Models ndash линейные модели с по-
стоянными параметрами) что включает работу с заданием переда-
точных функций подачей тестирующих воздействий структурными
преобразованиями определение запаса устойчивости построение
графиков и годографов
В результате выполнения данного лабораторного практикума
формируются следующие компетенции
ndash владение знаниями о теоретических основах и основных
принципах управления методах исследования и синтеза систем
управления
ndash готовность использовать навык решения типовых задач ис-
следования и проектирования систем управления
ndash способность применять программное средство математическо-
го моделирования MATLAB
8
Лабораторная работа 1
ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗВЕНЬЯ И ИХ ХАРАКТЕРИСТИКИ
ВО ВРЕМЕННОЙ ОБЛАСТИ
1 Цель работы
Целью работы является изучение временных характеристик ти-
повых динамических звеньев с использованием автоматизированных
средств моделирования на ПК ndash MATLAB SIMULINK
2 Задачи работы
ndash Закрепление углубление и расширение знаний студентов при
исследовании временных характеристик динамических звеньев
ndash Приобретение умений и навыков работы с программой мате-
матического моделирования MATLAB
ndash Выработка способности логического мышления осмысление
полученных данных переходных процессов
3 Теоретическая часть Рассматривается система автоматического управления (САУ)
описываемая линейным дифференциальным уравнением вида
)()()()(
)()()()(
011
1
1
011
1
1
tubdt
tdub
dt
tudb
dt
tudb
tyadt
tdya
dt
tyda
dt
tyda
m
m
mm
m
m
n
n
nn
n
n
(1)
где u(t) ndash входной процесс y(t) ndash выходной процесс ai bi ndash постоян-
ные коэффициенты п т (п ge т) ndash постоянные числа
Если ввести обозначение р для оператора дифференцирования
p=ddt то можно записать (1) в операторной форме
)(
)(
011
1
011
1
ubpbpbpb
yapapapa
mm
mm
nn
nn
(2)
откуда получается
9
)()(
)(pW
pA
pB
u
y
где А(р) и В(р) ndash полиномы из формулы (2)
Выражение (2) по виду совпадает с определением ПФ как от-
ношения преобразования по Лапласу выходной переменной к преоб-
разованию по Лапласу входной переменной при нулевых начальных
условиях
)()(
)(
)(
)(sW
sA
sB
su
sy (3)
где s ndash комплексная переменная
Комплексные числа являющиеся корнями многочлена B(s)
называются нулями передаточной функции а корни многочлена А(s) ndash
полюсами
Описание типовых динамических звеньев приведено в
табл 1 Таблица 1
Типовые динамические звенья
Название звена Передаточная функция звена
1
Интегрирующее
s
KsW )(
2
Дифференцирующее
KssW )(
3
Усилительное
(безынерционное)
KsW )(
4
Апериодическое 1-го
порядка (инерционное)
1)(
Ts
KsW
5
Апериодическое 2-го
порядка (все корни веще-
ственные)
21
122
2
21
)( TTsTsT
KsW
10
Окончание табл 1
Название звена Передаточная функция звена
6
Колебательное
21
122
2
21
)( TTsTsT
KsW
7
Форсирующее
)1()( TsKsW
8
Интегрирующее
с запаздыванием
(реальное интегрирующее)
)1()(
Tss
KsW
9
Дифференцирующее
с запаздыванием
(реальное дифференцирую-
щее)
1)(
Ts
KssW
10
Инерционно-форсирующее
звено
1
)1()(
0
1
sT
sTKsW
11
Изодромное
s
TsKsW
)1()(
часто используется описание колебательного звена в виде
2
12
)(2
1222 T
TTT
TssT
KsW
Временные характеристики динамического звена представляют
собой зависимость выходного сигнала системы от времени при подаче
на ее вход некоторого типового воздействия Обычно выполняется
анализ выхода системы на единичный скачок (функция Хевисайда) и
импульсную функцию (функция Дирака или δ-функция)
Единичный скачок 1(t) определяется условиями
01
00)(1
tпри
tприt
Реакция САУ на единичный скачок называется переходной
11
функцией системы и обозначается h(t) При неединичном ступенчатом
воздействии g(t)=N1(t) где N = const в соответствии с принципом
суперпозиции выходная реакция системы будет )()( tNhty
Импульсная функция δ(t) определяется условиями
00
0)(
tпри
tприt
Очевидно )(1)( tt
Реакция САУ на импульсную функцию называется импульсной
переходной функцией системы (функцией веса) и обозначается w(t)
Импульсная и переходная функции системы связаны
соотношением
)()(0
dwtht
4 Краткое описание MATLAB
Лабораторная работа выполняется в программе математического
моделирования MATLAB Программа MATLAB включает в себя пакет
прикладных программ для решения технических задач и одноименный
язык программирования используемый в этом пакете
Основными компонентами системы являются базовая система
MATLAB и пакет моделирования систем Simulink Остальные пакеты
расширения разбиты на 4 категории ndash расширения Extension MATLAB и
Extension Simulink а также комплексы пакетов расширения Blockset и
Toolbox
Раздел MATLAB Extension содержит средства для подготовки ис-
полняемых приложений MATLAB (с подключаемыми библиотеками и
без них)
Раздел Toolbox (инструментальные средства) содержит самое
большое число пакетов расширений системы MATLAB такие как
laquoControl systemraquo laquoDatabaseraquo laquoFuzzy logicraquo laquoWaveletraquo и тд
В разделе Blockset расположено несколько пакетов относящихся к
12
главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink такие как
laquoDSPraquo laquoFixed-Pointraquo laquoNonlinear control designraquo и laquoPower systemsraquo
В разделе Extension Simulink имеется ряд средств предназначен-
ных для моделирования в реальном масштабе времени и событийно-
управляемом моделировании
5 Моделирование передаточных функций в MATLAB
В пакете MATLAB имеется два основных варианта для исследо-
вания передаточных функций и моделирования САУ
- использование команд пакета расширения Control System
Toolbox
- использование пакета Simulink
Control System Toolbox предназначен для работы с LTI-моделями
систем управления
Команда создающая LTI-систему с одним входом и одним вы-
ходом в виде передаточной функции имеет следующий синтаксис
])[]([ 011011 aaaabbbbtf nnmm
где 011 bbbb mm и 011 aaaa nn ndash значения коэффициентов
полиномов В и А в (3)
Например если требуется описать ПФ вида
582
12
ss
sW
и узнать значения ее нулей и полюсов то нужно ввести в окне команд
MatLab следующие команды
gtgt w=tf([1 1][2 8 5])
gtgt zero(w)
gtgt pole(w)
Исследовать реакцию LTI-модели на типовые входные воздей-
ствия можно с помощью команд
gtgt step(w)
gtgt impulse(w)
Можно получить на одном графике реакцию сразу нескольких
динамических звеньев если использовать команды вида
gtgt step(w w1 w2)
gtgt impulse(w w1 w2)
13
В приведенных примерах время моделирования выбирается ав-
томатически При необходимости его можно явно указать в команде
gtgtstep(w w1 w2t)
где t - время моделирования в секундах
Рис 1 Исследование реакции колебательного звена
На рис 1 показан пример моделирования динамики колебатель-
ного звена при различных параметрах
gtgt w=tf([1][2 03 1])
gtgt w1=tf([1][2 05 1])
gtgt w2=tf([1][2 01 1])
gtgt step(ww1w250)
В Simulink ПФ можно описать с помощью блока Transfer Fcn в
разделе библиотеки Continuous Для подачи типовых воздействий
надо использовать блок Step из раздела Sources Импульсную пере-
ходную характеристику звена можно получить подавая на вход им-
пульс маленькой длительности и большой амплитуды (приближение
δ-функции) при нулевых начальных условиях
6 Задание на лабораторную работу
С помощью пакета MATLAB построить реакцию каждого типо-
вого звена с параметрами своего варианта (см табл 2) на ступенчатое и
импульсное входное воздействие Определить влияние коэффициен-
тов входящих в описание каждого звена на параметры переходного
процесса Вариант задания назначается преподавателем
14
Таблица 2
Варианты заданий
Апери-
од зве-
но
Апериодич звено
2 пор (колеб
звено)
Ин-
тегр
звено
Изодр
звено
Реальное
диф звено
Инерц-
форс
звено
K T K T2 (T) T1( ξ ) K K T K T K T0 T1
1 3 02 3 02 20
(02)
3 3 05 3 04 3 2 08
2 4 03 4 03 15
(015)
4 4 1 4 03 4 3 12
3 5 04 5 04 25
(025)
5 5 08 5 05 5 4 15
4 6 05 6 05 16
(03)
6 6 2 6 10 6 5 20
5 7 06 7 06 28
(02)
7 7 3 7 08 7 6 20
6 8 07 8 07 22
(008)
8 8 35 8 10 8 7 20
7 9 08 9 08 21
(007)
9 9 1 9 09 9 8 30
8 10 10 10 10 30
(01)
10 10 20 10 20 10 10 40
7 Методика выполнения задания
Порядок выполнения работы
1 Задать передаточную функцию типового динамического звена
в MATLAB используя параметры приведенные в табл 2
2 Варьируя коэффициент динамического звена увеличивая его в
2 раза ndash получить вторую ПФ затем уменьшить исходный коэффици-
ент в 2 раза и получить третью ПФ
3 Построить на одном графике реакцию получившихся динами-
ческих звеньев на единичный скачок
4 Построить на одном графике реакцию получившихся динами-
ческих звеньев на импульсную функцию
5 Выполнить пп 2-4 для всех коэффициентов динамического
звена
6 Выполнить пп 1-5 для всех динамических звеньев
7 Подготовить ответы на контрольные вопросы
15
8 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) титульный лист
б) передаточные функции и схемы моделирования исследуемых
звеньев
в) экспериментально полученные характеристики при вариа-
ции параметров каждого звена
г) выводы обобщающие проделанные эксперименты по каждо-
му звену
д) ответы на контрольные вопросы
Контрольные вопросы
1 Что называется передаточной функцией
2 Что называется переходной и импульсной (весовой)
функциями Какова связь между ними
3 Как пользуясь временными характеристиками определить
параметры (коэффициенты передаточной функции) звена
Пояснить на конкретных примерах
4 Перечислите динамические характеристики САУ
5 Что называется характеристическим уравнением
16
Лабораторная работа 2
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СТРУКТУРНЫХ СХЕМ
1 Цель работы
Целью работы является изучение структурных преобразований и
нахождения передаточных функций с использованием автоматизиро-
ванных средств моделирования на ПК ndash MATLAB SIMULINK
2 Задачи работы
ndash Закрепление углубление и расширение знаний студентов при
исследовании преобразований структурных схем
ndash Приобретение умений и навыков работы с программой мате-
матического моделирования MATLAB
ndash Овладение несколькими методами преобразования структур-
ных схем
3 Теоретическая часть
Для наглядного представления сложной системы как совокупно-
сти элементов и связей между ними используются структурные
схемы
Структурной схемой называется схема САУ изображенная в
виде соединения ПФ составляющих ее звеньев
Структурная схема показывает строение автоматической систе-
мы наличие внешних воздействий и точки их приложения пути рас-
пространения воздействий и выходную величину Динамическое или
статическое звено изображается прямоугольником в котором указы-
вается ПФ звена Воздействия на систему и влияние звеньев друг на
друга (сигналы) изображаются стрелками В каждом звене воздей-
ствие передается только от входа звена к его выходу
На динамическое звено может воздействовать лишь одна вход-
ная величина поэтому используются блоки суммирования и сравне-
ния сигналов Суммироваться и сравниваться могут лишь сигналы
одной и той же физической природы
Структурная схема может быть составлена по уравнению систе-
мы в пространстве состояний или по системе дифференциальных
уравнений При составлении структурной схемы удобно начинать с
изображения задающего воздействия и располагать динамические
17
звенья составляющие прямую цепь системы слева направо до регу-
лируемой величины Тогда основная обратная связь и местные обрат-
ные связи будут направлены справа налево
Различные способы преобразования структурных схем облегча-
ют определение ПФ сложных САУ и дают возможность привести
многоконтурную систему к эквивалентной ей одноконтурной схеме
Преобразование структурной схемы должно осуществляться на
основании правил основные из них приведены в табл 1
При выполнении преобразований следует каждое имеющееся в
схеме типовое соединение заменить эквивалентным звеном Затем
можно выполнить перенос точек разветвления и сумматоров чтобы в
преобразованной схеме образовались новые типовые соединения зве-
ньев Эти соединения опять заменяются эквивалентными звеньями
затем вновь может потребоваться перенос точек разветвления и
сумматоров и т д
Различают основные соединения блоков в структурных схемах
последовательное соединение параллельное соединение антипарал-
лельное соединение (обратная связь) в свою очередь обратная связь
может быть отрицательной и положительной Таблица 1
Основные правила преобразования структурных схем
Преобразование
Структурная схема
Исходная Эквивалентная
Свертывание
последовательного
соединения
W1 W2 Wnu y
Wu y
nWWWW 21
Свертывание
параллельного
соединения
Wn
W2
W1
u y
Wu y
nWWWW 21
Свертывание
обратной связи
W1u plusmn y
W2
Wu y
21
1
1 WW
WW
18
Окончание табл 1
Преобразование
Структурная схема
Исходная Эквивалентная
Перенос узла через
звено вперед
Wu y
x
Wu y
xW1
WW
11
Перенос узла через
звено назад
Wu y
y
Wu y
yW
Перенос сумматора
через звено вперед
Wu1 y
u2
plusmn
Wu1 y
u2
plusmn
W
Перенос сумматора
через звено назад
Wu1 y
u2
plusmn
Wu1 y
u2
plusmn
W1
WW
11
Перенос прямой
связи через звено W2yu
plusmnW1
W3
W2 yu
plusmnW1
W3 W2
Перенос узла через
сумматор вперед
x1
+
- y
x1
x2
x1
+
- y
x1x2
+
+
Перенос узла через
сумматор назад
x1
+
- y
x2
y
x1
+
- y
x2y
+
-
Пример Пусть необходимо получить эквивалентное представ-
ление для структуры приведенной на рис 1
19
W1
W2 W3
W4
W5 W6
W7
+
+
+
-
Рис 1 Исходная схема САУ
Преобразование включает несколько этапов показанных на рис 2ndash5
W1
W2 W3
W4
W5 W6
W7
+
+
+
-
1W6
Рис 2 Перенос узла через звено вперед
567
659
1 WWW
WWW
6
48
W
WW
Рис 3 Свертывание обратной связи и последовательного соединения
2110 WWW
983
9311
1 WWW
WWW
Рис 4 Свертывание обратной связи и Рис 5 Свертывание последователь-
параллельного соединения ного соединения
W10 W11 WЭкв
543765
653265311110
1 WWWWWW
WWWWWWWWWWWЭкв
W1
W2
W8
W3 W9
+
+
20
Таким образом первый способ преобразования структурных
схем заключается в непосредственном использовании правил приве-
денных в табл1 Неудобство использования этого подхода заключа-
ется в том что порядок применения формул здесь достаточно произ-
волен возможны ошибочные шаги усложняющие поиск решения
Второй способ для получения ПФ многоконтурной системы за-
ключается в использовании модели системы в виде сигнального
графа
Сигнальный граф позволяет графически описать линейные связи
между переменными он состоит из узлов (вершин) и соединяющих их
направленных ветвей
Ветвь соответствует блоку структурной схемы она отражает за-
висимость между входной и выходной переменными Сумма всех
сигналов входящих в узел образует соответствующую этому узлу
переменную
Последовательность ветвей между двумя узлами называется пу-
тем Контуром называется замкнутый путь который начинается и
заканчивается в одном и том же узле причем ни один узел не встре-
чается на этом пути дважды
Контуры называются некасающимися если они не имеют общих
узлов
Сигнальный граф ndash это просто наглядный метод записи системы
алгебраических уравнений показывающий взаимосвязь между пере-
менными
r1
r2
a11
a22
x1
x2
a12a21
Рис 6 Сигнальный граф для двух алгебраических выражений
В качестве примера рассмотрим следующую систему алгебраи-
ческих уравнений
21
11212111 xrxaxa (1)
22222121 xrxaxa (2)
здесь r1 и r2 ndash входные переменные а x1 и x2 ndash выходные переменные
Сигнальный граф соответствующий уравнениям (1) и (2) изображен
на рис 6 Уравнения (1) и (2) можно записать в ином виде
1122111 )()1( raxax
2222211 )1()( raxax
Решая последнюю систему по правилу Крамера получим
212
122
21122211
2121221
)1(
)1)(1(
)1(r
ar
a
aaaa
rarax
121
211
21122211
1212112
)1(
)1)(1(
)1(r
ar
a
aaaa
rarax
В этих решениях знаменатель равен определителю составлен-
ному из коэффициентов при неизвестных и его можно записать так
21122211221121122211 1)1)(1( aaaaaaaaaa
В данном случае знаменатель равен единице минус коэффици-
енты передачи отдельных контуров a11 a22 и a12a21 плюс произведе-
ние коэффициентов передачи двух некасающихся контуров a11 и a22
Контуры a22 и a12a21 являются касающимися так же как и контуры a11
и a21a12
В решении для x1 по отношению ко входу r1 числитель равен
единице умноженной на (1-a22) те значение определителя некаса-
ющегося пути от r1 к x1 В решении для x1 по отношению ко входу
r2числитель просто равен a12 тк этот путь касается всех контуров
Числитель выражения x2 симметричен соответствующему числителю
для x1
В общем случае линейная зависимость Tij между независимой
переменной xi (часто называемой входной переменной) и зависимой
переменной xj определяется по формуле Мейсона
22
k
ijkijk
ij
P
T
где Pijk ndash коэффициент передачи k-го пути от переменной xi к пере-
менной xj Δ ndash определитель графа Δijk ndash дополнительный множитель
для пути Pijk а суммирование производится по всем возможным k пу-
тям от xi до xjДополнительный множитель Δijk равен определителю
всех касающихся контуров при удалении k-го пути
Определитель находится как
QM
qm
LSR
lsrlsrqm
K
kk LLLLLL
11
1111
1
где Kk kL
1ndash сумма коэффициентов передачи всех отдельных конту-
ров QM
qm qmLL
11ndash сумма произведений всех возможных комбина-
ций из двух некасающихся контуров LSR
lsr lsr LLL
111ndash сумма про-
изведений всех возможных комбинаций из трех некасающихся кон-
туров
Таким образом правило вычисления Δ через значение L1 L2
L3hellipLN таково Δ = 1- (сумма коэффициентов передачи всех отдель-
ных контуров) + (сумма произведений всех возможных комбинаций
из 2 некасающихся контуров) ndash (сумма произведений всех возмож-
ных комбинаций из 3 некасающихся контуров) +hellip
Формула Мейсона часто используется в несколько упрощенном
виде для определения связи между выходной переменной Y(s) и
входной переменной X(s) те
)()(
)( 1
N
iiiP
sWsX
sY
где Pi ndash i-й путь от входа к выходу N ndash количество путей Δ ndash опреде-
литель графа специальный полином который определенным образом
характеризует совокупность всех замкнутых цепей системы содер-
жащих обратные связи и вычисляется как сумма передаточных
функций разомкнутых контуров этих цепей и произведений
23
передаточных функций разомкнутых контуров пар троек и тд не со-
прикасающихся друг с другом цепей с обратными связями Δi ndash до-
полнительный множитель для пути составляется по правилу анало-
гичному Δ но только для цепей с обратными связями не соприкаса-
ющихся с i-м прямым каналом
Дополнительный множитель для i-го пути равен определителю
графа в котором приравнены нулю коэффициенты передачи конту-
ров касающихся этого пути
Рассмотрим пример получения ПФ многоконтурной системы с
использованием формулы Мейсона для структуры на рис 1 которая
соответствует графу показанному на рис 7
X(s) Y(s)W1
W2
W3 W5 W6
W4 -W7
Рис 7 Описание системы управления сигнальным графом
От входа к выходу ведут два пути
65311 WWWWP
65322 WWWWP
В графе есть 2 контура
5431 WWWL
7652 WWWL
Контур L1 пересекает контур L2 поэтому определитель графа
вычисляется по формуле
)(1 21 LL
Контуры в этом примере пересекают все пути поэтому допол-
нительные множители путей равны
24
11
12
Окончательно можно записать
1
)(543765
65326531
2
1
WWWWWW
WWWWWWWWP
sW iii
Таким образом использование сигнальных графов и применение
формулы Мейсона позволяет алгоритмизировать процесс упрощения
структурной схемы
Третий способ для получения ПФ заключается в составлении
системы уравнений Необходимо обозначить выходы сумматоров и
составить систему уравнений на основе этих обозначений На рис9
представлена исходная схема с обозначенными сумматорами
W1
W2 W3
W4
W5 W6
W7
+
+
+
-
Z H
u y
Рис 9 Исходная схема САУ с обозначенными сумматорами
Опишем все сигналы в системе в виде уравнений
)( 4521 HWWuWWZ
73 yWZWH
65 HWWy
Подставив последовательно значения сигналов найдем ПФ
))(( 734521 yWWHWWuWWH
После преобразования получим
25
1
)(
543
73231
WWW
yWuWWWWH
Подставим полученное значение H в уравнение y
1
))((
543
6573231
WWW
WWyWuWWWWy
Получим ПФ вида
1
)(543765
65326531
WWWWWW
WWWWWWWW
u
ypW
4 Краткое описание MATLAB
Лабораторная работа выполняется в программе математического
моделирования MATLAB Программа MATLAB включает в себя пакет
прикладных программ для решения технических задач и одноименный
язык программирования используемый в этом пакете
Основными компонентами системы являются базовая система
MATLAB и пакет моделирования систем Simulink Остальные пакеты
расширения разбиты на 4 категории ndash расширения Extension MATLAB и
Extension Simulink а также комплексы пакетов расширения Blockset и
Toolbox
Раздел MATLAB Extension содержит средства для подготовки ис-
полняемых приложений MATLAB (с подключаемыми библиотеками и
без них)
Раздел Toolbox (инструментальные средства) содержит самое
большое число пакетов расширений системы MATLAB такие как
laquoControl systemraquo laquoDatabaseraquo laquoFuzzy logicraquo laquoWaveletraquo и тд
В разделе Blockset расположено несколько пакетов относящихся к
главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink такие как
laquoDSPraquo laquoFixed-Pointraquo laquoNonlinear control designraquo и laquoPower systemsraquo
В разделе Extension Simulink имеется ряд средств предназначен-
ных для моделирования в реальном масштабе времени и событийно-
управляемом моделировании
26
5 Структурные преобразования в MATLAB
В пакете MATLAB имеется ряд функций с помощью которых
можно выполнять структурные преобразования (используется экви-
валентная схема)
ndash series(w1w2) ndash последовательное соединение звеньев
ndash parallel(w1w2) ndash параллельное соединение звеньев
ndash feedback(w1w2) ndash включение звена w2 в контур отрицательной об-
ратной связи к w1
ndash feedback(w1w2sign) ndash включение звена w2 в контур обратной связи
звена w1 с указанием знака + или ndash (очевидно feedback(w1w2)=
=feedback(w1w2-1))
Пример
Даны две передаточные функции
22
221
ss
sW
22
322
2
2
ss
ssW
Опишем ПФ введя в окне команд MatLab следующие команды
gtgt w1=tf([1 2][1 2 2])
gtgt w2=tf([1 2 3][1 2 2])
Выполним структурные преобразования для данных ПФ
gtgt w2=series(w1w2)
Transfer function
s^3 + 4 s^2 + 7 s + 6
------------------------------------
s^4 + 4 s^3 + 8 s^2 + 8 s + 4
gtgt w3=parallel(w1w2)
Transfer function
s^4 + 5 s^3 + 13 s^2 + 16 s + 10
----------------------------------------
s^4 + 4 s^3 + 8 s^2 + 8 s + 4
27
gtgt w4=feedback(w1w2)
Transfer function
s^3 + 4 s^2 + 6 s + 4
----------------------------------------
s^4 + 5 s^3 + 12 s^2 + 15 s + 10
Для проверки правильности проведенных преобразований необ-
ходимо собрать схему исходной САУ и соответствующую ей эквива-
лентную схему в MATLAB Simulink
Исходная схема САУ собирается как модель из соответствую-
щих элементов таких как laquoTransfer Fncraquo laquostepraquo laquosignal builderraquo
laquoscoperaquo и laquosumraquo Все эти элементы находятся в пакете laquoSimulinkraquo и
представлены в виде блоков Для того чтобы создать новую модель
необходимо нажать laquoFile-gtNew-gtModel (Simulink)raquo после откроется
окно модели в которую нужно будет добавлять элементы из библио-
теки для доступа к ней необходимо нажать на значок laquoLibrary Brows-
erraquo
Описание используемых элементов из пакета Simulink
1 Transfer Fnc ndash передаточная функция
2 Step ndash единичный скачок (функция Хэвисайда) в блоке необходи-
мо задать время начала перехода (step time)
3 Signal builder ndash блок для моделирования сигнала по заданным па-
раметрам (можно построить единичный скачок и импульсную функ-
цию)
4 Scope ndash виртуальный осциллограф отображает получившийся гра-
фик открывается двойным щелчком левой клавиши мыши и для кор-
рекции масштаба необходимо нажать правой кнопкой по графику и
из выпадающего меню выбрать laquoautoscaleraquo
5 Sum ndash сумматор в параметрах задается число сигналов соответ-
ственно laquo+raquo - положительный laquondashraquo - отрицательный
Так же нужно задать время работы модели для этого необходи-
мо выбрать laquoSimulation-gtSimulation parametersraquo и установить пара-
метр laquostop timeraquo на нужное значение и после необходимо запустить
модель на выполнение нажав на значок laquoStart simulationraquo Пример
модели составленной в MATLAB представлен на рис 10
28
Рис 10 Пример схемы САУ с блоком laquosignal builderraquo
Задача считается решенной если при подаче на вход обоих
схем одинаковых тестовых воздействий (единичный скачок импуль-
сная функция) наблюдаются одинаковые выходные сигналы
6 Задание на лабораторную работу
Выполнить преобразование структурной схемы САУ в эквива-
лентную передаточную функцию Составить модель исходной схемы
САУ в MATLAB С помощью ряда функций MATLAB (структурные
преобразования) составить эквивалентную схему Вариант задания
назначается преподавателем
7 Методика выполнения задания
Порядок выполнения работы
1 Выполнить преобразование заданного варианта структурной
схемы САУ (см табл 2) в эквивалентную ПФ тремя способами
ndash непосредственно используя правила табл 1
ndash используя представление в виде сигнального графа и формулу
Мейсона
ndash составив систему уравнений и решив еѐ
2 В качестве звеньев W1W2W3 использовать передаточные
функции звеньев представленных в табл 2
3 Составить модель исходной схемы САУ в MATLAB постро-
ить реакцию получившейся модели на ступенчатое и импульсное
воздействия
4 С помощью ряда функций MATLAB (структурные преобразо-
вания) составить эквивалентную схему и построить реакцию на сту-
пенчатое и импульсное воздействия
5 Подготовить ответы на контрольные вопросы
29
Таблица 2
Варианты структур САУ
Исходная схема
Передаточные
функции
1 W1
W3
W2
-
+
-
+
u y
+
1
31
sW
2
442
s
sW
12
133
s
sW
2 W1
W3
W2
-
+
-
+
u y
+ +
3 W3
W2
W1
-
+
-
+
u y
+ +
4 W3
W1
W2
+
+
-
+
u y
+ +
1
21
sW
2
12
sW
12
13
s
sW
5
W1
W3
W2
-
+
-
+
u y
+ +
6
W1
W3
W2
-
+
-
+
u y
+
62
31
sW
2
52
sW
1
23
s
sW
7
W1
W3
W2
-
+
-
+
u y
+ +
8
W1
W2
W3
-
+
-
+
u y
+ +
30
8 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) описание всех этапов преобразования исходной схемы и по-
лучающихся промежуточных результатов выполненными тремя спо-
собами моделирование реакции схемы на типовое воздействие (ска-
чок) до и после преобразования
б) сигнальный граф системы описание путей контуров расчет
ПФ по формуле Мейсона
в) решение составленной системы уравнений
г) схема модели и протокол команд MATLAB
д) графики переходных процессов при подаче на вход исходной
и эквивалентной схемы типовых тестирующих воздействий (скачок
импульс)
е) ответы на контрольные вопросы
Контрольные вопросы
1 Что называется структурной схемой Какие задачи можно
решить с еѐ помощью
2 Как может быть составлена структурная схема
3 Что позволяет алгоритмизировать процесс упрощения струк-
турной схемы Поясните на конкретном примере
31
Лабораторная работа 3
ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
ДИНАМИЧЕСКИХ ЗВЕНЬЕВ
1 Цель работы
Целью работы является изучение частотных характеристик ти-
повых динамических звеньев с использованием автоматизированных
средств моделирования на ПК ndash MATLAB SIMULINK
2 Задачи работы
ndash Закрепление углубление и расширение знаний студентов при
исследовании частотных характеристик динамических звеньев
ndash Приобретение умений и навыков работы с программой мате-
матического моделирования MATLAB
ndash Выработка способности логического мышления осмысление
полученных данных частотных характеристик
3 Теоретическая часть Сущность метода частотных характеристик заключается в том
что на вход исследуемой системы подается гармонический сигнал (си-
нусоидальные колебания) в широком диапазоне частот Реакция си-
стемы при разных частотах позволяет судить о ее динамических
свойствах
Пусть входной сигнал системы имеет амплитуду а и частоту ω т е
описывается формулой
)sin( tax
Выходной сигнал будет иметь амплитуду А1 и отличаться от вход-
ного по фазе на величину ψ (фазовый сдвиг)
)sin(1 tAy
Таким образом можно рассчитать усиление по амплитуде
1
a
AA
32
Для каждой частоты входного сигнала ω будут свои А и ψ
Изменяя ω в широком диапазоне можно получить зависимость
А(ω) ndash амплитудную частотную характеристику (АЧХ) и ψ(ω) ndash фазо-
вую частотную характеристику (ФЧХ)
Главное достоинство метода частотных характеристик заключа-
ется в том что АЧХ и ФЧХ объекта могут быть получены экспери-
ментально Для этого необходимо иметь генератор гармонических
колебаний который подключается к входу объекта и измеритель-
ную аппаратуру для измерения амплитуды и фазового сдвига колеба-
ний на выходе объекта
Частотные характеристики САУ могут быть получены по ее ПФ
W(s) Для суждения о реакции звена на синусоидальный сигнал доста-
точно исследовать его реакцию на гармонический сигнал вида
)( tjejx
Тогда выходной сигнал определяется по соотношению
)()( ))(( tjeAjy
и частотная ПФ получается равной
)()(
)()( )(
jeA
jx
jyjW
Формально для получения частотной ПФ надо сделать в W(s)
подстановку s = jω и тогда полученная W(jω) является комплексным
выражением которое можно представить в виде
)()(
)()()(
22
11
jba
jbajW
Для нахождения вещественной и мнимой частей частотной пе-
редаточной функции необходимо умножить числитель и знаменатель
на сопряженную знаменателю величину а затем провести
разделение
33
)()()(
)()(
)()()()(
)()(
)()()()(
))()())(()((
))()())(()((
)()(
)()()(
)(
22
22
2112
22
22
2121
2222
2211
22
11
jeAjVU
ba
babaj
ba
bbaa
jbajba
jbajba
jba
jbajW
где
)()()()(22
22
21
2122
ba
baVUjWA
)(
)())(arg()(
2
2
1
1
a
barctg
a
barctg
U
VarctgjW
Графики функции )(U и )(V называют соответственно веще-
ственной и мнимой частотной характеристиками
В практических расчетах удобно применять графики частотных
характеристик построенных в логарифмическом масштабе ndash лога-
рифмические частотные характеристики (ЛЧХ)
Логарифмическая амплитудная частотная характеристика
(ЛАЧХ) определяется следующим выражением
)(lg20)( AL
Логарифмической фазовой частотной характеристикой
(ЛФЧХ) называется график зависимости )( построенный в лога-
рифмическом масштабе частот
Единицей L(ω) является децибел (дБ) а единицей логарифма ча-
стоты ndash декада Декадой называют интервал частот на котором часто-
та изменяется в 10 раз При изменении частоты в 10 раз говорят что
она изменилась на одну декаду Ось ординат при построении ЛЧХ про-
водят через произвольную точку а не через точку ω = 0 Частоте ω = 0
соответствует бесконечно удаленная точка lgω rarr ndash infin при ω rarr 0
Основное преимущество использования ЛЧХ заключается в том
что приближенные (асимптотические) ЛАЧХ типовых динамических
звеньев изображаются отрезками прямых
Пример Построим ЛЧХ апериодического звена первого
34
порядка
Передаточная функция звена
1
)(
Ts
ksW
Частотная передаточная функция
1)(
)1(
1)(
2
T
Tjk
Tj
kjW
1)(
1)( 22
T
kTV
T
kU
Следовательно АЧХ описывается формулой
1)(
)(2
T
kA
ФЧХ строится по формуле
)()( Tarctg
ЛАЧХ апериодического звена 1-го порядка
1)(lg20lg20)( 2 TkL
По этой формуле можно построить две асимптоты ndash прямые к
которым стремится ЛАЧХ при ω rarr 0 и при ω rarr infin Так при ω rarr 0 второе
слагаемое близко к нулю и этот участок ЛАЧХ представляет собой
горизонтальную прямую
lg20)( kL
При ω rarr infin получаем наклонную прямую
1)(lg20)( 2 TL
35
Для определения наклона этой прямой можно рассмотреть гра-
ницы декады
T
1 и
10
T
Изменение ЛАЧХ между этими точками
)(2011
lg20110
lg20)(
22
декдБT
TT
TL
ЛЧХ часто называют диаграммами Боде
4 Краткое описание MATLAB
Лабораторная работа выполняется в программе математического
моделирования MATLAB Она включает в себя пакет прикладных про-
грамм для решения технических задач и одноименный язык программи-
рования используемый в этом пакете
Основными компонентами системы являются базовая система
MATLAB и пакет моделирования систем Simulink Остальные пакеты
расширения разбиты на 4 категории ndash расширения Extension MATLAB и
Extension Simulink а также комплексы пакетов расширения Blockset и
Toolbox
Раздел MATLAB Extension содержит средства для подготовки ис-
полняемых приложений MATLAB (с подключаемыми библиотеками и
без них)
Раздел Toolbox (инструментальные средства) содержит самое
большое число пакетов расширений системы MATLAB такие как
laquoControl systemraquo laquoDatabaseraquo laquoFuzzy logicraquo laquoWaveletraquo и тд
В разделе Blockset расположено несколько пакетов относящихся к
главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink такие как
laquoDSPraquo laquoFixed-Pointraquo laquoNonlinear control designraquo и laquoPower systemsraquo
В разделе Extension Simulink имеется ряд средств предназначен-
ных для моделирования в реальном масштабе времени и событийно-
управляемом моделировании
36
5 Построение частотных характеристик в MATLAB В пакете MATLAB ЛЧХ объекта заданного с помощью ПФ
можно получить командой bode
Пример
gtgt w=tf([1 2][3 4 5])
gtgt bode(w)
Для нескольких вариантов передаточной функции можно исполь-
зовать вариант команды вида
gtgt bode(ww1w2)
Например построим диаграмму Боде при различных параметрах
колебательного звена (рис 1)
gtgt w=tf([1][2 03 1])
gtgt w1=tf([1][2 05 1])
gtgt w2=tf([1][2 01 1])
gtgt bode(ww1w2)
Рис 1 ЛЧХ колебательного звена
6 Задание на лабораторную работу
С помощью пакета MATLAB построить ЛЧХ каждого типового
звена Определить влияние коэффициентов входящих в описание
каждого звена на параметры ЛАЧХ и ЛФЧХ Вариант задания назна-
чается преподавателем
37
7 Методика выполнения задания
Порядок выполнения работы
1 Задать передаточную функцию типового динамического звена
используя параметры из табл 2 лабораторной работы 1
2 Построить диаграмму Боде при различных параметрах типо-
вого динамического звена
3 Определить влияние коэффициентов входящих в описание
каждого звена на параметры ЛАЧХ и ЛФЧХ в том числе
ndash как меняется ширина асимптотических участков ЛАЧХ и
ЛФЧХ
ndash как меняется положение точек пересечения осей ЛАЧХ
4 Написать вывод по влиянию коэффициентов на типовое звено
5 Выполнить пункты 1-4 для всех типовых звеньев
6 Подготовить ответы на контрольные вопросы
8 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) титульный лист
б) краткие теоретические сведения
в) передаточные функции и схемы моделирования исследуемых
звеньев
г) экспериментально полученные характеристики при вариации
параметров каждого звена
д) выводы обобщающие проделанные эксперименты по каждо-
му звену
ж) ответы на контрольные вопросы
Контрольные вопросы
1 Как пользуясь частотными характеристиками определить па-
раметры (коэффициенты передаточной функции) звена Пояс-
нить на конкретных примерах
2 Указать особенности построения ЛАХ и ЛФХ динамических
звеньев Что понимается под асимптотической ЛАХ звена
3 Как осуществляется построение АФХ динамического звена
38
Лабораторная работа 4
ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ СИСТЕМ
С ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ
1 Цель работы
Изучение особенностей практического использования алгебраи-
ческих и частотных критериев устойчивости для анализа динамики
линейных САУ с использованием автоматизированных средств моде-
лирования на ПК ndash MATLAB SIMULINK
2 Задачи работы
ndash Закрепление углубление и расширение знаний студентов при
исследовании устойчивости систем с обратной связью
ndash Приобретение умений и навыков работы с программой мате-
матического моделирования MATLAB
ndash Овладение новыми методами проверки устойчивости систем
с обратной связью
ndash Выработка способности логического мышления осмысления
полученных данных
3 Теоретическая часть
Устойчивость САУ является одним из основных условий ее ра-
ботоспособности и включает требование затухания во времени пере-
ходных процессов
Система является устойчивой если при ограниченном входном
сигнале еѐ выходной сигнал также является ограниченным Если
система устойчива то она противостоит внешним воздействиям а
выведенная из состояния равновесия возвращается снова к нему
Система с расходящимся переходным процессом будет неустойчивой и
неработоспособной
Необходимое и достаточное условие устойчивости заключается в
том чтобы все корни характеристического уравнения (полюсы пере-
даточной функции системы) имели отрицательные вещественные ча-
сти Иначе говоря условием устойчивости системы является распо-
ложение всех полюсов в левой комплексной полуплоскости Тогда все
полюсы будут давать затухающую реакцию
Выше сформулированное условие устойчивости справедливо как
39
для линейных так и для линеаризованных систем Однако в случае
нулевых или чисто мнимых корней характеристического уравнения
вопрос об устойчивости линеаризованной системы может быть ре-
шен только на основании исследования ее нелинейных уравнений
В конце XIX и первой половине XX в задача вычисления корней
характеристического уравнения высокого порядка вызывала боль-
шие проблемы Поэтому были предложены несколько косвенных
методов оценки устойчивости позволяющих обойтись без вычисле-
ния корней ndash по значениям коэффициентов характеристического
уравнения
Критерии устойчивости разделяют на алгебраические и частот-
ные В частности к алгебраическим критериям относится критерий
Гурвица к частотным критериям ndash критерий Найквиста
Критерий Гурвица является алгебраическим критерием и при-
меняется к коэффициентам характеристического уравнения замкнутой
системы
Пусть имеется характеристическое уравнение замкнутой
системы
0011
1 apapapa n
nn
n
Из коэффициентов характеристического уравнения составляют
матрицу по правилу
1 По диагонали записываются коэффициенты от 1na до 0a
2 Каждая строка дополняется коэффициентами с возрастающи-
ми индексами слева направо так чтобы чередовались строки с нечет-
ными и четными индексами
3 В случае отсутствия индекса а также если он меньше 0 или
больше п на его место пишется 0
Таким образом матрица Гурвица приобретает следующий вид
40
Критерий устойчивости формулируется так
Чтобы система была устойчивой необходимо и достаточно что-
бы при 0na были положительными все п диагональных определи-
телей получаемых из матрицы Гурвица
Первые три определителя матрицы Гурвица имеют следующий
вид
Таким образом критерий Гурвица позволяет судить об абсо-
лютной устойчивости но он не дает возможности оценивать относи-
тельную устойчивость по корням характеристического уравнения
Частотный критерий устойчивости Найквиста анализирует
АФЧХ разомкнутой системы
Пусть имеется АФЧХ разомкнутой системы W(jω)
Для нахождения вещественной и мнимой части частотной ха-
рактеристики нужно освободиться от мнимости в знаменателе путем
умножения числителя и знаменателя на комплексную величину со-
пряженную знаменателю а затем выполнить разделение на веще-
ственную и мнимую части W(jω) приобретает вид
)()()( jQPjW
Задаваясь различными значениями частоты можно найти мно-
жество пар )()( 11 jQP )()( 22 jQP )()( nn jQP
Затем по этим парам строится АФЧХ на комплексной плоскости
Основные свойства АФЧХ разомкнутой системы
1 Если разомкнутая система не имеет интегрирующих звеньев
то при ω = 0 ее АФЧХ начинается на вещественной оси в точке
Р(ω)=К (где К ndash коэффициент усиления разомкнутой системы) За-
канчивается АФЧХ в начале координат при ω rarr infin (рис 1 а)
2 Если разомкнутая система имеет одно интегрирующее звено то
ее АФЧХ начинается при ω = 0 в бесконечности на отрицательной мни-
мой полуоси а заканчивается в начале координат при ω rarr infin (рис 1 б)
41
Рис 1 АФЧХ разомкнутой системы
Критерий устойчивости Найквиста формулируется так
1 Если разомкнутая система устойчива или находится на гра-
нице устойчивости то для того чтобы замкнутая система была
устойчива необходимо и достаточно чтобы АФЧХ разомкнутой
системы при изменении частоты ω от 0 до infin не охватывала точку с ко-
ординатами (-1 j0)
2 Если разомкнутая система неустойчива а ее передаточная
функция имеет т полюсов справа от мнимой оси на комплексной
плоскости то для устойчивости замкнутой системы необходимо и до-
статочно чтобы АФЧХ разомкнутой системы при изменении частоты
ω от -infin до +infin охватывала т раз точку с координатами (-1 j0)
При использовании этого критерия нужно учитывать две
особенности
1 Если разомкнутая система находится на границе устойчиво-
сти то ее АФЧХ уходит в бесконечность Для проверки критерия Най-
квиста нужно мысленно соединить конец АФЧХ дугой бесконечно
большого радиуса с положительной вещественной полуосью
2 На практике АФЧХ может строиться только для положитель-
ных частот (0 lt ω lt +infin) При применении критерия Найквиста счита-
ется что ветвь АФЧХ для отрицательных частот симметрична отно-
сительно вещественной оси
Физический смысл критерия устойчивости Найквиста заключа-
ется в том что система будет неустойчива если фаза выходного сиг-
нала противоположна фазе входного сигнала а коэффициент усиле-
ния больше 1 Поэтому для анализа устойчивости можно использо-
вать не АФЧХ а ЛАХ системы (для минимально-фазовых систем)
Система устойчива если на частоте среза значение фазы не превы-
шает -π Соответственно для устойчивой системы можно рассматри-
вать на ЛФЧХ запас устойчивости по фазе ndash расстояние от значения
фазы на частоте среза до уровня -π и запас устойчивости по амплиту-
42
де ndash расстояние от оси частот ЛАЧХ до значения усиления на часто-
те где фаза становится равной -π
4 Краткое описание MATLAB
Лабораторная работа выполняется в программе математического
моделирования MATLAB Программа MATLAB включает в себя пакет
прикладных программ для решения технических задач и одноименный
язык программирования используемый в этом пакете
Основными компонентами системы являются базовая система
MATLAB и пакет моделирования систем Simulink Остальные пакеты
расширения разбиты на 4 категории ndash расширения Extension MATLAB и
Extension Simulink а также комплексы пакетов расширения Blockset и
Toolbox
Раздел MATLAB Extension содержит средства для подготовки ис-
полняемых приложений MATLAB (с подключаемыми библиотеками и
без них)
Раздел Toolbox (инструментальные средства) содержит самое
большое число пакетов расширений системы MATLAB такие как
laquoControl systemraquo laquoDatabaseraquo laquoFuzzy logicraquo laquoWaveletraquo и тд
В разделе Blockset расположено несколько пакетов относящихся к
главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink такие как
laquoDSPraquo laquoFixed-Pointraquo laquoNonlinear control designraquo и laquoPower systemsraquo
В разделе Extension Simulink имеется ряд средств предназначен-
ных для моделирования в реальном масштабе времени и событийно-
управляемом моделировании
5 Исследование устойчивости САУ в MATLAB
Для проверки устойчивости САУ по Гурвицу постройте матрицу
Гурвица и найдите ее детерминант (функция det) Затем последова-
тельно уменьшая размер матрицы найдите значения всех диагональ-
ных детерминантов Пример
gtgt А=[1 14 18 2 5 2 3 4 3]
А =
1 14 18
2 5 2
3 4 3
gtgt det(A)
ans = -119
43
gtgt А1=А(12 12)
А1 =
1 14
2 5
gtgt det(A1)
ans = -23
Для проверки устойчивости САУ по Найквисту сначала нужно
выяснить является ли устойчивой разомкнутая система
Пример Пусть дана передаточная функция разомкнутой
системы
13232
12234
pppp
pW
Рассмотрим реакцию на скачок
gtgt w=tf([2 1][2 3 2 3 1])
gtgt step(w18)
График переходного процесса показан на рис 2
Рис 2 Переходная реакция
Разомкнутая система неустойчива и согласно критерию Найкви-
ста надо чтобы АФЧХ разомкнутой системы охватывала точку (-1 j0)
44
столько раз сколько полюсов имеется справа от мнимой оси Для по-
строения АФЧХ достаточно вызвать команду nyquist
gtgt nyquist(w)
Диаграмма Найквиста показана на рис 3
Рис 3 Диаграмма Найквиста для неустойчивой системы
Как показывает рис3 АФЧХ ни разу не охватывает точку
(-1 j0) поэтому замкнутая система будет неустойчивой Частотный
критерий Найквиста можно использовать и в том случае когда рас-
сматривается не АФЧХ а ЛАЧХ разомкнутой системы замкнутая
минимально-фазовая система устойчива если при достижении ЛФЧХ
значения -π ЛАЧХ будет отрицательной
Используя ЛАЧХ и ЛФЧХ можно оценить запасы устойчивости
системы по амплитуде и по фазе с помощью команды
gtgt margin(w)
Пример
gtgt w=tf([10][2 2 3 1])
gtgt margin(w)
Соответствующий график показан на рис 4
45
Рис 4 Определение запасов устойчивости по амплитуде и по фазе
6 Задание на лабораторную работу
Выполнить исследование устойчивости замкнутой системы по за-
данной передаточной функции разомкнутой системы Определить запас
устойчивости по амплитуде и по фазе Вариант задания назначается
преподавателем
7 Методика выполнения задания
Порядок выполнения работы
1 Рассчитать передаточную функцию замкнутой системы по
приведенной в табл 1 разомкнутой системе
2 Определить устойчивость замкнутой системы используя кри-
терий Гурвица
3 Определить устойчивость замкнутой системы используя кри-
терий Найквиста
4 Определить запас устойчивости по амплитуде и по фазе ис-
пользуя ЛАЧХ и ЛФЧХ
5 Выполнить моделирование переходных процессов разомкну-
той и замкнутой систем
6 Подготовить ответы на контрольные вопросы
46
Таблица 1
Варианты заданий
Передаточная функция разомкнутой системы
1 1355
2234
ssss
W
2 110050
1234
ssss
W
3 11010
123
sss
W
4 122105
100234
ssss
W
5 1248
123
sss
W
6 1223
102345
sssss
W
7 11001010
323
sss
W
8 122
1023
sss
W
9 11010
123
sss
W
10 15050332
102345
sssss
W
8 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) титульный лист
б) краткие теоретические сведения
в) переходную функцию разомкнутой системы
г) расчет передаточной функции замкнутой системы
д) расчетные выражения для обоснования устойчивости замкну-
той системы по алгебраическому критерию Гурвица
е) годограф Найквиста разомкнутой системы на основании кото-
рого делается вывод об устойчивости замкнутой системы
ѐ) переходную функцию замкнутой системы
ж) проверку полученных результатов путем компьютерного моде-
лирования переходных процессов разомкнутой и замкнутой си-
стемы в MATLAB Simulink
з) выводы по всем полученным результатам
47
Контрольные вопросы
1 Как связана устойчивость линейной САУ с видом составля-
ющих ее свободного движения
2 Зависит ли устойчивость линейных САУ от амплитуды зада-
ющих воздействий или возмущений
3 Сформулируйте критерий устойчивости Гурвица укажите на
необходимое условие устойчивости линейных САУ вытекаю-
щее из этого критерия
4 Сформулируйте критерий Найквиста для случая САУ устой-
чивых в разомкнутом состоянии а также для астатических САУ
Что такое laquoзапасы устойчивости по фазе и по амплитудеraquo
5 Что называется структурной устойчивостью
48
Лабораторная работа 5
КОРРЕКЦИЯ СТАТИЧЕСКИХ И ДИНАМИЧЕСКИХ
СВОЙСТВ САУ
1 Цель работы
Целью работы является изучение способов обеспечения иско-
мых характеристик САУ с использованием автоматизированных
средств моделирования на ПК ndash MATLAB SIMULINK
2 Задачи работы
ndash Закрепление углубление и расширение знаний студентов при
обеспечении искомых характеристик САУ
ndash Приобретение умений по обеспечению точности (уменьшение
статической ошибки) САУ и выбору значений параметров регулято-
ра обеспечивающих желаемые динамические свойства САУ
ndash Приобретение умений и навыков работы с программой мате-
матического моделирования MATLAB
3 Теоретическая часть
Коррекция статических и динамических свойств САУ имеет
своей целью повышение статической и динамической точности отра-
ботки системой задающего воздействия (или парирование возмуща-
ющего воздействия) повышение запасов ее устойчивости Наиболее
распространенными способами коррекции свойств САУ является из-
менение коэффициента усиления ее разомкнутой части введение в
САУ новых звеньев (как правило интегрирующего или дифференци-
рующего типа) охват объекта управления местной обратной связью
31 Коррекция статических свойств САУ
Статические свойства системы определяются величиной устано-
вившейся ошибки )t(уст вызванной действием задающего воздей-
ствия и определяемой по формуле
22
210 2 dttgdcdttdgctgctуст (1)
где )(tg - входное воздействие 210 ccc - коэффициенты ошибок
Коэффициенты ошибок определяются по формулам
49
dssdcdssdcscs
mmmss 00100
где s - передаточная функция САУ по ошибке управления рав-
ная
sW
sраз
1
1
sWраз - передаточная функция разомкнутой САУ
Основными способами уменьшения статической ошибки систе-
мы являются
1) увеличение коэффициента усиления прямого тракта системы
2) введение в прямой тракт системы интегрирующих звеньев
3) охват объекта управления местной неединичной положитель-
ной обратной связью
Представим структурную схему системы в виде изображенном
на рис 1 где через sW обозначена передаточная функция неизме-
няемой части системы
bsbsb
asasasW
nn
nn
mm
mm
01
1
01
1
Здесь и далее полагается что KKKsW s 000 0 ndash из-
меняемый коэффициент усиления регулятора системы
Первые два коэффициента ошибок 0c и 1c определяется выраже-
ниями
KK
c0
01
1
(2)
KK
dssdWKc
s
20
01
1
(3)
Из (2) и (3) с учетом (1) вытекает что с увеличением K
статическая ошибка в системе уменьшается и наоборот с уменьше-
нием K статическая ошибка в системе увеличивается
Введем в прямой тракт системы одно интегрирующее звено
50
(рис 2) В этом случае c 00 01 1 KKc
Так как c 00 то система на рис 2 является астатической (с
астатизмом первого порядка) Система имеет нулевую статическую
ошибку при отработке постоянного задающего воздействия
consttg и постоянную обратно пропорциональную K ошибку
constуст при отработке линейно изменяющегося воздействия
tatg
Рис 1 Схема САУ Рис 2 Схема САУ с включенным в прямой
тракт интегрирующим звеном
Охватим неизменяемую часть системы sW местной нееди-
ничной положительной обратной связью с коэффициентом усиления
осK (рис 3) Тогда эквивалентная передаточная функция sWэкв
неизменяемой части системы равна
10011
01
1
aKbsaKbsaKbsb
asasa
sWK
sWsW
ососm
mосmn
n
mm
mm
осэкв
(4)
Если коэффициент усиления K выбрать из условия
a
bKос
0
0
то свободный коэффициент (b0 - Koca0) полинома знаменателя sWэкв
обратится в нуль и sWэкв приобретает интегрирующие свойства
11
11
0
1
1
aKbsaKbsbs
asasasW
ос
m
mосm
n
n
m
m
m
mэкв
g(t) y(t)ε(t)
K W(s)-
g(t) y(t)
Ks W(s)-
ε(t)
51
Следовательно замкнутая система становится астатической (с
астатизмом 1-го порядка) Отсюда 0c =0 а коэффициент 1c будет
равен
aKb
bc
ос 11
01
ε(t)g(t) y(t)
W(s)-
Kос
Wэкв(s)
+
Рис 3 Схема САУ с местной неединичной обратной связью
32 Коррекция динамических свойств САУ
Улучшение динамических свойств САУ заключается в увеличе-
нии быстродействия САУ (уменьшении времени регулирования tрег)
уменьшении перерегулирования (см рис 4) а также увеличении
запасов устойчивости по фазе и по модулю При этом
h
hh
уст
устmax100
где maxh - максимальное значение переходной характеристики за-
мкнутой САУ th
устh - установившееся значение th
Время регулирования tрег - минимальная величина при которой удо-
влетворяется условие
устрег hth
где - заданная величина ошибки (обычно =005 устh )
52
h(t)
tрег
hустhmax
2δ
Рис 4 Быстродействие и перерегулирование САУ
Одним из эффективных средств достижения этой цели является
уменьшение отрицательных фазовых сдвигов в прямом тракте систе-
мы путем охвата неизменяемой части системы местными отрицатель-
ными обратными связями
На рис 5 R(s) представляет собой передаточную функцию регу-
лятора САУ которая считается заданной
ε(t)g(t) y(t)
W(s)-
Kос
Wэкв(s)
-
R(s)
u(t)
Рис 5 Схема САУ с местной обратной связью и регулятором
Пусть неизменяемая часть системы представляет собой аперио-
дическое звено первого порядка те
sT
K)s(W
10
0
Тогда передаточная функция sWэкв эквивалентного объекта
управления равна
sT
K
sWK
sWsW
экв
экв
осэкв
11
где зквK и эквT - коэффициент усиления и постоянная времени
эквивалентного объекта равные
53
KK
KK
осэкв
0
0
1
KK
TT
осэкв
0
0
1 (5)
Из (5) следует что соответствующим выбором осK постоянную
времени эквT эквивалентного объекта можно уменьшить в (1+ 0KKос )
раз по сравнении с постоянной времени 0T объекта без местной об-
ратной связи Тем самым уменьшаются отрицательные фазовые сдви-
ги вносимые прямым трактом системы что приводит к увеличению
запасов устойчивости системы При этом однако уменьшается в
(1+ 0KKос ) раз коэффициент усиления эквK эквивалентного объекта
по сравнению с коэффициентом усиления 0K объекта без местной
обратной связи Это нежелательно так как приводит к уменьшению
быстродействия системы вследствие уменьшения общего коэффици-
ента усиления прямого тракта системы В этом случае с целью обес-
печения необходимого быстродействия системы увеличивают коэф-
фициент усиления регулятора
4 Краткое описание MATLAB
Лабораторная работа выполняется в программе математического
моделирования MATLAB Программа MATLAB включает в себя пакет
прикладных программ для решения технических задач и одноименный
язык программирования используемый в этом пакете
Основными компонентами системы являются базовая система
MATLAB и пакет моделирования систем Simulink Остальные пакеты
расширения разбиты на 4 категории ndash расширения Extension MATLAB и
Extension Simulink а также комплексы пакетов расширения Blockset и
Toolbox
Раздел MATLAB Extension содержит средства для подготовки ис-
полняемых приложений MATLAB (с подключаемыми библиотеками и
без них)
Раздел Toolbox (инструментальные средства) содержит самое
большое число пакетов расширений системы MATLAB такие как
laquoControl systemraquo laquoDatabaseraquo laquoFuzzy logicraquo laquoWaveletraquo и тд
54
В разделе Blockset расположено несколько пакетов относящихся к
главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink такие как
laquoDSPraquo laquoFixed-Pointraquo laquoNonlinear control designraquo и laquoPower systemsraquo
В разделе Extension Simulink имеется ряд средств предназначен-
ных для моделирования в реальном масштабе времени и событийно-
управляемом моделировании
5 Задание на лабораторную работу
Выполнить исследование способов коррекции статических и
динамических свойств САУ Определить время регулирования и пе-
ререгулирования в исходной и скорректированной системах а также
для динамических свойств САУ определить запасы устойчивости в
исходной системе и найти экспериментально значение Kос обеспечи-
вающее в системе заданные показатели качества и запасы устойчиво-
сти Вариант задания назначается преподавателем
Таблица 1
Варианты заданий
варианта
Параметры
1
2
3
4
5
6
7
8
a 05 10 15 20 25 30 35 40
K0 1 2 3 4 5 6 7 8
T c 03 04 05 06 07 08 09 10
ξ 06 07 08 08 07 09 05 04
уст 0 0 005 0 010 007 0 0
tрег c le 13 15 20 25 30 35 40 40
le 0 10 10 5 5 5 0 0
В качестве исходных САУ выступают системы изображенные
на рис 6 и 7
55
ε(t)g(t) y(t)
W(s)-
g(t) y(t)
R(s) W(s)-
ε(t) u(t)
Рис 6 САУ с отрицательной Рис 7 САУ с отрицательной обратной
обратной связью связью и регулятором
6 Методика выполнения задания
При исследовании способов коррекции статических свойств
САУ в качестве исходных данных выступает передаточная функция
sW неизменяемой части системы вида
1222
0
sTsT
KsW (6)
и задающие воздействия вида ttg 1 в соответствии с таблицей 1
В процессе выполнения этой части работы необходимо
1) путем моделирования в системе MATLAB исходной САУ
(рис 6) получить графики ttytg
2) сравнить полученную таким образом экспериментальную ве-
личину t с теоретической величиной вычисленной по формуле (1)
3) применяя описанные в теоретической части методических
указаний способы коррекции статических свойств (см п 31) обес-
печить требуемую статическую ошибку εуст системы при отработке
задающего воздействия ttg 1
4) получить графики ty и t в скорректированной системе
для 1 ttg
5) сравнить время регулирования регt и перерегулирование в
исходной и скорректированной системах при 1 ttg
При исследовании рассмотренного способа коррекции динами-
ческих свойств САУ (см п 32) в качестве исходных данных высту-
пают передаточная функция sW неизменяемой части системы
вида (6) и передаточная функция регулятора вида
s
KsR
рег
56
Задающее воздействие ttg 1
В процессе выполнения данной части работы необходимо
1) получить путем моделирования в MATLAB графики ty t
в системе (рис 7)
2) определить время регулирования регt и перерегулирование
а также запасы устойчивости в исходной системе
3) применяя описанный выше способ коррекции динамических
свойств САУ найти экспериментально (путем последовательного пе-
ребора) значение осK обеспечивающее в системе заданные заданием
показатели качества ( регt ) и запасы устойчивости (при необхо-
димости увеличить коэффициент регK )
4) получить графики ty t а также ЛАХ и ЛФХ разомкну-
той системы в скорректированной САУ
7 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) титульный лист
б) структурные схемы исследуемых систем
в) полученные графики и характеристики
г) значения полученные экмпериментально которые
обеспечивают заданные показатели качества и запасы устойчивости
д) выводы обощающие проделанные эксперименты для
коррекции статических и динамических свойств САУ
е) ответы на контрольные вопросы
Контрольные вопросы 1 Дать определение статической и астатической САУ
2 Какими структурными свойствами системы определяется по-
рядок ее астатизма
3 Какой из двух приведенных выше способов придания системе
свойств астатизма 1-го порядка наиболее предпочтителен на
практике
4 Назовите основные показатели качества САУ Поясните их
смысл
5 В чѐм суть исследуемого способа коррекции динамических
свойств САУ
57
6 Назвать другие способы коррекции динамических свойств
САУ
7 Чем вызваны отрицательные фазовые сдвиги в неизменяемой
части САУ
58
Лабораторная работа 6
МЕТОД КОРНЕВОГО ГОДОГРАФА
1 Цель работы
Целью работы является построение корневого годографа и ис-
следование динамики системы с использованием автоматизирован-
ных средств моделирования на ПК ndash MATLABSIMULINK
2 Задачи работы
ndash Закрепление углубление и расширение знаний студентов при
исследование динамики системы
ndash Овладение навыком построения корневого годографа
ndash Приобретение умений и навыков работы с программой мате-
матического моделирования MATLAB
3 Теоретическая часть
Корневым годографом (КГ) называется совокупность траекто-
рий перемещения всех корней характеристического уравнения за-
мкнутой системы при изменении какого-либо параметра этой систе-
мы
Обычно метод КГ позволяет находить полюса и нули ПФ за-
мкнутой системы располагая полюсами и нулями разомкнутой си-
стемы при изменении коэффициента усиления разомкнутой системы
K
ПФ разомкнутой системы Wp(s) представим в следующем виде
)(
)(
1
1
0
n
ii
m
jj
p
ss
ssKC
sW (1)
где 0js ndash нули ПФ sWp )1( mj
is ndash полюса ПФ sWp
)1( nj n и m ndash порядки знаменателя и числителя C ndash коэффици-
ент представления (отношение коэффициентов при старших членах
числителя и знаменателя)
59
При замыкании системы с ПФ sWp единичной отрицатель-
ной обратной связью ПФ замкнутой системы sWз принимает вид
)(1
)(
sW
sWsW
p
pз
(2)
Из выражения (2) следует что нули ПФ замкнутой системы рав-
ны нулям ПФ разомкнутой системы
Для нахождения полюсов рассмотри выражение
01 sWp (3)
в соответствии с выражением (1) имеем
n
i
m
jjin
ii
m
jj
ssKCss
ss
ssKC
1 1
0
1
1
0
)()(01
)(
)(
(4)
На основании выражения (4) можно сказать что при K = 0 корни
характеристического уравнения совпадают с полюсами а при K = infin ndash
с нулями При изменении K от 0 до infin траектории корней начинаются
в полюсах и заканчиваются в нулях Обычно полюсов больше чем
нулей В этом случаем mn ветвей корневого годографа стремятся к
infin
Для определения полюсов замкнутой системы с отрицательной
обратной связью необходимо решить уравнение (его называют ос-
новным уравнением метода КГ)
1sWp (5)
Так как sWp является функцией комплексного переменного
s то уравнение (5) распадается на два уравнения уравнение модулей
1)( sWp (6)
60
и уравнение аргументов (фаза вектора -1 есть нечетное число π)
210)12()(arg sWp (7)
Как известно при умножении комплексных чисел их аргументы
складываются а при делении ndash вычитаются Поэтому исходя из вы-
ражения (1) уравнение (7) имеет наглядный геометрический смысл
Пусть точка s ndash полюс замкнутой системы Если провести в s
вектора из нулей sWp (обозначим аргументы этих векторов 0j ) и
вектора из всех полюсов sWp (обозначим аргументы этих векторов
i ) то уравнение (7) можно записать в следующем виде
m
j
n
iij
1 1
0 210)12( (8)
Углы q отсчитываются от положительного направления дей-
ствительной оси Знак угла laquo+raquo соответствует повороту против часо-
вой стрелки знак угла laquo-raquo соответствует повороту по часовой стрел-
ке
Таким образом любая точка КГ должна удовлетворять уравне-
нию (8) из которого следует что конфигурация КГ не зависит от ко-
эффициента усиления K но каждому конкретному значению K одно-
значно соответствуют точки на КГ
При умножении комплексных чисел их модули перемножаются
а при делении ndash делятся Поэтому на основании (6) можно записать
1
1
1
0
n
ii
m
jj
l
lKC
(9)
где 0jl ndash модуль (длина) вектора проведенного из j-нуля в точку s
КГ il ndash модуль вектора проведенного из i-полюса в ту же точку s
61
Таким образом траектории корней строятся только по уравне-
ниям фаз а уравнение модулей используется затем для нахождения
K
Сущность метода КГ заключается в том чтобы узнать каким
должен быть коэффициент усиления разомкнутой системы чтобы
было обеспечено желаемое положение корней замкнутой системы
Корневой годограф системы с отрицательной обратной связью
обладает следующими основными свойствами
1 Ветви КГ непрерывны и расположены на комплексной плос-
кости симметрично относительно действительной оси
2 Число ветвей КГ равно порядку системы n Ветви начинают-
ся в n полюсах разомкнутой системы при K=0 При возрастании K от
0 до infin полюса замкнутой системы двигаются по ветвям КГ
3 mветвей КГ при возрастании K от 0 до infin заканчиваются в m
нулях )(sWp а )( mn ветвей при K стремящемся к infin удаляются
от полюсов вдоль асимптот
4 При расположении ветвей корневого годографа в левой полу-
плоскости s САУ устойчива При пересечении ветвей КГ мнимой оси
слева направо САУ становится неустойчивой Пусть при K=Kкр
пере-
сечение КГ с мнимой осью произойдет в некоторой точке iωкр
Назо-
вем это значение коэффициента усиления критическим Kкр
а вели-
чину iωкр
критической угловой частотой на которой система стано-
вится неустойчивой
4 Краткое описание MATLAB
Лабораторная работа выполняется в программе математического
моделирования MATLAB Программа MATLAB включает в себя пакет
прикладных программ для решения технических задач и одноименный
язык программирования используемый в этом пакете
Основными компонентами системы являются базовая система
MATLAB и пакет моделирования систем Simulink Остальные пакеты
расширения разбиты на 4 категории ndash расширения Extension MATLAB и
Extension Simulink а также комплексы пакетов расширения Blockset и
Toolbox
Раздел MATLAB Extension содержит средства для подготовки ис-
полняемых приложений MATLAB (с подключаемыми библиотеками и
без них)
62
Раздел Toolbox (инструментальные средства) содержит самое
большое число пакетов расширений системы MATLAB такие как
laquoControl systemraquo laquoDatabaseraquo laquoFuzzy logicraquo laquoWaveletraquo и тд
В разделе Blockset расположено несколько пакетов относящихся к
главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink такие как
laquoDSPraquo laquoFixed-Pointraquo laquoNonlinear control designraquo и laquoPower systemsraquo
В разделе Extension Simulink имеется ряд средств предназначен-
ных для моделирования в реальном масштабе времени и событийно-
управляемом моделировании
5 Корневой годограф в MATLAB
В системе MATLAB существует команда zpk для преобразова-
ния модели заданной ПФ в модель заданную нулями полюсами и
обобщенными коэффициентами передачи (zpk-форма)
Пример
gtgt w=tf([10][2 2 3 1 0])
Transfer function
10
-------------------------------
2 s^4 + 2 s^3 + 3 s^2 + s
gtgt w1=zpk(w)
Zeropolegain
5
----------------------------------------------
s (s+03966) (s^2 + 06034s + 1261)
Для работы с корневым годографом удобно использовать гра-
фический интерфейс laquoSISO-Design Toolraquo предназначенный для ана-
лиза и синтеза одномерных линейных систем автоматического управ-
ления (SISO ndash Single Input Signal Output)
Запуск SISO-Design Tool осуществляется командой
gtgt sisotool
63
В появившемся окне графического интерфейса необходимо ис-
пользовать команду laquoFileImportraquo для загрузки данных из рабочего
пространства MATLAB в результате которой появляется диалоговое
окно Import System Data (рис 1)
Рис 1 Диалог для ввода параметров модели
После импортирования данных можно исследовать изменение
временных и частотных характеристик замкнутой системы при изме-
нении K Обычно при этом требуется определить условия неустойчи-
вости замкнутой САУ Определить Kкр
и iωкр
На рис 2 показано окно sisotool для описанной выше модели w1
Двигая красным курсором по КГ до пересечения ветвей с мнимой
осью можно определить значения Kкр
В данном случае Kкр
asymp 01
Значение iωкр
соответствует мнимой координате пересечения КГ
мнимой оси Просмотреть это значение можно в нижней части ин-
терфейса или выбрать меню laquoView Closed-Loop Polesraquo
64
Рис 2 Основное окно SISO-Design Tool
6 Задание на лабораторную работу
Построить КГ в соответствии с вариантом из табл 1 при помо-
щи графического интерфейса sisotool
Исследовать динамику замкнутой системы при различных зна-
чениях коэффициента усиления разомкнутой системы K в том числе
ndash запасы устойчивости в частотной области
ndash параметры переходного процесса во временной области
Таблица 1
Варианты передаточных функций
Значения параметров Передаточная функция
разомкнутой системы
1 T = 01 ζ = 1
)12( 22 sTsTs
K
2 T = 005 ζ = 0707
3 T = 003 ζ = 01
4 T = 008 ζ = 05
5 T = 001 ζ = 015
65
Окончание табл 1
Значения параметров Передаточная функция
разомкнутой системы
6 T1 = 003 T2 = 05 T3 = 01 T4 = 005
)1)(1)(1(
)1(
432
1
sTsTsTs
sTK
7 T1 = 005 T2 = 04 T3 = 008 T4 = 0033
8 T1 = 02 T2 = 045 T3 = 01 T4 = 005
9 T1 = 05 T2 = 025 T3 = 01 T4 = 002
10 T1 = 01 T2 = 025 T3 = 01 T4 = 005
Вариант задания назначается преподавателем
7 Методика выполнения задания
Порядок выполнения лабораторной работы
1 Задать передаточную функцию в MATLAB в соответствии с
вариантом коэффициент K задать любым положительным числом
2 Запустить SISO-Design Tool и осуществить ввод данных
Построить КГ
3 По КГ определить значения коэффициента K когда система
будет устойчивой на границе устойчивости и неустойчива
4 Выбрать значение коэффициента K таким образом чтобы си-
стемы была устойчива и определить запас устойчивости в частотной
области и параметры переходного процесса во временной области
8 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) титульный лист
б) передаточную функцию и этапы построения КГ
в) анализ результатов построения КГ
г) выводы по проделанной работе
д) ответы на контрольные вопросы
Контрольные вопросы 1 Дать определение КГ
2 Что обычно позволяет находить метод КГ
3 В чем заключается сущность метода КГ
4 Что можно определить по КГ
66
Критерии результативности лабораторного практикума
Лабораторная работа считается выполненной если студент
ndash выполнил все указанные задания
ndash представил отчет соответствующий всем требованиям к его
содержанию и оформлению
ndash владеет терминологией и материалом лабораторной работы
ndash способен использовать программное средство математическо-
го моделирования MATLAB
ndash способен предоставить и рассказать результаты выполненной
работы на ПК
ndash может дать пояснения к отчету и ответить на контрольные
вопросы
Список литературы
1 Александров АГ Частотная теория автоматического управле-
ния учебное пособие ndash Электросталь ЭПИ МИСиС 2010
2 Борисевич АВ Теория автоматического управления элементар-
ное введение с применением MATLAB ndash СПб Изд-во Политехн ун-
та 2011
3 Федоров ВЛ Бубнов АВ Теория автоматического управления
учебное пособие ndash Омск Изд-во ОмГТУ 2010
4 Павловская ОО Чернецкая ИВ Теория автоматического
управления учебное пособие ndash Челябинск Изд-во ЮУрГУ 2010
67
Составители ЛЯНЦЕВ Олег Дмитриевич КАЗАНЦЕВ Андрей Валерьевич
ИССЛЕДОВАНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК СИСТЕМ
АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
Лабораторный практикум
по дисциплине
laquoТеория управленияraquo
Подписано в печать Формат 60х84 116 Бумага офсетная Пе-
чать плоская Гарнитура Times New Roman Усл печ л 56 Уч-изд л
55 Тираж 100 экз Заказ
ФГБОУ ВПО Уфимский государственный авиационный технический
университет
Центр оперативной полиграфии УГАТУ
450000 Уфа-центр ул К Маркса 12
5
Лабораторная работа 3 laquoЧастотные характеристики
динамических звеньевraquohelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
1 Цель работыhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
2 Задачи работыhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
3 Теоретическая частьhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
4 Краткое описание MATLABhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
5 Построение частотных характеристик в MATLABhelliphelliphelliphelliphelliphellip
6 Задание на лабораторную работуhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
7 Методика выполнения работыhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
8 Требования к содержанию и оформлению отчетаhelliphelliphelliphelliphelliphellip
Контрольные вопросыhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
Лабораторная работа 4 laquoИсследование устойчивости
систем с обратной связьюraquohelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
1 Цель работыhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
2 Задачи работыhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
3 Теоретическая частьhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
4 Краткое описание MATLABhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
5 Исследование устойчивости в MATLABhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
6 Задание на лабораторную работуhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
7 Методика выполнения работыhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
8 Требования к содержанию и оформлению отчетаhelliphelliphelliphelliphelliphellip
Контрольные вопросыhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
31
31
31
31
35
36
36
37
37
37
38
38
38
38
42
42
45
45
46
47
6
Лабораторная работа 5 laquoКоррекция статических и динами-
ческих свойств САУraquohelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
1Цель работыhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
2 Задачи работыhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
3 Теоретическая частьhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
31 Коррекция статических свойств САУhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
32 Коррекция динамических свойств САУhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
4 Краткое описание MATLABhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
5 Задание на лабораторную работуhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
6 Методика выполнения работыhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
7 Требования к содержанию и оформлению отчетаhelliphelliphelliphelliphelliphellip
Контрольные вопросыhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
Лабораторная работа 6 laquoМетод корневого годографаraquohelliphellip
1 Цель работыhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
2 Задачи работыhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
3 Теоретическая частьhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
4 Краткое описание MATLABhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
5 Корневой годограф в MATLABhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
6 Задание на лабораторную работуhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
7 Методика выполнения работыhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
8 Требования к содержанию и оформлению отчетаhelliphelliphelliphelliphelliphellip
Контрольные вопросыhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
Критерии результативности лабораторного практикумаhelliphelliphelliphellip
Список литературыhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
48
48
48
48
48
51
53
54
55
56
56
58
58
58
58
61
62
64
65
65
65
66
66
7
Введение
Дисциплина laquoТеория управленияraquo предназначена для формиро-
вания у студентов систематизированного представления об осново-
полагающих принципах управления в технических системах о кон-
цепциях структурах и механизмах лежащих в основе анализа и син-
теза современных систем управления их характеристик и о со-
временных направлениях развития теории управления
В лабораторных работах рассматривается анализ характеристик
объектов управления в пространстве состояний с использованием
среды математического моделирования MATLAB (сокращение от
англ laquoMATrix LABoratoryraquo) Эта программа математического модели-
рования разработанная компанией laquoThe MathWorksraquo оперирует
LTI-моделями (Linear Time Invariant Models ndash линейные модели с по-
стоянными параметрами) что включает работу с заданием переда-
точных функций подачей тестирующих воздействий структурными
преобразованиями определение запаса устойчивости построение
графиков и годографов
В результате выполнения данного лабораторного практикума
формируются следующие компетенции
ndash владение знаниями о теоретических основах и основных
принципах управления методах исследования и синтеза систем
управления
ndash готовность использовать навык решения типовых задач ис-
следования и проектирования систем управления
ndash способность применять программное средство математическо-
го моделирования MATLAB
8
Лабораторная работа 1
ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗВЕНЬЯ И ИХ ХАРАКТЕРИСТИКИ
ВО ВРЕМЕННОЙ ОБЛАСТИ
1 Цель работы
Целью работы является изучение временных характеристик ти-
повых динамических звеньев с использованием автоматизированных
средств моделирования на ПК ndash MATLAB SIMULINK
2 Задачи работы
ndash Закрепление углубление и расширение знаний студентов при
исследовании временных характеристик динамических звеньев
ndash Приобретение умений и навыков работы с программой мате-
матического моделирования MATLAB
ndash Выработка способности логического мышления осмысление
полученных данных переходных процессов
3 Теоретическая часть Рассматривается система автоматического управления (САУ)
описываемая линейным дифференциальным уравнением вида
)()()()(
)()()()(
011
1
1
011
1
1
tubdt
tdub
dt
tudb
dt
tudb
tyadt
tdya
dt
tyda
dt
tyda
m
m
mm
m
m
n
n
nn
n
n
(1)
где u(t) ndash входной процесс y(t) ndash выходной процесс ai bi ndash постоян-
ные коэффициенты п т (п ge т) ndash постоянные числа
Если ввести обозначение р для оператора дифференцирования
p=ddt то можно записать (1) в операторной форме
)(
)(
011
1
011
1
ubpbpbpb
yapapapa
mm
mm
nn
nn
(2)
откуда получается
9
)()(
)(pW
pA
pB
u
y
где А(р) и В(р) ndash полиномы из формулы (2)
Выражение (2) по виду совпадает с определением ПФ как от-
ношения преобразования по Лапласу выходной переменной к преоб-
разованию по Лапласу входной переменной при нулевых начальных
условиях
)()(
)(
)(
)(sW
sA
sB
su
sy (3)
где s ndash комплексная переменная
Комплексные числа являющиеся корнями многочлена B(s)
называются нулями передаточной функции а корни многочлена А(s) ndash
полюсами
Описание типовых динамических звеньев приведено в
табл 1 Таблица 1
Типовые динамические звенья
Название звена Передаточная функция звена
1
Интегрирующее
s
KsW )(
2
Дифференцирующее
KssW )(
3
Усилительное
(безынерционное)
KsW )(
4
Апериодическое 1-го
порядка (инерционное)
1)(
Ts
KsW
5
Апериодическое 2-го
порядка (все корни веще-
ственные)
21
122
2
21
)( TTsTsT
KsW
10
Окончание табл 1
Название звена Передаточная функция звена
6
Колебательное
21
122
2
21
)( TTsTsT
KsW
7
Форсирующее
)1()( TsKsW
8
Интегрирующее
с запаздыванием
(реальное интегрирующее)
)1()(
Tss
KsW
9
Дифференцирующее
с запаздыванием
(реальное дифференцирую-
щее)
1)(
Ts
KssW
10
Инерционно-форсирующее
звено
1
)1()(
0
1
sT
sTKsW
11
Изодромное
s
TsKsW
)1()(
часто используется описание колебательного звена в виде
2
12
)(2
1222 T
TTT
TssT
KsW
Временные характеристики динамического звена представляют
собой зависимость выходного сигнала системы от времени при подаче
на ее вход некоторого типового воздействия Обычно выполняется
анализ выхода системы на единичный скачок (функция Хевисайда) и
импульсную функцию (функция Дирака или δ-функция)
Единичный скачок 1(t) определяется условиями
01
00)(1
tпри
tприt
Реакция САУ на единичный скачок называется переходной
11
функцией системы и обозначается h(t) При неединичном ступенчатом
воздействии g(t)=N1(t) где N = const в соответствии с принципом
суперпозиции выходная реакция системы будет )()( tNhty
Импульсная функция δ(t) определяется условиями
00
0)(
tпри
tприt
Очевидно )(1)( tt
Реакция САУ на импульсную функцию называется импульсной
переходной функцией системы (функцией веса) и обозначается w(t)
Импульсная и переходная функции системы связаны
соотношением
)()(0
dwtht
4 Краткое описание MATLAB
Лабораторная работа выполняется в программе математического
моделирования MATLAB Программа MATLAB включает в себя пакет
прикладных программ для решения технических задач и одноименный
язык программирования используемый в этом пакете
Основными компонентами системы являются базовая система
MATLAB и пакет моделирования систем Simulink Остальные пакеты
расширения разбиты на 4 категории ndash расширения Extension MATLAB и
Extension Simulink а также комплексы пакетов расширения Blockset и
Toolbox
Раздел MATLAB Extension содержит средства для подготовки ис-
полняемых приложений MATLAB (с подключаемыми библиотеками и
без них)
Раздел Toolbox (инструментальные средства) содержит самое
большое число пакетов расширений системы MATLAB такие как
laquoControl systemraquo laquoDatabaseraquo laquoFuzzy logicraquo laquoWaveletraquo и тд
В разделе Blockset расположено несколько пакетов относящихся к
12
главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink такие как
laquoDSPraquo laquoFixed-Pointraquo laquoNonlinear control designraquo и laquoPower systemsraquo
В разделе Extension Simulink имеется ряд средств предназначен-
ных для моделирования в реальном масштабе времени и событийно-
управляемом моделировании
5 Моделирование передаточных функций в MATLAB
В пакете MATLAB имеется два основных варианта для исследо-
вания передаточных функций и моделирования САУ
- использование команд пакета расширения Control System
Toolbox
- использование пакета Simulink
Control System Toolbox предназначен для работы с LTI-моделями
систем управления
Команда создающая LTI-систему с одним входом и одним вы-
ходом в виде передаточной функции имеет следующий синтаксис
])[]([ 011011 aaaabbbbtf nnmm
где 011 bbbb mm и 011 aaaa nn ndash значения коэффициентов
полиномов В и А в (3)
Например если требуется описать ПФ вида
582
12
ss
sW
и узнать значения ее нулей и полюсов то нужно ввести в окне команд
MatLab следующие команды
gtgt w=tf([1 1][2 8 5])
gtgt zero(w)
gtgt pole(w)
Исследовать реакцию LTI-модели на типовые входные воздей-
ствия можно с помощью команд
gtgt step(w)
gtgt impulse(w)
Можно получить на одном графике реакцию сразу нескольких
динамических звеньев если использовать команды вида
gtgt step(w w1 w2)
gtgt impulse(w w1 w2)
13
В приведенных примерах время моделирования выбирается ав-
томатически При необходимости его можно явно указать в команде
gtgtstep(w w1 w2t)
где t - время моделирования в секундах
Рис 1 Исследование реакции колебательного звена
На рис 1 показан пример моделирования динамики колебатель-
ного звена при различных параметрах
gtgt w=tf([1][2 03 1])
gtgt w1=tf([1][2 05 1])
gtgt w2=tf([1][2 01 1])
gtgt step(ww1w250)
В Simulink ПФ можно описать с помощью блока Transfer Fcn в
разделе библиотеки Continuous Для подачи типовых воздействий
надо использовать блок Step из раздела Sources Импульсную пере-
ходную характеристику звена можно получить подавая на вход им-
пульс маленькой длительности и большой амплитуды (приближение
δ-функции) при нулевых начальных условиях
6 Задание на лабораторную работу
С помощью пакета MATLAB построить реакцию каждого типо-
вого звена с параметрами своего варианта (см табл 2) на ступенчатое и
импульсное входное воздействие Определить влияние коэффициен-
тов входящих в описание каждого звена на параметры переходного
процесса Вариант задания назначается преподавателем
14
Таблица 2
Варианты заданий
Апери-
од зве-
но
Апериодич звено
2 пор (колеб
звено)
Ин-
тегр
звено
Изодр
звено
Реальное
диф звено
Инерц-
форс
звено
K T K T2 (T) T1( ξ ) K K T K T K T0 T1
1 3 02 3 02 20
(02)
3 3 05 3 04 3 2 08
2 4 03 4 03 15
(015)
4 4 1 4 03 4 3 12
3 5 04 5 04 25
(025)
5 5 08 5 05 5 4 15
4 6 05 6 05 16
(03)
6 6 2 6 10 6 5 20
5 7 06 7 06 28
(02)
7 7 3 7 08 7 6 20
6 8 07 8 07 22
(008)
8 8 35 8 10 8 7 20
7 9 08 9 08 21
(007)
9 9 1 9 09 9 8 30
8 10 10 10 10 30
(01)
10 10 20 10 20 10 10 40
7 Методика выполнения задания
Порядок выполнения работы
1 Задать передаточную функцию типового динамического звена
в MATLAB используя параметры приведенные в табл 2
2 Варьируя коэффициент динамического звена увеличивая его в
2 раза ndash получить вторую ПФ затем уменьшить исходный коэффици-
ент в 2 раза и получить третью ПФ
3 Построить на одном графике реакцию получившихся динами-
ческих звеньев на единичный скачок
4 Построить на одном графике реакцию получившихся динами-
ческих звеньев на импульсную функцию
5 Выполнить пп 2-4 для всех коэффициентов динамического
звена
6 Выполнить пп 1-5 для всех динамических звеньев
7 Подготовить ответы на контрольные вопросы
15
8 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) титульный лист
б) передаточные функции и схемы моделирования исследуемых
звеньев
в) экспериментально полученные характеристики при вариа-
ции параметров каждого звена
г) выводы обобщающие проделанные эксперименты по каждо-
му звену
д) ответы на контрольные вопросы
Контрольные вопросы
1 Что называется передаточной функцией
2 Что называется переходной и импульсной (весовой)
функциями Какова связь между ними
3 Как пользуясь временными характеристиками определить
параметры (коэффициенты передаточной функции) звена
Пояснить на конкретных примерах
4 Перечислите динамические характеристики САУ
5 Что называется характеристическим уравнением
16
Лабораторная работа 2
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СТРУКТУРНЫХ СХЕМ
1 Цель работы
Целью работы является изучение структурных преобразований и
нахождения передаточных функций с использованием автоматизиро-
ванных средств моделирования на ПК ndash MATLAB SIMULINK
2 Задачи работы
ndash Закрепление углубление и расширение знаний студентов при
исследовании преобразований структурных схем
ndash Приобретение умений и навыков работы с программой мате-
матического моделирования MATLAB
ndash Овладение несколькими методами преобразования структур-
ных схем
3 Теоретическая часть
Для наглядного представления сложной системы как совокупно-
сти элементов и связей между ними используются структурные
схемы
Структурной схемой называется схема САУ изображенная в
виде соединения ПФ составляющих ее звеньев
Структурная схема показывает строение автоматической систе-
мы наличие внешних воздействий и точки их приложения пути рас-
пространения воздействий и выходную величину Динамическое или
статическое звено изображается прямоугольником в котором указы-
вается ПФ звена Воздействия на систему и влияние звеньев друг на
друга (сигналы) изображаются стрелками В каждом звене воздей-
ствие передается только от входа звена к его выходу
На динамическое звено может воздействовать лишь одна вход-
ная величина поэтому используются блоки суммирования и сравне-
ния сигналов Суммироваться и сравниваться могут лишь сигналы
одной и той же физической природы
Структурная схема может быть составлена по уравнению систе-
мы в пространстве состояний или по системе дифференциальных
уравнений При составлении структурной схемы удобно начинать с
изображения задающего воздействия и располагать динамические
17
звенья составляющие прямую цепь системы слева направо до регу-
лируемой величины Тогда основная обратная связь и местные обрат-
ные связи будут направлены справа налево
Различные способы преобразования структурных схем облегча-
ют определение ПФ сложных САУ и дают возможность привести
многоконтурную систему к эквивалентной ей одноконтурной схеме
Преобразование структурной схемы должно осуществляться на
основании правил основные из них приведены в табл 1
При выполнении преобразований следует каждое имеющееся в
схеме типовое соединение заменить эквивалентным звеном Затем
можно выполнить перенос точек разветвления и сумматоров чтобы в
преобразованной схеме образовались новые типовые соединения зве-
ньев Эти соединения опять заменяются эквивалентными звеньями
затем вновь может потребоваться перенос точек разветвления и
сумматоров и т д
Различают основные соединения блоков в структурных схемах
последовательное соединение параллельное соединение антипарал-
лельное соединение (обратная связь) в свою очередь обратная связь
может быть отрицательной и положительной Таблица 1
Основные правила преобразования структурных схем
Преобразование
Структурная схема
Исходная Эквивалентная
Свертывание
последовательного
соединения
W1 W2 Wnu y
Wu y
nWWWW 21
Свертывание
параллельного
соединения
Wn
W2
W1
u y
Wu y
nWWWW 21
Свертывание
обратной связи
W1u plusmn y
W2
Wu y
21
1
1 WW
WW
18
Окончание табл 1
Преобразование
Структурная схема
Исходная Эквивалентная
Перенос узла через
звено вперед
Wu y
x
Wu y
xW1
WW
11
Перенос узла через
звено назад
Wu y
y
Wu y
yW
Перенос сумматора
через звено вперед
Wu1 y
u2
plusmn
Wu1 y
u2
plusmn
W
Перенос сумматора
через звено назад
Wu1 y
u2
plusmn
Wu1 y
u2
plusmn
W1
WW
11
Перенос прямой
связи через звено W2yu
plusmnW1
W3
W2 yu
plusmnW1
W3 W2
Перенос узла через
сумматор вперед
x1
+
- y
x1
x2
x1
+
- y
x1x2
+
+
Перенос узла через
сумматор назад
x1
+
- y
x2
y
x1
+
- y
x2y
+
-
Пример Пусть необходимо получить эквивалентное представ-
ление для структуры приведенной на рис 1
19
W1
W2 W3
W4
W5 W6
W7
+
+
+
-
Рис 1 Исходная схема САУ
Преобразование включает несколько этапов показанных на рис 2ndash5
W1
W2 W3
W4
W5 W6
W7
+
+
+
-
1W6
Рис 2 Перенос узла через звено вперед
567
659
1 WWW
WWW
6
48
W
WW
Рис 3 Свертывание обратной связи и последовательного соединения
2110 WWW
983
9311
1 WWW
WWW
Рис 4 Свертывание обратной связи и Рис 5 Свертывание последователь-
параллельного соединения ного соединения
W10 W11 WЭкв
543765
653265311110
1 WWWWWW
WWWWWWWWWWWЭкв
W1
W2
W8
W3 W9
+
+
20
Таким образом первый способ преобразования структурных
схем заключается в непосредственном использовании правил приве-
денных в табл1 Неудобство использования этого подхода заключа-
ется в том что порядок применения формул здесь достаточно произ-
волен возможны ошибочные шаги усложняющие поиск решения
Второй способ для получения ПФ многоконтурной системы за-
ключается в использовании модели системы в виде сигнального
графа
Сигнальный граф позволяет графически описать линейные связи
между переменными он состоит из узлов (вершин) и соединяющих их
направленных ветвей
Ветвь соответствует блоку структурной схемы она отражает за-
висимость между входной и выходной переменными Сумма всех
сигналов входящих в узел образует соответствующую этому узлу
переменную
Последовательность ветвей между двумя узлами называется пу-
тем Контуром называется замкнутый путь который начинается и
заканчивается в одном и том же узле причем ни один узел не встре-
чается на этом пути дважды
Контуры называются некасающимися если они не имеют общих
узлов
Сигнальный граф ndash это просто наглядный метод записи системы
алгебраических уравнений показывающий взаимосвязь между пере-
менными
r1
r2
a11
a22
x1
x2
a12a21
Рис 6 Сигнальный граф для двух алгебраических выражений
В качестве примера рассмотрим следующую систему алгебраи-
ческих уравнений
21
11212111 xrxaxa (1)
22222121 xrxaxa (2)
здесь r1 и r2 ndash входные переменные а x1 и x2 ndash выходные переменные
Сигнальный граф соответствующий уравнениям (1) и (2) изображен
на рис 6 Уравнения (1) и (2) можно записать в ином виде
1122111 )()1( raxax
2222211 )1()( raxax
Решая последнюю систему по правилу Крамера получим
212
122
21122211
2121221
)1(
)1)(1(
)1(r
ar
a
aaaa
rarax
121
211
21122211
1212112
)1(
)1)(1(
)1(r
ar
a
aaaa
rarax
В этих решениях знаменатель равен определителю составлен-
ному из коэффициентов при неизвестных и его можно записать так
21122211221121122211 1)1)(1( aaaaaaaaaa
В данном случае знаменатель равен единице минус коэффици-
енты передачи отдельных контуров a11 a22 и a12a21 плюс произведе-
ние коэффициентов передачи двух некасающихся контуров a11 и a22
Контуры a22 и a12a21 являются касающимися так же как и контуры a11
и a21a12
В решении для x1 по отношению ко входу r1 числитель равен
единице умноженной на (1-a22) те значение определителя некаса-
ющегося пути от r1 к x1 В решении для x1 по отношению ко входу
r2числитель просто равен a12 тк этот путь касается всех контуров
Числитель выражения x2 симметричен соответствующему числителю
для x1
В общем случае линейная зависимость Tij между независимой
переменной xi (часто называемой входной переменной) и зависимой
переменной xj определяется по формуле Мейсона
22
k
ijkijk
ij
P
T
где Pijk ndash коэффициент передачи k-го пути от переменной xi к пере-
менной xj Δ ndash определитель графа Δijk ndash дополнительный множитель
для пути Pijk а суммирование производится по всем возможным k пу-
тям от xi до xjДополнительный множитель Δijk равен определителю
всех касающихся контуров при удалении k-го пути
Определитель находится как
QM
qm
LSR
lsrlsrqm
K
kk LLLLLL
11
1111
1
где Kk kL
1ndash сумма коэффициентов передачи всех отдельных конту-
ров QM
qm qmLL
11ndash сумма произведений всех возможных комбина-
ций из двух некасающихся контуров LSR
lsr lsr LLL
111ndash сумма про-
изведений всех возможных комбинаций из трех некасающихся кон-
туров
Таким образом правило вычисления Δ через значение L1 L2
L3hellipLN таково Δ = 1- (сумма коэффициентов передачи всех отдель-
ных контуров) + (сумма произведений всех возможных комбинаций
из 2 некасающихся контуров) ndash (сумма произведений всех возмож-
ных комбинаций из 3 некасающихся контуров) +hellip
Формула Мейсона часто используется в несколько упрощенном
виде для определения связи между выходной переменной Y(s) и
входной переменной X(s) те
)()(
)( 1
N
iiiP
sWsX
sY
где Pi ndash i-й путь от входа к выходу N ndash количество путей Δ ndash опреде-
литель графа специальный полином который определенным образом
характеризует совокупность всех замкнутых цепей системы содер-
жащих обратные связи и вычисляется как сумма передаточных
функций разомкнутых контуров этих цепей и произведений
23
передаточных функций разомкнутых контуров пар троек и тд не со-
прикасающихся друг с другом цепей с обратными связями Δi ndash до-
полнительный множитель для пути составляется по правилу анало-
гичному Δ но только для цепей с обратными связями не соприкаса-
ющихся с i-м прямым каналом
Дополнительный множитель для i-го пути равен определителю
графа в котором приравнены нулю коэффициенты передачи конту-
ров касающихся этого пути
Рассмотрим пример получения ПФ многоконтурной системы с
использованием формулы Мейсона для структуры на рис 1 которая
соответствует графу показанному на рис 7
X(s) Y(s)W1
W2
W3 W5 W6
W4 -W7
Рис 7 Описание системы управления сигнальным графом
От входа к выходу ведут два пути
65311 WWWWP
65322 WWWWP
В графе есть 2 контура
5431 WWWL
7652 WWWL
Контур L1 пересекает контур L2 поэтому определитель графа
вычисляется по формуле
)(1 21 LL
Контуры в этом примере пересекают все пути поэтому допол-
нительные множители путей равны
24
11
12
Окончательно можно записать
1
)(543765
65326531
2
1
WWWWWW
WWWWWWWWP
sW iii
Таким образом использование сигнальных графов и применение
формулы Мейсона позволяет алгоритмизировать процесс упрощения
структурной схемы
Третий способ для получения ПФ заключается в составлении
системы уравнений Необходимо обозначить выходы сумматоров и
составить систему уравнений на основе этих обозначений На рис9
представлена исходная схема с обозначенными сумматорами
W1
W2 W3
W4
W5 W6
W7
+
+
+
-
Z H
u y
Рис 9 Исходная схема САУ с обозначенными сумматорами
Опишем все сигналы в системе в виде уравнений
)( 4521 HWWuWWZ
73 yWZWH
65 HWWy
Подставив последовательно значения сигналов найдем ПФ
))(( 734521 yWWHWWuWWH
После преобразования получим
25
1
)(
543
73231
WWW
yWuWWWWH
Подставим полученное значение H в уравнение y
1
))((
543
6573231
WWW
WWyWuWWWWy
Получим ПФ вида
1
)(543765
65326531
WWWWWW
WWWWWWWW
u
ypW
4 Краткое описание MATLAB
Лабораторная работа выполняется в программе математического
моделирования MATLAB Программа MATLAB включает в себя пакет
прикладных программ для решения технических задач и одноименный
язык программирования используемый в этом пакете
Основными компонентами системы являются базовая система
MATLAB и пакет моделирования систем Simulink Остальные пакеты
расширения разбиты на 4 категории ndash расширения Extension MATLAB и
Extension Simulink а также комплексы пакетов расширения Blockset и
Toolbox
Раздел MATLAB Extension содержит средства для подготовки ис-
полняемых приложений MATLAB (с подключаемыми библиотеками и
без них)
Раздел Toolbox (инструментальные средства) содержит самое
большое число пакетов расширений системы MATLAB такие как
laquoControl systemraquo laquoDatabaseraquo laquoFuzzy logicraquo laquoWaveletraquo и тд
В разделе Blockset расположено несколько пакетов относящихся к
главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink такие как
laquoDSPraquo laquoFixed-Pointraquo laquoNonlinear control designraquo и laquoPower systemsraquo
В разделе Extension Simulink имеется ряд средств предназначен-
ных для моделирования в реальном масштабе времени и событийно-
управляемом моделировании
26
5 Структурные преобразования в MATLAB
В пакете MATLAB имеется ряд функций с помощью которых
можно выполнять структурные преобразования (используется экви-
валентная схема)
ndash series(w1w2) ndash последовательное соединение звеньев
ndash parallel(w1w2) ndash параллельное соединение звеньев
ndash feedback(w1w2) ndash включение звена w2 в контур отрицательной об-
ратной связи к w1
ndash feedback(w1w2sign) ndash включение звена w2 в контур обратной связи
звена w1 с указанием знака + или ndash (очевидно feedback(w1w2)=
=feedback(w1w2-1))
Пример
Даны две передаточные функции
22
221
ss
sW
22
322
2
2
ss
ssW
Опишем ПФ введя в окне команд MatLab следующие команды
gtgt w1=tf([1 2][1 2 2])
gtgt w2=tf([1 2 3][1 2 2])
Выполним структурные преобразования для данных ПФ
gtgt w2=series(w1w2)
Transfer function
s^3 + 4 s^2 + 7 s + 6
------------------------------------
s^4 + 4 s^3 + 8 s^2 + 8 s + 4
gtgt w3=parallel(w1w2)
Transfer function
s^4 + 5 s^3 + 13 s^2 + 16 s + 10
----------------------------------------
s^4 + 4 s^3 + 8 s^2 + 8 s + 4
27
gtgt w4=feedback(w1w2)
Transfer function
s^3 + 4 s^2 + 6 s + 4
----------------------------------------
s^4 + 5 s^3 + 12 s^2 + 15 s + 10
Для проверки правильности проведенных преобразований необ-
ходимо собрать схему исходной САУ и соответствующую ей эквива-
лентную схему в MATLAB Simulink
Исходная схема САУ собирается как модель из соответствую-
щих элементов таких как laquoTransfer Fncraquo laquostepraquo laquosignal builderraquo
laquoscoperaquo и laquosumraquo Все эти элементы находятся в пакете laquoSimulinkraquo и
представлены в виде блоков Для того чтобы создать новую модель
необходимо нажать laquoFile-gtNew-gtModel (Simulink)raquo после откроется
окно модели в которую нужно будет добавлять элементы из библио-
теки для доступа к ней необходимо нажать на значок laquoLibrary Brows-
erraquo
Описание используемых элементов из пакета Simulink
1 Transfer Fnc ndash передаточная функция
2 Step ndash единичный скачок (функция Хэвисайда) в блоке необходи-
мо задать время начала перехода (step time)
3 Signal builder ndash блок для моделирования сигнала по заданным па-
раметрам (можно построить единичный скачок и импульсную функ-
цию)
4 Scope ndash виртуальный осциллограф отображает получившийся гра-
фик открывается двойным щелчком левой клавиши мыши и для кор-
рекции масштаба необходимо нажать правой кнопкой по графику и
из выпадающего меню выбрать laquoautoscaleraquo
5 Sum ndash сумматор в параметрах задается число сигналов соответ-
ственно laquo+raquo - положительный laquondashraquo - отрицательный
Так же нужно задать время работы модели для этого необходи-
мо выбрать laquoSimulation-gtSimulation parametersraquo и установить пара-
метр laquostop timeraquo на нужное значение и после необходимо запустить
модель на выполнение нажав на значок laquoStart simulationraquo Пример
модели составленной в MATLAB представлен на рис 10
28
Рис 10 Пример схемы САУ с блоком laquosignal builderraquo
Задача считается решенной если при подаче на вход обоих
схем одинаковых тестовых воздействий (единичный скачок импуль-
сная функция) наблюдаются одинаковые выходные сигналы
6 Задание на лабораторную работу
Выполнить преобразование структурной схемы САУ в эквива-
лентную передаточную функцию Составить модель исходной схемы
САУ в MATLAB С помощью ряда функций MATLAB (структурные
преобразования) составить эквивалентную схему Вариант задания
назначается преподавателем
7 Методика выполнения задания
Порядок выполнения работы
1 Выполнить преобразование заданного варианта структурной
схемы САУ (см табл 2) в эквивалентную ПФ тремя способами
ndash непосредственно используя правила табл 1
ndash используя представление в виде сигнального графа и формулу
Мейсона
ndash составив систему уравнений и решив еѐ
2 В качестве звеньев W1W2W3 использовать передаточные
функции звеньев представленных в табл 2
3 Составить модель исходной схемы САУ в MATLAB постро-
ить реакцию получившейся модели на ступенчатое и импульсное
воздействия
4 С помощью ряда функций MATLAB (структурные преобразо-
вания) составить эквивалентную схему и построить реакцию на сту-
пенчатое и импульсное воздействия
5 Подготовить ответы на контрольные вопросы
29
Таблица 2
Варианты структур САУ
Исходная схема
Передаточные
функции
1 W1
W3
W2
-
+
-
+
u y
+
1
31
sW
2
442
s
sW
12
133
s
sW
2 W1
W3
W2
-
+
-
+
u y
+ +
3 W3
W2
W1
-
+
-
+
u y
+ +
4 W3
W1
W2
+
+
-
+
u y
+ +
1
21
sW
2
12
sW
12
13
s
sW
5
W1
W3
W2
-
+
-
+
u y
+ +
6
W1
W3
W2
-
+
-
+
u y
+
62
31
sW
2
52
sW
1
23
s
sW
7
W1
W3
W2
-
+
-
+
u y
+ +
8
W1
W2
W3
-
+
-
+
u y
+ +
30
8 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) описание всех этапов преобразования исходной схемы и по-
лучающихся промежуточных результатов выполненными тремя спо-
собами моделирование реакции схемы на типовое воздействие (ска-
чок) до и после преобразования
б) сигнальный граф системы описание путей контуров расчет
ПФ по формуле Мейсона
в) решение составленной системы уравнений
г) схема модели и протокол команд MATLAB
д) графики переходных процессов при подаче на вход исходной
и эквивалентной схемы типовых тестирующих воздействий (скачок
импульс)
е) ответы на контрольные вопросы
Контрольные вопросы
1 Что называется структурной схемой Какие задачи можно
решить с еѐ помощью
2 Как может быть составлена структурная схема
3 Что позволяет алгоритмизировать процесс упрощения струк-
турной схемы Поясните на конкретном примере
31
Лабораторная работа 3
ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
ДИНАМИЧЕСКИХ ЗВЕНЬЕВ
1 Цель работы
Целью работы является изучение частотных характеристик ти-
повых динамических звеньев с использованием автоматизированных
средств моделирования на ПК ndash MATLAB SIMULINK
2 Задачи работы
ndash Закрепление углубление и расширение знаний студентов при
исследовании частотных характеристик динамических звеньев
ndash Приобретение умений и навыков работы с программой мате-
матического моделирования MATLAB
ndash Выработка способности логического мышления осмысление
полученных данных частотных характеристик
3 Теоретическая часть Сущность метода частотных характеристик заключается в том
что на вход исследуемой системы подается гармонический сигнал (си-
нусоидальные колебания) в широком диапазоне частот Реакция си-
стемы при разных частотах позволяет судить о ее динамических
свойствах
Пусть входной сигнал системы имеет амплитуду а и частоту ω т е
описывается формулой
)sin( tax
Выходной сигнал будет иметь амплитуду А1 и отличаться от вход-
ного по фазе на величину ψ (фазовый сдвиг)
)sin(1 tAy
Таким образом можно рассчитать усиление по амплитуде
1
a
AA
32
Для каждой частоты входного сигнала ω будут свои А и ψ
Изменяя ω в широком диапазоне можно получить зависимость
А(ω) ndash амплитудную частотную характеристику (АЧХ) и ψ(ω) ndash фазо-
вую частотную характеристику (ФЧХ)
Главное достоинство метода частотных характеристик заключа-
ется в том что АЧХ и ФЧХ объекта могут быть получены экспери-
ментально Для этого необходимо иметь генератор гармонических
колебаний который подключается к входу объекта и измеритель-
ную аппаратуру для измерения амплитуды и фазового сдвига колеба-
ний на выходе объекта
Частотные характеристики САУ могут быть получены по ее ПФ
W(s) Для суждения о реакции звена на синусоидальный сигнал доста-
точно исследовать его реакцию на гармонический сигнал вида
)( tjejx
Тогда выходной сигнал определяется по соотношению
)()( ))(( tjeAjy
и частотная ПФ получается равной
)()(
)()( )(
jeA
jx
jyjW
Формально для получения частотной ПФ надо сделать в W(s)
подстановку s = jω и тогда полученная W(jω) является комплексным
выражением которое можно представить в виде
)()(
)()()(
22
11
jba
jbajW
Для нахождения вещественной и мнимой частей частотной пе-
редаточной функции необходимо умножить числитель и знаменатель
на сопряженную знаменателю величину а затем провести
разделение
33
)()()(
)()(
)()()()(
)()(
)()()()(
))()())(()((
))()())(()((
)()(
)()()(
)(
22
22
2112
22
22
2121
2222
2211
22
11
jeAjVU
ba
babaj
ba
bbaa
jbajba
jbajba
jba
jbajW
где
)()()()(22
22
21
2122
ba
baVUjWA
)(
)())(arg()(
2
2
1
1
a
barctg
a
barctg
U
VarctgjW
Графики функции )(U и )(V называют соответственно веще-
ственной и мнимой частотной характеристиками
В практических расчетах удобно применять графики частотных
характеристик построенных в логарифмическом масштабе ndash лога-
рифмические частотные характеристики (ЛЧХ)
Логарифмическая амплитудная частотная характеристика
(ЛАЧХ) определяется следующим выражением
)(lg20)( AL
Логарифмической фазовой частотной характеристикой
(ЛФЧХ) называется график зависимости )( построенный в лога-
рифмическом масштабе частот
Единицей L(ω) является децибел (дБ) а единицей логарифма ча-
стоты ndash декада Декадой называют интервал частот на котором часто-
та изменяется в 10 раз При изменении частоты в 10 раз говорят что
она изменилась на одну декаду Ось ординат при построении ЛЧХ про-
водят через произвольную точку а не через точку ω = 0 Частоте ω = 0
соответствует бесконечно удаленная точка lgω rarr ndash infin при ω rarr 0
Основное преимущество использования ЛЧХ заключается в том
что приближенные (асимптотические) ЛАЧХ типовых динамических
звеньев изображаются отрезками прямых
Пример Построим ЛЧХ апериодического звена первого
34
порядка
Передаточная функция звена
1
)(
Ts
ksW
Частотная передаточная функция
1)(
)1(
1)(
2
T
Tjk
Tj
kjW
1)(
1)( 22
T
kTV
T
kU
Следовательно АЧХ описывается формулой
1)(
)(2
T
kA
ФЧХ строится по формуле
)()( Tarctg
ЛАЧХ апериодического звена 1-го порядка
1)(lg20lg20)( 2 TkL
По этой формуле можно построить две асимптоты ndash прямые к
которым стремится ЛАЧХ при ω rarr 0 и при ω rarr infin Так при ω rarr 0 второе
слагаемое близко к нулю и этот участок ЛАЧХ представляет собой
горизонтальную прямую
lg20)( kL
При ω rarr infin получаем наклонную прямую
1)(lg20)( 2 TL
35
Для определения наклона этой прямой можно рассмотреть гра-
ницы декады
T
1 и
10
T
Изменение ЛАЧХ между этими точками
)(2011
lg20110
lg20)(
22
декдБT
TT
TL
ЛЧХ часто называют диаграммами Боде
4 Краткое описание MATLAB
Лабораторная работа выполняется в программе математического
моделирования MATLAB Она включает в себя пакет прикладных про-
грамм для решения технических задач и одноименный язык программи-
рования используемый в этом пакете
Основными компонентами системы являются базовая система
MATLAB и пакет моделирования систем Simulink Остальные пакеты
расширения разбиты на 4 категории ndash расширения Extension MATLAB и
Extension Simulink а также комплексы пакетов расширения Blockset и
Toolbox
Раздел MATLAB Extension содержит средства для подготовки ис-
полняемых приложений MATLAB (с подключаемыми библиотеками и
без них)
Раздел Toolbox (инструментальные средства) содержит самое
большое число пакетов расширений системы MATLAB такие как
laquoControl systemraquo laquoDatabaseraquo laquoFuzzy logicraquo laquoWaveletraquo и тд
В разделе Blockset расположено несколько пакетов относящихся к
главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink такие как
laquoDSPraquo laquoFixed-Pointraquo laquoNonlinear control designraquo и laquoPower systemsraquo
В разделе Extension Simulink имеется ряд средств предназначен-
ных для моделирования в реальном масштабе времени и событийно-
управляемом моделировании
36
5 Построение частотных характеристик в MATLAB В пакете MATLAB ЛЧХ объекта заданного с помощью ПФ
можно получить командой bode
Пример
gtgt w=tf([1 2][3 4 5])
gtgt bode(w)
Для нескольких вариантов передаточной функции можно исполь-
зовать вариант команды вида
gtgt bode(ww1w2)
Например построим диаграмму Боде при различных параметрах
колебательного звена (рис 1)
gtgt w=tf([1][2 03 1])
gtgt w1=tf([1][2 05 1])
gtgt w2=tf([1][2 01 1])
gtgt bode(ww1w2)
Рис 1 ЛЧХ колебательного звена
6 Задание на лабораторную работу
С помощью пакета MATLAB построить ЛЧХ каждого типового
звена Определить влияние коэффициентов входящих в описание
каждого звена на параметры ЛАЧХ и ЛФЧХ Вариант задания назна-
чается преподавателем
37
7 Методика выполнения задания
Порядок выполнения работы
1 Задать передаточную функцию типового динамического звена
используя параметры из табл 2 лабораторной работы 1
2 Построить диаграмму Боде при различных параметрах типо-
вого динамического звена
3 Определить влияние коэффициентов входящих в описание
каждого звена на параметры ЛАЧХ и ЛФЧХ в том числе
ndash как меняется ширина асимптотических участков ЛАЧХ и
ЛФЧХ
ndash как меняется положение точек пересечения осей ЛАЧХ
4 Написать вывод по влиянию коэффициентов на типовое звено
5 Выполнить пункты 1-4 для всех типовых звеньев
6 Подготовить ответы на контрольные вопросы
8 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) титульный лист
б) краткие теоретические сведения
в) передаточные функции и схемы моделирования исследуемых
звеньев
г) экспериментально полученные характеристики при вариации
параметров каждого звена
д) выводы обобщающие проделанные эксперименты по каждо-
му звену
ж) ответы на контрольные вопросы
Контрольные вопросы
1 Как пользуясь частотными характеристиками определить па-
раметры (коэффициенты передаточной функции) звена Пояс-
нить на конкретных примерах
2 Указать особенности построения ЛАХ и ЛФХ динамических
звеньев Что понимается под асимптотической ЛАХ звена
3 Как осуществляется построение АФХ динамического звена
38
Лабораторная работа 4
ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ СИСТЕМ
С ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ
1 Цель работы
Изучение особенностей практического использования алгебраи-
ческих и частотных критериев устойчивости для анализа динамики
линейных САУ с использованием автоматизированных средств моде-
лирования на ПК ndash MATLAB SIMULINK
2 Задачи работы
ndash Закрепление углубление и расширение знаний студентов при
исследовании устойчивости систем с обратной связью
ndash Приобретение умений и навыков работы с программой мате-
матического моделирования MATLAB
ndash Овладение новыми методами проверки устойчивости систем
с обратной связью
ndash Выработка способности логического мышления осмысления
полученных данных
3 Теоретическая часть
Устойчивость САУ является одним из основных условий ее ра-
ботоспособности и включает требование затухания во времени пере-
ходных процессов
Система является устойчивой если при ограниченном входном
сигнале еѐ выходной сигнал также является ограниченным Если
система устойчива то она противостоит внешним воздействиям а
выведенная из состояния равновесия возвращается снова к нему
Система с расходящимся переходным процессом будет неустойчивой и
неработоспособной
Необходимое и достаточное условие устойчивости заключается в
том чтобы все корни характеристического уравнения (полюсы пере-
даточной функции системы) имели отрицательные вещественные ча-
сти Иначе говоря условием устойчивости системы является распо-
ложение всех полюсов в левой комплексной полуплоскости Тогда все
полюсы будут давать затухающую реакцию
Выше сформулированное условие устойчивости справедливо как
39
для линейных так и для линеаризованных систем Однако в случае
нулевых или чисто мнимых корней характеристического уравнения
вопрос об устойчивости линеаризованной системы может быть ре-
шен только на основании исследования ее нелинейных уравнений
В конце XIX и первой половине XX в задача вычисления корней
характеристического уравнения высокого порядка вызывала боль-
шие проблемы Поэтому были предложены несколько косвенных
методов оценки устойчивости позволяющих обойтись без вычисле-
ния корней ndash по значениям коэффициентов характеристического
уравнения
Критерии устойчивости разделяют на алгебраические и частот-
ные В частности к алгебраическим критериям относится критерий
Гурвица к частотным критериям ndash критерий Найквиста
Критерий Гурвица является алгебраическим критерием и при-
меняется к коэффициентам характеристического уравнения замкнутой
системы
Пусть имеется характеристическое уравнение замкнутой
системы
0011
1 apapapa n
nn
n
Из коэффициентов характеристического уравнения составляют
матрицу по правилу
1 По диагонали записываются коэффициенты от 1na до 0a
2 Каждая строка дополняется коэффициентами с возрастающи-
ми индексами слева направо так чтобы чередовались строки с нечет-
ными и четными индексами
3 В случае отсутствия индекса а также если он меньше 0 или
больше п на его место пишется 0
Таким образом матрица Гурвица приобретает следующий вид
40
Критерий устойчивости формулируется так
Чтобы система была устойчивой необходимо и достаточно что-
бы при 0na были положительными все п диагональных определи-
телей получаемых из матрицы Гурвица
Первые три определителя матрицы Гурвица имеют следующий
вид
Таким образом критерий Гурвица позволяет судить об абсо-
лютной устойчивости но он не дает возможности оценивать относи-
тельную устойчивость по корням характеристического уравнения
Частотный критерий устойчивости Найквиста анализирует
АФЧХ разомкнутой системы
Пусть имеется АФЧХ разомкнутой системы W(jω)
Для нахождения вещественной и мнимой части частотной ха-
рактеристики нужно освободиться от мнимости в знаменателе путем
умножения числителя и знаменателя на комплексную величину со-
пряженную знаменателю а затем выполнить разделение на веще-
ственную и мнимую части W(jω) приобретает вид
)()()( jQPjW
Задаваясь различными значениями частоты можно найти мно-
жество пар )()( 11 jQP )()( 22 jQP )()( nn jQP
Затем по этим парам строится АФЧХ на комплексной плоскости
Основные свойства АФЧХ разомкнутой системы
1 Если разомкнутая система не имеет интегрирующих звеньев
то при ω = 0 ее АФЧХ начинается на вещественной оси в точке
Р(ω)=К (где К ndash коэффициент усиления разомкнутой системы) За-
канчивается АФЧХ в начале координат при ω rarr infin (рис 1 а)
2 Если разомкнутая система имеет одно интегрирующее звено то
ее АФЧХ начинается при ω = 0 в бесконечности на отрицательной мни-
мой полуоси а заканчивается в начале координат при ω rarr infin (рис 1 б)
41
Рис 1 АФЧХ разомкнутой системы
Критерий устойчивости Найквиста формулируется так
1 Если разомкнутая система устойчива или находится на гра-
нице устойчивости то для того чтобы замкнутая система была
устойчива необходимо и достаточно чтобы АФЧХ разомкнутой
системы при изменении частоты ω от 0 до infin не охватывала точку с ко-
ординатами (-1 j0)
2 Если разомкнутая система неустойчива а ее передаточная
функция имеет т полюсов справа от мнимой оси на комплексной
плоскости то для устойчивости замкнутой системы необходимо и до-
статочно чтобы АФЧХ разомкнутой системы при изменении частоты
ω от -infin до +infin охватывала т раз точку с координатами (-1 j0)
При использовании этого критерия нужно учитывать две
особенности
1 Если разомкнутая система находится на границе устойчиво-
сти то ее АФЧХ уходит в бесконечность Для проверки критерия Най-
квиста нужно мысленно соединить конец АФЧХ дугой бесконечно
большого радиуса с положительной вещественной полуосью
2 На практике АФЧХ может строиться только для положитель-
ных частот (0 lt ω lt +infin) При применении критерия Найквиста счита-
ется что ветвь АФЧХ для отрицательных частот симметрична отно-
сительно вещественной оси
Физический смысл критерия устойчивости Найквиста заключа-
ется в том что система будет неустойчива если фаза выходного сиг-
нала противоположна фазе входного сигнала а коэффициент усиле-
ния больше 1 Поэтому для анализа устойчивости можно использо-
вать не АФЧХ а ЛАХ системы (для минимально-фазовых систем)
Система устойчива если на частоте среза значение фазы не превы-
шает -π Соответственно для устойчивой системы можно рассматри-
вать на ЛФЧХ запас устойчивости по фазе ndash расстояние от значения
фазы на частоте среза до уровня -π и запас устойчивости по амплиту-
42
де ndash расстояние от оси частот ЛАЧХ до значения усиления на часто-
те где фаза становится равной -π
4 Краткое описание MATLAB
Лабораторная работа выполняется в программе математического
моделирования MATLAB Программа MATLAB включает в себя пакет
прикладных программ для решения технических задач и одноименный
язык программирования используемый в этом пакете
Основными компонентами системы являются базовая система
MATLAB и пакет моделирования систем Simulink Остальные пакеты
расширения разбиты на 4 категории ndash расширения Extension MATLAB и
Extension Simulink а также комплексы пакетов расширения Blockset и
Toolbox
Раздел MATLAB Extension содержит средства для подготовки ис-
полняемых приложений MATLAB (с подключаемыми библиотеками и
без них)
Раздел Toolbox (инструментальные средства) содержит самое
большое число пакетов расширений системы MATLAB такие как
laquoControl systemraquo laquoDatabaseraquo laquoFuzzy logicraquo laquoWaveletraquo и тд
В разделе Blockset расположено несколько пакетов относящихся к
главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink такие как
laquoDSPraquo laquoFixed-Pointraquo laquoNonlinear control designraquo и laquoPower systemsraquo
В разделе Extension Simulink имеется ряд средств предназначен-
ных для моделирования в реальном масштабе времени и событийно-
управляемом моделировании
5 Исследование устойчивости САУ в MATLAB
Для проверки устойчивости САУ по Гурвицу постройте матрицу
Гурвица и найдите ее детерминант (функция det) Затем последова-
тельно уменьшая размер матрицы найдите значения всех диагональ-
ных детерминантов Пример
gtgt А=[1 14 18 2 5 2 3 4 3]
А =
1 14 18
2 5 2
3 4 3
gtgt det(A)
ans = -119
43
gtgt А1=А(12 12)
А1 =
1 14
2 5
gtgt det(A1)
ans = -23
Для проверки устойчивости САУ по Найквисту сначала нужно
выяснить является ли устойчивой разомкнутая система
Пример Пусть дана передаточная функция разомкнутой
системы
13232
12234
pppp
pW
Рассмотрим реакцию на скачок
gtgt w=tf([2 1][2 3 2 3 1])
gtgt step(w18)
График переходного процесса показан на рис 2
Рис 2 Переходная реакция
Разомкнутая система неустойчива и согласно критерию Найкви-
ста надо чтобы АФЧХ разомкнутой системы охватывала точку (-1 j0)
44
столько раз сколько полюсов имеется справа от мнимой оси Для по-
строения АФЧХ достаточно вызвать команду nyquist
gtgt nyquist(w)
Диаграмма Найквиста показана на рис 3
Рис 3 Диаграмма Найквиста для неустойчивой системы
Как показывает рис3 АФЧХ ни разу не охватывает точку
(-1 j0) поэтому замкнутая система будет неустойчивой Частотный
критерий Найквиста можно использовать и в том случае когда рас-
сматривается не АФЧХ а ЛАЧХ разомкнутой системы замкнутая
минимально-фазовая система устойчива если при достижении ЛФЧХ
значения -π ЛАЧХ будет отрицательной
Используя ЛАЧХ и ЛФЧХ можно оценить запасы устойчивости
системы по амплитуде и по фазе с помощью команды
gtgt margin(w)
Пример
gtgt w=tf([10][2 2 3 1])
gtgt margin(w)
Соответствующий график показан на рис 4
45
Рис 4 Определение запасов устойчивости по амплитуде и по фазе
6 Задание на лабораторную работу
Выполнить исследование устойчивости замкнутой системы по за-
данной передаточной функции разомкнутой системы Определить запас
устойчивости по амплитуде и по фазе Вариант задания назначается
преподавателем
7 Методика выполнения задания
Порядок выполнения работы
1 Рассчитать передаточную функцию замкнутой системы по
приведенной в табл 1 разомкнутой системе
2 Определить устойчивость замкнутой системы используя кри-
терий Гурвица
3 Определить устойчивость замкнутой системы используя кри-
терий Найквиста
4 Определить запас устойчивости по амплитуде и по фазе ис-
пользуя ЛАЧХ и ЛФЧХ
5 Выполнить моделирование переходных процессов разомкну-
той и замкнутой систем
6 Подготовить ответы на контрольные вопросы
46
Таблица 1
Варианты заданий
Передаточная функция разомкнутой системы
1 1355
2234
ssss
W
2 110050
1234
ssss
W
3 11010
123
sss
W
4 122105
100234
ssss
W
5 1248
123
sss
W
6 1223
102345
sssss
W
7 11001010
323
sss
W
8 122
1023
sss
W
9 11010
123
sss
W
10 15050332
102345
sssss
W
8 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) титульный лист
б) краткие теоретические сведения
в) переходную функцию разомкнутой системы
г) расчет передаточной функции замкнутой системы
д) расчетные выражения для обоснования устойчивости замкну-
той системы по алгебраическому критерию Гурвица
е) годограф Найквиста разомкнутой системы на основании кото-
рого делается вывод об устойчивости замкнутой системы
ѐ) переходную функцию замкнутой системы
ж) проверку полученных результатов путем компьютерного моде-
лирования переходных процессов разомкнутой и замкнутой си-
стемы в MATLAB Simulink
з) выводы по всем полученным результатам
47
Контрольные вопросы
1 Как связана устойчивость линейной САУ с видом составля-
ющих ее свободного движения
2 Зависит ли устойчивость линейных САУ от амплитуды зада-
ющих воздействий или возмущений
3 Сформулируйте критерий устойчивости Гурвица укажите на
необходимое условие устойчивости линейных САУ вытекаю-
щее из этого критерия
4 Сформулируйте критерий Найквиста для случая САУ устой-
чивых в разомкнутом состоянии а также для астатических САУ
Что такое laquoзапасы устойчивости по фазе и по амплитудеraquo
5 Что называется структурной устойчивостью
48
Лабораторная работа 5
КОРРЕКЦИЯ СТАТИЧЕСКИХ И ДИНАМИЧЕСКИХ
СВОЙСТВ САУ
1 Цель работы
Целью работы является изучение способов обеспечения иско-
мых характеристик САУ с использованием автоматизированных
средств моделирования на ПК ndash MATLAB SIMULINK
2 Задачи работы
ndash Закрепление углубление и расширение знаний студентов при
обеспечении искомых характеристик САУ
ndash Приобретение умений по обеспечению точности (уменьшение
статической ошибки) САУ и выбору значений параметров регулято-
ра обеспечивающих желаемые динамические свойства САУ
ndash Приобретение умений и навыков работы с программой мате-
матического моделирования MATLAB
3 Теоретическая часть
Коррекция статических и динамических свойств САУ имеет
своей целью повышение статической и динамической точности отра-
ботки системой задающего воздействия (или парирование возмуща-
ющего воздействия) повышение запасов ее устойчивости Наиболее
распространенными способами коррекции свойств САУ является из-
менение коэффициента усиления ее разомкнутой части введение в
САУ новых звеньев (как правило интегрирующего или дифференци-
рующего типа) охват объекта управления местной обратной связью
31 Коррекция статических свойств САУ
Статические свойства системы определяются величиной устано-
вившейся ошибки )t(уст вызванной действием задающего воздей-
ствия и определяемой по формуле
22
210 2 dttgdcdttdgctgctуст (1)
где )(tg - входное воздействие 210 ccc - коэффициенты ошибок
Коэффициенты ошибок определяются по формулам
49
dssdcdssdcscs
mmmss 00100
где s - передаточная функция САУ по ошибке управления рав-
ная
sW
sраз
1
1
sWраз - передаточная функция разомкнутой САУ
Основными способами уменьшения статической ошибки систе-
мы являются
1) увеличение коэффициента усиления прямого тракта системы
2) введение в прямой тракт системы интегрирующих звеньев
3) охват объекта управления местной неединичной положитель-
ной обратной связью
Представим структурную схему системы в виде изображенном
на рис 1 где через sW обозначена передаточная функция неизме-
няемой части системы
bsbsb
asasasW
nn
nn
mm
mm
01
1
01
1
Здесь и далее полагается что KKKsW s 000 0 ndash из-
меняемый коэффициент усиления регулятора системы
Первые два коэффициента ошибок 0c и 1c определяется выраже-
ниями
KK
c0
01
1
(2)
KK
dssdWKc
s
20
01
1
(3)
Из (2) и (3) с учетом (1) вытекает что с увеличением K
статическая ошибка в системе уменьшается и наоборот с уменьше-
нием K статическая ошибка в системе увеличивается
Введем в прямой тракт системы одно интегрирующее звено
50
(рис 2) В этом случае c 00 01 1 KKc
Так как c 00 то система на рис 2 является астатической (с
астатизмом первого порядка) Система имеет нулевую статическую
ошибку при отработке постоянного задающего воздействия
consttg и постоянную обратно пропорциональную K ошибку
constуст при отработке линейно изменяющегося воздействия
tatg
Рис 1 Схема САУ Рис 2 Схема САУ с включенным в прямой
тракт интегрирующим звеном
Охватим неизменяемую часть системы sW местной нееди-
ничной положительной обратной связью с коэффициентом усиления
осK (рис 3) Тогда эквивалентная передаточная функция sWэкв
неизменяемой части системы равна
10011
01
1
aKbsaKbsaKbsb
asasa
sWK
sWsW
ососm
mосmn
n
mm
mm
осэкв
(4)
Если коэффициент усиления K выбрать из условия
a
bKос
0
0
то свободный коэффициент (b0 - Koca0) полинома знаменателя sWэкв
обратится в нуль и sWэкв приобретает интегрирующие свойства
11
11
0
1
1
aKbsaKbsbs
asasasW
ос
m
mосm
n
n
m
m
m
mэкв
g(t) y(t)ε(t)
K W(s)-
g(t) y(t)
Ks W(s)-
ε(t)
51
Следовательно замкнутая система становится астатической (с
астатизмом 1-го порядка) Отсюда 0c =0 а коэффициент 1c будет
равен
aKb
bc
ос 11
01
ε(t)g(t) y(t)
W(s)-
Kос
Wэкв(s)
+
Рис 3 Схема САУ с местной неединичной обратной связью
32 Коррекция динамических свойств САУ
Улучшение динамических свойств САУ заключается в увеличе-
нии быстродействия САУ (уменьшении времени регулирования tрег)
уменьшении перерегулирования (см рис 4) а также увеличении
запасов устойчивости по фазе и по модулю При этом
h
hh
уст
устmax100
где maxh - максимальное значение переходной характеристики за-
мкнутой САУ th
устh - установившееся значение th
Время регулирования tрег - минимальная величина при которой удо-
влетворяется условие
устрег hth
где - заданная величина ошибки (обычно =005 устh )
52
h(t)
tрег
hустhmax
2δ
Рис 4 Быстродействие и перерегулирование САУ
Одним из эффективных средств достижения этой цели является
уменьшение отрицательных фазовых сдвигов в прямом тракте систе-
мы путем охвата неизменяемой части системы местными отрицатель-
ными обратными связями
На рис 5 R(s) представляет собой передаточную функцию регу-
лятора САУ которая считается заданной
ε(t)g(t) y(t)
W(s)-
Kос
Wэкв(s)
-
R(s)
u(t)
Рис 5 Схема САУ с местной обратной связью и регулятором
Пусть неизменяемая часть системы представляет собой аперио-
дическое звено первого порядка те
sT
K)s(W
10
0
Тогда передаточная функция sWэкв эквивалентного объекта
управления равна
sT
K
sWK
sWsW
экв
экв
осэкв
11
где зквK и эквT - коэффициент усиления и постоянная времени
эквивалентного объекта равные
53
KK
KK
осэкв
0
0
1
KK
TT
осэкв
0
0
1 (5)
Из (5) следует что соответствующим выбором осK постоянную
времени эквT эквивалентного объекта можно уменьшить в (1+ 0KKос )
раз по сравнении с постоянной времени 0T объекта без местной об-
ратной связи Тем самым уменьшаются отрицательные фазовые сдви-
ги вносимые прямым трактом системы что приводит к увеличению
запасов устойчивости системы При этом однако уменьшается в
(1+ 0KKос ) раз коэффициент усиления эквK эквивалентного объекта
по сравнению с коэффициентом усиления 0K объекта без местной
обратной связи Это нежелательно так как приводит к уменьшению
быстродействия системы вследствие уменьшения общего коэффици-
ента усиления прямого тракта системы В этом случае с целью обес-
печения необходимого быстродействия системы увеличивают коэф-
фициент усиления регулятора
4 Краткое описание MATLAB
Лабораторная работа выполняется в программе математического
моделирования MATLAB Программа MATLAB включает в себя пакет
прикладных программ для решения технических задач и одноименный
язык программирования используемый в этом пакете
Основными компонентами системы являются базовая система
MATLAB и пакет моделирования систем Simulink Остальные пакеты
расширения разбиты на 4 категории ndash расширения Extension MATLAB и
Extension Simulink а также комплексы пакетов расширения Blockset и
Toolbox
Раздел MATLAB Extension содержит средства для подготовки ис-
полняемых приложений MATLAB (с подключаемыми библиотеками и
без них)
Раздел Toolbox (инструментальные средства) содержит самое
большое число пакетов расширений системы MATLAB такие как
laquoControl systemraquo laquoDatabaseraquo laquoFuzzy logicraquo laquoWaveletraquo и тд
54
В разделе Blockset расположено несколько пакетов относящихся к
главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink такие как
laquoDSPraquo laquoFixed-Pointraquo laquoNonlinear control designraquo и laquoPower systemsraquo
В разделе Extension Simulink имеется ряд средств предназначен-
ных для моделирования в реальном масштабе времени и событийно-
управляемом моделировании
5 Задание на лабораторную работу
Выполнить исследование способов коррекции статических и
динамических свойств САУ Определить время регулирования и пе-
ререгулирования в исходной и скорректированной системах а также
для динамических свойств САУ определить запасы устойчивости в
исходной системе и найти экспериментально значение Kос обеспечи-
вающее в системе заданные показатели качества и запасы устойчиво-
сти Вариант задания назначается преподавателем
Таблица 1
Варианты заданий
варианта
Параметры
1
2
3
4
5
6
7
8
a 05 10 15 20 25 30 35 40
K0 1 2 3 4 5 6 7 8
T c 03 04 05 06 07 08 09 10
ξ 06 07 08 08 07 09 05 04
уст 0 0 005 0 010 007 0 0
tрег c le 13 15 20 25 30 35 40 40
le 0 10 10 5 5 5 0 0
В качестве исходных САУ выступают системы изображенные
на рис 6 и 7
55
ε(t)g(t) y(t)
W(s)-
g(t) y(t)
R(s) W(s)-
ε(t) u(t)
Рис 6 САУ с отрицательной Рис 7 САУ с отрицательной обратной
обратной связью связью и регулятором
6 Методика выполнения задания
При исследовании способов коррекции статических свойств
САУ в качестве исходных данных выступает передаточная функция
sW неизменяемой части системы вида
1222
0
sTsT
KsW (6)
и задающие воздействия вида ttg 1 в соответствии с таблицей 1
В процессе выполнения этой части работы необходимо
1) путем моделирования в системе MATLAB исходной САУ
(рис 6) получить графики ttytg
2) сравнить полученную таким образом экспериментальную ве-
личину t с теоретической величиной вычисленной по формуле (1)
3) применяя описанные в теоретической части методических
указаний способы коррекции статических свойств (см п 31) обес-
печить требуемую статическую ошибку εуст системы при отработке
задающего воздействия ttg 1
4) получить графики ty и t в скорректированной системе
для 1 ttg
5) сравнить время регулирования регt и перерегулирование в
исходной и скорректированной системах при 1 ttg
При исследовании рассмотренного способа коррекции динами-
ческих свойств САУ (см п 32) в качестве исходных данных высту-
пают передаточная функция sW неизменяемой части системы
вида (6) и передаточная функция регулятора вида
s
KsR
рег
56
Задающее воздействие ttg 1
В процессе выполнения данной части работы необходимо
1) получить путем моделирования в MATLAB графики ty t
в системе (рис 7)
2) определить время регулирования регt и перерегулирование
а также запасы устойчивости в исходной системе
3) применяя описанный выше способ коррекции динамических
свойств САУ найти экспериментально (путем последовательного пе-
ребора) значение осK обеспечивающее в системе заданные заданием
показатели качества ( регt ) и запасы устойчивости (при необхо-
димости увеличить коэффициент регK )
4) получить графики ty t а также ЛАХ и ЛФХ разомкну-
той системы в скорректированной САУ
7 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) титульный лист
б) структурные схемы исследуемых систем
в) полученные графики и характеристики
г) значения полученные экмпериментально которые
обеспечивают заданные показатели качества и запасы устойчивости
д) выводы обощающие проделанные эксперименты для
коррекции статических и динамических свойств САУ
е) ответы на контрольные вопросы
Контрольные вопросы 1 Дать определение статической и астатической САУ
2 Какими структурными свойствами системы определяется по-
рядок ее астатизма
3 Какой из двух приведенных выше способов придания системе
свойств астатизма 1-го порядка наиболее предпочтителен на
практике
4 Назовите основные показатели качества САУ Поясните их
смысл
5 В чѐм суть исследуемого способа коррекции динамических
свойств САУ
57
6 Назвать другие способы коррекции динамических свойств
САУ
7 Чем вызваны отрицательные фазовые сдвиги в неизменяемой
части САУ
58
Лабораторная работа 6
МЕТОД КОРНЕВОГО ГОДОГРАФА
1 Цель работы
Целью работы является построение корневого годографа и ис-
следование динамики системы с использованием автоматизирован-
ных средств моделирования на ПК ndash MATLABSIMULINK
2 Задачи работы
ndash Закрепление углубление и расширение знаний студентов при
исследование динамики системы
ndash Овладение навыком построения корневого годографа
ndash Приобретение умений и навыков работы с программой мате-
матического моделирования MATLAB
3 Теоретическая часть
Корневым годографом (КГ) называется совокупность траекто-
рий перемещения всех корней характеристического уравнения за-
мкнутой системы при изменении какого-либо параметра этой систе-
мы
Обычно метод КГ позволяет находить полюса и нули ПФ за-
мкнутой системы располагая полюсами и нулями разомкнутой си-
стемы при изменении коэффициента усиления разомкнутой системы
K
ПФ разомкнутой системы Wp(s) представим в следующем виде
)(
)(
1
1
0
n
ii
m
jj
p
ss
ssKC
sW (1)
где 0js ndash нули ПФ sWp )1( mj
is ndash полюса ПФ sWp
)1( nj n и m ndash порядки знаменателя и числителя C ndash коэффици-
ент представления (отношение коэффициентов при старших членах
числителя и знаменателя)
59
При замыкании системы с ПФ sWp единичной отрицатель-
ной обратной связью ПФ замкнутой системы sWз принимает вид
)(1
)(
sW
sWsW
p
pз
(2)
Из выражения (2) следует что нули ПФ замкнутой системы рав-
ны нулям ПФ разомкнутой системы
Для нахождения полюсов рассмотри выражение
01 sWp (3)
в соответствии с выражением (1) имеем
n
i
m
jjin
ii
m
jj
ssKCss
ss
ssKC
1 1
0
1
1
0
)()(01
)(
)(
(4)
На основании выражения (4) можно сказать что при K = 0 корни
характеристического уравнения совпадают с полюсами а при K = infin ndash
с нулями При изменении K от 0 до infin траектории корней начинаются
в полюсах и заканчиваются в нулях Обычно полюсов больше чем
нулей В этом случаем mn ветвей корневого годографа стремятся к
infin
Для определения полюсов замкнутой системы с отрицательной
обратной связью необходимо решить уравнение (его называют ос-
новным уравнением метода КГ)
1sWp (5)
Так как sWp является функцией комплексного переменного
s то уравнение (5) распадается на два уравнения уравнение модулей
1)( sWp (6)
60
и уравнение аргументов (фаза вектора -1 есть нечетное число π)
210)12()(arg sWp (7)
Как известно при умножении комплексных чисел их аргументы
складываются а при делении ndash вычитаются Поэтому исходя из вы-
ражения (1) уравнение (7) имеет наглядный геометрический смысл
Пусть точка s ndash полюс замкнутой системы Если провести в s
вектора из нулей sWp (обозначим аргументы этих векторов 0j ) и
вектора из всех полюсов sWp (обозначим аргументы этих векторов
i ) то уравнение (7) можно записать в следующем виде
m
j
n
iij
1 1
0 210)12( (8)
Углы q отсчитываются от положительного направления дей-
ствительной оси Знак угла laquo+raquo соответствует повороту против часо-
вой стрелки знак угла laquo-raquo соответствует повороту по часовой стрел-
ке
Таким образом любая точка КГ должна удовлетворять уравне-
нию (8) из которого следует что конфигурация КГ не зависит от ко-
эффициента усиления K но каждому конкретному значению K одно-
значно соответствуют точки на КГ
При умножении комплексных чисел их модули перемножаются
а при делении ndash делятся Поэтому на основании (6) можно записать
1
1
1
0
n
ii
m
jj
l
lKC
(9)
где 0jl ndash модуль (длина) вектора проведенного из j-нуля в точку s
КГ il ndash модуль вектора проведенного из i-полюса в ту же точку s
61
Таким образом траектории корней строятся только по уравне-
ниям фаз а уравнение модулей используется затем для нахождения
K
Сущность метода КГ заключается в том чтобы узнать каким
должен быть коэффициент усиления разомкнутой системы чтобы
было обеспечено желаемое положение корней замкнутой системы
Корневой годограф системы с отрицательной обратной связью
обладает следующими основными свойствами
1 Ветви КГ непрерывны и расположены на комплексной плос-
кости симметрично относительно действительной оси
2 Число ветвей КГ равно порядку системы n Ветви начинают-
ся в n полюсах разомкнутой системы при K=0 При возрастании K от
0 до infin полюса замкнутой системы двигаются по ветвям КГ
3 mветвей КГ при возрастании K от 0 до infin заканчиваются в m
нулях )(sWp а )( mn ветвей при K стремящемся к infin удаляются
от полюсов вдоль асимптот
4 При расположении ветвей корневого годографа в левой полу-
плоскости s САУ устойчива При пересечении ветвей КГ мнимой оси
слева направо САУ становится неустойчивой Пусть при K=Kкр
пере-
сечение КГ с мнимой осью произойдет в некоторой точке iωкр
Назо-
вем это значение коэффициента усиления критическим Kкр
а вели-
чину iωкр
критической угловой частотой на которой система стано-
вится неустойчивой
4 Краткое описание MATLAB
Лабораторная работа выполняется в программе математического
моделирования MATLAB Программа MATLAB включает в себя пакет
прикладных программ для решения технических задач и одноименный
язык программирования используемый в этом пакете
Основными компонентами системы являются базовая система
MATLAB и пакет моделирования систем Simulink Остальные пакеты
расширения разбиты на 4 категории ndash расширения Extension MATLAB и
Extension Simulink а также комплексы пакетов расширения Blockset и
Toolbox
Раздел MATLAB Extension содержит средства для подготовки ис-
полняемых приложений MATLAB (с подключаемыми библиотеками и
без них)
62
Раздел Toolbox (инструментальные средства) содержит самое
большое число пакетов расширений системы MATLAB такие как
laquoControl systemraquo laquoDatabaseraquo laquoFuzzy logicraquo laquoWaveletraquo и тд
В разделе Blockset расположено несколько пакетов относящихся к
главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink такие как
laquoDSPraquo laquoFixed-Pointraquo laquoNonlinear control designraquo и laquoPower systemsraquo
В разделе Extension Simulink имеется ряд средств предназначен-
ных для моделирования в реальном масштабе времени и событийно-
управляемом моделировании
5 Корневой годограф в MATLAB
В системе MATLAB существует команда zpk для преобразова-
ния модели заданной ПФ в модель заданную нулями полюсами и
обобщенными коэффициентами передачи (zpk-форма)
Пример
gtgt w=tf([10][2 2 3 1 0])
Transfer function
10
-------------------------------
2 s^4 + 2 s^3 + 3 s^2 + s
gtgt w1=zpk(w)
Zeropolegain
5
----------------------------------------------
s (s+03966) (s^2 + 06034s + 1261)
Для работы с корневым годографом удобно использовать гра-
фический интерфейс laquoSISO-Design Toolraquo предназначенный для ана-
лиза и синтеза одномерных линейных систем автоматического управ-
ления (SISO ndash Single Input Signal Output)
Запуск SISO-Design Tool осуществляется командой
gtgt sisotool
63
В появившемся окне графического интерфейса необходимо ис-
пользовать команду laquoFileImportraquo для загрузки данных из рабочего
пространства MATLAB в результате которой появляется диалоговое
окно Import System Data (рис 1)
Рис 1 Диалог для ввода параметров модели
После импортирования данных можно исследовать изменение
временных и частотных характеристик замкнутой системы при изме-
нении K Обычно при этом требуется определить условия неустойчи-
вости замкнутой САУ Определить Kкр
и iωкр
На рис 2 показано окно sisotool для описанной выше модели w1
Двигая красным курсором по КГ до пересечения ветвей с мнимой
осью можно определить значения Kкр
В данном случае Kкр
asymp 01
Значение iωкр
соответствует мнимой координате пересечения КГ
мнимой оси Просмотреть это значение можно в нижней части ин-
терфейса или выбрать меню laquoView Closed-Loop Polesraquo
64
Рис 2 Основное окно SISO-Design Tool
6 Задание на лабораторную работу
Построить КГ в соответствии с вариантом из табл 1 при помо-
щи графического интерфейса sisotool
Исследовать динамику замкнутой системы при различных зна-
чениях коэффициента усиления разомкнутой системы K в том числе
ndash запасы устойчивости в частотной области
ndash параметры переходного процесса во временной области
Таблица 1
Варианты передаточных функций
Значения параметров Передаточная функция
разомкнутой системы
1 T = 01 ζ = 1
)12( 22 sTsTs
K
2 T = 005 ζ = 0707
3 T = 003 ζ = 01
4 T = 008 ζ = 05
5 T = 001 ζ = 015
65
Окончание табл 1
Значения параметров Передаточная функция
разомкнутой системы
6 T1 = 003 T2 = 05 T3 = 01 T4 = 005
)1)(1)(1(
)1(
432
1
sTsTsTs
sTK
7 T1 = 005 T2 = 04 T3 = 008 T4 = 0033
8 T1 = 02 T2 = 045 T3 = 01 T4 = 005
9 T1 = 05 T2 = 025 T3 = 01 T4 = 002
10 T1 = 01 T2 = 025 T3 = 01 T4 = 005
Вариант задания назначается преподавателем
7 Методика выполнения задания
Порядок выполнения лабораторной работы
1 Задать передаточную функцию в MATLAB в соответствии с
вариантом коэффициент K задать любым положительным числом
2 Запустить SISO-Design Tool и осуществить ввод данных
Построить КГ
3 По КГ определить значения коэффициента K когда система
будет устойчивой на границе устойчивости и неустойчива
4 Выбрать значение коэффициента K таким образом чтобы си-
стемы была устойчива и определить запас устойчивости в частотной
области и параметры переходного процесса во временной области
8 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) титульный лист
б) передаточную функцию и этапы построения КГ
в) анализ результатов построения КГ
г) выводы по проделанной работе
д) ответы на контрольные вопросы
Контрольные вопросы 1 Дать определение КГ
2 Что обычно позволяет находить метод КГ
3 В чем заключается сущность метода КГ
4 Что можно определить по КГ
66
Критерии результативности лабораторного практикума
Лабораторная работа считается выполненной если студент
ndash выполнил все указанные задания
ndash представил отчет соответствующий всем требованиям к его
содержанию и оформлению
ndash владеет терминологией и материалом лабораторной работы
ndash способен использовать программное средство математическо-
го моделирования MATLAB
ndash способен предоставить и рассказать результаты выполненной
работы на ПК
ndash может дать пояснения к отчету и ответить на контрольные
вопросы
Список литературы
1 Александров АГ Частотная теория автоматического управле-
ния учебное пособие ndash Электросталь ЭПИ МИСиС 2010
2 Борисевич АВ Теория автоматического управления элементар-
ное введение с применением MATLAB ndash СПб Изд-во Политехн ун-
та 2011
3 Федоров ВЛ Бубнов АВ Теория автоматического управления
учебное пособие ndash Омск Изд-во ОмГТУ 2010
4 Павловская ОО Чернецкая ИВ Теория автоматического
управления учебное пособие ndash Челябинск Изд-во ЮУрГУ 2010
67
Составители ЛЯНЦЕВ Олег Дмитриевич КАЗАНЦЕВ Андрей Валерьевич
ИССЛЕДОВАНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК СИСТЕМ
АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
Лабораторный практикум
по дисциплине
laquoТеория управленияraquo
Подписано в печать Формат 60х84 116 Бумага офсетная Пе-
чать плоская Гарнитура Times New Roman Усл печ л 56 Уч-изд л
55 Тираж 100 экз Заказ
ФГБОУ ВПО Уфимский государственный авиационный технический
университет
Центр оперативной полиграфии УГАТУ
450000 Уфа-центр ул К Маркса 12
6
Лабораторная работа 5 laquoКоррекция статических и динами-
ческих свойств САУraquohelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
1Цель работыhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
2 Задачи работыhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
3 Теоретическая частьhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
31 Коррекция статических свойств САУhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
32 Коррекция динамических свойств САУhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
4 Краткое описание MATLABhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
5 Задание на лабораторную работуhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
6 Методика выполнения работыhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
7 Требования к содержанию и оформлению отчетаhelliphelliphelliphelliphelliphellip
Контрольные вопросыhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
Лабораторная работа 6 laquoМетод корневого годографаraquohelliphellip
1 Цель работыhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
2 Задачи работыhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
3 Теоретическая частьhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
4 Краткое описание MATLABhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
5 Корневой годограф в MATLABhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
6 Задание на лабораторную работуhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
7 Методика выполнения работыhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
8 Требования к содержанию и оформлению отчетаhelliphelliphelliphelliphelliphellip
Контрольные вопросыhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
Критерии результативности лабораторного практикумаhelliphelliphelliphellip
Список литературыhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
48
48
48
48
48
51
53
54
55
56
56
58
58
58
58
61
62
64
65
65
65
66
66
7
Введение
Дисциплина laquoТеория управленияraquo предназначена для формиро-
вания у студентов систематизированного представления об осново-
полагающих принципах управления в технических системах о кон-
цепциях структурах и механизмах лежащих в основе анализа и син-
теза современных систем управления их характеристик и о со-
временных направлениях развития теории управления
В лабораторных работах рассматривается анализ характеристик
объектов управления в пространстве состояний с использованием
среды математического моделирования MATLAB (сокращение от
англ laquoMATrix LABoratoryraquo) Эта программа математического модели-
рования разработанная компанией laquoThe MathWorksraquo оперирует
LTI-моделями (Linear Time Invariant Models ndash линейные модели с по-
стоянными параметрами) что включает работу с заданием переда-
точных функций подачей тестирующих воздействий структурными
преобразованиями определение запаса устойчивости построение
графиков и годографов
В результате выполнения данного лабораторного практикума
формируются следующие компетенции
ndash владение знаниями о теоретических основах и основных
принципах управления методах исследования и синтеза систем
управления
ndash готовность использовать навык решения типовых задач ис-
следования и проектирования систем управления
ndash способность применять программное средство математическо-
го моделирования MATLAB
8
Лабораторная работа 1
ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗВЕНЬЯ И ИХ ХАРАКТЕРИСТИКИ
ВО ВРЕМЕННОЙ ОБЛАСТИ
1 Цель работы
Целью работы является изучение временных характеристик ти-
повых динамических звеньев с использованием автоматизированных
средств моделирования на ПК ndash MATLAB SIMULINK
2 Задачи работы
ndash Закрепление углубление и расширение знаний студентов при
исследовании временных характеристик динамических звеньев
ndash Приобретение умений и навыков работы с программой мате-
матического моделирования MATLAB
ndash Выработка способности логического мышления осмысление
полученных данных переходных процессов
3 Теоретическая часть Рассматривается система автоматического управления (САУ)
описываемая линейным дифференциальным уравнением вида
)()()()(
)()()()(
011
1
1
011
1
1
tubdt
tdub
dt
tudb
dt
tudb
tyadt
tdya
dt
tyda
dt
tyda
m
m
mm
m
m
n
n
nn
n
n
(1)
где u(t) ndash входной процесс y(t) ndash выходной процесс ai bi ndash постоян-
ные коэффициенты п т (п ge т) ndash постоянные числа
Если ввести обозначение р для оператора дифференцирования
p=ddt то можно записать (1) в операторной форме
)(
)(
011
1
011
1
ubpbpbpb
yapapapa
mm
mm
nn
nn
(2)
откуда получается
9
)()(
)(pW
pA
pB
u
y
где А(р) и В(р) ndash полиномы из формулы (2)
Выражение (2) по виду совпадает с определением ПФ как от-
ношения преобразования по Лапласу выходной переменной к преоб-
разованию по Лапласу входной переменной при нулевых начальных
условиях
)()(
)(
)(
)(sW
sA
sB
su
sy (3)
где s ndash комплексная переменная
Комплексные числа являющиеся корнями многочлена B(s)
называются нулями передаточной функции а корни многочлена А(s) ndash
полюсами
Описание типовых динамических звеньев приведено в
табл 1 Таблица 1
Типовые динамические звенья
Название звена Передаточная функция звена
1
Интегрирующее
s
KsW )(
2
Дифференцирующее
KssW )(
3
Усилительное
(безынерционное)
KsW )(
4
Апериодическое 1-го
порядка (инерционное)
1)(
Ts
KsW
5
Апериодическое 2-го
порядка (все корни веще-
ственные)
21
122
2
21
)( TTsTsT
KsW
10
Окончание табл 1
Название звена Передаточная функция звена
6
Колебательное
21
122
2
21
)( TTsTsT
KsW
7
Форсирующее
)1()( TsKsW
8
Интегрирующее
с запаздыванием
(реальное интегрирующее)
)1()(
Tss
KsW
9
Дифференцирующее
с запаздыванием
(реальное дифференцирую-
щее)
1)(
Ts
KssW
10
Инерционно-форсирующее
звено
1
)1()(
0
1
sT
sTKsW
11
Изодромное
s
TsKsW
)1()(
часто используется описание колебательного звена в виде
2
12
)(2
1222 T
TTT
TssT
KsW
Временные характеристики динамического звена представляют
собой зависимость выходного сигнала системы от времени при подаче
на ее вход некоторого типового воздействия Обычно выполняется
анализ выхода системы на единичный скачок (функция Хевисайда) и
импульсную функцию (функция Дирака или δ-функция)
Единичный скачок 1(t) определяется условиями
01
00)(1
tпри
tприt
Реакция САУ на единичный скачок называется переходной
11
функцией системы и обозначается h(t) При неединичном ступенчатом
воздействии g(t)=N1(t) где N = const в соответствии с принципом
суперпозиции выходная реакция системы будет )()( tNhty
Импульсная функция δ(t) определяется условиями
00
0)(
tпри
tприt
Очевидно )(1)( tt
Реакция САУ на импульсную функцию называется импульсной
переходной функцией системы (функцией веса) и обозначается w(t)
Импульсная и переходная функции системы связаны
соотношением
)()(0
dwtht
4 Краткое описание MATLAB
Лабораторная работа выполняется в программе математического
моделирования MATLAB Программа MATLAB включает в себя пакет
прикладных программ для решения технических задач и одноименный
язык программирования используемый в этом пакете
Основными компонентами системы являются базовая система
MATLAB и пакет моделирования систем Simulink Остальные пакеты
расширения разбиты на 4 категории ndash расширения Extension MATLAB и
Extension Simulink а также комплексы пакетов расширения Blockset и
Toolbox
Раздел MATLAB Extension содержит средства для подготовки ис-
полняемых приложений MATLAB (с подключаемыми библиотеками и
без них)
Раздел Toolbox (инструментальные средства) содержит самое
большое число пакетов расширений системы MATLAB такие как
laquoControl systemraquo laquoDatabaseraquo laquoFuzzy logicraquo laquoWaveletraquo и тд
В разделе Blockset расположено несколько пакетов относящихся к
12
главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink такие как
laquoDSPraquo laquoFixed-Pointraquo laquoNonlinear control designraquo и laquoPower systemsraquo
В разделе Extension Simulink имеется ряд средств предназначен-
ных для моделирования в реальном масштабе времени и событийно-
управляемом моделировании
5 Моделирование передаточных функций в MATLAB
В пакете MATLAB имеется два основных варианта для исследо-
вания передаточных функций и моделирования САУ
- использование команд пакета расширения Control System
Toolbox
- использование пакета Simulink
Control System Toolbox предназначен для работы с LTI-моделями
систем управления
Команда создающая LTI-систему с одним входом и одним вы-
ходом в виде передаточной функции имеет следующий синтаксис
])[]([ 011011 aaaabbbbtf nnmm
где 011 bbbb mm и 011 aaaa nn ndash значения коэффициентов
полиномов В и А в (3)
Например если требуется описать ПФ вида
582
12
ss
sW
и узнать значения ее нулей и полюсов то нужно ввести в окне команд
MatLab следующие команды
gtgt w=tf([1 1][2 8 5])
gtgt zero(w)
gtgt pole(w)
Исследовать реакцию LTI-модели на типовые входные воздей-
ствия можно с помощью команд
gtgt step(w)
gtgt impulse(w)
Можно получить на одном графике реакцию сразу нескольких
динамических звеньев если использовать команды вида
gtgt step(w w1 w2)
gtgt impulse(w w1 w2)
13
В приведенных примерах время моделирования выбирается ав-
томатически При необходимости его можно явно указать в команде
gtgtstep(w w1 w2t)
где t - время моделирования в секундах
Рис 1 Исследование реакции колебательного звена
На рис 1 показан пример моделирования динамики колебатель-
ного звена при различных параметрах
gtgt w=tf([1][2 03 1])
gtgt w1=tf([1][2 05 1])
gtgt w2=tf([1][2 01 1])
gtgt step(ww1w250)
В Simulink ПФ можно описать с помощью блока Transfer Fcn в
разделе библиотеки Continuous Для подачи типовых воздействий
надо использовать блок Step из раздела Sources Импульсную пере-
ходную характеристику звена можно получить подавая на вход им-
пульс маленькой длительности и большой амплитуды (приближение
δ-функции) при нулевых начальных условиях
6 Задание на лабораторную работу
С помощью пакета MATLAB построить реакцию каждого типо-
вого звена с параметрами своего варианта (см табл 2) на ступенчатое и
импульсное входное воздействие Определить влияние коэффициен-
тов входящих в описание каждого звена на параметры переходного
процесса Вариант задания назначается преподавателем
14
Таблица 2
Варианты заданий
Апери-
од зве-
но
Апериодич звено
2 пор (колеб
звено)
Ин-
тегр
звено
Изодр
звено
Реальное
диф звено
Инерц-
форс
звено
K T K T2 (T) T1( ξ ) K K T K T K T0 T1
1 3 02 3 02 20
(02)
3 3 05 3 04 3 2 08
2 4 03 4 03 15
(015)
4 4 1 4 03 4 3 12
3 5 04 5 04 25
(025)
5 5 08 5 05 5 4 15
4 6 05 6 05 16
(03)
6 6 2 6 10 6 5 20
5 7 06 7 06 28
(02)
7 7 3 7 08 7 6 20
6 8 07 8 07 22
(008)
8 8 35 8 10 8 7 20
7 9 08 9 08 21
(007)
9 9 1 9 09 9 8 30
8 10 10 10 10 30
(01)
10 10 20 10 20 10 10 40
7 Методика выполнения задания
Порядок выполнения работы
1 Задать передаточную функцию типового динамического звена
в MATLAB используя параметры приведенные в табл 2
2 Варьируя коэффициент динамического звена увеличивая его в
2 раза ndash получить вторую ПФ затем уменьшить исходный коэффици-
ент в 2 раза и получить третью ПФ
3 Построить на одном графике реакцию получившихся динами-
ческих звеньев на единичный скачок
4 Построить на одном графике реакцию получившихся динами-
ческих звеньев на импульсную функцию
5 Выполнить пп 2-4 для всех коэффициентов динамического
звена
6 Выполнить пп 1-5 для всех динамических звеньев
7 Подготовить ответы на контрольные вопросы
15
8 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) титульный лист
б) передаточные функции и схемы моделирования исследуемых
звеньев
в) экспериментально полученные характеристики при вариа-
ции параметров каждого звена
г) выводы обобщающие проделанные эксперименты по каждо-
му звену
д) ответы на контрольные вопросы
Контрольные вопросы
1 Что называется передаточной функцией
2 Что называется переходной и импульсной (весовой)
функциями Какова связь между ними
3 Как пользуясь временными характеристиками определить
параметры (коэффициенты передаточной функции) звена
Пояснить на конкретных примерах
4 Перечислите динамические характеристики САУ
5 Что называется характеристическим уравнением
16
Лабораторная работа 2
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СТРУКТУРНЫХ СХЕМ
1 Цель работы
Целью работы является изучение структурных преобразований и
нахождения передаточных функций с использованием автоматизиро-
ванных средств моделирования на ПК ndash MATLAB SIMULINK
2 Задачи работы
ndash Закрепление углубление и расширение знаний студентов при
исследовании преобразований структурных схем
ndash Приобретение умений и навыков работы с программой мате-
матического моделирования MATLAB
ndash Овладение несколькими методами преобразования структур-
ных схем
3 Теоретическая часть
Для наглядного представления сложной системы как совокупно-
сти элементов и связей между ними используются структурные
схемы
Структурной схемой называется схема САУ изображенная в
виде соединения ПФ составляющих ее звеньев
Структурная схема показывает строение автоматической систе-
мы наличие внешних воздействий и точки их приложения пути рас-
пространения воздействий и выходную величину Динамическое или
статическое звено изображается прямоугольником в котором указы-
вается ПФ звена Воздействия на систему и влияние звеньев друг на
друга (сигналы) изображаются стрелками В каждом звене воздей-
ствие передается только от входа звена к его выходу
На динамическое звено может воздействовать лишь одна вход-
ная величина поэтому используются блоки суммирования и сравне-
ния сигналов Суммироваться и сравниваться могут лишь сигналы
одной и той же физической природы
Структурная схема может быть составлена по уравнению систе-
мы в пространстве состояний или по системе дифференциальных
уравнений При составлении структурной схемы удобно начинать с
изображения задающего воздействия и располагать динамические
17
звенья составляющие прямую цепь системы слева направо до регу-
лируемой величины Тогда основная обратная связь и местные обрат-
ные связи будут направлены справа налево
Различные способы преобразования структурных схем облегча-
ют определение ПФ сложных САУ и дают возможность привести
многоконтурную систему к эквивалентной ей одноконтурной схеме
Преобразование структурной схемы должно осуществляться на
основании правил основные из них приведены в табл 1
При выполнении преобразований следует каждое имеющееся в
схеме типовое соединение заменить эквивалентным звеном Затем
можно выполнить перенос точек разветвления и сумматоров чтобы в
преобразованной схеме образовались новые типовые соединения зве-
ньев Эти соединения опять заменяются эквивалентными звеньями
затем вновь может потребоваться перенос точек разветвления и
сумматоров и т д
Различают основные соединения блоков в структурных схемах
последовательное соединение параллельное соединение антипарал-
лельное соединение (обратная связь) в свою очередь обратная связь
может быть отрицательной и положительной Таблица 1
Основные правила преобразования структурных схем
Преобразование
Структурная схема
Исходная Эквивалентная
Свертывание
последовательного
соединения
W1 W2 Wnu y
Wu y
nWWWW 21
Свертывание
параллельного
соединения
Wn
W2
W1
u y
Wu y
nWWWW 21
Свертывание
обратной связи
W1u plusmn y
W2
Wu y
21
1
1 WW
WW
18
Окончание табл 1
Преобразование
Структурная схема
Исходная Эквивалентная
Перенос узла через
звено вперед
Wu y
x
Wu y
xW1
WW
11
Перенос узла через
звено назад
Wu y
y
Wu y
yW
Перенос сумматора
через звено вперед
Wu1 y
u2
plusmn
Wu1 y
u2
plusmn
W
Перенос сумматора
через звено назад
Wu1 y
u2
plusmn
Wu1 y
u2
plusmn
W1
WW
11
Перенос прямой
связи через звено W2yu
plusmnW1
W3
W2 yu
plusmnW1
W3 W2
Перенос узла через
сумматор вперед
x1
+
- y
x1
x2
x1
+
- y
x1x2
+
+
Перенос узла через
сумматор назад
x1
+
- y
x2
y
x1
+
- y
x2y
+
-
Пример Пусть необходимо получить эквивалентное представ-
ление для структуры приведенной на рис 1
19
W1
W2 W3
W4
W5 W6
W7
+
+
+
-
Рис 1 Исходная схема САУ
Преобразование включает несколько этапов показанных на рис 2ndash5
W1
W2 W3
W4
W5 W6
W7
+
+
+
-
1W6
Рис 2 Перенос узла через звено вперед
567
659
1 WWW
WWW
6
48
W
WW
Рис 3 Свертывание обратной связи и последовательного соединения
2110 WWW
983
9311
1 WWW
WWW
Рис 4 Свертывание обратной связи и Рис 5 Свертывание последователь-
параллельного соединения ного соединения
W10 W11 WЭкв
543765
653265311110
1 WWWWWW
WWWWWWWWWWWЭкв
W1
W2
W8
W3 W9
+
+
20
Таким образом первый способ преобразования структурных
схем заключается в непосредственном использовании правил приве-
денных в табл1 Неудобство использования этого подхода заключа-
ется в том что порядок применения формул здесь достаточно произ-
волен возможны ошибочные шаги усложняющие поиск решения
Второй способ для получения ПФ многоконтурной системы за-
ключается в использовании модели системы в виде сигнального
графа
Сигнальный граф позволяет графически описать линейные связи
между переменными он состоит из узлов (вершин) и соединяющих их
направленных ветвей
Ветвь соответствует блоку структурной схемы она отражает за-
висимость между входной и выходной переменными Сумма всех
сигналов входящих в узел образует соответствующую этому узлу
переменную
Последовательность ветвей между двумя узлами называется пу-
тем Контуром называется замкнутый путь который начинается и
заканчивается в одном и том же узле причем ни один узел не встре-
чается на этом пути дважды
Контуры называются некасающимися если они не имеют общих
узлов
Сигнальный граф ndash это просто наглядный метод записи системы
алгебраических уравнений показывающий взаимосвязь между пере-
менными
r1
r2
a11
a22
x1
x2
a12a21
Рис 6 Сигнальный граф для двух алгебраических выражений
В качестве примера рассмотрим следующую систему алгебраи-
ческих уравнений
21
11212111 xrxaxa (1)
22222121 xrxaxa (2)
здесь r1 и r2 ndash входные переменные а x1 и x2 ndash выходные переменные
Сигнальный граф соответствующий уравнениям (1) и (2) изображен
на рис 6 Уравнения (1) и (2) можно записать в ином виде
1122111 )()1( raxax
2222211 )1()( raxax
Решая последнюю систему по правилу Крамера получим
212
122
21122211
2121221
)1(
)1)(1(
)1(r
ar
a
aaaa
rarax
121
211
21122211
1212112
)1(
)1)(1(
)1(r
ar
a
aaaa
rarax
В этих решениях знаменатель равен определителю составлен-
ному из коэффициентов при неизвестных и его можно записать так
21122211221121122211 1)1)(1( aaaaaaaaaa
В данном случае знаменатель равен единице минус коэффици-
енты передачи отдельных контуров a11 a22 и a12a21 плюс произведе-
ние коэффициентов передачи двух некасающихся контуров a11 и a22
Контуры a22 и a12a21 являются касающимися так же как и контуры a11
и a21a12
В решении для x1 по отношению ко входу r1 числитель равен
единице умноженной на (1-a22) те значение определителя некаса-
ющегося пути от r1 к x1 В решении для x1 по отношению ко входу
r2числитель просто равен a12 тк этот путь касается всех контуров
Числитель выражения x2 симметричен соответствующему числителю
для x1
В общем случае линейная зависимость Tij между независимой
переменной xi (часто называемой входной переменной) и зависимой
переменной xj определяется по формуле Мейсона
22
k
ijkijk
ij
P
T
где Pijk ndash коэффициент передачи k-го пути от переменной xi к пере-
менной xj Δ ndash определитель графа Δijk ndash дополнительный множитель
для пути Pijk а суммирование производится по всем возможным k пу-
тям от xi до xjДополнительный множитель Δijk равен определителю
всех касающихся контуров при удалении k-го пути
Определитель находится как
QM
qm
LSR
lsrlsrqm
K
kk LLLLLL
11
1111
1
где Kk kL
1ndash сумма коэффициентов передачи всех отдельных конту-
ров QM
qm qmLL
11ndash сумма произведений всех возможных комбина-
ций из двух некасающихся контуров LSR
lsr lsr LLL
111ndash сумма про-
изведений всех возможных комбинаций из трех некасающихся кон-
туров
Таким образом правило вычисления Δ через значение L1 L2
L3hellipLN таково Δ = 1- (сумма коэффициентов передачи всех отдель-
ных контуров) + (сумма произведений всех возможных комбинаций
из 2 некасающихся контуров) ndash (сумма произведений всех возмож-
ных комбинаций из 3 некасающихся контуров) +hellip
Формула Мейсона часто используется в несколько упрощенном
виде для определения связи между выходной переменной Y(s) и
входной переменной X(s) те
)()(
)( 1
N
iiiP
sWsX
sY
где Pi ndash i-й путь от входа к выходу N ndash количество путей Δ ndash опреде-
литель графа специальный полином который определенным образом
характеризует совокупность всех замкнутых цепей системы содер-
жащих обратные связи и вычисляется как сумма передаточных
функций разомкнутых контуров этих цепей и произведений
23
передаточных функций разомкнутых контуров пар троек и тд не со-
прикасающихся друг с другом цепей с обратными связями Δi ndash до-
полнительный множитель для пути составляется по правилу анало-
гичному Δ но только для цепей с обратными связями не соприкаса-
ющихся с i-м прямым каналом
Дополнительный множитель для i-го пути равен определителю
графа в котором приравнены нулю коэффициенты передачи конту-
ров касающихся этого пути
Рассмотрим пример получения ПФ многоконтурной системы с
использованием формулы Мейсона для структуры на рис 1 которая
соответствует графу показанному на рис 7
X(s) Y(s)W1
W2
W3 W5 W6
W4 -W7
Рис 7 Описание системы управления сигнальным графом
От входа к выходу ведут два пути
65311 WWWWP
65322 WWWWP
В графе есть 2 контура
5431 WWWL
7652 WWWL
Контур L1 пересекает контур L2 поэтому определитель графа
вычисляется по формуле
)(1 21 LL
Контуры в этом примере пересекают все пути поэтому допол-
нительные множители путей равны
24
11
12
Окончательно можно записать
1
)(543765
65326531
2
1
WWWWWW
WWWWWWWWP
sW iii
Таким образом использование сигнальных графов и применение
формулы Мейсона позволяет алгоритмизировать процесс упрощения
структурной схемы
Третий способ для получения ПФ заключается в составлении
системы уравнений Необходимо обозначить выходы сумматоров и
составить систему уравнений на основе этих обозначений На рис9
представлена исходная схема с обозначенными сумматорами
W1
W2 W3
W4
W5 W6
W7
+
+
+
-
Z H
u y
Рис 9 Исходная схема САУ с обозначенными сумматорами
Опишем все сигналы в системе в виде уравнений
)( 4521 HWWuWWZ
73 yWZWH
65 HWWy
Подставив последовательно значения сигналов найдем ПФ
))(( 734521 yWWHWWuWWH
После преобразования получим
25
1
)(
543
73231
WWW
yWuWWWWH
Подставим полученное значение H в уравнение y
1
))((
543
6573231
WWW
WWyWuWWWWy
Получим ПФ вида
1
)(543765
65326531
WWWWWW
WWWWWWWW
u
ypW
4 Краткое описание MATLAB
Лабораторная работа выполняется в программе математического
моделирования MATLAB Программа MATLAB включает в себя пакет
прикладных программ для решения технических задач и одноименный
язык программирования используемый в этом пакете
Основными компонентами системы являются базовая система
MATLAB и пакет моделирования систем Simulink Остальные пакеты
расширения разбиты на 4 категории ndash расширения Extension MATLAB и
Extension Simulink а также комплексы пакетов расширения Blockset и
Toolbox
Раздел MATLAB Extension содержит средства для подготовки ис-
полняемых приложений MATLAB (с подключаемыми библиотеками и
без них)
Раздел Toolbox (инструментальные средства) содержит самое
большое число пакетов расширений системы MATLAB такие как
laquoControl systemraquo laquoDatabaseraquo laquoFuzzy logicraquo laquoWaveletraquo и тд
В разделе Blockset расположено несколько пакетов относящихся к
главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink такие как
laquoDSPraquo laquoFixed-Pointraquo laquoNonlinear control designraquo и laquoPower systemsraquo
В разделе Extension Simulink имеется ряд средств предназначен-
ных для моделирования в реальном масштабе времени и событийно-
управляемом моделировании
26
5 Структурные преобразования в MATLAB
В пакете MATLAB имеется ряд функций с помощью которых
можно выполнять структурные преобразования (используется экви-
валентная схема)
ndash series(w1w2) ndash последовательное соединение звеньев
ndash parallel(w1w2) ndash параллельное соединение звеньев
ndash feedback(w1w2) ndash включение звена w2 в контур отрицательной об-
ратной связи к w1
ndash feedback(w1w2sign) ndash включение звена w2 в контур обратной связи
звена w1 с указанием знака + или ndash (очевидно feedback(w1w2)=
=feedback(w1w2-1))
Пример
Даны две передаточные функции
22
221
ss
sW
22
322
2
2
ss
ssW
Опишем ПФ введя в окне команд MatLab следующие команды
gtgt w1=tf([1 2][1 2 2])
gtgt w2=tf([1 2 3][1 2 2])
Выполним структурные преобразования для данных ПФ
gtgt w2=series(w1w2)
Transfer function
s^3 + 4 s^2 + 7 s + 6
------------------------------------
s^4 + 4 s^3 + 8 s^2 + 8 s + 4
gtgt w3=parallel(w1w2)
Transfer function
s^4 + 5 s^3 + 13 s^2 + 16 s + 10
----------------------------------------
s^4 + 4 s^3 + 8 s^2 + 8 s + 4
27
gtgt w4=feedback(w1w2)
Transfer function
s^3 + 4 s^2 + 6 s + 4
----------------------------------------
s^4 + 5 s^3 + 12 s^2 + 15 s + 10
Для проверки правильности проведенных преобразований необ-
ходимо собрать схему исходной САУ и соответствующую ей эквива-
лентную схему в MATLAB Simulink
Исходная схема САУ собирается как модель из соответствую-
щих элементов таких как laquoTransfer Fncraquo laquostepraquo laquosignal builderraquo
laquoscoperaquo и laquosumraquo Все эти элементы находятся в пакете laquoSimulinkraquo и
представлены в виде блоков Для того чтобы создать новую модель
необходимо нажать laquoFile-gtNew-gtModel (Simulink)raquo после откроется
окно модели в которую нужно будет добавлять элементы из библио-
теки для доступа к ней необходимо нажать на значок laquoLibrary Brows-
erraquo
Описание используемых элементов из пакета Simulink
1 Transfer Fnc ndash передаточная функция
2 Step ndash единичный скачок (функция Хэвисайда) в блоке необходи-
мо задать время начала перехода (step time)
3 Signal builder ndash блок для моделирования сигнала по заданным па-
раметрам (можно построить единичный скачок и импульсную функ-
цию)
4 Scope ndash виртуальный осциллограф отображает получившийся гра-
фик открывается двойным щелчком левой клавиши мыши и для кор-
рекции масштаба необходимо нажать правой кнопкой по графику и
из выпадающего меню выбрать laquoautoscaleraquo
5 Sum ndash сумматор в параметрах задается число сигналов соответ-
ственно laquo+raquo - положительный laquondashraquo - отрицательный
Так же нужно задать время работы модели для этого необходи-
мо выбрать laquoSimulation-gtSimulation parametersraquo и установить пара-
метр laquostop timeraquo на нужное значение и после необходимо запустить
модель на выполнение нажав на значок laquoStart simulationraquo Пример
модели составленной в MATLAB представлен на рис 10
28
Рис 10 Пример схемы САУ с блоком laquosignal builderraquo
Задача считается решенной если при подаче на вход обоих
схем одинаковых тестовых воздействий (единичный скачок импуль-
сная функция) наблюдаются одинаковые выходные сигналы
6 Задание на лабораторную работу
Выполнить преобразование структурной схемы САУ в эквива-
лентную передаточную функцию Составить модель исходной схемы
САУ в MATLAB С помощью ряда функций MATLAB (структурные
преобразования) составить эквивалентную схему Вариант задания
назначается преподавателем
7 Методика выполнения задания
Порядок выполнения работы
1 Выполнить преобразование заданного варианта структурной
схемы САУ (см табл 2) в эквивалентную ПФ тремя способами
ndash непосредственно используя правила табл 1
ndash используя представление в виде сигнального графа и формулу
Мейсона
ndash составив систему уравнений и решив еѐ
2 В качестве звеньев W1W2W3 использовать передаточные
функции звеньев представленных в табл 2
3 Составить модель исходной схемы САУ в MATLAB постро-
ить реакцию получившейся модели на ступенчатое и импульсное
воздействия
4 С помощью ряда функций MATLAB (структурные преобразо-
вания) составить эквивалентную схему и построить реакцию на сту-
пенчатое и импульсное воздействия
5 Подготовить ответы на контрольные вопросы
29
Таблица 2
Варианты структур САУ
Исходная схема
Передаточные
функции
1 W1
W3
W2
-
+
-
+
u y
+
1
31
sW
2
442
s
sW
12
133
s
sW
2 W1
W3
W2
-
+
-
+
u y
+ +
3 W3
W2
W1
-
+
-
+
u y
+ +
4 W3
W1
W2
+
+
-
+
u y
+ +
1
21
sW
2
12
sW
12
13
s
sW
5
W1
W3
W2
-
+
-
+
u y
+ +
6
W1
W3
W2
-
+
-
+
u y
+
62
31
sW
2
52
sW
1
23
s
sW
7
W1
W3
W2
-
+
-
+
u y
+ +
8
W1
W2
W3
-
+
-
+
u y
+ +
30
8 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) описание всех этапов преобразования исходной схемы и по-
лучающихся промежуточных результатов выполненными тремя спо-
собами моделирование реакции схемы на типовое воздействие (ска-
чок) до и после преобразования
б) сигнальный граф системы описание путей контуров расчет
ПФ по формуле Мейсона
в) решение составленной системы уравнений
г) схема модели и протокол команд MATLAB
д) графики переходных процессов при подаче на вход исходной
и эквивалентной схемы типовых тестирующих воздействий (скачок
импульс)
е) ответы на контрольные вопросы
Контрольные вопросы
1 Что называется структурной схемой Какие задачи можно
решить с еѐ помощью
2 Как может быть составлена структурная схема
3 Что позволяет алгоритмизировать процесс упрощения струк-
турной схемы Поясните на конкретном примере
31
Лабораторная работа 3
ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
ДИНАМИЧЕСКИХ ЗВЕНЬЕВ
1 Цель работы
Целью работы является изучение частотных характеристик ти-
повых динамических звеньев с использованием автоматизированных
средств моделирования на ПК ndash MATLAB SIMULINK
2 Задачи работы
ndash Закрепление углубление и расширение знаний студентов при
исследовании частотных характеристик динамических звеньев
ndash Приобретение умений и навыков работы с программой мате-
матического моделирования MATLAB
ndash Выработка способности логического мышления осмысление
полученных данных частотных характеристик
3 Теоретическая часть Сущность метода частотных характеристик заключается в том
что на вход исследуемой системы подается гармонический сигнал (си-
нусоидальные колебания) в широком диапазоне частот Реакция си-
стемы при разных частотах позволяет судить о ее динамических
свойствах
Пусть входной сигнал системы имеет амплитуду а и частоту ω т е
описывается формулой
)sin( tax
Выходной сигнал будет иметь амплитуду А1 и отличаться от вход-
ного по фазе на величину ψ (фазовый сдвиг)
)sin(1 tAy
Таким образом можно рассчитать усиление по амплитуде
1
a
AA
32
Для каждой частоты входного сигнала ω будут свои А и ψ
Изменяя ω в широком диапазоне можно получить зависимость
А(ω) ndash амплитудную частотную характеристику (АЧХ) и ψ(ω) ndash фазо-
вую частотную характеристику (ФЧХ)
Главное достоинство метода частотных характеристик заключа-
ется в том что АЧХ и ФЧХ объекта могут быть получены экспери-
ментально Для этого необходимо иметь генератор гармонических
колебаний который подключается к входу объекта и измеритель-
ную аппаратуру для измерения амплитуды и фазового сдвига колеба-
ний на выходе объекта
Частотные характеристики САУ могут быть получены по ее ПФ
W(s) Для суждения о реакции звена на синусоидальный сигнал доста-
точно исследовать его реакцию на гармонический сигнал вида
)( tjejx
Тогда выходной сигнал определяется по соотношению
)()( ))(( tjeAjy
и частотная ПФ получается равной
)()(
)()( )(
jeA
jx
jyjW
Формально для получения частотной ПФ надо сделать в W(s)
подстановку s = jω и тогда полученная W(jω) является комплексным
выражением которое можно представить в виде
)()(
)()()(
22
11
jba
jbajW
Для нахождения вещественной и мнимой частей частотной пе-
редаточной функции необходимо умножить числитель и знаменатель
на сопряженную знаменателю величину а затем провести
разделение
33
)()()(
)()(
)()()()(
)()(
)()()()(
))()())(()((
))()())(()((
)()(
)()()(
)(
22
22
2112
22
22
2121
2222
2211
22
11
jeAjVU
ba
babaj
ba
bbaa
jbajba
jbajba
jba
jbajW
где
)()()()(22
22
21
2122
ba
baVUjWA
)(
)())(arg()(
2
2
1
1
a
barctg
a
barctg
U
VarctgjW
Графики функции )(U и )(V называют соответственно веще-
ственной и мнимой частотной характеристиками
В практических расчетах удобно применять графики частотных
характеристик построенных в логарифмическом масштабе ndash лога-
рифмические частотные характеристики (ЛЧХ)
Логарифмическая амплитудная частотная характеристика
(ЛАЧХ) определяется следующим выражением
)(lg20)( AL
Логарифмической фазовой частотной характеристикой
(ЛФЧХ) называется график зависимости )( построенный в лога-
рифмическом масштабе частот
Единицей L(ω) является децибел (дБ) а единицей логарифма ча-
стоты ndash декада Декадой называют интервал частот на котором часто-
та изменяется в 10 раз При изменении частоты в 10 раз говорят что
она изменилась на одну декаду Ось ординат при построении ЛЧХ про-
водят через произвольную точку а не через точку ω = 0 Частоте ω = 0
соответствует бесконечно удаленная точка lgω rarr ndash infin при ω rarr 0
Основное преимущество использования ЛЧХ заключается в том
что приближенные (асимптотические) ЛАЧХ типовых динамических
звеньев изображаются отрезками прямых
Пример Построим ЛЧХ апериодического звена первого
34
порядка
Передаточная функция звена
1
)(
Ts
ksW
Частотная передаточная функция
1)(
)1(
1)(
2
T
Tjk
Tj
kjW
1)(
1)( 22
T
kTV
T
kU
Следовательно АЧХ описывается формулой
1)(
)(2
T
kA
ФЧХ строится по формуле
)()( Tarctg
ЛАЧХ апериодического звена 1-го порядка
1)(lg20lg20)( 2 TkL
По этой формуле можно построить две асимптоты ndash прямые к
которым стремится ЛАЧХ при ω rarr 0 и при ω rarr infin Так при ω rarr 0 второе
слагаемое близко к нулю и этот участок ЛАЧХ представляет собой
горизонтальную прямую
lg20)( kL
При ω rarr infin получаем наклонную прямую
1)(lg20)( 2 TL
35
Для определения наклона этой прямой можно рассмотреть гра-
ницы декады
T
1 и
10
T
Изменение ЛАЧХ между этими точками
)(2011
lg20110
lg20)(
22
декдБT
TT
TL
ЛЧХ часто называют диаграммами Боде
4 Краткое описание MATLAB
Лабораторная работа выполняется в программе математического
моделирования MATLAB Она включает в себя пакет прикладных про-
грамм для решения технических задач и одноименный язык программи-
рования используемый в этом пакете
Основными компонентами системы являются базовая система
MATLAB и пакет моделирования систем Simulink Остальные пакеты
расширения разбиты на 4 категории ndash расширения Extension MATLAB и
Extension Simulink а также комплексы пакетов расширения Blockset и
Toolbox
Раздел MATLAB Extension содержит средства для подготовки ис-
полняемых приложений MATLAB (с подключаемыми библиотеками и
без них)
Раздел Toolbox (инструментальные средства) содержит самое
большое число пакетов расширений системы MATLAB такие как
laquoControl systemraquo laquoDatabaseraquo laquoFuzzy logicraquo laquoWaveletraquo и тд
В разделе Blockset расположено несколько пакетов относящихся к
главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink такие как
laquoDSPraquo laquoFixed-Pointraquo laquoNonlinear control designraquo и laquoPower systemsraquo
В разделе Extension Simulink имеется ряд средств предназначен-
ных для моделирования в реальном масштабе времени и событийно-
управляемом моделировании
36
5 Построение частотных характеристик в MATLAB В пакете MATLAB ЛЧХ объекта заданного с помощью ПФ
можно получить командой bode
Пример
gtgt w=tf([1 2][3 4 5])
gtgt bode(w)
Для нескольких вариантов передаточной функции можно исполь-
зовать вариант команды вида
gtgt bode(ww1w2)
Например построим диаграмму Боде при различных параметрах
колебательного звена (рис 1)
gtgt w=tf([1][2 03 1])
gtgt w1=tf([1][2 05 1])
gtgt w2=tf([1][2 01 1])
gtgt bode(ww1w2)
Рис 1 ЛЧХ колебательного звена
6 Задание на лабораторную работу
С помощью пакета MATLAB построить ЛЧХ каждого типового
звена Определить влияние коэффициентов входящих в описание
каждого звена на параметры ЛАЧХ и ЛФЧХ Вариант задания назна-
чается преподавателем
37
7 Методика выполнения задания
Порядок выполнения работы
1 Задать передаточную функцию типового динамического звена
используя параметры из табл 2 лабораторной работы 1
2 Построить диаграмму Боде при различных параметрах типо-
вого динамического звена
3 Определить влияние коэффициентов входящих в описание
каждого звена на параметры ЛАЧХ и ЛФЧХ в том числе
ndash как меняется ширина асимптотических участков ЛАЧХ и
ЛФЧХ
ndash как меняется положение точек пересечения осей ЛАЧХ
4 Написать вывод по влиянию коэффициентов на типовое звено
5 Выполнить пункты 1-4 для всех типовых звеньев
6 Подготовить ответы на контрольные вопросы
8 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) титульный лист
б) краткие теоретические сведения
в) передаточные функции и схемы моделирования исследуемых
звеньев
г) экспериментально полученные характеристики при вариации
параметров каждого звена
д) выводы обобщающие проделанные эксперименты по каждо-
му звену
ж) ответы на контрольные вопросы
Контрольные вопросы
1 Как пользуясь частотными характеристиками определить па-
раметры (коэффициенты передаточной функции) звена Пояс-
нить на конкретных примерах
2 Указать особенности построения ЛАХ и ЛФХ динамических
звеньев Что понимается под асимптотической ЛАХ звена
3 Как осуществляется построение АФХ динамического звена
38
Лабораторная работа 4
ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ СИСТЕМ
С ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ
1 Цель работы
Изучение особенностей практического использования алгебраи-
ческих и частотных критериев устойчивости для анализа динамики
линейных САУ с использованием автоматизированных средств моде-
лирования на ПК ndash MATLAB SIMULINK
2 Задачи работы
ndash Закрепление углубление и расширение знаний студентов при
исследовании устойчивости систем с обратной связью
ndash Приобретение умений и навыков работы с программой мате-
матического моделирования MATLAB
ndash Овладение новыми методами проверки устойчивости систем
с обратной связью
ndash Выработка способности логического мышления осмысления
полученных данных
3 Теоретическая часть
Устойчивость САУ является одним из основных условий ее ра-
ботоспособности и включает требование затухания во времени пере-
ходных процессов
Система является устойчивой если при ограниченном входном
сигнале еѐ выходной сигнал также является ограниченным Если
система устойчива то она противостоит внешним воздействиям а
выведенная из состояния равновесия возвращается снова к нему
Система с расходящимся переходным процессом будет неустойчивой и
неработоспособной
Необходимое и достаточное условие устойчивости заключается в
том чтобы все корни характеристического уравнения (полюсы пере-
даточной функции системы) имели отрицательные вещественные ча-
сти Иначе говоря условием устойчивости системы является распо-
ложение всех полюсов в левой комплексной полуплоскости Тогда все
полюсы будут давать затухающую реакцию
Выше сформулированное условие устойчивости справедливо как
39
для линейных так и для линеаризованных систем Однако в случае
нулевых или чисто мнимых корней характеристического уравнения
вопрос об устойчивости линеаризованной системы может быть ре-
шен только на основании исследования ее нелинейных уравнений
В конце XIX и первой половине XX в задача вычисления корней
характеристического уравнения высокого порядка вызывала боль-
шие проблемы Поэтому были предложены несколько косвенных
методов оценки устойчивости позволяющих обойтись без вычисле-
ния корней ndash по значениям коэффициентов характеристического
уравнения
Критерии устойчивости разделяют на алгебраические и частот-
ные В частности к алгебраическим критериям относится критерий
Гурвица к частотным критериям ndash критерий Найквиста
Критерий Гурвица является алгебраическим критерием и при-
меняется к коэффициентам характеристического уравнения замкнутой
системы
Пусть имеется характеристическое уравнение замкнутой
системы
0011
1 apapapa n
nn
n
Из коэффициентов характеристического уравнения составляют
матрицу по правилу
1 По диагонали записываются коэффициенты от 1na до 0a
2 Каждая строка дополняется коэффициентами с возрастающи-
ми индексами слева направо так чтобы чередовались строки с нечет-
ными и четными индексами
3 В случае отсутствия индекса а также если он меньше 0 или
больше п на его место пишется 0
Таким образом матрица Гурвица приобретает следующий вид
40
Критерий устойчивости формулируется так
Чтобы система была устойчивой необходимо и достаточно что-
бы при 0na были положительными все п диагональных определи-
телей получаемых из матрицы Гурвица
Первые три определителя матрицы Гурвица имеют следующий
вид
Таким образом критерий Гурвица позволяет судить об абсо-
лютной устойчивости но он не дает возможности оценивать относи-
тельную устойчивость по корням характеристического уравнения
Частотный критерий устойчивости Найквиста анализирует
АФЧХ разомкнутой системы
Пусть имеется АФЧХ разомкнутой системы W(jω)
Для нахождения вещественной и мнимой части частотной ха-
рактеристики нужно освободиться от мнимости в знаменателе путем
умножения числителя и знаменателя на комплексную величину со-
пряженную знаменателю а затем выполнить разделение на веще-
ственную и мнимую части W(jω) приобретает вид
)()()( jQPjW
Задаваясь различными значениями частоты можно найти мно-
жество пар )()( 11 jQP )()( 22 jQP )()( nn jQP
Затем по этим парам строится АФЧХ на комплексной плоскости
Основные свойства АФЧХ разомкнутой системы
1 Если разомкнутая система не имеет интегрирующих звеньев
то при ω = 0 ее АФЧХ начинается на вещественной оси в точке
Р(ω)=К (где К ndash коэффициент усиления разомкнутой системы) За-
канчивается АФЧХ в начале координат при ω rarr infin (рис 1 а)
2 Если разомкнутая система имеет одно интегрирующее звено то
ее АФЧХ начинается при ω = 0 в бесконечности на отрицательной мни-
мой полуоси а заканчивается в начале координат при ω rarr infin (рис 1 б)
41
Рис 1 АФЧХ разомкнутой системы
Критерий устойчивости Найквиста формулируется так
1 Если разомкнутая система устойчива или находится на гра-
нице устойчивости то для того чтобы замкнутая система была
устойчива необходимо и достаточно чтобы АФЧХ разомкнутой
системы при изменении частоты ω от 0 до infin не охватывала точку с ко-
ординатами (-1 j0)
2 Если разомкнутая система неустойчива а ее передаточная
функция имеет т полюсов справа от мнимой оси на комплексной
плоскости то для устойчивости замкнутой системы необходимо и до-
статочно чтобы АФЧХ разомкнутой системы при изменении частоты
ω от -infin до +infin охватывала т раз точку с координатами (-1 j0)
При использовании этого критерия нужно учитывать две
особенности
1 Если разомкнутая система находится на границе устойчиво-
сти то ее АФЧХ уходит в бесконечность Для проверки критерия Най-
квиста нужно мысленно соединить конец АФЧХ дугой бесконечно
большого радиуса с положительной вещественной полуосью
2 На практике АФЧХ может строиться только для положитель-
ных частот (0 lt ω lt +infin) При применении критерия Найквиста счита-
ется что ветвь АФЧХ для отрицательных частот симметрична отно-
сительно вещественной оси
Физический смысл критерия устойчивости Найквиста заключа-
ется в том что система будет неустойчива если фаза выходного сиг-
нала противоположна фазе входного сигнала а коэффициент усиле-
ния больше 1 Поэтому для анализа устойчивости можно использо-
вать не АФЧХ а ЛАХ системы (для минимально-фазовых систем)
Система устойчива если на частоте среза значение фазы не превы-
шает -π Соответственно для устойчивой системы можно рассматри-
вать на ЛФЧХ запас устойчивости по фазе ndash расстояние от значения
фазы на частоте среза до уровня -π и запас устойчивости по амплиту-
42
де ndash расстояние от оси частот ЛАЧХ до значения усиления на часто-
те где фаза становится равной -π
4 Краткое описание MATLAB
Лабораторная работа выполняется в программе математического
моделирования MATLAB Программа MATLAB включает в себя пакет
прикладных программ для решения технических задач и одноименный
язык программирования используемый в этом пакете
Основными компонентами системы являются базовая система
MATLAB и пакет моделирования систем Simulink Остальные пакеты
расширения разбиты на 4 категории ndash расширения Extension MATLAB и
Extension Simulink а также комплексы пакетов расширения Blockset и
Toolbox
Раздел MATLAB Extension содержит средства для подготовки ис-
полняемых приложений MATLAB (с подключаемыми библиотеками и
без них)
Раздел Toolbox (инструментальные средства) содержит самое
большое число пакетов расширений системы MATLAB такие как
laquoControl systemraquo laquoDatabaseraquo laquoFuzzy logicraquo laquoWaveletraquo и тд
В разделе Blockset расположено несколько пакетов относящихся к
главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink такие как
laquoDSPraquo laquoFixed-Pointraquo laquoNonlinear control designraquo и laquoPower systemsraquo
В разделе Extension Simulink имеется ряд средств предназначен-
ных для моделирования в реальном масштабе времени и событийно-
управляемом моделировании
5 Исследование устойчивости САУ в MATLAB
Для проверки устойчивости САУ по Гурвицу постройте матрицу
Гурвица и найдите ее детерминант (функция det) Затем последова-
тельно уменьшая размер матрицы найдите значения всех диагональ-
ных детерминантов Пример
gtgt А=[1 14 18 2 5 2 3 4 3]
А =
1 14 18
2 5 2
3 4 3
gtgt det(A)
ans = -119
43
gtgt А1=А(12 12)
А1 =
1 14
2 5
gtgt det(A1)
ans = -23
Для проверки устойчивости САУ по Найквисту сначала нужно
выяснить является ли устойчивой разомкнутая система
Пример Пусть дана передаточная функция разомкнутой
системы
13232
12234
pppp
pW
Рассмотрим реакцию на скачок
gtgt w=tf([2 1][2 3 2 3 1])
gtgt step(w18)
График переходного процесса показан на рис 2
Рис 2 Переходная реакция
Разомкнутая система неустойчива и согласно критерию Найкви-
ста надо чтобы АФЧХ разомкнутой системы охватывала точку (-1 j0)
44
столько раз сколько полюсов имеется справа от мнимой оси Для по-
строения АФЧХ достаточно вызвать команду nyquist
gtgt nyquist(w)
Диаграмма Найквиста показана на рис 3
Рис 3 Диаграмма Найквиста для неустойчивой системы
Как показывает рис3 АФЧХ ни разу не охватывает точку
(-1 j0) поэтому замкнутая система будет неустойчивой Частотный
критерий Найквиста можно использовать и в том случае когда рас-
сматривается не АФЧХ а ЛАЧХ разомкнутой системы замкнутая
минимально-фазовая система устойчива если при достижении ЛФЧХ
значения -π ЛАЧХ будет отрицательной
Используя ЛАЧХ и ЛФЧХ можно оценить запасы устойчивости
системы по амплитуде и по фазе с помощью команды
gtgt margin(w)
Пример
gtgt w=tf([10][2 2 3 1])
gtgt margin(w)
Соответствующий график показан на рис 4
45
Рис 4 Определение запасов устойчивости по амплитуде и по фазе
6 Задание на лабораторную работу
Выполнить исследование устойчивости замкнутой системы по за-
данной передаточной функции разомкнутой системы Определить запас
устойчивости по амплитуде и по фазе Вариант задания назначается
преподавателем
7 Методика выполнения задания
Порядок выполнения работы
1 Рассчитать передаточную функцию замкнутой системы по
приведенной в табл 1 разомкнутой системе
2 Определить устойчивость замкнутой системы используя кри-
терий Гурвица
3 Определить устойчивость замкнутой системы используя кри-
терий Найквиста
4 Определить запас устойчивости по амплитуде и по фазе ис-
пользуя ЛАЧХ и ЛФЧХ
5 Выполнить моделирование переходных процессов разомкну-
той и замкнутой систем
6 Подготовить ответы на контрольные вопросы
46
Таблица 1
Варианты заданий
Передаточная функция разомкнутой системы
1 1355
2234
ssss
W
2 110050
1234
ssss
W
3 11010
123
sss
W
4 122105
100234
ssss
W
5 1248
123
sss
W
6 1223
102345
sssss
W
7 11001010
323
sss
W
8 122
1023
sss
W
9 11010
123
sss
W
10 15050332
102345
sssss
W
8 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) титульный лист
б) краткие теоретические сведения
в) переходную функцию разомкнутой системы
г) расчет передаточной функции замкнутой системы
д) расчетные выражения для обоснования устойчивости замкну-
той системы по алгебраическому критерию Гурвица
е) годограф Найквиста разомкнутой системы на основании кото-
рого делается вывод об устойчивости замкнутой системы
ѐ) переходную функцию замкнутой системы
ж) проверку полученных результатов путем компьютерного моде-
лирования переходных процессов разомкнутой и замкнутой си-
стемы в MATLAB Simulink
з) выводы по всем полученным результатам
47
Контрольные вопросы
1 Как связана устойчивость линейной САУ с видом составля-
ющих ее свободного движения
2 Зависит ли устойчивость линейных САУ от амплитуды зада-
ющих воздействий или возмущений
3 Сформулируйте критерий устойчивости Гурвица укажите на
необходимое условие устойчивости линейных САУ вытекаю-
щее из этого критерия
4 Сформулируйте критерий Найквиста для случая САУ устой-
чивых в разомкнутом состоянии а также для астатических САУ
Что такое laquoзапасы устойчивости по фазе и по амплитудеraquo
5 Что называется структурной устойчивостью
48
Лабораторная работа 5
КОРРЕКЦИЯ СТАТИЧЕСКИХ И ДИНАМИЧЕСКИХ
СВОЙСТВ САУ
1 Цель работы
Целью работы является изучение способов обеспечения иско-
мых характеристик САУ с использованием автоматизированных
средств моделирования на ПК ndash MATLAB SIMULINK
2 Задачи работы
ndash Закрепление углубление и расширение знаний студентов при
обеспечении искомых характеристик САУ
ndash Приобретение умений по обеспечению точности (уменьшение
статической ошибки) САУ и выбору значений параметров регулято-
ра обеспечивающих желаемые динамические свойства САУ
ndash Приобретение умений и навыков работы с программой мате-
матического моделирования MATLAB
3 Теоретическая часть
Коррекция статических и динамических свойств САУ имеет
своей целью повышение статической и динамической точности отра-
ботки системой задающего воздействия (или парирование возмуща-
ющего воздействия) повышение запасов ее устойчивости Наиболее
распространенными способами коррекции свойств САУ является из-
менение коэффициента усиления ее разомкнутой части введение в
САУ новых звеньев (как правило интегрирующего или дифференци-
рующего типа) охват объекта управления местной обратной связью
31 Коррекция статических свойств САУ
Статические свойства системы определяются величиной устано-
вившейся ошибки )t(уст вызванной действием задающего воздей-
ствия и определяемой по формуле
22
210 2 dttgdcdttdgctgctуст (1)
где )(tg - входное воздействие 210 ccc - коэффициенты ошибок
Коэффициенты ошибок определяются по формулам
49
dssdcdssdcscs
mmmss 00100
где s - передаточная функция САУ по ошибке управления рав-
ная
sW
sраз
1
1
sWраз - передаточная функция разомкнутой САУ
Основными способами уменьшения статической ошибки систе-
мы являются
1) увеличение коэффициента усиления прямого тракта системы
2) введение в прямой тракт системы интегрирующих звеньев
3) охват объекта управления местной неединичной положитель-
ной обратной связью
Представим структурную схему системы в виде изображенном
на рис 1 где через sW обозначена передаточная функция неизме-
няемой части системы
bsbsb
asasasW
nn
nn
mm
mm
01
1
01
1
Здесь и далее полагается что KKKsW s 000 0 ndash из-
меняемый коэффициент усиления регулятора системы
Первые два коэффициента ошибок 0c и 1c определяется выраже-
ниями
KK
c0
01
1
(2)
KK
dssdWKc
s
20
01
1
(3)
Из (2) и (3) с учетом (1) вытекает что с увеличением K
статическая ошибка в системе уменьшается и наоборот с уменьше-
нием K статическая ошибка в системе увеличивается
Введем в прямой тракт системы одно интегрирующее звено
50
(рис 2) В этом случае c 00 01 1 KKc
Так как c 00 то система на рис 2 является астатической (с
астатизмом первого порядка) Система имеет нулевую статическую
ошибку при отработке постоянного задающего воздействия
consttg и постоянную обратно пропорциональную K ошибку
constуст при отработке линейно изменяющегося воздействия
tatg
Рис 1 Схема САУ Рис 2 Схема САУ с включенным в прямой
тракт интегрирующим звеном
Охватим неизменяемую часть системы sW местной нееди-
ничной положительной обратной связью с коэффициентом усиления
осK (рис 3) Тогда эквивалентная передаточная функция sWэкв
неизменяемой части системы равна
10011
01
1
aKbsaKbsaKbsb
asasa
sWK
sWsW
ососm
mосmn
n
mm
mm
осэкв
(4)
Если коэффициент усиления K выбрать из условия
a
bKос
0
0
то свободный коэффициент (b0 - Koca0) полинома знаменателя sWэкв
обратится в нуль и sWэкв приобретает интегрирующие свойства
11
11
0
1
1
aKbsaKbsbs
asasasW
ос
m
mосm
n
n
m
m
m
mэкв
g(t) y(t)ε(t)
K W(s)-
g(t) y(t)
Ks W(s)-
ε(t)
51
Следовательно замкнутая система становится астатической (с
астатизмом 1-го порядка) Отсюда 0c =0 а коэффициент 1c будет
равен
aKb
bc
ос 11
01
ε(t)g(t) y(t)
W(s)-
Kос
Wэкв(s)
+
Рис 3 Схема САУ с местной неединичной обратной связью
32 Коррекция динамических свойств САУ
Улучшение динамических свойств САУ заключается в увеличе-
нии быстродействия САУ (уменьшении времени регулирования tрег)
уменьшении перерегулирования (см рис 4) а также увеличении
запасов устойчивости по фазе и по модулю При этом
h
hh
уст
устmax100
где maxh - максимальное значение переходной характеристики за-
мкнутой САУ th
устh - установившееся значение th
Время регулирования tрег - минимальная величина при которой удо-
влетворяется условие
устрег hth
где - заданная величина ошибки (обычно =005 устh )
52
h(t)
tрег
hустhmax
2δ
Рис 4 Быстродействие и перерегулирование САУ
Одним из эффективных средств достижения этой цели является
уменьшение отрицательных фазовых сдвигов в прямом тракте систе-
мы путем охвата неизменяемой части системы местными отрицатель-
ными обратными связями
На рис 5 R(s) представляет собой передаточную функцию регу-
лятора САУ которая считается заданной
ε(t)g(t) y(t)
W(s)-
Kос
Wэкв(s)
-
R(s)
u(t)
Рис 5 Схема САУ с местной обратной связью и регулятором
Пусть неизменяемая часть системы представляет собой аперио-
дическое звено первого порядка те
sT
K)s(W
10
0
Тогда передаточная функция sWэкв эквивалентного объекта
управления равна
sT
K
sWK
sWsW
экв
экв
осэкв
11
где зквK и эквT - коэффициент усиления и постоянная времени
эквивалентного объекта равные
53
KK
KK
осэкв
0
0
1
KK
TT
осэкв
0
0
1 (5)
Из (5) следует что соответствующим выбором осK постоянную
времени эквT эквивалентного объекта можно уменьшить в (1+ 0KKос )
раз по сравнении с постоянной времени 0T объекта без местной об-
ратной связи Тем самым уменьшаются отрицательные фазовые сдви-
ги вносимые прямым трактом системы что приводит к увеличению
запасов устойчивости системы При этом однако уменьшается в
(1+ 0KKос ) раз коэффициент усиления эквK эквивалентного объекта
по сравнению с коэффициентом усиления 0K объекта без местной
обратной связи Это нежелательно так как приводит к уменьшению
быстродействия системы вследствие уменьшения общего коэффици-
ента усиления прямого тракта системы В этом случае с целью обес-
печения необходимого быстродействия системы увеличивают коэф-
фициент усиления регулятора
4 Краткое описание MATLAB
Лабораторная работа выполняется в программе математического
моделирования MATLAB Программа MATLAB включает в себя пакет
прикладных программ для решения технических задач и одноименный
язык программирования используемый в этом пакете
Основными компонентами системы являются базовая система
MATLAB и пакет моделирования систем Simulink Остальные пакеты
расширения разбиты на 4 категории ndash расширения Extension MATLAB и
Extension Simulink а также комплексы пакетов расширения Blockset и
Toolbox
Раздел MATLAB Extension содержит средства для подготовки ис-
полняемых приложений MATLAB (с подключаемыми библиотеками и
без них)
Раздел Toolbox (инструментальные средства) содержит самое
большое число пакетов расширений системы MATLAB такие как
laquoControl systemraquo laquoDatabaseraquo laquoFuzzy logicraquo laquoWaveletraquo и тд
54
В разделе Blockset расположено несколько пакетов относящихся к
главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink такие как
laquoDSPraquo laquoFixed-Pointraquo laquoNonlinear control designraquo и laquoPower systemsraquo
В разделе Extension Simulink имеется ряд средств предназначен-
ных для моделирования в реальном масштабе времени и событийно-
управляемом моделировании
5 Задание на лабораторную работу
Выполнить исследование способов коррекции статических и
динамических свойств САУ Определить время регулирования и пе-
ререгулирования в исходной и скорректированной системах а также
для динамических свойств САУ определить запасы устойчивости в
исходной системе и найти экспериментально значение Kос обеспечи-
вающее в системе заданные показатели качества и запасы устойчиво-
сти Вариант задания назначается преподавателем
Таблица 1
Варианты заданий
варианта
Параметры
1
2
3
4
5
6
7
8
a 05 10 15 20 25 30 35 40
K0 1 2 3 4 5 6 7 8
T c 03 04 05 06 07 08 09 10
ξ 06 07 08 08 07 09 05 04
уст 0 0 005 0 010 007 0 0
tрег c le 13 15 20 25 30 35 40 40
le 0 10 10 5 5 5 0 0
В качестве исходных САУ выступают системы изображенные
на рис 6 и 7
55
ε(t)g(t) y(t)
W(s)-
g(t) y(t)
R(s) W(s)-
ε(t) u(t)
Рис 6 САУ с отрицательной Рис 7 САУ с отрицательной обратной
обратной связью связью и регулятором
6 Методика выполнения задания
При исследовании способов коррекции статических свойств
САУ в качестве исходных данных выступает передаточная функция
sW неизменяемой части системы вида
1222
0
sTsT
KsW (6)
и задающие воздействия вида ttg 1 в соответствии с таблицей 1
В процессе выполнения этой части работы необходимо
1) путем моделирования в системе MATLAB исходной САУ
(рис 6) получить графики ttytg
2) сравнить полученную таким образом экспериментальную ве-
личину t с теоретической величиной вычисленной по формуле (1)
3) применяя описанные в теоретической части методических
указаний способы коррекции статических свойств (см п 31) обес-
печить требуемую статическую ошибку εуст системы при отработке
задающего воздействия ttg 1
4) получить графики ty и t в скорректированной системе
для 1 ttg
5) сравнить время регулирования регt и перерегулирование в
исходной и скорректированной системах при 1 ttg
При исследовании рассмотренного способа коррекции динами-
ческих свойств САУ (см п 32) в качестве исходных данных высту-
пают передаточная функция sW неизменяемой части системы
вида (6) и передаточная функция регулятора вида
s
KsR
рег
56
Задающее воздействие ttg 1
В процессе выполнения данной части работы необходимо
1) получить путем моделирования в MATLAB графики ty t
в системе (рис 7)
2) определить время регулирования регt и перерегулирование
а также запасы устойчивости в исходной системе
3) применяя описанный выше способ коррекции динамических
свойств САУ найти экспериментально (путем последовательного пе-
ребора) значение осK обеспечивающее в системе заданные заданием
показатели качества ( регt ) и запасы устойчивости (при необхо-
димости увеличить коэффициент регK )
4) получить графики ty t а также ЛАХ и ЛФХ разомкну-
той системы в скорректированной САУ
7 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) титульный лист
б) структурные схемы исследуемых систем
в) полученные графики и характеристики
г) значения полученные экмпериментально которые
обеспечивают заданные показатели качества и запасы устойчивости
д) выводы обощающие проделанные эксперименты для
коррекции статических и динамических свойств САУ
е) ответы на контрольные вопросы
Контрольные вопросы 1 Дать определение статической и астатической САУ
2 Какими структурными свойствами системы определяется по-
рядок ее астатизма
3 Какой из двух приведенных выше способов придания системе
свойств астатизма 1-го порядка наиболее предпочтителен на
практике
4 Назовите основные показатели качества САУ Поясните их
смысл
5 В чѐм суть исследуемого способа коррекции динамических
свойств САУ
57
6 Назвать другие способы коррекции динамических свойств
САУ
7 Чем вызваны отрицательные фазовые сдвиги в неизменяемой
части САУ
58
Лабораторная работа 6
МЕТОД КОРНЕВОГО ГОДОГРАФА
1 Цель работы
Целью работы является построение корневого годографа и ис-
следование динамики системы с использованием автоматизирован-
ных средств моделирования на ПК ndash MATLABSIMULINK
2 Задачи работы
ndash Закрепление углубление и расширение знаний студентов при
исследование динамики системы
ndash Овладение навыком построения корневого годографа
ndash Приобретение умений и навыков работы с программой мате-
матического моделирования MATLAB
3 Теоретическая часть
Корневым годографом (КГ) называется совокупность траекто-
рий перемещения всех корней характеристического уравнения за-
мкнутой системы при изменении какого-либо параметра этой систе-
мы
Обычно метод КГ позволяет находить полюса и нули ПФ за-
мкнутой системы располагая полюсами и нулями разомкнутой си-
стемы при изменении коэффициента усиления разомкнутой системы
K
ПФ разомкнутой системы Wp(s) представим в следующем виде
)(
)(
1
1
0
n
ii
m
jj
p
ss
ssKC
sW (1)
где 0js ndash нули ПФ sWp )1( mj
is ndash полюса ПФ sWp
)1( nj n и m ndash порядки знаменателя и числителя C ndash коэффици-
ент представления (отношение коэффициентов при старших членах
числителя и знаменателя)
59
При замыкании системы с ПФ sWp единичной отрицатель-
ной обратной связью ПФ замкнутой системы sWз принимает вид
)(1
)(
sW
sWsW
p
pз
(2)
Из выражения (2) следует что нули ПФ замкнутой системы рав-
ны нулям ПФ разомкнутой системы
Для нахождения полюсов рассмотри выражение
01 sWp (3)
в соответствии с выражением (1) имеем
n
i
m
jjin
ii
m
jj
ssKCss
ss
ssKC
1 1
0
1
1
0
)()(01
)(
)(
(4)
На основании выражения (4) можно сказать что при K = 0 корни
характеристического уравнения совпадают с полюсами а при K = infin ndash
с нулями При изменении K от 0 до infin траектории корней начинаются
в полюсах и заканчиваются в нулях Обычно полюсов больше чем
нулей В этом случаем mn ветвей корневого годографа стремятся к
infin
Для определения полюсов замкнутой системы с отрицательной
обратной связью необходимо решить уравнение (его называют ос-
новным уравнением метода КГ)
1sWp (5)
Так как sWp является функцией комплексного переменного
s то уравнение (5) распадается на два уравнения уравнение модулей
1)( sWp (6)
60
и уравнение аргументов (фаза вектора -1 есть нечетное число π)
210)12()(arg sWp (7)
Как известно при умножении комплексных чисел их аргументы
складываются а при делении ndash вычитаются Поэтому исходя из вы-
ражения (1) уравнение (7) имеет наглядный геометрический смысл
Пусть точка s ndash полюс замкнутой системы Если провести в s
вектора из нулей sWp (обозначим аргументы этих векторов 0j ) и
вектора из всех полюсов sWp (обозначим аргументы этих векторов
i ) то уравнение (7) можно записать в следующем виде
m
j
n
iij
1 1
0 210)12( (8)
Углы q отсчитываются от положительного направления дей-
ствительной оси Знак угла laquo+raquo соответствует повороту против часо-
вой стрелки знак угла laquo-raquo соответствует повороту по часовой стрел-
ке
Таким образом любая точка КГ должна удовлетворять уравне-
нию (8) из которого следует что конфигурация КГ не зависит от ко-
эффициента усиления K но каждому конкретному значению K одно-
значно соответствуют точки на КГ
При умножении комплексных чисел их модули перемножаются
а при делении ndash делятся Поэтому на основании (6) можно записать
1
1
1
0
n
ii
m
jj
l
lKC
(9)
где 0jl ndash модуль (длина) вектора проведенного из j-нуля в точку s
КГ il ndash модуль вектора проведенного из i-полюса в ту же точку s
61
Таким образом траектории корней строятся только по уравне-
ниям фаз а уравнение модулей используется затем для нахождения
K
Сущность метода КГ заключается в том чтобы узнать каким
должен быть коэффициент усиления разомкнутой системы чтобы
было обеспечено желаемое положение корней замкнутой системы
Корневой годограф системы с отрицательной обратной связью
обладает следующими основными свойствами
1 Ветви КГ непрерывны и расположены на комплексной плос-
кости симметрично относительно действительной оси
2 Число ветвей КГ равно порядку системы n Ветви начинают-
ся в n полюсах разомкнутой системы при K=0 При возрастании K от
0 до infin полюса замкнутой системы двигаются по ветвям КГ
3 mветвей КГ при возрастании K от 0 до infin заканчиваются в m
нулях )(sWp а )( mn ветвей при K стремящемся к infin удаляются
от полюсов вдоль асимптот
4 При расположении ветвей корневого годографа в левой полу-
плоскости s САУ устойчива При пересечении ветвей КГ мнимой оси
слева направо САУ становится неустойчивой Пусть при K=Kкр
пере-
сечение КГ с мнимой осью произойдет в некоторой точке iωкр
Назо-
вем это значение коэффициента усиления критическим Kкр
а вели-
чину iωкр
критической угловой частотой на которой система стано-
вится неустойчивой
4 Краткое описание MATLAB
Лабораторная работа выполняется в программе математического
моделирования MATLAB Программа MATLAB включает в себя пакет
прикладных программ для решения технических задач и одноименный
язык программирования используемый в этом пакете
Основными компонентами системы являются базовая система
MATLAB и пакет моделирования систем Simulink Остальные пакеты
расширения разбиты на 4 категории ndash расширения Extension MATLAB и
Extension Simulink а также комплексы пакетов расширения Blockset и
Toolbox
Раздел MATLAB Extension содержит средства для подготовки ис-
полняемых приложений MATLAB (с подключаемыми библиотеками и
без них)
62
Раздел Toolbox (инструментальные средства) содержит самое
большое число пакетов расширений системы MATLAB такие как
laquoControl systemraquo laquoDatabaseraquo laquoFuzzy logicraquo laquoWaveletraquo и тд
В разделе Blockset расположено несколько пакетов относящихся к
главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink такие как
laquoDSPraquo laquoFixed-Pointraquo laquoNonlinear control designraquo и laquoPower systemsraquo
В разделе Extension Simulink имеется ряд средств предназначен-
ных для моделирования в реальном масштабе времени и событийно-
управляемом моделировании
5 Корневой годограф в MATLAB
В системе MATLAB существует команда zpk для преобразова-
ния модели заданной ПФ в модель заданную нулями полюсами и
обобщенными коэффициентами передачи (zpk-форма)
Пример
gtgt w=tf([10][2 2 3 1 0])
Transfer function
10
-------------------------------
2 s^4 + 2 s^3 + 3 s^2 + s
gtgt w1=zpk(w)
Zeropolegain
5
----------------------------------------------
s (s+03966) (s^2 + 06034s + 1261)
Для работы с корневым годографом удобно использовать гра-
фический интерфейс laquoSISO-Design Toolraquo предназначенный для ана-
лиза и синтеза одномерных линейных систем автоматического управ-
ления (SISO ndash Single Input Signal Output)
Запуск SISO-Design Tool осуществляется командой
gtgt sisotool
63
В появившемся окне графического интерфейса необходимо ис-
пользовать команду laquoFileImportraquo для загрузки данных из рабочего
пространства MATLAB в результате которой появляется диалоговое
окно Import System Data (рис 1)
Рис 1 Диалог для ввода параметров модели
После импортирования данных можно исследовать изменение
временных и частотных характеристик замкнутой системы при изме-
нении K Обычно при этом требуется определить условия неустойчи-
вости замкнутой САУ Определить Kкр
и iωкр
На рис 2 показано окно sisotool для описанной выше модели w1
Двигая красным курсором по КГ до пересечения ветвей с мнимой
осью можно определить значения Kкр
В данном случае Kкр
asymp 01
Значение iωкр
соответствует мнимой координате пересечения КГ
мнимой оси Просмотреть это значение можно в нижней части ин-
терфейса или выбрать меню laquoView Closed-Loop Polesraquo
64
Рис 2 Основное окно SISO-Design Tool
6 Задание на лабораторную работу
Построить КГ в соответствии с вариантом из табл 1 при помо-
щи графического интерфейса sisotool
Исследовать динамику замкнутой системы при различных зна-
чениях коэффициента усиления разомкнутой системы K в том числе
ndash запасы устойчивости в частотной области
ndash параметры переходного процесса во временной области
Таблица 1
Варианты передаточных функций
Значения параметров Передаточная функция
разомкнутой системы
1 T = 01 ζ = 1
)12( 22 sTsTs
K
2 T = 005 ζ = 0707
3 T = 003 ζ = 01
4 T = 008 ζ = 05
5 T = 001 ζ = 015
65
Окончание табл 1
Значения параметров Передаточная функция
разомкнутой системы
6 T1 = 003 T2 = 05 T3 = 01 T4 = 005
)1)(1)(1(
)1(
432
1
sTsTsTs
sTK
7 T1 = 005 T2 = 04 T3 = 008 T4 = 0033
8 T1 = 02 T2 = 045 T3 = 01 T4 = 005
9 T1 = 05 T2 = 025 T3 = 01 T4 = 002
10 T1 = 01 T2 = 025 T3 = 01 T4 = 005
Вариант задания назначается преподавателем
7 Методика выполнения задания
Порядок выполнения лабораторной работы
1 Задать передаточную функцию в MATLAB в соответствии с
вариантом коэффициент K задать любым положительным числом
2 Запустить SISO-Design Tool и осуществить ввод данных
Построить КГ
3 По КГ определить значения коэффициента K когда система
будет устойчивой на границе устойчивости и неустойчива
4 Выбрать значение коэффициента K таким образом чтобы си-
стемы была устойчива и определить запас устойчивости в частотной
области и параметры переходного процесса во временной области
8 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) титульный лист
б) передаточную функцию и этапы построения КГ
в) анализ результатов построения КГ
г) выводы по проделанной работе
д) ответы на контрольные вопросы
Контрольные вопросы 1 Дать определение КГ
2 Что обычно позволяет находить метод КГ
3 В чем заключается сущность метода КГ
4 Что можно определить по КГ
66
Критерии результативности лабораторного практикума
Лабораторная работа считается выполненной если студент
ndash выполнил все указанные задания
ndash представил отчет соответствующий всем требованиям к его
содержанию и оформлению
ndash владеет терминологией и материалом лабораторной работы
ndash способен использовать программное средство математическо-
го моделирования MATLAB
ndash способен предоставить и рассказать результаты выполненной
работы на ПК
ndash может дать пояснения к отчету и ответить на контрольные
вопросы
Список литературы
1 Александров АГ Частотная теория автоматического управле-
ния учебное пособие ndash Электросталь ЭПИ МИСиС 2010
2 Борисевич АВ Теория автоматического управления элементар-
ное введение с применением MATLAB ndash СПб Изд-во Политехн ун-
та 2011
3 Федоров ВЛ Бубнов АВ Теория автоматического управления
учебное пособие ndash Омск Изд-во ОмГТУ 2010
4 Павловская ОО Чернецкая ИВ Теория автоматического
управления учебное пособие ndash Челябинск Изд-во ЮУрГУ 2010
67
Составители ЛЯНЦЕВ Олег Дмитриевич КАЗАНЦЕВ Андрей Валерьевич
ИССЛЕДОВАНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК СИСТЕМ
АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
Лабораторный практикум
по дисциплине
laquoТеория управленияraquo
Подписано в печать Формат 60х84 116 Бумага офсетная Пе-
чать плоская Гарнитура Times New Roman Усл печ л 56 Уч-изд л
55 Тираж 100 экз Заказ
ФГБОУ ВПО Уфимский государственный авиационный технический
университет
Центр оперативной полиграфии УГАТУ
450000 Уфа-центр ул К Маркса 12
7
Введение
Дисциплина laquoТеория управленияraquo предназначена для формиро-
вания у студентов систематизированного представления об осново-
полагающих принципах управления в технических системах о кон-
цепциях структурах и механизмах лежащих в основе анализа и син-
теза современных систем управления их характеристик и о со-
временных направлениях развития теории управления
В лабораторных работах рассматривается анализ характеристик
объектов управления в пространстве состояний с использованием
среды математического моделирования MATLAB (сокращение от
англ laquoMATrix LABoratoryraquo) Эта программа математического модели-
рования разработанная компанией laquoThe MathWorksraquo оперирует
LTI-моделями (Linear Time Invariant Models ndash линейные модели с по-
стоянными параметрами) что включает работу с заданием переда-
точных функций подачей тестирующих воздействий структурными
преобразованиями определение запаса устойчивости построение
графиков и годографов
В результате выполнения данного лабораторного практикума
формируются следующие компетенции
ndash владение знаниями о теоретических основах и основных
принципах управления методах исследования и синтеза систем
управления
ndash готовность использовать навык решения типовых задач ис-
следования и проектирования систем управления
ndash способность применять программное средство математическо-
го моделирования MATLAB
8
Лабораторная работа 1
ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗВЕНЬЯ И ИХ ХАРАКТЕРИСТИКИ
ВО ВРЕМЕННОЙ ОБЛАСТИ
1 Цель работы
Целью работы является изучение временных характеристик ти-
повых динамических звеньев с использованием автоматизированных
средств моделирования на ПК ndash MATLAB SIMULINK
2 Задачи работы
ndash Закрепление углубление и расширение знаний студентов при
исследовании временных характеристик динамических звеньев
ndash Приобретение умений и навыков работы с программой мате-
матического моделирования MATLAB
ndash Выработка способности логического мышления осмысление
полученных данных переходных процессов
3 Теоретическая часть Рассматривается система автоматического управления (САУ)
описываемая линейным дифференциальным уравнением вида
)()()()(
)()()()(
011
1
1
011
1
1
tubdt
tdub
dt
tudb
dt
tudb
tyadt
tdya
dt
tyda
dt
tyda
m
m
mm
m
m
n
n
nn
n
n
(1)
где u(t) ndash входной процесс y(t) ndash выходной процесс ai bi ndash постоян-
ные коэффициенты п т (п ge т) ndash постоянные числа
Если ввести обозначение р для оператора дифференцирования
p=ddt то можно записать (1) в операторной форме
)(
)(
011
1
011
1
ubpbpbpb
yapapapa
mm
mm
nn
nn
(2)
откуда получается
9
)()(
)(pW
pA
pB
u
y
где А(р) и В(р) ndash полиномы из формулы (2)
Выражение (2) по виду совпадает с определением ПФ как от-
ношения преобразования по Лапласу выходной переменной к преоб-
разованию по Лапласу входной переменной при нулевых начальных
условиях
)()(
)(
)(
)(sW
sA
sB
su
sy (3)
где s ndash комплексная переменная
Комплексные числа являющиеся корнями многочлена B(s)
называются нулями передаточной функции а корни многочлена А(s) ndash
полюсами
Описание типовых динамических звеньев приведено в
табл 1 Таблица 1
Типовые динамические звенья
Название звена Передаточная функция звена
1
Интегрирующее
s
KsW )(
2
Дифференцирующее
KssW )(
3
Усилительное
(безынерционное)
KsW )(
4
Апериодическое 1-го
порядка (инерционное)
1)(
Ts
KsW
5
Апериодическое 2-го
порядка (все корни веще-
ственные)
21
122
2
21
)( TTsTsT
KsW
10
Окончание табл 1
Название звена Передаточная функция звена
6
Колебательное
21
122
2
21
)( TTsTsT
KsW
7
Форсирующее
)1()( TsKsW
8
Интегрирующее
с запаздыванием
(реальное интегрирующее)
)1()(
Tss
KsW
9
Дифференцирующее
с запаздыванием
(реальное дифференцирую-
щее)
1)(
Ts
KssW
10
Инерционно-форсирующее
звено
1
)1()(
0
1
sT
sTKsW
11
Изодромное
s
TsKsW
)1()(
часто используется описание колебательного звена в виде
2
12
)(2
1222 T
TTT
TssT
KsW
Временные характеристики динамического звена представляют
собой зависимость выходного сигнала системы от времени при подаче
на ее вход некоторого типового воздействия Обычно выполняется
анализ выхода системы на единичный скачок (функция Хевисайда) и
импульсную функцию (функция Дирака или δ-функция)
Единичный скачок 1(t) определяется условиями
01
00)(1
tпри
tприt
Реакция САУ на единичный скачок называется переходной
11
функцией системы и обозначается h(t) При неединичном ступенчатом
воздействии g(t)=N1(t) где N = const в соответствии с принципом
суперпозиции выходная реакция системы будет )()( tNhty
Импульсная функция δ(t) определяется условиями
00
0)(
tпри
tприt
Очевидно )(1)( tt
Реакция САУ на импульсную функцию называется импульсной
переходной функцией системы (функцией веса) и обозначается w(t)
Импульсная и переходная функции системы связаны
соотношением
)()(0
dwtht
4 Краткое описание MATLAB
Лабораторная работа выполняется в программе математического
моделирования MATLAB Программа MATLAB включает в себя пакет
прикладных программ для решения технических задач и одноименный
язык программирования используемый в этом пакете
Основными компонентами системы являются базовая система
MATLAB и пакет моделирования систем Simulink Остальные пакеты
расширения разбиты на 4 категории ndash расширения Extension MATLAB и
Extension Simulink а также комплексы пакетов расширения Blockset и
Toolbox
Раздел MATLAB Extension содержит средства для подготовки ис-
полняемых приложений MATLAB (с подключаемыми библиотеками и
без них)
Раздел Toolbox (инструментальные средства) содержит самое
большое число пакетов расширений системы MATLAB такие как
laquoControl systemraquo laquoDatabaseraquo laquoFuzzy logicraquo laquoWaveletraquo и тд
В разделе Blockset расположено несколько пакетов относящихся к
12
главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink такие как
laquoDSPraquo laquoFixed-Pointraquo laquoNonlinear control designraquo и laquoPower systemsraquo
В разделе Extension Simulink имеется ряд средств предназначен-
ных для моделирования в реальном масштабе времени и событийно-
управляемом моделировании
5 Моделирование передаточных функций в MATLAB
В пакете MATLAB имеется два основных варианта для исследо-
вания передаточных функций и моделирования САУ
- использование команд пакета расширения Control System
Toolbox
- использование пакета Simulink
Control System Toolbox предназначен для работы с LTI-моделями
систем управления
Команда создающая LTI-систему с одним входом и одним вы-
ходом в виде передаточной функции имеет следующий синтаксис
])[]([ 011011 aaaabbbbtf nnmm
где 011 bbbb mm и 011 aaaa nn ndash значения коэффициентов
полиномов В и А в (3)
Например если требуется описать ПФ вида
582
12
ss
sW
и узнать значения ее нулей и полюсов то нужно ввести в окне команд
MatLab следующие команды
gtgt w=tf([1 1][2 8 5])
gtgt zero(w)
gtgt pole(w)
Исследовать реакцию LTI-модели на типовые входные воздей-
ствия можно с помощью команд
gtgt step(w)
gtgt impulse(w)
Можно получить на одном графике реакцию сразу нескольких
динамических звеньев если использовать команды вида
gtgt step(w w1 w2)
gtgt impulse(w w1 w2)
13
В приведенных примерах время моделирования выбирается ав-
томатически При необходимости его можно явно указать в команде
gtgtstep(w w1 w2t)
где t - время моделирования в секундах
Рис 1 Исследование реакции колебательного звена
На рис 1 показан пример моделирования динамики колебатель-
ного звена при различных параметрах
gtgt w=tf([1][2 03 1])
gtgt w1=tf([1][2 05 1])
gtgt w2=tf([1][2 01 1])
gtgt step(ww1w250)
В Simulink ПФ можно описать с помощью блока Transfer Fcn в
разделе библиотеки Continuous Для подачи типовых воздействий
надо использовать блок Step из раздела Sources Импульсную пере-
ходную характеристику звена можно получить подавая на вход им-
пульс маленькой длительности и большой амплитуды (приближение
δ-функции) при нулевых начальных условиях
6 Задание на лабораторную работу
С помощью пакета MATLAB построить реакцию каждого типо-
вого звена с параметрами своего варианта (см табл 2) на ступенчатое и
импульсное входное воздействие Определить влияние коэффициен-
тов входящих в описание каждого звена на параметры переходного
процесса Вариант задания назначается преподавателем
14
Таблица 2
Варианты заданий
Апери-
од зве-
но
Апериодич звено
2 пор (колеб
звено)
Ин-
тегр
звено
Изодр
звено
Реальное
диф звено
Инерц-
форс
звено
K T K T2 (T) T1( ξ ) K K T K T K T0 T1
1 3 02 3 02 20
(02)
3 3 05 3 04 3 2 08
2 4 03 4 03 15
(015)
4 4 1 4 03 4 3 12
3 5 04 5 04 25
(025)
5 5 08 5 05 5 4 15
4 6 05 6 05 16
(03)
6 6 2 6 10 6 5 20
5 7 06 7 06 28
(02)
7 7 3 7 08 7 6 20
6 8 07 8 07 22
(008)
8 8 35 8 10 8 7 20
7 9 08 9 08 21
(007)
9 9 1 9 09 9 8 30
8 10 10 10 10 30
(01)
10 10 20 10 20 10 10 40
7 Методика выполнения задания
Порядок выполнения работы
1 Задать передаточную функцию типового динамического звена
в MATLAB используя параметры приведенные в табл 2
2 Варьируя коэффициент динамического звена увеличивая его в
2 раза ndash получить вторую ПФ затем уменьшить исходный коэффици-
ент в 2 раза и получить третью ПФ
3 Построить на одном графике реакцию получившихся динами-
ческих звеньев на единичный скачок
4 Построить на одном графике реакцию получившихся динами-
ческих звеньев на импульсную функцию
5 Выполнить пп 2-4 для всех коэффициентов динамического
звена
6 Выполнить пп 1-5 для всех динамических звеньев
7 Подготовить ответы на контрольные вопросы
15
8 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) титульный лист
б) передаточные функции и схемы моделирования исследуемых
звеньев
в) экспериментально полученные характеристики при вариа-
ции параметров каждого звена
г) выводы обобщающие проделанные эксперименты по каждо-
му звену
д) ответы на контрольные вопросы
Контрольные вопросы
1 Что называется передаточной функцией
2 Что называется переходной и импульсной (весовой)
функциями Какова связь между ними
3 Как пользуясь временными характеристиками определить
параметры (коэффициенты передаточной функции) звена
Пояснить на конкретных примерах
4 Перечислите динамические характеристики САУ
5 Что называется характеристическим уравнением
16
Лабораторная работа 2
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СТРУКТУРНЫХ СХЕМ
1 Цель работы
Целью работы является изучение структурных преобразований и
нахождения передаточных функций с использованием автоматизиро-
ванных средств моделирования на ПК ndash MATLAB SIMULINK
2 Задачи работы
ndash Закрепление углубление и расширение знаний студентов при
исследовании преобразований структурных схем
ndash Приобретение умений и навыков работы с программой мате-
матического моделирования MATLAB
ndash Овладение несколькими методами преобразования структур-
ных схем
3 Теоретическая часть
Для наглядного представления сложной системы как совокупно-
сти элементов и связей между ними используются структурные
схемы
Структурной схемой называется схема САУ изображенная в
виде соединения ПФ составляющих ее звеньев
Структурная схема показывает строение автоматической систе-
мы наличие внешних воздействий и точки их приложения пути рас-
пространения воздействий и выходную величину Динамическое или
статическое звено изображается прямоугольником в котором указы-
вается ПФ звена Воздействия на систему и влияние звеньев друг на
друга (сигналы) изображаются стрелками В каждом звене воздей-
ствие передается только от входа звена к его выходу
На динамическое звено может воздействовать лишь одна вход-
ная величина поэтому используются блоки суммирования и сравне-
ния сигналов Суммироваться и сравниваться могут лишь сигналы
одной и той же физической природы
Структурная схема может быть составлена по уравнению систе-
мы в пространстве состояний или по системе дифференциальных
уравнений При составлении структурной схемы удобно начинать с
изображения задающего воздействия и располагать динамические
17
звенья составляющие прямую цепь системы слева направо до регу-
лируемой величины Тогда основная обратная связь и местные обрат-
ные связи будут направлены справа налево
Различные способы преобразования структурных схем облегча-
ют определение ПФ сложных САУ и дают возможность привести
многоконтурную систему к эквивалентной ей одноконтурной схеме
Преобразование структурной схемы должно осуществляться на
основании правил основные из них приведены в табл 1
При выполнении преобразований следует каждое имеющееся в
схеме типовое соединение заменить эквивалентным звеном Затем
можно выполнить перенос точек разветвления и сумматоров чтобы в
преобразованной схеме образовались новые типовые соединения зве-
ньев Эти соединения опять заменяются эквивалентными звеньями
затем вновь может потребоваться перенос точек разветвления и
сумматоров и т д
Различают основные соединения блоков в структурных схемах
последовательное соединение параллельное соединение антипарал-
лельное соединение (обратная связь) в свою очередь обратная связь
может быть отрицательной и положительной Таблица 1
Основные правила преобразования структурных схем
Преобразование
Структурная схема
Исходная Эквивалентная
Свертывание
последовательного
соединения
W1 W2 Wnu y
Wu y
nWWWW 21
Свертывание
параллельного
соединения
Wn
W2
W1
u y
Wu y
nWWWW 21
Свертывание
обратной связи
W1u plusmn y
W2
Wu y
21
1
1 WW
WW
18
Окончание табл 1
Преобразование
Структурная схема
Исходная Эквивалентная
Перенос узла через
звено вперед
Wu y
x
Wu y
xW1
WW
11
Перенос узла через
звено назад
Wu y
y
Wu y
yW
Перенос сумматора
через звено вперед
Wu1 y
u2
plusmn
Wu1 y
u2
plusmn
W
Перенос сумматора
через звено назад
Wu1 y
u2
plusmn
Wu1 y
u2
plusmn
W1
WW
11
Перенос прямой
связи через звено W2yu
plusmnW1
W3
W2 yu
plusmnW1
W3 W2
Перенос узла через
сумматор вперед
x1
+
- y
x1
x2
x1
+
- y
x1x2
+
+
Перенос узла через
сумматор назад
x1
+
- y
x2
y
x1
+
- y
x2y
+
-
Пример Пусть необходимо получить эквивалентное представ-
ление для структуры приведенной на рис 1
19
W1
W2 W3
W4
W5 W6
W7
+
+
+
-
Рис 1 Исходная схема САУ
Преобразование включает несколько этапов показанных на рис 2ndash5
W1
W2 W3
W4
W5 W6
W7
+
+
+
-
1W6
Рис 2 Перенос узла через звено вперед
567
659
1 WWW
WWW
6
48
W
WW
Рис 3 Свертывание обратной связи и последовательного соединения
2110 WWW
983
9311
1 WWW
WWW
Рис 4 Свертывание обратной связи и Рис 5 Свертывание последователь-
параллельного соединения ного соединения
W10 W11 WЭкв
543765
653265311110
1 WWWWWW
WWWWWWWWWWWЭкв
W1
W2
W8
W3 W9
+
+
20
Таким образом первый способ преобразования структурных
схем заключается в непосредственном использовании правил приве-
денных в табл1 Неудобство использования этого подхода заключа-
ется в том что порядок применения формул здесь достаточно произ-
волен возможны ошибочные шаги усложняющие поиск решения
Второй способ для получения ПФ многоконтурной системы за-
ключается в использовании модели системы в виде сигнального
графа
Сигнальный граф позволяет графически описать линейные связи
между переменными он состоит из узлов (вершин) и соединяющих их
направленных ветвей
Ветвь соответствует блоку структурной схемы она отражает за-
висимость между входной и выходной переменными Сумма всех
сигналов входящих в узел образует соответствующую этому узлу
переменную
Последовательность ветвей между двумя узлами называется пу-
тем Контуром называется замкнутый путь который начинается и
заканчивается в одном и том же узле причем ни один узел не встре-
чается на этом пути дважды
Контуры называются некасающимися если они не имеют общих
узлов
Сигнальный граф ndash это просто наглядный метод записи системы
алгебраических уравнений показывающий взаимосвязь между пере-
менными
r1
r2
a11
a22
x1
x2
a12a21
Рис 6 Сигнальный граф для двух алгебраических выражений
В качестве примера рассмотрим следующую систему алгебраи-
ческих уравнений
21
11212111 xrxaxa (1)
22222121 xrxaxa (2)
здесь r1 и r2 ndash входные переменные а x1 и x2 ndash выходные переменные
Сигнальный граф соответствующий уравнениям (1) и (2) изображен
на рис 6 Уравнения (1) и (2) можно записать в ином виде
1122111 )()1( raxax
2222211 )1()( raxax
Решая последнюю систему по правилу Крамера получим
212
122
21122211
2121221
)1(
)1)(1(
)1(r
ar
a
aaaa
rarax
121
211
21122211
1212112
)1(
)1)(1(
)1(r
ar
a
aaaa
rarax
В этих решениях знаменатель равен определителю составлен-
ному из коэффициентов при неизвестных и его можно записать так
21122211221121122211 1)1)(1( aaaaaaaaaa
В данном случае знаменатель равен единице минус коэффици-
енты передачи отдельных контуров a11 a22 и a12a21 плюс произведе-
ние коэффициентов передачи двух некасающихся контуров a11 и a22
Контуры a22 и a12a21 являются касающимися так же как и контуры a11
и a21a12
В решении для x1 по отношению ко входу r1 числитель равен
единице умноженной на (1-a22) те значение определителя некаса-
ющегося пути от r1 к x1 В решении для x1 по отношению ко входу
r2числитель просто равен a12 тк этот путь касается всех контуров
Числитель выражения x2 симметричен соответствующему числителю
для x1
В общем случае линейная зависимость Tij между независимой
переменной xi (часто называемой входной переменной) и зависимой
переменной xj определяется по формуле Мейсона
22
k
ijkijk
ij
P
T
где Pijk ndash коэффициент передачи k-го пути от переменной xi к пере-
менной xj Δ ndash определитель графа Δijk ndash дополнительный множитель
для пути Pijk а суммирование производится по всем возможным k пу-
тям от xi до xjДополнительный множитель Δijk равен определителю
всех касающихся контуров при удалении k-го пути
Определитель находится как
QM
qm
LSR
lsrlsrqm
K
kk LLLLLL
11
1111
1
где Kk kL
1ndash сумма коэффициентов передачи всех отдельных конту-
ров QM
qm qmLL
11ndash сумма произведений всех возможных комбина-
ций из двух некасающихся контуров LSR
lsr lsr LLL
111ndash сумма про-
изведений всех возможных комбинаций из трех некасающихся кон-
туров
Таким образом правило вычисления Δ через значение L1 L2
L3hellipLN таково Δ = 1- (сумма коэффициентов передачи всех отдель-
ных контуров) + (сумма произведений всех возможных комбинаций
из 2 некасающихся контуров) ndash (сумма произведений всех возмож-
ных комбинаций из 3 некасающихся контуров) +hellip
Формула Мейсона часто используется в несколько упрощенном
виде для определения связи между выходной переменной Y(s) и
входной переменной X(s) те
)()(
)( 1
N
iiiP
sWsX
sY
где Pi ndash i-й путь от входа к выходу N ndash количество путей Δ ndash опреде-
литель графа специальный полином который определенным образом
характеризует совокупность всех замкнутых цепей системы содер-
жащих обратные связи и вычисляется как сумма передаточных
функций разомкнутых контуров этих цепей и произведений
23
передаточных функций разомкнутых контуров пар троек и тд не со-
прикасающихся друг с другом цепей с обратными связями Δi ndash до-
полнительный множитель для пути составляется по правилу анало-
гичному Δ но только для цепей с обратными связями не соприкаса-
ющихся с i-м прямым каналом
Дополнительный множитель для i-го пути равен определителю
графа в котором приравнены нулю коэффициенты передачи конту-
ров касающихся этого пути
Рассмотрим пример получения ПФ многоконтурной системы с
использованием формулы Мейсона для структуры на рис 1 которая
соответствует графу показанному на рис 7
X(s) Y(s)W1
W2
W3 W5 W6
W4 -W7
Рис 7 Описание системы управления сигнальным графом
От входа к выходу ведут два пути
65311 WWWWP
65322 WWWWP
В графе есть 2 контура
5431 WWWL
7652 WWWL
Контур L1 пересекает контур L2 поэтому определитель графа
вычисляется по формуле
)(1 21 LL
Контуры в этом примере пересекают все пути поэтому допол-
нительные множители путей равны
24
11
12
Окончательно можно записать
1
)(543765
65326531
2
1
WWWWWW
WWWWWWWWP
sW iii
Таким образом использование сигнальных графов и применение
формулы Мейсона позволяет алгоритмизировать процесс упрощения
структурной схемы
Третий способ для получения ПФ заключается в составлении
системы уравнений Необходимо обозначить выходы сумматоров и
составить систему уравнений на основе этих обозначений На рис9
представлена исходная схема с обозначенными сумматорами
W1
W2 W3
W4
W5 W6
W7
+
+
+
-
Z H
u y
Рис 9 Исходная схема САУ с обозначенными сумматорами
Опишем все сигналы в системе в виде уравнений
)( 4521 HWWuWWZ
73 yWZWH
65 HWWy
Подставив последовательно значения сигналов найдем ПФ
))(( 734521 yWWHWWuWWH
После преобразования получим
25
1
)(
543
73231
WWW
yWuWWWWH
Подставим полученное значение H в уравнение y
1
))((
543
6573231
WWW
WWyWuWWWWy
Получим ПФ вида
1
)(543765
65326531
WWWWWW
WWWWWWWW
u
ypW
4 Краткое описание MATLAB
Лабораторная работа выполняется в программе математического
моделирования MATLAB Программа MATLAB включает в себя пакет
прикладных программ для решения технических задач и одноименный
язык программирования используемый в этом пакете
Основными компонентами системы являются базовая система
MATLAB и пакет моделирования систем Simulink Остальные пакеты
расширения разбиты на 4 категории ndash расширения Extension MATLAB и
Extension Simulink а также комплексы пакетов расширения Blockset и
Toolbox
Раздел MATLAB Extension содержит средства для подготовки ис-
полняемых приложений MATLAB (с подключаемыми библиотеками и
без них)
Раздел Toolbox (инструментальные средства) содержит самое
большое число пакетов расширений системы MATLAB такие как
laquoControl systemraquo laquoDatabaseraquo laquoFuzzy logicraquo laquoWaveletraquo и тд
В разделе Blockset расположено несколько пакетов относящихся к
главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink такие как
laquoDSPraquo laquoFixed-Pointraquo laquoNonlinear control designraquo и laquoPower systemsraquo
В разделе Extension Simulink имеется ряд средств предназначен-
ных для моделирования в реальном масштабе времени и событийно-
управляемом моделировании
26
5 Структурные преобразования в MATLAB
В пакете MATLAB имеется ряд функций с помощью которых
можно выполнять структурные преобразования (используется экви-
валентная схема)
ndash series(w1w2) ndash последовательное соединение звеньев
ndash parallel(w1w2) ndash параллельное соединение звеньев
ndash feedback(w1w2) ndash включение звена w2 в контур отрицательной об-
ратной связи к w1
ndash feedback(w1w2sign) ndash включение звена w2 в контур обратной связи
звена w1 с указанием знака + или ndash (очевидно feedback(w1w2)=
=feedback(w1w2-1))
Пример
Даны две передаточные функции
22
221
ss
sW
22
322
2
2
ss
ssW
Опишем ПФ введя в окне команд MatLab следующие команды
gtgt w1=tf([1 2][1 2 2])
gtgt w2=tf([1 2 3][1 2 2])
Выполним структурные преобразования для данных ПФ
gtgt w2=series(w1w2)
Transfer function
s^3 + 4 s^2 + 7 s + 6
------------------------------------
s^4 + 4 s^3 + 8 s^2 + 8 s + 4
gtgt w3=parallel(w1w2)
Transfer function
s^4 + 5 s^3 + 13 s^2 + 16 s + 10
----------------------------------------
s^4 + 4 s^3 + 8 s^2 + 8 s + 4
27
gtgt w4=feedback(w1w2)
Transfer function
s^3 + 4 s^2 + 6 s + 4
----------------------------------------
s^4 + 5 s^3 + 12 s^2 + 15 s + 10
Для проверки правильности проведенных преобразований необ-
ходимо собрать схему исходной САУ и соответствующую ей эквива-
лентную схему в MATLAB Simulink
Исходная схема САУ собирается как модель из соответствую-
щих элементов таких как laquoTransfer Fncraquo laquostepraquo laquosignal builderraquo
laquoscoperaquo и laquosumraquo Все эти элементы находятся в пакете laquoSimulinkraquo и
представлены в виде блоков Для того чтобы создать новую модель
необходимо нажать laquoFile-gtNew-gtModel (Simulink)raquo после откроется
окно модели в которую нужно будет добавлять элементы из библио-
теки для доступа к ней необходимо нажать на значок laquoLibrary Brows-
erraquo
Описание используемых элементов из пакета Simulink
1 Transfer Fnc ndash передаточная функция
2 Step ndash единичный скачок (функция Хэвисайда) в блоке необходи-
мо задать время начала перехода (step time)
3 Signal builder ndash блок для моделирования сигнала по заданным па-
раметрам (можно построить единичный скачок и импульсную функ-
цию)
4 Scope ndash виртуальный осциллограф отображает получившийся гра-
фик открывается двойным щелчком левой клавиши мыши и для кор-
рекции масштаба необходимо нажать правой кнопкой по графику и
из выпадающего меню выбрать laquoautoscaleraquo
5 Sum ndash сумматор в параметрах задается число сигналов соответ-
ственно laquo+raquo - положительный laquondashraquo - отрицательный
Так же нужно задать время работы модели для этого необходи-
мо выбрать laquoSimulation-gtSimulation parametersraquo и установить пара-
метр laquostop timeraquo на нужное значение и после необходимо запустить
модель на выполнение нажав на значок laquoStart simulationraquo Пример
модели составленной в MATLAB представлен на рис 10
28
Рис 10 Пример схемы САУ с блоком laquosignal builderraquo
Задача считается решенной если при подаче на вход обоих
схем одинаковых тестовых воздействий (единичный скачок импуль-
сная функция) наблюдаются одинаковые выходные сигналы
6 Задание на лабораторную работу
Выполнить преобразование структурной схемы САУ в эквива-
лентную передаточную функцию Составить модель исходной схемы
САУ в MATLAB С помощью ряда функций MATLAB (структурные
преобразования) составить эквивалентную схему Вариант задания
назначается преподавателем
7 Методика выполнения задания
Порядок выполнения работы
1 Выполнить преобразование заданного варианта структурной
схемы САУ (см табл 2) в эквивалентную ПФ тремя способами
ndash непосредственно используя правила табл 1
ndash используя представление в виде сигнального графа и формулу
Мейсона
ndash составив систему уравнений и решив еѐ
2 В качестве звеньев W1W2W3 использовать передаточные
функции звеньев представленных в табл 2
3 Составить модель исходной схемы САУ в MATLAB постро-
ить реакцию получившейся модели на ступенчатое и импульсное
воздействия
4 С помощью ряда функций MATLAB (структурные преобразо-
вания) составить эквивалентную схему и построить реакцию на сту-
пенчатое и импульсное воздействия
5 Подготовить ответы на контрольные вопросы
29
Таблица 2
Варианты структур САУ
Исходная схема
Передаточные
функции
1 W1
W3
W2
-
+
-
+
u y
+
1
31
sW
2
442
s
sW
12
133
s
sW
2 W1
W3
W2
-
+
-
+
u y
+ +
3 W3
W2
W1
-
+
-
+
u y
+ +
4 W3
W1
W2
+
+
-
+
u y
+ +
1
21
sW
2
12
sW
12
13
s
sW
5
W1
W3
W2
-
+
-
+
u y
+ +
6
W1
W3
W2
-
+
-
+
u y
+
62
31
sW
2
52
sW
1
23
s
sW
7
W1
W3
W2
-
+
-
+
u y
+ +
8
W1
W2
W3
-
+
-
+
u y
+ +
30
8 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) описание всех этапов преобразования исходной схемы и по-
лучающихся промежуточных результатов выполненными тремя спо-
собами моделирование реакции схемы на типовое воздействие (ска-
чок) до и после преобразования
б) сигнальный граф системы описание путей контуров расчет
ПФ по формуле Мейсона
в) решение составленной системы уравнений
г) схема модели и протокол команд MATLAB
д) графики переходных процессов при подаче на вход исходной
и эквивалентной схемы типовых тестирующих воздействий (скачок
импульс)
е) ответы на контрольные вопросы
Контрольные вопросы
1 Что называется структурной схемой Какие задачи можно
решить с еѐ помощью
2 Как может быть составлена структурная схема
3 Что позволяет алгоритмизировать процесс упрощения струк-
турной схемы Поясните на конкретном примере
31
Лабораторная работа 3
ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
ДИНАМИЧЕСКИХ ЗВЕНЬЕВ
1 Цель работы
Целью работы является изучение частотных характеристик ти-
повых динамических звеньев с использованием автоматизированных
средств моделирования на ПК ndash MATLAB SIMULINK
2 Задачи работы
ndash Закрепление углубление и расширение знаний студентов при
исследовании частотных характеристик динамических звеньев
ndash Приобретение умений и навыков работы с программой мате-
матического моделирования MATLAB
ndash Выработка способности логического мышления осмысление
полученных данных частотных характеристик
3 Теоретическая часть Сущность метода частотных характеристик заключается в том
что на вход исследуемой системы подается гармонический сигнал (си-
нусоидальные колебания) в широком диапазоне частот Реакция си-
стемы при разных частотах позволяет судить о ее динамических
свойствах
Пусть входной сигнал системы имеет амплитуду а и частоту ω т е
описывается формулой
)sin( tax
Выходной сигнал будет иметь амплитуду А1 и отличаться от вход-
ного по фазе на величину ψ (фазовый сдвиг)
)sin(1 tAy
Таким образом можно рассчитать усиление по амплитуде
1
a
AA
32
Для каждой частоты входного сигнала ω будут свои А и ψ
Изменяя ω в широком диапазоне можно получить зависимость
А(ω) ndash амплитудную частотную характеристику (АЧХ) и ψ(ω) ndash фазо-
вую частотную характеристику (ФЧХ)
Главное достоинство метода частотных характеристик заключа-
ется в том что АЧХ и ФЧХ объекта могут быть получены экспери-
ментально Для этого необходимо иметь генератор гармонических
колебаний который подключается к входу объекта и измеритель-
ную аппаратуру для измерения амплитуды и фазового сдвига колеба-
ний на выходе объекта
Частотные характеристики САУ могут быть получены по ее ПФ
W(s) Для суждения о реакции звена на синусоидальный сигнал доста-
точно исследовать его реакцию на гармонический сигнал вида
)( tjejx
Тогда выходной сигнал определяется по соотношению
)()( ))(( tjeAjy
и частотная ПФ получается равной
)()(
)()( )(
jeA
jx
jyjW
Формально для получения частотной ПФ надо сделать в W(s)
подстановку s = jω и тогда полученная W(jω) является комплексным
выражением которое можно представить в виде
)()(
)()()(
22
11
jba
jbajW
Для нахождения вещественной и мнимой частей частотной пе-
редаточной функции необходимо умножить числитель и знаменатель
на сопряженную знаменателю величину а затем провести
разделение
33
)()()(
)()(
)()()()(
)()(
)()()()(
))()())(()((
))()())(()((
)()(
)()()(
)(
22
22
2112
22
22
2121
2222
2211
22
11
jeAjVU
ba
babaj
ba
bbaa
jbajba
jbajba
jba
jbajW
где
)()()()(22
22
21
2122
ba
baVUjWA
)(
)())(arg()(
2
2
1
1
a
barctg
a
barctg
U
VarctgjW
Графики функции )(U и )(V называют соответственно веще-
ственной и мнимой частотной характеристиками
В практических расчетах удобно применять графики частотных
характеристик построенных в логарифмическом масштабе ndash лога-
рифмические частотные характеристики (ЛЧХ)
Логарифмическая амплитудная частотная характеристика
(ЛАЧХ) определяется следующим выражением
)(lg20)( AL
Логарифмической фазовой частотной характеристикой
(ЛФЧХ) называется график зависимости )( построенный в лога-
рифмическом масштабе частот
Единицей L(ω) является децибел (дБ) а единицей логарифма ча-
стоты ndash декада Декадой называют интервал частот на котором часто-
та изменяется в 10 раз При изменении частоты в 10 раз говорят что
она изменилась на одну декаду Ось ординат при построении ЛЧХ про-
водят через произвольную точку а не через точку ω = 0 Частоте ω = 0
соответствует бесконечно удаленная точка lgω rarr ndash infin при ω rarr 0
Основное преимущество использования ЛЧХ заключается в том
что приближенные (асимптотические) ЛАЧХ типовых динамических
звеньев изображаются отрезками прямых
Пример Построим ЛЧХ апериодического звена первого
34
порядка
Передаточная функция звена
1
)(
Ts
ksW
Частотная передаточная функция
1)(
)1(
1)(
2
T
Tjk
Tj
kjW
1)(
1)( 22
T
kTV
T
kU
Следовательно АЧХ описывается формулой
1)(
)(2
T
kA
ФЧХ строится по формуле
)()( Tarctg
ЛАЧХ апериодического звена 1-го порядка
1)(lg20lg20)( 2 TkL
По этой формуле можно построить две асимптоты ndash прямые к
которым стремится ЛАЧХ при ω rarr 0 и при ω rarr infin Так при ω rarr 0 второе
слагаемое близко к нулю и этот участок ЛАЧХ представляет собой
горизонтальную прямую
lg20)( kL
При ω rarr infin получаем наклонную прямую
1)(lg20)( 2 TL
35
Для определения наклона этой прямой можно рассмотреть гра-
ницы декады
T
1 и
10
T
Изменение ЛАЧХ между этими точками
)(2011
lg20110
lg20)(
22
декдБT
TT
TL
ЛЧХ часто называют диаграммами Боде
4 Краткое описание MATLAB
Лабораторная работа выполняется в программе математического
моделирования MATLAB Она включает в себя пакет прикладных про-
грамм для решения технических задач и одноименный язык программи-
рования используемый в этом пакете
Основными компонентами системы являются базовая система
MATLAB и пакет моделирования систем Simulink Остальные пакеты
расширения разбиты на 4 категории ndash расширения Extension MATLAB и
Extension Simulink а также комплексы пакетов расширения Blockset и
Toolbox
Раздел MATLAB Extension содержит средства для подготовки ис-
полняемых приложений MATLAB (с подключаемыми библиотеками и
без них)
Раздел Toolbox (инструментальные средства) содержит самое
большое число пакетов расширений системы MATLAB такие как
laquoControl systemraquo laquoDatabaseraquo laquoFuzzy logicraquo laquoWaveletraquo и тд
В разделе Blockset расположено несколько пакетов относящихся к
главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink такие как
laquoDSPraquo laquoFixed-Pointraquo laquoNonlinear control designraquo и laquoPower systemsraquo
В разделе Extension Simulink имеется ряд средств предназначен-
ных для моделирования в реальном масштабе времени и событийно-
управляемом моделировании
36
5 Построение частотных характеристик в MATLAB В пакете MATLAB ЛЧХ объекта заданного с помощью ПФ
можно получить командой bode
Пример
gtgt w=tf([1 2][3 4 5])
gtgt bode(w)
Для нескольких вариантов передаточной функции можно исполь-
зовать вариант команды вида
gtgt bode(ww1w2)
Например построим диаграмму Боде при различных параметрах
колебательного звена (рис 1)
gtgt w=tf([1][2 03 1])
gtgt w1=tf([1][2 05 1])
gtgt w2=tf([1][2 01 1])
gtgt bode(ww1w2)
Рис 1 ЛЧХ колебательного звена
6 Задание на лабораторную работу
С помощью пакета MATLAB построить ЛЧХ каждого типового
звена Определить влияние коэффициентов входящих в описание
каждого звена на параметры ЛАЧХ и ЛФЧХ Вариант задания назна-
чается преподавателем
37
7 Методика выполнения задания
Порядок выполнения работы
1 Задать передаточную функцию типового динамического звена
используя параметры из табл 2 лабораторной работы 1
2 Построить диаграмму Боде при различных параметрах типо-
вого динамического звена
3 Определить влияние коэффициентов входящих в описание
каждого звена на параметры ЛАЧХ и ЛФЧХ в том числе
ndash как меняется ширина асимптотических участков ЛАЧХ и
ЛФЧХ
ndash как меняется положение точек пересечения осей ЛАЧХ
4 Написать вывод по влиянию коэффициентов на типовое звено
5 Выполнить пункты 1-4 для всех типовых звеньев
6 Подготовить ответы на контрольные вопросы
8 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) титульный лист
б) краткие теоретические сведения
в) передаточные функции и схемы моделирования исследуемых
звеньев
г) экспериментально полученные характеристики при вариации
параметров каждого звена
д) выводы обобщающие проделанные эксперименты по каждо-
му звену
ж) ответы на контрольные вопросы
Контрольные вопросы
1 Как пользуясь частотными характеристиками определить па-
раметры (коэффициенты передаточной функции) звена Пояс-
нить на конкретных примерах
2 Указать особенности построения ЛАХ и ЛФХ динамических
звеньев Что понимается под асимптотической ЛАХ звена
3 Как осуществляется построение АФХ динамического звена
38
Лабораторная работа 4
ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ СИСТЕМ
С ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ
1 Цель работы
Изучение особенностей практического использования алгебраи-
ческих и частотных критериев устойчивости для анализа динамики
линейных САУ с использованием автоматизированных средств моде-
лирования на ПК ndash MATLAB SIMULINK
2 Задачи работы
ndash Закрепление углубление и расширение знаний студентов при
исследовании устойчивости систем с обратной связью
ndash Приобретение умений и навыков работы с программой мате-
матического моделирования MATLAB
ndash Овладение новыми методами проверки устойчивости систем
с обратной связью
ndash Выработка способности логического мышления осмысления
полученных данных
3 Теоретическая часть
Устойчивость САУ является одним из основных условий ее ра-
ботоспособности и включает требование затухания во времени пере-
ходных процессов
Система является устойчивой если при ограниченном входном
сигнале еѐ выходной сигнал также является ограниченным Если
система устойчива то она противостоит внешним воздействиям а
выведенная из состояния равновесия возвращается снова к нему
Система с расходящимся переходным процессом будет неустойчивой и
неработоспособной
Необходимое и достаточное условие устойчивости заключается в
том чтобы все корни характеристического уравнения (полюсы пере-
даточной функции системы) имели отрицательные вещественные ча-
сти Иначе говоря условием устойчивости системы является распо-
ложение всех полюсов в левой комплексной полуплоскости Тогда все
полюсы будут давать затухающую реакцию
Выше сформулированное условие устойчивости справедливо как
39
для линейных так и для линеаризованных систем Однако в случае
нулевых или чисто мнимых корней характеристического уравнения
вопрос об устойчивости линеаризованной системы может быть ре-
шен только на основании исследования ее нелинейных уравнений
В конце XIX и первой половине XX в задача вычисления корней
характеристического уравнения высокого порядка вызывала боль-
шие проблемы Поэтому были предложены несколько косвенных
методов оценки устойчивости позволяющих обойтись без вычисле-
ния корней ndash по значениям коэффициентов характеристического
уравнения
Критерии устойчивости разделяют на алгебраические и частот-
ные В частности к алгебраическим критериям относится критерий
Гурвица к частотным критериям ndash критерий Найквиста
Критерий Гурвица является алгебраическим критерием и при-
меняется к коэффициентам характеристического уравнения замкнутой
системы
Пусть имеется характеристическое уравнение замкнутой
системы
0011
1 apapapa n
nn
n
Из коэффициентов характеристического уравнения составляют
матрицу по правилу
1 По диагонали записываются коэффициенты от 1na до 0a
2 Каждая строка дополняется коэффициентами с возрастающи-
ми индексами слева направо так чтобы чередовались строки с нечет-
ными и четными индексами
3 В случае отсутствия индекса а также если он меньше 0 или
больше п на его место пишется 0
Таким образом матрица Гурвица приобретает следующий вид
40
Критерий устойчивости формулируется так
Чтобы система была устойчивой необходимо и достаточно что-
бы при 0na были положительными все п диагональных определи-
телей получаемых из матрицы Гурвица
Первые три определителя матрицы Гурвица имеют следующий
вид
Таким образом критерий Гурвица позволяет судить об абсо-
лютной устойчивости но он не дает возможности оценивать относи-
тельную устойчивость по корням характеристического уравнения
Частотный критерий устойчивости Найквиста анализирует
АФЧХ разомкнутой системы
Пусть имеется АФЧХ разомкнутой системы W(jω)
Для нахождения вещественной и мнимой части частотной ха-
рактеристики нужно освободиться от мнимости в знаменателе путем
умножения числителя и знаменателя на комплексную величину со-
пряженную знаменателю а затем выполнить разделение на веще-
ственную и мнимую части W(jω) приобретает вид
)()()( jQPjW
Задаваясь различными значениями частоты можно найти мно-
жество пар )()( 11 jQP )()( 22 jQP )()( nn jQP
Затем по этим парам строится АФЧХ на комплексной плоскости
Основные свойства АФЧХ разомкнутой системы
1 Если разомкнутая система не имеет интегрирующих звеньев
то при ω = 0 ее АФЧХ начинается на вещественной оси в точке
Р(ω)=К (где К ndash коэффициент усиления разомкнутой системы) За-
канчивается АФЧХ в начале координат при ω rarr infin (рис 1 а)
2 Если разомкнутая система имеет одно интегрирующее звено то
ее АФЧХ начинается при ω = 0 в бесконечности на отрицательной мни-
мой полуоси а заканчивается в начале координат при ω rarr infin (рис 1 б)
41
Рис 1 АФЧХ разомкнутой системы
Критерий устойчивости Найквиста формулируется так
1 Если разомкнутая система устойчива или находится на гра-
нице устойчивости то для того чтобы замкнутая система была
устойчива необходимо и достаточно чтобы АФЧХ разомкнутой
системы при изменении частоты ω от 0 до infin не охватывала точку с ко-
ординатами (-1 j0)
2 Если разомкнутая система неустойчива а ее передаточная
функция имеет т полюсов справа от мнимой оси на комплексной
плоскости то для устойчивости замкнутой системы необходимо и до-
статочно чтобы АФЧХ разомкнутой системы при изменении частоты
ω от -infin до +infin охватывала т раз точку с координатами (-1 j0)
При использовании этого критерия нужно учитывать две
особенности
1 Если разомкнутая система находится на границе устойчиво-
сти то ее АФЧХ уходит в бесконечность Для проверки критерия Най-
квиста нужно мысленно соединить конец АФЧХ дугой бесконечно
большого радиуса с положительной вещественной полуосью
2 На практике АФЧХ может строиться только для положитель-
ных частот (0 lt ω lt +infin) При применении критерия Найквиста счита-
ется что ветвь АФЧХ для отрицательных частот симметрична отно-
сительно вещественной оси
Физический смысл критерия устойчивости Найквиста заключа-
ется в том что система будет неустойчива если фаза выходного сиг-
нала противоположна фазе входного сигнала а коэффициент усиле-
ния больше 1 Поэтому для анализа устойчивости можно использо-
вать не АФЧХ а ЛАХ системы (для минимально-фазовых систем)
Система устойчива если на частоте среза значение фазы не превы-
шает -π Соответственно для устойчивой системы можно рассматри-
вать на ЛФЧХ запас устойчивости по фазе ndash расстояние от значения
фазы на частоте среза до уровня -π и запас устойчивости по амплиту-
42
де ndash расстояние от оси частот ЛАЧХ до значения усиления на часто-
те где фаза становится равной -π
4 Краткое описание MATLAB
Лабораторная работа выполняется в программе математического
моделирования MATLAB Программа MATLAB включает в себя пакет
прикладных программ для решения технических задач и одноименный
язык программирования используемый в этом пакете
Основными компонентами системы являются базовая система
MATLAB и пакет моделирования систем Simulink Остальные пакеты
расширения разбиты на 4 категории ndash расширения Extension MATLAB и
Extension Simulink а также комплексы пакетов расширения Blockset и
Toolbox
Раздел MATLAB Extension содержит средства для подготовки ис-
полняемых приложений MATLAB (с подключаемыми библиотеками и
без них)
Раздел Toolbox (инструментальные средства) содержит самое
большое число пакетов расширений системы MATLAB такие как
laquoControl systemraquo laquoDatabaseraquo laquoFuzzy logicraquo laquoWaveletraquo и тд
В разделе Blockset расположено несколько пакетов относящихся к
главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink такие как
laquoDSPraquo laquoFixed-Pointraquo laquoNonlinear control designraquo и laquoPower systemsraquo
В разделе Extension Simulink имеется ряд средств предназначен-
ных для моделирования в реальном масштабе времени и событийно-
управляемом моделировании
5 Исследование устойчивости САУ в MATLAB
Для проверки устойчивости САУ по Гурвицу постройте матрицу
Гурвица и найдите ее детерминант (функция det) Затем последова-
тельно уменьшая размер матрицы найдите значения всех диагональ-
ных детерминантов Пример
gtgt А=[1 14 18 2 5 2 3 4 3]
А =
1 14 18
2 5 2
3 4 3
gtgt det(A)
ans = -119
43
gtgt А1=А(12 12)
А1 =
1 14
2 5
gtgt det(A1)
ans = -23
Для проверки устойчивости САУ по Найквисту сначала нужно
выяснить является ли устойчивой разомкнутая система
Пример Пусть дана передаточная функция разомкнутой
системы
13232
12234
pppp
pW
Рассмотрим реакцию на скачок
gtgt w=tf([2 1][2 3 2 3 1])
gtgt step(w18)
График переходного процесса показан на рис 2
Рис 2 Переходная реакция
Разомкнутая система неустойчива и согласно критерию Найкви-
ста надо чтобы АФЧХ разомкнутой системы охватывала точку (-1 j0)
44
столько раз сколько полюсов имеется справа от мнимой оси Для по-
строения АФЧХ достаточно вызвать команду nyquist
gtgt nyquist(w)
Диаграмма Найквиста показана на рис 3
Рис 3 Диаграмма Найквиста для неустойчивой системы
Как показывает рис3 АФЧХ ни разу не охватывает точку
(-1 j0) поэтому замкнутая система будет неустойчивой Частотный
критерий Найквиста можно использовать и в том случае когда рас-
сматривается не АФЧХ а ЛАЧХ разомкнутой системы замкнутая
минимально-фазовая система устойчива если при достижении ЛФЧХ
значения -π ЛАЧХ будет отрицательной
Используя ЛАЧХ и ЛФЧХ можно оценить запасы устойчивости
системы по амплитуде и по фазе с помощью команды
gtgt margin(w)
Пример
gtgt w=tf([10][2 2 3 1])
gtgt margin(w)
Соответствующий график показан на рис 4
45
Рис 4 Определение запасов устойчивости по амплитуде и по фазе
6 Задание на лабораторную работу
Выполнить исследование устойчивости замкнутой системы по за-
данной передаточной функции разомкнутой системы Определить запас
устойчивости по амплитуде и по фазе Вариант задания назначается
преподавателем
7 Методика выполнения задания
Порядок выполнения работы
1 Рассчитать передаточную функцию замкнутой системы по
приведенной в табл 1 разомкнутой системе
2 Определить устойчивость замкнутой системы используя кри-
терий Гурвица
3 Определить устойчивость замкнутой системы используя кри-
терий Найквиста
4 Определить запас устойчивости по амплитуде и по фазе ис-
пользуя ЛАЧХ и ЛФЧХ
5 Выполнить моделирование переходных процессов разомкну-
той и замкнутой систем
6 Подготовить ответы на контрольные вопросы
46
Таблица 1
Варианты заданий
Передаточная функция разомкнутой системы
1 1355
2234
ssss
W
2 110050
1234
ssss
W
3 11010
123
sss
W
4 122105
100234
ssss
W
5 1248
123
sss
W
6 1223
102345
sssss
W
7 11001010
323
sss
W
8 122
1023
sss
W
9 11010
123
sss
W
10 15050332
102345
sssss
W
8 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) титульный лист
б) краткие теоретические сведения
в) переходную функцию разомкнутой системы
г) расчет передаточной функции замкнутой системы
д) расчетные выражения для обоснования устойчивости замкну-
той системы по алгебраическому критерию Гурвица
е) годограф Найквиста разомкнутой системы на основании кото-
рого делается вывод об устойчивости замкнутой системы
ѐ) переходную функцию замкнутой системы
ж) проверку полученных результатов путем компьютерного моде-
лирования переходных процессов разомкнутой и замкнутой си-
стемы в MATLAB Simulink
з) выводы по всем полученным результатам
47
Контрольные вопросы
1 Как связана устойчивость линейной САУ с видом составля-
ющих ее свободного движения
2 Зависит ли устойчивость линейных САУ от амплитуды зада-
ющих воздействий или возмущений
3 Сформулируйте критерий устойчивости Гурвица укажите на
необходимое условие устойчивости линейных САУ вытекаю-
щее из этого критерия
4 Сформулируйте критерий Найквиста для случая САУ устой-
чивых в разомкнутом состоянии а также для астатических САУ
Что такое laquoзапасы устойчивости по фазе и по амплитудеraquo
5 Что называется структурной устойчивостью
48
Лабораторная работа 5
КОРРЕКЦИЯ СТАТИЧЕСКИХ И ДИНАМИЧЕСКИХ
СВОЙСТВ САУ
1 Цель работы
Целью работы является изучение способов обеспечения иско-
мых характеристик САУ с использованием автоматизированных
средств моделирования на ПК ndash MATLAB SIMULINK
2 Задачи работы
ndash Закрепление углубление и расширение знаний студентов при
обеспечении искомых характеристик САУ
ndash Приобретение умений по обеспечению точности (уменьшение
статической ошибки) САУ и выбору значений параметров регулято-
ра обеспечивающих желаемые динамические свойства САУ
ndash Приобретение умений и навыков работы с программой мате-
матического моделирования MATLAB
3 Теоретическая часть
Коррекция статических и динамических свойств САУ имеет
своей целью повышение статической и динамической точности отра-
ботки системой задающего воздействия (или парирование возмуща-
ющего воздействия) повышение запасов ее устойчивости Наиболее
распространенными способами коррекции свойств САУ является из-
менение коэффициента усиления ее разомкнутой части введение в
САУ новых звеньев (как правило интегрирующего или дифференци-
рующего типа) охват объекта управления местной обратной связью
31 Коррекция статических свойств САУ
Статические свойства системы определяются величиной устано-
вившейся ошибки )t(уст вызванной действием задающего воздей-
ствия и определяемой по формуле
22
210 2 dttgdcdttdgctgctуст (1)
где )(tg - входное воздействие 210 ccc - коэффициенты ошибок
Коэффициенты ошибок определяются по формулам
49
dssdcdssdcscs
mmmss 00100
где s - передаточная функция САУ по ошибке управления рав-
ная
sW
sраз
1
1
sWраз - передаточная функция разомкнутой САУ
Основными способами уменьшения статической ошибки систе-
мы являются
1) увеличение коэффициента усиления прямого тракта системы
2) введение в прямой тракт системы интегрирующих звеньев
3) охват объекта управления местной неединичной положитель-
ной обратной связью
Представим структурную схему системы в виде изображенном
на рис 1 где через sW обозначена передаточная функция неизме-
няемой части системы
bsbsb
asasasW
nn
nn
mm
mm
01
1
01
1
Здесь и далее полагается что KKKsW s 000 0 ndash из-
меняемый коэффициент усиления регулятора системы
Первые два коэффициента ошибок 0c и 1c определяется выраже-
ниями
KK
c0
01
1
(2)
KK
dssdWKc
s
20
01
1
(3)
Из (2) и (3) с учетом (1) вытекает что с увеличением K
статическая ошибка в системе уменьшается и наоборот с уменьше-
нием K статическая ошибка в системе увеличивается
Введем в прямой тракт системы одно интегрирующее звено
50
(рис 2) В этом случае c 00 01 1 KKc
Так как c 00 то система на рис 2 является астатической (с
астатизмом первого порядка) Система имеет нулевую статическую
ошибку при отработке постоянного задающего воздействия
consttg и постоянную обратно пропорциональную K ошибку
constуст при отработке линейно изменяющегося воздействия
tatg
Рис 1 Схема САУ Рис 2 Схема САУ с включенным в прямой
тракт интегрирующим звеном
Охватим неизменяемую часть системы sW местной нееди-
ничной положительной обратной связью с коэффициентом усиления
осK (рис 3) Тогда эквивалентная передаточная функция sWэкв
неизменяемой части системы равна
10011
01
1
aKbsaKbsaKbsb
asasa
sWK
sWsW
ососm
mосmn
n
mm
mm
осэкв
(4)
Если коэффициент усиления K выбрать из условия
a
bKос
0
0
то свободный коэффициент (b0 - Koca0) полинома знаменателя sWэкв
обратится в нуль и sWэкв приобретает интегрирующие свойства
11
11
0
1
1
aKbsaKbsbs
asasasW
ос
m
mосm
n
n
m
m
m
mэкв
g(t) y(t)ε(t)
K W(s)-
g(t) y(t)
Ks W(s)-
ε(t)
51
Следовательно замкнутая система становится астатической (с
астатизмом 1-го порядка) Отсюда 0c =0 а коэффициент 1c будет
равен
aKb
bc
ос 11
01
ε(t)g(t) y(t)
W(s)-
Kос
Wэкв(s)
+
Рис 3 Схема САУ с местной неединичной обратной связью
32 Коррекция динамических свойств САУ
Улучшение динамических свойств САУ заключается в увеличе-
нии быстродействия САУ (уменьшении времени регулирования tрег)
уменьшении перерегулирования (см рис 4) а также увеличении
запасов устойчивости по фазе и по модулю При этом
h
hh
уст
устmax100
где maxh - максимальное значение переходной характеристики за-
мкнутой САУ th
устh - установившееся значение th
Время регулирования tрег - минимальная величина при которой удо-
влетворяется условие
устрег hth
где - заданная величина ошибки (обычно =005 устh )
52
h(t)
tрег
hустhmax
2δ
Рис 4 Быстродействие и перерегулирование САУ
Одним из эффективных средств достижения этой цели является
уменьшение отрицательных фазовых сдвигов в прямом тракте систе-
мы путем охвата неизменяемой части системы местными отрицатель-
ными обратными связями
На рис 5 R(s) представляет собой передаточную функцию регу-
лятора САУ которая считается заданной
ε(t)g(t) y(t)
W(s)-
Kос
Wэкв(s)
-
R(s)
u(t)
Рис 5 Схема САУ с местной обратной связью и регулятором
Пусть неизменяемая часть системы представляет собой аперио-
дическое звено первого порядка те
sT
K)s(W
10
0
Тогда передаточная функция sWэкв эквивалентного объекта
управления равна
sT
K
sWK
sWsW
экв
экв
осэкв
11
где зквK и эквT - коэффициент усиления и постоянная времени
эквивалентного объекта равные
53
KK
KK
осэкв
0
0
1
KK
TT
осэкв
0
0
1 (5)
Из (5) следует что соответствующим выбором осK постоянную
времени эквT эквивалентного объекта можно уменьшить в (1+ 0KKос )
раз по сравнении с постоянной времени 0T объекта без местной об-
ратной связи Тем самым уменьшаются отрицательные фазовые сдви-
ги вносимые прямым трактом системы что приводит к увеличению
запасов устойчивости системы При этом однако уменьшается в
(1+ 0KKос ) раз коэффициент усиления эквK эквивалентного объекта
по сравнению с коэффициентом усиления 0K объекта без местной
обратной связи Это нежелательно так как приводит к уменьшению
быстродействия системы вследствие уменьшения общего коэффици-
ента усиления прямого тракта системы В этом случае с целью обес-
печения необходимого быстродействия системы увеличивают коэф-
фициент усиления регулятора
4 Краткое описание MATLAB
Лабораторная работа выполняется в программе математического
моделирования MATLAB Программа MATLAB включает в себя пакет
прикладных программ для решения технических задач и одноименный
язык программирования используемый в этом пакете
Основными компонентами системы являются базовая система
MATLAB и пакет моделирования систем Simulink Остальные пакеты
расширения разбиты на 4 категории ndash расширения Extension MATLAB и
Extension Simulink а также комплексы пакетов расширения Blockset и
Toolbox
Раздел MATLAB Extension содержит средства для подготовки ис-
полняемых приложений MATLAB (с подключаемыми библиотеками и
без них)
Раздел Toolbox (инструментальные средства) содержит самое
большое число пакетов расширений системы MATLAB такие как
laquoControl systemraquo laquoDatabaseraquo laquoFuzzy logicraquo laquoWaveletraquo и тд
54
В разделе Blockset расположено несколько пакетов относящихся к
главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink такие как
laquoDSPraquo laquoFixed-Pointraquo laquoNonlinear control designraquo и laquoPower systemsraquo
В разделе Extension Simulink имеется ряд средств предназначен-
ных для моделирования в реальном масштабе времени и событийно-
управляемом моделировании
5 Задание на лабораторную работу
Выполнить исследование способов коррекции статических и
динамических свойств САУ Определить время регулирования и пе-
ререгулирования в исходной и скорректированной системах а также
для динамических свойств САУ определить запасы устойчивости в
исходной системе и найти экспериментально значение Kос обеспечи-
вающее в системе заданные показатели качества и запасы устойчиво-
сти Вариант задания назначается преподавателем
Таблица 1
Варианты заданий
варианта
Параметры
1
2
3
4
5
6
7
8
a 05 10 15 20 25 30 35 40
K0 1 2 3 4 5 6 7 8
T c 03 04 05 06 07 08 09 10
ξ 06 07 08 08 07 09 05 04
уст 0 0 005 0 010 007 0 0
tрег c le 13 15 20 25 30 35 40 40
le 0 10 10 5 5 5 0 0
В качестве исходных САУ выступают системы изображенные
на рис 6 и 7
55
ε(t)g(t) y(t)
W(s)-
g(t) y(t)
R(s) W(s)-
ε(t) u(t)
Рис 6 САУ с отрицательной Рис 7 САУ с отрицательной обратной
обратной связью связью и регулятором
6 Методика выполнения задания
При исследовании способов коррекции статических свойств
САУ в качестве исходных данных выступает передаточная функция
sW неизменяемой части системы вида
1222
0
sTsT
KsW (6)
и задающие воздействия вида ttg 1 в соответствии с таблицей 1
В процессе выполнения этой части работы необходимо
1) путем моделирования в системе MATLAB исходной САУ
(рис 6) получить графики ttytg
2) сравнить полученную таким образом экспериментальную ве-
личину t с теоретической величиной вычисленной по формуле (1)
3) применяя описанные в теоретической части методических
указаний способы коррекции статических свойств (см п 31) обес-
печить требуемую статическую ошибку εуст системы при отработке
задающего воздействия ttg 1
4) получить графики ty и t в скорректированной системе
для 1 ttg
5) сравнить время регулирования регt и перерегулирование в
исходной и скорректированной системах при 1 ttg
При исследовании рассмотренного способа коррекции динами-
ческих свойств САУ (см п 32) в качестве исходных данных высту-
пают передаточная функция sW неизменяемой части системы
вида (6) и передаточная функция регулятора вида
s
KsR
рег
56
Задающее воздействие ttg 1
В процессе выполнения данной части работы необходимо
1) получить путем моделирования в MATLAB графики ty t
в системе (рис 7)
2) определить время регулирования регt и перерегулирование
а также запасы устойчивости в исходной системе
3) применяя описанный выше способ коррекции динамических
свойств САУ найти экспериментально (путем последовательного пе-
ребора) значение осK обеспечивающее в системе заданные заданием
показатели качества ( регt ) и запасы устойчивости (при необхо-
димости увеличить коэффициент регK )
4) получить графики ty t а также ЛАХ и ЛФХ разомкну-
той системы в скорректированной САУ
7 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) титульный лист
б) структурные схемы исследуемых систем
в) полученные графики и характеристики
г) значения полученные экмпериментально которые
обеспечивают заданные показатели качества и запасы устойчивости
д) выводы обощающие проделанные эксперименты для
коррекции статических и динамических свойств САУ
е) ответы на контрольные вопросы
Контрольные вопросы 1 Дать определение статической и астатической САУ
2 Какими структурными свойствами системы определяется по-
рядок ее астатизма
3 Какой из двух приведенных выше способов придания системе
свойств астатизма 1-го порядка наиболее предпочтителен на
практике
4 Назовите основные показатели качества САУ Поясните их
смысл
5 В чѐм суть исследуемого способа коррекции динамических
свойств САУ
57
6 Назвать другие способы коррекции динамических свойств
САУ
7 Чем вызваны отрицательные фазовые сдвиги в неизменяемой
части САУ
58
Лабораторная работа 6
МЕТОД КОРНЕВОГО ГОДОГРАФА
1 Цель работы
Целью работы является построение корневого годографа и ис-
следование динамики системы с использованием автоматизирован-
ных средств моделирования на ПК ndash MATLABSIMULINK
2 Задачи работы
ndash Закрепление углубление и расширение знаний студентов при
исследование динамики системы
ndash Овладение навыком построения корневого годографа
ndash Приобретение умений и навыков работы с программой мате-
матического моделирования MATLAB
3 Теоретическая часть
Корневым годографом (КГ) называется совокупность траекто-
рий перемещения всех корней характеристического уравнения за-
мкнутой системы при изменении какого-либо параметра этой систе-
мы
Обычно метод КГ позволяет находить полюса и нули ПФ за-
мкнутой системы располагая полюсами и нулями разомкнутой си-
стемы при изменении коэффициента усиления разомкнутой системы
K
ПФ разомкнутой системы Wp(s) представим в следующем виде
)(
)(
1
1
0
n
ii
m
jj
p
ss
ssKC
sW (1)
где 0js ndash нули ПФ sWp )1( mj
is ndash полюса ПФ sWp
)1( nj n и m ndash порядки знаменателя и числителя C ndash коэффици-
ент представления (отношение коэффициентов при старших членах
числителя и знаменателя)
59
При замыкании системы с ПФ sWp единичной отрицатель-
ной обратной связью ПФ замкнутой системы sWз принимает вид
)(1
)(
sW
sWsW
p
pз
(2)
Из выражения (2) следует что нули ПФ замкнутой системы рав-
ны нулям ПФ разомкнутой системы
Для нахождения полюсов рассмотри выражение
01 sWp (3)
в соответствии с выражением (1) имеем
n
i
m
jjin
ii
m
jj
ssKCss
ss
ssKC
1 1
0
1
1
0
)()(01
)(
)(
(4)
На основании выражения (4) можно сказать что при K = 0 корни
характеристического уравнения совпадают с полюсами а при K = infin ndash
с нулями При изменении K от 0 до infin траектории корней начинаются
в полюсах и заканчиваются в нулях Обычно полюсов больше чем
нулей В этом случаем mn ветвей корневого годографа стремятся к
infin
Для определения полюсов замкнутой системы с отрицательной
обратной связью необходимо решить уравнение (его называют ос-
новным уравнением метода КГ)
1sWp (5)
Так как sWp является функцией комплексного переменного
s то уравнение (5) распадается на два уравнения уравнение модулей
1)( sWp (6)
60
и уравнение аргументов (фаза вектора -1 есть нечетное число π)
210)12()(arg sWp (7)
Как известно при умножении комплексных чисел их аргументы
складываются а при делении ndash вычитаются Поэтому исходя из вы-
ражения (1) уравнение (7) имеет наглядный геометрический смысл
Пусть точка s ndash полюс замкнутой системы Если провести в s
вектора из нулей sWp (обозначим аргументы этих векторов 0j ) и
вектора из всех полюсов sWp (обозначим аргументы этих векторов
i ) то уравнение (7) можно записать в следующем виде
m
j
n
iij
1 1
0 210)12( (8)
Углы q отсчитываются от положительного направления дей-
ствительной оси Знак угла laquo+raquo соответствует повороту против часо-
вой стрелки знак угла laquo-raquo соответствует повороту по часовой стрел-
ке
Таким образом любая точка КГ должна удовлетворять уравне-
нию (8) из которого следует что конфигурация КГ не зависит от ко-
эффициента усиления K но каждому конкретному значению K одно-
значно соответствуют точки на КГ
При умножении комплексных чисел их модули перемножаются
а при делении ndash делятся Поэтому на основании (6) можно записать
1
1
1
0
n
ii
m
jj
l
lKC
(9)
где 0jl ndash модуль (длина) вектора проведенного из j-нуля в точку s
КГ il ndash модуль вектора проведенного из i-полюса в ту же точку s
61
Таким образом траектории корней строятся только по уравне-
ниям фаз а уравнение модулей используется затем для нахождения
K
Сущность метода КГ заключается в том чтобы узнать каким
должен быть коэффициент усиления разомкнутой системы чтобы
было обеспечено желаемое положение корней замкнутой системы
Корневой годограф системы с отрицательной обратной связью
обладает следующими основными свойствами
1 Ветви КГ непрерывны и расположены на комплексной плос-
кости симметрично относительно действительной оси
2 Число ветвей КГ равно порядку системы n Ветви начинают-
ся в n полюсах разомкнутой системы при K=0 При возрастании K от
0 до infin полюса замкнутой системы двигаются по ветвям КГ
3 mветвей КГ при возрастании K от 0 до infin заканчиваются в m
нулях )(sWp а )( mn ветвей при K стремящемся к infin удаляются
от полюсов вдоль асимптот
4 При расположении ветвей корневого годографа в левой полу-
плоскости s САУ устойчива При пересечении ветвей КГ мнимой оси
слева направо САУ становится неустойчивой Пусть при K=Kкр
пере-
сечение КГ с мнимой осью произойдет в некоторой точке iωкр
Назо-
вем это значение коэффициента усиления критическим Kкр
а вели-
чину iωкр
критической угловой частотой на которой система стано-
вится неустойчивой
4 Краткое описание MATLAB
Лабораторная работа выполняется в программе математического
моделирования MATLAB Программа MATLAB включает в себя пакет
прикладных программ для решения технических задач и одноименный
язык программирования используемый в этом пакете
Основными компонентами системы являются базовая система
MATLAB и пакет моделирования систем Simulink Остальные пакеты
расширения разбиты на 4 категории ndash расширения Extension MATLAB и
Extension Simulink а также комплексы пакетов расширения Blockset и
Toolbox
Раздел MATLAB Extension содержит средства для подготовки ис-
полняемых приложений MATLAB (с подключаемыми библиотеками и
без них)
62
Раздел Toolbox (инструментальные средства) содержит самое
большое число пакетов расширений системы MATLAB такие как
laquoControl systemraquo laquoDatabaseraquo laquoFuzzy logicraquo laquoWaveletraquo и тд
В разделе Blockset расположено несколько пакетов относящихся к
главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink такие как
laquoDSPraquo laquoFixed-Pointraquo laquoNonlinear control designraquo и laquoPower systemsraquo
В разделе Extension Simulink имеется ряд средств предназначен-
ных для моделирования в реальном масштабе времени и событийно-
управляемом моделировании
5 Корневой годограф в MATLAB
В системе MATLAB существует команда zpk для преобразова-
ния модели заданной ПФ в модель заданную нулями полюсами и
обобщенными коэффициентами передачи (zpk-форма)
Пример
gtgt w=tf([10][2 2 3 1 0])
Transfer function
10
-------------------------------
2 s^4 + 2 s^3 + 3 s^2 + s
gtgt w1=zpk(w)
Zeropolegain
5
----------------------------------------------
s (s+03966) (s^2 + 06034s + 1261)
Для работы с корневым годографом удобно использовать гра-
фический интерфейс laquoSISO-Design Toolraquo предназначенный для ана-
лиза и синтеза одномерных линейных систем автоматического управ-
ления (SISO ndash Single Input Signal Output)
Запуск SISO-Design Tool осуществляется командой
gtgt sisotool
63
В появившемся окне графического интерфейса необходимо ис-
пользовать команду laquoFileImportraquo для загрузки данных из рабочего
пространства MATLAB в результате которой появляется диалоговое
окно Import System Data (рис 1)
Рис 1 Диалог для ввода параметров модели
После импортирования данных можно исследовать изменение
временных и частотных характеристик замкнутой системы при изме-
нении K Обычно при этом требуется определить условия неустойчи-
вости замкнутой САУ Определить Kкр
и iωкр
На рис 2 показано окно sisotool для описанной выше модели w1
Двигая красным курсором по КГ до пересечения ветвей с мнимой
осью можно определить значения Kкр
В данном случае Kкр
asymp 01
Значение iωкр
соответствует мнимой координате пересечения КГ
мнимой оси Просмотреть это значение можно в нижней части ин-
терфейса или выбрать меню laquoView Closed-Loop Polesraquo
64
Рис 2 Основное окно SISO-Design Tool
6 Задание на лабораторную работу
Построить КГ в соответствии с вариантом из табл 1 при помо-
щи графического интерфейса sisotool
Исследовать динамику замкнутой системы при различных зна-
чениях коэффициента усиления разомкнутой системы K в том числе
ndash запасы устойчивости в частотной области
ndash параметры переходного процесса во временной области
Таблица 1
Варианты передаточных функций
Значения параметров Передаточная функция
разомкнутой системы
1 T = 01 ζ = 1
)12( 22 sTsTs
K
2 T = 005 ζ = 0707
3 T = 003 ζ = 01
4 T = 008 ζ = 05
5 T = 001 ζ = 015
65
Окончание табл 1
Значения параметров Передаточная функция
разомкнутой системы
6 T1 = 003 T2 = 05 T3 = 01 T4 = 005
)1)(1)(1(
)1(
432
1
sTsTsTs
sTK
7 T1 = 005 T2 = 04 T3 = 008 T4 = 0033
8 T1 = 02 T2 = 045 T3 = 01 T4 = 005
9 T1 = 05 T2 = 025 T3 = 01 T4 = 002
10 T1 = 01 T2 = 025 T3 = 01 T4 = 005
Вариант задания назначается преподавателем
7 Методика выполнения задания
Порядок выполнения лабораторной работы
1 Задать передаточную функцию в MATLAB в соответствии с
вариантом коэффициент K задать любым положительным числом
2 Запустить SISO-Design Tool и осуществить ввод данных
Построить КГ
3 По КГ определить значения коэффициента K когда система
будет устойчивой на границе устойчивости и неустойчива
4 Выбрать значение коэффициента K таким образом чтобы си-
стемы была устойчива и определить запас устойчивости в частотной
области и параметры переходного процесса во временной области
8 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) титульный лист
б) передаточную функцию и этапы построения КГ
в) анализ результатов построения КГ
г) выводы по проделанной работе
д) ответы на контрольные вопросы
Контрольные вопросы 1 Дать определение КГ
2 Что обычно позволяет находить метод КГ
3 В чем заключается сущность метода КГ
4 Что можно определить по КГ
66
Критерии результативности лабораторного практикума
Лабораторная работа считается выполненной если студент
ndash выполнил все указанные задания
ndash представил отчет соответствующий всем требованиям к его
содержанию и оформлению
ndash владеет терминологией и материалом лабораторной работы
ndash способен использовать программное средство математическо-
го моделирования MATLAB
ndash способен предоставить и рассказать результаты выполненной
работы на ПК
ndash может дать пояснения к отчету и ответить на контрольные
вопросы
Список литературы
1 Александров АГ Частотная теория автоматического управле-
ния учебное пособие ndash Электросталь ЭПИ МИСиС 2010
2 Борисевич АВ Теория автоматического управления элементар-
ное введение с применением MATLAB ndash СПб Изд-во Политехн ун-
та 2011
3 Федоров ВЛ Бубнов АВ Теория автоматического управления
учебное пособие ndash Омск Изд-во ОмГТУ 2010
4 Павловская ОО Чернецкая ИВ Теория автоматического
управления учебное пособие ndash Челябинск Изд-во ЮУрГУ 2010
67
Составители ЛЯНЦЕВ Олег Дмитриевич КАЗАНЦЕВ Андрей Валерьевич
ИССЛЕДОВАНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК СИСТЕМ
АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
Лабораторный практикум
по дисциплине
laquoТеория управленияraquo
Подписано в печать Формат 60х84 116 Бумага офсетная Пе-
чать плоская Гарнитура Times New Roman Усл печ л 56 Уч-изд л
55 Тираж 100 экз Заказ
ФГБОУ ВПО Уфимский государственный авиационный технический
университет
Центр оперативной полиграфии УГАТУ
450000 Уфа-центр ул К Маркса 12
8
Лабораторная работа 1
ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗВЕНЬЯ И ИХ ХАРАКТЕРИСТИКИ
ВО ВРЕМЕННОЙ ОБЛАСТИ
1 Цель работы
Целью работы является изучение временных характеристик ти-
повых динамических звеньев с использованием автоматизированных
средств моделирования на ПК ndash MATLAB SIMULINK
2 Задачи работы
ndash Закрепление углубление и расширение знаний студентов при
исследовании временных характеристик динамических звеньев
ndash Приобретение умений и навыков работы с программой мате-
матического моделирования MATLAB
ndash Выработка способности логического мышления осмысление
полученных данных переходных процессов
3 Теоретическая часть Рассматривается система автоматического управления (САУ)
описываемая линейным дифференциальным уравнением вида
)()()()(
)()()()(
011
1
1
011
1
1
tubdt
tdub
dt
tudb
dt
tudb
tyadt
tdya
dt
tyda
dt
tyda
m
m
mm
m
m
n
n
nn
n
n
(1)
где u(t) ndash входной процесс y(t) ndash выходной процесс ai bi ndash постоян-
ные коэффициенты п т (п ge т) ndash постоянные числа
Если ввести обозначение р для оператора дифференцирования
p=ddt то можно записать (1) в операторной форме
)(
)(
011
1
011
1
ubpbpbpb
yapapapa
mm
mm
nn
nn
(2)
откуда получается
9
)()(
)(pW
pA
pB
u
y
где А(р) и В(р) ndash полиномы из формулы (2)
Выражение (2) по виду совпадает с определением ПФ как от-
ношения преобразования по Лапласу выходной переменной к преоб-
разованию по Лапласу входной переменной при нулевых начальных
условиях
)()(
)(
)(
)(sW
sA
sB
su
sy (3)
где s ndash комплексная переменная
Комплексные числа являющиеся корнями многочлена B(s)
называются нулями передаточной функции а корни многочлена А(s) ndash
полюсами
Описание типовых динамических звеньев приведено в
табл 1 Таблица 1
Типовые динамические звенья
Название звена Передаточная функция звена
1
Интегрирующее
s
KsW )(
2
Дифференцирующее
KssW )(
3
Усилительное
(безынерционное)
KsW )(
4
Апериодическое 1-го
порядка (инерционное)
1)(
Ts
KsW
5
Апериодическое 2-го
порядка (все корни веще-
ственные)
21
122
2
21
)( TTsTsT
KsW
10
Окончание табл 1
Название звена Передаточная функция звена
6
Колебательное
21
122
2
21
)( TTsTsT
KsW
7
Форсирующее
)1()( TsKsW
8
Интегрирующее
с запаздыванием
(реальное интегрирующее)
)1()(
Tss
KsW
9
Дифференцирующее
с запаздыванием
(реальное дифференцирую-
щее)
1)(
Ts
KssW
10
Инерционно-форсирующее
звено
1
)1()(
0
1
sT
sTKsW
11
Изодромное
s
TsKsW
)1()(
часто используется описание колебательного звена в виде
2
12
)(2
1222 T
TTT
TssT
KsW
Временные характеристики динамического звена представляют
собой зависимость выходного сигнала системы от времени при подаче
на ее вход некоторого типового воздействия Обычно выполняется
анализ выхода системы на единичный скачок (функция Хевисайда) и
импульсную функцию (функция Дирака или δ-функция)
Единичный скачок 1(t) определяется условиями
01
00)(1
tпри
tприt
Реакция САУ на единичный скачок называется переходной
11
функцией системы и обозначается h(t) При неединичном ступенчатом
воздействии g(t)=N1(t) где N = const в соответствии с принципом
суперпозиции выходная реакция системы будет )()( tNhty
Импульсная функция δ(t) определяется условиями
00
0)(
tпри
tприt
Очевидно )(1)( tt
Реакция САУ на импульсную функцию называется импульсной
переходной функцией системы (функцией веса) и обозначается w(t)
Импульсная и переходная функции системы связаны
соотношением
)()(0
dwtht
4 Краткое описание MATLAB
Лабораторная работа выполняется в программе математического
моделирования MATLAB Программа MATLAB включает в себя пакет
прикладных программ для решения технических задач и одноименный
язык программирования используемый в этом пакете
Основными компонентами системы являются базовая система
MATLAB и пакет моделирования систем Simulink Остальные пакеты
расширения разбиты на 4 категории ndash расширения Extension MATLAB и
Extension Simulink а также комплексы пакетов расширения Blockset и
Toolbox
Раздел MATLAB Extension содержит средства для подготовки ис-
полняемых приложений MATLAB (с подключаемыми библиотеками и
без них)
Раздел Toolbox (инструментальные средства) содержит самое
большое число пакетов расширений системы MATLAB такие как
laquoControl systemraquo laquoDatabaseraquo laquoFuzzy logicraquo laquoWaveletraquo и тд
В разделе Blockset расположено несколько пакетов относящихся к
12
главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink такие как
laquoDSPraquo laquoFixed-Pointraquo laquoNonlinear control designraquo и laquoPower systemsraquo
В разделе Extension Simulink имеется ряд средств предназначен-
ных для моделирования в реальном масштабе времени и событийно-
управляемом моделировании
5 Моделирование передаточных функций в MATLAB
В пакете MATLAB имеется два основных варианта для исследо-
вания передаточных функций и моделирования САУ
- использование команд пакета расширения Control System
Toolbox
- использование пакета Simulink
Control System Toolbox предназначен для работы с LTI-моделями
систем управления
Команда создающая LTI-систему с одним входом и одним вы-
ходом в виде передаточной функции имеет следующий синтаксис
])[]([ 011011 aaaabbbbtf nnmm
где 011 bbbb mm и 011 aaaa nn ndash значения коэффициентов
полиномов В и А в (3)
Например если требуется описать ПФ вида
582
12
ss
sW
и узнать значения ее нулей и полюсов то нужно ввести в окне команд
MatLab следующие команды
gtgt w=tf([1 1][2 8 5])
gtgt zero(w)
gtgt pole(w)
Исследовать реакцию LTI-модели на типовые входные воздей-
ствия можно с помощью команд
gtgt step(w)
gtgt impulse(w)
Можно получить на одном графике реакцию сразу нескольких
динамических звеньев если использовать команды вида
gtgt step(w w1 w2)
gtgt impulse(w w1 w2)
13
В приведенных примерах время моделирования выбирается ав-
томатически При необходимости его можно явно указать в команде
gtgtstep(w w1 w2t)
где t - время моделирования в секундах
Рис 1 Исследование реакции колебательного звена
На рис 1 показан пример моделирования динамики колебатель-
ного звена при различных параметрах
gtgt w=tf([1][2 03 1])
gtgt w1=tf([1][2 05 1])
gtgt w2=tf([1][2 01 1])
gtgt step(ww1w250)
В Simulink ПФ можно описать с помощью блока Transfer Fcn в
разделе библиотеки Continuous Для подачи типовых воздействий
надо использовать блок Step из раздела Sources Импульсную пере-
ходную характеристику звена можно получить подавая на вход им-
пульс маленькой длительности и большой амплитуды (приближение
δ-функции) при нулевых начальных условиях
6 Задание на лабораторную работу
С помощью пакета MATLAB построить реакцию каждого типо-
вого звена с параметрами своего варианта (см табл 2) на ступенчатое и
импульсное входное воздействие Определить влияние коэффициен-
тов входящих в описание каждого звена на параметры переходного
процесса Вариант задания назначается преподавателем
14
Таблица 2
Варианты заданий
Апери-
од зве-
но
Апериодич звено
2 пор (колеб
звено)
Ин-
тегр
звено
Изодр
звено
Реальное
диф звено
Инерц-
форс
звено
K T K T2 (T) T1( ξ ) K K T K T K T0 T1
1 3 02 3 02 20
(02)
3 3 05 3 04 3 2 08
2 4 03 4 03 15
(015)
4 4 1 4 03 4 3 12
3 5 04 5 04 25
(025)
5 5 08 5 05 5 4 15
4 6 05 6 05 16
(03)
6 6 2 6 10 6 5 20
5 7 06 7 06 28
(02)
7 7 3 7 08 7 6 20
6 8 07 8 07 22
(008)
8 8 35 8 10 8 7 20
7 9 08 9 08 21
(007)
9 9 1 9 09 9 8 30
8 10 10 10 10 30
(01)
10 10 20 10 20 10 10 40
7 Методика выполнения задания
Порядок выполнения работы
1 Задать передаточную функцию типового динамического звена
в MATLAB используя параметры приведенные в табл 2
2 Варьируя коэффициент динамического звена увеличивая его в
2 раза ndash получить вторую ПФ затем уменьшить исходный коэффици-
ент в 2 раза и получить третью ПФ
3 Построить на одном графике реакцию получившихся динами-
ческих звеньев на единичный скачок
4 Построить на одном графике реакцию получившихся динами-
ческих звеньев на импульсную функцию
5 Выполнить пп 2-4 для всех коэффициентов динамического
звена
6 Выполнить пп 1-5 для всех динамических звеньев
7 Подготовить ответы на контрольные вопросы
15
8 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) титульный лист
б) передаточные функции и схемы моделирования исследуемых
звеньев
в) экспериментально полученные характеристики при вариа-
ции параметров каждого звена
г) выводы обобщающие проделанные эксперименты по каждо-
му звену
д) ответы на контрольные вопросы
Контрольные вопросы
1 Что называется передаточной функцией
2 Что называется переходной и импульсной (весовой)
функциями Какова связь между ними
3 Как пользуясь временными характеристиками определить
параметры (коэффициенты передаточной функции) звена
Пояснить на конкретных примерах
4 Перечислите динамические характеристики САУ
5 Что называется характеристическим уравнением
16
Лабораторная работа 2
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СТРУКТУРНЫХ СХЕМ
1 Цель работы
Целью работы является изучение структурных преобразований и
нахождения передаточных функций с использованием автоматизиро-
ванных средств моделирования на ПК ndash MATLAB SIMULINK
2 Задачи работы
ndash Закрепление углубление и расширение знаний студентов при
исследовании преобразований структурных схем
ndash Приобретение умений и навыков работы с программой мате-
матического моделирования MATLAB
ndash Овладение несколькими методами преобразования структур-
ных схем
3 Теоретическая часть
Для наглядного представления сложной системы как совокупно-
сти элементов и связей между ними используются структурные
схемы
Структурной схемой называется схема САУ изображенная в
виде соединения ПФ составляющих ее звеньев
Структурная схема показывает строение автоматической систе-
мы наличие внешних воздействий и точки их приложения пути рас-
пространения воздействий и выходную величину Динамическое или
статическое звено изображается прямоугольником в котором указы-
вается ПФ звена Воздействия на систему и влияние звеньев друг на
друга (сигналы) изображаются стрелками В каждом звене воздей-
ствие передается только от входа звена к его выходу
На динамическое звено может воздействовать лишь одна вход-
ная величина поэтому используются блоки суммирования и сравне-
ния сигналов Суммироваться и сравниваться могут лишь сигналы
одной и той же физической природы
Структурная схема может быть составлена по уравнению систе-
мы в пространстве состояний или по системе дифференциальных
уравнений При составлении структурной схемы удобно начинать с
изображения задающего воздействия и располагать динамические
17
звенья составляющие прямую цепь системы слева направо до регу-
лируемой величины Тогда основная обратная связь и местные обрат-
ные связи будут направлены справа налево
Различные способы преобразования структурных схем облегча-
ют определение ПФ сложных САУ и дают возможность привести
многоконтурную систему к эквивалентной ей одноконтурной схеме
Преобразование структурной схемы должно осуществляться на
основании правил основные из них приведены в табл 1
При выполнении преобразований следует каждое имеющееся в
схеме типовое соединение заменить эквивалентным звеном Затем
можно выполнить перенос точек разветвления и сумматоров чтобы в
преобразованной схеме образовались новые типовые соединения зве-
ньев Эти соединения опять заменяются эквивалентными звеньями
затем вновь может потребоваться перенос точек разветвления и
сумматоров и т д
Различают основные соединения блоков в структурных схемах
последовательное соединение параллельное соединение антипарал-
лельное соединение (обратная связь) в свою очередь обратная связь
может быть отрицательной и положительной Таблица 1
Основные правила преобразования структурных схем
Преобразование
Структурная схема
Исходная Эквивалентная
Свертывание
последовательного
соединения
W1 W2 Wnu y
Wu y
nWWWW 21
Свертывание
параллельного
соединения
Wn
W2
W1
u y
Wu y
nWWWW 21
Свертывание
обратной связи
W1u plusmn y
W2
Wu y
21
1
1 WW
WW
18
Окончание табл 1
Преобразование
Структурная схема
Исходная Эквивалентная
Перенос узла через
звено вперед
Wu y
x
Wu y
xW1
WW
11
Перенос узла через
звено назад
Wu y
y
Wu y
yW
Перенос сумматора
через звено вперед
Wu1 y
u2
plusmn
Wu1 y
u2
plusmn
W
Перенос сумматора
через звено назад
Wu1 y
u2
plusmn
Wu1 y
u2
plusmn
W1
WW
11
Перенос прямой
связи через звено W2yu
plusmnW1
W3
W2 yu
plusmnW1
W3 W2
Перенос узла через
сумматор вперед
x1
+
- y
x1
x2
x1
+
- y
x1x2
+
+
Перенос узла через
сумматор назад
x1
+
- y
x2
y
x1
+
- y
x2y
+
-
Пример Пусть необходимо получить эквивалентное представ-
ление для структуры приведенной на рис 1
19
W1
W2 W3
W4
W5 W6
W7
+
+
+
-
Рис 1 Исходная схема САУ
Преобразование включает несколько этапов показанных на рис 2ndash5
W1
W2 W3
W4
W5 W6
W7
+
+
+
-
1W6
Рис 2 Перенос узла через звено вперед
567
659
1 WWW
WWW
6
48
W
WW
Рис 3 Свертывание обратной связи и последовательного соединения
2110 WWW
983
9311
1 WWW
WWW
Рис 4 Свертывание обратной связи и Рис 5 Свертывание последователь-
параллельного соединения ного соединения
W10 W11 WЭкв
543765
653265311110
1 WWWWWW
WWWWWWWWWWWЭкв
W1
W2
W8
W3 W9
+
+
20
Таким образом первый способ преобразования структурных
схем заключается в непосредственном использовании правил приве-
денных в табл1 Неудобство использования этого подхода заключа-
ется в том что порядок применения формул здесь достаточно произ-
волен возможны ошибочные шаги усложняющие поиск решения
Второй способ для получения ПФ многоконтурной системы за-
ключается в использовании модели системы в виде сигнального
графа
Сигнальный граф позволяет графически описать линейные связи
между переменными он состоит из узлов (вершин) и соединяющих их
направленных ветвей
Ветвь соответствует блоку структурной схемы она отражает за-
висимость между входной и выходной переменными Сумма всех
сигналов входящих в узел образует соответствующую этому узлу
переменную
Последовательность ветвей между двумя узлами называется пу-
тем Контуром называется замкнутый путь который начинается и
заканчивается в одном и том же узле причем ни один узел не встре-
чается на этом пути дважды
Контуры называются некасающимися если они не имеют общих
узлов
Сигнальный граф ndash это просто наглядный метод записи системы
алгебраических уравнений показывающий взаимосвязь между пере-
менными
r1
r2
a11
a22
x1
x2
a12a21
Рис 6 Сигнальный граф для двух алгебраических выражений
В качестве примера рассмотрим следующую систему алгебраи-
ческих уравнений
21
11212111 xrxaxa (1)
22222121 xrxaxa (2)
здесь r1 и r2 ndash входные переменные а x1 и x2 ndash выходные переменные
Сигнальный граф соответствующий уравнениям (1) и (2) изображен
на рис 6 Уравнения (1) и (2) можно записать в ином виде
1122111 )()1( raxax
2222211 )1()( raxax
Решая последнюю систему по правилу Крамера получим
212
122
21122211
2121221
)1(
)1)(1(
)1(r
ar
a
aaaa
rarax
121
211
21122211
1212112
)1(
)1)(1(
)1(r
ar
a
aaaa
rarax
В этих решениях знаменатель равен определителю составлен-
ному из коэффициентов при неизвестных и его можно записать так
21122211221121122211 1)1)(1( aaaaaaaaaa
В данном случае знаменатель равен единице минус коэффици-
енты передачи отдельных контуров a11 a22 и a12a21 плюс произведе-
ние коэффициентов передачи двух некасающихся контуров a11 и a22
Контуры a22 и a12a21 являются касающимися так же как и контуры a11
и a21a12
В решении для x1 по отношению ко входу r1 числитель равен
единице умноженной на (1-a22) те значение определителя некаса-
ющегося пути от r1 к x1 В решении для x1 по отношению ко входу
r2числитель просто равен a12 тк этот путь касается всех контуров
Числитель выражения x2 симметричен соответствующему числителю
для x1
В общем случае линейная зависимость Tij между независимой
переменной xi (часто называемой входной переменной) и зависимой
переменной xj определяется по формуле Мейсона
22
k
ijkijk
ij
P
T
где Pijk ndash коэффициент передачи k-го пути от переменной xi к пере-
менной xj Δ ndash определитель графа Δijk ndash дополнительный множитель
для пути Pijk а суммирование производится по всем возможным k пу-
тям от xi до xjДополнительный множитель Δijk равен определителю
всех касающихся контуров при удалении k-го пути
Определитель находится как
QM
qm
LSR
lsrlsrqm
K
kk LLLLLL
11
1111
1
где Kk kL
1ndash сумма коэффициентов передачи всех отдельных конту-
ров QM
qm qmLL
11ndash сумма произведений всех возможных комбина-
ций из двух некасающихся контуров LSR
lsr lsr LLL
111ndash сумма про-
изведений всех возможных комбинаций из трех некасающихся кон-
туров
Таким образом правило вычисления Δ через значение L1 L2
L3hellipLN таково Δ = 1- (сумма коэффициентов передачи всех отдель-
ных контуров) + (сумма произведений всех возможных комбинаций
из 2 некасающихся контуров) ndash (сумма произведений всех возмож-
ных комбинаций из 3 некасающихся контуров) +hellip
Формула Мейсона часто используется в несколько упрощенном
виде для определения связи между выходной переменной Y(s) и
входной переменной X(s) те
)()(
)( 1
N
iiiP
sWsX
sY
где Pi ndash i-й путь от входа к выходу N ndash количество путей Δ ndash опреде-
литель графа специальный полином который определенным образом
характеризует совокупность всех замкнутых цепей системы содер-
жащих обратные связи и вычисляется как сумма передаточных
функций разомкнутых контуров этих цепей и произведений
23
передаточных функций разомкнутых контуров пар троек и тд не со-
прикасающихся друг с другом цепей с обратными связями Δi ndash до-
полнительный множитель для пути составляется по правилу анало-
гичному Δ но только для цепей с обратными связями не соприкаса-
ющихся с i-м прямым каналом
Дополнительный множитель для i-го пути равен определителю
графа в котором приравнены нулю коэффициенты передачи конту-
ров касающихся этого пути
Рассмотрим пример получения ПФ многоконтурной системы с
использованием формулы Мейсона для структуры на рис 1 которая
соответствует графу показанному на рис 7
X(s) Y(s)W1
W2
W3 W5 W6
W4 -W7
Рис 7 Описание системы управления сигнальным графом
От входа к выходу ведут два пути
65311 WWWWP
65322 WWWWP
В графе есть 2 контура
5431 WWWL
7652 WWWL
Контур L1 пересекает контур L2 поэтому определитель графа
вычисляется по формуле
)(1 21 LL
Контуры в этом примере пересекают все пути поэтому допол-
нительные множители путей равны
24
11
12
Окончательно можно записать
1
)(543765
65326531
2
1
WWWWWW
WWWWWWWWP
sW iii
Таким образом использование сигнальных графов и применение
формулы Мейсона позволяет алгоритмизировать процесс упрощения
структурной схемы
Третий способ для получения ПФ заключается в составлении
системы уравнений Необходимо обозначить выходы сумматоров и
составить систему уравнений на основе этих обозначений На рис9
представлена исходная схема с обозначенными сумматорами
W1
W2 W3
W4
W5 W6
W7
+
+
+
-
Z H
u y
Рис 9 Исходная схема САУ с обозначенными сумматорами
Опишем все сигналы в системе в виде уравнений
)( 4521 HWWuWWZ
73 yWZWH
65 HWWy
Подставив последовательно значения сигналов найдем ПФ
))(( 734521 yWWHWWuWWH
После преобразования получим
25
1
)(
543
73231
WWW
yWuWWWWH
Подставим полученное значение H в уравнение y
1
))((
543
6573231
WWW
WWyWuWWWWy
Получим ПФ вида
1
)(543765
65326531
WWWWWW
WWWWWWWW
u
ypW
4 Краткое описание MATLAB
Лабораторная работа выполняется в программе математического
моделирования MATLAB Программа MATLAB включает в себя пакет
прикладных программ для решения технических задач и одноименный
язык программирования используемый в этом пакете
Основными компонентами системы являются базовая система
MATLAB и пакет моделирования систем Simulink Остальные пакеты
расширения разбиты на 4 категории ndash расширения Extension MATLAB и
Extension Simulink а также комплексы пакетов расширения Blockset и
Toolbox
Раздел MATLAB Extension содержит средства для подготовки ис-
полняемых приложений MATLAB (с подключаемыми библиотеками и
без них)
Раздел Toolbox (инструментальные средства) содержит самое
большое число пакетов расширений системы MATLAB такие как
laquoControl systemraquo laquoDatabaseraquo laquoFuzzy logicraquo laquoWaveletraquo и тд
В разделе Blockset расположено несколько пакетов относящихся к
главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink такие как
laquoDSPraquo laquoFixed-Pointraquo laquoNonlinear control designraquo и laquoPower systemsraquo
В разделе Extension Simulink имеется ряд средств предназначен-
ных для моделирования в реальном масштабе времени и событийно-
управляемом моделировании
26
5 Структурные преобразования в MATLAB
В пакете MATLAB имеется ряд функций с помощью которых
можно выполнять структурные преобразования (используется экви-
валентная схема)
ndash series(w1w2) ndash последовательное соединение звеньев
ndash parallel(w1w2) ndash параллельное соединение звеньев
ndash feedback(w1w2) ndash включение звена w2 в контур отрицательной об-
ратной связи к w1
ndash feedback(w1w2sign) ndash включение звена w2 в контур обратной связи
звена w1 с указанием знака + или ndash (очевидно feedback(w1w2)=
=feedback(w1w2-1))
Пример
Даны две передаточные функции
22
221
ss
sW
22
322
2
2
ss
ssW
Опишем ПФ введя в окне команд MatLab следующие команды
gtgt w1=tf([1 2][1 2 2])
gtgt w2=tf([1 2 3][1 2 2])
Выполним структурные преобразования для данных ПФ
gtgt w2=series(w1w2)
Transfer function
s^3 + 4 s^2 + 7 s + 6
------------------------------------
s^4 + 4 s^3 + 8 s^2 + 8 s + 4
gtgt w3=parallel(w1w2)
Transfer function
s^4 + 5 s^3 + 13 s^2 + 16 s + 10
----------------------------------------
s^4 + 4 s^3 + 8 s^2 + 8 s + 4
27
gtgt w4=feedback(w1w2)
Transfer function
s^3 + 4 s^2 + 6 s + 4
----------------------------------------
s^4 + 5 s^3 + 12 s^2 + 15 s + 10
Для проверки правильности проведенных преобразований необ-
ходимо собрать схему исходной САУ и соответствующую ей эквива-
лентную схему в MATLAB Simulink
Исходная схема САУ собирается как модель из соответствую-
щих элементов таких как laquoTransfer Fncraquo laquostepraquo laquosignal builderraquo
laquoscoperaquo и laquosumraquo Все эти элементы находятся в пакете laquoSimulinkraquo и
представлены в виде блоков Для того чтобы создать новую модель
необходимо нажать laquoFile-gtNew-gtModel (Simulink)raquo после откроется
окно модели в которую нужно будет добавлять элементы из библио-
теки для доступа к ней необходимо нажать на значок laquoLibrary Brows-
erraquo
Описание используемых элементов из пакета Simulink
1 Transfer Fnc ndash передаточная функция
2 Step ndash единичный скачок (функция Хэвисайда) в блоке необходи-
мо задать время начала перехода (step time)
3 Signal builder ndash блок для моделирования сигнала по заданным па-
раметрам (можно построить единичный скачок и импульсную функ-
цию)
4 Scope ndash виртуальный осциллограф отображает получившийся гра-
фик открывается двойным щелчком левой клавиши мыши и для кор-
рекции масштаба необходимо нажать правой кнопкой по графику и
из выпадающего меню выбрать laquoautoscaleraquo
5 Sum ndash сумматор в параметрах задается число сигналов соответ-
ственно laquo+raquo - положительный laquondashraquo - отрицательный
Так же нужно задать время работы модели для этого необходи-
мо выбрать laquoSimulation-gtSimulation parametersraquo и установить пара-
метр laquostop timeraquo на нужное значение и после необходимо запустить
модель на выполнение нажав на значок laquoStart simulationraquo Пример
модели составленной в MATLAB представлен на рис 10
28
Рис 10 Пример схемы САУ с блоком laquosignal builderraquo
Задача считается решенной если при подаче на вход обоих
схем одинаковых тестовых воздействий (единичный скачок импуль-
сная функция) наблюдаются одинаковые выходные сигналы
6 Задание на лабораторную работу
Выполнить преобразование структурной схемы САУ в эквива-
лентную передаточную функцию Составить модель исходной схемы
САУ в MATLAB С помощью ряда функций MATLAB (структурные
преобразования) составить эквивалентную схему Вариант задания
назначается преподавателем
7 Методика выполнения задания
Порядок выполнения работы
1 Выполнить преобразование заданного варианта структурной
схемы САУ (см табл 2) в эквивалентную ПФ тремя способами
ndash непосредственно используя правила табл 1
ndash используя представление в виде сигнального графа и формулу
Мейсона
ndash составив систему уравнений и решив еѐ
2 В качестве звеньев W1W2W3 использовать передаточные
функции звеньев представленных в табл 2
3 Составить модель исходной схемы САУ в MATLAB постро-
ить реакцию получившейся модели на ступенчатое и импульсное
воздействия
4 С помощью ряда функций MATLAB (структурные преобразо-
вания) составить эквивалентную схему и построить реакцию на сту-
пенчатое и импульсное воздействия
5 Подготовить ответы на контрольные вопросы
29
Таблица 2
Варианты структур САУ
Исходная схема
Передаточные
функции
1 W1
W3
W2
-
+
-
+
u y
+
1
31
sW
2
442
s
sW
12
133
s
sW
2 W1
W3
W2
-
+
-
+
u y
+ +
3 W3
W2
W1
-
+
-
+
u y
+ +
4 W3
W1
W2
+
+
-
+
u y
+ +
1
21
sW
2
12
sW
12
13
s
sW
5
W1
W3
W2
-
+
-
+
u y
+ +
6
W1
W3
W2
-
+
-
+
u y
+
62
31
sW
2
52
sW
1
23
s
sW
7
W1
W3
W2
-
+
-
+
u y
+ +
8
W1
W2
W3
-
+
-
+
u y
+ +
30
8 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) описание всех этапов преобразования исходной схемы и по-
лучающихся промежуточных результатов выполненными тремя спо-
собами моделирование реакции схемы на типовое воздействие (ска-
чок) до и после преобразования
б) сигнальный граф системы описание путей контуров расчет
ПФ по формуле Мейсона
в) решение составленной системы уравнений
г) схема модели и протокол команд MATLAB
д) графики переходных процессов при подаче на вход исходной
и эквивалентной схемы типовых тестирующих воздействий (скачок
импульс)
е) ответы на контрольные вопросы
Контрольные вопросы
1 Что называется структурной схемой Какие задачи можно
решить с еѐ помощью
2 Как может быть составлена структурная схема
3 Что позволяет алгоритмизировать процесс упрощения струк-
турной схемы Поясните на конкретном примере
31
Лабораторная работа 3
ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
ДИНАМИЧЕСКИХ ЗВЕНЬЕВ
1 Цель работы
Целью работы является изучение частотных характеристик ти-
повых динамических звеньев с использованием автоматизированных
средств моделирования на ПК ndash MATLAB SIMULINK
2 Задачи работы
ndash Закрепление углубление и расширение знаний студентов при
исследовании частотных характеристик динамических звеньев
ndash Приобретение умений и навыков работы с программой мате-
матического моделирования MATLAB
ndash Выработка способности логического мышления осмысление
полученных данных частотных характеристик
3 Теоретическая часть Сущность метода частотных характеристик заключается в том
что на вход исследуемой системы подается гармонический сигнал (си-
нусоидальные колебания) в широком диапазоне частот Реакция си-
стемы при разных частотах позволяет судить о ее динамических
свойствах
Пусть входной сигнал системы имеет амплитуду а и частоту ω т е
описывается формулой
)sin( tax
Выходной сигнал будет иметь амплитуду А1 и отличаться от вход-
ного по фазе на величину ψ (фазовый сдвиг)
)sin(1 tAy
Таким образом можно рассчитать усиление по амплитуде
1
a
AA
32
Для каждой частоты входного сигнала ω будут свои А и ψ
Изменяя ω в широком диапазоне можно получить зависимость
А(ω) ndash амплитудную частотную характеристику (АЧХ) и ψ(ω) ndash фазо-
вую частотную характеристику (ФЧХ)
Главное достоинство метода частотных характеристик заключа-
ется в том что АЧХ и ФЧХ объекта могут быть получены экспери-
ментально Для этого необходимо иметь генератор гармонических
колебаний который подключается к входу объекта и измеритель-
ную аппаратуру для измерения амплитуды и фазового сдвига колеба-
ний на выходе объекта
Частотные характеристики САУ могут быть получены по ее ПФ
W(s) Для суждения о реакции звена на синусоидальный сигнал доста-
точно исследовать его реакцию на гармонический сигнал вида
)( tjejx
Тогда выходной сигнал определяется по соотношению
)()( ))(( tjeAjy
и частотная ПФ получается равной
)()(
)()( )(
jeA
jx
jyjW
Формально для получения частотной ПФ надо сделать в W(s)
подстановку s = jω и тогда полученная W(jω) является комплексным
выражением которое можно представить в виде
)()(
)()()(
22
11
jba
jbajW
Для нахождения вещественной и мнимой частей частотной пе-
редаточной функции необходимо умножить числитель и знаменатель
на сопряженную знаменателю величину а затем провести
разделение
33
)()()(
)()(
)()()()(
)()(
)()()()(
))()())(()((
))()())(()((
)()(
)()()(
)(
22
22
2112
22
22
2121
2222
2211
22
11
jeAjVU
ba
babaj
ba
bbaa
jbajba
jbajba
jba
jbajW
где
)()()()(22
22
21
2122
ba
baVUjWA
)(
)())(arg()(
2
2
1
1
a
barctg
a
barctg
U
VarctgjW
Графики функции )(U и )(V называют соответственно веще-
ственной и мнимой частотной характеристиками
В практических расчетах удобно применять графики частотных
характеристик построенных в логарифмическом масштабе ndash лога-
рифмические частотные характеристики (ЛЧХ)
Логарифмическая амплитудная частотная характеристика
(ЛАЧХ) определяется следующим выражением
)(lg20)( AL
Логарифмической фазовой частотной характеристикой
(ЛФЧХ) называется график зависимости )( построенный в лога-
рифмическом масштабе частот
Единицей L(ω) является децибел (дБ) а единицей логарифма ча-
стоты ndash декада Декадой называют интервал частот на котором часто-
та изменяется в 10 раз При изменении частоты в 10 раз говорят что
она изменилась на одну декаду Ось ординат при построении ЛЧХ про-
водят через произвольную точку а не через точку ω = 0 Частоте ω = 0
соответствует бесконечно удаленная точка lgω rarr ndash infin при ω rarr 0
Основное преимущество использования ЛЧХ заключается в том
что приближенные (асимптотические) ЛАЧХ типовых динамических
звеньев изображаются отрезками прямых
Пример Построим ЛЧХ апериодического звена первого
34
порядка
Передаточная функция звена
1
)(
Ts
ksW
Частотная передаточная функция
1)(
)1(
1)(
2
T
Tjk
Tj
kjW
1)(
1)( 22
T
kTV
T
kU
Следовательно АЧХ описывается формулой
1)(
)(2
T
kA
ФЧХ строится по формуле
)()( Tarctg
ЛАЧХ апериодического звена 1-го порядка
1)(lg20lg20)( 2 TkL
По этой формуле можно построить две асимптоты ndash прямые к
которым стремится ЛАЧХ при ω rarr 0 и при ω rarr infin Так при ω rarr 0 второе
слагаемое близко к нулю и этот участок ЛАЧХ представляет собой
горизонтальную прямую
lg20)( kL
При ω rarr infin получаем наклонную прямую
1)(lg20)( 2 TL
35
Для определения наклона этой прямой можно рассмотреть гра-
ницы декады
T
1 и
10
T
Изменение ЛАЧХ между этими точками
)(2011
lg20110
lg20)(
22
декдБT
TT
TL
ЛЧХ часто называют диаграммами Боде
4 Краткое описание MATLAB
Лабораторная работа выполняется в программе математического
моделирования MATLAB Она включает в себя пакет прикладных про-
грамм для решения технических задач и одноименный язык программи-
рования используемый в этом пакете
Основными компонентами системы являются базовая система
MATLAB и пакет моделирования систем Simulink Остальные пакеты
расширения разбиты на 4 категории ndash расширения Extension MATLAB и
Extension Simulink а также комплексы пакетов расширения Blockset и
Toolbox
Раздел MATLAB Extension содержит средства для подготовки ис-
полняемых приложений MATLAB (с подключаемыми библиотеками и
без них)
Раздел Toolbox (инструментальные средства) содержит самое
большое число пакетов расширений системы MATLAB такие как
laquoControl systemraquo laquoDatabaseraquo laquoFuzzy logicraquo laquoWaveletraquo и тд
В разделе Blockset расположено несколько пакетов относящихся к
главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink такие как
laquoDSPraquo laquoFixed-Pointraquo laquoNonlinear control designraquo и laquoPower systemsraquo
В разделе Extension Simulink имеется ряд средств предназначен-
ных для моделирования в реальном масштабе времени и событийно-
управляемом моделировании
36
5 Построение частотных характеристик в MATLAB В пакете MATLAB ЛЧХ объекта заданного с помощью ПФ
можно получить командой bode
Пример
gtgt w=tf([1 2][3 4 5])
gtgt bode(w)
Для нескольких вариантов передаточной функции можно исполь-
зовать вариант команды вида
gtgt bode(ww1w2)
Например построим диаграмму Боде при различных параметрах
колебательного звена (рис 1)
gtgt w=tf([1][2 03 1])
gtgt w1=tf([1][2 05 1])
gtgt w2=tf([1][2 01 1])
gtgt bode(ww1w2)
Рис 1 ЛЧХ колебательного звена
6 Задание на лабораторную работу
С помощью пакета MATLAB построить ЛЧХ каждого типового
звена Определить влияние коэффициентов входящих в описание
каждого звена на параметры ЛАЧХ и ЛФЧХ Вариант задания назна-
чается преподавателем
37
7 Методика выполнения задания
Порядок выполнения работы
1 Задать передаточную функцию типового динамического звена
используя параметры из табл 2 лабораторной работы 1
2 Построить диаграмму Боде при различных параметрах типо-
вого динамического звена
3 Определить влияние коэффициентов входящих в описание
каждого звена на параметры ЛАЧХ и ЛФЧХ в том числе
ndash как меняется ширина асимптотических участков ЛАЧХ и
ЛФЧХ
ndash как меняется положение точек пересечения осей ЛАЧХ
4 Написать вывод по влиянию коэффициентов на типовое звено
5 Выполнить пункты 1-4 для всех типовых звеньев
6 Подготовить ответы на контрольные вопросы
8 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) титульный лист
б) краткие теоретические сведения
в) передаточные функции и схемы моделирования исследуемых
звеньев
г) экспериментально полученные характеристики при вариации
параметров каждого звена
д) выводы обобщающие проделанные эксперименты по каждо-
му звену
ж) ответы на контрольные вопросы
Контрольные вопросы
1 Как пользуясь частотными характеристиками определить па-
раметры (коэффициенты передаточной функции) звена Пояс-
нить на конкретных примерах
2 Указать особенности построения ЛАХ и ЛФХ динамических
звеньев Что понимается под асимптотической ЛАХ звена
3 Как осуществляется построение АФХ динамического звена
38
Лабораторная работа 4
ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ СИСТЕМ
С ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ
1 Цель работы
Изучение особенностей практического использования алгебраи-
ческих и частотных критериев устойчивости для анализа динамики
линейных САУ с использованием автоматизированных средств моде-
лирования на ПК ndash MATLAB SIMULINK
2 Задачи работы
ndash Закрепление углубление и расширение знаний студентов при
исследовании устойчивости систем с обратной связью
ndash Приобретение умений и навыков работы с программой мате-
матического моделирования MATLAB
ndash Овладение новыми методами проверки устойчивости систем
с обратной связью
ndash Выработка способности логического мышления осмысления
полученных данных
3 Теоретическая часть
Устойчивость САУ является одним из основных условий ее ра-
ботоспособности и включает требование затухания во времени пере-
ходных процессов
Система является устойчивой если при ограниченном входном
сигнале еѐ выходной сигнал также является ограниченным Если
система устойчива то она противостоит внешним воздействиям а
выведенная из состояния равновесия возвращается снова к нему
Система с расходящимся переходным процессом будет неустойчивой и
неработоспособной
Необходимое и достаточное условие устойчивости заключается в
том чтобы все корни характеристического уравнения (полюсы пере-
даточной функции системы) имели отрицательные вещественные ча-
сти Иначе говоря условием устойчивости системы является распо-
ложение всех полюсов в левой комплексной полуплоскости Тогда все
полюсы будут давать затухающую реакцию
Выше сформулированное условие устойчивости справедливо как
39
для линейных так и для линеаризованных систем Однако в случае
нулевых или чисто мнимых корней характеристического уравнения
вопрос об устойчивости линеаризованной системы может быть ре-
шен только на основании исследования ее нелинейных уравнений
В конце XIX и первой половине XX в задача вычисления корней
характеристического уравнения высокого порядка вызывала боль-
шие проблемы Поэтому были предложены несколько косвенных
методов оценки устойчивости позволяющих обойтись без вычисле-
ния корней ndash по значениям коэффициентов характеристического
уравнения
Критерии устойчивости разделяют на алгебраические и частот-
ные В частности к алгебраическим критериям относится критерий
Гурвица к частотным критериям ndash критерий Найквиста
Критерий Гурвица является алгебраическим критерием и при-
меняется к коэффициентам характеристического уравнения замкнутой
системы
Пусть имеется характеристическое уравнение замкнутой
системы
0011
1 apapapa n
nn
n
Из коэффициентов характеристического уравнения составляют
матрицу по правилу
1 По диагонали записываются коэффициенты от 1na до 0a
2 Каждая строка дополняется коэффициентами с возрастающи-
ми индексами слева направо так чтобы чередовались строки с нечет-
ными и четными индексами
3 В случае отсутствия индекса а также если он меньше 0 или
больше п на его место пишется 0
Таким образом матрица Гурвица приобретает следующий вид
40
Критерий устойчивости формулируется так
Чтобы система была устойчивой необходимо и достаточно что-
бы при 0na были положительными все п диагональных определи-
телей получаемых из матрицы Гурвица
Первые три определителя матрицы Гурвица имеют следующий
вид
Таким образом критерий Гурвица позволяет судить об абсо-
лютной устойчивости но он не дает возможности оценивать относи-
тельную устойчивость по корням характеристического уравнения
Частотный критерий устойчивости Найквиста анализирует
АФЧХ разомкнутой системы
Пусть имеется АФЧХ разомкнутой системы W(jω)
Для нахождения вещественной и мнимой части частотной ха-
рактеристики нужно освободиться от мнимости в знаменателе путем
умножения числителя и знаменателя на комплексную величину со-
пряженную знаменателю а затем выполнить разделение на веще-
ственную и мнимую части W(jω) приобретает вид
)()()( jQPjW
Задаваясь различными значениями частоты можно найти мно-
жество пар )()( 11 jQP )()( 22 jQP )()( nn jQP
Затем по этим парам строится АФЧХ на комплексной плоскости
Основные свойства АФЧХ разомкнутой системы
1 Если разомкнутая система не имеет интегрирующих звеньев
то при ω = 0 ее АФЧХ начинается на вещественной оси в точке
Р(ω)=К (где К ndash коэффициент усиления разомкнутой системы) За-
канчивается АФЧХ в начале координат при ω rarr infin (рис 1 а)
2 Если разомкнутая система имеет одно интегрирующее звено то
ее АФЧХ начинается при ω = 0 в бесконечности на отрицательной мни-
мой полуоси а заканчивается в начале координат при ω rarr infin (рис 1 б)
41
Рис 1 АФЧХ разомкнутой системы
Критерий устойчивости Найквиста формулируется так
1 Если разомкнутая система устойчива или находится на гра-
нице устойчивости то для того чтобы замкнутая система была
устойчива необходимо и достаточно чтобы АФЧХ разомкнутой
системы при изменении частоты ω от 0 до infin не охватывала точку с ко-
ординатами (-1 j0)
2 Если разомкнутая система неустойчива а ее передаточная
функция имеет т полюсов справа от мнимой оси на комплексной
плоскости то для устойчивости замкнутой системы необходимо и до-
статочно чтобы АФЧХ разомкнутой системы при изменении частоты
ω от -infin до +infin охватывала т раз точку с координатами (-1 j0)
При использовании этого критерия нужно учитывать две
особенности
1 Если разомкнутая система находится на границе устойчиво-
сти то ее АФЧХ уходит в бесконечность Для проверки критерия Най-
квиста нужно мысленно соединить конец АФЧХ дугой бесконечно
большого радиуса с положительной вещественной полуосью
2 На практике АФЧХ может строиться только для положитель-
ных частот (0 lt ω lt +infin) При применении критерия Найквиста счита-
ется что ветвь АФЧХ для отрицательных частот симметрична отно-
сительно вещественной оси
Физический смысл критерия устойчивости Найквиста заключа-
ется в том что система будет неустойчива если фаза выходного сиг-
нала противоположна фазе входного сигнала а коэффициент усиле-
ния больше 1 Поэтому для анализа устойчивости можно использо-
вать не АФЧХ а ЛАХ системы (для минимально-фазовых систем)
Система устойчива если на частоте среза значение фазы не превы-
шает -π Соответственно для устойчивой системы можно рассматри-
вать на ЛФЧХ запас устойчивости по фазе ndash расстояние от значения
фазы на частоте среза до уровня -π и запас устойчивости по амплиту-
42
де ndash расстояние от оси частот ЛАЧХ до значения усиления на часто-
те где фаза становится равной -π
4 Краткое описание MATLAB
Лабораторная работа выполняется в программе математического
моделирования MATLAB Программа MATLAB включает в себя пакет
прикладных программ для решения технических задач и одноименный
язык программирования используемый в этом пакете
Основными компонентами системы являются базовая система
MATLAB и пакет моделирования систем Simulink Остальные пакеты
расширения разбиты на 4 категории ndash расширения Extension MATLAB и
Extension Simulink а также комплексы пакетов расширения Blockset и
Toolbox
Раздел MATLAB Extension содержит средства для подготовки ис-
полняемых приложений MATLAB (с подключаемыми библиотеками и
без них)
Раздел Toolbox (инструментальные средства) содержит самое
большое число пакетов расширений системы MATLAB такие как
laquoControl systemraquo laquoDatabaseraquo laquoFuzzy logicraquo laquoWaveletraquo и тд
В разделе Blockset расположено несколько пакетов относящихся к
главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink такие как
laquoDSPraquo laquoFixed-Pointraquo laquoNonlinear control designraquo и laquoPower systemsraquo
В разделе Extension Simulink имеется ряд средств предназначен-
ных для моделирования в реальном масштабе времени и событийно-
управляемом моделировании
5 Исследование устойчивости САУ в MATLAB
Для проверки устойчивости САУ по Гурвицу постройте матрицу
Гурвица и найдите ее детерминант (функция det) Затем последова-
тельно уменьшая размер матрицы найдите значения всех диагональ-
ных детерминантов Пример
gtgt А=[1 14 18 2 5 2 3 4 3]
А =
1 14 18
2 5 2
3 4 3
gtgt det(A)
ans = -119
43
gtgt А1=А(12 12)
А1 =
1 14
2 5
gtgt det(A1)
ans = -23
Для проверки устойчивости САУ по Найквисту сначала нужно
выяснить является ли устойчивой разомкнутая система
Пример Пусть дана передаточная функция разомкнутой
системы
13232
12234
pppp
pW
Рассмотрим реакцию на скачок
gtgt w=tf([2 1][2 3 2 3 1])
gtgt step(w18)
График переходного процесса показан на рис 2
Рис 2 Переходная реакция
Разомкнутая система неустойчива и согласно критерию Найкви-
ста надо чтобы АФЧХ разомкнутой системы охватывала точку (-1 j0)
44
столько раз сколько полюсов имеется справа от мнимой оси Для по-
строения АФЧХ достаточно вызвать команду nyquist
gtgt nyquist(w)
Диаграмма Найквиста показана на рис 3
Рис 3 Диаграмма Найквиста для неустойчивой системы
Как показывает рис3 АФЧХ ни разу не охватывает точку
(-1 j0) поэтому замкнутая система будет неустойчивой Частотный
критерий Найквиста можно использовать и в том случае когда рас-
сматривается не АФЧХ а ЛАЧХ разомкнутой системы замкнутая
минимально-фазовая система устойчива если при достижении ЛФЧХ
значения -π ЛАЧХ будет отрицательной
Используя ЛАЧХ и ЛФЧХ можно оценить запасы устойчивости
системы по амплитуде и по фазе с помощью команды
gtgt margin(w)
Пример
gtgt w=tf([10][2 2 3 1])
gtgt margin(w)
Соответствующий график показан на рис 4
45
Рис 4 Определение запасов устойчивости по амплитуде и по фазе
6 Задание на лабораторную работу
Выполнить исследование устойчивости замкнутой системы по за-
данной передаточной функции разомкнутой системы Определить запас
устойчивости по амплитуде и по фазе Вариант задания назначается
преподавателем
7 Методика выполнения задания
Порядок выполнения работы
1 Рассчитать передаточную функцию замкнутой системы по
приведенной в табл 1 разомкнутой системе
2 Определить устойчивость замкнутой системы используя кри-
терий Гурвица
3 Определить устойчивость замкнутой системы используя кри-
терий Найквиста
4 Определить запас устойчивости по амплитуде и по фазе ис-
пользуя ЛАЧХ и ЛФЧХ
5 Выполнить моделирование переходных процессов разомкну-
той и замкнутой систем
6 Подготовить ответы на контрольные вопросы
46
Таблица 1
Варианты заданий
Передаточная функция разомкнутой системы
1 1355
2234
ssss
W
2 110050
1234
ssss
W
3 11010
123
sss
W
4 122105
100234
ssss
W
5 1248
123
sss
W
6 1223
102345
sssss
W
7 11001010
323
sss
W
8 122
1023
sss
W
9 11010
123
sss
W
10 15050332
102345
sssss
W
8 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) титульный лист
б) краткие теоретические сведения
в) переходную функцию разомкнутой системы
г) расчет передаточной функции замкнутой системы
д) расчетные выражения для обоснования устойчивости замкну-
той системы по алгебраическому критерию Гурвица
е) годограф Найквиста разомкнутой системы на основании кото-
рого делается вывод об устойчивости замкнутой системы
ѐ) переходную функцию замкнутой системы
ж) проверку полученных результатов путем компьютерного моде-
лирования переходных процессов разомкнутой и замкнутой си-
стемы в MATLAB Simulink
з) выводы по всем полученным результатам
47
Контрольные вопросы
1 Как связана устойчивость линейной САУ с видом составля-
ющих ее свободного движения
2 Зависит ли устойчивость линейных САУ от амплитуды зада-
ющих воздействий или возмущений
3 Сформулируйте критерий устойчивости Гурвица укажите на
необходимое условие устойчивости линейных САУ вытекаю-
щее из этого критерия
4 Сформулируйте критерий Найквиста для случая САУ устой-
чивых в разомкнутом состоянии а также для астатических САУ
Что такое laquoзапасы устойчивости по фазе и по амплитудеraquo
5 Что называется структурной устойчивостью
48
Лабораторная работа 5
КОРРЕКЦИЯ СТАТИЧЕСКИХ И ДИНАМИЧЕСКИХ
СВОЙСТВ САУ
1 Цель работы
Целью работы является изучение способов обеспечения иско-
мых характеристик САУ с использованием автоматизированных
средств моделирования на ПК ndash MATLAB SIMULINK
2 Задачи работы
ndash Закрепление углубление и расширение знаний студентов при
обеспечении искомых характеристик САУ
ndash Приобретение умений по обеспечению точности (уменьшение
статической ошибки) САУ и выбору значений параметров регулято-
ра обеспечивающих желаемые динамические свойства САУ
ndash Приобретение умений и навыков работы с программой мате-
матического моделирования MATLAB
3 Теоретическая часть
Коррекция статических и динамических свойств САУ имеет
своей целью повышение статической и динамической точности отра-
ботки системой задающего воздействия (или парирование возмуща-
ющего воздействия) повышение запасов ее устойчивости Наиболее
распространенными способами коррекции свойств САУ является из-
менение коэффициента усиления ее разомкнутой части введение в
САУ новых звеньев (как правило интегрирующего или дифференци-
рующего типа) охват объекта управления местной обратной связью
31 Коррекция статических свойств САУ
Статические свойства системы определяются величиной устано-
вившейся ошибки )t(уст вызванной действием задающего воздей-
ствия и определяемой по формуле
22
210 2 dttgdcdttdgctgctуст (1)
где )(tg - входное воздействие 210 ccc - коэффициенты ошибок
Коэффициенты ошибок определяются по формулам
49
dssdcdssdcscs
mmmss 00100
где s - передаточная функция САУ по ошибке управления рав-
ная
sW
sраз
1
1
sWраз - передаточная функция разомкнутой САУ
Основными способами уменьшения статической ошибки систе-
мы являются
1) увеличение коэффициента усиления прямого тракта системы
2) введение в прямой тракт системы интегрирующих звеньев
3) охват объекта управления местной неединичной положитель-
ной обратной связью
Представим структурную схему системы в виде изображенном
на рис 1 где через sW обозначена передаточная функция неизме-
няемой части системы
bsbsb
asasasW
nn
nn
mm
mm
01
1
01
1
Здесь и далее полагается что KKKsW s 000 0 ndash из-
меняемый коэффициент усиления регулятора системы
Первые два коэффициента ошибок 0c и 1c определяется выраже-
ниями
KK
c0
01
1
(2)
KK
dssdWKc
s
20
01
1
(3)
Из (2) и (3) с учетом (1) вытекает что с увеличением K
статическая ошибка в системе уменьшается и наоборот с уменьше-
нием K статическая ошибка в системе увеличивается
Введем в прямой тракт системы одно интегрирующее звено
50
(рис 2) В этом случае c 00 01 1 KKc
Так как c 00 то система на рис 2 является астатической (с
астатизмом первого порядка) Система имеет нулевую статическую
ошибку при отработке постоянного задающего воздействия
consttg и постоянную обратно пропорциональную K ошибку
constуст при отработке линейно изменяющегося воздействия
tatg
Рис 1 Схема САУ Рис 2 Схема САУ с включенным в прямой
тракт интегрирующим звеном
Охватим неизменяемую часть системы sW местной нееди-
ничной положительной обратной связью с коэффициентом усиления
осK (рис 3) Тогда эквивалентная передаточная функция sWэкв
неизменяемой части системы равна
10011
01
1
aKbsaKbsaKbsb
asasa
sWK
sWsW
ососm
mосmn
n
mm
mm
осэкв
(4)
Если коэффициент усиления K выбрать из условия
a
bKос
0
0
то свободный коэффициент (b0 - Koca0) полинома знаменателя sWэкв
обратится в нуль и sWэкв приобретает интегрирующие свойства
11
11
0
1
1
aKbsaKbsbs
asasasW
ос
m
mосm
n
n
m
m
m
mэкв
g(t) y(t)ε(t)
K W(s)-
g(t) y(t)
Ks W(s)-
ε(t)
51
Следовательно замкнутая система становится астатической (с
астатизмом 1-го порядка) Отсюда 0c =0 а коэффициент 1c будет
равен
aKb
bc
ос 11
01
ε(t)g(t) y(t)
W(s)-
Kос
Wэкв(s)
+
Рис 3 Схема САУ с местной неединичной обратной связью
32 Коррекция динамических свойств САУ
Улучшение динамических свойств САУ заключается в увеличе-
нии быстродействия САУ (уменьшении времени регулирования tрег)
уменьшении перерегулирования (см рис 4) а также увеличении
запасов устойчивости по фазе и по модулю При этом
h
hh
уст
устmax100
где maxh - максимальное значение переходной характеристики за-
мкнутой САУ th
устh - установившееся значение th
Время регулирования tрег - минимальная величина при которой удо-
влетворяется условие
устрег hth
где - заданная величина ошибки (обычно =005 устh )
52
h(t)
tрег
hустhmax
2δ
Рис 4 Быстродействие и перерегулирование САУ
Одним из эффективных средств достижения этой цели является
уменьшение отрицательных фазовых сдвигов в прямом тракте систе-
мы путем охвата неизменяемой части системы местными отрицатель-
ными обратными связями
На рис 5 R(s) представляет собой передаточную функцию регу-
лятора САУ которая считается заданной
ε(t)g(t) y(t)
W(s)-
Kос
Wэкв(s)
-
R(s)
u(t)
Рис 5 Схема САУ с местной обратной связью и регулятором
Пусть неизменяемая часть системы представляет собой аперио-
дическое звено первого порядка те
sT
K)s(W
10
0
Тогда передаточная функция sWэкв эквивалентного объекта
управления равна
sT
K
sWK
sWsW
экв
экв
осэкв
11
где зквK и эквT - коэффициент усиления и постоянная времени
эквивалентного объекта равные
53
KK
KK
осэкв
0
0
1
KK
TT
осэкв
0
0
1 (5)
Из (5) следует что соответствующим выбором осK постоянную
времени эквT эквивалентного объекта можно уменьшить в (1+ 0KKос )
раз по сравнении с постоянной времени 0T объекта без местной об-
ратной связи Тем самым уменьшаются отрицательные фазовые сдви-
ги вносимые прямым трактом системы что приводит к увеличению
запасов устойчивости системы При этом однако уменьшается в
(1+ 0KKос ) раз коэффициент усиления эквK эквивалентного объекта
по сравнению с коэффициентом усиления 0K объекта без местной
обратной связи Это нежелательно так как приводит к уменьшению
быстродействия системы вследствие уменьшения общего коэффици-
ента усиления прямого тракта системы В этом случае с целью обес-
печения необходимого быстродействия системы увеличивают коэф-
фициент усиления регулятора
4 Краткое описание MATLAB
Лабораторная работа выполняется в программе математического
моделирования MATLAB Программа MATLAB включает в себя пакет
прикладных программ для решения технических задач и одноименный
язык программирования используемый в этом пакете
Основными компонентами системы являются базовая система
MATLAB и пакет моделирования систем Simulink Остальные пакеты
расширения разбиты на 4 категории ndash расширения Extension MATLAB и
Extension Simulink а также комплексы пакетов расширения Blockset и
Toolbox
Раздел MATLAB Extension содержит средства для подготовки ис-
полняемых приложений MATLAB (с подключаемыми библиотеками и
без них)
Раздел Toolbox (инструментальные средства) содержит самое
большое число пакетов расширений системы MATLAB такие как
laquoControl systemraquo laquoDatabaseraquo laquoFuzzy logicraquo laquoWaveletraquo и тд
54
В разделе Blockset расположено несколько пакетов относящихся к
главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink такие как
laquoDSPraquo laquoFixed-Pointraquo laquoNonlinear control designraquo и laquoPower systemsraquo
В разделе Extension Simulink имеется ряд средств предназначен-
ных для моделирования в реальном масштабе времени и событийно-
управляемом моделировании
5 Задание на лабораторную работу
Выполнить исследование способов коррекции статических и
динамических свойств САУ Определить время регулирования и пе-
ререгулирования в исходной и скорректированной системах а также
для динамических свойств САУ определить запасы устойчивости в
исходной системе и найти экспериментально значение Kос обеспечи-
вающее в системе заданные показатели качества и запасы устойчиво-
сти Вариант задания назначается преподавателем
Таблица 1
Варианты заданий
варианта
Параметры
1
2
3
4
5
6
7
8
a 05 10 15 20 25 30 35 40
K0 1 2 3 4 5 6 7 8
T c 03 04 05 06 07 08 09 10
ξ 06 07 08 08 07 09 05 04
уст 0 0 005 0 010 007 0 0
tрег c le 13 15 20 25 30 35 40 40
le 0 10 10 5 5 5 0 0
В качестве исходных САУ выступают системы изображенные
на рис 6 и 7
55
ε(t)g(t) y(t)
W(s)-
g(t) y(t)
R(s) W(s)-
ε(t) u(t)
Рис 6 САУ с отрицательной Рис 7 САУ с отрицательной обратной
обратной связью связью и регулятором
6 Методика выполнения задания
При исследовании способов коррекции статических свойств
САУ в качестве исходных данных выступает передаточная функция
sW неизменяемой части системы вида
1222
0
sTsT
KsW (6)
и задающие воздействия вида ttg 1 в соответствии с таблицей 1
В процессе выполнения этой части работы необходимо
1) путем моделирования в системе MATLAB исходной САУ
(рис 6) получить графики ttytg
2) сравнить полученную таким образом экспериментальную ве-
личину t с теоретической величиной вычисленной по формуле (1)
3) применяя описанные в теоретической части методических
указаний способы коррекции статических свойств (см п 31) обес-
печить требуемую статическую ошибку εуст системы при отработке
задающего воздействия ttg 1
4) получить графики ty и t в скорректированной системе
для 1 ttg
5) сравнить время регулирования регt и перерегулирование в
исходной и скорректированной системах при 1 ttg
При исследовании рассмотренного способа коррекции динами-
ческих свойств САУ (см п 32) в качестве исходных данных высту-
пают передаточная функция sW неизменяемой части системы
вида (6) и передаточная функция регулятора вида
s
KsR
рег
56
Задающее воздействие ttg 1
В процессе выполнения данной части работы необходимо
1) получить путем моделирования в MATLAB графики ty t
в системе (рис 7)
2) определить время регулирования регt и перерегулирование
а также запасы устойчивости в исходной системе
3) применяя описанный выше способ коррекции динамических
свойств САУ найти экспериментально (путем последовательного пе-
ребора) значение осK обеспечивающее в системе заданные заданием
показатели качества ( регt ) и запасы устойчивости (при необхо-
димости увеличить коэффициент регK )
4) получить графики ty t а также ЛАХ и ЛФХ разомкну-
той системы в скорректированной САУ
7 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) титульный лист
б) структурные схемы исследуемых систем
в) полученные графики и характеристики
г) значения полученные экмпериментально которые
обеспечивают заданные показатели качества и запасы устойчивости
д) выводы обощающие проделанные эксперименты для
коррекции статических и динамических свойств САУ
е) ответы на контрольные вопросы
Контрольные вопросы 1 Дать определение статической и астатической САУ
2 Какими структурными свойствами системы определяется по-
рядок ее астатизма
3 Какой из двух приведенных выше способов придания системе
свойств астатизма 1-го порядка наиболее предпочтителен на
практике
4 Назовите основные показатели качества САУ Поясните их
смысл
5 В чѐм суть исследуемого способа коррекции динамических
свойств САУ
57
6 Назвать другие способы коррекции динамических свойств
САУ
7 Чем вызваны отрицательные фазовые сдвиги в неизменяемой
части САУ
58
Лабораторная работа 6
МЕТОД КОРНЕВОГО ГОДОГРАФА
1 Цель работы
Целью работы является построение корневого годографа и ис-
следование динамики системы с использованием автоматизирован-
ных средств моделирования на ПК ndash MATLABSIMULINK
2 Задачи работы
ndash Закрепление углубление и расширение знаний студентов при
исследование динамики системы
ndash Овладение навыком построения корневого годографа
ndash Приобретение умений и навыков работы с программой мате-
матического моделирования MATLAB
3 Теоретическая часть
Корневым годографом (КГ) называется совокупность траекто-
рий перемещения всех корней характеристического уравнения за-
мкнутой системы при изменении какого-либо параметра этой систе-
мы
Обычно метод КГ позволяет находить полюса и нули ПФ за-
мкнутой системы располагая полюсами и нулями разомкнутой си-
стемы при изменении коэффициента усиления разомкнутой системы
K
ПФ разомкнутой системы Wp(s) представим в следующем виде
)(
)(
1
1
0
n
ii
m
jj
p
ss
ssKC
sW (1)
где 0js ndash нули ПФ sWp )1( mj
is ndash полюса ПФ sWp
)1( nj n и m ndash порядки знаменателя и числителя C ndash коэффици-
ент представления (отношение коэффициентов при старших членах
числителя и знаменателя)
59
При замыкании системы с ПФ sWp единичной отрицатель-
ной обратной связью ПФ замкнутой системы sWз принимает вид
)(1
)(
sW
sWsW
p
pз
(2)
Из выражения (2) следует что нули ПФ замкнутой системы рав-
ны нулям ПФ разомкнутой системы
Для нахождения полюсов рассмотри выражение
01 sWp (3)
в соответствии с выражением (1) имеем
n
i
m
jjin
ii
m
jj
ssKCss
ss
ssKC
1 1
0
1
1
0
)()(01
)(
)(
(4)
На основании выражения (4) можно сказать что при K = 0 корни
характеристического уравнения совпадают с полюсами а при K = infin ndash
с нулями При изменении K от 0 до infin траектории корней начинаются
в полюсах и заканчиваются в нулях Обычно полюсов больше чем
нулей В этом случаем mn ветвей корневого годографа стремятся к
infin
Для определения полюсов замкнутой системы с отрицательной
обратной связью необходимо решить уравнение (его называют ос-
новным уравнением метода КГ)
1sWp (5)
Так как sWp является функцией комплексного переменного
s то уравнение (5) распадается на два уравнения уравнение модулей
1)( sWp (6)
60
и уравнение аргументов (фаза вектора -1 есть нечетное число π)
210)12()(arg sWp (7)
Как известно при умножении комплексных чисел их аргументы
складываются а при делении ndash вычитаются Поэтому исходя из вы-
ражения (1) уравнение (7) имеет наглядный геометрический смысл
Пусть точка s ndash полюс замкнутой системы Если провести в s
вектора из нулей sWp (обозначим аргументы этих векторов 0j ) и
вектора из всех полюсов sWp (обозначим аргументы этих векторов
i ) то уравнение (7) можно записать в следующем виде
m
j
n
iij
1 1
0 210)12( (8)
Углы q отсчитываются от положительного направления дей-
ствительной оси Знак угла laquo+raquo соответствует повороту против часо-
вой стрелки знак угла laquo-raquo соответствует повороту по часовой стрел-
ке
Таким образом любая точка КГ должна удовлетворять уравне-
нию (8) из которого следует что конфигурация КГ не зависит от ко-
эффициента усиления K но каждому конкретному значению K одно-
значно соответствуют точки на КГ
При умножении комплексных чисел их модули перемножаются
а при делении ndash делятся Поэтому на основании (6) можно записать
1
1
1
0
n
ii
m
jj
l
lKC
(9)
где 0jl ndash модуль (длина) вектора проведенного из j-нуля в точку s
КГ il ndash модуль вектора проведенного из i-полюса в ту же точку s
61
Таким образом траектории корней строятся только по уравне-
ниям фаз а уравнение модулей используется затем для нахождения
K
Сущность метода КГ заключается в том чтобы узнать каким
должен быть коэффициент усиления разомкнутой системы чтобы
было обеспечено желаемое положение корней замкнутой системы
Корневой годограф системы с отрицательной обратной связью
обладает следующими основными свойствами
1 Ветви КГ непрерывны и расположены на комплексной плос-
кости симметрично относительно действительной оси
2 Число ветвей КГ равно порядку системы n Ветви начинают-
ся в n полюсах разомкнутой системы при K=0 При возрастании K от
0 до infin полюса замкнутой системы двигаются по ветвям КГ
3 mветвей КГ при возрастании K от 0 до infin заканчиваются в m
нулях )(sWp а )( mn ветвей при K стремящемся к infin удаляются
от полюсов вдоль асимптот
4 При расположении ветвей корневого годографа в левой полу-
плоскости s САУ устойчива При пересечении ветвей КГ мнимой оси
слева направо САУ становится неустойчивой Пусть при K=Kкр
пере-
сечение КГ с мнимой осью произойдет в некоторой точке iωкр
Назо-
вем это значение коэффициента усиления критическим Kкр
а вели-
чину iωкр
критической угловой частотой на которой система стано-
вится неустойчивой
4 Краткое описание MATLAB
Лабораторная работа выполняется в программе математического
моделирования MATLAB Программа MATLAB включает в себя пакет
прикладных программ для решения технических задач и одноименный
язык программирования используемый в этом пакете
Основными компонентами системы являются базовая система
MATLAB и пакет моделирования систем Simulink Остальные пакеты
расширения разбиты на 4 категории ndash расширения Extension MATLAB и
Extension Simulink а также комплексы пакетов расширения Blockset и
Toolbox
Раздел MATLAB Extension содержит средства для подготовки ис-
полняемых приложений MATLAB (с подключаемыми библиотеками и
без них)
62
Раздел Toolbox (инструментальные средства) содержит самое
большое число пакетов расширений системы MATLAB такие как
laquoControl systemraquo laquoDatabaseraquo laquoFuzzy logicraquo laquoWaveletraquo и тд
В разделе Blockset расположено несколько пакетов относящихся к
главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink такие как
laquoDSPraquo laquoFixed-Pointraquo laquoNonlinear control designraquo и laquoPower systemsraquo
В разделе Extension Simulink имеется ряд средств предназначен-
ных для моделирования в реальном масштабе времени и событийно-
управляемом моделировании
5 Корневой годограф в MATLAB
В системе MATLAB существует команда zpk для преобразова-
ния модели заданной ПФ в модель заданную нулями полюсами и
обобщенными коэффициентами передачи (zpk-форма)
Пример
gtgt w=tf([10][2 2 3 1 0])
Transfer function
10
-------------------------------
2 s^4 + 2 s^3 + 3 s^2 + s
gtgt w1=zpk(w)
Zeropolegain
5
----------------------------------------------
s (s+03966) (s^2 + 06034s + 1261)
Для работы с корневым годографом удобно использовать гра-
фический интерфейс laquoSISO-Design Toolraquo предназначенный для ана-
лиза и синтеза одномерных линейных систем автоматического управ-
ления (SISO ndash Single Input Signal Output)
Запуск SISO-Design Tool осуществляется командой
gtgt sisotool
63
В появившемся окне графического интерфейса необходимо ис-
пользовать команду laquoFileImportraquo для загрузки данных из рабочего
пространства MATLAB в результате которой появляется диалоговое
окно Import System Data (рис 1)
Рис 1 Диалог для ввода параметров модели
После импортирования данных можно исследовать изменение
временных и частотных характеристик замкнутой системы при изме-
нении K Обычно при этом требуется определить условия неустойчи-
вости замкнутой САУ Определить Kкр
и iωкр
На рис 2 показано окно sisotool для описанной выше модели w1
Двигая красным курсором по КГ до пересечения ветвей с мнимой
осью можно определить значения Kкр
В данном случае Kкр
asymp 01
Значение iωкр
соответствует мнимой координате пересечения КГ
мнимой оси Просмотреть это значение можно в нижней части ин-
терфейса или выбрать меню laquoView Closed-Loop Polesraquo
64
Рис 2 Основное окно SISO-Design Tool
6 Задание на лабораторную работу
Построить КГ в соответствии с вариантом из табл 1 при помо-
щи графического интерфейса sisotool
Исследовать динамику замкнутой системы при различных зна-
чениях коэффициента усиления разомкнутой системы K в том числе
ndash запасы устойчивости в частотной области
ndash параметры переходного процесса во временной области
Таблица 1
Варианты передаточных функций
Значения параметров Передаточная функция
разомкнутой системы
1 T = 01 ζ = 1
)12( 22 sTsTs
K
2 T = 005 ζ = 0707
3 T = 003 ζ = 01
4 T = 008 ζ = 05
5 T = 001 ζ = 015
65
Окончание табл 1
Значения параметров Передаточная функция
разомкнутой системы
6 T1 = 003 T2 = 05 T3 = 01 T4 = 005
)1)(1)(1(
)1(
432
1
sTsTsTs
sTK
7 T1 = 005 T2 = 04 T3 = 008 T4 = 0033
8 T1 = 02 T2 = 045 T3 = 01 T4 = 005
9 T1 = 05 T2 = 025 T3 = 01 T4 = 002
10 T1 = 01 T2 = 025 T3 = 01 T4 = 005
Вариант задания назначается преподавателем
7 Методика выполнения задания
Порядок выполнения лабораторной работы
1 Задать передаточную функцию в MATLAB в соответствии с
вариантом коэффициент K задать любым положительным числом
2 Запустить SISO-Design Tool и осуществить ввод данных
Построить КГ
3 По КГ определить значения коэффициента K когда система
будет устойчивой на границе устойчивости и неустойчива
4 Выбрать значение коэффициента K таким образом чтобы си-
стемы была устойчива и определить запас устойчивости в частотной
области и параметры переходного процесса во временной области
8 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) титульный лист
б) передаточную функцию и этапы построения КГ
в) анализ результатов построения КГ
г) выводы по проделанной работе
д) ответы на контрольные вопросы
Контрольные вопросы 1 Дать определение КГ
2 Что обычно позволяет находить метод КГ
3 В чем заключается сущность метода КГ
4 Что можно определить по КГ
66
Критерии результативности лабораторного практикума
Лабораторная работа считается выполненной если студент
ndash выполнил все указанные задания
ndash представил отчет соответствующий всем требованиям к его
содержанию и оформлению
ndash владеет терминологией и материалом лабораторной работы
ndash способен использовать программное средство математическо-
го моделирования MATLAB
ndash способен предоставить и рассказать результаты выполненной
работы на ПК
ndash может дать пояснения к отчету и ответить на контрольные
вопросы
Список литературы
1 Александров АГ Частотная теория автоматического управле-
ния учебное пособие ndash Электросталь ЭПИ МИСиС 2010
2 Борисевич АВ Теория автоматического управления элементар-
ное введение с применением MATLAB ndash СПб Изд-во Политехн ун-
та 2011
3 Федоров ВЛ Бубнов АВ Теория автоматического управления
учебное пособие ndash Омск Изд-во ОмГТУ 2010
4 Павловская ОО Чернецкая ИВ Теория автоматического
управления учебное пособие ndash Челябинск Изд-во ЮУрГУ 2010
67
Составители ЛЯНЦЕВ Олег Дмитриевич КАЗАНЦЕВ Андрей Валерьевич
ИССЛЕДОВАНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК СИСТЕМ
АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
Лабораторный практикум
по дисциплине
laquoТеория управленияraquo
Подписано в печать Формат 60х84 116 Бумага офсетная Пе-
чать плоская Гарнитура Times New Roman Усл печ л 56 Уч-изд л
55 Тираж 100 экз Заказ
ФГБОУ ВПО Уфимский государственный авиационный технический
университет
Центр оперативной полиграфии УГАТУ
450000 Уфа-центр ул К Маркса 12
9
)()(
)(pW
pA
pB
u
y
где А(р) и В(р) ndash полиномы из формулы (2)
Выражение (2) по виду совпадает с определением ПФ как от-
ношения преобразования по Лапласу выходной переменной к преоб-
разованию по Лапласу входной переменной при нулевых начальных
условиях
)()(
)(
)(
)(sW
sA
sB
su
sy (3)
где s ndash комплексная переменная
Комплексные числа являющиеся корнями многочлена B(s)
называются нулями передаточной функции а корни многочлена А(s) ndash
полюсами
Описание типовых динамических звеньев приведено в
табл 1 Таблица 1
Типовые динамические звенья
Название звена Передаточная функция звена
1
Интегрирующее
s
KsW )(
2
Дифференцирующее
KssW )(
3
Усилительное
(безынерционное)
KsW )(
4
Апериодическое 1-го
порядка (инерционное)
1)(
Ts
KsW
5
Апериодическое 2-го
порядка (все корни веще-
ственные)
21
122
2
21
)( TTsTsT
KsW
10
Окончание табл 1
Название звена Передаточная функция звена
6
Колебательное
21
122
2
21
)( TTsTsT
KsW
7
Форсирующее
)1()( TsKsW
8
Интегрирующее
с запаздыванием
(реальное интегрирующее)
)1()(
Tss
KsW
9
Дифференцирующее
с запаздыванием
(реальное дифференцирую-
щее)
1)(
Ts
KssW
10
Инерционно-форсирующее
звено
1
)1()(
0
1
sT
sTKsW
11
Изодромное
s
TsKsW
)1()(
часто используется описание колебательного звена в виде
2
12
)(2
1222 T
TTT
TssT
KsW
Временные характеристики динамического звена представляют
собой зависимость выходного сигнала системы от времени при подаче
на ее вход некоторого типового воздействия Обычно выполняется
анализ выхода системы на единичный скачок (функция Хевисайда) и
импульсную функцию (функция Дирака или δ-функция)
Единичный скачок 1(t) определяется условиями
01
00)(1
tпри
tприt
Реакция САУ на единичный скачок называется переходной
11
функцией системы и обозначается h(t) При неединичном ступенчатом
воздействии g(t)=N1(t) где N = const в соответствии с принципом
суперпозиции выходная реакция системы будет )()( tNhty
Импульсная функция δ(t) определяется условиями
00
0)(
tпри
tприt
Очевидно )(1)( tt
Реакция САУ на импульсную функцию называется импульсной
переходной функцией системы (функцией веса) и обозначается w(t)
Импульсная и переходная функции системы связаны
соотношением
)()(0
dwtht
4 Краткое описание MATLAB
Лабораторная работа выполняется в программе математического
моделирования MATLAB Программа MATLAB включает в себя пакет
прикладных программ для решения технических задач и одноименный
язык программирования используемый в этом пакете
Основными компонентами системы являются базовая система
MATLAB и пакет моделирования систем Simulink Остальные пакеты
расширения разбиты на 4 категории ndash расширения Extension MATLAB и
Extension Simulink а также комплексы пакетов расширения Blockset и
Toolbox
Раздел MATLAB Extension содержит средства для подготовки ис-
полняемых приложений MATLAB (с подключаемыми библиотеками и
без них)
Раздел Toolbox (инструментальные средства) содержит самое
большое число пакетов расширений системы MATLAB такие как
laquoControl systemraquo laquoDatabaseraquo laquoFuzzy logicraquo laquoWaveletraquo и тд
В разделе Blockset расположено несколько пакетов относящихся к
12
главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink такие как
laquoDSPraquo laquoFixed-Pointraquo laquoNonlinear control designraquo и laquoPower systemsraquo
В разделе Extension Simulink имеется ряд средств предназначен-
ных для моделирования в реальном масштабе времени и событийно-
управляемом моделировании
5 Моделирование передаточных функций в MATLAB
В пакете MATLAB имеется два основных варианта для исследо-
вания передаточных функций и моделирования САУ
- использование команд пакета расширения Control System
Toolbox
- использование пакета Simulink
Control System Toolbox предназначен для работы с LTI-моделями
систем управления
Команда создающая LTI-систему с одним входом и одним вы-
ходом в виде передаточной функции имеет следующий синтаксис
])[]([ 011011 aaaabbbbtf nnmm
где 011 bbbb mm и 011 aaaa nn ndash значения коэффициентов
полиномов В и А в (3)
Например если требуется описать ПФ вида
582
12
ss
sW
и узнать значения ее нулей и полюсов то нужно ввести в окне команд
MatLab следующие команды
gtgt w=tf([1 1][2 8 5])
gtgt zero(w)
gtgt pole(w)
Исследовать реакцию LTI-модели на типовые входные воздей-
ствия можно с помощью команд
gtgt step(w)
gtgt impulse(w)
Можно получить на одном графике реакцию сразу нескольких
динамических звеньев если использовать команды вида
gtgt step(w w1 w2)
gtgt impulse(w w1 w2)
13
В приведенных примерах время моделирования выбирается ав-
томатически При необходимости его можно явно указать в команде
gtgtstep(w w1 w2t)
где t - время моделирования в секундах
Рис 1 Исследование реакции колебательного звена
На рис 1 показан пример моделирования динамики колебатель-
ного звена при различных параметрах
gtgt w=tf([1][2 03 1])
gtgt w1=tf([1][2 05 1])
gtgt w2=tf([1][2 01 1])
gtgt step(ww1w250)
В Simulink ПФ можно описать с помощью блока Transfer Fcn в
разделе библиотеки Continuous Для подачи типовых воздействий
надо использовать блок Step из раздела Sources Импульсную пере-
ходную характеристику звена можно получить подавая на вход им-
пульс маленькой длительности и большой амплитуды (приближение
δ-функции) при нулевых начальных условиях
6 Задание на лабораторную работу
С помощью пакета MATLAB построить реакцию каждого типо-
вого звена с параметрами своего варианта (см табл 2) на ступенчатое и
импульсное входное воздействие Определить влияние коэффициен-
тов входящих в описание каждого звена на параметры переходного
процесса Вариант задания назначается преподавателем
14
Таблица 2
Варианты заданий
Апери-
од зве-
но
Апериодич звено
2 пор (колеб
звено)
Ин-
тегр
звено
Изодр
звено
Реальное
диф звено
Инерц-
форс
звено
K T K T2 (T) T1( ξ ) K K T K T K T0 T1
1 3 02 3 02 20
(02)
3 3 05 3 04 3 2 08
2 4 03 4 03 15
(015)
4 4 1 4 03 4 3 12
3 5 04 5 04 25
(025)
5 5 08 5 05 5 4 15
4 6 05 6 05 16
(03)
6 6 2 6 10 6 5 20
5 7 06 7 06 28
(02)
7 7 3 7 08 7 6 20
6 8 07 8 07 22
(008)
8 8 35 8 10 8 7 20
7 9 08 9 08 21
(007)
9 9 1 9 09 9 8 30
8 10 10 10 10 30
(01)
10 10 20 10 20 10 10 40
7 Методика выполнения задания
Порядок выполнения работы
1 Задать передаточную функцию типового динамического звена
в MATLAB используя параметры приведенные в табл 2
2 Варьируя коэффициент динамического звена увеличивая его в
2 раза ndash получить вторую ПФ затем уменьшить исходный коэффици-
ент в 2 раза и получить третью ПФ
3 Построить на одном графике реакцию получившихся динами-
ческих звеньев на единичный скачок
4 Построить на одном графике реакцию получившихся динами-
ческих звеньев на импульсную функцию
5 Выполнить пп 2-4 для всех коэффициентов динамического
звена
6 Выполнить пп 1-5 для всех динамических звеньев
7 Подготовить ответы на контрольные вопросы
15
8 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) титульный лист
б) передаточные функции и схемы моделирования исследуемых
звеньев
в) экспериментально полученные характеристики при вариа-
ции параметров каждого звена
г) выводы обобщающие проделанные эксперименты по каждо-
му звену
д) ответы на контрольные вопросы
Контрольные вопросы
1 Что называется передаточной функцией
2 Что называется переходной и импульсной (весовой)
функциями Какова связь между ними
3 Как пользуясь временными характеристиками определить
параметры (коэффициенты передаточной функции) звена
Пояснить на конкретных примерах
4 Перечислите динамические характеристики САУ
5 Что называется характеристическим уравнением
16
Лабораторная работа 2
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СТРУКТУРНЫХ СХЕМ
1 Цель работы
Целью работы является изучение структурных преобразований и
нахождения передаточных функций с использованием автоматизиро-
ванных средств моделирования на ПК ndash MATLAB SIMULINK
2 Задачи работы
ndash Закрепление углубление и расширение знаний студентов при
исследовании преобразований структурных схем
ndash Приобретение умений и навыков работы с программой мате-
матического моделирования MATLAB
ndash Овладение несколькими методами преобразования структур-
ных схем
3 Теоретическая часть
Для наглядного представления сложной системы как совокупно-
сти элементов и связей между ними используются структурные
схемы
Структурной схемой называется схема САУ изображенная в
виде соединения ПФ составляющих ее звеньев
Структурная схема показывает строение автоматической систе-
мы наличие внешних воздействий и точки их приложения пути рас-
пространения воздействий и выходную величину Динамическое или
статическое звено изображается прямоугольником в котором указы-
вается ПФ звена Воздействия на систему и влияние звеньев друг на
друга (сигналы) изображаются стрелками В каждом звене воздей-
ствие передается только от входа звена к его выходу
На динамическое звено может воздействовать лишь одна вход-
ная величина поэтому используются блоки суммирования и сравне-
ния сигналов Суммироваться и сравниваться могут лишь сигналы
одной и той же физической природы
Структурная схема может быть составлена по уравнению систе-
мы в пространстве состояний или по системе дифференциальных
уравнений При составлении структурной схемы удобно начинать с
изображения задающего воздействия и располагать динамические
17
звенья составляющие прямую цепь системы слева направо до регу-
лируемой величины Тогда основная обратная связь и местные обрат-
ные связи будут направлены справа налево
Различные способы преобразования структурных схем облегча-
ют определение ПФ сложных САУ и дают возможность привести
многоконтурную систему к эквивалентной ей одноконтурной схеме
Преобразование структурной схемы должно осуществляться на
основании правил основные из них приведены в табл 1
При выполнении преобразований следует каждое имеющееся в
схеме типовое соединение заменить эквивалентным звеном Затем
можно выполнить перенос точек разветвления и сумматоров чтобы в
преобразованной схеме образовались новые типовые соединения зве-
ньев Эти соединения опять заменяются эквивалентными звеньями
затем вновь может потребоваться перенос точек разветвления и
сумматоров и т д
Различают основные соединения блоков в структурных схемах
последовательное соединение параллельное соединение антипарал-
лельное соединение (обратная связь) в свою очередь обратная связь
может быть отрицательной и положительной Таблица 1
Основные правила преобразования структурных схем
Преобразование
Структурная схема
Исходная Эквивалентная
Свертывание
последовательного
соединения
W1 W2 Wnu y
Wu y
nWWWW 21
Свертывание
параллельного
соединения
Wn
W2
W1
u y
Wu y
nWWWW 21
Свертывание
обратной связи
W1u plusmn y
W2
Wu y
21
1
1 WW
WW
18
Окончание табл 1
Преобразование
Структурная схема
Исходная Эквивалентная
Перенос узла через
звено вперед
Wu y
x
Wu y
xW1
WW
11
Перенос узла через
звено назад
Wu y
y
Wu y
yW
Перенос сумматора
через звено вперед
Wu1 y
u2
plusmn
Wu1 y
u2
plusmn
W
Перенос сумматора
через звено назад
Wu1 y
u2
plusmn
Wu1 y
u2
plusmn
W1
WW
11
Перенос прямой
связи через звено W2yu
plusmnW1
W3
W2 yu
plusmnW1
W3 W2
Перенос узла через
сумматор вперед
x1
+
- y
x1
x2
x1
+
- y
x1x2
+
+
Перенос узла через
сумматор назад
x1
+
- y
x2
y
x1
+
- y
x2y
+
-
Пример Пусть необходимо получить эквивалентное представ-
ление для структуры приведенной на рис 1
19
W1
W2 W3
W4
W5 W6
W7
+
+
+
-
Рис 1 Исходная схема САУ
Преобразование включает несколько этапов показанных на рис 2ndash5
W1
W2 W3
W4
W5 W6
W7
+
+
+
-
1W6
Рис 2 Перенос узла через звено вперед
567
659
1 WWW
WWW
6
48
W
WW
Рис 3 Свертывание обратной связи и последовательного соединения
2110 WWW
983
9311
1 WWW
WWW
Рис 4 Свертывание обратной связи и Рис 5 Свертывание последователь-
параллельного соединения ного соединения
W10 W11 WЭкв
543765
653265311110
1 WWWWWW
WWWWWWWWWWWЭкв
W1
W2
W8
W3 W9
+
+
20
Таким образом первый способ преобразования структурных
схем заключается в непосредственном использовании правил приве-
денных в табл1 Неудобство использования этого подхода заключа-
ется в том что порядок применения формул здесь достаточно произ-
волен возможны ошибочные шаги усложняющие поиск решения
Второй способ для получения ПФ многоконтурной системы за-
ключается в использовании модели системы в виде сигнального
графа
Сигнальный граф позволяет графически описать линейные связи
между переменными он состоит из узлов (вершин) и соединяющих их
направленных ветвей
Ветвь соответствует блоку структурной схемы она отражает за-
висимость между входной и выходной переменными Сумма всех
сигналов входящих в узел образует соответствующую этому узлу
переменную
Последовательность ветвей между двумя узлами называется пу-
тем Контуром называется замкнутый путь который начинается и
заканчивается в одном и том же узле причем ни один узел не встре-
чается на этом пути дважды
Контуры называются некасающимися если они не имеют общих
узлов
Сигнальный граф ndash это просто наглядный метод записи системы
алгебраических уравнений показывающий взаимосвязь между пере-
менными
r1
r2
a11
a22
x1
x2
a12a21
Рис 6 Сигнальный граф для двух алгебраических выражений
В качестве примера рассмотрим следующую систему алгебраи-
ческих уравнений
21
11212111 xrxaxa (1)
22222121 xrxaxa (2)
здесь r1 и r2 ndash входные переменные а x1 и x2 ndash выходные переменные
Сигнальный граф соответствующий уравнениям (1) и (2) изображен
на рис 6 Уравнения (1) и (2) можно записать в ином виде
1122111 )()1( raxax
2222211 )1()( raxax
Решая последнюю систему по правилу Крамера получим
212
122
21122211
2121221
)1(
)1)(1(
)1(r
ar
a
aaaa
rarax
121
211
21122211
1212112
)1(
)1)(1(
)1(r
ar
a
aaaa
rarax
В этих решениях знаменатель равен определителю составлен-
ному из коэффициентов при неизвестных и его можно записать так
21122211221121122211 1)1)(1( aaaaaaaaaa
В данном случае знаменатель равен единице минус коэффици-
енты передачи отдельных контуров a11 a22 и a12a21 плюс произведе-
ние коэффициентов передачи двух некасающихся контуров a11 и a22
Контуры a22 и a12a21 являются касающимися так же как и контуры a11
и a21a12
В решении для x1 по отношению ко входу r1 числитель равен
единице умноженной на (1-a22) те значение определителя некаса-
ющегося пути от r1 к x1 В решении для x1 по отношению ко входу
r2числитель просто равен a12 тк этот путь касается всех контуров
Числитель выражения x2 симметричен соответствующему числителю
для x1
В общем случае линейная зависимость Tij между независимой
переменной xi (часто называемой входной переменной) и зависимой
переменной xj определяется по формуле Мейсона
22
k
ijkijk
ij
P
T
где Pijk ndash коэффициент передачи k-го пути от переменной xi к пере-
менной xj Δ ndash определитель графа Δijk ndash дополнительный множитель
для пути Pijk а суммирование производится по всем возможным k пу-
тям от xi до xjДополнительный множитель Δijk равен определителю
всех касающихся контуров при удалении k-го пути
Определитель находится как
QM
qm
LSR
lsrlsrqm
K
kk LLLLLL
11
1111
1
где Kk kL
1ndash сумма коэффициентов передачи всех отдельных конту-
ров QM
qm qmLL
11ndash сумма произведений всех возможных комбина-
ций из двух некасающихся контуров LSR
lsr lsr LLL
111ndash сумма про-
изведений всех возможных комбинаций из трех некасающихся кон-
туров
Таким образом правило вычисления Δ через значение L1 L2
L3hellipLN таково Δ = 1- (сумма коэффициентов передачи всех отдель-
ных контуров) + (сумма произведений всех возможных комбинаций
из 2 некасающихся контуров) ndash (сумма произведений всех возмож-
ных комбинаций из 3 некасающихся контуров) +hellip
Формула Мейсона часто используется в несколько упрощенном
виде для определения связи между выходной переменной Y(s) и
входной переменной X(s) те
)()(
)( 1
N
iiiP
sWsX
sY
где Pi ndash i-й путь от входа к выходу N ndash количество путей Δ ndash опреде-
литель графа специальный полином который определенным образом
характеризует совокупность всех замкнутых цепей системы содер-
жащих обратные связи и вычисляется как сумма передаточных
функций разомкнутых контуров этих цепей и произведений
23
передаточных функций разомкнутых контуров пар троек и тд не со-
прикасающихся друг с другом цепей с обратными связями Δi ndash до-
полнительный множитель для пути составляется по правилу анало-
гичному Δ но только для цепей с обратными связями не соприкаса-
ющихся с i-м прямым каналом
Дополнительный множитель для i-го пути равен определителю
графа в котором приравнены нулю коэффициенты передачи конту-
ров касающихся этого пути
Рассмотрим пример получения ПФ многоконтурной системы с
использованием формулы Мейсона для структуры на рис 1 которая
соответствует графу показанному на рис 7
X(s) Y(s)W1
W2
W3 W5 W6
W4 -W7
Рис 7 Описание системы управления сигнальным графом
От входа к выходу ведут два пути
65311 WWWWP
65322 WWWWP
В графе есть 2 контура
5431 WWWL
7652 WWWL
Контур L1 пересекает контур L2 поэтому определитель графа
вычисляется по формуле
)(1 21 LL
Контуры в этом примере пересекают все пути поэтому допол-
нительные множители путей равны
24
11
12
Окончательно можно записать
1
)(543765
65326531
2
1
WWWWWW
WWWWWWWWP
sW iii
Таким образом использование сигнальных графов и применение
формулы Мейсона позволяет алгоритмизировать процесс упрощения
структурной схемы
Третий способ для получения ПФ заключается в составлении
системы уравнений Необходимо обозначить выходы сумматоров и
составить систему уравнений на основе этих обозначений На рис9
представлена исходная схема с обозначенными сумматорами
W1
W2 W3
W4
W5 W6
W7
+
+
+
-
Z H
u y
Рис 9 Исходная схема САУ с обозначенными сумматорами
Опишем все сигналы в системе в виде уравнений
)( 4521 HWWuWWZ
73 yWZWH
65 HWWy
Подставив последовательно значения сигналов найдем ПФ
))(( 734521 yWWHWWuWWH
После преобразования получим
25
1
)(
543
73231
WWW
yWuWWWWH
Подставим полученное значение H в уравнение y
1
))((
543
6573231
WWW
WWyWuWWWWy
Получим ПФ вида
1
)(543765
65326531
WWWWWW
WWWWWWWW
u
ypW
4 Краткое описание MATLAB
Лабораторная работа выполняется в программе математического
моделирования MATLAB Программа MATLAB включает в себя пакет
прикладных программ для решения технических задач и одноименный
язык программирования используемый в этом пакете
Основными компонентами системы являются базовая система
MATLAB и пакет моделирования систем Simulink Остальные пакеты
расширения разбиты на 4 категории ndash расширения Extension MATLAB и
Extension Simulink а также комплексы пакетов расширения Blockset и
Toolbox
Раздел MATLAB Extension содержит средства для подготовки ис-
полняемых приложений MATLAB (с подключаемыми библиотеками и
без них)
Раздел Toolbox (инструментальные средства) содержит самое
большое число пакетов расширений системы MATLAB такие как
laquoControl systemraquo laquoDatabaseraquo laquoFuzzy logicraquo laquoWaveletraquo и тд
В разделе Blockset расположено несколько пакетов относящихся к
главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink такие как
laquoDSPraquo laquoFixed-Pointraquo laquoNonlinear control designraquo и laquoPower systemsraquo
В разделе Extension Simulink имеется ряд средств предназначен-
ных для моделирования в реальном масштабе времени и событийно-
управляемом моделировании
26
5 Структурные преобразования в MATLAB
В пакете MATLAB имеется ряд функций с помощью которых
можно выполнять структурные преобразования (используется экви-
валентная схема)
ndash series(w1w2) ndash последовательное соединение звеньев
ndash parallel(w1w2) ndash параллельное соединение звеньев
ndash feedback(w1w2) ndash включение звена w2 в контур отрицательной об-
ратной связи к w1
ndash feedback(w1w2sign) ndash включение звена w2 в контур обратной связи
звена w1 с указанием знака + или ndash (очевидно feedback(w1w2)=
=feedback(w1w2-1))
Пример
Даны две передаточные функции
22
221
ss
sW
22
322
2
2
ss
ssW
Опишем ПФ введя в окне команд MatLab следующие команды
gtgt w1=tf([1 2][1 2 2])
gtgt w2=tf([1 2 3][1 2 2])
Выполним структурные преобразования для данных ПФ
gtgt w2=series(w1w2)
Transfer function
s^3 + 4 s^2 + 7 s + 6
------------------------------------
s^4 + 4 s^3 + 8 s^2 + 8 s + 4
gtgt w3=parallel(w1w2)
Transfer function
s^4 + 5 s^3 + 13 s^2 + 16 s + 10
----------------------------------------
s^4 + 4 s^3 + 8 s^2 + 8 s + 4
27
gtgt w4=feedback(w1w2)
Transfer function
s^3 + 4 s^2 + 6 s + 4
----------------------------------------
s^4 + 5 s^3 + 12 s^2 + 15 s + 10
Для проверки правильности проведенных преобразований необ-
ходимо собрать схему исходной САУ и соответствующую ей эквива-
лентную схему в MATLAB Simulink
Исходная схема САУ собирается как модель из соответствую-
щих элементов таких как laquoTransfer Fncraquo laquostepraquo laquosignal builderraquo
laquoscoperaquo и laquosumraquo Все эти элементы находятся в пакете laquoSimulinkraquo и
представлены в виде блоков Для того чтобы создать новую модель
необходимо нажать laquoFile-gtNew-gtModel (Simulink)raquo после откроется
окно модели в которую нужно будет добавлять элементы из библио-
теки для доступа к ней необходимо нажать на значок laquoLibrary Brows-
erraquo
Описание используемых элементов из пакета Simulink
1 Transfer Fnc ndash передаточная функция
2 Step ndash единичный скачок (функция Хэвисайда) в блоке необходи-
мо задать время начала перехода (step time)
3 Signal builder ndash блок для моделирования сигнала по заданным па-
раметрам (можно построить единичный скачок и импульсную функ-
цию)
4 Scope ndash виртуальный осциллограф отображает получившийся гра-
фик открывается двойным щелчком левой клавиши мыши и для кор-
рекции масштаба необходимо нажать правой кнопкой по графику и
из выпадающего меню выбрать laquoautoscaleraquo
5 Sum ndash сумматор в параметрах задается число сигналов соответ-
ственно laquo+raquo - положительный laquondashraquo - отрицательный
Так же нужно задать время работы модели для этого необходи-
мо выбрать laquoSimulation-gtSimulation parametersraquo и установить пара-
метр laquostop timeraquo на нужное значение и после необходимо запустить
модель на выполнение нажав на значок laquoStart simulationraquo Пример
модели составленной в MATLAB представлен на рис 10
28
Рис 10 Пример схемы САУ с блоком laquosignal builderraquo
Задача считается решенной если при подаче на вход обоих
схем одинаковых тестовых воздействий (единичный скачок импуль-
сная функция) наблюдаются одинаковые выходные сигналы
6 Задание на лабораторную работу
Выполнить преобразование структурной схемы САУ в эквива-
лентную передаточную функцию Составить модель исходной схемы
САУ в MATLAB С помощью ряда функций MATLAB (структурные
преобразования) составить эквивалентную схему Вариант задания
назначается преподавателем
7 Методика выполнения задания
Порядок выполнения работы
1 Выполнить преобразование заданного варианта структурной
схемы САУ (см табл 2) в эквивалентную ПФ тремя способами
ndash непосредственно используя правила табл 1
ndash используя представление в виде сигнального графа и формулу
Мейсона
ndash составив систему уравнений и решив еѐ
2 В качестве звеньев W1W2W3 использовать передаточные
функции звеньев представленных в табл 2
3 Составить модель исходной схемы САУ в MATLAB постро-
ить реакцию получившейся модели на ступенчатое и импульсное
воздействия
4 С помощью ряда функций MATLAB (структурные преобразо-
вания) составить эквивалентную схему и построить реакцию на сту-
пенчатое и импульсное воздействия
5 Подготовить ответы на контрольные вопросы
29
Таблица 2
Варианты структур САУ
Исходная схема
Передаточные
функции
1 W1
W3
W2
-
+
-
+
u y
+
1
31
sW
2
442
s
sW
12
133
s
sW
2 W1
W3
W2
-
+
-
+
u y
+ +
3 W3
W2
W1
-
+
-
+
u y
+ +
4 W3
W1
W2
+
+
-
+
u y
+ +
1
21
sW
2
12
sW
12
13
s
sW
5
W1
W3
W2
-
+
-
+
u y
+ +
6
W1
W3
W2
-
+
-
+
u y
+
62
31
sW
2
52
sW
1
23
s
sW
7
W1
W3
W2
-
+
-
+
u y
+ +
8
W1
W2
W3
-
+
-
+
u y
+ +
30
8 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) описание всех этапов преобразования исходной схемы и по-
лучающихся промежуточных результатов выполненными тремя спо-
собами моделирование реакции схемы на типовое воздействие (ска-
чок) до и после преобразования
б) сигнальный граф системы описание путей контуров расчет
ПФ по формуле Мейсона
в) решение составленной системы уравнений
г) схема модели и протокол команд MATLAB
д) графики переходных процессов при подаче на вход исходной
и эквивалентной схемы типовых тестирующих воздействий (скачок
импульс)
е) ответы на контрольные вопросы
Контрольные вопросы
1 Что называется структурной схемой Какие задачи можно
решить с еѐ помощью
2 Как может быть составлена структурная схема
3 Что позволяет алгоритмизировать процесс упрощения струк-
турной схемы Поясните на конкретном примере
31
Лабораторная работа 3
ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
ДИНАМИЧЕСКИХ ЗВЕНЬЕВ
1 Цель работы
Целью работы является изучение частотных характеристик ти-
повых динамических звеньев с использованием автоматизированных
средств моделирования на ПК ndash MATLAB SIMULINK
2 Задачи работы
ndash Закрепление углубление и расширение знаний студентов при
исследовании частотных характеристик динамических звеньев
ndash Приобретение умений и навыков работы с программой мате-
матического моделирования MATLAB
ndash Выработка способности логического мышления осмысление
полученных данных частотных характеристик
3 Теоретическая часть Сущность метода частотных характеристик заключается в том
что на вход исследуемой системы подается гармонический сигнал (си-
нусоидальные колебания) в широком диапазоне частот Реакция си-
стемы при разных частотах позволяет судить о ее динамических
свойствах
Пусть входной сигнал системы имеет амплитуду а и частоту ω т е
описывается формулой
)sin( tax
Выходной сигнал будет иметь амплитуду А1 и отличаться от вход-
ного по фазе на величину ψ (фазовый сдвиг)
)sin(1 tAy
Таким образом можно рассчитать усиление по амплитуде
1
a
AA
32
Для каждой частоты входного сигнала ω будут свои А и ψ
Изменяя ω в широком диапазоне можно получить зависимость
А(ω) ndash амплитудную частотную характеристику (АЧХ) и ψ(ω) ndash фазо-
вую частотную характеристику (ФЧХ)
Главное достоинство метода частотных характеристик заключа-
ется в том что АЧХ и ФЧХ объекта могут быть получены экспери-
ментально Для этого необходимо иметь генератор гармонических
колебаний который подключается к входу объекта и измеритель-
ную аппаратуру для измерения амплитуды и фазового сдвига колеба-
ний на выходе объекта
Частотные характеристики САУ могут быть получены по ее ПФ
W(s) Для суждения о реакции звена на синусоидальный сигнал доста-
точно исследовать его реакцию на гармонический сигнал вида
)( tjejx
Тогда выходной сигнал определяется по соотношению
)()( ))(( tjeAjy
и частотная ПФ получается равной
)()(
)()( )(
jeA
jx
jyjW
Формально для получения частотной ПФ надо сделать в W(s)
подстановку s = jω и тогда полученная W(jω) является комплексным
выражением которое можно представить в виде
)()(
)()()(
22
11
jba
jbajW
Для нахождения вещественной и мнимой частей частотной пе-
редаточной функции необходимо умножить числитель и знаменатель
на сопряженную знаменателю величину а затем провести
разделение
33
)()()(
)()(
)()()()(
)()(
)()()()(
))()())(()((
))()())(()((
)()(
)()()(
)(
22
22
2112
22
22
2121
2222
2211
22
11
jeAjVU
ba
babaj
ba
bbaa
jbajba
jbajba
jba
jbajW
где
)()()()(22
22
21
2122
ba
baVUjWA
)(
)())(arg()(
2
2
1
1
a
barctg
a
barctg
U
VarctgjW
Графики функции )(U и )(V называют соответственно веще-
ственной и мнимой частотной характеристиками
В практических расчетах удобно применять графики частотных
характеристик построенных в логарифмическом масштабе ndash лога-
рифмические частотные характеристики (ЛЧХ)
Логарифмическая амплитудная частотная характеристика
(ЛАЧХ) определяется следующим выражением
)(lg20)( AL
Логарифмической фазовой частотной характеристикой
(ЛФЧХ) называется график зависимости )( построенный в лога-
рифмическом масштабе частот
Единицей L(ω) является децибел (дБ) а единицей логарифма ча-
стоты ndash декада Декадой называют интервал частот на котором часто-
та изменяется в 10 раз При изменении частоты в 10 раз говорят что
она изменилась на одну декаду Ось ординат при построении ЛЧХ про-
водят через произвольную точку а не через точку ω = 0 Частоте ω = 0
соответствует бесконечно удаленная точка lgω rarr ndash infin при ω rarr 0
Основное преимущество использования ЛЧХ заключается в том
что приближенные (асимптотические) ЛАЧХ типовых динамических
звеньев изображаются отрезками прямых
Пример Построим ЛЧХ апериодического звена первого
34
порядка
Передаточная функция звена
1
)(
Ts
ksW
Частотная передаточная функция
1)(
)1(
1)(
2
T
Tjk
Tj
kjW
1)(
1)( 22
T
kTV
T
kU
Следовательно АЧХ описывается формулой
1)(
)(2
T
kA
ФЧХ строится по формуле
)()( Tarctg
ЛАЧХ апериодического звена 1-го порядка
1)(lg20lg20)( 2 TkL
По этой формуле можно построить две асимптоты ndash прямые к
которым стремится ЛАЧХ при ω rarr 0 и при ω rarr infin Так при ω rarr 0 второе
слагаемое близко к нулю и этот участок ЛАЧХ представляет собой
горизонтальную прямую
lg20)( kL
При ω rarr infin получаем наклонную прямую
1)(lg20)( 2 TL
35
Для определения наклона этой прямой можно рассмотреть гра-
ницы декады
T
1 и
10
T
Изменение ЛАЧХ между этими точками
)(2011
lg20110
lg20)(
22
декдБT
TT
TL
ЛЧХ часто называют диаграммами Боде
4 Краткое описание MATLAB
Лабораторная работа выполняется в программе математического
моделирования MATLAB Она включает в себя пакет прикладных про-
грамм для решения технических задач и одноименный язык программи-
рования используемый в этом пакете
Основными компонентами системы являются базовая система
MATLAB и пакет моделирования систем Simulink Остальные пакеты
расширения разбиты на 4 категории ndash расширения Extension MATLAB и
Extension Simulink а также комплексы пакетов расширения Blockset и
Toolbox
Раздел MATLAB Extension содержит средства для подготовки ис-
полняемых приложений MATLAB (с подключаемыми библиотеками и
без них)
Раздел Toolbox (инструментальные средства) содержит самое
большое число пакетов расширений системы MATLAB такие как
laquoControl systemraquo laquoDatabaseraquo laquoFuzzy logicraquo laquoWaveletraquo и тд
В разделе Blockset расположено несколько пакетов относящихся к
главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink такие как
laquoDSPraquo laquoFixed-Pointraquo laquoNonlinear control designraquo и laquoPower systemsraquo
В разделе Extension Simulink имеется ряд средств предназначен-
ных для моделирования в реальном масштабе времени и событийно-
управляемом моделировании
36
5 Построение частотных характеристик в MATLAB В пакете MATLAB ЛЧХ объекта заданного с помощью ПФ
можно получить командой bode
Пример
gtgt w=tf([1 2][3 4 5])
gtgt bode(w)
Для нескольких вариантов передаточной функции можно исполь-
зовать вариант команды вида
gtgt bode(ww1w2)
Например построим диаграмму Боде при различных параметрах
колебательного звена (рис 1)
gtgt w=tf([1][2 03 1])
gtgt w1=tf([1][2 05 1])
gtgt w2=tf([1][2 01 1])
gtgt bode(ww1w2)
Рис 1 ЛЧХ колебательного звена
6 Задание на лабораторную работу
С помощью пакета MATLAB построить ЛЧХ каждого типового
звена Определить влияние коэффициентов входящих в описание
каждого звена на параметры ЛАЧХ и ЛФЧХ Вариант задания назна-
чается преподавателем
37
7 Методика выполнения задания
Порядок выполнения работы
1 Задать передаточную функцию типового динамического звена
используя параметры из табл 2 лабораторной работы 1
2 Построить диаграмму Боде при различных параметрах типо-
вого динамического звена
3 Определить влияние коэффициентов входящих в описание
каждого звена на параметры ЛАЧХ и ЛФЧХ в том числе
ndash как меняется ширина асимптотических участков ЛАЧХ и
ЛФЧХ
ndash как меняется положение точек пересечения осей ЛАЧХ
4 Написать вывод по влиянию коэффициентов на типовое звено
5 Выполнить пункты 1-4 для всех типовых звеньев
6 Подготовить ответы на контрольные вопросы
8 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) титульный лист
б) краткие теоретические сведения
в) передаточные функции и схемы моделирования исследуемых
звеньев
г) экспериментально полученные характеристики при вариации
параметров каждого звена
д) выводы обобщающие проделанные эксперименты по каждо-
му звену
ж) ответы на контрольные вопросы
Контрольные вопросы
1 Как пользуясь частотными характеристиками определить па-
раметры (коэффициенты передаточной функции) звена Пояс-
нить на конкретных примерах
2 Указать особенности построения ЛАХ и ЛФХ динамических
звеньев Что понимается под асимптотической ЛАХ звена
3 Как осуществляется построение АФХ динамического звена
38
Лабораторная работа 4
ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ СИСТЕМ
С ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ
1 Цель работы
Изучение особенностей практического использования алгебраи-
ческих и частотных критериев устойчивости для анализа динамики
линейных САУ с использованием автоматизированных средств моде-
лирования на ПК ndash MATLAB SIMULINK
2 Задачи работы
ndash Закрепление углубление и расширение знаний студентов при
исследовании устойчивости систем с обратной связью
ndash Приобретение умений и навыков работы с программой мате-
матического моделирования MATLAB
ndash Овладение новыми методами проверки устойчивости систем
с обратной связью
ndash Выработка способности логического мышления осмысления
полученных данных
3 Теоретическая часть
Устойчивость САУ является одним из основных условий ее ра-
ботоспособности и включает требование затухания во времени пере-
ходных процессов
Система является устойчивой если при ограниченном входном
сигнале еѐ выходной сигнал также является ограниченным Если
система устойчива то она противостоит внешним воздействиям а
выведенная из состояния равновесия возвращается снова к нему
Система с расходящимся переходным процессом будет неустойчивой и
неработоспособной
Необходимое и достаточное условие устойчивости заключается в
том чтобы все корни характеристического уравнения (полюсы пере-
даточной функции системы) имели отрицательные вещественные ча-
сти Иначе говоря условием устойчивости системы является распо-
ложение всех полюсов в левой комплексной полуплоскости Тогда все
полюсы будут давать затухающую реакцию
Выше сформулированное условие устойчивости справедливо как
39
для линейных так и для линеаризованных систем Однако в случае
нулевых или чисто мнимых корней характеристического уравнения
вопрос об устойчивости линеаризованной системы может быть ре-
шен только на основании исследования ее нелинейных уравнений
В конце XIX и первой половине XX в задача вычисления корней
характеристического уравнения высокого порядка вызывала боль-
шие проблемы Поэтому были предложены несколько косвенных
методов оценки устойчивости позволяющих обойтись без вычисле-
ния корней ndash по значениям коэффициентов характеристического
уравнения
Критерии устойчивости разделяют на алгебраические и частот-
ные В частности к алгебраическим критериям относится критерий
Гурвица к частотным критериям ndash критерий Найквиста
Критерий Гурвица является алгебраическим критерием и при-
меняется к коэффициентам характеристического уравнения замкнутой
системы
Пусть имеется характеристическое уравнение замкнутой
системы
0011
1 apapapa n
nn
n
Из коэффициентов характеристического уравнения составляют
матрицу по правилу
1 По диагонали записываются коэффициенты от 1na до 0a
2 Каждая строка дополняется коэффициентами с возрастающи-
ми индексами слева направо так чтобы чередовались строки с нечет-
ными и четными индексами
3 В случае отсутствия индекса а также если он меньше 0 или
больше п на его место пишется 0
Таким образом матрица Гурвица приобретает следующий вид
40
Критерий устойчивости формулируется так
Чтобы система была устойчивой необходимо и достаточно что-
бы при 0na были положительными все п диагональных определи-
телей получаемых из матрицы Гурвица
Первые три определителя матрицы Гурвица имеют следующий
вид
Таким образом критерий Гурвица позволяет судить об абсо-
лютной устойчивости но он не дает возможности оценивать относи-
тельную устойчивость по корням характеристического уравнения
Частотный критерий устойчивости Найквиста анализирует
АФЧХ разомкнутой системы
Пусть имеется АФЧХ разомкнутой системы W(jω)
Для нахождения вещественной и мнимой части частотной ха-
рактеристики нужно освободиться от мнимости в знаменателе путем
умножения числителя и знаменателя на комплексную величину со-
пряженную знаменателю а затем выполнить разделение на веще-
ственную и мнимую части W(jω) приобретает вид
)()()( jQPjW
Задаваясь различными значениями частоты можно найти мно-
жество пар )()( 11 jQP )()( 22 jQP )()( nn jQP
Затем по этим парам строится АФЧХ на комплексной плоскости
Основные свойства АФЧХ разомкнутой системы
1 Если разомкнутая система не имеет интегрирующих звеньев
то при ω = 0 ее АФЧХ начинается на вещественной оси в точке
Р(ω)=К (где К ndash коэффициент усиления разомкнутой системы) За-
канчивается АФЧХ в начале координат при ω rarr infin (рис 1 а)
2 Если разомкнутая система имеет одно интегрирующее звено то
ее АФЧХ начинается при ω = 0 в бесконечности на отрицательной мни-
мой полуоси а заканчивается в начале координат при ω rarr infin (рис 1 б)
41
Рис 1 АФЧХ разомкнутой системы
Критерий устойчивости Найквиста формулируется так
1 Если разомкнутая система устойчива или находится на гра-
нице устойчивости то для того чтобы замкнутая система была
устойчива необходимо и достаточно чтобы АФЧХ разомкнутой
системы при изменении частоты ω от 0 до infin не охватывала точку с ко-
ординатами (-1 j0)
2 Если разомкнутая система неустойчива а ее передаточная
функция имеет т полюсов справа от мнимой оси на комплексной
плоскости то для устойчивости замкнутой системы необходимо и до-
статочно чтобы АФЧХ разомкнутой системы при изменении частоты
ω от -infin до +infin охватывала т раз точку с координатами (-1 j0)
При использовании этого критерия нужно учитывать две
особенности
1 Если разомкнутая система находится на границе устойчиво-
сти то ее АФЧХ уходит в бесконечность Для проверки критерия Най-
квиста нужно мысленно соединить конец АФЧХ дугой бесконечно
большого радиуса с положительной вещественной полуосью
2 На практике АФЧХ может строиться только для положитель-
ных частот (0 lt ω lt +infin) При применении критерия Найквиста счита-
ется что ветвь АФЧХ для отрицательных частот симметрична отно-
сительно вещественной оси
Физический смысл критерия устойчивости Найквиста заключа-
ется в том что система будет неустойчива если фаза выходного сиг-
нала противоположна фазе входного сигнала а коэффициент усиле-
ния больше 1 Поэтому для анализа устойчивости можно использо-
вать не АФЧХ а ЛАХ системы (для минимально-фазовых систем)
Система устойчива если на частоте среза значение фазы не превы-
шает -π Соответственно для устойчивой системы можно рассматри-
вать на ЛФЧХ запас устойчивости по фазе ndash расстояние от значения
фазы на частоте среза до уровня -π и запас устойчивости по амплиту-
42
де ndash расстояние от оси частот ЛАЧХ до значения усиления на часто-
те где фаза становится равной -π
4 Краткое описание MATLAB
Лабораторная работа выполняется в программе математического
моделирования MATLAB Программа MATLAB включает в себя пакет
прикладных программ для решения технических задач и одноименный
язык программирования используемый в этом пакете
Основными компонентами системы являются базовая система
MATLAB и пакет моделирования систем Simulink Остальные пакеты
расширения разбиты на 4 категории ndash расширения Extension MATLAB и
Extension Simulink а также комплексы пакетов расширения Blockset и
Toolbox
Раздел MATLAB Extension содержит средства для подготовки ис-
полняемых приложений MATLAB (с подключаемыми библиотеками и
без них)
Раздел Toolbox (инструментальные средства) содержит самое
большое число пакетов расширений системы MATLAB такие как
laquoControl systemraquo laquoDatabaseraquo laquoFuzzy logicraquo laquoWaveletraquo и тд
В разделе Blockset расположено несколько пакетов относящихся к
главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink такие как
laquoDSPraquo laquoFixed-Pointraquo laquoNonlinear control designraquo и laquoPower systemsraquo
В разделе Extension Simulink имеется ряд средств предназначен-
ных для моделирования в реальном масштабе времени и событийно-
управляемом моделировании
5 Исследование устойчивости САУ в MATLAB
Для проверки устойчивости САУ по Гурвицу постройте матрицу
Гурвица и найдите ее детерминант (функция det) Затем последова-
тельно уменьшая размер матрицы найдите значения всех диагональ-
ных детерминантов Пример
gtgt А=[1 14 18 2 5 2 3 4 3]
А =
1 14 18
2 5 2
3 4 3
gtgt det(A)
ans = -119
43
gtgt А1=А(12 12)
А1 =
1 14
2 5
gtgt det(A1)
ans = -23
Для проверки устойчивости САУ по Найквисту сначала нужно
выяснить является ли устойчивой разомкнутая система
Пример Пусть дана передаточная функция разомкнутой
системы
13232
12234
pppp
pW
Рассмотрим реакцию на скачок
gtgt w=tf([2 1][2 3 2 3 1])
gtgt step(w18)
График переходного процесса показан на рис 2
Рис 2 Переходная реакция
Разомкнутая система неустойчива и согласно критерию Найкви-
ста надо чтобы АФЧХ разомкнутой системы охватывала точку (-1 j0)
44
столько раз сколько полюсов имеется справа от мнимой оси Для по-
строения АФЧХ достаточно вызвать команду nyquist
gtgt nyquist(w)
Диаграмма Найквиста показана на рис 3
Рис 3 Диаграмма Найквиста для неустойчивой системы
Как показывает рис3 АФЧХ ни разу не охватывает точку
(-1 j0) поэтому замкнутая система будет неустойчивой Частотный
критерий Найквиста можно использовать и в том случае когда рас-
сматривается не АФЧХ а ЛАЧХ разомкнутой системы замкнутая
минимально-фазовая система устойчива если при достижении ЛФЧХ
значения -π ЛАЧХ будет отрицательной
Используя ЛАЧХ и ЛФЧХ можно оценить запасы устойчивости
системы по амплитуде и по фазе с помощью команды
gtgt margin(w)
Пример
gtgt w=tf([10][2 2 3 1])
gtgt margin(w)
Соответствующий график показан на рис 4
45
Рис 4 Определение запасов устойчивости по амплитуде и по фазе
6 Задание на лабораторную работу
Выполнить исследование устойчивости замкнутой системы по за-
данной передаточной функции разомкнутой системы Определить запас
устойчивости по амплитуде и по фазе Вариант задания назначается
преподавателем
7 Методика выполнения задания
Порядок выполнения работы
1 Рассчитать передаточную функцию замкнутой системы по
приведенной в табл 1 разомкнутой системе
2 Определить устойчивость замкнутой системы используя кри-
терий Гурвица
3 Определить устойчивость замкнутой системы используя кри-
терий Найквиста
4 Определить запас устойчивости по амплитуде и по фазе ис-
пользуя ЛАЧХ и ЛФЧХ
5 Выполнить моделирование переходных процессов разомкну-
той и замкнутой систем
6 Подготовить ответы на контрольные вопросы
46
Таблица 1
Варианты заданий
Передаточная функция разомкнутой системы
1 1355
2234
ssss
W
2 110050
1234
ssss
W
3 11010
123
sss
W
4 122105
100234
ssss
W
5 1248
123
sss
W
6 1223
102345
sssss
W
7 11001010
323
sss
W
8 122
1023
sss
W
9 11010
123
sss
W
10 15050332
102345
sssss
W
8 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) титульный лист
б) краткие теоретические сведения
в) переходную функцию разомкнутой системы
г) расчет передаточной функции замкнутой системы
д) расчетные выражения для обоснования устойчивости замкну-
той системы по алгебраическому критерию Гурвица
е) годограф Найквиста разомкнутой системы на основании кото-
рого делается вывод об устойчивости замкнутой системы
ѐ) переходную функцию замкнутой системы
ж) проверку полученных результатов путем компьютерного моде-
лирования переходных процессов разомкнутой и замкнутой си-
стемы в MATLAB Simulink
з) выводы по всем полученным результатам
47
Контрольные вопросы
1 Как связана устойчивость линейной САУ с видом составля-
ющих ее свободного движения
2 Зависит ли устойчивость линейных САУ от амплитуды зада-
ющих воздействий или возмущений
3 Сформулируйте критерий устойчивости Гурвица укажите на
необходимое условие устойчивости линейных САУ вытекаю-
щее из этого критерия
4 Сформулируйте критерий Найквиста для случая САУ устой-
чивых в разомкнутом состоянии а также для астатических САУ
Что такое laquoзапасы устойчивости по фазе и по амплитудеraquo
5 Что называется структурной устойчивостью
48
Лабораторная работа 5
КОРРЕКЦИЯ СТАТИЧЕСКИХ И ДИНАМИЧЕСКИХ
СВОЙСТВ САУ
1 Цель работы
Целью работы является изучение способов обеспечения иско-
мых характеристик САУ с использованием автоматизированных
средств моделирования на ПК ndash MATLAB SIMULINK
2 Задачи работы
ndash Закрепление углубление и расширение знаний студентов при
обеспечении искомых характеристик САУ
ndash Приобретение умений по обеспечению точности (уменьшение
статической ошибки) САУ и выбору значений параметров регулято-
ра обеспечивающих желаемые динамические свойства САУ
ndash Приобретение умений и навыков работы с программой мате-
матического моделирования MATLAB
3 Теоретическая часть
Коррекция статических и динамических свойств САУ имеет
своей целью повышение статической и динамической точности отра-
ботки системой задающего воздействия (или парирование возмуща-
ющего воздействия) повышение запасов ее устойчивости Наиболее
распространенными способами коррекции свойств САУ является из-
менение коэффициента усиления ее разомкнутой части введение в
САУ новых звеньев (как правило интегрирующего или дифференци-
рующего типа) охват объекта управления местной обратной связью
31 Коррекция статических свойств САУ
Статические свойства системы определяются величиной устано-
вившейся ошибки )t(уст вызванной действием задающего воздей-
ствия и определяемой по формуле
22
210 2 dttgdcdttdgctgctуст (1)
где )(tg - входное воздействие 210 ccc - коэффициенты ошибок
Коэффициенты ошибок определяются по формулам
49
dssdcdssdcscs
mmmss 00100
где s - передаточная функция САУ по ошибке управления рав-
ная
sW
sраз
1
1
sWраз - передаточная функция разомкнутой САУ
Основными способами уменьшения статической ошибки систе-
мы являются
1) увеличение коэффициента усиления прямого тракта системы
2) введение в прямой тракт системы интегрирующих звеньев
3) охват объекта управления местной неединичной положитель-
ной обратной связью
Представим структурную схему системы в виде изображенном
на рис 1 где через sW обозначена передаточная функция неизме-
няемой части системы
bsbsb
asasasW
nn
nn
mm
mm
01
1
01
1
Здесь и далее полагается что KKKsW s 000 0 ndash из-
меняемый коэффициент усиления регулятора системы
Первые два коэффициента ошибок 0c и 1c определяется выраже-
ниями
KK
c0
01
1
(2)
KK
dssdWKc
s
20
01
1
(3)
Из (2) и (3) с учетом (1) вытекает что с увеличением K
статическая ошибка в системе уменьшается и наоборот с уменьше-
нием K статическая ошибка в системе увеличивается
Введем в прямой тракт системы одно интегрирующее звено
50
(рис 2) В этом случае c 00 01 1 KKc
Так как c 00 то система на рис 2 является астатической (с
астатизмом первого порядка) Система имеет нулевую статическую
ошибку при отработке постоянного задающего воздействия
consttg и постоянную обратно пропорциональную K ошибку
constуст при отработке линейно изменяющегося воздействия
tatg
Рис 1 Схема САУ Рис 2 Схема САУ с включенным в прямой
тракт интегрирующим звеном
Охватим неизменяемую часть системы sW местной нееди-
ничной положительной обратной связью с коэффициентом усиления
осK (рис 3) Тогда эквивалентная передаточная функция sWэкв
неизменяемой части системы равна
10011
01
1
aKbsaKbsaKbsb
asasa
sWK
sWsW
ососm
mосmn
n
mm
mm
осэкв
(4)
Если коэффициент усиления K выбрать из условия
a
bKос
0
0
то свободный коэффициент (b0 - Koca0) полинома знаменателя sWэкв
обратится в нуль и sWэкв приобретает интегрирующие свойства
11
11
0
1
1
aKbsaKbsbs
asasasW
ос
m
mосm
n
n
m
m
m
mэкв
g(t) y(t)ε(t)
K W(s)-
g(t) y(t)
Ks W(s)-
ε(t)
51
Следовательно замкнутая система становится астатической (с
астатизмом 1-го порядка) Отсюда 0c =0 а коэффициент 1c будет
равен
aKb
bc
ос 11
01
ε(t)g(t) y(t)
W(s)-
Kос
Wэкв(s)
+
Рис 3 Схема САУ с местной неединичной обратной связью
32 Коррекция динамических свойств САУ
Улучшение динамических свойств САУ заключается в увеличе-
нии быстродействия САУ (уменьшении времени регулирования tрег)
уменьшении перерегулирования (см рис 4) а также увеличении
запасов устойчивости по фазе и по модулю При этом
h
hh
уст
устmax100
где maxh - максимальное значение переходной характеристики за-
мкнутой САУ th
устh - установившееся значение th
Время регулирования tрег - минимальная величина при которой удо-
влетворяется условие
устрег hth
где - заданная величина ошибки (обычно =005 устh )
52
h(t)
tрег
hустhmax
2δ
Рис 4 Быстродействие и перерегулирование САУ
Одним из эффективных средств достижения этой цели является
уменьшение отрицательных фазовых сдвигов в прямом тракте систе-
мы путем охвата неизменяемой части системы местными отрицатель-
ными обратными связями
На рис 5 R(s) представляет собой передаточную функцию регу-
лятора САУ которая считается заданной
ε(t)g(t) y(t)
W(s)-
Kос
Wэкв(s)
-
R(s)
u(t)
Рис 5 Схема САУ с местной обратной связью и регулятором
Пусть неизменяемая часть системы представляет собой аперио-
дическое звено первого порядка те
sT
K)s(W
10
0
Тогда передаточная функция sWэкв эквивалентного объекта
управления равна
sT
K
sWK
sWsW
экв
экв
осэкв
11
где зквK и эквT - коэффициент усиления и постоянная времени
эквивалентного объекта равные
53
KK
KK
осэкв
0
0
1
KK
TT
осэкв
0
0
1 (5)
Из (5) следует что соответствующим выбором осK постоянную
времени эквT эквивалентного объекта можно уменьшить в (1+ 0KKос )
раз по сравнении с постоянной времени 0T объекта без местной об-
ратной связи Тем самым уменьшаются отрицательные фазовые сдви-
ги вносимые прямым трактом системы что приводит к увеличению
запасов устойчивости системы При этом однако уменьшается в
(1+ 0KKос ) раз коэффициент усиления эквK эквивалентного объекта
по сравнению с коэффициентом усиления 0K объекта без местной
обратной связи Это нежелательно так как приводит к уменьшению
быстродействия системы вследствие уменьшения общего коэффици-
ента усиления прямого тракта системы В этом случае с целью обес-
печения необходимого быстродействия системы увеличивают коэф-
фициент усиления регулятора
4 Краткое описание MATLAB
Лабораторная работа выполняется в программе математического
моделирования MATLAB Программа MATLAB включает в себя пакет
прикладных программ для решения технических задач и одноименный
язык программирования используемый в этом пакете
Основными компонентами системы являются базовая система
MATLAB и пакет моделирования систем Simulink Остальные пакеты
расширения разбиты на 4 категории ndash расширения Extension MATLAB и
Extension Simulink а также комплексы пакетов расширения Blockset и
Toolbox
Раздел MATLAB Extension содержит средства для подготовки ис-
полняемых приложений MATLAB (с подключаемыми библиотеками и
без них)
Раздел Toolbox (инструментальные средства) содержит самое
большое число пакетов расширений системы MATLAB такие как
laquoControl systemraquo laquoDatabaseraquo laquoFuzzy logicraquo laquoWaveletraquo и тд
54
В разделе Blockset расположено несколько пакетов относящихся к
главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink такие как
laquoDSPraquo laquoFixed-Pointraquo laquoNonlinear control designraquo и laquoPower systemsraquo
В разделе Extension Simulink имеется ряд средств предназначен-
ных для моделирования в реальном масштабе времени и событийно-
управляемом моделировании
5 Задание на лабораторную работу
Выполнить исследование способов коррекции статических и
динамических свойств САУ Определить время регулирования и пе-
ререгулирования в исходной и скорректированной системах а также
для динамических свойств САУ определить запасы устойчивости в
исходной системе и найти экспериментально значение Kос обеспечи-
вающее в системе заданные показатели качества и запасы устойчиво-
сти Вариант задания назначается преподавателем
Таблица 1
Варианты заданий
варианта
Параметры
1
2
3
4
5
6
7
8
a 05 10 15 20 25 30 35 40
K0 1 2 3 4 5 6 7 8
T c 03 04 05 06 07 08 09 10
ξ 06 07 08 08 07 09 05 04
уст 0 0 005 0 010 007 0 0
tрег c le 13 15 20 25 30 35 40 40
le 0 10 10 5 5 5 0 0
В качестве исходных САУ выступают системы изображенные
на рис 6 и 7
55
ε(t)g(t) y(t)
W(s)-
g(t) y(t)
R(s) W(s)-
ε(t) u(t)
Рис 6 САУ с отрицательной Рис 7 САУ с отрицательной обратной
обратной связью связью и регулятором
6 Методика выполнения задания
При исследовании способов коррекции статических свойств
САУ в качестве исходных данных выступает передаточная функция
sW неизменяемой части системы вида
1222
0
sTsT
KsW (6)
и задающие воздействия вида ttg 1 в соответствии с таблицей 1
В процессе выполнения этой части работы необходимо
1) путем моделирования в системе MATLAB исходной САУ
(рис 6) получить графики ttytg
2) сравнить полученную таким образом экспериментальную ве-
личину t с теоретической величиной вычисленной по формуле (1)
3) применяя описанные в теоретической части методических
указаний способы коррекции статических свойств (см п 31) обес-
печить требуемую статическую ошибку εуст системы при отработке
задающего воздействия ttg 1
4) получить графики ty и t в скорректированной системе
для 1 ttg
5) сравнить время регулирования регt и перерегулирование в
исходной и скорректированной системах при 1 ttg
При исследовании рассмотренного способа коррекции динами-
ческих свойств САУ (см п 32) в качестве исходных данных высту-
пают передаточная функция sW неизменяемой части системы
вида (6) и передаточная функция регулятора вида
s
KsR
рег
56
Задающее воздействие ttg 1
В процессе выполнения данной части работы необходимо
1) получить путем моделирования в MATLAB графики ty t
в системе (рис 7)
2) определить время регулирования регt и перерегулирование
а также запасы устойчивости в исходной системе
3) применяя описанный выше способ коррекции динамических
свойств САУ найти экспериментально (путем последовательного пе-
ребора) значение осK обеспечивающее в системе заданные заданием
показатели качества ( регt ) и запасы устойчивости (при необхо-
димости увеличить коэффициент регK )
4) получить графики ty t а также ЛАХ и ЛФХ разомкну-
той системы в скорректированной САУ
7 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) титульный лист
б) структурные схемы исследуемых систем
в) полученные графики и характеристики
г) значения полученные экмпериментально которые
обеспечивают заданные показатели качества и запасы устойчивости
д) выводы обощающие проделанные эксперименты для
коррекции статических и динамических свойств САУ
е) ответы на контрольные вопросы
Контрольные вопросы 1 Дать определение статической и астатической САУ
2 Какими структурными свойствами системы определяется по-
рядок ее астатизма
3 Какой из двух приведенных выше способов придания системе
свойств астатизма 1-го порядка наиболее предпочтителен на
практике
4 Назовите основные показатели качества САУ Поясните их
смысл
5 В чѐм суть исследуемого способа коррекции динамических
свойств САУ
57
6 Назвать другие способы коррекции динамических свойств
САУ
7 Чем вызваны отрицательные фазовые сдвиги в неизменяемой
части САУ
58
Лабораторная работа 6
МЕТОД КОРНЕВОГО ГОДОГРАФА
1 Цель работы
Целью работы является построение корневого годографа и ис-
следование динамики системы с использованием автоматизирован-
ных средств моделирования на ПК ndash MATLABSIMULINK
2 Задачи работы
ndash Закрепление углубление и расширение знаний студентов при
исследование динамики системы
ndash Овладение навыком построения корневого годографа
ndash Приобретение умений и навыков работы с программой мате-
матического моделирования MATLAB
3 Теоретическая часть
Корневым годографом (КГ) называется совокупность траекто-
рий перемещения всех корней характеристического уравнения за-
мкнутой системы при изменении какого-либо параметра этой систе-
мы
Обычно метод КГ позволяет находить полюса и нули ПФ за-
мкнутой системы располагая полюсами и нулями разомкнутой си-
стемы при изменении коэффициента усиления разомкнутой системы
K
ПФ разомкнутой системы Wp(s) представим в следующем виде
)(
)(
1
1
0
n
ii
m
jj
p
ss
ssKC
sW (1)
где 0js ndash нули ПФ sWp )1( mj
is ndash полюса ПФ sWp
)1( nj n и m ndash порядки знаменателя и числителя C ndash коэффици-
ент представления (отношение коэффициентов при старших членах
числителя и знаменателя)
59
При замыкании системы с ПФ sWp единичной отрицатель-
ной обратной связью ПФ замкнутой системы sWз принимает вид
)(1
)(
sW
sWsW
p
pз
(2)
Из выражения (2) следует что нули ПФ замкнутой системы рав-
ны нулям ПФ разомкнутой системы
Для нахождения полюсов рассмотри выражение
01 sWp (3)
в соответствии с выражением (1) имеем
n
i
m
jjin
ii
m
jj
ssKCss
ss
ssKC
1 1
0
1
1
0
)()(01
)(
)(
(4)
На основании выражения (4) можно сказать что при K = 0 корни
характеристического уравнения совпадают с полюсами а при K = infin ndash
с нулями При изменении K от 0 до infin траектории корней начинаются
в полюсах и заканчиваются в нулях Обычно полюсов больше чем
нулей В этом случаем mn ветвей корневого годографа стремятся к
infin
Для определения полюсов замкнутой системы с отрицательной
обратной связью необходимо решить уравнение (его называют ос-
новным уравнением метода КГ)
1sWp (5)
Так как sWp является функцией комплексного переменного
s то уравнение (5) распадается на два уравнения уравнение модулей
1)( sWp (6)
60
и уравнение аргументов (фаза вектора -1 есть нечетное число π)
210)12()(arg sWp (7)
Как известно при умножении комплексных чисел их аргументы
складываются а при делении ndash вычитаются Поэтому исходя из вы-
ражения (1) уравнение (7) имеет наглядный геометрический смысл
Пусть точка s ndash полюс замкнутой системы Если провести в s
вектора из нулей sWp (обозначим аргументы этих векторов 0j ) и
вектора из всех полюсов sWp (обозначим аргументы этих векторов
i ) то уравнение (7) можно записать в следующем виде
m
j
n
iij
1 1
0 210)12( (8)
Углы q отсчитываются от положительного направления дей-
ствительной оси Знак угла laquo+raquo соответствует повороту против часо-
вой стрелки знак угла laquo-raquo соответствует повороту по часовой стрел-
ке
Таким образом любая точка КГ должна удовлетворять уравне-
нию (8) из которого следует что конфигурация КГ не зависит от ко-
эффициента усиления K но каждому конкретному значению K одно-
значно соответствуют точки на КГ
При умножении комплексных чисел их модули перемножаются
а при делении ndash делятся Поэтому на основании (6) можно записать
1
1
1
0
n
ii
m
jj
l
lKC
(9)
где 0jl ndash модуль (длина) вектора проведенного из j-нуля в точку s
КГ il ndash модуль вектора проведенного из i-полюса в ту же точку s
61
Таким образом траектории корней строятся только по уравне-
ниям фаз а уравнение модулей используется затем для нахождения
K
Сущность метода КГ заключается в том чтобы узнать каким
должен быть коэффициент усиления разомкнутой системы чтобы
было обеспечено желаемое положение корней замкнутой системы
Корневой годограф системы с отрицательной обратной связью
обладает следующими основными свойствами
1 Ветви КГ непрерывны и расположены на комплексной плос-
кости симметрично относительно действительной оси
2 Число ветвей КГ равно порядку системы n Ветви начинают-
ся в n полюсах разомкнутой системы при K=0 При возрастании K от
0 до infin полюса замкнутой системы двигаются по ветвям КГ
3 mветвей КГ при возрастании K от 0 до infin заканчиваются в m
нулях )(sWp а )( mn ветвей при K стремящемся к infin удаляются
от полюсов вдоль асимптот
4 При расположении ветвей корневого годографа в левой полу-
плоскости s САУ устойчива При пересечении ветвей КГ мнимой оси
слева направо САУ становится неустойчивой Пусть при K=Kкр
пере-
сечение КГ с мнимой осью произойдет в некоторой точке iωкр
Назо-
вем это значение коэффициента усиления критическим Kкр
а вели-
чину iωкр
критической угловой частотой на которой система стано-
вится неустойчивой
4 Краткое описание MATLAB
Лабораторная работа выполняется в программе математического
моделирования MATLAB Программа MATLAB включает в себя пакет
прикладных программ для решения технических задач и одноименный
язык программирования используемый в этом пакете
Основными компонентами системы являются базовая система
MATLAB и пакет моделирования систем Simulink Остальные пакеты
расширения разбиты на 4 категории ndash расширения Extension MATLAB и
Extension Simulink а также комплексы пакетов расширения Blockset и
Toolbox
Раздел MATLAB Extension содержит средства для подготовки ис-
полняемых приложений MATLAB (с подключаемыми библиотеками и
без них)
62
Раздел Toolbox (инструментальные средства) содержит самое
большое число пакетов расширений системы MATLAB такие как
laquoControl systemraquo laquoDatabaseraquo laquoFuzzy logicraquo laquoWaveletraquo и тд
В разделе Blockset расположено несколько пакетов относящихся к
главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink такие как
laquoDSPraquo laquoFixed-Pointraquo laquoNonlinear control designraquo и laquoPower systemsraquo
В разделе Extension Simulink имеется ряд средств предназначен-
ных для моделирования в реальном масштабе времени и событийно-
управляемом моделировании
5 Корневой годограф в MATLAB
В системе MATLAB существует команда zpk для преобразова-
ния модели заданной ПФ в модель заданную нулями полюсами и
обобщенными коэффициентами передачи (zpk-форма)
Пример
gtgt w=tf([10][2 2 3 1 0])
Transfer function
10
-------------------------------
2 s^4 + 2 s^3 + 3 s^2 + s
gtgt w1=zpk(w)
Zeropolegain
5
----------------------------------------------
s (s+03966) (s^2 + 06034s + 1261)
Для работы с корневым годографом удобно использовать гра-
фический интерфейс laquoSISO-Design Toolraquo предназначенный для ана-
лиза и синтеза одномерных линейных систем автоматического управ-
ления (SISO ndash Single Input Signal Output)
Запуск SISO-Design Tool осуществляется командой
gtgt sisotool
63
В появившемся окне графического интерфейса необходимо ис-
пользовать команду laquoFileImportraquo для загрузки данных из рабочего
пространства MATLAB в результате которой появляется диалоговое
окно Import System Data (рис 1)
Рис 1 Диалог для ввода параметров модели
После импортирования данных можно исследовать изменение
временных и частотных характеристик замкнутой системы при изме-
нении K Обычно при этом требуется определить условия неустойчи-
вости замкнутой САУ Определить Kкр
и iωкр
На рис 2 показано окно sisotool для описанной выше модели w1
Двигая красным курсором по КГ до пересечения ветвей с мнимой
осью можно определить значения Kкр
В данном случае Kкр
asymp 01
Значение iωкр
соответствует мнимой координате пересечения КГ
мнимой оси Просмотреть это значение можно в нижней части ин-
терфейса или выбрать меню laquoView Closed-Loop Polesraquo
64
Рис 2 Основное окно SISO-Design Tool
6 Задание на лабораторную работу
Построить КГ в соответствии с вариантом из табл 1 при помо-
щи графического интерфейса sisotool
Исследовать динамику замкнутой системы при различных зна-
чениях коэффициента усиления разомкнутой системы K в том числе
ndash запасы устойчивости в частотной области
ndash параметры переходного процесса во временной области
Таблица 1
Варианты передаточных функций
Значения параметров Передаточная функция
разомкнутой системы
1 T = 01 ζ = 1
)12( 22 sTsTs
K
2 T = 005 ζ = 0707
3 T = 003 ζ = 01
4 T = 008 ζ = 05
5 T = 001 ζ = 015
65
Окончание табл 1
Значения параметров Передаточная функция
разомкнутой системы
6 T1 = 003 T2 = 05 T3 = 01 T4 = 005
)1)(1)(1(
)1(
432
1
sTsTsTs
sTK
7 T1 = 005 T2 = 04 T3 = 008 T4 = 0033
8 T1 = 02 T2 = 045 T3 = 01 T4 = 005
9 T1 = 05 T2 = 025 T3 = 01 T4 = 002
10 T1 = 01 T2 = 025 T3 = 01 T4 = 005
Вариант задания назначается преподавателем
7 Методика выполнения задания
Порядок выполнения лабораторной работы
1 Задать передаточную функцию в MATLAB в соответствии с
вариантом коэффициент K задать любым положительным числом
2 Запустить SISO-Design Tool и осуществить ввод данных
Построить КГ
3 По КГ определить значения коэффициента K когда система
будет устойчивой на границе устойчивости и неустойчива
4 Выбрать значение коэффициента K таким образом чтобы си-
стемы была устойчива и определить запас устойчивости в частотной
области и параметры переходного процесса во временной области
8 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) титульный лист
б) передаточную функцию и этапы построения КГ
в) анализ результатов построения КГ
г) выводы по проделанной работе
д) ответы на контрольные вопросы
Контрольные вопросы 1 Дать определение КГ
2 Что обычно позволяет находить метод КГ
3 В чем заключается сущность метода КГ
4 Что можно определить по КГ
66
Критерии результативности лабораторного практикума
Лабораторная работа считается выполненной если студент
ndash выполнил все указанные задания
ndash представил отчет соответствующий всем требованиям к его
содержанию и оформлению
ndash владеет терминологией и материалом лабораторной работы
ndash способен использовать программное средство математическо-
го моделирования MATLAB
ndash способен предоставить и рассказать результаты выполненной
работы на ПК
ndash может дать пояснения к отчету и ответить на контрольные
вопросы
Список литературы
1 Александров АГ Частотная теория автоматического управле-
ния учебное пособие ndash Электросталь ЭПИ МИСиС 2010
2 Борисевич АВ Теория автоматического управления элементар-
ное введение с применением MATLAB ndash СПб Изд-во Политехн ун-
та 2011
3 Федоров ВЛ Бубнов АВ Теория автоматического управления
учебное пособие ndash Омск Изд-во ОмГТУ 2010
4 Павловская ОО Чернецкая ИВ Теория автоматического
управления учебное пособие ndash Челябинск Изд-во ЮУрГУ 2010
67
Составители ЛЯНЦЕВ Олег Дмитриевич КАЗАНЦЕВ Андрей Валерьевич
ИССЛЕДОВАНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК СИСТЕМ
АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
Лабораторный практикум
по дисциплине
laquoТеория управленияraquo
Подписано в печать Формат 60х84 116 Бумага офсетная Пе-
чать плоская Гарнитура Times New Roman Усл печ л 56 Уч-изд л
55 Тираж 100 экз Заказ
ФГБОУ ВПО Уфимский государственный авиационный технический
университет
Центр оперативной полиграфии УГАТУ
450000 Уфа-центр ул К Маркса 12
10
Окончание табл 1
Название звена Передаточная функция звена
6
Колебательное
21
122
2
21
)( TTsTsT
KsW
7
Форсирующее
)1()( TsKsW
8
Интегрирующее
с запаздыванием
(реальное интегрирующее)
)1()(
Tss
KsW
9
Дифференцирующее
с запаздыванием
(реальное дифференцирую-
щее)
1)(
Ts
KssW
10
Инерционно-форсирующее
звено
1
)1()(
0
1
sT
sTKsW
11
Изодромное
s
TsKsW
)1()(
часто используется описание колебательного звена в виде
2
12
)(2
1222 T
TTT
TssT
KsW
Временные характеристики динамического звена представляют
собой зависимость выходного сигнала системы от времени при подаче
на ее вход некоторого типового воздействия Обычно выполняется
анализ выхода системы на единичный скачок (функция Хевисайда) и
импульсную функцию (функция Дирака или δ-функция)
Единичный скачок 1(t) определяется условиями
01
00)(1
tпри
tприt
Реакция САУ на единичный скачок называется переходной
11
функцией системы и обозначается h(t) При неединичном ступенчатом
воздействии g(t)=N1(t) где N = const в соответствии с принципом
суперпозиции выходная реакция системы будет )()( tNhty
Импульсная функция δ(t) определяется условиями
00
0)(
tпри
tприt
Очевидно )(1)( tt
Реакция САУ на импульсную функцию называется импульсной
переходной функцией системы (функцией веса) и обозначается w(t)
Импульсная и переходная функции системы связаны
соотношением
)()(0
dwtht
4 Краткое описание MATLAB
Лабораторная работа выполняется в программе математического
моделирования MATLAB Программа MATLAB включает в себя пакет
прикладных программ для решения технических задач и одноименный
язык программирования используемый в этом пакете
Основными компонентами системы являются базовая система
MATLAB и пакет моделирования систем Simulink Остальные пакеты
расширения разбиты на 4 категории ndash расширения Extension MATLAB и
Extension Simulink а также комплексы пакетов расширения Blockset и
Toolbox
Раздел MATLAB Extension содержит средства для подготовки ис-
полняемых приложений MATLAB (с подключаемыми библиотеками и
без них)
Раздел Toolbox (инструментальные средства) содержит самое
большое число пакетов расширений системы MATLAB такие как
laquoControl systemraquo laquoDatabaseraquo laquoFuzzy logicraquo laquoWaveletraquo и тд
В разделе Blockset расположено несколько пакетов относящихся к
12
главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink такие как
laquoDSPraquo laquoFixed-Pointraquo laquoNonlinear control designraquo и laquoPower systemsraquo
В разделе Extension Simulink имеется ряд средств предназначен-
ных для моделирования в реальном масштабе времени и событийно-
управляемом моделировании
5 Моделирование передаточных функций в MATLAB
В пакете MATLAB имеется два основных варианта для исследо-
вания передаточных функций и моделирования САУ
- использование команд пакета расширения Control System
Toolbox
- использование пакета Simulink
Control System Toolbox предназначен для работы с LTI-моделями
систем управления
Команда создающая LTI-систему с одним входом и одним вы-
ходом в виде передаточной функции имеет следующий синтаксис
])[]([ 011011 aaaabbbbtf nnmm
где 011 bbbb mm и 011 aaaa nn ndash значения коэффициентов
полиномов В и А в (3)
Например если требуется описать ПФ вида
582
12
ss
sW
и узнать значения ее нулей и полюсов то нужно ввести в окне команд
MatLab следующие команды
gtgt w=tf([1 1][2 8 5])
gtgt zero(w)
gtgt pole(w)
Исследовать реакцию LTI-модели на типовые входные воздей-
ствия можно с помощью команд
gtgt step(w)
gtgt impulse(w)
Можно получить на одном графике реакцию сразу нескольких
динамических звеньев если использовать команды вида
gtgt step(w w1 w2)
gtgt impulse(w w1 w2)
13
В приведенных примерах время моделирования выбирается ав-
томатически При необходимости его можно явно указать в команде
gtgtstep(w w1 w2t)
где t - время моделирования в секундах
Рис 1 Исследование реакции колебательного звена
На рис 1 показан пример моделирования динамики колебатель-
ного звена при различных параметрах
gtgt w=tf([1][2 03 1])
gtgt w1=tf([1][2 05 1])
gtgt w2=tf([1][2 01 1])
gtgt step(ww1w250)
В Simulink ПФ можно описать с помощью блока Transfer Fcn в
разделе библиотеки Continuous Для подачи типовых воздействий
надо использовать блок Step из раздела Sources Импульсную пере-
ходную характеристику звена можно получить подавая на вход им-
пульс маленькой длительности и большой амплитуды (приближение
δ-функции) при нулевых начальных условиях
6 Задание на лабораторную работу
С помощью пакета MATLAB построить реакцию каждого типо-
вого звена с параметрами своего варианта (см табл 2) на ступенчатое и
импульсное входное воздействие Определить влияние коэффициен-
тов входящих в описание каждого звена на параметры переходного
процесса Вариант задания назначается преподавателем
14
Таблица 2
Варианты заданий
Апери-
од зве-
но
Апериодич звено
2 пор (колеб
звено)
Ин-
тегр
звено
Изодр
звено
Реальное
диф звено
Инерц-
форс
звено
K T K T2 (T) T1( ξ ) K K T K T K T0 T1
1 3 02 3 02 20
(02)
3 3 05 3 04 3 2 08
2 4 03 4 03 15
(015)
4 4 1 4 03 4 3 12
3 5 04 5 04 25
(025)
5 5 08 5 05 5 4 15
4 6 05 6 05 16
(03)
6 6 2 6 10 6 5 20
5 7 06 7 06 28
(02)
7 7 3 7 08 7 6 20
6 8 07 8 07 22
(008)
8 8 35 8 10 8 7 20
7 9 08 9 08 21
(007)
9 9 1 9 09 9 8 30
8 10 10 10 10 30
(01)
10 10 20 10 20 10 10 40
7 Методика выполнения задания
Порядок выполнения работы
1 Задать передаточную функцию типового динамического звена
в MATLAB используя параметры приведенные в табл 2
2 Варьируя коэффициент динамического звена увеличивая его в
2 раза ndash получить вторую ПФ затем уменьшить исходный коэффици-
ент в 2 раза и получить третью ПФ
3 Построить на одном графике реакцию получившихся динами-
ческих звеньев на единичный скачок
4 Построить на одном графике реакцию получившихся динами-
ческих звеньев на импульсную функцию
5 Выполнить пп 2-4 для всех коэффициентов динамического
звена
6 Выполнить пп 1-5 для всех динамических звеньев
7 Подготовить ответы на контрольные вопросы
15
8 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) титульный лист
б) передаточные функции и схемы моделирования исследуемых
звеньев
в) экспериментально полученные характеристики при вариа-
ции параметров каждого звена
г) выводы обобщающие проделанные эксперименты по каждо-
му звену
д) ответы на контрольные вопросы
Контрольные вопросы
1 Что называется передаточной функцией
2 Что называется переходной и импульсной (весовой)
функциями Какова связь между ними
3 Как пользуясь временными характеристиками определить
параметры (коэффициенты передаточной функции) звена
Пояснить на конкретных примерах
4 Перечислите динамические характеристики САУ
5 Что называется характеристическим уравнением
16
Лабораторная работа 2
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СТРУКТУРНЫХ СХЕМ
1 Цель работы
Целью работы является изучение структурных преобразований и
нахождения передаточных функций с использованием автоматизиро-
ванных средств моделирования на ПК ndash MATLAB SIMULINK
2 Задачи работы
ndash Закрепление углубление и расширение знаний студентов при
исследовании преобразований структурных схем
ndash Приобретение умений и навыков работы с программой мате-
матического моделирования MATLAB
ndash Овладение несколькими методами преобразования структур-
ных схем
3 Теоретическая часть
Для наглядного представления сложной системы как совокупно-
сти элементов и связей между ними используются структурные
схемы
Структурной схемой называется схема САУ изображенная в
виде соединения ПФ составляющих ее звеньев
Структурная схема показывает строение автоматической систе-
мы наличие внешних воздействий и точки их приложения пути рас-
пространения воздействий и выходную величину Динамическое или
статическое звено изображается прямоугольником в котором указы-
вается ПФ звена Воздействия на систему и влияние звеньев друг на
друга (сигналы) изображаются стрелками В каждом звене воздей-
ствие передается только от входа звена к его выходу
На динамическое звено может воздействовать лишь одна вход-
ная величина поэтому используются блоки суммирования и сравне-
ния сигналов Суммироваться и сравниваться могут лишь сигналы
одной и той же физической природы
Структурная схема может быть составлена по уравнению систе-
мы в пространстве состояний или по системе дифференциальных
уравнений При составлении структурной схемы удобно начинать с
изображения задающего воздействия и располагать динамические
17
звенья составляющие прямую цепь системы слева направо до регу-
лируемой величины Тогда основная обратная связь и местные обрат-
ные связи будут направлены справа налево
Различные способы преобразования структурных схем облегча-
ют определение ПФ сложных САУ и дают возможность привести
многоконтурную систему к эквивалентной ей одноконтурной схеме
Преобразование структурной схемы должно осуществляться на
основании правил основные из них приведены в табл 1
При выполнении преобразований следует каждое имеющееся в
схеме типовое соединение заменить эквивалентным звеном Затем
можно выполнить перенос точек разветвления и сумматоров чтобы в
преобразованной схеме образовались новые типовые соединения зве-
ньев Эти соединения опять заменяются эквивалентными звеньями
затем вновь может потребоваться перенос точек разветвления и
сумматоров и т д
Различают основные соединения блоков в структурных схемах
последовательное соединение параллельное соединение антипарал-
лельное соединение (обратная связь) в свою очередь обратная связь
может быть отрицательной и положительной Таблица 1
Основные правила преобразования структурных схем
Преобразование
Структурная схема
Исходная Эквивалентная
Свертывание
последовательного
соединения
W1 W2 Wnu y
Wu y
nWWWW 21
Свертывание
параллельного
соединения
Wn
W2
W1
u y
Wu y
nWWWW 21
Свертывание
обратной связи
W1u plusmn y
W2
Wu y
21
1
1 WW
WW
18
Окончание табл 1
Преобразование
Структурная схема
Исходная Эквивалентная
Перенос узла через
звено вперед
Wu y
x
Wu y
xW1
WW
11
Перенос узла через
звено назад
Wu y
y
Wu y
yW
Перенос сумматора
через звено вперед
Wu1 y
u2
plusmn
Wu1 y
u2
plusmn
W
Перенос сумматора
через звено назад
Wu1 y
u2
plusmn
Wu1 y
u2
plusmn
W1
WW
11
Перенос прямой
связи через звено W2yu
plusmnW1
W3
W2 yu
plusmnW1
W3 W2
Перенос узла через
сумматор вперед
x1
+
- y
x1
x2
x1
+
- y
x1x2
+
+
Перенос узла через
сумматор назад
x1
+
- y
x2
y
x1
+
- y
x2y
+
-
Пример Пусть необходимо получить эквивалентное представ-
ление для структуры приведенной на рис 1
19
W1
W2 W3
W4
W5 W6
W7
+
+
+
-
Рис 1 Исходная схема САУ
Преобразование включает несколько этапов показанных на рис 2ndash5
W1
W2 W3
W4
W5 W6
W7
+
+
+
-
1W6
Рис 2 Перенос узла через звено вперед
567
659
1 WWW
WWW
6
48
W
WW
Рис 3 Свертывание обратной связи и последовательного соединения
2110 WWW
983
9311
1 WWW
WWW
Рис 4 Свертывание обратной связи и Рис 5 Свертывание последователь-
параллельного соединения ного соединения
W10 W11 WЭкв
543765
653265311110
1 WWWWWW
WWWWWWWWWWWЭкв
W1
W2
W8
W3 W9
+
+
20
Таким образом первый способ преобразования структурных
схем заключается в непосредственном использовании правил приве-
денных в табл1 Неудобство использования этого подхода заключа-
ется в том что порядок применения формул здесь достаточно произ-
волен возможны ошибочные шаги усложняющие поиск решения
Второй способ для получения ПФ многоконтурной системы за-
ключается в использовании модели системы в виде сигнального
графа
Сигнальный граф позволяет графически описать линейные связи
между переменными он состоит из узлов (вершин) и соединяющих их
направленных ветвей
Ветвь соответствует блоку структурной схемы она отражает за-
висимость между входной и выходной переменными Сумма всех
сигналов входящих в узел образует соответствующую этому узлу
переменную
Последовательность ветвей между двумя узлами называется пу-
тем Контуром называется замкнутый путь который начинается и
заканчивается в одном и том же узле причем ни один узел не встре-
чается на этом пути дважды
Контуры называются некасающимися если они не имеют общих
узлов
Сигнальный граф ndash это просто наглядный метод записи системы
алгебраических уравнений показывающий взаимосвязь между пере-
менными
r1
r2
a11
a22
x1
x2
a12a21
Рис 6 Сигнальный граф для двух алгебраических выражений
В качестве примера рассмотрим следующую систему алгебраи-
ческих уравнений
21
11212111 xrxaxa (1)
22222121 xrxaxa (2)
здесь r1 и r2 ndash входные переменные а x1 и x2 ndash выходные переменные
Сигнальный граф соответствующий уравнениям (1) и (2) изображен
на рис 6 Уравнения (1) и (2) можно записать в ином виде
1122111 )()1( raxax
2222211 )1()( raxax
Решая последнюю систему по правилу Крамера получим
212
122
21122211
2121221
)1(
)1)(1(
)1(r
ar
a
aaaa
rarax
121
211
21122211
1212112
)1(
)1)(1(
)1(r
ar
a
aaaa
rarax
В этих решениях знаменатель равен определителю составлен-
ному из коэффициентов при неизвестных и его можно записать так
21122211221121122211 1)1)(1( aaaaaaaaaa
В данном случае знаменатель равен единице минус коэффици-
енты передачи отдельных контуров a11 a22 и a12a21 плюс произведе-
ние коэффициентов передачи двух некасающихся контуров a11 и a22
Контуры a22 и a12a21 являются касающимися так же как и контуры a11
и a21a12
В решении для x1 по отношению ко входу r1 числитель равен
единице умноженной на (1-a22) те значение определителя некаса-
ющегося пути от r1 к x1 В решении для x1 по отношению ко входу
r2числитель просто равен a12 тк этот путь касается всех контуров
Числитель выражения x2 симметричен соответствующему числителю
для x1
В общем случае линейная зависимость Tij между независимой
переменной xi (часто называемой входной переменной) и зависимой
переменной xj определяется по формуле Мейсона
22
k
ijkijk
ij
P
T
где Pijk ndash коэффициент передачи k-го пути от переменной xi к пере-
менной xj Δ ndash определитель графа Δijk ndash дополнительный множитель
для пути Pijk а суммирование производится по всем возможным k пу-
тям от xi до xjДополнительный множитель Δijk равен определителю
всех касающихся контуров при удалении k-го пути
Определитель находится как
QM
qm
LSR
lsrlsrqm
K
kk LLLLLL
11
1111
1
где Kk kL
1ndash сумма коэффициентов передачи всех отдельных конту-
ров QM
qm qmLL
11ndash сумма произведений всех возможных комбина-
ций из двух некасающихся контуров LSR
lsr lsr LLL
111ndash сумма про-
изведений всех возможных комбинаций из трех некасающихся кон-
туров
Таким образом правило вычисления Δ через значение L1 L2
L3hellipLN таково Δ = 1- (сумма коэффициентов передачи всех отдель-
ных контуров) + (сумма произведений всех возможных комбинаций
из 2 некасающихся контуров) ndash (сумма произведений всех возмож-
ных комбинаций из 3 некасающихся контуров) +hellip
Формула Мейсона часто используется в несколько упрощенном
виде для определения связи между выходной переменной Y(s) и
входной переменной X(s) те
)()(
)( 1
N
iiiP
sWsX
sY
где Pi ndash i-й путь от входа к выходу N ndash количество путей Δ ndash опреде-
литель графа специальный полином который определенным образом
характеризует совокупность всех замкнутых цепей системы содер-
жащих обратные связи и вычисляется как сумма передаточных
функций разомкнутых контуров этих цепей и произведений
23
передаточных функций разомкнутых контуров пар троек и тд не со-
прикасающихся друг с другом цепей с обратными связями Δi ndash до-
полнительный множитель для пути составляется по правилу анало-
гичному Δ но только для цепей с обратными связями не соприкаса-
ющихся с i-м прямым каналом
Дополнительный множитель для i-го пути равен определителю
графа в котором приравнены нулю коэффициенты передачи конту-
ров касающихся этого пути
Рассмотрим пример получения ПФ многоконтурной системы с
использованием формулы Мейсона для структуры на рис 1 которая
соответствует графу показанному на рис 7
X(s) Y(s)W1
W2
W3 W5 W6
W4 -W7
Рис 7 Описание системы управления сигнальным графом
От входа к выходу ведут два пути
65311 WWWWP
65322 WWWWP
В графе есть 2 контура
5431 WWWL
7652 WWWL
Контур L1 пересекает контур L2 поэтому определитель графа
вычисляется по формуле
)(1 21 LL
Контуры в этом примере пересекают все пути поэтому допол-
нительные множители путей равны
24
11
12
Окончательно можно записать
1
)(543765
65326531
2
1
WWWWWW
WWWWWWWWP
sW iii
Таким образом использование сигнальных графов и применение
формулы Мейсона позволяет алгоритмизировать процесс упрощения
структурной схемы
Третий способ для получения ПФ заключается в составлении
системы уравнений Необходимо обозначить выходы сумматоров и
составить систему уравнений на основе этих обозначений На рис9
представлена исходная схема с обозначенными сумматорами
W1
W2 W3
W4
W5 W6
W7
+
+
+
-
Z H
u y
Рис 9 Исходная схема САУ с обозначенными сумматорами
Опишем все сигналы в системе в виде уравнений
)( 4521 HWWuWWZ
73 yWZWH
65 HWWy
Подставив последовательно значения сигналов найдем ПФ
))(( 734521 yWWHWWuWWH
После преобразования получим
25
1
)(
543
73231
WWW
yWuWWWWH
Подставим полученное значение H в уравнение y
1
))((
543
6573231
WWW
WWyWuWWWWy
Получим ПФ вида
1
)(543765
65326531
WWWWWW
WWWWWWWW
u
ypW
4 Краткое описание MATLAB
Лабораторная работа выполняется в программе математического
моделирования MATLAB Программа MATLAB включает в себя пакет
прикладных программ для решения технических задач и одноименный
язык программирования используемый в этом пакете
Основными компонентами системы являются базовая система
MATLAB и пакет моделирования систем Simulink Остальные пакеты
расширения разбиты на 4 категории ndash расширения Extension MATLAB и
Extension Simulink а также комплексы пакетов расширения Blockset и
Toolbox
Раздел MATLAB Extension содержит средства для подготовки ис-
полняемых приложений MATLAB (с подключаемыми библиотеками и
без них)
Раздел Toolbox (инструментальные средства) содержит самое
большое число пакетов расширений системы MATLAB такие как
laquoControl systemraquo laquoDatabaseraquo laquoFuzzy logicraquo laquoWaveletraquo и тд
В разделе Blockset расположено несколько пакетов относящихся к
главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink такие как
laquoDSPraquo laquoFixed-Pointraquo laquoNonlinear control designraquo и laquoPower systemsraquo
В разделе Extension Simulink имеется ряд средств предназначен-
ных для моделирования в реальном масштабе времени и событийно-
управляемом моделировании
26
5 Структурные преобразования в MATLAB
В пакете MATLAB имеется ряд функций с помощью которых
можно выполнять структурные преобразования (используется экви-
валентная схема)
ndash series(w1w2) ndash последовательное соединение звеньев
ndash parallel(w1w2) ndash параллельное соединение звеньев
ndash feedback(w1w2) ndash включение звена w2 в контур отрицательной об-
ратной связи к w1
ndash feedback(w1w2sign) ndash включение звена w2 в контур обратной связи
звена w1 с указанием знака + или ndash (очевидно feedback(w1w2)=
=feedback(w1w2-1))
Пример
Даны две передаточные функции
22
221
ss
sW
22
322
2
2
ss
ssW
Опишем ПФ введя в окне команд MatLab следующие команды
gtgt w1=tf([1 2][1 2 2])
gtgt w2=tf([1 2 3][1 2 2])
Выполним структурные преобразования для данных ПФ
gtgt w2=series(w1w2)
Transfer function
s^3 + 4 s^2 + 7 s + 6
------------------------------------
s^4 + 4 s^3 + 8 s^2 + 8 s + 4
gtgt w3=parallel(w1w2)
Transfer function
s^4 + 5 s^3 + 13 s^2 + 16 s + 10
----------------------------------------
s^4 + 4 s^3 + 8 s^2 + 8 s + 4
27
gtgt w4=feedback(w1w2)
Transfer function
s^3 + 4 s^2 + 6 s + 4
----------------------------------------
s^4 + 5 s^3 + 12 s^2 + 15 s + 10
Для проверки правильности проведенных преобразований необ-
ходимо собрать схему исходной САУ и соответствующую ей эквива-
лентную схему в MATLAB Simulink
Исходная схема САУ собирается как модель из соответствую-
щих элементов таких как laquoTransfer Fncraquo laquostepraquo laquosignal builderraquo
laquoscoperaquo и laquosumraquo Все эти элементы находятся в пакете laquoSimulinkraquo и
представлены в виде блоков Для того чтобы создать новую модель
необходимо нажать laquoFile-gtNew-gtModel (Simulink)raquo после откроется
окно модели в которую нужно будет добавлять элементы из библио-
теки для доступа к ней необходимо нажать на значок laquoLibrary Brows-
erraquo
Описание используемых элементов из пакета Simulink
1 Transfer Fnc ndash передаточная функция
2 Step ndash единичный скачок (функция Хэвисайда) в блоке необходи-
мо задать время начала перехода (step time)
3 Signal builder ndash блок для моделирования сигнала по заданным па-
раметрам (можно построить единичный скачок и импульсную функ-
цию)
4 Scope ndash виртуальный осциллограф отображает получившийся гра-
фик открывается двойным щелчком левой клавиши мыши и для кор-
рекции масштаба необходимо нажать правой кнопкой по графику и
из выпадающего меню выбрать laquoautoscaleraquo
5 Sum ndash сумматор в параметрах задается число сигналов соответ-
ственно laquo+raquo - положительный laquondashraquo - отрицательный
Так же нужно задать время работы модели для этого необходи-
мо выбрать laquoSimulation-gtSimulation parametersraquo и установить пара-
метр laquostop timeraquo на нужное значение и после необходимо запустить
модель на выполнение нажав на значок laquoStart simulationraquo Пример
модели составленной в MATLAB представлен на рис 10
28
Рис 10 Пример схемы САУ с блоком laquosignal builderraquo
Задача считается решенной если при подаче на вход обоих
схем одинаковых тестовых воздействий (единичный скачок импуль-
сная функция) наблюдаются одинаковые выходные сигналы
6 Задание на лабораторную работу
Выполнить преобразование структурной схемы САУ в эквива-
лентную передаточную функцию Составить модель исходной схемы
САУ в MATLAB С помощью ряда функций MATLAB (структурные
преобразования) составить эквивалентную схему Вариант задания
назначается преподавателем
7 Методика выполнения задания
Порядок выполнения работы
1 Выполнить преобразование заданного варианта структурной
схемы САУ (см табл 2) в эквивалентную ПФ тремя способами
ndash непосредственно используя правила табл 1
ndash используя представление в виде сигнального графа и формулу
Мейсона
ndash составив систему уравнений и решив еѐ
2 В качестве звеньев W1W2W3 использовать передаточные
функции звеньев представленных в табл 2
3 Составить модель исходной схемы САУ в MATLAB постро-
ить реакцию получившейся модели на ступенчатое и импульсное
воздействия
4 С помощью ряда функций MATLAB (структурные преобразо-
вания) составить эквивалентную схему и построить реакцию на сту-
пенчатое и импульсное воздействия
5 Подготовить ответы на контрольные вопросы
29
Таблица 2
Варианты структур САУ
Исходная схема
Передаточные
функции
1 W1
W3
W2
-
+
-
+
u y
+
1
31
sW
2
442
s
sW
12
133
s
sW
2 W1
W3
W2
-
+
-
+
u y
+ +
3 W3
W2
W1
-
+
-
+
u y
+ +
4 W3
W1
W2
+
+
-
+
u y
+ +
1
21
sW
2
12
sW
12
13
s
sW
5
W1
W3
W2
-
+
-
+
u y
+ +
6
W1
W3
W2
-
+
-
+
u y
+
62
31
sW
2
52
sW
1
23
s
sW
7
W1
W3
W2
-
+
-
+
u y
+ +
8
W1
W2
W3
-
+
-
+
u y
+ +
30
8 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) описание всех этапов преобразования исходной схемы и по-
лучающихся промежуточных результатов выполненными тремя спо-
собами моделирование реакции схемы на типовое воздействие (ска-
чок) до и после преобразования
б) сигнальный граф системы описание путей контуров расчет
ПФ по формуле Мейсона
в) решение составленной системы уравнений
г) схема модели и протокол команд MATLAB
д) графики переходных процессов при подаче на вход исходной
и эквивалентной схемы типовых тестирующих воздействий (скачок
импульс)
е) ответы на контрольные вопросы
Контрольные вопросы
1 Что называется структурной схемой Какие задачи можно
решить с еѐ помощью
2 Как может быть составлена структурная схема
3 Что позволяет алгоритмизировать процесс упрощения струк-
турной схемы Поясните на конкретном примере
31
Лабораторная работа 3
ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
ДИНАМИЧЕСКИХ ЗВЕНЬЕВ
1 Цель работы
Целью работы является изучение частотных характеристик ти-
повых динамических звеньев с использованием автоматизированных
средств моделирования на ПК ndash MATLAB SIMULINK
2 Задачи работы
ndash Закрепление углубление и расширение знаний студентов при
исследовании частотных характеристик динамических звеньев
ndash Приобретение умений и навыков работы с программой мате-
матического моделирования MATLAB
ndash Выработка способности логического мышления осмысление
полученных данных частотных характеристик
3 Теоретическая часть Сущность метода частотных характеристик заключается в том
что на вход исследуемой системы подается гармонический сигнал (си-
нусоидальные колебания) в широком диапазоне частот Реакция си-
стемы при разных частотах позволяет судить о ее динамических
свойствах
Пусть входной сигнал системы имеет амплитуду а и частоту ω т е
описывается формулой
)sin( tax
Выходной сигнал будет иметь амплитуду А1 и отличаться от вход-
ного по фазе на величину ψ (фазовый сдвиг)
)sin(1 tAy
Таким образом можно рассчитать усиление по амплитуде
1
a
AA
32
Для каждой частоты входного сигнала ω будут свои А и ψ
Изменяя ω в широком диапазоне можно получить зависимость
А(ω) ndash амплитудную частотную характеристику (АЧХ) и ψ(ω) ndash фазо-
вую частотную характеристику (ФЧХ)
Главное достоинство метода частотных характеристик заключа-
ется в том что АЧХ и ФЧХ объекта могут быть получены экспери-
ментально Для этого необходимо иметь генератор гармонических
колебаний который подключается к входу объекта и измеритель-
ную аппаратуру для измерения амплитуды и фазового сдвига колеба-
ний на выходе объекта
Частотные характеристики САУ могут быть получены по ее ПФ
W(s) Для суждения о реакции звена на синусоидальный сигнал доста-
точно исследовать его реакцию на гармонический сигнал вида
)( tjejx
Тогда выходной сигнал определяется по соотношению
)()( ))(( tjeAjy
и частотная ПФ получается равной
)()(
)()( )(
jeA
jx
jyjW
Формально для получения частотной ПФ надо сделать в W(s)
подстановку s = jω и тогда полученная W(jω) является комплексным
выражением которое можно представить в виде
)()(
)()()(
22
11
jba
jbajW
Для нахождения вещественной и мнимой частей частотной пе-
редаточной функции необходимо умножить числитель и знаменатель
на сопряженную знаменателю величину а затем провести
разделение
33
)()()(
)()(
)()()()(
)()(
)()()()(
))()())(()((
))()())(()((
)()(
)()()(
)(
22
22
2112
22
22
2121
2222
2211
22
11
jeAjVU
ba
babaj
ba
bbaa
jbajba
jbajba
jba
jbajW
где
)()()()(22
22
21
2122
ba
baVUjWA
)(
)())(arg()(
2
2
1
1
a
barctg
a
barctg
U
VarctgjW
Графики функции )(U и )(V называют соответственно веще-
ственной и мнимой частотной характеристиками
В практических расчетах удобно применять графики частотных
характеристик построенных в логарифмическом масштабе ndash лога-
рифмические частотные характеристики (ЛЧХ)
Логарифмическая амплитудная частотная характеристика
(ЛАЧХ) определяется следующим выражением
)(lg20)( AL
Логарифмической фазовой частотной характеристикой
(ЛФЧХ) называется график зависимости )( построенный в лога-
рифмическом масштабе частот
Единицей L(ω) является децибел (дБ) а единицей логарифма ча-
стоты ndash декада Декадой называют интервал частот на котором часто-
та изменяется в 10 раз При изменении частоты в 10 раз говорят что
она изменилась на одну декаду Ось ординат при построении ЛЧХ про-
водят через произвольную точку а не через точку ω = 0 Частоте ω = 0
соответствует бесконечно удаленная точка lgω rarr ndash infin при ω rarr 0
Основное преимущество использования ЛЧХ заключается в том
что приближенные (асимптотические) ЛАЧХ типовых динамических
звеньев изображаются отрезками прямых
Пример Построим ЛЧХ апериодического звена первого
34
порядка
Передаточная функция звена
1
)(
Ts
ksW
Частотная передаточная функция
1)(
)1(
1)(
2
T
Tjk
Tj
kjW
1)(
1)( 22
T
kTV
T
kU
Следовательно АЧХ описывается формулой
1)(
)(2
T
kA
ФЧХ строится по формуле
)()( Tarctg
ЛАЧХ апериодического звена 1-го порядка
1)(lg20lg20)( 2 TkL
По этой формуле можно построить две асимптоты ndash прямые к
которым стремится ЛАЧХ при ω rarr 0 и при ω rarr infin Так при ω rarr 0 второе
слагаемое близко к нулю и этот участок ЛАЧХ представляет собой
горизонтальную прямую
lg20)( kL
При ω rarr infin получаем наклонную прямую
1)(lg20)( 2 TL
35
Для определения наклона этой прямой можно рассмотреть гра-
ницы декады
T
1 и
10
T
Изменение ЛАЧХ между этими точками
)(2011
lg20110
lg20)(
22
декдБT
TT
TL
ЛЧХ часто называют диаграммами Боде
4 Краткое описание MATLAB
Лабораторная работа выполняется в программе математического
моделирования MATLAB Она включает в себя пакет прикладных про-
грамм для решения технических задач и одноименный язык программи-
рования используемый в этом пакете
Основными компонентами системы являются базовая система
MATLAB и пакет моделирования систем Simulink Остальные пакеты
расширения разбиты на 4 категории ndash расширения Extension MATLAB и
Extension Simulink а также комплексы пакетов расширения Blockset и
Toolbox
Раздел MATLAB Extension содержит средства для подготовки ис-
полняемых приложений MATLAB (с подключаемыми библиотеками и
без них)
Раздел Toolbox (инструментальные средства) содержит самое
большое число пакетов расширений системы MATLAB такие как
laquoControl systemraquo laquoDatabaseraquo laquoFuzzy logicraquo laquoWaveletraquo и тд
В разделе Blockset расположено несколько пакетов относящихся к
главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink такие как
laquoDSPraquo laquoFixed-Pointraquo laquoNonlinear control designraquo и laquoPower systemsraquo
В разделе Extension Simulink имеется ряд средств предназначен-
ных для моделирования в реальном масштабе времени и событийно-
управляемом моделировании
36
5 Построение частотных характеристик в MATLAB В пакете MATLAB ЛЧХ объекта заданного с помощью ПФ
можно получить командой bode
Пример
gtgt w=tf([1 2][3 4 5])
gtgt bode(w)
Для нескольких вариантов передаточной функции можно исполь-
зовать вариант команды вида
gtgt bode(ww1w2)
Например построим диаграмму Боде при различных параметрах
колебательного звена (рис 1)
gtgt w=tf([1][2 03 1])
gtgt w1=tf([1][2 05 1])
gtgt w2=tf([1][2 01 1])
gtgt bode(ww1w2)
Рис 1 ЛЧХ колебательного звена
6 Задание на лабораторную работу
С помощью пакета MATLAB построить ЛЧХ каждого типового
звена Определить влияние коэффициентов входящих в описание
каждого звена на параметры ЛАЧХ и ЛФЧХ Вариант задания назна-
чается преподавателем
37
7 Методика выполнения задания
Порядок выполнения работы
1 Задать передаточную функцию типового динамического звена
используя параметры из табл 2 лабораторной работы 1
2 Построить диаграмму Боде при различных параметрах типо-
вого динамического звена
3 Определить влияние коэффициентов входящих в описание
каждого звена на параметры ЛАЧХ и ЛФЧХ в том числе
ndash как меняется ширина асимптотических участков ЛАЧХ и
ЛФЧХ
ndash как меняется положение точек пересечения осей ЛАЧХ
4 Написать вывод по влиянию коэффициентов на типовое звено
5 Выполнить пункты 1-4 для всех типовых звеньев
6 Подготовить ответы на контрольные вопросы
8 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) титульный лист
б) краткие теоретические сведения
в) передаточные функции и схемы моделирования исследуемых
звеньев
г) экспериментально полученные характеристики при вариации
параметров каждого звена
д) выводы обобщающие проделанные эксперименты по каждо-
му звену
ж) ответы на контрольные вопросы
Контрольные вопросы
1 Как пользуясь частотными характеристиками определить па-
раметры (коэффициенты передаточной функции) звена Пояс-
нить на конкретных примерах
2 Указать особенности построения ЛАХ и ЛФХ динамических
звеньев Что понимается под асимптотической ЛАХ звена
3 Как осуществляется построение АФХ динамического звена
38
Лабораторная работа 4
ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ СИСТЕМ
С ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ
1 Цель работы
Изучение особенностей практического использования алгебраи-
ческих и частотных критериев устойчивости для анализа динамики
линейных САУ с использованием автоматизированных средств моде-
лирования на ПК ndash MATLAB SIMULINK
2 Задачи работы
ndash Закрепление углубление и расширение знаний студентов при
исследовании устойчивости систем с обратной связью
ndash Приобретение умений и навыков работы с программой мате-
матического моделирования MATLAB
ndash Овладение новыми методами проверки устойчивости систем
с обратной связью
ndash Выработка способности логического мышления осмысления
полученных данных
3 Теоретическая часть
Устойчивость САУ является одним из основных условий ее ра-
ботоспособности и включает требование затухания во времени пере-
ходных процессов
Система является устойчивой если при ограниченном входном
сигнале еѐ выходной сигнал также является ограниченным Если
система устойчива то она противостоит внешним воздействиям а
выведенная из состояния равновесия возвращается снова к нему
Система с расходящимся переходным процессом будет неустойчивой и
неработоспособной
Необходимое и достаточное условие устойчивости заключается в
том чтобы все корни характеристического уравнения (полюсы пере-
даточной функции системы) имели отрицательные вещественные ча-
сти Иначе говоря условием устойчивости системы является распо-
ложение всех полюсов в левой комплексной полуплоскости Тогда все
полюсы будут давать затухающую реакцию
Выше сформулированное условие устойчивости справедливо как
39
для линейных так и для линеаризованных систем Однако в случае
нулевых или чисто мнимых корней характеристического уравнения
вопрос об устойчивости линеаризованной системы может быть ре-
шен только на основании исследования ее нелинейных уравнений
В конце XIX и первой половине XX в задача вычисления корней
характеристического уравнения высокого порядка вызывала боль-
шие проблемы Поэтому были предложены несколько косвенных
методов оценки устойчивости позволяющих обойтись без вычисле-
ния корней ndash по значениям коэффициентов характеристического
уравнения
Критерии устойчивости разделяют на алгебраические и частот-
ные В частности к алгебраическим критериям относится критерий
Гурвица к частотным критериям ndash критерий Найквиста
Критерий Гурвица является алгебраическим критерием и при-
меняется к коэффициентам характеристического уравнения замкнутой
системы
Пусть имеется характеристическое уравнение замкнутой
системы
0011
1 apapapa n
nn
n
Из коэффициентов характеристического уравнения составляют
матрицу по правилу
1 По диагонали записываются коэффициенты от 1na до 0a
2 Каждая строка дополняется коэффициентами с возрастающи-
ми индексами слева направо так чтобы чередовались строки с нечет-
ными и четными индексами
3 В случае отсутствия индекса а также если он меньше 0 или
больше п на его место пишется 0
Таким образом матрица Гурвица приобретает следующий вид
40
Критерий устойчивости формулируется так
Чтобы система была устойчивой необходимо и достаточно что-
бы при 0na были положительными все п диагональных определи-
телей получаемых из матрицы Гурвица
Первые три определителя матрицы Гурвица имеют следующий
вид
Таким образом критерий Гурвица позволяет судить об абсо-
лютной устойчивости но он не дает возможности оценивать относи-
тельную устойчивость по корням характеристического уравнения
Частотный критерий устойчивости Найквиста анализирует
АФЧХ разомкнутой системы
Пусть имеется АФЧХ разомкнутой системы W(jω)
Для нахождения вещественной и мнимой части частотной ха-
рактеристики нужно освободиться от мнимости в знаменателе путем
умножения числителя и знаменателя на комплексную величину со-
пряженную знаменателю а затем выполнить разделение на веще-
ственную и мнимую части W(jω) приобретает вид
)()()( jQPjW
Задаваясь различными значениями частоты можно найти мно-
жество пар )()( 11 jQP )()( 22 jQP )()( nn jQP
Затем по этим парам строится АФЧХ на комплексной плоскости
Основные свойства АФЧХ разомкнутой системы
1 Если разомкнутая система не имеет интегрирующих звеньев
то при ω = 0 ее АФЧХ начинается на вещественной оси в точке
Р(ω)=К (где К ndash коэффициент усиления разомкнутой системы) За-
канчивается АФЧХ в начале координат при ω rarr infin (рис 1 а)
2 Если разомкнутая система имеет одно интегрирующее звено то
ее АФЧХ начинается при ω = 0 в бесконечности на отрицательной мни-
мой полуоси а заканчивается в начале координат при ω rarr infin (рис 1 б)
41
Рис 1 АФЧХ разомкнутой системы
Критерий устойчивости Найквиста формулируется так
1 Если разомкнутая система устойчива или находится на гра-
нице устойчивости то для того чтобы замкнутая система была
устойчива необходимо и достаточно чтобы АФЧХ разомкнутой
системы при изменении частоты ω от 0 до infin не охватывала точку с ко-
ординатами (-1 j0)
2 Если разомкнутая система неустойчива а ее передаточная
функция имеет т полюсов справа от мнимой оси на комплексной
плоскости то для устойчивости замкнутой системы необходимо и до-
статочно чтобы АФЧХ разомкнутой системы при изменении частоты
ω от -infin до +infin охватывала т раз точку с координатами (-1 j0)
При использовании этого критерия нужно учитывать две
особенности
1 Если разомкнутая система находится на границе устойчиво-
сти то ее АФЧХ уходит в бесконечность Для проверки критерия Най-
квиста нужно мысленно соединить конец АФЧХ дугой бесконечно
большого радиуса с положительной вещественной полуосью
2 На практике АФЧХ может строиться только для положитель-
ных частот (0 lt ω lt +infin) При применении критерия Найквиста счита-
ется что ветвь АФЧХ для отрицательных частот симметрична отно-
сительно вещественной оси
Физический смысл критерия устойчивости Найквиста заключа-
ется в том что система будет неустойчива если фаза выходного сиг-
нала противоположна фазе входного сигнала а коэффициент усиле-
ния больше 1 Поэтому для анализа устойчивости можно использо-
вать не АФЧХ а ЛАХ системы (для минимально-фазовых систем)
Система устойчива если на частоте среза значение фазы не превы-
шает -π Соответственно для устойчивой системы можно рассматри-
вать на ЛФЧХ запас устойчивости по фазе ndash расстояние от значения
фазы на частоте среза до уровня -π и запас устойчивости по амплиту-
42
де ndash расстояние от оси частот ЛАЧХ до значения усиления на часто-
те где фаза становится равной -π
4 Краткое описание MATLAB
Лабораторная работа выполняется в программе математического
моделирования MATLAB Программа MATLAB включает в себя пакет
прикладных программ для решения технических задач и одноименный
язык программирования используемый в этом пакете
Основными компонентами системы являются базовая система
MATLAB и пакет моделирования систем Simulink Остальные пакеты
расширения разбиты на 4 категории ndash расширения Extension MATLAB и
Extension Simulink а также комплексы пакетов расширения Blockset и
Toolbox
Раздел MATLAB Extension содержит средства для подготовки ис-
полняемых приложений MATLAB (с подключаемыми библиотеками и
без них)
Раздел Toolbox (инструментальные средства) содержит самое
большое число пакетов расширений системы MATLAB такие как
laquoControl systemraquo laquoDatabaseraquo laquoFuzzy logicraquo laquoWaveletraquo и тд
В разделе Blockset расположено несколько пакетов относящихся к
главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink такие как
laquoDSPraquo laquoFixed-Pointraquo laquoNonlinear control designraquo и laquoPower systemsraquo
В разделе Extension Simulink имеется ряд средств предназначен-
ных для моделирования в реальном масштабе времени и событийно-
управляемом моделировании
5 Исследование устойчивости САУ в MATLAB
Для проверки устойчивости САУ по Гурвицу постройте матрицу
Гурвица и найдите ее детерминант (функция det) Затем последова-
тельно уменьшая размер матрицы найдите значения всех диагональ-
ных детерминантов Пример
gtgt А=[1 14 18 2 5 2 3 4 3]
А =
1 14 18
2 5 2
3 4 3
gtgt det(A)
ans = -119
43
gtgt А1=А(12 12)
А1 =
1 14
2 5
gtgt det(A1)
ans = -23
Для проверки устойчивости САУ по Найквисту сначала нужно
выяснить является ли устойчивой разомкнутая система
Пример Пусть дана передаточная функция разомкнутой
системы
13232
12234
pppp
pW
Рассмотрим реакцию на скачок
gtgt w=tf([2 1][2 3 2 3 1])
gtgt step(w18)
График переходного процесса показан на рис 2
Рис 2 Переходная реакция
Разомкнутая система неустойчива и согласно критерию Найкви-
ста надо чтобы АФЧХ разомкнутой системы охватывала точку (-1 j0)
44
столько раз сколько полюсов имеется справа от мнимой оси Для по-
строения АФЧХ достаточно вызвать команду nyquist
gtgt nyquist(w)
Диаграмма Найквиста показана на рис 3
Рис 3 Диаграмма Найквиста для неустойчивой системы
Как показывает рис3 АФЧХ ни разу не охватывает точку
(-1 j0) поэтому замкнутая система будет неустойчивой Частотный
критерий Найквиста можно использовать и в том случае когда рас-
сматривается не АФЧХ а ЛАЧХ разомкнутой системы замкнутая
минимально-фазовая система устойчива если при достижении ЛФЧХ
значения -π ЛАЧХ будет отрицательной
Используя ЛАЧХ и ЛФЧХ можно оценить запасы устойчивости
системы по амплитуде и по фазе с помощью команды
gtgt margin(w)
Пример
gtgt w=tf([10][2 2 3 1])
gtgt margin(w)
Соответствующий график показан на рис 4
45
Рис 4 Определение запасов устойчивости по амплитуде и по фазе
6 Задание на лабораторную работу
Выполнить исследование устойчивости замкнутой системы по за-
данной передаточной функции разомкнутой системы Определить запас
устойчивости по амплитуде и по фазе Вариант задания назначается
преподавателем
7 Методика выполнения задания
Порядок выполнения работы
1 Рассчитать передаточную функцию замкнутой системы по
приведенной в табл 1 разомкнутой системе
2 Определить устойчивость замкнутой системы используя кри-
терий Гурвица
3 Определить устойчивость замкнутой системы используя кри-
терий Найквиста
4 Определить запас устойчивости по амплитуде и по фазе ис-
пользуя ЛАЧХ и ЛФЧХ
5 Выполнить моделирование переходных процессов разомкну-
той и замкнутой систем
6 Подготовить ответы на контрольные вопросы
46
Таблица 1
Варианты заданий
Передаточная функция разомкнутой системы
1 1355
2234
ssss
W
2 110050
1234
ssss
W
3 11010
123
sss
W
4 122105
100234
ssss
W
5 1248
123
sss
W
6 1223
102345
sssss
W
7 11001010
323
sss
W
8 122
1023
sss
W
9 11010
123
sss
W
10 15050332
102345
sssss
W
8 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) титульный лист
б) краткие теоретические сведения
в) переходную функцию разомкнутой системы
г) расчет передаточной функции замкнутой системы
д) расчетные выражения для обоснования устойчивости замкну-
той системы по алгебраическому критерию Гурвица
е) годограф Найквиста разомкнутой системы на основании кото-
рого делается вывод об устойчивости замкнутой системы
ѐ) переходную функцию замкнутой системы
ж) проверку полученных результатов путем компьютерного моде-
лирования переходных процессов разомкнутой и замкнутой си-
стемы в MATLAB Simulink
з) выводы по всем полученным результатам
47
Контрольные вопросы
1 Как связана устойчивость линейной САУ с видом составля-
ющих ее свободного движения
2 Зависит ли устойчивость линейных САУ от амплитуды зада-
ющих воздействий или возмущений
3 Сформулируйте критерий устойчивости Гурвица укажите на
необходимое условие устойчивости линейных САУ вытекаю-
щее из этого критерия
4 Сформулируйте критерий Найквиста для случая САУ устой-
чивых в разомкнутом состоянии а также для астатических САУ
Что такое laquoзапасы устойчивости по фазе и по амплитудеraquo
5 Что называется структурной устойчивостью
48
Лабораторная работа 5
КОРРЕКЦИЯ СТАТИЧЕСКИХ И ДИНАМИЧЕСКИХ
СВОЙСТВ САУ
1 Цель работы
Целью работы является изучение способов обеспечения иско-
мых характеристик САУ с использованием автоматизированных
средств моделирования на ПК ndash MATLAB SIMULINK
2 Задачи работы
ndash Закрепление углубление и расширение знаний студентов при
обеспечении искомых характеристик САУ
ndash Приобретение умений по обеспечению точности (уменьшение
статической ошибки) САУ и выбору значений параметров регулято-
ра обеспечивающих желаемые динамические свойства САУ
ndash Приобретение умений и навыков работы с программой мате-
матического моделирования MATLAB
3 Теоретическая часть
Коррекция статических и динамических свойств САУ имеет
своей целью повышение статической и динамической точности отра-
ботки системой задающего воздействия (или парирование возмуща-
ющего воздействия) повышение запасов ее устойчивости Наиболее
распространенными способами коррекции свойств САУ является из-
менение коэффициента усиления ее разомкнутой части введение в
САУ новых звеньев (как правило интегрирующего или дифференци-
рующего типа) охват объекта управления местной обратной связью
31 Коррекция статических свойств САУ
Статические свойства системы определяются величиной устано-
вившейся ошибки )t(уст вызванной действием задающего воздей-
ствия и определяемой по формуле
22
210 2 dttgdcdttdgctgctуст (1)
где )(tg - входное воздействие 210 ccc - коэффициенты ошибок
Коэффициенты ошибок определяются по формулам
49
dssdcdssdcscs
mmmss 00100
где s - передаточная функция САУ по ошибке управления рав-
ная
sW
sраз
1
1
sWраз - передаточная функция разомкнутой САУ
Основными способами уменьшения статической ошибки систе-
мы являются
1) увеличение коэффициента усиления прямого тракта системы
2) введение в прямой тракт системы интегрирующих звеньев
3) охват объекта управления местной неединичной положитель-
ной обратной связью
Представим структурную схему системы в виде изображенном
на рис 1 где через sW обозначена передаточная функция неизме-
няемой части системы
bsbsb
asasasW
nn
nn
mm
mm
01
1
01
1
Здесь и далее полагается что KKKsW s 000 0 ndash из-
меняемый коэффициент усиления регулятора системы
Первые два коэффициента ошибок 0c и 1c определяется выраже-
ниями
KK
c0
01
1
(2)
KK
dssdWKc
s
20
01
1
(3)
Из (2) и (3) с учетом (1) вытекает что с увеличением K
статическая ошибка в системе уменьшается и наоборот с уменьше-
нием K статическая ошибка в системе увеличивается
Введем в прямой тракт системы одно интегрирующее звено
50
(рис 2) В этом случае c 00 01 1 KKc
Так как c 00 то система на рис 2 является астатической (с
астатизмом первого порядка) Система имеет нулевую статическую
ошибку при отработке постоянного задающего воздействия
consttg и постоянную обратно пропорциональную K ошибку
constуст при отработке линейно изменяющегося воздействия
tatg
Рис 1 Схема САУ Рис 2 Схема САУ с включенным в прямой
тракт интегрирующим звеном
Охватим неизменяемую часть системы sW местной нееди-
ничной положительной обратной связью с коэффициентом усиления
осK (рис 3) Тогда эквивалентная передаточная функция sWэкв
неизменяемой части системы равна
10011
01
1
aKbsaKbsaKbsb
asasa
sWK
sWsW
ососm
mосmn
n
mm
mm
осэкв
(4)
Если коэффициент усиления K выбрать из условия
a
bKос
0
0
то свободный коэффициент (b0 - Koca0) полинома знаменателя sWэкв
обратится в нуль и sWэкв приобретает интегрирующие свойства
11
11
0
1
1
aKbsaKbsbs
asasasW
ос
m
mосm
n
n
m
m
m
mэкв
g(t) y(t)ε(t)
K W(s)-
g(t) y(t)
Ks W(s)-
ε(t)
51
Следовательно замкнутая система становится астатической (с
астатизмом 1-го порядка) Отсюда 0c =0 а коэффициент 1c будет
равен
aKb
bc
ос 11
01
ε(t)g(t) y(t)
W(s)-
Kос
Wэкв(s)
+
Рис 3 Схема САУ с местной неединичной обратной связью
32 Коррекция динамических свойств САУ
Улучшение динамических свойств САУ заключается в увеличе-
нии быстродействия САУ (уменьшении времени регулирования tрег)
уменьшении перерегулирования (см рис 4) а также увеличении
запасов устойчивости по фазе и по модулю При этом
h
hh
уст
устmax100
где maxh - максимальное значение переходной характеристики за-
мкнутой САУ th
устh - установившееся значение th
Время регулирования tрег - минимальная величина при которой удо-
влетворяется условие
устрег hth
где - заданная величина ошибки (обычно =005 устh )
52
h(t)
tрег
hустhmax
2δ
Рис 4 Быстродействие и перерегулирование САУ
Одним из эффективных средств достижения этой цели является
уменьшение отрицательных фазовых сдвигов в прямом тракте систе-
мы путем охвата неизменяемой части системы местными отрицатель-
ными обратными связями
На рис 5 R(s) представляет собой передаточную функцию регу-
лятора САУ которая считается заданной
ε(t)g(t) y(t)
W(s)-
Kос
Wэкв(s)
-
R(s)
u(t)
Рис 5 Схема САУ с местной обратной связью и регулятором
Пусть неизменяемая часть системы представляет собой аперио-
дическое звено первого порядка те
sT
K)s(W
10
0
Тогда передаточная функция sWэкв эквивалентного объекта
управления равна
sT
K
sWK
sWsW
экв
экв
осэкв
11
где зквK и эквT - коэффициент усиления и постоянная времени
эквивалентного объекта равные
53
KK
KK
осэкв
0
0
1
KK
TT
осэкв
0
0
1 (5)
Из (5) следует что соответствующим выбором осK постоянную
времени эквT эквивалентного объекта можно уменьшить в (1+ 0KKос )
раз по сравнении с постоянной времени 0T объекта без местной об-
ратной связи Тем самым уменьшаются отрицательные фазовые сдви-
ги вносимые прямым трактом системы что приводит к увеличению
запасов устойчивости системы При этом однако уменьшается в
(1+ 0KKос ) раз коэффициент усиления эквK эквивалентного объекта
по сравнению с коэффициентом усиления 0K объекта без местной
обратной связи Это нежелательно так как приводит к уменьшению
быстродействия системы вследствие уменьшения общего коэффици-
ента усиления прямого тракта системы В этом случае с целью обес-
печения необходимого быстродействия системы увеличивают коэф-
фициент усиления регулятора
4 Краткое описание MATLAB
Лабораторная работа выполняется в программе математического
моделирования MATLAB Программа MATLAB включает в себя пакет
прикладных программ для решения технических задач и одноименный
язык программирования используемый в этом пакете
Основными компонентами системы являются базовая система
MATLAB и пакет моделирования систем Simulink Остальные пакеты
расширения разбиты на 4 категории ndash расширения Extension MATLAB и
Extension Simulink а также комплексы пакетов расширения Blockset и
Toolbox
Раздел MATLAB Extension содержит средства для подготовки ис-
полняемых приложений MATLAB (с подключаемыми библиотеками и
без них)
Раздел Toolbox (инструментальные средства) содержит самое
большое число пакетов расширений системы MATLAB такие как
laquoControl systemraquo laquoDatabaseraquo laquoFuzzy logicraquo laquoWaveletraquo и тд
54
В разделе Blockset расположено несколько пакетов относящихся к
главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink такие как
laquoDSPraquo laquoFixed-Pointraquo laquoNonlinear control designraquo и laquoPower systemsraquo
В разделе Extension Simulink имеется ряд средств предназначен-
ных для моделирования в реальном масштабе времени и событийно-
управляемом моделировании
5 Задание на лабораторную работу
Выполнить исследование способов коррекции статических и
динамических свойств САУ Определить время регулирования и пе-
ререгулирования в исходной и скорректированной системах а также
для динамических свойств САУ определить запасы устойчивости в
исходной системе и найти экспериментально значение Kос обеспечи-
вающее в системе заданные показатели качества и запасы устойчиво-
сти Вариант задания назначается преподавателем
Таблица 1
Варианты заданий
варианта
Параметры
1
2
3
4
5
6
7
8
a 05 10 15 20 25 30 35 40
K0 1 2 3 4 5 6 7 8
T c 03 04 05 06 07 08 09 10
ξ 06 07 08 08 07 09 05 04
уст 0 0 005 0 010 007 0 0
tрег c le 13 15 20 25 30 35 40 40
le 0 10 10 5 5 5 0 0
В качестве исходных САУ выступают системы изображенные
на рис 6 и 7
55
ε(t)g(t) y(t)
W(s)-
g(t) y(t)
R(s) W(s)-
ε(t) u(t)
Рис 6 САУ с отрицательной Рис 7 САУ с отрицательной обратной
обратной связью связью и регулятором
6 Методика выполнения задания
При исследовании способов коррекции статических свойств
САУ в качестве исходных данных выступает передаточная функция
sW неизменяемой части системы вида
1222
0
sTsT
KsW (6)
и задающие воздействия вида ttg 1 в соответствии с таблицей 1
В процессе выполнения этой части работы необходимо
1) путем моделирования в системе MATLAB исходной САУ
(рис 6) получить графики ttytg
2) сравнить полученную таким образом экспериментальную ве-
личину t с теоретической величиной вычисленной по формуле (1)
3) применяя описанные в теоретической части методических
указаний способы коррекции статических свойств (см п 31) обес-
печить требуемую статическую ошибку εуст системы при отработке
задающего воздействия ttg 1
4) получить графики ty и t в скорректированной системе
для 1 ttg
5) сравнить время регулирования регt и перерегулирование в
исходной и скорректированной системах при 1 ttg
При исследовании рассмотренного способа коррекции динами-
ческих свойств САУ (см п 32) в качестве исходных данных высту-
пают передаточная функция sW неизменяемой части системы
вида (6) и передаточная функция регулятора вида
s
KsR
рег
56
Задающее воздействие ttg 1
В процессе выполнения данной части работы необходимо
1) получить путем моделирования в MATLAB графики ty t
в системе (рис 7)
2) определить время регулирования регt и перерегулирование
а также запасы устойчивости в исходной системе
3) применяя описанный выше способ коррекции динамических
свойств САУ найти экспериментально (путем последовательного пе-
ребора) значение осK обеспечивающее в системе заданные заданием
показатели качества ( регt ) и запасы устойчивости (при необхо-
димости увеличить коэффициент регK )
4) получить графики ty t а также ЛАХ и ЛФХ разомкну-
той системы в скорректированной САУ
7 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) титульный лист
б) структурные схемы исследуемых систем
в) полученные графики и характеристики
г) значения полученные экмпериментально которые
обеспечивают заданные показатели качества и запасы устойчивости
д) выводы обощающие проделанные эксперименты для
коррекции статических и динамических свойств САУ
е) ответы на контрольные вопросы
Контрольные вопросы 1 Дать определение статической и астатической САУ
2 Какими структурными свойствами системы определяется по-
рядок ее астатизма
3 Какой из двух приведенных выше способов придания системе
свойств астатизма 1-го порядка наиболее предпочтителен на
практике
4 Назовите основные показатели качества САУ Поясните их
смысл
5 В чѐм суть исследуемого способа коррекции динамических
свойств САУ
57
6 Назвать другие способы коррекции динамических свойств
САУ
7 Чем вызваны отрицательные фазовые сдвиги в неизменяемой
части САУ
58
Лабораторная работа 6
МЕТОД КОРНЕВОГО ГОДОГРАФА
1 Цель работы
Целью работы является построение корневого годографа и ис-
следование динамики системы с использованием автоматизирован-
ных средств моделирования на ПК ndash MATLABSIMULINK
2 Задачи работы
ndash Закрепление углубление и расширение знаний студентов при
исследование динамики системы
ndash Овладение навыком построения корневого годографа
ndash Приобретение умений и навыков работы с программой мате-
матического моделирования MATLAB
3 Теоретическая часть
Корневым годографом (КГ) называется совокупность траекто-
рий перемещения всех корней характеристического уравнения за-
мкнутой системы при изменении какого-либо параметра этой систе-
мы
Обычно метод КГ позволяет находить полюса и нули ПФ за-
мкнутой системы располагая полюсами и нулями разомкнутой си-
стемы при изменении коэффициента усиления разомкнутой системы
K
ПФ разомкнутой системы Wp(s) представим в следующем виде
)(
)(
1
1
0
n
ii
m
jj
p
ss
ssKC
sW (1)
где 0js ndash нули ПФ sWp )1( mj
is ndash полюса ПФ sWp
)1( nj n и m ndash порядки знаменателя и числителя C ndash коэффици-
ент представления (отношение коэффициентов при старших членах
числителя и знаменателя)
59
При замыкании системы с ПФ sWp единичной отрицатель-
ной обратной связью ПФ замкнутой системы sWз принимает вид
)(1
)(
sW
sWsW
p
pз
(2)
Из выражения (2) следует что нули ПФ замкнутой системы рав-
ны нулям ПФ разомкнутой системы
Для нахождения полюсов рассмотри выражение
01 sWp (3)
в соответствии с выражением (1) имеем
n
i
m
jjin
ii
m
jj
ssKCss
ss
ssKC
1 1
0
1
1
0
)()(01
)(
)(
(4)
На основании выражения (4) можно сказать что при K = 0 корни
характеристического уравнения совпадают с полюсами а при K = infin ndash
с нулями При изменении K от 0 до infin траектории корней начинаются
в полюсах и заканчиваются в нулях Обычно полюсов больше чем
нулей В этом случаем mn ветвей корневого годографа стремятся к
infin
Для определения полюсов замкнутой системы с отрицательной
обратной связью необходимо решить уравнение (его называют ос-
новным уравнением метода КГ)
1sWp (5)
Так как sWp является функцией комплексного переменного
s то уравнение (5) распадается на два уравнения уравнение модулей
1)( sWp (6)
60
и уравнение аргументов (фаза вектора -1 есть нечетное число π)
210)12()(arg sWp (7)
Как известно при умножении комплексных чисел их аргументы
складываются а при делении ndash вычитаются Поэтому исходя из вы-
ражения (1) уравнение (7) имеет наглядный геометрический смысл
Пусть точка s ndash полюс замкнутой системы Если провести в s
вектора из нулей sWp (обозначим аргументы этих векторов 0j ) и
вектора из всех полюсов sWp (обозначим аргументы этих векторов
i ) то уравнение (7) можно записать в следующем виде
m
j
n
iij
1 1
0 210)12( (8)
Углы q отсчитываются от положительного направления дей-
ствительной оси Знак угла laquo+raquo соответствует повороту против часо-
вой стрелки знак угла laquo-raquo соответствует повороту по часовой стрел-
ке
Таким образом любая точка КГ должна удовлетворять уравне-
нию (8) из которого следует что конфигурация КГ не зависит от ко-
эффициента усиления K но каждому конкретному значению K одно-
значно соответствуют точки на КГ
При умножении комплексных чисел их модули перемножаются
а при делении ndash делятся Поэтому на основании (6) можно записать
1
1
1
0
n
ii
m
jj
l
lKC
(9)
где 0jl ndash модуль (длина) вектора проведенного из j-нуля в точку s
КГ il ndash модуль вектора проведенного из i-полюса в ту же точку s
61
Таким образом траектории корней строятся только по уравне-
ниям фаз а уравнение модулей используется затем для нахождения
K
Сущность метода КГ заключается в том чтобы узнать каким
должен быть коэффициент усиления разомкнутой системы чтобы
было обеспечено желаемое положение корней замкнутой системы
Корневой годограф системы с отрицательной обратной связью
обладает следующими основными свойствами
1 Ветви КГ непрерывны и расположены на комплексной плос-
кости симметрично относительно действительной оси
2 Число ветвей КГ равно порядку системы n Ветви начинают-
ся в n полюсах разомкнутой системы при K=0 При возрастании K от
0 до infin полюса замкнутой системы двигаются по ветвям КГ
3 mветвей КГ при возрастании K от 0 до infin заканчиваются в m
нулях )(sWp а )( mn ветвей при K стремящемся к infin удаляются
от полюсов вдоль асимптот
4 При расположении ветвей корневого годографа в левой полу-
плоскости s САУ устойчива При пересечении ветвей КГ мнимой оси
слева направо САУ становится неустойчивой Пусть при K=Kкр
пере-
сечение КГ с мнимой осью произойдет в некоторой точке iωкр
Назо-
вем это значение коэффициента усиления критическим Kкр
а вели-
чину iωкр
критической угловой частотой на которой система стано-
вится неустойчивой
4 Краткое описание MATLAB
Лабораторная работа выполняется в программе математического
моделирования MATLAB Программа MATLAB включает в себя пакет
прикладных программ для решения технических задач и одноименный
язык программирования используемый в этом пакете
Основными компонентами системы являются базовая система
MATLAB и пакет моделирования систем Simulink Остальные пакеты
расширения разбиты на 4 категории ndash расширения Extension MATLAB и
Extension Simulink а также комплексы пакетов расширения Blockset и
Toolbox
Раздел MATLAB Extension содержит средства для подготовки ис-
полняемых приложений MATLAB (с подключаемыми библиотеками и
без них)
62
Раздел Toolbox (инструментальные средства) содержит самое
большое число пакетов расширений системы MATLAB такие как
laquoControl systemraquo laquoDatabaseraquo laquoFuzzy logicraquo laquoWaveletraquo и тд
В разделе Blockset расположено несколько пакетов относящихся к
главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink такие как
laquoDSPraquo laquoFixed-Pointraquo laquoNonlinear control designraquo и laquoPower systemsraquo
В разделе Extension Simulink имеется ряд средств предназначен-
ных для моделирования в реальном масштабе времени и событийно-
управляемом моделировании
5 Корневой годограф в MATLAB
В системе MATLAB существует команда zpk для преобразова-
ния модели заданной ПФ в модель заданную нулями полюсами и
обобщенными коэффициентами передачи (zpk-форма)
Пример
gtgt w=tf([10][2 2 3 1 0])
Transfer function
10
-------------------------------
2 s^4 + 2 s^3 + 3 s^2 + s
gtgt w1=zpk(w)
Zeropolegain
5
----------------------------------------------
s (s+03966) (s^2 + 06034s + 1261)
Для работы с корневым годографом удобно использовать гра-
фический интерфейс laquoSISO-Design Toolraquo предназначенный для ана-
лиза и синтеза одномерных линейных систем автоматического управ-
ления (SISO ndash Single Input Signal Output)
Запуск SISO-Design Tool осуществляется командой
gtgt sisotool
63
В появившемся окне графического интерфейса необходимо ис-
пользовать команду laquoFileImportraquo для загрузки данных из рабочего
пространства MATLAB в результате которой появляется диалоговое
окно Import System Data (рис 1)
Рис 1 Диалог для ввода параметров модели
После импортирования данных можно исследовать изменение
временных и частотных характеристик замкнутой системы при изме-
нении K Обычно при этом требуется определить условия неустойчи-
вости замкнутой САУ Определить Kкр
и iωкр
На рис 2 показано окно sisotool для описанной выше модели w1
Двигая красным курсором по КГ до пересечения ветвей с мнимой
осью можно определить значения Kкр
В данном случае Kкр
asymp 01
Значение iωкр
соответствует мнимой координате пересечения КГ
мнимой оси Просмотреть это значение можно в нижней части ин-
терфейса или выбрать меню laquoView Closed-Loop Polesraquo
64
Рис 2 Основное окно SISO-Design Tool
6 Задание на лабораторную работу
Построить КГ в соответствии с вариантом из табл 1 при помо-
щи графического интерфейса sisotool
Исследовать динамику замкнутой системы при различных зна-
чениях коэффициента усиления разомкнутой системы K в том числе
ndash запасы устойчивости в частотной области
ndash параметры переходного процесса во временной области
Таблица 1
Варианты передаточных функций
Значения параметров Передаточная функция
разомкнутой системы
1 T = 01 ζ = 1
)12( 22 sTsTs
K
2 T = 005 ζ = 0707
3 T = 003 ζ = 01
4 T = 008 ζ = 05
5 T = 001 ζ = 015
65
Окончание табл 1
Значения параметров Передаточная функция
разомкнутой системы
6 T1 = 003 T2 = 05 T3 = 01 T4 = 005
)1)(1)(1(
)1(
432
1
sTsTsTs
sTK
7 T1 = 005 T2 = 04 T3 = 008 T4 = 0033
8 T1 = 02 T2 = 045 T3 = 01 T4 = 005
9 T1 = 05 T2 = 025 T3 = 01 T4 = 002
10 T1 = 01 T2 = 025 T3 = 01 T4 = 005
Вариант задания назначается преподавателем
7 Методика выполнения задания
Порядок выполнения лабораторной работы
1 Задать передаточную функцию в MATLAB в соответствии с
вариантом коэффициент K задать любым положительным числом
2 Запустить SISO-Design Tool и осуществить ввод данных
Построить КГ
3 По КГ определить значения коэффициента K когда система
будет устойчивой на границе устойчивости и неустойчива
4 Выбрать значение коэффициента K таким образом чтобы си-
стемы была устойчива и определить запас устойчивости в частотной
области и параметры переходного процесса во временной области
8 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) титульный лист
б) передаточную функцию и этапы построения КГ
в) анализ результатов построения КГ
г) выводы по проделанной работе
д) ответы на контрольные вопросы
Контрольные вопросы 1 Дать определение КГ
2 Что обычно позволяет находить метод КГ
3 В чем заключается сущность метода КГ
4 Что можно определить по КГ
66
Критерии результативности лабораторного практикума
Лабораторная работа считается выполненной если студент
ndash выполнил все указанные задания
ndash представил отчет соответствующий всем требованиям к его
содержанию и оформлению
ndash владеет терминологией и материалом лабораторной работы
ndash способен использовать программное средство математическо-
го моделирования MATLAB
ndash способен предоставить и рассказать результаты выполненной
работы на ПК
ndash может дать пояснения к отчету и ответить на контрольные
вопросы
Список литературы
1 Александров АГ Частотная теория автоматического управле-
ния учебное пособие ndash Электросталь ЭПИ МИСиС 2010
2 Борисевич АВ Теория автоматического управления элементар-
ное введение с применением MATLAB ndash СПб Изд-во Политехн ун-
та 2011
3 Федоров ВЛ Бубнов АВ Теория автоматического управления
учебное пособие ndash Омск Изд-во ОмГТУ 2010
4 Павловская ОО Чернецкая ИВ Теория автоматического
управления учебное пособие ndash Челябинск Изд-во ЮУрГУ 2010
67
Составители ЛЯНЦЕВ Олег Дмитриевич КАЗАНЦЕВ Андрей Валерьевич
ИССЛЕДОВАНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК СИСТЕМ
АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
Лабораторный практикум
по дисциплине
laquoТеория управленияraquo
Подписано в печать Формат 60х84 116 Бумага офсетная Пе-
чать плоская Гарнитура Times New Roman Усл печ л 56 Уч-изд л
55 Тираж 100 экз Заказ
ФГБОУ ВПО Уфимский государственный авиационный технический
университет
Центр оперативной полиграфии УГАТУ
450000 Уфа-центр ул К Маркса 12
11
функцией системы и обозначается h(t) При неединичном ступенчатом
воздействии g(t)=N1(t) где N = const в соответствии с принципом
суперпозиции выходная реакция системы будет )()( tNhty
Импульсная функция δ(t) определяется условиями
00
0)(
tпри
tприt
Очевидно )(1)( tt
Реакция САУ на импульсную функцию называется импульсной
переходной функцией системы (функцией веса) и обозначается w(t)
Импульсная и переходная функции системы связаны
соотношением
)()(0
dwtht
4 Краткое описание MATLAB
Лабораторная работа выполняется в программе математического
моделирования MATLAB Программа MATLAB включает в себя пакет
прикладных программ для решения технических задач и одноименный
язык программирования используемый в этом пакете
Основными компонентами системы являются базовая система
MATLAB и пакет моделирования систем Simulink Остальные пакеты
расширения разбиты на 4 категории ndash расширения Extension MATLAB и
Extension Simulink а также комплексы пакетов расширения Blockset и
Toolbox
Раздел MATLAB Extension содержит средства для подготовки ис-
полняемых приложений MATLAB (с подключаемыми библиотеками и
без них)
Раздел Toolbox (инструментальные средства) содержит самое
большое число пакетов расширений системы MATLAB такие как
laquoControl systemraquo laquoDatabaseraquo laquoFuzzy logicraquo laquoWaveletraquo и тд
В разделе Blockset расположено несколько пакетов относящихся к
12
главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink такие как
laquoDSPraquo laquoFixed-Pointraquo laquoNonlinear control designraquo и laquoPower systemsraquo
В разделе Extension Simulink имеется ряд средств предназначен-
ных для моделирования в реальном масштабе времени и событийно-
управляемом моделировании
5 Моделирование передаточных функций в MATLAB
В пакете MATLAB имеется два основных варианта для исследо-
вания передаточных функций и моделирования САУ
- использование команд пакета расширения Control System
Toolbox
- использование пакета Simulink
Control System Toolbox предназначен для работы с LTI-моделями
систем управления
Команда создающая LTI-систему с одним входом и одним вы-
ходом в виде передаточной функции имеет следующий синтаксис
])[]([ 011011 aaaabbbbtf nnmm
где 011 bbbb mm и 011 aaaa nn ndash значения коэффициентов
полиномов В и А в (3)
Например если требуется описать ПФ вида
582
12
ss
sW
и узнать значения ее нулей и полюсов то нужно ввести в окне команд
MatLab следующие команды
gtgt w=tf([1 1][2 8 5])
gtgt zero(w)
gtgt pole(w)
Исследовать реакцию LTI-модели на типовые входные воздей-
ствия можно с помощью команд
gtgt step(w)
gtgt impulse(w)
Можно получить на одном графике реакцию сразу нескольких
динамических звеньев если использовать команды вида
gtgt step(w w1 w2)
gtgt impulse(w w1 w2)
13
В приведенных примерах время моделирования выбирается ав-
томатически При необходимости его можно явно указать в команде
gtgtstep(w w1 w2t)
где t - время моделирования в секундах
Рис 1 Исследование реакции колебательного звена
На рис 1 показан пример моделирования динамики колебатель-
ного звена при различных параметрах
gtgt w=tf([1][2 03 1])
gtgt w1=tf([1][2 05 1])
gtgt w2=tf([1][2 01 1])
gtgt step(ww1w250)
В Simulink ПФ можно описать с помощью блока Transfer Fcn в
разделе библиотеки Continuous Для подачи типовых воздействий
надо использовать блок Step из раздела Sources Импульсную пере-
ходную характеристику звена можно получить подавая на вход им-
пульс маленькой длительности и большой амплитуды (приближение
δ-функции) при нулевых начальных условиях
6 Задание на лабораторную работу
С помощью пакета MATLAB построить реакцию каждого типо-
вого звена с параметрами своего варианта (см табл 2) на ступенчатое и
импульсное входное воздействие Определить влияние коэффициен-
тов входящих в описание каждого звена на параметры переходного
процесса Вариант задания назначается преподавателем
14
Таблица 2
Варианты заданий
Апери-
од зве-
но
Апериодич звено
2 пор (колеб
звено)
Ин-
тегр
звено
Изодр
звено
Реальное
диф звено
Инерц-
форс
звено
K T K T2 (T) T1( ξ ) K K T K T K T0 T1
1 3 02 3 02 20
(02)
3 3 05 3 04 3 2 08
2 4 03 4 03 15
(015)
4 4 1 4 03 4 3 12
3 5 04 5 04 25
(025)
5 5 08 5 05 5 4 15
4 6 05 6 05 16
(03)
6 6 2 6 10 6 5 20
5 7 06 7 06 28
(02)
7 7 3 7 08 7 6 20
6 8 07 8 07 22
(008)
8 8 35 8 10 8 7 20
7 9 08 9 08 21
(007)
9 9 1 9 09 9 8 30
8 10 10 10 10 30
(01)
10 10 20 10 20 10 10 40
7 Методика выполнения задания
Порядок выполнения работы
1 Задать передаточную функцию типового динамического звена
в MATLAB используя параметры приведенные в табл 2
2 Варьируя коэффициент динамического звена увеличивая его в
2 раза ndash получить вторую ПФ затем уменьшить исходный коэффици-
ент в 2 раза и получить третью ПФ
3 Построить на одном графике реакцию получившихся динами-
ческих звеньев на единичный скачок
4 Построить на одном графике реакцию получившихся динами-
ческих звеньев на импульсную функцию
5 Выполнить пп 2-4 для всех коэффициентов динамического
звена
6 Выполнить пп 1-5 для всех динамических звеньев
7 Подготовить ответы на контрольные вопросы
15
8 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) титульный лист
б) передаточные функции и схемы моделирования исследуемых
звеньев
в) экспериментально полученные характеристики при вариа-
ции параметров каждого звена
г) выводы обобщающие проделанные эксперименты по каждо-
му звену
д) ответы на контрольные вопросы
Контрольные вопросы
1 Что называется передаточной функцией
2 Что называется переходной и импульсной (весовой)
функциями Какова связь между ними
3 Как пользуясь временными характеристиками определить
параметры (коэффициенты передаточной функции) звена
Пояснить на конкретных примерах
4 Перечислите динамические характеристики САУ
5 Что называется характеристическим уравнением
16
Лабораторная работа 2
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СТРУКТУРНЫХ СХЕМ
1 Цель работы
Целью работы является изучение структурных преобразований и
нахождения передаточных функций с использованием автоматизиро-
ванных средств моделирования на ПК ndash MATLAB SIMULINK
2 Задачи работы
ndash Закрепление углубление и расширение знаний студентов при
исследовании преобразований структурных схем
ndash Приобретение умений и навыков работы с программой мате-
матического моделирования MATLAB
ndash Овладение несколькими методами преобразования структур-
ных схем
3 Теоретическая часть
Для наглядного представления сложной системы как совокупно-
сти элементов и связей между ними используются структурные
схемы
Структурной схемой называется схема САУ изображенная в
виде соединения ПФ составляющих ее звеньев
Структурная схема показывает строение автоматической систе-
мы наличие внешних воздействий и точки их приложения пути рас-
пространения воздействий и выходную величину Динамическое или
статическое звено изображается прямоугольником в котором указы-
вается ПФ звена Воздействия на систему и влияние звеньев друг на
друга (сигналы) изображаются стрелками В каждом звене воздей-
ствие передается только от входа звена к его выходу
На динамическое звено может воздействовать лишь одна вход-
ная величина поэтому используются блоки суммирования и сравне-
ния сигналов Суммироваться и сравниваться могут лишь сигналы
одной и той же физической природы
Структурная схема может быть составлена по уравнению систе-
мы в пространстве состояний или по системе дифференциальных
уравнений При составлении структурной схемы удобно начинать с
изображения задающего воздействия и располагать динамические
17
звенья составляющие прямую цепь системы слева направо до регу-
лируемой величины Тогда основная обратная связь и местные обрат-
ные связи будут направлены справа налево
Различные способы преобразования структурных схем облегча-
ют определение ПФ сложных САУ и дают возможность привести
многоконтурную систему к эквивалентной ей одноконтурной схеме
Преобразование структурной схемы должно осуществляться на
основании правил основные из них приведены в табл 1
При выполнении преобразований следует каждое имеющееся в
схеме типовое соединение заменить эквивалентным звеном Затем
можно выполнить перенос точек разветвления и сумматоров чтобы в
преобразованной схеме образовались новые типовые соединения зве-
ньев Эти соединения опять заменяются эквивалентными звеньями
затем вновь может потребоваться перенос точек разветвления и
сумматоров и т д
Различают основные соединения блоков в структурных схемах
последовательное соединение параллельное соединение антипарал-
лельное соединение (обратная связь) в свою очередь обратная связь
может быть отрицательной и положительной Таблица 1
Основные правила преобразования структурных схем
Преобразование
Структурная схема
Исходная Эквивалентная
Свертывание
последовательного
соединения
W1 W2 Wnu y
Wu y
nWWWW 21
Свертывание
параллельного
соединения
Wn
W2
W1
u y
Wu y
nWWWW 21
Свертывание
обратной связи
W1u plusmn y
W2
Wu y
21
1
1 WW
WW
18
Окончание табл 1
Преобразование
Структурная схема
Исходная Эквивалентная
Перенос узла через
звено вперед
Wu y
x
Wu y
xW1
WW
11
Перенос узла через
звено назад
Wu y
y
Wu y
yW
Перенос сумматора
через звено вперед
Wu1 y
u2
plusmn
Wu1 y
u2
plusmn
W
Перенос сумматора
через звено назад
Wu1 y
u2
plusmn
Wu1 y
u2
plusmn
W1
WW
11
Перенос прямой
связи через звено W2yu
plusmnW1
W3
W2 yu
plusmnW1
W3 W2
Перенос узла через
сумматор вперед
x1
+
- y
x1
x2
x1
+
- y
x1x2
+
+
Перенос узла через
сумматор назад
x1
+
- y
x2
y
x1
+
- y
x2y
+
-
Пример Пусть необходимо получить эквивалентное представ-
ление для структуры приведенной на рис 1
19
W1
W2 W3
W4
W5 W6
W7
+
+
+
-
Рис 1 Исходная схема САУ
Преобразование включает несколько этапов показанных на рис 2ndash5
W1
W2 W3
W4
W5 W6
W7
+
+
+
-
1W6
Рис 2 Перенос узла через звено вперед
567
659
1 WWW
WWW
6
48
W
WW
Рис 3 Свертывание обратной связи и последовательного соединения
2110 WWW
983
9311
1 WWW
WWW
Рис 4 Свертывание обратной связи и Рис 5 Свертывание последователь-
параллельного соединения ного соединения
W10 W11 WЭкв
543765
653265311110
1 WWWWWW
WWWWWWWWWWWЭкв
W1
W2
W8
W3 W9
+
+
20
Таким образом первый способ преобразования структурных
схем заключается в непосредственном использовании правил приве-
денных в табл1 Неудобство использования этого подхода заключа-
ется в том что порядок применения формул здесь достаточно произ-
волен возможны ошибочные шаги усложняющие поиск решения
Второй способ для получения ПФ многоконтурной системы за-
ключается в использовании модели системы в виде сигнального
графа
Сигнальный граф позволяет графически описать линейные связи
между переменными он состоит из узлов (вершин) и соединяющих их
направленных ветвей
Ветвь соответствует блоку структурной схемы она отражает за-
висимость между входной и выходной переменными Сумма всех
сигналов входящих в узел образует соответствующую этому узлу
переменную
Последовательность ветвей между двумя узлами называется пу-
тем Контуром называется замкнутый путь который начинается и
заканчивается в одном и том же узле причем ни один узел не встре-
чается на этом пути дважды
Контуры называются некасающимися если они не имеют общих
узлов
Сигнальный граф ndash это просто наглядный метод записи системы
алгебраических уравнений показывающий взаимосвязь между пере-
менными
r1
r2
a11
a22
x1
x2
a12a21
Рис 6 Сигнальный граф для двух алгебраических выражений
В качестве примера рассмотрим следующую систему алгебраи-
ческих уравнений
21
11212111 xrxaxa (1)
22222121 xrxaxa (2)
здесь r1 и r2 ndash входные переменные а x1 и x2 ndash выходные переменные
Сигнальный граф соответствующий уравнениям (1) и (2) изображен
на рис 6 Уравнения (1) и (2) можно записать в ином виде
1122111 )()1( raxax
2222211 )1()( raxax
Решая последнюю систему по правилу Крамера получим
212
122
21122211
2121221
)1(
)1)(1(
)1(r
ar
a
aaaa
rarax
121
211
21122211
1212112
)1(
)1)(1(
)1(r
ar
a
aaaa
rarax
В этих решениях знаменатель равен определителю составлен-
ному из коэффициентов при неизвестных и его можно записать так
21122211221121122211 1)1)(1( aaaaaaaaaa
В данном случае знаменатель равен единице минус коэффици-
енты передачи отдельных контуров a11 a22 и a12a21 плюс произведе-
ние коэффициентов передачи двух некасающихся контуров a11 и a22
Контуры a22 и a12a21 являются касающимися так же как и контуры a11
и a21a12
В решении для x1 по отношению ко входу r1 числитель равен
единице умноженной на (1-a22) те значение определителя некаса-
ющегося пути от r1 к x1 В решении для x1 по отношению ко входу
r2числитель просто равен a12 тк этот путь касается всех контуров
Числитель выражения x2 симметричен соответствующему числителю
для x1
В общем случае линейная зависимость Tij между независимой
переменной xi (часто называемой входной переменной) и зависимой
переменной xj определяется по формуле Мейсона
22
k
ijkijk
ij
P
T
где Pijk ndash коэффициент передачи k-го пути от переменной xi к пере-
менной xj Δ ndash определитель графа Δijk ndash дополнительный множитель
для пути Pijk а суммирование производится по всем возможным k пу-
тям от xi до xjДополнительный множитель Δijk равен определителю
всех касающихся контуров при удалении k-го пути
Определитель находится как
QM
qm
LSR
lsrlsrqm
K
kk LLLLLL
11
1111
1
где Kk kL
1ndash сумма коэффициентов передачи всех отдельных конту-
ров QM
qm qmLL
11ndash сумма произведений всех возможных комбина-
ций из двух некасающихся контуров LSR
lsr lsr LLL
111ndash сумма про-
изведений всех возможных комбинаций из трех некасающихся кон-
туров
Таким образом правило вычисления Δ через значение L1 L2
L3hellipLN таково Δ = 1- (сумма коэффициентов передачи всех отдель-
ных контуров) + (сумма произведений всех возможных комбинаций
из 2 некасающихся контуров) ndash (сумма произведений всех возмож-
ных комбинаций из 3 некасающихся контуров) +hellip
Формула Мейсона часто используется в несколько упрощенном
виде для определения связи между выходной переменной Y(s) и
входной переменной X(s) те
)()(
)( 1
N
iiiP
sWsX
sY
где Pi ndash i-й путь от входа к выходу N ndash количество путей Δ ndash опреде-
литель графа специальный полином который определенным образом
характеризует совокупность всех замкнутых цепей системы содер-
жащих обратные связи и вычисляется как сумма передаточных
функций разомкнутых контуров этих цепей и произведений
23
передаточных функций разомкнутых контуров пар троек и тд не со-
прикасающихся друг с другом цепей с обратными связями Δi ndash до-
полнительный множитель для пути составляется по правилу анало-
гичному Δ но только для цепей с обратными связями не соприкаса-
ющихся с i-м прямым каналом
Дополнительный множитель для i-го пути равен определителю
графа в котором приравнены нулю коэффициенты передачи конту-
ров касающихся этого пути
Рассмотрим пример получения ПФ многоконтурной системы с
использованием формулы Мейсона для структуры на рис 1 которая
соответствует графу показанному на рис 7
X(s) Y(s)W1
W2
W3 W5 W6
W4 -W7
Рис 7 Описание системы управления сигнальным графом
От входа к выходу ведут два пути
65311 WWWWP
65322 WWWWP
В графе есть 2 контура
5431 WWWL
7652 WWWL
Контур L1 пересекает контур L2 поэтому определитель графа
вычисляется по формуле
)(1 21 LL
Контуры в этом примере пересекают все пути поэтому допол-
нительные множители путей равны
24
11
12
Окончательно можно записать
1
)(543765
65326531
2
1
WWWWWW
WWWWWWWWP
sW iii
Таким образом использование сигнальных графов и применение
формулы Мейсона позволяет алгоритмизировать процесс упрощения
структурной схемы
Третий способ для получения ПФ заключается в составлении
системы уравнений Необходимо обозначить выходы сумматоров и
составить систему уравнений на основе этих обозначений На рис9
представлена исходная схема с обозначенными сумматорами
W1
W2 W3
W4
W5 W6
W7
+
+
+
-
Z H
u y
Рис 9 Исходная схема САУ с обозначенными сумматорами
Опишем все сигналы в системе в виде уравнений
)( 4521 HWWuWWZ
73 yWZWH
65 HWWy
Подставив последовательно значения сигналов найдем ПФ
))(( 734521 yWWHWWuWWH
После преобразования получим
25
1
)(
543
73231
WWW
yWuWWWWH
Подставим полученное значение H в уравнение y
1
))((
543
6573231
WWW
WWyWuWWWWy
Получим ПФ вида
1
)(543765
65326531
WWWWWW
WWWWWWWW
u
ypW
4 Краткое описание MATLAB
Лабораторная работа выполняется в программе математического
моделирования MATLAB Программа MATLAB включает в себя пакет
прикладных программ для решения технических задач и одноименный
язык программирования используемый в этом пакете
Основными компонентами системы являются базовая система
MATLAB и пакет моделирования систем Simulink Остальные пакеты
расширения разбиты на 4 категории ndash расширения Extension MATLAB и
Extension Simulink а также комплексы пакетов расширения Blockset и
Toolbox
Раздел MATLAB Extension содержит средства для подготовки ис-
полняемых приложений MATLAB (с подключаемыми библиотеками и
без них)
Раздел Toolbox (инструментальные средства) содержит самое
большое число пакетов расширений системы MATLAB такие как
laquoControl systemraquo laquoDatabaseraquo laquoFuzzy logicraquo laquoWaveletraquo и тд
В разделе Blockset расположено несколько пакетов относящихся к
главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink такие как
laquoDSPraquo laquoFixed-Pointraquo laquoNonlinear control designraquo и laquoPower systemsraquo
В разделе Extension Simulink имеется ряд средств предназначен-
ных для моделирования в реальном масштабе времени и событийно-
управляемом моделировании
26
5 Структурные преобразования в MATLAB
В пакете MATLAB имеется ряд функций с помощью которых
можно выполнять структурные преобразования (используется экви-
валентная схема)
ndash series(w1w2) ndash последовательное соединение звеньев
ndash parallel(w1w2) ndash параллельное соединение звеньев
ndash feedback(w1w2) ndash включение звена w2 в контур отрицательной об-
ратной связи к w1
ndash feedback(w1w2sign) ndash включение звена w2 в контур обратной связи
звена w1 с указанием знака + или ndash (очевидно feedback(w1w2)=
=feedback(w1w2-1))
Пример
Даны две передаточные функции
22
221
ss
sW
22
322
2
2
ss
ssW
Опишем ПФ введя в окне команд MatLab следующие команды
gtgt w1=tf([1 2][1 2 2])
gtgt w2=tf([1 2 3][1 2 2])
Выполним структурные преобразования для данных ПФ
gtgt w2=series(w1w2)
Transfer function
s^3 + 4 s^2 + 7 s + 6
------------------------------------
s^4 + 4 s^3 + 8 s^2 + 8 s + 4
gtgt w3=parallel(w1w2)
Transfer function
s^4 + 5 s^3 + 13 s^2 + 16 s + 10
----------------------------------------
s^4 + 4 s^3 + 8 s^2 + 8 s + 4
27
gtgt w4=feedback(w1w2)
Transfer function
s^3 + 4 s^2 + 6 s + 4
----------------------------------------
s^4 + 5 s^3 + 12 s^2 + 15 s + 10
Для проверки правильности проведенных преобразований необ-
ходимо собрать схему исходной САУ и соответствующую ей эквива-
лентную схему в MATLAB Simulink
Исходная схема САУ собирается как модель из соответствую-
щих элементов таких как laquoTransfer Fncraquo laquostepraquo laquosignal builderraquo
laquoscoperaquo и laquosumraquo Все эти элементы находятся в пакете laquoSimulinkraquo и
представлены в виде блоков Для того чтобы создать новую модель
необходимо нажать laquoFile-gtNew-gtModel (Simulink)raquo после откроется
окно модели в которую нужно будет добавлять элементы из библио-
теки для доступа к ней необходимо нажать на значок laquoLibrary Brows-
erraquo
Описание используемых элементов из пакета Simulink
1 Transfer Fnc ndash передаточная функция
2 Step ndash единичный скачок (функция Хэвисайда) в блоке необходи-
мо задать время начала перехода (step time)
3 Signal builder ndash блок для моделирования сигнала по заданным па-
раметрам (можно построить единичный скачок и импульсную функ-
цию)
4 Scope ndash виртуальный осциллограф отображает получившийся гра-
фик открывается двойным щелчком левой клавиши мыши и для кор-
рекции масштаба необходимо нажать правой кнопкой по графику и
из выпадающего меню выбрать laquoautoscaleraquo
5 Sum ndash сумматор в параметрах задается число сигналов соответ-
ственно laquo+raquo - положительный laquondashraquo - отрицательный
Так же нужно задать время работы модели для этого необходи-
мо выбрать laquoSimulation-gtSimulation parametersraquo и установить пара-
метр laquostop timeraquo на нужное значение и после необходимо запустить
модель на выполнение нажав на значок laquoStart simulationraquo Пример
модели составленной в MATLAB представлен на рис 10
28
Рис 10 Пример схемы САУ с блоком laquosignal builderraquo
Задача считается решенной если при подаче на вход обоих
схем одинаковых тестовых воздействий (единичный скачок импуль-
сная функция) наблюдаются одинаковые выходные сигналы
6 Задание на лабораторную работу
Выполнить преобразование структурной схемы САУ в эквива-
лентную передаточную функцию Составить модель исходной схемы
САУ в MATLAB С помощью ряда функций MATLAB (структурные
преобразования) составить эквивалентную схему Вариант задания
назначается преподавателем
7 Методика выполнения задания
Порядок выполнения работы
1 Выполнить преобразование заданного варианта структурной
схемы САУ (см табл 2) в эквивалентную ПФ тремя способами
ndash непосредственно используя правила табл 1
ndash используя представление в виде сигнального графа и формулу
Мейсона
ndash составив систему уравнений и решив еѐ
2 В качестве звеньев W1W2W3 использовать передаточные
функции звеньев представленных в табл 2
3 Составить модель исходной схемы САУ в MATLAB постро-
ить реакцию получившейся модели на ступенчатое и импульсное
воздействия
4 С помощью ряда функций MATLAB (структурные преобразо-
вания) составить эквивалентную схему и построить реакцию на сту-
пенчатое и импульсное воздействия
5 Подготовить ответы на контрольные вопросы
29
Таблица 2
Варианты структур САУ
Исходная схема
Передаточные
функции
1 W1
W3
W2
-
+
-
+
u y
+
1
31
sW
2
442
s
sW
12
133
s
sW
2 W1
W3
W2
-
+
-
+
u y
+ +
3 W3
W2
W1
-
+
-
+
u y
+ +
4 W3
W1
W2
+
+
-
+
u y
+ +
1
21
sW
2
12
sW
12
13
s
sW
5
W1
W3
W2
-
+
-
+
u y
+ +
6
W1
W3
W2
-
+
-
+
u y
+
62
31
sW
2
52
sW
1
23
s
sW
7
W1
W3
W2
-
+
-
+
u y
+ +
8
W1
W2
W3
-
+
-
+
u y
+ +
30
8 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) описание всех этапов преобразования исходной схемы и по-
лучающихся промежуточных результатов выполненными тремя спо-
собами моделирование реакции схемы на типовое воздействие (ска-
чок) до и после преобразования
б) сигнальный граф системы описание путей контуров расчет
ПФ по формуле Мейсона
в) решение составленной системы уравнений
г) схема модели и протокол команд MATLAB
д) графики переходных процессов при подаче на вход исходной
и эквивалентной схемы типовых тестирующих воздействий (скачок
импульс)
е) ответы на контрольные вопросы
Контрольные вопросы
1 Что называется структурной схемой Какие задачи можно
решить с еѐ помощью
2 Как может быть составлена структурная схема
3 Что позволяет алгоритмизировать процесс упрощения струк-
турной схемы Поясните на конкретном примере
31
Лабораторная работа 3
ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
ДИНАМИЧЕСКИХ ЗВЕНЬЕВ
1 Цель работы
Целью работы является изучение частотных характеристик ти-
повых динамических звеньев с использованием автоматизированных
средств моделирования на ПК ndash MATLAB SIMULINK
2 Задачи работы
ndash Закрепление углубление и расширение знаний студентов при
исследовании частотных характеристик динамических звеньев
ndash Приобретение умений и навыков работы с программой мате-
матического моделирования MATLAB
ndash Выработка способности логического мышления осмысление
полученных данных частотных характеристик
3 Теоретическая часть Сущность метода частотных характеристик заключается в том
что на вход исследуемой системы подается гармонический сигнал (си-
нусоидальные колебания) в широком диапазоне частот Реакция си-
стемы при разных частотах позволяет судить о ее динамических
свойствах
Пусть входной сигнал системы имеет амплитуду а и частоту ω т е
описывается формулой
)sin( tax
Выходной сигнал будет иметь амплитуду А1 и отличаться от вход-
ного по фазе на величину ψ (фазовый сдвиг)
)sin(1 tAy
Таким образом можно рассчитать усиление по амплитуде
1
a
AA
32
Для каждой частоты входного сигнала ω будут свои А и ψ
Изменяя ω в широком диапазоне можно получить зависимость
А(ω) ndash амплитудную частотную характеристику (АЧХ) и ψ(ω) ndash фазо-
вую частотную характеристику (ФЧХ)
Главное достоинство метода частотных характеристик заключа-
ется в том что АЧХ и ФЧХ объекта могут быть получены экспери-
ментально Для этого необходимо иметь генератор гармонических
колебаний который подключается к входу объекта и измеритель-
ную аппаратуру для измерения амплитуды и фазового сдвига колеба-
ний на выходе объекта
Частотные характеристики САУ могут быть получены по ее ПФ
W(s) Для суждения о реакции звена на синусоидальный сигнал доста-
точно исследовать его реакцию на гармонический сигнал вида
)( tjejx
Тогда выходной сигнал определяется по соотношению
)()( ))(( tjeAjy
и частотная ПФ получается равной
)()(
)()( )(
jeA
jx
jyjW
Формально для получения частотной ПФ надо сделать в W(s)
подстановку s = jω и тогда полученная W(jω) является комплексным
выражением которое можно представить в виде
)()(
)()()(
22
11
jba
jbajW
Для нахождения вещественной и мнимой частей частотной пе-
редаточной функции необходимо умножить числитель и знаменатель
на сопряженную знаменателю величину а затем провести
разделение
33
)()()(
)()(
)()()()(
)()(
)()()()(
))()())(()((
))()())(()((
)()(
)()()(
)(
22
22
2112
22
22
2121
2222
2211
22
11
jeAjVU
ba
babaj
ba
bbaa
jbajba
jbajba
jba
jbajW
где
)()()()(22
22
21
2122
ba
baVUjWA
)(
)())(arg()(
2
2
1
1
a
barctg
a
barctg
U
VarctgjW
Графики функции )(U и )(V называют соответственно веще-
ственной и мнимой частотной характеристиками
В практических расчетах удобно применять графики частотных
характеристик построенных в логарифмическом масштабе ndash лога-
рифмические частотные характеристики (ЛЧХ)
Логарифмическая амплитудная частотная характеристика
(ЛАЧХ) определяется следующим выражением
)(lg20)( AL
Логарифмической фазовой частотной характеристикой
(ЛФЧХ) называется график зависимости )( построенный в лога-
рифмическом масштабе частот
Единицей L(ω) является децибел (дБ) а единицей логарифма ча-
стоты ndash декада Декадой называют интервал частот на котором часто-
та изменяется в 10 раз При изменении частоты в 10 раз говорят что
она изменилась на одну декаду Ось ординат при построении ЛЧХ про-
водят через произвольную точку а не через точку ω = 0 Частоте ω = 0
соответствует бесконечно удаленная точка lgω rarr ndash infin при ω rarr 0
Основное преимущество использования ЛЧХ заключается в том
что приближенные (асимптотические) ЛАЧХ типовых динамических
звеньев изображаются отрезками прямых
Пример Построим ЛЧХ апериодического звена первого
34
порядка
Передаточная функция звена
1
)(
Ts
ksW
Частотная передаточная функция
1)(
)1(
1)(
2
T
Tjk
Tj
kjW
1)(
1)( 22
T
kTV
T
kU
Следовательно АЧХ описывается формулой
1)(
)(2
T
kA
ФЧХ строится по формуле
)()( Tarctg
ЛАЧХ апериодического звена 1-го порядка
1)(lg20lg20)( 2 TkL
По этой формуле можно построить две асимптоты ndash прямые к
которым стремится ЛАЧХ при ω rarr 0 и при ω rarr infin Так при ω rarr 0 второе
слагаемое близко к нулю и этот участок ЛАЧХ представляет собой
горизонтальную прямую
lg20)( kL
При ω rarr infin получаем наклонную прямую
1)(lg20)( 2 TL
35
Для определения наклона этой прямой можно рассмотреть гра-
ницы декады
T
1 и
10
T
Изменение ЛАЧХ между этими точками
)(2011
lg20110
lg20)(
22
декдБT
TT
TL
ЛЧХ часто называют диаграммами Боде
4 Краткое описание MATLAB
Лабораторная работа выполняется в программе математического
моделирования MATLAB Она включает в себя пакет прикладных про-
грамм для решения технических задач и одноименный язык программи-
рования используемый в этом пакете
Основными компонентами системы являются базовая система
MATLAB и пакет моделирования систем Simulink Остальные пакеты
расширения разбиты на 4 категории ndash расширения Extension MATLAB и
Extension Simulink а также комплексы пакетов расширения Blockset и
Toolbox
Раздел MATLAB Extension содержит средства для подготовки ис-
полняемых приложений MATLAB (с подключаемыми библиотеками и
без них)
Раздел Toolbox (инструментальные средства) содержит самое
большое число пакетов расширений системы MATLAB такие как
laquoControl systemraquo laquoDatabaseraquo laquoFuzzy logicraquo laquoWaveletraquo и тд
В разделе Blockset расположено несколько пакетов относящихся к
главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink такие как
laquoDSPraquo laquoFixed-Pointraquo laquoNonlinear control designraquo и laquoPower systemsraquo
В разделе Extension Simulink имеется ряд средств предназначен-
ных для моделирования в реальном масштабе времени и событийно-
управляемом моделировании
36
5 Построение частотных характеристик в MATLAB В пакете MATLAB ЛЧХ объекта заданного с помощью ПФ
можно получить командой bode
Пример
gtgt w=tf([1 2][3 4 5])
gtgt bode(w)
Для нескольких вариантов передаточной функции можно исполь-
зовать вариант команды вида
gtgt bode(ww1w2)
Например построим диаграмму Боде при различных параметрах
колебательного звена (рис 1)
gtgt w=tf([1][2 03 1])
gtgt w1=tf([1][2 05 1])
gtgt w2=tf([1][2 01 1])
gtgt bode(ww1w2)
Рис 1 ЛЧХ колебательного звена
6 Задание на лабораторную работу
С помощью пакета MATLAB построить ЛЧХ каждого типового
звена Определить влияние коэффициентов входящих в описание
каждого звена на параметры ЛАЧХ и ЛФЧХ Вариант задания назна-
чается преподавателем
37
7 Методика выполнения задания
Порядок выполнения работы
1 Задать передаточную функцию типового динамического звена
используя параметры из табл 2 лабораторной работы 1
2 Построить диаграмму Боде при различных параметрах типо-
вого динамического звена
3 Определить влияние коэффициентов входящих в описание
каждого звена на параметры ЛАЧХ и ЛФЧХ в том числе
ndash как меняется ширина асимптотических участков ЛАЧХ и
ЛФЧХ
ndash как меняется положение точек пересечения осей ЛАЧХ
4 Написать вывод по влиянию коэффициентов на типовое звено
5 Выполнить пункты 1-4 для всех типовых звеньев
6 Подготовить ответы на контрольные вопросы
8 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) титульный лист
б) краткие теоретические сведения
в) передаточные функции и схемы моделирования исследуемых
звеньев
г) экспериментально полученные характеристики при вариации
параметров каждого звена
д) выводы обобщающие проделанные эксперименты по каждо-
му звену
ж) ответы на контрольные вопросы
Контрольные вопросы
1 Как пользуясь частотными характеристиками определить па-
раметры (коэффициенты передаточной функции) звена Пояс-
нить на конкретных примерах
2 Указать особенности построения ЛАХ и ЛФХ динамических
звеньев Что понимается под асимптотической ЛАХ звена
3 Как осуществляется построение АФХ динамического звена
38
Лабораторная работа 4
ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ СИСТЕМ
С ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ
1 Цель работы
Изучение особенностей практического использования алгебраи-
ческих и частотных критериев устойчивости для анализа динамики
линейных САУ с использованием автоматизированных средств моде-
лирования на ПК ndash MATLAB SIMULINK
2 Задачи работы
ndash Закрепление углубление и расширение знаний студентов при
исследовании устойчивости систем с обратной связью
ndash Приобретение умений и навыков работы с программой мате-
матического моделирования MATLAB
ndash Овладение новыми методами проверки устойчивости систем
с обратной связью
ndash Выработка способности логического мышления осмысления
полученных данных
3 Теоретическая часть
Устойчивость САУ является одним из основных условий ее ра-
ботоспособности и включает требование затухания во времени пере-
ходных процессов
Система является устойчивой если при ограниченном входном
сигнале еѐ выходной сигнал также является ограниченным Если
система устойчива то она противостоит внешним воздействиям а
выведенная из состояния равновесия возвращается снова к нему
Система с расходящимся переходным процессом будет неустойчивой и
неработоспособной
Необходимое и достаточное условие устойчивости заключается в
том чтобы все корни характеристического уравнения (полюсы пере-
даточной функции системы) имели отрицательные вещественные ча-
сти Иначе говоря условием устойчивости системы является распо-
ложение всех полюсов в левой комплексной полуплоскости Тогда все
полюсы будут давать затухающую реакцию
Выше сформулированное условие устойчивости справедливо как
39
для линейных так и для линеаризованных систем Однако в случае
нулевых или чисто мнимых корней характеристического уравнения
вопрос об устойчивости линеаризованной системы может быть ре-
шен только на основании исследования ее нелинейных уравнений
В конце XIX и первой половине XX в задача вычисления корней
характеристического уравнения высокого порядка вызывала боль-
шие проблемы Поэтому были предложены несколько косвенных
методов оценки устойчивости позволяющих обойтись без вычисле-
ния корней ndash по значениям коэффициентов характеристического
уравнения
Критерии устойчивости разделяют на алгебраические и частот-
ные В частности к алгебраическим критериям относится критерий
Гурвица к частотным критериям ndash критерий Найквиста
Критерий Гурвица является алгебраическим критерием и при-
меняется к коэффициентам характеристического уравнения замкнутой
системы
Пусть имеется характеристическое уравнение замкнутой
системы
0011
1 apapapa n
nn
n
Из коэффициентов характеристического уравнения составляют
матрицу по правилу
1 По диагонали записываются коэффициенты от 1na до 0a
2 Каждая строка дополняется коэффициентами с возрастающи-
ми индексами слева направо так чтобы чередовались строки с нечет-
ными и четными индексами
3 В случае отсутствия индекса а также если он меньше 0 или
больше п на его место пишется 0
Таким образом матрица Гурвица приобретает следующий вид
40
Критерий устойчивости формулируется так
Чтобы система была устойчивой необходимо и достаточно что-
бы при 0na были положительными все п диагональных определи-
телей получаемых из матрицы Гурвица
Первые три определителя матрицы Гурвица имеют следующий
вид
Таким образом критерий Гурвица позволяет судить об абсо-
лютной устойчивости но он не дает возможности оценивать относи-
тельную устойчивость по корням характеристического уравнения
Частотный критерий устойчивости Найквиста анализирует
АФЧХ разомкнутой системы
Пусть имеется АФЧХ разомкнутой системы W(jω)
Для нахождения вещественной и мнимой части частотной ха-
рактеристики нужно освободиться от мнимости в знаменателе путем
умножения числителя и знаменателя на комплексную величину со-
пряженную знаменателю а затем выполнить разделение на веще-
ственную и мнимую части W(jω) приобретает вид
)()()( jQPjW
Задаваясь различными значениями частоты можно найти мно-
жество пар )()( 11 jQP )()( 22 jQP )()( nn jQP
Затем по этим парам строится АФЧХ на комплексной плоскости
Основные свойства АФЧХ разомкнутой системы
1 Если разомкнутая система не имеет интегрирующих звеньев
то при ω = 0 ее АФЧХ начинается на вещественной оси в точке
Р(ω)=К (где К ndash коэффициент усиления разомкнутой системы) За-
канчивается АФЧХ в начале координат при ω rarr infin (рис 1 а)
2 Если разомкнутая система имеет одно интегрирующее звено то
ее АФЧХ начинается при ω = 0 в бесконечности на отрицательной мни-
мой полуоси а заканчивается в начале координат при ω rarr infin (рис 1 б)
41
Рис 1 АФЧХ разомкнутой системы
Критерий устойчивости Найквиста формулируется так
1 Если разомкнутая система устойчива или находится на гра-
нице устойчивости то для того чтобы замкнутая система была
устойчива необходимо и достаточно чтобы АФЧХ разомкнутой
системы при изменении частоты ω от 0 до infin не охватывала точку с ко-
ординатами (-1 j0)
2 Если разомкнутая система неустойчива а ее передаточная
функция имеет т полюсов справа от мнимой оси на комплексной
плоскости то для устойчивости замкнутой системы необходимо и до-
статочно чтобы АФЧХ разомкнутой системы при изменении частоты
ω от -infin до +infin охватывала т раз точку с координатами (-1 j0)
При использовании этого критерия нужно учитывать две
особенности
1 Если разомкнутая система находится на границе устойчиво-
сти то ее АФЧХ уходит в бесконечность Для проверки критерия Най-
квиста нужно мысленно соединить конец АФЧХ дугой бесконечно
большого радиуса с положительной вещественной полуосью
2 На практике АФЧХ может строиться только для положитель-
ных частот (0 lt ω lt +infin) При применении критерия Найквиста счита-
ется что ветвь АФЧХ для отрицательных частот симметрична отно-
сительно вещественной оси
Физический смысл критерия устойчивости Найквиста заключа-
ется в том что система будет неустойчива если фаза выходного сиг-
нала противоположна фазе входного сигнала а коэффициент усиле-
ния больше 1 Поэтому для анализа устойчивости можно использо-
вать не АФЧХ а ЛАХ системы (для минимально-фазовых систем)
Система устойчива если на частоте среза значение фазы не превы-
шает -π Соответственно для устойчивой системы можно рассматри-
вать на ЛФЧХ запас устойчивости по фазе ndash расстояние от значения
фазы на частоте среза до уровня -π и запас устойчивости по амплиту-
42
де ndash расстояние от оси частот ЛАЧХ до значения усиления на часто-
те где фаза становится равной -π
4 Краткое описание MATLAB
Лабораторная работа выполняется в программе математического
моделирования MATLAB Программа MATLAB включает в себя пакет
прикладных программ для решения технических задач и одноименный
язык программирования используемый в этом пакете
Основными компонентами системы являются базовая система
MATLAB и пакет моделирования систем Simulink Остальные пакеты
расширения разбиты на 4 категории ndash расширения Extension MATLAB и
Extension Simulink а также комплексы пакетов расширения Blockset и
Toolbox
Раздел MATLAB Extension содержит средства для подготовки ис-
полняемых приложений MATLAB (с подключаемыми библиотеками и
без них)
Раздел Toolbox (инструментальные средства) содержит самое
большое число пакетов расширений системы MATLAB такие как
laquoControl systemraquo laquoDatabaseraquo laquoFuzzy logicraquo laquoWaveletraquo и тд
В разделе Blockset расположено несколько пакетов относящихся к
главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink такие как
laquoDSPraquo laquoFixed-Pointraquo laquoNonlinear control designraquo и laquoPower systemsraquo
В разделе Extension Simulink имеется ряд средств предназначен-
ных для моделирования в реальном масштабе времени и событийно-
управляемом моделировании
5 Исследование устойчивости САУ в MATLAB
Для проверки устойчивости САУ по Гурвицу постройте матрицу
Гурвица и найдите ее детерминант (функция det) Затем последова-
тельно уменьшая размер матрицы найдите значения всех диагональ-
ных детерминантов Пример
gtgt А=[1 14 18 2 5 2 3 4 3]
А =
1 14 18
2 5 2
3 4 3
gtgt det(A)
ans = -119
43
gtgt А1=А(12 12)
А1 =
1 14
2 5
gtgt det(A1)
ans = -23
Для проверки устойчивости САУ по Найквисту сначала нужно
выяснить является ли устойчивой разомкнутая система
Пример Пусть дана передаточная функция разомкнутой
системы
13232
12234
pppp
pW
Рассмотрим реакцию на скачок
gtgt w=tf([2 1][2 3 2 3 1])
gtgt step(w18)
График переходного процесса показан на рис 2
Рис 2 Переходная реакция
Разомкнутая система неустойчива и согласно критерию Найкви-
ста надо чтобы АФЧХ разомкнутой системы охватывала точку (-1 j0)
44
столько раз сколько полюсов имеется справа от мнимой оси Для по-
строения АФЧХ достаточно вызвать команду nyquist
gtgt nyquist(w)
Диаграмма Найквиста показана на рис 3
Рис 3 Диаграмма Найквиста для неустойчивой системы
Как показывает рис3 АФЧХ ни разу не охватывает точку
(-1 j0) поэтому замкнутая система будет неустойчивой Частотный
критерий Найквиста можно использовать и в том случае когда рас-
сматривается не АФЧХ а ЛАЧХ разомкнутой системы замкнутая
минимально-фазовая система устойчива если при достижении ЛФЧХ
значения -π ЛАЧХ будет отрицательной
Используя ЛАЧХ и ЛФЧХ можно оценить запасы устойчивости
системы по амплитуде и по фазе с помощью команды
gtgt margin(w)
Пример
gtgt w=tf([10][2 2 3 1])
gtgt margin(w)
Соответствующий график показан на рис 4
45
Рис 4 Определение запасов устойчивости по амплитуде и по фазе
6 Задание на лабораторную работу
Выполнить исследование устойчивости замкнутой системы по за-
данной передаточной функции разомкнутой системы Определить запас
устойчивости по амплитуде и по фазе Вариант задания назначается
преподавателем
7 Методика выполнения задания
Порядок выполнения работы
1 Рассчитать передаточную функцию замкнутой системы по
приведенной в табл 1 разомкнутой системе
2 Определить устойчивость замкнутой системы используя кри-
терий Гурвица
3 Определить устойчивость замкнутой системы используя кри-
терий Найквиста
4 Определить запас устойчивости по амплитуде и по фазе ис-
пользуя ЛАЧХ и ЛФЧХ
5 Выполнить моделирование переходных процессов разомкну-
той и замкнутой систем
6 Подготовить ответы на контрольные вопросы
46
Таблица 1
Варианты заданий
Передаточная функция разомкнутой системы
1 1355
2234
ssss
W
2 110050
1234
ssss
W
3 11010
123
sss
W
4 122105
100234
ssss
W
5 1248
123
sss
W
6 1223
102345
sssss
W
7 11001010
323
sss
W
8 122
1023
sss
W
9 11010
123
sss
W
10 15050332
102345
sssss
W
8 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) титульный лист
б) краткие теоретические сведения
в) переходную функцию разомкнутой системы
г) расчет передаточной функции замкнутой системы
д) расчетные выражения для обоснования устойчивости замкну-
той системы по алгебраическому критерию Гурвица
е) годограф Найквиста разомкнутой системы на основании кото-
рого делается вывод об устойчивости замкнутой системы
ѐ) переходную функцию замкнутой системы
ж) проверку полученных результатов путем компьютерного моде-
лирования переходных процессов разомкнутой и замкнутой си-
стемы в MATLAB Simulink
з) выводы по всем полученным результатам
47
Контрольные вопросы
1 Как связана устойчивость линейной САУ с видом составля-
ющих ее свободного движения
2 Зависит ли устойчивость линейных САУ от амплитуды зада-
ющих воздействий или возмущений
3 Сформулируйте критерий устойчивости Гурвица укажите на
необходимое условие устойчивости линейных САУ вытекаю-
щее из этого критерия
4 Сформулируйте критерий Найквиста для случая САУ устой-
чивых в разомкнутом состоянии а также для астатических САУ
Что такое laquoзапасы устойчивости по фазе и по амплитудеraquo
5 Что называется структурной устойчивостью
48
Лабораторная работа 5
КОРРЕКЦИЯ СТАТИЧЕСКИХ И ДИНАМИЧЕСКИХ
СВОЙСТВ САУ
1 Цель работы
Целью работы является изучение способов обеспечения иско-
мых характеристик САУ с использованием автоматизированных
средств моделирования на ПК ndash MATLAB SIMULINK
2 Задачи работы
ndash Закрепление углубление и расширение знаний студентов при
обеспечении искомых характеристик САУ
ndash Приобретение умений по обеспечению точности (уменьшение
статической ошибки) САУ и выбору значений параметров регулято-
ра обеспечивающих желаемые динамические свойства САУ
ndash Приобретение умений и навыков работы с программой мате-
матического моделирования MATLAB
3 Теоретическая часть
Коррекция статических и динамических свойств САУ имеет
своей целью повышение статической и динамической точности отра-
ботки системой задающего воздействия (или парирование возмуща-
ющего воздействия) повышение запасов ее устойчивости Наиболее
распространенными способами коррекции свойств САУ является из-
менение коэффициента усиления ее разомкнутой части введение в
САУ новых звеньев (как правило интегрирующего или дифференци-
рующего типа) охват объекта управления местной обратной связью
31 Коррекция статических свойств САУ
Статические свойства системы определяются величиной устано-
вившейся ошибки )t(уст вызванной действием задающего воздей-
ствия и определяемой по формуле
22
210 2 dttgdcdttdgctgctуст (1)
где )(tg - входное воздействие 210 ccc - коэффициенты ошибок
Коэффициенты ошибок определяются по формулам
49
dssdcdssdcscs
mmmss 00100
где s - передаточная функция САУ по ошибке управления рав-
ная
sW
sраз
1
1
sWраз - передаточная функция разомкнутой САУ
Основными способами уменьшения статической ошибки систе-
мы являются
1) увеличение коэффициента усиления прямого тракта системы
2) введение в прямой тракт системы интегрирующих звеньев
3) охват объекта управления местной неединичной положитель-
ной обратной связью
Представим структурную схему системы в виде изображенном
на рис 1 где через sW обозначена передаточная функция неизме-
няемой части системы
bsbsb
asasasW
nn
nn
mm
mm
01
1
01
1
Здесь и далее полагается что KKKsW s 000 0 ndash из-
меняемый коэффициент усиления регулятора системы
Первые два коэффициента ошибок 0c и 1c определяется выраже-
ниями
KK
c0
01
1
(2)
KK
dssdWKc
s
20
01
1
(3)
Из (2) и (3) с учетом (1) вытекает что с увеличением K
статическая ошибка в системе уменьшается и наоборот с уменьше-
нием K статическая ошибка в системе увеличивается
Введем в прямой тракт системы одно интегрирующее звено
50
(рис 2) В этом случае c 00 01 1 KKc
Так как c 00 то система на рис 2 является астатической (с
астатизмом первого порядка) Система имеет нулевую статическую
ошибку при отработке постоянного задающего воздействия
consttg и постоянную обратно пропорциональную K ошибку
constуст при отработке линейно изменяющегося воздействия
tatg
Рис 1 Схема САУ Рис 2 Схема САУ с включенным в прямой
тракт интегрирующим звеном
Охватим неизменяемую часть системы sW местной нееди-
ничной положительной обратной связью с коэффициентом усиления
осK (рис 3) Тогда эквивалентная передаточная функция sWэкв
неизменяемой части системы равна
10011
01
1
aKbsaKbsaKbsb
asasa
sWK
sWsW
ососm
mосmn
n
mm
mm
осэкв
(4)
Если коэффициент усиления K выбрать из условия
a
bKос
0
0
то свободный коэффициент (b0 - Koca0) полинома знаменателя sWэкв
обратится в нуль и sWэкв приобретает интегрирующие свойства
11
11
0
1
1
aKbsaKbsbs
asasasW
ос
m
mосm
n
n
m
m
m
mэкв
g(t) y(t)ε(t)
K W(s)-
g(t) y(t)
Ks W(s)-
ε(t)
51
Следовательно замкнутая система становится астатической (с
астатизмом 1-го порядка) Отсюда 0c =0 а коэффициент 1c будет
равен
aKb
bc
ос 11
01
ε(t)g(t) y(t)
W(s)-
Kос
Wэкв(s)
+
Рис 3 Схема САУ с местной неединичной обратной связью
32 Коррекция динамических свойств САУ
Улучшение динамических свойств САУ заключается в увеличе-
нии быстродействия САУ (уменьшении времени регулирования tрег)
уменьшении перерегулирования (см рис 4) а также увеличении
запасов устойчивости по фазе и по модулю При этом
h
hh
уст
устmax100
где maxh - максимальное значение переходной характеристики за-
мкнутой САУ th
устh - установившееся значение th
Время регулирования tрег - минимальная величина при которой удо-
влетворяется условие
устрег hth
где - заданная величина ошибки (обычно =005 устh )
52
h(t)
tрег
hустhmax
2δ
Рис 4 Быстродействие и перерегулирование САУ
Одним из эффективных средств достижения этой цели является
уменьшение отрицательных фазовых сдвигов в прямом тракте систе-
мы путем охвата неизменяемой части системы местными отрицатель-
ными обратными связями
На рис 5 R(s) представляет собой передаточную функцию регу-
лятора САУ которая считается заданной
ε(t)g(t) y(t)
W(s)-
Kос
Wэкв(s)
-
R(s)
u(t)
Рис 5 Схема САУ с местной обратной связью и регулятором
Пусть неизменяемая часть системы представляет собой аперио-
дическое звено первого порядка те
sT
K)s(W
10
0
Тогда передаточная функция sWэкв эквивалентного объекта
управления равна
sT
K
sWK
sWsW
экв
экв
осэкв
11
где зквK и эквT - коэффициент усиления и постоянная времени
эквивалентного объекта равные
53
KK
KK
осэкв
0
0
1
KK
TT
осэкв
0
0
1 (5)
Из (5) следует что соответствующим выбором осK постоянную
времени эквT эквивалентного объекта можно уменьшить в (1+ 0KKос )
раз по сравнении с постоянной времени 0T объекта без местной об-
ратной связи Тем самым уменьшаются отрицательные фазовые сдви-
ги вносимые прямым трактом системы что приводит к увеличению
запасов устойчивости системы При этом однако уменьшается в
(1+ 0KKос ) раз коэффициент усиления эквK эквивалентного объекта
по сравнению с коэффициентом усиления 0K объекта без местной
обратной связи Это нежелательно так как приводит к уменьшению
быстродействия системы вследствие уменьшения общего коэффици-
ента усиления прямого тракта системы В этом случае с целью обес-
печения необходимого быстродействия системы увеличивают коэф-
фициент усиления регулятора
4 Краткое описание MATLAB
Лабораторная работа выполняется в программе математического
моделирования MATLAB Программа MATLAB включает в себя пакет
прикладных программ для решения технических задач и одноименный
язык программирования используемый в этом пакете
Основными компонентами системы являются базовая система
MATLAB и пакет моделирования систем Simulink Остальные пакеты
расширения разбиты на 4 категории ndash расширения Extension MATLAB и
Extension Simulink а также комплексы пакетов расширения Blockset и
Toolbox
Раздел MATLAB Extension содержит средства для подготовки ис-
полняемых приложений MATLAB (с подключаемыми библиотеками и
без них)
Раздел Toolbox (инструментальные средства) содержит самое
большое число пакетов расширений системы MATLAB такие как
laquoControl systemraquo laquoDatabaseraquo laquoFuzzy logicraquo laquoWaveletraquo и тд
54
В разделе Blockset расположено несколько пакетов относящихся к
главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink такие как
laquoDSPraquo laquoFixed-Pointraquo laquoNonlinear control designraquo и laquoPower systemsraquo
В разделе Extension Simulink имеется ряд средств предназначен-
ных для моделирования в реальном масштабе времени и событийно-
управляемом моделировании
5 Задание на лабораторную работу
Выполнить исследование способов коррекции статических и
динамических свойств САУ Определить время регулирования и пе-
ререгулирования в исходной и скорректированной системах а также
для динамических свойств САУ определить запасы устойчивости в
исходной системе и найти экспериментально значение Kос обеспечи-
вающее в системе заданные показатели качества и запасы устойчиво-
сти Вариант задания назначается преподавателем
Таблица 1
Варианты заданий
варианта
Параметры
1
2
3
4
5
6
7
8
a 05 10 15 20 25 30 35 40
K0 1 2 3 4 5 6 7 8
T c 03 04 05 06 07 08 09 10
ξ 06 07 08 08 07 09 05 04
уст 0 0 005 0 010 007 0 0
tрег c le 13 15 20 25 30 35 40 40
le 0 10 10 5 5 5 0 0
В качестве исходных САУ выступают системы изображенные
на рис 6 и 7
55
ε(t)g(t) y(t)
W(s)-
g(t) y(t)
R(s) W(s)-
ε(t) u(t)
Рис 6 САУ с отрицательной Рис 7 САУ с отрицательной обратной
обратной связью связью и регулятором
6 Методика выполнения задания
При исследовании способов коррекции статических свойств
САУ в качестве исходных данных выступает передаточная функция
sW неизменяемой части системы вида
1222
0
sTsT
KsW (6)
и задающие воздействия вида ttg 1 в соответствии с таблицей 1
В процессе выполнения этой части работы необходимо
1) путем моделирования в системе MATLAB исходной САУ
(рис 6) получить графики ttytg
2) сравнить полученную таким образом экспериментальную ве-
личину t с теоретической величиной вычисленной по формуле (1)
3) применяя описанные в теоретической части методических
указаний способы коррекции статических свойств (см п 31) обес-
печить требуемую статическую ошибку εуст системы при отработке
задающего воздействия ttg 1
4) получить графики ty и t в скорректированной системе
для 1 ttg
5) сравнить время регулирования регt и перерегулирование в
исходной и скорректированной системах при 1 ttg
При исследовании рассмотренного способа коррекции динами-
ческих свойств САУ (см п 32) в качестве исходных данных высту-
пают передаточная функция sW неизменяемой части системы
вида (6) и передаточная функция регулятора вида
s
KsR
рег
56
Задающее воздействие ttg 1
В процессе выполнения данной части работы необходимо
1) получить путем моделирования в MATLAB графики ty t
в системе (рис 7)
2) определить время регулирования регt и перерегулирование
а также запасы устойчивости в исходной системе
3) применяя описанный выше способ коррекции динамических
свойств САУ найти экспериментально (путем последовательного пе-
ребора) значение осK обеспечивающее в системе заданные заданием
показатели качества ( регt ) и запасы устойчивости (при необхо-
димости увеличить коэффициент регK )
4) получить графики ty t а также ЛАХ и ЛФХ разомкну-
той системы в скорректированной САУ
7 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) титульный лист
б) структурные схемы исследуемых систем
в) полученные графики и характеристики
г) значения полученные экмпериментально которые
обеспечивают заданные показатели качества и запасы устойчивости
д) выводы обощающие проделанные эксперименты для
коррекции статических и динамических свойств САУ
е) ответы на контрольные вопросы
Контрольные вопросы 1 Дать определение статической и астатической САУ
2 Какими структурными свойствами системы определяется по-
рядок ее астатизма
3 Какой из двух приведенных выше способов придания системе
свойств астатизма 1-го порядка наиболее предпочтителен на
практике
4 Назовите основные показатели качества САУ Поясните их
смысл
5 В чѐм суть исследуемого способа коррекции динамических
свойств САУ
57
6 Назвать другие способы коррекции динамических свойств
САУ
7 Чем вызваны отрицательные фазовые сдвиги в неизменяемой
части САУ
58
Лабораторная работа 6
МЕТОД КОРНЕВОГО ГОДОГРАФА
1 Цель работы
Целью работы является построение корневого годографа и ис-
следование динамики системы с использованием автоматизирован-
ных средств моделирования на ПК ndash MATLABSIMULINK
2 Задачи работы
ndash Закрепление углубление и расширение знаний студентов при
исследование динамики системы
ndash Овладение навыком построения корневого годографа
ndash Приобретение умений и навыков работы с программой мате-
матического моделирования MATLAB
3 Теоретическая часть
Корневым годографом (КГ) называется совокупность траекто-
рий перемещения всех корней характеристического уравнения за-
мкнутой системы при изменении какого-либо параметра этой систе-
мы
Обычно метод КГ позволяет находить полюса и нули ПФ за-
мкнутой системы располагая полюсами и нулями разомкнутой си-
стемы при изменении коэффициента усиления разомкнутой системы
K
ПФ разомкнутой системы Wp(s) представим в следующем виде
)(
)(
1
1
0
n
ii
m
jj
p
ss
ssKC
sW (1)
где 0js ndash нули ПФ sWp )1( mj
is ndash полюса ПФ sWp
)1( nj n и m ndash порядки знаменателя и числителя C ndash коэффици-
ент представления (отношение коэффициентов при старших членах
числителя и знаменателя)
59
При замыкании системы с ПФ sWp единичной отрицатель-
ной обратной связью ПФ замкнутой системы sWз принимает вид
)(1
)(
sW
sWsW
p
pз
(2)
Из выражения (2) следует что нули ПФ замкнутой системы рав-
ны нулям ПФ разомкнутой системы
Для нахождения полюсов рассмотри выражение
01 sWp (3)
в соответствии с выражением (1) имеем
n
i
m
jjin
ii
m
jj
ssKCss
ss
ssKC
1 1
0
1
1
0
)()(01
)(
)(
(4)
На основании выражения (4) можно сказать что при K = 0 корни
характеристического уравнения совпадают с полюсами а при K = infin ndash
с нулями При изменении K от 0 до infin траектории корней начинаются
в полюсах и заканчиваются в нулях Обычно полюсов больше чем
нулей В этом случаем mn ветвей корневого годографа стремятся к
infin
Для определения полюсов замкнутой системы с отрицательной
обратной связью необходимо решить уравнение (его называют ос-
новным уравнением метода КГ)
1sWp (5)
Так как sWp является функцией комплексного переменного
s то уравнение (5) распадается на два уравнения уравнение модулей
1)( sWp (6)
60
и уравнение аргументов (фаза вектора -1 есть нечетное число π)
210)12()(arg sWp (7)
Как известно при умножении комплексных чисел их аргументы
складываются а при делении ndash вычитаются Поэтому исходя из вы-
ражения (1) уравнение (7) имеет наглядный геометрический смысл
Пусть точка s ndash полюс замкнутой системы Если провести в s
вектора из нулей sWp (обозначим аргументы этих векторов 0j ) и
вектора из всех полюсов sWp (обозначим аргументы этих векторов
i ) то уравнение (7) можно записать в следующем виде
m
j
n
iij
1 1
0 210)12( (8)
Углы q отсчитываются от положительного направления дей-
ствительной оси Знак угла laquo+raquo соответствует повороту против часо-
вой стрелки знак угла laquo-raquo соответствует повороту по часовой стрел-
ке
Таким образом любая точка КГ должна удовлетворять уравне-
нию (8) из которого следует что конфигурация КГ не зависит от ко-
эффициента усиления K но каждому конкретному значению K одно-
значно соответствуют точки на КГ
При умножении комплексных чисел их модули перемножаются
а при делении ndash делятся Поэтому на основании (6) можно записать
1
1
1
0
n
ii
m
jj
l
lKC
(9)
где 0jl ndash модуль (длина) вектора проведенного из j-нуля в точку s
КГ il ndash модуль вектора проведенного из i-полюса в ту же точку s
61
Таким образом траектории корней строятся только по уравне-
ниям фаз а уравнение модулей используется затем для нахождения
K
Сущность метода КГ заключается в том чтобы узнать каким
должен быть коэффициент усиления разомкнутой системы чтобы
было обеспечено желаемое положение корней замкнутой системы
Корневой годограф системы с отрицательной обратной связью
обладает следующими основными свойствами
1 Ветви КГ непрерывны и расположены на комплексной плос-
кости симметрично относительно действительной оси
2 Число ветвей КГ равно порядку системы n Ветви начинают-
ся в n полюсах разомкнутой системы при K=0 При возрастании K от
0 до infin полюса замкнутой системы двигаются по ветвям КГ
3 mветвей КГ при возрастании K от 0 до infin заканчиваются в m
нулях )(sWp а )( mn ветвей при K стремящемся к infin удаляются
от полюсов вдоль асимптот
4 При расположении ветвей корневого годографа в левой полу-
плоскости s САУ устойчива При пересечении ветвей КГ мнимой оси
слева направо САУ становится неустойчивой Пусть при K=Kкр
пере-
сечение КГ с мнимой осью произойдет в некоторой точке iωкр
Назо-
вем это значение коэффициента усиления критическим Kкр
а вели-
чину iωкр
критической угловой частотой на которой система стано-
вится неустойчивой
4 Краткое описание MATLAB
Лабораторная работа выполняется в программе математического
моделирования MATLAB Программа MATLAB включает в себя пакет
прикладных программ для решения технических задач и одноименный
язык программирования используемый в этом пакете
Основными компонентами системы являются базовая система
MATLAB и пакет моделирования систем Simulink Остальные пакеты
расширения разбиты на 4 категории ndash расширения Extension MATLAB и
Extension Simulink а также комплексы пакетов расширения Blockset и
Toolbox
Раздел MATLAB Extension содержит средства для подготовки ис-
полняемых приложений MATLAB (с подключаемыми библиотеками и
без них)
62
Раздел Toolbox (инструментальные средства) содержит самое
большое число пакетов расширений системы MATLAB такие как
laquoControl systemraquo laquoDatabaseraquo laquoFuzzy logicraquo laquoWaveletraquo и тд
В разделе Blockset расположено несколько пакетов относящихся к
главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink такие как
laquoDSPraquo laquoFixed-Pointraquo laquoNonlinear control designraquo и laquoPower systemsraquo
В разделе Extension Simulink имеется ряд средств предназначен-
ных для моделирования в реальном масштабе времени и событийно-
управляемом моделировании
5 Корневой годограф в MATLAB
В системе MATLAB существует команда zpk для преобразова-
ния модели заданной ПФ в модель заданную нулями полюсами и
обобщенными коэффициентами передачи (zpk-форма)
Пример
gtgt w=tf([10][2 2 3 1 0])
Transfer function
10
-------------------------------
2 s^4 + 2 s^3 + 3 s^2 + s
gtgt w1=zpk(w)
Zeropolegain
5
----------------------------------------------
s (s+03966) (s^2 + 06034s + 1261)
Для работы с корневым годографом удобно использовать гра-
фический интерфейс laquoSISO-Design Toolraquo предназначенный для ана-
лиза и синтеза одномерных линейных систем автоматического управ-
ления (SISO ndash Single Input Signal Output)
Запуск SISO-Design Tool осуществляется командой
gtgt sisotool
63
В появившемся окне графического интерфейса необходимо ис-
пользовать команду laquoFileImportraquo для загрузки данных из рабочего
пространства MATLAB в результате которой появляется диалоговое
окно Import System Data (рис 1)
Рис 1 Диалог для ввода параметров модели
После импортирования данных можно исследовать изменение
временных и частотных характеристик замкнутой системы при изме-
нении K Обычно при этом требуется определить условия неустойчи-
вости замкнутой САУ Определить Kкр
и iωкр
На рис 2 показано окно sisotool для описанной выше модели w1
Двигая красным курсором по КГ до пересечения ветвей с мнимой
осью можно определить значения Kкр
В данном случае Kкр
asymp 01
Значение iωкр
соответствует мнимой координате пересечения КГ
мнимой оси Просмотреть это значение можно в нижней части ин-
терфейса или выбрать меню laquoView Closed-Loop Polesraquo
64
Рис 2 Основное окно SISO-Design Tool
6 Задание на лабораторную работу
Построить КГ в соответствии с вариантом из табл 1 при помо-
щи графического интерфейса sisotool
Исследовать динамику замкнутой системы при различных зна-
чениях коэффициента усиления разомкнутой системы K в том числе
ndash запасы устойчивости в частотной области
ndash параметры переходного процесса во временной области
Таблица 1
Варианты передаточных функций
Значения параметров Передаточная функция
разомкнутой системы
1 T = 01 ζ = 1
)12( 22 sTsTs
K
2 T = 005 ζ = 0707
3 T = 003 ζ = 01
4 T = 008 ζ = 05
5 T = 001 ζ = 015
65
Окончание табл 1
Значения параметров Передаточная функция
разомкнутой системы
6 T1 = 003 T2 = 05 T3 = 01 T4 = 005
)1)(1)(1(
)1(
432
1
sTsTsTs
sTK
7 T1 = 005 T2 = 04 T3 = 008 T4 = 0033
8 T1 = 02 T2 = 045 T3 = 01 T4 = 005
9 T1 = 05 T2 = 025 T3 = 01 T4 = 002
10 T1 = 01 T2 = 025 T3 = 01 T4 = 005
Вариант задания назначается преподавателем
7 Методика выполнения задания
Порядок выполнения лабораторной работы
1 Задать передаточную функцию в MATLAB в соответствии с
вариантом коэффициент K задать любым положительным числом
2 Запустить SISO-Design Tool и осуществить ввод данных
Построить КГ
3 По КГ определить значения коэффициента K когда система
будет устойчивой на границе устойчивости и неустойчива
4 Выбрать значение коэффициента K таким образом чтобы си-
стемы была устойчива и определить запас устойчивости в частотной
области и параметры переходного процесса во временной области
8 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) титульный лист
б) передаточную функцию и этапы построения КГ
в) анализ результатов построения КГ
г) выводы по проделанной работе
д) ответы на контрольные вопросы
Контрольные вопросы 1 Дать определение КГ
2 Что обычно позволяет находить метод КГ
3 В чем заключается сущность метода КГ
4 Что можно определить по КГ
66
Критерии результативности лабораторного практикума
Лабораторная работа считается выполненной если студент
ndash выполнил все указанные задания
ndash представил отчет соответствующий всем требованиям к его
содержанию и оформлению
ndash владеет терминологией и материалом лабораторной работы
ndash способен использовать программное средство математическо-
го моделирования MATLAB
ndash способен предоставить и рассказать результаты выполненной
работы на ПК
ndash может дать пояснения к отчету и ответить на контрольные
вопросы
Список литературы
1 Александров АГ Частотная теория автоматического управле-
ния учебное пособие ndash Электросталь ЭПИ МИСиС 2010
2 Борисевич АВ Теория автоматического управления элементар-
ное введение с применением MATLAB ndash СПб Изд-во Политехн ун-
та 2011
3 Федоров ВЛ Бубнов АВ Теория автоматического управления
учебное пособие ndash Омск Изд-во ОмГТУ 2010
4 Павловская ОО Чернецкая ИВ Теория автоматического
управления учебное пособие ndash Челябинск Изд-во ЮУрГУ 2010
67
Составители ЛЯНЦЕВ Олег Дмитриевич КАЗАНЦЕВ Андрей Валерьевич
ИССЛЕДОВАНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК СИСТЕМ
АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
Лабораторный практикум
по дисциплине
laquoТеория управленияraquo
Подписано в печать Формат 60х84 116 Бумага офсетная Пе-
чать плоская Гарнитура Times New Roman Усл печ л 56 Уч-изд л
55 Тираж 100 экз Заказ
ФГБОУ ВПО Уфимский государственный авиационный технический
университет
Центр оперативной полиграфии УГАТУ
450000 Уфа-центр ул К Маркса 12
12
главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink такие как
laquoDSPraquo laquoFixed-Pointraquo laquoNonlinear control designraquo и laquoPower systemsraquo
В разделе Extension Simulink имеется ряд средств предназначен-
ных для моделирования в реальном масштабе времени и событийно-
управляемом моделировании
5 Моделирование передаточных функций в MATLAB
В пакете MATLAB имеется два основных варианта для исследо-
вания передаточных функций и моделирования САУ
- использование команд пакета расширения Control System
Toolbox
- использование пакета Simulink
Control System Toolbox предназначен для работы с LTI-моделями
систем управления
Команда создающая LTI-систему с одним входом и одним вы-
ходом в виде передаточной функции имеет следующий синтаксис
])[]([ 011011 aaaabbbbtf nnmm
где 011 bbbb mm и 011 aaaa nn ndash значения коэффициентов
полиномов В и А в (3)
Например если требуется описать ПФ вида
582
12
ss
sW
и узнать значения ее нулей и полюсов то нужно ввести в окне команд
MatLab следующие команды
gtgt w=tf([1 1][2 8 5])
gtgt zero(w)
gtgt pole(w)
Исследовать реакцию LTI-модели на типовые входные воздей-
ствия можно с помощью команд
gtgt step(w)
gtgt impulse(w)
Можно получить на одном графике реакцию сразу нескольких
динамических звеньев если использовать команды вида
gtgt step(w w1 w2)
gtgt impulse(w w1 w2)
13
В приведенных примерах время моделирования выбирается ав-
томатически При необходимости его можно явно указать в команде
gtgtstep(w w1 w2t)
где t - время моделирования в секундах
Рис 1 Исследование реакции колебательного звена
На рис 1 показан пример моделирования динамики колебатель-
ного звена при различных параметрах
gtgt w=tf([1][2 03 1])
gtgt w1=tf([1][2 05 1])
gtgt w2=tf([1][2 01 1])
gtgt step(ww1w250)
В Simulink ПФ можно описать с помощью блока Transfer Fcn в
разделе библиотеки Continuous Для подачи типовых воздействий
надо использовать блок Step из раздела Sources Импульсную пере-
ходную характеристику звена можно получить подавая на вход им-
пульс маленькой длительности и большой амплитуды (приближение
δ-функции) при нулевых начальных условиях
6 Задание на лабораторную работу
С помощью пакета MATLAB построить реакцию каждого типо-
вого звена с параметрами своего варианта (см табл 2) на ступенчатое и
импульсное входное воздействие Определить влияние коэффициен-
тов входящих в описание каждого звена на параметры переходного
процесса Вариант задания назначается преподавателем
14
Таблица 2
Варианты заданий
Апери-
од зве-
но
Апериодич звено
2 пор (колеб
звено)
Ин-
тегр
звено
Изодр
звено
Реальное
диф звено
Инерц-
форс
звено
K T K T2 (T) T1( ξ ) K K T K T K T0 T1
1 3 02 3 02 20
(02)
3 3 05 3 04 3 2 08
2 4 03 4 03 15
(015)
4 4 1 4 03 4 3 12
3 5 04 5 04 25
(025)
5 5 08 5 05 5 4 15
4 6 05 6 05 16
(03)
6 6 2 6 10 6 5 20
5 7 06 7 06 28
(02)
7 7 3 7 08 7 6 20
6 8 07 8 07 22
(008)
8 8 35 8 10 8 7 20
7 9 08 9 08 21
(007)
9 9 1 9 09 9 8 30
8 10 10 10 10 30
(01)
10 10 20 10 20 10 10 40
7 Методика выполнения задания
Порядок выполнения работы
1 Задать передаточную функцию типового динамического звена
в MATLAB используя параметры приведенные в табл 2
2 Варьируя коэффициент динамического звена увеличивая его в
2 раза ndash получить вторую ПФ затем уменьшить исходный коэффици-
ент в 2 раза и получить третью ПФ
3 Построить на одном графике реакцию получившихся динами-
ческих звеньев на единичный скачок
4 Построить на одном графике реакцию получившихся динами-
ческих звеньев на импульсную функцию
5 Выполнить пп 2-4 для всех коэффициентов динамического
звена
6 Выполнить пп 1-5 для всех динамических звеньев
7 Подготовить ответы на контрольные вопросы
15
8 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) титульный лист
б) передаточные функции и схемы моделирования исследуемых
звеньев
в) экспериментально полученные характеристики при вариа-
ции параметров каждого звена
г) выводы обобщающие проделанные эксперименты по каждо-
му звену
д) ответы на контрольные вопросы
Контрольные вопросы
1 Что называется передаточной функцией
2 Что называется переходной и импульсной (весовой)
функциями Какова связь между ними
3 Как пользуясь временными характеристиками определить
параметры (коэффициенты передаточной функции) звена
Пояснить на конкретных примерах
4 Перечислите динамические характеристики САУ
5 Что называется характеристическим уравнением
16
Лабораторная работа 2
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СТРУКТУРНЫХ СХЕМ
1 Цель работы
Целью работы является изучение структурных преобразований и
нахождения передаточных функций с использованием автоматизиро-
ванных средств моделирования на ПК ndash MATLAB SIMULINK
2 Задачи работы
ndash Закрепление углубление и расширение знаний студентов при
исследовании преобразований структурных схем
ndash Приобретение умений и навыков работы с программой мате-
матического моделирования MATLAB
ndash Овладение несколькими методами преобразования структур-
ных схем
3 Теоретическая часть
Для наглядного представления сложной системы как совокупно-
сти элементов и связей между ними используются структурные
схемы
Структурной схемой называется схема САУ изображенная в
виде соединения ПФ составляющих ее звеньев
Структурная схема показывает строение автоматической систе-
мы наличие внешних воздействий и точки их приложения пути рас-
пространения воздействий и выходную величину Динамическое или
статическое звено изображается прямоугольником в котором указы-
вается ПФ звена Воздействия на систему и влияние звеньев друг на
друга (сигналы) изображаются стрелками В каждом звене воздей-
ствие передается только от входа звена к его выходу
На динамическое звено может воздействовать лишь одна вход-
ная величина поэтому используются блоки суммирования и сравне-
ния сигналов Суммироваться и сравниваться могут лишь сигналы
одной и той же физической природы
Структурная схема может быть составлена по уравнению систе-
мы в пространстве состояний или по системе дифференциальных
уравнений При составлении структурной схемы удобно начинать с
изображения задающего воздействия и располагать динамические
17
звенья составляющие прямую цепь системы слева направо до регу-
лируемой величины Тогда основная обратная связь и местные обрат-
ные связи будут направлены справа налево
Различные способы преобразования структурных схем облегча-
ют определение ПФ сложных САУ и дают возможность привести
многоконтурную систему к эквивалентной ей одноконтурной схеме
Преобразование структурной схемы должно осуществляться на
основании правил основные из них приведены в табл 1
При выполнении преобразований следует каждое имеющееся в
схеме типовое соединение заменить эквивалентным звеном Затем
можно выполнить перенос точек разветвления и сумматоров чтобы в
преобразованной схеме образовались новые типовые соединения зве-
ньев Эти соединения опять заменяются эквивалентными звеньями
затем вновь может потребоваться перенос точек разветвления и
сумматоров и т д
Различают основные соединения блоков в структурных схемах
последовательное соединение параллельное соединение антипарал-
лельное соединение (обратная связь) в свою очередь обратная связь
может быть отрицательной и положительной Таблица 1
Основные правила преобразования структурных схем
Преобразование
Структурная схема
Исходная Эквивалентная
Свертывание
последовательного
соединения
W1 W2 Wnu y
Wu y
nWWWW 21
Свертывание
параллельного
соединения
Wn
W2
W1
u y
Wu y
nWWWW 21
Свертывание
обратной связи
W1u plusmn y
W2
Wu y
21
1
1 WW
WW
18
Окончание табл 1
Преобразование
Структурная схема
Исходная Эквивалентная
Перенос узла через
звено вперед
Wu y
x
Wu y
xW1
WW
11
Перенос узла через
звено назад
Wu y
y
Wu y
yW
Перенос сумматора
через звено вперед
Wu1 y
u2
plusmn
Wu1 y
u2
plusmn
W
Перенос сумматора
через звено назад
Wu1 y
u2
plusmn
Wu1 y
u2
plusmn
W1
WW
11
Перенос прямой
связи через звено W2yu
plusmnW1
W3
W2 yu
plusmnW1
W3 W2
Перенос узла через
сумматор вперед
x1
+
- y
x1
x2
x1
+
- y
x1x2
+
+
Перенос узла через
сумматор назад
x1
+
- y
x2
y
x1
+
- y
x2y
+
-
Пример Пусть необходимо получить эквивалентное представ-
ление для структуры приведенной на рис 1
19
W1
W2 W3
W4
W5 W6
W7
+
+
+
-
Рис 1 Исходная схема САУ
Преобразование включает несколько этапов показанных на рис 2ndash5
W1
W2 W3
W4
W5 W6
W7
+
+
+
-
1W6
Рис 2 Перенос узла через звено вперед
567
659
1 WWW
WWW
6
48
W
WW
Рис 3 Свертывание обратной связи и последовательного соединения
2110 WWW
983
9311
1 WWW
WWW
Рис 4 Свертывание обратной связи и Рис 5 Свертывание последователь-
параллельного соединения ного соединения
W10 W11 WЭкв
543765
653265311110
1 WWWWWW
WWWWWWWWWWWЭкв
W1
W2
W8
W3 W9
+
+
20
Таким образом первый способ преобразования структурных
схем заключается в непосредственном использовании правил приве-
денных в табл1 Неудобство использования этого подхода заключа-
ется в том что порядок применения формул здесь достаточно произ-
волен возможны ошибочные шаги усложняющие поиск решения
Второй способ для получения ПФ многоконтурной системы за-
ключается в использовании модели системы в виде сигнального
графа
Сигнальный граф позволяет графически описать линейные связи
между переменными он состоит из узлов (вершин) и соединяющих их
направленных ветвей
Ветвь соответствует блоку структурной схемы она отражает за-
висимость между входной и выходной переменными Сумма всех
сигналов входящих в узел образует соответствующую этому узлу
переменную
Последовательность ветвей между двумя узлами называется пу-
тем Контуром называется замкнутый путь который начинается и
заканчивается в одном и том же узле причем ни один узел не встре-
чается на этом пути дважды
Контуры называются некасающимися если они не имеют общих
узлов
Сигнальный граф ndash это просто наглядный метод записи системы
алгебраических уравнений показывающий взаимосвязь между пере-
менными
r1
r2
a11
a22
x1
x2
a12a21
Рис 6 Сигнальный граф для двух алгебраических выражений
В качестве примера рассмотрим следующую систему алгебраи-
ческих уравнений
21
11212111 xrxaxa (1)
22222121 xrxaxa (2)
здесь r1 и r2 ndash входные переменные а x1 и x2 ndash выходные переменные
Сигнальный граф соответствующий уравнениям (1) и (2) изображен
на рис 6 Уравнения (1) и (2) можно записать в ином виде
1122111 )()1( raxax
2222211 )1()( raxax
Решая последнюю систему по правилу Крамера получим
212
122
21122211
2121221
)1(
)1)(1(
)1(r
ar
a
aaaa
rarax
121
211
21122211
1212112
)1(
)1)(1(
)1(r
ar
a
aaaa
rarax
В этих решениях знаменатель равен определителю составлен-
ному из коэффициентов при неизвестных и его можно записать так
21122211221121122211 1)1)(1( aaaaaaaaaa
В данном случае знаменатель равен единице минус коэффици-
енты передачи отдельных контуров a11 a22 и a12a21 плюс произведе-
ние коэффициентов передачи двух некасающихся контуров a11 и a22
Контуры a22 и a12a21 являются касающимися так же как и контуры a11
и a21a12
В решении для x1 по отношению ко входу r1 числитель равен
единице умноженной на (1-a22) те значение определителя некаса-
ющегося пути от r1 к x1 В решении для x1 по отношению ко входу
r2числитель просто равен a12 тк этот путь касается всех контуров
Числитель выражения x2 симметричен соответствующему числителю
для x1
В общем случае линейная зависимость Tij между независимой
переменной xi (часто называемой входной переменной) и зависимой
переменной xj определяется по формуле Мейсона
22
k
ijkijk
ij
P
T
где Pijk ndash коэффициент передачи k-го пути от переменной xi к пере-
менной xj Δ ndash определитель графа Δijk ndash дополнительный множитель
для пути Pijk а суммирование производится по всем возможным k пу-
тям от xi до xjДополнительный множитель Δijk равен определителю
всех касающихся контуров при удалении k-го пути
Определитель находится как
QM
qm
LSR
lsrlsrqm
K
kk LLLLLL
11
1111
1
где Kk kL
1ndash сумма коэффициентов передачи всех отдельных конту-
ров QM
qm qmLL
11ndash сумма произведений всех возможных комбина-
ций из двух некасающихся контуров LSR
lsr lsr LLL
111ndash сумма про-
изведений всех возможных комбинаций из трех некасающихся кон-
туров
Таким образом правило вычисления Δ через значение L1 L2
L3hellipLN таково Δ = 1- (сумма коэффициентов передачи всех отдель-
ных контуров) + (сумма произведений всех возможных комбинаций
из 2 некасающихся контуров) ndash (сумма произведений всех возмож-
ных комбинаций из 3 некасающихся контуров) +hellip
Формула Мейсона часто используется в несколько упрощенном
виде для определения связи между выходной переменной Y(s) и
входной переменной X(s) те
)()(
)( 1
N
iiiP
sWsX
sY
где Pi ndash i-й путь от входа к выходу N ndash количество путей Δ ndash опреде-
литель графа специальный полином который определенным образом
характеризует совокупность всех замкнутых цепей системы содер-
жащих обратные связи и вычисляется как сумма передаточных
функций разомкнутых контуров этих цепей и произведений
23
передаточных функций разомкнутых контуров пар троек и тд не со-
прикасающихся друг с другом цепей с обратными связями Δi ndash до-
полнительный множитель для пути составляется по правилу анало-
гичному Δ но только для цепей с обратными связями не соприкаса-
ющихся с i-м прямым каналом
Дополнительный множитель для i-го пути равен определителю
графа в котором приравнены нулю коэффициенты передачи конту-
ров касающихся этого пути
Рассмотрим пример получения ПФ многоконтурной системы с
использованием формулы Мейсона для структуры на рис 1 которая
соответствует графу показанному на рис 7
X(s) Y(s)W1
W2
W3 W5 W6
W4 -W7
Рис 7 Описание системы управления сигнальным графом
От входа к выходу ведут два пути
65311 WWWWP
65322 WWWWP
В графе есть 2 контура
5431 WWWL
7652 WWWL
Контур L1 пересекает контур L2 поэтому определитель графа
вычисляется по формуле
)(1 21 LL
Контуры в этом примере пересекают все пути поэтому допол-
нительные множители путей равны
24
11
12
Окончательно можно записать
1
)(543765
65326531
2
1
WWWWWW
WWWWWWWWP
sW iii
Таким образом использование сигнальных графов и применение
формулы Мейсона позволяет алгоритмизировать процесс упрощения
структурной схемы
Третий способ для получения ПФ заключается в составлении
системы уравнений Необходимо обозначить выходы сумматоров и
составить систему уравнений на основе этих обозначений На рис9
представлена исходная схема с обозначенными сумматорами
W1
W2 W3
W4
W5 W6
W7
+
+
+
-
Z H
u y
Рис 9 Исходная схема САУ с обозначенными сумматорами
Опишем все сигналы в системе в виде уравнений
)( 4521 HWWuWWZ
73 yWZWH
65 HWWy
Подставив последовательно значения сигналов найдем ПФ
))(( 734521 yWWHWWuWWH
После преобразования получим
25
1
)(
543
73231
WWW
yWuWWWWH
Подставим полученное значение H в уравнение y
1
))((
543
6573231
WWW
WWyWuWWWWy
Получим ПФ вида
1
)(543765
65326531
WWWWWW
WWWWWWWW
u
ypW
4 Краткое описание MATLAB
Лабораторная работа выполняется в программе математического
моделирования MATLAB Программа MATLAB включает в себя пакет
прикладных программ для решения технических задач и одноименный
язык программирования используемый в этом пакете
Основными компонентами системы являются базовая система
MATLAB и пакет моделирования систем Simulink Остальные пакеты
расширения разбиты на 4 категории ndash расширения Extension MATLAB и
Extension Simulink а также комплексы пакетов расширения Blockset и
Toolbox
Раздел MATLAB Extension содержит средства для подготовки ис-
полняемых приложений MATLAB (с подключаемыми библиотеками и
без них)
Раздел Toolbox (инструментальные средства) содержит самое
большое число пакетов расширений системы MATLAB такие как
laquoControl systemraquo laquoDatabaseraquo laquoFuzzy logicraquo laquoWaveletraquo и тд
В разделе Blockset расположено несколько пакетов относящихся к
главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink такие как
laquoDSPraquo laquoFixed-Pointraquo laquoNonlinear control designraquo и laquoPower systemsraquo
В разделе Extension Simulink имеется ряд средств предназначен-
ных для моделирования в реальном масштабе времени и событийно-
управляемом моделировании
26
5 Структурные преобразования в MATLAB
В пакете MATLAB имеется ряд функций с помощью которых
можно выполнять структурные преобразования (используется экви-
валентная схема)
ndash series(w1w2) ndash последовательное соединение звеньев
ndash parallel(w1w2) ndash параллельное соединение звеньев
ndash feedback(w1w2) ndash включение звена w2 в контур отрицательной об-
ратной связи к w1
ndash feedback(w1w2sign) ndash включение звена w2 в контур обратной связи
звена w1 с указанием знака + или ndash (очевидно feedback(w1w2)=
=feedback(w1w2-1))
Пример
Даны две передаточные функции
22
221
ss
sW
22
322
2
2
ss
ssW
Опишем ПФ введя в окне команд MatLab следующие команды
gtgt w1=tf([1 2][1 2 2])
gtgt w2=tf([1 2 3][1 2 2])
Выполним структурные преобразования для данных ПФ
gtgt w2=series(w1w2)
Transfer function
s^3 + 4 s^2 + 7 s + 6
------------------------------------
s^4 + 4 s^3 + 8 s^2 + 8 s + 4
gtgt w3=parallel(w1w2)
Transfer function
s^4 + 5 s^3 + 13 s^2 + 16 s + 10
----------------------------------------
s^4 + 4 s^3 + 8 s^2 + 8 s + 4
27
gtgt w4=feedback(w1w2)
Transfer function
s^3 + 4 s^2 + 6 s + 4
----------------------------------------
s^4 + 5 s^3 + 12 s^2 + 15 s + 10
Для проверки правильности проведенных преобразований необ-
ходимо собрать схему исходной САУ и соответствующую ей эквива-
лентную схему в MATLAB Simulink
Исходная схема САУ собирается как модель из соответствую-
щих элементов таких как laquoTransfer Fncraquo laquostepraquo laquosignal builderraquo
laquoscoperaquo и laquosumraquo Все эти элементы находятся в пакете laquoSimulinkraquo и
представлены в виде блоков Для того чтобы создать новую модель
необходимо нажать laquoFile-gtNew-gtModel (Simulink)raquo после откроется
окно модели в которую нужно будет добавлять элементы из библио-
теки для доступа к ней необходимо нажать на значок laquoLibrary Brows-
erraquo
Описание используемых элементов из пакета Simulink
1 Transfer Fnc ndash передаточная функция
2 Step ndash единичный скачок (функция Хэвисайда) в блоке необходи-
мо задать время начала перехода (step time)
3 Signal builder ndash блок для моделирования сигнала по заданным па-
раметрам (можно построить единичный скачок и импульсную функ-
цию)
4 Scope ndash виртуальный осциллограф отображает получившийся гра-
фик открывается двойным щелчком левой клавиши мыши и для кор-
рекции масштаба необходимо нажать правой кнопкой по графику и
из выпадающего меню выбрать laquoautoscaleraquo
5 Sum ndash сумматор в параметрах задается число сигналов соответ-
ственно laquo+raquo - положительный laquondashraquo - отрицательный
Так же нужно задать время работы модели для этого необходи-
мо выбрать laquoSimulation-gtSimulation parametersraquo и установить пара-
метр laquostop timeraquo на нужное значение и после необходимо запустить
модель на выполнение нажав на значок laquoStart simulationraquo Пример
модели составленной в MATLAB представлен на рис 10
28
Рис 10 Пример схемы САУ с блоком laquosignal builderraquo
Задача считается решенной если при подаче на вход обоих
схем одинаковых тестовых воздействий (единичный скачок импуль-
сная функция) наблюдаются одинаковые выходные сигналы
6 Задание на лабораторную работу
Выполнить преобразование структурной схемы САУ в эквива-
лентную передаточную функцию Составить модель исходной схемы
САУ в MATLAB С помощью ряда функций MATLAB (структурные
преобразования) составить эквивалентную схему Вариант задания
назначается преподавателем
7 Методика выполнения задания
Порядок выполнения работы
1 Выполнить преобразование заданного варианта структурной
схемы САУ (см табл 2) в эквивалентную ПФ тремя способами
ndash непосредственно используя правила табл 1
ndash используя представление в виде сигнального графа и формулу
Мейсона
ndash составив систему уравнений и решив еѐ
2 В качестве звеньев W1W2W3 использовать передаточные
функции звеньев представленных в табл 2
3 Составить модель исходной схемы САУ в MATLAB постро-
ить реакцию получившейся модели на ступенчатое и импульсное
воздействия
4 С помощью ряда функций MATLAB (структурные преобразо-
вания) составить эквивалентную схему и построить реакцию на сту-
пенчатое и импульсное воздействия
5 Подготовить ответы на контрольные вопросы
29
Таблица 2
Варианты структур САУ
Исходная схема
Передаточные
функции
1 W1
W3
W2
-
+
-
+
u y
+
1
31
sW
2
442
s
sW
12
133
s
sW
2 W1
W3
W2
-
+
-
+
u y
+ +
3 W3
W2
W1
-
+
-
+
u y
+ +
4 W3
W1
W2
+
+
-
+
u y
+ +
1
21
sW
2
12
sW
12
13
s
sW
5
W1
W3
W2
-
+
-
+
u y
+ +
6
W1
W3
W2
-
+
-
+
u y
+
62
31
sW
2
52
sW
1
23
s
sW
7
W1
W3
W2
-
+
-
+
u y
+ +
8
W1
W2
W3
-
+
-
+
u y
+ +
30
8 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) описание всех этапов преобразования исходной схемы и по-
лучающихся промежуточных результатов выполненными тремя спо-
собами моделирование реакции схемы на типовое воздействие (ска-
чок) до и после преобразования
б) сигнальный граф системы описание путей контуров расчет
ПФ по формуле Мейсона
в) решение составленной системы уравнений
г) схема модели и протокол команд MATLAB
д) графики переходных процессов при подаче на вход исходной
и эквивалентной схемы типовых тестирующих воздействий (скачок
импульс)
е) ответы на контрольные вопросы
Контрольные вопросы
1 Что называется структурной схемой Какие задачи можно
решить с еѐ помощью
2 Как может быть составлена структурная схема
3 Что позволяет алгоритмизировать процесс упрощения струк-
турной схемы Поясните на конкретном примере
31
Лабораторная работа 3
ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
ДИНАМИЧЕСКИХ ЗВЕНЬЕВ
1 Цель работы
Целью работы является изучение частотных характеристик ти-
повых динамических звеньев с использованием автоматизированных
средств моделирования на ПК ndash MATLAB SIMULINK
2 Задачи работы
ndash Закрепление углубление и расширение знаний студентов при
исследовании частотных характеристик динамических звеньев
ndash Приобретение умений и навыков работы с программой мате-
матического моделирования MATLAB
ndash Выработка способности логического мышления осмысление
полученных данных частотных характеристик
3 Теоретическая часть Сущность метода частотных характеристик заключается в том
что на вход исследуемой системы подается гармонический сигнал (си-
нусоидальные колебания) в широком диапазоне частот Реакция си-
стемы при разных частотах позволяет судить о ее динамических
свойствах
Пусть входной сигнал системы имеет амплитуду а и частоту ω т е
описывается формулой
)sin( tax
Выходной сигнал будет иметь амплитуду А1 и отличаться от вход-
ного по фазе на величину ψ (фазовый сдвиг)
)sin(1 tAy
Таким образом можно рассчитать усиление по амплитуде
1
a
AA
32
Для каждой частоты входного сигнала ω будут свои А и ψ
Изменяя ω в широком диапазоне можно получить зависимость
А(ω) ndash амплитудную частотную характеристику (АЧХ) и ψ(ω) ndash фазо-
вую частотную характеристику (ФЧХ)
Главное достоинство метода частотных характеристик заключа-
ется в том что АЧХ и ФЧХ объекта могут быть получены экспери-
ментально Для этого необходимо иметь генератор гармонических
колебаний который подключается к входу объекта и измеритель-
ную аппаратуру для измерения амплитуды и фазового сдвига колеба-
ний на выходе объекта
Частотные характеристики САУ могут быть получены по ее ПФ
W(s) Для суждения о реакции звена на синусоидальный сигнал доста-
точно исследовать его реакцию на гармонический сигнал вида
)( tjejx
Тогда выходной сигнал определяется по соотношению
)()( ))(( tjeAjy
и частотная ПФ получается равной
)()(
)()( )(
jeA
jx
jyjW
Формально для получения частотной ПФ надо сделать в W(s)
подстановку s = jω и тогда полученная W(jω) является комплексным
выражением которое можно представить в виде
)()(
)()()(
22
11
jba
jbajW
Для нахождения вещественной и мнимой частей частотной пе-
редаточной функции необходимо умножить числитель и знаменатель
на сопряженную знаменателю величину а затем провести
разделение
33
)()()(
)()(
)()()()(
)()(
)()()()(
))()())(()((
))()())(()((
)()(
)()()(
)(
22
22
2112
22
22
2121
2222
2211
22
11
jeAjVU
ba
babaj
ba
bbaa
jbajba
jbajba
jba
jbajW
где
)()()()(22
22
21
2122
ba
baVUjWA
)(
)())(arg()(
2
2
1
1
a
barctg
a
barctg
U
VarctgjW
Графики функции )(U и )(V называют соответственно веще-
ственной и мнимой частотной характеристиками
В практических расчетах удобно применять графики частотных
характеристик построенных в логарифмическом масштабе ndash лога-
рифмические частотные характеристики (ЛЧХ)
Логарифмическая амплитудная частотная характеристика
(ЛАЧХ) определяется следующим выражением
)(lg20)( AL
Логарифмической фазовой частотной характеристикой
(ЛФЧХ) называется график зависимости )( построенный в лога-
рифмическом масштабе частот
Единицей L(ω) является децибел (дБ) а единицей логарифма ча-
стоты ndash декада Декадой называют интервал частот на котором часто-
та изменяется в 10 раз При изменении частоты в 10 раз говорят что
она изменилась на одну декаду Ось ординат при построении ЛЧХ про-
водят через произвольную точку а не через точку ω = 0 Частоте ω = 0
соответствует бесконечно удаленная точка lgω rarr ndash infin при ω rarr 0
Основное преимущество использования ЛЧХ заключается в том
что приближенные (асимптотические) ЛАЧХ типовых динамических
звеньев изображаются отрезками прямых
Пример Построим ЛЧХ апериодического звена первого
34
порядка
Передаточная функция звена
1
)(
Ts
ksW
Частотная передаточная функция
1)(
)1(
1)(
2
T
Tjk
Tj
kjW
1)(
1)( 22
T
kTV
T
kU
Следовательно АЧХ описывается формулой
1)(
)(2
T
kA
ФЧХ строится по формуле
)()( Tarctg
ЛАЧХ апериодического звена 1-го порядка
1)(lg20lg20)( 2 TkL
По этой формуле можно построить две асимптоты ndash прямые к
которым стремится ЛАЧХ при ω rarr 0 и при ω rarr infin Так при ω rarr 0 второе
слагаемое близко к нулю и этот участок ЛАЧХ представляет собой
горизонтальную прямую
lg20)( kL
При ω rarr infin получаем наклонную прямую
1)(lg20)( 2 TL
35
Для определения наклона этой прямой можно рассмотреть гра-
ницы декады
T
1 и
10
T
Изменение ЛАЧХ между этими точками
)(2011
lg20110
lg20)(
22
декдБT
TT
TL
ЛЧХ часто называют диаграммами Боде
4 Краткое описание MATLAB
Лабораторная работа выполняется в программе математического
моделирования MATLAB Она включает в себя пакет прикладных про-
грамм для решения технических задач и одноименный язык программи-
рования используемый в этом пакете
Основными компонентами системы являются базовая система
MATLAB и пакет моделирования систем Simulink Остальные пакеты
расширения разбиты на 4 категории ndash расширения Extension MATLAB и
Extension Simulink а также комплексы пакетов расширения Blockset и
Toolbox
Раздел MATLAB Extension содержит средства для подготовки ис-
полняемых приложений MATLAB (с подключаемыми библиотеками и
без них)
Раздел Toolbox (инструментальные средства) содержит самое
большое число пакетов расширений системы MATLAB такие как
laquoControl systemraquo laquoDatabaseraquo laquoFuzzy logicraquo laquoWaveletraquo и тд
В разделе Blockset расположено несколько пакетов относящихся к
главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink такие как
laquoDSPraquo laquoFixed-Pointraquo laquoNonlinear control designraquo и laquoPower systemsraquo
В разделе Extension Simulink имеется ряд средств предназначен-
ных для моделирования в реальном масштабе времени и событийно-
управляемом моделировании
36
5 Построение частотных характеристик в MATLAB В пакете MATLAB ЛЧХ объекта заданного с помощью ПФ
можно получить командой bode
Пример
gtgt w=tf([1 2][3 4 5])
gtgt bode(w)
Для нескольких вариантов передаточной функции можно исполь-
зовать вариант команды вида
gtgt bode(ww1w2)
Например построим диаграмму Боде при различных параметрах
колебательного звена (рис 1)
gtgt w=tf([1][2 03 1])
gtgt w1=tf([1][2 05 1])
gtgt w2=tf([1][2 01 1])
gtgt bode(ww1w2)
Рис 1 ЛЧХ колебательного звена
6 Задание на лабораторную работу
С помощью пакета MATLAB построить ЛЧХ каждого типового
звена Определить влияние коэффициентов входящих в описание
каждого звена на параметры ЛАЧХ и ЛФЧХ Вариант задания назна-
чается преподавателем
37
7 Методика выполнения задания
Порядок выполнения работы
1 Задать передаточную функцию типового динамического звена
используя параметры из табл 2 лабораторной работы 1
2 Построить диаграмму Боде при различных параметрах типо-
вого динамического звена
3 Определить влияние коэффициентов входящих в описание
каждого звена на параметры ЛАЧХ и ЛФЧХ в том числе
ndash как меняется ширина асимптотических участков ЛАЧХ и
ЛФЧХ
ndash как меняется положение точек пересечения осей ЛАЧХ
4 Написать вывод по влиянию коэффициентов на типовое звено
5 Выполнить пункты 1-4 для всех типовых звеньев
6 Подготовить ответы на контрольные вопросы
8 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) титульный лист
б) краткие теоретические сведения
в) передаточные функции и схемы моделирования исследуемых
звеньев
г) экспериментально полученные характеристики при вариации
параметров каждого звена
д) выводы обобщающие проделанные эксперименты по каждо-
му звену
ж) ответы на контрольные вопросы
Контрольные вопросы
1 Как пользуясь частотными характеристиками определить па-
раметры (коэффициенты передаточной функции) звена Пояс-
нить на конкретных примерах
2 Указать особенности построения ЛАХ и ЛФХ динамических
звеньев Что понимается под асимптотической ЛАХ звена
3 Как осуществляется построение АФХ динамического звена
38
Лабораторная работа 4
ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ СИСТЕМ
С ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ
1 Цель работы
Изучение особенностей практического использования алгебраи-
ческих и частотных критериев устойчивости для анализа динамики
линейных САУ с использованием автоматизированных средств моде-
лирования на ПК ndash MATLAB SIMULINK
2 Задачи работы
ndash Закрепление углубление и расширение знаний студентов при
исследовании устойчивости систем с обратной связью
ndash Приобретение умений и навыков работы с программой мате-
матического моделирования MATLAB
ndash Овладение новыми методами проверки устойчивости систем
с обратной связью
ndash Выработка способности логического мышления осмысления
полученных данных
3 Теоретическая часть
Устойчивость САУ является одним из основных условий ее ра-
ботоспособности и включает требование затухания во времени пере-
ходных процессов
Система является устойчивой если при ограниченном входном
сигнале еѐ выходной сигнал также является ограниченным Если
система устойчива то она противостоит внешним воздействиям а
выведенная из состояния равновесия возвращается снова к нему
Система с расходящимся переходным процессом будет неустойчивой и
неработоспособной
Необходимое и достаточное условие устойчивости заключается в
том чтобы все корни характеристического уравнения (полюсы пере-
даточной функции системы) имели отрицательные вещественные ча-
сти Иначе говоря условием устойчивости системы является распо-
ложение всех полюсов в левой комплексной полуплоскости Тогда все
полюсы будут давать затухающую реакцию
Выше сформулированное условие устойчивости справедливо как
39
для линейных так и для линеаризованных систем Однако в случае
нулевых или чисто мнимых корней характеристического уравнения
вопрос об устойчивости линеаризованной системы может быть ре-
шен только на основании исследования ее нелинейных уравнений
В конце XIX и первой половине XX в задача вычисления корней
характеристического уравнения высокого порядка вызывала боль-
шие проблемы Поэтому были предложены несколько косвенных
методов оценки устойчивости позволяющих обойтись без вычисле-
ния корней ndash по значениям коэффициентов характеристического
уравнения
Критерии устойчивости разделяют на алгебраические и частот-
ные В частности к алгебраическим критериям относится критерий
Гурвица к частотным критериям ndash критерий Найквиста
Критерий Гурвица является алгебраическим критерием и при-
меняется к коэффициентам характеристического уравнения замкнутой
системы
Пусть имеется характеристическое уравнение замкнутой
системы
0011
1 apapapa n
nn
n
Из коэффициентов характеристического уравнения составляют
матрицу по правилу
1 По диагонали записываются коэффициенты от 1na до 0a
2 Каждая строка дополняется коэффициентами с возрастающи-
ми индексами слева направо так чтобы чередовались строки с нечет-
ными и четными индексами
3 В случае отсутствия индекса а также если он меньше 0 или
больше п на его место пишется 0
Таким образом матрица Гурвица приобретает следующий вид
40
Критерий устойчивости формулируется так
Чтобы система была устойчивой необходимо и достаточно что-
бы при 0na были положительными все п диагональных определи-
телей получаемых из матрицы Гурвица
Первые три определителя матрицы Гурвица имеют следующий
вид
Таким образом критерий Гурвица позволяет судить об абсо-
лютной устойчивости но он не дает возможности оценивать относи-
тельную устойчивость по корням характеристического уравнения
Частотный критерий устойчивости Найквиста анализирует
АФЧХ разомкнутой системы
Пусть имеется АФЧХ разомкнутой системы W(jω)
Для нахождения вещественной и мнимой части частотной ха-
рактеристики нужно освободиться от мнимости в знаменателе путем
умножения числителя и знаменателя на комплексную величину со-
пряженную знаменателю а затем выполнить разделение на веще-
ственную и мнимую части W(jω) приобретает вид
)()()( jQPjW
Задаваясь различными значениями частоты можно найти мно-
жество пар )()( 11 jQP )()( 22 jQP )()( nn jQP
Затем по этим парам строится АФЧХ на комплексной плоскости
Основные свойства АФЧХ разомкнутой системы
1 Если разомкнутая система не имеет интегрирующих звеньев
то при ω = 0 ее АФЧХ начинается на вещественной оси в точке
Р(ω)=К (где К ndash коэффициент усиления разомкнутой системы) За-
канчивается АФЧХ в начале координат при ω rarr infin (рис 1 а)
2 Если разомкнутая система имеет одно интегрирующее звено то
ее АФЧХ начинается при ω = 0 в бесконечности на отрицательной мни-
мой полуоси а заканчивается в начале координат при ω rarr infin (рис 1 б)
41
Рис 1 АФЧХ разомкнутой системы
Критерий устойчивости Найквиста формулируется так
1 Если разомкнутая система устойчива или находится на гра-
нице устойчивости то для того чтобы замкнутая система была
устойчива необходимо и достаточно чтобы АФЧХ разомкнутой
системы при изменении частоты ω от 0 до infin не охватывала точку с ко-
ординатами (-1 j0)
2 Если разомкнутая система неустойчива а ее передаточная
функция имеет т полюсов справа от мнимой оси на комплексной
плоскости то для устойчивости замкнутой системы необходимо и до-
статочно чтобы АФЧХ разомкнутой системы при изменении частоты
ω от -infin до +infin охватывала т раз точку с координатами (-1 j0)
При использовании этого критерия нужно учитывать две
особенности
1 Если разомкнутая система находится на границе устойчиво-
сти то ее АФЧХ уходит в бесконечность Для проверки критерия Най-
квиста нужно мысленно соединить конец АФЧХ дугой бесконечно
большого радиуса с положительной вещественной полуосью
2 На практике АФЧХ может строиться только для положитель-
ных частот (0 lt ω lt +infin) При применении критерия Найквиста счита-
ется что ветвь АФЧХ для отрицательных частот симметрична отно-
сительно вещественной оси
Физический смысл критерия устойчивости Найквиста заключа-
ется в том что система будет неустойчива если фаза выходного сиг-
нала противоположна фазе входного сигнала а коэффициент усиле-
ния больше 1 Поэтому для анализа устойчивости можно использо-
вать не АФЧХ а ЛАХ системы (для минимально-фазовых систем)
Система устойчива если на частоте среза значение фазы не превы-
шает -π Соответственно для устойчивой системы можно рассматри-
вать на ЛФЧХ запас устойчивости по фазе ndash расстояние от значения
фазы на частоте среза до уровня -π и запас устойчивости по амплиту-
42
де ndash расстояние от оси частот ЛАЧХ до значения усиления на часто-
те где фаза становится равной -π
4 Краткое описание MATLAB
Лабораторная работа выполняется в программе математического
моделирования MATLAB Программа MATLAB включает в себя пакет
прикладных программ для решения технических задач и одноименный
язык программирования используемый в этом пакете
Основными компонентами системы являются базовая система
MATLAB и пакет моделирования систем Simulink Остальные пакеты
расширения разбиты на 4 категории ndash расширения Extension MATLAB и
Extension Simulink а также комплексы пакетов расширения Blockset и
Toolbox
Раздел MATLAB Extension содержит средства для подготовки ис-
полняемых приложений MATLAB (с подключаемыми библиотеками и
без них)
Раздел Toolbox (инструментальные средства) содержит самое
большое число пакетов расширений системы MATLAB такие как
laquoControl systemraquo laquoDatabaseraquo laquoFuzzy logicraquo laquoWaveletraquo и тд
В разделе Blockset расположено несколько пакетов относящихся к
главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink такие как
laquoDSPraquo laquoFixed-Pointraquo laquoNonlinear control designraquo и laquoPower systemsraquo
В разделе Extension Simulink имеется ряд средств предназначен-
ных для моделирования в реальном масштабе времени и событийно-
управляемом моделировании
5 Исследование устойчивости САУ в MATLAB
Для проверки устойчивости САУ по Гурвицу постройте матрицу
Гурвица и найдите ее детерминант (функция det) Затем последова-
тельно уменьшая размер матрицы найдите значения всех диагональ-
ных детерминантов Пример
gtgt А=[1 14 18 2 5 2 3 4 3]
А =
1 14 18
2 5 2
3 4 3
gtgt det(A)
ans = -119
43
gtgt А1=А(12 12)
А1 =
1 14
2 5
gtgt det(A1)
ans = -23
Для проверки устойчивости САУ по Найквисту сначала нужно
выяснить является ли устойчивой разомкнутая система
Пример Пусть дана передаточная функция разомкнутой
системы
13232
12234
pppp
pW
Рассмотрим реакцию на скачок
gtgt w=tf([2 1][2 3 2 3 1])
gtgt step(w18)
График переходного процесса показан на рис 2
Рис 2 Переходная реакция
Разомкнутая система неустойчива и согласно критерию Найкви-
ста надо чтобы АФЧХ разомкнутой системы охватывала точку (-1 j0)
44
столько раз сколько полюсов имеется справа от мнимой оси Для по-
строения АФЧХ достаточно вызвать команду nyquist
gtgt nyquist(w)
Диаграмма Найквиста показана на рис 3
Рис 3 Диаграмма Найквиста для неустойчивой системы
Как показывает рис3 АФЧХ ни разу не охватывает точку
(-1 j0) поэтому замкнутая система будет неустойчивой Частотный
критерий Найквиста можно использовать и в том случае когда рас-
сматривается не АФЧХ а ЛАЧХ разомкнутой системы замкнутая
минимально-фазовая система устойчива если при достижении ЛФЧХ
значения -π ЛАЧХ будет отрицательной
Используя ЛАЧХ и ЛФЧХ можно оценить запасы устойчивости
системы по амплитуде и по фазе с помощью команды
gtgt margin(w)
Пример
gtgt w=tf([10][2 2 3 1])
gtgt margin(w)
Соответствующий график показан на рис 4
45
Рис 4 Определение запасов устойчивости по амплитуде и по фазе
6 Задание на лабораторную работу
Выполнить исследование устойчивости замкнутой системы по за-
данной передаточной функции разомкнутой системы Определить запас
устойчивости по амплитуде и по фазе Вариант задания назначается
преподавателем
7 Методика выполнения задания
Порядок выполнения работы
1 Рассчитать передаточную функцию замкнутой системы по
приведенной в табл 1 разомкнутой системе
2 Определить устойчивость замкнутой системы используя кри-
терий Гурвица
3 Определить устойчивость замкнутой системы используя кри-
терий Найквиста
4 Определить запас устойчивости по амплитуде и по фазе ис-
пользуя ЛАЧХ и ЛФЧХ
5 Выполнить моделирование переходных процессов разомкну-
той и замкнутой систем
6 Подготовить ответы на контрольные вопросы
46
Таблица 1
Варианты заданий
Передаточная функция разомкнутой системы
1 1355
2234
ssss
W
2 110050
1234
ssss
W
3 11010
123
sss
W
4 122105
100234
ssss
W
5 1248
123
sss
W
6 1223
102345
sssss
W
7 11001010
323
sss
W
8 122
1023
sss
W
9 11010
123
sss
W
10 15050332
102345
sssss
W
8 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) титульный лист
б) краткие теоретические сведения
в) переходную функцию разомкнутой системы
г) расчет передаточной функции замкнутой системы
д) расчетные выражения для обоснования устойчивости замкну-
той системы по алгебраическому критерию Гурвица
е) годограф Найквиста разомкнутой системы на основании кото-
рого делается вывод об устойчивости замкнутой системы
ѐ) переходную функцию замкнутой системы
ж) проверку полученных результатов путем компьютерного моде-
лирования переходных процессов разомкнутой и замкнутой си-
стемы в MATLAB Simulink
з) выводы по всем полученным результатам
47
Контрольные вопросы
1 Как связана устойчивость линейной САУ с видом составля-
ющих ее свободного движения
2 Зависит ли устойчивость линейных САУ от амплитуды зада-
ющих воздействий или возмущений
3 Сформулируйте критерий устойчивости Гурвица укажите на
необходимое условие устойчивости линейных САУ вытекаю-
щее из этого критерия
4 Сформулируйте критерий Найквиста для случая САУ устой-
чивых в разомкнутом состоянии а также для астатических САУ
Что такое laquoзапасы устойчивости по фазе и по амплитудеraquo
5 Что называется структурной устойчивостью
48
Лабораторная работа 5
КОРРЕКЦИЯ СТАТИЧЕСКИХ И ДИНАМИЧЕСКИХ
СВОЙСТВ САУ
1 Цель работы
Целью работы является изучение способов обеспечения иско-
мых характеристик САУ с использованием автоматизированных
средств моделирования на ПК ndash MATLAB SIMULINK
2 Задачи работы
ndash Закрепление углубление и расширение знаний студентов при
обеспечении искомых характеристик САУ
ndash Приобретение умений по обеспечению точности (уменьшение
статической ошибки) САУ и выбору значений параметров регулято-
ра обеспечивающих желаемые динамические свойства САУ
ndash Приобретение умений и навыков работы с программой мате-
матического моделирования MATLAB
3 Теоретическая часть
Коррекция статических и динамических свойств САУ имеет
своей целью повышение статической и динамической точности отра-
ботки системой задающего воздействия (или парирование возмуща-
ющего воздействия) повышение запасов ее устойчивости Наиболее
распространенными способами коррекции свойств САУ является из-
менение коэффициента усиления ее разомкнутой части введение в
САУ новых звеньев (как правило интегрирующего или дифференци-
рующего типа) охват объекта управления местной обратной связью
31 Коррекция статических свойств САУ
Статические свойства системы определяются величиной устано-
вившейся ошибки )t(уст вызванной действием задающего воздей-
ствия и определяемой по формуле
22
210 2 dttgdcdttdgctgctуст (1)
где )(tg - входное воздействие 210 ccc - коэффициенты ошибок
Коэффициенты ошибок определяются по формулам
49
dssdcdssdcscs
mmmss 00100
где s - передаточная функция САУ по ошибке управления рав-
ная
sW
sраз
1
1
sWраз - передаточная функция разомкнутой САУ
Основными способами уменьшения статической ошибки систе-
мы являются
1) увеличение коэффициента усиления прямого тракта системы
2) введение в прямой тракт системы интегрирующих звеньев
3) охват объекта управления местной неединичной положитель-
ной обратной связью
Представим структурную схему системы в виде изображенном
на рис 1 где через sW обозначена передаточная функция неизме-
няемой части системы
bsbsb
asasasW
nn
nn
mm
mm
01
1
01
1
Здесь и далее полагается что KKKsW s 000 0 ndash из-
меняемый коэффициент усиления регулятора системы
Первые два коэффициента ошибок 0c и 1c определяется выраже-
ниями
KK
c0
01
1
(2)
KK
dssdWKc
s
20
01
1
(3)
Из (2) и (3) с учетом (1) вытекает что с увеличением K
статическая ошибка в системе уменьшается и наоборот с уменьше-
нием K статическая ошибка в системе увеличивается
Введем в прямой тракт системы одно интегрирующее звено
50
(рис 2) В этом случае c 00 01 1 KKc
Так как c 00 то система на рис 2 является астатической (с
астатизмом первого порядка) Система имеет нулевую статическую
ошибку при отработке постоянного задающего воздействия
consttg и постоянную обратно пропорциональную K ошибку
constуст при отработке линейно изменяющегося воздействия
tatg
Рис 1 Схема САУ Рис 2 Схема САУ с включенным в прямой
тракт интегрирующим звеном
Охватим неизменяемую часть системы sW местной нееди-
ничной положительной обратной связью с коэффициентом усиления
осK (рис 3) Тогда эквивалентная передаточная функция sWэкв
неизменяемой части системы равна
10011
01
1
aKbsaKbsaKbsb
asasa
sWK
sWsW
ососm
mосmn
n
mm
mm
осэкв
(4)
Если коэффициент усиления K выбрать из условия
a
bKос
0
0
то свободный коэффициент (b0 - Koca0) полинома знаменателя sWэкв
обратится в нуль и sWэкв приобретает интегрирующие свойства
11
11
0
1
1
aKbsaKbsbs
asasasW
ос
m
mосm
n
n
m
m
m
mэкв
g(t) y(t)ε(t)
K W(s)-
g(t) y(t)
Ks W(s)-
ε(t)
51
Следовательно замкнутая система становится астатической (с
астатизмом 1-го порядка) Отсюда 0c =0 а коэффициент 1c будет
равен
aKb
bc
ос 11
01
ε(t)g(t) y(t)
W(s)-
Kос
Wэкв(s)
+
Рис 3 Схема САУ с местной неединичной обратной связью
32 Коррекция динамических свойств САУ
Улучшение динамических свойств САУ заключается в увеличе-
нии быстродействия САУ (уменьшении времени регулирования tрег)
уменьшении перерегулирования (см рис 4) а также увеличении
запасов устойчивости по фазе и по модулю При этом
h
hh
уст
устmax100
где maxh - максимальное значение переходной характеристики за-
мкнутой САУ th
устh - установившееся значение th
Время регулирования tрег - минимальная величина при которой удо-
влетворяется условие
устрег hth
где - заданная величина ошибки (обычно =005 устh )
52
h(t)
tрег
hустhmax
2δ
Рис 4 Быстродействие и перерегулирование САУ
Одним из эффективных средств достижения этой цели является
уменьшение отрицательных фазовых сдвигов в прямом тракте систе-
мы путем охвата неизменяемой части системы местными отрицатель-
ными обратными связями
На рис 5 R(s) представляет собой передаточную функцию регу-
лятора САУ которая считается заданной
ε(t)g(t) y(t)
W(s)-
Kос
Wэкв(s)
-
R(s)
u(t)
Рис 5 Схема САУ с местной обратной связью и регулятором
Пусть неизменяемая часть системы представляет собой аперио-
дическое звено первого порядка те
sT
K)s(W
10
0
Тогда передаточная функция sWэкв эквивалентного объекта
управления равна
sT
K
sWK
sWsW
экв
экв
осэкв
11
где зквK и эквT - коэффициент усиления и постоянная времени
эквивалентного объекта равные
53
KK
KK
осэкв
0
0
1
KK
TT
осэкв
0
0
1 (5)
Из (5) следует что соответствующим выбором осK постоянную
времени эквT эквивалентного объекта можно уменьшить в (1+ 0KKос )
раз по сравнении с постоянной времени 0T объекта без местной об-
ратной связи Тем самым уменьшаются отрицательные фазовые сдви-
ги вносимые прямым трактом системы что приводит к увеличению
запасов устойчивости системы При этом однако уменьшается в
(1+ 0KKос ) раз коэффициент усиления эквK эквивалентного объекта
по сравнению с коэффициентом усиления 0K объекта без местной
обратной связи Это нежелательно так как приводит к уменьшению
быстродействия системы вследствие уменьшения общего коэффици-
ента усиления прямого тракта системы В этом случае с целью обес-
печения необходимого быстродействия системы увеличивают коэф-
фициент усиления регулятора
4 Краткое описание MATLAB
Лабораторная работа выполняется в программе математического
моделирования MATLAB Программа MATLAB включает в себя пакет
прикладных программ для решения технических задач и одноименный
язык программирования используемый в этом пакете
Основными компонентами системы являются базовая система
MATLAB и пакет моделирования систем Simulink Остальные пакеты
расширения разбиты на 4 категории ndash расширения Extension MATLAB и
Extension Simulink а также комплексы пакетов расширения Blockset и
Toolbox
Раздел MATLAB Extension содержит средства для подготовки ис-
полняемых приложений MATLAB (с подключаемыми библиотеками и
без них)
Раздел Toolbox (инструментальные средства) содержит самое
большое число пакетов расширений системы MATLAB такие как
laquoControl systemraquo laquoDatabaseraquo laquoFuzzy logicraquo laquoWaveletraquo и тд
54
В разделе Blockset расположено несколько пакетов относящихся к
главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink такие как
laquoDSPraquo laquoFixed-Pointraquo laquoNonlinear control designraquo и laquoPower systemsraquo
В разделе Extension Simulink имеется ряд средств предназначен-
ных для моделирования в реальном масштабе времени и событийно-
управляемом моделировании
5 Задание на лабораторную работу
Выполнить исследование способов коррекции статических и
динамических свойств САУ Определить время регулирования и пе-
ререгулирования в исходной и скорректированной системах а также
для динамических свойств САУ определить запасы устойчивости в
исходной системе и найти экспериментально значение Kос обеспечи-
вающее в системе заданные показатели качества и запасы устойчиво-
сти Вариант задания назначается преподавателем
Таблица 1
Варианты заданий
варианта
Параметры
1
2
3
4
5
6
7
8
a 05 10 15 20 25 30 35 40
K0 1 2 3 4 5 6 7 8
T c 03 04 05 06 07 08 09 10
ξ 06 07 08 08 07 09 05 04
уст 0 0 005 0 010 007 0 0
tрег c le 13 15 20 25 30 35 40 40
le 0 10 10 5 5 5 0 0
В качестве исходных САУ выступают системы изображенные
на рис 6 и 7
55
ε(t)g(t) y(t)
W(s)-
g(t) y(t)
R(s) W(s)-
ε(t) u(t)
Рис 6 САУ с отрицательной Рис 7 САУ с отрицательной обратной
обратной связью связью и регулятором
6 Методика выполнения задания
При исследовании способов коррекции статических свойств
САУ в качестве исходных данных выступает передаточная функция
sW неизменяемой части системы вида
1222
0
sTsT
KsW (6)
и задающие воздействия вида ttg 1 в соответствии с таблицей 1
В процессе выполнения этой части работы необходимо
1) путем моделирования в системе MATLAB исходной САУ
(рис 6) получить графики ttytg
2) сравнить полученную таким образом экспериментальную ве-
личину t с теоретической величиной вычисленной по формуле (1)
3) применяя описанные в теоретической части методических
указаний способы коррекции статических свойств (см п 31) обес-
печить требуемую статическую ошибку εуст системы при отработке
задающего воздействия ttg 1
4) получить графики ty и t в скорректированной системе
для 1 ttg
5) сравнить время регулирования регt и перерегулирование в
исходной и скорректированной системах при 1 ttg
При исследовании рассмотренного способа коррекции динами-
ческих свойств САУ (см п 32) в качестве исходных данных высту-
пают передаточная функция sW неизменяемой части системы
вида (6) и передаточная функция регулятора вида
s
KsR
рег
56
Задающее воздействие ttg 1
В процессе выполнения данной части работы необходимо
1) получить путем моделирования в MATLAB графики ty t
в системе (рис 7)
2) определить время регулирования регt и перерегулирование
а также запасы устойчивости в исходной системе
3) применяя описанный выше способ коррекции динамических
свойств САУ найти экспериментально (путем последовательного пе-
ребора) значение осK обеспечивающее в системе заданные заданием
показатели качества ( регt ) и запасы устойчивости (при необхо-
димости увеличить коэффициент регK )
4) получить графики ty t а также ЛАХ и ЛФХ разомкну-
той системы в скорректированной САУ
7 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) титульный лист
б) структурные схемы исследуемых систем
в) полученные графики и характеристики
г) значения полученные экмпериментально которые
обеспечивают заданные показатели качества и запасы устойчивости
д) выводы обощающие проделанные эксперименты для
коррекции статических и динамических свойств САУ
е) ответы на контрольные вопросы
Контрольные вопросы 1 Дать определение статической и астатической САУ
2 Какими структурными свойствами системы определяется по-
рядок ее астатизма
3 Какой из двух приведенных выше способов придания системе
свойств астатизма 1-го порядка наиболее предпочтителен на
практике
4 Назовите основные показатели качества САУ Поясните их
смысл
5 В чѐм суть исследуемого способа коррекции динамических
свойств САУ
57
6 Назвать другие способы коррекции динамических свойств
САУ
7 Чем вызваны отрицательные фазовые сдвиги в неизменяемой
части САУ
58
Лабораторная работа 6
МЕТОД КОРНЕВОГО ГОДОГРАФА
1 Цель работы
Целью работы является построение корневого годографа и ис-
следование динамики системы с использованием автоматизирован-
ных средств моделирования на ПК ndash MATLABSIMULINK
2 Задачи работы
ndash Закрепление углубление и расширение знаний студентов при
исследование динамики системы
ndash Овладение навыком построения корневого годографа
ndash Приобретение умений и навыков работы с программой мате-
матического моделирования MATLAB
3 Теоретическая часть
Корневым годографом (КГ) называется совокупность траекто-
рий перемещения всех корней характеристического уравнения за-
мкнутой системы при изменении какого-либо параметра этой систе-
мы
Обычно метод КГ позволяет находить полюса и нули ПФ за-
мкнутой системы располагая полюсами и нулями разомкнутой си-
стемы при изменении коэффициента усиления разомкнутой системы
K
ПФ разомкнутой системы Wp(s) представим в следующем виде
)(
)(
1
1
0
n
ii
m
jj
p
ss
ssKC
sW (1)
где 0js ndash нули ПФ sWp )1( mj
is ndash полюса ПФ sWp
)1( nj n и m ndash порядки знаменателя и числителя C ndash коэффици-
ент представления (отношение коэффициентов при старших членах
числителя и знаменателя)
59
При замыкании системы с ПФ sWp единичной отрицатель-
ной обратной связью ПФ замкнутой системы sWз принимает вид
)(1
)(
sW
sWsW
p
pз
(2)
Из выражения (2) следует что нули ПФ замкнутой системы рав-
ны нулям ПФ разомкнутой системы
Для нахождения полюсов рассмотри выражение
01 sWp (3)
в соответствии с выражением (1) имеем
n
i
m
jjin
ii
m
jj
ssKCss
ss
ssKC
1 1
0
1
1
0
)()(01
)(
)(
(4)
На основании выражения (4) можно сказать что при K = 0 корни
характеристического уравнения совпадают с полюсами а при K = infin ndash
с нулями При изменении K от 0 до infin траектории корней начинаются
в полюсах и заканчиваются в нулях Обычно полюсов больше чем
нулей В этом случаем mn ветвей корневого годографа стремятся к
infin
Для определения полюсов замкнутой системы с отрицательной
обратной связью необходимо решить уравнение (его называют ос-
новным уравнением метода КГ)
1sWp (5)
Так как sWp является функцией комплексного переменного
s то уравнение (5) распадается на два уравнения уравнение модулей
1)( sWp (6)
60
и уравнение аргументов (фаза вектора -1 есть нечетное число π)
210)12()(arg sWp (7)
Как известно при умножении комплексных чисел их аргументы
складываются а при делении ndash вычитаются Поэтому исходя из вы-
ражения (1) уравнение (7) имеет наглядный геометрический смысл
Пусть точка s ndash полюс замкнутой системы Если провести в s
вектора из нулей sWp (обозначим аргументы этих векторов 0j ) и
вектора из всех полюсов sWp (обозначим аргументы этих векторов
i ) то уравнение (7) можно записать в следующем виде
m
j
n
iij
1 1
0 210)12( (8)
Углы q отсчитываются от положительного направления дей-
ствительной оси Знак угла laquo+raquo соответствует повороту против часо-
вой стрелки знак угла laquo-raquo соответствует повороту по часовой стрел-
ке
Таким образом любая точка КГ должна удовлетворять уравне-
нию (8) из которого следует что конфигурация КГ не зависит от ко-
эффициента усиления K но каждому конкретному значению K одно-
значно соответствуют точки на КГ
При умножении комплексных чисел их модули перемножаются
а при делении ndash делятся Поэтому на основании (6) можно записать
1
1
1
0
n
ii
m
jj
l
lKC
(9)
где 0jl ndash модуль (длина) вектора проведенного из j-нуля в точку s
КГ il ndash модуль вектора проведенного из i-полюса в ту же точку s
61
Таким образом траектории корней строятся только по уравне-
ниям фаз а уравнение модулей используется затем для нахождения
K
Сущность метода КГ заключается в том чтобы узнать каким
должен быть коэффициент усиления разомкнутой системы чтобы
было обеспечено желаемое положение корней замкнутой системы
Корневой годограф системы с отрицательной обратной связью
обладает следующими основными свойствами
1 Ветви КГ непрерывны и расположены на комплексной плос-
кости симметрично относительно действительной оси
2 Число ветвей КГ равно порядку системы n Ветви начинают-
ся в n полюсах разомкнутой системы при K=0 При возрастании K от
0 до infin полюса замкнутой системы двигаются по ветвям КГ
3 mветвей КГ при возрастании K от 0 до infin заканчиваются в m
нулях )(sWp а )( mn ветвей при K стремящемся к infin удаляются
от полюсов вдоль асимптот
4 При расположении ветвей корневого годографа в левой полу-
плоскости s САУ устойчива При пересечении ветвей КГ мнимой оси
слева направо САУ становится неустойчивой Пусть при K=Kкр
пере-
сечение КГ с мнимой осью произойдет в некоторой точке iωкр
Назо-
вем это значение коэффициента усиления критическим Kкр
а вели-
чину iωкр
критической угловой частотой на которой система стано-
вится неустойчивой
4 Краткое описание MATLAB
Лабораторная работа выполняется в программе математического
моделирования MATLAB Программа MATLAB включает в себя пакет
прикладных программ для решения технических задач и одноименный
язык программирования используемый в этом пакете
Основными компонентами системы являются базовая система
MATLAB и пакет моделирования систем Simulink Остальные пакеты
расширения разбиты на 4 категории ndash расширения Extension MATLAB и
Extension Simulink а также комплексы пакетов расширения Blockset и
Toolbox
Раздел MATLAB Extension содержит средства для подготовки ис-
полняемых приложений MATLAB (с подключаемыми библиотеками и
без них)
62
Раздел Toolbox (инструментальные средства) содержит самое
большое число пакетов расширений системы MATLAB такие как
laquoControl systemraquo laquoDatabaseraquo laquoFuzzy logicraquo laquoWaveletraquo и тд
В разделе Blockset расположено несколько пакетов относящихся к
главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink такие как
laquoDSPraquo laquoFixed-Pointraquo laquoNonlinear control designraquo и laquoPower systemsraquo
В разделе Extension Simulink имеется ряд средств предназначен-
ных для моделирования в реальном масштабе времени и событийно-
управляемом моделировании
5 Корневой годограф в MATLAB
В системе MATLAB существует команда zpk для преобразова-
ния модели заданной ПФ в модель заданную нулями полюсами и
обобщенными коэффициентами передачи (zpk-форма)
Пример
gtgt w=tf([10][2 2 3 1 0])
Transfer function
10
-------------------------------
2 s^4 + 2 s^3 + 3 s^2 + s
gtgt w1=zpk(w)
Zeropolegain
5
----------------------------------------------
s (s+03966) (s^2 + 06034s + 1261)
Для работы с корневым годографом удобно использовать гра-
фический интерфейс laquoSISO-Design Toolraquo предназначенный для ана-
лиза и синтеза одномерных линейных систем автоматического управ-
ления (SISO ndash Single Input Signal Output)
Запуск SISO-Design Tool осуществляется командой
gtgt sisotool
63
В появившемся окне графического интерфейса необходимо ис-
пользовать команду laquoFileImportraquo для загрузки данных из рабочего
пространства MATLAB в результате которой появляется диалоговое
окно Import System Data (рис 1)
Рис 1 Диалог для ввода параметров модели
После импортирования данных можно исследовать изменение
временных и частотных характеристик замкнутой системы при изме-
нении K Обычно при этом требуется определить условия неустойчи-
вости замкнутой САУ Определить Kкр
и iωкр
На рис 2 показано окно sisotool для описанной выше модели w1
Двигая красным курсором по КГ до пересечения ветвей с мнимой
осью можно определить значения Kкр
В данном случае Kкр
asymp 01
Значение iωкр
соответствует мнимой координате пересечения КГ
мнимой оси Просмотреть это значение можно в нижней части ин-
терфейса или выбрать меню laquoView Closed-Loop Polesraquo
64
Рис 2 Основное окно SISO-Design Tool
6 Задание на лабораторную работу
Построить КГ в соответствии с вариантом из табл 1 при помо-
щи графического интерфейса sisotool
Исследовать динамику замкнутой системы при различных зна-
чениях коэффициента усиления разомкнутой системы K в том числе
ndash запасы устойчивости в частотной области
ndash параметры переходного процесса во временной области
Таблица 1
Варианты передаточных функций
Значения параметров Передаточная функция
разомкнутой системы
1 T = 01 ζ = 1
)12( 22 sTsTs
K
2 T = 005 ζ = 0707
3 T = 003 ζ = 01
4 T = 008 ζ = 05
5 T = 001 ζ = 015
65
Окончание табл 1
Значения параметров Передаточная функция
разомкнутой системы
6 T1 = 003 T2 = 05 T3 = 01 T4 = 005
)1)(1)(1(
)1(
432
1
sTsTsTs
sTK
7 T1 = 005 T2 = 04 T3 = 008 T4 = 0033
8 T1 = 02 T2 = 045 T3 = 01 T4 = 005
9 T1 = 05 T2 = 025 T3 = 01 T4 = 002
10 T1 = 01 T2 = 025 T3 = 01 T4 = 005
Вариант задания назначается преподавателем
7 Методика выполнения задания
Порядок выполнения лабораторной работы
1 Задать передаточную функцию в MATLAB в соответствии с
вариантом коэффициент K задать любым положительным числом
2 Запустить SISO-Design Tool и осуществить ввод данных
Построить КГ
3 По КГ определить значения коэффициента K когда система
будет устойчивой на границе устойчивости и неустойчива
4 Выбрать значение коэффициента K таким образом чтобы си-
стемы была устойчива и определить запас устойчивости в частотной
области и параметры переходного процесса во временной области
8 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) титульный лист
б) передаточную функцию и этапы построения КГ
в) анализ результатов построения КГ
г) выводы по проделанной работе
д) ответы на контрольные вопросы
Контрольные вопросы 1 Дать определение КГ
2 Что обычно позволяет находить метод КГ
3 В чем заключается сущность метода КГ
4 Что можно определить по КГ
66
Критерии результативности лабораторного практикума
Лабораторная работа считается выполненной если студент
ndash выполнил все указанные задания
ndash представил отчет соответствующий всем требованиям к его
содержанию и оформлению
ndash владеет терминологией и материалом лабораторной работы
ndash способен использовать программное средство математическо-
го моделирования MATLAB
ndash способен предоставить и рассказать результаты выполненной
работы на ПК
ndash может дать пояснения к отчету и ответить на контрольные
вопросы
Список литературы
1 Александров АГ Частотная теория автоматического управле-
ния учебное пособие ndash Электросталь ЭПИ МИСиС 2010
2 Борисевич АВ Теория автоматического управления элементар-
ное введение с применением MATLAB ndash СПб Изд-во Политехн ун-
та 2011
3 Федоров ВЛ Бубнов АВ Теория автоматического управления
учебное пособие ndash Омск Изд-во ОмГТУ 2010
4 Павловская ОО Чернецкая ИВ Теория автоматического
управления учебное пособие ndash Челябинск Изд-во ЮУрГУ 2010
67
Составители ЛЯНЦЕВ Олег Дмитриевич КАЗАНЦЕВ Андрей Валерьевич
ИССЛЕДОВАНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК СИСТЕМ
АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
Лабораторный практикум
по дисциплине
laquoТеория управленияraquo
Подписано в печать Формат 60х84 116 Бумага офсетная Пе-
чать плоская Гарнитура Times New Roman Усл печ л 56 Уч-изд л
55 Тираж 100 экз Заказ
ФГБОУ ВПО Уфимский государственный авиационный технический
университет
Центр оперативной полиграфии УГАТУ
450000 Уфа-центр ул К Маркса 12
13
В приведенных примерах время моделирования выбирается ав-
томатически При необходимости его можно явно указать в команде
gtgtstep(w w1 w2t)
где t - время моделирования в секундах
Рис 1 Исследование реакции колебательного звена
На рис 1 показан пример моделирования динамики колебатель-
ного звена при различных параметрах
gtgt w=tf([1][2 03 1])
gtgt w1=tf([1][2 05 1])
gtgt w2=tf([1][2 01 1])
gtgt step(ww1w250)
В Simulink ПФ можно описать с помощью блока Transfer Fcn в
разделе библиотеки Continuous Для подачи типовых воздействий
надо использовать блок Step из раздела Sources Импульсную пере-
ходную характеристику звена можно получить подавая на вход им-
пульс маленькой длительности и большой амплитуды (приближение
δ-функции) при нулевых начальных условиях
6 Задание на лабораторную работу
С помощью пакета MATLAB построить реакцию каждого типо-
вого звена с параметрами своего варианта (см табл 2) на ступенчатое и
импульсное входное воздействие Определить влияние коэффициен-
тов входящих в описание каждого звена на параметры переходного
процесса Вариант задания назначается преподавателем
14
Таблица 2
Варианты заданий
Апери-
од зве-
но
Апериодич звено
2 пор (колеб
звено)
Ин-
тегр
звено
Изодр
звено
Реальное
диф звено
Инерц-
форс
звено
K T K T2 (T) T1( ξ ) K K T K T K T0 T1
1 3 02 3 02 20
(02)
3 3 05 3 04 3 2 08
2 4 03 4 03 15
(015)
4 4 1 4 03 4 3 12
3 5 04 5 04 25
(025)
5 5 08 5 05 5 4 15
4 6 05 6 05 16
(03)
6 6 2 6 10 6 5 20
5 7 06 7 06 28
(02)
7 7 3 7 08 7 6 20
6 8 07 8 07 22
(008)
8 8 35 8 10 8 7 20
7 9 08 9 08 21
(007)
9 9 1 9 09 9 8 30
8 10 10 10 10 30
(01)
10 10 20 10 20 10 10 40
7 Методика выполнения задания
Порядок выполнения работы
1 Задать передаточную функцию типового динамического звена
в MATLAB используя параметры приведенные в табл 2
2 Варьируя коэффициент динамического звена увеличивая его в
2 раза ndash получить вторую ПФ затем уменьшить исходный коэффици-
ент в 2 раза и получить третью ПФ
3 Построить на одном графике реакцию получившихся динами-
ческих звеньев на единичный скачок
4 Построить на одном графике реакцию получившихся динами-
ческих звеньев на импульсную функцию
5 Выполнить пп 2-4 для всех коэффициентов динамического
звена
6 Выполнить пп 1-5 для всех динамических звеньев
7 Подготовить ответы на контрольные вопросы
15
8 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) титульный лист
б) передаточные функции и схемы моделирования исследуемых
звеньев
в) экспериментально полученные характеристики при вариа-
ции параметров каждого звена
г) выводы обобщающие проделанные эксперименты по каждо-
му звену
д) ответы на контрольные вопросы
Контрольные вопросы
1 Что называется передаточной функцией
2 Что называется переходной и импульсной (весовой)
функциями Какова связь между ними
3 Как пользуясь временными характеристиками определить
параметры (коэффициенты передаточной функции) звена
Пояснить на конкретных примерах
4 Перечислите динамические характеристики САУ
5 Что называется характеристическим уравнением
16
Лабораторная работа 2
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СТРУКТУРНЫХ СХЕМ
1 Цель работы
Целью работы является изучение структурных преобразований и
нахождения передаточных функций с использованием автоматизиро-
ванных средств моделирования на ПК ndash MATLAB SIMULINK
2 Задачи работы
ndash Закрепление углубление и расширение знаний студентов при
исследовании преобразований структурных схем
ndash Приобретение умений и навыков работы с программой мате-
матического моделирования MATLAB
ndash Овладение несколькими методами преобразования структур-
ных схем
3 Теоретическая часть
Для наглядного представления сложной системы как совокупно-
сти элементов и связей между ними используются структурные
схемы
Структурной схемой называется схема САУ изображенная в
виде соединения ПФ составляющих ее звеньев
Структурная схема показывает строение автоматической систе-
мы наличие внешних воздействий и точки их приложения пути рас-
пространения воздействий и выходную величину Динамическое или
статическое звено изображается прямоугольником в котором указы-
вается ПФ звена Воздействия на систему и влияние звеньев друг на
друга (сигналы) изображаются стрелками В каждом звене воздей-
ствие передается только от входа звена к его выходу
На динамическое звено может воздействовать лишь одна вход-
ная величина поэтому используются блоки суммирования и сравне-
ния сигналов Суммироваться и сравниваться могут лишь сигналы
одной и той же физической природы
Структурная схема может быть составлена по уравнению систе-
мы в пространстве состояний или по системе дифференциальных
уравнений При составлении структурной схемы удобно начинать с
изображения задающего воздействия и располагать динамические
17
звенья составляющие прямую цепь системы слева направо до регу-
лируемой величины Тогда основная обратная связь и местные обрат-
ные связи будут направлены справа налево
Различные способы преобразования структурных схем облегча-
ют определение ПФ сложных САУ и дают возможность привести
многоконтурную систему к эквивалентной ей одноконтурной схеме
Преобразование структурной схемы должно осуществляться на
основании правил основные из них приведены в табл 1
При выполнении преобразований следует каждое имеющееся в
схеме типовое соединение заменить эквивалентным звеном Затем
можно выполнить перенос точек разветвления и сумматоров чтобы в
преобразованной схеме образовались новые типовые соединения зве-
ньев Эти соединения опять заменяются эквивалентными звеньями
затем вновь может потребоваться перенос точек разветвления и
сумматоров и т д
Различают основные соединения блоков в структурных схемах
последовательное соединение параллельное соединение антипарал-
лельное соединение (обратная связь) в свою очередь обратная связь
может быть отрицательной и положительной Таблица 1
Основные правила преобразования структурных схем
Преобразование
Структурная схема
Исходная Эквивалентная
Свертывание
последовательного
соединения
W1 W2 Wnu y
Wu y
nWWWW 21
Свертывание
параллельного
соединения
Wn
W2
W1
u y
Wu y
nWWWW 21
Свертывание
обратной связи
W1u plusmn y
W2
Wu y
21
1
1 WW
WW
18
Окончание табл 1
Преобразование
Структурная схема
Исходная Эквивалентная
Перенос узла через
звено вперед
Wu y
x
Wu y
xW1
WW
11
Перенос узла через
звено назад
Wu y
y
Wu y
yW
Перенос сумматора
через звено вперед
Wu1 y
u2
plusmn
Wu1 y
u2
plusmn
W
Перенос сумматора
через звено назад
Wu1 y
u2
plusmn
Wu1 y
u2
plusmn
W1
WW
11
Перенос прямой
связи через звено W2yu
plusmnW1
W3
W2 yu
plusmnW1
W3 W2
Перенос узла через
сумматор вперед
x1
+
- y
x1
x2
x1
+
- y
x1x2
+
+
Перенос узла через
сумматор назад
x1
+
- y
x2
y
x1
+
- y
x2y
+
-
Пример Пусть необходимо получить эквивалентное представ-
ление для структуры приведенной на рис 1
19
W1
W2 W3
W4
W5 W6
W7
+
+
+
-
Рис 1 Исходная схема САУ
Преобразование включает несколько этапов показанных на рис 2ndash5
W1
W2 W3
W4
W5 W6
W7
+
+
+
-
1W6
Рис 2 Перенос узла через звено вперед
567
659
1 WWW
WWW
6
48
W
WW
Рис 3 Свертывание обратной связи и последовательного соединения
2110 WWW
983
9311
1 WWW
WWW
Рис 4 Свертывание обратной связи и Рис 5 Свертывание последователь-
параллельного соединения ного соединения
W10 W11 WЭкв
543765
653265311110
1 WWWWWW
WWWWWWWWWWWЭкв
W1
W2
W8
W3 W9
+
+
20
Таким образом первый способ преобразования структурных
схем заключается в непосредственном использовании правил приве-
денных в табл1 Неудобство использования этого подхода заключа-
ется в том что порядок применения формул здесь достаточно произ-
волен возможны ошибочные шаги усложняющие поиск решения
Второй способ для получения ПФ многоконтурной системы за-
ключается в использовании модели системы в виде сигнального
графа
Сигнальный граф позволяет графически описать линейные связи
между переменными он состоит из узлов (вершин) и соединяющих их
направленных ветвей
Ветвь соответствует блоку структурной схемы она отражает за-
висимость между входной и выходной переменными Сумма всех
сигналов входящих в узел образует соответствующую этому узлу
переменную
Последовательность ветвей между двумя узлами называется пу-
тем Контуром называется замкнутый путь который начинается и
заканчивается в одном и том же узле причем ни один узел не встре-
чается на этом пути дважды
Контуры называются некасающимися если они не имеют общих
узлов
Сигнальный граф ndash это просто наглядный метод записи системы
алгебраических уравнений показывающий взаимосвязь между пере-
менными
r1
r2
a11
a22
x1
x2
a12a21
Рис 6 Сигнальный граф для двух алгебраических выражений
В качестве примера рассмотрим следующую систему алгебраи-
ческих уравнений
21
11212111 xrxaxa (1)
22222121 xrxaxa (2)
здесь r1 и r2 ndash входные переменные а x1 и x2 ndash выходные переменные
Сигнальный граф соответствующий уравнениям (1) и (2) изображен
на рис 6 Уравнения (1) и (2) можно записать в ином виде
1122111 )()1( raxax
2222211 )1()( raxax
Решая последнюю систему по правилу Крамера получим
212
122
21122211
2121221
)1(
)1)(1(
)1(r
ar
a
aaaa
rarax
121
211
21122211
1212112
)1(
)1)(1(
)1(r
ar
a
aaaa
rarax
В этих решениях знаменатель равен определителю составлен-
ному из коэффициентов при неизвестных и его можно записать так
21122211221121122211 1)1)(1( aaaaaaaaaa
В данном случае знаменатель равен единице минус коэффици-
енты передачи отдельных контуров a11 a22 и a12a21 плюс произведе-
ние коэффициентов передачи двух некасающихся контуров a11 и a22
Контуры a22 и a12a21 являются касающимися так же как и контуры a11
и a21a12
В решении для x1 по отношению ко входу r1 числитель равен
единице умноженной на (1-a22) те значение определителя некаса-
ющегося пути от r1 к x1 В решении для x1 по отношению ко входу
r2числитель просто равен a12 тк этот путь касается всех контуров
Числитель выражения x2 симметричен соответствующему числителю
для x1
В общем случае линейная зависимость Tij между независимой
переменной xi (часто называемой входной переменной) и зависимой
переменной xj определяется по формуле Мейсона
22
k
ijkijk
ij
P
T
где Pijk ndash коэффициент передачи k-го пути от переменной xi к пере-
менной xj Δ ndash определитель графа Δijk ndash дополнительный множитель
для пути Pijk а суммирование производится по всем возможным k пу-
тям от xi до xjДополнительный множитель Δijk равен определителю
всех касающихся контуров при удалении k-го пути
Определитель находится как
QM
qm
LSR
lsrlsrqm
K
kk LLLLLL
11
1111
1
где Kk kL
1ndash сумма коэффициентов передачи всех отдельных конту-
ров QM
qm qmLL
11ndash сумма произведений всех возможных комбина-
ций из двух некасающихся контуров LSR
lsr lsr LLL
111ndash сумма про-
изведений всех возможных комбинаций из трех некасающихся кон-
туров
Таким образом правило вычисления Δ через значение L1 L2
L3hellipLN таково Δ = 1- (сумма коэффициентов передачи всех отдель-
ных контуров) + (сумма произведений всех возможных комбинаций
из 2 некасающихся контуров) ndash (сумма произведений всех возмож-
ных комбинаций из 3 некасающихся контуров) +hellip
Формула Мейсона часто используется в несколько упрощенном
виде для определения связи между выходной переменной Y(s) и
входной переменной X(s) те
)()(
)( 1
N
iiiP
sWsX
sY
где Pi ndash i-й путь от входа к выходу N ndash количество путей Δ ndash опреде-
литель графа специальный полином который определенным образом
характеризует совокупность всех замкнутых цепей системы содер-
жащих обратные связи и вычисляется как сумма передаточных
функций разомкнутых контуров этих цепей и произведений
23
передаточных функций разомкнутых контуров пар троек и тд не со-
прикасающихся друг с другом цепей с обратными связями Δi ndash до-
полнительный множитель для пути составляется по правилу анало-
гичному Δ но только для цепей с обратными связями не соприкаса-
ющихся с i-м прямым каналом
Дополнительный множитель для i-го пути равен определителю
графа в котором приравнены нулю коэффициенты передачи конту-
ров касающихся этого пути
Рассмотрим пример получения ПФ многоконтурной системы с
использованием формулы Мейсона для структуры на рис 1 которая
соответствует графу показанному на рис 7
X(s) Y(s)W1
W2
W3 W5 W6
W4 -W7
Рис 7 Описание системы управления сигнальным графом
От входа к выходу ведут два пути
65311 WWWWP
65322 WWWWP
В графе есть 2 контура
5431 WWWL
7652 WWWL
Контур L1 пересекает контур L2 поэтому определитель графа
вычисляется по формуле
)(1 21 LL
Контуры в этом примере пересекают все пути поэтому допол-
нительные множители путей равны
24
11
12
Окончательно можно записать
1
)(543765
65326531
2
1
WWWWWW
WWWWWWWWP
sW iii
Таким образом использование сигнальных графов и применение
формулы Мейсона позволяет алгоритмизировать процесс упрощения
структурной схемы
Третий способ для получения ПФ заключается в составлении
системы уравнений Необходимо обозначить выходы сумматоров и
составить систему уравнений на основе этих обозначений На рис9
представлена исходная схема с обозначенными сумматорами
W1
W2 W3
W4
W5 W6
W7
+
+
+
-
Z H
u y
Рис 9 Исходная схема САУ с обозначенными сумматорами
Опишем все сигналы в системе в виде уравнений
)( 4521 HWWuWWZ
73 yWZWH
65 HWWy
Подставив последовательно значения сигналов найдем ПФ
))(( 734521 yWWHWWuWWH
После преобразования получим
25
1
)(
543
73231
WWW
yWuWWWWH
Подставим полученное значение H в уравнение y
1
))((
543
6573231
WWW
WWyWuWWWWy
Получим ПФ вида
1
)(543765
65326531
WWWWWW
WWWWWWWW
u
ypW
4 Краткое описание MATLAB
Лабораторная работа выполняется в программе математического
моделирования MATLAB Программа MATLAB включает в себя пакет
прикладных программ для решения технических задач и одноименный
язык программирования используемый в этом пакете
Основными компонентами системы являются базовая система
MATLAB и пакет моделирования систем Simulink Остальные пакеты
расширения разбиты на 4 категории ndash расширения Extension MATLAB и
Extension Simulink а также комплексы пакетов расширения Blockset и
Toolbox
Раздел MATLAB Extension содержит средства для подготовки ис-
полняемых приложений MATLAB (с подключаемыми библиотеками и
без них)
Раздел Toolbox (инструментальные средства) содержит самое
большое число пакетов расширений системы MATLAB такие как
laquoControl systemraquo laquoDatabaseraquo laquoFuzzy logicraquo laquoWaveletraquo и тд
В разделе Blockset расположено несколько пакетов относящихся к
главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink такие как
laquoDSPraquo laquoFixed-Pointraquo laquoNonlinear control designraquo и laquoPower systemsraquo
В разделе Extension Simulink имеется ряд средств предназначен-
ных для моделирования в реальном масштабе времени и событийно-
управляемом моделировании
26
5 Структурные преобразования в MATLAB
В пакете MATLAB имеется ряд функций с помощью которых
можно выполнять структурные преобразования (используется экви-
валентная схема)
ndash series(w1w2) ndash последовательное соединение звеньев
ndash parallel(w1w2) ndash параллельное соединение звеньев
ndash feedback(w1w2) ndash включение звена w2 в контур отрицательной об-
ратной связи к w1
ndash feedback(w1w2sign) ndash включение звена w2 в контур обратной связи
звена w1 с указанием знака + или ndash (очевидно feedback(w1w2)=
=feedback(w1w2-1))
Пример
Даны две передаточные функции
22
221
ss
sW
22
322
2
2
ss
ssW
Опишем ПФ введя в окне команд MatLab следующие команды
gtgt w1=tf([1 2][1 2 2])
gtgt w2=tf([1 2 3][1 2 2])
Выполним структурные преобразования для данных ПФ
gtgt w2=series(w1w2)
Transfer function
s^3 + 4 s^2 + 7 s + 6
------------------------------------
s^4 + 4 s^3 + 8 s^2 + 8 s + 4
gtgt w3=parallel(w1w2)
Transfer function
s^4 + 5 s^3 + 13 s^2 + 16 s + 10
----------------------------------------
s^4 + 4 s^3 + 8 s^2 + 8 s + 4
27
gtgt w4=feedback(w1w2)
Transfer function
s^3 + 4 s^2 + 6 s + 4
----------------------------------------
s^4 + 5 s^3 + 12 s^2 + 15 s + 10
Для проверки правильности проведенных преобразований необ-
ходимо собрать схему исходной САУ и соответствующую ей эквива-
лентную схему в MATLAB Simulink
Исходная схема САУ собирается как модель из соответствую-
щих элементов таких как laquoTransfer Fncraquo laquostepraquo laquosignal builderraquo
laquoscoperaquo и laquosumraquo Все эти элементы находятся в пакете laquoSimulinkraquo и
представлены в виде блоков Для того чтобы создать новую модель
необходимо нажать laquoFile-gtNew-gtModel (Simulink)raquo после откроется
окно модели в которую нужно будет добавлять элементы из библио-
теки для доступа к ней необходимо нажать на значок laquoLibrary Brows-
erraquo
Описание используемых элементов из пакета Simulink
1 Transfer Fnc ndash передаточная функция
2 Step ndash единичный скачок (функция Хэвисайда) в блоке необходи-
мо задать время начала перехода (step time)
3 Signal builder ndash блок для моделирования сигнала по заданным па-
раметрам (можно построить единичный скачок и импульсную функ-
цию)
4 Scope ndash виртуальный осциллограф отображает получившийся гра-
фик открывается двойным щелчком левой клавиши мыши и для кор-
рекции масштаба необходимо нажать правой кнопкой по графику и
из выпадающего меню выбрать laquoautoscaleraquo
5 Sum ndash сумматор в параметрах задается число сигналов соответ-
ственно laquo+raquo - положительный laquondashraquo - отрицательный
Так же нужно задать время работы модели для этого необходи-
мо выбрать laquoSimulation-gtSimulation parametersraquo и установить пара-
метр laquostop timeraquo на нужное значение и после необходимо запустить
модель на выполнение нажав на значок laquoStart simulationraquo Пример
модели составленной в MATLAB представлен на рис 10
28
Рис 10 Пример схемы САУ с блоком laquosignal builderraquo
Задача считается решенной если при подаче на вход обоих
схем одинаковых тестовых воздействий (единичный скачок импуль-
сная функция) наблюдаются одинаковые выходные сигналы
6 Задание на лабораторную работу
Выполнить преобразование структурной схемы САУ в эквива-
лентную передаточную функцию Составить модель исходной схемы
САУ в MATLAB С помощью ряда функций MATLAB (структурные
преобразования) составить эквивалентную схему Вариант задания
назначается преподавателем
7 Методика выполнения задания
Порядок выполнения работы
1 Выполнить преобразование заданного варианта структурной
схемы САУ (см табл 2) в эквивалентную ПФ тремя способами
ndash непосредственно используя правила табл 1
ndash используя представление в виде сигнального графа и формулу
Мейсона
ndash составив систему уравнений и решив еѐ
2 В качестве звеньев W1W2W3 использовать передаточные
функции звеньев представленных в табл 2
3 Составить модель исходной схемы САУ в MATLAB постро-
ить реакцию получившейся модели на ступенчатое и импульсное
воздействия
4 С помощью ряда функций MATLAB (структурные преобразо-
вания) составить эквивалентную схему и построить реакцию на сту-
пенчатое и импульсное воздействия
5 Подготовить ответы на контрольные вопросы
29
Таблица 2
Варианты структур САУ
Исходная схема
Передаточные
функции
1 W1
W3
W2
-
+
-
+
u y
+
1
31
sW
2
442
s
sW
12
133
s
sW
2 W1
W3
W2
-
+
-
+
u y
+ +
3 W3
W2
W1
-
+
-
+
u y
+ +
4 W3
W1
W2
+
+
-
+
u y
+ +
1
21
sW
2
12
sW
12
13
s
sW
5
W1
W3
W2
-
+
-
+
u y
+ +
6
W1
W3
W2
-
+
-
+
u y
+
62
31
sW
2
52
sW
1
23
s
sW
7
W1
W3
W2
-
+
-
+
u y
+ +
8
W1
W2
W3
-
+
-
+
u y
+ +
30
8 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) описание всех этапов преобразования исходной схемы и по-
лучающихся промежуточных результатов выполненными тремя спо-
собами моделирование реакции схемы на типовое воздействие (ска-
чок) до и после преобразования
б) сигнальный граф системы описание путей контуров расчет
ПФ по формуле Мейсона
в) решение составленной системы уравнений
г) схема модели и протокол команд MATLAB
д) графики переходных процессов при подаче на вход исходной
и эквивалентной схемы типовых тестирующих воздействий (скачок
импульс)
е) ответы на контрольные вопросы
Контрольные вопросы
1 Что называется структурной схемой Какие задачи можно
решить с еѐ помощью
2 Как может быть составлена структурная схема
3 Что позволяет алгоритмизировать процесс упрощения струк-
турной схемы Поясните на конкретном примере
31
Лабораторная работа 3
ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
ДИНАМИЧЕСКИХ ЗВЕНЬЕВ
1 Цель работы
Целью работы является изучение частотных характеристик ти-
повых динамических звеньев с использованием автоматизированных
средств моделирования на ПК ndash MATLAB SIMULINK
2 Задачи работы
ndash Закрепление углубление и расширение знаний студентов при
исследовании частотных характеристик динамических звеньев
ndash Приобретение умений и навыков работы с программой мате-
матического моделирования MATLAB
ndash Выработка способности логического мышления осмысление
полученных данных частотных характеристик
3 Теоретическая часть Сущность метода частотных характеристик заключается в том
что на вход исследуемой системы подается гармонический сигнал (си-
нусоидальные колебания) в широком диапазоне частот Реакция си-
стемы при разных частотах позволяет судить о ее динамических
свойствах
Пусть входной сигнал системы имеет амплитуду а и частоту ω т е
описывается формулой
)sin( tax
Выходной сигнал будет иметь амплитуду А1 и отличаться от вход-
ного по фазе на величину ψ (фазовый сдвиг)
)sin(1 tAy
Таким образом можно рассчитать усиление по амплитуде
1
a
AA
32
Для каждой частоты входного сигнала ω будут свои А и ψ
Изменяя ω в широком диапазоне можно получить зависимость
А(ω) ndash амплитудную частотную характеристику (АЧХ) и ψ(ω) ndash фазо-
вую частотную характеристику (ФЧХ)
Главное достоинство метода частотных характеристик заключа-
ется в том что АЧХ и ФЧХ объекта могут быть получены экспери-
ментально Для этого необходимо иметь генератор гармонических
колебаний который подключается к входу объекта и измеритель-
ную аппаратуру для измерения амплитуды и фазового сдвига колеба-
ний на выходе объекта
Частотные характеристики САУ могут быть получены по ее ПФ
W(s) Для суждения о реакции звена на синусоидальный сигнал доста-
точно исследовать его реакцию на гармонический сигнал вида
)( tjejx
Тогда выходной сигнал определяется по соотношению
)()( ))(( tjeAjy
и частотная ПФ получается равной
)()(
)()( )(
jeA
jx
jyjW
Формально для получения частотной ПФ надо сделать в W(s)
подстановку s = jω и тогда полученная W(jω) является комплексным
выражением которое можно представить в виде
)()(
)()()(
22
11
jba
jbajW
Для нахождения вещественной и мнимой частей частотной пе-
редаточной функции необходимо умножить числитель и знаменатель
на сопряженную знаменателю величину а затем провести
разделение
33
)()()(
)()(
)()()()(
)()(
)()()()(
))()())(()((
))()())(()((
)()(
)()()(
)(
22
22
2112
22
22
2121
2222
2211
22
11
jeAjVU
ba
babaj
ba
bbaa
jbajba
jbajba
jba
jbajW
где
)()()()(22
22
21
2122
ba
baVUjWA
)(
)())(arg()(
2
2
1
1
a
barctg
a
barctg
U
VarctgjW
Графики функции )(U и )(V называют соответственно веще-
ственной и мнимой частотной характеристиками
В практических расчетах удобно применять графики частотных
характеристик построенных в логарифмическом масштабе ndash лога-
рифмические частотные характеристики (ЛЧХ)
Логарифмическая амплитудная частотная характеристика
(ЛАЧХ) определяется следующим выражением
)(lg20)( AL
Логарифмической фазовой частотной характеристикой
(ЛФЧХ) называется график зависимости )( построенный в лога-
рифмическом масштабе частот
Единицей L(ω) является децибел (дБ) а единицей логарифма ча-
стоты ndash декада Декадой называют интервал частот на котором часто-
та изменяется в 10 раз При изменении частоты в 10 раз говорят что
она изменилась на одну декаду Ось ординат при построении ЛЧХ про-
водят через произвольную точку а не через точку ω = 0 Частоте ω = 0
соответствует бесконечно удаленная точка lgω rarr ndash infin при ω rarr 0
Основное преимущество использования ЛЧХ заключается в том
что приближенные (асимптотические) ЛАЧХ типовых динамических
звеньев изображаются отрезками прямых
Пример Построим ЛЧХ апериодического звена первого
34
порядка
Передаточная функция звена
1
)(
Ts
ksW
Частотная передаточная функция
1)(
)1(
1)(
2
T
Tjk
Tj
kjW
1)(
1)( 22
T
kTV
T
kU
Следовательно АЧХ описывается формулой
1)(
)(2
T
kA
ФЧХ строится по формуле
)()( Tarctg
ЛАЧХ апериодического звена 1-го порядка
1)(lg20lg20)( 2 TkL
По этой формуле можно построить две асимптоты ndash прямые к
которым стремится ЛАЧХ при ω rarr 0 и при ω rarr infin Так при ω rarr 0 второе
слагаемое близко к нулю и этот участок ЛАЧХ представляет собой
горизонтальную прямую
lg20)( kL
При ω rarr infin получаем наклонную прямую
1)(lg20)( 2 TL
35
Для определения наклона этой прямой можно рассмотреть гра-
ницы декады
T
1 и
10
T
Изменение ЛАЧХ между этими точками
)(2011
lg20110
lg20)(
22
декдБT
TT
TL
ЛЧХ часто называют диаграммами Боде
4 Краткое описание MATLAB
Лабораторная работа выполняется в программе математического
моделирования MATLAB Она включает в себя пакет прикладных про-
грамм для решения технических задач и одноименный язык программи-
рования используемый в этом пакете
Основными компонентами системы являются базовая система
MATLAB и пакет моделирования систем Simulink Остальные пакеты
расширения разбиты на 4 категории ndash расширения Extension MATLAB и
Extension Simulink а также комплексы пакетов расширения Blockset и
Toolbox
Раздел MATLAB Extension содержит средства для подготовки ис-
полняемых приложений MATLAB (с подключаемыми библиотеками и
без них)
Раздел Toolbox (инструментальные средства) содержит самое
большое число пакетов расширений системы MATLAB такие как
laquoControl systemraquo laquoDatabaseraquo laquoFuzzy logicraquo laquoWaveletraquo и тд
В разделе Blockset расположено несколько пакетов относящихся к
главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink такие как
laquoDSPraquo laquoFixed-Pointraquo laquoNonlinear control designraquo и laquoPower systemsraquo
В разделе Extension Simulink имеется ряд средств предназначен-
ных для моделирования в реальном масштабе времени и событийно-
управляемом моделировании
36
5 Построение частотных характеристик в MATLAB В пакете MATLAB ЛЧХ объекта заданного с помощью ПФ
можно получить командой bode
Пример
gtgt w=tf([1 2][3 4 5])
gtgt bode(w)
Для нескольких вариантов передаточной функции можно исполь-
зовать вариант команды вида
gtgt bode(ww1w2)
Например построим диаграмму Боде при различных параметрах
колебательного звена (рис 1)
gtgt w=tf([1][2 03 1])
gtgt w1=tf([1][2 05 1])
gtgt w2=tf([1][2 01 1])
gtgt bode(ww1w2)
Рис 1 ЛЧХ колебательного звена
6 Задание на лабораторную работу
С помощью пакета MATLAB построить ЛЧХ каждого типового
звена Определить влияние коэффициентов входящих в описание
каждого звена на параметры ЛАЧХ и ЛФЧХ Вариант задания назна-
чается преподавателем
37
7 Методика выполнения задания
Порядок выполнения работы
1 Задать передаточную функцию типового динамического звена
используя параметры из табл 2 лабораторной работы 1
2 Построить диаграмму Боде при различных параметрах типо-
вого динамического звена
3 Определить влияние коэффициентов входящих в описание
каждого звена на параметры ЛАЧХ и ЛФЧХ в том числе
ndash как меняется ширина асимптотических участков ЛАЧХ и
ЛФЧХ
ndash как меняется положение точек пересечения осей ЛАЧХ
4 Написать вывод по влиянию коэффициентов на типовое звено
5 Выполнить пункты 1-4 для всех типовых звеньев
6 Подготовить ответы на контрольные вопросы
8 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) титульный лист
б) краткие теоретические сведения
в) передаточные функции и схемы моделирования исследуемых
звеньев
г) экспериментально полученные характеристики при вариации
параметров каждого звена
д) выводы обобщающие проделанные эксперименты по каждо-
му звену
ж) ответы на контрольные вопросы
Контрольные вопросы
1 Как пользуясь частотными характеристиками определить па-
раметры (коэффициенты передаточной функции) звена Пояс-
нить на конкретных примерах
2 Указать особенности построения ЛАХ и ЛФХ динамических
звеньев Что понимается под асимптотической ЛАХ звена
3 Как осуществляется построение АФХ динамического звена
38
Лабораторная работа 4
ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ СИСТЕМ
С ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ
1 Цель работы
Изучение особенностей практического использования алгебраи-
ческих и частотных критериев устойчивости для анализа динамики
линейных САУ с использованием автоматизированных средств моде-
лирования на ПК ndash MATLAB SIMULINK
2 Задачи работы
ndash Закрепление углубление и расширение знаний студентов при
исследовании устойчивости систем с обратной связью
ndash Приобретение умений и навыков работы с программой мате-
матического моделирования MATLAB
ndash Овладение новыми методами проверки устойчивости систем
с обратной связью
ndash Выработка способности логического мышления осмысления
полученных данных
3 Теоретическая часть
Устойчивость САУ является одним из основных условий ее ра-
ботоспособности и включает требование затухания во времени пере-
ходных процессов
Система является устойчивой если при ограниченном входном
сигнале еѐ выходной сигнал также является ограниченным Если
система устойчива то она противостоит внешним воздействиям а
выведенная из состояния равновесия возвращается снова к нему
Система с расходящимся переходным процессом будет неустойчивой и
неработоспособной
Необходимое и достаточное условие устойчивости заключается в
том чтобы все корни характеристического уравнения (полюсы пере-
даточной функции системы) имели отрицательные вещественные ча-
сти Иначе говоря условием устойчивости системы является распо-
ложение всех полюсов в левой комплексной полуплоскости Тогда все
полюсы будут давать затухающую реакцию
Выше сформулированное условие устойчивости справедливо как
39
для линейных так и для линеаризованных систем Однако в случае
нулевых или чисто мнимых корней характеристического уравнения
вопрос об устойчивости линеаризованной системы может быть ре-
шен только на основании исследования ее нелинейных уравнений
В конце XIX и первой половине XX в задача вычисления корней
характеристического уравнения высокого порядка вызывала боль-
шие проблемы Поэтому были предложены несколько косвенных
методов оценки устойчивости позволяющих обойтись без вычисле-
ния корней ndash по значениям коэффициентов характеристического
уравнения
Критерии устойчивости разделяют на алгебраические и частот-
ные В частности к алгебраическим критериям относится критерий
Гурвица к частотным критериям ndash критерий Найквиста
Критерий Гурвица является алгебраическим критерием и при-
меняется к коэффициентам характеристического уравнения замкнутой
системы
Пусть имеется характеристическое уравнение замкнутой
системы
0011
1 apapapa n
nn
n
Из коэффициентов характеристического уравнения составляют
матрицу по правилу
1 По диагонали записываются коэффициенты от 1na до 0a
2 Каждая строка дополняется коэффициентами с возрастающи-
ми индексами слева направо так чтобы чередовались строки с нечет-
ными и четными индексами
3 В случае отсутствия индекса а также если он меньше 0 или
больше п на его место пишется 0
Таким образом матрица Гурвица приобретает следующий вид
40
Критерий устойчивости формулируется так
Чтобы система была устойчивой необходимо и достаточно что-
бы при 0na были положительными все п диагональных определи-
телей получаемых из матрицы Гурвица
Первые три определителя матрицы Гурвица имеют следующий
вид
Таким образом критерий Гурвица позволяет судить об абсо-
лютной устойчивости но он не дает возможности оценивать относи-
тельную устойчивость по корням характеристического уравнения
Частотный критерий устойчивости Найквиста анализирует
АФЧХ разомкнутой системы
Пусть имеется АФЧХ разомкнутой системы W(jω)
Для нахождения вещественной и мнимой части частотной ха-
рактеристики нужно освободиться от мнимости в знаменателе путем
умножения числителя и знаменателя на комплексную величину со-
пряженную знаменателю а затем выполнить разделение на веще-
ственную и мнимую части W(jω) приобретает вид
)()()( jQPjW
Задаваясь различными значениями частоты можно найти мно-
жество пар )()( 11 jQP )()( 22 jQP )()( nn jQP
Затем по этим парам строится АФЧХ на комплексной плоскости
Основные свойства АФЧХ разомкнутой системы
1 Если разомкнутая система не имеет интегрирующих звеньев
то при ω = 0 ее АФЧХ начинается на вещественной оси в точке
Р(ω)=К (где К ndash коэффициент усиления разомкнутой системы) За-
канчивается АФЧХ в начале координат при ω rarr infin (рис 1 а)
2 Если разомкнутая система имеет одно интегрирующее звено то
ее АФЧХ начинается при ω = 0 в бесконечности на отрицательной мни-
мой полуоси а заканчивается в начале координат при ω rarr infin (рис 1 б)
41
Рис 1 АФЧХ разомкнутой системы
Критерий устойчивости Найквиста формулируется так
1 Если разомкнутая система устойчива или находится на гра-
нице устойчивости то для того чтобы замкнутая система была
устойчива необходимо и достаточно чтобы АФЧХ разомкнутой
системы при изменении частоты ω от 0 до infin не охватывала точку с ко-
ординатами (-1 j0)
2 Если разомкнутая система неустойчива а ее передаточная
функция имеет т полюсов справа от мнимой оси на комплексной
плоскости то для устойчивости замкнутой системы необходимо и до-
статочно чтобы АФЧХ разомкнутой системы при изменении частоты
ω от -infin до +infin охватывала т раз точку с координатами (-1 j0)
При использовании этого критерия нужно учитывать две
особенности
1 Если разомкнутая система находится на границе устойчиво-
сти то ее АФЧХ уходит в бесконечность Для проверки критерия Най-
квиста нужно мысленно соединить конец АФЧХ дугой бесконечно
большого радиуса с положительной вещественной полуосью
2 На практике АФЧХ может строиться только для положитель-
ных частот (0 lt ω lt +infin) При применении критерия Найквиста счита-
ется что ветвь АФЧХ для отрицательных частот симметрична отно-
сительно вещественной оси
Физический смысл критерия устойчивости Найквиста заключа-
ется в том что система будет неустойчива если фаза выходного сиг-
нала противоположна фазе входного сигнала а коэффициент усиле-
ния больше 1 Поэтому для анализа устойчивости можно использо-
вать не АФЧХ а ЛАХ системы (для минимально-фазовых систем)
Система устойчива если на частоте среза значение фазы не превы-
шает -π Соответственно для устойчивой системы можно рассматри-
вать на ЛФЧХ запас устойчивости по фазе ndash расстояние от значения
фазы на частоте среза до уровня -π и запас устойчивости по амплиту-
42
де ndash расстояние от оси частот ЛАЧХ до значения усиления на часто-
те где фаза становится равной -π
4 Краткое описание MATLAB
Лабораторная работа выполняется в программе математического
моделирования MATLAB Программа MATLAB включает в себя пакет
прикладных программ для решения технических задач и одноименный
язык программирования используемый в этом пакете
Основными компонентами системы являются базовая система
MATLAB и пакет моделирования систем Simulink Остальные пакеты
расширения разбиты на 4 категории ndash расширения Extension MATLAB и
Extension Simulink а также комплексы пакетов расширения Blockset и
Toolbox
Раздел MATLAB Extension содержит средства для подготовки ис-
полняемых приложений MATLAB (с подключаемыми библиотеками и
без них)
Раздел Toolbox (инструментальные средства) содержит самое
большое число пакетов расширений системы MATLAB такие как
laquoControl systemraquo laquoDatabaseraquo laquoFuzzy logicraquo laquoWaveletraquo и тд
В разделе Blockset расположено несколько пакетов относящихся к
главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink такие как
laquoDSPraquo laquoFixed-Pointraquo laquoNonlinear control designraquo и laquoPower systemsraquo
В разделе Extension Simulink имеется ряд средств предназначен-
ных для моделирования в реальном масштабе времени и событийно-
управляемом моделировании
5 Исследование устойчивости САУ в MATLAB
Для проверки устойчивости САУ по Гурвицу постройте матрицу
Гурвица и найдите ее детерминант (функция det) Затем последова-
тельно уменьшая размер матрицы найдите значения всех диагональ-
ных детерминантов Пример
gtgt А=[1 14 18 2 5 2 3 4 3]
А =
1 14 18
2 5 2
3 4 3
gtgt det(A)
ans = -119
43
gtgt А1=А(12 12)
А1 =
1 14
2 5
gtgt det(A1)
ans = -23
Для проверки устойчивости САУ по Найквисту сначала нужно
выяснить является ли устойчивой разомкнутая система
Пример Пусть дана передаточная функция разомкнутой
системы
13232
12234
pppp
pW
Рассмотрим реакцию на скачок
gtgt w=tf([2 1][2 3 2 3 1])
gtgt step(w18)
График переходного процесса показан на рис 2
Рис 2 Переходная реакция
Разомкнутая система неустойчива и согласно критерию Найкви-
ста надо чтобы АФЧХ разомкнутой системы охватывала точку (-1 j0)
44
столько раз сколько полюсов имеется справа от мнимой оси Для по-
строения АФЧХ достаточно вызвать команду nyquist
gtgt nyquist(w)
Диаграмма Найквиста показана на рис 3
Рис 3 Диаграмма Найквиста для неустойчивой системы
Как показывает рис3 АФЧХ ни разу не охватывает точку
(-1 j0) поэтому замкнутая система будет неустойчивой Частотный
критерий Найквиста можно использовать и в том случае когда рас-
сматривается не АФЧХ а ЛАЧХ разомкнутой системы замкнутая
минимально-фазовая система устойчива если при достижении ЛФЧХ
значения -π ЛАЧХ будет отрицательной
Используя ЛАЧХ и ЛФЧХ можно оценить запасы устойчивости
системы по амплитуде и по фазе с помощью команды
gtgt margin(w)
Пример
gtgt w=tf([10][2 2 3 1])
gtgt margin(w)
Соответствующий график показан на рис 4
45
Рис 4 Определение запасов устойчивости по амплитуде и по фазе
6 Задание на лабораторную работу
Выполнить исследование устойчивости замкнутой системы по за-
данной передаточной функции разомкнутой системы Определить запас
устойчивости по амплитуде и по фазе Вариант задания назначается
преподавателем
7 Методика выполнения задания
Порядок выполнения работы
1 Рассчитать передаточную функцию замкнутой системы по
приведенной в табл 1 разомкнутой системе
2 Определить устойчивость замкнутой системы используя кри-
терий Гурвица
3 Определить устойчивость замкнутой системы используя кри-
терий Найквиста
4 Определить запас устойчивости по амплитуде и по фазе ис-
пользуя ЛАЧХ и ЛФЧХ
5 Выполнить моделирование переходных процессов разомкну-
той и замкнутой систем
6 Подготовить ответы на контрольные вопросы
46
Таблица 1
Варианты заданий
Передаточная функция разомкнутой системы
1 1355
2234
ssss
W
2 110050
1234
ssss
W
3 11010
123
sss
W
4 122105
100234
ssss
W
5 1248
123
sss
W
6 1223
102345
sssss
W
7 11001010
323
sss
W
8 122
1023
sss
W
9 11010
123
sss
W
10 15050332
102345
sssss
W
8 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) титульный лист
б) краткие теоретические сведения
в) переходную функцию разомкнутой системы
г) расчет передаточной функции замкнутой системы
д) расчетные выражения для обоснования устойчивости замкну-
той системы по алгебраическому критерию Гурвица
е) годограф Найквиста разомкнутой системы на основании кото-
рого делается вывод об устойчивости замкнутой системы
ѐ) переходную функцию замкнутой системы
ж) проверку полученных результатов путем компьютерного моде-
лирования переходных процессов разомкнутой и замкнутой си-
стемы в MATLAB Simulink
з) выводы по всем полученным результатам
47
Контрольные вопросы
1 Как связана устойчивость линейной САУ с видом составля-
ющих ее свободного движения
2 Зависит ли устойчивость линейных САУ от амплитуды зада-
ющих воздействий или возмущений
3 Сформулируйте критерий устойчивости Гурвица укажите на
необходимое условие устойчивости линейных САУ вытекаю-
щее из этого критерия
4 Сформулируйте критерий Найквиста для случая САУ устой-
чивых в разомкнутом состоянии а также для астатических САУ
Что такое laquoзапасы устойчивости по фазе и по амплитудеraquo
5 Что называется структурной устойчивостью
48
Лабораторная работа 5
КОРРЕКЦИЯ СТАТИЧЕСКИХ И ДИНАМИЧЕСКИХ
СВОЙСТВ САУ
1 Цель работы
Целью работы является изучение способов обеспечения иско-
мых характеристик САУ с использованием автоматизированных
средств моделирования на ПК ndash MATLAB SIMULINK
2 Задачи работы
ndash Закрепление углубление и расширение знаний студентов при
обеспечении искомых характеристик САУ
ndash Приобретение умений по обеспечению точности (уменьшение
статической ошибки) САУ и выбору значений параметров регулято-
ра обеспечивающих желаемые динамические свойства САУ
ndash Приобретение умений и навыков работы с программой мате-
матического моделирования MATLAB
3 Теоретическая часть
Коррекция статических и динамических свойств САУ имеет
своей целью повышение статической и динамической точности отра-
ботки системой задающего воздействия (или парирование возмуща-
ющего воздействия) повышение запасов ее устойчивости Наиболее
распространенными способами коррекции свойств САУ является из-
менение коэффициента усиления ее разомкнутой части введение в
САУ новых звеньев (как правило интегрирующего или дифференци-
рующего типа) охват объекта управления местной обратной связью
31 Коррекция статических свойств САУ
Статические свойства системы определяются величиной устано-
вившейся ошибки )t(уст вызванной действием задающего воздей-
ствия и определяемой по формуле
22
210 2 dttgdcdttdgctgctуст (1)
где )(tg - входное воздействие 210 ccc - коэффициенты ошибок
Коэффициенты ошибок определяются по формулам
49
dssdcdssdcscs
mmmss 00100
где s - передаточная функция САУ по ошибке управления рав-
ная
sW
sраз
1
1
sWраз - передаточная функция разомкнутой САУ
Основными способами уменьшения статической ошибки систе-
мы являются
1) увеличение коэффициента усиления прямого тракта системы
2) введение в прямой тракт системы интегрирующих звеньев
3) охват объекта управления местной неединичной положитель-
ной обратной связью
Представим структурную схему системы в виде изображенном
на рис 1 где через sW обозначена передаточная функция неизме-
няемой части системы
bsbsb
asasasW
nn
nn
mm
mm
01
1
01
1
Здесь и далее полагается что KKKsW s 000 0 ndash из-
меняемый коэффициент усиления регулятора системы
Первые два коэффициента ошибок 0c и 1c определяется выраже-
ниями
KK
c0
01
1
(2)
KK
dssdWKc
s
20
01
1
(3)
Из (2) и (3) с учетом (1) вытекает что с увеличением K
статическая ошибка в системе уменьшается и наоборот с уменьше-
нием K статическая ошибка в системе увеличивается
Введем в прямой тракт системы одно интегрирующее звено
50
(рис 2) В этом случае c 00 01 1 KKc
Так как c 00 то система на рис 2 является астатической (с
астатизмом первого порядка) Система имеет нулевую статическую
ошибку при отработке постоянного задающего воздействия
consttg и постоянную обратно пропорциональную K ошибку
constуст при отработке линейно изменяющегося воздействия
tatg
Рис 1 Схема САУ Рис 2 Схема САУ с включенным в прямой
тракт интегрирующим звеном
Охватим неизменяемую часть системы sW местной нееди-
ничной положительной обратной связью с коэффициентом усиления
осK (рис 3) Тогда эквивалентная передаточная функция sWэкв
неизменяемой части системы равна
10011
01
1
aKbsaKbsaKbsb
asasa
sWK
sWsW
ососm
mосmn
n
mm
mm
осэкв
(4)
Если коэффициент усиления K выбрать из условия
a
bKос
0
0
то свободный коэффициент (b0 - Koca0) полинома знаменателя sWэкв
обратится в нуль и sWэкв приобретает интегрирующие свойства
11
11
0
1
1
aKbsaKbsbs
asasasW
ос
m
mосm
n
n
m
m
m
mэкв
g(t) y(t)ε(t)
K W(s)-
g(t) y(t)
Ks W(s)-
ε(t)
51
Следовательно замкнутая система становится астатической (с
астатизмом 1-го порядка) Отсюда 0c =0 а коэффициент 1c будет
равен
aKb
bc
ос 11
01
ε(t)g(t) y(t)
W(s)-
Kос
Wэкв(s)
+
Рис 3 Схема САУ с местной неединичной обратной связью
32 Коррекция динамических свойств САУ
Улучшение динамических свойств САУ заключается в увеличе-
нии быстродействия САУ (уменьшении времени регулирования tрег)
уменьшении перерегулирования (см рис 4) а также увеличении
запасов устойчивости по фазе и по модулю При этом
h
hh
уст
устmax100
где maxh - максимальное значение переходной характеристики за-
мкнутой САУ th
устh - установившееся значение th
Время регулирования tрег - минимальная величина при которой удо-
влетворяется условие
устрег hth
где - заданная величина ошибки (обычно =005 устh )
52
h(t)
tрег
hустhmax
2δ
Рис 4 Быстродействие и перерегулирование САУ
Одним из эффективных средств достижения этой цели является
уменьшение отрицательных фазовых сдвигов в прямом тракте систе-
мы путем охвата неизменяемой части системы местными отрицатель-
ными обратными связями
На рис 5 R(s) представляет собой передаточную функцию регу-
лятора САУ которая считается заданной
ε(t)g(t) y(t)
W(s)-
Kос
Wэкв(s)
-
R(s)
u(t)
Рис 5 Схема САУ с местной обратной связью и регулятором
Пусть неизменяемая часть системы представляет собой аперио-
дическое звено первого порядка те
sT
K)s(W
10
0
Тогда передаточная функция sWэкв эквивалентного объекта
управления равна
sT
K
sWK
sWsW
экв
экв
осэкв
11
где зквK и эквT - коэффициент усиления и постоянная времени
эквивалентного объекта равные
53
KK
KK
осэкв
0
0
1
KK
TT
осэкв
0
0
1 (5)
Из (5) следует что соответствующим выбором осK постоянную
времени эквT эквивалентного объекта можно уменьшить в (1+ 0KKос )
раз по сравнении с постоянной времени 0T объекта без местной об-
ратной связи Тем самым уменьшаются отрицательные фазовые сдви-
ги вносимые прямым трактом системы что приводит к увеличению
запасов устойчивости системы При этом однако уменьшается в
(1+ 0KKос ) раз коэффициент усиления эквK эквивалентного объекта
по сравнению с коэффициентом усиления 0K объекта без местной
обратной связи Это нежелательно так как приводит к уменьшению
быстродействия системы вследствие уменьшения общего коэффици-
ента усиления прямого тракта системы В этом случае с целью обес-
печения необходимого быстродействия системы увеличивают коэф-
фициент усиления регулятора
4 Краткое описание MATLAB
Лабораторная работа выполняется в программе математического
моделирования MATLAB Программа MATLAB включает в себя пакет
прикладных программ для решения технических задач и одноименный
язык программирования используемый в этом пакете
Основными компонентами системы являются базовая система
MATLAB и пакет моделирования систем Simulink Остальные пакеты
расширения разбиты на 4 категории ndash расширения Extension MATLAB и
Extension Simulink а также комплексы пакетов расширения Blockset и
Toolbox
Раздел MATLAB Extension содержит средства для подготовки ис-
полняемых приложений MATLAB (с подключаемыми библиотеками и
без них)
Раздел Toolbox (инструментальные средства) содержит самое
большое число пакетов расширений системы MATLAB такие как
laquoControl systemraquo laquoDatabaseraquo laquoFuzzy logicraquo laquoWaveletraquo и тд
54
В разделе Blockset расположено несколько пакетов относящихся к
главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink такие как
laquoDSPraquo laquoFixed-Pointraquo laquoNonlinear control designraquo и laquoPower systemsraquo
В разделе Extension Simulink имеется ряд средств предназначен-
ных для моделирования в реальном масштабе времени и событийно-
управляемом моделировании
5 Задание на лабораторную работу
Выполнить исследование способов коррекции статических и
динамических свойств САУ Определить время регулирования и пе-
ререгулирования в исходной и скорректированной системах а также
для динамических свойств САУ определить запасы устойчивости в
исходной системе и найти экспериментально значение Kос обеспечи-
вающее в системе заданные показатели качества и запасы устойчиво-
сти Вариант задания назначается преподавателем
Таблица 1
Варианты заданий
варианта
Параметры
1
2
3
4
5
6
7
8
a 05 10 15 20 25 30 35 40
K0 1 2 3 4 5 6 7 8
T c 03 04 05 06 07 08 09 10
ξ 06 07 08 08 07 09 05 04
уст 0 0 005 0 010 007 0 0
tрег c le 13 15 20 25 30 35 40 40
le 0 10 10 5 5 5 0 0
В качестве исходных САУ выступают системы изображенные
на рис 6 и 7
55
ε(t)g(t) y(t)
W(s)-
g(t) y(t)
R(s) W(s)-
ε(t) u(t)
Рис 6 САУ с отрицательной Рис 7 САУ с отрицательной обратной
обратной связью связью и регулятором
6 Методика выполнения задания
При исследовании способов коррекции статических свойств
САУ в качестве исходных данных выступает передаточная функция
sW неизменяемой части системы вида
1222
0
sTsT
KsW (6)
и задающие воздействия вида ttg 1 в соответствии с таблицей 1
В процессе выполнения этой части работы необходимо
1) путем моделирования в системе MATLAB исходной САУ
(рис 6) получить графики ttytg
2) сравнить полученную таким образом экспериментальную ве-
личину t с теоретической величиной вычисленной по формуле (1)
3) применяя описанные в теоретической части методических
указаний способы коррекции статических свойств (см п 31) обес-
печить требуемую статическую ошибку εуст системы при отработке
задающего воздействия ttg 1
4) получить графики ty и t в скорректированной системе
для 1 ttg
5) сравнить время регулирования регt и перерегулирование в
исходной и скорректированной системах при 1 ttg
При исследовании рассмотренного способа коррекции динами-
ческих свойств САУ (см п 32) в качестве исходных данных высту-
пают передаточная функция sW неизменяемой части системы
вида (6) и передаточная функция регулятора вида
s
KsR
рег
56
Задающее воздействие ttg 1
В процессе выполнения данной части работы необходимо
1) получить путем моделирования в MATLAB графики ty t
в системе (рис 7)
2) определить время регулирования регt и перерегулирование
а также запасы устойчивости в исходной системе
3) применяя описанный выше способ коррекции динамических
свойств САУ найти экспериментально (путем последовательного пе-
ребора) значение осK обеспечивающее в системе заданные заданием
показатели качества ( регt ) и запасы устойчивости (при необхо-
димости увеличить коэффициент регK )
4) получить графики ty t а также ЛАХ и ЛФХ разомкну-
той системы в скорректированной САУ
7 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) титульный лист
б) структурные схемы исследуемых систем
в) полученные графики и характеристики
г) значения полученные экмпериментально которые
обеспечивают заданные показатели качества и запасы устойчивости
д) выводы обощающие проделанные эксперименты для
коррекции статических и динамических свойств САУ
е) ответы на контрольные вопросы
Контрольные вопросы 1 Дать определение статической и астатической САУ
2 Какими структурными свойствами системы определяется по-
рядок ее астатизма
3 Какой из двух приведенных выше способов придания системе
свойств астатизма 1-го порядка наиболее предпочтителен на
практике
4 Назовите основные показатели качества САУ Поясните их
смысл
5 В чѐм суть исследуемого способа коррекции динамических
свойств САУ
57
6 Назвать другие способы коррекции динамических свойств
САУ
7 Чем вызваны отрицательные фазовые сдвиги в неизменяемой
части САУ
58
Лабораторная работа 6
МЕТОД КОРНЕВОГО ГОДОГРАФА
1 Цель работы
Целью работы является построение корневого годографа и ис-
следование динамики системы с использованием автоматизирован-
ных средств моделирования на ПК ndash MATLABSIMULINK
2 Задачи работы
ndash Закрепление углубление и расширение знаний студентов при
исследование динамики системы
ndash Овладение навыком построения корневого годографа
ndash Приобретение умений и навыков работы с программой мате-
матического моделирования MATLAB
3 Теоретическая часть
Корневым годографом (КГ) называется совокупность траекто-
рий перемещения всех корней характеристического уравнения за-
мкнутой системы при изменении какого-либо параметра этой систе-
мы
Обычно метод КГ позволяет находить полюса и нули ПФ за-
мкнутой системы располагая полюсами и нулями разомкнутой си-
стемы при изменении коэффициента усиления разомкнутой системы
K
ПФ разомкнутой системы Wp(s) представим в следующем виде
)(
)(
1
1
0
n
ii
m
jj
p
ss
ssKC
sW (1)
где 0js ndash нули ПФ sWp )1( mj
is ndash полюса ПФ sWp
)1( nj n и m ndash порядки знаменателя и числителя C ndash коэффици-
ент представления (отношение коэффициентов при старших членах
числителя и знаменателя)
59
При замыкании системы с ПФ sWp единичной отрицатель-
ной обратной связью ПФ замкнутой системы sWз принимает вид
)(1
)(
sW
sWsW
p
pз
(2)
Из выражения (2) следует что нули ПФ замкнутой системы рав-
ны нулям ПФ разомкнутой системы
Для нахождения полюсов рассмотри выражение
01 sWp (3)
в соответствии с выражением (1) имеем
n
i
m
jjin
ii
m
jj
ssKCss
ss
ssKC
1 1
0
1
1
0
)()(01
)(
)(
(4)
На основании выражения (4) можно сказать что при K = 0 корни
характеристического уравнения совпадают с полюсами а при K = infin ndash
с нулями При изменении K от 0 до infin траектории корней начинаются
в полюсах и заканчиваются в нулях Обычно полюсов больше чем
нулей В этом случаем mn ветвей корневого годографа стремятся к
infin
Для определения полюсов замкнутой системы с отрицательной
обратной связью необходимо решить уравнение (его называют ос-
новным уравнением метода КГ)
1sWp (5)
Так как sWp является функцией комплексного переменного
s то уравнение (5) распадается на два уравнения уравнение модулей
1)( sWp (6)
60
и уравнение аргументов (фаза вектора -1 есть нечетное число π)
210)12()(arg sWp (7)
Как известно при умножении комплексных чисел их аргументы
складываются а при делении ndash вычитаются Поэтому исходя из вы-
ражения (1) уравнение (7) имеет наглядный геометрический смысл
Пусть точка s ndash полюс замкнутой системы Если провести в s
вектора из нулей sWp (обозначим аргументы этих векторов 0j ) и
вектора из всех полюсов sWp (обозначим аргументы этих векторов
i ) то уравнение (7) можно записать в следующем виде
m
j
n
iij
1 1
0 210)12( (8)
Углы q отсчитываются от положительного направления дей-
ствительной оси Знак угла laquo+raquo соответствует повороту против часо-
вой стрелки знак угла laquo-raquo соответствует повороту по часовой стрел-
ке
Таким образом любая точка КГ должна удовлетворять уравне-
нию (8) из которого следует что конфигурация КГ не зависит от ко-
эффициента усиления K но каждому конкретному значению K одно-
значно соответствуют точки на КГ
При умножении комплексных чисел их модули перемножаются
а при делении ndash делятся Поэтому на основании (6) можно записать
1
1
1
0
n
ii
m
jj
l
lKC
(9)
где 0jl ndash модуль (длина) вектора проведенного из j-нуля в точку s
КГ il ndash модуль вектора проведенного из i-полюса в ту же точку s
61
Таким образом траектории корней строятся только по уравне-
ниям фаз а уравнение модулей используется затем для нахождения
K
Сущность метода КГ заключается в том чтобы узнать каким
должен быть коэффициент усиления разомкнутой системы чтобы
было обеспечено желаемое положение корней замкнутой системы
Корневой годограф системы с отрицательной обратной связью
обладает следующими основными свойствами
1 Ветви КГ непрерывны и расположены на комплексной плос-
кости симметрично относительно действительной оси
2 Число ветвей КГ равно порядку системы n Ветви начинают-
ся в n полюсах разомкнутой системы при K=0 При возрастании K от
0 до infin полюса замкнутой системы двигаются по ветвям КГ
3 mветвей КГ при возрастании K от 0 до infin заканчиваются в m
нулях )(sWp а )( mn ветвей при K стремящемся к infin удаляются
от полюсов вдоль асимптот
4 При расположении ветвей корневого годографа в левой полу-
плоскости s САУ устойчива При пересечении ветвей КГ мнимой оси
слева направо САУ становится неустойчивой Пусть при K=Kкр
пере-
сечение КГ с мнимой осью произойдет в некоторой точке iωкр
Назо-
вем это значение коэффициента усиления критическим Kкр
а вели-
чину iωкр
критической угловой частотой на которой система стано-
вится неустойчивой
4 Краткое описание MATLAB
Лабораторная работа выполняется в программе математического
моделирования MATLAB Программа MATLAB включает в себя пакет
прикладных программ для решения технических задач и одноименный
язык программирования используемый в этом пакете
Основными компонентами системы являются базовая система
MATLAB и пакет моделирования систем Simulink Остальные пакеты
расширения разбиты на 4 категории ndash расширения Extension MATLAB и
Extension Simulink а также комплексы пакетов расширения Blockset и
Toolbox
Раздел MATLAB Extension содержит средства для подготовки ис-
полняемых приложений MATLAB (с подключаемыми библиотеками и
без них)
62
Раздел Toolbox (инструментальные средства) содержит самое
большое число пакетов расширений системы MATLAB такие как
laquoControl systemraquo laquoDatabaseraquo laquoFuzzy logicraquo laquoWaveletraquo и тд
В разделе Blockset расположено несколько пакетов относящихся к
главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink такие как
laquoDSPraquo laquoFixed-Pointraquo laquoNonlinear control designraquo и laquoPower systemsraquo
В разделе Extension Simulink имеется ряд средств предназначен-
ных для моделирования в реальном масштабе времени и событийно-
управляемом моделировании
5 Корневой годограф в MATLAB
В системе MATLAB существует команда zpk для преобразова-
ния модели заданной ПФ в модель заданную нулями полюсами и
обобщенными коэффициентами передачи (zpk-форма)
Пример
gtgt w=tf([10][2 2 3 1 0])
Transfer function
10
-------------------------------
2 s^4 + 2 s^3 + 3 s^2 + s
gtgt w1=zpk(w)
Zeropolegain
5
----------------------------------------------
s (s+03966) (s^2 + 06034s + 1261)
Для работы с корневым годографом удобно использовать гра-
фический интерфейс laquoSISO-Design Toolraquo предназначенный для ана-
лиза и синтеза одномерных линейных систем автоматического управ-
ления (SISO ndash Single Input Signal Output)
Запуск SISO-Design Tool осуществляется командой
gtgt sisotool
63
В появившемся окне графического интерфейса необходимо ис-
пользовать команду laquoFileImportraquo для загрузки данных из рабочего
пространства MATLAB в результате которой появляется диалоговое
окно Import System Data (рис 1)
Рис 1 Диалог для ввода параметров модели
После импортирования данных можно исследовать изменение
временных и частотных характеристик замкнутой системы при изме-
нении K Обычно при этом требуется определить условия неустойчи-
вости замкнутой САУ Определить Kкр
и iωкр
На рис 2 показано окно sisotool для описанной выше модели w1
Двигая красным курсором по КГ до пересечения ветвей с мнимой
осью можно определить значения Kкр
В данном случае Kкр
asymp 01
Значение iωкр
соответствует мнимой координате пересечения КГ
мнимой оси Просмотреть это значение можно в нижней части ин-
терфейса или выбрать меню laquoView Closed-Loop Polesraquo
64
Рис 2 Основное окно SISO-Design Tool
6 Задание на лабораторную работу
Построить КГ в соответствии с вариантом из табл 1 при помо-
щи графического интерфейса sisotool
Исследовать динамику замкнутой системы при различных зна-
чениях коэффициента усиления разомкнутой системы K в том числе
ndash запасы устойчивости в частотной области
ndash параметры переходного процесса во временной области
Таблица 1
Варианты передаточных функций
Значения параметров Передаточная функция
разомкнутой системы
1 T = 01 ζ = 1
)12( 22 sTsTs
K
2 T = 005 ζ = 0707
3 T = 003 ζ = 01
4 T = 008 ζ = 05
5 T = 001 ζ = 015
65
Окончание табл 1
Значения параметров Передаточная функция
разомкнутой системы
6 T1 = 003 T2 = 05 T3 = 01 T4 = 005
)1)(1)(1(
)1(
432
1
sTsTsTs
sTK
7 T1 = 005 T2 = 04 T3 = 008 T4 = 0033
8 T1 = 02 T2 = 045 T3 = 01 T4 = 005
9 T1 = 05 T2 = 025 T3 = 01 T4 = 002
10 T1 = 01 T2 = 025 T3 = 01 T4 = 005
Вариант задания назначается преподавателем
7 Методика выполнения задания
Порядок выполнения лабораторной работы
1 Задать передаточную функцию в MATLAB в соответствии с
вариантом коэффициент K задать любым положительным числом
2 Запустить SISO-Design Tool и осуществить ввод данных
Построить КГ
3 По КГ определить значения коэффициента K когда система
будет устойчивой на границе устойчивости и неустойчива
4 Выбрать значение коэффициента K таким образом чтобы си-
стемы была устойчива и определить запас устойчивости в частотной
области и параметры переходного процесса во временной области
8 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) титульный лист
б) передаточную функцию и этапы построения КГ
в) анализ результатов построения КГ
г) выводы по проделанной работе
д) ответы на контрольные вопросы
Контрольные вопросы 1 Дать определение КГ
2 Что обычно позволяет находить метод КГ
3 В чем заключается сущность метода КГ
4 Что можно определить по КГ
66
Критерии результативности лабораторного практикума
Лабораторная работа считается выполненной если студент
ndash выполнил все указанные задания
ndash представил отчет соответствующий всем требованиям к его
содержанию и оформлению
ndash владеет терминологией и материалом лабораторной работы
ndash способен использовать программное средство математическо-
го моделирования MATLAB
ndash способен предоставить и рассказать результаты выполненной
работы на ПК
ndash может дать пояснения к отчету и ответить на контрольные
вопросы
Список литературы
1 Александров АГ Частотная теория автоматического управле-
ния учебное пособие ndash Электросталь ЭПИ МИСиС 2010
2 Борисевич АВ Теория автоматического управления элементар-
ное введение с применением MATLAB ndash СПб Изд-во Политехн ун-
та 2011
3 Федоров ВЛ Бубнов АВ Теория автоматического управления
учебное пособие ndash Омск Изд-во ОмГТУ 2010
4 Павловская ОО Чернецкая ИВ Теория автоматического
управления учебное пособие ndash Челябинск Изд-во ЮУрГУ 2010
67
Составители ЛЯНЦЕВ Олег Дмитриевич КАЗАНЦЕВ Андрей Валерьевич
ИССЛЕДОВАНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК СИСТЕМ
АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
Лабораторный практикум
по дисциплине
laquoТеория управленияraquo
Подписано в печать Формат 60х84 116 Бумага офсетная Пе-
чать плоская Гарнитура Times New Roman Усл печ л 56 Уч-изд л
55 Тираж 100 экз Заказ
ФГБОУ ВПО Уфимский государственный авиационный технический
университет
Центр оперативной полиграфии УГАТУ
450000 Уфа-центр ул К Маркса 12
14
Таблица 2
Варианты заданий
Апери-
од зве-
но
Апериодич звено
2 пор (колеб
звено)
Ин-
тегр
звено
Изодр
звено
Реальное
диф звено
Инерц-
форс
звено
K T K T2 (T) T1( ξ ) K K T K T K T0 T1
1 3 02 3 02 20
(02)
3 3 05 3 04 3 2 08
2 4 03 4 03 15
(015)
4 4 1 4 03 4 3 12
3 5 04 5 04 25
(025)
5 5 08 5 05 5 4 15
4 6 05 6 05 16
(03)
6 6 2 6 10 6 5 20
5 7 06 7 06 28
(02)
7 7 3 7 08 7 6 20
6 8 07 8 07 22
(008)
8 8 35 8 10 8 7 20
7 9 08 9 08 21
(007)
9 9 1 9 09 9 8 30
8 10 10 10 10 30
(01)
10 10 20 10 20 10 10 40
7 Методика выполнения задания
Порядок выполнения работы
1 Задать передаточную функцию типового динамического звена
в MATLAB используя параметры приведенные в табл 2
2 Варьируя коэффициент динамического звена увеличивая его в
2 раза ndash получить вторую ПФ затем уменьшить исходный коэффици-
ент в 2 раза и получить третью ПФ
3 Построить на одном графике реакцию получившихся динами-
ческих звеньев на единичный скачок
4 Построить на одном графике реакцию получившихся динами-
ческих звеньев на импульсную функцию
5 Выполнить пп 2-4 для всех коэффициентов динамического
звена
6 Выполнить пп 1-5 для всех динамических звеньев
7 Подготовить ответы на контрольные вопросы
15
8 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) титульный лист
б) передаточные функции и схемы моделирования исследуемых
звеньев
в) экспериментально полученные характеристики при вариа-
ции параметров каждого звена
г) выводы обобщающие проделанные эксперименты по каждо-
му звену
д) ответы на контрольные вопросы
Контрольные вопросы
1 Что называется передаточной функцией
2 Что называется переходной и импульсной (весовой)
функциями Какова связь между ними
3 Как пользуясь временными характеристиками определить
параметры (коэффициенты передаточной функции) звена
Пояснить на конкретных примерах
4 Перечислите динамические характеристики САУ
5 Что называется характеристическим уравнением
16
Лабораторная работа 2
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СТРУКТУРНЫХ СХЕМ
1 Цель работы
Целью работы является изучение структурных преобразований и
нахождения передаточных функций с использованием автоматизиро-
ванных средств моделирования на ПК ndash MATLAB SIMULINK
2 Задачи работы
ndash Закрепление углубление и расширение знаний студентов при
исследовании преобразований структурных схем
ndash Приобретение умений и навыков работы с программой мате-
матического моделирования MATLAB
ndash Овладение несколькими методами преобразования структур-
ных схем
3 Теоретическая часть
Для наглядного представления сложной системы как совокупно-
сти элементов и связей между ними используются структурные
схемы
Структурной схемой называется схема САУ изображенная в
виде соединения ПФ составляющих ее звеньев
Структурная схема показывает строение автоматической систе-
мы наличие внешних воздействий и точки их приложения пути рас-
пространения воздействий и выходную величину Динамическое или
статическое звено изображается прямоугольником в котором указы-
вается ПФ звена Воздействия на систему и влияние звеньев друг на
друга (сигналы) изображаются стрелками В каждом звене воздей-
ствие передается только от входа звена к его выходу
На динамическое звено может воздействовать лишь одна вход-
ная величина поэтому используются блоки суммирования и сравне-
ния сигналов Суммироваться и сравниваться могут лишь сигналы
одной и той же физической природы
Структурная схема может быть составлена по уравнению систе-
мы в пространстве состояний или по системе дифференциальных
уравнений При составлении структурной схемы удобно начинать с
изображения задающего воздействия и располагать динамические
17
звенья составляющие прямую цепь системы слева направо до регу-
лируемой величины Тогда основная обратная связь и местные обрат-
ные связи будут направлены справа налево
Различные способы преобразования структурных схем облегча-
ют определение ПФ сложных САУ и дают возможность привести
многоконтурную систему к эквивалентной ей одноконтурной схеме
Преобразование структурной схемы должно осуществляться на
основании правил основные из них приведены в табл 1
При выполнении преобразований следует каждое имеющееся в
схеме типовое соединение заменить эквивалентным звеном Затем
можно выполнить перенос точек разветвления и сумматоров чтобы в
преобразованной схеме образовались новые типовые соединения зве-
ньев Эти соединения опять заменяются эквивалентными звеньями
затем вновь может потребоваться перенос точек разветвления и
сумматоров и т д
Различают основные соединения блоков в структурных схемах
последовательное соединение параллельное соединение антипарал-
лельное соединение (обратная связь) в свою очередь обратная связь
может быть отрицательной и положительной Таблица 1
Основные правила преобразования структурных схем
Преобразование
Структурная схема
Исходная Эквивалентная
Свертывание
последовательного
соединения
W1 W2 Wnu y
Wu y
nWWWW 21
Свертывание
параллельного
соединения
Wn
W2
W1
u y
Wu y
nWWWW 21
Свертывание
обратной связи
W1u plusmn y
W2
Wu y
21
1
1 WW
WW
18
Окончание табл 1
Преобразование
Структурная схема
Исходная Эквивалентная
Перенос узла через
звено вперед
Wu y
x
Wu y
xW1
WW
11
Перенос узла через
звено назад
Wu y
y
Wu y
yW
Перенос сумматора
через звено вперед
Wu1 y
u2
plusmn
Wu1 y
u2
plusmn
W
Перенос сумматора
через звено назад
Wu1 y
u2
plusmn
Wu1 y
u2
plusmn
W1
WW
11
Перенос прямой
связи через звено W2yu
plusmnW1
W3
W2 yu
plusmnW1
W3 W2
Перенос узла через
сумматор вперед
x1
+
- y
x1
x2
x1
+
- y
x1x2
+
+
Перенос узла через
сумматор назад
x1
+
- y
x2
y
x1
+
- y
x2y
+
-
Пример Пусть необходимо получить эквивалентное представ-
ление для структуры приведенной на рис 1
19
W1
W2 W3
W4
W5 W6
W7
+
+
+
-
Рис 1 Исходная схема САУ
Преобразование включает несколько этапов показанных на рис 2ndash5
W1
W2 W3
W4
W5 W6
W7
+
+
+
-
1W6
Рис 2 Перенос узла через звено вперед
567
659
1 WWW
WWW
6
48
W
WW
Рис 3 Свертывание обратной связи и последовательного соединения
2110 WWW
983
9311
1 WWW
WWW
Рис 4 Свертывание обратной связи и Рис 5 Свертывание последователь-
параллельного соединения ного соединения
W10 W11 WЭкв
543765
653265311110
1 WWWWWW
WWWWWWWWWWWЭкв
W1
W2
W8
W3 W9
+
+
20
Таким образом первый способ преобразования структурных
схем заключается в непосредственном использовании правил приве-
денных в табл1 Неудобство использования этого подхода заключа-
ется в том что порядок применения формул здесь достаточно произ-
волен возможны ошибочные шаги усложняющие поиск решения
Второй способ для получения ПФ многоконтурной системы за-
ключается в использовании модели системы в виде сигнального
графа
Сигнальный граф позволяет графически описать линейные связи
между переменными он состоит из узлов (вершин) и соединяющих их
направленных ветвей
Ветвь соответствует блоку структурной схемы она отражает за-
висимость между входной и выходной переменными Сумма всех
сигналов входящих в узел образует соответствующую этому узлу
переменную
Последовательность ветвей между двумя узлами называется пу-
тем Контуром называется замкнутый путь который начинается и
заканчивается в одном и том же узле причем ни один узел не встре-
чается на этом пути дважды
Контуры называются некасающимися если они не имеют общих
узлов
Сигнальный граф ndash это просто наглядный метод записи системы
алгебраических уравнений показывающий взаимосвязь между пере-
менными
r1
r2
a11
a22
x1
x2
a12a21
Рис 6 Сигнальный граф для двух алгебраических выражений
В качестве примера рассмотрим следующую систему алгебраи-
ческих уравнений
21
11212111 xrxaxa (1)
22222121 xrxaxa (2)
здесь r1 и r2 ndash входные переменные а x1 и x2 ndash выходные переменные
Сигнальный граф соответствующий уравнениям (1) и (2) изображен
на рис 6 Уравнения (1) и (2) можно записать в ином виде
1122111 )()1( raxax
2222211 )1()( raxax
Решая последнюю систему по правилу Крамера получим
212
122
21122211
2121221
)1(
)1)(1(
)1(r
ar
a
aaaa
rarax
121
211
21122211
1212112
)1(
)1)(1(
)1(r
ar
a
aaaa
rarax
В этих решениях знаменатель равен определителю составлен-
ному из коэффициентов при неизвестных и его можно записать так
21122211221121122211 1)1)(1( aaaaaaaaaa
В данном случае знаменатель равен единице минус коэффици-
енты передачи отдельных контуров a11 a22 и a12a21 плюс произведе-
ние коэффициентов передачи двух некасающихся контуров a11 и a22
Контуры a22 и a12a21 являются касающимися так же как и контуры a11
и a21a12
В решении для x1 по отношению ко входу r1 числитель равен
единице умноженной на (1-a22) те значение определителя некаса-
ющегося пути от r1 к x1 В решении для x1 по отношению ко входу
r2числитель просто равен a12 тк этот путь касается всех контуров
Числитель выражения x2 симметричен соответствующему числителю
для x1
В общем случае линейная зависимость Tij между независимой
переменной xi (часто называемой входной переменной) и зависимой
переменной xj определяется по формуле Мейсона
22
k
ijkijk
ij
P
T
где Pijk ndash коэффициент передачи k-го пути от переменной xi к пере-
менной xj Δ ndash определитель графа Δijk ndash дополнительный множитель
для пути Pijk а суммирование производится по всем возможным k пу-
тям от xi до xjДополнительный множитель Δijk равен определителю
всех касающихся контуров при удалении k-го пути
Определитель находится как
QM
qm
LSR
lsrlsrqm
K
kk LLLLLL
11
1111
1
где Kk kL
1ndash сумма коэффициентов передачи всех отдельных конту-
ров QM
qm qmLL
11ndash сумма произведений всех возможных комбина-
ций из двух некасающихся контуров LSR
lsr lsr LLL
111ndash сумма про-
изведений всех возможных комбинаций из трех некасающихся кон-
туров
Таким образом правило вычисления Δ через значение L1 L2
L3hellipLN таково Δ = 1- (сумма коэффициентов передачи всех отдель-
ных контуров) + (сумма произведений всех возможных комбинаций
из 2 некасающихся контуров) ndash (сумма произведений всех возмож-
ных комбинаций из 3 некасающихся контуров) +hellip
Формула Мейсона часто используется в несколько упрощенном
виде для определения связи между выходной переменной Y(s) и
входной переменной X(s) те
)()(
)( 1
N
iiiP
sWsX
sY
где Pi ndash i-й путь от входа к выходу N ndash количество путей Δ ndash опреде-
литель графа специальный полином который определенным образом
характеризует совокупность всех замкнутых цепей системы содер-
жащих обратные связи и вычисляется как сумма передаточных
функций разомкнутых контуров этих цепей и произведений
23
передаточных функций разомкнутых контуров пар троек и тд не со-
прикасающихся друг с другом цепей с обратными связями Δi ndash до-
полнительный множитель для пути составляется по правилу анало-
гичному Δ но только для цепей с обратными связями не соприкаса-
ющихся с i-м прямым каналом
Дополнительный множитель для i-го пути равен определителю
графа в котором приравнены нулю коэффициенты передачи конту-
ров касающихся этого пути
Рассмотрим пример получения ПФ многоконтурной системы с
использованием формулы Мейсона для структуры на рис 1 которая
соответствует графу показанному на рис 7
X(s) Y(s)W1
W2
W3 W5 W6
W4 -W7
Рис 7 Описание системы управления сигнальным графом
От входа к выходу ведут два пути
65311 WWWWP
65322 WWWWP
В графе есть 2 контура
5431 WWWL
7652 WWWL
Контур L1 пересекает контур L2 поэтому определитель графа
вычисляется по формуле
)(1 21 LL
Контуры в этом примере пересекают все пути поэтому допол-
нительные множители путей равны
24
11
12
Окончательно можно записать
1
)(543765
65326531
2
1
WWWWWW
WWWWWWWWP
sW iii
Таким образом использование сигнальных графов и применение
формулы Мейсона позволяет алгоритмизировать процесс упрощения
структурной схемы
Третий способ для получения ПФ заключается в составлении
системы уравнений Необходимо обозначить выходы сумматоров и
составить систему уравнений на основе этих обозначений На рис9
представлена исходная схема с обозначенными сумматорами
W1
W2 W3
W4
W5 W6
W7
+
+
+
-
Z H
u y
Рис 9 Исходная схема САУ с обозначенными сумматорами
Опишем все сигналы в системе в виде уравнений
)( 4521 HWWuWWZ
73 yWZWH
65 HWWy
Подставив последовательно значения сигналов найдем ПФ
))(( 734521 yWWHWWuWWH
После преобразования получим
25
1
)(
543
73231
WWW
yWuWWWWH
Подставим полученное значение H в уравнение y
1
))((
543
6573231
WWW
WWyWuWWWWy
Получим ПФ вида
1
)(543765
65326531
WWWWWW
WWWWWWWW
u
ypW
4 Краткое описание MATLAB
Лабораторная работа выполняется в программе математического
моделирования MATLAB Программа MATLAB включает в себя пакет
прикладных программ для решения технических задач и одноименный
язык программирования используемый в этом пакете
Основными компонентами системы являются базовая система
MATLAB и пакет моделирования систем Simulink Остальные пакеты
расширения разбиты на 4 категории ndash расширения Extension MATLAB и
Extension Simulink а также комплексы пакетов расширения Blockset и
Toolbox
Раздел MATLAB Extension содержит средства для подготовки ис-
полняемых приложений MATLAB (с подключаемыми библиотеками и
без них)
Раздел Toolbox (инструментальные средства) содержит самое
большое число пакетов расширений системы MATLAB такие как
laquoControl systemraquo laquoDatabaseraquo laquoFuzzy logicraquo laquoWaveletraquo и тд
В разделе Blockset расположено несколько пакетов относящихся к
главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink такие как
laquoDSPraquo laquoFixed-Pointraquo laquoNonlinear control designraquo и laquoPower systemsraquo
В разделе Extension Simulink имеется ряд средств предназначен-
ных для моделирования в реальном масштабе времени и событийно-
управляемом моделировании
26
5 Структурные преобразования в MATLAB
В пакете MATLAB имеется ряд функций с помощью которых
можно выполнять структурные преобразования (используется экви-
валентная схема)
ndash series(w1w2) ndash последовательное соединение звеньев
ndash parallel(w1w2) ndash параллельное соединение звеньев
ndash feedback(w1w2) ndash включение звена w2 в контур отрицательной об-
ратной связи к w1
ndash feedback(w1w2sign) ndash включение звена w2 в контур обратной связи
звена w1 с указанием знака + или ndash (очевидно feedback(w1w2)=
=feedback(w1w2-1))
Пример
Даны две передаточные функции
22
221
ss
sW
22
322
2
2
ss
ssW
Опишем ПФ введя в окне команд MatLab следующие команды
gtgt w1=tf([1 2][1 2 2])
gtgt w2=tf([1 2 3][1 2 2])
Выполним структурные преобразования для данных ПФ
gtgt w2=series(w1w2)
Transfer function
s^3 + 4 s^2 + 7 s + 6
------------------------------------
s^4 + 4 s^3 + 8 s^2 + 8 s + 4
gtgt w3=parallel(w1w2)
Transfer function
s^4 + 5 s^3 + 13 s^2 + 16 s + 10
----------------------------------------
s^4 + 4 s^3 + 8 s^2 + 8 s + 4
27
gtgt w4=feedback(w1w2)
Transfer function
s^3 + 4 s^2 + 6 s + 4
----------------------------------------
s^4 + 5 s^3 + 12 s^2 + 15 s + 10
Для проверки правильности проведенных преобразований необ-
ходимо собрать схему исходной САУ и соответствующую ей эквива-
лентную схему в MATLAB Simulink
Исходная схема САУ собирается как модель из соответствую-
щих элементов таких как laquoTransfer Fncraquo laquostepraquo laquosignal builderraquo
laquoscoperaquo и laquosumraquo Все эти элементы находятся в пакете laquoSimulinkraquo и
представлены в виде блоков Для того чтобы создать новую модель
необходимо нажать laquoFile-gtNew-gtModel (Simulink)raquo после откроется
окно модели в которую нужно будет добавлять элементы из библио-
теки для доступа к ней необходимо нажать на значок laquoLibrary Brows-
erraquo
Описание используемых элементов из пакета Simulink
1 Transfer Fnc ndash передаточная функция
2 Step ndash единичный скачок (функция Хэвисайда) в блоке необходи-
мо задать время начала перехода (step time)
3 Signal builder ndash блок для моделирования сигнала по заданным па-
раметрам (можно построить единичный скачок и импульсную функ-
цию)
4 Scope ndash виртуальный осциллограф отображает получившийся гра-
фик открывается двойным щелчком левой клавиши мыши и для кор-
рекции масштаба необходимо нажать правой кнопкой по графику и
из выпадающего меню выбрать laquoautoscaleraquo
5 Sum ndash сумматор в параметрах задается число сигналов соответ-
ственно laquo+raquo - положительный laquondashraquo - отрицательный
Так же нужно задать время работы модели для этого необходи-
мо выбрать laquoSimulation-gtSimulation parametersraquo и установить пара-
метр laquostop timeraquo на нужное значение и после необходимо запустить
модель на выполнение нажав на значок laquoStart simulationraquo Пример
модели составленной в MATLAB представлен на рис 10
28
Рис 10 Пример схемы САУ с блоком laquosignal builderraquo
Задача считается решенной если при подаче на вход обоих
схем одинаковых тестовых воздействий (единичный скачок импуль-
сная функция) наблюдаются одинаковые выходные сигналы
6 Задание на лабораторную работу
Выполнить преобразование структурной схемы САУ в эквива-
лентную передаточную функцию Составить модель исходной схемы
САУ в MATLAB С помощью ряда функций MATLAB (структурные
преобразования) составить эквивалентную схему Вариант задания
назначается преподавателем
7 Методика выполнения задания
Порядок выполнения работы
1 Выполнить преобразование заданного варианта структурной
схемы САУ (см табл 2) в эквивалентную ПФ тремя способами
ndash непосредственно используя правила табл 1
ndash используя представление в виде сигнального графа и формулу
Мейсона
ndash составив систему уравнений и решив еѐ
2 В качестве звеньев W1W2W3 использовать передаточные
функции звеньев представленных в табл 2
3 Составить модель исходной схемы САУ в MATLAB постро-
ить реакцию получившейся модели на ступенчатое и импульсное
воздействия
4 С помощью ряда функций MATLAB (структурные преобразо-
вания) составить эквивалентную схему и построить реакцию на сту-
пенчатое и импульсное воздействия
5 Подготовить ответы на контрольные вопросы
29
Таблица 2
Варианты структур САУ
Исходная схема
Передаточные
функции
1 W1
W3
W2
-
+
-
+
u y
+
1
31
sW
2
442
s
sW
12
133
s
sW
2 W1
W3
W2
-
+
-
+
u y
+ +
3 W3
W2
W1
-
+
-
+
u y
+ +
4 W3
W1
W2
+
+
-
+
u y
+ +
1
21
sW
2
12
sW
12
13
s
sW
5
W1
W3
W2
-
+
-
+
u y
+ +
6
W1
W3
W2
-
+
-
+
u y
+
62
31
sW
2
52
sW
1
23
s
sW
7
W1
W3
W2
-
+
-
+
u y
+ +
8
W1
W2
W3
-
+
-
+
u y
+ +
30
8 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) описание всех этапов преобразования исходной схемы и по-
лучающихся промежуточных результатов выполненными тремя спо-
собами моделирование реакции схемы на типовое воздействие (ска-
чок) до и после преобразования
б) сигнальный граф системы описание путей контуров расчет
ПФ по формуле Мейсона
в) решение составленной системы уравнений
г) схема модели и протокол команд MATLAB
д) графики переходных процессов при подаче на вход исходной
и эквивалентной схемы типовых тестирующих воздействий (скачок
импульс)
е) ответы на контрольные вопросы
Контрольные вопросы
1 Что называется структурной схемой Какие задачи можно
решить с еѐ помощью
2 Как может быть составлена структурная схема
3 Что позволяет алгоритмизировать процесс упрощения струк-
турной схемы Поясните на конкретном примере
31
Лабораторная работа 3
ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
ДИНАМИЧЕСКИХ ЗВЕНЬЕВ
1 Цель работы
Целью работы является изучение частотных характеристик ти-
повых динамических звеньев с использованием автоматизированных
средств моделирования на ПК ndash MATLAB SIMULINK
2 Задачи работы
ndash Закрепление углубление и расширение знаний студентов при
исследовании частотных характеристик динамических звеньев
ndash Приобретение умений и навыков работы с программой мате-
матического моделирования MATLAB
ndash Выработка способности логического мышления осмысление
полученных данных частотных характеристик
3 Теоретическая часть Сущность метода частотных характеристик заключается в том
что на вход исследуемой системы подается гармонический сигнал (си-
нусоидальные колебания) в широком диапазоне частот Реакция си-
стемы при разных частотах позволяет судить о ее динамических
свойствах
Пусть входной сигнал системы имеет амплитуду а и частоту ω т е
описывается формулой
)sin( tax
Выходной сигнал будет иметь амплитуду А1 и отличаться от вход-
ного по фазе на величину ψ (фазовый сдвиг)
)sin(1 tAy
Таким образом можно рассчитать усиление по амплитуде
1
a
AA
32
Для каждой частоты входного сигнала ω будут свои А и ψ
Изменяя ω в широком диапазоне можно получить зависимость
А(ω) ndash амплитудную частотную характеристику (АЧХ) и ψ(ω) ndash фазо-
вую частотную характеристику (ФЧХ)
Главное достоинство метода частотных характеристик заключа-
ется в том что АЧХ и ФЧХ объекта могут быть получены экспери-
ментально Для этого необходимо иметь генератор гармонических
колебаний который подключается к входу объекта и измеритель-
ную аппаратуру для измерения амплитуды и фазового сдвига колеба-
ний на выходе объекта
Частотные характеристики САУ могут быть получены по ее ПФ
W(s) Для суждения о реакции звена на синусоидальный сигнал доста-
точно исследовать его реакцию на гармонический сигнал вида
)( tjejx
Тогда выходной сигнал определяется по соотношению
)()( ))(( tjeAjy
и частотная ПФ получается равной
)()(
)()( )(
jeA
jx
jyjW
Формально для получения частотной ПФ надо сделать в W(s)
подстановку s = jω и тогда полученная W(jω) является комплексным
выражением которое можно представить в виде
)()(
)()()(
22
11
jba
jbajW
Для нахождения вещественной и мнимой частей частотной пе-
редаточной функции необходимо умножить числитель и знаменатель
на сопряженную знаменателю величину а затем провести
разделение
33
)()()(
)()(
)()()()(
)()(
)()()()(
))()())(()((
))()())(()((
)()(
)()()(
)(
22
22
2112
22
22
2121
2222
2211
22
11
jeAjVU
ba
babaj
ba
bbaa
jbajba
jbajba
jba
jbajW
где
)()()()(22
22
21
2122
ba
baVUjWA
)(
)())(arg()(
2
2
1
1
a
barctg
a
barctg
U
VarctgjW
Графики функции )(U и )(V называют соответственно веще-
ственной и мнимой частотной характеристиками
В практических расчетах удобно применять графики частотных
характеристик построенных в логарифмическом масштабе ndash лога-
рифмические частотные характеристики (ЛЧХ)
Логарифмическая амплитудная частотная характеристика
(ЛАЧХ) определяется следующим выражением
)(lg20)( AL
Логарифмической фазовой частотной характеристикой
(ЛФЧХ) называется график зависимости )( построенный в лога-
рифмическом масштабе частот
Единицей L(ω) является децибел (дБ) а единицей логарифма ча-
стоты ndash декада Декадой называют интервал частот на котором часто-
та изменяется в 10 раз При изменении частоты в 10 раз говорят что
она изменилась на одну декаду Ось ординат при построении ЛЧХ про-
водят через произвольную точку а не через точку ω = 0 Частоте ω = 0
соответствует бесконечно удаленная точка lgω rarr ndash infin при ω rarr 0
Основное преимущество использования ЛЧХ заключается в том
что приближенные (асимптотические) ЛАЧХ типовых динамических
звеньев изображаются отрезками прямых
Пример Построим ЛЧХ апериодического звена первого
34
порядка
Передаточная функция звена
1
)(
Ts
ksW
Частотная передаточная функция
1)(
)1(
1)(
2
T
Tjk
Tj
kjW
1)(
1)( 22
T
kTV
T
kU
Следовательно АЧХ описывается формулой
1)(
)(2
T
kA
ФЧХ строится по формуле
)()( Tarctg
ЛАЧХ апериодического звена 1-го порядка
1)(lg20lg20)( 2 TkL
По этой формуле можно построить две асимптоты ndash прямые к
которым стремится ЛАЧХ при ω rarr 0 и при ω rarr infin Так при ω rarr 0 второе
слагаемое близко к нулю и этот участок ЛАЧХ представляет собой
горизонтальную прямую
lg20)( kL
При ω rarr infin получаем наклонную прямую
1)(lg20)( 2 TL
35
Для определения наклона этой прямой можно рассмотреть гра-
ницы декады
T
1 и
10
T
Изменение ЛАЧХ между этими точками
)(2011
lg20110
lg20)(
22
декдБT
TT
TL
ЛЧХ часто называют диаграммами Боде
4 Краткое описание MATLAB
Лабораторная работа выполняется в программе математического
моделирования MATLAB Она включает в себя пакет прикладных про-
грамм для решения технических задач и одноименный язык программи-
рования используемый в этом пакете
Основными компонентами системы являются базовая система
MATLAB и пакет моделирования систем Simulink Остальные пакеты
расширения разбиты на 4 категории ndash расширения Extension MATLAB и
Extension Simulink а также комплексы пакетов расширения Blockset и
Toolbox
Раздел MATLAB Extension содержит средства для подготовки ис-
полняемых приложений MATLAB (с подключаемыми библиотеками и
без них)
Раздел Toolbox (инструментальные средства) содержит самое
большое число пакетов расширений системы MATLAB такие как
laquoControl systemraquo laquoDatabaseraquo laquoFuzzy logicraquo laquoWaveletraquo и тд
В разделе Blockset расположено несколько пакетов относящихся к
главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink такие как
laquoDSPraquo laquoFixed-Pointraquo laquoNonlinear control designraquo и laquoPower systemsraquo
В разделе Extension Simulink имеется ряд средств предназначен-
ных для моделирования в реальном масштабе времени и событийно-
управляемом моделировании
36
5 Построение частотных характеристик в MATLAB В пакете MATLAB ЛЧХ объекта заданного с помощью ПФ
можно получить командой bode
Пример
gtgt w=tf([1 2][3 4 5])
gtgt bode(w)
Для нескольких вариантов передаточной функции можно исполь-
зовать вариант команды вида
gtgt bode(ww1w2)
Например построим диаграмму Боде при различных параметрах
колебательного звена (рис 1)
gtgt w=tf([1][2 03 1])
gtgt w1=tf([1][2 05 1])
gtgt w2=tf([1][2 01 1])
gtgt bode(ww1w2)
Рис 1 ЛЧХ колебательного звена
6 Задание на лабораторную работу
С помощью пакета MATLAB построить ЛЧХ каждого типового
звена Определить влияние коэффициентов входящих в описание
каждого звена на параметры ЛАЧХ и ЛФЧХ Вариант задания назна-
чается преподавателем
37
7 Методика выполнения задания
Порядок выполнения работы
1 Задать передаточную функцию типового динамического звена
используя параметры из табл 2 лабораторной работы 1
2 Построить диаграмму Боде при различных параметрах типо-
вого динамического звена
3 Определить влияние коэффициентов входящих в описание
каждого звена на параметры ЛАЧХ и ЛФЧХ в том числе
ndash как меняется ширина асимптотических участков ЛАЧХ и
ЛФЧХ
ndash как меняется положение точек пересечения осей ЛАЧХ
4 Написать вывод по влиянию коэффициентов на типовое звено
5 Выполнить пункты 1-4 для всех типовых звеньев
6 Подготовить ответы на контрольные вопросы
8 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) титульный лист
б) краткие теоретические сведения
в) передаточные функции и схемы моделирования исследуемых
звеньев
г) экспериментально полученные характеристики при вариации
параметров каждого звена
д) выводы обобщающие проделанные эксперименты по каждо-
му звену
ж) ответы на контрольные вопросы
Контрольные вопросы
1 Как пользуясь частотными характеристиками определить па-
раметры (коэффициенты передаточной функции) звена Пояс-
нить на конкретных примерах
2 Указать особенности построения ЛАХ и ЛФХ динамических
звеньев Что понимается под асимптотической ЛАХ звена
3 Как осуществляется построение АФХ динамического звена
38
Лабораторная работа 4
ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ СИСТЕМ
С ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ
1 Цель работы
Изучение особенностей практического использования алгебраи-
ческих и частотных критериев устойчивости для анализа динамики
линейных САУ с использованием автоматизированных средств моде-
лирования на ПК ndash MATLAB SIMULINK
2 Задачи работы
ndash Закрепление углубление и расширение знаний студентов при
исследовании устойчивости систем с обратной связью
ndash Приобретение умений и навыков работы с программой мате-
матического моделирования MATLAB
ndash Овладение новыми методами проверки устойчивости систем
с обратной связью
ndash Выработка способности логического мышления осмысления
полученных данных
3 Теоретическая часть
Устойчивость САУ является одним из основных условий ее ра-
ботоспособности и включает требование затухания во времени пере-
ходных процессов
Система является устойчивой если при ограниченном входном
сигнале еѐ выходной сигнал также является ограниченным Если
система устойчива то она противостоит внешним воздействиям а
выведенная из состояния равновесия возвращается снова к нему
Система с расходящимся переходным процессом будет неустойчивой и
неработоспособной
Необходимое и достаточное условие устойчивости заключается в
том чтобы все корни характеристического уравнения (полюсы пере-
даточной функции системы) имели отрицательные вещественные ча-
сти Иначе говоря условием устойчивости системы является распо-
ложение всех полюсов в левой комплексной полуплоскости Тогда все
полюсы будут давать затухающую реакцию
Выше сформулированное условие устойчивости справедливо как
39
для линейных так и для линеаризованных систем Однако в случае
нулевых или чисто мнимых корней характеристического уравнения
вопрос об устойчивости линеаризованной системы может быть ре-
шен только на основании исследования ее нелинейных уравнений
В конце XIX и первой половине XX в задача вычисления корней
характеристического уравнения высокого порядка вызывала боль-
шие проблемы Поэтому были предложены несколько косвенных
методов оценки устойчивости позволяющих обойтись без вычисле-
ния корней ndash по значениям коэффициентов характеристического
уравнения
Критерии устойчивости разделяют на алгебраические и частот-
ные В частности к алгебраическим критериям относится критерий
Гурвица к частотным критериям ndash критерий Найквиста
Критерий Гурвица является алгебраическим критерием и при-
меняется к коэффициентам характеристического уравнения замкнутой
системы
Пусть имеется характеристическое уравнение замкнутой
системы
0011
1 apapapa n
nn
n
Из коэффициентов характеристического уравнения составляют
матрицу по правилу
1 По диагонали записываются коэффициенты от 1na до 0a
2 Каждая строка дополняется коэффициентами с возрастающи-
ми индексами слева направо так чтобы чередовались строки с нечет-
ными и четными индексами
3 В случае отсутствия индекса а также если он меньше 0 или
больше п на его место пишется 0
Таким образом матрица Гурвица приобретает следующий вид
40
Критерий устойчивости формулируется так
Чтобы система была устойчивой необходимо и достаточно что-
бы при 0na были положительными все п диагональных определи-
телей получаемых из матрицы Гурвица
Первые три определителя матрицы Гурвица имеют следующий
вид
Таким образом критерий Гурвица позволяет судить об абсо-
лютной устойчивости но он не дает возможности оценивать относи-
тельную устойчивость по корням характеристического уравнения
Частотный критерий устойчивости Найквиста анализирует
АФЧХ разомкнутой системы
Пусть имеется АФЧХ разомкнутой системы W(jω)
Для нахождения вещественной и мнимой части частотной ха-
рактеристики нужно освободиться от мнимости в знаменателе путем
умножения числителя и знаменателя на комплексную величину со-
пряженную знаменателю а затем выполнить разделение на веще-
ственную и мнимую части W(jω) приобретает вид
)()()( jQPjW
Задаваясь различными значениями частоты можно найти мно-
жество пар )()( 11 jQP )()( 22 jQP )()( nn jQP
Затем по этим парам строится АФЧХ на комплексной плоскости
Основные свойства АФЧХ разомкнутой системы
1 Если разомкнутая система не имеет интегрирующих звеньев
то при ω = 0 ее АФЧХ начинается на вещественной оси в точке
Р(ω)=К (где К ndash коэффициент усиления разомкнутой системы) За-
канчивается АФЧХ в начале координат при ω rarr infin (рис 1 а)
2 Если разомкнутая система имеет одно интегрирующее звено то
ее АФЧХ начинается при ω = 0 в бесконечности на отрицательной мни-
мой полуоси а заканчивается в начале координат при ω rarr infin (рис 1 б)
41
Рис 1 АФЧХ разомкнутой системы
Критерий устойчивости Найквиста формулируется так
1 Если разомкнутая система устойчива или находится на гра-
нице устойчивости то для того чтобы замкнутая система была
устойчива необходимо и достаточно чтобы АФЧХ разомкнутой
системы при изменении частоты ω от 0 до infin не охватывала точку с ко-
ординатами (-1 j0)
2 Если разомкнутая система неустойчива а ее передаточная
функция имеет т полюсов справа от мнимой оси на комплексной
плоскости то для устойчивости замкнутой системы необходимо и до-
статочно чтобы АФЧХ разомкнутой системы при изменении частоты
ω от -infin до +infin охватывала т раз точку с координатами (-1 j0)
При использовании этого критерия нужно учитывать две
особенности
1 Если разомкнутая система находится на границе устойчиво-
сти то ее АФЧХ уходит в бесконечность Для проверки критерия Най-
квиста нужно мысленно соединить конец АФЧХ дугой бесконечно
большого радиуса с положительной вещественной полуосью
2 На практике АФЧХ может строиться только для положитель-
ных частот (0 lt ω lt +infin) При применении критерия Найквиста счита-
ется что ветвь АФЧХ для отрицательных частот симметрична отно-
сительно вещественной оси
Физический смысл критерия устойчивости Найквиста заключа-
ется в том что система будет неустойчива если фаза выходного сиг-
нала противоположна фазе входного сигнала а коэффициент усиле-
ния больше 1 Поэтому для анализа устойчивости можно использо-
вать не АФЧХ а ЛАХ системы (для минимально-фазовых систем)
Система устойчива если на частоте среза значение фазы не превы-
шает -π Соответственно для устойчивой системы можно рассматри-
вать на ЛФЧХ запас устойчивости по фазе ndash расстояние от значения
фазы на частоте среза до уровня -π и запас устойчивости по амплиту-
42
де ndash расстояние от оси частот ЛАЧХ до значения усиления на часто-
те где фаза становится равной -π
4 Краткое описание MATLAB
Лабораторная работа выполняется в программе математического
моделирования MATLAB Программа MATLAB включает в себя пакет
прикладных программ для решения технических задач и одноименный
язык программирования используемый в этом пакете
Основными компонентами системы являются базовая система
MATLAB и пакет моделирования систем Simulink Остальные пакеты
расширения разбиты на 4 категории ndash расширения Extension MATLAB и
Extension Simulink а также комплексы пакетов расширения Blockset и
Toolbox
Раздел MATLAB Extension содержит средства для подготовки ис-
полняемых приложений MATLAB (с подключаемыми библиотеками и
без них)
Раздел Toolbox (инструментальные средства) содержит самое
большое число пакетов расширений системы MATLAB такие как
laquoControl systemraquo laquoDatabaseraquo laquoFuzzy logicraquo laquoWaveletraquo и тд
В разделе Blockset расположено несколько пакетов относящихся к
главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink такие как
laquoDSPraquo laquoFixed-Pointraquo laquoNonlinear control designraquo и laquoPower systemsraquo
В разделе Extension Simulink имеется ряд средств предназначен-
ных для моделирования в реальном масштабе времени и событийно-
управляемом моделировании
5 Исследование устойчивости САУ в MATLAB
Для проверки устойчивости САУ по Гурвицу постройте матрицу
Гурвица и найдите ее детерминант (функция det) Затем последова-
тельно уменьшая размер матрицы найдите значения всех диагональ-
ных детерминантов Пример
gtgt А=[1 14 18 2 5 2 3 4 3]
А =
1 14 18
2 5 2
3 4 3
gtgt det(A)
ans = -119
43
gtgt А1=А(12 12)
А1 =
1 14
2 5
gtgt det(A1)
ans = -23
Для проверки устойчивости САУ по Найквисту сначала нужно
выяснить является ли устойчивой разомкнутая система
Пример Пусть дана передаточная функция разомкнутой
системы
13232
12234
pppp
pW
Рассмотрим реакцию на скачок
gtgt w=tf([2 1][2 3 2 3 1])
gtgt step(w18)
График переходного процесса показан на рис 2
Рис 2 Переходная реакция
Разомкнутая система неустойчива и согласно критерию Найкви-
ста надо чтобы АФЧХ разомкнутой системы охватывала точку (-1 j0)
44
столько раз сколько полюсов имеется справа от мнимой оси Для по-
строения АФЧХ достаточно вызвать команду nyquist
gtgt nyquist(w)
Диаграмма Найквиста показана на рис 3
Рис 3 Диаграмма Найквиста для неустойчивой системы
Как показывает рис3 АФЧХ ни разу не охватывает точку
(-1 j0) поэтому замкнутая система будет неустойчивой Частотный
критерий Найквиста можно использовать и в том случае когда рас-
сматривается не АФЧХ а ЛАЧХ разомкнутой системы замкнутая
минимально-фазовая система устойчива если при достижении ЛФЧХ
значения -π ЛАЧХ будет отрицательной
Используя ЛАЧХ и ЛФЧХ можно оценить запасы устойчивости
системы по амплитуде и по фазе с помощью команды
gtgt margin(w)
Пример
gtgt w=tf([10][2 2 3 1])
gtgt margin(w)
Соответствующий график показан на рис 4
45
Рис 4 Определение запасов устойчивости по амплитуде и по фазе
6 Задание на лабораторную работу
Выполнить исследование устойчивости замкнутой системы по за-
данной передаточной функции разомкнутой системы Определить запас
устойчивости по амплитуде и по фазе Вариант задания назначается
преподавателем
7 Методика выполнения задания
Порядок выполнения работы
1 Рассчитать передаточную функцию замкнутой системы по
приведенной в табл 1 разомкнутой системе
2 Определить устойчивость замкнутой системы используя кри-
терий Гурвица
3 Определить устойчивость замкнутой системы используя кри-
терий Найквиста
4 Определить запас устойчивости по амплитуде и по фазе ис-
пользуя ЛАЧХ и ЛФЧХ
5 Выполнить моделирование переходных процессов разомкну-
той и замкнутой систем
6 Подготовить ответы на контрольные вопросы
46
Таблица 1
Варианты заданий
Передаточная функция разомкнутой системы
1 1355
2234
ssss
W
2 110050
1234
ssss
W
3 11010
123
sss
W
4 122105
100234
ssss
W
5 1248
123
sss
W
6 1223
102345
sssss
W
7 11001010
323
sss
W
8 122
1023
sss
W
9 11010
123
sss
W
10 15050332
102345
sssss
W
8 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) титульный лист
б) краткие теоретические сведения
в) переходную функцию разомкнутой системы
г) расчет передаточной функции замкнутой системы
д) расчетные выражения для обоснования устойчивости замкну-
той системы по алгебраическому критерию Гурвица
е) годограф Найквиста разомкнутой системы на основании кото-
рого делается вывод об устойчивости замкнутой системы
ѐ) переходную функцию замкнутой системы
ж) проверку полученных результатов путем компьютерного моде-
лирования переходных процессов разомкнутой и замкнутой си-
стемы в MATLAB Simulink
з) выводы по всем полученным результатам
47
Контрольные вопросы
1 Как связана устойчивость линейной САУ с видом составля-
ющих ее свободного движения
2 Зависит ли устойчивость линейных САУ от амплитуды зада-
ющих воздействий или возмущений
3 Сформулируйте критерий устойчивости Гурвица укажите на
необходимое условие устойчивости линейных САУ вытекаю-
щее из этого критерия
4 Сформулируйте критерий Найквиста для случая САУ устой-
чивых в разомкнутом состоянии а также для астатических САУ
Что такое laquoзапасы устойчивости по фазе и по амплитудеraquo
5 Что называется структурной устойчивостью
48
Лабораторная работа 5
КОРРЕКЦИЯ СТАТИЧЕСКИХ И ДИНАМИЧЕСКИХ
СВОЙСТВ САУ
1 Цель работы
Целью работы является изучение способов обеспечения иско-
мых характеристик САУ с использованием автоматизированных
средств моделирования на ПК ndash MATLAB SIMULINK
2 Задачи работы
ndash Закрепление углубление и расширение знаний студентов при
обеспечении искомых характеристик САУ
ndash Приобретение умений по обеспечению точности (уменьшение
статической ошибки) САУ и выбору значений параметров регулято-
ра обеспечивающих желаемые динамические свойства САУ
ndash Приобретение умений и навыков работы с программой мате-
матического моделирования MATLAB
3 Теоретическая часть
Коррекция статических и динамических свойств САУ имеет
своей целью повышение статической и динамической точности отра-
ботки системой задающего воздействия (или парирование возмуща-
ющего воздействия) повышение запасов ее устойчивости Наиболее
распространенными способами коррекции свойств САУ является из-
менение коэффициента усиления ее разомкнутой части введение в
САУ новых звеньев (как правило интегрирующего или дифференци-
рующего типа) охват объекта управления местной обратной связью
31 Коррекция статических свойств САУ
Статические свойства системы определяются величиной устано-
вившейся ошибки )t(уст вызванной действием задающего воздей-
ствия и определяемой по формуле
22
210 2 dttgdcdttdgctgctуст (1)
где )(tg - входное воздействие 210 ccc - коэффициенты ошибок
Коэффициенты ошибок определяются по формулам
49
dssdcdssdcscs
mmmss 00100
где s - передаточная функция САУ по ошибке управления рав-
ная
sW
sраз
1
1
sWраз - передаточная функция разомкнутой САУ
Основными способами уменьшения статической ошибки систе-
мы являются
1) увеличение коэффициента усиления прямого тракта системы
2) введение в прямой тракт системы интегрирующих звеньев
3) охват объекта управления местной неединичной положитель-
ной обратной связью
Представим структурную схему системы в виде изображенном
на рис 1 где через sW обозначена передаточная функция неизме-
няемой части системы
bsbsb
asasasW
nn
nn
mm
mm
01
1
01
1
Здесь и далее полагается что KKKsW s 000 0 ndash из-
меняемый коэффициент усиления регулятора системы
Первые два коэффициента ошибок 0c и 1c определяется выраже-
ниями
KK
c0
01
1
(2)
KK
dssdWKc
s
20
01
1
(3)
Из (2) и (3) с учетом (1) вытекает что с увеличением K
статическая ошибка в системе уменьшается и наоборот с уменьше-
нием K статическая ошибка в системе увеличивается
Введем в прямой тракт системы одно интегрирующее звено
50
(рис 2) В этом случае c 00 01 1 KKc
Так как c 00 то система на рис 2 является астатической (с
астатизмом первого порядка) Система имеет нулевую статическую
ошибку при отработке постоянного задающего воздействия
consttg и постоянную обратно пропорциональную K ошибку
constуст при отработке линейно изменяющегося воздействия
tatg
Рис 1 Схема САУ Рис 2 Схема САУ с включенным в прямой
тракт интегрирующим звеном
Охватим неизменяемую часть системы sW местной нееди-
ничной положительной обратной связью с коэффициентом усиления
осK (рис 3) Тогда эквивалентная передаточная функция sWэкв
неизменяемой части системы равна
10011
01
1
aKbsaKbsaKbsb
asasa
sWK
sWsW
ососm
mосmn
n
mm
mm
осэкв
(4)
Если коэффициент усиления K выбрать из условия
a
bKос
0
0
то свободный коэффициент (b0 - Koca0) полинома знаменателя sWэкв
обратится в нуль и sWэкв приобретает интегрирующие свойства
11
11
0
1
1
aKbsaKbsbs
asasasW
ос
m
mосm
n
n
m
m
m
mэкв
g(t) y(t)ε(t)
K W(s)-
g(t) y(t)
Ks W(s)-
ε(t)
51
Следовательно замкнутая система становится астатической (с
астатизмом 1-го порядка) Отсюда 0c =0 а коэффициент 1c будет
равен
aKb
bc
ос 11
01
ε(t)g(t) y(t)
W(s)-
Kос
Wэкв(s)
+
Рис 3 Схема САУ с местной неединичной обратной связью
32 Коррекция динамических свойств САУ
Улучшение динамических свойств САУ заключается в увеличе-
нии быстродействия САУ (уменьшении времени регулирования tрег)
уменьшении перерегулирования (см рис 4) а также увеличении
запасов устойчивости по фазе и по модулю При этом
h
hh
уст
устmax100
где maxh - максимальное значение переходной характеристики за-
мкнутой САУ th
устh - установившееся значение th
Время регулирования tрег - минимальная величина при которой удо-
влетворяется условие
устрег hth
где - заданная величина ошибки (обычно =005 устh )
52
h(t)
tрег
hустhmax
2δ
Рис 4 Быстродействие и перерегулирование САУ
Одним из эффективных средств достижения этой цели является
уменьшение отрицательных фазовых сдвигов в прямом тракте систе-
мы путем охвата неизменяемой части системы местными отрицатель-
ными обратными связями
На рис 5 R(s) представляет собой передаточную функцию регу-
лятора САУ которая считается заданной
ε(t)g(t) y(t)
W(s)-
Kос
Wэкв(s)
-
R(s)
u(t)
Рис 5 Схема САУ с местной обратной связью и регулятором
Пусть неизменяемая часть системы представляет собой аперио-
дическое звено первого порядка те
sT
K)s(W
10
0
Тогда передаточная функция sWэкв эквивалентного объекта
управления равна
sT
K
sWK
sWsW
экв
экв
осэкв
11
где зквK и эквT - коэффициент усиления и постоянная времени
эквивалентного объекта равные
53
KK
KK
осэкв
0
0
1
KK
TT
осэкв
0
0
1 (5)
Из (5) следует что соответствующим выбором осK постоянную
времени эквT эквивалентного объекта можно уменьшить в (1+ 0KKос )
раз по сравнении с постоянной времени 0T объекта без местной об-
ратной связи Тем самым уменьшаются отрицательные фазовые сдви-
ги вносимые прямым трактом системы что приводит к увеличению
запасов устойчивости системы При этом однако уменьшается в
(1+ 0KKос ) раз коэффициент усиления эквK эквивалентного объекта
по сравнению с коэффициентом усиления 0K объекта без местной
обратной связи Это нежелательно так как приводит к уменьшению
быстродействия системы вследствие уменьшения общего коэффици-
ента усиления прямого тракта системы В этом случае с целью обес-
печения необходимого быстродействия системы увеличивают коэф-
фициент усиления регулятора
4 Краткое описание MATLAB
Лабораторная работа выполняется в программе математического
моделирования MATLAB Программа MATLAB включает в себя пакет
прикладных программ для решения технических задач и одноименный
язык программирования используемый в этом пакете
Основными компонентами системы являются базовая система
MATLAB и пакет моделирования систем Simulink Остальные пакеты
расширения разбиты на 4 категории ndash расширения Extension MATLAB и
Extension Simulink а также комплексы пакетов расширения Blockset и
Toolbox
Раздел MATLAB Extension содержит средства для подготовки ис-
полняемых приложений MATLAB (с подключаемыми библиотеками и
без них)
Раздел Toolbox (инструментальные средства) содержит самое
большое число пакетов расширений системы MATLAB такие как
laquoControl systemraquo laquoDatabaseraquo laquoFuzzy logicraquo laquoWaveletraquo и тд
54
В разделе Blockset расположено несколько пакетов относящихся к
главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink такие как
laquoDSPraquo laquoFixed-Pointraquo laquoNonlinear control designraquo и laquoPower systemsraquo
В разделе Extension Simulink имеется ряд средств предназначен-
ных для моделирования в реальном масштабе времени и событийно-
управляемом моделировании
5 Задание на лабораторную работу
Выполнить исследование способов коррекции статических и
динамических свойств САУ Определить время регулирования и пе-
ререгулирования в исходной и скорректированной системах а также
для динамических свойств САУ определить запасы устойчивости в
исходной системе и найти экспериментально значение Kос обеспечи-
вающее в системе заданные показатели качества и запасы устойчиво-
сти Вариант задания назначается преподавателем
Таблица 1
Варианты заданий
варианта
Параметры
1
2
3
4
5
6
7
8
a 05 10 15 20 25 30 35 40
K0 1 2 3 4 5 6 7 8
T c 03 04 05 06 07 08 09 10
ξ 06 07 08 08 07 09 05 04
уст 0 0 005 0 010 007 0 0
tрег c le 13 15 20 25 30 35 40 40
le 0 10 10 5 5 5 0 0
В качестве исходных САУ выступают системы изображенные
на рис 6 и 7
55
ε(t)g(t) y(t)
W(s)-
g(t) y(t)
R(s) W(s)-
ε(t) u(t)
Рис 6 САУ с отрицательной Рис 7 САУ с отрицательной обратной
обратной связью связью и регулятором
6 Методика выполнения задания
При исследовании способов коррекции статических свойств
САУ в качестве исходных данных выступает передаточная функция
sW неизменяемой части системы вида
1222
0
sTsT
KsW (6)
и задающие воздействия вида ttg 1 в соответствии с таблицей 1
В процессе выполнения этой части работы необходимо
1) путем моделирования в системе MATLAB исходной САУ
(рис 6) получить графики ttytg
2) сравнить полученную таким образом экспериментальную ве-
личину t с теоретической величиной вычисленной по формуле (1)
3) применяя описанные в теоретической части методических
указаний способы коррекции статических свойств (см п 31) обес-
печить требуемую статическую ошибку εуст системы при отработке
задающего воздействия ttg 1
4) получить графики ty и t в скорректированной системе
для 1 ttg
5) сравнить время регулирования регt и перерегулирование в
исходной и скорректированной системах при 1 ttg
При исследовании рассмотренного способа коррекции динами-
ческих свойств САУ (см п 32) в качестве исходных данных высту-
пают передаточная функция sW неизменяемой части системы
вида (6) и передаточная функция регулятора вида
s
KsR
рег
56
Задающее воздействие ttg 1
В процессе выполнения данной части работы необходимо
1) получить путем моделирования в MATLAB графики ty t
в системе (рис 7)
2) определить время регулирования регt и перерегулирование
а также запасы устойчивости в исходной системе
3) применяя описанный выше способ коррекции динамических
свойств САУ найти экспериментально (путем последовательного пе-
ребора) значение осK обеспечивающее в системе заданные заданием
показатели качества ( регt ) и запасы устойчивости (при необхо-
димости увеличить коэффициент регK )
4) получить графики ty t а также ЛАХ и ЛФХ разомкну-
той системы в скорректированной САУ
7 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) титульный лист
б) структурные схемы исследуемых систем
в) полученные графики и характеристики
г) значения полученные экмпериментально которые
обеспечивают заданные показатели качества и запасы устойчивости
д) выводы обощающие проделанные эксперименты для
коррекции статических и динамических свойств САУ
е) ответы на контрольные вопросы
Контрольные вопросы 1 Дать определение статической и астатической САУ
2 Какими структурными свойствами системы определяется по-
рядок ее астатизма
3 Какой из двух приведенных выше способов придания системе
свойств астатизма 1-го порядка наиболее предпочтителен на
практике
4 Назовите основные показатели качества САУ Поясните их
смысл
5 В чѐм суть исследуемого способа коррекции динамических
свойств САУ
57
6 Назвать другие способы коррекции динамических свойств
САУ
7 Чем вызваны отрицательные фазовые сдвиги в неизменяемой
части САУ
58
Лабораторная работа 6
МЕТОД КОРНЕВОГО ГОДОГРАФА
1 Цель работы
Целью работы является построение корневого годографа и ис-
следование динамики системы с использованием автоматизирован-
ных средств моделирования на ПК ndash MATLABSIMULINK
2 Задачи работы
ndash Закрепление углубление и расширение знаний студентов при
исследование динамики системы
ndash Овладение навыком построения корневого годографа
ndash Приобретение умений и навыков работы с программой мате-
матического моделирования MATLAB
3 Теоретическая часть
Корневым годографом (КГ) называется совокупность траекто-
рий перемещения всех корней характеристического уравнения за-
мкнутой системы при изменении какого-либо параметра этой систе-
мы
Обычно метод КГ позволяет находить полюса и нули ПФ за-
мкнутой системы располагая полюсами и нулями разомкнутой си-
стемы при изменении коэффициента усиления разомкнутой системы
K
ПФ разомкнутой системы Wp(s) представим в следующем виде
)(
)(
1
1
0
n
ii
m
jj
p
ss
ssKC
sW (1)
где 0js ndash нули ПФ sWp )1( mj
is ndash полюса ПФ sWp
)1( nj n и m ndash порядки знаменателя и числителя C ndash коэффици-
ент представления (отношение коэффициентов при старших членах
числителя и знаменателя)
59
При замыкании системы с ПФ sWp единичной отрицатель-
ной обратной связью ПФ замкнутой системы sWз принимает вид
)(1
)(
sW
sWsW
p
pз
(2)
Из выражения (2) следует что нули ПФ замкнутой системы рав-
ны нулям ПФ разомкнутой системы
Для нахождения полюсов рассмотри выражение
01 sWp (3)
в соответствии с выражением (1) имеем
n
i
m
jjin
ii
m
jj
ssKCss
ss
ssKC
1 1
0
1
1
0
)()(01
)(
)(
(4)
На основании выражения (4) можно сказать что при K = 0 корни
характеристического уравнения совпадают с полюсами а при K = infin ndash
с нулями При изменении K от 0 до infin траектории корней начинаются
в полюсах и заканчиваются в нулях Обычно полюсов больше чем
нулей В этом случаем mn ветвей корневого годографа стремятся к
infin
Для определения полюсов замкнутой системы с отрицательной
обратной связью необходимо решить уравнение (его называют ос-
новным уравнением метода КГ)
1sWp (5)
Так как sWp является функцией комплексного переменного
s то уравнение (5) распадается на два уравнения уравнение модулей
1)( sWp (6)
60
и уравнение аргументов (фаза вектора -1 есть нечетное число π)
210)12()(arg sWp (7)
Как известно при умножении комплексных чисел их аргументы
складываются а при делении ndash вычитаются Поэтому исходя из вы-
ражения (1) уравнение (7) имеет наглядный геометрический смысл
Пусть точка s ndash полюс замкнутой системы Если провести в s
вектора из нулей sWp (обозначим аргументы этих векторов 0j ) и
вектора из всех полюсов sWp (обозначим аргументы этих векторов
i ) то уравнение (7) можно записать в следующем виде
m
j
n
iij
1 1
0 210)12( (8)
Углы q отсчитываются от положительного направления дей-
ствительной оси Знак угла laquo+raquo соответствует повороту против часо-
вой стрелки знак угла laquo-raquo соответствует повороту по часовой стрел-
ке
Таким образом любая точка КГ должна удовлетворять уравне-
нию (8) из которого следует что конфигурация КГ не зависит от ко-
эффициента усиления K но каждому конкретному значению K одно-
значно соответствуют точки на КГ
При умножении комплексных чисел их модули перемножаются
а при делении ndash делятся Поэтому на основании (6) можно записать
1
1
1
0
n
ii
m
jj
l
lKC
(9)
где 0jl ndash модуль (длина) вектора проведенного из j-нуля в точку s
КГ il ndash модуль вектора проведенного из i-полюса в ту же точку s
61
Таким образом траектории корней строятся только по уравне-
ниям фаз а уравнение модулей используется затем для нахождения
K
Сущность метода КГ заключается в том чтобы узнать каким
должен быть коэффициент усиления разомкнутой системы чтобы
было обеспечено желаемое положение корней замкнутой системы
Корневой годограф системы с отрицательной обратной связью
обладает следующими основными свойствами
1 Ветви КГ непрерывны и расположены на комплексной плос-
кости симметрично относительно действительной оси
2 Число ветвей КГ равно порядку системы n Ветви начинают-
ся в n полюсах разомкнутой системы при K=0 При возрастании K от
0 до infin полюса замкнутой системы двигаются по ветвям КГ
3 mветвей КГ при возрастании K от 0 до infin заканчиваются в m
нулях )(sWp а )( mn ветвей при K стремящемся к infin удаляются
от полюсов вдоль асимптот
4 При расположении ветвей корневого годографа в левой полу-
плоскости s САУ устойчива При пересечении ветвей КГ мнимой оси
слева направо САУ становится неустойчивой Пусть при K=Kкр
пере-
сечение КГ с мнимой осью произойдет в некоторой точке iωкр
Назо-
вем это значение коэффициента усиления критическим Kкр
а вели-
чину iωкр
критической угловой частотой на которой система стано-
вится неустойчивой
4 Краткое описание MATLAB
Лабораторная работа выполняется в программе математического
моделирования MATLAB Программа MATLAB включает в себя пакет
прикладных программ для решения технических задач и одноименный
язык программирования используемый в этом пакете
Основными компонентами системы являются базовая система
MATLAB и пакет моделирования систем Simulink Остальные пакеты
расширения разбиты на 4 категории ndash расширения Extension MATLAB и
Extension Simulink а также комплексы пакетов расширения Blockset и
Toolbox
Раздел MATLAB Extension содержит средства для подготовки ис-
полняемых приложений MATLAB (с подключаемыми библиотеками и
без них)
62
Раздел Toolbox (инструментальные средства) содержит самое
большое число пакетов расширений системы MATLAB такие как
laquoControl systemraquo laquoDatabaseraquo laquoFuzzy logicraquo laquoWaveletraquo и тд
В разделе Blockset расположено несколько пакетов относящихся к
главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink такие как
laquoDSPraquo laquoFixed-Pointraquo laquoNonlinear control designraquo и laquoPower systemsraquo
В разделе Extension Simulink имеется ряд средств предназначен-
ных для моделирования в реальном масштабе времени и событийно-
управляемом моделировании
5 Корневой годограф в MATLAB
В системе MATLAB существует команда zpk для преобразова-
ния модели заданной ПФ в модель заданную нулями полюсами и
обобщенными коэффициентами передачи (zpk-форма)
Пример
gtgt w=tf([10][2 2 3 1 0])
Transfer function
10
-------------------------------
2 s^4 + 2 s^3 + 3 s^2 + s
gtgt w1=zpk(w)
Zeropolegain
5
----------------------------------------------
s (s+03966) (s^2 + 06034s + 1261)
Для работы с корневым годографом удобно использовать гра-
фический интерфейс laquoSISO-Design Toolraquo предназначенный для ана-
лиза и синтеза одномерных линейных систем автоматического управ-
ления (SISO ndash Single Input Signal Output)
Запуск SISO-Design Tool осуществляется командой
gtgt sisotool
63
В появившемся окне графического интерфейса необходимо ис-
пользовать команду laquoFileImportraquo для загрузки данных из рабочего
пространства MATLAB в результате которой появляется диалоговое
окно Import System Data (рис 1)
Рис 1 Диалог для ввода параметров модели
После импортирования данных можно исследовать изменение
временных и частотных характеристик замкнутой системы при изме-
нении K Обычно при этом требуется определить условия неустойчи-
вости замкнутой САУ Определить Kкр
и iωкр
На рис 2 показано окно sisotool для описанной выше модели w1
Двигая красным курсором по КГ до пересечения ветвей с мнимой
осью можно определить значения Kкр
В данном случае Kкр
asymp 01
Значение iωкр
соответствует мнимой координате пересечения КГ
мнимой оси Просмотреть это значение можно в нижней части ин-
терфейса или выбрать меню laquoView Closed-Loop Polesraquo
64
Рис 2 Основное окно SISO-Design Tool
6 Задание на лабораторную работу
Построить КГ в соответствии с вариантом из табл 1 при помо-
щи графического интерфейса sisotool
Исследовать динамику замкнутой системы при различных зна-
чениях коэффициента усиления разомкнутой системы K в том числе
ndash запасы устойчивости в частотной области
ndash параметры переходного процесса во временной области
Таблица 1
Варианты передаточных функций
Значения параметров Передаточная функция
разомкнутой системы
1 T = 01 ζ = 1
)12( 22 sTsTs
K
2 T = 005 ζ = 0707
3 T = 003 ζ = 01
4 T = 008 ζ = 05
5 T = 001 ζ = 015
65
Окончание табл 1
Значения параметров Передаточная функция
разомкнутой системы
6 T1 = 003 T2 = 05 T3 = 01 T4 = 005
)1)(1)(1(
)1(
432
1
sTsTsTs
sTK
7 T1 = 005 T2 = 04 T3 = 008 T4 = 0033
8 T1 = 02 T2 = 045 T3 = 01 T4 = 005
9 T1 = 05 T2 = 025 T3 = 01 T4 = 002
10 T1 = 01 T2 = 025 T3 = 01 T4 = 005
Вариант задания назначается преподавателем
7 Методика выполнения задания
Порядок выполнения лабораторной работы
1 Задать передаточную функцию в MATLAB в соответствии с
вариантом коэффициент K задать любым положительным числом
2 Запустить SISO-Design Tool и осуществить ввод данных
Построить КГ
3 По КГ определить значения коэффициента K когда система
будет устойчивой на границе устойчивости и неустойчива
4 Выбрать значение коэффициента K таким образом чтобы си-
стемы была устойчива и определить запас устойчивости в частотной
области и параметры переходного процесса во временной области
8 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) титульный лист
б) передаточную функцию и этапы построения КГ
в) анализ результатов построения КГ
г) выводы по проделанной работе
д) ответы на контрольные вопросы
Контрольные вопросы 1 Дать определение КГ
2 Что обычно позволяет находить метод КГ
3 В чем заключается сущность метода КГ
4 Что можно определить по КГ
66
Критерии результативности лабораторного практикума
Лабораторная работа считается выполненной если студент
ndash выполнил все указанные задания
ndash представил отчет соответствующий всем требованиям к его
содержанию и оформлению
ndash владеет терминологией и материалом лабораторной работы
ndash способен использовать программное средство математическо-
го моделирования MATLAB
ndash способен предоставить и рассказать результаты выполненной
работы на ПК
ndash может дать пояснения к отчету и ответить на контрольные
вопросы
Список литературы
1 Александров АГ Частотная теория автоматического управле-
ния учебное пособие ndash Электросталь ЭПИ МИСиС 2010
2 Борисевич АВ Теория автоматического управления элементар-
ное введение с применением MATLAB ndash СПб Изд-во Политехн ун-
та 2011
3 Федоров ВЛ Бубнов АВ Теория автоматического управления
учебное пособие ndash Омск Изд-во ОмГТУ 2010
4 Павловская ОО Чернецкая ИВ Теория автоматического
управления учебное пособие ndash Челябинск Изд-во ЮУрГУ 2010
67
Составители ЛЯНЦЕВ Олег Дмитриевич КАЗАНЦЕВ Андрей Валерьевич
ИССЛЕДОВАНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК СИСТЕМ
АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
Лабораторный практикум
по дисциплине
laquoТеория управленияraquo
Подписано в печать Формат 60х84 116 Бумага офсетная Пе-
чать плоская Гарнитура Times New Roman Усл печ л 56 Уч-изд л
55 Тираж 100 экз Заказ
ФГБОУ ВПО Уфимский государственный авиационный технический
университет
Центр оперативной полиграфии УГАТУ
450000 Уфа-центр ул К Маркса 12
15
8 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) титульный лист
б) передаточные функции и схемы моделирования исследуемых
звеньев
в) экспериментально полученные характеристики при вариа-
ции параметров каждого звена
г) выводы обобщающие проделанные эксперименты по каждо-
му звену
д) ответы на контрольные вопросы
Контрольные вопросы
1 Что называется передаточной функцией
2 Что называется переходной и импульсной (весовой)
функциями Какова связь между ними
3 Как пользуясь временными характеристиками определить
параметры (коэффициенты передаточной функции) звена
Пояснить на конкретных примерах
4 Перечислите динамические характеристики САУ
5 Что называется характеристическим уравнением
16
Лабораторная работа 2
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СТРУКТУРНЫХ СХЕМ
1 Цель работы
Целью работы является изучение структурных преобразований и
нахождения передаточных функций с использованием автоматизиро-
ванных средств моделирования на ПК ndash MATLAB SIMULINK
2 Задачи работы
ndash Закрепление углубление и расширение знаний студентов при
исследовании преобразований структурных схем
ndash Приобретение умений и навыков работы с программой мате-
матического моделирования MATLAB
ndash Овладение несколькими методами преобразования структур-
ных схем
3 Теоретическая часть
Для наглядного представления сложной системы как совокупно-
сти элементов и связей между ними используются структурные
схемы
Структурной схемой называется схема САУ изображенная в
виде соединения ПФ составляющих ее звеньев
Структурная схема показывает строение автоматической систе-
мы наличие внешних воздействий и точки их приложения пути рас-
пространения воздействий и выходную величину Динамическое или
статическое звено изображается прямоугольником в котором указы-
вается ПФ звена Воздействия на систему и влияние звеньев друг на
друга (сигналы) изображаются стрелками В каждом звене воздей-
ствие передается только от входа звена к его выходу
На динамическое звено может воздействовать лишь одна вход-
ная величина поэтому используются блоки суммирования и сравне-
ния сигналов Суммироваться и сравниваться могут лишь сигналы
одной и той же физической природы
Структурная схема может быть составлена по уравнению систе-
мы в пространстве состояний или по системе дифференциальных
уравнений При составлении структурной схемы удобно начинать с
изображения задающего воздействия и располагать динамические
17
звенья составляющие прямую цепь системы слева направо до регу-
лируемой величины Тогда основная обратная связь и местные обрат-
ные связи будут направлены справа налево
Различные способы преобразования структурных схем облегча-
ют определение ПФ сложных САУ и дают возможность привести
многоконтурную систему к эквивалентной ей одноконтурной схеме
Преобразование структурной схемы должно осуществляться на
основании правил основные из них приведены в табл 1
При выполнении преобразований следует каждое имеющееся в
схеме типовое соединение заменить эквивалентным звеном Затем
можно выполнить перенос точек разветвления и сумматоров чтобы в
преобразованной схеме образовались новые типовые соединения зве-
ньев Эти соединения опять заменяются эквивалентными звеньями
затем вновь может потребоваться перенос точек разветвления и
сумматоров и т д
Различают основные соединения блоков в структурных схемах
последовательное соединение параллельное соединение антипарал-
лельное соединение (обратная связь) в свою очередь обратная связь
может быть отрицательной и положительной Таблица 1
Основные правила преобразования структурных схем
Преобразование
Структурная схема
Исходная Эквивалентная
Свертывание
последовательного
соединения
W1 W2 Wnu y
Wu y
nWWWW 21
Свертывание
параллельного
соединения
Wn
W2
W1
u y
Wu y
nWWWW 21
Свертывание
обратной связи
W1u plusmn y
W2
Wu y
21
1
1 WW
WW
18
Окончание табл 1
Преобразование
Структурная схема
Исходная Эквивалентная
Перенос узла через
звено вперед
Wu y
x
Wu y
xW1
WW
11
Перенос узла через
звено назад
Wu y
y
Wu y
yW
Перенос сумматора
через звено вперед
Wu1 y
u2
plusmn
Wu1 y
u2
plusmn
W
Перенос сумматора
через звено назад
Wu1 y
u2
plusmn
Wu1 y
u2
plusmn
W1
WW
11
Перенос прямой
связи через звено W2yu
plusmnW1
W3
W2 yu
plusmnW1
W3 W2
Перенос узла через
сумматор вперед
x1
+
- y
x1
x2
x1
+
- y
x1x2
+
+
Перенос узла через
сумматор назад
x1
+
- y
x2
y
x1
+
- y
x2y
+
-
Пример Пусть необходимо получить эквивалентное представ-
ление для структуры приведенной на рис 1
19
W1
W2 W3
W4
W5 W6
W7
+
+
+
-
Рис 1 Исходная схема САУ
Преобразование включает несколько этапов показанных на рис 2ndash5
W1
W2 W3
W4
W5 W6
W7
+
+
+
-
1W6
Рис 2 Перенос узла через звено вперед
567
659
1 WWW
WWW
6
48
W
WW
Рис 3 Свертывание обратной связи и последовательного соединения
2110 WWW
983
9311
1 WWW
WWW
Рис 4 Свертывание обратной связи и Рис 5 Свертывание последователь-
параллельного соединения ного соединения
W10 W11 WЭкв
543765
653265311110
1 WWWWWW
WWWWWWWWWWWЭкв
W1
W2
W8
W3 W9
+
+
20
Таким образом первый способ преобразования структурных
схем заключается в непосредственном использовании правил приве-
денных в табл1 Неудобство использования этого подхода заключа-
ется в том что порядок применения формул здесь достаточно произ-
волен возможны ошибочные шаги усложняющие поиск решения
Второй способ для получения ПФ многоконтурной системы за-
ключается в использовании модели системы в виде сигнального
графа
Сигнальный граф позволяет графически описать линейные связи
между переменными он состоит из узлов (вершин) и соединяющих их
направленных ветвей
Ветвь соответствует блоку структурной схемы она отражает за-
висимость между входной и выходной переменными Сумма всех
сигналов входящих в узел образует соответствующую этому узлу
переменную
Последовательность ветвей между двумя узлами называется пу-
тем Контуром называется замкнутый путь который начинается и
заканчивается в одном и том же узле причем ни один узел не встре-
чается на этом пути дважды
Контуры называются некасающимися если они не имеют общих
узлов
Сигнальный граф ndash это просто наглядный метод записи системы
алгебраических уравнений показывающий взаимосвязь между пере-
менными
r1
r2
a11
a22
x1
x2
a12a21
Рис 6 Сигнальный граф для двух алгебраических выражений
В качестве примера рассмотрим следующую систему алгебраи-
ческих уравнений
21
11212111 xrxaxa (1)
22222121 xrxaxa (2)
здесь r1 и r2 ndash входные переменные а x1 и x2 ndash выходные переменные
Сигнальный граф соответствующий уравнениям (1) и (2) изображен
на рис 6 Уравнения (1) и (2) можно записать в ином виде
1122111 )()1( raxax
2222211 )1()( raxax
Решая последнюю систему по правилу Крамера получим
212
122
21122211
2121221
)1(
)1)(1(
)1(r
ar
a
aaaa
rarax
121
211
21122211
1212112
)1(
)1)(1(
)1(r
ar
a
aaaa
rarax
В этих решениях знаменатель равен определителю составлен-
ному из коэффициентов при неизвестных и его можно записать так
21122211221121122211 1)1)(1( aaaaaaaaaa
В данном случае знаменатель равен единице минус коэффици-
енты передачи отдельных контуров a11 a22 и a12a21 плюс произведе-
ние коэффициентов передачи двух некасающихся контуров a11 и a22
Контуры a22 и a12a21 являются касающимися так же как и контуры a11
и a21a12
В решении для x1 по отношению ко входу r1 числитель равен
единице умноженной на (1-a22) те значение определителя некаса-
ющегося пути от r1 к x1 В решении для x1 по отношению ко входу
r2числитель просто равен a12 тк этот путь касается всех контуров
Числитель выражения x2 симметричен соответствующему числителю
для x1
В общем случае линейная зависимость Tij между независимой
переменной xi (часто называемой входной переменной) и зависимой
переменной xj определяется по формуле Мейсона
22
k
ijkijk
ij
P
T
где Pijk ndash коэффициент передачи k-го пути от переменной xi к пере-
менной xj Δ ndash определитель графа Δijk ndash дополнительный множитель
для пути Pijk а суммирование производится по всем возможным k пу-
тям от xi до xjДополнительный множитель Δijk равен определителю
всех касающихся контуров при удалении k-го пути
Определитель находится как
QM
qm
LSR
lsrlsrqm
K
kk LLLLLL
11
1111
1
где Kk kL
1ndash сумма коэффициентов передачи всех отдельных конту-
ров QM
qm qmLL
11ndash сумма произведений всех возможных комбина-
ций из двух некасающихся контуров LSR
lsr lsr LLL
111ndash сумма про-
изведений всех возможных комбинаций из трех некасающихся кон-
туров
Таким образом правило вычисления Δ через значение L1 L2
L3hellipLN таково Δ = 1- (сумма коэффициентов передачи всех отдель-
ных контуров) + (сумма произведений всех возможных комбинаций
из 2 некасающихся контуров) ndash (сумма произведений всех возмож-
ных комбинаций из 3 некасающихся контуров) +hellip
Формула Мейсона часто используется в несколько упрощенном
виде для определения связи между выходной переменной Y(s) и
входной переменной X(s) те
)()(
)( 1
N
iiiP
sWsX
sY
где Pi ndash i-й путь от входа к выходу N ndash количество путей Δ ndash опреде-
литель графа специальный полином который определенным образом
характеризует совокупность всех замкнутых цепей системы содер-
жащих обратные связи и вычисляется как сумма передаточных
функций разомкнутых контуров этих цепей и произведений
23
передаточных функций разомкнутых контуров пар троек и тд не со-
прикасающихся друг с другом цепей с обратными связями Δi ndash до-
полнительный множитель для пути составляется по правилу анало-
гичному Δ но только для цепей с обратными связями не соприкаса-
ющихся с i-м прямым каналом
Дополнительный множитель для i-го пути равен определителю
графа в котором приравнены нулю коэффициенты передачи конту-
ров касающихся этого пути
Рассмотрим пример получения ПФ многоконтурной системы с
использованием формулы Мейсона для структуры на рис 1 которая
соответствует графу показанному на рис 7
X(s) Y(s)W1
W2
W3 W5 W6
W4 -W7
Рис 7 Описание системы управления сигнальным графом
От входа к выходу ведут два пути
65311 WWWWP
65322 WWWWP
В графе есть 2 контура
5431 WWWL
7652 WWWL
Контур L1 пересекает контур L2 поэтому определитель графа
вычисляется по формуле
)(1 21 LL
Контуры в этом примере пересекают все пути поэтому допол-
нительные множители путей равны
24
11
12
Окончательно можно записать
1
)(543765
65326531
2
1
WWWWWW
WWWWWWWWP
sW iii
Таким образом использование сигнальных графов и применение
формулы Мейсона позволяет алгоритмизировать процесс упрощения
структурной схемы
Третий способ для получения ПФ заключается в составлении
системы уравнений Необходимо обозначить выходы сумматоров и
составить систему уравнений на основе этих обозначений На рис9
представлена исходная схема с обозначенными сумматорами
W1
W2 W3
W4
W5 W6
W7
+
+
+
-
Z H
u y
Рис 9 Исходная схема САУ с обозначенными сумматорами
Опишем все сигналы в системе в виде уравнений
)( 4521 HWWuWWZ
73 yWZWH
65 HWWy
Подставив последовательно значения сигналов найдем ПФ
))(( 734521 yWWHWWuWWH
После преобразования получим
25
1
)(
543
73231
WWW
yWuWWWWH
Подставим полученное значение H в уравнение y
1
))((
543
6573231
WWW
WWyWuWWWWy
Получим ПФ вида
1
)(543765
65326531
WWWWWW
WWWWWWWW
u
ypW
4 Краткое описание MATLAB
Лабораторная работа выполняется в программе математического
моделирования MATLAB Программа MATLAB включает в себя пакет
прикладных программ для решения технических задач и одноименный
язык программирования используемый в этом пакете
Основными компонентами системы являются базовая система
MATLAB и пакет моделирования систем Simulink Остальные пакеты
расширения разбиты на 4 категории ndash расширения Extension MATLAB и
Extension Simulink а также комплексы пакетов расширения Blockset и
Toolbox
Раздел MATLAB Extension содержит средства для подготовки ис-
полняемых приложений MATLAB (с подключаемыми библиотеками и
без них)
Раздел Toolbox (инструментальные средства) содержит самое
большое число пакетов расширений системы MATLAB такие как
laquoControl systemraquo laquoDatabaseraquo laquoFuzzy logicraquo laquoWaveletraquo и тд
В разделе Blockset расположено несколько пакетов относящихся к
главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink такие как
laquoDSPraquo laquoFixed-Pointraquo laquoNonlinear control designraquo и laquoPower systemsraquo
В разделе Extension Simulink имеется ряд средств предназначен-
ных для моделирования в реальном масштабе времени и событийно-
управляемом моделировании
26
5 Структурные преобразования в MATLAB
В пакете MATLAB имеется ряд функций с помощью которых
можно выполнять структурные преобразования (используется экви-
валентная схема)
ndash series(w1w2) ndash последовательное соединение звеньев
ndash parallel(w1w2) ndash параллельное соединение звеньев
ndash feedback(w1w2) ndash включение звена w2 в контур отрицательной об-
ратной связи к w1
ndash feedback(w1w2sign) ndash включение звена w2 в контур обратной связи
звена w1 с указанием знака + или ndash (очевидно feedback(w1w2)=
=feedback(w1w2-1))
Пример
Даны две передаточные функции
22
221
ss
sW
22
322
2
2
ss
ssW
Опишем ПФ введя в окне команд MatLab следующие команды
gtgt w1=tf([1 2][1 2 2])
gtgt w2=tf([1 2 3][1 2 2])
Выполним структурные преобразования для данных ПФ
gtgt w2=series(w1w2)
Transfer function
s^3 + 4 s^2 + 7 s + 6
------------------------------------
s^4 + 4 s^3 + 8 s^2 + 8 s + 4
gtgt w3=parallel(w1w2)
Transfer function
s^4 + 5 s^3 + 13 s^2 + 16 s + 10
----------------------------------------
s^4 + 4 s^3 + 8 s^2 + 8 s + 4
27
gtgt w4=feedback(w1w2)
Transfer function
s^3 + 4 s^2 + 6 s + 4
----------------------------------------
s^4 + 5 s^3 + 12 s^2 + 15 s + 10
Для проверки правильности проведенных преобразований необ-
ходимо собрать схему исходной САУ и соответствующую ей эквива-
лентную схему в MATLAB Simulink
Исходная схема САУ собирается как модель из соответствую-
щих элементов таких как laquoTransfer Fncraquo laquostepraquo laquosignal builderraquo
laquoscoperaquo и laquosumraquo Все эти элементы находятся в пакете laquoSimulinkraquo и
представлены в виде блоков Для того чтобы создать новую модель
необходимо нажать laquoFile-gtNew-gtModel (Simulink)raquo после откроется
окно модели в которую нужно будет добавлять элементы из библио-
теки для доступа к ней необходимо нажать на значок laquoLibrary Brows-
erraquo
Описание используемых элементов из пакета Simulink
1 Transfer Fnc ndash передаточная функция
2 Step ndash единичный скачок (функция Хэвисайда) в блоке необходи-
мо задать время начала перехода (step time)
3 Signal builder ndash блок для моделирования сигнала по заданным па-
раметрам (можно построить единичный скачок и импульсную функ-
цию)
4 Scope ndash виртуальный осциллограф отображает получившийся гра-
фик открывается двойным щелчком левой клавиши мыши и для кор-
рекции масштаба необходимо нажать правой кнопкой по графику и
из выпадающего меню выбрать laquoautoscaleraquo
5 Sum ndash сумматор в параметрах задается число сигналов соответ-
ственно laquo+raquo - положительный laquondashraquo - отрицательный
Так же нужно задать время работы модели для этого необходи-
мо выбрать laquoSimulation-gtSimulation parametersraquo и установить пара-
метр laquostop timeraquo на нужное значение и после необходимо запустить
модель на выполнение нажав на значок laquoStart simulationraquo Пример
модели составленной в MATLAB представлен на рис 10
28
Рис 10 Пример схемы САУ с блоком laquosignal builderraquo
Задача считается решенной если при подаче на вход обоих
схем одинаковых тестовых воздействий (единичный скачок импуль-
сная функция) наблюдаются одинаковые выходные сигналы
6 Задание на лабораторную работу
Выполнить преобразование структурной схемы САУ в эквива-
лентную передаточную функцию Составить модель исходной схемы
САУ в MATLAB С помощью ряда функций MATLAB (структурные
преобразования) составить эквивалентную схему Вариант задания
назначается преподавателем
7 Методика выполнения задания
Порядок выполнения работы
1 Выполнить преобразование заданного варианта структурной
схемы САУ (см табл 2) в эквивалентную ПФ тремя способами
ndash непосредственно используя правила табл 1
ndash используя представление в виде сигнального графа и формулу
Мейсона
ndash составив систему уравнений и решив еѐ
2 В качестве звеньев W1W2W3 использовать передаточные
функции звеньев представленных в табл 2
3 Составить модель исходной схемы САУ в MATLAB постро-
ить реакцию получившейся модели на ступенчатое и импульсное
воздействия
4 С помощью ряда функций MATLAB (структурные преобразо-
вания) составить эквивалентную схему и построить реакцию на сту-
пенчатое и импульсное воздействия
5 Подготовить ответы на контрольные вопросы
29
Таблица 2
Варианты структур САУ
Исходная схема
Передаточные
функции
1 W1
W3
W2
-
+
-
+
u y
+
1
31
sW
2
442
s
sW
12
133
s
sW
2 W1
W3
W2
-
+
-
+
u y
+ +
3 W3
W2
W1
-
+
-
+
u y
+ +
4 W3
W1
W2
+
+
-
+
u y
+ +
1
21
sW
2
12
sW
12
13
s
sW
5
W1
W3
W2
-
+
-
+
u y
+ +
6
W1
W3
W2
-
+
-
+
u y
+
62
31
sW
2
52
sW
1
23
s
sW
7
W1
W3
W2
-
+
-
+
u y
+ +
8
W1
W2
W3
-
+
-
+
u y
+ +
30
8 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) описание всех этапов преобразования исходной схемы и по-
лучающихся промежуточных результатов выполненными тремя спо-
собами моделирование реакции схемы на типовое воздействие (ска-
чок) до и после преобразования
б) сигнальный граф системы описание путей контуров расчет
ПФ по формуле Мейсона
в) решение составленной системы уравнений
г) схема модели и протокол команд MATLAB
д) графики переходных процессов при подаче на вход исходной
и эквивалентной схемы типовых тестирующих воздействий (скачок
импульс)
е) ответы на контрольные вопросы
Контрольные вопросы
1 Что называется структурной схемой Какие задачи можно
решить с еѐ помощью
2 Как может быть составлена структурная схема
3 Что позволяет алгоритмизировать процесс упрощения струк-
турной схемы Поясните на конкретном примере
31
Лабораторная работа 3
ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
ДИНАМИЧЕСКИХ ЗВЕНЬЕВ
1 Цель работы
Целью работы является изучение частотных характеристик ти-
повых динамических звеньев с использованием автоматизированных
средств моделирования на ПК ndash MATLAB SIMULINK
2 Задачи работы
ndash Закрепление углубление и расширение знаний студентов при
исследовании частотных характеристик динамических звеньев
ndash Приобретение умений и навыков работы с программой мате-
матического моделирования MATLAB
ndash Выработка способности логического мышления осмысление
полученных данных частотных характеристик
3 Теоретическая часть Сущность метода частотных характеристик заключается в том
что на вход исследуемой системы подается гармонический сигнал (си-
нусоидальные колебания) в широком диапазоне частот Реакция си-
стемы при разных частотах позволяет судить о ее динамических
свойствах
Пусть входной сигнал системы имеет амплитуду а и частоту ω т е
описывается формулой
)sin( tax
Выходной сигнал будет иметь амплитуду А1 и отличаться от вход-
ного по фазе на величину ψ (фазовый сдвиг)
)sin(1 tAy
Таким образом можно рассчитать усиление по амплитуде
1
a
AA
32
Для каждой частоты входного сигнала ω будут свои А и ψ
Изменяя ω в широком диапазоне можно получить зависимость
А(ω) ndash амплитудную частотную характеристику (АЧХ) и ψ(ω) ndash фазо-
вую частотную характеристику (ФЧХ)
Главное достоинство метода частотных характеристик заключа-
ется в том что АЧХ и ФЧХ объекта могут быть получены экспери-
ментально Для этого необходимо иметь генератор гармонических
колебаний который подключается к входу объекта и измеритель-
ную аппаратуру для измерения амплитуды и фазового сдвига колеба-
ний на выходе объекта
Частотные характеристики САУ могут быть получены по ее ПФ
W(s) Для суждения о реакции звена на синусоидальный сигнал доста-
точно исследовать его реакцию на гармонический сигнал вида
)( tjejx
Тогда выходной сигнал определяется по соотношению
)()( ))(( tjeAjy
и частотная ПФ получается равной
)()(
)()( )(
jeA
jx
jyjW
Формально для получения частотной ПФ надо сделать в W(s)
подстановку s = jω и тогда полученная W(jω) является комплексным
выражением которое можно представить в виде
)()(
)()()(
22
11
jba
jbajW
Для нахождения вещественной и мнимой частей частотной пе-
редаточной функции необходимо умножить числитель и знаменатель
на сопряженную знаменателю величину а затем провести
разделение
33
)()()(
)()(
)()()()(
)()(
)()()()(
))()())(()((
))()())(()((
)()(
)()()(
)(
22
22
2112
22
22
2121
2222
2211
22
11
jeAjVU
ba
babaj
ba
bbaa
jbajba
jbajba
jba
jbajW
где
)()()()(22
22
21
2122
ba
baVUjWA
)(
)())(arg()(
2
2
1
1
a
barctg
a
barctg
U
VarctgjW
Графики функции )(U и )(V называют соответственно веще-
ственной и мнимой частотной характеристиками
В практических расчетах удобно применять графики частотных
характеристик построенных в логарифмическом масштабе ndash лога-
рифмические частотные характеристики (ЛЧХ)
Логарифмическая амплитудная частотная характеристика
(ЛАЧХ) определяется следующим выражением
)(lg20)( AL
Логарифмической фазовой частотной характеристикой
(ЛФЧХ) называется график зависимости )( построенный в лога-
рифмическом масштабе частот
Единицей L(ω) является децибел (дБ) а единицей логарифма ча-
стоты ndash декада Декадой называют интервал частот на котором часто-
та изменяется в 10 раз При изменении частоты в 10 раз говорят что
она изменилась на одну декаду Ось ординат при построении ЛЧХ про-
водят через произвольную точку а не через точку ω = 0 Частоте ω = 0
соответствует бесконечно удаленная точка lgω rarr ndash infin при ω rarr 0
Основное преимущество использования ЛЧХ заключается в том
что приближенные (асимптотические) ЛАЧХ типовых динамических
звеньев изображаются отрезками прямых
Пример Построим ЛЧХ апериодического звена первого
34
порядка
Передаточная функция звена
1
)(
Ts
ksW
Частотная передаточная функция
1)(
)1(
1)(
2
T
Tjk
Tj
kjW
1)(
1)( 22
T
kTV
T
kU
Следовательно АЧХ описывается формулой
1)(
)(2
T
kA
ФЧХ строится по формуле
)()( Tarctg
ЛАЧХ апериодического звена 1-го порядка
1)(lg20lg20)( 2 TkL
По этой формуле можно построить две асимптоты ndash прямые к
которым стремится ЛАЧХ при ω rarr 0 и при ω rarr infin Так при ω rarr 0 второе
слагаемое близко к нулю и этот участок ЛАЧХ представляет собой
горизонтальную прямую
lg20)( kL
При ω rarr infin получаем наклонную прямую
1)(lg20)( 2 TL
35
Для определения наклона этой прямой можно рассмотреть гра-
ницы декады
T
1 и
10
T
Изменение ЛАЧХ между этими точками
)(2011
lg20110
lg20)(
22
декдБT
TT
TL
ЛЧХ часто называют диаграммами Боде
4 Краткое описание MATLAB
Лабораторная работа выполняется в программе математического
моделирования MATLAB Она включает в себя пакет прикладных про-
грамм для решения технических задач и одноименный язык программи-
рования используемый в этом пакете
Основными компонентами системы являются базовая система
MATLAB и пакет моделирования систем Simulink Остальные пакеты
расширения разбиты на 4 категории ndash расширения Extension MATLAB и
Extension Simulink а также комплексы пакетов расширения Blockset и
Toolbox
Раздел MATLAB Extension содержит средства для подготовки ис-
полняемых приложений MATLAB (с подключаемыми библиотеками и
без них)
Раздел Toolbox (инструментальные средства) содержит самое
большое число пакетов расширений системы MATLAB такие как
laquoControl systemraquo laquoDatabaseraquo laquoFuzzy logicraquo laquoWaveletraquo и тд
В разделе Blockset расположено несколько пакетов относящихся к
главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink такие как
laquoDSPraquo laquoFixed-Pointraquo laquoNonlinear control designraquo и laquoPower systemsraquo
В разделе Extension Simulink имеется ряд средств предназначен-
ных для моделирования в реальном масштабе времени и событийно-
управляемом моделировании
36
5 Построение частотных характеристик в MATLAB В пакете MATLAB ЛЧХ объекта заданного с помощью ПФ
можно получить командой bode
Пример
gtgt w=tf([1 2][3 4 5])
gtgt bode(w)
Для нескольких вариантов передаточной функции можно исполь-
зовать вариант команды вида
gtgt bode(ww1w2)
Например построим диаграмму Боде при различных параметрах
колебательного звена (рис 1)
gtgt w=tf([1][2 03 1])
gtgt w1=tf([1][2 05 1])
gtgt w2=tf([1][2 01 1])
gtgt bode(ww1w2)
Рис 1 ЛЧХ колебательного звена
6 Задание на лабораторную работу
С помощью пакета MATLAB построить ЛЧХ каждого типового
звена Определить влияние коэффициентов входящих в описание
каждого звена на параметры ЛАЧХ и ЛФЧХ Вариант задания назна-
чается преподавателем
37
7 Методика выполнения задания
Порядок выполнения работы
1 Задать передаточную функцию типового динамического звена
используя параметры из табл 2 лабораторной работы 1
2 Построить диаграмму Боде при различных параметрах типо-
вого динамического звена
3 Определить влияние коэффициентов входящих в описание
каждого звена на параметры ЛАЧХ и ЛФЧХ в том числе
ndash как меняется ширина асимптотических участков ЛАЧХ и
ЛФЧХ
ndash как меняется положение точек пересечения осей ЛАЧХ
4 Написать вывод по влиянию коэффициентов на типовое звено
5 Выполнить пункты 1-4 для всех типовых звеньев
6 Подготовить ответы на контрольные вопросы
8 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) титульный лист
б) краткие теоретические сведения
в) передаточные функции и схемы моделирования исследуемых
звеньев
г) экспериментально полученные характеристики при вариации
параметров каждого звена
д) выводы обобщающие проделанные эксперименты по каждо-
му звену
ж) ответы на контрольные вопросы
Контрольные вопросы
1 Как пользуясь частотными характеристиками определить па-
раметры (коэффициенты передаточной функции) звена Пояс-
нить на конкретных примерах
2 Указать особенности построения ЛАХ и ЛФХ динамических
звеньев Что понимается под асимптотической ЛАХ звена
3 Как осуществляется построение АФХ динамического звена
38
Лабораторная работа 4
ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ СИСТЕМ
С ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ
1 Цель работы
Изучение особенностей практического использования алгебраи-
ческих и частотных критериев устойчивости для анализа динамики
линейных САУ с использованием автоматизированных средств моде-
лирования на ПК ndash MATLAB SIMULINK
2 Задачи работы
ndash Закрепление углубление и расширение знаний студентов при
исследовании устойчивости систем с обратной связью
ndash Приобретение умений и навыков работы с программой мате-
матического моделирования MATLAB
ndash Овладение новыми методами проверки устойчивости систем
с обратной связью
ndash Выработка способности логического мышления осмысления
полученных данных
3 Теоретическая часть
Устойчивость САУ является одним из основных условий ее ра-
ботоспособности и включает требование затухания во времени пере-
ходных процессов
Система является устойчивой если при ограниченном входном
сигнале еѐ выходной сигнал также является ограниченным Если
система устойчива то она противостоит внешним воздействиям а
выведенная из состояния равновесия возвращается снова к нему
Система с расходящимся переходным процессом будет неустойчивой и
неработоспособной
Необходимое и достаточное условие устойчивости заключается в
том чтобы все корни характеристического уравнения (полюсы пере-
даточной функции системы) имели отрицательные вещественные ча-
сти Иначе говоря условием устойчивости системы является распо-
ложение всех полюсов в левой комплексной полуплоскости Тогда все
полюсы будут давать затухающую реакцию
Выше сформулированное условие устойчивости справедливо как
39
для линейных так и для линеаризованных систем Однако в случае
нулевых или чисто мнимых корней характеристического уравнения
вопрос об устойчивости линеаризованной системы может быть ре-
шен только на основании исследования ее нелинейных уравнений
В конце XIX и первой половине XX в задача вычисления корней
характеристического уравнения высокого порядка вызывала боль-
шие проблемы Поэтому были предложены несколько косвенных
методов оценки устойчивости позволяющих обойтись без вычисле-
ния корней ndash по значениям коэффициентов характеристического
уравнения
Критерии устойчивости разделяют на алгебраические и частот-
ные В частности к алгебраическим критериям относится критерий
Гурвица к частотным критериям ndash критерий Найквиста
Критерий Гурвица является алгебраическим критерием и при-
меняется к коэффициентам характеристического уравнения замкнутой
системы
Пусть имеется характеристическое уравнение замкнутой
системы
0011
1 apapapa n
nn
n
Из коэффициентов характеристического уравнения составляют
матрицу по правилу
1 По диагонали записываются коэффициенты от 1na до 0a
2 Каждая строка дополняется коэффициентами с возрастающи-
ми индексами слева направо так чтобы чередовались строки с нечет-
ными и четными индексами
3 В случае отсутствия индекса а также если он меньше 0 или
больше п на его место пишется 0
Таким образом матрица Гурвица приобретает следующий вид
40
Критерий устойчивости формулируется так
Чтобы система была устойчивой необходимо и достаточно что-
бы при 0na были положительными все п диагональных определи-
телей получаемых из матрицы Гурвица
Первые три определителя матрицы Гурвица имеют следующий
вид
Таким образом критерий Гурвица позволяет судить об абсо-
лютной устойчивости но он не дает возможности оценивать относи-
тельную устойчивость по корням характеристического уравнения
Частотный критерий устойчивости Найквиста анализирует
АФЧХ разомкнутой системы
Пусть имеется АФЧХ разомкнутой системы W(jω)
Для нахождения вещественной и мнимой части частотной ха-
рактеристики нужно освободиться от мнимости в знаменателе путем
умножения числителя и знаменателя на комплексную величину со-
пряженную знаменателю а затем выполнить разделение на веще-
ственную и мнимую части W(jω) приобретает вид
)()()( jQPjW
Задаваясь различными значениями частоты можно найти мно-
жество пар )()( 11 jQP )()( 22 jQP )()( nn jQP
Затем по этим парам строится АФЧХ на комплексной плоскости
Основные свойства АФЧХ разомкнутой системы
1 Если разомкнутая система не имеет интегрирующих звеньев
то при ω = 0 ее АФЧХ начинается на вещественной оси в точке
Р(ω)=К (где К ndash коэффициент усиления разомкнутой системы) За-
канчивается АФЧХ в начале координат при ω rarr infin (рис 1 а)
2 Если разомкнутая система имеет одно интегрирующее звено то
ее АФЧХ начинается при ω = 0 в бесконечности на отрицательной мни-
мой полуоси а заканчивается в начале координат при ω rarr infin (рис 1 б)
41
Рис 1 АФЧХ разомкнутой системы
Критерий устойчивости Найквиста формулируется так
1 Если разомкнутая система устойчива или находится на гра-
нице устойчивости то для того чтобы замкнутая система была
устойчива необходимо и достаточно чтобы АФЧХ разомкнутой
системы при изменении частоты ω от 0 до infin не охватывала точку с ко-
ординатами (-1 j0)
2 Если разомкнутая система неустойчива а ее передаточная
функция имеет т полюсов справа от мнимой оси на комплексной
плоскости то для устойчивости замкнутой системы необходимо и до-
статочно чтобы АФЧХ разомкнутой системы при изменении частоты
ω от -infin до +infin охватывала т раз точку с координатами (-1 j0)
При использовании этого критерия нужно учитывать две
особенности
1 Если разомкнутая система находится на границе устойчиво-
сти то ее АФЧХ уходит в бесконечность Для проверки критерия Най-
квиста нужно мысленно соединить конец АФЧХ дугой бесконечно
большого радиуса с положительной вещественной полуосью
2 На практике АФЧХ может строиться только для положитель-
ных частот (0 lt ω lt +infin) При применении критерия Найквиста счита-
ется что ветвь АФЧХ для отрицательных частот симметрична отно-
сительно вещественной оси
Физический смысл критерия устойчивости Найквиста заключа-
ется в том что система будет неустойчива если фаза выходного сиг-
нала противоположна фазе входного сигнала а коэффициент усиле-
ния больше 1 Поэтому для анализа устойчивости можно использо-
вать не АФЧХ а ЛАХ системы (для минимально-фазовых систем)
Система устойчива если на частоте среза значение фазы не превы-
шает -π Соответственно для устойчивой системы можно рассматри-
вать на ЛФЧХ запас устойчивости по фазе ndash расстояние от значения
фазы на частоте среза до уровня -π и запас устойчивости по амплиту-
42
де ndash расстояние от оси частот ЛАЧХ до значения усиления на часто-
те где фаза становится равной -π
4 Краткое описание MATLAB
Лабораторная работа выполняется в программе математического
моделирования MATLAB Программа MATLAB включает в себя пакет
прикладных программ для решения технических задач и одноименный
язык программирования используемый в этом пакете
Основными компонентами системы являются базовая система
MATLAB и пакет моделирования систем Simulink Остальные пакеты
расширения разбиты на 4 категории ndash расширения Extension MATLAB и
Extension Simulink а также комплексы пакетов расширения Blockset и
Toolbox
Раздел MATLAB Extension содержит средства для подготовки ис-
полняемых приложений MATLAB (с подключаемыми библиотеками и
без них)
Раздел Toolbox (инструментальные средства) содержит самое
большое число пакетов расширений системы MATLAB такие как
laquoControl systemraquo laquoDatabaseraquo laquoFuzzy logicraquo laquoWaveletraquo и тд
В разделе Blockset расположено несколько пакетов относящихся к
главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink такие как
laquoDSPraquo laquoFixed-Pointraquo laquoNonlinear control designraquo и laquoPower systemsraquo
В разделе Extension Simulink имеется ряд средств предназначен-
ных для моделирования в реальном масштабе времени и событийно-
управляемом моделировании
5 Исследование устойчивости САУ в MATLAB
Для проверки устойчивости САУ по Гурвицу постройте матрицу
Гурвица и найдите ее детерминант (функция det) Затем последова-
тельно уменьшая размер матрицы найдите значения всех диагональ-
ных детерминантов Пример
gtgt А=[1 14 18 2 5 2 3 4 3]
А =
1 14 18
2 5 2
3 4 3
gtgt det(A)
ans = -119
43
gtgt А1=А(12 12)
А1 =
1 14
2 5
gtgt det(A1)
ans = -23
Для проверки устойчивости САУ по Найквисту сначала нужно
выяснить является ли устойчивой разомкнутая система
Пример Пусть дана передаточная функция разомкнутой
системы
13232
12234
pppp
pW
Рассмотрим реакцию на скачок
gtgt w=tf([2 1][2 3 2 3 1])
gtgt step(w18)
График переходного процесса показан на рис 2
Рис 2 Переходная реакция
Разомкнутая система неустойчива и согласно критерию Найкви-
ста надо чтобы АФЧХ разомкнутой системы охватывала точку (-1 j0)
44
столько раз сколько полюсов имеется справа от мнимой оси Для по-
строения АФЧХ достаточно вызвать команду nyquist
gtgt nyquist(w)
Диаграмма Найквиста показана на рис 3
Рис 3 Диаграмма Найквиста для неустойчивой системы
Как показывает рис3 АФЧХ ни разу не охватывает точку
(-1 j0) поэтому замкнутая система будет неустойчивой Частотный
критерий Найквиста можно использовать и в том случае когда рас-
сматривается не АФЧХ а ЛАЧХ разомкнутой системы замкнутая
минимально-фазовая система устойчива если при достижении ЛФЧХ
значения -π ЛАЧХ будет отрицательной
Используя ЛАЧХ и ЛФЧХ можно оценить запасы устойчивости
системы по амплитуде и по фазе с помощью команды
gtgt margin(w)
Пример
gtgt w=tf([10][2 2 3 1])
gtgt margin(w)
Соответствующий график показан на рис 4
45
Рис 4 Определение запасов устойчивости по амплитуде и по фазе
6 Задание на лабораторную работу
Выполнить исследование устойчивости замкнутой системы по за-
данной передаточной функции разомкнутой системы Определить запас
устойчивости по амплитуде и по фазе Вариант задания назначается
преподавателем
7 Методика выполнения задания
Порядок выполнения работы
1 Рассчитать передаточную функцию замкнутой системы по
приведенной в табл 1 разомкнутой системе
2 Определить устойчивость замкнутой системы используя кри-
терий Гурвица
3 Определить устойчивость замкнутой системы используя кри-
терий Найквиста
4 Определить запас устойчивости по амплитуде и по фазе ис-
пользуя ЛАЧХ и ЛФЧХ
5 Выполнить моделирование переходных процессов разомкну-
той и замкнутой систем
6 Подготовить ответы на контрольные вопросы
46
Таблица 1
Варианты заданий
Передаточная функция разомкнутой системы
1 1355
2234
ssss
W
2 110050
1234
ssss
W
3 11010
123
sss
W
4 122105
100234
ssss
W
5 1248
123
sss
W
6 1223
102345
sssss
W
7 11001010
323
sss
W
8 122
1023
sss
W
9 11010
123
sss
W
10 15050332
102345
sssss
W
8 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) титульный лист
б) краткие теоретические сведения
в) переходную функцию разомкнутой системы
г) расчет передаточной функции замкнутой системы
д) расчетные выражения для обоснования устойчивости замкну-
той системы по алгебраическому критерию Гурвица
е) годограф Найквиста разомкнутой системы на основании кото-
рого делается вывод об устойчивости замкнутой системы
ѐ) переходную функцию замкнутой системы
ж) проверку полученных результатов путем компьютерного моде-
лирования переходных процессов разомкнутой и замкнутой си-
стемы в MATLAB Simulink
з) выводы по всем полученным результатам
47
Контрольные вопросы
1 Как связана устойчивость линейной САУ с видом составля-
ющих ее свободного движения
2 Зависит ли устойчивость линейных САУ от амплитуды зада-
ющих воздействий или возмущений
3 Сформулируйте критерий устойчивости Гурвица укажите на
необходимое условие устойчивости линейных САУ вытекаю-
щее из этого критерия
4 Сформулируйте критерий Найквиста для случая САУ устой-
чивых в разомкнутом состоянии а также для астатических САУ
Что такое laquoзапасы устойчивости по фазе и по амплитудеraquo
5 Что называется структурной устойчивостью
48
Лабораторная работа 5
КОРРЕКЦИЯ СТАТИЧЕСКИХ И ДИНАМИЧЕСКИХ
СВОЙСТВ САУ
1 Цель работы
Целью работы является изучение способов обеспечения иско-
мых характеристик САУ с использованием автоматизированных
средств моделирования на ПК ndash MATLAB SIMULINK
2 Задачи работы
ndash Закрепление углубление и расширение знаний студентов при
обеспечении искомых характеристик САУ
ndash Приобретение умений по обеспечению точности (уменьшение
статической ошибки) САУ и выбору значений параметров регулято-
ра обеспечивающих желаемые динамические свойства САУ
ndash Приобретение умений и навыков работы с программой мате-
матического моделирования MATLAB
3 Теоретическая часть
Коррекция статических и динамических свойств САУ имеет
своей целью повышение статической и динамической точности отра-
ботки системой задающего воздействия (или парирование возмуща-
ющего воздействия) повышение запасов ее устойчивости Наиболее
распространенными способами коррекции свойств САУ является из-
менение коэффициента усиления ее разомкнутой части введение в
САУ новых звеньев (как правило интегрирующего или дифференци-
рующего типа) охват объекта управления местной обратной связью
31 Коррекция статических свойств САУ
Статические свойства системы определяются величиной устано-
вившейся ошибки )t(уст вызванной действием задающего воздей-
ствия и определяемой по формуле
22
210 2 dttgdcdttdgctgctуст (1)
где )(tg - входное воздействие 210 ccc - коэффициенты ошибок
Коэффициенты ошибок определяются по формулам
49
dssdcdssdcscs
mmmss 00100
где s - передаточная функция САУ по ошибке управления рав-
ная
sW
sраз
1
1
sWраз - передаточная функция разомкнутой САУ
Основными способами уменьшения статической ошибки систе-
мы являются
1) увеличение коэффициента усиления прямого тракта системы
2) введение в прямой тракт системы интегрирующих звеньев
3) охват объекта управления местной неединичной положитель-
ной обратной связью
Представим структурную схему системы в виде изображенном
на рис 1 где через sW обозначена передаточная функция неизме-
няемой части системы
bsbsb
asasasW
nn
nn
mm
mm
01
1
01
1
Здесь и далее полагается что KKKsW s 000 0 ndash из-
меняемый коэффициент усиления регулятора системы
Первые два коэффициента ошибок 0c и 1c определяется выраже-
ниями
KK
c0
01
1
(2)
KK
dssdWKc
s
20
01
1
(3)
Из (2) и (3) с учетом (1) вытекает что с увеличением K
статическая ошибка в системе уменьшается и наоборот с уменьше-
нием K статическая ошибка в системе увеличивается
Введем в прямой тракт системы одно интегрирующее звено
50
(рис 2) В этом случае c 00 01 1 KKc
Так как c 00 то система на рис 2 является астатической (с
астатизмом первого порядка) Система имеет нулевую статическую
ошибку при отработке постоянного задающего воздействия
consttg и постоянную обратно пропорциональную K ошибку
constуст при отработке линейно изменяющегося воздействия
tatg
Рис 1 Схема САУ Рис 2 Схема САУ с включенным в прямой
тракт интегрирующим звеном
Охватим неизменяемую часть системы sW местной нееди-
ничной положительной обратной связью с коэффициентом усиления
осK (рис 3) Тогда эквивалентная передаточная функция sWэкв
неизменяемой части системы равна
10011
01
1
aKbsaKbsaKbsb
asasa
sWK
sWsW
ососm
mосmn
n
mm
mm
осэкв
(4)
Если коэффициент усиления K выбрать из условия
a
bKос
0
0
то свободный коэффициент (b0 - Koca0) полинома знаменателя sWэкв
обратится в нуль и sWэкв приобретает интегрирующие свойства
11
11
0
1
1
aKbsaKbsbs
asasasW
ос
m
mосm
n
n
m
m
m
mэкв
g(t) y(t)ε(t)
K W(s)-
g(t) y(t)
Ks W(s)-
ε(t)
51
Следовательно замкнутая система становится астатической (с
астатизмом 1-го порядка) Отсюда 0c =0 а коэффициент 1c будет
равен
aKb
bc
ос 11
01
ε(t)g(t) y(t)
W(s)-
Kос
Wэкв(s)
+
Рис 3 Схема САУ с местной неединичной обратной связью
32 Коррекция динамических свойств САУ
Улучшение динамических свойств САУ заключается в увеличе-
нии быстродействия САУ (уменьшении времени регулирования tрег)
уменьшении перерегулирования (см рис 4) а также увеличении
запасов устойчивости по фазе и по модулю При этом
h
hh
уст
устmax100
где maxh - максимальное значение переходной характеристики за-
мкнутой САУ th
устh - установившееся значение th
Время регулирования tрег - минимальная величина при которой удо-
влетворяется условие
устрег hth
где - заданная величина ошибки (обычно =005 устh )
52
h(t)
tрег
hустhmax
2δ
Рис 4 Быстродействие и перерегулирование САУ
Одним из эффективных средств достижения этой цели является
уменьшение отрицательных фазовых сдвигов в прямом тракте систе-
мы путем охвата неизменяемой части системы местными отрицатель-
ными обратными связями
На рис 5 R(s) представляет собой передаточную функцию регу-
лятора САУ которая считается заданной
ε(t)g(t) y(t)
W(s)-
Kос
Wэкв(s)
-
R(s)
u(t)
Рис 5 Схема САУ с местной обратной связью и регулятором
Пусть неизменяемая часть системы представляет собой аперио-
дическое звено первого порядка те
sT
K)s(W
10
0
Тогда передаточная функция sWэкв эквивалентного объекта
управления равна
sT
K
sWK
sWsW
экв
экв
осэкв
11
где зквK и эквT - коэффициент усиления и постоянная времени
эквивалентного объекта равные
53
KK
KK
осэкв
0
0
1
KK
TT
осэкв
0
0
1 (5)
Из (5) следует что соответствующим выбором осK постоянную
времени эквT эквивалентного объекта можно уменьшить в (1+ 0KKос )
раз по сравнении с постоянной времени 0T объекта без местной об-
ратной связи Тем самым уменьшаются отрицательные фазовые сдви-
ги вносимые прямым трактом системы что приводит к увеличению
запасов устойчивости системы При этом однако уменьшается в
(1+ 0KKос ) раз коэффициент усиления эквK эквивалентного объекта
по сравнению с коэффициентом усиления 0K объекта без местной
обратной связи Это нежелательно так как приводит к уменьшению
быстродействия системы вследствие уменьшения общего коэффици-
ента усиления прямого тракта системы В этом случае с целью обес-
печения необходимого быстродействия системы увеличивают коэф-
фициент усиления регулятора
4 Краткое описание MATLAB
Лабораторная работа выполняется в программе математического
моделирования MATLAB Программа MATLAB включает в себя пакет
прикладных программ для решения технических задач и одноименный
язык программирования используемый в этом пакете
Основными компонентами системы являются базовая система
MATLAB и пакет моделирования систем Simulink Остальные пакеты
расширения разбиты на 4 категории ndash расширения Extension MATLAB и
Extension Simulink а также комплексы пакетов расширения Blockset и
Toolbox
Раздел MATLAB Extension содержит средства для подготовки ис-
полняемых приложений MATLAB (с подключаемыми библиотеками и
без них)
Раздел Toolbox (инструментальные средства) содержит самое
большое число пакетов расширений системы MATLAB такие как
laquoControl systemraquo laquoDatabaseraquo laquoFuzzy logicraquo laquoWaveletraquo и тд
54
В разделе Blockset расположено несколько пакетов относящихся к
главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink такие как
laquoDSPraquo laquoFixed-Pointraquo laquoNonlinear control designraquo и laquoPower systemsraquo
В разделе Extension Simulink имеется ряд средств предназначен-
ных для моделирования в реальном масштабе времени и событийно-
управляемом моделировании
5 Задание на лабораторную работу
Выполнить исследование способов коррекции статических и
динамических свойств САУ Определить время регулирования и пе-
ререгулирования в исходной и скорректированной системах а также
для динамических свойств САУ определить запасы устойчивости в
исходной системе и найти экспериментально значение Kос обеспечи-
вающее в системе заданные показатели качества и запасы устойчиво-
сти Вариант задания назначается преподавателем
Таблица 1
Варианты заданий
варианта
Параметры
1
2
3
4
5
6
7
8
a 05 10 15 20 25 30 35 40
K0 1 2 3 4 5 6 7 8
T c 03 04 05 06 07 08 09 10
ξ 06 07 08 08 07 09 05 04
уст 0 0 005 0 010 007 0 0
tрег c le 13 15 20 25 30 35 40 40
le 0 10 10 5 5 5 0 0
В качестве исходных САУ выступают системы изображенные
на рис 6 и 7
55
ε(t)g(t) y(t)
W(s)-
g(t) y(t)
R(s) W(s)-
ε(t) u(t)
Рис 6 САУ с отрицательной Рис 7 САУ с отрицательной обратной
обратной связью связью и регулятором
6 Методика выполнения задания
При исследовании способов коррекции статических свойств
САУ в качестве исходных данных выступает передаточная функция
sW неизменяемой части системы вида
1222
0
sTsT
KsW (6)
и задающие воздействия вида ttg 1 в соответствии с таблицей 1
В процессе выполнения этой части работы необходимо
1) путем моделирования в системе MATLAB исходной САУ
(рис 6) получить графики ttytg
2) сравнить полученную таким образом экспериментальную ве-
личину t с теоретической величиной вычисленной по формуле (1)
3) применяя описанные в теоретической части методических
указаний способы коррекции статических свойств (см п 31) обес-
печить требуемую статическую ошибку εуст системы при отработке
задающего воздействия ttg 1
4) получить графики ty и t в скорректированной системе
для 1 ttg
5) сравнить время регулирования регt и перерегулирование в
исходной и скорректированной системах при 1 ttg
При исследовании рассмотренного способа коррекции динами-
ческих свойств САУ (см п 32) в качестве исходных данных высту-
пают передаточная функция sW неизменяемой части системы
вида (6) и передаточная функция регулятора вида
s
KsR
рег
56
Задающее воздействие ttg 1
В процессе выполнения данной части работы необходимо
1) получить путем моделирования в MATLAB графики ty t
в системе (рис 7)
2) определить время регулирования регt и перерегулирование
а также запасы устойчивости в исходной системе
3) применяя описанный выше способ коррекции динамических
свойств САУ найти экспериментально (путем последовательного пе-
ребора) значение осK обеспечивающее в системе заданные заданием
показатели качества ( регt ) и запасы устойчивости (при необхо-
димости увеличить коэффициент регK )
4) получить графики ty t а также ЛАХ и ЛФХ разомкну-
той системы в скорректированной САУ
7 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) титульный лист
б) структурные схемы исследуемых систем
в) полученные графики и характеристики
г) значения полученные экмпериментально которые
обеспечивают заданные показатели качества и запасы устойчивости
д) выводы обощающие проделанные эксперименты для
коррекции статических и динамических свойств САУ
е) ответы на контрольные вопросы
Контрольные вопросы 1 Дать определение статической и астатической САУ
2 Какими структурными свойствами системы определяется по-
рядок ее астатизма
3 Какой из двух приведенных выше способов придания системе
свойств астатизма 1-го порядка наиболее предпочтителен на
практике
4 Назовите основные показатели качества САУ Поясните их
смысл
5 В чѐм суть исследуемого способа коррекции динамических
свойств САУ
57
6 Назвать другие способы коррекции динамических свойств
САУ
7 Чем вызваны отрицательные фазовые сдвиги в неизменяемой
части САУ
58
Лабораторная работа 6
МЕТОД КОРНЕВОГО ГОДОГРАФА
1 Цель работы
Целью работы является построение корневого годографа и ис-
следование динамики системы с использованием автоматизирован-
ных средств моделирования на ПК ndash MATLABSIMULINK
2 Задачи работы
ndash Закрепление углубление и расширение знаний студентов при
исследование динамики системы
ndash Овладение навыком построения корневого годографа
ndash Приобретение умений и навыков работы с программой мате-
матического моделирования MATLAB
3 Теоретическая часть
Корневым годографом (КГ) называется совокупность траекто-
рий перемещения всех корней характеристического уравнения за-
мкнутой системы при изменении какого-либо параметра этой систе-
мы
Обычно метод КГ позволяет находить полюса и нули ПФ за-
мкнутой системы располагая полюсами и нулями разомкнутой си-
стемы при изменении коэффициента усиления разомкнутой системы
K
ПФ разомкнутой системы Wp(s) представим в следующем виде
)(
)(
1
1
0
n
ii
m
jj
p
ss
ssKC
sW (1)
где 0js ndash нули ПФ sWp )1( mj
is ndash полюса ПФ sWp
)1( nj n и m ndash порядки знаменателя и числителя C ndash коэффици-
ент представления (отношение коэффициентов при старших членах
числителя и знаменателя)
59
При замыкании системы с ПФ sWp единичной отрицатель-
ной обратной связью ПФ замкнутой системы sWз принимает вид
)(1
)(
sW
sWsW
p
pз
(2)
Из выражения (2) следует что нули ПФ замкнутой системы рав-
ны нулям ПФ разомкнутой системы
Для нахождения полюсов рассмотри выражение
01 sWp (3)
в соответствии с выражением (1) имеем
n
i
m
jjin
ii
m
jj
ssKCss
ss
ssKC
1 1
0
1
1
0
)()(01
)(
)(
(4)
На основании выражения (4) можно сказать что при K = 0 корни
характеристического уравнения совпадают с полюсами а при K = infin ndash
с нулями При изменении K от 0 до infin траектории корней начинаются
в полюсах и заканчиваются в нулях Обычно полюсов больше чем
нулей В этом случаем mn ветвей корневого годографа стремятся к
infin
Для определения полюсов замкнутой системы с отрицательной
обратной связью необходимо решить уравнение (его называют ос-
новным уравнением метода КГ)
1sWp (5)
Так как sWp является функцией комплексного переменного
s то уравнение (5) распадается на два уравнения уравнение модулей
1)( sWp (6)
60
и уравнение аргументов (фаза вектора -1 есть нечетное число π)
210)12()(arg sWp (7)
Как известно при умножении комплексных чисел их аргументы
складываются а при делении ndash вычитаются Поэтому исходя из вы-
ражения (1) уравнение (7) имеет наглядный геометрический смысл
Пусть точка s ndash полюс замкнутой системы Если провести в s
вектора из нулей sWp (обозначим аргументы этих векторов 0j ) и
вектора из всех полюсов sWp (обозначим аргументы этих векторов
i ) то уравнение (7) можно записать в следующем виде
m
j
n
iij
1 1
0 210)12( (8)
Углы q отсчитываются от положительного направления дей-
ствительной оси Знак угла laquo+raquo соответствует повороту против часо-
вой стрелки знак угла laquo-raquo соответствует повороту по часовой стрел-
ке
Таким образом любая точка КГ должна удовлетворять уравне-
нию (8) из которого следует что конфигурация КГ не зависит от ко-
эффициента усиления K но каждому конкретному значению K одно-
значно соответствуют точки на КГ
При умножении комплексных чисел их модули перемножаются
а при делении ndash делятся Поэтому на основании (6) можно записать
1
1
1
0
n
ii
m
jj
l
lKC
(9)
где 0jl ndash модуль (длина) вектора проведенного из j-нуля в точку s
КГ il ndash модуль вектора проведенного из i-полюса в ту же точку s
61
Таким образом траектории корней строятся только по уравне-
ниям фаз а уравнение модулей используется затем для нахождения
K
Сущность метода КГ заключается в том чтобы узнать каким
должен быть коэффициент усиления разомкнутой системы чтобы
было обеспечено желаемое положение корней замкнутой системы
Корневой годограф системы с отрицательной обратной связью
обладает следующими основными свойствами
1 Ветви КГ непрерывны и расположены на комплексной плос-
кости симметрично относительно действительной оси
2 Число ветвей КГ равно порядку системы n Ветви начинают-
ся в n полюсах разомкнутой системы при K=0 При возрастании K от
0 до infin полюса замкнутой системы двигаются по ветвям КГ
3 mветвей КГ при возрастании K от 0 до infin заканчиваются в m
нулях )(sWp а )( mn ветвей при K стремящемся к infin удаляются
от полюсов вдоль асимптот
4 При расположении ветвей корневого годографа в левой полу-
плоскости s САУ устойчива При пересечении ветвей КГ мнимой оси
слева направо САУ становится неустойчивой Пусть при K=Kкр
пере-
сечение КГ с мнимой осью произойдет в некоторой точке iωкр
Назо-
вем это значение коэффициента усиления критическим Kкр
а вели-
чину iωкр
критической угловой частотой на которой система стано-
вится неустойчивой
4 Краткое описание MATLAB
Лабораторная работа выполняется в программе математического
моделирования MATLAB Программа MATLAB включает в себя пакет
прикладных программ для решения технических задач и одноименный
язык программирования используемый в этом пакете
Основными компонентами системы являются базовая система
MATLAB и пакет моделирования систем Simulink Остальные пакеты
расширения разбиты на 4 категории ndash расширения Extension MATLAB и
Extension Simulink а также комплексы пакетов расширения Blockset и
Toolbox
Раздел MATLAB Extension содержит средства для подготовки ис-
полняемых приложений MATLAB (с подключаемыми библиотеками и
без них)
62
Раздел Toolbox (инструментальные средства) содержит самое
большое число пакетов расширений системы MATLAB такие как
laquoControl systemraquo laquoDatabaseraquo laquoFuzzy logicraquo laquoWaveletraquo и тд
В разделе Blockset расположено несколько пакетов относящихся к
главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink такие как
laquoDSPraquo laquoFixed-Pointraquo laquoNonlinear control designraquo и laquoPower systemsraquo
В разделе Extension Simulink имеется ряд средств предназначен-
ных для моделирования в реальном масштабе времени и событийно-
управляемом моделировании
5 Корневой годограф в MATLAB
В системе MATLAB существует команда zpk для преобразова-
ния модели заданной ПФ в модель заданную нулями полюсами и
обобщенными коэффициентами передачи (zpk-форма)
Пример
gtgt w=tf([10][2 2 3 1 0])
Transfer function
10
-------------------------------
2 s^4 + 2 s^3 + 3 s^2 + s
gtgt w1=zpk(w)
Zeropolegain
5
----------------------------------------------
s (s+03966) (s^2 + 06034s + 1261)
Для работы с корневым годографом удобно использовать гра-
фический интерфейс laquoSISO-Design Toolraquo предназначенный для ана-
лиза и синтеза одномерных линейных систем автоматического управ-
ления (SISO ndash Single Input Signal Output)
Запуск SISO-Design Tool осуществляется командой
gtgt sisotool
63
В появившемся окне графического интерфейса необходимо ис-
пользовать команду laquoFileImportraquo для загрузки данных из рабочего
пространства MATLAB в результате которой появляется диалоговое
окно Import System Data (рис 1)
Рис 1 Диалог для ввода параметров модели
После импортирования данных можно исследовать изменение
временных и частотных характеристик замкнутой системы при изме-
нении K Обычно при этом требуется определить условия неустойчи-
вости замкнутой САУ Определить Kкр
и iωкр
На рис 2 показано окно sisotool для описанной выше модели w1
Двигая красным курсором по КГ до пересечения ветвей с мнимой
осью можно определить значения Kкр
В данном случае Kкр
asymp 01
Значение iωкр
соответствует мнимой координате пересечения КГ
мнимой оси Просмотреть это значение можно в нижней части ин-
терфейса или выбрать меню laquoView Closed-Loop Polesraquo
64
Рис 2 Основное окно SISO-Design Tool
6 Задание на лабораторную работу
Построить КГ в соответствии с вариантом из табл 1 при помо-
щи графического интерфейса sisotool
Исследовать динамику замкнутой системы при различных зна-
чениях коэффициента усиления разомкнутой системы K в том числе
ndash запасы устойчивости в частотной области
ndash параметры переходного процесса во временной области
Таблица 1
Варианты передаточных функций
Значения параметров Передаточная функция
разомкнутой системы
1 T = 01 ζ = 1
)12( 22 sTsTs
K
2 T = 005 ζ = 0707
3 T = 003 ζ = 01
4 T = 008 ζ = 05
5 T = 001 ζ = 015
65
Окончание табл 1
Значения параметров Передаточная функция
разомкнутой системы
6 T1 = 003 T2 = 05 T3 = 01 T4 = 005
)1)(1)(1(
)1(
432
1
sTsTsTs
sTK
7 T1 = 005 T2 = 04 T3 = 008 T4 = 0033
8 T1 = 02 T2 = 045 T3 = 01 T4 = 005
9 T1 = 05 T2 = 025 T3 = 01 T4 = 002
10 T1 = 01 T2 = 025 T3 = 01 T4 = 005
Вариант задания назначается преподавателем
7 Методика выполнения задания
Порядок выполнения лабораторной работы
1 Задать передаточную функцию в MATLAB в соответствии с
вариантом коэффициент K задать любым положительным числом
2 Запустить SISO-Design Tool и осуществить ввод данных
Построить КГ
3 По КГ определить значения коэффициента K когда система
будет устойчивой на границе устойчивости и неустойчива
4 Выбрать значение коэффициента K таким образом чтобы си-
стемы была устойчива и определить запас устойчивости в частотной
области и параметры переходного процесса во временной области
8 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) титульный лист
б) передаточную функцию и этапы построения КГ
в) анализ результатов построения КГ
г) выводы по проделанной работе
д) ответы на контрольные вопросы
Контрольные вопросы 1 Дать определение КГ
2 Что обычно позволяет находить метод КГ
3 В чем заключается сущность метода КГ
4 Что можно определить по КГ
66
Критерии результативности лабораторного практикума
Лабораторная работа считается выполненной если студент
ndash выполнил все указанные задания
ndash представил отчет соответствующий всем требованиям к его
содержанию и оформлению
ndash владеет терминологией и материалом лабораторной работы
ndash способен использовать программное средство математическо-
го моделирования MATLAB
ndash способен предоставить и рассказать результаты выполненной
работы на ПК
ndash может дать пояснения к отчету и ответить на контрольные
вопросы
Список литературы
1 Александров АГ Частотная теория автоматического управле-
ния учебное пособие ndash Электросталь ЭПИ МИСиС 2010
2 Борисевич АВ Теория автоматического управления элементар-
ное введение с применением MATLAB ndash СПб Изд-во Политехн ун-
та 2011
3 Федоров ВЛ Бубнов АВ Теория автоматического управления
учебное пособие ndash Омск Изд-во ОмГТУ 2010
4 Павловская ОО Чернецкая ИВ Теория автоматического
управления учебное пособие ndash Челябинск Изд-во ЮУрГУ 2010
67
Составители ЛЯНЦЕВ Олег Дмитриевич КАЗАНЦЕВ Андрей Валерьевич
ИССЛЕДОВАНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК СИСТЕМ
АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
Лабораторный практикум
по дисциплине
laquoТеория управленияraquo
Подписано в печать Формат 60х84 116 Бумага офсетная Пе-
чать плоская Гарнитура Times New Roman Усл печ л 56 Уч-изд л
55 Тираж 100 экз Заказ
ФГБОУ ВПО Уфимский государственный авиационный технический
университет
Центр оперативной полиграфии УГАТУ
450000 Уфа-центр ул К Маркса 12
16
Лабораторная работа 2
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СТРУКТУРНЫХ СХЕМ
1 Цель работы
Целью работы является изучение структурных преобразований и
нахождения передаточных функций с использованием автоматизиро-
ванных средств моделирования на ПК ndash MATLAB SIMULINK
2 Задачи работы
ndash Закрепление углубление и расширение знаний студентов при
исследовании преобразований структурных схем
ndash Приобретение умений и навыков работы с программой мате-
матического моделирования MATLAB
ndash Овладение несколькими методами преобразования структур-
ных схем
3 Теоретическая часть
Для наглядного представления сложной системы как совокупно-
сти элементов и связей между ними используются структурные
схемы
Структурной схемой называется схема САУ изображенная в
виде соединения ПФ составляющих ее звеньев
Структурная схема показывает строение автоматической систе-
мы наличие внешних воздействий и точки их приложения пути рас-
пространения воздействий и выходную величину Динамическое или
статическое звено изображается прямоугольником в котором указы-
вается ПФ звена Воздействия на систему и влияние звеньев друг на
друга (сигналы) изображаются стрелками В каждом звене воздей-
ствие передается только от входа звена к его выходу
На динамическое звено может воздействовать лишь одна вход-
ная величина поэтому используются блоки суммирования и сравне-
ния сигналов Суммироваться и сравниваться могут лишь сигналы
одной и той же физической природы
Структурная схема может быть составлена по уравнению систе-
мы в пространстве состояний или по системе дифференциальных
уравнений При составлении структурной схемы удобно начинать с
изображения задающего воздействия и располагать динамические
17
звенья составляющие прямую цепь системы слева направо до регу-
лируемой величины Тогда основная обратная связь и местные обрат-
ные связи будут направлены справа налево
Различные способы преобразования структурных схем облегча-
ют определение ПФ сложных САУ и дают возможность привести
многоконтурную систему к эквивалентной ей одноконтурной схеме
Преобразование структурной схемы должно осуществляться на
основании правил основные из них приведены в табл 1
При выполнении преобразований следует каждое имеющееся в
схеме типовое соединение заменить эквивалентным звеном Затем
можно выполнить перенос точек разветвления и сумматоров чтобы в
преобразованной схеме образовались новые типовые соединения зве-
ньев Эти соединения опять заменяются эквивалентными звеньями
затем вновь может потребоваться перенос точек разветвления и
сумматоров и т д
Различают основные соединения блоков в структурных схемах
последовательное соединение параллельное соединение антипарал-
лельное соединение (обратная связь) в свою очередь обратная связь
может быть отрицательной и положительной Таблица 1
Основные правила преобразования структурных схем
Преобразование
Структурная схема
Исходная Эквивалентная
Свертывание
последовательного
соединения
W1 W2 Wnu y
Wu y
nWWWW 21
Свертывание
параллельного
соединения
Wn
W2
W1
u y
Wu y
nWWWW 21
Свертывание
обратной связи
W1u plusmn y
W2
Wu y
21
1
1 WW
WW
18
Окончание табл 1
Преобразование
Структурная схема
Исходная Эквивалентная
Перенос узла через
звено вперед
Wu y
x
Wu y
xW1
WW
11
Перенос узла через
звено назад
Wu y
y
Wu y
yW
Перенос сумматора
через звено вперед
Wu1 y
u2
plusmn
Wu1 y
u2
plusmn
W
Перенос сумматора
через звено назад
Wu1 y
u2
plusmn
Wu1 y
u2
plusmn
W1
WW
11
Перенос прямой
связи через звено W2yu
plusmnW1
W3
W2 yu
plusmnW1
W3 W2
Перенос узла через
сумматор вперед
x1
+
- y
x1
x2
x1
+
- y
x1x2
+
+
Перенос узла через
сумматор назад
x1
+
- y
x2
y
x1
+
- y
x2y
+
-
Пример Пусть необходимо получить эквивалентное представ-
ление для структуры приведенной на рис 1
19
W1
W2 W3
W4
W5 W6
W7
+
+
+
-
Рис 1 Исходная схема САУ
Преобразование включает несколько этапов показанных на рис 2ndash5
W1
W2 W3
W4
W5 W6
W7
+
+
+
-
1W6
Рис 2 Перенос узла через звено вперед
567
659
1 WWW
WWW
6
48
W
WW
Рис 3 Свертывание обратной связи и последовательного соединения
2110 WWW
983
9311
1 WWW
WWW
Рис 4 Свертывание обратной связи и Рис 5 Свертывание последователь-
параллельного соединения ного соединения
W10 W11 WЭкв
543765
653265311110
1 WWWWWW
WWWWWWWWWWWЭкв
W1
W2
W8
W3 W9
+
+
20
Таким образом первый способ преобразования структурных
схем заключается в непосредственном использовании правил приве-
денных в табл1 Неудобство использования этого подхода заключа-
ется в том что порядок применения формул здесь достаточно произ-
волен возможны ошибочные шаги усложняющие поиск решения
Второй способ для получения ПФ многоконтурной системы за-
ключается в использовании модели системы в виде сигнального
графа
Сигнальный граф позволяет графически описать линейные связи
между переменными он состоит из узлов (вершин) и соединяющих их
направленных ветвей
Ветвь соответствует блоку структурной схемы она отражает за-
висимость между входной и выходной переменными Сумма всех
сигналов входящих в узел образует соответствующую этому узлу
переменную
Последовательность ветвей между двумя узлами называется пу-
тем Контуром называется замкнутый путь который начинается и
заканчивается в одном и том же узле причем ни один узел не встре-
чается на этом пути дважды
Контуры называются некасающимися если они не имеют общих
узлов
Сигнальный граф ndash это просто наглядный метод записи системы
алгебраических уравнений показывающий взаимосвязь между пере-
менными
r1
r2
a11
a22
x1
x2
a12a21
Рис 6 Сигнальный граф для двух алгебраических выражений
В качестве примера рассмотрим следующую систему алгебраи-
ческих уравнений
21
11212111 xrxaxa (1)
22222121 xrxaxa (2)
здесь r1 и r2 ndash входные переменные а x1 и x2 ndash выходные переменные
Сигнальный граф соответствующий уравнениям (1) и (2) изображен
на рис 6 Уравнения (1) и (2) можно записать в ином виде
1122111 )()1( raxax
2222211 )1()( raxax
Решая последнюю систему по правилу Крамера получим
212
122
21122211
2121221
)1(
)1)(1(
)1(r
ar
a
aaaa
rarax
121
211
21122211
1212112
)1(
)1)(1(
)1(r
ar
a
aaaa
rarax
В этих решениях знаменатель равен определителю составлен-
ному из коэффициентов при неизвестных и его можно записать так
21122211221121122211 1)1)(1( aaaaaaaaaa
В данном случае знаменатель равен единице минус коэффици-
енты передачи отдельных контуров a11 a22 и a12a21 плюс произведе-
ние коэффициентов передачи двух некасающихся контуров a11 и a22
Контуры a22 и a12a21 являются касающимися так же как и контуры a11
и a21a12
В решении для x1 по отношению ко входу r1 числитель равен
единице умноженной на (1-a22) те значение определителя некаса-
ющегося пути от r1 к x1 В решении для x1 по отношению ко входу
r2числитель просто равен a12 тк этот путь касается всех контуров
Числитель выражения x2 симметричен соответствующему числителю
для x1
В общем случае линейная зависимость Tij между независимой
переменной xi (часто называемой входной переменной) и зависимой
переменной xj определяется по формуле Мейсона
22
k
ijkijk
ij
P
T
где Pijk ndash коэффициент передачи k-го пути от переменной xi к пере-
менной xj Δ ndash определитель графа Δijk ndash дополнительный множитель
для пути Pijk а суммирование производится по всем возможным k пу-
тям от xi до xjДополнительный множитель Δijk равен определителю
всех касающихся контуров при удалении k-го пути
Определитель находится как
QM
qm
LSR
lsrlsrqm
K
kk LLLLLL
11
1111
1
где Kk kL
1ndash сумма коэффициентов передачи всех отдельных конту-
ров QM
qm qmLL
11ndash сумма произведений всех возможных комбина-
ций из двух некасающихся контуров LSR
lsr lsr LLL
111ndash сумма про-
изведений всех возможных комбинаций из трех некасающихся кон-
туров
Таким образом правило вычисления Δ через значение L1 L2
L3hellipLN таково Δ = 1- (сумма коэффициентов передачи всех отдель-
ных контуров) + (сумма произведений всех возможных комбинаций
из 2 некасающихся контуров) ndash (сумма произведений всех возмож-
ных комбинаций из 3 некасающихся контуров) +hellip
Формула Мейсона часто используется в несколько упрощенном
виде для определения связи между выходной переменной Y(s) и
входной переменной X(s) те
)()(
)( 1
N
iiiP
sWsX
sY
где Pi ndash i-й путь от входа к выходу N ndash количество путей Δ ndash опреде-
литель графа специальный полином который определенным образом
характеризует совокупность всех замкнутых цепей системы содер-
жащих обратные связи и вычисляется как сумма передаточных
функций разомкнутых контуров этих цепей и произведений
23
передаточных функций разомкнутых контуров пар троек и тд не со-
прикасающихся друг с другом цепей с обратными связями Δi ndash до-
полнительный множитель для пути составляется по правилу анало-
гичному Δ но только для цепей с обратными связями не соприкаса-
ющихся с i-м прямым каналом
Дополнительный множитель для i-го пути равен определителю
графа в котором приравнены нулю коэффициенты передачи конту-
ров касающихся этого пути
Рассмотрим пример получения ПФ многоконтурной системы с
использованием формулы Мейсона для структуры на рис 1 которая
соответствует графу показанному на рис 7
X(s) Y(s)W1
W2
W3 W5 W6
W4 -W7
Рис 7 Описание системы управления сигнальным графом
От входа к выходу ведут два пути
65311 WWWWP
65322 WWWWP
В графе есть 2 контура
5431 WWWL
7652 WWWL
Контур L1 пересекает контур L2 поэтому определитель графа
вычисляется по формуле
)(1 21 LL
Контуры в этом примере пересекают все пути поэтому допол-
нительные множители путей равны
24
11
12
Окончательно можно записать
1
)(543765
65326531
2
1
WWWWWW
WWWWWWWWP
sW iii
Таким образом использование сигнальных графов и применение
формулы Мейсона позволяет алгоритмизировать процесс упрощения
структурной схемы
Третий способ для получения ПФ заключается в составлении
системы уравнений Необходимо обозначить выходы сумматоров и
составить систему уравнений на основе этих обозначений На рис9
представлена исходная схема с обозначенными сумматорами
W1
W2 W3
W4
W5 W6
W7
+
+
+
-
Z H
u y
Рис 9 Исходная схема САУ с обозначенными сумматорами
Опишем все сигналы в системе в виде уравнений
)( 4521 HWWuWWZ
73 yWZWH
65 HWWy
Подставив последовательно значения сигналов найдем ПФ
))(( 734521 yWWHWWuWWH
После преобразования получим
25
1
)(
543
73231
WWW
yWuWWWWH
Подставим полученное значение H в уравнение y
1
))((
543
6573231
WWW
WWyWuWWWWy
Получим ПФ вида
1
)(543765
65326531
WWWWWW
WWWWWWWW
u
ypW
4 Краткое описание MATLAB
Лабораторная работа выполняется в программе математического
моделирования MATLAB Программа MATLAB включает в себя пакет
прикладных программ для решения технических задач и одноименный
язык программирования используемый в этом пакете
Основными компонентами системы являются базовая система
MATLAB и пакет моделирования систем Simulink Остальные пакеты
расширения разбиты на 4 категории ndash расширения Extension MATLAB и
Extension Simulink а также комплексы пакетов расширения Blockset и
Toolbox
Раздел MATLAB Extension содержит средства для подготовки ис-
полняемых приложений MATLAB (с подключаемыми библиотеками и
без них)
Раздел Toolbox (инструментальные средства) содержит самое
большое число пакетов расширений системы MATLAB такие как
laquoControl systemraquo laquoDatabaseraquo laquoFuzzy logicraquo laquoWaveletraquo и тд
В разделе Blockset расположено несколько пакетов относящихся к
главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink такие как
laquoDSPraquo laquoFixed-Pointraquo laquoNonlinear control designraquo и laquoPower systemsraquo
В разделе Extension Simulink имеется ряд средств предназначен-
ных для моделирования в реальном масштабе времени и событийно-
управляемом моделировании
26
5 Структурные преобразования в MATLAB
В пакете MATLAB имеется ряд функций с помощью которых
можно выполнять структурные преобразования (используется экви-
валентная схема)
ndash series(w1w2) ndash последовательное соединение звеньев
ndash parallel(w1w2) ndash параллельное соединение звеньев
ndash feedback(w1w2) ndash включение звена w2 в контур отрицательной об-
ратной связи к w1
ndash feedback(w1w2sign) ndash включение звена w2 в контур обратной связи
звена w1 с указанием знака + или ndash (очевидно feedback(w1w2)=
=feedback(w1w2-1))
Пример
Даны две передаточные функции
22
221
ss
sW
22
322
2
2
ss
ssW
Опишем ПФ введя в окне команд MatLab следующие команды
gtgt w1=tf([1 2][1 2 2])
gtgt w2=tf([1 2 3][1 2 2])
Выполним структурные преобразования для данных ПФ
gtgt w2=series(w1w2)
Transfer function
s^3 + 4 s^2 + 7 s + 6
------------------------------------
s^4 + 4 s^3 + 8 s^2 + 8 s + 4
gtgt w3=parallel(w1w2)
Transfer function
s^4 + 5 s^3 + 13 s^2 + 16 s + 10
----------------------------------------
s^4 + 4 s^3 + 8 s^2 + 8 s + 4
27
gtgt w4=feedback(w1w2)
Transfer function
s^3 + 4 s^2 + 6 s + 4
----------------------------------------
s^4 + 5 s^3 + 12 s^2 + 15 s + 10
Для проверки правильности проведенных преобразований необ-
ходимо собрать схему исходной САУ и соответствующую ей эквива-
лентную схему в MATLAB Simulink
Исходная схема САУ собирается как модель из соответствую-
щих элементов таких как laquoTransfer Fncraquo laquostepraquo laquosignal builderraquo
laquoscoperaquo и laquosumraquo Все эти элементы находятся в пакете laquoSimulinkraquo и
представлены в виде блоков Для того чтобы создать новую модель
необходимо нажать laquoFile-gtNew-gtModel (Simulink)raquo после откроется
окно модели в которую нужно будет добавлять элементы из библио-
теки для доступа к ней необходимо нажать на значок laquoLibrary Brows-
erraquo
Описание используемых элементов из пакета Simulink
1 Transfer Fnc ndash передаточная функция
2 Step ndash единичный скачок (функция Хэвисайда) в блоке необходи-
мо задать время начала перехода (step time)
3 Signal builder ndash блок для моделирования сигнала по заданным па-
раметрам (можно построить единичный скачок и импульсную функ-
цию)
4 Scope ndash виртуальный осциллограф отображает получившийся гра-
фик открывается двойным щелчком левой клавиши мыши и для кор-
рекции масштаба необходимо нажать правой кнопкой по графику и
из выпадающего меню выбрать laquoautoscaleraquo
5 Sum ndash сумматор в параметрах задается число сигналов соответ-
ственно laquo+raquo - положительный laquondashraquo - отрицательный
Так же нужно задать время работы модели для этого необходи-
мо выбрать laquoSimulation-gtSimulation parametersraquo и установить пара-
метр laquostop timeraquo на нужное значение и после необходимо запустить
модель на выполнение нажав на значок laquoStart simulationraquo Пример
модели составленной в MATLAB представлен на рис 10
28
Рис 10 Пример схемы САУ с блоком laquosignal builderraquo
Задача считается решенной если при подаче на вход обоих
схем одинаковых тестовых воздействий (единичный скачок импуль-
сная функция) наблюдаются одинаковые выходные сигналы
6 Задание на лабораторную работу
Выполнить преобразование структурной схемы САУ в эквива-
лентную передаточную функцию Составить модель исходной схемы
САУ в MATLAB С помощью ряда функций MATLAB (структурные
преобразования) составить эквивалентную схему Вариант задания
назначается преподавателем
7 Методика выполнения задания
Порядок выполнения работы
1 Выполнить преобразование заданного варианта структурной
схемы САУ (см табл 2) в эквивалентную ПФ тремя способами
ndash непосредственно используя правила табл 1
ndash используя представление в виде сигнального графа и формулу
Мейсона
ndash составив систему уравнений и решив еѐ
2 В качестве звеньев W1W2W3 использовать передаточные
функции звеньев представленных в табл 2
3 Составить модель исходной схемы САУ в MATLAB постро-
ить реакцию получившейся модели на ступенчатое и импульсное
воздействия
4 С помощью ряда функций MATLAB (структурные преобразо-
вания) составить эквивалентную схему и построить реакцию на сту-
пенчатое и импульсное воздействия
5 Подготовить ответы на контрольные вопросы
29
Таблица 2
Варианты структур САУ
Исходная схема
Передаточные
функции
1 W1
W3
W2
-
+
-
+
u y
+
1
31
sW
2
442
s
sW
12
133
s
sW
2 W1
W3
W2
-
+
-
+
u y
+ +
3 W3
W2
W1
-
+
-
+
u y
+ +
4 W3
W1
W2
+
+
-
+
u y
+ +
1
21
sW
2
12
sW
12
13
s
sW
5
W1
W3
W2
-
+
-
+
u y
+ +
6
W1
W3
W2
-
+
-
+
u y
+
62
31
sW
2
52
sW
1
23
s
sW
7
W1
W3
W2
-
+
-
+
u y
+ +
8
W1
W2
W3
-
+
-
+
u y
+ +
30
8 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) описание всех этапов преобразования исходной схемы и по-
лучающихся промежуточных результатов выполненными тремя спо-
собами моделирование реакции схемы на типовое воздействие (ска-
чок) до и после преобразования
б) сигнальный граф системы описание путей контуров расчет
ПФ по формуле Мейсона
в) решение составленной системы уравнений
г) схема модели и протокол команд MATLAB
д) графики переходных процессов при подаче на вход исходной
и эквивалентной схемы типовых тестирующих воздействий (скачок
импульс)
е) ответы на контрольные вопросы
Контрольные вопросы
1 Что называется структурной схемой Какие задачи можно
решить с еѐ помощью
2 Как может быть составлена структурная схема
3 Что позволяет алгоритмизировать процесс упрощения струк-
турной схемы Поясните на конкретном примере
31
Лабораторная работа 3
ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
ДИНАМИЧЕСКИХ ЗВЕНЬЕВ
1 Цель работы
Целью работы является изучение частотных характеристик ти-
повых динамических звеньев с использованием автоматизированных
средств моделирования на ПК ndash MATLAB SIMULINK
2 Задачи работы
ndash Закрепление углубление и расширение знаний студентов при
исследовании частотных характеристик динамических звеньев
ndash Приобретение умений и навыков работы с программой мате-
матического моделирования MATLAB
ndash Выработка способности логического мышления осмысление
полученных данных частотных характеристик
3 Теоретическая часть Сущность метода частотных характеристик заключается в том
что на вход исследуемой системы подается гармонический сигнал (си-
нусоидальные колебания) в широком диапазоне частот Реакция си-
стемы при разных частотах позволяет судить о ее динамических
свойствах
Пусть входной сигнал системы имеет амплитуду а и частоту ω т е
описывается формулой
)sin( tax
Выходной сигнал будет иметь амплитуду А1 и отличаться от вход-
ного по фазе на величину ψ (фазовый сдвиг)
)sin(1 tAy
Таким образом можно рассчитать усиление по амплитуде
1
a
AA
32
Для каждой частоты входного сигнала ω будут свои А и ψ
Изменяя ω в широком диапазоне можно получить зависимость
А(ω) ndash амплитудную частотную характеристику (АЧХ) и ψ(ω) ndash фазо-
вую частотную характеристику (ФЧХ)
Главное достоинство метода частотных характеристик заключа-
ется в том что АЧХ и ФЧХ объекта могут быть получены экспери-
ментально Для этого необходимо иметь генератор гармонических
колебаний который подключается к входу объекта и измеритель-
ную аппаратуру для измерения амплитуды и фазового сдвига колеба-
ний на выходе объекта
Частотные характеристики САУ могут быть получены по ее ПФ
W(s) Для суждения о реакции звена на синусоидальный сигнал доста-
точно исследовать его реакцию на гармонический сигнал вида
)( tjejx
Тогда выходной сигнал определяется по соотношению
)()( ))(( tjeAjy
и частотная ПФ получается равной
)()(
)()( )(
jeA
jx
jyjW
Формально для получения частотной ПФ надо сделать в W(s)
подстановку s = jω и тогда полученная W(jω) является комплексным
выражением которое можно представить в виде
)()(
)()()(
22
11
jba
jbajW
Для нахождения вещественной и мнимой частей частотной пе-
редаточной функции необходимо умножить числитель и знаменатель
на сопряженную знаменателю величину а затем провести
разделение
33
)()()(
)()(
)()()()(
)()(
)()()()(
))()())(()((
))()())(()((
)()(
)()()(
)(
22
22
2112
22
22
2121
2222
2211
22
11
jeAjVU
ba
babaj
ba
bbaa
jbajba
jbajba
jba
jbajW
где
)()()()(22
22
21
2122
ba
baVUjWA
)(
)())(arg()(
2
2
1
1
a
barctg
a
barctg
U
VarctgjW
Графики функции )(U и )(V называют соответственно веще-
ственной и мнимой частотной характеристиками
В практических расчетах удобно применять графики частотных
характеристик построенных в логарифмическом масштабе ndash лога-
рифмические частотные характеристики (ЛЧХ)
Логарифмическая амплитудная частотная характеристика
(ЛАЧХ) определяется следующим выражением
)(lg20)( AL
Логарифмической фазовой частотной характеристикой
(ЛФЧХ) называется график зависимости )( построенный в лога-
рифмическом масштабе частот
Единицей L(ω) является децибел (дБ) а единицей логарифма ча-
стоты ndash декада Декадой называют интервал частот на котором часто-
та изменяется в 10 раз При изменении частоты в 10 раз говорят что
она изменилась на одну декаду Ось ординат при построении ЛЧХ про-
водят через произвольную точку а не через точку ω = 0 Частоте ω = 0
соответствует бесконечно удаленная точка lgω rarr ndash infin при ω rarr 0
Основное преимущество использования ЛЧХ заключается в том
что приближенные (асимптотические) ЛАЧХ типовых динамических
звеньев изображаются отрезками прямых
Пример Построим ЛЧХ апериодического звена первого
34
порядка
Передаточная функция звена
1
)(
Ts
ksW
Частотная передаточная функция
1)(
)1(
1)(
2
T
Tjk
Tj
kjW
1)(
1)( 22
T
kTV
T
kU
Следовательно АЧХ описывается формулой
1)(
)(2
T
kA
ФЧХ строится по формуле
)()( Tarctg
ЛАЧХ апериодического звена 1-го порядка
1)(lg20lg20)( 2 TkL
По этой формуле можно построить две асимптоты ndash прямые к
которым стремится ЛАЧХ при ω rarr 0 и при ω rarr infin Так при ω rarr 0 второе
слагаемое близко к нулю и этот участок ЛАЧХ представляет собой
горизонтальную прямую
lg20)( kL
При ω rarr infin получаем наклонную прямую
1)(lg20)( 2 TL
35
Для определения наклона этой прямой можно рассмотреть гра-
ницы декады
T
1 и
10
T
Изменение ЛАЧХ между этими точками
)(2011
lg20110
lg20)(
22
декдБT
TT
TL
ЛЧХ часто называют диаграммами Боде
4 Краткое описание MATLAB
Лабораторная работа выполняется в программе математического
моделирования MATLAB Она включает в себя пакет прикладных про-
грамм для решения технических задач и одноименный язык программи-
рования используемый в этом пакете
Основными компонентами системы являются базовая система
MATLAB и пакет моделирования систем Simulink Остальные пакеты
расширения разбиты на 4 категории ndash расширения Extension MATLAB и
Extension Simulink а также комплексы пакетов расширения Blockset и
Toolbox
Раздел MATLAB Extension содержит средства для подготовки ис-
полняемых приложений MATLAB (с подключаемыми библиотеками и
без них)
Раздел Toolbox (инструментальные средства) содержит самое
большое число пакетов расширений системы MATLAB такие как
laquoControl systemraquo laquoDatabaseraquo laquoFuzzy logicraquo laquoWaveletraquo и тд
В разделе Blockset расположено несколько пакетов относящихся к
главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink такие как
laquoDSPraquo laquoFixed-Pointraquo laquoNonlinear control designraquo и laquoPower systemsraquo
В разделе Extension Simulink имеется ряд средств предназначен-
ных для моделирования в реальном масштабе времени и событийно-
управляемом моделировании
36
5 Построение частотных характеристик в MATLAB В пакете MATLAB ЛЧХ объекта заданного с помощью ПФ
можно получить командой bode
Пример
gtgt w=tf([1 2][3 4 5])
gtgt bode(w)
Для нескольких вариантов передаточной функции можно исполь-
зовать вариант команды вида
gtgt bode(ww1w2)
Например построим диаграмму Боде при различных параметрах
колебательного звена (рис 1)
gtgt w=tf([1][2 03 1])
gtgt w1=tf([1][2 05 1])
gtgt w2=tf([1][2 01 1])
gtgt bode(ww1w2)
Рис 1 ЛЧХ колебательного звена
6 Задание на лабораторную работу
С помощью пакета MATLAB построить ЛЧХ каждого типового
звена Определить влияние коэффициентов входящих в описание
каждого звена на параметры ЛАЧХ и ЛФЧХ Вариант задания назна-
чается преподавателем
37
7 Методика выполнения задания
Порядок выполнения работы
1 Задать передаточную функцию типового динамического звена
используя параметры из табл 2 лабораторной работы 1
2 Построить диаграмму Боде при различных параметрах типо-
вого динамического звена
3 Определить влияние коэффициентов входящих в описание
каждого звена на параметры ЛАЧХ и ЛФЧХ в том числе
ndash как меняется ширина асимптотических участков ЛАЧХ и
ЛФЧХ
ndash как меняется положение точек пересечения осей ЛАЧХ
4 Написать вывод по влиянию коэффициентов на типовое звено
5 Выполнить пункты 1-4 для всех типовых звеньев
6 Подготовить ответы на контрольные вопросы
8 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) титульный лист
б) краткие теоретические сведения
в) передаточные функции и схемы моделирования исследуемых
звеньев
г) экспериментально полученные характеристики при вариации
параметров каждого звена
д) выводы обобщающие проделанные эксперименты по каждо-
му звену
ж) ответы на контрольные вопросы
Контрольные вопросы
1 Как пользуясь частотными характеристиками определить па-
раметры (коэффициенты передаточной функции) звена Пояс-
нить на конкретных примерах
2 Указать особенности построения ЛАХ и ЛФХ динамических
звеньев Что понимается под асимптотической ЛАХ звена
3 Как осуществляется построение АФХ динамического звена
38
Лабораторная работа 4
ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ СИСТЕМ
С ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ
1 Цель работы
Изучение особенностей практического использования алгебраи-
ческих и частотных критериев устойчивости для анализа динамики
линейных САУ с использованием автоматизированных средств моде-
лирования на ПК ndash MATLAB SIMULINK
2 Задачи работы
ndash Закрепление углубление и расширение знаний студентов при
исследовании устойчивости систем с обратной связью
ndash Приобретение умений и навыков работы с программой мате-
матического моделирования MATLAB
ndash Овладение новыми методами проверки устойчивости систем
с обратной связью
ndash Выработка способности логического мышления осмысления
полученных данных
3 Теоретическая часть
Устойчивость САУ является одним из основных условий ее ра-
ботоспособности и включает требование затухания во времени пере-
ходных процессов
Система является устойчивой если при ограниченном входном
сигнале еѐ выходной сигнал также является ограниченным Если
система устойчива то она противостоит внешним воздействиям а
выведенная из состояния равновесия возвращается снова к нему
Система с расходящимся переходным процессом будет неустойчивой и
неработоспособной
Необходимое и достаточное условие устойчивости заключается в
том чтобы все корни характеристического уравнения (полюсы пере-
даточной функции системы) имели отрицательные вещественные ча-
сти Иначе говоря условием устойчивости системы является распо-
ложение всех полюсов в левой комплексной полуплоскости Тогда все
полюсы будут давать затухающую реакцию
Выше сформулированное условие устойчивости справедливо как
39
для линейных так и для линеаризованных систем Однако в случае
нулевых или чисто мнимых корней характеристического уравнения
вопрос об устойчивости линеаризованной системы может быть ре-
шен только на основании исследования ее нелинейных уравнений
В конце XIX и первой половине XX в задача вычисления корней
характеристического уравнения высокого порядка вызывала боль-
шие проблемы Поэтому были предложены несколько косвенных
методов оценки устойчивости позволяющих обойтись без вычисле-
ния корней ndash по значениям коэффициентов характеристического
уравнения
Критерии устойчивости разделяют на алгебраические и частот-
ные В частности к алгебраическим критериям относится критерий
Гурвица к частотным критериям ndash критерий Найквиста
Критерий Гурвица является алгебраическим критерием и при-
меняется к коэффициентам характеристического уравнения замкнутой
системы
Пусть имеется характеристическое уравнение замкнутой
системы
0011
1 apapapa n
nn
n
Из коэффициентов характеристического уравнения составляют
матрицу по правилу
1 По диагонали записываются коэффициенты от 1na до 0a
2 Каждая строка дополняется коэффициентами с возрастающи-
ми индексами слева направо так чтобы чередовались строки с нечет-
ными и четными индексами
3 В случае отсутствия индекса а также если он меньше 0 или
больше п на его место пишется 0
Таким образом матрица Гурвица приобретает следующий вид
40
Критерий устойчивости формулируется так
Чтобы система была устойчивой необходимо и достаточно что-
бы при 0na были положительными все п диагональных определи-
телей получаемых из матрицы Гурвица
Первые три определителя матрицы Гурвица имеют следующий
вид
Таким образом критерий Гурвица позволяет судить об абсо-
лютной устойчивости но он не дает возможности оценивать относи-
тельную устойчивость по корням характеристического уравнения
Частотный критерий устойчивости Найквиста анализирует
АФЧХ разомкнутой системы
Пусть имеется АФЧХ разомкнутой системы W(jω)
Для нахождения вещественной и мнимой части частотной ха-
рактеристики нужно освободиться от мнимости в знаменателе путем
умножения числителя и знаменателя на комплексную величину со-
пряженную знаменателю а затем выполнить разделение на веще-
ственную и мнимую части W(jω) приобретает вид
)()()( jQPjW
Задаваясь различными значениями частоты можно найти мно-
жество пар )()( 11 jQP )()( 22 jQP )()( nn jQP
Затем по этим парам строится АФЧХ на комплексной плоскости
Основные свойства АФЧХ разомкнутой системы
1 Если разомкнутая система не имеет интегрирующих звеньев
то при ω = 0 ее АФЧХ начинается на вещественной оси в точке
Р(ω)=К (где К ndash коэффициент усиления разомкнутой системы) За-
канчивается АФЧХ в начале координат при ω rarr infin (рис 1 а)
2 Если разомкнутая система имеет одно интегрирующее звено то
ее АФЧХ начинается при ω = 0 в бесконечности на отрицательной мни-
мой полуоси а заканчивается в начале координат при ω rarr infin (рис 1 б)
41
Рис 1 АФЧХ разомкнутой системы
Критерий устойчивости Найквиста формулируется так
1 Если разомкнутая система устойчива или находится на гра-
нице устойчивости то для того чтобы замкнутая система была
устойчива необходимо и достаточно чтобы АФЧХ разомкнутой
системы при изменении частоты ω от 0 до infin не охватывала точку с ко-
ординатами (-1 j0)
2 Если разомкнутая система неустойчива а ее передаточная
функция имеет т полюсов справа от мнимой оси на комплексной
плоскости то для устойчивости замкнутой системы необходимо и до-
статочно чтобы АФЧХ разомкнутой системы при изменении частоты
ω от -infin до +infin охватывала т раз точку с координатами (-1 j0)
При использовании этого критерия нужно учитывать две
особенности
1 Если разомкнутая система находится на границе устойчиво-
сти то ее АФЧХ уходит в бесконечность Для проверки критерия Най-
квиста нужно мысленно соединить конец АФЧХ дугой бесконечно
большого радиуса с положительной вещественной полуосью
2 На практике АФЧХ может строиться только для положитель-
ных частот (0 lt ω lt +infin) При применении критерия Найквиста счита-
ется что ветвь АФЧХ для отрицательных частот симметрична отно-
сительно вещественной оси
Физический смысл критерия устойчивости Найквиста заключа-
ется в том что система будет неустойчива если фаза выходного сиг-
нала противоположна фазе входного сигнала а коэффициент усиле-
ния больше 1 Поэтому для анализа устойчивости можно использо-
вать не АФЧХ а ЛАХ системы (для минимально-фазовых систем)
Система устойчива если на частоте среза значение фазы не превы-
шает -π Соответственно для устойчивой системы можно рассматри-
вать на ЛФЧХ запас устойчивости по фазе ndash расстояние от значения
фазы на частоте среза до уровня -π и запас устойчивости по амплиту-
42
де ndash расстояние от оси частот ЛАЧХ до значения усиления на часто-
те где фаза становится равной -π
4 Краткое описание MATLAB
Лабораторная работа выполняется в программе математического
моделирования MATLAB Программа MATLAB включает в себя пакет
прикладных программ для решения технических задач и одноименный
язык программирования используемый в этом пакете
Основными компонентами системы являются базовая система
MATLAB и пакет моделирования систем Simulink Остальные пакеты
расширения разбиты на 4 категории ndash расширения Extension MATLAB и
Extension Simulink а также комплексы пакетов расширения Blockset и
Toolbox
Раздел MATLAB Extension содержит средства для подготовки ис-
полняемых приложений MATLAB (с подключаемыми библиотеками и
без них)
Раздел Toolbox (инструментальные средства) содержит самое
большое число пакетов расширений системы MATLAB такие как
laquoControl systemraquo laquoDatabaseraquo laquoFuzzy logicraquo laquoWaveletraquo и тд
В разделе Blockset расположено несколько пакетов относящихся к
главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink такие как
laquoDSPraquo laquoFixed-Pointraquo laquoNonlinear control designraquo и laquoPower systemsraquo
В разделе Extension Simulink имеется ряд средств предназначен-
ных для моделирования в реальном масштабе времени и событийно-
управляемом моделировании
5 Исследование устойчивости САУ в MATLAB
Для проверки устойчивости САУ по Гурвицу постройте матрицу
Гурвица и найдите ее детерминант (функция det) Затем последова-
тельно уменьшая размер матрицы найдите значения всех диагональ-
ных детерминантов Пример
gtgt А=[1 14 18 2 5 2 3 4 3]
А =
1 14 18
2 5 2
3 4 3
gtgt det(A)
ans = -119
43
gtgt А1=А(12 12)
А1 =
1 14
2 5
gtgt det(A1)
ans = -23
Для проверки устойчивости САУ по Найквисту сначала нужно
выяснить является ли устойчивой разомкнутая система
Пример Пусть дана передаточная функция разомкнутой
системы
13232
12234
pppp
pW
Рассмотрим реакцию на скачок
gtgt w=tf([2 1][2 3 2 3 1])
gtgt step(w18)
График переходного процесса показан на рис 2
Рис 2 Переходная реакция
Разомкнутая система неустойчива и согласно критерию Найкви-
ста надо чтобы АФЧХ разомкнутой системы охватывала точку (-1 j0)
44
столько раз сколько полюсов имеется справа от мнимой оси Для по-
строения АФЧХ достаточно вызвать команду nyquist
gtgt nyquist(w)
Диаграмма Найквиста показана на рис 3
Рис 3 Диаграмма Найквиста для неустойчивой системы
Как показывает рис3 АФЧХ ни разу не охватывает точку
(-1 j0) поэтому замкнутая система будет неустойчивой Частотный
критерий Найквиста можно использовать и в том случае когда рас-
сматривается не АФЧХ а ЛАЧХ разомкнутой системы замкнутая
минимально-фазовая система устойчива если при достижении ЛФЧХ
значения -π ЛАЧХ будет отрицательной
Используя ЛАЧХ и ЛФЧХ можно оценить запасы устойчивости
системы по амплитуде и по фазе с помощью команды
gtgt margin(w)
Пример
gtgt w=tf([10][2 2 3 1])
gtgt margin(w)
Соответствующий график показан на рис 4
45
Рис 4 Определение запасов устойчивости по амплитуде и по фазе
6 Задание на лабораторную работу
Выполнить исследование устойчивости замкнутой системы по за-
данной передаточной функции разомкнутой системы Определить запас
устойчивости по амплитуде и по фазе Вариант задания назначается
преподавателем
7 Методика выполнения задания
Порядок выполнения работы
1 Рассчитать передаточную функцию замкнутой системы по
приведенной в табл 1 разомкнутой системе
2 Определить устойчивость замкнутой системы используя кри-
терий Гурвица
3 Определить устойчивость замкнутой системы используя кри-
терий Найквиста
4 Определить запас устойчивости по амплитуде и по фазе ис-
пользуя ЛАЧХ и ЛФЧХ
5 Выполнить моделирование переходных процессов разомкну-
той и замкнутой систем
6 Подготовить ответы на контрольные вопросы
46
Таблица 1
Варианты заданий
Передаточная функция разомкнутой системы
1 1355
2234
ssss
W
2 110050
1234
ssss
W
3 11010
123
sss
W
4 122105
100234
ssss
W
5 1248
123
sss
W
6 1223
102345
sssss
W
7 11001010
323
sss
W
8 122
1023
sss
W
9 11010
123
sss
W
10 15050332
102345
sssss
W
8 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) титульный лист
б) краткие теоретические сведения
в) переходную функцию разомкнутой системы
г) расчет передаточной функции замкнутой системы
д) расчетные выражения для обоснования устойчивости замкну-
той системы по алгебраическому критерию Гурвица
е) годограф Найквиста разомкнутой системы на основании кото-
рого делается вывод об устойчивости замкнутой системы
ѐ) переходную функцию замкнутой системы
ж) проверку полученных результатов путем компьютерного моде-
лирования переходных процессов разомкнутой и замкнутой си-
стемы в MATLAB Simulink
з) выводы по всем полученным результатам
47
Контрольные вопросы
1 Как связана устойчивость линейной САУ с видом составля-
ющих ее свободного движения
2 Зависит ли устойчивость линейных САУ от амплитуды зада-
ющих воздействий или возмущений
3 Сформулируйте критерий устойчивости Гурвица укажите на
необходимое условие устойчивости линейных САУ вытекаю-
щее из этого критерия
4 Сформулируйте критерий Найквиста для случая САУ устой-
чивых в разомкнутом состоянии а также для астатических САУ
Что такое laquoзапасы устойчивости по фазе и по амплитудеraquo
5 Что называется структурной устойчивостью
48
Лабораторная работа 5
КОРРЕКЦИЯ СТАТИЧЕСКИХ И ДИНАМИЧЕСКИХ
СВОЙСТВ САУ
1 Цель работы
Целью работы является изучение способов обеспечения иско-
мых характеристик САУ с использованием автоматизированных
средств моделирования на ПК ndash MATLAB SIMULINK
2 Задачи работы
ndash Закрепление углубление и расширение знаний студентов при
обеспечении искомых характеристик САУ
ndash Приобретение умений по обеспечению точности (уменьшение
статической ошибки) САУ и выбору значений параметров регулято-
ра обеспечивающих желаемые динамические свойства САУ
ndash Приобретение умений и навыков работы с программой мате-
матического моделирования MATLAB
3 Теоретическая часть
Коррекция статических и динамических свойств САУ имеет
своей целью повышение статической и динамической точности отра-
ботки системой задающего воздействия (или парирование возмуща-
ющего воздействия) повышение запасов ее устойчивости Наиболее
распространенными способами коррекции свойств САУ является из-
менение коэффициента усиления ее разомкнутой части введение в
САУ новых звеньев (как правило интегрирующего или дифференци-
рующего типа) охват объекта управления местной обратной связью
31 Коррекция статических свойств САУ
Статические свойства системы определяются величиной устано-
вившейся ошибки )t(уст вызванной действием задающего воздей-
ствия и определяемой по формуле
22
210 2 dttgdcdttdgctgctуст (1)
где )(tg - входное воздействие 210 ccc - коэффициенты ошибок
Коэффициенты ошибок определяются по формулам
49
dssdcdssdcscs
mmmss 00100
где s - передаточная функция САУ по ошибке управления рав-
ная
sW
sраз
1
1
sWраз - передаточная функция разомкнутой САУ
Основными способами уменьшения статической ошибки систе-
мы являются
1) увеличение коэффициента усиления прямого тракта системы
2) введение в прямой тракт системы интегрирующих звеньев
3) охват объекта управления местной неединичной положитель-
ной обратной связью
Представим структурную схему системы в виде изображенном
на рис 1 где через sW обозначена передаточная функция неизме-
няемой части системы
bsbsb
asasasW
nn
nn
mm
mm
01
1
01
1
Здесь и далее полагается что KKKsW s 000 0 ndash из-
меняемый коэффициент усиления регулятора системы
Первые два коэффициента ошибок 0c и 1c определяется выраже-
ниями
KK
c0
01
1
(2)
KK
dssdWKc
s
20
01
1
(3)
Из (2) и (3) с учетом (1) вытекает что с увеличением K
статическая ошибка в системе уменьшается и наоборот с уменьше-
нием K статическая ошибка в системе увеличивается
Введем в прямой тракт системы одно интегрирующее звено
50
(рис 2) В этом случае c 00 01 1 KKc
Так как c 00 то система на рис 2 является астатической (с
астатизмом первого порядка) Система имеет нулевую статическую
ошибку при отработке постоянного задающего воздействия
consttg и постоянную обратно пропорциональную K ошибку
constуст при отработке линейно изменяющегося воздействия
tatg
Рис 1 Схема САУ Рис 2 Схема САУ с включенным в прямой
тракт интегрирующим звеном
Охватим неизменяемую часть системы sW местной нееди-
ничной положительной обратной связью с коэффициентом усиления
осK (рис 3) Тогда эквивалентная передаточная функция sWэкв
неизменяемой части системы равна
10011
01
1
aKbsaKbsaKbsb
asasa
sWK
sWsW
ососm
mосmn
n
mm
mm
осэкв
(4)
Если коэффициент усиления K выбрать из условия
a
bKос
0
0
то свободный коэффициент (b0 - Koca0) полинома знаменателя sWэкв
обратится в нуль и sWэкв приобретает интегрирующие свойства
11
11
0
1
1
aKbsaKbsbs
asasasW
ос
m
mосm
n
n
m
m
m
mэкв
g(t) y(t)ε(t)
K W(s)-
g(t) y(t)
Ks W(s)-
ε(t)
51
Следовательно замкнутая система становится астатической (с
астатизмом 1-го порядка) Отсюда 0c =0 а коэффициент 1c будет
равен
aKb
bc
ос 11
01
ε(t)g(t) y(t)
W(s)-
Kос
Wэкв(s)
+
Рис 3 Схема САУ с местной неединичной обратной связью
32 Коррекция динамических свойств САУ
Улучшение динамических свойств САУ заключается в увеличе-
нии быстродействия САУ (уменьшении времени регулирования tрег)
уменьшении перерегулирования (см рис 4) а также увеличении
запасов устойчивости по фазе и по модулю При этом
h
hh
уст
устmax100
где maxh - максимальное значение переходной характеристики за-
мкнутой САУ th
устh - установившееся значение th
Время регулирования tрег - минимальная величина при которой удо-
влетворяется условие
устрег hth
где - заданная величина ошибки (обычно =005 устh )
52
h(t)
tрег
hустhmax
2δ
Рис 4 Быстродействие и перерегулирование САУ
Одним из эффективных средств достижения этой цели является
уменьшение отрицательных фазовых сдвигов в прямом тракте систе-
мы путем охвата неизменяемой части системы местными отрицатель-
ными обратными связями
На рис 5 R(s) представляет собой передаточную функцию регу-
лятора САУ которая считается заданной
ε(t)g(t) y(t)
W(s)-
Kос
Wэкв(s)
-
R(s)
u(t)
Рис 5 Схема САУ с местной обратной связью и регулятором
Пусть неизменяемая часть системы представляет собой аперио-
дическое звено первого порядка те
sT
K)s(W
10
0
Тогда передаточная функция sWэкв эквивалентного объекта
управления равна
sT
K
sWK
sWsW
экв
экв
осэкв
11
где зквK и эквT - коэффициент усиления и постоянная времени
эквивалентного объекта равные
53
KK
KK
осэкв
0
0
1
KK
TT
осэкв
0
0
1 (5)
Из (5) следует что соответствующим выбором осK постоянную
времени эквT эквивалентного объекта можно уменьшить в (1+ 0KKос )
раз по сравнении с постоянной времени 0T объекта без местной об-
ратной связи Тем самым уменьшаются отрицательные фазовые сдви-
ги вносимые прямым трактом системы что приводит к увеличению
запасов устойчивости системы При этом однако уменьшается в
(1+ 0KKос ) раз коэффициент усиления эквK эквивалентного объекта
по сравнению с коэффициентом усиления 0K объекта без местной
обратной связи Это нежелательно так как приводит к уменьшению
быстродействия системы вследствие уменьшения общего коэффици-
ента усиления прямого тракта системы В этом случае с целью обес-
печения необходимого быстродействия системы увеличивают коэф-
фициент усиления регулятора
4 Краткое описание MATLAB
Лабораторная работа выполняется в программе математического
моделирования MATLAB Программа MATLAB включает в себя пакет
прикладных программ для решения технических задач и одноименный
язык программирования используемый в этом пакете
Основными компонентами системы являются базовая система
MATLAB и пакет моделирования систем Simulink Остальные пакеты
расширения разбиты на 4 категории ndash расширения Extension MATLAB и
Extension Simulink а также комплексы пакетов расширения Blockset и
Toolbox
Раздел MATLAB Extension содержит средства для подготовки ис-
полняемых приложений MATLAB (с подключаемыми библиотеками и
без них)
Раздел Toolbox (инструментальные средства) содержит самое
большое число пакетов расширений системы MATLAB такие как
laquoControl systemraquo laquoDatabaseraquo laquoFuzzy logicraquo laquoWaveletraquo и тд
54
В разделе Blockset расположено несколько пакетов относящихся к
главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink такие как
laquoDSPraquo laquoFixed-Pointraquo laquoNonlinear control designraquo и laquoPower systemsraquo
В разделе Extension Simulink имеется ряд средств предназначен-
ных для моделирования в реальном масштабе времени и событийно-
управляемом моделировании
5 Задание на лабораторную работу
Выполнить исследование способов коррекции статических и
динамических свойств САУ Определить время регулирования и пе-
ререгулирования в исходной и скорректированной системах а также
для динамических свойств САУ определить запасы устойчивости в
исходной системе и найти экспериментально значение Kос обеспечи-
вающее в системе заданные показатели качества и запасы устойчиво-
сти Вариант задания назначается преподавателем
Таблица 1
Варианты заданий
варианта
Параметры
1
2
3
4
5
6
7
8
a 05 10 15 20 25 30 35 40
K0 1 2 3 4 5 6 7 8
T c 03 04 05 06 07 08 09 10
ξ 06 07 08 08 07 09 05 04
уст 0 0 005 0 010 007 0 0
tрег c le 13 15 20 25 30 35 40 40
le 0 10 10 5 5 5 0 0
В качестве исходных САУ выступают системы изображенные
на рис 6 и 7
55
ε(t)g(t) y(t)
W(s)-
g(t) y(t)
R(s) W(s)-
ε(t) u(t)
Рис 6 САУ с отрицательной Рис 7 САУ с отрицательной обратной
обратной связью связью и регулятором
6 Методика выполнения задания
При исследовании способов коррекции статических свойств
САУ в качестве исходных данных выступает передаточная функция
sW неизменяемой части системы вида
1222
0
sTsT
KsW (6)
и задающие воздействия вида ttg 1 в соответствии с таблицей 1
В процессе выполнения этой части работы необходимо
1) путем моделирования в системе MATLAB исходной САУ
(рис 6) получить графики ttytg
2) сравнить полученную таким образом экспериментальную ве-
личину t с теоретической величиной вычисленной по формуле (1)
3) применяя описанные в теоретической части методических
указаний способы коррекции статических свойств (см п 31) обес-
печить требуемую статическую ошибку εуст системы при отработке
задающего воздействия ttg 1
4) получить графики ty и t в скорректированной системе
для 1 ttg
5) сравнить время регулирования регt и перерегулирование в
исходной и скорректированной системах при 1 ttg
При исследовании рассмотренного способа коррекции динами-
ческих свойств САУ (см п 32) в качестве исходных данных высту-
пают передаточная функция sW неизменяемой части системы
вида (6) и передаточная функция регулятора вида
s
KsR
рег
56
Задающее воздействие ttg 1
В процессе выполнения данной части работы необходимо
1) получить путем моделирования в MATLAB графики ty t
в системе (рис 7)
2) определить время регулирования регt и перерегулирование
а также запасы устойчивости в исходной системе
3) применяя описанный выше способ коррекции динамических
свойств САУ найти экспериментально (путем последовательного пе-
ребора) значение осK обеспечивающее в системе заданные заданием
показатели качества ( регt ) и запасы устойчивости (при необхо-
димости увеличить коэффициент регK )
4) получить графики ty t а также ЛАХ и ЛФХ разомкну-
той системы в скорректированной САУ
7 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) титульный лист
б) структурные схемы исследуемых систем
в) полученные графики и характеристики
г) значения полученные экмпериментально которые
обеспечивают заданные показатели качества и запасы устойчивости
д) выводы обощающие проделанные эксперименты для
коррекции статических и динамических свойств САУ
е) ответы на контрольные вопросы
Контрольные вопросы 1 Дать определение статической и астатической САУ
2 Какими структурными свойствами системы определяется по-
рядок ее астатизма
3 Какой из двух приведенных выше способов придания системе
свойств астатизма 1-го порядка наиболее предпочтителен на
практике
4 Назовите основные показатели качества САУ Поясните их
смысл
5 В чѐм суть исследуемого способа коррекции динамических
свойств САУ
57
6 Назвать другие способы коррекции динамических свойств
САУ
7 Чем вызваны отрицательные фазовые сдвиги в неизменяемой
части САУ
58
Лабораторная работа 6
МЕТОД КОРНЕВОГО ГОДОГРАФА
1 Цель работы
Целью работы является построение корневого годографа и ис-
следование динамики системы с использованием автоматизирован-
ных средств моделирования на ПК ndash MATLABSIMULINK
2 Задачи работы
ndash Закрепление углубление и расширение знаний студентов при
исследование динамики системы
ndash Овладение навыком построения корневого годографа
ndash Приобретение умений и навыков работы с программой мате-
матического моделирования MATLAB
3 Теоретическая часть
Корневым годографом (КГ) называется совокупность траекто-
рий перемещения всех корней характеристического уравнения за-
мкнутой системы при изменении какого-либо параметра этой систе-
мы
Обычно метод КГ позволяет находить полюса и нули ПФ за-
мкнутой системы располагая полюсами и нулями разомкнутой си-
стемы при изменении коэффициента усиления разомкнутой системы
K
ПФ разомкнутой системы Wp(s) представим в следующем виде
)(
)(
1
1
0
n
ii
m
jj
p
ss
ssKC
sW (1)
где 0js ndash нули ПФ sWp )1( mj
is ndash полюса ПФ sWp
)1( nj n и m ndash порядки знаменателя и числителя C ndash коэффици-
ент представления (отношение коэффициентов при старших членах
числителя и знаменателя)
59
При замыкании системы с ПФ sWp единичной отрицатель-
ной обратной связью ПФ замкнутой системы sWз принимает вид
)(1
)(
sW
sWsW
p
pз
(2)
Из выражения (2) следует что нули ПФ замкнутой системы рав-
ны нулям ПФ разомкнутой системы
Для нахождения полюсов рассмотри выражение
01 sWp (3)
в соответствии с выражением (1) имеем
n
i
m
jjin
ii
m
jj
ssKCss
ss
ssKC
1 1
0
1
1
0
)()(01
)(
)(
(4)
На основании выражения (4) можно сказать что при K = 0 корни
характеристического уравнения совпадают с полюсами а при K = infin ndash
с нулями При изменении K от 0 до infin траектории корней начинаются
в полюсах и заканчиваются в нулях Обычно полюсов больше чем
нулей В этом случаем mn ветвей корневого годографа стремятся к
infin
Для определения полюсов замкнутой системы с отрицательной
обратной связью необходимо решить уравнение (его называют ос-
новным уравнением метода КГ)
1sWp (5)
Так как sWp является функцией комплексного переменного
s то уравнение (5) распадается на два уравнения уравнение модулей
1)( sWp (6)
60
и уравнение аргументов (фаза вектора -1 есть нечетное число π)
210)12()(arg sWp (7)
Как известно при умножении комплексных чисел их аргументы
складываются а при делении ndash вычитаются Поэтому исходя из вы-
ражения (1) уравнение (7) имеет наглядный геометрический смысл
Пусть точка s ndash полюс замкнутой системы Если провести в s
вектора из нулей sWp (обозначим аргументы этих векторов 0j ) и
вектора из всех полюсов sWp (обозначим аргументы этих векторов
i ) то уравнение (7) можно записать в следующем виде
m
j
n
iij
1 1
0 210)12( (8)
Углы q отсчитываются от положительного направления дей-
ствительной оси Знак угла laquo+raquo соответствует повороту против часо-
вой стрелки знак угла laquo-raquo соответствует повороту по часовой стрел-
ке
Таким образом любая точка КГ должна удовлетворять уравне-
нию (8) из которого следует что конфигурация КГ не зависит от ко-
эффициента усиления K но каждому конкретному значению K одно-
значно соответствуют точки на КГ
При умножении комплексных чисел их модули перемножаются
а при делении ndash делятся Поэтому на основании (6) можно записать
1
1
1
0
n
ii
m
jj
l
lKC
(9)
где 0jl ndash модуль (длина) вектора проведенного из j-нуля в точку s
КГ il ndash модуль вектора проведенного из i-полюса в ту же точку s
61
Таким образом траектории корней строятся только по уравне-
ниям фаз а уравнение модулей используется затем для нахождения
K
Сущность метода КГ заключается в том чтобы узнать каким
должен быть коэффициент усиления разомкнутой системы чтобы
было обеспечено желаемое положение корней замкнутой системы
Корневой годограф системы с отрицательной обратной связью
обладает следующими основными свойствами
1 Ветви КГ непрерывны и расположены на комплексной плос-
кости симметрично относительно действительной оси
2 Число ветвей КГ равно порядку системы n Ветви начинают-
ся в n полюсах разомкнутой системы при K=0 При возрастании K от
0 до infin полюса замкнутой системы двигаются по ветвям КГ
3 mветвей КГ при возрастании K от 0 до infin заканчиваются в m
нулях )(sWp а )( mn ветвей при K стремящемся к infin удаляются
от полюсов вдоль асимптот
4 При расположении ветвей корневого годографа в левой полу-
плоскости s САУ устойчива При пересечении ветвей КГ мнимой оси
слева направо САУ становится неустойчивой Пусть при K=Kкр
пере-
сечение КГ с мнимой осью произойдет в некоторой точке iωкр
Назо-
вем это значение коэффициента усиления критическим Kкр
а вели-
чину iωкр
критической угловой частотой на которой система стано-
вится неустойчивой
4 Краткое описание MATLAB
Лабораторная работа выполняется в программе математического
моделирования MATLAB Программа MATLAB включает в себя пакет
прикладных программ для решения технических задач и одноименный
язык программирования используемый в этом пакете
Основными компонентами системы являются базовая система
MATLAB и пакет моделирования систем Simulink Остальные пакеты
расширения разбиты на 4 категории ndash расширения Extension MATLAB и
Extension Simulink а также комплексы пакетов расширения Blockset и
Toolbox
Раздел MATLAB Extension содержит средства для подготовки ис-
полняемых приложений MATLAB (с подключаемыми библиотеками и
без них)
62
Раздел Toolbox (инструментальные средства) содержит самое
большое число пакетов расширений системы MATLAB такие как
laquoControl systemraquo laquoDatabaseraquo laquoFuzzy logicraquo laquoWaveletraquo и тд
В разделе Blockset расположено несколько пакетов относящихся к
главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink такие как
laquoDSPraquo laquoFixed-Pointraquo laquoNonlinear control designraquo и laquoPower systemsraquo
В разделе Extension Simulink имеется ряд средств предназначен-
ных для моделирования в реальном масштабе времени и событийно-
управляемом моделировании
5 Корневой годограф в MATLAB
В системе MATLAB существует команда zpk для преобразова-
ния модели заданной ПФ в модель заданную нулями полюсами и
обобщенными коэффициентами передачи (zpk-форма)
Пример
gtgt w=tf([10][2 2 3 1 0])
Transfer function
10
-------------------------------
2 s^4 + 2 s^3 + 3 s^2 + s
gtgt w1=zpk(w)
Zeropolegain
5
----------------------------------------------
s (s+03966) (s^2 + 06034s + 1261)
Для работы с корневым годографом удобно использовать гра-
фический интерфейс laquoSISO-Design Toolraquo предназначенный для ана-
лиза и синтеза одномерных линейных систем автоматического управ-
ления (SISO ndash Single Input Signal Output)
Запуск SISO-Design Tool осуществляется командой
gtgt sisotool
63
В появившемся окне графического интерфейса необходимо ис-
пользовать команду laquoFileImportraquo для загрузки данных из рабочего
пространства MATLAB в результате которой появляется диалоговое
окно Import System Data (рис 1)
Рис 1 Диалог для ввода параметров модели
После импортирования данных можно исследовать изменение
временных и частотных характеристик замкнутой системы при изме-
нении K Обычно при этом требуется определить условия неустойчи-
вости замкнутой САУ Определить Kкр
и iωкр
На рис 2 показано окно sisotool для описанной выше модели w1
Двигая красным курсором по КГ до пересечения ветвей с мнимой
осью можно определить значения Kкр
В данном случае Kкр
asymp 01
Значение iωкр
соответствует мнимой координате пересечения КГ
мнимой оси Просмотреть это значение можно в нижней части ин-
терфейса или выбрать меню laquoView Closed-Loop Polesraquo
64
Рис 2 Основное окно SISO-Design Tool
6 Задание на лабораторную работу
Построить КГ в соответствии с вариантом из табл 1 при помо-
щи графического интерфейса sisotool
Исследовать динамику замкнутой системы при различных зна-
чениях коэффициента усиления разомкнутой системы K в том числе
ndash запасы устойчивости в частотной области
ndash параметры переходного процесса во временной области
Таблица 1
Варианты передаточных функций
Значения параметров Передаточная функция
разомкнутой системы
1 T = 01 ζ = 1
)12( 22 sTsTs
K
2 T = 005 ζ = 0707
3 T = 003 ζ = 01
4 T = 008 ζ = 05
5 T = 001 ζ = 015
65
Окончание табл 1
Значения параметров Передаточная функция
разомкнутой системы
6 T1 = 003 T2 = 05 T3 = 01 T4 = 005
)1)(1)(1(
)1(
432
1
sTsTsTs
sTK
7 T1 = 005 T2 = 04 T3 = 008 T4 = 0033
8 T1 = 02 T2 = 045 T3 = 01 T4 = 005
9 T1 = 05 T2 = 025 T3 = 01 T4 = 002
10 T1 = 01 T2 = 025 T3 = 01 T4 = 005
Вариант задания назначается преподавателем
7 Методика выполнения задания
Порядок выполнения лабораторной работы
1 Задать передаточную функцию в MATLAB в соответствии с
вариантом коэффициент K задать любым положительным числом
2 Запустить SISO-Design Tool и осуществить ввод данных
Построить КГ
3 По КГ определить значения коэффициента K когда система
будет устойчивой на границе устойчивости и неустойчива
4 Выбрать значение коэффициента K таким образом чтобы си-
стемы была устойчива и определить запас устойчивости в частотной
области и параметры переходного процесса во временной области
8 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) титульный лист
б) передаточную функцию и этапы построения КГ
в) анализ результатов построения КГ
г) выводы по проделанной работе
д) ответы на контрольные вопросы
Контрольные вопросы 1 Дать определение КГ
2 Что обычно позволяет находить метод КГ
3 В чем заключается сущность метода КГ
4 Что можно определить по КГ
66
Критерии результативности лабораторного практикума
Лабораторная работа считается выполненной если студент
ndash выполнил все указанные задания
ndash представил отчет соответствующий всем требованиям к его
содержанию и оформлению
ndash владеет терминологией и материалом лабораторной работы
ndash способен использовать программное средство математическо-
го моделирования MATLAB
ndash способен предоставить и рассказать результаты выполненной
работы на ПК
ndash может дать пояснения к отчету и ответить на контрольные
вопросы
Список литературы
1 Александров АГ Частотная теория автоматического управле-
ния учебное пособие ndash Электросталь ЭПИ МИСиС 2010
2 Борисевич АВ Теория автоматического управления элементар-
ное введение с применением MATLAB ndash СПб Изд-во Политехн ун-
та 2011
3 Федоров ВЛ Бубнов АВ Теория автоматического управления
учебное пособие ndash Омск Изд-во ОмГТУ 2010
4 Павловская ОО Чернецкая ИВ Теория автоматического
управления учебное пособие ndash Челябинск Изд-во ЮУрГУ 2010
67
Составители ЛЯНЦЕВ Олег Дмитриевич КАЗАНЦЕВ Андрей Валерьевич
ИССЛЕДОВАНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК СИСТЕМ
АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
Лабораторный практикум
по дисциплине
laquoТеория управленияraquo
Подписано в печать Формат 60х84 116 Бумага офсетная Пе-
чать плоская Гарнитура Times New Roman Усл печ л 56 Уч-изд л
55 Тираж 100 экз Заказ
ФГБОУ ВПО Уфимский государственный авиационный технический
университет
Центр оперативной полиграфии УГАТУ
450000 Уфа-центр ул К Маркса 12
17
звенья составляющие прямую цепь системы слева направо до регу-
лируемой величины Тогда основная обратная связь и местные обрат-
ные связи будут направлены справа налево
Различные способы преобразования структурных схем облегча-
ют определение ПФ сложных САУ и дают возможность привести
многоконтурную систему к эквивалентной ей одноконтурной схеме
Преобразование структурной схемы должно осуществляться на
основании правил основные из них приведены в табл 1
При выполнении преобразований следует каждое имеющееся в
схеме типовое соединение заменить эквивалентным звеном Затем
можно выполнить перенос точек разветвления и сумматоров чтобы в
преобразованной схеме образовались новые типовые соединения зве-
ньев Эти соединения опять заменяются эквивалентными звеньями
затем вновь может потребоваться перенос точек разветвления и
сумматоров и т д
Различают основные соединения блоков в структурных схемах
последовательное соединение параллельное соединение антипарал-
лельное соединение (обратная связь) в свою очередь обратная связь
может быть отрицательной и положительной Таблица 1
Основные правила преобразования структурных схем
Преобразование
Структурная схема
Исходная Эквивалентная
Свертывание
последовательного
соединения
W1 W2 Wnu y
Wu y
nWWWW 21
Свертывание
параллельного
соединения
Wn
W2
W1
u y
Wu y
nWWWW 21
Свертывание
обратной связи
W1u plusmn y
W2
Wu y
21
1
1 WW
WW
18
Окончание табл 1
Преобразование
Структурная схема
Исходная Эквивалентная
Перенос узла через
звено вперед
Wu y
x
Wu y
xW1
WW
11
Перенос узла через
звено назад
Wu y
y
Wu y
yW
Перенос сумматора
через звено вперед
Wu1 y
u2
plusmn
Wu1 y
u2
plusmn
W
Перенос сумматора
через звено назад
Wu1 y
u2
plusmn
Wu1 y
u2
plusmn
W1
WW
11
Перенос прямой
связи через звено W2yu
plusmnW1
W3
W2 yu
plusmnW1
W3 W2
Перенос узла через
сумматор вперед
x1
+
- y
x1
x2
x1
+
- y
x1x2
+
+
Перенос узла через
сумматор назад
x1
+
- y
x2
y
x1
+
- y
x2y
+
-
Пример Пусть необходимо получить эквивалентное представ-
ление для структуры приведенной на рис 1
19
W1
W2 W3
W4
W5 W6
W7
+
+
+
-
Рис 1 Исходная схема САУ
Преобразование включает несколько этапов показанных на рис 2ndash5
W1
W2 W3
W4
W5 W6
W7
+
+
+
-
1W6
Рис 2 Перенос узла через звено вперед
567
659
1 WWW
WWW
6
48
W
WW
Рис 3 Свертывание обратной связи и последовательного соединения
2110 WWW
983
9311
1 WWW
WWW
Рис 4 Свертывание обратной связи и Рис 5 Свертывание последователь-
параллельного соединения ного соединения
W10 W11 WЭкв
543765
653265311110
1 WWWWWW
WWWWWWWWWWWЭкв
W1
W2
W8
W3 W9
+
+
20
Таким образом первый способ преобразования структурных
схем заключается в непосредственном использовании правил приве-
денных в табл1 Неудобство использования этого подхода заключа-
ется в том что порядок применения формул здесь достаточно произ-
волен возможны ошибочные шаги усложняющие поиск решения
Второй способ для получения ПФ многоконтурной системы за-
ключается в использовании модели системы в виде сигнального
графа
Сигнальный граф позволяет графически описать линейные связи
между переменными он состоит из узлов (вершин) и соединяющих их
направленных ветвей
Ветвь соответствует блоку структурной схемы она отражает за-
висимость между входной и выходной переменными Сумма всех
сигналов входящих в узел образует соответствующую этому узлу
переменную
Последовательность ветвей между двумя узлами называется пу-
тем Контуром называется замкнутый путь который начинается и
заканчивается в одном и том же узле причем ни один узел не встре-
чается на этом пути дважды
Контуры называются некасающимися если они не имеют общих
узлов
Сигнальный граф ndash это просто наглядный метод записи системы
алгебраических уравнений показывающий взаимосвязь между пере-
менными
r1
r2
a11
a22
x1
x2
a12a21
Рис 6 Сигнальный граф для двух алгебраических выражений
В качестве примера рассмотрим следующую систему алгебраи-
ческих уравнений
21
11212111 xrxaxa (1)
22222121 xrxaxa (2)
здесь r1 и r2 ndash входные переменные а x1 и x2 ndash выходные переменные
Сигнальный граф соответствующий уравнениям (1) и (2) изображен
на рис 6 Уравнения (1) и (2) можно записать в ином виде
1122111 )()1( raxax
2222211 )1()( raxax
Решая последнюю систему по правилу Крамера получим
212
122
21122211
2121221
)1(
)1)(1(
)1(r
ar
a
aaaa
rarax
121
211
21122211
1212112
)1(
)1)(1(
)1(r
ar
a
aaaa
rarax
В этих решениях знаменатель равен определителю составлен-
ному из коэффициентов при неизвестных и его можно записать так
21122211221121122211 1)1)(1( aaaaaaaaaa
В данном случае знаменатель равен единице минус коэффици-
енты передачи отдельных контуров a11 a22 и a12a21 плюс произведе-
ние коэффициентов передачи двух некасающихся контуров a11 и a22
Контуры a22 и a12a21 являются касающимися так же как и контуры a11
и a21a12
В решении для x1 по отношению ко входу r1 числитель равен
единице умноженной на (1-a22) те значение определителя некаса-
ющегося пути от r1 к x1 В решении для x1 по отношению ко входу
r2числитель просто равен a12 тк этот путь касается всех контуров
Числитель выражения x2 симметричен соответствующему числителю
для x1
В общем случае линейная зависимость Tij между независимой
переменной xi (часто называемой входной переменной) и зависимой
переменной xj определяется по формуле Мейсона
22
k
ijkijk
ij
P
T
где Pijk ndash коэффициент передачи k-го пути от переменной xi к пере-
менной xj Δ ndash определитель графа Δijk ndash дополнительный множитель
для пути Pijk а суммирование производится по всем возможным k пу-
тям от xi до xjДополнительный множитель Δijk равен определителю
всех касающихся контуров при удалении k-го пути
Определитель находится как
QM
qm
LSR
lsrlsrqm
K
kk LLLLLL
11
1111
1
где Kk kL
1ndash сумма коэффициентов передачи всех отдельных конту-
ров QM
qm qmLL
11ndash сумма произведений всех возможных комбина-
ций из двух некасающихся контуров LSR
lsr lsr LLL
111ndash сумма про-
изведений всех возможных комбинаций из трех некасающихся кон-
туров
Таким образом правило вычисления Δ через значение L1 L2
L3hellipLN таково Δ = 1- (сумма коэффициентов передачи всех отдель-
ных контуров) + (сумма произведений всех возможных комбинаций
из 2 некасающихся контуров) ndash (сумма произведений всех возмож-
ных комбинаций из 3 некасающихся контуров) +hellip
Формула Мейсона часто используется в несколько упрощенном
виде для определения связи между выходной переменной Y(s) и
входной переменной X(s) те
)()(
)( 1
N
iiiP
sWsX
sY
где Pi ndash i-й путь от входа к выходу N ndash количество путей Δ ndash опреде-
литель графа специальный полином который определенным образом
характеризует совокупность всех замкнутых цепей системы содер-
жащих обратные связи и вычисляется как сумма передаточных
функций разомкнутых контуров этих цепей и произведений
23
передаточных функций разомкнутых контуров пар троек и тд не со-
прикасающихся друг с другом цепей с обратными связями Δi ndash до-
полнительный множитель для пути составляется по правилу анало-
гичному Δ но только для цепей с обратными связями не соприкаса-
ющихся с i-м прямым каналом
Дополнительный множитель для i-го пути равен определителю
графа в котором приравнены нулю коэффициенты передачи конту-
ров касающихся этого пути
Рассмотрим пример получения ПФ многоконтурной системы с
использованием формулы Мейсона для структуры на рис 1 которая
соответствует графу показанному на рис 7
X(s) Y(s)W1
W2
W3 W5 W6
W4 -W7
Рис 7 Описание системы управления сигнальным графом
От входа к выходу ведут два пути
65311 WWWWP
65322 WWWWP
В графе есть 2 контура
5431 WWWL
7652 WWWL
Контур L1 пересекает контур L2 поэтому определитель графа
вычисляется по формуле
)(1 21 LL
Контуры в этом примере пересекают все пути поэтому допол-
нительные множители путей равны
24
11
12
Окончательно можно записать
1
)(543765
65326531
2
1
WWWWWW
WWWWWWWWP
sW iii
Таким образом использование сигнальных графов и применение
формулы Мейсона позволяет алгоритмизировать процесс упрощения
структурной схемы
Третий способ для получения ПФ заключается в составлении
системы уравнений Необходимо обозначить выходы сумматоров и
составить систему уравнений на основе этих обозначений На рис9
представлена исходная схема с обозначенными сумматорами
W1
W2 W3
W4
W5 W6
W7
+
+
+
-
Z H
u y
Рис 9 Исходная схема САУ с обозначенными сумматорами
Опишем все сигналы в системе в виде уравнений
)( 4521 HWWuWWZ
73 yWZWH
65 HWWy
Подставив последовательно значения сигналов найдем ПФ
))(( 734521 yWWHWWuWWH
После преобразования получим
25
1
)(
543
73231
WWW
yWuWWWWH
Подставим полученное значение H в уравнение y
1
))((
543
6573231
WWW
WWyWuWWWWy
Получим ПФ вида
1
)(543765
65326531
WWWWWW
WWWWWWWW
u
ypW
4 Краткое описание MATLAB
Лабораторная работа выполняется в программе математического
моделирования MATLAB Программа MATLAB включает в себя пакет
прикладных программ для решения технических задач и одноименный
язык программирования используемый в этом пакете
Основными компонентами системы являются базовая система
MATLAB и пакет моделирования систем Simulink Остальные пакеты
расширения разбиты на 4 категории ndash расширения Extension MATLAB и
Extension Simulink а также комплексы пакетов расширения Blockset и
Toolbox
Раздел MATLAB Extension содержит средства для подготовки ис-
полняемых приложений MATLAB (с подключаемыми библиотеками и
без них)
Раздел Toolbox (инструментальные средства) содержит самое
большое число пакетов расширений системы MATLAB такие как
laquoControl systemraquo laquoDatabaseraquo laquoFuzzy logicraquo laquoWaveletraquo и тд
В разделе Blockset расположено несколько пакетов относящихся к
главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink такие как
laquoDSPraquo laquoFixed-Pointraquo laquoNonlinear control designraquo и laquoPower systemsraquo
В разделе Extension Simulink имеется ряд средств предназначен-
ных для моделирования в реальном масштабе времени и событийно-
управляемом моделировании
26
5 Структурные преобразования в MATLAB
В пакете MATLAB имеется ряд функций с помощью которых
можно выполнять структурные преобразования (используется экви-
валентная схема)
ndash series(w1w2) ndash последовательное соединение звеньев
ndash parallel(w1w2) ndash параллельное соединение звеньев
ndash feedback(w1w2) ndash включение звена w2 в контур отрицательной об-
ратной связи к w1
ndash feedback(w1w2sign) ndash включение звена w2 в контур обратной связи
звена w1 с указанием знака + или ndash (очевидно feedback(w1w2)=
=feedback(w1w2-1))
Пример
Даны две передаточные функции
22
221
ss
sW
22
322
2
2
ss
ssW
Опишем ПФ введя в окне команд MatLab следующие команды
gtgt w1=tf([1 2][1 2 2])
gtgt w2=tf([1 2 3][1 2 2])
Выполним структурные преобразования для данных ПФ
gtgt w2=series(w1w2)
Transfer function
s^3 + 4 s^2 + 7 s + 6
------------------------------------
s^4 + 4 s^3 + 8 s^2 + 8 s + 4
gtgt w3=parallel(w1w2)
Transfer function
s^4 + 5 s^3 + 13 s^2 + 16 s + 10
----------------------------------------
s^4 + 4 s^3 + 8 s^2 + 8 s + 4
27
gtgt w4=feedback(w1w2)
Transfer function
s^3 + 4 s^2 + 6 s + 4
----------------------------------------
s^4 + 5 s^3 + 12 s^2 + 15 s + 10
Для проверки правильности проведенных преобразований необ-
ходимо собрать схему исходной САУ и соответствующую ей эквива-
лентную схему в MATLAB Simulink
Исходная схема САУ собирается как модель из соответствую-
щих элементов таких как laquoTransfer Fncraquo laquostepraquo laquosignal builderraquo
laquoscoperaquo и laquosumraquo Все эти элементы находятся в пакете laquoSimulinkraquo и
представлены в виде блоков Для того чтобы создать новую модель
необходимо нажать laquoFile-gtNew-gtModel (Simulink)raquo после откроется
окно модели в которую нужно будет добавлять элементы из библио-
теки для доступа к ней необходимо нажать на значок laquoLibrary Brows-
erraquo
Описание используемых элементов из пакета Simulink
1 Transfer Fnc ndash передаточная функция
2 Step ndash единичный скачок (функция Хэвисайда) в блоке необходи-
мо задать время начала перехода (step time)
3 Signal builder ndash блок для моделирования сигнала по заданным па-
раметрам (можно построить единичный скачок и импульсную функ-
цию)
4 Scope ndash виртуальный осциллограф отображает получившийся гра-
фик открывается двойным щелчком левой клавиши мыши и для кор-
рекции масштаба необходимо нажать правой кнопкой по графику и
из выпадающего меню выбрать laquoautoscaleraquo
5 Sum ndash сумматор в параметрах задается число сигналов соответ-
ственно laquo+raquo - положительный laquondashraquo - отрицательный
Так же нужно задать время работы модели для этого необходи-
мо выбрать laquoSimulation-gtSimulation parametersraquo и установить пара-
метр laquostop timeraquo на нужное значение и после необходимо запустить
модель на выполнение нажав на значок laquoStart simulationraquo Пример
модели составленной в MATLAB представлен на рис 10
28
Рис 10 Пример схемы САУ с блоком laquosignal builderraquo
Задача считается решенной если при подаче на вход обоих
схем одинаковых тестовых воздействий (единичный скачок импуль-
сная функция) наблюдаются одинаковые выходные сигналы
6 Задание на лабораторную работу
Выполнить преобразование структурной схемы САУ в эквива-
лентную передаточную функцию Составить модель исходной схемы
САУ в MATLAB С помощью ряда функций MATLAB (структурные
преобразования) составить эквивалентную схему Вариант задания
назначается преподавателем
7 Методика выполнения задания
Порядок выполнения работы
1 Выполнить преобразование заданного варианта структурной
схемы САУ (см табл 2) в эквивалентную ПФ тремя способами
ndash непосредственно используя правила табл 1
ndash используя представление в виде сигнального графа и формулу
Мейсона
ndash составив систему уравнений и решив еѐ
2 В качестве звеньев W1W2W3 использовать передаточные
функции звеньев представленных в табл 2
3 Составить модель исходной схемы САУ в MATLAB постро-
ить реакцию получившейся модели на ступенчатое и импульсное
воздействия
4 С помощью ряда функций MATLAB (структурные преобразо-
вания) составить эквивалентную схему и построить реакцию на сту-
пенчатое и импульсное воздействия
5 Подготовить ответы на контрольные вопросы
29
Таблица 2
Варианты структур САУ
Исходная схема
Передаточные
функции
1 W1
W3
W2
-
+
-
+
u y
+
1
31
sW
2
442
s
sW
12
133
s
sW
2 W1
W3
W2
-
+
-
+
u y
+ +
3 W3
W2
W1
-
+
-
+
u y
+ +
4 W3
W1
W2
+
+
-
+
u y
+ +
1
21
sW
2
12
sW
12
13
s
sW
5
W1
W3
W2
-
+
-
+
u y
+ +
6
W1
W3
W2
-
+
-
+
u y
+
62
31
sW
2
52
sW
1
23
s
sW
7
W1
W3
W2
-
+
-
+
u y
+ +
8
W1
W2
W3
-
+
-
+
u y
+ +
30
8 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) описание всех этапов преобразования исходной схемы и по-
лучающихся промежуточных результатов выполненными тремя спо-
собами моделирование реакции схемы на типовое воздействие (ска-
чок) до и после преобразования
б) сигнальный граф системы описание путей контуров расчет
ПФ по формуле Мейсона
в) решение составленной системы уравнений
г) схема модели и протокол команд MATLAB
д) графики переходных процессов при подаче на вход исходной
и эквивалентной схемы типовых тестирующих воздействий (скачок
импульс)
е) ответы на контрольные вопросы
Контрольные вопросы
1 Что называется структурной схемой Какие задачи можно
решить с еѐ помощью
2 Как может быть составлена структурная схема
3 Что позволяет алгоритмизировать процесс упрощения струк-
турной схемы Поясните на конкретном примере
31
Лабораторная работа 3
ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
ДИНАМИЧЕСКИХ ЗВЕНЬЕВ
1 Цель работы
Целью работы является изучение частотных характеристик ти-
повых динамических звеньев с использованием автоматизированных
средств моделирования на ПК ndash MATLAB SIMULINK
2 Задачи работы
ndash Закрепление углубление и расширение знаний студентов при
исследовании частотных характеристик динамических звеньев
ndash Приобретение умений и навыков работы с программой мате-
матического моделирования MATLAB
ndash Выработка способности логического мышления осмысление
полученных данных частотных характеристик
3 Теоретическая часть Сущность метода частотных характеристик заключается в том
что на вход исследуемой системы подается гармонический сигнал (си-
нусоидальные колебания) в широком диапазоне частот Реакция си-
стемы при разных частотах позволяет судить о ее динамических
свойствах
Пусть входной сигнал системы имеет амплитуду а и частоту ω т е
описывается формулой
)sin( tax
Выходной сигнал будет иметь амплитуду А1 и отличаться от вход-
ного по фазе на величину ψ (фазовый сдвиг)
)sin(1 tAy
Таким образом можно рассчитать усиление по амплитуде
1
a
AA
32
Для каждой частоты входного сигнала ω будут свои А и ψ
Изменяя ω в широком диапазоне можно получить зависимость
А(ω) ndash амплитудную частотную характеристику (АЧХ) и ψ(ω) ndash фазо-
вую частотную характеристику (ФЧХ)
Главное достоинство метода частотных характеристик заключа-
ется в том что АЧХ и ФЧХ объекта могут быть получены экспери-
ментально Для этого необходимо иметь генератор гармонических
колебаний который подключается к входу объекта и измеритель-
ную аппаратуру для измерения амплитуды и фазового сдвига колеба-
ний на выходе объекта
Частотные характеристики САУ могут быть получены по ее ПФ
W(s) Для суждения о реакции звена на синусоидальный сигнал доста-
точно исследовать его реакцию на гармонический сигнал вида
)( tjejx
Тогда выходной сигнал определяется по соотношению
)()( ))(( tjeAjy
и частотная ПФ получается равной
)()(
)()( )(
jeA
jx
jyjW
Формально для получения частотной ПФ надо сделать в W(s)
подстановку s = jω и тогда полученная W(jω) является комплексным
выражением которое можно представить в виде
)()(
)()()(
22
11
jba
jbajW
Для нахождения вещественной и мнимой частей частотной пе-
редаточной функции необходимо умножить числитель и знаменатель
на сопряженную знаменателю величину а затем провести
разделение
33
)()()(
)()(
)()()()(
)()(
)()()()(
))()())(()((
))()())(()((
)()(
)()()(
)(
22
22
2112
22
22
2121
2222
2211
22
11
jeAjVU
ba
babaj
ba
bbaa
jbajba
jbajba
jba
jbajW
где
)()()()(22
22
21
2122
ba
baVUjWA
)(
)())(arg()(
2
2
1
1
a
barctg
a
barctg
U
VarctgjW
Графики функции )(U и )(V называют соответственно веще-
ственной и мнимой частотной характеристиками
В практических расчетах удобно применять графики частотных
характеристик построенных в логарифмическом масштабе ndash лога-
рифмические частотные характеристики (ЛЧХ)
Логарифмическая амплитудная частотная характеристика
(ЛАЧХ) определяется следующим выражением
)(lg20)( AL
Логарифмической фазовой частотной характеристикой
(ЛФЧХ) называется график зависимости )( построенный в лога-
рифмическом масштабе частот
Единицей L(ω) является децибел (дБ) а единицей логарифма ча-
стоты ndash декада Декадой называют интервал частот на котором часто-
та изменяется в 10 раз При изменении частоты в 10 раз говорят что
она изменилась на одну декаду Ось ординат при построении ЛЧХ про-
водят через произвольную точку а не через точку ω = 0 Частоте ω = 0
соответствует бесконечно удаленная точка lgω rarr ndash infin при ω rarr 0
Основное преимущество использования ЛЧХ заключается в том
что приближенные (асимптотические) ЛАЧХ типовых динамических
звеньев изображаются отрезками прямых
Пример Построим ЛЧХ апериодического звена первого
34
порядка
Передаточная функция звена
1
)(
Ts
ksW
Частотная передаточная функция
1)(
)1(
1)(
2
T
Tjk
Tj
kjW
1)(
1)( 22
T
kTV
T
kU
Следовательно АЧХ описывается формулой
1)(
)(2
T
kA
ФЧХ строится по формуле
)()( Tarctg
ЛАЧХ апериодического звена 1-го порядка
1)(lg20lg20)( 2 TkL
По этой формуле можно построить две асимптоты ndash прямые к
которым стремится ЛАЧХ при ω rarr 0 и при ω rarr infin Так при ω rarr 0 второе
слагаемое близко к нулю и этот участок ЛАЧХ представляет собой
горизонтальную прямую
lg20)( kL
При ω rarr infin получаем наклонную прямую
1)(lg20)( 2 TL
35
Для определения наклона этой прямой можно рассмотреть гра-
ницы декады
T
1 и
10
T
Изменение ЛАЧХ между этими точками
)(2011
lg20110
lg20)(
22
декдБT
TT
TL
ЛЧХ часто называют диаграммами Боде
4 Краткое описание MATLAB
Лабораторная работа выполняется в программе математического
моделирования MATLAB Она включает в себя пакет прикладных про-
грамм для решения технических задач и одноименный язык программи-
рования используемый в этом пакете
Основными компонентами системы являются базовая система
MATLAB и пакет моделирования систем Simulink Остальные пакеты
расширения разбиты на 4 категории ndash расширения Extension MATLAB и
Extension Simulink а также комплексы пакетов расширения Blockset и
Toolbox
Раздел MATLAB Extension содержит средства для подготовки ис-
полняемых приложений MATLAB (с подключаемыми библиотеками и
без них)
Раздел Toolbox (инструментальные средства) содержит самое
большое число пакетов расширений системы MATLAB такие как
laquoControl systemraquo laquoDatabaseraquo laquoFuzzy logicraquo laquoWaveletraquo и тд
В разделе Blockset расположено несколько пакетов относящихся к
главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink такие как
laquoDSPraquo laquoFixed-Pointraquo laquoNonlinear control designraquo и laquoPower systemsraquo
В разделе Extension Simulink имеется ряд средств предназначен-
ных для моделирования в реальном масштабе времени и событийно-
управляемом моделировании
36
5 Построение частотных характеристик в MATLAB В пакете MATLAB ЛЧХ объекта заданного с помощью ПФ
можно получить командой bode
Пример
gtgt w=tf([1 2][3 4 5])
gtgt bode(w)
Для нескольких вариантов передаточной функции можно исполь-
зовать вариант команды вида
gtgt bode(ww1w2)
Например построим диаграмму Боде при различных параметрах
колебательного звена (рис 1)
gtgt w=tf([1][2 03 1])
gtgt w1=tf([1][2 05 1])
gtgt w2=tf([1][2 01 1])
gtgt bode(ww1w2)
Рис 1 ЛЧХ колебательного звена
6 Задание на лабораторную работу
С помощью пакета MATLAB построить ЛЧХ каждого типового
звена Определить влияние коэффициентов входящих в описание
каждого звена на параметры ЛАЧХ и ЛФЧХ Вариант задания назна-
чается преподавателем
37
7 Методика выполнения задания
Порядок выполнения работы
1 Задать передаточную функцию типового динамического звена
используя параметры из табл 2 лабораторной работы 1
2 Построить диаграмму Боде при различных параметрах типо-
вого динамического звена
3 Определить влияние коэффициентов входящих в описание
каждого звена на параметры ЛАЧХ и ЛФЧХ в том числе
ndash как меняется ширина асимптотических участков ЛАЧХ и
ЛФЧХ
ndash как меняется положение точек пересечения осей ЛАЧХ
4 Написать вывод по влиянию коэффициентов на типовое звено
5 Выполнить пункты 1-4 для всех типовых звеньев
6 Подготовить ответы на контрольные вопросы
8 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) титульный лист
б) краткие теоретические сведения
в) передаточные функции и схемы моделирования исследуемых
звеньев
г) экспериментально полученные характеристики при вариации
параметров каждого звена
д) выводы обобщающие проделанные эксперименты по каждо-
му звену
ж) ответы на контрольные вопросы
Контрольные вопросы
1 Как пользуясь частотными характеристиками определить па-
раметры (коэффициенты передаточной функции) звена Пояс-
нить на конкретных примерах
2 Указать особенности построения ЛАХ и ЛФХ динамических
звеньев Что понимается под асимптотической ЛАХ звена
3 Как осуществляется построение АФХ динамического звена
38
Лабораторная работа 4
ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ СИСТЕМ
С ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ
1 Цель работы
Изучение особенностей практического использования алгебраи-
ческих и частотных критериев устойчивости для анализа динамики
линейных САУ с использованием автоматизированных средств моде-
лирования на ПК ndash MATLAB SIMULINK
2 Задачи работы
ndash Закрепление углубление и расширение знаний студентов при
исследовании устойчивости систем с обратной связью
ndash Приобретение умений и навыков работы с программой мате-
матического моделирования MATLAB
ndash Овладение новыми методами проверки устойчивости систем
с обратной связью
ndash Выработка способности логического мышления осмысления
полученных данных
3 Теоретическая часть
Устойчивость САУ является одним из основных условий ее ра-
ботоспособности и включает требование затухания во времени пере-
ходных процессов
Система является устойчивой если при ограниченном входном
сигнале еѐ выходной сигнал также является ограниченным Если
система устойчива то она противостоит внешним воздействиям а
выведенная из состояния равновесия возвращается снова к нему
Система с расходящимся переходным процессом будет неустойчивой и
неработоспособной
Необходимое и достаточное условие устойчивости заключается в
том чтобы все корни характеристического уравнения (полюсы пере-
даточной функции системы) имели отрицательные вещественные ча-
сти Иначе говоря условием устойчивости системы является распо-
ложение всех полюсов в левой комплексной полуплоскости Тогда все
полюсы будут давать затухающую реакцию
Выше сформулированное условие устойчивости справедливо как
39
для линейных так и для линеаризованных систем Однако в случае
нулевых или чисто мнимых корней характеристического уравнения
вопрос об устойчивости линеаризованной системы может быть ре-
шен только на основании исследования ее нелинейных уравнений
В конце XIX и первой половине XX в задача вычисления корней
характеристического уравнения высокого порядка вызывала боль-
шие проблемы Поэтому были предложены несколько косвенных
методов оценки устойчивости позволяющих обойтись без вычисле-
ния корней ndash по значениям коэффициентов характеристического
уравнения
Критерии устойчивости разделяют на алгебраические и частот-
ные В частности к алгебраическим критериям относится критерий
Гурвица к частотным критериям ndash критерий Найквиста
Критерий Гурвица является алгебраическим критерием и при-
меняется к коэффициентам характеристического уравнения замкнутой
системы
Пусть имеется характеристическое уравнение замкнутой
системы
0011
1 apapapa n
nn
n
Из коэффициентов характеристического уравнения составляют
матрицу по правилу
1 По диагонали записываются коэффициенты от 1na до 0a
2 Каждая строка дополняется коэффициентами с возрастающи-
ми индексами слева направо так чтобы чередовались строки с нечет-
ными и четными индексами
3 В случае отсутствия индекса а также если он меньше 0 или
больше п на его место пишется 0
Таким образом матрица Гурвица приобретает следующий вид
40
Критерий устойчивости формулируется так
Чтобы система была устойчивой необходимо и достаточно что-
бы при 0na были положительными все п диагональных определи-
телей получаемых из матрицы Гурвица
Первые три определителя матрицы Гурвица имеют следующий
вид
Таким образом критерий Гурвица позволяет судить об абсо-
лютной устойчивости но он не дает возможности оценивать относи-
тельную устойчивость по корням характеристического уравнения
Частотный критерий устойчивости Найквиста анализирует
АФЧХ разомкнутой системы
Пусть имеется АФЧХ разомкнутой системы W(jω)
Для нахождения вещественной и мнимой части частотной ха-
рактеристики нужно освободиться от мнимости в знаменателе путем
умножения числителя и знаменателя на комплексную величину со-
пряженную знаменателю а затем выполнить разделение на веще-
ственную и мнимую части W(jω) приобретает вид
)()()( jQPjW
Задаваясь различными значениями частоты можно найти мно-
жество пар )()( 11 jQP )()( 22 jQP )()( nn jQP
Затем по этим парам строится АФЧХ на комплексной плоскости
Основные свойства АФЧХ разомкнутой системы
1 Если разомкнутая система не имеет интегрирующих звеньев
то при ω = 0 ее АФЧХ начинается на вещественной оси в точке
Р(ω)=К (где К ndash коэффициент усиления разомкнутой системы) За-
канчивается АФЧХ в начале координат при ω rarr infin (рис 1 а)
2 Если разомкнутая система имеет одно интегрирующее звено то
ее АФЧХ начинается при ω = 0 в бесконечности на отрицательной мни-
мой полуоси а заканчивается в начале координат при ω rarr infin (рис 1 б)
41
Рис 1 АФЧХ разомкнутой системы
Критерий устойчивости Найквиста формулируется так
1 Если разомкнутая система устойчива или находится на гра-
нице устойчивости то для того чтобы замкнутая система была
устойчива необходимо и достаточно чтобы АФЧХ разомкнутой
системы при изменении частоты ω от 0 до infin не охватывала точку с ко-
ординатами (-1 j0)
2 Если разомкнутая система неустойчива а ее передаточная
функция имеет т полюсов справа от мнимой оси на комплексной
плоскости то для устойчивости замкнутой системы необходимо и до-
статочно чтобы АФЧХ разомкнутой системы при изменении частоты
ω от -infin до +infin охватывала т раз точку с координатами (-1 j0)
При использовании этого критерия нужно учитывать две
особенности
1 Если разомкнутая система находится на границе устойчиво-
сти то ее АФЧХ уходит в бесконечность Для проверки критерия Най-
квиста нужно мысленно соединить конец АФЧХ дугой бесконечно
большого радиуса с положительной вещественной полуосью
2 На практике АФЧХ может строиться только для положитель-
ных частот (0 lt ω lt +infin) При применении критерия Найквиста счита-
ется что ветвь АФЧХ для отрицательных частот симметрична отно-
сительно вещественной оси
Физический смысл критерия устойчивости Найквиста заключа-
ется в том что система будет неустойчива если фаза выходного сиг-
нала противоположна фазе входного сигнала а коэффициент усиле-
ния больше 1 Поэтому для анализа устойчивости можно использо-
вать не АФЧХ а ЛАХ системы (для минимально-фазовых систем)
Система устойчива если на частоте среза значение фазы не превы-
шает -π Соответственно для устойчивой системы можно рассматри-
вать на ЛФЧХ запас устойчивости по фазе ndash расстояние от значения
фазы на частоте среза до уровня -π и запас устойчивости по амплиту-
42
де ndash расстояние от оси частот ЛАЧХ до значения усиления на часто-
те где фаза становится равной -π
4 Краткое описание MATLAB
Лабораторная работа выполняется в программе математического
моделирования MATLAB Программа MATLAB включает в себя пакет
прикладных программ для решения технических задач и одноименный
язык программирования используемый в этом пакете
Основными компонентами системы являются базовая система
MATLAB и пакет моделирования систем Simulink Остальные пакеты
расширения разбиты на 4 категории ndash расширения Extension MATLAB и
Extension Simulink а также комплексы пакетов расширения Blockset и
Toolbox
Раздел MATLAB Extension содержит средства для подготовки ис-
полняемых приложений MATLAB (с подключаемыми библиотеками и
без них)
Раздел Toolbox (инструментальные средства) содержит самое
большое число пакетов расширений системы MATLAB такие как
laquoControl systemraquo laquoDatabaseraquo laquoFuzzy logicraquo laquoWaveletraquo и тд
В разделе Blockset расположено несколько пакетов относящихся к
главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink такие как
laquoDSPraquo laquoFixed-Pointraquo laquoNonlinear control designraquo и laquoPower systemsraquo
В разделе Extension Simulink имеется ряд средств предназначен-
ных для моделирования в реальном масштабе времени и событийно-
управляемом моделировании
5 Исследование устойчивости САУ в MATLAB
Для проверки устойчивости САУ по Гурвицу постройте матрицу
Гурвица и найдите ее детерминант (функция det) Затем последова-
тельно уменьшая размер матрицы найдите значения всех диагональ-
ных детерминантов Пример
gtgt А=[1 14 18 2 5 2 3 4 3]
А =
1 14 18
2 5 2
3 4 3
gtgt det(A)
ans = -119
43
gtgt А1=А(12 12)
А1 =
1 14
2 5
gtgt det(A1)
ans = -23
Для проверки устойчивости САУ по Найквисту сначала нужно
выяснить является ли устойчивой разомкнутая система
Пример Пусть дана передаточная функция разомкнутой
системы
13232
12234
pppp
pW
Рассмотрим реакцию на скачок
gtgt w=tf([2 1][2 3 2 3 1])
gtgt step(w18)
График переходного процесса показан на рис 2
Рис 2 Переходная реакция
Разомкнутая система неустойчива и согласно критерию Найкви-
ста надо чтобы АФЧХ разомкнутой системы охватывала точку (-1 j0)
44
столько раз сколько полюсов имеется справа от мнимой оси Для по-
строения АФЧХ достаточно вызвать команду nyquist
gtgt nyquist(w)
Диаграмма Найквиста показана на рис 3
Рис 3 Диаграмма Найквиста для неустойчивой системы
Как показывает рис3 АФЧХ ни разу не охватывает точку
(-1 j0) поэтому замкнутая система будет неустойчивой Частотный
критерий Найквиста можно использовать и в том случае когда рас-
сматривается не АФЧХ а ЛАЧХ разомкнутой системы замкнутая
минимально-фазовая система устойчива если при достижении ЛФЧХ
значения -π ЛАЧХ будет отрицательной
Используя ЛАЧХ и ЛФЧХ можно оценить запасы устойчивости
системы по амплитуде и по фазе с помощью команды
gtgt margin(w)
Пример
gtgt w=tf([10][2 2 3 1])
gtgt margin(w)
Соответствующий график показан на рис 4
45
Рис 4 Определение запасов устойчивости по амплитуде и по фазе
6 Задание на лабораторную работу
Выполнить исследование устойчивости замкнутой системы по за-
данной передаточной функции разомкнутой системы Определить запас
устойчивости по амплитуде и по фазе Вариант задания назначается
преподавателем
7 Методика выполнения задания
Порядок выполнения работы
1 Рассчитать передаточную функцию замкнутой системы по
приведенной в табл 1 разомкнутой системе
2 Определить устойчивость замкнутой системы используя кри-
терий Гурвица
3 Определить устойчивость замкнутой системы используя кри-
терий Найквиста
4 Определить запас устойчивости по амплитуде и по фазе ис-
пользуя ЛАЧХ и ЛФЧХ
5 Выполнить моделирование переходных процессов разомкну-
той и замкнутой систем
6 Подготовить ответы на контрольные вопросы
46
Таблица 1
Варианты заданий
Передаточная функция разомкнутой системы
1 1355
2234
ssss
W
2 110050
1234
ssss
W
3 11010
123
sss
W
4 122105
100234
ssss
W
5 1248
123
sss
W
6 1223
102345
sssss
W
7 11001010
323
sss
W
8 122
1023
sss
W
9 11010
123
sss
W
10 15050332
102345
sssss
W
8 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) титульный лист
б) краткие теоретические сведения
в) переходную функцию разомкнутой системы
г) расчет передаточной функции замкнутой системы
д) расчетные выражения для обоснования устойчивости замкну-
той системы по алгебраическому критерию Гурвица
е) годограф Найквиста разомкнутой системы на основании кото-
рого делается вывод об устойчивости замкнутой системы
ѐ) переходную функцию замкнутой системы
ж) проверку полученных результатов путем компьютерного моде-
лирования переходных процессов разомкнутой и замкнутой си-
стемы в MATLAB Simulink
з) выводы по всем полученным результатам
47
Контрольные вопросы
1 Как связана устойчивость линейной САУ с видом составля-
ющих ее свободного движения
2 Зависит ли устойчивость линейных САУ от амплитуды зада-
ющих воздействий или возмущений
3 Сформулируйте критерий устойчивости Гурвица укажите на
необходимое условие устойчивости линейных САУ вытекаю-
щее из этого критерия
4 Сформулируйте критерий Найквиста для случая САУ устой-
чивых в разомкнутом состоянии а также для астатических САУ
Что такое laquoзапасы устойчивости по фазе и по амплитудеraquo
5 Что называется структурной устойчивостью
48
Лабораторная работа 5
КОРРЕКЦИЯ СТАТИЧЕСКИХ И ДИНАМИЧЕСКИХ
СВОЙСТВ САУ
1 Цель работы
Целью работы является изучение способов обеспечения иско-
мых характеристик САУ с использованием автоматизированных
средств моделирования на ПК ndash MATLAB SIMULINK
2 Задачи работы
ndash Закрепление углубление и расширение знаний студентов при
обеспечении искомых характеристик САУ
ndash Приобретение умений по обеспечению точности (уменьшение
статической ошибки) САУ и выбору значений параметров регулято-
ра обеспечивающих желаемые динамические свойства САУ
ndash Приобретение умений и навыков работы с программой мате-
матического моделирования MATLAB
3 Теоретическая часть
Коррекция статических и динамических свойств САУ имеет
своей целью повышение статической и динамической точности отра-
ботки системой задающего воздействия (или парирование возмуща-
ющего воздействия) повышение запасов ее устойчивости Наиболее
распространенными способами коррекции свойств САУ является из-
менение коэффициента усиления ее разомкнутой части введение в
САУ новых звеньев (как правило интегрирующего или дифференци-
рующего типа) охват объекта управления местной обратной связью
31 Коррекция статических свойств САУ
Статические свойства системы определяются величиной устано-
вившейся ошибки )t(уст вызванной действием задающего воздей-
ствия и определяемой по формуле
22
210 2 dttgdcdttdgctgctуст (1)
где )(tg - входное воздействие 210 ccc - коэффициенты ошибок
Коэффициенты ошибок определяются по формулам
49
dssdcdssdcscs
mmmss 00100
где s - передаточная функция САУ по ошибке управления рав-
ная
sW
sраз
1
1
sWраз - передаточная функция разомкнутой САУ
Основными способами уменьшения статической ошибки систе-
мы являются
1) увеличение коэффициента усиления прямого тракта системы
2) введение в прямой тракт системы интегрирующих звеньев
3) охват объекта управления местной неединичной положитель-
ной обратной связью
Представим структурную схему системы в виде изображенном
на рис 1 где через sW обозначена передаточная функция неизме-
няемой части системы
bsbsb
asasasW
nn
nn
mm
mm
01
1
01
1
Здесь и далее полагается что KKKsW s 000 0 ndash из-
меняемый коэффициент усиления регулятора системы
Первые два коэффициента ошибок 0c и 1c определяется выраже-
ниями
KK
c0
01
1
(2)
KK
dssdWKc
s
20
01
1
(3)
Из (2) и (3) с учетом (1) вытекает что с увеличением K
статическая ошибка в системе уменьшается и наоборот с уменьше-
нием K статическая ошибка в системе увеличивается
Введем в прямой тракт системы одно интегрирующее звено
50
(рис 2) В этом случае c 00 01 1 KKc
Так как c 00 то система на рис 2 является астатической (с
астатизмом первого порядка) Система имеет нулевую статическую
ошибку при отработке постоянного задающего воздействия
consttg и постоянную обратно пропорциональную K ошибку
constуст при отработке линейно изменяющегося воздействия
tatg
Рис 1 Схема САУ Рис 2 Схема САУ с включенным в прямой
тракт интегрирующим звеном
Охватим неизменяемую часть системы sW местной нееди-
ничной положительной обратной связью с коэффициентом усиления
осK (рис 3) Тогда эквивалентная передаточная функция sWэкв
неизменяемой части системы равна
10011
01
1
aKbsaKbsaKbsb
asasa
sWK
sWsW
ососm
mосmn
n
mm
mm
осэкв
(4)
Если коэффициент усиления K выбрать из условия
a
bKос
0
0
то свободный коэффициент (b0 - Koca0) полинома знаменателя sWэкв
обратится в нуль и sWэкв приобретает интегрирующие свойства
11
11
0
1
1
aKbsaKbsbs
asasasW
ос
m
mосm
n
n
m
m
m
mэкв
g(t) y(t)ε(t)
K W(s)-
g(t) y(t)
Ks W(s)-
ε(t)
51
Следовательно замкнутая система становится астатической (с
астатизмом 1-го порядка) Отсюда 0c =0 а коэффициент 1c будет
равен
aKb
bc
ос 11
01
ε(t)g(t) y(t)
W(s)-
Kос
Wэкв(s)
+
Рис 3 Схема САУ с местной неединичной обратной связью
32 Коррекция динамических свойств САУ
Улучшение динамических свойств САУ заключается в увеличе-
нии быстродействия САУ (уменьшении времени регулирования tрег)
уменьшении перерегулирования (см рис 4) а также увеличении
запасов устойчивости по фазе и по модулю При этом
h
hh
уст
устmax100
где maxh - максимальное значение переходной характеристики за-
мкнутой САУ th
устh - установившееся значение th
Время регулирования tрег - минимальная величина при которой удо-
влетворяется условие
устрег hth
где - заданная величина ошибки (обычно =005 устh )
52
h(t)
tрег
hустhmax
2δ
Рис 4 Быстродействие и перерегулирование САУ
Одним из эффективных средств достижения этой цели является
уменьшение отрицательных фазовых сдвигов в прямом тракте систе-
мы путем охвата неизменяемой части системы местными отрицатель-
ными обратными связями
На рис 5 R(s) представляет собой передаточную функцию регу-
лятора САУ которая считается заданной
ε(t)g(t) y(t)
W(s)-
Kос
Wэкв(s)
-
R(s)
u(t)
Рис 5 Схема САУ с местной обратной связью и регулятором
Пусть неизменяемая часть системы представляет собой аперио-
дическое звено первого порядка те
sT
K)s(W
10
0
Тогда передаточная функция sWэкв эквивалентного объекта
управления равна
sT
K
sWK
sWsW
экв
экв
осэкв
11
где зквK и эквT - коэффициент усиления и постоянная времени
эквивалентного объекта равные
53
KK
KK
осэкв
0
0
1
KK
TT
осэкв
0
0
1 (5)
Из (5) следует что соответствующим выбором осK постоянную
времени эквT эквивалентного объекта можно уменьшить в (1+ 0KKос )
раз по сравнении с постоянной времени 0T объекта без местной об-
ратной связи Тем самым уменьшаются отрицательные фазовые сдви-
ги вносимые прямым трактом системы что приводит к увеличению
запасов устойчивости системы При этом однако уменьшается в
(1+ 0KKос ) раз коэффициент усиления эквK эквивалентного объекта
по сравнению с коэффициентом усиления 0K объекта без местной
обратной связи Это нежелательно так как приводит к уменьшению
быстродействия системы вследствие уменьшения общего коэффици-
ента усиления прямого тракта системы В этом случае с целью обес-
печения необходимого быстродействия системы увеличивают коэф-
фициент усиления регулятора
4 Краткое описание MATLAB
Лабораторная работа выполняется в программе математического
моделирования MATLAB Программа MATLAB включает в себя пакет
прикладных программ для решения технических задач и одноименный
язык программирования используемый в этом пакете
Основными компонентами системы являются базовая система
MATLAB и пакет моделирования систем Simulink Остальные пакеты
расширения разбиты на 4 категории ndash расширения Extension MATLAB и
Extension Simulink а также комплексы пакетов расширения Blockset и
Toolbox
Раздел MATLAB Extension содержит средства для подготовки ис-
полняемых приложений MATLAB (с подключаемыми библиотеками и
без них)
Раздел Toolbox (инструментальные средства) содержит самое
большое число пакетов расширений системы MATLAB такие как
laquoControl systemraquo laquoDatabaseraquo laquoFuzzy logicraquo laquoWaveletraquo и тд
54
В разделе Blockset расположено несколько пакетов относящихся к
главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink такие как
laquoDSPraquo laquoFixed-Pointraquo laquoNonlinear control designraquo и laquoPower systemsraquo
В разделе Extension Simulink имеется ряд средств предназначен-
ных для моделирования в реальном масштабе времени и событийно-
управляемом моделировании
5 Задание на лабораторную работу
Выполнить исследование способов коррекции статических и
динамических свойств САУ Определить время регулирования и пе-
ререгулирования в исходной и скорректированной системах а также
для динамических свойств САУ определить запасы устойчивости в
исходной системе и найти экспериментально значение Kос обеспечи-
вающее в системе заданные показатели качества и запасы устойчиво-
сти Вариант задания назначается преподавателем
Таблица 1
Варианты заданий
варианта
Параметры
1
2
3
4
5
6
7
8
a 05 10 15 20 25 30 35 40
K0 1 2 3 4 5 6 7 8
T c 03 04 05 06 07 08 09 10
ξ 06 07 08 08 07 09 05 04
уст 0 0 005 0 010 007 0 0
tрег c le 13 15 20 25 30 35 40 40
le 0 10 10 5 5 5 0 0
В качестве исходных САУ выступают системы изображенные
на рис 6 и 7
55
ε(t)g(t) y(t)
W(s)-
g(t) y(t)
R(s) W(s)-
ε(t) u(t)
Рис 6 САУ с отрицательной Рис 7 САУ с отрицательной обратной
обратной связью связью и регулятором
6 Методика выполнения задания
При исследовании способов коррекции статических свойств
САУ в качестве исходных данных выступает передаточная функция
sW неизменяемой части системы вида
1222
0
sTsT
KsW (6)
и задающие воздействия вида ttg 1 в соответствии с таблицей 1
В процессе выполнения этой части работы необходимо
1) путем моделирования в системе MATLAB исходной САУ
(рис 6) получить графики ttytg
2) сравнить полученную таким образом экспериментальную ве-
личину t с теоретической величиной вычисленной по формуле (1)
3) применяя описанные в теоретической части методических
указаний способы коррекции статических свойств (см п 31) обес-
печить требуемую статическую ошибку εуст системы при отработке
задающего воздействия ttg 1
4) получить графики ty и t в скорректированной системе
для 1 ttg
5) сравнить время регулирования регt и перерегулирование в
исходной и скорректированной системах при 1 ttg
При исследовании рассмотренного способа коррекции динами-
ческих свойств САУ (см п 32) в качестве исходных данных высту-
пают передаточная функция sW неизменяемой части системы
вида (6) и передаточная функция регулятора вида
s
KsR
рег
56
Задающее воздействие ttg 1
В процессе выполнения данной части работы необходимо
1) получить путем моделирования в MATLAB графики ty t
в системе (рис 7)
2) определить время регулирования регt и перерегулирование
а также запасы устойчивости в исходной системе
3) применяя описанный выше способ коррекции динамических
свойств САУ найти экспериментально (путем последовательного пе-
ребора) значение осK обеспечивающее в системе заданные заданием
показатели качества ( регt ) и запасы устойчивости (при необхо-
димости увеличить коэффициент регK )
4) получить графики ty t а также ЛАХ и ЛФХ разомкну-
той системы в скорректированной САУ
7 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) титульный лист
б) структурные схемы исследуемых систем
в) полученные графики и характеристики
г) значения полученные экмпериментально которые
обеспечивают заданные показатели качества и запасы устойчивости
д) выводы обощающие проделанные эксперименты для
коррекции статических и динамических свойств САУ
е) ответы на контрольные вопросы
Контрольные вопросы 1 Дать определение статической и астатической САУ
2 Какими структурными свойствами системы определяется по-
рядок ее астатизма
3 Какой из двух приведенных выше способов придания системе
свойств астатизма 1-го порядка наиболее предпочтителен на
практике
4 Назовите основные показатели качества САУ Поясните их
смысл
5 В чѐм суть исследуемого способа коррекции динамических
свойств САУ
57
6 Назвать другие способы коррекции динамических свойств
САУ
7 Чем вызваны отрицательные фазовые сдвиги в неизменяемой
части САУ
58
Лабораторная работа 6
МЕТОД КОРНЕВОГО ГОДОГРАФА
1 Цель работы
Целью работы является построение корневого годографа и ис-
следование динамики системы с использованием автоматизирован-
ных средств моделирования на ПК ndash MATLABSIMULINK
2 Задачи работы
ndash Закрепление углубление и расширение знаний студентов при
исследование динамики системы
ndash Овладение навыком построения корневого годографа
ndash Приобретение умений и навыков работы с программой мате-
матического моделирования MATLAB
3 Теоретическая часть
Корневым годографом (КГ) называется совокупность траекто-
рий перемещения всех корней характеристического уравнения за-
мкнутой системы при изменении какого-либо параметра этой систе-
мы
Обычно метод КГ позволяет находить полюса и нули ПФ за-
мкнутой системы располагая полюсами и нулями разомкнутой си-
стемы при изменении коэффициента усиления разомкнутой системы
K
ПФ разомкнутой системы Wp(s) представим в следующем виде
)(
)(
1
1
0
n
ii
m
jj
p
ss
ssKC
sW (1)
где 0js ndash нули ПФ sWp )1( mj
is ndash полюса ПФ sWp
)1( nj n и m ndash порядки знаменателя и числителя C ndash коэффици-
ент представления (отношение коэффициентов при старших членах
числителя и знаменателя)
59
При замыкании системы с ПФ sWp единичной отрицатель-
ной обратной связью ПФ замкнутой системы sWз принимает вид
)(1
)(
sW
sWsW
p
pз
(2)
Из выражения (2) следует что нули ПФ замкнутой системы рав-
ны нулям ПФ разомкнутой системы
Для нахождения полюсов рассмотри выражение
01 sWp (3)
в соответствии с выражением (1) имеем
n
i
m
jjin
ii
m
jj
ssKCss
ss
ssKC
1 1
0
1
1
0
)()(01
)(
)(
(4)
На основании выражения (4) можно сказать что при K = 0 корни
характеристического уравнения совпадают с полюсами а при K = infin ndash
с нулями При изменении K от 0 до infin траектории корней начинаются
в полюсах и заканчиваются в нулях Обычно полюсов больше чем
нулей В этом случаем mn ветвей корневого годографа стремятся к
infin
Для определения полюсов замкнутой системы с отрицательной
обратной связью необходимо решить уравнение (его называют ос-
новным уравнением метода КГ)
1sWp (5)
Так как sWp является функцией комплексного переменного
s то уравнение (5) распадается на два уравнения уравнение модулей
1)( sWp (6)
60
и уравнение аргументов (фаза вектора -1 есть нечетное число π)
210)12()(arg sWp (7)
Как известно при умножении комплексных чисел их аргументы
складываются а при делении ndash вычитаются Поэтому исходя из вы-
ражения (1) уравнение (7) имеет наглядный геометрический смысл
Пусть точка s ndash полюс замкнутой системы Если провести в s
вектора из нулей sWp (обозначим аргументы этих векторов 0j ) и
вектора из всех полюсов sWp (обозначим аргументы этих векторов
i ) то уравнение (7) можно записать в следующем виде
m
j
n
iij
1 1
0 210)12( (8)
Углы q отсчитываются от положительного направления дей-
ствительной оси Знак угла laquo+raquo соответствует повороту против часо-
вой стрелки знак угла laquo-raquo соответствует повороту по часовой стрел-
ке
Таким образом любая точка КГ должна удовлетворять уравне-
нию (8) из которого следует что конфигурация КГ не зависит от ко-
эффициента усиления K но каждому конкретному значению K одно-
значно соответствуют точки на КГ
При умножении комплексных чисел их модули перемножаются
а при делении ndash делятся Поэтому на основании (6) можно записать
1
1
1
0
n
ii
m
jj
l
lKC
(9)
где 0jl ndash модуль (длина) вектора проведенного из j-нуля в точку s
КГ il ndash модуль вектора проведенного из i-полюса в ту же точку s
61
Таким образом траектории корней строятся только по уравне-
ниям фаз а уравнение модулей используется затем для нахождения
K
Сущность метода КГ заключается в том чтобы узнать каким
должен быть коэффициент усиления разомкнутой системы чтобы
было обеспечено желаемое положение корней замкнутой системы
Корневой годограф системы с отрицательной обратной связью
обладает следующими основными свойствами
1 Ветви КГ непрерывны и расположены на комплексной плос-
кости симметрично относительно действительной оси
2 Число ветвей КГ равно порядку системы n Ветви начинают-
ся в n полюсах разомкнутой системы при K=0 При возрастании K от
0 до infin полюса замкнутой системы двигаются по ветвям КГ
3 mветвей КГ при возрастании K от 0 до infin заканчиваются в m
нулях )(sWp а )( mn ветвей при K стремящемся к infin удаляются
от полюсов вдоль асимптот
4 При расположении ветвей корневого годографа в левой полу-
плоскости s САУ устойчива При пересечении ветвей КГ мнимой оси
слева направо САУ становится неустойчивой Пусть при K=Kкр
пере-
сечение КГ с мнимой осью произойдет в некоторой точке iωкр
Назо-
вем это значение коэффициента усиления критическим Kкр
а вели-
чину iωкр
критической угловой частотой на которой система стано-
вится неустойчивой
4 Краткое описание MATLAB
Лабораторная работа выполняется в программе математического
моделирования MATLAB Программа MATLAB включает в себя пакет
прикладных программ для решения технических задач и одноименный
язык программирования используемый в этом пакете
Основными компонентами системы являются базовая система
MATLAB и пакет моделирования систем Simulink Остальные пакеты
расширения разбиты на 4 категории ndash расширения Extension MATLAB и
Extension Simulink а также комплексы пакетов расширения Blockset и
Toolbox
Раздел MATLAB Extension содержит средства для подготовки ис-
полняемых приложений MATLAB (с подключаемыми библиотеками и
без них)
62
Раздел Toolbox (инструментальные средства) содержит самое
большое число пакетов расширений системы MATLAB такие как
laquoControl systemraquo laquoDatabaseraquo laquoFuzzy logicraquo laquoWaveletraquo и тд
В разделе Blockset расположено несколько пакетов относящихся к
главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink такие как
laquoDSPraquo laquoFixed-Pointraquo laquoNonlinear control designraquo и laquoPower systemsraquo
В разделе Extension Simulink имеется ряд средств предназначен-
ных для моделирования в реальном масштабе времени и событийно-
управляемом моделировании
5 Корневой годограф в MATLAB
В системе MATLAB существует команда zpk для преобразова-
ния модели заданной ПФ в модель заданную нулями полюсами и
обобщенными коэффициентами передачи (zpk-форма)
Пример
gtgt w=tf([10][2 2 3 1 0])
Transfer function
10
-------------------------------
2 s^4 + 2 s^3 + 3 s^2 + s
gtgt w1=zpk(w)
Zeropolegain
5
----------------------------------------------
s (s+03966) (s^2 + 06034s + 1261)
Для работы с корневым годографом удобно использовать гра-
фический интерфейс laquoSISO-Design Toolraquo предназначенный для ана-
лиза и синтеза одномерных линейных систем автоматического управ-
ления (SISO ndash Single Input Signal Output)
Запуск SISO-Design Tool осуществляется командой
gtgt sisotool
63
В появившемся окне графического интерфейса необходимо ис-
пользовать команду laquoFileImportraquo для загрузки данных из рабочего
пространства MATLAB в результате которой появляется диалоговое
окно Import System Data (рис 1)
Рис 1 Диалог для ввода параметров модели
После импортирования данных можно исследовать изменение
временных и частотных характеристик замкнутой системы при изме-
нении K Обычно при этом требуется определить условия неустойчи-
вости замкнутой САУ Определить Kкр
и iωкр
На рис 2 показано окно sisotool для описанной выше модели w1
Двигая красным курсором по КГ до пересечения ветвей с мнимой
осью можно определить значения Kкр
В данном случае Kкр
asymp 01
Значение iωкр
соответствует мнимой координате пересечения КГ
мнимой оси Просмотреть это значение можно в нижней части ин-
терфейса или выбрать меню laquoView Closed-Loop Polesraquo
64
Рис 2 Основное окно SISO-Design Tool
6 Задание на лабораторную работу
Построить КГ в соответствии с вариантом из табл 1 при помо-
щи графического интерфейса sisotool
Исследовать динамику замкнутой системы при различных зна-
чениях коэффициента усиления разомкнутой системы K в том числе
ndash запасы устойчивости в частотной области
ndash параметры переходного процесса во временной области
Таблица 1
Варианты передаточных функций
Значения параметров Передаточная функция
разомкнутой системы
1 T = 01 ζ = 1
)12( 22 sTsTs
K
2 T = 005 ζ = 0707
3 T = 003 ζ = 01
4 T = 008 ζ = 05
5 T = 001 ζ = 015
65
Окончание табл 1
Значения параметров Передаточная функция
разомкнутой системы
6 T1 = 003 T2 = 05 T3 = 01 T4 = 005
)1)(1)(1(
)1(
432
1
sTsTsTs
sTK
7 T1 = 005 T2 = 04 T3 = 008 T4 = 0033
8 T1 = 02 T2 = 045 T3 = 01 T4 = 005
9 T1 = 05 T2 = 025 T3 = 01 T4 = 002
10 T1 = 01 T2 = 025 T3 = 01 T4 = 005
Вариант задания назначается преподавателем
7 Методика выполнения задания
Порядок выполнения лабораторной работы
1 Задать передаточную функцию в MATLAB в соответствии с
вариантом коэффициент K задать любым положительным числом
2 Запустить SISO-Design Tool и осуществить ввод данных
Построить КГ
3 По КГ определить значения коэффициента K когда система
будет устойчивой на границе устойчивости и неустойчива
4 Выбрать значение коэффициента K таким образом чтобы си-
стемы была устойчива и определить запас устойчивости в частотной
области и параметры переходного процесса во временной области
8 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) титульный лист
б) передаточную функцию и этапы построения КГ
в) анализ результатов построения КГ
г) выводы по проделанной работе
д) ответы на контрольные вопросы
Контрольные вопросы 1 Дать определение КГ
2 Что обычно позволяет находить метод КГ
3 В чем заключается сущность метода КГ
4 Что можно определить по КГ
66
Критерии результативности лабораторного практикума
Лабораторная работа считается выполненной если студент
ndash выполнил все указанные задания
ndash представил отчет соответствующий всем требованиям к его
содержанию и оформлению
ndash владеет терминологией и материалом лабораторной работы
ndash способен использовать программное средство математическо-
го моделирования MATLAB
ndash способен предоставить и рассказать результаты выполненной
работы на ПК
ndash может дать пояснения к отчету и ответить на контрольные
вопросы
Список литературы
1 Александров АГ Частотная теория автоматического управле-
ния учебное пособие ndash Электросталь ЭПИ МИСиС 2010
2 Борисевич АВ Теория автоматического управления элементар-
ное введение с применением MATLAB ndash СПб Изд-во Политехн ун-
та 2011
3 Федоров ВЛ Бубнов АВ Теория автоматического управления
учебное пособие ndash Омск Изд-во ОмГТУ 2010
4 Павловская ОО Чернецкая ИВ Теория автоматического
управления учебное пособие ndash Челябинск Изд-во ЮУрГУ 2010
67
Составители ЛЯНЦЕВ Олег Дмитриевич КАЗАНЦЕВ Андрей Валерьевич
ИССЛЕДОВАНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК СИСТЕМ
АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
Лабораторный практикум
по дисциплине
laquoТеория управленияraquo
Подписано в печать Формат 60х84 116 Бумага офсетная Пе-
чать плоская Гарнитура Times New Roman Усл печ л 56 Уч-изд л
55 Тираж 100 экз Заказ
ФГБОУ ВПО Уфимский государственный авиационный технический
университет
Центр оперативной полиграфии УГАТУ
450000 Уфа-центр ул К Маркса 12
18
Окончание табл 1
Преобразование
Структурная схема
Исходная Эквивалентная
Перенос узла через
звено вперед
Wu y
x
Wu y
xW1
WW
11
Перенос узла через
звено назад
Wu y
y
Wu y
yW
Перенос сумматора
через звено вперед
Wu1 y
u2
plusmn
Wu1 y
u2
plusmn
W
Перенос сумматора
через звено назад
Wu1 y
u2
plusmn
Wu1 y
u2
plusmn
W1
WW
11
Перенос прямой
связи через звено W2yu
plusmnW1
W3
W2 yu
plusmnW1
W3 W2
Перенос узла через
сумматор вперед
x1
+
- y
x1
x2
x1
+
- y
x1x2
+
+
Перенос узла через
сумматор назад
x1
+
- y
x2
y
x1
+
- y
x2y
+
-
Пример Пусть необходимо получить эквивалентное представ-
ление для структуры приведенной на рис 1
19
W1
W2 W3
W4
W5 W6
W7
+
+
+
-
Рис 1 Исходная схема САУ
Преобразование включает несколько этапов показанных на рис 2ndash5
W1
W2 W3
W4
W5 W6
W7
+
+
+
-
1W6
Рис 2 Перенос узла через звено вперед
567
659
1 WWW
WWW
6
48
W
WW
Рис 3 Свертывание обратной связи и последовательного соединения
2110 WWW
983
9311
1 WWW
WWW
Рис 4 Свертывание обратной связи и Рис 5 Свертывание последователь-
параллельного соединения ного соединения
W10 W11 WЭкв
543765
653265311110
1 WWWWWW
WWWWWWWWWWWЭкв
W1
W2
W8
W3 W9
+
+
20
Таким образом первый способ преобразования структурных
схем заключается в непосредственном использовании правил приве-
денных в табл1 Неудобство использования этого подхода заключа-
ется в том что порядок применения формул здесь достаточно произ-
волен возможны ошибочные шаги усложняющие поиск решения
Второй способ для получения ПФ многоконтурной системы за-
ключается в использовании модели системы в виде сигнального
графа
Сигнальный граф позволяет графически описать линейные связи
между переменными он состоит из узлов (вершин) и соединяющих их
направленных ветвей
Ветвь соответствует блоку структурной схемы она отражает за-
висимость между входной и выходной переменными Сумма всех
сигналов входящих в узел образует соответствующую этому узлу
переменную
Последовательность ветвей между двумя узлами называется пу-
тем Контуром называется замкнутый путь который начинается и
заканчивается в одном и том же узле причем ни один узел не встре-
чается на этом пути дважды
Контуры называются некасающимися если они не имеют общих
узлов
Сигнальный граф ndash это просто наглядный метод записи системы
алгебраических уравнений показывающий взаимосвязь между пере-
менными
r1
r2
a11
a22
x1
x2
a12a21
Рис 6 Сигнальный граф для двух алгебраических выражений
В качестве примера рассмотрим следующую систему алгебраи-
ческих уравнений
21
11212111 xrxaxa (1)
22222121 xrxaxa (2)
здесь r1 и r2 ndash входные переменные а x1 и x2 ndash выходные переменные
Сигнальный граф соответствующий уравнениям (1) и (2) изображен
на рис 6 Уравнения (1) и (2) можно записать в ином виде
1122111 )()1( raxax
2222211 )1()( raxax
Решая последнюю систему по правилу Крамера получим
212
122
21122211
2121221
)1(
)1)(1(
)1(r
ar
a
aaaa
rarax
121
211
21122211
1212112
)1(
)1)(1(
)1(r
ar
a
aaaa
rarax
В этих решениях знаменатель равен определителю составлен-
ному из коэффициентов при неизвестных и его можно записать так
21122211221121122211 1)1)(1( aaaaaaaaaa
В данном случае знаменатель равен единице минус коэффици-
енты передачи отдельных контуров a11 a22 и a12a21 плюс произведе-
ние коэффициентов передачи двух некасающихся контуров a11 и a22
Контуры a22 и a12a21 являются касающимися так же как и контуры a11
и a21a12
В решении для x1 по отношению ко входу r1 числитель равен
единице умноженной на (1-a22) те значение определителя некаса-
ющегося пути от r1 к x1 В решении для x1 по отношению ко входу
r2числитель просто равен a12 тк этот путь касается всех контуров
Числитель выражения x2 симметричен соответствующему числителю
для x1
В общем случае линейная зависимость Tij между независимой
переменной xi (часто называемой входной переменной) и зависимой
переменной xj определяется по формуле Мейсона
22
k
ijkijk
ij
P
T
где Pijk ndash коэффициент передачи k-го пути от переменной xi к пере-
менной xj Δ ndash определитель графа Δijk ndash дополнительный множитель
для пути Pijk а суммирование производится по всем возможным k пу-
тям от xi до xjДополнительный множитель Δijk равен определителю
всех касающихся контуров при удалении k-го пути
Определитель находится как
QM
qm
LSR
lsrlsrqm
K
kk LLLLLL
11
1111
1
где Kk kL
1ndash сумма коэффициентов передачи всех отдельных конту-
ров QM
qm qmLL
11ndash сумма произведений всех возможных комбина-
ций из двух некасающихся контуров LSR
lsr lsr LLL
111ndash сумма про-
изведений всех возможных комбинаций из трех некасающихся кон-
туров
Таким образом правило вычисления Δ через значение L1 L2
L3hellipLN таково Δ = 1- (сумма коэффициентов передачи всех отдель-
ных контуров) + (сумма произведений всех возможных комбинаций
из 2 некасающихся контуров) ndash (сумма произведений всех возмож-
ных комбинаций из 3 некасающихся контуров) +hellip
Формула Мейсона часто используется в несколько упрощенном
виде для определения связи между выходной переменной Y(s) и
входной переменной X(s) те
)()(
)( 1
N
iiiP
sWsX
sY
где Pi ndash i-й путь от входа к выходу N ndash количество путей Δ ndash опреде-
литель графа специальный полином который определенным образом
характеризует совокупность всех замкнутых цепей системы содер-
жащих обратные связи и вычисляется как сумма передаточных
функций разомкнутых контуров этих цепей и произведений
23
передаточных функций разомкнутых контуров пар троек и тд не со-
прикасающихся друг с другом цепей с обратными связями Δi ndash до-
полнительный множитель для пути составляется по правилу анало-
гичному Δ но только для цепей с обратными связями не соприкаса-
ющихся с i-м прямым каналом
Дополнительный множитель для i-го пути равен определителю
графа в котором приравнены нулю коэффициенты передачи конту-
ров касающихся этого пути
Рассмотрим пример получения ПФ многоконтурной системы с
использованием формулы Мейсона для структуры на рис 1 которая
соответствует графу показанному на рис 7
X(s) Y(s)W1
W2
W3 W5 W6
W4 -W7
Рис 7 Описание системы управления сигнальным графом
От входа к выходу ведут два пути
65311 WWWWP
65322 WWWWP
В графе есть 2 контура
5431 WWWL
7652 WWWL
Контур L1 пересекает контур L2 поэтому определитель графа
вычисляется по формуле
)(1 21 LL
Контуры в этом примере пересекают все пути поэтому допол-
нительные множители путей равны
24
11
12
Окончательно можно записать
1
)(543765
65326531
2
1
WWWWWW
WWWWWWWWP
sW iii
Таким образом использование сигнальных графов и применение
формулы Мейсона позволяет алгоритмизировать процесс упрощения
структурной схемы
Третий способ для получения ПФ заключается в составлении
системы уравнений Необходимо обозначить выходы сумматоров и
составить систему уравнений на основе этих обозначений На рис9
представлена исходная схема с обозначенными сумматорами
W1
W2 W3
W4
W5 W6
W7
+
+
+
-
Z H
u y
Рис 9 Исходная схема САУ с обозначенными сумматорами
Опишем все сигналы в системе в виде уравнений
)( 4521 HWWuWWZ
73 yWZWH
65 HWWy
Подставив последовательно значения сигналов найдем ПФ
))(( 734521 yWWHWWuWWH
После преобразования получим
25
1
)(
543
73231
WWW
yWuWWWWH
Подставим полученное значение H в уравнение y
1
))((
543
6573231
WWW
WWyWuWWWWy
Получим ПФ вида
1
)(543765
65326531
WWWWWW
WWWWWWWW
u
ypW
4 Краткое описание MATLAB
Лабораторная работа выполняется в программе математического
моделирования MATLAB Программа MATLAB включает в себя пакет
прикладных программ для решения технических задач и одноименный
язык программирования используемый в этом пакете
Основными компонентами системы являются базовая система
MATLAB и пакет моделирования систем Simulink Остальные пакеты
расширения разбиты на 4 категории ndash расширения Extension MATLAB и
Extension Simulink а также комплексы пакетов расширения Blockset и
Toolbox
Раздел MATLAB Extension содержит средства для подготовки ис-
полняемых приложений MATLAB (с подключаемыми библиотеками и
без них)
Раздел Toolbox (инструментальные средства) содержит самое
большое число пакетов расширений системы MATLAB такие как
laquoControl systemraquo laquoDatabaseraquo laquoFuzzy logicraquo laquoWaveletraquo и тд
В разделе Blockset расположено несколько пакетов относящихся к
главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink такие как
laquoDSPraquo laquoFixed-Pointraquo laquoNonlinear control designraquo и laquoPower systemsraquo
В разделе Extension Simulink имеется ряд средств предназначен-
ных для моделирования в реальном масштабе времени и событийно-
управляемом моделировании
26
5 Структурные преобразования в MATLAB
В пакете MATLAB имеется ряд функций с помощью которых
можно выполнять структурные преобразования (используется экви-
валентная схема)
ndash series(w1w2) ndash последовательное соединение звеньев
ndash parallel(w1w2) ndash параллельное соединение звеньев
ndash feedback(w1w2) ndash включение звена w2 в контур отрицательной об-
ратной связи к w1
ndash feedback(w1w2sign) ndash включение звена w2 в контур обратной связи
звена w1 с указанием знака + или ndash (очевидно feedback(w1w2)=
=feedback(w1w2-1))
Пример
Даны две передаточные функции
22
221
ss
sW
22
322
2
2
ss
ssW
Опишем ПФ введя в окне команд MatLab следующие команды
gtgt w1=tf([1 2][1 2 2])
gtgt w2=tf([1 2 3][1 2 2])
Выполним структурные преобразования для данных ПФ
gtgt w2=series(w1w2)
Transfer function
s^3 + 4 s^2 + 7 s + 6
------------------------------------
s^4 + 4 s^3 + 8 s^2 + 8 s + 4
gtgt w3=parallel(w1w2)
Transfer function
s^4 + 5 s^3 + 13 s^2 + 16 s + 10
----------------------------------------
s^4 + 4 s^3 + 8 s^2 + 8 s + 4
27
gtgt w4=feedback(w1w2)
Transfer function
s^3 + 4 s^2 + 6 s + 4
----------------------------------------
s^4 + 5 s^3 + 12 s^2 + 15 s + 10
Для проверки правильности проведенных преобразований необ-
ходимо собрать схему исходной САУ и соответствующую ей эквива-
лентную схему в MATLAB Simulink
Исходная схема САУ собирается как модель из соответствую-
щих элементов таких как laquoTransfer Fncraquo laquostepraquo laquosignal builderraquo
laquoscoperaquo и laquosumraquo Все эти элементы находятся в пакете laquoSimulinkraquo и
представлены в виде блоков Для того чтобы создать новую модель
необходимо нажать laquoFile-gtNew-gtModel (Simulink)raquo после откроется
окно модели в которую нужно будет добавлять элементы из библио-
теки для доступа к ней необходимо нажать на значок laquoLibrary Brows-
erraquo
Описание используемых элементов из пакета Simulink
1 Transfer Fnc ndash передаточная функция
2 Step ndash единичный скачок (функция Хэвисайда) в блоке необходи-
мо задать время начала перехода (step time)
3 Signal builder ndash блок для моделирования сигнала по заданным па-
раметрам (можно построить единичный скачок и импульсную функ-
цию)
4 Scope ndash виртуальный осциллограф отображает получившийся гра-
фик открывается двойным щелчком левой клавиши мыши и для кор-
рекции масштаба необходимо нажать правой кнопкой по графику и
из выпадающего меню выбрать laquoautoscaleraquo
5 Sum ndash сумматор в параметрах задается число сигналов соответ-
ственно laquo+raquo - положительный laquondashraquo - отрицательный
Так же нужно задать время работы модели для этого необходи-
мо выбрать laquoSimulation-gtSimulation parametersraquo и установить пара-
метр laquostop timeraquo на нужное значение и после необходимо запустить
модель на выполнение нажав на значок laquoStart simulationraquo Пример
модели составленной в MATLAB представлен на рис 10
28
Рис 10 Пример схемы САУ с блоком laquosignal builderraquo
Задача считается решенной если при подаче на вход обоих
схем одинаковых тестовых воздействий (единичный скачок импуль-
сная функция) наблюдаются одинаковые выходные сигналы
6 Задание на лабораторную работу
Выполнить преобразование структурной схемы САУ в эквива-
лентную передаточную функцию Составить модель исходной схемы
САУ в MATLAB С помощью ряда функций MATLAB (структурные
преобразования) составить эквивалентную схему Вариант задания
назначается преподавателем
7 Методика выполнения задания
Порядок выполнения работы
1 Выполнить преобразование заданного варианта структурной
схемы САУ (см табл 2) в эквивалентную ПФ тремя способами
ndash непосредственно используя правила табл 1
ndash используя представление в виде сигнального графа и формулу
Мейсона
ndash составив систему уравнений и решив еѐ
2 В качестве звеньев W1W2W3 использовать передаточные
функции звеньев представленных в табл 2
3 Составить модель исходной схемы САУ в MATLAB постро-
ить реакцию получившейся модели на ступенчатое и импульсное
воздействия
4 С помощью ряда функций MATLAB (структурные преобразо-
вания) составить эквивалентную схему и построить реакцию на сту-
пенчатое и импульсное воздействия
5 Подготовить ответы на контрольные вопросы
29
Таблица 2
Варианты структур САУ
Исходная схема
Передаточные
функции
1 W1
W3
W2
-
+
-
+
u y
+
1
31
sW
2
442
s
sW
12
133
s
sW
2 W1
W3
W2
-
+
-
+
u y
+ +
3 W3
W2
W1
-
+
-
+
u y
+ +
4 W3
W1
W2
+
+
-
+
u y
+ +
1
21
sW
2
12
sW
12
13
s
sW
5
W1
W3
W2
-
+
-
+
u y
+ +
6
W1
W3
W2
-
+
-
+
u y
+
62
31
sW
2
52
sW
1
23
s
sW
7
W1
W3
W2
-
+
-
+
u y
+ +
8
W1
W2
W3
-
+
-
+
u y
+ +
30
8 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) описание всех этапов преобразования исходной схемы и по-
лучающихся промежуточных результатов выполненными тремя спо-
собами моделирование реакции схемы на типовое воздействие (ска-
чок) до и после преобразования
б) сигнальный граф системы описание путей контуров расчет
ПФ по формуле Мейсона
в) решение составленной системы уравнений
г) схема модели и протокол команд MATLAB
д) графики переходных процессов при подаче на вход исходной
и эквивалентной схемы типовых тестирующих воздействий (скачок
импульс)
е) ответы на контрольные вопросы
Контрольные вопросы
1 Что называется структурной схемой Какие задачи можно
решить с еѐ помощью
2 Как может быть составлена структурная схема
3 Что позволяет алгоритмизировать процесс упрощения струк-
турной схемы Поясните на конкретном примере
31
Лабораторная работа 3
ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
ДИНАМИЧЕСКИХ ЗВЕНЬЕВ
1 Цель работы
Целью работы является изучение частотных характеристик ти-
повых динамических звеньев с использованием автоматизированных
средств моделирования на ПК ndash MATLAB SIMULINK
2 Задачи работы
ndash Закрепление углубление и расширение знаний студентов при
исследовании частотных характеристик динамических звеньев
ndash Приобретение умений и навыков работы с программой мате-
матического моделирования MATLAB
ndash Выработка способности логического мышления осмысление
полученных данных частотных характеристик
3 Теоретическая часть Сущность метода частотных характеристик заключается в том
что на вход исследуемой системы подается гармонический сигнал (си-
нусоидальные колебания) в широком диапазоне частот Реакция си-
стемы при разных частотах позволяет судить о ее динамических
свойствах
Пусть входной сигнал системы имеет амплитуду а и частоту ω т е
описывается формулой
)sin( tax
Выходной сигнал будет иметь амплитуду А1 и отличаться от вход-
ного по фазе на величину ψ (фазовый сдвиг)
)sin(1 tAy
Таким образом можно рассчитать усиление по амплитуде
1
a
AA
32
Для каждой частоты входного сигнала ω будут свои А и ψ
Изменяя ω в широком диапазоне можно получить зависимость
А(ω) ndash амплитудную частотную характеристику (АЧХ) и ψ(ω) ndash фазо-
вую частотную характеристику (ФЧХ)
Главное достоинство метода частотных характеристик заключа-
ется в том что АЧХ и ФЧХ объекта могут быть получены экспери-
ментально Для этого необходимо иметь генератор гармонических
колебаний который подключается к входу объекта и измеритель-
ную аппаратуру для измерения амплитуды и фазового сдвига колеба-
ний на выходе объекта
Частотные характеристики САУ могут быть получены по ее ПФ
W(s) Для суждения о реакции звена на синусоидальный сигнал доста-
точно исследовать его реакцию на гармонический сигнал вида
)( tjejx
Тогда выходной сигнал определяется по соотношению
)()( ))(( tjeAjy
и частотная ПФ получается равной
)()(
)()( )(
jeA
jx
jyjW
Формально для получения частотной ПФ надо сделать в W(s)
подстановку s = jω и тогда полученная W(jω) является комплексным
выражением которое можно представить в виде
)()(
)()()(
22
11
jba
jbajW
Для нахождения вещественной и мнимой частей частотной пе-
редаточной функции необходимо умножить числитель и знаменатель
на сопряженную знаменателю величину а затем провести
разделение
33
)()()(
)()(
)()()()(
)()(
)()()()(
))()())(()((
))()())(()((
)()(
)()()(
)(
22
22
2112
22
22
2121
2222
2211
22
11
jeAjVU
ba
babaj
ba
bbaa
jbajba
jbajba
jba
jbajW
где
)()()()(22
22
21
2122
ba
baVUjWA
)(
)())(arg()(
2
2
1
1
a
barctg
a
barctg
U
VarctgjW
Графики функции )(U и )(V называют соответственно веще-
ственной и мнимой частотной характеристиками
В практических расчетах удобно применять графики частотных
характеристик построенных в логарифмическом масштабе ndash лога-
рифмические частотные характеристики (ЛЧХ)
Логарифмическая амплитудная частотная характеристика
(ЛАЧХ) определяется следующим выражением
)(lg20)( AL
Логарифмической фазовой частотной характеристикой
(ЛФЧХ) называется график зависимости )( построенный в лога-
рифмическом масштабе частот
Единицей L(ω) является децибел (дБ) а единицей логарифма ча-
стоты ndash декада Декадой называют интервал частот на котором часто-
та изменяется в 10 раз При изменении частоты в 10 раз говорят что
она изменилась на одну декаду Ось ординат при построении ЛЧХ про-
водят через произвольную точку а не через точку ω = 0 Частоте ω = 0
соответствует бесконечно удаленная точка lgω rarr ndash infin при ω rarr 0
Основное преимущество использования ЛЧХ заключается в том
что приближенные (асимптотические) ЛАЧХ типовых динамических
звеньев изображаются отрезками прямых
Пример Построим ЛЧХ апериодического звена первого
34
порядка
Передаточная функция звена
1
)(
Ts
ksW
Частотная передаточная функция
1)(
)1(
1)(
2
T
Tjk
Tj
kjW
1)(
1)( 22
T
kTV
T
kU
Следовательно АЧХ описывается формулой
1)(
)(2
T
kA
ФЧХ строится по формуле
)()( Tarctg
ЛАЧХ апериодического звена 1-го порядка
1)(lg20lg20)( 2 TkL
По этой формуле можно построить две асимптоты ndash прямые к
которым стремится ЛАЧХ при ω rarr 0 и при ω rarr infin Так при ω rarr 0 второе
слагаемое близко к нулю и этот участок ЛАЧХ представляет собой
горизонтальную прямую
lg20)( kL
При ω rarr infin получаем наклонную прямую
1)(lg20)( 2 TL
35
Для определения наклона этой прямой можно рассмотреть гра-
ницы декады
T
1 и
10
T
Изменение ЛАЧХ между этими точками
)(2011
lg20110
lg20)(
22
декдБT
TT
TL
ЛЧХ часто называют диаграммами Боде
4 Краткое описание MATLAB
Лабораторная работа выполняется в программе математического
моделирования MATLAB Она включает в себя пакет прикладных про-
грамм для решения технических задач и одноименный язык программи-
рования используемый в этом пакете
Основными компонентами системы являются базовая система
MATLAB и пакет моделирования систем Simulink Остальные пакеты
расширения разбиты на 4 категории ndash расширения Extension MATLAB и
Extension Simulink а также комплексы пакетов расширения Blockset и
Toolbox
Раздел MATLAB Extension содержит средства для подготовки ис-
полняемых приложений MATLAB (с подключаемыми библиотеками и
без них)
Раздел Toolbox (инструментальные средства) содержит самое
большое число пакетов расширений системы MATLAB такие как
laquoControl systemraquo laquoDatabaseraquo laquoFuzzy logicraquo laquoWaveletraquo и тд
В разделе Blockset расположено несколько пакетов относящихся к
главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink такие как
laquoDSPraquo laquoFixed-Pointraquo laquoNonlinear control designraquo и laquoPower systemsraquo
В разделе Extension Simulink имеется ряд средств предназначен-
ных для моделирования в реальном масштабе времени и событийно-
управляемом моделировании
36
5 Построение частотных характеристик в MATLAB В пакете MATLAB ЛЧХ объекта заданного с помощью ПФ
можно получить командой bode
Пример
gtgt w=tf([1 2][3 4 5])
gtgt bode(w)
Для нескольких вариантов передаточной функции можно исполь-
зовать вариант команды вида
gtgt bode(ww1w2)
Например построим диаграмму Боде при различных параметрах
колебательного звена (рис 1)
gtgt w=tf([1][2 03 1])
gtgt w1=tf([1][2 05 1])
gtgt w2=tf([1][2 01 1])
gtgt bode(ww1w2)
Рис 1 ЛЧХ колебательного звена
6 Задание на лабораторную работу
С помощью пакета MATLAB построить ЛЧХ каждого типового
звена Определить влияние коэффициентов входящих в описание
каждого звена на параметры ЛАЧХ и ЛФЧХ Вариант задания назна-
чается преподавателем
37
7 Методика выполнения задания
Порядок выполнения работы
1 Задать передаточную функцию типового динамического звена
используя параметры из табл 2 лабораторной работы 1
2 Построить диаграмму Боде при различных параметрах типо-
вого динамического звена
3 Определить влияние коэффициентов входящих в описание
каждого звена на параметры ЛАЧХ и ЛФЧХ в том числе
ndash как меняется ширина асимптотических участков ЛАЧХ и
ЛФЧХ
ndash как меняется положение точек пересечения осей ЛАЧХ
4 Написать вывод по влиянию коэффициентов на типовое звено
5 Выполнить пункты 1-4 для всех типовых звеньев
6 Подготовить ответы на контрольные вопросы
8 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) титульный лист
б) краткие теоретические сведения
в) передаточные функции и схемы моделирования исследуемых
звеньев
г) экспериментально полученные характеристики при вариации
параметров каждого звена
д) выводы обобщающие проделанные эксперименты по каждо-
му звену
ж) ответы на контрольные вопросы
Контрольные вопросы
1 Как пользуясь частотными характеристиками определить па-
раметры (коэффициенты передаточной функции) звена Пояс-
нить на конкретных примерах
2 Указать особенности построения ЛАХ и ЛФХ динамических
звеньев Что понимается под асимптотической ЛАХ звена
3 Как осуществляется построение АФХ динамического звена
38
Лабораторная работа 4
ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ СИСТЕМ
С ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ
1 Цель работы
Изучение особенностей практического использования алгебраи-
ческих и частотных критериев устойчивости для анализа динамики
линейных САУ с использованием автоматизированных средств моде-
лирования на ПК ndash MATLAB SIMULINK
2 Задачи работы
ndash Закрепление углубление и расширение знаний студентов при
исследовании устойчивости систем с обратной связью
ndash Приобретение умений и навыков работы с программой мате-
матического моделирования MATLAB
ndash Овладение новыми методами проверки устойчивости систем
с обратной связью
ndash Выработка способности логического мышления осмысления
полученных данных
3 Теоретическая часть
Устойчивость САУ является одним из основных условий ее ра-
ботоспособности и включает требование затухания во времени пере-
ходных процессов
Система является устойчивой если при ограниченном входном
сигнале еѐ выходной сигнал также является ограниченным Если
система устойчива то она противостоит внешним воздействиям а
выведенная из состояния равновесия возвращается снова к нему
Система с расходящимся переходным процессом будет неустойчивой и
неработоспособной
Необходимое и достаточное условие устойчивости заключается в
том чтобы все корни характеристического уравнения (полюсы пере-
даточной функции системы) имели отрицательные вещественные ча-
сти Иначе говоря условием устойчивости системы является распо-
ложение всех полюсов в левой комплексной полуплоскости Тогда все
полюсы будут давать затухающую реакцию
Выше сформулированное условие устойчивости справедливо как
39
для линейных так и для линеаризованных систем Однако в случае
нулевых или чисто мнимых корней характеристического уравнения
вопрос об устойчивости линеаризованной системы может быть ре-
шен только на основании исследования ее нелинейных уравнений
В конце XIX и первой половине XX в задача вычисления корней
характеристического уравнения высокого порядка вызывала боль-
шие проблемы Поэтому были предложены несколько косвенных
методов оценки устойчивости позволяющих обойтись без вычисле-
ния корней ndash по значениям коэффициентов характеристического
уравнения
Критерии устойчивости разделяют на алгебраические и частот-
ные В частности к алгебраическим критериям относится критерий
Гурвица к частотным критериям ndash критерий Найквиста
Критерий Гурвица является алгебраическим критерием и при-
меняется к коэффициентам характеристического уравнения замкнутой
системы
Пусть имеется характеристическое уравнение замкнутой
системы
0011
1 apapapa n
nn
n
Из коэффициентов характеристического уравнения составляют
матрицу по правилу
1 По диагонали записываются коэффициенты от 1na до 0a
2 Каждая строка дополняется коэффициентами с возрастающи-
ми индексами слева направо так чтобы чередовались строки с нечет-
ными и четными индексами
3 В случае отсутствия индекса а также если он меньше 0 или
больше п на его место пишется 0
Таким образом матрица Гурвица приобретает следующий вид
40
Критерий устойчивости формулируется так
Чтобы система была устойчивой необходимо и достаточно что-
бы при 0na были положительными все п диагональных определи-
телей получаемых из матрицы Гурвица
Первые три определителя матрицы Гурвица имеют следующий
вид
Таким образом критерий Гурвица позволяет судить об абсо-
лютной устойчивости но он не дает возможности оценивать относи-
тельную устойчивость по корням характеристического уравнения
Частотный критерий устойчивости Найквиста анализирует
АФЧХ разомкнутой системы
Пусть имеется АФЧХ разомкнутой системы W(jω)
Для нахождения вещественной и мнимой части частотной ха-
рактеристики нужно освободиться от мнимости в знаменателе путем
умножения числителя и знаменателя на комплексную величину со-
пряженную знаменателю а затем выполнить разделение на веще-
ственную и мнимую части W(jω) приобретает вид
)()()( jQPjW
Задаваясь различными значениями частоты можно найти мно-
жество пар )()( 11 jQP )()( 22 jQP )()( nn jQP
Затем по этим парам строится АФЧХ на комплексной плоскости
Основные свойства АФЧХ разомкнутой системы
1 Если разомкнутая система не имеет интегрирующих звеньев
то при ω = 0 ее АФЧХ начинается на вещественной оси в точке
Р(ω)=К (где К ndash коэффициент усиления разомкнутой системы) За-
канчивается АФЧХ в начале координат при ω rarr infin (рис 1 а)
2 Если разомкнутая система имеет одно интегрирующее звено то
ее АФЧХ начинается при ω = 0 в бесконечности на отрицательной мни-
мой полуоси а заканчивается в начале координат при ω rarr infin (рис 1 б)
41
Рис 1 АФЧХ разомкнутой системы
Критерий устойчивости Найквиста формулируется так
1 Если разомкнутая система устойчива или находится на гра-
нице устойчивости то для того чтобы замкнутая система была
устойчива необходимо и достаточно чтобы АФЧХ разомкнутой
системы при изменении частоты ω от 0 до infin не охватывала точку с ко-
ординатами (-1 j0)
2 Если разомкнутая система неустойчива а ее передаточная
функция имеет т полюсов справа от мнимой оси на комплексной
плоскости то для устойчивости замкнутой системы необходимо и до-
статочно чтобы АФЧХ разомкнутой системы при изменении частоты
ω от -infin до +infin охватывала т раз точку с координатами (-1 j0)
При использовании этого критерия нужно учитывать две
особенности
1 Если разомкнутая система находится на границе устойчиво-
сти то ее АФЧХ уходит в бесконечность Для проверки критерия Най-
квиста нужно мысленно соединить конец АФЧХ дугой бесконечно
большого радиуса с положительной вещественной полуосью
2 На практике АФЧХ может строиться только для положитель-
ных частот (0 lt ω lt +infin) При применении критерия Найквиста счита-
ется что ветвь АФЧХ для отрицательных частот симметрична отно-
сительно вещественной оси
Физический смысл критерия устойчивости Найквиста заключа-
ется в том что система будет неустойчива если фаза выходного сиг-
нала противоположна фазе входного сигнала а коэффициент усиле-
ния больше 1 Поэтому для анализа устойчивости можно использо-
вать не АФЧХ а ЛАХ системы (для минимально-фазовых систем)
Система устойчива если на частоте среза значение фазы не превы-
шает -π Соответственно для устойчивой системы можно рассматри-
вать на ЛФЧХ запас устойчивости по фазе ndash расстояние от значения
фазы на частоте среза до уровня -π и запас устойчивости по амплиту-
42
де ndash расстояние от оси частот ЛАЧХ до значения усиления на часто-
те где фаза становится равной -π
4 Краткое описание MATLAB
Лабораторная работа выполняется в программе математического
моделирования MATLAB Программа MATLAB включает в себя пакет
прикладных программ для решения технических задач и одноименный
язык программирования используемый в этом пакете
Основными компонентами системы являются базовая система
MATLAB и пакет моделирования систем Simulink Остальные пакеты
расширения разбиты на 4 категории ndash расширения Extension MATLAB и
Extension Simulink а также комплексы пакетов расширения Blockset и
Toolbox
Раздел MATLAB Extension содержит средства для подготовки ис-
полняемых приложений MATLAB (с подключаемыми библиотеками и
без них)
Раздел Toolbox (инструментальные средства) содержит самое
большое число пакетов расширений системы MATLAB такие как
laquoControl systemraquo laquoDatabaseraquo laquoFuzzy logicraquo laquoWaveletraquo и тд
В разделе Blockset расположено несколько пакетов относящихся к
главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink такие как
laquoDSPraquo laquoFixed-Pointraquo laquoNonlinear control designraquo и laquoPower systemsraquo
В разделе Extension Simulink имеется ряд средств предназначен-
ных для моделирования в реальном масштабе времени и событийно-
управляемом моделировании
5 Исследование устойчивости САУ в MATLAB
Для проверки устойчивости САУ по Гурвицу постройте матрицу
Гурвица и найдите ее детерминант (функция det) Затем последова-
тельно уменьшая размер матрицы найдите значения всех диагональ-
ных детерминантов Пример
gtgt А=[1 14 18 2 5 2 3 4 3]
А =
1 14 18
2 5 2
3 4 3
gtgt det(A)
ans = -119
43
gtgt А1=А(12 12)
А1 =
1 14
2 5
gtgt det(A1)
ans = -23
Для проверки устойчивости САУ по Найквисту сначала нужно
выяснить является ли устойчивой разомкнутая система
Пример Пусть дана передаточная функция разомкнутой
системы
13232
12234
pppp
pW
Рассмотрим реакцию на скачок
gtgt w=tf([2 1][2 3 2 3 1])
gtgt step(w18)
График переходного процесса показан на рис 2
Рис 2 Переходная реакция
Разомкнутая система неустойчива и согласно критерию Найкви-
ста надо чтобы АФЧХ разомкнутой системы охватывала точку (-1 j0)
44
столько раз сколько полюсов имеется справа от мнимой оси Для по-
строения АФЧХ достаточно вызвать команду nyquist
gtgt nyquist(w)
Диаграмма Найквиста показана на рис 3
Рис 3 Диаграмма Найквиста для неустойчивой системы
Как показывает рис3 АФЧХ ни разу не охватывает точку
(-1 j0) поэтому замкнутая система будет неустойчивой Частотный
критерий Найквиста можно использовать и в том случае когда рас-
сматривается не АФЧХ а ЛАЧХ разомкнутой системы замкнутая
минимально-фазовая система устойчива если при достижении ЛФЧХ
значения -π ЛАЧХ будет отрицательной
Используя ЛАЧХ и ЛФЧХ можно оценить запасы устойчивости
системы по амплитуде и по фазе с помощью команды
gtgt margin(w)
Пример
gtgt w=tf([10][2 2 3 1])
gtgt margin(w)
Соответствующий график показан на рис 4
45
Рис 4 Определение запасов устойчивости по амплитуде и по фазе
6 Задание на лабораторную работу
Выполнить исследование устойчивости замкнутой системы по за-
данной передаточной функции разомкнутой системы Определить запас
устойчивости по амплитуде и по фазе Вариант задания назначается
преподавателем
7 Методика выполнения задания
Порядок выполнения работы
1 Рассчитать передаточную функцию замкнутой системы по
приведенной в табл 1 разомкнутой системе
2 Определить устойчивость замкнутой системы используя кри-
терий Гурвица
3 Определить устойчивость замкнутой системы используя кри-
терий Найквиста
4 Определить запас устойчивости по амплитуде и по фазе ис-
пользуя ЛАЧХ и ЛФЧХ
5 Выполнить моделирование переходных процессов разомкну-
той и замкнутой систем
6 Подготовить ответы на контрольные вопросы
46
Таблица 1
Варианты заданий
Передаточная функция разомкнутой системы
1 1355
2234
ssss
W
2 110050
1234
ssss
W
3 11010
123
sss
W
4 122105
100234
ssss
W
5 1248
123
sss
W
6 1223
102345
sssss
W
7 11001010
323
sss
W
8 122
1023
sss
W
9 11010
123
sss
W
10 15050332
102345
sssss
W
8 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) титульный лист
б) краткие теоретические сведения
в) переходную функцию разомкнутой системы
г) расчет передаточной функции замкнутой системы
д) расчетные выражения для обоснования устойчивости замкну-
той системы по алгебраическому критерию Гурвица
е) годограф Найквиста разомкнутой системы на основании кото-
рого делается вывод об устойчивости замкнутой системы
ѐ) переходную функцию замкнутой системы
ж) проверку полученных результатов путем компьютерного моде-
лирования переходных процессов разомкнутой и замкнутой си-
стемы в MATLAB Simulink
з) выводы по всем полученным результатам
47
Контрольные вопросы
1 Как связана устойчивость линейной САУ с видом составля-
ющих ее свободного движения
2 Зависит ли устойчивость линейных САУ от амплитуды зада-
ющих воздействий или возмущений
3 Сформулируйте критерий устойчивости Гурвица укажите на
необходимое условие устойчивости линейных САУ вытекаю-
щее из этого критерия
4 Сформулируйте критерий Найквиста для случая САУ устой-
чивых в разомкнутом состоянии а также для астатических САУ
Что такое laquoзапасы устойчивости по фазе и по амплитудеraquo
5 Что называется структурной устойчивостью
48
Лабораторная работа 5
КОРРЕКЦИЯ СТАТИЧЕСКИХ И ДИНАМИЧЕСКИХ
СВОЙСТВ САУ
1 Цель работы
Целью работы является изучение способов обеспечения иско-
мых характеристик САУ с использованием автоматизированных
средств моделирования на ПК ndash MATLAB SIMULINK
2 Задачи работы
ndash Закрепление углубление и расширение знаний студентов при
обеспечении искомых характеристик САУ
ndash Приобретение умений по обеспечению точности (уменьшение
статической ошибки) САУ и выбору значений параметров регулято-
ра обеспечивающих желаемые динамические свойства САУ
ndash Приобретение умений и навыков работы с программой мате-
матического моделирования MATLAB
3 Теоретическая часть
Коррекция статических и динамических свойств САУ имеет
своей целью повышение статической и динамической точности отра-
ботки системой задающего воздействия (или парирование возмуща-
ющего воздействия) повышение запасов ее устойчивости Наиболее
распространенными способами коррекции свойств САУ является из-
менение коэффициента усиления ее разомкнутой части введение в
САУ новых звеньев (как правило интегрирующего или дифференци-
рующего типа) охват объекта управления местной обратной связью
31 Коррекция статических свойств САУ
Статические свойства системы определяются величиной устано-
вившейся ошибки )t(уст вызванной действием задающего воздей-
ствия и определяемой по формуле
22
210 2 dttgdcdttdgctgctуст (1)
где )(tg - входное воздействие 210 ccc - коэффициенты ошибок
Коэффициенты ошибок определяются по формулам
49
dssdcdssdcscs
mmmss 00100
где s - передаточная функция САУ по ошибке управления рав-
ная
sW
sраз
1
1
sWраз - передаточная функция разомкнутой САУ
Основными способами уменьшения статической ошибки систе-
мы являются
1) увеличение коэффициента усиления прямого тракта системы
2) введение в прямой тракт системы интегрирующих звеньев
3) охват объекта управления местной неединичной положитель-
ной обратной связью
Представим структурную схему системы в виде изображенном
на рис 1 где через sW обозначена передаточная функция неизме-
няемой части системы
bsbsb
asasasW
nn
nn
mm
mm
01
1
01
1
Здесь и далее полагается что KKKsW s 000 0 ndash из-
меняемый коэффициент усиления регулятора системы
Первые два коэффициента ошибок 0c и 1c определяется выраже-
ниями
KK
c0
01
1
(2)
KK
dssdWKc
s
20
01
1
(3)
Из (2) и (3) с учетом (1) вытекает что с увеличением K
статическая ошибка в системе уменьшается и наоборот с уменьше-
нием K статическая ошибка в системе увеличивается
Введем в прямой тракт системы одно интегрирующее звено
50
(рис 2) В этом случае c 00 01 1 KKc
Так как c 00 то система на рис 2 является астатической (с
астатизмом первого порядка) Система имеет нулевую статическую
ошибку при отработке постоянного задающего воздействия
consttg и постоянную обратно пропорциональную K ошибку
constуст при отработке линейно изменяющегося воздействия
tatg
Рис 1 Схема САУ Рис 2 Схема САУ с включенным в прямой
тракт интегрирующим звеном
Охватим неизменяемую часть системы sW местной нееди-
ничной положительной обратной связью с коэффициентом усиления
осK (рис 3) Тогда эквивалентная передаточная функция sWэкв
неизменяемой части системы равна
10011
01
1
aKbsaKbsaKbsb
asasa
sWK
sWsW
ососm
mосmn
n
mm
mm
осэкв
(4)
Если коэффициент усиления K выбрать из условия
a
bKос
0
0
то свободный коэффициент (b0 - Koca0) полинома знаменателя sWэкв
обратится в нуль и sWэкв приобретает интегрирующие свойства
11
11
0
1
1
aKbsaKbsbs
asasasW
ос
m
mосm
n
n
m
m
m
mэкв
g(t) y(t)ε(t)
K W(s)-
g(t) y(t)
Ks W(s)-
ε(t)
51
Следовательно замкнутая система становится астатической (с
астатизмом 1-го порядка) Отсюда 0c =0 а коэффициент 1c будет
равен
aKb
bc
ос 11
01
ε(t)g(t) y(t)
W(s)-
Kос
Wэкв(s)
+
Рис 3 Схема САУ с местной неединичной обратной связью
32 Коррекция динамических свойств САУ
Улучшение динамических свойств САУ заключается в увеличе-
нии быстродействия САУ (уменьшении времени регулирования tрег)
уменьшении перерегулирования (см рис 4) а также увеличении
запасов устойчивости по фазе и по модулю При этом
h
hh
уст
устmax100
где maxh - максимальное значение переходной характеристики за-
мкнутой САУ th
устh - установившееся значение th
Время регулирования tрег - минимальная величина при которой удо-
влетворяется условие
устрег hth
где - заданная величина ошибки (обычно =005 устh )
52
h(t)
tрег
hустhmax
2δ
Рис 4 Быстродействие и перерегулирование САУ
Одним из эффективных средств достижения этой цели является
уменьшение отрицательных фазовых сдвигов в прямом тракте систе-
мы путем охвата неизменяемой части системы местными отрицатель-
ными обратными связями
На рис 5 R(s) представляет собой передаточную функцию регу-
лятора САУ которая считается заданной
ε(t)g(t) y(t)
W(s)-
Kос
Wэкв(s)
-
R(s)
u(t)
Рис 5 Схема САУ с местной обратной связью и регулятором
Пусть неизменяемая часть системы представляет собой аперио-
дическое звено первого порядка те
sT
K)s(W
10
0
Тогда передаточная функция sWэкв эквивалентного объекта
управления равна
sT
K
sWK
sWsW
экв
экв
осэкв
11
где зквK и эквT - коэффициент усиления и постоянная времени
эквивалентного объекта равные
53
KK
KK
осэкв
0
0
1
KK
TT
осэкв
0
0
1 (5)
Из (5) следует что соответствующим выбором осK постоянную
времени эквT эквивалентного объекта можно уменьшить в (1+ 0KKос )
раз по сравнении с постоянной времени 0T объекта без местной об-
ратной связи Тем самым уменьшаются отрицательные фазовые сдви-
ги вносимые прямым трактом системы что приводит к увеличению
запасов устойчивости системы При этом однако уменьшается в
(1+ 0KKос ) раз коэффициент усиления эквK эквивалентного объекта
по сравнению с коэффициентом усиления 0K объекта без местной
обратной связи Это нежелательно так как приводит к уменьшению
быстродействия системы вследствие уменьшения общего коэффици-
ента усиления прямого тракта системы В этом случае с целью обес-
печения необходимого быстродействия системы увеличивают коэф-
фициент усиления регулятора
4 Краткое описание MATLAB
Лабораторная работа выполняется в программе математического
моделирования MATLAB Программа MATLAB включает в себя пакет
прикладных программ для решения технических задач и одноименный
язык программирования используемый в этом пакете
Основными компонентами системы являются базовая система
MATLAB и пакет моделирования систем Simulink Остальные пакеты
расширения разбиты на 4 категории ndash расширения Extension MATLAB и
Extension Simulink а также комплексы пакетов расширения Blockset и
Toolbox
Раздел MATLAB Extension содержит средства для подготовки ис-
полняемых приложений MATLAB (с подключаемыми библиотеками и
без них)
Раздел Toolbox (инструментальные средства) содержит самое
большое число пакетов расширений системы MATLAB такие как
laquoControl systemraquo laquoDatabaseraquo laquoFuzzy logicraquo laquoWaveletraquo и тд
54
В разделе Blockset расположено несколько пакетов относящихся к
главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink такие как
laquoDSPraquo laquoFixed-Pointraquo laquoNonlinear control designraquo и laquoPower systemsraquo
В разделе Extension Simulink имеется ряд средств предназначен-
ных для моделирования в реальном масштабе времени и событийно-
управляемом моделировании
5 Задание на лабораторную работу
Выполнить исследование способов коррекции статических и
динамических свойств САУ Определить время регулирования и пе-
ререгулирования в исходной и скорректированной системах а также
для динамических свойств САУ определить запасы устойчивости в
исходной системе и найти экспериментально значение Kос обеспечи-
вающее в системе заданные показатели качества и запасы устойчиво-
сти Вариант задания назначается преподавателем
Таблица 1
Варианты заданий
варианта
Параметры
1
2
3
4
5
6
7
8
a 05 10 15 20 25 30 35 40
K0 1 2 3 4 5 6 7 8
T c 03 04 05 06 07 08 09 10
ξ 06 07 08 08 07 09 05 04
уст 0 0 005 0 010 007 0 0
tрег c le 13 15 20 25 30 35 40 40
le 0 10 10 5 5 5 0 0
В качестве исходных САУ выступают системы изображенные
на рис 6 и 7
55
ε(t)g(t) y(t)
W(s)-
g(t) y(t)
R(s) W(s)-
ε(t) u(t)
Рис 6 САУ с отрицательной Рис 7 САУ с отрицательной обратной
обратной связью связью и регулятором
6 Методика выполнения задания
При исследовании способов коррекции статических свойств
САУ в качестве исходных данных выступает передаточная функция
sW неизменяемой части системы вида
1222
0
sTsT
KsW (6)
и задающие воздействия вида ttg 1 в соответствии с таблицей 1
В процессе выполнения этой части работы необходимо
1) путем моделирования в системе MATLAB исходной САУ
(рис 6) получить графики ttytg
2) сравнить полученную таким образом экспериментальную ве-
личину t с теоретической величиной вычисленной по формуле (1)
3) применяя описанные в теоретической части методических
указаний способы коррекции статических свойств (см п 31) обес-
печить требуемую статическую ошибку εуст системы при отработке
задающего воздействия ttg 1
4) получить графики ty и t в скорректированной системе
для 1 ttg
5) сравнить время регулирования регt и перерегулирование в
исходной и скорректированной системах при 1 ttg
При исследовании рассмотренного способа коррекции динами-
ческих свойств САУ (см п 32) в качестве исходных данных высту-
пают передаточная функция sW неизменяемой части системы
вида (6) и передаточная функция регулятора вида
s
KsR
рег
56
Задающее воздействие ttg 1
В процессе выполнения данной части работы необходимо
1) получить путем моделирования в MATLAB графики ty t
в системе (рис 7)
2) определить время регулирования регt и перерегулирование
а также запасы устойчивости в исходной системе
3) применяя описанный выше способ коррекции динамических
свойств САУ найти экспериментально (путем последовательного пе-
ребора) значение осK обеспечивающее в системе заданные заданием
показатели качества ( регt ) и запасы устойчивости (при необхо-
димости увеличить коэффициент регK )
4) получить графики ty t а также ЛАХ и ЛФХ разомкну-
той системы в скорректированной САУ
7 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) титульный лист
б) структурные схемы исследуемых систем
в) полученные графики и характеристики
г) значения полученные экмпериментально которые
обеспечивают заданные показатели качества и запасы устойчивости
д) выводы обощающие проделанные эксперименты для
коррекции статических и динамических свойств САУ
е) ответы на контрольные вопросы
Контрольные вопросы 1 Дать определение статической и астатической САУ
2 Какими структурными свойствами системы определяется по-
рядок ее астатизма
3 Какой из двух приведенных выше способов придания системе
свойств астатизма 1-го порядка наиболее предпочтителен на
практике
4 Назовите основные показатели качества САУ Поясните их
смысл
5 В чѐм суть исследуемого способа коррекции динамических
свойств САУ
57
6 Назвать другие способы коррекции динамических свойств
САУ
7 Чем вызваны отрицательные фазовые сдвиги в неизменяемой
части САУ
58
Лабораторная работа 6
МЕТОД КОРНЕВОГО ГОДОГРАФА
1 Цель работы
Целью работы является построение корневого годографа и ис-
следование динамики системы с использованием автоматизирован-
ных средств моделирования на ПК ndash MATLABSIMULINK
2 Задачи работы
ndash Закрепление углубление и расширение знаний студентов при
исследование динамики системы
ndash Овладение навыком построения корневого годографа
ndash Приобретение умений и навыков работы с программой мате-
матического моделирования MATLAB
3 Теоретическая часть
Корневым годографом (КГ) называется совокупность траекто-
рий перемещения всех корней характеристического уравнения за-
мкнутой системы при изменении какого-либо параметра этой систе-
мы
Обычно метод КГ позволяет находить полюса и нули ПФ за-
мкнутой системы располагая полюсами и нулями разомкнутой си-
стемы при изменении коэффициента усиления разомкнутой системы
K
ПФ разомкнутой системы Wp(s) представим в следующем виде
)(
)(
1
1
0
n
ii
m
jj
p
ss
ssKC
sW (1)
где 0js ndash нули ПФ sWp )1( mj
is ndash полюса ПФ sWp
)1( nj n и m ndash порядки знаменателя и числителя C ndash коэффици-
ент представления (отношение коэффициентов при старших членах
числителя и знаменателя)
59
При замыкании системы с ПФ sWp единичной отрицатель-
ной обратной связью ПФ замкнутой системы sWз принимает вид
)(1
)(
sW
sWsW
p
pз
(2)
Из выражения (2) следует что нули ПФ замкнутой системы рав-
ны нулям ПФ разомкнутой системы
Для нахождения полюсов рассмотри выражение
01 sWp (3)
в соответствии с выражением (1) имеем
n
i
m
jjin
ii
m
jj
ssKCss
ss
ssKC
1 1
0
1
1
0
)()(01
)(
)(
(4)
На основании выражения (4) можно сказать что при K = 0 корни
характеристического уравнения совпадают с полюсами а при K = infin ndash
с нулями При изменении K от 0 до infin траектории корней начинаются
в полюсах и заканчиваются в нулях Обычно полюсов больше чем
нулей В этом случаем mn ветвей корневого годографа стремятся к
infin
Для определения полюсов замкнутой системы с отрицательной
обратной связью необходимо решить уравнение (его называют ос-
новным уравнением метода КГ)
1sWp (5)
Так как sWp является функцией комплексного переменного
s то уравнение (5) распадается на два уравнения уравнение модулей
1)( sWp (6)
60
и уравнение аргументов (фаза вектора -1 есть нечетное число π)
210)12()(arg sWp (7)
Как известно при умножении комплексных чисел их аргументы
складываются а при делении ndash вычитаются Поэтому исходя из вы-
ражения (1) уравнение (7) имеет наглядный геометрический смысл
Пусть точка s ndash полюс замкнутой системы Если провести в s
вектора из нулей sWp (обозначим аргументы этих векторов 0j ) и
вектора из всех полюсов sWp (обозначим аргументы этих векторов
i ) то уравнение (7) можно записать в следующем виде
m
j
n
iij
1 1
0 210)12( (8)
Углы q отсчитываются от положительного направления дей-
ствительной оси Знак угла laquo+raquo соответствует повороту против часо-
вой стрелки знак угла laquo-raquo соответствует повороту по часовой стрел-
ке
Таким образом любая точка КГ должна удовлетворять уравне-
нию (8) из которого следует что конфигурация КГ не зависит от ко-
эффициента усиления K но каждому конкретному значению K одно-
значно соответствуют точки на КГ
При умножении комплексных чисел их модули перемножаются
а при делении ndash делятся Поэтому на основании (6) можно записать
1
1
1
0
n
ii
m
jj
l
lKC
(9)
где 0jl ndash модуль (длина) вектора проведенного из j-нуля в точку s
КГ il ndash модуль вектора проведенного из i-полюса в ту же точку s
61
Таким образом траектории корней строятся только по уравне-
ниям фаз а уравнение модулей используется затем для нахождения
K
Сущность метода КГ заключается в том чтобы узнать каким
должен быть коэффициент усиления разомкнутой системы чтобы
было обеспечено желаемое положение корней замкнутой системы
Корневой годограф системы с отрицательной обратной связью
обладает следующими основными свойствами
1 Ветви КГ непрерывны и расположены на комплексной плос-
кости симметрично относительно действительной оси
2 Число ветвей КГ равно порядку системы n Ветви начинают-
ся в n полюсах разомкнутой системы при K=0 При возрастании K от
0 до infin полюса замкнутой системы двигаются по ветвям КГ
3 mветвей КГ при возрастании K от 0 до infin заканчиваются в m
нулях )(sWp а )( mn ветвей при K стремящемся к infin удаляются
от полюсов вдоль асимптот
4 При расположении ветвей корневого годографа в левой полу-
плоскости s САУ устойчива При пересечении ветвей КГ мнимой оси
слева направо САУ становится неустойчивой Пусть при K=Kкр
пере-
сечение КГ с мнимой осью произойдет в некоторой точке iωкр
Назо-
вем это значение коэффициента усиления критическим Kкр
а вели-
чину iωкр
критической угловой частотой на которой система стано-
вится неустойчивой
4 Краткое описание MATLAB
Лабораторная работа выполняется в программе математического
моделирования MATLAB Программа MATLAB включает в себя пакет
прикладных программ для решения технических задач и одноименный
язык программирования используемый в этом пакете
Основными компонентами системы являются базовая система
MATLAB и пакет моделирования систем Simulink Остальные пакеты
расширения разбиты на 4 категории ndash расширения Extension MATLAB и
Extension Simulink а также комплексы пакетов расширения Blockset и
Toolbox
Раздел MATLAB Extension содержит средства для подготовки ис-
полняемых приложений MATLAB (с подключаемыми библиотеками и
без них)
62
Раздел Toolbox (инструментальные средства) содержит самое
большое число пакетов расширений системы MATLAB такие как
laquoControl systemraquo laquoDatabaseraquo laquoFuzzy logicraquo laquoWaveletraquo и тд
В разделе Blockset расположено несколько пакетов относящихся к
главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink такие как
laquoDSPraquo laquoFixed-Pointraquo laquoNonlinear control designraquo и laquoPower systemsraquo
В разделе Extension Simulink имеется ряд средств предназначен-
ных для моделирования в реальном масштабе времени и событийно-
управляемом моделировании
5 Корневой годограф в MATLAB
В системе MATLAB существует команда zpk для преобразова-
ния модели заданной ПФ в модель заданную нулями полюсами и
обобщенными коэффициентами передачи (zpk-форма)
Пример
gtgt w=tf([10][2 2 3 1 0])
Transfer function
10
-------------------------------
2 s^4 + 2 s^3 + 3 s^2 + s
gtgt w1=zpk(w)
Zeropolegain
5
----------------------------------------------
s (s+03966) (s^2 + 06034s + 1261)
Для работы с корневым годографом удобно использовать гра-
фический интерфейс laquoSISO-Design Toolraquo предназначенный для ана-
лиза и синтеза одномерных линейных систем автоматического управ-
ления (SISO ndash Single Input Signal Output)
Запуск SISO-Design Tool осуществляется командой
gtgt sisotool
63
В появившемся окне графического интерфейса необходимо ис-
пользовать команду laquoFileImportraquo для загрузки данных из рабочего
пространства MATLAB в результате которой появляется диалоговое
окно Import System Data (рис 1)
Рис 1 Диалог для ввода параметров модели
После импортирования данных можно исследовать изменение
временных и частотных характеристик замкнутой системы при изме-
нении K Обычно при этом требуется определить условия неустойчи-
вости замкнутой САУ Определить Kкр
и iωкр
На рис 2 показано окно sisotool для описанной выше модели w1
Двигая красным курсором по КГ до пересечения ветвей с мнимой
осью можно определить значения Kкр
В данном случае Kкр
asymp 01
Значение iωкр
соответствует мнимой координате пересечения КГ
мнимой оси Просмотреть это значение можно в нижней части ин-
терфейса или выбрать меню laquoView Closed-Loop Polesraquo
64
Рис 2 Основное окно SISO-Design Tool
6 Задание на лабораторную работу
Построить КГ в соответствии с вариантом из табл 1 при помо-
щи графического интерфейса sisotool
Исследовать динамику замкнутой системы при различных зна-
чениях коэффициента усиления разомкнутой системы K в том числе
ndash запасы устойчивости в частотной области
ndash параметры переходного процесса во временной области
Таблица 1
Варианты передаточных функций
Значения параметров Передаточная функция
разомкнутой системы
1 T = 01 ζ = 1
)12( 22 sTsTs
K
2 T = 005 ζ = 0707
3 T = 003 ζ = 01
4 T = 008 ζ = 05
5 T = 001 ζ = 015
65
Окончание табл 1
Значения параметров Передаточная функция
разомкнутой системы
6 T1 = 003 T2 = 05 T3 = 01 T4 = 005
)1)(1)(1(
)1(
432
1
sTsTsTs
sTK
7 T1 = 005 T2 = 04 T3 = 008 T4 = 0033
8 T1 = 02 T2 = 045 T3 = 01 T4 = 005
9 T1 = 05 T2 = 025 T3 = 01 T4 = 002
10 T1 = 01 T2 = 025 T3 = 01 T4 = 005
Вариант задания назначается преподавателем
7 Методика выполнения задания
Порядок выполнения лабораторной работы
1 Задать передаточную функцию в MATLAB в соответствии с
вариантом коэффициент K задать любым положительным числом
2 Запустить SISO-Design Tool и осуществить ввод данных
Построить КГ
3 По КГ определить значения коэффициента K когда система
будет устойчивой на границе устойчивости и неустойчива
4 Выбрать значение коэффициента K таким образом чтобы си-
стемы была устойчива и определить запас устойчивости в частотной
области и параметры переходного процесса во временной области
8 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) титульный лист
б) передаточную функцию и этапы построения КГ
в) анализ результатов построения КГ
г) выводы по проделанной работе
д) ответы на контрольные вопросы
Контрольные вопросы 1 Дать определение КГ
2 Что обычно позволяет находить метод КГ
3 В чем заключается сущность метода КГ
4 Что можно определить по КГ
66
Критерии результативности лабораторного практикума
Лабораторная работа считается выполненной если студент
ndash выполнил все указанные задания
ndash представил отчет соответствующий всем требованиям к его
содержанию и оформлению
ndash владеет терминологией и материалом лабораторной работы
ndash способен использовать программное средство математическо-
го моделирования MATLAB
ndash способен предоставить и рассказать результаты выполненной
работы на ПК
ndash может дать пояснения к отчету и ответить на контрольные
вопросы
Список литературы
1 Александров АГ Частотная теория автоматического управле-
ния учебное пособие ndash Электросталь ЭПИ МИСиС 2010
2 Борисевич АВ Теория автоматического управления элементар-
ное введение с применением MATLAB ndash СПб Изд-во Политехн ун-
та 2011
3 Федоров ВЛ Бубнов АВ Теория автоматического управления
учебное пособие ndash Омск Изд-во ОмГТУ 2010
4 Павловская ОО Чернецкая ИВ Теория автоматического
управления учебное пособие ndash Челябинск Изд-во ЮУрГУ 2010
67
Составители ЛЯНЦЕВ Олег Дмитриевич КАЗАНЦЕВ Андрей Валерьевич
ИССЛЕДОВАНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК СИСТЕМ
АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
Лабораторный практикум
по дисциплине
laquoТеория управленияraquo
Подписано в печать Формат 60х84 116 Бумага офсетная Пе-
чать плоская Гарнитура Times New Roman Усл печ л 56 Уч-изд л
55 Тираж 100 экз Заказ
ФГБОУ ВПО Уфимский государственный авиационный технический
университет
Центр оперативной полиграфии УГАТУ
450000 Уфа-центр ул К Маркса 12
19
W1
W2 W3
W4
W5 W6
W7
+
+
+
-
Рис 1 Исходная схема САУ
Преобразование включает несколько этапов показанных на рис 2ndash5
W1
W2 W3
W4
W5 W6
W7
+
+
+
-
1W6
Рис 2 Перенос узла через звено вперед
567
659
1 WWW
WWW
6
48
W
WW
Рис 3 Свертывание обратной связи и последовательного соединения
2110 WWW
983
9311
1 WWW
WWW
Рис 4 Свертывание обратной связи и Рис 5 Свертывание последователь-
параллельного соединения ного соединения
W10 W11 WЭкв
543765
653265311110
1 WWWWWW
WWWWWWWWWWWЭкв
W1
W2
W8
W3 W9
+
+
20
Таким образом первый способ преобразования структурных
схем заключается в непосредственном использовании правил приве-
денных в табл1 Неудобство использования этого подхода заключа-
ется в том что порядок применения формул здесь достаточно произ-
волен возможны ошибочные шаги усложняющие поиск решения
Второй способ для получения ПФ многоконтурной системы за-
ключается в использовании модели системы в виде сигнального
графа
Сигнальный граф позволяет графически описать линейные связи
между переменными он состоит из узлов (вершин) и соединяющих их
направленных ветвей
Ветвь соответствует блоку структурной схемы она отражает за-
висимость между входной и выходной переменными Сумма всех
сигналов входящих в узел образует соответствующую этому узлу
переменную
Последовательность ветвей между двумя узлами называется пу-
тем Контуром называется замкнутый путь который начинается и
заканчивается в одном и том же узле причем ни один узел не встре-
чается на этом пути дважды
Контуры называются некасающимися если они не имеют общих
узлов
Сигнальный граф ndash это просто наглядный метод записи системы
алгебраических уравнений показывающий взаимосвязь между пере-
менными
r1
r2
a11
a22
x1
x2
a12a21
Рис 6 Сигнальный граф для двух алгебраических выражений
В качестве примера рассмотрим следующую систему алгебраи-
ческих уравнений
21
11212111 xrxaxa (1)
22222121 xrxaxa (2)
здесь r1 и r2 ndash входные переменные а x1 и x2 ndash выходные переменные
Сигнальный граф соответствующий уравнениям (1) и (2) изображен
на рис 6 Уравнения (1) и (2) можно записать в ином виде
1122111 )()1( raxax
2222211 )1()( raxax
Решая последнюю систему по правилу Крамера получим
212
122
21122211
2121221
)1(
)1)(1(
)1(r
ar
a
aaaa
rarax
121
211
21122211
1212112
)1(
)1)(1(
)1(r
ar
a
aaaa
rarax
В этих решениях знаменатель равен определителю составлен-
ному из коэффициентов при неизвестных и его можно записать так
21122211221121122211 1)1)(1( aaaaaaaaaa
В данном случае знаменатель равен единице минус коэффици-
енты передачи отдельных контуров a11 a22 и a12a21 плюс произведе-
ние коэффициентов передачи двух некасающихся контуров a11 и a22
Контуры a22 и a12a21 являются касающимися так же как и контуры a11
и a21a12
В решении для x1 по отношению ко входу r1 числитель равен
единице умноженной на (1-a22) те значение определителя некаса-
ющегося пути от r1 к x1 В решении для x1 по отношению ко входу
r2числитель просто равен a12 тк этот путь касается всех контуров
Числитель выражения x2 симметричен соответствующему числителю
для x1
В общем случае линейная зависимость Tij между независимой
переменной xi (часто называемой входной переменной) и зависимой
переменной xj определяется по формуле Мейсона
22
k
ijkijk
ij
P
T
где Pijk ndash коэффициент передачи k-го пути от переменной xi к пере-
менной xj Δ ndash определитель графа Δijk ndash дополнительный множитель
для пути Pijk а суммирование производится по всем возможным k пу-
тям от xi до xjДополнительный множитель Δijk равен определителю
всех касающихся контуров при удалении k-го пути
Определитель находится как
QM
qm
LSR
lsrlsrqm
K
kk LLLLLL
11
1111
1
где Kk kL
1ndash сумма коэффициентов передачи всех отдельных конту-
ров QM
qm qmLL
11ndash сумма произведений всех возможных комбина-
ций из двух некасающихся контуров LSR
lsr lsr LLL
111ndash сумма про-
изведений всех возможных комбинаций из трех некасающихся кон-
туров
Таким образом правило вычисления Δ через значение L1 L2
L3hellipLN таково Δ = 1- (сумма коэффициентов передачи всех отдель-
ных контуров) + (сумма произведений всех возможных комбинаций
из 2 некасающихся контуров) ndash (сумма произведений всех возмож-
ных комбинаций из 3 некасающихся контуров) +hellip
Формула Мейсона часто используется в несколько упрощенном
виде для определения связи между выходной переменной Y(s) и
входной переменной X(s) те
)()(
)( 1
N
iiiP
sWsX
sY
где Pi ndash i-й путь от входа к выходу N ndash количество путей Δ ndash опреде-
литель графа специальный полином который определенным образом
характеризует совокупность всех замкнутых цепей системы содер-
жащих обратные связи и вычисляется как сумма передаточных
функций разомкнутых контуров этих цепей и произведений
23
передаточных функций разомкнутых контуров пар троек и тд не со-
прикасающихся друг с другом цепей с обратными связями Δi ndash до-
полнительный множитель для пути составляется по правилу анало-
гичному Δ но только для цепей с обратными связями не соприкаса-
ющихся с i-м прямым каналом
Дополнительный множитель для i-го пути равен определителю
графа в котором приравнены нулю коэффициенты передачи конту-
ров касающихся этого пути
Рассмотрим пример получения ПФ многоконтурной системы с
использованием формулы Мейсона для структуры на рис 1 которая
соответствует графу показанному на рис 7
X(s) Y(s)W1
W2
W3 W5 W6
W4 -W7
Рис 7 Описание системы управления сигнальным графом
От входа к выходу ведут два пути
65311 WWWWP
65322 WWWWP
В графе есть 2 контура
5431 WWWL
7652 WWWL
Контур L1 пересекает контур L2 поэтому определитель графа
вычисляется по формуле
)(1 21 LL
Контуры в этом примере пересекают все пути поэтому допол-
нительные множители путей равны
24
11
12
Окончательно можно записать
1
)(543765
65326531
2
1
WWWWWW
WWWWWWWWP
sW iii
Таким образом использование сигнальных графов и применение
формулы Мейсона позволяет алгоритмизировать процесс упрощения
структурной схемы
Третий способ для получения ПФ заключается в составлении
системы уравнений Необходимо обозначить выходы сумматоров и
составить систему уравнений на основе этих обозначений На рис9
представлена исходная схема с обозначенными сумматорами
W1
W2 W3
W4
W5 W6
W7
+
+
+
-
Z H
u y
Рис 9 Исходная схема САУ с обозначенными сумматорами
Опишем все сигналы в системе в виде уравнений
)( 4521 HWWuWWZ
73 yWZWH
65 HWWy
Подставив последовательно значения сигналов найдем ПФ
))(( 734521 yWWHWWuWWH
После преобразования получим
25
1
)(
543
73231
WWW
yWuWWWWH
Подставим полученное значение H в уравнение y
1
))((
543
6573231
WWW
WWyWuWWWWy
Получим ПФ вида
1
)(543765
65326531
WWWWWW
WWWWWWWW
u
ypW
4 Краткое описание MATLAB
Лабораторная работа выполняется в программе математического
моделирования MATLAB Программа MATLAB включает в себя пакет
прикладных программ для решения технических задач и одноименный
язык программирования используемый в этом пакете
Основными компонентами системы являются базовая система
MATLAB и пакет моделирования систем Simulink Остальные пакеты
расширения разбиты на 4 категории ndash расширения Extension MATLAB и
Extension Simulink а также комплексы пакетов расширения Blockset и
Toolbox
Раздел MATLAB Extension содержит средства для подготовки ис-
полняемых приложений MATLAB (с подключаемыми библиотеками и
без них)
Раздел Toolbox (инструментальные средства) содержит самое
большое число пакетов расширений системы MATLAB такие как
laquoControl systemraquo laquoDatabaseraquo laquoFuzzy logicraquo laquoWaveletraquo и тд
В разделе Blockset расположено несколько пакетов относящихся к
главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink такие как
laquoDSPraquo laquoFixed-Pointraquo laquoNonlinear control designraquo и laquoPower systemsraquo
В разделе Extension Simulink имеется ряд средств предназначен-
ных для моделирования в реальном масштабе времени и событийно-
управляемом моделировании
26
5 Структурные преобразования в MATLAB
В пакете MATLAB имеется ряд функций с помощью которых
можно выполнять структурные преобразования (используется экви-
валентная схема)
ndash series(w1w2) ndash последовательное соединение звеньев
ndash parallel(w1w2) ndash параллельное соединение звеньев
ndash feedback(w1w2) ndash включение звена w2 в контур отрицательной об-
ратной связи к w1
ndash feedback(w1w2sign) ndash включение звена w2 в контур обратной связи
звена w1 с указанием знака + или ndash (очевидно feedback(w1w2)=
=feedback(w1w2-1))
Пример
Даны две передаточные функции
22
221
ss
sW
22
322
2
2
ss
ssW
Опишем ПФ введя в окне команд MatLab следующие команды
gtgt w1=tf([1 2][1 2 2])
gtgt w2=tf([1 2 3][1 2 2])
Выполним структурные преобразования для данных ПФ
gtgt w2=series(w1w2)
Transfer function
s^3 + 4 s^2 + 7 s + 6
------------------------------------
s^4 + 4 s^3 + 8 s^2 + 8 s + 4
gtgt w3=parallel(w1w2)
Transfer function
s^4 + 5 s^3 + 13 s^2 + 16 s + 10
----------------------------------------
s^4 + 4 s^3 + 8 s^2 + 8 s + 4
27
gtgt w4=feedback(w1w2)
Transfer function
s^3 + 4 s^2 + 6 s + 4
----------------------------------------
s^4 + 5 s^3 + 12 s^2 + 15 s + 10
Для проверки правильности проведенных преобразований необ-
ходимо собрать схему исходной САУ и соответствующую ей эквива-
лентную схему в MATLAB Simulink
Исходная схема САУ собирается как модель из соответствую-
щих элементов таких как laquoTransfer Fncraquo laquostepraquo laquosignal builderraquo
laquoscoperaquo и laquosumraquo Все эти элементы находятся в пакете laquoSimulinkraquo и
представлены в виде блоков Для того чтобы создать новую модель
необходимо нажать laquoFile-gtNew-gtModel (Simulink)raquo после откроется
окно модели в которую нужно будет добавлять элементы из библио-
теки для доступа к ней необходимо нажать на значок laquoLibrary Brows-
erraquo
Описание используемых элементов из пакета Simulink
1 Transfer Fnc ndash передаточная функция
2 Step ndash единичный скачок (функция Хэвисайда) в блоке необходи-
мо задать время начала перехода (step time)
3 Signal builder ndash блок для моделирования сигнала по заданным па-
раметрам (можно построить единичный скачок и импульсную функ-
цию)
4 Scope ndash виртуальный осциллограф отображает получившийся гра-
фик открывается двойным щелчком левой клавиши мыши и для кор-
рекции масштаба необходимо нажать правой кнопкой по графику и
из выпадающего меню выбрать laquoautoscaleraquo
5 Sum ndash сумматор в параметрах задается число сигналов соответ-
ственно laquo+raquo - положительный laquondashraquo - отрицательный
Так же нужно задать время работы модели для этого необходи-
мо выбрать laquoSimulation-gtSimulation parametersraquo и установить пара-
метр laquostop timeraquo на нужное значение и после необходимо запустить
модель на выполнение нажав на значок laquoStart simulationraquo Пример
модели составленной в MATLAB представлен на рис 10
28
Рис 10 Пример схемы САУ с блоком laquosignal builderraquo
Задача считается решенной если при подаче на вход обоих
схем одинаковых тестовых воздействий (единичный скачок импуль-
сная функция) наблюдаются одинаковые выходные сигналы
6 Задание на лабораторную работу
Выполнить преобразование структурной схемы САУ в эквива-
лентную передаточную функцию Составить модель исходной схемы
САУ в MATLAB С помощью ряда функций MATLAB (структурные
преобразования) составить эквивалентную схему Вариант задания
назначается преподавателем
7 Методика выполнения задания
Порядок выполнения работы
1 Выполнить преобразование заданного варианта структурной
схемы САУ (см табл 2) в эквивалентную ПФ тремя способами
ndash непосредственно используя правила табл 1
ndash используя представление в виде сигнального графа и формулу
Мейсона
ndash составив систему уравнений и решив еѐ
2 В качестве звеньев W1W2W3 использовать передаточные
функции звеньев представленных в табл 2
3 Составить модель исходной схемы САУ в MATLAB постро-
ить реакцию получившейся модели на ступенчатое и импульсное
воздействия
4 С помощью ряда функций MATLAB (структурные преобразо-
вания) составить эквивалентную схему и построить реакцию на сту-
пенчатое и импульсное воздействия
5 Подготовить ответы на контрольные вопросы
29
Таблица 2
Варианты структур САУ
Исходная схема
Передаточные
функции
1 W1
W3
W2
-
+
-
+
u y
+
1
31
sW
2
442
s
sW
12
133
s
sW
2 W1
W3
W2
-
+
-
+
u y
+ +
3 W3
W2
W1
-
+
-
+
u y
+ +
4 W3
W1
W2
+
+
-
+
u y
+ +
1
21
sW
2
12
sW
12
13
s
sW
5
W1
W3
W2
-
+
-
+
u y
+ +
6
W1
W3
W2
-
+
-
+
u y
+
62
31
sW
2
52
sW
1
23
s
sW
7
W1
W3
W2
-
+
-
+
u y
+ +
8
W1
W2
W3
-
+
-
+
u y
+ +
30
8 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) описание всех этапов преобразования исходной схемы и по-
лучающихся промежуточных результатов выполненными тремя спо-
собами моделирование реакции схемы на типовое воздействие (ска-
чок) до и после преобразования
б) сигнальный граф системы описание путей контуров расчет
ПФ по формуле Мейсона
в) решение составленной системы уравнений
г) схема модели и протокол команд MATLAB
д) графики переходных процессов при подаче на вход исходной
и эквивалентной схемы типовых тестирующих воздействий (скачок
импульс)
е) ответы на контрольные вопросы
Контрольные вопросы
1 Что называется структурной схемой Какие задачи можно
решить с еѐ помощью
2 Как может быть составлена структурная схема
3 Что позволяет алгоритмизировать процесс упрощения струк-
турной схемы Поясните на конкретном примере
31
Лабораторная работа 3
ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
ДИНАМИЧЕСКИХ ЗВЕНЬЕВ
1 Цель работы
Целью работы является изучение частотных характеристик ти-
повых динамических звеньев с использованием автоматизированных
средств моделирования на ПК ndash MATLAB SIMULINK
2 Задачи работы
ndash Закрепление углубление и расширение знаний студентов при
исследовании частотных характеристик динамических звеньев
ndash Приобретение умений и навыков работы с программой мате-
матического моделирования MATLAB
ndash Выработка способности логического мышления осмысление
полученных данных частотных характеристик
3 Теоретическая часть Сущность метода частотных характеристик заключается в том
что на вход исследуемой системы подается гармонический сигнал (си-
нусоидальные колебания) в широком диапазоне частот Реакция си-
стемы при разных частотах позволяет судить о ее динамических
свойствах
Пусть входной сигнал системы имеет амплитуду а и частоту ω т е
описывается формулой
)sin( tax
Выходной сигнал будет иметь амплитуду А1 и отличаться от вход-
ного по фазе на величину ψ (фазовый сдвиг)
)sin(1 tAy
Таким образом можно рассчитать усиление по амплитуде
1
a
AA
32
Для каждой частоты входного сигнала ω будут свои А и ψ
Изменяя ω в широком диапазоне можно получить зависимость
А(ω) ndash амплитудную частотную характеристику (АЧХ) и ψ(ω) ndash фазо-
вую частотную характеристику (ФЧХ)
Главное достоинство метода частотных характеристик заключа-
ется в том что АЧХ и ФЧХ объекта могут быть получены экспери-
ментально Для этого необходимо иметь генератор гармонических
колебаний который подключается к входу объекта и измеритель-
ную аппаратуру для измерения амплитуды и фазового сдвига колеба-
ний на выходе объекта
Частотные характеристики САУ могут быть получены по ее ПФ
W(s) Для суждения о реакции звена на синусоидальный сигнал доста-
точно исследовать его реакцию на гармонический сигнал вида
)( tjejx
Тогда выходной сигнал определяется по соотношению
)()( ))(( tjeAjy
и частотная ПФ получается равной
)()(
)()( )(
jeA
jx
jyjW
Формально для получения частотной ПФ надо сделать в W(s)
подстановку s = jω и тогда полученная W(jω) является комплексным
выражением которое можно представить в виде
)()(
)()()(
22
11
jba
jbajW
Для нахождения вещественной и мнимой частей частотной пе-
редаточной функции необходимо умножить числитель и знаменатель
на сопряженную знаменателю величину а затем провести
разделение
33
)()()(
)()(
)()()()(
)()(
)()()()(
))()())(()((
))()())(()((
)()(
)()()(
)(
22
22
2112
22
22
2121
2222
2211
22
11
jeAjVU
ba
babaj
ba
bbaa
jbajba
jbajba
jba
jbajW
где
)()()()(22
22
21
2122
ba
baVUjWA
)(
)())(arg()(
2
2
1
1
a
barctg
a
barctg
U
VarctgjW
Графики функции )(U и )(V называют соответственно веще-
ственной и мнимой частотной характеристиками
В практических расчетах удобно применять графики частотных
характеристик построенных в логарифмическом масштабе ndash лога-
рифмические частотные характеристики (ЛЧХ)
Логарифмическая амплитудная частотная характеристика
(ЛАЧХ) определяется следующим выражением
)(lg20)( AL
Логарифмической фазовой частотной характеристикой
(ЛФЧХ) называется график зависимости )( построенный в лога-
рифмическом масштабе частот
Единицей L(ω) является децибел (дБ) а единицей логарифма ча-
стоты ndash декада Декадой называют интервал частот на котором часто-
та изменяется в 10 раз При изменении частоты в 10 раз говорят что
она изменилась на одну декаду Ось ординат при построении ЛЧХ про-
водят через произвольную точку а не через точку ω = 0 Частоте ω = 0
соответствует бесконечно удаленная точка lgω rarr ndash infin при ω rarr 0
Основное преимущество использования ЛЧХ заключается в том
что приближенные (асимптотические) ЛАЧХ типовых динамических
звеньев изображаются отрезками прямых
Пример Построим ЛЧХ апериодического звена первого
34
порядка
Передаточная функция звена
1
)(
Ts
ksW
Частотная передаточная функция
1)(
)1(
1)(
2
T
Tjk
Tj
kjW
1)(
1)( 22
T
kTV
T
kU
Следовательно АЧХ описывается формулой
1)(
)(2
T
kA
ФЧХ строится по формуле
)()( Tarctg
ЛАЧХ апериодического звена 1-го порядка
1)(lg20lg20)( 2 TkL
По этой формуле можно построить две асимптоты ndash прямые к
которым стремится ЛАЧХ при ω rarr 0 и при ω rarr infin Так при ω rarr 0 второе
слагаемое близко к нулю и этот участок ЛАЧХ представляет собой
горизонтальную прямую
lg20)( kL
При ω rarr infin получаем наклонную прямую
1)(lg20)( 2 TL
35
Для определения наклона этой прямой можно рассмотреть гра-
ницы декады
T
1 и
10
T
Изменение ЛАЧХ между этими точками
)(2011
lg20110
lg20)(
22
декдБT
TT
TL
ЛЧХ часто называют диаграммами Боде
4 Краткое описание MATLAB
Лабораторная работа выполняется в программе математического
моделирования MATLAB Она включает в себя пакет прикладных про-
грамм для решения технических задач и одноименный язык программи-
рования используемый в этом пакете
Основными компонентами системы являются базовая система
MATLAB и пакет моделирования систем Simulink Остальные пакеты
расширения разбиты на 4 категории ndash расширения Extension MATLAB и
Extension Simulink а также комплексы пакетов расширения Blockset и
Toolbox
Раздел MATLAB Extension содержит средства для подготовки ис-
полняемых приложений MATLAB (с подключаемыми библиотеками и
без них)
Раздел Toolbox (инструментальные средства) содержит самое
большое число пакетов расширений системы MATLAB такие как
laquoControl systemraquo laquoDatabaseraquo laquoFuzzy logicraquo laquoWaveletraquo и тд
В разделе Blockset расположено несколько пакетов относящихся к
главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink такие как
laquoDSPraquo laquoFixed-Pointraquo laquoNonlinear control designraquo и laquoPower systemsraquo
В разделе Extension Simulink имеется ряд средств предназначен-
ных для моделирования в реальном масштабе времени и событийно-
управляемом моделировании
36
5 Построение частотных характеристик в MATLAB В пакете MATLAB ЛЧХ объекта заданного с помощью ПФ
можно получить командой bode
Пример
gtgt w=tf([1 2][3 4 5])
gtgt bode(w)
Для нескольких вариантов передаточной функции можно исполь-
зовать вариант команды вида
gtgt bode(ww1w2)
Например построим диаграмму Боде при различных параметрах
колебательного звена (рис 1)
gtgt w=tf([1][2 03 1])
gtgt w1=tf([1][2 05 1])
gtgt w2=tf([1][2 01 1])
gtgt bode(ww1w2)
Рис 1 ЛЧХ колебательного звена
6 Задание на лабораторную работу
С помощью пакета MATLAB построить ЛЧХ каждого типового
звена Определить влияние коэффициентов входящих в описание
каждого звена на параметры ЛАЧХ и ЛФЧХ Вариант задания назна-
чается преподавателем
37
7 Методика выполнения задания
Порядок выполнения работы
1 Задать передаточную функцию типового динамического звена
используя параметры из табл 2 лабораторной работы 1
2 Построить диаграмму Боде при различных параметрах типо-
вого динамического звена
3 Определить влияние коэффициентов входящих в описание
каждого звена на параметры ЛАЧХ и ЛФЧХ в том числе
ndash как меняется ширина асимптотических участков ЛАЧХ и
ЛФЧХ
ndash как меняется положение точек пересечения осей ЛАЧХ
4 Написать вывод по влиянию коэффициентов на типовое звено
5 Выполнить пункты 1-4 для всех типовых звеньев
6 Подготовить ответы на контрольные вопросы
8 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) титульный лист
б) краткие теоретические сведения
в) передаточные функции и схемы моделирования исследуемых
звеньев
г) экспериментально полученные характеристики при вариации
параметров каждого звена
д) выводы обобщающие проделанные эксперименты по каждо-
му звену
ж) ответы на контрольные вопросы
Контрольные вопросы
1 Как пользуясь частотными характеристиками определить па-
раметры (коэффициенты передаточной функции) звена Пояс-
нить на конкретных примерах
2 Указать особенности построения ЛАХ и ЛФХ динамических
звеньев Что понимается под асимптотической ЛАХ звена
3 Как осуществляется построение АФХ динамического звена
38
Лабораторная работа 4
ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ СИСТЕМ
С ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ
1 Цель работы
Изучение особенностей практического использования алгебраи-
ческих и частотных критериев устойчивости для анализа динамики
линейных САУ с использованием автоматизированных средств моде-
лирования на ПК ndash MATLAB SIMULINK
2 Задачи работы
ndash Закрепление углубление и расширение знаний студентов при
исследовании устойчивости систем с обратной связью
ndash Приобретение умений и навыков работы с программой мате-
матического моделирования MATLAB
ndash Овладение новыми методами проверки устойчивости систем
с обратной связью
ndash Выработка способности логического мышления осмысления
полученных данных
3 Теоретическая часть
Устойчивость САУ является одним из основных условий ее ра-
ботоспособности и включает требование затухания во времени пере-
ходных процессов
Система является устойчивой если при ограниченном входном
сигнале еѐ выходной сигнал также является ограниченным Если
система устойчива то она противостоит внешним воздействиям а
выведенная из состояния равновесия возвращается снова к нему
Система с расходящимся переходным процессом будет неустойчивой и
неработоспособной
Необходимое и достаточное условие устойчивости заключается в
том чтобы все корни характеристического уравнения (полюсы пере-
даточной функции системы) имели отрицательные вещественные ча-
сти Иначе говоря условием устойчивости системы является распо-
ложение всех полюсов в левой комплексной полуплоскости Тогда все
полюсы будут давать затухающую реакцию
Выше сформулированное условие устойчивости справедливо как
39
для линейных так и для линеаризованных систем Однако в случае
нулевых или чисто мнимых корней характеристического уравнения
вопрос об устойчивости линеаризованной системы может быть ре-
шен только на основании исследования ее нелинейных уравнений
В конце XIX и первой половине XX в задача вычисления корней
характеристического уравнения высокого порядка вызывала боль-
шие проблемы Поэтому были предложены несколько косвенных
методов оценки устойчивости позволяющих обойтись без вычисле-
ния корней ndash по значениям коэффициентов характеристического
уравнения
Критерии устойчивости разделяют на алгебраические и частот-
ные В частности к алгебраическим критериям относится критерий
Гурвица к частотным критериям ndash критерий Найквиста
Критерий Гурвица является алгебраическим критерием и при-
меняется к коэффициентам характеристического уравнения замкнутой
системы
Пусть имеется характеристическое уравнение замкнутой
системы
0011
1 apapapa n
nn
n
Из коэффициентов характеристического уравнения составляют
матрицу по правилу
1 По диагонали записываются коэффициенты от 1na до 0a
2 Каждая строка дополняется коэффициентами с возрастающи-
ми индексами слева направо так чтобы чередовались строки с нечет-
ными и четными индексами
3 В случае отсутствия индекса а также если он меньше 0 или
больше п на его место пишется 0
Таким образом матрица Гурвица приобретает следующий вид
40
Критерий устойчивости формулируется так
Чтобы система была устойчивой необходимо и достаточно что-
бы при 0na были положительными все п диагональных определи-
телей получаемых из матрицы Гурвица
Первые три определителя матрицы Гурвица имеют следующий
вид
Таким образом критерий Гурвица позволяет судить об абсо-
лютной устойчивости но он не дает возможности оценивать относи-
тельную устойчивость по корням характеристического уравнения
Частотный критерий устойчивости Найквиста анализирует
АФЧХ разомкнутой системы
Пусть имеется АФЧХ разомкнутой системы W(jω)
Для нахождения вещественной и мнимой части частотной ха-
рактеристики нужно освободиться от мнимости в знаменателе путем
умножения числителя и знаменателя на комплексную величину со-
пряженную знаменателю а затем выполнить разделение на веще-
ственную и мнимую части W(jω) приобретает вид
)()()( jQPjW
Задаваясь различными значениями частоты можно найти мно-
жество пар )()( 11 jQP )()( 22 jQP )()( nn jQP
Затем по этим парам строится АФЧХ на комплексной плоскости
Основные свойства АФЧХ разомкнутой системы
1 Если разомкнутая система не имеет интегрирующих звеньев
то при ω = 0 ее АФЧХ начинается на вещественной оси в точке
Р(ω)=К (где К ndash коэффициент усиления разомкнутой системы) За-
канчивается АФЧХ в начале координат при ω rarr infin (рис 1 а)
2 Если разомкнутая система имеет одно интегрирующее звено то
ее АФЧХ начинается при ω = 0 в бесконечности на отрицательной мни-
мой полуоси а заканчивается в начале координат при ω rarr infin (рис 1 б)
41
Рис 1 АФЧХ разомкнутой системы
Критерий устойчивости Найквиста формулируется так
1 Если разомкнутая система устойчива или находится на гра-
нице устойчивости то для того чтобы замкнутая система была
устойчива необходимо и достаточно чтобы АФЧХ разомкнутой
системы при изменении частоты ω от 0 до infin не охватывала точку с ко-
ординатами (-1 j0)
2 Если разомкнутая система неустойчива а ее передаточная
функция имеет т полюсов справа от мнимой оси на комплексной
плоскости то для устойчивости замкнутой системы необходимо и до-
статочно чтобы АФЧХ разомкнутой системы при изменении частоты
ω от -infin до +infin охватывала т раз точку с координатами (-1 j0)
При использовании этого критерия нужно учитывать две
особенности
1 Если разомкнутая система находится на границе устойчиво-
сти то ее АФЧХ уходит в бесконечность Для проверки критерия Най-
квиста нужно мысленно соединить конец АФЧХ дугой бесконечно
большого радиуса с положительной вещественной полуосью
2 На практике АФЧХ может строиться только для положитель-
ных частот (0 lt ω lt +infin) При применении критерия Найквиста счита-
ется что ветвь АФЧХ для отрицательных частот симметрична отно-
сительно вещественной оси
Физический смысл критерия устойчивости Найквиста заключа-
ется в том что система будет неустойчива если фаза выходного сиг-
нала противоположна фазе входного сигнала а коэффициент усиле-
ния больше 1 Поэтому для анализа устойчивости можно использо-
вать не АФЧХ а ЛАХ системы (для минимально-фазовых систем)
Система устойчива если на частоте среза значение фазы не превы-
шает -π Соответственно для устойчивой системы можно рассматри-
вать на ЛФЧХ запас устойчивости по фазе ndash расстояние от значения
фазы на частоте среза до уровня -π и запас устойчивости по амплиту-
42
де ndash расстояние от оси частот ЛАЧХ до значения усиления на часто-
те где фаза становится равной -π
4 Краткое описание MATLAB
Лабораторная работа выполняется в программе математического
моделирования MATLAB Программа MATLAB включает в себя пакет
прикладных программ для решения технических задач и одноименный
язык программирования используемый в этом пакете
Основными компонентами системы являются базовая система
MATLAB и пакет моделирования систем Simulink Остальные пакеты
расширения разбиты на 4 категории ndash расширения Extension MATLAB и
Extension Simulink а также комплексы пакетов расширения Blockset и
Toolbox
Раздел MATLAB Extension содержит средства для подготовки ис-
полняемых приложений MATLAB (с подключаемыми библиотеками и
без них)
Раздел Toolbox (инструментальные средства) содержит самое
большое число пакетов расширений системы MATLAB такие как
laquoControl systemraquo laquoDatabaseraquo laquoFuzzy logicraquo laquoWaveletraquo и тд
В разделе Blockset расположено несколько пакетов относящихся к
главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink такие как
laquoDSPraquo laquoFixed-Pointraquo laquoNonlinear control designraquo и laquoPower systemsraquo
В разделе Extension Simulink имеется ряд средств предназначен-
ных для моделирования в реальном масштабе времени и событийно-
управляемом моделировании
5 Исследование устойчивости САУ в MATLAB
Для проверки устойчивости САУ по Гурвицу постройте матрицу
Гурвица и найдите ее детерминант (функция det) Затем последова-
тельно уменьшая размер матрицы найдите значения всех диагональ-
ных детерминантов Пример
gtgt А=[1 14 18 2 5 2 3 4 3]
А =
1 14 18
2 5 2
3 4 3
gtgt det(A)
ans = -119
43
gtgt А1=А(12 12)
А1 =
1 14
2 5
gtgt det(A1)
ans = -23
Для проверки устойчивости САУ по Найквисту сначала нужно
выяснить является ли устойчивой разомкнутая система
Пример Пусть дана передаточная функция разомкнутой
системы
13232
12234
pppp
pW
Рассмотрим реакцию на скачок
gtgt w=tf([2 1][2 3 2 3 1])
gtgt step(w18)
График переходного процесса показан на рис 2
Рис 2 Переходная реакция
Разомкнутая система неустойчива и согласно критерию Найкви-
ста надо чтобы АФЧХ разомкнутой системы охватывала точку (-1 j0)
44
столько раз сколько полюсов имеется справа от мнимой оси Для по-
строения АФЧХ достаточно вызвать команду nyquist
gtgt nyquist(w)
Диаграмма Найквиста показана на рис 3
Рис 3 Диаграмма Найквиста для неустойчивой системы
Как показывает рис3 АФЧХ ни разу не охватывает точку
(-1 j0) поэтому замкнутая система будет неустойчивой Частотный
критерий Найквиста можно использовать и в том случае когда рас-
сматривается не АФЧХ а ЛАЧХ разомкнутой системы замкнутая
минимально-фазовая система устойчива если при достижении ЛФЧХ
значения -π ЛАЧХ будет отрицательной
Используя ЛАЧХ и ЛФЧХ можно оценить запасы устойчивости
системы по амплитуде и по фазе с помощью команды
gtgt margin(w)
Пример
gtgt w=tf([10][2 2 3 1])
gtgt margin(w)
Соответствующий график показан на рис 4
45
Рис 4 Определение запасов устойчивости по амплитуде и по фазе
6 Задание на лабораторную работу
Выполнить исследование устойчивости замкнутой системы по за-
данной передаточной функции разомкнутой системы Определить запас
устойчивости по амплитуде и по фазе Вариант задания назначается
преподавателем
7 Методика выполнения задания
Порядок выполнения работы
1 Рассчитать передаточную функцию замкнутой системы по
приведенной в табл 1 разомкнутой системе
2 Определить устойчивость замкнутой системы используя кри-
терий Гурвица
3 Определить устойчивость замкнутой системы используя кри-
терий Найквиста
4 Определить запас устойчивости по амплитуде и по фазе ис-
пользуя ЛАЧХ и ЛФЧХ
5 Выполнить моделирование переходных процессов разомкну-
той и замкнутой систем
6 Подготовить ответы на контрольные вопросы
46
Таблица 1
Варианты заданий
Передаточная функция разомкнутой системы
1 1355
2234
ssss
W
2 110050
1234
ssss
W
3 11010
123
sss
W
4 122105
100234
ssss
W
5 1248
123
sss
W
6 1223
102345
sssss
W
7 11001010
323
sss
W
8 122
1023
sss
W
9 11010
123
sss
W
10 15050332
102345
sssss
W
8 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) титульный лист
б) краткие теоретические сведения
в) переходную функцию разомкнутой системы
г) расчет передаточной функции замкнутой системы
д) расчетные выражения для обоснования устойчивости замкну-
той системы по алгебраическому критерию Гурвица
е) годограф Найквиста разомкнутой системы на основании кото-
рого делается вывод об устойчивости замкнутой системы
ѐ) переходную функцию замкнутой системы
ж) проверку полученных результатов путем компьютерного моде-
лирования переходных процессов разомкнутой и замкнутой си-
стемы в MATLAB Simulink
з) выводы по всем полученным результатам
47
Контрольные вопросы
1 Как связана устойчивость линейной САУ с видом составля-
ющих ее свободного движения
2 Зависит ли устойчивость линейных САУ от амплитуды зада-
ющих воздействий или возмущений
3 Сформулируйте критерий устойчивости Гурвица укажите на
необходимое условие устойчивости линейных САУ вытекаю-
щее из этого критерия
4 Сформулируйте критерий Найквиста для случая САУ устой-
чивых в разомкнутом состоянии а также для астатических САУ
Что такое laquoзапасы устойчивости по фазе и по амплитудеraquo
5 Что называется структурной устойчивостью
48
Лабораторная работа 5
КОРРЕКЦИЯ СТАТИЧЕСКИХ И ДИНАМИЧЕСКИХ
СВОЙСТВ САУ
1 Цель работы
Целью работы является изучение способов обеспечения иско-
мых характеристик САУ с использованием автоматизированных
средств моделирования на ПК ndash MATLAB SIMULINK
2 Задачи работы
ndash Закрепление углубление и расширение знаний студентов при
обеспечении искомых характеристик САУ
ndash Приобретение умений по обеспечению точности (уменьшение
статической ошибки) САУ и выбору значений параметров регулято-
ра обеспечивающих желаемые динамические свойства САУ
ndash Приобретение умений и навыков работы с программой мате-
матического моделирования MATLAB
3 Теоретическая часть
Коррекция статических и динамических свойств САУ имеет
своей целью повышение статической и динамической точности отра-
ботки системой задающего воздействия (или парирование возмуща-
ющего воздействия) повышение запасов ее устойчивости Наиболее
распространенными способами коррекции свойств САУ является из-
менение коэффициента усиления ее разомкнутой части введение в
САУ новых звеньев (как правило интегрирующего или дифференци-
рующего типа) охват объекта управления местной обратной связью
31 Коррекция статических свойств САУ
Статические свойства системы определяются величиной устано-
вившейся ошибки )t(уст вызванной действием задающего воздей-
ствия и определяемой по формуле
22
210 2 dttgdcdttdgctgctуст (1)
где )(tg - входное воздействие 210 ccc - коэффициенты ошибок
Коэффициенты ошибок определяются по формулам
49
dssdcdssdcscs
mmmss 00100
где s - передаточная функция САУ по ошибке управления рав-
ная
sW
sраз
1
1
sWраз - передаточная функция разомкнутой САУ
Основными способами уменьшения статической ошибки систе-
мы являются
1) увеличение коэффициента усиления прямого тракта системы
2) введение в прямой тракт системы интегрирующих звеньев
3) охват объекта управления местной неединичной положитель-
ной обратной связью
Представим структурную схему системы в виде изображенном
на рис 1 где через sW обозначена передаточная функция неизме-
няемой части системы
bsbsb
asasasW
nn
nn
mm
mm
01
1
01
1
Здесь и далее полагается что KKKsW s 000 0 ndash из-
меняемый коэффициент усиления регулятора системы
Первые два коэффициента ошибок 0c и 1c определяется выраже-
ниями
KK
c0
01
1
(2)
KK
dssdWKc
s
20
01
1
(3)
Из (2) и (3) с учетом (1) вытекает что с увеличением K
статическая ошибка в системе уменьшается и наоборот с уменьше-
нием K статическая ошибка в системе увеличивается
Введем в прямой тракт системы одно интегрирующее звено
50
(рис 2) В этом случае c 00 01 1 KKc
Так как c 00 то система на рис 2 является астатической (с
астатизмом первого порядка) Система имеет нулевую статическую
ошибку при отработке постоянного задающего воздействия
consttg и постоянную обратно пропорциональную K ошибку
constуст при отработке линейно изменяющегося воздействия
tatg
Рис 1 Схема САУ Рис 2 Схема САУ с включенным в прямой
тракт интегрирующим звеном
Охватим неизменяемую часть системы sW местной нееди-
ничной положительной обратной связью с коэффициентом усиления
осK (рис 3) Тогда эквивалентная передаточная функция sWэкв
неизменяемой части системы равна
10011
01
1
aKbsaKbsaKbsb
asasa
sWK
sWsW
ососm
mосmn
n
mm
mm
осэкв
(4)
Если коэффициент усиления K выбрать из условия
a
bKос
0
0
то свободный коэффициент (b0 - Koca0) полинома знаменателя sWэкв
обратится в нуль и sWэкв приобретает интегрирующие свойства
11
11
0
1
1
aKbsaKbsbs
asasasW
ос
m
mосm
n
n
m
m
m
mэкв
g(t) y(t)ε(t)
K W(s)-
g(t) y(t)
Ks W(s)-
ε(t)
51
Следовательно замкнутая система становится астатической (с
астатизмом 1-го порядка) Отсюда 0c =0 а коэффициент 1c будет
равен
aKb
bc
ос 11
01
ε(t)g(t) y(t)
W(s)-
Kос
Wэкв(s)
+
Рис 3 Схема САУ с местной неединичной обратной связью
32 Коррекция динамических свойств САУ
Улучшение динамических свойств САУ заключается в увеличе-
нии быстродействия САУ (уменьшении времени регулирования tрег)
уменьшении перерегулирования (см рис 4) а также увеличении
запасов устойчивости по фазе и по модулю При этом
h
hh
уст
устmax100
где maxh - максимальное значение переходной характеристики за-
мкнутой САУ th
устh - установившееся значение th
Время регулирования tрег - минимальная величина при которой удо-
влетворяется условие
устрег hth
где - заданная величина ошибки (обычно =005 устh )
52
h(t)
tрег
hустhmax
2δ
Рис 4 Быстродействие и перерегулирование САУ
Одним из эффективных средств достижения этой цели является
уменьшение отрицательных фазовых сдвигов в прямом тракте систе-
мы путем охвата неизменяемой части системы местными отрицатель-
ными обратными связями
На рис 5 R(s) представляет собой передаточную функцию регу-
лятора САУ которая считается заданной
ε(t)g(t) y(t)
W(s)-
Kос
Wэкв(s)
-
R(s)
u(t)
Рис 5 Схема САУ с местной обратной связью и регулятором
Пусть неизменяемая часть системы представляет собой аперио-
дическое звено первого порядка те
sT
K)s(W
10
0
Тогда передаточная функция sWэкв эквивалентного объекта
управления равна
sT
K
sWK
sWsW
экв
экв
осэкв
11
где зквK и эквT - коэффициент усиления и постоянная времени
эквивалентного объекта равные
53
KK
KK
осэкв
0
0
1
KK
TT
осэкв
0
0
1 (5)
Из (5) следует что соответствующим выбором осK постоянную
времени эквT эквивалентного объекта можно уменьшить в (1+ 0KKос )
раз по сравнении с постоянной времени 0T объекта без местной об-
ратной связи Тем самым уменьшаются отрицательные фазовые сдви-
ги вносимые прямым трактом системы что приводит к увеличению
запасов устойчивости системы При этом однако уменьшается в
(1+ 0KKос ) раз коэффициент усиления эквK эквивалентного объекта
по сравнению с коэффициентом усиления 0K объекта без местной
обратной связи Это нежелательно так как приводит к уменьшению
быстродействия системы вследствие уменьшения общего коэффици-
ента усиления прямого тракта системы В этом случае с целью обес-
печения необходимого быстродействия системы увеличивают коэф-
фициент усиления регулятора
4 Краткое описание MATLAB
Лабораторная работа выполняется в программе математического
моделирования MATLAB Программа MATLAB включает в себя пакет
прикладных программ для решения технических задач и одноименный
язык программирования используемый в этом пакете
Основными компонентами системы являются базовая система
MATLAB и пакет моделирования систем Simulink Остальные пакеты
расширения разбиты на 4 категории ndash расширения Extension MATLAB и
Extension Simulink а также комплексы пакетов расширения Blockset и
Toolbox
Раздел MATLAB Extension содержит средства для подготовки ис-
полняемых приложений MATLAB (с подключаемыми библиотеками и
без них)
Раздел Toolbox (инструментальные средства) содержит самое
большое число пакетов расширений системы MATLAB такие как
laquoControl systemraquo laquoDatabaseraquo laquoFuzzy logicraquo laquoWaveletraquo и тд
54
В разделе Blockset расположено несколько пакетов относящихся к
главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink такие как
laquoDSPraquo laquoFixed-Pointraquo laquoNonlinear control designraquo и laquoPower systemsraquo
В разделе Extension Simulink имеется ряд средств предназначен-
ных для моделирования в реальном масштабе времени и событийно-
управляемом моделировании
5 Задание на лабораторную работу
Выполнить исследование способов коррекции статических и
динамических свойств САУ Определить время регулирования и пе-
ререгулирования в исходной и скорректированной системах а также
для динамических свойств САУ определить запасы устойчивости в
исходной системе и найти экспериментально значение Kос обеспечи-
вающее в системе заданные показатели качества и запасы устойчиво-
сти Вариант задания назначается преподавателем
Таблица 1
Варианты заданий
варианта
Параметры
1
2
3
4
5
6
7
8
a 05 10 15 20 25 30 35 40
K0 1 2 3 4 5 6 7 8
T c 03 04 05 06 07 08 09 10
ξ 06 07 08 08 07 09 05 04
уст 0 0 005 0 010 007 0 0
tрег c le 13 15 20 25 30 35 40 40
le 0 10 10 5 5 5 0 0
В качестве исходных САУ выступают системы изображенные
на рис 6 и 7
55
ε(t)g(t) y(t)
W(s)-
g(t) y(t)
R(s) W(s)-
ε(t) u(t)
Рис 6 САУ с отрицательной Рис 7 САУ с отрицательной обратной
обратной связью связью и регулятором
6 Методика выполнения задания
При исследовании способов коррекции статических свойств
САУ в качестве исходных данных выступает передаточная функция
sW неизменяемой части системы вида
1222
0
sTsT
KsW (6)
и задающие воздействия вида ttg 1 в соответствии с таблицей 1
В процессе выполнения этой части работы необходимо
1) путем моделирования в системе MATLAB исходной САУ
(рис 6) получить графики ttytg
2) сравнить полученную таким образом экспериментальную ве-
личину t с теоретической величиной вычисленной по формуле (1)
3) применяя описанные в теоретической части методических
указаний способы коррекции статических свойств (см п 31) обес-
печить требуемую статическую ошибку εуст системы при отработке
задающего воздействия ttg 1
4) получить графики ty и t в скорректированной системе
для 1 ttg
5) сравнить время регулирования регt и перерегулирование в
исходной и скорректированной системах при 1 ttg
При исследовании рассмотренного способа коррекции динами-
ческих свойств САУ (см п 32) в качестве исходных данных высту-
пают передаточная функция sW неизменяемой части системы
вида (6) и передаточная функция регулятора вида
s
KsR
рег
56
Задающее воздействие ttg 1
В процессе выполнения данной части работы необходимо
1) получить путем моделирования в MATLAB графики ty t
в системе (рис 7)
2) определить время регулирования регt и перерегулирование
а также запасы устойчивости в исходной системе
3) применяя описанный выше способ коррекции динамических
свойств САУ найти экспериментально (путем последовательного пе-
ребора) значение осK обеспечивающее в системе заданные заданием
показатели качества ( регt ) и запасы устойчивости (при необхо-
димости увеличить коэффициент регK )
4) получить графики ty t а также ЛАХ и ЛФХ разомкну-
той системы в скорректированной САУ
7 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) титульный лист
б) структурные схемы исследуемых систем
в) полученные графики и характеристики
г) значения полученные экмпериментально которые
обеспечивают заданные показатели качества и запасы устойчивости
д) выводы обощающие проделанные эксперименты для
коррекции статических и динамических свойств САУ
е) ответы на контрольные вопросы
Контрольные вопросы 1 Дать определение статической и астатической САУ
2 Какими структурными свойствами системы определяется по-
рядок ее астатизма
3 Какой из двух приведенных выше способов придания системе
свойств астатизма 1-го порядка наиболее предпочтителен на
практике
4 Назовите основные показатели качества САУ Поясните их
смысл
5 В чѐм суть исследуемого способа коррекции динамических
свойств САУ
57
6 Назвать другие способы коррекции динамических свойств
САУ
7 Чем вызваны отрицательные фазовые сдвиги в неизменяемой
части САУ
58
Лабораторная работа 6
МЕТОД КОРНЕВОГО ГОДОГРАФА
1 Цель работы
Целью работы является построение корневого годографа и ис-
следование динамики системы с использованием автоматизирован-
ных средств моделирования на ПК ndash MATLABSIMULINK
2 Задачи работы
ndash Закрепление углубление и расширение знаний студентов при
исследование динамики системы
ndash Овладение навыком построения корневого годографа
ndash Приобретение умений и навыков работы с программой мате-
матического моделирования MATLAB
3 Теоретическая часть
Корневым годографом (КГ) называется совокупность траекто-
рий перемещения всех корней характеристического уравнения за-
мкнутой системы при изменении какого-либо параметра этой систе-
мы
Обычно метод КГ позволяет находить полюса и нули ПФ за-
мкнутой системы располагая полюсами и нулями разомкнутой си-
стемы при изменении коэффициента усиления разомкнутой системы
K
ПФ разомкнутой системы Wp(s) представим в следующем виде
)(
)(
1
1
0
n
ii
m
jj
p
ss
ssKC
sW (1)
где 0js ndash нули ПФ sWp )1( mj
is ndash полюса ПФ sWp
)1( nj n и m ndash порядки знаменателя и числителя C ndash коэффици-
ент представления (отношение коэффициентов при старших членах
числителя и знаменателя)
59
При замыкании системы с ПФ sWp единичной отрицатель-
ной обратной связью ПФ замкнутой системы sWз принимает вид
)(1
)(
sW
sWsW
p
pз
(2)
Из выражения (2) следует что нули ПФ замкнутой системы рав-
ны нулям ПФ разомкнутой системы
Для нахождения полюсов рассмотри выражение
01 sWp (3)
в соответствии с выражением (1) имеем
n
i
m
jjin
ii
m
jj
ssKCss
ss
ssKC
1 1
0
1
1
0
)()(01
)(
)(
(4)
На основании выражения (4) можно сказать что при K = 0 корни
характеристического уравнения совпадают с полюсами а при K = infin ndash
с нулями При изменении K от 0 до infin траектории корней начинаются
в полюсах и заканчиваются в нулях Обычно полюсов больше чем
нулей В этом случаем mn ветвей корневого годографа стремятся к
infin
Для определения полюсов замкнутой системы с отрицательной
обратной связью необходимо решить уравнение (его называют ос-
новным уравнением метода КГ)
1sWp (5)
Так как sWp является функцией комплексного переменного
s то уравнение (5) распадается на два уравнения уравнение модулей
1)( sWp (6)
60
и уравнение аргументов (фаза вектора -1 есть нечетное число π)
210)12()(arg sWp (7)
Как известно при умножении комплексных чисел их аргументы
складываются а при делении ndash вычитаются Поэтому исходя из вы-
ражения (1) уравнение (7) имеет наглядный геометрический смысл
Пусть точка s ndash полюс замкнутой системы Если провести в s
вектора из нулей sWp (обозначим аргументы этих векторов 0j ) и
вектора из всех полюсов sWp (обозначим аргументы этих векторов
i ) то уравнение (7) можно записать в следующем виде
m
j
n
iij
1 1
0 210)12( (8)
Углы q отсчитываются от положительного направления дей-
ствительной оси Знак угла laquo+raquo соответствует повороту против часо-
вой стрелки знак угла laquo-raquo соответствует повороту по часовой стрел-
ке
Таким образом любая точка КГ должна удовлетворять уравне-
нию (8) из которого следует что конфигурация КГ не зависит от ко-
эффициента усиления K но каждому конкретному значению K одно-
значно соответствуют точки на КГ
При умножении комплексных чисел их модули перемножаются
а при делении ndash делятся Поэтому на основании (6) можно записать
1
1
1
0
n
ii
m
jj
l
lKC
(9)
где 0jl ndash модуль (длина) вектора проведенного из j-нуля в точку s
КГ il ndash модуль вектора проведенного из i-полюса в ту же точку s
61
Таким образом траектории корней строятся только по уравне-
ниям фаз а уравнение модулей используется затем для нахождения
K
Сущность метода КГ заключается в том чтобы узнать каким
должен быть коэффициент усиления разомкнутой системы чтобы
было обеспечено желаемое положение корней замкнутой системы
Корневой годограф системы с отрицательной обратной связью
обладает следующими основными свойствами
1 Ветви КГ непрерывны и расположены на комплексной плос-
кости симметрично относительно действительной оси
2 Число ветвей КГ равно порядку системы n Ветви начинают-
ся в n полюсах разомкнутой системы при K=0 При возрастании K от
0 до infin полюса замкнутой системы двигаются по ветвям КГ
3 mветвей КГ при возрастании K от 0 до infin заканчиваются в m
нулях )(sWp а )( mn ветвей при K стремящемся к infin удаляются
от полюсов вдоль асимптот
4 При расположении ветвей корневого годографа в левой полу-
плоскости s САУ устойчива При пересечении ветвей КГ мнимой оси
слева направо САУ становится неустойчивой Пусть при K=Kкр
пере-
сечение КГ с мнимой осью произойдет в некоторой точке iωкр
Назо-
вем это значение коэффициента усиления критическим Kкр
а вели-
чину iωкр
критической угловой частотой на которой система стано-
вится неустойчивой
4 Краткое описание MATLAB
Лабораторная работа выполняется в программе математического
моделирования MATLAB Программа MATLAB включает в себя пакет
прикладных программ для решения технических задач и одноименный
язык программирования используемый в этом пакете
Основными компонентами системы являются базовая система
MATLAB и пакет моделирования систем Simulink Остальные пакеты
расширения разбиты на 4 категории ndash расширения Extension MATLAB и
Extension Simulink а также комплексы пакетов расширения Blockset и
Toolbox
Раздел MATLAB Extension содержит средства для подготовки ис-
полняемых приложений MATLAB (с подключаемыми библиотеками и
без них)
62
Раздел Toolbox (инструментальные средства) содержит самое
большое число пакетов расширений системы MATLAB такие как
laquoControl systemraquo laquoDatabaseraquo laquoFuzzy logicraquo laquoWaveletraquo и тд
В разделе Blockset расположено несколько пакетов относящихся к
главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink такие как
laquoDSPraquo laquoFixed-Pointraquo laquoNonlinear control designraquo и laquoPower systemsraquo
В разделе Extension Simulink имеется ряд средств предназначен-
ных для моделирования в реальном масштабе времени и событийно-
управляемом моделировании
5 Корневой годограф в MATLAB
В системе MATLAB существует команда zpk для преобразова-
ния модели заданной ПФ в модель заданную нулями полюсами и
обобщенными коэффициентами передачи (zpk-форма)
Пример
gtgt w=tf([10][2 2 3 1 0])
Transfer function
10
-------------------------------
2 s^4 + 2 s^3 + 3 s^2 + s
gtgt w1=zpk(w)
Zeropolegain
5
----------------------------------------------
s (s+03966) (s^2 + 06034s + 1261)
Для работы с корневым годографом удобно использовать гра-
фический интерфейс laquoSISO-Design Toolraquo предназначенный для ана-
лиза и синтеза одномерных линейных систем автоматического управ-
ления (SISO ndash Single Input Signal Output)
Запуск SISO-Design Tool осуществляется командой
gtgt sisotool
63
В появившемся окне графического интерфейса необходимо ис-
пользовать команду laquoFileImportraquo для загрузки данных из рабочего
пространства MATLAB в результате которой появляется диалоговое
окно Import System Data (рис 1)
Рис 1 Диалог для ввода параметров модели
После импортирования данных можно исследовать изменение
временных и частотных характеристик замкнутой системы при изме-
нении K Обычно при этом требуется определить условия неустойчи-
вости замкнутой САУ Определить Kкр
и iωкр
На рис 2 показано окно sisotool для описанной выше модели w1
Двигая красным курсором по КГ до пересечения ветвей с мнимой
осью можно определить значения Kкр
В данном случае Kкр
asymp 01
Значение iωкр
соответствует мнимой координате пересечения КГ
мнимой оси Просмотреть это значение можно в нижней части ин-
терфейса или выбрать меню laquoView Closed-Loop Polesraquo
64
Рис 2 Основное окно SISO-Design Tool
6 Задание на лабораторную работу
Построить КГ в соответствии с вариантом из табл 1 при помо-
щи графического интерфейса sisotool
Исследовать динамику замкнутой системы при различных зна-
чениях коэффициента усиления разомкнутой системы K в том числе
ndash запасы устойчивости в частотной области
ndash параметры переходного процесса во временной области
Таблица 1
Варианты передаточных функций
Значения параметров Передаточная функция
разомкнутой системы
1 T = 01 ζ = 1
)12( 22 sTsTs
K
2 T = 005 ζ = 0707
3 T = 003 ζ = 01
4 T = 008 ζ = 05
5 T = 001 ζ = 015
65
Окончание табл 1
Значения параметров Передаточная функция
разомкнутой системы
6 T1 = 003 T2 = 05 T3 = 01 T4 = 005
)1)(1)(1(
)1(
432
1
sTsTsTs
sTK
7 T1 = 005 T2 = 04 T3 = 008 T4 = 0033
8 T1 = 02 T2 = 045 T3 = 01 T4 = 005
9 T1 = 05 T2 = 025 T3 = 01 T4 = 002
10 T1 = 01 T2 = 025 T3 = 01 T4 = 005
Вариант задания назначается преподавателем
7 Методика выполнения задания
Порядок выполнения лабораторной работы
1 Задать передаточную функцию в MATLAB в соответствии с
вариантом коэффициент K задать любым положительным числом
2 Запустить SISO-Design Tool и осуществить ввод данных
Построить КГ
3 По КГ определить значения коэффициента K когда система
будет устойчивой на границе устойчивости и неустойчива
4 Выбрать значение коэффициента K таким образом чтобы си-
стемы была устойчива и определить запас устойчивости в частотной
области и параметры переходного процесса во временной области
8 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) титульный лист
б) передаточную функцию и этапы построения КГ
в) анализ результатов построения КГ
г) выводы по проделанной работе
д) ответы на контрольные вопросы
Контрольные вопросы 1 Дать определение КГ
2 Что обычно позволяет находить метод КГ
3 В чем заключается сущность метода КГ
4 Что можно определить по КГ
66
Критерии результативности лабораторного практикума
Лабораторная работа считается выполненной если студент
ndash выполнил все указанные задания
ndash представил отчет соответствующий всем требованиям к его
содержанию и оформлению
ndash владеет терминологией и материалом лабораторной работы
ndash способен использовать программное средство математическо-
го моделирования MATLAB
ndash способен предоставить и рассказать результаты выполненной
работы на ПК
ndash может дать пояснения к отчету и ответить на контрольные
вопросы
Список литературы
1 Александров АГ Частотная теория автоматического управле-
ния учебное пособие ndash Электросталь ЭПИ МИСиС 2010
2 Борисевич АВ Теория автоматического управления элементар-
ное введение с применением MATLAB ndash СПб Изд-во Политехн ун-
та 2011
3 Федоров ВЛ Бубнов АВ Теория автоматического управления
учебное пособие ndash Омск Изд-во ОмГТУ 2010
4 Павловская ОО Чернецкая ИВ Теория автоматического
управления учебное пособие ndash Челябинск Изд-во ЮУрГУ 2010
67
Составители ЛЯНЦЕВ Олег Дмитриевич КАЗАНЦЕВ Андрей Валерьевич
ИССЛЕДОВАНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК СИСТЕМ
АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
Лабораторный практикум
по дисциплине
laquoТеория управленияraquo
Подписано в печать Формат 60х84 116 Бумага офсетная Пе-
чать плоская Гарнитура Times New Roman Усл печ л 56 Уч-изд л
55 Тираж 100 экз Заказ
ФГБОУ ВПО Уфимский государственный авиационный технический
университет
Центр оперативной полиграфии УГАТУ
450000 Уфа-центр ул К Маркса 12
20
Таким образом первый способ преобразования структурных
схем заключается в непосредственном использовании правил приве-
денных в табл1 Неудобство использования этого подхода заключа-
ется в том что порядок применения формул здесь достаточно произ-
волен возможны ошибочные шаги усложняющие поиск решения
Второй способ для получения ПФ многоконтурной системы за-
ключается в использовании модели системы в виде сигнального
графа
Сигнальный граф позволяет графически описать линейные связи
между переменными он состоит из узлов (вершин) и соединяющих их
направленных ветвей
Ветвь соответствует блоку структурной схемы она отражает за-
висимость между входной и выходной переменными Сумма всех
сигналов входящих в узел образует соответствующую этому узлу
переменную
Последовательность ветвей между двумя узлами называется пу-
тем Контуром называется замкнутый путь который начинается и
заканчивается в одном и том же узле причем ни один узел не встре-
чается на этом пути дважды
Контуры называются некасающимися если они не имеют общих
узлов
Сигнальный граф ndash это просто наглядный метод записи системы
алгебраических уравнений показывающий взаимосвязь между пере-
менными
r1
r2
a11
a22
x1
x2
a12a21
Рис 6 Сигнальный граф для двух алгебраических выражений
В качестве примера рассмотрим следующую систему алгебраи-
ческих уравнений
21
11212111 xrxaxa (1)
22222121 xrxaxa (2)
здесь r1 и r2 ndash входные переменные а x1 и x2 ndash выходные переменные
Сигнальный граф соответствующий уравнениям (1) и (2) изображен
на рис 6 Уравнения (1) и (2) можно записать в ином виде
1122111 )()1( raxax
2222211 )1()( raxax
Решая последнюю систему по правилу Крамера получим
212
122
21122211
2121221
)1(
)1)(1(
)1(r
ar
a
aaaa
rarax
121
211
21122211
1212112
)1(
)1)(1(
)1(r
ar
a
aaaa
rarax
В этих решениях знаменатель равен определителю составлен-
ному из коэффициентов при неизвестных и его можно записать так
21122211221121122211 1)1)(1( aaaaaaaaaa
В данном случае знаменатель равен единице минус коэффици-
енты передачи отдельных контуров a11 a22 и a12a21 плюс произведе-
ние коэффициентов передачи двух некасающихся контуров a11 и a22
Контуры a22 и a12a21 являются касающимися так же как и контуры a11
и a21a12
В решении для x1 по отношению ко входу r1 числитель равен
единице умноженной на (1-a22) те значение определителя некаса-
ющегося пути от r1 к x1 В решении для x1 по отношению ко входу
r2числитель просто равен a12 тк этот путь касается всех контуров
Числитель выражения x2 симметричен соответствующему числителю
для x1
В общем случае линейная зависимость Tij между независимой
переменной xi (часто называемой входной переменной) и зависимой
переменной xj определяется по формуле Мейсона
22
k
ijkijk
ij
P
T
где Pijk ndash коэффициент передачи k-го пути от переменной xi к пере-
менной xj Δ ndash определитель графа Δijk ndash дополнительный множитель
для пути Pijk а суммирование производится по всем возможным k пу-
тям от xi до xjДополнительный множитель Δijk равен определителю
всех касающихся контуров при удалении k-го пути
Определитель находится как
QM
qm
LSR
lsrlsrqm
K
kk LLLLLL
11
1111
1
где Kk kL
1ndash сумма коэффициентов передачи всех отдельных конту-
ров QM
qm qmLL
11ndash сумма произведений всех возможных комбина-
ций из двух некасающихся контуров LSR
lsr lsr LLL
111ndash сумма про-
изведений всех возможных комбинаций из трех некасающихся кон-
туров
Таким образом правило вычисления Δ через значение L1 L2
L3hellipLN таково Δ = 1- (сумма коэффициентов передачи всех отдель-
ных контуров) + (сумма произведений всех возможных комбинаций
из 2 некасающихся контуров) ndash (сумма произведений всех возмож-
ных комбинаций из 3 некасающихся контуров) +hellip
Формула Мейсона часто используется в несколько упрощенном
виде для определения связи между выходной переменной Y(s) и
входной переменной X(s) те
)()(
)( 1
N
iiiP
sWsX
sY
где Pi ndash i-й путь от входа к выходу N ndash количество путей Δ ndash опреде-
литель графа специальный полином который определенным образом
характеризует совокупность всех замкнутых цепей системы содер-
жащих обратные связи и вычисляется как сумма передаточных
функций разомкнутых контуров этих цепей и произведений
23
передаточных функций разомкнутых контуров пар троек и тд не со-
прикасающихся друг с другом цепей с обратными связями Δi ndash до-
полнительный множитель для пути составляется по правилу анало-
гичному Δ но только для цепей с обратными связями не соприкаса-
ющихся с i-м прямым каналом
Дополнительный множитель для i-го пути равен определителю
графа в котором приравнены нулю коэффициенты передачи конту-
ров касающихся этого пути
Рассмотрим пример получения ПФ многоконтурной системы с
использованием формулы Мейсона для структуры на рис 1 которая
соответствует графу показанному на рис 7
X(s) Y(s)W1
W2
W3 W5 W6
W4 -W7
Рис 7 Описание системы управления сигнальным графом
От входа к выходу ведут два пути
65311 WWWWP
65322 WWWWP
В графе есть 2 контура
5431 WWWL
7652 WWWL
Контур L1 пересекает контур L2 поэтому определитель графа
вычисляется по формуле
)(1 21 LL
Контуры в этом примере пересекают все пути поэтому допол-
нительные множители путей равны
24
11
12
Окончательно можно записать
1
)(543765
65326531
2
1
WWWWWW
WWWWWWWWP
sW iii
Таким образом использование сигнальных графов и применение
формулы Мейсона позволяет алгоритмизировать процесс упрощения
структурной схемы
Третий способ для получения ПФ заключается в составлении
системы уравнений Необходимо обозначить выходы сумматоров и
составить систему уравнений на основе этих обозначений На рис9
представлена исходная схема с обозначенными сумматорами
W1
W2 W3
W4
W5 W6
W7
+
+
+
-
Z H
u y
Рис 9 Исходная схема САУ с обозначенными сумматорами
Опишем все сигналы в системе в виде уравнений
)( 4521 HWWuWWZ
73 yWZWH
65 HWWy
Подставив последовательно значения сигналов найдем ПФ
))(( 734521 yWWHWWuWWH
После преобразования получим
25
1
)(
543
73231
WWW
yWuWWWWH
Подставим полученное значение H в уравнение y
1
))((
543
6573231
WWW
WWyWuWWWWy
Получим ПФ вида
1
)(543765
65326531
WWWWWW
WWWWWWWW
u
ypW
4 Краткое описание MATLAB
Лабораторная работа выполняется в программе математического
моделирования MATLAB Программа MATLAB включает в себя пакет
прикладных программ для решения технических задач и одноименный
язык программирования используемый в этом пакете
Основными компонентами системы являются базовая система
MATLAB и пакет моделирования систем Simulink Остальные пакеты
расширения разбиты на 4 категории ndash расширения Extension MATLAB и
Extension Simulink а также комплексы пакетов расширения Blockset и
Toolbox
Раздел MATLAB Extension содержит средства для подготовки ис-
полняемых приложений MATLAB (с подключаемыми библиотеками и
без них)
Раздел Toolbox (инструментальные средства) содержит самое
большое число пакетов расширений системы MATLAB такие как
laquoControl systemraquo laquoDatabaseraquo laquoFuzzy logicraquo laquoWaveletraquo и тд
В разделе Blockset расположено несколько пакетов относящихся к
главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink такие как
laquoDSPraquo laquoFixed-Pointraquo laquoNonlinear control designraquo и laquoPower systemsraquo
В разделе Extension Simulink имеется ряд средств предназначен-
ных для моделирования в реальном масштабе времени и событийно-
управляемом моделировании
26
5 Структурные преобразования в MATLAB
В пакете MATLAB имеется ряд функций с помощью которых
можно выполнять структурные преобразования (используется экви-
валентная схема)
ndash series(w1w2) ndash последовательное соединение звеньев
ndash parallel(w1w2) ndash параллельное соединение звеньев
ndash feedback(w1w2) ndash включение звена w2 в контур отрицательной об-
ратной связи к w1
ndash feedback(w1w2sign) ndash включение звена w2 в контур обратной связи
звена w1 с указанием знака + или ndash (очевидно feedback(w1w2)=
=feedback(w1w2-1))
Пример
Даны две передаточные функции
22
221
ss
sW
22
322
2
2
ss
ssW
Опишем ПФ введя в окне команд MatLab следующие команды
gtgt w1=tf([1 2][1 2 2])
gtgt w2=tf([1 2 3][1 2 2])
Выполним структурные преобразования для данных ПФ
gtgt w2=series(w1w2)
Transfer function
s^3 + 4 s^2 + 7 s + 6
------------------------------------
s^4 + 4 s^3 + 8 s^2 + 8 s + 4
gtgt w3=parallel(w1w2)
Transfer function
s^4 + 5 s^3 + 13 s^2 + 16 s + 10
----------------------------------------
s^4 + 4 s^3 + 8 s^2 + 8 s + 4
27
gtgt w4=feedback(w1w2)
Transfer function
s^3 + 4 s^2 + 6 s + 4
----------------------------------------
s^4 + 5 s^3 + 12 s^2 + 15 s + 10
Для проверки правильности проведенных преобразований необ-
ходимо собрать схему исходной САУ и соответствующую ей эквива-
лентную схему в MATLAB Simulink
Исходная схема САУ собирается как модель из соответствую-
щих элементов таких как laquoTransfer Fncraquo laquostepraquo laquosignal builderraquo
laquoscoperaquo и laquosumraquo Все эти элементы находятся в пакете laquoSimulinkraquo и
представлены в виде блоков Для того чтобы создать новую модель
необходимо нажать laquoFile-gtNew-gtModel (Simulink)raquo после откроется
окно модели в которую нужно будет добавлять элементы из библио-
теки для доступа к ней необходимо нажать на значок laquoLibrary Brows-
erraquo
Описание используемых элементов из пакета Simulink
1 Transfer Fnc ndash передаточная функция
2 Step ndash единичный скачок (функция Хэвисайда) в блоке необходи-
мо задать время начала перехода (step time)
3 Signal builder ndash блок для моделирования сигнала по заданным па-
раметрам (можно построить единичный скачок и импульсную функ-
цию)
4 Scope ndash виртуальный осциллограф отображает получившийся гра-
фик открывается двойным щелчком левой клавиши мыши и для кор-
рекции масштаба необходимо нажать правой кнопкой по графику и
из выпадающего меню выбрать laquoautoscaleraquo
5 Sum ndash сумматор в параметрах задается число сигналов соответ-
ственно laquo+raquo - положительный laquondashraquo - отрицательный
Так же нужно задать время работы модели для этого необходи-
мо выбрать laquoSimulation-gtSimulation parametersraquo и установить пара-
метр laquostop timeraquo на нужное значение и после необходимо запустить
модель на выполнение нажав на значок laquoStart simulationraquo Пример
модели составленной в MATLAB представлен на рис 10
28
Рис 10 Пример схемы САУ с блоком laquosignal builderraquo
Задача считается решенной если при подаче на вход обоих
схем одинаковых тестовых воздействий (единичный скачок импуль-
сная функция) наблюдаются одинаковые выходные сигналы
6 Задание на лабораторную работу
Выполнить преобразование структурной схемы САУ в эквива-
лентную передаточную функцию Составить модель исходной схемы
САУ в MATLAB С помощью ряда функций MATLAB (структурные
преобразования) составить эквивалентную схему Вариант задания
назначается преподавателем
7 Методика выполнения задания
Порядок выполнения работы
1 Выполнить преобразование заданного варианта структурной
схемы САУ (см табл 2) в эквивалентную ПФ тремя способами
ndash непосредственно используя правила табл 1
ndash используя представление в виде сигнального графа и формулу
Мейсона
ndash составив систему уравнений и решив еѐ
2 В качестве звеньев W1W2W3 использовать передаточные
функции звеньев представленных в табл 2
3 Составить модель исходной схемы САУ в MATLAB постро-
ить реакцию получившейся модели на ступенчатое и импульсное
воздействия
4 С помощью ряда функций MATLAB (структурные преобразо-
вания) составить эквивалентную схему и построить реакцию на сту-
пенчатое и импульсное воздействия
5 Подготовить ответы на контрольные вопросы
29
Таблица 2
Варианты структур САУ
Исходная схема
Передаточные
функции
1 W1
W3
W2
-
+
-
+
u y
+
1
31
sW
2
442
s
sW
12
133
s
sW
2 W1
W3
W2
-
+
-
+
u y
+ +
3 W3
W2
W1
-
+
-
+
u y
+ +
4 W3
W1
W2
+
+
-
+
u y
+ +
1
21
sW
2
12
sW
12
13
s
sW
5
W1
W3
W2
-
+
-
+
u y
+ +
6
W1
W3
W2
-
+
-
+
u y
+
62
31
sW
2
52
sW
1
23
s
sW
7
W1
W3
W2
-
+
-
+
u y
+ +
8
W1
W2
W3
-
+
-
+
u y
+ +
30
8 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) описание всех этапов преобразования исходной схемы и по-
лучающихся промежуточных результатов выполненными тремя спо-
собами моделирование реакции схемы на типовое воздействие (ска-
чок) до и после преобразования
б) сигнальный граф системы описание путей контуров расчет
ПФ по формуле Мейсона
в) решение составленной системы уравнений
г) схема модели и протокол команд MATLAB
д) графики переходных процессов при подаче на вход исходной
и эквивалентной схемы типовых тестирующих воздействий (скачок
импульс)
е) ответы на контрольные вопросы
Контрольные вопросы
1 Что называется структурной схемой Какие задачи можно
решить с еѐ помощью
2 Как может быть составлена структурная схема
3 Что позволяет алгоритмизировать процесс упрощения струк-
турной схемы Поясните на конкретном примере
31
Лабораторная работа 3
ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
ДИНАМИЧЕСКИХ ЗВЕНЬЕВ
1 Цель работы
Целью работы является изучение частотных характеристик ти-
повых динамических звеньев с использованием автоматизированных
средств моделирования на ПК ndash MATLAB SIMULINK
2 Задачи работы
ndash Закрепление углубление и расширение знаний студентов при
исследовании частотных характеристик динамических звеньев
ndash Приобретение умений и навыков работы с программой мате-
матического моделирования MATLAB
ndash Выработка способности логического мышления осмысление
полученных данных частотных характеристик
3 Теоретическая часть Сущность метода частотных характеристик заключается в том
что на вход исследуемой системы подается гармонический сигнал (си-
нусоидальные колебания) в широком диапазоне частот Реакция си-
стемы при разных частотах позволяет судить о ее динамических
свойствах
Пусть входной сигнал системы имеет амплитуду а и частоту ω т е
описывается формулой
)sin( tax
Выходной сигнал будет иметь амплитуду А1 и отличаться от вход-
ного по фазе на величину ψ (фазовый сдвиг)
)sin(1 tAy
Таким образом можно рассчитать усиление по амплитуде
1
a
AA
32
Для каждой частоты входного сигнала ω будут свои А и ψ
Изменяя ω в широком диапазоне можно получить зависимость
А(ω) ndash амплитудную частотную характеристику (АЧХ) и ψ(ω) ndash фазо-
вую частотную характеристику (ФЧХ)
Главное достоинство метода частотных характеристик заключа-
ется в том что АЧХ и ФЧХ объекта могут быть получены экспери-
ментально Для этого необходимо иметь генератор гармонических
колебаний который подключается к входу объекта и измеритель-
ную аппаратуру для измерения амплитуды и фазового сдвига колеба-
ний на выходе объекта
Частотные характеристики САУ могут быть получены по ее ПФ
W(s) Для суждения о реакции звена на синусоидальный сигнал доста-
точно исследовать его реакцию на гармонический сигнал вида
)( tjejx
Тогда выходной сигнал определяется по соотношению
)()( ))(( tjeAjy
и частотная ПФ получается равной
)()(
)()( )(
jeA
jx
jyjW
Формально для получения частотной ПФ надо сделать в W(s)
подстановку s = jω и тогда полученная W(jω) является комплексным
выражением которое можно представить в виде
)()(
)()()(
22
11
jba
jbajW
Для нахождения вещественной и мнимой частей частотной пе-
редаточной функции необходимо умножить числитель и знаменатель
на сопряженную знаменателю величину а затем провести
разделение
33
)()()(
)()(
)()()()(
)()(
)()()()(
))()())(()((
))()())(()((
)()(
)()()(
)(
22
22
2112
22
22
2121
2222
2211
22
11
jeAjVU
ba
babaj
ba
bbaa
jbajba
jbajba
jba
jbajW
где
)()()()(22
22
21
2122
ba
baVUjWA
)(
)())(arg()(
2
2
1
1
a
barctg
a
barctg
U
VarctgjW
Графики функции )(U и )(V называют соответственно веще-
ственной и мнимой частотной характеристиками
В практических расчетах удобно применять графики частотных
характеристик построенных в логарифмическом масштабе ndash лога-
рифмические частотные характеристики (ЛЧХ)
Логарифмическая амплитудная частотная характеристика
(ЛАЧХ) определяется следующим выражением
)(lg20)( AL
Логарифмической фазовой частотной характеристикой
(ЛФЧХ) называется график зависимости )( построенный в лога-
рифмическом масштабе частот
Единицей L(ω) является децибел (дБ) а единицей логарифма ча-
стоты ndash декада Декадой называют интервал частот на котором часто-
та изменяется в 10 раз При изменении частоты в 10 раз говорят что
она изменилась на одну декаду Ось ординат при построении ЛЧХ про-
водят через произвольную точку а не через точку ω = 0 Частоте ω = 0
соответствует бесконечно удаленная точка lgω rarr ndash infin при ω rarr 0
Основное преимущество использования ЛЧХ заключается в том
что приближенные (асимптотические) ЛАЧХ типовых динамических
звеньев изображаются отрезками прямых
Пример Построим ЛЧХ апериодического звена первого
34
порядка
Передаточная функция звена
1
)(
Ts
ksW
Частотная передаточная функция
1)(
)1(
1)(
2
T
Tjk
Tj
kjW
1)(
1)( 22
T
kTV
T
kU
Следовательно АЧХ описывается формулой
1)(
)(2
T
kA
ФЧХ строится по формуле
)()( Tarctg
ЛАЧХ апериодического звена 1-го порядка
1)(lg20lg20)( 2 TkL
По этой формуле можно построить две асимптоты ndash прямые к
которым стремится ЛАЧХ при ω rarr 0 и при ω rarr infin Так при ω rarr 0 второе
слагаемое близко к нулю и этот участок ЛАЧХ представляет собой
горизонтальную прямую
lg20)( kL
При ω rarr infin получаем наклонную прямую
1)(lg20)( 2 TL
35
Для определения наклона этой прямой можно рассмотреть гра-
ницы декады
T
1 и
10
T
Изменение ЛАЧХ между этими точками
)(2011
lg20110
lg20)(
22
декдБT
TT
TL
ЛЧХ часто называют диаграммами Боде
4 Краткое описание MATLAB
Лабораторная работа выполняется в программе математического
моделирования MATLAB Она включает в себя пакет прикладных про-
грамм для решения технических задач и одноименный язык программи-
рования используемый в этом пакете
Основными компонентами системы являются базовая система
MATLAB и пакет моделирования систем Simulink Остальные пакеты
расширения разбиты на 4 категории ndash расширения Extension MATLAB и
Extension Simulink а также комплексы пакетов расширения Blockset и
Toolbox
Раздел MATLAB Extension содержит средства для подготовки ис-
полняемых приложений MATLAB (с подключаемыми библиотеками и
без них)
Раздел Toolbox (инструментальные средства) содержит самое
большое число пакетов расширений системы MATLAB такие как
laquoControl systemraquo laquoDatabaseraquo laquoFuzzy logicraquo laquoWaveletraquo и тд
В разделе Blockset расположено несколько пакетов относящихся к
главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink такие как
laquoDSPraquo laquoFixed-Pointraquo laquoNonlinear control designraquo и laquoPower systemsraquo
В разделе Extension Simulink имеется ряд средств предназначен-
ных для моделирования в реальном масштабе времени и событийно-
управляемом моделировании
36
5 Построение частотных характеристик в MATLAB В пакете MATLAB ЛЧХ объекта заданного с помощью ПФ
можно получить командой bode
Пример
gtgt w=tf([1 2][3 4 5])
gtgt bode(w)
Для нескольких вариантов передаточной функции можно исполь-
зовать вариант команды вида
gtgt bode(ww1w2)
Например построим диаграмму Боде при различных параметрах
колебательного звена (рис 1)
gtgt w=tf([1][2 03 1])
gtgt w1=tf([1][2 05 1])
gtgt w2=tf([1][2 01 1])
gtgt bode(ww1w2)
Рис 1 ЛЧХ колебательного звена
6 Задание на лабораторную работу
С помощью пакета MATLAB построить ЛЧХ каждого типового
звена Определить влияние коэффициентов входящих в описание
каждого звена на параметры ЛАЧХ и ЛФЧХ Вариант задания назна-
чается преподавателем
37
7 Методика выполнения задания
Порядок выполнения работы
1 Задать передаточную функцию типового динамического звена
используя параметры из табл 2 лабораторной работы 1
2 Построить диаграмму Боде при различных параметрах типо-
вого динамического звена
3 Определить влияние коэффициентов входящих в описание
каждого звена на параметры ЛАЧХ и ЛФЧХ в том числе
ndash как меняется ширина асимптотических участков ЛАЧХ и
ЛФЧХ
ndash как меняется положение точек пересечения осей ЛАЧХ
4 Написать вывод по влиянию коэффициентов на типовое звено
5 Выполнить пункты 1-4 для всех типовых звеньев
6 Подготовить ответы на контрольные вопросы
8 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) титульный лист
б) краткие теоретические сведения
в) передаточные функции и схемы моделирования исследуемых
звеньев
г) экспериментально полученные характеристики при вариации
параметров каждого звена
д) выводы обобщающие проделанные эксперименты по каждо-
му звену
ж) ответы на контрольные вопросы
Контрольные вопросы
1 Как пользуясь частотными характеристиками определить па-
раметры (коэффициенты передаточной функции) звена Пояс-
нить на конкретных примерах
2 Указать особенности построения ЛАХ и ЛФХ динамических
звеньев Что понимается под асимптотической ЛАХ звена
3 Как осуществляется построение АФХ динамического звена
38
Лабораторная работа 4
ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ СИСТЕМ
С ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ
1 Цель работы
Изучение особенностей практического использования алгебраи-
ческих и частотных критериев устойчивости для анализа динамики
линейных САУ с использованием автоматизированных средств моде-
лирования на ПК ndash MATLAB SIMULINK
2 Задачи работы
ndash Закрепление углубление и расширение знаний студентов при
исследовании устойчивости систем с обратной связью
ndash Приобретение умений и навыков работы с программой мате-
матического моделирования MATLAB
ndash Овладение новыми методами проверки устойчивости систем
с обратной связью
ndash Выработка способности логического мышления осмысления
полученных данных
3 Теоретическая часть
Устойчивость САУ является одним из основных условий ее ра-
ботоспособности и включает требование затухания во времени пере-
ходных процессов
Система является устойчивой если при ограниченном входном
сигнале еѐ выходной сигнал также является ограниченным Если
система устойчива то она противостоит внешним воздействиям а
выведенная из состояния равновесия возвращается снова к нему
Система с расходящимся переходным процессом будет неустойчивой и
неработоспособной
Необходимое и достаточное условие устойчивости заключается в
том чтобы все корни характеристического уравнения (полюсы пере-
даточной функции системы) имели отрицательные вещественные ча-
сти Иначе говоря условием устойчивости системы является распо-
ложение всех полюсов в левой комплексной полуплоскости Тогда все
полюсы будут давать затухающую реакцию
Выше сформулированное условие устойчивости справедливо как
39
для линейных так и для линеаризованных систем Однако в случае
нулевых или чисто мнимых корней характеристического уравнения
вопрос об устойчивости линеаризованной системы может быть ре-
шен только на основании исследования ее нелинейных уравнений
В конце XIX и первой половине XX в задача вычисления корней
характеристического уравнения высокого порядка вызывала боль-
шие проблемы Поэтому были предложены несколько косвенных
методов оценки устойчивости позволяющих обойтись без вычисле-
ния корней ndash по значениям коэффициентов характеристического
уравнения
Критерии устойчивости разделяют на алгебраические и частот-
ные В частности к алгебраическим критериям относится критерий
Гурвица к частотным критериям ndash критерий Найквиста
Критерий Гурвица является алгебраическим критерием и при-
меняется к коэффициентам характеристического уравнения замкнутой
системы
Пусть имеется характеристическое уравнение замкнутой
системы
0011
1 apapapa n
nn
n
Из коэффициентов характеристического уравнения составляют
матрицу по правилу
1 По диагонали записываются коэффициенты от 1na до 0a
2 Каждая строка дополняется коэффициентами с возрастающи-
ми индексами слева направо так чтобы чередовались строки с нечет-
ными и четными индексами
3 В случае отсутствия индекса а также если он меньше 0 или
больше п на его место пишется 0
Таким образом матрица Гурвица приобретает следующий вид
40
Критерий устойчивости формулируется так
Чтобы система была устойчивой необходимо и достаточно что-
бы при 0na были положительными все п диагональных определи-
телей получаемых из матрицы Гурвица
Первые три определителя матрицы Гурвица имеют следующий
вид
Таким образом критерий Гурвица позволяет судить об абсо-
лютной устойчивости но он не дает возможности оценивать относи-
тельную устойчивость по корням характеристического уравнения
Частотный критерий устойчивости Найквиста анализирует
АФЧХ разомкнутой системы
Пусть имеется АФЧХ разомкнутой системы W(jω)
Для нахождения вещественной и мнимой части частотной ха-
рактеристики нужно освободиться от мнимости в знаменателе путем
умножения числителя и знаменателя на комплексную величину со-
пряженную знаменателю а затем выполнить разделение на веще-
ственную и мнимую части W(jω) приобретает вид
)()()( jQPjW
Задаваясь различными значениями частоты можно найти мно-
жество пар )()( 11 jQP )()( 22 jQP )()( nn jQP
Затем по этим парам строится АФЧХ на комплексной плоскости
Основные свойства АФЧХ разомкнутой системы
1 Если разомкнутая система не имеет интегрирующих звеньев
то при ω = 0 ее АФЧХ начинается на вещественной оси в точке
Р(ω)=К (где К ndash коэффициент усиления разомкнутой системы) За-
канчивается АФЧХ в начале координат при ω rarr infin (рис 1 а)
2 Если разомкнутая система имеет одно интегрирующее звено то
ее АФЧХ начинается при ω = 0 в бесконечности на отрицательной мни-
мой полуоси а заканчивается в начале координат при ω rarr infin (рис 1 б)
41
Рис 1 АФЧХ разомкнутой системы
Критерий устойчивости Найквиста формулируется так
1 Если разомкнутая система устойчива или находится на гра-
нице устойчивости то для того чтобы замкнутая система была
устойчива необходимо и достаточно чтобы АФЧХ разомкнутой
системы при изменении частоты ω от 0 до infin не охватывала точку с ко-
ординатами (-1 j0)
2 Если разомкнутая система неустойчива а ее передаточная
функция имеет т полюсов справа от мнимой оси на комплексной
плоскости то для устойчивости замкнутой системы необходимо и до-
статочно чтобы АФЧХ разомкнутой системы при изменении частоты
ω от -infin до +infin охватывала т раз точку с координатами (-1 j0)
При использовании этого критерия нужно учитывать две
особенности
1 Если разомкнутая система находится на границе устойчиво-
сти то ее АФЧХ уходит в бесконечность Для проверки критерия Най-
квиста нужно мысленно соединить конец АФЧХ дугой бесконечно
большого радиуса с положительной вещественной полуосью
2 На практике АФЧХ может строиться только для положитель-
ных частот (0 lt ω lt +infin) При применении критерия Найквиста счита-
ется что ветвь АФЧХ для отрицательных частот симметрична отно-
сительно вещественной оси
Физический смысл критерия устойчивости Найквиста заключа-
ется в том что система будет неустойчива если фаза выходного сиг-
нала противоположна фазе входного сигнала а коэффициент усиле-
ния больше 1 Поэтому для анализа устойчивости можно использо-
вать не АФЧХ а ЛАХ системы (для минимально-фазовых систем)
Система устойчива если на частоте среза значение фазы не превы-
шает -π Соответственно для устойчивой системы можно рассматри-
вать на ЛФЧХ запас устойчивости по фазе ndash расстояние от значения
фазы на частоте среза до уровня -π и запас устойчивости по амплиту-
42
де ndash расстояние от оси частот ЛАЧХ до значения усиления на часто-
те где фаза становится равной -π
4 Краткое описание MATLAB
Лабораторная работа выполняется в программе математического
моделирования MATLAB Программа MATLAB включает в себя пакет
прикладных программ для решения технических задач и одноименный
язык программирования используемый в этом пакете
Основными компонентами системы являются базовая система
MATLAB и пакет моделирования систем Simulink Остальные пакеты
расширения разбиты на 4 категории ndash расширения Extension MATLAB и
Extension Simulink а также комплексы пакетов расширения Blockset и
Toolbox
Раздел MATLAB Extension содержит средства для подготовки ис-
полняемых приложений MATLAB (с подключаемыми библиотеками и
без них)
Раздел Toolbox (инструментальные средства) содержит самое
большое число пакетов расширений системы MATLAB такие как
laquoControl systemraquo laquoDatabaseraquo laquoFuzzy logicraquo laquoWaveletraquo и тд
В разделе Blockset расположено несколько пакетов относящихся к
главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink такие как
laquoDSPraquo laquoFixed-Pointraquo laquoNonlinear control designraquo и laquoPower systemsraquo
В разделе Extension Simulink имеется ряд средств предназначен-
ных для моделирования в реальном масштабе времени и событийно-
управляемом моделировании
5 Исследование устойчивости САУ в MATLAB
Для проверки устойчивости САУ по Гурвицу постройте матрицу
Гурвица и найдите ее детерминант (функция det) Затем последова-
тельно уменьшая размер матрицы найдите значения всех диагональ-
ных детерминантов Пример
gtgt А=[1 14 18 2 5 2 3 4 3]
А =
1 14 18
2 5 2
3 4 3
gtgt det(A)
ans = -119
43
gtgt А1=А(12 12)
А1 =
1 14
2 5
gtgt det(A1)
ans = -23
Для проверки устойчивости САУ по Найквисту сначала нужно
выяснить является ли устойчивой разомкнутая система
Пример Пусть дана передаточная функция разомкнутой
системы
13232
12234
pppp
pW
Рассмотрим реакцию на скачок
gtgt w=tf([2 1][2 3 2 3 1])
gtgt step(w18)
График переходного процесса показан на рис 2
Рис 2 Переходная реакция
Разомкнутая система неустойчива и согласно критерию Найкви-
ста надо чтобы АФЧХ разомкнутой системы охватывала точку (-1 j0)
44
столько раз сколько полюсов имеется справа от мнимой оси Для по-
строения АФЧХ достаточно вызвать команду nyquist
gtgt nyquist(w)
Диаграмма Найквиста показана на рис 3
Рис 3 Диаграмма Найквиста для неустойчивой системы
Как показывает рис3 АФЧХ ни разу не охватывает точку
(-1 j0) поэтому замкнутая система будет неустойчивой Частотный
критерий Найквиста можно использовать и в том случае когда рас-
сматривается не АФЧХ а ЛАЧХ разомкнутой системы замкнутая
минимально-фазовая система устойчива если при достижении ЛФЧХ
значения -π ЛАЧХ будет отрицательной
Используя ЛАЧХ и ЛФЧХ можно оценить запасы устойчивости
системы по амплитуде и по фазе с помощью команды
gtgt margin(w)
Пример
gtgt w=tf([10][2 2 3 1])
gtgt margin(w)
Соответствующий график показан на рис 4
45
Рис 4 Определение запасов устойчивости по амплитуде и по фазе
6 Задание на лабораторную работу
Выполнить исследование устойчивости замкнутой системы по за-
данной передаточной функции разомкнутой системы Определить запас
устойчивости по амплитуде и по фазе Вариант задания назначается
преподавателем
7 Методика выполнения задания
Порядок выполнения работы
1 Рассчитать передаточную функцию замкнутой системы по
приведенной в табл 1 разомкнутой системе
2 Определить устойчивость замкнутой системы используя кри-
терий Гурвица
3 Определить устойчивость замкнутой системы используя кри-
терий Найквиста
4 Определить запас устойчивости по амплитуде и по фазе ис-
пользуя ЛАЧХ и ЛФЧХ
5 Выполнить моделирование переходных процессов разомкну-
той и замкнутой систем
6 Подготовить ответы на контрольные вопросы
46
Таблица 1
Варианты заданий
Передаточная функция разомкнутой системы
1 1355
2234
ssss
W
2 110050
1234
ssss
W
3 11010
123
sss
W
4 122105
100234
ssss
W
5 1248
123
sss
W
6 1223
102345
sssss
W
7 11001010
323
sss
W
8 122
1023
sss
W
9 11010
123
sss
W
10 15050332
102345
sssss
W
8 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) титульный лист
б) краткие теоретические сведения
в) переходную функцию разомкнутой системы
г) расчет передаточной функции замкнутой системы
д) расчетные выражения для обоснования устойчивости замкну-
той системы по алгебраическому критерию Гурвица
е) годограф Найквиста разомкнутой системы на основании кото-
рого делается вывод об устойчивости замкнутой системы
ѐ) переходную функцию замкнутой системы
ж) проверку полученных результатов путем компьютерного моде-
лирования переходных процессов разомкнутой и замкнутой си-
стемы в MATLAB Simulink
з) выводы по всем полученным результатам
47
Контрольные вопросы
1 Как связана устойчивость линейной САУ с видом составля-
ющих ее свободного движения
2 Зависит ли устойчивость линейных САУ от амплитуды зада-
ющих воздействий или возмущений
3 Сформулируйте критерий устойчивости Гурвица укажите на
необходимое условие устойчивости линейных САУ вытекаю-
щее из этого критерия
4 Сформулируйте критерий Найквиста для случая САУ устой-
чивых в разомкнутом состоянии а также для астатических САУ
Что такое laquoзапасы устойчивости по фазе и по амплитудеraquo
5 Что называется структурной устойчивостью
48
Лабораторная работа 5
КОРРЕКЦИЯ СТАТИЧЕСКИХ И ДИНАМИЧЕСКИХ
СВОЙСТВ САУ
1 Цель работы
Целью работы является изучение способов обеспечения иско-
мых характеристик САУ с использованием автоматизированных
средств моделирования на ПК ndash MATLAB SIMULINK
2 Задачи работы
ndash Закрепление углубление и расширение знаний студентов при
обеспечении искомых характеристик САУ
ndash Приобретение умений по обеспечению точности (уменьшение
статической ошибки) САУ и выбору значений параметров регулято-
ра обеспечивающих желаемые динамические свойства САУ
ndash Приобретение умений и навыков работы с программой мате-
матического моделирования MATLAB
3 Теоретическая часть
Коррекция статических и динамических свойств САУ имеет
своей целью повышение статической и динамической точности отра-
ботки системой задающего воздействия (или парирование возмуща-
ющего воздействия) повышение запасов ее устойчивости Наиболее
распространенными способами коррекции свойств САУ является из-
менение коэффициента усиления ее разомкнутой части введение в
САУ новых звеньев (как правило интегрирующего или дифференци-
рующего типа) охват объекта управления местной обратной связью
31 Коррекция статических свойств САУ
Статические свойства системы определяются величиной устано-
вившейся ошибки )t(уст вызванной действием задающего воздей-
ствия и определяемой по формуле
22
210 2 dttgdcdttdgctgctуст (1)
где )(tg - входное воздействие 210 ccc - коэффициенты ошибок
Коэффициенты ошибок определяются по формулам
49
dssdcdssdcscs
mmmss 00100
где s - передаточная функция САУ по ошибке управления рав-
ная
sW
sраз
1
1
sWраз - передаточная функция разомкнутой САУ
Основными способами уменьшения статической ошибки систе-
мы являются
1) увеличение коэффициента усиления прямого тракта системы
2) введение в прямой тракт системы интегрирующих звеньев
3) охват объекта управления местной неединичной положитель-
ной обратной связью
Представим структурную схему системы в виде изображенном
на рис 1 где через sW обозначена передаточная функция неизме-
няемой части системы
bsbsb
asasasW
nn
nn
mm
mm
01
1
01
1
Здесь и далее полагается что KKKsW s 000 0 ndash из-
меняемый коэффициент усиления регулятора системы
Первые два коэффициента ошибок 0c и 1c определяется выраже-
ниями
KK
c0
01
1
(2)
KK
dssdWKc
s
20
01
1
(3)
Из (2) и (3) с учетом (1) вытекает что с увеличением K
статическая ошибка в системе уменьшается и наоборот с уменьше-
нием K статическая ошибка в системе увеличивается
Введем в прямой тракт системы одно интегрирующее звено
50
(рис 2) В этом случае c 00 01 1 KKc
Так как c 00 то система на рис 2 является астатической (с
астатизмом первого порядка) Система имеет нулевую статическую
ошибку при отработке постоянного задающего воздействия
consttg и постоянную обратно пропорциональную K ошибку
constуст при отработке линейно изменяющегося воздействия
tatg
Рис 1 Схема САУ Рис 2 Схема САУ с включенным в прямой
тракт интегрирующим звеном
Охватим неизменяемую часть системы sW местной нееди-
ничной положительной обратной связью с коэффициентом усиления
осK (рис 3) Тогда эквивалентная передаточная функция sWэкв
неизменяемой части системы равна
10011
01
1
aKbsaKbsaKbsb
asasa
sWK
sWsW
ососm
mосmn
n
mm
mm
осэкв
(4)
Если коэффициент усиления K выбрать из условия
a
bKос
0
0
то свободный коэффициент (b0 - Koca0) полинома знаменателя sWэкв
обратится в нуль и sWэкв приобретает интегрирующие свойства
11
11
0
1
1
aKbsaKbsbs
asasasW
ос
m
mосm
n
n
m
m
m
mэкв
g(t) y(t)ε(t)
K W(s)-
g(t) y(t)
Ks W(s)-
ε(t)
51
Следовательно замкнутая система становится астатической (с
астатизмом 1-го порядка) Отсюда 0c =0 а коэффициент 1c будет
равен
aKb
bc
ос 11
01
ε(t)g(t) y(t)
W(s)-
Kос
Wэкв(s)
+
Рис 3 Схема САУ с местной неединичной обратной связью
32 Коррекция динамических свойств САУ
Улучшение динамических свойств САУ заключается в увеличе-
нии быстродействия САУ (уменьшении времени регулирования tрег)
уменьшении перерегулирования (см рис 4) а также увеличении
запасов устойчивости по фазе и по модулю При этом
h
hh
уст
устmax100
где maxh - максимальное значение переходной характеристики за-
мкнутой САУ th
устh - установившееся значение th
Время регулирования tрег - минимальная величина при которой удо-
влетворяется условие
устрег hth
где - заданная величина ошибки (обычно =005 устh )
52
h(t)
tрег
hустhmax
2δ
Рис 4 Быстродействие и перерегулирование САУ
Одним из эффективных средств достижения этой цели является
уменьшение отрицательных фазовых сдвигов в прямом тракте систе-
мы путем охвата неизменяемой части системы местными отрицатель-
ными обратными связями
На рис 5 R(s) представляет собой передаточную функцию регу-
лятора САУ которая считается заданной
ε(t)g(t) y(t)
W(s)-
Kос
Wэкв(s)
-
R(s)
u(t)
Рис 5 Схема САУ с местной обратной связью и регулятором
Пусть неизменяемая часть системы представляет собой аперио-
дическое звено первого порядка те
sT
K)s(W
10
0
Тогда передаточная функция sWэкв эквивалентного объекта
управления равна
sT
K
sWK
sWsW
экв
экв
осэкв
11
где зквK и эквT - коэффициент усиления и постоянная времени
эквивалентного объекта равные
53
KK
KK
осэкв
0
0
1
KK
TT
осэкв
0
0
1 (5)
Из (5) следует что соответствующим выбором осK постоянную
времени эквT эквивалентного объекта можно уменьшить в (1+ 0KKос )
раз по сравнении с постоянной времени 0T объекта без местной об-
ратной связи Тем самым уменьшаются отрицательные фазовые сдви-
ги вносимые прямым трактом системы что приводит к увеличению
запасов устойчивости системы При этом однако уменьшается в
(1+ 0KKос ) раз коэффициент усиления эквK эквивалентного объекта
по сравнению с коэффициентом усиления 0K объекта без местной
обратной связи Это нежелательно так как приводит к уменьшению
быстродействия системы вследствие уменьшения общего коэффици-
ента усиления прямого тракта системы В этом случае с целью обес-
печения необходимого быстродействия системы увеличивают коэф-
фициент усиления регулятора
4 Краткое описание MATLAB
Лабораторная работа выполняется в программе математического
моделирования MATLAB Программа MATLAB включает в себя пакет
прикладных программ для решения технических задач и одноименный
язык программирования используемый в этом пакете
Основными компонентами системы являются базовая система
MATLAB и пакет моделирования систем Simulink Остальные пакеты
расширения разбиты на 4 категории ndash расширения Extension MATLAB и
Extension Simulink а также комплексы пакетов расширения Blockset и
Toolbox
Раздел MATLAB Extension содержит средства для подготовки ис-
полняемых приложений MATLAB (с подключаемыми библиотеками и
без них)
Раздел Toolbox (инструментальные средства) содержит самое
большое число пакетов расширений системы MATLAB такие как
laquoControl systemraquo laquoDatabaseraquo laquoFuzzy logicraquo laquoWaveletraquo и тд
54
В разделе Blockset расположено несколько пакетов относящихся к
главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink такие как
laquoDSPraquo laquoFixed-Pointraquo laquoNonlinear control designraquo и laquoPower systemsraquo
В разделе Extension Simulink имеется ряд средств предназначен-
ных для моделирования в реальном масштабе времени и событийно-
управляемом моделировании
5 Задание на лабораторную работу
Выполнить исследование способов коррекции статических и
динамических свойств САУ Определить время регулирования и пе-
ререгулирования в исходной и скорректированной системах а также
для динамических свойств САУ определить запасы устойчивости в
исходной системе и найти экспериментально значение Kос обеспечи-
вающее в системе заданные показатели качества и запасы устойчиво-
сти Вариант задания назначается преподавателем
Таблица 1
Варианты заданий
варианта
Параметры
1
2
3
4
5
6
7
8
a 05 10 15 20 25 30 35 40
K0 1 2 3 4 5 6 7 8
T c 03 04 05 06 07 08 09 10
ξ 06 07 08 08 07 09 05 04
уст 0 0 005 0 010 007 0 0
tрег c le 13 15 20 25 30 35 40 40
le 0 10 10 5 5 5 0 0
В качестве исходных САУ выступают системы изображенные
на рис 6 и 7
55
ε(t)g(t) y(t)
W(s)-
g(t) y(t)
R(s) W(s)-
ε(t) u(t)
Рис 6 САУ с отрицательной Рис 7 САУ с отрицательной обратной
обратной связью связью и регулятором
6 Методика выполнения задания
При исследовании способов коррекции статических свойств
САУ в качестве исходных данных выступает передаточная функция
sW неизменяемой части системы вида
1222
0
sTsT
KsW (6)
и задающие воздействия вида ttg 1 в соответствии с таблицей 1
В процессе выполнения этой части работы необходимо
1) путем моделирования в системе MATLAB исходной САУ
(рис 6) получить графики ttytg
2) сравнить полученную таким образом экспериментальную ве-
личину t с теоретической величиной вычисленной по формуле (1)
3) применяя описанные в теоретической части методических
указаний способы коррекции статических свойств (см п 31) обес-
печить требуемую статическую ошибку εуст системы при отработке
задающего воздействия ttg 1
4) получить графики ty и t в скорректированной системе
для 1 ttg
5) сравнить время регулирования регt и перерегулирование в
исходной и скорректированной системах при 1 ttg
При исследовании рассмотренного способа коррекции динами-
ческих свойств САУ (см п 32) в качестве исходных данных высту-
пают передаточная функция sW неизменяемой части системы
вида (6) и передаточная функция регулятора вида
s
KsR
рег
56
Задающее воздействие ttg 1
В процессе выполнения данной части работы необходимо
1) получить путем моделирования в MATLAB графики ty t
в системе (рис 7)
2) определить время регулирования регt и перерегулирование
а также запасы устойчивости в исходной системе
3) применяя описанный выше способ коррекции динамических
свойств САУ найти экспериментально (путем последовательного пе-
ребора) значение осK обеспечивающее в системе заданные заданием
показатели качества ( регt ) и запасы устойчивости (при необхо-
димости увеличить коэффициент регK )
4) получить графики ty t а также ЛАХ и ЛФХ разомкну-
той системы в скорректированной САУ
7 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) титульный лист
б) структурные схемы исследуемых систем
в) полученные графики и характеристики
г) значения полученные экмпериментально которые
обеспечивают заданные показатели качества и запасы устойчивости
д) выводы обощающие проделанные эксперименты для
коррекции статических и динамических свойств САУ
е) ответы на контрольные вопросы
Контрольные вопросы 1 Дать определение статической и астатической САУ
2 Какими структурными свойствами системы определяется по-
рядок ее астатизма
3 Какой из двух приведенных выше способов придания системе
свойств астатизма 1-го порядка наиболее предпочтителен на
практике
4 Назовите основные показатели качества САУ Поясните их
смысл
5 В чѐм суть исследуемого способа коррекции динамических
свойств САУ
57
6 Назвать другие способы коррекции динамических свойств
САУ
7 Чем вызваны отрицательные фазовые сдвиги в неизменяемой
части САУ
58
Лабораторная работа 6
МЕТОД КОРНЕВОГО ГОДОГРАФА
1 Цель работы
Целью работы является построение корневого годографа и ис-
следование динамики системы с использованием автоматизирован-
ных средств моделирования на ПК ndash MATLABSIMULINK
2 Задачи работы
ndash Закрепление углубление и расширение знаний студентов при
исследование динамики системы
ndash Овладение навыком построения корневого годографа
ndash Приобретение умений и навыков работы с программой мате-
матического моделирования MATLAB
3 Теоретическая часть
Корневым годографом (КГ) называется совокупность траекто-
рий перемещения всех корней характеристического уравнения за-
мкнутой системы при изменении какого-либо параметра этой систе-
мы
Обычно метод КГ позволяет находить полюса и нули ПФ за-
мкнутой системы располагая полюсами и нулями разомкнутой си-
стемы при изменении коэффициента усиления разомкнутой системы
K
ПФ разомкнутой системы Wp(s) представим в следующем виде
)(
)(
1
1
0
n
ii
m
jj
p
ss
ssKC
sW (1)
где 0js ndash нули ПФ sWp )1( mj
is ndash полюса ПФ sWp
)1( nj n и m ndash порядки знаменателя и числителя C ndash коэффици-
ент представления (отношение коэффициентов при старших членах
числителя и знаменателя)
59
При замыкании системы с ПФ sWp единичной отрицатель-
ной обратной связью ПФ замкнутой системы sWз принимает вид
)(1
)(
sW
sWsW
p
pз
(2)
Из выражения (2) следует что нули ПФ замкнутой системы рав-
ны нулям ПФ разомкнутой системы
Для нахождения полюсов рассмотри выражение
01 sWp (3)
в соответствии с выражением (1) имеем
n
i
m
jjin
ii
m
jj
ssKCss
ss
ssKC
1 1
0
1
1
0
)()(01
)(
)(
(4)
На основании выражения (4) можно сказать что при K = 0 корни
характеристического уравнения совпадают с полюсами а при K = infin ndash
с нулями При изменении K от 0 до infin траектории корней начинаются
в полюсах и заканчиваются в нулях Обычно полюсов больше чем
нулей В этом случаем mn ветвей корневого годографа стремятся к
infin
Для определения полюсов замкнутой системы с отрицательной
обратной связью необходимо решить уравнение (его называют ос-
новным уравнением метода КГ)
1sWp (5)
Так как sWp является функцией комплексного переменного
s то уравнение (5) распадается на два уравнения уравнение модулей
1)( sWp (6)
60
и уравнение аргументов (фаза вектора -1 есть нечетное число π)
210)12()(arg sWp (7)
Как известно при умножении комплексных чисел их аргументы
складываются а при делении ndash вычитаются Поэтому исходя из вы-
ражения (1) уравнение (7) имеет наглядный геометрический смысл
Пусть точка s ndash полюс замкнутой системы Если провести в s
вектора из нулей sWp (обозначим аргументы этих векторов 0j ) и
вектора из всех полюсов sWp (обозначим аргументы этих векторов
i ) то уравнение (7) можно записать в следующем виде
m
j
n
iij
1 1
0 210)12( (8)
Углы q отсчитываются от положительного направления дей-
ствительной оси Знак угла laquo+raquo соответствует повороту против часо-
вой стрелки знак угла laquo-raquo соответствует повороту по часовой стрел-
ке
Таким образом любая точка КГ должна удовлетворять уравне-
нию (8) из которого следует что конфигурация КГ не зависит от ко-
эффициента усиления K но каждому конкретному значению K одно-
значно соответствуют точки на КГ
При умножении комплексных чисел их модули перемножаются
а при делении ndash делятся Поэтому на основании (6) можно записать
1
1
1
0
n
ii
m
jj
l
lKC
(9)
где 0jl ndash модуль (длина) вектора проведенного из j-нуля в точку s
КГ il ndash модуль вектора проведенного из i-полюса в ту же точку s
61
Таким образом траектории корней строятся только по уравне-
ниям фаз а уравнение модулей используется затем для нахождения
K
Сущность метода КГ заключается в том чтобы узнать каким
должен быть коэффициент усиления разомкнутой системы чтобы
было обеспечено желаемое положение корней замкнутой системы
Корневой годограф системы с отрицательной обратной связью
обладает следующими основными свойствами
1 Ветви КГ непрерывны и расположены на комплексной плос-
кости симметрично относительно действительной оси
2 Число ветвей КГ равно порядку системы n Ветви начинают-
ся в n полюсах разомкнутой системы при K=0 При возрастании K от
0 до infin полюса замкнутой системы двигаются по ветвям КГ
3 mветвей КГ при возрастании K от 0 до infin заканчиваются в m
нулях )(sWp а )( mn ветвей при K стремящемся к infin удаляются
от полюсов вдоль асимптот
4 При расположении ветвей корневого годографа в левой полу-
плоскости s САУ устойчива При пересечении ветвей КГ мнимой оси
слева направо САУ становится неустойчивой Пусть при K=Kкр
пере-
сечение КГ с мнимой осью произойдет в некоторой точке iωкр
Назо-
вем это значение коэффициента усиления критическим Kкр
а вели-
чину iωкр
критической угловой частотой на которой система стано-
вится неустойчивой
4 Краткое описание MATLAB
Лабораторная работа выполняется в программе математического
моделирования MATLAB Программа MATLAB включает в себя пакет
прикладных программ для решения технических задач и одноименный
язык программирования используемый в этом пакете
Основными компонентами системы являются базовая система
MATLAB и пакет моделирования систем Simulink Остальные пакеты
расширения разбиты на 4 категории ndash расширения Extension MATLAB и
Extension Simulink а также комплексы пакетов расширения Blockset и
Toolbox
Раздел MATLAB Extension содержит средства для подготовки ис-
полняемых приложений MATLAB (с подключаемыми библиотеками и
без них)
62
Раздел Toolbox (инструментальные средства) содержит самое
большое число пакетов расширений системы MATLAB такие как
laquoControl systemraquo laquoDatabaseraquo laquoFuzzy logicraquo laquoWaveletraquo и тд
В разделе Blockset расположено несколько пакетов относящихся к
главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink такие как
laquoDSPraquo laquoFixed-Pointraquo laquoNonlinear control designraquo и laquoPower systemsraquo
В разделе Extension Simulink имеется ряд средств предназначен-
ных для моделирования в реальном масштабе времени и событийно-
управляемом моделировании
5 Корневой годограф в MATLAB
В системе MATLAB существует команда zpk для преобразова-
ния модели заданной ПФ в модель заданную нулями полюсами и
обобщенными коэффициентами передачи (zpk-форма)
Пример
gtgt w=tf([10][2 2 3 1 0])
Transfer function
10
-------------------------------
2 s^4 + 2 s^3 + 3 s^2 + s
gtgt w1=zpk(w)
Zeropolegain
5
----------------------------------------------
s (s+03966) (s^2 + 06034s + 1261)
Для работы с корневым годографом удобно использовать гра-
фический интерфейс laquoSISO-Design Toolraquo предназначенный для ана-
лиза и синтеза одномерных линейных систем автоматического управ-
ления (SISO ndash Single Input Signal Output)
Запуск SISO-Design Tool осуществляется командой
gtgt sisotool
63
В появившемся окне графического интерфейса необходимо ис-
пользовать команду laquoFileImportraquo для загрузки данных из рабочего
пространства MATLAB в результате которой появляется диалоговое
окно Import System Data (рис 1)
Рис 1 Диалог для ввода параметров модели
После импортирования данных можно исследовать изменение
временных и частотных характеристик замкнутой системы при изме-
нении K Обычно при этом требуется определить условия неустойчи-
вости замкнутой САУ Определить Kкр
и iωкр
На рис 2 показано окно sisotool для описанной выше модели w1
Двигая красным курсором по КГ до пересечения ветвей с мнимой
осью можно определить значения Kкр
В данном случае Kкр
asymp 01
Значение iωкр
соответствует мнимой координате пересечения КГ
мнимой оси Просмотреть это значение можно в нижней части ин-
терфейса или выбрать меню laquoView Closed-Loop Polesraquo
64
Рис 2 Основное окно SISO-Design Tool
6 Задание на лабораторную работу
Построить КГ в соответствии с вариантом из табл 1 при помо-
щи графического интерфейса sisotool
Исследовать динамику замкнутой системы при различных зна-
чениях коэффициента усиления разомкнутой системы K в том числе
ndash запасы устойчивости в частотной области
ndash параметры переходного процесса во временной области
Таблица 1
Варианты передаточных функций
Значения параметров Передаточная функция
разомкнутой системы
1 T = 01 ζ = 1
)12( 22 sTsTs
K
2 T = 005 ζ = 0707
3 T = 003 ζ = 01
4 T = 008 ζ = 05
5 T = 001 ζ = 015
65
Окончание табл 1
Значения параметров Передаточная функция
разомкнутой системы
6 T1 = 003 T2 = 05 T3 = 01 T4 = 005
)1)(1)(1(
)1(
432
1
sTsTsTs
sTK
7 T1 = 005 T2 = 04 T3 = 008 T4 = 0033
8 T1 = 02 T2 = 045 T3 = 01 T4 = 005
9 T1 = 05 T2 = 025 T3 = 01 T4 = 002
10 T1 = 01 T2 = 025 T3 = 01 T4 = 005
Вариант задания назначается преподавателем
7 Методика выполнения задания
Порядок выполнения лабораторной работы
1 Задать передаточную функцию в MATLAB в соответствии с
вариантом коэффициент K задать любым положительным числом
2 Запустить SISO-Design Tool и осуществить ввод данных
Построить КГ
3 По КГ определить значения коэффициента K когда система
будет устойчивой на границе устойчивости и неустойчива
4 Выбрать значение коэффициента K таким образом чтобы си-
стемы была устойчива и определить запас устойчивости в частотной
области и параметры переходного процесса во временной области
8 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) титульный лист
б) передаточную функцию и этапы построения КГ
в) анализ результатов построения КГ
г) выводы по проделанной работе
д) ответы на контрольные вопросы
Контрольные вопросы 1 Дать определение КГ
2 Что обычно позволяет находить метод КГ
3 В чем заключается сущность метода КГ
4 Что можно определить по КГ
66
Критерии результативности лабораторного практикума
Лабораторная работа считается выполненной если студент
ndash выполнил все указанные задания
ndash представил отчет соответствующий всем требованиям к его
содержанию и оформлению
ndash владеет терминологией и материалом лабораторной работы
ndash способен использовать программное средство математическо-
го моделирования MATLAB
ndash способен предоставить и рассказать результаты выполненной
работы на ПК
ndash может дать пояснения к отчету и ответить на контрольные
вопросы
Список литературы
1 Александров АГ Частотная теория автоматического управле-
ния учебное пособие ndash Электросталь ЭПИ МИСиС 2010
2 Борисевич АВ Теория автоматического управления элементар-
ное введение с применением MATLAB ndash СПб Изд-во Политехн ун-
та 2011
3 Федоров ВЛ Бубнов АВ Теория автоматического управления
учебное пособие ndash Омск Изд-во ОмГТУ 2010
4 Павловская ОО Чернецкая ИВ Теория автоматического
управления учебное пособие ndash Челябинск Изд-во ЮУрГУ 2010
67
Составители ЛЯНЦЕВ Олег Дмитриевич КАЗАНЦЕВ Андрей Валерьевич
ИССЛЕДОВАНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК СИСТЕМ
АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
Лабораторный практикум
по дисциплине
laquoТеория управленияraquo
Подписано в печать Формат 60х84 116 Бумага офсетная Пе-
чать плоская Гарнитура Times New Roman Усл печ л 56 Уч-изд л
55 Тираж 100 экз Заказ
ФГБОУ ВПО Уфимский государственный авиационный технический
университет
Центр оперативной полиграфии УГАТУ
450000 Уфа-центр ул К Маркса 12
21
11212111 xrxaxa (1)
22222121 xrxaxa (2)
здесь r1 и r2 ndash входные переменные а x1 и x2 ndash выходные переменные
Сигнальный граф соответствующий уравнениям (1) и (2) изображен
на рис 6 Уравнения (1) и (2) можно записать в ином виде
1122111 )()1( raxax
2222211 )1()( raxax
Решая последнюю систему по правилу Крамера получим
212
122
21122211
2121221
)1(
)1)(1(
)1(r
ar
a
aaaa
rarax
121
211
21122211
1212112
)1(
)1)(1(
)1(r
ar
a
aaaa
rarax
В этих решениях знаменатель равен определителю составлен-
ному из коэффициентов при неизвестных и его можно записать так
21122211221121122211 1)1)(1( aaaaaaaaaa
В данном случае знаменатель равен единице минус коэффици-
енты передачи отдельных контуров a11 a22 и a12a21 плюс произведе-
ние коэффициентов передачи двух некасающихся контуров a11 и a22
Контуры a22 и a12a21 являются касающимися так же как и контуры a11
и a21a12
В решении для x1 по отношению ко входу r1 числитель равен
единице умноженной на (1-a22) те значение определителя некаса-
ющегося пути от r1 к x1 В решении для x1 по отношению ко входу
r2числитель просто равен a12 тк этот путь касается всех контуров
Числитель выражения x2 симметричен соответствующему числителю
для x1
В общем случае линейная зависимость Tij между независимой
переменной xi (часто называемой входной переменной) и зависимой
переменной xj определяется по формуле Мейсона
22
k
ijkijk
ij
P
T
где Pijk ndash коэффициент передачи k-го пути от переменной xi к пере-
менной xj Δ ndash определитель графа Δijk ndash дополнительный множитель
для пути Pijk а суммирование производится по всем возможным k пу-
тям от xi до xjДополнительный множитель Δijk равен определителю
всех касающихся контуров при удалении k-го пути
Определитель находится как
QM
qm
LSR
lsrlsrqm
K
kk LLLLLL
11
1111
1
где Kk kL
1ndash сумма коэффициентов передачи всех отдельных конту-
ров QM
qm qmLL
11ndash сумма произведений всех возможных комбина-
ций из двух некасающихся контуров LSR
lsr lsr LLL
111ndash сумма про-
изведений всех возможных комбинаций из трех некасающихся кон-
туров
Таким образом правило вычисления Δ через значение L1 L2
L3hellipLN таково Δ = 1- (сумма коэффициентов передачи всех отдель-
ных контуров) + (сумма произведений всех возможных комбинаций
из 2 некасающихся контуров) ndash (сумма произведений всех возмож-
ных комбинаций из 3 некасающихся контуров) +hellip
Формула Мейсона часто используется в несколько упрощенном
виде для определения связи между выходной переменной Y(s) и
входной переменной X(s) те
)()(
)( 1
N
iiiP
sWsX
sY
где Pi ndash i-й путь от входа к выходу N ndash количество путей Δ ndash опреде-
литель графа специальный полином который определенным образом
характеризует совокупность всех замкнутых цепей системы содер-
жащих обратные связи и вычисляется как сумма передаточных
функций разомкнутых контуров этих цепей и произведений
23
передаточных функций разомкнутых контуров пар троек и тд не со-
прикасающихся друг с другом цепей с обратными связями Δi ndash до-
полнительный множитель для пути составляется по правилу анало-
гичному Δ но только для цепей с обратными связями не соприкаса-
ющихся с i-м прямым каналом
Дополнительный множитель для i-го пути равен определителю
графа в котором приравнены нулю коэффициенты передачи конту-
ров касающихся этого пути
Рассмотрим пример получения ПФ многоконтурной системы с
использованием формулы Мейсона для структуры на рис 1 которая
соответствует графу показанному на рис 7
X(s) Y(s)W1
W2
W3 W5 W6
W4 -W7
Рис 7 Описание системы управления сигнальным графом
От входа к выходу ведут два пути
65311 WWWWP
65322 WWWWP
В графе есть 2 контура
5431 WWWL
7652 WWWL
Контур L1 пересекает контур L2 поэтому определитель графа
вычисляется по формуле
)(1 21 LL
Контуры в этом примере пересекают все пути поэтому допол-
нительные множители путей равны
24
11
12
Окончательно можно записать
1
)(543765
65326531
2
1
WWWWWW
WWWWWWWWP
sW iii
Таким образом использование сигнальных графов и применение
формулы Мейсона позволяет алгоритмизировать процесс упрощения
структурной схемы
Третий способ для получения ПФ заключается в составлении
системы уравнений Необходимо обозначить выходы сумматоров и
составить систему уравнений на основе этих обозначений На рис9
представлена исходная схема с обозначенными сумматорами
W1
W2 W3
W4
W5 W6
W7
+
+
+
-
Z H
u y
Рис 9 Исходная схема САУ с обозначенными сумматорами
Опишем все сигналы в системе в виде уравнений
)( 4521 HWWuWWZ
73 yWZWH
65 HWWy
Подставив последовательно значения сигналов найдем ПФ
))(( 734521 yWWHWWuWWH
После преобразования получим
25
1
)(
543
73231
WWW
yWuWWWWH
Подставим полученное значение H в уравнение y
1
))((
543
6573231
WWW
WWyWuWWWWy
Получим ПФ вида
1
)(543765
65326531
WWWWWW
WWWWWWWW
u
ypW
4 Краткое описание MATLAB
Лабораторная работа выполняется в программе математического
моделирования MATLAB Программа MATLAB включает в себя пакет
прикладных программ для решения технических задач и одноименный
язык программирования используемый в этом пакете
Основными компонентами системы являются базовая система
MATLAB и пакет моделирования систем Simulink Остальные пакеты
расширения разбиты на 4 категории ndash расширения Extension MATLAB и
Extension Simulink а также комплексы пакетов расширения Blockset и
Toolbox
Раздел MATLAB Extension содержит средства для подготовки ис-
полняемых приложений MATLAB (с подключаемыми библиотеками и
без них)
Раздел Toolbox (инструментальные средства) содержит самое
большое число пакетов расширений системы MATLAB такие как
laquoControl systemraquo laquoDatabaseraquo laquoFuzzy logicraquo laquoWaveletraquo и тд
В разделе Blockset расположено несколько пакетов относящихся к
главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink такие как
laquoDSPraquo laquoFixed-Pointraquo laquoNonlinear control designraquo и laquoPower systemsraquo
В разделе Extension Simulink имеется ряд средств предназначен-
ных для моделирования в реальном масштабе времени и событийно-
управляемом моделировании
26
5 Структурные преобразования в MATLAB
В пакете MATLAB имеется ряд функций с помощью которых
можно выполнять структурные преобразования (используется экви-
валентная схема)
ndash series(w1w2) ndash последовательное соединение звеньев
ndash parallel(w1w2) ndash параллельное соединение звеньев
ndash feedback(w1w2) ndash включение звена w2 в контур отрицательной об-
ратной связи к w1
ndash feedback(w1w2sign) ndash включение звена w2 в контур обратной связи
звена w1 с указанием знака + или ndash (очевидно feedback(w1w2)=
=feedback(w1w2-1))
Пример
Даны две передаточные функции
22
221
ss
sW
22
322
2
2
ss
ssW
Опишем ПФ введя в окне команд MatLab следующие команды
gtgt w1=tf([1 2][1 2 2])
gtgt w2=tf([1 2 3][1 2 2])
Выполним структурные преобразования для данных ПФ
gtgt w2=series(w1w2)
Transfer function
s^3 + 4 s^2 + 7 s + 6
------------------------------------
s^4 + 4 s^3 + 8 s^2 + 8 s + 4
gtgt w3=parallel(w1w2)
Transfer function
s^4 + 5 s^3 + 13 s^2 + 16 s + 10
----------------------------------------
s^4 + 4 s^3 + 8 s^2 + 8 s + 4
27
gtgt w4=feedback(w1w2)
Transfer function
s^3 + 4 s^2 + 6 s + 4
----------------------------------------
s^4 + 5 s^3 + 12 s^2 + 15 s + 10
Для проверки правильности проведенных преобразований необ-
ходимо собрать схему исходной САУ и соответствующую ей эквива-
лентную схему в MATLAB Simulink
Исходная схема САУ собирается как модель из соответствую-
щих элементов таких как laquoTransfer Fncraquo laquostepraquo laquosignal builderraquo
laquoscoperaquo и laquosumraquo Все эти элементы находятся в пакете laquoSimulinkraquo и
представлены в виде блоков Для того чтобы создать новую модель
необходимо нажать laquoFile-gtNew-gtModel (Simulink)raquo после откроется
окно модели в которую нужно будет добавлять элементы из библио-
теки для доступа к ней необходимо нажать на значок laquoLibrary Brows-
erraquo
Описание используемых элементов из пакета Simulink
1 Transfer Fnc ndash передаточная функция
2 Step ndash единичный скачок (функция Хэвисайда) в блоке необходи-
мо задать время начала перехода (step time)
3 Signal builder ndash блок для моделирования сигнала по заданным па-
раметрам (можно построить единичный скачок и импульсную функ-
цию)
4 Scope ndash виртуальный осциллограф отображает получившийся гра-
фик открывается двойным щелчком левой клавиши мыши и для кор-
рекции масштаба необходимо нажать правой кнопкой по графику и
из выпадающего меню выбрать laquoautoscaleraquo
5 Sum ndash сумматор в параметрах задается число сигналов соответ-
ственно laquo+raquo - положительный laquondashraquo - отрицательный
Так же нужно задать время работы модели для этого необходи-
мо выбрать laquoSimulation-gtSimulation parametersraquo и установить пара-
метр laquostop timeraquo на нужное значение и после необходимо запустить
модель на выполнение нажав на значок laquoStart simulationraquo Пример
модели составленной в MATLAB представлен на рис 10
28
Рис 10 Пример схемы САУ с блоком laquosignal builderraquo
Задача считается решенной если при подаче на вход обоих
схем одинаковых тестовых воздействий (единичный скачок импуль-
сная функция) наблюдаются одинаковые выходные сигналы
6 Задание на лабораторную работу
Выполнить преобразование структурной схемы САУ в эквива-
лентную передаточную функцию Составить модель исходной схемы
САУ в MATLAB С помощью ряда функций MATLAB (структурные
преобразования) составить эквивалентную схему Вариант задания
назначается преподавателем
7 Методика выполнения задания
Порядок выполнения работы
1 Выполнить преобразование заданного варианта структурной
схемы САУ (см табл 2) в эквивалентную ПФ тремя способами
ndash непосредственно используя правила табл 1
ndash используя представление в виде сигнального графа и формулу
Мейсона
ndash составив систему уравнений и решив еѐ
2 В качестве звеньев W1W2W3 использовать передаточные
функции звеньев представленных в табл 2
3 Составить модель исходной схемы САУ в MATLAB постро-
ить реакцию получившейся модели на ступенчатое и импульсное
воздействия
4 С помощью ряда функций MATLAB (структурные преобразо-
вания) составить эквивалентную схему и построить реакцию на сту-
пенчатое и импульсное воздействия
5 Подготовить ответы на контрольные вопросы
29
Таблица 2
Варианты структур САУ
Исходная схема
Передаточные
функции
1 W1
W3
W2
-
+
-
+
u y
+
1
31
sW
2
442
s
sW
12
133
s
sW
2 W1
W3
W2
-
+
-
+
u y
+ +
3 W3
W2
W1
-
+
-
+
u y
+ +
4 W3
W1
W2
+
+
-
+
u y
+ +
1
21
sW
2
12
sW
12
13
s
sW
5
W1
W3
W2
-
+
-
+
u y
+ +
6
W1
W3
W2
-
+
-
+
u y
+
62
31
sW
2
52
sW
1
23
s
sW
7
W1
W3
W2
-
+
-
+
u y
+ +
8
W1
W2
W3
-
+
-
+
u y
+ +
30
8 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) описание всех этапов преобразования исходной схемы и по-
лучающихся промежуточных результатов выполненными тремя спо-
собами моделирование реакции схемы на типовое воздействие (ска-
чок) до и после преобразования
б) сигнальный граф системы описание путей контуров расчет
ПФ по формуле Мейсона
в) решение составленной системы уравнений
г) схема модели и протокол команд MATLAB
д) графики переходных процессов при подаче на вход исходной
и эквивалентной схемы типовых тестирующих воздействий (скачок
импульс)
е) ответы на контрольные вопросы
Контрольные вопросы
1 Что называется структурной схемой Какие задачи можно
решить с еѐ помощью
2 Как может быть составлена структурная схема
3 Что позволяет алгоритмизировать процесс упрощения струк-
турной схемы Поясните на конкретном примере
31
Лабораторная работа 3
ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
ДИНАМИЧЕСКИХ ЗВЕНЬЕВ
1 Цель работы
Целью работы является изучение частотных характеристик ти-
повых динамических звеньев с использованием автоматизированных
средств моделирования на ПК ndash MATLAB SIMULINK
2 Задачи работы
ndash Закрепление углубление и расширение знаний студентов при
исследовании частотных характеристик динамических звеньев
ndash Приобретение умений и навыков работы с программой мате-
матического моделирования MATLAB
ndash Выработка способности логического мышления осмысление
полученных данных частотных характеристик
3 Теоретическая часть Сущность метода частотных характеристик заключается в том
что на вход исследуемой системы подается гармонический сигнал (си-
нусоидальные колебания) в широком диапазоне частот Реакция си-
стемы при разных частотах позволяет судить о ее динамических
свойствах
Пусть входной сигнал системы имеет амплитуду а и частоту ω т е
описывается формулой
)sin( tax
Выходной сигнал будет иметь амплитуду А1 и отличаться от вход-
ного по фазе на величину ψ (фазовый сдвиг)
)sin(1 tAy
Таким образом можно рассчитать усиление по амплитуде
1
a
AA
32
Для каждой частоты входного сигнала ω будут свои А и ψ
Изменяя ω в широком диапазоне можно получить зависимость
А(ω) ndash амплитудную частотную характеристику (АЧХ) и ψ(ω) ndash фазо-
вую частотную характеристику (ФЧХ)
Главное достоинство метода частотных характеристик заключа-
ется в том что АЧХ и ФЧХ объекта могут быть получены экспери-
ментально Для этого необходимо иметь генератор гармонических
колебаний который подключается к входу объекта и измеритель-
ную аппаратуру для измерения амплитуды и фазового сдвига колеба-
ний на выходе объекта
Частотные характеристики САУ могут быть получены по ее ПФ
W(s) Для суждения о реакции звена на синусоидальный сигнал доста-
точно исследовать его реакцию на гармонический сигнал вида
)( tjejx
Тогда выходной сигнал определяется по соотношению
)()( ))(( tjeAjy
и частотная ПФ получается равной
)()(
)()( )(
jeA
jx
jyjW
Формально для получения частотной ПФ надо сделать в W(s)
подстановку s = jω и тогда полученная W(jω) является комплексным
выражением которое можно представить в виде
)()(
)()()(
22
11
jba
jbajW
Для нахождения вещественной и мнимой частей частотной пе-
редаточной функции необходимо умножить числитель и знаменатель
на сопряженную знаменателю величину а затем провести
разделение
33
)()()(
)()(
)()()()(
)()(
)()()()(
))()())(()((
))()())(()((
)()(
)()()(
)(
22
22
2112
22
22
2121
2222
2211
22
11
jeAjVU
ba
babaj
ba
bbaa
jbajba
jbajba
jba
jbajW
где
)()()()(22
22
21
2122
ba
baVUjWA
)(
)())(arg()(
2
2
1
1
a
barctg
a
barctg
U
VarctgjW
Графики функции )(U и )(V называют соответственно веще-
ственной и мнимой частотной характеристиками
В практических расчетах удобно применять графики частотных
характеристик построенных в логарифмическом масштабе ndash лога-
рифмические частотные характеристики (ЛЧХ)
Логарифмическая амплитудная частотная характеристика
(ЛАЧХ) определяется следующим выражением
)(lg20)( AL
Логарифмической фазовой частотной характеристикой
(ЛФЧХ) называется график зависимости )( построенный в лога-
рифмическом масштабе частот
Единицей L(ω) является децибел (дБ) а единицей логарифма ча-
стоты ndash декада Декадой называют интервал частот на котором часто-
та изменяется в 10 раз При изменении частоты в 10 раз говорят что
она изменилась на одну декаду Ось ординат при построении ЛЧХ про-
водят через произвольную точку а не через точку ω = 0 Частоте ω = 0
соответствует бесконечно удаленная точка lgω rarr ndash infin при ω rarr 0
Основное преимущество использования ЛЧХ заключается в том
что приближенные (асимптотические) ЛАЧХ типовых динамических
звеньев изображаются отрезками прямых
Пример Построим ЛЧХ апериодического звена первого
34
порядка
Передаточная функция звена
1
)(
Ts
ksW
Частотная передаточная функция
1)(
)1(
1)(
2
T
Tjk
Tj
kjW
1)(
1)( 22
T
kTV
T
kU
Следовательно АЧХ описывается формулой
1)(
)(2
T
kA
ФЧХ строится по формуле
)()( Tarctg
ЛАЧХ апериодического звена 1-го порядка
1)(lg20lg20)( 2 TkL
По этой формуле можно построить две асимптоты ndash прямые к
которым стремится ЛАЧХ при ω rarr 0 и при ω rarr infin Так при ω rarr 0 второе
слагаемое близко к нулю и этот участок ЛАЧХ представляет собой
горизонтальную прямую
lg20)( kL
При ω rarr infin получаем наклонную прямую
1)(lg20)( 2 TL
35
Для определения наклона этой прямой можно рассмотреть гра-
ницы декады
T
1 и
10
T
Изменение ЛАЧХ между этими точками
)(2011
lg20110
lg20)(
22
декдБT
TT
TL
ЛЧХ часто называют диаграммами Боде
4 Краткое описание MATLAB
Лабораторная работа выполняется в программе математического
моделирования MATLAB Она включает в себя пакет прикладных про-
грамм для решения технических задач и одноименный язык программи-
рования используемый в этом пакете
Основными компонентами системы являются базовая система
MATLAB и пакет моделирования систем Simulink Остальные пакеты
расширения разбиты на 4 категории ndash расширения Extension MATLAB и
Extension Simulink а также комплексы пакетов расширения Blockset и
Toolbox
Раздел MATLAB Extension содержит средства для подготовки ис-
полняемых приложений MATLAB (с подключаемыми библиотеками и
без них)
Раздел Toolbox (инструментальные средства) содержит самое
большое число пакетов расширений системы MATLAB такие как
laquoControl systemraquo laquoDatabaseraquo laquoFuzzy logicraquo laquoWaveletraquo и тд
В разделе Blockset расположено несколько пакетов относящихся к
главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink такие как
laquoDSPraquo laquoFixed-Pointraquo laquoNonlinear control designraquo и laquoPower systemsraquo
В разделе Extension Simulink имеется ряд средств предназначен-
ных для моделирования в реальном масштабе времени и событийно-
управляемом моделировании
36
5 Построение частотных характеристик в MATLAB В пакете MATLAB ЛЧХ объекта заданного с помощью ПФ
можно получить командой bode
Пример
gtgt w=tf([1 2][3 4 5])
gtgt bode(w)
Для нескольких вариантов передаточной функции можно исполь-
зовать вариант команды вида
gtgt bode(ww1w2)
Например построим диаграмму Боде при различных параметрах
колебательного звена (рис 1)
gtgt w=tf([1][2 03 1])
gtgt w1=tf([1][2 05 1])
gtgt w2=tf([1][2 01 1])
gtgt bode(ww1w2)
Рис 1 ЛЧХ колебательного звена
6 Задание на лабораторную работу
С помощью пакета MATLAB построить ЛЧХ каждого типового
звена Определить влияние коэффициентов входящих в описание
каждого звена на параметры ЛАЧХ и ЛФЧХ Вариант задания назна-
чается преподавателем
37
7 Методика выполнения задания
Порядок выполнения работы
1 Задать передаточную функцию типового динамического звена
используя параметры из табл 2 лабораторной работы 1
2 Построить диаграмму Боде при различных параметрах типо-
вого динамического звена
3 Определить влияние коэффициентов входящих в описание
каждого звена на параметры ЛАЧХ и ЛФЧХ в том числе
ndash как меняется ширина асимптотических участков ЛАЧХ и
ЛФЧХ
ndash как меняется положение точек пересечения осей ЛАЧХ
4 Написать вывод по влиянию коэффициентов на типовое звено
5 Выполнить пункты 1-4 для всех типовых звеньев
6 Подготовить ответы на контрольные вопросы
8 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) титульный лист
б) краткие теоретические сведения
в) передаточные функции и схемы моделирования исследуемых
звеньев
г) экспериментально полученные характеристики при вариации
параметров каждого звена
д) выводы обобщающие проделанные эксперименты по каждо-
му звену
ж) ответы на контрольные вопросы
Контрольные вопросы
1 Как пользуясь частотными характеристиками определить па-
раметры (коэффициенты передаточной функции) звена Пояс-
нить на конкретных примерах
2 Указать особенности построения ЛАХ и ЛФХ динамических
звеньев Что понимается под асимптотической ЛАХ звена
3 Как осуществляется построение АФХ динамического звена
38
Лабораторная работа 4
ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ СИСТЕМ
С ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ
1 Цель работы
Изучение особенностей практического использования алгебраи-
ческих и частотных критериев устойчивости для анализа динамики
линейных САУ с использованием автоматизированных средств моде-
лирования на ПК ndash MATLAB SIMULINK
2 Задачи работы
ndash Закрепление углубление и расширение знаний студентов при
исследовании устойчивости систем с обратной связью
ndash Приобретение умений и навыков работы с программой мате-
матического моделирования MATLAB
ndash Овладение новыми методами проверки устойчивости систем
с обратной связью
ndash Выработка способности логического мышления осмысления
полученных данных
3 Теоретическая часть
Устойчивость САУ является одним из основных условий ее ра-
ботоспособности и включает требование затухания во времени пере-
ходных процессов
Система является устойчивой если при ограниченном входном
сигнале еѐ выходной сигнал также является ограниченным Если
система устойчива то она противостоит внешним воздействиям а
выведенная из состояния равновесия возвращается снова к нему
Система с расходящимся переходным процессом будет неустойчивой и
неработоспособной
Необходимое и достаточное условие устойчивости заключается в
том чтобы все корни характеристического уравнения (полюсы пере-
даточной функции системы) имели отрицательные вещественные ча-
сти Иначе говоря условием устойчивости системы является распо-
ложение всех полюсов в левой комплексной полуплоскости Тогда все
полюсы будут давать затухающую реакцию
Выше сформулированное условие устойчивости справедливо как
39
для линейных так и для линеаризованных систем Однако в случае
нулевых или чисто мнимых корней характеристического уравнения
вопрос об устойчивости линеаризованной системы может быть ре-
шен только на основании исследования ее нелинейных уравнений
В конце XIX и первой половине XX в задача вычисления корней
характеристического уравнения высокого порядка вызывала боль-
шие проблемы Поэтому были предложены несколько косвенных
методов оценки устойчивости позволяющих обойтись без вычисле-
ния корней ndash по значениям коэффициентов характеристического
уравнения
Критерии устойчивости разделяют на алгебраические и частот-
ные В частности к алгебраическим критериям относится критерий
Гурвица к частотным критериям ndash критерий Найквиста
Критерий Гурвица является алгебраическим критерием и при-
меняется к коэффициентам характеристического уравнения замкнутой
системы
Пусть имеется характеристическое уравнение замкнутой
системы
0011
1 apapapa n
nn
n
Из коэффициентов характеристического уравнения составляют
матрицу по правилу
1 По диагонали записываются коэффициенты от 1na до 0a
2 Каждая строка дополняется коэффициентами с возрастающи-
ми индексами слева направо так чтобы чередовались строки с нечет-
ными и четными индексами
3 В случае отсутствия индекса а также если он меньше 0 или
больше п на его место пишется 0
Таким образом матрица Гурвица приобретает следующий вид
40
Критерий устойчивости формулируется так
Чтобы система была устойчивой необходимо и достаточно что-
бы при 0na были положительными все п диагональных определи-
телей получаемых из матрицы Гурвица
Первые три определителя матрицы Гурвица имеют следующий
вид
Таким образом критерий Гурвица позволяет судить об абсо-
лютной устойчивости но он не дает возможности оценивать относи-
тельную устойчивость по корням характеристического уравнения
Частотный критерий устойчивости Найквиста анализирует
АФЧХ разомкнутой системы
Пусть имеется АФЧХ разомкнутой системы W(jω)
Для нахождения вещественной и мнимой части частотной ха-
рактеристики нужно освободиться от мнимости в знаменателе путем
умножения числителя и знаменателя на комплексную величину со-
пряженную знаменателю а затем выполнить разделение на веще-
ственную и мнимую части W(jω) приобретает вид
)()()( jQPjW
Задаваясь различными значениями частоты можно найти мно-
жество пар )()( 11 jQP )()( 22 jQP )()( nn jQP
Затем по этим парам строится АФЧХ на комплексной плоскости
Основные свойства АФЧХ разомкнутой системы
1 Если разомкнутая система не имеет интегрирующих звеньев
то при ω = 0 ее АФЧХ начинается на вещественной оси в точке
Р(ω)=К (где К ndash коэффициент усиления разомкнутой системы) За-
канчивается АФЧХ в начале координат при ω rarr infin (рис 1 а)
2 Если разомкнутая система имеет одно интегрирующее звено то
ее АФЧХ начинается при ω = 0 в бесконечности на отрицательной мни-
мой полуоси а заканчивается в начале координат при ω rarr infin (рис 1 б)
41
Рис 1 АФЧХ разомкнутой системы
Критерий устойчивости Найквиста формулируется так
1 Если разомкнутая система устойчива или находится на гра-
нице устойчивости то для того чтобы замкнутая система была
устойчива необходимо и достаточно чтобы АФЧХ разомкнутой
системы при изменении частоты ω от 0 до infin не охватывала точку с ко-
ординатами (-1 j0)
2 Если разомкнутая система неустойчива а ее передаточная
функция имеет т полюсов справа от мнимой оси на комплексной
плоскости то для устойчивости замкнутой системы необходимо и до-
статочно чтобы АФЧХ разомкнутой системы при изменении частоты
ω от -infin до +infin охватывала т раз точку с координатами (-1 j0)
При использовании этого критерия нужно учитывать две
особенности
1 Если разомкнутая система находится на границе устойчиво-
сти то ее АФЧХ уходит в бесконечность Для проверки критерия Най-
квиста нужно мысленно соединить конец АФЧХ дугой бесконечно
большого радиуса с положительной вещественной полуосью
2 На практике АФЧХ может строиться только для положитель-
ных частот (0 lt ω lt +infin) При применении критерия Найквиста счита-
ется что ветвь АФЧХ для отрицательных частот симметрична отно-
сительно вещественной оси
Физический смысл критерия устойчивости Найквиста заключа-
ется в том что система будет неустойчива если фаза выходного сиг-
нала противоположна фазе входного сигнала а коэффициент усиле-
ния больше 1 Поэтому для анализа устойчивости можно использо-
вать не АФЧХ а ЛАХ системы (для минимально-фазовых систем)
Система устойчива если на частоте среза значение фазы не превы-
шает -π Соответственно для устойчивой системы можно рассматри-
вать на ЛФЧХ запас устойчивости по фазе ndash расстояние от значения
фазы на частоте среза до уровня -π и запас устойчивости по амплиту-
42
де ndash расстояние от оси частот ЛАЧХ до значения усиления на часто-
те где фаза становится равной -π
4 Краткое описание MATLAB
Лабораторная работа выполняется в программе математического
моделирования MATLAB Программа MATLAB включает в себя пакет
прикладных программ для решения технических задач и одноименный
язык программирования используемый в этом пакете
Основными компонентами системы являются базовая система
MATLAB и пакет моделирования систем Simulink Остальные пакеты
расширения разбиты на 4 категории ndash расширения Extension MATLAB и
Extension Simulink а также комплексы пакетов расширения Blockset и
Toolbox
Раздел MATLAB Extension содержит средства для подготовки ис-
полняемых приложений MATLAB (с подключаемыми библиотеками и
без них)
Раздел Toolbox (инструментальные средства) содержит самое
большое число пакетов расширений системы MATLAB такие как
laquoControl systemraquo laquoDatabaseraquo laquoFuzzy logicraquo laquoWaveletraquo и тд
В разделе Blockset расположено несколько пакетов относящихся к
главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink такие как
laquoDSPraquo laquoFixed-Pointraquo laquoNonlinear control designraquo и laquoPower systemsraquo
В разделе Extension Simulink имеется ряд средств предназначен-
ных для моделирования в реальном масштабе времени и событийно-
управляемом моделировании
5 Исследование устойчивости САУ в MATLAB
Для проверки устойчивости САУ по Гурвицу постройте матрицу
Гурвица и найдите ее детерминант (функция det) Затем последова-
тельно уменьшая размер матрицы найдите значения всех диагональ-
ных детерминантов Пример
gtgt А=[1 14 18 2 5 2 3 4 3]
А =
1 14 18
2 5 2
3 4 3
gtgt det(A)
ans = -119
43
gtgt А1=А(12 12)
А1 =
1 14
2 5
gtgt det(A1)
ans = -23
Для проверки устойчивости САУ по Найквисту сначала нужно
выяснить является ли устойчивой разомкнутая система
Пример Пусть дана передаточная функция разомкнутой
системы
13232
12234
pppp
pW
Рассмотрим реакцию на скачок
gtgt w=tf([2 1][2 3 2 3 1])
gtgt step(w18)
График переходного процесса показан на рис 2
Рис 2 Переходная реакция
Разомкнутая система неустойчива и согласно критерию Найкви-
ста надо чтобы АФЧХ разомкнутой системы охватывала точку (-1 j0)
44
столько раз сколько полюсов имеется справа от мнимой оси Для по-
строения АФЧХ достаточно вызвать команду nyquist
gtgt nyquist(w)
Диаграмма Найквиста показана на рис 3
Рис 3 Диаграмма Найквиста для неустойчивой системы
Как показывает рис3 АФЧХ ни разу не охватывает точку
(-1 j0) поэтому замкнутая система будет неустойчивой Частотный
критерий Найквиста можно использовать и в том случае когда рас-
сматривается не АФЧХ а ЛАЧХ разомкнутой системы замкнутая
минимально-фазовая система устойчива если при достижении ЛФЧХ
значения -π ЛАЧХ будет отрицательной
Используя ЛАЧХ и ЛФЧХ можно оценить запасы устойчивости
системы по амплитуде и по фазе с помощью команды
gtgt margin(w)
Пример
gtgt w=tf([10][2 2 3 1])
gtgt margin(w)
Соответствующий график показан на рис 4
45
Рис 4 Определение запасов устойчивости по амплитуде и по фазе
6 Задание на лабораторную работу
Выполнить исследование устойчивости замкнутой системы по за-
данной передаточной функции разомкнутой системы Определить запас
устойчивости по амплитуде и по фазе Вариант задания назначается
преподавателем
7 Методика выполнения задания
Порядок выполнения работы
1 Рассчитать передаточную функцию замкнутой системы по
приведенной в табл 1 разомкнутой системе
2 Определить устойчивость замкнутой системы используя кри-
терий Гурвица
3 Определить устойчивость замкнутой системы используя кри-
терий Найквиста
4 Определить запас устойчивости по амплитуде и по фазе ис-
пользуя ЛАЧХ и ЛФЧХ
5 Выполнить моделирование переходных процессов разомкну-
той и замкнутой систем
6 Подготовить ответы на контрольные вопросы
46
Таблица 1
Варианты заданий
Передаточная функция разомкнутой системы
1 1355
2234
ssss
W
2 110050
1234
ssss
W
3 11010
123
sss
W
4 122105
100234
ssss
W
5 1248
123
sss
W
6 1223
102345
sssss
W
7 11001010
323
sss
W
8 122
1023
sss
W
9 11010
123
sss
W
10 15050332
102345
sssss
W
8 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) титульный лист
б) краткие теоретические сведения
в) переходную функцию разомкнутой системы
г) расчет передаточной функции замкнутой системы
д) расчетные выражения для обоснования устойчивости замкну-
той системы по алгебраическому критерию Гурвица
е) годограф Найквиста разомкнутой системы на основании кото-
рого делается вывод об устойчивости замкнутой системы
ѐ) переходную функцию замкнутой системы
ж) проверку полученных результатов путем компьютерного моде-
лирования переходных процессов разомкнутой и замкнутой си-
стемы в MATLAB Simulink
з) выводы по всем полученным результатам
47
Контрольные вопросы
1 Как связана устойчивость линейной САУ с видом составля-
ющих ее свободного движения
2 Зависит ли устойчивость линейных САУ от амплитуды зада-
ющих воздействий или возмущений
3 Сформулируйте критерий устойчивости Гурвица укажите на
необходимое условие устойчивости линейных САУ вытекаю-
щее из этого критерия
4 Сформулируйте критерий Найквиста для случая САУ устой-
чивых в разомкнутом состоянии а также для астатических САУ
Что такое laquoзапасы устойчивости по фазе и по амплитудеraquo
5 Что называется структурной устойчивостью
48
Лабораторная работа 5
КОРРЕКЦИЯ СТАТИЧЕСКИХ И ДИНАМИЧЕСКИХ
СВОЙСТВ САУ
1 Цель работы
Целью работы является изучение способов обеспечения иско-
мых характеристик САУ с использованием автоматизированных
средств моделирования на ПК ndash MATLAB SIMULINK
2 Задачи работы
ndash Закрепление углубление и расширение знаний студентов при
обеспечении искомых характеристик САУ
ndash Приобретение умений по обеспечению точности (уменьшение
статической ошибки) САУ и выбору значений параметров регулято-
ра обеспечивающих желаемые динамические свойства САУ
ndash Приобретение умений и навыков работы с программой мате-
матического моделирования MATLAB
3 Теоретическая часть
Коррекция статических и динамических свойств САУ имеет
своей целью повышение статической и динамической точности отра-
ботки системой задающего воздействия (или парирование возмуща-
ющего воздействия) повышение запасов ее устойчивости Наиболее
распространенными способами коррекции свойств САУ является из-
менение коэффициента усиления ее разомкнутой части введение в
САУ новых звеньев (как правило интегрирующего или дифференци-
рующего типа) охват объекта управления местной обратной связью
31 Коррекция статических свойств САУ
Статические свойства системы определяются величиной устано-
вившейся ошибки )t(уст вызванной действием задающего воздей-
ствия и определяемой по формуле
22
210 2 dttgdcdttdgctgctуст (1)
где )(tg - входное воздействие 210 ccc - коэффициенты ошибок
Коэффициенты ошибок определяются по формулам
49
dssdcdssdcscs
mmmss 00100
где s - передаточная функция САУ по ошибке управления рав-
ная
sW
sраз
1
1
sWраз - передаточная функция разомкнутой САУ
Основными способами уменьшения статической ошибки систе-
мы являются
1) увеличение коэффициента усиления прямого тракта системы
2) введение в прямой тракт системы интегрирующих звеньев
3) охват объекта управления местной неединичной положитель-
ной обратной связью
Представим структурную схему системы в виде изображенном
на рис 1 где через sW обозначена передаточная функция неизме-
няемой части системы
bsbsb
asasasW
nn
nn
mm
mm
01
1
01
1
Здесь и далее полагается что KKKsW s 000 0 ndash из-
меняемый коэффициент усиления регулятора системы
Первые два коэффициента ошибок 0c и 1c определяется выраже-
ниями
KK
c0
01
1
(2)
KK
dssdWKc
s
20
01
1
(3)
Из (2) и (3) с учетом (1) вытекает что с увеличением K
статическая ошибка в системе уменьшается и наоборот с уменьше-
нием K статическая ошибка в системе увеличивается
Введем в прямой тракт системы одно интегрирующее звено
50
(рис 2) В этом случае c 00 01 1 KKc
Так как c 00 то система на рис 2 является астатической (с
астатизмом первого порядка) Система имеет нулевую статическую
ошибку при отработке постоянного задающего воздействия
consttg и постоянную обратно пропорциональную K ошибку
constуст при отработке линейно изменяющегося воздействия
tatg
Рис 1 Схема САУ Рис 2 Схема САУ с включенным в прямой
тракт интегрирующим звеном
Охватим неизменяемую часть системы sW местной нееди-
ничной положительной обратной связью с коэффициентом усиления
осK (рис 3) Тогда эквивалентная передаточная функция sWэкв
неизменяемой части системы равна
10011
01
1
aKbsaKbsaKbsb
asasa
sWK
sWsW
ососm
mосmn
n
mm
mm
осэкв
(4)
Если коэффициент усиления K выбрать из условия
a
bKос
0
0
то свободный коэффициент (b0 - Koca0) полинома знаменателя sWэкв
обратится в нуль и sWэкв приобретает интегрирующие свойства
11
11
0
1
1
aKbsaKbsbs
asasasW
ос
m
mосm
n
n
m
m
m
mэкв
g(t) y(t)ε(t)
K W(s)-
g(t) y(t)
Ks W(s)-
ε(t)
51
Следовательно замкнутая система становится астатической (с
астатизмом 1-го порядка) Отсюда 0c =0 а коэффициент 1c будет
равен
aKb
bc
ос 11
01
ε(t)g(t) y(t)
W(s)-
Kос
Wэкв(s)
+
Рис 3 Схема САУ с местной неединичной обратной связью
32 Коррекция динамических свойств САУ
Улучшение динамических свойств САУ заключается в увеличе-
нии быстродействия САУ (уменьшении времени регулирования tрег)
уменьшении перерегулирования (см рис 4) а также увеличении
запасов устойчивости по фазе и по модулю При этом
h
hh
уст
устmax100
где maxh - максимальное значение переходной характеристики за-
мкнутой САУ th
устh - установившееся значение th
Время регулирования tрег - минимальная величина при которой удо-
влетворяется условие
устрег hth
где - заданная величина ошибки (обычно =005 устh )
52
h(t)
tрег
hустhmax
2δ
Рис 4 Быстродействие и перерегулирование САУ
Одним из эффективных средств достижения этой цели является
уменьшение отрицательных фазовых сдвигов в прямом тракте систе-
мы путем охвата неизменяемой части системы местными отрицатель-
ными обратными связями
На рис 5 R(s) представляет собой передаточную функцию регу-
лятора САУ которая считается заданной
ε(t)g(t) y(t)
W(s)-
Kос
Wэкв(s)
-
R(s)
u(t)
Рис 5 Схема САУ с местной обратной связью и регулятором
Пусть неизменяемая часть системы представляет собой аперио-
дическое звено первого порядка те
sT
K)s(W
10
0
Тогда передаточная функция sWэкв эквивалентного объекта
управления равна
sT
K
sWK
sWsW
экв
экв
осэкв
11
где зквK и эквT - коэффициент усиления и постоянная времени
эквивалентного объекта равные
53
KK
KK
осэкв
0
0
1
KK
TT
осэкв
0
0
1 (5)
Из (5) следует что соответствующим выбором осK постоянную
времени эквT эквивалентного объекта можно уменьшить в (1+ 0KKос )
раз по сравнении с постоянной времени 0T объекта без местной об-
ратной связи Тем самым уменьшаются отрицательные фазовые сдви-
ги вносимые прямым трактом системы что приводит к увеличению
запасов устойчивости системы При этом однако уменьшается в
(1+ 0KKос ) раз коэффициент усиления эквK эквивалентного объекта
по сравнению с коэффициентом усиления 0K объекта без местной
обратной связи Это нежелательно так как приводит к уменьшению
быстродействия системы вследствие уменьшения общего коэффици-
ента усиления прямого тракта системы В этом случае с целью обес-
печения необходимого быстродействия системы увеличивают коэф-
фициент усиления регулятора
4 Краткое описание MATLAB
Лабораторная работа выполняется в программе математического
моделирования MATLAB Программа MATLAB включает в себя пакет
прикладных программ для решения технических задач и одноименный
язык программирования используемый в этом пакете
Основными компонентами системы являются базовая система
MATLAB и пакет моделирования систем Simulink Остальные пакеты
расширения разбиты на 4 категории ndash расширения Extension MATLAB и
Extension Simulink а также комплексы пакетов расширения Blockset и
Toolbox
Раздел MATLAB Extension содержит средства для подготовки ис-
полняемых приложений MATLAB (с подключаемыми библиотеками и
без них)
Раздел Toolbox (инструментальные средства) содержит самое
большое число пакетов расширений системы MATLAB такие как
laquoControl systemraquo laquoDatabaseraquo laquoFuzzy logicraquo laquoWaveletraquo и тд
54
В разделе Blockset расположено несколько пакетов относящихся к
главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink такие как
laquoDSPraquo laquoFixed-Pointraquo laquoNonlinear control designraquo и laquoPower systemsraquo
В разделе Extension Simulink имеется ряд средств предназначен-
ных для моделирования в реальном масштабе времени и событийно-
управляемом моделировании
5 Задание на лабораторную работу
Выполнить исследование способов коррекции статических и
динамических свойств САУ Определить время регулирования и пе-
ререгулирования в исходной и скорректированной системах а также
для динамических свойств САУ определить запасы устойчивости в
исходной системе и найти экспериментально значение Kос обеспечи-
вающее в системе заданные показатели качества и запасы устойчиво-
сти Вариант задания назначается преподавателем
Таблица 1
Варианты заданий
варианта
Параметры
1
2
3
4
5
6
7
8
a 05 10 15 20 25 30 35 40
K0 1 2 3 4 5 6 7 8
T c 03 04 05 06 07 08 09 10
ξ 06 07 08 08 07 09 05 04
уст 0 0 005 0 010 007 0 0
tрег c le 13 15 20 25 30 35 40 40
le 0 10 10 5 5 5 0 0
В качестве исходных САУ выступают системы изображенные
на рис 6 и 7
55
ε(t)g(t) y(t)
W(s)-
g(t) y(t)
R(s) W(s)-
ε(t) u(t)
Рис 6 САУ с отрицательной Рис 7 САУ с отрицательной обратной
обратной связью связью и регулятором
6 Методика выполнения задания
При исследовании способов коррекции статических свойств
САУ в качестве исходных данных выступает передаточная функция
sW неизменяемой части системы вида
1222
0
sTsT
KsW (6)
и задающие воздействия вида ttg 1 в соответствии с таблицей 1
В процессе выполнения этой части работы необходимо
1) путем моделирования в системе MATLAB исходной САУ
(рис 6) получить графики ttytg
2) сравнить полученную таким образом экспериментальную ве-
личину t с теоретической величиной вычисленной по формуле (1)
3) применяя описанные в теоретической части методических
указаний способы коррекции статических свойств (см п 31) обес-
печить требуемую статическую ошибку εуст системы при отработке
задающего воздействия ttg 1
4) получить графики ty и t в скорректированной системе
для 1 ttg
5) сравнить время регулирования регt и перерегулирование в
исходной и скорректированной системах при 1 ttg
При исследовании рассмотренного способа коррекции динами-
ческих свойств САУ (см п 32) в качестве исходных данных высту-
пают передаточная функция sW неизменяемой части системы
вида (6) и передаточная функция регулятора вида
s
KsR
рег
56
Задающее воздействие ttg 1
В процессе выполнения данной части работы необходимо
1) получить путем моделирования в MATLAB графики ty t
в системе (рис 7)
2) определить время регулирования регt и перерегулирование
а также запасы устойчивости в исходной системе
3) применяя описанный выше способ коррекции динамических
свойств САУ найти экспериментально (путем последовательного пе-
ребора) значение осK обеспечивающее в системе заданные заданием
показатели качества ( регt ) и запасы устойчивости (при необхо-
димости увеличить коэффициент регK )
4) получить графики ty t а также ЛАХ и ЛФХ разомкну-
той системы в скорректированной САУ
7 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) титульный лист
б) структурные схемы исследуемых систем
в) полученные графики и характеристики
г) значения полученные экмпериментально которые
обеспечивают заданные показатели качества и запасы устойчивости
д) выводы обощающие проделанные эксперименты для
коррекции статических и динамических свойств САУ
е) ответы на контрольные вопросы
Контрольные вопросы 1 Дать определение статической и астатической САУ
2 Какими структурными свойствами системы определяется по-
рядок ее астатизма
3 Какой из двух приведенных выше способов придания системе
свойств астатизма 1-го порядка наиболее предпочтителен на
практике
4 Назовите основные показатели качества САУ Поясните их
смысл
5 В чѐм суть исследуемого способа коррекции динамических
свойств САУ
57
6 Назвать другие способы коррекции динамических свойств
САУ
7 Чем вызваны отрицательные фазовые сдвиги в неизменяемой
части САУ
58
Лабораторная работа 6
МЕТОД КОРНЕВОГО ГОДОГРАФА
1 Цель работы
Целью работы является построение корневого годографа и ис-
следование динамики системы с использованием автоматизирован-
ных средств моделирования на ПК ndash MATLABSIMULINK
2 Задачи работы
ndash Закрепление углубление и расширение знаний студентов при
исследование динамики системы
ndash Овладение навыком построения корневого годографа
ndash Приобретение умений и навыков работы с программой мате-
матического моделирования MATLAB
3 Теоретическая часть
Корневым годографом (КГ) называется совокупность траекто-
рий перемещения всех корней характеристического уравнения за-
мкнутой системы при изменении какого-либо параметра этой систе-
мы
Обычно метод КГ позволяет находить полюса и нули ПФ за-
мкнутой системы располагая полюсами и нулями разомкнутой си-
стемы при изменении коэффициента усиления разомкнутой системы
K
ПФ разомкнутой системы Wp(s) представим в следующем виде
)(
)(
1
1
0
n
ii
m
jj
p
ss
ssKC
sW (1)
где 0js ndash нули ПФ sWp )1( mj
is ndash полюса ПФ sWp
)1( nj n и m ndash порядки знаменателя и числителя C ndash коэффици-
ент представления (отношение коэффициентов при старших членах
числителя и знаменателя)
59
При замыкании системы с ПФ sWp единичной отрицатель-
ной обратной связью ПФ замкнутой системы sWз принимает вид
)(1
)(
sW
sWsW
p
pз
(2)
Из выражения (2) следует что нули ПФ замкнутой системы рав-
ны нулям ПФ разомкнутой системы
Для нахождения полюсов рассмотри выражение
01 sWp (3)
в соответствии с выражением (1) имеем
n
i
m
jjin
ii
m
jj
ssKCss
ss
ssKC
1 1
0
1
1
0
)()(01
)(
)(
(4)
На основании выражения (4) можно сказать что при K = 0 корни
характеристического уравнения совпадают с полюсами а при K = infin ndash
с нулями При изменении K от 0 до infin траектории корней начинаются
в полюсах и заканчиваются в нулях Обычно полюсов больше чем
нулей В этом случаем mn ветвей корневого годографа стремятся к
infin
Для определения полюсов замкнутой системы с отрицательной
обратной связью необходимо решить уравнение (его называют ос-
новным уравнением метода КГ)
1sWp (5)
Так как sWp является функцией комплексного переменного
s то уравнение (5) распадается на два уравнения уравнение модулей
1)( sWp (6)
60
и уравнение аргументов (фаза вектора -1 есть нечетное число π)
210)12()(arg sWp (7)
Как известно при умножении комплексных чисел их аргументы
складываются а при делении ndash вычитаются Поэтому исходя из вы-
ражения (1) уравнение (7) имеет наглядный геометрический смысл
Пусть точка s ndash полюс замкнутой системы Если провести в s
вектора из нулей sWp (обозначим аргументы этих векторов 0j ) и
вектора из всех полюсов sWp (обозначим аргументы этих векторов
i ) то уравнение (7) можно записать в следующем виде
m
j
n
iij
1 1
0 210)12( (8)
Углы q отсчитываются от положительного направления дей-
ствительной оси Знак угла laquo+raquo соответствует повороту против часо-
вой стрелки знак угла laquo-raquo соответствует повороту по часовой стрел-
ке
Таким образом любая точка КГ должна удовлетворять уравне-
нию (8) из которого следует что конфигурация КГ не зависит от ко-
эффициента усиления K но каждому конкретному значению K одно-
значно соответствуют точки на КГ
При умножении комплексных чисел их модули перемножаются
а при делении ndash делятся Поэтому на основании (6) можно записать
1
1
1
0
n
ii
m
jj
l
lKC
(9)
где 0jl ndash модуль (длина) вектора проведенного из j-нуля в точку s
КГ il ndash модуль вектора проведенного из i-полюса в ту же точку s
61
Таким образом траектории корней строятся только по уравне-
ниям фаз а уравнение модулей используется затем для нахождения
K
Сущность метода КГ заключается в том чтобы узнать каким
должен быть коэффициент усиления разомкнутой системы чтобы
было обеспечено желаемое положение корней замкнутой системы
Корневой годограф системы с отрицательной обратной связью
обладает следующими основными свойствами
1 Ветви КГ непрерывны и расположены на комплексной плос-
кости симметрично относительно действительной оси
2 Число ветвей КГ равно порядку системы n Ветви начинают-
ся в n полюсах разомкнутой системы при K=0 При возрастании K от
0 до infin полюса замкнутой системы двигаются по ветвям КГ
3 mветвей КГ при возрастании K от 0 до infin заканчиваются в m
нулях )(sWp а )( mn ветвей при K стремящемся к infin удаляются
от полюсов вдоль асимптот
4 При расположении ветвей корневого годографа в левой полу-
плоскости s САУ устойчива При пересечении ветвей КГ мнимой оси
слева направо САУ становится неустойчивой Пусть при K=Kкр
пере-
сечение КГ с мнимой осью произойдет в некоторой точке iωкр
Назо-
вем это значение коэффициента усиления критическим Kкр
а вели-
чину iωкр
критической угловой частотой на которой система стано-
вится неустойчивой
4 Краткое описание MATLAB
Лабораторная работа выполняется в программе математического
моделирования MATLAB Программа MATLAB включает в себя пакет
прикладных программ для решения технических задач и одноименный
язык программирования используемый в этом пакете
Основными компонентами системы являются базовая система
MATLAB и пакет моделирования систем Simulink Остальные пакеты
расширения разбиты на 4 категории ndash расширения Extension MATLAB и
Extension Simulink а также комплексы пакетов расширения Blockset и
Toolbox
Раздел MATLAB Extension содержит средства для подготовки ис-
полняемых приложений MATLAB (с подключаемыми библиотеками и
без них)
62
Раздел Toolbox (инструментальные средства) содержит самое
большое число пакетов расширений системы MATLAB такие как
laquoControl systemraquo laquoDatabaseraquo laquoFuzzy logicraquo laquoWaveletraquo и тд
В разделе Blockset расположено несколько пакетов относящихся к
главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink такие как
laquoDSPraquo laquoFixed-Pointraquo laquoNonlinear control designraquo и laquoPower systemsraquo
В разделе Extension Simulink имеется ряд средств предназначен-
ных для моделирования в реальном масштабе времени и событийно-
управляемом моделировании
5 Корневой годограф в MATLAB
В системе MATLAB существует команда zpk для преобразова-
ния модели заданной ПФ в модель заданную нулями полюсами и
обобщенными коэффициентами передачи (zpk-форма)
Пример
gtgt w=tf([10][2 2 3 1 0])
Transfer function
10
-------------------------------
2 s^4 + 2 s^3 + 3 s^2 + s
gtgt w1=zpk(w)
Zeropolegain
5
----------------------------------------------
s (s+03966) (s^2 + 06034s + 1261)
Для работы с корневым годографом удобно использовать гра-
фический интерфейс laquoSISO-Design Toolraquo предназначенный для ана-
лиза и синтеза одномерных линейных систем автоматического управ-
ления (SISO ndash Single Input Signal Output)
Запуск SISO-Design Tool осуществляется командой
gtgt sisotool
63
В появившемся окне графического интерфейса необходимо ис-
пользовать команду laquoFileImportraquo для загрузки данных из рабочего
пространства MATLAB в результате которой появляется диалоговое
окно Import System Data (рис 1)
Рис 1 Диалог для ввода параметров модели
После импортирования данных можно исследовать изменение
временных и частотных характеристик замкнутой системы при изме-
нении K Обычно при этом требуется определить условия неустойчи-
вости замкнутой САУ Определить Kкр
и iωкр
На рис 2 показано окно sisotool для описанной выше модели w1
Двигая красным курсором по КГ до пересечения ветвей с мнимой
осью можно определить значения Kкр
В данном случае Kкр
asymp 01
Значение iωкр
соответствует мнимой координате пересечения КГ
мнимой оси Просмотреть это значение можно в нижней части ин-
терфейса или выбрать меню laquoView Closed-Loop Polesraquo
64
Рис 2 Основное окно SISO-Design Tool
6 Задание на лабораторную работу
Построить КГ в соответствии с вариантом из табл 1 при помо-
щи графического интерфейса sisotool
Исследовать динамику замкнутой системы при различных зна-
чениях коэффициента усиления разомкнутой системы K в том числе
ndash запасы устойчивости в частотной области
ndash параметры переходного процесса во временной области
Таблица 1
Варианты передаточных функций
Значения параметров Передаточная функция
разомкнутой системы
1 T = 01 ζ = 1
)12( 22 sTsTs
K
2 T = 005 ζ = 0707
3 T = 003 ζ = 01
4 T = 008 ζ = 05
5 T = 001 ζ = 015
65
Окончание табл 1
Значения параметров Передаточная функция
разомкнутой системы
6 T1 = 003 T2 = 05 T3 = 01 T4 = 005
)1)(1)(1(
)1(
432
1
sTsTsTs
sTK
7 T1 = 005 T2 = 04 T3 = 008 T4 = 0033
8 T1 = 02 T2 = 045 T3 = 01 T4 = 005
9 T1 = 05 T2 = 025 T3 = 01 T4 = 002
10 T1 = 01 T2 = 025 T3 = 01 T4 = 005
Вариант задания назначается преподавателем
7 Методика выполнения задания
Порядок выполнения лабораторной работы
1 Задать передаточную функцию в MATLAB в соответствии с
вариантом коэффициент K задать любым положительным числом
2 Запустить SISO-Design Tool и осуществить ввод данных
Построить КГ
3 По КГ определить значения коэффициента K когда система
будет устойчивой на границе устойчивости и неустойчива
4 Выбрать значение коэффициента K таким образом чтобы си-
стемы была устойчива и определить запас устойчивости в частотной
области и параметры переходного процесса во временной области
8 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) титульный лист
б) передаточную функцию и этапы построения КГ
в) анализ результатов построения КГ
г) выводы по проделанной работе
д) ответы на контрольные вопросы
Контрольные вопросы 1 Дать определение КГ
2 Что обычно позволяет находить метод КГ
3 В чем заключается сущность метода КГ
4 Что можно определить по КГ
66
Критерии результативности лабораторного практикума
Лабораторная работа считается выполненной если студент
ndash выполнил все указанные задания
ndash представил отчет соответствующий всем требованиям к его
содержанию и оформлению
ndash владеет терминологией и материалом лабораторной работы
ndash способен использовать программное средство математическо-
го моделирования MATLAB
ndash способен предоставить и рассказать результаты выполненной
работы на ПК
ndash может дать пояснения к отчету и ответить на контрольные
вопросы
Список литературы
1 Александров АГ Частотная теория автоматического управле-
ния учебное пособие ndash Электросталь ЭПИ МИСиС 2010
2 Борисевич АВ Теория автоматического управления элементар-
ное введение с применением MATLAB ndash СПб Изд-во Политехн ун-
та 2011
3 Федоров ВЛ Бубнов АВ Теория автоматического управления
учебное пособие ndash Омск Изд-во ОмГТУ 2010
4 Павловская ОО Чернецкая ИВ Теория автоматического
управления учебное пособие ndash Челябинск Изд-во ЮУрГУ 2010
67
Составители ЛЯНЦЕВ Олег Дмитриевич КАЗАНЦЕВ Андрей Валерьевич
ИССЛЕДОВАНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК СИСТЕМ
АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
Лабораторный практикум
по дисциплине
laquoТеория управленияraquo
Подписано в печать Формат 60х84 116 Бумага офсетная Пе-
чать плоская Гарнитура Times New Roman Усл печ л 56 Уч-изд л
55 Тираж 100 экз Заказ
ФГБОУ ВПО Уфимский государственный авиационный технический
университет
Центр оперативной полиграфии УГАТУ
450000 Уфа-центр ул К Маркса 12
22
k
ijkijk
ij
P
T
где Pijk ndash коэффициент передачи k-го пути от переменной xi к пере-
менной xj Δ ndash определитель графа Δijk ndash дополнительный множитель
для пути Pijk а суммирование производится по всем возможным k пу-
тям от xi до xjДополнительный множитель Δijk равен определителю
всех касающихся контуров при удалении k-го пути
Определитель находится как
QM
qm
LSR
lsrlsrqm
K
kk LLLLLL
11
1111
1
где Kk kL
1ndash сумма коэффициентов передачи всех отдельных конту-
ров QM
qm qmLL
11ndash сумма произведений всех возможных комбина-
ций из двух некасающихся контуров LSR
lsr lsr LLL
111ndash сумма про-
изведений всех возможных комбинаций из трех некасающихся кон-
туров
Таким образом правило вычисления Δ через значение L1 L2
L3hellipLN таково Δ = 1- (сумма коэффициентов передачи всех отдель-
ных контуров) + (сумма произведений всех возможных комбинаций
из 2 некасающихся контуров) ndash (сумма произведений всех возмож-
ных комбинаций из 3 некасающихся контуров) +hellip
Формула Мейсона часто используется в несколько упрощенном
виде для определения связи между выходной переменной Y(s) и
входной переменной X(s) те
)()(
)( 1
N
iiiP
sWsX
sY
где Pi ndash i-й путь от входа к выходу N ndash количество путей Δ ndash опреде-
литель графа специальный полином который определенным образом
характеризует совокупность всех замкнутых цепей системы содер-
жащих обратные связи и вычисляется как сумма передаточных
функций разомкнутых контуров этих цепей и произведений
23
передаточных функций разомкнутых контуров пар троек и тд не со-
прикасающихся друг с другом цепей с обратными связями Δi ndash до-
полнительный множитель для пути составляется по правилу анало-
гичному Δ но только для цепей с обратными связями не соприкаса-
ющихся с i-м прямым каналом
Дополнительный множитель для i-го пути равен определителю
графа в котором приравнены нулю коэффициенты передачи конту-
ров касающихся этого пути
Рассмотрим пример получения ПФ многоконтурной системы с
использованием формулы Мейсона для структуры на рис 1 которая
соответствует графу показанному на рис 7
X(s) Y(s)W1
W2
W3 W5 W6
W4 -W7
Рис 7 Описание системы управления сигнальным графом
От входа к выходу ведут два пути
65311 WWWWP
65322 WWWWP
В графе есть 2 контура
5431 WWWL
7652 WWWL
Контур L1 пересекает контур L2 поэтому определитель графа
вычисляется по формуле
)(1 21 LL
Контуры в этом примере пересекают все пути поэтому допол-
нительные множители путей равны
24
11
12
Окончательно можно записать
1
)(543765
65326531
2
1
WWWWWW
WWWWWWWWP
sW iii
Таким образом использование сигнальных графов и применение
формулы Мейсона позволяет алгоритмизировать процесс упрощения
структурной схемы
Третий способ для получения ПФ заключается в составлении
системы уравнений Необходимо обозначить выходы сумматоров и
составить систему уравнений на основе этих обозначений На рис9
представлена исходная схема с обозначенными сумматорами
W1
W2 W3
W4
W5 W6
W7
+
+
+
-
Z H
u y
Рис 9 Исходная схема САУ с обозначенными сумматорами
Опишем все сигналы в системе в виде уравнений
)( 4521 HWWuWWZ
73 yWZWH
65 HWWy
Подставив последовательно значения сигналов найдем ПФ
))(( 734521 yWWHWWuWWH
После преобразования получим
25
1
)(
543
73231
WWW
yWuWWWWH
Подставим полученное значение H в уравнение y
1
))((
543
6573231
WWW
WWyWuWWWWy
Получим ПФ вида
1
)(543765
65326531
WWWWWW
WWWWWWWW
u
ypW
4 Краткое описание MATLAB
Лабораторная работа выполняется в программе математического
моделирования MATLAB Программа MATLAB включает в себя пакет
прикладных программ для решения технических задач и одноименный
язык программирования используемый в этом пакете
Основными компонентами системы являются базовая система
MATLAB и пакет моделирования систем Simulink Остальные пакеты
расширения разбиты на 4 категории ndash расширения Extension MATLAB и
Extension Simulink а также комплексы пакетов расширения Blockset и
Toolbox
Раздел MATLAB Extension содержит средства для подготовки ис-
полняемых приложений MATLAB (с подключаемыми библиотеками и
без них)
Раздел Toolbox (инструментальные средства) содержит самое
большое число пакетов расширений системы MATLAB такие как
laquoControl systemraquo laquoDatabaseraquo laquoFuzzy logicraquo laquoWaveletraquo и тд
В разделе Blockset расположено несколько пакетов относящихся к
главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink такие как
laquoDSPraquo laquoFixed-Pointraquo laquoNonlinear control designraquo и laquoPower systemsraquo
В разделе Extension Simulink имеется ряд средств предназначен-
ных для моделирования в реальном масштабе времени и событийно-
управляемом моделировании
26
5 Структурные преобразования в MATLAB
В пакете MATLAB имеется ряд функций с помощью которых
можно выполнять структурные преобразования (используется экви-
валентная схема)
ndash series(w1w2) ndash последовательное соединение звеньев
ndash parallel(w1w2) ndash параллельное соединение звеньев
ndash feedback(w1w2) ndash включение звена w2 в контур отрицательной об-
ратной связи к w1
ndash feedback(w1w2sign) ndash включение звена w2 в контур обратной связи
звена w1 с указанием знака + или ndash (очевидно feedback(w1w2)=
=feedback(w1w2-1))
Пример
Даны две передаточные функции
22
221
ss
sW
22
322
2
2
ss
ssW
Опишем ПФ введя в окне команд MatLab следующие команды
gtgt w1=tf([1 2][1 2 2])
gtgt w2=tf([1 2 3][1 2 2])
Выполним структурные преобразования для данных ПФ
gtgt w2=series(w1w2)
Transfer function
s^3 + 4 s^2 + 7 s + 6
------------------------------------
s^4 + 4 s^3 + 8 s^2 + 8 s + 4
gtgt w3=parallel(w1w2)
Transfer function
s^4 + 5 s^3 + 13 s^2 + 16 s + 10
----------------------------------------
s^4 + 4 s^3 + 8 s^2 + 8 s + 4
27
gtgt w4=feedback(w1w2)
Transfer function
s^3 + 4 s^2 + 6 s + 4
----------------------------------------
s^4 + 5 s^3 + 12 s^2 + 15 s + 10
Для проверки правильности проведенных преобразований необ-
ходимо собрать схему исходной САУ и соответствующую ей эквива-
лентную схему в MATLAB Simulink
Исходная схема САУ собирается как модель из соответствую-
щих элементов таких как laquoTransfer Fncraquo laquostepraquo laquosignal builderraquo
laquoscoperaquo и laquosumraquo Все эти элементы находятся в пакете laquoSimulinkraquo и
представлены в виде блоков Для того чтобы создать новую модель
необходимо нажать laquoFile-gtNew-gtModel (Simulink)raquo после откроется
окно модели в которую нужно будет добавлять элементы из библио-
теки для доступа к ней необходимо нажать на значок laquoLibrary Brows-
erraquo
Описание используемых элементов из пакета Simulink
1 Transfer Fnc ndash передаточная функция
2 Step ndash единичный скачок (функция Хэвисайда) в блоке необходи-
мо задать время начала перехода (step time)
3 Signal builder ndash блок для моделирования сигнала по заданным па-
раметрам (можно построить единичный скачок и импульсную функ-
цию)
4 Scope ndash виртуальный осциллограф отображает получившийся гра-
фик открывается двойным щелчком левой клавиши мыши и для кор-
рекции масштаба необходимо нажать правой кнопкой по графику и
из выпадающего меню выбрать laquoautoscaleraquo
5 Sum ndash сумматор в параметрах задается число сигналов соответ-
ственно laquo+raquo - положительный laquondashraquo - отрицательный
Так же нужно задать время работы модели для этого необходи-
мо выбрать laquoSimulation-gtSimulation parametersraquo и установить пара-
метр laquostop timeraquo на нужное значение и после необходимо запустить
модель на выполнение нажав на значок laquoStart simulationraquo Пример
модели составленной в MATLAB представлен на рис 10
28
Рис 10 Пример схемы САУ с блоком laquosignal builderraquo
Задача считается решенной если при подаче на вход обоих
схем одинаковых тестовых воздействий (единичный скачок импуль-
сная функция) наблюдаются одинаковые выходные сигналы
6 Задание на лабораторную работу
Выполнить преобразование структурной схемы САУ в эквива-
лентную передаточную функцию Составить модель исходной схемы
САУ в MATLAB С помощью ряда функций MATLAB (структурные
преобразования) составить эквивалентную схему Вариант задания
назначается преподавателем
7 Методика выполнения задания
Порядок выполнения работы
1 Выполнить преобразование заданного варианта структурной
схемы САУ (см табл 2) в эквивалентную ПФ тремя способами
ndash непосредственно используя правила табл 1
ndash используя представление в виде сигнального графа и формулу
Мейсона
ndash составив систему уравнений и решив еѐ
2 В качестве звеньев W1W2W3 использовать передаточные
функции звеньев представленных в табл 2
3 Составить модель исходной схемы САУ в MATLAB постро-
ить реакцию получившейся модели на ступенчатое и импульсное
воздействия
4 С помощью ряда функций MATLAB (структурные преобразо-
вания) составить эквивалентную схему и построить реакцию на сту-
пенчатое и импульсное воздействия
5 Подготовить ответы на контрольные вопросы
29
Таблица 2
Варианты структур САУ
Исходная схема
Передаточные
функции
1 W1
W3
W2
-
+
-
+
u y
+
1
31
sW
2
442
s
sW
12
133
s
sW
2 W1
W3
W2
-
+
-
+
u y
+ +
3 W3
W2
W1
-
+
-
+
u y
+ +
4 W3
W1
W2
+
+
-
+
u y
+ +
1
21
sW
2
12
sW
12
13
s
sW
5
W1
W3
W2
-
+
-
+
u y
+ +
6
W1
W3
W2
-
+
-
+
u y
+
62
31
sW
2
52
sW
1
23
s
sW
7
W1
W3
W2
-
+
-
+
u y
+ +
8
W1
W2
W3
-
+
-
+
u y
+ +
30
8 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) описание всех этапов преобразования исходной схемы и по-
лучающихся промежуточных результатов выполненными тремя спо-
собами моделирование реакции схемы на типовое воздействие (ска-
чок) до и после преобразования
б) сигнальный граф системы описание путей контуров расчет
ПФ по формуле Мейсона
в) решение составленной системы уравнений
г) схема модели и протокол команд MATLAB
д) графики переходных процессов при подаче на вход исходной
и эквивалентной схемы типовых тестирующих воздействий (скачок
импульс)
е) ответы на контрольные вопросы
Контрольные вопросы
1 Что называется структурной схемой Какие задачи можно
решить с еѐ помощью
2 Как может быть составлена структурная схема
3 Что позволяет алгоритмизировать процесс упрощения струк-
турной схемы Поясните на конкретном примере
31
Лабораторная работа 3
ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
ДИНАМИЧЕСКИХ ЗВЕНЬЕВ
1 Цель работы
Целью работы является изучение частотных характеристик ти-
повых динамических звеньев с использованием автоматизированных
средств моделирования на ПК ndash MATLAB SIMULINK
2 Задачи работы
ndash Закрепление углубление и расширение знаний студентов при
исследовании частотных характеристик динамических звеньев
ndash Приобретение умений и навыков работы с программой мате-
матического моделирования MATLAB
ndash Выработка способности логического мышления осмысление
полученных данных частотных характеристик
3 Теоретическая часть Сущность метода частотных характеристик заключается в том
что на вход исследуемой системы подается гармонический сигнал (си-
нусоидальные колебания) в широком диапазоне частот Реакция си-
стемы при разных частотах позволяет судить о ее динамических
свойствах
Пусть входной сигнал системы имеет амплитуду а и частоту ω т е
описывается формулой
)sin( tax
Выходной сигнал будет иметь амплитуду А1 и отличаться от вход-
ного по фазе на величину ψ (фазовый сдвиг)
)sin(1 tAy
Таким образом можно рассчитать усиление по амплитуде
1
a
AA
32
Для каждой частоты входного сигнала ω будут свои А и ψ
Изменяя ω в широком диапазоне можно получить зависимость
А(ω) ndash амплитудную частотную характеристику (АЧХ) и ψ(ω) ndash фазо-
вую частотную характеристику (ФЧХ)
Главное достоинство метода частотных характеристик заключа-
ется в том что АЧХ и ФЧХ объекта могут быть получены экспери-
ментально Для этого необходимо иметь генератор гармонических
колебаний который подключается к входу объекта и измеритель-
ную аппаратуру для измерения амплитуды и фазового сдвига колеба-
ний на выходе объекта
Частотные характеристики САУ могут быть получены по ее ПФ
W(s) Для суждения о реакции звена на синусоидальный сигнал доста-
точно исследовать его реакцию на гармонический сигнал вида
)( tjejx
Тогда выходной сигнал определяется по соотношению
)()( ))(( tjeAjy
и частотная ПФ получается равной
)()(
)()( )(
jeA
jx
jyjW
Формально для получения частотной ПФ надо сделать в W(s)
подстановку s = jω и тогда полученная W(jω) является комплексным
выражением которое можно представить в виде
)()(
)()()(
22
11
jba
jbajW
Для нахождения вещественной и мнимой частей частотной пе-
редаточной функции необходимо умножить числитель и знаменатель
на сопряженную знаменателю величину а затем провести
разделение
33
)()()(
)()(
)()()()(
)()(
)()()()(
))()())(()((
))()())(()((
)()(
)()()(
)(
22
22
2112
22
22
2121
2222
2211
22
11
jeAjVU
ba
babaj
ba
bbaa
jbajba
jbajba
jba
jbajW
где
)()()()(22
22
21
2122
ba
baVUjWA
)(
)())(arg()(
2
2
1
1
a
barctg
a
barctg
U
VarctgjW
Графики функции )(U и )(V называют соответственно веще-
ственной и мнимой частотной характеристиками
В практических расчетах удобно применять графики частотных
характеристик построенных в логарифмическом масштабе ndash лога-
рифмические частотные характеристики (ЛЧХ)
Логарифмическая амплитудная частотная характеристика
(ЛАЧХ) определяется следующим выражением
)(lg20)( AL
Логарифмической фазовой частотной характеристикой
(ЛФЧХ) называется график зависимости )( построенный в лога-
рифмическом масштабе частот
Единицей L(ω) является децибел (дБ) а единицей логарифма ча-
стоты ndash декада Декадой называют интервал частот на котором часто-
та изменяется в 10 раз При изменении частоты в 10 раз говорят что
она изменилась на одну декаду Ось ординат при построении ЛЧХ про-
водят через произвольную точку а не через точку ω = 0 Частоте ω = 0
соответствует бесконечно удаленная точка lgω rarr ndash infin при ω rarr 0
Основное преимущество использования ЛЧХ заключается в том
что приближенные (асимптотические) ЛАЧХ типовых динамических
звеньев изображаются отрезками прямых
Пример Построим ЛЧХ апериодического звена первого
34
порядка
Передаточная функция звена
1
)(
Ts
ksW
Частотная передаточная функция
1)(
)1(
1)(
2
T
Tjk
Tj
kjW
1)(
1)( 22
T
kTV
T
kU
Следовательно АЧХ описывается формулой
1)(
)(2
T
kA
ФЧХ строится по формуле
)()( Tarctg
ЛАЧХ апериодического звена 1-го порядка
1)(lg20lg20)( 2 TkL
По этой формуле можно построить две асимптоты ndash прямые к
которым стремится ЛАЧХ при ω rarr 0 и при ω rarr infin Так при ω rarr 0 второе
слагаемое близко к нулю и этот участок ЛАЧХ представляет собой
горизонтальную прямую
lg20)( kL
При ω rarr infin получаем наклонную прямую
1)(lg20)( 2 TL
35
Для определения наклона этой прямой можно рассмотреть гра-
ницы декады
T
1 и
10
T
Изменение ЛАЧХ между этими точками
)(2011
lg20110
lg20)(
22
декдБT
TT
TL
ЛЧХ часто называют диаграммами Боде
4 Краткое описание MATLAB
Лабораторная работа выполняется в программе математического
моделирования MATLAB Она включает в себя пакет прикладных про-
грамм для решения технических задач и одноименный язык программи-
рования используемый в этом пакете
Основными компонентами системы являются базовая система
MATLAB и пакет моделирования систем Simulink Остальные пакеты
расширения разбиты на 4 категории ndash расширения Extension MATLAB и
Extension Simulink а также комплексы пакетов расширения Blockset и
Toolbox
Раздел MATLAB Extension содержит средства для подготовки ис-
полняемых приложений MATLAB (с подключаемыми библиотеками и
без них)
Раздел Toolbox (инструментальные средства) содержит самое
большое число пакетов расширений системы MATLAB такие как
laquoControl systemraquo laquoDatabaseraquo laquoFuzzy logicraquo laquoWaveletraquo и тд
В разделе Blockset расположено несколько пакетов относящихся к
главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink такие как
laquoDSPraquo laquoFixed-Pointraquo laquoNonlinear control designraquo и laquoPower systemsraquo
В разделе Extension Simulink имеется ряд средств предназначен-
ных для моделирования в реальном масштабе времени и событийно-
управляемом моделировании
36
5 Построение частотных характеристик в MATLAB В пакете MATLAB ЛЧХ объекта заданного с помощью ПФ
можно получить командой bode
Пример
gtgt w=tf([1 2][3 4 5])
gtgt bode(w)
Для нескольких вариантов передаточной функции можно исполь-
зовать вариант команды вида
gtgt bode(ww1w2)
Например построим диаграмму Боде при различных параметрах
колебательного звена (рис 1)
gtgt w=tf([1][2 03 1])
gtgt w1=tf([1][2 05 1])
gtgt w2=tf([1][2 01 1])
gtgt bode(ww1w2)
Рис 1 ЛЧХ колебательного звена
6 Задание на лабораторную работу
С помощью пакета MATLAB построить ЛЧХ каждого типового
звена Определить влияние коэффициентов входящих в описание
каждого звена на параметры ЛАЧХ и ЛФЧХ Вариант задания назна-
чается преподавателем
37
7 Методика выполнения задания
Порядок выполнения работы
1 Задать передаточную функцию типового динамического звена
используя параметры из табл 2 лабораторной работы 1
2 Построить диаграмму Боде при различных параметрах типо-
вого динамического звена
3 Определить влияние коэффициентов входящих в описание
каждого звена на параметры ЛАЧХ и ЛФЧХ в том числе
ndash как меняется ширина асимптотических участков ЛАЧХ и
ЛФЧХ
ndash как меняется положение точек пересечения осей ЛАЧХ
4 Написать вывод по влиянию коэффициентов на типовое звено
5 Выполнить пункты 1-4 для всех типовых звеньев
6 Подготовить ответы на контрольные вопросы
8 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) титульный лист
б) краткие теоретические сведения
в) передаточные функции и схемы моделирования исследуемых
звеньев
г) экспериментально полученные характеристики при вариации
параметров каждого звена
д) выводы обобщающие проделанные эксперименты по каждо-
му звену
ж) ответы на контрольные вопросы
Контрольные вопросы
1 Как пользуясь частотными характеристиками определить па-
раметры (коэффициенты передаточной функции) звена Пояс-
нить на конкретных примерах
2 Указать особенности построения ЛАХ и ЛФХ динамических
звеньев Что понимается под асимптотической ЛАХ звена
3 Как осуществляется построение АФХ динамического звена
38
Лабораторная работа 4
ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ СИСТЕМ
С ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ
1 Цель работы
Изучение особенностей практического использования алгебраи-
ческих и частотных критериев устойчивости для анализа динамики
линейных САУ с использованием автоматизированных средств моде-
лирования на ПК ndash MATLAB SIMULINK
2 Задачи работы
ndash Закрепление углубление и расширение знаний студентов при
исследовании устойчивости систем с обратной связью
ndash Приобретение умений и навыков работы с программой мате-
матического моделирования MATLAB
ndash Овладение новыми методами проверки устойчивости систем
с обратной связью
ndash Выработка способности логического мышления осмысления
полученных данных
3 Теоретическая часть
Устойчивость САУ является одним из основных условий ее ра-
ботоспособности и включает требование затухания во времени пере-
ходных процессов
Система является устойчивой если при ограниченном входном
сигнале еѐ выходной сигнал также является ограниченным Если
система устойчива то она противостоит внешним воздействиям а
выведенная из состояния равновесия возвращается снова к нему
Система с расходящимся переходным процессом будет неустойчивой и
неработоспособной
Необходимое и достаточное условие устойчивости заключается в
том чтобы все корни характеристического уравнения (полюсы пере-
даточной функции системы) имели отрицательные вещественные ча-
сти Иначе говоря условием устойчивости системы является распо-
ложение всех полюсов в левой комплексной полуплоскости Тогда все
полюсы будут давать затухающую реакцию
Выше сформулированное условие устойчивости справедливо как
39
для линейных так и для линеаризованных систем Однако в случае
нулевых или чисто мнимых корней характеристического уравнения
вопрос об устойчивости линеаризованной системы может быть ре-
шен только на основании исследования ее нелинейных уравнений
В конце XIX и первой половине XX в задача вычисления корней
характеристического уравнения высокого порядка вызывала боль-
шие проблемы Поэтому были предложены несколько косвенных
методов оценки устойчивости позволяющих обойтись без вычисле-
ния корней ndash по значениям коэффициентов характеристического
уравнения
Критерии устойчивости разделяют на алгебраические и частот-
ные В частности к алгебраическим критериям относится критерий
Гурвица к частотным критериям ndash критерий Найквиста
Критерий Гурвица является алгебраическим критерием и при-
меняется к коэффициентам характеристического уравнения замкнутой
системы
Пусть имеется характеристическое уравнение замкнутой
системы
0011
1 apapapa n
nn
n
Из коэффициентов характеристического уравнения составляют
матрицу по правилу
1 По диагонали записываются коэффициенты от 1na до 0a
2 Каждая строка дополняется коэффициентами с возрастающи-
ми индексами слева направо так чтобы чередовались строки с нечет-
ными и четными индексами
3 В случае отсутствия индекса а также если он меньше 0 или
больше п на его место пишется 0
Таким образом матрица Гурвица приобретает следующий вид
40
Критерий устойчивости формулируется так
Чтобы система была устойчивой необходимо и достаточно что-
бы при 0na были положительными все п диагональных определи-
телей получаемых из матрицы Гурвица
Первые три определителя матрицы Гурвица имеют следующий
вид
Таким образом критерий Гурвица позволяет судить об абсо-
лютной устойчивости но он не дает возможности оценивать относи-
тельную устойчивость по корням характеристического уравнения
Частотный критерий устойчивости Найквиста анализирует
АФЧХ разомкнутой системы
Пусть имеется АФЧХ разомкнутой системы W(jω)
Для нахождения вещественной и мнимой части частотной ха-
рактеристики нужно освободиться от мнимости в знаменателе путем
умножения числителя и знаменателя на комплексную величину со-
пряженную знаменателю а затем выполнить разделение на веще-
ственную и мнимую части W(jω) приобретает вид
)()()( jQPjW
Задаваясь различными значениями частоты можно найти мно-
жество пар )()( 11 jQP )()( 22 jQP )()( nn jQP
Затем по этим парам строится АФЧХ на комплексной плоскости
Основные свойства АФЧХ разомкнутой системы
1 Если разомкнутая система не имеет интегрирующих звеньев
то при ω = 0 ее АФЧХ начинается на вещественной оси в точке
Р(ω)=К (где К ndash коэффициент усиления разомкнутой системы) За-
канчивается АФЧХ в начале координат при ω rarr infin (рис 1 а)
2 Если разомкнутая система имеет одно интегрирующее звено то
ее АФЧХ начинается при ω = 0 в бесконечности на отрицательной мни-
мой полуоси а заканчивается в начале координат при ω rarr infin (рис 1 б)
41
Рис 1 АФЧХ разомкнутой системы
Критерий устойчивости Найквиста формулируется так
1 Если разомкнутая система устойчива или находится на гра-
нице устойчивости то для того чтобы замкнутая система была
устойчива необходимо и достаточно чтобы АФЧХ разомкнутой
системы при изменении частоты ω от 0 до infin не охватывала точку с ко-
ординатами (-1 j0)
2 Если разомкнутая система неустойчива а ее передаточная
функция имеет т полюсов справа от мнимой оси на комплексной
плоскости то для устойчивости замкнутой системы необходимо и до-
статочно чтобы АФЧХ разомкнутой системы при изменении частоты
ω от -infin до +infin охватывала т раз точку с координатами (-1 j0)
При использовании этого критерия нужно учитывать две
особенности
1 Если разомкнутая система находится на границе устойчиво-
сти то ее АФЧХ уходит в бесконечность Для проверки критерия Най-
квиста нужно мысленно соединить конец АФЧХ дугой бесконечно
большого радиуса с положительной вещественной полуосью
2 На практике АФЧХ может строиться только для положитель-
ных частот (0 lt ω lt +infin) При применении критерия Найквиста счита-
ется что ветвь АФЧХ для отрицательных частот симметрична отно-
сительно вещественной оси
Физический смысл критерия устойчивости Найквиста заключа-
ется в том что система будет неустойчива если фаза выходного сиг-
нала противоположна фазе входного сигнала а коэффициент усиле-
ния больше 1 Поэтому для анализа устойчивости можно использо-
вать не АФЧХ а ЛАХ системы (для минимально-фазовых систем)
Система устойчива если на частоте среза значение фазы не превы-
шает -π Соответственно для устойчивой системы можно рассматри-
вать на ЛФЧХ запас устойчивости по фазе ndash расстояние от значения
фазы на частоте среза до уровня -π и запас устойчивости по амплиту-
42
де ndash расстояние от оси частот ЛАЧХ до значения усиления на часто-
те где фаза становится равной -π
4 Краткое описание MATLAB
Лабораторная работа выполняется в программе математического
моделирования MATLAB Программа MATLAB включает в себя пакет
прикладных программ для решения технических задач и одноименный
язык программирования используемый в этом пакете
Основными компонентами системы являются базовая система
MATLAB и пакет моделирования систем Simulink Остальные пакеты
расширения разбиты на 4 категории ndash расширения Extension MATLAB и
Extension Simulink а также комплексы пакетов расширения Blockset и
Toolbox
Раздел MATLAB Extension содержит средства для подготовки ис-
полняемых приложений MATLAB (с подключаемыми библиотеками и
без них)
Раздел Toolbox (инструментальные средства) содержит самое
большое число пакетов расширений системы MATLAB такие как
laquoControl systemraquo laquoDatabaseraquo laquoFuzzy logicraquo laquoWaveletraquo и тд
В разделе Blockset расположено несколько пакетов относящихся к
главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink такие как
laquoDSPraquo laquoFixed-Pointraquo laquoNonlinear control designraquo и laquoPower systemsraquo
В разделе Extension Simulink имеется ряд средств предназначен-
ных для моделирования в реальном масштабе времени и событийно-
управляемом моделировании
5 Исследование устойчивости САУ в MATLAB
Для проверки устойчивости САУ по Гурвицу постройте матрицу
Гурвица и найдите ее детерминант (функция det) Затем последова-
тельно уменьшая размер матрицы найдите значения всех диагональ-
ных детерминантов Пример
gtgt А=[1 14 18 2 5 2 3 4 3]
А =
1 14 18
2 5 2
3 4 3
gtgt det(A)
ans = -119
43
gtgt А1=А(12 12)
А1 =
1 14
2 5
gtgt det(A1)
ans = -23
Для проверки устойчивости САУ по Найквисту сначала нужно
выяснить является ли устойчивой разомкнутая система
Пример Пусть дана передаточная функция разомкнутой
системы
13232
12234
pppp
pW
Рассмотрим реакцию на скачок
gtgt w=tf([2 1][2 3 2 3 1])
gtgt step(w18)
График переходного процесса показан на рис 2
Рис 2 Переходная реакция
Разомкнутая система неустойчива и согласно критерию Найкви-
ста надо чтобы АФЧХ разомкнутой системы охватывала точку (-1 j0)
44
столько раз сколько полюсов имеется справа от мнимой оси Для по-
строения АФЧХ достаточно вызвать команду nyquist
gtgt nyquist(w)
Диаграмма Найквиста показана на рис 3
Рис 3 Диаграмма Найквиста для неустойчивой системы
Как показывает рис3 АФЧХ ни разу не охватывает точку
(-1 j0) поэтому замкнутая система будет неустойчивой Частотный
критерий Найквиста можно использовать и в том случае когда рас-
сматривается не АФЧХ а ЛАЧХ разомкнутой системы замкнутая
минимально-фазовая система устойчива если при достижении ЛФЧХ
значения -π ЛАЧХ будет отрицательной
Используя ЛАЧХ и ЛФЧХ можно оценить запасы устойчивости
системы по амплитуде и по фазе с помощью команды
gtgt margin(w)
Пример
gtgt w=tf([10][2 2 3 1])
gtgt margin(w)
Соответствующий график показан на рис 4
45
Рис 4 Определение запасов устойчивости по амплитуде и по фазе
6 Задание на лабораторную работу
Выполнить исследование устойчивости замкнутой системы по за-
данной передаточной функции разомкнутой системы Определить запас
устойчивости по амплитуде и по фазе Вариант задания назначается
преподавателем
7 Методика выполнения задания
Порядок выполнения работы
1 Рассчитать передаточную функцию замкнутой системы по
приведенной в табл 1 разомкнутой системе
2 Определить устойчивость замкнутой системы используя кри-
терий Гурвица
3 Определить устойчивость замкнутой системы используя кри-
терий Найквиста
4 Определить запас устойчивости по амплитуде и по фазе ис-
пользуя ЛАЧХ и ЛФЧХ
5 Выполнить моделирование переходных процессов разомкну-
той и замкнутой систем
6 Подготовить ответы на контрольные вопросы
46
Таблица 1
Варианты заданий
Передаточная функция разомкнутой системы
1 1355
2234
ssss
W
2 110050
1234
ssss
W
3 11010
123
sss
W
4 122105
100234
ssss
W
5 1248
123
sss
W
6 1223
102345
sssss
W
7 11001010
323
sss
W
8 122
1023
sss
W
9 11010
123
sss
W
10 15050332
102345
sssss
W
8 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) титульный лист
б) краткие теоретические сведения
в) переходную функцию разомкнутой системы
г) расчет передаточной функции замкнутой системы
д) расчетные выражения для обоснования устойчивости замкну-
той системы по алгебраическому критерию Гурвица
е) годограф Найквиста разомкнутой системы на основании кото-
рого делается вывод об устойчивости замкнутой системы
ѐ) переходную функцию замкнутой системы
ж) проверку полученных результатов путем компьютерного моде-
лирования переходных процессов разомкнутой и замкнутой си-
стемы в MATLAB Simulink
з) выводы по всем полученным результатам
47
Контрольные вопросы
1 Как связана устойчивость линейной САУ с видом составля-
ющих ее свободного движения
2 Зависит ли устойчивость линейных САУ от амплитуды зада-
ющих воздействий или возмущений
3 Сформулируйте критерий устойчивости Гурвица укажите на
необходимое условие устойчивости линейных САУ вытекаю-
щее из этого критерия
4 Сформулируйте критерий Найквиста для случая САУ устой-
чивых в разомкнутом состоянии а также для астатических САУ
Что такое laquoзапасы устойчивости по фазе и по амплитудеraquo
5 Что называется структурной устойчивостью
48
Лабораторная работа 5
КОРРЕКЦИЯ СТАТИЧЕСКИХ И ДИНАМИЧЕСКИХ
СВОЙСТВ САУ
1 Цель работы
Целью работы является изучение способов обеспечения иско-
мых характеристик САУ с использованием автоматизированных
средств моделирования на ПК ndash MATLAB SIMULINK
2 Задачи работы
ndash Закрепление углубление и расширение знаний студентов при
обеспечении искомых характеристик САУ
ndash Приобретение умений по обеспечению точности (уменьшение
статической ошибки) САУ и выбору значений параметров регулято-
ра обеспечивающих желаемые динамические свойства САУ
ndash Приобретение умений и навыков работы с программой мате-
матического моделирования MATLAB
3 Теоретическая часть
Коррекция статических и динамических свойств САУ имеет
своей целью повышение статической и динамической точности отра-
ботки системой задающего воздействия (или парирование возмуща-
ющего воздействия) повышение запасов ее устойчивости Наиболее
распространенными способами коррекции свойств САУ является из-
менение коэффициента усиления ее разомкнутой части введение в
САУ новых звеньев (как правило интегрирующего или дифференци-
рующего типа) охват объекта управления местной обратной связью
31 Коррекция статических свойств САУ
Статические свойства системы определяются величиной устано-
вившейся ошибки )t(уст вызванной действием задающего воздей-
ствия и определяемой по формуле
22
210 2 dttgdcdttdgctgctуст (1)
где )(tg - входное воздействие 210 ccc - коэффициенты ошибок
Коэффициенты ошибок определяются по формулам
49
dssdcdssdcscs
mmmss 00100
где s - передаточная функция САУ по ошибке управления рав-
ная
sW
sраз
1
1
sWраз - передаточная функция разомкнутой САУ
Основными способами уменьшения статической ошибки систе-
мы являются
1) увеличение коэффициента усиления прямого тракта системы
2) введение в прямой тракт системы интегрирующих звеньев
3) охват объекта управления местной неединичной положитель-
ной обратной связью
Представим структурную схему системы в виде изображенном
на рис 1 где через sW обозначена передаточная функция неизме-
няемой части системы
bsbsb
asasasW
nn
nn
mm
mm
01
1
01
1
Здесь и далее полагается что KKKsW s 000 0 ndash из-
меняемый коэффициент усиления регулятора системы
Первые два коэффициента ошибок 0c и 1c определяется выраже-
ниями
KK
c0
01
1
(2)
KK
dssdWKc
s
20
01
1
(3)
Из (2) и (3) с учетом (1) вытекает что с увеличением K
статическая ошибка в системе уменьшается и наоборот с уменьше-
нием K статическая ошибка в системе увеличивается
Введем в прямой тракт системы одно интегрирующее звено
50
(рис 2) В этом случае c 00 01 1 KKc
Так как c 00 то система на рис 2 является астатической (с
астатизмом первого порядка) Система имеет нулевую статическую
ошибку при отработке постоянного задающего воздействия
consttg и постоянную обратно пропорциональную K ошибку
constуст при отработке линейно изменяющегося воздействия
tatg
Рис 1 Схема САУ Рис 2 Схема САУ с включенным в прямой
тракт интегрирующим звеном
Охватим неизменяемую часть системы sW местной нееди-
ничной положительной обратной связью с коэффициентом усиления
осK (рис 3) Тогда эквивалентная передаточная функция sWэкв
неизменяемой части системы равна
10011
01
1
aKbsaKbsaKbsb
asasa
sWK
sWsW
ососm
mосmn
n
mm
mm
осэкв
(4)
Если коэффициент усиления K выбрать из условия
a
bKос
0
0
то свободный коэффициент (b0 - Koca0) полинома знаменателя sWэкв
обратится в нуль и sWэкв приобретает интегрирующие свойства
11
11
0
1
1
aKbsaKbsbs
asasasW
ос
m
mосm
n
n
m
m
m
mэкв
g(t) y(t)ε(t)
K W(s)-
g(t) y(t)
Ks W(s)-
ε(t)
51
Следовательно замкнутая система становится астатической (с
астатизмом 1-го порядка) Отсюда 0c =0 а коэффициент 1c будет
равен
aKb
bc
ос 11
01
ε(t)g(t) y(t)
W(s)-
Kос
Wэкв(s)
+
Рис 3 Схема САУ с местной неединичной обратной связью
32 Коррекция динамических свойств САУ
Улучшение динамических свойств САУ заключается в увеличе-
нии быстродействия САУ (уменьшении времени регулирования tрег)
уменьшении перерегулирования (см рис 4) а также увеличении
запасов устойчивости по фазе и по модулю При этом
h
hh
уст
устmax100
где maxh - максимальное значение переходной характеристики за-
мкнутой САУ th
устh - установившееся значение th
Время регулирования tрег - минимальная величина при которой удо-
влетворяется условие
устрег hth
где - заданная величина ошибки (обычно =005 устh )
52
h(t)
tрег
hустhmax
2δ
Рис 4 Быстродействие и перерегулирование САУ
Одним из эффективных средств достижения этой цели является
уменьшение отрицательных фазовых сдвигов в прямом тракте систе-
мы путем охвата неизменяемой части системы местными отрицатель-
ными обратными связями
На рис 5 R(s) представляет собой передаточную функцию регу-
лятора САУ которая считается заданной
ε(t)g(t) y(t)
W(s)-
Kос
Wэкв(s)
-
R(s)
u(t)
Рис 5 Схема САУ с местной обратной связью и регулятором
Пусть неизменяемая часть системы представляет собой аперио-
дическое звено первого порядка те
sT
K)s(W
10
0
Тогда передаточная функция sWэкв эквивалентного объекта
управления равна
sT
K
sWK
sWsW
экв
экв
осэкв
11
где зквK и эквT - коэффициент усиления и постоянная времени
эквивалентного объекта равные
53
KK
KK
осэкв
0
0
1
KK
TT
осэкв
0
0
1 (5)
Из (5) следует что соответствующим выбором осK постоянную
времени эквT эквивалентного объекта можно уменьшить в (1+ 0KKос )
раз по сравнении с постоянной времени 0T объекта без местной об-
ратной связи Тем самым уменьшаются отрицательные фазовые сдви-
ги вносимые прямым трактом системы что приводит к увеличению
запасов устойчивости системы При этом однако уменьшается в
(1+ 0KKос ) раз коэффициент усиления эквK эквивалентного объекта
по сравнению с коэффициентом усиления 0K объекта без местной
обратной связи Это нежелательно так как приводит к уменьшению
быстродействия системы вследствие уменьшения общего коэффици-
ента усиления прямого тракта системы В этом случае с целью обес-
печения необходимого быстродействия системы увеличивают коэф-
фициент усиления регулятора
4 Краткое описание MATLAB
Лабораторная работа выполняется в программе математического
моделирования MATLAB Программа MATLAB включает в себя пакет
прикладных программ для решения технических задач и одноименный
язык программирования используемый в этом пакете
Основными компонентами системы являются базовая система
MATLAB и пакет моделирования систем Simulink Остальные пакеты
расширения разбиты на 4 категории ndash расширения Extension MATLAB и
Extension Simulink а также комплексы пакетов расширения Blockset и
Toolbox
Раздел MATLAB Extension содержит средства для подготовки ис-
полняемых приложений MATLAB (с подключаемыми библиотеками и
без них)
Раздел Toolbox (инструментальные средства) содержит самое
большое число пакетов расширений системы MATLAB такие как
laquoControl systemraquo laquoDatabaseraquo laquoFuzzy logicraquo laquoWaveletraquo и тд
54
В разделе Blockset расположено несколько пакетов относящихся к
главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink такие как
laquoDSPraquo laquoFixed-Pointraquo laquoNonlinear control designraquo и laquoPower systemsraquo
В разделе Extension Simulink имеется ряд средств предназначен-
ных для моделирования в реальном масштабе времени и событийно-
управляемом моделировании
5 Задание на лабораторную работу
Выполнить исследование способов коррекции статических и
динамических свойств САУ Определить время регулирования и пе-
ререгулирования в исходной и скорректированной системах а также
для динамических свойств САУ определить запасы устойчивости в
исходной системе и найти экспериментально значение Kос обеспечи-
вающее в системе заданные показатели качества и запасы устойчиво-
сти Вариант задания назначается преподавателем
Таблица 1
Варианты заданий
варианта
Параметры
1
2
3
4
5
6
7
8
a 05 10 15 20 25 30 35 40
K0 1 2 3 4 5 6 7 8
T c 03 04 05 06 07 08 09 10
ξ 06 07 08 08 07 09 05 04
уст 0 0 005 0 010 007 0 0
tрег c le 13 15 20 25 30 35 40 40
le 0 10 10 5 5 5 0 0
В качестве исходных САУ выступают системы изображенные
на рис 6 и 7
55
ε(t)g(t) y(t)
W(s)-
g(t) y(t)
R(s) W(s)-
ε(t) u(t)
Рис 6 САУ с отрицательной Рис 7 САУ с отрицательной обратной
обратной связью связью и регулятором
6 Методика выполнения задания
При исследовании способов коррекции статических свойств
САУ в качестве исходных данных выступает передаточная функция
sW неизменяемой части системы вида
1222
0
sTsT
KsW (6)
и задающие воздействия вида ttg 1 в соответствии с таблицей 1
В процессе выполнения этой части работы необходимо
1) путем моделирования в системе MATLAB исходной САУ
(рис 6) получить графики ttytg
2) сравнить полученную таким образом экспериментальную ве-
личину t с теоретической величиной вычисленной по формуле (1)
3) применяя описанные в теоретической части методических
указаний способы коррекции статических свойств (см п 31) обес-
печить требуемую статическую ошибку εуст системы при отработке
задающего воздействия ttg 1
4) получить графики ty и t в скорректированной системе
для 1 ttg
5) сравнить время регулирования регt и перерегулирование в
исходной и скорректированной системах при 1 ttg
При исследовании рассмотренного способа коррекции динами-
ческих свойств САУ (см п 32) в качестве исходных данных высту-
пают передаточная функция sW неизменяемой части системы
вида (6) и передаточная функция регулятора вида
s
KsR
рег
56
Задающее воздействие ttg 1
В процессе выполнения данной части работы необходимо
1) получить путем моделирования в MATLAB графики ty t
в системе (рис 7)
2) определить время регулирования регt и перерегулирование
а также запасы устойчивости в исходной системе
3) применяя описанный выше способ коррекции динамических
свойств САУ найти экспериментально (путем последовательного пе-
ребора) значение осK обеспечивающее в системе заданные заданием
показатели качества ( регt ) и запасы устойчивости (при необхо-
димости увеличить коэффициент регK )
4) получить графики ty t а также ЛАХ и ЛФХ разомкну-
той системы в скорректированной САУ
7 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) титульный лист
б) структурные схемы исследуемых систем
в) полученные графики и характеристики
г) значения полученные экмпериментально которые
обеспечивают заданные показатели качества и запасы устойчивости
д) выводы обощающие проделанные эксперименты для
коррекции статических и динамических свойств САУ
е) ответы на контрольные вопросы
Контрольные вопросы 1 Дать определение статической и астатической САУ
2 Какими структурными свойствами системы определяется по-
рядок ее астатизма
3 Какой из двух приведенных выше способов придания системе
свойств астатизма 1-го порядка наиболее предпочтителен на
практике
4 Назовите основные показатели качества САУ Поясните их
смысл
5 В чѐм суть исследуемого способа коррекции динамических
свойств САУ
57
6 Назвать другие способы коррекции динамических свойств
САУ
7 Чем вызваны отрицательные фазовые сдвиги в неизменяемой
части САУ
58
Лабораторная работа 6
МЕТОД КОРНЕВОГО ГОДОГРАФА
1 Цель работы
Целью работы является построение корневого годографа и ис-
следование динамики системы с использованием автоматизирован-
ных средств моделирования на ПК ndash MATLABSIMULINK
2 Задачи работы
ndash Закрепление углубление и расширение знаний студентов при
исследование динамики системы
ndash Овладение навыком построения корневого годографа
ndash Приобретение умений и навыков работы с программой мате-
матического моделирования MATLAB
3 Теоретическая часть
Корневым годографом (КГ) называется совокупность траекто-
рий перемещения всех корней характеристического уравнения за-
мкнутой системы при изменении какого-либо параметра этой систе-
мы
Обычно метод КГ позволяет находить полюса и нули ПФ за-
мкнутой системы располагая полюсами и нулями разомкнутой си-
стемы при изменении коэффициента усиления разомкнутой системы
K
ПФ разомкнутой системы Wp(s) представим в следующем виде
)(
)(
1
1
0
n
ii
m
jj
p
ss
ssKC
sW (1)
где 0js ndash нули ПФ sWp )1( mj
is ndash полюса ПФ sWp
)1( nj n и m ndash порядки знаменателя и числителя C ndash коэффици-
ент представления (отношение коэффициентов при старших членах
числителя и знаменателя)
59
При замыкании системы с ПФ sWp единичной отрицатель-
ной обратной связью ПФ замкнутой системы sWз принимает вид
)(1
)(
sW
sWsW
p
pз
(2)
Из выражения (2) следует что нули ПФ замкнутой системы рав-
ны нулям ПФ разомкнутой системы
Для нахождения полюсов рассмотри выражение
01 sWp (3)
в соответствии с выражением (1) имеем
n
i
m
jjin
ii
m
jj
ssKCss
ss
ssKC
1 1
0
1
1
0
)()(01
)(
)(
(4)
На основании выражения (4) можно сказать что при K = 0 корни
характеристического уравнения совпадают с полюсами а при K = infin ndash
с нулями При изменении K от 0 до infin траектории корней начинаются
в полюсах и заканчиваются в нулях Обычно полюсов больше чем
нулей В этом случаем mn ветвей корневого годографа стремятся к
infin
Для определения полюсов замкнутой системы с отрицательной
обратной связью необходимо решить уравнение (его называют ос-
новным уравнением метода КГ)
1sWp (5)
Так как sWp является функцией комплексного переменного
s то уравнение (5) распадается на два уравнения уравнение модулей
1)( sWp (6)
60
и уравнение аргументов (фаза вектора -1 есть нечетное число π)
210)12()(arg sWp (7)
Как известно при умножении комплексных чисел их аргументы
складываются а при делении ndash вычитаются Поэтому исходя из вы-
ражения (1) уравнение (7) имеет наглядный геометрический смысл
Пусть точка s ndash полюс замкнутой системы Если провести в s
вектора из нулей sWp (обозначим аргументы этих векторов 0j ) и
вектора из всех полюсов sWp (обозначим аргументы этих векторов
i ) то уравнение (7) можно записать в следующем виде
m
j
n
iij
1 1
0 210)12( (8)
Углы q отсчитываются от положительного направления дей-
ствительной оси Знак угла laquo+raquo соответствует повороту против часо-
вой стрелки знак угла laquo-raquo соответствует повороту по часовой стрел-
ке
Таким образом любая точка КГ должна удовлетворять уравне-
нию (8) из которого следует что конфигурация КГ не зависит от ко-
эффициента усиления K но каждому конкретному значению K одно-
значно соответствуют точки на КГ
При умножении комплексных чисел их модули перемножаются
а при делении ndash делятся Поэтому на основании (6) можно записать
1
1
1
0
n
ii
m
jj
l
lKC
(9)
где 0jl ndash модуль (длина) вектора проведенного из j-нуля в точку s
КГ il ndash модуль вектора проведенного из i-полюса в ту же точку s
61
Таким образом траектории корней строятся только по уравне-
ниям фаз а уравнение модулей используется затем для нахождения
K
Сущность метода КГ заключается в том чтобы узнать каким
должен быть коэффициент усиления разомкнутой системы чтобы
было обеспечено желаемое положение корней замкнутой системы
Корневой годограф системы с отрицательной обратной связью
обладает следующими основными свойствами
1 Ветви КГ непрерывны и расположены на комплексной плос-
кости симметрично относительно действительной оси
2 Число ветвей КГ равно порядку системы n Ветви начинают-
ся в n полюсах разомкнутой системы при K=0 При возрастании K от
0 до infin полюса замкнутой системы двигаются по ветвям КГ
3 mветвей КГ при возрастании K от 0 до infin заканчиваются в m
нулях )(sWp а )( mn ветвей при K стремящемся к infin удаляются
от полюсов вдоль асимптот
4 При расположении ветвей корневого годографа в левой полу-
плоскости s САУ устойчива При пересечении ветвей КГ мнимой оси
слева направо САУ становится неустойчивой Пусть при K=Kкр
пере-
сечение КГ с мнимой осью произойдет в некоторой точке iωкр
Назо-
вем это значение коэффициента усиления критическим Kкр
а вели-
чину iωкр
критической угловой частотой на которой система стано-
вится неустойчивой
4 Краткое описание MATLAB
Лабораторная работа выполняется в программе математического
моделирования MATLAB Программа MATLAB включает в себя пакет
прикладных программ для решения технических задач и одноименный
язык программирования используемый в этом пакете
Основными компонентами системы являются базовая система
MATLAB и пакет моделирования систем Simulink Остальные пакеты
расширения разбиты на 4 категории ndash расширения Extension MATLAB и
Extension Simulink а также комплексы пакетов расширения Blockset и
Toolbox
Раздел MATLAB Extension содержит средства для подготовки ис-
полняемых приложений MATLAB (с подключаемыми библиотеками и
без них)
62
Раздел Toolbox (инструментальные средства) содержит самое
большое число пакетов расширений системы MATLAB такие как
laquoControl systemraquo laquoDatabaseraquo laquoFuzzy logicraquo laquoWaveletraquo и тд
В разделе Blockset расположено несколько пакетов относящихся к
главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink такие как
laquoDSPraquo laquoFixed-Pointraquo laquoNonlinear control designraquo и laquoPower systemsraquo
В разделе Extension Simulink имеется ряд средств предназначен-
ных для моделирования в реальном масштабе времени и событийно-
управляемом моделировании
5 Корневой годограф в MATLAB
В системе MATLAB существует команда zpk для преобразова-
ния модели заданной ПФ в модель заданную нулями полюсами и
обобщенными коэффициентами передачи (zpk-форма)
Пример
gtgt w=tf([10][2 2 3 1 0])
Transfer function
10
-------------------------------
2 s^4 + 2 s^3 + 3 s^2 + s
gtgt w1=zpk(w)
Zeropolegain
5
----------------------------------------------
s (s+03966) (s^2 + 06034s + 1261)
Для работы с корневым годографом удобно использовать гра-
фический интерфейс laquoSISO-Design Toolraquo предназначенный для ана-
лиза и синтеза одномерных линейных систем автоматического управ-
ления (SISO ndash Single Input Signal Output)
Запуск SISO-Design Tool осуществляется командой
gtgt sisotool
63
В появившемся окне графического интерфейса необходимо ис-
пользовать команду laquoFileImportraquo для загрузки данных из рабочего
пространства MATLAB в результате которой появляется диалоговое
окно Import System Data (рис 1)
Рис 1 Диалог для ввода параметров модели
После импортирования данных можно исследовать изменение
временных и частотных характеристик замкнутой системы при изме-
нении K Обычно при этом требуется определить условия неустойчи-
вости замкнутой САУ Определить Kкр
и iωкр
На рис 2 показано окно sisotool для описанной выше модели w1
Двигая красным курсором по КГ до пересечения ветвей с мнимой
осью можно определить значения Kкр
В данном случае Kкр
asymp 01
Значение iωкр
соответствует мнимой координате пересечения КГ
мнимой оси Просмотреть это значение можно в нижней части ин-
терфейса или выбрать меню laquoView Closed-Loop Polesraquo
64
Рис 2 Основное окно SISO-Design Tool
6 Задание на лабораторную работу
Построить КГ в соответствии с вариантом из табл 1 при помо-
щи графического интерфейса sisotool
Исследовать динамику замкнутой системы при различных зна-
чениях коэффициента усиления разомкнутой системы K в том числе
ndash запасы устойчивости в частотной области
ndash параметры переходного процесса во временной области
Таблица 1
Варианты передаточных функций
Значения параметров Передаточная функция
разомкнутой системы
1 T = 01 ζ = 1
)12( 22 sTsTs
K
2 T = 005 ζ = 0707
3 T = 003 ζ = 01
4 T = 008 ζ = 05
5 T = 001 ζ = 015
65
Окончание табл 1
Значения параметров Передаточная функция
разомкнутой системы
6 T1 = 003 T2 = 05 T3 = 01 T4 = 005
)1)(1)(1(
)1(
432
1
sTsTsTs
sTK
7 T1 = 005 T2 = 04 T3 = 008 T4 = 0033
8 T1 = 02 T2 = 045 T3 = 01 T4 = 005
9 T1 = 05 T2 = 025 T3 = 01 T4 = 002
10 T1 = 01 T2 = 025 T3 = 01 T4 = 005
Вариант задания назначается преподавателем
7 Методика выполнения задания
Порядок выполнения лабораторной работы
1 Задать передаточную функцию в MATLAB в соответствии с
вариантом коэффициент K задать любым положительным числом
2 Запустить SISO-Design Tool и осуществить ввод данных
Построить КГ
3 По КГ определить значения коэффициента K когда система
будет устойчивой на границе устойчивости и неустойчива
4 Выбрать значение коэффициента K таким образом чтобы си-
стемы была устойчива и определить запас устойчивости в частотной
области и параметры переходного процесса во временной области
8 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) титульный лист
б) передаточную функцию и этапы построения КГ
в) анализ результатов построения КГ
г) выводы по проделанной работе
д) ответы на контрольные вопросы
Контрольные вопросы 1 Дать определение КГ
2 Что обычно позволяет находить метод КГ
3 В чем заключается сущность метода КГ
4 Что можно определить по КГ
66
Критерии результативности лабораторного практикума
Лабораторная работа считается выполненной если студент
ndash выполнил все указанные задания
ndash представил отчет соответствующий всем требованиям к его
содержанию и оформлению
ndash владеет терминологией и материалом лабораторной работы
ndash способен использовать программное средство математическо-
го моделирования MATLAB
ndash способен предоставить и рассказать результаты выполненной
работы на ПК
ndash может дать пояснения к отчету и ответить на контрольные
вопросы
Список литературы
1 Александров АГ Частотная теория автоматического управле-
ния учебное пособие ndash Электросталь ЭПИ МИСиС 2010
2 Борисевич АВ Теория автоматического управления элементар-
ное введение с применением MATLAB ndash СПб Изд-во Политехн ун-
та 2011
3 Федоров ВЛ Бубнов АВ Теория автоматического управления
учебное пособие ndash Омск Изд-во ОмГТУ 2010
4 Павловская ОО Чернецкая ИВ Теория автоматического
управления учебное пособие ndash Челябинск Изд-во ЮУрГУ 2010
67
Составители ЛЯНЦЕВ Олег Дмитриевич КАЗАНЦЕВ Андрей Валерьевич
ИССЛЕДОВАНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК СИСТЕМ
АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
Лабораторный практикум
по дисциплине
laquoТеория управленияraquo
Подписано в печать Формат 60х84 116 Бумага офсетная Пе-
чать плоская Гарнитура Times New Roman Усл печ л 56 Уч-изд л
55 Тираж 100 экз Заказ
ФГБОУ ВПО Уфимский государственный авиационный технический
университет
Центр оперативной полиграфии УГАТУ
450000 Уфа-центр ул К Маркса 12
23
передаточных функций разомкнутых контуров пар троек и тд не со-
прикасающихся друг с другом цепей с обратными связями Δi ndash до-
полнительный множитель для пути составляется по правилу анало-
гичному Δ но только для цепей с обратными связями не соприкаса-
ющихся с i-м прямым каналом
Дополнительный множитель для i-го пути равен определителю
графа в котором приравнены нулю коэффициенты передачи конту-
ров касающихся этого пути
Рассмотрим пример получения ПФ многоконтурной системы с
использованием формулы Мейсона для структуры на рис 1 которая
соответствует графу показанному на рис 7
X(s) Y(s)W1
W2
W3 W5 W6
W4 -W7
Рис 7 Описание системы управления сигнальным графом
От входа к выходу ведут два пути
65311 WWWWP
65322 WWWWP
В графе есть 2 контура
5431 WWWL
7652 WWWL
Контур L1 пересекает контур L2 поэтому определитель графа
вычисляется по формуле
)(1 21 LL
Контуры в этом примере пересекают все пути поэтому допол-
нительные множители путей равны
24
11
12
Окончательно можно записать
1
)(543765
65326531
2
1
WWWWWW
WWWWWWWWP
sW iii
Таким образом использование сигнальных графов и применение
формулы Мейсона позволяет алгоритмизировать процесс упрощения
структурной схемы
Третий способ для получения ПФ заключается в составлении
системы уравнений Необходимо обозначить выходы сумматоров и
составить систему уравнений на основе этих обозначений На рис9
представлена исходная схема с обозначенными сумматорами
W1
W2 W3
W4
W5 W6
W7
+
+
+
-
Z H
u y
Рис 9 Исходная схема САУ с обозначенными сумматорами
Опишем все сигналы в системе в виде уравнений
)( 4521 HWWuWWZ
73 yWZWH
65 HWWy
Подставив последовательно значения сигналов найдем ПФ
))(( 734521 yWWHWWuWWH
После преобразования получим
25
1
)(
543
73231
WWW
yWuWWWWH
Подставим полученное значение H в уравнение y
1
))((
543
6573231
WWW
WWyWuWWWWy
Получим ПФ вида
1
)(543765
65326531
WWWWWW
WWWWWWWW
u
ypW
4 Краткое описание MATLAB
Лабораторная работа выполняется в программе математического
моделирования MATLAB Программа MATLAB включает в себя пакет
прикладных программ для решения технических задач и одноименный
язык программирования используемый в этом пакете
Основными компонентами системы являются базовая система
MATLAB и пакет моделирования систем Simulink Остальные пакеты
расширения разбиты на 4 категории ndash расширения Extension MATLAB и
Extension Simulink а также комплексы пакетов расширения Blockset и
Toolbox
Раздел MATLAB Extension содержит средства для подготовки ис-
полняемых приложений MATLAB (с подключаемыми библиотеками и
без них)
Раздел Toolbox (инструментальные средства) содержит самое
большое число пакетов расширений системы MATLAB такие как
laquoControl systemraquo laquoDatabaseraquo laquoFuzzy logicraquo laquoWaveletraquo и тд
В разделе Blockset расположено несколько пакетов относящихся к
главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink такие как
laquoDSPraquo laquoFixed-Pointraquo laquoNonlinear control designraquo и laquoPower systemsraquo
В разделе Extension Simulink имеется ряд средств предназначен-
ных для моделирования в реальном масштабе времени и событийно-
управляемом моделировании
26
5 Структурные преобразования в MATLAB
В пакете MATLAB имеется ряд функций с помощью которых
можно выполнять структурные преобразования (используется экви-
валентная схема)
ndash series(w1w2) ndash последовательное соединение звеньев
ndash parallel(w1w2) ndash параллельное соединение звеньев
ndash feedback(w1w2) ndash включение звена w2 в контур отрицательной об-
ратной связи к w1
ndash feedback(w1w2sign) ndash включение звена w2 в контур обратной связи
звена w1 с указанием знака + или ndash (очевидно feedback(w1w2)=
=feedback(w1w2-1))
Пример
Даны две передаточные функции
22
221
ss
sW
22
322
2
2
ss
ssW
Опишем ПФ введя в окне команд MatLab следующие команды
gtgt w1=tf([1 2][1 2 2])
gtgt w2=tf([1 2 3][1 2 2])
Выполним структурные преобразования для данных ПФ
gtgt w2=series(w1w2)
Transfer function
s^3 + 4 s^2 + 7 s + 6
------------------------------------
s^4 + 4 s^3 + 8 s^2 + 8 s + 4
gtgt w3=parallel(w1w2)
Transfer function
s^4 + 5 s^3 + 13 s^2 + 16 s + 10
----------------------------------------
s^4 + 4 s^3 + 8 s^2 + 8 s + 4
27
gtgt w4=feedback(w1w2)
Transfer function
s^3 + 4 s^2 + 6 s + 4
----------------------------------------
s^4 + 5 s^3 + 12 s^2 + 15 s + 10
Для проверки правильности проведенных преобразований необ-
ходимо собрать схему исходной САУ и соответствующую ей эквива-
лентную схему в MATLAB Simulink
Исходная схема САУ собирается как модель из соответствую-
щих элементов таких как laquoTransfer Fncraquo laquostepraquo laquosignal builderraquo
laquoscoperaquo и laquosumraquo Все эти элементы находятся в пакете laquoSimulinkraquo и
представлены в виде блоков Для того чтобы создать новую модель
необходимо нажать laquoFile-gtNew-gtModel (Simulink)raquo после откроется
окно модели в которую нужно будет добавлять элементы из библио-
теки для доступа к ней необходимо нажать на значок laquoLibrary Brows-
erraquo
Описание используемых элементов из пакета Simulink
1 Transfer Fnc ndash передаточная функция
2 Step ndash единичный скачок (функция Хэвисайда) в блоке необходи-
мо задать время начала перехода (step time)
3 Signal builder ndash блок для моделирования сигнала по заданным па-
раметрам (можно построить единичный скачок и импульсную функ-
цию)
4 Scope ndash виртуальный осциллограф отображает получившийся гра-
фик открывается двойным щелчком левой клавиши мыши и для кор-
рекции масштаба необходимо нажать правой кнопкой по графику и
из выпадающего меню выбрать laquoautoscaleraquo
5 Sum ndash сумматор в параметрах задается число сигналов соответ-
ственно laquo+raquo - положительный laquondashraquo - отрицательный
Так же нужно задать время работы модели для этого необходи-
мо выбрать laquoSimulation-gtSimulation parametersraquo и установить пара-
метр laquostop timeraquo на нужное значение и после необходимо запустить
модель на выполнение нажав на значок laquoStart simulationraquo Пример
модели составленной в MATLAB представлен на рис 10
28
Рис 10 Пример схемы САУ с блоком laquosignal builderraquo
Задача считается решенной если при подаче на вход обоих
схем одинаковых тестовых воздействий (единичный скачок импуль-
сная функция) наблюдаются одинаковые выходные сигналы
6 Задание на лабораторную работу
Выполнить преобразование структурной схемы САУ в эквива-
лентную передаточную функцию Составить модель исходной схемы
САУ в MATLAB С помощью ряда функций MATLAB (структурные
преобразования) составить эквивалентную схему Вариант задания
назначается преподавателем
7 Методика выполнения задания
Порядок выполнения работы
1 Выполнить преобразование заданного варианта структурной
схемы САУ (см табл 2) в эквивалентную ПФ тремя способами
ndash непосредственно используя правила табл 1
ndash используя представление в виде сигнального графа и формулу
Мейсона
ndash составив систему уравнений и решив еѐ
2 В качестве звеньев W1W2W3 использовать передаточные
функции звеньев представленных в табл 2
3 Составить модель исходной схемы САУ в MATLAB постро-
ить реакцию получившейся модели на ступенчатое и импульсное
воздействия
4 С помощью ряда функций MATLAB (структурные преобразо-
вания) составить эквивалентную схему и построить реакцию на сту-
пенчатое и импульсное воздействия
5 Подготовить ответы на контрольные вопросы
29
Таблица 2
Варианты структур САУ
Исходная схема
Передаточные
функции
1 W1
W3
W2
-
+
-
+
u y
+
1
31
sW
2
442
s
sW
12
133
s
sW
2 W1
W3
W2
-
+
-
+
u y
+ +
3 W3
W2
W1
-
+
-
+
u y
+ +
4 W3
W1
W2
+
+
-
+
u y
+ +
1
21
sW
2
12
sW
12
13
s
sW
5
W1
W3
W2
-
+
-
+
u y
+ +
6
W1
W3
W2
-
+
-
+
u y
+
62
31
sW
2
52
sW
1
23
s
sW
7
W1
W3
W2
-
+
-
+
u y
+ +
8
W1
W2
W3
-
+
-
+
u y
+ +
30
8 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) описание всех этапов преобразования исходной схемы и по-
лучающихся промежуточных результатов выполненными тремя спо-
собами моделирование реакции схемы на типовое воздействие (ска-
чок) до и после преобразования
б) сигнальный граф системы описание путей контуров расчет
ПФ по формуле Мейсона
в) решение составленной системы уравнений
г) схема модели и протокол команд MATLAB
д) графики переходных процессов при подаче на вход исходной
и эквивалентной схемы типовых тестирующих воздействий (скачок
импульс)
е) ответы на контрольные вопросы
Контрольные вопросы
1 Что называется структурной схемой Какие задачи можно
решить с еѐ помощью
2 Как может быть составлена структурная схема
3 Что позволяет алгоритмизировать процесс упрощения струк-
турной схемы Поясните на конкретном примере
31
Лабораторная работа 3
ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
ДИНАМИЧЕСКИХ ЗВЕНЬЕВ
1 Цель работы
Целью работы является изучение частотных характеристик ти-
повых динамических звеньев с использованием автоматизированных
средств моделирования на ПК ndash MATLAB SIMULINK
2 Задачи работы
ndash Закрепление углубление и расширение знаний студентов при
исследовании частотных характеристик динамических звеньев
ndash Приобретение умений и навыков работы с программой мате-
матического моделирования MATLAB
ndash Выработка способности логического мышления осмысление
полученных данных частотных характеристик
3 Теоретическая часть Сущность метода частотных характеристик заключается в том
что на вход исследуемой системы подается гармонический сигнал (си-
нусоидальные колебания) в широком диапазоне частот Реакция си-
стемы при разных частотах позволяет судить о ее динамических
свойствах
Пусть входной сигнал системы имеет амплитуду а и частоту ω т е
описывается формулой
)sin( tax
Выходной сигнал будет иметь амплитуду А1 и отличаться от вход-
ного по фазе на величину ψ (фазовый сдвиг)
)sin(1 tAy
Таким образом можно рассчитать усиление по амплитуде
1
a
AA
32
Для каждой частоты входного сигнала ω будут свои А и ψ
Изменяя ω в широком диапазоне можно получить зависимость
А(ω) ndash амплитудную частотную характеристику (АЧХ) и ψ(ω) ndash фазо-
вую частотную характеристику (ФЧХ)
Главное достоинство метода частотных характеристик заключа-
ется в том что АЧХ и ФЧХ объекта могут быть получены экспери-
ментально Для этого необходимо иметь генератор гармонических
колебаний который подключается к входу объекта и измеритель-
ную аппаратуру для измерения амплитуды и фазового сдвига колеба-
ний на выходе объекта
Частотные характеристики САУ могут быть получены по ее ПФ
W(s) Для суждения о реакции звена на синусоидальный сигнал доста-
точно исследовать его реакцию на гармонический сигнал вида
)( tjejx
Тогда выходной сигнал определяется по соотношению
)()( ))(( tjeAjy
и частотная ПФ получается равной
)()(
)()( )(
jeA
jx
jyjW
Формально для получения частотной ПФ надо сделать в W(s)
подстановку s = jω и тогда полученная W(jω) является комплексным
выражением которое можно представить в виде
)()(
)()()(
22
11
jba
jbajW
Для нахождения вещественной и мнимой частей частотной пе-
редаточной функции необходимо умножить числитель и знаменатель
на сопряженную знаменателю величину а затем провести
разделение
33
)()()(
)()(
)()()()(
)()(
)()()()(
))()())(()((
))()())(()((
)()(
)()()(
)(
22
22
2112
22
22
2121
2222
2211
22
11
jeAjVU
ba
babaj
ba
bbaa
jbajba
jbajba
jba
jbajW
где
)()()()(22
22
21
2122
ba
baVUjWA
)(
)())(arg()(
2
2
1
1
a
barctg
a
barctg
U
VarctgjW
Графики функции )(U и )(V называют соответственно веще-
ственной и мнимой частотной характеристиками
В практических расчетах удобно применять графики частотных
характеристик построенных в логарифмическом масштабе ndash лога-
рифмические частотные характеристики (ЛЧХ)
Логарифмическая амплитудная частотная характеристика
(ЛАЧХ) определяется следующим выражением
)(lg20)( AL
Логарифмической фазовой частотной характеристикой
(ЛФЧХ) называется график зависимости )( построенный в лога-
рифмическом масштабе частот
Единицей L(ω) является децибел (дБ) а единицей логарифма ча-
стоты ndash декада Декадой называют интервал частот на котором часто-
та изменяется в 10 раз При изменении частоты в 10 раз говорят что
она изменилась на одну декаду Ось ординат при построении ЛЧХ про-
водят через произвольную точку а не через точку ω = 0 Частоте ω = 0
соответствует бесконечно удаленная точка lgω rarr ndash infin при ω rarr 0
Основное преимущество использования ЛЧХ заключается в том
что приближенные (асимптотические) ЛАЧХ типовых динамических
звеньев изображаются отрезками прямых
Пример Построим ЛЧХ апериодического звена первого
34
порядка
Передаточная функция звена
1
)(
Ts
ksW
Частотная передаточная функция
1)(
)1(
1)(
2
T
Tjk
Tj
kjW
1)(
1)( 22
T
kTV
T
kU
Следовательно АЧХ описывается формулой
1)(
)(2
T
kA
ФЧХ строится по формуле
)()( Tarctg
ЛАЧХ апериодического звена 1-го порядка
1)(lg20lg20)( 2 TkL
По этой формуле можно построить две асимптоты ndash прямые к
которым стремится ЛАЧХ при ω rarr 0 и при ω rarr infin Так при ω rarr 0 второе
слагаемое близко к нулю и этот участок ЛАЧХ представляет собой
горизонтальную прямую
lg20)( kL
При ω rarr infin получаем наклонную прямую
1)(lg20)( 2 TL
35
Для определения наклона этой прямой можно рассмотреть гра-
ницы декады
T
1 и
10
T
Изменение ЛАЧХ между этими точками
)(2011
lg20110
lg20)(
22
декдБT
TT
TL
ЛЧХ часто называют диаграммами Боде
4 Краткое описание MATLAB
Лабораторная работа выполняется в программе математического
моделирования MATLAB Она включает в себя пакет прикладных про-
грамм для решения технических задач и одноименный язык программи-
рования используемый в этом пакете
Основными компонентами системы являются базовая система
MATLAB и пакет моделирования систем Simulink Остальные пакеты
расширения разбиты на 4 категории ndash расширения Extension MATLAB и
Extension Simulink а также комплексы пакетов расширения Blockset и
Toolbox
Раздел MATLAB Extension содержит средства для подготовки ис-
полняемых приложений MATLAB (с подключаемыми библиотеками и
без них)
Раздел Toolbox (инструментальные средства) содержит самое
большое число пакетов расширений системы MATLAB такие как
laquoControl systemraquo laquoDatabaseraquo laquoFuzzy logicraquo laquoWaveletraquo и тд
В разделе Blockset расположено несколько пакетов относящихся к
главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink такие как
laquoDSPraquo laquoFixed-Pointraquo laquoNonlinear control designraquo и laquoPower systemsraquo
В разделе Extension Simulink имеется ряд средств предназначен-
ных для моделирования в реальном масштабе времени и событийно-
управляемом моделировании
36
5 Построение частотных характеристик в MATLAB В пакете MATLAB ЛЧХ объекта заданного с помощью ПФ
можно получить командой bode
Пример
gtgt w=tf([1 2][3 4 5])
gtgt bode(w)
Для нескольких вариантов передаточной функции можно исполь-
зовать вариант команды вида
gtgt bode(ww1w2)
Например построим диаграмму Боде при различных параметрах
колебательного звена (рис 1)
gtgt w=tf([1][2 03 1])
gtgt w1=tf([1][2 05 1])
gtgt w2=tf([1][2 01 1])
gtgt bode(ww1w2)
Рис 1 ЛЧХ колебательного звена
6 Задание на лабораторную работу
С помощью пакета MATLAB построить ЛЧХ каждого типового
звена Определить влияние коэффициентов входящих в описание
каждого звена на параметры ЛАЧХ и ЛФЧХ Вариант задания назна-
чается преподавателем
37
7 Методика выполнения задания
Порядок выполнения работы
1 Задать передаточную функцию типового динамического звена
используя параметры из табл 2 лабораторной работы 1
2 Построить диаграмму Боде при различных параметрах типо-
вого динамического звена
3 Определить влияние коэффициентов входящих в описание
каждого звена на параметры ЛАЧХ и ЛФЧХ в том числе
ndash как меняется ширина асимптотических участков ЛАЧХ и
ЛФЧХ
ndash как меняется положение точек пересечения осей ЛАЧХ
4 Написать вывод по влиянию коэффициентов на типовое звено
5 Выполнить пункты 1-4 для всех типовых звеньев
6 Подготовить ответы на контрольные вопросы
8 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) титульный лист
б) краткие теоретические сведения
в) передаточные функции и схемы моделирования исследуемых
звеньев
г) экспериментально полученные характеристики при вариации
параметров каждого звена
д) выводы обобщающие проделанные эксперименты по каждо-
му звену
ж) ответы на контрольные вопросы
Контрольные вопросы
1 Как пользуясь частотными характеристиками определить па-
раметры (коэффициенты передаточной функции) звена Пояс-
нить на конкретных примерах
2 Указать особенности построения ЛАХ и ЛФХ динамических
звеньев Что понимается под асимптотической ЛАХ звена
3 Как осуществляется построение АФХ динамического звена
38
Лабораторная работа 4
ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ СИСТЕМ
С ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ
1 Цель работы
Изучение особенностей практического использования алгебраи-
ческих и частотных критериев устойчивости для анализа динамики
линейных САУ с использованием автоматизированных средств моде-
лирования на ПК ndash MATLAB SIMULINK
2 Задачи работы
ndash Закрепление углубление и расширение знаний студентов при
исследовании устойчивости систем с обратной связью
ndash Приобретение умений и навыков работы с программой мате-
матического моделирования MATLAB
ndash Овладение новыми методами проверки устойчивости систем
с обратной связью
ndash Выработка способности логического мышления осмысления
полученных данных
3 Теоретическая часть
Устойчивость САУ является одним из основных условий ее ра-
ботоспособности и включает требование затухания во времени пере-
ходных процессов
Система является устойчивой если при ограниченном входном
сигнале еѐ выходной сигнал также является ограниченным Если
система устойчива то она противостоит внешним воздействиям а
выведенная из состояния равновесия возвращается снова к нему
Система с расходящимся переходным процессом будет неустойчивой и
неработоспособной
Необходимое и достаточное условие устойчивости заключается в
том чтобы все корни характеристического уравнения (полюсы пере-
даточной функции системы) имели отрицательные вещественные ча-
сти Иначе говоря условием устойчивости системы является распо-
ложение всех полюсов в левой комплексной полуплоскости Тогда все
полюсы будут давать затухающую реакцию
Выше сформулированное условие устойчивости справедливо как
39
для линейных так и для линеаризованных систем Однако в случае
нулевых или чисто мнимых корней характеристического уравнения
вопрос об устойчивости линеаризованной системы может быть ре-
шен только на основании исследования ее нелинейных уравнений
В конце XIX и первой половине XX в задача вычисления корней
характеристического уравнения высокого порядка вызывала боль-
шие проблемы Поэтому были предложены несколько косвенных
методов оценки устойчивости позволяющих обойтись без вычисле-
ния корней ndash по значениям коэффициентов характеристического
уравнения
Критерии устойчивости разделяют на алгебраические и частот-
ные В частности к алгебраическим критериям относится критерий
Гурвица к частотным критериям ndash критерий Найквиста
Критерий Гурвица является алгебраическим критерием и при-
меняется к коэффициентам характеристического уравнения замкнутой
системы
Пусть имеется характеристическое уравнение замкнутой
системы
0011
1 apapapa n
nn
n
Из коэффициентов характеристического уравнения составляют
матрицу по правилу
1 По диагонали записываются коэффициенты от 1na до 0a
2 Каждая строка дополняется коэффициентами с возрастающи-
ми индексами слева направо так чтобы чередовались строки с нечет-
ными и четными индексами
3 В случае отсутствия индекса а также если он меньше 0 или
больше п на его место пишется 0
Таким образом матрица Гурвица приобретает следующий вид
40
Критерий устойчивости формулируется так
Чтобы система была устойчивой необходимо и достаточно что-
бы при 0na были положительными все п диагональных определи-
телей получаемых из матрицы Гурвица
Первые три определителя матрицы Гурвица имеют следующий
вид
Таким образом критерий Гурвица позволяет судить об абсо-
лютной устойчивости но он не дает возможности оценивать относи-
тельную устойчивость по корням характеристического уравнения
Частотный критерий устойчивости Найквиста анализирует
АФЧХ разомкнутой системы
Пусть имеется АФЧХ разомкнутой системы W(jω)
Для нахождения вещественной и мнимой части частотной ха-
рактеристики нужно освободиться от мнимости в знаменателе путем
умножения числителя и знаменателя на комплексную величину со-
пряженную знаменателю а затем выполнить разделение на веще-
ственную и мнимую части W(jω) приобретает вид
)()()( jQPjW
Задаваясь различными значениями частоты можно найти мно-
жество пар )()( 11 jQP )()( 22 jQP )()( nn jQP
Затем по этим парам строится АФЧХ на комплексной плоскости
Основные свойства АФЧХ разомкнутой системы
1 Если разомкнутая система не имеет интегрирующих звеньев
то при ω = 0 ее АФЧХ начинается на вещественной оси в точке
Р(ω)=К (где К ndash коэффициент усиления разомкнутой системы) За-
канчивается АФЧХ в начале координат при ω rarr infin (рис 1 а)
2 Если разомкнутая система имеет одно интегрирующее звено то
ее АФЧХ начинается при ω = 0 в бесконечности на отрицательной мни-
мой полуоси а заканчивается в начале координат при ω rarr infin (рис 1 б)
41
Рис 1 АФЧХ разомкнутой системы
Критерий устойчивости Найквиста формулируется так
1 Если разомкнутая система устойчива или находится на гра-
нице устойчивости то для того чтобы замкнутая система была
устойчива необходимо и достаточно чтобы АФЧХ разомкнутой
системы при изменении частоты ω от 0 до infin не охватывала точку с ко-
ординатами (-1 j0)
2 Если разомкнутая система неустойчива а ее передаточная
функция имеет т полюсов справа от мнимой оси на комплексной
плоскости то для устойчивости замкнутой системы необходимо и до-
статочно чтобы АФЧХ разомкнутой системы при изменении частоты
ω от -infin до +infin охватывала т раз точку с координатами (-1 j0)
При использовании этого критерия нужно учитывать две
особенности
1 Если разомкнутая система находится на границе устойчиво-
сти то ее АФЧХ уходит в бесконечность Для проверки критерия Най-
квиста нужно мысленно соединить конец АФЧХ дугой бесконечно
большого радиуса с положительной вещественной полуосью
2 На практике АФЧХ может строиться только для положитель-
ных частот (0 lt ω lt +infin) При применении критерия Найквиста счита-
ется что ветвь АФЧХ для отрицательных частот симметрична отно-
сительно вещественной оси
Физический смысл критерия устойчивости Найквиста заключа-
ется в том что система будет неустойчива если фаза выходного сиг-
нала противоположна фазе входного сигнала а коэффициент усиле-
ния больше 1 Поэтому для анализа устойчивости можно использо-
вать не АФЧХ а ЛАХ системы (для минимально-фазовых систем)
Система устойчива если на частоте среза значение фазы не превы-
шает -π Соответственно для устойчивой системы можно рассматри-
вать на ЛФЧХ запас устойчивости по фазе ndash расстояние от значения
фазы на частоте среза до уровня -π и запас устойчивости по амплиту-
42
де ndash расстояние от оси частот ЛАЧХ до значения усиления на часто-
те где фаза становится равной -π
4 Краткое описание MATLAB
Лабораторная работа выполняется в программе математического
моделирования MATLAB Программа MATLAB включает в себя пакет
прикладных программ для решения технических задач и одноименный
язык программирования используемый в этом пакете
Основными компонентами системы являются базовая система
MATLAB и пакет моделирования систем Simulink Остальные пакеты
расширения разбиты на 4 категории ndash расширения Extension MATLAB и
Extension Simulink а также комплексы пакетов расширения Blockset и
Toolbox
Раздел MATLAB Extension содержит средства для подготовки ис-
полняемых приложений MATLAB (с подключаемыми библиотеками и
без них)
Раздел Toolbox (инструментальные средства) содержит самое
большое число пакетов расширений системы MATLAB такие как
laquoControl systemraquo laquoDatabaseraquo laquoFuzzy logicraquo laquoWaveletraquo и тд
В разделе Blockset расположено несколько пакетов относящихся к
главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink такие как
laquoDSPraquo laquoFixed-Pointraquo laquoNonlinear control designraquo и laquoPower systemsraquo
В разделе Extension Simulink имеется ряд средств предназначен-
ных для моделирования в реальном масштабе времени и событийно-
управляемом моделировании
5 Исследование устойчивости САУ в MATLAB
Для проверки устойчивости САУ по Гурвицу постройте матрицу
Гурвица и найдите ее детерминант (функция det) Затем последова-
тельно уменьшая размер матрицы найдите значения всех диагональ-
ных детерминантов Пример
gtgt А=[1 14 18 2 5 2 3 4 3]
А =
1 14 18
2 5 2
3 4 3
gtgt det(A)
ans = -119
43
gtgt А1=А(12 12)
А1 =
1 14
2 5
gtgt det(A1)
ans = -23
Для проверки устойчивости САУ по Найквисту сначала нужно
выяснить является ли устойчивой разомкнутая система
Пример Пусть дана передаточная функция разомкнутой
системы
13232
12234
pppp
pW
Рассмотрим реакцию на скачок
gtgt w=tf([2 1][2 3 2 3 1])
gtgt step(w18)
График переходного процесса показан на рис 2
Рис 2 Переходная реакция
Разомкнутая система неустойчива и согласно критерию Найкви-
ста надо чтобы АФЧХ разомкнутой системы охватывала точку (-1 j0)
44
столько раз сколько полюсов имеется справа от мнимой оси Для по-
строения АФЧХ достаточно вызвать команду nyquist
gtgt nyquist(w)
Диаграмма Найквиста показана на рис 3
Рис 3 Диаграмма Найквиста для неустойчивой системы
Как показывает рис3 АФЧХ ни разу не охватывает точку
(-1 j0) поэтому замкнутая система будет неустойчивой Частотный
критерий Найквиста можно использовать и в том случае когда рас-
сматривается не АФЧХ а ЛАЧХ разомкнутой системы замкнутая
минимально-фазовая система устойчива если при достижении ЛФЧХ
значения -π ЛАЧХ будет отрицательной
Используя ЛАЧХ и ЛФЧХ можно оценить запасы устойчивости
системы по амплитуде и по фазе с помощью команды
gtgt margin(w)
Пример
gtgt w=tf([10][2 2 3 1])
gtgt margin(w)
Соответствующий график показан на рис 4
45
Рис 4 Определение запасов устойчивости по амплитуде и по фазе
6 Задание на лабораторную работу
Выполнить исследование устойчивости замкнутой системы по за-
данной передаточной функции разомкнутой системы Определить запас
устойчивости по амплитуде и по фазе Вариант задания назначается
преподавателем
7 Методика выполнения задания
Порядок выполнения работы
1 Рассчитать передаточную функцию замкнутой системы по
приведенной в табл 1 разомкнутой системе
2 Определить устойчивость замкнутой системы используя кри-
терий Гурвица
3 Определить устойчивость замкнутой системы используя кри-
терий Найквиста
4 Определить запас устойчивости по амплитуде и по фазе ис-
пользуя ЛАЧХ и ЛФЧХ
5 Выполнить моделирование переходных процессов разомкну-
той и замкнутой систем
6 Подготовить ответы на контрольные вопросы
46
Таблица 1
Варианты заданий
Передаточная функция разомкнутой системы
1 1355
2234
ssss
W
2 110050
1234
ssss
W
3 11010
123
sss
W
4 122105
100234
ssss
W
5 1248
123
sss
W
6 1223
102345
sssss
W
7 11001010
323
sss
W
8 122
1023
sss
W
9 11010
123
sss
W
10 15050332
102345
sssss
W
8 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) титульный лист
б) краткие теоретические сведения
в) переходную функцию разомкнутой системы
г) расчет передаточной функции замкнутой системы
д) расчетные выражения для обоснования устойчивости замкну-
той системы по алгебраическому критерию Гурвица
е) годограф Найквиста разомкнутой системы на основании кото-
рого делается вывод об устойчивости замкнутой системы
ѐ) переходную функцию замкнутой системы
ж) проверку полученных результатов путем компьютерного моде-
лирования переходных процессов разомкнутой и замкнутой си-
стемы в MATLAB Simulink
з) выводы по всем полученным результатам
47
Контрольные вопросы
1 Как связана устойчивость линейной САУ с видом составля-
ющих ее свободного движения
2 Зависит ли устойчивость линейных САУ от амплитуды зада-
ющих воздействий или возмущений
3 Сформулируйте критерий устойчивости Гурвица укажите на
необходимое условие устойчивости линейных САУ вытекаю-
щее из этого критерия
4 Сформулируйте критерий Найквиста для случая САУ устой-
чивых в разомкнутом состоянии а также для астатических САУ
Что такое laquoзапасы устойчивости по фазе и по амплитудеraquo
5 Что называется структурной устойчивостью
48
Лабораторная работа 5
КОРРЕКЦИЯ СТАТИЧЕСКИХ И ДИНАМИЧЕСКИХ
СВОЙСТВ САУ
1 Цель работы
Целью работы является изучение способов обеспечения иско-
мых характеристик САУ с использованием автоматизированных
средств моделирования на ПК ndash MATLAB SIMULINK
2 Задачи работы
ndash Закрепление углубление и расширение знаний студентов при
обеспечении искомых характеристик САУ
ndash Приобретение умений по обеспечению точности (уменьшение
статической ошибки) САУ и выбору значений параметров регулято-
ра обеспечивающих желаемые динамические свойства САУ
ndash Приобретение умений и навыков работы с программой мате-
матического моделирования MATLAB
3 Теоретическая часть
Коррекция статических и динамических свойств САУ имеет
своей целью повышение статической и динамической точности отра-
ботки системой задающего воздействия (или парирование возмуща-
ющего воздействия) повышение запасов ее устойчивости Наиболее
распространенными способами коррекции свойств САУ является из-
менение коэффициента усиления ее разомкнутой части введение в
САУ новых звеньев (как правило интегрирующего или дифференци-
рующего типа) охват объекта управления местной обратной связью
31 Коррекция статических свойств САУ
Статические свойства системы определяются величиной устано-
вившейся ошибки )t(уст вызванной действием задающего воздей-
ствия и определяемой по формуле
22
210 2 dttgdcdttdgctgctуст (1)
где )(tg - входное воздействие 210 ccc - коэффициенты ошибок
Коэффициенты ошибок определяются по формулам
49
dssdcdssdcscs
mmmss 00100
где s - передаточная функция САУ по ошибке управления рав-
ная
sW
sраз
1
1
sWраз - передаточная функция разомкнутой САУ
Основными способами уменьшения статической ошибки систе-
мы являются
1) увеличение коэффициента усиления прямого тракта системы
2) введение в прямой тракт системы интегрирующих звеньев
3) охват объекта управления местной неединичной положитель-
ной обратной связью
Представим структурную схему системы в виде изображенном
на рис 1 где через sW обозначена передаточная функция неизме-
няемой части системы
bsbsb
asasasW
nn
nn
mm
mm
01
1
01
1
Здесь и далее полагается что KKKsW s 000 0 ndash из-
меняемый коэффициент усиления регулятора системы
Первые два коэффициента ошибок 0c и 1c определяется выраже-
ниями
KK
c0
01
1
(2)
KK
dssdWKc
s
20
01
1
(3)
Из (2) и (3) с учетом (1) вытекает что с увеличением K
статическая ошибка в системе уменьшается и наоборот с уменьше-
нием K статическая ошибка в системе увеличивается
Введем в прямой тракт системы одно интегрирующее звено
50
(рис 2) В этом случае c 00 01 1 KKc
Так как c 00 то система на рис 2 является астатической (с
астатизмом первого порядка) Система имеет нулевую статическую
ошибку при отработке постоянного задающего воздействия
consttg и постоянную обратно пропорциональную K ошибку
constуст при отработке линейно изменяющегося воздействия
tatg
Рис 1 Схема САУ Рис 2 Схема САУ с включенным в прямой
тракт интегрирующим звеном
Охватим неизменяемую часть системы sW местной нееди-
ничной положительной обратной связью с коэффициентом усиления
осK (рис 3) Тогда эквивалентная передаточная функция sWэкв
неизменяемой части системы равна
10011
01
1
aKbsaKbsaKbsb
asasa
sWK
sWsW
ососm
mосmn
n
mm
mm
осэкв
(4)
Если коэффициент усиления K выбрать из условия
a
bKос
0
0
то свободный коэффициент (b0 - Koca0) полинома знаменателя sWэкв
обратится в нуль и sWэкв приобретает интегрирующие свойства
11
11
0
1
1
aKbsaKbsbs
asasasW
ос
m
mосm
n
n
m
m
m
mэкв
g(t) y(t)ε(t)
K W(s)-
g(t) y(t)
Ks W(s)-
ε(t)
51
Следовательно замкнутая система становится астатической (с
астатизмом 1-го порядка) Отсюда 0c =0 а коэффициент 1c будет
равен
aKb
bc
ос 11
01
ε(t)g(t) y(t)
W(s)-
Kос
Wэкв(s)
+
Рис 3 Схема САУ с местной неединичной обратной связью
32 Коррекция динамических свойств САУ
Улучшение динамических свойств САУ заключается в увеличе-
нии быстродействия САУ (уменьшении времени регулирования tрег)
уменьшении перерегулирования (см рис 4) а также увеличении
запасов устойчивости по фазе и по модулю При этом
h
hh
уст
устmax100
где maxh - максимальное значение переходной характеристики за-
мкнутой САУ th
устh - установившееся значение th
Время регулирования tрег - минимальная величина при которой удо-
влетворяется условие
устрег hth
где - заданная величина ошибки (обычно =005 устh )
52
h(t)
tрег
hустhmax
2δ
Рис 4 Быстродействие и перерегулирование САУ
Одним из эффективных средств достижения этой цели является
уменьшение отрицательных фазовых сдвигов в прямом тракте систе-
мы путем охвата неизменяемой части системы местными отрицатель-
ными обратными связями
На рис 5 R(s) представляет собой передаточную функцию регу-
лятора САУ которая считается заданной
ε(t)g(t) y(t)
W(s)-
Kос
Wэкв(s)
-
R(s)
u(t)
Рис 5 Схема САУ с местной обратной связью и регулятором
Пусть неизменяемая часть системы представляет собой аперио-
дическое звено первого порядка те
sT
K)s(W
10
0
Тогда передаточная функция sWэкв эквивалентного объекта
управления равна
sT
K
sWK
sWsW
экв
экв
осэкв
11
где зквK и эквT - коэффициент усиления и постоянная времени
эквивалентного объекта равные
53
KK
KK
осэкв
0
0
1
KK
TT
осэкв
0
0
1 (5)
Из (5) следует что соответствующим выбором осK постоянную
времени эквT эквивалентного объекта можно уменьшить в (1+ 0KKос )
раз по сравнении с постоянной времени 0T объекта без местной об-
ратной связи Тем самым уменьшаются отрицательные фазовые сдви-
ги вносимые прямым трактом системы что приводит к увеличению
запасов устойчивости системы При этом однако уменьшается в
(1+ 0KKос ) раз коэффициент усиления эквK эквивалентного объекта
по сравнению с коэффициентом усиления 0K объекта без местной
обратной связи Это нежелательно так как приводит к уменьшению
быстродействия системы вследствие уменьшения общего коэффици-
ента усиления прямого тракта системы В этом случае с целью обес-
печения необходимого быстродействия системы увеличивают коэф-
фициент усиления регулятора
4 Краткое описание MATLAB
Лабораторная работа выполняется в программе математического
моделирования MATLAB Программа MATLAB включает в себя пакет
прикладных программ для решения технических задач и одноименный
язык программирования используемый в этом пакете
Основными компонентами системы являются базовая система
MATLAB и пакет моделирования систем Simulink Остальные пакеты
расширения разбиты на 4 категории ndash расширения Extension MATLAB и
Extension Simulink а также комплексы пакетов расширения Blockset и
Toolbox
Раздел MATLAB Extension содержит средства для подготовки ис-
полняемых приложений MATLAB (с подключаемыми библиотеками и
без них)
Раздел Toolbox (инструментальные средства) содержит самое
большое число пакетов расширений системы MATLAB такие как
laquoControl systemraquo laquoDatabaseraquo laquoFuzzy logicraquo laquoWaveletraquo и тд
54
В разделе Blockset расположено несколько пакетов относящихся к
главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink такие как
laquoDSPraquo laquoFixed-Pointraquo laquoNonlinear control designraquo и laquoPower systemsraquo
В разделе Extension Simulink имеется ряд средств предназначен-
ных для моделирования в реальном масштабе времени и событийно-
управляемом моделировании
5 Задание на лабораторную работу
Выполнить исследование способов коррекции статических и
динамических свойств САУ Определить время регулирования и пе-
ререгулирования в исходной и скорректированной системах а также
для динамических свойств САУ определить запасы устойчивости в
исходной системе и найти экспериментально значение Kос обеспечи-
вающее в системе заданные показатели качества и запасы устойчиво-
сти Вариант задания назначается преподавателем
Таблица 1
Варианты заданий
варианта
Параметры
1
2
3
4
5
6
7
8
a 05 10 15 20 25 30 35 40
K0 1 2 3 4 5 6 7 8
T c 03 04 05 06 07 08 09 10
ξ 06 07 08 08 07 09 05 04
уст 0 0 005 0 010 007 0 0
tрег c le 13 15 20 25 30 35 40 40
le 0 10 10 5 5 5 0 0
В качестве исходных САУ выступают системы изображенные
на рис 6 и 7
55
ε(t)g(t) y(t)
W(s)-
g(t) y(t)
R(s) W(s)-
ε(t) u(t)
Рис 6 САУ с отрицательной Рис 7 САУ с отрицательной обратной
обратной связью связью и регулятором
6 Методика выполнения задания
При исследовании способов коррекции статических свойств
САУ в качестве исходных данных выступает передаточная функция
sW неизменяемой части системы вида
1222
0
sTsT
KsW (6)
и задающие воздействия вида ttg 1 в соответствии с таблицей 1
В процессе выполнения этой части работы необходимо
1) путем моделирования в системе MATLAB исходной САУ
(рис 6) получить графики ttytg
2) сравнить полученную таким образом экспериментальную ве-
личину t с теоретической величиной вычисленной по формуле (1)
3) применяя описанные в теоретической части методических
указаний способы коррекции статических свойств (см п 31) обес-
печить требуемую статическую ошибку εуст системы при отработке
задающего воздействия ttg 1
4) получить графики ty и t в скорректированной системе
для 1 ttg
5) сравнить время регулирования регt и перерегулирование в
исходной и скорректированной системах при 1 ttg
При исследовании рассмотренного способа коррекции динами-
ческих свойств САУ (см п 32) в качестве исходных данных высту-
пают передаточная функция sW неизменяемой части системы
вида (6) и передаточная функция регулятора вида
s
KsR
рег
56
Задающее воздействие ttg 1
В процессе выполнения данной части работы необходимо
1) получить путем моделирования в MATLAB графики ty t
в системе (рис 7)
2) определить время регулирования регt и перерегулирование
а также запасы устойчивости в исходной системе
3) применяя описанный выше способ коррекции динамических
свойств САУ найти экспериментально (путем последовательного пе-
ребора) значение осK обеспечивающее в системе заданные заданием
показатели качества ( регt ) и запасы устойчивости (при необхо-
димости увеличить коэффициент регK )
4) получить графики ty t а также ЛАХ и ЛФХ разомкну-
той системы в скорректированной САУ
7 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) титульный лист
б) структурные схемы исследуемых систем
в) полученные графики и характеристики
г) значения полученные экмпериментально которые
обеспечивают заданные показатели качества и запасы устойчивости
д) выводы обощающие проделанные эксперименты для
коррекции статических и динамических свойств САУ
е) ответы на контрольные вопросы
Контрольные вопросы 1 Дать определение статической и астатической САУ
2 Какими структурными свойствами системы определяется по-
рядок ее астатизма
3 Какой из двух приведенных выше способов придания системе
свойств астатизма 1-го порядка наиболее предпочтителен на
практике
4 Назовите основные показатели качества САУ Поясните их
смысл
5 В чѐм суть исследуемого способа коррекции динамических
свойств САУ
57
6 Назвать другие способы коррекции динамических свойств
САУ
7 Чем вызваны отрицательные фазовые сдвиги в неизменяемой
части САУ
58
Лабораторная работа 6
МЕТОД КОРНЕВОГО ГОДОГРАФА
1 Цель работы
Целью работы является построение корневого годографа и ис-
следование динамики системы с использованием автоматизирован-
ных средств моделирования на ПК ndash MATLABSIMULINK
2 Задачи работы
ndash Закрепление углубление и расширение знаний студентов при
исследование динамики системы
ndash Овладение навыком построения корневого годографа
ndash Приобретение умений и навыков работы с программой мате-
матического моделирования MATLAB
3 Теоретическая часть
Корневым годографом (КГ) называется совокупность траекто-
рий перемещения всех корней характеристического уравнения за-
мкнутой системы при изменении какого-либо параметра этой систе-
мы
Обычно метод КГ позволяет находить полюса и нули ПФ за-
мкнутой системы располагая полюсами и нулями разомкнутой си-
стемы при изменении коэффициента усиления разомкнутой системы
K
ПФ разомкнутой системы Wp(s) представим в следующем виде
)(
)(
1
1
0
n
ii
m
jj
p
ss
ssKC
sW (1)
где 0js ndash нули ПФ sWp )1( mj
is ndash полюса ПФ sWp
)1( nj n и m ndash порядки знаменателя и числителя C ndash коэффици-
ент представления (отношение коэффициентов при старших членах
числителя и знаменателя)
59
При замыкании системы с ПФ sWp единичной отрицатель-
ной обратной связью ПФ замкнутой системы sWз принимает вид
)(1
)(
sW
sWsW
p
pз
(2)
Из выражения (2) следует что нули ПФ замкнутой системы рав-
ны нулям ПФ разомкнутой системы
Для нахождения полюсов рассмотри выражение
01 sWp (3)
в соответствии с выражением (1) имеем
n
i
m
jjin
ii
m
jj
ssKCss
ss
ssKC
1 1
0
1
1
0
)()(01
)(
)(
(4)
На основании выражения (4) можно сказать что при K = 0 корни
характеристического уравнения совпадают с полюсами а при K = infin ndash
с нулями При изменении K от 0 до infin траектории корней начинаются
в полюсах и заканчиваются в нулях Обычно полюсов больше чем
нулей В этом случаем mn ветвей корневого годографа стремятся к
infin
Для определения полюсов замкнутой системы с отрицательной
обратной связью необходимо решить уравнение (его называют ос-
новным уравнением метода КГ)
1sWp (5)
Так как sWp является функцией комплексного переменного
s то уравнение (5) распадается на два уравнения уравнение модулей
1)( sWp (6)
60
и уравнение аргументов (фаза вектора -1 есть нечетное число π)
210)12()(arg sWp (7)
Как известно при умножении комплексных чисел их аргументы
складываются а при делении ndash вычитаются Поэтому исходя из вы-
ражения (1) уравнение (7) имеет наглядный геометрический смысл
Пусть точка s ndash полюс замкнутой системы Если провести в s
вектора из нулей sWp (обозначим аргументы этих векторов 0j ) и
вектора из всех полюсов sWp (обозначим аргументы этих векторов
i ) то уравнение (7) можно записать в следующем виде
m
j
n
iij
1 1
0 210)12( (8)
Углы q отсчитываются от положительного направления дей-
ствительной оси Знак угла laquo+raquo соответствует повороту против часо-
вой стрелки знак угла laquo-raquo соответствует повороту по часовой стрел-
ке
Таким образом любая точка КГ должна удовлетворять уравне-
нию (8) из которого следует что конфигурация КГ не зависит от ко-
эффициента усиления K но каждому конкретному значению K одно-
значно соответствуют точки на КГ
При умножении комплексных чисел их модули перемножаются
а при делении ndash делятся Поэтому на основании (6) можно записать
1
1
1
0
n
ii
m
jj
l
lKC
(9)
где 0jl ndash модуль (длина) вектора проведенного из j-нуля в точку s
КГ il ndash модуль вектора проведенного из i-полюса в ту же точку s
61
Таким образом траектории корней строятся только по уравне-
ниям фаз а уравнение модулей используется затем для нахождения
K
Сущность метода КГ заключается в том чтобы узнать каким
должен быть коэффициент усиления разомкнутой системы чтобы
было обеспечено желаемое положение корней замкнутой системы
Корневой годограф системы с отрицательной обратной связью
обладает следующими основными свойствами
1 Ветви КГ непрерывны и расположены на комплексной плос-
кости симметрично относительно действительной оси
2 Число ветвей КГ равно порядку системы n Ветви начинают-
ся в n полюсах разомкнутой системы при K=0 При возрастании K от
0 до infin полюса замкнутой системы двигаются по ветвям КГ
3 mветвей КГ при возрастании K от 0 до infin заканчиваются в m
нулях )(sWp а )( mn ветвей при K стремящемся к infin удаляются
от полюсов вдоль асимптот
4 При расположении ветвей корневого годографа в левой полу-
плоскости s САУ устойчива При пересечении ветвей КГ мнимой оси
слева направо САУ становится неустойчивой Пусть при K=Kкр
пере-
сечение КГ с мнимой осью произойдет в некоторой точке iωкр
Назо-
вем это значение коэффициента усиления критическим Kкр
а вели-
чину iωкр
критической угловой частотой на которой система стано-
вится неустойчивой
4 Краткое описание MATLAB
Лабораторная работа выполняется в программе математического
моделирования MATLAB Программа MATLAB включает в себя пакет
прикладных программ для решения технических задач и одноименный
язык программирования используемый в этом пакете
Основными компонентами системы являются базовая система
MATLAB и пакет моделирования систем Simulink Остальные пакеты
расширения разбиты на 4 категории ndash расширения Extension MATLAB и
Extension Simulink а также комплексы пакетов расширения Blockset и
Toolbox
Раздел MATLAB Extension содержит средства для подготовки ис-
полняемых приложений MATLAB (с подключаемыми библиотеками и
без них)
62
Раздел Toolbox (инструментальные средства) содержит самое
большое число пакетов расширений системы MATLAB такие как
laquoControl systemraquo laquoDatabaseraquo laquoFuzzy logicraquo laquoWaveletraquo и тд
В разделе Blockset расположено несколько пакетов относящихся к
главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink такие как
laquoDSPraquo laquoFixed-Pointraquo laquoNonlinear control designraquo и laquoPower systemsraquo
В разделе Extension Simulink имеется ряд средств предназначен-
ных для моделирования в реальном масштабе времени и событийно-
управляемом моделировании
5 Корневой годограф в MATLAB
В системе MATLAB существует команда zpk для преобразова-
ния модели заданной ПФ в модель заданную нулями полюсами и
обобщенными коэффициентами передачи (zpk-форма)
Пример
gtgt w=tf([10][2 2 3 1 0])
Transfer function
10
-------------------------------
2 s^4 + 2 s^3 + 3 s^2 + s
gtgt w1=zpk(w)
Zeropolegain
5
----------------------------------------------
s (s+03966) (s^2 + 06034s + 1261)
Для работы с корневым годографом удобно использовать гра-
фический интерфейс laquoSISO-Design Toolraquo предназначенный для ана-
лиза и синтеза одномерных линейных систем автоматического управ-
ления (SISO ndash Single Input Signal Output)
Запуск SISO-Design Tool осуществляется командой
gtgt sisotool
63
В появившемся окне графического интерфейса необходимо ис-
пользовать команду laquoFileImportraquo для загрузки данных из рабочего
пространства MATLAB в результате которой появляется диалоговое
окно Import System Data (рис 1)
Рис 1 Диалог для ввода параметров модели
После импортирования данных можно исследовать изменение
временных и частотных характеристик замкнутой системы при изме-
нении K Обычно при этом требуется определить условия неустойчи-
вости замкнутой САУ Определить Kкр
и iωкр
На рис 2 показано окно sisotool для описанной выше модели w1
Двигая красным курсором по КГ до пересечения ветвей с мнимой
осью можно определить значения Kкр
В данном случае Kкр
asymp 01
Значение iωкр
соответствует мнимой координате пересечения КГ
мнимой оси Просмотреть это значение можно в нижней части ин-
терфейса или выбрать меню laquoView Closed-Loop Polesraquo
64
Рис 2 Основное окно SISO-Design Tool
6 Задание на лабораторную работу
Построить КГ в соответствии с вариантом из табл 1 при помо-
щи графического интерфейса sisotool
Исследовать динамику замкнутой системы при различных зна-
чениях коэффициента усиления разомкнутой системы K в том числе
ndash запасы устойчивости в частотной области
ndash параметры переходного процесса во временной области
Таблица 1
Варианты передаточных функций
Значения параметров Передаточная функция
разомкнутой системы
1 T = 01 ζ = 1
)12( 22 sTsTs
K
2 T = 005 ζ = 0707
3 T = 003 ζ = 01
4 T = 008 ζ = 05
5 T = 001 ζ = 015
65
Окончание табл 1
Значения параметров Передаточная функция
разомкнутой системы
6 T1 = 003 T2 = 05 T3 = 01 T4 = 005
)1)(1)(1(
)1(
432
1
sTsTsTs
sTK
7 T1 = 005 T2 = 04 T3 = 008 T4 = 0033
8 T1 = 02 T2 = 045 T3 = 01 T4 = 005
9 T1 = 05 T2 = 025 T3 = 01 T4 = 002
10 T1 = 01 T2 = 025 T3 = 01 T4 = 005
Вариант задания назначается преподавателем
7 Методика выполнения задания
Порядок выполнения лабораторной работы
1 Задать передаточную функцию в MATLAB в соответствии с
вариантом коэффициент K задать любым положительным числом
2 Запустить SISO-Design Tool и осуществить ввод данных
Построить КГ
3 По КГ определить значения коэффициента K когда система
будет устойчивой на границе устойчивости и неустойчива
4 Выбрать значение коэффициента K таким образом чтобы си-
стемы была устойчива и определить запас устойчивости в частотной
области и параметры переходного процесса во временной области
8 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) титульный лист
б) передаточную функцию и этапы построения КГ
в) анализ результатов построения КГ
г) выводы по проделанной работе
д) ответы на контрольные вопросы
Контрольные вопросы 1 Дать определение КГ
2 Что обычно позволяет находить метод КГ
3 В чем заключается сущность метода КГ
4 Что можно определить по КГ
66
Критерии результативности лабораторного практикума
Лабораторная работа считается выполненной если студент
ndash выполнил все указанные задания
ndash представил отчет соответствующий всем требованиям к его
содержанию и оформлению
ndash владеет терминологией и материалом лабораторной работы
ndash способен использовать программное средство математическо-
го моделирования MATLAB
ndash способен предоставить и рассказать результаты выполненной
работы на ПК
ndash может дать пояснения к отчету и ответить на контрольные
вопросы
Список литературы
1 Александров АГ Частотная теория автоматического управле-
ния учебное пособие ndash Электросталь ЭПИ МИСиС 2010
2 Борисевич АВ Теория автоматического управления элементар-
ное введение с применением MATLAB ndash СПб Изд-во Политехн ун-
та 2011
3 Федоров ВЛ Бубнов АВ Теория автоматического управления
учебное пособие ndash Омск Изд-во ОмГТУ 2010
4 Павловская ОО Чернецкая ИВ Теория автоматического
управления учебное пособие ndash Челябинск Изд-во ЮУрГУ 2010
67
Составители ЛЯНЦЕВ Олег Дмитриевич КАЗАНЦЕВ Андрей Валерьевич
ИССЛЕДОВАНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК СИСТЕМ
АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
Лабораторный практикум
по дисциплине
laquoТеория управленияraquo
Подписано в печать Формат 60х84 116 Бумага офсетная Пе-
чать плоская Гарнитура Times New Roman Усл печ л 56 Уч-изд л
55 Тираж 100 экз Заказ
ФГБОУ ВПО Уфимский государственный авиационный технический
университет
Центр оперативной полиграфии УГАТУ
450000 Уфа-центр ул К Маркса 12
24
11
12
Окончательно можно записать
1
)(543765
65326531
2
1
WWWWWW
WWWWWWWWP
sW iii
Таким образом использование сигнальных графов и применение
формулы Мейсона позволяет алгоритмизировать процесс упрощения
структурной схемы
Третий способ для получения ПФ заключается в составлении
системы уравнений Необходимо обозначить выходы сумматоров и
составить систему уравнений на основе этих обозначений На рис9
представлена исходная схема с обозначенными сумматорами
W1
W2 W3
W4
W5 W6
W7
+
+
+
-
Z H
u y
Рис 9 Исходная схема САУ с обозначенными сумматорами
Опишем все сигналы в системе в виде уравнений
)( 4521 HWWuWWZ
73 yWZWH
65 HWWy
Подставив последовательно значения сигналов найдем ПФ
))(( 734521 yWWHWWuWWH
После преобразования получим
25
1
)(
543
73231
WWW
yWuWWWWH
Подставим полученное значение H в уравнение y
1
))((
543
6573231
WWW
WWyWuWWWWy
Получим ПФ вида
1
)(543765
65326531
WWWWWW
WWWWWWWW
u
ypW
4 Краткое описание MATLAB
Лабораторная работа выполняется в программе математического
моделирования MATLAB Программа MATLAB включает в себя пакет
прикладных программ для решения технических задач и одноименный
язык программирования используемый в этом пакете
Основными компонентами системы являются базовая система
MATLAB и пакет моделирования систем Simulink Остальные пакеты
расширения разбиты на 4 категории ndash расширения Extension MATLAB и
Extension Simulink а также комплексы пакетов расширения Blockset и
Toolbox
Раздел MATLAB Extension содержит средства для подготовки ис-
полняемых приложений MATLAB (с подключаемыми библиотеками и
без них)
Раздел Toolbox (инструментальные средства) содержит самое
большое число пакетов расширений системы MATLAB такие как
laquoControl systemraquo laquoDatabaseraquo laquoFuzzy logicraquo laquoWaveletraquo и тд
В разделе Blockset расположено несколько пакетов относящихся к
главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink такие как
laquoDSPraquo laquoFixed-Pointraquo laquoNonlinear control designraquo и laquoPower systemsraquo
В разделе Extension Simulink имеется ряд средств предназначен-
ных для моделирования в реальном масштабе времени и событийно-
управляемом моделировании
26
5 Структурные преобразования в MATLAB
В пакете MATLAB имеется ряд функций с помощью которых
можно выполнять структурные преобразования (используется экви-
валентная схема)
ndash series(w1w2) ndash последовательное соединение звеньев
ndash parallel(w1w2) ndash параллельное соединение звеньев
ndash feedback(w1w2) ndash включение звена w2 в контур отрицательной об-
ратной связи к w1
ndash feedback(w1w2sign) ndash включение звена w2 в контур обратной связи
звена w1 с указанием знака + или ndash (очевидно feedback(w1w2)=
=feedback(w1w2-1))
Пример
Даны две передаточные функции
22
221
ss
sW
22
322
2
2
ss
ssW
Опишем ПФ введя в окне команд MatLab следующие команды
gtgt w1=tf([1 2][1 2 2])
gtgt w2=tf([1 2 3][1 2 2])
Выполним структурные преобразования для данных ПФ
gtgt w2=series(w1w2)
Transfer function
s^3 + 4 s^2 + 7 s + 6
------------------------------------
s^4 + 4 s^3 + 8 s^2 + 8 s + 4
gtgt w3=parallel(w1w2)
Transfer function
s^4 + 5 s^3 + 13 s^2 + 16 s + 10
----------------------------------------
s^4 + 4 s^3 + 8 s^2 + 8 s + 4
27
gtgt w4=feedback(w1w2)
Transfer function
s^3 + 4 s^2 + 6 s + 4
----------------------------------------
s^4 + 5 s^3 + 12 s^2 + 15 s + 10
Для проверки правильности проведенных преобразований необ-
ходимо собрать схему исходной САУ и соответствующую ей эквива-
лентную схему в MATLAB Simulink
Исходная схема САУ собирается как модель из соответствую-
щих элементов таких как laquoTransfer Fncraquo laquostepraquo laquosignal builderraquo
laquoscoperaquo и laquosumraquo Все эти элементы находятся в пакете laquoSimulinkraquo и
представлены в виде блоков Для того чтобы создать новую модель
необходимо нажать laquoFile-gtNew-gtModel (Simulink)raquo после откроется
окно модели в которую нужно будет добавлять элементы из библио-
теки для доступа к ней необходимо нажать на значок laquoLibrary Brows-
erraquo
Описание используемых элементов из пакета Simulink
1 Transfer Fnc ndash передаточная функция
2 Step ndash единичный скачок (функция Хэвисайда) в блоке необходи-
мо задать время начала перехода (step time)
3 Signal builder ndash блок для моделирования сигнала по заданным па-
раметрам (можно построить единичный скачок и импульсную функ-
цию)
4 Scope ndash виртуальный осциллограф отображает получившийся гра-
фик открывается двойным щелчком левой клавиши мыши и для кор-
рекции масштаба необходимо нажать правой кнопкой по графику и
из выпадающего меню выбрать laquoautoscaleraquo
5 Sum ndash сумматор в параметрах задается число сигналов соответ-
ственно laquo+raquo - положительный laquondashraquo - отрицательный
Так же нужно задать время работы модели для этого необходи-
мо выбрать laquoSimulation-gtSimulation parametersraquo и установить пара-
метр laquostop timeraquo на нужное значение и после необходимо запустить
модель на выполнение нажав на значок laquoStart simulationraquo Пример
модели составленной в MATLAB представлен на рис 10
28
Рис 10 Пример схемы САУ с блоком laquosignal builderraquo
Задача считается решенной если при подаче на вход обоих
схем одинаковых тестовых воздействий (единичный скачок импуль-
сная функция) наблюдаются одинаковые выходные сигналы
6 Задание на лабораторную работу
Выполнить преобразование структурной схемы САУ в эквива-
лентную передаточную функцию Составить модель исходной схемы
САУ в MATLAB С помощью ряда функций MATLAB (структурные
преобразования) составить эквивалентную схему Вариант задания
назначается преподавателем
7 Методика выполнения задания
Порядок выполнения работы
1 Выполнить преобразование заданного варианта структурной
схемы САУ (см табл 2) в эквивалентную ПФ тремя способами
ndash непосредственно используя правила табл 1
ndash используя представление в виде сигнального графа и формулу
Мейсона
ndash составив систему уравнений и решив еѐ
2 В качестве звеньев W1W2W3 использовать передаточные
функции звеньев представленных в табл 2
3 Составить модель исходной схемы САУ в MATLAB постро-
ить реакцию получившейся модели на ступенчатое и импульсное
воздействия
4 С помощью ряда функций MATLAB (структурные преобразо-
вания) составить эквивалентную схему и построить реакцию на сту-
пенчатое и импульсное воздействия
5 Подготовить ответы на контрольные вопросы
29
Таблица 2
Варианты структур САУ
Исходная схема
Передаточные
функции
1 W1
W3
W2
-
+
-
+
u y
+
1
31
sW
2
442
s
sW
12
133
s
sW
2 W1
W3
W2
-
+
-
+
u y
+ +
3 W3
W2
W1
-
+
-
+
u y
+ +
4 W3
W1
W2
+
+
-
+
u y
+ +
1
21
sW
2
12
sW
12
13
s
sW
5
W1
W3
W2
-
+
-
+
u y
+ +
6
W1
W3
W2
-
+
-
+
u y
+
62
31
sW
2
52
sW
1
23
s
sW
7
W1
W3
W2
-
+
-
+
u y
+ +
8
W1
W2
W3
-
+
-
+
u y
+ +
30
8 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) описание всех этапов преобразования исходной схемы и по-
лучающихся промежуточных результатов выполненными тремя спо-
собами моделирование реакции схемы на типовое воздействие (ска-
чок) до и после преобразования
б) сигнальный граф системы описание путей контуров расчет
ПФ по формуле Мейсона
в) решение составленной системы уравнений
г) схема модели и протокол команд MATLAB
д) графики переходных процессов при подаче на вход исходной
и эквивалентной схемы типовых тестирующих воздействий (скачок
импульс)
е) ответы на контрольные вопросы
Контрольные вопросы
1 Что называется структурной схемой Какие задачи можно
решить с еѐ помощью
2 Как может быть составлена структурная схема
3 Что позволяет алгоритмизировать процесс упрощения струк-
турной схемы Поясните на конкретном примере
31
Лабораторная работа 3
ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
ДИНАМИЧЕСКИХ ЗВЕНЬЕВ
1 Цель работы
Целью работы является изучение частотных характеристик ти-
повых динамических звеньев с использованием автоматизированных
средств моделирования на ПК ndash MATLAB SIMULINK
2 Задачи работы
ndash Закрепление углубление и расширение знаний студентов при
исследовании частотных характеристик динамических звеньев
ndash Приобретение умений и навыков работы с программой мате-
матического моделирования MATLAB
ndash Выработка способности логического мышления осмысление
полученных данных частотных характеристик
3 Теоретическая часть Сущность метода частотных характеристик заключается в том
что на вход исследуемой системы подается гармонический сигнал (си-
нусоидальные колебания) в широком диапазоне частот Реакция си-
стемы при разных частотах позволяет судить о ее динамических
свойствах
Пусть входной сигнал системы имеет амплитуду а и частоту ω т е
описывается формулой
)sin( tax
Выходной сигнал будет иметь амплитуду А1 и отличаться от вход-
ного по фазе на величину ψ (фазовый сдвиг)
)sin(1 tAy
Таким образом можно рассчитать усиление по амплитуде
1
a
AA
32
Для каждой частоты входного сигнала ω будут свои А и ψ
Изменяя ω в широком диапазоне можно получить зависимость
А(ω) ndash амплитудную частотную характеристику (АЧХ) и ψ(ω) ndash фазо-
вую частотную характеристику (ФЧХ)
Главное достоинство метода частотных характеристик заключа-
ется в том что АЧХ и ФЧХ объекта могут быть получены экспери-
ментально Для этого необходимо иметь генератор гармонических
колебаний который подключается к входу объекта и измеритель-
ную аппаратуру для измерения амплитуды и фазового сдвига колеба-
ний на выходе объекта
Частотные характеристики САУ могут быть получены по ее ПФ
W(s) Для суждения о реакции звена на синусоидальный сигнал доста-
точно исследовать его реакцию на гармонический сигнал вида
)( tjejx
Тогда выходной сигнал определяется по соотношению
)()( ))(( tjeAjy
и частотная ПФ получается равной
)()(
)()( )(
jeA
jx
jyjW
Формально для получения частотной ПФ надо сделать в W(s)
подстановку s = jω и тогда полученная W(jω) является комплексным
выражением которое можно представить в виде
)()(
)()()(
22
11
jba
jbajW
Для нахождения вещественной и мнимой частей частотной пе-
редаточной функции необходимо умножить числитель и знаменатель
на сопряженную знаменателю величину а затем провести
разделение
33
)()()(
)()(
)()()()(
)()(
)()()()(
))()())(()((
))()())(()((
)()(
)()()(
)(
22
22
2112
22
22
2121
2222
2211
22
11
jeAjVU
ba
babaj
ba
bbaa
jbajba
jbajba
jba
jbajW
где
)()()()(22
22
21
2122
ba
baVUjWA
)(
)())(arg()(
2
2
1
1
a
barctg
a
barctg
U
VarctgjW
Графики функции )(U и )(V называют соответственно веще-
ственной и мнимой частотной характеристиками
В практических расчетах удобно применять графики частотных
характеристик построенных в логарифмическом масштабе ndash лога-
рифмические частотные характеристики (ЛЧХ)
Логарифмическая амплитудная частотная характеристика
(ЛАЧХ) определяется следующим выражением
)(lg20)( AL
Логарифмической фазовой частотной характеристикой
(ЛФЧХ) называется график зависимости )( построенный в лога-
рифмическом масштабе частот
Единицей L(ω) является децибел (дБ) а единицей логарифма ча-
стоты ndash декада Декадой называют интервал частот на котором часто-
та изменяется в 10 раз При изменении частоты в 10 раз говорят что
она изменилась на одну декаду Ось ординат при построении ЛЧХ про-
водят через произвольную точку а не через точку ω = 0 Частоте ω = 0
соответствует бесконечно удаленная точка lgω rarr ndash infin при ω rarr 0
Основное преимущество использования ЛЧХ заключается в том
что приближенные (асимптотические) ЛАЧХ типовых динамических
звеньев изображаются отрезками прямых
Пример Построим ЛЧХ апериодического звена первого
34
порядка
Передаточная функция звена
1
)(
Ts
ksW
Частотная передаточная функция
1)(
)1(
1)(
2
T
Tjk
Tj
kjW
1)(
1)( 22
T
kTV
T
kU
Следовательно АЧХ описывается формулой
1)(
)(2
T
kA
ФЧХ строится по формуле
)()( Tarctg
ЛАЧХ апериодического звена 1-го порядка
1)(lg20lg20)( 2 TkL
По этой формуле можно построить две асимптоты ndash прямые к
которым стремится ЛАЧХ при ω rarr 0 и при ω rarr infin Так при ω rarr 0 второе
слагаемое близко к нулю и этот участок ЛАЧХ представляет собой
горизонтальную прямую
lg20)( kL
При ω rarr infin получаем наклонную прямую
1)(lg20)( 2 TL
35
Для определения наклона этой прямой можно рассмотреть гра-
ницы декады
T
1 и
10
T
Изменение ЛАЧХ между этими точками
)(2011
lg20110
lg20)(
22
декдБT
TT
TL
ЛЧХ часто называют диаграммами Боде
4 Краткое описание MATLAB
Лабораторная работа выполняется в программе математического
моделирования MATLAB Она включает в себя пакет прикладных про-
грамм для решения технических задач и одноименный язык программи-
рования используемый в этом пакете
Основными компонентами системы являются базовая система
MATLAB и пакет моделирования систем Simulink Остальные пакеты
расширения разбиты на 4 категории ndash расширения Extension MATLAB и
Extension Simulink а также комплексы пакетов расширения Blockset и
Toolbox
Раздел MATLAB Extension содержит средства для подготовки ис-
полняемых приложений MATLAB (с подключаемыми библиотеками и
без них)
Раздел Toolbox (инструментальные средства) содержит самое
большое число пакетов расширений системы MATLAB такие как
laquoControl systemraquo laquoDatabaseraquo laquoFuzzy logicraquo laquoWaveletraquo и тд
В разделе Blockset расположено несколько пакетов относящихся к
главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink такие как
laquoDSPraquo laquoFixed-Pointraquo laquoNonlinear control designraquo и laquoPower systemsraquo
В разделе Extension Simulink имеется ряд средств предназначен-
ных для моделирования в реальном масштабе времени и событийно-
управляемом моделировании
36
5 Построение частотных характеристик в MATLAB В пакете MATLAB ЛЧХ объекта заданного с помощью ПФ
можно получить командой bode
Пример
gtgt w=tf([1 2][3 4 5])
gtgt bode(w)
Для нескольких вариантов передаточной функции можно исполь-
зовать вариант команды вида
gtgt bode(ww1w2)
Например построим диаграмму Боде при различных параметрах
колебательного звена (рис 1)
gtgt w=tf([1][2 03 1])
gtgt w1=tf([1][2 05 1])
gtgt w2=tf([1][2 01 1])
gtgt bode(ww1w2)
Рис 1 ЛЧХ колебательного звена
6 Задание на лабораторную работу
С помощью пакета MATLAB построить ЛЧХ каждого типового
звена Определить влияние коэффициентов входящих в описание
каждого звена на параметры ЛАЧХ и ЛФЧХ Вариант задания назна-
чается преподавателем
37
7 Методика выполнения задания
Порядок выполнения работы
1 Задать передаточную функцию типового динамического звена
используя параметры из табл 2 лабораторной работы 1
2 Построить диаграмму Боде при различных параметрах типо-
вого динамического звена
3 Определить влияние коэффициентов входящих в описание
каждого звена на параметры ЛАЧХ и ЛФЧХ в том числе
ndash как меняется ширина асимптотических участков ЛАЧХ и
ЛФЧХ
ndash как меняется положение точек пересечения осей ЛАЧХ
4 Написать вывод по влиянию коэффициентов на типовое звено
5 Выполнить пункты 1-4 для всех типовых звеньев
6 Подготовить ответы на контрольные вопросы
8 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) титульный лист
б) краткие теоретические сведения
в) передаточные функции и схемы моделирования исследуемых
звеньев
г) экспериментально полученные характеристики при вариации
параметров каждого звена
д) выводы обобщающие проделанные эксперименты по каждо-
му звену
ж) ответы на контрольные вопросы
Контрольные вопросы
1 Как пользуясь частотными характеристиками определить па-
раметры (коэффициенты передаточной функции) звена Пояс-
нить на конкретных примерах
2 Указать особенности построения ЛАХ и ЛФХ динамических
звеньев Что понимается под асимптотической ЛАХ звена
3 Как осуществляется построение АФХ динамического звена
38
Лабораторная работа 4
ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ СИСТЕМ
С ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ
1 Цель работы
Изучение особенностей практического использования алгебраи-
ческих и частотных критериев устойчивости для анализа динамики
линейных САУ с использованием автоматизированных средств моде-
лирования на ПК ndash MATLAB SIMULINK
2 Задачи работы
ndash Закрепление углубление и расширение знаний студентов при
исследовании устойчивости систем с обратной связью
ndash Приобретение умений и навыков работы с программой мате-
матического моделирования MATLAB
ndash Овладение новыми методами проверки устойчивости систем
с обратной связью
ndash Выработка способности логического мышления осмысления
полученных данных
3 Теоретическая часть
Устойчивость САУ является одним из основных условий ее ра-
ботоспособности и включает требование затухания во времени пере-
ходных процессов
Система является устойчивой если при ограниченном входном
сигнале еѐ выходной сигнал также является ограниченным Если
система устойчива то она противостоит внешним воздействиям а
выведенная из состояния равновесия возвращается снова к нему
Система с расходящимся переходным процессом будет неустойчивой и
неработоспособной
Необходимое и достаточное условие устойчивости заключается в
том чтобы все корни характеристического уравнения (полюсы пере-
даточной функции системы) имели отрицательные вещественные ча-
сти Иначе говоря условием устойчивости системы является распо-
ложение всех полюсов в левой комплексной полуплоскости Тогда все
полюсы будут давать затухающую реакцию
Выше сформулированное условие устойчивости справедливо как
39
для линейных так и для линеаризованных систем Однако в случае
нулевых или чисто мнимых корней характеристического уравнения
вопрос об устойчивости линеаризованной системы может быть ре-
шен только на основании исследования ее нелинейных уравнений
В конце XIX и первой половине XX в задача вычисления корней
характеристического уравнения высокого порядка вызывала боль-
шие проблемы Поэтому были предложены несколько косвенных
методов оценки устойчивости позволяющих обойтись без вычисле-
ния корней ndash по значениям коэффициентов характеристического
уравнения
Критерии устойчивости разделяют на алгебраические и частот-
ные В частности к алгебраическим критериям относится критерий
Гурвица к частотным критериям ndash критерий Найквиста
Критерий Гурвица является алгебраическим критерием и при-
меняется к коэффициентам характеристического уравнения замкнутой
системы
Пусть имеется характеристическое уравнение замкнутой
системы
0011
1 apapapa n
nn
n
Из коэффициентов характеристического уравнения составляют
матрицу по правилу
1 По диагонали записываются коэффициенты от 1na до 0a
2 Каждая строка дополняется коэффициентами с возрастающи-
ми индексами слева направо так чтобы чередовались строки с нечет-
ными и четными индексами
3 В случае отсутствия индекса а также если он меньше 0 или
больше п на его место пишется 0
Таким образом матрица Гурвица приобретает следующий вид
40
Критерий устойчивости формулируется так
Чтобы система была устойчивой необходимо и достаточно что-
бы при 0na были положительными все п диагональных определи-
телей получаемых из матрицы Гурвица
Первые три определителя матрицы Гурвица имеют следующий
вид
Таким образом критерий Гурвица позволяет судить об абсо-
лютной устойчивости но он не дает возможности оценивать относи-
тельную устойчивость по корням характеристического уравнения
Частотный критерий устойчивости Найквиста анализирует
АФЧХ разомкнутой системы
Пусть имеется АФЧХ разомкнутой системы W(jω)
Для нахождения вещественной и мнимой части частотной ха-
рактеристики нужно освободиться от мнимости в знаменателе путем
умножения числителя и знаменателя на комплексную величину со-
пряженную знаменателю а затем выполнить разделение на веще-
ственную и мнимую части W(jω) приобретает вид
)()()( jQPjW
Задаваясь различными значениями частоты можно найти мно-
жество пар )()( 11 jQP )()( 22 jQP )()( nn jQP
Затем по этим парам строится АФЧХ на комплексной плоскости
Основные свойства АФЧХ разомкнутой системы
1 Если разомкнутая система не имеет интегрирующих звеньев
то при ω = 0 ее АФЧХ начинается на вещественной оси в точке
Р(ω)=К (где К ndash коэффициент усиления разомкнутой системы) За-
канчивается АФЧХ в начале координат при ω rarr infin (рис 1 а)
2 Если разомкнутая система имеет одно интегрирующее звено то
ее АФЧХ начинается при ω = 0 в бесконечности на отрицательной мни-
мой полуоси а заканчивается в начале координат при ω rarr infin (рис 1 б)
41
Рис 1 АФЧХ разомкнутой системы
Критерий устойчивости Найквиста формулируется так
1 Если разомкнутая система устойчива или находится на гра-
нице устойчивости то для того чтобы замкнутая система была
устойчива необходимо и достаточно чтобы АФЧХ разомкнутой
системы при изменении частоты ω от 0 до infin не охватывала точку с ко-
ординатами (-1 j0)
2 Если разомкнутая система неустойчива а ее передаточная
функция имеет т полюсов справа от мнимой оси на комплексной
плоскости то для устойчивости замкнутой системы необходимо и до-
статочно чтобы АФЧХ разомкнутой системы при изменении частоты
ω от -infin до +infin охватывала т раз точку с координатами (-1 j0)
При использовании этого критерия нужно учитывать две
особенности
1 Если разомкнутая система находится на границе устойчиво-
сти то ее АФЧХ уходит в бесконечность Для проверки критерия Най-
квиста нужно мысленно соединить конец АФЧХ дугой бесконечно
большого радиуса с положительной вещественной полуосью
2 На практике АФЧХ может строиться только для положитель-
ных частот (0 lt ω lt +infin) При применении критерия Найквиста счита-
ется что ветвь АФЧХ для отрицательных частот симметрична отно-
сительно вещественной оси
Физический смысл критерия устойчивости Найквиста заключа-
ется в том что система будет неустойчива если фаза выходного сиг-
нала противоположна фазе входного сигнала а коэффициент усиле-
ния больше 1 Поэтому для анализа устойчивости можно использо-
вать не АФЧХ а ЛАХ системы (для минимально-фазовых систем)
Система устойчива если на частоте среза значение фазы не превы-
шает -π Соответственно для устойчивой системы можно рассматри-
вать на ЛФЧХ запас устойчивости по фазе ndash расстояние от значения
фазы на частоте среза до уровня -π и запас устойчивости по амплиту-
42
де ndash расстояние от оси частот ЛАЧХ до значения усиления на часто-
те где фаза становится равной -π
4 Краткое описание MATLAB
Лабораторная работа выполняется в программе математического
моделирования MATLAB Программа MATLAB включает в себя пакет
прикладных программ для решения технических задач и одноименный
язык программирования используемый в этом пакете
Основными компонентами системы являются базовая система
MATLAB и пакет моделирования систем Simulink Остальные пакеты
расширения разбиты на 4 категории ndash расширения Extension MATLAB и
Extension Simulink а также комплексы пакетов расширения Blockset и
Toolbox
Раздел MATLAB Extension содержит средства для подготовки ис-
полняемых приложений MATLAB (с подключаемыми библиотеками и
без них)
Раздел Toolbox (инструментальные средства) содержит самое
большое число пакетов расширений системы MATLAB такие как
laquoControl systemraquo laquoDatabaseraquo laquoFuzzy logicraquo laquoWaveletraquo и тд
В разделе Blockset расположено несколько пакетов относящихся к
главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink такие как
laquoDSPraquo laquoFixed-Pointraquo laquoNonlinear control designraquo и laquoPower systemsraquo
В разделе Extension Simulink имеется ряд средств предназначен-
ных для моделирования в реальном масштабе времени и событийно-
управляемом моделировании
5 Исследование устойчивости САУ в MATLAB
Для проверки устойчивости САУ по Гурвицу постройте матрицу
Гурвица и найдите ее детерминант (функция det) Затем последова-
тельно уменьшая размер матрицы найдите значения всех диагональ-
ных детерминантов Пример
gtgt А=[1 14 18 2 5 2 3 4 3]
А =
1 14 18
2 5 2
3 4 3
gtgt det(A)
ans = -119
43
gtgt А1=А(12 12)
А1 =
1 14
2 5
gtgt det(A1)
ans = -23
Для проверки устойчивости САУ по Найквисту сначала нужно
выяснить является ли устойчивой разомкнутая система
Пример Пусть дана передаточная функция разомкнутой
системы
13232
12234
pppp
pW
Рассмотрим реакцию на скачок
gtgt w=tf([2 1][2 3 2 3 1])
gtgt step(w18)
График переходного процесса показан на рис 2
Рис 2 Переходная реакция
Разомкнутая система неустойчива и согласно критерию Найкви-
ста надо чтобы АФЧХ разомкнутой системы охватывала точку (-1 j0)
44
столько раз сколько полюсов имеется справа от мнимой оси Для по-
строения АФЧХ достаточно вызвать команду nyquist
gtgt nyquist(w)
Диаграмма Найквиста показана на рис 3
Рис 3 Диаграмма Найквиста для неустойчивой системы
Как показывает рис3 АФЧХ ни разу не охватывает точку
(-1 j0) поэтому замкнутая система будет неустойчивой Частотный
критерий Найквиста можно использовать и в том случае когда рас-
сматривается не АФЧХ а ЛАЧХ разомкнутой системы замкнутая
минимально-фазовая система устойчива если при достижении ЛФЧХ
значения -π ЛАЧХ будет отрицательной
Используя ЛАЧХ и ЛФЧХ можно оценить запасы устойчивости
системы по амплитуде и по фазе с помощью команды
gtgt margin(w)
Пример
gtgt w=tf([10][2 2 3 1])
gtgt margin(w)
Соответствующий график показан на рис 4
45
Рис 4 Определение запасов устойчивости по амплитуде и по фазе
6 Задание на лабораторную работу
Выполнить исследование устойчивости замкнутой системы по за-
данной передаточной функции разомкнутой системы Определить запас
устойчивости по амплитуде и по фазе Вариант задания назначается
преподавателем
7 Методика выполнения задания
Порядок выполнения работы
1 Рассчитать передаточную функцию замкнутой системы по
приведенной в табл 1 разомкнутой системе
2 Определить устойчивость замкнутой системы используя кри-
терий Гурвица
3 Определить устойчивость замкнутой системы используя кри-
терий Найквиста
4 Определить запас устойчивости по амплитуде и по фазе ис-
пользуя ЛАЧХ и ЛФЧХ
5 Выполнить моделирование переходных процессов разомкну-
той и замкнутой систем
6 Подготовить ответы на контрольные вопросы
46
Таблица 1
Варианты заданий
Передаточная функция разомкнутой системы
1 1355
2234
ssss
W
2 110050
1234
ssss
W
3 11010
123
sss
W
4 122105
100234
ssss
W
5 1248
123
sss
W
6 1223
102345
sssss
W
7 11001010
323
sss
W
8 122
1023
sss
W
9 11010
123
sss
W
10 15050332
102345
sssss
W
8 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) титульный лист
б) краткие теоретические сведения
в) переходную функцию разомкнутой системы
г) расчет передаточной функции замкнутой системы
д) расчетные выражения для обоснования устойчивости замкну-
той системы по алгебраическому критерию Гурвица
е) годограф Найквиста разомкнутой системы на основании кото-
рого делается вывод об устойчивости замкнутой системы
ѐ) переходную функцию замкнутой системы
ж) проверку полученных результатов путем компьютерного моде-
лирования переходных процессов разомкнутой и замкнутой си-
стемы в MATLAB Simulink
з) выводы по всем полученным результатам
47
Контрольные вопросы
1 Как связана устойчивость линейной САУ с видом составля-
ющих ее свободного движения
2 Зависит ли устойчивость линейных САУ от амплитуды зада-
ющих воздействий или возмущений
3 Сформулируйте критерий устойчивости Гурвица укажите на
необходимое условие устойчивости линейных САУ вытекаю-
щее из этого критерия
4 Сформулируйте критерий Найквиста для случая САУ устой-
чивых в разомкнутом состоянии а также для астатических САУ
Что такое laquoзапасы устойчивости по фазе и по амплитудеraquo
5 Что называется структурной устойчивостью
48
Лабораторная работа 5
КОРРЕКЦИЯ СТАТИЧЕСКИХ И ДИНАМИЧЕСКИХ
СВОЙСТВ САУ
1 Цель работы
Целью работы является изучение способов обеспечения иско-
мых характеристик САУ с использованием автоматизированных
средств моделирования на ПК ndash MATLAB SIMULINK
2 Задачи работы
ndash Закрепление углубление и расширение знаний студентов при
обеспечении искомых характеристик САУ
ndash Приобретение умений по обеспечению точности (уменьшение
статической ошибки) САУ и выбору значений параметров регулято-
ра обеспечивающих желаемые динамические свойства САУ
ndash Приобретение умений и навыков работы с программой мате-
матического моделирования MATLAB
3 Теоретическая часть
Коррекция статических и динамических свойств САУ имеет
своей целью повышение статической и динамической точности отра-
ботки системой задающего воздействия (или парирование возмуща-
ющего воздействия) повышение запасов ее устойчивости Наиболее
распространенными способами коррекции свойств САУ является из-
менение коэффициента усиления ее разомкнутой части введение в
САУ новых звеньев (как правило интегрирующего или дифференци-
рующего типа) охват объекта управления местной обратной связью
31 Коррекция статических свойств САУ
Статические свойства системы определяются величиной устано-
вившейся ошибки )t(уст вызванной действием задающего воздей-
ствия и определяемой по формуле
22
210 2 dttgdcdttdgctgctуст (1)
где )(tg - входное воздействие 210 ccc - коэффициенты ошибок
Коэффициенты ошибок определяются по формулам
49
dssdcdssdcscs
mmmss 00100
где s - передаточная функция САУ по ошибке управления рав-
ная
sW
sраз
1
1
sWраз - передаточная функция разомкнутой САУ
Основными способами уменьшения статической ошибки систе-
мы являются
1) увеличение коэффициента усиления прямого тракта системы
2) введение в прямой тракт системы интегрирующих звеньев
3) охват объекта управления местной неединичной положитель-
ной обратной связью
Представим структурную схему системы в виде изображенном
на рис 1 где через sW обозначена передаточная функция неизме-
няемой части системы
bsbsb
asasasW
nn
nn
mm
mm
01
1
01
1
Здесь и далее полагается что KKKsW s 000 0 ndash из-
меняемый коэффициент усиления регулятора системы
Первые два коэффициента ошибок 0c и 1c определяется выраже-
ниями
KK
c0
01
1
(2)
KK
dssdWKc
s
20
01
1
(3)
Из (2) и (3) с учетом (1) вытекает что с увеличением K
статическая ошибка в системе уменьшается и наоборот с уменьше-
нием K статическая ошибка в системе увеличивается
Введем в прямой тракт системы одно интегрирующее звено
50
(рис 2) В этом случае c 00 01 1 KKc
Так как c 00 то система на рис 2 является астатической (с
астатизмом первого порядка) Система имеет нулевую статическую
ошибку при отработке постоянного задающего воздействия
consttg и постоянную обратно пропорциональную K ошибку
constуст при отработке линейно изменяющегося воздействия
tatg
Рис 1 Схема САУ Рис 2 Схема САУ с включенным в прямой
тракт интегрирующим звеном
Охватим неизменяемую часть системы sW местной нееди-
ничной положительной обратной связью с коэффициентом усиления
осK (рис 3) Тогда эквивалентная передаточная функция sWэкв
неизменяемой части системы равна
10011
01
1
aKbsaKbsaKbsb
asasa
sWK
sWsW
ососm
mосmn
n
mm
mm
осэкв
(4)
Если коэффициент усиления K выбрать из условия
a
bKос
0
0
то свободный коэффициент (b0 - Koca0) полинома знаменателя sWэкв
обратится в нуль и sWэкв приобретает интегрирующие свойства
11
11
0
1
1
aKbsaKbsbs
asasasW
ос
m
mосm
n
n
m
m
m
mэкв
g(t) y(t)ε(t)
K W(s)-
g(t) y(t)
Ks W(s)-
ε(t)
51
Следовательно замкнутая система становится астатической (с
астатизмом 1-го порядка) Отсюда 0c =0 а коэффициент 1c будет
равен
aKb
bc
ос 11
01
ε(t)g(t) y(t)
W(s)-
Kос
Wэкв(s)
+
Рис 3 Схема САУ с местной неединичной обратной связью
32 Коррекция динамических свойств САУ
Улучшение динамических свойств САУ заключается в увеличе-
нии быстродействия САУ (уменьшении времени регулирования tрег)
уменьшении перерегулирования (см рис 4) а также увеличении
запасов устойчивости по фазе и по модулю При этом
h
hh
уст
устmax100
где maxh - максимальное значение переходной характеристики за-
мкнутой САУ th
устh - установившееся значение th
Время регулирования tрег - минимальная величина при которой удо-
влетворяется условие
устрег hth
где - заданная величина ошибки (обычно =005 устh )
52
h(t)
tрег
hустhmax
2δ
Рис 4 Быстродействие и перерегулирование САУ
Одним из эффективных средств достижения этой цели является
уменьшение отрицательных фазовых сдвигов в прямом тракте систе-
мы путем охвата неизменяемой части системы местными отрицатель-
ными обратными связями
На рис 5 R(s) представляет собой передаточную функцию регу-
лятора САУ которая считается заданной
ε(t)g(t) y(t)
W(s)-
Kос
Wэкв(s)
-
R(s)
u(t)
Рис 5 Схема САУ с местной обратной связью и регулятором
Пусть неизменяемая часть системы представляет собой аперио-
дическое звено первого порядка те
sT
K)s(W
10
0
Тогда передаточная функция sWэкв эквивалентного объекта
управления равна
sT
K
sWK
sWsW
экв
экв
осэкв
11
где зквK и эквT - коэффициент усиления и постоянная времени
эквивалентного объекта равные
53
KK
KK
осэкв
0
0
1
KK
TT
осэкв
0
0
1 (5)
Из (5) следует что соответствующим выбором осK постоянную
времени эквT эквивалентного объекта можно уменьшить в (1+ 0KKос )
раз по сравнении с постоянной времени 0T объекта без местной об-
ратной связи Тем самым уменьшаются отрицательные фазовые сдви-
ги вносимые прямым трактом системы что приводит к увеличению
запасов устойчивости системы При этом однако уменьшается в
(1+ 0KKос ) раз коэффициент усиления эквK эквивалентного объекта
по сравнению с коэффициентом усиления 0K объекта без местной
обратной связи Это нежелательно так как приводит к уменьшению
быстродействия системы вследствие уменьшения общего коэффици-
ента усиления прямого тракта системы В этом случае с целью обес-
печения необходимого быстродействия системы увеличивают коэф-
фициент усиления регулятора
4 Краткое описание MATLAB
Лабораторная работа выполняется в программе математического
моделирования MATLAB Программа MATLAB включает в себя пакет
прикладных программ для решения технических задач и одноименный
язык программирования используемый в этом пакете
Основными компонентами системы являются базовая система
MATLAB и пакет моделирования систем Simulink Остальные пакеты
расширения разбиты на 4 категории ndash расширения Extension MATLAB и
Extension Simulink а также комплексы пакетов расширения Blockset и
Toolbox
Раздел MATLAB Extension содержит средства для подготовки ис-
полняемых приложений MATLAB (с подключаемыми библиотеками и
без них)
Раздел Toolbox (инструментальные средства) содержит самое
большое число пакетов расширений системы MATLAB такие как
laquoControl systemraquo laquoDatabaseraquo laquoFuzzy logicraquo laquoWaveletraquo и тд
54
В разделе Blockset расположено несколько пакетов относящихся к
главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink такие как
laquoDSPraquo laquoFixed-Pointraquo laquoNonlinear control designraquo и laquoPower systemsraquo
В разделе Extension Simulink имеется ряд средств предназначен-
ных для моделирования в реальном масштабе времени и событийно-
управляемом моделировании
5 Задание на лабораторную работу
Выполнить исследование способов коррекции статических и
динамических свойств САУ Определить время регулирования и пе-
ререгулирования в исходной и скорректированной системах а также
для динамических свойств САУ определить запасы устойчивости в
исходной системе и найти экспериментально значение Kос обеспечи-
вающее в системе заданные показатели качества и запасы устойчиво-
сти Вариант задания назначается преподавателем
Таблица 1
Варианты заданий
варианта
Параметры
1
2
3
4
5
6
7
8
a 05 10 15 20 25 30 35 40
K0 1 2 3 4 5 6 7 8
T c 03 04 05 06 07 08 09 10
ξ 06 07 08 08 07 09 05 04
уст 0 0 005 0 010 007 0 0
tрег c le 13 15 20 25 30 35 40 40
le 0 10 10 5 5 5 0 0
В качестве исходных САУ выступают системы изображенные
на рис 6 и 7
55
ε(t)g(t) y(t)
W(s)-
g(t) y(t)
R(s) W(s)-
ε(t) u(t)
Рис 6 САУ с отрицательной Рис 7 САУ с отрицательной обратной
обратной связью связью и регулятором
6 Методика выполнения задания
При исследовании способов коррекции статических свойств
САУ в качестве исходных данных выступает передаточная функция
sW неизменяемой части системы вида
1222
0
sTsT
KsW (6)
и задающие воздействия вида ttg 1 в соответствии с таблицей 1
В процессе выполнения этой части работы необходимо
1) путем моделирования в системе MATLAB исходной САУ
(рис 6) получить графики ttytg
2) сравнить полученную таким образом экспериментальную ве-
личину t с теоретической величиной вычисленной по формуле (1)
3) применяя описанные в теоретической части методических
указаний способы коррекции статических свойств (см п 31) обес-
печить требуемую статическую ошибку εуст системы при отработке
задающего воздействия ttg 1
4) получить графики ty и t в скорректированной системе
для 1 ttg
5) сравнить время регулирования регt и перерегулирование в
исходной и скорректированной системах при 1 ttg
При исследовании рассмотренного способа коррекции динами-
ческих свойств САУ (см п 32) в качестве исходных данных высту-
пают передаточная функция sW неизменяемой части системы
вида (6) и передаточная функция регулятора вида
s
KsR
рег
56
Задающее воздействие ttg 1
В процессе выполнения данной части работы необходимо
1) получить путем моделирования в MATLAB графики ty t
в системе (рис 7)
2) определить время регулирования регt и перерегулирование
а также запасы устойчивости в исходной системе
3) применяя описанный выше способ коррекции динамических
свойств САУ найти экспериментально (путем последовательного пе-
ребора) значение осK обеспечивающее в системе заданные заданием
показатели качества ( регt ) и запасы устойчивости (при необхо-
димости увеличить коэффициент регK )
4) получить графики ty t а также ЛАХ и ЛФХ разомкну-
той системы в скорректированной САУ
7 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) титульный лист
б) структурные схемы исследуемых систем
в) полученные графики и характеристики
г) значения полученные экмпериментально которые
обеспечивают заданные показатели качества и запасы устойчивости
д) выводы обощающие проделанные эксперименты для
коррекции статических и динамических свойств САУ
е) ответы на контрольные вопросы
Контрольные вопросы 1 Дать определение статической и астатической САУ
2 Какими структурными свойствами системы определяется по-
рядок ее астатизма
3 Какой из двух приведенных выше способов придания системе
свойств астатизма 1-го порядка наиболее предпочтителен на
практике
4 Назовите основные показатели качества САУ Поясните их
смысл
5 В чѐм суть исследуемого способа коррекции динамических
свойств САУ
57
6 Назвать другие способы коррекции динамических свойств
САУ
7 Чем вызваны отрицательные фазовые сдвиги в неизменяемой
части САУ
58
Лабораторная работа 6
МЕТОД КОРНЕВОГО ГОДОГРАФА
1 Цель работы
Целью работы является построение корневого годографа и ис-
следование динамики системы с использованием автоматизирован-
ных средств моделирования на ПК ndash MATLABSIMULINK
2 Задачи работы
ndash Закрепление углубление и расширение знаний студентов при
исследование динамики системы
ndash Овладение навыком построения корневого годографа
ndash Приобретение умений и навыков работы с программой мате-
матического моделирования MATLAB
3 Теоретическая часть
Корневым годографом (КГ) называется совокупность траекто-
рий перемещения всех корней характеристического уравнения за-
мкнутой системы при изменении какого-либо параметра этой систе-
мы
Обычно метод КГ позволяет находить полюса и нули ПФ за-
мкнутой системы располагая полюсами и нулями разомкнутой си-
стемы при изменении коэффициента усиления разомкнутой системы
K
ПФ разомкнутой системы Wp(s) представим в следующем виде
)(
)(
1
1
0
n
ii
m
jj
p
ss
ssKC
sW (1)
где 0js ndash нули ПФ sWp )1( mj
is ndash полюса ПФ sWp
)1( nj n и m ndash порядки знаменателя и числителя C ndash коэффици-
ент представления (отношение коэффициентов при старших членах
числителя и знаменателя)
59
При замыкании системы с ПФ sWp единичной отрицатель-
ной обратной связью ПФ замкнутой системы sWз принимает вид
)(1
)(
sW
sWsW
p
pз
(2)
Из выражения (2) следует что нули ПФ замкнутой системы рав-
ны нулям ПФ разомкнутой системы
Для нахождения полюсов рассмотри выражение
01 sWp (3)
в соответствии с выражением (1) имеем
n
i
m
jjin
ii
m
jj
ssKCss
ss
ssKC
1 1
0
1
1
0
)()(01
)(
)(
(4)
На основании выражения (4) можно сказать что при K = 0 корни
характеристического уравнения совпадают с полюсами а при K = infin ndash
с нулями При изменении K от 0 до infin траектории корней начинаются
в полюсах и заканчиваются в нулях Обычно полюсов больше чем
нулей В этом случаем mn ветвей корневого годографа стремятся к
infin
Для определения полюсов замкнутой системы с отрицательной
обратной связью необходимо решить уравнение (его называют ос-
новным уравнением метода КГ)
1sWp (5)
Так как sWp является функцией комплексного переменного
s то уравнение (5) распадается на два уравнения уравнение модулей
1)( sWp (6)
60
и уравнение аргументов (фаза вектора -1 есть нечетное число π)
210)12()(arg sWp (7)
Как известно при умножении комплексных чисел их аргументы
складываются а при делении ndash вычитаются Поэтому исходя из вы-
ражения (1) уравнение (7) имеет наглядный геометрический смысл
Пусть точка s ndash полюс замкнутой системы Если провести в s
вектора из нулей sWp (обозначим аргументы этих векторов 0j ) и
вектора из всех полюсов sWp (обозначим аргументы этих векторов
i ) то уравнение (7) можно записать в следующем виде
m
j
n
iij
1 1
0 210)12( (8)
Углы q отсчитываются от положительного направления дей-
ствительной оси Знак угла laquo+raquo соответствует повороту против часо-
вой стрелки знак угла laquo-raquo соответствует повороту по часовой стрел-
ке
Таким образом любая точка КГ должна удовлетворять уравне-
нию (8) из которого следует что конфигурация КГ не зависит от ко-
эффициента усиления K но каждому конкретному значению K одно-
значно соответствуют точки на КГ
При умножении комплексных чисел их модули перемножаются
а при делении ndash делятся Поэтому на основании (6) можно записать
1
1
1
0
n
ii
m
jj
l
lKC
(9)
где 0jl ndash модуль (длина) вектора проведенного из j-нуля в точку s
КГ il ndash модуль вектора проведенного из i-полюса в ту же точку s
61
Таким образом траектории корней строятся только по уравне-
ниям фаз а уравнение модулей используется затем для нахождения
K
Сущность метода КГ заключается в том чтобы узнать каким
должен быть коэффициент усиления разомкнутой системы чтобы
было обеспечено желаемое положение корней замкнутой системы
Корневой годограф системы с отрицательной обратной связью
обладает следующими основными свойствами
1 Ветви КГ непрерывны и расположены на комплексной плос-
кости симметрично относительно действительной оси
2 Число ветвей КГ равно порядку системы n Ветви начинают-
ся в n полюсах разомкнутой системы при K=0 При возрастании K от
0 до infin полюса замкнутой системы двигаются по ветвям КГ
3 mветвей КГ при возрастании K от 0 до infin заканчиваются в m
нулях )(sWp а )( mn ветвей при K стремящемся к infin удаляются
от полюсов вдоль асимптот
4 При расположении ветвей корневого годографа в левой полу-
плоскости s САУ устойчива При пересечении ветвей КГ мнимой оси
слева направо САУ становится неустойчивой Пусть при K=Kкр
пере-
сечение КГ с мнимой осью произойдет в некоторой точке iωкр
Назо-
вем это значение коэффициента усиления критическим Kкр
а вели-
чину iωкр
критической угловой частотой на которой система стано-
вится неустойчивой
4 Краткое описание MATLAB
Лабораторная работа выполняется в программе математического
моделирования MATLAB Программа MATLAB включает в себя пакет
прикладных программ для решения технических задач и одноименный
язык программирования используемый в этом пакете
Основными компонентами системы являются базовая система
MATLAB и пакет моделирования систем Simulink Остальные пакеты
расширения разбиты на 4 категории ndash расширения Extension MATLAB и
Extension Simulink а также комплексы пакетов расширения Blockset и
Toolbox
Раздел MATLAB Extension содержит средства для подготовки ис-
полняемых приложений MATLAB (с подключаемыми библиотеками и
без них)
62
Раздел Toolbox (инструментальные средства) содержит самое
большое число пакетов расширений системы MATLAB такие как
laquoControl systemraquo laquoDatabaseraquo laquoFuzzy logicraquo laquoWaveletraquo и тд
В разделе Blockset расположено несколько пакетов относящихся к
главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink такие как
laquoDSPraquo laquoFixed-Pointraquo laquoNonlinear control designraquo и laquoPower systemsraquo
В разделе Extension Simulink имеется ряд средств предназначен-
ных для моделирования в реальном масштабе времени и событийно-
управляемом моделировании
5 Корневой годограф в MATLAB
В системе MATLAB существует команда zpk для преобразова-
ния модели заданной ПФ в модель заданную нулями полюсами и
обобщенными коэффициентами передачи (zpk-форма)
Пример
gtgt w=tf([10][2 2 3 1 0])
Transfer function
10
-------------------------------
2 s^4 + 2 s^3 + 3 s^2 + s
gtgt w1=zpk(w)
Zeropolegain
5
----------------------------------------------
s (s+03966) (s^2 + 06034s + 1261)
Для работы с корневым годографом удобно использовать гра-
фический интерфейс laquoSISO-Design Toolraquo предназначенный для ана-
лиза и синтеза одномерных линейных систем автоматического управ-
ления (SISO ndash Single Input Signal Output)
Запуск SISO-Design Tool осуществляется командой
gtgt sisotool
63
В появившемся окне графического интерфейса необходимо ис-
пользовать команду laquoFileImportraquo для загрузки данных из рабочего
пространства MATLAB в результате которой появляется диалоговое
окно Import System Data (рис 1)
Рис 1 Диалог для ввода параметров модели
После импортирования данных можно исследовать изменение
временных и частотных характеристик замкнутой системы при изме-
нении K Обычно при этом требуется определить условия неустойчи-
вости замкнутой САУ Определить Kкр
и iωкр
На рис 2 показано окно sisotool для описанной выше модели w1
Двигая красным курсором по КГ до пересечения ветвей с мнимой
осью можно определить значения Kкр
В данном случае Kкр
asymp 01
Значение iωкр
соответствует мнимой координате пересечения КГ
мнимой оси Просмотреть это значение можно в нижней части ин-
терфейса или выбрать меню laquoView Closed-Loop Polesraquo
64
Рис 2 Основное окно SISO-Design Tool
6 Задание на лабораторную работу
Построить КГ в соответствии с вариантом из табл 1 при помо-
щи графического интерфейса sisotool
Исследовать динамику замкнутой системы при различных зна-
чениях коэффициента усиления разомкнутой системы K в том числе
ndash запасы устойчивости в частотной области
ndash параметры переходного процесса во временной области
Таблица 1
Варианты передаточных функций
Значения параметров Передаточная функция
разомкнутой системы
1 T = 01 ζ = 1
)12( 22 sTsTs
K
2 T = 005 ζ = 0707
3 T = 003 ζ = 01
4 T = 008 ζ = 05
5 T = 001 ζ = 015
65
Окончание табл 1
Значения параметров Передаточная функция
разомкнутой системы
6 T1 = 003 T2 = 05 T3 = 01 T4 = 005
)1)(1)(1(
)1(
432
1
sTsTsTs
sTK
7 T1 = 005 T2 = 04 T3 = 008 T4 = 0033
8 T1 = 02 T2 = 045 T3 = 01 T4 = 005
9 T1 = 05 T2 = 025 T3 = 01 T4 = 002
10 T1 = 01 T2 = 025 T3 = 01 T4 = 005
Вариант задания назначается преподавателем
7 Методика выполнения задания
Порядок выполнения лабораторной работы
1 Задать передаточную функцию в MATLAB в соответствии с
вариантом коэффициент K задать любым положительным числом
2 Запустить SISO-Design Tool и осуществить ввод данных
Построить КГ
3 По КГ определить значения коэффициента K когда система
будет устойчивой на границе устойчивости и неустойчива
4 Выбрать значение коэффициента K таким образом чтобы си-
стемы была устойчива и определить запас устойчивости в частотной
области и параметры переходного процесса во временной области
8 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) титульный лист
б) передаточную функцию и этапы построения КГ
в) анализ результатов построения КГ
г) выводы по проделанной работе
д) ответы на контрольные вопросы
Контрольные вопросы 1 Дать определение КГ
2 Что обычно позволяет находить метод КГ
3 В чем заключается сущность метода КГ
4 Что можно определить по КГ
66
Критерии результативности лабораторного практикума
Лабораторная работа считается выполненной если студент
ndash выполнил все указанные задания
ndash представил отчет соответствующий всем требованиям к его
содержанию и оформлению
ndash владеет терминологией и материалом лабораторной работы
ndash способен использовать программное средство математическо-
го моделирования MATLAB
ndash способен предоставить и рассказать результаты выполненной
работы на ПК
ndash может дать пояснения к отчету и ответить на контрольные
вопросы
Список литературы
1 Александров АГ Частотная теория автоматического управле-
ния учебное пособие ndash Электросталь ЭПИ МИСиС 2010
2 Борисевич АВ Теория автоматического управления элементар-
ное введение с применением MATLAB ndash СПб Изд-во Политехн ун-
та 2011
3 Федоров ВЛ Бубнов АВ Теория автоматического управления
учебное пособие ndash Омск Изд-во ОмГТУ 2010
4 Павловская ОО Чернецкая ИВ Теория автоматического
управления учебное пособие ndash Челябинск Изд-во ЮУрГУ 2010
67
Составители ЛЯНЦЕВ Олег Дмитриевич КАЗАНЦЕВ Андрей Валерьевич
ИССЛЕДОВАНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК СИСТЕМ
АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
Лабораторный практикум
по дисциплине
laquoТеория управленияraquo
Подписано в печать Формат 60х84 116 Бумага офсетная Пе-
чать плоская Гарнитура Times New Roman Усл печ л 56 Уч-изд л
55 Тираж 100 экз Заказ
ФГБОУ ВПО Уфимский государственный авиационный технический
университет
Центр оперативной полиграфии УГАТУ
450000 Уфа-центр ул К Маркса 12
25
1
)(
543
73231
WWW
yWuWWWWH
Подставим полученное значение H в уравнение y
1
))((
543
6573231
WWW
WWyWuWWWWy
Получим ПФ вида
1
)(543765
65326531
WWWWWW
WWWWWWWW
u
ypW
4 Краткое описание MATLAB
Лабораторная работа выполняется в программе математического
моделирования MATLAB Программа MATLAB включает в себя пакет
прикладных программ для решения технических задач и одноименный
язык программирования используемый в этом пакете
Основными компонентами системы являются базовая система
MATLAB и пакет моделирования систем Simulink Остальные пакеты
расширения разбиты на 4 категории ndash расширения Extension MATLAB и
Extension Simulink а также комплексы пакетов расширения Blockset и
Toolbox
Раздел MATLAB Extension содержит средства для подготовки ис-
полняемых приложений MATLAB (с подключаемыми библиотеками и
без них)
Раздел Toolbox (инструментальные средства) содержит самое
большое число пакетов расширений системы MATLAB такие как
laquoControl systemraquo laquoDatabaseraquo laquoFuzzy logicraquo laquoWaveletraquo и тд
В разделе Blockset расположено несколько пакетов относящихся к
главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink такие как
laquoDSPraquo laquoFixed-Pointraquo laquoNonlinear control designraquo и laquoPower systemsraquo
В разделе Extension Simulink имеется ряд средств предназначен-
ных для моделирования в реальном масштабе времени и событийно-
управляемом моделировании
26
5 Структурные преобразования в MATLAB
В пакете MATLAB имеется ряд функций с помощью которых
можно выполнять структурные преобразования (используется экви-
валентная схема)
ndash series(w1w2) ndash последовательное соединение звеньев
ndash parallel(w1w2) ndash параллельное соединение звеньев
ndash feedback(w1w2) ndash включение звена w2 в контур отрицательной об-
ратной связи к w1
ndash feedback(w1w2sign) ndash включение звена w2 в контур обратной связи
звена w1 с указанием знака + или ndash (очевидно feedback(w1w2)=
=feedback(w1w2-1))
Пример
Даны две передаточные функции
22
221
ss
sW
22
322
2
2
ss
ssW
Опишем ПФ введя в окне команд MatLab следующие команды
gtgt w1=tf([1 2][1 2 2])
gtgt w2=tf([1 2 3][1 2 2])
Выполним структурные преобразования для данных ПФ
gtgt w2=series(w1w2)
Transfer function
s^3 + 4 s^2 + 7 s + 6
------------------------------------
s^4 + 4 s^3 + 8 s^2 + 8 s + 4
gtgt w3=parallel(w1w2)
Transfer function
s^4 + 5 s^3 + 13 s^2 + 16 s + 10
----------------------------------------
s^4 + 4 s^3 + 8 s^2 + 8 s + 4
27
gtgt w4=feedback(w1w2)
Transfer function
s^3 + 4 s^2 + 6 s + 4
----------------------------------------
s^4 + 5 s^3 + 12 s^2 + 15 s + 10
Для проверки правильности проведенных преобразований необ-
ходимо собрать схему исходной САУ и соответствующую ей эквива-
лентную схему в MATLAB Simulink
Исходная схема САУ собирается как модель из соответствую-
щих элементов таких как laquoTransfer Fncraquo laquostepraquo laquosignal builderraquo
laquoscoperaquo и laquosumraquo Все эти элементы находятся в пакете laquoSimulinkraquo и
представлены в виде блоков Для того чтобы создать новую модель
необходимо нажать laquoFile-gtNew-gtModel (Simulink)raquo после откроется
окно модели в которую нужно будет добавлять элементы из библио-
теки для доступа к ней необходимо нажать на значок laquoLibrary Brows-
erraquo
Описание используемых элементов из пакета Simulink
1 Transfer Fnc ndash передаточная функция
2 Step ndash единичный скачок (функция Хэвисайда) в блоке необходи-
мо задать время начала перехода (step time)
3 Signal builder ndash блок для моделирования сигнала по заданным па-
раметрам (можно построить единичный скачок и импульсную функ-
цию)
4 Scope ndash виртуальный осциллограф отображает получившийся гра-
фик открывается двойным щелчком левой клавиши мыши и для кор-
рекции масштаба необходимо нажать правой кнопкой по графику и
из выпадающего меню выбрать laquoautoscaleraquo
5 Sum ndash сумматор в параметрах задается число сигналов соответ-
ственно laquo+raquo - положительный laquondashraquo - отрицательный
Так же нужно задать время работы модели для этого необходи-
мо выбрать laquoSimulation-gtSimulation parametersraquo и установить пара-
метр laquostop timeraquo на нужное значение и после необходимо запустить
модель на выполнение нажав на значок laquoStart simulationraquo Пример
модели составленной в MATLAB представлен на рис 10
28
Рис 10 Пример схемы САУ с блоком laquosignal builderraquo
Задача считается решенной если при подаче на вход обоих
схем одинаковых тестовых воздействий (единичный скачок импуль-
сная функция) наблюдаются одинаковые выходные сигналы
6 Задание на лабораторную работу
Выполнить преобразование структурной схемы САУ в эквива-
лентную передаточную функцию Составить модель исходной схемы
САУ в MATLAB С помощью ряда функций MATLAB (структурные
преобразования) составить эквивалентную схему Вариант задания
назначается преподавателем
7 Методика выполнения задания
Порядок выполнения работы
1 Выполнить преобразование заданного варианта структурной
схемы САУ (см табл 2) в эквивалентную ПФ тремя способами
ndash непосредственно используя правила табл 1
ndash используя представление в виде сигнального графа и формулу
Мейсона
ndash составив систему уравнений и решив еѐ
2 В качестве звеньев W1W2W3 использовать передаточные
функции звеньев представленных в табл 2
3 Составить модель исходной схемы САУ в MATLAB постро-
ить реакцию получившейся модели на ступенчатое и импульсное
воздействия
4 С помощью ряда функций MATLAB (структурные преобразо-
вания) составить эквивалентную схему и построить реакцию на сту-
пенчатое и импульсное воздействия
5 Подготовить ответы на контрольные вопросы
29
Таблица 2
Варианты структур САУ
Исходная схема
Передаточные
функции
1 W1
W3
W2
-
+
-
+
u y
+
1
31
sW
2
442
s
sW
12
133
s
sW
2 W1
W3
W2
-
+
-
+
u y
+ +
3 W3
W2
W1
-
+
-
+
u y
+ +
4 W3
W1
W2
+
+
-
+
u y
+ +
1
21
sW
2
12
sW
12
13
s
sW
5
W1
W3
W2
-
+
-
+
u y
+ +
6
W1
W3
W2
-
+
-
+
u y
+
62
31
sW
2
52
sW
1
23
s
sW
7
W1
W3
W2
-
+
-
+
u y
+ +
8
W1
W2
W3
-
+
-
+
u y
+ +
30
8 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) описание всех этапов преобразования исходной схемы и по-
лучающихся промежуточных результатов выполненными тремя спо-
собами моделирование реакции схемы на типовое воздействие (ска-
чок) до и после преобразования
б) сигнальный граф системы описание путей контуров расчет
ПФ по формуле Мейсона
в) решение составленной системы уравнений
г) схема модели и протокол команд MATLAB
д) графики переходных процессов при подаче на вход исходной
и эквивалентной схемы типовых тестирующих воздействий (скачок
импульс)
е) ответы на контрольные вопросы
Контрольные вопросы
1 Что называется структурной схемой Какие задачи можно
решить с еѐ помощью
2 Как может быть составлена структурная схема
3 Что позволяет алгоритмизировать процесс упрощения струк-
турной схемы Поясните на конкретном примере
31
Лабораторная работа 3
ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
ДИНАМИЧЕСКИХ ЗВЕНЬЕВ
1 Цель работы
Целью работы является изучение частотных характеристик ти-
повых динамических звеньев с использованием автоматизированных
средств моделирования на ПК ndash MATLAB SIMULINK
2 Задачи работы
ndash Закрепление углубление и расширение знаний студентов при
исследовании частотных характеристик динамических звеньев
ndash Приобретение умений и навыков работы с программой мате-
матического моделирования MATLAB
ndash Выработка способности логического мышления осмысление
полученных данных частотных характеристик
3 Теоретическая часть Сущность метода частотных характеристик заключается в том
что на вход исследуемой системы подается гармонический сигнал (си-
нусоидальные колебания) в широком диапазоне частот Реакция си-
стемы при разных частотах позволяет судить о ее динамических
свойствах
Пусть входной сигнал системы имеет амплитуду а и частоту ω т е
описывается формулой
)sin( tax
Выходной сигнал будет иметь амплитуду А1 и отличаться от вход-
ного по фазе на величину ψ (фазовый сдвиг)
)sin(1 tAy
Таким образом можно рассчитать усиление по амплитуде
1
a
AA
32
Для каждой частоты входного сигнала ω будут свои А и ψ
Изменяя ω в широком диапазоне можно получить зависимость
А(ω) ndash амплитудную частотную характеристику (АЧХ) и ψ(ω) ndash фазо-
вую частотную характеристику (ФЧХ)
Главное достоинство метода частотных характеристик заключа-
ется в том что АЧХ и ФЧХ объекта могут быть получены экспери-
ментально Для этого необходимо иметь генератор гармонических
колебаний который подключается к входу объекта и измеритель-
ную аппаратуру для измерения амплитуды и фазового сдвига колеба-
ний на выходе объекта
Частотные характеристики САУ могут быть получены по ее ПФ
W(s) Для суждения о реакции звена на синусоидальный сигнал доста-
точно исследовать его реакцию на гармонический сигнал вида
)( tjejx
Тогда выходной сигнал определяется по соотношению
)()( ))(( tjeAjy
и частотная ПФ получается равной
)()(
)()( )(
jeA
jx
jyjW
Формально для получения частотной ПФ надо сделать в W(s)
подстановку s = jω и тогда полученная W(jω) является комплексным
выражением которое можно представить в виде
)()(
)()()(
22
11
jba
jbajW
Для нахождения вещественной и мнимой частей частотной пе-
редаточной функции необходимо умножить числитель и знаменатель
на сопряженную знаменателю величину а затем провести
разделение
33
)()()(
)()(
)()()()(
)()(
)()()()(
))()())(()((
))()())(()((
)()(
)()()(
)(
22
22
2112
22
22
2121
2222
2211
22
11
jeAjVU
ba
babaj
ba
bbaa
jbajba
jbajba
jba
jbajW
где
)()()()(22
22
21
2122
ba
baVUjWA
)(
)())(arg()(
2
2
1
1
a
barctg
a
barctg
U
VarctgjW
Графики функции )(U и )(V называют соответственно веще-
ственной и мнимой частотной характеристиками
В практических расчетах удобно применять графики частотных
характеристик построенных в логарифмическом масштабе ndash лога-
рифмические частотные характеристики (ЛЧХ)
Логарифмическая амплитудная частотная характеристика
(ЛАЧХ) определяется следующим выражением
)(lg20)( AL
Логарифмической фазовой частотной характеристикой
(ЛФЧХ) называется график зависимости )( построенный в лога-
рифмическом масштабе частот
Единицей L(ω) является децибел (дБ) а единицей логарифма ча-
стоты ndash декада Декадой называют интервал частот на котором часто-
та изменяется в 10 раз При изменении частоты в 10 раз говорят что
она изменилась на одну декаду Ось ординат при построении ЛЧХ про-
водят через произвольную точку а не через точку ω = 0 Частоте ω = 0
соответствует бесконечно удаленная точка lgω rarr ndash infin при ω rarr 0
Основное преимущество использования ЛЧХ заключается в том
что приближенные (асимптотические) ЛАЧХ типовых динамических
звеньев изображаются отрезками прямых
Пример Построим ЛЧХ апериодического звена первого
34
порядка
Передаточная функция звена
1
)(
Ts
ksW
Частотная передаточная функция
1)(
)1(
1)(
2
T
Tjk
Tj
kjW
1)(
1)( 22
T
kTV
T
kU
Следовательно АЧХ описывается формулой
1)(
)(2
T
kA
ФЧХ строится по формуле
)()( Tarctg
ЛАЧХ апериодического звена 1-го порядка
1)(lg20lg20)( 2 TkL
По этой формуле можно построить две асимптоты ndash прямые к
которым стремится ЛАЧХ при ω rarr 0 и при ω rarr infin Так при ω rarr 0 второе
слагаемое близко к нулю и этот участок ЛАЧХ представляет собой
горизонтальную прямую
lg20)( kL
При ω rarr infin получаем наклонную прямую
1)(lg20)( 2 TL
35
Для определения наклона этой прямой можно рассмотреть гра-
ницы декады
T
1 и
10
T
Изменение ЛАЧХ между этими точками
)(2011
lg20110
lg20)(
22
декдБT
TT
TL
ЛЧХ часто называют диаграммами Боде
4 Краткое описание MATLAB
Лабораторная работа выполняется в программе математического
моделирования MATLAB Она включает в себя пакет прикладных про-
грамм для решения технических задач и одноименный язык программи-
рования используемый в этом пакете
Основными компонентами системы являются базовая система
MATLAB и пакет моделирования систем Simulink Остальные пакеты
расширения разбиты на 4 категории ndash расширения Extension MATLAB и
Extension Simulink а также комплексы пакетов расширения Blockset и
Toolbox
Раздел MATLAB Extension содержит средства для подготовки ис-
полняемых приложений MATLAB (с подключаемыми библиотеками и
без них)
Раздел Toolbox (инструментальные средства) содержит самое
большое число пакетов расширений системы MATLAB такие как
laquoControl systemraquo laquoDatabaseraquo laquoFuzzy logicraquo laquoWaveletraquo и тд
В разделе Blockset расположено несколько пакетов относящихся к
главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink такие как
laquoDSPraquo laquoFixed-Pointraquo laquoNonlinear control designraquo и laquoPower systemsraquo
В разделе Extension Simulink имеется ряд средств предназначен-
ных для моделирования в реальном масштабе времени и событийно-
управляемом моделировании
36
5 Построение частотных характеристик в MATLAB В пакете MATLAB ЛЧХ объекта заданного с помощью ПФ
можно получить командой bode
Пример
gtgt w=tf([1 2][3 4 5])
gtgt bode(w)
Для нескольких вариантов передаточной функции можно исполь-
зовать вариант команды вида
gtgt bode(ww1w2)
Например построим диаграмму Боде при различных параметрах
колебательного звена (рис 1)
gtgt w=tf([1][2 03 1])
gtgt w1=tf([1][2 05 1])
gtgt w2=tf([1][2 01 1])
gtgt bode(ww1w2)
Рис 1 ЛЧХ колебательного звена
6 Задание на лабораторную работу
С помощью пакета MATLAB построить ЛЧХ каждого типового
звена Определить влияние коэффициентов входящих в описание
каждого звена на параметры ЛАЧХ и ЛФЧХ Вариант задания назна-
чается преподавателем
37
7 Методика выполнения задания
Порядок выполнения работы
1 Задать передаточную функцию типового динамического звена
используя параметры из табл 2 лабораторной работы 1
2 Построить диаграмму Боде при различных параметрах типо-
вого динамического звена
3 Определить влияние коэффициентов входящих в описание
каждого звена на параметры ЛАЧХ и ЛФЧХ в том числе
ndash как меняется ширина асимптотических участков ЛАЧХ и
ЛФЧХ
ndash как меняется положение точек пересечения осей ЛАЧХ
4 Написать вывод по влиянию коэффициентов на типовое звено
5 Выполнить пункты 1-4 для всех типовых звеньев
6 Подготовить ответы на контрольные вопросы
8 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) титульный лист
б) краткие теоретические сведения
в) передаточные функции и схемы моделирования исследуемых
звеньев
г) экспериментально полученные характеристики при вариации
параметров каждого звена
д) выводы обобщающие проделанные эксперименты по каждо-
му звену
ж) ответы на контрольные вопросы
Контрольные вопросы
1 Как пользуясь частотными характеристиками определить па-
раметры (коэффициенты передаточной функции) звена Пояс-
нить на конкретных примерах
2 Указать особенности построения ЛАХ и ЛФХ динамических
звеньев Что понимается под асимптотической ЛАХ звена
3 Как осуществляется построение АФХ динамического звена
38
Лабораторная работа 4
ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ СИСТЕМ
С ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ
1 Цель работы
Изучение особенностей практического использования алгебраи-
ческих и частотных критериев устойчивости для анализа динамики
линейных САУ с использованием автоматизированных средств моде-
лирования на ПК ndash MATLAB SIMULINK
2 Задачи работы
ndash Закрепление углубление и расширение знаний студентов при
исследовании устойчивости систем с обратной связью
ndash Приобретение умений и навыков работы с программой мате-
матического моделирования MATLAB
ndash Овладение новыми методами проверки устойчивости систем
с обратной связью
ndash Выработка способности логического мышления осмысления
полученных данных
3 Теоретическая часть
Устойчивость САУ является одним из основных условий ее ра-
ботоспособности и включает требование затухания во времени пере-
ходных процессов
Система является устойчивой если при ограниченном входном
сигнале еѐ выходной сигнал также является ограниченным Если
система устойчива то она противостоит внешним воздействиям а
выведенная из состояния равновесия возвращается снова к нему
Система с расходящимся переходным процессом будет неустойчивой и
неработоспособной
Необходимое и достаточное условие устойчивости заключается в
том чтобы все корни характеристического уравнения (полюсы пере-
даточной функции системы) имели отрицательные вещественные ча-
сти Иначе говоря условием устойчивости системы является распо-
ложение всех полюсов в левой комплексной полуплоскости Тогда все
полюсы будут давать затухающую реакцию
Выше сформулированное условие устойчивости справедливо как
39
для линейных так и для линеаризованных систем Однако в случае
нулевых или чисто мнимых корней характеристического уравнения
вопрос об устойчивости линеаризованной системы может быть ре-
шен только на основании исследования ее нелинейных уравнений
В конце XIX и первой половине XX в задача вычисления корней
характеристического уравнения высокого порядка вызывала боль-
шие проблемы Поэтому были предложены несколько косвенных
методов оценки устойчивости позволяющих обойтись без вычисле-
ния корней ndash по значениям коэффициентов характеристического
уравнения
Критерии устойчивости разделяют на алгебраические и частот-
ные В частности к алгебраическим критериям относится критерий
Гурвица к частотным критериям ndash критерий Найквиста
Критерий Гурвица является алгебраическим критерием и при-
меняется к коэффициентам характеристического уравнения замкнутой
системы
Пусть имеется характеристическое уравнение замкнутой
системы
0011
1 apapapa n
nn
n
Из коэффициентов характеристического уравнения составляют
матрицу по правилу
1 По диагонали записываются коэффициенты от 1na до 0a
2 Каждая строка дополняется коэффициентами с возрастающи-
ми индексами слева направо так чтобы чередовались строки с нечет-
ными и четными индексами
3 В случае отсутствия индекса а также если он меньше 0 или
больше п на его место пишется 0
Таким образом матрица Гурвица приобретает следующий вид
40
Критерий устойчивости формулируется так
Чтобы система была устойчивой необходимо и достаточно что-
бы при 0na были положительными все п диагональных определи-
телей получаемых из матрицы Гурвица
Первые три определителя матрицы Гурвица имеют следующий
вид
Таким образом критерий Гурвица позволяет судить об абсо-
лютной устойчивости но он не дает возможности оценивать относи-
тельную устойчивость по корням характеристического уравнения
Частотный критерий устойчивости Найквиста анализирует
АФЧХ разомкнутой системы
Пусть имеется АФЧХ разомкнутой системы W(jω)
Для нахождения вещественной и мнимой части частотной ха-
рактеристики нужно освободиться от мнимости в знаменателе путем
умножения числителя и знаменателя на комплексную величину со-
пряженную знаменателю а затем выполнить разделение на веще-
ственную и мнимую части W(jω) приобретает вид
)()()( jQPjW
Задаваясь различными значениями частоты можно найти мно-
жество пар )()( 11 jQP )()( 22 jQP )()( nn jQP
Затем по этим парам строится АФЧХ на комплексной плоскости
Основные свойства АФЧХ разомкнутой системы
1 Если разомкнутая система не имеет интегрирующих звеньев
то при ω = 0 ее АФЧХ начинается на вещественной оси в точке
Р(ω)=К (где К ndash коэффициент усиления разомкнутой системы) За-
канчивается АФЧХ в начале координат при ω rarr infin (рис 1 а)
2 Если разомкнутая система имеет одно интегрирующее звено то
ее АФЧХ начинается при ω = 0 в бесконечности на отрицательной мни-
мой полуоси а заканчивается в начале координат при ω rarr infin (рис 1 б)
41
Рис 1 АФЧХ разомкнутой системы
Критерий устойчивости Найквиста формулируется так
1 Если разомкнутая система устойчива или находится на гра-
нице устойчивости то для того чтобы замкнутая система была
устойчива необходимо и достаточно чтобы АФЧХ разомкнутой
системы при изменении частоты ω от 0 до infin не охватывала точку с ко-
ординатами (-1 j0)
2 Если разомкнутая система неустойчива а ее передаточная
функция имеет т полюсов справа от мнимой оси на комплексной
плоскости то для устойчивости замкнутой системы необходимо и до-
статочно чтобы АФЧХ разомкнутой системы при изменении частоты
ω от -infin до +infin охватывала т раз точку с координатами (-1 j0)
При использовании этого критерия нужно учитывать две
особенности
1 Если разомкнутая система находится на границе устойчиво-
сти то ее АФЧХ уходит в бесконечность Для проверки критерия Най-
квиста нужно мысленно соединить конец АФЧХ дугой бесконечно
большого радиуса с положительной вещественной полуосью
2 На практике АФЧХ может строиться только для положитель-
ных частот (0 lt ω lt +infin) При применении критерия Найквиста счита-
ется что ветвь АФЧХ для отрицательных частот симметрична отно-
сительно вещественной оси
Физический смысл критерия устойчивости Найквиста заключа-
ется в том что система будет неустойчива если фаза выходного сиг-
нала противоположна фазе входного сигнала а коэффициент усиле-
ния больше 1 Поэтому для анализа устойчивости можно использо-
вать не АФЧХ а ЛАХ системы (для минимально-фазовых систем)
Система устойчива если на частоте среза значение фазы не превы-
шает -π Соответственно для устойчивой системы можно рассматри-
вать на ЛФЧХ запас устойчивости по фазе ndash расстояние от значения
фазы на частоте среза до уровня -π и запас устойчивости по амплиту-
42
де ndash расстояние от оси частот ЛАЧХ до значения усиления на часто-
те где фаза становится равной -π
4 Краткое описание MATLAB
Лабораторная работа выполняется в программе математического
моделирования MATLAB Программа MATLAB включает в себя пакет
прикладных программ для решения технических задач и одноименный
язык программирования используемый в этом пакете
Основными компонентами системы являются базовая система
MATLAB и пакет моделирования систем Simulink Остальные пакеты
расширения разбиты на 4 категории ndash расширения Extension MATLAB и
Extension Simulink а также комплексы пакетов расширения Blockset и
Toolbox
Раздел MATLAB Extension содержит средства для подготовки ис-
полняемых приложений MATLAB (с подключаемыми библиотеками и
без них)
Раздел Toolbox (инструментальные средства) содержит самое
большое число пакетов расширений системы MATLAB такие как
laquoControl systemraquo laquoDatabaseraquo laquoFuzzy logicraquo laquoWaveletraquo и тд
В разделе Blockset расположено несколько пакетов относящихся к
главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink такие как
laquoDSPraquo laquoFixed-Pointraquo laquoNonlinear control designraquo и laquoPower systemsraquo
В разделе Extension Simulink имеется ряд средств предназначен-
ных для моделирования в реальном масштабе времени и событийно-
управляемом моделировании
5 Исследование устойчивости САУ в MATLAB
Для проверки устойчивости САУ по Гурвицу постройте матрицу
Гурвица и найдите ее детерминант (функция det) Затем последова-
тельно уменьшая размер матрицы найдите значения всех диагональ-
ных детерминантов Пример
gtgt А=[1 14 18 2 5 2 3 4 3]
А =
1 14 18
2 5 2
3 4 3
gtgt det(A)
ans = -119
43
gtgt А1=А(12 12)
А1 =
1 14
2 5
gtgt det(A1)
ans = -23
Для проверки устойчивости САУ по Найквисту сначала нужно
выяснить является ли устойчивой разомкнутая система
Пример Пусть дана передаточная функция разомкнутой
системы
13232
12234
pppp
pW
Рассмотрим реакцию на скачок
gtgt w=tf([2 1][2 3 2 3 1])
gtgt step(w18)
График переходного процесса показан на рис 2
Рис 2 Переходная реакция
Разомкнутая система неустойчива и согласно критерию Найкви-
ста надо чтобы АФЧХ разомкнутой системы охватывала точку (-1 j0)
44
столько раз сколько полюсов имеется справа от мнимой оси Для по-
строения АФЧХ достаточно вызвать команду nyquist
gtgt nyquist(w)
Диаграмма Найквиста показана на рис 3
Рис 3 Диаграмма Найквиста для неустойчивой системы
Как показывает рис3 АФЧХ ни разу не охватывает точку
(-1 j0) поэтому замкнутая система будет неустойчивой Частотный
критерий Найквиста можно использовать и в том случае когда рас-
сматривается не АФЧХ а ЛАЧХ разомкнутой системы замкнутая
минимально-фазовая система устойчива если при достижении ЛФЧХ
значения -π ЛАЧХ будет отрицательной
Используя ЛАЧХ и ЛФЧХ можно оценить запасы устойчивости
системы по амплитуде и по фазе с помощью команды
gtgt margin(w)
Пример
gtgt w=tf([10][2 2 3 1])
gtgt margin(w)
Соответствующий график показан на рис 4
45
Рис 4 Определение запасов устойчивости по амплитуде и по фазе
6 Задание на лабораторную работу
Выполнить исследование устойчивости замкнутой системы по за-
данной передаточной функции разомкнутой системы Определить запас
устойчивости по амплитуде и по фазе Вариант задания назначается
преподавателем
7 Методика выполнения задания
Порядок выполнения работы
1 Рассчитать передаточную функцию замкнутой системы по
приведенной в табл 1 разомкнутой системе
2 Определить устойчивость замкнутой системы используя кри-
терий Гурвица
3 Определить устойчивость замкнутой системы используя кри-
терий Найквиста
4 Определить запас устойчивости по амплитуде и по фазе ис-
пользуя ЛАЧХ и ЛФЧХ
5 Выполнить моделирование переходных процессов разомкну-
той и замкнутой систем
6 Подготовить ответы на контрольные вопросы
46
Таблица 1
Варианты заданий
Передаточная функция разомкнутой системы
1 1355
2234
ssss
W
2 110050
1234
ssss
W
3 11010
123
sss
W
4 122105
100234
ssss
W
5 1248
123
sss
W
6 1223
102345
sssss
W
7 11001010
323
sss
W
8 122
1023
sss
W
9 11010
123
sss
W
10 15050332
102345
sssss
W
8 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) титульный лист
б) краткие теоретические сведения
в) переходную функцию разомкнутой системы
г) расчет передаточной функции замкнутой системы
д) расчетные выражения для обоснования устойчивости замкну-
той системы по алгебраическому критерию Гурвица
е) годограф Найквиста разомкнутой системы на основании кото-
рого делается вывод об устойчивости замкнутой системы
ѐ) переходную функцию замкнутой системы
ж) проверку полученных результатов путем компьютерного моде-
лирования переходных процессов разомкнутой и замкнутой си-
стемы в MATLAB Simulink
з) выводы по всем полученным результатам
47
Контрольные вопросы
1 Как связана устойчивость линейной САУ с видом составля-
ющих ее свободного движения
2 Зависит ли устойчивость линейных САУ от амплитуды зада-
ющих воздействий или возмущений
3 Сформулируйте критерий устойчивости Гурвица укажите на
необходимое условие устойчивости линейных САУ вытекаю-
щее из этого критерия
4 Сформулируйте критерий Найквиста для случая САУ устой-
чивых в разомкнутом состоянии а также для астатических САУ
Что такое laquoзапасы устойчивости по фазе и по амплитудеraquo
5 Что называется структурной устойчивостью
48
Лабораторная работа 5
КОРРЕКЦИЯ СТАТИЧЕСКИХ И ДИНАМИЧЕСКИХ
СВОЙСТВ САУ
1 Цель работы
Целью работы является изучение способов обеспечения иско-
мых характеристик САУ с использованием автоматизированных
средств моделирования на ПК ndash MATLAB SIMULINK
2 Задачи работы
ndash Закрепление углубление и расширение знаний студентов при
обеспечении искомых характеристик САУ
ndash Приобретение умений по обеспечению точности (уменьшение
статической ошибки) САУ и выбору значений параметров регулято-
ра обеспечивающих желаемые динамические свойства САУ
ndash Приобретение умений и навыков работы с программой мате-
матического моделирования MATLAB
3 Теоретическая часть
Коррекция статических и динамических свойств САУ имеет
своей целью повышение статической и динамической точности отра-
ботки системой задающего воздействия (или парирование возмуща-
ющего воздействия) повышение запасов ее устойчивости Наиболее
распространенными способами коррекции свойств САУ является из-
менение коэффициента усиления ее разомкнутой части введение в
САУ новых звеньев (как правило интегрирующего или дифференци-
рующего типа) охват объекта управления местной обратной связью
31 Коррекция статических свойств САУ
Статические свойства системы определяются величиной устано-
вившейся ошибки )t(уст вызванной действием задающего воздей-
ствия и определяемой по формуле
22
210 2 dttgdcdttdgctgctуст (1)
где )(tg - входное воздействие 210 ccc - коэффициенты ошибок
Коэффициенты ошибок определяются по формулам
49
dssdcdssdcscs
mmmss 00100
где s - передаточная функция САУ по ошибке управления рав-
ная
sW
sраз
1
1
sWраз - передаточная функция разомкнутой САУ
Основными способами уменьшения статической ошибки систе-
мы являются
1) увеличение коэффициента усиления прямого тракта системы
2) введение в прямой тракт системы интегрирующих звеньев
3) охват объекта управления местной неединичной положитель-
ной обратной связью
Представим структурную схему системы в виде изображенном
на рис 1 где через sW обозначена передаточная функция неизме-
няемой части системы
bsbsb
asasasW
nn
nn
mm
mm
01
1
01
1
Здесь и далее полагается что KKKsW s 000 0 ndash из-
меняемый коэффициент усиления регулятора системы
Первые два коэффициента ошибок 0c и 1c определяется выраже-
ниями
KK
c0
01
1
(2)
KK
dssdWKc
s
20
01
1
(3)
Из (2) и (3) с учетом (1) вытекает что с увеличением K
статическая ошибка в системе уменьшается и наоборот с уменьше-
нием K статическая ошибка в системе увеличивается
Введем в прямой тракт системы одно интегрирующее звено
50
(рис 2) В этом случае c 00 01 1 KKc
Так как c 00 то система на рис 2 является астатической (с
астатизмом первого порядка) Система имеет нулевую статическую
ошибку при отработке постоянного задающего воздействия
consttg и постоянную обратно пропорциональную K ошибку
constуст при отработке линейно изменяющегося воздействия
tatg
Рис 1 Схема САУ Рис 2 Схема САУ с включенным в прямой
тракт интегрирующим звеном
Охватим неизменяемую часть системы sW местной нееди-
ничной положительной обратной связью с коэффициентом усиления
осK (рис 3) Тогда эквивалентная передаточная функция sWэкв
неизменяемой части системы равна
10011
01
1
aKbsaKbsaKbsb
asasa
sWK
sWsW
ососm
mосmn
n
mm
mm
осэкв
(4)
Если коэффициент усиления K выбрать из условия
a
bKос
0
0
то свободный коэффициент (b0 - Koca0) полинома знаменателя sWэкв
обратится в нуль и sWэкв приобретает интегрирующие свойства
11
11
0
1
1
aKbsaKbsbs
asasasW
ос
m
mосm
n
n
m
m
m
mэкв
g(t) y(t)ε(t)
K W(s)-
g(t) y(t)
Ks W(s)-
ε(t)
51
Следовательно замкнутая система становится астатической (с
астатизмом 1-го порядка) Отсюда 0c =0 а коэффициент 1c будет
равен
aKb
bc
ос 11
01
ε(t)g(t) y(t)
W(s)-
Kос
Wэкв(s)
+
Рис 3 Схема САУ с местной неединичной обратной связью
32 Коррекция динамических свойств САУ
Улучшение динамических свойств САУ заключается в увеличе-
нии быстродействия САУ (уменьшении времени регулирования tрег)
уменьшении перерегулирования (см рис 4) а также увеличении
запасов устойчивости по фазе и по модулю При этом
h
hh
уст
устmax100
где maxh - максимальное значение переходной характеристики за-
мкнутой САУ th
устh - установившееся значение th
Время регулирования tрег - минимальная величина при которой удо-
влетворяется условие
устрег hth
где - заданная величина ошибки (обычно =005 устh )
52
h(t)
tрег
hустhmax
2δ
Рис 4 Быстродействие и перерегулирование САУ
Одним из эффективных средств достижения этой цели является
уменьшение отрицательных фазовых сдвигов в прямом тракте систе-
мы путем охвата неизменяемой части системы местными отрицатель-
ными обратными связями
На рис 5 R(s) представляет собой передаточную функцию регу-
лятора САУ которая считается заданной
ε(t)g(t) y(t)
W(s)-
Kос
Wэкв(s)
-
R(s)
u(t)
Рис 5 Схема САУ с местной обратной связью и регулятором
Пусть неизменяемая часть системы представляет собой аперио-
дическое звено первого порядка те
sT
K)s(W
10
0
Тогда передаточная функция sWэкв эквивалентного объекта
управления равна
sT
K
sWK
sWsW
экв
экв
осэкв
11
где зквK и эквT - коэффициент усиления и постоянная времени
эквивалентного объекта равные
53
KK
KK
осэкв
0
0
1
KK
TT
осэкв
0
0
1 (5)
Из (5) следует что соответствующим выбором осK постоянную
времени эквT эквивалентного объекта можно уменьшить в (1+ 0KKос )
раз по сравнении с постоянной времени 0T объекта без местной об-
ратной связи Тем самым уменьшаются отрицательные фазовые сдви-
ги вносимые прямым трактом системы что приводит к увеличению
запасов устойчивости системы При этом однако уменьшается в
(1+ 0KKос ) раз коэффициент усиления эквK эквивалентного объекта
по сравнению с коэффициентом усиления 0K объекта без местной
обратной связи Это нежелательно так как приводит к уменьшению
быстродействия системы вследствие уменьшения общего коэффици-
ента усиления прямого тракта системы В этом случае с целью обес-
печения необходимого быстродействия системы увеличивают коэф-
фициент усиления регулятора
4 Краткое описание MATLAB
Лабораторная работа выполняется в программе математического
моделирования MATLAB Программа MATLAB включает в себя пакет
прикладных программ для решения технических задач и одноименный
язык программирования используемый в этом пакете
Основными компонентами системы являются базовая система
MATLAB и пакет моделирования систем Simulink Остальные пакеты
расширения разбиты на 4 категории ndash расширения Extension MATLAB и
Extension Simulink а также комплексы пакетов расширения Blockset и
Toolbox
Раздел MATLAB Extension содержит средства для подготовки ис-
полняемых приложений MATLAB (с подключаемыми библиотеками и
без них)
Раздел Toolbox (инструментальные средства) содержит самое
большое число пакетов расширений системы MATLAB такие как
laquoControl systemraquo laquoDatabaseraquo laquoFuzzy logicraquo laquoWaveletraquo и тд
54
В разделе Blockset расположено несколько пакетов относящихся к
главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink такие как
laquoDSPraquo laquoFixed-Pointraquo laquoNonlinear control designraquo и laquoPower systemsraquo
В разделе Extension Simulink имеется ряд средств предназначен-
ных для моделирования в реальном масштабе времени и событийно-
управляемом моделировании
5 Задание на лабораторную работу
Выполнить исследование способов коррекции статических и
динамических свойств САУ Определить время регулирования и пе-
ререгулирования в исходной и скорректированной системах а также
для динамических свойств САУ определить запасы устойчивости в
исходной системе и найти экспериментально значение Kос обеспечи-
вающее в системе заданные показатели качества и запасы устойчиво-
сти Вариант задания назначается преподавателем
Таблица 1
Варианты заданий
варианта
Параметры
1
2
3
4
5
6
7
8
a 05 10 15 20 25 30 35 40
K0 1 2 3 4 5 6 7 8
T c 03 04 05 06 07 08 09 10
ξ 06 07 08 08 07 09 05 04
уст 0 0 005 0 010 007 0 0
tрег c le 13 15 20 25 30 35 40 40
le 0 10 10 5 5 5 0 0
В качестве исходных САУ выступают системы изображенные
на рис 6 и 7
55
ε(t)g(t) y(t)
W(s)-
g(t) y(t)
R(s) W(s)-
ε(t) u(t)
Рис 6 САУ с отрицательной Рис 7 САУ с отрицательной обратной
обратной связью связью и регулятором
6 Методика выполнения задания
При исследовании способов коррекции статических свойств
САУ в качестве исходных данных выступает передаточная функция
sW неизменяемой части системы вида
1222
0
sTsT
KsW (6)
и задающие воздействия вида ttg 1 в соответствии с таблицей 1
В процессе выполнения этой части работы необходимо
1) путем моделирования в системе MATLAB исходной САУ
(рис 6) получить графики ttytg
2) сравнить полученную таким образом экспериментальную ве-
личину t с теоретической величиной вычисленной по формуле (1)
3) применяя описанные в теоретической части методических
указаний способы коррекции статических свойств (см п 31) обес-
печить требуемую статическую ошибку εуст системы при отработке
задающего воздействия ttg 1
4) получить графики ty и t в скорректированной системе
для 1 ttg
5) сравнить время регулирования регt и перерегулирование в
исходной и скорректированной системах при 1 ttg
При исследовании рассмотренного способа коррекции динами-
ческих свойств САУ (см п 32) в качестве исходных данных высту-
пают передаточная функция sW неизменяемой части системы
вида (6) и передаточная функция регулятора вида
s
KsR
рег
56
Задающее воздействие ttg 1
В процессе выполнения данной части работы необходимо
1) получить путем моделирования в MATLAB графики ty t
в системе (рис 7)
2) определить время регулирования регt и перерегулирование
а также запасы устойчивости в исходной системе
3) применяя описанный выше способ коррекции динамических
свойств САУ найти экспериментально (путем последовательного пе-
ребора) значение осK обеспечивающее в системе заданные заданием
показатели качества ( регt ) и запасы устойчивости (при необхо-
димости увеличить коэффициент регK )
4) получить графики ty t а также ЛАХ и ЛФХ разомкну-
той системы в скорректированной САУ
7 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) титульный лист
б) структурные схемы исследуемых систем
в) полученные графики и характеристики
г) значения полученные экмпериментально которые
обеспечивают заданные показатели качества и запасы устойчивости
д) выводы обощающие проделанные эксперименты для
коррекции статических и динамических свойств САУ
е) ответы на контрольные вопросы
Контрольные вопросы 1 Дать определение статической и астатической САУ
2 Какими структурными свойствами системы определяется по-
рядок ее астатизма
3 Какой из двух приведенных выше способов придания системе
свойств астатизма 1-го порядка наиболее предпочтителен на
практике
4 Назовите основные показатели качества САУ Поясните их
смысл
5 В чѐм суть исследуемого способа коррекции динамических
свойств САУ
57
6 Назвать другие способы коррекции динамических свойств
САУ
7 Чем вызваны отрицательные фазовые сдвиги в неизменяемой
части САУ
58
Лабораторная работа 6
МЕТОД КОРНЕВОГО ГОДОГРАФА
1 Цель работы
Целью работы является построение корневого годографа и ис-
следование динамики системы с использованием автоматизирован-
ных средств моделирования на ПК ndash MATLABSIMULINK
2 Задачи работы
ndash Закрепление углубление и расширение знаний студентов при
исследование динамики системы
ndash Овладение навыком построения корневого годографа
ndash Приобретение умений и навыков работы с программой мате-
матического моделирования MATLAB
3 Теоретическая часть
Корневым годографом (КГ) называется совокупность траекто-
рий перемещения всех корней характеристического уравнения за-
мкнутой системы при изменении какого-либо параметра этой систе-
мы
Обычно метод КГ позволяет находить полюса и нули ПФ за-
мкнутой системы располагая полюсами и нулями разомкнутой си-
стемы при изменении коэффициента усиления разомкнутой системы
K
ПФ разомкнутой системы Wp(s) представим в следующем виде
)(
)(
1
1
0
n
ii
m
jj
p
ss
ssKC
sW (1)
где 0js ndash нули ПФ sWp )1( mj
is ndash полюса ПФ sWp
)1( nj n и m ndash порядки знаменателя и числителя C ndash коэффици-
ент представления (отношение коэффициентов при старших членах
числителя и знаменателя)
59
При замыкании системы с ПФ sWp единичной отрицатель-
ной обратной связью ПФ замкнутой системы sWз принимает вид
)(1
)(
sW
sWsW
p
pз
(2)
Из выражения (2) следует что нули ПФ замкнутой системы рав-
ны нулям ПФ разомкнутой системы
Для нахождения полюсов рассмотри выражение
01 sWp (3)
в соответствии с выражением (1) имеем
n
i
m
jjin
ii
m
jj
ssKCss
ss
ssKC
1 1
0
1
1
0
)()(01
)(
)(
(4)
На основании выражения (4) можно сказать что при K = 0 корни
характеристического уравнения совпадают с полюсами а при K = infin ndash
с нулями При изменении K от 0 до infin траектории корней начинаются
в полюсах и заканчиваются в нулях Обычно полюсов больше чем
нулей В этом случаем mn ветвей корневого годографа стремятся к
infin
Для определения полюсов замкнутой системы с отрицательной
обратной связью необходимо решить уравнение (его называют ос-
новным уравнением метода КГ)
1sWp (5)
Так как sWp является функцией комплексного переменного
s то уравнение (5) распадается на два уравнения уравнение модулей
1)( sWp (6)
60
и уравнение аргументов (фаза вектора -1 есть нечетное число π)
210)12()(arg sWp (7)
Как известно при умножении комплексных чисел их аргументы
складываются а при делении ndash вычитаются Поэтому исходя из вы-
ражения (1) уравнение (7) имеет наглядный геометрический смысл
Пусть точка s ndash полюс замкнутой системы Если провести в s
вектора из нулей sWp (обозначим аргументы этих векторов 0j ) и
вектора из всех полюсов sWp (обозначим аргументы этих векторов
i ) то уравнение (7) можно записать в следующем виде
m
j
n
iij
1 1
0 210)12( (8)
Углы q отсчитываются от положительного направления дей-
ствительной оси Знак угла laquo+raquo соответствует повороту против часо-
вой стрелки знак угла laquo-raquo соответствует повороту по часовой стрел-
ке
Таким образом любая точка КГ должна удовлетворять уравне-
нию (8) из которого следует что конфигурация КГ не зависит от ко-
эффициента усиления K но каждому конкретному значению K одно-
значно соответствуют точки на КГ
При умножении комплексных чисел их модули перемножаются
а при делении ndash делятся Поэтому на основании (6) можно записать
1
1
1
0
n
ii
m
jj
l
lKC
(9)
где 0jl ndash модуль (длина) вектора проведенного из j-нуля в точку s
КГ il ndash модуль вектора проведенного из i-полюса в ту же точку s
61
Таким образом траектории корней строятся только по уравне-
ниям фаз а уравнение модулей используется затем для нахождения
K
Сущность метода КГ заключается в том чтобы узнать каким
должен быть коэффициент усиления разомкнутой системы чтобы
было обеспечено желаемое положение корней замкнутой системы
Корневой годограф системы с отрицательной обратной связью
обладает следующими основными свойствами
1 Ветви КГ непрерывны и расположены на комплексной плос-
кости симметрично относительно действительной оси
2 Число ветвей КГ равно порядку системы n Ветви начинают-
ся в n полюсах разомкнутой системы при K=0 При возрастании K от
0 до infin полюса замкнутой системы двигаются по ветвям КГ
3 mветвей КГ при возрастании K от 0 до infin заканчиваются в m
нулях )(sWp а )( mn ветвей при K стремящемся к infin удаляются
от полюсов вдоль асимптот
4 При расположении ветвей корневого годографа в левой полу-
плоскости s САУ устойчива При пересечении ветвей КГ мнимой оси
слева направо САУ становится неустойчивой Пусть при K=Kкр
пере-
сечение КГ с мнимой осью произойдет в некоторой точке iωкр
Назо-
вем это значение коэффициента усиления критическим Kкр
а вели-
чину iωкр
критической угловой частотой на которой система стано-
вится неустойчивой
4 Краткое описание MATLAB
Лабораторная работа выполняется в программе математического
моделирования MATLAB Программа MATLAB включает в себя пакет
прикладных программ для решения технических задач и одноименный
язык программирования используемый в этом пакете
Основными компонентами системы являются базовая система
MATLAB и пакет моделирования систем Simulink Остальные пакеты
расширения разбиты на 4 категории ndash расширения Extension MATLAB и
Extension Simulink а также комплексы пакетов расширения Blockset и
Toolbox
Раздел MATLAB Extension содержит средства для подготовки ис-
полняемых приложений MATLAB (с подключаемыми библиотеками и
без них)
62
Раздел Toolbox (инструментальные средства) содержит самое
большое число пакетов расширений системы MATLAB такие как
laquoControl systemraquo laquoDatabaseraquo laquoFuzzy logicraquo laquoWaveletraquo и тд
В разделе Blockset расположено несколько пакетов относящихся к
главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink такие как
laquoDSPraquo laquoFixed-Pointraquo laquoNonlinear control designraquo и laquoPower systemsraquo
В разделе Extension Simulink имеется ряд средств предназначен-
ных для моделирования в реальном масштабе времени и событийно-
управляемом моделировании
5 Корневой годограф в MATLAB
В системе MATLAB существует команда zpk для преобразова-
ния модели заданной ПФ в модель заданную нулями полюсами и
обобщенными коэффициентами передачи (zpk-форма)
Пример
gtgt w=tf([10][2 2 3 1 0])
Transfer function
10
-------------------------------
2 s^4 + 2 s^3 + 3 s^2 + s
gtgt w1=zpk(w)
Zeropolegain
5
----------------------------------------------
s (s+03966) (s^2 + 06034s + 1261)
Для работы с корневым годографом удобно использовать гра-
фический интерфейс laquoSISO-Design Toolraquo предназначенный для ана-
лиза и синтеза одномерных линейных систем автоматического управ-
ления (SISO ndash Single Input Signal Output)
Запуск SISO-Design Tool осуществляется командой
gtgt sisotool
63
В появившемся окне графического интерфейса необходимо ис-
пользовать команду laquoFileImportraquo для загрузки данных из рабочего
пространства MATLAB в результате которой появляется диалоговое
окно Import System Data (рис 1)
Рис 1 Диалог для ввода параметров модели
После импортирования данных можно исследовать изменение
временных и частотных характеристик замкнутой системы при изме-
нении K Обычно при этом требуется определить условия неустойчи-
вости замкнутой САУ Определить Kкр
и iωкр
На рис 2 показано окно sisotool для описанной выше модели w1
Двигая красным курсором по КГ до пересечения ветвей с мнимой
осью можно определить значения Kкр
В данном случае Kкр
asymp 01
Значение iωкр
соответствует мнимой координате пересечения КГ
мнимой оси Просмотреть это значение можно в нижней части ин-
терфейса или выбрать меню laquoView Closed-Loop Polesraquo
64
Рис 2 Основное окно SISO-Design Tool
6 Задание на лабораторную работу
Построить КГ в соответствии с вариантом из табл 1 при помо-
щи графического интерфейса sisotool
Исследовать динамику замкнутой системы при различных зна-
чениях коэффициента усиления разомкнутой системы K в том числе
ndash запасы устойчивости в частотной области
ndash параметры переходного процесса во временной области
Таблица 1
Варианты передаточных функций
Значения параметров Передаточная функция
разомкнутой системы
1 T = 01 ζ = 1
)12( 22 sTsTs
K
2 T = 005 ζ = 0707
3 T = 003 ζ = 01
4 T = 008 ζ = 05
5 T = 001 ζ = 015
65
Окончание табл 1
Значения параметров Передаточная функция
разомкнутой системы
6 T1 = 003 T2 = 05 T3 = 01 T4 = 005
)1)(1)(1(
)1(
432
1
sTsTsTs
sTK
7 T1 = 005 T2 = 04 T3 = 008 T4 = 0033
8 T1 = 02 T2 = 045 T3 = 01 T4 = 005
9 T1 = 05 T2 = 025 T3 = 01 T4 = 002
10 T1 = 01 T2 = 025 T3 = 01 T4 = 005
Вариант задания назначается преподавателем
7 Методика выполнения задания
Порядок выполнения лабораторной работы
1 Задать передаточную функцию в MATLAB в соответствии с
вариантом коэффициент K задать любым положительным числом
2 Запустить SISO-Design Tool и осуществить ввод данных
Построить КГ
3 По КГ определить значения коэффициента K когда система
будет устойчивой на границе устойчивости и неустойчива
4 Выбрать значение коэффициента K таким образом чтобы си-
стемы была устойчива и определить запас устойчивости в частотной
области и параметры переходного процесса во временной области
8 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) титульный лист
б) передаточную функцию и этапы построения КГ
в) анализ результатов построения КГ
г) выводы по проделанной работе
д) ответы на контрольные вопросы
Контрольные вопросы 1 Дать определение КГ
2 Что обычно позволяет находить метод КГ
3 В чем заключается сущность метода КГ
4 Что можно определить по КГ
66
Критерии результативности лабораторного практикума
Лабораторная работа считается выполненной если студент
ndash выполнил все указанные задания
ndash представил отчет соответствующий всем требованиям к его
содержанию и оформлению
ndash владеет терминологией и материалом лабораторной работы
ndash способен использовать программное средство математическо-
го моделирования MATLAB
ndash способен предоставить и рассказать результаты выполненной
работы на ПК
ndash может дать пояснения к отчету и ответить на контрольные
вопросы
Список литературы
1 Александров АГ Частотная теория автоматического управле-
ния учебное пособие ndash Электросталь ЭПИ МИСиС 2010
2 Борисевич АВ Теория автоматического управления элементар-
ное введение с применением MATLAB ndash СПб Изд-во Политехн ун-
та 2011
3 Федоров ВЛ Бубнов АВ Теория автоматического управления
учебное пособие ndash Омск Изд-во ОмГТУ 2010
4 Павловская ОО Чернецкая ИВ Теория автоматического
управления учебное пособие ndash Челябинск Изд-во ЮУрГУ 2010
67
Составители ЛЯНЦЕВ Олег Дмитриевич КАЗАНЦЕВ Андрей Валерьевич
ИССЛЕДОВАНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК СИСТЕМ
АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
Лабораторный практикум
по дисциплине
laquoТеория управленияraquo
Подписано в печать Формат 60х84 116 Бумага офсетная Пе-
чать плоская Гарнитура Times New Roman Усл печ л 56 Уч-изд л
55 Тираж 100 экз Заказ
ФГБОУ ВПО Уфимский государственный авиационный технический
университет
Центр оперативной полиграфии УГАТУ
450000 Уфа-центр ул К Маркса 12
26
5 Структурные преобразования в MATLAB
В пакете MATLAB имеется ряд функций с помощью которых
можно выполнять структурные преобразования (используется экви-
валентная схема)
ndash series(w1w2) ndash последовательное соединение звеньев
ndash parallel(w1w2) ndash параллельное соединение звеньев
ndash feedback(w1w2) ndash включение звена w2 в контур отрицательной об-
ратной связи к w1
ndash feedback(w1w2sign) ndash включение звена w2 в контур обратной связи
звена w1 с указанием знака + или ndash (очевидно feedback(w1w2)=
=feedback(w1w2-1))
Пример
Даны две передаточные функции
22
221
ss
sW
22
322
2
2
ss
ssW
Опишем ПФ введя в окне команд MatLab следующие команды
gtgt w1=tf([1 2][1 2 2])
gtgt w2=tf([1 2 3][1 2 2])
Выполним структурные преобразования для данных ПФ
gtgt w2=series(w1w2)
Transfer function
s^3 + 4 s^2 + 7 s + 6
------------------------------------
s^4 + 4 s^3 + 8 s^2 + 8 s + 4
gtgt w3=parallel(w1w2)
Transfer function
s^4 + 5 s^3 + 13 s^2 + 16 s + 10
----------------------------------------
s^4 + 4 s^3 + 8 s^2 + 8 s + 4
27
gtgt w4=feedback(w1w2)
Transfer function
s^3 + 4 s^2 + 6 s + 4
----------------------------------------
s^4 + 5 s^3 + 12 s^2 + 15 s + 10
Для проверки правильности проведенных преобразований необ-
ходимо собрать схему исходной САУ и соответствующую ей эквива-
лентную схему в MATLAB Simulink
Исходная схема САУ собирается как модель из соответствую-
щих элементов таких как laquoTransfer Fncraquo laquostepraquo laquosignal builderraquo
laquoscoperaquo и laquosumraquo Все эти элементы находятся в пакете laquoSimulinkraquo и
представлены в виде блоков Для того чтобы создать новую модель
необходимо нажать laquoFile-gtNew-gtModel (Simulink)raquo после откроется
окно модели в которую нужно будет добавлять элементы из библио-
теки для доступа к ней необходимо нажать на значок laquoLibrary Brows-
erraquo
Описание используемых элементов из пакета Simulink
1 Transfer Fnc ndash передаточная функция
2 Step ndash единичный скачок (функция Хэвисайда) в блоке необходи-
мо задать время начала перехода (step time)
3 Signal builder ndash блок для моделирования сигнала по заданным па-
раметрам (можно построить единичный скачок и импульсную функ-
цию)
4 Scope ndash виртуальный осциллограф отображает получившийся гра-
фик открывается двойным щелчком левой клавиши мыши и для кор-
рекции масштаба необходимо нажать правой кнопкой по графику и
из выпадающего меню выбрать laquoautoscaleraquo
5 Sum ndash сумматор в параметрах задается число сигналов соответ-
ственно laquo+raquo - положительный laquondashraquo - отрицательный
Так же нужно задать время работы модели для этого необходи-
мо выбрать laquoSimulation-gtSimulation parametersraquo и установить пара-
метр laquostop timeraquo на нужное значение и после необходимо запустить
модель на выполнение нажав на значок laquoStart simulationraquo Пример
модели составленной в MATLAB представлен на рис 10
28
Рис 10 Пример схемы САУ с блоком laquosignal builderraquo
Задача считается решенной если при подаче на вход обоих
схем одинаковых тестовых воздействий (единичный скачок импуль-
сная функция) наблюдаются одинаковые выходные сигналы
6 Задание на лабораторную работу
Выполнить преобразование структурной схемы САУ в эквива-
лентную передаточную функцию Составить модель исходной схемы
САУ в MATLAB С помощью ряда функций MATLAB (структурные
преобразования) составить эквивалентную схему Вариант задания
назначается преподавателем
7 Методика выполнения задания
Порядок выполнения работы
1 Выполнить преобразование заданного варианта структурной
схемы САУ (см табл 2) в эквивалентную ПФ тремя способами
ndash непосредственно используя правила табл 1
ndash используя представление в виде сигнального графа и формулу
Мейсона
ndash составив систему уравнений и решив еѐ
2 В качестве звеньев W1W2W3 использовать передаточные
функции звеньев представленных в табл 2
3 Составить модель исходной схемы САУ в MATLAB постро-
ить реакцию получившейся модели на ступенчатое и импульсное
воздействия
4 С помощью ряда функций MATLAB (структурные преобразо-
вания) составить эквивалентную схему и построить реакцию на сту-
пенчатое и импульсное воздействия
5 Подготовить ответы на контрольные вопросы
29
Таблица 2
Варианты структур САУ
Исходная схема
Передаточные
функции
1 W1
W3
W2
-
+
-
+
u y
+
1
31
sW
2
442
s
sW
12
133
s
sW
2 W1
W3
W2
-
+
-
+
u y
+ +
3 W3
W2
W1
-
+
-
+
u y
+ +
4 W3
W1
W2
+
+
-
+
u y
+ +
1
21
sW
2
12
sW
12
13
s
sW
5
W1
W3
W2
-
+
-
+
u y
+ +
6
W1
W3
W2
-
+
-
+
u y
+
62
31
sW
2
52
sW
1
23
s
sW
7
W1
W3
W2
-
+
-
+
u y
+ +
8
W1
W2
W3
-
+
-
+
u y
+ +
30
8 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) описание всех этапов преобразования исходной схемы и по-
лучающихся промежуточных результатов выполненными тремя спо-
собами моделирование реакции схемы на типовое воздействие (ска-
чок) до и после преобразования
б) сигнальный граф системы описание путей контуров расчет
ПФ по формуле Мейсона
в) решение составленной системы уравнений
г) схема модели и протокол команд MATLAB
д) графики переходных процессов при подаче на вход исходной
и эквивалентной схемы типовых тестирующих воздействий (скачок
импульс)
е) ответы на контрольные вопросы
Контрольные вопросы
1 Что называется структурной схемой Какие задачи можно
решить с еѐ помощью
2 Как может быть составлена структурная схема
3 Что позволяет алгоритмизировать процесс упрощения струк-
турной схемы Поясните на конкретном примере
31
Лабораторная работа 3
ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
ДИНАМИЧЕСКИХ ЗВЕНЬЕВ
1 Цель работы
Целью работы является изучение частотных характеристик ти-
повых динамических звеньев с использованием автоматизированных
средств моделирования на ПК ndash MATLAB SIMULINK
2 Задачи работы
ndash Закрепление углубление и расширение знаний студентов при
исследовании частотных характеристик динамических звеньев
ndash Приобретение умений и навыков работы с программой мате-
матического моделирования MATLAB
ndash Выработка способности логического мышления осмысление
полученных данных частотных характеристик
3 Теоретическая часть Сущность метода частотных характеристик заключается в том
что на вход исследуемой системы подается гармонический сигнал (си-
нусоидальные колебания) в широком диапазоне частот Реакция си-
стемы при разных частотах позволяет судить о ее динамических
свойствах
Пусть входной сигнал системы имеет амплитуду а и частоту ω т е
описывается формулой
)sin( tax
Выходной сигнал будет иметь амплитуду А1 и отличаться от вход-
ного по фазе на величину ψ (фазовый сдвиг)
)sin(1 tAy
Таким образом можно рассчитать усиление по амплитуде
1
a
AA
32
Для каждой частоты входного сигнала ω будут свои А и ψ
Изменяя ω в широком диапазоне можно получить зависимость
А(ω) ndash амплитудную частотную характеристику (АЧХ) и ψ(ω) ndash фазо-
вую частотную характеристику (ФЧХ)
Главное достоинство метода частотных характеристик заключа-
ется в том что АЧХ и ФЧХ объекта могут быть получены экспери-
ментально Для этого необходимо иметь генератор гармонических
колебаний который подключается к входу объекта и измеритель-
ную аппаратуру для измерения амплитуды и фазового сдвига колеба-
ний на выходе объекта
Частотные характеристики САУ могут быть получены по ее ПФ
W(s) Для суждения о реакции звена на синусоидальный сигнал доста-
точно исследовать его реакцию на гармонический сигнал вида
)( tjejx
Тогда выходной сигнал определяется по соотношению
)()( ))(( tjeAjy
и частотная ПФ получается равной
)()(
)()( )(
jeA
jx
jyjW
Формально для получения частотной ПФ надо сделать в W(s)
подстановку s = jω и тогда полученная W(jω) является комплексным
выражением которое можно представить в виде
)()(
)()()(
22
11
jba
jbajW
Для нахождения вещественной и мнимой частей частотной пе-
редаточной функции необходимо умножить числитель и знаменатель
на сопряженную знаменателю величину а затем провести
разделение
33
)()()(
)()(
)()()()(
)()(
)()()()(
))()())(()((
))()())(()((
)()(
)()()(
)(
22
22
2112
22
22
2121
2222
2211
22
11
jeAjVU
ba
babaj
ba
bbaa
jbajba
jbajba
jba
jbajW
где
)()()()(22
22
21
2122
ba
baVUjWA
)(
)())(arg()(
2
2
1
1
a
barctg
a
barctg
U
VarctgjW
Графики функции )(U и )(V называют соответственно веще-
ственной и мнимой частотной характеристиками
В практических расчетах удобно применять графики частотных
характеристик построенных в логарифмическом масштабе ndash лога-
рифмические частотные характеристики (ЛЧХ)
Логарифмическая амплитудная частотная характеристика
(ЛАЧХ) определяется следующим выражением
)(lg20)( AL
Логарифмической фазовой частотной характеристикой
(ЛФЧХ) называется график зависимости )( построенный в лога-
рифмическом масштабе частот
Единицей L(ω) является децибел (дБ) а единицей логарифма ча-
стоты ndash декада Декадой называют интервал частот на котором часто-
та изменяется в 10 раз При изменении частоты в 10 раз говорят что
она изменилась на одну декаду Ось ординат при построении ЛЧХ про-
водят через произвольную точку а не через точку ω = 0 Частоте ω = 0
соответствует бесконечно удаленная точка lgω rarr ndash infin при ω rarr 0
Основное преимущество использования ЛЧХ заключается в том
что приближенные (асимптотические) ЛАЧХ типовых динамических
звеньев изображаются отрезками прямых
Пример Построим ЛЧХ апериодического звена первого
34
порядка
Передаточная функция звена
1
)(
Ts
ksW
Частотная передаточная функция
1)(
)1(
1)(
2
T
Tjk
Tj
kjW
1)(
1)( 22
T
kTV
T
kU
Следовательно АЧХ описывается формулой
1)(
)(2
T
kA
ФЧХ строится по формуле
)()( Tarctg
ЛАЧХ апериодического звена 1-го порядка
1)(lg20lg20)( 2 TkL
По этой формуле можно построить две асимптоты ndash прямые к
которым стремится ЛАЧХ при ω rarr 0 и при ω rarr infin Так при ω rarr 0 второе
слагаемое близко к нулю и этот участок ЛАЧХ представляет собой
горизонтальную прямую
lg20)( kL
При ω rarr infin получаем наклонную прямую
1)(lg20)( 2 TL
35
Для определения наклона этой прямой можно рассмотреть гра-
ницы декады
T
1 и
10
T
Изменение ЛАЧХ между этими точками
)(2011
lg20110
lg20)(
22
декдБT
TT
TL
ЛЧХ часто называют диаграммами Боде
4 Краткое описание MATLAB
Лабораторная работа выполняется в программе математического
моделирования MATLAB Она включает в себя пакет прикладных про-
грамм для решения технических задач и одноименный язык программи-
рования используемый в этом пакете
Основными компонентами системы являются базовая система
MATLAB и пакет моделирования систем Simulink Остальные пакеты
расширения разбиты на 4 категории ndash расширения Extension MATLAB и
Extension Simulink а также комплексы пакетов расширения Blockset и
Toolbox
Раздел MATLAB Extension содержит средства для подготовки ис-
полняемых приложений MATLAB (с подключаемыми библиотеками и
без них)
Раздел Toolbox (инструментальные средства) содержит самое
большое число пакетов расширений системы MATLAB такие как
laquoControl systemraquo laquoDatabaseraquo laquoFuzzy logicraquo laquoWaveletraquo и тд
В разделе Blockset расположено несколько пакетов относящихся к
главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink такие как
laquoDSPraquo laquoFixed-Pointraquo laquoNonlinear control designraquo и laquoPower systemsraquo
В разделе Extension Simulink имеется ряд средств предназначен-
ных для моделирования в реальном масштабе времени и событийно-
управляемом моделировании
36
5 Построение частотных характеристик в MATLAB В пакете MATLAB ЛЧХ объекта заданного с помощью ПФ
можно получить командой bode
Пример
gtgt w=tf([1 2][3 4 5])
gtgt bode(w)
Для нескольких вариантов передаточной функции можно исполь-
зовать вариант команды вида
gtgt bode(ww1w2)
Например построим диаграмму Боде при различных параметрах
колебательного звена (рис 1)
gtgt w=tf([1][2 03 1])
gtgt w1=tf([1][2 05 1])
gtgt w2=tf([1][2 01 1])
gtgt bode(ww1w2)
Рис 1 ЛЧХ колебательного звена
6 Задание на лабораторную работу
С помощью пакета MATLAB построить ЛЧХ каждого типового
звена Определить влияние коэффициентов входящих в описание
каждого звена на параметры ЛАЧХ и ЛФЧХ Вариант задания назна-
чается преподавателем
37
7 Методика выполнения задания
Порядок выполнения работы
1 Задать передаточную функцию типового динамического звена
используя параметры из табл 2 лабораторной работы 1
2 Построить диаграмму Боде при различных параметрах типо-
вого динамического звена
3 Определить влияние коэффициентов входящих в описание
каждого звена на параметры ЛАЧХ и ЛФЧХ в том числе
ndash как меняется ширина асимптотических участков ЛАЧХ и
ЛФЧХ
ndash как меняется положение точек пересечения осей ЛАЧХ
4 Написать вывод по влиянию коэффициентов на типовое звено
5 Выполнить пункты 1-4 для всех типовых звеньев
6 Подготовить ответы на контрольные вопросы
8 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) титульный лист
б) краткие теоретические сведения
в) передаточные функции и схемы моделирования исследуемых
звеньев
г) экспериментально полученные характеристики при вариации
параметров каждого звена
д) выводы обобщающие проделанные эксперименты по каждо-
му звену
ж) ответы на контрольные вопросы
Контрольные вопросы
1 Как пользуясь частотными характеристиками определить па-
раметры (коэффициенты передаточной функции) звена Пояс-
нить на конкретных примерах
2 Указать особенности построения ЛАХ и ЛФХ динамических
звеньев Что понимается под асимптотической ЛАХ звена
3 Как осуществляется построение АФХ динамического звена
38
Лабораторная работа 4
ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ СИСТЕМ
С ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ
1 Цель работы
Изучение особенностей практического использования алгебраи-
ческих и частотных критериев устойчивости для анализа динамики
линейных САУ с использованием автоматизированных средств моде-
лирования на ПК ndash MATLAB SIMULINK
2 Задачи работы
ndash Закрепление углубление и расширение знаний студентов при
исследовании устойчивости систем с обратной связью
ndash Приобретение умений и навыков работы с программой мате-
матического моделирования MATLAB
ndash Овладение новыми методами проверки устойчивости систем
с обратной связью
ndash Выработка способности логического мышления осмысления
полученных данных
3 Теоретическая часть
Устойчивость САУ является одним из основных условий ее ра-
ботоспособности и включает требование затухания во времени пере-
ходных процессов
Система является устойчивой если при ограниченном входном
сигнале еѐ выходной сигнал также является ограниченным Если
система устойчива то она противостоит внешним воздействиям а
выведенная из состояния равновесия возвращается снова к нему
Система с расходящимся переходным процессом будет неустойчивой и
неработоспособной
Необходимое и достаточное условие устойчивости заключается в
том чтобы все корни характеристического уравнения (полюсы пере-
даточной функции системы) имели отрицательные вещественные ча-
сти Иначе говоря условием устойчивости системы является распо-
ложение всех полюсов в левой комплексной полуплоскости Тогда все
полюсы будут давать затухающую реакцию
Выше сформулированное условие устойчивости справедливо как
39
для линейных так и для линеаризованных систем Однако в случае
нулевых или чисто мнимых корней характеристического уравнения
вопрос об устойчивости линеаризованной системы может быть ре-
шен только на основании исследования ее нелинейных уравнений
В конце XIX и первой половине XX в задача вычисления корней
характеристического уравнения высокого порядка вызывала боль-
шие проблемы Поэтому были предложены несколько косвенных
методов оценки устойчивости позволяющих обойтись без вычисле-
ния корней ndash по значениям коэффициентов характеристического
уравнения
Критерии устойчивости разделяют на алгебраические и частот-
ные В частности к алгебраическим критериям относится критерий
Гурвица к частотным критериям ndash критерий Найквиста
Критерий Гурвица является алгебраическим критерием и при-
меняется к коэффициентам характеристического уравнения замкнутой
системы
Пусть имеется характеристическое уравнение замкнутой
системы
0011
1 apapapa n
nn
n
Из коэффициентов характеристического уравнения составляют
матрицу по правилу
1 По диагонали записываются коэффициенты от 1na до 0a
2 Каждая строка дополняется коэффициентами с возрастающи-
ми индексами слева направо так чтобы чередовались строки с нечет-
ными и четными индексами
3 В случае отсутствия индекса а также если он меньше 0 или
больше п на его место пишется 0
Таким образом матрица Гурвица приобретает следующий вид
40
Критерий устойчивости формулируется так
Чтобы система была устойчивой необходимо и достаточно что-
бы при 0na были положительными все п диагональных определи-
телей получаемых из матрицы Гурвица
Первые три определителя матрицы Гурвица имеют следующий
вид
Таким образом критерий Гурвица позволяет судить об абсо-
лютной устойчивости но он не дает возможности оценивать относи-
тельную устойчивость по корням характеристического уравнения
Частотный критерий устойчивости Найквиста анализирует
АФЧХ разомкнутой системы
Пусть имеется АФЧХ разомкнутой системы W(jω)
Для нахождения вещественной и мнимой части частотной ха-
рактеристики нужно освободиться от мнимости в знаменателе путем
умножения числителя и знаменателя на комплексную величину со-
пряженную знаменателю а затем выполнить разделение на веще-
ственную и мнимую части W(jω) приобретает вид
)()()( jQPjW
Задаваясь различными значениями частоты можно найти мно-
жество пар )()( 11 jQP )()( 22 jQP )()( nn jQP
Затем по этим парам строится АФЧХ на комплексной плоскости
Основные свойства АФЧХ разомкнутой системы
1 Если разомкнутая система не имеет интегрирующих звеньев
то при ω = 0 ее АФЧХ начинается на вещественной оси в точке
Р(ω)=К (где К ndash коэффициент усиления разомкнутой системы) За-
канчивается АФЧХ в начале координат при ω rarr infin (рис 1 а)
2 Если разомкнутая система имеет одно интегрирующее звено то
ее АФЧХ начинается при ω = 0 в бесконечности на отрицательной мни-
мой полуоси а заканчивается в начале координат при ω rarr infin (рис 1 б)
41
Рис 1 АФЧХ разомкнутой системы
Критерий устойчивости Найквиста формулируется так
1 Если разомкнутая система устойчива или находится на гра-
нице устойчивости то для того чтобы замкнутая система была
устойчива необходимо и достаточно чтобы АФЧХ разомкнутой
системы при изменении частоты ω от 0 до infin не охватывала точку с ко-
ординатами (-1 j0)
2 Если разомкнутая система неустойчива а ее передаточная
функция имеет т полюсов справа от мнимой оси на комплексной
плоскости то для устойчивости замкнутой системы необходимо и до-
статочно чтобы АФЧХ разомкнутой системы при изменении частоты
ω от -infin до +infin охватывала т раз точку с координатами (-1 j0)
При использовании этого критерия нужно учитывать две
особенности
1 Если разомкнутая система находится на границе устойчиво-
сти то ее АФЧХ уходит в бесконечность Для проверки критерия Най-
квиста нужно мысленно соединить конец АФЧХ дугой бесконечно
большого радиуса с положительной вещественной полуосью
2 На практике АФЧХ может строиться только для положитель-
ных частот (0 lt ω lt +infin) При применении критерия Найквиста счита-
ется что ветвь АФЧХ для отрицательных частот симметрична отно-
сительно вещественной оси
Физический смысл критерия устойчивости Найквиста заключа-
ется в том что система будет неустойчива если фаза выходного сиг-
нала противоположна фазе входного сигнала а коэффициент усиле-
ния больше 1 Поэтому для анализа устойчивости можно использо-
вать не АФЧХ а ЛАХ системы (для минимально-фазовых систем)
Система устойчива если на частоте среза значение фазы не превы-
шает -π Соответственно для устойчивой системы можно рассматри-
вать на ЛФЧХ запас устойчивости по фазе ndash расстояние от значения
фазы на частоте среза до уровня -π и запас устойчивости по амплиту-
42
де ndash расстояние от оси частот ЛАЧХ до значения усиления на часто-
те где фаза становится равной -π
4 Краткое описание MATLAB
Лабораторная работа выполняется в программе математического
моделирования MATLAB Программа MATLAB включает в себя пакет
прикладных программ для решения технических задач и одноименный
язык программирования используемый в этом пакете
Основными компонентами системы являются базовая система
MATLAB и пакет моделирования систем Simulink Остальные пакеты
расширения разбиты на 4 категории ndash расширения Extension MATLAB и
Extension Simulink а также комплексы пакетов расширения Blockset и
Toolbox
Раздел MATLAB Extension содержит средства для подготовки ис-
полняемых приложений MATLAB (с подключаемыми библиотеками и
без них)
Раздел Toolbox (инструментальные средства) содержит самое
большое число пакетов расширений системы MATLAB такие как
laquoControl systemraquo laquoDatabaseraquo laquoFuzzy logicraquo laquoWaveletraquo и тд
В разделе Blockset расположено несколько пакетов относящихся к
главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink такие как
laquoDSPraquo laquoFixed-Pointraquo laquoNonlinear control designraquo и laquoPower systemsraquo
В разделе Extension Simulink имеется ряд средств предназначен-
ных для моделирования в реальном масштабе времени и событийно-
управляемом моделировании
5 Исследование устойчивости САУ в MATLAB
Для проверки устойчивости САУ по Гурвицу постройте матрицу
Гурвица и найдите ее детерминант (функция det) Затем последова-
тельно уменьшая размер матрицы найдите значения всех диагональ-
ных детерминантов Пример
gtgt А=[1 14 18 2 5 2 3 4 3]
А =
1 14 18
2 5 2
3 4 3
gtgt det(A)
ans = -119
43
gtgt А1=А(12 12)
А1 =
1 14
2 5
gtgt det(A1)
ans = -23
Для проверки устойчивости САУ по Найквисту сначала нужно
выяснить является ли устойчивой разомкнутая система
Пример Пусть дана передаточная функция разомкнутой
системы
13232
12234
pppp
pW
Рассмотрим реакцию на скачок
gtgt w=tf([2 1][2 3 2 3 1])
gtgt step(w18)
График переходного процесса показан на рис 2
Рис 2 Переходная реакция
Разомкнутая система неустойчива и согласно критерию Найкви-
ста надо чтобы АФЧХ разомкнутой системы охватывала точку (-1 j0)
44
столько раз сколько полюсов имеется справа от мнимой оси Для по-
строения АФЧХ достаточно вызвать команду nyquist
gtgt nyquist(w)
Диаграмма Найквиста показана на рис 3
Рис 3 Диаграмма Найквиста для неустойчивой системы
Как показывает рис3 АФЧХ ни разу не охватывает точку
(-1 j0) поэтому замкнутая система будет неустойчивой Частотный
критерий Найквиста можно использовать и в том случае когда рас-
сматривается не АФЧХ а ЛАЧХ разомкнутой системы замкнутая
минимально-фазовая система устойчива если при достижении ЛФЧХ
значения -π ЛАЧХ будет отрицательной
Используя ЛАЧХ и ЛФЧХ можно оценить запасы устойчивости
системы по амплитуде и по фазе с помощью команды
gtgt margin(w)
Пример
gtgt w=tf([10][2 2 3 1])
gtgt margin(w)
Соответствующий график показан на рис 4
45
Рис 4 Определение запасов устойчивости по амплитуде и по фазе
6 Задание на лабораторную работу
Выполнить исследование устойчивости замкнутой системы по за-
данной передаточной функции разомкнутой системы Определить запас
устойчивости по амплитуде и по фазе Вариант задания назначается
преподавателем
7 Методика выполнения задания
Порядок выполнения работы
1 Рассчитать передаточную функцию замкнутой системы по
приведенной в табл 1 разомкнутой системе
2 Определить устойчивость замкнутой системы используя кри-
терий Гурвица
3 Определить устойчивость замкнутой системы используя кри-
терий Найквиста
4 Определить запас устойчивости по амплитуде и по фазе ис-
пользуя ЛАЧХ и ЛФЧХ
5 Выполнить моделирование переходных процессов разомкну-
той и замкнутой систем
6 Подготовить ответы на контрольные вопросы
46
Таблица 1
Варианты заданий
Передаточная функция разомкнутой системы
1 1355
2234
ssss
W
2 110050
1234
ssss
W
3 11010
123
sss
W
4 122105
100234
ssss
W
5 1248
123
sss
W
6 1223
102345
sssss
W
7 11001010
323
sss
W
8 122
1023
sss
W
9 11010
123
sss
W
10 15050332
102345
sssss
W
8 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) титульный лист
б) краткие теоретические сведения
в) переходную функцию разомкнутой системы
г) расчет передаточной функции замкнутой системы
д) расчетные выражения для обоснования устойчивости замкну-
той системы по алгебраическому критерию Гурвица
е) годограф Найквиста разомкнутой системы на основании кото-
рого делается вывод об устойчивости замкнутой системы
ѐ) переходную функцию замкнутой системы
ж) проверку полученных результатов путем компьютерного моде-
лирования переходных процессов разомкнутой и замкнутой си-
стемы в MATLAB Simulink
з) выводы по всем полученным результатам
47
Контрольные вопросы
1 Как связана устойчивость линейной САУ с видом составля-
ющих ее свободного движения
2 Зависит ли устойчивость линейных САУ от амплитуды зада-
ющих воздействий или возмущений
3 Сформулируйте критерий устойчивости Гурвица укажите на
необходимое условие устойчивости линейных САУ вытекаю-
щее из этого критерия
4 Сформулируйте критерий Найквиста для случая САУ устой-
чивых в разомкнутом состоянии а также для астатических САУ
Что такое laquoзапасы устойчивости по фазе и по амплитудеraquo
5 Что называется структурной устойчивостью
48
Лабораторная работа 5
КОРРЕКЦИЯ СТАТИЧЕСКИХ И ДИНАМИЧЕСКИХ
СВОЙСТВ САУ
1 Цель работы
Целью работы является изучение способов обеспечения иско-
мых характеристик САУ с использованием автоматизированных
средств моделирования на ПК ndash MATLAB SIMULINK
2 Задачи работы
ndash Закрепление углубление и расширение знаний студентов при
обеспечении искомых характеристик САУ
ndash Приобретение умений по обеспечению точности (уменьшение
статической ошибки) САУ и выбору значений параметров регулято-
ра обеспечивающих желаемые динамические свойства САУ
ndash Приобретение умений и навыков работы с программой мате-
матического моделирования MATLAB
3 Теоретическая часть
Коррекция статических и динамических свойств САУ имеет
своей целью повышение статической и динамической точности отра-
ботки системой задающего воздействия (или парирование возмуща-
ющего воздействия) повышение запасов ее устойчивости Наиболее
распространенными способами коррекции свойств САУ является из-
менение коэффициента усиления ее разомкнутой части введение в
САУ новых звеньев (как правило интегрирующего или дифференци-
рующего типа) охват объекта управления местной обратной связью
31 Коррекция статических свойств САУ
Статические свойства системы определяются величиной устано-
вившейся ошибки )t(уст вызванной действием задающего воздей-
ствия и определяемой по формуле
22
210 2 dttgdcdttdgctgctуст (1)
где )(tg - входное воздействие 210 ccc - коэффициенты ошибок
Коэффициенты ошибок определяются по формулам
49
dssdcdssdcscs
mmmss 00100
где s - передаточная функция САУ по ошибке управления рав-
ная
sW
sраз
1
1
sWраз - передаточная функция разомкнутой САУ
Основными способами уменьшения статической ошибки систе-
мы являются
1) увеличение коэффициента усиления прямого тракта системы
2) введение в прямой тракт системы интегрирующих звеньев
3) охват объекта управления местной неединичной положитель-
ной обратной связью
Представим структурную схему системы в виде изображенном
на рис 1 где через sW обозначена передаточная функция неизме-
няемой части системы
bsbsb
asasasW
nn
nn
mm
mm
01
1
01
1
Здесь и далее полагается что KKKsW s 000 0 ndash из-
меняемый коэффициент усиления регулятора системы
Первые два коэффициента ошибок 0c и 1c определяется выраже-
ниями
KK
c0
01
1
(2)
KK
dssdWKc
s
20
01
1
(3)
Из (2) и (3) с учетом (1) вытекает что с увеличением K
статическая ошибка в системе уменьшается и наоборот с уменьше-
нием K статическая ошибка в системе увеличивается
Введем в прямой тракт системы одно интегрирующее звено
50
(рис 2) В этом случае c 00 01 1 KKc
Так как c 00 то система на рис 2 является астатической (с
астатизмом первого порядка) Система имеет нулевую статическую
ошибку при отработке постоянного задающего воздействия
consttg и постоянную обратно пропорциональную K ошибку
constуст при отработке линейно изменяющегося воздействия
tatg
Рис 1 Схема САУ Рис 2 Схема САУ с включенным в прямой
тракт интегрирующим звеном
Охватим неизменяемую часть системы sW местной нееди-
ничной положительной обратной связью с коэффициентом усиления
осK (рис 3) Тогда эквивалентная передаточная функция sWэкв
неизменяемой части системы равна
10011
01
1
aKbsaKbsaKbsb
asasa
sWK
sWsW
ососm
mосmn
n
mm
mm
осэкв
(4)
Если коэффициент усиления K выбрать из условия
a
bKос
0
0
то свободный коэффициент (b0 - Koca0) полинома знаменателя sWэкв
обратится в нуль и sWэкв приобретает интегрирующие свойства
11
11
0
1
1
aKbsaKbsbs
asasasW
ос
m
mосm
n
n
m
m
m
mэкв
g(t) y(t)ε(t)
K W(s)-
g(t) y(t)
Ks W(s)-
ε(t)
51
Следовательно замкнутая система становится астатической (с
астатизмом 1-го порядка) Отсюда 0c =0 а коэффициент 1c будет
равен
aKb
bc
ос 11
01
ε(t)g(t) y(t)
W(s)-
Kос
Wэкв(s)
+
Рис 3 Схема САУ с местной неединичной обратной связью
32 Коррекция динамических свойств САУ
Улучшение динамических свойств САУ заключается в увеличе-
нии быстродействия САУ (уменьшении времени регулирования tрег)
уменьшении перерегулирования (см рис 4) а также увеличении
запасов устойчивости по фазе и по модулю При этом
h
hh
уст
устmax100
где maxh - максимальное значение переходной характеристики за-
мкнутой САУ th
устh - установившееся значение th
Время регулирования tрег - минимальная величина при которой удо-
влетворяется условие
устрег hth
где - заданная величина ошибки (обычно =005 устh )
52
h(t)
tрег
hустhmax
2δ
Рис 4 Быстродействие и перерегулирование САУ
Одним из эффективных средств достижения этой цели является
уменьшение отрицательных фазовых сдвигов в прямом тракте систе-
мы путем охвата неизменяемой части системы местными отрицатель-
ными обратными связями
На рис 5 R(s) представляет собой передаточную функцию регу-
лятора САУ которая считается заданной
ε(t)g(t) y(t)
W(s)-
Kос
Wэкв(s)
-
R(s)
u(t)
Рис 5 Схема САУ с местной обратной связью и регулятором
Пусть неизменяемая часть системы представляет собой аперио-
дическое звено первого порядка те
sT
K)s(W
10
0
Тогда передаточная функция sWэкв эквивалентного объекта
управления равна
sT
K
sWK
sWsW
экв
экв
осэкв
11
где зквK и эквT - коэффициент усиления и постоянная времени
эквивалентного объекта равные
53
KK
KK
осэкв
0
0
1
KK
TT
осэкв
0
0
1 (5)
Из (5) следует что соответствующим выбором осK постоянную
времени эквT эквивалентного объекта можно уменьшить в (1+ 0KKос )
раз по сравнении с постоянной времени 0T объекта без местной об-
ратной связи Тем самым уменьшаются отрицательные фазовые сдви-
ги вносимые прямым трактом системы что приводит к увеличению
запасов устойчивости системы При этом однако уменьшается в
(1+ 0KKос ) раз коэффициент усиления эквK эквивалентного объекта
по сравнению с коэффициентом усиления 0K объекта без местной
обратной связи Это нежелательно так как приводит к уменьшению
быстродействия системы вследствие уменьшения общего коэффици-
ента усиления прямого тракта системы В этом случае с целью обес-
печения необходимого быстродействия системы увеличивают коэф-
фициент усиления регулятора
4 Краткое описание MATLAB
Лабораторная работа выполняется в программе математического
моделирования MATLAB Программа MATLAB включает в себя пакет
прикладных программ для решения технических задач и одноименный
язык программирования используемый в этом пакете
Основными компонентами системы являются базовая система
MATLAB и пакет моделирования систем Simulink Остальные пакеты
расширения разбиты на 4 категории ndash расширения Extension MATLAB и
Extension Simulink а также комплексы пакетов расширения Blockset и
Toolbox
Раздел MATLAB Extension содержит средства для подготовки ис-
полняемых приложений MATLAB (с подключаемыми библиотеками и
без них)
Раздел Toolbox (инструментальные средства) содержит самое
большое число пакетов расширений системы MATLAB такие как
laquoControl systemraquo laquoDatabaseraquo laquoFuzzy logicraquo laquoWaveletraquo и тд
54
В разделе Blockset расположено несколько пакетов относящихся к
главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink такие как
laquoDSPraquo laquoFixed-Pointraquo laquoNonlinear control designraquo и laquoPower systemsraquo
В разделе Extension Simulink имеется ряд средств предназначен-
ных для моделирования в реальном масштабе времени и событийно-
управляемом моделировании
5 Задание на лабораторную работу
Выполнить исследование способов коррекции статических и
динамических свойств САУ Определить время регулирования и пе-
ререгулирования в исходной и скорректированной системах а также
для динамических свойств САУ определить запасы устойчивости в
исходной системе и найти экспериментально значение Kос обеспечи-
вающее в системе заданные показатели качества и запасы устойчиво-
сти Вариант задания назначается преподавателем
Таблица 1
Варианты заданий
варианта
Параметры
1
2
3
4
5
6
7
8
a 05 10 15 20 25 30 35 40
K0 1 2 3 4 5 6 7 8
T c 03 04 05 06 07 08 09 10
ξ 06 07 08 08 07 09 05 04
уст 0 0 005 0 010 007 0 0
tрег c le 13 15 20 25 30 35 40 40
le 0 10 10 5 5 5 0 0
В качестве исходных САУ выступают системы изображенные
на рис 6 и 7
55
ε(t)g(t) y(t)
W(s)-
g(t) y(t)
R(s) W(s)-
ε(t) u(t)
Рис 6 САУ с отрицательной Рис 7 САУ с отрицательной обратной
обратной связью связью и регулятором
6 Методика выполнения задания
При исследовании способов коррекции статических свойств
САУ в качестве исходных данных выступает передаточная функция
sW неизменяемой части системы вида
1222
0
sTsT
KsW (6)
и задающие воздействия вида ttg 1 в соответствии с таблицей 1
В процессе выполнения этой части работы необходимо
1) путем моделирования в системе MATLAB исходной САУ
(рис 6) получить графики ttytg
2) сравнить полученную таким образом экспериментальную ве-
личину t с теоретической величиной вычисленной по формуле (1)
3) применяя описанные в теоретической части методических
указаний способы коррекции статических свойств (см п 31) обес-
печить требуемую статическую ошибку εуст системы при отработке
задающего воздействия ttg 1
4) получить графики ty и t в скорректированной системе
для 1 ttg
5) сравнить время регулирования регt и перерегулирование в
исходной и скорректированной системах при 1 ttg
При исследовании рассмотренного способа коррекции динами-
ческих свойств САУ (см п 32) в качестве исходных данных высту-
пают передаточная функция sW неизменяемой части системы
вида (6) и передаточная функция регулятора вида
s
KsR
рег
56
Задающее воздействие ttg 1
В процессе выполнения данной части работы необходимо
1) получить путем моделирования в MATLAB графики ty t
в системе (рис 7)
2) определить время регулирования регt и перерегулирование
а также запасы устойчивости в исходной системе
3) применяя описанный выше способ коррекции динамических
свойств САУ найти экспериментально (путем последовательного пе-
ребора) значение осK обеспечивающее в системе заданные заданием
показатели качества ( регt ) и запасы устойчивости (при необхо-
димости увеличить коэффициент регK )
4) получить графики ty t а также ЛАХ и ЛФХ разомкну-
той системы в скорректированной САУ
7 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) титульный лист
б) структурные схемы исследуемых систем
в) полученные графики и характеристики
г) значения полученные экмпериментально которые
обеспечивают заданные показатели качества и запасы устойчивости
д) выводы обощающие проделанные эксперименты для
коррекции статических и динамических свойств САУ
е) ответы на контрольные вопросы
Контрольные вопросы 1 Дать определение статической и астатической САУ
2 Какими структурными свойствами системы определяется по-
рядок ее астатизма
3 Какой из двух приведенных выше способов придания системе
свойств астатизма 1-го порядка наиболее предпочтителен на
практике
4 Назовите основные показатели качества САУ Поясните их
смысл
5 В чѐм суть исследуемого способа коррекции динамических
свойств САУ
57
6 Назвать другие способы коррекции динамических свойств
САУ
7 Чем вызваны отрицательные фазовые сдвиги в неизменяемой
части САУ
58
Лабораторная работа 6
МЕТОД КОРНЕВОГО ГОДОГРАФА
1 Цель работы
Целью работы является построение корневого годографа и ис-
следование динамики системы с использованием автоматизирован-
ных средств моделирования на ПК ndash MATLABSIMULINK
2 Задачи работы
ndash Закрепление углубление и расширение знаний студентов при
исследование динамики системы
ndash Овладение навыком построения корневого годографа
ndash Приобретение умений и навыков работы с программой мате-
матического моделирования MATLAB
3 Теоретическая часть
Корневым годографом (КГ) называется совокупность траекто-
рий перемещения всех корней характеристического уравнения за-
мкнутой системы при изменении какого-либо параметра этой систе-
мы
Обычно метод КГ позволяет находить полюса и нули ПФ за-
мкнутой системы располагая полюсами и нулями разомкнутой си-
стемы при изменении коэффициента усиления разомкнутой системы
K
ПФ разомкнутой системы Wp(s) представим в следующем виде
)(
)(
1
1
0
n
ii
m
jj
p
ss
ssKC
sW (1)
где 0js ndash нули ПФ sWp )1( mj
is ndash полюса ПФ sWp
)1( nj n и m ndash порядки знаменателя и числителя C ndash коэффици-
ент представления (отношение коэффициентов при старших членах
числителя и знаменателя)
59
При замыкании системы с ПФ sWp единичной отрицатель-
ной обратной связью ПФ замкнутой системы sWз принимает вид
)(1
)(
sW
sWsW
p
pз
(2)
Из выражения (2) следует что нули ПФ замкнутой системы рав-
ны нулям ПФ разомкнутой системы
Для нахождения полюсов рассмотри выражение
01 sWp (3)
в соответствии с выражением (1) имеем
n
i
m
jjin
ii
m
jj
ssKCss
ss
ssKC
1 1
0
1
1
0
)()(01
)(
)(
(4)
На основании выражения (4) можно сказать что при K = 0 корни
характеристического уравнения совпадают с полюсами а при K = infin ndash
с нулями При изменении K от 0 до infin траектории корней начинаются
в полюсах и заканчиваются в нулях Обычно полюсов больше чем
нулей В этом случаем mn ветвей корневого годографа стремятся к
infin
Для определения полюсов замкнутой системы с отрицательной
обратной связью необходимо решить уравнение (его называют ос-
новным уравнением метода КГ)
1sWp (5)
Так как sWp является функцией комплексного переменного
s то уравнение (5) распадается на два уравнения уравнение модулей
1)( sWp (6)
60
и уравнение аргументов (фаза вектора -1 есть нечетное число π)
210)12()(arg sWp (7)
Как известно при умножении комплексных чисел их аргументы
складываются а при делении ndash вычитаются Поэтому исходя из вы-
ражения (1) уравнение (7) имеет наглядный геометрический смысл
Пусть точка s ndash полюс замкнутой системы Если провести в s
вектора из нулей sWp (обозначим аргументы этих векторов 0j ) и
вектора из всех полюсов sWp (обозначим аргументы этих векторов
i ) то уравнение (7) можно записать в следующем виде
m
j
n
iij
1 1
0 210)12( (8)
Углы q отсчитываются от положительного направления дей-
ствительной оси Знак угла laquo+raquo соответствует повороту против часо-
вой стрелки знак угла laquo-raquo соответствует повороту по часовой стрел-
ке
Таким образом любая точка КГ должна удовлетворять уравне-
нию (8) из которого следует что конфигурация КГ не зависит от ко-
эффициента усиления K но каждому конкретному значению K одно-
значно соответствуют точки на КГ
При умножении комплексных чисел их модули перемножаются
а при делении ndash делятся Поэтому на основании (6) можно записать
1
1
1
0
n
ii
m
jj
l
lKC
(9)
где 0jl ndash модуль (длина) вектора проведенного из j-нуля в точку s
КГ il ndash модуль вектора проведенного из i-полюса в ту же точку s
61
Таким образом траектории корней строятся только по уравне-
ниям фаз а уравнение модулей используется затем для нахождения
K
Сущность метода КГ заключается в том чтобы узнать каким
должен быть коэффициент усиления разомкнутой системы чтобы
было обеспечено желаемое положение корней замкнутой системы
Корневой годограф системы с отрицательной обратной связью
обладает следующими основными свойствами
1 Ветви КГ непрерывны и расположены на комплексной плос-
кости симметрично относительно действительной оси
2 Число ветвей КГ равно порядку системы n Ветви начинают-
ся в n полюсах разомкнутой системы при K=0 При возрастании K от
0 до infin полюса замкнутой системы двигаются по ветвям КГ
3 mветвей КГ при возрастании K от 0 до infin заканчиваются в m
нулях )(sWp а )( mn ветвей при K стремящемся к infin удаляются
от полюсов вдоль асимптот
4 При расположении ветвей корневого годографа в левой полу-
плоскости s САУ устойчива При пересечении ветвей КГ мнимой оси
слева направо САУ становится неустойчивой Пусть при K=Kкр
пере-
сечение КГ с мнимой осью произойдет в некоторой точке iωкр
Назо-
вем это значение коэффициента усиления критическим Kкр
а вели-
чину iωкр
критической угловой частотой на которой система стано-
вится неустойчивой
4 Краткое описание MATLAB
Лабораторная работа выполняется в программе математического
моделирования MATLAB Программа MATLAB включает в себя пакет
прикладных программ для решения технических задач и одноименный
язык программирования используемый в этом пакете
Основными компонентами системы являются базовая система
MATLAB и пакет моделирования систем Simulink Остальные пакеты
расширения разбиты на 4 категории ndash расширения Extension MATLAB и
Extension Simulink а также комплексы пакетов расширения Blockset и
Toolbox
Раздел MATLAB Extension содержит средства для подготовки ис-
полняемых приложений MATLAB (с подключаемыми библиотеками и
без них)
62
Раздел Toolbox (инструментальные средства) содержит самое
большое число пакетов расширений системы MATLAB такие как
laquoControl systemraquo laquoDatabaseraquo laquoFuzzy logicraquo laquoWaveletraquo и тд
В разделе Blockset расположено несколько пакетов относящихся к
главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink такие как
laquoDSPraquo laquoFixed-Pointraquo laquoNonlinear control designraquo и laquoPower systemsraquo
В разделе Extension Simulink имеется ряд средств предназначен-
ных для моделирования в реальном масштабе времени и событийно-
управляемом моделировании
5 Корневой годограф в MATLAB
В системе MATLAB существует команда zpk для преобразова-
ния модели заданной ПФ в модель заданную нулями полюсами и
обобщенными коэффициентами передачи (zpk-форма)
Пример
gtgt w=tf([10][2 2 3 1 0])
Transfer function
10
-------------------------------
2 s^4 + 2 s^3 + 3 s^2 + s
gtgt w1=zpk(w)
Zeropolegain
5
----------------------------------------------
s (s+03966) (s^2 + 06034s + 1261)
Для работы с корневым годографом удобно использовать гра-
фический интерфейс laquoSISO-Design Toolraquo предназначенный для ана-
лиза и синтеза одномерных линейных систем автоматического управ-
ления (SISO ndash Single Input Signal Output)
Запуск SISO-Design Tool осуществляется командой
gtgt sisotool
63
В появившемся окне графического интерфейса необходимо ис-
пользовать команду laquoFileImportraquo для загрузки данных из рабочего
пространства MATLAB в результате которой появляется диалоговое
окно Import System Data (рис 1)
Рис 1 Диалог для ввода параметров модели
После импортирования данных можно исследовать изменение
временных и частотных характеристик замкнутой системы при изме-
нении K Обычно при этом требуется определить условия неустойчи-
вости замкнутой САУ Определить Kкр
и iωкр
На рис 2 показано окно sisotool для описанной выше модели w1
Двигая красным курсором по КГ до пересечения ветвей с мнимой
осью можно определить значения Kкр
В данном случае Kкр
asymp 01
Значение iωкр
соответствует мнимой координате пересечения КГ
мнимой оси Просмотреть это значение можно в нижней части ин-
терфейса или выбрать меню laquoView Closed-Loop Polesraquo
64
Рис 2 Основное окно SISO-Design Tool
6 Задание на лабораторную работу
Построить КГ в соответствии с вариантом из табл 1 при помо-
щи графического интерфейса sisotool
Исследовать динамику замкнутой системы при различных зна-
чениях коэффициента усиления разомкнутой системы K в том числе
ndash запасы устойчивости в частотной области
ndash параметры переходного процесса во временной области
Таблица 1
Варианты передаточных функций
Значения параметров Передаточная функция
разомкнутой системы
1 T = 01 ζ = 1
)12( 22 sTsTs
K
2 T = 005 ζ = 0707
3 T = 003 ζ = 01
4 T = 008 ζ = 05
5 T = 001 ζ = 015
65
Окончание табл 1
Значения параметров Передаточная функция
разомкнутой системы
6 T1 = 003 T2 = 05 T3 = 01 T4 = 005
)1)(1)(1(
)1(
432
1
sTsTsTs
sTK
7 T1 = 005 T2 = 04 T3 = 008 T4 = 0033
8 T1 = 02 T2 = 045 T3 = 01 T4 = 005
9 T1 = 05 T2 = 025 T3 = 01 T4 = 002
10 T1 = 01 T2 = 025 T3 = 01 T4 = 005
Вариант задания назначается преподавателем
7 Методика выполнения задания
Порядок выполнения лабораторной работы
1 Задать передаточную функцию в MATLAB в соответствии с
вариантом коэффициент K задать любым положительным числом
2 Запустить SISO-Design Tool и осуществить ввод данных
Построить КГ
3 По КГ определить значения коэффициента K когда система
будет устойчивой на границе устойчивости и неустойчива
4 Выбрать значение коэффициента K таким образом чтобы си-
стемы была устойчива и определить запас устойчивости в частотной
области и параметры переходного процесса во временной области
8 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) титульный лист
б) передаточную функцию и этапы построения КГ
в) анализ результатов построения КГ
г) выводы по проделанной работе
д) ответы на контрольные вопросы
Контрольные вопросы 1 Дать определение КГ
2 Что обычно позволяет находить метод КГ
3 В чем заключается сущность метода КГ
4 Что можно определить по КГ
66
Критерии результативности лабораторного практикума
Лабораторная работа считается выполненной если студент
ndash выполнил все указанные задания
ndash представил отчет соответствующий всем требованиям к его
содержанию и оформлению
ndash владеет терминологией и материалом лабораторной работы
ndash способен использовать программное средство математическо-
го моделирования MATLAB
ndash способен предоставить и рассказать результаты выполненной
работы на ПК
ndash может дать пояснения к отчету и ответить на контрольные
вопросы
Список литературы
1 Александров АГ Частотная теория автоматического управле-
ния учебное пособие ndash Электросталь ЭПИ МИСиС 2010
2 Борисевич АВ Теория автоматического управления элементар-
ное введение с применением MATLAB ndash СПб Изд-во Политехн ун-
та 2011
3 Федоров ВЛ Бубнов АВ Теория автоматического управления
учебное пособие ndash Омск Изд-во ОмГТУ 2010
4 Павловская ОО Чернецкая ИВ Теория автоматического
управления учебное пособие ndash Челябинск Изд-во ЮУрГУ 2010
67
Составители ЛЯНЦЕВ Олег Дмитриевич КАЗАНЦЕВ Андрей Валерьевич
ИССЛЕДОВАНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК СИСТЕМ
АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
Лабораторный практикум
по дисциплине
laquoТеория управленияraquo
Подписано в печать Формат 60х84 116 Бумага офсетная Пе-
чать плоская Гарнитура Times New Roman Усл печ л 56 Уч-изд л
55 Тираж 100 экз Заказ
ФГБОУ ВПО Уфимский государственный авиационный технический
университет
Центр оперативной полиграфии УГАТУ
450000 Уфа-центр ул К Маркса 12
27
gtgt w4=feedback(w1w2)
Transfer function
s^3 + 4 s^2 + 6 s + 4
----------------------------------------
s^4 + 5 s^3 + 12 s^2 + 15 s + 10
Для проверки правильности проведенных преобразований необ-
ходимо собрать схему исходной САУ и соответствующую ей эквива-
лентную схему в MATLAB Simulink
Исходная схема САУ собирается как модель из соответствую-
щих элементов таких как laquoTransfer Fncraquo laquostepraquo laquosignal builderraquo
laquoscoperaquo и laquosumraquo Все эти элементы находятся в пакете laquoSimulinkraquo и
представлены в виде блоков Для того чтобы создать новую модель
необходимо нажать laquoFile-gtNew-gtModel (Simulink)raquo после откроется
окно модели в которую нужно будет добавлять элементы из библио-
теки для доступа к ней необходимо нажать на значок laquoLibrary Brows-
erraquo
Описание используемых элементов из пакета Simulink
1 Transfer Fnc ndash передаточная функция
2 Step ndash единичный скачок (функция Хэвисайда) в блоке необходи-
мо задать время начала перехода (step time)
3 Signal builder ndash блок для моделирования сигнала по заданным па-
раметрам (можно построить единичный скачок и импульсную функ-
цию)
4 Scope ndash виртуальный осциллограф отображает получившийся гра-
фик открывается двойным щелчком левой клавиши мыши и для кор-
рекции масштаба необходимо нажать правой кнопкой по графику и
из выпадающего меню выбрать laquoautoscaleraquo
5 Sum ndash сумматор в параметрах задается число сигналов соответ-
ственно laquo+raquo - положительный laquondashraquo - отрицательный
Так же нужно задать время работы модели для этого необходи-
мо выбрать laquoSimulation-gtSimulation parametersraquo и установить пара-
метр laquostop timeraquo на нужное значение и после необходимо запустить
модель на выполнение нажав на значок laquoStart simulationraquo Пример
модели составленной в MATLAB представлен на рис 10
28
Рис 10 Пример схемы САУ с блоком laquosignal builderraquo
Задача считается решенной если при подаче на вход обоих
схем одинаковых тестовых воздействий (единичный скачок импуль-
сная функция) наблюдаются одинаковые выходные сигналы
6 Задание на лабораторную работу
Выполнить преобразование структурной схемы САУ в эквива-
лентную передаточную функцию Составить модель исходной схемы
САУ в MATLAB С помощью ряда функций MATLAB (структурные
преобразования) составить эквивалентную схему Вариант задания
назначается преподавателем
7 Методика выполнения задания
Порядок выполнения работы
1 Выполнить преобразование заданного варианта структурной
схемы САУ (см табл 2) в эквивалентную ПФ тремя способами
ndash непосредственно используя правила табл 1
ndash используя представление в виде сигнального графа и формулу
Мейсона
ndash составив систему уравнений и решив еѐ
2 В качестве звеньев W1W2W3 использовать передаточные
функции звеньев представленных в табл 2
3 Составить модель исходной схемы САУ в MATLAB постро-
ить реакцию получившейся модели на ступенчатое и импульсное
воздействия
4 С помощью ряда функций MATLAB (структурные преобразо-
вания) составить эквивалентную схему и построить реакцию на сту-
пенчатое и импульсное воздействия
5 Подготовить ответы на контрольные вопросы
29
Таблица 2
Варианты структур САУ
Исходная схема
Передаточные
функции
1 W1
W3
W2
-
+
-
+
u y
+
1
31
sW
2
442
s
sW
12
133
s
sW
2 W1
W3
W2
-
+
-
+
u y
+ +
3 W3
W2
W1
-
+
-
+
u y
+ +
4 W3
W1
W2
+
+
-
+
u y
+ +
1
21
sW
2
12
sW
12
13
s
sW
5
W1
W3
W2
-
+
-
+
u y
+ +
6
W1
W3
W2
-
+
-
+
u y
+
62
31
sW
2
52
sW
1
23
s
sW
7
W1
W3
W2
-
+
-
+
u y
+ +
8
W1
W2
W3
-
+
-
+
u y
+ +
30
8 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) описание всех этапов преобразования исходной схемы и по-
лучающихся промежуточных результатов выполненными тремя спо-
собами моделирование реакции схемы на типовое воздействие (ска-
чок) до и после преобразования
б) сигнальный граф системы описание путей контуров расчет
ПФ по формуле Мейсона
в) решение составленной системы уравнений
г) схема модели и протокол команд MATLAB
д) графики переходных процессов при подаче на вход исходной
и эквивалентной схемы типовых тестирующих воздействий (скачок
импульс)
е) ответы на контрольные вопросы
Контрольные вопросы
1 Что называется структурной схемой Какие задачи можно
решить с еѐ помощью
2 Как может быть составлена структурная схема
3 Что позволяет алгоритмизировать процесс упрощения струк-
турной схемы Поясните на конкретном примере
31
Лабораторная работа 3
ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
ДИНАМИЧЕСКИХ ЗВЕНЬЕВ
1 Цель работы
Целью работы является изучение частотных характеристик ти-
повых динамических звеньев с использованием автоматизированных
средств моделирования на ПК ndash MATLAB SIMULINK
2 Задачи работы
ndash Закрепление углубление и расширение знаний студентов при
исследовании частотных характеристик динамических звеньев
ndash Приобретение умений и навыков работы с программой мате-
матического моделирования MATLAB
ndash Выработка способности логического мышления осмысление
полученных данных частотных характеристик
3 Теоретическая часть Сущность метода частотных характеристик заключается в том
что на вход исследуемой системы подается гармонический сигнал (си-
нусоидальные колебания) в широком диапазоне частот Реакция си-
стемы при разных частотах позволяет судить о ее динамических
свойствах
Пусть входной сигнал системы имеет амплитуду а и частоту ω т е
описывается формулой
)sin( tax
Выходной сигнал будет иметь амплитуду А1 и отличаться от вход-
ного по фазе на величину ψ (фазовый сдвиг)
)sin(1 tAy
Таким образом можно рассчитать усиление по амплитуде
1
a
AA
32
Для каждой частоты входного сигнала ω будут свои А и ψ
Изменяя ω в широком диапазоне можно получить зависимость
А(ω) ndash амплитудную частотную характеристику (АЧХ) и ψ(ω) ndash фазо-
вую частотную характеристику (ФЧХ)
Главное достоинство метода частотных характеристик заключа-
ется в том что АЧХ и ФЧХ объекта могут быть получены экспери-
ментально Для этого необходимо иметь генератор гармонических
колебаний который подключается к входу объекта и измеритель-
ную аппаратуру для измерения амплитуды и фазового сдвига колеба-
ний на выходе объекта
Частотные характеристики САУ могут быть получены по ее ПФ
W(s) Для суждения о реакции звена на синусоидальный сигнал доста-
точно исследовать его реакцию на гармонический сигнал вида
)( tjejx
Тогда выходной сигнал определяется по соотношению
)()( ))(( tjeAjy
и частотная ПФ получается равной
)()(
)()( )(
jeA
jx
jyjW
Формально для получения частотной ПФ надо сделать в W(s)
подстановку s = jω и тогда полученная W(jω) является комплексным
выражением которое можно представить в виде
)()(
)()()(
22
11
jba
jbajW
Для нахождения вещественной и мнимой частей частотной пе-
редаточной функции необходимо умножить числитель и знаменатель
на сопряженную знаменателю величину а затем провести
разделение
33
)()()(
)()(
)()()()(
)()(
)()()()(
))()())(()((
))()())(()((
)()(
)()()(
)(
22
22
2112
22
22
2121
2222
2211
22
11
jeAjVU
ba
babaj
ba
bbaa
jbajba
jbajba
jba
jbajW
где
)()()()(22
22
21
2122
ba
baVUjWA
)(
)())(arg()(
2
2
1
1
a
barctg
a
barctg
U
VarctgjW
Графики функции )(U и )(V называют соответственно веще-
ственной и мнимой частотной характеристиками
В практических расчетах удобно применять графики частотных
характеристик построенных в логарифмическом масштабе ndash лога-
рифмические частотные характеристики (ЛЧХ)
Логарифмическая амплитудная частотная характеристика
(ЛАЧХ) определяется следующим выражением
)(lg20)( AL
Логарифмической фазовой частотной характеристикой
(ЛФЧХ) называется график зависимости )( построенный в лога-
рифмическом масштабе частот
Единицей L(ω) является децибел (дБ) а единицей логарифма ча-
стоты ndash декада Декадой называют интервал частот на котором часто-
та изменяется в 10 раз При изменении частоты в 10 раз говорят что
она изменилась на одну декаду Ось ординат при построении ЛЧХ про-
водят через произвольную точку а не через точку ω = 0 Частоте ω = 0
соответствует бесконечно удаленная точка lgω rarr ndash infin при ω rarr 0
Основное преимущество использования ЛЧХ заключается в том
что приближенные (асимптотические) ЛАЧХ типовых динамических
звеньев изображаются отрезками прямых
Пример Построим ЛЧХ апериодического звена первого
34
порядка
Передаточная функция звена
1
)(
Ts
ksW
Частотная передаточная функция
1)(
)1(
1)(
2
T
Tjk
Tj
kjW
1)(
1)( 22
T
kTV
T
kU
Следовательно АЧХ описывается формулой
1)(
)(2
T
kA
ФЧХ строится по формуле
)()( Tarctg
ЛАЧХ апериодического звена 1-го порядка
1)(lg20lg20)( 2 TkL
По этой формуле можно построить две асимптоты ndash прямые к
которым стремится ЛАЧХ при ω rarr 0 и при ω rarr infin Так при ω rarr 0 второе
слагаемое близко к нулю и этот участок ЛАЧХ представляет собой
горизонтальную прямую
lg20)( kL
При ω rarr infin получаем наклонную прямую
1)(lg20)( 2 TL
35
Для определения наклона этой прямой можно рассмотреть гра-
ницы декады
T
1 и
10
T
Изменение ЛАЧХ между этими точками
)(2011
lg20110
lg20)(
22
декдБT
TT
TL
ЛЧХ часто называют диаграммами Боде
4 Краткое описание MATLAB
Лабораторная работа выполняется в программе математического
моделирования MATLAB Она включает в себя пакет прикладных про-
грамм для решения технических задач и одноименный язык программи-
рования используемый в этом пакете
Основными компонентами системы являются базовая система
MATLAB и пакет моделирования систем Simulink Остальные пакеты
расширения разбиты на 4 категории ndash расширения Extension MATLAB и
Extension Simulink а также комплексы пакетов расширения Blockset и
Toolbox
Раздел MATLAB Extension содержит средства для подготовки ис-
полняемых приложений MATLAB (с подключаемыми библиотеками и
без них)
Раздел Toolbox (инструментальные средства) содержит самое
большое число пакетов расширений системы MATLAB такие как
laquoControl systemraquo laquoDatabaseraquo laquoFuzzy logicraquo laquoWaveletraquo и тд
В разделе Blockset расположено несколько пакетов относящихся к
главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink такие как
laquoDSPraquo laquoFixed-Pointraquo laquoNonlinear control designraquo и laquoPower systemsraquo
В разделе Extension Simulink имеется ряд средств предназначен-
ных для моделирования в реальном масштабе времени и событийно-
управляемом моделировании
36
5 Построение частотных характеристик в MATLAB В пакете MATLAB ЛЧХ объекта заданного с помощью ПФ
можно получить командой bode
Пример
gtgt w=tf([1 2][3 4 5])
gtgt bode(w)
Для нескольких вариантов передаточной функции можно исполь-
зовать вариант команды вида
gtgt bode(ww1w2)
Например построим диаграмму Боде при различных параметрах
колебательного звена (рис 1)
gtgt w=tf([1][2 03 1])
gtgt w1=tf([1][2 05 1])
gtgt w2=tf([1][2 01 1])
gtgt bode(ww1w2)
Рис 1 ЛЧХ колебательного звена
6 Задание на лабораторную работу
С помощью пакета MATLAB построить ЛЧХ каждого типового
звена Определить влияние коэффициентов входящих в описание
каждого звена на параметры ЛАЧХ и ЛФЧХ Вариант задания назна-
чается преподавателем
37
7 Методика выполнения задания
Порядок выполнения работы
1 Задать передаточную функцию типового динамического звена
используя параметры из табл 2 лабораторной работы 1
2 Построить диаграмму Боде при различных параметрах типо-
вого динамического звена
3 Определить влияние коэффициентов входящих в описание
каждого звена на параметры ЛАЧХ и ЛФЧХ в том числе
ndash как меняется ширина асимптотических участков ЛАЧХ и
ЛФЧХ
ndash как меняется положение точек пересечения осей ЛАЧХ
4 Написать вывод по влиянию коэффициентов на типовое звено
5 Выполнить пункты 1-4 для всех типовых звеньев
6 Подготовить ответы на контрольные вопросы
8 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) титульный лист
б) краткие теоретические сведения
в) передаточные функции и схемы моделирования исследуемых
звеньев
г) экспериментально полученные характеристики при вариации
параметров каждого звена
д) выводы обобщающие проделанные эксперименты по каждо-
му звену
ж) ответы на контрольные вопросы
Контрольные вопросы
1 Как пользуясь частотными характеристиками определить па-
раметры (коэффициенты передаточной функции) звена Пояс-
нить на конкретных примерах
2 Указать особенности построения ЛАХ и ЛФХ динамических
звеньев Что понимается под асимптотической ЛАХ звена
3 Как осуществляется построение АФХ динамического звена
38
Лабораторная работа 4
ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ СИСТЕМ
С ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ
1 Цель работы
Изучение особенностей практического использования алгебраи-
ческих и частотных критериев устойчивости для анализа динамики
линейных САУ с использованием автоматизированных средств моде-
лирования на ПК ndash MATLAB SIMULINK
2 Задачи работы
ndash Закрепление углубление и расширение знаний студентов при
исследовании устойчивости систем с обратной связью
ndash Приобретение умений и навыков работы с программой мате-
матического моделирования MATLAB
ndash Овладение новыми методами проверки устойчивости систем
с обратной связью
ndash Выработка способности логического мышления осмысления
полученных данных
3 Теоретическая часть
Устойчивость САУ является одним из основных условий ее ра-
ботоспособности и включает требование затухания во времени пере-
ходных процессов
Система является устойчивой если при ограниченном входном
сигнале еѐ выходной сигнал также является ограниченным Если
система устойчива то она противостоит внешним воздействиям а
выведенная из состояния равновесия возвращается снова к нему
Система с расходящимся переходным процессом будет неустойчивой и
неработоспособной
Необходимое и достаточное условие устойчивости заключается в
том чтобы все корни характеристического уравнения (полюсы пере-
даточной функции системы) имели отрицательные вещественные ча-
сти Иначе говоря условием устойчивости системы является распо-
ложение всех полюсов в левой комплексной полуплоскости Тогда все
полюсы будут давать затухающую реакцию
Выше сформулированное условие устойчивости справедливо как
39
для линейных так и для линеаризованных систем Однако в случае
нулевых или чисто мнимых корней характеристического уравнения
вопрос об устойчивости линеаризованной системы может быть ре-
шен только на основании исследования ее нелинейных уравнений
В конце XIX и первой половине XX в задача вычисления корней
характеристического уравнения высокого порядка вызывала боль-
шие проблемы Поэтому были предложены несколько косвенных
методов оценки устойчивости позволяющих обойтись без вычисле-
ния корней ndash по значениям коэффициентов характеристического
уравнения
Критерии устойчивости разделяют на алгебраические и частот-
ные В частности к алгебраическим критериям относится критерий
Гурвица к частотным критериям ndash критерий Найквиста
Критерий Гурвица является алгебраическим критерием и при-
меняется к коэффициентам характеристического уравнения замкнутой
системы
Пусть имеется характеристическое уравнение замкнутой
системы
0011
1 apapapa n
nn
n
Из коэффициентов характеристического уравнения составляют
матрицу по правилу
1 По диагонали записываются коэффициенты от 1na до 0a
2 Каждая строка дополняется коэффициентами с возрастающи-
ми индексами слева направо так чтобы чередовались строки с нечет-
ными и четными индексами
3 В случае отсутствия индекса а также если он меньше 0 или
больше п на его место пишется 0
Таким образом матрица Гурвица приобретает следующий вид
40
Критерий устойчивости формулируется так
Чтобы система была устойчивой необходимо и достаточно что-
бы при 0na были положительными все п диагональных определи-
телей получаемых из матрицы Гурвица
Первые три определителя матрицы Гурвица имеют следующий
вид
Таким образом критерий Гурвица позволяет судить об абсо-
лютной устойчивости но он не дает возможности оценивать относи-
тельную устойчивость по корням характеристического уравнения
Частотный критерий устойчивости Найквиста анализирует
АФЧХ разомкнутой системы
Пусть имеется АФЧХ разомкнутой системы W(jω)
Для нахождения вещественной и мнимой части частотной ха-
рактеристики нужно освободиться от мнимости в знаменателе путем
умножения числителя и знаменателя на комплексную величину со-
пряженную знаменателю а затем выполнить разделение на веще-
ственную и мнимую части W(jω) приобретает вид
)()()( jQPjW
Задаваясь различными значениями частоты можно найти мно-
жество пар )()( 11 jQP )()( 22 jQP )()( nn jQP
Затем по этим парам строится АФЧХ на комплексной плоскости
Основные свойства АФЧХ разомкнутой системы
1 Если разомкнутая система не имеет интегрирующих звеньев
то при ω = 0 ее АФЧХ начинается на вещественной оси в точке
Р(ω)=К (где К ndash коэффициент усиления разомкнутой системы) За-
канчивается АФЧХ в начале координат при ω rarr infin (рис 1 а)
2 Если разомкнутая система имеет одно интегрирующее звено то
ее АФЧХ начинается при ω = 0 в бесконечности на отрицательной мни-
мой полуоси а заканчивается в начале координат при ω rarr infin (рис 1 б)
41
Рис 1 АФЧХ разомкнутой системы
Критерий устойчивости Найквиста формулируется так
1 Если разомкнутая система устойчива или находится на гра-
нице устойчивости то для того чтобы замкнутая система была
устойчива необходимо и достаточно чтобы АФЧХ разомкнутой
системы при изменении частоты ω от 0 до infin не охватывала точку с ко-
ординатами (-1 j0)
2 Если разомкнутая система неустойчива а ее передаточная
функция имеет т полюсов справа от мнимой оси на комплексной
плоскости то для устойчивости замкнутой системы необходимо и до-
статочно чтобы АФЧХ разомкнутой системы при изменении частоты
ω от -infin до +infin охватывала т раз точку с координатами (-1 j0)
При использовании этого критерия нужно учитывать две
особенности
1 Если разомкнутая система находится на границе устойчиво-
сти то ее АФЧХ уходит в бесконечность Для проверки критерия Най-
квиста нужно мысленно соединить конец АФЧХ дугой бесконечно
большого радиуса с положительной вещественной полуосью
2 На практике АФЧХ может строиться только для положитель-
ных частот (0 lt ω lt +infin) При применении критерия Найквиста счита-
ется что ветвь АФЧХ для отрицательных частот симметрична отно-
сительно вещественной оси
Физический смысл критерия устойчивости Найквиста заключа-
ется в том что система будет неустойчива если фаза выходного сиг-
нала противоположна фазе входного сигнала а коэффициент усиле-
ния больше 1 Поэтому для анализа устойчивости можно использо-
вать не АФЧХ а ЛАХ системы (для минимально-фазовых систем)
Система устойчива если на частоте среза значение фазы не превы-
шает -π Соответственно для устойчивой системы можно рассматри-
вать на ЛФЧХ запас устойчивости по фазе ndash расстояние от значения
фазы на частоте среза до уровня -π и запас устойчивости по амплиту-
42
де ndash расстояние от оси частот ЛАЧХ до значения усиления на часто-
те где фаза становится равной -π
4 Краткое описание MATLAB
Лабораторная работа выполняется в программе математического
моделирования MATLAB Программа MATLAB включает в себя пакет
прикладных программ для решения технических задач и одноименный
язык программирования используемый в этом пакете
Основными компонентами системы являются базовая система
MATLAB и пакет моделирования систем Simulink Остальные пакеты
расширения разбиты на 4 категории ndash расширения Extension MATLAB и
Extension Simulink а также комплексы пакетов расширения Blockset и
Toolbox
Раздел MATLAB Extension содержит средства для подготовки ис-
полняемых приложений MATLAB (с подключаемыми библиотеками и
без них)
Раздел Toolbox (инструментальные средства) содержит самое
большое число пакетов расширений системы MATLAB такие как
laquoControl systemraquo laquoDatabaseraquo laquoFuzzy logicraquo laquoWaveletraquo и тд
В разделе Blockset расположено несколько пакетов относящихся к
главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink такие как
laquoDSPraquo laquoFixed-Pointraquo laquoNonlinear control designraquo и laquoPower systemsraquo
В разделе Extension Simulink имеется ряд средств предназначен-
ных для моделирования в реальном масштабе времени и событийно-
управляемом моделировании
5 Исследование устойчивости САУ в MATLAB
Для проверки устойчивости САУ по Гурвицу постройте матрицу
Гурвица и найдите ее детерминант (функция det) Затем последова-
тельно уменьшая размер матрицы найдите значения всех диагональ-
ных детерминантов Пример
gtgt А=[1 14 18 2 5 2 3 4 3]
А =
1 14 18
2 5 2
3 4 3
gtgt det(A)
ans = -119
43
gtgt А1=А(12 12)
А1 =
1 14
2 5
gtgt det(A1)
ans = -23
Для проверки устойчивости САУ по Найквисту сначала нужно
выяснить является ли устойчивой разомкнутая система
Пример Пусть дана передаточная функция разомкнутой
системы
13232
12234
pppp
pW
Рассмотрим реакцию на скачок
gtgt w=tf([2 1][2 3 2 3 1])
gtgt step(w18)
График переходного процесса показан на рис 2
Рис 2 Переходная реакция
Разомкнутая система неустойчива и согласно критерию Найкви-
ста надо чтобы АФЧХ разомкнутой системы охватывала точку (-1 j0)
44
столько раз сколько полюсов имеется справа от мнимой оси Для по-
строения АФЧХ достаточно вызвать команду nyquist
gtgt nyquist(w)
Диаграмма Найквиста показана на рис 3
Рис 3 Диаграмма Найквиста для неустойчивой системы
Как показывает рис3 АФЧХ ни разу не охватывает точку
(-1 j0) поэтому замкнутая система будет неустойчивой Частотный
критерий Найквиста можно использовать и в том случае когда рас-
сматривается не АФЧХ а ЛАЧХ разомкнутой системы замкнутая
минимально-фазовая система устойчива если при достижении ЛФЧХ
значения -π ЛАЧХ будет отрицательной
Используя ЛАЧХ и ЛФЧХ можно оценить запасы устойчивости
системы по амплитуде и по фазе с помощью команды
gtgt margin(w)
Пример
gtgt w=tf([10][2 2 3 1])
gtgt margin(w)
Соответствующий график показан на рис 4
45
Рис 4 Определение запасов устойчивости по амплитуде и по фазе
6 Задание на лабораторную работу
Выполнить исследование устойчивости замкнутой системы по за-
данной передаточной функции разомкнутой системы Определить запас
устойчивости по амплитуде и по фазе Вариант задания назначается
преподавателем
7 Методика выполнения задания
Порядок выполнения работы
1 Рассчитать передаточную функцию замкнутой системы по
приведенной в табл 1 разомкнутой системе
2 Определить устойчивость замкнутой системы используя кри-
терий Гурвица
3 Определить устойчивость замкнутой системы используя кри-
терий Найквиста
4 Определить запас устойчивости по амплитуде и по фазе ис-
пользуя ЛАЧХ и ЛФЧХ
5 Выполнить моделирование переходных процессов разомкну-
той и замкнутой систем
6 Подготовить ответы на контрольные вопросы
46
Таблица 1
Варианты заданий
Передаточная функция разомкнутой системы
1 1355
2234
ssss
W
2 110050
1234
ssss
W
3 11010
123
sss
W
4 122105
100234
ssss
W
5 1248
123
sss
W
6 1223
102345
sssss
W
7 11001010
323
sss
W
8 122
1023
sss
W
9 11010
123
sss
W
10 15050332
102345
sssss
W
8 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) титульный лист
б) краткие теоретические сведения
в) переходную функцию разомкнутой системы
г) расчет передаточной функции замкнутой системы
д) расчетные выражения для обоснования устойчивости замкну-
той системы по алгебраическому критерию Гурвица
е) годограф Найквиста разомкнутой системы на основании кото-
рого делается вывод об устойчивости замкнутой системы
ѐ) переходную функцию замкнутой системы
ж) проверку полученных результатов путем компьютерного моде-
лирования переходных процессов разомкнутой и замкнутой си-
стемы в MATLAB Simulink
з) выводы по всем полученным результатам
47
Контрольные вопросы
1 Как связана устойчивость линейной САУ с видом составля-
ющих ее свободного движения
2 Зависит ли устойчивость линейных САУ от амплитуды зада-
ющих воздействий или возмущений
3 Сформулируйте критерий устойчивости Гурвица укажите на
необходимое условие устойчивости линейных САУ вытекаю-
щее из этого критерия
4 Сформулируйте критерий Найквиста для случая САУ устой-
чивых в разомкнутом состоянии а также для астатических САУ
Что такое laquoзапасы устойчивости по фазе и по амплитудеraquo
5 Что называется структурной устойчивостью
48
Лабораторная работа 5
КОРРЕКЦИЯ СТАТИЧЕСКИХ И ДИНАМИЧЕСКИХ
СВОЙСТВ САУ
1 Цель работы
Целью работы является изучение способов обеспечения иско-
мых характеристик САУ с использованием автоматизированных
средств моделирования на ПК ndash MATLAB SIMULINK
2 Задачи работы
ndash Закрепление углубление и расширение знаний студентов при
обеспечении искомых характеристик САУ
ndash Приобретение умений по обеспечению точности (уменьшение
статической ошибки) САУ и выбору значений параметров регулято-
ра обеспечивающих желаемые динамические свойства САУ
ndash Приобретение умений и навыков работы с программой мате-
матического моделирования MATLAB
3 Теоретическая часть
Коррекция статических и динамических свойств САУ имеет
своей целью повышение статической и динамической точности отра-
ботки системой задающего воздействия (или парирование возмуща-
ющего воздействия) повышение запасов ее устойчивости Наиболее
распространенными способами коррекции свойств САУ является из-
менение коэффициента усиления ее разомкнутой части введение в
САУ новых звеньев (как правило интегрирующего или дифференци-
рующего типа) охват объекта управления местной обратной связью
31 Коррекция статических свойств САУ
Статические свойства системы определяются величиной устано-
вившейся ошибки )t(уст вызванной действием задающего воздей-
ствия и определяемой по формуле
22
210 2 dttgdcdttdgctgctуст (1)
где )(tg - входное воздействие 210 ccc - коэффициенты ошибок
Коэффициенты ошибок определяются по формулам
49
dssdcdssdcscs
mmmss 00100
где s - передаточная функция САУ по ошибке управления рав-
ная
sW
sраз
1
1
sWраз - передаточная функция разомкнутой САУ
Основными способами уменьшения статической ошибки систе-
мы являются
1) увеличение коэффициента усиления прямого тракта системы
2) введение в прямой тракт системы интегрирующих звеньев
3) охват объекта управления местной неединичной положитель-
ной обратной связью
Представим структурную схему системы в виде изображенном
на рис 1 где через sW обозначена передаточная функция неизме-
няемой части системы
bsbsb
asasasW
nn
nn
mm
mm
01
1
01
1
Здесь и далее полагается что KKKsW s 000 0 ndash из-
меняемый коэффициент усиления регулятора системы
Первые два коэффициента ошибок 0c и 1c определяется выраже-
ниями
KK
c0
01
1
(2)
KK
dssdWKc
s
20
01
1
(3)
Из (2) и (3) с учетом (1) вытекает что с увеличением K
статическая ошибка в системе уменьшается и наоборот с уменьше-
нием K статическая ошибка в системе увеличивается
Введем в прямой тракт системы одно интегрирующее звено
50
(рис 2) В этом случае c 00 01 1 KKc
Так как c 00 то система на рис 2 является астатической (с
астатизмом первого порядка) Система имеет нулевую статическую
ошибку при отработке постоянного задающего воздействия
consttg и постоянную обратно пропорциональную K ошибку
constуст при отработке линейно изменяющегося воздействия
tatg
Рис 1 Схема САУ Рис 2 Схема САУ с включенным в прямой
тракт интегрирующим звеном
Охватим неизменяемую часть системы sW местной нееди-
ничной положительной обратной связью с коэффициентом усиления
осK (рис 3) Тогда эквивалентная передаточная функция sWэкв
неизменяемой части системы равна
10011
01
1
aKbsaKbsaKbsb
asasa
sWK
sWsW
ососm
mосmn
n
mm
mm
осэкв
(4)
Если коэффициент усиления K выбрать из условия
a
bKос
0
0
то свободный коэффициент (b0 - Koca0) полинома знаменателя sWэкв
обратится в нуль и sWэкв приобретает интегрирующие свойства
11
11
0
1
1
aKbsaKbsbs
asasasW
ос
m
mосm
n
n
m
m
m
mэкв
g(t) y(t)ε(t)
K W(s)-
g(t) y(t)
Ks W(s)-
ε(t)
51
Следовательно замкнутая система становится астатической (с
астатизмом 1-го порядка) Отсюда 0c =0 а коэффициент 1c будет
равен
aKb
bc
ос 11
01
ε(t)g(t) y(t)
W(s)-
Kос
Wэкв(s)
+
Рис 3 Схема САУ с местной неединичной обратной связью
32 Коррекция динамических свойств САУ
Улучшение динамических свойств САУ заключается в увеличе-
нии быстродействия САУ (уменьшении времени регулирования tрег)
уменьшении перерегулирования (см рис 4) а также увеличении
запасов устойчивости по фазе и по модулю При этом
h
hh
уст
устmax100
где maxh - максимальное значение переходной характеристики за-
мкнутой САУ th
устh - установившееся значение th
Время регулирования tрег - минимальная величина при которой удо-
влетворяется условие
устрег hth
где - заданная величина ошибки (обычно =005 устh )
52
h(t)
tрег
hустhmax
2δ
Рис 4 Быстродействие и перерегулирование САУ
Одним из эффективных средств достижения этой цели является
уменьшение отрицательных фазовых сдвигов в прямом тракте систе-
мы путем охвата неизменяемой части системы местными отрицатель-
ными обратными связями
На рис 5 R(s) представляет собой передаточную функцию регу-
лятора САУ которая считается заданной
ε(t)g(t) y(t)
W(s)-
Kос
Wэкв(s)
-
R(s)
u(t)
Рис 5 Схема САУ с местной обратной связью и регулятором
Пусть неизменяемая часть системы представляет собой аперио-
дическое звено первого порядка те
sT
K)s(W
10
0
Тогда передаточная функция sWэкв эквивалентного объекта
управления равна
sT
K
sWK
sWsW
экв
экв
осэкв
11
где зквK и эквT - коэффициент усиления и постоянная времени
эквивалентного объекта равные
53
KK
KK
осэкв
0
0
1
KK
TT
осэкв
0
0
1 (5)
Из (5) следует что соответствующим выбором осK постоянную
времени эквT эквивалентного объекта можно уменьшить в (1+ 0KKос )
раз по сравнении с постоянной времени 0T объекта без местной об-
ратной связи Тем самым уменьшаются отрицательные фазовые сдви-
ги вносимые прямым трактом системы что приводит к увеличению
запасов устойчивости системы При этом однако уменьшается в
(1+ 0KKос ) раз коэффициент усиления эквK эквивалентного объекта
по сравнению с коэффициентом усиления 0K объекта без местной
обратной связи Это нежелательно так как приводит к уменьшению
быстродействия системы вследствие уменьшения общего коэффици-
ента усиления прямого тракта системы В этом случае с целью обес-
печения необходимого быстродействия системы увеличивают коэф-
фициент усиления регулятора
4 Краткое описание MATLAB
Лабораторная работа выполняется в программе математического
моделирования MATLAB Программа MATLAB включает в себя пакет
прикладных программ для решения технических задач и одноименный
язык программирования используемый в этом пакете
Основными компонентами системы являются базовая система
MATLAB и пакет моделирования систем Simulink Остальные пакеты
расширения разбиты на 4 категории ndash расширения Extension MATLAB и
Extension Simulink а также комплексы пакетов расширения Blockset и
Toolbox
Раздел MATLAB Extension содержит средства для подготовки ис-
полняемых приложений MATLAB (с подключаемыми библиотеками и
без них)
Раздел Toolbox (инструментальные средства) содержит самое
большое число пакетов расширений системы MATLAB такие как
laquoControl systemraquo laquoDatabaseraquo laquoFuzzy logicraquo laquoWaveletraquo и тд
54
В разделе Blockset расположено несколько пакетов относящихся к
главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink такие как
laquoDSPraquo laquoFixed-Pointraquo laquoNonlinear control designraquo и laquoPower systemsraquo
В разделе Extension Simulink имеется ряд средств предназначен-
ных для моделирования в реальном масштабе времени и событийно-
управляемом моделировании
5 Задание на лабораторную работу
Выполнить исследование способов коррекции статических и
динамических свойств САУ Определить время регулирования и пе-
ререгулирования в исходной и скорректированной системах а также
для динамических свойств САУ определить запасы устойчивости в
исходной системе и найти экспериментально значение Kос обеспечи-
вающее в системе заданные показатели качества и запасы устойчиво-
сти Вариант задания назначается преподавателем
Таблица 1
Варианты заданий
варианта
Параметры
1
2
3
4
5
6
7
8
a 05 10 15 20 25 30 35 40
K0 1 2 3 4 5 6 7 8
T c 03 04 05 06 07 08 09 10
ξ 06 07 08 08 07 09 05 04
уст 0 0 005 0 010 007 0 0
tрег c le 13 15 20 25 30 35 40 40
le 0 10 10 5 5 5 0 0
В качестве исходных САУ выступают системы изображенные
на рис 6 и 7
55
ε(t)g(t) y(t)
W(s)-
g(t) y(t)
R(s) W(s)-
ε(t) u(t)
Рис 6 САУ с отрицательной Рис 7 САУ с отрицательной обратной
обратной связью связью и регулятором
6 Методика выполнения задания
При исследовании способов коррекции статических свойств
САУ в качестве исходных данных выступает передаточная функция
sW неизменяемой части системы вида
1222
0
sTsT
KsW (6)
и задающие воздействия вида ttg 1 в соответствии с таблицей 1
В процессе выполнения этой части работы необходимо
1) путем моделирования в системе MATLAB исходной САУ
(рис 6) получить графики ttytg
2) сравнить полученную таким образом экспериментальную ве-
личину t с теоретической величиной вычисленной по формуле (1)
3) применяя описанные в теоретической части методических
указаний способы коррекции статических свойств (см п 31) обес-
печить требуемую статическую ошибку εуст системы при отработке
задающего воздействия ttg 1
4) получить графики ty и t в скорректированной системе
для 1 ttg
5) сравнить время регулирования регt и перерегулирование в
исходной и скорректированной системах при 1 ttg
При исследовании рассмотренного способа коррекции динами-
ческих свойств САУ (см п 32) в качестве исходных данных высту-
пают передаточная функция sW неизменяемой части системы
вида (6) и передаточная функция регулятора вида
s
KsR
рег
56
Задающее воздействие ttg 1
В процессе выполнения данной части работы необходимо
1) получить путем моделирования в MATLAB графики ty t
в системе (рис 7)
2) определить время регулирования регt и перерегулирование
а также запасы устойчивости в исходной системе
3) применяя описанный выше способ коррекции динамических
свойств САУ найти экспериментально (путем последовательного пе-
ребора) значение осK обеспечивающее в системе заданные заданием
показатели качества ( регt ) и запасы устойчивости (при необхо-
димости увеличить коэффициент регK )
4) получить графики ty t а также ЛАХ и ЛФХ разомкну-
той системы в скорректированной САУ
7 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) титульный лист
б) структурные схемы исследуемых систем
в) полученные графики и характеристики
г) значения полученные экмпериментально которые
обеспечивают заданные показатели качества и запасы устойчивости
д) выводы обощающие проделанные эксперименты для
коррекции статических и динамических свойств САУ
е) ответы на контрольные вопросы
Контрольные вопросы 1 Дать определение статической и астатической САУ
2 Какими структурными свойствами системы определяется по-
рядок ее астатизма
3 Какой из двух приведенных выше способов придания системе
свойств астатизма 1-го порядка наиболее предпочтителен на
практике
4 Назовите основные показатели качества САУ Поясните их
смысл
5 В чѐм суть исследуемого способа коррекции динамических
свойств САУ
57
6 Назвать другие способы коррекции динамических свойств
САУ
7 Чем вызваны отрицательные фазовые сдвиги в неизменяемой
части САУ
58
Лабораторная работа 6
МЕТОД КОРНЕВОГО ГОДОГРАФА
1 Цель работы
Целью работы является построение корневого годографа и ис-
следование динамики системы с использованием автоматизирован-
ных средств моделирования на ПК ndash MATLABSIMULINK
2 Задачи работы
ndash Закрепление углубление и расширение знаний студентов при
исследование динамики системы
ndash Овладение навыком построения корневого годографа
ndash Приобретение умений и навыков работы с программой мате-
матического моделирования MATLAB
3 Теоретическая часть
Корневым годографом (КГ) называется совокупность траекто-
рий перемещения всех корней характеристического уравнения за-
мкнутой системы при изменении какого-либо параметра этой систе-
мы
Обычно метод КГ позволяет находить полюса и нули ПФ за-
мкнутой системы располагая полюсами и нулями разомкнутой си-
стемы при изменении коэффициента усиления разомкнутой системы
K
ПФ разомкнутой системы Wp(s) представим в следующем виде
)(
)(
1
1
0
n
ii
m
jj
p
ss
ssKC
sW (1)
где 0js ndash нули ПФ sWp )1( mj
is ndash полюса ПФ sWp
)1( nj n и m ndash порядки знаменателя и числителя C ndash коэффици-
ент представления (отношение коэффициентов при старших членах
числителя и знаменателя)
59
При замыкании системы с ПФ sWp единичной отрицатель-
ной обратной связью ПФ замкнутой системы sWз принимает вид
)(1
)(
sW
sWsW
p
pз
(2)
Из выражения (2) следует что нули ПФ замкнутой системы рав-
ны нулям ПФ разомкнутой системы
Для нахождения полюсов рассмотри выражение
01 sWp (3)
в соответствии с выражением (1) имеем
n
i
m
jjin
ii
m
jj
ssKCss
ss
ssKC
1 1
0
1
1
0
)()(01
)(
)(
(4)
На основании выражения (4) можно сказать что при K = 0 корни
характеристического уравнения совпадают с полюсами а при K = infin ndash
с нулями При изменении K от 0 до infin траектории корней начинаются
в полюсах и заканчиваются в нулях Обычно полюсов больше чем
нулей В этом случаем mn ветвей корневого годографа стремятся к
infin
Для определения полюсов замкнутой системы с отрицательной
обратной связью необходимо решить уравнение (его называют ос-
новным уравнением метода КГ)
1sWp (5)
Так как sWp является функцией комплексного переменного
s то уравнение (5) распадается на два уравнения уравнение модулей
1)( sWp (6)
60
и уравнение аргументов (фаза вектора -1 есть нечетное число π)
210)12()(arg sWp (7)
Как известно при умножении комплексных чисел их аргументы
складываются а при делении ndash вычитаются Поэтому исходя из вы-
ражения (1) уравнение (7) имеет наглядный геометрический смысл
Пусть точка s ndash полюс замкнутой системы Если провести в s
вектора из нулей sWp (обозначим аргументы этих векторов 0j ) и
вектора из всех полюсов sWp (обозначим аргументы этих векторов
i ) то уравнение (7) можно записать в следующем виде
m
j
n
iij
1 1
0 210)12( (8)
Углы q отсчитываются от положительного направления дей-
ствительной оси Знак угла laquo+raquo соответствует повороту против часо-
вой стрелки знак угла laquo-raquo соответствует повороту по часовой стрел-
ке
Таким образом любая точка КГ должна удовлетворять уравне-
нию (8) из которого следует что конфигурация КГ не зависит от ко-
эффициента усиления K но каждому конкретному значению K одно-
значно соответствуют точки на КГ
При умножении комплексных чисел их модули перемножаются
а при делении ndash делятся Поэтому на основании (6) можно записать
1
1
1
0
n
ii
m
jj
l
lKC
(9)
где 0jl ndash модуль (длина) вектора проведенного из j-нуля в точку s
КГ il ndash модуль вектора проведенного из i-полюса в ту же точку s
61
Таким образом траектории корней строятся только по уравне-
ниям фаз а уравнение модулей используется затем для нахождения
K
Сущность метода КГ заключается в том чтобы узнать каким
должен быть коэффициент усиления разомкнутой системы чтобы
было обеспечено желаемое положение корней замкнутой системы
Корневой годограф системы с отрицательной обратной связью
обладает следующими основными свойствами
1 Ветви КГ непрерывны и расположены на комплексной плос-
кости симметрично относительно действительной оси
2 Число ветвей КГ равно порядку системы n Ветви начинают-
ся в n полюсах разомкнутой системы при K=0 При возрастании K от
0 до infin полюса замкнутой системы двигаются по ветвям КГ
3 mветвей КГ при возрастании K от 0 до infin заканчиваются в m
нулях )(sWp а )( mn ветвей при K стремящемся к infin удаляются
от полюсов вдоль асимптот
4 При расположении ветвей корневого годографа в левой полу-
плоскости s САУ устойчива При пересечении ветвей КГ мнимой оси
слева направо САУ становится неустойчивой Пусть при K=Kкр
пере-
сечение КГ с мнимой осью произойдет в некоторой точке iωкр
Назо-
вем это значение коэффициента усиления критическим Kкр
а вели-
чину iωкр
критической угловой частотой на которой система стано-
вится неустойчивой
4 Краткое описание MATLAB
Лабораторная работа выполняется в программе математического
моделирования MATLAB Программа MATLAB включает в себя пакет
прикладных программ для решения технических задач и одноименный
язык программирования используемый в этом пакете
Основными компонентами системы являются базовая система
MATLAB и пакет моделирования систем Simulink Остальные пакеты
расширения разбиты на 4 категории ndash расширения Extension MATLAB и
Extension Simulink а также комплексы пакетов расширения Blockset и
Toolbox
Раздел MATLAB Extension содержит средства для подготовки ис-
полняемых приложений MATLAB (с подключаемыми библиотеками и
без них)
62
Раздел Toolbox (инструментальные средства) содержит самое
большое число пакетов расширений системы MATLAB такие как
laquoControl systemraquo laquoDatabaseraquo laquoFuzzy logicraquo laquoWaveletraquo и тд
В разделе Blockset расположено несколько пакетов относящихся к
главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink такие как
laquoDSPraquo laquoFixed-Pointraquo laquoNonlinear control designraquo и laquoPower systemsraquo
В разделе Extension Simulink имеется ряд средств предназначен-
ных для моделирования в реальном масштабе времени и событийно-
управляемом моделировании
5 Корневой годограф в MATLAB
В системе MATLAB существует команда zpk для преобразова-
ния модели заданной ПФ в модель заданную нулями полюсами и
обобщенными коэффициентами передачи (zpk-форма)
Пример
gtgt w=tf([10][2 2 3 1 0])
Transfer function
10
-------------------------------
2 s^4 + 2 s^3 + 3 s^2 + s
gtgt w1=zpk(w)
Zeropolegain
5
----------------------------------------------
s (s+03966) (s^2 + 06034s + 1261)
Для работы с корневым годографом удобно использовать гра-
фический интерфейс laquoSISO-Design Toolraquo предназначенный для ана-
лиза и синтеза одномерных линейных систем автоматического управ-
ления (SISO ndash Single Input Signal Output)
Запуск SISO-Design Tool осуществляется командой
gtgt sisotool
63
В появившемся окне графического интерфейса необходимо ис-
пользовать команду laquoFileImportraquo для загрузки данных из рабочего
пространства MATLAB в результате которой появляется диалоговое
окно Import System Data (рис 1)
Рис 1 Диалог для ввода параметров модели
После импортирования данных можно исследовать изменение
временных и частотных характеристик замкнутой системы при изме-
нении K Обычно при этом требуется определить условия неустойчи-
вости замкнутой САУ Определить Kкр
и iωкр
На рис 2 показано окно sisotool для описанной выше модели w1
Двигая красным курсором по КГ до пересечения ветвей с мнимой
осью можно определить значения Kкр
В данном случае Kкр
asymp 01
Значение iωкр
соответствует мнимой координате пересечения КГ
мнимой оси Просмотреть это значение можно в нижней части ин-
терфейса или выбрать меню laquoView Closed-Loop Polesraquo
64
Рис 2 Основное окно SISO-Design Tool
6 Задание на лабораторную работу
Построить КГ в соответствии с вариантом из табл 1 при помо-
щи графического интерфейса sisotool
Исследовать динамику замкнутой системы при различных зна-
чениях коэффициента усиления разомкнутой системы K в том числе
ndash запасы устойчивости в частотной области
ndash параметры переходного процесса во временной области
Таблица 1
Варианты передаточных функций
Значения параметров Передаточная функция
разомкнутой системы
1 T = 01 ζ = 1
)12( 22 sTsTs
K
2 T = 005 ζ = 0707
3 T = 003 ζ = 01
4 T = 008 ζ = 05
5 T = 001 ζ = 015
65
Окончание табл 1
Значения параметров Передаточная функция
разомкнутой системы
6 T1 = 003 T2 = 05 T3 = 01 T4 = 005
)1)(1)(1(
)1(
432
1
sTsTsTs
sTK
7 T1 = 005 T2 = 04 T3 = 008 T4 = 0033
8 T1 = 02 T2 = 045 T3 = 01 T4 = 005
9 T1 = 05 T2 = 025 T3 = 01 T4 = 002
10 T1 = 01 T2 = 025 T3 = 01 T4 = 005
Вариант задания назначается преподавателем
7 Методика выполнения задания
Порядок выполнения лабораторной работы
1 Задать передаточную функцию в MATLAB в соответствии с
вариантом коэффициент K задать любым положительным числом
2 Запустить SISO-Design Tool и осуществить ввод данных
Построить КГ
3 По КГ определить значения коэффициента K когда система
будет устойчивой на границе устойчивости и неустойчива
4 Выбрать значение коэффициента K таким образом чтобы си-
стемы была устойчива и определить запас устойчивости в частотной
области и параметры переходного процесса во временной области
8 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) титульный лист
б) передаточную функцию и этапы построения КГ
в) анализ результатов построения КГ
г) выводы по проделанной работе
д) ответы на контрольные вопросы
Контрольные вопросы 1 Дать определение КГ
2 Что обычно позволяет находить метод КГ
3 В чем заключается сущность метода КГ
4 Что можно определить по КГ
66
Критерии результативности лабораторного практикума
Лабораторная работа считается выполненной если студент
ndash выполнил все указанные задания
ndash представил отчет соответствующий всем требованиям к его
содержанию и оформлению
ndash владеет терминологией и материалом лабораторной работы
ndash способен использовать программное средство математическо-
го моделирования MATLAB
ndash способен предоставить и рассказать результаты выполненной
работы на ПК
ndash может дать пояснения к отчету и ответить на контрольные
вопросы
Список литературы
1 Александров АГ Частотная теория автоматического управле-
ния учебное пособие ndash Электросталь ЭПИ МИСиС 2010
2 Борисевич АВ Теория автоматического управления элементар-
ное введение с применением MATLAB ndash СПб Изд-во Политехн ун-
та 2011
3 Федоров ВЛ Бубнов АВ Теория автоматического управления
учебное пособие ndash Омск Изд-во ОмГТУ 2010
4 Павловская ОО Чернецкая ИВ Теория автоматического
управления учебное пособие ndash Челябинск Изд-во ЮУрГУ 2010
67
Составители ЛЯНЦЕВ Олег Дмитриевич КАЗАНЦЕВ Андрей Валерьевич
ИССЛЕДОВАНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК СИСТЕМ
АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
Лабораторный практикум
по дисциплине
laquoТеория управленияraquo
Подписано в печать Формат 60х84 116 Бумага офсетная Пе-
чать плоская Гарнитура Times New Roman Усл печ л 56 Уч-изд л
55 Тираж 100 экз Заказ
ФГБОУ ВПО Уфимский государственный авиационный технический
университет
Центр оперативной полиграфии УГАТУ
450000 Уфа-центр ул К Маркса 12
28
Рис 10 Пример схемы САУ с блоком laquosignal builderraquo
Задача считается решенной если при подаче на вход обоих
схем одинаковых тестовых воздействий (единичный скачок импуль-
сная функция) наблюдаются одинаковые выходные сигналы
6 Задание на лабораторную работу
Выполнить преобразование структурной схемы САУ в эквива-
лентную передаточную функцию Составить модель исходной схемы
САУ в MATLAB С помощью ряда функций MATLAB (структурные
преобразования) составить эквивалентную схему Вариант задания
назначается преподавателем
7 Методика выполнения задания
Порядок выполнения работы
1 Выполнить преобразование заданного варианта структурной
схемы САУ (см табл 2) в эквивалентную ПФ тремя способами
ndash непосредственно используя правила табл 1
ndash используя представление в виде сигнального графа и формулу
Мейсона
ndash составив систему уравнений и решив еѐ
2 В качестве звеньев W1W2W3 использовать передаточные
функции звеньев представленных в табл 2
3 Составить модель исходной схемы САУ в MATLAB постро-
ить реакцию получившейся модели на ступенчатое и импульсное
воздействия
4 С помощью ряда функций MATLAB (структурные преобразо-
вания) составить эквивалентную схему и построить реакцию на сту-
пенчатое и импульсное воздействия
5 Подготовить ответы на контрольные вопросы
29
Таблица 2
Варианты структур САУ
Исходная схема
Передаточные
функции
1 W1
W3
W2
-
+
-
+
u y
+
1
31
sW
2
442
s
sW
12
133
s
sW
2 W1
W3
W2
-
+
-
+
u y
+ +
3 W3
W2
W1
-
+
-
+
u y
+ +
4 W3
W1
W2
+
+
-
+
u y
+ +
1
21
sW
2
12
sW
12
13
s
sW
5
W1
W3
W2
-
+
-
+
u y
+ +
6
W1
W3
W2
-
+
-
+
u y
+
62
31
sW
2
52
sW
1
23
s
sW
7
W1
W3
W2
-
+
-
+
u y
+ +
8
W1
W2
W3
-
+
-
+
u y
+ +
30
8 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) описание всех этапов преобразования исходной схемы и по-
лучающихся промежуточных результатов выполненными тремя спо-
собами моделирование реакции схемы на типовое воздействие (ска-
чок) до и после преобразования
б) сигнальный граф системы описание путей контуров расчет
ПФ по формуле Мейсона
в) решение составленной системы уравнений
г) схема модели и протокол команд MATLAB
д) графики переходных процессов при подаче на вход исходной
и эквивалентной схемы типовых тестирующих воздействий (скачок
импульс)
е) ответы на контрольные вопросы
Контрольные вопросы
1 Что называется структурной схемой Какие задачи можно
решить с еѐ помощью
2 Как может быть составлена структурная схема
3 Что позволяет алгоритмизировать процесс упрощения струк-
турной схемы Поясните на конкретном примере
31
Лабораторная работа 3
ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
ДИНАМИЧЕСКИХ ЗВЕНЬЕВ
1 Цель работы
Целью работы является изучение частотных характеристик ти-
повых динамических звеньев с использованием автоматизированных
средств моделирования на ПК ndash MATLAB SIMULINK
2 Задачи работы
ndash Закрепление углубление и расширение знаний студентов при
исследовании частотных характеристик динамических звеньев
ndash Приобретение умений и навыков работы с программой мате-
матического моделирования MATLAB
ndash Выработка способности логического мышления осмысление
полученных данных частотных характеристик
3 Теоретическая часть Сущность метода частотных характеристик заключается в том
что на вход исследуемой системы подается гармонический сигнал (си-
нусоидальные колебания) в широком диапазоне частот Реакция си-
стемы при разных частотах позволяет судить о ее динамических
свойствах
Пусть входной сигнал системы имеет амплитуду а и частоту ω т е
описывается формулой
)sin( tax
Выходной сигнал будет иметь амплитуду А1 и отличаться от вход-
ного по фазе на величину ψ (фазовый сдвиг)
)sin(1 tAy
Таким образом можно рассчитать усиление по амплитуде
1
a
AA
32
Для каждой частоты входного сигнала ω будут свои А и ψ
Изменяя ω в широком диапазоне можно получить зависимость
А(ω) ndash амплитудную частотную характеристику (АЧХ) и ψ(ω) ndash фазо-
вую частотную характеристику (ФЧХ)
Главное достоинство метода частотных характеристик заключа-
ется в том что АЧХ и ФЧХ объекта могут быть получены экспери-
ментально Для этого необходимо иметь генератор гармонических
колебаний который подключается к входу объекта и измеритель-
ную аппаратуру для измерения амплитуды и фазового сдвига колеба-
ний на выходе объекта
Частотные характеристики САУ могут быть получены по ее ПФ
W(s) Для суждения о реакции звена на синусоидальный сигнал доста-
точно исследовать его реакцию на гармонический сигнал вида
)( tjejx
Тогда выходной сигнал определяется по соотношению
)()( ))(( tjeAjy
и частотная ПФ получается равной
)()(
)()( )(
jeA
jx
jyjW
Формально для получения частотной ПФ надо сделать в W(s)
подстановку s = jω и тогда полученная W(jω) является комплексным
выражением которое можно представить в виде
)()(
)()()(
22
11
jba
jbajW
Для нахождения вещественной и мнимой частей частотной пе-
редаточной функции необходимо умножить числитель и знаменатель
на сопряженную знаменателю величину а затем провести
разделение
33
)()()(
)()(
)()()()(
)()(
)()()()(
))()())(()((
))()())(()((
)()(
)()()(
)(
22
22
2112
22
22
2121
2222
2211
22
11
jeAjVU
ba
babaj
ba
bbaa
jbajba
jbajba
jba
jbajW
где
)()()()(22
22
21
2122
ba
baVUjWA
)(
)())(arg()(
2
2
1
1
a
barctg
a
barctg
U
VarctgjW
Графики функции )(U и )(V называют соответственно веще-
ственной и мнимой частотной характеристиками
В практических расчетах удобно применять графики частотных
характеристик построенных в логарифмическом масштабе ndash лога-
рифмические частотные характеристики (ЛЧХ)
Логарифмическая амплитудная частотная характеристика
(ЛАЧХ) определяется следующим выражением
)(lg20)( AL
Логарифмической фазовой частотной характеристикой
(ЛФЧХ) называется график зависимости )( построенный в лога-
рифмическом масштабе частот
Единицей L(ω) является децибел (дБ) а единицей логарифма ча-
стоты ndash декада Декадой называют интервал частот на котором часто-
та изменяется в 10 раз При изменении частоты в 10 раз говорят что
она изменилась на одну декаду Ось ординат при построении ЛЧХ про-
водят через произвольную точку а не через точку ω = 0 Частоте ω = 0
соответствует бесконечно удаленная точка lgω rarr ndash infin при ω rarr 0
Основное преимущество использования ЛЧХ заключается в том
что приближенные (асимптотические) ЛАЧХ типовых динамических
звеньев изображаются отрезками прямых
Пример Построим ЛЧХ апериодического звена первого
34
порядка
Передаточная функция звена
1
)(
Ts
ksW
Частотная передаточная функция
1)(
)1(
1)(
2
T
Tjk
Tj
kjW
1)(
1)( 22
T
kTV
T
kU
Следовательно АЧХ описывается формулой
1)(
)(2
T
kA
ФЧХ строится по формуле
)()( Tarctg
ЛАЧХ апериодического звена 1-го порядка
1)(lg20lg20)( 2 TkL
По этой формуле можно построить две асимптоты ndash прямые к
которым стремится ЛАЧХ при ω rarr 0 и при ω rarr infin Так при ω rarr 0 второе
слагаемое близко к нулю и этот участок ЛАЧХ представляет собой
горизонтальную прямую
lg20)( kL
При ω rarr infin получаем наклонную прямую
1)(lg20)( 2 TL
35
Для определения наклона этой прямой можно рассмотреть гра-
ницы декады
T
1 и
10
T
Изменение ЛАЧХ между этими точками
)(2011
lg20110
lg20)(
22
декдБT
TT
TL
ЛЧХ часто называют диаграммами Боде
4 Краткое описание MATLAB
Лабораторная работа выполняется в программе математического
моделирования MATLAB Она включает в себя пакет прикладных про-
грамм для решения технических задач и одноименный язык программи-
рования используемый в этом пакете
Основными компонентами системы являются базовая система
MATLAB и пакет моделирования систем Simulink Остальные пакеты
расширения разбиты на 4 категории ndash расширения Extension MATLAB и
Extension Simulink а также комплексы пакетов расширения Blockset и
Toolbox
Раздел MATLAB Extension содержит средства для подготовки ис-
полняемых приложений MATLAB (с подключаемыми библиотеками и
без них)
Раздел Toolbox (инструментальные средства) содержит самое
большое число пакетов расширений системы MATLAB такие как
laquoControl systemraquo laquoDatabaseraquo laquoFuzzy logicraquo laquoWaveletraquo и тд
В разделе Blockset расположено несколько пакетов относящихся к
главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink такие как
laquoDSPraquo laquoFixed-Pointraquo laquoNonlinear control designraquo и laquoPower systemsraquo
В разделе Extension Simulink имеется ряд средств предназначен-
ных для моделирования в реальном масштабе времени и событийно-
управляемом моделировании
36
5 Построение частотных характеристик в MATLAB В пакете MATLAB ЛЧХ объекта заданного с помощью ПФ
можно получить командой bode
Пример
gtgt w=tf([1 2][3 4 5])
gtgt bode(w)
Для нескольких вариантов передаточной функции можно исполь-
зовать вариант команды вида
gtgt bode(ww1w2)
Например построим диаграмму Боде при различных параметрах
колебательного звена (рис 1)
gtgt w=tf([1][2 03 1])
gtgt w1=tf([1][2 05 1])
gtgt w2=tf([1][2 01 1])
gtgt bode(ww1w2)
Рис 1 ЛЧХ колебательного звена
6 Задание на лабораторную работу
С помощью пакета MATLAB построить ЛЧХ каждого типового
звена Определить влияние коэффициентов входящих в описание
каждого звена на параметры ЛАЧХ и ЛФЧХ Вариант задания назна-
чается преподавателем
37
7 Методика выполнения задания
Порядок выполнения работы
1 Задать передаточную функцию типового динамического звена
используя параметры из табл 2 лабораторной работы 1
2 Построить диаграмму Боде при различных параметрах типо-
вого динамического звена
3 Определить влияние коэффициентов входящих в описание
каждого звена на параметры ЛАЧХ и ЛФЧХ в том числе
ndash как меняется ширина асимптотических участков ЛАЧХ и
ЛФЧХ
ndash как меняется положение точек пересечения осей ЛАЧХ
4 Написать вывод по влиянию коэффициентов на типовое звено
5 Выполнить пункты 1-4 для всех типовых звеньев
6 Подготовить ответы на контрольные вопросы
8 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) титульный лист
б) краткие теоретические сведения
в) передаточные функции и схемы моделирования исследуемых
звеньев
г) экспериментально полученные характеристики при вариации
параметров каждого звена
д) выводы обобщающие проделанные эксперименты по каждо-
му звену
ж) ответы на контрольные вопросы
Контрольные вопросы
1 Как пользуясь частотными характеристиками определить па-
раметры (коэффициенты передаточной функции) звена Пояс-
нить на конкретных примерах
2 Указать особенности построения ЛАХ и ЛФХ динамических
звеньев Что понимается под асимптотической ЛАХ звена
3 Как осуществляется построение АФХ динамического звена
38
Лабораторная работа 4
ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ СИСТЕМ
С ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ
1 Цель работы
Изучение особенностей практического использования алгебраи-
ческих и частотных критериев устойчивости для анализа динамики
линейных САУ с использованием автоматизированных средств моде-
лирования на ПК ndash MATLAB SIMULINK
2 Задачи работы
ndash Закрепление углубление и расширение знаний студентов при
исследовании устойчивости систем с обратной связью
ndash Приобретение умений и навыков работы с программой мате-
матического моделирования MATLAB
ndash Овладение новыми методами проверки устойчивости систем
с обратной связью
ndash Выработка способности логического мышления осмысления
полученных данных
3 Теоретическая часть
Устойчивость САУ является одним из основных условий ее ра-
ботоспособности и включает требование затухания во времени пере-
ходных процессов
Система является устойчивой если при ограниченном входном
сигнале еѐ выходной сигнал также является ограниченным Если
система устойчива то она противостоит внешним воздействиям а
выведенная из состояния равновесия возвращается снова к нему
Система с расходящимся переходным процессом будет неустойчивой и
неработоспособной
Необходимое и достаточное условие устойчивости заключается в
том чтобы все корни характеристического уравнения (полюсы пере-
даточной функции системы) имели отрицательные вещественные ча-
сти Иначе говоря условием устойчивости системы является распо-
ложение всех полюсов в левой комплексной полуплоскости Тогда все
полюсы будут давать затухающую реакцию
Выше сформулированное условие устойчивости справедливо как
39
для линейных так и для линеаризованных систем Однако в случае
нулевых или чисто мнимых корней характеристического уравнения
вопрос об устойчивости линеаризованной системы может быть ре-
шен только на основании исследования ее нелинейных уравнений
В конце XIX и первой половине XX в задача вычисления корней
характеристического уравнения высокого порядка вызывала боль-
шие проблемы Поэтому были предложены несколько косвенных
методов оценки устойчивости позволяющих обойтись без вычисле-
ния корней ndash по значениям коэффициентов характеристического
уравнения
Критерии устойчивости разделяют на алгебраические и частот-
ные В частности к алгебраическим критериям относится критерий
Гурвица к частотным критериям ndash критерий Найквиста
Критерий Гурвица является алгебраическим критерием и при-
меняется к коэффициентам характеристического уравнения замкнутой
системы
Пусть имеется характеристическое уравнение замкнутой
системы
0011
1 apapapa n
nn
n
Из коэффициентов характеристического уравнения составляют
матрицу по правилу
1 По диагонали записываются коэффициенты от 1na до 0a
2 Каждая строка дополняется коэффициентами с возрастающи-
ми индексами слева направо так чтобы чередовались строки с нечет-
ными и четными индексами
3 В случае отсутствия индекса а также если он меньше 0 или
больше п на его место пишется 0
Таким образом матрица Гурвица приобретает следующий вид
40
Критерий устойчивости формулируется так
Чтобы система была устойчивой необходимо и достаточно что-
бы при 0na были положительными все п диагональных определи-
телей получаемых из матрицы Гурвица
Первые три определителя матрицы Гурвица имеют следующий
вид
Таким образом критерий Гурвица позволяет судить об абсо-
лютной устойчивости но он не дает возможности оценивать относи-
тельную устойчивость по корням характеристического уравнения
Частотный критерий устойчивости Найквиста анализирует
АФЧХ разомкнутой системы
Пусть имеется АФЧХ разомкнутой системы W(jω)
Для нахождения вещественной и мнимой части частотной ха-
рактеристики нужно освободиться от мнимости в знаменателе путем
умножения числителя и знаменателя на комплексную величину со-
пряженную знаменателю а затем выполнить разделение на веще-
ственную и мнимую части W(jω) приобретает вид
)()()( jQPjW
Задаваясь различными значениями частоты можно найти мно-
жество пар )()( 11 jQP )()( 22 jQP )()( nn jQP
Затем по этим парам строится АФЧХ на комплексной плоскости
Основные свойства АФЧХ разомкнутой системы
1 Если разомкнутая система не имеет интегрирующих звеньев
то при ω = 0 ее АФЧХ начинается на вещественной оси в точке
Р(ω)=К (где К ndash коэффициент усиления разомкнутой системы) За-
канчивается АФЧХ в начале координат при ω rarr infin (рис 1 а)
2 Если разомкнутая система имеет одно интегрирующее звено то
ее АФЧХ начинается при ω = 0 в бесконечности на отрицательной мни-
мой полуоси а заканчивается в начале координат при ω rarr infin (рис 1 б)
41
Рис 1 АФЧХ разомкнутой системы
Критерий устойчивости Найквиста формулируется так
1 Если разомкнутая система устойчива или находится на гра-
нице устойчивости то для того чтобы замкнутая система была
устойчива необходимо и достаточно чтобы АФЧХ разомкнутой
системы при изменении частоты ω от 0 до infin не охватывала точку с ко-
ординатами (-1 j0)
2 Если разомкнутая система неустойчива а ее передаточная
функция имеет т полюсов справа от мнимой оси на комплексной
плоскости то для устойчивости замкнутой системы необходимо и до-
статочно чтобы АФЧХ разомкнутой системы при изменении частоты
ω от -infin до +infin охватывала т раз точку с координатами (-1 j0)
При использовании этого критерия нужно учитывать две
особенности
1 Если разомкнутая система находится на границе устойчиво-
сти то ее АФЧХ уходит в бесконечность Для проверки критерия Най-
квиста нужно мысленно соединить конец АФЧХ дугой бесконечно
большого радиуса с положительной вещественной полуосью
2 На практике АФЧХ может строиться только для положитель-
ных частот (0 lt ω lt +infin) При применении критерия Найквиста счита-
ется что ветвь АФЧХ для отрицательных частот симметрична отно-
сительно вещественной оси
Физический смысл критерия устойчивости Найквиста заключа-
ется в том что система будет неустойчива если фаза выходного сиг-
нала противоположна фазе входного сигнала а коэффициент усиле-
ния больше 1 Поэтому для анализа устойчивости можно использо-
вать не АФЧХ а ЛАХ системы (для минимально-фазовых систем)
Система устойчива если на частоте среза значение фазы не превы-
шает -π Соответственно для устойчивой системы можно рассматри-
вать на ЛФЧХ запас устойчивости по фазе ndash расстояние от значения
фазы на частоте среза до уровня -π и запас устойчивости по амплиту-
42
де ndash расстояние от оси частот ЛАЧХ до значения усиления на часто-
те где фаза становится равной -π
4 Краткое описание MATLAB
Лабораторная работа выполняется в программе математического
моделирования MATLAB Программа MATLAB включает в себя пакет
прикладных программ для решения технических задач и одноименный
язык программирования используемый в этом пакете
Основными компонентами системы являются базовая система
MATLAB и пакет моделирования систем Simulink Остальные пакеты
расширения разбиты на 4 категории ndash расширения Extension MATLAB и
Extension Simulink а также комплексы пакетов расширения Blockset и
Toolbox
Раздел MATLAB Extension содержит средства для подготовки ис-
полняемых приложений MATLAB (с подключаемыми библиотеками и
без них)
Раздел Toolbox (инструментальные средства) содержит самое
большое число пакетов расширений системы MATLAB такие как
laquoControl systemraquo laquoDatabaseraquo laquoFuzzy logicraquo laquoWaveletraquo и тд
В разделе Blockset расположено несколько пакетов относящихся к
главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink такие как
laquoDSPraquo laquoFixed-Pointraquo laquoNonlinear control designraquo и laquoPower systemsraquo
В разделе Extension Simulink имеется ряд средств предназначен-
ных для моделирования в реальном масштабе времени и событийно-
управляемом моделировании
5 Исследование устойчивости САУ в MATLAB
Для проверки устойчивости САУ по Гурвицу постройте матрицу
Гурвица и найдите ее детерминант (функция det) Затем последова-
тельно уменьшая размер матрицы найдите значения всех диагональ-
ных детерминантов Пример
gtgt А=[1 14 18 2 5 2 3 4 3]
А =
1 14 18
2 5 2
3 4 3
gtgt det(A)
ans = -119
43
gtgt А1=А(12 12)
А1 =
1 14
2 5
gtgt det(A1)
ans = -23
Для проверки устойчивости САУ по Найквисту сначала нужно
выяснить является ли устойчивой разомкнутая система
Пример Пусть дана передаточная функция разомкнутой
системы
13232
12234
pppp
pW
Рассмотрим реакцию на скачок
gtgt w=tf([2 1][2 3 2 3 1])
gtgt step(w18)
График переходного процесса показан на рис 2
Рис 2 Переходная реакция
Разомкнутая система неустойчива и согласно критерию Найкви-
ста надо чтобы АФЧХ разомкнутой системы охватывала точку (-1 j0)
44
столько раз сколько полюсов имеется справа от мнимой оси Для по-
строения АФЧХ достаточно вызвать команду nyquist
gtgt nyquist(w)
Диаграмма Найквиста показана на рис 3
Рис 3 Диаграмма Найквиста для неустойчивой системы
Как показывает рис3 АФЧХ ни разу не охватывает точку
(-1 j0) поэтому замкнутая система будет неустойчивой Частотный
критерий Найквиста можно использовать и в том случае когда рас-
сматривается не АФЧХ а ЛАЧХ разомкнутой системы замкнутая
минимально-фазовая система устойчива если при достижении ЛФЧХ
значения -π ЛАЧХ будет отрицательной
Используя ЛАЧХ и ЛФЧХ можно оценить запасы устойчивости
системы по амплитуде и по фазе с помощью команды
gtgt margin(w)
Пример
gtgt w=tf([10][2 2 3 1])
gtgt margin(w)
Соответствующий график показан на рис 4
45
Рис 4 Определение запасов устойчивости по амплитуде и по фазе
6 Задание на лабораторную работу
Выполнить исследование устойчивости замкнутой системы по за-
данной передаточной функции разомкнутой системы Определить запас
устойчивости по амплитуде и по фазе Вариант задания назначается
преподавателем
7 Методика выполнения задания
Порядок выполнения работы
1 Рассчитать передаточную функцию замкнутой системы по
приведенной в табл 1 разомкнутой системе
2 Определить устойчивость замкнутой системы используя кри-
терий Гурвица
3 Определить устойчивость замкнутой системы используя кри-
терий Найквиста
4 Определить запас устойчивости по амплитуде и по фазе ис-
пользуя ЛАЧХ и ЛФЧХ
5 Выполнить моделирование переходных процессов разомкну-
той и замкнутой систем
6 Подготовить ответы на контрольные вопросы
46
Таблица 1
Варианты заданий
Передаточная функция разомкнутой системы
1 1355
2234
ssss
W
2 110050
1234
ssss
W
3 11010
123
sss
W
4 122105
100234
ssss
W
5 1248
123
sss
W
6 1223
102345
sssss
W
7 11001010
323
sss
W
8 122
1023
sss
W
9 11010
123
sss
W
10 15050332
102345
sssss
W
8 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) титульный лист
б) краткие теоретические сведения
в) переходную функцию разомкнутой системы
г) расчет передаточной функции замкнутой системы
д) расчетные выражения для обоснования устойчивости замкну-
той системы по алгебраическому критерию Гурвица
е) годограф Найквиста разомкнутой системы на основании кото-
рого делается вывод об устойчивости замкнутой системы
ѐ) переходную функцию замкнутой системы
ж) проверку полученных результатов путем компьютерного моде-
лирования переходных процессов разомкнутой и замкнутой си-
стемы в MATLAB Simulink
з) выводы по всем полученным результатам
47
Контрольные вопросы
1 Как связана устойчивость линейной САУ с видом составля-
ющих ее свободного движения
2 Зависит ли устойчивость линейных САУ от амплитуды зада-
ющих воздействий или возмущений
3 Сформулируйте критерий устойчивости Гурвица укажите на
необходимое условие устойчивости линейных САУ вытекаю-
щее из этого критерия
4 Сформулируйте критерий Найквиста для случая САУ устой-
чивых в разомкнутом состоянии а также для астатических САУ
Что такое laquoзапасы устойчивости по фазе и по амплитудеraquo
5 Что называется структурной устойчивостью
48
Лабораторная работа 5
КОРРЕКЦИЯ СТАТИЧЕСКИХ И ДИНАМИЧЕСКИХ
СВОЙСТВ САУ
1 Цель работы
Целью работы является изучение способов обеспечения иско-
мых характеристик САУ с использованием автоматизированных
средств моделирования на ПК ndash MATLAB SIMULINK
2 Задачи работы
ndash Закрепление углубление и расширение знаний студентов при
обеспечении искомых характеристик САУ
ndash Приобретение умений по обеспечению точности (уменьшение
статической ошибки) САУ и выбору значений параметров регулято-
ра обеспечивающих желаемые динамические свойства САУ
ndash Приобретение умений и навыков работы с программой мате-
матического моделирования MATLAB
3 Теоретическая часть
Коррекция статических и динамических свойств САУ имеет
своей целью повышение статической и динамической точности отра-
ботки системой задающего воздействия (или парирование возмуща-
ющего воздействия) повышение запасов ее устойчивости Наиболее
распространенными способами коррекции свойств САУ является из-
менение коэффициента усиления ее разомкнутой части введение в
САУ новых звеньев (как правило интегрирующего или дифференци-
рующего типа) охват объекта управления местной обратной связью
31 Коррекция статических свойств САУ
Статические свойства системы определяются величиной устано-
вившейся ошибки )t(уст вызванной действием задающего воздей-
ствия и определяемой по формуле
22
210 2 dttgdcdttdgctgctуст (1)
где )(tg - входное воздействие 210 ccc - коэффициенты ошибок
Коэффициенты ошибок определяются по формулам
49
dssdcdssdcscs
mmmss 00100
где s - передаточная функция САУ по ошибке управления рав-
ная
sW
sраз
1
1
sWраз - передаточная функция разомкнутой САУ
Основными способами уменьшения статической ошибки систе-
мы являются
1) увеличение коэффициента усиления прямого тракта системы
2) введение в прямой тракт системы интегрирующих звеньев
3) охват объекта управления местной неединичной положитель-
ной обратной связью
Представим структурную схему системы в виде изображенном
на рис 1 где через sW обозначена передаточная функция неизме-
няемой части системы
bsbsb
asasasW
nn
nn
mm
mm
01
1
01
1
Здесь и далее полагается что KKKsW s 000 0 ndash из-
меняемый коэффициент усиления регулятора системы
Первые два коэффициента ошибок 0c и 1c определяется выраже-
ниями
KK
c0
01
1
(2)
KK
dssdWKc
s
20
01
1
(3)
Из (2) и (3) с учетом (1) вытекает что с увеличением K
статическая ошибка в системе уменьшается и наоборот с уменьше-
нием K статическая ошибка в системе увеличивается
Введем в прямой тракт системы одно интегрирующее звено
50
(рис 2) В этом случае c 00 01 1 KKc
Так как c 00 то система на рис 2 является астатической (с
астатизмом первого порядка) Система имеет нулевую статическую
ошибку при отработке постоянного задающего воздействия
consttg и постоянную обратно пропорциональную K ошибку
constуст при отработке линейно изменяющегося воздействия
tatg
Рис 1 Схема САУ Рис 2 Схема САУ с включенным в прямой
тракт интегрирующим звеном
Охватим неизменяемую часть системы sW местной нееди-
ничной положительной обратной связью с коэффициентом усиления
осK (рис 3) Тогда эквивалентная передаточная функция sWэкв
неизменяемой части системы равна
10011
01
1
aKbsaKbsaKbsb
asasa
sWK
sWsW
ососm
mосmn
n
mm
mm
осэкв
(4)
Если коэффициент усиления K выбрать из условия
a
bKос
0
0
то свободный коэффициент (b0 - Koca0) полинома знаменателя sWэкв
обратится в нуль и sWэкв приобретает интегрирующие свойства
11
11
0
1
1
aKbsaKbsbs
asasasW
ос
m
mосm
n
n
m
m
m
mэкв
g(t) y(t)ε(t)
K W(s)-
g(t) y(t)
Ks W(s)-
ε(t)
51
Следовательно замкнутая система становится астатической (с
астатизмом 1-го порядка) Отсюда 0c =0 а коэффициент 1c будет
равен
aKb
bc
ос 11
01
ε(t)g(t) y(t)
W(s)-
Kос
Wэкв(s)
+
Рис 3 Схема САУ с местной неединичной обратной связью
32 Коррекция динамических свойств САУ
Улучшение динамических свойств САУ заключается в увеличе-
нии быстродействия САУ (уменьшении времени регулирования tрег)
уменьшении перерегулирования (см рис 4) а также увеличении
запасов устойчивости по фазе и по модулю При этом
h
hh
уст
устmax100
где maxh - максимальное значение переходной характеристики за-
мкнутой САУ th
устh - установившееся значение th
Время регулирования tрег - минимальная величина при которой удо-
влетворяется условие
устрег hth
где - заданная величина ошибки (обычно =005 устh )
52
h(t)
tрег
hустhmax
2δ
Рис 4 Быстродействие и перерегулирование САУ
Одним из эффективных средств достижения этой цели является
уменьшение отрицательных фазовых сдвигов в прямом тракте систе-
мы путем охвата неизменяемой части системы местными отрицатель-
ными обратными связями
На рис 5 R(s) представляет собой передаточную функцию регу-
лятора САУ которая считается заданной
ε(t)g(t) y(t)
W(s)-
Kос
Wэкв(s)
-
R(s)
u(t)
Рис 5 Схема САУ с местной обратной связью и регулятором
Пусть неизменяемая часть системы представляет собой аперио-
дическое звено первого порядка те
sT
K)s(W
10
0
Тогда передаточная функция sWэкв эквивалентного объекта
управления равна
sT
K
sWK
sWsW
экв
экв
осэкв
11
где зквK и эквT - коэффициент усиления и постоянная времени
эквивалентного объекта равные
53
KK
KK
осэкв
0
0
1
KK
TT
осэкв
0
0
1 (5)
Из (5) следует что соответствующим выбором осK постоянную
времени эквT эквивалентного объекта можно уменьшить в (1+ 0KKос )
раз по сравнении с постоянной времени 0T объекта без местной об-
ратной связи Тем самым уменьшаются отрицательные фазовые сдви-
ги вносимые прямым трактом системы что приводит к увеличению
запасов устойчивости системы При этом однако уменьшается в
(1+ 0KKос ) раз коэффициент усиления эквK эквивалентного объекта
по сравнению с коэффициентом усиления 0K объекта без местной
обратной связи Это нежелательно так как приводит к уменьшению
быстродействия системы вследствие уменьшения общего коэффици-
ента усиления прямого тракта системы В этом случае с целью обес-
печения необходимого быстродействия системы увеличивают коэф-
фициент усиления регулятора
4 Краткое описание MATLAB
Лабораторная работа выполняется в программе математического
моделирования MATLAB Программа MATLAB включает в себя пакет
прикладных программ для решения технических задач и одноименный
язык программирования используемый в этом пакете
Основными компонентами системы являются базовая система
MATLAB и пакет моделирования систем Simulink Остальные пакеты
расширения разбиты на 4 категории ndash расширения Extension MATLAB и
Extension Simulink а также комплексы пакетов расширения Blockset и
Toolbox
Раздел MATLAB Extension содержит средства для подготовки ис-
полняемых приложений MATLAB (с подключаемыми библиотеками и
без них)
Раздел Toolbox (инструментальные средства) содержит самое
большое число пакетов расширений системы MATLAB такие как
laquoControl systemraquo laquoDatabaseraquo laquoFuzzy logicraquo laquoWaveletraquo и тд
54
В разделе Blockset расположено несколько пакетов относящихся к
главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink такие как
laquoDSPraquo laquoFixed-Pointraquo laquoNonlinear control designraquo и laquoPower systemsraquo
В разделе Extension Simulink имеется ряд средств предназначен-
ных для моделирования в реальном масштабе времени и событийно-
управляемом моделировании
5 Задание на лабораторную работу
Выполнить исследование способов коррекции статических и
динамических свойств САУ Определить время регулирования и пе-
ререгулирования в исходной и скорректированной системах а также
для динамических свойств САУ определить запасы устойчивости в
исходной системе и найти экспериментально значение Kос обеспечи-
вающее в системе заданные показатели качества и запасы устойчиво-
сти Вариант задания назначается преподавателем
Таблица 1
Варианты заданий
варианта
Параметры
1
2
3
4
5
6
7
8
a 05 10 15 20 25 30 35 40
K0 1 2 3 4 5 6 7 8
T c 03 04 05 06 07 08 09 10
ξ 06 07 08 08 07 09 05 04
уст 0 0 005 0 010 007 0 0
tрег c le 13 15 20 25 30 35 40 40
le 0 10 10 5 5 5 0 0
В качестве исходных САУ выступают системы изображенные
на рис 6 и 7
55
ε(t)g(t) y(t)
W(s)-
g(t) y(t)
R(s) W(s)-
ε(t) u(t)
Рис 6 САУ с отрицательной Рис 7 САУ с отрицательной обратной
обратной связью связью и регулятором
6 Методика выполнения задания
При исследовании способов коррекции статических свойств
САУ в качестве исходных данных выступает передаточная функция
sW неизменяемой части системы вида
1222
0
sTsT
KsW (6)
и задающие воздействия вида ttg 1 в соответствии с таблицей 1
В процессе выполнения этой части работы необходимо
1) путем моделирования в системе MATLAB исходной САУ
(рис 6) получить графики ttytg
2) сравнить полученную таким образом экспериментальную ве-
личину t с теоретической величиной вычисленной по формуле (1)
3) применяя описанные в теоретической части методических
указаний способы коррекции статических свойств (см п 31) обес-
печить требуемую статическую ошибку εуст системы при отработке
задающего воздействия ttg 1
4) получить графики ty и t в скорректированной системе
для 1 ttg
5) сравнить время регулирования регt и перерегулирование в
исходной и скорректированной системах при 1 ttg
При исследовании рассмотренного способа коррекции динами-
ческих свойств САУ (см п 32) в качестве исходных данных высту-
пают передаточная функция sW неизменяемой части системы
вида (6) и передаточная функция регулятора вида
s
KsR
рег
56
Задающее воздействие ttg 1
В процессе выполнения данной части работы необходимо
1) получить путем моделирования в MATLAB графики ty t
в системе (рис 7)
2) определить время регулирования регt и перерегулирование
а также запасы устойчивости в исходной системе
3) применяя описанный выше способ коррекции динамических
свойств САУ найти экспериментально (путем последовательного пе-
ребора) значение осK обеспечивающее в системе заданные заданием
показатели качества ( регt ) и запасы устойчивости (при необхо-
димости увеличить коэффициент регK )
4) получить графики ty t а также ЛАХ и ЛФХ разомкну-
той системы в скорректированной САУ
7 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) титульный лист
б) структурные схемы исследуемых систем
в) полученные графики и характеристики
г) значения полученные экмпериментально которые
обеспечивают заданные показатели качества и запасы устойчивости
д) выводы обощающие проделанные эксперименты для
коррекции статических и динамических свойств САУ
е) ответы на контрольные вопросы
Контрольные вопросы 1 Дать определение статической и астатической САУ
2 Какими структурными свойствами системы определяется по-
рядок ее астатизма
3 Какой из двух приведенных выше способов придания системе
свойств астатизма 1-го порядка наиболее предпочтителен на
практике
4 Назовите основные показатели качества САУ Поясните их
смысл
5 В чѐм суть исследуемого способа коррекции динамических
свойств САУ
57
6 Назвать другие способы коррекции динамических свойств
САУ
7 Чем вызваны отрицательные фазовые сдвиги в неизменяемой
части САУ
58
Лабораторная работа 6
МЕТОД КОРНЕВОГО ГОДОГРАФА
1 Цель работы
Целью работы является построение корневого годографа и ис-
следование динамики системы с использованием автоматизирован-
ных средств моделирования на ПК ndash MATLABSIMULINK
2 Задачи работы
ndash Закрепление углубление и расширение знаний студентов при
исследование динамики системы
ndash Овладение навыком построения корневого годографа
ndash Приобретение умений и навыков работы с программой мате-
матического моделирования MATLAB
3 Теоретическая часть
Корневым годографом (КГ) называется совокупность траекто-
рий перемещения всех корней характеристического уравнения за-
мкнутой системы при изменении какого-либо параметра этой систе-
мы
Обычно метод КГ позволяет находить полюса и нули ПФ за-
мкнутой системы располагая полюсами и нулями разомкнутой си-
стемы при изменении коэффициента усиления разомкнутой системы
K
ПФ разомкнутой системы Wp(s) представим в следующем виде
)(
)(
1
1
0
n
ii
m
jj
p
ss
ssKC
sW (1)
где 0js ndash нули ПФ sWp )1( mj
is ndash полюса ПФ sWp
)1( nj n и m ndash порядки знаменателя и числителя C ndash коэффици-
ент представления (отношение коэффициентов при старших членах
числителя и знаменателя)
59
При замыкании системы с ПФ sWp единичной отрицатель-
ной обратной связью ПФ замкнутой системы sWз принимает вид
)(1
)(
sW
sWsW
p
pз
(2)
Из выражения (2) следует что нули ПФ замкнутой системы рав-
ны нулям ПФ разомкнутой системы
Для нахождения полюсов рассмотри выражение
01 sWp (3)
в соответствии с выражением (1) имеем
n
i
m
jjin
ii
m
jj
ssKCss
ss
ssKC
1 1
0
1
1
0
)()(01
)(
)(
(4)
На основании выражения (4) можно сказать что при K = 0 корни
характеристического уравнения совпадают с полюсами а при K = infin ndash
с нулями При изменении K от 0 до infin траектории корней начинаются
в полюсах и заканчиваются в нулях Обычно полюсов больше чем
нулей В этом случаем mn ветвей корневого годографа стремятся к
infin
Для определения полюсов замкнутой системы с отрицательной
обратной связью необходимо решить уравнение (его называют ос-
новным уравнением метода КГ)
1sWp (5)
Так как sWp является функцией комплексного переменного
s то уравнение (5) распадается на два уравнения уравнение модулей
1)( sWp (6)
60
и уравнение аргументов (фаза вектора -1 есть нечетное число π)
210)12()(arg sWp (7)
Как известно при умножении комплексных чисел их аргументы
складываются а при делении ndash вычитаются Поэтому исходя из вы-
ражения (1) уравнение (7) имеет наглядный геометрический смысл
Пусть точка s ndash полюс замкнутой системы Если провести в s
вектора из нулей sWp (обозначим аргументы этих векторов 0j ) и
вектора из всех полюсов sWp (обозначим аргументы этих векторов
i ) то уравнение (7) можно записать в следующем виде
m
j
n
iij
1 1
0 210)12( (8)
Углы q отсчитываются от положительного направления дей-
ствительной оси Знак угла laquo+raquo соответствует повороту против часо-
вой стрелки знак угла laquo-raquo соответствует повороту по часовой стрел-
ке
Таким образом любая точка КГ должна удовлетворять уравне-
нию (8) из которого следует что конфигурация КГ не зависит от ко-
эффициента усиления K но каждому конкретному значению K одно-
значно соответствуют точки на КГ
При умножении комплексных чисел их модули перемножаются
а при делении ndash делятся Поэтому на основании (6) можно записать
1
1
1
0
n
ii
m
jj
l
lKC
(9)
где 0jl ndash модуль (длина) вектора проведенного из j-нуля в точку s
КГ il ndash модуль вектора проведенного из i-полюса в ту же точку s
61
Таким образом траектории корней строятся только по уравне-
ниям фаз а уравнение модулей используется затем для нахождения
K
Сущность метода КГ заключается в том чтобы узнать каким
должен быть коэффициент усиления разомкнутой системы чтобы
было обеспечено желаемое положение корней замкнутой системы
Корневой годограф системы с отрицательной обратной связью
обладает следующими основными свойствами
1 Ветви КГ непрерывны и расположены на комплексной плос-
кости симметрично относительно действительной оси
2 Число ветвей КГ равно порядку системы n Ветви начинают-
ся в n полюсах разомкнутой системы при K=0 При возрастании K от
0 до infin полюса замкнутой системы двигаются по ветвям КГ
3 mветвей КГ при возрастании K от 0 до infin заканчиваются в m
нулях )(sWp а )( mn ветвей при K стремящемся к infin удаляются
от полюсов вдоль асимптот
4 При расположении ветвей корневого годографа в левой полу-
плоскости s САУ устойчива При пересечении ветвей КГ мнимой оси
слева направо САУ становится неустойчивой Пусть при K=Kкр
пере-
сечение КГ с мнимой осью произойдет в некоторой точке iωкр
Назо-
вем это значение коэффициента усиления критическим Kкр
а вели-
чину iωкр
критической угловой частотой на которой система стано-
вится неустойчивой
4 Краткое описание MATLAB
Лабораторная работа выполняется в программе математического
моделирования MATLAB Программа MATLAB включает в себя пакет
прикладных программ для решения технических задач и одноименный
язык программирования используемый в этом пакете
Основными компонентами системы являются базовая система
MATLAB и пакет моделирования систем Simulink Остальные пакеты
расширения разбиты на 4 категории ndash расширения Extension MATLAB и
Extension Simulink а также комплексы пакетов расширения Blockset и
Toolbox
Раздел MATLAB Extension содержит средства для подготовки ис-
полняемых приложений MATLAB (с подключаемыми библиотеками и
без них)
62
Раздел Toolbox (инструментальные средства) содержит самое
большое число пакетов расширений системы MATLAB такие как
laquoControl systemraquo laquoDatabaseraquo laquoFuzzy logicraquo laquoWaveletraquo и тд
В разделе Blockset расположено несколько пакетов относящихся к
главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink такие как
laquoDSPraquo laquoFixed-Pointraquo laquoNonlinear control designraquo и laquoPower systemsraquo
В разделе Extension Simulink имеется ряд средств предназначен-
ных для моделирования в реальном масштабе времени и событийно-
управляемом моделировании
5 Корневой годограф в MATLAB
В системе MATLAB существует команда zpk для преобразова-
ния модели заданной ПФ в модель заданную нулями полюсами и
обобщенными коэффициентами передачи (zpk-форма)
Пример
gtgt w=tf([10][2 2 3 1 0])
Transfer function
10
-------------------------------
2 s^4 + 2 s^3 + 3 s^2 + s
gtgt w1=zpk(w)
Zeropolegain
5
----------------------------------------------
s (s+03966) (s^2 + 06034s + 1261)
Для работы с корневым годографом удобно использовать гра-
фический интерфейс laquoSISO-Design Toolraquo предназначенный для ана-
лиза и синтеза одномерных линейных систем автоматического управ-
ления (SISO ndash Single Input Signal Output)
Запуск SISO-Design Tool осуществляется командой
gtgt sisotool
63
В появившемся окне графического интерфейса необходимо ис-
пользовать команду laquoFileImportraquo для загрузки данных из рабочего
пространства MATLAB в результате которой появляется диалоговое
окно Import System Data (рис 1)
Рис 1 Диалог для ввода параметров модели
После импортирования данных можно исследовать изменение
временных и частотных характеристик замкнутой системы при изме-
нении K Обычно при этом требуется определить условия неустойчи-
вости замкнутой САУ Определить Kкр
и iωкр
На рис 2 показано окно sisotool для описанной выше модели w1
Двигая красным курсором по КГ до пересечения ветвей с мнимой
осью можно определить значения Kкр
В данном случае Kкр
asymp 01
Значение iωкр
соответствует мнимой координате пересечения КГ
мнимой оси Просмотреть это значение можно в нижней части ин-
терфейса или выбрать меню laquoView Closed-Loop Polesraquo
64
Рис 2 Основное окно SISO-Design Tool
6 Задание на лабораторную работу
Построить КГ в соответствии с вариантом из табл 1 при помо-
щи графического интерфейса sisotool
Исследовать динамику замкнутой системы при различных зна-
чениях коэффициента усиления разомкнутой системы K в том числе
ndash запасы устойчивости в частотной области
ndash параметры переходного процесса во временной области
Таблица 1
Варианты передаточных функций
Значения параметров Передаточная функция
разомкнутой системы
1 T = 01 ζ = 1
)12( 22 sTsTs
K
2 T = 005 ζ = 0707
3 T = 003 ζ = 01
4 T = 008 ζ = 05
5 T = 001 ζ = 015
65
Окончание табл 1
Значения параметров Передаточная функция
разомкнутой системы
6 T1 = 003 T2 = 05 T3 = 01 T4 = 005
)1)(1)(1(
)1(
432
1
sTsTsTs
sTK
7 T1 = 005 T2 = 04 T3 = 008 T4 = 0033
8 T1 = 02 T2 = 045 T3 = 01 T4 = 005
9 T1 = 05 T2 = 025 T3 = 01 T4 = 002
10 T1 = 01 T2 = 025 T3 = 01 T4 = 005
Вариант задания назначается преподавателем
7 Методика выполнения задания
Порядок выполнения лабораторной работы
1 Задать передаточную функцию в MATLAB в соответствии с
вариантом коэффициент K задать любым положительным числом
2 Запустить SISO-Design Tool и осуществить ввод данных
Построить КГ
3 По КГ определить значения коэффициента K когда система
будет устойчивой на границе устойчивости и неустойчива
4 Выбрать значение коэффициента K таким образом чтобы си-
стемы была устойчива и определить запас устойчивости в частотной
области и параметры переходного процесса во временной области
8 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) титульный лист
б) передаточную функцию и этапы построения КГ
в) анализ результатов построения КГ
г) выводы по проделанной работе
д) ответы на контрольные вопросы
Контрольные вопросы 1 Дать определение КГ
2 Что обычно позволяет находить метод КГ
3 В чем заключается сущность метода КГ
4 Что можно определить по КГ
66
Критерии результативности лабораторного практикума
Лабораторная работа считается выполненной если студент
ndash выполнил все указанные задания
ndash представил отчет соответствующий всем требованиям к его
содержанию и оформлению
ndash владеет терминологией и материалом лабораторной работы
ndash способен использовать программное средство математическо-
го моделирования MATLAB
ndash способен предоставить и рассказать результаты выполненной
работы на ПК
ndash может дать пояснения к отчету и ответить на контрольные
вопросы
Список литературы
1 Александров АГ Частотная теория автоматического управле-
ния учебное пособие ndash Электросталь ЭПИ МИСиС 2010
2 Борисевич АВ Теория автоматического управления элементар-
ное введение с применением MATLAB ndash СПб Изд-во Политехн ун-
та 2011
3 Федоров ВЛ Бубнов АВ Теория автоматического управления
учебное пособие ndash Омск Изд-во ОмГТУ 2010
4 Павловская ОО Чернецкая ИВ Теория автоматического
управления учебное пособие ndash Челябинск Изд-во ЮУрГУ 2010
67
Составители ЛЯНЦЕВ Олег Дмитриевич КАЗАНЦЕВ Андрей Валерьевич
ИССЛЕДОВАНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК СИСТЕМ
АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
Лабораторный практикум
по дисциплине
laquoТеория управленияraquo
Подписано в печать Формат 60х84 116 Бумага офсетная Пе-
чать плоская Гарнитура Times New Roman Усл печ л 56 Уч-изд л
55 Тираж 100 экз Заказ
ФГБОУ ВПО Уфимский государственный авиационный технический
университет
Центр оперативной полиграфии УГАТУ
450000 Уфа-центр ул К Маркса 12
29
Таблица 2
Варианты структур САУ
Исходная схема
Передаточные
функции
1 W1
W3
W2
-
+
-
+
u y
+
1
31
sW
2
442
s
sW
12
133
s
sW
2 W1
W3
W2
-
+
-
+
u y
+ +
3 W3
W2
W1
-
+
-
+
u y
+ +
4 W3
W1
W2
+
+
-
+
u y
+ +
1
21
sW
2
12
sW
12
13
s
sW
5
W1
W3
W2
-
+
-
+
u y
+ +
6
W1
W3
W2
-
+
-
+
u y
+
62
31
sW
2
52
sW
1
23
s
sW
7
W1
W3
W2
-
+
-
+
u y
+ +
8
W1
W2
W3
-
+
-
+
u y
+ +
30
8 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) описание всех этапов преобразования исходной схемы и по-
лучающихся промежуточных результатов выполненными тремя спо-
собами моделирование реакции схемы на типовое воздействие (ска-
чок) до и после преобразования
б) сигнальный граф системы описание путей контуров расчет
ПФ по формуле Мейсона
в) решение составленной системы уравнений
г) схема модели и протокол команд MATLAB
д) графики переходных процессов при подаче на вход исходной
и эквивалентной схемы типовых тестирующих воздействий (скачок
импульс)
е) ответы на контрольные вопросы
Контрольные вопросы
1 Что называется структурной схемой Какие задачи можно
решить с еѐ помощью
2 Как может быть составлена структурная схема
3 Что позволяет алгоритмизировать процесс упрощения струк-
турной схемы Поясните на конкретном примере
31
Лабораторная работа 3
ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
ДИНАМИЧЕСКИХ ЗВЕНЬЕВ
1 Цель работы
Целью работы является изучение частотных характеристик ти-
повых динамических звеньев с использованием автоматизированных
средств моделирования на ПК ndash MATLAB SIMULINK
2 Задачи работы
ndash Закрепление углубление и расширение знаний студентов при
исследовании частотных характеристик динамических звеньев
ndash Приобретение умений и навыков работы с программой мате-
матического моделирования MATLAB
ndash Выработка способности логического мышления осмысление
полученных данных частотных характеристик
3 Теоретическая часть Сущность метода частотных характеристик заключается в том
что на вход исследуемой системы подается гармонический сигнал (си-
нусоидальные колебания) в широком диапазоне частот Реакция си-
стемы при разных частотах позволяет судить о ее динамических
свойствах
Пусть входной сигнал системы имеет амплитуду а и частоту ω т е
описывается формулой
)sin( tax
Выходной сигнал будет иметь амплитуду А1 и отличаться от вход-
ного по фазе на величину ψ (фазовый сдвиг)
)sin(1 tAy
Таким образом можно рассчитать усиление по амплитуде
1
a
AA
32
Для каждой частоты входного сигнала ω будут свои А и ψ
Изменяя ω в широком диапазоне можно получить зависимость
А(ω) ndash амплитудную частотную характеристику (АЧХ) и ψ(ω) ndash фазо-
вую частотную характеристику (ФЧХ)
Главное достоинство метода частотных характеристик заключа-
ется в том что АЧХ и ФЧХ объекта могут быть получены экспери-
ментально Для этого необходимо иметь генератор гармонических
колебаний который подключается к входу объекта и измеритель-
ную аппаратуру для измерения амплитуды и фазового сдвига колеба-
ний на выходе объекта
Частотные характеристики САУ могут быть получены по ее ПФ
W(s) Для суждения о реакции звена на синусоидальный сигнал доста-
точно исследовать его реакцию на гармонический сигнал вида
)( tjejx
Тогда выходной сигнал определяется по соотношению
)()( ))(( tjeAjy
и частотная ПФ получается равной
)()(
)()( )(
jeA
jx
jyjW
Формально для получения частотной ПФ надо сделать в W(s)
подстановку s = jω и тогда полученная W(jω) является комплексным
выражением которое можно представить в виде
)()(
)()()(
22
11
jba
jbajW
Для нахождения вещественной и мнимой частей частотной пе-
редаточной функции необходимо умножить числитель и знаменатель
на сопряженную знаменателю величину а затем провести
разделение
33
)()()(
)()(
)()()()(
)()(
)()()()(
))()())(()((
))()())(()((
)()(
)()()(
)(
22
22
2112
22
22
2121
2222
2211
22
11
jeAjVU
ba
babaj
ba
bbaa
jbajba
jbajba
jba
jbajW
где
)()()()(22
22
21
2122
ba
baVUjWA
)(
)())(arg()(
2
2
1
1
a
barctg
a
barctg
U
VarctgjW
Графики функции )(U и )(V называют соответственно веще-
ственной и мнимой частотной характеристиками
В практических расчетах удобно применять графики частотных
характеристик построенных в логарифмическом масштабе ndash лога-
рифмические частотные характеристики (ЛЧХ)
Логарифмическая амплитудная частотная характеристика
(ЛАЧХ) определяется следующим выражением
)(lg20)( AL
Логарифмической фазовой частотной характеристикой
(ЛФЧХ) называется график зависимости )( построенный в лога-
рифмическом масштабе частот
Единицей L(ω) является децибел (дБ) а единицей логарифма ча-
стоты ndash декада Декадой называют интервал частот на котором часто-
та изменяется в 10 раз При изменении частоты в 10 раз говорят что
она изменилась на одну декаду Ось ординат при построении ЛЧХ про-
водят через произвольную точку а не через точку ω = 0 Частоте ω = 0
соответствует бесконечно удаленная точка lgω rarr ndash infin при ω rarr 0
Основное преимущество использования ЛЧХ заключается в том
что приближенные (асимптотические) ЛАЧХ типовых динамических
звеньев изображаются отрезками прямых
Пример Построим ЛЧХ апериодического звена первого
34
порядка
Передаточная функция звена
1
)(
Ts
ksW
Частотная передаточная функция
1)(
)1(
1)(
2
T
Tjk
Tj
kjW
1)(
1)( 22
T
kTV
T
kU
Следовательно АЧХ описывается формулой
1)(
)(2
T
kA
ФЧХ строится по формуле
)()( Tarctg
ЛАЧХ апериодического звена 1-го порядка
1)(lg20lg20)( 2 TkL
По этой формуле можно построить две асимптоты ndash прямые к
которым стремится ЛАЧХ при ω rarr 0 и при ω rarr infin Так при ω rarr 0 второе
слагаемое близко к нулю и этот участок ЛАЧХ представляет собой
горизонтальную прямую
lg20)( kL
При ω rarr infin получаем наклонную прямую
1)(lg20)( 2 TL
35
Для определения наклона этой прямой можно рассмотреть гра-
ницы декады
T
1 и
10
T
Изменение ЛАЧХ между этими точками
)(2011
lg20110
lg20)(
22
декдБT
TT
TL
ЛЧХ часто называют диаграммами Боде
4 Краткое описание MATLAB
Лабораторная работа выполняется в программе математического
моделирования MATLAB Она включает в себя пакет прикладных про-
грамм для решения технических задач и одноименный язык программи-
рования используемый в этом пакете
Основными компонентами системы являются базовая система
MATLAB и пакет моделирования систем Simulink Остальные пакеты
расширения разбиты на 4 категории ndash расширения Extension MATLAB и
Extension Simulink а также комплексы пакетов расширения Blockset и
Toolbox
Раздел MATLAB Extension содержит средства для подготовки ис-
полняемых приложений MATLAB (с подключаемыми библиотеками и
без них)
Раздел Toolbox (инструментальные средства) содержит самое
большое число пакетов расширений системы MATLAB такие как
laquoControl systemraquo laquoDatabaseraquo laquoFuzzy logicraquo laquoWaveletraquo и тд
В разделе Blockset расположено несколько пакетов относящихся к
главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink такие как
laquoDSPraquo laquoFixed-Pointraquo laquoNonlinear control designraquo и laquoPower systemsraquo
В разделе Extension Simulink имеется ряд средств предназначен-
ных для моделирования в реальном масштабе времени и событийно-
управляемом моделировании
36
5 Построение частотных характеристик в MATLAB В пакете MATLAB ЛЧХ объекта заданного с помощью ПФ
можно получить командой bode
Пример
gtgt w=tf([1 2][3 4 5])
gtgt bode(w)
Для нескольких вариантов передаточной функции можно исполь-
зовать вариант команды вида
gtgt bode(ww1w2)
Например построим диаграмму Боде при различных параметрах
колебательного звена (рис 1)
gtgt w=tf([1][2 03 1])
gtgt w1=tf([1][2 05 1])
gtgt w2=tf([1][2 01 1])
gtgt bode(ww1w2)
Рис 1 ЛЧХ колебательного звена
6 Задание на лабораторную работу
С помощью пакета MATLAB построить ЛЧХ каждого типового
звена Определить влияние коэффициентов входящих в описание
каждого звена на параметры ЛАЧХ и ЛФЧХ Вариант задания назна-
чается преподавателем
37
7 Методика выполнения задания
Порядок выполнения работы
1 Задать передаточную функцию типового динамического звена
используя параметры из табл 2 лабораторной работы 1
2 Построить диаграмму Боде при различных параметрах типо-
вого динамического звена
3 Определить влияние коэффициентов входящих в описание
каждого звена на параметры ЛАЧХ и ЛФЧХ в том числе
ndash как меняется ширина асимптотических участков ЛАЧХ и
ЛФЧХ
ndash как меняется положение точек пересечения осей ЛАЧХ
4 Написать вывод по влиянию коэффициентов на типовое звено
5 Выполнить пункты 1-4 для всех типовых звеньев
6 Подготовить ответы на контрольные вопросы
8 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) титульный лист
б) краткие теоретические сведения
в) передаточные функции и схемы моделирования исследуемых
звеньев
г) экспериментально полученные характеристики при вариации
параметров каждого звена
д) выводы обобщающие проделанные эксперименты по каждо-
му звену
ж) ответы на контрольные вопросы
Контрольные вопросы
1 Как пользуясь частотными характеристиками определить па-
раметры (коэффициенты передаточной функции) звена Пояс-
нить на конкретных примерах
2 Указать особенности построения ЛАХ и ЛФХ динамических
звеньев Что понимается под асимптотической ЛАХ звена
3 Как осуществляется построение АФХ динамического звена
38
Лабораторная работа 4
ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ СИСТЕМ
С ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ
1 Цель работы
Изучение особенностей практического использования алгебраи-
ческих и частотных критериев устойчивости для анализа динамики
линейных САУ с использованием автоматизированных средств моде-
лирования на ПК ndash MATLAB SIMULINK
2 Задачи работы
ndash Закрепление углубление и расширение знаний студентов при
исследовании устойчивости систем с обратной связью
ndash Приобретение умений и навыков работы с программой мате-
матического моделирования MATLAB
ndash Овладение новыми методами проверки устойчивости систем
с обратной связью
ndash Выработка способности логического мышления осмысления
полученных данных
3 Теоретическая часть
Устойчивость САУ является одним из основных условий ее ра-
ботоспособности и включает требование затухания во времени пере-
ходных процессов
Система является устойчивой если при ограниченном входном
сигнале еѐ выходной сигнал также является ограниченным Если
система устойчива то она противостоит внешним воздействиям а
выведенная из состояния равновесия возвращается снова к нему
Система с расходящимся переходным процессом будет неустойчивой и
неработоспособной
Необходимое и достаточное условие устойчивости заключается в
том чтобы все корни характеристического уравнения (полюсы пере-
даточной функции системы) имели отрицательные вещественные ча-
сти Иначе говоря условием устойчивости системы является распо-
ложение всех полюсов в левой комплексной полуплоскости Тогда все
полюсы будут давать затухающую реакцию
Выше сформулированное условие устойчивости справедливо как
39
для линейных так и для линеаризованных систем Однако в случае
нулевых или чисто мнимых корней характеристического уравнения
вопрос об устойчивости линеаризованной системы может быть ре-
шен только на основании исследования ее нелинейных уравнений
В конце XIX и первой половине XX в задача вычисления корней
характеристического уравнения высокого порядка вызывала боль-
шие проблемы Поэтому были предложены несколько косвенных
методов оценки устойчивости позволяющих обойтись без вычисле-
ния корней ndash по значениям коэффициентов характеристического
уравнения
Критерии устойчивости разделяют на алгебраические и частот-
ные В частности к алгебраическим критериям относится критерий
Гурвица к частотным критериям ndash критерий Найквиста
Критерий Гурвица является алгебраическим критерием и при-
меняется к коэффициентам характеристического уравнения замкнутой
системы
Пусть имеется характеристическое уравнение замкнутой
системы
0011
1 apapapa n
nn
n
Из коэффициентов характеристического уравнения составляют
матрицу по правилу
1 По диагонали записываются коэффициенты от 1na до 0a
2 Каждая строка дополняется коэффициентами с возрастающи-
ми индексами слева направо так чтобы чередовались строки с нечет-
ными и четными индексами
3 В случае отсутствия индекса а также если он меньше 0 или
больше п на его место пишется 0
Таким образом матрица Гурвица приобретает следующий вид
40
Критерий устойчивости формулируется так
Чтобы система была устойчивой необходимо и достаточно что-
бы при 0na были положительными все п диагональных определи-
телей получаемых из матрицы Гурвица
Первые три определителя матрицы Гурвица имеют следующий
вид
Таким образом критерий Гурвица позволяет судить об абсо-
лютной устойчивости но он не дает возможности оценивать относи-
тельную устойчивость по корням характеристического уравнения
Частотный критерий устойчивости Найквиста анализирует
АФЧХ разомкнутой системы
Пусть имеется АФЧХ разомкнутой системы W(jω)
Для нахождения вещественной и мнимой части частотной ха-
рактеристики нужно освободиться от мнимости в знаменателе путем
умножения числителя и знаменателя на комплексную величину со-
пряженную знаменателю а затем выполнить разделение на веще-
ственную и мнимую части W(jω) приобретает вид
)()()( jQPjW
Задаваясь различными значениями частоты можно найти мно-
жество пар )()( 11 jQP )()( 22 jQP )()( nn jQP
Затем по этим парам строится АФЧХ на комплексной плоскости
Основные свойства АФЧХ разомкнутой системы
1 Если разомкнутая система не имеет интегрирующих звеньев
то при ω = 0 ее АФЧХ начинается на вещественной оси в точке
Р(ω)=К (где К ndash коэффициент усиления разомкнутой системы) За-
канчивается АФЧХ в начале координат при ω rarr infin (рис 1 а)
2 Если разомкнутая система имеет одно интегрирующее звено то
ее АФЧХ начинается при ω = 0 в бесконечности на отрицательной мни-
мой полуоси а заканчивается в начале координат при ω rarr infin (рис 1 б)
41
Рис 1 АФЧХ разомкнутой системы
Критерий устойчивости Найквиста формулируется так
1 Если разомкнутая система устойчива или находится на гра-
нице устойчивости то для того чтобы замкнутая система была
устойчива необходимо и достаточно чтобы АФЧХ разомкнутой
системы при изменении частоты ω от 0 до infin не охватывала точку с ко-
ординатами (-1 j0)
2 Если разомкнутая система неустойчива а ее передаточная
функция имеет т полюсов справа от мнимой оси на комплексной
плоскости то для устойчивости замкнутой системы необходимо и до-
статочно чтобы АФЧХ разомкнутой системы при изменении частоты
ω от -infin до +infin охватывала т раз точку с координатами (-1 j0)
При использовании этого критерия нужно учитывать две
особенности
1 Если разомкнутая система находится на границе устойчиво-
сти то ее АФЧХ уходит в бесконечность Для проверки критерия Най-
квиста нужно мысленно соединить конец АФЧХ дугой бесконечно
большого радиуса с положительной вещественной полуосью
2 На практике АФЧХ может строиться только для положитель-
ных частот (0 lt ω lt +infin) При применении критерия Найквиста счита-
ется что ветвь АФЧХ для отрицательных частот симметрична отно-
сительно вещественной оси
Физический смысл критерия устойчивости Найквиста заключа-
ется в том что система будет неустойчива если фаза выходного сиг-
нала противоположна фазе входного сигнала а коэффициент усиле-
ния больше 1 Поэтому для анализа устойчивости можно использо-
вать не АФЧХ а ЛАХ системы (для минимально-фазовых систем)
Система устойчива если на частоте среза значение фазы не превы-
шает -π Соответственно для устойчивой системы можно рассматри-
вать на ЛФЧХ запас устойчивости по фазе ndash расстояние от значения
фазы на частоте среза до уровня -π и запас устойчивости по амплиту-
42
де ndash расстояние от оси частот ЛАЧХ до значения усиления на часто-
те где фаза становится равной -π
4 Краткое описание MATLAB
Лабораторная работа выполняется в программе математического
моделирования MATLAB Программа MATLAB включает в себя пакет
прикладных программ для решения технических задач и одноименный
язык программирования используемый в этом пакете
Основными компонентами системы являются базовая система
MATLAB и пакет моделирования систем Simulink Остальные пакеты
расширения разбиты на 4 категории ndash расширения Extension MATLAB и
Extension Simulink а также комплексы пакетов расширения Blockset и
Toolbox
Раздел MATLAB Extension содержит средства для подготовки ис-
полняемых приложений MATLAB (с подключаемыми библиотеками и
без них)
Раздел Toolbox (инструментальные средства) содержит самое
большое число пакетов расширений системы MATLAB такие как
laquoControl systemraquo laquoDatabaseraquo laquoFuzzy logicraquo laquoWaveletraquo и тд
В разделе Blockset расположено несколько пакетов относящихся к
главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink такие как
laquoDSPraquo laquoFixed-Pointraquo laquoNonlinear control designraquo и laquoPower systemsraquo
В разделе Extension Simulink имеется ряд средств предназначен-
ных для моделирования в реальном масштабе времени и событийно-
управляемом моделировании
5 Исследование устойчивости САУ в MATLAB
Для проверки устойчивости САУ по Гурвицу постройте матрицу
Гурвица и найдите ее детерминант (функция det) Затем последова-
тельно уменьшая размер матрицы найдите значения всех диагональ-
ных детерминантов Пример
gtgt А=[1 14 18 2 5 2 3 4 3]
А =
1 14 18
2 5 2
3 4 3
gtgt det(A)
ans = -119
43
gtgt А1=А(12 12)
А1 =
1 14
2 5
gtgt det(A1)
ans = -23
Для проверки устойчивости САУ по Найквисту сначала нужно
выяснить является ли устойчивой разомкнутая система
Пример Пусть дана передаточная функция разомкнутой
системы
13232
12234
pppp
pW
Рассмотрим реакцию на скачок
gtgt w=tf([2 1][2 3 2 3 1])
gtgt step(w18)
График переходного процесса показан на рис 2
Рис 2 Переходная реакция
Разомкнутая система неустойчива и согласно критерию Найкви-
ста надо чтобы АФЧХ разомкнутой системы охватывала точку (-1 j0)
44
столько раз сколько полюсов имеется справа от мнимой оси Для по-
строения АФЧХ достаточно вызвать команду nyquist
gtgt nyquist(w)
Диаграмма Найквиста показана на рис 3
Рис 3 Диаграмма Найквиста для неустойчивой системы
Как показывает рис3 АФЧХ ни разу не охватывает точку
(-1 j0) поэтому замкнутая система будет неустойчивой Частотный
критерий Найквиста можно использовать и в том случае когда рас-
сматривается не АФЧХ а ЛАЧХ разомкнутой системы замкнутая
минимально-фазовая система устойчива если при достижении ЛФЧХ
значения -π ЛАЧХ будет отрицательной
Используя ЛАЧХ и ЛФЧХ можно оценить запасы устойчивости
системы по амплитуде и по фазе с помощью команды
gtgt margin(w)
Пример
gtgt w=tf([10][2 2 3 1])
gtgt margin(w)
Соответствующий график показан на рис 4
45
Рис 4 Определение запасов устойчивости по амплитуде и по фазе
6 Задание на лабораторную работу
Выполнить исследование устойчивости замкнутой системы по за-
данной передаточной функции разомкнутой системы Определить запас
устойчивости по амплитуде и по фазе Вариант задания назначается
преподавателем
7 Методика выполнения задания
Порядок выполнения работы
1 Рассчитать передаточную функцию замкнутой системы по
приведенной в табл 1 разомкнутой системе
2 Определить устойчивость замкнутой системы используя кри-
терий Гурвица
3 Определить устойчивость замкнутой системы используя кри-
терий Найквиста
4 Определить запас устойчивости по амплитуде и по фазе ис-
пользуя ЛАЧХ и ЛФЧХ
5 Выполнить моделирование переходных процессов разомкну-
той и замкнутой систем
6 Подготовить ответы на контрольные вопросы
46
Таблица 1
Варианты заданий
Передаточная функция разомкнутой системы
1 1355
2234
ssss
W
2 110050
1234
ssss
W
3 11010
123
sss
W
4 122105
100234
ssss
W
5 1248
123
sss
W
6 1223
102345
sssss
W
7 11001010
323
sss
W
8 122
1023
sss
W
9 11010
123
sss
W
10 15050332
102345
sssss
W
8 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) титульный лист
б) краткие теоретические сведения
в) переходную функцию разомкнутой системы
г) расчет передаточной функции замкнутой системы
д) расчетные выражения для обоснования устойчивости замкну-
той системы по алгебраическому критерию Гурвица
е) годограф Найквиста разомкнутой системы на основании кото-
рого делается вывод об устойчивости замкнутой системы
ѐ) переходную функцию замкнутой системы
ж) проверку полученных результатов путем компьютерного моде-
лирования переходных процессов разомкнутой и замкнутой си-
стемы в MATLAB Simulink
з) выводы по всем полученным результатам
47
Контрольные вопросы
1 Как связана устойчивость линейной САУ с видом составля-
ющих ее свободного движения
2 Зависит ли устойчивость линейных САУ от амплитуды зада-
ющих воздействий или возмущений
3 Сформулируйте критерий устойчивости Гурвица укажите на
необходимое условие устойчивости линейных САУ вытекаю-
щее из этого критерия
4 Сформулируйте критерий Найквиста для случая САУ устой-
чивых в разомкнутом состоянии а также для астатических САУ
Что такое laquoзапасы устойчивости по фазе и по амплитудеraquo
5 Что называется структурной устойчивостью
48
Лабораторная работа 5
КОРРЕКЦИЯ СТАТИЧЕСКИХ И ДИНАМИЧЕСКИХ
СВОЙСТВ САУ
1 Цель работы
Целью работы является изучение способов обеспечения иско-
мых характеристик САУ с использованием автоматизированных
средств моделирования на ПК ndash MATLAB SIMULINK
2 Задачи работы
ndash Закрепление углубление и расширение знаний студентов при
обеспечении искомых характеристик САУ
ndash Приобретение умений по обеспечению точности (уменьшение
статической ошибки) САУ и выбору значений параметров регулято-
ра обеспечивающих желаемые динамические свойства САУ
ndash Приобретение умений и навыков работы с программой мате-
матического моделирования MATLAB
3 Теоретическая часть
Коррекция статических и динамических свойств САУ имеет
своей целью повышение статической и динамической точности отра-
ботки системой задающего воздействия (или парирование возмуща-
ющего воздействия) повышение запасов ее устойчивости Наиболее
распространенными способами коррекции свойств САУ является из-
менение коэффициента усиления ее разомкнутой части введение в
САУ новых звеньев (как правило интегрирующего или дифференци-
рующего типа) охват объекта управления местной обратной связью
31 Коррекция статических свойств САУ
Статические свойства системы определяются величиной устано-
вившейся ошибки )t(уст вызванной действием задающего воздей-
ствия и определяемой по формуле
22
210 2 dttgdcdttdgctgctуст (1)
где )(tg - входное воздействие 210 ccc - коэффициенты ошибок
Коэффициенты ошибок определяются по формулам
49
dssdcdssdcscs
mmmss 00100
где s - передаточная функция САУ по ошибке управления рав-
ная
sW
sраз
1
1
sWраз - передаточная функция разомкнутой САУ
Основными способами уменьшения статической ошибки систе-
мы являются
1) увеличение коэффициента усиления прямого тракта системы
2) введение в прямой тракт системы интегрирующих звеньев
3) охват объекта управления местной неединичной положитель-
ной обратной связью
Представим структурную схему системы в виде изображенном
на рис 1 где через sW обозначена передаточная функция неизме-
няемой части системы
bsbsb
asasasW
nn
nn
mm
mm
01
1
01
1
Здесь и далее полагается что KKKsW s 000 0 ndash из-
меняемый коэффициент усиления регулятора системы
Первые два коэффициента ошибок 0c и 1c определяется выраже-
ниями
KK
c0
01
1
(2)
KK
dssdWKc
s
20
01
1
(3)
Из (2) и (3) с учетом (1) вытекает что с увеличением K
статическая ошибка в системе уменьшается и наоборот с уменьше-
нием K статическая ошибка в системе увеличивается
Введем в прямой тракт системы одно интегрирующее звено
50
(рис 2) В этом случае c 00 01 1 KKc
Так как c 00 то система на рис 2 является астатической (с
астатизмом первого порядка) Система имеет нулевую статическую
ошибку при отработке постоянного задающего воздействия
consttg и постоянную обратно пропорциональную K ошибку
constуст при отработке линейно изменяющегося воздействия
tatg
Рис 1 Схема САУ Рис 2 Схема САУ с включенным в прямой
тракт интегрирующим звеном
Охватим неизменяемую часть системы sW местной нееди-
ничной положительной обратной связью с коэффициентом усиления
осK (рис 3) Тогда эквивалентная передаточная функция sWэкв
неизменяемой части системы равна
10011
01
1
aKbsaKbsaKbsb
asasa
sWK
sWsW
ососm
mосmn
n
mm
mm
осэкв
(4)
Если коэффициент усиления K выбрать из условия
a
bKос
0
0
то свободный коэффициент (b0 - Koca0) полинома знаменателя sWэкв
обратится в нуль и sWэкв приобретает интегрирующие свойства
11
11
0
1
1
aKbsaKbsbs
asasasW
ос
m
mосm
n
n
m
m
m
mэкв
g(t) y(t)ε(t)
K W(s)-
g(t) y(t)
Ks W(s)-
ε(t)
51
Следовательно замкнутая система становится астатической (с
астатизмом 1-го порядка) Отсюда 0c =0 а коэффициент 1c будет
равен
aKb
bc
ос 11
01
ε(t)g(t) y(t)
W(s)-
Kос
Wэкв(s)
+
Рис 3 Схема САУ с местной неединичной обратной связью
32 Коррекция динамических свойств САУ
Улучшение динамических свойств САУ заключается в увеличе-
нии быстродействия САУ (уменьшении времени регулирования tрег)
уменьшении перерегулирования (см рис 4) а также увеличении
запасов устойчивости по фазе и по модулю При этом
h
hh
уст
устmax100
где maxh - максимальное значение переходной характеристики за-
мкнутой САУ th
устh - установившееся значение th
Время регулирования tрег - минимальная величина при которой удо-
влетворяется условие
устрег hth
где - заданная величина ошибки (обычно =005 устh )
52
h(t)
tрег
hустhmax
2δ
Рис 4 Быстродействие и перерегулирование САУ
Одним из эффективных средств достижения этой цели является
уменьшение отрицательных фазовых сдвигов в прямом тракте систе-
мы путем охвата неизменяемой части системы местными отрицатель-
ными обратными связями
На рис 5 R(s) представляет собой передаточную функцию регу-
лятора САУ которая считается заданной
ε(t)g(t) y(t)
W(s)-
Kос
Wэкв(s)
-
R(s)
u(t)
Рис 5 Схема САУ с местной обратной связью и регулятором
Пусть неизменяемая часть системы представляет собой аперио-
дическое звено первого порядка те
sT
K)s(W
10
0
Тогда передаточная функция sWэкв эквивалентного объекта
управления равна
sT
K
sWK
sWsW
экв
экв
осэкв
11
где зквK и эквT - коэффициент усиления и постоянная времени
эквивалентного объекта равные
53
KK
KK
осэкв
0
0
1
KK
TT
осэкв
0
0
1 (5)
Из (5) следует что соответствующим выбором осK постоянную
времени эквT эквивалентного объекта можно уменьшить в (1+ 0KKос )
раз по сравнении с постоянной времени 0T объекта без местной об-
ратной связи Тем самым уменьшаются отрицательные фазовые сдви-
ги вносимые прямым трактом системы что приводит к увеличению
запасов устойчивости системы При этом однако уменьшается в
(1+ 0KKос ) раз коэффициент усиления эквK эквивалентного объекта
по сравнению с коэффициентом усиления 0K объекта без местной
обратной связи Это нежелательно так как приводит к уменьшению
быстродействия системы вследствие уменьшения общего коэффици-
ента усиления прямого тракта системы В этом случае с целью обес-
печения необходимого быстродействия системы увеличивают коэф-
фициент усиления регулятора
4 Краткое описание MATLAB
Лабораторная работа выполняется в программе математического
моделирования MATLAB Программа MATLAB включает в себя пакет
прикладных программ для решения технических задач и одноименный
язык программирования используемый в этом пакете
Основными компонентами системы являются базовая система
MATLAB и пакет моделирования систем Simulink Остальные пакеты
расширения разбиты на 4 категории ndash расширения Extension MATLAB и
Extension Simulink а также комплексы пакетов расширения Blockset и
Toolbox
Раздел MATLAB Extension содержит средства для подготовки ис-
полняемых приложений MATLAB (с подключаемыми библиотеками и
без них)
Раздел Toolbox (инструментальные средства) содержит самое
большое число пакетов расширений системы MATLAB такие как
laquoControl systemraquo laquoDatabaseraquo laquoFuzzy logicraquo laquoWaveletraquo и тд
54
В разделе Blockset расположено несколько пакетов относящихся к
главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink такие как
laquoDSPraquo laquoFixed-Pointraquo laquoNonlinear control designraquo и laquoPower systemsraquo
В разделе Extension Simulink имеется ряд средств предназначен-
ных для моделирования в реальном масштабе времени и событийно-
управляемом моделировании
5 Задание на лабораторную работу
Выполнить исследование способов коррекции статических и
динамических свойств САУ Определить время регулирования и пе-
ререгулирования в исходной и скорректированной системах а также
для динамических свойств САУ определить запасы устойчивости в
исходной системе и найти экспериментально значение Kос обеспечи-
вающее в системе заданные показатели качества и запасы устойчиво-
сти Вариант задания назначается преподавателем
Таблица 1
Варианты заданий
варианта
Параметры
1
2
3
4
5
6
7
8
a 05 10 15 20 25 30 35 40
K0 1 2 3 4 5 6 7 8
T c 03 04 05 06 07 08 09 10
ξ 06 07 08 08 07 09 05 04
уст 0 0 005 0 010 007 0 0
tрег c le 13 15 20 25 30 35 40 40
le 0 10 10 5 5 5 0 0
В качестве исходных САУ выступают системы изображенные
на рис 6 и 7
55
ε(t)g(t) y(t)
W(s)-
g(t) y(t)
R(s) W(s)-
ε(t) u(t)
Рис 6 САУ с отрицательной Рис 7 САУ с отрицательной обратной
обратной связью связью и регулятором
6 Методика выполнения задания
При исследовании способов коррекции статических свойств
САУ в качестве исходных данных выступает передаточная функция
sW неизменяемой части системы вида
1222
0
sTsT
KsW (6)
и задающие воздействия вида ttg 1 в соответствии с таблицей 1
В процессе выполнения этой части работы необходимо
1) путем моделирования в системе MATLAB исходной САУ
(рис 6) получить графики ttytg
2) сравнить полученную таким образом экспериментальную ве-
личину t с теоретической величиной вычисленной по формуле (1)
3) применяя описанные в теоретической части методических
указаний способы коррекции статических свойств (см п 31) обес-
печить требуемую статическую ошибку εуст системы при отработке
задающего воздействия ttg 1
4) получить графики ty и t в скорректированной системе
для 1 ttg
5) сравнить время регулирования регt и перерегулирование в
исходной и скорректированной системах при 1 ttg
При исследовании рассмотренного способа коррекции динами-
ческих свойств САУ (см п 32) в качестве исходных данных высту-
пают передаточная функция sW неизменяемой части системы
вида (6) и передаточная функция регулятора вида
s
KsR
рег
56
Задающее воздействие ttg 1
В процессе выполнения данной части работы необходимо
1) получить путем моделирования в MATLAB графики ty t
в системе (рис 7)
2) определить время регулирования регt и перерегулирование
а также запасы устойчивости в исходной системе
3) применяя описанный выше способ коррекции динамических
свойств САУ найти экспериментально (путем последовательного пе-
ребора) значение осK обеспечивающее в системе заданные заданием
показатели качества ( регt ) и запасы устойчивости (при необхо-
димости увеличить коэффициент регK )
4) получить графики ty t а также ЛАХ и ЛФХ разомкну-
той системы в скорректированной САУ
7 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) титульный лист
б) структурные схемы исследуемых систем
в) полученные графики и характеристики
г) значения полученные экмпериментально которые
обеспечивают заданные показатели качества и запасы устойчивости
д) выводы обощающие проделанные эксперименты для
коррекции статических и динамических свойств САУ
е) ответы на контрольные вопросы
Контрольные вопросы 1 Дать определение статической и астатической САУ
2 Какими структурными свойствами системы определяется по-
рядок ее астатизма
3 Какой из двух приведенных выше способов придания системе
свойств астатизма 1-го порядка наиболее предпочтителен на
практике
4 Назовите основные показатели качества САУ Поясните их
смысл
5 В чѐм суть исследуемого способа коррекции динамических
свойств САУ
57
6 Назвать другие способы коррекции динамических свойств
САУ
7 Чем вызваны отрицательные фазовые сдвиги в неизменяемой
части САУ
58
Лабораторная работа 6
МЕТОД КОРНЕВОГО ГОДОГРАФА
1 Цель работы
Целью работы является построение корневого годографа и ис-
следование динамики системы с использованием автоматизирован-
ных средств моделирования на ПК ndash MATLABSIMULINK
2 Задачи работы
ndash Закрепление углубление и расширение знаний студентов при
исследование динамики системы
ndash Овладение навыком построения корневого годографа
ndash Приобретение умений и навыков работы с программой мате-
матического моделирования MATLAB
3 Теоретическая часть
Корневым годографом (КГ) называется совокупность траекто-
рий перемещения всех корней характеристического уравнения за-
мкнутой системы при изменении какого-либо параметра этой систе-
мы
Обычно метод КГ позволяет находить полюса и нули ПФ за-
мкнутой системы располагая полюсами и нулями разомкнутой си-
стемы при изменении коэффициента усиления разомкнутой системы
K
ПФ разомкнутой системы Wp(s) представим в следующем виде
)(
)(
1
1
0
n
ii
m
jj
p
ss
ssKC
sW (1)
где 0js ndash нули ПФ sWp )1( mj
is ndash полюса ПФ sWp
)1( nj n и m ndash порядки знаменателя и числителя C ndash коэффици-
ент представления (отношение коэффициентов при старших членах
числителя и знаменателя)
59
При замыкании системы с ПФ sWp единичной отрицатель-
ной обратной связью ПФ замкнутой системы sWз принимает вид
)(1
)(
sW
sWsW
p
pз
(2)
Из выражения (2) следует что нули ПФ замкнутой системы рав-
ны нулям ПФ разомкнутой системы
Для нахождения полюсов рассмотри выражение
01 sWp (3)
в соответствии с выражением (1) имеем
n
i
m
jjin
ii
m
jj
ssKCss
ss
ssKC
1 1
0
1
1
0
)()(01
)(
)(
(4)
На основании выражения (4) можно сказать что при K = 0 корни
характеристического уравнения совпадают с полюсами а при K = infin ndash
с нулями При изменении K от 0 до infin траектории корней начинаются
в полюсах и заканчиваются в нулях Обычно полюсов больше чем
нулей В этом случаем mn ветвей корневого годографа стремятся к
infin
Для определения полюсов замкнутой системы с отрицательной
обратной связью необходимо решить уравнение (его называют ос-
новным уравнением метода КГ)
1sWp (5)
Так как sWp является функцией комплексного переменного
s то уравнение (5) распадается на два уравнения уравнение модулей
1)( sWp (6)
60
и уравнение аргументов (фаза вектора -1 есть нечетное число π)
210)12()(arg sWp (7)
Как известно при умножении комплексных чисел их аргументы
складываются а при делении ndash вычитаются Поэтому исходя из вы-
ражения (1) уравнение (7) имеет наглядный геометрический смысл
Пусть точка s ndash полюс замкнутой системы Если провести в s
вектора из нулей sWp (обозначим аргументы этих векторов 0j ) и
вектора из всех полюсов sWp (обозначим аргументы этих векторов
i ) то уравнение (7) можно записать в следующем виде
m
j
n
iij
1 1
0 210)12( (8)
Углы q отсчитываются от положительного направления дей-
ствительной оси Знак угла laquo+raquo соответствует повороту против часо-
вой стрелки знак угла laquo-raquo соответствует повороту по часовой стрел-
ке
Таким образом любая точка КГ должна удовлетворять уравне-
нию (8) из которого следует что конфигурация КГ не зависит от ко-
эффициента усиления K но каждому конкретному значению K одно-
значно соответствуют точки на КГ
При умножении комплексных чисел их модули перемножаются
а при делении ndash делятся Поэтому на основании (6) можно записать
1
1
1
0
n
ii
m
jj
l
lKC
(9)
где 0jl ndash модуль (длина) вектора проведенного из j-нуля в точку s
КГ il ndash модуль вектора проведенного из i-полюса в ту же точку s
61
Таким образом траектории корней строятся только по уравне-
ниям фаз а уравнение модулей используется затем для нахождения
K
Сущность метода КГ заключается в том чтобы узнать каким
должен быть коэффициент усиления разомкнутой системы чтобы
было обеспечено желаемое положение корней замкнутой системы
Корневой годограф системы с отрицательной обратной связью
обладает следующими основными свойствами
1 Ветви КГ непрерывны и расположены на комплексной плос-
кости симметрично относительно действительной оси
2 Число ветвей КГ равно порядку системы n Ветви начинают-
ся в n полюсах разомкнутой системы при K=0 При возрастании K от
0 до infin полюса замкнутой системы двигаются по ветвям КГ
3 mветвей КГ при возрастании K от 0 до infin заканчиваются в m
нулях )(sWp а )( mn ветвей при K стремящемся к infin удаляются
от полюсов вдоль асимптот
4 При расположении ветвей корневого годографа в левой полу-
плоскости s САУ устойчива При пересечении ветвей КГ мнимой оси
слева направо САУ становится неустойчивой Пусть при K=Kкр
пере-
сечение КГ с мнимой осью произойдет в некоторой точке iωкр
Назо-
вем это значение коэффициента усиления критическим Kкр
а вели-
чину iωкр
критической угловой частотой на которой система стано-
вится неустойчивой
4 Краткое описание MATLAB
Лабораторная работа выполняется в программе математического
моделирования MATLAB Программа MATLAB включает в себя пакет
прикладных программ для решения технических задач и одноименный
язык программирования используемый в этом пакете
Основными компонентами системы являются базовая система
MATLAB и пакет моделирования систем Simulink Остальные пакеты
расширения разбиты на 4 категории ndash расширения Extension MATLAB и
Extension Simulink а также комплексы пакетов расширения Blockset и
Toolbox
Раздел MATLAB Extension содержит средства для подготовки ис-
полняемых приложений MATLAB (с подключаемыми библиотеками и
без них)
62
Раздел Toolbox (инструментальные средства) содержит самое
большое число пакетов расширений системы MATLAB такие как
laquoControl systemraquo laquoDatabaseraquo laquoFuzzy logicraquo laquoWaveletraquo и тд
В разделе Blockset расположено несколько пакетов относящихся к
главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink такие как
laquoDSPraquo laquoFixed-Pointraquo laquoNonlinear control designraquo и laquoPower systemsraquo
В разделе Extension Simulink имеется ряд средств предназначен-
ных для моделирования в реальном масштабе времени и событийно-
управляемом моделировании
5 Корневой годограф в MATLAB
В системе MATLAB существует команда zpk для преобразова-
ния модели заданной ПФ в модель заданную нулями полюсами и
обобщенными коэффициентами передачи (zpk-форма)
Пример
gtgt w=tf([10][2 2 3 1 0])
Transfer function
10
-------------------------------
2 s^4 + 2 s^3 + 3 s^2 + s
gtgt w1=zpk(w)
Zeropolegain
5
----------------------------------------------
s (s+03966) (s^2 + 06034s + 1261)
Для работы с корневым годографом удобно использовать гра-
фический интерфейс laquoSISO-Design Toolraquo предназначенный для ана-
лиза и синтеза одномерных линейных систем автоматического управ-
ления (SISO ndash Single Input Signal Output)
Запуск SISO-Design Tool осуществляется командой
gtgt sisotool
63
В появившемся окне графического интерфейса необходимо ис-
пользовать команду laquoFileImportraquo для загрузки данных из рабочего
пространства MATLAB в результате которой появляется диалоговое
окно Import System Data (рис 1)
Рис 1 Диалог для ввода параметров модели
После импортирования данных можно исследовать изменение
временных и частотных характеристик замкнутой системы при изме-
нении K Обычно при этом требуется определить условия неустойчи-
вости замкнутой САУ Определить Kкр
и iωкр
На рис 2 показано окно sisotool для описанной выше модели w1
Двигая красным курсором по КГ до пересечения ветвей с мнимой
осью можно определить значения Kкр
В данном случае Kкр
asymp 01
Значение iωкр
соответствует мнимой координате пересечения КГ
мнимой оси Просмотреть это значение можно в нижней части ин-
терфейса или выбрать меню laquoView Closed-Loop Polesraquo
64
Рис 2 Основное окно SISO-Design Tool
6 Задание на лабораторную работу
Построить КГ в соответствии с вариантом из табл 1 при помо-
щи графического интерфейса sisotool
Исследовать динамику замкнутой системы при различных зна-
чениях коэффициента усиления разомкнутой системы K в том числе
ndash запасы устойчивости в частотной области
ndash параметры переходного процесса во временной области
Таблица 1
Варианты передаточных функций
Значения параметров Передаточная функция
разомкнутой системы
1 T = 01 ζ = 1
)12( 22 sTsTs
K
2 T = 005 ζ = 0707
3 T = 003 ζ = 01
4 T = 008 ζ = 05
5 T = 001 ζ = 015
65
Окончание табл 1
Значения параметров Передаточная функция
разомкнутой системы
6 T1 = 003 T2 = 05 T3 = 01 T4 = 005
)1)(1)(1(
)1(
432
1
sTsTsTs
sTK
7 T1 = 005 T2 = 04 T3 = 008 T4 = 0033
8 T1 = 02 T2 = 045 T3 = 01 T4 = 005
9 T1 = 05 T2 = 025 T3 = 01 T4 = 002
10 T1 = 01 T2 = 025 T3 = 01 T4 = 005
Вариант задания назначается преподавателем
7 Методика выполнения задания
Порядок выполнения лабораторной работы
1 Задать передаточную функцию в MATLAB в соответствии с
вариантом коэффициент K задать любым положительным числом
2 Запустить SISO-Design Tool и осуществить ввод данных
Построить КГ
3 По КГ определить значения коэффициента K когда система
будет устойчивой на границе устойчивости и неустойчива
4 Выбрать значение коэффициента K таким образом чтобы си-
стемы была устойчива и определить запас устойчивости в частотной
области и параметры переходного процесса во временной области
8 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) титульный лист
б) передаточную функцию и этапы построения КГ
в) анализ результатов построения КГ
г) выводы по проделанной работе
д) ответы на контрольные вопросы
Контрольные вопросы 1 Дать определение КГ
2 Что обычно позволяет находить метод КГ
3 В чем заключается сущность метода КГ
4 Что можно определить по КГ
66
Критерии результативности лабораторного практикума
Лабораторная работа считается выполненной если студент
ndash выполнил все указанные задания
ndash представил отчет соответствующий всем требованиям к его
содержанию и оформлению
ndash владеет терминологией и материалом лабораторной работы
ndash способен использовать программное средство математическо-
го моделирования MATLAB
ndash способен предоставить и рассказать результаты выполненной
работы на ПК
ndash может дать пояснения к отчету и ответить на контрольные
вопросы
Список литературы
1 Александров АГ Частотная теория автоматического управле-
ния учебное пособие ndash Электросталь ЭПИ МИСиС 2010
2 Борисевич АВ Теория автоматического управления элементар-
ное введение с применением MATLAB ndash СПб Изд-во Политехн ун-
та 2011
3 Федоров ВЛ Бубнов АВ Теория автоматического управления
учебное пособие ndash Омск Изд-во ОмГТУ 2010
4 Павловская ОО Чернецкая ИВ Теория автоматического
управления учебное пособие ndash Челябинск Изд-во ЮУрГУ 2010
67
Составители ЛЯНЦЕВ Олег Дмитриевич КАЗАНЦЕВ Андрей Валерьевич
ИССЛЕДОВАНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК СИСТЕМ
АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
Лабораторный практикум
по дисциплине
laquoТеория управленияraquo
Подписано в печать Формат 60х84 116 Бумага офсетная Пе-
чать плоская Гарнитура Times New Roman Усл печ л 56 Уч-изд л
55 Тираж 100 экз Заказ
ФГБОУ ВПО Уфимский государственный авиационный технический
университет
Центр оперативной полиграфии УГАТУ
450000 Уфа-центр ул К Маркса 12
30
8 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) описание всех этапов преобразования исходной схемы и по-
лучающихся промежуточных результатов выполненными тремя спо-
собами моделирование реакции схемы на типовое воздействие (ска-
чок) до и после преобразования
б) сигнальный граф системы описание путей контуров расчет
ПФ по формуле Мейсона
в) решение составленной системы уравнений
г) схема модели и протокол команд MATLAB
д) графики переходных процессов при подаче на вход исходной
и эквивалентной схемы типовых тестирующих воздействий (скачок
импульс)
е) ответы на контрольные вопросы
Контрольные вопросы
1 Что называется структурной схемой Какие задачи можно
решить с еѐ помощью
2 Как может быть составлена структурная схема
3 Что позволяет алгоритмизировать процесс упрощения струк-
турной схемы Поясните на конкретном примере
31
Лабораторная работа 3
ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
ДИНАМИЧЕСКИХ ЗВЕНЬЕВ
1 Цель работы
Целью работы является изучение частотных характеристик ти-
повых динамических звеньев с использованием автоматизированных
средств моделирования на ПК ndash MATLAB SIMULINK
2 Задачи работы
ndash Закрепление углубление и расширение знаний студентов при
исследовании частотных характеристик динамических звеньев
ndash Приобретение умений и навыков работы с программой мате-
матического моделирования MATLAB
ndash Выработка способности логического мышления осмысление
полученных данных частотных характеристик
3 Теоретическая часть Сущность метода частотных характеристик заключается в том
что на вход исследуемой системы подается гармонический сигнал (си-
нусоидальные колебания) в широком диапазоне частот Реакция си-
стемы при разных частотах позволяет судить о ее динамических
свойствах
Пусть входной сигнал системы имеет амплитуду а и частоту ω т е
описывается формулой
)sin( tax
Выходной сигнал будет иметь амплитуду А1 и отличаться от вход-
ного по фазе на величину ψ (фазовый сдвиг)
)sin(1 tAy
Таким образом можно рассчитать усиление по амплитуде
1
a
AA
32
Для каждой частоты входного сигнала ω будут свои А и ψ
Изменяя ω в широком диапазоне можно получить зависимость
А(ω) ndash амплитудную частотную характеристику (АЧХ) и ψ(ω) ndash фазо-
вую частотную характеристику (ФЧХ)
Главное достоинство метода частотных характеристик заключа-
ется в том что АЧХ и ФЧХ объекта могут быть получены экспери-
ментально Для этого необходимо иметь генератор гармонических
колебаний который подключается к входу объекта и измеритель-
ную аппаратуру для измерения амплитуды и фазового сдвига колеба-
ний на выходе объекта
Частотные характеристики САУ могут быть получены по ее ПФ
W(s) Для суждения о реакции звена на синусоидальный сигнал доста-
точно исследовать его реакцию на гармонический сигнал вида
)( tjejx
Тогда выходной сигнал определяется по соотношению
)()( ))(( tjeAjy
и частотная ПФ получается равной
)()(
)()( )(
jeA
jx
jyjW
Формально для получения частотной ПФ надо сделать в W(s)
подстановку s = jω и тогда полученная W(jω) является комплексным
выражением которое можно представить в виде
)()(
)()()(
22
11
jba
jbajW
Для нахождения вещественной и мнимой частей частотной пе-
редаточной функции необходимо умножить числитель и знаменатель
на сопряженную знаменателю величину а затем провести
разделение
33
)()()(
)()(
)()()()(
)()(
)()()()(
))()())(()((
))()())(()((
)()(
)()()(
)(
22
22
2112
22
22
2121
2222
2211
22
11
jeAjVU
ba
babaj
ba
bbaa
jbajba
jbajba
jba
jbajW
где
)()()()(22
22
21
2122
ba
baVUjWA
)(
)())(arg()(
2
2
1
1
a
barctg
a
barctg
U
VarctgjW
Графики функции )(U и )(V называют соответственно веще-
ственной и мнимой частотной характеристиками
В практических расчетах удобно применять графики частотных
характеристик построенных в логарифмическом масштабе ndash лога-
рифмические частотные характеристики (ЛЧХ)
Логарифмическая амплитудная частотная характеристика
(ЛАЧХ) определяется следующим выражением
)(lg20)( AL
Логарифмической фазовой частотной характеристикой
(ЛФЧХ) называется график зависимости )( построенный в лога-
рифмическом масштабе частот
Единицей L(ω) является децибел (дБ) а единицей логарифма ча-
стоты ndash декада Декадой называют интервал частот на котором часто-
та изменяется в 10 раз При изменении частоты в 10 раз говорят что
она изменилась на одну декаду Ось ординат при построении ЛЧХ про-
водят через произвольную точку а не через точку ω = 0 Частоте ω = 0
соответствует бесконечно удаленная точка lgω rarr ndash infin при ω rarr 0
Основное преимущество использования ЛЧХ заключается в том
что приближенные (асимптотические) ЛАЧХ типовых динамических
звеньев изображаются отрезками прямых
Пример Построим ЛЧХ апериодического звена первого
34
порядка
Передаточная функция звена
1
)(
Ts
ksW
Частотная передаточная функция
1)(
)1(
1)(
2
T
Tjk
Tj
kjW
1)(
1)( 22
T
kTV
T
kU
Следовательно АЧХ описывается формулой
1)(
)(2
T
kA
ФЧХ строится по формуле
)()( Tarctg
ЛАЧХ апериодического звена 1-го порядка
1)(lg20lg20)( 2 TkL
По этой формуле можно построить две асимптоты ndash прямые к
которым стремится ЛАЧХ при ω rarr 0 и при ω rarr infin Так при ω rarr 0 второе
слагаемое близко к нулю и этот участок ЛАЧХ представляет собой
горизонтальную прямую
lg20)( kL
При ω rarr infin получаем наклонную прямую
1)(lg20)( 2 TL
35
Для определения наклона этой прямой можно рассмотреть гра-
ницы декады
T
1 и
10
T
Изменение ЛАЧХ между этими точками
)(2011
lg20110
lg20)(
22
декдБT
TT
TL
ЛЧХ часто называют диаграммами Боде
4 Краткое описание MATLAB
Лабораторная работа выполняется в программе математического
моделирования MATLAB Она включает в себя пакет прикладных про-
грамм для решения технических задач и одноименный язык программи-
рования используемый в этом пакете
Основными компонентами системы являются базовая система
MATLAB и пакет моделирования систем Simulink Остальные пакеты
расширения разбиты на 4 категории ndash расширения Extension MATLAB и
Extension Simulink а также комплексы пакетов расширения Blockset и
Toolbox
Раздел MATLAB Extension содержит средства для подготовки ис-
полняемых приложений MATLAB (с подключаемыми библиотеками и
без них)
Раздел Toolbox (инструментальные средства) содержит самое
большое число пакетов расширений системы MATLAB такие как
laquoControl systemraquo laquoDatabaseraquo laquoFuzzy logicraquo laquoWaveletraquo и тд
В разделе Blockset расположено несколько пакетов относящихся к
главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink такие как
laquoDSPraquo laquoFixed-Pointraquo laquoNonlinear control designraquo и laquoPower systemsraquo
В разделе Extension Simulink имеется ряд средств предназначен-
ных для моделирования в реальном масштабе времени и событийно-
управляемом моделировании
36
5 Построение частотных характеристик в MATLAB В пакете MATLAB ЛЧХ объекта заданного с помощью ПФ
можно получить командой bode
Пример
gtgt w=tf([1 2][3 4 5])
gtgt bode(w)
Для нескольких вариантов передаточной функции можно исполь-
зовать вариант команды вида
gtgt bode(ww1w2)
Например построим диаграмму Боде при различных параметрах
колебательного звена (рис 1)
gtgt w=tf([1][2 03 1])
gtgt w1=tf([1][2 05 1])
gtgt w2=tf([1][2 01 1])
gtgt bode(ww1w2)
Рис 1 ЛЧХ колебательного звена
6 Задание на лабораторную работу
С помощью пакета MATLAB построить ЛЧХ каждого типового
звена Определить влияние коэффициентов входящих в описание
каждого звена на параметры ЛАЧХ и ЛФЧХ Вариант задания назна-
чается преподавателем
37
7 Методика выполнения задания
Порядок выполнения работы
1 Задать передаточную функцию типового динамического звена
используя параметры из табл 2 лабораторной работы 1
2 Построить диаграмму Боде при различных параметрах типо-
вого динамического звена
3 Определить влияние коэффициентов входящих в описание
каждого звена на параметры ЛАЧХ и ЛФЧХ в том числе
ndash как меняется ширина асимптотических участков ЛАЧХ и
ЛФЧХ
ndash как меняется положение точек пересечения осей ЛАЧХ
4 Написать вывод по влиянию коэффициентов на типовое звено
5 Выполнить пункты 1-4 для всех типовых звеньев
6 Подготовить ответы на контрольные вопросы
8 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) титульный лист
б) краткие теоретические сведения
в) передаточные функции и схемы моделирования исследуемых
звеньев
г) экспериментально полученные характеристики при вариации
параметров каждого звена
д) выводы обобщающие проделанные эксперименты по каждо-
му звену
ж) ответы на контрольные вопросы
Контрольные вопросы
1 Как пользуясь частотными характеристиками определить па-
раметры (коэффициенты передаточной функции) звена Пояс-
нить на конкретных примерах
2 Указать особенности построения ЛАХ и ЛФХ динамических
звеньев Что понимается под асимптотической ЛАХ звена
3 Как осуществляется построение АФХ динамического звена
38
Лабораторная работа 4
ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ СИСТЕМ
С ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ
1 Цель работы
Изучение особенностей практического использования алгебраи-
ческих и частотных критериев устойчивости для анализа динамики
линейных САУ с использованием автоматизированных средств моде-
лирования на ПК ndash MATLAB SIMULINK
2 Задачи работы
ndash Закрепление углубление и расширение знаний студентов при
исследовании устойчивости систем с обратной связью
ndash Приобретение умений и навыков работы с программой мате-
матического моделирования MATLAB
ndash Овладение новыми методами проверки устойчивости систем
с обратной связью
ndash Выработка способности логического мышления осмысления
полученных данных
3 Теоретическая часть
Устойчивость САУ является одним из основных условий ее ра-
ботоспособности и включает требование затухания во времени пере-
ходных процессов
Система является устойчивой если при ограниченном входном
сигнале еѐ выходной сигнал также является ограниченным Если
система устойчива то она противостоит внешним воздействиям а
выведенная из состояния равновесия возвращается снова к нему
Система с расходящимся переходным процессом будет неустойчивой и
неработоспособной
Необходимое и достаточное условие устойчивости заключается в
том чтобы все корни характеристического уравнения (полюсы пере-
даточной функции системы) имели отрицательные вещественные ча-
сти Иначе говоря условием устойчивости системы является распо-
ложение всех полюсов в левой комплексной полуплоскости Тогда все
полюсы будут давать затухающую реакцию
Выше сформулированное условие устойчивости справедливо как
39
для линейных так и для линеаризованных систем Однако в случае
нулевых или чисто мнимых корней характеристического уравнения
вопрос об устойчивости линеаризованной системы может быть ре-
шен только на основании исследования ее нелинейных уравнений
В конце XIX и первой половине XX в задача вычисления корней
характеристического уравнения высокого порядка вызывала боль-
шие проблемы Поэтому были предложены несколько косвенных
методов оценки устойчивости позволяющих обойтись без вычисле-
ния корней ndash по значениям коэффициентов характеристического
уравнения
Критерии устойчивости разделяют на алгебраические и частот-
ные В частности к алгебраическим критериям относится критерий
Гурвица к частотным критериям ndash критерий Найквиста
Критерий Гурвица является алгебраическим критерием и при-
меняется к коэффициентам характеристического уравнения замкнутой
системы
Пусть имеется характеристическое уравнение замкнутой
системы
0011
1 apapapa n
nn
n
Из коэффициентов характеристического уравнения составляют
матрицу по правилу
1 По диагонали записываются коэффициенты от 1na до 0a
2 Каждая строка дополняется коэффициентами с возрастающи-
ми индексами слева направо так чтобы чередовались строки с нечет-
ными и четными индексами
3 В случае отсутствия индекса а также если он меньше 0 или
больше п на его место пишется 0
Таким образом матрица Гурвица приобретает следующий вид
40
Критерий устойчивости формулируется так
Чтобы система была устойчивой необходимо и достаточно что-
бы при 0na были положительными все п диагональных определи-
телей получаемых из матрицы Гурвица
Первые три определителя матрицы Гурвица имеют следующий
вид
Таким образом критерий Гурвица позволяет судить об абсо-
лютной устойчивости но он не дает возможности оценивать относи-
тельную устойчивость по корням характеристического уравнения
Частотный критерий устойчивости Найквиста анализирует
АФЧХ разомкнутой системы
Пусть имеется АФЧХ разомкнутой системы W(jω)
Для нахождения вещественной и мнимой части частотной ха-
рактеристики нужно освободиться от мнимости в знаменателе путем
умножения числителя и знаменателя на комплексную величину со-
пряженную знаменателю а затем выполнить разделение на веще-
ственную и мнимую части W(jω) приобретает вид
)()()( jQPjW
Задаваясь различными значениями частоты можно найти мно-
жество пар )()( 11 jQP )()( 22 jQP )()( nn jQP
Затем по этим парам строится АФЧХ на комплексной плоскости
Основные свойства АФЧХ разомкнутой системы
1 Если разомкнутая система не имеет интегрирующих звеньев
то при ω = 0 ее АФЧХ начинается на вещественной оси в точке
Р(ω)=К (где К ndash коэффициент усиления разомкнутой системы) За-
канчивается АФЧХ в начале координат при ω rarr infin (рис 1 а)
2 Если разомкнутая система имеет одно интегрирующее звено то
ее АФЧХ начинается при ω = 0 в бесконечности на отрицательной мни-
мой полуоси а заканчивается в начале координат при ω rarr infin (рис 1 б)
41
Рис 1 АФЧХ разомкнутой системы
Критерий устойчивости Найквиста формулируется так
1 Если разомкнутая система устойчива или находится на гра-
нице устойчивости то для того чтобы замкнутая система была
устойчива необходимо и достаточно чтобы АФЧХ разомкнутой
системы при изменении частоты ω от 0 до infin не охватывала точку с ко-
ординатами (-1 j0)
2 Если разомкнутая система неустойчива а ее передаточная
функция имеет т полюсов справа от мнимой оси на комплексной
плоскости то для устойчивости замкнутой системы необходимо и до-
статочно чтобы АФЧХ разомкнутой системы при изменении частоты
ω от -infin до +infin охватывала т раз точку с координатами (-1 j0)
При использовании этого критерия нужно учитывать две
особенности
1 Если разомкнутая система находится на границе устойчиво-
сти то ее АФЧХ уходит в бесконечность Для проверки критерия Най-
квиста нужно мысленно соединить конец АФЧХ дугой бесконечно
большого радиуса с положительной вещественной полуосью
2 На практике АФЧХ может строиться только для положитель-
ных частот (0 lt ω lt +infin) При применении критерия Найквиста счита-
ется что ветвь АФЧХ для отрицательных частот симметрична отно-
сительно вещественной оси
Физический смысл критерия устойчивости Найквиста заключа-
ется в том что система будет неустойчива если фаза выходного сиг-
нала противоположна фазе входного сигнала а коэффициент усиле-
ния больше 1 Поэтому для анализа устойчивости можно использо-
вать не АФЧХ а ЛАХ системы (для минимально-фазовых систем)
Система устойчива если на частоте среза значение фазы не превы-
шает -π Соответственно для устойчивой системы можно рассматри-
вать на ЛФЧХ запас устойчивости по фазе ndash расстояние от значения
фазы на частоте среза до уровня -π и запас устойчивости по амплиту-
42
де ndash расстояние от оси частот ЛАЧХ до значения усиления на часто-
те где фаза становится равной -π
4 Краткое описание MATLAB
Лабораторная работа выполняется в программе математического
моделирования MATLAB Программа MATLAB включает в себя пакет
прикладных программ для решения технических задач и одноименный
язык программирования используемый в этом пакете
Основными компонентами системы являются базовая система
MATLAB и пакет моделирования систем Simulink Остальные пакеты
расширения разбиты на 4 категории ndash расширения Extension MATLAB и
Extension Simulink а также комплексы пакетов расширения Blockset и
Toolbox
Раздел MATLAB Extension содержит средства для подготовки ис-
полняемых приложений MATLAB (с подключаемыми библиотеками и
без них)
Раздел Toolbox (инструментальные средства) содержит самое
большое число пакетов расширений системы MATLAB такие как
laquoControl systemraquo laquoDatabaseraquo laquoFuzzy logicraquo laquoWaveletraquo и тд
В разделе Blockset расположено несколько пакетов относящихся к
главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink такие как
laquoDSPraquo laquoFixed-Pointraquo laquoNonlinear control designraquo и laquoPower systemsraquo
В разделе Extension Simulink имеется ряд средств предназначен-
ных для моделирования в реальном масштабе времени и событийно-
управляемом моделировании
5 Исследование устойчивости САУ в MATLAB
Для проверки устойчивости САУ по Гурвицу постройте матрицу
Гурвица и найдите ее детерминант (функция det) Затем последова-
тельно уменьшая размер матрицы найдите значения всех диагональ-
ных детерминантов Пример
gtgt А=[1 14 18 2 5 2 3 4 3]
А =
1 14 18
2 5 2
3 4 3
gtgt det(A)
ans = -119
43
gtgt А1=А(12 12)
А1 =
1 14
2 5
gtgt det(A1)
ans = -23
Для проверки устойчивости САУ по Найквисту сначала нужно
выяснить является ли устойчивой разомкнутая система
Пример Пусть дана передаточная функция разомкнутой
системы
13232
12234
pppp
pW
Рассмотрим реакцию на скачок
gtgt w=tf([2 1][2 3 2 3 1])
gtgt step(w18)
График переходного процесса показан на рис 2
Рис 2 Переходная реакция
Разомкнутая система неустойчива и согласно критерию Найкви-
ста надо чтобы АФЧХ разомкнутой системы охватывала точку (-1 j0)
44
столько раз сколько полюсов имеется справа от мнимой оси Для по-
строения АФЧХ достаточно вызвать команду nyquist
gtgt nyquist(w)
Диаграмма Найквиста показана на рис 3
Рис 3 Диаграмма Найквиста для неустойчивой системы
Как показывает рис3 АФЧХ ни разу не охватывает точку
(-1 j0) поэтому замкнутая система будет неустойчивой Частотный
критерий Найквиста можно использовать и в том случае когда рас-
сматривается не АФЧХ а ЛАЧХ разомкнутой системы замкнутая
минимально-фазовая система устойчива если при достижении ЛФЧХ
значения -π ЛАЧХ будет отрицательной
Используя ЛАЧХ и ЛФЧХ можно оценить запасы устойчивости
системы по амплитуде и по фазе с помощью команды
gtgt margin(w)
Пример
gtgt w=tf([10][2 2 3 1])
gtgt margin(w)
Соответствующий график показан на рис 4
45
Рис 4 Определение запасов устойчивости по амплитуде и по фазе
6 Задание на лабораторную работу
Выполнить исследование устойчивости замкнутой системы по за-
данной передаточной функции разомкнутой системы Определить запас
устойчивости по амплитуде и по фазе Вариант задания назначается
преподавателем
7 Методика выполнения задания
Порядок выполнения работы
1 Рассчитать передаточную функцию замкнутой системы по
приведенной в табл 1 разомкнутой системе
2 Определить устойчивость замкнутой системы используя кри-
терий Гурвица
3 Определить устойчивость замкнутой системы используя кри-
терий Найквиста
4 Определить запас устойчивости по амплитуде и по фазе ис-
пользуя ЛАЧХ и ЛФЧХ
5 Выполнить моделирование переходных процессов разомкну-
той и замкнутой систем
6 Подготовить ответы на контрольные вопросы
46
Таблица 1
Варианты заданий
Передаточная функция разомкнутой системы
1 1355
2234
ssss
W
2 110050
1234
ssss
W
3 11010
123
sss
W
4 122105
100234
ssss
W
5 1248
123
sss
W
6 1223
102345
sssss
W
7 11001010
323
sss
W
8 122
1023
sss
W
9 11010
123
sss
W
10 15050332
102345
sssss
W
8 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) титульный лист
б) краткие теоретические сведения
в) переходную функцию разомкнутой системы
г) расчет передаточной функции замкнутой системы
д) расчетные выражения для обоснования устойчивости замкну-
той системы по алгебраическому критерию Гурвица
е) годограф Найквиста разомкнутой системы на основании кото-
рого делается вывод об устойчивости замкнутой системы
ѐ) переходную функцию замкнутой системы
ж) проверку полученных результатов путем компьютерного моде-
лирования переходных процессов разомкнутой и замкнутой си-
стемы в MATLAB Simulink
з) выводы по всем полученным результатам
47
Контрольные вопросы
1 Как связана устойчивость линейной САУ с видом составля-
ющих ее свободного движения
2 Зависит ли устойчивость линейных САУ от амплитуды зада-
ющих воздействий или возмущений
3 Сформулируйте критерий устойчивости Гурвица укажите на
необходимое условие устойчивости линейных САУ вытекаю-
щее из этого критерия
4 Сформулируйте критерий Найквиста для случая САУ устой-
чивых в разомкнутом состоянии а также для астатических САУ
Что такое laquoзапасы устойчивости по фазе и по амплитудеraquo
5 Что называется структурной устойчивостью
48
Лабораторная работа 5
КОРРЕКЦИЯ СТАТИЧЕСКИХ И ДИНАМИЧЕСКИХ
СВОЙСТВ САУ
1 Цель работы
Целью работы является изучение способов обеспечения иско-
мых характеристик САУ с использованием автоматизированных
средств моделирования на ПК ndash MATLAB SIMULINK
2 Задачи работы
ndash Закрепление углубление и расширение знаний студентов при
обеспечении искомых характеристик САУ
ndash Приобретение умений по обеспечению точности (уменьшение
статической ошибки) САУ и выбору значений параметров регулято-
ра обеспечивающих желаемые динамические свойства САУ
ndash Приобретение умений и навыков работы с программой мате-
матического моделирования MATLAB
3 Теоретическая часть
Коррекция статических и динамических свойств САУ имеет
своей целью повышение статической и динамической точности отра-
ботки системой задающего воздействия (или парирование возмуща-
ющего воздействия) повышение запасов ее устойчивости Наиболее
распространенными способами коррекции свойств САУ является из-
менение коэффициента усиления ее разомкнутой части введение в
САУ новых звеньев (как правило интегрирующего или дифференци-
рующего типа) охват объекта управления местной обратной связью
31 Коррекция статических свойств САУ
Статические свойства системы определяются величиной устано-
вившейся ошибки )t(уст вызванной действием задающего воздей-
ствия и определяемой по формуле
22
210 2 dttgdcdttdgctgctуст (1)
где )(tg - входное воздействие 210 ccc - коэффициенты ошибок
Коэффициенты ошибок определяются по формулам
49
dssdcdssdcscs
mmmss 00100
где s - передаточная функция САУ по ошибке управления рав-
ная
sW
sраз
1
1
sWраз - передаточная функция разомкнутой САУ
Основными способами уменьшения статической ошибки систе-
мы являются
1) увеличение коэффициента усиления прямого тракта системы
2) введение в прямой тракт системы интегрирующих звеньев
3) охват объекта управления местной неединичной положитель-
ной обратной связью
Представим структурную схему системы в виде изображенном
на рис 1 где через sW обозначена передаточная функция неизме-
няемой части системы
bsbsb
asasasW
nn
nn
mm
mm
01
1
01
1
Здесь и далее полагается что KKKsW s 000 0 ndash из-
меняемый коэффициент усиления регулятора системы
Первые два коэффициента ошибок 0c и 1c определяется выраже-
ниями
KK
c0
01
1
(2)
KK
dssdWKc
s
20
01
1
(3)
Из (2) и (3) с учетом (1) вытекает что с увеличением K
статическая ошибка в системе уменьшается и наоборот с уменьше-
нием K статическая ошибка в системе увеличивается
Введем в прямой тракт системы одно интегрирующее звено
50
(рис 2) В этом случае c 00 01 1 KKc
Так как c 00 то система на рис 2 является астатической (с
астатизмом первого порядка) Система имеет нулевую статическую
ошибку при отработке постоянного задающего воздействия
consttg и постоянную обратно пропорциональную K ошибку
constуст при отработке линейно изменяющегося воздействия
tatg
Рис 1 Схема САУ Рис 2 Схема САУ с включенным в прямой
тракт интегрирующим звеном
Охватим неизменяемую часть системы sW местной нееди-
ничной положительной обратной связью с коэффициентом усиления
осK (рис 3) Тогда эквивалентная передаточная функция sWэкв
неизменяемой части системы равна
10011
01
1
aKbsaKbsaKbsb
asasa
sWK
sWsW
ососm
mосmn
n
mm
mm
осэкв
(4)
Если коэффициент усиления K выбрать из условия
a
bKос
0
0
то свободный коэффициент (b0 - Koca0) полинома знаменателя sWэкв
обратится в нуль и sWэкв приобретает интегрирующие свойства
11
11
0
1
1
aKbsaKbsbs
asasasW
ос
m
mосm
n
n
m
m
m
mэкв
g(t) y(t)ε(t)
K W(s)-
g(t) y(t)
Ks W(s)-
ε(t)
51
Следовательно замкнутая система становится астатической (с
астатизмом 1-го порядка) Отсюда 0c =0 а коэффициент 1c будет
равен
aKb
bc
ос 11
01
ε(t)g(t) y(t)
W(s)-
Kос
Wэкв(s)
+
Рис 3 Схема САУ с местной неединичной обратной связью
32 Коррекция динамических свойств САУ
Улучшение динамических свойств САУ заключается в увеличе-
нии быстродействия САУ (уменьшении времени регулирования tрег)
уменьшении перерегулирования (см рис 4) а также увеличении
запасов устойчивости по фазе и по модулю При этом
h
hh
уст
устmax100
где maxh - максимальное значение переходной характеристики за-
мкнутой САУ th
устh - установившееся значение th
Время регулирования tрег - минимальная величина при которой удо-
влетворяется условие
устрег hth
где - заданная величина ошибки (обычно =005 устh )
52
h(t)
tрег
hустhmax
2δ
Рис 4 Быстродействие и перерегулирование САУ
Одним из эффективных средств достижения этой цели является
уменьшение отрицательных фазовых сдвигов в прямом тракте систе-
мы путем охвата неизменяемой части системы местными отрицатель-
ными обратными связями
На рис 5 R(s) представляет собой передаточную функцию регу-
лятора САУ которая считается заданной
ε(t)g(t) y(t)
W(s)-
Kос
Wэкв(s)
-
R(s)
u(t)
Рис 5 Схема САУ с местной обратной связью и регулятором
Пусть неизменяемая часть системы представляет собой аперио-
дическое звено первого порядка те
sT
K)s(W
10
0
Тогда передаточная функция sWэкв эквивалентного объекта
управления равна
sT
K
sWK
sWsW
экв
экв
осэкв
11
где зквK и эквT - коэффициент усиления и постоянная времени
эквивалентного объекта равные
53
KK
KK
осэкв
0
0
1
KK
TT
осэкв
0
0
1 (5)
Из (5) следует что соответствующим выбором осK постоянную
времени эквT эквивалентного объекта можно уменьшить в (1+ 0KKос )
раз по сравнении с постоянной времени 0T объекта без местной об-
ратной связи Тем самым уменьшаются отрицательные фазовые сдви-
ги вносимые прямым трактом системы что приводит к увеличению
запасов устойчивости системы При этом однако уменьшается в
(1+ 0KKос ) раз коэффициент усиления эквK эквивалентного объекта
по сравнению с коэффициентом усиления 0K объекта без местной
обратной связи Это нежелательно так как приводит к уменьшению
быстродействия системы вследствие уменьшения общего коэффици-
ента усиления прямого тракта системы В этом случае с целью обес-
печения необходимого быстродействия системы увеличивают коэф-
фициент усиления регулятора
4 Краткое описание MATLAB
Лабораторная работа выполняется в программе математического
моделирования MATLAB Программа MATLAB включает в себя пакет
прикладных программ для решения технических задач и одноименный
язык программирования используемый в этом пакете
Основными компонентами системы являются базовая система
MATLAB и пакет моделирования систем Simulink Остальные пакеты
расширения разбиты на 4 категории ndash расширения Extension MATLAB и
Extension Simulink а также комплексы пакетов расширения Blockset и
Toolbox
Раздел MATLAB Extension содержит средства для подготовки ис-
полняемых приложений MATLAB (с подключаемыми библиотеками и
без них)
Раздел Toolbox (инструментальные средства) содержит самое
большое число пакетов расширений системы MATLAB такие как
laquoControl systemraquo laquoDatabaseraquo laquoFuzzy logicraquo laquoWaveletraquo и тд
54
В разделе Blockset расположено несколько пакетов относящихся к
главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink такие как
laquoDSPraquo laquoFixed-Pointraquo laquoNonlinear control designraquo и laquoPower systemsraquo
В разделе Extension Simulink имеется ряд средств предназначен-
ных для моделирования в реальном масштабе времени и событийно-
управляемом моделировании
5 Задание на лабораторную работу
Выполнить исследование способов коррекции статических и
динамических свойств САУ Определить время регулирования и пе-
ререгулирования в исходной и скорректированной системах а также
для динамических свойств САУ определить запасы устойчивости в
исходной системе и найти экспериментально значение Kос обеспечи-
вающее в системе заданные показатели качества и запасы устойчиво-
сти Вариант задания назначается преподавателем
Таблица 1
Варианты заданий
варианта
Параметры
1
2
3
4
5
6
7
8
a 05 10 15 20 25 30 35 40
K0 1 2 3 4 5 6 7 8
T c 03 04 05 06 07 08 09 10
ξ 06 07 08 08 07 09 05 04
уст 0 0 005 0 010 007 0 0
tрег c le 13 15 20 25 30 35 40 40
le 0 10 10 5 5 5 0 0
В качестве исходных САУ выступают системы изображенные
на рис 6 и 7
55
ε(t)g(t) y(t)
W(s)-
g(t) y(t)
R(s) W(s)-
ε(t) u(t)
Рис 6 САУ с отрицательной Рис 7 САУ с отрицательной обратной
обратной связью связью и регулятором
6 Методика выполнения задания
При исследовании способов коррекции статических свойств
САУ в качестве исходных данных выступает передаточная функция
sW неизменяемой части системы вида
1222
0
sTsT
KsW (6)
и задающие воздействия вида ttg 1 в соответствии с таблицей 1
В процессе выполнения этой части работы необходимо
1) путем моделирования в системе MATLAB исходной САУ
(рис 6) получить графики ttytg
2) сравнить полученную таким образом экспериментальную ве-
личину t с теоретической величиной вычисленной по формуле (1)
3) применяя описанные в теоретической части методических
указаний способы коррекции статических свойств (см п 31) обес-
печить требуемую статическую ошибку εуст системы при отработке
задающего воздействия ttg 1
4) получить графики ty и t в скорректированной системе
для 1 ttg
5) сравнить время регулирования регt и перерегулирование в
исходной и скорректированной системах при 1 ttg
При исследовании рассмотренного способа коррекции динами-
ческих свойств САУ (см п 32) в качестве исходных данных высту-
пают передаточная функция sW неизменяемой части системы
вида (6) и передаточная функция регулятора вида
s
KsR
рег
56
Задающее воздействие ttg 1
В процессе выполнения данной части работы необходимо
1) получить путем моделирования в MATLAB графики ty t
в системе (рис 7)
2) определить время регулирования регt и перерегулирование
а также запасы устойчивости в исходной системе
3) применяя описанный выше способ коррекции динамических
свойств САУ найти экспериментально (путем последовательного пе-
ребора) значение осK обеспечивающее в системе заданные заданием
показатели качества ( регt ) и запасы устойчивости (при необхо-
димости увеличить коэффициент регK )
4) получить графики ty t а также ЛАХ и ЛФХ разомкну-
той системы в скорректированной САУ
7 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) титульный лист
б) структурные схемы исследуемых систем
в) полученные графики и характеристики
г) значения полученные экмпериментально которые
обеспечивают заданные показатели качества и запасы устойчивости
д) выводы обощающие проделанные эксперименты для
коррекции статических и динамических свойств САУ
е) ответы на контрольные вопросы
Контрольные вопросы 1 Дать определение статической и астатической САУ
2 Какими структурными свойствами системы определяется по-
рядок ее астатизма
3 Какой из двух приведенных выше способов придания системе
свойств астатизма 1-го порядка наиболее предпочтителен на
практике
4 Назовите основные показатели качества САУ Поясните их
смысл
5 В чѐм суть исследуемого способа коррекции динамических
свойств САУ
57
6 Назвать другие способы коррекции динамических свойств
САУ
7 Чем вызваны отрицательные фазовые сдвиги в неизменяемой
части САУ
58
Лабораторная работа 6
МЕТОД КОРНЕВОГО ГОДОГРАФА
1 Цель работы
Целью работы является построение корневого годографа и ис-
следование динамики системы с использованием автоматизирован-
ных средств моделирования на ПК ndash MATLABSIMULINK
2 Задачи работы
ndash Закрепление углубление и расширение знаний студентов при
исследование динамики системы
ndash Овладение навыком построения корневого годографа
ndash Приобретение умений и навыков работы с программой мате-
матического моделирования MATLAB
3 Теоретическая часть
Корневым годографом (КГ) называется совокупность траекто-
рий перемещения всех корней характеристического уравнения за-
мкнутой системы при изменении какого-либо параметра этой систе-
мы
Обычно метод КГ позволяет находить полюса и нули ПФ за-
мкнутой системы располагая полюсами и нулями разомкнутой си-
стемы при изменении коэффициента усиления разомкнутой системы
K
ПФ разомкнутой системы Wp(s) представим в следующем виде
)(
)(
1
1
0
n
ii
m
jj
p
ss
ssKC
sW (1)
где 0js ndash нули ПФ sWp )1( mj
is ndash полюса ПФ sWp
)1( nj n и m ndash порядки знаменателя и числителя C ndash коэффици-
ент представления (отношение коэффициентов при старших членах
числителя и знаменателя)
59
При замыкании системы с ПФ sWp единичной отрицатель-
ной обратной связью ПФ замкнутой системы sWз принимает вид
)(1
)(
sW
sWsW
p
pз
(2)
Из выражения (2) следует что нули ПФ замкнутой системы рав-
ны нулям ПФ разомкнутой системы
Для нахождения полюсов рассмотри выражение
01 sWp (3)
в соответствии с выражением (1) имеем
n
i
m
jjin
ii
m
jj
ssKCss
ss
ssKC
1 1
0
1
1
0
)()(01
)(
)(
(4)
На основании выражения (4) можно сказать что при K = 0 корни
характеристического уравнения совпадают с полюсами а при K = infin ndash
с нулями При изменении K от 0 до infin траектории корней начинаются
в полюсах и заканчиваются в нулях Обычно полюсов больше чем
нулей В этом случаем mn ветвей корневого годографа стремятся к
infin
Для определения полюсов замкнутой системы с отрицательной
обратной связью необходимо решить уравнение (его называют ос-
новным уравнением метода КГ)
1sWp (5)
Так как sWp является функцией комплексного переменного
s то уравнение (5) распадается на два уравнения уравнение модулей
1)( sWp (6)
60
и уравнение аргументов (фаза вектора -1 есть нечетное число π)
210)12()(arg sWp (7)
Как известно при умножении комплексных чисел их аргументы
складываются а при делении ndash вычитаются Поэтому исходя из вы-
ражения (1) уравнение (7) имеет наглядный геометрический смысл
Пусть точка s ndash полюс замкнутой системы Если провести в s
вектора из нулей sWp (обозначим аргументы этих векторов 0j ) и
вектора из всех полюсов sWp (обозначим аргументы этих векторов
i ) то уравнение (7) можно записать в следующем виде
m
j
n
iij
1 1
0 210)12( (8)
Углы q отсчитываются от положительного направления дей-
ствительной оси Знак угла laquo+raquo соответствует повороту против часо-
вой стрелки знак угла laquo-raquo соответствует повороту по часовой стрел-
ке
Таким образом любая точка КГ должна удовлетворять уравне-
нию (8) из которого следует что конфигурация КГ не зависит от ко-
эффициента усиления K но каждому конкретному значению K одно-
значно соответствуют точки на КГ
При умножении комплексных чисел их модули перемножаются
а при делении ndash делятся Поэтому на основании (6) можно записать
1
1
1
0
n
ii
m
jj
l
lKC
(9)
где 0jl ndash модуль (длина) вектора проведенного из j-нуля в точку s
КГ il ndash модуль вектора проведенного из i-полюса в ту же точку s
61
Таким образом траектории корней строятся только по уравне-
ниям фаз а уравнение модулей используется затем для нахождения
K
Сущность метода КГ заключается в том чтобы узнать каким
должен быть коэффициент усиления разомкнутой системы чтобы
было обеспечено желаемое положение корней замкнутой системы
Корневой годограф системы с отрицательной обратной связью
обладает следующими основными свойствами
1 Ветви КГ непрерывны и расположены на комплексной плос-
кости симметрично относительно действительной оси
2 Число ветвей КГ равно порядку системы n Ветви начинают-
ся в n полюсах разомкнутой системы при K=0 При возрастании K от
0 до infin полюса замкнутой системы двигаются по ветвям КГ
3 mветвей КГ при возрастании K от 0 до infin заканчиваются в m
нулях )(sWp а )( mn ветвей при K стремящемся к infin удаляются
от полюсов вдоль асимптот
4 При расположении ветвей корневого годографа в левой полу-
плоскости s САУ устойчива При пересечении ветвей КГ мнимой оси
слева направо САУ становится неустойчивой Пусть при K=Kкр
пере-
сечение КГ с мнимой осью произойдет в некоторой точке iωкр
Назо-
вем это значение коэффициента усиления критическим Kкр
а вели-
чину iωкр
критической угловой частотой на которой система стано-
вится неустойчивой
4 Краткое описание MATLAB
Лабораторная работа выполняется в программе математического
моделирования MATLAB Программа MATLAB включает в себя пакет
прикладных программ для решения технических задач и одноименный
язык программирования используемый в этом пакете
Основными компонентами системы являются базовая система
MATLAB и пакет моделирования систем Simulink Остальные пакеты
расширения разбиты на 4 категории ndash расширения Extension MATLAB и
Extension Simulink а также комплексы пакетов расширения Blockset и
Toolbox
Раздел MATLAB Extension содержит средства для подготовки ис-
полняемых приложений MATLAB (с подключаемыми библиотеками и
без них)
62
Раздел Toolbox (инструментальные средства) содержит самое
большое число пакетов расширений системы MATLAB такие как
laquoControl systemraquo laquoDatabaseraquo laquoFuzzy logicraquo laquoWaveletraquo и тд
В разделе Blockset расположено несколько пакетов относящихся к
главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink такие как
laquoDSPraquo laquoFixed-Pointraquo laquoNonlinear control designraquo и laquoPower systemsraquo
В разделе Extension Simulink имеется ряд средств предназначен-
ных для моделирования в реальном масштабе времени и событийно-
управляемом моделировании
5 Корневой годограф в MATLAB
В системе MATLAB существует команда zpk для преобразова-
ния модели заданной ПФ в модель заданную нулями полюсами и
обобщенными коэффициентами передачи (zpk-форма)
Пример
gtgt w=tf([10][2 2 3 1 0])
Transfer function
10
-------------------------------
2 s^4 + 2 s^3 + 3 s^2 + s
gtgt w1=zpk(w)
Zeropolegain
5
----------------------------------------------
s (s+03966) (s^2 + 06034s + 1261)
Для работы с корневым годографом удобно использовать гра-
фический интерфейс laquoSISO-Design Toolraquo предназначенный для ана-
лиза и синтеза одномерных линейных систем автоматического управ-
ления (SISO ndash Single Input Signal Output)
Запуск SISO-Design Tool осуществляется командой
gtgt sisotool
63
В появившемся окне графического интерфейса необходимо ис-
пользовать команду laquoFileImportraquo для загрузки данных из рабочего
пространства MATLAB в результате которой появляется диалоговое
окно Import System Data (рис 1)
Рис 1 Диалог для ввода параметров модели
После импортирования данных можно исследовать изменение
временных и частотных характеристик замкнутой системы при изме-
нении K Обычно при этом требуется определить условия неустойчи-
вости замкнутой САУ Определить Kкр
и iωкр
На рис 2 показано окно sisotool для описанной выше модели w1
Двигая красным курсором по КГ до пересечения ветвей с мнимой
осью можно определить значения Kкр
В данном случае Kкр
asymp 01
Значение iωкр
соответствует мнимой координате пересечения КГ
мнимой оси Просмотреть это значение можно в нижней части ин-
терфейса или выбрать меню laquoView Closed-Loop Polesraquo
64
Рис 2 Основное окно SISO-Design Tool
6 Задание на лабораторную работу
Построить КГ в соответствии с вариантом из табл 1 при помо-
щи графического интерфейса sisotool
Исследовать динамику замкнутой системы при различных зна-
чениях коэффициента усиления разомкнутой системы K в том числе
ndash запасы устойчивости в частотной области
ndash параметры переходного процесса во временной области
Таблица 1
Варианты передаточных функций
Значения параметров Передаточная функция
разомкнутой системы
1 T = 01 ζ = 1
)12( 22 sTsTs
K
2 T = 005 ζ = 0707
3 T = 003 ζ = 01
4 T = 008 ζ = 05
5 T = 001 ζ = 015
65
Окончание табл 1
Значения параметров Передаточная функция
разомкнутой системы
6 T1 = 003 T2 = 05 T3 = 01 T4 = 005
)1)(1)(1(
)1(
432
1
sTsTsTs
sTK
7 T1 = 005 T2 = 04 T3 = 008 T4 = 0033
8 T1 = 02 T2 = 045 T3 = 01 T4 = 005
9 T1 = 05 T2 = 025 T3 = 01 T4 = 002
10 T1 = 01 T2 = 025 T3 = 01 T4 = 005
Вариант задания назначается преподавателем
7 Методика выполнения задания
Порядок выполнения лабораторной работы
1 Задать передаточную функцию в MATLAB в соответствии с
вариантом коэффициент K задать любым положительным числом
2 Запустить SISO-Design Tool и осуществить ввод данных
Построить КГ
3 По КГ определить значения коэффициента K когда система
будет устойчивой на границе устойчивости и неустойчива
4 Выбрать значение коэффициента K таким образом чтобы си-
стемы была устойчива и определить запас устойчивости в частотной
области и параметры переходного процесса во временной области
8 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) титульный лист
б) передаточную функцию и этапы построения КГ
в) анализ результатов построения КГ
г) выводы по проделанной работе
д) ответы на контрольные вопросы
Контрольные вопросы 1 Дать определение КГ
2 Что обычно позволяет находить метод КГ
3 В чем заключается сущность метода КГ
4 Что можно определить по КГ
66
Критерии результативности лабораторного практикума
Лабораторная работа считается выполненной если студент
ndash выполнил все указанные задания
ndash представил отчет соответствующий всем требованиям к его
содержанию и оформлению
ndash владеет терминологией и материалом лабораторной работы
ndash способен использовать программное средство математическо-
го моделирования MATLAB
ndash способен предоставить и рассказать результаты выполненной
работы на ПК
ndash может дать пояснения к отчету и ответить на контрольные
вопросы
Список литературы
1 Александров АГ Частотная теория автоматического управле-
ния учебное пособие ndash Электросталь ЭПИ МИСиС 2010
2 Борисевич АВ Теория автоматического управления элементар-
ное введение с применением MATLAB ndash СПб Изд-во Политехн ун-
та 2011
3 Федоров ВЛ Бубнов АВ Теория автоматического управления
учебное пособие ndash Омск Изд-во ОмГТУ 2010
4 Павловская ОО Чернецкая ИВ Теория автоматического
управления учебное пособие ndash Челябинск Изд-во ЮУрГУ 2010
67
Составители ЛЯНЦЕВ Олег Дмитриевич КАЗАНЦЕВ Андрей Валерьевич
ИССЛЕДОВАНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК СИСТЕМ
АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
Лабораторный практикум
по дисциплине
laquoТеория управленияraquo
Подписано в печать Формат 60х84 116 Бумага офсетная Пе-
чать плоская Гарнитура Times New Roman Усл печ л 56 Уч-изд л
55 Тираж 100 экз Заказ
ФГБОУ ВПО Уфимский государственный авиационный технический
университет
Центр оперативной полиграфии УГАТУ
450000 Уфа-центр ул К Маркса 12
31
Лабораторная работа 3
ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
ДИНАМИЧЕСКИХ ЗВЕНЬЕВ
1 Цель работы
Целью работы является изучение частотных характеристик ти-
повых динамических звеньев с использованием автоматизированных
средств моделирования на ПК ndash MATLAB SIMULINK
2 Задачи работы
ndash Закрепление углубление и расширение знаний студентов при
исследовании частотных характеристик динамических звеньев
ndash Приобретение умений и навыков работы с программой мате-
матического моделирования MATLAB
ndash Выработка способности логического мышления осмысление
полученных данных частотных характеристик
3 Теоретическая часть Сущность метода частотных характеристик заключается в том
что на вход исследуемой системы подается гармонический сигнал (си-
нусоидальные колебания) в широком диапазоне частот Реакция си-
стемы при разных частотах позволяет судить о ее динамических
свойствах
Пусть входной сигнал системы имеет амплитуду а и частоту ω т е
описывается формулой
)sin( tax
Выходной сигнал будет иметь амплитуду А1 и отличаться от вход-
ного по фазе на величину ψ (фазовый сдвиг)
)sin(1 tAy
Таким образом можно рассчитать усиление по амплитуде
1
a
AA
32
Для каждой частоты входного сигнала ω будут свои А и ψ
Изменяя ω в широком диапазоне можно получить зависимость
А(ω) ndash амплитудную частотную характеристику (АЧХ) и ψ(ω) ndash фазо-
вую частотную характеристику (ФЧХ)
Главное достоинство метода частотных характеристик заключа-
ется в том что АЧХ и ФЧХ объекта могут быть получены экспери-
ментально Для этого необходимо иметь генератор гармонических
колебаний который подключается к входу объекта и измеритель-
ную аппаратуру для измерения амплитуды и фазового сдвига колеба-
ний на выходе объекта
Частотные характеристики САУ могут быть получены по ее ПФ
W(s) Для суждения о реакции звена на синусоидальный сигнал доста-
точно исследовать его реакцию на гармонический сигнал вида
)( tjejx
Тогда выходной сигнал определяется по соотношению
)()( ))(( tjeAjy
и частотная ПФ получается равной
)()(
)()( )(
jeA
jx
jyjW
Формально для получения частотной ПФ надо сделать в W(s)
подстановку s = jω и тогда полученная W(jω) является комплексным
выражением которое можно представить в виде
)()(
)()()(
22
11
jba
jbajW
Для нахождения вещественной и мнимой частей частотной пе-
редаточной функции необходимо умножить числитель и знаменатель
на сопряженную знаменателю величину а затем провести
разделение
33
)()()(
)()(
)()()()(
)()(
)()()()(
))()())(()((
))()())(()((
)()(
)()()(
)(
22
22
2112
22
22
2121
2222
2211
22
11
jeAjVU
ba
babaj
ba
bbaa
jbajba
jbajba
jba
jbajW
где
)()()()(22
22
21
2122
ba
baVUjWA
)(
)())(arg()(
2
2
1
1
a
barctg
a
barctg
U
VarctgjW
Графики функции )(U и )(V называют соответственно веще-
ственной и мнимой частотной характеристиками
В практических расчетах удобно применять графики частотных
характеристик построенных в логарифмическом масштабе ndash лога-
рифмические частотные характеристики (ЛЧХ)
Логарифмическая амплитудная частотная характеристика
(ЛАЧХ) определяется следующим выражением
)(lg20)( AL
Логарифмической фазовой частотной характеристикой
(ЛФЧХ) называется график зависимости )( построенный в лога-
рифмическом масштабе частот
Единицей L(ω) является децибел (дБ) а единицей логарифма ча-
стоты ndash декада Декадой называют интервал частот на котором часто-
та изменяется в 10 раз При изменении частоты в 10 раз говорят что
она изменилась на одну декаду Ось ординат при построении ЛЧХ про-
водят через произвольную точку а не через точку ω = 0 Частоте ω = 0
соответствует бесконечно удаленная точка lgω rarr ndash infin при ω rarr 0
Основное преимущество использования ЛЧХ заключается в том
что приближенные (асимптотические) ЛАЧХ типовых динамических
звеньев изображаются отрезками прямых
Пример Построим ЛЧХ апериодического звена первого
34
порядка
Передаточная функция звена
1
)(
Ts
ksW
Частотная передаточная функция
1)(
)1(
1)(
2
T
Tjk
Tj
kjW
1)(
1)( 22
T
kTV
T
kU
Следовательно АЧХ описывается формулой
1)(
)(2
T
kA
ФЧХ строится по формуле
)()( Tarctg
ЛАЧХ апериодического звена 1-го порядка
1)(lg20lg20)( 2 TkL
По этой формуле можно построить две асимптоты ndash прямые к
которым стремится ЛАЧХ при ω rarr 0 и при ω rarr infin Так при ω rarr 0 второе
слагаемое близко к нулю и этот участок ЛАЧХ представляет собой
горизонтальную прямую
lg20)( kL
При ω rarr infin получаем наклонную прямую
1)(lg20)( 2 TL
35
Для определения наклона этой прямой можно рассмотреть гра-
ницы декады
T
1 и
10
T
Изменение ЛАЧХ между этими точками
)(2011
lg20110
lg20)(
22
декдБT
TT
TL
ЛЧХ часто называют диаграммами Боде
4 Краткое описание MATLAB
Лабораторная работа выполняется в программе математического
моделирования MATLAB Она включает в себя пакет прикладных про-
грамм для решения технических задач и одноименный язык программи-
рования используемый в этом пакете
Основными компонентами системы являются базовая система
MATLAB и пакет моделирования систем Simulink Остальные пакеты
расширения разбиты на 4 категории ndash расширения Extension MATLAB и
Extension Simulink а также комплексы пакетов расширения Blockset и
Toolbox
Раздел MATLAB Extension содержит средства для подготовки ис-
полняемых приложений MATLAB (с подключаемыми библиотеками и
без них)
Раздел Toolbox (инструментальные средства) содержит самое
большое число пакетов расширений системы MATLAB такие как
laquoControl systemraquo laquoDatabaseraquo laquoFuzzy logicraquo laquoWaveletraquo и тд
В разделе Blockset расположено несколько пакетов относящихся к
главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink такие как
laquoDSPraquo laquoFixed-Pointraquo laquoNonlinear control designraquo и laquoPower systemsraquo
В разделе Extension Simulink имеется ряд средств предназначен-
ных для моделирования в реальном масштабе времени и событийно-
управляемом моделировании
36
5 Построение частотных характеристик в MATLAB В пакете MATLAB ЛЧХ объекта заданного с помощью ПФ
можно получить командой bode
Пример
gtgt w=tf([1 2][3 4 5])
gtgt bode(w)
Для нескольких вариантов передаточной функции можно исполь-
зовать вариант команды вида
gtgt bode(ww1w2)
Например построим диаграмму Боде при различных параметрах
колебательного звена (рис 1)
gtgt w=tf([1][2 03 1])
gtgt w1=tf([1][2 05 1])
gtgt w2=tf([1][2 01 1])
gtgt bode(ww1w2)
Рис 1 ЛЧХ колебательного звена
6 Задание на лабораторную работу
С помощью пакета MATLAB построить ЛЧХ каждого типового
звена Определить влияние коэффициентов входящих в описание
каждого звена на параметры ЛАЧХ и ЛФЧХ Вариант задания назна-
чается преподавателем
37
7 Методика выполнения задания
Порядок выполнения работы
1 Задать передаточную функцию типового динамического звена
используя параметры из табл 2 лабораторной работы 1
2 Построить диаграмму Боде при различных параметрах типо-
вого динамического звена
3 Определить влияние коэффициентов входящих в описание
каждого звена на параметры ЛАЧХ и ЛФЧХ в том числе
ndash как меняется ширина асимптотических участков ЛАЧХ и
ЛФЧХ
ndash как меняется положение точек пересечения осей ЛАЧХ
4 Написать вывод по влиянию коэффициентов на типовое звено
5 Выполнить пункты 1-4 для всех типовых звеньев
6 Подготовить ответы на контрольные вопросы
8 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) титульный лист
б) краткие теоретические сведения
в) передаточные функции и схемы моделирования исследуемых
звеньев
г) экспериментально полученные характеристики при вариации
параметров каждого звена
д) выводы обобщающие проделанные эксперименты по каждо-
му звену
ж) ответы на контрольные вопросы
Контрольные вопросы
1 Как пользуясь частотными характеристиками определить па-
раметры (коэффициенты передаточной функции) звена Пояс-
нить на конкретных примерах
2 Указать особенности построения ЛАХ и ЛФХ динамических
звеньев Что понимается под асимптотической ЛАХ звена
3 Как осуществляется построение АФХ динамического звена
38
Лабораторная работа 4
ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ СИСТЕМ
С ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ
1 Цель работы
Изучение особенностей практического использования алгебраи-
ческих и частотных критериев устойчивости для анализа динамики
линейных САУ с использованием автоматизированных средств моде-
лирования на ПК ndash MATLAB SIMULINK
2 Задачи работы
ndash Закрепление углубление и расширение знаний студентов при
исследовании устойчивости систем с обратной связью
ndash Приобретение умений и навыков работы с программой мате-
матического моделирования MATLAB
ndash Овладение новыми методами проверки устойчивости систем
с обратной связью
ndash Выработка способности логического мышления осмысления
полученных данных
3 Теоретическая часть
Устойчивость САУ является одним из основных условий ее ра-
ботоспособности и включает требование затухания во времени пере-
ходных процессов
Система является устойчивой если при ограниченном входном
сигнале еѐ выходной сигнал также является ограниченным Если
система устойчива то она противостоит внешним воздействиям а
выведенная из состояния равновесия возвращается снова к нему
Система с расходящимся переходным процессом будет неустойчивой и
неработоспособной
Необходимое и достаточное условие устойчивости заключается в
том чтобы все корни характеристического уравнения (полюсы пере-
даточной функции системы) имели отрицательные вещественные ча-
сти Иначе говоря условием устойчивости системы является распо-
ложение всех полюсов в левой комплексной полуплоскости Тогда все
полюсы будут давать затухающую реакцию
Выше сформулированное условие устойчивости справедливо как
39
для линейных так и для линеаризованных систем Однако в случае
нулевых или чисто мнимых корней характеристического уравнения
вопрос об устойчивости линеаризованной системы может быть ре-
шен только на основании исследования ее нелинейных уравнений
В конце XIX и первой половине XX в задача вычисления корней
характеристического уравнения высокого порядка вызывала боль-
шие проблемы Поэтому были предложены несколько косвенных
методов оценки устойчивости позволяющих обойтись без вычисле-
ния корней ndash по значениям коэффициентов характеристического
уравнения
Критерии устойчивости разделяют на алгебраические и частот-
ные В частности к алгебраическим критериям относится критерий
Гурвица к частотным критериям ndash критерий Найквиста
Критерий Гурвица является алгебраическим критерием и при-
меняется к коэффициентам характеристического уравнения замкнутой
системы
Пусть имеется характеристическое уравнение замкнутой
системы
0011
1 apapapa n
nn
n
Из коэффициентов характеристического уравнения составляют
матрицу по правилу
1 По диагонали записываются коэффициенты от 1na до 0a
2 Каждая строка дополняется коэффициентами с возрастающи-
ми индексами слева направо так чтобы чередовались строки с нечет-
ными и четными индексами
3 В случае отсутствия индекса а также если он меньше 0 или
больше п на его место пишется 0
Таким образом матрица Гурвица приобретает следующий вид
40
Критерий устойчивости формулируется так
Чтобы система была устойчивой необходимо и достаточно что-
бы при 0na были положительными все п диагональных определи-
телей получаемых из матрицы Гурвица
Первые три определителя матрицы Гурвица имеют следующий
вид
Таким образом критерий Гурвица позволяет судить об абсо-
лютной устойчивости но он не дает возможности оценивать относи-
тельную устойчивость по корням характеристического уравнения
Частотный критерий устойчивости Найквиста анализирует
АФЧХ разомкнутой системы
Пусть имеется АФЧХ разомкнутой системы W(jω)
Для нахождения вещественной и мнимой части частотной ха-
рактеристики нужно освободиться от мнимости в знаменателе путем
умножения числителя и знаменателя на комплексную величину со-
пряженную знаменателю а затем выполнить разделение на веще-
ственную и мнимую части W(jω) приобретает вид
)()()( jQPjW
Задаваясь различными значениями частоты можно найти мно-
жество пар )()( 11 jQP )()( 22 jQP )()( nn jQP
Затем по этим парам строится АФЧХ на комплексной плоскости
Основные свойства АФЧХ разомкнутой системы
1 Если разомкнутая система не имеет интегрирующих звеньев
то при ω = 0 ее АФЧХ начинается на вещественной оси в точке
Р(ω)=К (где К ndash коэффициент усиления разомкнутой системы) За-
канчивается АФЧХ в начале координат при ω rarr infin (рис 1 а)
2 Если разомкнутая система имеет одно интегрирующее звено то
ее АФЧХ начинается при ω = 0 в бесконечности на отрицательной мни-
мой полуоси а заканчивается в начале координат при ω rarr infin (рис 1 б)
41
Рис 1 АФЧХ разомкнутой системы
Критерий устойчивости Найквиста формулируется так
1 Если разомкнутая система устойчива или находится на гра-
нице устойчивости то для того чтобы замкнутая система была
устойчива необходимо и достаточно чтобы АФЧХ разомкнутой
системы при изменении частоты ω от 0 до infin не охватывала точку с ко-
ординатами (-1 j0)
2 Если разомкнутая система неустойчива а ее передаточная
функция имеет т полюсов справа от мнимой оси на комплексной
плоскости то для устойчивости замкнутой системы необходимо и до-
статочно чтобы АФЧХ разомкнутой системы при изменении частоты
ω от -infin до +infin охватывала т раз точку с координатами (-1 j0)
При использовании этого критерия нужно учитывать две
особенности
1 Если разомкнутая система находится на границе устойчиво-
сти то ее АФЧХ уходит в бесконечность Для проверки критерия Най-
квиста нужно мысленно соединить конец АФЧХ дугой бесконечно
большого радиуса с положительной вещественной полуосью
2 На практике АФЧХ может строиться только для положитель-
ных частот (0 lt ω lt +infin) При применении критерия Найквиста счита-
ется что ветвь АФЧХ для отрицательных частот симметрична отно-
сительно вещественной оси
Физический смысл критерия устойчивости Найквиста заключа-
ется в том что система будет неустойчива если фаза выходного сиг-
нала противоположна фазе входного сигнала а коэффициент усиле-
ния больше 1 Поэтому для анализа устойчивости можно использо-
вать не АФЧХ а ЛАХ системы (для минимально-фазовых систем)
Система устойчива если на частоте среза значение фазы не превы-
шает -π Соответственно для устойчивой системы можно рассматри-
вать на ЛФЧХ запас устойчивости по фазе ndash расстояние от значения
фазы на частоте среза до уровня -π и запас устойчивости по амплиту-
42
де ndash расстояние от оси частот ЛАЧХ до значения усиления на часто-
те где фаза становится равной -π
4 Краткое описание MATLAB
Лабораторная работа выполняется в программе математического
моделирования MATLAB Программа MATLAB включает в себя пакет
прикладных программ для решения технических задач и одноименный
язык программирования используемый в этом пакете
Основными компонентами системы являются базовая система
MATLAB и пакет моделирования систем Simulink Остальные пакеты
расширения разбиты на 4 категории ndash расширения Extension MATLAB и
Extension Simulink а также комплексы пакетов расширения Blockset и
Toolbox
Раздел MATLAB Extension содержит средства для подготовки ис-
полняемых приложений MATLAB (с подключаемыми библиотеками и
без них)
Раздел Toolbox (инструментальные средства) содержит самое
большое число пакетов расширений системы MATLAB такие как
laquoControl systemraquo laquoDatabaseraquo laquoFuzzy logicraquo laquoWaveletraquo и тд
В разделе Blockset расположено несколько пакетов относящихся к
главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink такие как
laquoDSPraquo laquoFixed-Pointraquo laquoNonlinear control designraquo и laquoPower systemsraquo
В разделе Extension Simulink имеется ряд средств предназначен-
ных для моделирования в реальном масштабе времени и событийно-
управляемом моделировании
5 Исследование устойчивости САУ в MATLAB
Для проверки устойчивости САУ по Гурвицу постройте матрицу
Гурвица и найдите ее детерминант (функция det) Затем последова-
тельно уменьшая размер матрицы найдите значения всех диагональ-
ных детерминантов Пример
gtgt А=[1 14 18 2 5 2 3 4 3]
А =
1 14 18
2 5 2
3 4 3
gtgt det(A)
ans = -119
43
gtgt А1=А(12 12)
А1 =
1 14
2 5
gtgt det(A1)
ans = -23
Для проверки устойчивости САУ по Найквисту сначала нужно
выяснить является ли устойчивой разомкнутая система
Пример Пусть дана передаточная функция разомкнутой
системы
13232
12234
pppp
pW
Рассмотрим реакцию на скачок
gtgt w=tf([2 1][2 3 2 3 1])
gtgt step(w18)
График переходного процесса показан на рис 2
Рис 2 Переходная реакция
Разомкнутая система неустойчива и согласно критерию Найкви-
ста надо чтобы АФЧХ разомкнутой системы охватывала точку (-1 j0)
44
столько раз сколько полюсов имеется справа от мнимой оси Для по-
строения АФЧХ достаточно вызвать команду nyquist
gtgt nyquist(w)
Диаграмма Найквиста показана на рис 3
Рис 3 Диаграмма Найквиста для неустойчивой системы
Как показывает рис3 АФЧХ ни разу не охватывает точку
(-1 j0) поэтому замкнутая система будет неустойчивой Частотный
критерий Найквиста можно использовать и в том случае когда рас-
сматривается не АФЧХ а ЛАЧХ разомкнутой системы замкнутая
минимально-фазовая система устойчива если при достижении ЛФЧХ
значения -π ЛАЧХ будет отрицательной
Используя ЛАЧХ и ЛФЧХ можно оценить запасы устойчивости
системы по амплитуде и по фазе с помощью команды
gtgt margin(w)
Пример
gtgt w=tf([10][2 2 3 1])
gtgt margin(w)
Соответствующий график показан на рис 4
45
Рис 4 Определение запасов устойчивости по амплитуде и по фазе
6 Задание на лабораторную работу
Выполнить исследование устойчивости замкнутой системы по за-
данной передаточной функции разомкнутой системы Определить запас
устойчивости по амплитуде и по фазе Вариант задания назначается
преподавателем
7 Методика выполнения задания
Порядок выполнения работы
1 Рассчитать передаточную функцию замкнутой системы по
приведенной в табл 1 разомкнутой системе
2 Определить устойчивость замкнутой системы используя кри-
терий Гурвица
3 Определить устойчивость замкнутой системы используя кри-
терий Найквиста
4 Определить запас устойчивости по амплитуде и по фазе ис-
пользуя ЛАЧХ и ЛФЧХ
5 Выполнить моделирование переходных процессов разомкну-
той и замкнутой систем
6 Подготовить ответы на контрольные вопросы
46
Таблица 1
Варианты заданий
Передаточная функция разомкнутой системы
1 1355
2234
ssss
W
2 110050
1234
ssss
W
3 11010
123
sss
W
4 122105
100234
ssss
W
5 1248
123
sss
W
6 1223
102345
sssss
W
7 11001010
323
sss
W
8 122
1023
sss
W
9 11010
123
sss
W
10 15050332
102345
sssss
W
8 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) титульный лист
б) краткие теоретические сведения
в) переходную функцию разомкнутой системы
г) расчет передаточной функции замкнутой системы
д) расчетные выражения для обоснования устойчивости замкну-
той системы по алгебраическому критерию Гурвица
е) годограф Найквиста разомкнутой системы на основании кото-
рого делается вывод об устойчивости замкнутой системы
ѐ) переходную функцию замкнутой системы
ж) проверку полученных результатов путем компьютерного моде-
лирования переходных процессов разомкнутой и замкнутой си-
стемы в MATLAB Simulink
з) выводы по всем полученным результатам
47
Контрольные вопросы
1 Как связана устойчивость линейной САУ с видом составля-
ющих ее свободного движения
2 Зависит ли устойчивость линейных САУ от амплитуды зада-
ющих воздействий или возмущений
3 Сформулируйте критерий устойчивости Гурвица укажите на
необходимое условие устойчивости линейных САУ вытекаю-
щее из этого критерия
4 Сформулируйте критерий Найквиста для случая САУ устой-
чивых в разомкнутом состоянии а также для астатических САУ
Что такое laquoзапасы устойчивости по фазе и по амплитудеraquo
5 Что называется структурной устойчивостью
48
Лабораторная работа 5
КОРРЕКЦИЯ СТАТИЧЕСКИХ И ДИНАМИЧЕСКИХ
СВОЙСТВ САУ
1 Цель работы
Целью работы является изучение способов обеспечения иско-
мых характеристик САУ с использованием автоматизированных
средств моделирования на ПК ndash MATLAB SIMULINK
2 Задачи работы
ndash Закрепление углубление и расширение знаний студентов при
обеспечении искомых характеристик САУ
ndash Приобретение умений по обеспечению точности (уменьшение
статической ошибки) САУ и выбору значений параметров регулято-
ра обеспечивающих желаемые динамические свойства САУ
ndash Приобретение умений и навыков работы с программой мате-
матического моделирования MATLAB
3 Теоретическая часть
Коррекция статических и динамических свойств САУ имеет
своей целью повышение статической и динамической точности отра-
ботки системой задающего воздействия (или парирование возмуща-
ющего воздействия) повышение запасов ее устойчивости Наиболее
распространенными способами коррекции свойств САУ является из-
менение коэффициента усиления ее разомкнутой части введение в
САУ новых звеньев (как правило интегрирующего или дифференци-
рующего типа) охват объекта управления местной обратной связью
31 Коррекция статических свойств САУ
Статические свойства системы определяются величиной устано-
вившейся ошибки )t(уст вызванной действием задающего воздей-
ствия и определяемой по формуле
22
210 2 dttgdcdttdgctgctуст (1)
где )(tg - входное воздействие 210 ccc - коэффициенты ошибок
Коэффициенты ошибок определяются по формулам
49
dssdcdssdcscs
mmmss 00100
где s - передаточная функция САУ по ошибке управления рав-
ная
sW
sраз
1
1
sWраз - передаточная функция разомкнутой САУ
Основными способами уменьшения статической ошибки систе-
мы являются
1) увеличение коэффициента усиления прямого тракта системы
2) введение в прямой тракт системы интегрирующих звеньев
3) охват объекта управления местной неединичной положитель-
ной обратной связью
Представим структурную схему системы в виде изображенном
на рис 1 где через sW обозначена передаточная функция неизме-
няемой части системы
bsbsb
asasasW
nn
nn
mm
mm
01
1
01
1
Здесь и далее полагается что KKKsW s 000 0 ndash из-
меняемый коэффициент усиления регулятора системы
Первые два коэффициента ошибок 0c и 1c определяется выраже-
ниями
KK
c0
01
1
(2)
KK
dssdWKc
s
20
01
1
(3)
Из (2) и (3) с учетом (1) вытекает что с увеличением K
статическая ошибка в системе уменьшается и наоборот с уменьше-
нием K статическая ошибка в системе увеличивается
Введем в прямой тракт системы одно интегрирующее звено
50
(рис 2) В этом случае c 00 01 1 KKc
Так как c 00 то система на рис 2 является астатической (с
астатизмом первого порядка) Система имеет нулевую статическую
ошибку при отработке постоянного задающего воздействия
consttg и постоянную обратно пропорциональную K ошибку
constуст при отработке линейно изменяющегося воздействия
tatg
Рис 1 Схема САУ Рис 2 Схема САУ с включенным в прямой
тракт интегрирующим звеном
Охватим неизменяемую часть системы sW местной нееди-
ничной положительной обратной связью с коэффициентом усиления
осK (рис 3) Тогда эквивалентная передаточная функция sWэкв
неизменяемой части системы равна
10011
01
1
aKbsaKbsaKbsb
asasa
sWK
sWsW
ососm
mосmn
n
mm
mm
осэкв
(4)
Если коэффициент усиления K выбрать из условия
a
bKос
0
0
то свободный коэффициент (b0 - Koca0) полинома знаменателя sWэкв
обратится в нуль и sWэкв приобретает интегрирующие свойства
11
11
0
1
1
aKbsaKbsbs
asasasW
ос
m
mосm
n
n
m
m
m
mэкв
g(t) y(t)ε(t)
K W(s)-
g(t) y(t)
Ks W(s)-
ε(t)
51
Следовательно замкнутая система становится астатической (с
астатизмом 1-го порядка) Отсюда 0c =0 а коэффициент 1c будет
равен
aKb
bc
ос 11
01
ε(t)g(t) y(t)
W(s)-
Kос
Wэкв(s)
+
Рис 3 Схема САУ с местной неединичной обратной связью
32 Коррекция динамических свойств САУ
Улучшение динамических свойств САУ заключается в увеличе-
нии быстродействия САУ (уменьшении времени регулирования tрег)
уменьшении перерегулирования (см рис 4) а также увеличении
запасов устойчивости по фазе и по модулю При этом
h
hh
уст
устmax100
где maxh - максимальное значение переходной характеристики за-
мкнутой САУ th
устh - установившееся значение th
Время регулирования tрег - минимальная величина при которой удо-
влетворяется условие
устрег hth
где - заданная величина ошибки (обычно =005 устh )
52
h(t)
tрег
hустhmax
2δ
Рис 4 Быстродействие и перерегулирование САУ
Одним из эффективных средств достижения этой цели является
уменьшение отрицательных фазовых сдвигов в прямом тракте систе-
мы путем охвата неизменяемой части системы местными отрицатель-
ными обратными связями
На рис 5 R(s) представляет собой передаточную функцию регу-
лятора САУ которая считается заданной
ε(t)g(t) y(t)
W(s)-
Kос
Wэкв(s)
-
R(s)
u(t)
Рис 5 Схема САУ с местной обратной связью и регулятором
Пусть неизменяемая часть системы представляет собой аперио-
дическое звено первого порядка те
sT
K)s(W
10
0
Тогда передаточная функция sWэкв эквивалентного объекта
управления равна
sT
K
sWK
sWsW
экв
экв
осэкв
11
где зквK и эквT - коэффициент усиления и постоянная времени
эквивалентного объекта равные
53
KK
KK
осэкв
0
0
1
KK
TT
осэкв
0
0
1 (5)
Из (5) следует что соответствующим выбором осK постоянную
времени эквT эквивалентного объекта можно уменьшить в (1+ 0KKос )
раз по сравнении с постоянной времени 0T объекта без местной об-
ратной связи Тем самым уменьшаются отрицательные фазовые сдви-
ги вносимые прямым трактом системы что приводит к увеличению
запасов устойчивости системы При этом однако уменьшается в
(1+ 0KKос ) раз коэффициент усиления эквK эквивалентного объекта
по сравнению с коэффициентом усиления 0K объекта без местной
обратной связи Это нежелательно так как приводит к уменьшению
быстродействия системы вследствие уменьшения общего коэффици-
ента усиления прямого тракта системы В этом случае с целью обес-
печения необходимого быстродействия системы увеличивают коэф-
фициент усиления регулятора
4 Краткое описание MATLAB
Лабораторная работа выполняется в программе математического
моделирования MATLAB Программа MATLAB включает в себя пакет
прикладных программ для решения технических задач и одноименный
язык программирования используемый в этом пакете
Основными компонентами системы являются базовая система
MATLAB и пакет моделирования систем Simulink Остальные пакеты
расширения разбиты на 4 категории ndash расширения Extension MATLAB и
Extension Simulink а также комплексы пакетов расширения Blockset и
Toolbox
Раздел MATLAB Extension содержит средства для подготовки ис-
полняемых приложений MATLAB (с подключаемыми библиотеками и
без них)
Раздел Toolbox (инструментальные средства) содержит самое
большое число пакетов расширений системы MATLAB такие как
laquoControl systemraquo laquoDatabaseraquo laquoFuzzy logicraquo laquoWaveletraquo и тд
54
В разделе Blockset расположено несколько пакетов относящихся к
главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink такие как
laquoDSPraquo laquoFixed-Pointraquo laquoNonlinear control designraquo и laquoPower systemsraquo
В разделе Extension Simulink имеется ряд средств предназначен-
ных для моделирования в реальном масштабе времени и событийно-
управляемом моделировании
5 Задание на лабораторную работу
Выполнить исследование способов коррекции статических и
динамических свойств САУ Определить время регулирования и пе-
ререгулирования в исходной и скорректированной системах а также
для динамических свойств САУ определить запасы устойчивости в
исходной системе и найти экспериментально значение Kос обеспечи-
вающее в системе заданные показатели качества и запасы устойчиво-
сти Вариант задания назначается преподавателем
Таблица 1
Варианты заданий
варианта
Параметры
1
2
3
4
5
6
7
8
a 05 10 15 20 25 30 35 40
K0 1 2 3 4 5 6 7 8
T c 03 04 05 06 07 08 09 10
ξ 06 07 08 08 07 09 05 04
уст 0 0 005 0 010 007 0 0
tрег c le 13 15 20 25 30 35 40 40
le 0 10 10 5 5 5 0 0
В качестве исходных САУ выступают системы изображенные
на рис 6 и 7
55
ε(t)g(t) y(t)
W(s)-
g(t) y(t)
R(s) W(s)-
ε(t) u(t)
Рис 6 САУ с отрицательной Рис 7 САУ с отрицательной обратной
обратной связью связью и регулятором
6 Методика выполнения задания
При исследовании способов коррекции статических свойств
САУ в качестве исходных данных выступает передаточная функция
sW неизменяемой части системы вида
1222
0
sTsT
KsW (6)
и задающие воздействия вида ttg 1 в соответствии с таблицей 1
В процессе выполнения этой части работы необходимо
1) путем моделирования в системе MATLAB исходной САУ
(рис 6) получить графики ttytg
2) сравнить полученную таким образом экспериментальную ве-
личину t с теоретической величиной вычисленной по формуле (1)
3) применяя описанные в теоретической части методических
указаний способы коррекции статических свойств (см п 31) обес-
печить требуемую статическую ошибку εуст системы при отработке
задающего воздействия ttg 1
4) получить графики ty и t в скорректированной системе
для 1 ttg
5) сравнить время регулирования регt и перерегулирование в
исходной и скорректированной системах при 1 ttg
При исследовании рассмотренного способа коррекции динами-
ческих свойств САУ (см п 32) в качестве исходных данных высту-
пают передаточная функция sW неизменяемой части системы
вида (6) и передаточная функция регулятора вида
s
KsR
рег
56
Задающее воздействие ttg 1
В процессе выполнения данной части работы необходимо
1) получить путем моделирования в MATLAB графики ty t
в системе (рис 7)
2) определить время регулирования регt и перерегулирование
а также запасы устойчивости в исходной системе
3) применяя описанный выше способ коррекции динамических
свойств САУ найти экспериментально (путем последовательного пе-
ребора) значение осK обеспечивающее в системе заданные заданием
показатели качества ( регt ) и запасы устойчивости (при необхо-
димости увеличить коэффициент регK )
4) получить графики ty t а также ЛАХ и ЛФХ разомкну-
той системы в скорректированной САУ
7 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) титульный лист
б) структурные схемы исследуемых систем
в) полученные графики и характеристики
г) значения полученные экмпериментально которые
обеспечивают заданные показатели качества и запасы устойчивости
д) выводы обощающие проделанные эксперименты для
коррекции статических и динамических свойств САУ
е) ответы на контрольные вопросы
Контрольные вопросы 1 Дать определение статической и астатической САУ
2 Какими структурными свойствами системы определяется по-
рядок ее астатизма
3 Какой из двух приведенных выше способов придания системе
свойств астатизма 1-го порядка наиболее предпочтителен на
практике
4 Назовите основные показатели качества САУ Поясните их
смысл
5 В чѐм суть исследуемого способа коррекции динамических
свойств САУ
57
6 Назвать другие способы коррекции динамических свойств
САУ
7 Чем вызваны отрицательные фазовые сдвиги в неизменяемой
части САУ
58
Лабораторная работа 6
МЕТОД КОРНЕВОГО ГОДОГРАФА
1 Цель работы
Целью работы является построение корневого годографа и ис-
следование динамики системы с использованием автоматизирован-
ных средств моделирования на ПК ndash MATLABSIMULINK
2 Задачи работы
ndash Закрепление углубление и расширение знаний студентов при
исследование динамики системы
ndash Овладение навыком построения корневого годографа
ndash Приобретение умений и навыков работы с программой мате-
матического моделирования MATLAB
3 Теоретическая часть
Корневым годографом (КГ) называется совокупность траекто-
рий перемещения всех корней характеристического уравнения за-
мкнутой системы при изменении какого-либо параметра этой систе-
мы
Обычно метод КГ позволяет находить полюса и нули ПФ за-
мкнутой системы располагая полюсами и нулями разомкнутой си-
стемы при изменении коэффициента усиления разомкнутой системы
K
ПФ разомкнутой системы Wp(s) представим в следующем виде
)(
)(
1
1
0
n
ii
m
jj
p
ss
ssKC
sW (1)
где 0js ndash нули ПФ sWp )1( mj
is ndash полюса ПФ sWp
)1( nj n и m ndash порядки знаменателя и числителя C ndash коэффици-
ент представления (отношение коэффициентов при старших членах
числителя и знаменателя)
59
При замыкании системы с ПФ sWp единичной отрицатель-
ной обратной связью ПФ замкнутой системы sWз принимает вид
)(1
)(
sW
sWsW
p
pз
(2)
Из выражения (2) следует что нули ПФ замкнутой системы рав-
ны нулям ПФ разомкнутой системы
Для нахождения полюсов рассмотри выражение
01 sWp (3)
в соответствии с выражением (1) имеем
n
i
m
jjin
ii
m
jj
ssKCss
ss
ssKC
1 1
0
1
1
0
)()(01
)(
)(
(4)
На основании выражения (4) можно сказать что при K = 0 корни
характеристического уравнения совпадают с полюсами а при K = infin ndash
с нулями При изменении K от 0 до infin траектории корней начинаются
в полюсах и заканчиваются в нулях Обычно полюсов больше чем
нулей В этом случаем mn ветвей корневого годографа стремятся к
infin
Для определения полюсов замкнутой системы с отрицательной
обратной связью необходимо решить уравнение (его называют ос-
новным уравнением метода КГ)
1sWp (5)
Так как sWp является функцией комплексного переменного
s то уравнение (5) распадается на два уравнения уравнение модулей
1)( sWp (6)
60
и уравнение аргументов (фаза вектора -1 есть нечетное число π)
210)12()(arg sWp (7)
Как известно при умножении комплексных чисел их аргументы
складываются а при делении ndash вычитаются Поэтому исходя из вы-
ражения (1) уравнение (7) имеет наглядный геометрический смысл
Пусть точка s ndash полюс замкнутой системы Если провести в s
вектора из нулей sWp (обозначим аргументы этих векторов 0j ) и
вектора из всех полюсов sWp (обозначим аргументы этих векторов
i ) то уравнение (7) можно записать в следующем виде
m
j
n
iij
1 1
0 210)12( (8)
Углы q отсчитываются от положительного направления дей-
ствительной оси Знак угла laquo+raquo соответствует повороту против часо-
вой стрелки знак угла laquo-raquo соответствует повороту по часовой стрел-
ке
Таким образом любая точка КГ должна удовлетворять уравне-
нию (8) из которого следует что конфигурация КГ не зависит от ко-
эффициента усиления K но каждому конкретному значению K одно-
значно соответствуют точки на КГ
При умножении комплексных чисел их модули перемножаются
а при делении ndash делятся Поэтому на основании (6) можно записать
1
1
1
0
n
ii
m
jj
l
lKC
(9)
где 0jl ndash модуль (длина) вектора проведенного из j-нуля в точку s
КГ il ndash модуль вектора проведенного из i-полюса в ту же точку s
61
Таким образом траектории корней строятся только по уравне-
ниям фаз а уравнение модулей используется затем для нахождения
K
Сущность метода КГ заключается в том чтобы узнать каким
должен быть коэффициент усиления разомкнутой системы чтобы
было обеспечено желаемое положение корней замкнутой системы
Корневой годограф системы с отрицательной обратной связью
обладает следующими основными свойствами
1 Ветви КГ непрерывны и расположены на комплексной плос-
кости симметрично относительно действительной оси
2 Число ветвей КГ равно порядку системы n Ветви начинают-
ся в n полюсах разомкнутой системы при K=0 При возрастании K от
0 до infin полюса замкнутой системы двигаются по ветвям КГ
3 mветвей КГ при возрастании K от 0 до infin заканчиваются в m
нулях )(sWp а )( mn ветвей при K стремящемся к infin удаляются
от полюсов вдоль асимптот
4 При расположении ветвей корневого годографа в левой полу-
плоскости s САУ устойчива При пересечении ветвей КГ мнимой оси
слева направо САУ становится неустойчивой Пусть при K=Kкр
пере-
сечение КГ с мнимой осью произойдет в некоторой точке iωкр
Назо-
вем это значение коэффициента усиления критическим Kкр
а вели-
чину iωкр
критической угловой частотой на которой система стано-
вится неустойчивой
4 Краткое описание MATLAB
Лабораторная работа выполняется в программе математического
моделирования MATLAB Программа MATLAB включает в себя пакет
прикладных программ для решения технических задач и одноименный
язык программирования используемый в этом пакете
Основными компонентами системы являются базовая система
MATLAB и пакет моделирования систем Simulink Остальные пакеты
расширения разбиты на 4 категории ndash расширения Extension MATLAB и
Extension Simulink а также комплексы пакетов расширения Blockset и
Toolbox
Раздел MATLAB Extension содержит средства для подготовки ис-
полняемых приложений MATLAB (с подключаемыми библиотеками и
без них)
62
Раздел Toolbox (инструментальные средства) содержит самое
большое число пакетов расширений системы MATLAB такие как
laquoControl systemraquo laquoDatabaseraquo laquoFuzzy logicraquo laquoWaveletraquo и тд
В разделе Blockset расположено несколько пакетов относящихся к
главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink такие как
laquoDSPraquo laquoFixed-Pointraquo laquoNonlinear control designraquo и laquoPower systemsraquo
В разделе Extension Simulink имеется ряд средств предназначен-
ных для моделирования в реальном масштабе времени и событийно-
управляемом моделировании
5 Корневой годограф в MATLAB
В системе MATLAB существует команда zpk для преобразова-
ния модели заданной ПФ в модель заданную нулями полюсами и
обобщенными коэффициентами передачи (zpk-форма)
Пример
gtgt w=tf([10][2 2 3 1 0])
Transfer function
10
-------------------------------
2 s^4 + 2 s^3 + 3 s^2 + s
gtgt w1=zpk(w)
Zeropolegain
5
----------------------------------------------
s (s+03966) (s^2 + 06034s + 1261)
Для работы с корневым годографом удобно использовать гра-
фический интерфейс laquoSISO-Design Toolraquo предназначенный для ана-
лиза и синтеза одномерных линейных систем автоматического управ-
ления (SISO ndash Single Input Signal Output)
Запуск SISO-Design Tool осуществляется командой
gtgt sisotool
63
В появившемся окне графического интерфейса необходимо ис-
пользовать команду laquoFileImportraquo для загрузки данных из рабочего
пространства MATLAB в результате которой появляется диалоговое
окно Import System Data (рис 1)
Рис 1 Диалог для ввода параметров модели
После импортирования данных можно исследовать изменение
временных и частотных характеристик замкнутой системы при изме-
нении K Обычно при этом требуется определить условия неустойчи-
вости замкнутой САУ Определить Kкр
и iωкр
На рис 2 показано окно sisotool для описанной выше модели w1
Двигая красным курсором по КГ до пересечения ветвей с мнимой
осью можно определить значения Kкр
В данном случае Kкр
asymp 01
Значение iωкр
соответствует мнимой координате пересечения КГ
мнимой оси Просмотреть это значение можно в нижней части ин-
терфейса или выбрать меню laquoView Closed-Loop Polesraquo
64
Рис 2 Основное окно SISO-Design Tool
6 Задание на лабораторную работу
Построить КГ в соответствии с вариантом из табл 1 при помо-
щи графического интерфейса sisotool
Исследовать динамику замкнутой системы при различных зна-
чениях коэффициента усиления разомкнутой системы K в том числе
ndash запасы устойчивости в частотной области
ndash параметры переходного процесса во временной области
Таблица 1
Варианты передаточных функций
Значения параметров Передаточная функция
разомкнутой системы
1 T = 01 ζ = 1
)12( 22 sTsTs
K
2 T = 005 ζ = 0707
3 T = 003 ζ = 01
4 T = 008 ζ = 05
5 T = 001 ζ = 015
65
Окончание табл 1
Значения параметров Передаточная функция
разомкнутой системы
6 T1 = 003 T2 = 05 T3 = 01 T4 = 005
)1)(1)(1(
)1(
432
1
sTsTsTs
sTK
7 T1 = 005 T2 = 04 T3 = 008 T4 = 0033
8 T1 = 02 T2 = 045 T3 = 01 T4 = 005
9 T1 = 05 T2 = 025 T3 = 01 T4 = 002
10 T1 = 01 T2 = 025 T3 = 01 T4 = 005
Вариант задания назначается преподавателем
7 Методика выполнения задания
Порядок выполнения лабораторной работы
1 Задать передаточную функцию в MATLAB в соответствии с
вариантом коэффициент K задать любым положительным числом
2 Запустить SISO-Design Tool и осуществить ввод данных
Построить КГ
3 По КГ определить значения коэффициента K когда система
будет устойчивой на границе устойчивости и неустойчива
4 Выбрать значение коэффициента K таким образом чтобы си-
стемы была устойчива и определить запас устойчивости в частотной
области и параметры переходного процесса во временной области
8 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) титульный лист
б) передаточную функцию и этапы построения КГ
в) анализ результатов построения КГ
г) выводы по проделанной работе
д) ответы на контрольные вопросы
Контрольные вопросы 1 Дать определение КГ
2 Что обычно позволяет находить метод КГ
3 В чем заключается сущность метода КГ
4 Что можно определить по КГ
66
Критерии результативности лабораторного практикума
Лабораторная работа считается выполненной если студент
ndash выполнил все указанные задания
ndash представил отчет соответствующий всем требованиям к его
содержанию и оформлению
ndash владеет терминологией и материалом лабораторной работы
ndash способен использовать программное средство математическо-
го моделирования MATLAB
ndash способен предоставить и рассказать результаты выполненной
работы на ПК
ndash может дать пояснения к отчету и ответить на контрольные
вопросы
Список литературы
1 Александров АГ Частотная теория автоматического управле-
ния учебное пособие ndash Электросталь ЭПИ МИСиС 2010
2 Борисевич АВ Теория автоматического управления элементар-
ное введение с применением MATLAB ndash СПб Изд-во Политехн ун-
та 2011
3 Федоров ВЛ Бубнов АВ Теория автоматического управления
учебное пособие ndash Омск Изд-во ОмГТУ 2010
4 Павловская ОО Чернецкая ИВ Теория автоматического
управления учебное пособие ndash Челябинск Изд-во ЮУрГУ 2010
67
Составители ЛЯНЦЕВ Олег Дмитриевич КАЗАНЦЕВ Андрей Валерьевич
ИССЛЕДОВАНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК СИСТЕМ
АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
Лабораторный практикум
по дисциплине
laquoТеория управленияraquo
Подписано в печать Формат 60х84 116 Бумага офсетная Пе-
чать плоская Гарнитура Times New Roman Усл печ л 56 Уч-изд л
55 Тираж 100 экз Заказ
ФГБОУ ВПО Уфимский государственный авиационный технический
университет
Центр оперативной полиграфии УГАТУ
450000 Уфа-центр ул К Маркса 12
32
Для каждой частоты входного сигнала ω будут свои А и ψ
Изменяя ω в широком диапазоне можно получить зависимость
А(ω) ndash амплитудную частотную характеристику (АЧХ) и ψ(ω) ndash фазо-
вую частотную характеристику (ФЧХ)
Главное достоинство метода частотных характеристик заключа-
ется в том что АЧХ и ФЧХ объекта могут быть получены экспери-
ментально Для этого необходимо иметь генератор гармонических
колебаний который подключается к входу объекта и измеритель-
ную аппаратуру для измерения амплитуды и фазового сдвига колеба-
ний на выходе объекта
Частотные характеристики САУ могут быть получены по ее ПФ
W(s) Для суждения о реакции звена на синусоидальный сигнал доста-
точно исследовать его реакцию на гармонический сигнал вида
)( tjejx
Тогда выходной сигнал определяется по соотношению
)()( ))(( tjeAjy
и частотная ПФ получается равной
)()(
)()( )(
jeA
jx
jyjW
Формально для получения частотной ПФ надо сделать в W(s)
подстановку s = jω и тогда полученная W(jω) является комплексным
выражением которое можно представить в виде
)()(
)()()(
22
11
jba
jbajW
Для нахождения вещественной и мнимой частей частотной пе-
редаточной функции необходимо умножить числитель и знаменатель
на сопряженную знаменателю величину а затем провести
разделение
33
)()()(
)()(
)()()()(
)()(
)()()()(
))()())(()((
))()())(()((
)()(
)()()(
)(
22
22
2112
22
22
2121
2222
2211
22
11
jeAjVU
ba
babaj
ba
bbaa
jbajba
jbajba
jba
jbajW
где
)()()()(22
22
21
2122
ba
baVUjWA
)(
)())(arg()(
2
2
1
1
a
barctg
a
barctg
U
VarctgjW
Графики функции )(U и )(V называют соответственно веще-
ственной и мнимой частотной характеристиками
В практических расчетах удобно применять графики частотных
характеристик построенных в логарифмическом масштабе ndash лога-
рифмические частотные характеристики (ЛЧХ)
Логарифмическая амплитудная частотная характеристика
(ЛАЧХ) определяется следующим выражением
)(lg20)( AL
Логарифмической фазовой частотной характеристикой
(ЛФЧХ) называется график зависимости )( построенный в лога-
рифмическом масштабе частот
Единицей L(ω) является децибел (дБ) а единицей логарифма ча-
стоты ndash декада Декадой называют интервал частот на котором часто-
та изменяется в 10 раз При изменении частоты в 10 раз говорят что
она изменилась на одну декаду Ось ординат при построении ЛЧХ про-
водят через произвольную точку а не через точку ω = 0 Частоте ω = 0
соответствует бесконечно удаленная точка lgω rarr ndash infin при ω rarr 0
Основное преимущество использования ЛЧХ заключается в том
что приближенные (асимптотические) ЛАЧХ типовых динамических
звеньев изображаются отрезками прямых
Пример Построим ЛЧХ апериодического звена первого
34
порядка
Передаточная функция звена
1
)(
Ts
ksW
Частотная передаточная функция
1)(
)1(
1)(
2
T
Tjk
Tj
kjW
1)(
1)( 22
T
kTV
T
kU
Следовательно АЧХ описывается формулой
1)(
)(2
T
kA
ФЧХ строится по формуле
)()( Tarctg
ЛАЧХ апериодического звена 1-го порядка
1)(lg20lg20)( 2 TkL
По этой формуле можно построить две асимптоты ndash прямые к
которым стремится ЛАЧХ при ω rarr 0 и при ω rarr infin Так при ω rarr 0 второе
слагаемое близко к нулю и этот участок ЛАЧХ представляет собой
горизонтальную прямую
lg20)( kL
При ω rarr infin получаем наклонную прямую
1)(lg20)( 2 TL
35
Для определения наклона этой прямой можно рассмотреть гра-
ницы декады
T
1 и
10
T
Изменение ЛАЧХ между этими точками
)(2011
lg20110
lg20)(
22
декдБT
TT
TL
ЛЧХ часто называют диаграммами Боде
4 Краткое описание MATLAB
Лабораторная работа выполняется в программе математического
моделирования MATLAB Она включает в себя пакет прикладных про-
грамм для решения технических задач и одноименный язык программи-
рования используемый в этом пакете
Основными компонентами системы являются базовая система
MATLAB и пакет моделирования систем Simulink Остальные пакеты
расширения разбиты на 4 категории ndash расширения Extension MATLAB и
Extension Simulink а также комплексы пакетов расширения Blockset и
Toolbox
Раздел MATLAB Extension содержит средства для подготовки ис-
полняемых приложений MATLAB (с подключаемыми библиотеками и
без них)
Раздел Toolbox (инструментальные средства) содержит самое
большое число пакетов расширений системы MATLAB такие как
laquoControl systemraquo laquoDatabaseraquo laquoFuzzy logicraquo laquoWaveletraquo и тд
В разделе Blockset расположено несколько пакетов относящихся к
главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink такие как
laquoDSPraquo laquoFixed-Pointraquo laquoNonlinear control designraquo и laquoPower systemsraquo
В разделе Extension Simulink имеется ряд средств предназначен-
ных для моделирования в реальном масштабе времени и событийно-
управляемом моделировании
36
5 Построение частотных характеристик в MATLAB В пакете MATLAB ЛЧХ объекта заданного с помощью ПФ
можно получить командой bode
Пример
gtgt w=tf([1 2][3 4 5])
gtgt bode(w)
Для нескольких вариантов передаточной функции можно исполь-
зовать вариант команды вида
gtgt bode(ww1w2)
Например построим диаграмму Боде при различных параметрах
колебательного звена (рис 1)
gtgt w=tf([1][2 03 1])
gtgt w1=tf([1][2 05 1])
gtgt w2=tf([1][2 01 1])
gtgt bode(ww1w2)
Рис 1 ЛЧХ колебательного звена
6 Задание на лабораторную работу
С помощью пакета MATLAB построить ЛЧХ каждого типового
звена Определить влияние коэффициентов входящих в описание
каждого звена на параметры ЛАЧХ и ЛФЧХ Вариант задания назна-
чается преподавателем
37
7 Методика выполнения задания
Порядок выполнения работы
1 Задать передаточную функцию типового динамического звена
используя параметры из табл 2 лабораторной работы 1
2 Построить диаграмму Боде при различных параметрах типо-
вого динамического звена
3 Определить влияние коэффициентов входящих в описание
каждого звена на параметры ЛАЧХ и ЛФЧХ в том числе
ndash как меняется ширина асимптотических участков ЛАЧХ и
ЛФЧХ
ndash как меняется положение точек пересечения осей ЛАЧХ
4 Написать вывод по влиянию коэффициентов на типовое звено
5 Выполнить пункты 1-4 для всех типовых звеньев
6 Подготовить ответы на контрольные вопросы
8 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) титульный лист
б) краткие теоретические сведения
в) передаточные функции и схемы моделирования исследуемых
звеньев
г) экспериментально полученные характеристики при вариации
параметров каждого звена
д) выводы обобщающие проделанные эксперименты по каждо-
му звену
ж) ответы на контрольные вопросы
Контрольные вопросы
1 Как пользуясь частотными характеристиками определить па-
раметры (коэффициенты передаточной функции) звена Пояс-
нить на конкретных примерах
2 Указать особенности построения ЛАХ и ЛФХ динамических
звеньев Что понимается под асимптотической ЛАХ звена
3 Как осуществляется построение АФХ динамического звена
38
Лабораторная работа 4
ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ СИСТЕМ
С ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ
1 Цель работы
Изучение особенностей практического использования алгебраи-
ческих и частотных критериев устойчивости для анализа динамики
линейных САУ с использованием автоматизированных средств моде-
лирования на ПК ndash MATLAB SIMULINK
2 Задачи работы
ndash Закрепление углубление и расширение знаний студентов при
исследовании устойчивости систем с обратной связью
ndash Приобретение умений и навыков работы с программой мате-
матического моделирования MATLAB
ndash Овладение новыми методами проверки устойчивости систем
с обратной связью
ndash Выработка способности логического мышления осмысления
полученных данных
3 Теоретическая часть
Устойчивость САУ является одним из основных условий ее ра-
ботоспособности и включает требование затухания во времени пере-
ходных процессов
Система является устойчивой если при ограниченном входном
сигнале еѐ выходной сигнал также является ограниченным Если
система устойчива то она противостоит внешним воздействиям а
выведенная из состояния равновесия возвращается снова к нему
Система с расходящимся переходным процессом будет неустойчивой и
неработоспособной
Необходимое и достаточное условие устойчивости заключается в
том чтобы все корни характеристического уравнения (полюсы пере-
даточной функции системы) имели отрицательные вещественные ча-
сти Иначе говоря условием устойчивости системы является распо-
ложение всех полюсов в левой комплексной полуплоскости Тогда все
полюсы будут давать затухающую реакцию
Выше сформулированное условие устойчивости справедливо как
39
для линейных так и для линеаризованных систем Однако в случае
нулевых или чисто мнимых корней характеристического уравнения
вопрос об устойчивости линеаризованной системы может быть ре-
шен только на основании исследования ее нелинейных уравнений
В конце XIX и первой половине XX в задача вычисления корней
характеристического уравнения высокого порядка вызывала боль-
шие проблемы Поэтому были предложены несколько косвенных
методов оценки устойчивости позволяющих обойтись без вычисле-
ния корней ndash по значениям коэффициентов характеристического
уравнения
Критерии устойчивости разделяют на алгебраические и частот-
ные В частности к алгебраическим критериям относится критерий
Гурвица к частотным критериям ndash критерий Найквиста
Критерий Гурвица является алгебраическим критерием и при-
меняется к коэффициентам характеристического уравнения замкнутой
системы
Пусть имеется характеристическое уравнение замкнутой
системы
0011
1 apapapa n
nn
n
Из коэффициентов характеристического уравнения составляют
матрицу по правилу
1 По диагонали записываются коэффициенты от 1na до 0a
2 Каждая строка дополняется коэффициентами с возрастающи-
ми индексами слева направо так чтобы чередовались строки с нечет-
ными и четными индексами
3 В случае отсутствия индекса а также если он меньше 0 или
больше п на его место пишется 0
Таким образом матрица Гурвица приобретает следующий вид
40
Критерий устойчивости формулируется так
Чтобы система была устойчивой необходимо и достаточно что-
бы при 0na были положительными все п диагональных определи-
телей получаемых из матрицы Гурвица
Первые три определителя матрицы Гурвица имеют следующий
вид
Таким образом критерий Гурвица позволяет судить об абсо-
лютной устойчивости но он не дает возможности оценивать относи-
тельную устойчивость по корням характеристического уравнения
Частотный критерий устойчивости Найквиста анализирует
АФЧХ разомкнутой системы
Пусть имеется АФЧХ разомкнутой системы W(jω)
Для нахождения вещественной и мнимой части частотной ха-
рактеристики нужно освободиться от мнимости в знаменателе путем
умножения числителя и знаменателя на комплексную величину со-
пряженную знаменателю а затем выполнить разделение на веще-
ственную и мнимую части W(jω) приобретает вид
)()()( jQPjW
Задаваясь различными значениями частоты можно найти мно-
жество пар )()( 11 jQP )()( 22 jQP )()( nn jQP
Затем по этим парам строится АФЧХ на комплексной плоскости
Основные свойства АФЧХ разомкнутой системы
1 Если разомкнутая система не имеет интегрирующих звеньев
то при ω = 0 ее АФЧХ начинается на вещественной оси в точке
Р(ω)=К (где К ndash коэффициент усиления разомкнутой системы) За-
канчивается АФЧХ в начале координат при ω rarr infin (рис 1 а)
2 Если разомкнутая система имеет одно интегрирующее звено то
ее АФЧХ начинается при ω = 0 в бесконечности на отрицательной мни-
мой полуоси а заканчивается в начале координат при ω rarr infin (рис 1 б)
41
Рис 1 АФЧХ разомкнутой системы
Критерий устойчивости Найквиста формулируется так
1 Если разомкнутая система устойчива или находится на гра-
нице устойчивости то для того чтобы замкнутая система была
устойчива необходимо и достаточно чтобы АФЧХ разомкнутой
системы при изменении частоты ω от 0 до infin не охватывала точку с ко-
ординатами (-1 j0)
2 Если разомкнутая система неустойчива а ее передаточная
функция имеет т полюсов справа от мнимой оси на комплексной
плоскости то для устойчивости замкнутой системы необходимо и до-
статочно чтобы АФЧХ разомкнутой системы при изменении частоты
ω от -infin до +infin охватывала т раз точку с координатами (-1 j0)
При использовании этого критерия нужно учитывать две
особенности
1 Если разомкнутая система находится на границе устойчиво-
сти то ее АФЧХ уходит в бесконечность Для проверки критерия Най-
квиста нужно мысленно соединить конец АФЧХ дугой бесконечно
большого радиуса с положительной вещественной полуосью
2 На практике АФЧХ может строиться только для положитель-
ных частот (0 lt ω lt +infin) При применении критерия Найквиста счита-
ется что ветвь АФЧХ для отрицательных частот симметрична отно-
сительно вещественной оси
Физический смысл критерия устойчивости Найквиста заключа-
ется в том что система будет неустойчива если фаза выходного сиг-
нала противоположна фазе входного сигнала а коэффициент усиле-
ния больше 1 Поэтому для анализа устойчивости можно использо-
вать не АФЧХ а ЛАХ системы (для минимально-фазовых систем)
Система устойчива если на частоте среза значение фазы не превы-
шает -π Соответственно для устойчивой системы можно рассматри-
вать на ЛФЧХ запас устойчивости по фазе ndash расстояние от значения
фазы на частоте среза до уровня -π и запас устойчивости по амплиту-
42
де ndash расстояние от оси частот ЛАЧХ до значения усиления на часто-
те где фаза становится равной -π
4 Краткое описание MATLAB
Лабораторная работа выполняется в программе математического
моделирования MATLAB Программа MATLAB включает в себя пакет
прикладных программ для решения технических задач и одноименный
язык программирования используемый в этом пакете
Основными компонентами системы являются базовая система
MATLAB и пакет моделирования систем Simulink Остальные пакеты
расширения разбиты на 4 категории ndash расширения Extension MATLAB и
Extension Simulink а также комплексы пакетов расширения Blockset и
Toolbox
Раздел MATLAB Extension содержит средства для подготовки ис-
полняемых приложений MATLAB (с подключаемыми библиотеками и
без них)
Раздел Toolbox (инструментальные средства) содержит самое
большое число пакетов расширений системы MATLAB такие как
laquoControl systemraquo laquoDatabaseraquo laquoFuzzy logicraquo laquoWaveletraquo и тд
В разделе Blockset расположено несколько пакетов относящихся к
главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink такие как
laquoDSPraquo laquoFixed-Pointraquo laquoNonlinear control designraquo и laquoPower systemsraquo
В разделе Extension Simulink имеется ряд средств предназначен-
ных для моделирования в реальном масштабе времени и событийно-
управляемом моделировании
5 Исследование устойчивости САУ в MATLAB
Для проверки устойчивости САУ по Гурвицу постройте матрицу
Гурвица и найдите ее детерминант (функция det) Затем последова-
тельно уменьшая размер матрицы найдите значения всех диагональ-
ных детерминантов Пример
gtgt А=[1 14 18 2 5 2 3 4 3]
А =
1 14 18
2 5 2
3 4 3
gtgt det(A)
ans = -119
43
gtgt А1=А(12 12)
А1 =
1 14
2 5
gtgt det(A1)
ans = -23
Для проверки устойчивости САУ по Найквисту сначала нужно
выяснить является ли устойчивой разомкнутая система
Пример Пусть дана передаточная функция разомкнутой
системы
13232
12234
pppp
pW
Рассмотрим реакцию на скачок
gtgt w=tf([2 1][2 3 2 3 1])
gtgt step(w18)
График переходного процесса показан на рис 2
Рис 2 Переходная реакция
Разомкнутая система неустойчива и согласно критерию Найкви-
ста надо чтобы АФЧХ разомкнутой системы охватывала точку (-1 j0)
44
столько раз сколько полюсов имеется справа от мнимой оси Для по-
строения АФЧХ достаточно вызвать команду nyquist
gtgt nyquist(w)
Диаграмма Найквиста показана на рис 3
Рис 3 Диаграмма Найквиста для неустойчивой системы
Как показывает рис3 АФЧХ ни разу не охватывает точку
(-1 j0) поэтому замкнутая система будет неустойчивой Частотный
критерий Найквиста можно использовать и в том случае когда рас-
сматривается не АФЧХ а ЛАЧХ разомкнутой системы замкнутая
минимально-фазовая система устойчива если при достижении ЛФЧХ
значения -π ЛАЧХ будет отрицательной
Используя ЛАЧХ и ЛФЧХ можно оценить запасы устойчивости
системы по амплитуде и по фазе с помощью команды
gtgt margin(w)
Пример
gtgt w=tf([10][2 2 3 1])
gtgt margin(w)
Соответствующий график показан на рис 4
45
Рис 4 Определение запасов устойчивости по амплитуде и по фазе
6 Задание на лабораторную работу
Выполнить исследование устойчивости замкнутой системы по за-
данной передаточной функции разомкнутой системы Определить запас
устойчивости по амплитуде и по фазе Вариант задания назначается
преподавателем
7 Методика выполнения задания
Порядок выполнения работы
1 Рассчитать передаточную функцию замкнутой системы по
приведенной в табл 1 разомкнутой системе
2 Определить устойчивость замкнутой системы используя кри-
терий Гурвица
3 Определить устойчивость замкнутой системы используя кри-
терий Найквиста
4 Определить запас устойчивости по амплитуде и по фазе ис-
пользуя ЛАЧХ и ЛФЧХ
5 Выполнить моделирование переходных процессов разомкну-
той и замкнутой систем
6 Подготовить ответы на контрольные вопросы
46
Таблица 1
Варианты заданий
Передаточная функция разомкнутой системы
1 1355
2234
ssss
W
2 110050
1234
ssss
W
3 11010
123
sss
W
4 122105
100234
ssss
W
5 1248
123
sss
W
6 1223
102345
sssss
W
7 11001010
323
sss
W
8 122
1023
sss
W
9 11010
123
sss
W
10 15050332
102345
sssss
W
8 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) титульный лист
б) краткие теоретические сведения
в) переходную функцию разомкнутой системы
г) расчет передаточной функции замкнутой системы
д) расчетные выражения для обоснования устойчивости замкну-
той системы по алгебраическому критерию Гурвица
е) годограф Найквиста разомкнутой системы на основании кото-
рого делается вывод об устойчивости замкнутой системы
ѐ) переходную функцию замкнутой системы
ж) проверку полученных результатов путем компьютерного моде-
лирования переходных процессов разомкнутой и замкнутой си-
стемы в MATLAB Simulink
з) выводы по всем полученным результатам
47
Контрольные вопросы
1 Как связана устойчивость линейной САУ с видом составля-
ющих ее свободного движения
2 Зависит ли устойчивость линейных САУ от амплитуды зада-
ющих воздействий или возмущений
3 Сформулируйте критерий устойчивости Гурвица укажите на
необходимое условие устойчивости линейных САУ вытекаю-
щее из этого критерия
4 Сформулируйте критерий Найквиста для случая САУ устой-
чивых в разомкнутом состоянии а также для астатических САУ
Что такое laquoзапасы устойчивости по фазе и по амплитудеraquo
5 Что называется структурной устойчивостью
48
Лабораторная работа 5
КОРРЕКЦИЯ СТАТИЧЕСКИХ И ДИНАМИЧЕСКИХ
СВОЙСТВ САУ
1 Цель работы
Целью работы является изучение способов обеспечения иско-
мых характеристик САУ с использованием автоматизированных
средств моделирования на ПК ndash MATLAB SIMULINK
2 Задачи работы
ndash Закрепление углубление и расширение знаний студентов при
обеспечении искомых характеристик САУ
ndash Приобретение умений по обеспечению точности (уменьшение
статической ошибки) САУ и выбору значений параметров регулято-
ра обеспечивающих желаемые динамические свойства САУ
ndash Приобретение умений и навыков работы с программой мате-
матического моделирования MATLAB
3 Теоретическая часть
Коррекция статических и динамических свойств САУ имеет
своей целью повышение статической и динамической точности отра-
ботки системой задающего воздействия (или парирование возмуща-
ющего воздействия) повышение запасов ее устойчивости Наиболее
распространенными способами коррекции свойств САУ является из-
менение коэффициента усиления ее разомкнутой части введение в
САУ новых звеньев (как правило интегрирующего или дифференци-
рующего типа) охват объекта управления местной обратной связью
31 Коррекция статических свойств САУ
Статические свойства системы определяются величиной устано-
вившейся ошибки )t(уст вызванной действием задающего воздей-
ствия и определяемой по формуле
22
210 2 dttgdcdttdgctgctуст (1)
где )(tg - входное воздействие 210 ccc - коэффициенты ошибок
Коэффициенты ошибок определяются по формулам
49
dssdcdssdcscs
mmmss 00100
где s - передаточная функция САУ по ошибке управления рав-
ная
sW
sраз
1
1
sWраз - передаточная функция разомкнутой САУ
Основными способами уменьшения статической ошибки систе-
мы являются
1) увеличение коэффициента усиления прямого тракта системы
2) введение в прямой тракт системы интегрирующих звеньев
3) охват объекта управления местной неединичной положитель-
ной обратной связью
Представим структурную схему системы в виде изображенном
на рис 1 где через sW обозначена передаточная функция неизме-
няемой части системы
bsbsb
asasasW
nn
nn
mm
mm
01
1
01
1
Здесь и далее полагается что KKKsW s 000 0 ndash из-
меняемый коэффициент усиления регулятора системы
Первые два коэффициента ошибок 0c и 1c определяется выраже-
ниями
KK
c0
01
1
(2)
KK
dssdWKc
s
20
01
1
(3)
Из (2) и (3) с учетом (1) вытекает что с увеличением K
статическая ошибка в системе уменьшается и наоборот с уменьше-
нием K статическая ошибка в системе увеличивается
Введем в прямой тракт системы одно интегрирующее звено
50
(рис 2) В этом случае c 00 01 1 KKc
Так как c 00 то система на рис 2 является астатической (с
астатизмом первого порядка) Система имеет нулевую статическую
ошибку при отработке постоянного задающего воздействия
consttg и постоянную обратно пропорциональную K ошибку
constуст при отработке линейно изменяющегося воздействия
tatg
Рис 1 Схема САУ Рис 2 Схема САУ с включенным в прямой
тракт интегрирующим звеном
Охватим неизменяемую часть системы sW местной нееди-
ничной положительной обратной связью с коэффициентом усиления
осK (рис 3) Тогда эквивалентная передаточная функция sWэкв
неизменяемой части системы равна
10011
01
1
aKbsaKbsaKbsb
asasa
sWK
sWsW
ососm
mосmn
n
mm
mm
осэкв
(4)
Если коэффициент усиления K выбрать из условия
a
bKос
0
0
то свободный коэффициент (b0 - Koca0) полинома знаменателя sWэкв
обратится в нуль и sWэкв приобретает интегрирующие свойства
11
11
0
1
1
aKbsaKbsbs
asasasW
ос
m
mосm
n
n
m
m
m
mэкв
g(t) y(t)ε(t)
K W(s)-
g(t) y(t)
Ks W(s)-
ε(t)
51
Следовательно замкнутая система становится астатической (с
астатизмом 1-го порядка) Отсюда 0c =0 а коэффициент 1c будет
равен
aKb
bc
ос 11
01
ε(t)g(t) y(t)
W(s)-
Kос
Wэкв(s)
+
Рис 3 Схема САУ с местной неединичной обратной связью
32 Коррекция динамических свойств САУ
Улучшение динамических свойств САУ заключается в увеличе-
нии быстродействия САУ (уменьшении времени регулирования tрег)
уменьшении перерегулирования (см рис 4) а также увеличении
запасов устойчивости по фазе и по модулю При этом
h
hh
уст
устmax100
где maxh - максимальное значение переходной характеристики за-
мкнутой САУ th
устh - установившееся значение th
Время регулирования tрег - минимальная величина при которой удо-
влетворяется условие
устрег hth
где - заданная величина ошибки (обычно =005 устh )
52
h(t)
tрег
hустhmax
2δ
Рис 4 Быстродействие и перерегулирование САУ
Одним из эффективных средств достижения этой цели является
уменьшение отрицательных фазовых сдвигов в прямом тракте систе-
мы путем охвата неизменяемой части системы местными отрицатель-
ными обратными связями
На рис 5 R(s) представляет собой передаточную функцию регу-
лятора САУ которая считается заданной
ε(t)g(t) y(t)
W(s)-
Kос
Wэкв(s)
-
R(s)
u(t)
Рис 5 Схема САУ с местной обратной связью и регулятором
Пусть неизменяемая часть системы представляет собой аперио-
дическое звено первого порядка те
sT
K)s(W
10
0
Тогда передаточная функция sWэкв эквивалентного объекта
управления равна
sT
K
sWK
sWsW
экв
экв
осэкв
11
где зквK и эквT - коэффициент усиления и постоянная времени
эквивалентного объекта равные
53
KK
KK
осэкв
0
0
1
KK
TT
осэкв
0
0
1 (5)
Из (5) следует что соответствующим выбором осK постоянную
времени эквT эквивалентного объекта можно уменьшить в (1+ 0KKос )
раз по сравнении с постоянной времени 0T объекта без местной об-
ратной связи Тем самым уменьшаются отрицательные фазовые сдви-
ги вносимые прямым трактом системы что приводит к увеличению
запасов устойчивости системы При этом однако уменьшается в
(1+ 0KKос ) раз коэффициент усиления эквK эквивалентного объекта
по сравнению с коэффициентом усиления 0K объекта без местной
обратной связи Это нежелательно так как приводит к уменьшению
быстродействия системы вследствие уменьшения общего коэффици-
ента усиления прямого тракта системы В этом случае с целью обес-
печения необходимого быстродействия системы увеличивают коэф-
фициент усиления регулятора
4 Краткое описание MATLAB
Лабораторная работа выполняется в программе математического
моделирования MATLAB Программа MATLAB включает в себя пакет
прикладных программ для решения технических задач и одноименный
язык программирования используемый в этом пакете
Основными компонентами системы являются базовая система
MATLAB и пакет моделирования систем Simulink Остальные пакеты
расширения разбиты на 4 категории ndash расширения Extension MATLAB и
Extension Simulink а также комплексы пакетов расширения Blockset и
Toolbox
Раздел MATLAB Extension содержит средства для подготовки ис-
полняемых приложений MATLAB (с подключаемыми библиотеками и
без них)
Раздел Toolbox (инструментальные средства) содержит самое
большое число пакетов расширений системы MATLAB такие как
laquoControl systemraquo laquoDatabaseraquo laquoFuzzy logicraquo laquoWaveletraquo и тд
54
В разделе Blockset расположено несколько пакетов относящихся к
главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink такие как
laquoDSPraquo laquoFixed-Pointraquo laquoNonlinear control designraquo и laquoPower systemsraquo
В разделе Extension Simulink имеется ряд средств предназначен-
ных для моделирования в реальном масштабе времени и событийно-
управляемом моделировании
5 Задание на лабораторную работу
Выполнить исследование способов коррекции статических и
динамических свойств САУ Определить время регулирования и пе-
ререгулирования в исходной и скорректированной системах а также
для динамических свойств САУ определить запасы устойчивости в
исходной системе и найти экспериментально значение Kос обеспечи-
вающее в системе заданные показатели качества и запасы устойчиво-
сти Вариант задания назначается преподавателем
Таблица 1
Варианты заданий
варианта
Параметры
1
2
3
4
5
6
7
8
a 05 10 15 20 25 30 35 40
K0 1 2 3 4 5 6 7 8
T c 03 04 05 06 07 08 09 10
ξ 06 07 08 08 07 09 05 04
уст 0 0 005 0 010 007 0 0
tрег c le 13 15 20 25 30 35 40 40
le 0 10 10 5 5 5 0 0
В качестве исходных САУ выступают системы изображенные
на рис 6 и 7
55
ε(t)g(t) y(t)
W(s)-
g(t) y(t)
R(s) W(s)-
ε(t) u(t)
Рис 6 САУ с отрицательной Рис 7 САУ с отрицательной обратной
обратной связью связью и регулятором
6 Методика выполнения задания
При исследовании способов коррекции статических свойств
САУ в качестве исходных данных выступает передаточная функция
sW неизменяемой части системы вида
1222
0
sTsT
KsW (6)
и задающие воздействия вида ttg 1 в соответствии с таблицей 1
В процессе выполнения этой части работы необходимо
1) путем моделирования в системе MATLAB исходной САУ
(рис 6) получить графики ttytg
2) сравнить полученную таким образом экспериментальную ве-
личину t с теоретической величиной вычисленной по формуле (1)
3) применяя описанные в теоретической части методических
указаний способы коррекции статических свойств (см п 31) обес-
печить требуемую статическую ошибку εуст системы при отработке
задающего воздействия ttg 1
4) получить графики ty и t в скорректированной системе
для 1 ttg
5) сравнить время регулирования регt и перерегулирование в
исходной и скорректированной системах при 1 ttg
При исследовании рассмотренного способа коррекции динами-
ческих свойств САУ (см п 32) в качестве исходных данных высту-
пают передаточная функция sW неизменяемой части системы
вида (6) и передаточная функция регулятора вида
s
KsR
рег
56
Задающее воздействие ttg 1
В процессе выполнения данной части работы необходимо
1) получить путем моделирования в MATLAB графики ty t
в системе (рис 7)
2) определить время регулирования регt и перерегулирование
а также запасы устойчивости в исходной системе
3) применяя описанный выше способ коррекции динамических
свойств САУ найти экспериментально (путем последовательного пе-
ребора) значение осK обеспечивающее в системе заданные заданием
показатели качества ( регt ) и запасы устойчивости (при необхо-
димости увеличить коэффициент регK )
4) получить графики ty t а также ЛАХ и ЛФХ разомкну-
той системы в скорректированной САУ
7 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) титульный лист
б) структурные схемы исследуемых систем
в) полученные графики и характеристики
г) значения полученные экмпериментально которые
обеспечивают заданные показатели качества и запасы устойчивости
д) выводы обощающие проделанные эксперименты для
коррекции статических и динамических свойств САУ
е) ответы на контрольные вопросы
Контрольные вопросы 1 Дать определение статической и астатической САУ
2 Какими структурными свойствами системы определяется по-
рядок ее астатизма
3 Какой из двух приведенных выше способов придания системе
свойств астатизма 1-го порядка наиболее предпочтителен на
практике
4 Назовите основные показатели качества САУ Поясните их
смысл
5 В чѐм суть исследуемого способа коррекции динамических
свойств САУ
57
6 Назвать другие способы коррекции динамических свойств
САУ
7 Чем вызваны отрицательные фазовые сдвиги в неизменяемой
части САУ
58
Лабораторная работа 6
МЕТОД КОРНЕВОГО ГОДОГРАФА
1 Цель работы
Целью работы является построение корневого годографа и ис-
следование динамики системы с использованием автоматизирован-
ных средств моделирования на ПК ndash MATLABSIMULINK
2 Задачи работы
ndash Закрепление углубление и расширение знаний студентов при
исследование динамики системы
ndash Овладение навыком построения корневого годографа
ndash Приобретение умений и навыков работы с программой мате-
матического моделирования MATLAB
3 Теоретическая часть
Корневым годографом (КГ) называется совокупность траекто-
рий перемещения всех корней характеристического уравнения за-
мкнутой системы при изменении какого-либо параметра этой систе-
мы
Обычно метод КГ позволяет находить полюса и нули ПФ за-
мкнутой системы располагая полюсами и нулями разомкнутой си-
стемы при изменении коэффициента усиления разомкнутой системы
K
ПФ разомкнутой системы Wp(s) представим в следующем виде
)(
)(
1
1
0
n
ii
m
jj
p
ss
ssKC
sW (1)
где 0js ndash нули ПФ sWp )1( mj
is ndash полюса ПФ sWp
)1( nj n и m ndash порядки знаменателя и числителя C ndash коэффици-
ент представления (отношение коэффициентов при старших членах
числителя и знаменателя)
59
При замыкании системы с ПФ sWp единичной отрицатель-
ной обратной связью ПФ замкнутой системы sWз принимает вид
)(1
)(
sW
sWsW
p
pз
(2)
Из выражения (2) следует что нули ПФ замкнутой системы рав-
ны нулям ПФ разомкнутой системы
Для нахождения полюсов рассмотри выражение
01 sWp (3)
в соответствии с выражением (1) имеем
n
i
m
jjin
ii
m
jj
ssKCss
ss
ssKC
1 1
0
1
1
0
)()(01
)(
)(
(4)
На основании выражения (4) можно сказать что при K = 0 корни
характеристического уравнения совпадают с полюсами а при K = infin ndash
с нулями При изменении K от 0 до infin траектории корней начинаются
в полюсах и заканчиваются в нулях Обычно полюсов больше чем
нулей В этом случаем mn ветвей корневого годографа стремятся к
infin
Для определения полюсов замкнутой системы с отрицательной
обратной связью необходимо решить уравнение (его называют ос-
новным уравнением метода КГ)
1sWp (5)
Так как sWp является функцией комплексного переменного
s то уравнение (5) распадается на два уравнения уравнение модулей
1)( sWp (6)
60
и уравнение аргументов (фаза вектора -1 есть нечетное число π)
210)12()(arg sWp (7)
Как известно при умножении комплексных чисел их аргументы
складываются а при делении ndash вычитаются Поэтому исходя из вы-
ражения (1) уравнение (7) имеет наглядный геометрический смысл
Пусть точка s ndash полюс замкнутой системы Если провести в s
вектора из нулей sWp (обозначим аргументы этих векторов 0j ) и
вектора из всех полюсов sWp (обозначим аргументы этих векторов
i ) то уравнение (7) можно записать в следующем виде
m
j
n
iij
1 1
0 210)12( (8)
Углы q отсчитываются от положительного направления дей-
ствительной оси Знак угла laquo+raquo соответствует повороту против часо-
вой стрелки знак угла laquo-raquo соответствует повороту по часовой стрел-
ке
Таким образом любая точка КГ должна удовлетворять уравне-
нию (8) из которого следует что конфигурация КГ не зависит от ко-
эффициента усиления K но каждому конкретному значению K одно-
значно соответствуют точки на КГ
При умножении комплексных чисел их модули перемножаются
а при делении ndash делятся Поэтому на основании (6) можно записать
1
1
1
0
n
ii
m
jj
l
lKC
(9)
где 0jl ndash модуль (длина) вектора проведенного из j-нуля в точку s
КГ il ndash модуль вектора проведенного из i-полюса в ту же точку s
61
Таким образом траектории корней строятся только по уравне-
ниям фаз а уравнение модулей используется затем для нахождения
K
Сущность метода КГ заключается в том чтобы узнать каким
должен быть коэффициент усиления разомкнутой системы чтобы
было обеспечено желаемое положение корней замкнутой системы
Корневой годограф системы с отрицательной обратной связью
обладает следующими основными свойствами
1 Ветви КГ непрерывны и расположены на комплексной плос-
кости симметрично относительно действительной оси
2 Число ветвей КГ равно порядку системы n Ветви начинают-
ся в n полюсах разомкнутой системы при K=0 При возрастании K от
0 до infin полюса замкнутой системы двигаются по ветвям КГ
3 mветвей КГ при возрастании K от 0 до infin заканчиваются в m
нулях )(sWp а )( mn ветвей при K стремящемся к infin удаляются
от полюсов вдоль асимптот
4 При расположении ветвей корневого годографа в левой полу-
плоскости s САУ устойчива При пересечении ветвей КГ мнимой оси
слева направо САУ становится неустойчивой Пусть при K=Kкр
пере-
сечение КГ с мнимой осью произойдет в некоторой точке iωкр
Назо-
вем это значение коэффициента усиления критическим Kкр
а вели-
чину iωкр
критической угловой частотой на которой система стано-
вится неустойчивой
4 Краткое описание MATLAB
Лабораторная работа выполняется в программе математического
моделирования MATLAB Программа MATLAB включает в себя пакет
прикладных программ для решения технических задач и одноименный
язык программирования используемый в этом пакете
Основными компонентами системы являются базовая система
MATLAB и пакет моделирования систем Simulink Остальные пакеты
расширения разбиты на 4 категории ndash расширения Extension MATLAB и
Extension Simulink а также комплексы пакетов расширения Blockset и
Toolbox
Раздел MATLAB Extension содержит средства для подготовки ис-
полняемых приложений MATLAB (с подключаемыми библиотеками и
без них)
62
Раздел Toolbox (инструментальные средства) содержит самое
большое число пакетов расширений системы MATLAB такие как
laquoControl systemraquo laquoDatabaseraquo laquoFuzzy logicraquo laquoWaveletraquo и тд
В разделе Blockset расположено несколько пакетов относящихся к
главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink такие как
laquoDSPraquo laquoFixed-Pointraquo laquoNonlinear control designraquo и laquoPower systemsraquo
В разделе Extension Simulink имеется ряд средств предназначен-
ных для моделирования в реальном масштабе времени и событийно-
управляемом моделировании
5 Корневой годограф в MATLAB
В системе MATLAB существует команда zpk для преобразова-
ния модели заданной ПФ в модель заданную нулями полюсами и
обобщенными коэффициентами передачи (zpk-форма)
Пример
gtgt w=tf([10][2 2 3 1 0])
Transfer function
10
-------------------------------
2 s^4 + 2 s^3 + 3 s^2 + s
gtgt w1=zpk(w)
Zeropolegain
5
----------------------------------------------
s (s+03966) (s^2 + 06034s + 1261)
Для работы с корневым годографом удобно использовать гра-
фический интерфейс laquoSISO-Design Toolraquo предназначенный для ана-
лиза и синтеза одномерных линейных систем автоматического управ-
ления (SISO ndash Single Input Signal Output)
Запуск SISO-Design Tool осуществляется командой
gtgt sisotool
63
В появившемся окне графического интерфейса необходимо ис-
пользовать команду laquoFileImportraquo для загрузки данных из рабочего
пространства MATLAB в результате которой появляется диалоговое
окно Import System Data (рис 1)
Рис 1 Диалог для ввода параметров модели
После импортирования данных можно исследовать изменение
временных и частотных характеристик замкнутой системы при изме-
нении K Обычно при этом требуется определить условия неустойчи-
вости замкнутой САУ Определить Kкр
и iωкр
На рис 2 показано окно sisotool для описанной выше модели w1
Двигая красным курсором по КГ до пересечения ветвей с мнимой
осью можно определить значения Kкр
В данном случае Kкр
asymp 01
Значение iωкр
соответствует мнимой координате пересечения КГ
мнимой оси Просмотреть это значение можно в нижней части ин-
терфейса или выбрать меню laquoView Closed-Loop Polesraquo
64
Рис 2 Основное окно SISO-Design Tool
6 Задание на лабораторную работу
Построить КГ в соответствии с вариантом из табл 1 при помо-
щи графического интерфейса sisotool
Исследовать динамику замкнутой системы при различных зна-
чениях коэффициента усиления разомкнутой системы K в том числе
ndash запасы устойчивости в частотной области
ndash параметры переходного процесса во временной области
Таблица 1
Варианты передаточных функций
Значения параметров Передаточная функция
разомкнутой системы
1 T = 01 ζ = 1
)12( 22 sTsTs
K
2 T = 005 ζ = 0707
3 T = 003 ζ = 01
4 T = 008 ζ = 05
5 T = 001 ζ = 015
65
Окончание табл 1
Значения параметров Передаточная функция
разомкнутой системы
6 T1 = 003 T2 = 05 T3 = 01 T4 = 005
)1)(1)(1(
)1(
432
1
sTsTsTs
sTK
7 T1 = 005 T2 = 04 T3 = 008 T4 = 0033
8 T1 = 02 T2 = 045 T3 = 01 T4 = 005
9 T1 = 05 T2 = 025 T3 = 01 T4 = 002
10 T1 = 01 T2 = 025 T3 = 01 T4 = 005
Вариант задания назначается преподавателем
7 Методика выполнения задания
Порядок выполнения лабораторной работы
1 Задать передаточную функцию в MATLAB в соответствии с
вариантом коэффициент K задать любым положительным числом
2 Запустить SISO-Design Tool и осуществить ввод данных
Построить КГ
3 По КГ определить значения коэффициента K когда система
будет устойчивой на границе устойчивости и неустойчива
4 Выбрать значение коэффициента K таким образом чтобы си-
стемы была устойчива и определить запас устойчивости в частотной
области и параметры переходного процесса во временной области
8 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) титульный лист
б) передаточную функцию и этапы построения КГ
в) анализ результатов построения КГ
г) выводы по проделанной работе
д) ответы на контрольные вопросы
Контрольные вопросы 1 Дать определение КГ
2 Что обычно позволяет находить метод КГ
3 В чем заключается сущность метода КГ
4 Что можно определить по КГ
66
Критерии результативности лабораторного практикума
Лабораторная работа считается выполненной если студент
ndash выполнил все указанные задания
ndash представил отчет соответствующий всем требованиям к его
содержанию и оформлению
ndash владеет терминологией и материалом лабораторной работы
ndash способен использовать программное средство математическо-
го моделирования MATLAB
ndash способен предоставить и рассказать результаты выполненной
работы на ПК
ndash может дать пояснения к отчету и ответить на контрольные
вопросы
Список литературы
1 Александров АГ Частотная теория автоматического управле-
ния учебное пособие ndash Электросталь ЭПИ МИСиС 2010
2 Борисевич АВ Теория автоматического управления элементар-
ное введение с применением MATLAB ndash СПб Изд-во Политехн ун-
та 2011
3 Федоров ВЛ Бубнов АВ Теория автоматического управления
учебное пособие ndash Омск Изд-во ОмГТУ 2010
4 Павловская ОО Чернецкая ИВ Теория автоматического
управления учебное пособие ndash Челябинск Изд-во ЮУрГУ 2010
67
Составители ЛЯНЦЕВ Олег Дмитриевич КАЗАНЦЕВ Андрей Валерьевич
ИССЛЕДОВАНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК СИСТЕМ
АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
Лабораторный практикум
по дисциплине
laquoТеория управленияraquo
Подписано в печать Формат 60х84 116 Бумага офсетная Пе-
чать плоская Гарнитура Times New Roman Усл печ л 56 Уч-изд л
55 Тираж 100 экз Заказ
ФГБОУ ВПО Уфимский государственный авиационный технический
университет
Центр оперативной полиграфии УГАТУ
450000 Уфа-центр ул К Маркса 12
33
)()()(
)()(
)()()()(
)()(
)()()()(
))()())(()((
))()())(()((
)()(
)()()(
)(
22
22
2112
22
22
2121
2222
2211
22
11
jeAjVU
ba
babaj
ba
bbaa
jbajba
jbajba
jba
jbajW
где
)()()()(22
22
21
2122
ba
baVUjWA
)(
)())(arg()(
2
2
1
1
a
barctg
a
barctg
U
VarctgjW
Графики функции )(U и )(V называют соответственно веще-
ственной и мнимой частотной характеристиками
В практических расчетах удобно применять графики частотных
характеристик построенных в логарифмическом масштабе ndash лога-
рифмические частотные характеристики (ЛЧХ)
Логарифмическая амплитудная частотная характеристика
(ЛАЧХ) определяется следующим выражением
)(lg20)( AL
Логарифмической фазовой частотной характеристикой
(ЛФЧХ) называется график зависимости )( построенный в лога-
рифмическом масштабе частот
Единицей L(ω) является децибел (дБ) а единицей логарифма ча-
стоты ndash декада Декадой называют интервал частот на котором часто-
та изменяется в 10 раз При изменении частоты в 10 раз говорят что
она изменилась на одну декаду Ось ординат при построении ЛЧХ про-
водят через произвольную точку а не через точку ω = 0 Частоте ω = 0
соответствует бесконечно удаленная точка lgω rarr ndash infin при ω rarr 0
Основное преимущество использования ЛЧХ заключается в том
что приближенные (асимптотические) ЛАЧХ типовых динамических
звеньев изображаются отрезками прямых
Пример Построим ЛЧХ апериодического звена первого
34
порядка
Передаточная функция звена
1
)(
Ts
ksW
Частотная передаточная функция
1)(
)1(
1)(
2
T
Tjk
Tj
kjW
1)(
1)( 22
T
kTV
T
kU
Следовательно АЧХ описывается формулой
1)(
)(2
T
kA
ФЧХ строится по формуле
)()( Tarctg
ЛАЧХ апериодического звена 1-го порядка
1)(lg20lg20)( 2 TkL
По этой формуле можно построить две асимптоты ndash прямые к
которым стремится ЛАЧХ при ω rarr 0 и при ω rarr infin Так при ω rarr 0 второе
слагаемое близко к нулю и этот участок ЛАЧХ представляет собой
горизонтальную прямую
lg20)( kL
При ω rarr infin получаем наклонную прямую
1)(lg20)( 2 TL
35
Для определения наклона этой прямой можно рассмотреть гра-
ницы декады
T
1 и
10
T
Изменение ЛАЧХ между этими точками
)(2011
lg20110
lg20)(
22
декдБT
TT
TL
ЛЧХ часто называют диаграммами Боде
4 Краткое описание MATLAB
Лабораторная работа выполняется в программе математического
моделирования MATLAB Она включает в себя пакет прикладных про-
грамм для решения технических задач и одноименный язык программи-
рования используемый в этом пакете
Основными компонентами системы являются базовая система
MATLAB и пакет моделирования систем Simulink Остальные пакеты
расширения разбиты на 4 категории ndash расширения Extension MATLAB и
Extension Simulink а также комплексы пакетов расширения Blockset и
Toolbox
Раздел MATLAB Extension содержит средства для подготовки ис-
полняемых приложений MATLAB (с подключаемыми библиотеками и
без них)
Раздел Toolbox (инструментальные средства) содержит самое
большое число пакетов расширений системы MATLAB такие как
laquoControl systemraquo laquoDatabaseraquo laquoFuzzy logicraquo laquoWaveletraquo и тд
В разделе Blockset расположено несколько пакетов относящихся к
главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink такие как
laquoDSPraquo laquoFixed-Pointraquo laquoNonlinear control designraquo и laquoPower systemsraquo
В разделе Extension Simulink имеется ряд средств предназначен-
ных для моделирования в реальном масштабе времени и событийно-
управляемом моделировании
36
5 Построение частотных характеристик в MATLAB В пакете MATLAB ЛЧХ объекта заданного с помощью ПФ
можно получить командой bode
Пример
gtgt w=tf([1 2][3 4 5])
gtgt bode(w)
Для нескольких вариантов передаточной функции можно исполь-
зовать вариант команды вида
gtgt bode(ww1w2)
Например построим диаграмму Боде при различных параметрах
колебательного звена (рис 1)
gtgt w=tf([1][2 03 1])
gtgt w1=tf([1][2 05 1])
gtgt w2=tf([1][2 01 1])
gtgt bode(ww1w2)
Рис 1 ЛЧХ колебательного звена
6 Задание на лабораторную работу
С помощью пакета MATLAB построить ЛЧХ каждого типового
звена Определить влияние коэффициентов входящих в описание
каждого звена на параметры ЛАЧХ и ЛФЧХ Вариант задания назна-
чается преподавателем
37
7 Методика выполнения задания
Порядок выполнения работы
1 Задать передаточную функцию типового динамического звена
используя параметры из табл 2 лабораторной работы 1
2 Построить диаграмму Боде при различных параметрах типо-
вого динамического звена
3 Определить влияние коэффициентов входящих в описание
каждого звена на параметры ЛАЧХ и ЛФЧХ в том числе
ndash как меняется ширина асимптотических участков ЛАЧХ и
ЛФЧХ
ndash как меняется положение точек пересечения осей ЛАЧХ
4 Написать вывод по влиянию коэффициентов на типовое звено
5 Выполнить пункты 1-4 для всех типовых звеньев
6 Подготовить ответы на контрольные вопросы
8 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) титульный лист
б) краткие теоретические сведения
в) передаточные функции и схемы моделирования исследуемых
звеньев
г) экспериментально полученные характеристики при вариации
параметров каждого звена
д) выводы обобщающие проделанные эксперименты по каждо-
му звену
ж) ответы на контрольные вопросы
Контрольные вопросы
1 Как пользуясь частотными характеристиками определить па-
раметры (коэффициенты передаточной функции) звена Пояс-
нить на конкретных примерах
2 Указать особенности построения ЛАХ и ЛФХ динамических
звеньев Что понимается под асимптотической ЛАХ звена
3 Как осуществляется построение АФХ динамического звена
38
Лабораторная работа 4
ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ СИСТЕМ
С ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ
1 Цель работы
Изучение особенностей практического использования алгебраи-
ческих и частотных критериев устойчивости для анализа динамики
линейных САУ с использованием автоматизированных средств моде-
лирования на ПК ndash MATLAB SIMULINK
2 Задачи работы
ndash Закрепление углубление и расширение знаний студентов при
исследовании устойчивости систем с обратной связью
ndash Приобретение умений и навыков работы с программой мате-
матического моделирования MATLAB
ndash Овладение новыми методами проверки устойчивости систем
с обратной связью
ndash Выработка способности логического мышления осмысления
полученных данных
3 Теоретическая часть
Устойчивость САУ является одним из основных условий ее ра-
ботоспособности и включает требование затухания во времени пере-
ходных процессов
Система является устойчивой если при ограниченном входном
сигнале еѐ выходной сигнал также является ограниченным Если
система устойчива то она противостоит внешним воздействиям а
выведенная из состояния равновесия возвращается снова к нему
Система с расходящимся переходным процессом будет неустойчивой и
неработоспособной
Необходимое и достаточное условие устойчивости заключается в
том чтобы все корни характеристического уравнения (полюсы пере-
даточной функции системы) имели отрицательные вещественные ча-
сти Иначе говоря условием устойчивости системы является распо-
ложение всех полюсов в левой комплексной полуплоскости Тогда все
полюсы будут давать затухающую реакцию
Выше сформулированное условие устойчивости справедливо как
39
для линейных так и для линеаризованных систем Однако в случае
нулевых или чисто мнимых корней характеристического уравнения
вопрос об устойчивости линеаризованной системы может быть ре-
шен только на основании исследования ее нелинейных уравнений
В конце XIX и первой половине XX в задача вычисления корней
характеристического уравнения высокого порядка вызывала боль-
шие проблемы Поэтому были предложены несколько косвенных
методов оценки устойчивости позволяющих обойтись без вычисле-
ния корней ndash по значениям коэффициентов характеристического
уравнения
Критерии устойчивости разделяют на алгебраические и частот-
ные В частности к алгебраическим критериям относится критерий
Гурвица к частотным критериям ndash критерий Найквиста
Критерий Гурвица является алгебраическим критерием и при-
меняется к коэффициентам характеристического уравнения замкнутой
системы
Пусть имеется характеристическое уравнение замкнутой
системы
0011
1 apapapa n
nn
n
Из коэффициентов характеристического уравнения составляют
матрицу по правилу
1 По диагонали записываются коэффициенты от 1na до 0a
2 Каждая строка дополняется коэффициентами с возрастающи-
ми индексами слева направо так чтобы чередовались строки с нечет-
ными и четными индексами
3 В случае отсутствия индекса а также если он меньше 0 или
больше п на его место пишется 0
Таким образом матрица Гурвица приобретает следующий вид
40
Критерий устойчивости формулируется так
Чтобы система была устойчивой необходимо и достаточно что-
бы при 0na были положительными все п диагональных определи-
телей получаемых из матрицы Гурвица
Первые три определителя матрицы Гурвица имеют следующий
вид
Таким образом критерий Гурвица позволяет судить об абсо-
лютной устойчивости но он не дает возможности оценивать относи-
тельную устойчивость по корням характеристического уравнения
Частотный критерий устойчивости Найквиста анализирует
АФЧХ разомкнутой системы
Пусть имеется АФЧХ разомкнутой системы W(jω)
Для нахождения вещественной и мнимой части частотной ха-
рактеристики нужно освободиться от мнимости в знаменателе путем
умножения числителя и знаменателя на комплексную величину со-
пряженную знаменателю а затем выполнить разделение на веще-
ственную и мнимую части W(jω) приобретает вид
)()()( jQPjW
Задаваясь различными значениями частоты можно найти мно-
жество пар )()( 11 jQP )()( 22 jQP )()( nn jQP
Затем по этим парам строится АФЧХ на комплексной плоскости
Основные свойства АФЧХ разомкнутой системы
1 Если разомкнутая система не имеет интегрирующих звеньев
то при ω = 0 ее АФЧХ начинается на вещественной оси в точке
Р(ω)=К (где К ndash коэффициент усиления разомкнутой системы) За-
канчивается АФЧХ в начале координат при ω rarr infin (рис 1 а)
2 Если разомкнутая система имеет одно интегрирующее звено то
ее АФЧХ начинается при ω = 0 в бесконечности на отрицательной мни-
мой полуоси а заканчивается в начале координат при ω rarr infin (рис 1 б)
41
Рис 1 АФЧХ разомкнутой системы
Критерий устойчивости Найквиста формулируется так
1 Если разомкнутая система устойчива или находится на гра-
нице устойчивости то для того чтобы замкнутая система была
устойчива необходимо и достаточно чтобы АФЧХ разомкнутой
системы при изменении частоты ω от 0 до infin не охватывала точку с ко-
ординатами (-1 j0)
2 Если разомкнутая система неустойчива а ее передаточная
функция имеет т полюсов справа от мнимой оси на комплексной
плоскости то для устойчивости замкнутой системы необходимо и до-
статочно чтобы АФЧХ разомкнутой системы при изменении частоты
ω от -infin до +infin охватывала т раз точку с координатами (-1 j0)
При использовании этого критерия нужно учитывать две
особенности
1 Если разомкнутая система находится на границе устойчиво-
сти то ее АФЧХ уходит в бесконечность Для проверки критерия Най-
квиста нужно мысленно соединить конец АФЧХ дугой бесконечно
большого радиуса с положительной вещественной полуосью
2 На практике АФЧХ может строиться только для положитель-
ных частот (0 lt ω lt +infin) При применении критерия Найквиста счита-
ется что ветвь АФЧХ для отрицательных частот симметрична отно-
сительно вещественной оси
Физический смысл критерия устойчивости Найквиста заключа-
ется в том что система будет неустойчива если фаза выходного сиг-
нала противоположна фазе входного сигнала а коэффициент усиле-
ния больше 1 Поэтому для анализа устойчивости можно использо-
вать не АФЧХ а ЛАХ системы (для минимально-фазовых систем)
Система устойчива если на частоте среза значение фазы не превы-
шает -π Соответственно для устойчивой системы можно рассматри-
вать на ЛФЧХ запас устойчивости по фазе ndash расстояние от значения
фазы на частоте среза до уровня -π и запас устойчивости по амплиту-
42
де ndash расстояние от оси частот ЛАЧХ до значения усиления на часто-
те где фаза становится равной -π
4 Краткое описание MATLAB
Лабораторная работа выполняется в программе математического
моделирования MATLAB Программа MATLAB включает в себя пакет
прикладных программ для решения технических задач и одноименный
язык программирования используемый в этом пакете
Основными компонентами системы являются базовая система
MATLAB и пакет моделирования систем Simulink Остальные пакеты
расширения разбиты на 4 категории ndash расширения Extension MATLAB и
Extension Simulink а также комплексы пакетов расширения Blockset и
Toolbox
Раздел MATLAB Extension содержит средства для подготовки ис-
полняемых приложений MATLAB (с подключаемыми библиотеками и
без них)
Раздел Toolbox (инструментальные средства) содержит самое
большое число пакетов расширений системы MATLAB такие как
laquoControl systemraquo laquoDatabaseraquo laquoFuzzy logicraquo laquoWaveletraquo и тд
В разделе Blockset расположено несколько пакетов относящихся к
главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink такие как
laquoDSPraquo laquoFixed-Pointraquo laquoNonlinear control designraquo и laquoPower systemsraquo
В разделе Extension Simulink имеется ряд средств предназначен-
ных для моделирования в реальном масштабе времени и событийно-
управляемом моделировании
5 Исследование устойчивости САУ в MATLAB
Для проверки устойчивости САУ по Гурвицу постройте матрицу
Гурвица и найдите ее детерминант (функция det) Затем последова-
тельно уменьшая размер матрицы найдите значения всех диагональ-
ных детерминантов Пример
gtgt А=[1 14 18 2 5 2 3 4 3]
А =
1 14 18
2 5 2
3 4 3
gtgt det(A)
ans = -119
43
gtgt А1=А(12 12)
А1 =
1 14
2 5
gtgt det(A1)
ans = -23
Для проверки устойчивости САУ по Найквисту сначала нужно
выяснить является ли устойчивой разомкнутая система
Пример Пусть дана передаточная функция разомкнутой
системы
13232
12234
pppp
pW
Рассмотрим реакцию на скачок
gtgt w=tf([2 1][2 3 2 3 1])
gtgt step(w18)
График переходного процесса показан на рис 2
Рис 2 Переходная реакция
Разомкнутая система неустойчива и согласно критерию Найкви-
ста надо чтобы АФЧХ разомкнутой системы охватывала точку (-1 j0)
44
столько раз сколько полюсов имеется справа от мнимой оси Для по-
строения АФЧХ достаточно вызвать команду nyquist
gtgt nyquist(w)
Диаграмма Найквиста показана на рис 3
Рис 3 Диаграмма Найквиста для неустойчивой системы
Как показывает рис3 АФЧХ ни разу не охватывает точку
(-1 j0) поэтому замкнутая система будет неустойчивой Частотный
критерий Найквиста можно использовать и в том случае когда рас-
сматривается не АФЧХ а ЛАЧХ разомкнутой системы замкнутая
минимально-фазовая система устойчива если при достижении ЛФЧХ
значения -π ЛАЧХ будет отрицательной
Используя ЛАЧХ и ЛФЧХ можно оценить запасы устойчивости
системы по амплитуде и по фазе с помощью команды
gtgt margin(w)
Пример
gtgt w=tf([10][2 2 3 1])
gtgt margin(w)
Соответствующий график показан на рис 4
45
Рис 4 Определение запасов устойчивости по амплитуде и по фазе
6 Задание на лабораторную работу
Выполнить исследование устойчивости замкнутой системы по за-
данной передаточной функции разомкнутой системы Определить запас
устойчивости по амплитуде и по фазе Вариант задания назначается
преподавателем
7 Методика выполнения задания
Порядок выполнения работы
1 Рассчитать передаточную функцию замкнутой системы по
приведенной в табл 1 разомкнутой системе
2 Определить устойчивость замкнутой системы используя кри-
терий Гурвица
3 Определить устойчивость замкнутой системы используя кри-
терий Найквиста
4 Определить запас устойчивости по амплитуде и по фазе ис-
пользуя ЛАЧХ и ЛФЧХ
5 Выполнить моделирование переходных процессов разомкну-
той и замкнутой систем
6 Подготовить ответы на контрольные вопросы
46
Таблица 1
Варианты заданий
Передаточная функция разомкнутой системы
1 1355
2234
ssss
W
2 110050
1234
ssss
W
3 11010
123
sss
W
4 122105
100234
ssss
W
5 1248
123
sss
W
6 1223
102345
sssss
W
7 11001010
323
sss
W
8 122
1023
sss
W
9 11010
123
sss
W
10 15050332
102345
sssss
W
8 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) титульный лист
б) краткие теоретические сведения
в) переходную функцию разомкнутой системы
г) расчет передаточной функции замкнутой системы
д) расчетные выражения для обоснования устойчивости замкну-
той системы по алгебраическому критерию Гурвица
е) годограф Найквиста разомкнутой системы на основании кото-
рого делается вывод об устойчивости замкнутой системы
ѐ) переходную функцию замкнутой системы
ж) проверку полученных результатов путем компьютерного моде-
лирования переходных процессов разомкнутой и замкнутой си-
стемы в MATLAB Simulink
з) выводы по всем полученным результатам
47
Контрольные вопросы
1 Как связана устойчивость линейной САУ с видом составля-
ющих ее свободного движения
2 Зависит ли устойчивость линейных САУ от амплитуды зада-
ющих воздействий или возмущений
3 Сформулируйте критерий устойчивости Гурвица укажите на
необходимое условие устойчивости линейных САУ вытекаю-
щее из этого критерия
4 Сформулируйте критерий Найквиста для случая САУ устой-
чивых в разомкнутом состоянии а также для астатических САУ
Что такое laquoзапасы устойчивости по фазе и по амплитудеraquo
5 Что называется структурной устойчивостью
48
Лабораторная работа 5
КОРРЕКЦИЯ СТАТИЧЕСКИХ И ДИНАМИЧЕСКИХ
СВОЙСТВ САУ
1 Цель работы
Целью работы является изучение способов обеспечения иско-
мых характеристик САУ с использованием автоматизированных
средств моделирования на ПК ndash MATLAB SIMULINK
2 Задачи работы
ndash Закрепление углубление и расширение знаний студентов при
обеспечении искомых характеристик САУ
ndash Приобретение умений по обеспечению точности (уменьшение
статической ошибки) САУ и выбору значений параметров регулято-
ра обеспечивающих желаемые динамические свойства САУ
ndash Приобретение умений и навыков работы с программой мате-
матического моделирования MATLAB
3 Теоретическая часть
Коррекция статических и динамических свойств САУ имеет
своей целью повышение статической и динамической точности отра-
ботки системой задающего воздействия (или парирование возмуща-
ющего воздействия) повышение запасов ее устойчивости Наиболее
распространенными способами коррекции свойств САУ является из-
менение коэффициента усиления ее разомкнутой части введение в
САУ новых звеньев (как правило интегрирующего или дифференци-
рующего типа) охват объекта управления местной обратной связью
31 Коррекция статических свойств САУ
Статические свойства системы определяются величиной устано-
вившейся ошибки )t(уст вызванной действием задающего воздей-
ствия и определяемой по формуле
22
210 2 dttgdcdttdgctgctуст (1)
где )(tg - входное воздействие 210 ccc - коэффициенты ошибок
Коэффициенты ошибок определяются по формулам
49
dssdcdssdcscs
mmmss 00100
где s - передаточная функция САУ по ошибке управления рав-
ная
sW
sраз
1
1
sWраз - передаточная функция разомкнутой САУ
Основными способами уменьшения статической ошибки систе-
мы являются
1) увеличение коэффициента усиления прямого тракта системы
2) введение в прямой тракт системы интегрирующих звеньев
3) охват объекта управления местной неединичной положитель-
ной обратной связью
Представим структурную схему системы в виде изображенном
на рис 1 где через sW обозначена передаточная функция неизме-
няемой части системы
bsbsb
asasasW
nn
nn
mm
mm
01
1
01
1
Здесь и далее полагается что KKKsW s 000 0 ndash из-
меняемый коэффициент усиления регулятора системы
Первые два коэффициента ошибок 0c и 1c определяется выраже-
ниями
KK
c0
01
1
(2)
KK
dssdWKc
s
20
01
1
(3)
Из (2) и (3) с учетом (1) вытекает что с увеличением K
статическая ошибка в системе уменьшается и наоборот с уменьше-
нием K статическая ошибка в системе увеличивается
Введем в прямой тракт системы одно интегрирующее звено
50
(рис 2) В этом случае c 00 01 1 KKc
Так как c 00 то система на рис 2 является астатической (с
астатизмом первого порядка) Система имеет нулевую статическую
ошибку при отработке постоянного задающего воздействия
consttg и постоянную обратно пропорциональную K ошибку
constуст при отработке линейно изменяющегося воздействия
tatg
Рис 1 Схема САУ Рис 2 Схема САУ с включенным в прямой
тракт интегрирующим звеном
Охватим неизменяемую часть системы sW местной нееди-
ничной положительной обратной связью с коэффициентом усиления
осK (рис 3) Тогда эквивалентная передаточная функция sWэкв
неизменяемой части системы равна
10011
01
1
aKbsaKbsaKbsb
asasa
sWK
sWsW
ососm
mосmn
n
mm
mm
осэкв
(4)
Если коэффициент усиления K выбрать из условия
a
bKос
0
0
то свободный коэффициент (b0 - Koca0) полинома знаменателя sWэкв
обратится в нуль и sWэкв приобретает интегрирующие свойства
11
11
0
1
1
aKbsaKbsbs
asasasW
ос
m
mосm
n
n
m
m
m
mэкв
g(t) y(t)ε(t)
K W(s)-
g(t) y(t)
Ks W(s)-
ε(t)
51
Следовательно замкнутая система становится астатической (с
астатизмом 1-го порядка) Отсюда 0c =0 а коэффициент 1c будет
равен
aKb
bc
ос 11
01
ε(t)g(t) y(t)
W(s)-
Kос
Wэкв(s)
+
Рис 3 Схема САУ с местной неединичной обратной связью
32 Коррекция динамических свойств САУ
Улучшение динамических свойств САУ заключается в увеличе-
нии быстродействия САУ (уменьшении времени регулирования tрег)
уменьшении перерегулирования (см рис 4) а также увеличении
запасов устойчивости по фазе и по модулю При этом
h
hh
уст
устmax100
где maxh - максимальное значение переходной характеристики за-
мкнутой САУ th
устh - установившееся значение th
Время регулирования tрег - минимальная величина при которой удо-
влетворяется условие
устрег hth
где - заданная величина ошибки (обычно =005 устh )
52
h(t)
tрег
hустhmax
2δ
Рис 4 Быстродействие и перерегулирование САУ
Одним из эффективных средств достижения этой цели является
уменьшение отрицательных фазовых сдвигов в прямом тракте систе-
мы путем охвата неизменяемой части системы местными отрицатель-
ными обратными связями
На рис 5 R(s) представляет собой передаточную функцию регу-
лятора САУ которая считается заданной
ε(t)g(t) y(t)
W(s)-
Kос
Wэкв(s)
-
R(s)
u(t)
Рис 5 Схема САУ с местной обратной связью и регулятором
Пусть неизменяемая часть системы представляет собой аперио-
дическое звено первого порядка те
sT
K)s(W
10
0
Тогда передаточная функция sWэкв эквивалентного объекта
управления равна
sT
K
sWK
sWsW
экв
экв
осэкв
11
где зквK и эквT - коэффициент усиления и постоянная времени
эквивалентного объекта равные
53
KK
KK
осэкв
0
0
1
KK
TT
осэкв
0
0
1 (5)
Из (5) следует что соответствующим выбором осK постоянную
времени эквT эквивалентного объекта можно уменьшить в (1+ 0KKос )
раз по сравнении с постоянной времени 0T объекта без местной об-
ратной связи Тем самым уменьшаются отрицательные фазовые сдви-
ги вносимые прямым трактом системы что приводит к увеличению
запасов устойчивости системы При этом однако уменьшается в
(1+ 0KKос ) раз коэффициент усиления эквK эквивалентного объекта
по сравнению с коэффициентом усиления 0K объекта без местной
обратной связи Это нежелательно так как приводит к уменьшению
быстродействия системы вследствие уменьшения общего коэффици-
ента усиления прямого тракта системы В этом случае с целью обес-
печения необходимого быстродействия системы увеличивают коэф-
фициент усиления регулятора
4 Краткое описание MATLAB
Лабораторная работа выполняется в программе математического
моделирования MATLAB Программа MATLAB включает в себя пакет
прикладных программ для решения технических задач и одноименный
язык программирования используемый в этом пакете
Основными компонентами системы являются базовая система
MATLAB и пакет моделирования систем Simulink Остальные пакеты
расширения разбиты на 4 категории ndash расширения Extension MATLAB и
Extension Simulink а также комплексы пакетов расширения Blockset и
Toolbox
Раздел MATLAB Extension содержит средства для подготовки ис-
полняемых приложений MATLAB (с подключаемыми библиотеками и
без них)
Раздел Toolbox (инструментальные средства) содержит самое
большое число пакетов расширений системы MATLAB такие как
laquoControl systemraquo laquoDatabaseraquo laquoFuzzy logicraquo laquoWaveletraquo и тд
54
В разделе Blockset расположено несколько пакетов относящихся к
главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink такие как
laquoDSPraquo laquoFixed-Pointraquo laquoNonlinear control designraquo и laquoPower systemsraquo
В разделе Extension Simulink имеется ряд средств предназначен-
ных для моделирования в реальном масштабе времени и событийно-
управляемом моделировании
5 Задание на лабораторную работу
Выполнить исследование способов коррекции статических и
динамических свойств САУ Определить время регулирования и пе-
ререгулирования в исходной и скорректированной системах а также
для динамических свойств САУ определить запасы устойчивости в
исходной системе и найти экспериментально значение Kос обеспечи-
вающее в системе заданные показатели качества и запасы устойчиво-
сти Вариант задания назначается преподавателем
Таблица 1
Варианты заданий
варианта
Параметры
1
2
3
4
5
6
7
8
a 05 10 15 20 25 30 35 40
K0 1 2 3 4 5 6 7 8
T c 03 04 05 06 07 08 09 10
ξ 06 07 08 08 07 09 05 04
уст 0 0 005 0 010 007 0 0
tрег c le 13 15 20 25 30 35 40 40
le 0 10 10 5 5 5 0 0
В качестве исходных САУ выступают системы изображенные
на рис 6 и 7
55
ε(t)g(t) y(t)
W(s)-
g(t) y(t)
R(s) W(s)-
ε(t) u(t)
Рис 6 САУ с отрицательной Рис 7 САУ с отрицательной обратной
обратной связью связью и регулятором
6 Методика выполнения задания
При исследовании способов коррекции статических свойств
САУ в качестве исходных данных выступает передаточная функция
sW неизменяемой части системы вида
1222
0
sTsT
KsW (6)
и задающие воздействия вида ttg 1 в соответствии с таблицей 1
В процессе выполнения этой части работы необходимо
1) путем моделирования в системе MATLAB исходной САУ
(рис 6) получить графики ttytg
2) сравнить полученную таким образом экспериментальную ве-
личину t с теоретической величиной вычисленной по формуле (1)
3) применяя описанные в теоретической части методических
указаний способы коррекции статических свойств (см п 31) обес-
печить требуемую статическую ошибку εуст системы при отработке
задающего воздействия ttg 1
4) получить графики ty и t в скорректированной системе
для 1 ttg
5) сравнить время регулирования регt и перерегулирование в
исходной и скорректированной системах при 1 ttg
При исследовании рассмотренного способа коррекции динами-
ческих свойств САУ (см п 32) в качестве исходных данных высту-
пают передаточная функция sW неизменяемой части системы
вида (6) и передаточная функция регулятора вида
s
KsR
рег
56
Задающее воздействие ttg 1
В процессе выполнения данной части работы необходимо
1) получить путем моделирования в MATLAB графики ty t
в системе (рис 7)
2) определить время регулирования регt и перерегулирование
а также запасы устойчивости в исходной системе
3) применяя описанный выше способ коррекции динамических
свойств САУ найти экспериментально (путем последовательного пе-
ребора) значение осK обеспечивающее в системе заданные заданием
показатели качества ( регt ) и запасы устойчивости (при необхо-
димости увеличить коэффициент регK )
4) получить графики ty t а также ЛАХ и ЛФХ разомкну-
той системы в скорректированной САУ
7 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) титульный лист
б) структурные схемы исследуемых систем
в) полученные графики и характеристики
г) значения полученные экмпериментально которые
обеспечивают заданные показатели качества и запасы устойчивости
д) выводы обощающие проделанные эксперименты для
коррекции статических и динамических свойств САУ
е) ответы на контрольные вопросы
Контрольные вопросы 1 Дать определение статической и астатической САУ
2 Какими структурными свойствами системы определяется по-
рядок ее астатизма
3 Какой из двух приведенных выше способов придания системе
свойств астатизма 1-го порядка наиболее предпочтителен на
практике
4 Назовите основные показатели качества САУ Поясните их
смысл
5 В чѐм суть исследуемого способа коррекции динамических
свойств САУ
57
6 Назвать другие способы коррекции динамических свойств
САУ
7 Чем вызваны отрицательные фазовые сдвиги в неизменяемой
части САУ
58
Лабораторная работа 6
МЕТОД КОРНЕВОГО ГОДОГРАФА
1 Цель работы
Целью работы является построение корневого годографа и ис-
следование динамики системы с использованием автоматизирован-
ных средств моделирования на ПК ndash MATLABSIMULINK
2 Задачи работы
ndash Закрепление углубление и расширение знаний студентов при
исследование динамики системы
ndash Овладение навыком построения корневого годографа
ndash Приобретение умений и навыков работы с программой мате-
матического моделирования MATLAB
3 Теоретическая часть
Корневым годографом (КГ) называется совокупность траекто-
рий перемещения всех корней характеристического уравнения за-
мкнутой системы при изменении какого-либо параметра этой систе-
мы
Обычно метод КГ позволяет находить полюса и нули ПФ за-
мкнутой системы располагая полюсами и нулями разомкнутой си-
стемы при изменении коэффициента усиления разомкнутой системы
K
ПФ разомкнутой системы Wp(s) представим в следующем виде
)(
)(
1
1
0
n
ii
m
jj
p
ss
ssKC
sW (1)
где 0js ndash нули ПФ sWp )1( mj
is ndash полюса ПФ sWp
)1( nj n и m ndash порядки знаменателя и числителя C ndash коэффици-
ент представления (отношение коэффициентов при старших членах
числителя и знаменателя)
59
При замыкании системы с ПФ sWp единичной отрицатель-
ной обратной связью ПФ замкнутой системы sWз принимает вид
)(1
)(
sW
sWsW
p
pз
(2)
Из выражения (2) следует что нули ПФ замкнутой системы рав-
ны нулям ПФ разомкнутой системы
Для нахождения полюсов рассмотри выражение
01 sWp (3)
в соответствии с выражением (1) имеем
n
i
m
jjin
ii
m
jj
ssKCss
ss
ssKC
1 1
0
1
1
0
)()(01
)(
)(
(4)
На основании выражения (4) можно сказать что при K = 0 корни
характеристического уравнения совпадают с полюсами а при K = infin ndash
с нулями При изменении K от 0 до infin траектории корней начинаются
в полюсах и заканчиваются в нулях Обычно полюсов больше чем
нулей В этом случаем mn ветвей корневого годографа стремятся к
infin
Для определения полюсов замкнутой системы с отрицательной
обратной связью необходимо решить уравнение (его называют ос-
новным уравнением метода КГ)
1sWp (5)
Так как sWp является функцией комплексного переменного
s то уравнение (5) распадается на два уравнения уравнение модулей
1)( sWp (6)
60
и уравнение аргументов (фаза вектора -1 есть нечетное число π)
210)12()(arg sWp (7)
Как известно при умножении комплексных чисел их аргументы
складываются а при делении ndash вычитаются Поэтому исходя из вы-
ражения (1) уравнение (7) имеет наглядный геометрический смысл
Пусть точка s ndash полюс замкнутой системы Если провести в s
вектора из нулей sWp (обозначим аргументы этих векторов 0j ) и
вектора из всех полюсов sWp (обозначим аргументы этих векторов
i ) то уравнение (7) можно записать в следующем виде
m
j
n
iij
1 1
0 210)12( (8)
Углы q отсчитываются от положительного направления дей-
ствительной оси Знак угла laquo+raquo соответствует повороту против часо-
вой стрелки знак угла laquo-raquo соответствует повороту по часовой стрел-
ке
Таким образом любая точка КГ должна удовлетворять уравне-
нию (8) из которого следует что конфигурация КГ не зависит от ко-
эффициента усиления K но каждому конкретному значению K одно-
значно соответствуют точки на КГ
При умножении комплексных чисел их модули перемножаются
а при делении ndash делятся Поэтому на основании (6) можно записать
1
1
1
0
n
ii
m
jj
l
lKC
(9)
где 0jl ndash модуль (длина) вектора проведенного из j-нуля в точку s
КГ il ndash модуль вектора проведенного из i-полюса в ту же точку s
61
Таким образом траектории корней строятся только по уравне-
ниям фаз а уравнение модулей используется затем для нахождения
K
Сущность метода КГ заключается в том чтобы узнать каким
должен быть коэффициент усиления разомкнутой системы чтобы
было обеспечено желаемое положение корней замкнутой системы
Корневой годограф системы с отрицательной обратной связью
обладает следующими основными свойствами
1 Ветви КГ непрерывны и расположены на комплексной плос-
кости симметрично относительно действительной оси
2 Число ветвей КГ равно порядку системы n Ветви начинают-
ся в n полюсах разомкнутой системы при K=0 При возрастании K от
0 до infin полюса замкнутой системы двигаются по ветвям КГ
3 mветвей КГ при возрастании K от 0 до infin заканчиваются в m
нулях )(sWp а )( mn ветвей при K стремящемся к infin удаляются
от полюсов вдоль асимптот
4 При расположении ветвей корневого годографа в левой полу-
плоскости s САУ устойчива При пересечении ветвей КГ мнимой оси
слева направо САУ становится неустойчивой Пусть при K=Kкр
пере-
сечение КГ с мнимой осью произойдет в некоторой точке iωкр
Назо-
вем это значение коэффициента усиления критическим Kкр
а вели-
чину iωкр
критической угловой частотой на которой система стано-
вится неустойчивой
4 Краткое описание MATLAB
Лабораторная работа выполняется в программе математического
моделирования MATLAB Программа MATLAB включает в себя пакет
прикладных программ для решения технических задач и одноименный
язык программирования используемый в этом пакете
Основными компонентами системы являются базовая система
MATLAB и пакет моделирования систем Simulink Остальные пакеты
расширения разбиты на 4 категории ndash расширения Extension MATLAB и
Extension Simulink а также комплексы пакетов расширения Blockset и
Toolbox
Раздел MATLAB Extension содержит средства для подготовки ис-
полняемых приложений MATLAB (с подключаемыми библиотеками и
без них)
62
Раздел Toolbox (инструментальные средства) содержит самое
большое число пакетов расширений системы MATLAB такие как
laquoControl systemraquo laquoDatabaseraquo laquoFuzzy logicraquo laquoWaveletraquo и тд
В разделе Blockset расположено несколько пакетов относящихся к
главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink такие как
laquoDSPraquo laquoFixed-Pointraquo laquoNonlinear control designraquo и laquoPower systemsraquo
В разделе Extension Simulink имеется ряд средств предназначен-
ных для моделирования в реальном масштабе времени и событийно-
управляемом моделировании
5 Корневой годограф в MATLAB
В системе MATLAB существует команда zpk для преобразова-
ния модели заданной ПФ в модель заданную нулями полюсами и
обобщенными коэффициентами передачи (zpk-форма)
Пример
gtgt w=tf([10][2 2 3 1 0])
Transfer function
10
-------------------------------
2 s^4 + 2 s^3 + 3 s^2 + s
gtgt w1=zpk(w)
Zeropolegain
5
----------------------------------------------
s (s+03966) (s^2 + 06034s + 1261)
Для работы с корневым годографом удобно использовать гра-
фический интерфейс laquoSISO-Design Toolraquo предназначенный для ана-
лиза и синтеза одномерных линейных систем автоматического управ-
ления (SISO ndash Single Input Signal Output)
Запуск SISO-Design Tool осуществляется командой
gtgt sisotool
63
В появившемся окне графического интерфейса необходимо ис-
пользовать команду laquoFileImportraquo для загрузки данных из рабочего
пространства MATLAB в результате которой появляется диалоговое
окно Import System Data (рис 1)
Рис 1 Диалог для ввода параметров модели
После импортирования данных можно исследовать изменение
временных и частотных характеристик замкнутой системы при изме-
нении K Обычно при этом требуется определить условия неустойчи-
вости замкнутой САУ Определить Kкр
и iωкр
На рис 2 показано окно sisotool для описанной выше модели w1
Двигая красным курсором по КГ до пересечения ветвей с мнимой
осью можно определить значения Kкр
В данном случае Kкр
asymp 01
Значение iωкр
соответствует мнимой координате пересечения КГ
мнимой оси Просмотреть это значение можно в нижней части ин-
терфейса или выбрать меню laquoView Closed-Loop Polesraquo
64
Рис 2 Основное окно SISO-Design Tool
6 Задание на лабораторную работу
Построить КГ в соответствии с вариантом из табл 1 при помо-
щи графического интерфейса sisotool
Исследовать динамику замкнутой системы при различных зна-
чениях коэффициента усиления разомкнутой системы K в том числе
ndash запасы устойчивости в частотной области
ndash параметры переходного процесса во временной области
Таблица 1
Варианты передаточных функций
Значения параметров Передаточная функция
разомкнутой системы
1 T = 01 ζ = 1
)12( 22 sTsTs
K
2 T = 005 ζ = 0707
3 T = 003 ζ = 01
4 T = 008 ζ = 05
5 T = 001 ζ = 015
65
Окончание табл 1
Значения параметров Передаточная функция
разомкнутой системы
6 T1 = 003 T2 = 05 T3 = 01 T4 = 005
)1)(1)(1(
)1(
432
1
sTsTsTs
sTK
7 T1 = 005 T2 = 04 T3 = 008 T4 = 0033
8 T1 = 02 T2 = 045 T3 = 01 T4 = 005
9 T1 = 05 T2 = 025 T3 = 01 T4 = 002
10 T1 = 01 T2 = 025 T3 = 01 T4 = 005
Вариант задания назначается преподавателем
7 Методика выполнения задания
Порядок выполнения лабораторной работы
1 Задать передаточную функцию в MATLAB в соответствии с
вариантом коэффициент K задать любым положительным числом
2 Запустить SISO-Design Tool и осуществить ввод данных
Построить КГ
3 По КГ определить значения коэффициента K когда система
будет устойчивой на границе устойчивости и неустойчива
4 Выбрать значение коэффициента K таким образом чтобы си-
стемы была устойчива и определить запас устойчивости в частотной
области и параметры переходного процесса во временной области
8 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) титульный лист
б) передаточную функцию и этапы построения КГ
в) анализ результатов построения КГ
г) выводы по проделанной работе
д) ответы на контрольные вопросы
Контрольные вопросы 1 Дать определение КГ
2 Что обычно позволяет находить метод КГ
3 В чем заключается сущность метода КГ
4 Что можно определить по КГ
66
Критерии результативности лабораторного практикума
Лабораторная работа считается выполненной если студент
ndash выполнил все указанные задания
ndash представил отчет соответствующий всем требованиям к его
содержанию и оформлению
ndash владеет терминологией и материалом лабораторной работы
ndash способен использовать программное средство математическо-
го моделирования MATLAB
ndash способен предоставить и рассказать результаты выполненной
работы на ПК
ndash может дать пояснения к отчету и ответить на контрольные
вопросы
Список литературы
1 Александров АГ Частотная теория автоматического управле-
ния учебное пособие ndash Электросталь ЭПИ МИСиС 2010
2 Борисевич АВ Теория автоматического управления элементар-
ное введение с применением MATLAB ndash СПб Изд-во Политехн ун-
та 2011
3 Федоров ВЛ Бубнов АВ Теория автоматического управления
учебное пособие ndash Омск Изд-во ОмГТУ 2010
4 Павловская ОО Чернецкая ИВ Теория автоматического
управления учебное пособие ndash Челябинск Изд-во ЮУрГУ 2010
67
Составители ЛЯНЦЕВ Олег Дмитриевич КАЗАНЦЕВ Андрей Валерьевич
ИССЛЕДОВАНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК СИСТЕМ
АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
Лабораторный практикум
по дисциплине
laquoТеория управленияraquo
Подписано в печать Формат 60х84 116 Бумага офсетная Пе-
чать плоская Гарнитура Times New Roman Усл печ л 56 Уч-изд л
55 Тираж 100 экз Заказ
ФГБОУ ВПО Уфимский государственный авиационный технический
университет
Центр оперативной полиграфии УГАТУ
450000 Уфа-центр ул К Маркса 12
34
порядка
Передаточная функция звена
1
)(
Ts
ksW
Частотная передаточная функция
1)(
)1(
1)(
2
T
Tjk
Tj
kjW
1)(
1)( 22
T
kTV
T
kU
Следовательно АЧХ описывается формулой
1)(
)(2
T
kA
ФЧХ строится по формуле
)()( Tarctg
ЛАЧХ апериодического звена 1-го порядка
1)(lg20lg20)( 2 TkL
По этой формуле можно построить две асимптоты ndash прямые к
которым стремится ЛАЧХ при ω rarr 0 и при ω rarr infin Так при ω rarr 0 второе
слагаемое близко к нулю и этот участок ЛАЧХ представляет собой
горизонтальную прямую
lg20)( kL
При ω rarr infin получаем наклонную прямую
1)(lg20)( 2 TL
35
Для определения наклона этой прямой можно рассмотреть гра-
ницы декады
T
1 и
10
T
Изменение ЛАЧХ между этими точками
)(2011
lg20110
lg20)(
22
декдБT
TT
TL
ЛЧХ часто называют диаграммами Боде
4 Краткое описание MATLAB
Лабораторная работа выполняется в программе математического
моделирования MATLAB Она включает в себя пакет прикладных про-
грамм для решения технических задач и одноименный язык программи-
рования используемый в этом пакете
Основными компонентами системы являются базовая система
MATLAB и пакет моделирования систем Simulink Остальные пакеты
расширения разбиты на 4 категории ndash расширения Extension MATLAB и
Extension Simulink а также комплексы пакетов расширения Blockset и
Toolbox
Раздел MATLAB Extension содержит средства для подготовки ис-
полняемых приложений MATLAB (с подключаемыми библиотеками и
без них)
Раздел Toolbox (инструментальные средства) содержит самое
большое число пакетов расширений системы MATLAB такие как
laquoControl systemraquo laquoDatabaseraquo laquoFuzzy logicraquo laquoWaveletraquo и тд
В разделе Blockset расположено несколько пакетов относящихся к
главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink такие как
laquoDSPraquo laquoFixed-Pointraquo laquoNonlinear control designraquo и laquoPower systemsraquo
В разделе Extension Simulink имеется ряд средств предназначен-
ных для моделирования в реальном масштабе времени и событийно-
управляемом моделировании
36
5 Построение частотных характеристик в MATLAB В пакете MATLAB ЛЧХ объекта заданного с помощью ПФ
можно получить командой bode
Пример
gtgt w=tf([1 2][3 4 5])
gtgt bode(w)
Для нескольких вариантов передаточной функции можно исполь-
зовать вариант команды вида
gtgt bode(ww1w2)
Например построим диаграмму Боде при различных параметрах
колебательного звена (рис 1)
gtgt w=tf([1][2 03 1])
gtgt w1=tf([1][2 05 1])
gtgt w2=tf([1][2 01 1])
gtgt bode(ww1w2)
Рис 1 ЛЧХ колебательного звена
6 Задание на лабораторную работу
С помощью пакета MATLAB построить ЛЧХ каждого типового
звена Определить влияние коэффициентов входящих в описание
каждого звена на параметры ЛАЧХ и ЛФЧХ Вариант задания назна-
чается преподавателем
37
7 Методика выполнения задания
Порядок выполнения работы
1 Задать передаточную функцию типового динамического звена
используя параметры из табл 2 лабораторной работы 1
2 Построить диаграмму Боде при различных параметрах типо-
вого динамического звена
3 Определить влияние коэффициентов входящих в описание
каждого звена на параметры ЛАЧХ и ЛФЧХ в том числе
ndash как меняется ширина асимптотических участков ЛАЧХ и
ЛФЧХ
ndash как меняется положение точек пересечения осей ЛАЧХ
4 Написать вывод по влиянию коэффициентов на типовое звено
5 Выполнить пункты 1-4 для всех типовых звеньев
6 Подготовить ответы на контрольные вопросы
8 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) титульный лист
б) краткие теоретические сведения
в) передаточные функции и схемы моделирования исследуемых
звеньев
г) экспериментально полученные характеристики при вариации
параметров каждого звена
д) выводы обобщающие проделанные эксперименты по каждо-
му звену
ж) ответы на контрольные вопросы
Контрольные вопросы
1 Как пользуясь частотными характеристиками определить па-
раметры (коэффициенты передаточной функции) звена Пояс-
нить на конкретных примерах
2 Указать особенности построения ЛАХ и ЛФХ динамических
звеньев Что понимается под асимптотической ЛАХ звена
3 Как осуществляется построение АФХ динамического звена
38
Лабораторная работа 4
ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ СИСТЕМ
С ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ
1 Цель работы
Изучение особенностей практического использования алгебраи-
ческих и частотных критериев устойчивости для анализа динамики
линейных САУ с использованием автоматизированных средств моде-
лирования на ПК ndash MATLAB SIMULINK
2 Задачи работы
ndash Закрепление углубление и расширение знаний студентов при
исследовании устойчивости систем с обратной связью
ndash Приобретение умений и навыков работы с программой мате-
матического моделирования MATLAB
ndash Овладение новыми методами проверки устойчивости систем
с обратной связью
ndash Выработка способности логического мышления осмысления
полученных данных
3 Теоретическая часть
Устойчивость САУ является одним из основных условий ее ра-
ботоспособности и включает требование затухания во времени пере-
ходных процессов
Система является устойчивой если при ограниченном входном
сигнале еѐ выходной сигнал также является ограниченным Если
система устойчива то она противостоит внешним воздействиям а
выведенная из состояния равновесия возвращается снова к нему
Система с расходящимся переходным процессом будет неустойчивой и
неработоспособной
Необходимое и достаточное условие устойчивости заключается в
том чтобы все корни характеристического уравнения (полюсы пере-
даточной функции системы) имели отрицательные вещественные ча-
сти Иначе говоря условием устойчивости системы является распо-
ложение всех полюсов в левой комплексной полуплоскости Тогда все
полюсы будут давать затухающую реакцию
Выше сформулированное условие устойчивости справедливо как
39
для линейных так и для линеаризованных систем Однако в случае
нулевых или чисто мнимых корней характеристического уравнения
вопрос об устойчивости линеаризованной системы может быть ре-
шен только на основании исследования ее нелинейных уравнений
В конце XIX и первой половине XX в задача вычисления корней
характеристического уравнения высокого порядка вызывала боль-
шие проблемы Поэтому были предложены несколько косвенных
методов оценки устойчивости позволяющих обойтись без вычисле-
ния корней ndash по значениям коэффициентов характеристического
уравнения
Критерии устойчивости разделяют на алгебраические и частот-
ные В частности к алгебраическим критериям относится критерий
Гурвица к частотным критериям ndash критерий Найквиста
Критерий Гурвица является алгебраическим критерием и при-
меняется к коэффициентам характеристического уравнения замкнутой
системы
Пусть имеется характеристическое уравнение замкнутой
системы
0011
1 apapapa n
nn
n
Из коэффициентов характеристического уравнения составляют
матрицу по правилу
1 По диагонали записываются коэффициенты от 1na до 0a
2 Каждая строка дополняется коэффициентами с возрастающи-
ми индексами слева направо так чтобы чередовались строки с нечет-
ными и четными индексами
3 В случае отсутствия индекса а также если он меньше 0 или
больше п на его место пишется 0
Таким образом матрица Гурвица приобретает следующий вид
40
Критерий устойчивости формулируется так
Чтобы система была устойчивой необходимо и достаточно что-
бы при 0na были положительными все п диагональных определи-
телей получаемых из матрицы Гурвица
Первые три определителя матрицы Гурвица имеют следующий
вид
Таким образом критерий Гурвица позволяет судить об абсо-
лютной устойчивости но он не дает возможности оценивать относи-
тельную устойчивость по корням характеристического уравнения
Частотный критерий устойчивости Найквиста анализирует
АФЧХ разомкнутой системы
Пусть имеется АФЧХ разомкнутой системы W(jω)
Для нахождения вещественной и мнимой части частотной ха-
рактеристики нужно освободиться от мнимости в знаменателе путем
умножения числителя и знаменателя на комплексную величину со-
пряженную знаменателю а затем выполнить разделение на веще-
ственную и мнимую части W(jω) приобретает вид
)()()( jQPjW
Задаваясь различными значениями частоты можно найти мно-
жество пар )()( 11 jQP )()( 22 jQP )()( nn jQP
Затем по этим парам строится АФЧХ на комплексной плоскости
Основные свойства АФЧХ разомкнутой системы
1 Если разомкнутая система не имеет интегрирующих звеньев
то при ω = 0 ее АФЧХ начинается на вещественной оси в точке
Р(ω)=К (где К ndash коэффициент усиления разомкнутой системы) За-
канчивается АФЧХ в начале координат при ω rarr infin (рис 1 а)
2 Если разомкнутая система имеет одно интегрирующее звено то
ее АФЧХ начинается при ω = 0 в бесконечности на отрицательной мни-
мой полуоси а заканчивается в начале координат при ω rarr infin (рис 1 б)
41
Рис 1 АФЧХ разомкнутой системы
Критерий устойчивости Найквиста формулируется так
1 Если разомкнутая система устойчива или находится на гра-
нице устойчивости то для того чтобы замкнутая система была
устойчива необходимо и достаточно чтобы АФЧХ разомкнутой
системы при изменении частоты ω от 0 до infin не охватывала точку с ко-
ординатами (-1 j0)
2 Если разомкнутая система неустойчива а ее передаточная
функция имеет т полюсов справа от мнимой оси на комплексной
плоскости то для устойчивости замкнутой системы необходимо и до-
статочно чтобы АФЧХ разомкнутой системы при изменении частоты
ω от -infin до +infin охватывала т раз точку с координатами (-1 j0)
При использовании этого критерия нужно учитывать две
особенности
1 Если разомкнутая система находится на границе устойчиво-
сти то ее АФЧХ уходит в бесконечность Для проверки критерия Най-
квиста нужно мысленно соединить конец АФЧХ дугой бесконечно
большого радиуса с положительной вещественной полуосью
2 На практике АФЧХ может строиться только для положитель-
ных частот (0 lt ω lt +infin) При применении критерия Найквиста счита-
ется что ветвь АФЧХ для отрицательных частот симметрична отно-
сительно вещественной оси
Физический смысл критерия устойчивости Найквиста заключа-
ется в том что система будет неустойчива если фаза выходного сиг-
нала противоположна фазе входного сигнала а коэффициент усиле-
ния больше 1 Поэтому для анализа устойчивости можно использо-
вать не АФЧХ а ЛАХ системы (для минимально-фазовых систем)
Система устойчива если на частоте среза значение фазы не превы-
шает -π Соответственно для устойчивой системы можно рассматри-
вать на ЛФЧХ запас устойчивости по фазе ndash расстояние от значения
фазы на частоте среза до уровня -π и запас устойчивости по амплиту-
42
де ndash расстояние от оси частот ЛАЧХ до значения усиления на часто-
те где фаза становится равной -π
4 Краткое описание MATLAB
Лабораторная работа выполняется в программе математического
моделирования MATLAB Программа MATLAB включает в себя пакет
прикладных программ для решения технических задач и одноименный
язык программирования используемый в этом пакете
Основными компонентами системы являются базовая система
MATLAB и пакет моделирования систем Simulink Остальные пакеты
расширения разбиты на 4 категории ndash расширения Extension MATLAB и
Extension Simulink а также комплексы пакетов расширения Blockset и
Toolbox
Раздел MATLAB Extension содержит средства для подготовки ис-
полняемых приложений MATLAB (с подключаемыми библиотеками и
без них)
Раздел Toolbox (инструментальные средства) содержит самое
большое число пакетов расширений системы MATLAB такие как
laquoControl systemraquo laquoDatabaseraquo laquoFuzzy logicraquo laquoWaveletraquo и тд
В разделе Blockset расположено несколько пакетов относящихся к
главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink такие как
laquoDSPraquo laquoFixed-Pointraquo laquoNonlinear control designraquo и laquoPower systemsraquo
В разделе Extension Simulink имеется ряд средств предназначен-
ных для моделирования в реальном масштабе времени и событийно-
управляемом моделировании
5 Исследование устойчивости САУ в MATLAB
Для проверки устойчивости САУ по Гурвицу постройте матрицу
Гурвица и найдите ее детерминант (функция det) Затем последова-
тельно уменьшая размер матрицы найдите значения всех диагональ-
ных детерминантов Пример
gtgt А=[1 14 18 2 5 2 3 4 3]
А =
1 14 18
2 5 2
3 4 3
gtgt det(A)
ans = -119
43
gtgt А1=А(12 12)
А1 =
1 14
2 5
gtgt det(A1)
ans = -23
Для проверки устойчивости САУ по Найквисту сначала нужно
выяснить является ли устойчивой разомкнутая система
Пример Пусть дана передаточная функция разомкнутой
системы
13232
12234
pppp
pW
Рассмотрим реакцию на скачок
gtgt w=tf([2 1][2 3 2 3 1])
gtgt step(w18)
График переходного процесса показан на рис 2
Рис 2 Переходная реакция
Разомкнутая система неустойчива и согласно критерию Найкви-
ста надо чтобы АФЧХ разомкнутой системы охватывала точку (-1 j0)
44
столько раз сколько полюсов имеется справа от мнимой оси Для по-
строения АФЧХ достаточно вызвать команду nyquist
gtgt nyquist(w)
Диаграмма Найквиста показана на рис 3
Рис 3 Диаграмма Найквиста для неустойчивой системы
Как показывает рис3 АФЧХ ни разу не охватывает точку
(-1 j0) поэтому замкнутая система будет неустойчивой Частотный
критерий Найквиста можно использовать и в том случае когда рас-
сматривается не АФЧХ а ЛАЧХ разомкнутой системы замкнутая
минимально-фазовая система устойчива если при достижении ЛФЧХ
значения -π ЛАЧХ будет отрицательной
Используя ЛАЧХ и ЛФЧХ можно оценить запасы устойчивости
системы по амплитуде и по фазе с помощью команды
gtgt margin(w)
Пример
gtgt w=tf([10][2 2 3 1])
gtgt margin(w)
Соответствующий график показан на рис 4
45
Рис 4 Определение запасов устойчивости по амплитуде и по фазе
6 Задание на лабораторную работу
Выполнить исследование устойчивости замкнутой системы по за-
данной передаточной функции разомкнутой системы Определить запас
устойчивости по амплитуде и по фазе Вариант задания назначается
преподавателем
7 Методика выполнения задания
Порядок выполнения работы
1 Рассчитать передаточную функцию замкнутой системы по
приведенной в табл 1 разомкнутой системе
2 Определить устойчивость замкнутой системы используя кри-
терий Гурвица
3 Определить устойчивость замкнутой системы используя кри-
терий Найквиста
4 Определить запас устойчивости по амплитуде и по фазе ис-
пользуя ЛАЧХ и ЛФЧХ
5 Выполнить моделирование переходных процессов разомкну-
той и замкнутой систем
6 Подготовить ответы на контрольные вопросы
46
Таблица 1
Варианты заданий
Передаточная функция разомкнутой системы
1 1355
2234
ssss
W
2 110050
1234
ssss
W
3 11010
123
sss
W
4 122105
100234
ssss
W
5 1248
123
sss
W
6 1223
102345
sssss
W
7 11001010
323
sss
W
8 122
1023
sss
W
9 11010
123
sss
W
10 15050332
102345
sssss
W
8 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) титульный лист
б) краткие теоретические сведения
в) переходную функцию разомкнутой системы
г) расчет передаточной функции замкнутой системы
д) расчетные выражения для обоснования устойчивости замкну-
той системы по алгебраическому критерию Гурвица
е) годограф Найквиста разомкнутой системы на основании кото-
рого делается вывод об устойчивости замкнутой системы
ѐ) переходную функцию замкнутой системы
ж) проверку полученных результатов путем компьютерного моде-
лирования переходных процессов разомкнутой и замкнутой си-
стемы в MATLAB Simulink
з) выводы по всем полученным результатам
47
Контрольные вопросы
1 Как связана устойчивость линейной САУ с видом составля-
ющих ее свободного движения
2 Зависит ли устойчивость линейных САУ от амплитуды зада-
ющих воздействий или возмущений
3 Сформулируйте критерий устойчивости Гурвица укажите на
необходимое условие устойчивости линейных САУ вытекаю-
щее из этого критерия
4 Сформулируйте критерий Найквиста для случая САУ устой-
чивых в разомкнутом состоянии а также для астатических САУ
Что такое laquoзапасы устойчивости по фазе и по амплитудеraquo
5 Что называется структурной устойчивостью
48
Лабораторная работа 5
КОРРЕКЦИЯ СТАТИЧЕСКИХ И ДИНАМИЧЕСКИХ
СВОЙСТВ САУ
1 Цель работы
Целью работы является изучение способов обеспечения иско-
мых характеристик САУ с использованием автоматизированных
средств моделирования на ПК ndash MATLAB SIMULINK
2 Задачи работы
ndash Закрепление углубление и расширение знаний студентов при
обеспечении искомых характеристик САУ
ndash Приобретение умений по обеспечению точности (уменьшение
статической ошибки) САУ и выбору значений параметров регулято-
ра обеспечивающих желаемые динамические свойства САУ
ndash Приобретение умений и навыков работы с программой мате-
матического моделирования MATLAB
3 Теоретическая часть
Коррекция статических и динамических свойств САУ имеет
своей целью повышение статической и динамической точности отра-
ботки системой задающего воздействия (или парирование возмуща-
ющего воздействия) повышение запасов ее устойчивости Наиболее
распространенными способами коррекции свойств САУ является из-
менение коэффициента усиления ее разомкнутой части введение в
САУ новых звеньев (как правило интегрирующего или дифференци-
рующего типа) охват объекта управления местной обратной связью
31 Коррекция статических свойств САУ
Статические свойства системы определяются величиной устано-
вившейся ошибки )t(уст вызванной действием задающего воздей-
ствия и определяемой по формуле
22
210 2 dttgdcdttdgctgctуст (1)
где )(tg - входное воздействие 210 ccc - коэффициенты ошибок
Коэффициенты ошибок определяются по формулам
49
dssdcdssdcscs
mmmss 00100
где s - передаточная функция САУ по ошибке управления рав-
ная
sW
sраз
1
1
sWраз - передаточная функция разомкнутой САУ
Основными способами уменьшения статической ошибки систе-
мы являются
1) увеличение коэффициента усиления прямого тракта системы
2) введение в прямой тракт системы интегрирующих звеньев
3) охват объекта управления местной неединичной положитель-
ной обратной связью
Представим структурную схему системы в виде изображенном
на рис 1 где через sW обозначена передаточная функция неизме-
няемой части системы
bsbsb
asasasW
nn
nn
mm
mm
01
1
01
1
Здесь и далее полагается что KKKsW s 000 0 ndash из-
меняемый коэффициент усиления регулятора системы
Первые два коэффициента ошибок 0c и 1c определяется выраже-
ниями
KK
c0
01
1
(2)
KK
dssdWKc
s
20
01
1
(3)
Из (2) и (3) с учетом (1) вытекает что с увеличением K
статическая ошибка в системе уменьшается и наоборот с уменьше-
нием K статическая ошибка в системе увеличивается
Введем в прямой тракт системы одно интегрирующее звено
50
(рис 2) В этом случае c 00 01 1 KKc
Так как c 00 то система на рис 2 является астатической (с
астатизмом первого порядка) Система имеет нулевую статическую
ошибку при отработке постоянного задающего воздействия
consttg и постоянную обратно пропорциональную K ошибку
constуст при отработке линейно изменяющегося воздействия
tatg
Рис 1 Схема САУ Рис 2 Схема САУ с включенным в прямой
тракт интегрирующим звеном
Охватим неизменяемую часть системы sW местной нееди-
ничной положительной обратной связью с коэффициентом усиления
осK (рис 3) Тогда эквивалентная передаточная функция sWэкв
неизменяемой части системы равна
10011
01
1
aKbsaKbsaKbsb
asasa
sWK
sWsW
ососm
mосmn
n
mm
mm
осэкв
(4)
Если коэффициент усиления K выбрать из условия
a
bKос
0
0
то свободный коэффициент (b0 - Koca0) полинома знаменателя sWэкв
обратится в нуль и sWэкв приобретает интегрирующие свойства
11
11
0
1
1
aKbsaKbsbs
asasasW
ос
m
mосm
n
n
m
m
m
mэкв
g(t) y(t)ε(t)
K W(s)-
g(t) y(t)
Ks W(s)-
ε(t)
51
Следовательно замкнутая система становится астатической (с
астатизмом 1-го порядка) Отсюда 0c =0 а коэффициент 1c будет
равен
aKb
bc
ос 11
01
ε(t)g(t) y(t)
W(s)-
Kос
Wэкв(s)
+
Рис 3 Схема САУ с местной неединичной обратной связью
32 Коррекция динамических свойств САУ
Улучшение динамических свойств САУ заключается в увеличе-
нии быстродействия САУ (уменьшении времени регулирования tрег)
уменьшении перерегулирования (см рис 4) а также увеличении
запасов устойчивости по фазе и по модулю При этом
h
hh
уст
устmax100
где maxh - максимальное значение переходной характеристики за-
мкнутой САУ th
устh - установившееся значение th
Время регулирования tрег - минимальная величина при которой удо-
влетворяется условие
устрег hth
где - заданная величина ошибки (обычно =005 устh )
52
h(t)
tрег
hустhmax
2δ
Рис 4 Быстродействие и перерегулирование САУ
Одним из эффективных средств достижения этой цели является
уменьшение отрицательных фазовых сдвигов в прямом тракте систе-
мы путем охвата неизменяемой части системы местными отрицатель-
ными обратными связями
На рис 5 R(s) представляет собой передаточную функцию регу-
лятора САУ которая считается заданной
ε(t)g(t) y(t)
W(s)-
Kос
Wэкв(s)
-
R(s)
u(t)
Рис 5 Схема САУ с местной обратной связью и регулятором
Пусть неизменяемая часть системы представляет собой аперио-
дическое звено первого порядка те
sT
K)s(W
10
0
Тогда передаточная функция sWэкв эквивалентного объекта
управления равна
sT
K
sWK
sWsW
экв
экв
осэкв
11
где зквK и эквT - коэффициент усиления и постоянная времени
эквивалентного объекта равные
53
KK
KK
осэкв
0
0
1
KK
TT
осэкв
0
0
1 (5)
Из (5) следует что соответствующим выбором осK постоянную
времени эквT эквивалентного объекта можно уменьшить в (1+ 0KKос )
раз по сравнении с постоянной времени 0T объекта без местной об-
ратной связи Тем самым уменьшаются отрицательные фазовые сдви-
ги вносимые прямым трактом системы что приводит к увеличению
запасов устойчивости системы При этом однако уменьшается в
(1+ 0KKос ) раз коэффициент усиления эквK эквивалентного объекта
по сравнению с коэффициентом усиления 0K объекта без местной
обратной связи Это нежелательно так как приводит к уменьшению
быстродействия системы вследствие уменьшения общего коэффици-
ента усиления прямого тракта системы В этом случае с целью обес-
печения необходимого быстродействия системы увеличивают коэф-
фициент усиления регулятора
4 Краткое описание MATLAB
Лабораторная работа выполняется в программе математического
моделирования MATLAB Программа MATLAB включает в себя пакет
прикладных программ для решения технических задач и одноименный
язык программирования используемый в этом пакете
Основными компонентами системы являются базовая система
MATLAB и пакет моделирования систем Simulink Остальные пакеты
расширения разбиты на 4 категории ndash расширения Extension MATLAB и
Extension Simulink а также комплексы пакетов расширения Blockset и
Toolbox
Раздел MATLAB Extension содержит средства для подготовки ис-
полняемых приложений MATLAB (с подключаемыми библиотеками и
без них)
Раздел Toolbox (инструментальные средства) содержит самое
большое число пакетов расширений системы MATLAB такие как
laquoControl systemraquo laquoDatabaseraquo laquoFuzzy logicraquo laquoWaveletraquo и тд
54
В разделе Blockset расположено несколько пакетов относящихся к
главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink такие как
laquoDSPraquo laquoFixed-Pointraquo laquoNonlinear control designraquo и laquoPower systemsraquo
В разделе Extension Simulink имеется ряд средств предназначен-
ных для моделирования в реальном масштабе времени и событийно-
управляемом моделировании
5 Задание на лабораторную работу
Выполнить исследование способов коррекции статических и
динамических свойств САУ Определить время регулирования и пе-
ререгулирования в исходной и скорректированной системах а также
для динамических свойств САУ определить запасы устойчивости в
исходной системе и найти экспериментально значение Kос обеспечи-
вающее в системе заданные показатели качества и запасы устойчиво-
сти Вариант задания назначается преподавателем
Таблица 1
Варианты заданий
варианта
Параметры
1
2
3
4
5
6
7
8
a 05 10 15 20 25 30 35 40
K0 1 2 3 4 5 6 7 8
T c 03 04 05 06 07 08 09 10
ξ 06 07 08 08 07 09 05 04
уст 0 0 005 0 010 007 0 0
tрег c le 13 15 20 25 30 35 40 40
le 0 10 10 5 5 5 0 0
В качестве исходных САУ выступают системы изображенные
на рис 6 и 7
55
ε(t)g(t) y(t)
W(s)-
g(t) y(t)
R(s) W(s)-
ε(t) u(t)
Рис 6 САУ с отрицательной Рис 7 САУ с отрицательной обратной
обратной связью связью и регулятором
6 Методика выполнения задания
При исследовании способов коррекции статических свойств
САУ в качестве исходных данных выступает передаточная функция
sW неизменяемой части системы вида
1222
0
sTsT
KsW (6)
и задающие воздействия вида ttg 1 в соответствии с таблицей 1
В процессе выполнения этой части работы необходимо
1) путем моделирования в системе MATLAB исходной САУ
(рис 6) получить графики ttytg
2) сравнить полученную таким образом экспериментальную ве-
личину t с теоретической величиной вычисленной по формуле (1)
3) применяя описанные в теоретической части методических
указаний способы коррекции статических свойств (см п 31) обес-
печить требуемую статическую ошибку εуст системы при отработке
задающего воздействия ttg 1
4) получить графики ty и t в скорректированной системе
для 1 ttg
5) сравнить время регулирования регt и перерегулирование в
исходной и скорректированной системах при 1 ttg
При исследовании рассмотренного способа коррекции динами-
ческих свойств САУ (см п 32) в качестве исходных данных высту-
пают передаточная функция sW неизменяемой части системы
вида (6) и передаточная функция регулятора вида
s
KsR
рег
56
Задающее воздействие ttg 1
В процессе выполнения данной части работы необходимо
1) получить путем моделирования в MATLAB графики ty t
в системе (рис 7)
2) определить время регулирования регt и перерегулирование
а также запасы устойчивости в исходной системе
3) применяя описанный выше способ коррекции динамических
свойств САУ найти экспериментально (путем последовательного пе-
ребора) значение осK обеспечивающее в системе заданные заданием
показатели качества ( регt ) и запасы устойчивости (при необхо-
димости увеличить коэффициент регK )
4) получить графики ty t а также ЛАХ и ЛФХ разомкну-
той системы в скорректированной САУ
7 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) титульный лист
б) структурные схемы исследуемых систем
в) полученные графики и характеристики
г) значения полученные экмпериментально которые
обеспечивают заданные показатели качества и запасы устойчивости
д) выводы обощающие проделанные эксперименты для
коррекции статических и динамических свойств САУ
е) ответы на контрольные вопросы
Контрольные вопросы 1 Дать определение статической и астатической САУ
2 Какими структурными свойствами системы определяется по-
рядок ее астатизма
3 Какой из двух приведенных выше способов придания системе
свойств астатизма 1-го порядка наиболее предпочтителен на
практике
4 Назовите основные показатели качества САУ Поясните их
смысл
5 В чѐм суть исследуемого способа коррекции динамических
свойств САУ
57
6 Назвать другие способы коррекции динамических свойств
САУ
7 Чем вызваны отрицательные фазовые сдвиги в неизменяемой
части САУ
58
Лабораторная работа 6
МЕТОД КОРНЕВОГО ГОДОГРАФА
1 Цель работы
Целью работы является построение корневого годографа и ис-
следование динамики системы с использованием автоматизирован-
ных средств моделирования на ПК ndash MATLABSIMULINK
2 Задачи работы
ndash Закрепление углубление и расширение знаний студентов при
исследование динамики системы
ndash Овладение навыком построения корневого годографа
ndash Приобретение умений и навыков работы с программой мате-
матического моделирования MATLAB
3 Теоретическая часть
Корневым годографом (КГ) называется совокупность траекто-
рий перемещения всех корней характеристического уравнения за-
мкнутой системы при изменении какого-либо параметра этой систе-
мы
Обычно метод КГ позволяет находить полюса и нули ПФ за-
мкнутой системы располагая полюсами и нулями разомкнутой си-
стемы при изменении коэффициента усиления разомкнутой системы
K
ПФ разомкнутой системы Wp(s) представим в следующем виде
)(
)(
1
1
0
n
ii
m
jj
p
ss
ssKC
sW (1)
где 0js ndash нули ПФ sWp )1( mj
is ndash полюса ПФ sWp
)1( nj n и m ndash порядки знаменателя и числителя C ndash коэффици-
ент представления (отношение коэффициентов при старших членах
числителя и знаменателя)
59
При замыкании системы с ПФ sWp единичной отрицатель-
ной обратной связью ПФ замкнутой системы sWз принимает вид
)(1
)(
sW
sWsW
p
pз
(2)
Из выражения (2) следует что нули ПФ замкнутой системы рав-
ны нулям ПФ разомкнутой системы
Для нахождения полюсов рассмотри выражение
01 sWp (3)
в соответствии с выражением (1) имеем
n
i
m
jjin
ii
m
jj
ssKCss
ss
ssKC
1 1
0
1
1
0
)()(01
)(
)(
(4)
На основании выражения (4) можно сказать что при K = 0 корни
характеристического уравнения совпадают с полюсами а при K = infin ndash
с нулями При изменении K от 0 до infin траектории корней начинаются
в полюсах и заканчиваются в нулях Обычно полюсов больше чем
нулей В этом случаем mn ветвей корневого годографа стремятся к
infin
Для определения полюсов замкнутой системы с отрицательной
обратной связью необходимо решить уравнение (его называют ос-
новным уравнением метода КГ)
1sWp (5)
Так как sWp является функцией комплексного переменного
s то уравнение (5) распадается на два уравнения уравнение модулей
1)( sWp (6)
60
и уравнение аргументов (фаза вектора -1 есть нечетное число π)
210)12()(arg sWp (7)
Как известно при умножении комплексных чисел их аргументы
складываются а при делении ndash вычитаются Поэтому исходя из вы-
ражения (1) уравнение (7) имеет наглядный геометрический смысл
Пусть точка s ndash полюс замкнутой системы Если провести в s
вектора из нулей sWp (обозначим аргументы этих векторов 0j ) и
вектора из всех полюсов sWp (обозначим аргументы этих векторов
i ) то уравнение (7) можно записать в следующем виде
m
j
n
iij
1 1
0 210)12( (8)
Углы q отсчитываются от положительного направления дей-
ствительной оси Знак угла laquo+raquo соответствует повороту против часо-
вой стрелки знак угла laquo-raquo соответствует повороту по часовой стрел-
ке
Таким образом любая точка КГ должна удовлетворять уравне-
нию (8) из которого следует что конфигурация КГ не зависит от ко-
эффициента усиления K но каждому конкретному значению K одно-
значно соответствуют точки на КГ
При умножении комплексных чисел их модули перемножаются
а при делении ndash делятся Поэтому на основании (6) можно записать
1
1
1
0
n
ii
m
jj
l
lKC
(9)
где 0jl ndash модуль (длина) вектора проведенного из j-нуля в точку s
КГ il ndash модуль вектора проведенного из i-полюса в ту же точку s
61
Таким образом траектории корней строятся только по уравне-
ниям фаз а уравнение модулей используется затем для нахождения
K
Сущность метода КГ заключается в том чтобы узнать каким
должен быть коэффициент усиления разомкнутой системы чтобы
было обеспечено желаемое положение корней замкнутой системы
Корневой годограф системы с отрицательной обратной связью
обладает следующими основными свойствами
1 Ветви КГ непрерывны и расположены на комплексной плос-
кости симметрично относительно действительной оси
2 Число ветвей КГ равно порядку системы n Ветви начинают-
ся в n полюсах разомкнутой системы при K=0 При возрастании K от
0 до infin полюса замкнутой системы двигаются по ветвям КГ
3 mветвей КГ при возрастании K от 0 до infin заканчиваются в m
нулях )(sWp а )( mn ветвей при K стремящемся к infin удаляются
от полюсов вдоль асимптот
4 При расположении ветвей корневого годографа в левой полу-
плоскости s САУ устойчива При пересечении ветвей КГ мнимой оси
слева направо САУ становится неустойчивой Пусть при K=Kкр
пере-
сечение КГ с мнимой осью произойдет в некоторой точке iωкр
Назо-
вем это значение коэффициента усиления критическим Kкр
а вели-
чину iωкр
критической угловой частотой на которой система стано-
вится неустойчивой
4 Краткое описание MATLAB
Лабораторная работа выполняется в программе математического
моделирования MATLAB Программа MATLAB включает в себя пакет
прикладных программ для решения технических задач и одноименный
язык программирования используемый в этом пакете
Основными компонентами системы являются базовая система
MATLAB и пакет моделирования систем Simulink Остальные пакеты
расширения разбиты на 4 категории ndash расширения Extension MATLAB и
Extension Simulink а также комплексы пакетов расширения Blockset и
Toolbox
Раздел MATLAB Extension содержит средства для подготовки ис-
полняемых приложений MATLAB (с подключаемыми библиотеками и
без них)
62
Раздел Toolbox (инструментальные средства) содержит самое
большое число пакетов расширений системы MATLAB такие как
laquoControl systemraquo laquoDatabaseraquo laquoFuzzy logicraquo laquoWaveletraquo и тд
В разделе Blockset расположено несколько пакетов относящихся к
главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink такие как
laquoDSPraquo laquoFixed-Pointraquo laquoNonlinear control designraquo и laquoPower systemsraquo
В разделе Extension Simulink имеется ряд средств предназначен-
ных для моделирования в реальном масштабе времени и событийно-
управляемом моделировании
5 Корневой годограф в MATLAB
В системе MATLAB существует команда zpk для преобразова-
ния модели заданной ПФ в модель заданную нулями полюсами и
обобщенными коэффициентами передачи (zpk-форма)
Пример
gtgt w=tf([10][2 2 3 1 0])
Transfer function
10
-------------------------------
2 s^4 + 2 s^3 + 3 s^2 + s
gtgt w1=zpk(w)
Zeropolegain
5
----------------------------------------------
s (s+03966) (s^2 + 06034s + 1261)
Для работы с корневым годографом удобно использовать гра-
фический интерфейс laquoSISO-Design Toolraquo предназначенный для ана-
лиза и синтеза одномерных линейных систем автоматического управ-
ления (SISO ndash Single Input Signal Output)
Запуск SISO-Design Tool осуществляется командой
gtgt sisotool
63
В появившемся окне графического интерфейса необходимо ис-
пользовать команду laquoFileImportraquo для загрузки данных из рабочего
пространства MATLAB в результате которой появляется диалоговое
окно Import System Data (рис 1)
Рис 1 Диалог для ввода параметров модели
После импортирования данных можно исследовать изменение
временных и частотных характеристик замкнутой системы при изме-
нении K Обычно при этом требуется определить условия неустойчи-
вости замкнутой САУ Определить Kкр
и iωкр
На рис 2 показано окно sisotool для описанной выше модели w1
Двигая красным курсором по КГ до пересечения ветвей с мнимой
осью можно определить значения Kкр
В данном случае Kкр
asymp 01
Значение iωкр
соответствует мнимой координате пересечения КГ
мнимой оси Просмотреть это значение можно в нижней части ин-
терфейса или выбрать меню laquoView Closed-Loop Polesraquo
64
Рис 2 Основное окно SISO-Design Tool
6 Задание на лабораторную работу
Построить КГ в соответствии с вариантом из табл 1 при помо-
щи графического интерфейса sisotool
Исследовать динамику замкнутой системы при различных зна-
чениях коэффициента усиления разомкнутой системы K в том числе
ndash запасы устойчивости в частотной области
ndash параметры переходного процесса во временной области
Таблица 1
Варианты передаточных функций
Значения параметров Передаточная функция
разомкнутой системы
1 T = 01 ζ = 1
)12( 22 sTsTs
K
2 T = 005 ζ = 0707
3 T = 003 ζ = 01
4 T = 008 ζ = 05
5 T = 001 ζ = 015
65
Окончание табл 1
Значения параметров Передаточная функция
разомкнутой системы
6 T1 = 003 T2 = 05 T3 = 01 T4 = 005
)1)(1)(1(
)1(
432
1
sTsTsTs
sTK
7 T1 = 005 T2 = 04 T3 = 008 T4 = 0033
8 T1 = 02 T2 = 045 T3 = 01 T4 = 005
9 T1 = 05 T2 = 025 T3 = 01 T4 = 002
10 T1 = 01 T2 = 025 T3 = 01 T4 = 005
Вариант задания назначается преподавателем
7 Методика выполнения задания
Порядок выполнения лабораторной работы
1 Задать передаточную функцию в MATLAB в соответствии с
вариантом коэффициент K задать любым положительным числом
2 Запустить SISO-Design Tool и осуществить ввод данных
Построить КГ
3 По КГ определить значения коэффициента K когда система
будет устойчивой на границе устойчивости и неустойчива
4 Выбрать значение коэффициента K таким образом чтобы си-
стемы была устойчива и определить запас устойчивости в частотной
области и параметры переходного процесса во временной области
8 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) титульный лист
б) передаточную функцию и этапы построения КГ
в) анализ результатов построения КГ
г) выводы по проделанной работе
д) ответы на контрольные вопросы
Контрольные вопросы 1 Дать определение КГ
2 Что обычно позволяет находить метод КГ
3 В чем заключается сущность метода КГ
4 Что можно определить по КГ
66
Критерии результативности лабораторного практикума
Лабораторная работа считается выполненной если студент
ndash выполнил все указанные задания
ndash представил отчет соответствующий всем требованиям к его
содержанию и оформлению
ndash владеет терминологией и материалом лабораторной работы
ndash способен использовать программное средство математическо-
го моделирования MATLAB
ndash способен предоставить и рассказать результаты выполненной
работы на ПК
ndash может дать пояснения к отчету и ответить на контрольные
вопросы
Список литературы
1 Александров АГ Частотная теория автоматического управле-
ния учебное пособие ndash Электросталь ЭПИ МИСиС 2010
2 Борисевич АВ Теория автоматического управления элементар-
ное введение с применением MATLAB ndash СПб Изд-во Политехн ун-
та 2011
3 Федоров ВЛ Бубнов АВ Теория автоматического управления
учебное пособие ndash Омск Изд-во ОмГТУ 2010
4 Павловская ОО Чернецкая ИВ Теория автоматического
управления учебное пособие ndash Челябинск Изд-во ЮУрГУ 2010
67
Составители ЛЯНЦЕВ Олег Дмитриевич КАЗАНЦЕВ Андрей Валерьевич
ИССЛЕДОВАНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК СИСТЕМ
АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
Лабораторный практикум
по дисциплине
laquoТеория управленияraquo
Подписано в печать Формат 60х84 116 Бумага офсетная Пе-
чать плоская Гарнитура Times New Roman Усл печ л 56 Уч-изд л
55 Тираж 100 экз Заказ
ФГБОУ ВПО Уфимский государственный авиационный технический
университет
Центр оперативной полиграфии УГАТУ
450000 Уфа-центр ул К Маркса 12
35
Для определения наклона этой прямой можно рассмотреть гра-
ницы декады
T
1 и
10
T
Изменение ЛАЧХ между этими точками
)(2011
lg20110
lg20)(
22
декдБT
TT
TL
ЛЧХ часто называют диаграммами Боде
4 Краткое описание MATLAB
Лабораторная работа выполняется в программе математического
моделирования MATLAB Она включает в себя пакет прикладных про-
грамм для решения технических задач и одноименный язык программи-
рования используемый в этом пакете
Основными компонентами системы являются базовая система
MATLAB и пакет моделирования систем Simulink Остальные пакеты
расширения разбиты на 4 категории ndash расширения Extension MATLAB и
Extension Simulink а также комплексы пакетов расширения Blockset и
Toolbox
Раздел MATLAB Extension содержит средства для подготовки ис-
полняемых приложений MATLAB (с подключаемыми библиотеками и
без них)
Раздел Toolbox (инструментальные средства) содержит самое
большое число пакетов расширений системы MATLAB такие как
laquoControl systemraquo laquoDatabaseraquo laquoFuzzy logicraquo laquoWaveletraquo и тд
В разделе Blockset расположено несколько пакетов относящихся к
главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink такие как
laquoDSPraquo laquoFixed-Pointraquo laquoNonlinear control designraquo и laquoPower systemsraquo
В разделе Extension Simulink имеется ряд средств предназначен-
ных для моделирования в реальном масштабе времени и событийно-
управляемом моделировании
36
5 Построение частотных характеристик в MATLAB В пакете MATLAB ЛЧХ объекта заданного с помощью ПФ
можно получить командой bode
Пример
gtgt w=tf([1 2][3 4 5])
gtgt bode(w)
Для нескольких вариантов передаточной функции можно исполь-
зовать вариант команды вида
gtgt bode(ww1w2)
Например построим диаграмму Боде при различных параметрах
колебательного звена (рис 1)
gtgt w=tf([1][2 03 1])
gtgt w1=tf([1][2 05 1])
gtgt w2=tf([1][2 01 1])
gtgt bode(ww1w2)
Рис 1 ЛЧХ колебательного звена
6 Задание на лабораторную работу
С помощью пакета MATLAB построить ЛЧХ каждого типового
звена Определить влияние коэффициентов входящих в описание
каждого звена на параметры ЛАЧХ и ЛФЧХ Вариант задания назна-
чается преподавателем
37
7 Методика выполнения задания
Порядок выполнения работы
1 Задать передаточную функцию типового динамического звена
используя параметры из табл 2 лабораторной работы 1
2 Построить диаграмму Боде при различных параметрах типо-
вого динамического звена
3 Определить влияние коэффициентов входящих в описание
каждого звена на параметры ЛАЧХ и ЛФЧХ в том числе
ndash как меняется ширина асимптотических участков ЛАЧХ и
ЛФЧХ
ndash как меняется положение точек пересечения осей ЛАЧХ
4 Написать вывод по влиянию коэффициентов на типовое звено
5 Выполнить пункты 1-4 для всех типовых звеньев
6 Подготовить ответы на контрольные вопросы
8 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) титульный лист
б) краткие теоретические сведения
в) передаточные функции и схемы моделирования исследуемых
звеньев
г) экспериментально полученные характеристики при вариации
параметров каждого звена
д) выводы обобщающие проделанные эксперименты по каждо-
му звену
ж) ответы на контрольные вопросы
Контрольные вопросы
1 Как пользуясь частотными характеристиками определить па-
раметры (коэффициенты передаточной функции) звена Пояс-
нить на конкретных примерах
2 Указать особенности построения ЛАХ и ЛФХ динамических
звеньев Что понимается под асимптотической ЛАХ звена
3 Как осуществляется построение АФХ динамического звена
38
Лабораторная работа 4
ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ СИСТЕМ
С ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ
1 Цель работы
Изучение особенностей практического использования алгебраи-
ческих и частотных критериев устойчивости для анализа динамики
линейных САУ с использованием автоматизированных средств моде-
лирования на ПК ndash MATLAB SIMULINK
2 Задачи работы
ndash Закрепление углубление и расширение знаний студентов при
исследовании устойчивости систем с обратной связью
ndash Приобретение умений и навыков работы с программой мате-
матического моделирования MATLAB
ndash Овладение новыми методами проверки устойчивости систем
с обратной связью
ndash Выработка способности логического мышления осмысления
полученных данных
3 Теоретическая часть
Устойчивость САУ является одним из основных условий ее ра-
ботоспособности и включает требование затухания во времени пере-
ходных процессов
Система является устойчивой если при ограниченном входном
сигнале еѐ выходной сигнал также является ограниченным Если
система устойчива то она противостоит внешним воздействиям а
выведенная из состояния равновесия возвращается снова к нему
Система с расходящимся переходным процессом будет неустойчивой и
неработоспособной
Необходимое и достаточное условие устойчивости заключается в
том чтобы все корни характеристического уравнения (полюсы пере-
даточной функции системы) имели отрицательные вещественные ча-
сти Иначе говоря условием устойчивости системы является распо-
ложение всех полюсов в левой комплексной полуплоскости Тогда все
полюсы будут давать затухающую реакцию
Выше сформулированное условие устойчивости справедливо как
39
для линейных так и для линеаризованных систем Однако в случае
нулевых или чисто мнимых корней характеристического уравнения
вопрос об устойчивости линеаризованной системы может быть ре-
шен только на основании исследования ее нелинейных уравнений
В конце XIX и первой половине XX в задача вычисления корней
характеристического уравнения высокого порядка вызывала боль-
шие проблемы Поэтому были предложены несколько косвенных
методов оценки устойчивости позволяющих обойтись без вычисле-
ния корней ndash по значениям коэффициентов характеристического
уравнения
Критерии устойчивости разделяют на алгебраические и частот-
ные В частности к алгебраическим критериям относится критерий
Гурвица к частотным критериям ndash критерий Найквиста
Критерий Гурвица является алгебраическим критерием и при-
меняется к коэффициентам характеристического уравнения замкнутой
системы
Пусть имеется характеристическое уравнение замкнутой
системы
0011
1 apapapa n
nn
n
Из коэффициентов характеристического уравнения составляют
матрицу по правилу
1 По диагонали записываются коэффициенты от 1na до 0a
2 Каждая строка дополняется коэффициентами с возрастающи-
ми индексами слева направо так чтобы чередовались строки с нечет-
ными и четными индексами
3 В случае отсутствия индекса а также если он меньше 0 или
больше п на его место пишется 0
Таким образом матрица Гурвица приобретает следующий вид
40
Критерий устойчивости формулируется так
Чтобы система была устойчивой необходимо и достаточно что-
бы при 0na были положительными все п диагональных определи-
телей получаемых из матрицы Гурвица
Первые три определителя матрицы Гурвица имеют следующий
вид
Таким образом критерий Гурвица позволяет судить об абсо-
лютной устойчивости но он не дает возможности оценивать относи-
тельную устойчивость по корням характеристического уравнения
Частотный критерий устойчивости Найквиста анализирует
АФЧХ разомкнутой системы
Пусть имеется АФЧХ разомкнутой системы W(jω)
Для нахождения вещественной и мнимой части частотной ха-
рактеристики нужно освободиться от мнимости в знаменателе путем
умножения числителя и знаменателя на комплексную величину со-
пряженную знаменателю а затем выполнить разделение на веще-
ственную и мнимую части W(jω) приобретает вид
)()()( jQPjW
Задаваясь различными значениями частоты можно найти мно-
жество пар )()( 11 jQP )()( 22 jQP )()( nn jQP
Затем по этим парам строится АФЧХ на комплексной плоскости
Основные свойства АФЧХ разомкнутой системы
1 Если разомкнутая система не имеет интегрирующих звеньев
то при ω = 0 ее АФЧХ начинается на вещественной оси в точке
Р(ω)=К (где К ndash коэффициент усиления разомкнутой системы) За-
канчивается АФЧХ в начале координат при ω rarr infin (рис 1 а)
2 Если разомкнутая система имеет одно интегрирующее звено то
ее АФЧХ начинается при ω = 0 в бесконечности на отрицательной мни-
мой полуоси а заканчивается в начале координат при ω rarr infin (рис 1 б)
41
Рис 1 АФЧХ разомкнутой системы
Критерий устойчивости Найквиста формулируется так
1 Если разомкнутая система устойчива или находится на гра-
нице устойчивости то для того чтобы замкнутая система была
устойчива необходимо и достаточно чтобы АФЧХ разомкнутой
системы при изменении частоты ω от 0 до infin не охватывала точку с ко-
ординатами (-1 j0)
2 Если разомкнутая система неустойчива а ее передаточная
функция имеет т полюсов справа от мнимой оси на комплексной
плоскости то для устойчивости замкнутой системы необходимо и до-
статочно чтобы АФЧХ разомкнутой системы при изменении частоты
ω от -infin до +infin охватывала т раз точку с координатами (-1 j0)
При использовании этого критерия нужно учитывать две
особенности
1 Если разомкнутая система находится на границе устойчиво-
сти то ее АФЧХ уходит в бесконечность Для проверки критерия Най-
квиста нужно мысленно соединить конец АФЧХ дугой бесконечно
большого радиуса с положительной вещественной полуосью
2 На практике АФЧХ может строиться только для положитель-
ных частот (0 lt ω lt +infin) При применении критерия Найквиста счита-
ется что ветвь АФЧХ для отрицательных частот симметрична отно-
сительно вещественной оси
Физический смысл критерия устойчивости Найквиста заключа-
ется в том что система будет неустойчива если фаза выходного сиг-
нала противоположна фазе входного сигнала а коэффициент усиле-
ния больше 1 Поэтому для анализа устойчивости можно использо-
вать не АФЧХ а ЛАХ системы (для минимально-фазовых систем)
Система устойчива если на частоте среза значение фазы не превы-
шает -π Соответственно для устойчивой системы можно рассматри-
вать на ЛФЧХ запас устойчивости по фазе ndash расстояние от значения
фазы на частоте среза до уровня -π и запас устойчивости по амплиту-
42
де ndash расстояние от оси частот ЛАЧХ до значения усиления на часто-
те где фаза становится равной -π
4 Краткое описание MATLAB
Лабораторная работа выполняется в программе математического
моделирования MATLAB Программа MATLAB включает в себя пакет
прикладных программ для решения технических задач и одноименный
язык программирования используемый в этом пакете
Основными компонентами системы являются базовая система
MATLAB и пакет моделирования систем Simulink Остальные пакеты
расширения разбиты на 4 категории ndash расширения Extension MATLAB и
Extension Simulink а также комплексы пакетов расширения Blockset и
Toolbox
Раздел MATLAB Extension содержит средства для подготовки ис-
полняемых приложений MATLAB (с подключаемыми библиотеками и
без них)
Раздел Toolbox (инструментальные средства) содержит самое
большое число пакетов расширений системы MATLAB такие как
laquoControl systemraquo laquoDatabaseraquo laquoFuzzy logicraquo laquoWaveletraquo и тд
В разделе Blockset расположено несколько пакетов относящихся к
главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink такие как
laquoDSPraquo laquoFixed-Pointraquo laquoNonlinear control designraquo и laquoPower systemsraquo
В разделе Extension Simulink имеется ряд средств предназначен-
ных для моделирования в реальном масштабе времени и событийно-
управляемом моделировании
5 Исследование устойчивости САУ в MATLAB
Для проверки устойчивости САУ по Гурвицу постройте матрицу
Гурвица и найдите ее детерминант (функция det) Затем последова-
тельно уменьшая размер матрицы найдите значения всех диагональ-
ных детерминантов Пример
gtgt А=[1 14 18 2 5 2 3 4 3]
А =
1 14 18
2 5 2
3 4 3
gtgt det(A)
ans = -119
43
gtgt А1=А(12 12)
А1 =
1 14
2 5
gtgt det(A1)
ans = -23
Для проверки устойчивости САУ по Найквисту сначала нужно
выяснить является ли устойчивой разомкнутая система
Пример Пусть дана передаточная функция разомкнутой
системы
13232
12234
pppp
pW
Рассмотрим реакцию на скачок
gtgt w=tf([2 1][2 3 2 3 1])
gtgt step(w18)
График переходного процесса показан на рис 2
Рис 2 Переходная реакция
Разомкнутая система неустойчива и согласно критерию Найкви-
ста надо чтобы АФЧХ разомкнутой системы охватывала точку (-1 j0)
44
столько раз сколько полюсов имеется справа от мнимой оси Для по-
строения АФЧХ достаточно вызвать команду nyquist
gtgt nyquist(w)
Диаграмма Найквиста показана на рис 3
Рис 3 Диаграмма Найквиста для неустойчивой системы
Как показывает рис3 АФЧХ ни разу не охватывает точку
(-1 j0) поэтому замкнутая система будет неустойчивой Частотный
критерий Найквиста можно использовать и в том случае когда рас-
сматривается не АФЧХ а ЛАЧХ разомкнутой системы замкнутая
минимально-фазовая система устойчива если при достижении ЛФЧХ
значения -π ЛАЧХ будет отрицательной
Используя ЛАЧХ и ЛФЧХ можно оценить запасы устойчивости
системы по амплитуде и по фазе с помощью команды
gtgt margin(w)
Пример
gtgt w=tf([10][2 2 3 1])
gtgt margin(w)
Соответствующий график показан на рис 4
45
Рис 4 Определение запасов устойчивости по амплитуде и по фазе
6 Задание на лабораторную работу
Выполнить исследование устойчивости замкнутой системы по за-
данной передаточной функции разомкнутой системы Определить запас
устойчивости по амплитуде и по фазе Вариант задания назначается
преподавателем
7 Методика выполнения задания
Порядок выполнения работы
1 Рассчитать передаточную функцию замкнутой системы по
приведенной в табл 1 разомкнутой системе
2 Определить устойчивость замкнутой системы используя кри-
терий Гурвица
3 Определить устойчивость замкнутой системы используя кри-
терий Найквиста
4 Определить запас устойчивости по амплитуде и по фазе ис-
пользуя ЛАЧХ и ЛФЧХ
5 Выполнить моделирование переходных процессов разомкну-
той и замкнутой систем
6 Подготовить ответы на контрольные вопросы
46
Таблица 1
Варианты заданий
Передаточная функция разомкнутой системы
1 1355
2234
ssss
W
2 110050
1234
ssss
W
3 11010
123
sss
W
4 122105
100234
ssss
W
5 1248
123
sss
W
6 1223
102345
sssss
W
7 11001010
323
sss
W
8 122
1023
sss
W
9 11010
123
sss
W
10 15050332
102345
sssss
W
8 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) титульный лист
б) краткие теоретические сведения
в) переходную функцию разомкнутой системы
г) расчет передаточной функции замкнутой системы
д) расчетные выражения для обоснования устойчивости замкну-
той системы по алгебраическому критерию Гурвица
е) годограф Найквиста разомкнутой системы на основании кото-
рого делается вывод об устойчивости замкнутой системы
ѐ) переходную функцию замкнутой системы
ж) проверку полученных результатов путем компьютерного моде-
лирования переходных процессов разомкнутой и замкнутой си-
стемы в MATLAB Simulink
з) выводы по всем полученным результатам
47
Контрольные вопросы
1 Как связана устойчивость линейной САУ с видом составля-
ющих ее свободного движения
2 Зависит ли устойчивость линейных САУ от амплитуды зада-
ющих воздействий или возмущений
3 Сформулируйте критерий устойчивости Гурвица укажите на
необходимое условие устойчивости линейных САУ вытекаю-
щее из этого критерия
4 Сформулируйте критерий Найквиста для случая САУ устой-
чивых в разомкнутом состоянии а также для астатических САУ
Что такое laquoзапасы устойчивости по фазе и по амплитудеraquo
5 Что называется структурной устойчивостью
48
Лабораторная работа 5
КОРРЕКЦИЯ СТАТИЧЕСКИХ И ДИНАМИЧЕСКИХ
СВОЙСТВ САУ
1 Цель работы
Целью работы является изучение способов обеспечения иско-
мых характеристик САУ с использованием автоматизированных
средств моделирования на ПК ndash MATLAB SIMULINK
2 Задачи работы
ndash Закрепление углубление и расширение знаний студентов при
обеспечении искомых характеристик САУ
ndash Приобретение умений по обеспечению точности (уменьшение
статической ошибки) САУ и выбору значений параметров регулято-
ра обеспечивающих желаемые динамические свойства САУ
ndash Приобретение умений и навыков работы с программой мате-
матического моделирования MATLAB
3 Теоретическая часть
Коррекция статических и динамических свойств САУ имеет
своей целью повышение статической и динамической точности отра-
ботки системой задающего воздействия (или парирование возмуща-
ющего воздействия) повышение запасов ее устойчивости Наиболее
распространенными способами коррекции свойств САУ является из-
менение коэффициента усиления ее разомкнутой части введение в
САУ новых звеньев (как правило интегрирующего или дифференци-
рующего типа) охват объекта управления местной обратной связью
31 Коррекция статических свойств САУ
Статические свойства системы определяются величиной устано-
вившейся ошибки )t(уст вызванной действием задающего воздей-
ствия и определяемой по формуле
22
210 2 dttgdcdttdgctgctуст (1)
где )(tg - входное воздействие 210 ccc - коэффициенты ошибок
Коэффициенты ошибок определяются по формулам
49
dssdcdssdcscs
mmmss 00100
где s - передаточная функция САУ по ошибке управления рав-
ная
sW
sраз
1
1
sWраз - передаточная функция разомкнутой САУ
Основными способами уменьшения статической ошибки систе-
мы являются
1) увеличение коэффициента усиления прямого тракта системы
2) введение в прямой тракт системы интегрирующих звеньев
3) охват объекта управления местной неединичной положитель-
ной обратной связью
Представим структурную схему системы в виде изображенном
на рис 1 где через sW обозначена передаточная функция неизме-
няемой части системы
bsbsb
asasasW
nn
nn
mm
mm
01
1
01
1
Здесь и далее полагается что KKKsW s 000 0 ndash из-
меняемый коэффициент усиления регулятора системы
Первые два коэффициента ошибок 0c и 1c определяется выраже-
ниями
KK
c0
01
1
(2)
KK
dssdWKc
s
20
01
1
(3)
Из (2) и (3) с учетом (1) вытекает что с увеличением K
статическая ошибка в системе уменьшается и наоборот с уменьше-
нием K статическая ошибка в системе увеличивается
Введем в прямой тракт системы одно интегрирующее звено
50
(рис 2) В этом случае c 00 01 1 KKc
Так как c 00 то система на рис 2 является астатической (с
астатизмом первого порядка) Система имеет нулевую статическую
ошибку при отработке постоянного задающего воздействия
consttg и постоянную обратно пропорциональную K ошибку
constуст при отработке линейно изменяющегося воздействия
tatg
Рис 1 Схема САУ Рис 2 Схема САУ с включенным в прямой
тракт интегрирующим звеном
Охватим неизменяемую часть системы sW местной нееди-
ничной положительной обратной связью с коэффициентом усиления
осK (рис 3) Тогда эквивалентная передаточная функция sWэкв
неизменяемой части системы равна
10011
01
1
aKbsaKbsaKbsb
asasa
sWK
sWsW
ососm
mосmn
n
mm
mm
осэкв
(4)
Если коэффициент усиления K выбрать из условия
a
bKос
0
0
то свободный коэффициент (b0 - Koca0) полинома знаменателя sWэкв
обратится в нуль и sWэкв приобретает интегрирующие свойства
11
11
0
1
1
aKbsaKbsbs
asasasW
ос
m
mосm
n
n
m
m
m
mэкв
g(t) y(t)ε(t)
K W(s)-
g(t) y(t)
Ks W(s)-
ε(t)
51
Следовательно замкнутая система становится астатической (с
астатизмом 1-го порядка) Отсюда 0c =0 а коэффициент 1c будет
равен
aKb
bc
ос 11
01
ε(t)g(t) y(t)
W(s)-
Kос
Wэкв(s)
+
Рис 3 Схема САУ с местной неединичной обратной связью
32 Коррекция динамических свойств САУ
Улучшение динамических свойств САУ заключается в увеличе-
нии быстродействия САУ (уменьшении времени регулирования tрег)
уменьшении перерегулирования (см рис 4) а также увеличении
запасов устойчивости по фазе и по модулю При этом
h
hh
уст
устmax100
где maxh - максимальное значение переходной характеристики за-
мкнутой САУ th
устh - установившееся значение th
Время регулирования tрег - минимальная величина при которой удо-
влетворяется условие
устрег hth
где - заданная величина ошибки (обычно =005 устh )
52
h(t)
tрег
hустhmax
2δ
Рис 4 Быстродействие и перерегулирование САУ
Одним из эффективных средств достижения этой цели является
уменьшение отрицательных фазовых сдвигов в прямом тракте систе-
мы путем охвата неизменяемой части системы местными отрицатель-
ными обратными связями
На рис 5 R(s) представляет собой передаточную функцию регу-
лятора САУ которая считается заданной
ε(t)g(t) y(t)
W(s)-
Kос
Wэкв(s)
-
R(s)
u(t)
Рис 5 Схема САУ с местной обратной связью и регулятором
Пусть неизменяемая часть системы представляет собой аперио-
дическое звено первого порядка те
sT
K)s(W
10
0
Тогда передаточная функция sWэкв эквивалентного объекта
управления равна
sT
K
sWK
sWsW
экв
экв
осэкв
11
где зквK и эквT - коэффициент усиления и постоянная времени
эквивалентного объекта равные
53
KK
KK
осэкв
0
0
1
KK
TT
осэкв
0
0
1 (5)
Из (5) следует что соответствующим выбором осK постоянную
времени эквT эквивалентного объекта можно уменьшить в (1+ 0KKос )
раз по сравнении с постоянной времени 0T объекта без местной об-
ратной связи Тем самым уменьшаются отрицательные фазовые сдви-
ги вносимые прямым трактом системы что приводит к увеличению
запасов устойчивости системы При этом однако уменьшается в
(1+ 0KKос ) раз коэффициент усиления эквK эквивалентного объекта
по сравнению с коэффициентом усиления 0K объекта без местной
обратной связи Это нежелательно так как приводит к уменьшению
быстродействия системы вследствие уменьшения общего коэффици-
ента усиления прямого тракта системы В этом случае с целью обес-
печения необходимого быстродействия системы увеличивают коэф-
фициент усиления регулятора
4 Краткое описание MATLAB
Лабораторная работа выполняется в программе математического
моделирования MATLAB Программа MATLAB включает в себя пакет
прикладных программ для решения технических задач и одноименный
язык программирования используемый в этом пакете
Основными компонентами системы являются базовая система
MATLAB и пакет моделирования систем Simulink Остальные пакеты
расширения разбиты на 4 категории ndash расширения Extension MATLAB и
Extension Simulink а также комплексы пакетов расширения Blockset и
Toolbox
Раздел MATLAB Extension содержит средства для подготовки ис-
полняемых приложений MATLAB (с подключаемыми библиотеками и
без них)
Раздел Toolbox (инструментальные средства) содержит самое
большое число пакетов расширений системы MATLAB такие как
laquoControl systemraquo laquoDatabaseraquo laquoFuzzy logicraquo laquoWaveletraquo и тд
54
В разделе Blockset расположено несколько пакетов относящихся к
главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink такие как
laquoDSPraquo laquoFixed-Pointraquo laquoNonlinear control designraquo и laquoPower systemsraquo
В разделе Extension Simulink имеется ряд средств предназначен-
ных для моделирования в реальном масштабе времени и событийно-
управляемом моделировании
5 Задание на лабораторную работу
Выполнить исследование способов коррекции статических и
динамических свойств САУ Определить время регулирования и пе-
ререгулирования в исходной и скорректированной системах а также
для динамических свойств САУ определить запасы устойчивости в
исходной системе и найти экспериментально значение Kос обеспечи-
вающее в системе заданные показатели качества и запасы устойчиво-
сти Вариант задания назначается преподавателем
Таблица 1
Варианты заданий
варианта
Параметры
1
2
3
4
5
6
7
8
a 05 10 15 20 25 30 35 40
K0 1 2 3 4 5 6 7 8
T c 03 04 05 06 07 08 09 10
ξ 06 07 08 08 07 09 05 04
уст 0 0 005 0 010 007 0 0
tрег c le 13 15 20 25 30 35 40 40
le 0 10 10 5 5 5 0 0
В качестве исходных САУ выступают системы изображенные
на рис 6 и 7
55
ε(t)g(t) y(t)
W(s)-
g(t) y(t)
R(s) W(s)-
ε(t) u(t)
Рис 6 САУ с отрицательной Рис 7 САУ с отрицательной обратной
обратной связью связью и регулятором
6 Методика выполнения задания
При исследовании способов коррекции статических свойств
САУ в качестве исходных данных выступает передаточная функция
sW неизменяемой части системы вида
1222
0
sTsT
KsW (6)
и задающие воздействия вида ttg 1 в соответствии с таблицей 1
В процессе выполнения этой части работы необходимо
1) путем моделирования в системе MATLAB исходной САУ
(рис 6) получить графики ttytg
2) сравнить полученную таким образом экспериментальную ве-
личину t с теоретической величиной вычисленной по формуле (1)
3) применяя описанные в теоретической части методических
указаний способы коррекции статических свойств (см п 31) обес-
печить требуемую статическую ошибку εуст системы при отработке
задающего воздействия ttg 1
4) получить графики ty и t в скорректированной системе
для 1 ttg
5) сравнить время регулирования регt и перерегулирование в
исходной и скорректированной системах при 1 ttg
При исследовании рассмотренного способа коррекции динами-
ческих свойств САУ (см п 32) в качестве исходных данных высту-
пают передаточная функция sW неизменяемой части системы
вида (6) и передаточная функция регулятора вида
s
KsR
рег
56
Задающее воздействие ttg 1
В процессе выполнения данной части работы необходимо
1) получить путем моделирования в MATLAB графики ty t
в системе (рис 7)
2) определить время регулирования регt и перерегулирование
а также запасы устойчивости в исходной системе
3) применяя описанный выше способ коррекции динамических
свойств САУ найти экспериментально (путем последовательного пе-
ребора) значение осK обеспечивающее в системе заданные заданием
показатели качества ( регt ) и запасы устойчивости (при необхо-
димости увеличить коэффициент регK )
4) получить графики ty t а также ЛАХ и ЛФХ разомкну-
той системы в скорректированной САУ
7 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) титульный лист
б) структурные схемы исследуемых систем
в) полученные графики и характеристики
г) значения полученные экмпериментально которые
обеспечивают заданные показатели качества и запасы устойчивости
д) выводы обощающие проделанные эксперименты для
коррекции статических и динамических свойств САУ
е) ответы на контрольные вопросы
Контрольные вопросы 1 Дать определение статической и астатической САУ
2 Какими структурными свойствами системы определяется по-
рядок ее астатизма
3 Какой из двух приведенных выше способов придания системе
свойств астатизма 1-го порядка наиболее предпочтителен на
практике
4 Назовите основные показатели качества САУ Поясните их
смысл
5 В чѐм суть исследуемого способа коррекции динамических
свойств САУ
57
6 Назвать другие способы коррекции динамических свойств
САУ
7 Чем вызваны отрицательные фазовые сдвиги в неизменяемой
части САУ
58
Лабораторная работа 6
МЕТОД КОРНЕВОГО ГОДОГРАФА
1 Цель работы
Целью работы является построение корневого годографа и ис-
следование динамики системы с использованием автоматизирован-
ных средств моделирования на ПК ndash MATLABSIMULINK
2 Задачи работы
ndash Закрепление углубление и расширение знаний студентов при
исследование динамики системы
ndash Овладение навыком построения корневого годографа
ndash Приобретение умений и навыков работы с программой мате-
матического моделирования MATLAB
3 Теоретическая часть
Корневым годографом (КГ) называется совокупность траекто-
рий перемещения всех корней характеристического уравнения за-
мкнутой системы при изменении какого-либо параметра этой систе-
мы
Обычно метод КГ позволяет находить полюса и нули ПФ за-
мкнутой системы располагая полюсами и нулями разомкнутой си-
стемы при изменении коэффициента усиления разомкнутой системы
K
ПФ разомкнутой системы Wp(s) представим в следующем виде
)(
)(
1
1
0
n
ii
m
jj
p
ss
ssKC
sW (1)
где 0js ndash нули ПФ sWp )1( mj
is ndash полюса ПФ sWp
)1( nj n и m ndash порядки знаменателя и числителя C ndash коэффици-
ент представления (отношение коэффициентов при старших членах
числителя и знаменателя)
59
При замыкании системы с ПФ sWp единичной отрицатель-
ной обратной связью ПФ замкнутой системы sWз принимает вид
)(1
)(
sW
sWsW
p
pз
(2)
Из выражения (2) следует что нули ПФ замкнутой системы рав-
ны нулям ПФ разомкнутой системы
Для нахождения полюсов рассмотри выражение
01 sWp (3)
в соответствии с выражением (1) имеем
n
i
m
jjin
ii
m
jj
ssKCss
ss
ssKC
1 1
0
1
1
0
)()(01
)(
)(
(4)
На основании выражения (4) можно сказать что при K = 0 корни
характеристического уравнения совпадают с полюсами а при K = infin ndash
с нулями При изменении K от 0 до infin траектории корней начинаются
в полюсах и заканчиваются в нулях Обычно полюсов больше чем
нулей В этом случаем mn ветвей корневого годографа стремятся к
infin
Для определения полюсов замкнутой системы с отрицательной
обратной связью необходимо решить уравнение (его называют ос-
новным уравнением метода КГ)
1sWp (5)
Так как sWp является функцией комплексного переменного
s то уравнение (5) распадается на два уравнения уравнение модулей
1)( sWp (6)
60
и уравнение аргументов (фаза вектора -1 есть нечетное число π)
210)12()(arg sWp (7)
Как известно при умножении комплексных чисел их аргументы
складываются а при делении ndash вычитаются Поэтому исходя из вы-
ражения (1) уравнение (7) имеет наглядный геометрический смысл
Пусть точка s ndash полюс замкнутой системы Если провести в s
вектора из нулей sWp (обозначим аргументы этих векторов 0j ) и
вектора из всех полюсов sWp (обозначим аргументы этих векторов
i ) то уравнение (7) можно записать в следующем виде
m
j
n
iij
1 1
0 210)12( (8)
Углы q отсчитываются от положительного направления дей-
ствительной оси Знак угла laquo+raquo соответствует повороту против часо-
вой стрелки знак угла laquo-raquo соответствует повороту по часовой стрел-
ке
Таким образом любая точка КГ должна удовлетворять уравне-
нию (8) из которого следует что конфигурация КГ не зависит от ко-
эффициента усиления K но каждому конкретному значению K одно-
значно соответствуют точки на КГ
При умножении комплексных чисел их модули перемножаются
а при делении ndash делятся Поэтому на основании (6) можно записать
1
1
1
0
n
ii
m
jj
l
lKC
(9)
где 0jl ndash модуль (длина) вектора проведенного из j-нуля в точку s
КГ il ndash модуль вектора проведенного из i-полюса в ту же точку s
61
Таким образом траектории корней строятся только по уравне-
ниям фаз а уравнение модулей используется затем для нахождения
K
Сущность метода КГ заключается в том чтобы узнать каким
должен быть коэффициент усиления разомкнутой системы чтобы
было обеспечено желаемое положение корней замкнутой системы
Корневой годограф системы с отрицательной обратной связью
обладает следующими основными свойствами
1 Ветви КГ непрерывны и расположены на комплексной плос-
кости симметрично относительно действительной оси
2 Число ветвей КГ равно порядку системы n Ветви начинают-
ся в n полюсах разомкнутой системы при K=0 При возрастании K от
0 до infin полюса замкнутой системы двигаются по ветвям КГ
3 mветвей КГ при возрастании K от 0 до infin заканчиваются в m
нулях )(sWp а )( mn ветвей при K стремящемся к infin удаляются
от полюсов вдоль асимптот
4 При расположении ветвей корневого годографа в левой полу-
плоскости s САУ устойчива При пересечении ветвей КГ мнимой оси
слева направо САУ становится неустойчивой Пусть при K=Kкр
пере-
сечение КГ с мнимой осью произойдет в некоторой точке iωкр
Назо-
вем это значение коэффициента усиления критическим Kкр
а вели-
чину iωкр
критической угловой частотой на которой система стано-
вится неустойчивой
4 Краткое описание MATLAB
Лабораторная работа выполняется в программе математического
моделирования MATLAB Программа MATLAB включает в себя пакет
прикладных программ для решения технических задач и одноименный
язык программирования используемый в этом пакете
Основными компонентами системы являются базовая система
MATLAB и пакет моделирования систем Simulink Остальные пакеты
расширения разбиты на 4 категории ndash расширения Extension MATLAB и
Extension Simulink а также комплексы пакетов расширения Blockset и
Toolbox
Раздел MATLAB Extension содержит средства для подготовки ис-
полняемых приложений MATLAB (с подключаемыми библиотеками и
без них)
62
Раздел Toolbox (инструментальные средства) содержит самое
большое число пакетов расширений системы MATLAB такие как
laquoControl systemraquo laquoDatabaseraquo laquoFuzzy logicraquo laquoWaveletraquo и тд
В разделе Blockset расположено несколько пакетов относящихся к
главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink такие как
laquoDSPraquo laquoFixed-Pointraquo laquoNonlinear control designraquo и laquoPower systemsraquo
В разделе Extension Simulink имеется ряд средств предназначен-
ных для моделирования в реальном масштабе времени и событийно-
управляемом моделировании
5 Корневой годограф в MATLAB
В системе MATLAB существует команда zpk для преобразова-
ния модели заданной ПФ в модель заданную нулями полюсами и
обобщенными коэффициентами передачи (zpk-форма)
Пример
gtgt w=tf([10][2 2 3 1 0])
Transfer function
10
-------------------------------
2 s^4 + 2 s^3 + 3 s^2 + s
gtgt w1=zpk(w)
Zeropolegain
5
----------------------------------------------
s (s+03966) (s^2 + 06034s + 1261)
Для работы с корневым годографом удобно использовать гра-
фический интерфейс laquoSISO-Design Toolraquo предназначенный для ана-
лиза и синтеза одномерных линейных систем автоматического управ-
ления (SISO ndash Single Input Signal Output)
Запуск SISO-Design Tool осуществляется командой
gtgt sisotool
63
В появившемся окне графического интерфейса необходимо ис-
пользовать команду laquoFileImportraquo для загрузки данных из рабочего
пространства MATLAB в результате которой появляется диалоговое
окно Import System Data (рис 1)
Рис 1 Диалог для ввода параметров модели
После импортирования данных можно исследовать изменение
временных и частотных характеристик замкнутой системы при изме-
нении K Обычно при этом требуется определить условия неустойчи-
вости замкнутой САУ Определить Kкр
и iωкр
На рис 2 показано окно sisotool для описанной выше модели w1
Двигая красным курсором по КГ до пересечения ветвей с мнимой
осью можно определить значения Kкр
В данном случае Kкр
asymp 01
Значение iωкр
соответствует мнимой координате пересечения КГ
мнимой оси Просмотреть это значение можно в нижней части ин-
терфейса или выбрать меню laquoView Closed-Loop Polesraquo
64
Рис 2 Основное окно SISO-Design Tool
6 Задание на лабораторную работу
Построить КГ в соответствии с вариантом из табл 1 при помо-
щи графического интерфейса sisotool
Исследовать динамику замкнутой системы при различных зна-
чениях коэффициента усиления разомкнутой системы K в том числе
ndash запасы устойчивости в частотной области
ndash параметры переходного процесса во временной области
Таблица 1
Варианты передаточных функций
Значения параметров Передаточная функция
разомкнутой системы
1 T = 01 ζ = 1
)12( 22 sTsTs
K
2 T = 005 ζ = 0707
3 T = 003 ζ = 01
4 T = 008 ζ = 05
5 T = 001 ζ = 015
65
Окончание табл 1
Значения параметров Передаточная функция
разомкнутой системы
6 T1 = 003 T2 = 05 T3 = 01 T4 = 005
)1)(1)(1(
)1(
432
1
sTsTsTs
sTK
7 T1 = 005 T2 = 04 T3 = 008 T4 = 0033
8 T1 = 02 T2 = 045 T3 = 01 T4 = 005
9 T1 = 05 T2 = 025 T3 = 01 T4 = 002
10 T1 = 01 T2 = 025 T3 = 01 T4 = 005
Вариант задания назначается преподавателем
7 Методика выполнения задания
Порядок выполнения лабораторной работы
1 Задать передаточную функцию в MATLAB в соответствии с
вариантом коэффициент K задать любым положительным числом
2 Запустить SISO-Design Tool и осуществить ввод данных
Построить КГ
3 По КГ определить значения коэффициента K когда система
будет устойчивой на границе устойчивости и неустойчива
4 Выбрать значение коэффициента K таким образом чтобы си-
стемы была устойчива и определить запас устойчивости в частотной
области и параметры переходного процесса во временной области
8 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) титульный лист
б) передаточную функцию и этапы построения КГ
в) анализ результатов построения КГ
г) выводы по проделанной работе
д) ответы на контрольные вопросы
Контрольные вопросы 1 Дать определение КГ
2 Что обычно позволяет находить метод КГ
3 В чем заключается сущность метода КГ
4 Что можно определить по КГ
66
Критерии результативности лабораторного практикума
Лабораторная работа считается выполненной если студент
ndash выполнил все указанные задания
ndash представил отчет соответствующий всем требованиям к его
содержанию и оформлению
ndash владеет терминологией и материалом лабораторной работы
ndash способен использовать программное средство математическо-
го моделирования MATLAB
ndash способен предоставить и рассказать результаты выполненной
работы на ПК
ndash может дать пояснения к отчету и ответить на контрольные
вопросы
Список литературы
1 Александров АГ Частотная теория автоматического управле-
ния учебное пособие ndash Электросталь ЭПИ МИСиС 2010
2 Борисевич АВ Теория автоматического управления элементар-
ное введение с применением MATLAB ndash СПб Изд-во Политехн ун-
та 2011
3 Федоров ВЛ Бубнов АВ Теория автоматического управления
учебное пособие ndash Омск Изд-во ОмГТУ 2010
4 Павловская ОО Чернецкая ИВ Теория автоматического
управления учебное пособие ndash Челябинск Изд-во ЮУрГУ 2010
67
Составители ЛЯНЦЕВ Олег Дмитриевич КАЗАНЦЕВ Андрей Валерьевич
ИССЛЕДОВАНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК СИСТЕМ
АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
Лабораторный практикум
по дисциплине
laquoТеория управленияraquo
Подписано в печать Формат 60х84 116 Бумага офсетная Пе-
чать плоская Гарнитура Times New Roman Усл печ л 56 Уч-изд л
55 Тираж 100 экз Заказ
ФГБОУ ВПО Уфимский государственный авиационный технический
университет
Центр оперативной полиграфии УГАТУ
450000 Уфа-центр ул К Маркса 12
36
5 Построение частотных характеристик в MATLAB В пакете MATLAB ЛЧХ объекта заданного с помощью ПФ
можно получить командой bode
Пример
gtgt w=tf([1 2][3 4 5])
gtgt bode(w)
Для нескольких вариантов передаточной функции можно исполь-
зовать вариант команды вида
gtgt bode(ww1w2)
Например построим диаграмму Боде при различных параметрах
колебательного звена (рис 1)
gtgt w=tf([1][2 03 1])
gtgt w1=tf([1][2 05 1])
gtgt w2=tf([1][2 01 1])
gtgt bode(ww1w2)
Рис 1 ЛЧХ колебательного звена
6 Задание на лабораторную работу
С помощью пакета MATLAB построить ЛЧХ каждого типового
звена Определить влияние коэффициентов входящих в описание
каждого звена на параметры ЛАЧХ и ЛФЧХ Вариант задания назна-
чается преподавателем
37
7 Методика выполнения задания
Порядок выполнения работы
1 Задать передаточную функцию типового динамического звена
используя параметры из табл 2 лабораторной работы 1
2 Построить диаграмму Боде при различных параметрах типо-
вого динамического звена
3 Определить влияние коэффициентов входящих в описание
каждого звена на параметры ЛАЧХ и ЛФЧХ в том числе
ndash как меняется ширина асимптотических участков ЛАЧХ и
ЛФЧХ
ndash как меняется положение точек пересечения осей ЛАЧХ
4 Написать вывод по влиянию коэффициентов на типовое звено
5 Выполнить пункты 1-4 для всех типовых звеньев
6 Подготовить ответы на контрольные вопросы
8 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) титульный лист
б) краткие теоретические сведения
в) передаточные функции и схемы моделирования исследуемых
звеньев
г) экспериментально полученные характеристики при вариации
параметров каждого звена
д) выводы обобщающие проделанные эксперименты по каждо-
му звену
ж) ответы на контрольные вопросы
Контрольные вопросы
1 Как пользуясь частотными характеристиками определить па-
раметры (коэффициенты передаточной функции) звена Пояс-
нить на конкретных примерах
2 Указать особенности построения ЛАХ и ЛФХ динамических
звеньев Что понимается под асимптотической ЛАХ звена
3 Как осуществляется построение АФХ динамического звена
38
Лабораторная работа 4
ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ СИСТЕМ
С ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ
1 Цель работы
Изучение особенностей практического использования алгебраи-
ческих и частотных критериев устойчивости для анализа динамики
линейных САУ с использованием автоматизированных средств моде-
лирования на ПК ndash MATLAB SIMULINK
2 Задачи работы
ndash Закрепление углубление и расширение знаний студентов при
исследовании устойчивости систем с обратной связью
ndash Приобретение умений и навыков работы с программой мате-
матического моделирования MATLAB
ndash Овладение новыми методами проверки устойчивости систем
с обратной связью
ndash Выработка способности логического мышления осмысления
полученных данных
3 Теоретическая часть
Устойчивость САУ является одним из основных условий ее ра-
ботоспособности и включает требование затухания во времени пере-
ходных процессов
Система является устойчивой если при ограниченном входном
сигнале еѐ выходной сигнал также является ограниченным Если
система устойчива то она противостоит внешним воздействиям а
выведенная из состояния равновесия возвращается снова к нему
Система с расходящимся переходным процессом будет неустойчивой и
неработоспособной
Необходимое и достаточное условие устойчивости заключается в
том чтобы все корни характеристического уравнения (полюсы пере-
даточной функции системы) имели отрицательные вещественные ча-
сти Иначе говоря условием устойчивости системы является распо-
ложение всех полюсов в левой комплексной полуплоскости Тогда все
полюсы будут давать затухающую реакцию
Выше сформулированное условие устойчивости справедливо как
39
для линейных так и для линеаризованных систем Однако в случае
нулевых или чисто мнимых корней характеристического уравнения
вопрос об устойчивости линеаризованной системы может быть ре-
шен только на основании исследования ее нелинейных уравнений
В конце XIX и первой половине XX в задача вычисления корней
характеристического уравнения высокого порядка вызывала боль-
шие проблемы Поэтому были предложены несколько косвенных
методов оценки устойчивости позволяющих обойтись без вычисле-
ния корней ndash по значениям коэффициентов характеристического
уравнения
Критерии устойчивости разделяют на алгебраические и частот-
ные В частности к алгебраическим критериям относится критерий
Гурвица к частотным критериям ndash критерий Найквиста
Критерий Гурвица является алгебраическим критерием и при-
меняется к коэффициентам характеристического уравнения замкнутой
системы
Пусть имеется характеристическое уравнение замкнутой
системы
0011
1 apapapa n
nn
n
Из коэффициентов характеристического уравнения составляют
матрицу по правилу
1 По диагонали записываются коэффициенты от 1na до 0a
2 Каждая строка дополняется коэффициентами с возрастающи-
ми индексами слева направо так чтобы чередовались строки с нечет-
ными и четными индексами
3 В случае отсутствия индекса а также если он меньше 0 или
больше п на его место пишется 0
Таким образом матрица Гурвица приобретает следующий вид
40
Критерий устойчивости формулируется так
Чтобы система была устойчивой необходимо и достаточно что-
бы при 0na были положительными все п диагональных определи-
телей получаемых из матрицы Гурвица
Первые три определителя матрицы Гурвица имеют следующий
вид
Таким образом критерий Гурвица позволяет судить об абсо-
лютной устойчивости но он не дает возможности оценивать относи-
тельную устойчивость по корням характеристического уравнения
Частотный критерий устойчивости Найквиста анализирует
АФЧХ разомкнутой системы
Пусть имеется АФЧХ разомкнутой системы W(jω)
Для нахождения вещественной и мнимой части частотной ха-
рактеристики нужно освободиться от мнимости в знаменателе путем
умножения числителя и знаменателя на комплексную величину со-
пряженную знаменателю а затем выполнить разделение на веще-
ственную и мнимую части W(jω) приобретает вид
)()()( jQPjW
Задаваясь различными значениями частоты можно найти мно-
жество пар )()( 11 jQP )()( 22 jQP )()( nn jQP
Затем по этим парам строится АФЧХ на комплексной плоскости
Основные свойства АФЧХ разомкнутой системы
1 Если разомкнутая система не имеет интегрирующих звеньев
то при ω = 0 ее АФЧХ начинается на вещественной оси в точке
Р(ω)=К (где К ndash коэффициент усиления разомкнутой системы) За-
канчивается АФЧХ в начале координат при ω rarr infin (рис 1 а)
2 Если разомкнутая система имеет одно интегрирующее звено то
ее АФЧХ начинается при ω = 0 в бесконечности на отрицательной мни-
мой полуоси а заканчивается в начале координат при ω rarr infin (рис 1 б)
41
Рис 1 АФЧХ разомкнутой системы
Критерий устойчивости Найквиста формулируется так
1 Если разомкнутая система устойчива или находится на гра-
нице устойчивости то для того чтобы замкнутая система была
устойчива необходимо и достаточно чтобы АФЧХ разомкнутой
системы при изменении частоты ω от 0 до infin не охватывала точку с ко-
ординатами (-1 j0)
2 Если разомкнутая система неустойчива а ее передаточная
функция имеет т полюсов справа от мнимой оси на комплексной
плоскости то для устойчивости замкнутой системы необходимо и до-
статочно чтобы АФЧХ разомкнутой системы при изменении частоты
ω от -infin до +infin охватывала т раз точку с координатами (-1 j0)
При использовании этого критерия нужно учитывать две
особенности
1 Если разомкнутая система находится на границе устойчиво-
сти то ее АФЧХ уходит в бесконечность Для проверки критерия Най-
квиста нужно мысленно соединить конец АФЧХ дугой бесконечно
большого радиуса с положительной вещественной полуосью
2 На практике АФЧХ может строиться только для положитель-
ных частот (0 lt ω lt +infin) При применении критерия Найквиста счита-
ется что ветвь АФЧХ для отрицательных частот симметрична отно-
сительно вещественной оси
Физический смысл критерия устойчивости Найквиста заключа-
ется в том что система будет неустойчива если фаза выходного сиг-
нала противоположна фазе входного сигнала а коэффициент усиле-
ния больше 1 Поэтому для анализа устойчивости можно использо-
вать не АФЧХ а ЛАХ системы (для минимально-фазовых систем)
Система устойчива если на частоте среза значение фазы не превы-
шает -π Соответственно для устойчивой системы можно рассматри-
вать на ЛФЧХ запас устойчивости по фазе ndash расстояние от значения
фазы на частоте среза до уровня -π и запас устойчивости по амплиту-
42
де ndash расстояние от оси частот ЛАЧХ до значения усиления на часто-
те где фаза становится равной -π
4 Краткое описание MATLAB
Лабораторная работа выполняется в программе математического
моделирования MATLAB Программа MATLAB включает в себя пакет
прикладных программ для решения технических задач и одноименный
язык программирования используемый в этом пакете
Основными компонентами системы являются базовая система
MATLAB и пакет моделирования систем Simulink Остальные пакеты
расширения разбиты на 4 категории ndash расширения Extension MATLAB и
Extension Simulink а также комплексы пакетов расширения Blockset и
Toolbox
Раздел MATLAB Extension содержит средства для подготовки ис-
полняемых приложений MATLAB (с подключаемыми библиотеками и
без них)
Раздел Toolbox (инструментальные средства) содержит самое
большое число пакетов расширений системы MATLAB такие как
laquoControl systemraquo laquoDatabaseraquo laquoFuzzy logicraquo laquoWaveletraquo и тд
В разделе Blockset расположено несколько пакетов относящихся к
главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink такие как
laquoDSPraquo laquoFixed-Pointraquo laquoNonlinear control designraquo и laquoPower systemsraquo
В разделе Extension Simulink имеется ряд средств предназначен-
ных для моделирования в реальном масштабе времени и событийно-
управляемом моделировании
5 Исследование устойчивости САУ в MATLAB
Для проверки устойчивости САУ по Гурвицу постройте матрицу
Гурвица и найдите ее детерминант (функция det) Затем последова-
тельно уменьшая размер матрицы найдите значения всех диагональ-
ных детерминантов Пример
gtgt А=[1 14 18 2 5 2 3 4 3]
А =
1 14 18
2 5 2
3 4 3
gtgt det(A)
ans = -119
43
gtgt А1=А(12 12)
А1 =
1 14
2 5
gtgt det(A1)
ans = -23
Для проверки устойчивости САУ по Найквисту сначала нужно
выяснить является ли устойчивой разомкнутая система
Пример Пусть дана передаточная функция разомкнутой
системы
13232
12234
pppp
pW
Рассмотрим реакцию на скачок
gtgt w=tf([2 1][2 3 2 3 1])
gtgt step(w18)
График переходного процесса показан на рис 2
Рис 2 Переходная реакция
Разомкнутая система неустойчива и согласно критерию Найкви-
ста надо чтобы АФЧХ разомкнутой системы охватывала точку (-1 j0)
44
столько раз сколько полюсов имеется справа от мнимой оси Для по-
строения АФЧХ достаточно вызвать команду nyquist
gtgt nyquist(w)
Диаграмма Найквиста показана на рис 3
Рис 3 Диаграмма Найквиста для неустойчивой системы
Как показывает рис3 АФЧХ ни разу не охватывает точку
(-1 j0) поэтому замкнутая система будет неустойчивой Частотный
критерий Найквиста можно использовать и в том случае когда рас-
сматривается не АФЧХ а ЛАЧХ разомкнутой системы замкнутая
минимально-фазовая система устойчива если при достижении ЛФЧХ
значения -π ЛАЧХ будет отрицательной
Используя ЛАЧХ и ЛФЧХ можно оценить запасы устойчивости
системы по амплитуде и по фазе с помощью команды
gtgt margin(w)
Пример
gtgt w=tf([10][2 2 3 1])
gtgt margin(w)
Соответствующий график показан на рис 4
45
Рис 4 Определение запасов устойчивости по амплитуде и по фазе
6 Задание на лабораторную работу
Выполнить исследование устойчивости замкнутой системы по за-
данной передаточной функции разомкнутой системы Определить запас
устойчивости по амплитуде и по фазе Вариант задания назначается
преподавателем
7 Методика выполнения задания
Порядок выполнения работы
1 Рассчитать передаточную функцию замкнутой системы по
приведенной в табл 1 разомкнутой системе
2 Определить устойчивость замкнутой системы используя кри-
терий Гурвица
3 Определить устойчивость замкнутой системы используя кри-
терий Найквиста
4 Определить запас устойчивости по амплитуде и по фазе ис-
пользуя ЛАЧХ и ЛФЧХ
5 Выполнить моделирование переходных процессов разомкну-
той и замкнутой систем
6 Подготовить ответы на контрольные вопросы
46
Таблица 1
Варианты заданий
Передаточная функция разомкнутой системы
1 1355
2234
ssss
W
2 110050
1234
ssss
W
3 11010
123
sss
W
4 122105
100234
ssss
W
5 1248
123
sss
W
6 1223
102345
sssss
W
7 11001010
323
sss
W
8 122
1023
sss
W
9 11010
123
sss
W
10 15050332
102345
sssss
W
8 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) титульный лист
б) краткие теоретические сведения
в) переходную функцию разомкнутой системы
г) расчет передаточной функции замкнутой системы
д) расчетные выражения для обоснования устойчивости замкну-
той системы по алгебраическому критерию Гурвица
е) годограф Найквиста разомкнутой системы на основании кото-
рого делается вывод об устойчивости замкнутой системы
ѐ) переходную функцию замкнутой системы
ж) проверку полученных результатов путем компьютерного моде-
лирования переходных процессов разомкнутой и замкнутой си-
стемы в MATLAB Simulink
з) выводы по всем полученным результатам
47
Контрольные вопросы
1 Как связана устойчивость линейной САУ с видом составля-
ющих ее свободного движения
2 Зависит ли устойчивость линейных САУ от амплитуды зада-
ющих воздействий или возмущений
3 Сформулируйте критерий устойчивости Гурвица укажите на
необходимое условие устойчивости линейных САУ вытекаю-
щее из этого критерия
4 Сформулируйте критерий Найквиста для случая САУ устой-
чивых в разомкнутом состоянии а также для астатических САУ
Что такое laquoзапасы устойчивости по фазе и по амплитудеraquo
5 Что называется структурной устойчивостью
48
Лабораторная работа 5
КОРРЕКЦИЯ СТАТИЧЕСКИХ И ДИНАМИЧЕСКИХ
СВОЙСТВ САУ
1 Цель работы
Целью работы является изучение способов обеспечения иско-
мых характеристик САУ с использованием автоматизированных
средств моделирования на ПК ndash MATLAB SIMULINK
2 Задачи работы
ndash Закрепление углубление и расширение знаний студентов при
обеспечении искомых характеристик САУ
ndash Приобретение умений по обеспечению точности (уменьшение
статической ошибки) САУ и выбору значений параметров регулято-
ра обеспечивающих желаемые динамические свойства САУ
ndash Приобретение умений и навыков работы с программой мате-
матического моделирования MATLAB
3 Теоретическая часть
Коррекция статических и динамических свойств САУ имеет
своей целью повышение статической и динамической точности отра-
ботки системой задающего воздействия (или парирование возмуща-
ющего воздействия) повышение запасов ее устойчивости Наиболее
распространенными способами коррекции свойств САУ является из-
менение коэффициента усиления ее разомкнутой части введение в
САУ новых звеньев (как правило интегрирующего или дифференци-
рующего типа) охват объекта управления местной обратной связью
31 Коррекция статических свойств САУ
Статические свойства системы определяются величиной устано-
вившейся ошибки )t(уст вызванной действием задающего воздей-
ствия и определяемой по формуле
22
210 2 dttgdcdttdgctgctуст (1)
где )(tg - входное воздействие 210 ccc - коэффициенты ошибок
Коэффициенты ошибок определяются по формулам
49
dssdcdssdcscs
mmmss 00100
где s - передаточная функция САУ по ошибке управления рав-
ная
sW
sраз
1
1
sWраз - передаточная функция разомкнутой САУ
Основными способами уменьшения статической ошибки систе-
мы являются
1) увеличение коэффициента усиления прямого тракта системы
2) введение в прямой тракт системы интегрирующих звеньев
3) охват объекта управления местной неединичной положитель-
ной обратной связью
Представим структурную схему системы в виде изображенном
на рис 1 где через sW обозначена передаточная функция неизме-
няемой части системы
bsbsb
asasasW
nn
nn
mm
mm
01
1
01
1
Здесь и далее полагается что KKKsW s 000 0 ndash из-
меняемый коэффициент усиления регулятора системы
Первые два коэффициента ошибок 0c и 1c определяется выраже-
ниями
KK
c0
01
1
(2)
KK
dssdWKc
s
20
01
1
(3)
Из (2) и (3) с учетом (1) вытекает что с увеличением K
статическая ошибка в системе уменьшается и наоборот с уменьше-
нием K статическая ошибка в системе увеличивается
Введем в прямой тракт системы одно интегрирующее звено
50
(рис 2) В этом случае c 00 01 1 KKc
Так как c 00 то система на рис 2 является астатической (с
астатизмом первого порядка) Система имеет нулевую статическую
ошибку при отработке постоянного задающего воздействия
consttg и постоянную обратно пропорциональную K ошибку
constуст при отработке линейно изменяющегося воздействия
tatg
Рис 1 Схема САУ Рис 2 Схема САУ с включенным в прямой
тракт интегрирующим звеном
Охватим неизменяемую часть системы sW местной нееди-
ничной положительной обратной связью с коэффициентом усиления
осK (рис 3) Тогда эквивалентная передаточная функция sWэкв
неизменяемой части системы равна
10011
01
1
aKbsaKbsaKbsb
asasa
sWK
sWsW
ососm
mосmn
n
mm
mm
осэкв
(4)
Если коэффициент усиления K выбрать из условия
a
bKос
0
0
то свободный коэффициент (b0 - Koca0) полинома знаменателя sWэкв
обратится в нуль и sWэкв приобретает интегрирующие свойства
11
11
0
1
1
aKbsaKbsbs
asasasW
ос
m
mосm
n
n
m
m
m
mэкв
g(t) y(t)ε(t)
K W(s)-
g(t) y(t)
Ks W(s)-
ε(t)
51
Следовательно замкнутая система становится астатической (с
астатизмом 1-го порядка) Отсюда 0c =0 а коэффициент 1c будет
равен
aKb
bc
ос 11
01
ε(t)g(t) y(t)
W(s)-
Kос
Wэкв(s)
+
Рис 3 Схема САУ с местной неединичной обратной связью
32 Коррекция динамических свойств САУ
Улучшение динамических свойств САУ заключается в увеличе-
нии быстродействия САУ (уменьшении времени регулирования tрег)
уменьшении перерегулирования (см рис 4) а также увеличении
запасов устойчивости по фазе и по модулю При этом
h
hh
уст
устmax100
где maxh - максимальное значение переходной характеристики за-
мкнутой САУ th
устh - установившееся значение th
Время регулирования tрег - минимальная величина при которой удо-
влетворяется условие
устрег hth
где - заданная величина ошибки (обычно =005 устh )
52
h(t)
tрег
hустhmax
2δ
Рис 4 Быстродействие и перерегулирование САУ
Одним из эффективных средств достижения этой цели является
уменьшение отрицательных фазовых сдвигов в прямом тракте систе-
мы путем охвата неизменяемой части системы местными отрицатель-
ными обратными связями
На рис 5 R(s) представляет собой передаточную функцию регу-
лятора САУ которая считается заданной
ε(t)g(t) y(t)
W(s)-
Kос
Wэкв(s)
-
R(s)
u(t)
Рис 5 Схема САУ с местной обратной связью и регулятором
Пусть неизменяемая часть системы представляет собой аперио-
дическое звено первого порядка те
sT
K)s(W
10
0
Тогда передаточная функция sWэкв эквивалентного объекта
управления равна
sT
K
sWK
sWsW
экв
экв
осэкв
11
где зквK и эквT - коэффициент усиления и постоянная времени
эквивалентного объекта равные
53
KK
KK
осэкв
0
0
1
KK
TT
осэкв
0
0
1 (5)
Из (5) следует что соответствующим выбором осK постоянную
времени эквT эквивалентного объекта можно уменьшить в (1+ 0KKос )
раз по сравнении с постоянной времени 0T объекта без местной об-
ратной связи Тем самым уменьшаются отрицательные фазовые сдви-
ги вносимые прямым трактом системы что приводит к увеличению
запасов устойчивости системы При этом однако уменьшается в
(1+ 0KKос ) раз коэффициент усиления эквK эквивалентного объекта
по сравнению с коэффициентом усиления 0K объекта без местной
обратной связи Это нежелательно так как приводит к уменьшению
быстродействия системы вследствие уменьшения общего коэффици-
ента усиления прямого тракта системы В этом случае с целью обес-
печения необходимого быстродействия системы увеличивают коэф-
фициент усиления регулятора
4 Краткое описание MATLAB
Лабораторная работа выполняется в программе математического
моделирования MATLAB Программа MATLAB включает в себя пакет
прикладных программ для решения технических задач и одноименный
язык программирования используемый в этом пакете
Основными компонентами системы являются базовая система
MATLAB и пакет моделирования систем Simulink Остальные пакеты
расширения разбиты на 4 категории ndash расширения Extension MATLAB и
Extension Simulink а также комплексы пакетов расширения Blockset и
Toolbox
Раздел MATLAB Extension содержит средства для подготовки ис-
полняемых приложений MATLAB (с подключаемыми библиотеками и
без них)
Раздел Toolbox (инструментальные средства) содержит самое
большое число пакетов расширений системы MATLAB такие как
laquoControl systemraquo laquoDatabaseraquo laquoFuzzy logicraquo laquoWaveletraquo и тд
54
В разделе Blockset расположено несколько пакетов относящихся к
главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink такие как
laquoDSPraquo laquoFixed-Pointraquo laquoNonlinear control designraquo и laquoPower systemsraquo
В разделе Extension Simulink имеется ряд средств предназначен-
ных для моделирования в реальном масштабе времени и событийно-
управляемом моделировании
5 Задание на лабораторную работу
Выполнить исследование способов коррекции статических и
динамических свойств САУ Определить время регулирования и пе-
ререгулирования в исходной и скорректированной системах а также
для динамических свойств САУ определить запасы устойчивости в
исходной системе и найти экспериментально значение Kос обеспечи-
вающее в системе заданные показатели качества и запасы устойчиво-
сти Вариант задания назначается преподавателем
Таблица 1
Варианты заданий
варианта
Параметры
1
2
3
4
5
6
7
8
a 05 10 15 20 25 30 35 40
K0 1 2 3 4 5 6 7 8
T c 03 04 05 06 07 08 09 10
ξ 06 07 08 08 07 09 05 04
уст 0 0 005 0 010 007 0 0
tрег c le 13 15 20 25 30 35 40 40
le 0 10 10 5 5 5 0 0
В качестве исходных САУ выступают системы изображенные
на рис 6 и 7
55
ε(t)g(t) y(t)
W(s)-
g(t) y(t)
R(s) W(s)-
ε(t) u(t)
Рис 6 САУ с отрицательной Рис 7 САУ с отрицательной обратной
обратной связью связью и регулятором
6 Методика выполнения задания
При исследовании способов коррекции статических свойств
САУ в качестве исходных данных выступает передаточная функция
sW неизменяемой части системы вида
1222
0
sTsT
KsW (6)
и задающие воздействия вида ttg 1 в соответствии с таблицей 1
В процессе выполнения этой части работы необходимо
1) путем моделирования в системе MATLAB исходной САУ
(рис 6) получить графики ttytg
2) сравнить полученную таким образом экспериментальную ве-
личину t с теоретической величиной вычисленной по формуле (1)
3) применяя описанные в теоретической части методических
указаний способы коррекции статических свойств (см п 31) обес-
печить требуемую статическую ошибку εуст системы при отработке
задающего воздействия ttg 1
4) получить графики ty и t в скорректированной системе
для 1 ttg
5) сравнить время регулирования регt и перерегулирование в
исходной и скорректированной системах при 1 ttg
При исследовании рассмотренного способа коррекции динами-
ческих свойств САУ (см п 32) в качестве исходных данных высту-
пают передаточная функция sW неизменяемой части системы
вида (6) и передаточная функция регулятора вида
s
KsR
рег
56
Задающее воздействие ttg 1
В процессе выполнения данной части работы необходимо
1) получить путем моделирования в MATLAB графики ty t
в системе (рис 7)
2) определить время регулирования регt и перерегулирование
а также запасы устойчивости в исходной системе
3) применяя описанный выше способ коррекции динамических
свойств САУ найти экспериментально (путем последовательного пе-
ребора) значение осK обеспечивающее в системе заданные заданием
показатели качества ( регt ) и запасы устойчивости (при необхо-
димости увеличить коэффициент регK )
4) получить графики ty t а также ЛАХ и ЛФХ разомкну-
той системы в скорректированной САУ
7 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) титульный лист
б) структурные схемы исследуемых систем
в) полученные графики и характеристики
г) значения полученные экмпериментально которые
обеспечивают заданные показатели качества и запасы устойчивости
д) выводы обощающие проделанные эксперименты для
коррекции статических и динамических свойств САУ
е) ответы на контрольные вопросы
Контрольные вопросы 1 Дать определение статической и астатической САУ
2 Какими структурными свойствами системы определяется по-
рядок ее астатизма
3 Какой из двух приведенных выше способов придания системе
свойств астатизма 1-го порядка наиболее предпочтителен на
практике
4 Назовите основные показатели качества САУ Поясните их
смысл
5 В чѐм суть исследуемого способа коррекции динамических
свойств САУ
57
6 Назвать другие способы коррекции динамических свойств
САУ
7 Чем вызваны отрицательные фазовые сдвиги в неизменяемой
части САУ
58
Лабораторная работа 6
МЕТОД КОРНЕВОГО ГОДОГРАФА
1 Цель работы
Целью работы является построение корневого годографа и ис-
следование динамики системы с использованием автоматизирован-
ных средств моделирования на ПК ndash MATLABSIMULINK
2 Задачи работы
ndash Закрепление углубление и расширение знаний студентов при
исследование динамики системы
ndash Овладение навыком построения корневого годографа
ndash Приобретение умений и навыков работы с программой мате-
матического моделирования MATLAB
3 Теоретическая часть
Корневым годографом (КГ) называется совокупность траекто-
рий перемещения всех корней характеристического уравнения за-
мкнутой системы при изменении какого-либо параметра этой систе-
мы
Обычно метод КГ позволяет находить полюса и нули ПФ за-
мкнутой системы располагая полюсами и нулями разомкнутой си-
стемы при изменении коэффициента усиления разомкнутой системы
K
ПФ разомкнутой системы Wp(s) представим в следующем виде
)(
)(
1
1
0
n
ii
m
jj
p
ss
ssKC
sW (1)
где 0js ndash нули ПФ sWp )1( mj
is ndash полюса ПФ sWp
)1( nj n и m ndash порядки знаменателя и числителя C ndash коэффици-
ент представления (отношение коэффициентов при старших членах
числителя и знаменателя)
59
При замыкании системы с ПФ sWp единичной отрицатель-
ной обратной связью ПФ замкнутой системы sWз принимает вид
)(1
)(
sW
sWsW
p
pз
(2)
Из выражения (2) следует что нули ПФ замкнутой системы рав-
ны нулям ПФ разомкнутой системы
Для нахождения полюсов рассмотри выражение
01 sWp (3)
в соответствии с выражением (1) имеем
n
i
m
jjin
ii
m
jj
ssKCss
ss
ssKC
1 1
0
1
1
0
)()(01
)(
)(
(4)
На основании выражения (4) можно сказать что при K = 0 корни
характеристического уравнения совпадают с полюсами а при K = infin ndash
с нулями При изменении K от 0 до infin траектории корней начинаются
в полюсах и заканчиваются в нулях Обычно полюсов больше чем
нулей В этом случаем mn ветвей корневого годографа стремятся к
infin
Для определения полюсов замкнутой системы с отрицательной
обратной связью необходимо решить уравнение (его называют ос-
новным уравнением метода КГ)
1sWp (5)
Так как sWp является функцией комплексного переменного
s то уравнение (5) распадается на два уравнения уравнение модулей
1)( sWp (6)
60
и уравнение аргументов (фаза вектора -1 есть нечетное число π)
210)12()(arg sWp (7)
Как известно при умножении комплексных чисел их аргументы
складываются а при делении ndash вычитаются Поэтому исходя из вы-
ражения (1) уравнение (7) имеет наглядный геометрический смысл
Пусть точка s ndash полюс замкнутой системы Если провести в s
вектора из нулей sWp (обозначим аргументы этих векторов 0j ) и
вектора из всех полюсов sWp (обозначим аргументы этих векторов
i ) то уравнение (7) можно записать в следующем виде
m
j
n
iij
1 1
0 210)12( (8)
Углы q отсчитываются от положительного направления дей-
ствительной оси Знак угла laquo+raquo соответствует повороту против часо-
вой стрелки знак угла laquo-raquo соответствует повороту по часовой стрел-
ке
Таким образом любая точка КГ должна удовлетворять уравне-
нию (8) из которого следует что конфигурация КГ не зависит от ко-
эффициента усиления K но каждому конкретному значению K одно-
значно соответствуют точки на КГ
При умножении комплексных чисел их модули перемножаются
а при делении ndash делятся Поэтому на основании (6) можно записать
1
1
1
0
n
ii
m
jj
l
lKC
(9)
где 0jl ndash модуль (длина) вектора проведенного из j-нуля в точку s
КГ il ndash модуль вектора проведенного из i-полюса в ту же точку s
61
Таким образом траектории корней строятся только по уравне-
ниям фаз а уравнение модулей используется затем для нахождения
K
Сущность метода КГ заключается в том чтобы узнать каким
должен быть коэффициент усиления разомкнутой системы чтобы
было обеспечено желаемое положение корней замкнутой системы
Корневой годограф системы с отрицательной обратной связью
обладает следующими основными свойствами
1 Ветви КГ непрерывны и расположены на комплексной плос-
кости симметрично относительно действительной оси
2 Число ветвей КГ равно порядку системы n Ветви начинают-
ся в n полюсах разомкнутой системы при K=0 При возрастании K от
0 до infin полюса замкнутой системы двигаются по ветвям КГ
3 mветвей КГ при возрастании K от 0 до infin заканчиваются в m
нулях )(sWp а )( mn ветвей при K стремящемся к infin удаляются
от полюсов вдоль асимптот
4 При расположении ветвей корневого годографа в левой полу-
плоскости s САУ устойчива При пересечении ветвей КГ мнимой оси
слева направо САУ становится неустойчивой Пусть при K=Kкр
пере-
сечение КГ с мнимой осью произойдет в некоторой точке iωкр
Назо-
вем это значение коэффициента усиления критическим Kкр
а вели-
чину iωкр
критической угловой частотой на которой система стано-
вится неустойчивой
4 Краткое описание MATLAB
Лабораторная работа выполняется в программе математического
моделирования MATLAB Программа MATLAB включает в себя пакет
прикладных программ для решения технических задач и одноименный
язык программирования используемый в этом пакете
Основными компонентами системы являются базовая система
MATLAB и пакет моделирования систем Simulink Остальные пакеты
расширения разбиты на 4 категории ndash расширения Extension MATLAB и
Extension Simulink а также комплексы пакетов расширения Blockset и
Toolbox
Раздел MATLAB Extension содержит средства для подготовки ис-
полняемых приложений MATLAB (с подключаемыми библиотеками и
без них)
62
Раздел Toolbox (инструментальные средства) содержит самое
большое число пакетов расширений системы MATLAB такие как
laquoControl systemraquo laquoDatabaseraquo laquoFuzzy logicraquo laquoWaveletraquo и тд
В разделе Blockset расположено несколько пакетов относящихся к
главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink такие как
laquoDSPraquo laquoFixed-Pointraquo laquoNonlinear control designraquo и laquoPower systemsraquo
В разделе Extension Simulink имеется ряд средств предназначен-
ных для моделирования в реальном масштабе времени и событийно-
управляемом моделировании
5 Корневой годограф в MATLAB
В системе MATLAB существует команда zpk для преобразова-
ния модели заданной ПФ в модель заданную нулями полюсами и
обобщенными коэффициентами передачи (zpk-форма)
Пример
gtgt w=tf([10][2 2 3 1 0])
Transfer function
10
-------------------------------
2 s^4 + 2 s^3 + 3 s^2 + s
gtgt w1=zpk(w)
Zeropolegain
5
----------------------------------------------
s (s+03966) (s^2 + 06034s + 1261)
Для работы с корневым годографом удобно использовать гра-
фический интерфейс laquoSISO-Design Toolraquo предназначенный для ана-
лиза и синтеза одномерных линейных систем автоматического управ-
ления (SISO ndash Single Input Signal Output)
Запуск SISO-Design Tool осуществляется командой
gtgt sisotool
63
В появившемся окне графического интерфейса необходимо ис-
пользовать команду laquoFileImportraquo для загрузки данных из рабочего
пространства MATLAB в результате которой появляется диалоговое
окно Import System Data (рис 1)
Рис 1 Диалог для ввода параметров модели
После импортирования данных можно исследовать изменение
временных и частотных характеристик замкнутой системы при изме-
нении K Обычно при этом требуется определить условия неустойчи-
вости замкнутой САУ Определить Kкр
и iωкр
На рис 2 показано окно sisotool для описанной выше модели w1
Двигая красным курсором по КГ до пересечения ветвей с мнимой
осью можно определить значения Kкр
В данном случае Kкр
asymp 01
Значение iωкр
соответствует мнимой координате пересечения КГ
мнимой оси Просмотреть это значение можно в нижней части ин-
терфейса или выбрать меню laquoView Closed-Loop Polesraquo
64
Рис 2 Основное окно SISO-Design Tool
6 Задание на лабораторную работу
Построить КГ в соответствии с вариантом из табл 1 при помо-
щи графического интерфейса sisotool
Исследовать динамику замкнутой системы при различных зна-
чениях коэффициента усиления разомкнутой системы K в том числе
ndash запасы устойчивости в частотной области
ndash параметры переходного процесса во временной области
Таблица 1
Варианты передаточных функций
Значения параметров Передаточная функция
разомкнутой системы
1 T = 01 ζ = 1
)12( 22 sTsTs
K
2 T = 005 ζ = 0707
3 T = 003 ζ = 01
4 T = 008 ζ = 05
5 T = 001 ζ = 015
65
Окончание табл 1
Значения параметров Передаточная функция
разомкнутой системы
6 T1 = 003 T2 = 05 T3 = 01 T4 = 005
)1)(1)(1(
)1(
432
1
sTsTsTs
sTK
7 T1 = 005 T2 = 04 T3 = 008 T4 = 0033
8 T1 = 02 T2 = 045 T3 = 01 T4 = 005
9 T1 = 05 T2 = 025 T3 = 01 T4 = 002
10 T1 = 01 T2 = 025 T3 = 01 T4 = 005
Вариант задания назначается преподавателем
7 Методика выполнения задания
Порядок выполнения лабораторной работы
1 Задать передаточную функцию в MATLAB в соответствии с
вариантом коэффициент K задать любым положительным числом
2 Запустить SISO-Design Tool и осуществить ввод данных
Построить КГ
3 По КГ определить значения коэффициента K когда система
будет устойчивой на границе устойчивости и неустойчива
4 Выбрать значение коэффициента K таким образом чтобы си-
стемы была устойчива и определить запас устойчивости в частотной
области и параметры переходного процесса во временной области
8 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) титульный лист
б) передаточную функцию и этапы построения КГ
в) анализ результатов построения КГ
г) выводы по проделанной работе
д) ответы на контрольные вопросы
Контрольные вопросы 1 Дать определение КГ
2 Что обычно позволяет находить метод КГ
3 В чем заключается сущность метода КГ
4 Что можно определить по КГ
66
Критерии результативности лабораторного практикума
Лабораторная работа считается выполненной если студент
ndash выполнил все указанные задания
ndash представил отчет соответствующий всем требованиям к его
содержанию и оформлению
ndash владеет терминологией и материалом лабораторной работы
ndash способен использовать программное средство математическо-
го моделирования MATLAB
ndash способен предоставить и рассказать результаты выполненной
работы на ПК
ndash может дать пояснения к отчету и ответить на контрольные
вопросы
Список литературы
1 Александров АГ Частотная теория автоматического управле-
ния учебное пособие ndash Электросталь ЭПИ МИСиС 2010
2 Борисевич АВ Теория автоматического управления элементар-
ное введение с применением MATLAB ndash СПб Изд-во Политехн ун-
та 2011
3 Федоров ВЛ Бубнов АВ Теория автоматического управления
учебное пособие ndash Омск Изд-во ОмГТУ 2010
4 Павловская ОО Чернецкая ИВ Теория автоматического
управления учебное пособие ndash Челябинск Изд-во ЮУрГУ 2010
67
Составители ЛЯНЦЕВ Олег Дмитриевич КАЗАНЦЕВ Андрей Валерьевич
ИССЛЕДОВАНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК СИСТЕМ
АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
Лабораторный практикум
по дисциплине
laquoТеория управленияraquo
Подписано в печать Формат 60х84 116 Бумага офсетная Пе-
чать плоская Гарнитура Times New Roman Усл печ л 56 Уч-изд л
55 Тираж 100 экз Заказ
ФГБОУ ВПО Уфимский государственный авиационный технический
университет
Центр оперативной полиграфии УГАТУ
450000 Уфа-центр ул К Маркса 12
37
7 Методика выполнения задания
Порядок выполнения работы
1 Задать передаточную функцию типового динамического звена
используя параметры из табл 2 лабораторной работы 1
2 Построить диаграмму Боде при различных параметрах типо-
вого динамического звена
3 Определить влияние коэффициентов входящих в описание
каждого звена на параметры ЛАЧХ и ЛФЧХ в том числе
ndash как меняется ширина асимптотических участков ЛАЧХ и
ЛФЧХ
ndash как меняется положение точек пересечения осей ЛАЧХ
4 Написать вывод по влиянию коэффициентов на типовое звено
5 Выполнить пункты 1-4 для всех типовых звеньев
6 Подготовить ответы на контрольные вопросы
8 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) титульный лист
б) краткие теоретические сведения
в) передаточные функции и схемы моделирования исследуемых
звеньев
г) экспериментально полученные характеристики при вариации
параметров каждого звена
д) выводы обобщающие проделанные эксперименты по каждо-
му звену
ж) ответы на контрольные вопросы
Контрольные вопросы
1 Как пользуясь частотными характеристиками определить па-
раметры (коэффициенты передаточной функции) звена Пояс-
нить на конкретных примерах
2 Указать особенности построения ЛАХ и ЛФХ динамических
звеньев Что понимается под асимптотической ЛАХ звена
3 Как осуществляется построение АФХ динамического звена
38
Лабораторная работа 4
ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ СИСТЕМ
С ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ
1 Цель работы
Изучение особенностей практического использования алгебраи-
ческих и частотных критериев устойчивости для анализа динамики
линейных САУ с использованием автоматизированных средств моде-
лирования на ПК ndash MATLAB SIMULINK
2 Задачи работы
ndash Закрепление углубление и расширение знаний студентов при
исследовании устойчивости систем с обратной связью
ndash Приобретение умений и навыков работы с программой мате-
матического моделирования MATLAB
ndash Овладение новыми методами проверки устойчивости систем
с обратной связью
ndash Выработка способности логического мышления осмысления
полученных данных
3 Теоретическая часть
Устойчивость САУ является одним из основных условий ее ра-
ботоспособности и включает требование затухания во времени пере-
ходных процессов
Система является устойчивой если при ограниченном входном
сигнале еѐ выходной сигнал также является ограниченным Если
система устойчива то она противостоит внешним воздействиям а
выведенная из состояния равновесия возвращается снова к нему
Система с расходящимся переходным процессом будет неустойчивой и
неработоспособной
Необходимое и достаточное условие устойчивости заключается в
том чтобы все корни характеристического уравнения (полюсы пере-
даточной функции системы) имели отрицательные вещественные ча-
сти Иначе говоря условием устойчивости системы является распо-
ложение всех полюсов в левой комплексной полуплоскости Тогда все
полюсы будут давать затухающую реакцию
Выше сформулированное условие устойчивости справедливо как
39
для линейных так и для линеаризованных систем Однако в случае
нулевых или чисто мнимых корней характеристического уравнения
вопрос об устойчивости линеаризованной системы может быть ре-
шен только на основании исследования ее нелинейных уравнений
В конце XIX и первой половине XX в задача вычисления корней
характеристического уравнения высокого порядка вызывала боль-
шие проблемы Поэтому были предложены несколько косвенных
методов оценки устойчивости позволяющих обойтись без вычисле-
ния корней ndash по значениям коэффициентов характеристического
уравнения
Критерии устойчивости разделяют на алгебраические и частот-
ные В частности к алгебраическим критериям относится критерий
Гурвица к частотным критериям ndash критерий Найквиста
Критерий Гурвица является алгебраическим критерием и при-
меняется к коэффициентам характеристического уравнения замкнутой
системы
Пусть имеется характеристическое уравнение замкнутой
системы
0011
1 apapapa n
nn
n
Из коэффициентов характеристического уравнения составляют
матрицу по правилу
1 По диагонали записываются коэффициенты от 1na до 0a
2 Каждая строка дополняется коэффициентами с возрастающи-
ми индексами слева направо так чтобы чередовались строки с нечет-
ными и четными индексами
3 В случае отсутствия индекса а также если он меньше 0 или
больше п на его место пишется 0
Таким образом матрица Гурвица приобретает следующий вид
40
Критерий устойчивости формулируется так
Чтобы система была устойчивой необходимо и достаточно что-
бы при 0na были положительными все п диагональных определи-
телей получаемых из матрицы Гурвица
Первые три определителя матрицы Гурвица имеют следующий
вид
Таким образом критерий Гурвица позволяет судить об абсо-
лютной устойчивости но он не дает возможности оценивать относи-
тельную устойчивость по корням характеристического уравнения
Частотный критерий устойчивости Найквиста анализирует
АФЧХ разомкнутой системы
Пусть имеется АФЧХ разомкнутой системы W(jω)
Для нахождения вещественной и мнимой части частотной ха-
рактеристики нужно освободиться от мнимости в знаменателе путем
умножения числителя и знаменателя на комплексную величину со-
пряженную знаменателю а затем выполнить разделение на веще-
ственную и мнимую части W(jω) приобретает вид
)()()( jQPjW
Задаваясь различными значениями частоты можно найти мно-
жество пар )()( 11 jQP )()( 22 jQP )()( nn jQP
Затем по этим парам строится АФЧХ на комплексной плоскости
Основные свойства АФЧХ разомкнутой системы
1 Если разомкнутая система не имеет интегрирующих звеньев
то при ω = 0 ее АФЧХ начинается на вещественной оси в точке
Р(ω)=К (где К ndash коэффициент усиления разомкнутой системы) За-
канчивается АФЧХ в начале координат при ω rarr infin (рис 1 а)
2 Если разомкнутая система имеет одно интегрирующее звено то
ее АФЧХ начинается при ω = 0 в бесконечности на отрицательной мни-
мой полуоси а заканчивается в начале координат при ω rarr infin (рис 1 б)
41
Рис 1 АФЧХ разомкнутой системы
Критерий устойчивости Найквиста формулируется так
1 Если разомкнутая система устойчива или находится на гра-
нице устойчивости то для того чтобы замкнутая система была
устойчива необходимо и достаточно чтобы АФЧХ разомкнутой
системы при изменении частоты ω от 0 до infin не охватывала точку с ко-
ординатами (-1 j0)
2 Если разомкнутая система неустойчива а ее передаточная
функция имеет т полюсов справа от мнимой оси на комплексной
плоскости то для устойчивости замкнутой системы необходимо и до-
статочно чтобы АФЧХ разомкнутой системы при изменении частоты
ω от -infin до +infin охватывала т раз точку с координатами (-1 j0)
При использовании этого критерия нужно учитывать две
особенности
1 Если разомкнутая система находится на границе устойчиво-
сти то ее АФЧХ уходит в бесконечность Для проверки критерия Най-
квиста нужно мысленно соединить конец АФЧХ дугой бесконечно
большого радиуса с положительной вещественной полуосью
2 На практике АФЧХ может строиться только для положитель-
ных частот (0 lt ω lt +infin) При применении критерия Найквиста счита-
ется что ветвь АФЧХ для отрицательных частот симметрична отно-
сительно вещественной оси
Физический смысл критерия устойчивости Найквиста заключа-
ется в том что система будет неустойчива если фаза выходного сиг-
нала противоположна фазе входного сигнала а коэффициент усиле-
ния больше 1 Поэтому для анализа устойчивости можно использо-
вать не АФЧХ а ЛАХ системы (для минимально-фазовых систем)
Система устойчива если на частоте среза значение фазы не превы-
шает -π Соответственно для устойчивой системы можно рассматри-
вать на ЛФЧХ запас устойчивости по фазе ndash расстояние от значения
фазы на частоте среза до уровня -π и запас устойчивости по амплиту-
42
де ndash расстояние от оси частот ЛАЧХ до значения усиления на часто-
те где фаза становится равной -π
4 Краткое описание MATLAB
Лабораторная работа выполняется в программе математического
моделирования MATLAB Программа MATLAB включает в себя пакет
прикладных программ для решения технических задач и одноименный
язык программирования используемый в этом пакете
Основными компонентами системы являются базовая система
MATLAB и пакет моделирования систем Simulink Остальные пакеты
расширения разбиты на 4 категории ndash расширения Extension MATLAB и
Extension Simulink а также комплексы пакетов расширения Blockset и
Toolbox
Раздел MATLAB Extension содержит средства для подготовки ис-
полняемых приложений MATLAB (с подключаемыми библиотеками и
без них)
Раздел Toolbox (инструментальные средства) содержит самое
большое число пакетов расширений системы MATLAB такие как
laquoControl systemraquo laquoDatabaseraquo laquoFuzzy logicraquo laquoWaveletraquo и тд
В разделе Blockset расположено несколько пакетов относящихся к
главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink такие как
laquoDSPraquo laquoFixed-Pointraquo laquoNonlinear control designraquo и laquoPower systemsraquo
В разделе Extension Simulink имеется ряд средств предназначен-
ных для моделирования в реальном масштабе времени и событийно-
управляемом моделировании
5 Исследование устойчивости САУ в MATLAB
Для проверки устойчивости САУ по Гурвицу постройте матрицу
Гурвица и найдите ее детерминант (функция det) Затем последова-
тельно уменьшая размер матрицы найдите значения всех диагональ-
ных детерминантов Пример
gtgt А=[1 14 18 2 5 2 3 4 3]
А =
1 14 18
2 5 2
3 4 3
gtgt det(A)
ans = -119
43
gtgt А1=А(12 12)
А1 =
1 14
2 5
gtgt det(A1)
ans = -23
Для проверки устойчивости САУ по Найквисту сначала нужно
выяснить является ли устойчивой разомкнутая система
Пример Пусть дана передаточная функция разомкнутой
системы
13232
12234
pppp
pW
Рассмотрим реакцию на скачок
gtgt w=tf([2 1][2 3 2 3 1])
gtgt step(w18)
График переходного процесса показан на рис 2
Рис 2 Переходная реакция
Разомкнутая система неустойчива и согласно критерию Найкви-
ста надо чтобы АФЧХ разомкнутой системы охватывала точку (-1 j0)
44
столько раз сколько полюсов имеется справа от мнимой оси Для по-
строения АФЧХ достаточно вызвать команду nyquist
gtgt nyquist(w)
Диаграмма Найквиста показана на рис 3
Рис 3 Диаграмма Найквиста для неустойчивой системы
Как показывает рис3 АФЧХ ни разу не охватывает точку
(-1 j0) поэтому замкнутая система будет неустойчивой Частотный
критерий Найквиста можно использовать и в том случае когда рас-
сматривается не АФЧХ а ЛАЧХ разомкнутой системы замкнутая
минимально-фазовая система устойчива если при достижении ЛФЧХ
значения -π ЛАЧХ будет отрицательной
Используя ЛАЧХ и ЛФЧХ можно оценить запасы устойчивости
системы по амплитуде и по фазе с помощью команды
gtgt margin(w)
Пример
gtgt w=tf([10][2 2 3 1])
gtgt margin(w)
Соответствующий график показан на рис 4
45
Рис 4 Определение запасов устойчивости по амплитуде и по фазе
6 Задание на лабораторную работу
Выполнить исследование устойчивости замкнутой системы по за-
данной передаточной функции разомкнутой системы Определить запас
устойчивости по амплитуде и по фазе Вариант задания назначается
преподавателем
7 Методика выполнения задания
Порядок выполнения работы
1 Рассчитать передаточную функцию замкнутой системы по
приведенной в табл 1 разомкнутой системе
2 Определить устойчивость замкнутой системы используя кри-
терий Гурвица
3 Определить устойчивость замкнутой системы используя кри-
терий Найквиста
4 Определить запас устойчивости по амплитуде и по фазе ис-
пользуя ЛАЧХ и ЛФЧХ
5 Выполнить моделирование переходных процессов разомкну-
той и замкнутой систем
6 Подготовить ответы на контрольные вопросы
46
Таблица 1
Варианты заданий
Передаточная функция разомкнутой системы
1 1355
2234
ssss
W
2 110050
1234
ssss
W
3 11010
123
sss
W
4 122105
100234
ssss
W
5 1248
123
sss
W
6 1223
102345
sssss
W
7 11001010
323
sss
W
8 122
1023
sss
W
9 11010
123
sss
W
10 15050332
102345
sssss
W
8 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) титульный лист
б) краткие теоретические сведения
в) переходную функцию разомкнутой системы
г) расчет передаточной функции замкнутой системы
д) расчетные выражения для обоснования устойчивости замкну-
той системы по алгебраическому критерию Гурвица
е) годограф Найквиста разомкнутой системы на основании кото-
рого делается вывод об устойчивости замкнутой системы
ѐ) переходную функцию замкнутой системы
ж) проверку полученных результатов путем компьютерного моде-
лирования переходных процессов разомкнутой и замкнутой си-
стемы в MATLAB Simulink
з) выводы по всем полученным результатам
47
Контрольные вопросы
1 Как связана устойчивость линейной САУ с видом составля-
ющих ее свободного движения
2 Зависит ли устойчивость линейных САУ от амплитуды зада-
ющих воздействий или возмущений
3 Сформулируйте критерий устойчивости Гурвица укажите на
необходимое условие устойчивости линейных САУ вытекаю-
щее из этого критерия
4 Сформулируйте критерий Найквиста для случая САУ устой-
чивых в разомкнутом состоянии а также для астатических САУ
Что такое laquoзапасы устойчивости по фазе и по амплитудеraquo
5 Что называется структурной устойчивостью
48
Лабораторная работа 5
КОРРЕКЦИЯ СТАТИЧЕСКИХ И ДИНАМИЧЕСКИХ
СВОЙСТВ САУ
1 Цель работы
Целью работы является изучение способов обеспечения иско-
мых характеристик САУ с использованием автоматизированных
средств моделирования на ПК ndash MATLAB SIMULINK
2 Задачи работы
ndash Закрепление углубление и расширение знаний студентов при
обеспечении искомых характеристик САУ
ndash Приобретение умений по обеспечению точности (уменьшение
статической ошибки) САУ и выбору значений параметров регулято-
ра обеспечивающих желаемые динамические свойства САУ
ndash Приобретение умений и навыков работы с программой мате-
матического моделирования MATLAB
3 Теоретическая часть
Коррекция статических и динамических свойств САУ имеет
своей целью повышение статической и динамической точности отра-
ботки системой задающего воздействия (или парирование возмуща-
ющего воздействия) повышение запасов ее устойчивости Наиболее
распространенными способами коррекции свойств САУ является из-
менение коэффициента усиления ее разомкнутой части введение в
САУ новых звеньев (как правило интегрирующего или дифференци-
рующего типа) охват объекта управления местной обратной связью
31 Коррекция статических свойств САУ
Статические свойства системы определяются величиной устано-
вившейся ошибки )t(уст вызванной действием задающего воздей-
ствия и определяемой по формуле
22
210 2 dttgdcdttdgctgctуст (1)
где )(tg - входное воздействие 210 ccc - коэффициенты ошибок
Коэффициенты ошибок определяются по формулам
49
dssdcdssdcscs
mmmss 00100
где s - передаточная функция САУ по ошибке управления рав-
ная
sW
sраз
1
1
sWраз - передаточная функция разомкнутой САУ
Основными способами уменьшения статической ошибки систе-
мы являются
1) увеличение коэффициента усиления прямого тракта системы
2) введение в прямой тракт системы интегрирующих звеньев
3) охват объекта управления местной неединичной положитель-
ной обратной связью
Представим структурную схему системы в виде изображенном
на рис 1 где через sW обозначена передаточная функция неизме-
няемой части системы
bsbsb
asasasW
nn
nn
mm
mm
01
1
01
1
Здесь и далее полагается что KKKsW s 000 0 ndash из-
меняемый коэффициент усиления регулятора системы
Первые два коэффициента ошибок 0c и 1c определяется выраже-
ниями
KK
c0
01
1
(2)
KK
dssdWKc
s
20
01
1
(3)
Из (2) и (3) с учетом (1) вытекает что с увеличением K
статическая ошибка в системе уменьшается и наоборот с уменьше-
нием K статическая ошибка в системе увеличивается
Введем в прямой тракт системы одно интегрирующее звено
50
(рис 2) В этом случае c 00 01 1 KKc
Так как c 00 то система на рис 2 является астатической (с
астатизмом первого порядка) Система имеет нулевую статическую
ошибку при отработке постоянного задающего воздействия
consttg и постоянную обратно пропорциональную K ошибку
constуст при отработке линейно изменяющегося воздействия
tatg
Рис 1 Схема САУ Рис 2 Схема САУ с включенным в прямой
тракт интегрирующим звеном
Охватим неизменяемую часть системы sW местной нееди-
ничной положительной обратной связью с коэффициентом усиления
осK (рис 3) Тогда эквивалентная передаточная функция sWэкв
неизменяемой части системы равна
10011
01
1
aKbsaKbsaKbsb
asasa
sWK
sWsW
ососm
mосmn
n
mm
mm
осэкв
(4)
Если коэффициент усиления K выбрать из условия
a
bKос
0
0
то свободный коэффициент (b0 - Koca0) полинома знаменателя sWэкв
обратится в нуль и sWэкв приобретает интегрирующие свойства
11
11
0
1
1
aKbsaKbsbs
asasasW
ос
m
mосm
n
n
m
m
m
mэкв
g(t) y(t)ε(t)
K W(s)-
g(t) y(t)
Ks W(s)-
ε(t)
51
Следовательно замкнутая система становится астатической (с
астатизмом 1-го порядка) Отсюда 0c =0 а коэффициент 1c будет
равен
aKb
bc
ос 11
01
ε(t)g(t) y(t)
W(s)-
Kос
Wэкв(s)
+
Рис 3 Схема САУ с местной неединичной обратной связью
32 Коррекция динамических свойств САУ
Улучшение динамических свойств САУ заключается в увеличе-
нии быстродействия САУ (уменьшении времени регулирования tрег)
уменьшении перерегулирования (см рис 4) а также увеличении
запасов устойчивости по фазе и по модулю При этом
h
hh
уст
устmax100
где maxh - максимальное значение переходной характеристики за-
мкнутой САУ th
устh - установившееся значение th
Время регулирования tрег - минимальная величина при которой удо-
влетворяется условие
устрег hth
где - заданная величина ошибки (обычно =005 устh )
52
h(t)
tрег
hустhmax
2δ
Рис 4 Быстродействие и перерегулирование САУ
Одним из эффективных средств достижения этой цели является
уменьшение отрицательных фазовых сдвигов в прямом тракте систе-
мы путем охвата неизменяемой части системы местными отрицатель-
ными обратными связями
На рис 5 R(s) представляет собой передаточную функцию регу-
лятора САУ которая считается заданной
ε(t)g(t) y(t)
W(s)-
Kос
Wэкв(s)
-
R(s)
u(t)
Рис 5 Схема САУ с местной обратной связью и регулятором
Пусть неизменяемая часть системы представляет собой аперио-
дическое звено первого порядка те
sT
K)s(W
10
0
Тогда передаточная функция sWэкв эквивалентного объекта
управления равна
sT
K
sWK
sWsW
экв
экв
осэкв
11
где зквK и эквT - коэффициент усиления и постоянная времени
эквивалентного объекта равные
53
KK
KK
осэкв
0
0
1
KK
TT
осэкв
0
0
1 (5)
Из (5) следует что соответствующим выбором осK постоянную
времени эквT эквивалентного объекта можно уменьшить в (1+ 0KKос )
раз по сравнении с постоянной времени 0T объекта без местной об-
ратной связи Тем самым уменьшаются отрицательные фазовые сдви-
ги вносимые прямым трактом системы что приводит к увеличению
запасов устойчивости системы При этом однако уменьшается в
(1+ 0KKос ) раз коэффициент усиления эквK эквивалентного объекта
по сравнению с коэффициентом усиления 0K объекта без местной
обратной связи Это нежелательно так как приводит к уменьшению
быстродействия системы вследствие уменьшения общего коэффици-
ента усиления прямого тракта системы В этом случае с целью обес-
печения необходимого быстродействия системы увеличивают коэф-
фициент усиления регулятора
4 Краткое описание MATLAB
Лабораторная работа выполняется в программе математического
моделирования MATLAB Программа MATLAB включает в себя пакет
прикладных программ для решения технических задач и одноименный
язык программирования используемый в этом пакете
Основными компонентами системы являются базовая система
MATLAB и пакет моделирования систем Simulink Остальные пакеты
расширения разбиты на 4 категории ndash расширения Extension MATLAB и
Extension Simulink а также комплексы пакетов расширения Blockset и
Toolbox
Раздел MATLAB Extension содержит средства для подготовки ис-
полняемых приложений MATLAB (с подключаемыми библиотеками и
без них)
Раздел Toolbox (инструментальные средства) содержит самое
большое число пакетов расширений системы MATLAB такие как
laquoControl systemraquo laquoDatabaseraquo laquoFuzzy logicraquo laquoWaveletraquo и тд
54
В разделе Blockset расположено несколько пакетов относящихся к
главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink такие как
laquoDSPraquo laquoFixed-Pointraquo laquoNonlinear control designraquo и laquoPower systemsraquo
В разделе Extension Simulink имеется ряд средств предназначен-
ных для моделирования в реальном масштабе времени и событийно-
управляемом моделировании
5 Задание на лабораторную работу
Выполнить исследование способов коррекции статических и
динамических свойств САУ Определить время регулирования и пе-
ререгулирования в исходной и скорректированной системах а также
для динамических свойств САУ определить запасы устойчивости в
исходной системе и найти экспериментально значение Kос обеспечи-
вающее в системе заданные показатели качества и запасы устойчиво-
сти Вариант задания назначается преподавателем
Таблица 1
Варианты заданий
варианта
Параметры
1
2
3
4
5
6
7
8
a 05 10 15 20 25 30 35 40
K0 1 2 3 4 5 6 7 8
T c 03 04 05 06 07 08 09 10
ξ 06 07 08 08 07 09 05 04
уст 0 0 005 0 010 007 0 0
tрег c le 13 15 20 25 30 35 40 40
le 0 10 10 5 5 5 0 0
В качестве исходных САУ выступают системы изображенные
на рис 6 и 7
55
ε(t)g(t) y(t)
W(s)-
g(t) y(t)
R(s) W(s)-
ε(t) u(t)
Рис 6 САУ с отрицательной Рис 7 САУ с отрицательной обратной
обратной связью связью и регулятором
6 Методика выполнения задания
При исследовании способов коррекции статических свойств
САУ в качестве исходных данных выступает передаточная функция
sW неизменяемой части системы вида
1222
0
sTsT
KsW (6)
и задающие воздействия вида ttg 1 в соответствии с таблицей 1
В процессе выполнения этой части работы необходимо
1) путем моделирования в системе MATLAB исходной САУ
(рис 6) получить графики ttytg
2) сравнить полученную таким образом экспериментальную ве-
личину t с теоретической величиной вычисленной по формуле (1)
3) применяя описанные в теоретической части методических
указаний способы коррекции статических свойств (см п 31) обес-
печить требуемую статическую ошибку εуст системы при отработке
задающего воздействия ttg 1
4) получить графики ty и t в скорректированной системе
для 1 ttg
5) сравнить время регулирования регt и перерегулирование в
исходной и скорректированной системах при 1 ttg
При исследовании рассмотренного способа коррекции динами-
ческих свойств САУ (см п 32) в качестве исходных данных высту-
пают передаточная функция sW неизменяемой части системы
вида (6) и передаточная функция регулятора вида
s
KsR
рег
56
Задающее воздействие ttg 1
В процессе выполнения данной части работы необходимо
1) получить путем моделирования в MATLAB графики ty t
в системе (рис 7)
2) определить время регулирования регt и перерегулирование
а также запасы устойчивости в исходной системе
3) применяя описанный выше способ коррекции динамических
свойств САУ найти экспериментально (путем последовательного пе-
ребора) значение осK обеспечивающее в системе заданные заданием
показатели качества ( регt ) и запасы устойчивости (при необхо-
димости увеличить коэффициент регK )
4) получить графики ty t а также ЛАХ и ЛФХ разомкну-
той системы в скорректированной САУ
7 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) титульный лист
б) структурные схемы исследуемых систем
в) полученные графики и характеристики
г) значения полученные экмпериментально которые
обеспечивают заданные показатели качества и запасы устойчивости
д) выводы обощающие проделанные эксперименты для
коррекции статических и динамических свойств САУ
е) ответы на контрольные вопросы
Контрольные вопросы 1 Дать определение статической и астатической САУ
2 Какими структурными свойствами системы определяется по-
рядок ее астатизма
3 Какой из двух приведенных выше способов придания системе
свойств астатизма 1-го порядка наиболее предпочтителен на
практике
4 Назовите основные показатели качества САУ Поясните их
смысл
5 В чѐм суть исследуемого способа коррекции динамических
свойств САУ
57
6 Назвать другие способы коррекции динамических свойств
САУ
7 Чем вызваны отрицательные фазовые сдвиги в неизменяемой
части САУ
58
Лабораторная работа 6
МЕТОД КОРНЕВОГО ГОДОГРАФА
1 Цель работы
Целью работы является построение корневого годографа и ис-
следование динамики системы с использованием автоматизирован-
ных средств моделирования на ПК ndash MATLABSIMULINK
2 Задачи работы
ndash Закрепление углубление и расширение знаний студентов при
исследование динамики системы
ndash Овладение навыком построения корневого годографа
ndash Приобретение умений и навыков работы с программой мате-
матического моделирования MATLAB
3 Теоретическая часть
Корневым годографом (КГ) называется совокупность траекто-
рий перемещения всех корней характеристического уравнения за-
мкнутой системы при изменении какого-либо параметра этой систе-
мы
Обычно метод КГ позволяет находить полюса и нули ПФ за-
мкнутой системы располагая полюсами и нулями разомкнутой си-
стемы при изменении коэффициента усиления разомкнутой системы
K
ПФ разомкнутой системы Wp(s) представим в следующем виде
)(
)(
1
1
0
n
ii
m
jj
p
ss
ssKC
sW (1)
где 0js ndash нули ПФ sWp )1( mj
is ndash полюса ПФ sWp
)1( nj n и m ndash порядки знаменателя и числителя C ndash коэффици-
ент представления (отношение коэффициентов при старших членах
числителя и знаменателя)
59
При замыкании системы с ПФ sWp единичной отрицатель-
ной обратной связью ПФ замкнутой системы sWз принимает вид
)(1
)(
sW
sWsW
p
pз
(2)
Из выражения (2) следует что нули ПФ замкнутой системы рав-
ны нулям ПФ разомкнутой системы
Для нахождения полюсов рассмотри выражение
01 sWp (3)
в соответствии с выражением (1) имеем
n
i
m
jjin
ii
m
jj
ssKCss
ss
ssKC
1 1
0
1
1
0
)()(01
)(
)(
(4)
На основании выражения (4) можно сказать что при K = 0 корни
характеристического уравнения совпадают с полюсами а при K = infin ndash
с нулями При изменении K от 0 до infin траектории корней начинаются
в полюсах и заканчиваются в нулях Обычно полюсов больше чем
нулей В этом случаем mn ветвей корневого годографа стремятся к
infin
Для определения полюсов замкнутой системы с отрицательной
обратной связью необходимо решить уравнение (его называют ос-
новным уравнением метода КГ)
1sWp (5)
Так как sWp является функцией комплексного переменного
s то уравнение (5) распадается на два уравнения уравнение модулей
1)( sWp (6)
60
и уравнение аргументов (фаза вектора -1 есть нечетное число π)
210)12()(arg sWp (7)
Как известно при умножении комплексных чисел их аргументы
складываются а при делении ndash вычитаются Поэтому исходя из вы-
ражения (1) уравнение (7) имеет наглядный геометрический смысл
Пусть точка s ndash полюс замкнутой системы Если провести в s
вектора из нулей sWp (обозначим аргументы этих векторов 0j ) и
вектора из всех полюсов sWp (обозначим аргументы этих векторов
i ) то уравнение (7) можно записать в следующем виде
m
j
n
iij
1 1
0 210)12( (8)
Углы q отсчитываются от положительного направления дей-
ствительной оси Знак угла laquo+raquo соответствует повороту против часо-
вой стрелки знак угла laquo-raquo соответствует повороту по часовой стрел-
ке
Таким образом любая точка КГ должна удовлетворять уравне-
нию (8) из которого следует что конфигурация КГ не зависит от ко-
эффициента усиления K но каждому конкретному значению K одно-
значно соответствуют точки на КГ
При умножении комплексных чисел их модули перемножаются
а при делении ndash делятся Поэтому на основании (6) можно записать
1
1
1
0
n
ii
m
jj
l
lKC
(9)
где 0jl ndash модуль (длина) вектора проведенного из j-нуля в точку s
КГ il ndash модуль вектора проведенного из i-полюса в ту же точку s
61
Таким образом траектории корней строятся только по уравне-
ниям фаз а уравнение модулей используется затем для нахождения
K
Сущность метода КГ заключается в том чтобы узнать каким
должен быть коэффициент усиления разомкнутой системы чтобы
было обеспечено желаемое положение корней замкнутой системы
Корневой годограф системы с отрицательной обратной связью
обладает следующими основными свойствами
1 Ветви КГ непрерывны и расположены на комплексной плос-
кости симметрично относительно действительной оси
2 Число ветвей КГ равно порядку системы n Ветви начинают-
ся в n полюсах разомкнутой системы при K=0 При возрастании K от
0 до infin полюса замкнутой системы двигаются по ветвям КГ
3 mветвей КГ при возрастании K от 0 до infin заканчиваются в m
нулях )(sWp а )( mn ветвей при K стремящемся к infin удаляются
от полюсов вдоль асимптот
4 При расположении ветвей корневого годографа в левой полу-
плоскости s САУ устойчива При пересечении ветвей КГ мнимой оси
слева направо САУ становится неустойчивой Пусть при K=Kкр
пере-
сечение КГ с мнимой осью произойдет в некоторой точке iωкр
Назо-
вем это значение коэффициента усиления критическим Kкр
а вели-
чину iωкр
критической угловой частотой на которой система стано-
вится неустойчивой
4 Краткое описание MATLAB
Лабораторная работа выполняется в программе математического
моделирования MATLAB Программа MATLAB включает в себя пакет
прикладных программ для решения технических задач и одноименный
язык программирования используемый в этом пакете
Основными компонентами системы являются базовая система
MATLAB и пакет моделирования систем Simulink Остальные пакеты
расширения разбиты на 4 категории ndash расширения Extension MATLAB и
Extension Simulink а также комплексы пакетов расширения Blockset и
Toolbox
Раздел MATLAB Extension содержит средства для подготовки ис-
полняемых приложений MATLAB (с подключаемыми библиотеками и
без них)
62
Раздел Toolbox (инструментальные средства) содержит самое
большое число пакетов расширений системы MATLAB такие как
laquoControl systemraquo laquoDatabaseraquo laquoFuzzy logicraquo laquoWaveletraquo и тд
В разделе Blockset расположено несколько пакетов относящихся к
главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink такие как
laquoDSPraquo laquoFixed-Pointraquo laquoNonlinear control designraquo и laquoPower systemsraquo
В разделе Extension Simulink имеется ряд средств предназначен-
ных для моделирования в реальном масштабе времени и событийно-
управляемом моделировании
5 Корневой годограф в MATLAB
В системе MATLAB существует команда zpk для преобразова-
ния модели заданной ПФ в модель заданную нулями полюсами и
обобщенными коэффициентами передачи (zpk-форма)
Пример
gtgt w=tf([10][2 2 3 1 0])
Transfer function
10
-------------------------------
2 s^4 + 2 s^3 + 3 s^2 + s
gtgt w1=zpk(w)
Zeropolegain
5
----------------------------------------------
s (s+03966) (s^2 + 06034s + 1261)
Для работы с корневым годографом удобно использовать гра-
фический интерфейс laquoSISO-Design Toolraquo предназначенный для ана-
лиза и синтеза одномерных линейных систем автоматического управ-
ления (SISO ndash Single Input Signal Output)
Запуск SISO-Design Tool осуществляется командой
gtgt sisotool
63
В появившемся окне графического интерфейса необходимо ис-
пользовать команду laquoFileImportraquo для загрузки данных из рабочего
пространства MATLAB в результате которой появляется диалоговое
окно Import System Data (рис 1)
Рис 1 Диалог для ввода параметров модели
После импортирования данных можно исследовать изменение
временных и частотных характеристик замкнутой системы при изме-
нении K Обычно при этом требуется определить условия неустойчи-
вости замкнутой САУ Определить Kкр
и iωкр
На рис 2 показано окно sisotool для описанной выше модели w1
Двигая красным курсором по КГ до пересечения ветвей с мнимой
осью можно определить значения Kкр
В данном случае Kкр
asymp 01
Значение iωкр
соответствует мнимой координате пересечения КГ
мнимой оси Просмотреть это значение можно в нижней части ин-
терфейса или выбрать меню laquoView Closed-Loop Polesraquo
64
Рис 2 Основное окно SISO-Design Tool
6 Задание на лабораторную работу
Построить КГ в соответствии с вариантом из табл 1 при помо-
щи графического интерфейса sisotool
Исследовать динамику замкнутой системы при различных зна-
чениях коэффициента усиления разомкнутой системы K в том числе
ndash запасы устойчивости в частотной области
ndash параметры переходного процесса во временной области
Таблица 1
Варианты передаточных функций
Значения параметров Передаточная функция
разомкнутой системы
1 T = 01 ζ = 1
)12( 22 sTsTs
K
2 T = 005 ζ = 0707
3 T = 003 ζ = 01
4 T = 008 ζ = 05
5 T = 001 ζ = 015
65
Окончание табл 1
Значения параметров Передаточная функция
разомкнутой системы
6 T1 = 003 T2 = 05 T3 = 01 T4 = 005
)1)(1)(1(
)1(
432
1
sTsTsTs
sTK
7 T1 = 005 T2 = 04 T3 = 008 T4 = 0033
8 T1 = 02 T2 = 045 T3 = 01 T4 = 005
9 T1 = 05 T2 = 025 T3 = 01 T4 = 002
10 T1 = 01 T2 = 025 T3 = 01 T4 = 005
Вариант задания назначается преподавателем
7 Методика выполнения задания
Порядок выполнения лабораторной работы
1 Задать передаточную функцию в MATLAB в соответствии с
вариантом коэффициент K задать любым положительным числом
2 Запустить SISO-Design Tool и осуществить ввод данных
Построить КГ
3 По КГ определить значения коэффициента K когда система
будет устойчивой на границе устойчивости и неустойчива
4 Выбрать значение коэффициента K таким образом чтобы си-
стемы была устойчива и определить запас устойчивости в частотной
области и параметры переходного процесса во временной области
8 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) титульный лист
б) передаточную функцию и этапы построения КГ
в) анализ результатов построения КГ
г) выводы по проделанной работе
д) ответы на контрольные вопросы
Контрольные вопросы 1 Дать определение КГ
2 Что обычно позволяет находить метод КГ
3 В чем заключается сущность метода КГ
4 Что можно определить по КГ
66
Критерии результативности лабораторного практикума
Лабораторная работа считается выполненной если студент
ndash выполнил все указанные задания
ndash представил отчет соответствующий всем требованиям к его
содержанию и оформлению
ndash владеет терминологией и материалом лабораторной работы
ndash способен использовать программное средство математическо-
го моделирования MATLAB
ndash способен предоставить и рассказать результаты выполненной
работы на ПК
ndash может дать пояснения к отчету и ответить на контрольные
вопросы
Список литературы
1 Александров АГ Частотная теория автоматического управле-
ния учебное пособие ndash Электросталь ЭПИ МИСиС 2010
2 Борисевич АВ Теория автоматического управления элементар-
ное введение с применением MATLAB ndash СПб Изд-во Политехн ун-
та 2011
3 Федоров ВЛ Бубнов АВ Теория автоматического управления
учебное пособие ndash Омск Изд-во ОмГТУ 2010
4 Павловская ОО Чернецкая ИВ Теория автоматического
управления учебное пособие ndash Челябинск Изд-во ЮУрГУ 2010
67
Составители ЛЯНЦЕВ Олег Дмитриевич КАЗАНЦЕВ Андрей Валерьевич
ИССЛЕДОВАНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК СИСТЕМ
АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
Лабораторный практикум
по дисциплине
laquoТеория управленияraquo
Подписано в печать Формат 60х84 116 Бумага офсетная Пе-
чать плоская Гарнитура Times New Roman Усл печ л 56 Уч-изд л
55 Тираж 100 экз Заказ
ФГБОУ ВПО Уфимский государственный авиационный технический
университет
Центр оперативной полиграфии УГАТУ
450000 Уфа-центр ул К Маркса 12
38
Лабораторная работа 4
ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ СИСТЕМ
С ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ
1 Цель работы
Изучение особенностей практического использования алгебраи-
ческих и частотных критериев устойчивости для анализа динамики
линейных САУ с использованием автоматизированных средств моде-
лирования на ПК ndash MATLAB SIMULINK
2 Задачи работы
ndash Закрепление углубление и расширение знаний студентов при
исследовании устойчивости систем с обратной связью
ndash Приобретение умений и навыков работы с программой мате-
матического моделирования MATLAB
ndash Овладение новыми методами проверки устойчивости систем
с обратной связью
ndash Выработка способности логического мышления осмысления
полученных данных
3 Теоретическая часть
Устойчивость САУ является одним из основных условий ее ра-
ботоспособности и включает требование затухания во времени пере-
ходных процессов
Система является устойчивой если при ограниченном входном
сигнале еѐ выходной сигнал также является ограниченным Если
система устойчива то она противостоит внешним воздействиям а
выведенная из состояния равновесия возвращается снова к нему
Система с расходящимся переходным процессом будет неустойчивой и
неработоспособной
Необходимое и достаточное условие устойчивости заключается в
том чтобы все корни характеристического уравнения (полюсы пере-
даточной функции системы) имели отрицательные вещественные ча-
сти Иначе говоря условием устойчивости системы является распо-
ложение всех полюсов в левой комплексной полуплоскости Тогда все
полюсы будут давать затухающую реакцию
Выше сформулированное условие устойчивости справедливо как
39
для линейных так и для линеаризованных систем Однако в случае
нулевых или чисто мнимых корней характеристического уравнения
вопрос об устойчивости линеаризованной системы может быть ре-
шен только на основании исследования ее нелинейных уравнений
В конце XIX и первой половине XX в задача вычисления корней
характеристического уравнения высокого порядка вызывала боль-
шие проблемы Поэтому были предложены несколько косвенных
методов оценки устойчивости позволяющих обойтись без вычисле-
ния корней ndash по значениям коэффициентов характеристического
уравнения
Критерии устойчивости разделяют на алгебраические и частот-
ные В частности к алгебраическим критериям относится критерий
Гурвица к частотным критериям ndash критерий Найквиста
Критерий Гурвица является алгебраическим критерием и при-
меняется к коэффициентам характеристического уравнения замкнутой
системы
Пусть имеется характеристическое уравнение замкнутой
системы
0011
1 apapapa n
nn
n
Из коэффициентов характеристического уравнения составляют
матрицу по правилу
1 По диагонали записываются коэффициенты от 1na до 0a
2 Каждая строка дополняется коэффициентами с возрастающи-
ми индексами слева направо так чтобы чередовались строки с нечет-
ными и четными индексами
3 В случае отсутствия индекса а также если он меньше 0 или
больше п на его место пишется 0
Таким образом матрица Гурвица приобретает следующий вид
40
Критерий устойчивости формулируется так
Чтобы система была устойчивой необходимо и достаточно что-
бы при 0na были положительными все п диагональных определи-
телей получаемых из матрицы Гурвица
Первые три определителя матрицы Гурвица имеют следующий
вид
Таким образом критерий Гурвица позволяет судить об абсо-
лютной устойчивости но он не дает возможности оценивать относи-
тельную устойчивость по корням характеристического уравнения
Частотный критерий устойчивости Найквиста анализирует
АФЧХ разомкнутой системы
Пусть имеется АФЧХ разомкнутой системы W(jω)
Для нахождения вещественной и мнимой части частотной ха-
рактеристики нужно освободиться от мнимости в знаменателе путем
умножения числителя и знаменателя на комплексную величину со-
пряженную знаменателю а затем выполнить разделение на веще-
ственную и мнимую части W(jω) приобретает вид
)()()( jQPjW
Задаваясь различными значениями частоты можно найти мно-
жество пар )()( 11 jQP )()( 22 jQP )()( nn jQP
Затем по этим парам строится АФЧХ на комплексной плоскости
Основные свойства АФЧХ разомкнутой системы
1 Если разомкнутая система не имеет интегрирующих звеньев
то при ω = 0 ее АФЧХ начинается на вещественной оси в точке
Р(ω)=К (где К ndash коэффициент усиления разомкнутой системы) За-
канчивается АФЧХ в начале координат при ω rarr infin (рис 1 а)
2 Если разомкнутая система имеет одно интегрирующее звено то
ее АФЧХ начинается при ω = 0 в бесконечности на отрицательной мни-
мой полуоси а заканчивается в начале координат при ω rarr infin (рис 1 б)
41
Рис 1 АФЧХ разомкнутой системы
Критерий устойчивости Найквиста формулируется так
1 Если разомкнутая система устойчива или находится на гра-
нице устойчивости то для того чтобы замкнутая система была
устойчива необходимо и достаточно чтобы АФЧХ разомкнутой
системы при изменении частоты ω от 0 до infin не охватывала точку с ко-
ординатами (-1 j0)
2 Если разомкнутая система неустойчива а ее передаточная
функция имеет т полюсов справа от мнимой оси на комплексной
плоскости то для устойчивости замкнутой системы необходимо и до-
статочно чтобы АФЧХ разомкнутой системы при изменении частоты
ω от -infin до +infin охватывала т раз точку с координатами (-1 j0)
При использовании этого критерия нужно учитывать две
особенности
1 Если разомкнутая система находится на границе устойчиво-
сти то ее АФЧХ уходит в бесконечность Для проверки критерия Най-
квиста нужно мысленно соединить конец АФЧХ дугой бесконечно
большого радиуса с положительной вещественной полуосью
2 На практике АФЧХ может строиться только для положитель-
ных частот (0 lt ω lt +infin) При применении критерия Найквиста счита-
ется что ветвь АФЧХ для отрицательных частот симметрична отно-
сительно вещественной оси
Физический смысл критерия устойчивости Найквиста заключа-
ется в том что система будет неустойчива если фаза выходного сиг-
нала противоположна фазе входного сигнала а коэффициент усиле-
ния больше 1 Поэтому для анализа устойчивости можно использо-
вать не АФЧХ а ЛАХ системы (для минимально-фазовых систем)
Система устойчива если на частоте среза значение фазы не превы-
шает -π Соответственно для устойчивой системы можно рассматри-
вать на ЛФЧХ запас устойчивости по фазе ndash расстояние от значения
фазы на частоте среза до уровня -π и запас устойчивости по амплиту-
42
де ndash расстояние от оси частот ЛАЧХ до значения усиления на часто-
те где фаза становится равной -π
4 Краткое описание MATLAB
Лабораторная работа выполняется в программе математического
моделирования MATLAB Программа MATLAB включает в себя пакет
прикладных программ для решения технических задач и одноименный
язык программирования используемый в этом пакете
Основными компонентами системы являются базовая система
MATLAB и пакет моделирования систем Simulink Остальные пакеты
расширения разбиты на 4 категории ndash расширения Extension MATLAB и
Extension Simulink а также комплексы пакетов расширения Blockset и
Toolbox
Раздел MATLAB Extension содержит средства для подготовки ис-
полняемых приложений MATLAB (с подключаемыми библиотеками и
без них)
Раздел Toolbox (инструментальные средства) содержит самое
большое число пакетов расширений системы MATLAB такие как
laquoControl systemraquo laquoDatabaseraquo laquoFuzzy logicraquo laquoWaveletraquo и тд
В разделе Blockset расположено несколько пакетов относящихся к
главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink такие как
laquoDSPraquo laquoFixed-Pointraquo laquoNonlinear control designraquo и laquoPower systemsraquo
В разделе Extension Simulink имеется ряд средств предназначен-
ных для моделирования в реальном масштабе времени и событийно-
управляемом моделировании
5 Исследование устойчивости САУ в MATLAB
Для проверки устойчивости САУ по Гурвицу постройте матрицу
Гурвица и найдите ее детерминант (функция det) Затем последова-
тельно уменьшая размер матрицы найдите значения всех диагональ-
ных детерминантов Пример
gtgt А=[1 14 18 2 5 2 3 4 3]
А =
1 14 18
2 5 2
3 4 3
gtgt det(A)
ans = -119
43
gtgt А1=А(12 12)
А1 =
1 14
2 5
gtgt det(A1)
ans = -23
Для проверки устойчивости САУ по Найквисту сначала нужно
выяснить является ли устойчивой разомкнутая система
Пример Пусть дана передаточная функция разомкнутой
системы
13232
12234
pppp
pW
Рассмотрим реакцию на скачок
gtgt w=tf([2 1][2 3 2 3 1])
gtgt step(w18)
График переходного процесса показан на рис 2
Рис 2 Переходная реакция
Разомкнутая система неустойчива и согласно критерию Найкви-
ста надо чтобы АФЧХ разомкнутой системы охватывала точку (-1 j0)
44
столько раз сколько полюсов имеется справа от мнимой оси Для по-
строения АФЧХ достаточно вызвать команду nyquist
gtgt nyquist(w)
Диаграмма Найквиста показана на рис 3
Рис 3 Диаграмма Найквиста для неустойчивой системы
Как показывает рис3 АФЧХ ни разу не охватывает точку
(-1 j0) поэтому замкнутая система будет неустойчивой Частотный
критерий Найквиста можно использовать и в том случае когда рас-
сматривается не АФЧХ а ЛАЧХ разомкнутой системы замкнутая
минимально-фазовая система устойчива если при достижении ЛФЧХ
значения -π ЛАЧХ будет отрицательной
Используя ЛАЧХ и ЛФЧХ можно оценить запасы устойчивости
системы по амплитуде и по фазе с помощью команды
gtgt margin(w)
Пример
gtgt w=tf([10][2 2 3 1])
gtgt margin(w)
Соответствующий график показан на рис 4
45
Рис 4 Определение запасов устойчивости по амплитуде и по фазе
6 Задание на лабораторную работу
Выполнить исследование устойчивости замкнутой системы по за-
данной передаточной функции разомкнутой системы Определить запас
устойчивости по амплитуде и по фазе Вариант задания назначается
преподавателем
7 Методика выполнения задания
Порядок выполнения работы
1 Рассчитать передаточную функцию замкнутой системы по
приведенной в табл 1 разомкнутой системе
2 Определить устойчивость замкнутой системы используя кри-
терий Гурвица
3 Определить устойчивость замкнутой системы используя кри-
терий Найквиста
4 Определить запас устойчивости по амплитуде и по фазе ис-
пользуя ЛАЧХ и ЛФЧХ
5 Выполнить моделирование переходных процессов разомкну-
той и замкнутой систем
6 Подготовить ответы на контрольные вопросы
46
Таблица 1
Варианты заданий
Передаточная функция разомкнутой системы
1 1355
2234
ssss
W
2 110050
1234
ssss
W
3 11010
123
sss
W
4 122105
100234
ssss
W
5 1248
123
sss
W
6 1223
102345
sssss
W
7 11001010
323
sss
W
8 122
1023
sss
W
9 11010
123
sss
W
10 15050332
102345
sssss
W
8 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) титульный лист
б) краткие теоретические сведения
в) переходную функцию разомкнутой системы
г) расчет передаточной функции замкнутой системы
д) расчетные выражения для обоснования устойчивости замкну-
той системы по алгебраическому критерию Гурвица
е) годограф Найквиста разомкнутой системы на основании кото-
рого делается вывод об устойчивости замкнутой системы
ѐ) переходную функцию замкнутой системы
ж) проверку полученных результатов путем компьютерного моде-
лирования переходных процессов разомкнутой и замкнутой си-
стемы в MATLAB Simulink
з) выводы по всем полученным результатам
47
Контрольные вопросы
1 Как связана устойчивость линейной САУ с видом составля-
ющих ее свободного движения
2 Зависит ли устойчивость линейных САУ от амплитуды зада-
ющих воздействий или возмущений
3 Сформулируйте критерий устойчивости Гурвица укажите на
необходимое условие устойчивости линейных САУ вытекаю-
щее из этого критерия
4 Сформулируйте критерий Найквиста для случая САУ устой-
чивых в разомкнутом состоянии а также для астатических САУ
Что такое laquoзапасы устойчивости по фазе и по амплитудеraquo
5 Что называется структурной устойчивостью
48
Лабораторная работа 5
КОРРЕКЦИЯ СТАТИЧЕСКИХ И ДИНАМИЧЕСКИХ
СВОЙСТВ САУ
1 Цель работы
Целью работы является изучение способов обеспечения иско-
мых характеристик САУ с использованием автоматизированных
средств моделирования на ПК ndash MATLAB SIMULINK
2 Задачи работы
ndash Закрепление углубление и расширение знаний студентов при
обеспечении искомых характеристик САУ
ndash Приобретение умений по обеспечению точности (уменьшение
статической ошибки) САУ и выбору значений параметров регулято-
ра обеспечивающих желаемые динамические свойства САУ
ndash Приобретение умений и навыков работы с программой мате-
матического моделирования MATLAB
3 Теоретическая часть
Коррекция статических и динамических свойств САУ имеет
своей целью повышение статической и динамической точности отра-
ботки системой задающего воздействия (или парирование возмуща-
ющего воздействия) повышение запасов ее устойчивости Наиболее
распространенными способами коррекции свойств САУ является из-
менение коэффициента усиления ее разомкнутой части введение в
САУ новых звеньев (как правило интегрирующего или дифференци-
рующего типа) охват объекта управления местной обратной связью
31 Коррекция статических свойств САУ
Статические свойства системы определяются величиной устано-
вившейся ошибки )t(уст вызванной действием задающего воздей-
ствия и определяемой по формуле
22
210 2 dttgdcdttdgctgctуст (1)
где )(tg - входное воздействие 210 ccc - коэффициенты ошибок
Коэффициенты ошибок определяются по формулам
49
dssdcdssdcscs
mmmss 00100
где s - передаточная функция САУ по ошибке управления рав-
ная
sW
sраз
1
1
sWраз - передаточная функция разомкнутой САУ
Основными способами уменьшения статической ошибки систе-
мы являются
1) увеличение коэффициента усиления прямого тракта системы
2) введение в прямой тракт системы интегрирующих звеньев
3) охват объекта управления местной неединичной положитель-
ной обратной связью
Представим структурную схему системы в виде изображенном
на рис 1 где через sW обозначена передаточная функция неизме-
няемой части системы
bsbsb
asasasW
nn
nn
mm
mm
01
1
01
1
Здесь и далее полагается что KKKsW s 000 0 ndash из-
меняемый коэффициент усиления регулятора системы
Первые два коэффициента ошибок 0c и 1c определяется выраже-
ниями
KK
c0
01
1
(2)
KK
dssdWKc
s
20
01
1
(3)
Из (2) и (3) с учетом (1) вытекает что с увеличением K
статическая ошибка в системе уменьшается и наоборот с уменьше-
нием K статическая ошибка в системе увеличивается
Введем в прямой тракт системы одно интегрирующее звено
50
(рис 2) В этом случае c 00 01 1 KKc
Так как c 00 то система на рис 2 является астатической (с
астатизмом первого порядка) Система имеет нулевую статическую
ошибку при отработке постоянного задающего воздействия
consttg и постоянную обратно пропорциональную K ошибку
constуст при отработке линейно изменяющегося воздействия
tatg
Рис 1 Схема САУ Рис 2 Схема САУ с включенным в прямой
тракт интегрирующим звеном
Охватим неизменяемую часть системы sW местной нееди-
ничной положительной обратной связью с коэффициентом усиления
осK (рис 3) Тогда эквивалентная передаточная функция sWэкв
неизменяемой части системы равна
10011
01
1
aKbsaKbsaKbsb
asasa
sWK
sWsW
ососm
mосmn
n
mm
mm
осэкв
(4)
Если коэффициент усиления K выбрать из условия
a
bKос
0
0
то свободный коэффициент (b0 - Koca0) полинома знаменателя sWэкв
обратится в нуль и sWэкв приобретает интегрирующие свойства
11
11
0
1
1
aKbsaKbsbs
asasasW
ос
m
mосm
n
n
m
m
m
mэкв
g(t) y(t)ε(t)
K W(s)-
g(t) y(t)
Ks W(s)-
ε(t)
51
Следовательно замкнутая система становится астатической (с
астатизмом 1-го порядка) Отсюда 0c =0 а коэффициент 1c будет
равен
aKb
bc
ос 11
01
ε(t)g(t) y(t)
W(s)-
Kос
Wэкв(s)
+
Рис 3 Схема САУ с местной неединичной обратной связью
32 Коррекция динамических свойств САУ
Улучшение динамических свойств САУ заключается в увеличе-
нии быстродействия САУ (уменьшении времени регулирования tрег)
уменьшении перерегулирования (см рис 4) а также увеличении
запасов устойчивости по фазе и по модулю При этом
h
hh
уст
устmax100
где maxh - максимальное значение переходной характеристики за-
мкнутой САУ th
устh - установившееся значение th
Время регулирования tрег - минимальная величина при которой удо-
влетворяется условие
устрег hth
где - заданная величина ошибки (обычно =005 устh )
52
h(t)
tрег
hустhmax
2δ
Рис 4 Быстродействие и перерегулирование САУ
Одним из эффективных средств достижения этой цели является
уменьшение отрицательных фазовых сдвигов в прямом тракте систе-
мы путем охвата неизменяемой части системы местными отрицатель-
ными обратными связями
На рис 5 R(s) представляет собой передаточную функцию регу-
лятора САУ которая считается заданной
ε(t)g(t) y(t)
W(s)-
Kос
Wэкв(s)
-
R(s)
u(t)
Рис 5 Схема САУ с местной обратной связью и регулятором
Пусть неизменяемая часть системы представляет собой аперио-
дическое звено первого порядка те
sT
K)s(W
10
0
Тогда передаточная функция sWэкв эквивалентного объекта
управления равна
sT
K
sWK
sWsW
экв
экв
осэкв
11
где зквK и эквT - коэффициент усиления и постоянная времени
эквивалентного объекта равные
53
KK
KK
осэкв
0
0
1
KK
TT
осэкв
0
0
1 (5)
Из (5) следует что соответствующим выбором осK постоянную
времени эквT эквивалентного объекта можно уменьшить в (1+ 0KKос )
раз по сравнении с постоянной времени 0T объекта без местной об-
ратной связи Тем самым уменьшаются отрицательные фазовые сдви-
ги вносимые прямым трактом системы что приводит к увеличению
запасов устойчивости системы При этом однако уменьшается в
(1+ 0KKос ) раз коэффициент усиления эквK эквивалентного объекта
по сравнению с коэффициентом усиления 0K объекта без местной
обратной связи Это нежелательно так как приводит к уменьшению
быстродействия системы вследствие уменьшения общего коэффици-
ента усиления прямого тракта системы В этом случае с целью обес-
печения необходимого быстродействия системы увеличивают коэф-
фициент усиления регулятора
4 Краткое описание MATLAB
Лабораторная работа выполняется в программе математического
моделирования MATLAB Программа MATLAB включает в себя пакет
прикладных программ для решения технических задач и одноименный
язык программирования используемый в этом пакете
Основными компонентами системы являются базовая система
MATLAB и пакет моделирования систем Simulink Остальные пакеты
расширения разбиты на 4 категории ndash расширения Extension MATLAB и
Extension Simulink а также комплексы пакетов расширения Blockset и
Toolbox
Раздел MATLAB Extension содержит средства для подготовки ис-
полняемых приложений MATLAB (с подключаемыми библиотеками и
без них)
Раздел Toolbox (инструментальные средства) содержит самое
большое число пакетов расширений системы MATLAB такие как
laquoControl systemraquo laquoDatabaseraquo laquoFuzzy logicraquo laquoWaveletraquo и тд
54
В разделе Blockset расположено несколько пакетов относящихся к
главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink такие как
laquoDSPraquo laquoFixed-Pointraquo laquoNonlinear control designraquo и laquoPower systemsraquo
В разделе Extension Simulink имеется ряд средств предназначен-
ных для моделирования в реальном масштабе времени и событийно-
управляемом моделировании
5 Задание на лабораторную работу
Выполнить исследование способов коррекции статических и
динамических свойств САУ Определить время регулирования и пе-
ререгулирования в исходной и скорректированной системах а также
для динамических свойств САУ определить запасы устойчивости в
исходной системе и найти экспериментально значение Kос обеспечи-
вающее в системе заданные показатели качества и запасы устойчиво-
сти Вариант задания назначается преподавателем
Таблица 1
Варианты заданий
варианта
Параметры
1
2
3
4
5
6
7
8
a 05 10 15 20 25 30 35 40
K0 1 2 3 4 5 6 7 8
T c 03 04 05 06 07 08 09 10
ξ 06 07 08 08 07 09 05 04
уст 0 0 005 0 010 007 0 0
tрег c le 13 15 20 25 30 35 40 40
le 0 10 10 5 5 5 0 0
В качестве исходных САУ выступают системы изображенные
на рис 6 и 7
55
ε(t)g(t) y(t)
W(s)-
g(t) y(t)
R(s) W(s)-
ε(t) u(t)
Рис 6 САУ с отрицательной Рис 7 САУ с отрицательной обратной
обратной связью связью и регулятором
6 Методика выполнения задания
При исследовании способов коррекции статических свойств
САУ в качестве исходных данных выступает передаточная функция
sW неизменяемой части системы вида
1222
0
sTsT
KsW (6)
и задающие воздействия вида ttg 1 в соответствии с таблицей 1
В процессе выполнения этой части работы необходимо
1) путем моделирования в системе MATLAB исходной САУ
(рис 6) получить графики ttytg
2) сравнить полученную таким образом экспериментальную ве-
личину t с теоретической величиной вычисленной по формуле (1)
3) применяя описанные в теоретической части методических
указаний способы коррекции статических свойств (см п 31) обес-
печить требуемую статическую ошибку εуст системы при отработке
задающего воздействия ttg 1
4) получить графики ty и t в скорректированной системе
для 1 ttg
5) сравнить время регулирования регt и перерегулирование в
исходной и скорректированной системах при 1 ttg
При исследовании рассмотренного способа коррекции динами-
ческих свойств САУ (см п 32) в качестве исходных данных высту-
пают передаточная функция sW неизменяемой части системы
вида (6) и передаточная функция регулятора вида
s
KsR
рег
56
Задающее воздействие ttg 1
В процессе выполнения данной части работы необходимо
1) получить путем моделирования в MATLAB графики ty t
в системе (рис 7)
2) определить время регулирования регt и перерегулирование
а также запасы устойчивости в исходной системе
3) применяя описанный выше способ коррекции динамических
свойств САУ найти экспериментально (путем последовательного пе-
ребора) значение осK обеспечивающее в системе заданные заданием
показатели качества ( регt ) и запасы устойчивости (при необхо-
димости увеличить коэффициент регK )
4) получить графики ty t а также ЛАХ и ЛФХ разомкну-
той системы в скорректированной САУ
7 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) титульный лист
б) структурные схемы исследуемых систем
в) полученные графики и характеристики
г) значения полученные экмпериментально которые
обеспечивают заданные показатели качества и запасы устойчивости
д) выводы обощающие проделанные эксперименты для
коррекции статических и динамических свойств САУ
е) ответы на контрольные вопросы
Контрольные вопросы 1 Дать определение статической и астатической САУ
2 Какими структурными свойствами системы определяется по-
рядок ее астатизма
3 Какой из двух приведенных выше способов придания системе
свойств астатизма 1-го порядка наиболее предпочтителен на
практике
4 Назовите основные показатели качества САУ Поясните их
смысл
5 В чѐм суть исследуемого способа коррекции динамических
свойств САУ
57
6 Назвать другие способы коррекции динамических свойств
САУ
7 Чем вызваны отрицательные фазовые сдвиги в неизменяемой
части САУ
58
Лабораторная работа 6
МЕТОД КОРНЕВОГО ГОДОГРАФА
1 Цель работы
Целью работы является построение корневого годографа и ис-
следование динамики системы с использованием автоматизирован-
ных средств моделирования на ПК ndash MATLABSIMULINK
2 Задачи работы
ndash Закрепление углубление и расширение знаний студентов при
исследование динамики системы
ndash Овладение навыком построения корневого годографа
ndash Приобретение умений и навыков работы с программой мате-
матического моделирования MATLAB
3 Теоретическая часть
Корневым годографом (КГ) называется совокупность траекто-
рий перемещения всех корней характеристического уравнения за-
мкнутой системы при изменении какого-либо параметра этой систе-
мы
Обычно метод КГ позволяет находить полюса и нули ПФ за-
мкнутой системы располагая полюсами и нулями разомкнутой си-
стемы при изменении коэффициента усиления разомкнутой системы
K
ПФ разомкнутой системы Wp(s) представим в следующем виде
)(
)(
1
1
0
n
ii
m
jj
p
ss
ssKC
sW (1)
где 0js ndash нули ПФ sWp )1( mj
is ndash полюса ПФ sWp
)1( nj n и m ndash порядки знаменателя и числителя C ndash коэффици-
ент представления (отношение коэффициентов при старших членах
числителя и знаменателя)
59
При замыкании системы с ПФ sWp единичной отрицатель-
ной обратной связью ПФ замкнутой системы sWз принимает вид
)(1
)(
sW
sWsW
p
pз
(2)
Из выражения (2) следует что нули ПФ замкнутой системы рав-
ны нулям ПФ разомкнутой системы
Для нахождения полюсов рассмотри выражение
01 sWp (3)
в соответствии с выражением (1) имеем
n
i
m
jjin
ii
m
jj
ssKCss
ss
ssKC
1 1
0
1
1
0
)()(01
)(
)(
(4)
На основании выражения (4) можно сказать что при K = 0 корни
характеристического уравнения совпадают с полюсами а при K = infin ndash
с нулями При изменении K от 0 до infin траектории корней начинаются
в полюсах и заканчиваются в нулях Обычно полюсов больше чем
нулей В этом случаем mn ветвей корневого годографа стремятся к
infin
Для определения полюсов замкнутой системы с отрицательной
обратной связью необходимо решить уравнение (его называют ос-
новным уравнением метода КГ)
1sWp (5)
Так как sWp является функцией комплексного переменного
s то уравнение (5) распадается на два уравнения уравнение модулей
1)( sWp (6)
60
и уравнение аргументов (фаза вектора -1 есть нечетное число π)
210)12()(arg sWp (7)
Как известно при умножении комплексных чисел их аргументы
складываются а при делении ndash вычитаются Поэтому исходя из вы-
ражения (1) уравнение (7) имеет наглядный геометрический смысл
Пусть точка s ndash полюс замкнутой системы Если провести в s
вектора из нулей sWp (обозначим аргументы этих векторов 0j ) и
вектора из всех полюсов sWp (обозначим аргументы этих векторов
i ) то уравнение (7) можно записать в следующем виде
m
j
n
iij
1 1
0 210)12( (8)
Углы q отсчитываются от положительного направления дей-
ствительной оси Знак угла laquo+raquo соответствует повороту против часо-
вой стрелки знак угла laquo-raquo соответствует повороту по часовой стрел-
ке
Таким образом любая точка КГ должна удовлетворять уравне-
нию (8) из которого следует что конфигурация КГ не зависит от ко-
эффициента усиления K но каждому конкретному значению K одно-
значно соответствуют точки на КГ
При умножении комплексных чисел их модули перемножаются
а при делении ndash делятся Поэтому на основании (6) можно записать
1
1
1
0
n
ii
m
jj
l
lKC
(9)
где 0jl ndash модуль (длина) вектора проведенного из j-нуля в точку s
КГ il ndash модуль вектора проведенного из i-полюса в ту же точку s
61
Таким образом траектории корней строятся только по уравне-
ниям фаз а уравнение модулей используется затем для нахождения
K
Сущность метода КГ заключается в том чтобы узнать каким
должен быть коэффициент усиления разомкнутой системы чтобы
было обеспечено желаемое положение корней замкнутой системы
Корневой годограф системы с отрицательной обратной связью
обладает следующими основными свойствами
1 Ветви КГ непрерывны и расположены на комплексной плос-
кости симметрично относительно действительной оси
2 Число ветвей КГ равно порядку системы n Ветви начинают-
ся в n полюсах разомкнутой системы при K=0 При возрастании K от
0 до infin полюса замкнутой системы двигаются по ветвям КГ
3 mветвей КГ при возрастании K от 0 до infin заканчиваются в m
нулях )(sWp а )( mn ветвей при K стремящемся к infin удаляются
от полюсов вдоль асимптот
4 При расположении ветвей корневого годографа в левой полу-
плоскости s САУ устойчива При пересечении ветвей КГ мнимой оси
слева направо САУ становится неустойчивой Пусть при K=Kкр
пере-
сечение КГ с мнимой осью произойдет в некоторой точке iωкр
Назо-
вем это значение коэффициента усиления критическим Kкр
а вели-
чину iωкр
критической угловой частотой на которой система стано-
вится неустойчивой
4 Краткое описание MATLAB
Лабораторная работа выполняется в программе математического
моделирования MATLAB Программа MATLAB включает в себя пакет
прикладных программ для решения технических задач и одноименный
язык программирования используемый в этом пакете
Основными компонентами системы являются базовая система
MATLAB и пакет моделирования систем Simulink Остальные пакеты
расширения разбиты на 4 категории ndash расширения Extension MATLAB и
Extension Simulink а также комплексы пакетов расширения Blockset и
Toolbox
Раздел MATLAB Extension содержит средства для подготовки ис-
полняемых приложений MATLAB (с подключаемыми библиотеками и
без них)
62
Раздел Toolbox (инструментальные средства) содержит самое
большое число пакетов расширений системы MATLAB такие как
laquoControl systemraquo laquoDatabaseraquo laquoFuzzy logicraquo laquoWaveletraquo и тд
В разделе Blockset расположено несколько пакетов относящихся к
главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink такие как
laquoDSPraquo laquoFixed-Pointraquo laquoNonlinear control designraquo и laquoPower systemsraquo
В разделе Extension Simulink имеется ряд средств предназначен-
ных для моделирования в реальном масштабе времени и событийно-
управляемом моделировании
5 Корневой годограф в MATLAB
В системе MATLAB существует команда zpk для преобразова-
ния модели заданной ПФ в модель заданную нулями полюсами и
обобщенными коэффициентами передачи (zpk-форма)
Пример
gtgt w=tf([10][2 2 3 1 0])
Transfer function
10
-------------------------------
2 s^4 + 2 s^3 + 3 s^2 + s
gtgt w1=zpk(w)
Zeropolegain
5
----------------------------------------------
s (s+03966) (s^2 + 06034s + 1261)
Для работы с корневым годографом удобно использовать гра-
фический интерфейс laquoSISO-Design Toolraquo предназначенный для ана-
лиза и синтеза одномерных линейных систем автоматического управ-
ления (SISO ndash Single Input Signal Output)
Запуск SISO-Design Tool осуществляется командой
gtgt sisotool
63
В появившемся окне графического интерфейса необходимо ис-
пользовать команду laquoFileImportraquo для загрузки данных из рабочего
пространства MATLAB в результате которой появляется диалоговое
окно Import System Data (рис 1)
Рис 1 Диалог для ввода параметров модели
После импортирования данных можно исследовать изменение
временных и частотных характеристик замкнутой системы при изме-
нении K Обычно при этом требуется определить условия неустойчи-
вости замкнутой САУ Определить Kкр
и iωкр
На рис 2 показано окно sisotool для описанной выше модели w1
Двигая красным курсором по КГ до пересечения ветвей с мнимой
осью можно определить значения Kкр
В данном случае Kкр
asymp 01
Значение iωкр
соответствует мнимой координате пересечения КГ
мнимой оси Просмотреть это значение можно в нижней части ин-
терфейса или выбрать меню laquoView Closed-Loop Polesraquo
64
Рис 2 Основное окно SISO-Design Tool
6 Задание на лабораторную работу
Построить КГ в соответствии с вариантом из табл 1 при помо-
щи графического интерфейса sisotool
Исследовать динамику замкнутой системы при различных зна-
чениях коэффициента усиления разомкнутой системы K в том числе
ndash запасы устойчивости в частотной области
ndash параметры переходного процесса во временной области
Таблица 1
Варианты передаточных функций
Значения параметров Передаточная функция
разомкнутой системы
1 T = 01 ζ = 1
)12( 22 sTsTs
K
2 T = 005 ζ = 0707
3 T = 003 ζ = 01
4 T = 008 ζ = 05
5 T = 001 ζ = 015
65
Окончание табл 1
Значения параметров Передаточная функция
разомкнутой системы
6 T1 = 003 T2 = 05 T3 = 01 T4 = 005
)1)(1)(1(
)1(
432
1
sTsTsTs
sTK
7 T1 = 005 T2 = 04 T3 = 008 T4 = 0033
8 T1 = 02 T2 = 045 T3 = 01 T4 = 005
9 T1 = 05 T2 = 025 T3 = 01 T4 = 002
10 T1 = 01 T2 = 025 T3 = 01 T4 = 005
Вариант задания назначается преподавателем
7 Методика выполнения задания
Порядок выполнения лабораторной работы
1 Задать передаточную функцию в MATLAB в соответствии с
вариантом коэффициент K задать любым положительным числом
2 Запустить SISO-Design Tool и осуществить ввод данных
Построить КГ
3 По КГ определить значения коэффициента K когда система
будет устойчивой на границе устойчивости и неустойчива
4 Выбрать значение коэффициента K таким образом чтобы си-
стемы была устойчива и определить запас устойчивости в частотной
области и параметры переходного процесса во временной области
8 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) титульный лист
б) передаточную функцию и этапы построения КГ
в) анализ результатов построения КГ
г) выводы по проделанной работе
д) ответы на контрольные вопросы
Контрольные вопросы 1 Дать определение КГ
2 Что обычно позволяет находить метод КГ
3 В чем заключается сущность метода КГ
4 Что можно определить по КГ
66
Критерии результативности лабораторного практикума
Лабораторная работа считается выполненной если студент
ndash выполнил все указанные задания
ndash представил отчет соответствующий всем требованиям к его
содержанию и оформлению
ndash владеет терминологией и материалом лабораторной работы
ndash способен использовать программное средство математическо-
го моделирования MATLAB
ndash способен предоставить и рассказать результаты выполненной
работы на ПК
ndash может дать пояснения к отчету и ответить на контрольные
вопросы
Список литературы
1 Александров АГ Частотная теория автоматического управле-
ния учебное пособие ndash Электросталь ЭПИ МИСиС 2010
2 Борисевич АВ Теория автоматического управления элементар-
ное введение с применением MATLAB ndash СПб Изд-во Политехн ун-
та 2011
3 Федоров ВЛ Бубнов АВ Теория автоматического управления
учебное пособие ndash Омск Изд-во ОмГТУ 2010
4 Павловская ОО Чернецкая ИВ Теория автоматического
управления учебное пособие ndash Челябинск Изд-во ЮУрГУ 2010
67
Составители ЛЯНЦЕВ Олег Дмитриевич КАЗАНЦЕВ Андрей Валерьевич
ИССЛЕДОВАНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК СИСТЕМ
АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
Лабораторный практикум
по дисциплине
laquoТеория управленияraquo
Подписано в печать Формат 60х84 116 Бумага офсетная Пе-
чать плоская Гарнитура Times New Roman Усл печ л 56 Уч-изд л
55 Тираж 100 экз Заказ
ФГБОУ ВПО Уфимский государственный авиационный технический
университет
Центр оперативной полиграфии УГАТУ
450000 Уфа-центр ул К Маркса 12
39
для линейных так и для линеаризованных систем Однако в случае
нулевых или чисто мнимых корней характеристического уравнения
вопрос об устойчивости линеаризованной системы может быть ре-
шен только на основании исследования ее нелинейных уравнений
В конце XIX и первой половине XX в задача вычисления корней
характеристического уравнения высокого порядка вызывала боль-
шие проблемы Поэтому были предложены несколько косвенных
методов оценки устойчивости позволяющих обойтись без вычисле-
ния корней ndash по значениям коэффициентов характеристического
уравнения
Критерии устойчивости разделяют на алгебраические и частот-
ные В частности к алгебраическим критериям относится критерий
Гурвица к частотным критериям ndash критерий Найквиста
Критерий Гурвица является алгебраическим критерием и при-
меняется к коэффициентам характеристического уравнения замкнутой
системы
Пусть имеется характеристическое уравнение замкнутой
системы
0011
1 apapapa n
nn
n
Из коэффициентов характеристического уравнения составляют
матрицу по правилу
1 По диагонали записываются коэффициенты от 1na до 0a
2 Каждая строка дополняется коэффициентами с возрастающи-
ми индексами слева направо так чтобы чередовались строки с нечет-
ными и четными индексами
3 В случае отсутствия индекса а также если он меньше 0 или
больше п на его место пишется 0
Таким образом матрица Гурвица приобретает следующий вид
40
Критерий устойчивости формулируется так
Чтобы система была устойчивой необходимо и достаточно что-
бы при 0na были положительными все п диагональных определи-
телей получаемых из матрицы Гурвица
Первые три определителя матрицы Гурвица имеют следующий
вид
Таким образом критерий Гурвица позволяет судить об абсо-
лютной устойчивости но он не дает возможности оценивать относи-
тельную устойчивость по корням характеристического уравнения
Частотный критерий устойчивости Найквиста анализирует
АФЧХ разомкнутой системы
Пусть имеется АФЧХ разомкнутой системы W(jω)
Для нахождения вещественной и мнимой части частотной ха-
рактеристики нужно освободиться от мнимости в знаменателе путем
умножения числителя и знаменателя на комплексную величину со-
пряженную знаменателю а затем выполнить разделение на веще-
ственную и мнимую части W(jω) приобретает вид
)()()( jQPjW
Задаваясь различными значениями частоты можно найти мно-
жество пар )()( 11 jQP )()( 22 jQP )()( nn jQP
Затем по этим парам строится АФЧХ на комплексной плоскости
Основные свойства АФЧХ разомкнутой системы
1 Если разомкнутая система не имеет интегрирующих звеньев
то при ω = 0 ее АФЧХ начинается на вещественной оси в точке
Р(ω)=К (где К ndash коэффициент усиления разомкнутой системы) За-
канчивается АФЧХ в начале координат при ω rarr infin (рис 1 а)
2 Если разомкнутая система имеет одно интегрирующее звено то
ее АФЧХ начинается при ω = 0 в бесконечности на отрицательной мни-
мой полуоси а заканчивается в начале координат при ω rarr infin (рис 1 б)
41
Рис 1 АФЧХ разомкнутой системы
Критерий устойчивости Найквиста формулируется так
1 Если разомкнутая система устойчива или находится на гра-
нице устойчивости то для того чтобы замкнутая система была
устойчива необходимо и достаточно чтобы АФЧХ разомкнутой
системы при изменении частоты ω от 0 до infin не охватывала точку с ко-
ординатами (-1 j0)
2 Если разомкнутая система неустойчива а ее передаточная
функция имеет т полюсов справа от мнимой оси на комплексной
плоскости то для устойчивости замкнутой системы необходимо и до-
статочно чтобы АФЧХ разомкнутой системы при изменении частоты
ω от -infin до +infin охватывала т раз точку с координатами (-1 j0)
При использовании этого критерия нужно учитывать две
особенности
1 Если разомкнутая система находится на границе устойчиво-
сти то ее АФЧХ уходит в бесконечность Для проверки критерия Най-
квиста нужно мысленно соединить конец АФЧХ дугой бесконечно
большого радиуса с положительной вещественной полуосью
2 На практике АФЧХ может строиться только для положитель-
ных частот (0 lt ω lt +infin) При применении критерия Найквиста счита-
ется что ветвь АФЧХ для отрицательных частот симметрична отно-
сительно вещественной оси
Физический смысл критерия устойчивости Найквиста заключа-
ется в том что система будет неустойчива если фаза выходного сиг-
нала противоположна фазе входного сигнала а коэффициент усиле-
ния больше 1 Поэтому для анализа устойчивости можно использо-
вать не АФЧХ а ЛАХ системы (для минимально-фазовых систем)
Система устойчива если на частоте среза значение фазы не превы-
шает -π Соответственно для устойчивой системы можно рассматри-
вать на ЛФЧХ запас устойчивости по фазе ndash расстояние от значения
фазы на частоте среза до уровня -π и запас устойчивости по амплиту-
42
де ndash расстояние от оси частот ЛАЧХ до значения усиления на часто-
те где фаза становится равной -π
4 Краткое описание MATLAB
Лабораторная работа выполняется в программе математического
моделирования MATLAB Программа MATLAB включает в себя пакет
прикладных программ для решения технических задач и одноименный
язык программирования используемый в этом пакете
Основными компонентами системы являются базовая система
MATLAB и пакет моделирования систем Simulink Остальные пакеты
расширения разбиты на 4 категории ndash расширения Extension MATLAB и
Extension Simulink а также комплексы пакетов расширения Blockset и
Toolbox
Раздел MATLAB Extension содержит средства для подготовки ис-
полняемых приложений MATLAB (с подключаемыми библиотеками и
без них)
Раздел Toolbox (инструментальные средства) содержит самое
большое число пакетов расширений системы MATLAB такие как
laquoControl systemraquo laquoDatabaseraquo laquoFuzzy logicraquo laquoWaveletraquo и тд
В разделе Blockset расположено несколько пакетов относящихся к
главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink такие как
laquoDSPraquo laquoFixed-Pointraquo laquoNonlinear control designraquo и laquoPower systemsraquo
В разделе Extension Simulink имеется ряд средств предназначен-
ных для моделирования в реальном масштабе времени и событийно-
управляемом моделировании
5 Исследование устойчивости САУ в MATLAB
Для проверки устойчивости САУ по Гурвицу постройте матрицу
Гурвица и найдите ее детерминант (функция det) Затем последова-
тельно уменьшая размер матрицы найдите значения всех диагональ-
ных детерминантов Пример
gtgt А=[1 14 18 2 5 2 3 4 3]
А =
1 14 18
2 5 2
3 4 3
gtgt det(A)
ans = -119
43
gtgt А1=А(12 12)
А1 =
1 14
2 5
gtgt det(A1)
ans = -23
Для проверки устойчивости САУ по Найквисту сначала нужно
выяснить является ли устойчивой разомкнутая система
Пример Пусть дана передаточная функция разомкнутой
системы
13232
12234
pppp
pW
Рассмотрим реакцию на скачок
gtgt w=tf([2 1][2 3 2 3 1])
gtgt step(w18)
График переходного процесса показан на рис 2
Рис 2 Переходная реакция
Разомкнутая система неустойчива и согласно критерию Найкви-
ста надо чтобы АФЧХ разомкнутой системы охватывала точку (-1 j0)
44
столько раз сколько полюсов имеется справа от мнимой оси Для по-
строения АФЧХ достаточно вызвать команду nyquist
gtgt nyquist(w)
Диаграмма Найквиста показана на рис 3
Рис 3 Диаграмма Найквиста для неустойчивой системы
Как показывает рис3 АФЧХ ни разу не охватывает точку
(-1 j0) поэтому замкнутая система будет неустойчивой Частотный
критерий Найквиста можно использовать и в том случае когда рас-
сматривается не АФЧХ а ЛАЧХ разомкнутой системы замкнутая
минимально-фазовая система устойчива если при достижении ЛФЧХ
значения -π ЛАЧХ будет отрицательной
Используя ЛАЧХ и ЛФЧХ можно оценить запасы устойчивости
системы по амплитуде и по фазе с помощью команды
gtgt margin(w)
Пример
gtgt w=tf([10][2 2 3 1])
gtgt margin(w)
Соответствующий график показан на рис 4
45
Рис 4 Определение запасов устойчивости по амплитуде и по фазе
6 Задание на лабораторную работу
Выполнить исследование устойчивости замкнутой системы по за-
данной передаточной функции разомкнутой системы Определить запас
устойчивости по амплитуде и по фазе Вариант задания назначается
преподавателем
7 Методика выполнения задания
Порядок выполнения работы
1 Рассчитать передаточную функцию замкнутой системы по
приведенной в табл 1 разомкнутой системе
2 Определить устойчивость замкнутой системы используя кри-
терий Гурвица
3 Определить устойчивость замкнутой системы используя кри-
терий Найквиста
4 Определить запас устойчивости по амплитуде и по фазе ис-
пользуя ЛАЧХ и ЛФЧХ
5 Выполнить моделирование переходных процессов разомкну-
той и замкнутой систем
6 Подготовить ответы на контрольные вопросы
46
Таблица 1
Варианты заданий
Передаточная функция разомкнутой системы
1 1355
2234
ssss
W
2 110050
1234
ssss
W
3 11010
123
sss
W
4 122105
100234
ssss
W
5 1248
123
sss
W
6 1223
102345
sssss
W
7 11001010
323
sss
W
8 122
1023
sss
W
9 11010
123
sss
W
10 15050332
102345
sssss
W
8 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) титульный лист
б) краткие теоретические сведения
в) переходную функцию разомкнутой системы
г) расчет передаточной функции замкнутой системы
д) расчетные выражения для обоснования устойчивости замкну-
той системы по алгебраическому критерию Гурвица
е) годограф Найквиста разомкнутой системы на основании кото-
рого делается вывод об устойчивости замкнутой системы
ѐ) переходную функцию замкнутой системы
ж) проверку полученных результатов путем компьютерного моде-
лирования переходных процессов разомкнутой и замкнутой си-
стемы в MATLAB Simulink
з) выводы по всем полученным результатам
47
Контрольные вопросы
1 Как связана устойчивость линейной САУ с видом составля-
ющих ее свободного движения
2 Зависит ли устойчивость линейных САУ от амплитуды зада-
ющих воздействий или возмущений
3 Сформулируйте критерий устойчивости Гурвица укажите на
необходимое условие устойчивости линейных САУ вытекаю-
щее из этого критерия
4 Сформулируйте критерий Найквиста для случая САУ устой-
чивых в разомкнутом состоянии а также для астатических САУ
Что такое laquoзапасы устойчивости по фазе и по амплитудеraquo
5 Что называется структурной устойчивостью
48
Лабораторная работа 5
КОРРЕКЦИЯ СТАТИЧЕСКИХ И ДИНАМИЧЕСКИХ
СВОЙСТВ САУ
1 Цель работы
Целью работы является изучение способов обеспечения иско-
мых характеристик САУ с использованием автоматизированных
средств моделирования на ПК ndash MATLAB SIMULINK
2 Задачи работы
ndash Закрепление углубление и расширение знаний студентов при
обеспечении искомых характеристик САУ
ndash Приобретение умений по обеспечению точности (уменьшение
статической ошибки) САУ и выбору значений параметров регулято-
ра обеспечивающих желаемые динамические свойства САУ
ndash Приобретение умений и навыков работы с программой мате-
матического моделирования MATLAB
3 Теоретическая часть
Коррекция статических и динамических свойств САУ имеет
своей целью повышение статической и динамической точности отра-
ботки системой задающего воздействия (или парирование возмуща-
ющего воздействия) повышение запасов ее устойчивости Наиболее
распространенными способами коррекции свойств САУ является из-
менение коэффициента усиления ее разомкнутой части введение в
САУ новых звеньев (как правило интегрирующего или дифференци-
рующего типа) охват объекта управления местной обратной связью
31 Коррекция статических свойств САУ
Статические свойства системы определяются величиной устано-
вившейся ошибки )t(уст вызванной действием задающего воздей-
ствия и определяемой по формуле
22
210 2 dttgdcdttdgctgctуст (1)
где )(tg - входное воздействие 210 ccc - коэффициенты ошибок
Коэффициенты ошибок определяются по формулам
49
dssdcdssdcscs
mmmss 00100
где s - передаточная функция САУ по ошибке управления рав-
ная
sW
sраз
1
1
sWраз - передаточная функция разомкнутой САУ
Основными способами уменьшения статической ошибки систе-
мы являются
1) увеличение коэффициента усиления прямого тракта системы
2) введение в прямой тракт системы интегрирующих звеньев
3) охват объекта управления местной неединичной положитель-
ной обратной связью
Представим структурную схему системы в виде изображенном
на рис 1 где через sW обозначена передаточная функция неизме-
няемой части системы
bsbsb
asasasW
nn
nn
mm
mm
01
1
01
1
Здесь и далее полагается что KKKsW s 000 0 ndash из-
меняемый коэффициент усиления регулятора системы
Первые два коэффициента ошибок 0c и 1c определяется выраже-
ниями
KK
c0
01
1
(2)
KK
dssdWKc
s
20
01
1
(3)
Из (2) и (3) с учетом (1) вытекает что с увеличением K
статическая ошибка в системе уменьшается и наоборот с уменьше-
нием K статическая ошибка в системе увеличивается
Введем в прямой тракт системы одно интегрирующее звено
50
(рис 2) В этом случае c 00 01 1 KKc
Так как c 00 то система на рис 2 является астатической (с
астатизмом первого порядка) Система имеет нулевую статическую
ошибку при отработке постоянного задающего воздействия
consttg и постоянную обратно пропорциональную K ошибку
constуст при отработке линейно изменяющегося воздействия
tatg
Рис 1 Схема САУ Рис 2 Схема САУ с включенным в прямой
тракт интегрирующим звеном
Охватим неизменяемую часть системы sW местной нееди-
ничной положительной обратной связью с коэффициентом усиления
осK (рис 3) Тогда эквивалентная передаточная функция sWэкв
неизменяемой части системы равна
10011
01
1
aKbsaKbsaKbsb
asasa
sWK
sWsW
ососm
mосmn
n
mm
mm
осэкв
(4)
Если коэффициент усиления K выбрать из условия
a
bKос
0
0
то свободный коэффициент (b0 - Koca0) полинома знаменателя sWэкв
обратится в нуль и sWэкв приобретает интегрирующие свойства
11
11
0
1
1
aKbsaKbsbs
asasasW
ос
m
mосm
n
n
m
m
m
mэкв
g(t) y(t)ε(t)
K W(s)-
g(t) y(t)
Ks W(s)-
ε(t)
51
Следовательно замкнутая система становится астатической (с
астатизмом 1-го порядка) Отсюда 0c =0 а коэффициент 1c будет
равен
aKb
bc
ос 11
01
ε(t)g(t) y(t)
W(s)-
Kос
Wэкв(s)
+
Рис 3 Схема САУ с местной неединичной обратной связью
32 Коррекция динамических свойств САУ
Улучшение динамических свойств САУ заключается в увеличе-
нии быстродействия САУ (уменьшении времени регулирования tрег)
уменьшении перерегулирования (см рис 4) а также увеличении
запасов устойчивости по фазе и по модулю При этом
h
hh
уст
устmax100
где maxh - максимальное значение переходной характеристики за-
мкнутой САУ th
устh - установившееся значение th
Время регулирования tрег - минимальная величина при которой удо-
влетворяется условие
устрег hth
где - заданная величина ошибки (обычно =005 устh )
52
h(t)
tрег
hустhmax
2δ
Рис 4 Быстродействие и перерегулирование САУ
Одним из эффективных средств достижения этой цели является
уменьшение отрицательных фазовых сдвигов в прямом тракте систе-
мы путем охвата неизменяемой части системы местными отрицатель-
ными обратными связями
На рис 5 R(s) представляет собой передаточную функцию регу-
лятора САУ которая считается заданной
ε(t)g(t) y(t)
W(s)-
Kос
Wэкв(s)
-
R(s)
u(t)
Рис 5 Схема САУ с местной обратной связью и регулятором
Пусть неизменяемая часть системы представляет собой аперио-
дическое звено первого порядка те
sT
K)s(W
10
0
Тогда передаточная функция sWэкв эквивалентного объекта
управления равна
sT
K
sWK
sWsW
экв
экв
осэкв
11
где зквK и эквT - коэффициент усиления и постоянная времени
эквивалентного объекта равные
53
KK
KK
осэкв
0
0
1
KK
TT
осэкв
0
0
1 (5)
Из (5) следует что соответствующим выбором осK постоянную
времени эквT эквивалентного объекта можно уменьшить в (1+ 0KKос )
раз по сравнении с постоянной времени 0T объекта без местной об-
ратной связи Тем самым уменьшаются отрицательные фазовые сдви-
ги вносимые прямым трактом системы что приводит к увеличению
запасов устойчивости системы При этом однако уменьшается в
(1+ 0KKос ) раз коэффициент усиления эквK эквивалентного объекта
по сравнению с коэффициентом усиления 0K объекта без местной
обратной связи Это нежелательно так как приводит к уменьшению
быстродействия системы вследствие уменьшения общего коэффици-
ента усиления прямого тракта системы В этом случае с целью обес-
печения необходимого быстродействия системы увеличивают коэф-
фициент усиления регулятора
4 Краткое описание MATLAB
Лабораторная работа выполняется в программе математического
моделирования MATLAB Программа MATLAB включает в себя пакет
прикладных программ для решения технических задач и одноименный
язык программирования используемый в этом пакете
Основными компонентами системы являются базовая система
MATLAB и пакет моделирования систем Simulink Остальные пакеты
расширения разбиты на 4 категории ndash расширения Extension MATLAB и
Extension Simulink а также комплексы пакетов расширения Blockset и
Toolbox
Раздел MATLAB Extension содержит средства для подготовки ис-
полняемых приложений MATLAB (с подключаемыми библиотеками и
без них)
Раздел Toolbox (инструментальные средства) содержит самое
большое число пакетов расширений системы MATLAB такие как
laquoControl systemraquo laquoDatabaseraquo laquoFuzzy logicraquo laquoWaveletraquo и тд
54
В разделе Blockset расположено несколько пакетов относящихся к
главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink такие как
laquoDSPraquo laquoFixed-Pointraquo laquoNonlinear control designraquo и laquoPower systemsraquo
В разделе Extension Simulink имеется ряд средств предназначен-
ных для моделирования в реальном масштабе времени и событийно-
управляемом моделировании
5 Задание на лабораторную работу
Выполнить исследование способов коррекции статических и
динамических свойств САУ Определить время регулирования и пе-
ререгулирования в исходной и скорректированной системах а также
для динамических свойств САУ определить запасы устойчивости в
исходной системе и найти экспериментально значение Kос обеспечи-
вающее в системе заданные показатели качества и запасы устойчиво-
сти Вариант задания назначается преподавателем
Таблица 1
Варианты заданий
варианта
Параметры
1
2
3
4
5
6
7
8
a 05 10 15 20 25 30 35 40
K0 1 2 3 4 5 6 7 8
T c 03 04 05 06 07 08 09 10
ξ 06 07 08 08 07 09 05 04
уст 0 0 005 0 010 007 0 0
tрег c le 13 15 20 25 30 35 40 40
le 0 10 10 5 5 5 0 0
В качестве исходных САУ выступают системы изображенные
на рис 6 и 7
55
ε(t)g(t) y(t)
W(s)-
g(t) y(t)
R(s) W(s)-
ε(t) u(t)
Рис 6 САУ с отрицательной Рис 7 САУ с отрицательной обратной
обратной связью связью и регулятором
6 Методика выполнения задания
При исследовании способов коррекции статических свойств
САУ в качестве исходных данных выступает передаточная функция
sW неизменяемой части системы вида
1222
0
sTsT
KsW (6)
и задающие воздействия вида ttg 1 в соответствии с таблицей 1
В процессе выполнения этой части работы необходимо
1) путем моделирования в системе MATLAB исходной САУ
(рис 6) получить графики ttytg
2) сравнить полученную таким образом экспериментальную ве-
личину t с теоретической величиной вычисленной по формуле (1)
3) применяя описанные в теоретической части методических
указаний способы коррекции статических свойств (см п 31) обес-
печить требуемую статическую ошибку εуст системы при отработке
задающего воздействия ttg 1
4) получить графики ty и t в скорректированной системе
для 1 ttg
5) сравнить время регулирования регt и перерегулирование в
исходной и скорректированной системах при 1 ttg
При исследовании рассмотренного способа коррекции динами-
ческих свойств САУ (см п 32) в качестве исходных данных высту-
пают передаточная функция sW неизменяемой части системы
вида (6) и передаточная функция регулятора вида
s
KsR
рег
56
Задающее воздействие ttg 1
В процессе выполнения данной части работы необходимо
1) получить путем моделирования в MATLAB графики ty t
в системе (рис 7)
2) определить время регулирования регt и перерегулирование
а также запасы устойчивости в исходной системе
3) применяя описанный выше способ коррекции динамических
свойств САУ найти экспериментально (путем последовательного пе-
ребора) значение осK обеспечивающее в системе заданные заданием
показатели качества ( регt ) и запасы устойчивости (при необхо-
димости увеличить коэффициент регK )
4) получить графики ty t а также ЛАХ и ЛФХ разомкну-
той системы в скорректированной САУ
7 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) титульный лист
б) структурные схемы исследуемых систем
в) полученные графики и характеристики
г) значения полученные экмпериментально которые
обеспечивают заданные показатели качества и запасы устойчивости
д) выводы обощающие проделанные эксперименты для
коррекции статических и динамических свойств САУ
е) ответы на контрольные вопросы
Контрольные вопросы 1 Дать определение статической и астатической САУ
2 Какими структурными свойствами системы определяется по-
рядок ее астатизма
3 Какой из двух приведенных выше способов придания системе
свойств астатизма 1-го порядка наиболее предпочтителен на
практике
4 Назовите основные показатели качества САУ Поясните их
смысл
5 В чѐм суть исследуемого способа коррекции динамических
свойств САУ
57
6 Назвать другие способы коррекции динамических свойств
САУ
7 Чем вызваны отрицательные фазовые сдвиги в неизменяемой
части САУ
58
Лабораторная работа 6
МЕТОД КОРНЕВОГО ГОДОГРАФА
1 Цель работы
Целью работы является построение корневого годографа и ис-
следование динамики системы с использованием автоматизирован-
ных средств моделирования на ПК ndash MATLABSIMULINK
2 Задачи работы
ndash Закрепление углубление и расширение знаний студентов при
исследование динамики системы
ndash Овладение навыком построения корневого годографа
ndash Приобретение умений и навыков работы с программой мате-
матического моделирования MATLAB
3 Теоретическая часть
Корневым годографом (КГ) называется совокупность траекто-
рий перемещения всех корней характеристического уравнения за-
мкнутой системы при изменении какого-либо параметра этой систе-
мы
Обычно метод КГ позволяет находить полюса и нули ПФ за-
мкнутой системы располагая полюсами и нулями разомкнутой си-
стемы при изменении коэффициента усиления разомкнутой системы
K
ПФ разомкнутой системы Wp(s) представим в следующем виде
)(
)(
1
1
0
n
ii
m
jj
p
ss
ssKC
sW (1)
где 0js ndash нули ПФ sWp )1( mj
is ndash полюса ПФ sWp
)1( nj n и m ndash порядки знаменателя и числителя C ndash коэффици-
ент представления (отношение коэффициентов при старших членах
числителя и знаменателя)
59
При замыкании системы с ПФ sWp единичной отрицатель-
ной обратной связью ПФ замкнутой системы sWз принимает вид
)(1
)(
sW
sWsW
p
pз
(2)
Из выражения (2) следует что нули ПФ замкнутой системы рав-
ны нулям ПФ разомкнутой системы
Для нахождения полюсов рассмотри выражение
01 sWp (3)
в соответствии с выражением (1) имеем
n
i
m
jjin
ii
m
jj
ssKCss
ss
ssKC
1 1
0
1
1
0
)()(01
)(
)(
(4)
На основании выражения (4) можно сказать что при K = 0 корни
характеристического уравнения совпадают с полюсами а при K = infin ndash
с нулями При изменении K от 0 до infin траектории корней начинаются
в полюсах и заканчиваются в нулях Обычно полюсов больше чем
нулей В этом случаем mn ветвей корневого годографа стремятся к
infin
Для определения полюсов замкнутой системы с отрицательной
обратной связью необходимо решить уравнение (его называют ос-
новным уравнением метода КГ)
1sWp (5)
Так как sWp является функцией комплексного переменного
s то уравнение (5) распадается на два уравнения уравнение модулей
1)( sWp (6)
60
и уравнение аргументов (фаза вектора -1 есть нечетное число π)
210)12()(arg sWp (7)
Как известно при умножении комплексных чисел их аргументы
складываются а при делении ndash вычитаются Поэтому исходя из вы-
ражения (1) уравнение (7) имеет наглядный геометрический смысл
Пусть точка s ndash полюс замкнутой системы Если провести в s
вектора из нулей sWp (обозначим аргументы этих векторов 0j ) и
вектора из всех полюсов sWp (обозначим аргументы этих векторов
i ) то уравнение (7) можно записать в следующем виде
m
j
n
iij
1 1
0 210)12( (8)
Углы q отсчитываются от положительного направления дей-
ствительной оси Знак угла laquo+raquo соответствует повороту против часо-
вой стрелки знак угла laquo-raquo соответствует повороту по часовой стрел-
ке
Таким образом любая точка КГ должна удовлетворять уравне-
нию (8) из которого следует что конфигурация КГ не зависит от ко-
эффициента усиления K но каждому конкретному значению K одно-
значно соответствуют точки на КГ
При умножении комплексных чисел их модули перемножаются
а при делении ndash делятся Поэтому на основании (6) можно записать
1
1
1
0
n
ii
m
jj
l
lKC
(9)
где 0jl ndash модуль (длина) вектора проведенного из j-нуля в точку s
КГ il ndash модуль вектора проведенного из i-полюса в ту же точку s
61
Таким образом траектории корней строятся только по уравне-
ниям фаз а уравнение модулей используется затем для нахождения
K
Сущность метода КГ заключается в том чтобы узнать каким
должен быть коэффициент усиления разомкнутой системы чтобы
было обеспечено желаемое положение корней замкнутой системы
Корневой годограф системы с отрицательной обратной связью
обладает следующими основными свойствами
1 Ветви КГ непрерывны и расположены на комплексной плос-
кости симметрично относительно действительной оси
2 Число ветвей КГ равно порядку системы n Ветви начинают-
ся в n полюсах разомкнутой системы при K=0 При возрастании K от
0 до infin полюса замкнутой системы двигаются по ветвям КГ
3 mветвей КГ при возрастании K от 0 до infin заканчиваются в m
нулях )(sWp а )( mn ветвей при K стремящемся к infin удаляются
от полюсов вдоль асимптот
4 При расположении ветвей корневого годографа в левой полу-
плоскости s САУ устойчива При пересечении ветвей КГ мнимой оси
слева направо САУ становится неустойчивой Пусть при K=Kкр
пере-
сечение КГ с мнимой осью произойдет в некоторой точке iωкр
Назо-
вем это значение коэффициента усиления критическим Kкр
а вели-
чину iωкр
критической угловой частотой на которой система стано-
вится неустойчивой
4 Краткое описание MATLAB
Лабораторная работа выполняется в программе математического
моделирования MATLAB Программа MATLAB включает в себя пакет
прикладных программ для решения технических задач и одноименный
язык программирования используемый в этом пакете
Основными компонентами системы являются базовая система
MATLAB и пакет моделирования систем Simulink Остальные пакеты
расширения разбиты на 4 категории ndash расширения Extension MATLAB и
Extension Simulink а также комплексы пакетов расширения Blockset и
Toolbox
Раздел MATLAB Extension содержит средства для подготовки ис-
полняемых приложений MATLAB (с подключаемыми библиотеками и
без них)
62
Раздел Toolbox (инструментальные средства) содержит самое
большое число пакетов расширений системы MATLAB такие как
laquoControl systemraquo laquoDatabaseraquo laquoFuzzy logicraquo laquoWaveletraquo и тд
В разделе Blockset расположено несколько пакетов относящихся к
главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink такие как
laquoDSPraquo laquoFixed-Pointraquo laquoNonlinear control designraquo и laquoPower systemsraquo
В разделе Extension Simulink имеется ряд средств предназначен-
ных для моделирования в реальном масштабе времени и событийно-
управляемом моделировании
5 Корневой годограф в MATLAB
В системе MATLAB существует команда zpk для преобразова-
ния модели заданной ПФ в модель заданную нулями полюсами и
обобщенными коэффициентами передачи (zpk-форма)
Пример
gtgt w=tf([10][2 2 3 1 0])
Transfer function
10
-------------------------------
2 s^4 + 2 s^3 + 3 s^2 + s
gtgt w1=zpk(w)
Zeropolegain
5
----------------------------------------------
s (s+03966) (s^2 + 06034s + 1261)
Для работы с корневым годографом удобно использовать гра-
фический интерфейс laquoSISO-Design Toolraquo предназначенный для ана-
лиза и синтеза одномерных линейных систем автоматического управ-
ления (SISO ndash Single Input Signal Output)
Запуск SISO-Design Tool осуществляется командой
gtgt sisotool
63
В появившемся окне графического интерфейса необходимо ис-
пользовать команду laquoFileImportraquo для загрузки данных из рабочего
пространства MATLAB в результате которой появляется диалоговое
окно Import System Data (рис 1)
Рис 1 Диалог для ввода параметров модели
После импортирования данных можно исследовать изменение
временных и частотных характеристик замкнутой системы при изме-
нении K Обычно при этом требуется определить условия неустойчи-
вости замкнутой САУ Определить Kкр
и iωкр
На рис 2 показано окно sisotool для описанной выше модели w1
Двигая красным курсором по КГ до пересечения ветвей с мнимой
осью можно определить значения Kкр
В данном случае Kкр
asymp 01
Значение iωкр
соответствует мнимой координате пересечения КГ
мнимой оси Просмотреть это значение можно в нижней части ин-
терфейса или выбрать меню laquoView Closed-Loop Polesraquo
64
Рис 2 Основное окно SISO-Design Tool
6 Задание на лабораторную работу
Построить КГ в соответствии с вариантом из табл 1 при помо-
щи графического интерфейса sisotool
Исследовать динамику замкнутой системы при различных зна-
чениях коэффициента усиления разомкнутой системы K в том числе
ndash запасы устойчивости в частотной области
ndash параметры переходного процесса во временной области
Таблица 1
Варианты передаточных функций
Значения параметров Передаточная функция
разомкнутой системы
1 T = 01 ζ = 1
)12( 22 sTsTs
K
2 T = 005 ζ = 0707
3 T = 003 ζ = 01
4 T = 008 ζ = 05
5 T = 001 ζ = 015
65
Окончание табл 1
Значения параметров Передаточная функция
разомкнутой системы
6 T1 = 003 T2 = 05 T3 = 01 T4 = 005
)1)(1)(1(
)1(
432
1
sTsTsTs
sTK
7 T1 = 005 T2 = 04 T3 = 008 T4 = 0033
8 T1 = 02 T2 = 045 T3 = 01 T4 = 005
9 T1 = 05 T2 = 025 T3 = 01 T4 = 002
10 T1 = 01 T2 = 025 T3 = 01 T4 = 005
Вариант задания назначается преподавателем
7 Методика выполнения задания
Порядок выполнения лабораторной работы
1 Задать передаточную функцию в MATLAB в соответствии с
вариантом коэффициент K задать любым положительным числом
2 Запустить SISO-Design Tool и осуществить ввод данных
Построить КГ
3 По КГ определить значения коэффициента K когда система
будет устойчивой на границе устойчивости и неустойчива
4 Выбрать значение коэффициента K таким образом чтобы си-
стемы была устойчива и определить запас устойчивости в частотной
области и параметры переходного процесса во временной области
8 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) титульный лист
б) передаточную функцию и этапы построения КГ
в) анализ результатов построения КГ
г) выводы по проделанной работе
д) ответы на контрольные вопросы
Контрольные вопросы 1 Дать определение КГ
2 Что обычно позволяет находить метод КГ
3 В чем заключается сущность метода КГ
4 Что можно определить по КГ
66
Критерии результативности лабораторного практикума
Лабораторная работа считается выполненной если студент
ndash выполнил все указанные задания
ndash представил отчет соответствующий всем требованиям к его
содержанию и оформлению
ndash владеет терминологией и материалом лабораторной работы
ndash способен использовать программное средство математическо-
го моделирования MATLAB
ndash способен предоставить и рассказать результаты выполненной
работы на ПК
ndash может дать пояснения к отчету и ответить на контрольные
вопросы
Список литературы
1 Александров АГ Частотная теория автоматического управле-
ния учебное пособие ndash Электросталь ЭПИ МИСиС 2010
2 Борисевич АВ Теория автоматического управления элементар-
ное введение с применением MATLAB ndash СПб Изд-во Политехн ун-
та 2011
3 Федоров ВЛ Бубнов АВ Теория автоматического управления
учебное пособие ndash Омск Изд-во ОмГТУ 2010
4 Павловская ОО Чернецкая ИВ Теория автоматического
управления учебное пособие ndash Челябинск Изд-во ЮУрГУ 2010
67
Составители ЛЯНЦЕВ Олег Дмитриевич КАЗАНЦЕВ Андрей Валерьевич
ИССЛЕДОВАНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК СИСТЕМ
АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
Лабораторный практикум
по дисциплине
laquoТеория управленияraquo
Подписано в печать Формат 60х84 116 Бумага офсетная Пе-
чать плоская Гарнитура Times New Roman Усл печ л 56 Уч-изд л
55 Тираж 100 экз Заказ
ФГБОУ ВПО Уфимский государственный авиационный технический
университет
Центр оперативной полиграфии УГАТУ
450000 Уфа-центр ул К Маркса 12
40
Критерий устойчивости формулируется так
Чтобы система была устойчивой необходимо и достаточно что-
бы при 0na были положительными все п диагональных определи-
телей получаемых из матрицы Гурвица
Первые три определителя матрицы Гурвица имеют следующий
вид
Таким образом критерий Гурвица позволяет судить об абсо-
лютной устойчивости но он не дает возможности оценивать относи-
тельную устойчивость по корням характеристического уравнения
Частотный критерий устойчивости Найквиста анализирует
АФЧХ разомкнутой системы
Пусть имеется АФЧХ разомкнутой системы W(jω)
Для нахождения вещественной и мнимой части частотной ха-
рактеристики нужно освободиться от мнимости в знаменателе путем
умножения числителя и знаменателя на комплексную величину со-
пряженную знаменателю а затем выполнить разделение на веще-
ственную и мнимую части W(jω) приобретает вид
)()()( jQPjW
Задаваясь различными значениями частоты можно найти мно-
жество пар )()( 11 jQP )()( 22 jQP )()( nn jQP
Затем по этим парам строится АФЧХ на комплексной плоскости
Основные свойства АФЧХ разомкнутой системы
1 Если разомкнутая система не имеет интегрирующих звеньев
то при ω = 0 ее АФЧХ начинается на вещественной оси в точке
Р(ω)=К (где К ndash коэффициент усиления разомкнутой системы) За-
канчивается АФЧХ в начале координат при ω rarr infin (рис 1 а)
2 Если разомкнутая система имеет одно интегрирующее звено то
ее АФЧХ начинается при ω = 0 в бесконечности на отрицательной мни-
мой полуоси а заканчивается в начале координат при ω rarr infin (рис 1 б)
41
Рис 1 АФЧХ разомкнутой системы
Критерий устойчивости Найквиста формулируется так
1 Если разомкнутая система устойчива или находится на гра-
нице устойчивости то для того чтобы замкнутая система была
устойчива необходимо и достаточно чтобы АФЧХ разомкнутой
системы при изменении частоты ω от 0 до infin не охватывала точку с ко-
ординатами (-1 j0)
2 Если разомкнутая система неустойчива а ее передаточная
функция имеет т полюсов справа от мнимой оси на комплексной
плоскости то для устойчивости замкнутой системы необходимо и до-
статочно чтобы АФЧХ разомкнутой системы при изменении частоты
ω от -infin до +infin охватывала т раз точку с координатами (-1 j0)
При использовании этого критерия нужно учитывать две
особенности
1 Если разомкнутая система находится на границе устойчиво-
сти то ее АФЧХ уходит в бесконечность Для проверки критерия Най-
квиста нужно мысленно соединить конец АФЧХ дугой бесконечно
большого радиуса с положительной вещественной полуосью
2 На практике АФЧХ может строиться только для положитель-
ных частот (0 lt ω lt +infin) При применении критерия Найквиста счита-
ется что ветвь АФЧХ для отрицательных частот симметрична отно-
сительно вещественной оси
Физический смысл критерия устойчивости Найквиста заключа-
ется в том что система будет неустойчива если фаза выходного сиг-
нала противоположна фазе входного сигнала а коэффициент усиле-
ния больше 1 Поэтому для анализа устойчивости можно использо-
вать не АФЧХ а ЛАХ системы (для минимально-фазовых систем)
Система устойчива если на частоте среза значение фазы не превы-
шает -π Соответственно для устойчивой системы можно рассматри-
вать на ЛФЧХ запас устойчивости по фазе ndash расстояние от значения
фазы на частоте среза до уровня -π и запас устойчивости по амплиту-
42
де ndash расстояние от оси частот ЛАЧХ до значения усиления на часто-
те где фаза становится равной -π
4 Краткое описание MATLAB
Лабораторная работа выполняется в программе математического
моделирования MATLAB Программа MATLAB включает в себя пакет
прикладных программ для решения технических задач и одноименный
язык программирования используемый в этом пакете
Основными компонентами системы являются базовая система
MATLAB и пакет моделирования систем Simulink Остальные пакеты
расширения разбиты на 4 категории ndash расширения Extension MATLAB и
Extension Simulink а также комплексы пакетов расширения Blockset и
Toolbox
Раздел MATLAB Extension содержит средства для подготовки ис-
полняемых приложений MATLAB (с подключаемыми библиотеками и
без них)
Раздел Toolbox (инструментальные средства) содержит самое
большое число пакетов расширений системы MATLAB такие как
laquoControl systemraquo laquoDatabaseraquo laquoFuzzy logicraquo laquoWaveletraquo и тд
В разделе Blockset расположено несколько пакетов относящихся к
главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink такие как
laquoDSPraquo laquoFixed-Pointraquo laquoNonlinear control designraquo и laquoPower systemsraquo
В разделе Extension Simulink имеется ряд средств предназначен-
ных для моделирования в реальном масштабе времени и событийно-
управляемом моделировании
5 Исследование устойчивости САУ в MATLAB
Для проверки устойчивости САУ по Гурвицу постройте матрицу
Гурвица и найдите ее детерминант (функция det) Затем последова-
тельно уменьшая размер матрицы найдите значения всех диагональ-
ных детерминантов Пример
gtgt А=[1 14 18 2 5 2 3 4 3]
А =
1 14 18
2 5 2
3 4 3
gtgt det(A)
ans = -119
43
gtgt А1=А(12 12)
А1 =
1 14
2 5
gtgt det(A1)
ans = -23
Для проверки устойчивости САУ по Найквисту сначала нужно
выяснить является ли устойчивой разомкнутая система
Пример Пусть дана передаточная функция разомкнутой
системы
13232
12234
pppp
pW
Рассмотрим реакцию на скачок
gtgt w=tf([2 1][2 3 2 3 1])
gtgt step(w18)
График переходного процесса показан на рис 2
Рис 2 Переходная реакция
Разомкнутая система неустойчива и согласно критерию Найкви-
ста надо чтобы АФЧХ разомкнутой системы охватывала точку (-1 j0)
44
столько раз сколько полюсов имеется справа от мнимой оси Для по-
строения АФЧХ достаточно вызвать команду nyquist
gtgt nyquist(w)
Диаграмма Найквиста показана на рис 3
Рис 3 Диаграмма Найквиста для неустойчивой системы
Как показывает рис3 АФЧХ ни разу не охватывает точку
(-1 j0) поэтому замкнутая система будет неустойчивой Частотный
критерий Найквиста можно использовать и в том случае когда рас-
сматривается не АФЧХ а ЛАЧХ разомкнутой системы замкнутая
минимально-фазовая система устойчива если при достижении ЛФЧХ
значения -π ЛАЧХ будет отрицательной
Используя ЛАЧХ и ЛФЧХ можно оценить запасы устойчивости
системы по амплитуде и по фазе с помощью команды
gtgt margin(w)
Пример
gtgt w=tf([10][2 2 3 1])
gtgt margin(w)
Соответствующий график показан на рис 4
45
Рис 4 Определение запасов устойчивости по амплитуде и по фазе
6 Задание на лабораторную работу
Выполнить исследование устойчивости замкнутой системы по за-
данной передаточной функции разомкнутой системы Определить запас
устойчивости по амплитуде и по фазе Вариант задания назначается
преподавателем
7 Методика выполнения задания
Порядок выполнения работы
1 Рассчитать передаточную функцию замкнутой системы по
приведенной в табл 1 разомкнутой системе
2 Определить устойчивость замкнутой системы используя кри-
терий Гурвица
3 Определить устойчивость замкнутой системы используя кри-
терий Найквиста
4 Определить запас устойчивости по амплитуде и по фазе ис-
пользуя ЛАЧХ и ЛФЧХ
5 Выполнить моделирование переходных процессов разомкну-
той и замкнутой систем
6 Подготовить ответы на контрольные вопросы
46
Таблица 1
Варианты заданий
Передаточная функция разомкнутой системы
1 1355
2234
ssss
W
2 110050
1234
ssss
W
3 11010
123
sss
W
4 122105
100234
ssss
W
5 1248
123
sss
W
6 1223
102345
sssss
W
7 11001010
323
sss
W
8 122
1023
sss
W
9 11010
123
sss
W
10 15050332
102345
sssss
W
8 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) титульный лист
б) краткие теоретические сведения
в) переходную функцию разомкнутой системы
г) расчет передаточной функции замкнутой системы
д) расчетные выражения для обоснования устойчивости замкну-
той системы по алгебраическому критерию Гурвица
е) годограф Найквиста разомкнутой системы на основании кото-
рого делается вывод об устойчивости замкнутой системы
ѐ) переходную функцию замкнутой системы
ж) проверку полученных результатов путем компьютерного моде-
лирования переходных процессов разомкнутой и замкнутой си-
стемы в MATLAB Simulink
з) выводы по всем полученным результатам
47
Контрольные вопросы
1 Как связана устойчивость линейной САУ с видом составля-
ющих ее свободного движения
2 Зависит ли устойчивость линейных САУ от амплитуды зада-
ющих воздействий или возмущений
3 Сформулируйте критерий устойчивости Гурвица укажите на
необходимое условие устойчивости линейных САУ вытекаю-
щее из этого критерия
4 Сформулируйте критерий Найквиста для случая САУ устой-
чивых в разомкнутом состоянии а также для астатических САУ
Что такое laquoзапасы устойчивости по фазе и по амплитудеraquo
5 Что называется структурной устойчивостью
48
Лабораторная работа 5
КОРРЕКЦИЯ СТАТИЧЕСКИХ И ДИНАМИЧЕСКИХ
СВОЙСТВ САУ
1 Цель работы
Целью работы является изучение способов обеспечения иско-
мых характеристик САУ с использованием автоматизированных
средств моделирования на ПК ndash MATLAB SIMULINK
2 Задачи работы
ndash Закрепление углубление и расширение знаний студентов при
обеспечении искомых характеристик САУ
ndash Приобретение умений по обеспечению точности (уменьшение
статической ошибки) САУ и выбору значений параметров регулято-
ра обеспечивающих желаемые динамические свойства САУ
ndash Приобретение умений и навыков работы с программой мате-
матического моделирования MATLAB
3 Теоретическая часть
Коррекция статических и динамических свойств САУ имеет
своей целью повышение статической и динамической точности отра-
ботки системой задающего воздействия (или парирование возмуща-
ющего воздействия) повышение запасов ее устойчивости Наиболее
распространенными способами коррекции свойств САУ является из-
менение коэффициента усиления ее разомкнутой части введение в
САУ новых звеньев (как правило интегрирующего или дифференци-
рующего типа) охват объекта управления местной обратной связью
31 Коррекция статических свойств САУ
Статические свойства системы определяются величиной устано-
вившейся ошибки )t(уст вызванной действием задающего воздей-
ствия и определяемой по формуле
22
210 2 dttgdcdttdgctgctуст (1)
где )(tg - входное воздействие 210 ccc - коэффициенты ошибок
Коэффициенты ошибок определяются по формулам
49
dssdcdssdcscs
mmmss 00100
где s - передаточная функция САУ по ошибке управления рав-
ная
sW
sраз
1
1
sWраз - передаточная функция разомкнутой САУ
Основными способами уменьшения статической ошибки систе-
мы являются
1) увеличение коэффициента усиления прямого тракта системы
2) введение в прямой тракт системы интегрирующих звеньев
3) охват объекта управления местной неединичной положитель-
ной обратной связью
Представим структурную схему системы в виде изображенном
на рис 1 где через sW обозначена передаточная функция неизме-
няемой части системы
bsbsb
asasasW
nn
nn
mm
mm
01
1
01
1
Здесь и далее полагается что KKKsW s 000 0 ndash из-
меняемый коэффициент усиления регулятора системы
Первые два коэффициента ошибок 0c и 1c определяется выраже-
ниями
KK
c0
01
1
(2)
KK
dssdWKc
s
20
01
1
(3)
Из (2) и (3) с учетом (1) вытекает что с увеличением K
статическая ошибка в системе уменьшается и наоборот с уменьше-
нием K статическая ошибка в системе увеличивается
Введем в прямой тракт системы одно интегрирующее звено
50
(рис 2) В этом случае c 00 01 1 KKc
Так как c 00 то система на рис 2 является астатической (с
астатизмом первого порядка) Система имеет нулевую статическую
ошибку при отработке постоянного задающего воздействия
consttg и постоянную обратно пропорциональную K ошибку
constуст при отработке линейно изменяющегося воздействия
tatg
Рис 1 Схема САУ Рис 2 Схема САУ с включенным в прямой
тракт интегрирующим звеном
Охватим неизменяемую часть системы sW местной нееди-
ничной положительной обратной связью с коэффициентом усиления
осK (рис 3) Тогда эквивалентная передаточная функция sWэкв
неизменяемой части системы равна
10011
01
1
aKbsaKbsaKbsb
asasa
sWK
sWsW
ососm
mосmn
n
mm
mm
осэкв
(4)
Если коэффициент усиления K выбрать из условия
a
bKос
0
0
то свободный коэффициент (b0 - Koca0) полинома знаменателя sWэкв
обратится в нуль и sWэкв приобретает интегрирующие свойства
11
11
0
1
1
aKbsaKbsbs
asasasW
ос
m
mосm
n
n
m
m
m
mэкв
g(t) y(t)ε(t)
K W(s)-
g(t) y(t)
Ks W(s)-
ε(t)
51
Следовательно замкнутая система становится астатической (с
астатизмом 1-го порядка) Отсюда 0c =0 а коэффициент 1c будет
равен
aKb
bc
ос 11
01
ε(t)g(t) y(t)
W(s)-
Kос
Wэкв(s)
+
Рис 3 Схема САУ с местной неединичной обратной связью
32 Коррекция динамических свойств САУ
Улучшение динамических свойств САУ заключается в увеличе-
нии быстродействия САУ (уменьшении времени регулирования tрег)
уменьшении перерегулирования (см рис 4) а также увеличении
запасов устойчивости по фазе и по модулю При этом
h
hh
уст
устmax100
где maxh - максимальное значение переходной характеристики за-
мкнутой САУ th
устh - установившееся значение th
Время регулирования tрег - минимальная величина при которой удо-
влетворяется условие
устрег hth
где - заданная величина ошибки (обычно =005 устh )
52
h(t)
tрег
hустhmax
2δ
Рис 4 Быстродействие и перерегулирование САУ
Одним из эффективных средств достижения этой цели является
уменьшение отрицательных фазовых сдвигов в прямом тракте систе-
мы путем охвата неизменяемой части системы местными отрицатель-
ными обратными связями
На рис 5 R(s) представляет собой передаточную функцию регу-
лятора САУ которая считается заданной
ε(t)g(t) y(t)
W(s)-
Kос
Wэкв(s)
-
R(s)
u(t)
Рис 5 Схема САУ с местной обратной связью и регулятором
Пусть неизменяемая часть системы представляет собой аперио-
дическое звено первого порядка те
sT
K)s(W
10
0
Тогда передаточная функция sWэкв эквивалентного объекта
управления равна
sT
K
sWK
sWsW
экв
экв
осэкв
11
где зквK и эквT - коэффициент усиления и постоянная времени
эквивалентного объекта равные
53
KK
KK
осэкв
0
0
1
KK
TT
осэкв
0
0
1 (5)
Из (5) следует что соответствующим выбором осK постоянную
времени эквT эквивалентного объекта можно уменьшить в (1+ 0KKос )
раз по сравнении с постоянной времени 0T объекта без местной об-
ратной связи Тем самым уменьшаются отрицательные фазовые сдви-
ги вносимые прямым трактом системы что приводит к увеличению
запасов устойчивости системы При этом однако уменьшается в
(1+ 0KKос ) раз коэффициент усиления эквK эквивалентного объекта
по сравнению с коэффициентом усиления 0K объекта без местной
обратной связи Это нежелательно так как приводит к уменьшению
быстродействия системы вследствие уменьшения общего коэффици-
ента усиления прямого тракта системы В этом случае с целью обес-
печения необходимого быстродействия системы увеличивают коэф-
фициент усиления регулятора
4 Краткое описание MATLAB
Лабораторная работа выполняется в программе математического
моделирования MATLAB Программа MATLAB включает в себя пакет
прикладных программ для решения технических задач и одноименный
язык программирования используемый в этом пакете
Основными компонентами системы являются базовая система
MATLAB и пакет моделирования систем Simulink Остальные пакеты
расширения разбиты на 4 категории ndash расширения Extension MATLAB и
Extension Simulink а также комплексы пакетов расширения Blockset и
Toolbox
Раздел MATLAB Extension содержит средства для подготовки ис-
полняемых приложений MATLAB (с подключаемыми библиотеками и
без них)
Раздел Toolbox (инструментальные средства) содержит самое
большое число пакетов расширений системы MATLAB такие как
laquoControl systemraquo laquoDatabaseraquo laquoFuzzy logicraquo laquoWaveletraquo и тд
54
В разделе Blockset расположено несколько пакетов относящихся к
главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink такие как
laquoDSPraquo laquoFixed-Pointraquo laquoNonlinear control designraquo и laquoPower systemsraquo
В разделе Extension Simulink имеется ряд средств предназначен-
ных для моделирования в реальном масштабе времени и событийно-
управляемом моделировании
5 Задание на лабораторную работу
Выполнить исследование способов коррекции статических и
динамических свойств САУ Определить время регулирования и пе-
ререгулирования в исходной и скорректированной системах а также
для динамических свойств САУ определить запасы устойчивости в
исходной системе и найти экспериментально значение Kос обеспечи-
вающее в системе заданные показатели качества и запасы устойчиво-
сти Вариант задания назначается преподавателем
Таблица 1
Варианты заданий
варианта
Параметры
1
2
3
4
5
6
7
8
a 05 10 15 20 25 30 35 40
K0 1 2 3 4 5 6 7 8
T c 03 04 05 06 07 08 09 10
ξ 06 07 08 08 07 09 05 04
уст 0 0 005 0 010 007 0 0
tрег c le 13 15 20 25 30 35 40 40
le 0 10 10 5 5 5 0 0
В качестве исходных САУ выступают системы изображенные
на рис 6 и 7
55
ε(t)g(t) y(t)
W(s)-
g(t) y(t)
R(s) W(s)-
ε(t) u(t)
Рис 6 САУ с отрицательной Рис 7 САУ с отрицательной обратной
обратной связью связью и регулятором
6 Методика выполнения задания
При исследовании способов коррекции статических свойств
САУ в качестве исходных данных выступает передаточная функция
sW неизменяемой части системы вида
1222
0
sTsT
KsW (6)
и задающие воздействия вида ttg 1 в соответствии с таблицей 1
В процессе выполнения этой части работы необходимо
1) путем моделирования в системе MATLAB исходной САУ
(рис 6) получить графики ttytg
2) сравнить полученную таким образом экспериментальную ве-
личину t с теоретической величиной вычисленной по формуле (1)
3) применяя описанные в теоретической части методических
указаний способы коррекции статических свойств (см п 31) обес-
печить требуемую статическую ошибку εуст системы при отработке
задающего воздействия ttg 1
4) получить графики ty и t в скорректированной системе
для 1 ttg
5) сравнить время регулирования регt и перерегулирование в
исходной и скорректированной системах при 1 ttg
При исследовании рассмотренного способа коррекции динами-
ческих свойств САУ (см п 32) в качестве исходных данных высту-
пают передаточная функция sW неизменяемой части системы
вида (6) и передаточная функция регулятора вида
s
KsR
рег
56
Задающее воздействие ttg 1
В процессе выполнения данной части работы необходимо
1) получить путем моделирования в MATLAB графики ty t
в системе (рис 7)
2) определить время регулирования регt и перерегулирование
а также запасы устойчивости в исходной системе
3) применяя описанный выше способ коррекции динамических
свойств САУ найти экспериментально (путем последовательного пе-
ребора) значение осK обеспечивающее в системе заданные заданием
показатели качества ( регt ) и запасы устойчивости (при необхо-
димости увеличить коэффициент регK )
4) получить графики ty t а также ЛАХ и ЛФХ разомкну-
той системы в скорректированной САУ
7 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) титульный лист
б) структурные схемы исследуемых систем
в) полученные графики и характеристики
г) значения полученные экмпериментально которые
обеспечивают заданные показатели качества и запасы устойчивости
д) выводы обощающие проделанные эксперименты для
коррекции статических и динамических свойств САУ
е) ответы на контрольные вопросы
Контрольные вопросы 1 Дать определение статической и астатической САУ
2 Какими структурными свойствами системы определяется по-
рядок ее астатизма
3 Какой из двух приведенных выше способов придания системе
свойств астатизма 1-го порядка наиболее предпочтителен на
практике
4 Назовите основные показатели качества САУ Поясните их
смысл
5 В чѐм суть исследуемого способа коррекции динамических
свойств САУ
57
6 Назвать другие способы коррекции динамических свойств
САУ
7 Чем вызваны отрицательные фазовые сдвиги в неизменяемой
части САУ
58
Лабораторная работа 6
МЕТОД КОРНЕВОГО ГОДОГРАФА
1 Цель работы
Целью работы является построение корневого годографа и ис-
следование динамики системы с использованием автоматизирован-
ных средств моделирования на ПК ndash MATLABSIMULINK
2 Задачи работы
ndash Закрепление углубление и расширение знаний студентов при
исследование динамики системы
ndash Овладение навыком построения корневого годографа
ndash Приобретение умений и навыков работы с программой мате-
матического моделирования MATLAB
3 Теоретическая часть
Корневым годографом (КГ) называется совокупность траекто-
рий перемещения всех корней характеристического уравнения за-
мкнутой системы при изменении какого-либо параметра этой систе-
мы
Обычно метод КГ позволяет находить полюса и нули ПФ за-
мкнутой системы располагая полюсами и нулями разомкнутой си-
стемы при изменении коэффициента усиления разомкнутой системы
K
ПФ разомкнутой системы Wp(s) представим в следующем виде
)(
)(
1
1
0
n
ii
m
jj
p
ss
ssKC
sW (1)
где 0js ndash нули ПФ sWp )1( mj
is ndash полюса ПФ sWp
)1( nj n и m ndash порядки знаменателя и числителя C ndash коэффици-
ент представления (отношение коэффициентов при старших членах
числителя и знаменателя)
59
При замыкании системы с ПФ sWp единичной отрицатель-
ной обратной связью ПФ замкнутой системы sWз принимает вид
)(1
)(
sW
sWsW
p
pз
(2)
Из выражения (2) следует что нули ПФ замкнутой системы рав-
ны нулям ПФ разомкнутой системы
Для нахождения полюсов рассмотри выражение
01 sWp (3)
в соответствии с выражением (1) имеем
n
i
m
jjin
ii
m
jj
ssKCss
ss
ssKC
1 1
0
1
1
0
)()(01
)(
)(
(4)
На основании выражения (4) можно сказать что при K = 0 корни
характеристического уравнения совпадают с полюсами а при K = infin ndash
с нулями При изменении K от 0 до infin траектории корней начинаются
в полюсах и заканчиваются в нулях Обычно полюсов больше чем
нулей В этом случаем mn ветвей корневого годографа стремятся к
infin
Для определения полюсов замкнутой системы с отрицательной
обратной связью необходимо решить уравнение (его называют ос-
новным уравнением метода КГ)
1sWp (5)
Так как sWp является функцией комплексного переменного
s то уравнение (5) распадается на два уравнения уравнение модулей
1)( sWp (6)
60
и уравнение аргументов (фаза вектора -1 есть нечетное число π)
210)12()(arg sWp (7)
Как известно при умножении комплексных чисел их аргументы
складываются а при делении ndash вычитаются Поэтому исходя из вы-
ражения (1) уравнение (7) имеет наглядный геометрический смысл
Пусть точка s ndash полюс замкнутой системы Если провести в s
вектора из нулей sWp (обозначим аргументы этих векторов 0j ) и
вектора из всех полюсов sWp (обозначим аргументы этих векторов
i ) то уравнение (7) можно записать в следующем виде
m
j
n
iij
1 1
0 210)12( (8)
Углы q отсчитываются от положительного направления дей-
ствительной оси Знак угла laquo+raquo соответствует повороту против часо-
вой стрелки знак угла laquo-raquo соответствует повороту по часовой стрел-
ке
Таким образом любая точка КГ должна удовлетворять уравне-
нию (8) из которого следует что конфигурация КГ не зависит от ко-
эффициента усиления K но каждому конкретному значению K одно-
значно соответствуют точки на КГ
При умножении комплексных чисел их модули перемножаются
а при делении ndash делятся Поэтому на основании (6) можно записать
1
1
1
0
n
ii
m
jj
l
lKC
(9)
где 0jl ndash модуль (длина) вектора проведенного из j-нуля в точку s
КГ il ndash модуль вектора проведенного из i-полюса в ту же точку s
61
Таким образом траектории корней строятся только по уравне-
ниям фаз а уравнение модулей используется затем для нахождения
K
Сущность метода КГ заключается в том чтобы узнать каким
должен быть коэффициент усиления разомкнутой системы чтобы
было обеспечено желаемое положение корней замкнутой системы
Корневой годограф системы с отрицательной обратной связью
обладает следующими основными свойствами
1 Ветви КГ непрерывны и расположены на комплексной плос-
кости симметрично относительно действительной оси
2 Число ветвей КГ равно порядку системы n Ветви начинают-
ся в n полюсах разомкнутой системы при K=0 При возрастании K от
0 до infin полюса замкнутой системы двигаются по ветвям КГ
3 mветвей КГ при возрастании K от 0 до infin заканчиваются в m
нулях )(sWp а )( mn ветвей при K стремящемся к infin удаляются
от полюсов вдоль асимптот
4 При расположении ветвей корневого годографа в левой полу-
плоскости s САУ устойчива При пересечении ветвей КГ мнимой оси
слева направо САУ становится неустойчивой Пусть при K=Kкр
пере-
сечение КГ с мнимой осью произойдет в некоторой точке iωкр
Назо-
вем это значение коэффициента усиления критическим Kкр
а вели-
чину iωкр
критической угловой частотой на которой система стано-
вится неустойчивой
4 Краткое описание MATLAB
Лабораторная работа выполняется в программе математического
моделирования MATLAB Программа MATLAB включает в себя пакет
прикладных программ для решения технических задач и одноименный
язык программирования используемый в этом пакете
Основными компонентами системы являются базовая система
MATLAB и пакет моделирования систем Simulink Остальные пакеты
расширения разбиты на 4 категории ndash расширения Extension MATLAB и
Extension Simulink а также комплексы пакетов расширения Blockset и
Toolbox
Раздел MATLAB Extension содержит средства для подготовки ис-
полняемых приложений MATLAB (с подключаемыми библиотеками и
без них)
62
Раздел Toolbox (инструментальные средства) содержит самое
большое число пакетов расширений системы MATLAB такие как
laquoControl systemraquo laquoDatabaseraquo laquoFuzzy logicraquo laquoWaveletraquo и тд
В разделе Blockset расположено несколько пакетов относящихся к
главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink такие как
laquoDSPraquo laquoFixed-Pointraquo laquoNonlinear control designraquo и laquoPower systemsraquo
В разделе Extension Simulink имеется ряд средств предназначен-
ных для моделирования в реальном масштабе времени и событийно-
управляемом моделировании
5 Корневой годограф в MATLAB
В системе MATLAB существует команда zpk для преобразова-
ния модели заданной ПФ в модель заданную нулями полюсами и
обобщенными коэффициентами передачи (zpk-форма)
Пример
gtgt w=tf([10][2 2 3 1 0])
Transfer function
10
-------------------------------
2 s^4 + 2 s^3 + 3 s^2 + s
gtgt w1=zpk(w)
Zeropolegain
5
----------------------------------------------
s (s+03966) (s^2 + 06034s + 1261)
Для работы с корневым годографом удобно использовать гра-
фический интерфейс laquoSISO-Design Toolraquo предназначенный для ана-
лиза и синтеза одномерных линейных систем автоматического управ-
ления (SISO ndash Single Input Signal Output)
Запуск SISO-Design Tool осуществляется командой
gtgt sisotool
63
В появившемся окне графического интерфейса необходимо ис-
пользовать команду laquoFileImportraquo для загрузки данных из рабочего
пространства MATLAB в результате которой появляется диалоговое
окно Import System Data (рис 1)
Рис 1 Диалог для ввода параметров модели
После импортирования данных можно исследовать изменение
временных и частотных характеристик замкнутой системы при изме-
нении K Обычно при этом требуется определить условия неустойчи-
вости замкнутой САУ Определить Kкр
и iωкр
На рис 2 показано окно sisotool для описанной выше модели w1
Двигая красным курсором по КГ до пересечения ветвей с мнимой
осью можно определить значения Kкр
В данном случае Kкр
asymp 01
Значение iωкр
соответствует мнимой координате пересечения КГ
мнимой оси Просмотреть это значение можно в нижней части ин-
терфейса или выбрать меню laquoView Closed-Loop Polesraquo
64
Рис 2 Основное окно SISO-Design Tool
6 Задание на лабораторную работу
Построить КГ в соответствии с вариантом из табл 1 при помо-
щи графического интерфейса sisotool
Исследовать динамику замкнутой системы при различных зна-
чениях коэффициента усиления разомкнутой системы K в том числе
ndash запасы устойчивости в частотной области
ndash параметры переходного процесса во временной области
Таблица 1
Варианты передаточных функций
Значения параметров Передаточная функция
разомкнутой системы
1 T = 01 ζ = 1
)12( 22 sTsTs
K
2 T = 005 ζ = 0707
3 T = 003 ζ = 01
4 T = 008 ζ = 05
5 T = 001 ζ = 015
65
Окончание табл 1
Значения параметров Передаточная функция
разомкнутой системы
6 T1 = 003 T2 = 05 T3 = 01 T4 = 005
)1)(1)(1(
)1(
432
1
sTsTsTs
sTK
7 T1 = 005 T2 = 04 T3 = 008 T4 = 0033
8 T1 = 02 T2 = 045 T3 = 01 T4 = 005
9 T1 = 05 T2 = 025 T3 = 01 T4 = 002
10 T1 = 01 T2 = 025 T3 = 01 T4 = 005
Вариант задания назначается преподавателем
7 Методика выполнения задания
Порядок выполнения лабораторной работы
1 Задать передаточную функцию в MATLAB в соответствии с
вариантом коэффициент K задать любым положительным числом
2 Запустить SISO-Design Tool и осуществить ввод данных
Построить КГ
3 По КГ определить значения коэффициента K когда система
будет устойчивой на границе устойчивости и неустойчива
4 Выбрать значение коэффициента K таким образом чтобы си-
стемы была устойчива и определить запас устойчивости в частотной
области и параметры переходного процесса во временной области
8 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) титульный лист
б) передаточную функцию и этапы построения КГ
в) анализ результатов построения КГ
г) выводы по проделанной работе
д) ответы на контрольные вопросы
Контрольные вопросы 1 Дать определение КГ
2 Что обычно позволяет находить метод КГ
3 В чем заключается сущность метода КГ
4 Что можно определить по КГ
66
Критерии результативности лабораторного практикума
Лабораторная работа считается выполненной если студент
ndash выполнил все указанные задания
ndash представил отчет соответствующий всем требованиям к его
содержанию и оформлению
ndash владеет терминологией и материалом лабораторной работы
ndash способен использовать программное средство математическо-
го моделирования MATLAB
ndash способен предоставить и рассказать результаты выполненной
работы на ПК
ndash может дать пояснения к отчету и ответить на контрольные
вопросы
Список литературы
1 Александров АГ Частотная теория автоматического управле-
ния учебное пособие ndash Электросталь ЭПИ МИСиС 2010
2 Борисевич АВ Теория автоматического управления элементар-
ное введение с применением MATLAB ndash СПб Изд-во Политехн ун-
та 2011
3 Федоров ВЛ Бубнов АВ Теория автоматического управления
учебное пособие ndash Омск Изд-во ОмГТУ 2010
4 Павловская ОО Чернецкая ИВ Теория автоматического
управления учебное пособие ndash Челябинск Изд-во ЮУрГУ 2010
67
Составители ЛЯНЦЕВ Олег Дмитриевич КАЗАНЦЕВ Андрей Валерьевич
ИССЛЕДОВАНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК СИСТЕМ
АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
Лабораторный практикум
по дисциплине
laquoТеория управленияraquo
Подписано в печать Формат 60х84 116 Бумага офсетная Пе-
чать плоская Гарнитура Times New Roman Усл печ л 56 Уч-изд л
55 Тираж 100 экз Заказ
ФГБОУ ВПО Уфимский государственный авиационный технический
университет
Центр оперативной полиграфии УГАТУ
450000 Уфа-центр ул К Маркса 12
41
Рис 1 АФЧХ разомкнутой системы
Критерий устойчивости Найквиста формулируется так
1 Если разомкнутая система устойчива или находится на гра-
нице устойчивости то для того чтобы замкнутая система была
устойчива необходимо и достаточно чтобы АФЧХ разомкнутой
системы при изменении частоты ω от 0 до infin не охватывала точку с ко-
ординатами (-1 j0)
2 Если разомкнутая система неустойчива а ее передаточная
функция имеет т полюсов справа от мнимой оси на комплексной
плоскости то для устойчивости замкнутой системы необходимо и до-
статочно чтобы АФЧХ разомкнутой системы при изменении частоты
ω от -infin до +infin охватывала т раз точку с координатами (-1 j0)
При использовании этого критерия нужно учитывать две
особенности
1 Если разомкнутая система находится на границе устойчиво-
сти то ее АФЧХ уходит в бесконечность Для проверки критерия Най-
квиста нужно мысленно соединить конец АФЧХ дугой бесконечно
большого радиуса с положительной вещественной полуосью
2 На практике АФЧХ может строиться только для положитель-
ных частот (0 lt ω lt +infin) При применении критерия Найквиста счита-
ется что ветвь АФЧХ для отрицательных частот симметрична отно-
сительно вещественной оси
Физический смысл критерия устойчивости Найквиста заключа-
ется в том что система будет неустойчива если фаза выходного сиг-
нала противоположна фазе входного сигнала а коэффициент усиле-
ния больше 1 Поэтому для анализа устойчивости можно использо-
вать не АФЧХ а ЛАХ системы (для минимально-фазовых систем)
Система устойчива если на частоте среза значение фазы не превы-
шает -π Соответственно для устойчивой системы можно рассматри-
вать на ЛФЧХ запас устойчивости по фазе ndash расстояние от значения
фазы на частоте среза до уровня -π и запас устойчивости по амплиту-
42
де ndash расстояние от оси частот ЛАЧХ до значения усиления на часто-
те где фаза становится равной -π
4 Краткое описание MATLAB
Лабораторная работа выполняется в программе математического
моделирования MATLAB Программа MATLAB включает в себя пакет
прикладных программ для решения технических задач и одноименный
язык программирования используемый в этом пакете
Основными компонентами системы являются базовая система
MATLAB и пакет моделирования систем Simulink Остальные пакеты
расширения разбиты на 4 категории ndash расширения Extension MATLAB и
Extension Simulink а также комплексы пакетов расширения Blockset и
Toolbox
Раздел MATLAB Extension содержит средства для подготовки ис-
полняемых приложений MATLAB (с подключаемыми библиотеками и
без них)
Раздел Toolbox (инструментальные средства) содержит самое
большое число пакетов расширений системы MATLAB такие как
laquoControl systemraquo laquoDatabaseraquo laquoFuzzy logicraquo laquoWaveletraquo и тд
В разделе Blockset расположено несколько пакетов относящихся к
главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink такие как
laquoDSPraquo laquoFixed-Pointraquo laquoNonlinear control designraquo и laquoPower systemsraquo
В разделе Extension Simulink имеется ряд средств предназначен-
ных для моделирования в реальном масштабе времени и событийно-
управляемом моделировании
5 Исследование устойчивости САУ в MATLAB
Для проверки устойчивости САУ по Гурвицу постройте матрицу
Гурвица и найдите ее детерминант (функция det) Затем последова-
тельно уменьшая размер матрицы найдите значения всех диагональ-
ных детерминантов Пример
gtgt А=[1 14 18 2 5 2 3 4 3]
А =
1 14 18
2 5 2
3 4 3
gtgt det(A)
ans = -119
43
gtgt А1=А(12 12)
А1 =
1 14
2 5
gtgt det(A1)
ans = -23
Для проверки устойчивости САУ по Найквисту сначала нужно
выяснить является ли устойчивой разомкнутая система
Пример Пусть дана передаточная функция разомкнутой
системы
13232
12234
pppp
pW
Рассмотрим реакцию на скачок
gtgt w=tf([2 1][2 3 2 3 1])
gtgt step(w18)
График переходного процесса показан на рис 2
Рис 2 Переходная реакция
Разомкнутая система неустойчива и согласно критерию Найкви-
ста надо чтобы АФЧХ разомкнутой системы охватывала точку (-1 j0)
44
столько раз сколько полюсов имеется справа от мнимой оси Для по-
строения АФЧХ достаточно вызвать команду nyquist
gtgt nyquist(w)
Диаграмма Найквиста показана на рис 3
Рис 3 Диаграмма Найквиста для неустойчивой системы
Как показывает рис3 АФЧХ ни разу не охватывает точку
(-1 j0) поэтому замкнутая система будет неустойчивой Частотный
критерий Найквиста можно использовать и в том случае когда рас-
сматривается не АФЧХ а ЛАЧХ разомкнутой системы замкнутая
минимально-фазовая система устойчива если при достижении ЛФЧХ
значения -π ЛАЧХ будет отрицательной
Используя ЛАЧХ и ЛФЧХ можно оценить запасы устойчивости
системы по амплитуде и по фазе с помощью команды
gtgt margin(w)
Пример
gtgt w=tf([10][2 2 3 1])
gtgt margin(w)
Соответствующий график показан на рис 4
45
Рис 4 Определение запасов устойчивости по амплитуде и по фазе
6 Задание на лабораторную работу
Выполнить исследование устойчивости замкнутой системы по за-
данной передаточной функции разомкнутой системы Определить запас
устойчивости по амплитуде и по фазе Вариант задания назначается
преподавателем
7 Методика выполнения задания
Порядок выполнения работы
1 Рассчитать передаточную функцию замкнутой системы по
приведенной в табл 1 разомкнутой системе
2 Определить устойчивость замкнутой системы используя кри-
терий Гурвица
3 Определить устойчивость замкнутой системы используя кри-
терий Найквиста
4 Определить запас устойчивости по амплитуде и по фазе ис-
пользуя ЛАЧХ и ЛФЧХ
5 Выполнить моделирование переходных процессов разомкну-
той и замкнутой систем
6 Подготовить ответы на контрольные вопросы
46
Таблица 1
Варианты заданий
Передаточная функция разомкнутой системы
1 1355
2234
ssss
W
2 110050
1234
ssss
W
3 11010
123
sss
W
4 122105
100234
ssss
W
5 1248
123
sss
W
6 1223
102345
sssss
W
7 11001010
323
sss
W
8 122
1023
sss
W
9 11010
123
sss
W
10 15050332
102345
sssss
W
8 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) титульный лист
б) краткие теоретические сведения
в) переходную функцию разомкнутой системы
г) расчет передаточной функции замкнутой системы
д) расчетные выражения для обоснования устойчивости замкну-
той системы по алгебраическому критерию Гурвица
е) годограф Найквиста разомкнутой системы на основании кото-
рого делается вывод об устойчивости замкнутой системы
ѐ) переходную функцию замкнутой системы
ж) проверку полученных результатов путем компьютерного моде-
лирования переходных процессов разомкнутой и замкнутой си-
стемы в MATLAB Simulink
з) выводы по всем полученным результатам
47
Контрольные вопросы
1 Как связана устойчивость линейной САУ с видом составля-
ющих ее свободного движения
2 Зависит ли устойчивость линейных САУ от амплитуды зада-
ющих воздействий или возмущений
3 Сформулируйте критерий устойчивости Гурвица укажите на
необходимое условие устойчивости линейных САУ вытекаю-
щее из этого критерия
4 Сформулируйте критерий Найквиста для случая САУ устой-
чивых в разомкнутом состоянии а также для астатических САУ
Что такое laquoзапасы устойчивости по фазе и по амплитудеraquo
5 Что называется структурной устойчивостью
48
Лабораторная работа 5
КОРРЕКЦИЯ СТАТИЧЕСКИХ И ДИНАМИЧЕСКИХ
СВОЙСТВ САУ
1 Цель работы
Целью работы является изучение способов обеспечения иско-
мых характеристик САУ с использованием автоматизированных
средств моделирования на ПК ndash MATLAB SIMULINK
2 Задачи работы
ndash Закрепление углубление и расширение знаний студентов при
обеспечении искомых характеристик САУ
ndash Приобретение умений по обеспечению точности (уменьшение
статической ошибки) САУ и выбору значений параметров регулято-
ра обеспечивающих желаемые динамические свойства САУ
ndash Приобретение умений и навыков работы с программой мате-
матического моделирования MATLAB
3 Теоретическая часть
Коррекция статических и динамических свойств САУ имеет
своей целью повышение статической и динамической точности отра-
ботки системой задающего воздействия (или парирование возмуща-
ющего воздействия) повышение запасов ее устойчивости Наиболее
распространенными способами коррекции свойств САУ является из-
менение коэффициента усиления ее разомкнутой части введение в
САУ новых звеньев (как правило интегрирующего или дифференци-
рующего типа) охват объекта управления местной обратной связью
31 Коррекция статических свойств САУ
Статические свойства системы определяются величиной устано-
вившейся ошибки )t(уст вызванной действием задающего воздей-
ствия и определяемой по формуле
22
210 2 dttgdcdttdgctgctуст (1)
где )(tg - входное воздействие 210 ccc - коэффициенты ошибок
Коэффициенты ошибок определяются по формулам
49
dssdcdssdcscs
mmmss 00100
где s - передаточная функция САУ по ошибке управления рав-
ная
sW
sраз
1
1
sWраз - передаточная функция разомкнутой САУ
Основными способами уменьшения статической ошибки систе-
мы являются
1) увеличение коэффициента усиления прямого тракта системы
2) введение в прямой тракт системы интегрирующих звеньев
3) охват объекта управления местной неединичной положитель-
ной обратной связью
Представим структурную схему системы в виде изображенном
на рис 1 где через sW обозначена передаточная функция неизме-
няемой части системы
bsbsb
asasasW
nn
nn
mm
mm
01
1
01
1
Здесь и далее полагается что KKKsW s 000 0 ndash из-
меняемый коэффициент усиления регулятора системы
Первые два коэффициента ошибок 0c и 1c определяется выраже-
ниями
KK
c0
01
1
(2)
KK
dssdWKc
s
20
01
1
(3)
Из (2) и (3) с учетом (1) вытекает что с увеличением K
статическая ошибка в системе уменьшается и наоборот с уменьше-
нием K статическая ошибка в системе увеличивается
Введем в прямой тракт системы одно интегрирующее звено
50
(рис 2) В этом случае c 00 01 1 KKc
Так как c 00 то система на рис 2 является астатической (с
астатизмом первого порядка) Система имеет нулевую статическую
ошибку при отработке постоянного задающего воздействия
consttg и постоянную обратно пропорциональную K ошибку
constуст при отработке линейно изменяющегося воздействия
tatg
Рис 1 Схема САУ Рис 2 Схема САУ с включенным в прямой
тракт интегрирующим звеном
Охватим неизменяемую часть системы sW местной нееди-
ничной положительной обратной связью с коэффициентом усиления
осK (рис 3) Тогда эквивалентная передаточная функция sWэкв
неизменяемой части системы равна
10011
01
1
aKbsaKbsaKbsb
asasa
sWK
sWsW
ососm
mосmn
n
mm
mm
осэкв
(4)
Если коэффициент усиления K выбрать из условия
a
bKос
0
0
то свободный коэффициент (b0 - Koca0) полинома знаменателя sWэкв
обратится в нуль и sWэкв приобретает интегрирующие свойства
11
11
0
1
1
aKbsaKbsbs
asasasW
ос
m
mосm
n
n
m
m
m
mэкв
g(t) y(t)ε(t)
K W(s)-
g(t) y(t)
Ks W(s)-
ε(t)
51
Следовательно замкнутая система становится астатической (с
астатизмом 1-го порядка) Отсюда 0c =0 а коэффициент 1c будет
равен
aKb
bc
ос 11
01
ε(t)g(t) y(t)
W(s)-
Kос
Wэкв(s)
+
Рис 3 Схема САУ с местной неединичной обратной связью
32 Коррекция динамических свойств САУ
Улучшение динамических свойств САУ заключается в увеличе-
нии быстродействия САУ (уменьшении времени регулирования tрег)
уменьшении перерегулирования (см рис 4) а также увеличении
запасов устойчивости по фазе и по модулю При этом
h
hh
уст
устmax100
где maxh - максимальное значение переходной характеристики за-
мкнутой САУ th
устh - установившееся значение th
Время регулирования tрег - минимальная величина при которой удо-
влетворяется условие
устрег hth
где - заданная величина ошибки (обычно =005 устh )
52
h(t)
tрег
hустhmax
2δ
Рис 4 Быстродействие и перерегулирование САУ
Одним из эффективных средств достижения этой цели является
уменьшение отрицательных фазовых сдвигов в прямом тракте систе-
мы путем охвата неизменяемой части системы местными отрицатель-
ными обратными связями
На рис 5 R(s) представляет собой передаточную функцию регу-
лятора САУ которая считается заданной
ε(t)g(t) y(t)
W(s)-
Kос
Wэкв(s)
-
R(s)
u(t)
Рис 5 Схема САУ с местной обратной связью и регулятором
Пусть неизменяемая часть системы представляет собой аперио-
дическое звено первого порядка те
sT
K)s(W
10
0
Тогда передаточная функция sWэкв эквивалентного объекта
управления равна
sT
K
sWK
sWsW
экв
экв
осэкв
11
где зквK и эквT - коэффициент усиления и постоянная времени
эквивалентного объекта равные
53
KK
KK
осэкв
0
0
1
KK
TT
осэкв
0
0
1 (5)
Из (5) следует что соответствующим выбором осK постоянную
времени эквT эквивалентного объекта можно уменьшить в (1+ 0KKос )
раз по сравнении с постоянной времени 0T объекта без местной об-
ратной связи Тем самым уменьшаются отрицательные фазовые сдви-
ги вносимые прямым трактом системы что приводит к увеличению
запасов устойчивости системы При этом однако уменьшается в
(1+ 0KKос ) раз коэффициент усиления эквK эквивалентного объекта
по сравнению с коэффициентом усиления 0K объекта без местной
обратной связи Это нежелательно так как приводит к уменьшению
быстродействия системы вследствие уменьшения общего коэффици-
ента усиления прямого тракта системы В этом случае с целью обес-
печения необходимого быстродействия системы увеличивают коэф-
фициент усиления регулятора
4 Краткое описание MATLAB
Лабораторная работа выполняется в программе математического
моделирования MATLAB Программа MATLAB включает в себя пакет
прикладных программ для решения технических задач и одноименный
язык программирования используемый в этом пакете
Основными компонентами системы являются базовая система
MATLAB и пакет моделирования систем Simulink Остальные пакеты
расширения разбиты на 4 категории ndash расширения Extension MATLAB и
Extension Simulink а также комплексы пакетов расширения Blockset и
Toolbox
Раздел MATLAB Extension содержит средства для подготовки ис-
полняемых приложений MATLAB (с подключаемыми библиотеками и
без них)
Раздел Toolbox (инструментальные средства) содержит самое
большое число пакетов расширений системы MATLAB такие как
laquoControl systemraquo laquoDatabaseraquo laquoFuzzy logicraquo laquoWaveletraquo и тд
54
В разделе Blockset расположено несколько пакетов относящихся к
главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink такие как
laquoDSPraquo laquoFixed-Pointraquo laquoNonlinear control designraquo и laquoPower systemsraquo
В разделе Extension Simulink имеется ряд средств предназначен-
ных для моделирования в реальном масштабе времени и событийно-
управляемом моделировании
5 Задание на лабораторную работу
Выполнить исследование способов коррекции статических и
динамических свойств САУ Определить время регулирования и пе-
ререгулирования в исходной и скорректированной системах а также
для динамических свойств САУ определить запасы устойчивости в
исходной системе и найти экспериментально значение Kос обеспечи-
вающее в системе заданные показатели качества и запасы устойчиво-
сти Вариант задания назначается преподавателем
Таблица 1
Варианты заданий
варианта
Параметры
1
2
3
4
5
6
7
8
a 05 10 15 20 25 30 35 40
K0 1 2 3 4 5 6 7 8
T c 03 04 05 06 07 08 09 10
ξ 06 07 08 08 07 09 05 04
уст 0 0 005 0 010 007 0 0
tрег c le 13 15 20 25 30 35 40 40
le 0 10 10 5 5 5 0 0
В качестве исходных САУ выступают системы изображенные
на рис 6 и 7
55
ε(t)g(t) y(t)
W(s)-
g(t) y(t)
R(s) W(s)-
ε(t) u(t)
Рис 6 САУ с отрицательной Рис 7 САУ с отрицательной обратной
обратной связью связью и регулятором
6 Методика выполнения задания
При исследовании способов коррекции статических свойств
САУ в качестве исходных данных выступает передаточная функция
sW неизменяемой части системы вида
1222
0
sTsT
KsW (6)
и задающие воздействия вида ttg 1 в соответствии с таблицей 1
В процессе выполнения этой части работы необходимо
1) путем моделирования в системе MATLAB исходной САУ
(рис 6) получить графики ttytg
2) сравнить полученную таким образом экспериментальную ве-
личину t с теоретической величиной вычисленной по формуле (1)
3) применяя описанные в теоретической части методических
указаний способы коррекции статических свойств (см п 31) обес-
печить требуемую статическую ошибку εуст системы при отработке
задающего воздействия ttg 1
4) получить графики ty и t в скорректированной системе
для 1 ttg
5) сравнить время регулирования регt и перерегулирование в
исходной и скорректированной системах при 1 ttg
При исследовании рассмотренного способа коррекции динами-
ческих свойств САУ (см п 32) в качестве исходных данных высту-
пают передаточная функция sW неизменяемой части системы
вида (6) и передаточная функция регулятора вида
s
KsR
рег
56
Задающее воздействие ttg 1
В процессе выполнения данной части работы необходимо
1) получить путем моделирования в MATLAB графики ty t
в системе (рис 7)
2) определить время регулирования регt и перерегулирование
а также запасы устойчивости в исходной системе
3) применяя описанный выше способ коррекции динамических
свойств САУ найти экспериментально (путем последовательного пе-
ребора) значение осK обеспечивающее в системе заданные заданием
показатели качества ( регt ) и запасы устойчивости (при необхо-
димости увеличить коэффициент регK )
4) получить графики ty t а также ЛАХ и ЛФХ разомкну-
той системы в скорректированной САУ
7 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) титульный лист
б) структурные схемы исследуемых систем
в) полученные графики и характеристики
г) значения полученные экмпериментально которые
обеспечивают заданные показатели качества и запасы устойчивости
д) выводы обощающие проделанные эксперименты для
коррекции статических и динамических свойств САУ
е) ответы на контрольные вопросы
Контрольные вопросы 1 Дать определение статической и астатической САУ
2 Какими структурными свойствами системы определяется по-
рядок ее астатизма
3 Какой из двух приведенных выше способов придания системе
свойств астатизма 1-го порядка наиболее предпочтителен на
практике
4 Назовите основные показатели качества САУ Поясните их
смысл
5 В чѐм суть исследуемого способа коррекции динамических
свойств САУ
57
6 Назвать другие способы коррекции динамических свойств
САУ
7 Чем вызваны отрицательные фазовые сдвиги в неизменяемой
части САУ
58
Лабораторная работа 6
МЕТОД КОРНЕВОГО ГОДОГРАФА
1 Цель работы
Целью работы является построение корневого годографа и ис-
следование динамики системы с использованием автоматизирован-
ных средств моделирования на ПК ndash MATLABSIMULINK
2 Задачи работы
ndash Закрепление углубление и расширение знаний студентов при
исследование динамики системы
ndash Овладение навыком построения корневого годографа
ndash Приобретение умений и навыков работы с программой мате-
матического моделирования MATLAB
3 Теоретическая часть
Корневым годографом (КГ) называется совокупность траекто-
рий перемещения всех корней характеристического уравнения за-
мкнутой системы при изменении какого-либо параметра этой систе-
мы
Обычно метод КГ позволяет находить полюса и нули ПФ за-
мкнутой системы располагая полюсами и нулями разомкнутой си-
стемы при изменении коэффициента усиления разомкнутой системы
K
ПФ разомкнутой системы Wp(s) представим в следующем виде
)(
)(
1
1
0
n
ii
m
jj
p
ss
ssKC
sW (1)
где 0js ndash нули ПФ sWp )1( mj
is ndash полюса ПФ sWp
)1( nj n и m ndash порядки знаменателя и числителя C ndash коэффици-
ент представления (отношение коэффициентов при старших членах
числителя и знаменателя)
59
При замыкании системы с ПФ sWp единичной отрицатель-
ной обратной связью ПФ замкнутой системы sWз принимает вид
)(1
)(
sW
sWsW
p
pз
(2)
Из выражения (2) следует что нули ПФ замкнутой системы рав-
ны нулям ПФ разомкнутой системы
Для нахождения полюсов рассмотри выражение
01 sWp (3)
в соответствии с выражением (1) имеем
n
i
m
jjin
ii
m
jj
ssKCss
ss
ssKC
1 1
0
1
1
0
)()(01
)(
)(
(4)
На основании выражения (4) можно сказать что при K = 0 корни
характеристического уравнения совпадают с полюсами а при K = infin ndash
с нулями При изменении K от 0 до infin траектории корней начинаются
в полюсах и заканчиваются в нулях Обычно полюсов больше чем
нулей В этом случаем mn ветвей корневого годографа стремятся к
infin
Для определения полюсов замкнутой системы с отрицательной
обратной связью необходимо решить уравнение (его называют ос-
новным уравнением метода КГ)
1sWp (5)
Так как sWp является функцией комплексного переменного
s то уравнение (5) распадается на два уравнения уравнение модулей
1)( sWp (6)
60
и уравнение аргументов (фаза вектора -1 есть нечетное число π)
210)12()(arg sWp (7)
Как известно при умножении комплексных чисел их аргументы
складываются а при делении ndash вычитаются Поэтому исходя из вы-
ражения (1) уравнение (7) имеет наглядный геометрический смысл
Пусть точка s ndash полюс замкнутой системы Если провести в s
вектора из нулей sWp (обозначим аргументы этих векторов 0j ) и
вектора из всех полюсов sWp (обозначим аргументы этих векторов
i ) то уравнение (7) можно записать в следующем виде
m
j
n
iij
1 1
0 210)12( (8)
Углы q отсчитываются от положительного направления дей-
ствительной оси Знак угла laquo+raquo соответствует повороту против часо-
вой стрелки знак угла laquo-raquo соответствует повороту по часовой стрел-
ке
Таким образом любая точка КГ должна удовлетворять уравне-
нию (8) из которого следует что конфигурация КГ не зависит от ко-
эффициента усиления K но каждому конкретному значению K одно-
значно соответствуют точки на КГ
При умножении комплексных чисел их модули перемножаются
а при делении ndash делятся Поэтому на основании (6) можно записать
1
1
1
0
n
ii
m
jj
l
lKC
(9)
где 0jl ndash модуль (длина) вектора проведенного из j-нуля в точку s
КГ il ndash модуль вектора проведенного из i-полюса в ту же точку s
61
Таким образом траектории корней строятся только по уравне-
ниям фаз а уравнение модулей используется затем для нахождения
K
Сущность метода КГ заключается в том чтобы узнать каким
должен быть коэффициент усиления разомкнутой системы чтобы
было обеспечено желаемое положение корней замкнутой системы
Корневой годограф системы с отрицательной обратной связью
обладает следующими основными свойствами
1 Ветви КГ непрерывны и расположены на комплексной плос-
кости симметрично относительно действительной оси
2 Число ветвей КГ равно порядку системы n Ветви начинают-
ся в n полюсах разомкнутой системы при K=0 При возрастании K от
0 до infin полюса замкнутой системы двигаются по ветвям КГ
3 mветвей КГ при возрастании K от 0 до infin заканчиваются в m
нулях )(sWp а )( mn ветвей при K стремящемся к infin удаляются
от полюсов вдоль асимптот
4 При расположении ветвей корневого годографа в левой полу-
плоскости s САУ устойчива При пересечении ветвей КГ мнимой оси
слева направо САУ становится неустойчивой Пусть при K=Kкр
пере-
сечение КГ с мнимой осью произойдет в некоторой точке iωкр
Назо-
вем это значение коэффициента усиления критическим Kкр
а вели-
чину iωкр
критической угловой частотой на которой система стано-
вится неустойчивой
4 Краткое описание MATLAB
Лабораторная работа выполняется в программе математического
моделирования MATLAB Программа MATLAB включает в себя пакет
прикладных программ для решения технических задач и одноименный
язык программирования используемый в этом пакете
Основными компонентами системы являются базовая система
MATLAB и пакет моделирования систем Simulink Остальные пакеты
расширения разбиты на 4 категории ndash расширения Extension MATLAB и
Extension Simulink а также комплексы пакетов расширения Blockset и
Toolbox
Раздел MATLAB Extension содержит средства для подготовки ис-
полняемых приложений MATLAB (с подключаемыми библиотеками и
без них)
62
Раздел Toolbox (инструментальные средства) содержит самое
большое число пакетов расширений системы MATLAB такие как
laquoControl systemraquo laquoDatabaseraquo laquoFuzzy logicraquo laquoWaveletraquo и тд
В разделе Blockset расположено несколько пакетов относящихся к
главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink такие как
laquoDSPraquo laquoFixed-Pointraquo laquoNonlinear control designraquo и laquoPower systemsraquo
В разделе Extension Simulink имеется ряд средств предназначен-
ных для моделирования в реальном масштабе времени и событийно-
управляемом моделировании
5 Корневой годограф в MATLAB
В системе MATLAB существует команда zpk для преобразова-
ния модели заданной ПФ в модель заданную нулями полюсами и
обобщенными коэффициентами передачи (zpk-форма)
Пример
gtgt w=tf([10][2 2 3 1 0])
Transfer function
10
-------------------------------
2 s^4 + 2 s^3 + 3 s^2 + s
gtgt w1=zpk(w)
Zeropolegain
5
----------------------------------------------
s (s+03966) (s^2 + 06034s + 1261)
Для работы с корневым годографом удобно использовать гра-
фический интерфейс laquoSISO-Design Toolraquo предназначенный для ана-
лиза и синтеза одномерных линейных систем автоматического управ-
ления (SISO ndash Single Input Signal Output)
Запуск SISO-Design Tool осуществляется командой
gtgt sisotool
63
В появившемся окне графического интерфейса необходимо ис-
пользовать команду laquoFileImportraquo для загрузки данных из рабочего
пространства MATLAB в результате которой появляется диалоговое
окно Import System Data (рис 1)
Рис 1 Диалог для ввода параметров модели
После импортирования данных можно исследовать изменение
временных и частотных характеристик замкнутой системы при изме-
нении K Обычно при этом требуется определить условия неустойчи-
вости замкнутой САУ Определить Kкр
и iωкр
На рис 2 показано окно sisotool для описанной выше модели w1
Двигая красным курсором по КГ до пересечения ветвей с мнимой
осью можно определить значения Kкр
В данном случае Kкр
asymp 01
Значение iωкр
соответствует мнимой координате пересечения КГ
мнимой оси Просмотреть это значение можно в нижней части ин-
терфейса или выбрать меню laquoView Closed-Loop Polesraquo
64
Рис 2 Основное окно SISO-Design Tool
6 Задание на лабораторную работу
Построить КГ в соответствии с вариантом из табл 1 при помо-
щи графического интерфейса sisotool
Исследовать динамику замкнутой системы при различных зна-
чениях коэффициента усиления разомкнутой системы K в том числе
ndash запасы устойчивости в частотной области
ndash параметры переходного процесса во временной области
Таблица 1
Варианты передаточных функций
Значения параметров Передаточная функция
разомкнутой системы
1 T = 01 ζ = 1
)12( 22 sTsTs
K
2 T = 005 ζ = 0707
3 T = 003 ζ = 01
4 T = 008 ζ = 05
5 T = 001 ζ = 015
65
Окончание табл 1
Значения параметров Передаточная функция
разомкнутой системы
6 T1 = 003 T2 = 05 T3 = 01 T4 = 005
)1)(1)(1(
)1(
432
1
sTsTsTs
sTK
7 T1 = 005 T2 = 04 T3 = 008 T4 = 0033
8 T1 = 02 T2 = 045 T3 = 01 T4 = 005
9 T1 = 05 T2 = 025 T3 = 01 T4 = 002
10 T1 = 01 T2 = 025 T3 = 01 T4 = 005
Вариант задания назначается преподавателем
7 Методика выполнения задания
Порядок выполнения лабораторной работы
1 Задать передаточную функцию в MATLAB в соответствии с
вариантом коэффициент K задать любым положительным числом
2 Запустить SISO-Design Tool и осуществить ввод данных
Построить КГ
3 По КГ определить значения коэффициента K когда система
будет устойчивой на границе устойчивости и неустойчива
4 Выбрать значение коэффициента K таким образом чтобы си-
стемы была устойчива и определить запас устойчивости в частотной
области и параметры переходного процесса во временной области
8 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) титульный лист
б) передаточную функцию и этапы построения КГ
в) анализ результатов построения КГ
г) выводы по проделанной работе
д) ответы на контрольные вопросы
Контрольные вопросы 1 Дать определение КГ
2 Что обычно позволяет находить метод КГ
3 В чем заключается сущность метода КГ
4 Что можно определить по КГ
66
Критерии результативности лабораторного практикума
Лабораторная работа считается выполненной если студент
ndash выполнил все указанные задания
ndash представил отчет соответствующий всем требованиям к его
содержанию и оформлению
ndash владеет терминологией и материалом лабораторной работы
ndash способен использовать программное средство математическо-
го моделирования MATLAB
ndash способен предоставить и рассказать результаты выполненной
работы на ПК
ndash может дать пояснения к отчету и ответить на контрольные
вопросы
Список литературы
1 Александров АГ Частотная теория автоматического управле-
ния учебное пособие ndash Электросталь ЭПИ МИСиС 2010
2 Борисевич АВ Теория автоматического управления элементар-
ное введение с применением MATLAB ndash СПб Изд-во Политехн ун-
та 2011
3 Федоров ВЛ Бубнов АВ Теория автоматического управления
учебное пособие ndash Омск Изд-во ОмГТУ 2010
4 Павловская ОО Чернецкая ИВ Теория автоматического
управления учебное пособие ndash Челябинск Изд-во ЮУрГУ 2010
67
Составители ЛЯНЦЕВ Олег Дмитриевич КАЗАНЦЕВ Андрей Валерьевич
ИССЛЕДОВАНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК СИСТЕМ
АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
Лабораторный практикум
по дисциплине
laquoТеория управленияraquo
Подписано в печать Формат 60х84 116 Бумага офсетная Пе-
чать плоская Гарнитура Times New Roman Усл печ л 56 Уч-изд л
55 Тираж 100 экз Заказ
ФГБОУ ВПО Уфимский государственный авиационный технический
университет
Центр оперативной полиграфии УГАТУ
450000 Уфа-центр ул К Маркса 12
42
де ndash расстояние от оси частот ЛАЧХ до значения усиления на часто-
те где фаза становится равной -π
4 Краткое описание MATLAB
Лабораторная работа выполняется в программе математического
моделирования MATLAB Программа MATLAB включает в себя пакет
прикладных программ для решения технических задач и одноименный
язык программирования используемый в этом пакете
Основными компонентами системы являются базовая система
MATLAB и пакет моделирования систем Simulink Остальные пакеты
расширения разбиты на 4 категории ndash расширения Extension MATLAB и
Extension Simulink а также комплексы пакетов расширения Blockset и
Toolbox
Раздел MATLAB Extension содержит средства для подготовки ис-
полняемых приложений MATLAB (с подключаемыми библиотеками и
без них)
Раздел Toolbox (инструментальные средства) содержит самое
большое число пакетов расширений системы MATLAB такие как
laquoControl systemraquo laquoDatabaseraquo laquoFuzzy logicraquo laquoWaveletraquo и тд
В разделе Blockset расположено несколько пакетов относящихся к
главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink такие как
laquoDSPraquo laquoFixed-Pointraquo laquoNonlinear control designraquo и laquoPower systemsraquo
В разделе Extension Simulink имеется ряд средств предназначен-
ных для моделирования в реальном масштабе времени и событийно-
управляемом моделировании
5 Исследование устойчивости САУ в MATLAB
Для проверки устойчивости САУ по Гурвицу постройте матрицу
Гурвица и найдите ее детерминант (функция det) Затем последова-
тельно уменьшая размер матрицы найдите значения всех диагональ-
ных детерминантов Пример
gtgt А=[1 14 18 2 5 2 3 4 3]
А =
1 14 18
2 5 2
3 4 3
gtgt det(A)
ans = -119
43
gtgt А1=А(12 12)
А1 =
1 14
2 5
gtgt det(A1)
ans = -23
Для проверки устойчивости САУ по Найквисту сначала нужно
выяснить является ли устойчивой разомкнутая система
Пример Пусть дана передаточная функция разомкнутой
системы
13232
12234
pppp
pW
Рассмотрим реакцию на скачок
gtgt w=tf([2 1][2 3 2 3 1])
gtgt step(w18)
График переходного процесса показан на рис 2
Рис 2 Переходная реакция
Разомкнутая система неустойчива и согласно критерию Найкви-
ста надо чтобы АФЧХ разомкнутой системы охватывала точку (-1 j0)
44
столько раз сколько полюсов имеется справа от мнимой оси Для по-
строения АФЧХ достаточно вызвать команду nyquist
gtgt nyquist(w)
Диаграмма Найквиста показана на рис 3
Рис 3 Диаграмма Найквиста для неустойчивой системы
Как показывает рис3 АФЧХ ни разу не охватывает точку
(-1 j0) поэтому замкнутая система будет неустойчивой Частотный
критерий Найквиста можно использовать и в том случае когда рас-
сматривается не АФЧХ а ЛАЧХ разомкнутой системы замкнутая
минимально-фазовая система устойчива если при достижении ЛФЧХ
значения -π ЛАЧХ будет отрицательной
Используя ЛАЧХ и ЛФЧХ можно оценить запасы устойчивости
системы по амплитуде и по фазе с помощью команды
gtgt margin(w)
Пример
gtgt w=tf([10][2 2 3 1])
gtgt margin(w)
Соответствующий график показан на рис 4
45
Рис 4 Определение запасов устойчивости по амплитуде и по фазе
6 Задание на лабораторную работу
Выполнить исследование устойчивости замкнутой системы по за-
данной передаточной функции разомкнутой системы Определить запас
устойчивости по амплитуде и по фазе Вариант задания назначается
преподавателем
7 Методика выполнения задания
Порядок выполнения работы
1 Рассчитать передаточную функцию замкнутой системы по
приведенной в табл 1 разомкнутой системе
2 Определить устойчивость замкнутой системы используя кри-
терий Гурвица
3 Определить устойчивость замкнутой системы используя кри-
терий Найквиста
4 Определить запас устойчивости по амплитуде и по фазе ис-
пользуя ЛАЧХ и ЛФЧХ
5 Выполнить моделирование переходных процессов разомкну-
той и замкнутой систем
6 Подготовить ответы на контрольные вопросы
46
Таблица 1
Варианты заданий
Передаточная функция разомкнутой системы
1 1355
2234
ssss
W
2 110050
1234
ssss
W
3 11010
123
sss
W
4 122105
100234
ssss
W
5 1248
123
sss
W
6 1223
102345
sssss
W
7 11001010
323
sss
W
8 122
1023
sss
W
9 11010
123
sss
W
10 15050332
102345
sssss
W
8 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) титульный лист
б) краткие теоретические сведения
в) переходную функцию разомкнутой системы
г) расчет передаточной функции замкнутой системы
д) расчетные выражения для обоснования устойчивости замкну-
той системы по алгебраическому критерию Гурвица
е) годограф Найквиста разомкнутой системы на основании кото-
рого делается вывод об устойчивости замкнутой системы
ѐ) переходную функцию замкнутой системы
ж) проверку полученных результатов путем компьютерного моде-
лирования переходных процессов разомкнутой и замкнутой си-
стемы в MATLAB Simulink
з) выводы по всем полученным результатам
47
Контрольные вопросы
1 Как связана устойчивость линейной САУ с видом составля-
ющих ее свободного движения
2 Зависит ли устойчивость линейных САУ от амплитуды зада-
ющих воздействий или возмущений
3 Сформулируйте критерий устойчивости Гурвица укажите на
необходимое условие устойчивости линейных САУ вытекаю-
щее из этого критерия
4 Сформулируйте критерий Найквиста для случая САУ устой-
чивых в разомкнутом состоянии а также для астатических САУ
Что такое laquoзапасы устойчивости по фазе и по амплитудеraquo
5 Что называется структурной устойчивостью
48
Лабораторная работа 5
КОРРЕКЦИЯ СТАТИЧЕСКИХ И ДИНАМИЧЕСКИХ
СВОЙСТВ САУ
1 Цель работы
Целью работы является изучение способов обеспечения иско-
мых характеристик САУ с использованием автоматизированных
средств моделирования на ПК ndash MATLAB SIMULINK
2 Задачи работы
ndash Закрепление углубление и расширение знаний студентов при
обеспечении искомых характеристик САУ
ndash Приобретение умений по обеспечению точности (уменьшение
статической ошибки) САУ и выбору значений параметров регулято-
ра обеспечивающих желаемые динамические свойства САУ
ndash Приобретение умений и навыков работы с программой мате-
матического моделирования MATLAB
3 Теоретическая часть
Коррекция статических и динамических свойств САУ имеет
своей целью повышение статической и динамической точности отра-
ботки системой задающего воздействия (или парирование возмуща-
ющего воздействия) повышение запасов ее устойчивости Наиболее
распространенными способами коррекции свойств САУ является из-
менение коэффициента усиления ее разомкнутой части введение в
САУ новых звеньев (как правило интегрирующего или дифференци-
рующего типа) охват объекта управления местной обратной связью
31 Коррекция статических свойств САУ
Статические свойства системы определяются величиной устано-
вившейся ошибки )t(уст вызванной действием задающего воздей-
ствия и определяемой по формуле
22
210 2 dttgdcdttdgctgctуст (1)
где )(tg - входное воздействие 210 ccc - коэффициенты ошибок
Коэффициенты ошибок определяются по формулам
49
dssdcdssdcscs
mmmss 00100
где s - передаточная функция САУ по ошибке управления рав-
ная
sW
sраз
1
1
sWраз - передаточная функция разомкнутой САУ
Основными способами уменьшения статической ошибки систе-
мы являются
1) увеличение коэффициента усиления прямого тракта системы
2) введение в прямой тракт системы интегрирующих звеньев
3) охват объекта управления местной неединичной положитель-
ной обратной связью
Представим структурную схему системы в виде изображенном
на рис 1 где через sW обозначена передаточная функция неизме-
няемой части системы
bsbsb
asasasW
nn
nn
mm
mm
01
1
01
1
Здесь и далее полагается что KKKsW s 000 0 ndash из-
меняемый коэффициент усиления регулятора системы
Первые два коэффициента ошибок 0c и 1c определяется выраже-
ниями
KK
c0
01
1
(2)
KK
dssdWKc
s
20
01
1
(3)
Из (2) и (3) с учетом (1) вытекает что с увеличением K
статическая ошибка в системе уменьшается и наоборот с уменьше-
нием K статическая ошибка в системе увеличивается
Введем в прямой тракт системы одно интегрирующее звено
50
(рис 2) В этом случае c 00 01 1 KKc
Так как c 00 то система на рис 2 является астатической (с
астатизмом первого порядка) Система имеет нулевую статическую
ошибку при отработке постоянного задающего воздействия
consttg и постоянную обратно пропорциональную K ошибку
constуст при отработке линейно изменяющегося воздействия
tatg
Рис 1 Схема САУ Рис 2 Схема САУ с включенным в прямой
тракт интегрирующим звеном
Охватим неизменяемую часть системы sW местной нееди-
ничной положительной обратной связью с коэффициентом усиления
осK (рис 3) Тогда эквивалентная передаточная функция sWэкв
неизменяемой части системы равна
10011
01
1
aKbsaKbsaKbsb
asasa
sWK
sWsW
ососm
mосmn
n
mm
mm
осэкв
(4)
Если коэффициент усиления K выбрать из условия
a
bKос
0
0
то свободный коэффициент (b0 - Koca0) полинома знаменателя sWэкв
обратится в нуль и sWэкв приобретает интегрирующие свойства
11
11
0
1
1
aKbsaKbsbs
asasasW
ос
m
mосm
n
n
m
m
m
mэкв
g(t) y(t)ε(t)
K W(s)-
g(t) y(t)
Ks W(s)-
ε(t)
51
Следовательно замкнутая система становится астатической (с
астатизмом 1-го порядка) Отсюда 0c =0 а коэффициент 1c будет
равен
aKb
bc
ос 11
01
ε(t)g(t) y(t)
W(s)-
Kос
Wэкв(s)
+
Рис 3 Схема САУ с местной неединичной обратной связью
32 Коррекция динамических свойств САУ
Улучшение динамических свойств САУ заключается в увеличе-
нии быстродействия САУ (уменьшении времени регулирования tрег)
уменьшении перерегулирования (см рис 4) а также увеличении
запасов устойчивости по фазе и по модулю При этом
h
hh
уст
устmax100
где maxh - максимальное значение переходной характеристики за-
мкнутой САУ th
устh - установившееся значение th
Время регулирования tрег - минимальная величина при которой удо-
влетворяется условие
устрег hth
где - заданная величина ошибки (обычно =005 устh )
52
h(t)
tрег
hустhmax
2δ
Рис 4 Быстродействие и перерегулирование САУ
Одним из эффективных средств достижения этой цели является
уменьшение отрицательных фазовых сдвигов в прямом тракте систе-
мы путем охвата неизменяемой части системы местными отрицатель-
ными обратными связями
На рис 5 R(s) представляет собой передаточную функцию регу-
лятора САУ которая считается заданной
ε(t)g(t) y(t)
W(s)-
Kос
Wэкв(s)
-
R(s)
u(t)
Рис 5 Схема САУ с местной обратной связью и регулятором
Пусть неизменяемая часть системы представляет собой аперио-
дическое звено первого порядка те
sT
K)s(W
10
0
Тогда передаточная функция sWэкв эквивалентного объекта
управления равна
sT
K
sWK
sWsW
экв
экв
осэкв
11
где зквK и эквT - коэффициент усиления и постоянная времени
эквивалентного объекта равные
53
KK
KK
осэкв
0
0
1
KK
TT
осэкв
0
0
1 (5)
Из (5) следует что соответствующим выбором осK постоянную
времени эквT эквивалентного объекта можно уменьшить в (1+ 0KKос )
раз по сравнении с постоянной времени 0T объекта без местной об-
ратной связи Тем самым уменьшаются отрицательные фазовые сдви-
ги вносимые прямым трактом системы что приводит к увеличению
запасов устойчивости системы При этом однако уменьшается в
(1+ 0KKос ) раз коэффициент усиления эквK эквивалентного объекта
по сравнению с коэффициентом усиления 0K объекта без местной
обратной связи Это нежелательно так как приводит к уменьшению
быстродействия системы вследствие уменьшения общего коэффици-
ента усиления прямого тракта системы В этом случае с целью обес-
печения необходимого быстродействия системы увеличивают коэф-
фициент усиления регулятора
4 Краткое описание MATLAB
Лабораторная работа выполняется в программе математического
моделирования MATLAB Программа MATLAB включает в себя пакет
прикладных программ для решения технических задач и одноименный
язык программирования используемый в этом пакете
Основными компонентами системы являются базовая система
MATLAB и пакет моделирования систем Simulink Остальные пакеты
расширения разбиты на 4 категории ndash расширения Extension MATLAB и
Extension Simulink а также комплексы пакетов расширения Blockset и
Toolbox
Раздел MATLAB Extension содержит средства для подготовки ис-
полняемых приложений MATLAB (с подключаемыми библиотеками и
без них)
Раздел Toolbox (инструментальные средства) содержит самое
большое число пакетов расширений системы MATLAB такие как
laquoControl systemraquo laquoDatabaseraquo laquoFuzzy logicraquo laquoWaveletraquo и тд
54
В разделе Blockset расположено несколько пакетов относящихся к
главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink такие как
laquoDSPraquo laquoFixed-Pointraquo laquoNonlinear control designraquo и laquoPower systemsraquo
В разделе Extension Simulink имеется ряд средств предназначен-
ных для моделирования в реальном масштабе времени и событийно-
управляемом моделировании
5 Задание на лабораторную работу
Выполнить исследование способов коррекции статических и
динамических свойств САУ Определить время регулирования и пе-
ререгулирования в исходной и скорректированной системах а также
для динамических свойств САУ определить запасы устойчивости в
исходной системе и найти экспериментально значение Kос обеспечи-
вающее в системе заданные показатели качества и запасы устойчиво-
сти Вариант задания назначается преподавателем
Таблица 1
Варианты заданий
варианта
Параметры
1
2
3
4
5
6
7
8
a 05 10 15 20 25 30 35 40
K0 1 2 3 4 5 6 7 8
T c 03 04 05 06 07 08 09 10
ξ 06 07 08 08 07 09 05 04
уст 0 0 005 0 010 007 0 0
tрег c le 13 15 20 25 30 35 40 40
le 0 10 10 5 5 5 0 0
В качестве исходных САУ выступают системы изображенные
на рис 6 и 7
55
ε(t)g(t) y(t)
W(s)-
g(t) y(t)
R(s) W(s)-
ε(t) u(t)
Рис 6 САУ с отрицательной Рис 7 САУ с отрицательной обратной
обратной связью связью и регулятором
6 Методика выполнения задания
При исследовании способов коррекции статических свойств
САУ в качестве исходных данных выступает передаточная функция
sW неизменяемой части системы вида
1222
0
sTsT
KsW (6)
и задающие воздействия вида ttg 1 в соответствии с таблицей 1
В процессе выполнения этой части работы необходимо
1) путем моделирования в системе MATLAB исходной САУ
(рис 6) получить графики ttytg
2) сравнить полученную таким образом экспериментальную ве-
личину t с теоретической величиной вычисленной по формуле (1)
3) применяя описанные в теоретической части методических
указаний способы коррекции статических свойств (см п 31) обес-
печить требуемую статическую ошибку εуст системы при отработке
задающего воздействия ttg 1
4) получить графики ty и t в скорректированной системе
для 1 ttg
5) сравнить время регулирования регt и перерегулирование в
исходной и скорректированной системах при 1 ttg
При исследовании рассмотренного способа коррекции динами-
ческих свойств САУ (см п 32) в качестве исходных данных высту-
пают передаточная функция sW неизменяемой части системы
вида (6) и передаточная функция регулятора вида
s
KsR
рег
56
Задающее воздействие ttg 1
В процессе выполнения данной части работы необходимо
1) получить путем моделирования в MATLAB графики ty t
в системе (рис 7)
2) определить время регулирования регt и перерегулирование
а также запасы устойчивости в исходной системе
3) применяя описанный выше способ коррекции динамических
свойств САУ найти экспериментально (путем последовательного пе-
ребора) значение осK обеспечивающее в системе заданные заданием
показатели качества ( регt ) и запасы устойчивости (при необхо-
димости увеличить коэффициент регK )
4) получить графики ty t а также ЛАХ и ЛФХ разомкну-
той системы в скорректированной САУ
7 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) титульный лист
б) структурные схемы исследуемых систем
в) полученные графики и характеристики
г) значения полученные экмпериментально которые
обеспечивают заданные показатели качества и запасы устойчивости
д) выводы обощающие проделанные эксперименты для
коррекции статических и динамических свойств САУ
е) ответы на контрольные вопросы
Контрольные вопросы 1 Дать определение статической и астатической САУ
2 Какими структурными свойствами системы определяется по-
рядок ее астатизма
3 Какой из двух приведенных выше способов придания системе
свойств астатизма 1-го порядка наиболее предпочтителен на
практике
4 Назовите основные показатели качества САУ Поясните их
смысл
5 В чѐм суть исследуемого способа коррекции динамических
свойств САУ
57
6 Назвать другие способы коррекции динамических свойств
САУ
7 Чем вызваны отрицательные фазовые сдвиги в неизменяемой
части САУ
58
Лабораторная работа 6
МЕТОД КОРНЕВОГО ГОДОГРАФА
1 Цель работы
Целью работы является построение корневого годографа и ис-
следование динамики системы с использованием автоматизирован-
ных средств моделирования на ПК ndash MATLABSIMULINK
2 Задачи работы
ndash Закрепление углубление и расширение знаний студентов при
исследование динамики системы
ndash Овладение навыком построения корневого годографа
ndash Приобретение умений и навыков работы с программой мате-
матического моделирования MATLAB
3 Теоретическая часть
Корневым годографом (КГ) называется совокупность траекто-
рий перемещения всех корней характеристического уравнения за-
мкнутой системы при изменении какого-либо параметра этой систе-
мы
Обычно метод КГ позволяет находить полюса и нули ПФ за-
мкнутой системы располагая полюсами и нулями разомкнутой си-
стемы при изменении коэффициента усиления разомкнутой системы
K
ПФ разомкнутой системы Wp(s) представим в следующем виде
)(
)(
1
1
0
n
ii
m
jj
p
ss
ssKC
sW (1)
где 0js ndash нули ПФ sWp )1( mj
is ndash полюса ПФ sWp
)1( nj n и m ndash порядки знаменателя и числителя C ndash коэффици-
ент представления (отношение коэффициентов при старших членах
числителя и знаменателя)
59
При замыкании системы с ПФ sWp единичной отрицатель-
ной обратной связью ПФ замкнутой системы sWз принимает вид
)(1
)(
sW
sWsW
p
pз
(2)
Из выражения (2) следует что нули ПФ замкнутой системы рав-
ны нулям ПФ разомкнутой системы
Для нахождения полюсов рассмотри выражение
01 sWp (3)
в соответствии с выражением (1) имеем
n
i
m
jjin
ii
m
jj
ssKCss
ss
ssKC
1 1
0
1
1
0
)()(01
)(
)(
(4)
На основании выражения (4) можно сказать что при K = 0 корни
характеристического уравнения совпадают с полюсами а при K = infin ndash
с нулями При изменении K от 0 до infin траектории корней начинаются
в полюсах и заканчиваются в нулях Обычно полюсов больше чем
нулей В этом случаем mn ветвей корневого годографа стремятся к
infin
Для определения полюсов замкнутой системы с отрицательной
обратной связью необходимо решить уравнение (его называют ос-
новным уравнением метода КГ)
1sWp (5)
Так как sWp является функцией комплексного переменного
s то уравнение (5) распадается на два уравнения уравнение модулей
1)( sWp (6)
60
и уравнение аргументов (фаза вектора -1 есть нечетное число π)
210)12()(arg sWp (7)
Как известно при умножении комплексных чисел их аргументы
складываются а при делении ndash вычитаются Поэтому исходя из вы-
ражения (1) уравнение (7) имеет наглядный геометрический смысл
Пусть точка s ndash полюс замкнутой системы Если провести в s
вектора из нулей sWp (обозначим аргументы этих векторов 0j ) и
вектора из всех полюсов sWp (обозначим аргументы этих векторов
i ) то уравнение (7) можно записать в следующем виде
m
j
n
iij
1 1
0 210)12( (8)
Углы q отсчитываются от положительного направления дей-
ствительной оси Знак угла laquo+raquo соответствует повороту против часо-
вой стрелки знак угла laquo-raquo соответствует повороту по часовой стрел-
ке
Таким образом любая точка КГ должна удовлетворять уравне-
нию (8) из которого следует что конфигурация КГ не зависит от ко-
эффициента усиления K но каждому конкретному значению K одно-
значно соответствуют точки на КГ
При умножении комплексных чисел их модули перемножаются
а при делении ndash делятся Поэтому на основании (6) можно записать
1
1
1
0
n
ii
m
jj
l
lKC
(9)
где 0jl ndash модуль (длина) вектора проведенного из j-нуля в точку s
КГ il ndash модуль вектора проведенного из i-полюса в ту же точку s
61
Таким образом траектории корней строятся только по уравне-
ниям фаз а уравнение модулей используется затем для нахождения
K
Сущность метода КГ заключается в том чтобы узнать каким
должен быть коэффициент усиления разомкнутой системы чтобы
было обеспечено желаемое положение корней замкнутой системы
Корневой годограф системы с отрицательной обратной связью
обладает следующими основными свойствами
1 Ветви КГ непрерывны и расположены на комплексной плос-
кости симметрично относительно действительной оси
2 Число ветвей КГ равно порядку системы n Ветви начинают-
ся в n полюсах разомкнутой системы при K=0 При возрастании K от
0 до infin полюса замкнутой системы двигаются по ветвям КГ
3 mветвей КГ при возрастании K от 0 до infin заканчиваются в m
нулях )(sWp а )( mn ветвей при K стремящемся к infin удаляются
от полюсов вдоль асимптот
4 При расположении ветвей корневого годографа в левой полу-
плоскости s САУ устойчива При пересечении ветвей КГ мнимой оси
слева направо САУ становится неустойчивой Пусть при K=Kкр
пере-
сечение КГ с мнимой осью произойдет в некоторой точке iωкр
Назо-
вем это значение коэффициента усиления критическим Kкр
а вели-
чину iωкр
критической угловой частотой на которой система стано-
вится неустойчивой
4 Краткое описание MATLAB
Лабораторная работа выполняется в программе математического
моделирования MATLAB Программа MATLAB включает в себя пакет
прикладных программ для решения технических задач и одноименный
язык программирования используемый в этом пакете
Основными компонентами системы являются базовая система
MATLAB и пакет моделирования систем Simulink Остальные пакеты
расширения разбиты на 4 категории ndash расширения Extension MATLAB и
Extension Simulink а также комплексы пакетов расширения Blockset и
Toolbox
Раздел MATLAB Extension содержит средства для подготовки ис-
полняемых приложений MATLAB (с подключаемыми библиотеками и
без них)
62
Раздел Toolbox (инструментальные средства) содержит самое
большое число пакетов расширений системы MATLAB такие как
laquoControl systemraquo laquoDatabaseraquo laquoFuzzy logicraquo laquoWaveletraquo и тд
В разделе Blockset расположено несколько пакетов относящихся к
главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink такие как
laquoDSPraquo laquoFixed-Pointraquo laquoNonlinear control designraquo и laquoPower systemsraquo
В разделе Extension Simulink имеется ряд средств предназначен-
ных для моделирования в реальном масштабе времени и событийно-
управляемом моделировании
5 Корневой годограф в MATLAB
В системе MATLAB существует команда zpk для преобразова-
ния модели заданной ПФ в модель заданную нулями полюсами и
обобщенными коэффициентами передачи (zpk-форма)
Пример
gtgt w=tf([10][2 2 3 1 0])
Transfer function
10
-------------------------------
2 s^4 + 2 s^3 + 3 s^2 + s
gtgt w1=zpk(w)
Zeropolegain
5
----------------------------------------------
s (s+03966) (s^2 + 06034s + 1261)
Для работы с корневым годографом удобно использовать гра-
фический интерфейс laquoSISO-Design Toolraquo предназначенный для ана-
лиза и синтеза одномерных линейных систем автоматического управ-
ления (SISO ndash Single Input Signal Output)
Запуск SISO-Design Tool осуществляется командой
gtgt sisotool
63
В появившемся окне графического интерфейса необходимо ис-
пользовать команду laquoFileImportraquo для загрузки данных из рабочего
пространства MATLAB в результате которой появляется диалоговое
окно Import System Data (рис 1)
Рис 1 Диалог для ввода параметров модели
После импортирования данных можно исследовать изменение
временных и частотных характеристик замкнутой системы при изме-
нении K Обычно при этом требуется определить условия неустойчи-
вости замкнутой САУ Определить Kкр
и iωкр
На рис 2 показано окно sisotool для описанной выше модели w1
Двигая красным курсором по КГ до пересечения ветвей с мнимой
осью можно определить значения Kкр
В данном случае Kкр
asymp 01
Значение iωкр
соответствует мнимой координате пересечения КГ
мнимой оси Просмотреть это значение можно в нижней части ин-
терфейса или выбрать меню laquoView Closed-Loop Polesraquo
64
Рис 2 Основное окно SISO-Design Tool
6 Задание на лабораторную работу
Построить КГ в соответствии с вариантом из табл 1 при помо-
щи графического интерфейса sisotool
Исследовать динамику замкнутой системы при различных зна-
чениях коэффициента усиления разомкнутой системы K в том числе
ndash запасы устойчивости в частотной области
ndash параметры переходного процесса во временной области
Таблица 1
Варианты передаточных функций
Значения параметров Передаточная функция
разомкнутой системы
1 T = 01 ζ = 1
)12( 22 sTsTs
K
2 T = 005 ζ = 0707
3 T = 003 ζ = 01
4 T = 008 ζ = 05
5 T = 001 ζ = 015
65
Окончание табл 1
Значения параметров Передаточная функция
разомкнутой системы
6 T1 = 003 T2 = 05 T3 = 01 T4 = 005
)1)(1)(1(
)1(
432
1
sTsTsTs
sTK
7 T1 = 005 T2 = 04 T3 = 008 T4 = 0033
8 T1 = 02 T2 = 045 T3 = 01 T4 = 005
9 T1 = 05 T2 = 025 T3 = 01 T4 = 002
10 T1 = 01 T2 = 025 T3 = 01 T4 = 005
Вариант задания назначается преподавателем
7 Методика выполнения задания
Порядок выполнения лабораторной работы
1 Задать передаточную функцию в MATLAB в соответствии с
вариантом коэффициент K задать любым положительным числом
2 Запустить SISO-Design Tool и осуществить ввод данных
Построить КГ
3 По КГ определить значения коэффициента K когда система
будет устойчивой на границе устойчивости и неустойчива
4 Выбрать значение коэффициента K таким образом чтобы си-
стемы была устойчива и определить запас устойчивости в частотной
области и параметры переходного процесса во временной области
8 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) титульный лист
б) передаточную функцию и этапы построения КГ
в) анализ результатов построения КГ
г) выводы по проделанной работе
д) ответы на контрольные вопросы
Контрольные вопросы 1 Дать определение КГ
2 Что обычно позволяет находить метод КГ
3 В чем заключается сущность метода КГ
4 Что можно определить по КГ
66
Критерии результативности лабораторного практикума
Лабораторная работа считается выполненной если студент
ndash выполнил все указанные задания
ndash представил отчет соответствующий всем требованиям к его
содержанию и оформлению
ndash владеет терминологией и материалом лабораторной работы
ndash способен использовать программное средство математическо-
го моделирования MATLAB
ndash способен предоставить и рассказать результаты выполненной
работы на ПК
ndash может дать пояснения к отчету и ответить на контрольные
вопросы
Список литературы
1 Александров АГ Частотная теория автоматического управле-
ния учебное пособие ndash Электросталь ЭПИ МИСиС 2010
2 Борисевич АВ Теория автоматического управления элементар-
ное введение с применением MATLAB ndash СПб Изд-во Политехн ун-
та 2011
3 Федоров ВЛ Бубнов АВ Теория автоматического управления
учебное пособие ndash Омск Изд-во ОмГТУ 2010
4 Павловская ОО Чернецкая ИВ Теория автоматического
управления учебное пособие ndash Челябинск Изд-во ЮУрГУ 2010
67
Составители ЛЯНЦЕВ Олег Дмитриевич КАЗАНЦЕВ Андрей Валерьевич
ИССЛЕДОВАНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК СИСТЕМ
АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
Лабораторный практикум
по дисциплине
laquoТеория управленияraquo
Подписано в печать Формат 60х84 116 Бумага офсетная Пе-
чать плоская Гарнитура Times New Roman Усл печ л 56 Уч-изд л
55 Тираж 100 экз Заказ
ФГБОУ ВПО Уфимский государственный авиационный технический
университет
Центр оперативной полиграфии УГАТУ
450000 Уфа-центр ул К Маркса 12
43
gtgt А1=А(12 12)
А1 =
1 14
2 5
gtgt det(A1)
ans = -23
Для проверки устойчивости САУ по Найквисту сначала нужно
выяснить является ли устойчивой разомкнутая система
Пример Пусть дана передаточная функция разомкнутой
системы
13232
12234
pppp
pW
Рассмотрим реакцию на скачок
gtgt w=tf([2 1][2 3 2 3 1])
gtgt step(w18)
График переходного процесса показан на рис 2
Рис 2 Переходная реакция
Разомкнутая система неустойчива и согласно критерию Найкви-
ста надо чтобы АФЧХ разомкнутой системы охватывала точку (-1 j0)
44
столько раз сколько полюсов имеется справа от мнимой оси Для по-
строения АФЧХ достаточно вызвать команду nyquist
gtgt nyquist(w)
Диаграмма Найквиста показана на рис 3
Рис 3 Диаграмма Найквиста для неустойчивой системы
Как показывает рис3 АФЧХ ни разу не охватывает точку
(-1 j0) поэтому замкнутая система будет неустойчивой Частотный
критерий Найквиста можно использовать и в том случае когда рас-
сматривается не АФЧХ а ЛАЧХ разомкнутой системы замкнутая
минимально-фазовая система устойчива если при достижении ЛФЧХ
значения -π ЛАЧХ будет отрицательной
Используя ЛАЧХ и ЛФЧХ можно оценить запасы устойчивости
системы по амплитуде и по фазе с помощью команды
gtgt margin(w)
Пример
gtgt w=tf([10][2 2 3 1])
gtgt margin(w)
Соответствующий график показан на рис 4
45
Рис 4 Определение запасов устойчивости по амплитуде и по фазе
6 Задание на лабораторную работу
Выполнить исследование устойчивости замкнутой системы по за-
данной передаточной функции разомкнутой системы Определить запас
устойчивости по амплитуде и по фазе Вариант задания назначается
преподавателем
7 Методика выполнения задания
Порядок выполнения работы
1 Рассчитать передаточную функцию замкнутой системы по
приведенной в табл 1 разомкнутой системе
2 Определить устойчивость замкнутой системы используя кри-
терий Гурвица
3 Определить устойчивость замкнутой системы используя кри-
терий Найквиста
4 Определить запас устойчивости по амплитуде и по фазе ис-
пользуя ЛАЧХ и ЛФЧХ
5 Выполнить моделирование переходных процессов разомкну-
той и замкнутой систем
6 Подготовить ответы на контрольные вопросы
46
Таблица 1
Варианты заданий
Передаточная функция разомкнутой системы
1 1355
2234
ssss
W
2 110050
1234
ssss
W
3 11010
123
sss
W
4 122105
100234
ssss
W
5 1248
123
sss
W
6 1223
102345
sssss
W
7 11001010
323
sss
W
8 122
1023
sss
W
9 11010
123
sss
W
10 15050332
102345
sssss
W
8 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) титульный лист
б) краткие теоретические сведения
в) переходную функцию разомкнутой системы
г) расчет передаточной функции замкнутой системы
д) расчетные выражения для обоснования устойчивости замкну-
той системы по алгебраическому критерию Гурвица
е) годограф Найквиста разомкнутой системы на основании кото-
рого делается вывод об устойчивости замкнутой системы
ѐ) переходную функцию замкнутой системы
ж) проверку полученных результатов путем компьютерного моде-
лирования переходных процессов разомкнутой и замкнутой си-
стемы в MATLAB Simulink
з) выводы по всем полученным результатам
47
Контрольные вопросы
1 Как связана устойчивость линейной САУ с видом составля-
ющих ее свободного движения
2 Зависит ли устойчивость линейных САУ от амплитуды зада-
ющих воздействий или возмущений
3 Сформулируйте критерий устойчивости Гурвица укажите на
необходимое условие устойчивости линейных САУ вытекаю-
щее из этого критерия
4 Сформулируйте критерий Найквиста для случая САУ устой-
чивых в разомкнутом состоянии а также для астатических САУ
Что такое laquoзапасы устойчивости по фазе и по амплитудеraquo
5 Что называется структурной устойчивостью
48
Лабораторная работа 5
КОРРЕКЦИЯ СТАТИЧЕСКИХ И ДИНАМИЧЕСКИХ
СВОЙСТВ САУ
1 Цель работы
Целью работы является изучение способов обеспечения иско-
мых характеристик САУ с использованием автоматизированных
средств моделирования на ПК ndash MATLAB SIMULINK
2 Задачи работы
ndash Закрепление углубление и расширение знаний студентов при
обеспечении искомых характеристик САУ
ndash Приобретение умений по обеспечению точности (уменьшение
статической ошибки) САУ и выбору значений параметров регулято-
ра обеспечивающих желаемые динамические свойства САУ
ndash Приобретение умений и навыков работы с программой мате-
матического моделирования MATLAB
3 Теоретическая часть
Коррекция статических и динамических свойств САУ имеет
своей целью повышение статической и динамической точности отра-
ботки системой задающего воздействия (или парирование возмуща-
ющего воздействия) повышение запасов ее устойчивости Наиболее
распространенными способами коррекции свойств САУ является из-
менение коэффициента усиления ее разомкнутой части введение в
САУ новых звеньев (как правило интегрирующего или дифференци-
рующего типа) охват объекта управления местной обратной связью
31 Коррекция статических свойств САУ
Статические свойства системы определяются величиной устано-
вившейся ошибки )t(уст вызванной действием задающего воздей-
ствия и определяемой по формуле
22
210 2 dttgdcdttdgctgctуст (1)
где )(tg - входное воздействие 210 ccc - коэффициенты ошибок
Коэффициенты ошибок определяются по формулам
49
dssdcdssdcscs
mmmss 00100
где s - передаточная функция САУ по ошибке управления рав-
ная
sW
sраз
1
1
sWраз - передаточная функция разомкнутой САУ
Основными способами уменьшения статической ошибки систе-
мы являются
1) увеличение коэффициента усиления прямого тракта системы
2) введение в прямой тракт системы интегрирующих звеньев
3) охват объекта управления местной неединичной положитель-
ной обратной связью
Представим структурную схему системы в виде изображенном
на рис 1 где через sW обозначена передаточная функция неизме-
няемой части системы
bsbsb
asasasW
nn
nn
mm
mm
01
1
01
1
Здесь и далее полагается что KKKsW s 000 0 ndash из-
меняемый коэффициент усиления регулятора системы
Первые два коэффициента ошибок 0c и 1c определяется выраже-
ниями
KK
c0
01
1
(2)
KK
dssdWKc
s
20
01
1
(3)
Из (2) и (3) с учетом (1) вытекает что с увеличением K
статическая ошибка в системе уменьшается и наоборот с уменьше-
нием K статическая ошибка в системе увеличивается
Введем в прямой тракт системы одно интегрирующее звено
50
(рис 2) В этом случае c 00 01 1 KKc
Так как c 00 то система на рис 2 является астатической (с
астатизмом первого порядка) Система имеет нулевую статическую
ошибку при отработке постоянного задающего воздействия
consttg и постоянную обратно пропорциональную K ошибку
constуст при отработке линейно изменяющегося воздействия
tatg
Рис 1 Схема САУ Рис 2 Схема САУ с включенным в прямой
тракт интегрирующим звеном
Охватим неизменяемую часть системы sW местной нееди-
ничной положительной обратной связью с коэффициентом усиления
осK (рис 3) Тогда эквивалентная передаточная функция sWэкв
неизменяемой части системы равна
10011
01
1
aKbsaKbsaKbsb
asasa
sWK
sWsW
ососm
mосmn
n
mm
mm
осэкв
(4)
Если коэффициент усиления K выбрать из условия
a
bKос
0
0
то свободный коэффициент (b0 - Koca0) полинома знаменателя sWэкв
обратится в нуль и sWэкв приобретает интегрирующие свойства
11
11
0
1
1
aKbsaKbsbs
asasasW
ос
m
mосm
n
n
m
m
m
mэкв
g(t) y(t)ε(t)
K W(s)-
g(t) y(t)
Ks W(s)-
ε(t)
51
Следовательно замкнутая система становится астатической (с
астатизмом 1-го порядка) Отсюда 0c =0 а коэффициент 1c будет
равен
aKb
bc
ос 11
01
ε(t)g(t) y(t)
W(s)-
Kос
Wэкв(s)
+
Рис 3 Схема САУ с местной неединичной обратной связью
32 Коррекция динамических свойств САУ
Улучшение динамических свойств САУ заключается в увеличе-
нии быстродействия САУ (уменьшении времени регулирования tрег)
уменьшении перерегулирования (см рис 4) а также увеличении
запасов устойчивости по фазе и по модулю При этом
h
hh
уст
устmax100
где maxh - максимальное значение переходной характеристики за-
мкнутой САУ th
устh - установившееся значение th
Время регулирования tрег - минимальная величина при которой удо-
влетворяется условие
устрег hth
где - заданная величина ошибки (обычно =005 устh )
52
h(t)
tрег
hустhmax
2δ
Рис 4 Быстродействие и перерегулирование САУ
Одним из эффективных средств достижения этой цели является
уменьшение отрицательных фазовых сдвигов в прямом тракте систе-
мы путем охвата неизменяемой части системы местными отрицатель-
ными обратными связями
На рис 5 R(s) представляет собой передаточную функцию регу-
лятора САУ которая считается заданной
ε(t)g(t) y(t)
W(s)-
Kос
Wэкв(s)
-
R(s)
u(t)
Рис 5 Схема САУ с местной обратной связью и регулятором
Пусть неизменяемая часть системы представляет собой аперио-
дическое звено первого порядка те
sT
K)s(W
10
0
Тогда передаточная функция sWэкв эквивалентного объекта
управления равна
sT
K
sWK
sWsW
экв
экв
осэкв
11
где зквK и эквT - коэффициент усиления и постоянная времени
эквивалентного объекта равные
53
KK
KK
осэкв
0
0
1
KK
TT
осэкв
0
0
1 (5)
Из (5) следует что соответствующим выбором осK постоянную
времени эквT эквивалентного объекта можно уменьшить в (1+ 0KKос )
раз по сравнении с постоянной времени 0T объекта без местной об-
ратной связи Тем самым уменьшаются отрицательные фазовые сдви-
ги вносимые прямым трактом системы что приводит к увеличению
запасов устойчивости системы При этом однако уменьшается в
(1+ 0KKос ) раз коэффициент усиления эквK эквивалентного объекта
по сравнению с коэффициентом усиления 0K объекта без местной
обратной связи Это нежелательно так как приводит к уменьшению
быстродействия системы вследствие уменьшения общего коэффици-
ента усиления прямого тракта системы В этом случае с целью обес-
печения необходимого быстродействия системы увеличивают коэф-
фициент усиления регулятора
4 Краткое описание MATLAB
Лабораторная работа выполняется в программе математического
моделирования MATLAB Программа MATLAB включает в себя пакет
прикладных программ для решения технических задач и одноименный
язык программирования используемый в этом пакете
Основными компонентами системы являются базовая система
MATLAB и пакет моделирования систем Simulink Остальные пакеты
расширения разбиты на 4 категории ndash расширения Extension MATLAB и
Extension Simulink а также комплексы пакетов расширения Blockset и
Toolbox
Раздел MATLAB Extension содержит средства для подготовки ис-
полняемых приложений MATLAB (с подключаемыми библиотеками и
без них)
Раздел Toolbox (инструментальные средства) содержит самое
большое число пакетов расширений системы MATLAB такие как
laquoControl systemraquo laquoDatabaseraquo laquoFuzzy logicraquo laquoWaveletraquo и тд
54
В разделе Blockset расположено несколько пакетов относящихся к
главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink такие как
laquoDSPraquo laquoFixed-Pointraquo laquoNonlinear control designraquo и laquoPower systemsraquo
В разделе Extension Simulink имеется ряд средств предназначен-
ных для моделирования в реальном масштабе времени и событийно-
управляемом моделировании
5 Задание на лабораторную работу
Выполнить исследование способов коррекции статических и
динамических свойств САУ Определить время регулирования и пе-
ререгулирования в исходной и скорректированной системах а также
для динамических свойств САУ определить запасы устойчивости в
исходной системе и найти экспериментально значение Kос обеспечи-
вающее в системе заданные показатели качества и запасы устойчиво-
сти Вариант задания назначается преподавателем
Таблица 1
Варианты заданий
варианта
Параметры
1
2
3
4
5
6
7
8
a 05 10 15 20 25 30 35 40
K0 1 2 3 4 5 6 7 8
T c 03 04 05 06 07 08 09 10
ξ 06 07 08 08 07 09 05 04
уст 0 0 005 0 010 007 0 0
tрег c le 13 15 20 25 30 35 40 40
le 0 10 10 5 5 5 0 0
В качестве исходных САУ выступают системы изображенные
на рис 6 и 7
55
ε(t)g(t) y(t)
W(s)-
g(t) y(t)
R(s) W(s)-
ε(t) u(t)
Рис 6 САУ с отрицательной Рис 7 САУ с отрицательной обратной
обратной связью связью и регулятором
6 Методика выполнения задания
При исследовании способов коррекции статических свойств
САУ в качестве исходных данных выступает передаточная функция
sW неизменяемой части системы вида
1222
0
sTsT
KsW (6)
и задающие воздействия вида ttg 1 в соответствии с таблицей 1
В процессе выполнения этой части работы необходимо
1) путем моделирования в системе MATLAB исходной САУ
(рис 6) получить графики ttytg
2) сравнить полученную таким образом экспериментальную ве-
личину t с теоретической величиной вычисленной по формуле (1)
3) применяя описанные в теоретической части методических
указаний способы коррекции статических свойств (см п 31) обес-
печить требуемую статическую ошибку εуст системы при отработке
задающего воздействия ttg 1
4) получить графики ty и t в скорректированной системе
для 1 ttg
5) сравнить время регулирования регt и перерегулирование в
исходной и скорректированной системах при 1 ttg
При исследовании рассмотренного способа коррекции динами-
ческих свойств САУ (см п 32) в качестве исходных данных высту-
пают передаточная функция sW неизменяемой части системы
вида (6) и передаточная функция регулятора вида
s
KsR
рег
56
Задающее воздействие ttg 1
В процессе выполнения данной части работы необходимо
1) получить путем моделирования в MATLAB графики ty t
в системе (рис 7)
2) определить время регулирования регt и перерегулирование
а также запасы устойчивости в исходной системе
3) применяя описанный выше способ коррекции динамических
свойств САУ найти экспериментально (путем последовательного пе-
ребора) значение осK обеспечивающее в системе заданные заданием
показатели качества ( регt ) и запасы устойчивости (при необхо-
димости увеличить коэффициент регK )
4) получить графики ty t а также ЛАХ и ЛФХ разомкну-
той системы в скорректированной САУ
7 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) титульный лист
б) структурные схемы исследуемых систем
в) полученные графики и характеристики
г) значения полученные экмпериментально которые
обеспечивают заданные показатели качества и запасы устойчивости
д) выводы обощающие проделанные эксперименты для
коррекции статических и динамических свойств САУ
е) ответы на контрольные вопросы
Контрольные вопросы 1 Дать определение статической и астатической САУ
2 Какими структурными свойствами системы определяется по-
рядок ее астатизма
3 Какой из двух приведенных выше способов придания системе
свойств астатизма 1-го порядка наиболее предпочтителен на
практике
4 Назовите основные показатели качества САУ Поясните их
смысл
5 В чѐм суть исследуемого способа коррекции динамических
свойств САУ
57
6 Назвать другие способы коррекции динамических свойств
САУ
7 Чем вызваны отрицательные фазовые сдвиги в неизменяемой
части САУ
58
Лабораторная работа 6
МЕТОД КОРНЕВОГО ГОДОГРАФА
1 Цель работы
Целью работы является построение корневого годографа и ис-
следование динамики системы с использованием автоматизирован-
ных средств моделирования на ПК ndash MATLABSIMULINK
2 Задачи работы
ndash Закрепление углубление и расширение знаний студентов при
исследование динамики системы
ndash Овладение навыком построения корневого годографа
ndash Приобретение умений и навыков работы с программой мате-
матического моделирования MATLAB
3 Теоретическая часть
Корневым годографом (КГ) называется совокупность траекто-
рий перемещения всех корней характеристического уравнения за-
мкнутой системы при изменении какого-либо параметра этой систе-
мы
Обычно метод КГ позволяет находить полюса и нули ПФ за-
мкнутой системы располагая полюсами и нулями разомкнутой си-
стемы при изменении коэффициента усиления разомкнутой системы
K
ПФ разомкнутой системы Wp(s) представим в следующем виде
)(
)(
1
1
0
n
ii
m
jj
p
ss
ssKC
sW (1)
где 0js ndash нули ПФ sWp )1( mj
is ndash полюса ПФ sWp
)1( nj n и m ndash порядки знаменателя и числителя C ndash коэффици-
ент представления (отношение коэффициентов при старших членах
числителя и знаменателя)
59
При замыкании системы с ПФ sWp единичной отрицатель-
ной обратной связью ПФ замкнутой системы sWз принимает вид
)(1
)(
sW
sWsW
p
pз
(2)
Из выражения (2) следует что нули ПФ замкнутой системы рав-
ны нулям ПФ разомкнутой системы
Для нахождения полюсов рассмотри выражение
01 sWp (3)
в соответствии с выражением (1) имеем
n
i
m
jjin
ii
m
jj
ssKCss
ss
ssKC
1 1
0
1
1
0
)()(01
)(
)(
(4)
На основании выражения (4) можно сказать что при K = 0 корни
характеристического уравнения совпадают с полюсами а при K = infin ndash
с нулями При изменении K от 0 до infin траектории корней начинаются
в полюсах и заканчиваются в нулях Обычно полюсов больше чем
нулей В этом случаем mn ветвей корневого годографа стремятся к
infin
Для определения полюсов замкнутой системы с отрицательной
обратной связью необходимо решить уравнение (его называют ос-
новным уравнением метода КГ)
1sWp (5)
Так как sWp является функцией комплексного переменного
s то уравнение (5) распадается на два уравнения уравнение модулей
1)( sWp (6)
60
и уравнение аргументов (фаза вектора -1 есть нечетное число π)
210)12()(arg sWp (7)
Как известно при умножении комплексных чисел их аргументы
складываются а при делении ndash вычитаются Поэтому исходя из вы-
ражения (1) уравнение (7) имеет наглядный геометрический смысл
Пусть точка s ndash полюс замкнутой системы Если провести в s
вектора из нулей sWp (обозначим аргументы этих векторов 0j ) и
вектора из всех полюсов sWp (обозначим аргументы этих векторов
i ) то уравнение (7) можно записать в следующем виде
m
j
n
iij
1 1
0 210)12( (8)
Углы q отсчитываются от положительного направления дей-
ствительной оси Знак угла laquo+raquo соответствует повороту против часо-
вой стрелки знак угла laquo-raquo соответствует повороту по часовой стрел-
ке
Таким образом любая точка КГ должна удовлетворять уравне-
нию (8) из которого следует что конфигурация КГ не зависит от ко-
эффициента усиления K но каждому конкретному значению K одно-
значно соответствуют точки на КГ
При умножении комплексных чисел их модули перемножаются
а при делении ndash делятся Поэтому на основании (6) можно записать
1
1
1
0
n
ii
m
jj
l
lKC
(9)
где 0jl ndash модуль (длина) вектора проведенного из j-нуля в точку s
КГ il ndash модуль вектора проведенного из i-полюса в ту же точку s
61
Таким образом траектории корней строятся только по уравне-
ниям фаз а уравнение модулей используется затем для нахождения
K
Сущность метода КГ заключается в том чтобы узнать каким
должен быть коэффициент усиления разомкнутой системы чтобы
было обеспечено желаемое положение корней замкнутой системы
Корневой годограф системы с отрицательной обратной связью
обладает следующими основными свойствами
1 Ветви КГ непрерывны и расположены на комплексной плос-
кости симметрично относительно действительной оси
2 Число ветвей КГ равно порядку системы n Ветви начинают-
ся в n полюсах разомкнутой системы при K=0 При возрастании K от
0 до infin полюса замкнутой системы двигаются по ветвям КГ
3 mветвей КГ при возрастании K от 0 до infin заканчиваются в m
нулях )(sWp а )( mn ветвей при K стремящемся к infin удаляются
от полюсов вдоль асимптот
4 При расположении ветвей корневого годографа в левой полу-
плоскости s САУ устойчива При пересечении ветвей КГ мнимой оси
слева направо САУ становится неустойчивой Пусть при K=Kкр
пере-
сечение КГ с мнимой осью произойдет в некоторой точке iωкр
Назо-
вем это значение коэффициента усиления критическим Kкр
а вели-
чину iωкр
критической угловой частотой на которой система стано-
вится неустойчивой
4 Краткое описание MATLAB
Лабораторная работа выполняется в программе математического
моделирования MATLAB Программа MATLAB включает в себя пакет
прикладных программ для решения технических задач и одноименный
язык программирования используемый в этом пакете
Основными компонентами системы являются базовая система
MATLAB и пакет моделирования систем Simulink Остальные пакеты
расширения разбиты на 4 категории ndash расширения Extension MATLAB и
Extension Simulink а также комплексы пакетов расширения Blockset и
Toolbox
Раздел MATLAB Extension содержит средства для подготовки ис-
полняемых приложений MATLAB (с подключаемыми библиотеками и
без них)
62
Раздел Toolbox (инструментальные средства) содержит самое
большое число пакетов расширений системы MATLAB такие как
laquoControl systemraquo laquoDatabaseraquo laquoFuzzy logicraquo laquoWaveletraquo и тд
В разделе Blockset расположено несколько пакетов относящихся к
главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink такие как
laquoDSPraquo laquoFixed-Pointraquo laquoNonlinear control designraquo и laquoPower systemsraquo
В разделе Extension Simulink имеется ряд средств предназначен-
ных для моделирования в реальном масштабе времени и событийно-
управляемом моделировании
5 Корневой годограф в MATLAB
В системе MATLAB существует команда zpk для преобразова-
ния модели заданной ПФ в модель заданную нулями полюсами и
обобщенными коэффициентами передачи (zpk-форма)
Пример
gtgt w=tf([10][2 2 3 1 0])
Transfer function
10
-------------------------------
2 s^4 + 2 s^3 + 3 s^2 + s
gtgt w1=zpk(w)
Zeropolegain
5
----------------------------------------------
s (s+03966) (s^2 + 06034s + 1261)
Для работы с корневым годографом удобно использовать гра-
фический интерфейс laquoSISO-Design Toolraquo предназначенный для ана-
лиза и синтеза одномерных линейных систем автоматического управ-
ления (SISO ndash Single Input Signal Output)
Запуск SISO-Design Tool осуществляется командой
gtgt sisotool
63
В появившемся окне графического интерфейса необходимо ис-
пользовать команду laquoFileImportraquo для загрузки данных из рабочего
пространства MATLAB в результате которой появляется диалоговое
окно Import System Data (рис 1)
Рис 1 Диалог для ввода параметров модели
После импортирования данных можно исследовать изменение
временных и частотных характеристик замкнутой системы при изме-
нении K Обычно при этом требуется определить условия неустойчи-
вости замкнутой САУ Определить Kкр
и iωкр
На рис 2 показано окно sisotool для описанной выше модели w1
Двигая красным курсором по КГ до пересечения ветвей с мнимой
осью можно определить значения Kкр
В данном случае Kкр
asymp 01
Значение iωкр
соответствует мнимой координате пересечения КГ
мнимой оси Просмотреть это значение можно в нижней части ин-
терфейса или выбрать меню laquoView Closed-Loop Polesraquo
64
Рис 2 Основное окно SISO-Design Tool
6 Задание на лабораторную работу
Построить КГ в соответствии с вариантом из табл 1 при помо-
щи графического интерфейса sisotool
Исследовать динамику замкнутой системы при различных зна-
чениях коэффициента усиления разомкнутой системы K в том числе
ndash запасы устойчивости в частотной области
ndash параметры переходного процесса во временной области
Таблица 1
Варианты передаточных функций
Значения параметров Передаточная функция
разомкнутой системы
1 T = 01 ζ = 1
)12( 22 sTsTs
K
2 T = 005 ζ = 0707
3 T = 003 ζ = 01
4 T = 008 ζ = 05
5 T = 001 ζ = 015
65
Окончание табл 1
Значения параметров Передаточная функция
разомкнутой системы
6 T1 = 003 T2 = 05 T3 = 01 T4 = 005
)1)(1)(1(
)1(
432
1
sTsTsTs
sTK
7 T1 = 005 T2 = 04 T3 = 008 T4 = 0033
8 T1 = 02 T2 = 045 T3 = 01 T4 = 005
9 T1 = 05 T2 = 025 T3 = 01 T4 = 002
10 T1 = 01 T2 = 025 T3 = 01 T4 = 005
Вариант задания назначается преподавателем
7 Методика выполнения задания
Порядок выполнения лабораторной работы
1 Задать передаточную функцию в MATLAB в соответствии с
вариантом коэффициент K задать любым положительным числом
2 Запустить SISO-Design Tool и осуществить ввод данных
Построить КГ
3 По КГ определить значения коэффициента K когда система
будет устойчивой на границе устойчивости и неустойчива
4 Выбрать значение коэффициента K таким образом чтобы си-
стемы была устойчива и определить запас устойчивости в частотной
области и параметры переходного процесса во временной области
8 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) титульный лист
б) передаточную функцию и этапы построения КГ
в) анализ результатов построения КГ
г) выводы по проделанной работе
д) ответы на контрольные вопросы
Контрольные вопросы 1 Дать определение КГ
2 Что обычно позволяет находить метод КГ
3 В чем заключается сущность метода КГ
4 Что можно определить по КГ
66
Критерии результативности лабораторного практикума
Лабораторная работа считается выполненной если студент
ndash выполнил все указанные задания
ndash представил отчет соответствующий всем требованиям к его
содержанию и оформлению
ndash владеет терминологией и материалом лабораторной работы
ndash способен использовать программное средство математическо-
го моделирования MATLAB
ndash способен предоставить и рассказать результаты выполненной
работы на ПК
ndash может дать пояснения к отчету и ответить на контрольные
вопросы
Список литературы
1 Александров АГ Частотная теория автоматического управле-
ния учебное пособие ndash Электросталь ЭПИ МИСиС 2010
2 Борисевич АВ Теория автоматического управления элементар-
ное введение с применением MATLAB ndash СПб Изд-во Политехн ун-
та 2011
3 Федоров ВЛ Бубнов АВ Теория автоматического управления
учебное пособие ndash Омск Изд-во ОмГТУ 2010
4 Павловская ОО Чернецкая ИВ Теория автоматического
управления учебное пособие ndash Челябинск Изд-во ЮУрГУ 2010
67
Составители ЛЯНЦЕВ Олег Дмитриевич КАЗАНЦЕВ Андрей Валерьевич
ИССЛЕДОВАНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК СИСТЕМ
АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
Лабораторный практикум
по дисциплине
laquoТеория управленияraquo
Подписано в печать Формат 60х84 116 Бумага офсетная Пе-
чать плоская Гарнитура Times New Roman Усл печ л 56 Уч-изд л
55 Тираж 100 экз Заказ
ФГБОУ ВПО Уфимский государственный авиационный технический
университет
Центр оперативной полиграфии УГАТУ
450000 Уфа-центр ул К Маркса 12
44
столько раз сколько полюсов имеется справа от мнимой оси Для по-
строения АФЧХ достаточно вызвать команду nyquist
gtgt nyquist(w)
Диаграмма Найквиста показана на рис 3
Рис 3 Диаграмма Найквиста для неустойчивой системы
Как показывает рис3 АФЧХ ни разу не охватывает точку
(-1 j0) поэтому замкнутая система будет неустойчивой Частотный
критерий Найквиста можно использовать и в том случае когда рас-
сматривается не АФЧХ а ЛАЧХ разомкнутой системы замкнутая
минимально-фазовая система устойчива если при достижении ЛФЧХ
значения -π ЛАЧХ будет отрицательной
Используя ЛАЧХ и ЛФЧХ можно оценить запасы устойчивости
системы по амплитуде и по фазе с помощью команды
gtgt margin(w)
Пример
gtgt w=tf([10][2 2 3 1])
gtgt margin(w)
Соответствующий график показан на рис 4
45
Рис 4 Определение запасов устойчивости по амплитуде и по фазе
6 Задание на лабораторную работу
Выполнить исследование устойчивости замкнутой системы по за-
данной передаточной функции разомкнутой системы Определить запас
устойчивости по амплитуде и по фазе Вариант задания назначается
преподавателем
7 Методика выполнения задания
Порядок выполнения работы
1 Рассчитать передаточную функцию замкнутой системы по
приведенной в табл 1 разомкнутой системе
2 Определить устойчивость замкнутой системы используя кри-
терий Гурвица
3 Определить устойчивость замкнутой системы используя кри-
терий Найквиста
4 Определить запас устойчивости по амплитуде и по фазе ис-
пользуя ЛАЧХ и ЛФЧХ
5 Выполнить моделирование переходных процессов разомкну-
той и замкнутой систем
6 Подготовить ответы на контрольные вопросы
46
Таблица 1
Варианты заданий
Передаточная функция разомкнутой системы
1 1355
2234
ssss
W
2 110050
1234
ssss
W
3 11010
123
sss
W
4 122105
100234
ssss
W
5 1248
123
sss
W
6 1223
102345
sssss
W
7 11001010
323
sss
W
8 122
1023
sss
W
9 11010
123
sss
W
10 15050332
102345
sssss
W
8 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) титульный лист
б) краткие теоретические сведения
в) переходную функцию разомкнутой системы
г) расчет передаточной функции замкнутой системы
д) расчетные выражения для обоснования устойчивости замкну-
той системы по алгебраическому критерию Гурвица
е) годограф Найквиста разомкнутой системы на основании кото-
рого делается вывод об устойчивости замкнутой системы
ѐ) переходную функцию замкнутой системы
ж) проверку полученных результатов путем компьютерного моде-
лирования переходных процессов разомкнутой и замкнутой си-
стемы в MATLAB Simulink
з) выводы по всем полученным результатам
47
Контрольные вопросы
1 Как связана устойчивость линейной САУ с видом составля-
ющих ее свободного движения
2 Зависит ли устойчивость линейных САУ от амплитуды зада-
ющих воздействий или возмущений
3 Сформулируйте критерий устойчивости Гурвица укажите на
необходимое условие устойчивости линейных САУ вытекаю-
щее из этого критерия
4 Сформулируйте критерий Найквиста для случая САУ устой-
чивых в разомкнутом состоянии а также для астатических САУ
Что такое laquoзапасы устойчивости по фазе и по амплитудеraquo
5 Что называется структурной устойчивостью
48
Лабораторная работа 5
КОРРЕКЦИЯ СТАТИЧЕСКИХ И ДИНАМИЧЕСКИХ
СВОЙСТВ САУ
1 Цель работы
Целью работы является изучение способов обеспечения иско-
мых характеристик САУ с использованием автоматизированных
средств моделирования на ПК ndash MATLAB SIMULINK
2 Задачи работы
ndash Закрепление углубление и расширение знаний студентов при
обеспечении искомых характеристик САУ
ndash Приобретение умений по обеспечению точности (уменьшение
статической ошибки) САУ и выбору значений параметров регулято-
ра обеспечивающих желаемые динамические свойства САУ
ndash Приобретение умений и навыков работы с программой мате-
матического моделирования MATLAB
3 Теоретическая часть
Коррекция статических и динамических свойств САУ имеет
своей целью повышение статической и динамической точности отра-
ботки системой задающего воздействия (или парирование возмуща-
ющего воздействия) повышение запасов ее устойчивости Наиболее
распространенными способами коррекции свойств САУ является из-
менение коэффициента усиления ее разомкнутой части введение в
САУ новых звеньев (как правило интегрирующего или дифференци-
рующего типа) охват объекта управления местной обратной связью
31 Коррекция статических свойств САУ
Статические свойства системы определяются величиной устано-
вившейся ошибки )t(уст вызванной действием задающего воздей-
ствия и определяемой по формуле
22
210 2 dttgdcdttdgctgctуст (1)
где )(tg - входное воздействие 210 ccc - коэффициенты ошибок
Коэффициенты ошибок определяются по формулам
49
dssdcdssdcscs
mmmss 00100
где s - передаточная функция САУ по ошибке управления рав-
ная
sW
sраз
1
1
sWраз - передаточная функция разомкнутой САУ
Основными способами уменьшения статической ошибки систе-
мы являются
1) увеличение коэффициента усиления прямого тракта системы
2) введение в прямой тракт системы интегрирующих звеньев
3) охват объекта управления местной неединичной положитель-
ной обратной связью
Представим структурную схему системы в виде изображенном
на рис 1 где через sW обозначена передаточная функция неизме-
няемой части системы
bsbsb
asasasW
nn
nn
mm
mm
01
1
01
1
Здесь и далее полагается что KKKsW s 000 0 ndash из-
меняемый коэффициент усиления регулятора системы
Первые два коэффициента ошибок 0c и 1c определяется выраже-
ниями
KK
c0
01
1
(2)
KK
dssdWKc
s
20
01
1
(3)
Из (2) и (3) с учетом (1) вытекает что с увеличением K
статическая ошибка в системе уменьшается и наоборот с уменьше-
нием K статическая ошибка в системе увеличивается
Введем в прямой тракт системы одно интегрирующее звено
50
(рис 2) В этом случае c 00 01 1 KKc
Так как c 00 то система на рис 2 является астатической (с
астатизмом первого порядка) Система имеет нулевую статическую
ошибку при отработке постоянного задающего воздействия
consttg и постоянную обратно пропорциональную K ошибку
constуст при отработке линейно изменяющегося воздействия
tatg
Рис 1 Схема САУ Рис 2 Схема САУ с включенным в прямой
тракт интегрирующим звеном
Охватим неизменяемую часть системы sW местной нееди-
ничной положительной обратной связью с коэффициентом усиления
осK (рис 3) Тогда эквивалентная передаточная функция sWэкв
неизменяемой части системы равна
10011
01
1
aKbsaKbsaKbsb
asasa
sWK
sWsW
ососm
mосmn
n
mm
mm
осэкв
(4)
Если коэффициент усиления K выбрать из условия
a
bKос
0
0
то свободный коэффициент (b0 - Koca0) полинома знаменателя sWэкв
обратится в нуль и sWэкв приобретает интегрирующие свойства
11
11
0
1
1
aKbsaKbsbs
asasasW
ос
m
mосm
n
n
m
m
m
mэкв
g(t) y(t)ε(t)
K W(s)-
g(t) y(t)
Ks W(s)-
ε(t)
51
Следовательно замкнутая система становится астатической (с
астатизмом 1-го порядка) Отсюда 0c =0 а коэффициент 1c будет
равен
aKb
bc
ос 11
01
ε(t)g(t) y(t)
W(s)-
Kос
Wэкв(s)
+
Рис 3 Схема САУ с местной неединичной обратной связью
32 Коррекция динамических свойств САУ
Улучшение динамических свойств САУ заключается в увеличе-
нии быстродействия САУ (уменьшении времени регулирования tрег)
уменьшении перерегулирования (см рис 4) а также увеличении
запасов устойчивости по фазе и по модулю При этом
h
hh
уст
устmax100
где maxh - максимальное значение переходной характеристики за-
мкнутой САУ th
устh - установившееся значение th
Время регулирования tрег - минимальная величина при которой удо-
влетворяется условие
устрег hth
где - заданная величина ошибки (обычно =005 устh )
52
h(t)
tрег
hустhmax
2δ
Рис 4 Быстродействие и перерегулирование САУ
Одним из эффективных средств достижения этой цели является
уменьшение отрицательных фазовых сдвигов в прямом тракте систе-
мы путем охвата неизменяемой части системы местными отрицатель-
ными обратными связями
На рис 5 R(s) представляет собой передаточную функцию регу-
лятора САУ которая считается заданной
ε(t)g(t) y(t)
W(s)-
Kос
Wэкв(s)
-
R(s)
u(t)
Рис 5 Схема САУ с местной обратной связью и регулятором
Пусть неизменяемая часть системы представляет собой аперио-
дическое звено первого порядка те
sT
K)s(W
10
0
Тогда передаточная функция sWэкв эквивалентного объекта
управления равна
sT
K
sWK
sWsW
экв
экв
осэкв
11
где зквK и эквT - коэффициент усиления и постоянная времени
эквивалентного объекта равные
53
KK
KK
осэкв
0
0
1
KK
TT
осэкв
0
0
1 (5)
Из (5) следует что соответствующим выбором осK постоянную
времени эквT эквивалентного объекта можно уменьшить в (1+ 0KKос )
раз по сравнении с постоянной времени 0T объекта без местной об-
ратной связи Тем самым уменьшаются отрицательные фазовые сдви-
ги вносимые прямым трактом системы что приводит к увеличению
запасов устойчивости системы При этом однако уменьшается в
(1+ 0KKос ) раз коэффициент усиления эквK эквивалентного объекта
по сравнению с коэффициентом усиления 0K объекта без местной
обратной связи Это нежелательно так как приводит к уменьшению
быстродействия системы вследствие уменьшения общего коэффици-
ента усиления прямого тракта системы В этом случае с целью обес-
печения необходимого быстродействия системы увеличивают коэф-
фициент усиления регулятора
4 Краткое описание MATLAB
Лабораторная работа выполняется в программе математического
моделирования MATLAB Программа MATLAB включает в себя пакет
прикладных программ для решения технических задач и одноименный
язык программирования используемый в этом пакете
Основными компонентами системы являются базовая система
MATLAB и пакет моделирования систем Simulink Остальные пакеты
расширения разбиты на 4 категории ndash расширения Extension MATLAB и
Extension Simulink а также комплексы пакетов расширения Blockset и
Toolbox
Раздел MATLAB Extension содержит средства для подготовки ис-
полняемых приложений MATLAB (с подключаемыми библиотеками и
без них)
Раздел Toolbox (инструментальные средства) содержит самое
большое число пакетов расширений системы MATLAB такие как
laquoControl systemraquo laquoDatabaseraquo laquoFuzzy logicraquo laquoWaveletraquo и тд
54
В разделе Blockset расположено несколько пакетов относящихся к
главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink такие как
laquoDSPraquo laquoFixed-Pointraquo laquoNonlinear control designraquo и laquoPower systemsraquo
В разделе Extension Simulink имеется ряд средств предназначен-
ных для моделирования в реальном масштабе времени и событийно-
управляемом моделировании
5 Задание на лабораторную работу
Выполнить исследование способов коррекции статических и
динамических свойств САУ Определить время регулирования и пе-
ререгулирования в исходной и скорректированной системах а также
для динамических свойств САУ определить запасы устойчивости в
исходной системе и найти экспериментально значение Kос обеспечи-
вающее в системе заданные показатели качества и запасы устойчиво-
сти Вариант задания назначается преподавателем
Таблица 1
Варианты заданий
варианта
Параметры
1
2
3
4
5
6
7
8
a 05 10 15 20 25 30 35 40
K0 1 2 3 4 5 6 7 8
T c 03 04 05 06 07 08 09 10
ξ 06 07 08 08 07 09 05 04
уст 0 0 005 0 010 007 0 0
tрег c le 13 15 20 25 30 35 40 40
le 0 10 10 5 5 5 0 0
В качестве исходных САУ выступают системы изображенные
на рис 6 и 7
55
ε(t)g(t) y(t)
W(s)-
g(t) y(t)
R(s) W(s)-
ε(t) u(t)
Рис 6 САУ с отрицательной Рис 7 САУ с отрицательной обратной
обратной связью связью и регулятором
6 Методика выполнения задания
При исследовании способов коррекции статических свойств
САУ в качестве исходных данных выступает передаточная функция
sW неизменяемой части системы вида
1222
0
sTsT
KsW (6)
и задающие воздействия вида ttg 1 в соответствии с таблицей 1
В процессе выполнения этой части работы необходимо
1) путем моделирования в системе MATLAB исходной САУ
(рис 6) получить графики ttytg
2) сравнить полученную таким образом экспериментальную ве-
личину t с теоретической величиной вычисленной по формуле (1)
3) применяя описанные в теоретической части методических
указаний способы коррекции статических свойств (см п 31) обес-
печить требуемую статическую ошибку εуст системы при отработке
задающего воздействия ttg 1
4) получить графики ty и t в скорректированной системе
для 1 ttg
5) сравнить время регулирования регt и перерегулирование в
исходной и скорректированной системах при 1 ttg
При исследовании рассмотренного способа коррекции динами-
ческих свойств САУ (см п 32) в качестве исходных данных высту-
пают передаточная функция sW неизменяемой части системы
вида (6) и передаточная функция регулятора вида
s
KsR
рег
56
Задающее воздействие ttg 1
В процессе выполнения данной части работы необходимо
1) получить путем моделирования в MATLAB графики ty t
в системе (рис 7)
2) определить время регулирования регt и перерегулирование
а также запасы устойчивости в исходной системе
3) применяя описанный выше способ коррекции динамических
свойств САУ найти экспериментально (путем последовательного пе-
ребора) значение осK обеспечивающее в системе заданные заданием
показатели качества ( регt ) и запасы устойчивости (при необхо-
димости увеличить коэффициент регK )
4) получить графики ty t а также ЛАХ и ЛФХ разомкну-
той системы в скорректированной САУ
7 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) титульный лист
б) структурные схемы исследуемых систем
в) полученные графики и характеристики
г) значения полученные экмпериментально которые
обеспечивают заданные показатели качества и запасы устойчивости
д) выводы обощающие проделанные эксперименты для
коррекции статических и динамических свойств САУ
е) ответы на контрольные вопросы
Контрольные вопросы 1 Дать определение статической и астатической САУ
2 Какими структурными свойствами системы определяется по-
рядок ее астатизма
3 Какой из двух приведенных выше способов придания системе
свойств астатизма 1-го порядка наиболее предпочтителен на
практике
4 Назовите основные показатели качества САУ Поясните их
смысл
5 В чѐм суть исследуемого способа коррекции динамических
свойств САУ
57
6 Назвать другие способы коррекции динамических свойств
САУ
7 Чем вызваны отрицательные фазовые сдвиги в неизменяемой
части САУ
58
Лабораторная работа 6
МЕТОД КОРНЕВОГО ГОДОГРАФА
1 Цель работы
Целью работы является построение корневого годографа и ис-
следование динамики системы с использованием автоматизирован-
ных средств моделирования на ПК ndash MATLABSIMULINK
2 Задачи работы
ndash Закрепление углубление и расширение знаний студентов при
исследование динамики системы
ndash Овладение навыком построения корневого годографа
ndash Приобретение умений и навыков работы с программой мате-
матического моделирования MATLAB
3 Теоретическая часть
Корневым годографом (КГ) называется совокупность траекто-
рий перемещения всех корней характеристического уравнения за-
мкнутой системы при изменении какого-либо параметра этой систе-
мы
Обычно метод КГ позволяет находить полюса и нули ПФ за-
мкнутой системы располагая полюсами и нулями разомкнутой си-
стемы при изменении коэффициента усиления разомкнутой системы
K
ПФ разомкнутой системы Wp(s) представим в следующем виде
)(
)(
1
1
0
n
ii
m
jj
p
ss
ssKC
sW (1)
где 0js ndash нули ПФ sWp )1( mj
is ndash полюса ПФ sWp
)1( nj n и m ndash порядки знаменателя и числителя C ndash коэффици-
ент представления (отношение коэффициентов при старших членах
числителя и знаменателя)
59
При замыкании системы с ПФ sWp единичной отрицатель-
ной обратной связью ПФ замкнутой системы sWз принимает вид
)(1
)(
sW
sWsW
p
pз
(2)
Из выражения (2) следует что нули ПФ замкнутой системы рав-
ны нулям ПФ разомкнутой системы
Для нахождения полюсов рассмотри выражение
01 sWp (3)
в соответствии с выражением (1) имеем
n
i
m
jjin
ii
m
jj
ssKCss
ss
ssKC
1 1
0
1
1
0
)()(01
)(
)(
(4)
На основании выражения (4) можно сказать что при K = 0 корни
характеристического уравнения совпадают с полюсами а при K = infin ndash
с нулями При изменении K от 0 до infin траектории корней начинаются
в полюсах и заканчиваются в нулях Обычно полюсов больше чем
нулей В этом случаем mn ветвей корневого годографа стремятся к
infin
Для определения полюсов замкнутой системы с отрицательной
обратной связью необходимо решить уравнение (его называют ос-
новным уравнением метода КГ)
1sWp (5)
Так как sWp является функцией комплексного переменного
s то уравнение (5) распадается на два уравнения уравнение модулей
1)( sWp (6)
60
и уравнение аргументов (фаза вектора -1 есть нечетное число π)
210)12()(arg sWp (7)
Как известно при умножении комплексных чисел их аргументы
складываются а при делении ndash вычитаются Поэтому исходя из вы-
ражения (1) уравнение (7) имеет наглядный геометрический смысл
Пусть точка s ndash полюс замкнутой системы Если провести в s
вектора из нулей sWp (обозначим аргументы этих векторов 0j ) и
вектора из всех полюсов sWp (обозначим аргументы этих векторов
i ) то уравнение (7) можно записать в следующем виде
m
j
n
iij
1 1
0 210)12( (8)
Углы q отсчитываются от положительного направления дей-
ствительной оси Знак угла laquo+raquo соответствует повороту против часо-
вой стрелки знак угла laquo-raquo соответствует повороту по часовой стрел-
ке
Таким образом любая точка КГ должна удовлетворять уравне-
нию (8) из которого следует что конфигурация КГ не зависит от ко-
эффициента усиления K но каждому конкретному значению K одно-
значно соответствуют точки на КГ
При умножении комплексных чисел их модули перемножаются
а при делении ndash делятся Поэтому на основании (6) можно записать
1
1
1
0
n
ii
m
jj
l
lKC
(9)
где 0jl ndash модуль (длина) вектора проведенного из j-нуля в точку s
КГ il ndash модуль вектора проведенного из i-полюса в ту же точку s
61
Таким образом траектории корней строятся только по уравне-
ниям фаз а уравнение модулей используется затем для нахождения
K
Сущность метода КГ заключается в том чтобы узнать каким
должен быть коэффициент усиления разомкнутой системы чтобы
было обеспечено желаемое положение корней замкнутой системы
Корневой годограф системы с отрицательной обратной связью
обладает следующими основными свойствами
1 Ветви КГ непрерывны и расположены на комплексной плос-
кости симметрично относительно действительной оси
2 Число ветвей КГ равно порядку системы n Ветви начинают-
ся в n полюсах разомкнутой системы при K=0 При возрастании K от
0 до infin полюса замкнутой системы двигаются по ветвям КГ
3 mветвей КГ при возрастании K от 0 до infin заканчиваются в m
нулях )(sWp а )( mn ветвей при K стремящемся к infin удаляются
от полюсов вдоль асимптот
4 При расположении ветвей корневого годографа в левой полу-
плоскости s САУ устойчива При пересечении ветвей КГ мнимой оси
слева направо САУ становится неустойчивой Пусть при K=Kкр
пере-
сечение КГ с мнимой осью произойдет в некоторой точке iωкр
Назо-
вем это значение коэффициента усиления критическим Kкр
а вели-
чину iωкр
критической угловой частотой на которой система стано-
вится неустойчивой
4 Краткое описание MATLAB
Лабораторная работа выполняется в программе математического
моделирования MATLAB Программа MATLAB включает в себя пакет
прикладных программ для решения технических задач и одноименный
язык программирования используемый в этом пакете
Основными компонентами системы являются базовая система
MATLAB и пакет моделирования систем Simulink Остальные пакеты
расширения разбиты на 4 категории ndash расширения Extension MATLAB и
Extension Simulink а также комплексы пакетов расширения Blockset и
Toolbox
Раздел MATLAB Extension содержит средства для подготовки ис-
полняемых приложений MATLAB (с подключаемыми библиотеками и
без них)
62
Раздел Toolbox (инструментальные средства) содержит самое
большое число пакетов расширений системы MATLAB такие как
laquoControl systemraquo laquoDatabaseraquo laquoFuzzy logicraquo laquoWaveletraquo и тд
В разделе Blockset расположено несколько пакетов относящихся к
главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink такие как
laquoDSPraquo laquoFixed-Pointraquo laquoNonlinear control designraquo и laquoPower systemsraquo
В разделе Extension Simulink имеется ряд средств предназначен-
ных для моделирования в реальном масштабе времени и событийно-
управляемом моделировании
5 Корневой годограф в MATLAB
В системе MATLAB существует команда zpk для преобразова-
ния модели заданной ПФ в модель заданную нулями полюсами и
обобщенными коэффициентами передачи (zpk-форма)
Пример
gtgt w=tf([10][2 2 3 1 0])
Transfer function
10
-------------------------------
2 s^4 + 2 s^3 + 3 s^2 + s
gtgt w1=zpk(w)
Zeropolegain
5
----------------------------------------------
s (s+03966) (s^2 + 06034s + 1261)
Для работы с корневым годографом удобно использовать гра-
фический интерфейс laquoSISO-Design Toolraquo предназначенный для ана-
лиза и синтеза одномерных линейных систем автоматического управ-
ления (SISO ndash Single Input Signal Output)
Запуск SISO-Design Tool осуществляется командой
gtgt sisotool
63
В появившемся окне графического интерфейса необходимо ис-
пользовать команду laquoFileImportraquo для загрузки данных из рабочего
пространства MATLAB в результате которой появляется диалоговое
окно Import System Data (рис 1)
Рис 1 Диалог для ввода параметров модели
После импортирования данных можно исследовать изменение
временных и частотных характеристик замкнутой системы при изме-
нении K Обычно при этом требуется определить условия неустойчи-
вости замкнутой САУ Определить Kкр
и iωкр
На рис 2 показано окно sisotool для описанной выше модели w1
Двигая красным курсором по КГ до пересечения ветвей с мнимой
осью можно определить значения Kкр
В данном случае Kкр
asymp 01
Значение iωкр
соответствует мнимой координате пересечения КГ
мнимой оси Просмотреть это значение можно в нижней части ин-
терфейса или выбрать меню laquoView Closed-Loop Polesraquo
64
Рис 2 Основное окно SISO-Design Tool
6 Задание на лабораторную работу
Построить КГ в соответствии с вариантом из табл 1 при помо-
щи графического интерфейса sisotool
Исследовать динамику замкнутой системы при различных зна-
чениях коэффициента усиления разомкнутой системы K в том числе
ndash запасы устойчивости в частотной области
ndash параметры переходного процесса во временной области
Таблица 1
Варианты передаточных функций
Значения параметров Передаточная функция
разомкнутой системы
1 T = 01 ζ = 1
)12( 22 sTsTs
K
2 T = 005 ζ = 0707
3 T = 003 ζ = 01
4 T = 008 ζ = 05
5 T = 001 ζ = 015
65
Окончание табл 1
Значения параметров Передаточная функция
разомкнутой системы
6 T1 = 003 T2 = 05 T3 = 01 T4 = 005
)1)(1)(1(
)1(
432
1
sTsTsTs
sTK
7 T1 = 005 T2 = 04 T3 = 008 T4 = 0033
8 T1 = 02 T2 = 045 T3 = 01 T4 = 005
9 T1 = 05 T2 = 025 T3 = 01 T4 = 002
10 T1 = 01 T2 = 025 T3 = 01 T4 = 005
Вариант задания назначается преподавателем
7 Методика выполнения задания
Порядок выполнения лабораторной работы
1 Задать передаточную функцию в MATLAB в соответствии с
вариантом коэффициент K задать любым положительным числом
2 Запустить SISO-Design Tool и осуществить ввод данных
Построить КГ
3 По КГ определить значения коэффициента K когда система
будет устойчивой на границе устойчивости и неустойчива
4 Выбрать значение коэффициента K таким образом чтобы си-
стемы была устойчива и определить запас устойчивости в частотной
области и параметры переходного процесса во временной области
8 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) титульный лист
б) передаточную функцию и этапы построения КГ
в) анализ результатов построения КГ
г) выводы по проделанной работе
д) ответы на контрольные вопросы
Контрольные вопросы 1 Дать определение КГ
2 Что обычно позволяет находить метод КГ
3 В чем заключается сущность метода КГ
4 Что можно определить по КГ
66
Критерии результативности лабораторного практикума
Лабораторная работа считается выполненной если студент
ndash выполнил все указанные задания
ndash представил отчет соответствующий всем требованиям к его
содержанию и оформлению
ndash владеет терминологией и материалом лабораторной работы
ndash способен использовать программное средство математическо-
го моделирования MATLAB
ndash способен предоставить и рассказать результаты выполненной
работы на ПК
ndash может дать пояснения к отчету и ответить на контрольные
вопросы
Список литературы
1 Александров АГ Частотная теория автоматического управле-
ния учебное пособие ndash Электросталь ЭПИ МИСиС 2010
2 Борисевич АВ Теория автоматического управления элементар-
ное введение с применением MATLAB ndash СПб Изд-во Политехн ун-
та 2011
3 Федоров ВЛ Бубнов АВ Теория автоматического управления
учебное пособие ndash Омск Изд-во ОмГТУ 2010
4 Павловская ОО Чернецкая ИВ Теория автоматического
управления учебное пособие ndash Челябинск Изд-во ЮУрГУ 2010
67
Составители ЛЯНЦЕВ Олег Дмитриевич КАЗАНЦЕВ Андрей Валерьевич
ИССЛЕДОВАНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК СИСТЕМ
АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
Лабораторный практикум
по дисциплине
laquoТеория управленияraquo
Подписано в печать Формат 60х84 116 Бумага офсетная Пе-
чать плоская Гарнитура Times New Roman Усл печ л 56 Уч-изд л
55 Тираж 100 экз Заказ
ФГБОУ ВПО Уфимский государственный авиационный технический
университет
Центр оперативной полиграфии УГАТУ
450000 Уфа-центр ул К Маркса 12
45
Рис 4 Определение запасов устойчивости по амплитуде и по фазе
6 Задание на лабораторную работу
Выполнить исследование устойчивости замкнутой системы по за-
данной передаточной функции разомкнутой системы Определить запас
устойчивости по амплитуде и по фазе Вариант задания назначается
преподавателем
7 Методика выполнения задания
Порядок выполнения работы
1 Рассчитать передаточную функцию замкнутой системы по
приведенной в табл 1 разомкнутой системе
2 Определить устойчивость замкнутой системы используя кри-
терий Гурвица
3 Определить устойчивость замкнутой системы используя кри-
терий Найквиста
4 Определить запас устойчивости по амплитуде и по фазе ис-
пользуя ЛАЧХ и ЛФЧХ
5 Выполнить моделирование переходных процессов разомкну-
той и замкнутой систем
6 Подготовить ответы на контрольные вопросы
46
Таблица 1
Варианты заданий
Передаточная функция разомкнутой системы
1 1355
2234
ssss
W
2 110050
1234
ssss
W
3 11010
123
sss
W
4 122105
100234
ssss
W
5 1248
123
sss
W
6 1223
102345
sssss
W
7 11001010
323
sss
W
8 122
1023
sss
W
9 11010
123
sss
W
10 15050332
102345
sssss
W
8 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) титульный лист
б) краткие теоретические сведения
в) переходную функцию разомкнутой системы
г) расчет передаточной функции замкнутой системы
д) расчетные выражения для обоснования устойчивости замкну-
той системы по алгебраическому критерию Гурвица
е) годограф Найквиста разомкнутой системы на основании кото-
рого делается вывод об устойчивости замкнутой системы
ѐ) переходную функцию замкнутой системы
ж) проверку полученных результатов путем компьютерного моде-
лирования переходных процессов разомкнутой и замкнутой си-
стемы в MATLAB Simulink
з) выводы по всем полученным результатам
47
Контрольные вопросы
1 Как связана устойчивость линейной САУ с видом составля-
ющих ее свободного движения
2 Зависит ли устойчивость линейных САУ от амплитуды зада-
ющих воздействий или возмущений
3 Сформулируйте критерий устойчивости Гурвица укажите на
необходимое условие устойчивости линейных САУ вытекаю-
щее из этого критерия
4 Сформулируйте критерий Найквиста для случая САУ устой-
чивых в разомкнутом состоянии а также для астатических САУ
Что такое laquoзапасы устойчивости по фазе и по амплитудеraquo
5 Что называется структурной устойчивостью
48
Лабораторная работа 5
КОРРЕКЦИЯ СТАТИЧЕСКИХ И ДИНАМИЧЕСКИХ
СВОЙСТВ САУ
1 Цель работы
Целью работы является изучение способов обеспечения иско-
мых характеристик САУ с использованием автоматизированных
средств моделирования на ПК ndash MATLAB SIMULINK
2 Задачи работы
ndash Закрепление углубление и расширение знаний студентов при
обеспечении искомых характеристик САУ
ndash Приобретение умений по обеспечению точности (уменьшение
статической ошибки) САУ и выбору значений параметров регулято-
ра обеспечивающих желаемые динамические свойства САУ
ndash Приобретение умений и навыков работы с программой мате-
матического моделирования MATLAB
3 Теоретическая часть
Коррекция статических и динамических свойств САУ имеет
своей целью повышение статической и динамической точности отра-
ботки системой задающего воздействия (или парирование возмуща-
ющего воздействия) повышение запасов ее устойчивости Наиболее
распространенными способами коррекции свойств САУ является из-
менение коэффициента усиления ее разомкнутой части введение в
САУ новых звеньев (как правило интегрирующего или дифференци-
рующего типа) охват объекта управления местной обратной связью
31 Коррекция статических свойств САУ
Статические свойства системы определяются величиной устано-
вившейся ошибки )t(уст вызванной действием задающего воздей-
ствия и определяемой по формуле
22
210 2 dttgdcdttdgctgctуст (1)
где )(tg - входное воздействие 210 ccc - коэффициенты ошибок
Коэффициенты ошибок определяются по формулам
49
dssdcdssdcscs
mmmss 00100
где s - передаточная функция САУ по ошибке управления рав-
ная
sW
sраз
1
1
sWраз - передаточная функция разомкнутой САУ
Основными способами уменьшения статической ошибки систе-
мы являются
1) увеличение коэффициента усиления прямого тракта системы
2) введение в прямой тракт системы интегрирующих звеньев
3) охват объекта управления местной неединичной положитель-
ной обратной связью
Представим структурную схему системы в виде изображенном
на рис 1 где через sW обозначена передаточная функция неизме-
няемой части системы
bsbsb
asasasW
nn
nn
mm
mm
01
1
01
1
Здесь и далее полагается что KKKsW s 000 0 ndash из-
меняемый коэффициент усиления регулятора системы
Первые два коэффициента ошибок 0c и 1c определяется выраже-
ниями
KK
c0
01
1
(2)
KK
dssdWKc
s
20
01
1
(3)
Из (2) и (3) с учетом (1) вытекает что с увеличением K
статическая ошибка в системе уменьшается и наоборот с уменьше-
нием K статическая ошибка в системе увеличивается
Введем в прямой тракт системы одно интегрирующее звено
50
(рис 2) В этом случае c 00 01 1 KKc
Так как c 00 то система на рис 2 является астатической (с
астатизмом первого порядка) Система имеет нулевую статическую
ошибку при отработке постоянного задающего воздействия
consttg и постоянную обратно пропорциональную K ошибку
constуст при отработке линейно изменяющегося воздействия
tatg
Рис 1 Схема САУ Рис 2 Схема САУ с включенным в прямой
тракт интегрирующим звеном
Охватим неизменяемую часть системы sW местной нееди-
ничной положительной обратной связью с коэффициентом усиления
осK (рис 3) Тогда эквивалентная передаточная функция sWэкв
неизменяемой части системы равна
10011
01
1
aKbsaKbsaKbsb
asasa
sWK
sWsW
ососm
mосmn
n
mm
mm
осэкв
(4)
Если коэффициент усиления K выбрать из условия
a
bKос
0
0
то свободный коэффициент (b0 - Koca0) полинома знаменателя sWэкв
обратится в нуль и sWэкв приобретает интегрирующие свойства
11
11
0
1
1
aKbsaKbsbs
asasasW
ос
m
mосm
n
n
m
m
m
mэкв
g(t) y(t)ε(t)
K W(s)-
g(t) y(t)
Ks W(s)-
ε(t)
51
Следовательно замкнутая система становится астатической (с
астатизмом 1-го порядка) Отсюда 0c =0 а коэффициент 1c будет
равен
aKb
bc
ос 11
01
ε(t)g(t) y(t)
W(s)-
Kос
Wэкв(s)
+
Рис 3 Схема САУ с местной неединичной обратной связью
32 Коррекция динамических свойств САУ
Улучшение динамических свойств САУ заключается в увеличе-
нии быстродействия САУ (уменьшении времени регулирования tрег)
уменьшении перерегулирования (см рис 4) а также увеличении
запасов устойчивости по фазе и по модулю При этом
h
hh
уст
устmax100
где maxh - максимальное значение переходной характеристики за-
мкнутой САУ th
устh - установившееся значение th
Время регулирования tрег - минимальная величина при которой удо-
влетворяется условие
устрег hth
где - заданная величина ошибки (обычно =005 устh )
52
h(t)
tрег
hустhmax
2δ
Рис 4 Быстродействие и перерегулирование САУ
Одним из эффективных средств достижения этой цели является
уменьшение отрицательных фазовых сдвигов в прямом тракте систе-
мы путем охвата неизменяемой части системы местными отрицатель-
ными обратными связями
На рис 5 R(s) представляет собой передаточную функцию регу-
лятора САУ которая считается заданной
ε(t)g(t) y(t)
W(s)-
Kос
Wэкв(s)
-
R(s)
u(t)
Рис 5 Схема САУ с местной обратной связью и регулятором
Пусть неизменяемая часть системы представляет собой аперио-
дическое звено первого порядка те
sT
K)s(W
10
0
Тогда передаточная функция sWэкв эквивалентного объекта
управления равна
sT
K
sWK
sWsW
экв
экв
осэкв
11
где зквK и эквT - коэффициент усиления и постоянная времени
эквивалентного объекта равные
53
KK
KK
осэкв
0
0
1
KK
TT
осэкв
0
0
1 (5)
Из (5) следует что соответствующим выбором осK постоянную
времени эквT эквивалентного объекта можно уменьшить в (1+ 0KKос )
раз по сравнении с постоянной времени 0T объекта без местной об-
ратной связи Тем самым уменьшаются отрицательные фазовые сдви-
ги вносимые прямым трактом системы что приводит к увеличению
запасов устойчивости системы При этом однако уменьшается в
(1+ 0KKос ) раз коэффициент усиления эквK эквивалентного объекта
по сравнению с коэффициентом усиления 0K объекта без местной
обратной связи Это нежелательно так как приводит к уменьшению
быстродействия системы вследствие уменьшения общего коэффици-
ента усиления прямого тракта системы В этом случае с целью обес-
печения необходимого быстродействия системы увеличивают коэф-
фициент усиления регулятора
4 Краткое описание MATLAB
Лабораторная работа выполняется в программе математического
моделирования MATLAB Программа MATLAB включает в себя пакет
прикладных программ для решения технических задач и одноименный
язык программирования используемый в этом пакете
Основными компонентами системы являются базовая система
MATLAB и пакет моделирования систем Simulink Остальные пакеты
расширения разбиты на 4 категории ndash расширения Extension MATLAB и
Extension Simulink а также комплексы пакетов расширения Blockset и
Toolbox
Раздел MATLAB Extension содержит средства для подготовки ис-
полняемых приложений MATLAB (с подключаемыми библиотеками и
без них)
Раздел Toolbox (инструментальные средства) содержит самое
большое число пакетов расширений системы MATLAB такие как
laquoControl systemraquo laquoDatabaseraquo laquoFuzzy logicraquo laquoWaveletraquo и тд
54
В разделе Blockset расположено несколько пакетов относящихся к
главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink такие как
laquoDSPraquo laquoFixed-Pointraquo laquoNonlinear control designraquo и laquoPower systemsraquo
В разделе Extension Simulink имеется ряд средств предназначен-
ных для моделирования в реальном масштабе времени и событийно-
управляемом моделировании
5 Задание на лабораторную работу
Выполнить исследование способов коррекции статических и
динамических свойств САУ Определить время регулирования и пе-
ререгулирования в исходной и скорректированной системах а также
для динамических свойств САУ определить запасы устойчивости в
исходной системе и найти экспериментально значение Kос обеспечи-
вающее в системе заданные показатели качества и запасы устойчиво-
сти Вариант задания назначается преподавателем
Таблица 1
Варианты заданий
варианта
Параметры
1
2
3
4
5
6
7
8
a 05 10 15 20 25 30 35 40
K0 1 2 3 4 5 6 7 8
T c 03 04 05 06 07 08 09 10
ξ 06 07 08 08 07 09 05 04
уст 0 0 005 0 010 007 0 0
tрег c le 13 15 20 25 30 35 40 40
le 0 10 10 5 5 5 0 0
В качестве исходных САУ выступают системы изображенные
на рис 6 и 7
55
ε(t)g(t) y(t)
W(s)-
g(t) y(t)
R(s) W(s)-
ε(t) u(t)
Рис 6 САУ с отрицательной Рис 7 САУ с отрицательной обратной
обратной связью связью и регулятором
6 Методика выполнения задания
При исследовании способов коррекции статических свойств
САУ в качестве исходных данных выступает передаточная функция
sW неизменяемой части системы вида
1222
0
sTsT
KsW (6)
и задающие воздействия вида ttg 1 в соответствии с таблицей 1
В процессе выполнения этой части работы необходимо
1) путем моделирования в системе MATLAB исходной САУ
(рис 6) получить графики ttytg
2) сравнить полученную таким образом экспериментальную ве-
личину t с теоретической величиной вычисленной по формуле (1)
3) применяя описанные в теоретической части методических
указаний способы коррекции статических свойств (см п 31) обес-
печить требуемую статическую ошибку εуст системы при отработке
задающего воздействия ttg 1
4) получить графики ty и t в скорректированной системе
для 1 ttg
5) сравнить время регулирования регt и перерегулирование в
исходной и скорректированной системах при 1 ttg
При исследовании рассмотренного способа коррекции динами-
ческих свойств САУ (см п 32) в качестве исходных данных высту-
пают передаточная функция sW неизменяемой части системы
вида (6) и передаточная функция регулятора вида
s
KsR
рег
56
Задающее воздействие ttg 1
В процессе выполнения данной части работы необходимо
1) получить путем моделирования в MATLAB графики ty t
в системе (рис 7)
2) определить время регулирования регt и перерегулирование
а также запасы устойчивости в исходной системе
3) применяя описанный выше способ коррекции динамических
свойств САУ найти экспериментально (путем последовательного пе-
ребора) значение осK обеспечивающее в системе заданные заданием
показатели качества ( регt ) и запасы устойчивости (при необхо-
димости увеличить коэффициент регK )
4) получить графики ty t а также ЛАХ и ЛФХ разомкну-
той системы в скорректированной САУ
7 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) титульный лист
б) структурные схемы исследуемых систем
в) полученные графики и характеристики
г) значения полученные экмпериментально которые
обеспечивают заданные показатели качества и запасы устойчивости
д) выводы обощающие проделанные эксперименты для
коррекции статических и динамических свойств САУ
е) ответы на контрольные вопросы
Контрольные вопросы 1 Дать определение статической и астатической САУ
2 Какими структурными свойствами системы определяется по-
рядок ее астатизма
3 Какой из двух приведенных выше способов придания системе
свойств астатизма 1-го порядка наиболее предпочтителен на
практике
4 Назовите основные показатели качества САУ Поясните их
смысл
5 В чѐм суть исследуемого способа коррекции динамических
свойств САУ
57
6 Назвать другие способы коррекции динамических свойств
САУ
7 Чем вызваны отрицательные фазовые сдвиги в неизменяемой
части САУ
58
Лабораторная работа 6
МЕТОД КОРНЕВОГО ГОДОГРАФА
1 Цель работы
Целью работы является построение корневого годографа и ис-
следование динамики системы с использованием автоматизирован-
ных средств моделирования на ПК ndash MATLABSIMULINK
2 Задачи работы
ndash Закрепление углубление и расширение знаний студентов при
исследование динамики системы
ndash Овладение навыком построения корневого годографа
ndash Приобретение умений и навыков работы с программой мате-
матического моделирования MATLAB
3 Теоретическая часть
Корневым годографом (КГ) называется совокупность траекто-
рий перемещения всех корней характеристического уравнения за-
мкнутой системы при изменении какого-либо параметра этой систе-
мы
Обычно метод КГ позволяет находить полюса и нули ПФ за-
мкнутой системы располагая полюсами и нулями разомкнутой си-
стемы при изменении коэффициента усиления разомкнутой системы
K
ПФ разомкнутой системы Wp(s) представим в следующем виде
)(
)(
1
1
0
n
ii
m
jj
p
ss
ssKC
sW (1)
где 0js ndash нули ПФ sWp )1( mj
is ndash полюса ПФ sWp
)1( nj n и m ndash порядки знаменателя и числителя C ndash коэффици-
ент представления (отношение коэффициентов при старших членах
числителя и знаменателя)
59
При замыкании системы с ПФ sWp единичной отрицатель-
ной обратной связью ПФ замкнутой системы sWз принимает вид
)(1
)(
sW
sWsW
p
pз
(2)
Из выражения (2) следует что нули ПФ замкнутой системы рав-
ны нулям ПФ разомкнутой системы
Для нахождения полюсов рассмотри выражение
01 sWp (3)
в соответствии с выражением (1) имеем
n
i
m
jjin
ii
m
jj
ssKCss
ss
ssKC
1 1
0
1
1
0
)()(01
)(
)(
(4)
На основании выражения (4) можно сказать что при K = 0 корни
характеристического уравнения совпадают с полюсами а при K = infin ndash
с нулями При изменении K от 0 до infin траектории корней начинаются
в полюсах и заканчиваются в нулях Обычно полюсов больше чем
нулей В этом случаем mn ветвей корневого годографа стремятся к
infin
Для определения полюсов замкнутой системы с отрицательной
обратной связью необходимо решить уравнение (его называют ос-
новным уравнением метода КГ)
1sWp (5)
Так как sWp является функцией комплексного переменного
s то уравнение (5) распадается на два уравнения уравнение модулей
1)( sWp (6)
60
и уравнение аргументов (фаза вектора -1 есть нечетное число π)
210)12()(arg sWp (7)
Как известно при умножении комплексных чисел их аргументы
складываются а при делении ndash вычитаются Поэтому исходя из вы-
ражения (1) уравнение (7) имеет наглядный геометрический смысл
Пусть точка s ndash полюс замкнутой системы Если провести в s
вектора из нулей sWp (обозначим аргументы этих векторов 0j ) и
вектора из всех полюсов sWp (обозначим аргументы этих векторов
i ) то уравнение (7) можно записать в следующем виде
m
j
n
iij
1 1
0 210)12( (8)
Углы q отсчитываются от положительного направления дей-
ствительной оси Знак угла laquo+raquo соответствует повороту против часо-
вой стрелки знак угла laquo-raquo соответствует повороту по часовой стрел-
ке
Таким образом любая точка КГ должна удовлетворять уравне-
нию (8) из которого следует что конфигурация КГ не зависит от ко-
эффициента усиления K но каждому конкретному значению K одно-
значно соответствуют точки на КГ
При умножении комплексных чисел их модули перемножаются
а при делении ndash делятся Поэтому на основании (6) можно записать
1
1
1
0
n
ii
m
jj
l
lKC
(9)
где 0jl ndash модуль (длина) вектора проведенного из j-нуля в точку s
КГ il ndash модуль вектора проведенного из i-полюса в ту же точку s
61
Таким образом траектории корней строятся только по уравне-
ниям фаз а уравнение модулей используется затем для нахождения
K
Сущность метода КГ заключается в том чтобы узнать каким
должен быть коэффициент усиления разомкнутой системы чтобы
было обеспечено желаемое положение корней замкнутой системы
Корневой годограф системы с отрицательной обратной связью
обладает следующими основными свойствами
1 Ветви КГ непрерывны и расположены на комплексной плос-
кости симметрично относительно действительной оси
2 Число ветвей КГ равно порядку системы n Ветви начинают-
ся в n полюсах разомкнутой системы при K=0 При возрастании K от
0 до infin полюса замкнутой системы двигаются по ветвям КГ
3 mветвей КГ при возрастании K от 0 до infin заканчиваются в m
нулях )(sWp а )( mn ветвей при K стремящемся к infin удаляются
от полюсов вдоль асимптот
4 При расположении ветвей корневого годографа в левой полу-
плоскости s САУ устойчива При пересечении ветвей КГ мнимой оси
слева направо САУ становится неустойчивой Пусть при K=Kкр
пере-
сечение КГ с мнимой осью произойдет в некоторой точке iωкр
Назо-
вем это значение коэффициента усиления критическим Kкр
а вели-
чину iωкр
критической угловой частотой на которой система стано-
вится неустойчивой
4 Краткое описание MATLAB
Лабораторная работа выполняется в программе математического
моделирования MATLAB Программа MATLAB включает в себя пакет
прикладных программ для решения технических задач и одноименный
язык программирования используемый в этом пакете
Основными компонентами системы являются базовая система
MATLAB и пакет моделирования систем Simulink Остальные пакеты
расширения разбиты на 4 категории ndash расширения Extension MATLAB и
Extension Simulink а также комплексы пакетов расширения Blockset и
Toolbox
Раздел MATLAB Extension содержит средства для подготовки ис-
полняемых приложений MATLAB (с подключаемыми библиотеками и
без них)
62
Раздел Toolbox (инструментальные средства) содержит самое
большое число пакетов расширений системы MATLAB такие как
laquoControl systemraquo laquoDatabaseraquo laquoFuzzy logicraquo laquoWaveletraquo и тд
В разделе Blockset расположено несколько пакетов относящихся к
главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink такие как
laquoDSPraquo laquoFixed-Pointraquo laquoNonlinear control designraquo и laquoPower systemsraquo
В разделе Extension Simulink имеется ряд средств предназначен-
ных для моделирования в реальном масштабе времени и событийно-
управляемом моделировании
5 Корневой годограф в MATLAB
В системе MATLAB существует команда zpk для преобразова-
ния модели заданной ПФ в модель заданную нулями полюсами и
обобщенными коэффициентами передачи (zpk-форма)
Пример
gtgt w=tf([10][2 2 3 1 0])
Transfer function
10
-------------------------------
2 s^4 + 2 s^3 + 3 s^2 + s
gtgt w1=zpk(w)
Zeropolegain
5
----------------------------------------------
s (s+03966) (s^2 + 06034s + 1261)
Для работы с корневым годографом удобно использовать гра-
фический интерфейс laquoSISO-Design Toolraquo предназначенный для ана-
лиза и синтеза одномерных линейных систем автоматического управ-
ления (SISO ndash Single Input Signal Output)
Запуск SISO-Design Tool осуществляется командой
gtgt sisotool
63
В появившемся окне графического интерфейса необходимо ис-
пользовать команду laquoFileImportraquo для загрузки данных из рабочего
пространства MATLAB в результате которой появляется диалоговое
окно Import System Data (рис 1)
Рис 1 Диалог для ввода параметров модели
После импортирования данных можно исследовать изменение
временных и частотных характеристик замкнутой системы при изме-
нении K Обычно при этом требуется определить условия неустойчи-
вости замкнутой САУ Определить Kкр
и iωкр
На рис 2 показано окно sisotool для описанной выше модели w1
Двигая красным курсором по КГ до пересечения ветвей с мнимой
осью можно определить значения Kкр
В данном случае Kкр
asymp 01
Значение iωкр
соответствует мнимой координате пересечения КГ
мнимой оси Просмотреть это значение можно в нижней части ин-
терфейса или выбрать меню laquoView Closed-Loop Polesraquo
64
Рис 2 Основное окно SISO-Design Tool
6 Задание на лабораторную работу
Построить КГ в соответствии с вариантом из табл 1 при помо-
щи графического интерфейса sisotool
Исследовать динамику замкнутой системы при различных зна-
чениях коэффициента усиления разомкнутой системы K в том числе
ndash запасы устойчивости в частотной области
ndash параметры переходного процесса во временной области
Таблица 1
Варианты передаточных функций
Значения параметров Передаточная функция
разомкнутой системы
1 T = 01 ζ = 1
)12( 22 sTsTs
K
2 T = 005 ζ = 0707
3 T = 003 ζ = 01
4 T = 008 ζ = 05
5 T = 001 ζ = 015
65
Окончание табл 1
Значения параметров Передаточная функция
разомкнутой системы
6 T1 = 003 T2 = 05 T3 = 01 T4 = 005
)1)(1)(1(
)1(
432
1
sTsTsTs
sTK
7 T1 = 005 T2 = 04 T3 = 008 T4 = 0033
8 T1 = 02 T2 = 045 T3 = 01 T4 = 005
9 T1 = 05 T2 = 025 T3 = 01 T4 = 002
10 T1 = 01 T2 = 025 T3 = 01 T4 = 005
Вариант задания назначается преподавателем
7 Методика выполнения задания
Порядок выполнения лабораторной работы
1 Задать передаточную функцию в MATLAB в соответствии с
вариантом коэффициент K задать любым положительным числом
2 Запустить SISO-Design Tool и осуществить ввод данных
Построить КГ
3 По КГ определить значения коэффициента K когда система
будет устойчивой на границе устойчивости и неустойчива
4 Выбрать значение коэффициента K таким образом чтобы си-
стемы была устойчива и определить запас устойчивости в частотной
области и параметры переходного процесса во временной области
8 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) титульный лист
б) передаточную функцию и этапы построения КГ
в) анализ результатов построения КГ
г) выводы по проделанной работе
д) ответы на контрольные вопросы
Контрольные вопросы 1 Дать определение КГ
2 Что обычно позволяет находить метод КГ
3 В чем заключается сущность метода КГ
4 Что можно определить по КГ
66
Критерии результативности лабораторного практикума
Лабораторная работа считается выполненной если студент
ndash выполнил все указанные задания
ndash представил отчет соответствующий всем требованиям к его
содержанию и оформлению
ndash владеет терминологией и материалом лабораторной работы
ndash способен использовать программное средство математическо-
го моделирования MATLAB
ndash способен предоставить и рассказать результаты выполненной
работы на ПК
ndash может дать пояснения к отчету и ответить на контрольные
вопросы
Список литературы
1 Александров АГ Частотная теория автоматического управле-
ния учебное пособие ndash Электросталь ЭПИ МИСиС 2010
2 Борисевич АВ Теория автоматического управления элементар-
ное введение с применением MATLAB ndash СПб Изд-во Политехн ун-
та 2011
3 Федоров ВЛ Бубнов АВ Теория автоматического управления
учебное пособие ndash Омск Изд-во ОмГТУ 2010
4 Павловская ОО Чернецкая ИВ Теория автоматического
управления учебное пособие ndash Челябинск Изд-во ЮУрГУ 2010
67
Составители ЛЯНЦЕВ Олег Дмитриевич КАЗАНЦЕВ Андрей Валерьевич
ИССЛЕДОВАНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК СИСТЕМ
АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
Лабораторный практикум
по дисциплине
laquoТеория управленияraquo
Подписано в печать Формат 60х84 116 Бумага офсетная Пе-
чать плоская Гарнитура Times New Roman Усл печ л 56 Уч-изд л
55 Тираж 100 экз Заказ
ФГБОУ ВПО Уфимский государственный авиационный технический
университет
Центр оперативной полиграфии УГАТУ
450000 Уфа-центр ул К Маркса 12
46
Таблица 1
Варианты заданий
Передаточная функция разомкнутой системы
1 1355
2234
ssss
W
2 110050
1234
ssss
W
3 11010
123
sss
W
4 122105
100234
ssss
W
5 1248
123
sss
W
6 1223
102345
sssss
W
7 11001010
323
sss
W
8 122
1023
sss
W
9 11010
123
sss
W
10 15050332
102345
sssss
W
8 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) титульный лист
б) краткие теоретические сведения
в) переходную функцию разомкнутой системы
г) расчет передаточной функции замкнутой системы
д) расчетные выражения для обоснования устойчивости замкну-
той системы по алгебраическому критерию Гурвица
е) годограф Найквиста разомкнутой системы на основании кото-
рого делается вывод об устойчивости замкнутой системы
ѐ) переходную функцию замкнутой системы
ж) проверку полученных результатов путем компьютерного моде-
лирования переходных процессов разомкнутой и замкнутой си-
стемы в MATLAB Simulink
з) выводы по всем полученным результатам
47
Контрольные вопросы
1 Как связана устойчивость линейной САУ с видом составля-
ющих ее свободного движения
2 Зависит ли устойчивость линейных САУ от амплитуды зада-
ющих воздействий или возмущений
3 Сформулируйте критерий устойчивости Гурвица укажите на
необходимое условие устойчивости линейных САУ вытекаю-
щее из этого критерия
4 Сформулируйте критерий Найквиста для случая САУ устой-
чивых в разомкнутом состоянии а также для астатических САУ
Что такое laquoзапасы устойчивости по фазе и по амплитудеraquo
5 Что называется структурной устойчивостью
48
Лабораторная работа 5
КОРРЕКЦИЯ СТАТИЧЕСКИХ И ДИНАМИЧЕСКИХ
СВОЙСТВ САУ
1 Цель работы
Целью работы является изучение способов обеспечения иско-
мых характеристик САУ с использованием автоматизированных
средств моделирования на ПК ndash MATLAB SIMULINK
2 Задачи работы
ndash Закрепление углубление и расширение знаний студентов при
обеспечении искомых характеристик САУ
ndash Приобретение умений по обеспечению точности (уменьшение
статической ошибки) САУ и выбору значений параметров регулято-
ра обеспечивающих желаемые динамические свойства САУ
ndash Приобретение умений и навыков работы с программой мате-
матического моделирования MATLAB
3 Теоретическая часть
Коррекция статических и динамических свойств САУ имеет
своей целью повышение статической и динамической точности отра-
ботки системой задающего воздействия (или парирование возмуща-
ющего воздействия) повышение запасов ее устойчивости Наиболее
распространенными способами коррекции свойств САУ является из-
менение коэффициента усиления ее разомкнутой части введение в
САУ новых звеньев (как правило интегрирующего или дифференци-
рующего типа) охват объекта управления местной обратной связью
31 Коррекция статических свойств САУ
Статические свойства системы определяются величиной устано-
вившейся ошибки )t(уст вызванной действием задающего воздей-
ствия и определяемой по формуле
22
210 2 dttgdcdttdgctgctуст (1)
где )(tg - входное воздействие 210 ccc - коэффициенты ошибок
Коэффициенты ошибок определяются по формулам
49
dssdcdssdcscs
mmmss 00100
где s - передаточная функция САУ по ошибке управления рав-
ная
sW
sраз
1
1
sWраз - передаточная функция разомкнутой САУ
Основными способами уменьшения статической ошибки систе-
мы являются
1) увеличение коэффициента усиления прямого тракта системы
2) введение в прямой тракт системы интегрирующих звеньев
3) охват объекта управления местной неединичной положитель-
ной обратной связью
Представим структурную схему системы в виде изображенном
на рис 1 где через sW обозначена передаточная функция неизме-
няемой части системы
bsbsb
asasasW
nn
nn
mm
mm
01
1
01
1
Здесь и далее полагается что KKKsW s 000 0 ndash из-
меняемый коэффициент усиления регулятора системы
Первые два коэффициента ошибок 0c и 1c определяется выраже-
ниями
KK
c0
01
1
(2)
KK
dssdWKc
s
20
01
1
(3)
Из (2) и (3) с учетом (1) вытекает что с увеличением K
статическая ошибка в системе уменьшается и наоборот с уменьше-
нием K статическая ошибка в системе увеличивается
Введем в прямой тракт системы одно интегрирующее звено
50
(рис 2) В этом случае c 00 01 1 KKc
Так как c 00 то система на рис 2 является астатической (с
астатизмом первого порядка) Система имеет нулевую статическую
ошибку при отработке постоянного задающего воздействия
consttg и постоянную обратно пропорциональную K ошибку
constуст при отработке линейно изменяющегося воздействия
tatg
Рис 1 Схема САУ Рис 2 Схема САУ с включенным в прямой
тракт интегрирующим звеном
Охватим неизменяемую часть системы sW местной нееди-
ничной положительной обратной связью с коэффициентом усиления
осK (рис 3) Тогда эквивалентная передаточная функция sWэкв
неизменяемой части системы равна
10011
01
1
aKbsaKbsaKbsb
asasa
sWK
sWsW
ососm
mосmn
n
mm
mm
осэкв
(4)
Если коэффициент усиления K выбрать из условия
a
bKос
0
0
то свободный коэффициент (b0 - Koca0) полинома знаменателя sWэкв
обратится в нуль и sWэкв приобретает интегрирующие свойства
11
11
0
1
1
aKbsaKbsbs
asasasW
ос
m
mосm
n
n
m
m
m
mэкв
g(t) y(t)ε(t)
K W(s)-
g(t) y(t)
Ks W(s)-
ε(t)
51
Следовательно замкнутая система становится астатической (с
астатизмом 1-го порядка) Отсюда 0c =0 а коэффициент 1c будет
равен
aKb
bc
ос 11
01
ε(t)g(t) y(t)
W(s)-
Kос
Wэкв(s)
+
Рис 3 Схема САУ с местной неединичной обратной связью
32 Коррекция динамических свойств САУ
Улучшение динамических свойств САУ заключается в увеличе-
нии быстродействия САУ (уменьшении времени регулирования tрег)
уменьшении перерегулирования (см рис 4) а также увеличении
запасов устойчивости по фазе и по модулю При этом
h
hh
уст
устmax100
где maxh - максимальное значение переходной характеристики за-
мкнутой САУ th
устh - установившееся значение th
Время регулирования tрег - минимальная величина при которой удо-
влетворяется условие
устрег hth
где - заданная величина ошибки (обычно =005 устh )
52
h(t)
tрег
hустhmax
2δ
Рис 4 Быстродействие и перерегулирование САУ
Одним из эффективных средств достижения этой цели является
уменьшение отрицательных фазовых сдвигов в прямом тракте систе-
мы путем охвата неизменяемой части системы местными отрицатель-
ными обратными связями
На рис 5 R(s) представляет собой передаточную функцию регу-
лятора САУ которая считается заданной
ε(t)g(t) y(t)
W(s)-
Kос
Wэкв(s)
-
R(s)
u(t)
Рис 5 Схема САУ с местной обратной связью и регулятором
Пусть неизменяемая часть системы представляет собой аперио-
дическое звено первого порядка те
sT
K)s(W
10
0
Тогда передаточная функция sWэкв эквивалентного объекта
управления равна
sT
K
sWK
sWsW
экв
экв
осэкв
11
где зквK и эквT - коэффициент усиления и постоянная времени
эквивалентного объекта равные
53
KK
KK
осэкв
0
0
1
KK
TT
осэкв
0
0
1 (5)
Из (5) следует что соответствующим выбором осK постоянную
времени эквT эквивалентного объекта можно уменьшить в (1+ 0KKос )
раз по сравнении с постоянной времени 0T объекта без местной об-
ратной связи Тем самым уменьшаются отрицательные фазовые сдви-
ги вносимые прямым трактом системы что приводит к увеличению
запасов устойчивости системы При этом однако уменьшается в
(1+ 0KKос ) раз коэффициент усиления эквK эквивалентного объекта
по сравнению с коэффициентом усиления 0K объекта без местной
обратной связи Это нежелательно так как приводит к уменьшению
быстродействия системы вследствие уменьшения общего коэффици-
ента усиления прямого тракта системы В этом случае с целью обес-
печения необходимого быстродействия системы увеличивают коэф-
фициент усиления регулятора
4 Краткое описание MATLAB
Лабораторная работа выполняется в программе математического
моделирования MATLAB Программа MATLAB включает в себя пакет
прикладных программ для решения технических задач и одноименный
язык программирования используемый в этом пакете
Основными компонентами системы являются базовая система
MATLAB и пакет моделирования систем Simulink Остальные пакеты
расширения разбиты на 4 категории ndash расширения Extension MATLAB и
Extension Simulink а также комплексы пакетов расширения Blockset и
Toolbox
Раздел MATLAB Extension содержит средства для подготовки ис-
полняемых приложений MATLAB (с подключаемыми библиотеками и
без них)
Раздел Toolbox (инструментальные средства) содержит самое
большое число пакетов расширений системы MATLAB такие как
laquoControl systemraquo laquoDatabaseraquo laquoFuzzy logicraquo laquoWaveletraquo и тд
54
В разделе Blockset расположено несколько пакетов относящихся к
главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink такие как
laquoDSPraquo laquoFixed-Pointraquo laquoNonlinear control designraquo и laquoPower systemsraquo
В разделе Extension Simulink имеется ряд средств предназначен-
ных для моделирования в реальном масштабе времени и событийно-
управляемом моделировании
5 Задание на лабораторную работу
Выполнить исследование способов коррекции статических и
динамических свойств САУ Определить время регулирования и пе-
ререгулирования в исходной и скорректированной системах а также
для динамических свойств САУ определить запасы устойчивости в
исходной системе и найти экспериментально значение Kос обеспечи-
вающее в системе заданные показатели качества и запасы устойчиво-
сти Вариант задания назначается преподавателем
Таблица 1
Варианты заданий
варианта
Параметры
1
2
3
4
5
6
7
8
a 05 10 15 20 25 30 35 40
K0 1 2 3 4 5 6 7 8
T c 03 04 05 06 07 08 09 10
ξ 06 07 08 08 07 09 05 04
уст 0 0 005 0 010 007 0 0
tрег c le 13 15 20 25 30 35 40 40
le 0 10 10 5 5 5 0 0
В качестве исходных САУ выступают системы изображенные
на рис 6 и 7
55
ε(t)g(t) y(t)
W(s)-
g(t) y(t)
R(s) W(s)-
ε(t) u(t)
Рис 6 САУ с отрицательной Рис 7 САУ с отрицательной обратной
обратной связью связью и регулятором
6 Методика выполнения задания
При исследовании способов коррекции статических свойств
САУ в качестве исходных данных выступает передаточная функция
sW неизменяемой части системы вида
1222
0
sTsT
KsW (6)
и задающие воздействия вида ttg 1 в соответствии с таблицей 1
В процессе выполнения этой части работы необходимо
1) путем моделирования в системе MATLAB исходной САУ
(рис 6) получить графики ttytg
2) сравнить полученную таким образом экспериментальную ве-
личину t с теоретической величиной вычисленной по формуле (1)
3) применяя описанные в теоретической части методических
указаний способы коррекции статических свойств (см п 31) обес-
печить требуемую статическую ошибку εуст системы при отработке
задающего воздействия ttg 1
4) получить графики ty и t в скорректированной системе
для 1 ttg
5) сравнить время регулирования регt и перерегулирование в
исходной и скорректированной системах при 1 ttg
При исследовании рассмотренного способа коррекции динами-
ческих свойств САУ (см п 32) в качестве исходных данных высту-
пают передаточная функция sW неизменяемой части системы
вида (6) и передаточная функция регулятора вида
s
KsR
рег
56
Задающее воздействие ttg 1
В процессе выполнения данной части работы необходимо
1) получить путем моделирования в MATLAB графики ty t
в системе (рис 7)
2) определить время регулирования регt и перерегулирование
а также запасы устойчивости в исходной системе
3) применяя описанный выше способ коррекции динамических
свойств САУ найти экспериментально (путем последовательного пе-
ребора) значение осK обеспечивающее в системе заданные заданием
показатели качества ( регt ) и запасы устойчивости (при необхо-
димости увеличить коэффициент регK )
4) получить графики ty t а также ЛАХ и ЛФХ разомкну-
той системы в скорректированной САУ
7 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) титульный лист
б) структурные схемы исследуемых систем
в) полученные графики и характеристики
г) значения полученные экмпериментально которые
обеспечивают заданные показатели качества и запасы устойчивости
д) выводы обощающие проделанные эксперименты для
коррекции статических и динамических свойств САУ
е) ответы на контрольные вопросы
Контрольные вопросы 1 Дать определение статической и астатической САУ
2 Какими структурными свойствами системы определяется по-
рядок ее астатизма
3 Какой из двух приведенных выше способов придания системе
свойств астатизма 1-го порядка наиболее предпочтителен на
практике
4 Назовите основные показатели качества САУ Поясните их
смысл
5 В чѐм суть исследуемого способа коррекции динамических
свойств САУ
57
6 Назвать другие способы коррекции динамических свойств
САУ
7 Чем вызваны отрицательные фазовые сдвиги в неизменяемой
части САУ
58
Лабораторная работа 6
МЕТОД КОРНЕВОГО ГОДОГРАФА
1 Цель работы
Целью работы является построение корневого годографа и ис-
следование динамики системы с использованием автоматизирован-
ных средств моделирования на ПК ndash MATLABSIMULINK
2 Задачи работы
ndash Закрепление углубление и расширение знаний студентов при
исследование динамики системы
ndash Овладение навыком построения корневого годографа
ndash Приобретение умений и навыков работы с программой мате-
матического моделирования MATLAB
3 Теоретическая часть
Корневым годографом (КГ) называется совокупность траекто-
рий перемещения всех корней характеристического уравнения за-
мкнутой системы при изменении какого-либо параметра этой систе-
мы
Обычно метод КГ позволяет находить полюса и нули ПФ за-
мкнутой системы располагая полюсами и нулями разомкнутой си-
стемы при изменении коэффициента усиления разомкнутой системы
K
ПФ разомкнутой системы Wp(s) представим в следующем виде
)(
)(
1
1
0
n
ii
m
jj
p
ss
ssKC
sW (1)
где 0js ndash нули ПФ sWp )1( mj
is ndash полюса ПФ sWp
)1( nj n и m ndash порядки знаменателя и числителя C ndash коэффици-
ент представления (отношение коэффициентов при старших членах
числителя и знаменателя)
59
При замыкании системы с ПФ sWp единичной отрицатель-
ной обратной связью ПФ замкнутой системы sWз принимает вид
)(1
)(
sW
sWsW
p
pз
(2)
Из выражения (2) следует что нули ПФ замкнутой системы рав-
ны нулям ПФ разомкнутой системы
Для нахождения полюсов рассмотри выражение
01 sWp (3)
в соответствии с выражением (1) имеем
n
i
m
jjin
ii
m
jj
ssKCss
ss
ssKC
1 1
0
1
1
0
)()(01
)(
)(
(4)
На основании выражения (4) можно сказать что при K = 0 корни
характеристического уравнения совпадают с полюсами а при K = infin ndash
с нулями При изменении K от 0 до infin траектории корней начинаются
в полюсах и заканчиваются в нулях Обычно полюсов больше чем
нулей В этом случаем mn ветвей корневого годографа стремятся к
infin
Для определения полюсов замкнутой системы с отрицательной
обратной связью необходимо решить уравнение (его называют ос-
новным уравнением метода КГ)
1sWp (5)
Так как sWp является функцией комплексного переменного
s то уравнение (5) распадается на два уравнения уравнение модулей
1)( sWp (6)
60
и уравнение аргументов (фаза вектора -1 есть нечетное число π)
210)12()(arg sWp (7)
Как известно при умножении комплексных чисел их аргументы
складываются а при делении ndash вычитаются Поэтому исходя из вы-
ражения (1) уравнение (7) имеет наглядный геометрический смысл
Пусть точка s ndash полюс замкнутой системы Если провести в s
вектора из нулей sWp (обозначим аргументы этих векторов 0j ) и
вектора из всех полюсов sWp (обозначим аргументы этих векторов
i ) то уравнение (7) можно записать в следующем виде
m
j
n
iij
1 1
0 210)12( (8)
Углы q отсчитываются от положительного направления дей-
ствительной оси Знак угла laquo+raquo соответствует повороту против часо-
вой стрелки знак угла laquo-raquo соответствует повороту по часовой стрел-
ке
Таким образом любая точка КГ должна удовлетворять уравне-
нию (8) из которого следует что конфигурация КГ не зависит от ко-
эффициента усиления K но каждому конкретному значению K одно-
значно соответствуют точки на КГ
При умножении комплексных чисел их модули перемножаются
а при делении ndash делятся Поэтому на основании (6) можно записать
1
1
1
0
n
ii
m
jj
l
lKC
(9)
где 0jl ndash модуль (длина) вектора проведенного из j-нуля в точку s
КГ il ndash модуль вектора проведенного из i-полюса в ту же точку s
61
Таким образом траектории корней строятся только по уравне-
ниям фаз а уравнение модулей используется затем для нахождения
K
Сущность метода КГ заключается в том чтобы узнать каким
должен быть коэффициент усиления разомкнутой системы чтобы
было обеспечено желаемое положение корней замкнутой системы
Корневой годограф системы с отрицательной обратной связью
обладает следующими основными свойствами
1 Ветви КГ непрерывны и расположены на комплексной плос-
кости симметрично относительно действительной оси
2 Число ветвей КГ равно порядку системы n Ветви начинают-
ся в n полюсах разомкнутой системы при K=0 При возрастании K от
0 до infin полюса замкнутой системы двигаются по ветвям КГ
3 mветвей КГ при возрастании K от 0 до infin заканчиваются в m
нулях )(sWp а )( mn ветвей при K стремящемся к infin удаляются
от полюсов вдоль асимптот
4 При расположении ветвей корневого годографа в левой полу-
плоскости s САУ устойчива При пересечении ветвей КГ мнимой оси
слева направо САУ становится неустойчивой Пусть при K=Kкр
пере-
сечение КГ с мнимой осью произойдет в некоторой точке iωкр
Назо-
вем это значение коэффициента усиления критическим Kкр
а вели-
чину iωкр
критической угловой частотой на которой система стано-
вится неустойчивой
4 Краткое описание MATLAB
Лабораторная работа выполняется в программе математического
моделирования MATLAB Программа MATLAB включает в себя пакет
прикладных программ для решения технических задач и одноименный
язык программирования используемый в этом пакете
Основными компонентами системы являются базовая система
MATLAB и пакет моделирования систем Simulink Остальные пакеты
расширения разбиты на 4 категории ndash расширения Extension MATLAB и
Extension Simulink а также комплексы пакетов расширения Blockset и
Toolbox
Раздел MATLAB Extension содержит средства для подготовки ис-
полняемых приложений MATLAB (с подключаемыми библиотеками и
без них)
62
Раздел Toolbox (инструментальные средства) содержит самое
большое число пакетов расширений системы MATLAB такие как
laquoControl systemraquo laquoDatabaseraquo laquoFuzzy logicraquo laquoWaveletraquo и тд
В разделе Blockset расположено несколько пакетов относящихся к
главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink такие как
laquoDSPraquo laquoFixed-Pointraquo laquoNonlinear control designraquo и laquoPower systemsraquo
В разделе Extension Simulink имеется ряд средств предназначен-
ных для моделирования в реальном масштабе времени и событийно-
управляемом моделировании
5 Корневой годограф в MATLAB
В системе MATLAB существует команда zpk для преобразова-
ния модели заданной ПФ в модель заданную нулями полюсами и
обобщенными коэффициентами передачи (zpk-форма)
Пример
gtgt w=tf([10][2 2 3 1 0])
Transfer function
10
-------------------------------
2 s^4 + 2 s^3 + 3 s^2 + s
gtgt w1=zpk(w)
Zeropolegain
5
----------------------------------------------
s (s+03966) (s^2 + 06034s + 1261)
Для работы с корневым годографом удобно использовать гра-
фический интерфейс laquoSISO-Design Toolraquo предназначенный для ана-
лиза и синтеза одномерных линейных систем автоматического управ-
ления (SISO ndash Single Input Signal Output)
Запуск SISO-Design Tool осуществляется командой
gtgt sisotool
63
В появившемся окне графического интерфейса необходимо ис-
пользовать команду laquoFileImportraquo для загрузки данных из рабочего
пространства MATLAB в результате которой появляется диалоговое
окно Import System Data (рис 1)
Рис 1 Диалог для ввода параметров модели
После импортирования данных можно исследовать изменение
временных и частотных характеристик замкнутой системы при изме-
нении K Обычно при этом требуется определить условия неустойчи-
вости замкнутой САУ Определить Kкр
и iωкр
На рис 2 показано окно sisotool для описанной выше модели w1
Двигая красным курсором по КГ до пересечения ветвей с мнимой
осью можно определить значения Kкр
В данном случае Kкр
asymp 01
Значение iωкр
соответствует мнимой координате пересечения КГ
мнимой оси Просмотреть это значение можно в нижней части ин-
терфейса или выбрать меню laquoView Closed-Loop Polesraquo
64
Рис 2 Основное окно SISO-Design Tool
6 Задание на лабораторную работу
Построить КГ в соответствии с вариантом из табл 1 при помо-
щи графического интерфейса sisotool
Исследовать динамику замкнутой системы при различных зна-
чениях коэффициента усиления разомкнутой системы K в том числе
ndash запасы устойчивости в частотной области
ndash параметры переходного процесса во временной области
Таблица 1
Варианты передаточных функций
Значения параметров Передаточная функция
разомкнутой системы
1 T = 01 ζ = 1
)12( 22 sTsTs
K
2 T = 005 ζ = 0707
3 T = 003 ζ = 01
4 T = 008 ζ = 05
5 T = 001 ζ = 015
65
Окончание табл 1
Значения параметров Передаточная функция
разомкнутой системы
6 T1 = 003 T2 = 05 T3 = 01 T4 = 005
)1)(1)(1(
)1(
432
1
sTsTsTs
sTK
7 T1 = 005 T2 = 04 T3 = 008 T4 = 0033
8 T1 = 02 T2 = 045 T3 = 01 T4 = 005
9 T1 = 05 T2 = 025 T3 = 01 T4 = 002
10 T1 = 01 T2 = 025 T3 = 01 T4 = 005
Вариант задания назначается преподавателем
7 Методика выполнения задания
Порядок выполнения лабораторной работы
1 Задать передаточную функцию в MATLAB в соответствии с
вариантом коэффициент K задать любым положительным числом
2 Запустить SISO-Design Tool и осуществить ввод данных
Построить КГ
3 По КГ определить значения коэффициента K когда система
будет устойчивой на границе устойчивости и неустойчива
4 Выбрать значение коэффициента K таким образом чтобы си-
стемы была устойчива и определить запас устойчивости в частотной
области и параметры переходного процесса во временной области
8 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) титульный лист
б) передаточную функцию и этапы построения КГ
в) анализ результатов построения КГ
г) выводы по проделанной работе
д) ответы на контрольные вопросы
Контрольные вопросы 1 Дать определение КГ
2 Что обычно позволяет находить метод КГ
3 В чем заключается сущность метода КГ
4 Что можно определить по КГ
66
Критерии результативности лабораторного практикума
Лабораторная работа считается выполненной если студент
ndash выполнил все указанные задания
ndash представил отчет соответствующий всем требованиям к его
содержанию и оформлению
ndash владеет терминологией и материалом лабораторной работы
ndash способен использовать программное средство математическо-
го моделирования MATLAB
ndash способен предоставить и рассказать результаты выполненной
работы на ПК
ndash может дать пояснения к отчету и ответить на контрольные
вопросы
Список литературы
1 Александров АГ Частотная теория автоматического управле-
ния учебное пособие ndash Электросталь ЭПИ МИСиС 2010
2 Борисевич АВ Теория автоматического управления элементар-
ное введение с применением MATLAB ndash СПб Изд-во Политехн ун-
та 2011
3 Федоров ВЛ Бубнов АВ Теория автоматического управления
учебное пособие ndash Омск Изд-во ОмГТУ 2010
4 Павловская ОО Чернецкая ИВ Теория автоматического
управления учебное пособие ndash Челябинск Изд-во ЮУрГУ 2010
67
Составители ЛЯНЦЕВ Олег Дмитриевич КАЗАНЦЕВ Андрей Валерьевич
ИССЛЕДОВАНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК СИСТЕМ
АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
Лабораторный практикум
по дисциплине
laquoТеория управленияraquo
Подписано в печать Формат 60х84 116 Бумага офсетная Пе-
чать плоская Гарнитура Times New Roman Усл печ л 56 Уч-изд л
55 Тираж 100 экз Заказ
ФГБОУ ВПО Уфимский государственный авиационный технический
университет
Центр оперативной полиграфии УГАТУ
450000 Уфа-центр ул К Маркса 12
47
Контрольные вопросы
1 Как связана устойчивость линейной САУ с видом составля-
ющих ее свободного движения
2 Зависит ли устойчивость линейных САУ от амплитуды зада-
ющих воздействий или возмущений
3 Сформулируйте критерий устойчивости Гурвица укажите на
необходимое условие устойчивости линейных САУ вытекаю-
щее из этого критерия
4 Сформулируйте критерий Найквиста для случая САУ устой-
чивых в разомкнутом состоянии а также для астатических САУ
Что такое laquoзапасы устойчивости по фазе и по амплитудеraquo
5 Что называется структурной устойчивостью
48
Лабораторная работа 5
КОРРЕКЦИЯ СТАТИЧЕСКИХ И ДИНАМИЧЕСКИХ
СВОЙСТВ САУ
1 Цель работы
Целью работы является изучение способов обеспечения иско-
мых характеристик САУ с использованием автоматизированных
средств моделирования на ПК ndash MATLAB SIMULINK
2 Задачи работы
ndash Закрепление углубление и расширение знаний студентов при
обеспечении искомых характеристик САУ
ndash Приобретение умений по обеспечению точности (уменьшение
статической ошибки) САУ и выбору значений параметров регулято-
ра обеспечивающих желаемые динамические свойства САУ
ndash Приобретение умений и навыков работы с программой мате-
матического моделирования MATLAB
3 Теоретическая часть
Коррекция статических и динамических свойств САУ имеет
своей целью повышение статической и динамической точности отра-
ботки системой задающего воздействия (или парирование возмуща-
ющего воздействия) повышение запасов ее устойчивости Наиболее
распространенными способами коррекции свойств САУ является из-
менение коэффициента усиления ее разомкнутой части введение в
САУ новых звеньев (как правило интегрирующего или дифференци-
рующего типа) охват объекта управления местной обратной связью
31 Коррекция статических свойств САУ
Статические свойства системы определяются величиной устано-
вившейся ошибки )t(уст вызванной действием задающего воздей-
ствия и определяемой по формуле
22
210 2 dttgdcdttdgctgctуст (1)
где )(tg - входное воздействие 210 ccc - коэффициенты ошибок
Коэффициенты ошибок определяются по формулам
49
dssdcdssdcscs
mmmss 00100
где s - передаточная функция САУ по ошибке управления рав-
ная
sW
sраз
1
1
sWраз - передаточная функция разомкнутой САУ
Основными способами уменьшения статической ошибки систе-
мы являются
1) увеличение коэффициента усиления прямого тракта системы
2) введение в прямой тракт системы интегрирующих звеньев
3) охват объекта управления местной неединичной положитель-
ной обратной связью
Представим структурную схему системы в виде изображенном
на рис 1 где через sW обозначена передаточная функция неизме-
няемой части системы
bsbsb
asasasW
nn
nn
mm
mm
01
1
01
1
Здесь и далее полагается что KKKsW s 000 0 ndash из-
меняемый коэффициент усиления регулятора системы
Первые два коэффициента ошибок 0c и 1c определяется выраже-
ниями
KK
c0
01
1
(2)
KK
dssdWKc
s
20
01
1
(3)
Из (2) и (3) с учетом (1) вытекает что с увеличением K
статическая ошибка в системе уменьшается и наоборот с уменьше-
нием K статическая ошибка в системе увеличивается
Введем в прямой тракт системы одно интегрирующее звено
50
(рис 2) В этом случае c 00 01 1 KKc
Так как c 00 то система на рис 2 является астатической (с
астатизмом первого порядка) Система имеет нулевую статическую
ошибку при отработке постоянного задающего воздействия
consttg и постоянную обратно пропорциональную K ошибку
constуст при отработке линейно изменяющегося воздействия
tatg
Рис 1 Схема САУ Рис 2 Схема САУ с включенным в прямой
тракт интегрирующим звеном
Охватим неизменяемую часть системы sW местной нееди-
ничной положительной обратной связью с коэффициентом усиления
осK (рис 3) Тогда эквивалентная передаточная функция sWэкв
неизменяемой части системы равна
10011
01
1
aKbsaKbsaKbsb
asasa
sWK
sWsW
ососm
mосmn
n
mm
mm
осэкв
(4)
Если коэффициент усиления K выбрать из условия
a
bKос
0
0
то свободный коэффициент (b0 - Koca0) полинома знаменателя sWэкв
обратится в нуль и sWэкв приобретает интегрирующие свойства
11
11
0
1
1
aKbsaKbsbs
asasasW
ос
m
mосm
n
n
m
m
m
mэкв
g(t) y(t)ε(t)
K W(s)-
g(t) y(t)
Ks W(s)-
ε(t)
51
Следовательно замкнутая система становится астатической (с
астатизмом 1-го порядка) Отсюда 0c =0 а коэффициент 1c будет
равен
aKb
bc
ос 11
01
ε(t)g(t) y(t)
W(s)-
Kос
Wэкв(s)
+
Рис 3 Схема САУ с местной неединичной обратной связью
32 Коррекция динамических свойств САУ
Улучшение динамических свойств САУ заключается в увеличе-
нии быстродействия САУ (уменьшении времени регулирования tрег)
уменьшении перерегулирования (см рис 4) а также увеличении
запасов устойчивости по фазе и по модулю При этом
h
hh
уст
устmax100
где maxh - максимальное значение переходной характеристики за-
мкнутой САУ th
устh - установившееся значение th
Время регулирования tрег - минимальная величина при которой удо-
влетворяется условие
устрег hth
где - заданная величина ошибки (обычно =005 устh )
52
h(t)
tрег
hустhmax
2δ
Рис 4 Быстродействие и перерегулирование САУ
Одним из эффективных средств достижения этой цели является
уменьшение отрицательных фазовых сдвигов в прямом тракте систе-
мы путем охвата неизменяемой части системы местными отрицатель-
ными обратными связями
На рис 5 R(s) представляет собой передаточную функцию регу-
лятора САУ которая считается заданной
ε(t)g(t) y(t)
W(s)-
Kос
Wэкв(s)
-
R(s)
u(t)
Рис 5 Схема САУ с местной обратной связью и регулятором
Пусть неизменяемая часть системы представляет собой аперио-
дическое звено первого порядка те
sT
K)s(W
10
0
Тогда передаточная функция sWэкв эквивалентного объекта
управления равна
sT
K
sWK
sWsW
экв
экв
осэкв
11
где зквK и эквT - коэффициент усиления и постоянная времени
эквивалентного объекта равные
53
KK
KK
осэкв
0
0
1
KK
TT
осэкв
0
0
1 (5)
Из (5) следует что соответствующим выбором осK постоянную
времени эквT эквивалентного объекта можно уменьшить в (1+ 0KKос )
раз по сравнении с постоянной времени 0T объекта без местной об-
ратной связи Тем самым уменьшаются отрицательные фазовые сдви-
ги вносимые прямым трактом системы что приводит к увеличению
запасов устойчивости системы При этом однако уменьшается в
(1+ 0KKос ) раз коэффициент усиления эквK эквивалентного объекта
по сравнению с коэффициентом усиления 0K объекта без местной
обратной связи Это нежелательно так как приводит к уменьшению
быстродействия системы вследствие уменьшения общего коэффици-
ента усиления прямого тракта системы В этом случае с целью обес-
печения необходимого быстродействия системы увеличивают коэф-
фициент усиления регулятора
4 Краткое описание MATLAB
Лабораторная работа выполняется в программе математического
моделирования MATLAB Программа MATLAB включает в себя пакет
прикладных программ для решения технических задач и одноименный
язык программирования используемый в этом пакете
Основными компонентами системы являются базовая система
MATLAB и пакет моделирования систем Simulink Остальные пакеты
расширения разбиты на 4 категории ndash расширения Extension MATLAB и
Extension Simulink а также комплексы пакетов расширения Blockset и
Toolbox
Раздел MATLAB Extension содержит средства для подготовки ис-
полняемых приложений MATLAB (с подключаемыми библиотеками и
без них)
Раздел Toolbox (инструментальные средства) содержит самое
большое число пакетов расширений системы MATLAB такие как
laquoControl systemraquo laquoDatabaseraquo laquoFuzzy logicraquo laquoWaveletraquo и тд
54
В разделе Blockset расположено несколько пакетов относящихся к
главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink такие как
laquoDSPraquo laquoFixed-Pointraquo laquoNonlinear control designraquo и laquoPower systemsraquo
В разделе Extension Simulink имеется ряд средств предназначен-
ных для моделирования в реальном масштабе времени и событийно-
управляемом моделировании
5 Задание на лабораторную работу
Выполнить исследование способов коррекции статических и
динамических свойств САУ Определить время регулирования и пе-
ререгулирования в исходной и скорректированной системах а также
для динамических свойств САУ определить запасы устойчивости в
исходной системе и найти экспериментально значение Kос обеспечи-
вающее в системе заданные показатели качества и запасы устойчиво-
сти Вариант задания назначается преподавателем
Таблица 1
Варианты заданий
варианта
Параметры
1
2
3
4
5
6
7
8
a 05 10 15 20 25 30 35 40
K0 1 2 3 4 5 6 7 8
T c 03 04 05 06 07 08 09 10
ξ 06 07 08 08 07 09 05 04
уст 0 0 005 0 010 007 0 0
tрег c le 13 15 20 25 30 35 40 40
le 0 10 10 5 5 5 0 0
В качестве исходных САУ выступают системы изображенные
на рис 6 и 7
55
ε(t)g(t) y(t)
W(s)-
g(t) y(t)
R(s) W(s)-
ε(t) u(t)
Рис 6 САУ с отрицательной Рис 7 САУ с отрицательной обратной
обратной связью связью и регулятором
6 Методика выполнения задания
При исследовании способов коррекции статических свойств
САУ в качестве исходных данных выступает передаточная функция
sW неизменяемой части системы вида
1222
0
sTsT
KsW (6)
и задающие воздействия вида ttg 1 в соответствии с таблицей 1
В процессе выполнения этой части работы необходимо
1) путем моделирования в системе MATLAB исходной САУ
(рис 6) получить графики ttytg
2) сравнить полученную таким образом экспериментальную ве-
личину t с теоретической величиной вычисленной по формуле (1)
3) применяя описанные в теоретической части методических
указаний способы коррекции статических свойств (см п 31) обес-
печить требуемую статическую ошибку εуст системы при отработке
задающего воздействия ttg 1
4) получить графики ty и t в скорректированной системе
для 1 ttg
5) сравнить время регулирования регt и перерегулирование в
исходной и скорректированной системах при 1 ttg
При исследовании рассмотренного способа коррекции динами-
ческих свойств САУ (см п 32) в качестве исходных данных высту-
пают передаточная функция sW неизменяемой части системы
вида (6) и передаточная функция регулятора вида
s
KsR
рег
56
Задающее воздействие ttg 1
В процессе выполнения данной части работы необходимо
1) получить путем моделирования в MATLAB графики ty t
в системе (рис 7)
2) определить время регулирования регt и перерегулирование
а также запасы устойчивости в исходной системе
3) применяя описанный выше способ коррекции динамических
свойств САУ найти экспериментально (путем последовательного пе-
ребора) значение осK обеспечивающее в системе заданные заданием
показатели качества ( регt ) и запасы устойчивости (при необхо-
димости увеличить коэффициент регK )
4) получить графики ty t а также ЛАХ и ЛФХ разомкну-
той системы в скорректированной САУ
7 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) титульный лист
б) структурные схемы исследуемых систем
в) полученные графики и характеристики
г) значения полученные экмпериментально которые
обеспечивают заданные показатели качества и запасы устойчивости
д) выводы обощающие проделанные эксперименты для
коррекции статических и динамических свойств САУ
е) ответы на контрольные вопросы
Контрольные вопросы 1 Дать определение статической и астатической САУ
2 Какими структурными свойствами системы определяется по-
рядок ее астатизма
3 Какой из двух приведенных выше способов придания системе
свойств астатизма 1-го порядка наиболее предпочтителен на
практике
4 Назовите основные показатели качества САУ Поясните их
смысл
5 В чѐм суть исследуемого способа коррекции динамических
свойств САУ
57
6 Назвать другие способы коррекции динамических свойств
САУ
7 Чем вызваны отрицательные фазовые сдвиги в неизменяемой
части САУ
58
Лабораторная работа 6
МЕТОД КОРНЕВОГО ГОДОГРАФА
1 Цель работы
Целью работы является построение корневого годографа и ис-
следование динамики системы с использованием автоматизирован-
ных средств моделирования на ПК ndash MATLABSIMULINK
2 Задачи работы
ndash Закрепление углубление и расширение знаний студентов при
исследование динамики системы
ndash Овладение навыком построения корневого годографа
ndash Приобретение умений и навыков работы с программой мате-
матического моделирования MATLAB
3 Теоретическая часть
Корневым годографом (КГ) называется совокупность траекто-
рий перемещения всех корней характеристического уравнения за-
мкнутой системы при изменении какого-либо параметра этой систе-
мы
Обычно метод КГ позволяет находить полюса и нули ПФ за-
мкнутой системы располагая полюсами и нулями разомкнутой си-
стемы при изменении коэффициента усиления разомкнутой системы
K
ПФ разомкнутой системы Wp(s) представим в следующем виде
)(
)(
1
1
0
n
ii
m
jj
p
ss
ssKC
sW (1)
где 0js ndash нули ПФ sWp )1( mj
is ndash полюса ПФ sWp
)1( nj n и m ndash порядки знаменателя и числителя C ndash коэффици-
ент представления (отношение коэффициентов при старших членах
числителя и знаменателя)
59
При замыкании системы с ПФ sWp единичной отрицатель-
ной обратной связью ПФ замкнутой системы sWз принимает вид
)(1
)(
sW
sWsW
p
pз
(2)
Из выражения (2) следует что нули ПФ замкнутой системы рав-
ны нулям ПФ разомкнутой системы
Для нахождения полюсов рассмотри выражение
01 sWp (3)
в соответствии с выражением (1) имеем
n
i
m
jjin
ii
m
jj
ssKCss
ss
ssKC
1 1
0
1
1
0
)()(01
)(
)(
(4)
На основании выражения (4) можно сказать что при K = 0 корни
характеристического уравнения совпадают с полюсами а при K = infin ndash
с нулями При изменении K от 0 до infin траектории корней начинаются
в полюсах и заканчиваются в нулях Обычно полюсов больше чем
нулей В этом случаем mn ветвей корневого годографа стремятся к
infin
Для определения полюсов замкнутой системы с отрицательной
обратной связью необходимо решить уравнение (его называют ос-
новным уравнением метода КГ)
1sWp (5)
Так как sWp является функцией комплексного переменного
s то уравнение (5) распадается на два уравнения уравнение модулей
1)( sWp (6)
60
и уравнение аргументов (фаза вектора -1 есть нечетное число π)
210)12()(arg sWp (7)
Как известно при умножении комплексных чисел их аргументы
складываются а при делении ndash вычитаются Поэтому исходя из вы-
ражения (1) уравнение (7) имеет наглядный геометрический смысл
Пусть точка s ndash полюс замкнутой системы Если провести в s
вектора из нулей sWp (обозначим аргументы этих векторов 0j ) и
вектора из всех полюсов sWp (обозначим аргументы этих векторов
i ) то уравнение (7) можно записать в следующем виде
m
j
n
iij
1 1
0 210)12( (8)
Углы q отсчитываются от положительного направления дей-
ствительной оси Знак угла laquo+raquo соответствует повороту против часо-
вой стрелки знак угла laquo-raquo соответствует повороту по часовой стрел-
ке
Таким образом любая точка КГ должна удовлетворять уравне-
нию (8) из которого следует что конфигурация КГ не зависит от ко-
эффициента усиления K но каждому конкретному значению K одно-
значно соответствуют точки на КГ
При умножении комплексных чисел их модули перемножаются
а при делении ndash делятся Поэтому на основании (6) можно записать
1
1
1
0
n
ii
m
jj
l
lKC
(9)
где 0jl ndash модуль (длина) вектора проведенного из j-нуля в точку s
КГ il ndash модуль вектора проведенного из i-полюса в ту же точку s
61
Таким образом траектории корней строятся только по уравне-
ниям фаз а уравнение модулей используется затем для нахождения
K
Сущность метода КГ заключается в том чтобы узнать каким
должен быть коэффициент усиления разомкнутой системы чтобы
было обеспечено желаемое положение корней замкнутой системы
Корневой годограф системы с отрицательной обратной связью
обладает следующими основными свойствами
1 Ветви КГ непрерывны и расположены на комплексной плос-
кости симметрично относительно действительной оси
2 Число ветвей КГ равно порядку системы n Ветви начинают-
ся в n полюсах разомкнутой системы при K=0 При возрастании K от
0 до infin полюса замкнутой системы двигаются по ветвям КГ
3 mветвей КГ при возрастании K от 0 до infin заканчиваются в m
нулях )(sWp а )( mn ветвей при K стремящемся к infin удаляются
от полюсов вдоль асимптот
4 При расположении ветвей корневого годографа в левой полу-
плоскости s САУ устойчива При пересечении ветвей КГ мнимой оси
слева направо САУ становится неустойчивой Пусть при K=Kкр
пере-
сечение КГ с мнимой осью произойдет в некоторой точке iωкр
Назо-
вем это значение коэффициента усиления критическим Kкр
а вели-
чину iωкр
критической угловой частотой на которой система стано-
вится неустойчивой
4 Краткое описание MATLAB
Лабораторная работа выполняется в программе математического
моделирования MATLAB Программа MATLAB включает в себя пакет
прикладных программ для решения технических задач и одноименный
язык программирования используемый в этом пакете
Основными компонентами системы являются базовая система
MATLAB и пакет моделирования систем Simulink Остальные пакеты
расширения разбиты на 4 категории ndash расширения Extension MATLAB и
Extension Simulink а также комплексы пакетов расширения Blockset и
Toolbox
Раздел MATLAB Extension содержит средства для подготовки ис-
полняемых приложений MATLAB (с подключаемыми библиотеками и
без них)
62
Раздел Toolbox (инструментальные средства) содержит самое
большое число пакетов расширений системы MATLAB такие как
laquoControl systemraquo laquoDatabaseraquo laquoFuzzy logicraquo laquoWaveletraquo и тд
В разделе Blockset расположено несколько пакетов относящихся к
главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink такие как
laquoDSPraquo laquoFixed-Pointraquo laquoNonlinear control designraquo и laquoPower systemsraquo
В разделе Extension Simulink имеется ряд средств предназначен-
ных для моделирования в реальном масштабе времени и событийно-
управляемом моделировании
5 Корневой годограф в MATLAB
В системе MATLAB существует команда zpk для преобразова-
ния модели заданной ПФ в модель заданную нулями полюсами и
обобщенными коэффициентами передачи (zpk-форма)
Пример
gtgt w=tf([10][2 2 3 1 0])
Transfer function
10
-------------------------------
2 s^4 + 2 s^3 + 3 s^2 + s
gtgt w1=zpk(w)
Zeropolegain
5
----------------------------------------------
s (s+03966) (s^2 + 06034s + 1261)
Для работы с корневым годографом удобно использовать гра-
фический интерфейс laquoSISO-Design Toolraquo предназначенный для ана-
лиза и синтеза одномерных линейных систем автоматического управ-
ления (SISO ndash Single Input Signal Output)
Запуск SISO-Design Tool осуществляется командой
gtgt sisotool
63
В появившемся окне графического интерфейса необходимо ис-
пользовать команду laquoFileImportraquo для загрузки данных из рабочего
пространства MATLAB в результате которой появляется диалоговое
окно Import System Data (рис 1)
Рис 1 Диалог для ввода параметров модели
После импортирования данных можно исследовать изменение
временных и частотных характеристик замкнутой системы при изме-
нении K Обычно при этом требуется определить условия неустойчи-
вости замкнутой САУ Определить Kкр
и iωкр
На рис 2 показано окно sisotool для описанной выше модели w1
Двигая красным курсором по КГ до пересечения ветвей с мнимой
осью можно определить значения Kкр
В данном случае Kкр
asymp 01
Значение iωкр
соответствует мнимой координате пересечения КГ
мнимой оси Просмотреть это значение можно в нижней части ин-
терфейса или выбрать меню laquoView Closed-Loop Polesraquo
64
Рис 2 Основное окно SISO-Design Tool
6 Задание на лабораторную работу
Построить КГ в соответствии с вариантом из табл 1 при помо-
щи графического интерфейса sisotool
Исследовать динамику замкнутой системы при различных зна-
чениях коэффициента усиления разомкнутой системы K в том числе
ndash запасы устойчивости в частотной области
ndash параметры переходного процесса во временной области
Таблица 1
Варианты передаточных функций
Значения параметров Передаточная функция
разомкнутой системы
1 T = 01 ζ = 1
)12( 22 sTsTs
K
2 T = 005 ζ = 0707
3 T = 003 ζ = 01
4 T = 008 ζ = 05
5 T = 001 ζ = 015
65
Окончание табл 1
Значения параметров Передаточная функция
разомкнутой системы
6 T1 = 003 T2 = 05 T3 = 01 T4 = 005
)1)(1)(1(
)1(
432
1
sTsTsTs
sTK
7 T1 = 005 T2 = 04 T3 = 008 T4 = 0033
8 T1 = 02 T2 = 045 T3 = 01 T4 = 005
9 T1 = 05 T2 = 025 T3 = 01 T4 = 002
10 T1 = 01 T2 = 025 T3 = 01 T4 = 005
Вариант задания назначается преподавателем
7 Методика выполнения задания
Порядок выполнения лабораторной работы
1 Задать передаточную функцию в MATLAB в соответствии с
вариантом коэффициент K задать любым положительным числом
2 Запустить SISO-Design Tool и осуществить ввод данных
Построить КГ
3 По КГ определить значения коэффициента K когда система
будет устойчивой на границе устойчивости и неустойчива
4 Выбрать значение коэффициента K таким образом чтобы си-
стемы была устойчива и определить запас устойчивости в частотной
области и параметры переходного процесса во временной области
8 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) титульный лист
б) передаточную функцию и этапы построения КГ
в) анализ результатов построения КГ
г) выводы по проделанной работе
д) ответы на контрольные вопросы
Контрольные вопросы 1 Дать определение КГ
2 Что обычно позволяет находить метод КГ
3 В чем заключается сущность метода КГ
4 Что можно определить по КГ
66
Критерии результативности лабораторного практикума
Лабораторная работа считается выполненной если студент
ndash выполнил все указанные задания
ndash представил отчет соответствующий всем требованиям к его
содержанию и оформлению
ndash владеет терминологией и материалом лабораторной работы
ndash способен использовать программное средство математическо-
го моделирования MATLAB
ndash способен предоставить и рассказать результаты выполненной
работы на ПК
ndash может дать пояснения к отчету и ответить на контрольные
вопросы
Список литературы
1 Александров АГ Частотная теория автоматического управле-
ния учебное пособие ndash Электросталь ЭПИ МИСиС 2010
2 Борисевич АВ Теория автоматического управления элементар-
ное введение с применением MATLAB ndash СПб Изд-во Политехн ун-
та 2011
3 Федоров ВЛ Бубнов АВ Теория автоматического управления
учебное пособие ndash Омск Изд-во ОмГТУ 2010
4 Павловская ОО Чернецкая ИВ Теория автоматического
управления учебное пособие ndash Челябинск Изд-во ЮУрГУ 2010
67
Составители ЛЯНЦЕВ Олег Дмитриевич КАЗАНЦЕВ Андрей Валерьевич
ИССЛЕДОВАНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК СИСТЕМ
АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
Лабораторный практикум
по дисциплине
laquoТеория управленияraquo
Подписано в печать Формат 60х84 116 Бумага офсетная Пе-
чать плоская Гарнитура Times New Roman Усл печ л 56 Уч-изд л
55 Тираж 100 экз Заказ
ФГБОУ ВПО Уфимский государственный авиационный технический
университет
Центр оперативной полиграфии УГАТУ
450000 Уфа-центр ул К Маркса 12
48
Лабораторная работа 5
КОРРЕКЦИЯ СТАТИЧЕСКИХ И ДИНАМИЧЕСКИХ
СВОЙСТВ САУ
1 Цель работы
Целью работы является изучение способов обеспечения иско-
мых характеристик САУ с использованием автоматизированных
средств моделирования на ПК ndash MATLAB SIMULINK
2 Задачи работы
ndash Закрепление углубление и расширение знаний студентов при
обеспечении искомых характеристик САУ
ndash Приобретение умений по обеспечению точности (уменьшение
статической ошибки) САУ и выбору значений параметров регулято-
ра обеспечивающих желаемые динамические свойства САУ
ndash Приобретение умений и навыков работы с программой мате-
матического моделирования MATLAB
3 Теоретическая часть
Коррекция статических и динамических свойств САУ имеет
своей целью повышение статической и динамической точности отра-
ботки системой задающего воздействия (или парирование возмуща-
ющего воздействия) повышение запасов ее устойчивости Наиболее
распространенными способами коррекции свойств САУ является из-
менение коэффициента усиления ее разомкнутой части введение в
САУ новых звеньев (как правило интегрирующего или дифференци-
рующего типа) охват объекта управления местной обратной связью
31 Коррекция статических свойств САУ
Статические свойства системы определяются величиной устано-
вившейся ошибки )t(уст вызванной действием задающего воздей-
ствия и определяемой по формуле
22
210 2 dttgdcdttdgctgctуст (1)
где )(tg - входное воздействие 210 ccc - коэффициенты ошибок
Коэффициенты ошибок определяются по формулам
49
dssdcdssdcscs
mmmss 00100
где s - передаточная функция САУ по ошибке управления рав-
ная
sW
sраз
1
1
sWраз - передаточная функция разомкнутой САУ
Основными способами уменьшения статической ошибки систе-
мы являются
1) увеличение коэффициента усиления прямого тракта системы
2) введение в прямой тракт системы интегрирующих звеньев
3) охват объекта управления местной неединичной положитель-
ной обратной связью
Представим структурную схему системы в виде изображенном
на рис 1 где через sW обозначена передаточная функция неизме-
няемой части системы
bsbsb
asasasW
nn
nn
mm
mm
01
1
01
1
Здесь и далее полагается что KKKsW s 000 0 ndash из-
меняемый коэффициент усиления регулятора системы
Первые два коэффициента ошибок 0c и 1c определяется выраже-
ниями
KK
c0
01
1
(2)
KK
dssdWKc
s
20
01
1
(3)
Из (2) и (3) с учетом (1) вытекает что с увеличением K
статическая ошибка в системе уменьшается и наоборот с уменьше-
нием K статическая ошибка в системе увеличивается
Введем в прямой тракт системы одно интегрирующее звено
50
(рис 2) В этом случае c 00 01 1 KKc
Так как c 00 то система на рис 2 является астатической (с
астатизмом первого порядка) Система имеет нулевую статическую
ошибку при отработке постоянного задающего воздействия
consttg и постоянную обратно пропорциональную K ошибку
constуст при отработке линейно изменяющегося воздействия
tatg
Рис 1 Схема САУ Рис 2 Схема САУ с включенным в прямой
тракт интегрирующим звеном
Охватим неизменяемую часть системы sW местной нееди-
ничной положительной обратной связью с коэффициентом усиления
осK (рис 3) Тогда эквивалентная передаточная функция sWэкв
неизменяемой части системы равна
10011
01
1
aKbsaKbsaKbsb
asasa
sWK
sWsW
ососm
mосmn
n
mm
mm
осэкв
(4)
Если коэффициент усиления K выбрать из условия
a
bKос
0
0
то свободный коэффициент (b0 - Koca0) полинома знаменателя sWэкв
обратится в нуль и sWэкв приобретает интегрирующие свойства
11
11
0
1
1
aKbsaKbsbs
asasasW
ос
m
mосm
n
n
m
m
m
mэкв
g(t) y(t)ε(t)
K W(s)-
g(t) y(t)
Ks W(s)-
ε(t)
51
Следовательно замкнутая система становится астатической (с
астатизмом 1-го порядка) Отсюда 0c =0 а коэффициент 1c будет
равен
aKb
bc
ос 11
01
ε(t)g(t) y(t)
W(s)-
Kос
Wэкв(s)
+
Рис 3 Схема САУ с местной неединичной обратной связью
32 Коррекция динамических свойств САУ
Улучшение динамических свойств САУ заключается в увеличе-
нии быстродействия САУ (уменьшении времени регулирования tрег)
уменьшении перерегулирования (см рис 4) а также увеличении
запасов устойчивости по фазе и по модулю При этом
h
hh
уст
устmax100
где maxh - максимальное значение переходной характеристики за-
мкнутой САУ th
устh - установившееся значение th
Время регулирования tрег - минимальная величина при которой удо-
влетворяется условие
устрег hth
где - заданная величина ошибки (обычно =005 устh )
52
h(t)
tрег
hустhmax
2δ
Рис 4 Быстродействие и перерегулирование САУ
Одним из эффективных средств достижения этой цели является
уменьшение отрицательных фазовых сдвигов в прямом тракте систе-
мы путем охвата неизменяемой части системы местными отрицатель-
ными обратными связями
На рис 5 R(s) представляет собой передаточную функцию регу-
лятора САУ которая считается заданной
ε(t)g(t) y(t)
W(s)-
Kос
Wэкв(s)
-
R(s)
u(t)
Рис 5 Схема САУ с местной обратной связью и регулятором
Пусть неизменяемая часть системы представляет собой аперио-
дическое звено первого порядка те
sT
K)s(W
10
0
Тогда передаточная функция sWэкв эквивалентного объекта
управления равна
sT
K
sWK
sWsW
экв
экв
осэкв
11
где зквK и эквT - коэффициент усиления и постоянная времени
эквивалентного объекта равные
53
KK
KK
осэкв
0
0
1
KK
TT
осэкв
0
0
1 (5)
Из (5) следует что соответствующим выбором осK постоянную
времени эквT эквивалентного объекта можно уменьшить в (1+ 0KKос )
раз по сравнении с постоянной времени 0T объекта без местной об-
ратной связи Тем самым уменьшаются отрицательные фазовые сдви-
ги вносимые прямым трактом системы что приводит к увеличению
запасов устойчивости системы При этом однако уменьшается в
(1+ 0KKос ) раз коэффициент усиления эквK эквивалентного объекта
по сравнению с коэффициентом усиления 0K объекта без местной
обратной связи Это нежелательно так как приводит к уменьшению
быстродействия системы вследствие уменьшения общего коэффици-
ента усиления прямого тракта системы В этом случае с целью обес-
печения необходимого быстродействия системы увеличивают коэф-
фициент усиления регулятора
4 Краткое описание MATLAB
Лабораторная работа выполняется в программе математического
моделирования MATLAB Программа MATLAB включает в себя пакет
прикладных программ для решения технических задач и одноименный
язык программирования используемый в этом пакете
Основными компонентами системы являются базовая система
MATLAB и пакет моделирования систем Simulink Остальные пакеты
расширения разбиты на 4 категории ndash расширения Extension MATLAB и
Extension Simulink а также комплексы пакетов расширения Blockset и
Toolbox
Раздел MATLAB Extension содержит средства для подготовки ис-
полняемых приложений MATLAB (с подключаемыми библиотеками и
без них)
Раздел Toolbox (инструментальные средства) содержит самое
большое число пакетов расширений системы MATLAB такие как
laquoControl systemraquo laquoDatabaseraquo laquoFuzzy logicraquo laquoWaveletraquo и тд
54
В разделе Blockset расположено несколько пакетов относящихся к
главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink такие как
laquoDSPraquo laquoFixed-Pointraquo laquoNonlinear control designraquo и laquoPower systemsraquo
В разделе Extension Simulink имеется ряд средств предназначен-
ных для моделирования в реальном масштабе времени и событийно-
управляемом моделировании
5 Задание на лабораторную работу
Выполнить исследование способов коррекции статических и
динамических свойств САУ Определить время регулирования и пе-
ререгулирования в исходной и скорректированной системах а также
для динамических свойств САУ определить запасы устойчивости в
исходной системе и найти экспериментально значение Kос обеспечи-
вающее в системе заданные показатели качества и запасы устойчиво-
сти Вариант задания назначается преподавателем
Таблица 1
Варианты заданий
варианта
Параметры
1
2
3
4
5
6
7
8
a 05 10 15 20 25 30 35 40
K0 1 2 3 4 5 6 7 8
T c 03 04 05 06 07 08 09 10
ξ 06 07 08 08 07 09 05 04
уст 0 0 005 0 010 007 0 0
tрег c le 13 15 20 25 30 35 40 40
le 0 10 10 5 5 5 0 0
В качестве исходных САУ выступают системы изображенные
на рис 6 и 7
55
ε(t)g(t) y(t)
W(s)-
g(t) y(t)
R(s) W(s)-
ε(t) u(t)
Рис 6 САУ с отрицательной Рис 7 САУ с отрицательной обратной
обратной связью связью и регулятором
6 Методика выполнения задания
При исследовании способов коррекции статических свойств
САУ в качестве исходных данных выступает передаточная функция
sW неизменяемой части системы вида
1222
0
sTsT
KsW (6)
и задающие воздействия вида ttg 1 в соответствии с таблицей 1
В процессе выполнения этой части работы необходимо
1) путем моделирования в системе MATLAB исходной САУ
(рис 6) получить графики ttytg
2) сравнить полученную таким образом экспериментальную ве-
личину t с теоретической величиной вычисленной по формуле (1)
3) применяя описанные в теоретической части методических
указаний способы коррекции статических свойств (см п 31) обес-
печить требуемую статическую ошибку εуст системы при отработке
задающего воздействия ttg 1
4) получить графики ty и t в скорректированной системе
для 1 ttg
5) сравнить время регулирования регt и перерегулирование в
исходной и скорректированной системах при 1 ttg
При исследовании рассмотренного способа коррекции динами-
ческих свойств САУ (см п 32) в качестве исходных данных высту-
пают передаточная функция sW неизменяемой части системы
вида (6) и передаточная функция регулятора вида
s
KsR
рег
56
Задающее воздействие ttg 1
В процессе выполнения данной части работы необходимо
1) получить путем моделирования в MATLAB графики ty t
в системе (рис 7)
2) определить время регулирования регt и перерегулирование
а также запасы устойчивости в исходной системе
3) применяя описанный выше способ коррекции динамических
свойств САУ найти экспериментально (путем последовательного пе-
ребора) значение осK обеспечивающее в системе заданные заданием
показатели качества ( регt ) и запасы устойчивости (при необхо-
димости увеличить коэффициент регK )
4) получить графики ty t а также ЛАХ и ЛФХ разомкну-
той системы в скорректированной САУ
7 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) титульный лист
б) структурные схемы исследуемых систем
в) полученные графики и характеристики
г) значения полученные экмпериментально которые
обеспечивают заданные показатели качества и запасы устойчивости
д) выводы обощающие проделанные эксперименты для
коррекции статических и динамических свойств САУ
е) ответы на контрольные вопросы
Контрольные вопросы 1 Дать определение статической и астатической САУ
2 Какими структурными свойствами системы определяется по-
рядок ее астатизма
3 Какой из двух приведенных выше способов придания системе
свойств астатизма 1-го порядка наиболее предпочтителен на
практике
4 Назовите основные показатели качества САУ Поясните их
смысл
5 В чѐм суть исследуемого способа коррекции динамических
свойств САУ
57
6 Назвать другие способы коррекции динамических свойств
САУ
7 Чем вызваны отрицательные фазовые сдвиги в неизменяемой
части САУ
58
Лабораторная работа 6
МЕТОД КОРНЕВОГО ГОДОГРАФА
1 Цель работы
Целью работы является построение корневого годографа и ис-
следование динамики системы с использованием автоматизирован-
ных средств моделирования на ПК ndash MATLABSIMULINK
2 Задачи работы
ndash Закрепление углубление и расширение знаний студентов при
исследование динамики системы
ndash Овладение навыком построения корневого годографа
ndash Приобретение умений и навыков работы с программой мате-
матического моделирования MATLAB
3 Теоретическая часть
Корневым годографом (КГ) называется совокупность траекто-
рий перемещения всех корней характеристического уравнения за-
мкнутой системы при изменении какого-либо параметра этой систе-
мы
Обычно метод КГ позволяет находить полюса и нули ПФ за-
мкнутой системы располагая полюсами и нулями разомкнутой си-
стемы при изменении коэффициента усиления разомкнутой системы
K
ПФ разомкнутой системы Wp(s) представим в следующем виде
)(
)(
1
1
0
n
ii
m
jj
p
ss
ssKC
sW (1)
где 0js ndash нули ПФ sWp )1( mj
is ndash полюса ПФ sWp
)1( nj n и m ndash порядки знаменателя и числителя C ndash коэффици-
ент представления (отношение коэффициентов при старших членах
числителя и знаменателя)
59
При замыкании системы с ПФ sWp единичной отрицатель-
ной обратной связью ПФ замкнутой системы sWз принимает вид
)(1
)(
sW
sWsW
p
pз
(2)
Из выражения (2) следует что нули ПФ замкнутой системы рав-
ны нулям ПФ разомкнутой системы
Для нахождения полюсов рассмотри выражение
01 sWp (3)
в соответствии с выражением (1) имеем
n
i
m
jjin
ii
m
jj
ssKCss
ss
ssKC
1 1
0
1
1
0
)()(01
)(
)(
(4)
На основании выражения (4) можно сказать что при K = 0 корни
характеристического уравнения совпадают с полюсами а при K = infin ndash
с нулями При изменении K от 0 до infin траектории корней начинаются
в полюсах и заканчиваются в нулях Обычно полюсов больше чем
нулей В этом случаем mn ветвей корневого годографа стремятся к
infin
Для определения полюсов замкнутой системы с отрицательной
обратной связью необходимо решить уравнение (его называют ос-
новным уравнением метода КГ)
1sWp (5)
Так как sWp является функцией комплексного переменного
s то уравнение (5) распадается на два уравнения уравнение модулей
1)( sWp (6)
60
и уравнение аргументов (фаза вектора -1 есть нечетное число π)
210)12()(arg sWp (7)
Как известно при умножении комплексных чисел их аргументы
складываются а при делении ndash вычитаются Поэтому исходя из вы-
ражения (1) уравнение (7) имеет наглядный геометрический смысл
Пусть точка s ndash полюс замкнутой системы Если провести в s
вектора из нулей sWp (обозначим аргументы этих векторов 0j ) и
вектора из всех полюсов sWp (обозначим аргументы этих векторов
i ) то уравнение (7) можно записать в следующем виде
m
j
n
iij
1 1
0 210)12( (8)
Углы q отсчитываются от положительного направления дей-
ствительной оси Знак угла laquo+raquo соответствует повороту против часо-
вой стрелки знак угла laquo-raquo соответствует повороту по часовой стрел-
ке
Таким образом любая точка КГ должна удовлетворять уравне-
нию (8) из которого следует что конфигурация КГ не зависит от ко-
эффициента усиления K но каждому конкретному значению K одно-
значно соответствуют точки на КГ
При умножении комплексных чисел их модули перемножаются
а при делении ndash делятся Поэтому на основании (6) можно записать
1
1
1
0
n
ii
m
jj
l
lKC
(9)
где 0jl ndash модуль (длина) вектора проведенного из j-нуля в точку s
КГ il ndash модуль вектора проведенного из i-полюса в ту же точку s
61
Таким образом траектории корней строятся только по уравне-
ниям фаз а уравнение модулей используется затем для нахождения
K
Сущность метода КГ заключается в том чтобы узнать каким
должен быть коэффициент усиления разомкнутой системы чтобы
было обеспечено желаемое положение корней замкнутой системы
Корневой годограф системы с отрицательной обратной связью
обладает следующими основными свойствами
1 Ветви КГ непрерывны и расположены на комплексной плос-
кости симметрично относительно действительной оси
2 Число ветвей КГ равно порядку системы n Ветви начинают-
ся в n полюсах разомкнутой системы при K=0 При возрастании K от
0 до infin полюса замкнутой системы двигаются по ветвям КГ
3 mветвей КГ при возрастании K от 0 до infin заканчиваются в m
нулях )(sWp а )( mn ветвей при K стремящемся к infin удаляются
от полюсов вдоль асимптот
4 При расположении ветвей корневого годографа в левой полу-
плоскости s САУ устойчива При пересечении ветвей КГ мнимой оси
слева направо САУ становится неустойчивой Пусть при K=Kкр
пере-
сечение КГ с мнимой осью произойдет в некоторой точке iωкр
Назо-
вем это значение коэффициента усиления критическим Kкр
а вели-
чину iωкр
критической угловой частотой на которой система стано-
вится неустойчивой
4 Краткое описание MATLAB
Лабораторная работа выполняется в программе математического
моделирования MATLAB Программа MATLAB включает в себя пакет
прикладных программ для решения технических задач и одноименный
язык программирования используемый в этом пакете
Основными компонентами системы являются базовая система
MATLAB и пакет моделирования систем Simulink Остальные пакеты
расширения разбиты на 4 категории ndash расширения Extension MATLAB и
Extension Simulink а также комплексы пакетов расширения Blockset и
Toolbox
Раздел MATLAB Extension содержит средства для подготовки ис-
полняемых приложений MATLAB (с подключаемыми библиотеками и
без них)
62
Раздел Toolbox (инструментальные средства) содержит самое
большое число пакетов расширений системы MATLAB такие как
laquoControl systemraquo laquoDatabaseraquo laquoFuzzy logicraquo laquoWaveletraquo и тд
В разделе Blockset расположено несколько пакетов относящихся к
главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink такие как
laquoDSPraquo laquoFixed-Pointraquo laquoNonlinear control designraquo и laquoPower systemsraquo
В разделе Extension Simulink имеется ряд средств предназначен-
ных для моделирования в реальном масштабе времени и событийно-
управляемом моделировании
5 Корневой годограф в MATLAB
В системе MATLAB существует команда zpk для преобразова-
ния модели заданной ПФ в модель заданную нулями полюсами и
обобщенными коэффициентами передачи (zpk-форма)
Пример
gtgt w=tf([10][2 2 3 1 0])
Transfer function
10
-------------------------------
2 s^4 + 2 s^3 + 3 s^2 + s
gtgt w1=zpk(w)
Zeropolegain
5
----------------------------------------------
s (s+03966) (s^2 + 06034s + 1261)
Для работы с корневым годографом удобно использовать гра-
фический интерфейс laquoSISO-Design Toolraquo предназначенный для ана-
лиза и синтеза одномерных линейных систем автоматического управ-
ления (SISO ndash Single Input Signal Output)
Запуск SISO-Design Tool осуществляется командой
gtgt sisotool
63
В появившемся окне графического интерфейса необходимо ис-
пользовать команду laquoFileImportraquo для загрузки данных из рабочего
пространства MATLAB в результате которой появляется диалоговое
окно Import System Data (рис 1)
Рис 1 Диалог для ввода параметров модели
После импортирования данных можно исследовать изменение
временных и частотных характеристик замкнутой системы при изме-
нении K Обычно при этом требуется определить условия неустойчи-
вости замкнутой САУ Определить Kкр
и iωкр
На рис 2 показано окно sisotool для описанной выше модели w1
Двигая красным курсором по КГ до пересечения ветвей с мнимой
осью можно определить значения Kкр
В данном случае Kкр
asymp 01
Значение iωкр
соответствует мнимой координате пересечения КГ
мнимой оси Просмотреть это значение можно в нижней части ин-
терфейса или выбрать меню laquoView Closed-Loop Polesraquo
64
Рис 2 Основное окно SISO-Design Tool
6 Задание на лабораторную работу
Построить КГ в соответствии с вариантом из табл 1 при помо-
щи графического интерфейса sisotool
Исследовать динамику замкнутой системы при различных зна-
чениях коэффициента усиления разомкнутой системы K в том числе
ndash запасы устойчивости в частотной области
ndash параметры переходного процесса во временной области
Таблица 1
Варианты передаточных функций
Значения параметров Передаточная функция
разомкнутой системы
1 T = 01 ζ = 1
)12( 22 sTsTs
K
2 T = 005 ζ = 0707
3 T = 003 ζ = 01
4 T = 008 ζ = 05
5 T = 001 ζ = 015
65
Окончание табл 1
Значения параметров Передаточная функция
разомкнутой системы
6 T1 = 003 T2 = 05 T3 = 01 T4 = 005
)1)(1)(1(
)1(
432
1
sTsTsTs
sTK
7 T1 = 005 T2 = 04 T3 = 008 T4 = 0033
8 T1 = 02 T2 = 045 T3 = 01 T4 = 005
9 T1 = 05 T2 = 025 T3 = 01 T4 = 002
10 T1 = 01 T2 = 025 T3 = 01 T4 = 005
Вариант задания назначается преподавателем
7 Методика выполнения задания
Порядок выполнения лабораторной работы
1 Задать передаточную функцию в MATLAB в соответствии с
вариантом коэффициент K задать любым положительным числом
2 Запустить SISO-Design Tool и осуществить ввод данных
Построить КГ
3 По КГ определить значения коэффициента K когда система
будет устойчивой на границе устойчивости и неустойчива
4 Выбрать значение коэффициента K таким образом чтобы си-
стемы была устойчива и определить запас устойчивости в частотной
области и параметры переходного процесса во временной области
8 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) титульный лист
б) передаточную функцию и этапы построения КГ
в) анализ результатов построения КГ
г) выводы по проделанной работе
д) ответы на контрольные вопросы
Контрольные вопросы 1 Дать определение КГ
2 Что обычно позволяет находить метод КГ
3 В чем заключается сущность метода КГ
4 Что можно определить по КГ
66
Критерии результативности лабораторного практикума
Лабораторная работа считается выполненной если студент
ndash выполнил все указанные задания
ndash представил отчет соответствующий всем требованиям к его
содержанию и оформлению
ndash владеет терминологией и материалом лабораторной работы
ndash способен использовать программное средство математическо-
го моделирования MATLAB
ndash способен предоставить и рассказать результаты выполненной
работы на ПК
ndash может дать пояснения к отчету и ответить на контрольные
вопросы
Список литературы
1 Александров АГ Частотная теория автоматического управле-
ния учебное пособие ndash Электросталь ЭПИ МИСиС 2010
2 Борисевич АВ Теория автоматического управления элементар-
ное введение с применением MATLAB ndash СПб Изд-во Политехн ун-
та 2011
3 Федоров ВЛ Бубнов АВ Теория автоматического управления
учебное пособие ndash Омск Изд-во ОмГТУ 2010
4 Павловская ОО Чернецкая ИВ Теория автоматического
управления учебное пособие ndash Челябинск Изд-во ЮУрГУ 2010
67
Составители ЛЯНЦЕВ Олег Дмитриевич КАЗАНЦЕВ Андрей Валерьевич
ИССЛЕДОВАНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК СИСТЕМ
АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
Лабораторный практикум
по дисциплине
laquoТеория управленияraquo
Подписано в печать Формат 60х84 116 Бумага офсетная Пе-
чать плоская Гарнитура Times New Roman Усл печ л 56 Уч-изд л
55 Тираж 100 экз Заказ
ФГБОУ ВПО Уфимский государственный авиационный технический
университет
Центр оперативной полиграфии УГАТУ
450000 Уфа-центр ул К Маркса 12
49
dssdcdssdcscs
mmmss 00100
где s - передаточная функция САУ по ошибке управления рав-
ная
sW
sраз
1
1
sWраз - передаточная функция разомкнутой САУ
Основными способами уменьшения статической ошибки систе-
мы являются
1) увеличение коэффициента усиления прямого тракта системы
2) введение в прямой тракт системы интегрирующих звеньев
3) охват объекта управления местной неединичной положитель-
ной обратной связью
Представим структурную схему системы в виде изображенном
на рис 1 где через sW обозначена передаточная функция неизме-
няемой части системы
bsbsb
asasasW
nn
nn
mm
mm
01
1
01
1
Здесь и далее полагается что KKKsW s 000 0 ndash из-
меняемый коэффициент усиления регулятора системы
Первые два коэффициента ошибок 0c и 1c определяется выраже-
ниями
KK
c0
01
1
(2)
KK
dssdWKc
s
20
01
1
(3)
Из (2) и (3) с учетом (1) вытекает что с увеличением K
статическая ошибка в системе уменьшается и наоборот с уменьше-
нием K статическая ошибка в системе увеличивается
Введем в прямой тракт системы одно интегрирующее звено
50
(рис 2) В этом случае c 00 01 1 KKc
Так как c 00 то система на рис 2 является астатической (с
астатизмом первого порядка) Система имеет нулевую статическую
ошибку при отработке постоянного задающего воздействия
consttg и постоянную обратно пропорциональную K ошибку
constуст при отработке линейно изменяющегося воздействия
tatg
Рис 1 Схема САУ Рис 2 Схема САУ с включенным в прямой
тракт интегрирующим звеном
Охватим неизменяемую часть системы sW местной нееди-
ничной положительной обратной связью с коэффициентом усиления
осK (рис 3) Тогда эквивалентная передаточная функция sWэкв
неизменяемой части системы равна
10011
01
1
aKbsaKbsaKbsb
asasa
sWK
sWsW
ососm
mосmn
n
mm
mm
осэкв
(4)
Если коэффициент усиления K выбрать из условия
a
bKос
0
0
то свободный коэффициент (b0 - Koca0) полинома знаменателя sWэкв
обратится в нуль и sWэкв приобретает интегрирующие свойства
11
11
0
1
1
aKbsaKbsbs
asasasW
ос
m
mосm
n
n
m
m
m
mэкв
g(t) y(t)ε(t)
K W(s)-
g(t) y(t)
Ks W(s)-
ε(t)
51
Следовательно замкнутая система становится астатической (с
астатизмом 1-го порядка) Отсюда 0c =0 а коэффициент 1c будет
равен
aKb
bc
ос 11
01
ε(t)g(t) y(t)
W(s)-
Kос
Wэкв(s)
+
Рис 3 Схема САУ с местной неединичной обратной связью
32 Коррекция динамических свойств САУ
Улучшение динамических свойств САУ заключается в увеличе-
нии быстродействия САУ (уменьшении времени регулирования tрег)
уменьшении перерегулирования (см рис 4) а также увеличении
запасов устойчивости по фазе и по модулю При этом
h
hh
уст
устmax100
где maxh - максимальное значение переходной характеристики за-
мкнутой САУ th
устh - установившееся значение th
Время регулирования tрег - минимальная величина при которой удо-
влетворяется условие
устрег hth
где - заданная величина ошибки (обычно =005 устh )
52
h(t)
tрег
hустhmax
2δ
Рис 4 Быстродействие и перерегулирование САУ
Одним из эффективных средств достижения этой цели является
уменьшение отрицательных фазовых сдвигов в прямом тракте систе-
мы путем охвата неизменяемой части системы местными отрицатель-
ными обратными связями
На рис 5 R(s) представляет собой передаточную функцию регу-
лятора САУ которая считается заданной
ε(t)g(t) y(t)
W(s)-
Kос
Wэкв(s)
-
R(s)
u(t)
Рис 5 Схема САУ с местной обратной связью и регулятором
Пусть неизменяемая часть системы представляет собой аперио-
дическое звено первого порядка те
sT
K)s(W
10
0
Тогда передаточная функция sWэкв эквивалентного объекта
управления равна
sT
K
sWK
sWsW
экв
экв
осэкв
11
где зквK и эквT - коэффициент усиления и постоянная времени
эквивалентного объекта равные
53
KK
KK
осэкв
0
0
1
KK
TT
осэкв
0
0
1 (5)
Из (5) следует что соответствующим выбором осK постоянную
времени эквT эквивалентного объекта можно уменьшить в (1+ 0KKос )
раз по сравнении с постоянной времени 0T объекта без местной об-
ратной связи Тем самым уменьшаются отрицательные фазовые сдви-
ги вносимые прямым трактом системы что приводит к увеличению
запасов устойчивости системы При этом однако уменьшается в
(1+ 0KKос ) раз коэффициент усиления эквK эквивалентного объекта
по сравнению с коэффициентом усиления 0K объекта без местной
обратной связи Это нежелательно так как приводит к уменьшению
быстродействия системы вследствие уменьшения общего коэффици-
ента усиления прямого тракта системы В этом случае с целью обес-
печения необходимого быстродействия системы увеличивают коэф-
фициент усиления регулятора
4 Краткое описание MATLAB
Лабораторная работа выполняется в программе математического
моделирования MATLAB Программа MATLAB включает в себя пакет
прикладных программ для решения технических задач и одноименный
язык программирования используемый в этом пакете
Основными компонентами системы являются базовая система
MATLAB и пакет моделирования систем Simulink Остальные пакеты
расширения разбиты на 4 категории ndash расширения Extension MATLAB и
Extension Simulink а также комплексы пакетов расширения Blockset и
Toolbox
Раздел MATLAB Extension содержит средства для подготовки ис-
полняемых приложений MATLAB (с подключаемыми библиотеками и
без них)
Раздел Toolbox (инструментальные средства) содержит самое
большое число пакетов расширений системы MATLAB такие как
laquoControl systemraquo laquoDatabaseraquo laquoFuzzy logicraquo laquoWaveletraquo и тд
54
В разделе Blockset расположено несколько пакетов относящихся к
главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink такие как
laquoDSPraquo laquoFixed-Pointraquo laquoNonlinear control designraquo и laquoPower systemsraquo
В разделе Extension Simulink имеется ряд средств предназначен-
ных для моделирования в реальном масштабе времени и событийно-
управляемом моделировании
5 Задание на лабораторную работу
Выполнить исследование способов коррекции статических и
динамических свойств САУ Определить время регулирования и пе-
ререгулирования в исходной и скорректированной системах а также
для динамических свойств САУ определить запасы устойчивости в
исходной системе и найти экспериментально значение Kос обеспечи-
вающее в системе заданные показатели качества и запасы устойчиво-
сти Вариант задания назначается преподавателем
Таблица 1
Варианты заданий
варианта
Параметры
1
2
3
4
5
6
7
8
a 05 10 15 20 25 30 35 40
K0 1 2 3 4 5 6 7 8
T c 03 04 05 06 07 08 09 10
ξ 06 07 08 08 07 09 05 04
уст 0 0 005 0 010 007 0 0
tрег c le 13 15 20 25 30 35 40 40
le 0 10 10 5 5 5 0 0
В качестве исходных САУ выступают системы изображенные
на рис 6 и 7
55
ε(t)g(t) y(t)
W(s)-
g(t) y(t)
R(s) W(s)-
ε(t) u(t)
Рис 6 САУ с отрицательной Рис 7 САУ с отрицательной обратной
обратной связью связью и регулятором
6 Методика выполнения задания
При исследовании способов коррекции статических свойств
САУ в качестве исходных данных выступает передаточная функция
sW неизменяемой части системы вида
1222
0
sTsT
KsW (6)
и задающие воздействия вида ttg 1 в соответствии с таблицей 1
В процессе выполнения этой части работы необходимо
1) путем моделирования в системе MATLAB исходной САУ
(рис 6) получить графики ttytg
2) сравнить полученную таким образом экспериментальную ве-
личину t с теоретической величиной вычисленной по формуле (1)
3) применяя описанные в теоретической части методических
указаний способы коррекции статических свойств (см п 31) обес-
печить требуемую статическую ошибку εуст системы при отработке
задающего воздействия ttg 1
4) получить графики ty и t в скорректированной системе
для 1 ttg
5) сравнить время регулирования регt и перерегулирование в
исходной и скорректированной системах при 1 ttg
При исследовании рассмотренного способа коррекции динами-
ческих свойств САУ (см п 32) в качестве исходных данных высту-
пают передаточная функция sW неизменяемой части системы
вида (6) и передаточная функция регулятора вида
s
KsR
рег
56
Задающее воздействие ttg 1
В процессе выполнения данной части работы необходимо
1) получить путем моделирования в MATLAB графики ty t
в системе (рис 7)
2) определить время регулирования регt и перерегулирование
а также запасы устойчивости в исходной системе
3) применяя описанный выше способ коррекции динамических
свойств САУ найти экспериментально (путем последовательного пе-
ребора) значение осK обеспечивающее в системе заданные заданием
показатели качества ( регt ) и запасы устойчивости (при необхо-
димости увеличить коэффициент регK )
4) получить графики ty t а также ЛАХ и ЛФХ разомкну-
той системы в скорректированной САУ
7 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) титульный лист
б) структурные схемы исследуемых систем
в) полученные графики и характеристики
г) значения полученные экмпериментально которые
обеспечивают заданные показатели качества и запасы устойчивости
д) выводы обощающие проделанные эксперименты для
коррекции статических и динамических свойств САУ
е) ответы на контрольные вопросы
Контрольные вопросы 1 Дать определение статической и астатической САУ
2 Какими структурными свойствами системы определяется по-
рядок ее астатизма
3 Какой из двух приведенных выше способов придания системе
свойств астатизма 1-го порядка наиболее предпочтителен на
практике
4 Назовите основные показатели качества САУ Поясните их
смысл
5 В чѐм суть исследуемого способа коррекции динамических
свойств САУ
57
6 Назвать другие способы коррекции динамических свойств
САУ
7 Чем вызваны отрицательные фазовые сдвиги в неизменяемой
части САУ
58
Лабораторная работа 6
МЕТОД КОРНЕВОГО ГОДОГРАФА
1 Цель работы
Целью работы является построение корневого годографа и ис-
следование динамики системы с использованием автоматизирован-
ных средств моделирования на ПК ndash MATLABSIMULINK
2 Задачи работы
ndash Закрепление углубление и расширение знаний студентов при
исследование динамики системы
ndash Овладение навыком построения корневого годографа
ndash Приобретение умений и навыков работы с программой мате-
матического моделирования MATLAB
3 Теоретическая часть
Корневым годографом (КГ) называется совокупность траекто-
рий перемещения всех корней характеристического уравнения за-
мкнутой системы при изменении какого-либо параметра этой систе-
мы
Обычно метод КГ позволяет находить полюса и нули ПФ за-
мкнутой системы располагая полюсами и нулями разомкнутой си-
стемы при изменении коэффициента усиления разомкнутой системы
K
ПФ разомкнутой системы Wp(s) представим в следующем виде
)(
)(
1
1
0
n
ii
m
jj
p
ss
ssKC
sW (1)
где 0js ndash нули ПФ sWp )1( mj
is ndash полюса ПФ sWp
)1( nj n и m ndash порядки знаменателя и числителя C ndash коэффици-
ент представления (отношение коэффициентов при старших членах
числителя и знаменателя)
59
При замыкании системы с ПФ sWp единичной отрицатель-
ной обратной связью ПФ замкнутой системы sWз принимает вид
)(1
)(
sW
sWsW
p
pз
(2)
Из выражения (2) следует что нули ПФ замкнутой системы рав-
ны нулям ПФ разомкнутой системы
Для нахождения полюсов рассмотри выражение
01 sWp (3)
в соответствии с выражением (1) имеем
n
i
m
jjin
ii
m
jj
ssKCss
ss
ssKC
1 1
0
1
1
0
)()(01
)(
)(
(4)
На основании выражения (4) можно сказать что при K = 0 корни
характеристического уравнения совпадают с полюсами а при K = infin ndash
с нулями При изменении K от 0 до infin траектории корней начинаются
в полюсах и заканчиваются в нулях Обычно полюсов больше чем
нулей В этом случаем mn ветвей корневого годографа стремятся к
infin
Для определения полюсов замкнутой системы с отрицательной
обратной связью необходимо решить уравнение (его называют ос-
новным уравнением метода КГ)
1sWp (5)
Так как sWp является функцией комплексного переменного
s то уравнение (5) распадается на два уравнения уравнение модулей
1)( sWp (6)
60
и уравнение аргументов (фаза вектора -1 есть нечетное число π)
210)12()(arg sWp (7)
Как известно при умножении комплексных чисел их аргументы
складываются а при делении ndash вычитаются Поэтому исходя из вы-
ражения (1) уравнение (7) имеет наглядный геометрический смысл
Пусть точка s ndash полюс замкнутой системы Если провести в s
вектора из нулей sWp (обозначим аргументы этих векторов 0j ) и
вектора из всех полюсов sWp (обозначим аргументы этих векторов
i ) то уравнение (7) можно записать в следующем виде
m
j
n
iij
1 1
0 210)12( (8)
Углы q отсчитываются от положительного направления дей-
ствительной оси Знак угла laquo+raquo соответствует повороту против часо-
вой стрелки знак угла laquo-raquo соответствует повороту по часовой стрел-
ке
Таким образом любая точка КГ должна удовлетворять уравне-
нию (8) из которого следует что конфигурация КГ не зависит от ко-
эффициента усиления K но каждому конкретному значению K одно-
значно соответствуют точки на КГ
При умножении комплексных чисел их модули перемножаются
а при делении ndash делятся Поэтому на основании (6) можно записать
1
1
1
0
n
ii
m
jj
l
lKC
(9)
где 0jl ndash модуль (длина) вектора проведенного из j-нуля в точку s
КГ il ndash модуль вектора проведенного из i-полюса в ту же точку s
61
Таким образом траектории корней строятся только по уравне-
ниям фаз а уравнение модулей используется затем для нахождения
K
Сущность метода КГ заключается в том чтобы узнать каким
должен быть коэффициент усиления разомкнутой системы чтобы
было обеспечено желаемое положение корней замкнутой системы
Корневой годограф системы с отрицательной обратной связью
обладает следующими основными свойствами
1 Ветви КГ непрерывны и расположены на комплексной плос-
кости симметрично относительно действительной оси
2 Число ветвей КГ равно порядку системы n Ветви начинают-
ся в n полюсах разомкнутой системы при K=0 При возрастании K от
0 до infin полюса замкнутой системы двигаются по ветвям КГ
3 mветвей КГ при возрастании K от 0 до infin заканчиваются в m
нулях )(sWp а )( mn ветвей при K стремящемся к infin удаляются
от полюсов вдоль асимптот
4 При расположении ветвей корневого годографа в левой полу-
плоскости s САУ устойчива При пересечении ветвей КГ мнимой оси
слева направо САУ становится неустойчивой Пусть при K=Kкр
пере-
сечение КГ с мнимой осью произойдет в некоторой точке iωкр
Назо-
вем это значение коэффициента усиления критическим Kкр
а вели-
чину iωкр
критической угловой частотой на которой система стано-
вится неустойчивой
4 Краткое описание MATLAB
Лабораторная работа выполняется в программе математического
моделирования MATLAB Программа MATLAB включает в себя пакет
прикладных программ для решения технических задач и одноименный
язык программирования используемый в этом пакете
Основными компонентами системы являются базовая система
MATLAB и пакет моделирования систем Simulink Остальные пакеты
расширения разбиты на 4 категории ndash расширения Extension MATLAB и
Extension Simulink а также комплексы пакетов расширения Blockset и
Toolbox
Раздел MATLAB Extension содержит средства для подготовки ис-
полняемых приложений MATLAB (с подключаемыми библиотеками и
без них)
62
Раздел Toolbox (инструментальные средства) содержит самое
большое число пакетов расширений системы MATLAB такие как
laquoControl systemraquo laquoDatabaseraquo laquoFuzzy logicraquo laquoWaveletraquo и тд
В разделе Blockset расположено несколько пакетов относящихся к
главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink такие как
laquoDSPraquo laquoFixed-Pointraquo laquoNonlinear control designraquo и laquoPower systemsraquo
В разделе Extension Simulink имеется ряд средств предназначен-
ных для моделирования в реальном масштабе времени и событийно-
управляемом моделировании
5 Корневой годограф в MATLAB
В системе MATLAB существует команда zpk для преобразова-
ния модели заданной ПФ в модель заданную нулями полюсами и
обобщенными коэффициентами передачи (zpk-форма)
Пример
gtgt w=tf([10][2 2 3 1 0])
Transfer function
10
-------------------------------
2 s^4 + 2 s^3 + 3 s^2 + s
gtgt w1=zpk(w)
Zeropolegain
5
----------------------------------------------
s (s+03966) (s^2 + 06034s + 1261)
Для работы с корневым годографом удобно использовать гра-
фический интерфейс laquoSISO-Design Toolraquo предназначенный для ана-
лиза и синтеза одномерных линейных систем автоматического управ-
ления (SISO ndash Single Input Signal Output)
Запуск SISO-Design Tool осуществляется командой
gtgt sisotool
63
В появившемся окне графического интерфейса необходимо ис-
пользовать команду laquoFileImportraquo для загрузки данных из рабочего
пространства MATLAB в результате которой появляется диалоговое
окно Import System Data (рис 1)
Рис 1 Диалог для ввода параметров модели
После импортирования данных можно исследовать изменение
временных и частотных характеристик замкнутой системы при изме-
нении K Обычно при этом требуется определить условия неустойчи-
вости замкнутой САУ Определить Kкр
и iωкр
На рис 2 показано окно sisotool для описанной выше модели w1
Двигая красным курсором по КГ до пересечения ветвей с мнимой
осью можно определить значения Kкр
В данном случае Kкр
asymp 01
Значение iωкр
соответствует мнимой координате пересечения КГ
мнимой оси Просмотреть это значение можно в нижней части ин-
терфейса или выбрать меню laquoView Closed-Loop Polesraquo
64
Рис 2 Основное окно SISO-Design Tool
6 Задание на лабораторную работу
Построить КГ в соответствии с вариантом из табл 1 при помо-
щи графического интерфейса sisotool
Исследовать динамику замкнутой системы при различных зна-
чениях коэффициента усиления разомкнутой системы K в том числе
ndash запасы устойчивости в частотной области
ndash параметры переходного процесса во временной области
Таблица 1
Варианты передаточных функций
Значения параметров Передаточная функция
разомкнутой системы
1 T = 01 ζ = 1
)12( 22 sTsTs
K
2 T = 005 ζ = 0707
3 T = 003 ζ = 01
4 T = 008 ζ = 05
5 T = 001 ζ = 015
65
Окончание табл 1
Значения параметров Передаточная функция
разомкнутой системы
6 T1 = 003 T2 = 05 T3 = 01 T4 = 005
)1)(1)(1(
)1(
432
1
sTsTsTs
sTK
7 T1 = 005 T2 = 04 T3 = 008 T4 = 0033
8 T1 = 02 T2 = 045 T3 = 01 T4 = 005
9 T1 = 05 T2 = 025 T3 = 01 T4 = 002
10 T1 = 01 T2 = 025 T3 = 01 T4 = 005
Вариант задания назначается преподавателем
7 Методика выполнения задания
Порядок выполнения лабораторной работы
1 Задать передаточную функцию в MATLAB в соответствии с
вариантом коэффициент K задать любым положительным числом
2 Запустить SISO-Design Tool и осуществить ввод данных
Построить КГ
3 По КГ определить значения коэффициента K когда система
будет устойчивой на границе устойчивости и неустойчива
4 Выбрать значение коэффициента K таким образом чтобы си-
стемы была устойчива и определить запас устойчивости в частотной
области и параметры переходного процесса во временной области
8 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) титульный лист
б) передаточную функцию и этапы построения КГ
в) анализ результатов построения КГ
г) выводы по проделанной работе
д) ответы на контрольные вопросы
Контрольные вопросы 1 Дать определение КГ
2 Что обычно позволяет находить метод КГ
3 В чем заключается сущность метода КГ
4 Что можно определить по КГ
66
Критерии результативности лабораторного практикума
Лабораторная работа считается выполненной если студент
ndash выполнил все указанные задания
ndash представил отчет соответствующий всем требованиям к его
содержанию и оформлению
ndash владеет терминологией и материалом лабораторной работы
ndash способен использовать программное средство математическо-
го моделирования MATLAB
ndash способен предоставить и рассказать результаты выполненной
работы на ПК
ndash может дать пояснения к отчету и ответить на контрольные
вопросы
Список литературы
1 Александров АГ Частотная теория автоматического управле-
ния учебное пособие ndash Электросталь ЭПИ МИСиС 2010
2 Борисевич АВ Теория автоматического управления элементар-
ное введение с применением MATLAB ndash СПб Изд-во Политехн ун-
та 2011
3 Федоров ВЛ Бубнов АВ Теория автоматического управления
учебное пособие ndash Омск Изд-во ОмГТУ 2010
4 Павловская ОО Чернецкая ИВ Теория автоматического
управления учебное пособие ndash Челябинск Изд-во ЮУрГУ 2010
67
Составители ЛЯНЦЕВ Олег Дмитриевич КАЗАНЦЕВ Андрей Валерьевич
ИССЛЕДОВАНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК СИСТЕМ
АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
Лабораторный практикум
по дисциплине
laquoТеория управленияraquo
Подписано в печать Формат 60х84 116 Бумага офсетная Пе-
чать плоская Гарнитура Times New Roman Усл печ л 56 Уч-изд л
55 Тираж 100 экз Заказ
ФГБОУ ВПО Уфимский государственный авиационный технический
университет
Центр оперативной полиграфии УГАТУ
450000 Уфа-центр ул К Маркса 12
50
(рис 2) В этом случае c 00 01 1 KKc
Так как c 00 то система на рис 2 является астатической (с
астатизмом первого порядка) Система имеет нулевую статическую
ошибку при отработке постоянного задающего воздействия
consttg и постоянную обратно пропорциональную K ошибку
constуст при отработке линейно изменяющегося воздействия
tatg
Рис 1 Схема САУ Рис 2 Схема САУ с включенным в прямой
тракт интегрирующим звеном
Охватим неизменяемую часть системы sW местной нееди-
ничной положительной обратной связью с коэффициентом усиления
осK (рис 3) Тогда эквивалентная передаточная функция sWэкв
неизменяемой части системы равна
10011
01
1
aKbsaKbsaKbsb
asasa
sWK
sWsW
ососm
mосmn
n
mm
mm
осэкв
(4)
Если коэффициент усиления K выбрать из условия
a
bKос
0
0
то свободный коэффициент (b0 - Koca0) полинома знаменателя sWэкв
обратится в нуль и sWэкв приобретает интегрирующие свойства
11
11
0
1
1
aKbsaKbsbs
asasasW
ос
m
mосm
n
n
m
m
m
mэкв
g(t) y(t)ε(t)
K W(s)-
g(t) y(t)
Ks W(s)-
ε(t)
51
Следовательно замкнутая система становится астатической (с
астатизмом 1-го порядка) Отсюда 0c =0 а коэффициент 1c будет
равен
aKb
bc
ос 11
01
ε(t)g(t) y(t)
W(s)-
Kос
Wэкв(s)
+
Рис 3 Схема САУ с местной неединичной обратной связью
32 Коррекция динамических свойств САУ
Улучшение динамических свойств САУ заключается в увеличе-
нии быстродействия САУ (уменьшении времени регулирования tрег)
уменьшении перерегулирования (см рис 4) а также увеличении
запасов устойчивости по фазе и по модулю При этом
h
hh
уст
устmax100
где maxh - максимальное значение переходной характеристики за-
мкнутой САУ th
устh - установившееся значение th
Время регулирования tрег - минимальная величина при которой удо-
влетворяется условие
устрег hth
где - заданная величина ошибки (обычно =005 устh )
52
h(t)
tрег
hустhmax
2δ
Рис 4 Быстродействие и перерегулирование САУ
Одним из эффективных средств достижения этой цели является
уменьшение отрицательных фазовых сдвигов в прямом тракте систе-
мы путем охвата неизменяемой части системы местными отрицатель-
ными обратными связями
На рис 5 R(s) представляет собой передаточную функцию регу-
лятора САУ которая считается заданной
ε(t)g(t) y(t)
W(s)-
Kос
Wэкв(s)
-
R(s)
u(t)
Рис 5 Схема САУ с местной обратной связью и регулятором
Пусть неизменяемая часть системы представляет собой аперио-
дическое звено первого порядка те
sT
K)s(W
10
0
Тогда передаточная функция sWэкв эквивалентного объекта
управления равна
sT
K
sWK
sWsW
экв
экв
осэкв
11
где зквK и эквT - коэффициент усиления и постоянная времени
эквивалентного объекта равные
53
KK
KK
осэкв
0
0
1
KK
TT
осэкв
0
0
1 (5)
Из (5) следует что соответствующим выбором осK постоянную
времени эквT эквивалентного объекта можно уменьшить в (1+ 0KKос )
раз по сравнении с постоянной времени 0T объекта без местной об-
ратной связи Тем самым уменьшаются отрицательные фазовые сдви-
ги вносимые прямым трактом системы что приводит к увеличению
запасов устойчивости системы При этом однако уменьшается в
(1+ 0KKос ) раз коэффициент усиления эквK эквивалентного объекта
по сравнению с коэффициентом усиления 0K объекта без местной
обратной связи Это нежелательно так как приводит к уменьшению
быстродействия системы вследствие уменьшения общего коэффици-
ента усиления прямого тракта системы В этом случае с целью обес-
печения необходимого быстродействия системы увеличивают коэф-
фициент усиления регулятора
4 Краткое описание MATLAB
Лабораторная работа выполняется в программе математического
моделирования MATLAB Программа MATLAB включает в себя пакет
прикладных программ для решения технических задач и одноименный
язык программирования используемый в этом пакете
Основными компонентами системы являются базовая система
MATLAB и пакет моделирования систем Simulink Остальные пакеты
расширения разбиты на 4 категории ndash расширения Extension MATLAB и
Extension Simulink а также комплексы пакетов расширения Blockset и
Toolbox
Раздел MATLAB Extension содержит средства для подготовки ис-
полняемых приложений MATLAB (с подключаемыми библиотеками и
без них)
Раздел Toolbox (инструментальные средства) содержит самое
большое число пакетов расширений системы MATLAB такие как
laquoControl systemraquo laquoDatabaseraquo laquoFuzzy logicraquo laquoWaveletraquo и тд
54
В разделе Blockset расположено несколько пакетов относящихся к
главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink такие как
laquoDSPraquo laquoFixed-Pointraquo laquoNonlinear control designraquo и laquoPower systemsraquo
В разделе Extension Simulink имеется ряд средств предназначен-
ных для моделирования в реальном масштабе времени и событийно-
управляемом моделировании
5 Задание на лабораторную работу
Выполнить исследование способов коррекции статических и
динамических свойств САУ Определить время регулирования и пе-
ререгулирования в исходной и скорректированной системах а также
для динамических свойств САУ определить запасы устойчивости в
исходной системе и найти экспериментально значение Kос обеспечи-
вающее в системе заданные показатели качества и запасы устойчиво-
сти Вариант задания назначается преподавателем
Таблица 1
Варианты заданий
варианта
Параметры
1
2
3
4
5
6
7
8
a 05 10 15 20 25 30 35 40
K0 1 2 3 4 5 6 7 8
T c 03 04 05 06 07 08 09 10
ξ 06 07 08 08 07 09 05 04
уст 0 0 005 0 010 007 0 0
tрег c le 13 15 20 25 30 35 40 40
le 0 10 10 5 5 5 0 0
В качестве исходных САУ выступают системы изображенные
на рис 6 и 7
55
ε(t)g(t) y(t)
W(s)-
g(t) y(t)
R(s) W(s)-
ε(t) u(t)
Рис 6 САУ с отрицательной Рис 7 САУ с отрицательной обратной
обратной связью связью и регулятором
6 Методика выполнения задания
При исследовании способов коррекции статических свойств
САУ в качестве исходных данных выступает передаточная функция
sW неизменяемой части системы вида
1222
0
sTsT
KsW (6)
и задающие воздействия вида ttg 1 в соответствии с таблицей 1
В процессе выполнения этой части работы необходимо
1) путем моделирования в системе MATLAB исходной САУ
(рис 6) получить графики ttytg
2) сравнить полученную таким образом экспериментальную ве-
личину t с теоретической величиной вычисленной по формуле (1)
3) применяя описанные в теоретической части методических
указаний способы коррекции статических свойств (см п 31) обес-
печить требуемую статическую ошибку εуст системы при отработке
задающего воздействия ttg 1
4) получить графики ty и t в скорректированной системе
для 1 ttg
5) сравнить время регулирования регt и перерегулирование в
исходной и скорректированной системах при 1 ttg
При исследовании рассмотренного способа коррекции динами-
ческих свойств САУ (см п 32) в качестве исходных данных высту-
пают передаточная функция sW неизменяемой части системы
вида (6) и передаточная функция регулятора вида
s
KsR
рег
56
Задающее воздействие ttg 1
В процессе выполнения данной части работы необходимо
1) получить путем моделирования в MATLAB графики ty t
в системе (рис 7)
2) определить время регулирования регt и перерегулирование
а также запасы устойчивости в исходной системе
3) применяя описанный выше способ коррекции динамических
свойств САУ найти экспериментально (путем последовательного пе-
ребора) значение осK обеспечивающее в системе заданные заданием
показатели качества ( регt ) и запасы устойчивости (при необхо-
димости увеличить коэффициент регK )
4) получить графики ty t а также ЛАХ и ЛФХ разомкну-
той системы в скорректированной САУ
7 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) титульный лист
б) структурные схемы исследуемых систем
в) полученные графики и характеристики
г) значения полученные экмпериментально которые
обеспечивают заданные показатели качества и запасы устойчивости
д) выводы обощающие проделанные эксперименты для
коррекции статических и динамических свойств САУ
е) ответы на контрольные вопросы
Контрольные вопросы 1 Дать определение статической и астатической САУ
2 Какими структурными свойствами системы определяется по-
рядок ее астатизма
3 Какой из двух приведенных выше способов придания системе
свойств астатизма 1-го порядка наиболее предпочтителен на
практике
4 Назовите основные показатели качества САУ Поясните их
смысл
5 В чѐм суть исследуемого способа коррекции динамических
свойств САУ
57
6 Назвать другие способы коррекции динамических свойств
САУ
7 Чем вызваны отрицательные фазовые сдвиги в неизменяемой
части САУ
58
Лабораторная работа 6
МЕТОД КОРНЕВОГО ГОДОГРАФА
1 Цель работы
Целью работы является построение корневого годографа и ис-
следование динамики системы с использованием автоматизирован-
ных средств моделирования на ПК ndash MATLABSIMULINK
2 Задачи работы
ndash Закрепление углубление и расширение знаний студентов при
исследование динамики системы
ndash Овладение навыком построения корневого годографа
ndash Приобретение умений и навыков работы с программой мате-
матического моделирования MATLAB
3 Теоретическая часть
Корневым годографом (КГ) называется совокупность траекто-
рий перемещения всех корней характеристического уравнения за-
мкнутой системы при изменении какого-либо параметра этой систе-
мы
Обычно метод КГ позволяет находить полюса и нули ПФ за-
мкнутой системы располагая полюсами и нулями разомкнутой си-
стемы при изменении коэффициента усиления разомкнутой системы
K
ПФ разомкнутой системы Wp(s) представим в следующем виде
)(
)(
1
1
0
n
ii
m
jj
p
ss
ssKC
sW (1)
где 0js ndash нули ПФ sWp )1( mj
is ndash полюса ПФ sWp
)1( nj n и m ndash порядки знаменателя и числителя C ndash коэффици-
ент представления (отношение коэффициентов при старших членах
числителя и знаменателя)
59
При замыкании системы с ПФ sWp единичной отрицатель-
ной обратной связью ПФ замкнутой системы sWз принимает вид
)(1
)(
sW
sWsW
p
pз
(2)
Из выражения (2) следует что нули ПФ замкнутой системы рав-
ны нулям ПФ разомкнутой системы
Для нахождения полюсов рассмотри выражение
01 sWp (3)
в соответствии с выражением (1) имеем
n
i
m
jjin
ii
m
jj
ssKCss
ss
ssKC
1 1
0
1
1
0
)()(01
)(
)(
(4)
На основании выражения (4) можно сказать что при K = 0 корни
характеристического уравнения совпадают с полюсами а при K = infin ndash
с нулями При изменении K от 0 до infin траектории корней начинаются
в полюсах и заканчиваются в нулях Обычно полюсов больше чем
нулей В этом случаем mn ветвей корневого годографа стремятся к
infin
Для определения полюсов замкнутой системы с отрицательной
обратной связью необходимо решить уравнение (его называют ос-
новным уравнением метода КГ)
1sWp (5)
Так как sWp является функцией комплексного переменного
s то уравнение (5) распадается на два уравнения уравнение модулей
1)( sWp (6)
60
и уравнение аргументов (фаза вектора -1 есть нечетное число π)
210)12()(arg sWp (7)
Как известно при умножении комплексных чисел их аргументы
складываются а при делении ndash вычитаются Поэтому исходя из вы-
ражения (1) уравнение (7) имеет наглядный геометрический смысл
Пусть точка s ndash полюс замкнутой системы Если провести в s
вектора из нулей sWp (обозначим аргументы этих векторов 0j ) и
вектора из всех полюсов sWp (обозначим аргументы этих векторов
i ) то уравнение (7) можно записать в следующем виде
m
j
n
iij
1 1
0 210)12( (8)
Углы q отсчитываются от положительного направления дей-
ствительной оси Знак угла laquo+raquo соответствует повороту против часо-
вой стрелки знак угла laquo-raquo соответствует повороту по часовой стрел-
ке
Таким образом любая точка КГ должна удовлетворять уравне-
нию (8) из которого следует что конфигурация КГ не зависит от ко-
эффициента усиления K но каждому конкретному значению K одно-
значно соответствуют точки на КГ
При умножении комплексных чисел их модули перемножаются
а при делении ndash делятся Поэтому на основании (6) можно записать
1
1
1
0
n
ii
m
jj
l
lKC
(9)
где 0jl ndash модуль (длина) вектора проведенного из j-нуля в точку s
КГ il ndash модуль вектора проведенного из i-полюса в ту же точку s
61
Таким образом траектории корней строятся только по уравне-
ниям фаз а уравнение модулей используется затем для нахождения
K
Сущность метода КГ заключается в том чтобы узнать каким
должен быть коэффициент усиления разомкнутой системы чтобы
было обеспечено желаемое положение корней замкнутой системы
Корневой годограф системы с отрицательной обратной связью
обладает следующими основными свойствами
1 Ветви КГ непрерывны и расположены на комплексной плос-
кости симметрично относительно действительной оси
2 Число ветвей КГ равно порядку системы n Ветви начинают-
ся в n полюсах разомкнутой системы при K=0 При возрастании K от
0 до infin полюса замкнутой системы двигаются по ветвям КГ
3 mветвей КГ при возрастании K от 0 до infin заканчиваются в m
нулях )(sWp а )( mn ветвей при K стремящемся к infin удаляются
от полюсов вдоль асимптот
4 При расположении ветвей корневого годографа в левой полу-
плоскости s САУ устойчива При пересечении ветвей КГ мнимой оси
слева направо САУ становится неустойчивой Пусть при K=Kкр
пере-
сечение КГ с мнимой осью произойдет в некоторой точке iωкр
Назо-
вем это значение коэффициента усиления критическим Kкр
а вели-
чину iωкр
критической угловой частотой на которой система стано-
вится неустойчивой
4 Краткое описание MATLAB
Лабораторная работа выполняется в программе математического
моделирования MATLAB Программа MATLAB включает в себя пакет
прикладных программ для решения технических задач и одноименный
язык программирования используемый в этом пакете
Основными компонентами системы являются базовая система
MATLAB и пакет моделирования систем Simulink Остальные пакеты
расширения разбиты на 4 категории ndash расширения Extension MATLAB и
Extension Simulink а также комплексы пакетов расширения Blockset и
Toolbox
Раздел MATLAB Extension содержит средства для подготовки ис-
полняемых приложений MATLAB (с подключаемыми библиотеками и
без них)
62
Раздел Toolbox (инструментальные средства) содержит самое
большое число пакетов расширений системы MATLAB такие как
laquoControl systemraquo laquoDatabaseraquo laquoFuzzy logicraquo laquoWaveletraquo и тд
В разделе Blockset расположено несколько пакетов относящихся к
главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink такие как
laquoDSPraquo laquoFixed-Pointraquo laquoNonlinear control designraquo и laquoPower systemsraquo
В разделе Extension Simulink имеется ряд средств предназначен-
ных для моделирования в реальном масштабе времени и событийно-
управляемом моделировании
5 Корневой годограф в MATLAB
В системе MATLAB существует команда zpk для преобразова-
ния модели заданной ПФ в модель заданную нулями полюсами и
обобщенными коэффициентами передачи (zpk-форма)
Пример
gtgt w=tf([10][2 2 3 1 0])
Transfer function
10
-------------------------------
2 s^4 + 2 s^3 + 3 s^2 + s
gtgt w1=zpk(w)
Zeropolegain
5
----------------------------------------------
s (s+03966) (s^2 + 06034s + 1261)
Для работы с корневым годографом удобно использовать гра-
фический интерфейс laquoSISO-Design Toolraquo предназначенный для ана-
лиза и синтеза одномерных линейных систем автоматического управ-
ления (SISO ndash Single Input Signal Output)
Запуск SISO-Design Tool осуществляется командой
gtgt sisotool
63
В появившемся окне графического интерфейса необходимо ис-
пользовать команду laquoFileImportraquo для загрузки данных из рабочего
пространства MATLAB в результате которой появляется диалоговое
окно Import System Data (рис 1)
Рис 1 Диалог для ввода параметров модели
После импортирования данных можно исследовать изменение
временных и частотных характеристик замкнутой системы при изме-
нении K Обычно при этом требуется определить условия неустойчи-
вости замкнутой САУ Определить Kкр
и iωкр
На рис 2 показано окно sisotool для описанной выше модели w1
Двигая красным курсором по КГ до пересечения ветвей с мнимой
осью можно определить значения Kкр
В данном случае Kкр
asymp 01
Значение iωкр
соответствует мнимой координате пересечения КГ
мнимой оси Просмотреть это значение можно в нижней части ин-
терфейса или выбрать меню laquoView Closed-Loop Polesraquo
64
Рис 2 Основное окно SISO-Design Tool
6 Задание на лабораторную работу
Построить КГ в соответствии с вариантом из табл 1 при помо-
щи графического интерфейса sisotool
Исследовать динамику замкнутой системы при различных зна-
чениях коэффициента усиления разомкнутой системы K в том числе
ndash запасы устойчивости в частотной области
ndash параметры переходного процесса во временной области
Таблица 1
Варианты передаточных функций
Значения параметров Передаточная функция
разомкнутой системы
1 T = 01 ζ = 1
)12( 22 sTsTs
K
2 T = 005 ζ = 0707
3 T = 003 ζ = 01
4 T = 008 ζ = 05
5 T = 001 ζ = 015
65
Окончание табл 1
Значения параметров Передаточная функция
разомкнутой системы
6 T1 = 003 T2 = 05 T3 = 01 T4 = 005
)1)(1)(1(
)1(
432
1
sTsTsTs
sTK
7 T1 = 005 T2 = 04 T3 = 008 T4 = 0033
8 T1 = 02 T2 = 045 T3 = 01 T4 = 005
9 T1 = 05 T2 = 025 T3 = 01 T4 = 002
10 T1 = 01 T2 = 025 T3 = 01 T4 = 005
Вариант задания назначается преподавателем
7 Методика выполнения задания
Порядок выполнения лабораторной работы
1 Задать передаточную функцию в MATLAB в соответствии с
вариантом коэффициент K задать любым положительным числом
2 Запустить SISO-Design Tool и осуществить ввод данных
Построить КГ
3 По КГ определить значения коэффициента K когда система
будет устойчивой на границе устойчивости и неустойчива
4 Выбрать значение коэффициента K таким образом чтобы си-
стемы была устойчива и определить запас устойчивости в частотной
области и параметры переходного процесса во временной области
8 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) титульный лист
б) передаточную функцию и этапы построения КГ
в) анализ результатов построения КГ
г) выводы по проделанной работе
д) ответы на контрольные вопросы
Контрольные вопросы 1 Дать определение КГ
2 Что обычно позволяет находить метод КГ
3 В чем заключается сущность метода КГ
4 Что можно определить по КГ
66
Критерии результативности лабораторного практикума
Лабораторная работа считается выполненной если студент
ndash выполнил все указанные задания
ndash представил отчет соответствующий всем требованиям к его
содержанию и оформлению
ndash владеет терминологией и материалом лабораторной работы
ndash способен использовать программное средство математическо-
го моделирования MATLAB
ndash способен предоставить и рассказать результаты выполненной
работы на ПК
ndash может дать пояснения к отчету и ответить на контрольные
вопросы
Список литературы
1 Александров АГ Частотная теория автоматического управле-
ния учебное пособие ndash Электросталь ЭПИ МИСиС 2010
2 Борисевич АВ Теория автоматического управления элементар-
ное введение с применением MATLAB ndash СПб Изд-во Политехн ун-
та 2011
3 Федоров ВЛ Бубнов АВ Теория автоматического управления
учебное пособие ndash Омск Изд-во ОмГТУ 2010
4 Павловская ОО Чернецкая ИВ Теория автоматического
управления учебное пособие ndash Челябинск Изд-во ЮУрГУ 2010
67
Составители ЛЯНЦЕВ Олег Дмитриевич КАЗАНЦЕВ Андрей Валерьевич
ИССЛЕДОВАНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК СИСТЕМ
АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
Лабораторный практикум
по дисциплине
laquoТеория управленияraquo
Подписано в печать Формат 60х84 116 Бумага офсетная Пе-
чать плоская Гарнитура Times New Roman Усл печ л 56 Уч-изд л
55 Тираж 100 экз Заказ
ФГБОУ ВПО Уфимский государственный авиационный технический
университет
Центр оперативной полиграфии УГАТУ
450000 Уфа-центр ул К Маркса 12
51
Следовательно замкнутая система становится астатической (с
астатизмом 1-го порядка) Отсюда 0c =0 а коэффициент 1c будет
равен
aKb
bc
ос 11
01
ε(t)g(t) y(t)
W(s)-
Kос
Wэкв(s)
+
Рис 3 Схема САУ с местной неединичной обратной связью
32 Коррекция динамических свойств САУ
Улучшение динамических свойств САУ заключается в увеличе-
нии быстродействия САУ (уменьшении времени регулирования tрег)
уменьшении перерегулирования (см рис 4) а также увеличении
запасов устойчивости по фазе и по модулю При этом
h
hh
уст
устmax100
где maxh - максимальное значение переходной характеристики за-
мкнутой САУ th
устh - установившееся значение th
Время регулирования tрег - минимальная величина при которой удо-
влетворяется условие
устрег hth
где - заданная величина ошибки (обычно =005 устh )
52
h(t)
tрег
hустhmax
2δ
Рис 4 Быстродействие и перерегулирование САУ
Одним из эффективных средств достижения этой цели является
уменьшение отрицательных фазовых сдвигов в прямом тракте систе-
мы путем охвата неизменяемой части системы местными отрицатель-
ными обратными связями
На рис 5 R(s) представляет собой передаточную функцию регу-
лятора САУ которая считается заданной
ε(t)g(t) y(t)
W(s)-
Kос
Wэкв(s)
-
R(s)
u(t)
Рис 5 Схема САУ с местной обратной связью и регулятором
Пусть неизменяемая часть системы представляет собой аперио-
дическое звено первого порядка те
sT
K)s(W
10
0
Тогда передаточная функция sWэкв эквивалентного объекта
управления равна
sT
K
sWK
sWsW
экв
экв
осэкв
11
где зквK и эквT - коэффициент усиления и постоянная времени
эквивалентного объекта равные
53
KK
KK
осэкв
0
0
1
KK
TT
осэкв
0
0
1 (5)
Из (5) следует что соответствующим выбором осK постоянную
времени эквT эквивалентного объекта можно уменьшить в (1+ 0KKос )
раз по сравнении с постоянной времени 0T объекта без местной об-
ратной связи Тем самым уменьшаются отрицательные фазовые сдви-
ги вносимые прямым трактом системы что приводит к увеличению
запасов устойчивости системы При этом однако уменьшается в
(1+ 0KKос ) раз коэффициент усиления эквK эквивалентного объекта
по сравнению с коэффициентом усиления 0K объекта без местной
обратной связи Это нежелательно так как приводит к уменьшению
быстродействия системы вследствие уменьшения общего коэффици-
ента усиления прямого тракта системы В этом случае с целью обес-
печения необходимого быстродействия системы увеличивают коэф-
фициент усиления регулятора
4 Краткое описание MATLAB
Лабораторная работа выполняется в программе математического
моделирования MATLAB Программа MATLAB включает в себя пакет
прикладных программ для решения технических задач и одноименный
язык программирования используемый в этом пакете
Основными компонентами системы являются базовая система
MATLAB и пакет моделирования систем Simulink Остальные пакеты
расширения разбиты на 4 категории ndash расширения Extension MATLAB и
Extension Simulink а также комплексы пакетов расширения Blockset и
Toolbox
Раздел MATLAB Extension содержит средства для подготовки ис-
полняемых приложений MATLAB (с подключаемыми библиотеками и
без них)
Раздел Toolbox (инструментальные средства) содержит самое
большое число пакетов расширений системы MATLAB такие как
laquoControl systemraquo laquoDatabaseraquo laquoFuzzy logicraquo laquoWaveletraquo и тд
54
В разделе Blockset расположено несколько пакетов относящихся к
главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink такие как
laquoDSPraquo laquoFixed-Pointraquo laquoNonlinear control designraquo и laquoPower systemsraquo
В разделе Extension Simulink имеется ряд средств предназначен-
ных для моделирования в реальном масштабе времени и событийно-
управляемом моделировании
5 Задание на лабораторную работу
Выполнить исследование способов коррекции статических и
динамических свойств САУ Определить время регулирования и пе-
ререгулирования в исходной и скорректированной системах а также
для динамических свойств САУ определить запасы устойчивости в
исходной системе и найти экспериментально значение Kос обеспечи-
вающее в системе заданные показатели качества и запасы устойчиво-
сти Вариант задания назначается преподавателем
Таблица 1
Варианты заданий
варианта
Параметры
1
2
3
4
5
6
7
8
a 05 10 15 20 25 30 35 40
K0 1 2 3 4 5 6 7 8
T c 03 04 05 06 07 08 09 10
ξ 06 07 08 08 07 09 05 04
уст 0 0 005 0 010 007 0 0
tрег c le 13 15 20 25 30 35 40 40
le 0 10 10 5 5 5 0 0
В качестве исходных САУ выступают системы изображенные
на рис 6 и 7
55
ε(t)g(t) y(t)
W(s)-
g(t) y(t)
R(s) W(s)-
ε(t) u(t)
Рис 6 САУ с отрицательной Рис 7 САУ с отрицательной обратной
обратной связью связью и регулятором
6 Методика выполнения задания
При исследовании способов коррекции статических свойств
САУ в качестве исходных данных выступает передаточная функция
sW неизменяемой части системы вида
1222
0
sTsT
KsW (6)
и задающие воздействия вида ttg 1 в соответствии с таблицей 1
В процессе выполнения этой части работы необходимо
1) путем моделирования в системе MATLAB исходной САУ
(рис 6) получить графики ttytg
2) сравнить полученную таким образом экспериментальную ве-
личину t с теоретической величиной вычисленной по формуле (1)
3) применяя описанные в теоретической части методических
указаний способы коррекции статических свойств (см п 31) обес-
печить требуемую статическую ошибку εуст системы при отработке
задающего воздействия ttg 1
4) получить графики ty и t в скорректированной системе
для 1 ttg
5) сравнить время регулирования регt и перерегулирование в
исходной и скорректированной системах при 1 ttg
При исследовании рассмотренного способа коррекции динами-
ческих свойств САУ (см п 32) в качестве исходных данных высту-
пают передаточная функция sW неизменяемой части системы
вида (6) и передаточная функция регулятора вида
s
KsR
рег
56
Задающее воздействие ttg 1
В процессе выполнения данной части работы необходимо
1) получить путем моделирования в MATLAB графики ty t
в системе (рис 7)
2) определить время регулирования регt и перерегулирование
а также запасы устойчивости в исходной системе
3) применяя описанный выше способ коррекции динамических
свойств САУ найти экспериментально (путем последовательного пе-
ребора) значение осK обеспечивающее в системе заданные заданием
показатели качества ( регt ) и запасы устойчивости (при необхо-
димости увеличить коэффициент регK )
4) получить графики ty t а также ЛАХ и ЛФХ разомкну-
той системы в скорректированной САУ
7 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) титульный лист
б) структурные схемы исследуемых систем
в) полученные графики и характеристики
г) значения полученные экмпериментально которые
обеспечивают заданные показатели качества и запасы устойчивости
д) выводы обощающие проделанные эксперименты для
коррекции статических и динамических свойств САУ
е) ответы на контрольные вопросы
Контрольные вопросы 1 Дать определение статической и астатической САУ
2 Какими структурными свойствами системы определяется по-
рядок ее астатизма
3 Какой из двух приведенных выше способов придания системе
свойств астатизма 1-го порядка наиболее предпочтителен на
практике
4 Назовите основные показатели качества САУ Поясните их
смысл
5 В чѐм суть исследуемого способа коррекции динамических
свойств САУ
57
6 Назвать другие способы коррекции динамических свойств
САУ
7 Чем вызваны отрицательные фазовые сдвиги в неизменяемой
части САУ
58
Лабораторная работа 6
МЕТОД КОРНЕВОГО ГОДОГРАФА
1 Цель работы
Целью работы является построение корневого годографа и ис-
следование динамики системы с использованием автоматизирован-
ных средств моделирования на ПК ndash MATLABSIMULINK
2 Задачи работы
ndash Закрепление углубление и расширение знаний студентов при
исследование динамики системы
ndash Овладение навыком построения корневого годографа
ndash Приобретение умений и навыков работы с программой мате-
матического моделирования MATLAB
3 Теоретическая часть
Корневым годографом (КГ) называется совокупность траекто-
рий перемещения всех корней характеристического уравнения за-
мкнутой системы при изменении какого-либо параметра этой систе-
мы
Обычно метод КГ позволяет находить полюса и нули ПФ за-
мкнутой системы располагая полюсами и нулями разомкнутой си-
стемы при изменении коэффициента усиления разомкнутой системы
K
ПФ разомкнутой системы Wp(s) представим в следующем виде
)(
)(
1
1
0
n
ii
m
jj
p
ss
ssKC
sW (1)
где 0js ndash нули ПФ sWp )1( mj
is ndash полюса ПФ sWp
)1( nj n и m ndash порядки знаменателя и числителя C ndash коэффици-
ент представления (отношение коэффициентов при старших членах
числителя и знаменателя)
59
При замыкании системы с ПФ sWp единичной отрицатель-
ной обратной связью ПФ замкнутой системы sWз принимает вид
)(1
)(
sW
sWsW
p
pз
(2)
Из выражения (2) следует что нули ПФ замкнутой системы рав-
ны нулям ПФ разомкнутой системы
Для нахождения полюсов рассмотри выражение
01 sWp (3)
в соответствии с выражением (1) имеем
n
i
m
jjin
ii
m
jj
ssKCss
ss
ssKC
1 1
0
1
1
0
)()(01
)(
)(
(4)
На основании выражения (4) можно сказать что при K = 0 корни
характеристического уравнения совпадают с полюсами а при K = infin ndash
с нулями При изменении K от 0 до infin траектории корней начинаются
в полюсах и заканчиваются в нулях Обычно полюсов больше чем
нулей В этом случаем mn ветвей корневого годографа стремятся к
infin
Для определения полюсов замкнутой системы с отрицательной
обратной связью необходимо решить уравнение (его называют ос-
новным уравнением метода КГ)
1sWp (5)
Так как sWp является функцией комплексного переменного
s то уравнение (5) распадается на два уравнения уравнение модулей
1)( sWp (6)
60
и уравнение аргументов (фаза вектора -1 есть нечетное число π)
210)12()(arg sWp (7)
Как известно при умножении комплексных чисел их аргументы
складываются а при делении ndash вычитаются Поэтому исходя из вы-
ражения (1) уравнение (7) имеет наглядный геометрический смысл
Пусть точка s ndash полюс замкнутой системы Если провести в s
вектора из нулей sWp (обозначим аргументы этих векторов 0j ) и
вектора из всех полюсов sWp (обозначим аргументы этих векторов
i ) то уравнение (7) можно записать в следующем виде
m
j
n
iij
1 1
0 210)12( (8)
Углы q отсчитываются от положительного направления дей-
ствительной оси Знак угла laquo+raquo соответствует повороту против часо-
вой стрелки знак угла laquo-raquo соответствует повороту по часовой стрел-
ке
Таким образом любая точка КГ должна удовлетворять уравне-
нию (8) из которого следует что конфигурация КГ не зависит от ко-
эффициента усиления K но каждому конкретному значению K одно-
значно соответствуют точки на КГ
При умножении комплексных чисел их модули перемножаются
а при делении ndash делятся Поэтому на основании (6) можно записать
1
1
1
0
n
ii
m
jj
l
lKC
(9)
где 0jl ndash модуль (длина) вектора проведенного из j-нуля в точку s
КГ il ndash модуль вектора проведенного из i-полюса в ту же точку s
61
Таким образом траектории корней строятся только по уравне-
ниям фаз а уравнение модулей используется затем для нахождения
K
Сущность метода КГ заключается в том чтобы узнать каким
должен быть коэффициент усиления разомкнутой системы чтобы
было обеспечено желаемое положение корней замкнутой системы
Корневой годограф системы с отрицательной обратной связью
обладает следующими основными свойствами
1 Ветви КГ непрерывны и расположены на комплексной плос-
кости симметрично относительно действительной оси
2 Число ветвей КГ равно порядку системы n Ветви начинают-
ся в n полюсах разомкнутой системы при K=0 При возрастании K от
0 до infin полюса замкнутой системы двигаются по ветвям КГ
3 mветвей КГ при возрастании K от 0 до infin заканчиваются в m
нулях )(sWp а )( mn ветвей при K стремящемся к infin удаляются
от полюсов вдоль асимптот
4 При расположении ветвей корневого годографа в левой полу-
плоскости s САУ устойчива При пересечении ветвей КГ мнимой оси
слева направо САУ становится неустойчивой Пусть при K=Kкр
пере-
сечение КГ с мнимой осью произойдет в некоторой точке iωкр
Назо-
вем это значение коэффициента усиления критическим Kкр
а вели-
чину iωкр
критической угловой частотой на которой система стано-
вится неустойчивой
4 Краткое описание MATLAB
Лабораторная работа выполняется в программе математического
моделирования MATLAB Программа MATLAB включает в себя пакет
прикладных программ для решения технических задач и одноименный
язык программирования используемый в этом пакете
Основными компонентами системы являются базовая система
MATLAB и пакет моделирования систем Simulink Остальные пакеты
расширения разбиты на 4 категории ndash расширения Extension MATLAB и
Extension Simulink а также комплексы пакетов расширения Blockset и
Toolbox
Раздел MATLAB Extension содержит средства для подготовки ис-
полняемых приложений MATLAB (с подключаемыми библиотеками и
без них)
62
Раздел Toolbox (инструментальные средства) содержит самое
большое число пакетов расширений системы MATLAB такие как
laquoControl systemraquo laquoDatabaseraquo laquoFuzzy logicraquo laquoWaveletraquo и тд
В разделе Blockset расположено несколько пакетов относящихся к
главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink такие как
laquoDSPraquo laquoFixed-Pointraquo laquoNonlinear control designraquo и laquoPower systemsraquo
В разделе Extension Simulink имеется ряд средств предназначен-
ных для моделирования в реальном масштабе времени и событийно-
управляемом моделировании
5 Корневой годограф в MATLAB
В системе MATLAB существует команда zpk для преобразова-
ния модели заданной ПФ в модель заданную нулями полюсами и
обобщенными коэффициентами передачи (zpk-форма)
Пример
gtgt w=tf([10][2 2 3 1 0])
Transfer function
10
-------------------------------
2 s^4 + 2 s^3 + 3 s^2 + s
gtgt w1=zpk(w)
Zeropolegain
5
----------------------------------------------
s (s+03966) (s^2 + 06034s + 1261)
Для работы с корневым годографом удобно использовать гра-
фический интерфейс laquoSISO-Design Toolraquo предназначенный для ана-
лиза и синтеза одномерных линейных систем автоматического управ-
ления (SISO ndash Single Input Signal Output)
Запуск SISO-Design Tool осуществляется командой
gtgt sisotool
63
В появившемся окне графического интерфейса необходимо ис-
пользовать команду laquoFileImportraquo для загрузки данных из рабочего
пространства MATLAB в результате которой появляется диалоговое
окно Import System Data (рис 1)
Рис 1 Диалог для ввода параметров модели
После импортирования данных можно исследовать изменение
временных и частотных характеристик замкнутой системы при изме-
нении K Обычно при этом требуется определить условия неустойчи-
вости замкнутой САУ Определить Kкр
и iωкр
На рис 2 показано окно sisotool для описанной выше модели w1
Двигая красным курсором по КГ до пересечения ветвей с мнимой
осью можно определить значения Kкр
В данном случае Kкр
asymp 01
Значение iωкр
соответствует мнимой координате пересечения КГ
мнимой оси Просмотреть это значение можно в нижней части ин-
терфейса или выбрать меню laquoView Closed-Loop Polesraquo
64
Рис 2 Основное окно SISO-Design Tool
6 Задание на лабораторную работу
Построить КГ в соответствии с вариантом из табл 1 при помо-
щи графического интерфейса sisotool
Исследовать динамику замкнутой системы при различных зна-
чениях коэффициента усиления разомкнутой системы K в том числе
ndash запасы устойчивости в частотной области
ndash параметры переходного процесса во временной области
Таблица 1
Варианты передаточных функций
Значения параметров Передаточная функция
разомкнутой системы
1 T = 01 ζ = 1
)12( 22 sTsTs
K
2 T = 005 ζ = 0707
3 T = 003 ζ = 01
4 T = 008 ζ = 05
5 T = 001 ζ = 015
65
Окончание табл 1
Значения параметров Передаточная функция
разомкнутой системы
6 T1 = 003 T2 = 05 T3 = 01 T4 = 005
)1)(1)(1(
)1(
432
1
sTsTsTs
sTK
7 T1 = 005 T2 = 04 T3 = 008 T4 = 0033
8 T1 = 02 T2 = 045 T3 = 01 T4 = 005
9 T1 = 05 T2 = 025 T3 = 01 T4 = 002
10 T1 = 01 T2 = 025 T3 = 01 T4 = 005
Вариант задания назначается преподавателем
7 Методика выполнения задания
Порядок выполнения лабораторной работы
1 Задать передаточную функцию в MATLAB в соответствии с
вариантом коэффициент K задать любым положительным числом
2 Запустить SISO-Design Tool и осуществить ввод данных
Построить КГ
3 По КГ определить значения коэффициента K когда система
будет устойчивой на границе устойчивости и неустойчива
4 Выбрать значение коэффициента K таким образом чтобы си-
стемы была устойчива и определить запас устойчивости в частотной
области и параметры переходного процесса во временной области
8 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) титульный лист
б) передаточную функцию и этапы построения КГ
в) анализ результатов построения КГ
г) выводы по проделанной работе
д) ответы на контрольные вопросы
Контрольные вопросы 1 Дать определение КГ
2 Что обычно позволяет находить метод КГ
3 В чем заключается сущность метода КГ
4 Что можно определить по КГ
66
Критерии результативности лабораторного практикума
Лабораторная работа считается выполненной если студент
ndash выполнил все указанные задания
ndash представил отчет соответствующий всем требованиям к его
содержанию и оформлению
ndash владеет терминологией и материалом лабораторной работы
ndash способен использовать программное средство математическо-
го моделирования MATLAB
ndash способен предоставить и рассказать результаты выполненной
работы на ПК
ndash может дать пояснения к отчету и ответить на контрольные
вопросы
Список литературы
1 Александров АГ Частотная теория автоматического управле-
ния учебное пособие ndash Электросталь ЭПИ МИСиС 2010
2 Борисевич АВ Теория автоматического управления элементар-
ное введение с применением MATLAB ndash СПб Изд-во Политехн ун-
та 2011
3 Федоров ВЛ Бубнов АВ Теория автоматического управления
учебное пособие ndash Омск Изд-во ОмГТУ 2010
4 Павловская ОО Чернецкая ИВ Теория автоматического
управления учебное пособие ndash Челябинск Изд-во ЮУрГУ 2010
67
Составители ЛЯНЦЕВ Олег Дмитриевич КАЗАНЦЕВ Андрей Валерьевич
ИССЛЕДОВАНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК СИСТЕМ
АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
Лабораторный практикум
по дисциплине
laquoТеория управленияraquo
Подписано в печать Формат 60х84 116 Бумага офсетная Пе-
чать плоская Гарнитура Times New Roman Усл печ л 56 Уч-изд л
55 Тираж 100 экз Заказ
ФГБОУ ВПО Уфимский государственный авиационный технический
университет
Центр оперативной полиграфии УГАТУ
450000 Уфа-центр ул К Маркса 12
52
h(t)
tрег
hустhmax
2δ
Рис 4 Быстродействие и перерегулирование САУ
Одним из эффективных средств достижения этой цели является
уменьшение отрицательных фазовых сдвигов в прямом тракте систе-
мы путем охвата неизменяемой части системы местными отрицатель-
ными обратными связями
На рис 5 R(s) представляет собой передаточную функцию регу-
лятора САУ которая считается заданной
ε(t)g(t) y(t)
W(s)-
Kос
Wэкв(s)
-
R(s)
u(t)
Рис 5 Схема САУ с местной обратной связью и регулятором
Пусть неизменяемая часть системы представляет собой аперио-
дическое звено первого порядка те
sT
K)s(W
10
0
Тогда передаточная функция sWэкв эквивалентного объекта
управления равна
sT
K
sWK
sWsW
экв
экв
осэкв
11
где зквK и эквT - коэффициент усиления и постоянная времени
эквивалентного объекта равные
53
KK
KK
осэкв
0
0
1
KK
TT
осэкв
0
0
1 (5)
Из (5) следует что соответствующим выбором осK постоянную
времени эквT эквивалентного объекта можно уменьшить в (1+ 0KKос )
раз по сравнении с постоянной времени 0T объекта без местной об-
ратной связи Тем самым уменьшаются отрицательные фазовые сдви-
ги вносимые прямым трактом системы что приводит к увеличению
запасов устойчивости системы При этом однако уменьшается в
(1+ 0KKос ) раз коэффициент усиления эквK эквивалентного объекта
по сравнению с коэффициентом усиления 0K объекта без местной
обратной связи Это нежелательно так как приводит к уменьшению
быстродействия системы вследствие уменьшения общего коэффици-
ента усиления прямого тракта системы В этом случае с целью обес-
печения необходимого быстродействия системы увеличивают коэф-
фициент усиления регулятора
4 Краткое описание MATLAB
Лабораторная работа выполняется в программе математического
моделирования MATLAB Программа MATLAB включает в себя пакет
прикладных программ для решения технических задач и одноименный
язык программирования используемый в этом пакете
Основными компонентами системы являются базовая система
MATLAB и пакет моделирования систем Simulink Остальные пакеты
расширения разбиты на 4 категории ndash расширения Extension MATLAB и
Extension Simulink а также комплексы пакетов расширения Blockset и
Toolbox
Раздел MATLAB Extension содержит средства для подготовки ис-
полняемых приложений MATLAB (с подключаемыми библиотеками и
без них)
Раздел Toolbox (инструментальные средства) содержит самое
большое число пакетов расширений системы MATLAB такие как
laquoControl systemraquo laquoDatabaseraquo laquoFuzzy logicraquo laquoWaveletraquo и тд
54
В разделе Blockset расположено несколько пакетов относящихся к
главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink такие как
laquoDSPraquo laquoFixed-Pointraquo laquoNonlinear control designraquo и laquoPower systemsraquo
В разделе Extension Simulink имеется ряд средств предназначен-
ных для моделирования в реальном масштабе времени и событийно-
управляемом моделировании
5 Задание на лабораторную работу
Выполнить исследование способов коррекции статических и
динамических свойств САУ Определить время регулирования и пе-
ререгулирования в исходной и скорректированной системах а также
для динамических свойств САУ определить запасы устойчивости в
исходной системе и найти экспериментально значение Kос обеспечи-
вающее в системе заданные показатели качества и запасы устойчиво-
сти Вариант задания назначается преподавателем
Таблица 1
Варианты заданий
варианта
Параметры
1
2
3
4
5
6
7
8
a 05 10 15 20 25 30 35 40
K0 1 2 3 4 5 6 7 8
T c 03 04 05 06 07 08 09 10
ξ 06 07 08 08 07 09 05 04
уст 0 0 005 0 010 007 0 0
tрег c le 13 15 20 25 30 35 40 40
le 0 10 10 5 5 5 0 0
В качестве исходных САУ выступают системы изображенные
на рис 6 и 7
55
ε(t)g(t) y(t)
W(s)-
g(t) y(t)
R(s) W(s)-
ε(t) u(t)
Рис 6 САУ с отрицательной Рис 7 САУ с отрицательной обратной
обратной связью связью и регулятором
6 Методика выполнения задания
При исследовании способов коррекции статических свойств
САУ в качестве исходных данных выступает передаточная функция
sW неизменяемой части системы вида
1222
0
sTsT
KsW (6)
и задающие воздействия вида ttg 1 в соответствии с таблицей 1
В процессе выполнения этой части работы необходимо
1) путем моделирования в системе MATLAB исходной САУ
(рис 6) получить графики ttytg
2) сравнить полученную таким образом экспериментальную ве-
личину t с теоретической величиной вычисленной по формуле (1)
3) применяя описанные в теоретической части методических
указаний способы коррекции статических свойств (см п 31) обес-
печить требуемую статическую ошибку εуст системы при отработке
задающего воздействия ttg 1
4) получить графики ty и t в скорректированной системе
для 1 ttg
5) сравнить время регулирования регt и перерегулирование в
исходной и скорректированной системах при 1 ttg
При исследовании рассмотренного способа коррекции динами-
ческих свойств САУ (см п 32) в качестве исходных данных высту-
пают передаточная функция sW неизменяемой части системы
вида (6) и передаточная функция регулятора вида
s
KsR
рег
56
Задающее воздействие ttg 1
В процессе выполнения данной части работы необходимо
1) получить путем моделирования в MATLAB графики ty t
в системе (рис 7)
2) определить время регулирования регt и перерегулирование
а также запасы устойчивости в исходной системе
3) применяя описанный выше способ коррекции динамических
свойств САУ найти экспериментально (путем последовательного пе-
ребора) значение осK обеспечивающее в системе заданные заданием
показатели качества ( регt ) и запасы устойчивости (при необхо-
димости увеличить коэффициент регK )
4) получить графики ty t а также ЛАХ и ЛФХ разомкну-
той системы в скорректированной САУ
7 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) титульный лист
б) структурные схемы исследуемых систем
в) полученные графики и характеристики
г) значения полученные экмпериментально которые
обеспечивают заданные показатели качества и запасы устойчивости
д) выводы обощающие проделанные эксперименты для
коррекции статических и динамических свойств САУ
е) ответы на контрольные вопросы
Контрольные вопросы 1 Дать определение статической и астатической САУ
2 Какими структурными свойствами системы определяется по-
рядок ее астатизма
3 Какой из двух приведенных выше способов придания системе
свойств астатизма 1-го порядка наиболее предпочтителен на
практике
4 Назовите основные показатели качества САУ Поясните их
смысл
5 В чѐм суть исследуемого способа коррекции динамических
свойств САУ
57
6 Назвать другие способы коррекции динамических свойств
САУ
7 Чем вызваны отрицательные фазовые сдвиги в неизменяемой
части САУ
58
Лабораторная работа 6
МЕТОД КОРНЕВОГО ГОДОГРАФА
1 Цель работы
Целью работы является построение корневого годографа и ис-
следование динамики системы с использованием автоматизирован-
ных средств моделирования на ПК ndash MATLABSIMULINK
2 Задачи работы
ndash Закрепление углубление и расширение знаний студентов при
исследование динамики системы
ndash Овладение навыком построения корневого годографа
ndash Приобретение умений и навыков работы с программой мате-
матического моделирования MATLAB
3 Теоретическая часть
Корневым годографом (КГ) называется совокупность траекто-
рий перемещения всех корней характеристического уравнения за-
мкнутой системы при изменении какого-либо параметра этой систе-
мы
Обычно метод КГ позволяет находить полюса и нули ПФ за-
мкнутой системы располагая полюсами и нулями разомкнутой си-
стемы при изменении коэффициента усиления разомкнутой системы
K
ПФ разомкнутой системы Wp(s) представим в следующем виде
)(
)(
1
1
0
n
ii
m
jj
p
ss
ssKC
sW (1)
где 0js ndash нули ПФ sWp )1( mj
is ndash полюса ПФ sWp
)1( nj n и m ndash порядки знаменателя и числителя C ndash коэффици-
ент представления (отношение коэффициентов при старших членах
числителя и знаменателя)
59
При замыкании системы с ПФ sWp единичной отрицатель-
ной обратной связью ПФ замкнутой системы sWз принимает вид
)(1
)(
sW
sWsW
p
pз
(2)
Из выражения (2) следует что нули ПФ замкнутой системы рав-
ны нулям ПФ разомкнутой системы
Для нахождения полюсов рассмотри выражение
01 sWp (3)
в соответствии с выражением (1) имеем
n
i
m
jjin
ii
m
jj
ssKCss
ss
ssKC
1 1
0
1
1
0
)()(01
)(
)(
(4)
На основании выражения (4) можно сказать что при K = 0 корни
характеристического уравнения совпадают с полюсами а при K = infin ndash
с нулями При изменении K от 0 до infin траектории корней начинаются
в полюсах и заканчиваются в нулях Обычно полюсов больше чем
нулей В этом случаем mn ветвей корневого годографа стремятся к
infin
Для определения полюсов замкнутой системы с отрицательной
обратной связью необходимо решить уравнение (его называют ос-
новным уравнением метода КГ)
1sWp (5)
Так как sWp является функцией комплексного переменного
s то уравнение (5) распадается на два уравнения уравнение модулей
1)( sWp (6)
60
и уравнение аргументов (фаза вектора -1 есть нечетное число π)
210)12()(arg sWp (7)
Как известно при умножении комплексных чисел их аргументы
складываются а при делении ndash вычитаются Поэтому исходя из вы-
ражения (1) уравнение (7) имеет наглядный геометрический смысл
Пусть точка s ndash полюс замкнутой системы Если провести в s
вектора из нулей sWp (обозначим аргументы этих векторов 0j ) и
вектора из всех полюсов sWp (обозначим аргументы этих векторов
i ) то уравнение (7) можно записать в следующем виде
m
j
n
iij
1 1
0 210)12( (8)
Углы q отсчитываются от положительного направления дей-
ствительной оси Знак угла laquo+raquo соответствует повороту против часо-
вой стрелки знак угла laquo-raquo соответствует повороту по часовой стрел-
ке
Таким образом любая точка КГ должна удовлетворять уравне-
нию (8) из которого следует что конфигурация КГ не зависит от ко-
эффициента усиления K но каждому конкретному значению K одно-
значно соответствуют точки на КГ
При умножении комплексных чисел их модули перемножаются
а при делении ndash делятся Поэтому на основании (6) можно записать
1
1
1
0
n
ii
m
jj
l
lKC
(9)
где 0jl ndash модуль (длина) вектора проведенного из j-нуля в точку s
КГ il ndash модуль вектора проведенного из i-полюса в ту же точку s
61
Таким образом траектории корней строятся только по уравне-
ниям фаз а уравнение модулей используется затем для нахождения
K
Сущность метода КГ заключается в том чтобы узнать каким
должен быть коэффициент усиления разомкнутой системы чтобы
было обеспечено желаемое положение корней замкнутой системы
Корневой годограф системы с отрицательной обратной связью
обладает следующими основными свойствами
1 Ветви КГ непрерывны и расположены на комплексной плос-
кости симметрично относительно действительной оси
2 Число ветвей КГ равно порядку системы n Ветви начинают-
ся в n полюсах разомкнутой системы при K=0 При возрастании K от
0 до infin полюса замкнутой системы двигаются по ветвям КГ
3 mветвей КГ при возрастании K от 0 до infin заканчиваются в m
нулях )(sWp а )( mn ветвей при K стремящемся к infin удаляются
от полюсов вдоль асимптот
4 При расположении ветвей корневого годографа в левой полу-
плоскости s САУ устойчива При пересечении ветвей КГ мнимой оси
слева направо САУ становится неустойчивой Пусть при K=Kкр
пере-
сечение КГ с мнимой осью произойдет в некоторой точке iωкр
Назо-
вем это значение коэффициента усиления критическим Kкр
а вели-
чину iωкр
критической угловой частотой на которой система стано-
вится неустойчивой
4 Краткое описание MATLAB
Лабораторная работа выполняется в программе математического
моделирования MATLAB Программа MATLAB включает в себя пакет
прикладных программ для решения технических задач и одноименный
язык программирования используемый в этом пакете
Основными компонентами системы являются базовая система
MATLAB и пакет моделирования систем Simulink Остальные пакеты
расширения разбиты на 4 категории ndash расширения Extension MATLAB и
Extension Simulink а также комплексы пакетов расширения Blockset и
Toolbox
Раздел MATLAB Extension содержит средства для подготовки ис-
полняемых приложений MATLAB (с подключаемыми библиотеками и
без них)
62
Раздел Toolbox (инструментальные средства) содержит самое
большое число пакетов расширений системы MATLAB такие как
laquoControl systemraquo laquoDatabaseraquo laquoFuzzy logicraquo laquoWaveletraquo и тд
В разделе Blockset расположено несколько пакетов относящихся к
главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink такие как
laquoDSPraquo laquoFixed-Pointraquo laquoNonlinear control designraquo и laquoPower systemsraquo
В разделе Extension Simulink имеется ряд средств предназначен-
ных для моделирования в реальном масштабе времени и событийно-
управляемом моделировании
5 Корневой годограф в MATLAB
В системе MATLAB существует команда zpk для преобразова-
ния модели заданной ПФ в модель заданную нулями полюсами и
обобщенными коэффициентами передачи (zpk-форма)
Пример
gtgt w=tf([10][2 2 3 1 0])
Transfer function
10
-------------------------------
2 s^4 + 2 s^3 + 3 s^2 + s
gtgt w1=zpk(w)
Zeropolegain
5
----------------------------------------------
s (s+03966) (s^2 + 06034s + 1261)
Для работы с корневым годографом удобно использовать гра-
фический интерфейс laquoSISO-Design Toolraquo предназначенный для ана-
лиза и синтеза одномерных линейных систем автоматического управ-
ления (SISO ndash Single Input Signal Output)
Запуск SISO-Design Tool осуществляется командой
gtgt sisotool
63
В появившемся окне графического интерфейса необходимо ис-
пользовать команду laquoFileImportraquo для загрузки данных из рабочего
пространства MATLAB в результате которой появляется диалоговое
окно Import System Data (рис 1)
Рис 1 Диалог для ввода параметров модели
После импортирования данных можно исследовать изменение
временных и частотных характеристик замкнутой системы при изме-
нении K Обычно при этом требуется определить условия неустойчи-
вости замкнутой САУ Определить Kкр
и iωкр
На рис 2 показано окно sisotool для описанной выше модели w1
Двигая красным курсором по КГ до пересечения ветвей с мнимой
осью можно определить значения Kкр
В данном случае Kкр
asymp 01
Значение iωкр
соответствует мнимой координате пересечения КГ
мнимой оси Просмотреть это значение можно в нижней части ин-
терфейса или выбрать меню laquoView Closed-Loop Polesraquo
64
Рис 2 Основное окно SISO-Design Tool
6 Задание на лабораторную работу
Построить КГ в соответствии с вариантом из табл 1 при помо-
щи графического интерфейса sisotool
Исследовать динамику замкнутой системы при различных зна-
чениях коэффициента усиления разомкнутой системы K в том числе
ndash запасы устойчивости в частотной области
ndash параметры переходного процесса во временной области
Таблица 1
Варианты передаточных функций
Значения параметров Передаточная функция
разомкнутой системы
1 T = 01 ζ = 1
)12( 22 sTsTs
K
2 T = 005 ζ = 0707
3 T = 003 ζ = 01
4 T = 008 ζ = 05
5 T = 001 ζ = 015
65
Окончание табл 1
Значения параметров Передаточная функция
разомкнутой системы
6 T1 = 003 T2 = 05 T3 = 01 T4 = 005
)1)(1)(1(
)1(
432
1
sTsTsTs
sTK
7 T1 = 005 T2 = 04 T3 = 008 T4 = 0033
8 T1 = 02 T2 = 045 T3 = 01 T4 = 005
9 T1 = 05 T2 = 025 T3 = 01 T4 = 002
10 T1 = 01 T2 = 025 T3 = 01 T4 = 005
Вариант задания назначается преподавателем
7 Методика выполнения задания
Порядок выполнения лабораторной работы
1 Задать передаточную функцию в MATLAB в соответствии с
вариантом коэффициент K задать любым положительным числом
2 Запустить SISO-Design Tool и осуществить ввод данных
Построить КГ
3 По КГ определить значения коэффициента K когда система
будет устойчивой на границе устойчивости и неустойчива
4 Выбрать значение коэффициента K таким образом чтобы си-
стемы была устойчива и определить запас устойчивости в частотной
области и параметры переходного процесса во временной области
8 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) титульный лист
б) передаточную функцию и этапы построения КГ
в) анализ результатов построения КГ
г) выводы по проделанной работе
д) ответы на контрольные вопросы
Контрольные вопросы 1 Дать определение КГ
2 Что обычно позволяет находить метод КГ
3 В чем заключается сущность метода КГ
4 Что можно определить по КГ
66
Критерии результативности лабораторного практикума
Лабораторная работа считается выполненной если студент
ndash выполнил все указанные задания
ndash представил отчет соответствующий всем требованиям к его
содержанию и оформлению
ndash владеет терминологией и материалом лабораторной работы
ndash способен использовать программное средство математическо-
го моделирования MATLAB
ndash способен предоставить и рассказать результаты выполненной
работы на ПК
ndash может дать пояснения к отчету и ответить на контрольные
вопросы
Список литературы
1 Александров АГ Частотная теория автоматического управле-
ния учебное пособие ndash Электросталь ЭПИ МИСиС 2010
2 Борисевич АВ Теория автоматического управления элементар-
ное введение с применением MATLAB ndash СПб Изд-во Политехн ун-
та 2011
3 Федоров ВЛ Бубнов АВ Теория автоматического управления
учебное пособие ndash Омск Изд-во ОмГТУ 2010
4 Павловская ОО Чернецкая ИВ Теория автоматического
управления учебное пособие ndash Челябинск Изд-во ЮУрГУ 2010
67
Составители ЛЯНЦЕВ Олег Дмитриевич КАЗАНЦЕВ Андрей Валерьевич
ИССЛЕДОВАНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК СИСТЕМ
АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
Лабораторный практикум
по дисциплине
laquoТеория управленияraquo
Подписано в печать Формат 60х84 116 Бумага офсетная Пе-
чать плоская Гарнитура Times New Roman Усл печ л 56 Уч-изд л
55 Тираж 100 экз Заказ
ФГБОУ ВПО Уфимский государственный авиационный технический
университет
Центр оперативной полиграфии УГАТУ
450000 Уфа-центр ул К Маркса 12
53
KK
KK
осэкв
0
0
1
KK
TT
осэкв
0
0
1 (5)
Из (5) следует что соответствующим выбором осK постоянную
времени эквT эквивалентного объекта можно уменьшить в (1+ 0KKос )
раз по сравнении с постоянной времени 0T объекта без местной об-
ратной связи Тем самым уменьшаются отрицательные фазовые сдви-
ги вносимые прямым трактом системы что приводит к увеличению
запасов устойчивости системы При этом однако уменьшается в
(1+ 0KKос ) раз коэффициент усиления эквK эквивалентного объекта
по сравнению с коэффициентом усиления 0K объекта без местной
обратной связи Это нежелательно так как приводит к уменьшению
быстродействия системы вследствие уменьшения общего коэффици-
ента усиления прямого тракта системы В этом случае с целью обес-
печения необходимого быстродействия системы увеличивают коэф-
фициент усиления регулятора
4 Краткое описание MATLAB
Лабораторная работа выполняется в программе математического
моделирования MATLAB Программа MATLAB включает в себя пакет
прикладных программ для решения технических задач и одноименный
язык программирования используемый в этом пакете
Основными компонентами системы являются базовая система
MATLAB и пакет моделирования систем Simulink Остальные пакеты
расширения разбиты на 4 категории ndash расширения Extension MATLAB и
Extension Simulink а также комплексы пакетов расширения Blockset и
Toolbox
Раздел MATLAB Extension содержит средства для подготовки ис-
полняемых приложений MATLAB (с подключаемыми библиотеками и
без них)
Раздел Toolbox (инструментальные средства) содержит самое
большое число пакетов расширений системы MATLAB такие как
laquoControl systemraquo laquoDatabaseraquo laquoFuzzy logicraquo laquoWaveletraquo и тд
54
В разделе Blockset расположено несколько пакетов относящихся к
главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink такие как
laquoDSPraquo laquoFixed-Pointraquo laquoNonlinear control designraquo и laquoPower systemsraquo
В разделе Extension Simulink имеется ряд средств предназначен-
ных для моделирования в реальном масштабе времени и событийно-
управляемом моделировании
5 Задание на лабораторную работу
Выполнить исследование способов коррекции статических и
динамических свойств САУ Определить время регулирования и пе-
ререгулирования в исходной и скорректированной системах а также
для динамических свойств САУ определить запасы устойчивости в
исходной системе и найти экспериментально значение Kос обеспечи-
вающее в системе заданные показатели качества и запасы устойчиво-
сти Вариант задания назначается преподавателем
Таблица 1
Варианты заданий
варианта
Параметры
1
2
3
4
5
6
7
8
a 05 10 15 20 25 30 35 40
K0 1 2 3 4 5 6 7 8
T c 03 04 05 06 07 08 09 10
ξ 06 07 08 08 07 09 05 04
уст 0 0 005 0 010 007 0 0
tрег c le 13 15 20 25 30 35 40 40
le 0 10 10 5 5 5 0 0
В качестве исходных САУ выступают системы изображенные
на рис 6 и 7
55
ε(t)g(t) y(t)
W(s)-
g(t) y(t)
R(s) W(s)-
ε(t) u(t)
Рис 6 САУ с отрицательной Рис 7 САУ с отрицательной обратной
обратной связью связью и регулятором
6 Методика выполнения задания
При исследовании способов коррекции статических свойств
САУ в качестве исходных данных выступает передаточная функция
sW неизменяемой части системы вида
1222
0
sTsT
KsW (6)
и задающие воздействия вида ttg 1 в соответствии с таблицей 1
В процессе выполнения этой части работы необходимо
1) путем моделирования в системе MATLAB исходной САУ
(рис 6) получить графики ttytg
2) сравнить полученную таким образом экспериментальную ве-
личину t с теоретической величиной вычисленной по формуле (1)
3) применяя описанные в теоретической части методических
указаний способы коррекции статических свойств (см п 31) обес-
печить требуемую статическую ошибку εуст системы при отработке
задающего воздействия ttg 1
4) получить графики ty и t в скорректированной системе
для 1 ttg
5) сравнить время регулирования регt и перерегулирование в
исходной и скорректированной системах при 1 ttg
При исследовании рассмотренного способа коррекции динами-
ческих свойств САУ (см п 32) в качестве исходных данных высту-
пают передаточная функция sW неизменяемой части системы
вида (6) и передаточная функция регулятора вида
s
KsR
рег
56
Задающее воздействие ttg 1
В процессе выполнения данной части работы необходимо
1) получить путем моделирования в MATLAB графики ty t
в системе (рис 7)
2) определить время регулирования регt и перерегулирование
а также запасы устойчивости в исходной системе
3) применяя описанный выше способ коррекции динамических
свойств САУ найти экспериментально (путем последовательного пе-
ребора) значение осK обеспечивающее в системе заданные заданием
показатели качества ( регt ) и запасы устойчивости (при необхо-
димости увеличить коэффициент регK )
4) получить графики ty t а также ЛАХ и ЛФХ разомкну-
той системы в скорректированной САУ
7 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) титульный лист
б) структурные схемы исследуемых систем
в) полученные графики и характеристики
г) значения полученные экмпериментально которые
обеспечивают заданные показатели качества и запасы устойчивости
д) выводы обощающие проделанные эксперименты для
коррекции статических и динамических свойств САУ
е) ответы на контрольные вопросы
Контрольные вопросы 1 Дать определение статической и астатической САУ
2 Какими структурными свойствами системы определяется по-
рядок ее астатизма
3 Какой из двух приведенных выше способов придания системе
свойств астатизма 1-го порядка наиболее предпочтителен на
практике
4 Назовите основные показатели качества САУ Поясните их
смысл
5 В чѐм суть исследуемого способа коррекции динамических
свойств САУ
57
6 Назвать другие способы коррекции динамических свойств
САУ
7 Чем вызваны отрицательные фазовые сдвиги в неизменяемой
части САУ
58
Лабораторная работа 6
МЕТОД КОРНЕВОГО ГОДОГРАФА
1 Цель работы
Целью работы является построение корневого годографа и ис-
следование динамики системы с использованием автоматизирован-
ных средств моделирования на ПК ndash MATLABSIMULINK
2 Задачи работы
ndash Закрепление углубление и расширение знаний студентов при
исследование динамики системы
ndash Овладение навыком построения корневого годографа
ndash Приобретение умений и навыков работы с программой мате-
матического моделирования MATLAB
3 Теоретическая часть
Корневым годографом (КГ) называется совокупность траекто-
рий перемещения всех корней характеристического уравнения за-
мкнутой системы при изменении какого-либо параметра этой систе-
мы
Обычно метод КГ позволяет находить полюса и нули ПФ за-
мкнутой системы располагая полюсами и нулями разомкнутой си-
стемы при изменении коэффициента усиления разомкнутой системы
K
ПФ разомкнутой системы Wp(s) представим в следующем виде
)(
)(
1
1
0
n
ii
m
jj
p
ss
ssKC
sW (1)
где 0js ndash нули ПФ sWp )1( mj
is ndash полюса ПФ sWp
)1( nj n и m ndash порядки знаменателя и числителя C ndash коэффици-
ент представления (отношение коэффициентов при старших членах
числителя и знаменателя)
59
При замыкании системы с ПФ sWp единичной отрицатель-
ной обратной связью ПФ замкнутой системы sWз принимает вид
)(1
)(
sW
sWsW
p
pз
(2)
Из выражения (2) следует что нули ПФ замкнутой системы рав-
ны нулям ПФ разомкнутой системы
Для нахождения полюсов рассмотри выражение
01 sWp (3)
в соответствии с выражением (1) имеем
n
i
m
jjin
ii
m
jj
ssKCss
ss
ssKC
1 1
0
1
1
0
)()(01
)(
)(
(4)
На основании выражения (4) можно сказать что при K = 0 корни
характеристического уравнения совпадают с полюсами а при K = infin ndash
с нулями При изменении K от 0 до infin траектории корней начинаются
в полюсах и заканчиваются в нулях Обычно полюсов больше чем
нулей В этом случаем mn ветвей корневого годографа стремятся к
infin
Для определения полюсов замкнутой системы с отрицательной
обратной связью необходимо решить уравнение (его называют ос-
новным уравнением метода КГ)
1sWp (5)
Так как sWp является функцией комплексного переменного
s то уравнение (5) распадается на два уравнения уравнение модулей
1)( sWp (6)
60
и уравнение аргументов (фаза вектора -1 есть нечетное число π)
210)12()(arg sWp (7)
Как известно при умножении комплексных чисел их аргументы
складываются а при делении ndash вычитаются Поэтому исходя из вы-
ражения (1) уравнение (7) имеет наглядный геометрический смысл
Пусть точка s ndash полюс замкнутой системы Если провести в s
вектора из нулей sWp (обозначим аргументы этих векторов 0j ) и
вектора из всех полюсов sWp (обозначим аргументы этих векторов
i ) то уравнение (7) можно записать в следующем виде
m
j
n
iij
1 1
0 210)12( (8)
Углы q отсчитываются от положительного направления дей-
ствительной оси Знак угла laquo+raquo соответствует повороту против часо-
вой стрелки знак угла laquo-raquo соответствует повороту по часовой стрел-
ке
Таким образом любая точка КГ должна удовлетворять уравне-
нию (8) из которого следует что конфигурация КГ не зависит от ко-
эффициента усиления K но каждому конкретному значению K одно-
значно соответствуют точки на КГ
При умножении комплексных чисел их модули перемножаются
а при делении ndash делятся Поэтому на основании (6) можно записать
1
1
1
0
n
ii
m
jj
l
lKC
(9)
где 0jl ndash модуль (длина) вектора проведенного из j-нуля в точку s
КГ il ndash модуль вектора проведенного из i-полюса в ту же точку s
61
Таким образом траектории корней строятся только по уравне-
ниям фаз а уравнение модулей используется затем для нахождения
K
Сущность метода КГ заключается в том чтобы узнать каким
должен быть коэффициент усиления разомкнутой системы чтобы
было обеспечено желаемое положение корней замкнутой системы
Корневой годограф системы с отрицательной обратной связью
обладает следующими основными свойствами
1 Ветви КГ непрерывны и расположены на комплексной плос-
кости симметрично относительно действительной оси
2 Число ветвей КГ равно порядку системы n Ветви начинают-
ся в n полюсах разомкнутой системы при K=0 При возрастании K от
0 до infin полюса замкнутой системы двигаются по ветвям КГ
3 mветвей КГ при возрастании K от 0 до infin заканчиваются в m
нулях )(sWp а )( mn ветвей при K стремящемся к infin удаляются
от полюсов вдоль асимптот
4 При расположении ветвей корневого годографа в левой полу-
плоскости s САУ устойчива При пересечении ветвей КГ мнимой оси
слева направо САУ становится неустойчивой Пусть при K=Kкр
пере-
сечение КГ с мнимой осью произойдет в некоторой точке iωкр
Назо-
вем это значение коэффициента усиления критическим Kкр
а вели-
чину iωкр
критической угловой частотой на которой система стано-
вится неустойчивой
4 Краткое описание MATLAB
Лабораторная работа выполняется в программе математического
моделирования MATLAB Программа MATLAB включает в себя пакет
прикладных программ для решения технических задач и одноименный
язык программирования используемый в этом пакете
Основными компонентами системы являются базовая система
MATLAB и пакет моделирования систем Simulink Остальные пакеты
расширения разбиты на 4 категории ndash расширения Extension MATLAB и
Extension Simulink а также комплексы пакетов расширения Blockset и
Toolbox
Раздел MATLAB Extension содержит средства для подготовки ис-
полняемых приложений MATLAB (с подключаемыми библиотеками и
без них)
62
Раздел Toolbox (инструментальные средства) содержит самое
большое число пакетов расширений системы MATLAB такие как
laquoControl systemraquo laquoDatabaseraquo laquoFuzzy logicraquo laquoWaveletraquo и тд
В разделе Blockset расположено несколько пакетов относящихся к
главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink такие как
laquoDSPraquo laquoFixed-Pointraquo laquoNonlinear control designraquo и laquoPower systemsraquo
В разделе Extension Simulink имеется ряд средств предназначен-
ных для моделирования в реальном масштабе времени и событийно-
управляемом моделировании
5 Корневой годограф в MATLAB
В системе MATLAB существует команда zpk для преобразова-
ния модели заданной ПФ в модель заданную нулями полюсами и
обобщенными коэффициентами передачи (zpk-форма)
Пример
gtgt w=tf([10][2 2 3 1 0])
Transfer function
10
-------------------------------
2 s^4 + 2 s^3 + 3 s^2 + s
gtgt w1=zpk(w)
Zeropolegain
5
----------------------------------------------
s (s+03966) (s^2 + 06034s + 1261)
Для работы с корневым годографом удобно использовать гра-
фический интерфейс laquoSISO-Design Toolraquo предназначенный для ана-
лиза и синтеза одномерных линейных систем автоматического управ-
ления (SISO ndash Single Input Signal Output)
Запуск SISO-Design Tool осуществляется командой
gtgt sisotool
63
В появившемся окне графического интерфейса необходимо ис-
пользовать команду laquoFileImportraquo для загрузки данных из рабочего
пространства MATLAB в результате которой появляется диалоговое
окно Import System Data (рис 1)
Рис 1 Диалог для ввода параметров модели
После импортирования данных можно исследовать изменение
временных и частотных характеристик замкнутой системы при изме-
нении K Обычно при этом требуется определить условия неустойчи-
вости замкнутой САУ Определить Kкр
и iωкр
На рис 2 показано окно sisotool для описанной выше модели w1
Двигая красным курсором по КГ до пересечения ветвей с мнимой
осью можно определить значения Kкр
В данном случае Kкр
asymp 01
Значение iωкр
соответствует мнимой координате пересечения КГ
мнимой оси Просмотреть это значение можно в нижней части ин-
терфейса или выбрать меню laquoView Closed-Loop Polesraquo
64
Рис 2 Основное окно SISO-Design Tool
6 Задание на лабораторную работу
Построить КГ в соответствии с вариантом из табл 1 при помо-
щи графического интерфейса sisotool
Исследовать динамику замкнутой системы при различных зна-
чениях коэффициента усиления разомкнутой системы K в том числе
ndash запасы устойчивости в частотной области
ndash параметры переходного процесса во временной области
Таблица 1
Варианты передаточных функций
Значения параметров Передаточная функция
разомкнутой системы
1 T = 01 ζ = 1
)12( 22 sTsTs
K
2 T = 005 ζ = 0707
3 T = 003 ζ = 01
4 T = 008 ζ = 05
5 T = 001 ζ = 015
65
Окончание табл 1
Значения параметров Передаточная функция
разомкнутой системы
6 T1 = 003 T2 = 05 T3 = 01 T4 = 005
)1)(1)(1(
)1(
432
1
sTsTsTs
sTK
7 T1 = 005 T2 = 04 T3 = 008 T4 = 0033
8 T1 = 02 T2 = 045 T3 = 01 T4 = 005
9 T1 = 05 T2 = 025 T3 = 01 T4 = 002
10 T1 = 01 T2 = 025 T3 = 01 T4 = 005
Вариант задания назначается преподавателем
7 Методика выполнения задания
Порядок выполнения лабораторной работы
1 Задать передаточную функцию в MATLAB в соответствии с
вариантом коэффициент K задать любым положительным числом
2 Запустить SISO-Design Tool и осуществить ввод данных
Построить КГ
3 По КГ определить значения коэффициента K когда система
будет устойчивой на границе устойчивости и неустойчива
4 Выбрать значение коэффициента K таким образом чтобы си-
стемы была устойчива и определить запас устойчивости в частотной
области и параметры переходного процесса во временной области
8 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) титульный лист
б) передаточную функцию и этапы построения КГ
в) анализ результатов построения КГ
г) выводы по проделанной работе
д) ответы на контрольные вопросы
Контрольные вопросы 1 Дать определение КГ
2 Что обычно позволяет находить метод КГ
3 В чем заключается сущность метода КГ
4 Что можно определить по КГ
66
Критерии результативности лабораторного практикума
Лабораторная работа считается выполненной если студент
ndash выполнил все указанные задания
ndash представил отчет соответствующий всем требованиям к его
содержанию и оформлению
ndash владеет терминологией и материалом лабораторной работы
ndash способен использовать программное средство математическо-
го моделирования MATLAB
ndash способен предоставить и рассказать результаты выполненной
работы на ПК
ndash может дать пояснения к отчету и ответить на контрольные
вопросы
Список литературы
1 Александров АГ Частотная теория автоматического управле-
ния учебное пособие ndash Электросталь ЭПИ МИСиС 2010
2 Борисевич АВ Теория автоматического управления элементар-
ное введение с применением MATLAB ndash СПб Изд-во Политехн ун-
та 2011
3 Федоров ВЛ Бубнов АВ Теория автоматического управления
учебное пособие ndash Омск Изд-во ОмГТУ 2010
4 Павловская ОО Чернецкая ИВ Теория автоматического
управления учебное пособие ndash Челябинск Изд-во ЮУрГУ 2010
67
Составители ЛЯНЦЕВ Олег Дмитриевич КАЗАНЦЕВ Андрей Валерьевич
ИССЛЕДОВАНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК СИСТЕМ
АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
Лабораторный практикум
по дисциплине
laquoТеория управленияraquo
Подписано в печать Формат 60х84 116 Бумага офсетная Пе-
чать плоская Гарнитура Times New Roman Усл печ л 56 Уч-изд л
55 Тираж 100 экз Заказ
ФГБОУ ВПО Уфимский государственный авиационный технический
университет
Центр оперативной полиграфии УГАТУ
450000 Уфа-центр ул К Маркса 12
54
В разделе Blockset расположено несколько пакетов относящихся к
главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink такие как
laquoDSPraquo laquoFixed-Pointraquo laquoNonlinear control designraquo и laquoPower systemsraquo
В разделе Extension Simulink имеется ряд средств предназначен-
ных для моделирования в реальном масштабе времени и событийно-
управляемом моделировании
5 Задание на лабораторную работу
Выполнить исследование способов коррекции статических и
динамических свойств САУ Определить время регулирования и пе-
ререгулирования в исходной и скорректированной системах а также
для динамических свойств САУ определить запасы устойчивости в
исходной системе и найти экспериментально значение Kос обеспечи-
вающее в системе заданные показатели качества и запасы устойчиво-
сти Вариант задания назначается преподавателем
Таблица 1
Варианты заданий
варианта
Параметры
1
2
3
4
5
6
7
8
a 05 10 15 20 25 30 35 40
K0 1 2 3 4 5 6 7 8
T c 03 04 05 06 07 08 09 10
ξ 06 07 08 08 07 09 05 04
уст 0 0 005 0 010 007 0 0
tрег c le 13 15 20 25 30 35 40 40
le 0 10 10 5 5 5 0 0
В качестве исходных САУ выступают системы изображенные
на рис 6 и 7
55
ε(t)g(t) y(t)
W(s)-
g(t) y(t)
R(s) W(s)-
ε(t) u(t)
Рис 6 САУ с отрицательной Рис 7 САУ с отрицательной обратной
обратной связью связью и регулятором
6 Методика выполнения задания
При исследовании способов коррекции статических свойств
САУ в качестве исходных данных выступает передаточная функция
sW неизменяемой части системы вида
1222
0
sTsT
KsW (6)
и задающие воздействия вида ttg 1 в соответствии с таблицей 1
В процессе выполнения этой части работы необходимо
1) путем моделирования в системе MATLAB исходной САУ
(рис 6) получить графики ttytg
2) сравнить полученную таким образом экспериментальную ве-
личину t с теоретической величиной вычисленной по формуле (1)
3) применяя описанные в теоретической части методических
указаний способы коррекции статических свойств (см п 31) обес-
печить требуемую статическую ошибку εуст системы при отработке
задающего воздействия ttg 1
4) получить графики ty и t в скорректированной системе
для 1 ttg
5) сравнить время регулирования регt и перерегулирование в
исходной и скорректированной системах при 1 ttg
При исследовании рассмотренного способа коррекции динами-
ческих свойств САУ (см п 32) в качестве исходных данных высту-
пают передаточная функция sW неизменяемой части системы
вида (6) и передаточная функция регулятора вида
s
KsR
рег
56
Задающее воздействие ttg 1
В процессе выполнения данной части работы необходимо
1) получить путем моделирования в MATLAB графики ty t
в системе (рис 7)
2) определить время регулирования регt и перерегулирование
а также запасы устойчивости в исходной системе
3) применяя описанный выше способ коррекции динамических
свойств САУ найти экспериментально (путем последовательного пе-
ребора) значение осK обеспечивающее в системе заданные заданием
показатели качества ( регt ) и запасы устойчивости (при необхо-
димости увеличить коэффициент регK )
4) получить графики ty t а также ЛАХ и ЛФХ разомкну-
той системы в скорректированной САУ
7 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) титульный лист
б) структурные схемы исследуемых систем
в) полученные графики и характеристики
г) значения полученные экмпериментально которые
обеспечивают заданные показатели качества и запасы устойчивости
д) выводы обощающие проделанные эксперименты для
коррекции статических и динамических свойств САУ
е) ответы на контрольные вопросы
Контрольные вопросы 1 Дать определение статической и астатической САУ
2 Какими структурными свойствами системы определяется по-
рядок ее астатизма
3 Какой из двух приведенных выше способов придания системе
свойств астатизма 1-го порядка наиболее предпочтителен на
практике
4 Назовите основные показатели качества САУ Поясните их
смысл
5 В чѐм суть исследуемого способа коррекции динамических
свойств САУ
57
6 Назвать другие способы коррекции динамических свойств
САУ
7 Чем вызваны отрицательные фазовые сдвиги в неизменяемой
части САУ
58
Лабораторная работа 6
МЕТОД КОРНЕВОГО ГОДОГРАФА
1 Цель работы
Целью работы является построение корневого годографа и ис-
следование динамики системы с использованием автоматизирован-
ных средств моделирования на ПК ndash MATLABSIMULINK
2 Задачи работы
ndash Закрепление углубление и расширение знаний студентов при
исследование динамики системы
ndash Овладение навыком построения корневого годографа
ndash Приобретение умений и навыков работы с программой мате-
матического моделирования MATLAB
3 Теоретическая часть
Корневым годографом (КГ) называется совокупность траекто-
рий перемещения всех корней характеристического уравнения за-
мкнутой системы при изменении какого-либо параметра этой систе-
мы
Обычно метод КГ позволяет находить полюса и нули ПФ за-
мкнутой системы располагая полюсами и нулями разомкнутой си-
стемы при изменении коэффициента усиления разомкнутой системы
K
ПФ разомкнутой системы Wp(s) представим в следующем виде
)(
)(
1
1
0
n
ii
m
jj
p
ss
ssKC
sW (1)
где 0js ndash нули ПФ sWp )1( mj
is ndash полюса ПФ sWp
)1( nj n и m ndash порядки знаменателя и числителя C ndash коэффици-
ент представления (отношение коэффициентов при старших членах
числителя и знаменателя)
59
При замыкании системы с ПФ sWp единичной отрицатель-
ной обратной связью ПФ замкнутой системы sWз принимает вид
)(1
)(
sW
sWsW
p
pз
(2)
Из выражения (2) следует что нули ПФ замкнутой системы рав-
ны нулям ПФ разомкнутой системы
Для нахождения полюсов рассмотри выражение
01 sWp (3)
в соответствии с выражением (1) имеем
n
i
m
jjin
ii
m
jj
ssKCss
ss
ssKC
1 1
0
1
1
0
)()(01
)(
)(
(4)
На основании выражения (4) можно сказать что при K = 0 корни
характеристического уравнения совпадают с полюсами а при K = infin ndash
с нулями При изменении K от 0 до infin траектории корней начинаются
в полюсах и заканчиваются в нулях Обычно полюсов больше чем
нулей В этом случаем mn ветвей корневого годографа стремятся к
infin
Для определения полюсов замкнутой системы с отрицательной
обратной связью необходимо решить уравнение (его называют ос-
новным уравнением метода КГ)
1sWp (5)
Так как sWp является функцией комплексного переменного
s то уравнение (5) распадается на два уравнения уравнение модулей
1)( sWp (6)
60
и уравнение аргументов (фаза вектора -1 есть нечетное число π)
210)12()(arg sWp (7)
Как известно при умножении комплексных чисел их аргументы
складываются а при делении ndash вычитаются Поэтому исходя из вы-
ражения (1) уравнение (7) имеет наглядный геометрический смысл
Пусть точка s ndash полюс замкнутой системы Если провести в s
вектора из нулей sWp (обозначим аргументы этих векторов 0j ) и
вектора из всех полюсов sWp (обозначим аргументы этих векторов
i ) то уравнение (7) можно записать в следующем виде
m
j
n
iij
1 1
0 210)12( (8)
Углы q отсчитываются от положительного направления дей-
ствительной оси Знак угла laquo+raquo соответствует повороту против часо-
вой стрелки знак угла laquo-raquo соответствует повороту по часовой стрел-
ке
Таким образом любая точка КГ должна удовлетворять уравне-
нию (8) из которого следует что конфигурация КГ не зависит от ко-
эффициента усиления K но каждому конкретному значению K одно-
значно соответствуют точки на КГ
При умножении комплексных чисел их модули перемножаются
а при делении ndash делятся Поэтому на основании (6) можно записать
1
1
1
0
n
ii
m
jj
l
lKC
(9)
где 0jl ndash модуль (длина) вектора проведенного из j-нуля в точку s
КГ il ndash модуль вектора проведенного из i-полюса в ту же точку s
61
Таким образом траектории корней строятся только по уравне-
ниям фаз а уравнение модулей используется затем для нахождения
K
Сущность метода КГ заключается в том чтобы узнать каким
должен быть коэффициент усиления разомкнутой системы чтобы
было обеспечено желаемое положение корней замкнутой системы
Корневой годограф системы с отрицательной обратной связью
обладает следующими основными свойствами
1 Ветви КГ непрерывны и расположены на комплексной плос-
кости симметрично относительно действительной оси
2 Число ветвей КГ равно порядку системы n Ветви начинают-
ся в n полюсах разомкнутой системы при K=0 При возрастании K от
0 до infin полюса замкнутой системы двигаются по ветвям КГ
3 mветвей КГ при возрастании K от 0 до infin заканчиваются в m
нулях )(sWp а )( mn ветвей при K стремящемся к infin удаляются
от полюсов вдоль асимптот
4 При расположении ветвей корневого годографа в левой полу-
плоскости s САУ устойчива При пересечении ветвей КГ мнимой оси
слева направо САУ становится неустойчивой Пусть при K=Kкр
пере-
сечение КГ с мнимой осью произойдет в некоторой точке iωкр
Назо-
вем это значение коэффициента усиления критическим Kкр
а вели-
чину iωкр
критической угловой частотой на которой система стано-
вится неустойчивой
4 Краткое описание MATLAB
Лабораторная работа выполняется в программе математического
моделирования MATLAB Программа MATLAB включает в себя пакет
прикладных программ для решения технических задач и одноименный
язык программирования используемый в этом пакете
Основными компонентами системы являются базовая система
MATLAB и пакет моделирования систем Simulink Остальные пакеты
расширения разбиты на 4 категории ndash расширения Extension MATLAB и
Extension Simulink а также комплексы пакетов расширения Blockset и
Toolbox
Раздел MATLAB Extension содержит средства для подготовки ис-
полняемых приложений MATLAB (с подключаемыми библиотеками и
без них)
62
Раздел Toolbox (инструментальные средства) содержит самое
большое число пакетов расширений системы MATLAB такие как
laquoControl systemraquo laquoDatabaseraquo laquoFuzzy logicraquo laquoWaveletraquo и тд
В разделе Blockset расположено несколько пакетов относящихся к
главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink такие как
laquoDSPraquo laquoFixed-Pointraquo laquoNonlinear control designraquo и laquoPower systemsraquo
В разделе Extension Simulink имеется ряд средств предназначен-
ных для моделирования в реальном масштабе времени и событийно-
управляемом моделировании
5 Корневой годограф в MATLAB
В системе MATLAB существует команда zpk для преобразова-
ния модели заданной ПФ в модель заданную нулями полюсами и
обобщенными коэффициентами передачи (zpk-форма)
Пример
gtgt w=tf([10][2 2 3 1 0])
Transfer function
10
-------------------------------
2 s^4 + 2 s^3 + 3 s^2 + s
gtgt w1=zpk(w)
Zeropolegain
5
----------------------------------------------
s (s+03966) (s^2 + 06034s + 1261)
Для работы с корневым годографом удобно использовать гра-
фический интерфейс laquoSISO-Design Toolraquo предназначенный для ана-
лиза и синтеза одномерных линейных систем автоматического управ-
ления (SISO ndash Single Input Signal Output)
Запуск SISO-Design Tool осуществляется командой
gtgt sisotool
63
В появившемся окне графического интерфейса необходимо ис-
пользовать команду laquoFileImportraquo для загрузки данных из рабочего
пространства MATLAB в результате которой появляется диалоговое
окно Import System Data (рис 1)
Рис 1 Диалог для ввода параметров модели
После импортирования данных можно исследовать изменение
временных и частотных характеристик замкнутой системы при изме-
нении K Обычно при этом требуется определить условия неустойчи-
вости замкнутой САУ Определить Kкр
и iωкр
На рис 2 показано окно sisotool для описанной выше модели w1
Двигая красным курсором по КГ до пересечения ветвей с мнимой
осью можно определить значения Kкр
В данном случае Kкр
asymp 01
Значение iωкр
соответствует мнимой координате пересечения КГ
мнимой оси Просмотреть это значение можно в нижней части ин-
терфейса или выбрать меню laquoView Closed-Loop Polesraquo
64
Рис 2 Основное окно SISO-Design Tool
6 Задание на лабораторную работу
Построить КГ в соответствии с вариантом из табл 1 при помо-
щи графического интерфейса sisotool
Исследовать динамику замкнутой системы при различных зна-
чениях коэффициента усиления разомкнутой системы K в том числе
ndash запасы устойчивости в частотной области
ndash параметры переходного процесса во временной области
Таблица 1
Варианты передаточных функций
Значения параметров Передаточная функция
разомкнутой системы
1 T = 01 ζ = 1
)12( 22 sTsTs
K
2 T = 005 ζ = 0707
3 T = 003 ζ = 01
4 T = 008 ζ = 05
5 T = 001 ζ = 015
65
Окончание табл 1
Значения параметров Передаточная функция
разомкнутой системы
6 T1 = 003 T2 = 05 T3 = 01 T4 = 005
)1)(1)(1(
)1(
432
1
sTsTsTs
sTK
7 T1 = 005 T2 = 04 T3 = 008 T4 = 0033
8 T1 = 02 T2 = 045 T3 = 01 T4 = 005
9 T1 = 05 T2 = 025 T3 = 01 T4 = 002
10 T1 = 01 T2 = 025 T3 = 01 T4 = 005
Вариант задания назначается преподавателем
7 Методика выполнения задания
Порядок выполнения лабораторной работы
1 Задать передаточную функцию в MATLAB в соответствии с
вариантом коэффициент K задать любым положительным числом
2 Запустить SISO-Design Tool и осуществить ввод данных
Построить КГ
3 По КГ определить значения коэффициента K когда система
будет устойчивой на границе устойчивости и неустойчива
4 Выбрать значение коэффициента K таким образом чтобы си-
стемы была устойчива и определить запас устойчивости в частотной
области и параметры переходного процесса во временной области
8 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) титульный лист
б) передаточную функцию и этапы построения КГ
в) анализ результатов построения КГ
г) выводы по проделанной работе
д) ответы на контрольные вопросы
Контрольные вопросы 1 Дать определение КГ
2 Что обычно позволяет находить метод КГ
3 В чем заключается сущность метода КГ
4 Что можно определить по КГ
66
Критерии результативности лабораторного практикума
Лабораторная работа считается выполненной если студент
ndash выполнил все указанные задания
ndash представил отчет соответствующий всем требованиям к его
содержанию и оформлению
ndash владеет терминологией и материалом лабораторной работы
ndash способен использовать программное средство математическо-
го моделирования MATLAB
ndash способен предоставить и рассказать результаты выполненной
работы на ПК
ndash может дать пояснения к отчету и ответить на контрольные
вопросы
Список литературы
1 Александров АГ Частотная теория автоматического управле-
ния учебное пособие ndash Электросталь ЭПИ МИСиС 2010
2 Борисевич АВ Теория автоматического управления элементар-
ное введение с применением MATLAB ndash СПб Изд-во Политехн ун-
та 2011
3 Федоров ВЛ Бубнов АВ Теория автоматического управления
учебное пособие ndash Омск Изд-во ОмГТУ 2010
4 Павловская ОО Чернецкая ИВ Теория автоматического
управления учебное пособие ndash Челябинск Изд-во ЮУрГУ 2010
67
Составители ЛЯНЦЕВ Олег Дмитриевич КАЗАНЦЕВ Андрей Валерьевич
ИССЛЕДОВАНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК СИСТЕМ
АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
Лабораторный практикум
по дисциплине
laquoТеория управленияraquo
Подписано в печать Формат 60х84 116 Бумага офсетная Пе-
чать плоская Гарнитура Times New Roman Усл печ л 56 Уч-изд л
55 Тираж 100 экз Заказ
ФГБОУ ВПО Уфимский государственный авиационный технический
университет
Центр оперативной полиграфии УГАТУ
450000 Уфа-центр ул К Маркса 12
55
ε(t)g(t) y(t)
W(s)-
g(t) y(t)
R(s) W(s)-
ε(t) u(t)
Рис 6 САУ с отрицательной Рис 7 САУ с отрицательной обратной
обратной связью связью и регулятором
6 Методика выполнения задания
При исследовании способов коррекции статических свойств
САУ в качестве исходных данных выступает передаточная функция
sW неизменяемой части системы вида
1222
0
sTsT
KsW (6)
и задающие воздействия вида ttg 1 в соответствии с таблицей 1
В процессе выполнения этой части работы необходимо
1) путем моделирования в системе MATLAB исходной САУ
(рис 6) получить графики ttytg
2) сравнить полученную таким образом экспериментальную ве-
личину t с теоретической величиной вычисленной по формуле (1)
3) применяя описанные в теоретической части методических
указаний способы коррекции статических свойств (см п 31) обес-
печить требуемую статическую ошибку εуст системы при отработке
задающего воздействия ttg 1
4) получить графики ty и t в скорректированной системе
для 1 ttg
5) сравнить время регулирования регt и перерегулирование в
исходной и скорректированной системах при 1 ttg
При исследовании рассмотренного способа коррекции динами-
ческих свойств САУ (см п 32) в качестве исходных данных высту-
пают передаточная функция sW неизменяемой части системы
вида (6) и передаточная функция регулятора вида
s
KsR
рег
56
Задающее воздействие ttg 1
В процессе выполнения данной части работы необходимо
1) получить путем моделирования в MATLAB графики ty t
в системе (рис 7)
2) определить время регулирования регt и перерегулирование
а также запасы устойчивости в исходной системе
3) применяя описанный выше способ коррекции динамических
свойств САУ найти экспериментально (путем последовательного пе-
ребора) значение осK обеспечивающее в системе заданные заданием
показатели качества ( регt ) и запасы устойчивости (при необхо-
димости увеличить коэффициент регK )
4) получить графики ty t а также ЛАХ и ЛФХ разомкну-
той системы в скорректированной САУ
7 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) титульный лист
б) структурные схемы исследуемых систем
в) полученные графики и характеристики
г) значения полученные экмпериментально которые
обеспечивают заданные показатели качества и запасы устойчивости
д) выводы обощающие проделанные эксперименты для
коррекции статических и динамических свойств САУ
е) ответы на контрольные вопросы
Контрольные вопросы 1 Дать определение статической и астатической САУ
2 Какими структурными свойствами системы определяется по-
рядок ее астатизма
3 Какой из двух приведенных выше способов придания системе
свойств астатизма 1-го порядка наиболее предпочтителен на
практике
4 Назовите основные показатели качества САУ Поясните их
смысл
5 В чѐм суть исследуемого способа коррекции динамических
свойств САУ
57
6 Назвать другие способы коррекции динамических свойств
САУ
7 Чем вызваны отрицательные фазовые сдвиги в неизменяемой
части САУ
58
Лабораторная работа 6
МЕТОД КОРНЕВОГО ГОДОГРАФА
1 Цель работы
Целью работы является построение корневого годографа и ис-
следование динамики системы с использованием автоматизирован-
ных средств моделирования на ПК ndash MATLABSIMULINK
2 Задачи работы
ndash Закрепление углубление и расширение знаний студентов при
исследование динамики системы
ndash Овладение навыком построения корневого годографа
ndash Приобретение умений и навыков работы с программой мате-
матического моделирования MATLAB
3 Теоретическая часть
Корневым годографом (КГ) называется совокупность траекто-
рий перемещения всех корней характеристического уравнения за-
мкнутой системы при изменении какого-либо параметра этой систе-
мы
Обычно метод КГ позволяет находить полюса и нули ПФ за-
мкнутой системы располагая полюсами и нулями разомкнутой си-
стемы при изменении коэффициента усиления разомкнутой системы
K
ПФ разомкнутой системы Wp(s) представим в следующем виде
)(
)(
1
1
0
n
ii
m
jj
p
ss
ssKC
sW (1)
где 0js ndash нули ПФ sWp )1( mj
is ndash полюса ПФ sWp
)1( nj n и m ndash порядки знаменателя и числителя C ndash коэффици-
ент представления (отношение коэффициентов при старших членах
числителя и знаменателя)
59
При замыкании системы с ПФ sWp единичной отрицатель-
ной обратной связью ПФ замкнутой системы sWз принимает вид
)(1
)(
sW
sWsW
p
pз
(2)
Из выражения (2) следует что нули ПФ замкнутой системы рав-
ны нулям ПФ разомкнутой системы
Для нахождения полюсов рассмотри выражение
01 sWp (3)
в соответствии с выражением (1) имеем
n
i
m
jjin
ii
m
jj
ssKCss
ss
ssKC
1 1
0
1
1
0
)()(01
)(
)(
(4)
На основании выражения (4) можно сказать что при K = 0 корни
характеристического уравнения совпадают с полюсами а при K = infin ndash
с нулями При изменении K от 0 до infin траектории корней начинаются
в полюсах и заканчиваются в нулях Обычно полюсов больше чем
нулей В этом случаем mn ветвей корневого годографа стремятся к
infin
Для определения полюсов замкнутой системы с отрицательной
обратной связью необходимо решить уравнение (его называют ос-
новным уравнением метода КГ)
1sWp (5)
Так как sWp является функцией комплексного переменного
s то уравнение (5) распадается на два уравнения уравнение модулей
1)( sWp (6)
60
и уравнение аргументов (фаза вектора -1 есть нечетное число π)
210)12()(arg sWp (7)
Как известно при умножении комплексных чисел их аргументы
складываются а при делении ndash вычитаются Поэтому исходя из вы-
ражения (1) уравнение (7) имеет наглядный геометрический смысл
Пусть точка s ndash полюс замкнутой системы Если провести в s
вектора из нулей sWp (обозначим аргументы этих векторов 0j ) и
вектора из всех полюсов sWp (обозначим аргументы этих векторов
i ) то уравнение (7) можно записать в следующем виде
m
j
n
iij
1 1
0 210)12( (8)
Углы q отсчитываются от положительного направления дей-
ствительной оси Знак угла laquo+raquo соответствует повороту против часо-
вой стрелки знак угла laquo-raquo соответствует повороту по часовой стрел-
ке
Таким образом любая точка КГ должна удовлетворять уравне-
нию (8) из которого следует что конфигурация КГ не зависит от ко-
эффициента усиления K но каждому конкретному значению K одно-
значно соответствуют точки на КГ
При умножении комплексных чисел их модули перемножаются
а при делении ndash делятся Поэтому на основании (6) можно записать
1
1
1
0
n
ii
m
jj
l
lKC
(9)
где 0jl ndash модуль (длина) вектора проведенного из j-нуля в точку s
КГ il ndash модуль вектора проведенного из i-полюса в ту же точку s
61
Таким образом траектории корней строятся только по уравне-
ниям фаз а уравнение модулей используется затем для нахождения
K
Сущность метода КГ заключается в том чтобы узнать каким
должен быть коэффициент усиления разомкнутой системы чтобы
было обеспечено желаемое положение корней замкнутой системы
Корневой годограф системы с отрицательной обратной связью
обладает следующими основными свойствами
1 Ветви КГ непрерывны и расположены на комплексной плос-
кости симметрично относительно действительной оси
2 Число ветвей КГ равно порядку системы n Ветви начинают-
ся в n полюсах разомкнутой системы при K=0 При возрастании K от
0 до infin полюса замкнутой системы двигаются по ветвям КГ
3 mветвей КГ при возрастании K от 0 до infin заканчиваются в m
нулях )(sWp а )( mn ветвей при K стремящемся к infin удаляются
от полюсов вдоль асимптот
4 При расположении ветвей корневого годографа в левой полу-
плоскости s САУ устойчива При пересечении ветвей КГ мнимой оси
слева направо САУ становится неустойчивой Пусть при K=Kкр
пере-
сечение КГ с мнимой осью произойдет в некоторой точке iωкр
Назо-
вем это значение коэффициента усиления критическим Kкр
а вели-
чину iωкр
критической угловой частотой на которой система стано-
вится неустойчивой
4 Краткое описание MATLAB
Лабораторная работа выполняется в программе математического
моделирования MATLAB Программа MATLAB включает в себя пакет
прикладных программ для решения технических задач и одноименный
язык программирования используемый в этом пакете
Основными компонентами системы являются базовая система
MATLAB и пакет моделирования систем Simulink Остальные пакеты
расширения разбиты на 4 категории ndash расширения Extension MATLAB и
Extension Simulink а также комплексы пакетов расширения Blockset и
Toolbox
Раздел MATLAB Extension содержит средства для подготовки ис-
полняемых приложений MATLAB (с подключаемыми библиотеками и
без них)
62
Раздел Toolbox (инструментальные средства) содержит самое
большое число пакетов расширений системы MATLAB такие как
laquoControl systemraquo laquoDatabaseraquo laquoFuzzy logicraquo laquoWaveletraquo и тд
В разделе Blockset расположено несколько пакетов относящихся к
главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink такие как
laquoDSPraquo laquoFixed-Pointraquo laquoNonlinear control designraquo и laquoPower systemsraquo
В разделе Extension Simulink имеется ряд средств предназначен-
ных для моделирования в реальном масштабе времени и событийно-
управляемом моделировании
5 Корневой годограф в MATLAB
В системе MATLAB существует команда zpk для преобразова-
ния модели заданной ПФ в модель заданную нулями полюсами и
обобщенными коэффициентами передачи (zpk-форма)
Пример
gtgt w=tf([10][2 2 3 1 0])
Transfer function
10
-------------------------------
2 s^4 + 2 s^3 + 3 s^2 + s
gtgt w1=zpk(w)
Zeropolegain
5
----------------------------------------------
s (s+03966) (s^2 + 06034s + 1261)
Для работы с корневым годографом удобно использовать гра-
фический интерфейс laquoSISO-Design Toolraquo предназначенный для ана-
лиза и синтеза одномерных линейных систем автоматического управ-
ления (SISO ndash Single Input Signal Output)
Запуск SISO-Design Tool осуществляется командой
gtgt sisotool
63
В появившемся окне графического интерфейса необходимо ис-
пользовать команду laquoFileImportraquo для загрузки данных из рабочего
пространства MATLAB в результате которой появляется диалоговое
окно Import System Data (рис 1)
Рис 1 Диалог для ввода параметров модели
После импортирования данных можно исследовать изменение
временных и частотных характеристик замкнутой системы при изме-
нении K Обычно при этом требуется определить условия неустойчи-
вости замкнутой САУ Определить Kкр
и iωкр
На рис 2 показано окно sisotool для описанной выше модели w1
Двигая красным курсором по КГ до пересечения ветвей с мнимой
осью можно определить значения Kкр
В данном случае Kкр
asymp 01
Значение iωкр
соответствует мнимой координате пересечения КГ
мнимой оси Просмотреть это значение можно в нижней части ин-
терфейса или выбрать меню laquoView Closed-Loop Polesraquo
64
Рис 2 Основное окно SISO-Design Tool
6 Задание на лабораторную работу
Построить КГ в соответствии с вариантом из табл 1 при помо-
щи графического интерфейса sisotool
Исследовать динамику замкнутой системы при различных зна-
чениях коэффициента усиления разомкнутой системы K в том числе
ndash запасы устойчивости в частотной области
ndash параметры переходного процесса во временной области
Таблица 1
Варианты передаточных функций
Значения параметров Передаточная функция
разомкнутой системы
1 T = 01 ζ = 1
)12( 22 sTsTs
K
2 T = 005 ζ = 0707
3 T = 003 ζ = 01
4 T = 008 ζ = 05
5 T = 001 ζ = 015
65
Окончание табл 1
Значения параметров Передаточная функция
разомкнутой системы
6 T1 = 003 T2 = 05 T3 = 01 T4 = 005
)1)(1)(1(
)1(
432
1
sTsTsTs
sTK
7 T1 = 005 T2 = 04 T3 = 008 T4 = 0033
8 T1 = 02 T2 = 045 T3 = 01 T4 = 005
9 T1 = 05 T2 = 025 T3 = 01 T4 = 002
10 T1 = 01 T2 = 025 T3 = 01 T4 = 005
Вариант задания назначается преподавателем
7 Методика выполнения задания
Порядок выполнения лабораторной работы
1 Задать передаточную функцию в MATLAB в соответствии с
вариантом коэффициент K задать любым положительным числом
2 Запустить SISO-Design Tool и осуществить ввод данных
Построить КГ
3 По КГ определить значения коэффициента K когда система
будет устойчивой на границе устойчивости и неустойчива
4 Выбрать значение коэффициента K таким образом чтобы си-
стемы была устойчива и определить запас устойчивости в частотной
области и параметры переходного процесса во временной области
8 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) титульный лист
б) передаточную функцию и этапы построения КГ
в) анализ результатов построения КГ
г) выводы по проделанной работе
д) ответы на контрольные вопросы
Контрольные вопросы 1 Дать определение КГ
2 Что обычно позволяет находить метод КГ
3 В чем заключается сущность метода КГ
4 Что можно определить по КГ
66
Критерии результативности лабораторного практикума
Лабораторная работа считается выполненной если студент
ndash выполнил все указанные задания
ndash представил отчет соответствующий всем требованиям к его
содержанию и оформлению
ndash владеет терминологией и материалом лабораторной работы
ndash способен использовать программное средство математическо-
го моделирования MATLAB
ndash способен предоставить и рассказать результаты выполненной
работы на ПК
ndash может дать пояснения к отчету и ответить на контрольные
вопросы
Список литературы
1 Александров АГ Частотная теория автоматического управле-
ния учебное пособие ndash Электросталь ЭПИ МИСиС 2010
2 Борисевич АВ Теория автоматического управления элементар-
ное введение с применением MATLAB ndash СПб Изд-во Политехн ун-
та 2011
3 Федоров ВЛ Бубнов АВ Теория автоматического управления
учебное пособие ndash Омск Изд-во ОмГТУ 2010
4 Павловская ОО Чернецкая ИВ Теория автоматического
управления учебное пособие ndash Челябинск Изд-во ЮУрГУ 2010
67
Составители ЛЯНЦЕВ Олег Дмитриевич КАЗАНЦЕВ Андрей Валерьевич
ИССЛЕДОВАНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК СИСТЕМ
АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
Лабораторный практикум
по дисциплине
laquoТеория управленияraquo
Подписано в печать Формат 60х84 116 Бумага офсетная Пе-
чать плоская Гарнитура Times New Roman Усл печ л 56 Уч-изд л
55 Тираж 100 экз Заказ
ФГБОУ ВПО Уфимский государственный авиационный технический
университет
Центр оперативной полиграфии УГАТУ
450000 Уфа-центр ул К Маркса 12
56
Задающее воздействие ttg 1
В процессе выполнения данной части работы необходимо
1) получить путем моделирования в MATLAB графики ty t
в системе (рис 7)
2) определить время регулирования регt и перерегулирование
а также запасы устойчивости в исходной системе
3) применяя описанный выше способ коррекции динамических
свойств САУ найти экспериментально (путем последовательного пе-
ребора) значение осK обеспечивающее в системе заданные заданием
показатели качества ( регt ) и запасы устойчивости (при необхо-
димости увеличить коэффициент регK )
4) получить графики ty t а также ЛАХ и ЛФХ разомкну-
той системы в скорректированной САУ
7 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) титульный лист
б) структурные схемы исследуемых систем
в) полученные графики и характеристики
г) значения полученные экмпериментально которые
обеспечивают заданные показатели качества и запасы устойчивости
д) выводы обощающие проделанные эксперименты для
коррекции статических и динамических свойств САУ
е) ответы на контрольные вопросы
Контрольные вопросы 1 Дать определение статической и астатической САУ
2 Какими структурными свойствами системы определяется по-
рядок ее астатизма
3 Какой из двух приведенных выше способов придания системе
свойств астатизма 1-го порядка наиболее предпочтителен на
практике
4 Назовите основные показатели качества САУ Поясните их
смысл
5 В чѐм суть исследуемого способа коррекции динамических
свойств САУ
57
6 Назвать другие способы коррекции динамических свойств
САУ
7 Чем вызваны отрицательные фазовые сдвиги в неизменяемой
части САУ
58
Лабораторная работа 6
МЕТОД КОРНЕВОГО ГОДОГРАФА
1 Цель работы
Целью работы является построение корневого годографа и ис-
следование динамики системы с использованием автоматизирован-
ных средств моделирования на ПК ndash MATLABSIMULINK
2 Задачи работы
ndash Закрепление углубление и расширение знаний студентов при
исследование динамики системы
ndash Овладение навыком построения корневого годографа
ndash Приобретение умений и навыков работы с программой мате-
матического моделирования MATLAB
3 Теоретическая часть
Корневым годографом (КГ) называется совокупность траекто-
рий перемещения всех корней характеристического уравнения за-
мкнутой системы при изменении какого-либо параметра этой систе-
мы
Обычно метод КГ позволяет находить полюса и нули ПФ за-
мкнутой системы располагая полюсами и нулями разомкнутой си-
стемы при изменении коэффициента усиления разомкнутой системы
K
ПФ разомкнутой системы Wp(s) представим в следующем виде
)(
)(
1
1
0
n
ii
m
jj
p
ss
ssKC
sW (1)
где 0js ndash нули ПФ sWp )1( mj
is ndash полюса ПФ sWp
)1( nj n и m ndash порядки знаменателя и числителя C ndash коэффици-
ент представления (отношение коэффициентов при старших членах
числителя и знаменателя)
59
При замыкании системы с ПФ sWp единичной отрицатель-
ной обратной связью ПФ замкнутой системы sWз принимает вид
)(1
)(
sW
sWsW
p
pз
(2)
Из выражения (2) следует что нули ПФ замкнутой системы рав-
ны нулям ПФ разомкнутой системы
Для нахождения полюсов рассмотри выражение
01 sWp (3)
в соответствии с выражением (1) имеем
n
i
m
jjin
ii
m
jj
ssKCss
ss
ssKC
1 1
0
1
1
0
)()(01
)(
)(
(4)
На основании выражения (4) можно сказать что при K = 0 корни
характеристического уравнения совпадают с полюсами а при K = infin ndash
с нулями При изменении K от 0 до infin траектории корней начинаются
в полюсах и заканчиваются в нулях Обычно полюсов больше чем
нулей В этом случаем mn ветвей корневого годографа стремятся к
infin
Для определения полюсов замкнутой системы с отрицательной
обратной связью необходимо решить уравнение (его называют ос-
новным уравнением метода КГ)
1sWp (5)
Так как sWp является функцией комплексного переменного
s то уравнение (5) распадается на два уравнения уравнение модулей
1)( sWp (6)
60
и уравнение аргументов (фаза вектора -1 есть нечетное число π)
210)12()(arg sWp (7)
Как известно при умножении комплексных чисел их аргументы
складываются а при делении ndash вычитаются Поэтому исходя из вы-
ражения (1) уравнение (7) имеет наглядный геометрический смысл
Пусть точка s ndash полюс замкнутой системы Если провести в s
вектора из нулей sWp (обозначим аргументы этих векторов 0j ) и
вектора из всех полюсов sWp (обозначим аргументы этих векторов
i ) то уравнение (7) можно записать в следующем виде
m
j
n
iij
1 1
0 210)12( (8)
Углы q отсчитываются от положительного направления дей-
ствительной оси Знак угла laquo+raquo соответствует повороту против часо-
вой стрелки знак угла laquo-raquo соответствует повороту по часовой стрел-
ке
Таким образом любая точка КГ должна удовлетворять уравне-
нию (8) из которого следует что конфигурация КГ не зависит от ко-
эффициента усиления K но каждому конкретному значению K одно-
значно соответствуют точки на КГ
При умножении комплексных чисел их модули перемножаются
а при делении ndash делятся Поэтому на основании (6) можно записать
1
1
1
0
n
ii
m
jj
l
lKC
(9)
где 0jl ndash модуль (длина) вектора проведенного из j-нуля в точку s
КГ il ndash модуль вектора проведенного из i-полюса в ту же точку s
61
Таким образом траектории корней строятся только по уравне-
ниям фаз а уравнение модулей используется затем для нахождения
K
Сущность метода КГ заключается в том чтобы узнать каким
должен быть коэффициент усиления разомкнутой системы чтобы
было обеспечено желаемое положение корней замкнутой системы
Корневой годограф системы с отрицательной обратной связью
обладает следующими основными свойствами
1 Ветви КГ непрерывны и расположены на комплексной плос-
кости симметрично относительно действительной оси
2 Число ветвей КГ равно порядку системы n Ветви начинают-
ся в n полюсах разомкнутой системы при K=0 При возрастании K от
0 до infin полюса замкнутой системы двигаются по ветвям КГ
3 mветвей КГ при возрастании K от 0 до infin заканчиваются в m
нулях )(sWp а )( mn ветвей при K стремящемся к infin удаляются
от полюсов вдоль асимптот
4 При расположении ветвей корневого годографа в левой полу-
плоскости s САУ устойчива При пересечении ветвей КГ мнимой оси
слева направо САУ становится неустойчивой Пусть при K=Kкр
пере-
сечение КГ с мнимой осью произойдет в некоторой точке iωкр
Назо-
вем это значение коэффициента усиления критическим Kкр
а вели-
чину iωкр
критической угловой частотой на которой система стано-
вится неустойчивой
4 Краткое описание MATLAB
Лабораторная работа выполняется в программе математического
моделирования MATLAB Программа MATLAB включает в себя пакет
прикладных программ для решения технических задач и одноименный
язык программирования используемый в этом пакете
Основными компонентами системы являются базовая система
MATLAB и пакет моделирования систем Simulink Остальные пакеты
расширения разбиты на 4 категории ndash расширения Extension MATLAB и
Extension Simulink а также комплексы пакетов расширения Blockset и
Toolbox
Раздел MATLAB Extension содержит средства для подготовки ис-
полняемых приложений MATLAB (с подключаемыми библиотеками и
без них)
62
Раздел Toolbox (инструментальные средства) содержит самое
большое число пакетов расширений системы MATLAB такие как
laquoControl systemraquo laquoDatabaseraquo laquoFuzzy logicraquo laquoWaveletraquo и тд
В разделе Blockset расположено несколько пакетов относящихся к
главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink такие как
laquoDSPraquo laquoFixed-Pointraquo laquoNonlinear control designraquo и laquoPower systemsraquo
В разделе Extension Simulink имеется ряд средств предназначен-
ных для моделирования в реальном масштабе времени и событийно-
управляемом моделировании
5 Корневой годограф в MATLAB
В системе MATLAB существует команда zpk для преобразова-
ния модели заданной ПФ в модель заданную нулями полюсами и
обобщенными коэффициентами передачи (zpk-форма)
Пример
gtgt w=tf([10][2 2 3 1 0])
Transfer function
10
-------------------------------
2 s^4 + 2 s^3 + 3 s^2 + s
gtgt w1=zpk(w)
Zeropolegain
5
----------------------------------------------
s (s+03966) (s^2 + 06034s + 1261)
Для работы с корневым годографом удобно использовать гра-
фический интерфейс laquoSISO-Design Toolraquo предназначенный для ана-
лиза и синтеза одномерных линейных систем автоматического управ-
ления (SISO ndash Single Input Signal Output)
Запуск SISO-Design Tool осуществляется командой
gtgt sisotool
63
В появившемся окне графического интерфейса необходимо ис-
пользовать команду laquoFileImportraquo для загрузки данных из рабочего
пространства MATLAB в результате которой появляется диалоговое
окно Import System Data (рис 1)
Рис 1 Диалог для ввода параметров модели
После импортирования данных можно исследовать изменение
временных и частотных характеристик замкнутой системы при изме-
нении K Обычно при этом требуется определить условия неустойчи-
вости замкнутой САУ Определить Kкр
и iωкр
На рис 2 показано окно sisotool для описанной выше модели w1
Двигая красным курсором по КГ до пересечения ветвей с мнимой
осью можно определить значения Kкр
В данном случае Kкр
asymp 01
Значение iωкр
соответствует мнимой координате пересечения КГ
мнимой оси Просмотреть это значение можно в нижней части ин-
терфейса или выбрать меню laquoView Closed-Loop Polesraquo
64
Рис 2 Основное окно SISO-Design Tool
6 Задание на лабораторную работу
Построить КГ в соответствии с вариантом из табл 1 при помо-
щи графического интерфейса sisotool
Исследовать динамику замкнутой системы при различных зна-
чениях коэффициента усиления разомкнутой системы K в том числе
ndash запасы устойчивости в частотной области
ndash параметры переходного процесса во временной области
Таблица 1
Варианты передаточных функций
Значения параметров Передаточная функция
разомкнутой системы
1 T = 01 ζ = 1
)12( 22 sTsTs
K
2 T = 005 ζ = 0707
3 T = 003 ζ = 01
4 T = 008 ζ = 05
5 T = 001 ζ = 015
65
Окончание табл 1
Значения параметров Передаточная функция
разомкнутой системы
6 T1 = 003 T2 = 05 T3 = 01 T4 = 005
)1)(1)(1(
)1(
432
1
sTsTsTs
sTK
7 T1 = 005 T2 = 04 T3 = 008 T4 = 0033
8 T1 = 02 T2 = 045 T3 = 01 T4 = 005
9 T1 = 05 T2 = 025 T3 = 01 T4 = 002
10 T1 = 01 T2 = 025 T3 = 01 T4 = 005
Вариант задания назначается преподавателем
7 Методика выполнения задания
Порядок выполнения лабораторной работы
1 Задать передаточную функцию в MATLAB в соответствии с
вариантом коэффициент K задать любым положительным числом
2 Запустить SISO-Design Tool и осуществить ввод данных
Построить КГ
3 По КГ определить значения коэффициента K когда система
будет устойчивой на границе устойчивости и неустойчива
4 Выбрать значение коэффициента K таким образом чтобы си-
стемы была устойчива и определить запас устойчивости в частотной
области и параметры переходного процесса во временной области
8 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) титульный лист
б) передаточную функцию и этапы построения КГ
в) анализ результатов построения КГ
г) выводы по проделанной работе
д) ответы на контрольные вопросы
Контрольные вопросы 1 Дать определение КГ
2 Что обычно позволяет находить метод КГ
3 В чем заключается сущность метода КГ
4 Что можно определить по КГ
66
Критерии результативности лабораторного практикума
Лабораторная работа считается выполненной если студент
ndash выполнил все указанные задания
ndash представил отчет соответствующий всем требованиям к его
содержанию и оформлению
ndash владеет терминологией и материалом лабораторной работы
ndash способен использовать программное средство математическо-
го моделирования MATLAB
ndash способен предоставить и рассказать результаты выполненной
работы на ПК
ndash может дать пояснения к отчету и ответить на контрольные
вопросы
Список литературы
1 Александров АГ Частотная теория автоматического управле-
ния учебное пособие ndash Электросталь ЭПИ МИСиС 2010
2 Борисевич АВ Теория автоматического управления элементар-
ное введение с применением MATLAB ndash СПб Изд-во Политехн ун-
та 2011
3 Федоров ВЛ Бубнов АВ Теория автоматического управления
учебное пособие ndash Омск Изд-во ОмГТУ 2010
4 Павловская ОО Чернецкая ИВ Теория автоматического
управления учебное пособие ndash Челябинск Изд-во ЮУрГУ 2010
67
Составители ЛЯНЦЕВ Олег Дмитриевич КАЗАНЦЕВ Андрей Валерьевич
ИССЛЕДОВАНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК СИСТЕМ
АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
Лабораторный практикум
по дисциплине
laquoТеория управленияraquo
Подписано в печать Формат 60х84 116 Бумага офсетная Пе-
чать плоская Гарнитура Times New Roman Усл печ л 56 Уч-изд л
55 Тираж 100 экз Заказ
ФГБОУ ВПО Уфимский государственный авиационный технический
университет
Центр оперативной полиграфии УГАТУ
450000 Уфа-центр ул К Маркса 12
57
6 Назвать другие способы коррекции динамических свойств
САУ
7 Чем вызваны отрицательные фазовые сдвиги в неизменяемой
части САУ
58
Лабораторная работа 6
МЕТОД КОРНЕВОГО ГОДОГРАФА
1 Цель работы
Целью работы является построение корневого годографа и ис-
следование динамики системы с использованием автоматизирован-
ных средств моделирования на ПК ndash MATLABSIMULINK
2 Задачи работы
ndash Закрепление углубление и расширение знаний студентов при
исследование динамики системы
ndash Овладение навыком построения корневого годографа
ndash Приобретение умений и навыков работы с программой мате-
матического моделирования MATLAB
3 Теоретическая часть
Корневым годографом (КГ) называется совокупность траекто-
рий перемещения всех корней характеристического уравнения за-
мкнутой системы при изменении какого-либо параметра этой систе-
мы
Обычно метод КГ позволяет находить полюса и нули ПФ за-
мкнутой системы располагая полюсами и нулями разомкнутой си-
стемы при изменении коэффициента усиления разомкнутой системы
K
ПФ разомкнутой системы Wp(s) представим в следующем виде
)(
)(
1
1
0
n
ii
m
jj
p
ss
ssKC
sW (1)
где 0js ndash нули ПФ sWp )1( mj
is ndash полюса ПФ sWp
)1( nj n и m ndash порядки знаменателя и числителя C ndash коэффици-
ент представления (отношение коэффициентов при старших членах
числителя и знаменателя)
59
При замыкании системы с ПФ sWp единичной отрицатель-
ной обратной связью ПФ замкнутой системы sWз принимает вид
)(1
)(
sW
sWsW
p
pз
(2)
Из выражения (2) следует что нули ПФ замкнутой системы рав-
ны нулям ПФ разомкнутой системы
Для нахождения полюсов рассмотри выражение
01 sWp (3)
в соответствии с выражением (1) имеем
n
i
m
jjin
ii
m
jj
ssKCss
ss
ssKC
1 1
0
1
1
0
)()(01
)(
)(
(4)
На основании выражения (4) можно сказать что при K = 0 корни
характеристического уравнения совпадают с полюсами а при K = infin ndash
с нулями При изменении K от 0 до infin траектории корней начинаются
в полюсах и заканчиваются в нулях Обычно полюсов больше чем
нулей В этом случаем mn ветвей корневого годографа стремятся к
infin
Для определения полюсов замкнутой системы с отрицательной
обратной связью необходимо решить уравнение (его называют ос-
новным уравнением метода КГ)
1sWp (5)
Так как sWp является функцией комплексного переменного
s то уравнение (5) распадается на два уравнения уравнение модулей
1)( sWp (6)
60
и уравнение аргументов (фаза вектора -1 есть нечетное число π)
210)12()(arg sWp (7)
Как известно при умножении комплексных чисел их аргументы
складываются а при делении ndash вычитаются Поэтому исходя из вы-
ражения (1) уравнение (7) имеет наглядный геометрический смысл
Пусть точка s ndash полюс замкнутой системы Если провести в s
вектора из нулей sWp (обозначим аргументы этих векторов 0j ) и
вектора из всех полюсов sWp (обозначим аргументы этих векторов
i ) то уравнение (7) можно записать в следующем виде
m
j
n
iij
1 1
0 210)12( (8)
Углы q отсчитываются от положительного направления дей-
ствительной оси Знак угла laquo+raquo соответствует повороту против часо-
вой стрелки знак угла laquo-raquo соответствует повороту по часовой стрел-
ке
Таким образом любая точка КГ должна удовлетворять уравне-
нию (8) из которого следует что конфигурация КГ не зависит от ко-
эффициента усиления K но каждому конкретному значению K одно-
значно соответствуют точки на КГ
При умножении комплексных чисел их модули перемножаются
а при делении ndash делятся Поэтому на основании (6) можно записать
1
1
1
0
n
ii
m
jj
l
lKC
(9)
где 0jl ndash модуль (длина) вектора проведенного из j-нуля в точку s
КГ il ndash модуль вектора проведенного из i-полюса в ту же точку s
61
Таким образом траектории корней строятся только по уравне-
ниям фаз а уравнение модулей используется затем для нахождения
K
Сущность метода КГ заключается в том чтобы узнать каким
должен быть коэффициент усиления разомкнутой системы чтобы
было обеспечено желаемое положение корней замкнутой системы
Корневой годограф системы с отрицательной обратной связью
обладает следующими основными свойствами
1 Ветви КГ непрерывны и расположены на комплексной плос-
кости симметрично относительно действительной оси
2 Число ветвей КГ равно порядку системы n Ветви начинают-
ся в n полюсах разомкнутой системы при K=0 При возрастании K от
0 до infin полюса замкнутой системы двигаются по ветвям КГ
3 mветвей КГ при возрастании K от 0 до infin заканчиваются в m
нулях )(sWp а )( mn ветвей при K стремящемся к infin удаляются
от полюсов вдоль асимптот
4 При расположении ветвей корневого годографа в левой полу-
плоскости s САУ устойчива При пересечении ветвей КГ мнимой оси
слева направо САУ становится неустойчивой Пусть при K=Kкр
пере-
сечение КГ с мнимой осью произойдет в некоторой точке iωкр
Назо-
вем это значение коэффициента усиления критическим Kкр
а вели-
чину iωкр
критической угловой частотой на которой система стано-
вится неустойчивой
4 Краткое описание MATLAB
Лабораторная работа выполняется в программе математического
моделирования MATLAB Программа MATLAB включает в себя пакет
прикладных программ для решения технических задач и одноименный
язык программирования используемый в этом пакете
Основными компонентами системы являются базовая система
MATLAB и пакет моделирования систем Simulink Остальные пакеты
расширения разбиты на 4 категории ndash расширения Extension MATLAB и
Extension Simulink а также комплексы пакетов расширения Blockset и
Toolbox
Раздел MATLAB Extension содержит средства для подготовки ис-
полняемых приложений MATLAB (с подключаемыми библиотеками и
без них)
62
Раздел Toolbox (инструментальные средства) содержит самое
большое число пакетов расширений системы MATLAB такие как
laquoControl systemraquo laquoDatabaseraquo laquoFuzzy logicraquo laquoWaveletraquo и тд
В разделе Blockset расположено несколько пакетов относящихся к
главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink такие как
laquoDSPraquo laquoFixed-Pointraquo laquoNonlinear control designraquo и laquoPower systemsraquo
В разделе Extension Simulink имеется ряд средств предназначен-
ных для моделирования в реальном масштабе времени и событийно-
управляемом моделировании
5 Корневой годограф в MATLAB
В системе MATLAB существует команда zpk для преобразова-
ния модели заданной ПФ в модель заданную нулями полюсами и
обобщенными коэффициентами передачи (zpk-форма)
Пример
gtgt w=tf([10][2 2 3 1 0])
Transfer function
10
-------------------------------
2 s^4 + 2 s^3 + 3 s^2 + s
gtgt w1=zpk(w)
Zeropolegain
5
----------------------------------------------
s (s+03966) (s^2 + 06034s + 1261)
Для работы с корневым годографом удобно использовать гра-
фический интерфейс laquoSISO-Design Toolraquo предназначенный для ана-
лиза и синтеза одномерных линейных систем автоматического управ-
ления (SISO ndash Single Input Signal Output)
Запуск SISO-Design Tool осуществляется командой
gtgt sisotool
63
В появившемся окне графического интерфейса необходимо ис-
пользовать команду laquoFileImportraquo для загрузки данных из рабочего
пространства MATLAB в результате которой появляется диалоговое
окно Import System Data (рис 1)
Рис 1 Диалог для ввода параметров модели
После импортирования данных можно исследовать изменение
временных и частотных характеристик замкнутой системы при изме-
нении K Обычно при этом требуется определить условия неустойчи-
вости замкнутой САУ Определить Kкр
и iωкр
На рис 2 показано окно sisotool для описанной выше модели w1
Двигая красным курсором по КГ до пересечения ветвей с мнимой
осью можно определить значения Kкр
В данном случае Kкр
asymp 01
Значение iωкр
соответствует мнимой координате пересечения КГ
мнимой оси Просмотреть это значение можно в нижней части ин-
терфейса или выбрать меню laquoView Closed-Loop Polesraquo
64
Рис 2 Основное окно SISO-Design Tool
6 Задание на лабораторную работу
Построить КГ в соответствии с вариантом из табл 1 при помо-
щи графического интерфейса sisotool
Исследовать динамику замкнутой системы при различных зна-
чениях коэффициента усиления разомкнутой системы K в том числе
ndash запасы устойчивости в частотной области
ndash параметры переходного процесса во временной области
Таблица 1
Варианты передаточных функций
Значения параметров Передаточная функция
разомкнутой системы
1 T = 01 ζ = 1
)12( 22 sTsTs
K
2 T = 005 ζ = 0707
3 T = 003 ζ = 01
4 T = 008 ζ = 05
5 T = 001 ζ = 015
65
Окончание табл 1
Значения параметров Передаточная функция
разомкнутой системы
6 T1 = 003 T2 = 05 T3 = 01 T4 = 005
)1)(1)(1(
)1(
432
1
sTsTsTs
sTK
7 T1 = 005 T2 = 04 T3 = 008 T4 = 0033
8 T1 = 02 T2 = 045 T3 = 01 T4 = 005
9 T1 = 05 T2 = 025 T3 = 01 T4 = 002
10 T1 = 01 T2 = 025 T3 = 01 T4 = 005
Вариант задания назначается преподавателем
7 Методика выполнения задания
Порядок выполнения лабораторной работы
1 Задать передаточную функцию в MATLAB в соответствии с
вариантом коэффициент K задать любым положительным числом
2 Запустить SISO-Design Tool и осуществить ввод данных
Построить КГ
3 По КГ определить значения коэффициента K когда система
будет устойчивой на границе устойчивости и неустойчива
4 Выбрать значение коэффициента K таким образом чтобы си-
стемы была устойчива и определить запас устойчивости в частотной
области и параметры переходного процесса во временной области
8 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) титульный лист
б) передаточную функцию и этапы построения КГ
в) анализ результатов построения КГ
г) выводы по проделанной работе
д) ответы на контрольные вопросы
Контрольные вопросы 1 Дать определение КГ
2 Что обычно позволяет находить метод КГ
3 В чем заключается сущность метода КГ
4 Что можно определить по КГ
66
Критерии результативности лабораторного практикума
Лабораторная работа считается выполненной если студент
ndash выполнил все указанные задания
ndash представил отчет соответствующий всем требованиям к его
содержанию и оформлению
ndash владеет терминологией и материалом лабораторной работы
ndash способен использовать программное средство математическо-
го моделирования MATLAB
ndash способен предоставить и рассказать результаты выполненной
работы на ПК
ndash может дать пояснения к отчету и ответить на контрольные
вопросы
Список литературы
1 Александров АГ Частотная теория автоматического управле-
ния учебное пособие ndash Электросталь ЭПИ МИСиС 2010
2 Борисевич АВ Теория автоматического управления элементар-
ное введение с применением MATLAB ndash СПб Изд-во Политехн ун-
та 2011
3 Федоров ВЛ Бубнов АВ Теория автоматического управления
учебное пособие ndash Омск Изд-во ОмГТУ 2010
4 Павловская ОО Чернецкая ИВ Теория автоматического
управления учебное пособие ndash Челябинск Изд-во ЮУрГУ 2010
67
Составители ЛЯНЦЕВ Олег Дмитриевич КАЗАНЦЕВ Андрей Валерьевич
ИССЛЕДОВАНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК СИСТЕМ
АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
Лабораторный практикум
по дисциплине
laquoТеория управленияraquo
Подписано в печать Формат 60х84 116 Бумага офсетная Пе-
чать плоская Гарнитура Times New Roman Усл печ л 56 Уч-изд л
55 Тираж 100 экз Заказ
ФГБОУ ВПО Уфимский государственный авиационный технический
университет
Центр оперативной полиграфии УГАТУ
450000 Уфа-центр ул К Маркса 12
58
Лабораторная работа 6
МЕТОД КОРНЕВОГО ГОДОГРАФА
1 Цель работы
Целью работы является построение корневого годографа и ис-
следование динамики системы с использованием автоматизирован-
ных средств моделирования на ПК ndash MATLABSIMULINK
2 Задачи работы
ndash Закрепление углубление и расширение знаний студентов при
исследование динамики системы
ndash Овладение навыком построения корневого годографа
ndash Приобретение умений и навыков работы с программой мате-
матического моделирования MATLAB
3 Теоретическая часть
Корневым годографом (КГ) называется совокупность траекто-
рий перемещения всех корней характеристического уравнения за-
мкнутой системы при изменении какого-либо параметра этой систе-
мы
Обычно метод КГ позволяет находить полюса и нули ПФ за-
мкнутой системы располагая полюсами и нулями разомкнутой си-
стемы при изменении коэффициента усиления разомкнутой системы
K
ПФ разомкнутой системы Wp(s) представим в следующем виде
)(
)(
1
1
0
n
ii
m
jj
p
ss
ssKC
sW (1)
где 0js ndash нули ПФ sWp )1( mj
is ndash полюса ПФ sWp
)1( nj n и m ndash порядки знаменателя и числителя C ndash коэффици-
ент представления (отношение коэффициентов при старших членах
числителя и знаменателя)
59
При замыкании системы с ПФ sWp единичной отрицатель-
ной обратной связью ПФ замкнутой системы sWз принимает вид
)(1
)(
sW
sWsW
p
pз
(2)
Из выражения (2) следует что нули ПФ замкнутой системы рав-
ны нулям ПФ разомкнутой системы
Для нахождения полюсов рассмотри выражение
01 sWp (3)
в соответствии с выражением (1) имеем
n
i
m
jjin
ii
m
jj
ssKCss
ss
ssKC
1 1
0
1
1
0
)()(01
)(
)(
(4)
На основании выражения (4) можно сказать что при K = 0 корни
характеристического уравнения совпадают с полюсами а при K = infin ndash
с нулями При изменении K от 0 до infin траектории корней начинаются
в полюсах и заканчиваются в нулях Обычно полюсов больше чем
нулей В этом случаем mn ветвей корневого годографа стремятся к
infin
Для определения полюсов замкнутой системы с отрицательной
обратной связью необходимо решить уравнение (его называют ос-
новным уравнением метода КГ)
1sWp (5)
Так как sWp является функцией комплексного переменного
s то уравнение (5) распадается на два уравнения уравнение модулей
1)( sWp (6)
60
и уравнение аргументов (фаза вектора -1 есть нечетное число π)
210)12()(arg sWp (7)
Как известно при умножении комплексных чисел их аргументы
складываются а при делении ndash вычитаются Поэтому исходя из вы-
ражения (1) уравнение (7) имеет наглядный геометрический смысл
Пусть точка s ndash полюс замкнутой системы Если провести в s
вектора из нулей sWp (обозначим аргументы этих векторов 0j ) и
вектора из всех полюсов sWp (обозначим аргументы этих векторов
i ) то уравнение (7) можно записать в следующем виде
m
j
n
iij
1 1
0 210)12( (8)
Углы q отсчитываются от положительного направления дей-
ствительной оси Знак угла laquo+raquo соответствует повороту против часо-
вой стрелки знак угла laquo-raquo соответствует повороту по часовой стрел-
ке
Таким образом любая точка КГ должна удовлетворять уравне-
нию (8) из которого следует что конфигурация КГ не зависит от ко-
эффициента усиления K но каждому конкретному значению K одно-
значно соответствуют точки на КГ
При умножении комплексных чисел их модули перемножаются
а при делении ndash делятся Поэтому на основании (6) можно записать
1
1
1
0
n
ii
m
jj
l
lKC
(9)
где 0jl ndash модуль (длина) вектора проведенного из j-нуля в точку s
КГ il ndash модуль вектора проведенного из i-полюса в ту же точку s
61
Таким образом траектории корней строятся только по уравне-
ниям фаз а уравнение модулей используется затем для нахождения
K
Сущность метода КГ заключается в том чтобы узнать каким
должен быть коэффициент усиления разомкнутой системы чтобы
было обеспечено желаемое положение корней замкнутой системы
Корневой годограф системы с отрицательной обратной связью
обладает следующими основными свойствами
1 Ветви КГ непрерывны и расположены на комплексной плос-
кости симметрично относительно действительной оси
2 Число ветвей КГ равно порядку системы n Ветви начинают-
ся в n полюсах разомкнутой системы при K=0 При возрастании K от
0 до infin полюса замкнутой системы двигаются по ветвям КГ
3 mветвей КГ при возрастании K от 0 до infin заканчиваются в m
нулях )(sWp а )( mn ветвей при K стремящемся к infin удаляются
от полюсов вдоль асимптот
4 При расположении ветвей корневого годографа в левой полу-
плоскости s САУ устойчива При пересечении ветвей КГ мнимой оси
слева направо САУ становится неустойчивой Пусть при K=Kкр
пере-
сечение КГ с мнимой осью произойдет в некоторой точке iωкр
Назо-
вем это значение коэффициента усиления критическим Kкр
а вели-
чину iωкр
критической угловой частотой на которой система стано-
вится неустойчивой
4 Краткое описание MATLAB
Лабораторная работа выполняется в программе математического
моделирования MATLAB Программа MATLAB включает в себя пакет
прикладных программ для решения технических задач и одноименный
язык программирования используемый в этом пакете
Основными компонентами системы являются базовая система
MATLAB и пакет моделирования систем Simulink Остальные пакеты
расширения разбиты на 4 категории ndash расширения Extension MATLAB и
Extension Simulink а также комплексы пакетов расширения Blockset и
Toolbox
Раздел MATLAB Extension содержит средства для подготовки ис-
полняемых приложений MATLAB (с подключаемыми библиотеками и
без них)
62
Раздел Toolbox (инструментальные средства) содержит самое
большое число пакетов расширений системы MATLAB такие как
laquoControl systemraquo laquoDatabaseraquo laquoFuzzy logicraquo laquoWaveletraquo и тд
В разделе Blockset расположено несколько пакетов относящихся к
главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink такие как
laquoDSPraquo laquoFixed-Pointraquo laquoNonlinear control designraquo и laquoPower systemsraquo
В разделе Extension Simulink имеется ряд средств предназначен-
ных для моделирования в реальном масштабе времени и событийно-
управляемом моделировании
5 Корневой годограф в MATLAB
В системе MATLAB существует команда zpk для преобразова-
ния модели заданной ПФ в модель заданную нулями полюсами и
обобщенными коэффициентами передачи (zpk-форма)
Пример
gtgt w=tf([10][2 2 3 1 0])
Transfer function
10
-------------------------------
2 s^4 + 2 s^3 + 3 s^2 + s
gtgt w1=zpk(w)
Zeropolegain
5
----------------------------------------------
s (s+03966) (s^2 + 06034s + 1261)
Для работы с корневым годографом удобно использовать гра-
фический интерфейс laquoSISO-Design Toolraquo предназначенный для ана-
лиза и синтеза одномерных линейных систем автоматического управ-
ления (SISO ndash Single Input Signal Output)
Запуск SISO-Design Tool осуществляется командой
gtgt sisotool
63
В появившемся окне графического интерфейса необходимо ис-
пользовать команду laquoFileImportraquo для загрузки данных из рабочего
пространства MATLAB в результате которой появляется диалоговое
окно Import System Data (рис 1)
Рис 1 Диалог для ввода параметров модели
После импортирования данных можно исследовать изменение
временных и частотных характеристик замкнутой системы при изме-
нении K Обычно при этом требуется определить условия неустойчи-
вости замкнутой САУ Определить Kкр
и iωкр
На рис 2 показано окно sisotool для описанной выше модели w1
Двигая красным курсором по КГ до пересечения ветвей с мнимой
осью можно определить значения Kкр
В данном случае Kкр
asymp 01
Значение iωкр
соответствует мнимой координате пересечения КГ
мнимой оси Просмотреть это значение можно в нижней части ин-
терфейса или выбрать меню laquoView Closed-Loop Polesraquo
64
Рис 2 Основное окно SISO-Design Tool
6 Задание на лабораторную работу
Построить КГ в соответствии с вариантом из табл 1 при помо-
щи графического интерфейса sisotool
Исследовать динамику замкнутой системы при различных зна-
чениях коэффициента усиления разомкнутой системы K в том числе
ndash запасы устойчивости в частотной области
ndash параметры переходного процесса во временной области
Таблица 1
Варианты передаточных функций
Значения параметров Передаточная функция
разомкнутой системы
1 T = 01 ζ = 1
)12( 22 sTsTs
K
2 T = 005 ζ = 0707
3 T = 003 ζ = 01
4 T = 008 ζ = 05
5 T = 001 ζ = 015
65
Окончание табл 1
Значения параметров Передаточная функция
разомкнутой системы
6 T1 = 003 T2 = 05 T3 = 01 T4 = 005
)1)(1)(1(
)1(
432
1
sTsTsTs
sTK
7 T1 = 005 T2 = 04 T3 = 008 T4 = 0033
8 T1 = 02 T2 = 045 T3 = 01 T4 = 005
9 T1 = 05 T2 = 025 T3 = 01 T4 = 002
10 T1 = 01 T2 = 025 T3 = 01 T4 = 005
Вариант задания назначается преподавателем
7 Методика выполнения задания
Порядок выполнения лабораторной работы
1 Задать передаточную функцию в MATLAB в соответствии с
вариантом коэффициент K задать любым положительным числом
2 Запустить SISO-Design Tool и осуществить ввод данных
Построить КГ
3 По КГ определить значения коэффициента K когда система
будет устойчивой на границе устойчивости и неустойчива
4 Выбрать значение коэффициента K таким образом чтобы си-
стемы была устойчива и определить запас устойчивости в частотной
области и параметры переходного процесса во временной области
8 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) титульный лист
б) передаточную функцию и этапы построения КГ
в) анализ результатов построения КГ
г) выводы по проделанной работе
д) ответы на контрольные вопросы
Контрольные вопросы 1 Дать определение КГ
2 Что обычно позволяет находить метод КГ
3 В чем заключается сущность метода КГ
4 Что можно определить по КГ
66
Критерии результативности лабораторного практикума
Лабораторная работа считается выполненной если студент
ndash выполнил все указанные задания
ndash представил отчет соответствующий всем требованиям к его
содержанию и оформлению
ndash владеет терминологией и материалом лабораторной работы
ndash способен использовать программное средство математическо-
го моделирования MATLAB
ndash способен предоставить и рассказать результаты выполненной
работы на ПК
ndash может дать пояснения к отчету и ответить на контрольные
вопросы
Список литературы
1 Александров АГ Частотная теория автоматического управле-
ния учебное пособие ndash Электросталь ЭПИ МИСиС 2010
2 Борисевич АВ Теория автоматического управления элементар-
ное введение с применением MATLAB ndash СПб Изд-во Политехн ун-
та 2011
3 Федоров ВЛ Бубнов АВ Теория автоматического управления
учебное пособие ndash Омск Изд-во ОмГТУ 2010
4 Павловская ОО Чернецкая ИВ Теория автоматического
управления учебное пособие ndash Челябинск Изд-во ЮУрГУ 2010
67
Составители ЛЯНЦЕВ Олег Дмитриевич КАЗАНЦЕВ Андрей Валерьевич
ИССЛЕДОВАНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК СИСТЕМ
АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
Лабораторный практикум
по дисциплине
laquoТеория управленияraquo
Подписано в печать Формат 60х84 116 Бумага офсетная Пе-
чать плоская Гарнитура Times New Roman Усл печ л 56 Уч-изд л
55 Тираж 100 экз Заказ
ФГБОУ ВПО Уфимский государственный авиационный технический
университет
Центр оперативной полиграфии УГАТУ
450000 Уфа-центр ул К Маркса 12
59
При замыкании системы с ПФ sWp единичной отрицатель-
ной обратной связью ПФ замкнутой системы sWз принимает вид
)(1
)(
sW
sWsW
p
pз
(2)
Из выражения (2) следует что нули ПФ замкнутой системы рав-
ны нулям ПФ разомкнутой системы
Для нахождения полюсов рассмотри выражение
01 sWp (3)
в соответствии с выражением (1) имеем
n
i
m
jjin
ii
m
jj
ssKCss
ss
ssKC
1 1
0
1
1
0
)()(01
)(
)(
(4)
На основании выражения (4) можно сказать что при K = 0 корни
характеристического уравнения совпадают с полюсами а при K = infin ndash
с нулями При изменении K от 0 до infin траектории корней начинаются
в полюсах и заканчиваются в нулях Обычно полюсов больше чем
нулей В этом случаем mn ветвей корневого годографа стремятся к
infin
Для определения полюсов замкнутой системы с отрицательной
обратной связью необходимо решить уравнение (его называют ос-
новным уравнением метода КГ)
1sWp (5)
Так как sWp является функцией комплексного переменного
s то уравнение (5) распадается на два уравнения уравнение модулей
1)( sWp (6)
60
и уравнение аргументов (фаза вектора -1 есть нечетное число π)
210)12()(arg sWp (7)
Как известно при умножении комплексных чисел их аргументы
складываются а при делении ndash вычитаются Поэтому исходя из вы-
ражения (1) уравнение (7) имеет наглядный геометрический смысл
Пусть точка s ndash полюс замкнутой системы Если провести в s
вектора из нулей sWp (обозначим аргументы этих векторов 0j ) и
вектора из всех полюсов sWp (обозначим аргументы этих векторов
i ) то уравнение (7) можно записать в следующем виде
m
j
n
iij
1 1
0 210)12( (8)
Углы q отсчитываются от положительного направления дей-
ствительной оси Знак угла laquo+raquo соответствует повороту против часо-
вой стрелки знак угла laquo-raquo соответствует повороту по часовой стрел-
ке
Таким образом любая точка КГ должна удовлетворять уравне-
нию (8) из которого следует что конфигурация КГ не зависит от ко-
эффициента усиления K но каждому конкретному значению K одно-
значно соответствуют точки на КГ
При умножении комплексных чисел их модули перемножаются
а при делении ndash делятся Поэтому на основании (6) можно записать
1
1
1
0
n
ii
m
jj
l
lKC
(9)
где 0jl ndash модуль (длина) вектора проведенного из j-нуля в точку s
КГ il ndash модуль вектора проведенного из i-полюса в ту же точку s
61
Таким образом траектории корней строятся только по уравне-
ниям фаз а уравнение модулей используется затем для нахождения
K
Сущность метода КГ заключается в том чтобы узнать каким
должен быть коэффициент усиления разомкнутой системы чтобы
было обеспечено желаемое положение корней замкнутой системы
Корневой годограф системы с отрицательной обратной связью
обладает следующими основными свойствами
1 Ветви КГ непрерывны и расположены на комплексной плос-
кости симметрично относительно действительной оси
2 Число ветвей КГ равно порядку системы n Ветви начинают-
ся в n полюсах разомкнутой системы при K=0 При возрастании K от
0 до infin полюса замкнутой системы двигаются по ветвям КГ
3 mветвей КГ при возрастании K от 0 до infin заканчиваются в m
нулях )(sWp а )( mn ветвей при K стремящемся к infin удаляются
от полюсов вдоль асимптот
4 При расположении ветвей корневого годографа в левой полу-
плоскости s САУ устойчива При пересечении ветвей КГ мнимой оси
слева направо САУ становится неустойчивой Пусть при K=Kкр
пере-
сечение КГ с мнимой осью произойдет в некоторой точке iωкр
Назо-
вем это значение коэффициента усиления критическим Kкр
а вели-
чину iωкр
критической угловой частотой на которой система стано-
вится неустойчивой
4 Краткое описание MATLAB
Лабораторная работа выполняется в программе математического
моделирования MATLAB Программа MATLAB включает в себя пакет
прикладных программ для решения технических задач и одноименный
язык программирования используемый в этом пакете
Основными компонентами системы являются базовая система
MATLAB и пакет моделирования систем Simulink Остальные пакеты
расширения разбиты на 4 категории ndash расширения Extension MATLAB и
Extension Simulink а также комплексы пакетов расширения Blockset и
Toolbox
Раздел MATLAB Extension содержит средства для подготовки ис-
полняемых приложений MATLAB (с подключаемыми библиотеками и
без них)
62
Раздел Toolbox (инструментальные средства) содержит самое
большое число пакетов расширений системы MATLAB такие как
laquoControl systemraquo laquoDatabaseraquo laquoFuzzy logicraquo laquoWaveletraquo и тд
В разделе Blockset расположено несколько пакетов относящихся к
главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink такие как
laquoDSPraquo laquoFixed-Pointraquo laquoNonlinear control designraquo и laquoPower systemsraquo
В разделе Extension Simulink имеется ряд средств предназначен-
ных для моделирования в реальном масштабе времени и событийно-
управляемом моделировании
5 Корневой годограф в MATLAB
В системе MATLAB существует команда zpk для преобразова-
ния модели заданной ПФ в модель заданную нулями полюсами и
обобщенными коэффициентами передачи (zpk-форма)
Пример
gtgt w=tf([10][2 2 3 1 0])
Transfer function
10
-------------------------------
2 s^4 + 2 s^3 + 3 s^2 + s
gtgt w1=zpk(w)
Zeropolegain
5
----------------------------------------------
s (s+03966) (s^2 + 06034s + 1261)
Для работы с корневым годографом удобно использовать гра-
фический интерфейс laquoSISO-Design Toolraquo предназначенный для ана-
лиза и синтеза одномерных линейных систем автоматического управ-
ления (SISO ndash Single Input Signal Output)
Запуск SISO-Design Tool осуществляется командой
gtgt sisotool
63
В появившемся окне графического интерфейса необходимо ис-
пользовать команду laquoFileImportraquo для загрузки данных из рабочего
пространства MATLAB в результате которой появляется диалоговое
окно Import System Data (рис 1)
Рис 1 Диалог для ввода параметров модели
После импортирования данных можно исследовать изменение
временных и частотных характеристик замкнутой системы при изме-
нении K Обычно при этом требуется определить условия неустойчи-
вости замкнутой САУ Определить Kкр
и iωкр
На рис 2 показано окно sisotool для описанной выше модели w1
Двигая красным курсором по КГ до пересечения ветвей с мнимой
осью можно определить значения Kкр
В данном случае Kкр
asymp 01
Значение iωкр
соответствует мнимой координате пересечения КГ
мнимой оси Просмотреть это значение можно в нижней части ин-
терфейса или выбрать меню laquoView Closed-Loop Polesraquo
64
Рис 2 Основное окно SISO-Design Tool
6 Задание на лабораторную работу
Построить КГ в соответствии с вариантом из табл 1 при помо-
щи графического интерфейса sisotool
Исследовать динамику замкнутой системы при различных зна-
чениях коэффициента усиления разомкнутой системы K в том числе
ndash запасы устойчивости в частотной области
ndash параметры переходного процесса во временной области
Таблица 1
Варианты передаточных функций
Значения параметров Передаточная функция
разомкнутой системы
1 T = 01 ζ = 1
)12( 22 sTsTs
K
2 T = 005 ζ = 0707
3 T = 003 ζ = 01
4 T = 008 ζ = 05
5 T = 001 ζ = 015
65
Окончание табл 1
Значения параметров Передаточная функция
разомкнутой системы
6 T1 = 003 T2 = 05 T3 = 01 T4 = 005
)1)(1)(1(
)1(
432
1
sTsTsTs
sTK
7 T1 = 005 T2 = 04 T3 = 008 T4 = 0033
8 T1 = 02 T2 = 045 T3 = 01 T4 = 005
9 T1 = 05 T2 = 025 T3 = 01 T4 = 002
10 T1 = 01 T2 = 025 T3 = 01 T4 = 005
Вариант задания назначается преподавателем
7 Методика выполнения задания
Порядок выполнения лабораторной работы
1 Задать передаточную функцию в MATLAB в соответствии с
вариантом коэффициент K задать любым положительным числом
2 Запустить SISO-Design Tool и осуществить ввод данных
Построить КГ
3 По КГ определить значения коэффициента K когда система
будет устойчивой на границе устойчивости и неустойчива
4 Выбрать значение коэффициента K таким образом чтобы си-
стемы была устойчива и определить запас устойчивости в частотной
области и параметры переходного процесса во временной области
8 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) титульный лист
б) передаточную функцию и этапы построения КГ
в) анализ результатов построения КГ
г) выводы по проделанной работе
д) ответы на контрольные вопросы
Контрольные вопросы 1 Дать определение КГ
2 Что обычно позволяет находить метод КГ
3 В чем заключается сущность метода КГ
4 Что можно определить по КГ
66
Критерии результативности лабораторного практикума
Лабораторная работа считается выполненной если студент
ndash выполнил все указанные задания
ndash представил отчет соответствующий всем требованиям к его
содержанию и оформлению
ndash владеет терминологией и материалом лабораторной работы
ndash способен использовать программное средство математическо-
го моделирования MATLAB
ndash способен предоставить и рассказать результаты выполненной
работы на ПК
ndash может дать пояснения к отчету и ответить на контрольные
вопросы
Список литературы
1 Александров АГ Частотная теория автоматического управле-
ния учебное пособие ndash Электросталь ЭПИ МИСиС 2010
2 Борисевич АВ Теория автоматического управления элементар-
ное введение с применением MATLAB ndash СПб Изд-во Политехн ун-
та 2011
3 Федоров ВЛ Бубнов АВ Теория автоматического управления
учебное пособие ndash Омск Изд-во ОмГТУ 2010
4 Павловская ОО Чернецкая ИВ Теория автоматического
управления учебное пособие ndash Челябинск Изд-во ЮУрГУ 2010
67
Составители ЛЯНЦЕВ Олег Дмитриевич КАЗАНЦЕВ Андрей Валерьевич
ИССЛЕДОВАНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК СИСТЕМ
АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
Лабораторный практикум
по дисциплине
laquoТеория управленияraquo
Подписано в печать Формат 60х84 116 Бумага офсетная Пе-
чать плоская Гарнитура Times New Roman Усл печ л 56 Уч-изд л
55 Тираж 100 экз Заказ
ФГБОУ ВПО Уфимский государственный авиационный технический
университет
Центр оперативной полиграфии УГАТУ
450000 Уфа-центр ул К Маркса 12
60
и уравнение аргументов (фаза вектора -1 есть нечетное число π)
210)12()(arg sWp (7)
Как известно при умножении комплексных чисел их аргументы
складываются а при делении ndash вычитаются Поэтому исходя из вы-
ражения (1) уравнение (7) имеет наглядный геометрический смысл
Пусть точка s ndash полюс замкнутой системы Если провести в s
вектора из нулей sWp (обозначим аргументы этих векторов 0j ) и
вектора из всех полюсов sWp (обозначим аргументы этих векторов
i ) то уравнение (7) можно записать в следующем виде
m
j
n
iij
1 1
0 210)12( (8)
Углы q отсчитываются от положительного направления дей-
ствительной оси Знак угла laquo+raquo соответствует повороту против часо-
вой стрелки знак угла laquo-raquo соответствует повороту по часовой стрел-
ке
Таким образом любая точка КГ должна удовлетворять уравне-
нию (8) из которого следует что конфигурация КГ не зависит от ко-
эффициента усиления K но каждому конкретному значению K одно-
значно соответствуют точки на КГ
При умножении комплексных чисел их модули перемножаются
а при делении ndash делятся Поэтому на основании (6) можно записать
1
1
1
0
n
ii
m
jj
l
lKC
(9)
где 0jl ndash модуль (длина) вектора проведенного из j-нуля в точку s
КГ il ndash модуль вектора проведенного из i-полюса в ту же точку s
61
Таким образом траектории корней строятся только по уравне-
ниям фаз а уравнение модулей используется затем для нахождения
K
Сущность метода КГ заключается в том чтобы узнать каким
должен быть коэффициент усиления разомкнутой системы чтобы
было обеспечено желаемое положение корней замкнутой системы
Корневой годограф системы с отрицательной обратной связью
обладает следующими основными свойствами
1 Ветви КГ непрерывны и расположены на комплексной плос-
кости симметрично относительно действительной оси
2 Число ветвей КГ равно порядку системы n Ветви начинают-
ся в n полюсах разомкнутой системы при K=0 При возрастании K от
0 до infin полюса замкнутой системы двигаются по ветвям КГ
3 mветвей КГ при возрастании K от 0 до infin заканчиваются в m
нулях )(sWp а )( mn ветвей при K стремящемся к infin удаляются
от полюсов вдоль асимптот
4 При расположении ветвей корневого годографа в левой полу-
плоскости s САУ устойчива При пересечении ветвей КГ мнимой оси
слева направо САУ становится неустойчивой Пусть при K=Kкр
пере-
сечение КГ с мнимой осью произойдет в некоторой точке iωкр
Назо-
вем это значение коэффициента усиления критическим Kкр
а вели-
чину iωкр
критической угловой частотой на которой система стано-
вится неустойчивой
4 Краткое описание MATLAB
Лабораторная работа выполняется в программе математического
моделирования MATLAB Программа MATLAB включает в себя пакет
прикладных программ для решения технических задач и одноименный
язык программирования используемый в этом пакете
Основными компонентами системы являются базовая система
MATLAB и пакет моделирования систем Simulink Остальные пакеты
расширения разбиты на 4 категории ndash расширения Extension MATLAB и
Extension Simulink а также комплексы пакетов расширения Blockset и
Toolbox
Раздел MATLAB Extension содержит средства для подготовки ис-
полняемых приложений MATLAB (с подключаемыми библиотеками и
без них)
62
Раздел Toolbox (инструментальные средства) содержит самое
большое число пакетов расширений системы MATLAB такие как
laquoControl systemraquo laquoDatabaseraquo laquoFuzzy logicraquo laquoWaveletraquo и тд
В разделе Blockset расположено несколько пакетов относящихся к
главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink такие как
laquoDSPraquo laquoFixed-Pointraquo laquoNonlinear control designraquo и laquoPower systemsraquo
В разделе Extension Simulink имеется ряд средств предназначен-
ных для моделирования в реальном масштабе времени и событийно-
управляемом моделировании
5 Корневой годограф в MATLAB
В системе MATLAB существует команда zpk для преобразова-
ния модели заданной ПФ в модель заданную нулями полюсами и
обобщенными коэффициентами передачи (zpk-форма)
Пример
gtgt w=tf([10][2 2 3 1 0])
Transfer function
10
-------------------------------
2 s^4 + 2 s^3 + 3 s^2 + s
gtgt w1=zpk(w)
Zeropolegain
5
----------------------------------------------
s (s+03966) (s^2 + 06034s + 1261)
Для работы с корневым годографом удобно использовать гра-
фический интерфейс laquoSISO-Design Toolraquo предназначенный для ана-
лиза и синтеза одномерных линейных систем автоматического управ-
ления (SISO ndash Single Input Signal Output)
Запуск SISO-Design Tool осуществляется командой
gtgt sisotool
63
В появившемся окне графического интерфейса необходимо ис-
пользовать команду laquoFileImportraquo для загрузки данных из рабочего
пространства MATLAB в результате которой появляется диалоговое
окно Import System Data (рис 1)
Рис 1 Диалог для ввода параметров модели
После импортирования данных можно исследовать изменение
временных и частотных характеристик замкнутой системы при изме-
нении K Обычно при этом требуется определить условия неустойчи-
вости замкнутой САУ Определить Kкр
и iωкр
На рис 2 показано окно sisotool для описанной выше модели w1
Двигая красным курсором по КГ до пересечения ветвей с мнимой
осью можно определить значения Kкр
В данном случае Kкр
asymp 01
Значение iωкр
соответствует мнимой координате пересечения КГ
мнимой оси Просмотреть это значение можно в нижней части ин-
терфейса или выбрать меню laquoView Closed-Loop Polesraquo
64
Рис 2 Основное окно SISO-Design Tool
6 Задание на лабораторную работу
Построить КГ в соответствии с вариантом из табл 1 при помо-
щи графического интерфейса sisotool
Исследовать динамику замкнутой системы при различных зна-
чениях коэффициента усиления разомкнутой системы K в том числе
ndash запасы устойчивости в частотной области
ndash параметры переходного процесса во временной области
Таблица 1
Варианты передаточных функций
Значения параметров Передаточная функция
разомкнутой системы
1 T = 01 ζ = 1
)12( 22 sTsTs
K
2 T = 005 ζ = 0707
3 T = 003 ζ = 01
4 T = 008 ζ = 05
5 T = 001 ζ = 015
65
Окончание табл 1
Значения параметров Передаточная функция
разомкнутой системы
6 T1 = 003 T2 = 05 T3 = 01 T4 = 005
)1)(1)(1(
)1(
432
1
sTsTsTs
sTK
7 T1 = 005 T2 = 04 T3 = 008 T4 = 0033
8 T1 = 02 T2 = 045 T3 = 01 T4 = 005
9 T1 = 05 T2 = 025 T3 = 01 T4 = 002
10 T1 = 01 T2 = 025 T3 = 01 T4 = 005
Вариант задания назначается преподавателем
7 Методика выполнения задания
Порядок выполнения лабораторной работы
1 Задать передаточную функцию в MATLAB в соответствии с
вариантом коэффициент K задать любым положительным числом
2 Запустить SISO-Design Tool и осуществить ввод данных
Построить КГ
3 По КГ определить значения коэффициента K когда система
будет устойчивой на границе устойчивости и неустойчива
4 Выбрать значение коэффициента K таким образом чтобы си-
стемы была устойчива и определить запас устойчивости в частотной
области и параметры переходного процесса во временной области
8 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) титульный лист
б) передаточную функцию и этапы построения КГ
в) анализ результатов построения КГ
г) выводы по проделанной работе
д) ответы на контрольные вопросы
Контрольные вопросы 1 Дать определение КГ
2 Что обычно позволяет находить метод КГ
3 В чем заключается сущность метода КГ
4 Что можно определить по КГ
66
Критерии результативности лабораторного практикума
Лабораторная работа считается выполненной если студент
ndash выполнил все указанные задания
ndash представил отчет соответствующий всем требованиям к его
содержанию и оформлению
ndash владеет терминологией и материалом лабораторной работы
ndash способен использовать программное средство математическо-
го моделирования MATLAB
ndash способен предоставить и рассказать результаты выполненной
работы на ПК
ndash может дать пояснения к отчету и ответить на контрольные
вопросы
Список литературы
1 Александров АГ Частотная теория автоматического управле-
ния учебное пособие ndash Электросталь ЭПИ МИСиС 2010
2 Борисевич АВ Теория автоматического управления элементар-
ное введение с применением MATLAB ndash СПб Изд-во Политехн ун-
та 2011
3 Федоров ВЛ Бубнов АВ Теория автоматического управления
учебное пособие ndash Омск Изд-во ОмГТУ 2010
4 Павловская ОО Чернецкая ИВ Теория автоматического
управления учебное пособие ndash Челябинск Изд-во ЮУрГУ 2010
67
Составители ЛЯНЦЕВ Олег Дмитриевич КАЗАНЦЕВ Андрей Валерьевич
ИССЛЕДОВАНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК СИСТЕМ
АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
Лабораторный практикум
по дисциплине
laquoТеория управленияraquo
Подписано в печать Формат 60х84 116 Бумага офсетная Пе-
чать плоская Гарнитура Times New Roman Усл печ л 56 Уч-изд л
55 Тираж 100 экз Заказ
ФГБОУ ВПО Уфимский государственный авиационный технический
университет
Центр оперативной полиграфии УГАТУ
450000 Уфа-центр ул К Маркса 12
61
Таким образом траектории корней строятся только по уравне-
ниям фаз а уравнение модулей используется затем для нахождения
K
Сущность метода КГ заключается в том чтобы узнать каким
должен быть коэффициент усиления разомкнутой системы чтобы
было обеспечено желаемое положение корней замкнутой системы
Корневой годограф системы с отрицательной обратной связью
обладает следующими основными свойствами
1 Ветви КГ непрерывны и расположены на комплексной плос-
кости симметрично относительно действительной оси
2 Число ветвей КГ равно порядку системы n Ветви начинают-
ся в n полюсах разомкнутой системы при K=0 При возрастании K от
0 до infin полюса замкнутой системы двигаются по ветвям КГ
3 mветвей КГ при возрастании K от 0 до infin заканчиваются в m
нулях )(sWp а )( mn ветвей при K стремящемся к infin удаляются
от полюсов вдоль асимптот
4 При расположении ветвей корневого годографа в левой полу-
плоскости s САУ устойчива При пересечении ветвей КГ мнимой оси
слева направо САУ становится неустойчивой Пусть при K=Kкр
пере-
сечение КГ с мнимой осью произойдет в некоторой точке iωкр
Назо-
вем это значение коэффициента усиления критическим Kкр
а вели-
чину iωкр
критической угловой частотой на которой система стано-
вится неустойчивой
4 Краткое описание MATLAB
Лабораторная работа выполняется в программе математического
моделирования MATLAB Программа MATLAB включает в себя пакет
прикладных программ для решения технических задач и одноименный
язык программирования используемый в этом пакете
Основными компонентами системы являются базовая система
MATLAB и пакет моделирования систем Simulink Остальные пакеты
расширения разбиты на 4 категории ndash расширения Extension MATLAB и
Extension Simulink а также комплексы пакетов расширения Blockset и
Toolbox
Раздел MATLAB Extension содержит средства для подготовки ис-
полняемых приложений MATLAB (с подключаемыми библиотеками и
без них)
62
Раздел Toolbox (инструментальные средства) содержит самое
большое число пакетов расширений системы MATLAB такие как
laquoControl systemraquo laquoDatabaseraquo laquoFuzzy logicraquo laquoWaveletraquo и тд
В разделе Blockset расположено несколько пакетов относящихся к
главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink такие как
laquoDSPraquo laquoFixed-Pointraquo laquoNonlinear control designraquo и laquoPower systemsraquo
В разделе Extension Simulink имеется ряд средств предназначен-
ных для моделирования в реальном масштабе времени и событийно-
управляемом моделировании
5 Корневой годограф в MATLAB
В системе MATLAB существует команда zpk для преобразова-
ния модели заданной ПФ в модель заданную нулями полюсами и
обобщенными коэффициентами передачи (zpk-форма)
Пример
gtgt w=tf([10][2 2 3 1 0])
Transfer function
10
-------------------------------
2 s^4 + 2 s^3 + 3 s^2 + s
gtgt w1=zpk(w)
Zeropolegain
5
----------------------------------------------
s (s+03966) (s^2 + 06034s + 1261)
Для работы с корневым годографом удобно использовать гра-
фический интерфейс laquoSISO-Design Toolraquo предназначенный для ана-
лиза и синтеза одномерных линейных систем автоматического управ-
ления (SISO ndash Single Input Signal Output)
Запуск SISO-Design Tool осуществляется командой
gtgt sisotool
63
В появившемся окне графического интерфейса необходимо ис-
пользовать команду laquoFileImportraquo для загрузки данных из рабочего
пространства MATLAB в результате которой появляется диалоговое
окно Import System Data (рис 1)
Рис 1 Диалог для ввода параметров модели
После импортирования данных можно исследовать изменение
временных и частотных характеристик замкнутой системы при изме-
нении K Обычно при этом требуется определить условия неустойчи-
вости замкнутой САУ Определить Kкр
и iωкр
На рис 2 показано окно sisotool для описанной выше модели w1
Двигая красным курсором по КГ до пересечения ветвей с мнимой
осью можно определить значения Kкр
В данном случае Kкр
asymp 01
Значение iωкр
соответствует мнимой координате пересечения КГ
мнимой оси Просмотреть это значение можно в нижней части ин-
терфейса или выбрать меню laquoView Closed-Loop Polesraquo
64
Рис 2 Основное окно SISO-Design Tool
6 Задание на лабораторную работу
Построить КГ в соответствии с вариантом из табл 1 при помо-
щи графического интерфейса sisotool
Исследовать динамику замкнутой системы при различных зна-
чениях коэффициента усиления разомкнутой системы K в том числе
ndash запасы устойчивости в частотной области
ndash параметры переходного процесса во временной области
Таблица 1
Варианты передаточных функций
Значения параметров Передаточная функция
разомкнутой системы
1 T = 01 ζ = 1
)12( 22 sTsTs
K
2 T = 005 ζ = 0707
3 T = 003 ζ = 01
4 T = 008 ζ = 05
5 T = 001 ζ = 015
65
Окончание табл 1
Значения параметров Передаточная функция
разомкнутой системы
6 T1 = 003 T2 = 05 T3 = 01 T4 = 005
)1)(1)(1(
)1(
432
1
sTsTsTs
sTK
7 T1 = 005 T2 = 04 T3 = 008 T4 = 0033
8 T1 = 02 T2 = 045 T3 = 01 T4 = 005
9 T1 = 05 T2 = 025 T3 = 01 T4 = 002
10 T1 = 01 T2 = 025 T3 = 01 T4 = 005
Вариант задания назначается преподавателем
7 Методика выполнения задания
Порядок выполнения лабораторной работы
1 Задать передаточную функцию в MATLAB в соответствии с
вариантом коэффициент K задать любым положительным числом
2 Запустить SISO-Design Tool и осуществить ввод данных
Построить КГ
3 По КГ определить значения коэффициента K когда система
будет устойчивой на границе устойчивости и неустойчива
4 Выбрать значение коэффициента K таким образом чтобы си-
стемы была устойчива и определить запас устойчивости в частотной
области и параметры переходного процесса во временной области
8 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) титульный лист
б) передаточную функцию и этапы построения КГ
в) анализ результатов построения КГ
г) выводы по проделанной работе
д) ответы на контрольные вопросы
Контрольные вопросы 1 Дать определение КГ
2 Что обычно позволяет находить метод КГ
3 В чем заключается сущность метода КГ
4 Что можно определить по КГ
66
Критерии результативности лабораторного практикума
Лабораторная работа считается выполненной если студент
ndash выполнил все указанные задания
ndash представил отчет соответствующий всем требованиям к его
содержанию и оформлению
ndash владеет терминологией и материалом лабораторной работы
ndash способен использовать программное средство математическо-
го моделирования MATLAB
ndash способен предоставить и рассказать результаты выполненной
работы на ПК
ndash может дать пояснения к отчету и ответить на контрольные
вопросы
Список литературы
1 Александров АГ Частотная теория автоматического управле-
ния учебное пособие ndash Электросталь ЭПИ МИСиС 2010
2 Борисевич АВ Теория автоматического управления элементар-
ное введение с применением MATLAB ndash СПб Изд-во Политехн ун-
та 2011
3 Федоров ВЛ Бубнов АВ Теория автоматического управления
учебное пособие ndash Омск Изд-во ОмГТУ 2010
4 Павловская ОО Чернецкая ИВ Теория автоматического
управления учебное пособие ndash Челябинск Изд-во ЮУрГУ 2010
67
Составители ЛЯНЦЕВ Олег Дмитриевич КАЗАНЦЕВ Андрей Валерьевич
ИССЛЕДОВАНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК СИСТЕМ
АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
Лабораторный практикум
по дисциплине
laquoТеория управленияraquo
Подписано в печать Формат 60х84 116 Бумага офсетная Пе-
чать плоская Гарнитура Times New Roman Усл печ л 56 Уч-изд л
55 Тираж 100 экз Заказ
ФГБОУ ВПО Уфимский государственный авиационный технический
университет
Центр оперативной полиграфии УГАТУ
450000 Уфа-центр ул К Маркса 12
62
Раздел Toolbox (инструментальные средства) содержит самое
большое число пакетов расширений системы MATLAB такие как
laquoControl systemraquo laquoDatabaseraquo laquoFuzzy logicraquo laquoWaveletraquo и тд
В разделе Blockset расположено несколько пакетов относящихся к
главному пакету расширения системы MATLAB-Simulink такие как
laquoDSPraquo laquoFixed-Pointraquo laquoNonlinear control designraquo и laquoPower systemsraquo
В разделе Extension Simulink имеется ряд средств предназначен-
ных для моделирования в реальном масштабе времени и событийно-
управляемом моделировании
5 Корневой годограф в MATLAB
В системе MATLAB существует команда zpk для преобразова-
ния модели заданной ПФ в модель заданную нулями полюсами и
обобщенными коэффициентами передачи (zpk-форма)
Пример
gtgt w=tf([10][2 2 3 1 0])
Transfer function
10
-------------------------------
2 s^4 + 2 s^3 + 3 s^2 + s
gtgt w1=zpk(w)
Zeropolegain
5
----------------------------------------------
s (s+03966) (s^2 + 06034s + 1261)
Для работы с корневым годографом удобно использовать гра-
фический интерфейс laquoSISO-Design Toolraquo предназначенный для ана-
лиза и синтеза одномерных линейных систем автоматического управ-
ления (SISO ndash Single Input Signal Output)
Запуск SISO-Design Tool осуществляется командой
gtgt sisotool
63
В появившемся окне графического интерфейса необходимо ис-
пользовать команду laquoFileImportraquo для загрузки данных из рабочего
пространства MATLAB в результате которой появляется диалоговое
окно Import System Data (рис 1)
Рис 1 Диалог для ввода параметров модели
После импортирования данных можно исследовать изменение
временных и частотных характеристик замкнутой системы при изме-
нении K Обычно при этом требуется определить условия неустойчи-
вости замкнутой САУ Определить Kкр
и iωкр
На рис 2 показано окно sisotool для описанной выше модели w1
Двигая красным курсором по КГ до пересечения ветвей с мнимой
осью можно определить значения Kкр
В данном случае Kкр
asymp 01
Значение iωкр
соответствует мнимой координате пересечения КГ
мнимой оси Просмотреть это значение можно в нижней части ин-
терфейса или выбрать меню laquoView Closed-Loop Polesraquo
64
Рис 2 Основное окно SISO-Design Tool
6 Задание на лабораторную работу
Построить КГ в соответствии с вариантом из табл 1 при помо-
щи графического интерфейса sisotool
Исследовать динамику замкнутой системы при различных зна-
чениях коэффициента усиления разомкнутой системы K в том числе
ndash запасы устойчивости в частотной области
ndash параметры переходного процесса во временной области
Таблица 1
Варианты передаточных функций
Значения параметров Передаточная функция
разомкнутой системы
1 T = 01 ζ = 1
)12( 22 sTsTs
K
2 T = 005 ζ = 0707
3 T = 003 ζ = 01
4 T = 008 ζ = 05
5 T = 001 ζ = 015
65
Окончание табл 1
Значения параметров Передаточная функция
разомкнутой системы
6 T1 = 003 T2 = 05 T3 = 01 T4 = 005
)1)(1)(1(
)1(
432
1
sTsTsTs
sTK
7 T1 = 005 T2 = 04 T3 = 008 T4 = 0033
8 T1 = 02 T2 = 045 T3 = 01 T4 = 005
9 T1 = 05 T2 = 025 T3 = 01 T4 = 002
10 T1 = 01 T2 = 025 T3 = 01 T4 = 005
Вариант задания назначается преподавателем
7 Методика выполнения задания
Порядок выполнения лабораторной работы
1 Задать передаточную функцию в MATLAB в соответствии с
вариантом коэффициент K задать любым положительным числом
2 Запустить SISO-Design Tool и осуществить ввод данных
Построить КГ
3 По КГ определить значения коэффициента K когда система
будет устойчивой на границе устойчивости и неустойчива
4 Выбрать значение коэффициента K таким образом чтобы си-
стемы была устойчива и определить запас устойчивости в частотной
области и параметры переходного процесса во временной области
8 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) титульный лист
б) передаточную функцию и этапы построения КГ
в) анализ результатов построения КГ
г) выводы по проделанной работе
д) ответы на контрольные вопросы
Контрольные вопросы 1 Дать определение КГ
2 Что обычно позволяет находить метод КГ
3 В чем заключается сущность метода КГ
4 Что можно определить по КГ
66
Критерии результативности лабораторного практикума
Лабораторная работа считается выполненной если студент
ndash выполнил все указанные задания
ndash представил отчет соответствующий всем требованиям к его
содержанию и оформлению
ndash владеет терминологией и материалом лабораторной работы
ndash способен использовать программное средство математическо-
го моделирования MATLAB
ndash способен предоставить и рассказать результаты выполненной
работы на ПК
ndash может дать пояснения к отчету и ответить на контрольные
вопросы
Список литературы
1 Александров АГ Частотная теория автоматического управле-
ния учебное пособие ndash Электросталь ЭПИ МИСиС 2010
2 Борисевич АВ Теория автоматического управления элементар-
ное введение с применением MATLAB ndash СПб Изд-во Политехн ун-
та 2011
3 Федоров ВЛ Бубнов АВ Теория автоматического управления
учебное пособие ndash Омск Изд-во ОмГТУ 2010
4 Павловская ОО Чернецкая ИВ Теория автоматического
управления учебное пособие ndash Челябинск Изд-во ЮУрГУ 2010
67
Составители ЛЯНЦЕВ Олег Дмитриевич КАЗАНЦЕВ Андрей Валерьевич
ИССЛЕДОВАНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК СИСТЕМ
АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
Лабораторный практикум
по дисциплине
laquoТеория управленияraquo
Подписано в печать Формат 60х84 116 Бумага офсетная Пе-
чать плоская Гарнитура Times New Roman Усл печ л 56 Уч-изд л
55 Тираж 100 экз Заказ
ФГБОУ ВПО Уфимский государственный авиационный технический
университет
Центр оперативной полиграфии УГАТУ
450000 Уфа-центр ул К Маркса 12
63
В появившемся окне графического интерфейса необходимо ис-
пользовать команду laquoFileImportraquo для загрузки данных из рабочего
пространства MATLAB в результате которой появляется диалоговое
окно Import System Data (рис 1)
Рис 1 Диалог для ввода параметров модели
После импортирования данных можно исследовать изменение
временных и частотных характеристик замкнутой системы при изме-
нении K Обычно при этом требуется определить условия неустойчи-
вости замкнутой САУ Определить Kкр
и iωкр
На рис 2 показано окно sisotool для описанной выше модели w1
Двигая красным курсором по КГ до пересечения ветвей с мнимой
осью можно определить значения Kкр
В данном случае Kкр
asymp 01
Значение iωкр
соответствует мнимой координате пересечения КГ
мнимой оси Просмотреть это значение можно в нижней части ин-
терфейса или выбрать меню laquoView Closed-Loop Polesraquo
64
Рис 2 Основное окно SISO-Design Tool
6 Задание на лабораторную работу
Построить КГ в соответствии с вариантом из табл 1 при помо-
щи графического интерфейса sisotool
Исследовать динамику замкнутой системы при различных зна-
чениях коэффициента усиления разомкнутой системы K в том числе
ndash запасы устойчивости в частотной области
ndash параметры переходного процесса во временной области
Таблица 1
Варианты передаточных функций
Значения параметров Передаточная функция
разомкнутой системы
1 T = 01 ζ = 1
)12( 22 sTsTs
K
2 T = 005 ζ = 0707
3 T = 003 ζ = 01
4 T = 008 ζ = 05
5 T = 001 ζ = 015
65
Окончание табл 1
Значения параметров Передаточная функция
разомкнутой системы
6 T1 = 003 T2 = 05 T3 = 01 T4 = 005
)1)(1)(1(
)1(
432
1
sTsTsTs
sTK
7 T1 = 005 T2 = 04 T3 = 008 T4 = 0033
8 T1 = 02 T2 = 045 T3 = 01 T4 = 005
9 T1 = 05 T2 = 025 T3 = 01 T4 = 002
10 T1 = 01 T2 = 025 T3 = 01 T4 = 005
Вариант задания назначается преподавателем
7 Методика выполнения задания
Порядок выполнения лабораторной работы
1 Задать передаточную функцию в MATLAB в соответствии с
вариантом коэффициент K задать любым положительным числом
2 Запустить SISO-Design Tool и осуществить ввод данных
Построить КГ
3 По КГ определить значения коэффициента K когда система
будет устойчивой на границе устойчивости и неустойчива
4 Выбрать значение коэффициента K таким образом чтобы си-
стемы была устойчива и определить запас устойчивости в частотной
области и параметры переходного процесса во временной области
8 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) титульный лист
б) передаточную функцию и этапы построения КГ
в) анализ результатов построения КГ
г) выводы по проделанной работе
д) ответы на контрольные вопросы
Контрольные вопросы 1 Дать определение КГ
2 Что обычно позволяет находить метод КГ
3 В чем заключается сущность метода КГ
4 Что можно определить по КГ
66
Критерии результативности лабораторного практикума
Лабораторная работа считается выполненной если студент
ndash выполнил все указанные задания
ndash представил отчет соответствующий всем требованиям к его
содержанию и оформлению
ndash владеет терминологией и материалом лабораторной работы
ndash способен использовать программное средство математическо-
го моделирования MATLAB
ndash способен предоставить и рассказать результаты выполненной
работы на ПК
ndash может дать пояснения к отчету и ответить на контрольные
вопросы
Список литературы
1 Александров АГ Частотная теория автоматического управле-
ния учебное пособие ndash Электросталь ЭПИ МИСиС 2010
2 Борисевич АВ Теория автоматического управления элементар-
ное введение с применением MATLAB ndash СПб Изд-во Политехн ун-
та 2011
3 Федоров ВЛ Бубнов АВ Теория автоматического управления
учебное пособие ndash Омск Изд-во ОмГТУ 2010
4 Павловская ОО Чернецкая ИВ Теория автоматического
управления учебное пособие ndash Челябинск Изд-во ЮУрГУ 2010
67
Составители ЛЯНЦЕВ Олег Дмитриевич КАЗАНЦЕВ Андрей Валерьевич
ИССЛЕДОВАНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК СИСТЕМ
АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
Лабораторный практикум
по дисциплине
laquoТеория управленияraquo
Подписано в печать Формат 60х84 116 Бумага офсетная Пе-
чать плоская Гарнитура Times New Roman Усл печ л 56 Уч-изд л
55 Тираж 100 экз Заказ
ФГБОУ ВПО Уфимский государственный авиационный технический
университет
Центр оперативной полиграфии УГАТУ
450000 Уфа-центр ул К Маркса 12
64
Рис 2 Основное окно SISO-Design Tool
6 Задание на лабораторную работу
Построить КГ в соответствии с вариантом из табл 1 при помо-
щи графического интерфейса sisotool
Исследовать динамику замкнутой системы при различных зна-
чениях коэффициента усиления разомкнутой системы K в том числе
ndash запасы устойчивости в частотной области
ndash параметры переходного процесса во временной области
Таблица 1
Варианты передаточных функций
Значения параметров Передаточная функция
разомкнутой системы
1 T = 01 ζ = 1
)12( 22 sTsTs
K
2 T = 005 ζ = 0707
3 T = 003 ζ = 01
4 T = 008 ζ = 05
5 T = 001 ζ = 015
65
Окончание табл 1
Значения параметров Передаточная функция
разомкнутой системы
6 T1 = 003 T2 = 05 T3 = 01 T4 = 005
)1)(1)(1(
)1(
432
1
sTsTsTs
sTK
7 T1 = 005 T2 = 04 T3 = 008 T4 = 0033
8 T1 = 02 T2 = 045 T3 = 01 T4 = 005
9 T1 = 05 T2 = 025 T3 = 01 T4 = 002
10 T1 = 01 T2 = 025 T3 = 01 T4 = 005
Вариант задания назначается преподавателем
7 Методика выполнения задания
Порядок выполнения лабораторной работы
1 Задать передаточную функцию в MATLAB в соответствии с
вариантом коэффициент K задать любым положительным числом
2 Запустить SISO-Design Tool и осуществить ввод данных
Построить КГ
3 По КГ определить значения коэффициента K когда система
будет устойчивой на границе устойчивости и неустойчива
4 Выбрать значение коэффициента K таким образом чтобы си-
стемы была устойчива и определить запас устойчивости в частотной
области и параметры переходного процесса во временной области
8 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) титульный лист
б) передаточную функцию и этапы построения КГ
в) анализ результатов построения КГ
г) выводы по проделанной работе
д) ответы на контрольные вопросы
Контрольные вопросы 1 Дать определение КГ
2 Что обычно позволяет находить метод КГ
3 В чем заключается сущность метода КГ
4 Что можно определить по КГ
66
Критерии результативности лабораторного практикума
Лабораторная работа считается выполненной если студент
ndash выполнил все указанные задания
ndash представил отчет соответствующий всем требованиям к его
содержанию и оформлению
ndash владеет терминологией и материалом лабораторной работы
ndash способен использовать программное средство математическо-
го моделирования MATLAB
ndash способен предоставить и рассказать результаты выполненной
работы на ПК
ndash может дать пояснения к отчету и ответить на контрольные
вопросы
Список литературы
1 Александров АГ Частотная теория автоматического управле-
ния учебное пособие ndash Электросталь ЭПИ МИСиС 2010
2 Борисевич АВ Теория автоматического управления элементар-
ное введение с применением MATLAB ndash СПб Изд-во Политехн ун-
та 2011
3 Федоров ВЛ Бубнов АВ Теория автоматического управления
учебное пособие ndash Омск Изд-во ОмГТУ 2010
4 Павловская ОО Чернецкая ИВ Теория автоматического
управления учебное пособие ndash Челябинск Изд-во ЮУрГУ 2010
67
Составители ЛЯНЦЕВ Олег Дмитриевич КАЗАНЦЕВ Андрей Валерьевич
ИССЛЕДОВАНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК СИСТЕМ
АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
Лабораторный практикум
по дисциплине
laquoТеория управленияraquo
Подписано в печать Формат 60х84 116 Бумага офсетная Пе-
чать плоская Гарнитура Times New Roman Усл печ л 56 Уч-изд л
55 Тираж 100 экз Заказ
ФГБОУ ВПО Уфимский государственный авиационный технический
университет
Центр оперативной полиграфии УГАТУ
450000 Уфа-центр ул К Маркса 12
65
Окончание табл 1
Значения параметров Передаточная функция
разомкнутой системы
6 T1 = 003 T2 = 05 T3 = 01 T4 = 005
)1)(1)(1(
)1(
432
1
sTsTsTs
sTK
7 T1 = 005 T2 = 04 T3 = 008 T4 = 0033
8 T1 = 02 T2 = 045 T3 = 01 T4 = 005
9 T1 = 05 T2 = 025 T3 = 01 T4 = 002
10 T1 = 01 T2 = 025 T3 = 01 T4 = 005
Вариант задания назначается преподавателем
7 Методика выполнения задания
Порядок выполнения лабораторной работы
1 Задать передаточную функцию в MATLAB в соответствии с
вариантом коэффициент K задать любым положительным числом
2 Запустить SISO-Design Tool и осуществить ввод данных
Построить КГ
3 По КГ определить значения коэффициента K когда система
будет устойчивой на границе устойчивости и неустойчива
4 Выбрать значение коэффициента K таким образом чтобы си-
стемы была устойчива и определить запас устойчивости в частотной
области и параметры переходного процесса во временной области
8 Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать
а) титульный лист
б) передаточную функцию и этапы построения КГ
в) анализ результатов построения КГ
г) выводы по проделанной работе
д) ответы на контрольные вопросы
Контрольные вопросы 1 Дать определение КГ
2 Что обычно позволяет находить метод КГ
3 В чем заключается сущность метода КГ
4 Что можно определить по КГ
66
Критерии результативности лабораторного практикума
Лабораторная работа считается выполненной если студент
ndash выполнил все указанные задания
ndash представил отчет соответствующий всем требованиям к его
содержанию и оформлению
ndash владеет терминологией и материалом лабораторной работы
ndash способен использовать программное средство математическо-
го моделирования MATLAB
ndash способен предоставить и рассказать результаты выполненной
работы на ПК
ndash может дать пояснения к отчету и ответить на контрольные
вопросы
Список литературы
1 Александров АГ Частотная теория автоматического управле-
ния учебное пособие ndash Электросталь ЭПИ МИСиС 2010
2 Борисевич АВ Теория автоматического управления элементар-
ное введение с применением MATLAB ndash СПб Изд-во Политехн ун-
та 2011
3 Федоров ВЛ Бубнов АВ Теория автоматического управления
учебное пособие ndash Омск Изд-во ОмГТУ 2010
4 Павловская ОО Чернецкая ИВ Теория автоматического
управления учебное пособие ndash Челябинск Изд-во ЮУрГУ 2010
67
Составители ЛЯНЦЕВ Олег Дмитриевич КАЗАНЦЕВ Андрей Валерьевич
ИССЛЕДОВАНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК СИСТЕМ
АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
Лабораторный практикум
по дисциплине
laquoТеория управленияraquo
Подписано в печать Формат 60х84 116 Бумага офсетная Пе-
чать плоская Гарнитура Times New Roman Усл печ л 56 Уч-изд л
55 Тираж 100 экз Заказ
ФГБОУ ВПО Уфимский государственный авиационный технический
университет
Центр оперативной полиграфии УГАТУ
450000 Уфа-центр ул К Маркса 12
66
Критерии результативности лабораторного практикума
Лабораторная работа считается выполненной если студент
ndash выполнил все указанные задания
ndash представил отчет соответствующий всем требованиям к его
содержанию и оформлению
ndash владеет терминологией и материалом лабораторной работы
ndash способен использовать программное средство математическо-
го моделирования MATLAB
ndash способен предоставить и рассказать результаты выполненной
работы на ПК
ndash может дать пояснения к отчету и ответить на контрольные
вопросы
Список литературы
1 Александров АГ Частотная теория автоматического управле-
ния учебное пособие ndash Электросталь ЭПИ МИСиС 2010
2 Борисевич АВ Теория автоматического управления элементар-
ное введение с применением MATLAB ndash СПб Изд-во Политехн ун-
та 2011
3 Федоров ВЛ Бубнов АВ Теория автоматического управления
учебное пособие ndash Омск Изд-во ОмГТУ 2010
4 Павловская ОО Чернецкая ИВ Теория автоматического
управления учебное пособие ndash Челябинск Изд-во ЮУрГУ 2010
67
Составители ЛЯНЦЕВ Олег Дмитриевич КАЗАНЦЕВ Андрей Валерьевич
ИССЛЕДОВАНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК СИСТЕМ
АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
Лабораторный практикум
по дисциплине
laquoТеория управленияraquo
Подписано в печать Формат 60х84 116 Бумага офсетная Пе-
чать плоская Гарнитура Times New Roman Усл печ л 56 Уч-изд л
55 Тираж 100 экз Заказ
ФГБОУ ВПО Уфимский государственный авиационный технический
университет
Центр оперативной полиграфии УГАТУ
450000 Уфа-центр ул К Маркса 12
67
Составители ЛЯНЦЕВ Олег Дмитриевич КАЗАНЦЕВ Андрей Валерьевич
ИССЛЕДОВАНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК СИСТЕМ
АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
Лабораторный практикум
по дисциплине
laquoТеория управленияraquo
Подписано в печать Формат 60х84 116 Бумага офсетная Пе-
чать плоская Гарнитура Times New Roman Усл печ л 56 Уч-изд л
55 Тираж 100 экз Заказ
ФГБОУ ВПО Уфимский государственный авиационный технический
университет
Центр оперативной полиграфии УГАТУ
450000 Уфа-центр ул К Маркса 12