ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ - mathb∞ksgr · PDF file2 ΚΕΦ. 1.- ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ µπορούµε όµως να γνωρίζουµε

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

1.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ

Η έννοια του πειράµατος είναι µια βασική έννοια σε πολλές

εφαρµοσµένες επιστήµες. Υπάρχουν δύο ειδών πειράµατα: τα

προσδιοριστικά (deterministic) και τα τυχαία (random).

Το αποτέλεσµα ενός προσδιοριστικού πειράµατος είναι τελείως

προβλέψιµο. Για παράδειγµα αν σε ένα σώµα µάζης m εφαρµόσουµε µια

δύναµη F, τότε, κάτω από κατάλληλες συνθήκες, το σώµα θα αποκτήσει

επιτάχυνση γ η οποία δίνεται από την σχέση γ=F/m. Επίσης, αν ενώσουµε

δύο µόρια υδρογόνου µε ένα µόριο οξυγόνου, τότε το αποτέλεσµα θα είναι

ένα µόριο νερού.

Σε αντίθεση µε τα προσδιοριστικά πειράµατα, το αποτέλεσµα σε ένα

πείραµα τύχης δεν είναι τελείως προβλέψιµο. Ας θεωρήσουµε το πείραµα

της ρίψης ενός νοµίσµατος µια φορά. Αυτό για το οποίο µπορεί να είµαστε

βέβαιοι είναι ότι το αποτέλεσµα θα είναι κορώνα ή γράµµατα. ∆εν

ΚΕΦ. 1.- ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 2

µπορούµε όµως να γνωρίζουµε εκ των προτέρων το αποτέλεσµα για την

συγκεκριµένη ρίψη.

Τα πειράµατα τύχης µπορούν να χωρισθούν σε δύο κατηγορίες: τα απλά

(simple) και τα σύνθετα (compound). Απλό είναι π.χ. το πείραµα του

στριψίµατος ενός νοµίσµατος ή το πείραµα της ρίψης ενός ζαριού. Σύνθετο

είναι π.χ. το πείραµα της ρίψης δύο ζαριών ή της ρίψης ενός ζαριού δύο

φορές.

Τα σύνθετα πειράµατα τα διακρίνουµε σε ανεξάρτητα (independent) και

σε µη ανεξάρτητα ή εξαρτηµένα (non-independent ή dependent). ∆ύο

πειράµατα λέγονται ανεξάρτητα αν το αποτέλεσµα του ενός πειράµατος δεν

εξαρτάται από το αποτέλεσµα του άλλου πειράµατος. Ένα παράδειγµα

ανεξάρτητων πειραµάτων είναι η ταυτόχρονη ρίψη δύο νοµισµάτων µια

φορά (ή ισοδύναµα, η ρίψη ενός νοµίσµατος δύο φορές). ∆ύο µη

ανεξάρτητα πειράµατα λέγονται εξαρτηµένα. Σαν ένα παράδειγµα µη

ανεξάρτητων πειραµάτων τύχης ας θεωρήσουµε το εξής. Στρίβουµε ένα

νόµισµα. Αν το αποτέλεσµα είναι κορώνα, τότε ρίχνουµε ένα ζάρι. Αν το

αποτέλεσµα είναι γράµµατα, τότε στρίβουµε ένα νόµισµα. Οι παραπάνω

έννοιες µπορούν εύκολα να γενικευθούν για περισσότερα από δύο

πειράµατα τύχης.

Το αντικείµενο της θεωρίας των πιθανοτήτων είναι η “περιγραφή” ενός

πειράµατος τύχης. Η έννοια “περιγραφή” θα γίνει κατανοητή στην συνέχεια.

1.2 ∆ΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ ΚΑΙ ΕΝ∆ΕΧΟΜΕΝΑ 3

1.2 ∆ΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ ΚΑΙ

ΕΝ∆ΕΧΟΜΕΝΑ

Βασικό ρόλο στην περιγραφή ενός πειράµατος τύχης παίζουν οι έννοιες

του δειγµατικού χώρου (sample space) και του ενδεχοµένου (event).

Ορισµός 1.1 Ο δειγµατικός χώρος ενός πειράµατος τύχης είναι το

σύνολο των δυνατών αποτελεσµάτων του πειράµατος.

Για παράδειγµα στο πείραµα της ρίψης ενός νοµίσµατος µια φορά, τα

δυνατά αποτελέσµατα είναι: Κορώνα (Κ) και Γράµµατα (Γ). Επίσης στο

πείραµα της ρίψης ενός ζαριού, µια φορά, τα δυνατά αποτελέσµατα είναι οι

αριθµοί 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Θα συµβολίζουµε τον δειγµατικό χώρο µε το Ελληνικό γράµµα Ω. Έτσι

για τα δύο προηγούµενα πειράµατα θα έχουµε, αντίστοιχα, ότι Ω=Κ, Γ και

Ω=1, 2, 3, 4, 5, 6

Ορισµός 1.2 Ένα υποσύνολο του δειγµατικού χώρου ονοµάζεται

ενδεχόµενο.

Συνήθως συµβολίζουµε τα ενδεχόµενο µε ένα από τα πρώτα γράµµατα

της αλφαβήτου, π.χ. Α, Β, Γ κ.λ.π. Προφανώς για ένα ενδεχόµενο Α ισχύει

Α⊆Ω. (Το σύµβολο ⊆ δηλώνει την σχέση του υποσυνόλου).


Σύµφωνα µε τον ορισµό αυτό το Α=αριθµός άρτιος είναι ένα υποσύνολο

του δειγµατικού χώρου του πειράµατος της ρίψης ενός ζαριού. Τα στοιχεία

του ενδεχοµένου αυτού είναι οι αριθµοί 2, 4, 6, δηλαδή Α=2, 4, 6.

Το ενδεχόµενο εκείνο το οποίο περιλαµβάνει ένα µόνο στοιχείο του

δειγµατικού χώρου ονοµάζεται στοιχειώδες ενδεχόµενο (elementary event)

ή απλά αποτέλεσµα (points).

Έτσι στο πείραµα της ρίψης ενός ζαριού µια φορά το ενδεχόµενο Α=1

είναι ένα στοιχειώδες ενδεχόµενο ή αποτέλεσµα. (Είναι απλώς ένα στοιχείο

του δειγµατικού χώρου Ω).

Ορισµός 1.3 Θα λέµε ότι ένα ενδεχόµενο Α⊆Ω πραγµατοποιείται,

εάν, σε µια εκτέλεση του πειράµατος τύχης, εµφανισθεί ένα

οποιοδήποτε από τα στοιχεία του.

Παράδειγµα 1.1 Θεωρούµε ότι έχουµε ένα “γνήσιο” νόµισµα το οποίο

στρίβουµε δύο φορές. (Το πείραµα αυτό είναι ένα σύνθετο πείραµα τύχης.

Το ένα πείραµα είναι το στρίψιµο του νοµίσµατος µία φορά, ενώ το άλλο

πείραµα είναι το στρίψιµο του νοµίσµατος δεύτερη φορά. Προφανώς τα δύο

πειράµατα είναι ανεξάρτητα). Για να βρούµε τον δειγµατικό χώρο του

πειράµατος αυτού θα πρέπει να συνδυάσουµε το αποτέλεσµα του 1ου

στριψίµατος του νοµίσµατος µε αυτό του 2ου στριψίµατος. Έτσι αν π.χ. µε

(Κ, Γ) συµβολίσουµε το αποτέλεσµα, το πρώτο στρίψιµο να είναι κορώνα

(Κ) και το 2ο στρίψιµο να είναι γράµµατα (Γ), τότε ο δειγµατικός χώρος του

πειράµατος αυτού θα είναι ο

Ω=(Κ, Κ), (Κ, Γ), (Γ, Κ), (Γ, Γ).


Ερώτηση: Ποιος θα είναι ο δειγµατικός χώρος του πειράµατος αν αντί για

ένα γνήσιο νόµισµα στρίψουµε δύο γνήσια νοµίσµατα µια φορά το καθ’ ένα;

♦

Παράδειγµα 1.2 Ας υποθέσουµε ότι έχουµε δύο γνήσια ζάρια τα οποία

ρίχνουµε µια φορά το καθ΄ ένα. (Το πείραµα αυτό είναι ένα σύνθετο

πείραµα τύχης. Το ένα πείραµα είναι η ρίψη του 1ου ζαριού, ενώ το άλλο

πείραµα είναι η ρίψη του 2ου ζαριού. Προφανώς τα δύο πειράµατα είναι

ανεξάρτητα). Για να βρούµε τον δειγµατικό χώρο του πειράµατος αυτού

σκεφτόµαστε ως εξής. Όπως αναφέρθηκε και προηγουµένως, ο

δειγµατικός χώρος του πρώτου ζαριού θα είναι ο Ω1=1, 2, 3, 4, 5, 6 ενώ

για το δεύτερο ζάρι ο Ω2=1, 2, 3, 4, 5, 6. Συνεπώς ο δειγµατικός χώρος

του πειράµατος θα είναι το Καρτεσιανό γινόµενο Ω=Ω1xΩ2. Τα 36 σηµεία

του χώρου αυτού είναι τα επόµενα:

Ω =

(1, 1) (1, 2) (1, 3) (1, 4) (1, 5) (1, 6)(2, 1) (2, 2) (2, 3) (2, 4) (2, 5) (2, 6)(3, 1) (3, 2) (3, 3) (3, 4) (3, 5) (3, 6)(4, 1) (4, 2) (4, 3) (4, 4) (4, 5) (4, 6)(5, 1) (5, 2) (5, 3) (5, 4) (5, 5) (5, 6)(6, 1) (6, 2) (6, 3)

(6, 4) (6, 5) (6, 6)

όπου το στοιχείο (I, j) συµβολίζει το i αποτέλεσµα του πρώτου ζαριού και το

j αποτέλεσµα του δεύτερου ζαριού. (i , j=1, 2, 3, 4, 5, 6).

Ερώτηση: Ποιος θα είναι ο δειγµατικός χώρος του πειράµατος αν αντί για

δύο γνήσια ζάρια ρίξουµε ένα γνήσιο ζάρι δύο φορές;

♦

Παράδειγµα 1.3 Ας θεωρήσουµε τώρα το εξής πείραµα. Στρίβουµε ένα

γνήσιο νόµισµα. Αν το αποτέλεσµα είναι κορώνα (Κ), τότε ρίχνουµε ένα


γνήσιο ζάρι. Αν το αποτέλεσµα είναι γράµµατα (Γ), τότε στρίβουµε πάλι το

νόµισµα. Να δοθεί ο δειγµατικός χώρος του πειράµατος αυτού.

Το πείραµα αυτό είναι ένα σύνθετο πείραµα τύχης. Το ένα πείραµα είναι το

στρίψιµο ενός νοµίσµατος µία φορά, ενώ το άλλο πείραµα είναι η ρίψη ενός

ζαριού µια φορά. Επειδή η ρίψη ή µη του ζαριού εξαρτάτε από το

αποτέλεσµα του στριψίµατος του νοµίσµατος τα δύο πειράµατα δεν είναι

ανεξάρτητα. Όπως και στα δύο προηγούµενα παραδείγµατα έτσι και τώρα

ο δειγµατικός χώρος του πειράµατος θα βρεθεί από τον κατάλληλο

συνδυασµό των δειγµατικών χώρων των δύο επιµέρους πειραµάτων. Ο

δειγµατικός χώρος του στριψίµατος ενός νοµίσµατος µια φορά είναι ο

ΩΝ=Κ, Γ, ενώ ο δειγµατικός χώρος της ρίψης ενός νοµίσµατος µια φορά

είναι ο ΩΖ=1, 2, 3, 4, 5, 6.

Ο ζητούµενος δειγµατικός χώρος Ω θα είναι, σύµφωνα µε την εκφώνηση

του προβλήµατος, ο Ω=(Κ, 1), (Κ, 2), (Κ, 3), (Κ, 4), (Κ, 5), (Κ, 6), (Γ, Κ),

(Γ, Γ)

♦

Παράδειγµα 1.4. Στην συνέχεια θα αναφερθούµε σε πειράµατα τύχης τα

οποία µπορούν να περιγραφούν µε το σχήµα ’µπάλα’ και ’δοχείο’. Σαν µια

εφαρµογή αυτού ας θεωρήσουµε ότι έχουµε τρεις διακεκριµένες µπάλες και

τρία διακεκριµένα δοχεία (ή κελιά ή κυψελίδες). (Θα λέµε ότι δύο ή

περισσότερα αντικείµενα είναι διακεκριµένα εάν τα αντικείµενα αυτά

µπορούν να διακριθούν µεταξύ τους, δηλαδή δεν είναι ταυτόσηµα). Το

πείραµα τύχης συνίσταται στο να ρίξουµε τις τρεις µπάλες και να

καταγράψουµε την θέση της κάθε µιας σε σχέση µε τα τρία δοχεία. Ζητάµε

τα σηµεία του δειγµατικού χώρου του πειράµατος αυτού. Με άλλα λόγια


ζητάµε την κατανοµή των τριών µπαλών στα τρία δοχεία. Αν συµβολίσουµε

µε α, β, γ τις τρεις διακεκριµένες µπάλες και µε Α, Β, Γ τα τρία διακεκριµένα

δοχεία, τότε η ζητούµενη κατανοµή παρουσιάζεται στον επόµενο πίνακα.

Α Β Γ Α Β Γ Α Β Γ 1) αβγ - - - - - - 11) β α γ - - - 21) - - - β α γ

2) - - - αβγ - - - 12) γ αβ - - - 22) α β γ

3) - - - - - - αβγ 13) α - - - βγ 23) α γ β

4) αβ γ - - - 14) β - - - α γ 24) β α γ

5) α γ β - - - 15) γ - - - αβ 25) β γ α

6) βγ α - - - 16) - - - αβ γ 26) γ α β

7) αβ - - - γ 17) - - - α γ β 27) γ β α

8) α γ - - - β 18) - - - βγ α

9) βγ - - - α 19) - - - α βγ

10) α βγ - - - 20) - - - β α γ

Στον πίνακα αυτό κάθε αριθµός είναι ένα σηµείο του δειγµατικού χώρου του

πειράµατος.

Αντί για τρεις µπάλες και τρία δοχεία µπορούµε να µιλάµε για r µπάλες και

n δοχεία. Γίνεται αντιληπτό ότι όσο οι τιµές των r και n µεγαλώνουν, τόσο

πιο δύσκολη γίνεται η παράσταση του δειγµατικού χώρου µε την

προηγούµενη µορφή. Το παράδειγµα αυτό είναι σηµαντικό διότι µας δείχνει

ότι η φύση των σηµείων του δειγµατικού χώρου δεν ενδιαφέρει την θεωρία

των πιθανοτήτων. Για να γίνει αυτό καλύτερα κατανοητό δίνουµε στην

συνέχεια µερικές περιπτώσεις όπου το σχήµα (µπάλες, δοχεία) µπορεί να

εφαρµοσθεί.


1. Γενέθλια. Οι δυνατές περιπτώσεις των γενεθλίων r ατόµων

αντιστοιχούν στους τρόπους µε τους οποίους r µπάλες µπορούν να

κατανεµηθούν σε n=365 δοχεία. (Υποθέτουµε ότι ένα έτος έχει 365 ηµέρες).

2. Ατυχήµατα. Η ταξινόµηση r ατυχηµάτων ανάλογα µε την ηµέρα

της εβδοµάδας που έγινε το ατύχηµα είναι ισοδύναµο µε την τοποθέτηση r

µπαλών σε n=7 δοχεία.

3. Ανελκυστήρας. Ένας ανελκυστήρας ξεκινάει µε r άτοµα και σταµατάει

σε n ορόφους. Οι διαφορετικοί τρόποι µε τους οποίους τα r άτοµα του

ανελκυστήρα µπορούν να κατέβουν στους n διάφορους ορόφους

αντιστοιχεί στην κατανοµή των r µπαλών σε n δοχεία.

4. Ζάρι. Τα δυνατά αποτελέσµατα τις ρίψης r ζαριών µια φορά

αντιστοιχούν στην τοποθέτηση r µπαλών σε n=6 δοχεία.

5. Τυχαίοι αριθµοί. Οι δυνατές διατάξεις r ψηφίων αντιστοιχούν στην

κατανοµή r µπαλών σε 10 δοχεία , τα 0, 1, . . ., 9.

♦

Ερώτηση: Ποιος θα είναι ο δειγµατικός χώρος του παραδείγµατος 1.4 αν οι

τρεις µπάλες δεν είναι διακεκριµένες;


1.2.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΕΠΙ ΤΩΝ ΕΝ∆ΕΧΟΜΕΝΩΝ

Για όσους γνωρίζουν έστω και ελάχιστα στοιχεία από την θεωρία

συνόλων εύκολα µπορούν να κάνουν τις επόµενες αντιστοιχίσεις.

Θεωρία πιθανοτήτων Θεωρία συνόλων

∆ειγµατικός χώρος → Καθολικό σύνολο

Ενδεχόµενο → Υποσύνολο του συνόλου

Αποτέλεσµα → Στοιχείο του συνόλου

Στην συνέχεια θα δούµε και άλλες τέτοιες αντιστοιχίες.

Επειδή τα ενδεχόµενα είναι σύνολα, είναι λογικό να ισχύουν και για αυτά

οι γνωστές πράξεις των συνόλων. Από τις πράξεις αυτές εµείς θα

αναφέρουµε τις πιο βασικές. Την ένωση, την τοµή και το συµπλήρωµα.

Ένωση . Αν Α και Β είναι δύο ενδεχόµενα του δειγµατικού χώρου Ω,

τότε ενδεχόµενο Γ το οποίο αποτελείται από τα στοιχεία των Α και Β

ονοµάζεται ένωση (union) των Α και Β και συµβολίζεται ως

Γ=Α∪Β.

Με την βοήθεια των διαγραµµάτων Venn η ένωση δύο ενδεχοµένων µπορεί

να παρασταθεί γραφικά όπως φαίνετε στην σχήµα 1.1.


Α Β

Ω

Σχήµα 1.1. Το γκρι µέρος είναι η ένωση Γ των ενδεχοµένων Α και Β του

δειγµατικού χώρου Ω.

Τοµή . Αν Α και Β είναι δύο ενδεχόµενα του δειγµατικού χώρου Ω, τότε

ενδεχόµενο Γ το οποίο αποτελείται από τα κοινά στοιχεία των Α και Β

ονοµάζεται τοµή (intersection) των Α και Β και συµβολίζεται ως

Γ=Α∩Β.

∆ιαγραµµατικά η τοµή δύο ενδεχοµένων φαίνεται στην επόµενη σχήµα.

Α∩Β

Α

Β

Ω

Σχήµα 1.2. Γραφική απεικόνιση της τοµής των ενδεχοµένων Α και Β του

δειγµατικού χώρου Ω.

1.3 ∆ΙΑΚΡΙΤΟΣ ∆ΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ-ΕΝΝΟΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 11

∆ύο ενδεχόµενα των οποίων η τοµή είναι το κενό σύνολο (δηλαδή Α∩Β=Ø)

θα ονοµάζονται ασυµβίβαστα. (Η αντίστοιχη ορολογία στα σύνολα είναι

ξένα).

Σ υµπλήρω µ α . Το ενδεχόµενο του οποίου τα στοιχεία ανήκουν στον

δειγµατικό χώρο Ω, αλλά δεν ανήκουν στο ενδεχόµενο Α, ονοµάζεται

συµπληρωµατικό ενδεχόµενο του Α και συµβολίζεται ως

Αc=Ω-Α.

Γραφικά το συµπλήρωµα ενός ενδεχοµένου Α⊆Ω φαίνεται στην σχήµα 1.3.

Αc

Α

Σχήµα 1.3 Το σκιασµένο µέρος του Ω είναι το συµπλήρωµα του

ενδεχοµένου Α.

1.3 ∆ΙΑΚΡΙΤΟΣ ∆ΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ ΕΝΝΟΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ

Οι δειγµατικοί χώροι των πειραµάτων τύχης που αναφέρθηκαν στα

προηγούµενα παραδείγµατα έχουν ένα κοινό χαρακτηριστικό. Το κοινό

αυτό χαρακτηριστικό είναι ότι τα στοιχεία τους είναι διακριτά. Οι χώροι αυτοί

µπορεί να έχουν πεπερασµένο ή άπειρο


αριθµό στοιχείων. Στην πρώτη περίπτωση συµβολίζονται µε Ω=ω1, ω2, . .

., ωΝ, ενώ στην δεύτερη περίπτωση µε Ω=ω1, ω2, . . . Στην συνέχεια θα

ασχοληθούµε µε το πως µπορούµε να περιγράψουµε πειράµατα τύχης και

στις δύο αυτές περιπτώσεις. Η λέξη ‘περιγράψουµε’ αναφέρεται στην

αντιστοίχηση σε κάθε σηµείο του δειγµατικού χώρου ενός αριθµού, της

πιθανότητας.

Η έννοια της πιθανότητας είναι ίσως γνωστή στους περισσότερους. Αν

σας ρωτήσουν: τι πιθανότητα έχουµε να φέρουµε κορώνα, όταν στρίψουµε

ένα “γνήσιο” νόµισµα µια φορά, η άµεση απάντηση που έρχεται στο µυαλό

σας είναι ½. Επίσης αν ρίξουµε ένα “γνήσιο” ζάρι, τότε στο ερώτηµα, ποια

είναι η πιθανότητα να φέρουµε τέσσερα, η άµεση απάντησή σας είναι 1/6.

Αν θέλουµε να συγκεκριµενοποιήσουµε την διαισθητική µας απάντηση και

για τα δύο προηγούµενα παραδείγµατα, θα µπορούσαµε να πούµε τα εξής.

Στην περίπτωση του στριψίµατος του νοµίσµατος έχουµε δύο δυνατά

αποτελέσµατα. Είναι λογικό λοιπόν να υποθέσουµε ότι η πιθανότητα

εµφάνισης του ενός από αυτά είναι ½. Ανάλογη είναι η σκέψη µας και για το

πείραµα της ρίψης του ζαριού. Για τα απλά πειράµατα τύχης, ο διαισθητικός

αυτός τρόπος υπολογισµού των πιθανοτήτων για τα στοιχειώδη

αποτελέσµατα είναι σωστός µε την προϋπόθεση ότι τα αποτελέσµατα του

πειράµατος είναι ισοπίθανα. Αυτό σηµαίνει ότι δύο οποιοδήποτε

αποτελέσµατα του πειράµατος έχουν την ίδια πιθανότητα να συµβούν. Για

ένα πειράµατα τύχης η υπόθεση των ισοπίθανων αποτελεσµάτων είναι,

γενικώς, µια παραδοχή. Η παραδοχή αυτή µπορεί να οδηγεί σε λογικά

συµπεράσµατα, οπότε γίνεται αποδεκτή. Σε αντίθετη περίπτωση δεν γίνεται

αποδεκτή. Για παράδειγµα, στην ρίψη ενός νοµίσµατος ή ενός ζαριού, µια

φορά, η υπόθεση αυτή είναι αρκετά λογική. Η λογικότητα της υπόθεσης


βασίζεται στην παραδοχή ότι το υλικό που είναι κατασκευασµένο το

νόµισµα ή το ζάρι είναι οµοιογενές. Αυτό σηµαίνει ότι καµία επιφάνεια, τόσο

στο νόµισµα όσο και στο ζάρι δεν έχει την τάση να εµφανίζεται πιο συχνά

από τις άλλες. Για να δηλώσουµε ότι ένα νόµισµα ή ένα ζάρι είναι

οµοιογενές χρησιµοποιούµε το πρόθεµα “γνήσιο”. Έτσι µιλάµε για γνήσιο

νόµισµα ή γνήσιο ζάρι. Υπάρχουν όµως και περιπτώσεις που η υπόθεση

των ισοπίθανων αποτελεσµάτων δεν ισχύει. Ένα τέτοιο παράδειγµα είναι το

επόµενο πείραµα. Θεωρούµε τα άτοµα τα οποία βρίσκονται στον

ανελκυστήρα µιας πολυκατοικίας µια συγκεκριµένη ηµέρα και ώρα. Το

αποτέλεσµα του πειράµατος αυτού είναι η έξοδος ενός ή περισσοτέρων

ατόµων σε έναν οποιοδήποτε, αλλά συγκεκριµένο, όροφο της

πολυκατοικίας. Στην περίπτωση αυτή τα αποτελέσµατα δεν µπορεί να είναι

ισοπίθανα. (Μπορείτε να το δικαιολογήσετε;).

Προφανώς ένας τρόπος υπολογισµού της πιθανότητας ενός

στοιχειώδους αποτελέσµατος ω∈Ω είναι να εκτελέσουµε το πείραµα n

φορές και να καταγράψουµε τον αριθµό, έστω m, των εµφανίσεων του ω.

Αν µε Ρ(ω) συµβολίσουµε την πιθανότητα του στοιχειώδους

αποτελέσµατος ω, τότε θα ισχύει

Ρ(ω)=m/n.

Αν ο αριθµός εκτελέσεων του πειράµατος είναι πολύ µεγάλος, δηλαδή

τείνει στο ∞ (n→∞), τότε έχουµε τον ορισµό του Von Mises.


Ορισµός 1.4 (Ορισµός του Von Mises) Έστω Ω ο δειγµατικός χώρος

ενός πειράµατος τύχης και ω ένα στοιχειώδες αποτέλεσµα του Ω

(ω∈Ω). Τότε η πιθανότητα του ω δίνεται από την σχέση

αριθµός εµφανίσεων ωlimP(ω)=n n→∞ (1.1)

όπου n είναι ο αριθµός εκτελέσεων του πειράµατος.

Ας υποθέσουµε ότι θέλουµε να περιγράψουµε το πείραµα της ρίψης ενός

ζαριού, µια φορά. Τότε, σύµφωνα µε τον ορισµό, αυτό µπορεί να γίνει ως

εξής. Ρίχνουµε το ζάρι ένα αρκετά µεγάλο αριθµό φορών (π.χ. 50, 100,

1000 ή περισσότερες) και µετράµε πόσες φορές το ζάρι έφερε 1, πόσες 2,

πόσες 3 κ.ο.κ.. Ας υποθέσουµε ότι ο αριθµός 1 εµφανίσθηκε m1 φορές στις

n εκτελέσεις του πειράµατος. Τότε η πιθανότητα εµφάνισης του 1 θα είναι

m1/n. Ανάλογα ισχύουν και για τους υπόλοιπους αριθµούς. Αν το ζάρι είναι

γνήσιο και ο αριθµός εκτελέσεως, n, του πειράµατος είναι πολύ µεγάλος

(n→∞), τότε θα δούµε ότι το πείραµα τις ρίψης ενός γνήσιου ζαριού µια

φορά περιγράφετε ως εξής.

∆ειγµατικος χώρος 1 2 3 4 5 6

Πιθανότητες 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6

Ανάλογα, η περιγραφή του στριψίµατος ενός γνήσιου νοµίσµατος µια φορά

είναι η επόµενη.

∆ειγµατικός χώρος Κ Γ

Πιθανότητα 1/2 1/2

Έχοντας αντιστοιχήσει σε κάθε σηµείο του δειγµατικού χώρου Ω, ενός

πειράµατος τύχης, µια πιθανότητα, έχουµε το µοντέλο πιθανοτήτων για το


συγκεκριµένο πείραµα. Με βάση το µοντέλο αυτό µπορούµε να

υπολογίσουµε, όπως θα δούµε στην συνέχεια, την πιθανότητα

πραγµατοποίησης οποιουδήποτε ενδεχοµένου, σχετικού µε τον

συγκεκριµένο δειγµατικό χώρο.

1.3.1 ΜΟΝΤΕΛΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΜΕ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ∆ΕΙΓΜΑΤΙΚΟ ΧΩΡΟ Στην παράγραφο αυτή θα ασχοληθούµε µε πειράµατα τύχης των οποίων

ο δειγµατικός χώρος Ω έχει πεπερασµένο αριθµό στοιχείων. Στην περίπτωση

αυτή, όπως αναφέρθηκε προηγουµένως, ο δειγµατικός χώρος µπορεί να

γραφεί στη µορφή Ω=ω1, ω2, . . . , ωΝ. Ας υποθέσουµε ότι, µε κάποιο

τρόπο, έχουµε αντιστοιχήσει σε κάθε σηµείο ω∈Ω µια πιθανότητα, δηλαδή

Ρ(ωi)=pi, i=1, 2, . . ., N. Οι πιθανότητες αυτές θα πρέπει να ικανοποιούν τις

εξής παραδοχές.

Παραδοχή 1η. Το άθροισµα των πιθανοτήτων αυτών θα πρέπει να ισούται

µε την µονάδα (1). ∆ηλαδή

Ρ(ω1)+Ρ(ω2)+ + Ρ(ωN)=1. (1.2)

Παραδοχή 2η. Αν Α είναι ένα ενδεχόµενο του δειγµατικού χώρου Ω, τότε η

πιθανότητα του ενδεχοµένου Α είναι το άθροισµα των πιθανοτήτων των

στοιχείων του. Σε µαθηµατική µορφή αυτό γράφεται ως εξής

i

iω A

P(A) P(ω )∈

= ∑ . (1.3)


Ας δούµε τώρα ποιες είναι οι συνέπειες των δύο αυτών παραδοχών. Κατ’

αρχήν, από την σχέση (1.2) και από την 2η παραδοχή παίρνουµε ότι

Ρ(Ω)=1, (1.4)

δηλαδή η πιθανότητα του δειγµατικού χώρου είναι µονάδα. ∆ιαισθητικά

αυτό είναι σωστό διότι µας λέει ότι στο πείραµα που εκτελούµε τουλάχιστον

ένα από τα ωi θα πραγµατοποιηθεί. Ένα ενδεχόµενο για το οποίο ισχύει

Ρ(Α)=1 θα λέγεται βέβαιο ενδεχόµενο ή γεγονός.

Από την 2η παραδοχή και την (1.4) παίρνουµε ότι για κάθε ενδεχόµενο (και

συνεπώς και για τα στοιχειώδη αποτελέσµατα) η πιθανότητα ικανοποιεί την

σχέση

0<Ρ(Α)<1. (1.5)

Επειδή τα ενδεχόµενα Α και Αc είναι ασυµβίβαστα και Α∩Αc=Ω, παίρνουµε

ότι Ρ(Α)+Ρ(Αc)=Ρ(Ω). ∆ηλαδή, από την (1.4), Ρ(Α)+Ρ(Αc)=1 και συνεπώς

Ρ(Αc)=1- Ρ(Α) (1.6)

Ας θεωρήσουµε τώρα την περίπτωση που τα αποτελέσµατα ενός

πειράµατος τύχης είναι ισοπίθανα. Ας υποθέσουµε ακόµη ότι το

ενδεχόµενο Α έχει m στοιχεία. Τότε η πιθανότητα πραγµατοποίησης του

ενδεχοµένου Α, σύµφωνα µε τον ορισµό 1.3, θα δίνεται από την σχέση

Ρ(Α)=m/N.

Η σχέση αυτή είναι ο κλασικός ορισµός της πιθανότητας ή ορισµός του

Laplace. Πιο συγκεκριµένα


Ορισµός 1.5 (Κλασικός ορισµός πιθανότητας ή ορισµός του Laplace) Αν Α είναι ένα ενδεχόµενο του δειγµατικού χώρου Ω, τότε η

πιθανότητα του Α δίνεται από την σχέση

Αριθµος ευνο ικων περιπτωσεωνP(A)

Συνολο περιπτωσεων= (1.7)

Τα επόµενα θεωρήµατα µας δίνουν την πιθανότητα ενδεχοµένου που

προκύπτει από την ένωση δύο άλλων ενδεχοµένων του ίδιου δειγµατικού

χώρου. Κατ’ αρχή θα εξετάσουµε την περίπτωση όπου τα δύο ενδεχόµενα

είναι ασυµβίβαστα µεταξύ τους.

Θεώρηµα 1.1 Αν Α και Β είναι δύο ασυµβίβαστα ενδεχόµενα ενός

δειγµατικού χώρου Ω, τότε

Ρ(Α∪Β)=Ρ(Α)+Ρ(Β) (1.8)

Απόδειξη. Η απόδειξη του θεωρήµατος είναι άµεση εφαρµογή της

σχέσης (1.3).

•

Στην περίπτωση που τα ενδεχόµενα Α και Β δεν είναι ασυµβίβαστα ισχύει

το επόµενο θεώρηµα.

Θεώρηµα 1.2. (Προσθετικός νόµος των πιθανοτήτων) Αν Α και Β είναι ενδεχόµενα ενός δειγµατικού χώρου Ω, τότε

Ρ(Α∪Β)=Ρ(Α)+Ρ(Β)-Ρ(Α∩Β) (1.9)


Απόδειξη. Λογικά η σχέση αυτή είναι συνέπεια της σχέσης (1.3). Αρκεί

να αφαιρέσουµε την πιθανότητα της τοµής επειδή αυτή θα µετρηθεί δύο

φορές. Η µαθηµατική απόδειξη της σχέσης (1.9) έχει ως εξής.

Α Β Έστω Αο=Α -Α∩Β. Τότε Αο∩Β=∅

και Α∪Β=Αο∪Β. Άρα για τα

Αο Α∪Β ενδεχόµενα Αο και Β ισχύει το

θεώρηµα 1.1. ∆ηλαδή

Ρ(Αο∪Β)=Ρ(Α∪Β)=Ρ(Αο)+Ρ(Β).

Αλλά και τα ενδεχόµενα Αο και Α∩Β είναι ασυµβίβαστα µεταξύ τους και η

ένωσή τους µας δίνει το ενδεχόµενο Α. ∆ηλαδή Α=Αο∪ (Α∩Β) (βλ. σχήµα)

Άρα και γι’ αυτά θα ισχύει ότι Ρ(Α)=Ρ[Αο∪(Α∩Β)]=Ρ(Αο)+Ρ(Α∩Β). Λύνοντας

την τελευταία σχέση ως προς την Ρ(Αο) και αντικαθιστώντας στην

Ρ(Α∪Β)=Ρ(Αο)+Ρ(Β) έχουµε το ζητούµενο.

• Η γενίκευση του προηγούµενου θεωρήµατος για n ενδεχόµενα δίνεται

από το θεώρηµα που ακολουθεί. Η απόδειξη του θεωρήµατος αφήνεται

σαν άσκηση.

Θεώρηµα 1.3 Αν Ε1, Ε2, . . ., Εn είναι ενδεχόµενα ενός δειγµατικού χώρου

Ω, τότε ισχύει n n n n n n n

i i i j i j ki 1 i 1 j 1 i 1 j 1 k 1i 1

P E P(E ) P(E E ) P(E E E )= = = = = ==

= − +

∑ ∑∑ ∑∑∑∩ ∩ ∩∪

i<j i<j<k

nn n n n

n 1i j k l i

i 1 j 1 k 1 l 1 i 1

P(E E E E ) ( 1) P E+

= = = = =

− + + −

∑∑∑∑ ∩ ∩ ∩ ∩

i<j<k<l


Υπό συ ν θ ή κ η π ι θ α ν ό τ η τ α Ας υποθέσουµε ότι ρίχνουµε ένα γνήσιο ζάρι µια φορά. Ένας παίκτης

τυχερών παιχνιδιών στοιχηµατίζει στο 2. Προφανώς η πιθανότητα να

κερδίσει ο παίκτης είναι 1/6. Ας υποθέσουµε τώρα ότι, µε κάποιο τρόπο,

γνωρίζουµε ότι το αποτέλεσµα του ζαριού πρόκειται να είναι άρτιος

αριθµός. Στην περίπτωση αυτή τα δυνατά αποτελέσµατα θα είναι 2, 4 ή 6.

Έτσι η ζητούµενη πιθανότητα θα είναι 1/3.

Βλέπουµε λοιπόν ότι η επιπλέον πληροφορία που είχαµε για το

αποτέλεσµα του ζαριού άλλαξε την πιθανότητα επιτυχίας. Θα µπορούσε

ακόµα να αλλάξει και την στρατηγική του παίκτη. Αν δηλαδή ο παίκτης

επρόκειτο να στοιχηµατίσει σε περιττό αριθµό, µε την πληροφορία αυτή θα

στοιχηµατίσει σε άρτιο αριθµό.

Ας γράψουµε τα παραπάνω σε µια πιο τυποποιηµένη µορφή. Για τον

λόγο αυτό θα συµβολίσουµε µε Α το ενδεχόµενο ¨το αποτέλεσµα του

ζαριού είναι ο αριθµός 2¨, και µε Β το ενδεχόµενο ¨το αποτέλεσµα του

ζαριού είναι άρτιος αριθµός¨. Τότε, µε δεδοµένη την πληροφορία που µας

δίνει το ενδεχόµενο Β, η πιθανότητα ο παίκτης να κερδίσει γράφεται

συµβολικά Ρ(Α|Β) και διαβάζεται ¨η πιθανότητα του ενδεχοµένου Α

δοθέντος ότι το ενδεχόµενο Β πραγµατοποιήθηκε¨. Η πιθανότητα αυτή είναι

γνωστή σαν υπό συνθήκη πιθανότητα και ορίζεται ως ακολούθως.


Ορισµός 1.6 (Υπό συνθήκη πιθανότητα) Αν Α και Β είναι δύο οποιαδήποτε ενδεχόµενα ενός δειγµατικού

χώρου Ω, µε Ρ(Β)>0, τότε η υπό συνθήκη πιθανότητα του Α δοθέντος

του Β δίνεται από την σχέση

P(A B)P(A | B)

P(B)=

∩ (1.10)

Γίνεται φανερό ότι η πληροφορία που περιέχει το ενδεχόµενο Β αλλάζει

τον δειγµατικό χώρο του πειράµατος µε αποτέλεσµα να αλλάζει και τις

πιθανότητες των ενδεχοµένων. Ο τύπος (1.10) αν και δίνεται σαν ορισµός

εν τούτοις προέκυψε από το γεγονός ότι

P(A Ω)P(A |Ω) P(A)

P(Ω)= =

∩

επειδή Ρ(Α∩Ω)=Ρ(Α) και Ρ(Ω)=1.

Παράδειγµα 1.5 Μια οικογένεια έχει δύο παιδιά. Ποια είναι η πιθανότητα να

είναι και τα δύο αγόρια δοθέντος ότι τουλάχιστον ένα είναι αγόρι;

Ας συµβολίσουµε µε α το αγόρι και µε κ το κορίτσι. Τότε ο δειγµατικός

χώρος του πειράµατος θα είναι ο Ω=(α,α), (α,κ), (κ,α), (κ,κ), όπου το

πρώτο γράµµα αντιστοιχεί στο πρώτο παιδί και το δεύτερο στο δεύτερο

παιδί. Στην συνέχεια ορίζουµε τα ενδεχόµενα Α=και τα δύο παιδιά να είναι

αγόρια και Β=τουλάχιστον ένα από τα παιδιά είναι αγόρι. Προφανώς

Α=(α, α) και Β=(α, α), (α, κ), (κ, α). Τότε η ζητούµενη πιθανότητα είναι η

υπό συνθήκη πιθανότητα Ρ(Α|Β). Με βάση την σχέση (1.10) η πιθανότητα

αυτή θα είναι


P(A B)P(A | B)

P(B)=

∩.

Αλλά Α∩Β=(α, α) και συνεπώς Ρ(Α∩Β)=Ρ(Α)=1/4 και Ρ(Β)=3/4. Άρα

Ρ(Α|Β)=1/3.

♦

Παρατήρηση. Για την υπό συνθήκη πιθανότητα ισχύει ότι έχει αναφερθεί

για την απλή πιθανότητα. Έτσι, π.χ αν Α, Β, Γ είναι τρία ενδεχόµενα ενός

δειγµατικού χώρου Ω, τότε από την σχέση (1.9) θα έχουµε ότι

Ρ(Α∪Β|Γ)=Ρ(Α|Γ)+Ρ(Β|Γ)-Ρ(Α∩Β|Γ).

Παράδειγµα 1.6 Ας υποθέσουµε ότι έχουµε δέκα κάρτες αριθµηµένες από

το 1 έως το 10. Τις κάρτες αυτές τις ρίχνουµε µέσα σε ένα καπέλο, τις

ανακατεύουµε και εκλέγουµε µία στην τύχη. Αν µας πουν ότι ο αριθµός της

κάρτας που εκλέχτηκε είναι τουλάχιστον 5 ποια είναι η πιθανότητα ο

αριθµός της κάρτας να είναι ο 10;

Ο δειγµατικός χώρος του πειράµατός µας είναι ο Ω=1, 2, . . ., 10.

Ορίζουµε τα ενδεχόµενα Α=ο αριθµός της κάρτας που εκλέχθηκε είναι ο

10 και Β=ο αριθµός της κάρτας που εκλέχθηκε είναι τουλάχιστον 5.

Προφανώς Α=10 και Β=5, 6, 7, 8, 9, 10.Τότε η ζητούµενη πιθανότητα

είναι η Ρ(Α|Β). Η πιθανότητα αυτή δίνεται από την σχέση (1.10). Επειδή

Α∩Β=Α θα έχουµε ότι Ρ(Α∩Β)=Ρ(Α)=1/10. Για την Ρ(Β) θα έχουµε

διαδοχικά

Ρ(Β)=Ρ(ο αριθµός της κάρτας που εκλέχθηκε είναι ο 5 ή ο 6 ή . . . ή ο 10)=

Ρ(ο αριθµός της κάρτας που εκλέχθηκε είναι ο 5)+

Ρ(ο αριθµός της κάρτας που εκλέχθηκε είναι ο 6)+


. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . +

Ρ(ο αριθµός της κάρτας που εκλέχθηκε είναι ο 10)

=1

10+

110

+1

10+

110

+1

10+

110

=6

10. Άρα η ζητούµενη πιθανότητα θα

είναι Ρ(Α|Β)=110 16 10 6

= .

♦

Αν στον ορισµό 1.6 αντιστρέψουµε τον ρόλο των Α και Β και υποθέσουµε

ότι Ρ(Α)>0, τότε παίρνουµε ότι

P(A B)P(B | A)

P(A)=

∩ (1.11)

Από τις (1.10) και (1.11) λύνοντας ως προς Ρ(Α∪Β) παίρνουµε ότι

P(A B) P(B)P(A | B) P(A)P(B | A)= =∩ (1.12)

Από την (1.12) έχουµε το επόµενο θεώρηµα

Θεώρηµα 1.4 (Πολλαπλασιαστικός νόµος πιθανοτήτων) Αν Α και Β είναι δύο ενδεχόµενα ενός δειγµατικού χώρου Ω τέτοια ώστε

Ρ(Α)>0 και Ρ(Β)>0, τότε Ρ(A∩B)=P(B)P(A|B)=P(A)P(B|A)

•

Αν Εi (ι=1, 2, . . ., n) είναι n ενδεχόµενα ενός δειγµατικού χώρου Ω, τότε

η γενίκευση της σχέσης (1.12) δίνεται από την επόµενη σχέση

n n 1

i 1 2 1 3 1 2 n ii 1 i 1

P E P(E )P(E | E )P(E | E E )...P E | E−

= =

=

∩∩ ∩ . (1.13)


Παράδειγµα 1.7 Ένας φοιτητής µπορεί να επιλέξει µεταξύ των µαθηµάτων

Υπολογιστές και Φυσική. Αν επιλέξει το µάθηµα των Υπολογιστών, τότε η

πιθανότητα να πάρει άριστα είναι 1/3. Αν επιλέξει το µάθηµα της Φυσικής η

αντίστοιχη πιθανότητα είναι 1/2. Ο φοιτητής αποφάσισε να επιλέξει το

µάθηµα µε το στρίψιµο ενός νοµίσµατος. Ποια είναι η πιθανότητα ο

φοιτητής να πάρει άριστα στην Φυσική;

Με βάση τα δεδοµένα του παραδείγµατος ορίζουµε τα εξής ενδεχόµενα

Α=ο φοιτητής επιλέγει το µάθηµα της Φυσικής και Β=ο φοιτητής παίρνει

άριστα σε οποιοδήποτε µάθηµα επιλέξει. Τότε η ζητούµενη πιθανότητα

είναι η Ρ(Α∩Β). Από την σχέση (1.12) έχουµε ότι Ρ(Α∩Β)=Ρ(Α)Ρ(Β|Α). Αλλά

Ρ(Α)=1/2 και Ρ(Β|Α)=1/2. Άρα Ρ(Α∪Β)=1/4.

Ερώτηση. Στο παράδειγµα αυτό θα µπορούσαµε να χρησιµοποιήσουµε

την ισότητα Ρ(A∪B)=P(B)P(A|B), αντί της Ρ(Α∪Β)=Ρ(Α)Ρ(Β|Α);

♦

Αν ε ξ ά ρ τ η τ α ε ν δ ε χ ό µ ε ν α Έστω Α και Β δύο ενδεχόµενα ενός δειγµατικού χώρου Ω και ας

υποθέσουµε ότι ισχύει Ρ(Α|Β)=Ρ(Α). Αυτό σηµαίνει ότι η πληροφορία που

µας δίνει η πραγµατοποίηση του ενδεχόµενου Β δεν αλλάζει την

πιθανότητα πραγµατοποίησης του ενδεχοµένου Α. Ανάλογα ισχύουν και

όταν η Ρ(Β|Α)=Ρ(Β) ισχύει. Στην περίπτωση αυτή τα δύο ενδεχόµενα

ονοµάζονται ανεξάρτητα. Όταν η Ρ(Α|Β)=Ρ(Α) [ή η Ρ(Β|Α)=Ρ(Β)] ισχύει, τότε

από την σχέση (1.10) παίρνουµε ότι Ρ(Α∩Β)=Ρ(Α)Ρ(Β). Συνεπώς

µπορούµε να δώσουµε τον επόµενο ορισµό.


Ορισµός 1.7 (Ανεξαρτησία δύο ενδεχοµένων) ∆ύο ενδεχόµενα Α και Β, ενός δειγµατικού χώρου Ω, θα λέγονται

ανεξάρτητα αν ισχύει η σχέση

Ρ(Α∩Β)=Ρ(Α)Ρ(Β) (1.14)

Παράδειγµα 1.8 Ας ζητήσουµε να περιγράψουµε το εξής πείραµα τύχης.

Στρίβουµε ένα γνήσιο νόµισµα δύο φορές. Ο δειγµατικός χώρος για µεν το

πρώτο στρίψιµο είναι ο Ω1=Κ, Γ, ενώ για το δεύτερο ο Ω2=Κ, Γ. Ο

δειγµατικός χώρος του όλου πειράµατος, Ω, θα είναι το Καρτεσιανό

γινόµενο των Ω1 και Ω2, δηλαδή Ω=Ω1xΩ2. Άρα Ω= ΚΚ, ΚΓ, ΓΚ, ΓΓ, όπου

ΚΚ είναι το αποτέλεσµα στο πρώτο στρίψιµο να έχουµε κορώνα (Κ) και στο

δεύτερο να έχουµε επίσης κορώνα (Κ). (Ανάλογα ερµηνεύονται και τα

υπόλοιπα στοιχεία του δειγµατικού χώρου Ω). Επειδή το νόµισµα είναι

γνήσιο µπορούµε να θεωρήσουµε ότι, σε κάθε ρίψη, τα αποτελέσµατα είναι

ισοπίθανα. Αυτό σηµαίνει ότι για κάθε νόµισµα έχουµε ότι Ρ(Κ)=Ρ(Γ)=1/2.

Επειδή τα πειράµατα είναι ανεξάρτητα προφανώς και τα ενδεχόµενα αυτών

θα είναι ανεξάρτητα. Άρα Ρ(ΚΚ)=Ρ(Κ)Ρ(Κ)=1/4, Ρ(ΚΓ)=Ρ(Κ)Ρ(Γ)=1/4 κ.ο.κ.

Συνεπώς το µοντέλο πιθανοτήτων για το πείραµα αυτό θα είναι

∆ειγµατικός χώρος, Ω (Κ, Κ) (Κ, Γ) (Γ, Κ) (Γ, Γ)

Πιθανότητες, Ρ(ωi) ¼ ¼ ¼ ¼

Προφανώς 0≤ Ρ(ωi)≤1 και =∑

4

ii 1

P(ω )=1.


Ερώτηση: Να εξετάσετε τι αλλάζει στο προηγούµενο µοντέλο αν αντί για το

στρίψιµο ενός γνήσιου νοµίσµατος δύο φορές, στρίψουµε δύο γνήσια

νοµίσµατα µια φορά το καθ’ ένα.

♦

Παράδειγµα 1.9 Να δοθεί το µοντέλο πιθανοτήτων για το επόµενο πείραµα

τύχης. Στρίβουµε ένα γνήσιο νόµισµα. Αν το αποτέλεσµα είναι κορώνα, (Κ),

τότε ρίχνουµε ένα ζάρι. Αν το αποτέλεσµα είναι γράµµατα, (Γ), τότε

στρίβουµε ξανά το νόµισµα.

Το πείραµα αυτό είναι ένα σύνθετο πείραµα. Ο δειγµατικός χώρος του

στριψίµατος ενός νοµίσµατος µια φορά είναι ο ΩΝ=Κ, Γ, ενώ ο δειγµατικός

χώρος της ρίψης ενός ζαριού µια φορά είναι ο ΩΖ=1, 2, 3, 4, 5, 6.

Σύµφωνα µε τον τρόπο που πραγµατοποιείτε το σύνθετο πείραµα ο

δειγµατικός του χώρος θα είναι ο Ω=(Κ, 1), (Κ, 2), (Κ, 3), (Κ, 4), (Κ, 5), (Κ,

6), (Γ, Γ), (Γ, Κ). Η πιθανότητα του στοιχείου (Κ, 1) θα είναι ίση µε το

γινόµενο των επί µέρους πιθανοτήτων λόγω ανεξαρτησίας των δύο

πειραµάτων. Έτσι θα έχουµε Ρ((Κ, 1))=Ρ(Κ)Ρ(1)=(1/2)(1/6)=1/12. Ανάλογα

ισχύουν και για τα παρόµοια στοιχεία του Ω. Σκεπτόµενοι µε τον ίδιο τρόπο

βρίσκουµε ότι Ρ(ΓΓ)=Ρ(Γ)Ρ(Γ)=1/4. Άρα το µοντέλο πιθανοτήτων για το

συγκεκριµένο πείραµα είναι το

∆ειγµατικός χώρος, Ω (K, 1) (K, 2) (K, 3) (K, 4) (K, 5) (K, 6) (Γ, Γ) (Γ, Κ)

Πιθανότητες, Ρ(ωi) 1/12 1/12 1/12 1/12 1/12 1/12 1/4 1/4

Προφανώς 0≤ Ρ(ωi)≤1 και 8

ii 1

P(ω )=∑ =1.

♦


Παράδειγµα 1.10 Ας υποθέσουµε ότι ρίχνουµε δύο γνήσια ζάρια και έστω

τα ενδεχόµενα Α=το άθροισµα των αποτελεσµάτων των δύο ζαριών είναι

έξι και Β=το αποτέλεσµα του πρώτου ζαριού είναι τέσσερα. Να εξετασθεί

αν τα ενδεχόµενα Α και Β είναι ανεξάρτητα.

Τα στοιχεία των ενδεχοµένων Α και Β είναι, αντίστοιχα, Α=(1,5), (5,1),

(2,4), (4,2), (3,3), Β=(4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6). Για να είναι τα

δύο ενδεχόµενα ανεξάρτητα θα πρέπει να ισχύει η σχέση (1.14). Αλλά

Ρ(Α∩Β)=Ρ(4,2)=1/36. Επίσης

Ρ(Α)=Ρ(1,5 ή 5,1 ή 2,4 ή 4,2 ή 3,3) =

Ρ(1,5) + Ρ(5,1) + Ρ(2,4) + Ρ(4,2) + Ρ(3,3) =

(1/36) + (1/36) + (1/36) + (1/36) + (1/36) =5/36 και Ρ(Β) = 6/36.

Επειδή Ρ(Α∩Β)≠Ρ(Α)Ρ(Β) τα ενδεχόµενα Α και Β δεν είναι ανεξάρτητα.

Στο ίδιο πείραµα θεωρούµε το ενδεχόµενο Γ=το άθροισµα των

αποτελεσµάτων των δύο ζαριών είναι επτά. Να εξετασθεί αν τα

ενδεχόµενα Β και Γ είναι ανεξάρτητα. Τα στοιχεία του ενδεχοµένου Γ είναι

Γ=(1,6), (6,1), (2,5), (5,2), (3,4), (4,3). Όπως και προηγουµένως

Ρ(Β∩Γ)=Ρ(4,3)=1/36 ενώ Ρ(Γ)= Ρ(1,6 ή 6,1 ή 2,5 ή 5,2 ή 3,4 ή

4,3) = 6/36. Επειδή Ρ(Β∩Γ)=Ρ(Β)Ρ(Γ) τα ενδεχόµενα Β και Γ είναι

ανεξάρτητα.

[Να εξηγήσετε διαισθητικά γιατί τα ενδεχόµενα Α και Β δεν είναι ανεξάρτητα

ενώ τα Β και Γ είναι].

Αν σας ρωτήσουν ¨τρία ενδεχόµενα Α, Β, Γ πότε θα λέµε ότι είναι

ανεξάρτητα;¨, τότε η εύλογη απάντηση είναι, όταν ισχύει η σχέση

Ρ(Α∩Β∩Γ)=Ρ(Α)Ρ(Β)Ρ(Γ).


Η απάντηση αυτή, αν και εκ πρώτης όψεως είναι λογική, δεν είναι σωστή.

Για την ανεξαρτησία τριών ή περισσοτέρων ενδεχοµένων ισχύει ο επόµενος

ορισµός.

Ορισµός 1.8 (Ανεξαρτησία n (n>2) ενδεχοµένων) Τα ενδεχόµενα Ε1, Ε2, . . ., Εn (n>2) θα λέγονται ανεξάρτητα αν για

κάθε υποσύνολο Ε1, Ε2, . . .,Εr (2≤r≤n) ισχύει

Ρ(Ε1∩Ε2∩...∩Εr)=Ρ(Ε1)Ρ(Ε2)...Ρ(Εr) (1.15)

Σύµφωνα µε τον ορισµό αυτό για την ανεξαρτησία τριών ενδεχοµένων,

των Α, Β και Γ θα πρέπει να ισχύουν, ταυτόχρονα, οι εξής σχέσεις:

i) Ρ(Α∩Β)=Ρ(Α)Ρ(Β), ii) Ρ(Α∩Γ)=Ρ(Α)Ρ(Γ), iii) Ρ(Β∩Γ)=Ρ(Β)Ρ(Γ) και

iv) Ρ(Α∩Β∩Γ)=Ρ(Α)Ρ(Β)Ρ(Γ).

Ερώτηση. Ποιος είναι ο αριθµός των σχέσεων που θα πρέπει να ισχύουν

ταυτόχρονα για να είναι n ενδεχόµενα ανεξάρτητα;

Παράδειγµα 1.11 (Ενδεχόµενα που είναι ανά δύο ανεξάρτητα χωρίς να είναι

ανεξάρτητα). Θεωρούµε το εξής πείραµα. Από ένα δοχείο, που περιέχει

τέσσερες µπάλες, αριθµηµένες από το 1 έως το 4, εκλέγουµε στην τύχη µία.

Έστω τα ενδεχόµενα: Α=1,2, Β=1,3, Γ=1,4. Θα δείξουµε ότι τα

ενδεχόµενα Α, Β, Γ ενώ είναι ανά δύο ανεξάρτητα και τα τρία µαζί δεν είναι

ανεξάρτητα.


Ο δειγµατικός χώρος του πειράµατος θα είναι ο Ω=1, 2, 3, 4. Αν

θεωρήσουµε ότι όλα τα αποτελέσµατα είναι ισοπίθανα, τότε καθ’ ένα από τα

σηµεία του Ω θα έχει πιθανότητα ¼. Είναι εύκολο τώρα να δούµε ότι

Ρ(Α∩Β)= Ρ(Α∩Γ)= Ρ(Β∩Γ)=Ρ(1)=1/4, και Ρ(Α)=Ρ(Β)=Ρ(Γ)=1/2. Συνεπώς

Ρ(Α∩Β)=Ρ(Α)Ρ(Β), Ρ(Α∩Γ)=Ρ(Α)Ρ(Γ), Ρ(Β∩Γ)=Ρ(Β)Ρ(Γ). Αυτό σηµαίνει ότι

τα ενδεχόµενα Α, Β Γ είναι ανά δύο ανεξάρτητα. Για να είναι συνολικά

ανεξάρτητα θα πρέπει, από τον ορισµό 1.8 να ισχύει, επιπλέον, και η σχέση

Ρ(Α∩Β∩Γ)=Ρ(Α)Ρ(Β)Ρ(Γ). Αλλά Ρ(Α∩Β∩Γ)=Ρ(1)=1/4 ενώ Ρ(Α)Ρ(Β)Ρ(Γ)

=1/8. Άρα Ρ(Α∩Β∩Γ)≠Ρ(Α)Ρ(Β)Ρ(Γ) και συνεπώς τα ενδεχόµενα αυτά δεν

είναι ανεξάρτητα.

♦

Τ ύπο ς ο λ ι κ ή ς π ι θ α ν ό τ η τ α ς Ας θεωρήσουµε το επόµενο παράδειγµα.

Παράδειγµα 1.12 Ένα εργοστάσιο κατασκευής µικροϋπολογιστών

πρόκειται να παραδώσει έναν αριθµό συσκευών σε µια συγκεκριµένη

ηµεροµηνία. Η έγκαιρη ή µη παράδοση της παραγγελίας εξαρτάται από το

αν το προσωπικό θα απεργήσει ή όχι. Ο διευθυντής του εργοστασίου θέλει

να γνωρίζει ποια είναι η πιθανότητα έγκαιρης παράδοσης της παραγγελίας.

Στο παράδειγµα αυτό βλέπουµε ότι το τελικό αποτέλεσµα (έγκαιρη

παράδοση της παραγγελίας) εξαρτάται από δύο ενδιάµεσα ενδεχόµενα (το

προσωπικό θα απεργήσει ή δεν θα απεργήσει). Τα ενδιάµεσα µάλιστα

ενδεχόµενα είναι συµπληρωµατικά. (Αυτό συµβαίνει πάντοτε όταν τα

ενδιάµεσα ενδεχόµενα είναι δύο).

♦


Σε γενικότερη θεώρηση θεωρούµε δύο ενδεχόµενα το Α και Β και

υποθέτουµε ότι η πραγµατοποίηση του Α εξαρτάτε από την

πραγµατοποίηση ή µη του Β. Σχηµατικά αυτό φαίνεται στο επόµενο σχήµα.

Με την βοήθεια του διαγράµµα-

Βc Β τος βλέπουµε ότι

Α Α=(Α∩Β)∪(Α∩Βc)

και ότι τα ενδεχόµενα Α∩Β και

Ω Α∩Βc είναι ασυµβίβαστα. Από

την σχέση (1.8) παίρνουµε Ρ(Α)=Ρ(Α∩Β)+Ρ(Α∩Βc), ή µε την βοήθεια του

θεωρήµατος 1.3 έχουµε ότι

Ρ(Α)=Ρ(Β)Ρ(Α|Β)+Ρ(Βc)Ρ(Α|Β

c). (1.16)

Η σχέση αυτή είναι γνωστή σαν τύπος της ολικής πιθανότητας.

Παράδειγµα 1.13 (Συνέχεια του παραδείγµατος 1.12) Ας υποθέσουµε ότι,

από προηγούµενη εµπειρία, είναι γνωστά τα εξής. Η πιθανότητα το

προσωπικό να απεργήσει είναι 0,6. Στην περίπτωση αυτή η πιθανότητα

έγκαιρης παράδοσης της παραγγελίας είναι 0,35. Όταν το προσωπικό δεν

απεργήσει, τότε η πιθανότητα έγκαιρης παράδοσης της παραγγελίας είναι

0,85. Αν συµβολίσουµε µε Α το ενδεχόµενο ¨η παραγγελία να παραδοθεί

έγκαιρα¨ και µε Β το ενδεχόµενο ¨το προσωπικό πραγµατοποιεί απεργία¨,

τότε η ζητούµενη πιθανότητα θα δίνεται από την σχέση (1.16). Στην σχέση

αυτή είναι: Ρ(Β)=0,6, Ρ(Α|Β)=0,35, Ρ(Βc)=1-Ρ(Β)=0,4 και Ρ(Α|Β

c)=0,85. Άρα

Ρ(Α)=0,36.


Παράδειγµα 1.14 Θεωρούµε δύο δοχεία. Το πρώτο δοχείο περιέχει δύο

λευκές και επτά µαύρες µπάλες, ενώ το δεύτερο δοχείο περιέχει πέντε

λευκές και έξι µαύρες µπάλες. Ρίχνουµε ένα γνήσιο νόµισµα. Αν το

αποτέλεσµα είναι κορώνα (Κ), τότε εκλέγουµε στην τύχη µια µπάλα από το

πρώτο δοχείο. Αν το αποτέλεσµα είναι γράµµατα (Γ), τότε εκλέγουµε στην

τύχη µια µπάλα από το δεύτερο δοχείο. Ποια είναι η πιθανότητα η µπάλα

που εκλέξαµε να είναι λευκή;

Στο παράδειγµα αυτό η πιθανότητα εκλογής λευκής µπάλας εξαρτάτε από

το πιο δοχείο επιλέγεται. Για διευκόλυνσή µας ορίζουµε τα ενδεχόµενα:

Α=η µπάλα που εκλέγεται είναι λευκή και Β=το αποτέλεσµα του

νοµίσµατος είναι κορώνα. Τότε η ζητούµενη πιθανότητα θα δίνεται από την

σχέση (1.16). Στην σχέση αυτή είναι: Ρ(Β)=1/2, Ρ(Α|Β)=2/9, Ρ(Βc)=1/2 και

Ρ(Α|Βc)=5/11. Άρα η πιθανότητα να εκλέξουµε λευκή µπάλα είναι

Ρ(Α)=0,338.

♦

Η γενίκευση της σχέσης (1.16) δίνεται από το επόµενο θεώρηµα.

Θεώρηµα 1.5 (Τύπος ολικής πιθανότητας) Έστω ότι Β1, Β2, . . . , Βκ είναι

ανά δύο ασυµβίβαστα µεταξύ τους ενδεχόµενα τέτοια ώστε Ρ(Βi)>0 (i=1, 2,

. . ., κ) και Β1∪Β2∪ . . . ∪Βκ=Ω. Αν σε µια εκτέλεση του πειράµατος ένα

µόνο από τα Βi µπορεί να πραγµατοποιηθεί, τότε για οποιοδήποτε

ενδεχόµενο Α ισχύει

k

i ii 1

P(A) P(B )P(A | B )=

= ∑ (1.17)


Απόδειξη. Η απόδειξη της (1.17) είναι ανάλογη της σχέσης (1.16) και

αφήνεται ως άσκηση.

•

Παράδειγµα 1.15 Θεωρούµε τρία δοχεία τα ∆1, ∆2 και ∆3. Το δοχείο ∆1

περιέχει πέντε λευκές και τρεις µαύρες µπάλες. Το δοχείο ∆2 περιέχει δύο

λευκές και έξι µαύρες µπάλες, ενώ το δοχείο ∆3 περιέχει τέσσερες λευκές

και δύο µαύρες µπάλες. Ένα δοχείο εκλέγεται στην τύχη και από το δοχείο

αυτό εκλέγουµε, στην τύχη, µία µπάλα. Να βρεθεί η πιθανότητα η µπάλα

αυτή να είναι µαύρη.

Ας συµβολίσουµε µε Α το ενδεχόµενο Α=η µπάλα που εκλέγεται να είναι

µαύρη και µε Βi το ενδεχόµενο Βi =το δοχείο που εκλέγεται να είναι το ∆i,

(i=1, 2,3). Προφανώς το ενδεχόµενο Α µπορεί να συµβεί σε συνδυασµό µε

ένα µόνο από τα ενδεχόµενα Βi. Άρα η πιθανότητα του Α θα δίνεται από

τον τύπο της ολικής πιθανότητας. Θα έχουµε δηλαδή

Ρ(Α)=Ρ(Α| Β1)Ρ(Β1)+ Ρ(Α| Β2)Ρ(Β2)+ Ρ(Α| Β3)Ρ(Β3)

3 1 6 1 2 18 3 8 3 6 3

= + + =0,4861.

♦

Τ ύπο ς τ ο υ B a y e s Στο παράδειγµα 1.12 ας υποθέσουµε ότι είναι γνωστό ότι η παράδοση

της παραγγελίας έγινε έγκαιρα. Έχοντας την πληροφορία αυτή θα ήταν

ενδιαφέρον να ρωτήσουµε ¨ποια είναι η πιθανότητα το προσωπικό να

απείργησε;¨ Με βάση τον ορισµό των ενδεχοµένων Α και Β που δώσαµε

στο παράδειγµα 1.13 η ζητούµενη πιθανότητα µπορεί να γραφεί ως Ρ(Β|Α).

Η πιθανότητα αυτή είναι µια υπό συνθήκη πιθανότητα και συνεπώς [βλ.


σχέση (1.10)] µπορεί να γραφεί σαν P(A B)P(B | A)

P(A)=

∩. Αν στην σχέση

αυτή τον αριθµητή τον γράψουµε σαν Ρ(Α|Β)Ρ(Β) και τον παρανοµαστή τον

αντικαταστήσουµε από τον τύπο της ολικής πιθανότητας [βλ. σχέση (1.16)],

τότε παίρνουµε

c cP(A | B)P(B)P(B | A)

P(A | B)P(B) P(A | B )P(B )=

+ (1.18)

Ο τύπος αυτός είναι γνωστός σαν τύπος του Bayes από το όνοµα ενός

Ισπανού στατιστικού που πρώτος τον ανέφερε.

Παράδειγµα 1.16 Με βάση τα αριθµητικά δεδοµένα του παραδείγµατος

1.13 µπορούµε να βρούµε την πιθανότητα το προσωπικό να έχει

απεργήσει δοθέντος ότι η παράδοση της παραγγελίας έγινε έγκαιρα. Η

πιθανότητα αυτή θα δίνεται από την σχέση (1.18) και η αντικατάσταση των

τιµών των επιµέρους πιθανοτήτων (βλ. παράδειγµα 1.13) µας δίνει ότι

Ρ(Β|A)=0,38.

♦

Η γενίκευση του τύπου αυτού στην περίπτωση που έχουµε Β1, Β2, . . . ,

Βκ ενδεχόµενα, που ικανοποιούν τις προϋποθέσεις του θεωρήµατος 1.4,

είναι η επόµενη.

i ii k

i ii 1

P(A | B )P(B )P(B | A)P(A | B )P(B )

=

=

∑ (1.19)

Παράδειγµα 1.17 Μια εταιρεία κατασκευής λογισµικού αποφασίζει την

κατασκευή ενός συγκεκριµένου προγράµµατος µε πιθανότητα 0,1, για


κεντρικές υπολογιστικές µονάδες, 0,4 για σταθµούς εργασίας και 0,5 για

µικροϋπολογιστές. Η πιθανότητα η εταιρεία να έχει σηµαντικά κέρδη είναι

για κάθε τύπο υπολογιστή, 0,85, 0,70 και 0,35, αντίστοιχα. Να βρεθούν α) η

πιθανότητα η εταιρεία να έχει σηµαντικό κέρδος και β) αν είναι γνωστό ότι η

εταιρεία είχε σηµαντικό κέρδος ποια είναι η πιθανότητα το κέρδος αυτό να

το έδωσαν οι µικροϋπολογιστές;

Για να απαντήσουµε στα προηγούµενα ερωτήµατα ορίζουµε τα εξής

ενδεχόµενα: Α=η εταιρεία έχει σηµαντικό κέρδος, Β1=η εταιρεία

αποφάσισε την κατασκευή του προγράµµατος για κεντρικές υπολογιστικές

µονάδες, Β2=η εταιρεία αποφάσισε την κατασκευή του προγράµµατος για

σταθµούς εργασίας και Β3=η εταιρεία αποφάσισε την κατασκευή του

προγράµµατος για µικροϋπολογιστές.

Για το α) ερώτηµα χρειαζόµαστε τον υπολογισµό της πιθανότητας Ρ(Α).

Επειδή το ενδεχόµενο Α µπορεί να συµβεί σε συνδυασµό µε ένα από τα

τρία ενδεχόµενα Β, (τα οποία έχουν άθροισµα πιθανοτήτων ίσο µε1), γι’

αυτό η ζητούµενη πιθανότητα θα δίνεται από τον τύπο της ολικής

πιθανότητας. ∆ηλαδή Ρ(Α)=Ρ(Α|Β1)Ρ(Β1)+Ρ(Α|Β2)Ρ(Β2)+Ρ(Α|Β3)Ρ(Β3). Από

τα δεδοµένα του παραδείγµατος έχουµε ότι Ρ(Β1)=0,1, Ρ(Β2)=0,4,

Ρ(Β3)=0,5, Ρ(Α|Β1)=0,85, Ρ(Α|Β2)=0,70 και Ρ(Α|Β3)=0,35. Άρα Ρ(Α)=0,54.

Για το β) ερώτηµα χρειαζόµαστε τον υπολογισµό της πιθανότητας Ρ(Β3|Α).

Από τον τύπο του Bayes [βλ. σχέση (1.19)] µε k=3 παίρνουµε

3 33 3

i ii 1

P(A | B )P(B )P(B | A)P(A | B )P(B )

=

=

∑

Αντικαθιστώντας στην σχέση αυτή τις επιµέρους πιθανότητες βρίσκουµε ότι

Ρ(Β3|Α)=0,32.


Οι πιθανότητες Ρ(Βi), στον τύπο του Bayes, είναι γνωστές σαν εκ των

προτέρων πιθανότητες (a priori probability).

1.3.2 ΜΟΝΤΕΛΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΜΕ ΑΠΕΙΡΟ ΑΛΛΑ ΑΡΙΘΜΗΣΙΜΟ ∆ΕΙΓΜΑΤΙΚΟ ΧΩΡΟ

Ας θεωρήσουµε το εξής πείραµα τύχης. Στρίβουµε ένα νόµισµα και

καταγράφουµε το πόσες φορές θα στρίψουµε το νόµισµα έως ότου

εµφανισθεί η πρώτη κορώνα. Προφανώς αυτό µπορεί να γίνει την 1η φορά

ή την 2η ή την 3η κ.ο.κ. Ο δειγµατικός χώρος του πειράµατος αυτού θα είναι

ο Ω=Κ, ΓΚ, ΓΓΚ, ΓΓΓΚ, . . .. Παρατηρούµε ότι αυτός ο δειγµατικός χώρος

έχει άπειρο αριθµό στοιχείων. Ο δειγµατικός χώρος αυτός φαίνεται, εκ

πρώτης όψεως, διαφορετικός από αυτούς που είδαµε έως τώρα. Παρ’ όλα

αυτά έχουν πολλά κοινά σηµεία. Ο Ω µπορεί να γραφεί στην µορφή Ω=ω1,

ω2, ω3, . . ., όπου ω1=Κ, ω2=ΓΚ, ω3=ΓΓΚ κ.ο.κ.. Οι δειγµατικοί χώροι που

µπορούν να γραφούν στην µορφή αυτή (δηλαδή Ω=ω1, ω2, ω3, . . .)

µπορούν να αντιµετωπιστούν µε τα όσα αναφέρθηκαν προηγουµένως. Για

να δώσουµε το µοντέλο πιθανοτήτων ενός τέτοιου δειγµατικού χώρου

µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε τις παραδοχές 1 και 2, µε την παραδοχή 1

[βλ. σχέση (1.2)] να αντικαθίσταται από την επόµενη για να καλύψει το

άπειρο πλήθος στοιχείων στην παρούσα περίπτωση.

Παραδοχή 1η. Οι πιθανότητες αυτές θα πρέπει να ικανοποιούν την σχέση

Ρ(ω1)+ Ρ(ω2)+ Ρ(ω3) + =1.

Με βάση την παραδοχή αυτή µπορούµε να δώσουµε τον επόµενο ορισµό

1.4 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΥΝ∆ΥΑΣΤΙΚΗΣ 35

Οι δειγµατικοί χώροι της §1.3 ονοµάζονται διακριτοί χώροι (discrete),

επειδή τα στοιχεία τους είναι διακριτά.

Στα µαθηµατικά το σύνολο Ω=ω1, ω2, ω3, . . . λέγεται αριθµήσιµο

επειδή µπορεί να τεθεί σε αµφιµονοσήµαντη αντιστοιχία µε το σύνολο των

φυσικών αριθµών.

1.4 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΥΝ∆ΥΑΣΤΙΚΗΣ

Από τα προηγούµενα έγινε φανερό ότι για να υπολογίσουµε την

πιθανότητα ενός ενδεχοµένου πρέπει, συνήθως, να γνωρίζουµε τον αριθµό

των στοιχείων του. Σε πολλές περιπτώσεις, ακόµη και στην περίπτωση που

έχουµε ένα πεπερασµένο δειγµατικό χώρο, δεν είναι εύκολο να

υπολογίσουµε τον αριθµό αυτό. Ένα βασικό εργαλείο για τον σκοπό αυτό

είναι η θεωρία της συνδυαστικής (combinatorial theory) και ιδιαίτερα οι

έννοιες µεταθέσεις, διατάξεις, συνδυασµοί.

Βασικό ρόλο στην θεωρία της συνδυαστικής παίζει ο επόµενος κανόνας

ο οποίος είναι γνωστός σαν βασικός κανόνας απαρίθµησης. Ο κανόνας

αυτός λέει το εξής: ¨αν έχουµε n1 αντικείµενα α1, α2, . . ., αn1 , n2 αντικείµενα

β1, β2, . . .βn2 κ.ο.κ. µέχρι και nr στοιχεία χ1, χ2, . . . , χnr , τότε υπάρχουν

n1 n2 . . ., nr διατεταγµένες r-αδες (αj1, βj2, . . .,χjr) οι οποίες περιέχουν ένα

στοιχείο από κάθε είδος ¨.

Ο κανόνας αυτός µας λέει ότι εάν κάποιος έχει 5 κουστούµια, 7 πουκάµισα,

10 γραβάτες, 8 ζευγάρια κάλτσες και 3 ζευγάρια παπούτσια, τότε το


συγκεκριµένο άτοµο µπορεί να ντυθεί µε 5 7 10 8 3=8400 διαφορετικούς

τρόπους.

Στην συνέχεια θα παρουσιάσουµε τα απαραίτητα, για τις ανάγκες του

παρόντος βιβλίου, στοιχεία της θεωρίας αυτής µε βάση το σχήµα (µπάλες,

δοχεία). Το σχήµα αυτό είναι αρκετά χρήσιµο στην θεωρία των

πιθανοτήτων, διότι πολλά πειράµατα τύχης µπορούν να περιγραφούν µε

τον τρόπο αυτό.

Ι. Θεωρούµε ότι έχουµε ένα δοχείο το οποίο περιέχει n διακεκριµένες

µπάλες. Από το δοχείο αυτό εκλέγουµε, στην τύχη, r µπάλες. Οι r αυτές

µπάλες αποτελούν ένα δείγµα µεγέθους r. Αν η σειρά µε την οποία

εκλέγονται οι µπάλες µας ενδιαφέρει, τότε το δείγµα µας θα το λέµε

διατεταγµένο. Σε διαφορετική περίπτωση θα το λέµε µη διατεταγµένο.

Α) Αν η δειγµατοληψία είναι χωρίς επανατοποθέτηση, τότε ο αριθµός

των διατεταγµένων δειγµάτων µεγέθους r δίνεται από την σχέση

Ρ(n, r)=n(n-1)(n-2) . . . (n-r+1) (1.20)

Αυτές είναι οι µεταθέσεις των r µπαλών από τις n. Στην περίπτωση που r=n,

έχουµε

Ρ(n, n)=n(n-1)(n-2) . . . 1=n! (1.21)

Το P(n, n) µας δίνει όλες τις δυνατές µεταθέσεις που µπορούµε να κάνουµε

στις n µπάλες.

Β) Αν η δειγµατοληψία είναι µε επανατοποθέτηση, τότε ο αριθµός των

διατεταγµένων δειγµάτων µεγέθους r είναι nr. Αυτές είναι οι διατάξεις των r

µπαλών από τις n.

Γ) Αν η δειγµατοληψία είναι χωρίς επανατοποθέτηση, τότε ο αριθµός

των µη διατεταγµένων δειγµάτων µεγέθους r δίνεται από την σχέση


n n!C(n,r)r r!(n r)!

= = −

. (1.22)

Αυτοί είναι οι συνδυασµοί των n µπαλών ανά r.

∆) Αν η δειγµατοληψία είναι µε επανατοποθέτηση, τότε ο αριθµός των

µη διατεταγµένων δειγµάτων µεγέθους r είναι

n r 1 (n r 1)!N(n,r)

r r!(n 1)!+ − + −

= = − (1.23)

Παράδειγµα 1.18 Ένα δοχείο περιέχει οκτώ µπάλες αριθµηµένες από το 1

έως το 8. Από το δοχείο εκλέγουµε, στην τύχη, τέσσερες µπάλες χωρίς

επανατοποθέτηση. Ποια είναι η πιθανότητα ο µικρότερος αριθµός να είναι ο

3;

Το γεγονός ότι οι µπάλες είναι αριθµηµένες συνεπάγεται ότι είναι

διακεκριµένες. Για να συµβεί ο αριθµός 3 να είναι ο µικρότερος, στις

τέσσερες µπάλες που εκλέγουµε, θα πρέπει πρώτα να πάρουµε την µπάλα

αυτή και στην συνέχεια να εκλέξουµε τις υπόλοιπες τρεις από τις 5 µπάλες

µε αριθµούς 4, 5, 6, 7 και 8. Οι ευνοϊκές περιπτώσεις λοιπόν θα είναι οι

τρόποι µε τους οποίους µπορούµε να εκλέξουµε τις 3 µπάλες από τις 5. Ο

αριθµός αυτός δίνεται από την σχέση (1.22) για r=3 και n=5. Το σύνολο των

περιπτώσεων, δηλαδή οι τρόποι µε τους οποίους µπορούµε να εκλέξουµε 4

µπάλες από τις 8 δίνεται από την σχέση (1.22) για r=4 και n=8. Άρα από

τον ορισµό του Laplace η ζητούµενη πιθανότητα θα είναι


51

3 18 74

⋅ =

.

(Ο αριθµός 1 αντιστοιχεί στην εκλογή της µπάλας µε αριθµό 3).

Αν η δειγµατοληψία ήταν µε επανατοποθέτηση τότε η προηγούµενη

πιθανότητα θα ήταν

+ − ⋅

= < + −

5 3 11

3 35 1 .8 4 1 330 7

4

♦

Παράδειγµα 1.19 Το πόκερ, για όσους δεν γνωρίζουν, παίζεται µε

τράπουλα 52 χαρτιών (δηλαδή µια συνηθισµένη τράπουλα µε τέσσερα

σχήµατα, καρδιές, καρό, σπαθιά και µπαστούνια) . Μια παρτίδα πόκερ είναι

το µοίρασµα σε κάθε παίκτη 5 χαρτιών. Θα λέµε ότι ένας παίκτης έχει

ζευγάρι αν ο παίκτης αυτός έχει δύο χαρτιά µε την ίδια αξία (τα χαρτιά αυτά

αποτελούν το ζευγάρι) και τα υπόλοιπα τρία είναι διαφορετικά τόσο µεταξύ

τους, όσο και µε τα χαρτιά τα οποία αποτελούν το ζευγάρι. Σε µια παρτίδα

πόκερ ποια είναι η πιθανότητα να έχουµε ακριβώς ένα ζευγάρι;

Οι τρόποι µε τους οποίους µπορούµε να δώσουµε σε ένα παίκτη 5 χαρτιά

είναι οι συνδυασµοί των 52 χαρτιών ανά 5. Άρα

52

2.598.9605

=


Για να έχουµε ένα µοναδικό ζευγάρι θα πρέπει να συµβούν τα εξής στην

σειρά. α) Οι τρόποι µε τους οποίους µπορούµε να εκλέξουµε δύο ίδιας

αξίας χαρτιά είναι ( )42 6= (Στην τράπουλα υπάρχουν τέσσερα χαρτιά ίδιας

αξίας). Επειδή όµως έχουµε και 13 διαφορετικά χαρτιά σε κάθε σχήµα

σηµαίνει ότι έχουµε 13 ( )42 =13x6=78 διαφορετικούς τρόπους µε τους

οποίους µπορούµε να εκλέξουµε δύο ίδιας αξίας χαρτιά. β) Οι τρόποι µε

τους οποίους µπορούν να εκλεγούν τα υπόλοιπα τρία χαρτιά για να είναι

διαφορετικά από τα δύο προηγούµενα είναι ( )123 220= . Για να είναι δε και

διαφορετικά µεταξύ τους υπάρχουν 43=64 διαφορετικοί τρόποι. Άρα οι

ευνοϊκές περιπτώσεις θα είναι 6x13x220x64=1.098.240. Συνεπώς, από τον

ορισµό του Laplace (βλ. ορισµό 1.5), βρίσκουµε ότι η ζητούµενη

πιθανότητα ισούται µε

1.098.240 0,422.598.960

≈

♦

ΙΙ. Θεωρούµε ότι έχουµε n µπάλες και r διακεκριµένα δοχεία. Τότε

Α) Οι διαφορετικοί τρόποι µε τους οποίους n διακεκριµένες µπάλες

µπορούν να κατανεµηθούν στα r δοχεία είναι rn.

Β) Οι διαφορετικοί τρόποι µε τους οποίους n διακεκριµένες µπάλες

µπορούν να κατανεµηθούν στα r δοχεία έτσι ώστε το j-στο δοχείο (j=1, 2, . .

. ,r) να περιέχει nj µπάλες (nj≥0, r

jj 1n

=∑ =n) είναι


( )1 2 r1 2 r

n!nn n n n ! n ! n !

= (1.24)

Η ίδια σχέση δίνει απάντηση και στο επόµενο πρόβληµα: “Θεωρούµε n

αριθµηµένες µπάλες. Οι nj µπάλες, από τις n µπάλες είναι ίδιες µεταξύ

τους και διαφορετικές από τις υπόλοιπες. Τότε ο αριθµός των διαφορετικών

διατάξεων των n µπαλών δίνεται από την σχέση (1.24)”

Παρατήρηση. Οι αριθµοί nj καλούνται καταληπτικοί αριθµοί (occupancy

numbers).

Γ) Ο αριθµός των διαφορετικών τρόπων µε τους οποίους n µη

διακεκριµένες µπάλες µπορούν να κατανεµηθούν στα r δοχεία είναι

( )r n 1n

+ − (1.25)

∆) Οι διαφορετικοί τρόποι µε τους οποίους n µη διακεκριµένες µπάλες

µπορούν να κατανεµηθούν στα r δοχεία έτσι ώστε κανένα δοχείο να µην

µείνει κενό είναι

( )n 1r 1−− , (1.26)

µε την προϋπόθεση ότι n≥r.

Παράδειγµα 1.20 Να βρεθεί η πιθανότητα σε µια παρτίδα µπριτζ (bridge)

κάθε παίκτης να πάρει έναν άσσο. (Το µπριτζ παίζεται µε τέσσερες παίκτες

και κάθε παίκτης παίρνει 13 χαρτιά).

Υποθέτοντας ισοπίθανα αποτελέσµατα θα έχουµε. α) Για να βρούµε τις

ευνοϊκές περιπτώσεις, δηλαδή τον αριθµό των διαφορετικών τρόπων µε


τους οποίους µπορούµε να µοιράσουµε τα 52 χαρτιά έτσι ώστε ο καθ΄ ένας

να πάρει ένα άσσο σκεφτόµαστε ως εξής.

Υπάρχουν ( ) 4!1 1 1 1 1! 1! 1! 1!

4 4!= = διαφορετικοί τρόποι µε τους οποίους

µπορούµε να µοιράσουµε ένα άσσο σε κάθε παίκτη (Υπάρχουν 4 άσσοι).

Από τα υπόλοιπα 48 χαρτιά µπορούµε να δώσουµε 12 σε κάθε παίκτη µε

( ) 448! 48!

12 12 12 12 12! 12! 12! 12! (12!)48 = = τρόπους. Άρα οι ευνοϊκές περιπτώσεις

είναι 4

48!4!x

(12!). Το σύνολο των περιπτώσεων, δηλαδή ο αριθµός όλων των

διαφορετικών τρόπων µε τους οποίους µπορούµε να µοιράσουµε 13 χαρτιά

σε 4 παίκτες είναι ( ) 452! 52!

13 13 13 13 13! 13! 13! 13! (13!)52 = = . Άρα, από τον

ορισµό του Laplace, η ζητούµενη πιθανότητα είναι 4

44! 48! (13!)

(12!) 52!= 0,105.

♦

Παράδειγµα 1.21 Τα 11 γράµµατα της λέξης MISSISSIPPI ανακατεύονται

και στην συνέχεια τοποθετούνται σε µια σειρά.

α) Ποια είναι η πιθανότητα στην σειρά αυτή τα τέσσερα Ι να είναι

διαδοχικά;

Έστω το ενδεχόµενο Α=τα τέσσερα Ι να είναι διαδοχικά. Για να βρούµε

τις ευνοϊκές περιπτώσεις του ενδεχοµένου αυτού σκεφτόµαστε ως εξής.

Υπάρχουν οκτώ θέσεις για τα τέσσερα διαδοχικά Ι. Για κάθε θέση


υπάρχουν ( )1 4 27 διαφορετικοί τρόποι για τα υπόλοιπα 7 γράµµατα.

Συνεπώς οι ευνοϊκές περιπτώσεις είναι

8 ( )1 4 27

Το σύνολο των περιπτώσεων, δηλαδή όλες οι δυνατές διαφορετικές

µεταθέσεις των 11 γραµµάτων της λέξης MISSISSIPPI, είναι

( )1 4 4 211

Υποθέτοντας ισοπίθανα αποτελέσµατα, η ζητούµενη πιθανότητα είναι

( )

( )78 1 4 2

111 4 4 2

4 0,024165

= = .

β) Ποια είναι η πιθανότητα τα τέσσερα Ι να είναι διαδοχικά, δεδοµένου

ότι η σειρά αρχίζει µε το γράµµα Μ και τελειώνει µε το γράµµα S;

Έστω το ενδεχόµενο Β=η σειρά αρχίζει µε το γράµµα Μ και τελειώνει µε το

S. Τότε η ζητούµενη πιθανότητα γράφεται σαν Ρ(Α|Β). Για την πιθανότητα

αυτή θα έχουµε, σύµφωνα µε την ανάλυση που έγινε στο α):

( )( )

56 3 2P(A B) 1P(A | B) 0,04769P(B) 21

4 3 2= = = =

∩.

γ) Ποια είναι η πιθανότητα τα τέσσερα Ι να είναι διαδοχικά, δεδοµένου

ότι η σειρά τελειώνει µε τέσσερα διαδοχικά S;

Έστω το ενδεχόµενο Γ=η σειρά τελειώνει µε τέσσερα διαδοχικά S. Τότε η

ζητούµενη πιθανότητα γράφεται σαν Ρ(Α|Γ). Για την πιθανότητα αυτή θα

έχουµε, σύµφωνα µε την ανάλυση που έγινε στο α):


( )( )

34 1 2P(A Γ) 4P(A |Γ) 0,1147P(Γ) 35

1 2 4= = = =

∩.

♦

Θα κλείσουµε την ενότητα αυτή µε ένα σπουδαίο θεώρηµα το οποίο θα

δώσουµε χωρίς απόδειξη. Για τον σκοπό αυτό χρειάζονται οι επόµενοι

συµβολισµοί.

Θεωρούµε Μ ενδεχόµενα Αj, j=1, 2, . . . , M και ορίζουµε

So=1

S1=M

jj 1

P(A )=∑

S2= 1 2

1 2

M M

j jj 1 j 1

P(A A )= =∑∑ ∩

1≤j1<j2≤M

≈

Sr= 1 2 r

1 2 r

M M M

j j jj 1 j 1 j 1

P(A A A )= = =∑∑ ∑ ∩ ∩ ∩

1≤j1<j2≡<jr≤M

≈

SM=P(A1∩A2∩. . . ∩AM)

Ακόµη ορίζουµε τα ενδεχόµενα

Βm=ακριβώς m από τα Αj πραγµατοποιούνται

Γm=τουλάχιστον m από τα Αj πραγµατοποιούνται

∆m=το πολύ m από τα Αj πραγµατοποιούνται

Τότε ισχύει το επόµενο θεώρηµα


Θεώρηµα 1.6 Με βάση τον προηγούµενο συµβολισµό

( ) ( ) ( )M mm m m 1 m 2 M

m 1 m 2 MP(B ) S S S ( 1) Sm m m−

+ ++ += − + − + − (1.27)

η οποία για m=0 γράφεται

Ρ(Βο)=So-S1+S2- ∝-(-1)MSM,

και

Ρ(Γm)=P(Bm)+P(Bm+1)+∝+Ρ(BM)

και

Ρ(∆m)=P(Bo)+P(B1)+∝+P(Bm)

•

Παράδειγµα 1.22 Το πρόβληµα του ταιριάσµατος (The matching

problem) Θεωρούµε ότι έχουµε Μ δοχεία αριθµηµένα από το 1 έως το Μ

και Μ µπάλες αριθµηµένες, επίσης, από το 1 έως το Μ. Τοποθετούµε, στην

τύχη, µια µπάλα σε κάθε δοχείο. Εάν ο αριθµός του δοχείου και της µπάλας

είναι ίδιος, τότε λέµε ότι έχουµε ταίριασµα.

α) Ποια είναι η πιθανότητα να υπάρχει τουλάχιστον ένα ταίριασµα;

Ορίζουµε το ενδεχόµενο Αk=το ταίριασµα πραγµατοποιείται στο k δοχείο

(k=1, 2, . . .,M). Τότε, υποθέτοντας ισοπίθανα ενδεχόµενα,

k(M 1)!P(A )

M!−

= , 1 2k k

(M 2)!P(A A )M!−

=∩ , . . . , j

r

kj 1

(M r)!P AM!=

−=

∩ .

Συνεπώς ( )r(M r)! 1MS r M! r!

−= = .

Από τον ορισµό των ενδεχοµένων Βm και Γm , για m=1, έχουµε ότι η

ζητούµενη πιθανότητα είναι η Ρ(Γ1). Η πιθανότητα αυτή γράφεται σαν

Ρ(Γ1)=1-Ρ(Γο). Σύµφωνα µε το προηγούµενο θεώρηµα, θα έχουµε ότι


Ρ(Γ1)=1-Ρ(Γο)=1- So+S1-S2+ ∝ -(-1)MSM. Αντικαθιστώντας τα Sr από την

προηγούµενη σχέση έχουµε ότι

11 1 1P(Γ ) 1 1 12! 3! M!

= − + − + − + = 1 1 112! 3! M!

− + − + .

Όταν το Μ είναι αρκετά µεγάλο τότε Ρ(Γ1)≈1-e-1≈0,63212.

β) Ποια είναι η πιθανότητα να υπάρχουν ακριβώς m (0≤m≤M)

ταιριάσµατα; Η ζητούµενη πιθανότητα, σύµφωνα µε τον προηγούµενο

συµβολισµό, θα είναι η Ρ(Βm) και θα δίνεται από την σχέση (1.27). Η σχέση

αυτή, λαµβάνοντας υπ’ όψιν την ( )r(M r)! 1MS r M! r!

−= = γράφεται ως

M mm

1 (m 1)! 1 (m 2)! 1 M! 1P(B ) ( 1)m! m! (m 1)! m!2! (m 2)! m!(M m)! M!

−+ += − + − + −

+ + −

1 1 11 1

m! 2! (M m)!

= − + − ± −

M mk

k 0

1 1( 1)m! k!

−

=

= −∑ .

Στην περίπτωση που το M-m είναι πολύ µεγάλο (θεωρητικά τείνει στο

άπειρο) η τελευταία σχέση δίνει

1m

1P(B ) e(M m)!

−=−

.

Παράδειγµα 1.23 Συλλογή κουπονιών (Coupon collecting)

Υποθέτουµε ότι ο κατασκευαστής ενός προϊόντος έχει σε κάθε πακέτο του

προϊόντος και ένα κουπόνι. Κάθε κουπόνι έχει έναν από τους αριθµούς 1

έως Μ. Καθένας από τους αριθµούς αυτούς έχει την ίδια πιθανότητα να

εµφανισθεί σε κάθε πακέτο. Ποια είναι η πιθανότητα κάποιος που αγόρασε

n τέτοια πακέτα να έχει m από τους αριθµούς 1 έως Μ;


Έστω Βm το ενδεχόµενο ότι ακριβώς m από τους αριθµούς 1 έως Μ δεν

εµφανίζονται στο δείγµα των n πακέτων. Τότε, προφανώς, η ζητούµενη

πιθανότητα θα είναι η Ρ(Βm) και θα δίνεται από την σχέση (1.27). Για να

βρούµε την πιθανότητα αυτή θα πρέπει να ορίσουµε, κατάλληλα, τα

ενδεχόµενα Αj. Τα ενδεχόµενα αυτά ορίζονται ως Αj=ο αριθµός j δεν θα

εµφανισθεί στα n πακέτα που αγοράσθηκαν, (j=1,2, . . . , Μ). Τότε nn

j n

(M 1) 1P(A ) 1M M− = = −

, j=1,2, . . . , M

1 2

nn

j j n

(M 2) 2P(A A ) 1M M− = = −

∩ , 1

2 1

j 1, 2, . . . , Mj j +1, . . . , M==

και γενικώς

1 2 r

nn

j j j n

(M r) rP(A A A ) 1M M− = = −

∩ ∩ ∩ ,

1

2 1

r r-1

j 1, 2, . . . , Mj =j 1, . . . , M

j =j 1, . . . , M

=+

+

.

Συνεπώς η ποσότητα Sr θα δίνεται από την σχέση

( )n

rrMS 1r M

= −

, r=0, 1, 2, . . . , M.

Άρα η ζητούµενη πιθανότητα γράφεται ως

( ) ( )( )n n

mm m 1M m 1 MP(B ) 1 1m m m 1M M

+ += − − − + +

( )( ) ( )( )n n

M m 1 M mM 1 MM 1 M M M( 1) 1 ( 1) 1m M 1 m MM M− − −− −+ − − + − − −

.

Χρησιµοποιώντας το γεγονός ότι ( )m 1m = η προηγούµενη σχέση γράφετε

1.5 ΜΟΝΤΕΛΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΜΕ ΣΥΝΕΧΗ ∆ΕΙΓΜΑΤΙΚΟ ΧΩΡΟ 47

( )( )nM

r mm

r m

rr MP(B ) ( 1) 1m r M−

=

= − −

∑ .

Από την ταυτότητα ( )( ) ( )( )m r n n n mm m r m r+ −=+ και θέτοντας k=r-m

παίρνουµε ότι

( ) ( )nM m

km

k 0

m kM M mP(B ) ( 1) 1m k M

−

=

+ −= − −

∑ .

♦

1.5 ΜΟΝΤΕΛΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΜΕ ΣΥΝΕΧΗ ∆ΕΙΓΜΑΤΙΚΟ ΧΩΡΟ

Σαν ένα παράδειγµα πειράµατος τύχης µε συνεχή δειγµατικό χώρο, ας

θεωρήσουµε το πείραµα της εκλογής ενός αριθµού στο διάστηµα [0, 1].

Είναι φανερό ότι ο δειγµατικός χώρος του πειράµατος έχει άπειρα στοιχεία

και δεν µπορεί να γραφεί στην µορφή Ω= ω1, ω2, . . . κ.τ.λ.. Αυτό σηµαίνει

ότι ο δειγµατικός χώρος Ω δεν είναι αριθµήσιµος Ο δειγµατικός χώρος του

πειράµατος αυτού γράφεται ως Ω=ω|ω∈[0, 1].. Τέτοιοι δειγµατικοί χώροι

ονοµάζονται συνεχείς. Οι τρόποι υπολογισµού πιθανοτήτων, που ανα-

φέρθηκαν σε προηγούµενες παραγράφους, (βλ. ορισµό 1.3 και 1.4) δεν

είναι δυνατόν να εφαρµοσθούν σε συνεχείς χώρους. Είναι λογικό να

υποθέσουµε ότι οποιοσδήποτε αριθµός στο [0, 1] έχει την ίδια πιθανότητα

να εκλεγεί. Όµως ο µόνος τρόπος για να συµβεί αυτό είναι να δώσουµε σε

καθ’ ένα από τους άπειρους αριθµούς του διαστήµατος αυτού την


πιθανότητα µηδέν (0). Αυτό σηµαίνει ότι, σε πειράµατα µε συνεχή

δειγµατικό χώρο, η πιθανότητα σηµείου είναι µηδέν (0). Η λογική πίσω από

το γεγονός αυτό έγκειται στην αβεβαιότητά µας σχετικά µε πιο αριθµό

επιλέξαµε. Για παράδειγµα επιλέξαµε τον αριθµό 0,32 ή τον αριθµό 0,323 ή

τον 0,322 κ.τ.λ..

Ας δούµε τώρα πως µπορούµε να υπολογίσουµε πιθανότητες στην

περίπτωση ενός συνεχούς δειγµατικού χώρου. Η διαισθητική απάντηση στο

ερώτηµα “ποια είναι η πιθανότητα ο αριθµός που θα επιλέξουµε να ανήκει

στο διάστηµα [0, ½];” είναι ½. Οµοίως η πιθανότητα, ο αριθµός που θα

επιλέξουµε να ανήκει στο διάστηµα [¼, ½], είναι ¼. Ακόµη, η πιθανότητα ο

αριθµός που θα επιλέξουµε να ανήκει στο διάστηµα [0, ¼] ή στο διάστηµα

[¾, 1] είναι ½. Αν παρατηρήσουµε προσεκτικά τα παραδείγµατα αυτά θα

δούµε ότι αυτό που κάνουµε είναι να αντιστοιχούµε σε κάθε διάστηµα το

µήκος του και σαν πιθανότητα να παίρνουµε το µήκος του διαστήµατος

αυτού ως προς το µήκος του διαστήµατος που αποτελεί τον δειγµατικό

χώρο.

Για να δώσουµε το µοντέλο πιθανοτήτων ενός συνεχούς δειγµατικού

χώρου µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε τις επόµενες δύο παραδοχές.

Παραδοχή 1η. Για τον δειγµατικό χώρο Ω θα πρέπει να ισχύει ότι

Ρ(Ω)=1.

Παραδοχή 2η. Για δύο οποιαδήποτε ενδεχόµενα Α και Β, του Ω, µε

Α∩Β=Ø, να ισχύει Ρ(Α∪Β)=Ρ(Α)+Ρ(Β).

1.5 ΜΟΝΤΕΛΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΜΕ ΣΥΝΕΧΗ ∆ΕΙΓΜΑΤΙΚΟ ΧΩΡΟ 49

Οι παραδοχές αυτές καλύπτουν τις παραδοχές 1 και 2, [βλ. σχέσεις (1.2)

και (1.3)] και συνεπώς αποτελούν τις γενικές παραδοχές για τον ορισµό

ενός µοντέλου πιθανοτήτων ανεξάρτητα από την µορφή του δειγµατικού

χώρου.

Σηµείωση. Οι παραδοχές 1 και 2, όπως αυτές έχουν διατυπωθεί στα

διάφορα στάδια της ανάπτυξης του παρόντος κεφαλαίου, είναι µια απλή

µορφή του αξιωµατικού ορισµού της πιθανότητας όπως αυτή έχει

διατυπωθεί από τον Kolmogorov..

ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ

2.1 ΕΝΝΟΙΑ ΤΥΧΑΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

Στο προηγούµενο κεφάλαιο είδαµε πως µπορούµε να δώσουµε το

µοντέλο ενός πειράµατος τύχης και πως, βασισµένοι στο µοντέλο αυτό,

µπορούµε να υπολογίσουµε πιθανότητες για διάφορα ενδεχόµενα του

δειγµατικού χώρου του πειράµατος. Ο τρόπος που αναφέρθηκε στηρίχθηκε

στον δειγµατικό χώρο του πειράµατος. Πολλές φορές όµως ή ο δειγµατικός

χώρος του πειράµατος δεν µας ενδιαφέρει ή το ενδεχόµενο για το οποίο

ενδιαφερόµαστε δεν είναι ένα απλό ενδεχόµενο (υποσύνολο) του

δειγµατικού χώρου αλλά µια συνάρτηση των σηµείων του δειγµατικού

χώρου. Για παράδειγµα στην ρίψη ενός γνήσιου ζαριού δύο φορές µπορεί

να ενδιαφερόµαστε για το ενδεχόµενο “το άθροισµα των δύο ρίψεων να

είναι αριθµός περιττός”. Στην περίπτωση αυτή το συγκεκριµένο ενδεχόµενο

είναι µια συνάρτηση (απεικόνιση) των σηµείων του δειγµατικού χώρου του

πειράµατος στο σύνολο των αριθµών 3, 5, 7, 9, 11. Η συνάρτηση αυτή

ΚΕΦ. 2 – ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ 52

ονοµάζεται τυχαία µεταβλητή. Πιο συγκεκριµένα µπορούµε να δώσουµε τον

επόµενο ορισµό.

Ορισµός 2.1 Έστω Ω ο δειγµατικός χώρος ενός πειράµατος τύχης.

Μια απεικόνιση του Ω στο σύνολο των πραγµατικών αριθµών

ονοµάζεται τυχαία µεταβλητή (τ.µ.)

Η απεικόνιση αυτή µπορεί να αφορά και τον ίδιο τον δειγµατικό χώρο. Για

παράδειγµα στο πείραµα του στριψίµατος ενός γνήσιου ζαριού ο

δειγµατικός χώρος είναι ο Ω=Κ. Γ. Αν χρησιµοποιήσουµε την απεικόνιση

Κ→1 και Γ→0, τότε ο αρχικός δειγµατικός χώρος Ω είναι ισοδύναµος µε τον

δειγµατικό χώρο Ω=0, 1. (Στην θέση του 1 και 0 µπορούµε να

χρησιµοποιήσουµε οποιουσδήποτε αριθµούς θέλουµε). Βλέπουµε λοιπόν

ότι η εισαγωγή της έννοιας της τυχαίας µεταβλητής µας επιτρέπει να

εργαζόµαστε µόνο µε αριθµούς. Αυτό έχει σαν αποτέλεσµα τόσο ο

δειγµατικός χώρος, όσο και τα ενδεχόµενά του να µπορούν να

περιγραφούν µε ευκολότερο και απλούστερο τρόπο.

Συνηθίζεται να συµβολίζουµε τις τ. µ. µε τα τελευταία, κεφαλαία,

γράµµατα του Λατινικού αλφάβητου π. χ. X, Y, Z και τις τιµές αυτών µε τα

αντίστοιχα µικρά. Π. χ. αν Χ είναι µια τ. µ. τότε οι τιµές αυτής συµβολίζονται

ως x1, x2, . . . .

Από τον ορισµό 2.1 γίνεται φανερό ότι σε κάθε σηµείο του πεδίου τιµών

της τ. µ. Χ αντιστοιχεί µία πιθανότητα. Ο τρόπος µε τον οποίο µπορούµε να

υπολογίσουµε την πιθανότητα αυτή περιγράφεται στα επόµενα δύο

παραδείγµατα.

2.1 ΕΝΝΟΙΑ ΤΥΧΑΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ 53

Παράδειγµα 2.1 Θεωρούµε το πείραµα της ρίψης δύο γνήσιων ζαριών.

Ορίζουµε την τ. µ. Χ µε τιµές το άθροισµα των αποτελεσµάτων των δύο

ζαριών. Προφανώς οι τιµές της Χ είναι οι x1=2, x2=3, x3=4, x4=5, x5=6, x6=7,

x7=8, x8=9, x9=10, x10=11 και x11=12. Η πιθανότητα για κάθε µία από τις

τιµές αυτές είναι. (Σε ότι ακολουθεί µε (α, β) συµβολίζουµε το ενδεχόµενο το

1ο ζάρι να φέρει α και το 2ο να φέρει β).

Ρ(Χ=2)=Ρ(1, 1)=1/36

Ρ(Χ=3)= Ρ(1, 2) ή (2, 1)=2/36

Ρ(Χ=4)= Ρ(1, 3) ή (2, 2) ή (3, 1)=3/36

Ρ(Χ=5)= Ρ(1, 4) ή (2, 3) ή (3, 2) ή (4, 1)=4/36

Ρ(Χ=6)= Ρ(1, 5) ή (2, 4) ή (3, 3) ή (4, 2) ή (5, 1)=5/36

Ρ(Χ=7)= Ρ(1, 6) ή (2, 5) ή (3, 4) ή (4, 3) ή (5, 2) ή (6, 1)=6/36

Ρ(Χ=8)= Ρ(2, 6) ή (3, 5) ή (4, 4) ή (5, 3) ή (6, 2)=5/36

Ρ(Χ=9)= Ρ(3, 6) ή (4, 5) ή (5, 4) ή (6, 3)=4/36

Ρ(Χ=10)= Ρ(4, 6) ή (5, 5) ή (6, 4)=3/36

Ρ(Χ=11)= Ρ(5, 6) ή (6, 5)=2/36

Ρ(Χ=12)=Ρ(6, 6)=1/36

Συνεπώς για την τ. µ. Χ θα έχουµε

Τιµές τ. µ. Χ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Πιθανότητες 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36

Από τον πίνακα αυτό βλέπουµε ότι το άθροισµα των πιθανοτήτων που

αντιστοιχούν στις τιµές της τ. µ. Χ, είναι ίσο µε την µονάδα. Αυτό σηµαίνει

ότι οι τιµές αυτές αποτελούν τον δειγµατικό χώρο για την συγκεκριµένη τ. µ.

Παράδειγµα 2.2 Θεωρούµε ότι έχουµε δύο γνήσια νοµίσµατα τα οποία

στρίβουµε µια φορά. Έστω Χ η τ. µ. µε τιµές τον αριθµό των κορωνών. Οι


τιµές της Χ , προφανώς, θα είναι οι x1=0, x2=1, x3=2. Η πιθανότητα για κάθε

µία από τις τιµές αυτές είναι. (Το ενδεχόµενο το 1ο νόµισµα να φέρει α και

το 2ο β το συµβολίζουµε µε (α, β)).

Ρ(Χ=0)=Ρ(Γ, Γ)=1/4

Ρ(Χ=1)=Ρ(Κ, Γ) ή (Γ, Κ)=2/4

Ρ(Χ=2)=Ρ(Κ, Κ)=1/4.

Συνεπώς για την τ. µ. Χ θα έχουµε

Τιµές τ. µ. Χ 0 1 2

Πιθανότητες 1/4 2/4 1/4

Και από τον πίνακα αυτό βλέπουµε ότι το άθροισµα των πιθανοτήτων που

αντιστοιχούν στις τιµές της τ. µ. Χ, είναι ίσο µε την µονάδα.

♦

Σε αντιστοιχία µε τους δειγµατικούς χώρους οι τ.µ. χωρίζονται σε δύο

µεγάλες κατηγορίες, τις διακριτές και τις συνεχείς. Πιο συγκεκριµένα έχουµε

Ορισµός 2.2 Μια τ.µ. Χ θα λέγεται διακριτή αν το πεδίο τιµών της

είναι πεπερασµένο ή άπειρο αλλά αριθµήσιµο.

Ορισµός 2.3 Μια τ.µ. Χ θα λέγεται συνεχής αν το πεδίο τιµών της

είναι ένα υποσύνολο της ευθείας των πραγµατικών αριθµών.

Παρατήρηση 2.1 Οι τυχαίες µεταβλητές των ορισµών 2.2. και 2.3, από

κοινού, ονοµάζονται ποσοτικές µεταβλητές. Σε αντίθεση µε τις ποσοτικές

υπάρχουν και οι ποιοτικές ή κατηγορικές τυχαίες µεταβλητές.

2.1 ΕΝΝΟΙΑ ΤΥΧΑΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ 55

Ένα σηµαντικό ρόλο στον υπολογισµό πιθανοτήτων, για τις τιµές µιας

τ.µ., παίζει και η έννοια της αθροιστικής συνάρτησης κατανοµής που

ορίζεται ως

Ορισµός 2.4 Έστω Χ µια οποιαδήποτε (διακριτή ή συνεχής) τυχαία

µεταβλητή. Τότε η αθροιστική συνάρτηση κατανοµής (α.σ.κ.) ή απλώς

η συνάρτηση κατανοµής (σ.κ.) συµβολίζεται µε F(x) και δίνεται από

την σχέση

F(x)=P(X≤x) , -∞≤x≤∞. (2.1)

Η αθροιστική συνάρτηση κατανοµής είναι λοιπόν η πιθανότητα η τ.µ. Χ να

πάρει τιµές µικρότερες ή ίσες από µια οποιαδήποτε τιµή της x. Το πεδίο

τιµών της Χ είναι πάντοτε από – ∞ έως + ∞. Οι επόµενες ιδιότητες είναι

άµεση συνέπεια του ορισµού 2.4. Η απόδειξη των ιδιοτήτων αυτών είναι

αρκετά απλή και αφήνεται στον αναγνώστη.

Ιδιότητα F1. Αν x1 και x2 είναι δύο οποιεσδήποτε τιµές της τ.µ. Χ, µε x1 ≤ x2,

τότε F(x1)≤F(x2).

Η σχέση αυτή µας λέει ότι η F(x) είναι µία µη φθίνουσα συνάρτηση του x.

Ιδιότητα F2. F(∞)=1.

Με λόγια η ιδιότητα αυτή µας λέει ότι, η πιθανότητα η τ.µ. Χ να πάρει τιµές

µικρότερες ή ίσες της µεγαλύτερης τιµής της, ισούται µε την µονάδα. Με

άλλα λόγια είναι ένα βέβαιο ενδεχόµενο.

Ιδιότητα F3. F(-∞)=0


Η φυσική σηµασία της ιδιότητας αυτής είναι ότι, η πιθανότητα η τ.µ. Χ να

πάρει τιµές µικρότερες ή ίσες της µικρότερης τιµής της, ισούται µε το µηδέν.

Είναι δηλαδή ένα αδύνατο ενδεχόµενο.

Αν γνωρίζουµε την συνάρτηση κατανοµής µιας τ.µ. Χ, τότε µπορούµε να

υπολογίσουµε όλες τις δυνατές πιθανότητες που σχετίζονται µε την τ.µ. Χ.

Αυτό σηµαίνει ότι µπορούµε τις πιθανότητες αυτές να τις εκφράσουµε

συναρτήσει της συνάρτησης κατανοµής. Για παράδειγµα, αν x1 και x2 είναι

δύο οποιεσδήποτε τιµές της τ.µ. Χ, µε x1 ≤ x2, τότε πιθανότητα Ρ(x1<X≤x2),

µπορεί να γραφεί ως

Ρ(x1<X≤x2)=F(x2)-F(x1),

επειδή Ρ(x1<X≤x2)=Ρ(X≤x2)-P(X≤x1).

2.2 ΜΟΝΤΕΛΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ∆ΙΑΚΡΙΤΩΝ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ

Σύµφωνα µε τον ορισµό 2.2 διακριτή είναι εκείνη η τ.µ. που έχει ένα

πεπερασµένο ή αριθµήσιµο πλήθος τιµών. Συνεπώς σε κάθε τιµή, x, της Χ

µπορούµε να αντιστοιχίσουµε µια πιθανότητα.

Ορισµός 2.5 Την συνάρτηση που αντιστοιχεί σε κάθε τιµή, x, της τ.µ.

Χ µια πιθανότητα την ονοµάζουµε συνάρτηση πιθανότητας (σ.π.) και

την συµβολίζουµε µε p(x), δηλαδή

p(x)=P(X=x). (2.2)

2.2 ΜΟΝΤΕΛΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ∆ΙΑΚΡΙΤΩΝ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 57

Από την σχέση (2.2) µπορούµε εύκολα να επαληθεύσουµε ότι η συνάρτηση

πιθανότητας έχει τις επόµενες ιδιότητες.

Ιδιότητα p1. p(x)≥0 για κάθε τιµή της τ.µ. Χ

Ιδιότητα p2. x

p(x) 1=∑

Με την βοήθεια των ιδιοτήτων αυτών µπορούµε να ελέγξουµε αν µία

δοθείσα συνάρτηση είναι συνάρτηση πιθανότητας.

Παράδειγµα 2.3 Να εξετασθεί ποιες από τις παρακάτω συναρτήσεις

µπορούν να θεωρηθούν σαν συναρτήσεις πιθανότητας µιας τ.µ. Χ

α) 2 xg(x)

3+

= , x=-1, 0, 1, 2, 3.

β) x

λ λg(x) ex!

−= , x=0, 1, 2, . . .

γ) g(x)=x 1

5−

, x=1, 2, 3, 4

δ) g(x)=2x

k(k 1)+, x=1, 2, . . . , k

Για την (α) περίπτωση είναι εύκολο να δούµε ότι η συνάρτηση g(x) δεν

µπορεί να είναι µια συνάρτηση πιθανότητας µιας διακριτής τ. µ. Χ διότι

g(2)=4/3 (>1) και g(3)=5/3 (>1). ∆ηλαδή για τις τιµές, της Χ, 2 και 3 η

ιδιότητα p1 δεν ικανοποιείτε. (Στην περίπτωση αυτή δεν είναι απαραίτητο

να εξετάσουµε την ισχύ ή µη της δεύτερης ιδιότητας).

Για την περίπτωση (β) είναι προφανές ότι η ιδιότητα p1 ικανοποιείτε. Θα

πρέπει λοιπόν να εξετάσουµε την ισχύ ή µη της ιδιότητας p2. Γι’ αυτήν θα

έχουµε


x x 2 3λ λ λ λ λ

x 0 x 0 x 0

λ λ λ λ λg(x) e e e 1 e e 1x! x! 1! 2! 3!

∞ ∞ ∞− − − −

= = =

= = = + + + + = =

∑ ∑ ∑ .

Άρα η x

λ λg(x) ex!

−= , x=0, 1, 2, . . . είναι η συνάρτηση πιθανότητας µιας

διακριτής τυχαίας µεταβλητής Χ. (Η συνάρτηση αυτή, στην θεωρία των

πιθανοτήτων, έχει ένα ιδιαίτερο όνοµα. Βλέπε σχετικά § 2.2.6)

Στην περίπτωσης (γ) οι τιµές της συνάρτησης ικανοποιούν την ιδιότητα p1.

∆εν ικανοποιούν όµως την ιδιότητα p2. Άρα η συνάρτηση αυτή δεν µπορεί

να είναι η συνάρτηση πιθανότητας µιας διακριτής τ. µ. Χ

Στην περίπτωση (δ) είναι προφανές ότι οι τιµές της g(x) ικανοποιούν την

ιδιότητα p1. Για την ιδιότητα p2 θα έχουµε

( )k k

x 1 x 1

k(k 1)2x 2 2g(x) 1 2 3 k 1k(k 1) k(k 1) k(k 1) 2= =

+= = + + + + = =+ + +∑ ∑ .

Συνεπώς η g(x) είναι η συνάρτηση πιθανότητας µιας διακριτής τυχαίας

µεταβλητής.

♦

Αν γνωρίζουµε την συνάρτηση πιθανότητας p(x) µιας τυχαίας µεταβλητής

Χ, τότε η συνάρτηση κατανοµής F(x) δίνεται από τη σχέση

i

ix x

F(x) p(x )≤

= ∑ (2.3)

όπου x i και x είναι τιµές της τυχαίας µεταβλητής Χ.

Για παράδειγµα, έστω Χ µια τυχαία µεταβλητή µε συνάρτηση

πιθανότητας

p(1)=1/2, p(2)=1/3 και p(3)=1/6.

Τότε η συνάρτηση κατανοµής της Χ δίνεται από την σχέση


0, x 11/ 2, 1 x 2

F(x)5 / 6, 2 x 3

1, x 3

< ≤ <= ≤ < ≥

.

Η γραφική απεικόνιση της F(x) δίνεται στο επόµενο σχήµα.

F(x)

1 -

5/6 -

1/2 -

x 0 1 2 3

Σχήµα 2.1 Γραφική απεικόνιση της F(x).

Όπως φαίνεται από το σχήµα 2.1 η µορφή της F(x) είναι µια κλιµακωτή

συνάρτηση (step function). Γραφικές απεικονίσεις της F(x) αυτής της

µορφής είναι, γενικώς, χαρακτηριστικό των διακριτών τυχαίων µεταβλητών.

Αντίστροφα, εάν γνωρίζουµε την συνάρτηση κατανοµής F(x), µιας

διακριτής τυχαίας κατανοµής Χ, τότε η συνάρτηση πιθανότητας της Χ

δίνεται από την σχέση

p(x)=F(x)-F(x-), (2.4)

όπου το x- δηλώνει την αµέσως προηγούµενη τιµή της x. Η σχέση αυτή

προκύπτει από το γεγονός ότι η Χ δεν παίρνει καµία τιµή µεταξύ των τιµών


x- και x. Άρα µπορούµε να γράψουµε p(x)=P(x-<X≤x) και µε την βοήθεια

της Ρ(x1<X≤x2)=F(x2)-F(x1) παίρνουµε την προηγούµενη σχέση.

Η σχέση (2.4) µας επιτρέπει να βρίσκουµε την συνάρτηση πιθανότητας

µιας διακριτής τυχαίας µεταβλητής από την γραφική παράσταση της

συνάρτησης κατανοµής. Ο τρόπος εύρεσης παρουσιάζεται στο επόµενο

σχήµα.

F(x)

1 - p(3)=1-5/6=1/6 5/6 - p(2)=5/6-1/2=1/3

1/2 -

p(1)=1/2 x 0 1 2 3

Σχήµα 2.2. Εύρεση της συνάρτησης πιθανότητας από την γραφική

παράσταση της συνάρτησης κατανοµής.

Αν γνωρίζουµε την συνάρτηση κατανοµής F(x), µιας διακριτής τυχαίας

µεταβλητής Χ, τότε ο υπολογισµός διαφόρων πιθανοτήτων της Χ, µε τη

βοήθεια της F(x), γίνεται σύµφωνα µε τις επόµενες σχέσεις.

P(α X β) F(β) F(α)< ≤ = − (2.5)

P(α X β) F(β) F(α )≤ ≤ = − − (2.6)

P(α X β) F(β ) F(α).≤ < = − − (2.7)


(Το α- και β- συµβολίζει, αντίστοιχα, τους αµέσως προηγούµενους

αριθµούς από τους α και β).

Στη συνέχεια θα παρουσιάσουµε µερικά γνωστά µοντέλα πιθανοτήτων

για διακριτές τυχαίες µεταβλητές.

2.2.1 BERNOULLI ΤΥΧΑΙΑ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗ ´H KΑΤΑΝΟΜΗ BERNOULLI

Ας θεωρήσουµε ένα πείραµα τύχης το οποίο πληρεί τις επόµενες

ιδιότητες:

1) Έχει δύο δυνατά αποτελέσµατα. Τα αποτελέσµατα αυτά θα τα

ονοµάσουµε συµβολικά “Επιτυχία” (Ε) και ”Αποτυχία” (Α).

2) Το πείραµα αυτό εκτελείται µία µόνο φορά.

Ένα τέτοιο πείραµα ονοµάζεται πείραµα Bernoulli.

Έστω Χ η τυχαία µεταβλητή µε τιµές τον αριθµό των “επιτυχιών” που

εµφανίζονται στην µία εκτέλεση του πειράµατος. Τότε οι τιµές της Χ θα είναι

οι x=0, 1. ανάλογα αν έχουµε καµία ή µία “επιτυχία”, αντίστοιχα. Αν p είναι η

πιθανότητα “Επιτυχίας”, τότε η συνάρτηση πιθανότητας p(x) της Χ είναι η

p(0) p(X 0) 1 p,p(1) p(X 1) p= = = − = = = (2.8)

Η τυχαία µεταβλητή Χ η οποία περιγράφει το πείραµα αυτό λέγεται

Bernoulli τυχαία µεταβλητή.


2.2.2 ∆ΙΩΝΥΜΙΚΗ ΤΥΧΑΙΑ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗ Ή

∆ΙΩΝΥΜΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ

Ας θεωρήσουµε πάλι ένα πείραµα τύχης το οποίο

1) έχει δύο δυνατά αποτελέσµατα τα οποία συµβολικά τα ονοµάζουµε

“επιτυχία” και ”αποτυχία”,

2) εκτελείται πεπερασµένο αριθµό φορών, έστω n (1 n≤ < ∞ ), όπου n

συγκεκριµένος σταθερός αριθµός.

3) η πιθανότητα “επιτυχίας”, έστω p, παραµένει σταθερή σε κάθε

εκτέλεση του πειράµατος και

4) οι εκτελέσεις του πειράµατος είναι ανεξάρτητες µεταξύ τους,

τότε το πείραµα αυτό θα το ονοµάζουµε διωνυµικό πείραµα.

Για να περιγράψουµε το πείραµα αυτό αρκεί να γνωρίζουµε την

πιθανότητα να έχουµε x “επιτυχίες” στις n εκτελέσεις του πειράµατος. Έστω

λοιπόν Χ η τυχαία µεταβλητή µε τιµές τον αριθµό των “επιτυχιών” στις n

εκτελέσεις του πειράµατος. Η Χ ονοµάζεται διωνυµική τυχαία µεταβλητή.

Οι τιµές της Χ είναι x=0, 1, 2, . . ., n, αφού σε n εκτελέσεις του πειράµατος

µπορεί να µην έχουµε καµία επιτυχία, να έχουµε µία, δύο ή το πολύ n

επιτυχίες. Η ζητούµενη πιθανότητα P(X=x) είναι η συνάρτηση πιθανότητας

p(x) της Χ. Για να την βρούµε σκεφτόµαστε ως εξής. Ας συµβολίσουµε µε Ε

την “επιτυχία” και µε A την “αποτυχία”. Τότε ο δειγµατικός χώρος του

πειράµατος θα αποτελείται από n-άδες της µορφής

n n

EEAAA A, AEAEE E κ.λ.π.,


όπου, σε κάθε n-άδα, το πρώτο γράµµα αντιστοιχεί στο αποτέλεσµα της

πρώτης εκτέλεσης, το δεύτερο γράµµα στο αποτέλεσµα της δεύτερης

εκτέλεσης κ.ο.κ..

Είναι προφανές ότι αν σε µία οποιαδήποτε n-άδα έχουµε x “επιτυχίες”, τότε

θα έχουµε και n-x “αποτυχίες”. Επειδή οι εκτελέσεις του πειράµατος είναι

ανεξάρτητες µεταξύ τους η πιθανότητα σε µια οποιαδήποτε n-άδα, να

έχουµε x “επιτυχίες” θα δίνεται από την σχέση

x n xp (1 p) −− . (2.9)

Η ζητούµενη πιθανότητα, p(x)=P(X=x), θα προκύψει αν αθροίσουµε τις

πιθανότητες όλων των n-άδων µε x επιτυχίες. Επειδή όµως η πιθανότητα

αυτή είναι η ίδια για όλες τις n-άδες γι’ αυτό θα πρέπει να

πολλαπλασιάσουµε την σχέση (2.9) µε τον αριθµό των n-άδων που έχουν x

επιτυχίες. Ο αριθµός αυτός είναι όλοι οι διαφορετικοί τρόποι µε τους

οποίους n διακεκριµένες µπάλες (εδώ οι n εκτελέσεις του πειράµατος)

µπορούν να κατανεµηθούν στα r δοχεία (εδώ r=2) έτσι ώστε το ένα δοχείο

να περιέχει x µπάλες (εδώ οι x µπάλες είναι οι “επιτυχίες”) και το άλλο n-x

µπάλες (εδώ οι n-x µπάλες είναι οι n-x “αποτυχίες”). Ο αριθµός αυτός

δίνεται από την σχέση (βλέπε και σχέση (1.23))

n n!x n x x!(n x)!

= − − .

Από την (1.21) παίρνουµε ότι η τελευταία σχέση είναι οι συνδυασµοί των n

µπαλών ανά x. Άρα η συνάρτηση πιθανότητας της διωνυµικής τυχαίας

µεταβλητής θα δίνεται από την σχέση

x n xnp(x) P(X x) p (1 p)

x−

= = = −

, x=0, 1, 2, . . . , n; 0≤p≤1. (2.10)


Από την προηγούµενη σχέση είναι προφανές ότι η p(x) ικανοποιεί την

ιδιότητα p1 (βλέπε σελ. 55). Με την βοήθεια των διωνυµικών συντελεστών

µπορούµε να δείξουµε ότι η p(x) ικανοποιεί και την ιδιότητα p2, ότι δηλαδή n

x 1p(x) 1

=

=∑ .

Το γεγονός ότι η Χ είναι µια διωνυµική τυχαία µεταβλητή (ή σε διαφορετική

ισοδύναµη διατύπωση, η τυχαία µεταβλητή Χ ακολουθεί την διωνυµική

κατανοµή) το συµβολίζουµε µε Χ~Β(x; n, p).

Η γραφική παράσταση της διωνυµικής κατανοµής για Β(x;12, ¼ ) και

Β(x; 10, ½ ) παρουσιάζεται στα σχήµατα 2.3 και 2.4 αντίστοιχα.

p(x)

0,25- 0,20- 0,15- 0,10- 0,05- x

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Σχήµα 2.3 Γραφική παράσταση της συνάρτησης πιθανότητας της

∆ιωνυµικής κατανοµής µε n=12 και p=1/4. (Οι πιθανότητες για n≥8 είναι

αµελητέες)


p(x)

0,25- 0,20- 0,15- 0,10- 0,05- x

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x

Σχήµα 2.4 Γραφική παράσταση της συνάρτησης πιθανότητας της

∆ιωνυµικής κατανοµής µε n=10και p=1/2.

Παράδειγµα 2.4 Θεωρούµε τέσσερα γνήσια νοµίσµατα τα οποία στρίβουµε

µια φορά. Ζητάµε την πιθανότητα να πάρουµε δύο κορώνες και δύο

γράµµατα.

Πριν προχωρήσουµε στην λύση του παραδείγµατος θα πρέπει να τονισθεί

ότι η ζητούµενη πιθανότητα είναι η ίδια και στην περίπτωση που θέλουµε

δύο κορώνες ή δύο γράµµατα.

Στο πείραµα αυτό έχουµε δύο δυνατά αποτελέσµατα: κορώνα (Κ) και

γράµµατα (Γ). Το πείραµα εκτελείται τέσσερες φορές. (Αυτό προκύπτει από

το γεγονός ότι το να στρίψουµε τέσσερα νοµίσµατα µια φορά είναι

ισοδύναµο µε το να στρίψουµε ένα νόµισµα τέσσερες φορές. Βλέπε και

παράδειγµα 1.2). Αν θεωρήσουµε σαν “επιτυχία” την κορώνα (Κ), τότε η

πιθανότητα “επιτυχίας”, p, παραµένει σταθερή και ίση µε ½ σε κάθε

εκτέλεση του πειράµατος. Τέλος οι εκτελέσεις του πειράµατος είναι


ανεξάρτητες µεταξύ τους. (Αυτό προκύπτει από τον τρόπο που εκτελείται το

πείραµα). Άρα λοιπόν το πείραµά µας είναι ένα διωνυµικό πείραµα.

Ας συµβολίσουµε µε Χ την διωνυµική τυχαία µεταβλητή. Τότε Χ~Β(x; 4, ½ ).

Η Χ θα εκφράζει τον αριθµό των κορωνών στις τέσσερες ρίψεις του

νοµίσµατος και οι τιµές της Χ θα είναι οι x=0, 1, 2, 3, 4. Συνεπώς η

συνάρτηση πιθανότητας της Χ, µε βάση την σχέση (2.10), θα είναι η

( )( )x 4 x1 12 2

4p(x) P(X x) (1 )x−= = = − = ( )( )41

24x ,x=0, 1, 2, 3, 4.

Με βάση την συνάρτηση πιθανότητας είναι εύκολο να δούµε ότι η

ζητούµενη πιθανότητα θα ισούται µε

( )( ) ( )4 41 12 2

4! 1 34p(2) P(X 2) = 62 2!2! 16 8= = = = =

♦

Ο υπολογισµός των διωνυµικών πιθανοτήτων µπορεί να γίνει µε

τέσσερις τρόπους.

α) Άµεσα (για µικρές τιµές του n) από την συνάρτηση πιθανότητας (βλ.

σχέση (2.10)).

β) Έµµεσα µε την βοήθεια του επόµενου αναγωγικού τύπου

(n-x+1)pp(x)= p(x 1)x(1-p)

− .

γ) Με την βοήθεια κατάλληλων πινάκων. Βλέπε πίνακα Ι στο τέλος του

βιβλίου.

δ) Προσεγγιστικά από την Poisson ή την κανονική τυχαία µεταβλητή.

(Βλέπε § 2.2.6 και § 2.3.5, αντίστοιχα).


Παράδειγµα 2.5 Ο κινητήρας ενός αεροπλάνου έχει πιθανότητα p να

λειτουργήσει σωστά καθ’ όλη την διάρκεια µιας πτήσης. Για να έχει ένα

αεροπλάνο ασφαλή πτήση θα πρέπει να λειτουργούν τουλάχιστον οι µισοί

από τους κινητήρες του. Να βρεθεί για ποιες τιµές του p η πτήση µε ένα

τετρακινητήριο αεροπλάνο είναι ασφαλέστερη από την πτήση µε ένα

δικινητήριο αεροπλάνο. (Σε ένα αεροπλάνο κάθε κινητήρας λειτουργεί

ανεξάρτητα από τον άλλο).

Είναι εύκολο να δούµε ότι τόσο σε ένα τετρακινητήριο αεροπλάνο, όσο και

σε ένα δικινητήριο, πληρούνται οι τέσσερις προϋποθέσεις του διωνυµικού

πειράµατος. Έτσι αν µε Χ συµβολίσουµε τον αριθµό των κινητήρων που

λειτουργούν ικανοποιητικά κατά την διάρκεια µιας πτήσης, τότε για µεν το

τετρακινητήριο αεροπλάνο Χ~Β(x; 4, p) µε x=0, 1, 2, 3, 4, για δε το

δικινητήριο Χ~Β(x;2, p) µε x=0, 1, 2.

Στο τετρακινητήριο αεροπλάνο η πιθανότητα να λειτουργούν οι µισοί από

τους κινητήρες του είναι

P(X 2) P(X 2) P(X 3) P(X 4)≥ = = + = + =

( ) ( ) ( )2 2 3 1 44 4 4p (1 p) p (1 p) p2 3 4= − + − +

2 2 3 46p (1 p) 4p (1 p) p= − + − + .

Αντίστοιχα για ένα δικινητήριο αεροπλάνο θα έχουµε

P(X 1) P(X 1) P(X 2)≥ = = + =

( ) ( ) 22 2p(1 p) p1 2= − +

22p(1 p) p= − + .


Για να είναι η πτήση ενός τετρακινητήριου αεροπλάνου ασφαλέστερη από

αυτήν ενός δικινητήριου θα πρέπει να ισχύει η ανισότητα Ρ(Χ≥2)>R(X≥1).

Αντικαθιστώντας θα έχουµε διαδοχικά 2 2 3 46p (1 p) 4p (1 p) p− + − + > 22p(1 p) p− +

ή 3p3-8p2+7p-2>0

ή (p-1)2(3p-2)>0

ή p>2/3.

Άρα, εάν η πιθανότητα λειτουργίας ενός κινητήρα ικανοποιεί την ανισότητα

p>2/3, τότε η πτήση µε ένα τετρακινητήριο αεροπλάνο είναι ασφαλέστερη

από αυτήν ενός δικινητήριου.

♦

2.2.3 ΥΠΕΡΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΤΥΧΑΙΑ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗ Ή ΥΠΕΡΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ

Το υπεργεωµετρικό πείραµα µπορεί να περιγραφεί ως εξής. Θεωρούµε

ένα δοχείο µε a+b µπάλες, από τις οποίες οι a έχουν µια κοινή ιδιότητα (π.

χ. ίδιο χρώµα, ίδιο σχήµα). Από το δοχείο εκλέγουµε n µπάλες χωρίς

επανάθεση. (∆ηλαδή κάθε µπάλα που εκλέγεται δεν τοποθετείται πάλι µέσα

στο δοχείο).

Στο πείραµα αυτό ζητάµε την πιθανότητα οι x, από τις n µπάλες, να είναι

από τις a. Η τυχαία µεταβλητή Χ µε τιµές τον αριθµό των µπαλών, στις n,

από τις a, ονοµάζεται υπεργεωµετρική τυχαία µεταβλητή.

Η ζητούµενη πιθανότητα είναι η συνάρτηση πιθανότητας της τυχαίας

µεταβλητής Χ. Για να βρούµε την συνάρτηση αυτή θα χρησιµοποιήσουµε

τον κλασικό ορισµό της πιθανότητας (βλ. ορισµό 1.4). Ο συνολικός αριθµός


των τρόπων µε τους οποίους οι n µπάλες µπορούν να εκλεγούν από τις

a+b είναι οι συνδυασµοί των a+b ανά n. Οι τρόποι αυτοί δίνονται από την

σχέση (βλ. σχέση 1.21),

( )a bn+ .

Εξ’ άλλου όλοι οι δυνατοί τρόποι µε τους οποίους µπορούµε να εκλέξουµε x

µπάλες από τις a και n-x µπάλες από τις b, δίνονται από την σχέση

( )( )a bx n x− .

Άρα η ζητούµενη πιθανότητα θα είναι η

( )( )( )

a bx n xP(X x)

a bn

−= =

+, x=0, 1, 2, . . ., min(a, n). (2.11)

Το γεγονός ότι η Χ είναι µια υπεργεωµετρική τυχαία µεταβλητή (ή µε

άλλη ισοδύναµη διατύπωση, η Χ έχει την υπεργεωµετρική κατανοµή)

συµβολίζεται ως Χ∼Hg(x; n, a, b).

Για την (2.11) η ισχύς της ιδιότητος p1 είναι προφανής. Η απόδειξη της

ιδιότητας p2 βασίζεται στο γεγονός ότι

( )( ) ( )n

x 0

a b a bx n x n

=

+=−∑ .

Παράδειγµα 2.6 Σε µια πόλη (εκτός Ελλάδος) η εφορία γνωρίζει ότι από τις

20 επιχειρήσεις, που έχουν έδρα την περιοχή ευθύνης της, οι 6

φοροδιαφεύγουν. Υποθέτουµε ότι ο προϊστάµενος της εφορίας δίνει εντολή

να ελεγχθούν τα βιβλία σε 6 τυχαία επιλεγµένες επιχειρήσεις. Ποιος είναι ο


αριθµός των επιχειρήσεων, που φοροδιαφεύγουν, που έχει την µεγαλύτερη

πιθανότητα να αποκαλυφθεί στον έλεγχο αυτό;

Στο παράδειγµα αυτό έχουµε 20 επιχειρήσεις από τις οποίες οι 6 έχουν

µια κοινή ιδιότητα: φοροδιαφεύγουν. Προφανώς η δειγµατοληψία γίνεται

χωρίς επανατοποθέτηση, διότι δεν είναι λογικό να ελέγξουµε για δεύτερη

φορά την ίδια εταιρεία. Συνεπώς το πείραµά µας είναι ένα υπεργεωµετρικό

πείραµα µε a=6, b=14 και n=6.(Παρατηρήστε ότι στο παράδειγµα αυτό όχι

µόνον οι a επιχειρήσεις έχουν κοινή ιδιότητα, αλλά και οι b έχουν επίσης µια

κοινή ιδιότητα: δεν φοροδιαφεύγουν. Από την διατύπωση όµως του

ερωτήµατος είµαστε υποχρεωµένοι να θεωρήσουµε σαν a της

υπεργεωµετρικής κατανοµής τον αριθµό των επιχειρήσεων που

φοροδιαφεύγουν).

♦

Ο υπολογισµός των υπεργεωµετρικών πιθανοτήτων µπορεί να γίνει µε

τρεις τρόπους

α) Άµεσα (για µικρές τιµές των n, a και b) από την συνάρτηση

πιθανότητας (βλ. σχέση (2.11)).

β) Έµµεσα µε την χρήση του επόµενου αναγωγικού τύπου

(a-x+1)(n-x+1)p(x)= p(x-1)

x(b-n+x).

γ) Προσεγγιστικά από την διωνυµική κατανοµή. Η προσέγγιση αυτή

µπορεί να γίνει αν θεωρήσουµε σαν “επιτυχία” την εκλογή µιας µπάλας από

τις a. Τότε η πιθανότητα της ”επιτυχίας”, p, θα ισούται µε a/(a+b). Θα ισχύει

δηλαδή ότι


( )( )( ) ( )

x n xa bx n x a bnp(x)=P(X=x)= xa b a b a b

n

−− ≈ + + + . (2.12)

Η προηγούµενη προσέγγιση είναι αρκετά ικανοποιητική για µεγάλες τιµές

των a και b σε σχέση µε την τιµή του n. Ένας κανόνας για το ποια θα

πρέπει να είναι η τιµή του n, σε σχέση µε τις τιµές των a και b, δίνεται από

την επόµενη ανισότητα

n≤5%(a+b).

Παράδειγµα 2.7 Για την κάλυψη µιας κενής θέσης, σε µια εταιρεία, έχουν

υποβληθεί αιτήσεις από120 υποψήφιους. Είναι γνωστό ότι από αυτούς οι

80 έχουν τα απαιτούµενα προσόντα. Αν, από όλους τους υποψήφιους

εκλεγούν, στην τύχη, 5 για περαιτέρω εξέταση, να βρεθεί η πιθανότητα οι 2

από αυτούς να έχουν τα απαραίτητα προσόντα.

Στο παράδειγµα αυτό έχουµε συνολικά 120 υποψήφιους, από τους

οποίους µόνο οι 80 έχουν µια κοινή ιδιότητα, έχουν τα απαραίτητα για την

κενή θέση προσόντα. Ο τρόπος εκλογής είναι, προφανώς, χωρίς

επανατοποθέτηση. (∆εν είναι λογικό να εκλέξουµε τον ίδιο υποψήφιο δύο

φορές). Άρα το πείραµά µας είναι το υπεργεωµετρικό µε a=80, b=40 και

n=5.. Έστω λοιπόν Χ η τυχαία µεταβλητή µε τιµές τον αριθµό των

υποψηφίων, στους 5, που έχουν τα απαραίτητα, για την κενή θέση,

προσόντα. Προφανώς η Χ µπορεί να πάρει τιµές x=0, 1, 2, 3, 4, 5. Η Χ

είναι µια υπεργεωµετρική τυχαία µεταβλητή µε συνάρτηση πιθανότητας την


( )( )( )

80 40x 5 xp(x)=P(X=x)=

1205

−.

Η ζητούµενη πιθανότητα συνεπώς θα είναι

( )( )( )

80 402 5 2p(2)=P(X=2)= 0,164

1205

−=

Επειδή η ανισότητα n≤5%(a+b) ισχύει µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε τον

προσεγγιστικό τρόπο για την εύρεση της ζητούµενης πιθανότητας.

Σύµφωνα µε την (2.12) θα έχουµε

( )( )( ) ( )

2 5 280 402 5 2 80 405p(2)=P(X=2)= 0,1652120 120 120

5

−− ≈ =

Παρατηρείστε την ασήµαντη διαφορά η οποία υπάρχει µεταξύ της ακριβής

και της προσεγγιστικής τιµής.

♦

Παράδειγµα 2.8 Σε µια στρατιωτική άσκηση είναι γνωστό ότι οι εχθρικές

δυνάµεις µπορεί να κρυφθούν σε µια από εικοσιένα θέσεις. Ο στρατηγός

διατάζει τους στρατιώτες του να αρχίσουν να ψάχνουν, τον εχθρό, µε τον

εξής τρόπο: εκλέγουν στην τύχη µια θέση και την ερευνούν. Αν δεν

εντοπίσουν τον εχθρό, στην θέση που επέλεξαν, εκλέγουν, στην τύχη, µία

άλλη, από τις υπόλοιπες θέσεις, και την ερευνούν κ.ο.κ. Μετά από έρευνα

15 θέσεων οι αξιωµατικοί αναφέρουν στον στρατηγό ότι ο εχθρός δεν


βρέθηκε. Ο στρατηγός αρχίζει να σκέπτεται ότι, κατά κάποιον τρόπο, ο

εχθρός έχει εξαφανισθεί. ∆ικαιολογείται η σκέψη του στρατηγού;

Για να δικαιολογείται η σκέψη του στρατηγού θα πρέπει η πιθανότητα ο

εχθρός να είχε βρεθεί σε µία από τις θέσεις που ελέχθησαν να είναι αρκετά

µεγάλη. Αν δούµε την όλη διαδικασία σαν ένα πείραµα τύχης, τότε στο

πείραµα αυτό έχουµε: α) 21 συνολικά θέσεις από τις οποίες η µία έχει µια

ιδιότητα. β) Από τις θέσεις αυτές εκλέγονται, στην τύχη, 15, χωρίς

επανάθεση και ελέγχονται. Το πείραµά µας αυτό είναι υπεργεωµετρικό µε

a=1 b=20 και n=15. Ορίζουµε την τυχαία µεταβλητή Χ µε τιµές τον αριθµό

των θέσεων , στις 15 που ελέχθησαν, που βρίσκεται ο εχθρός. Προφανώς

οι τιµές της Χ θα είναι x=0, 1, και η Χ θα είναι µια υπεργεωµετρική τυχαία

µεταβλητή. Άρα Χ∼Hg(x; 15, 1, 20) µε συνάρτηση πιθανότητας την

( )( ) ( )1 20 21P(X x) ,x 0,1x 15 x 15= = =− .

Με την βοήθεια της Χ η ζητούµενη πιθανότητα εκφράζεται ως Ρ(Χ=1) και

ισούται µε ( )( ) ( ) 151 20 21P(X 1) 0,7141 14 15 21= = = = .

Η τελευταία σχέση µας λέει ότι, η πιθανότητα ο εχθρός να βρεθεί σε µία

από τις 15 θέσεις που ελέχθησαν είναι 0,714. Η πιθανότητα αυτή είναι

αρκετά µεγάλη και συνεπώς δικαιολογείται η σκέψη του στρατηγού.

♦

Παρατήρηση 2.2 Προηγουµένως αναφέρθηκε [βλ. (γ) σελ. 68] ότι, η

υπεργεωµετρική κατανοµή µπορεί να προσεγγισθεί από την διωνυµική µε

p=a/(a+b). Το p είναι η πιθανότητα εκλογής µιας µπάλας από τις a. Θα

δείξουµε ότι η πιθανότητα αυτή παραµένει σταθερά σε κάθε εκλογή. (Η

απόδειξη θα γίνει για την εκλογή των τριών πρώτων µπαλών)


Σαν αποτέλεσµα του γεγονότος ότι η εκλογή των µπαλών γίνεται χωρίς

επανάθεση είναι ότι το τι µπάλα θα επιλέξουµε κατά την δεύτερη, Τρίτη

κ.τ.λ εκλογή, εξαρτάται από το τι µπάλα επιλέξαµε στην αµέσως

προηγούµενη εκλογή. Για k=1, 2, 3 ορίζουµε λοιπόν τα εξής ενδεχόµενα:

Αk= στην k εκλογή, εκλέγουµε µία µπάλα από τις a

Βk= στην k εκλογή, εκλέγουµε µία µπάλα από τις b .

Τότε για την πρώτη εκλογή θα έχουµε

1aP(A )

a b=

+.

Η εκλογή της δεύτερης µπάλας εξαρτάται από το τι έχουµε εκλέξει στην

πρώτη εκλογή. Στην πρώτη εκλογή µπορεί να έχουµε εκλέξει ή µία µπάλα

από τις a ή µία µπάλα από τις b. Έτσι για την Ρ(Α2) θα έχουµε:

Ρ(Α2)=Ρ(Α1∩Α2ή Β1∩Α2)=Ρ(Α1∩Α2)+Ρ(Β1∩Α2)=Ρ(Α1)Ρ(Α2|A1)+Ρ(Β1)Ρ(Α2|Β1)

=a a 1 b a

a b a b 1 a b a b 1−

++ + − + + −

=a(a b 1) a

(a b)(a b 1) a b+ −

=+ + − +

.

Η εκλογή της τρίτης µπάλας εξαρτάται από το τι έχουµε εκλέξει την πρώτη

και την δεύτερη φορά. Οι εκλογές αυτές µπορεί να είναι: και οι δύο από τις

a ή η πρώτη από τις a και η δεύτερη από τις b, ή η πρώτη από τις b και η

δεύτερη από τις a, ή και οι δύο από τις b. Άρα για την Ρ(Α3) θα έχουµε:

Ρ(Α3)=Ρ(Α1∩Α2∩Α3 ή Α1∩Β2∩Α3 ή Β1∩Α2∩Α3 ή Β1∩Β2∩Α3)

=Ρ(Α1∩Α2∩Α3)+Ρ(Α1∩Β2∩Α3)+Ρ(Β1∩Α2∩Α3)+Ρ(Β1∩Β2∩Α3)

=Ρ(Α1)Ρ(Α2|Α1)Ρ(Α3|Α1∩Α2)+ Ρ(Α1)Ρ(Β2|Α1)Ρ(Α3|Α1∩Β2)

+ Ρ(Β1)Ρ(Α2|Β1)Ρ(Α3|Β1∩Α2)+ Ρ(Β1)Ρ(Β2|Β1)Ρ(Α3|Β1∩Β2)

=a a 1 a 2 a b a 1

(a b) (a b 1) (a b 2) (a b) (a b 1) (a b 2)− − −

++ + − + − + + − + −


+b a a 1 b b 1 a

(a b) (a b 1) (a b 2) (a b) (a b 1) (a b 2)− −

++ + − + − + + − + −

=[ ]a (a 1)(a 2) (a 1)b (a 1)b b(b 1)

(a b)(a b 1)(a b 2)− − + − + − + −

+ + − + −

=[ ]a (a 1)(a b 2) b(a b 2)

(a b)(a b 1)(a b 2)− + − + + −+ + − + −

=a(a b 1)(a b 2)

(a b)(a b 1)(a b 2)+ − + −

+ + − + −

=a

a b+.

Στην πραγµατικότητα εκεί που διαφέρουν το διωνυµικό και το

υπεργεωµετρικό πείραµα, είναι ότι στο τελευταίο οι εκτελέσεις του

πειράµατος δεν είναι ανεξάρτητες.

2.2.4 ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΤΥΧΑΙΑ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗ Ή ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ

Θεωρούµε ένα πείραµα τύχης το οποίο έχει όλες τις προϋποθέσεις του

διωνυµικού πειράµατος (βλ. § 2.2.2), εκτός από το ότι το πείραµα εκτελείται

πεπερασµένο αριθµό φορών. Αντίθετα το πείραµα εκτελείται έως ότου

εµφανισθεί η πρώτη επιτυχία. Ένα τέτοιο πείραµα ονοµάζεται γεωµετρικό

πείραµα. Ας συµβολίσουµε µε Χ την τυχαία µεταβλητή µε τιµές των αριθµό

εκτελέσεων του πειράµατος έως ότου εµφανισθεί η πρώτη επιτυχία. Η Χ,

όπως ορίσθηκε, ονοµάζεται γεωµετρική τυχαία µεταβλητή. Για να έχουµε

την πρώτη επιτυχία θα χρειασθεί να εκτελέσουµε το πείραµα µία ή δύο ή

τρεις κ.τ.λ. φορές. Άρα οι τιµές της Χ θα είναι x=1, 2, 3, . . ..


Για να βρούµε την συνάρτηση πιθανότητας p(x)=Ρ(Χ=x), της Χ,

σκεφτόµαστε ως εξής: για να εµφανισθεί η πρώτη επιτυχία µετά από x

εκτελέσεις του πειράµατος θα πρέπει οι προηγούµενες x-1 εκτελέσεις να

είναι αποτυχίες. Θα πρέπει δηλαδή να έχουµε την εξής ακολουθία

συµβόλων

x-1

AA . . . AE .

Επειδή οι εκτελέσεις του πειράµατος είναι ανεξάρτητες µεταξύ τους και η

πιθανότητα επιτυχίας είναι p, (άρα η πιθανότητα αποτυχίας είναι 1-p), θα

έχουµε ότι

p(x)=Ρ(Χ=x)=(1-p)χ-1

p, x=1, 2, 3, . . . ; 0<p<1. (2.13)

Προφανώς οι τιµές της p(x) είναι µεταξύ 0 και 1. Για να είναι η (2.13)

συνάρτηση πιθανότητας θα πρέπει το άθροισµα του p(x), για x=1, 2, 3, . .

να ισούται µε την µονάδα Πράγµατι

x 1 x 1 2 3

x 1 x 1 x 1p(x)= (1 p) p=p (1 p) =p[1 (1 p) (1 p) (1 p) ...]

∞ ∞ ∞− −

= = =

− − + − + − + − +∑ ∑ ∑

Το εντός των αγκυλών άθροισµα είναι το άθροισµα απείρων όρων

φθίνουσας γεωµετρικής προόδου µε λόγο το 1-p. Άρα λοιπόν θα έχουµε

x 1

1p(x) p 11 (1 p)

∞

=

= =− −∑ .

Συνεπώς η σχέση (2.13) είναι η συνάρτηση πιθανότητας της γεωµετρικής

τυχαίας µεταβλητής και ονοµάζεται γεωµετρική κατανοµή,

Το γεγονός ότι η Χ είναι µια γεωµετρική τυχαία µεταβλητή (ή ισοδύναµα η Χ

ακολουθεί την γεωµετρική κατανοµή) συµβολίζεται ως Χ~Geo(x;p).


Παράδειγµα 2.9 Ένας φοιτητής έχει πιθανότητα 60% να περάσει το τεστ

οδήγησης, σε οποιαδήποτε προσπάθεια. Ποια είναι η πιθανότητα να

περάσει το τεστ στην τρίτη προσπάθεια; Ποια είναι η πιθανότητα να

χρειασθούν το πολύ τέσσερες προσπάθειες για να περάσει το τεστ;

(∆εχόµαστε ότι οι προσπάθειες του φοιτητή είναι ανεξάρτητες µεταξύ τους).

Το πείραµά µας είναι οι προσπάθειες του φοιτητή να περάσει το τεστ

οδήγησης. Το πείραµα αυτό έχει δύο δυνατά αποτελέσµατα. Ο φοιτητής

περνάει το τεστ οδήγησης (Επιτυχία) ή δεν το περνάει (Αποτυχία). Από την

εκφώνηση έχουµε ότι α) η πιθανότητα επιτυχίας είναι σταθερή, και ίση µε

0,6, σε κάθε προσπάθεια και β) οι προσπάθειες του φοιτητή είναι

ανεξάρτητες µεταξύ τους. Προφανώς ο φοιτητής θα προσπαθεί έως ότου

περάσει το τεστ, δηλαδή έως ότου έχει την πρώτη επιτυχία. Άρα το πείραµά

µας είναι ένα γεωµετρικό πείραµα. Κατά συνέπεια ορίζουµε την τυχαία

µεταβλητή Χ µε τιµές τον αριθµό των προσπαθειών του φοιτητή έως ότου

περάσει το τεστ οδήγησης. Η Χ θα είναι µια γεωµετρική τυχαία µεταβλητή

µε συνάρτηση πιθανότητας

p(x)=0,4x-1

0,6, x=1, 2, 3, . . .

Συνεπώς Ρ(ο φοιτητής να περάσει το τεστ στην τρίτη προσπάθεια)=

=Ρ(Χ=3)= 0,420,6=0,096,

και Ρ(ο φοιτητής να χρειασθεί το πολύ τέσσερες προσπάθειες για να

περάσει το τεστ οδήγησης)=Ρ(Χ≤4)=Ρ(Χ=1)+Ρ(Χ=2)+Ρ(Χ=3)+Ρ(Χ=4)=

=0,6+0,4×0,6+0,42×0,6+0,4

3×0,6=0,9744.

Ο υπολογισµός των πιθανοτήτων για την γεωµετρική κατανοµή γίνεται

µε βάση την σχέση (2.13). Μπορεί όµως να χρησιµοποιηθεί και η διωνυµική

κατανοµή βάση την επόµενη σχέση


1Geo(x;p) B(1 ;x,p)x

= .

Παράδειγµα 2.10 Τρεις φίλοι ρίχνουν ένα νόµισµα για να αποφασίσουν

ποιος θα πληρώσει τους καφέδες. Η συµφωνία είναι τους καφέδες να

πληρώσει εκείνος του οποίου το αποτέλεσµα είναι διαφορετικό από αυτό

των δύο άλλων. Σε περίπτωση που και οι τρεις φέρουν το ίδιο αποτέλεσµα

η προηγούµενη διαδικασία επαναλαµβάνεται. Να βρεθεί η πιθανότητα να

χρειασθούν λιγότερο από τέσσερες επαναλήψεις για να αποφασίσουν οι

τρεις φίλοι ποιος θα πληρώσει τους καφέδες.

Στο παράδειγµα αυτό το πείραµα τύχης είναι η ρίψη ενός νοµίσµατος

από τους τρεις φίλους. (Μια εκτέλεση του πειράµατος είναι η ρίψη του

νοµίσµατος, διαδοχικά, από τους τρεις φίλους). Το πείραµα αυτό έχει δύο

δυνατά αποτελέσµατα. Το ένα είναι οι τρεις φίλοι να αποφασίσουν ποιος θα

πληρώσει τους καφέδες (Επιτυχία) και το άλλο να µην αποφασίσουν

(Αποτυχία). Οι εκτελέσεις του πειράµατος είναι προφανώς ανεξάρτητες

µεταξύ τους και η πιθανότητα επιτυχίας, p, είναι σταθερή για οποιαδήποτε

εκτέλεση του πειράµατος. (Η πιθανότητα αυτή θα πρέπει να υπολογισθεί µε

βάση τα δεδοµένα του παραδείγµατος). Άρα λοιπόν το πείραµά µας είναι το

γεωµετρικό πείραµα. Συνεπώς αν ορίσουµε την τυχαία µεταβλητή Χ µε

τιµές το αριθµό των εκτελέσεων του πειράµατος έως ότου οι τρεις φίλοι

αποφασίσουν ποιος θα πληρώσει τους καφέδες, τότε η Χ θα είναι µια

γεωµετρική τυχαία µεταβλητή, δηλαδή Χ~Geo( x; p)

Στο σηµείο αυτό θα υπολογίσουµε την πιθανότητα επιτυχίας p. Για να

υπάρξει απόφαση θα πρέπει δύο από αυτούς να φέρουν κορώνα Κ και ο

τρίτος Γ ή δύο από αυτούς να φέρουν Γ και ο τρίτος Κ. Άρα λοιπόν

p=Ρ(ΚΚΓ ή ΚΓΚ ή ΓΚΚ ή ΓΓΚ ή ΓΚΓ ή ΚΓΓ)=


=Ρ(ΚΚΓ)+Ρ(ΚΓΚ)+Ρ(ΓΚΚ)+Ρ(ΓΓΚ)+Ρ(ΓΚΓ)+Ρ(ΚΓΓ)=6(1/2)3=3/4

Η ζητούµενη πιθανότητα µπορεί να γραφεί σαν Ρ(Χ≤3) και θα έχουµε

Ρ(Χ≤3)=Ρ(Χ=1)+Ρ(Χ=2)+Ρ(Χ=3)=p+p(1-p)+p(1-p)2=

=23 3 1 3 1 0,984

4 4 4 4 4 + + =

.

♦

2.2.5 ΑΡΝΗΤΙΚΗ ∆ΙΩΝΥΜΙΚΗ ΤΥΧΑΙΑ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗ Ή ΑΡΝΗΤΙΚΗ ∆ΙΩΝΥΜΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ

Το αρνητικό διωνυµικό πείραµα έχει όλες τις προϋποθέσεις του

γεωµετρικού πειράµατος εκτός του ότι το πείραµα εκτελείται έως ότου

εµφανισθεί η k επιτυχία. Η τυχαία µεταβλητή Χ, που αναφέρεται στο

πείραµα αυτό, παίρνει τιµές τον αριθµό εκτελέσεως του πειράµατος έως

ότου εµφανισθεί η k επιτυχία. Προφανώς για να έχουµε k επιτυχίες θα

χρειασθούν τουλάχιστον k εκτελέσεις του πειράµατος. Άρα οι τιµές της Χ θα

είναι x=k, k+1, k+2, . . . .

Η συνάρτηση πιθανότητας, p(x)=P(X=x), της Χ θα προκύψει από τον εξής

συλλογισµό. Για να έχουµε k επιτυχίες σε x εκτελέσεις του πειράµατος θα

πρέπει στις x-1 εκτελέσεις να έχουµε k-1 επιτυχίες και στην x-ιοστη

εκτέλεση να έχουµε επιτυχία. Συµβολικά, µια τέτοια περίπτωση είναι η

επόµενη x k k 1

x 1

AA...AEE...EE− −

−


Αλλά η πιθανότητα σε x-1 εκτελέσεις του πειράµατος να έχουµε k-1

επιτυχίες δίνεται από την διωνυµική κατανοµή και ισούται µε

( ) k 1 x kx 1 p (1 p)k 1− −− −− .

Η πιθανότητα αυτή θα πρέπει, σύµφωνα µε τον προηγούµενο συµβολισµό,

να πολλαπλασιασθεί µε την πιθανότητα επιτυχίας p. Άρα η συνάρτηση

πιθανότητας της αρνητικής διωνυµικής κατανοµής είναι η

p(x)=P(X=x)= ( ) k x kx 1 p (1 p)k 1−− −− , x=k, k+1, k+2, . . . ; 0<p<1. (2.14)

Προφανώς η p(x) ικανοποιεί την ιδιότητα p1. Το ότι ικανοποιεί και την

ιδιότητα p2 (βλ. σελ. 7) οφείλεται στο ότι οι τιµές της p(x) για x=k, k+1, k+2,

. . . είναι οι διαδοχικοί όροι του αναπτύγµατος

k

1 1 pp p

− −

−

.

Το ανάπτυγµα αυτό είναι γνωστό σαν αρνητικό διωνυµικό ανάπτυγµα (βλ.

Feller (1968)). Από εδώ προέρχεται και το όνοµα της κατανοµής.

Το γεγονός ότι η Χ είναι µια αρνητική διωνυµική τυχαία µεταβλητή (ή

ισοδύναµα η Χ ακολουθεί την αρνητική διωνυµική κατανοµή) το

συµβολίζουµε ως Χ~ΝΒ(x; k, p).

Παράδειγµα 2.11 Είναι γνωστό ότι η πιθανότητα ένα παιδί να προσβληθεί

από ένα µεταδοτικό ιό είναι 0,2. Ποια είναι η πιθανότητα το δωδέκατο παιδί

που θα εκτεθεί στον ιό να είναι το τρίτο που θα προσβληθεί από τον ιό;

Στο παράδειγµα αυτό το πείραµά µας είναι η προσβολή ή όχι ενός

παιδιού από τον ιό. Αν ονοµάσουµε ¨επιτυχία¨ την προσβολή ενός


οποιοδήποτε παιδιού από τον ιό και ¨αποτυχία¨ την µη προσβολή του, τότε

το πείραµα αυτό έχει δύο δυνατά αποτελέσµατα. Ακόµη οι εκτελέσεις του

πειράµατος είναι ανεξάρτητες µεταξύ τους (εδώ οι εκτελέσεις του

πειράµατος είναι η έκθεση των διαφορετικών παιδιών στον ιό) και η

πιθανότητα επιτυχίας παραµένει σταθερή σε κάθε εκτέλεση του

πειράµατος. Τέλος το πείραµα εκτελείται έως ότου εµφανισθούν k επιτυχίες.

Άρα το πείραµά µας είναι ένα αρνητικό διωνυµικό πείραµα. Ορίζουµε την

τυχαία µεταβλητή Χ µε τιµές τον αριθµό εκτελέσεων του πειράµατος έως

ότου εµφανισθούν k επιτυχίες. Τότε η Χ είναι µια αρνητική τυχαία

µεταβλητή, Χ~ΝΒ(x; k, 0,2). Άρα η ζητούµενη πιθανότητα µπορεί να γραφεί

σαν Ρ(Χ=3) και θα ισούται µε

Ρ(Χ=3)= ( ) 3 911 0,2 (1 0,2)2 − =0,059.

♦

Οι τιµές της αρνητικής διωνυµικής κατανοµής µπορούν να

υπολογισθούν κατ’ ευθείαν από την σχέση (2.14) ή από την διωνυµική

κατανοµή µε την βοήθεια της σχέσης

kNB(x;k,p) B(k;x,p)x

= .

Παρατήρηση 2.3 Ένας άλλος τρόπος να δούµε την αρνητική διωνυµική

κατανοµή είναι και ο επόµενος. Για να έχουµε ακριβώς k επιτυχίες σε x

εκτελέσεις του πειράµατος θα πρέπει να έχουµε ακριβώς x-k αποτυχίες.

Συνεπώς µπορούµε να ερµηνεύσουµε την (2.14) σαν την πιθανότητα πριν

από την x-ιοστη επιτυχία να έχουµε ακριβώς x-k αποτυχίες.

Παράδειγµα 2.12 Ένας µαθηµατικός συνηθίζει να έχει µαζί του δύο κουτιά

σπίρτα. Το ένα στην δεξιά τσέπη και το άλλο στην αριστερή. Κάθε φορά


που χρειάζεται σπίρτα επιλέγει τυχαία ένα κουτί και παίρνει ένα σπίρτο.

Αρχικά κάθε κουτί έχει ακριβώς Ν σπίρτα. Κάποια στιγµή ο καθηγητής

διαπιστώνει, για πρώτη φορά, ότι το ένα κουτί έχει αδειάσει. Ποια είναι η

πιθανότητα το άλλο κουτί να έχει ακριβώς r σπίρτα;

Προφανώς το κουτί που έχει αδειάσει µπορεί να είναι είτε στην δεξιά είτε

στην αριστερή τσέπη. Αρχικά, ας θεωρήσουµε ότι το κουτί που άδειασε

είναι αυτό της αριστερής τσέπης. Ας ορίσουµε σαν ¨επιτυχία¨ την εκλογή

ενός σπίρτου από το κουτί που βρίσκεται στην αριστερή τσέπη και

αποτυχία την εκλογή ενός σπίρτου από το κουτί που βρίσκεται στην δεξιά

τσέπη. Τότε η πιθανότητα επιτυχίας είναι ½. Το γεγονός ότι στο δεξιό κουτί

υπάρχουν ακριβώς r σπίρτα την στιγµή που το κουτί στην αριστερή τσέπη

είναι άδειο, είναι ισοδύναµο µε το ότι της (Ν+1)-στης επιτυχίας θα πρέπει να

προηγούνται ακριβώς N-r αποτυχίες. Στην περίπτωση αυτή έχουµε Ν+1+Ν-

r=2N-r+1 εκτελέσεις του πειράµατος και 2Ν-r+1-(N-r)=N+1 επιτυχίες. Άρα η

πιθανότητα το δεξιό κουτί περιέχει ακριβώς r σπίρτα την στιγµή που το

αριστερό κουτί διαπιστώνεται, για πρώτη φορά, ότι είναι άδειο ισούται µε

( )2N r 112N r

N 2

− + −

.

Προφανώς θα µπορούσαµε να έχουµε ορίσει σαν επιτυχία την εκλογή ενός

σπίρτου από το κουτί της δεξιάς τσέπης και σαν αποτυχία την εκλογή ενός

σπίρτου από το κουτί της αριστερής τσέπης, Στην περίπτωση αυτή η

ζητούµενη πιθανότητα θα είναι ίδια µε την προηγούµενη. Άρα η τελική

πιθανότητα το ένα κουτί να περιέχει ακριβώς r σπίρτα την στιγµή που, ο

καθηγητής, για πρώτη φορά διαπιστώνει ότι το άλλο κουτί έχει αδειάσει,

ισούται µε


2 ( )2N r 112N r

N 2

− + −

= ( )2N r12N r

N 2

− −

.

♦

2.2.6 POISSON ΤΥΧΑΙΑ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗ Ή ΚΑΤΑΝΟΜΗ POISSON

Σε πολλές εφαρµογές έχουµε γεγονότα (ή αριθµό αλλαγών) τα οποία

συµβαίνουν (πραγµατοποιούνται) σε ένα διάστηµα. Τέτοια παραδείγµατα

είναι α) ο αριθµός των τηλεφωνικών κλήσεων που φθάνουν σε ένα

τηλεφωνικό κέντρο σε χρονικό διάστηµα π.χ. µιας ώρας, β) ο αριθµός των

ελαττωµάτων σε µια επιφάνεια ενός τετραγωνικού µέτρου κόντρα πλακέ, γ)

ο αριθµός των τυπογραφικών λαθών, ανά σελίδα, σε κάποιο βιβλίο κ.α.

Το διάστηµα στο οποίο συµβαίνουν τα διάφορα γεγονότα, συνήθως,

λαµβάνεται σαν διάστηµα χρόνου, χωρίς αυτό να σηµαίνει ότι το διάστηµα

αυτό δεν µπορεί να είναι κάτι άλλο (π.χ. στο δεύτερο παράδειγµα είναι

επιφάνεια ενώ στο τρίτο είναι η σελίδα ενός βιβλίου). Το διάστηµα στο

οποίο αναφερόµαστε το ονοµάζουµε βασικό διάστηµα. Έτσι στο πρώτο

παράδειγµα το βασικό διάστηµα είναι η µία ώρα, στο δεύτερο το ένα

τετραγωνικό µέτρο και στο τρίτο η σελίδα του βιβλίου.

Ας θεωρήσουµε λοιπόν ένα τέτοιο πείραµα τύχης και ας συµβολίσουµε

µε Χ την τυχαία µεταβλητή µε τιµές τον αριθµό των γεγονότων τα οποία

πραγµατοποιούνται σε ένα διάστηµα. Προφανώς οι τιµές της Χ θα είναι

x=0, 1, 2, . . . και συνεπώς η Χ είναι µια διακριτή τυχαία µεταβλητή. Για τον

προσδιορισµό της συνάρτησης πιθανότητας της Χ υπάρχουν περισσότεροι

του ενός τρόποι. Εµείς εδώ θα χρησιµοποιήσουµε αυτόν του ορίου της


διωνυµικής τυχαίας µεταβλητής. Για τον σκοπό αυτό χωρίζουµε το βασικό

διάστηµα σε n ίσα υποδιαστήµατα. Η τιµή του n µπορεί να γίνει οσοδήποτε

µεγάλη έτσι ώστε οι επόµενες παραδοχές να ικανοποιούνται.

Παραδοχή 1η. Σε κάθε υποδιάστηµα η πιθανότητα πραγµατοποίησης δύο

ή περισσοτέρων γεγονότων είναι αµελητέα συγκρινόµενη µε την

πιθανότητα πραγµατοποίησης ενός ή κανενός γεγονότος.

Άρα σε κάθε υποδιάστηµα έχουµε δύο δυνατά αποτελέσµατα: την

πραγµατοποίηση ή µη ενός γεγονότος.

Παραδοχή 2η. Η πραγµατοποίηση ή µη ενός γεγονότος σε ένα

οποιοδήποτε υποδιάστηµα είναι ανεξάρτητη από την πραγµατοποίηση ή µη

ενός γεγονότος σε οποιοδήποτε άλλο υποδιάστηµα.

Άρα τα υποδιαστήµατα είναι ανεξάρτητα µεταξύ τους ως προς την

πραγµατοποίηση ή µη των γεγονότων.

Παραδοχή 3η. Η πιθανότητα πραγµατοποίησης ενός γεγονότος είναι

σταθερή σε κάθε υποδιάστηµα.

Αν ονοµάσουµε “επιτυχία” την πραγµατοποίηση ενός γεγονότος σε ένα

οποιοδήποτε υποδιάστηµα, τότε, µε βάση τις προηγούµενες παραδοχές, το

πείραµά µας είναι ένα διωνυµικό πείραµα. [Αυτό διότι: α) από την 1η

παραδοχή, σε κάθε υποδιάστηµα έχουµε δύο δυνατά αποτελέσµατα:

πραγµατοποίηση (επιτυχία) ή µη πραγµατοποίηση (αποτυχία) ενός

γεγονότος. β) Τα γεγονότα τα οποία συµβαίνουν είναι το πολύ n. ∆ηλαδή το

πείραµά µας εκτελείτε πεπερασµένο αριθµό φορών. γ) Από την 3η

παραδοχή έχουµε ότι, η πιθανότητα επιτυχίας παραµένει σταθερή σε κάθε

εκτέλεση του πειράµατος. δ) Από την 2η παραδοχή έχουµε ότι οι εκτελέσεις

του πειράµατος είναι ανεξάρτητες µεταξύ τους.] Άρα λοιπόν, για δοθέν n η

τυχαία µεταβλητή Χ ακολουθεί την διωνυµική κατανοµή και συνεπώς


( ) x n xnp(x)= p (1 p)x−− x=0, 1, 2, ….,n.

Υποθέτοντας ότι n→∞ και p→0 έτσι ώστε το γινόµενό τους, np, να

παραµένει σταθερό και έστω ίσο µε λ (δηλ. np=λ) παίρνουµε

lim limp(x)n n=→ ∞ → ∞ ( ) x n xn p (1 p)x−− [θέτοντας p=λ/n]

x n xn! λ λlim 1n x!(n x)! n n

− = − → ∞ −

n xx

x

λ n(n 1)...(n x 1)(n x)! λ λlim 1 1nx! (n x)!n n n

−− − + − = − − → ∞ −

n xx

x

λ n(n 1)...(n x 1) λ λlim lim lim1 1n n nx! n n n

−− − + = − − → ∞ →∞ →∞

Αλλά

x

n(n 1)...(n x 1) 1 2 x 1lim lim 1 1 ... 1 1n nn n n n− − + − = − − − = → ∞ →∞

,

nλλlim 1 en n

− − = → ∞ και

xλlim 1 1n n

− − = → ∞

έτσι ώστε

xλ λlim p(x) en x!

−=→ ∞ .

Για x=0, 1, 2, . . . το λ xe λ x!− είναι η συνάρτηση πιθανότητας (βλ.

παράδειγµα 2.3 (β) σελ. 55) της τυχαίας µεταβλητής Χ. Η συνάρτηση αυτή

είναι γνωστή σαν κατανοµή Poisson, η δε Χ σαν τυχαία µεταβλητή Poisson.

Άρα λοιπόν η συνάρτηση πιθανότητας της Poisson τυχαίας µεταβλητής (ή

ισοδύναµα η κατανοµή Poisson) δίνεται από την σχέση


x

λ λp(x) ex!

−= , x=0, 1, 2, . . . ; λ>0. (2.15)

Το γεγονός ότι η τ.µ. Χ ακολουθεί την κατανοµή Poisson το συµβολίζουµε

µε Χ~P(x;λ).

Στην § 2.2.2 είχε αναφερθεί σαν ένας τέταρτος τρόπος υπολογισµού των

διωνυµικών πιθανοτήτων η προσέγγιση της διωνυµικής κατανοµής από την

κατανοµή Poisson. Από παραπάνω γίνεται φανερό ότι η προσέγγιση αυτή

είναι ικανοποιητική για µεγάλες τιµές του n και για µικρές τιµές του p.

p(x)

0,20-

0,15-

0,10-

0,05-

x

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Σχήµα 2.5 Γραφική παράσταση της συνάρτησης πιθανότητας της Poisson

κατανοµής µε λ=5. (Οι πιθανότητες για x>11 είναι αµελητέες).

Παράδειγµα 2.13 Ο αριθµός των τηλεφωνικών κλήσεων που φθάνουν σε

ένα σταθµό Α’ βοηθειών σε διάστηµα µισής ώρας ακολουθεί κατανοµή


Poisson µε λ=2. Ποια είναι η πιθανότητα στο προηγούµενο χρονικό

διάστηµα να έχουµε τρεις κλήσεις;

Ορίζουµε την τυχαία µεταβλητή Χ µε τιµές τον αριθµό των τηλεφωνικών

κλήσεων που φθάνουν στο σταθµό Α’ βοηθειών σε διάστηµα µισής ώρας.

Η Χ, σύµφωνα µε την εκφώνηση, είναι µια Poisson τυχαία µεταβλητή µε

λ=2. Άρα η συνάρτηση πιθανότητας αυτής θα είναι η p(x)=e-22x/x!, x=0, 1,

2, 3, . . . . Η ζητούµενη πιθανότητα µπορεί να γραφεί σαν Ρ(Χ=3) και η

τιµή της θα είναι 3

2 2P(X 3) e 0,183!

−= = = .

♦

Η παράµετρος λ στην κατανοµή Poisson εκφράζει τον µέσο αριθµό των

πραγµατοποιούµενων γεγονότων (των αλλαγών) στο βασικό διάστηµα (βλ.

§ 3.3 (Ε)).

Παράδειγµα 2.14 Είναι γνωστό ότι ένα βιβλίο έχει, κατά µέσο όρο, ένα

λάθος, ανά σελίδα. Ποια είναι η πιθανότητα η 115η σελίδα του βιβλίου

αυτού να έχει τουλάχιστον ένα λάθος;

Ας ορίσουµε ως Χ την τυχαία µεταβλητή µε τιµές τον αριθµό των λαθών,

ανά σελίδα, στο συγκεκριµένο βιβλίο. Σε µια οποιαδήποτε σελίδα του

βιβλίου αυτού µπορεί να µην έχουµε κανένα λάθος, να έχουµε ένα, δύο

κ.ο.κ. Άρα οι τιµές της Χ είναι x=0, 1, 2, . . . . Επειδή η Χ εκφράζει αριθµό

αλλαγών σε κάποιο διάστηµα συνεπάγεται ότι η Χ είναι µια Poisson τυχαία

µεταβλητή. Η τιµή του λ, σύµφωνα µε την εκφώνηση, είναι λ=1. Συνεπώς

Χ∼Ρ(x; 1) και p(x)=e-11x/x!, x=0, 1, 2, . . . . Κατά συνέπεια η ζητούµενη


πιθανότητα, η 115η σελίδα του συγκεκριµένου βιβλίου να έχει τουλάχιστον

ένα λάθος, θα είναι η Ρ(Χ≥1). Η πιθανότητα αυτή γράφεται ως

Ρ(Χ≥1)=Ρ(χ=1)+Ρ(Χ=2)+Ρ(Χ=3)+. . . .

Στο συγκεκριµένη περίπτωση είναι προτιµότερο να χρησιµοποιήσουµε το

συµπληρωµατικό του ενδεχοµένου Χ≥1 και να γράψουµε

Ρ(Χ≥1)=1-Ρ(Χ=0)=1-e-1=0,0633.

[Το συµπληρωµατικό του ενδεχοµένου Χ≥1 είναι το Χ<1=Χ≤0. Επειδή

όµως η τυχαία µεταβλητή Χ δεν παίρνει τιµές µικρότερες από το 0 γι’ αυτό

Χ<1=Χ≤0=Χ=0].

♦

Παράδειγµα 2.15 Είναι γνωστό ότι ο µέσος αριθµός ελαττωµάτων, σε

φύλλα κόντρα πλακέ διάστασης 1cmx1cm, είναι ίσος µε 0,5. Από την

παραγωγή εκλέγουµε, στην τύχη, 10 τέτοια φύλλα. Ποια είναι η πιθανότητα

και τα δέκα αυτά φύλλα να είναι χωρίς ελάττωµα;

Το πείραµά µας έγκειται στην τυχαία εκλογή δέκα φύλλων κόντρα πλακέ.

Ορίζουµε την τυχαία µεταβλητή Χ µε τιµές τον αριθµό των φύλλων κόντρα

πλακέ, στα 10, χωρίς ελαττώµατα. Προφανώς, στα 10 φύλλα, µπορεί

κανένα να µην είναι χωρίς ελάττωµα, ένα να είναι χωρίς κ.ο.κ και τέλος και

τα δέκα να είναι χωρίς ελάττωµα. Άρα οι τιµές της Χ είναι οι x=0, 1, . . . ,10.

Η Χ είναι µια διωνυµική τυχαία µεταβλητή επειδή α) το πείραµά µας έχει

δύο δυνατά αποτελέσµατα. Τα αποτελέσµατα αυτά είναι: το κόντρα πλακέ

δεν έχει ελαττώµατα (επιτυχία) ή έχει ελαττώµατα (αποτυχία), β) το πείραµα

εκτελείται 10 φορές, γ) οι εκτελέσεις του πειράµατος είναι ανεξάρτητες

µεταξύ τους και δ) η πιθανότητα επιτυχίας, p, παραµένει σταθερή σε κάθε

εκτέλεση του πειράµατος. Το p είναι η πιθανότητα ένα φύλλο κόντρα πλακέ


να µην έχει ελαττώµατα. Προφανώς η πιθανότητα αυτή είναι η ίδια για

οποιοδήποτε φύλλο κόντρα πλακέ και θα πρέπει να υπολογισθεί.

Συνεπώς η συνάρτηση πιθανότητας της Χ θα είναι η

( ) x 10 x10p(x) p (1 p)x−= − , x=0, 1, . . . ,10,

και η ζητούµενη πιθανότητα θα είναι η

Ρ(Χ=10)= ( ) 1010 p10 =p10 .

Για τον προσδιορισµό της τιµής της πιθανότητας “επιτυχίας”, p, ορίζουµε

την τυχαία µεταβλητή Υ µε τιµές τον αριθµό των ελαττωµάτων σε ένα φύλλο

κόντρα πλακέ διάστασης 1cmx1cm. Οι τιµές της Υ θα είναι y=0, 1, 2, . . . .

Επειδή η Υ εκφράζει αριθµό αλλαγών σε κάποιο διάστηµα συµπεραίνουµε

ότι η Υ θα είναι µια Poisson τυχαία µεταβλητή µε λ=0,5. Άρα Υ∼Ρ(y; 0,5) και

p(y)=e-0,50,5y/y!, y=0, 1, 2, . . . . Το p, όπως αναφέρθηκε προηγουµένως,

είναι η πιθανότητα ένα οποιοδήποτε φύλλο κόντρα πλακέ να µην έχει

ελαττώµατα. Άρα p=P(Y=0)=e-0,5=0,61 και συνεπώς

Ρ(Χ=10)=0,6110=0,0071.

♦

Σε πολλές περιπτώσεις µας δίνεται ο ρυθµός πραγµατοποίησης των

γεγονότων (ή των αλλαγών) στο βασικό διάστηµα, δηλαδή γνωρίζουµε το λ,

και µας ζητείται ο υπολογισµός διαφόρων πιθανοτήτων σε διαστήµατα τα

οποία είναι πολλαπλάσια ή υποπολλαπλάσια του βασικού διαστήµατος.

Στις περιπτώσεις αυτές, µπορεί να αποδειχθεί (βλ. Θεώρηµα 3.24, σελ.

179) ότι η τιµή του λ στο νέο διάστηµα θα είναι, αντίστοιχα, πολλαπλάσιο ή

υποπολλαπλάσιο της τιµής του λ στο βασικό διάστηµα.


Παράδειγµα 2.16 Έχει παρατηρηθεί ότι ένα τηλεφωνικό κέντρο δέχεται,

κατά µέσο όρο, δύο κλήσεις ανά µισή ώρα. Ποια είναι η πιθανότητα το

συγκεκριµένο τηλεφωνικό κέντρο να δεχθεί το πολύ τρεις τηλεφωνικές

κλήσεις στο χρονικό διάστηµα από 12.00 έως 14.00;

Ορίζουµε την τυχαία µεταβλητή Χ µε τιµές τον αριθµό των τηλεφωνικών

κλήσεων που δέχεται το συγκεκριµένο τηλεφωνικό κέντρο στo χρονικό

διάστηµα από 12.00 έως 14.00.. Οι τιµές της Χ θα είναι x=0, 1, 2, . . . .

Επειδή η Χ εκφράζει αριθµό αλλαγών σε κάποιο διάστηµα συνεπάγεται ότι

η Χ θα είναι µια Poisson τυχαία µεταβλητή. Για να βρούµε τον µέσο αριθµό

κλήσεων που δέχεται το τηλεφωνικό κέντρο σε χρονικό διάστηµα δύο

ωρών (δηλαδή για να βρούµε την τιµή της παραµέτρου λ) σκεφτόµαστε ως

εξής. Ο µέσος αριθµός αυτός, σε διάστηµα µισής ώρας, σύµφωνα µε την

εκφώνηση, είναι δύο. Το ζητούµενο διάστηµα είναι τετραπλάσιο του

βασικού διαστήµατος, άρα λ=2*4=8. Άρα Χ∼Ρ(x; 8) και p(x)=e-88x/x!, x=0,

1, 2, . . . . Με την βοήθεια της τ.µ. Χ η ζητούµενη πιθανότητα υπολογίζεται

ως εξής Ρ(Χ≤3)=Ρ(Χ=0)+Ρ(Χ=1)+Ρ(Χ=2)+Ρ(Χ=3)

=2 3

8 8 8 88 8 8e e e e 0,0421! 2! 3!

− − − −+ + + = .

2.3 ΜΟΝΤΕΛΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΣΥΝΕΧΩΝ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ

Στην § 1.5 (σελ. 46) είχαµε αναφέρει ότι, αν Χ είναι µια συνεχής τυχαία

µεταβλητή, τότε η πιθανότητα σηµείου ισούται µε µηδέν, δηλαδή Ρ(Χ=x)=0,

2.3 ΜΟΝΤΕΛΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΣΥΝΕΧΩΝ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 91

όπου x είναι µια τιµή του πεδίου ορισµού της Χ. Για τον λόγο αυτό ο

ορισµός της πιθανότητας, στην περίπτωση των συνεχών τυχαίων

µεταβλητών, έγινε για υποδιαστήµατα της ευθείας των πραγµατικών

αριθµών. Ακόµη, το γεγονός ότι Ρ(Χ=x)=0 δεν µας επιτρέπει να ορίσουµε

την συνάρτηση πιθανότητας, που ορίσαµε για τις διακριτές τυχαίες

µεταβλητές. Αντί γι’ αυτή ορίζουµε την συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας

και την συµβολίζουµε µε f(x).

Ορισµός 2.6 Θα λέµε ότι µια µη αρνητική συνάρτηση f(x) είναι

συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας (σ.π.π) (ή, ισοδύναµα, η

κατανοµή) µιας συνεχούς τυχαίας µεταβλητής αν η Ρ(Χ∈Β), Β⊆


B

P(X B) f(x)dx∈ = ∫ (2.16)

Για να είναι µια συνάρτηση f(x) συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας θα

πρέπει να ικανοποιεί τις επόµενες δύο ιδιότητες:

Ιδιότητα f1 f(x) ≥ 0 για κάθε x στο πεδίο ορισµού της Χ.

Ιδιότητα f2 f(x)dx 1∞

−∞=∫ . (Στην σχέση αυτή το –∞ και το +∞ συµβολίζουν

το κάτω και το άνω άκρο, αντίστοιχα, του πεδίου ορισµού της Χ).

Παράδειγµα 2.17 Να δειχθεί ότι οι συναρτήσεις που ακολουθούν είναι

συναρτήσεις πυκνότητας πιθανότητας µιας τυχαίας µεταβλητής Χ.


α) 2x 2f(x) xe , x>0−= . (Η συνάρτηση αυτή είναι γνωστή σαν κατανοµή

του Rayleigh).

β) 22 x 2f(x) 2 πx e , x>0−= . (Η συνάρτηση αυτή είναι γνωστή σαν

κατανοµή του Maxwell).

Το πεδίο ορισµού της πρώτης συνάρτησης είναι το διάστηµα (0, ∞). Στο

διάστηµα αυτό η f(x) είναι µη αρνητική. Ακόµη2x 2

0xe dx

∞ − =∫2x 2

0de

∞ −− =∫

2x 2

0e 1

∞− − = . Συνεπώς η f(x) ικανοποιεί και τις ιδιότητες f1 και f2, άρα

είναι µια συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας.

Το πεδίο ορισµού της δεύτερης συνάρτησης είναι επίσης το διάστηµα (0,

∞) και η f(x) στο διάστηµα αυτό είναι µη αρνητική. Άρα η ιδιότητα f1

ικανοποιείτε. Για να είναι η f(x) συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας θα

πρέπει να ισχύει και η ιδιότητα f2. Πράγµατι θέτοντας x2=2y, οπότε x=(2y)1/2

και dx=(2y)-1/2dy, παίρνουµε

22 x 2

02 πx e dx

∞ − =∫ y

0

2 12ye dyπ 2 y

∞− =∫ 1 2 y

0

2 y e dyπ

∞− =∫

=32 1 y

0

2 y e dyπ

∞− −∫ [Γ(α)=

α 1 y

0y e dy

∞ − −∫ ]

= 32

2 Γ( )π

[Γ(α)=(α-1)Γ(α-1)]

= 12

2 1Γ( )2π

[Γ(1/2)= π ]


=1 π 1π

= ,

άρα η f(x) είναι µια συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας.

Το ολοκλήρωµα α 1 y

0y e dy

∞− −∫ είναι γνωστό σαν Γάµµα συνάρτηση και

συµβολίζεται µε Γ(α). Περισσότερα για την γάµµα συνάρτηση βλ. § 2.3.3.

Παράδειγµα 2.18 Για κάθε µία από τις επόµενες συναρτήσεις να βρεθεί η

σταθερά c έτσι ώστε αυτές να είναι συναρτήσεις πυκνότητας πιθανότητας.

α) 6xce , x 0

f(x) cx , 1 x 0 0 , x 1

− >= − − < ≤≤ −

και β) 32 xf(x) cx e ,x 0−= > .

Για να είναι η πρώτη των συναρτήσεων, συνάρτηση πυκνότητας

πιθανότητας θα πρέπει να ισχύει η ιδιότητα f2. Στην περίπτωσή µας θα

έχουµε

1f(x)dx

∞

−∫ =1 ή 0 6x

1 0cxdx ce dx

∞ −

−− +∫ ∫ =1 ή

2 0xc2 1

−

− + 6x1 c e 06

− ∞ − =1 ή

c2

+c6

=1 ή τελικά c=3/2.

Εργαζόµενοι ανάλογα για την δεύτερη των συναρτήσεων θα έχουµε

0f(x)dx 1

∞=∫ ή

22 x

0c x e dx 1

∞ − =∫ ή, θέτοντας x2=y, οπότε x= y και

121dx 2 y dy−−= ,

12y 1

0c ye 2 y dy 1

∞ −− − =∫ ή 12 y

0

c y e dy 12

∞ − =∫ ή

∞ − − =∫32 1 y

0

c y e dy 12

ή 32

c Γ( ) 12

= ή 12

c 1Γ( ) 12 2

= ή c π 14

= και τελικά


4cπ

= .

♦

Μεταξύ της συνάρτησης πυκνότητας πιθανότητας f(x) (βλ. σχέση (2.16))

και της αθροιστικής συνάρτησης πιθανότητας F(x) (βλ. σχέση (2.1))

ισχύουν οι σχέσεις

α) x

F(x) f(u)du−∞

= ∫ , (2.17)

(η σχέση αυτή είναι άµεση συνέπεια των σχέσεων (2.1) και (2.16)) και

β) df(x) F(x)dx

= . (2.18)

Αν x1, x2 είναι δύο οποιεσδήποτε τιµές στο πεδίο ορισµού µιας τυχαίας

µεταβλητής Χ, τότε

2

1

x

1 2 2 1xP(x X x ) f(x)dx F(x ) F(x )≤ ≤ = = −∫ . (2.19)

Από την σχέση αυτή, στην περίπτωση που x1=x2=x, παίρνουµε ότι

Ρ(Χ=x)=0. Λόγω του γεγονότος αυτού η προηγούµενη σχέση ισχύει

ανεξάρτητα από το αν στις ανισότητες υπάρχει ή δεν υπάρχει το ίσον.

Η γενική µορφή της γραφικής παράστασης της αθροιστικής συνάρτησης

πιθανότητας, F(x), για µια συνεχή τυχαία µεταβλητή είναι αυτή του

σχήµατος (2.6). Μολονότι δεν είναι η µοναδική (διότι π.χ. θα µπορούσαµε

να έχουµε την γραφική παράσταση του σχήµατος (2.7)), εντούτοις σε ότι

ακολουθεί θα ασχοληθούµε µόνο µε αθροιστικές συναρτήσεις κατανοµής οι

οποίες είναι συνεχείς και των οποίων η παράγωγος F (x) f(x)′ = υπάρχει

σε ολόκληρο το πεδίο ορισµού της Χ, εκτός ίσος από ένα πεπερασµένο

σύνολο τιµών της Χ.


F(x)

1

x 0 Σχήµα 2.6 Γραφική παράσταση της αθροιστικής συνάρτησης πιθανότητας

µιας συνεχούς τυχαίας µεταβλητής

F(x)

1

0 0,5 1 x

Σχήµα 2.7 Μη συνεχής αθροιστική συνάρτηση κατανοµής

Παράδειγµα 2.19 ∆ίνεται η συνάρτηση f(x)=kx(1-x), 0<x<1. Να

προσδιορισθεί η σταθερά k έτσι ώστε η f(x) να είναι η συνάρτηση


πυκνότητας πιθανότητας µιας τυχαίας µεταβλητής Χ. Στην συνέχεια να

βρεθεί η αθροιστική συνάρτηση κατανοµής της Χ.

Με βάση την ιδιότητα f2 η τιµή της σταθεράς k θα προκύψει από την σχέση 1

0k x(1 x)dx 1− =∫ . Υπολογίζοντας το ολοκλήρωµα και λύνοντας την

προκύπτουσα εξίσωση βρίσκουµε k=6.

Η αθροιστική συνάρτηση κατανοµής της Χ θα είναι η

x

0

0 , x 0F(x) 6x(1 x)dx ,0 x 1

, x 11

≤= − ≤ < ≥

∫ = 2

0 , x 0x (3 2x),0 x 1

1 , x 1

≤ − ≤ < ≥

.

♦

2.3.1 ΟΜΟΙΟΜΟΡΦΟΣ ΤΥΧΑΙΑ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗ Ή ΟΜΟΙΟΜΟΡΦΟΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗ

Θα λέµε ότι η Χ είναι µια οµοιόµορφος τυχαία µεταβλητή (ή ισοδύναµα η

τυχαία µεταβλητή Χ ακολουθεί την οµοιόµορφο κατανοµή) αν η συνάρτηση

πυκνότητας πιθανότητας της Χ δίνεται από την σχέση

1f(x) , x [α, β]β α

= ∈−

. (2.20)

Είναι εύκολο να δείξουµε ότι η συνάρτηση αυτή ικανοποιεί της ιδιότητες

f1 και f2. Η αθροιστική συνάρτηση κατανοµής της οµοιόµορφης τυχαίας

µεταβλητής µπορεί να αποδειχθεί (η απόδειξη αφήνετε σαν άσκηση) ότι



0 , x α x αF(x) , α x ββ α

1 , x β

≤ −= ≤ ≤ − ≥

. (2.21)

Το γεγονός ότι η Χ είναι µια οµοιόµορφη τυχαία µεταβλητή (ή ισοδύναµα

η Χ ακολουθεί οµοιόµορφη κατανοµή) το συµβολίζουµε µε Χ∼U(α, β). Η

γραφική παράσταση της οµοιόµορφης κατανοµής δίνεται από το επόµενο

σχήµα.

f(x)

1/(β-α)-

x

0 α β

Σχήµα 2.8 Γραφική παράσταση της οµοιόµορφης κατανοµής

Παράδειγµα 2.20 Αν Χ είναι µια οµοιόµορφη τυχαία µεταβλητή στο

διάστηµα [0, 10] να υπολογισθούν οι πιθανότητες α) Ρ(Χ<3), β) Ρ(Χ>7) και

γ) Ρ(1<Χ<6).

Επειδή Χ∼U(0, 10) η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας αυτής θα είναι η

f(x)=1/10, x∈[0, 10]. Συνεπώς, µε βάση την σχέση (2.19), για τις ζητούµενες

πιθανότητες θα έχουµε


α) 3

0

1 3P(X 3) dx10 10

< = =∫ , β) 10

7

1 3p(X 7) dx10 10

> = =∫ και

γ) 6

1

1 1P(1 X 6) dx10 2

< < = =∫ .

♦

Από την µορφή της συνάρτησης πυκνότητας πιθανότητας βλ. σχέση

(2.20)) της οµοιόµορφης τυχαίας µεταβλητής και από την σχέση (2.19)

προκύπτει ότι “σε υποδιαστήµατα ίσου µήκους αντιστοιχούν ίσες

πιθανότητες”. Η ιδιότητα αυτή είναι χαρακτηριστική της οµοιόµορφης

κατανοµής. Αυτό σηµαίνει ότι “ σε υποδιαστήµατα ίσου µήκους

αντιστοιχούν ίσες πιθανότητες αν και µόνον εάν η Χ είναι µια οµοιόµορφη

τυχαία µεταβλητή”.

Αν µια τυχαία µεταβλητή περιγράφει τυχαία εκλογή από ένα διάστηµα ή

τυχαία άφιξη σε ένα διάστηµα, τότε η τυχαία µεταβλητή αυτή ακολουθεί

οµοιόµορφη κατανοµή. Το διάστηµα αυτό θα πρέπει να είναι της µορφής [α,

β]⊆ .

Παράδειγµα 2.21 Εκλέγουµε στην τύχη ένα αριθµό από το διάστηµα [0, 1].

Ποια είναι η πιθανότητα ο αριθµός που θα εκλέξουµε α) να έχει το πρώτο

δεκαδικό ψηφίο του ίσο µε την µονάδα; β) το δεύτερο δεκαδικό ψηφίο ίσο

µε 5; και γ) το πρώτο δεκαδικό ψηφίο της τετραγωνικής ρίζας του ίσο µε 3;

Ορίζουµε την τυχαία µεταβλητή Χ µε τιµές τον αριθµό που θα εκλεγεί από

το διάστηµα [0, 1]. Το γεγονός ότι η Χ εκφράζει τυχαία εκλογή σε ένα

διάστηµα συνεπάγεται ότι ακολουθεί την οµοιόµορφη κατανοµή στο

διάστηµα [0, 1] , δηλαδή X∼U(0, 1) και f(x)=1, x∈[0, 1].


α) Για να είναι το πρώτο δεκαδικό του αριθµού που θα εκλέξουµε ίσο µε 1,

θα πρέπει η Χ να παίρνει τιµές στο διάστηµα [0,10, 0,1999] Άρα η

ζητούµενη πιθανότητα γράφεται ως Ρ(0,10<X<0,19999) και θα ισούται µε 0,1999

0,1P(0,1 X 0,1999) 1dx 0,0999 0,1< < = = ≈∫ .

β) Για να είναι το δεύτερο δεκαδικό του αριθµού που θα εκλέξουµε ίσο µε 5,

θα πρέπει η Χ να παίρνει τιµές στο διάστηµα [0,k5, 0,k5999] για όλες τις

τιµές του k=0, 1, 2, . . ., 9. Άρα η ζητούµενη πιθανότητα γράφεται ως

Ρ(0,05<X<0,05999)+Ρ(0,15<X<0,15999)+ . . . +Ρ(0,95<X<0,95999).

Επειδή οι πιθανότητες αυτές αντιστοιχούν σε υποδιαστήµατα ίσου µήκους

έχουν ίσες πιθανότητες και κατά συνέπεια αρκεί να υπολογίσουµε την τιµή

µιας από αυτές. Εργαζόµενοι ανάλογα µε το ερώτηµα α) βρίσκουµε ότι

Ρ(0,05<X<0,05999)=0,00999. Άρα η ζητούµενη πιθανότητα θα ισούται µε

10x0,009999=0,09999≈0,1.

γ) Για να ικανοποιείτε η απαίτηση στο ερώτηµα αυτό θα πρέπει η

τετραγωνική ρίζα της Χ να βρίσκεται µεταξύ 0,3 και 0,39999. Άρα για την

ζητούµενη πιθανότητα θα έχουµε 0,1599

0,09P(0,3 X 0,399) P(0,09 X 0,1599) 1dx 0,0699 0,07< < = < < = = ≈∫ ♦


2.3.2 ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΤΥΧΑΙΑ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗ ´H ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ

Μια τυχαία µεταβλητή Χ θα λέµε ότι ακολουθεί την εκθετική κατανοµή (ή

ισοδύναµα η Χ είναι µια εκθετική τυχαία µεταβλητή) αν η συνάρτηση


λxf(x) λe ,−= x>0 και λ>0. (2.22)

Το λ ονοµάζεται παράµετρος της εκθετικής κατανοµής και παίρνει θετικές

τιµές. Είναι εύκολο να δείξουµε ότι η συνάρτηση αυτή είναι πράγµατι µια

συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας (δηλαδή ικανοποιεί τις ιδιότητες f1 και

f2) καθώς επίσης ότι η αθροιστική συνάρτηση πιθανότητας της f(x) δίνεται

από την σχέση

λx

0 ,x 0F(x)

1 e ,x 0−

≤= − >

(2.23)

Η γραφική παράσταση της εκθετικής κατανοµής, για διάφορες τιµές της

παραµέτρου λ, παρουσιάζονται στο σχήµα 2.9.

Το γεγονός ότι η Χ είναι µια εκθετική τυχαία µεταβλητή το συµβολίζουµε

µε Χ∼Εκθ(λ). Μερικές από τις χρήσεις της εκθετικής κατανοµής είναι α) για

να περιγράψει τον χρόνο αναµονής µεταξύ δύο γεγονότων (βλ. και

Κεφάλαιο 5), και β) τον χρόνο επιβίωσης των νεογέννητων.


f(x)

x Σχήµα 2.9. Γραφική παράσταση της εκθετικής κατανοµής για διάφορες

τιµές της παραµέτρου λ.

Παράδειγµα 2.22 Ύστερα από µελέτη των πωλήσεων ενός καταστήµατος

προέκυψε ότι η αύξηση των πωλήσεων, σε ηµερήσια βάση, ακολουθεί µια

εκθετική κατανοµή µε λ=1/2. ∆ιαλέγουµε, στην τύχη, τρεις ηµέρες, από τις

πωλήσεις του συγκεκριµένου καταστήµατος. Ποια είναι η πιθανότητα α) και

τις τρεις αυτές ηµέρες η αύξηση των πωλήσεων να είναι µεγαλύτερη από

10 µονάδες; β) η αύξηση των πωλήσεων να είναι µεγαλύτερη από 8

µονάδες για τουλάχιστον δύο από τις τρεις αυτές ηµέρες; [Υποθέτουµε ότι

οι πωλήσεις κάθε ηµέρας είναι ανεξάρτητες µεταξύ τους].

Από την εκφώνηση του παραδείγµατος γνωρίζουµε ότι η αύξηση των

πωλήσεων, σε ηµερήσια βάση, του συγκεκριµένου καταστήµατος είναι µια


εκθετική τυχαία µεταβλητή µε λ=1/2. Ας συµβολίσουµε µε Χ την τυχαία αυτή

µεταβλητή. Τότε Χ∼Εκθ(1/2) µε συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας την

12 x1f(x) e

2−= , x>0.

α) Είναι φανερό ότι η τυχαία µεταβλητή Χ δεν µπορεί να µας βοηθήσει στον

υπολογισµό της ζητούµενης πιθανότητας. Για τον λόγο αυτό ορίζουµε µια

νέα τυχαία µεταβλητή Υ µε τιµές τον αριθµό των ηµερών, στις τρεις ηµέρες

που επιλέξαµε, στις οποίες η ηµερήσια αύξηση των πωλήσεων να είναι

µεγαλύτερη από 10 µονάδες. Τότε η Υ∼Β(y; 3, p1) (δικαιολογείστε) όπου

p1=Pη ηµερήσια αύξηση των πωλήσεων να είναι µεγαλύτερη από 10

µονάδες. Αλλά η αύξηση των πωλήσεων περιγράφεται από την τυχαία

µεταβλητή Χ. Άρα

p1=P(X>10)= 12 x 5

10

1e dx e2

∞− −=∫ =0,00673.

Συνεπώς η πιθανότητα και στις τρεις ηµέρες που επιλέξαµε η αύξηση των

πωλήσεων να είναι µεγαλύτερη από 10 µονάδες γράφεται ως

( )( )35 153P(Y 3) e e3− −= = = .

β) Στην περίπτωση αυτή ορίζουµε την τυχαία µεταβλητή Ζ µε τιµές τον

αριθµό των ηµερών, στις τρεις ηµέρες που επιλέξαµε, στις οποίες η

ηµερήσια αύξηση των πωλήσεων να είναι µεγαλύτερη από 8 µονάδες. Τότε

η Ζ∼Β(z;3,p2) (δικαιολογείστε) όπου p2=Pη ηµερήσια αύξηση των

πωλήσεων να είναι µεγαλύτερη από 8 µονάδες. Όπως και προηγουµένως,


12 x 4

28

1p P(X 8) e dx e2

∞− −= > = =∫ .

Άρα η πιθανότητα τουλάχιστον στις δύο, από τις τρεις ηµέρες που

επιλέξαµε, η αύξηση των πωλήσεων να είναι µεγαλύτερη από 8 µονάδες

ισούται µε

Ρ(Ζ≥2)=Ρ(Ζ=2)+Ρ(Ζ=3)= ( )( ) ( ) ( )( )2 34 4 43 3e 1 e e2 3− − −− + = 8 123e 2e− −− .

♦

Περισσότερα για την εκθετική κατανοµή αναφέρονται στο 5ο Κεφάλαιο

όπου εξετάζεται σε σχέση µε την κατανοµή Poisson.

2.3.3 ΓΑΜΜΑ ΤΥΧΑΙΑ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗ Ή ΓΑΜΜΑ ΚΑΤΑΝΟΜΗ

Η Χ θα λέµε ότι είναι µια Γάµµα τυχαία µεταβλητή (ή ισοδύναµα η Χ έχει

την γάµµα κατανοµή) αν η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας δίνεται από

την σχέση

βx α 11f(x) βe (βx)Γ(α)

− −= , x>0; α, β>0, (2.24)

όπου α και β είναι οι παράµετροι της γάµµα κατανοµής και Γ(α) είναι η

γάµµα συνάρτηση (από όπου και το όνοµα της γάµµα κατανοµής) που

ορίζεται από την σχέση

α 1 x

0Γ(α) x e dx

∞ − −= ∫ (2.25)

Με την βοήθεια της προηγούµενης σχέσης µπορούµε να δείξουµε ότι


βx α 1

0

1 βe (βx) dx 1Γ(α)

∞− − =∫ .

Η γραφική παράσταση της γάµµα κατανοµής, για διάφορες τιµές των α και

β παρουσιάζονται στο επόµενο σχήµα.

f(x)

x

Σχήµα 2.10. Γραφική παράσταση της γάµµα κατανοµής για διάφορες τιµές

των παραµέτρων α και β.

Το γεγονός ότι η Χ είναι µια γάµµα τυχαία µεταβλητή το συµβολίζουµε ως

X∼G(α, β). Από την σχέση (2.24) γίνεται φανερό ότι Εκθ(λ)=G(1, λ).

Για την γάµµα συνάρτηση ισχύουν οι επόµενες ιδιότητες

α) Γ(α)=(α-1)Γ(α-1), α>1. β) Γ(α)=(α-1)! , αν α∈ . γ) Γ(1/2)= π .


Παράδειγµα 2.23 Η ηµερήσια κατανάλωση ηλεκτρικού ρεύµατος (σε

εκατοµµύρια κιλοβατώρες) µιας πόλης µπορεί να θεωρηθεί ότι είναι µια

γάµµα τυχαία µεταβλητή µε α=3 και β=1/2. Αν η ηµερήσια µέγιστη

παραγωγή του εργοστασίου, που ηλεκτροδοτεί την συγκεκριµένη πόλη,

είναι 12 εκατοµµύρια κιλοβατώρες, ποια είναι η πιθανότητα η πόλη αυτή,

µια οποιαδήποτε ηµέρα, να µείνει χωρίς ρεύµα;

Από την εκφώνηση του παραδείγµατος οδηγούµαστε να ορίσουµε την

τυχαία µεταβλητή Χ µε τιµές την ηµερήσια κατανάλωση ηλεκτρικού

ρεύµατος (σε εκατοµµύρια κιλοβατώρες) της συγκεκριµένης πόλης. Τότε η

κατανοµή της Χ θα είναι η G(3. ½) µε συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας

12 x21f(x) x e

16−= , x>0.

Για να µείνει, η συγκεκριµένη πόλη, µια οποιαδήποτε ηµέρα χωρίς ρεύµα

θα πρέπει η κατανάλωση να υπερβεί τις 12 εκατοµµύρια κιλοβατώρες. Η

πιθανότητα αυτή είναι η

12 x2

12

1P(X 12) x e dx 0,062.16

∞−> = =∫

♦

2.3.4 ΒΗΤΑ ΤΥΧΑΙΑ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗ Ή ΒΗΤΑ ΚΑΤΑΝΟΜΗ

Θα λέµε ότι η τυχαία µεταβλητή Χ ακολουθεί την βήτα κατανοµή (ή

ισοδύναµα η Χ είναι µια βήτα τυχαία µεταβλητή) αν η συνάρτηση



α 1 β 1Γ(α β)f(x) x (1 x)Γ(α)Γ(β)

− −+= − , 0<x<1;α, β>0 (2.26)

Τα α και β είναι οι παράµετροι της κατανοµής. Συµβολικά γράφουµε

Χ∼Beta(α, β) αν η Χ ακολουθεί την βήτα κατανοµή. Μπορεί να δειχθεί ότι

1 α 1 β 1

0

Γ(α)Γ(β)x (1 x) dxΓ(α β)

− −− =+∫ (2.27)

και συνεπώς η f(x) είναι µια συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας. Η

τελευταία σχέση µπορεί να χρησιµοποιηθεί στον υπολογισµό κατάλληλων

ολοκληρωµάτων.

Στο σχήµα 2.11 βλέπουµε την γραφική παράσταση της βήτα κατανοµής

για διάφορες τιµές των παραµέτρων α και β.

Παράδειγµα 2.24 ∆ίνεται η συνάρτηση f(x)=cx(1-x)-1/2; 0<x<1. Να βρεθεί η

τιµή της σταθεράς c έτσι ώστε η f(x) να είναι η συνάρτηση πυκνότητας

πιθανότητας µιας τυχαίας µεταβλητής Χ.

Για να είναι η f(x) µια συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας θα πρέπει να

ικανοποιεί τις ιδιότητες f1 και f2. Προφανώς η f1 ικανοποιείται για c>0. Θα

πρέπει λοιπόν να ελεγχθεί η ισχύς της ιδιότητας f2. Για την ιδιότητα αυτή θα

έχουµε 12

1

0c x(1 x) dx 1−− =∫ . Η ολοκληρωτέα ποσότητα προκύπτει από την σχέση

(2.27) για α=2 και β=1/2. Άρα η προηγούµενη σχέση γράφεται


12

52

Γ(2)Γ( )c 1Γ( )

= . Συνεπώς 52

12

Γ( )cΓ(2)Γ( )

= . Αλλά, από τις ιδιότητες της γάµµα

συνάρτησης (βλ. § 2.3.3) παίρνουµε ότι Γ(2)=(2-1)!=1, 12Γ( ) π= και

5 5 5 3 3 3 3 3 3 31 12 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4Γ( ) ( 1)Γ( 1) Γ( ) ( 1)Γ( 1) Γ( ) π= − − = = − − = = . Άρα c=3/4

(Ο υπολογισµός ανάλογων ολοκληρωµάτων µπορεί να είναι αρκετά

δύσκολος χωρίς την βοήθεια της σχέσης (2.27))

♦

f(x)

x

Σχήµα 2.11. Γραφική παράσταση της βήτα κατανοµής για διάφορες τιµές

των παραµέτρων α και β.

Η βήτα κατανοµή βρίσκει σηµαντική εφαρµογή στην θεωρία του Bayes

καθώς επίσης και στην θεωρία ανανέωσης (renewal theory).


Παράδειγµα 2.25 Ένας δείκτης, σε ένα µηχάνηµα παραγωγής, µπορεί να

µεταβάλλεται απεριορίστως, και κατά τυχαίο τρόπο, µεταξύ των θέσεων

“ανοικτό” και “ κλειστό”. Προηγούµενη µελέτη έδειξε ότι η κίνηση αυτή του

διακόπτη µπορεί να προσοµοιωθεί από την βήτα τυχαία µεταβλητή µε

α=1/2 και β=1. Αν ο διακόπτης βρίσκεται στο διάστηµα [0, 0,9], τότε τα

προϊόντα που παράγονται δεν έχουν κανένα ελάττωµα. Στην αντίθετη

περίπτωση τα προϊόντα που παράγονται έχουν ελαττώµατα. Από τα

προϊόντα παραγωγής εκλέγουµε , στην τύχη 100. Ποια είναι η πιθανότητα

10 από αυτά να είναι ελαττωµατικά;

Ας συµβολίσουµε µε Χ την τυχαία µεταβλητή που προσοµοιάζει την

κίνηση του δείκτη. Τότε Χ∼Beta(1/2, 1) µε συνάρτηση πυκνότητας

πιθανότητας την f(x)=(1/2)x-1/2 , 0<x<1. (Για την γραφική απεικόνιση της

συνάρτησης αυτής βλέπε σχήµα 2.11). Ακόµη συµβολίζουµε µε Υ την

τυχαία µεταβλητή µε τιµές τον αριθµό των ελαττωµατικών προϊόντων, στα

100, που παράγει η µηχανή. Προφανώς (δικαιολογείστε) η Υ είναι µια

διωνυµική τυχαία µεταβλητή µε n=100 και πιθανότητα “επιτυχίας” (δηλαδή

πιθανότητα ένα οποιοδήποτε αντικείµενο να είναι ελαττωµατικό)

p=12

1120,9x dx− =∫ 0,05.

Συνεπώς

Ρ(στα 100 τυχαία εκλεγµένα προϊόντα τα 10 να είναι ελαττωµατικά)

=Ρ(Υ=10)= 10 90100 0,05 (1 0,05)10 −

. Επειδή το n είναι µεγάλος αριθµός και

p µικρός, η πιθανότητα αυτή µπορεί να προσεγγισθεί από την κατανοµή

Poisson µε λ=np=5. (Βλ. §§ 2.2.2 και 2.2.6). Άρα


Ρ(Υ=10)= 10 90100 0,05 (1 0,05)10 −

=10

5 5e10!

− =0,0181.

(Η τελευταία τιµή βρέθηκε από τους πίνακες Poisson. Βλ. πίνακα ΙΙ στο

τέλος του βιβλίου).

♦

2.3.5 ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΤΥΧΑΙΑ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗ Ή ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ

Η κατανοµή αυτή µελετήθηκε για πρώτη φορά από τους Abraham de

Moivre (1667-1745), Pierre Laplace (1749-1827) και Karl Gauss (1777-

1885) κυρίως σε σχέση µε την θεωρία σφαλµάτων. Για τον λόγο αυτό η

κατανοµή αυτή είναι γνωστή και ως κατανοµή των σφαλµάτων. Μια άλλη

ονοµασία της είναι κατανοµή του Gauss επειδή πρώτος αυτός την ανέφερε

στην βιβλιογραφία σε µια εργασία του το 1809.

Η κανονική κατανοµή αποτελεί τον βασικό κορµό τόσο της θεωρίας

πιθανοτήτων, όσο και της στατιστικής. Στην θεωρία πιθανοτήτων διότι, µε

την βοήθεια του κεντρικού οριακού θεωρήµατος (βλ. § 3.6.2, θεώρηµα

3.29), πολλές κατανοµές (διακριτές ή συνεχείς) έχουν σαν όριο την

κανονική κατανοµή. Στην στατιστική αποτελεί την βάση για πολλές

στατιστικές µεθόδους (π.χ. παλινδρόµηση, ανάλυση διακύµανσης κ.ά.)

Ακόµη η κατανοµή αυτή “δουλεύεται” εύκολα από µαθηµατικής πλευράς

και έχει µοναδικές ιδιότητες. Μερικές από τις ιδιότητες αυτές θα δούµε στην

συνέχεια (βλ. παραδείγµατα 2.32 και 3.12, θεώρηµα 3.26).

Η µαθηµατική µορφή της κανονικής κατανοµής είναι η


2

2(x µ)1 1f(x) exp

2 σ2πσ −= −

, -∞<x<∞ ; -∞<µ<∞, σ2>0. (2.28)

Τα µ και σ2 είναι οι παράµετροι της κατανοµής Το γεγονός ότι η Χ

ακολουθεί την κανονική κατανοµή (ή ισοδύναµα η Χ είναι µια κανονική

τυχαία κατανοµή) το συµβολίζουµε Χ∼Ν(µ, σ2).

Σχήµα 2.12. Γραφική παράσταση της κανονικής κατανοµής για διάφορες

τιµές των παραµέτρων µ και σ2.

Αν µ=0 και σ2=1 τότε η f(x) παίρνει την µορφή

21 1f(x) exp x22π

= −

, -∞<x<∞. (2.29)


Η κατανοµή αυτή είναι γνωστή σαν τυπική κανονική κατανοµή, συµβολίζεται

ως Χ∼Ν(0, 1), και η γραφική της παράσταση αυτή του σχήµατος 2.13.

-3 -2 -1 1 2 3

0.1

0.2

0.3

0.4

Σχήµα 2.13. Γραφική παράσταση της τυπικής κανονικής κατανοµής

Για να µεταβούµε από την κανονική κατανοµή στην τυπική κανονική

χρησιµοποιούµε τον µετασχηµατισµό

X µZσ−

= . (2.30)

Αυτό σηµαίνει ότι, αν η Χ∼Ν(µ, σ2), τότε Ζ∼Ν(0, 1). (Η απόδειξη αυτή µαζί

µε άλλες ιδιότητες της κανονικής κατανοµής θα δοθούν στο 3ο Κεφάλαιο.

Βλέπε παράδειγµα 2.32, σελ. 124) Ο µετασχηµατισµός αυτός είναι γνωστός

µε το όνοµα τυπικός µετασχηµατισµός.

Ο υπολογισµός πιθανοτήτων για την κανονική κατανοµή, γίνεται µέσω

του τυπικού µετασχηµατισµού και των πινάκων (βλ. Πίνακα ΙΙΙ, στο τέλος

του βιβλίου) της τυπικής κανονικής. Τα επόµενα παραδείγµατα σκοπό


έχουν να δείξουν πως γίνονται οι υπολογισµοί αυτοί. Θα πρέπει να τονισθεί

ότι οι υπολογισµοί αυτοί βασίζονται στην συγκεκριµένη µορφή του πίνακα

της τυπικής κανονικής που δίνεται στο τέλος του βιβλίου.

Παράδειγµα 2.26 Αν η τυχαία µεταβλητή Ζ ακολουθεί την τυπική κανονική

κατανοµή να βρεθούν οι πιθανότητες α) Ρ(-1,2<Ζ<2.22) και β) η τιµή του zo

έτσι ώστε Ρ(Ζ>zo)=0,975.

Ο υπολογισµός των πιθανοτήτων για την τυπική κανονική κατανοµή θα

γίνει µε βάση τον πίνακα ΙΙΙ στο τέλος του βιβλίου. Ο πίνακας αυτός µας

δίνει τιµές για πιθανότητες της µορφής Ρ(0<Ζ<zο), όπου zο είναι µια τιµή

στο πεδίο ορισµού της τυπικής κανονικής. Αυτό σηµαίνει ότι οποιαδήποτε

άλλη πιθανότητα θα πρέπει να γραφεί στην προηγούµενη µορφή. Βασική

βοήθεια για τον σκοπό αυτό είναι οι εξής ιδιότητες

i) η τυπική κανονική είναι συµµετρική ως προς το σηµείο 0 και

ii) Ρ(-∞<Z<∞)=1.

Με βάση τις ιδιότητες αυτές για την πιθανότητα στο α) θα έχουµε

Ρ(-1,2<Ζ<2,22)= Ρ(-1,2<Ζ<0)+ Ρ(0<Ζ<2,22)= Ρ(0<Ζ<1,2)+ Ρ(0<Ζ<2,22)=

=0,3849+0,4868=0,8717.

Ο τρόπος εύρεσης των τιµών των πιθανοτήτων Ρ(0<Ζ<1,2), Ρ(0<Ζ<2,22)

σκιαγραφείτε στο επόµενο σχήµα.

Η εύρεση της τιµής του zο έτσι ώστε Ρ(Ζ>zo)=0,975 γίνεται ως εξής. Κατ’

αρχήν επειδή Ρ(0<Ζ<∞)=0,5, συµπεραίνουµε ότι το zο θα είναι αρνητικός

αριθµός Συνεπώς η Ρ(Ζ>zο) µπορεί να γραφεί ως

P(Z>zo)=P(-zo<Z)=Ρ(-zο<Ζ<0)+Ρ(0<Ζ<∞)=Ρ(-zο<Ζ<0)+0,5


z . 00 .01 .02 .03 .04 .05 .06 .07 .08 .09

0.0 .0000 .0040 .0080 .0120 .0160 .0199 .0239 .0279 .0319 .0359 0.1 .0398 .0438 .0478 .0517 .0557 .0596 .0636 .0675 .0714 .0753 0.2 .0793 .0832 .0871 .0910 .0948 .0987 .1026 .1064 .1103 .1141 0.3 .1179 .1217 .1255 .1293 .1331 .1368 .1406 .1443 .1480 .1517 0.4 .1554 .1591 .1628 .1664 .1700 .1736 .1772 .1808 .1844 .1879 0.5 .1915 .1950 .1985 .2019 .2054 .2088 .2123 .2157 .2190 .2224 0.6 .2257 .2291 .2324 .2357 .2389 .2422 .2454 .2486 .2517 .2549 0.7 .2580 .2611 .2642 .2673 .2704 .2734 .2764 .2794 .2823 .2852 0.8 .288 1 .2910 .2939 .2967 .2995 .3023 .3051 .3078 .3106 .3133 0.9 .3159 .3186 .3212 .3238 .3264 .3289 .3315 .3340 .3365 .3389 1.0 .3413 .3438 .3461 .3485 .3508 .3531 .3554 .3577 .3599 .3621 1.1 .3643 .3665 .3686 .3708 .3729 .3749 .3770 .3790 .3810 .3830 1.2 .3849 .3869 .3888 .3907 .3925 .3944 .3962 .3980 .3997 .4015 1.3 .4032 .4049 .4066 .4082 .4099 .4115 .4131 .4147 .4162 .4177 1.4 .4192 .4207 .4222 .4236 .4251 .4265 .4279 .4292 .4306 .4319 1.5 .4332 .4345 .4357 .4370 .4382 .4394 .4406 .4418 .4429 .4441 1.6 .4452 .4463 .4474 .4484 .4495 .4505 .4515 .4525 .4535 .4545 1.7 .4554 .4564 .4573 .4582 .4591 .4599 .4608 .4616 .4625 .4633 1.8 .4641 .4649 .4656 .4664 .4671 .4678 .4686 .4693 .4699 .4706 1.9 .4713 .4719 .4726 .4732 .4738 .4744 .4750 .4756 .4761 .4767 2.0 .4772 .4778 .4783 .4788 .4793 .4798 .4803 .4808 .4812 .4817 2.1 .4821 .4826 .4830 .4834 .4838 .4842 .4846 .4850 .4854 .4857 2.2 .4861 .4864 .4868 .4871 .4875 .4878 .4881 .4884 .4887 .4890 2.3 .4893 .4896 .4898 .4901 .4904 .4906 .4909 .4911 .4913 .4916 2.4 .4918 .4920 .4922 .4925 .4927 .4929 .4931 .4932 .4934 .4936 2.5 .4938 .4940 .4941 .4943 .4945 .4946 .4948 .4949 .4951 .4952 2.6 .4953 .4955 .4956 .4957 .4959 .4960 .4961 .4962 .4963 .4964 2.7 .4965 .4966 .4967 .4968 .4969 .4970 .4971 .4972 .4973 .4974 2.8 .4974 .4975 .4976 .4977 .4977 .4978 .4979 .4979 .4980 .4981 2.9 .4981 .4982 .4982 .4983 .4984 .4984 .4985 .4985 .4986 .4986 3.0 .4987 .4987 .4987 .4988 .4988 .4989 .4989 .4989 .4990 .4990

Σχήµα 2.14 Πίνακας πιθανοτήτων της τυπικής κανονικής κατανοµής και υπολογισµός των πιθανοτήτων Ρ(0<Ζ<1,2) και Ρ(0<Ζ<2,22).

Επειδή θα πρέπει Ρ(Ζ>zo)=0,975 από την προηγούµενη σχέση παίρνουµε


Ρ(-zο<Ζ<0)=Ρ(0<Ζ<zο)=0,975-0,5=0,475. Από τον πίνακα της τυπικής

κανονικής κατανοµής και εργαζόµενοι αντίστροφα από ότι στον υπολογισµό

των πιθανοτήτων στο (α) βρίσκουµε ότι -zo=1,96. Συνεπώς zo=-1.97.

♦ Το επόµενο παράδειγµα µας δείχνει τον τρόπο υπολογισµού

πιθανοτήτων για την κανονική κατανοµή µε παραµέτρους µ και σ2.

Παράδειγµα 2.27 Αν Χ∼Ν(2, 4) α) να υπολογισθεί η Ρ(2,5<Χ<4,7) και β) να

βρεθεί η τιµή του xο έτσι ώστε Ρ(Χ<xο)=0,8.

Το γεγονός ότι Χ∼Ν(2, 4), σύµφωνα µε τα όσα αναφέραµε προηγουµένως,

συνεπάγεται ότι Ζ=(Χ-2)/2 ακολουθεί την τυπική κατανοµή, δηλ. Ζ∼Ν(0, 1).

Συνεπώς για την πιθανότητα στο α) θα έχουµε

Ρ(2,5<Χ<4,7)=2,5 2 X 2 4,7 2P

2 2 2− − − < <

=Ρ(0,25<Ζ<1,35)=

=Ρ(0<Ζ<1,35) – Ρ(0<Ζ<0,25)=0,4115 – 0,0987=0,3128.

Για την εύρεση της τιµής του xο στο β) ερώτηµα θα έχουµε

Ρ(Χ<xο)= ox 2X 2P2 2

−− <

=Ρ(Ζ<zo), όπου zo=(xο-2)/2.

Το πρόβληµά µας ανάγεται στην εύρεση της τιµής του zο έτσι ώστε

Ρ(Ζ<zο)=0,8. Επειδή Ρ(-∞<Ζ<0)=0,5, συµπεραίνουµε ότι το zο θα είναι

θετικός αριθµός. Θα έχουµε λοιπόν Ρ(Ζ<zο)= Ρ(-∞<Ζ<0)+ Ρ(0<Ζ<zο)=0,5 +

Ρ(0<Ζ<zο)=0,8. Άρα Ρ(0<Ζ<zο)=0,3, και συνεπώς zo= 0,84. Από την σχέση

zo=(xο-2)/2 παίρνουµε xo=2zo+2 οπότε xo=3,68.

♦

Παράδειγµα 2.28 Υποθέτουµε ότι οι βαθµοί, µε άριστα το 10, σε κάποιο

µάθηµα ακολουθούν την κανονική κατανοµή µε µ=6,5 και σ=0,5. Από το


σύνολο των µαθητών εκλέγουµε στην τύχη τρεις. Ποια είναι η πιθανότητα οι

δύο από αυτούς να έχουν, στο συγκεκριµένο µάθηµα, βαθµό µεγαλύτερο

του επτά;

Ας ορίσουµε την τυχαία µεταβλητή Χ µε τιµές τους βαθµούς, ενός

οποιουδήποτε µαθητή, στο συγκεκριµένο µάθηµα. Από την εκφώνηση

Χ∼Ν(6,5 , 0,5). Εµείς ενδιαφερόµαστε οι δύο, από τους τρεις µαθητές, να

έχουν βαθµολογία µεγαλύτερη του επτά. Άρα λοιπόν µπορούµε να

ορίσουµε την τυχαία µεταβλητή Υ µε τιµές τον αριθµό των µαθητών, στους

τρεις, που έχουν βαθµό, στο συγκεκριµένο µάθηµα, µεγαλύτερο του επτά.

Προφανώς οι τιµές της Υ είναι y=0, 1, 2, 3. Αυτό σηµαίνει ότι η Υ είναι µια

διακριτή τυχαία µεταβλητή. Είναι εύκολο να δούµε (να το δικαιολογήσετε)

ότι Υ∼Β(y;3, p), όπου p είναι η πιθανότητα “επιτυχίας” δηλαδή η πιθανότητα

ένας οποιοσδήποτε µαθητής να έχει βαθµό µεγαλύτερο του επτά. Η

πιθανότητα αυτή δίνεται από την σχέση p=Ρ(Χ>7)=X 6,5 7 6,5P

0,5 0,5− − >

=

=Ρ(Ζ>1) όπου Ζ=(Χ-6,5)/0,5. Συνεπώς p=Ρ(Ζ>1)=Ρ(1<Ζ<∞)= Ρ(0<Ζ<∞)-

Ρ(0<Ζ<1)=0,5 – 0,3413=0,1587. Άρα Ρ(οι δύο στους τρεις να έχουν βαθµό

µεγαλύτερο του επτά) = Ρ(Υ=2)= ( ) 23 (0,1587) (1 0,1587)2 − =0,0635.


2.4 ΑΠΟ ΚΟΙΝΟΥ ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ – ΠΕΡΙΘΩΡΙΕΣ & ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ

Από τα προηγούµενα θα πρέπει να έγινε αντιληπτό ότι η τυχαία

µεταβλητή δεν είναι τίποτε άλλο παρά το µέγεθος που µετράµε σε κάθε

πείραµα τύχης. Είναι λογικό συνεπώς να υποθέσουµε ότι, σε ένα πείραµα

τύχης, δεν είναι απαραίτητο το ενδιαφέρον µας να περιορίζετε σε µία και

µόνο τυχαία µεταβλητή, αλλά µπορεί να επεκτείνετε και σε περισσότερες.

Για παράδειγµα στην ρίψη δύο ζαριών µπορεί να ενδιαφερόµαστε για το

αποτέλεσµα κάθε ζαριού χωριστά, ή στην τυχαία εκλογή ενός αριθµού

ατόµων µπορεί να ενδιαφερόµαστε τόσο για το ύψος, όσο και το βάρος

τους. Και στις δύο αυτές περιπτώσεις χρειαζόµαστε να ορίσουµε δύο

τυχαίες µεταβλητές. Οι τυχαίες αυτές µεταβλητές δεν είναι απαραίτητο να

είναι και οι δύο του ίδιου τύπου, δηλαδή διακριτές ή συνεχείς (όπως

συµβαίνει στα δύο παραδείγµατα που αναφέραµε προηγουµένως). Μπορεί

να είναι και µικτού τύπου. Έτσι στο παράδειγµα της τυχαίας εκλογής ενός

αριθµού ατόµων µπορεί να καταγράφουµε το βάρος του και τον αριθµό των

τσιγάρων που καπνίζει, σε ηµερήσια βάση. Στην περίπτωση αυτή η πρώτη

τυχαία µεταβλητή (βάρος) είναι συνεχής και η άλλη διακριτή.

2.4 ΑΠΟ ΚΟΙΝΟΥ ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ-

ΠΕΡΙΘΩΡΙΕΣ & ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ 117

Τα όσα θα αναφερθούν στην παράγραφο αυτή θα αφορούν δύο τυχαίες

µεταβλητές, εύκολα όµως µπορούν να γενικευθούν για περισσότερες από

δύο µεταβλητές.

Από κοινού αθροιστική συνάρτηση κατανοµής ή απλά η από κοινού

συνάρτηση κατανοµής δύο τυχαίων µεταβλητών Χ και Υ ορίζεται ως

FXY(x,y)=P(X≤x, Y≤y), -∞<x,y<∞ (2.31)

Στην προηγούµενη σχέση οι τυχαίες µεταβλητές Χ και Υ µπορεί να είναι

οποιουδήποτε τύπου (διακριτές ή συνεχείς).

Από τις ιδιότητες της FXY(x, y) θα αναφέροµαι µόνο τις επόµενες

Ιδιότητα FXY1 0≤ FXY(x,y)≤1, (x, y)∈ x

Ιδιότητα FXY2. FX(x)=FXY(x, ∞) και FY(y)=FXY(∞, y).

Η ιδιότητα αυτή µας λέει ότι “αν γνωρίζουµε την από κοινού αθροιστική

συνάρτηση κατανοµής δύο τυχαίων µεταβλητών, τότε γνωρίζουµε τις

επιµέρους αθροιστικές συναρτήσεις κατανοµής FX(x) και FY(Y)”

Ιδιότητα FXY3 FXY(-∞, -∞)=0 και FXY(∞, ∞)=1.

Από κοινού συνάρτηση πιθανότητας. Αν Χ και Υ είναι δύο διακριτές τυχαίες

µεταβλητές, τότε η από κοινού συνάρτηση πιθανότητας ορίζεται από την

pXY(x, y)=P(X=x, Y=y) (2.32)

Ιδιότητα pXY1 pXY(x,y)≥0 .

Ιδιότητα pXY2 XYx y

p (x,y) 1=∑∑ .

Από κοινού συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας. Έστω Χ και Υ δύο

συνεχείς τυχαίες µεταβλητές και Α, Β δύο υποσύνολα του συνόλου των


πραγµατικών αριθµών. Αν υπάρχει µια µη αρνητική συνάρτηση fXΥ(x, y)

τέτοια ώστε

XYA B

P(X A,Y B) f (x,y)dxdy∈ ∈ = ∫ ∫

τότε η είναι η από κοινού συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας των Χ και Υ.

Ιδιότητα fXY1 fXY(x,y)≥0

Ιδιότητα fXY2 XYf (x,y)dxdy 1∞ ∞

−∞ −∞

=∫ ∫ .

Το –∞ και +∞ είναι, αντίστοιχα, η µικρότερη και η µεγαλύτερη τιµή των

πεδίων ορισµού των Χ και Υ.

Στην περίπτωση που οι τυχαίες µεταβλητές Χ και Υ είναι συνεχείς, τότε

µεταξύ της fXX(x,y) και FΧΥ(x,y) ισχύει η σχέση

∂

=∂ ∂

2

XYF f (x,y)

x y

Παρατήρηση 2.4 Στην συνέχεια η αναφορά στην έκφραση “από κοινού

κατανοµή” θα συµπεριλαµβάνει τόσο την από κοινού συνάρτηση

πιθανότητας, όσο και την από κοινού συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας.

Κατανοµές περιθωρίου. Αν γνωρίζουµε την από κοινού κατανοµή δύο

τυχαίων µεταβλητών, τότε µπορούµε να βρούµε την κατανοµή της κάθε

µιας χωριστά. Οι κατανοµές αυτές είναι γνωστές σαν κατανοµές

περιθωρίου.

Έτσι στην περίπτωση που η συνάρτηση πιθανότητας pXY(x, y) είναι

γνωστή οι κατανοµές περιθωρίου pX(x) και pY(y) των Χ και Υ, αντίστοιχα,

δίνονται από τις σχέσεις.

2.4 ΑΠΟ ΚΟΙΝΟΥ ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ-

ΠΕΡΙΘΩΡΙΕΣ & ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ 119

X XYy

p (x) p (x,y)= ∑ και Y XYx

p (y) p (x,y)= ∑ . (2.33)

Αν η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας fXY(x, y) είναι γνωστή, τότε οι

κατανοµές περιθωρίου fX(x) και fY(y) των Χ και Υ, αντίστοιχα, δίνονται από

τις σχέσεις.

X XYf (x) f (x,y)dy∞

−∞= ∫ και Y XYf (y) f (x,y)dx

∞

−∞= ∫ . (2.34)

Υπό συνθήκη κατανοµές. Σε αναλογία µε την υπό συνθήκη πιθανότητα (βλ.

σελ. 18) µπορούµε να ορίσουµε και την υπό συνθήκη κατανοµή.

Στην περίπτωση που και οι δύο τυχαίες µεταβλητές Χ και Υ είναι

διακριτές η υπό συνθήκη συνάρτηση πιθανότητας της Χ δοθέντος της Υ

συµβολίζεται µε pX|Y(x|y) και δίνεται από την σχέση

XYX|Y

Y

p (x,y)p (x | y)p (y)

= .

Ανάλογα ορίζεται και η υπό συνθήκη συνάρτηση πιθανότητας της Υ

δοθέντος της Χ.

Στην περίπτωση που και οι δύο τυχαίες µεταβλητές Χ και Υ είναι

συνεχείς η υπό συνθήκη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της Χ

δοθέντος της Υ συµβολίζεται µε fX|Y(x|y) και δίνεται από την σχέση

XYX|Y

Y

f (x,y)f (x | y)f (y)

= .

Ανάλογα ορίζεται και η υπό συνθήκη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας

της Υ δοθέντος της Χ.


2.5 ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ

Στην σελίδα 23 (βλ. ορισµό 1.7) είχαµε δει πότε k ενδεχόµενα, ενός

δειγµατικού χώρου Ω, είναι ανεξάρτητα. Στην παράγραφο αυτή θα

ασχοληθούµε µε την ανεξαρτησία δύο τυχαίων µεταβλητών. Τα όσα θα

αναφερθούν µπορούν να γενικευθούν για περισσότερες από δύο τυχαίες

µεταβλητές.

Ορισµός 2.7 Θα λέµε ότι οι τυχαίες µεταβλητές Χ και Υ είναι

ανεξάρτητες αν για οποιοδήποτε σύνολα Α, Β ⊆ ισχύει

Ρ(Χ∈Α,Υ∈Β)=Ρ(Χ∈Α)Ρ(Υ∈Β). (2.35)

Θεώρηµα 2.1 (Α’ κριτήριο ανεξαρτησίας)

Οι τυχαίες µεταβλητές Χ και Υ είναι ανεξάρτητες εάν και µόνον εάν

FXY(x, y)=FX(x)FY(y) για κάθε (x, y)∈ x .

Απόδειξη Ας υποθέσουµε ότι οι τυχαίες µεταβλητές Χ και Υ είναι

ανεξάρτητες. Τότε θα δείξουµε ότι ισχύει η σχέση του θεωρήµατος 2.1.

Πράγµατι αν θέσουµε Α=(-∞, x] και Β=(-∞, y] από τον ορισµό 2.7 παίρνουµε

Ρ(Χ∈Α,Υ∈Β)=Ρ(Χ∈(-∞, x], Υ∈(-∞, y])= Ρ(Χ∈(-∞, x])∗Ρ(Υ∈(-∞, y]).

Αλλά Ρ(Χ∈(-∞, x], Υ∈(-∞, y])=P(X≤x,Y≤y)=FXY(x, y), Ρ(Χ∈(-∞, x])=P(X≤x)=

FX(x) και Ρ(Υ∈(-∞, y])=P(Y≤y)=FY(y). Συνεπώς FXY(x, y)= FX(x) FY(y).

2.5 ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 121

Η απόδειξη του αντιστρόφου απαιτεί γνώσεις πέρα από το επίπεδο του

παρόντος βιβλίου και γι’ αυτό θα παραληφθεί.

Θεώρηµα 2.2 (Β’ κριτήριο ανεξαρτησίας)


pXY(x, y)=pX(x)pY(y), στην περίπτωση που οι Χ και Υ είναι διακριτές

ή fXY(x, y)=fX(x)fY(y), στην περίπτωση που οι Χ και Υ είναι συνεχείς.

Απόδειξη Η απόδειξη είναι απλή και θα παραληφθεί. (Αφήνετε όµως

σαν άσκηση στον αναγνώστη).

•

Θεώρηµα 2.3 Έστω Χ1 και Χ2 δύο ανεξάρτητες τυχαίες µεταβλητές.

Θεωρούµε τους µετασχηµατισµούς Υ1=φ1(Χ1) και Υ2=φ2(Χ2). Αν οι

αντίστροφες συναρτήσεις των φ1 και φ2 υπάρχουν, τότε και οι Υ1 και Υ2

είναι ανεξάρτητες.

Απόδειξη Σύµφωνα µε τον ορισµό 2.7 αρκεί να αποδείξουµε ότι για

οποιαδήποτε σύνολα Β1 και Β2 του ισχύει

Ρ(Υ1∈Β1, Υ2∈Β2)=Ρ(Υ1∈Β1)Ρ(Υ2∈Β2).

Λόγω της ύπαρξης του αντιστρόφου των µετασχηµατισµών φ1 και φ2, τα

ενδεχόµενα Υ1∈Β1 και Υ2∈Β2 είναι ισοδύναµα, αντίστοιχα, µε τα

ενδεχόµενα 11 1 1X φ (B )−∈ και 1

2 2 2X φ (B )−∈ . Συνεπώς

Ρ(Υ1∈Β1, Υ2∈Β2)=Ρ[ 11 1 1X φ (B )−∈ , 1

2 2 2X φ (B )−∈ ]=

=Ρ[ 11 1 1X φ (B )−∈ ]Ρ[ 1

2 2 2X φ (B )−∈ ]=Ρ(Υ1∈Β1)Ρ(Υ2∈Β2).

•


2.6 ΑΛΛΑΓΗ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ

Σε πολλά πρακτικά, αλλά και θεωρητικά, προβλήµατα πολλές φορές

γνωρίζουµε την κατανοµή µιας τυχαίας µεταβλητής Χ και ζητάµε την

κατανοµή µιας άλλης τυχαίας µεταβλητής Υ η οποία συνδέεται µε την Χ

µέσω µιας σχέσης της µορφής Υ=h(Χ).

Παράδειγµα 2.29 Στην θεωρητική Φυσική είναι γνωστό ότι η ταχύτητα Χ

ενός µορίου µάζας m είναι µια τυχαία µεταβλητή µε συνάρτηση πυκνότητας

πιθανότητας 2x

2 22f(x) x e ,x 0π

−= > .

(Η κατανοµή αυτή είναι γνωστή σαν κατανοµή του Maxwell. Βλ. και

παράδειγµα 2.17). Η κινητική ενέργεια, Υ, του σωµατιδίου δίνεται από την

σχέση

21Y mX2

= .

Το ερώτηµα που τίθεται είναι “ποια είναι η συνάρτηση πυκνότητας

πιθανότητας της κινητικής ενέργειας;”

♦

Το πρόβληµα αυτό, στην θεωρία των πιθανοτήτων, είναι γνωστό σαν

πρόβληµα αλλαγής µεταβλητών (transformation of variables). Η θεωρία της

αλλαγής µεταβλητών πραγµατεύεται τόσο την µονοδιάστατη, όσο και την

πολυδιάστατη περίπτωση. Εµείς, σε ότι ακολουθεί, θα περιορισθούµε στην

2.6 ΑΛΛΑΓΗ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 123

µονοδιάστατη περίπτωση. Ο αναγνώστης ο οποίος θα ήθελε να γνωρίσει

περισσότερα πράγµατα για την πολυδιάστατη περίπτωση παραπέµπεται

στα βιβλία των Παπαϊωάννου (1997), Roussas (1973) και Freund (1971).

Έστω λοιπόν Χ µια τυχαία µεταβλητή και Υ=h(X) µια συνάρτηση της Χ.

Ας συµβολίσουµε µε S το πεδίο ορισµού της Χ, δηλαδή S=x:p(x)>0, στην

περίπτωση που η Χ είναι µια διακριτή τ.µ. και S=x:f(x)>0, στην περίπτωση

που η Χ είναι µια συνεχής τ.µ.. Έστω, ακόµη, Τ η εικόνα του S µε βάση τον

µετασχηµατισµό h(X), δηλαδή T=y:y=h(x), x∈S. Με άλλα λόγια το σύνολο

Τ είναι το πεδίο ορισµού της τυχαίας µεταβλητής Υ.

2.6.1 ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ∆ΙΑΚΡΙΤΗΣ ΤΥΧΑΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

Στην περίπτωση που η Χ είναι µια διακριτή τυχαία µεταβλητή το

πρόβληµα της αλλαγής των µεταβλητών δεν παρουσιάζει ιδιαίτερη

δυσκολία. Όταν ο µετασχηµατισµός Υ=h(Χ) είναι ένα-προς-ένα, τότε η

συνάρτηση πιθανότητας της Υ δίνεται από την σχέση

1Y Xp (y) p h (y)− = . (2.36)

Παράδειγµα 2.30 Έστω Χ~Β(x; 5, ¼) και Υ=(1+Χ)-1. Η συνάρτηση

πιθανότητας της τυχαίας µεταβλητής Υ θα βρεθεί ως εξής.

Η συνάρτηση πιθανότητας της Χ είναι ( )( ) ( )5 xx 314 4

5p(x) x−

= ,

x=0,1,2,3,4,5 ενώ ο αντίστροφος µετασχηµατισµός (δηλαδή η λύση της

Y=h(X) ως προς Χ) δίνει X=(1/Y)-1. Άρα, σύµφωνα µε την σχέση (2.36),


( ) ( )11 5 11 31 yy1Y X 4 4

y 1

1 5p (y) p 1y

− −−

= − = − , y=1,1/2,1/3,1/4,1/5,1/6.

♦

Παρατηρήστε ότι οι πιθανότητες δεν έχουν αλλάξει. Το µονό που άλλαξε

είναι ότι τώρα αυτές αντιστοιχούν στις τιµές της τυχαίας µεταβλητής Υ ενώ

πρώτα αντιστοιχούσαν στις τιµές τις τυχαίας µεταβλητής Χ.

Όταν ο µετασχηµατισµός δεν είναι ένα-προς-ένα, τότε εργαζόµαστε

ανάλογα µε την περίπτωση.

Παράδειγµα 2.31 (Περίπτωση όχι ένα-προς-ένα µετασχηµατισµού)

Ρίχνουµε δύο ζάρια και συµβολίζουµε µε Χ την τυχαία µεταβλητή µε τιµές

το άθροισµα των αποτελεσµάτων των δύο ζαριών. Να βρεθεί η συνάρτηση

πιθανότητας της τυχαίας µεταβλητής Υ η οποία παίρνει την τιµή 0, όταν η

τιµή της Χ είναι άρτιος αριθµός και 1 όταν η τιµή της Χ είναι περιττός

αριθµός.

Η συνάρτηση πιθανότητας της Χ δίνεται στο παράδειγµα 2.1. Για να

βρούµε την συνάρτηση πιθανότητας της Υ, αρκεί να βρούµε τις

pY(0)=Ρ(Υ=0) και pY(1)=Ρ(Υ=1). Σύµφωνα µε την εκφώνηση

pY(0)=Ρ(Υ=0)=Ρ(Χ=άρτιος)=P(X=2)+P(X=4)+P(X=6)+P(X=8)+P(X=10)

+P(X=12)=1 3 5 5 3 1 18 1

36 36 36 36 36 36 36 2+ + + + + = = ,

και pY(1)=Ρ(Υ=1)=Ρ(Χ=περιττός)=P(X=3)+P(X=5)+P(X=7)+P(X=9)

+P(X=11)=2 4 6 4 2 18 1

36 36 36 36 36 36 2+ + + + = = ,

♦


2.6.2 ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΤΥΧΑΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

Για την εύρεση της κατανοµής της Υ, όταν η Χ είναι συνεχής τυχαία

µεταβλητή, υπάρχουν τρεις µέθοδοι:

α) της αθροιστικής συνάρτησης κατανοµής

β) του µετασχηµατισµού και

γ) της ροπογεννήτριας (βλ. § 3.5, θεώρηµα 3.21).

Μέ θ ο δο ς τ η ς α θ ρ ο ι σ τ ι κ ή ς συ ν ά ρ τ ηση ς κ α τ α ν ο µ ή ς Η µέθοδος αυτή µπορεί να χρησιµοποιηθεί τόσο για συνεχείς, όσο και

διακριτές τυχαίες µεταβλητές. Η χρήση της όµως είναι πιο εύκολη στιην

συνεχή περίπτωση.

Είναι γνωστό ότι η αθροιστική συνάρτηση κατανοµής, FX(x), µιας τυχαίας

µεταβλητής Χ, προσδιορίζει µε µοναδικό τρόπο την κατανοµή της Χ.

Συνεπώς για την εύρεση της fY(y) αρκεί να βρούµε την FY(y). Αυτό µπορεί

να γίνει όταν η συνάρτηση Υ=h(X) είναι ένα-προς-ένα και µονότονος

(αύξουσα ή φθίνουσα). Στην περίπτωση αυτή η αντίστροφη συνάρτηση h-1

υπάρχει και µάλιστα ισχύει h-1[h(x)]=x. Έτσι, όταν η Y=h(X) είναι αύξουσα

συνάρτηση θα έχουµε

FY(y)=P(Y≤y)=P[h(X) ≤y]=Ph-1[h(X) ≤h-1(y) =P(X≤h-1(y))=FX[h-1(y)].

Αν η Y=h(X) είναι φθίνουσα συνάρτηση τότε

FY(y)=P(Y≤y)=P[h(X) ≤y]=Ph-1[h(X) ≥h-1(y) =P(X≥ h-1(y))=1-Ρ(X< h-1(y))=1-

FX[h-1(y)].


Η αλλαγή της κατεύθυνσης της ανισότητας, στην τελευταία σχέση, όταν ο

αντίστροφος µετασχηµατισµός h-1 εφαρµόζεται και η h(X) είναι φθίνουσα

παρουσιάζεται γραφικά στο επόµενο σχήµα.

y

το (y≤yo), κάτω από τον µετασχηµατισµό h,

αντιστοιχεί στο (x≥xo) yo

y=h(x)

xo=h-1(yo) x

Σχήµα 2.15 Επεξήγηση της αλλαγής της φοράς της ανισότητας.

Από τα παραπάνω µπορούµε να διατυπώσουµε το επόµενο θεώρηµα.

Θεώρηµα 2.4 Αν h(Χ):S→T είναι ένα-προς-ένα και µονότονος, τότε -1

XY -1

X

F [h (y)] αν η h(X) ειναι αυξουσα συναρτησηF (y)

1 F [h (y)] αν η h(X) ειναι φθινουσα συναρτηση

= −

.

Παράδειγµα 2.32 (Γραµµικός συνδυασµός κανονικής τ.µ.)

Έστω X~Ν(µ, σ2). Θα δείξουµε ότι κάθε γραµµικός συνδυασµός της Χ είναι

επίσης µια κανονική κατανοµή. (Η πρόταση αυτή θα αποδειχθεί, µε

διαφορετικό τρόπο, στο παράδειγµα 3.12).

Η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της Χ θα είναι (βλ. (2.28) η 2

2(x µ)1 1f(x) exp

2 σσ 2π −= −

, -∞<x<∞ ; -∞<µ<∞, σ2>0.


Έστω Υ=αΧ+β ένας γραµµικός συνδυασµός της Χ, όπου α και β είναι

δύο οποιεσδήποτε σταθερές. Ο µετασχηµατισµός h(X)=αΧ+β είναι ένα-

προς-ένα. Ακόµη, εάν αν α>0, τότε είναι αύξων, ενώ αν α<0, τότε είναι

φθίνων. Συνεπώς, σύµφωνα µε το θεώρηµα 2.4, θα έχουµε ότι

X

Y

X

y βF αν η α>0α

F (y)y β1 F αν α<0α

− =

− −

.

Άρα

X

Y Y

X

d y βFdy αdf (y) F (y)

dy d y β1 Fdy α

− = =

− −

X

X

y β d y βfα dy α

y β d y βfα dy α

− − ∗ = − − − ∗

X

X

y β 1fα α

y β 1fα α

− ∗ = − ∗

(Το ( )y βd 1dy α α

−− = ,όταν το α<0).

Αν τώρα θέσουµε στην fX(x), όπου x=(y-β)/α παίρνουµε 2

Y 2[y (αµ β)]1 1f (y) exp

2 (ασ)ασ 2π − += −

, -∞<y<∞ .

H τελευταία είναι η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της κανονικής

τυχαίας µεταβλητής µε µέση τιµή αµ+β και διακύµανση (ασ)2, δηλαδή

Y~N(αµ+β, (ασ)2).

♦


Υπάρχουν περιπτώσεις όπου η FY(y) µπορεί να εκφρασθεί σαν

συνάρτηση της FX(x), χωρίς οι απαιτήσεις του θεωρήµατος 2.4 να

ικανοποιούνται, όπως φαίνεται στο επόµενο παράδειγµα.

Παράδειγµα 2.33 Έστω Χ µια τυχαία µεταβλητή µε τιµές –∞<x<+∞.

Θεωρούµε τον µετασχηµατισµό Υ=Χ2. Προφανώς ο µετασχηµατισµός

αυτός δεν ικανοποιεί τις απαιτήσεις του θεωρήµατος 2.4 (∆εν είναι ένα-

προς-ένα και για x<0 είναι φθίνων, ενώ για x>0 είναι αύξων). Παρ’ όλα αυτά

έχουµε 2

YF (y) P(Y y) P(X y) P( y X y) P(X y) P(X y)= ≤ = ≤ = − ≤ ≤ = ≤ − < −και συνεπώς

Y X XF (y) F ( y ) F ( y )= − − .

♦

Μέ θ ο δο ς τ ο υ µ ε τ ασ χ η µ α τ ι σ µο ύ Η µέθοδος αυτή χρησιµοποιείται µόνον για συνεχείς τυχαίες µεταβλητές

και βασίζεται στο επόµενο θεώρηµα το οποίο δίνεται χωρίς απόδειξη.

Θεώρηµα 2.5 Έστω Χ µια συνεχής τυχαία µεταβλητή µε συνάρτηση

πυκνότητας πιθανότητας fX(x) και Υ=h(X) ένας µετασχηµατισµός. Αν ο

µετασχηµατισµός αυτός είναι ένα-προς-ένα και ο αντίστροφος

µετασχηµατισµός, h-1, είναι παραγωγίσιµος και συνεχής στο Τ, τότε η

συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της Υ δίνεται από την σχέση

1 1Y X

df (y) f h (y) h (y)dy

− − = , y∈T,


όπου το σύµβολο | | δηλώνει την απόλυτο τιµή,

•

Παράδειγµα 2.34 (Κατανοµή Weibull)

Αν Χ~Εκθ(1) να βρεθεί η κατανοµή της Υ=Χ1/2.

Η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της Χ είναι η fX(x)=e-x, x>0 και

συνεπώς S=x: x>0. Ο µετασχηµατισµός Υ=Χ1/2 είναι ένα-προς-ένα. Ο h-1,

δηλαδή η λύση ως προς Χ, δίνει Χ=Υ2. Η συνάρτηση αυτή είναι

παραγωγίσιµος και συνεχής στο Τ=y: y>0.

Ακόµη 1 2d dh (y) y 2ydy dy

− = = . Συνεπώς, σύµφωνα µε το προηγούµενο

θεώρηµα, fY(y)=fX(y2)|2y|=e-y22y, y∈T. ∆ηλαδή

fY(y)= 2y e-y2, y>0.

Η κατανοµή αυτή είναι η Weibull µε α=1, β=2 και γ=0. Η γενικότερη µορφή

της κατανοµής αυτής είναι η β(x γ )

β 1 αβf(x) (x γ) eα

−−−= − , x>γ; α,β,γ>0.

♦

Παράδειγµα 2.35 (Κατανοµή του Cauchy)

Αν Χ~U(-π/2, π/2) να βρεθεί η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της

Y=αεφ(X), α>0.

Η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της Χ είναι η fX(x)=1/π,

-π/2<x<π/2. Από το πεδίο ορισµού της Χ έχουµε ότι S=x:-π/2<x< π/2, ενώ

θέτοντας h(X)=αεφ(Χ) παίρνουµε ότι Τ=y:-∞<y<+∞ Η γραφική παράσταση

του µετασχηµατισµού είναι η επόµενη


-1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5

-200

-100

100

200

Σχήµα 2.16 Γραφική παράσταση της Υ=αεφ(Χ), για α=3.

Προφανώς ο µετασχηµατισµός είναι ένα-προς-ένα και η λύση ως προς Χ

δίνει Χ=τοξεφ(Υ/α). Άρα ο αντίστροφος µετασχηµατισµός, h-1(y), είναι

παραγωγίσιµος και συνεχής στο Τ µε 12

2 2 2d Y Y ατοξεφ 1 α

dy α α α Y

− = + = +

.

Άρα, σύµφωνα µε το θεώρηµα 2.5,

Y X 2 2 2 2

α 1 αf (y) f [τοξεφ(y α)]α y π α y

= ∗ = ∗+ +

, -∞<y<+∞.

Η κατανοµή αυτή είναι η Cauchy µε µ=0. Η γενική µορφή της κατανοµής

του Cauchy είναι η

Y 2 21 αf (y)π α (y µ)

= ∗+ −

, -∞<y<+∞ ; -∞<µ<+∞, α>0.

♦

Στην περίπτωση που ο µετασχηµατισµός Υ=h(X) δεν είναι ένα-προς-ένα,

ή δεν ικανοποιεί τις υπόλοιπες απαιτήσεις του θεωρήµατος 2.5,


εργαζόµαστε έως εξής. Χωρίζουµε το διάστηµα S σε δύο ή περισσότερα

υποδιαστήµατα, S1, S2, . . ., Sk, έτσι ώστε σε κάθε ένα από αυτά η Υ=h(X)

να είναι ένα-προς-ένα ή να ικανοποιεί τις υπόλοιπες απαιτήσεις του

θεωρήµατος 2.5. (Προσοχή. Τα διαστήµατα S1, S2, . . ., Sk πρέπει να είναι

ξένα µεταξύ τους και η ένωσή τους να είναι το S, ∆ηλαδή k

jj 1

S S=

=∪ ).

Έστω hj ο περιορισµός του µετασχηµατισµού στο διάστηµα Sj, και Tj η

εικόνα του Sj µέσω του hj. (Τα Tj θα πρέπει να ικανοποιούν την σχέση k

jj 1

T T=

=∪ δεν είναι όµως απαραίτητο να είναι ξένα µεταξύ τους). Τότε η

συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας fY(y) της Υ δίνεται από την σχέση

1 1Y X j j

j

df (y) f [h (y)] h (y)dy

− −= ∑ , y∈T,

όπου η άθροιση γίνεται για όλα τα j για τα οποία y∈Tj.

Θα προσπαθήσουµε να διασαφηνίσουµε την προηγούµενη διαδικασία µε

µερικά παραδείγµατα.

Παράδειγµα 2.36 (Μετασχηµατισµός όχι ένα-προς-ένα)

Θεωρούµε την τυχαία µεταβλητή Χ µε συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας

fX(x)=(½)e-|x|, -∞<x<+∞, και τον µετασχηµατισµό Υ=Χ2. Ζητάµε την

συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της Υ.

Από το πεδίο ορισµού της Χ έχουµε ότι S=x: -∞<x<+∞.Η γραφική

παράσταση του µετασχηµατισµού είναι η επόµενη. Είναι προφανές ότι ο


µετασχηµατισµός αυτός

δεν είναι ένα-προς-ένα.

Αν όµως χωρίσουµε το S

σε δύο υποδιαστήµατα

S1=x: x<0 και S2=x: x>0

τότε σε καθ΄ ένα από τα

S1, S2 η h(X)=X2 είναι ένα-

προς-ένα και ικανοποιεί τις

απαιτήσεις του θεωρήµατος 2.5. Στην περίπτωσή µας Τ1=Τ2=y: y>0. Στο

S1 ο αντίστροφος µετασχηµατισµός θα είναι 11x h (y) y−= = , ενώ στο S2

θα είναι 12x h (y) y−= = − . Συνεπώς 1

1d 1h (y)

dy 2 y− = και

12

d 1h (y)dy 2 y

− = −

Άρα

1 1 1 1Y X 1 1 X 2 2

d df (y) f [h (y)] h (y) f [h (y)] h (y)dy dy

− − − −= +

X Xd df [ y ] y f [ y ] ( y )

dy dy= + − −

y y y1 1 1 1 1e e e2 22 y 2 y 2 y

− − −= + = , y>0.

♦

-3 -2 -1 1 2 3

2

4

6

8


Παράδειγµα 2.37 (Μετασχηµατισµός ένα-προς-ένα, αλλά όχι συνεχής και

παραγωγίσιµος) Θεωρούµε την τυχαία µεταβλητή Χ µε συνάρτηση

πυκνότητας πιθανότητας την

21

2 2xX

1f (x) x e2π

−−= , -∞<x<+∞,

και τον µετασχηµατισµό Υ=1/Χ. Να βρεθεί η συνάρτηση πυκνότητας

πιθανότητας της Υ και να αναγνωρισθεί.

Από το πεδίο ορισµού της Χ συµπεραίνουµε ότι S=x: -∞<x<+∞. Η

µορφή του µετασχηµατισµού h(X)=1/Χ (βλ. και γραφική παράσταση)

συµπεραίνουµε ότι η h(X)

είναι ένα-προς-ένα, δεν

είναι όµως συνεχής στο

σηµείο µηδέν (0).

Θεωρούµε λοιπόν τα δύο

διαστήµατα S1=x: x<0

και S2=x: x>0. Σε καθ’

ένα από τα διαστήµατα

αυτά η h(X) είναι συνεχής και παραγωγίσιµη. Η εικόνα του S1, µε τον

µετασχηµατισµό h(X), είναι η T1=y: y>0, ενώ η αντίστοιχη εικόνα του S2

είναι η T2=y: y<0. Ο αντίστροφος µετασχηµατισµός και για τα δύο

διαστήµατα S1 και S2 είναι ο Χ=h-1(y)=1/Y. Συνεπώς 1

2d d 1 1dy dy y y

h (y)− = = − .

Επειδή τα διαστήµατα Τ1 και Τ2 δεν ταυτίζονται η fY(y) θα δοθεί χωριστά για

κάθε ένα από τα διαστήµατα αυτά. Έτσι

-3 -2 -1 1 2 3

-30

-20

-10

10

20

30


1 1X 1

Y1 1

X 2

df h (y) h (y) , y Tdy

f (y)df h (y) h (y) , y T

dy

− −

− −

∈ =

∈

X 1

X 2

1 d 1f , y Ty dy y

1 d 1f , y Ty dy y

∈

= ∈

2

2

1y2 212

1y2 222

1 1y e , y Ty2π

1 1y e , y Ty2π

−

−

∈

= ∈

2

2

1y2

1y2

1 e , y 02π1 e , y 02π

−

−

>

= <

.

Τα δύο τµήµατα της fY(y) µπορούν να ενοποιηθούν και να µας δώσουν

21y2

Y1f (y) e , y2π

−= −∞ < < +∞ .

Αυτή όµως είναι η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της τυπικής

κανονικής κατανοµής.

♦

Παράδειγµα 2.38 Έστω µια τυχαία µεταβλητή µε συνάρτηση πυκνότητας

πιθανότητας

2f(x) (x 1)9

= − , -1<x<2.

Να βρεθεί η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της Υ=Χ2.

Στο παράδειγµα αυτό S=x: -1<x<2. Ο µετασχηµατισµός h(X)=Χ2 (βλ.

και γραφική παράσταση) δεν είναι ένα-πρoς-ένα. Για να είναι ένα-προς-ένα

θα πρέπει να χωρίσουµε το S σε δύο υποδιαστήµατα, τα S1=x:-1<x<0 και

S2=x:0<x<2. Οι εικόνες των S1 και S2, µέσω του µετασχηµατισµού h(X),

είναι, αντίστοιχα, Τ1=y:0<y<1 και Τ2=y:0<y<4. Συνεπώς το y θα


βρίσκεται σε δύο διαστήµατα,

στο (0, 1) και στο [1, 4). Ο

αντίστροφος µετασχηµατισµός

στο S1 είναι ο 11h (X) Y− = −

(και 1

1d 1dy 2 y

h (y)− = − ), ενώ στο

S2 είναι ο 12h (X) Y− = (και

1

1d 1dy 2 y

h (y)− = ). Αν το y

βρίσκεται µεταξύ µηδέν και ένα

( δηλ. 0<y<1), τότε το y ανήκει και στο T1 και στο Τ2. Στην περίπτωση αυτή

θα πρέπει να προσθέσουµε τις αντίστοιχες συναρτήσεις πυκνότητας

πιθανότητας. Αν το y βρίσκεται µεταξύ µηδέν και ένα ( δηλ. 1≤y<4), τότε το

y ανήκει µόνο στο Τ2. Στην περίπτωση αυτή δεν έχουµε να προσθέσουµε.

Άρα, σύµφωνα µε τα προηγούµενα, θα έχουµε

1 1X 1 X 2

Y1

X 2

d df ( y ) h (y) f ( y ) h (y) , y (0, 1)dy dy

f (y)df ( y ) h (y) , y [1, 4)

dy

− −

−

− + ∈

= ∈

( ) ( )

( )

2 1 2 1y 1 y 1 , y (0, 1)9 92 y 2 y

2 1y 1 , y [1, 4)9 2 y

− + + + ∈= + ∈

-1 -0.5 0.5 1 1.5 2

0.5

1

1.5

2

2.5


( )

2 , y (0, 1)9 y

1y 1 , y [1, 4)9 y

∈= + ∈

.

Μέ θ ο δο ς τ η ς ροπο γ ε ν ν ή τ ρ ι α ς Η µέθοδος αυτή µπορεί να εφαρµοσθεί τόσο σε διακριτές, όσο και σε

συνεχείς τυχαίες µεταβλητές, κυρίως για γραµµικούς συνδυασµούς της Χ. Η

χρήση της µεθόδου αυτής βασίζεται στο θεώρηµα 3.21 και επεξηγείτε µε το

παράδειγµα 3.12.

ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ

Από τις γραφικές παραστάσεις των κατανοµών των διάφορων τυχαίων

µεταβλητών (βλ. σχήµατα 2.4, 2.5, 2.8-2.12) γίνεται φανερό ότι η µορφή της

κάθε κατανοµής είναι διαφορετική από αυτή µιας άλλης. Ακόµα και η ίδια

κατανοµή µπορεί να έχει διαφορετικές γραφικές παραστάσεις ανάλογα των

τιµών της παραµέτρου ή των παραµέτρων της. Στις περισσότερες των

περιπτώσεων τίθεται το επόµενο ερώτηµα “είναι δυνατόν, αν γνωρίζουµε

τις τιµές διαφόρων ποσοτήτων, να έχουµε µια εικόνα του σχήµατος της

κατανοµής, µιας τυχαίας µεταβλητής;” Η απάντηση στο ερώτηµα αυτό είναι

ΝΑΙ. Οι ποσότητες αυτές, µεταξύ άλλων, είναι α) τα µέτρα θέσεως, και β)

τα µέτρα διασποράς.

Τα σπουδαιότερα µέτρα θέσης είναι α) η αναµενόµενη ή µέση τιµή, β) η

διάµεσος, γ) τα εκατοστιαία σηµεία.

Τα σπουδαιότερα µέτρα µεταβλητότητας είναι α) η διακύµανση ή

διασπορά, β) το εύρος και γ) το ενδοτεταρτηµοριακό εύρος.

Στην συνέχεια θα αναφερθούµε στην αναµενόµενη τιµή και την

διακύµανση µιας τυχαίας µεταβλητής.

ΚΕΦ. 3 ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ 138

3.1 ΑΝΑΜΕΝΟΜΕΝΗ ΤΙΜΗ

∆ ι α κ ρ ι τ ή τ υ χ α ί α µ ε τ α β λ η τ ή Ας υποθέσουµε ότι σε 50 µαθητές δίνετε ένα τεστ µε 5 ερωτήσεις. Το

ενδιαφέρον µας είναι να βρούµε τον µέσο όρο των σωστών απαντήσεων

(Μ.Ο.Σ.Α) των 50 αυτών µαθητών. Μια προφανής και σωστή απάντηση,

είναι, να αθροίσουµε τον αριθµό των σωστών απαντήσεων κάθε µαθητή και

το αποτέλεσµα να το διαιρέσουµε µε το 50. Ο τρόπος αυτός έχει το

µειονέκτηµα ότι δεν µας οδηγεί σε µια γενικότερη αντιµετώπιση του

θέµατος. Βοηθάει όµως να φθάσουµε εκεί. Ας δούµε λοιπόν τα πράγµατα

λίγο διαφορετικά.

Ορίζουµε την τυχαία µεταβλητή Χ µε τιµές τον αριθµό των σωστών

απαντήσεων ενός οποιουδήποτε µαθητή. Προφανώς οι τιµές της Χ θα είναι

x=0,1,2,3,4,5. Το γεγονός ότι η Χ µπορεί να πάρει µόνο 6 τιµές µας οδηγεί

στο συµπέρασµα ότι, η κάθε τιµή της Χ θα εµφανίζεται, γενικά,

περισσότερες από µία φορές. Έτσι π.χ. µια µορφή των αποτελεσµάτων

µπορεί να είναι η επόµενη.

Αριθµός σωστών απαντήσεων 0 1 2 3 4 5

Αριθµός µαθητών 2 2 6 20 15 5

Χρησιµοποιώντας την αρχική µας σκέψη µπορούµε να γράψουµε

Μ.Ο.Σ.Α=0 2 1 2 2 6 3 20 4 15 5 5

50∗ + ∗ + ∗ + ∗ + ∗ + ∗

=2 2 6 20 15 50 1 2 3 4 5

50 50 50 50 50 50∗ + ∗ + ∗ + ∗ + ∗ + ∗ =3,18.

3.1 ΑΝΑΜΕΝΟΜΕΝΗ ΤΙΜΗ 139

Αλλά, σύµφωνα µε την προηγούµενη µορφή αποτελεσµάτων, η πιθανότητα

ένας οποιοσδήποτε µαθητής, από τους 50, να έχει απαντήσει λάθος και

στις 5 ερωτήσεις, είναι Ρ(Χ=0)=2/50. Ακόµη η πιθανότητα, ένας

οποιοσδήποτε µαθητής, από τους 50, να έχει απαντήσει σωστά µόνο σε

µία ερώτηση, είναι Ρ(Χ=1)=2/50. Ανάλογα ισχύουν και για τις άλλες τιµές

της Χ. Συνεπώς η προηγούµενη σχέση γράφεται ως

Μ.Ο.Σ.Α=0∗Ρ(Χ=0)+1∗Ρ(Χ=1)+2∗Ρ(Χ=2)+3∗Ρ(Χ=3)+4∗Ρ(Χ=4)+5∗Ρ(Χ=5).

Σε µια γενικότερη µορφή µπορούµε να υποθέσουµε ότι το τεστ δίνεται σε Ν

µαθητές και ότι η µορφή των αποτελεσµάτων είναι η επόµενη

Αριθµός σωστών απαντήσεων 0 1 2 3 4 5

Αριθµός µαθητών no n1 n2 n3 n4 n5

όπου 5

ii 1

n N=

=∑ . Στην περίπτωση αυτή θα έχουµε

Μ.Ο.Σ.Α= o 3 51 2 4n n nn n n0 1 2 3 4 5N N N N N N

∗ + ∗ + ∗ + ∗ + ∗ + ∗

=0∗Ρ(Χ=0)+1∗Ρ(Χ=1)+2∗Ρ(Χ=2)+3∗Ρ(Χ=3)+4∗Ρ(Χ=4)+5∗Ρ(Χ=5).

(Τα πηλίκα ni/N, (i=0,1,2,3,4,5)ονοµάζονται σχετικές συχνότητες. Όσο πιο

µεγάλη είναι η τιµή του Ν τόσο πιο κοντά στην αληθινή τιµή βρίσκεται η τιµή

των πιθανοτήτων Ρ(Χ=i), i=0,1,2,3,4,5).

Με ανάλογο τρόπο µπορούµε να ορίσουµε την αναµενόµενη ή µέση τιµή

µιας διακριτής τυχαίας µεταβλητής. Η αναµενόµενη τιµή της Χ συµβολίζεται

µε µ ή Ε(Χ) ή απλά ΕΧ. Έτσι αν Χ είναι µια διακριτή τυχαία µεταβλητή µε

τιµές x1, x2, . . ., xk, . . ., τότε, σύµφωνα µε τα προηγούµενα,

Ε(Χ)=x1P(X=x1)+x2P(X=x2)+. . . +xkP(X=xk)+. . . .

δηλαδή


Ε(Χ)=x A

xP(X x)∈

=∑ =x A

xp(x)∈∑ , (3.1)

όπου Α είναι το σύνολο των τιµών ή αλλιώς το πεδίο ορισµού της τυχαίας

µεταβλητής Χ.

Παράδειγµα 3.1 Θεωρούµε µια τυχαία µεταβλητή Χ µε το επόµενο µοντέλο

πιθανοτήτων.

Χ –5 -4 1 2

p(x) 1/4 1/8 1/2 1/8

Τότε, σύµφωνα µε την προηγούµενη σχέση, η αναµενόµενη τιµή της Χ θα

είναι

Ε(Χ)=1 1 1 1( 5) ( 4) 1 24 8 2 8

− ∗ + − ∗ + ∗ + ∗ =-1.

♦

Το παράδειγµα αυτό, αν και απλό, µας λέει ότι η αναµενόµενη τιµή δεν

είναι απαραίτητο να είναι α) µία από τις τιµές της τυχαίας µεταβλητής Χ και

β) η τιµή της Χ µε την µεγαλύτερη πιθανότητα.

Σ υ ν ε χ ή ς τ υ χ α ί α µ ε τ α β λ η τ ή

Αν Χ είναι µία συνεχής τυχαία µεταβλητή, τότε, όπως έχει αναφερθεί σε

προηγούµενο κεφάλαιο, Ρ(Χ=x)=0. Συνέπεια αυτού είναι ότι, στην

περίπτωση αυτή, η σχέση (3.1) δεν µπορεί να ισχύει για την αναµενόµενη

τιµή της Χ. Για τον λόγο αυτό εργαζόµαστε ως εξής. ∆ιαιρούµε την ευθεία

των πραγµατικών αριθµών σε µικρά υποδιαστήµατα . . . ∆x-1, ∆xο, ∆x1, . . .

µε κέντρα, αντίστοιχα, τα σηµεία . . . x-1, xo, x1, . . . (βλ. σχήµα 3.1).


. . . . . . ∆x-3 ∆x-2 ∆x-1 ∆x0 ∆x1 ∆x2 ∆x3 . . .

x-3 x-2 x-1 x0 x1 x2 x3

Σχήµα 3.1. ∆ιαίρεση της ευθείας των πραγµατικών αριθµών σε

υποδιαστήµατα, µε τα αντίστοιχα κέντρα τους.

Βάση της (3.1), το άθροισµα i ii

S xP(X ∆x )∞

=−∞

= ∈∑ είναι µια προσέγγιση της

αναµενόµενης τιµής της Χ . Αν f(x) είναι η συνάρτηση πυκνότητας

πιθανότητας της Χ, τότε Ρ(Χ∈∆xi)=i∆x

f(x)dx∫ και στην περίπτωση που

∆xi→0, i

i i∆x

f(x)dx f(x )∆x≈∫ . Συνεπώς το προηγούµενο άθροισµα γράφεται

ως i i ii

S x f(x )∆x∞

=−∞

= ∑ και συγκλίνει στο xf(x)dx∞

−∞∫ . Μπορούµε λοιπόν να

γράψουµε

E(X) xf(x)dx∞

−∞

= ∫ (3.2)

Στην προηγούµενη σχέση το – ∞ και το + ∞ δηλώνουν, αντίστοιχα, την

µικρότερη και την µεγαλύτερη τιµή του πεδίου ορισµού της Χ.

Παράδειγµα 3.2 (Παράδειγµα µη ύπαρξης αναµενόµενης τιµής)

Έστω Χ µια τυχαία µεταβλητή µε συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας

f(x)=1/x2, x>1. Να βρεθεί η αναµενόµενη τιµή της Χ.

Από την (3.2) η αναµενόµενη τιµή της Χ θα ισούται µε

21

1E(X) x dxx

∞

= ∫ 1logx log log1∞= = ∞ − = ∞ .


Άρα η αναµενόµενη τιµή της Χ δεν υπάρχει.

♦

Με βάση τις σχέσεις (3.1) και (3.2) µπορούµε να δώσουµε τον επόµενο

ορισµό

Ορισµός 3.1 Η αναµενόµενη ή µέση τιµή µιας τυχαίας µεταβλητής Χ


xxp(x), αν η Χ ειναι διακριτη τυχαια µεταβλητη

E(X)xf(x)dx, αν η Χ ειναι συνεχης τυχαια µεταβλητη

+∞

−∞

=

∑

∫

Παράδειγµα 3.3 Σε µια λαχειοφόρο αγορά πωλούνται χίλιοι λαχνοί. Η αξία

του κάθε λαχνού είναι 1,5 €. Το µοναδικό δώρο της κλήρωσης είναι ένα

µεσαίο στερεοφωνικό συγκρότηµα αξίας 150 €. Αν ο Γιώργος αγοράσει δύο

λαχνούς, ποιο είναι το αναµενόµενο κέρδος του;

Εφ’ όσον ζητάµε το αναµενόµενο κέρδος (δηλαδή την αναµενόµενη τιµή)

θα πρέπει να έχουµε µια τυχαία µεταβλητή. Ορίζουµε λοιπόν σαν Χ την

τυχαία µεταβλητή µε τιµές το κέρδος του Γιώργου. Το επόµενο βήµα µας

είναι να βρούµε τις τιµές της Χ. Αν ο Γιώργος δεν κερδίσει, τότε το κέρδος

του θα είναι –3 €. (Το αρνητικό πρόσηµο σηµαίνει ότι ο Γιώργος χάνει το

ποσό αυτό). Αν ο Γιώργος κερδίσει το δώρο της κλήρωσης, τότε το κέρδος

του θα είναι (150-3) €= 147 €. Συνεπώς οι τιµές της Χ θα είναι x=–3, 147.

Από τις τιµές αυτές συµπεραίνουµε ότι η Χ είναι µια διακριτή τυχαία

µεταβλητή. Για να υπολογίσουµε την αναµενόµενη τιµή της θα πρέπει να

βρούµε την συνάρτηση πιθανότητας της Χ, δηλαδή τις πιθανότητες p(-3)


και p(147). Αυτές υπολογίζονται ως εξής p(147)=Ρ(Χ=147)=Ρ(ο Γιώργος να

κερδίσει το δώρο της κλήρωσης)= 2/1000=0,002.

Οµοίως p(-3)=Ρ(Χ=-3)=Ρ(ο Γιώργος να χάσει το δώρο της κλήρωσης)=

1-Ρ(ο Γιώργος να κερδίσει το δώρο της κλήρωσης)=1-0,002=0,998.

Το µοντέλο πιθανοτήτων συνεπώς για την Χ είναι το

Χ -3 147

p(x) 0,998 0,002

Από την σχέση (3.1) το αναµενόµενο κέρδος του Γιώργου θα είναι

Ε(Χ)=-3∗0,998+147∗0,002=-2,7.

Ο Γιώργος λοιπόν αναµένεται να χάσει -2,7 €. Στο σηµείο αυτό θα πρέπει

να δώσουµε την φυσική σηµασία του συµπεράσµατός µας. Το

συµπέρασµά µας δεν λέει ότι ο Γιώργος στην συγκεκριµένη λαχειοφόρο θα

χάσει το παραπάνω ποσό. Αυτό που λέει είναι ότι, εάν ο Γιώργος

επαναλάβει την ίδια τακτική άπειρες φορές, τότε το αναµενόµενο κέρδος

του θα είναι -2,7 €, δηλαδή ζηµιά.

♦

Με την βοήθεια της αναµενόµενης τιµής µπορούµε να δώσουµε την

έννοια του δίκαιου παιχνιδιού, σύµφωνα µε τον επόµενο ορισµό.

Ορισµός 3.2 Έστω ένα παιχνίδι του οποίου το αποτέλεσµα υπακούει

στους κανόνες της τύχης. Θα λέµε ότι το παιχνίδι αυτό είναι δίκαιο, αν

το αναµενόµενο κέρδος ενός οποιουδήποτε παίκτη ισούται µε µηδέν.

Παράδειγµα 3.4 Στον τελικό ενός τουρνουά γκολφ συµµετέχουν δύο

παίκτες, ο κ. Ανταµς και ο κ. Σµιθ. Το έπαθλο για τον νικητή είναι το ποσό


των 12.000 €. Τα προγνωστικά είναι 3 προς 2 υπέρ του κ. Ανταµς, οι φίλοι

του οποίου τον συµβουλεύουν να έλθει σε συνεννόηση µε τον κ. Σµιθ και

να µοιραστούν το ποσό. Να εξετάσετε εάν αυτό είναι λογικό.

Με βάση τα προγνωστικά ο κ. Ανταµς έχει πιθανότητα 2/3 να κερδίσει

τον κ. Σµιθ και πιθανότητα 1/3 να χάσει από αυτόν. Ας συµβολίσουµε µε Χ

την τυχαία µεταβλητή µε τιµές το κέρδος του κ. Ανταµς. Τότε το

αναµενόµενο κέρδος του κ. Ανταµς θα είναι

2 1E(X) 12.000 12.000 4.0003 3

= ∗ − ∗ = .

Αν έρθει σε συµφωνία, για το µοίρασµα του ποσού, µε τον κ. Σµιθ, τότε θα

κερδίσει 6.000 €. Η συµβουλή των φίλων του συνεπώς είναι λογική.

♦

Ανα µ ε ν ό µ ε ν η τ ι µ ή µ ι α ς συ ν άρ τ ηση ς τ η ς Χ Ας υποθέσουµε ότι η Χ είναι µια διακριτή τυχαία µεταβλητή µε τιµές x1,

x2, . . ., xn και συνάρτηση πιθανότητας p(xi)=pi, (i=1,2, . . ., n). Από την (3.1)

παίρνουµε ότι n

i ii 1

Ε(Χ) x p(x )=

= ∑ .

Ποια θα είναι η Ε(Χ2); Η Χ2 είναι µια συνάρτηση της Χ µε την ιδιότητα ότι, αν

Χ=xi, τότε X2= 2ix και Ρ(Χ=xi)=Ρ(X2= 2

ix ). Συνεπώς, σύµφωνα µε την

προηγούµενη σχέση,

Ε(Χ2)=n

2i i

i 1x p(x )

=∑ .

Γενικώς αν φ(Χ) είναι µια οποιαδήποτε συνάρτηση της Χ, τότε ισχύει ότι.


xφ(x)p(x), αν η Χ ειναι διακριτη τ. µ.

E[φ(X)]φ(x)f(x)dx, αν η Χ ειναι συνεχης τ. µ.

+∞

−∞

=

∑

∫ (3.3)

Ανάλογη σχέση µε την (3.3) ισχύει και για περισσότερες από µία τυχαίες

µεταβλητές. Για παράδειγµα αν Χ και Υ είναι δύο τυχαίες µεταβλητές και

φ(Χ,Υ) µια οποιαδήποτε συνάρτηση αυτών, τότε

x yφ(x,y)p(x,y), αν οι Χ και Υ ειναι δ.τ.µ

E[φ(X,Y)]φ(x,y)f(x,y)dxdy,αν οι Χ και Υ ειναι σ.τ.µ

+∞ +∞

−∞ −∞

=

∑∑

∫ ∫ (3.4)

Ι δ ι ό τ η τ ε ς τ η ς α ν α µ ε ν ό µ ε ν η ς τ ιµ ή ς Οι ιδιότητες της αναµενόµενης τιµής, που θα αναφερθούν στην συνέχεια,

ισχύουν τόσο για διακριτές, όσο και για συνεχείς τυχαίες µεταβλητές.

Θεώρηµα 3.1 Έστω Χ µια τυχαία µεταβλητή και α, β δύο σταθερές. Τότε

Ε(αΧ+β)=αΕ(Χ)+β.

Απόδειξη Ας υποθέσουµε ότι η Χ είναι µια διακριτή τυχαία µεταβλητή µε

συνάρτηση πιθανότητας p(x). Αν στην σχέση (3.3) θέσουµε φ(Χ)=αΧ+β, θα

έχουµε

Ε(αΧ+β)=x

(αX β)p(x)+∑ =x x

α xp(x) β p(x)+∑ ∑ .

Αλλά

xxp(x) E(X)=∑ και

xp(x) 1=∑ ,


και συνεπώς έχουµε την απόδειξη του θεωρήµατος. (Στην περίπτωση που

η Χ είναι µια συνεχής τυχαία µεταβλητή η προηγούµενη απόδειξη ισχύει αν

το σύµβολο του αθροίσµατος (∑ ) αντικατασταθεί από το σύµβολο του

ολοκληρώµατος ( ∫ ) και αντί για p(x) χρησιµοποιήσουµε την f(x)).

•

Από το προηγούµενο θεώρηµα προκύπτουν άµεσα τα επόµενα

πορίσµατα.

Πόρισµα 3.1.1 Η αναµενόµενη τιµή σταθεράς είναι η ίδια η σταθερά.

∆ηλαδή Ε(β)=β.

Πόρισµα 3.1.2 Αν µια τυχαία µεταβλητή Χ πολλαπλασιασθεί µε ένα

σταθερό αριθµό, τότε η αναµενόµενη τιµή της Χ πολλαπλασιάζεται µε τον

ίδιο αριθµό. ∆ηλαδή Ε(αΧ)=αΕ(Χ).

Πόρισµα 3.1.3 Αν σε µια τυχαία µεταβλητή Χ προσθέσουµε ένα σταθερό

αριθµό, τότε η αναµενόµενη τιµή της Χ µεταβάλλεται κατά τον αριθµό αυτό.

∆ηλαδή Ε(Χ+β)=Ε(Χ)+β.

Η γενικότερη µορφή της σχέσης του θεωρήµατος 3.1 έχει ως εξής: έστω

Χ1, Χ2, . . . ,Χn είναι τυχαίες µεταβλητές, τότε

n n n

i i i i i ii 1 i 1 i 1

E (αX β ) αE(X ) β= = =

+ = +

∑ ∑ ∑ . (3.5)

Από την σχέση αυτή για α1=α2= =αn=1 και β1=β2= =βn=0 παίρνουµε


n n

i ii 1 i 1

E X E(X )= =

=

∑ ∑ . (3.6)

Παρατήρηση 3.1 Οι προηγούµενες ιδιότητες της αναµενόµενης τιµής

ισχύουν και για µία συνάρτηση φ(Χ) της Χ. Έτσι η γενικότερη σχέση (3.5)

µπορεί να γραφεί ως

n n n

i i i i i i i ii 1 i 1 i 1

E [αφ (X ) β ] αE[φ (X )] β= = =

+ = +

∑ ∑ ∑ (3.7)

Θεώρηµα 3.2 Αν Χ και Υ είναι δύο ανεξάρτητες τυχαίες µεταβλητές, τότε

Ε(ΧΥ)=Ε(Χ)Ε(Υ)

Και γενικότερα, αν φ1(Χ) και φ2(Υ) είναι δύο συναρτήσεις των Χ και Υ,

Ε[φ1(Χ)φ2(Υ)]=Ε[φ1(Χ)]Ε[φ2(Υ)]

Απόδειξη Η απόδειξη θα γίνει για Χ και Υ διακριτές τυχαίες µεταβλητές.

(Η περίπτωση που οι Χ και Υ είναι συνεχείς αντιµετωπίζεται ανάλογα).

Έστω ότι pXY(x,y) είναι η από κοινού συνάρτηση πιθανότητας των Χ και Υ.

Επειδή οι Χ και Υ είναι ανεξάρτητες η συνάρτηση αυτή µπορεί να γραφεί

(βλ. θεώρηµα 2.2) ως pXY(x,y)=pX(x)pY(y). Συνεπώς θα έχουµε

Ε(ΧΥ)= XY X Y X yx y x y x y

xyp (x,y) xyp (x)p (y) xp (x) yp (y) = =

∑∑ ∑∑ ∑ ∑

=Ε(Χ)Ε(Υ).

Η δεύτερη σχέση του θεωρήµατος µπορεί να αποδειχθεί είτε όπως η

προηγούµενη (θέτοντας φ1(Χ) αντί για Χ και φ2(Υ) αντί για Υ) ή µε βάση το

θεώρηµα 2.3.

•


Παράδειγµα 3.5 Το κέρδος ενός καταστήµατος από την πώληση ενός

προσωπικού υπολογιστή µπορεί να θεωρηθεί σαν µία τυχαία µεταβλητή Χ

µε συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας

1f(x) (x 1), -1<x<516

= +

όπου το x είναι σε εκατοντάδες ευρώ. Να βρεθεί το αναµενόµενο κέρδος

του καταστήµατος.

Στο παράδειγµα αυτό ζητάµε την αναµενόµενη τιµή της τυχαίας

µεταβλητής Χ. Σύµφωνα µε την σχέση (3.2) θα έχουµε

( ) ( )5 5 5 21 1 1 116 16 16 21 1 1

5 51 1E(X) (x 1)dx xdx dx x x

− − − − − = + = + = + ∫ ∫ ∫

1 1 24 4 1

16 2 = + =

.

Συνεπώς το αναµενόµενο κέρδος του καταστήµατος είναι µία µονάδα,

δηλαδή εκατό ευρώ.

♦

3.2 ∆ΙΑΚΥΜΑΝΣΗ

Η αναµενόµενη ή µέση τιµή µιας τυχαίας µεταβλητής Χ µας δίνει την

θέση ή καλύτερα το κέντρο βάρος της κατανοµής της Χ. Το µέτρο αυτό

όµως δεν είναι αρκετό να διαφοροποιήσει, από µόνο του µεταξύ των

κατανοµών δύο ή περισσότερων τυχαίων µεταβλητών. Ας θεωρήσουµε το

επόµενο παράδειγµα.

3.2 ∆ΙΑΚΥΜΑΝΣΗ 149

Παράδειγµα 3.6 Θεωρούµε τρεις τυχαίες µεταβλητές Χ, Υ και Ζ µε τα

αντίστοιχα µοντέλα πιθανοτήτων.

Χ -1 0 1 Υ -1 1 Ζ -3 -2 0 2 3

p(x) ¼ ½ ¼ p(y) ½ ½ p(z) 18 ¼ ¼ ¼ 1

8

Είναι εύκολο να δούµε ότι Ε(Χ)=Ε(Υ)=Ε(Ζ)=0. Συνεπώς γνωρίζοντας µόνον

την µέση τιµή δεν θα µπορούσαµε να διαφοροποιήσουµε τις τρεις τυχαίες

µεταβλητές.

♦

Ένα µέτρο προς την κατεύθυνση αυτή είναι και η διακύµανση. Η

διακύµανση µιας τυχαίας µεταβλητής συµβολίζεται µε Var(X) ή µε 2Xσ ή

απλώς µε σ2, όταν είναι φανερό σε ποια τυχαία µεταβλητή αναφερόµαστε.

Ορισµός 3.3 Η διακύµανση µιας τυχαίας µεταβλητής Χ δίνεται από

την σχέση

Var(X)=E(X-EX)2=Ε(Χ-µ)2 (3.8)

Μια άµεση συνέπεια του προηγούµενου ορισµού είναι ότι, η διακύµανση

οποιασδήποτε τυχαίας µεταβλητής είναι θετικός αριθµός.

Αν θέσουµε φ(Χ)=Χ-ΕΧ, τότε από την σχέση (3.3) παίρνουµε ότι

2

x

2

(x µ) p(x), αν η Χ ειναι διακριτη τ. µ.Var(X)

(x µ) f(x)dx, αν η Χ ειναι συνεχης τ. µ.+∞

−∞

−= −

∑

∫ (3.9)

Από την (3.9) είναι φανερό ότι η διακύµανση είναι ένα µέτρο διασποράς

των τιµών της Χ γύρω από την µέση τιµή της. Οι µονάδες της διακύµανσης

είναι αυτές της Χ εις το τετράγωνο. Η θετική ρίζα της διακύµανσης


ονοµάζεται τυπική απόκλιση και συµβολίζεται µε σΧ ή µε σ ή µε Var(X) .

Η τυπική απόκλιση έχει τις ίδιες µονάδες µέτρησης µε αυτές της Χ.

Παράδειγµα 3.7 Στο παράδειγµα αυτό θα υπολογίσουµε τις διακυµάνσεις

των τυχαίων µεταβλητών του προηγούµενου παραδείγµατος. Να

θυµίσουµε ότι και οι τρεις µεταβλητές είχαν µέση τιµή µηδέν.

Για την πρώτη τυχαία µεταβλητή θα έχουµε

2 2 2 2X

1 1 1σ Var(X) ( 1 0) (0 0) (1 0) 0,54 2 4

= = − − + − + − = . και συνεπώς

Xσ 1 2 0,71= =

Για την δεύτερη τυχαία µεταβλητή θα έχουµε

2 2 2Y

1 1σ Var(Y) ( 1 0) (1 0) 12 2

= = − − + − = και Yσ 1= .

Τέλος, για την τρίτη τυχαία µεταβλητή θα έχουµε

2 2 2 2Z

1 1 1σ Var(Z) ( 3 0) ( 2 0) (0 0)8 4 4

= = − − + − − + − +

2 21 1(2 0) (3 0) 4,254 8

+ − + − = και σZ=2,05.

Από τις τρεις λοιπόν τυχαίες µεταβλητές την µεγαλύτερη διασπορά των

τιµών της, γύρω από την µέση τιµή, την έχει η τρίτη, ενώ την µικρότερη η

πρώτη.

♦

Αν Υ=φ(Χ) είναι µία συνάρτηση της Χ και µΥ=Ε[φ(Χ)], τότε ο ορισµός (3.3)

(βλ. σχέση (3.8)) µας δίνει


22YVar(Y) Var[φ(X)] E(Y µ ) E φ(X) E[φ(X)]= = − = − ,

και σε συνδυασµό µε την (3.9) παίρνουµε

( )

( )

2

x

2

φ(x) E[φ(X)] p(x), αν η Χ ειναι δ.τ.µ.Var[φ(X)]

φ(x) E[φ(X)] f(x)dx, αν η Χ ειναι σ.τ.µ.+∞

−∞

−= −

∑

∫. (3.10)

Ο υπολογισµός της διακύµανσης µιας τυχαίας µεταβλητής µε βάση τις

σχέσεις (3.9) ή την αντίστοιχή της για µια συνάρτηση της Χ, δεν είναι

πάντοτε εύκολος. Για τον λόγο αυτό έχουµε το επόµενο θεώρηµα.

Θεώρηµα 3.3 Αν Χ είναι µια τυχαία µεταβλητή µε µέση τιµή µ, τότε

Var(X)=E(X2)-(EX)2.

Στην περίπτωση που φ(Χ) είναι µια συνάρτηση της Χ, τότε

Var[φ(Χ)]= Ε[φ(Χ)]2-[Εφ(Χ)]2.

Απόδειξη Θα αποδείξουµε την πρώτη των σχέσεων στην περίπτωση

που η Χ είναι συνεχής τυχαία µεταβλητή. Από την (3.9) θα έχουµε

2 2 2Var(X) (x µ) f(x)dx (x 2µx µ )f(x)dx+∞ +∞

−∞ −∞= − = − +∫ ∫

2 2x f(x)dx 2µ xf(x)dx µ f(x)dx+∞ +∞ +∞

−∞ −∞ −∞= − +∫ ∫ ∫ .

Αλλά 2 2x f(x)dx E(X )+∞

−∞=∫ , xf(x)dx E(X)

+∞

−∞=∫ και f(x)dx 1

+∞

−∞=∫

συνεπώς

Var(X)=E(X2)-2µΕ(Χ)-µ2, και επειδή µ=Ε(Χ) έχουµε ότι Var(X)=E(X2)-(EX)2.

Ανάλογη είναι και η απόδειξη της δεύτερης σχέσης του θεωρήµατος.

•


Ι δ ι ό τ η τ ε ς τ η ς δ ι α κ ύ µ α νση ς Οι ιδιότητες της διακύµανσης, που θα αναφερθούν στην συνέχεια,

ισχύουν τόσο για διακριτές, όσο και για συνεχείς τυχαίες µεταβλητές.

Θεώρηµα 3.4. Έστω Χ µια τυχαία µεταβλητή και α, β δύο σταθερές. Τότε

Var(αX+β)=α2Var(X).

Απόδειξη Έστω Χ µια τυχαία µεταβλητή (διακριτή ή συνεχής). Θέτοντας

φ(Χ)=αΧ+β από την (3.10) παίρνουµε

2Var(αX β) E αX β E(αX β)+ = + − + . Αλλά από το θεώρηµα 3.2 έχουµε

ότι Ε(αΧ+β)=αΕ(Χ)+β. Συνεπώς η προηγούµενη σχέση γράφεται

2 2Var(αX β) E αX β αE(X) β E α[X E(X)]+ = + − − = − =

2 2 2 2 2E α [X E(X)] α E[X E(X)] α Var(X)= − = − = .

•

Από το προηγούµενο θεώρηµα προκύπτουν άµεσα τα επόµενα

πορίσµατα.

Πόρισµα 3.4.1 Η διακύµανση σταθεράς ισούται µε το µηδέν. ∆ηλαδή

Var(β)=0.

Πόρισµα 3.4.2 Αν η τυχαία µεταβλητή Χ πολλαπλασιασθεί µε µία σταθερά,

τότε η διακύµανσή της πολλαπλασιάζεται µε το τετράγωνο της σταθεράς

αυτής. ∆ηλαδή

Var(αX)=α2Var(X).


Πόρισµα 3.4.3 Αν στην τυχαία µεταβλητή Χ προσθέσουµε µία σταθερά,

τότε η διακύµανση της Χ δεν µεταβάλλεται. ∆ηλαδή

Var(X+β)=Var(X).

Παρατήρηση 3.2 Οι προηγούµενες ιδιότητες της διακύµανσης ισχύουν και

για µία συνάρτηση φ(Χ) της Χ.

Θεώρηµα 3.5 Αν Χ και Υ είναι δύο ανεξάρτητες τυχαίες µεταβλητές, τότε

Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y).

Απόδειξη Από το θεώρηµα 3.4 θα έχουµε

Var(X+Y)=Ε(Χ+Υ)2-[Ε(Χ+Υ)]2=Ε(Χ2+2ΧΥ+Υ2)-(ΕΧ+ΕΥ)2=

= ΕΧ2+2Ε(ΧΥ)+ΕΥ2 – [(ΕΧ)2+2(ΕΧ)(ΕΥ)+(ΕΥ)2].

Αλλά από το θεώρηµα 3.3 γνωρίζουµε ότι, όταν οι Χ και Υ είναι

ανεξάρτητες, Ε(ΧΥ)=(ΕΧ)(ΕΥ). Συνεπώς η προηγούµενη σχέση γράφεται

Var(X+Y)=ΕΧ2-(ΕΧ)2 + ΕΥ2-(ΕΥ)2 = Var(X)+Var(Y).

•

Αν Χ1, Χ2, . . . ,Χn είναι ανεξάρτητες τυχαίες µεταβλητές, τότε για την

διακύµανση ισχύει η επόµενη γενικότερη σχέση

n n

2i i i i i

i 1 i 1Var (αX β ) α Var(X )

= =

+ =

∑ ∑ , (3.11)

όπου αi και βi είναι σταθερές.

Παρατήρηση 3.3 Έστω Χ µια τυχαία µεταβλητή µε ΕΧ=µ και Var(X)=σ2.

Από τα όσα έχουν αναφερθεί για την µέση τιµή και διακύµανση µιας γίνεται

φανερό ότι η τυχαία µεταβλητή Ζ=(Χ-µ)/σ έχει µέση τιµή µηδέν (0) και


διακύµανση µονάδα (1). Αυτό σηµαίνει ότι µια οποιαδήποτε τυχαία

µεταβλητή που η µέση της τιµή και διακύµανση υπάρχουν µπορεί, µε την

βοήθεια του τυπικού µετασχηµατισµού, να µετασχηµατισθεί σε µία άλλη

τυχαία µεταβλητή που να έχει µέση τιµή µηδέν και διακύµανση µονάδα.

Παράδειγµα 3.8 Η εσωτερική διάµετρος ενός κυλινδρικού σωλήνα είναι µια

τυχαία µεταβλητή µε µέση τιµή 3cm και τυπική απόκλιση 0,02 cm. Το

πάχος του σωλήνα είναι επίσης µια τυχαία µεταβλητή µε µέση τιµή 0,3 cm

και τυπική απόκλιση 0,005cm. Αν υποθέσουµε ότι, τα δύο αυτά µεγέθη

µεταβάλλονται ανεξάρτητα το ένα από το άλλο, να βρεθεί η µέση τιµή και η

τυπική απόκλιση της εξωτερικής διαµέτρου του σωλήνα.

Έστω Χ η τυχαία µεταβλητή µε τιµές το µήκος της εσωτερικής διαµέτρου

του συγκεκριµένου κυλινδρικού σωλήνα. Τότε, σύµφωνα µε την εκφώνηση,

µΧ= 3cm και σΧ=0,02cm. Οµοίως αν Υ είναι µια τυχαία µεταβλητή µε τιµές

το πάχος του συγκεκριµένου σωλήνα, τότε µΥ=0,3cm και σΥ=0,005cm.

Προφανώς η εξωτερική διάµετρος D θα είναι το άθροισµα των Χ και Υ,

δηλαδή D=Χ+Υ. Άρα από τα θεωρήµατα 3.3 και 3.6, αντίστοιχα, θα έχουµε

ότι, µD=Ε(D)=Ε(Χ+Υ)=ΕΧ+ΕΥ=3+0,3=3,3cm και

σD= Var(D) = Var(X Y)+ = Var(X) Var(Y)+ = 2 2(0,02) (0,005)+

= 0,000425 =0,0206cm.

♦

3.3 ΑΝΑΜΕΝΟΜΕΝΗ ΤΙΜΗ & ∆ΙΑΚΥΜΑΝΣΗ ΓΝΩΣΤΩΝ ΜΟΝΤΕΛΩΝ Τ.Μ ... 155

3.3 ΑΝΑΜΕΝΟΜΕΝΗ ΤΙΜΗ ΚΑΙ ∆ΙΑΚΥΜΑΝΣΗ ΓΝΩΣΤΩΝ ΜΟΝΤΕΛΩΝ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ

Μον τ έ λ α δ ι α κ ρ ι τώ ν τ υ χ α ίω ν µ ε τ α β λ η τών Όπως έχει ήδη αναφερθεί, ο υπολογισµός της διακύµανσης µιας τυχαίας

µεταβλητής δεν γίνεται µε βάση την σχέση (3.8), αλλά µε βάση την σχέση

του θεωρήµατος 3.3. Προκειµένου για διακριτές τυχαίες µεταβλητές ο

υπολογισµός της ΕΧ2 δεν µπορεί να γίνει άµεσα. Για τον λόγο αυτό

υπολογίζουµε πρώτα την ποσότητα Ε[Χ(Χ-1)] και στην συνέχεια την τιµή

της ΕΧ2 από την σχέση ΕΧ2=Ε[Χ(Χ-1)]+ΕΧ.

Α) ∆ιωνυµ ική τυχαία µεταβλητή

Θεώρηµα 3.6 Αν Χ∼Β(x; n, p), τότε ΕΧ=np και Var(X)=np(1-p).

Απόδειξη Για την αναµενόµενη τιµή θα έχουµε

( )n nx n x x n x

x 0 x 0

n!nEX x p (1 p) x p (1 p)x x!(n x)!− −

= =

= − = −−∑ ∑

n

x 1 (n 1) (x 1)

x 1

n(n 1)! pp (1 p)(x 1)![(n 1) (x 1)]!

− − − −

=

−= −

− − − −∑

n

x 1 (n 1) (x 1)

x 1

(n 1)!np p (1 p)(x 1)![(n 1) (x 1)]!

− − − −

=

−= −

− − − −∑ .

Θέτοντας y=x-1 παίρνουµε


ΕΧ=n 1

y (n 1) y

y 0

(n 1)!np p (1 p)y![(n 1) y]!

−− −

=

−−

− −∑

= ( )n 1y (n 1) y

y 0

n 1np p (1 p)y−

− −

=

− −∑ .

Στην τελευταία σχέση η ποσότητα εντός του αθροίσµατος είναι η

συνάρτηση πιθανότητας της Υ~Β(y; n-1, p) και συνεπώς το άθροισµα αυτής

θα ισούται µε την µονάδα. Άρα ΕΧ=np.

Για να υπολογίσουµε την διακύµανση της Χ, υπολογίζουµε πρώτα την

ποσότητα Ε[Χ(Χ-1)]. Έτσι θα έχουµε

Ε[Χ(Χ-1)]= ( )n nx n x x n x

x 0 x 0

n!nx(x 1) p (1 p) x(x 1) p (1 p)x x!(n x)!− −

= =

− − = − −−∑ ∑

n

2 x 2 (n 2) (x 2)

x 2

n(n 1)(n 2)! p p (1 p)(x 2)![(n 2) (x 2)]!

− − − −

=

− −= −

− − − −∑

n

2 x 2 (n 2) (x 2)

x 2

(n 2)!n(n 1)p p (1 p)(x 2)![(n 2) (x 2)]!

− − − −

=

−= − −

− − − −∑ .


Ε[Χ(Χ-1)]=n 2

2 y (n 2) y

y 0

(n 2)!n(n 1)p p (1 p)y![(n 2) y]!

−− −

=

−− −

− −∑

= ( )n 22 y (n 2) y

y 0

n 2n(n 1)p p (1 p)y−

− −

=

−− −∑ .

Αλλά, όπως και προηγουµένως, στην τελευταία σχέση, η ποσότητα εντός

του αθροίσµατος είναι η συνάρτηση πιθανότητας της Υ~Β(y; n-2, p) και

συνεπώς το άθροισµα αυτής θα ισούται µε την µονάδα.


Άρα Ε[Χ(Χ-1)]=n(n-1)p2 και συνεπώς ΕΧ2=Ε[Χ(Χ-1)]+ΕΧ=n(n-1)p2+np.

Τέλος από το θεώρηµα 3.3 παίρνουµε

Var(X)=EX2-(EX)2=n(n-1)p2+np-(np)2=np(1-p).

•

B) Υπεργεωµετρική τυχαία µεταβλητή

Θεώρηµα 3.7 Αν Χ~Hg(x; n, a, b) τότε

aEX na b

=+

και 2

nab(a b n)Var(X)(a b) (a b 1)

+ −=

+ + −.


( )( )

( )( )( )

n n

x 0 x 0

a b bx n x n xa!EX x x

a b a bx!(a x)!n n

= =

− −= =

+ +−∑ ∑

( )

( )n

x 1

b(n 1) (x 1)a(a 1)!a b(x 1)![(a 1) (x 1)]! a b 1

n 1n=

− − −−=

+− − − − + −−

∑

( )( )

( )n

x 1

a 1 bx 1 (n 1) (x 1)an

a b 1a bn 1

=

−− − − −

=+ −+

−∑ .


( )( )( )

n 1

y 0

a 1 by n 1 yaEX n

a b 1a bn 1

−

=

−− −

=+ −+

−∑ .


Αλλά η εντός του αθροίσµατος ποσότητα είναι η συνάρτηση πιθανότητας

της Υ~Hg(y; n-1, a, -1, b) και συνεπώς το άθροισµα αυτό θα ισούται µε την

µονάδα.

Για την διακύµανση θα έχουµε

( )( )( )

n

x 0

a bx n xE[X(X 1)] x(x 1)

a bn

=

−− = −

+∑

( )( )( )

n

x 2

a 2 bx 2 (n 2) (x 2)a(a 1)n(n 1)

a b 2(a b)(a b 1)n 2

=

−− − − −− −

=+ −+ + −

−∑

( )( )

( )n 2

y 0

a 2 by n 2 ya(a 1)n(n 1)

a b 2(a )(a b 1)n 2

−

=

−− −− −

=+ −+ + −

−∑ [θέτοντας y=x-2 ]

a(a 1)n(n 1)

(a b)(a b 1)− −

=+ + −

[επειδή Υ~Hg(y; n-2, a-2. b)].

Συνεπώς 2 a(a 1)n(n 1) aEX n(a b)(a b 1) a b

− −= +

+ + − +. Η σχέση αυτή σε συνδυασµό

µε την σχέση του θεωρήµατος 3.3 µας δίνει το ζητούµενο.

•

Γ) Γεωµετρική τυχαία µεταβλητή

Θεώρηµα 3.8 Αν Χ~Geo(x; p), τότε ΕΧ=1/p και Var(X)=(1-p)/p2.


ΕΧ= x 1 2 3

x 1xp(1 p) p 1 2(1 p) 3(1 p) 4(1 p)

∞−

=

− = + − + − + − +∑ .


Ο υπολογισµός του τελευταίου αθροίσµατος γίνεται ως εξής. Γνωρίζουµε

ότι αν |α|<1, τότε 1+α+α2+α3+α4+∝=1/(1-α). Παραγωγίζοντας την σχέση

αυτή ως προς α, παίρνουµε 1+2α+3α2+4α3+∝=1/(1-α)2. Θέτοντας α=1-p

έχουµε το ζητούµενο.

Για την διακύµανση, αν εργαστούµε όπως και προηγουµένως, θα έχουµε

Ε[Χ(Χ-1)]= 21 p2p−

και συνεπώς EX2= 21 p 12p p−

+ . Το αποτέλεσµα αυτό σε

συνδυασµό µε το θεώρηµα 3.3 µας δίνει το ζητούµενο.

•

∆) Αρνητική διωνυµ ική τυχαία µεταβλητή

Θεώρηµα 3.9 Αν Χ~NB(x; k, p), τότε ΕΧ=k/p και Var(X)=k(1-p)/p2.

Απόδειξη EX= ( ) k x k k x k

x k x k

(x 1)!x 1x p (1 p) x p (1 p)k 1 (k 1)!(x k)!

∞ ∞− −

= =

−− − = −− − −∑ ∑ .

Αν την τελευταία σχέση την πολλαπλασιάσουµε και την διαιρέσουµε µε kp

παίρνουµε

ΕΧ ( )k 1 x k k 1 x k

x k x k

k x! k xp (1 p) p (1 p)kp k!(x k)! p

∞ ∞+ − + −

= =

= − = −−∑ ∑ ,

ή θέτοντας y=x+1

( ) k 1 y (k 1)

y k 1

k y 1 p (1 p)kp

∞+ − +

= +

−= −∑ =kp

. [Επειδή Υ~NB(y; k+1, p)]

Αν και η αρνητική διωνυµική είναι µια διακριτή τυχαία µεταβλητή

εντούτοις µπορούµε να υπολογίσουµε την διακύµανση κάνοντας άµεση

χρήση του θεωρήµατος 3.3 (δηλαδή δεν είναι απαραίτητο να υπολογίσουµε

την ΕΧ2 έµµεσα από την Ε[Χ(Χ-1)]). Έτσι θα έχουµε


( )2 2 k x k 2 k x k

x k x k

(x 1)!x 1EX x p (1 p) x p (1 p)k 1 (k 1)!(x k)!

∞ ∞− −

= =

−−= − = −− − −∑ ∑

( )k 1 x k k 1 x k

x k x k

k x! k xx p (1 p) x p (1 p)kp k!(x k)! p

∞ ∞+ − + −

= =

= − = −−∑ ∑

ή θέτοντας y=x+1

( )2 k 1 y (k 1)

y k 1

k y 1EX (y 1) p (1 p)kp

∞+ − +

= +

−= − −∑

( ) ( )k 1 y (k 1) k 1 y (k 1)

y k 1 y k 1

k ky 1 y 1y p (1 p) p (1 p)k kp p

∞ ∞+ − + + − +

= + = +

− −= − − −∑ ∑

k k 1 kp p p

+− [Επειδή Y~NB(y; k+1, p)]

Άρα

Var(X)=EX2-(EX)2=k k 1 kp p p

+− -

2kp

= 2 2k k 1 pkp p p

−− = .

•

Ε) Poisson τυχαία µεταβλητή

Θεώρηµα 3.10 Αν X~P(x; λ). τότε ΕΧ=λ και Var(X)=λ.

Απόδειξη ΕΧ=x x 1

λ λ

x 0 x 1

λ λxe λ ex! (x 1)!

−∞ ∞− −

= =

=−∑ ∑

y

λ

y 0

λλ ey!

∞−

=

= ∑ [θέτοντας y=x-1]

=λ. [επειδή Υ~P(y; λ)]

E[X(X-1)]=x x 2

λ 2 λ 2

x 0 x 2

λ λx(x 1)e λ e λx! (x 2)!

−∞ ∞− −

= =

− = =−∑ ∑ .


Συνεπώς ΕΧ2=λ2+λ και τελικά Var(X)=λ.

•

Μον τ έ λ α συ ν ε χών τ υ χ α ίω ν µ ε τ α β λ η τών Α) Οµοιόµορφος τυχαία µεταβλητή

Θεώρηµα 3.11 Αν Χ~U(α, β), τότε ΕΧ=(α+β)/2 και Var(X)=(α-β)2/12.

Απόδειξη Ως γνωστόν η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της Χ

είναι η f(x)=1/(β-α). Άρα

ΕΧ=β β

2

α α

1 1 1 1 β αβx dx xdx x αβ α β α β α 2 2+ = = = − − −∫ ∫ .

Για την διακύµανση θα έχουµε β β 2 2

2 2 2 3

α α

1 1 1 1 β αβ αβEX x dx x dx x αβ α β α β α 3 3− + = = = = − − −∫ ∫

και συνεπώς 2 2 2 2

2 2 β αβ α (α β) (α β)Var(X) EX (EX)3 4 12

− + − −= − = − = .

•

Β) Γάµα τυχαία µεταβλητή

Θεώρηµα 3.12 Αν X~G(α, β), τότε ΕΧ=α/β και Var(X)=α/β2.

Απόδειξη Η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της Χ δίνεται από την

σχέση (2.24) Συνεπώς θα έχουµε

βx α 1

0

1EX x βe (βx) dxΓ(α)

∞− −= =∫ [Θέτοντας y=βx, οπότε dx=dy/β]

y α 1 y α

0 0

1 1ye y dy e y dyβΓ(α) βΓ(α)

∞ ∞− − −= = =∫ ∫ [από την 2.25)]


=Γ(α 1) αΓ(α) αβΓ(α) βΓ(α) β

+= = .

Οµοίως

2 2 βx α 1 βx α 1

0 0

1 1EX x βe (βx) dx e (βx) dxΓ(α) βΓ(α)

∞ ∞− − − += = =∫ ∫ [Θέτοντας y=βx]

y α 12 2 2 2

0

1 Γ(α 2) α(α 1)Γ(α) α(α 1)e y dyβ Γ(α) β Γ(α) β Γ(α) β

∞− + + + +

= = = =∫

Άρα 2

2 22 2 2

α(α 1) α αVar(X) EX (EX)β β β

+= − = − = .

•

Πόρισµα 3.12.1 Αν Χ~Εκθ(λ), τότε ΕΧ=1/λ και Var(X)=1/λ2.

Απόδειξη Γνωρίζουµε ότι Εκθ(λ)=G(1, λ).

•

Γ) Βήτα τυχαία µεταβλητή

Θεώρηµα 3.13 Αν Χ~Beta(α, β), τότε ΕΧ=α/(α+β) και

2

αβVar(X)(α β) (α β 1)

=+ + +

.

Απόδειξη Η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της Χ δίνεται από την

σχέση (2.26) Συνεπώς θα έχουµε 1 1

α 1 β 1 α 1 β 1

0 0

Γ(α β) Γ(α β)EX x x (1 x) dx xx (1 x) dxΓ(α)Γ(β) Γ(α)Γ(β)

− − − −+ += − = −∫ ∫

=1

α β 1

0

Γ(α β) Γ(α β) Γ(α 1)Γ(β)x (1 x) dxΓ(α)Γ(β) Γ(α)Γ(β) Γ(α β 1)

−+ + +− =

+ +∫ [από την (2.27)]


=Γ(α β) αΓ(α)Γ(β) αΓ(α)Γ(β) (α β)Γ(α β) α β

+=

+ + +.

Για την διακύµανση θα έχουµε 1 1

2 2 α 1 β 1 2 α 1 β 1

0 0

Γ(α β) Γ(α β)EX x x (1 x) dx x x (1 x) dxΓ(α)Γ(β) Γ(α)Γ(β)

− − − −+ += − = −∫ ∫

1

α 1 β 1

0

Γ(α β) Γ(α β) Γ(α 2)Γ(β)x (1 x) dxΓ(α)Γ(β) Γ(α)Γ(β) Γ(α β 2)

+ −+ + += − =

+ +∫

Γ(α β) α(α 1)Γ(α)Γ(β) α(α 1)Γ(α)Γ(β) (α β)(α β 1)Γ(α β) (α β)(α β 1)

+ + += =

+ + + + + + +.

Άρα 2

2 22 2

α(α 1) α αβVar(X) EX (EX)(α β)(α β 1) (α β) (α β) (α β 1)

+= − = − =

+ + + + + + +.

•

∆) Κανονική τυχαία µεταβλητή

Θεώρηµα 3.14 Αν Χ~Ν(µ, σ2), τότε ΕΧ=µ και Var(X)=σ2.

Απόδειξη Αν Χ~Ν(µ, σ2), τότε η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας

της Χ δίνεται από την σχέση (2.28). Συνεπώς θα έχουµε 2

2

1 1 (x µ)EX x exp dx2 σσ 2π

+∞

−∞

−= −

∫ [θέτοντας y=(x-µ)/σ]

212

1 (σy µ)exp( y )dy2π

+∞

−∞

= + −∫

2 21 12 2

σ 1y exp( y )dy µ exp( y )dy2π 2π

+∞ +∞

−∞ −∞

= − + −

∫ ∫ =µ.


Στην προηγούµενη σχέση, η τιµή του πρώτου ολοκληρώµατος είναι µηδέν

επειδή η προς ολοκλήρωση ποσότητα είναι µια περιττή συνάρτηση ως

προς y (δηλαδή µόνο το πρόσηµό της αλλάζει όταν αντικαταστήσουµε το y

µε –y) σε συµµετρικά όρια ολοκλήρωσης. Η τιµή του δεύτερου

ολοκληρώµατος (µέσα στην αγκύλες) ισούται µε την µονάδα αφού είναι το

ολοκλήρωµα µιας κανονικής τυχαίας µεταβλητής µε µ=1 και σ2=1.

Για τον υπολογισµό της διακύµανσης µιας κανονικής τυχαίας µεταβλητής

είναι προτιµότερο να χρησιµοποιήσουµε τον ορισµό 3.3 (βλ. σχέση (3.8))

αντί της σχέσης του θεωρήµατος 3.3. Έτσι 2

2 22

1 1 (x µ)Var(X) E(X µ) (x µ) exp dx2 σσ 2π

+∞

−∞

−= − = − −

∫

=(θέτοντας y=(x-µ)/σ)=2

2 212

σ y exp( y )dy2π

+∞

−∞

−∫

ή επειδή η προς ολοκλήρωση ποσότητα είναι άρτια (δηλαδή η τιµή αυτής

δεν αλλάζει όταν θέσουµε –y αντί για y)

=2

2 212

0

2σ y exp( y )dy2π

+∞

−∫ [θέτοντας 212z y= ]

12

2

0

2σ z exp( z)dzπ

+∞

= −∫ [από την σχέση (2.25)]

( ) ( )2 2 2

23 12 2

2σ 2σ 1 2σ 1Γ Γ π σ2 2π π π

= = = = .

Οι τελευταίες σχέσεις προέκυψαν από τις ιδιότητες της γάµµα συνάρτησης.

Άρα οι παράµετροι µ και σ2 της κανονικής κατανοµής είναι, αντίστοιχα, η

µέση τιµή και η διακύµανσή της.


Παράδειγµα 3.9 Μια αυτόµατη µηχανή πώλησης αναψυκτικών µπορεί να

ρυθµιστεί έτσι ώστε να γεµίζει το κάθε κύπελλο, κατά µέσο όρο, µε µ λίτρα.

Είναι γνωστό ότι η ποσότητα του αναψυκτικού, σε κάθε χρήση της

µηχανής, είναι µια κανονική τυχαία µεταβλητή µε σ=0,008 λίτρα. Αν η

µηχανή πρόκειται να χρησιµοποιηθεί µε κύπελλα χωρητικότητας 0,23

λίτρων, να βρεθεί ποια θα πρέπει να είναι η τιµή του µ έτσι ώστε να

ξεχειλίζει ένα κύπελλο στα εκατό.

Αν µε Χ συµβολίσουµε την τυχαία µεταβλητή µε τιµές την ποσότητα του

αναψυκτικού που εξέρχεται από την µηχανή, τότε Χ~Ν(µ, 0,0082). Για να

ξεχειλίσει ένα οποιοδήποτε κύπελλο θα πρέπει η ποσότητα του

αναψυκτικού που βγαίνει από την µηχανή να είναι µεγαλύτερη από 0,23

λίτρα. Ακόµη θέλουµε αυτό να συµβαίνει µια φορά στα εκατό κύπελλα. Άρα

θέλουµε Ρ(Χ>0,23)=0,01. Η τιµή λοιπόν του µ θα πρέπει να είναι τέτοια

ώστε η προηγούµενη σχέση να ικανοποιείται. Θα έχουµε λοιπόν

Ρ(Χ>0,23)=0,01 ⇒ X µ 0,23 µP 0,010,008 0,008

− − > =

.

Επειδή Χ~Ν(µ, 0,0082) συνεπάγεται ότι Ζ=(Χ-µ)/0,008~Ν(0, 1). Άρα

X µ 0,23 µP 0,010,008 0,008

− − > =

⇒Ρ(Ζ>zo)=0,01 [όπουzo=(0,23-µ)/0,008].

Ο προσδιορισµός της τιµής του zo θα γίνει µε βάση τον πίνακα της τυπικής

κανονικής κατανοµής που υπάρχει στο τέλος του βιβλίου (βλ. πίνακα ΙΙΙ).

Από το γεγονός ότι Ρ(Ζ>zo)=0,01 συµπεραίνουµε ότι το zo είναι θετικός

αριθµός. Άρα θα έχουµε Ρ(Ζ>zo)=Ρ(zo<Z<∞)= Ρ(0<Z<∞)- Ρ(0<Z< zo)=0,5-

Ρ(0<Z< zo) και επειδή Ρ(Ζ>zo)=0,01 παίρνουµε Ρ(0<Z< zo)=0,49. Από τους

πίνακες βρίσκουµε zo=2.33 και συνεπώς µ=0,211λίτρα. Αυτό σηµαίνει ότι


για να ξεχειλίζει ένα κύπελλο στα εκατό θα πρέπει το κάθε κύπελλο των

0,23 λίτρων, να γεµίζει, κατά µέσο όρο, µε 0,211 λίτρα.

♦

3.4 ΡΟΠΕΣ

Η αναµενόµενη τιµή και η διακύµανση ανήκουν σε µία γενικότερη οµάδα

αριθµητικών ποσοτήτων που µπορούν να ορισθούν για µια οποιαδήποτε

τυχαία µεταβλητή η οποία ονοµάζεται ροπές. Τα γνωστότερα είδη ροπών

είναι α) οι απλές ροπές ή ροπές ως προς το µηδέν, β) οι κεντρικές ροπές

και γ) οι τυποποιηµένες ροπές.

Απλ έ ς ροπ έ ς

Ορισµός 3.4 Έστω Χ µια τυχαία µεταβλητή. Η απλή ροπή τάξεως k

της Χ συµβολίζεται µε µk και δίνεται από την σχέση k

xk

kk

x p(x) , αν η X ειναι διακριτη τ. µ.

µ E(X )x f(x)dx, αν η X ειναι συνεχης τ. µ

+∞

−∞

= =

∑

∫

Προφανώς µ=ΕΧ=µ1 και Ε(Χ2)=µ2.

Κε ν τ ρ ι κ έ ς ροπ έ ς Οι κεντρικές ροπές χωρίζονται σε δύο κατηγορίες. Σε κεντρικές ως προς

την µέση τιµή και κεντρικές ως προς οποιαδήποτε σταθερά c.

3.4 ΡΟΠΕΣ 167

Ορισµός 3.5 Έστω Χ µια τυχαία µεταβλητή. Η κεντρική, ως προς την

µέση τιµή, ροπή τάξεως k της Χ, συµβολίζεται µε λk και δίνεται από

την σχέση k

xk

kk

(x µ) p(x) , αν η X ειναι διακριτη τ. µ.

λ E(X µ)(x µ) f(x)dx, αν η X ειναι συνεχης τ. µ

+∞

−∞

−= − = −

∑

∫

Από τον προηγούµενο ορισµό προκύπτει ότι η διακύµανση µιας τυχαίας

µεταβλητής Χ (βλ. σχέση (3.8)) είναι η κεντρική, ως προς την µέση τιµή,

ροπή τάξεως δύο. ∆ηλαδή λ2=Var(X). Ακόµη από το θεώρηµα 3.3 έχουµε

ότι λ2=Var(X)=Ε(Χ2)-(ΕΧ)2=µ2- 21µ . Αυτό σηµαίνει ότι µεταξύ των κεντρικών,

ως προς την µέση τιµή, ροπών και των απλών ροπών υπάρχει κάποια

σχέση. Η σχέση αυτή, στην γενική της µορφή, είναι η επόµενη

( )ki i

k k i 1i 0

kλ ( 1) µ µi −=

= −∑ .

Ο ορισµός 3.5 ισχύει και για τις κεντρικές, ως προς µία σταθερά c, ροπές

αρκεί η µέση τιµή µ να αντικατασταθεί από την σταθερά c. Στην περίπτωση

αυτή ο συµβολισµός λk δεν ισχύει.


Τ υποπο ι η µ έ ν ε ς ροπ έ ς

Ορισµός 3.6 Έστω Χ µια τυχαία µεταβλητή µε µέση τιµή µ και

διακύµανση σ2. Τότε, η τυποποιηµένη ροπή τάξεως k της Χ,

συµβολίζεται µε αk και δίνεται από την σχέση k

kx

k k

x µ p(x) , αν η X ειναι διακριτη τ. µ.σX µα E

σ x µ f(x)dx, αν η X ειναι συνεχης τ. µσ

+∞

−∞

−

− = = −

∑

∫

Ειδικότερα η α3 ονοµάζεται λοξότητα και η α4 κύρτωση. Αν µια κατανοµή

είναι συµµετρική, τότε α3=0. (Προφανώς η κανονική κατανοµή έχει α3=0).

Αν για την κατανοµή µιας τυχαίας µεταβλητής Χ, α3>0, τότε θα λέµε ότι η

κατανοµή της Χ είναι λοξή προς τα δεξιά, ενώ αν α3<0, θα λέµε ότι είναι

λοξή προς τα αριστερά.

(α) (β)

Σχήµα 3.2 (α) α3>0.Κατανοµή λοξή δεξιά. (β) α3<0. Κατανοµή λοξή

αριστερά.

3.5 ΡΟΠΕΓΕΝΝΗΤΡΙΕΣ 169

Για την κανονική κατανοµή µπορεί να αποδειχθεί ότι α4=3. Για τον λόγο

αυτό πολλοί συγγραφείς ορίζουν την κυρτότητα ως 4α′ =α4-3, έτσι ώστε και

η κύρτωση να παίρνει την τιµή µηδέν. Αν για την κατανοµή µιας τυχαίας

µεταβλητής Χ, α4>0, τότε θα λέµε ότι η κατανοµή της Χ είναι λεπτόκυρτος,

ενώ αν α4<0, θα λέµε ότι είναι πλατήκυρτος.

(α) (β)

Σχήµα 3.3 (α) α4>0. Κατανοµή λεπτόκυρτος. (β) α4<0. Κατανοµή

πλατήκυρτος.

3.5 ΡΟΠΟΓΕΝΝΗΤΡΙΕΣ

Ας υποθέσουµε ότι έχουµε µια τυχαία µεταβλητή Χ της οποίας η

κατανοµή (διακριτή ή συνεχής) είναι γνωστή. Τότε, µε βάση τους ορισµούς

οι οποίοι προηγήθηκαν, µπορούµε να υπολογίσουµε τα διάφορα είδη

ροπών, µε την προϋπόθεση ότι αυτά υπάρχουν.

Τίθεται τώρα το αντίστροφο ερώτηµα: αν, για µια τυχαία µεταβλητής Χ,

γνωρίζουµε όλες τις ροπές της, είναι δυνατόν να µπορέσουµε να

προσδιορίσουµε την κατανοµή της; Η απάντηση στο ερώτηµα αυτό είναι

αρνητική. ∆ηλαδή και αν ακόµα γνωρίζουµε όλες τις ροπές µιας τυχαίας

µεταβλητής, δεν είναι δυνατόν να προσδιορίσουµε την κατανοµή της.


Αυτό που δεν µπορεί να επιτευχθεί µε τις ροπές µπορεί να επιτευχθεί µε

τις λεγόµενες γεννήτριες συναρτήσεις. Οι βασικότερες και πιο συχνά

χρησιµοποιούµενες είναι τρεις. α) Οι ροπογεννήτριες (moment generating

functions), (β) οι πιθανογεννήτριες (probability generating functions) και (γ)

οι χαρακτηριστικές συναρτήσεις (characteristic functions). Στην συνέχεια θα

ασχοληθούµε µε τις ροπογεννήτριες.

Ορισµός 3.7 Αν Χ είναι µια τυχαία µεταβλητή τότε η ροπογεννήτρια

της Χ συµβολίζεται µε mΧ(t) ή απλά µε m(t) και ορίζεται από την

σχέση

mX(t)=E(etX), t∈ (3.12)

Θέτοντας φ(Χ)=etX µπορούµε να γράψουµε (βλ. σχέση (3.3))

tx

xtXX tx

e p(x) , αν Χ ειναι διακριτη τ. µ.m (t) E(e )

e f(x)dx, αν Χ ειναι συνεχης τ. µ.+∞

−∞

= =

∑

∫ (3.13)

Η ονοµασία της mX(t) οφείλεται στο γεγονός ότι η απλή ροπή τάξεως k,

της Χ, µπορεί να προκύψει από την παράγωγο k τάξεως της mX(t) ως προς

t, για t=0. Πιο συγκεκριµένα (υποθέτοντας ότι είναι δυνατή η αντιµετάθεση

των τελεστών Ε(·) και d/dt)

tX tX tXX

d d dm (t) E(e ) E e E(Xe )dt dt dt

= = =

και για t=0


Xt 0

d m (t) E(X)dt =

= .

Ανάλογα θα έχουµε 2

tX tX 2 tXX2

d d dm (t) E(Xe ) E Xe E(X e )dt dt dt

= = =

και για t=0 2

2X2

t 0

d m (t) E(X )dt

=

=

.

Γενικότερα ισχύει ότι

k

kXk

t 0

d m (t) E(X )dt

=

=

. (3.14)

Για δύο τυχαίες µεταβλητές, Χ και Υ, η από κοινού ροπογεννήτρια

συνάρτηση mXY(t1,t2) ορίζεται από την σχέση

( )1 2t X t YXY 1 2m (t ,t ) E e += (3.15)

Αν θέσουµε φ(Χ,Υ)= 1 2t X t Ye + , ο υπολογισµός της ( )1 2t X t YE e + γίνεται µε την

βοήθεια της σχέσης (3.4). Η σχέση (3.15) µπορεί να γενικευθεί για

περισσότερες από δύο τυχαίες µεταβλητές.

Ροπογ ε ν ν ή τ ρ ι α µ ε ρ ι κών γ νωσ τών τ . µ . Α) ∆ιωνυµ ική τυχαία µεταβλητή

Θεώρηµα 3.15 Αν Χ∼Β(x; n, p), τότε mX(t)=(pet+1-p)n, t∈ .

Απόδειξη Από την (3.13) θα έχουµε


( )ntX tx x n x

Xx 0

nm (t) E(e ) e p (1 p)x−

=

= = −∑

( )( )n xt n x

x 0

n pe (1 p)x−

=

= −∑

=(pet+1-p)n, t∈ .

•

Β) Poisson τυχαία µεταβλητή

Θεώρηµα 3.16 Αν Χ~P(x; λ), τότε tλ(e 1)

Χm (t) e ,t−= ∈ .

Απόδειξη x t x

tX tx λ λX

x 0 x 0

λ (λe )m (t) E(e ) e e ex! x!

∞ ∞− −

= =

= = =∑ ∑

tλ(e 1)e ,t−= ∈ .

•

Γ) Γάµµα τυχαία µεταβλητή

Θεώρηµα 3.17 Αν X~G(α, β), τότε α

Xβm (t) ,t β

β t

= < − .

Απόδειξη tX tx βx α 1X

0

1m (t) E(e ) e βe (βx) dxΓ(α)

∞− −= = ∫

αα α

(β t )x α 1

0

β β 1e x dx Γ(α)Γ(α) Γ(α) β t

∞− − −

= = − ∫

α

β ,t ββ t

= < −

.

[Για το τελευταίο ολοκλήρωµα, θέτοντας y=(β-t)x, παίρνουµε


α(β t )x α 1

0

1e x dx Γ(α)β t

∞− − −

= = − ∫ ].

•

∆) Κανονική τυχαία µεταβλητή

Θεώρηµα 3.18 Αν X~N(µ, σ2), τότε 2 21

2µt σ tXm (t) e ,t+= ∈ .

Απόδειξη 2

12 2

(x µ)tX tx σ

X1m (t) E(e ) e e dx

σ 2π

−+∞ −

−∞

= = ∫

2

12 2

(x µ)txσ1 e dx

σ 2π

−+∞ −

−∞

= ∫

2 2 2

2x 2µx µ 2σ tx

2σ1 e dxσ 2π

− + −+∞ −

−∞

= ∫ .

Ο αριθµητής του εκθέτη, στο τελευταίο ολοκλήρωµα, µπορεί να γραφεί

x2-2µx+µ2-2σ2tx= x2-2(µ+ σ2t) x +µ2= x2-2(µ+ σ2t) x +µ2+(µ+σ2t)2-(µ+σ2t)2=

=[x-(µ+σ2t)]2-(µ+σ2t)2+µ2=[x-(µ+σ2t)]2-σ4t2-2µσ2t.

Συνεπώς 4 2 2 2 2

2 2σ t 2µσ t 1 [x (µ σ t )]

22σ σX

1m (t) e e dxσ 2π

+ − ++∞ −

−∞

= ∫ =2 22 2

21 [x (µ σ t )]σ tµt 2 σ2 1e e dx

σ 2π

− ++∞ −+

−∞∫ .

Το τελευταίο ολοκλήρωµα ισούται µε την µονάδα επειδή είναι το

ολοκλήρωµα µιας κανονικής τυχαίας µεταβλητής µε µέση τιµή µ+σ2t και

διακύµανση σ2.

Άρα mX(t)=2 21µt σ t

2e ,t .+

∈

•


Πίνακας 3.1 Συγκεντρωτικός πίνακας χαρακτηριστικών των διακριτών

τυχαίων µεταβλητών που περιλαµβάνονται στο παρών βιβλίο

Χ p(x) EX Var(X) mX(t)

∆ιωνυµική

B(x; n,p),

0<p<1

( ) x n xn p (1 p)x−−

x=0,1,2,…,n

np

np(1-p) (pet+1-p)n,

t∈

Υπεργεω-

µετρική

Hg(x, n,a,b)

( )( )( )

a bx n x

a bn

−+

x=0,1,…,min(a,n)

ana b+

2nab(a b n)

(a b) (a b 1)+ −

+ + −

∆εν

υπάρχει

Γεωµετρική

Geo(x; p),

0<p<1

p(1-p)x-1,

x=0,1,2, …,

1/p

21 pp−

t

t

pe1 qe−

q=1-p

t<-lnp

Αρνητική

∆ιωνυµική

NB(x; k,p)

0<p<1

( ) x x kx 1 p (1 p)k 1−− −−

x=k,k+1,…

k/p

21 pkp−

kt

t

pe1 qe

−

q=1-p

t<-lnp

Poisson

P(x; λ)

λ>0

xλ λe

x!− ,

x=0,1,2,…

λ

λ

tλ(e 1)e − ,

t∈


Πίνακας 3.2 Συγκεντρωτικός πίνακας χαρακτηριστικών των συνεχών

τυχαίων µεταβλητών που περιλαµβάνονται στο παρών βιβλίο

Χ f(x) EX Var(X) mX(t)

Οµοιόµορφ

η

U(α, β)

1/(β-α),

α≤x≤β

α β2+

2(α β)

12−

−−

tβ tαe et(β α)

,

t∈

Εκθετική

Εκθ(λ) λe-λx,

x>0 ;λ>0

1/λ

1/λ2

λλ t−

,

t<λ

Γάµµα

G(α, β) βx α 11 βe (βx)

Γ(α)− −

x>0 ; α>0,β>0

α/β

α/β2

αβ

β t −

,

t<β

Βήτα

Beta(α, β) α 1 β 1Γ(α β) x (1 x)

Γ(α)Γ(β)− −+

−

0<x<1, α>0, β>0

αα β+

2αβ

(α β) (α β 1)+ + +

Κανονική

Ν(µ, σ2)

21 x µ2 σ1 e

σ 2π

− −

-∞<x<+∞;

-∞<µ<+∞, σ2 >0

µ

σ2

2 21µt σ t

2e+

t∈


Ι δ ι ό τ η τ ε ς ροπο γ ε ν ν η τ ρ ιώ ν Θεώρηµα 3.19 Έστω Χ µια τυχαία µεταβλητή µε ροπογεννήτρια

συνάρτηση mX(t), και Υ=αΧ+β, όπου α και β είναι δύο οποιεσδήποτε

σταθερές. Τότε η ροπογεννήτρια της Υ δίνεται από την σχέση

mY(t) =mαΧ+β(t )=eβtmX(αt).

Απόδειξη mY(t)=E(etY)=E[et(αΧ+β)]=E(eαtX eβt)=E(eβt)Ε(eαtX)= eβt mX(αt).

•

Θεώρηµα 3.20 Έστω Χ και Υ δύο ανεξάρτητες τυχαίες µεταβλητές µε

αντίστοιχες ροπογεννήτριες mX(t) και mY(t). Τότε για την ροπογεννήτρια του

αθροίσµατος Χ+Υ ισχύει ότι

mΧ+Υ(t)= mΧ(t) mY(t).

Απόδειξη mΧ+Υ(t)=Ε[et(X+Y)]=E(etX etY)= [µε βάση το θεώρηµα 2.3]

=Ε(etX)E(etY)= mΧ(t) mY(t).

Η σχέση του θεωρήµατος ισχύει και για περισσότερες από δύο ανεξάρτητες

τυχαίες µεταβλητές.

•

Παρατήρηση 3.4 Το αντίστροφο του προηγούµενου θεωρήµατος δεν

ισχύει. ∆ηλαδή “αν Χ και Υ είναι δύο τυχαίες µεταβλητές µε ροπογεννήτριες

συναρτήσεις mX(t) και mY(t), τότε η σχέση mΧ+Υ(t)=mΧ(t)mY(t) δεν

συνεπάγεται την ανεξαρτησία των Χ και Υ”.

Παράδειγµα 3.10 Θεωρούµε τις τυχαίες µεταβλητές Χ και Υ µε από κοινού

συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας την


+ − ≤ ≤ =

2 2

XY

1 1 xy(x y ) , |x| 1, |y| 1f (x,y) 4

0 ,οπουδηποτε αλλου.

Μπορούµε να δείξουµε ότι οι κατανοµές περιθωρίου των Χ και Υ είναι (βλ.

Burrill (1972))

−

= + − ∫1 2 21

X 41f (x) 1 xy(x y ) dy ⇒

≤=

X

1, |x| 1f 2

0, |x|>1,

−

= + − ∫1 2 21

Y 41f (y) 1 xy(x y ) dx ⇒

≤=

Y

1, |y| 1f 2

0, |y|>1

Από τις τελευταίες σχέσεις εύκολα συµπεραίνουµε ότι, α) fXY(x,y)≠fX(x)fY(y),

δηλαδή οι τυχαίες µεταβλητές Χ και Υ δεν είναι ανεξάρτητες, και β) κάθε µία

από τις Χ και Υ έχει την οµοιόµορφη κατανοµή στο διάστηµα από –1 έως 1,

δηλαδή Χ∼U[-1, 1] και Y∼U[-1, 1]. Συνεπώς, από τον πίνακα 3.2, η

ροπογεννήτρια αυτών θα είναι

−−

= =t t

X Ye em (t) m (t)

2t

Αν θέσουµε Ζ=Χ+Υ, τότε µπορεί να δειχθεί (βλ. Burrill (1972)) ότι η

συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της τ.µ. Ζ είναι η

+ ≤ ≤

= − < ≤

14

Z 14

(2 z), -2 z 0f (z)

(2 z), 0 z 2

ενώ η ροπογεννήτριά της δίνεται από την σχέση

−= = + + −∫ ∫

0 2tZ tz tzZ 2 0

1 1m (t) E(e ) e (2 z)dz e (2 z)dz4 4


−= − − + − +2t 2t2 2

1 1(e 1 2t) (e 1 2t)4t 4t

−

− −= + − =

2t t2t 2t

2

1 e e(e e 2)4t 2t

.

∆ηλαδή mZ(t)=mX(t)mY(t) αν και οι τυχαίες µεταβλητές Χ και Υ δεν είναι

ανεξάρτητες.

♦

Θεώρηµα 3.21 (Θεώρηµα µονοσηµάντου των ροπογεννητριών)

Η ροπογεννήτρια µιας τυχαίας µεταβλητής, όταν υπάρχει, προσδιορίζει µε

µοναδικό τρόπο την κατανοµή της.

•

Με άλλα λόγια υπάρχει µία ένα-προς-ένα αντιστοιχία µεταξύ της

ροπογεννήτριας και της κατανοµής µιας τυχαίας µεταβλητής.

Το θεώρηµα αυτό από µόνο του ή σε συνδυασµό µε τα θεωρήµατα 3.19 και

3.20, µας βοηθάει στην εύρεση της κατανοµής µιας τυχαίας µεταβλητής.

Παράδειγµα 3.11 Η ροπογεννήτρια συνάρτηση µιας τυχαίας µεταβλητής Χ

είναι t3(e 1)

Xm (t) e −= . Να βρεθεί η Ρ(Χ=0).

Από τον πίνακα 3.1 βλέπουµε ότι η δοθείσα ροπογεννήτρια αντιστοιχεί

στην Poisson τυχαία µεταβλητή µε λ=3. Συνεπώς, µε βάση το θεώρηµα

µονοσηµάντου των ροπογεννητριών, η Χ~P(x; 3). Άρα για την ζητούµενη

πιθανότητα θα έχουµε Ρ(Χ=0)=e-3.

♦


Παράδειγµα 3.12 (Γραµµικός συνδυασµός κανονικής κατανοµής)

Μία από τις βασικές ιδιότητες της κανονικής κατανοµής είναι ότι “αν Χ είναι

µια κανονική τυχαία µεταβλητή, τότε κάθε γραµµικός συνδυασµός αυτής

είναι επίσης µια κανονική κατανοµή”.

Έστω X~N(µ, σ2), και Υ=αΧ+β ένας γραµµικός συνδυασµός της Χ. Η

ροπογεννήτρια της Υ, σύµφωνα µε το θεώρηµα 3.18 θα είναι

mY(t) =mαΧ+β(t ) =eβtmX(αt)= [από το θεώρηµα 3.18]

=eβt 2 2 212αµt α σ te + =

2 2 212(αµ β)t α σ te + + .

Από το θεώρηµα 3.18 (ή από τον πίνακα 3.2) βλέπουµε ότι η

ροπογεννήτρια της Υ είναι αυτή της κανονικής κατανοµής µε µέση τιµή

αµ+β και διακύµανση α2σ2. Το γεγονός αυτό σε συνδυασµό µε το θεώρηµα

3.21 µας λέει ότι Y~Ν(αµ+β, α2σ2).

♦

Παρατήρηση 3.5 Αν στο τελευταίο θεώρηµα θέσουµε α=1/σ και β=-µ/σ

είναι εύκολο να δούµε ότι αν Χ~Ν(µ,σ2), τότε Ζ=(Χ-µ)/σ~Ν(0, 1).

Στην §2.5 είχαµε δώσει την έννοια της ανεξαρτησίας δύο ή

περισσότερων τυχαίων µεταβλητών (βλ. ορισµό 2.7), ενώ µε τα θεωρήµατα

2.1 και 2.2 διατυπώσαµε το Α’ και Β’ κριτήριο ανεξαρτησίας, αντίστοιχα.

Στην συνέχεια θα δώσουµε το Γ΄ κριτήριο ανεξαρτησίας το οποίο βασίζεται

στις ροπογεννήτριες.

Θεώρηµα 3.22 (Γ’ κριτήριο ανεξαρτησίας)


mXY(t1, t2)=mX(t1)mY(t2).


Απόδειξη Στην περίπτωση που οι Χ και Υ είναι ανεξάρτητες η απόδειξη

είναι άµεση συνέπεια του θεωρήµατος 2.3.

Η απόδειξη του αντιστρόφου εκφεύγει των ορίων του παρόντος βιβλίου.

•

Αθρο ί σ µ α τ α α ν ε ξ ά ρ τ η των τ υ χ α ίω ν µ ε τ α β λ η τών Στην παράγραφο αυτή θα δώσουµε µερικές χρήσιµες εφαρµογές του

θεωρήµατος µονοσηµάντου των ροπογεννητριών. Σε ότι ακολουθεί θα

αναφερθούµε σε δύο τυχαίες µεταβλητές, τα αποτελέσµατα όµως εύκολα

γενικεύονται για περισσότερες από δύο.

Θεώρηµα 3.23 (Άθροισµα ανεξάρτητων ∆ιωνυµικών τ.µ. µε κοινό p)

Αν Χ1 και Χ2 είναι δύο ανεξάρτητες διωνυµικές τυχαίες µεταβλητές, µε την

ίδια πιθανότητα επιτυχίας p, τότε το άθροισµά τους είναι επίσης µια

διωνυµική τυχαία µεταβλητή.

Απόδειξη Έστω Χ1∼Β(x1; n1, p) και Χ2∼Β(x2; n2, p) µε Χ1 και Χ2

ανεξάρτητες. Αν Υ=Χ1+Χ2, τότε, από το θεώρηµα 3.20 θα έχουµε

mY(t) =mX1+X2(t)=mX1(t)mX2(t)= [από το θεώρηµα 3.15]

=(pet+1-p)n1(pet+1-p)n2=(pet+1-p) n1+ n2.

Το αποτέλεσµα αυτό σε συνδυασµό µε τα θεωρήµατα 3.15 και 3.21 µας

λέει ότι Υ~B(y; n1+n2, p).

•

Θεώρηµα 3.24 (Άθροισµα ανεξάρτητων Poisson τ.µ.)

Αν Χ1 και Χ2 είναι δύο ανεξάρτητες Poisson τυχαίες µεταβλητές, µε

παραµέτρους λ1 και λ2, αντίστοιχα, τότε το άθροισµά τους είναι επίσης µια

Poisson τυχαία µεταβλητή.


Απόδειξη Έστω Χ1∼Ρ(x1; λ1) και Χ2∼Β(x2; λ2) µε Χ1 και Χ2 ανεξάρτητες.

Αν Υ=Χ1+Χ2, τότε, από το θεώρηµα 3.20 θα έχουµε


t t

1 2λ (e 1) λ (e 1)e e− −=t

1 2(λ λ )(e 1)e + −= Το αποτέλεσµα αυτό σε συνδυασµό µε τα θεωρήµατα 3.15 και 3.21 µας

λέει ότι Υ~Ρ(y; λ1+λ2).

•

Θεώρηµα 3.25 (Άθροισµα ανεξάρτητων Γάµµα τ.µ.)

Αν Χ1 και Χ2 είναι δύο ανεξάρτητες γάµµα τυχαίες µεταβλητές, µε κοινή

παράµετρο β, τότε το άθροισµά τους είναι µια Γάµµα τυχαία µεταβλητή.

Απόδειξη Έστω Χ1∼G(α1, β) και Χ2∼G(α2, β) µε Χ1 και Χ2 ανεξάρτητες.

Αν Υ=Χ1+Χ2, τότε, από το θεώρηµα 3.20 θα έχουµε

mY(t) =mX1+X2(t)=mX1(t)mX2(t)= [από το θεώρηµα 3.17 ]

1 1α α

β ββ t β t

= − −

1 2α αβ

β t

+

= −


λέει ότι Υ~G(α1+α2, β).

•

Πόρισµα 3.25.1 Αν Χ1 και Χ2 είναι δύο ανεξάρτητες εκθετικές τυχαίες

µεταβλητές, µε κοινή παράµετρο λ, τότε το άθροισµά τους είναι µια Γάµµα

τυχαία µεταβλητή µε α=2 και β=λ.

Απόδειξη Ως γνωστόν ότι Εκθ(λ)=G(1, λ). Το γεγονός αυτό, σε

συνδυασµό µε το προηγούµενο θεώρηµα, µας λέει ότι αν Χ1∼Εκθ(λ) και

Χ2∼Εκθ(λ) µε Χ1 και Χ2 ανεξάρτητες, τότε Υ=Χ1+Χ2~G(2, λ).


Θεώρηµα 3.26 (Άθροισµα ανεξάρτητων Κανονικών τ.µ.)

Αν Χ1 και Χ2 είναι δύο ανεξάρτητες κανονικές τυχαίες µεταβλητές, µε

παραµέτρους µ1, 21σ και µ2, 2

2σ , αντίστοιχα, τότε το άθροισµά τους είναι µια

κανονική τυχαία µεταβλητή.

Απόδειξη Έστω Χ1∼Ν(µ1, 21σ ) και Χ2∼Ν(µ2, 2

2σ ), µε Χ1 και Χ2

ανεξάρτητες. Αν Υ=Χ1+Χ2, τότε, από το θεώρηµα 3.20 θα έχουµε


2 2 2 21 1

1 1 2 22 2µ t σ t µ t σ te e+ +=2 2 21

1 2 1 22(µ µ )t (σ σ )te + + +=


λέει ότι Υ~Ν(µ1+ µ2, 21σ + 2

2σ ).

•

3.6 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ- ΟΡΙΑΚΑ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ

Στο προηγούµενο κεφάλαιο αναφερθήκαµε σε τρόπους υπολογισµού

διαφόρων πιθανοτήτων όταν η κατανοµή (ή η συνάρτηση κατανοµής) µιας

τυχαίας µεταβλητής είναι γνωστή. Στην αντίθετη περίπτωση ο υπολογισµός

των διαφόρων πιθανοτήτων γίνεται µε την βοήθεια των ανισοτήτων ή των

οριακών θεωρηµάτων.

3.6 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ – ΟΡΙΑΚΑ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ 183

3.6.1 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ

Οι ανισότητες σκοπό έχουν να δώσουν ένα άνω ή κάτω φράγµα (ή και

τα δύο) για την ζητούµενη πιθανότητα. Ανισότητες υπάρχουν αρκετές.

Εµείς εδώ θα αναφέρουµε δύο, του Markov και του Chebyshev.

Θεώρηµα 3.27 (Ανισότητα του Markov)

Έστω Χ µια τυχαία µεταβλητή η οποία µπορεί να πάρει µόνο θετικές τιµές.

Τότε για κάθε σταθερά α (α>0) ισχύει

EXP(X α)α

≥ ≤ .

Απόδειξη Η απόδειξη θα δοθεί στην περίπτωση που η Χ είναι συνεχής

τυχαία µεταβλητή. (Αν η Χ είναι διακριτή τυχαία µεταβλητή, η απόδειξη είναι

ανάλογη). Έστω λοιπόν ότι f(x) είναι η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας

της Χ. Τότε θα έχουµε

ΕΧ=α

0 0 α

xf(x)dx xf(x)dx xf(x)dx∞ ∞

= +∫ ∫ ∫ [επειδή α

0

xf(x)dx 0≥∫ ]

α α

xf(x)dx αf(x)dx∞ ∞

≥ ≥∫ ∫ αP(X α)= ≥ .

Από την τελευταία σχέση προκύπτει η ζητούµενη ανισότητα.

•

Παράδειγµα 3.13 Η κατά µέσον όρο εβδοµαδιαία παραγωγή ενός

προϊόντος σε ένα εργοστάσιο είναι 500 τεµάχια. Ποια είναι η πιθανότητα ότι


αυτή την εβδοµάδα η παραγωγή του συγκεκριµένου προϊόντος θα

ξεπεράσει τα 1000 τεµάχια;

Έστω Χ η τυχαία µεταβλητή µε τιµές των αριθµό των τεµαχίων, του

συγκεκριµένου προϊόντος, που παράγεται σε µια εβδοµάδα. Προφανώς η Χ

είναι µια διακριτή τυχαία µεταβλητή, η συνάρτηση πιθανότητας της οποίας

δεν είναι γνωστή. Το µόνο που γνωρίζουµε για την Χ είναι ότι ΕΧ=500.

Επειδή η Χ παίρνει θετικές τιµές θα χρησιµοποιήσουµε την ανισότητα του

Markov για να βρούµε ένα άνω φράγµα στην ζητούµενη πιθανότητα. Έτσι

λοιπόν θα έχουµε

Ρ(Χ≥1000)EX

1000≤

500 11000 2

= = .

Άρα λοιπόν η πιθανότητα η παραγωγή του συγκεκριµένου προϊόντος να

ξεπεράσει τα 1000 τεµάχια αυτή την εβδοµάδα είναι µικρότερη από ½.

♦

Με βάση την ανισότητα του Markov προκύπτει η επόµενη ανισότητα η

οποία είναι γνωστή σαν ανισότητα του Chebyshev.

Θεώρηµα 3.28 (Ανισότητα του Chebyshev)

Αν Χ είναι µια τυχαία µεταβλητή µε µέση τιµή µ και διακύµανση σ2, τότε για

κάθε k>0 ισχύει 2

2

σP(| X µ | k) .k

− ≥ ≤

Απόδειξη Επειδή η (Χ-µ)2 είναι µια µη αρνητική τυχαία µεταβλητή

µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε την ανισότητα του Markov για α=k2.

3.6 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ-ΟΡΙΑΚΑ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ 185

22 2

2

E (X µ)P (X µ) k

k−

− ≥ ≤ .

Αλλά 2 2(X µ) k− ≥ εάν και µόνον εάν X µ k− > . Συνεπώς η προηγούµενη

σχέση µας δίνει

2 2

2 2

E (X µ) σP X µ kk k−

− ≥ ≤ = .

•

Μια άλλη γραφή της ανισότητας του Chebyshev είναι η επόµενη

2

2

σP X µ k 1k

− < ≥ − (3.16)

ή ισοδύναµα

2

2

σP µ k X µ k 1k

− < < + ≥ − (3.17)

•

Παράδειγµα 3.14 Αν, στο προηγούµενο παράδειγµα είναι γνωστό ότι η

εβδοµαδιαία τυπική απόκλιση στην παραγωγή, του συγκεκριµένου

προϊόντος, είναι 10 τεµάχια, τι µπορούµε να πούµε για την πιθανότητα η

παραγωγή αυτής της εβδοµάδας να είναι µεταξύ 400 και 600 τεµαχίων;

Το γεγονός ότι η διακύµανση της Χ είναι γνωστή µας επιτρέπει να

χρησιµοποιήσουµε την ανισότητα του Chebyshev. Η πιθανότητα που

ζητάµε γράφεται Ρ(400<Χ<600) άρα θα χρησιµοποιήσουµε την ανισότητα

που δίνεται από την (3.17). Η τιµή του k θα εκλεγεί έτσι ώστε, µε δεδοµένο

ότι µ=500, να προκύπτουν οι τιµές 400 και 600. Προφανώς k=100.

Συνεπώς


Ρ(500-100<Χ<500+100) 2

2 2

σ 100 1 991 1 1 0,99k 100 100 100

≥ − = − = − = = .

♦

3.6.2 ΟΡΙΑΚΑ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ

Τα οριακά θεωρήµατα είναι θεωρήµατα τα οποία ισχύουν όταν κάποια

ποσότητα τείνει στο άπειρο. Τα χρησιµοποιούµε όταν δεν έχουµε ανάλογα

θεωρήµατα για την πεπερασµένη περίπτωση. Ένα από τα βασικότερα

οριακά θεωρήµατα είναι το επόµενο.

Θεώρηµα 3.29 (Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα (Κ.Ο.Θ))

Έστω Χ1, Χ2 …µια ακολουθία ανεξάρτητων τυχαίων µεταβλητών µε την ίδια

κατανοµή. Έστω, ακόµη, ότι µ και σ2 είναι, αντίστοιχα, η µέση τιµή και

διακύµανση της κατανοµής αυτής. Τότε η κατανοµή της ποσότητας

1 2 nX X X nµσ n

+ + + −

τείνει στην τυπική κανονική κατανοµή, όταν το n τείνει στο άπειρο.

Σε µαθηµατική µορφή τα όσα αναφέρθηκαν προηγουµένως γράφονται ως

1 2 nX X X nµlim N(0,1)n σ n+ + + −

→ ∞ ∼ .

Αν στην τελευταία σχέση διαιρέσουµε αριθµητή και παρανοµαστή µε το n,

παίρνουµε

X µlim N(0,1)n σ n−

→ ∞ ∼ ,


όπου n

ii 1

1X Xn =

= ∑ .

•

Η σπουδαιότητα του θεωρήµατος αυτού, από πρακτικής πλευράς,

οφείλεται στο γεγονός ότι µας δίνει έναν απλό τρόπο να υπολογίζουµε,

προσεγγιστικά, την κατανοµή (και µέσω αυτής τις πιθανότητες) για

αθροίσµατα ανεξάρτητων τυχαίων µεταβλητών που ακολουθούν την ίδια

κατανοµή.

Παράδειγµα 3.15 (Προσέγγιση της διωνυµικής τυχαίας µεταβλητής από την

κανονική) Έστω Χ1, Χ2, . . . , Χn ανεξάρτητες τυχαίες µεταβλητές από την

κατανοµή Bernoulli (βλ. §2.2.1). Αυτό σηµαίνει ότι Xi~Β(xi; 1, p) µε µ=EXi=p

και σ2=Var(Xi)=p(1-p). Από το θεώρηµα 3.23 έχουµε ότι, το άθροισµα

αυτών Χ θα είναι µια διωνυµική τυχαία µεταβλητή, δηλαδή

Χ= Χ1+Χ2+ +Χn~Β(x; n, p).

Εφαρµόζοντας το Κ.Ο.Θ (βλ. θεώρηµα 3.29) για µ=p και σ2=p(1-p)

παίρνουµε

1 2 nX X X nplim N(0,1)n np(1 p)+ + + −

→ ∞ −∼ ή

X nplim N(0,1)n np(1 p)−

→ ∞ −∼ .

Παρατηρήστε ότι στην τελευταία σχέση np και np(1-p) είναι αντίστοιχα η

µέση τιµή και διακύµανση της διωνυµικής τυχαίας µεταβλητής.

Το παράδειγµα αυτό µας λέει ότι, όταν ο αριθµός των εκτελέσεων του

πειράµατος, σε ένα διωνυµικό πείραµα, είναι πολύ µεγάλος (n→∞), τότε η

διωνυµική κατανοµή B(x;n, p) µπορεί να προσεγγισθεί από την κανονική

Ν(np, np(1-p)). Η προσέγγιση αυτή είναι ικανοποιητική όταν np(1-p)≥10. Θα


πρέπει να τονισθεί ότι η σχέση αυτή δεν είναι µοναδική. Αυτό σηµαίνει ότι

σε κάποια άλλα βιβλία µπορεί να αναφέρεται µια άλλη σχέση.

♦

Μια εφαρµογή της προηγούµενης προσέγγισης µας δίνει το επόµενο

παράδειγµα.

Παράδειγµα 3.16 (Αριθµητική εφαρµογή της προσέγγισης της διωνυµικής

τυχαίας µεταβλητής από την κανονική). Έστω Χ~B(x;40, 0,5) και ας

ζητήσουµε την τιµή της πιθανότητας Ρ(Χ=20).

Η τιµή της πιθανότητας αυτής, µε βάση την διωνυµική κατανοµή θα είναι

( )40140P(X 20) 0,126820 2

= = =

.

Ας δούµε τώρα την τιµή της ίδιας πιθανότητας µε βάση την προσέγγιση

της διωνυµικής από την κανονική κατανοµή. Σύµφωνα µε τα προηγούµενα

η Β(x; 40, 0,5) θα προσεγγισθεί από την Ν(20, 10). Έτσι θα έχουµε

19,5 20 X 20 20,5 20P(X 20) P(19,5 X 20,5) P10 10 10− − −

= = < < = < <

=Ρ(-0,16<Z<0,16) [όπου Z (X 20) 10= − ]

=P(-0,16<Z<0)+P(0<Z<0,16) [Z~N(0, 1)]

=2P(0<Z<0,16)

=2∗0,0636=0,1272 [από τους πίνακες της Ν(0,1)]

Παρατηρήστε ότι η διαφορά µεταξύ της ακριβούς και της προσεγγιστικής

τιµής είναι πάρα πολύ µικρή.

♦


Παράδειγµα 3.17 (Προσεγγιστικός υπολογισµός πιθανότητας)

Επιλέγουµε, στην τύχη, δέκα αριθµούς στο διάστηµα (0, 1). Ποια είναι η

πιθανότητα το άθροισµά τους να είναι µεγαλύτερο του επτά;

Ας συµβολίσουµε µε Xi (i=1, 2, . . .,10) τον αριθµό που επιλέγουµε στην

i-στη επιλογή. Επειδή η επιλογή γίνεται τυχαία στο διάστηµα (0, 1)

συµπεραίνουµε ότι Xi~U(0, 1). Συνεπώς η πιθανότητα που ζητάµε γράφεται 10

ii 1

P X 7=

>

∑ . Για να υπολογίσουµε την πιθανότητα αυτή θα έπρεπε να

γνωρίζουµε την συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας του αθροίσµατος των

Xi. Αυτό δεν είναι εφικτό και γι’ αυτό καταφεύγουµε στο κεντρικό οριακό

θεώρηµα. Επειδή Xi~U(0, 1) έχουµε ότι µ=ΕXi=1/2 και σ2=Var(Xi)=1/12.

Άρα 10

i10i 1

ii 1

X 10 0,57 10 0,5P X 7 P

10 1 12 10 1 12=

=

− ∗ − ∗ > ≈ > ∗ ∗

∑∑ .

Θέτοντας

10

ii 1

X 10 0,5Z

10 1 12=

− ∗=

∗

∑ παίρνουµε

( )10

ii 1

P X 7 P Z 2,2 P(0 Z ) P(0 Z 2,22)=

> ≈ > = < < ∞ − < <

∑

=0,5 – 0,4861=0,0139.

♦

ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΕΣ ∆ΙΑ∆ΙΚΑΣΙΕΣ

4.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ

Η θεωρία των στοχαστικών διαδικασιών (stochastic processes) µελετά

συστήµατα ή φαινόµενα των οποίων η εξέλιξη στον χρόνο (ή στο χώρο)

διέπεται από τους νόµους των πιθανοτήτων. Η εξέλιξη αυτή στον χρόνο (ή

στον χώρο) είναι δυναµική και όχι στατική (ή προσδιοριστική). Ένα στατικό

παράδειγµα είναι η ταχύτητα, υ, ενός σώµατος την χρονική στιγµή t. Όταν

το σώµα κινείται µε ευθύγραµµη οµαλώς µεταβαλλόµενη κίνηση, η

ταχύτητα αυτή δίνεται από την σχέση υ=(1/2)γt2, όπου γ είναι η επιτάχυνση

του σώµατος. Στην περίπτωση αυτή η προηγούµενη σχέση µας περιγράφει

πλήρως την εξέλιξη του φαινοµένου στον χρόνο. Ένα δυναµικό παράδειγµα

είναι ο αριθµός των πελατών που βρίσκεται σε ένα πολυκατάστηµα την

χρονική στιγµή t. Στην περίπτωση αυτή χρειαζόµαστε περισσότερες από

µία τυχαίες µεταβλητές για να περιγράψουµε την εξέλιξη του φαινοµένου.

Άρα η περιγραφή των δυναµικών συστηµάτων ή φαινοµένων απαιτεί µια

οικογένεια τυχαίων µεταβλητών κάθε µία από τις οποίες περιγράφει το

ΚΕΦ. 4.- ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΕΣ ∆ΙΑ∆ΙΚΑΣΙΕΣ 192

σύστηµα σε µία συγκεκριµένη στιγµή. Έτσι, από µαθηµατικής άποψης, µια

στοχαστική διαδικασία είναι µια οικογένεια τυχαίων µεταβλητών X(t), t∈T,

όπου t είναι µία παράµετρος η οποία παίρνει τιµές σε ένα κατάλληλο

σύνολο Τ.

Εφαρµογές της θεωρίας των στοχαστικών διαδικασιών µπορεί να βρει

κανείς σε κάθε κλάδο της επιστήµης και της τεχνολογίας, π.χ.

κοινωνιολογία, βιολογία, µετεωρολογία, ηλεκτρονικούς υπολογιστές,

έλεγχος αποθεµάτων, έλεγχος και αντικατάσταση εξαρτηµάτων, συστήµατα

εξυπηρέτησης κ.α.. Στην συνέχεια θα δώσουµε µερικά παραδείγµατα όπου

η θεωρία των στοχαστικών διαδικασιών µπορεί να εφαρµοσθεί.

Παράδειγµα 4.1 (Προβλήµατα ανάπτυξης πληθυσµών)

Ας θεωρήσουµε έναν πληθυσµό ζώντων οργανισµών η ανάπτυξη του

οποίου υπόκειται, γενικά, σε διάφορους αστάθµητους παράγοντες, όπως π.

χ. καιρικά φαινόµενα, επιδηµίες, αριθµό γεννήσεων, θανάτων κ.λ.π.. Σε µια

τέτοια περίπτωση µπορούµε να πούµε ότι η αύξηση ή η µείωση του

πληθυσµού διέπεται από τους νόµους των πιθανοτήτων. Συνεπώς αν µε

X(t) συµβολίσουµε τον αριθµό των µελών ενός τέτοιου πληθυσµού την

χρονική στιγµή t, τότε η στοχαστική διαδικασία X(t), 0≤t<∞ είναι µια

οικογένεια τυχαίων µεταβλητών που δηλώνει το µέγεθος του πληθυσµού

την χρονική στιγµή t.

♦

Παράδειγµα 4.2 (Προβλήµατα ασφαλιστικών εταιρειών)

Έστω ότι X(t), X(t)>0, αντιπροσωπεύει την οικονοµική κατάσταση µιας

ασφαλιστικής εταιρείας την χρονική στιγµή t, στον κλάδο π. χ. της

4.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 193

ασφάλισης αυτοκινήτων. Η κατάσταση της εταιρείας, στον κλάδο αυτό,

εξαρτάται από τις απαιτήσεις που θα πρέπει να πληρώσει (δηλαδή από τα

τυχών ατυχήµατα των ασφαλισµένων της) και από τα έσοδα τα οποία θα

έχει (µε την υπογραφή νέων ασφαλιστηρίων συµβολαίων). Προφανώς τόσο

τα έσοδα, όσο και τα έξοδα της εταιρείας είναι τυχαίες µεταβλητές. Το όλο

σύστηµα µπορεί να µοντελοποιηθεί σαν µία στοχαστική διαδικασία X(t),

0<t<∞ µε βάση την οποία, µπορούµε π.χ. να προβλέψουµε την

πιθανότητα καταστροφής της εταιρείας εάν ακολουθήσει µια συγκεκριµένη

πολιτική τιµών.

♦

Παράδειγµα 4.3 (Έλεγχος ποιότητας)

Στα προβλήµατα ελέγχου ποιότητας, λαµβάνουµε δείγµατα από τις

παρτίδες παραγωγής ενός προϊόντος για να ελέγξουµε αν η ποιότητα

παραγωγής παραµένει σταθερή. Ένας τρόπος δειγµατοληψίας είναι να

εκλέγουµε αντικείµενα σε διάφορες χρονικές περιόδους. Σε κάθε

δειγµατοληψία αποφασίζουµε, µε βάση την µέχρι τότε πληροφορία, αν θα

επιλέξουµε περισσότερα αντικείµενα από την συγκεκριµένη παρτίδα. Ο

αριθµός των ελαττωµατικών αντικειµένων είναι, προφανώς, µια τυχαία

µεταβλητή και συνεπώς µπορεί να θεωρηθεί σαν µία στοχαστική

διαδικασία. Η διαδικασία αυτή µπορεί να χρησιµοποιηθεί για να

απαντήσουµε σε ερωτήµατα όπως: πότε είναι η κατάλληλη στιγµή να

σταµατήσουµε την διαδικασία παραγωγής; ή ποια είναι η πραγµατική

ποιότητα του παραγόµενου αντικειµένου που πηγαίνει στην κατανάλωση;

♦


Παράδειγµα 4.4 (Χρονοµερισµός σε ένα κέντρο υπολογιστών)

Σε ένα κεντρικό υπολογιστικό σύστηµα καταφθάνουν για εκτέλεση

προγράµµατα διαφόρου µεγέθους (ως προς τον χρόνο εκτέλεσης). Ο

αριθµός των προγραµµάτων όπως και ο απαιτούµενος χρόνος εκτέλεσης

αυτών µπορούν να θεωρηθούν σαν τυχαίες µεταβλητές. Κάτω από αυτές

τις συνθήκες ο αριθµός των προς εκτέλεση προγραµµάτων µπορεί να

θεωρηθεί σαν µία στοχαστική διαδικασία. Αν η ακολουθούµενη τακτική είναι

αυτή του “πρώτος έρχεσαι-πρώτος εξυπηρετείσαι” υπάρχει µια αρκετά

µεγάλη πιθανότητα ένα µεγάλο πρόγραµµα να καθυστερήσει σπουδαιότερα

αλλά µικρότερα προγράµµατα. Ο χρονοµερισµός του συστήµατος θα

πρέπει να γίνει κατά τέτοιο τρόπο ώστε ο αριθµός των προς εκτέλεση

προγραµµάτων να είναι, σε κάθε χρονική στιγµή, ελάχιστος.

♦

Παράδειγµα 4.5 (Ένα σύστηµα αποθήκευσης και ανάκτησης δεδοµένων)

Η τάση των υπολογιστών να γίνονται ταχύτεροι και αποτελεσµατικότεροι

έχει σαν αποτέλεσµα τα προβλήµατα τα οποία προκύπτουν σχετικά µε τον

απαιτούµενο χρόνο για την εκτέλεση ενός προγράµµατος να µην είναι τόσο

σηµαντικά όσο είναι τα προβλήµατα διαχείρισης των προγραµµάτων. Το

σπουδαιότερο πρόβληµα στην κατηγορία αυτή είναι αυτό της άντλησης

δεδοµένων (πληροφορίας) από τα µέσα αποθήκευσης. Ένα απλοποιηµένο

τέτοιο σύστηµα µπορεί να περιγραφή ως εξής: Ας υποθέσουµε ότι έχουµε

δύο µέσα αποθήκευσης, ένα για σχετικά “γρήγορες” απαιτήσεις και ένα για

πιο “πολύπλοκες”. Κάθε ένα µέσο είναι συνδεδεµένο µε έναν υπολογιστή.

Οι δύο υπολογιστές συνδέονται µεταξύ τους έτσι ώστε όλες οι απαιτήσεις

για άντληση πληροφορίας να εκτελούνται. Για χάρη της απλότητας

4.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 195

υποθέτουµε ότι η µόνη αιτία “συνωστισµού” σχετίζεται µε τον τρόπο

διαχείρισης της πληροφορίας και όχι µε τον χρόνο εκτέλεσης του ανάλογου

προγράµµατος αναζήτησής της. Συνεπώς σε κάθε µονάδα αποθήκευσης

έχουµε δύο γραµµές αναµονής: µία η οποία σχετίζεται µε την πληροφορία

που είναι αποθηκευµένη στην συγκεκριµένη µονάδα και µία που σχετίζεται

µε την πληροφορία που είναι αποθηκευµένη στην άλλη µονάδα. Με βάση

τα παραπάνω ένα αποτελεσµατικό λειτουργικό σύστηµα θα πρέπει να

λαµβάνει υπ’ όψιν την εξάρτηση µεταξύ των δύο µονάδων αποθήκευσης

(το σύστηµα µπορεί να γενικευθεί σε περισσότερες από δύο µονάδες). Ο

τρόπος αντιµετώπισης του προβλήµατος είναι κυρίως στοχαστικές

διαδικασίες οι οποίες είναι από την φύση τους εξαρτηµένες.

♦

Παράδειγµα 4.6 (Κυκλοφοριακό πρόβληµα σε µία διασταύρωση)

Θεωρούµε την διασταύρωση ενός κύριου δρόµου µε έναν δευτερεύοντα.

Τα αυτοκίνητα στον δευτερεύοντα δρόµο θα πρέπει να δώσουν

προτεραιότητα στα αυτοκίνητα στον κύριο δρόµο. Συνεπώς, κάθε

αυτοκίνητο , στον δευτερεύοντα δρόµο, έχει µια χρονική καθυστέρηση το

µήκος της οποίας εξαρτάται από το κενό που δηµιουργούν τα αυτοκίνητα

στον κύριο δρόµο. Η άφιξη των αυτοκινήτων στο σηµείο της διασταύρωσης

µπορεί να περιγράφει από µία στοχαστική διαδικασία, και συνεπώς και η

καθυστέρηση είναι επίσης µια στοχαστική διαδικασία.

♦


4.2 ΚΑΤΑΤΑΞΗ ΤΩΝ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΩΝ ∆ΙΑ∆ΙΚΑΣΙΩΝ

Όπως αναφέρθηκε προηγουµένως µια στοχαστική διαδικασία είναι µια

οικογένεια τυχαίων µεταβλητών X(t), t∈T, όπου t είναι µία παράµετρος η

οποία παίρνει τιµές σε ένα κατάλληλο σύνολο Τ. Ο δειγµατικός χώρος Ω,

των τυχαίων µεταβλητών Χ(t), ονοµάζεται χώρος καταστάσεων, ενώ οι τιµές

της παραµέτρου t είναι το σύνολο τιµών (η συνηθέστερη διάσταση της

παραµέτρου t, αλλά όχι και µοναδική, είναι αυτή του χρόνου). Ανάλογα της

µορφής του χώρου καταστάσεων και του συνόλου τιµών µπορούµε να

κατατάξουµε τις στοχαστικές διαδικασίες ως:

α) Στοχαστική διαδικασία µε διακριτό (πεπερασµένο ή αριθµήσιµο) χώρο

καταστάσεων σε διακριτό σύνολο τιµών. Στην περίπτωση αυτή µιλάµε για

στοχαστική αλυσίδα (αντί για στοχαστική διαδικασία). Ακόµη η παράµετρος

t αντικαθίσταται µε το n και αντί του X(t), t∈T γράφουµε Xn, n=0,1,2, . . ..

β) Στοχαστική διαδικασία µε διακριτό χώρο καταστάσεων και συνεχή

σύνολο τιµών.

γ) Στοχαστική διαδικασία µε συνεχή χώρο καταστάσεων και διακριτό


δ) Στοχαστική διαδικασία µε συνεχή χώρο καταστάσεων και συνεχή


Στην συνέχεια θα ασχοληθούµε αποκλειστικά µε στοχαστικές αλυσίδες οι

οποίες έχουν την Μαρκοβιανή ιδιότητα (βλ. ορισµό 4.1). Ο αναγνώστης ο

οποίος θα ήθελε να γνωρίζει περισσότερα, από όσα αναφέρονται στο

4.3 ΜΑΡΚΟΒΙΑΝΕΣ ΑΛΥΣΙ∆ΕΣ-ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ 197

βιβλίο αυτό για τις στοχαστικές διαδικασίες, µπορεί να συµβουλευθεί τα

κλασικά βιβλία των Bath, U.N. (1972), Cox, D.R. και Miller, H.D. (1978),

Karlin, S. και Taylor, H.M. (1975), καθώς επίσης και τα βιβλία των Ross, S.

(1989), Κάκουλλος, Θ. (1978) και Λάγκαρης, Χ. (2001).

4.3 ΜΑΡΚΟΒΙΑΝΕΣ ΑΛΥΣΙ∆ΕΣ- ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ

Όπως αναφέρθηκε µια στοχαστική αλυσίδα συµβολίζεται ως Xn,

n=0,1,2, . . .. Σε ότι ακολουθεί η διάσταση του n θα είναι αυτή του χρόνου.

Έτσι το γεγονός ότι η στοχαστική διαδικασία (ή το σύστηµα) (οι όροι

“διαδικασία” και “σύστηµα” χρησιµοποιούνται µε την ίδια ακριβώς έννοια)

βρίσκεται την χρονική στιγµή n στην κατάσταση i∈Ω, το συµβολίζουµε ως

Xn=i. Ας υποθέσουµε ότι Χn είναι η παρούσα κατάσταση του συστήµατος

για µια συγκεκριµένη τιµή του n. Τότε οι καταστάσεις Χn+1, Xn+2, . . .

αποτελούν το µέλλον του συστήµατος, ενώ οι καταστάσεις X0, X1, . . ., Xn-1

το παρελθόν του συστήµατος. Θα λέµε ότι µια στοχαστική αλυσίδα έχει την

Μαρκοβιανή ιδιότητα αν στην περίπτωση που η παρούσα κατάσταση του

συστήµατος είναι γνωστή το µέλλον του είναι ανεξάρτητο από το παρελθόν

του. Η ιδιότητα αυτή σε µαθηµατική µορφή δίνεται στον επόµενο ορισµό.

Ορισµός 4.1 Μια στοχαστική αλυσίδα έχει την Μαρκοβιανή ιδιότητα

αν Ρ(Xn+1=j|Xn=i,Xn-1=in-1, . . ., X0=0)=P(Xn+1=j|Xn=i).


Ο όρος P(Xn+1=j|Xn=i) είναι η πιθανότητα η διαδικασία να βρίσκεται την

χρονική στιγµή n στην κατάσταση i και να µεταβεί την αµέσως επόµενη

χρονική στιγµή στην κατάσταση j, (i,j∈Ω). Οι πιθανότητες αυτές είναι

γνωστές σαν πιθανότητες µετάβασης ενός βήµατος (one step transition

probabilities) και συµβολίζονται ως

+(n,n 1)ijp = P(Xn+1=j|Xn=i).

Στο σηµείο αυτό µπορούµε να διακρίνουµε δύο περιπτώσεις. Η πρώτη

είναι η περίπτωση όπου η τιµή της πιθανότητας +(n,n 1)ijp εξαρτάται από την

τιµή του n. Με άλλα λόγια, η πιθανότητα µετάβασης από την κατάσταση i

στην κατάσταση j είναι συνάρτηση της χρονικής στιγµής n. Αυτό σηµαίνει

ότι, γενικώς, +(n,n 1)ijp ≠ +(m,m 1)

ijp για n≠m. Αν αυτό συµβαίνει τότε έχουµε µία

µη-οµογενή (non-homogeneous) (ως προς τον χρόνο) Μαρκοβιανή

αλυσίδα. Η δεύτερη είναι η περίπτωση όπου η τιµή της πιθανότητας +(n,n 1)ijp

δεν εξαρτάται από την τιµή του n. Με άλλα λόγια, οποιαδήποτε χρονική

στιγµή το σύστηµα βρεθεί στην κατάσταση i η τιµή της πιθανότητας

µετάβασης από την i στην j είναι η ίδια. Στα µαθηµατικά αυτό µπορούµε να

το εκφράσουµε µε την σχέση +(n,n 1)ijp = +(m,m 1)

ijp για οποιαδήποτε τιµή των n

και m. Αν αυτό συµβαίνει τότε έχουµε µια οµογενή (homogeneous) (ως

προς τον χρόνο) Μαρκοβιανή αλυσίδα. Στην συνέχεια θα ασχοληθούµε

µόνο µε οµογενείς Μαρκοβιανές αλυσίδες και συνεπώς µπορούµε να

γράφουµε

+(n,n 1)ijp =pij= P(Xn+1=j|Xn=i). (4.1)

Ο πίνακας των πιθανοτήτων µετάβασης ενός βήµατος συµβολίζεται µε


Ρ=[pij], i,j∈Ω.

Ανάλογα µε τις πιθανότητες µετάβασης ενός βήµατος µπορούµε να

ορίσουµε και τις πιθανότητες µετάβασης n βηµάτων. Στην περίπτωση µιας

οµογενούς Μαρκοβιανής αλυσίδας αυτές δίνονται από την σχέση

+= = =(n)ij n m mp P(X j | X i) . (4.2)

Η (4.2) είναι η πιθανότητα το σύστηµα να βρίσκεται την χρονική στιγµή n

στην κατάσταση i∈Ω και την χρονική στιγµή n+m να βρίσκεται στην

κατάσταση j∈Ω. Επειδή έχουµε µια οµογενή Μαρκοβιανή αλυσίδα η

τελευταία σχέση µπορεί να γραφεί ως

+= = =(n)ij n m mp P(X j | X i) = = =n 0P(X j | X i) .

Ο πίνακας των πιθανοτήτων µετάβασης k βηµάτων συµβολίζεται µε

= (n) (n)

ijpP , i,j∈Ω.

Ορισµός 4.2 Ένας πίνακας Α=[αij], i,j∈Ω λέγεται στοχαστικός αν

(i) αij≥0, για κάθε i,j∈Ω

(ii) ∈Ω

α =∑ ijj

1, για κάθε i∈Ω

Θα δείξουµε τώρα το επόµενο θεώρηµα

Θεώρηµα 4.1 Οι πίνακες των πιθανοτήτων µετάβασης P και Pn σε µια

Μαρκοβιανή αλυσίδα είναι στοχαστικοί πίνακες.

Απόδειξη Η ιδιότητα (i), στον προηγούµενο ορισµό, είναι προφανής µια

και τα στοιχεία του πίνακα Ρ (ή του Ρ(n)) είναι δεσµευµένες πιθανότητες. Για

την ιδιότητα (ii) θα έχουµε.


+ +∈Ω ∈Ω

= = = = ∈Ω = =∑ ∑ij n 1 n n 1 nj j

p P(X j | X i) P(X | X i) 1.

Ανάλογη είναι η απόδειξη και για τον πίνακα Ρ(n) .

•

Εκτός από τις δεσµευµένες πιθανότητες, που ορίσαµε προηγουµένως,

(βλ. σχέσεις (4.1) και (4.2)) µπορούµε να ορίσουµε και τις αδέσµευτες

πιθανότητες (n)jp , j∈Ω. Οι πιθανότητες αυτές ορίζονται ως

= =(n)j np P(X j) (4.3)

και εκφράζουν την πιθανότητα η Μαρκοβιανή αλυσίδα να βρίσκεται, την

χρονική στιγµή n, στην κατάσταση j∈Ω. Ιδιαίτερα οι πιθανότητες pj

= = =(0)j 0p P(X j) µας δίνουν την αρχική κατανοµή (initial distribution) του

συστήµατος. Μπορεί να αποδειχθεί το επόµενο θεώρηµα.

Θεώρηµα 4.2 Μια οµογενής Μαρκοβιανή αλυσίδα είναι πλήρως

προσδιορισµένη εάν γνωρίζουµε τις πιθανότητες (0)jp , για κάθε j∈Ω, και τον

πίνακα Ρ των πιθανοτήτων µετάβασης ενός βήµατος. (Με τον όρο “πλήρως

προσδιορισµένη” εννοούµε ότι µπορούµε να προσδιορίσουµε τις

πιθανότητες P(n) για κάθε n).

Απόδειξη Για την απόδειξη ο αναγνώστης µπορεί να ανατρέξει στο

βιβλίο του Kulkarni (1995).

•

Εκτός από τις προηγούµενες πιθανότητες, ενδιαφέρον παρουσιάζει ο

υπολογισµός του µέσου αριθµού των φορών, σε διάστηµα n χρονικών

περιόδων, που η διαδικασία επισκέπτεται την κατάσταση j∈Ω, δεδοµένου


ότι ξεκίνησε από την κατάσταση i∈Ω. Η ποσότητα αυτή συµβολίζεται µε (n)ijµ . Αν µε (n)

ijN συµβολίσουµε το πόσες φορές, σε διάστηµα n χρονικών

περιόδων, η διαδικασία επισκέφθηκε την κατάσταση j∈Ω, δεδοµένου ότι

ξεκίνησε από την κατάσταση i∈Ω, τότε

( )=(n) (n)ij ijµ E N . (4.4)

Στενά συνδεδεµένο µε την ποσότηταµ(n)ij είναι το ποσοστό παραµονής της

διαδικασίας στην κατάσταση j∈Ω, σε σύνολο n χρονικών περιόδων,

δεδοµένου ότι ξεκίνησε από την κατάσταση i∈Ω. Το ποσοστό αυτό δίνεται

από την σχέση

(n)ij

1µn . (4.5)

Στην συνέχεια θα δούµε τρόπους υπολογισµού των προηγούµενων

ποσοτήτων (βλ. σχέσεις (4.1), (4.2), (4.3), (4.4) και (4.5)).

Βασικό ρόλο στην µελέτη των Μαρκοβιανών αλυσίδων παίζουν τα

διαγράµµατα µεταφοράς (transition diagrams). Τα διαγράµµατα αυτά είναι

κατευθυνόµενα διαγράµµατα (directed graphs) όπου κάθε κατάσταση στον

Ω αντιστοιχεί σε ένα κόµβο. Το γεγονός ότι pij>0 συµβολίζεται µε ένα

κατευθυνόµενο τόξο µε αρχή την κατάσταση i και τέλος την κατάσταση j.

Παράδειγµα 4.7 Ας θεωρήσουµε µια Μαρκοβιανή αλυσίδα µε Ω=0, 1 και

πίνακα πιθανοτήτων µετάβασης Ρ τον

0 1

0 1-α α=1 β 1-β

P .


Το διάγραµµα µεταφοράς της αλυσίδας αυτής είναι το επόµενο

α

1-α 0 1 1-β

β ♦

4.4 ΜΑΡΚΟΒΙΑΝΕΣ ΑΛΥΣΙ∆ΕΣ ΜΕ ∆ΥΟ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΙΣ

Θεωρούµε µια Μαρκοβιανή αλυσίδα Χn,n=0,1,2,... µε δύο καταστάσεις,

τις 0 και 1. Στην περίπτωση αυτή ο χώρος καταστάσεων είναι ο Ω=0,1. Αν

α=p01=P(Xn+1=1|Xn=0) και β=p10=P(Xn+1=0|Xn=1), τότε ο πίνακας Ρ, των

πιθανοτήτων µετάβασης ενός βήµατος, είναι ο

0 1

−

= = − 00 01

10 11

p p0 1 α αp p1 β 1 β

P . (4.6)

Τα α και β είναι µη αρνητικοί αριθµοί µικρότεροι ή ίσοι της µονάδας. Από

όλες τις δυνατές τιµές των α και β εξαιρούµε εκείνες για τις οποίες α+β=0

και α+β=2. (Αν α+β=0, τότε επειδή τα α και β είναι µη αρνητικοί αριθµοί,

έχουµε ότι α=β=0. Στην περίπτωση αυτή η διαδικασία παραµένει, µε

πιθανότητα 1, στην αρχική της κατάσταση. Αν α+β=2, τότε α=β=1 και

συνεπώς η διαδικασία µεταβαίνει, µε πιθανότητα 1, από την µία κατάσταση

στην άλλη).

Ο πίνακας των πιθανοτήτων µετάβασης n βηµάτων γράφεται ως

=

(n) (n)(n) 00 01

(n) (n)10 11

p pp p

P .

4.4 ΜΑΡΚΟΒΙΑΝΕΣ ΑΛΥΣΙ∆ΕΣ ΜΕ ∆ΥΟ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΙΣ 203

Για τον πίνακα αυτό µπορούµε να δείξουµε το επόµενο θεώρηµα.

Θεώρηµα 4.3 Ρ(n)=Ρn.

Απόδειξη Θα αποδείξουµε την σχέση επαγωγικά. Για n=2 ας δούµε πιο

αναλυτικά τον τρόπο υπολογισµού της πιθανότητας (2)00p . Με λόγια, αυτή

είναι η πιθανότητα η διαδικασία να βρίσκεται την χρονική περίοδο n=2 στην

κατάσταση 0, δεδοµένου ότι η διαδικασία ξεκίνησε από την κατάσταση 0.

Για να συµβεί αυτό δύο δυνατότητες υπάρχουν. Η πρώτη είναι, η

διαδικασία να ξεκινήσει από την κατάσταση 0 και να παραµείνει σε αυτή

τόσο κατά την πρώτη, όσο και κατά την δεύτερη χρονική περίοδο. Η

δεύτερη δυνατότητα είναι, η διαδικασία να ξεκινήσει από την κατάσταση 0

και, κατά την πρώτη χρονική περίοδο, να µεταβεί στην κατάσταση 1. Στην

συνέχεια, κατά την δεύτερη χρονική περίοδο, να µεταβεί από την

κατάσταση 1 στην κατάσταση 0. Ο προηγούµενος συλλογισµός µε σχέσεις

γράφεται ως εξής (2)00p =Ρ(Χn+1=0|Xn=0) Ρ(Χn+2=0|Xn+1=0)+ Ρ(Χn+1=1|Xn=0) Ρ(Χn+2=0|Xn+1=1)

=p00p00+p01p10. Ανάλογες σχέσεις µπορούν να γραφούν και για τις

υπόλοιπες πιθανότητες του πίνακα Ρ(n). Έτσι θα έχουµε (2)01p =p00p01+p01p11 ,

(2)10p =p10p00+p11p10 ,

(2)11p =p10p01+p11p11.

Οι σχέσεις αυτές, υπό µορφή πινάκων, γράφονται Ρ(2)=Ρ2.

Ας υποθέσουµε τώρα ότι η προς απόδειξη σχέση ισχύει για n=n-1, δηλαδή

Ρ(n-1)=Ρn-1. Τότε για n=n θα έχουµε (n)00p = −(n 1)

00p p00+−(n 1)

01p p10,


(n)01p = −(n 1)

00p p01+−(n 1)

01p p11, (n)10p = −(n 1)

10p p00+−(n 1)

11p p10, (n)11p = −(n 1)

10p p01+−(n 1)

11p p11.

∆ηλαδή Ρ(n)=Ρ(n-1)Ρ=Ρn-1Ρ=Ρn.

•

Το θεώρηµα 4.3 µας δίνει ένα τρόπο υπολογισµού των πιθανοτήτων n

βηµάτων. Στην περίπτωση που έχουµε µια Μαρκοβιανή αλυσίδα µε δύο

καταστάσεις µπορούµε να δώσουµε αναλυτικούς τύπους για τις

πιθανότητες (n)ijp , (i,j=0,1). Πιο συγκεκριµένα µπορούµε να αποδείξουµε

Θεώρηµα 4.4 Σε µια οµογενή Μαρκοβιανή αλυσίδα µε δύο καταστάσεις ο

πίνακας των πιθανοτήτων µετάβασης n βηµάτων δίνεται από την σχέση

(n) (n)00 01(n) (n)10 11

p pp p

=

− − − −+ − + + + +

− − − −− +

+ + + +

n n

n n

β (1 α β) α (1 α β)α αα β α β α β α ββ (1 α β) α (1 α β)β β

α β α β α β α β

.

Απόδειξη Θα αποδείξουµε το θεώρηµα µόνο για την πιθανότητα (n)00p . Η

απόδειξη για τις υπόλοιπες είναι ανάλογη.

Από την απόδειξη του προηγούµενου θεωρήµατος, σε συνδυασµό µε την

µορφή του πίνακα Ρ, έχουµε ότι (n)00p = −(n 1)

00p p00+−(n 1)

01p p10 ή (n)00p =(1-α) −(n 1)

00p + β −(n 1)01p .

Το γεγονός ότι ο πίνακας Ρ(n-1) είναι στοχαστικός (βλ. θεώρηµα 4.1) µας

επιτρέπει να γράφουµε (n 1)00p − + (n 1)

01p − =1 , (n)10p + (n)

11p =1. Λύνοντας την πρώτη

των σχέσεων αυτών ως προς (n 1)01p − παίρνουµε (n 1)

01p − =1- (n 1)00p − .

Αντικαθιστώντας στην προτελευταία σχέση παίρνουµε


(n)00p =(1-α) −(n 1)

00p + β(1- (n)00p )=(1-α-β) −(n 1)

00p +β.

Η τελευταία σχέση, σαν επαναληπτική, µπορεί να χρησιµοποιηθεί για τον

υπολογισµό της πιθανότητας (n)00p . Έτσι για

n=1, (1)00p =1-α

n=2, (2)00p =β+(1-α)(1-α-β)

n=3, (3)00p =β+β(1-α-β)+(1-α)(1-α-β)2

n=n, (n)00p =β+β(1-α-β)+β(1-α-β)2+ +β(1-α-β)n-2+(1-α)(1-α-β)n-1

=−

−

=

− − + − − −∑n 2

r n 1

r 0β (1 α β) (1 α)(1 α β) .

Στην τελευταία σχέση, −

=

− −∑n 2

r

r 0(1 α β) είναι το άθροισµα των n-1 όρων µιας

γεωµετρικής προόδου µε λόγο το 1-α-β. Συνεπώς − −−

=

− − − − − −− − = =

− − − +∑n 1 n 1n 2

r

r 0

1 (1 α β) 1 (1 α β)(1 α β)1 (1 α β) α β

.

Άρα

(n)00p =

−− − −+

n 1β β(1 α β)α β

+(1-α)(1-α-β)n-1=

=[ ]−− − − + −

++ +

n 1(1 α β) (1 α)(α β) ββα β α β

=−− − − −

++ +

n 1β (1 α β) (1 α β)αα β α β

=− −

++ +

nβ (1 α β)αα β α β

.


Παρατήρηση 4.1 Η απόδειξη του προηγούµενου θεωρήµατος βασισµένη

στις επαναληπτικές σχέσεις δεν µπορεί να χρησιµοποιηθεί για πίνακες

µεγαλύτερης διάστασης. Για τις περιπτώσεις αυτές η συνήθως

χρησιµοποιούµενη µέθοδος βασίζεται στις ιδιοτιµές του πίνακα Ρ. Εκτός

από την γενικότητα της απόδειξης αυτής, είναι και πιο απλή από την

προηγούµενη. Για τους λόγους αυτούς δίνουµε την απόδειξη αυτή στην

συνέχεια.

Υποθέτουµε ότι ο πίνακας Ρ έχει δύο διακεκριµένες ιδιοτιµές, τις λ1 και λ2

µε λ1>λ2. Τότε µπορούµε να γράψουµε

1 1

2

λ 00 λ

− =

P Q Q

όπου Q=[q1, q2], µε q1 και q2 να είναι τα ιδιοδιανύσµατα του πίνακα Ρ που

αντιστοιχούν στις ιδιοτιµές λ1 και λ2 και συνεπώς

n

n 11n2

λ 00 λ

− =

P Q Q .

Οι ιδιοτιµές θα προκύψουν από την σχέση det(P-λI)=0, όπου det() δηλώνει

την ορίζουσα ενός πίνακα και Ι είναι ο µοναδιαίος πίνακας, ενώ τα

ιδιοδιανύσµατα ορίζονται από την σχέση Ρqi=λiqi (i=1,2). Από τις σχέσεις

αυτές είναι εύκολο να δούµε ότι, λ1=1 και λ2=1-α-β. Συνεπώς αν α+β≠0,

έχουµε και λ1≠λ2. Ακόµη 111

=

q , και 2αβ

= −

q , έτσι ώστε

1 α1 -β

=

Q και συνεπώς


1 β α1α+β 1 1

− = −

Q .

Άρα τελικά

n

1 α 1 0 β α1α+β 1 -β 0 (1-α-β) 1 -1

=

P

n

n

β α1 α(1-α-β)1α+β 1 -11 -β(1-α-β)

=

n n

n n

β+α(1-α-β) α α(1-α-β)1α+β β-α(1-α-β) α β(1-α-β)

−= +

.

Παράδειγµα 4.8 Ο καθηγητής Α είναι γνωστός στους συναδέλφους του για

την άστατη, γενικά, διάθεσή του. Οι συνάδελφοί του, αφού τον

παρακολούθησαν για ένα αρκετά µεγάλο χρονικό διάστηµα, κατέληξαν στο

εξής συµπέρασµα, σχετικά µε την διάθεσή του. “Αν ο καθηγητής είναι

κακόκεφος κατά την διάρκεια κάποιας ώρας, τότε η πιθανότητα να έχει την

ίδια διάθεση κατά την διάρκεια της επόµενης ώρας, είναι 0,4, ανεξάρτητα

από το ποια ήταν η διάθεσή του τις προηγούµενες ώρες. Αν ο καθηγητής

είναι ευδιάθετος κατά την διάρκεια κάποιας ώρας, τότε η πιθανότητα να έχει

την ίδια διάθεση κατά την διάρκεια της επόµενης ώρας, είναι 0,8,

ανεξάρτητα από το ποια ήταν η διάθεσή του τις προηγούµενες ώρες ” Αν

υποθέσουµε ότι οι παραπάνω πιθανότητες είναι ανεξάρτητες από το ποια

συγκεκριµένη ώρα ο καθηγητής βρίσκεται στην όποια κατάσταση, ποια

είναι η πιθανότητα ο καθηγητής να έλθει στο γραφείο του και να φύγει από

αυτό, στο τέλος µιας εργάσιµης ηµέρας, κακόκεφος;


Έστω Xn, n=0,1,2,... η διάθεση του καθηγητή κατά την n-οστη ώρα. Με

βάση τα δεδοµένα του παραδείγµατος η Χn, n=0,1,2,... είναι µια οµογενής

Μαρκοβιανή αλυσίδα µε χώρο καταστάσεων τον Ω=Κακόκεφος,

Ευδιάθετος. (Η Μαρκοβιανή ιδιότητα προκύπτει από την έκφραση

“ανεξάρτητα από το ποια ήταν η διάθεσή του τις προηγούµενες ώρες ”, ενώ

το οµογενής, από την έκφραση “αν υποθέσουµε ότι οι παραπάνω

πιθανότητες είναι ανεξάρτητες από το ποια συγκεκριµένη ώρα ο καθηγητής

βρίσκεται στην όποια κατάσταση ”). Αντιστοιχίζοντας το “Κακόκεφος” στο 0

και το “Ευδιάθετος” στο 1, ο πίνακας των πιθανοτήτων µετάβασης ενός

βήµατος είναι ο

=

0,4 0,60,2 0,8

P .

Θεωρώντας ότι µια εργάσιµη ηµέρα έχει 8 ώρες, η ζητούµενη πιθανότητα

είναι η (8)00p . Από το θεώρηµα 4.4, θέτοντας n=8, α=0,6 και β=0,2, έχουµε

(8)00p =

− −+

+ +

80,2 (1 0,6 0,2)0,60,6 0,2 0,6 0,2

=0,25.

♦

Παράδειγµα 4.9 Θεωρούµε µια µηχανή (π.χ. έναν υπολογιστή) την οποία ο

χρήστης µπορεί να βρει σε µία από δύο καταστάσεις: ”Λειτουργίας” και

”Εκτός λειτουργίας”. Για την µηχανή αυτή είναι γνωστό ότι: Αν σε µια

οποιαδήποτε χρονική περίοδο (ώρα, ηµέρα κ.τ.λ.) είναι σε λειτουργία, τότε

η πιθανότητα να παραµείνει στην κατάσταση αυτή, την αµέσως επόµενη

χρονική περίοδο είναι 0,88, ανεξάρτητα από το ποια ήταν η κατάστασή της

τις προηγούµενες χρονικές περιόδους. Αν σε µια οποιαδήποτε χρονική

περίοδο είναι εκτός λειτουργίας, τότε η πιθανότητα να παραµείνει στην


κατάσταση αυτή, την αµέσως επόµενη χρονική περίοδο είναι 0,01,

ανεξάρτητα από το ποια ήταν η κατάστασή της τις προηγούµενες χρονικές

περιόδους. Αν ένας χρήστης, σε κάποια χρονική περίοδο, βρει την µηχανή

εκτός λειτουργίας ποια είναι η πιθανότητα να την βρει στην ίδια κατάσταση

µετά από παρέλευση 5 χρονικών περιόδων;

Αν συµβολίσουµε µε Xn, n=0,1,2,... την κατάσταση της µηχανής κατά

την n-οστη χρονική περίοδο, τότε, όπως και στο προηγούµενο παράδειγµα,

η Xn, n=0,1,2,... είναι µια οµογενής Μαρκοβιανή αλυσίδα µε χώρο

καταστάσεων τον Ω=Λειτουργία, Εκτός λειτουργίας. Αντιστοιχίζοντας την

κατάσταση “Λειτουργία” στο 1 και την κατάσταση ”Εκτός λειτουργίας” στο 0,

έχουµε, µε βάση τα δεδοµένα του παραδείγµατος, τον επόµενο πίνακα των

πιθανοτήτων µετάβασης ενός βήµατος

=

0,01 0,990,12 0,88

P .

(Στο σηµείο αυτό θα πρέπει να τονιστεί ότι η αντιστοίχηση στο 0 και 1

µπορεί να γίνει µε οποιοδήποτε τρόπο. Στο συγκεκριµένο παράδειγµα

επιλέξαµε την αντιστοιχία “Λειτουργία”→1 και ”Εκτός λειτουργίας”→0, διότι

είναι πιο φυσική). Η ζητούµενη πιθανότητα είναι η (5)00p . Από το θεώρηµα

4.4, θέτοντας n=5, α=0,99 και β=0,12, έχουµε

(5)00p =

− −+

+ +

50,12 (1 0,99 0,12)0,990,99 0,12 0,99 0,12

=0,108≈0,11.

♦


Στην περίπτωση οµογενούς Μαρκοβιανής αλυσίδας µε δύο καταστάσεις

οι αδέσµευτες πιθανότητες (n)jp (j=0, 1) (βλ. σχέση (4.3)) δίνονται από τις

σχέσεις

(n)0p = (0)

0p (n)00p + (0)

1p (n)10p , (n)

1p = (0)0p (n)

01p + (0)1p (n)

11p . (4.7)

Παράδειγµα 4.10 (συνέχεια του παραδείγµατος 4.8 µε τον καθηγητή)

Αν ο καθηγητής έχει ίδια πιθανότητα να ξεκινήσει την ηµέρα του σε

οποιαδήποτε από τις δύο καταστάσεις, να βρεθεί η πιθανότητα κατά την 2η

ώρα εργασίας ο καθηγητής να είναι ευδιάθετος.

Ο πίνακας των πιθανοτήτων µετάβασης ενός βήµατος του

παραδείγµατος 4.8 ήταν ο

=

0,4 0,60,2 0,8

P .

Σύµφωνα µε την αντιστοίχηση που έγινε στο παράδειγµα 4.8, η ζητούµενη

πιθανότητα είναι η (2)1p . Από την 2η των σχέσεων (4.7) έχουµε

(2)1p = (0)

0p (2)01p + (0)

1p (2)11p . Από την εκφώνηση του παραδείγµατος έχουµε ότι

(0)0p = (0)

1p =1/2, ενώ από το θεώρηµα 4.4 βρίσκουµε ότι (2)01p =0,72 και

(2)11p =0,76. Άρα (2)

1p =0,74.

♦

Ας δούµε τώρα πως µπορούµε να υπολογίσουµε την ποσότητα (n)ijµ ,

δηλαδή τον µέσο αριθµό των φορών, σε διάστηµα n χρονικών περιόδων,

που η διαδικασία επισκέπτεται την κατάσταση j∈Ω, δεδοµένου ότι ξεκίνησε


από την κατάσταση i∈Ω. Για τον σκοπό αυτό ορίζουµε την τυχαία

µεταβλητή

= =

=

k 0(k )ij

1, αν X j και X iY

0, οπουδηποτε αλλου.

Η (k )ijY µας δείχνει αν την χρονική περίοδο k η διαδικασία επισκέφθηκε την

κατάσταση j∈Ω, δεδοµένου ότι ξεκίνησε από την κατάσταση i∈Ω.

Προφανώς, η (k )ijY είναι µια διακριτή τυχαία µεταβλητή µε τιµές 0 και 1, και

συνάρτηση πιθανότητας την

Ρ( (k )ijY =1)= (k)

ijp και Ρ( (k )ijY =0)=1- (k)

ijp .

∆ηλαδή κάθε µία από τις (k )ijY είναι µια Bernoulli τυχαία µεταβλητή.

Συνεπώς ( ) =(k ) (k )ij ijE Y p , (i, j∈Ω; k=1,2, . . ., n). (4.8)

Σε προηγούµενη σελίδα είχαµε ορίσει το µέγεθος (n)ijN , που συµβόλιζε το

πόσες φορές, σε διάστηµα n χρονικών περιόδων, η διαδικασία

επισκέφθηκε την κατάσταση j∈Ω, δεδοµένου ότι ξεκίνησε από την

κατάσταση i∈Ω. Άρα, το (n)ijN θα ισούται µε το άθροισµα των τυχαίων

µεταβλητών που µας δείχνουν αν την 1η ή την 2η ή . . . ή την n-οστη

χρονική περίοδο η διαδικασία επισκέφθηκε ή όχι την κατάσταση j∈Ω,

δεδοµένου ότι ξεκίνησε από την κατάσταση i∈Ω. ∆ηλαδή (n)ijN = (1)

ijY + (2)ijY + + (n)

ijY .

Από την τελευταία σχέση, σε συνδυασµό µε τις σχέσεις (4.4) και (4.8)

έχουµε ότι ( ) ( ) ( ) ( )µ = = + + +(n) (n) (1) (2) (n)ij ij ij ij ijE N E Y E Y E Y =


= + + +(1) (2) (n)ij ij ijp p p

=

= ∑n

(k )ij

k 1p . (4.9)

Η σχέση αυτή µας επιτρέπει να υπολογίσουµε το ποσοστό παραµονής της

διαδικασίας, σε διάστηµα n χρονικών περιόδων, στην κατάσταση j∈Ω,

δοθέντος ότι ξεκίνησε από την κατάσταση i∈Ω, (βλ. και σχέση (4.5)). Το

ποσοστό αυτό δίνεται από την σχέση

=

= ∑n

(n) (k )ij ij

k 1

1 1µ pn n

. (4.10)

Παρατήρηση 4.2 Οι σχέσεις (4.9) και (4.10) ισχύουν για κάθε Μαρκοβιανή

αλυσίδα.

Στην περίπτωση Μαρκοβιανής αλυσίδας µε δύο καταστάσεις ισχύει το

Θεώρηµα 4.5 Σε µια οµογενή Μαρκοβιανή αλυσίδα µε δύο καταστάσεις

(Ω=0, 1) ο µέσος αριθµός των φορών, σε χρονικό διάστηµα n χρονικών

περιόδων, που η διαδικασία επισκέπτεται την κατάσταση j∈Ω, δεδοµένου

ότι ξεκίνησε από την κατάσταση i∈Ω , δίνεται από τις σχέσεις

(n)00µ =

− − − − − ++ +

n

2

(1 α β) 1 (1 α β)nβ αα β (α β)

(n)01µ =

− − − − − −+ +

n

2

(1 α β) 1 (1 α β)nα αα β (α β)

(n)10µ =

− − − − − −+ +

n

2

(1 α β) 1 (1 α β)nβ βα β (α β)


(n)11µ =

− − − − − ++ +

n

2

(1 α β) 1 (1 α β)nα βα β (α β)

Απόδειξη Θα αποδείξουµε το θεώρηµα για το (n)00µ . Η απόδειξη των

υπόλοιπων σχέσεων γίνεται µε ανάλογο τρόπο.

Από την σχέση (4.9), σε συνδυασµό µε το θεώρηµα 4.4 έχουµε

(n)00µ

=

= ∑n

(k )00

k 1p =

= =

− −+ + +

∑ ∑kn n

k 1 k 1

β (1 α β)αα β α β

.

Αλλά =

+

∑n

k 1

βα β

=+

nβα β

και =

− − +

∑kn

k 1

(1 α β)αα β

==

− − + ∑n

k

k 1

α (1 α β)α β

.

Επειδή |1-α-β|<1 το τελευταίο άθροισµα είναι το άθροισµα των n πρώτων

όρων µιας γεωµετρικής προόδου µε λόγο το 1-α-β. Συνεπώς

=

− − ∑n

k

k 1(1 α β) =

− − − − − − − −

n(1 α β) 1 (1 α β)1 (1 α β)

= − − − − − +

n(1 α β) 1 (1 α β)(α β)

,

και τελικά έχουµε το ζητούµενο.

•

Συνδυάζοντας το θεώρηµα αυτό και την σχέση (4.10) έχουµε το επόµενο

Πόρισµα 4.5.1 Σε µια οµογενή Μαρκοβιανή αλυσίδα µε δύο καταστάσεις

(Ω=0, 1) το ποσοστό του χρόνου παραµονής της διαδικασίας στην

κατάσταση j∈Ω, δεδοµένου ότι ξεκίνησε από την κατάσταση i∈Ω, για

διάστηµα n χρονικών περιόδων, δίνεται από τις σχέσεις

(n)00

1µn

= − − − − − +

+ +

n

2

(1 α β) 1 (1 α β)β αα β n (α β)


(n)01

1µn

= − − − − − −

+ +

n

2

(1 α β) 1 (1 α β)α αα β n (α β)

(n)10

1µn

= − − − − − −

+ +

n

2

(1 α β) 1 (1 α β)β βα β n (α β)

(n)11

1µn

= − − − − − +

+ +

n

2

(1 α β) 1 (1 α β)α βα β n (α β)

•

Παράδειγµα 4. 11 (Συνέχεια του παραδείγµατος 4.8 µε τον καθηγητή).

Στο παράδειγµα 4.8 είχαµε δει ότι ο καθηγητής, σε µια οποιαδήποτε ώρα,

µπορεί να βρίσκεται σε µία από τις δύο καταστάσεις Ευδιάθετος,

Κακόκεφος. Αντιστοιχίζοντας το Ευδιάθετος στο 1 και το Κακόκεφος στο 0

είχαµε τον εξής πίνακα των πιθανοτήτων µετάβασης ενός βήµατος

=

0,4 0,60,2 0,8

P .

Με βάση τον πίνακα αυτό ας απαντήσουµε στα επόµενα ερωτήµατα.

α) Αν ο καθηγητής ξεκινάει την ηµέρα του κακόκεφος, τότε κατά την

διάρκεια µιας εργάσιµης ηµέρας, πόσες φορές, κατά µέσο όρο, θα έχει την

ίδια διάθεση;

β) Τι ποσοστό της εργάσιµης ηµέρας του ο καθηγητής θα έχει την

κακόκεφη αυτή διάθεση;

Η απάντηση στο ερώτηµα (α) θα βρεθεί από τον υπολογισµό της

ποσότητας (n)00µ . Από το θεώρηµα 4.5 θέτοντας n=8 (υποθέτοντας ότι µια

εργάσιµη ηµέρα έχει 8 ώρες), α=0,6 και β=0,2 βρίσκουµε (8)00µ =2,188 ώρες.


Άρα λοιπόν, ο καθηγητής θα είναι κακόκεφος, κατά µέσο όρο, δύο ώρες

περίπου, της εργάσιµης ηµέρας του, δεδοµένου ότι ξεκίνησε την ηµέρα του

µε την ίδια διάθεση.

Για το δεύτερο ερώτηµα, το ζητούµενο ποσοστό, θα δίνεται από την

ποσότητα (n)00

1µn

. Κάνοντας χρήση του πορίσµατος 4.5.1 για τις ίδιες τιµές

των n, α και β, όπως και στο προηγούµενο ερώτηµα, βρίσκουµε ότι

(8)00

1µ8

=0,27. Συνεπώς, αν ο καθηγητής ξεκινήσει την ηµέρα του κακόκεφος,

τότε, το 27% της εργάσιµης ηµέρας, θα παραµείνει στην ίδια κατάσταση.

♦

Στην συνέχεια θα αναφέρουµε δύο σηµαντικά και συναφή ερωτήµατα.

Ας θεωρήσουµε µια οµογενή Μαρκοβιανή αλυσίδα Χn, n=0, 1,2,... µε δύο

καταστάσεις, τις 0 και 1, και πίνακα των πιθανοτήτων µετάβασης ενός

βήµατος τον

− = −

1 α αβ 1 β

P .

Ας υποθέσουµε ότι κάποια χρονική στιγµή, η οποία µπορεί να θεωρηθεί

σαν αρχική, η διαδικασία βρίσκεται στην κατάσταση 0. Ζητάµε την

πιθανότητα η διαδικασία να µεταβεί στην κατάσταση 1, για πρώτη φορά,

την χρονική περίοδο n. Γραφικά αυτό φαίνεται στο επόµενο σχήµα.

0 n

0 0 0 1.

Αυτό σηµαίνει ότι, η διαδικασία, ξεκινώντας από την κατάσταση 0,

παραµένει σε αυτή n-1 χρονικές περιόδους και την n-οστη χρονική περίοδο

µεταβαίνει, για πρώτη φορά, στην κατάσταση 1.


Ας συµβολίσουµε µε W0 την τυχαία µεταβλητή µε τιµές τον αριθµό των

χρονικών περιόδων που η διαδικασία παραµένει στην κατάσταση 0 πριν

την πρώτη µετάβασή της στην κατάσταση 1. Προφανώς οι τιµές της W0 θα

είναι οι w0=1,2,3,... . Τότε η W0 είναι µια γεωµετρική τυχαία µεταβλητή µε

πιθανότητα επιτυχίας, p=α. Άρα η ζητούµενη πιθανότητα θα είναι η

Ρ(W0=n)=α(1-α)n-1, n=1,2,. . . . . (4.11)

Ανάλογα µπορούµε να ορίσουµε την τυχαία µεταβλητή W1, σαν την

τυχαία µεταβλητή µε τιµές τον αριθµό των χρονικών περιόδων που η

διαδικασία παραµένει στην κατάσταση 1 πριν την πρώτη της µετάβαση

στην κατάσταση 0. Στην περίπτωση αυτή µπορούµε να γράψουµε

Ρ(W1=n)=β(1-β)n-1, n=1,2,. . . . . (4.12)

Για τις τυχαίες µεταβλητές W0 και W1, από τους γνωστούς τύπους της

γεωµετρικής κατανοµής, έχουµε ότι

Ε(W0)=1/α και Var(W0)=(1-α)/α2

και Ε(W1)=1/β και Var(W1)=(1-β)/β2 .

Η σχέση Ε(Wi) (i=0,1) µας δίνει τον µέσο χρόνο µετάβασης της διαδικασίας

σε άλλη κατάσταση, για πρώτη φορά.

Υποθέτουµε, όπως και προηγουµένως, ότι κάποια χρονική στιγµή, η

οποία µπορεί να θεωρηθεί σαν αρχική, η διαδικασία βρίσκεται στην

κατάσταση 0. Στην παρούσα περίπτωση ζητάµε την πιθανότητα η

διαδικασία να παραµείνει στην κατάσταση αυτή για n χρονικές περιόδους,

πριν µεταβεί για πρώτη φορά, στην κατάσταση 1. Γραφικά αυτό φαίνεται

στο επόµενο σχήµα.

0 n

0 0 0 1.


Αυτό σηµαίνει ότι, η διαδικασία, ξεκινώντας από την κατάσταση 0,

παραµένει σε αυτή n χρονικές περιόδους και την (n+1)-οστη χρονική

περίοδο µεταβαίνει, για πρώτη φορά, στην κατάσταση 1.

Ας συµβολίσουµε µε C0 την τυχαία µεταβλητή µε τιµές τον αριθµό των

χρονικών περιόδων που η διαδικασία παραµένει στην κατάσταση 0 πριν

την πρώτη της µετάβαση στην κατάσταση 1. Προφανώς οι τιµές της C0 θα

είναι οι c0=0,1,2,3,... . Τότε η C0 είναι µια γεωµετρική τυχαία µεταβλητή µε

πιθανότητα επιτυχίας, p=β. Άρα η ζητούµενη πιθανότητα θα είναι η

Ρ(C0=n)=α(1-α)n, n=0,1,2,. . . . . (4.13)

Ανάλογα µπορούµε να ορίσουµε την τυχαία µεταβλητή C1, σαν την

τυχαία µεταβλητή µε τιµές τον αριθµό των χρονικών περιόδων που η

διαδικασία παραµένει στην κατάσταση 1 πριν την πρώτη της µετάβαση

στην κατάσταση 0. Στην περίπτωση αυτή µπορούµε να γράψουµε

Ρ(C1=n)=β(1-β)n, n=0,1,2,. . . . . (4.14)

Για τις τυχαίες µεταβλητές C0 και C1 µπορούµε να αποδείξουµε ότι

Ε(C0)=(1-α)/α και Var(C0)=(1-α)/α2 (4.15)

και Ε(C1)=(1-β)/β και Var(C1)=(1-β)/β2 . (4.16)

Η σχέση Ε(Ci) (i=0,1) µας δίνει τον µέσο χρόνο παραµονής της διαδικασίας

στην ίδια κατάσταση, πριν την µετάβασή της, για πρώτη φορά, σε άλλη

κατάσταση.

Παράδειγµα 4.12 (Συνέχεια του παραδείγµατος 4.8 µε τον καθηγητή)

Αν ο καθηγητής ξεκίνησε την ηµέρα του ευδιάθετος πια είναι η πιθανότητα

να παραµείνει µε την ίδια διάθεση για τρεις ώρες, πριν αλλάξει για, πρώτη


φορά, διάθεση; Ποια είναι η πιθανότητα ο καθηγητής να αλλάξει διάθεση,

για πρώτη φορά, την τέταρτη ώρα;

Στο πρώτο ερώτηµα έχουµε την περίπτωση της C1 τυχαίας µεταβλητής,

διότι θέλουµε ο καθηγητής να παραµείνει στην ίδια κατάσταση για τρεις

ώρες, πριν αλλάξει, για πρώτη φορά, κατάσταση. Συνεπώς η ζητούµενη

πιθανότητα είναι η Ρ(C1=3)=0,2(1-0,2)3=0,1024.

Στο δεύτερο ερώτηµα έχουµε την περίπτωση της W1 τυχαίας

µεταβλητής, διότι θέλουµε ο καθηγητής να αλλάξει, για πρώτη φορά,

κατάσταση την τέταρτη ώρα. Συνεπώς η ζητούµενη πιθανότητα είναι η

Ρ(W1=4)=0,6(1-0,6)3=0,0384.

♦

4.4.1 ΕΝΝΟΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ

Από το θεώρηµα 4.4 γνωρίζουµε ότι ο πίνακας των πιθανοτήτων

µετάβασης n βηµάτων, Ρ(n) , είναι ο

(n) (n)00 01(n) (n)10 11

p pp p

=

− − − −+ − + + + +

− − − −− +

+ + + +

n n

n n

β (1 α β) α (1 α β)α αα β α β α β α ββ (1 α β) α (1 α β)β β

α β α β α β α β

.

Το όριο του πίνακα αυτού, όταν το n→ ∞, είναι, προφανώς, τα όρια των

στοιχείων του. Αν θέσουµε π00=→∞

(n)00n

lim p , π01=→∞

(n)01n

lim p , π10=→∞

(n)10n

limp , και

π11=→∞

(n)11n

lim p , τότε, επειδή 0<1-α-β<1 έχουµε ότι ο Ρ(∞) παίρνει την µορφή


Ρ(∞)=

00 01

10 11

π ππ π

=

+ + + +

β αα β α ββ α

α β α β

.

Από την τελευταία σχέση προκύπτει ότι

π00=π10=π0=β/(α+β) και π01=π11=π1=α/(α+β) (4.17)

Βλέπουµε δηλαδή ότι, όταν το n→ ∞, η πιθανότητα (n)ijp τείνει σε µια

πιθανότητα, πj, η οποία είναι ανεξάρτητη της αρχικής κατάστασης i∈Ω. Άρα

µπορούµε να γράψουµε

Ρ(∞)=(π0, π1).

Ορισµός 4.3 Θα λέµε ότι η διαδικασία βρίσκεται σε κατάσταση

στατιστικής ισορροπίας (statistical equilibrium) όταν για n→ ∞, η

πιθανότητα, η διαδικασία να βρίσκεται στην κατάσταση i∈Ω την

χρονική στιγµή n, δεν εξαρτάται από την αρχική κατάσταση της

διαδικασίας.

Επειδή π0+π1=1 οι πιθανότητες αυτές εκφράζουν την κατανοµή του

συστήµατος στην κατάσταση ισορροπίας.

∆ιαισθητικά είναι λογικό να περιµένουµε ότι, κατά την έναρξη λειτουργίας

ενός συστήµατος, θα υπάρχουν πολλές διαταραχές, µε την έννοια ότι το

σύστηµα θα βρίσκεται σε µία κατάσταση συνεχών µετασχηµατισµών. Με

την πάροδο όµως του χρόνου η λειτουργία του συστήµατος γίνεται πιο

οµαλή. Σαν ένα παράδειγµα ενός τέτοιου συστήµατος ας θεωρήσουµε µια

τράπεζα και τους πελάτες οι οποίοι εξυπηρετούνται κατά την διάρκεια µιας


ηµέρας. Στο σύστηµα αυτό υπάρχει ένας αυξηµένος αριθµός πελατών κατά

τις πρώτες ώρες, µετά το άνοιγµα της τράπεζας. Αυτό σηµαίνει ότι ο χρόνος

αναµονής των πελατών εξαρτάται από τον αριθµό των αρχικών πελατών

και από τον ρυθµό άφιξης των νέων. Με την πάροδο του χρόνου η “ροή”

των πελατών γίνεται πιο “στρωτή”, δηλαδή το σύστηµα παύει να εξαρτάται

από τις αρχικές συνθήκες και εξαρτάται µόνο από τον αριθµό των πελατών

που µπαίνουν ή βγαίνουν από την τράπεζα. ∆ηλαδή το σύστηµα έρχεται σε

µια κατάσταση ισορροπίας.

Παράδειγµα 4.13 Με βάση τον πίνακα των πιθανοτήτων µετάβασης ενός

βήµατος, του παραδείγµατος 4.8, µπορούµε να δούµε ότι η κατάσταση της

στατιστικής ισορροπίας επιτυγχάνεται ακόµη και για µικρές τιµές του n.

Αυτό είναι προφανές από τον πίνακα που ακολουθεί.

n P(n) n P(n)

2

0,28 0,720,24 0,76

6

0,250048 0,7499520,249986 0,750016

3

0,256 0,7440,248 0,752

7

0,2500096 0,74999040,2499968 0,7500032

4

0,2512 0,74880,2496 0,7506

8

0,25000192 0,749998080,24999616 0,75000384

5

0,25024 0,749760,24992 0,75008

Από τον πίνακα αυτό βλέπουµε ότι η διαδικασία βρίσκεται σε κατάσταση

στατιστικής ισορροπίας ήδη για n=5.

♦


1049

Από το πόρισµα 4.5.1 έχουµε ότι, στην κατάσταση στατιστικής

ισορροπίας, το ποσοστό παραµονής της διαδικασίας στην κατάσταση 0 ή

1, δίνεται από τις σχέσεις

→∞ →∞

= =(n) (n)00 10 0n n

1 1lim µ lim µ πn n

και →∞ →∞

= =(n) (n)01 11 1n n

1 1lim µ lim µ πn n

Οι σχέσεις αυτές, σε συνδυασµό µε τις (4.17), µας επιτρέπουν να

διατυπώσουµε το επόµενο θεώρηµα.

Θεώρηµα 4.6 Θεωρούµε µια οµογενή Μαρκοβιανή αλυσίδα µε δύο

καταστάσεις. Στην κατάσταση στατιστικής ισορροπίας, η κατανοµή του

συστήµατος εκφράζει και το ποσοστό παραµονής της διαδικασίας στην

κατάσταση 0 ή 1.

•

Παράδειγµα 4.14 Σε µια µελέτη για τις βροχοπτώσεις στο Τελ-Αβιβ οι

Gabriel και Neumann (1962) συγκέντρωσαν τα παρακάτω δεδοµένα για την

εναλλαγή βροχερών και στεγνών ηµερών, κατά την περίοδο των βροχών.

(Η περίοδος αυτή είναι οι µήνες ∆εκέµβριος, Ιανουάριος και Φεβρουάριος).

ΣΗΜΕΡΑ Στεγνή Βροχερή Ηµέρα Ηµέρα

Στεγνή Ηµέρα ΧΘΕΣ Βροχερή Ηµέρα

Τα δεδοµένα αφορούν µια περίοδο 27 ετών (δηλαδή 2437 ηµέρες).

350

351 687


Αν η εναλλαγή βροχερών και στεγνών ηµερών µπορεί να µοντελοποιηθεί

σαν µία οµογενής Μαρκοβιανή αλυσίδα µε δύο καταστάσεις (τις Στεγνές και

Βροχερές Ηµέρες) να βρεθούν

α) ο πίνακας των πιθανοτήτων µετάβασης ενός βήµατος,

β) η πιθανότητα την 6η Ιανουαρίου να βρέχει, δεδοµένου ότι η 1η

Ιανουαρίου ήταν στεγνή ηµέρα,

γ) η πιθανότητα την 21η Φεβρουαρίου να βρέχει, δεδοµένου ότι η 1η

∆εκεµβρίου ήταν βροχερή ηµέρα.

δ) Ποιος είναι ο αναµενόµενος αριθµός των στεγνών ηµερών, µέχρι την

πρώτη βροχερή ηµέρα, αν η σηµερινή ηµέρα είναι στεγνή;

ε) Στο ερώτηµα (γ) ποιο είναι το ποσοστό των στεγνών ηµερών;

Η απάντηση στα προηγούµενα ερωτήµατα έχει ως εξής.

α) Αν κάνουµε την αντιστοίχιση Βροχερή ηµέρα→1 και Στεγνή ηµέρα→0,

τότε οι πιθανότητες ενός βήµατος µπορούν να βρεθούν ως εξής:

p00=1049/(1049+350)=0,75,

p01=350/(1049+350)=0,25,

p10=351/(351+687)=0,34,

p11=687/(351+687)=0,66.

Συνεπώς ο πίνακας των πιθανοτήτων µετάβασης ενός βήµατος είναι ο

=

0,75 0,250,34 0,66

P .

β) Το χρονικό διάστηµα µεταξύ 1ης και 6ης Ιανουαρίου είναι 5 ηµέρες. Άρα η

ζητούµενη πιθανότητα είναι η (5)01p . Σύµφωνα µε το θεώρηµα 4.4 για α=0,25

και β=0,34 η τιµή της πιθανότητας αυτής είναι


− −= − =

+ +

5(5)01

0,25 (1 0,25 0,34)p 0,25 0,420,25 0,34 0,25 0,34

.

γ) Η ζητούµενη πιθανότητα είναι η (n)11p , όπου n είναι το χρονικό διάστηµα

από την 1η ∆εκεµβρίου έως την 21η Φεβρουαρίου, δηλαδή n=82 ηµέρες. Η

µεγάλη τιµή του n µας επιτρέπει να θεωρήσουµε ότι το σύστηµα (στην

περίπτωσή µας το µετεωρολογικό σύστηµα) θα βρίσκεται σε κατάσταση

στατιστικής ισορροπίας. Συνεπώς, βλέπε σχέση (4.17), (82)11p =π1=0,25/(0,25+0,34)=0,42.

Η ίδια ακριβώς τιµή για την πιθανότητα (82)11p θα προκύψει αν κάνουµε

χρήση του θεωρήµατος 4.4. Συγκρίνοντας την τιµή αυτή µε την τιµή της

πιθανότητας (5)01p στο (β) ερώτηµα, βλέπουµε ότι το σύστηµα βρίσκεται ήδη

σε κατάσταση στατιστικής ισορροπίας για n=5.

δ) Με δεδοµένο ότι σήµερα είναι µια στεγνή ηµέρα, ας συµβολίσουµε µε C0

την τυχαία µεταβλητή µε τιµές τον αριθµό των επιπλέον στεγνών ηµερών

µέχρις ότου έχουµε την πρώτη βροχερή ηµέρα. Τότε η C0 είναι µια

γεωµετρικού τύπου τυχαία µεταβλητή µε πιθανότητα “επιτυχίας” (εδώ η

βροχή) =0,34. Ο ζητούµενος αναµενόµενος αριθµός των επιπλέον στεγνών

ηµερών, µέχρι την πρώτη βροχή, είναι η Ε(C0). Από την πρώτη των

σχέσεων (4.15) έχουµε ότι

Ε(C0)=(1-0,25)/0,25=3 ηµέρες.

Άρα, µε δεδοµένο ότι σήµερα έχουµε στεγνή ηµέρα, περιµένουµε ότι θα

περάσουν τρεις ηµέρες µέχρι την πρώτη βροχή.

ε) Όπως γνωρίζουµε το ποσοστό των στεγνών ηµερών, για µια χρονική

περίοδο n ηµερών είναι το (n)10

1µn

. Το χρονικό διάστηµα στο ερώτηµα (γ)


είναι 83 ηµέρες. Συνεπώς είτε από το πόρισµα 4.5.1, είτε κάνοντας χρήση

του θεωρήµατος 4.6 βρίσκουµε ότι

(83)10

1µn

=0,58.

Αυτό σηµαίνει ότι το 58% του χρονικού διαστήµατος από την 1η ∆εκεµβρίου

έως την 21η Φεβρουαρίου θα είναι χωρίς βροχές.

♦

4.5 ΜΑΡΚΟΒΙΑΝΕΣ ΑΛΥΣΙ∆ΕΣ ΜΕ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ Ή ΑΡΙΘΜΗΣΙΜΟ ΠΛΗΘΟΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΝ

Στην παράγραφο αυτή θα ασχοληθούµε µε οµογενείς Μαρκοβιανές

αλυσίδες των οποίων ο χώρος καταστάσεων είναι πεπερασµένος ή

άπειρος, αλλά αριθµήσιµος.

Παράδειγµα 4.15 (Οµογενής Μαρκοβιανή αλυσίδα µε πεπερασµένο αριθµό

καταστάσεων) Αν υποθέσουµε ότι ο καθηγητής, εκτός από τις δύο

καταστάσεις “Ευδιάθετος” και “Κακόκεφος”, µπορεί, κατά µία εργάσιµη

ηµέρα, να βρίσκεται και σε µια ενδιάµεση κατάσταση, την οποία ας την

ονοµάσουµε “Έτσι-και-Έτσι”, τότε µπορούµε να έχουµε µια Μαρκοβιανή

αλυσίδα µε τρεις καταστάσεις. ∆ηλαδή Ω=Κακόκεφος, Έτσι-και-Έτσι,

Ευδιάθετος. Αντιστοιχίζοντας την κατάσταση Κακόκεφος→0, την Έτσι-και-

Έτσι→1 και την Ευδιάθετος→2, µπορούµε να γράψουµε τον επόµενο

πίνακα των πιθανοτήτων µετάβασης ενός βήµατος

4.5 ΜΑΡΚΟΒΙΑΝΕΣ ΑΛΥΣΙ∆ΕΣ ΜΕ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ

Ή ΑΡΙΘΜΗΣΙΜΟ ΠΛΗΘΟΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΝ 225

=

0,5 0,4 0,10,3 0,4 0,30,2 0,3 0,5

P .

♦

Παράδειγµα 4.16 (Τυχαίος περίπατος. Οµογενής Μαρκοβιανή αλυσίδα µε

άπειρο, αλλά αριθµήσιµο πλήθος καταστάσεων) Ο τυχαίος περίπατος είναι

η απλούστερη στοχαστική διαδικασία. Ας συµβολίσουµε µε Χn την θέση

ενός κινούµενου σωµατιδίου την χρονική στιγµή n, (n=0, 1, 2, . . . ). Αρχικά

το σωµατίδιο βρίσκεται στην θέση 0, δηλαδή Χ0=0. Την επόµενη χρονική

στιγµή (n=1) το σωµατίδιο µπορεί να κάνει ένα βήµα +1, µε πιθανότητα p, ή

ένα βήµα –1, µε πιθανότητα q, ή ένα βήµα 0, µε πιθανότητα 1-p-q. Την

επόµενη χρονική στιγµή (n=2) το σωµατίδιο µπορεί να κάνει πάλι ένα βήµα

+1, ή –1, ή 0, µε τις αντίστοιχες πιθανότητες, και ανεξάρτητα από το τι βήµα

έκανε την προηγούµενη χρονική στιγµή. Την πρώτη χρονική στιγµή (n=1) η

θέση του σωµατιδίου, Χ1, δίνεται από την σχέση X1=Χ0+Ζ1, όπου Ζ1 είναι

µια διακριτή τυχαία µεταβλητή µε τιµές –1, 0 και 1, και συνάρτηση

πιθανότητας Ρ(Ζ1=-1)=q, Ρ(Ζ1=0)=1-p-q και Ρ(Ζ1=1)=p.

Την δεύτερη χρονική στιγµή (n=2) η θέση του σωµατιδίου, Χ2, δίνεται από

την σχέση X2=Χ0+Ζ1+Ζ2, όπου Ζ2 είναι µια διακριτή τυχαία µεταβλητή,

ανεξάρτητη από την Ζ1, µε τιµές –1, 0 και 1, και συνάρτηση πιθανότητας

Ρ(Ζ2=-1)=q, Ρ(Ζ2=0)=1-p-q και Ρ(Ζ2=1)=p. Συνεχίζοντας µε τον ίδιο τρόπο

µπορούµε να γράψουµε ότι η θέση του σωµατιδίου την χρονική στιγµή n,

δίνεται από την σχέση Χn=Χ0+Ζ1+Ζ2+ +Ζn, όπου οι τυχαίες µεταβλητές Ζ1,

Ζ2, . . .,Ζn είναι ανεξάρτητες µεταξύ τους, αλλά µε την ίδια συνάρτηση

πιθανότητας, αυτή του Ζ1. Η προηγούµενη σχέση µπορεί να γραφεί σαν


Χn=Χn-1+Ζn.

Μια πραγµατοποίηση ενός τέτοιου τυχαίου περίπατου φαίνεται στο

επόµενο σχήµα.

Xn

4

3

2

1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 n

-1

-2

-3

-4

Σχήµα 4.1 Μια πραγµατοποίηση ενός τυχαίου περιπάτου. (Οι κύκλοι

δείχνουν την θέση του σωµατιδίου την αντίστοιχη χρονική στιγµή).

Η σχέση αυτή µας λέει ότι, η θέση του σωµατιδίου, κατά την χρονική στιγµή

n, εξαρτάται µόνο από την θέση του σωµατιδίου την προηγούµενη χρονική

στιγµή. Ακόµη το γεγονός ότι οι τυχαίες µεταβλητές Ζ1, Ζ2, . . .,Ζn είναι

ανεξάρτητες µεταξύ τους, αλλά µε την ίδια συνάρτηση πιθανότητας, µας

επιτρέπει να συµπεράνουµε ότι, η Χn,n=0,1,2, . . είναι µια οµογενής

Μαρκοβιανή αλυσίδα µε άπειρο πλήθος καταστάσεων. Συγκεκριµένα Ω=0,

±1, ±2, ±3, . . .. Ο πίνακας των πιθανοτήτων µετάβασης ενός βήµατος είναι

ο επόµενος



-∞ . . . -1 0 1 ∞ −∞

− − −

= − − − − +∞

1 0 0 q 1 p q p 0 0 00 0 0 0 q 1 p q p 0 01 0 0 0 0 p 1 p q p 0 0

P .

♦

Η γενική µορφή του πίνακα των πιθανοτήτων µετάβασης ενός βήµατος,

για µια πεπερασµένη ή αριθµήσιµη Μαρκοβιανή αλυσίδα, σε αντιστοιχία µε

τον πίνακα Ρ (βλ. σχέση (4.6)), είναι η επόµενη

=

00 01 02

10 11 12

20 21 22

p p pp p pp p p

P ,

ενώ αυτή των πιθανοτήτων µετάβασης n βηµάτων, στην χρονικά οµογενή

περίπτωση, είναι η

=

(n) (n) (n)00 01 02(n) (n) (n)

(n) 10 11 12(n) (n) (n)20 21 22

p p pp p pp p p

P .

Στην περίπτωση µιας Μαρκοβιανής αλυσίδας µε δύο καταστάσεις είχαµε

αποδείξει (βλ. θεώρηµα 4.3) ότι P(n)=Pn. Στην συνέχεια θα αποδείξουµε ότι


η σχέση αυτή ισχύει κάθε Μαρκοβιανή αλυσίδα µε χώρο καταστάσεων Ω,

πεπερασµένο ή αριθµήσιµο. Πρώτα θα αποδείξουµε το επόµενο θεώρηµα.

Θεώρηµα 4.7 (Εξισώσεις Chapman-Kolmogorov)

Σε µια χρονικά οµογενή Μαρκοβιανή αλυσίδα µε χώρο καταστάσεων, Ω,

πεπερασµένο ή αριθµήσιµο, ισχύει ότι

∞

+

=

= ∑(n m) (n) (m)ij ik kj

k 0p p p , (4.18)

για κάθε n,m>0 και για κάθε i,j∈Ω. Οι εξισώσεις αυτές είναι γνωστές σαν

εξισώσεις των Chapman-Kolmogorov.

Απόδειξη Για την καλύτερη κατανόηση της απόδειξης του θεωρήµατος

δίνουµε το επόµενο σχήµα.

(0) (n) (m)

0

1

2

i j

i

j

Η διαδικασία αρχικά βρίσκεται στην κατάσταση i∈Ω. Για να βρίσκεται την

χρονική στιγµή (n+m) στην κατάσταση j∈Ω θα πρέπει να συµβούν τα εξής:

α) µετά από n χρονικές περιόδους να µεταβεί σε µια οποιαδήποτε από τις



καταστάσεις του Ω και β) στην συνέχεια, µετά από επιπρόσθετες m

χρονικές στιγµές, να µεταβεί στην κατάσταση j∈Ω. Πιο συγκεκριµένα, µε

βάση το προηγούµενο σχήµα, µπορούµε να γράψουµε (n m) (n) (m) (n) (m) (n) (m) (n) (m) (n) (m)ij i0 0 j i1 1j i2 2 j ii ij ij jjp p p p p p p p p p p+ = + + + + + + + .

ή ∞

+

=

= ∑(n m) (n) (m)ij ik kj

k 0p p p .

•

Πόρισµα 4.7.1 Με τις προϋποθέσεις του θεωρήµατος 4.7 ισχύει ότι Ρ(n)=Ρn.

Απόδειξη Οι σχέσεις (4.18), υπό µορφή πινάκων, µπορούν να γραφούν

ως Ρ(n+m)=Ρ(n) Ρ(m). Προφανώς Ρ(2)= Ρ(1+1)=Ρ(1) Ρ(1)=Ρ2. ∆εχόµενοι ότι Ρ(n-1)=

Ρ(n-1) παίρνουµε, επαγωγικά ότι, Ρ(n)= Ρ(n-1+1)=Ρ(n-1) Ρ(1)=Ρn-1Ρ1=Ρn. ∆ηλαδή

έχουµε την σχέση του θεωρήµατος 4.3.

•

Στην § 4.2 είχαµε ορίσει (βλ. σχέση (4.3)) τις αδέσµευτες πιθανότητες

= =(n)j np P(X j) , j∈Ω . Για τις πιθανότητες αυτές ισχύει το επόµενο

Θεώρηµα 4.8 Σε µια οµογενή Μαρκοβιανή αλυσίδα µε πεπερασµένο ή

αριθµήσιµο χώρο καταστάσεων έχουµε ότι

=(n) (0) (n)p p P ,

όπου =(n) (n) (n) (n)0 1 2(p ,p ,p , )p και =(0) (0) (0) (0)

0 1 2(p ,p ,p , )p .

Απόδειξη Ας εξετάσουµε µε τι ισούται η πιθανότητα (n)jp . Για να είναι η

διαδικασία την χρονική στιγµή n, στην κατάσταση j∈Ω, θα πρέπει να συµβεί

ένα από τα επόµενα: την χρονική στιγµή n-1 η διαδικασία να βρίσκεται στην


κατάσταση 0 και την χρονική στιγµή n να µεταβεί από την 0 στην

κατάσταση j∈Ω, ή την χρονική στιγµή n-1 η διαδικασία να βρίσκεται στην


κατάσταση j∈Ω, ή την χρονική στιγµή n-1 η διαδικασία να βρίσκεται στην


κατάσταση j∈Ω, ή κ.τ.λ. . Συνεπώς µπορούµε να γράψουµε

− − −= = + = + = +(n)j n 1 0 j n 1 1j n 1 2 jp P(X 0)p P(X 1)p P(X 2)p

= − − −+ + +(n 1) (n 1) (n 1)0 0 j 1 1j 2 2 jp p p p p p .

Άρα λοιπόν −=(n) (n 1)p p P . Επαναλαµβάνοντας την ίδια διαδικασία, αυτή την

φορά για το −(n 1)jp και αντικαθιστώντας στην προηγούµενη σχέση

παίρνουµε −=(n) (n 2) (1)p p P . Συνεχίζοντας µε τον ίδιο τρόπο καταλήγουµε

στην σχέση που θέλουµε να αποδείξουµε, δηλαδή =(n) (0) (n)p p P .

•

Παρατήρηση 4.3 Η σχέση του θεωρήµατος 4.8 ισχύει προφανώς και για

την περίπτωση της οµογενούς Μαρκοβιανής αλυσίδας µε δύο καταστάσεις.

Παράδειγµα 4.17 Ας θεωρήσουµε την οµογενή Μαρκοβιανή αλυσίδα Χn,

n=0,1,2,... µε χώρο καταστάσεων Ω=0,1,2,3 και πίνακα πιθανοτήτων

µετάβασης ενός βήµατος τον

=

0,1 0,2 0,3 0,40,2 0,2 0,3 0,30,5 0,0 0,5 0,00,6 0,2 0,1 0,1

P .



Αν είναι γνωστό ότι η αρχική κατανοµή του συστήµατος είναι η

= =(0) (0) (0) (0) (0)0 1 2 3(p ,p ,p ,p ) (0,25 , 0,25 , 0,25 , 0,25)p

να υπολογισθούν οι επόµενες πιθανότητες

α) Ρ(Χ0=0, Χ1=2, Χ2=0, Χ3=3) β) Ρ(Χ1=2, Χ2=0, Χ3=3) και γ) το p(4).

Για το (α), από τον πολλαπλασιαστικό νόµο των πιθανοτήτων (βλ.

θεώρηµα 1.4), θα έχουµε

Ρ(Χ0=0, Χ1=2, Χ2=0, Χ3=3)=

Ρ(Χ0=0)Ρ(Χ1=2|Χ0=0) Ρ(Χ2=0|Χ0=0, Χ1=2) Ρ(Χ3=3|Χ0=0, Χ1=2, Χ2=0)=

Ρ(Χ0=0)Ρ(Χ1=2|Χ0=0) Ρ(Χ2=0| Χ1=2) Ρ(Χ3=3| Χ2=0)= (λόγω της

Μαρκοβιανης ιδιοτητας)=Ρ(Χ0=0)p02 p20 p03= (0)0p p02 p20 p03=

0,25×0,3×0,5×0,4=0,015.

Προφανώς, ο υπολογισµός της πιθανότητας στο (β) εξαρτάται από την

κατάσταση από την οποία ξεκίνησε η διαδικασία. Έτσι λοιπόν, από τον

τύπο της ολικής πιθανότητας, µπορούµε να γράψουµε

Ρ(Χ1=2, Χ2=0, Χ3=3)==

= = = = ×∑3

1 2 3 0 0i 0

P(X 2, X 0, X 3 | X i) P(X =i) =

==

= = × = ×∑3

1 0 2 1 0i 0

P(X 2 | X i) P(X 0 | X =2,X =i )

× = = ×3 2 1 0 0P(X 3 | X 0,X =2,X =i) P(X =i)=

==

= = × = × = = ×∑3

1 0 2 1 3 2 0i 0

P(X 2 | X i) P(X 0 | X =2) P(X 3 | X 0) P(X =i)

==

× × ×∑3

(0)i2 20 03 i

i 0p p p p =

=

× ×∑3

(0)20 03 i2 i

i 0p p p p

= × × + × + × + ×(0) (0) (0) (0)02 0 12 1 22 2 32 30,5 0,4(p p p p p p p p )


=0,2(0,3×0,25+0,3×0,25+0,5×0,25+0,1×0,25)=0,2×0,3=0,06.

Ο υπολογισµός των πιθανοτήτων p(4), στο (γ) θα γίνει µε βάση την

σχέση =(n) (0) (n)p p P του θεωρήµατος 4.8. Η σχέση αυτή, σε συνδυασµό µε

το πόρισµα 4.7.1 γράφεται ως =(n) (0) np p P . Στην περίπτωσή µας

p(4)=p(0)P4=(0,25 0,25 0,25 0,25)

40,1 0,2 0,3 0,40,2 0,2 0,3 0,30,5 0,0 0,5 0,00,6 0,2 0,1 0,1

=

=(0,25 0,25 0,25 0,25)

0,3616 0,1344 0,3192 0,18480,3519 0,1348 0,3222 0,19110,3330 0,1320 0,3340 0,20100,3177 0,1404 0,3258 0,2161

=

=(0,34105 0,13540 0,32530 0,19825).

♦

Στην περίπτωση της οµογενούς Μαρκοβιανής αλυσίδας µε δύο

καταστάσεις είδαµε (βλ. § 4.4.1) ότι, όταν n→∞ η διαδικασία περιέρχεται

στην κατάσταση της στατιστικής ισορροπίας. Στην κατάσταση αυτή δείξαµε

ότι, π00=π10=π0=β/(α+β) και π01=π11=π1=α/(α+β) (βλ. σχέσεις (4.17)) όπου

π00=→∞

(n)00n

lim p , π01=→∞

(n)01n

limp , π10=→∞

(n)10n

lim p , και π11=→∞

(n)11n

limp . Ας δούµε τώρα

αν κάτι ανάλογο ισχύει και στην περίπτωση οµογενών Μαρκοβιανών

αλυσίδων µε πεπερασµένο (µεγαλύτερο του δύο) ή αριθµήσιµο χώρο

καταστάσεων. Για τον σκοπό αυτό θα δώσουµε τα επόµενα δύο

παραδείγµατα.



Παράδειγµα 4.18 Θεωρούµε µια οµογενή Μαρκοβιανή αλυσίδα Χn,

n=0,1,2,... µε χώρο καταστάσεων Ω=0,1,2 και πίνακα πιθανοτήτων


Ρ=

0,1 0,2 0,70,2 0,4 0,40,1 0,3 0,6

.

Στην περίπτωση αυτή είναι εύκολο να δούµε ότι

=

(2)

0,12 0,31 0,570,14 0,32 0,540,13 0,32 0,55

P , =

(3)

0,131 0,319 0,5500,132 0,318 0,5500,132 0,319 0,549

P

και για n>3 =

(n)

0,132 0,319 0,5490,132 0,319 0,5490,132 0,319 0,549

P .

Στο παράδειγµα αυτό βλέπουµε ότι το →∞(n)lim Pn υπάρχει και είναι

µοναδικό.

♦

Παράδειγµα 4.19 Ας θεωρήσουµε τώρα µια οµογενή Μαρκοβιανή αλυσίδα

Χn, n=0,1,2,... µε χώρο καταστάσεων Ω=0,1,2 και πίνακα πιθανοτήτων


Ρ=

0 1 00,5 0 0,50 1 0

.


Στην περίπτωση αυτή µπορούµε να επαληθεύσουµε ότι η µορφή του

Ρ(n), όταν n→∞, εξαρτάται από το αν το n είναι άρτιο, n=2k, ή περιττό,

n=2k+1, k≥1. Πράγµατι

=

(2k )

0,5 0 0,50 1 0

0,5 0 0,5P , ενώ +

=

(2k 1)

0 1 00,5 0 0,50 1 0

P .

Στο παράδειγµα αυτό βλέπουµε ότι το →∞(n)lim Pn υπάρχει αλλά δεν είναι

µοναδικό.

Στην συνέχεια θα εξετάσουµε πότε το (n)limn →∞P υπάρχει, και αν

υπάρχει πια είναι η µορφή του Ρ(n). Με άλλα λόγια θα δούµε πότε µια

οµογενής Μαρκοβιανή αλυσίδα µε πεπερασµένο ή αριθµήσιµο πλήθος

καταστάσεων περιέρχεται στην κατάσταση της στατιστικής ισορροπίας.

4.6 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΝ ΜΙΑΣ ΜΑΡΚΟΒΙΑΝΗΣ ΑΛΥΣΙ∆ΑΣ

Στην παρούσα παράγραφο θα ταξινοµήσουµε τις καταστάσεις µιας

οµογενούς Μαρκοβιανής αλυσίδας ανάλογα µε τις βασικές ιδιότητές της. Η

ταξινόµηση αυτή µας βοηθάει στο να κατανοήσουµε καλύτερα την

ασυµπτωτική συµπεριφορά της διαδικασίας.

4.6 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΝ ΜΙΑΣ ΜΑΡΚΟΒΙΑΝΗΣ ΑΛΥΣΙ∆ΑΣ 235

Ορισµός 4.4 Η κατάσταση j∈Ω, µιας Μαρκοβιανής αλυσίδας,

καλείται προσιτή (accessible) από την κατάσταση i∈Ω, αν η

διαδικασία µπορεί να µεταβεί από την κατάσταση i στην κατάσταση j

σε πεπερασµένο αριθµό χρονικών περιόδων.

Σε µαθηµατική έκφραση ο ορισµός 4.4 µας λέει ότι η κατάσταση j είναι

προσιτή από την i αν υπάρχει n≥0 έτσι ώστε (n)ijp >0. Στην περίπτωση αυτή

γράφουµε i→j. Η έννοια της προσιτής κατάστασης είναι ισοδύναµη µε την

ύπαρξη ενός µονοπατιού, στο διάγραµµα µεταφοράς, το οποίο οδηγεί από

την κατάσταση i στην j.

Ορισµός 4.5 ∆ύο καταστάσεις i,j∈Ω, µιας Μαρκοβιανής αλυσίδας, θα

λέµε ότι επικοινωνούν (communicate) όταν η µία είναι προσιτή από

την άλλη.

Ο ορισµός αυτός, σε συνδυασµό και µε τον ορισµό 4.4, σε µαθηµατική

έκφραση, µας λέει ότι οι καταστάσεις i και j επικοινωνούν όταν υπάρχουν n

και m τέτοια ώστε (n)ijp >0 και (m)

jip >0 . Στην περίπτωση αυτή γράφουµε

i↔j.

Θεώρηµα 4.9 Η σχέση της επικοινωνίας ικανοποιεί τις επόµενες σχέσεις:

α) i↔i (ανακλαστική ιδιότητα)

β) i↔j j↔i (συµµετρική ιδιότητα)


γ) i↔j, j↔k i↔k (µεταβατική ιδιότητα)

Απόδειξη Η απόδειξη των (α) και (β) είναι προφανής από τον ορισµό

4.5. Για το (γ) το γεγονός ότι οι καταστάσεις i, j και k επικοινωνούν σηµαίνει

ότι υπάρχουν n και m τέτοια ώστε (n)ijp >0 και (m)

jkp >0. Από τις εξισώσεις

των Chapman-Kolmogorov (βλ. σχέση (4.18)) έχουµε ότι

+

∈Ω

= ≥ >∑(n m) (n) (m) (n) (m)ik is sk ij jk

sp p p p p 0 .

Η τελευταία σχέση, σε συνδυασµό και µε τον ορισµό 4.5, µας λέει ότι οι

καταστάσεις i και k επικοινωνούν.

•

Γίνεται φανερό ότι µε την βοήθεια του τελευταίου θεωρήµατος µπορούµε

να χωρίσουµε τις καταστάσεις µιας Μαρκοβιανής αλυσίδας σε κλάσεις

επικοινωνίας.

Ορισµός 4.6 Θα λέµε ότι ένα υποσύνολο C του χώρου καταστάσεων

Ω, µιας Μαρκοβιανής αλυσίδας, είναι µια κλάση επικοινωνίας αν

α) i∈C, j∈C i↔j

β) i∈C, i↔j j∈C.

Το (α) στον ορισµό αυτό µας λέει ότι δύο οποιεσδήποτε καταστάσεις,

που ανήκουν στην κλάση επικοινωνίας C, επικοινωνούν µεταξύ τους. Το (β)

µας λέει ότι, αν µία κατάσταση ανήκει στην κλάση επικοινωνίας C και

επικοινωνεί µε µια άλλη κατάσταση, τότε η κατάσταση αυτή ανήκει στην C.

Προφανώς, είναι δυνατόν µια κατάσταση, j, η οποία δεν ανήκει στην

κλάση επικοινωνίας C να είναι προσιτή από µια κατάσταση, i, που ανήκει


στην C. Στην περίπτωση αυτή, φυσικά, η κατάσταση i δεν µπορεί να είναι

προσιτή από την κατάσταση j. (Γιατί;)

Ακόµη µπορεί να συµβεί, µια κατάσταση i που ανήκει στην C να είναι

προσιτή από µια κατάσταση j, που δεν ανήκει στην C. Στην περίπτωση

αυτή, φυσικά, η j δεν µπορεί να είναι προσιτή από την i.

Τα παραπάνω µας οδηγούν στον επόµενο ορισµό

Ορισµός 4.7 Μια κλάση επικοινωνίας C θα λέγεται κλειστή (closed)

αν i∈C και j∉C συνεπάγεται ότι η j δεν είναι προσιτή από την i.

Αυτό σηµαίνει ότι άπαξ και η διαδικασία εισέλθει σε µια κλειστή κλάση

επικοινωνίας, τότε δεν µπορεί να εξέλθει από αυτή. ∆ηλαδή αν

Xn∈C Xm∈C για κάθε m≥n.

Σε µια Μαρκοβιανή αλυσίδα είναι δυνατόν να έχουµε περισσότερες από

µία κλειστές κλάσεις επικοινωνίας. Στην περίπτωση αυτή, είναι φανερό ότι,

οι κλάσεις αυτές θα πρέπει να είναι ξένες µεταξύ τους. Άρα, µπορούµε να

διαµερίσουµε, µοναδικά, τον χώρο των καταστάσεων µιας διαχωρίσιµης

Μαρκοβιανής αλυσίδας ως εξής

Ω=C1∪C2∪ . . . ∪Ck∪T

όπου C1, C2, . . ., Ck είναι οι κλειστές κλάσεις ισοδυναµίας και T είναι η

ένωση όλων των άλλων κλάσεων επικοινωνίας.


Ορισµός 4.8 Μια Μαρκοβιανή αλυσίδα της οποίας όλες οι

καταστάσεις ανήκουν σε µία και µόνο κλάση επικοινωνίας λέγεται µη-

διαχωρίσιµη (irreducible). ∆ιαφορετικά λέγεται διαχωρίσιµη

(reducible).

Είναι προφανές ότι, σε µια µη-διαχωρίσιµη Μαρκοβιανή αλυσίδα, όλες οι

καταστάσεις επικοινωνούν µεταξύ τους. Μερικά παραδείγµατα θα

διασαφηνίσουν τις έννοιες που αναφέρθηκαν προηγουµένως. Σε κάθε

παράδειγµα δίνουµε και το αντίστοιχο διάγραµµα µεταφοράς.

Παράδειγµα 4.20 Θεωρούµε την οµογενή Μαρκοβιανή αλυσίδα Χn, n=0,

1, 2, ... , µε χώρο καταστάσεων Ω=0, 1 και πίνακα πιθανοτήτων


=

0,2 0,80,3 0,7

P .

Το διάγραµµα µεταφοράς της αλυσίδας αυτής είναι το

0,8

0,2 0 1 0,7

0,3

Στο παράδειγµα αυτό 0↔1 και συνεπώς C=0, 1 είναι µια κλειστή κλάση

επικοινωνίας. Άρα η Μαρκοβιανή αλυσίδα είναι µη-διαχωρίσιµη.

♦

Ορισµός 4.9 Μια κατάσταση i∈Ω θα λέγεται απορροφητική εάν (1)iip =1.



1, 2, ... , µε χώρο καταστάσεων Ω=0, 1 και πίνακα πιθανοτήτων


=

1 00,3 0,7

P .

Το διάγραµµα µεταφοράς της αλυσίδας αυτής είναι το

1 0 1 0,7

0,3

Εδώ έχουµε 0↔0, 1→0, 1↔1, αλλά η 1 δεν είναι προσιτή από την 0.

Συνεπώς η C1=0 είναι µια κλειστή κλάση επικοινωνίας, ενώ η C2=1 είναι

µια κλάση επικοινωνίας η οποία δεν είναι κλειστή. Η διαδικασία του

παραδείγµατος αυτού είναι µια διαχωρίσιµη Μαρκοβιανή αλυσίδα µε Τ=

C2=1 .

♦


1, 2, ... , µε χώρο καταστάσεων Ω=0, 1, 2, 3, 4, 5 και πίνακα

πιθανοτήτων µετάβασης ενός βήµατος τον

=

1/ 2 0 0 0 0 1/ 20 1/ 3 0 0 2 / 3 0

1/ 6 1/ 6 1/ 6 1/ 6 1/ 6 1/ 60 0 0 1 0 00 2 / 3 0 0 1/ 3 0

1/ 2 0 0 0 0 1/ 2

P .

Το διάγραµµα µεταφοράς της συγκεκριµένης διαδικασίας είναι το επόµενο


1/2 1/2 1 1/3 1/3 1/2 2/3

0 5 3 1 4

1/2 2/3

1/6 1/6 1/6 1/6 1/6

2 1/6

Σύµφωνα µε το διάγραµµα αυτό η Μαρκοβιανή αλυσίδα του παραδείγµατος

είναι διαχωρίσιµη και αποτελείται από τις εξής κλειστές κλάσης

επικοινωνίας C1=0, 5 C2=1, 4 C3=3 και την µη κλειστή κλάση

επικοινωνίας Τ=2. Προφανώς Ω= C1∪C2∪ C3∪T.

♦

Ορισµός 4.10 Η κατάσταση i∈Ω ονοµάζεται περιοδική µε περίοδο d,

εάν d είναι ο µεγαλύτερος ακέραιος τέτοιος ώστε >(n)iip 0 συνεπάγεται

ότι n είναι ένα ακέραιο πολλαπλάσιο του d.

Σύµφωνα µε τον προηγούµενο ορισµό, µια κατάσταση είναι περιοδική µε

περίοδο d, εάν η επαναφορά της διαδικασίας στην κατάσταση αυτή είναι

δυνατή σε χρονικές d, 2d, 3d κ.ο.κ.


Ορισµός 4.11 Μια κατάσταση i∈Ω η οποία δεν είναι περιοδική,

ονοµάζεται µη-περιοδική ή απεριοδική. Στην περίπτωση αυτή d=1.

Θεώρηµα 4.10 Εάν δύο καταστάσεις µιας Μαρκοβιανής αλυσίδας

επικοινωνούν, τότε έχουν την ίδια περίοδο.

Απόδειξη Για µια απόδειξη του θεωρήµατος βλέπε Kulkarni(1995).

•

Το συµπέρασµα από το προηγούµενο θεώρηµα είναι ότι, όλες οι

καταστάσεις σε µια κλάση επικοινωνίας έχουν την ίδια περίοδο. Αυτό µας

επιτρέπει να µιλάµε για περιοδικές ή απεριοδικές κλάσεις επικοινωνίας (και

κατά συνέπεια και Μαρκοβιανών αλυσίδων, στην περίπτωση που η

Μαρκοβιανή αλυσίδα είναι µη διαχωρίσιµη). Έτσι µπορούµε να λέµε ότι µια

κλάση επικοινωνίας (ή µια µη διαχωρίσιµη Μαρκοβιανή αλυσίδα) έχει

περίοδο d, εάν όλες οι καταστάσεις της είναι περιοδικές µε περίοδο d.

Παράδειγµα 4.23 Στο παράδειγµα 4.18 όλες οι καταστάσεις της

Μαρκοβιανής αλυσίδας είναι µη περιοδικές επειδή pii>0 για κάθε i∈Ω.

♦


1, 2, ... , µε χώρο καταστάσεων Ω=0, 1, 2, . . ., Ν και πίνακα πιθανοτήτων



=

1 0 0 0 0 0q 0 p 0 0 00 q 0 p 0 0... ... ... ... ... ...0 0 0 q 0 p0 0 0 0 0 1

P ,

όπου p+q=1.

Στην συγκεκριµένη Μαρκοβιανή αλυσίδα οι καταστάσεις 0 και Ν είναι

απορροφητικές και αποτελούν κλειστές κλάσεις επικοινωνίας. Ας

θεωρήσουµε την κατάσταση 1. Αν Χ0=1, τότε Χn=1 µόνο εάν n=2, 4, 6, . . ..

Συνεπώς η κατάσταση 1 είναι περιοδική µε περίοδο 2. Σύµφωνα µε το

θεώρηµα 4.10 όλες οι καταστάσεις στην κλάση 1, 2, . . ., Ν-1 είναι

περιοδικές µε περίοδο 2.

♦

Στην συνέχεια εισάγουµε τις έννοιες των επαναληπτικών και παροδικών

καταστάσεων. Οι έννοιες αυτές παίζουν ένα σηµαντικό ρόλο στην µελέτη

της ασυµπτοτικής συµπεριφοράς µιας οµογενούς Μαρκοβιανής αλυσίδας.

Θεωρούµε τις συναρτήσεις

(n)n r 0ijf P(X j,X j, (r 1,2,...,n 1) | X i)= = ≠ = − = (4.19)

∞

=

= ∑* (n)ij ij

n 1f f (4.20)

(n)i ii

n 1µ nf

∞

=

= ∑ (4.21)

Το φυσικό περιεχόµενο των προηγούµενων σχέσεων είναι:


α) η σχέση (4.19) είναι η πιθανότητα η διαδικασία να ξεκινήσει από την

κατάσταση i και να φθάσει, για πρώτη φορά, στην κατάσταση j την χρονική

στιγµή n,

β) η σχέση (4.20) είναι η πιθανότητα η διαδικασία να ξεκινήσει από την

κατάσταση i και να φθάσει, για πρώτη φορά, στην κατάσταση j, µια

οποιαδήποτε χρονική στιγµή,

γ) τέλος η (4.21) εκφράζει την µέση τιµή των απαιτούµενων χρονικών

περιόδων για την πρώτη επιστροφή της διαδικασίας στην κατάσταση i,

δεδοµένου ότι ξεκίνησε από την κατάσταση αυτή.

Ορισµός 4.12 Η κατάσταση i∈Ω θα λέγεται

α) επαναληπτική (recurrent) εάν και µόνον εάν *iif =1

β) παροδική (transient) εάν και µόνον εάν *iif <1.

Ορισµός 4.13 Μια επαναληπτική κατάσταση i∈Ω θα λέγεται

α) θετικώς επαναληπτική (positive recurrent) εάν και µόνον εάν µi <∞

β) ασαφώς επαναληπτική (null recurrent) εάν και µόνον εάν µi =∞.

Σύµφωνα µε τον ορισµό 4.12 η κατάσταση i∈Ω είναι επαναληπτική εάν

και µόνον εάν, δεδοµένου ότι η διαδικασία ξεκίνησε από την κατάσταση

αυτή, η επιστροφή της στην κατάσταση i∈Ω, µια οποιαδήποτε χρονική

στιγµή, είναι βέβαιο γεγονός. Αντίθετα η i∈Ω είναι παροδική αν και µόνον

εάν, δεδοµένου ότι η διαδικασία ξεκίνησε από την κατάσταση αυτή,


υπάρχει θετική πιθανότητα (η 1- *iif ) η διαδικασία να µην επανέλθει ποτέ

στην κατάσταση i∈Ω.

Ας θεωρήσουµε τώρα ότι η διαδικασία ξεκινάει από την κατάσταση i∈Ω

η οποία είναι επαναληπτική. Τότε, µε πιθανότητα 1, η διαδικασία θα

επιστρέψει, κάποτε, στην κατάσταση αυτή. Συνεπώς η διαδικασία θα

ξεκινήσει από την αρχή, και, µε πιθανότητα 1, θα επιστρέψει, κάποτε, στην

κατάσταση i∈Ω. Επαναλαµβάνοντας τον συλλογισµό αυτό φθάνουµε στο

συµπέρασµα ότι: αν η κατάσταση i∈Ω, είναι επαναληπτική και η διαδικασία

ξεκινήσει από την i∈Ω, τότε θα επιστρέψει στην κατάσταση αυτή άπειρο

αριθµό φορών.

Αν η διαδικασία ξεκινήσει από την κατάσταση i∈Ω η οποία είναι

παροδική, τότε υπάρχει µια θετική πιθανότητα, η 1- *iif , η διαδικασία να µην

επιστρέψει ποτέ στην κατάσταση αυτή. Αυτό σηµαίνει ότι η διαδικασία θα

επισκεφθεί την κατάσταση i∈Ω πεπερασµένο αριθµό φορών.

Με βάση τις προηγούµενες σκέψεις έχουµε µια σκιαγράφηση της

απόδειξης του επόµενου θεωρήµατος.

Θεώρηµα 4.11 Αν Νi είναι ο αριθµός των φορών που η διαδικασία

επισκέπτεται την κατάσταση i∈Ω, τότε

Ρ(Νi<∞|Χ0=i)=

=

*ii*ii

1, f <10, f 1

.

•

Ορισµός 4.14 Μια κατάσταση i∈Ω θα ονοµάζεται εργοδική εάν είναι

θετικώς επαναληπτική και µη-περιοδική.


Το επόµενο θεώρηµα, το οποίο θα δώσουµε χωρίς απόδειξη, µας

βοηθάει να αντιληφθούµε ότι οι έννοιες της επαναληπτικότητας και της

παροδικότητας, όπως και της περιοδικότητας (βλ. θεώρηµα 4.10 και τα

σχόλια µετά από αυτό) είναι ιδιότητες µιας κλάσης επικοινωνίας. Για µια

απόδειξη του θεωρήµατος βλέπε Kulkarni(1995).

Θεώρηµα 4.12 Έστω i και j δύο καταστάσεις µιας οµογενούς Μαρκοβιανής

αλυσίδας. Τότε

α) Αν i↔j και η i είναι επαναληπτική και η j είναι επαναληπτική

α1) Αν i↔j και η i είναι θετικώς επαναληπτική και η j είναι θετικώς

επαναληπτική.

α2) Αν i↔j και η i είναι ασαφώς επαναληπτική και η j είναι ασαφώς

επαναληπτική.

β) Αν i↔j και η i είναι παροδική και η j είναι παροδική.

Το θεώρηµα αυτό µας λέει ότι, αν µια κατάσταση είναι επαναληπτική,

τότε όλες οι καταστάσεις, οι οποίες ανήκουν στην ίδια κλάση επικοινωνίας,

θα πρέπει να είναι επαναληπτικές. Το ίδιο ισχύει και για τις θετικώς ή

ασαφώς επαναληπτικές και για τις παροδικές. Αυτό µας επιτρέπει να

δώσουµε τον επόµενο ορισµό.

Ορισµός 4.15 Μια κλάση επικοινωνίας θα λέγεται επαναληπτική

(θετικά επαναληπτική ή ασαφώς επαναληπτική ή παροδική) αν όλες οι

καταστάσεις της είναι επαναληπτικές (θετικώς επαναληπτικές ή

ασαφώς επαναληπτικές ή παροδικές).


Από τα προηγούµενα µπορούµε να διατυπώσουµε, υπό µορφή

θεωρήµατος, το επόµενο.

Θεώρηµα 4.13 α) Οι καταστάσεις µιας οποιασδήποτε Μαρκοβιανής

αλυσίδας µπορούν να διαιρεθούν σε δύο σύνολα (από τα οποία το ένα

µπορεί να είναι κενό). Το ένα σύνολο αποτελείται από όλες τις

επαναληπτικές καταστάσεις και το άλλο από όλες τις παροδικές.

β) Το σύνολο των επαναληπτικών καταστάσεων µπορεί να διαιρεθεί,

κατά µοναδικό τρόπο, σε κλειστά σύνολα επικοινωνίας. Μέσα σε κάθε

κλειστό σύνολο όλες οι καταστάσεις επικοινωνούν, ενώ µεταξύ δύο

διαφορετικών κλειστών συνόλων επαναληπτικών καταστάσεων καµία

επικοινωνία δεν είναι δυνατή.

•

Όπως έχουµε προαναφέρει (βλ. ορισµό 4.8) µια µη-διαχωρίσιµη

Μαρκοβιανή αλυσίδα αποτελεί µια κλάση επικοινωνίας. Στην περίπτωση

αυτή ο προηγούµενος ορισµός µπορεί να επαναδιατυπωθεί

αντικαθιστώντας την φράση “κλάση επικοινωνίας” µε την φράση

“Μαρκοβιανή αλυσίδα”. Αυτό δίνεται σε µορφή θεωρήµατος ως εξής:

Θεώρηµα 4.14 Σε µια µη-διαχωρίσιµη Μαρκοβιανη αλυσίδα όλες οι

καταστάσεις είναι παροδικές ή όλες θετικώς επαναληπτικές. Όλες οι

καταστάσεις έχουν την ίδια περίοδο.


Ειδικότερα για τις πεπερασµένες µη-διαχωρίσιµες Μαρκοβιανές αλυσίδες

έχουµε το επόµενο θεώρηµα. Για µια απόδειξη του θεωρήµατος βλέπε

Kulkarni(1995) και Λάγκαρης (2001).

Θεώρηµα 4.15 Μια µη-διαχωρίσιµη Μαρκοβιανή αλυσίδα µε πεπερασµένο

πλήθος καταστάσεων είναι πάντα θετικώς επαναληπτική.

•

Παράδειγµα 4.25 Ας θεωρήσουµε την οµογενή Μαρκοβιανή αλυσίδα µε

χώρο καταστάσεων τον Ω=0, 1, 2 και πίνακα

1/ 2 1/ 2 01/ 2 1/ 4 1/ 40 1/ 3 2 / 3

=

P .

Το διάγραµµα µεταφοράς του πίνακα Ρ είναι το επόµενο.

1/2 1/4 1/2 0 1 2 1/2 1/3 1/4

Από το διάγραµµα αυτό γίνεται φανερό ότι όλες οι καταστάσεις της

συγκεκριµένης Μαρκοβιανής αλυσίδας επικοινωνούν. Άρα η αλυσίδα αυτή

είναι µη-διαχωρίσιµη. Σύµφωνα λοιπόν µε το θεώρηµα 4.15 οι καταστάσεις

της αλυσίδας αυτής είναι θετικώς επαναληπτικές.

♦

Χρησιµοποιώντας το θεώρηµα 4.13 µπορούµε να αναδιατάξουµε τις

γραµµές και τις στήλες του πίνακα Ρ, µιας Μαρκοβιανής αλυσίδας, έτσι

ώστε αυτός να µας δείχνει καλύτερα την συµπεριφορά της. Ας υποθέσουµε


ότι ο πίνακας Ρ περιέχει τα κλειστά σύνολα επαναληπτικών καταστάσεων

C1, C2, C3, . . . . Τότε αναδιατάσσοντας κατάλληλα τις καταστάσεις της

αλυσίδας µπορούµε να γράψουµε τον πίνακα Ρ στην µορφή

=

1

2

3

1 2 3

0

P 0 0 00 P 0 0

P 0 P 0

A A A A

,

όπου Ρ1, Ρ2, Ρ3 κ.τ.λ. είναι ο Μαρκοβιανός πίνακας που αντιστοιχεί στην

κλάση επικοινωνίας C1, C2, C3 κ.τ.λ., και Α1, Α2, Α3 κ.τ.λ. είναι ο πίνακας

που περιέχει τις πιθανότητες µετάβασης από τις παροδικές καταστάσεις

στις καταστάσεις των κλειστών συνόλων C1, C2, C3. Η µορφή αυτή είναι

γνωστή µε το όνοµα κανονική µορφή του πίνακα Ρ µιας Μαρκοβιανής

αλυσίδας.

Παράδειγµα 4.26 Θεωρούµε την Μαρκοβιανή αλυσίδα του παραδείγµατος

4.22. Από το διάγραµµα µεταφοράς του παραδείγµατος αυτού βλέπουµε

ότι υπάρχουν δύο κλειστές κλάσης επικοινωνίας, οι C1=0, 5 και C2=1, 4,

µια κατάσταση απορρόφησης, η 3, ενώ η κατάσταση 2 είναι µια κλάση

παροδικών καταστάσεων. Συνεπώς ο πίνακας Ρ


=

1/ 2 0 0 0 0 1/ 20 1/ 3 0 0 2 / 3 0

1/ 6 1/ 6 1/ 6 1/ 6 1/ 6 1/ 60 0 0 1 0 00 2 / 3 0 0 1/ 3 0

1/ 2 0 0 0 0 1/ 2

P

µπορεί να γραφεί στην µορφή

0 5 1 4 3 2

=

0 1/ 2 1/ 2 0 0 0 05 1/ 2 1/ 2 0 0 0 01 0 0 1/ 3 2 / 3 0 04 0 0 2 / 3 1/ 3 0 03 0 0 0 0 1 02 1/ 6 1/ 6 1/ 6 1/ 6 1/ 6 1/ 6

P .

Στο παράδειγµα αυτό

=

1

1/ 2 1/ 21/ 2 1/ 2

P ,

=

2

1/ 3 2 / 32 / 3 1/ 3

P , Ρ3=[1],

Α1=[1/6, 1/6], Α2=[1/6, 1/6] και Α3=[1/6].

♦

Τα θεωρήµατα που ακολουθούν µας δίνουν την µορφή του Ρ(n),όταν το

n→∞. Η απόδειξη των θεωρηµάτων αυτών είναι εκτός του σκοπού του

παρόντος βιβλίου. Αν κάποιος ενδιαφέρεται για τις αποδείξεις µπορεί να

ανατρέξει στο βιβλίο του Λάγκαρη (2001)


Θεώρηµα 4.16 α) Αν η κατάσταση j∈Ω είναι παροδική ή ασαφώς

επαναληπτική, τότε για κάθε i∈Ω

(n)ij

lim p 0n =→ ∞ .

β) Αν η κατάσταση j∈Ω είναι θετικώς επαναληπτική και απεριοδική (δηλ.

εργοδική), τότε

(n)jj j

lim p π 0n = >→ ∞

και για κάθε i∈Ω

(n) *ij j ij

lim p π fn =→ ∞

όπου πj=1/µj.

•

Στην περίπτωση που η Μαρκοβιανή αλυσίδα είναι µη-διαχωρίσιµη ισχύει

το επόµενο θεώρηµα.

Θεώρηµα 4.17 Σε µια µη-διαχωρίσιµη εργοδική (δηλ. θετικώς

επαναληπτική και απεριοδική) Μαρκοβιανή αλυσίδα οι οριακές πιθανότητες

k=0kπ ∞ υπάρχουν και ικανοποιούν τις ασυµπτωτικές εξισώσεις

k j jkj 0

π π p∞

== ∑ , k=0, 1, 2. . . .


Επιπλέον κάθε λύση k=0kx ∞ των εξισώσεων k j jk

j 0x x p

∞

== ∑ (ή σε µορφή

πινάκων xP=x) µε τον περιορισµό jj 0

x∞

=< ∞∑ είναι ένα πολλαπλάσιο των

οριακών πιθανοτήτων k=0kπ ∞ .

•

Το αντίστροφο του τελευταίου θεωρήµατος ισχύει και µας δίνει την

δυνατότητα να εξετάσουµε αν µια µη-διαχωρίσιµη Μαρκοβιανή αλυσίδα

είναι εργοδική ή όχι. Η διατύπωση του αντιστρόφου έχει ως εξής:

Θεώρηµα 4.18 Μια µη-διαχωρίσιµη Μαρκοβιανή αλυσίδα είναι εργοδική

(δηλ. θετικώς επαναληπτική και απεριοδική) αν οι ασυµπτωτικές εξισώσεις

k j jkj 0

x x p∞

== ∑ ,k=0, 1, 2, . . .

έχουν µια λύση k=0kx ∞ (µε όχι όλα τα xk µηδέν) που ικανοποιεί την σχέση

jj 0

x∞

=< ∞∑ .

•

Παράδειγµα 4.27 Ας θεωρήσουµε µια Μαρκοβιανή αλυσίδα µε χώρο

καταστάσεων Ω=0, 1, 2, . . . και πίνακα πιθανοτήτων µετάβασης ενός

βήµατος τον

1 p p 0 0

q 1 p q p 00 q 1 p q p

− − − = − −

P .


Είναι εύκολο να δούµε (π.χ. µε την βοήθεια ενός διαγράµµατος µεταφοράς)

ότι η συγκεκριµένη Μαρκοβιανή αλυσίδα είναι µη-διαχωρίσιµη και

απεριοδική. Για να είναι εργοδική θα πρέπει οι λύσεις του συστήµατος των

εξισώσεων (βλ. θεώρηµα 4.18) k j jkj 0

x x p∞

== ∑ ,k=0, 1, 2, . . . να µην είναι όλες

µηδέν και να ικανοποιούν την σχέση jj 0

x∞

=< ∞∑ .

Οι προηγούµενες εξισώσεις γράφονται

xo=(1-p)xo+qx1

x1=pxo+(1-p-q)x1+qx2

x2=px1+(1-p-q)x2+qx3

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

xn=pxn-1+(1-p-q)xn+qxn+1

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

Από την πρώτη των εξισώσεων παίρνουµε

1 opx xq

=

και αντικαθιστώντας στην δεύτερη έχουµε

2

2 opx xq

=

.

Συνεχίζοντας µε τον ίδιο τρόπο φθάνουµε στην γενική µορφή της λύσης η

οποία είναι η

k

k opx xq

=

, k=1, 2, . . .


Αν xo=0, τότε γίνεται φανερό ότι όλα τα xk είναι ίσα µε το µηδέν. Η

περίπτωση αυτή δεν ενδιαφέρει. Αν p/q≥1 (δηλ. p≥q), τότε

k 2 3

k o ok 0 k 0

p p p px x x 1q q q q

∞ ∞

= =

= = + + + + = ∞ ∑ ∑

(Η τελευταία ισότητα ισχύει επειδή το άθροισµα 2 3

p p p1q q q

+ + + +

είναι άθροισµα όρων µιας γεωµετρικής προόδου µε λόγο το p/q και ο λόγος

αυτός είναι µεγαλύτερος ή ίσος της µονάδος).

Ας υποθέσουµε τώρα ότι p/q<1 (δηλ. p<q). Στην περίπτωση αυτή, για

xo≠0, έχουµε

k 2 3

k o ok 0 k 0

p p p px x x 1q q q q

∞ ∞

= =

= = + + + + = ∑ ∑

= o o1 qx x

1 p q 1 p= < ∞

− −

Αυτό σηµαίνει (βλ. θεώρηµα 4.18) ότι η δοθείσα Μαρκοβιανή αλυσίδα είναι

εργοδική. Συνεπώς µπορούµε να βρούµε τις οριακές πιθανότητες k=0kπ ∞ .

Αυτό επιτυγχάνεται ως εξής: θέτοντας xo=1 παίρνουµε την λύση

xo=1, 1pxq

= , 2

2pxq

=

, . . . , k

kpxq

=

, . .


Για p<q η λύση αυτή ικανοποιεί τον περιορισµό jj 0

x∞

=< ∞∑ και συνεπώς,

από το θεώρηµα 4.17, θα είναι ένα πολλαπλάσιο των πιθανοτήτων

k=0kπ ∞ . Αυτό σηµαίνει ότι

πo=c, 1pπ cq

= , 2

2pπ cq

=

, . . . ,

k

kpπ cq

=

, . . .

Αλλά το άθροισµα των πιθανοτήτων αυτών θα πρέπει να είναι ίσο µε την

µονάδα. ∆ηλαδή

kk=0

π 1∞

=∑ ⇒ k

k 0

pc 1q

∞

=

=

∑ ⇒ p

q

1c 11

=−

⇒ pc 1q

= −

Συνεπώς οι οριακές πιθανότητες για k=0, 1, 2, . . ., δίνονται από την σχέση

( ) ( )kp pq qk

1 ,p qπ 0 ,p q

− <= ≥

♦

Θα πρέπει να τονιστεί ότι ο έλεγχος για το αν µια µη-διαχωρίσιµη

Μαρκοβιανή αλυσίδα είναι εργοδική χρειάζεται µόνον όταν αυτή έχει άπειρο

πλήθος καταστάσεων. Στην περίπτωση που έχει πεπερασµένο πλήθος

καταστάσεων το θεώρηµα 4.15 µας εξασφαλίζει ότι όλες οι καταστάσεις της

είναι θετικώς επαναληπτικές. Άρα αυτό που πρέπει να ελέγξουµε είναι η

περιοδικότητα ή µη των καταστάσεων. Αν οι καταστάσεις δεν είναι

περιοδικές, τότε µπορούµε να κάνουµε χρήση του θεωρήµατος 4.17 για τον

υπολογισµό των οριακών πιθανοτήτων. (Θα πρέπει να τονισθεί ότι οι

οριακές πιθανότητες µπορούν να υπολογισθούν και στην περίπτωση που

οι καταστάσεις είναι περιοδικές. Βλ. Λάγκαρης (2001)).


Το επόµενο παράδειγµα αναφέρεται σε µία πεπερασµένη Μαρκοβιανή

αλυσίδα.

Παράδειγµα 4.28 Ας θεωρήσουµε την Μαρκοβιανή αλυσίδα του

παραδείγµατος 4.15. Ο χώρος των καταστάσεων είναι ο Ω=0, 1, 2 και ο

πίνακας των πιθανοτήτων µετάβασης ενός βήµατος δίνεται από την σχέση

0,5 0,4 0,10,3 0,4 0,30,2 0,3 0,5

=

P

Το γεγονός ότι η δοθείσα Μαρκοβιανή αλυσίδα έχει πεπερασµένο αριθµό

καταστάσεων συνεπάγεται, σύµφωνα µε το θεώρηµα 4.15, ότι όλες οι

καταστάσεις της είναι θετικώς επαναληπτικές. Ακόµη είναι εύκολο να δούµε

(π.χ. µε την βοήθεια ενός διαγράµµατος µεταφοράς) ότι οι καταστάσεις της

είναι µη περιοδικές. Συνεπώς η συγκεκριµένη Μαρκοβιανή αλυσίδα είναι

εργοδική. Αυτό σηµαίνει ότι οι οριακές της πιθανότητες θα βρεθούν (βλ.

θεώρηµα 4.17) από την λύση του συστήµατος

2

k j jkj 0

π π p=

= ∑

µαζί µε την σχέση πο+π1+π2=1. Το σύστηµα αυτό είναι το

πο=0,5πο+0,3π1+0,2π2 -0,5πο+0,3π1+0,2π2=0

π1=0,4πο+0,4π1+0,3π2 ή, ισοδύναµα, 0,4πο-0,6π1+0,3π2=0

π2=0,1πο+0,3π1+0,5π2 0,1πο+0,3π1-0,5π2=0

Το σύστηµα αυτό είναι οµογενές και για να έχει λύση διάφορη του µηδενός

θα πρέπει η ορίζουσά του να είναι ίση µε το µηδέν. Η ορίζουσα του

συστήµατος είναι


0,5 0,3 0,2

det 0,4 0,6 0,30,1 0,3 0,5

− − −

.

Η τιµή της ορίζουσας αυτής είναι πράγµατι µηδέν και συνεπώς η µη

µηδενική λύση του συστήµατος είναι η πο=0,3, π1=0,1 και π2=0,6.

♦

Παράδειγµα 4.29 (Ένα µοντέλο για την ταξική κινητικότητα)

Υποθέτουµε ότι η κοινωνία µας αποτελείται από τρεις (3) κοινωνικές τάξεις-

την υψηλή (Υ), την µεσαία (Μ) και την χαµηλή (Χ). Ένα ενδιαφέρον

πρόβληµα για τους κοινωνιολόγους είναι να γνωρίζουν το ποσοστό των

ατόµων σε κάθε µία από αυτές τις κοινωνικές τάξεις. Ένα λογικό

µαθηµατικό µοντέλο, για την αντιµετώπιση του προβλήµατος αυτού, είναι

να υποθέσουµε ότι, για τις επόµενες γενεές, η µετάβαση µιας οικογένειας

από την µία τάξη στην άλλη εξαρτάται µόνο από την τάξη που ανήκει ο

πατέρας και όχι από την τάξη που ανήκε ο παππούς. Με την παραδοχή

αυτή το πρόβληµά µας µπορεί να µοντελοποιηθεί σαν µια Μαρκοβιανή

αλυσίδα. Ας υποθέσουµε ότι ο πίνακας των πιθανοτήτων µετάβασης ενός

βήµατος είναι ο επόµενος.

Υ Μ Χ

Υ 0,45 0,48 0,07Μ 0,05 0,70 0,25Χ 0,01 0,50 0,49

=

P .

Αν αντιστοιχίσουµε το Υ→0, το Μ→1 και το Χ→2, τότε π0, π1 και π2 είναι

τα ποσοστά της κάθε κοινωνικής οµάδας µετά από αρκετά χρόνια. Για να

βρούµε τις οριακές αυτές πιθανότητες εργαζόµαστε ως εξής. Η δοθείσα

Μαρκοβιανή αλυσίδα έχει, προφανώς, πεπερασµένο αριθµό καταστάσεων.


Άρα, σύµφωνα µε το θεώρηµα 4.15, όλες οι καταστάσεις της είναι θετικώς

επαναληπτικές. Ακόµη είναι εύκολο να δούµε (π.χ. µε την βοήθεια ενός

διαγράµµατος µεταφοράς) ότι οι καταστάσεις της είναι µη περιοδικές.

Συνεπώς η συγκεκριµένη Μαρκοβιανή αλυσίδα είναι εργοδική. Αυτό

σηµαίνει ότι οι οριακές της πιθανότητες θα βρεθούν (βλ. θεώρηµα 4.17)

από την λύση του συστήµατος

2

k j jkj 0

π π p=

= ∑

µαζί µε την σχέση π0+π1+π2=1. Το σύστηµα αυτό είναι το

πο=0,45πο+0,05π1+0,01π2

π1=0,48πο+0,70π1+0,50π2

π2=0,07πο+0,25π1+0,49π2

Η ορίζουσα του συστήµατος αυτού είναι µηδέν και η λύση του η πο=0,07,

π1=0,62, π2=0,31. Αυτό σηµαίνει ότι, όταν το σύστηµα φθάσει στην

κατάσταση στατιστικής ισορροπίας, η συγκεκριµένη κοινωνία θα

αποτελείται κατά 7% από άτοµα της υψηλής, κατά 62% από άτοµα µεσαίας

και από 31% από άτοµα χαµηλής κοινωνικής τάξης.

♦

Η ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ & Η ∆ΙΑ∆ΙΚΑΣΙΑ POISSON

5.1 ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ

Η εκθετική κατανοµή έχει ορισθεί (βλ. § 2.3.2) σαν η συνάρτηση

πυκνότητας πιθανότητας µιας συνεχούς τυχαίας µεταβλητής. Η µαθηµατική

έκφραση της συνάρτησης αυτής (βλ. σχέση 2.22) είναι η

0

−λ ≥λ=

x , x 0ef(x), x<0

Οι σπουδαίες µαθηµατικές ιδιότητες της κατανοµής αυτής την καθιστούν

αρκετά ενδιαφέρουσα στις πρακτικές εφαρµογές. Ποιο συγκεκριµένα η

κατανοµή αυτή περιγράφει ακριβώς ή στις περισσότερες φορές αποτελεί

µια καλή προσέγγιση σε διάφορα φυσικά φαινόµενα τα οποία σχετίζονται

µε χρόνο ζωής ή διάρκεια λειτουργίας.

Μερικές από αυτές τις ιδιότητες θα αναφέρουµε στην συνέχεια.

ΚΕΦ. 5 Η ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ & Η ∆ΙΑ∆ΙΚΑΣΙΑ POISSON

260

5.1.1 Ι∆ΙΟΤΗΤΕΣ ΕΚΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ

Στην § 2.3.2 αναφέραµε ότι η αθροιστική συνάρτηση κατανοµής µιας

εκθετικής τυχαίας µεταβλητής δίνεται από την σχέση

F(x)=1-e-λx , x≥0.

Στην § 3.3 Β και στο Πόρισµα 3.12.1 δείξαµε ότι για την εκθετική τυχαία

µεταβλητή ισχύει µ=Ε(Χ)=1/λ και σ2=Var(X)=1/λ2.

Η πρώτη βασική ιδιότητα της εκθετικής κατανοµής είναι η ιδιότητα της

αµνησίας (memoryless). Η λέξη αµνησία, για λογικά όντα, χρησιµοποιείται

για να δηλώσει την απώλεια µνήµης µερικώς (κάποιος δεν θυµάται ένα

µέρος της προηγούµενης ζωής του) ή ολικώς (κάποιος δεν θυµάται τίποτε

από την προηγούµενη ζωή του). Ο επόµενος ορισµός µορφοποιεί την

τελευταία περίπτωση στον χώρο των τυχαίων µεταβλητών.

Ορισµός 5.1 Έστω Χ µια οποιαδήποτε τυχαία µεταβλητή (διακριτή ή

συνεχής). Θα λέµε ότι η Χ έχει την ιδιότητα της αµνησίας αν

P(X>s+t|X>t)=P(X>s) για κάθε s,t>0. (5.1)

Για την καλύτερη κατανόηση της σχέσης (5.1) θα δώσουµε το επόµενο

παράδειγµα.

Παράδειγµα 5.1 Θεωρούµε µια λάµπα φωτισµού της οποίας η διάρκεια

ζωής (σε ώρες) είναι µια τυχαία µεταβλητή Χ. Σχετικά µε την λάµπα µας

θέτουν το εξής ερώτηµα: αν η λάµπα έχει λειτουργήσει ήδη για

περισσότερες από t ώρες, ποια είναι η πιθανότητα να λειτουργήσει για


261

επιπλέον s ώρες; Η µαθηµατική έκφραση του ερωτήµατος αυτού είναι το

αριστερό µέρος της (5.1). Με την προϋπόθεση ότι η κατανοµή της τυχαία

µεταβλητής Χ έχει την ιδιότητα της αµνησίας η απάντηση στο ερώτηµα αυτό

προκύπτει από το δεξιό µέρος της (5.1) και είναι η εξής: η ζητούµενη

πιθανότητα είναι η ίδια µε την πιθανότητα η λάµπα να λειτουργήσει για

περισσότερες από s ώρες από την αρχή της λειτουργίας της. Με άλλα λόγια

η λάµπα δεν θυµάται αν ήδη έχει λειτουργήσει για περισσότερες από t

ώρες.

♦

Θεώρηµα 5.1 Μια ισοδύναµη έκφραση για την σχέση (5.1) είναι η επόµενη

P(X>s+t)= P(X>t) P(X>s) για κάθε s,t>0. (5.2)

Απόδειξη Το πρώτο µέρος της (5.1) γράφεται

P(X>s+t|X>t)=> > +

=>

P(X s+t, X>t) P(X s t)P(X>t) P(X t)

.

Θέτοντας την τελευταία σχέση ίση µε το δεύτερο µέρος της (5.1) έχουµε το

ζητούµενο.

•

Το επόµενο θεώρηµα µας εξασφαλίζει ότι η εκθετική τυχαία µεταβλητή

έχει την ιδιότητα της αµνησίας.

Θεώρηµα 5.2 Αν Χ είναι µια εκθετική τυχαία µεταβλητή, τότε η Χ έχει την

ιδιότητα της αµνησίας.

Απόδειξη Αρκεί να αποδείξουµε ότι η σχέση (5.2) ικανοποιείται. Έχουµε

P(X>s+t)=1-P(X≤s+t)=1-F(s+t)=1-(1-e-λ(s+t))= e-λ(s+t). Οµοίως P(X>t)= e-λt και

P(X>s)=e-λs.Οι σχέσεις αυτές ολοκληρώνουν την απόδειξη του θεωρήµατος.


262

Παράδειγµα 5.2 Θεωρούµε ότι ο χρόνος αναµονής ενός πελάτη, έως ότου

εξυπηρετηθεί από τον υπάλληλο µιας τράπεζας, είναι µια εκθετική τυχαία

µεταβλητή µε µέση τιµή 10 λεπτά. Ποια είναι η πιθανότητα ο πελάτης αυτός

να χρειασθεί να περιµένει α) περισσότερο από 15 λεπτά και β)

περισσότερο από 25 λεπτά δεδοµένου ότι ήδη έχει περιµένει τουλάχιστον

10 λεπτά;

Αν µε Χ συµβολίσουµε την τυχαία µεταβλητή που µετράει τον χρόνο (σε

λεπτά) αναµονής του πελάτη, τότε η Χ ακολουθεί, σύµφωνα µε την

εκφώνηση, την εκθετική κατανοµή. Η παράµετρος λ της κατανοµής αυτής

θα προσδιορισθεί από την σχέση µ=1/λ κάνοντας χρήση της πληροφορίας

ότι ο µέσος χρόνος αναµονής είναι 10 λεπτά. Συνεπώς λ=1/10. Άρα

Χ∼Εκθ(1/10). Έτσι η πιθανότητα για το α) ερώτηµα θα είναι

Ρ(Χ>15)=1-Ρ(Χ≤15)=1-F(15)=1-(1-e-15λ)=e-1,5=0,22.

Για το β) ερώτηµα η ζητούµενη πιθανότητα γράφεται στην µορφή

Ρ(Χ>25|Χ>10). Από την ιδιότητα της αµνησίας της εκθετικής κατανοµής και

από την σχέση (5.1) παίρνουµε ότι

Ρ(Χ>25|Χ>10)=Ρ(Χ>15)= 1-Ρ(Χ≤15)=1-F(15)=1-(1-e-15λ)=e-1,5=0,22.

Το παράδειγµα αυτό βοηθάει στην καλύτερη κατανόηση της ιδιότητας της

αµνησίας.

♦

Στο σηµείο αυτό θα πρέπει να αναφερθεί ότι η µόνη συνεχής κατανοµή

που έχει την ιδιότητα της αµνησίας είναι η εκθετική. (Βλ. Ross (1989)).

Παράδειγµα 5.3 Θεωρούµε ότι η διάρκεια ζωής της λάµπας φωτισµού ενός

δωµατίου είναι µια εκθετική τυχαία µεταβλητή µε µέση τιµή 10 ώρες. Ένα


263

άτοµο εισέρχεται στο δωµάτιο για να µελετήσει για τουλάχιστον 5 ώρες.

Ποια είναι η πιθανότητα να ολοκληρώσει την µελέτη του χωρίς η λάµπα να

καεί; Τι µπορούµε να πούµε για την ίδια πιθανότητα αν η διάρκεια ζωής της

λάµπας δεν είναι η εκθετική κατανοµή;

Αν µε Χ συµβολίσουµε την τυχαία µεταβλητή που περιγράφει την

διάρκεια ζωής της συγκεκριµένης λάµπας, τότε, σύµφωνα µε την εκφώνηση

Χ∼Εκθ(1/10). Επειδή η λάµπα ήταν σε λειτουργία όταν το άτοµο µπήκε στο

δωµάτιο συνεπάγεται, από την ιδιότητα της αµνησίας της εκθετικής τυχαίας

κατανοµής, ότι ο υπόλοιπος χρόνος ζωής της είναι επίσης εκθετική

κατανοµή µε µέση τιµή 10 ώρες. Άρα η ζητούµενη πιθανότητα θα είναι η

Ρ(Χ>5)=1-Ρ(Χ≤5)=1-F(5)=1-(1-e-0,5)=e-0,5= 0,606.

Στην περίπτωση που η διάρκεια ζωής της λάµπας δεν είναι µια εκθετική

τυχαία µεταβλητή (αλλά µια οποιαδήποτε άλλη) τότε η ζητούµενη

πιθανότητα θα είναι

Ρ(Χ>t+5|X>t)=> + − ≤ + − +

= => − ≤ −

P(X t 5) 1 P(X t 5) 1 F(t 5)P(X t) 1 P(X t) 1 F(t)

,

όπου t είναι ο ολικός χρόνος ζωής της λάµπας µέχρι την στιγµή που το

άτοµο µπήκε στο δωµάτιο. Η γνώση του χρόνου αυτού δεν ήταν

απαραίτητη στην πρώτη περίπτωση.

♦

Ας θεωρήσουµε τώρα µια συνεχή τυχαία µεταβλητή Τ µε συνάρτηση

πυκνότητας πιθανότητας f και αθροιστική συνάρτηση κατανοµής F. Τότε ο

ρυθµός αποτυχίας (failure rate) ή συνάρτηση κινδύνου (hazard function),

h(t), ορίζεται από την σχέση


264

=−f(t)h(t)

1 F(t). (5.3)

Για να ερµηνεύσουµε την h(t), ας υποθέσουµε, χωρίς βλάβη της

γενικότητας ότι η Τ µετράει τον χρόνο λειτουργίας ενός µηχανισµού και ας

ζητήσουµε την πιθανότητα ο µηχανισµός αυτός να πάψει να λειτουργεί την

αµέσως επόµενη χρονική στιγµή, δοθέντος ότι έχει ήδη λειτουργήσει για t

ώρες. Η πιθανότητα αυτή, σε µαθηµατική µορφή, γράφεται ως

P(T≤t+dt|T>t) και ο υπολογισµός της δίνει

P(T≤t+dt|T>t)=≤ + > < ≤ +

= => − ≤ −

P(T t dt,T t) P(t T t dt) f(t)dtP(T t) 1 P(T t) 1 F(t)

=h(t)dt.

Συνεπώς η h(t) εκφράζει την πιθανότητα ένας µηχανισµός ο οποίος

λειτούργησε για t ώρες να τεθεί εκτός λειτουργίας (δηλ. να χαλάσει) την

αµέσως επόµενη χρονική στιγµή.

Στο σηµείο αυτό µπορούµε να αποδείξουµε το επόµενο θεώρηµα

Θεώρηµα 5.3 Στην περίπτωση της εκθετικής τυχαίας µεταβλητής ο ρυθµός

αποτυχίας είναι σταθερός και ισούται µε την παράµετρο της κατανοµής λ.

Απόδειξη Από την (5.3), αντικαθιστώντας τα f και F µε τα ίσα τους,

έχουµε

=−f(t)h(t)

1 F(t)

−λ −λ

−λ −λ

λ λ= = = λ

− −

x x

x x

e e1 (1 e ) e

.

•

Μια άλλη ενδιαφέρουσα ιδιότητα της εκθετικής τυχαίας µεταβλητής είναι

αυτή που µας δίνει το επόµενο θεώρηµα.


265

Θεώρηµα 5.4 Έστω Χ1 και Χ2 δύο ανεξάρτητες τυχαίες µεταβλητές, όπου η

κάθε µία είναι µια εκθετική τυχαία µεταβλητή µε παραµέτρους λ1 και λ2,

αντίστοιχα. Τότε

Ρ(Χ1<Χ2)=λ

λ + λ1

1 2

.

Απόδειξη Από τον τύπο της ολικής πιθανότητας (βλ. σχέση 1.16), στην

συνεχή του µορφή, παίρνουµε

Ρ(Χ1<Χ2)= 21 2 2 X0

P(X X | X x)f (x)dx∞

< =∫∞ −λ= < λ∫ 2x

1 20P(X x) e dx

( )∞ −λ −λ= − λ∫ 1 2x x20

1 e e dx∞ ∞−λ − λ +λ= λ − λ∫ ∫2 1 2x ( )x

2 20 0e dx e dx

∞ − λ +λλ

= − λ + λλ + λ ∫ 1 2( )x2

1 201 2

1 ( )e dx λ λ= − =

λ + λ λ + λ2 1

1 2 1 2

1 .

•

Παράδειγµα 5.4 Ένα υπολογιστικό σύστηµα αποτελείται από την κεντρική

µονάδα και τον εκτυπωτή. Από τον κατασκευαστή δίνεται ότι ο χρόνος

λειτουργίας τόσο της κεντρικής µονάδας όσο και του εκτυπωτή είναι

εκθετικές τυχαίες µεταβλητές µε µέση τιµή 1000 ώρες και 500 ώρες,

αντίστοιχα. Ποια είναι η πιθανότητα το όλο σύστηµα να πάψει να λειτουργεί

λόγω βλάβης της κεντρικής µονάδος;

Ας συµβολίσουµε µε Χ1 τον χρόνο λειτουργίας της κεντρικής µονάδος και

µε Χ2 τον χρόνο λειτουργίας του εκτυπωτή. Τότε, σύµφωνα µε την

εκφώνηση οι Χ1 και Χ2 είναι εκθετικές τυχαίες µεταβλητές και συγκεκριµένα

Χ1∼Εκθ(1/1000) και Χ2∼Εκθ(1/500). Η πιθανότητα το σύστηµα να πάψει να


266

λειτουργεί λόγω βλάβης της κεντρικής µονάδας γράφεται Ρ(Χ1<Χ2). Ο

υπολογισµός της γίνεται µε την βοήθεια του θεωρήµατος 5.4 και µας δίνει

Ρ(Χ1<Χ2)= =+

11000 111000 1 500 3

.

Στο σηµείο αυτό θα πρέπει να τονισθεί ότι η ανεξαρτησία των τυχαίων

µεταβλητών Χ1 και Χ2, που απαιτείται για την ισχύ της σχέσης του

θεωρήµατος 5.4, προκύπτει από το γεγονός ότι τα δύο µηχανήµατα

λειτουργούν ανεξάρτητα το ένα από το άλλο.

♦

5.2 ∆ΙΑ∆ΙΚΑΣΙΑ POISSON

Η διαδικασία Poisson εντάσσεται µέσα σε ένα ευρύτερο πλαίσιο

διαδικασιών γνωστών µε το όνοµα διαδικασίες απαρίθµησης (counting

processes). Για τον λόγο αυτό κρίνεται σκόπιµο να αναφέρουµε µερικά

βασικά στοιχεία των διαδικασιών αυτών.

Ορισµός 5.2 Μια στοχαστική διαδικασία Ν(t), t≥0 θα λέγεται

διαδικασία απαρίθµησης αν το Ν(t) αντιπροσωπεύει τον αριθµό των

‘γεγονότων’ τα οποία έχουν συµβεί µέχρι και την χρονική στιγµή t.

Από τον ορισµό αυτό προκύπτουν άµεσα οι επόµενες ιδιότητες.

(1) Ν(t)≥0.

(2) Ν(t) είναι ακέραιος αριθµός.

(3) Αν s<t, τότε Ν(s)≤N(t).


267

(4) Για s<t η διαφορά N(t)-N(s) παριστάνει τον αριθµό ‘γεγονότων’ τα

οποία έχουν συµβεί στο διάστηµα (s, t].

Στην συνέχεια δίνουµε µερικά παραδείγµατα διαδικασιών απαρίθµησης.

Παράδειγµα 5.5 Ας συµβολίσουµε µε N(t) τον αριθµό των πελατών που

έχουν εισέλθει σε ένα κατάστηµα µέχρι και την χρονική στιγµή t. Τότε η

N(t), t≥0 είναι µια διαδικασία απαρίθµησης όπου το ‘γεγονός’ είναι η

είσοδος ενός πελάτη στο συγκεκριµένο κατάστηµα.

Ερώτηση: Ας υποθέσουµε ότι το N(t) παριστάνει τον αριθµό των

πελατών που υπάρχουν, στο συγκεκριµένο κατάστηµα, την χρονική στιγµή

t. Είναι η N(t), t≥0 µια διαδικασία απαρίθµησης; [Απ. ΟΧΙ]

♦

Παράδειγµα 5.6 Αν σαν γεγονός θεωρήσουµε την γέννηση ενός παιδιού,

τότε η διαδικασία N(t), t≥0, µε N(t) να παριστάνει τον αριθµό των παιδιών

που γεννήθηκαν µέχρι και την χρονική στιγµή t, είναι µια διαδικασία

απαρίθµησης.

Ερώτηση: Στην διαδικασία αυτή θα πρέπει να λαµβάνονται υπ’ όψιν τα

παιδιά τα οποία γεννήθηκαν και πέθαναν µέχρι και την χρονική στιγµή t;

[Απ. ΝΑΙ]

♦

Παράδειγµα 5.7 Ας συµβολίσουµε µε N(t) τον αριθµό των τερµάτων που

έχει πετύχει ένας ποδοσφαιριστής µέχρι και την χρονική στιγµή t. Τότε η

N(t), t≥0 είναι µια διαδικασία απαρίθµησης.

Ερώτηση: Ποιο είναι το ‘γεγονός’ σε αυτή την διαδικασία;

♦


268

Ορισµός 5.3 Μια διαδικασία απαρίθµησης Ν(t), t≥0 θα λέµε ότι έχει

ανεξάρτητα βήµατα (independent increments) αν τα γεγονότα τα

οποία πραγµατοποιούνται σε δύο ξένα µεταξύ τους χρονικά

διαστήµατα, είναι ανεξάρτητα.

Αυτό σηµαίνει ότι ο αριθµός των γεγονότων τα οποία πραγµατοποιήθηκαν,

για παράδειγµα, µέχρι και την χρονική στιγµή 10 (δηλαδή το Ν(10)), πρέπει

να είναι ανεξάρτητος από τον αριθµό των γεγονότων τα οποία πραγµατο-

ποιήθηκαν µεταξύ των χρονικών στιγµών 10 και 15 (δηλαδή το Ν(15)-

Ν(10)).

Ας εξετάσουµε σε ποιο από τα τρία προηγούµενα παραδείγµατα η

υπόθεση της ανεξαρτησίας µπορεί να ισχύει. Για το πρώτο από αυτά η

υπόθεση των ανεξάρτητων βηµάτων φαίνεται λογική. Για το δεύτερο

παράδειγµα τα πράγµατα είναι διαφορετικά. Έτσι αν το Ν(t) είναι πολύ

µεγάλο, τότε υπάρχει µεγάλη πιθανότητα ότι αρκετά άτοµα θα ζουν την

χρονική στιγµή t. Αυτό µας οδηγεί να πιστέψουµε ότι ο αριθµός των νέων

γεννήσεων µεταξύ των χρονικών στιγµών t και t+s θα τείνει επίσης να είναι

µεγάλος. Αποτέλεσµα αυτού είναι η υπόθεση ότι το Ν(t) και Ν(t+s)-Ν(t) είναι

ανεξάρτητα να µην είναι λογική. Στο τρίτο παράδειγµα η υπόθεση των

ανεξάρτητων βηµάτων µπορεί να ισχύει αν δεχθούµε ότι η δυνατότητα του

παίκτη να πετύχει τέρµα δεν εξαρτάται από την φυσική του κατάσταση ή

ακόµη και αν ο παίκτης έχει εσκεµµένως µειωµένη απόδοση.


269

Στην § 4.3 είχαµε αναφέρει την έννοια της οµογενούς Μαρκοβιανής

αλυσίδας. Η ίδια έννοια µπορεί να εισαχθεί και για τις διαδικασίες

απαρίθµησης.

Ορισµός 5.4 Θα λέµε ότι η διαδικασία απαρίθµησης Ν(t), t≥0 έχει

οµογενή βήµατα (stationary increments) αν η κατανοµή του αριθµού

των γεγονότων που πραγµατοποιούνται σε ένα οποιοδήποτε χρονικό

διάστηµα εξαρτάται µόνον από το µήκος του χρονικού αυτού

διαστήµατος.

Με άλλα λόγια θα λέµε ότι η διαδικασία απαρίθµησης Ν(t), t≥0 έχει

οµογενή βήµατα αν ο αριθµός των γεγονότων στο διάστηµα (t1+s, t2+s]

(δηλαδή ο N(t2+s)-N(t1+s)) έχει την ίδια κατανοµή µε τον αριθµό των

γεγονότων στο διάστηµα (t1, t2] (δηλαδή µε τον N(t2)-N(t1)), για κάθε t1<t2

και s>0.

Σε σχέση µε τα τρία προηγούµενα παραδείγµατα (παράδειγµα 5.5, 5.6

και 5.7) η υπόθεση των οµογενών βηµάτων µπορεί να ισχύει για το πρώτο

αν υποθέσουµε ότι, για το συγκεκριµένο κατάστηµα, δεν υπάρχουν ώρες

αιχµής. Για το δεύτερο παράδειγµα η υπόθεση των οµογενών βηµάτων θα

µπορούσε να ισχύει αν δεχόµασταν ότι ο πληθυσµός της Γης είναι περίπου

σταθερός. (Αυτή είναι µια άποψη που πολλοί επιστήµονες δεν δέχονται).Σε

σχέση µε το τρίτο παράδειγµα η υπόθεση αυτή δεν µπορεί να ισχύει διότι

είναι από όλους αποδεκτό ότι, άλλη είναι η ικανότητα ενός παίκτη να

πετυχαίνει τέρµα στην ηλικία από 20 έως 30 ετών και άλλη στην ηλικία από

35 έως 40 ετών.


270

Μια από τις ποιο σπουδαίες διαδικασίες απαρίθµησης είναι η διαδικασία

Poisson.

Ορισµός 5.5 Μια διαδικασία απαρίθµησης Ν(t), t≥0 θα λέµε ότι είναι

διαδικασία Poisson αν

1) Ν(0)=0

2) Η διαδικασία έχει ανεξάρτητα βήµατα

3) Η κατανοµή του αριθµού των γεγονότων σε οποιοδήποτε

διάστηµα µήκους t είναι Poisson µε µέση τιµή λt, (λ>0). ∆ηλαδή

−λ λ+ − = =

nt ( t)PN(t s) N(s) n e

n!, n=0, 1, 2, . . .

Για να ελέγξουµε αν µια οποιαδήποτε διαδικασία απαρίθµησης είναι µια

διαδικασία Poisson θα πρέπει να δείξουµε την ισχύ των ιδιοτήτων (1), (2)

και (3) του προηγούµενου ορισµού. Έτσι η ιδιότητα (1) απλά µας λέει ότι η

απαρίθµηση των γεγονότων αρχίζει την χρονική στιγµή t=0, ενώ η ιδιότητα

(2) µπορεί εύκολα να ελεγχθεί από την γνώση µας σχετικά µε την

διαδικασία. Η ιδιότητα (3) δεν είναι εύκολο να ελεγχθεί. Για τον σκοπό αυτό

δίνουµε έναν ισοδύναµο µε τον προηγούµενο ορισµό της διαδικασίας

Poisson.

Ορισµός 5.6 Μια διαδικασία απαρίθµησης Ν(t), t≥0 θα λέµε ότι είναι

διαδικασία Poisson µε ρυθµό λ, (λ>0) αν

1) Ν(0)=0 , 2) Η διαδικασία έχει ανεξάρτητα και οµογενή βήµατα,

3) ΡΝ(h)=1≈λh , 4) PN(h)≥2≈0


271

Η ισοδυναµία των ορισµών 5.5 και 5.6 µπορεί να αποδειχθεί µαθηµατικά.

Ακόµη από τον ορισµό 5.6 προκύπτει ο µαθηµατικός τύπος της κατανοµής

Poisson. (Για όλα αυτά βλ. Ross (1989)). Σχετικά µε τον ορισµό 5.6 βλέπε

και τις παραδοχές 1, 2 και 3 στην § 2.2.6.

Κα τ α ν ο µ ή τ ο υ χ ρ ό ν ο υ µ ε τ α ξ ύ δ ύ ο δ ι α δ ο χ ι κών αφ ί ξ εω ν

Σε µια διαδικασία Poisson Ν(t), t≥0 ας συµβολίσουµε µε Τ1 την χρονική

στιγµή που πραγµατοποιείται το πρώτο γεγονός. Με Τ2 τον χρόνο που

µεσολαβεί από την πραγµατοποίηση του πρώτου γεγονότος έως την

πραγµατοποίηση του δεύτερου γεγονότος. Με Τ3 τον χρόνο που µεσολαβεί

από την πραγµατοποίηση του δεύτερου γεγονότος έως την

πραγµατοποίηση του τρίτου γεγονότος. Και γενικώς µε Τn τον χρόνο που

µεσολαβεί από την πραγµατοποίηση του (n-1)-στου γεγονότος έως την

πραγµατοποίηση του n-στου γεγονότος. Η ακολουθία Τn, n=1,2,3, . . .

είναι γνωστή σαν ακολουθία των χρόνων µεταξύ δύο διαδοχικών αφίξεων.

Για παράδειγµα αν Τ1=5 και Τ2=10, τότε το πρώτο γεγονός, στην διαδικασία

Poisson, πραγµατοποιήθηκε την χρονική στιγµή 5 και το δεύτερο την

χρονική στιγµή 15. ∆ιαγραµµατικά η ακολουθία Τn, n=1,2,3, . . . φαίνεται

στο επόµενο σχήµα.

| T1 | T2 | T3 | . . . . . . . . . . . . . | Tn |

0 t1 t2 t3 tn-1 tn

Σχήµα 5.1 Γραφική απεικόνιση της ακολουθίας των χρόνων µεταξύ δύο διαδοχικών αφίξεων


272

Το επόµενο θεώρηµα µας δίνει την κατανοµή του Τn, n>0.

Θεώρηµα 5.5 Αν N(t), t≥0 είναι µια διαδικασία Poisson µε ρυθµό λ τότε ο

χρόνος µεταξύ δύο διαδοχικών αφίξεων είναι µια εκθετική τυχαία µεταβλητή

µε παράµετρο λ.

Απόδειξη Το γεγονός ότι η διαδικασία Poisson έχει ρυθµό λ σηµαίνει

ότι για κάθε διάστηµα µήκους t ισχύει

−λ λ+ − = =

nt ( t)PN(t s) N(s) n e

n!, n=0,1,2, . . .

Σύµφωνα µε την πρώτη µέθοδο της § 2.6 (αλλαγή µεταβλητών µε την

βοήθεια της αθροιστικής συνάρτησης) αρκεί να βρούµε την Ρ(Τn≤τ). Επειδή

η διαδικασία Poisson έχει ανεξάρτητα βήµατα (βλ. ορισµό 5.5, ιδιότητα 2)

ισχύει ότι

Ρ(Τn≤τ|Τ1, Τ2,. . ., Τn-1)= Ρ(Τn≤τ).

Αλλά Ρ(Τn≤τ)=1-Ρ(Τn>τ). Το ενδεχόµενο Tn>τ σηµαίνει ότι, στο διάστηµα

(tn-1, tn-1+τ] δεν πραγµατοποιείται κανένα γεγονός. Άρα

Ρ(Τn>τ)=ΡN(tn-1+τ)-N(tn-1)=0=e-λτ.

Κατά συνέπεια Ρ(Τn≤τ)=1-Ρ(Τn>τ)=1-e-λτ. Αλλά η τελευταία σχέση είναι η

αθροιστική συνάρτηση κατανοµής της εκθετικής τυχαίας µεταβλητής µε

παράµετρο λ.

•

Παράδειγµα 5.8 Είναι γνωστό ότι άτοµα από διάφορες περιοχές της

Ελλάδος µεταναστεύουν στην Αθήνα (ίσως για ένα καλύτερο µέλλον). Αν

δεχθούµε ότι η εσωτερική µετανάστευση γίνεται σύµφωνα µε την διαδικασία

Poisson µε ρυθµό 1 άτοµο την ηµέρα, ποια είναι η πιθανότητα η άφιξη του


273

ενδέκατου µετανάστη να γίνει τουλάχιστον τρεις ηµέρες αργότερα από την

άφιξη του τελευταίου µετανάστη;

Ας συµβολίσουµε µε Τ11 τον χρόνο (σε ηµέρες) που µεσολαβεί από την

άφιξη του δέκατου µετανάστη έως την άφιξη του ενδέκατου µετανάστη.

(Προφανώς η Τ11 είναι µια τυχαία µεταβλητή).Τότε η ζητούµενη πιθανότητα

γράφεται ως Ρ(Τ11≥3). Για να υπολογίσουµε την πιθανότητα αυτή θα

πρέπει να γνωρίζουµε την κατανοµή της τυχαίας µεταβλητής Τ11. Από την

εκφώνηση γνωρίζουµε ότι οι αφίξεις των µεταναστών στην Αθήνα γίνονται

σύµφωνα µε την διαδικασία Poisson µε ρυθµό 1 άτοµο την ηµέρα. Η τυχαία

µεταβλητή Τ11 είναι ο χρόνος µεταξύ δύο διαδοχικών αφίξεων σε µια

διαδικασία Poisson.Συνεπώς, σύµφωνα µε το θεώρηµα 5.5, η Τ11 είναι µια

εκθετική τυχαία µεταβλητή µε παράµετρο λ=1, δηλαδή Τ11∼Εκθ(1). Άρα

Ρ(Τ11≥3)=3

∞ −∫ xe dx =e-x=0,05 .

♦

Κα τ α ν ο µ ή τ ο υ χ ρ ό ν ο υ α ν α µο ν ή ς

Σε µια διαδικασία απαρίθµησης, σαν χρόνο αναµονής, Sn, ορίζουµε τον

χρόνο που µεσολαβεί από την αρχή της διαδικασίας έως την πραγµατο-

ποίηση του n-στου γεγονότος. Σύµφωνα µε το σχήµα 5.1 ο χρόνος

αναµονής δίνεται από την σχέση

1=

= ∑n

n ii

S T , n≥1. (5.4)

Το επόµενο θεώρηµα µας δίνει την κατανοµή του χρόνου αναµονής Sn.


274

Θεώρηµα 5.6 Αν N(t), t≥0 είναι µια διαδικασία Poisson µε ρυθµό λ τότε ο

χρόνος αναµονής Sn είναι µια γάµµα τυχαία µεταβλητή µε παραµέτρους α=

n και β=λ, δηλαδή Sn∼G(n, λ).

Απόδειξη Επειδή τα γεγονότα πραγµατοποιούνται σύµφωνα µε την

διαδικασία Poisson από το θεώρηµα 5.5 έχουµε ότι, κάθε µία από τις

τυχαίες µεταβλητές Τi, στην σχέση (5.4), έχει µια εκθετική κατανοµή µε

παράµετρο λ, δηλαδή Τi∼Εκθ(λ). Ακόµη το γεγονός ότι η διαδικασία

Poisson έχει ανεξάρτητα βήµατα (βλ. ορισµούς 5.5 και 5.6) συνεπάγεται ότι

τα Τi είναι ανεξάρτητες τυχαίες µεταβλητές. Η απόδειξη του θεωρήµατος

ολοκληρώνεται από το πόρισµα 3.25.1.

•

Παρατήρηση 5.1 Είναι κατανοητό ότι, σαν αρχή της διαδικασίας µπορούµε

να θεωρήσουµε οποιαδήποτε χρονική στιγµή. Αυτό σηµαίνει ότι ο χρόνος

αναµονής του m-στου γεγονότος, µετά την πραγµατοποίηση του n-στου,

είναι ο χρόνος αναµονής του (m-n)-στου γεγονότος από την αρχή της

διαδικασίας.

Παράδειγµα 5.9 (συνέχεια του παραδείγµατος 5.8) Στηριζόµενοι στο

προηγούµενο παράδειγµα να βρεθεί ο αναµενόµενος χρόνος άφιξης του

δέκατου µετανάστη. Ποια είναι η πιθανότητα ο εικοστός µετανάστης να

έλθει σε τουλάχιστον πέντε ηµέρες, µετά την άφιξη του δέκατου µετανάστη;

Ας συµβολίσουµε µε S10 τον χρόνο (σε ηµέρες) που απαιτείται για την

άφιξη του δέκατου µετανάστη, από τότε που ξεκίνησε η µετανάστευση,

(δηλαδή από την αρχή της διαδικασίας).Προφανώς η S10 είναι µια τυχαία


275

µεταβλητή. Από το θεώρηµα 5.6, σε συνδυασµό µε το γεγονός ότι η

διαδικασία αφίξεων των µεταναστών είναι µια Poisson τυχαία µεταβλητή µε

ρυθµό 1 άτοµο την ηµέρα, έχουµε ότι η κατανοµή της S10 είναι γάµµα µε

παραµέτρους α=10 και β=1. ∆ηλαδή S10∼G(10, 1). Το ζητούµενο είναι ο

αναµενόµενος χρόνος άφιξης του δέκατου µετανάστη από την αρχή της

διαδικασίας., δηλαδή η Ε(S10). Από το θεώρηµα 3.12 παίρνουµε ότι

Ε(S10)=α/β και συνεπώς Ε(S10)=10 ηµέρες.

Με βάση την παρατήρηση 5.1 η ζητούµενη πιθανότητα γράφεται ως

Ρ(S10≥5). Ο υπολογισµός της πιθανότητας αυτής, σύµφωνα µε τα όσα

αναφέρθηκαν προηγουµένως (S10∼G(10, 1)), γίνεται ως εξής

Ρ(S10≥5)∞ −=Γ∫

10S 910 105

1 e (S ) dS(10)

=0.97.

♦

Αφ ί ξ ε ι ς κ α τ ά ο µ ά δ ε ς

Στην µέχρι τώρα θεώρησή µας της διαδικασίας Poisson δεν

ασχοληθήκαµε µε το αν τα γεγονότα που πραγµατοποιούνται είναι όλα του

ιδίου ή διαφορετικού τύπου. Για παράδειγµα οι αφίξεις των πελατών σε ένα

κατάστηµα µπορούν να χωρισθούν σε δύο κατηγορίες, στις αφίξεις ανδρών

και στις αφίξεις γυναικών. Στην συνέχεια θα ασχοληθούµε µε διαδικασίες

Poisson στις οποίες τα πραγµατοποιούµενα γεγονότα µπορούν να

χωρισθούν σε δύο κατηγορίες ή οµάδες.


276

Παρατήρηση 5.2 Ο περιορισµός των οµάδων σε δύο γίνεται καθαρά για τις

ανάγκες του παρόντος βιβλίου. Η όλη θεωρία είναι πολύ εύκολο να

επεκταθεί και στην περίπτωση που έχουµε r (0<r<∞) οµάδες.

Θεωρούµε λοιπόν γεγονότα τα οποία πραγµατοποιούνται σύµφωνα µε

µια διαδικασία Poisson Ν(t), t≥0, µε ρυθµό λ, και ότι το κάθε γεγονός

µπορεί να ανήκει σε µία από δύο οµάδες, τις Ι και ΙΙ. Ας υποθέσουµε ότι η

πιθανότητα ένα γεγονός να ανήκει στην οµάδα Ι είναι p, ενώ στην οµάδα ΙΙ

είναι 1-p. Αν µε Ν1(t), t≥0 και µε Ν2(t), t≥0 (προφανώς N1(t)+N2(t)=N(t))

συµβολίσουµε την διαδικασία πραγµατοποίησης των γεγονότων της

οµάδας Ι και ΙΙ, αντίστοιχα, τότε µπορούµε να δείξουµε το επόµενο

θεώρηµα.

Θεώρηµα 5.7 Για τις διαδικασίες Ν1(t), t≥0 και Ν2(t), t≥0 που ορίσαµε

προηγουµένως, σε σχέση µε την διαδικασία Ν(t), t>0, ισχύουν

(α) Κάθε µία από τις διαδικασίες Ν1(t), t>0 και Ν2(t), t>0 είναι

διαδικασία Poisson µε ρυθµό λp και λ(1-p), αντίστοιχα.

(β) Οι δύο διαδικασίες, Ν1(t), t>0 και Ν2(t), t≥0, είναι ανεξάρτητες.

Απόδειξη Η απόδειξη των (α) και (β) θα γίνει ταυτόχρονα. Γι’ αυτό θα

κάνουµε χρήση της έννοιας της από κοινού συνάρτησης πιθανότητας (βλ.

σχέση 2.32) και του θεωρήµατος 2.2. Οι µεταβλητές N1(t) και N2(t) είναι

διακριτές τυχαίες µεταβλητές. Άρα η από κοινού συνάρτηση πιθανότητας

αυτών θα είναι η PN1(t)=n, N2(t)=m. Από τον τύπο της ολικής πιθανότητας

(βλ. σχέση 1.17) η σχέση αυτή µπορεί να γραφεί


277

PN1(t)=n, N2(t)=m= ∞

∑ 1 2k=0

PN (t)=n, N (t)=m|N(t)=kPN(t)=k . (5.5)

Το γεγονός ότι N1(t)+N2(t)=N(t) συνεπάγεται ότι, αν k≠n+m, τότε

PN1(t)=n, N2(t)=m|N(t)=k=0.

Αυτό σηµαίνει ότι η σχέση (5.5) ισχύει µόνο για µία τιµή του k αυτή του

k=n+m. Άρα θα έχουµε

PN1(t)=n, N2(t)=m= PN1(t)=n, N2(t)=m|N(t)=n+mPN(t)=n+m.

Αλλά, η N(t), t>0 είναι µια διαδικασία Poisson µε ρυθµό λ και συνεπώς

ισχύει ότι

PN(t)=n+m=+

−λ λ+

n mt ( t)e(n m)!

,

και συνεπώς

PN1(t)=n, N2(t)=m= PN1(t)=n, N2(t)=m|N(t)=n+m+

−λ λ+

n mt ( t)e(n m)!

.

Ας δούµε τώρα πως µπορούµε να υπολογίσουµε την πιθανότητα

PN1(t)=n, N2(t)=m|N(t)=n+m.

Στην πιθανότητα αυτή έχουµε, συνολικά, n+m γεγονότα. Από αυτά τα n

ανήκουν στην οµάδα Ι, (ας την ονοµάσουµε ΕΠΙΤΥΧΙΑ) και τα υπόλοιπα m,

στην οµάδα ΙΙ, (ας την ονοµάσουµε ΑΠΟΤΥΧΙΑ). Η πιθανότητα “επιτυχίας”

είναι p (και κατά συνέπεια η πιθανότητα “αποτυχίας” 1-p) και παραµένει

σταθερή σε κάθε πραγµατοποίηση γεγονότος. Αυτό µας οδηγεί στον

υπολογισµό της προηγούµενης πιθανότητας µε βάση την διωνυµική

κατανοµή. Ποιο συγκεκριµένα

PN1(t)=n, N2(t)=m|N(t)=n+m= PN1(t)=n |N(t)=n+m= ( )+ −n mn m p (1 p)n .


278

Συνεπώς

PN1(t)=n, N2(t)=m= ( )+ −n mn m p (1 p)n+

−λ λ+

n mt ( t)e(n m)!

=+

−n m(n m)!p (1 p)n! m!

+−λ λ

+

n mt ( t)e(n m)!

=( )−λ −λ − λ −λ

mntp t(1 p) t(1 p)( tp)e e

n! m!.

Από την τελευταία σχέση βλέπουµε ότι, η από κοινού συνάρτηση

πιθανότητας των N1(t) και N2(t) µπορεί να γραφεί σαν γινόµενο δύο

παραγόντων. Κάθε ένας από αυτούς τους παράγοντες είναι µια κατανοµή

Poisson. Αυτό σηµαίνει ότι (α) κάθε µία από τις µεταβλητές N1(t) και N2(t)

ακολουθεί µια κατανοµή Poisson. Πιο συγκεκριµένα N1(t)∼Ρ(λp) και

N2(t)∼Ρ(λ(1-p)). Ακόµη (β) οι µεταβλητές N1(t) και N2(t) είναι ανεξάρτητες.

•

Παράδειγµα 5.10 (συνέχεια του παραδείγµατος 5.8) Στα όσα αναφέρθηκαν

στο παράδειγµα 5.8 ας προσθέσουµε ότι αυτοί που µεταναστεύουν στην

Αθήνα µπορούν να χωρισθούν σε δύο οµάδες. Αυτούς που προέρχονται

από την Βόρεια Ελλάδα (οµάδα Ι) και σε αυτούς που προέρχονται από την

Νότια Ελλάδα (οµάδα ΙΙ). Επιπλέον ας υποθέσουµε ότι η πιθανότητα, ένας

οποιοσδήποτε µετανάστης, να είναι από την Βόρεια Ελλάδα, είναι 0,4. Με

βάση τα παραπάνω στοιχεία, ποια είναι η πιθανότητα κατά τον µήνα

Φεβρουάριο να µην έλθει κανένας µετανάστης από την Νότια Ελλάδα στην

Αθήνα;

Ας συµβολίσουµε µε Ν1(t), t≥0 και N2(t), t≥0 την διαδικασία άφιξης

των µεταναστών στην Αθήνα από την Βόρεια και Νότια Ελλάδα, αντίστοιχα.


279

Τότε, σύµφωνα µε τα δεδοµένα της εκφώνησης και το θεώρηµα 5.7, η

διαδικασία N2(t), t≥0 είναι µια διαδικασία Poisson µε ρυθµό λt(1-p) µε λ=1,

t=28 και p=0,4. Συνεπώς η ζητούµενη πιθανότητα είναι η

ΡΝ2(t)=0=e-λt(1-p)=e-1*28*0,6=0,464.

♦

Ένα άλλο ενδιαφέρον ερώτηµα, το οποίο σχετίζεται µε την άφιξη κατά

οµάδας, είναι και το επόµενο:”αν έχουµε δύο ανεξάρτητες διαδικασίες

Poisson, τις N1(t), t≥0 και N2(t), t≥0, µε ρυθµούς λ1 και λ2, αντίστοιχα,

ποια είναι η πιθανότητα ο χρόνος πραγµατοποίησης του n-στου γεγονότος

από την διαδικασία N1(t), t≥0 να είναι µικρότερος από τον χρόνο

πραγµατοποίησης του m-στου γεγονότος στην διαδικασία N2(t), t≥0; ”

Αν συµβολίσουµε µε (1)nS και (2)

mS τους χρόνους πραγµατοποίησης του n-

στου και m-στου γεγονότος από τις διαδικασίες N1(t), t≥0 και N2(t), t≥0,

αντίστοιχα, τότε η ζητούµενη πιθανότητα είναι η

Ρ( (1)nS < (2)

mS ). (5.6)

Πριν προχωρήσουµε στον υπολογισµό της πιθανότητας (5.6) ας δούµε

ένα σχετικό πρόβληµα. Θεωρούµε ένα νόµισµα του οποίου η πιθανότητα

να φέρει κορώνα (Κ), σε µια οποιαδήποτε ρίψη, είναι p. Για το νόµισµα

αυτό ας ζητήσουµε την πιθανότητα να εµφανισθούν n κορώνες προτού

εµφανισθούν m γράµµατα (Γ). Αν σκεφθούµε το πρόβληµα και

πειραµατισθούµε µε συγκεκριµένες τιµές των n και m, θα δούµε ότι το

ζητούµενο µπορεί να συµβεί εάν και µόνον εάν στις n+m-1 πρώτες ρίψεις

εµφανισθούν τουλάχιστον n κορώνες. Άρα λοιπόν η ζητούµενη πιθανότητα

θα είναι


280

Ρ(να εµφανισθούν n κορώνες προτού εµφανισθούν m γράµµατα)=

Ρ(στις n+m-1 πρώτες ρίψεις να εµφανισθούν τουλάχιστον n κορώνες)=

( )+ −+ − −

=

+ − −∑n m 1

k n m 1 k

k n

n m 1 p (1 p)k (5.7)

Τώρα είµαστε σε θέση να διατυπώσουµε και να αποδείξουµε το επόµενο

θεώρηµα.

Θεώρηµα 5.8 Αν N1(t), t≥0 και N2(t), t≥0 είναι δύο ανεξάρτητες

διαδικασίες Poisson, µε ρυθµούς λ1 και λ2, αντίστοιχα, τότε η πιθανότητα ο

χρόνος πραγµατοποίησης του n-στου γεγονότος από την διαδικασία N1(t),

t>0 να είναι µικρότερος από τον χρόνο πραγµατοποίησης του m-στου

γεγονότος στην διαδικασία N2(t), t≥0, δηλαδή η πιθανότητα Ρ( (1)nS < (2)

mS ),


Ρ( (1)nS < (2)

mS )= ( )+ − −

+ −

=

λ λ+ − λ + λ λ + λ

∑k n m 1 kn m 1

1 2

k n 1 2 1 2

n m 1 k

Απόδειξη Ας υποθέσουµε ότι n=m=1. Στην περίπτωση αυτή η

ζητούµενη πιθανότητα γράφεται Ρ( (1)1S < (2)

1S ). Αλλά κάθε ένα από τα (1)1S

και (2)1S , σύµφωνα µε το θεώρηµα 5.5 είναι µια εκθετική τυχαία µεταβλητή

µε παραµέτρους, αντίστοιχα, λ1 και λ2. Άρα σύµφωνα µε το θεώρηµα 5.4

Ρ( (1)1S < (2)

1S )=λ

λ + λ1

1 2

.

Ας υποθέσουµε τώρα ότι n=2 και m=1. Με άλλα λόγια ζητάµε την

πιθανότητα να πραγµατοποιηθούν δύο γεγονότα από την διαδικασία N1(t),

t≥0 πριν πραγµατοποιηθεί ένα γεγονός από την διαδικασία N2(t), t≥0. Η


281

πιθανότητα αυτή γράφεται Ρ( (1)2S < (2)

1S ). Για τον υπολογισµό της τελευταίας

πιθανότητας σκεφτόµαστε ως εξής. Για να συµβεί το ζητούµενο θα πρέπει

το πρώτο γεγονός που θα πραγµατοποιηθεί να είναι από την διαδικασία

N1(t), t≥0. Η πιθανότητα αυτή, σύµφωνα µε την προηγούµενη περίπτωση

n=m=1) είναι ίση µε λ1/(λ1+λ2). ∆οθέντος ότι το πρώτο γεγονός είναι από

την διαδικασία N1(t), t≥0, αυτό που πρέπει να συµβεί, για να είναι το (1)2S µικρότερο του (2)

1S , είναι το δεύτερο γεγονός που θα πραγµατοποιηθεί

να είναι επίσης από την διαδικασία N1(t), t≥0. Η πιθανότητα να συµβεί

αυτό, λόγω της αµνησίας της εκθετικής κατανοµής, είναι

Ρ( (1)2S < (2)

1S )= λ λ + λ

2

1

1 2

.

Ο προηγούµενος συλλογισµός µας λέει ότι, η πιθανότητα, ένα γεγονός που

θα πραγµατοποιηθεί να είναι από την διαδικασία N1(t), t≥0 είναι λ1/(λ1+λ2),

ενώ η αντίστοιχη πιθανότητα για ένα γεγονός της διαδικασίας N2(t), t≥0,

ανεξάρτητα από το τι έχει συµβεί προηγουµένως. Με άλλα λόγια, η

πιθανότητα να συµβούν n γεγονότα από την διαδικασία N1(t), t≥0 πριν

συµβούν m γεγονότα από την διαδικασία N2(t), t≥0 είναι η ίδια µε την

πιθανότητα να φέρουµε n κορώνες πριν φέρουµε m γράµµατα σε ένα

νόµισµα που η πιθανότητα κορώνας ισούται µε p= λ1/(λ1+λ2). Άρα η σχέση

(5.7) ολοκληρώνει την απόδειξη του θεωρήµατος.

•

ΠΙΝΑΚΑΣ Ι. ∆ιωνυµική τυχαία µεταβλητή

Τα στοιχεία του πίνακα είναι οι πιθανότητες Ρ(Χ=x) p

n x ,05 ,10 ,15 ,20 ,25 ,30 ,35 ,40 ,45 ,50

1 0 ,0500 ,9000 ,8500 ,8000 ,7500 ,7000 ,6500 ,6000 ,5500 ,5000 1 ,0500 ,1000 ,1500 ,2000 ,2500 ,3000 ,3500 ,4000 ,4500 ,5000

2 0 ,9025 ,8100 ,7225 ,6400 ,5625 ,4900 ,4225 ,3600 ,3025 ,2500 1 ,0950 ,1800 ,2550 ,3200 ,3750 ,4200 ,4550 ,4800 ,4950 ,5000 2 ,0025 ,0100 ,0225 ,0400 ,0625 ,0900 ,1225 ,1600 ,2025 ,2500

3 0 ,8574 ,7290 ,6141 ,5120 ,4219 ,3430 ,2746 ,2160 ,1664 ,1250 1 ,1354 ,2430 ,3251 ,3840 ,4219 ,4410 ,4436 ,4320 ,4084 ,3750 2 ,0071 ,0270 ,0574 ,0960 ,1406 ,1890 ,2389 ,2880 ,3341 ,3750 3 ,0001 ,0010 ,0034 ,0080 ,0156 ,0270 ,0429 ,0640 ,0911 ,1250

4 0 ,8145 ,6561 ,5220 ,4096 ,3164 ,2401 ,1785 ,1296 ,0915 ,0625 1 ,1715 ,2916 ,3685 ,4096 ,4219 ,4116 ,3845 ,3456 ,2995 ,2500 2 ,0135. ,0486 ,0975 ,1536 ,2109 ,2646 ,3105 ,3456 ,3675 ,3750 3 ,0005 ,0036 ,0115 ,0256 ,0469 ,0756 ,1115 ,1586 ,2005 ,2500 4 ,0000 ,0001 ,0005 ,0016 ,0039 ,0081 ,0150 ,0256 ,0410 ,0625

5 0 ,7738 ,5905 ,4437 ,3277 ,2373 ,1681 ,1160 ,0778 ,0503 ,0312 1 ,2036 ,3280 ,3915 ,4096 ,3955 ,3602 ,3124 ,2592 ,2059 ,1562 2 ,0214 ,0729 ,1382 ,2048 ,2637 ,3087 ,3364 ,3456 ,3369 ,3125 3 ,0011 ,0081 ,0244 ,0512 ,0879 ,1323 ,1811 ,2304 ,2757 ,3125 4 ,0000 ,0004 ,0022 ,0064 ,0146 ,0284 ,0488 ,0768 ,1128 ,1562 5 ,0000 ,0000 ,0001 ,0003 ,0010 ,0024 ,0053 ,0102 ,0185 ,0312

6 0 ,7351 ,5314 ,3771 ,2621 ,1780 ,1176 ,0754 ,0467 ,0277 ,0156 1 ,2321 ,3543 ,3993 ,3932 ,3560 ,3025 ,2437 ,1866 ,1359 ,0938 2 ,0305 ,0984 ,1762 ,2458 ,2966 ,3241 ,3280 ,3110 ,2780 ,2344 3 ,0021 ,0146 ,0415 ,0819 ,1318 ,1852 ,2355 ,2765 ,3032 ,3125 4 ,0001 ,0012 ,0055 ,0154 ,0330 ,0595 ,0951 ,1382 ,1861 ,2344

5 ,0000 ,0001 ,0004 ,0015 ,0044 ,0102 ,0205 ,0369 ,0609 ,0938 6 ,0000 ,0000 ,0000 ,0001 ,0002 ,0007 ,0018 ,0041 ,0083 ,0156

284

ΠΙΝΑΚΑΣ Ι : ∆ιωνυµική κατανοµή (συνέχεια) p

η x ,05 ,10 ,15 ,20 ,25 ,30 ,35 ,40 ,45 ,50

7 0 ,6983 ,4783 ,3206 ,2097 ,1335 ,0824 ,0490 ,0280 ,0152 ,0078 1 ,2573 ,3720 ,3960 ,3670 ,3115 ,2471 ,1848 ,1306 ,0872 ,0547 2 ,0406 ,1240 ,2097 ,2753 ,3115 ,3177 ,2985 ,2613 ,2140 ,1641 3 ,0036 ,0230 ,0617 ,1147 ,1730 ,2269 ,2679 ,2903 ,2918 ,2734 4 ,0002 ,0026 ,0109 ,0287 ,0577 ,0972 ,1442 ,1935 ,2388 ,2734

5 ,0000 ,0002 ,0012 ,0043 ,0115 ,0250 ,0466 ,0774 ,1172 ,1641 6 ,0000 ,0000 ,0001 ,0004 ,0013 ,0036 ,0084 ,0172 ,0320 ,0547 7 ,0000 .0000 ,0000 ,0000 ,0001 ,0002 ,0006 ,0016 ,0037 ,0078

8 0 ,6634 ,4305 ,2725 ,1678 ,1001 ,0576 ,0319 ,0168 ,0084 ,0039 1 ,2793 ,3826 ,3847 ,3355 ,2670 ,1977 ,1373 ,0896 ,0548 ,0312 2 ,0515 ,1488 ,2376 ,2936 ,3115 ,2965 ,2587 ,2090 ,1569 ,1094 3 ,0054 ,0331 ,0839 ,1468 ,2076 ,2541 ,2786 ,2787 ,2568 ,2188 4 ,0004 ,0046 ,0185 ,0459 ,0865 ,1361 ,1875 ,2322 ,2627 ,2734

5 ,0000 ,0004 ,0026 ,0092 ,0231 ,0467 ,0808 ,1239 ,1719 ,2188 6 ,0000 ,0000 ,0002 ,0011 ,0038 ,0100 ,0217 ,0413 ,0703 ,1094 7 ,0000 ,0000 ,0000 ,0001 ,0004 ,0012 ,0033 ,0079 ,0164 ,0312 8 ,0000 ,0000 ,0000 ,0000 ,0000 ,0001 ,0002 ,0007 ,0017 ,0039

9 0 ,6302 ,3874 ,2316 ,1342 ,0751 ,0404 ,0207 ,0101 ,0046 ,0020 1 ,2985 ,3874 ,3679 ,3020 ,2253 ,1556 ,1004 ,0605 ,0339 ,0176 2 ,0629 ,1722 ,2597 ,3020 ,3003 ,2668 ,2162 ,1612 ,1110 ,0703 3 ,0077 ,0446 ,1069 ,1762 ,2336 ,2668 ,2716 ,2508 ,2119 ,1641 4 ,0006 ,0074 ,0283 ,0661 ,1168 ,1715 ,2194 ,2508 ,2600 ,2461

5 ,0000 ,0008 ,0050 ,0165 ,0389 ,0735 ,1181 ,1672 ,2128 ,2461 6 ,0000 ,0001 ,0006 ,0028 ,0087 ,0210 ,0424 ,0743 ,1160 ,1641 7 ,0000 ,0000 ,0000 ,0003 ,0012 ,0039 ,0098 ,0212 ,0407 ,0703 8 ,0000 ,0000 ,0000 ,0000 ,0001 ,0004 ,0013 ,0035 ,0083 ,0176 9 ,0000 ,0000 ,0000 ,0000 ,0000 ,0000 ,0001 ,0003 ,0008 ,0020

10 0 ,5987 ,3487 ,1969 ,1074 ,0563 ,0282 ,0135 ,0060 ,0025 ,0010 1 ,3151 ,3874 ,3474 ,2684 ,1877 ,1211 ,0725 ,0403 ,0207 ,0098 2 ,0746 ,1937 ,2759 ,3020 ,2816 ,2335 ,1757 ,1209 ,0763 ,0439 3 ,0105 ,0574 ,1298 ,2013 ,2503 ,2668 ,2522 ,2150 ,1665 ,1172 4 ,0010 ,0112 ,0401 ,0881 ,1460 ,2001 ,2377 ,2508 ,2384 ,2051

5 ,0001 ,0015 ,0085 ,0264 ,0584 ,1029 ,1536 ,2007 ,2340 ,2461 6 ,0000 ,0001 ,0012 ,0055 ,0162 ,0368 ,0689 ,1115 ,1596 ,2051 7 ,0000 ,0000 ,0001 ,0008 ,0031 ,0090 ,0212 ,0425 ,0746 ,1172 8 ,0000 ,0000 ,0000 ,0001 ,0004 ,0014 ,0043 ,0106 ,0229 ,0439 9 ,0000 ,0000 ,0000 ,0000 ,0000 ,0001 ,0005 ,0016 ,0042 ,0098 10 ,0000 ,0000 ,0000 ,0000 ,0000 ,0000 ,0000 ,0001 ,0003 ,0010

285


η x , ,05 ,10 ,15 ,20 ,25 ,30 ,35 ,40 ,45 ,50

11 0 ,5688 ,3138 ,1673 ,0859 ,0422 ,0198 ,0088 ,0036 ,0014 ,0005 1 ,3293 ,3835 ,3248 ,2362 ,1549 ,0932 ,0518 ,0266 ,0125 ,0054 2 ,0867 ,2131 ,2866 ,2953 ,2581 ,1998 ,1395 ,0887 ,0513 ,0269 3 ,0137 ,0710 ,1517 ,2215 ,2581 ,2568 ,2254 ,1774 ,1259 ,0806

4 ,0014 ,0158 ,0536 ,1107 ,1721 ,2201 ,2428 ,2365 ,2060 ,1611 5 ,0001 ,0025 ,0132 ,0388 ,0803 ,1321 ,1830 ,2207 ,2360 ,2256 6 ,0000 ,0003 ,0023 ,0097 ,0268 ,0566 ,0985 ,1471 ,1931 ,2256 7 ,0000 ,0000 ,0003 ,0017 ,0064 ,0173 ,0379 ,0701 ,1128 ,1611 8 ,0000 ,0000 ,0000 ,0002 ,0011 ,0037 ,0102 ,0234 ,0462 ,0806 9 ,0000 ,0000 ,0000 ,0000 ,0001 ,0005 ,0018 ,0052 ,0126 ,0269

10 ,0000 ,0000 ,0000 ,0000 ,0000 ,0000 ,0002 ,0007 ,0021 ,0054 11 ,0000 ,0000 ,0000 ,0000 ,0000 ,0000 ,0000 ,0000 ,0002 ,0005

12 0 ,5404 ,2824 ,1422 ,0687 ,0317 ,0138 ,0057 ,0022 ,0008 ,0002 1 ,3413 ,3766 ,3012 ,2062 ,1267 ,0712 ,0368 ,0174 ,0075 ,0029 2 ,0988 ,2301 ,2924 ,2835 ,2323 ,1678 ,1088 ,0639 ,0339 ,0161 3 ,0173 ,0852 ,1720 ,2362 ,2581 ,2397 ,1954 ,1419 ,0923 ,0537 4 ,0021 ,0213 ,0683 ,1329 ,1936 ,2311 ,2367 ,2128 ,1700 ,1208

5 ,0002 ,0038 ,0193 ,0532 ,1032 ,1585 ,2039 ,2270 ,2225 ,1934 6 ,0000 ,0005 ,0040 ,0155 ,0401 ,0792 ,1281 ,1766 ,2124 ,2256 7 ,0000 ,0000 ,0006 ,0033 ,0115 ,,021 ,0591 ,1009 ,1489 ,1934 8 ,0000 ,0000 ,0001 ,0005 ,0024 ,0078 ,0199 ,0420 ,0762 ,1208 9 ,0000 ,0000 ,0000 ,0001 ,0004 ,0015 ,0048 ,0125 ,0277 ,0537

10 ,0000 ,0000 ,0000 ,0000 ,0000 ,0002 ,0008 ,0025 ,0068 ,0161 11 ,0000 ,0000 ,0000 ,0000 ,0000 ,0000 ,0001 ,0003 ,0010 ,0029 12 ,0000 ,0000 ,0000 ,0000 ,0000 ,0000 ,0000 ,0000 ,0001 ,0002

13 0 ,5133 ,2542 ,1209 ,0550 ,0238 ,0097 ,0037 ,0013 ,0004 ,0001 1 ,3512 ,3672 ,2774 ,1787 ,1029 ,0540 ,0259 ,0113 ,0045 ,0016 2 ,1109 ,2448 ,2937 ,2680 ,2059 ,1388 ,0836 ,0453 ,0220 ,0095 3 ,0214 ,0997 ,1900 ,2457 ,2517 ,2181 ,1651 ,1107 ,0660 ,0349 4 ,0028 ,0277 ,0838 ,1535 ,2097 ,2337 ,2222 ,1845 ,1350 ,0873

5 ,0003 ,0055 ,0266 ,0691 ,1258 ,1803 ,2154 ,2214 ,1989 ,1571 6 ,0000 ,0008 ,0063 ,0230 ,0559 ,1030 ,1546 ,1968 ,2169 ,2095 7 ,0000 ,0001 ,0011 ,0058 ,0186 ,0442 ,0833 ,1312 ,1775 ,2095 8 ,0000 ,0000 ,0001 ,0011 ,0047 ,0142 ,0336 ,0656 ,1089 ,1571 9 ,0000 ,0000 ,0000 ,0001 ,0009 ,0034 ,0101 ,0243 ,0495 ,0873

10 ,0000 ,0000 ,0000 ,0000 ,0001 ,0006 ,0022 ,0065 ,0162 ,0349 11 ,0000 ,0000 ,0000 ,0000 ,0000 ,0001 ,0003 ,0012 ,0036 ,0095

286


η x ,05 ,10 ,15 ,20 ,25 ,30 ,35 ,40 ,45 ,50

13 12 ,0000 ,0000 ,0000 ,0000 ,0000 ,0000 ,0000 ,0001 ,0005 ,0016 13 ,0000 ,0000 ,0000 ,0000 ,0000 ,0000 ,0000 ,0000 ,0000 ,0001

14 0 ,4877 ,2288 ,1028 ,0440 ,0178 ,0068 ,0024 ,0008 ,0002 ,0001 1 ,3593 ,3559 ,2539 ,1539 ,0832 ,0407 ,0181 ,0073 ,0027 ,0009 2 ,1229 ,2570 ,2912 ,2501 ,1802 ,1134 ,0634 ,0317 ,0141 ,0056 3 ,0259 ,1142 ,2056 ,2501 ,2402 ,1943 ,1366 ,0845 ,0462 ,0222 4 ,0037 ,0349 ,0998 ,1720 ,2202 ,2290 ,2022 ,1549 ,1040 ,0611

5 ,0004 ,0078 ,0352 ,0860 ,1468 ,1963 ,2178 ,2066 ,1701 ,1222 6 ,0000 ,0013 ,0093 ,0322 ,0734 ,1262 ,1759 ,2066 ,2088 ,1833 7 ,0000 ,0002 ,0019 ,0092 ,0280 ,0618 ,1082 ,1574 ,1952 ,2095 8 ,0000 ,0000 ,0003 ,0020 ,0082 ,0232 ,0510 ,0918 ,1398 ,1833 9 ,0000 ,0000 ,0000 ,0003 ,0018 ,0066 ,0183 ,0408 ,0762 ,1222

10 ,0000 ,0000 ,0000 ,0000 ,0003 ,0014 ,0049 ,0136 ,0312 ,0611 11 ,0000 ,0000 ,0000 ,0000 ,0000 ,0002 ,0010 ,0033 ,00α3 ,0222 12 ,0000 ,0000 ,0000 ,0000 ,0000 ,0000 ,0001 ,0005 ,0019 ,0056 13 ,0000 ,0000 ,0000 ,0000 ,0000 ,0000 ,0000 ,0001 ,0002 ,0009 14 ,0000 ,0000 ,0000 ,0000 ,0000 ,0000 ,0000 ,0000 ,0000 ,0001

15 0 ,4633 ,2059 ,0874 ,0352 ,0134 ,0047 ,0016 ,0005 ,0001 ,0000 1 ,3658 ,3432 ,2312 ,1319 ,0668 ,0305 ,0126 ,0047 ,0016 ,0005 2 ,1348 ,2669 ,2856 ,2309 ,1559 ,0916 ,0476 ,0219 ,0090 ,0032 3 ,0307 ,1285 ,2184 ,2501 ,2252 ,1700 ,1110 ,0634 ,0318 ,0139 4 ,0049 ,0428 ,1156 ,1876 ,2252 ,2186 ,1792 ,1268 ,0780 ,0417

5 ,0006 ,0105 ,0449 ,1032 ,1651 ,2061 ,2123 ,1859 ,1404 ,0916 6 ,0000 ,0019 ,0132 ,0430 ,0917 ,1472 ,1906 ,2066 ,1914 ,1527 7 ,0000 ,0003 ,0030 ,0138 ,0393 ,0811 ,1319 ,1771 ,2013 ,1964 8 ,0000 ,0000 ,0005 ,0035 ,0131 ,0348 ,0710 ,1181 ,1647 ,1964 9 ,0000 ,0000 ,0001 ,0007 ,0034 ,0116 ,0298 ,0612 ,1048 ,1527

10 ,0000 ,0000 ,0000 ,0001 ,0007 ,0030 ,0096 ,0245 ,0515 ,0916 11 ,0000 ,0000 ,0000 ,0000 ,0001 ,0006 ,0024 ,0074 ,0191 ,0417 12 ,0000 ,0000 ,0000 ,0000 ,0000 ,0001 ,0004 ,0016 ,0052 ,0139 13 ,0000 ,0000 ,0000 ,0000 ,0000 ,0000 ,0001 ,0003 ,0010 ,0032 14 ,0000 ,0000 ,0000 ,0000 ,0000 ,0000 ,0000 ,0000 ,0001 ,0005 15 ,0000 ,0000 ,0000 ,0000 ,0000 ,0000 ,0000 ,0000 ,0000 ,0000

16 0 ,4401 ,1853 ,0743 ,0281 ,0100 ,0033 ,0010 ,0003 ,0001 ,0000 1 ,3706 ,3294 ,2097 ,1126 ,0535 ,0228 ,0087 ,0030 ,0009 ,0002 2 ,1463 ,2745 ,2775 ,2111 ,1336 ,0732 ,0353 ,0150 ,0056 ,0018 3 ,0359 ,1423 ,2285 ,2463 ,2079 ,1465 ,0888 ,0468 ,0215 ,0085

287


η x ,05 ,10 ,15 ,20 ,25 ,30 ,35 ,40 ,45 ,50

16 4 ,0061 ,0514 ,1311 ,2001 ,2252 ,2040 ,1553 ,1014 ,0572 ,0278 5 ,0008 ,0137 ,0555 ,1201 ,1802 ,2099 ,2008 ,1623 ,1123 ,0667 6 ,0001 ,0028 ,0180 ,0550 ,1101 ,1649 ,1982 ,1983 ,1684 ,1222 7 ,0000 ,0004 ,0045 ,0197 ,0524 ,1010 ,1524 ,1889 ,1969 ,1746 8 ,0000 ,0001 ,0009 ,0055 ,0197 ,0487 ,0923 ,1417 ,1812 ,1964

9 ,0000 ,0000 ,0001 ,0012 ,0058 ,0185 ,0442 ,0840 ,1318 ,1746 10 ,0000 ,0000 ,0000 ,0002 ,0014 ,0056 ,0167 ,0392 ,0755 ,1222 11 ,0000 ,0000 ,0000 ,0000 ,0002 ,0013 ,0049 ,0142 ,0337 ,0667 12 ,0000 ,0000 ,0000 ,0000 ,0000 ,0002 ,0011 ,0040 ,0115 ,0278 13 ,0000 ,0000 ,0000 ,0000 ,0000 ,0000 ,0002 ,0008 ,0029 ,0065

14 ,0000 ,0000 ,0000 ,0000 ,0000 ,0000 ,0000 ,0001 ,0005 ,0018 15 ,0000 ,0000 ,0000 ,0000 ,0000 ,0000 ,0000 ,0000 ,0001 ,0002 16 ,0000 ,0000 ,0000 ,0000 ,0000 ,0000 ,0000 ,0000 ,0000 ,0000

17 0 ,4181 ,1668 ,0631 ,0225 ,0075 ,0023 ,0007 ,0002 ,0000 ,0000 1 ,3741 ,3150 ,1893 ,0957 ,0426 ,0169 ,0060 ,0019 ,0005 ,0001 2 ,1575 ,2800 ,2673 ,1914 ,1136 ,0581 ,0260 ,0102 ,0035 ,0010 3 ,0415 ,1556 ,2359 ,2393 ,1893 ,1245 ,0701 ,0341 ,0144 ,0052 4 ,0076 ,0605 ,1457 ,2093 ,2209 ,1868 ,1320 ,0796 ,0411 ,0182

5 ,0010 ,0175 ,0668 ,1361 ,1914 ,2081 ,1849 ,1379 ,0875 ,0472 6 ,0001 ,0039 ,0236 ,0680 ,1276 ,1784 ,1991 ,1839 ,1432 ,0944 7 ,0000 ,0007 ,0065 ,0267 ,0668 ,1201 ,1685 ,1927 ,1841 ,1484 8 ,0000 ,0001 ,0014 ,0084 ,0279 ,0644 ,1134 ,1606 ,1883 ,1855 9 ,0000 ,0000 ,0003 ,0021 ,0093 ,0276 ,0611 ,1070 ,1540 ,1855

10 ,0000 ,0000 ,0000 ,0004 ,0025 ,0095 ,0263 ,0571 ,1008 ,1484 11 ,0000 ,0000 ,0000 ,0001 ,0005 ,0026 ,0090 ,0242 ,0525 ,0944 12 ,0000 ,0000 ,0000 ,0000 ,0001 ,0006 ,0024 ,0081 ,0215 ,0472 13 ,0000 ,0000 ,0000 ,0000 ,0000 ,0001 ,0005 ,0021 ,0068 ,0182 14 ,0000 ,0000 ,0000 ,0000 ,0000 ,0000 ,0001 ,0004 ,0016 ,0052

15 ,0000 ,0000 ,0000 ,0000 ,0000 ,0000 ,0000 ,0001 ,0003 ,0010 16 ,0000 ,0000 ,0000 ,0000 ,0000 ,0000 ,0000 ,0000 ,0000 ,0001 17 ,0000 ,0000 ,0000 ,0000 ,0000 ,0000 ,0000 ,0000 ,0000 ,0000

18 0 ,3972 ,1501 ,0536 ,0180 ,0056 ,0016 ,0004 ,0001 ,0000 ,0000 1 ,3763 ,3002 ,1704 ,0811 ,0338 ,0126 ,0042 ,0012 ,0003 ,0001 2 ,1683 ,2835 ,2556 ,1723 ,0958 ,0458 ,0190 ,0069 ,0022 ,0006 3 ,0473 ,1680 ,2406 ,2297 ,1704 ,1046 ,0547 ,0246 O.095 ,0031 4 ,0093 ,0700 ,1592 ,2153 ,2130 ,1681 ,1104 ,0614 ,0291 ,0117

288


η x ,05 ,10 ,15 ,20 ,25 ,30 ,35 ,40 ,45 ,50

18 5 ,0014 ,0218 ,0787 ,1507 ,1988 ,2017 ,1664 ,1146 ,0666 ,0327 6 ,0002 ,0052 ,0301 ,0816 ,1436 ,1873 ,1941 ,1655 ,1181 ,0708 7 ,0000 ,0010 ,0091 ,0350 ,0820 ,1376 ,1792 ,1892 ,1657 ,1214 8 ,0000 ,0002 ,0022 ,0120 ,0376 ,0811 ,1327 ,1734 ,1864 ,1669 9 ,0000 ,0000 ,0004 ,0033 ,0139 ,0386 ,0794 ,1284 ,1694 ,1855

10 ,0000 ,0000 ,0001 ,0008 ,0042 ,0149 ,0385 ,0771 ,1248 ,1669 11 ,0000 ,0000 ,0000 ,0001 ,0010 ,0046 ,0151 ,0374 ,0742 ,1214 12 ,0000 ,0000 ,0000 ,0000 ,0002 ,0012 ,0047 ,0145 ,0354 ,0708 13 ,0000 ,0000 ,0000 ,0000 ,0000 ,0002 ,0012 ,0045 ,0134 ,0327 14 ,0000 ,0000 ,0000 ,0000 ,0000 ,0000 ,0002 ,0011 ,0039 ,0117

15 ,0000 ,0000 ,0000 ,0000 ,0000 ,0000 ,0000 ,0002 ,0009 ,0031 16 ,0000 ,0000 ,0000 ,0000 ,0000 ,0000 ,0000 ,0000 ,0001 ,0006 17 ,0000 ,0000 ,0000 ,0000 ,0000 ,0000 ,0000 ,0000 ,0000 ,0001 18 ,0000 ,0000 ,0000 ,0000 ,0000 ,0000 ,0000 ,0000 ,0000 ,0000

19 0 ,3774 ,1351 ,0456 ,0144 ,0042 ,0011 ,0003 ,0001 ,0000 ,0000 1 ,3774 ,2852 ,1529 ,0685 ,0268 ,0093 ,0029 ,0008 ,0002 ,0000 2 ,1787 ,2852 ,2428 ,1540 ,0803 ,0358 ,0138 ,0046 ,0013 ,0003 3 ,0533 ,1796 ,2428 ,2182 ,1517 ,0869 ,0422 ,0175 ,0062 ,0018 4 ,0112 ,0798 ,1714 ,2182 ,2023 ,1491 ,0909 ,0467 ,0203 ,0074

5 ,0018 ,0266 ,0907 ,1636 ,2023 ,1916 ,1468 ,0933 ,0497 ,0222 6 ,0002 ,0069 ,0374 ,0955 ,1574 ,1916 ,1844 ,1451 ,0949 ,0518 7 ,0000 ,0014 ,0122 ,0443 ,0974 ,1525 ,1844 ,1797 ,1443 ,0961 8 ,0000 ,0002 ,0032 ,0166 ,0487 ,0981 ,1489 ,1797 ,1771 ,1442 9 ,0000 ,0000 ,0007 ,0051 ,0198 ,0514 ,0980 ,1464 ,1771 ,1762

10 ,0000 ,0000 ,0001 ,0013 ,0066 ,0220 ,0528 ,0976 ,1449 ,1762 11 ,0000 ,0000 ,0000 ,0003 ,0018 ,0077 ,0233 ,0532 ,0970 ,1442 12 ,0000 ,0000 ,0000 ,0000 ,0004 ,0022 ,0083 ,0237 ,0529 ,0961 13 ,0000 ,0000 ,0000 ,0000 ,0001 ,0005 ,0024 ,0085 ,0233 ,0518 14 ,0000 ,0000 ,0000 ,0000 ,0000 ,0001 ,0006 ,0024 ,0082 ,0222

15 ,0000 ,0000 ,0000 ,0000 ,0000 ,0000 ,0001 ,0005 ,0022 ,0074 16 ,0000 ,0000 ,0000 ,0000 ,0000 ,0000 ,0000 ,0001 ,0005 ,0018 17 ,0000 ,0000 ,0000 ,0000 ,0000 ,0000 ,0000 ,0000 ,0001 ,0003 18 ,0000 ,0000 ,0000 ,0000 ,0000 ,0000 ,0000 ,0000 ,0000 ,0000 19 ,0000 ,0000 ,0000 ,0000 ,0000 ,0000 ,0000 ,0000 ,0000 ,0000

20 0 ,3585 ,1216 ,0388 ,0115 ,0032 ,0008 ,0002 ,0000 ,0000 ,0000 1 ,3774 ,2702 ,1368 ,0576 ,0211 ,0068 ,0020 ,0005 ,0001 ,0000 2 ,1887 ,2852 ,2293 ,1369 ,0669 ,0278 ,0100 ,0031 ,0008 ,0002

289


n x ,05 ,10 ,15 ,20 ,25 ,30 ,35 ,40 ,45 ,50

20 3 ,0596 ,1901 ,2428 ,2054 ,1339 ,0716 ,0323 ,0123 ,0040 ,0011 4 ,0133 ,0898 ,1821 ,2182 ,1897 ,1304 ,0738 ,0350 ,0139 ,0046 5 ,0022 ,0319 ,1028 ,1746 ,2023 ,1789 ,1272 ,0746 ,0365 ,0148 6 ,0003 ,0089 ,0454 ,1091 ,1686 ,1916 ,1712 ,1244 ,0746 ,0370 7 ,0000 ,0020 ,0160 ,0545 ,1124 ,1643 ,1844 ,1659 ,1221 ,0739

8 ,0000 ,0004 ,0046 ,0222 ,0609 ,1144 ,1614 ,1797 ,1623 ,1201 9 ,0000 ,0001 ,0011 ,0074 ,0271 ,0654 ,1158 ,1597 ,1771 ,1602 10 ,0000 ,0000 ,0002 ,0020 ,0099 ,0308 ,0686 ,1171 ,1593 ,1762 11 ,0000 ,0000 ,0000 ,0005 ,0030 ,0120 ,0336 ,0710 ,1185 ,1602 12 ,0000 ,0000 ,0000 ,0001 ,0008 ,0039 ,0136 ,0355 ,0727 ,1201

13 ,0000 ,0000 ,0000 ,0000 ,0002 ,0010 ,0045 ,0146 ,0366 ,0739 14 ,0000 ,0000 ,0000 ,0000 ,0000 ,0002 ,0012 ,0049 ,0150 ,0370 15 ,0000 ,0000 ,0000 ,0000 ,0000 ,0000 ,0003 ,0013 ,0049 ,0148 16 ,0000 ,0000 ,0000 ,0000 ,0000 ,0000 ,0000 ,0003 ,0013 ,0046 17 ,0000 ,0000 ,0000 ,0000 ,0000 ,0000 ,0000 ,0000 ,0002 ,0011

18 ,0000 ,0000 ,0000 ,0000 ,0000 ,0000 ,0000 ,0000 ,0000 ,0002 19 ,0000 ,0000 ,0000 ,0000 ,0000 ,0000 ,0000 ,0000 ,0000 ,0000 20 ,0000 ,0000 ,0000 ,0000 ,0000 ,0000 ,0000 ,0000 ,0000 ,0000

290

ΠΙΝΑΚΑΣ ΙΙ Poisson κατανοµή

Τα στοιχεία του πίνακα είναι οι πιθανότητες Ρ(Χ=x) λ x ,1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,6 ,7 ,8 ,9 1.0

0 .9048 .8187 .7408 .6703 .6065 .5488 .4966 .4493 .4066 .3679 1 .0905 .1637 .2222 .2681 .3033 .3293 .3476 .3595 .3659 .3879 2 .0045 .0164 .0333 .0536 .0758 .0988 .1217 .1438 .1647 .1839 3 .0002 .0011 .0033 .0072 .0126 .0198 .0284 .0383 .0494 .0613 4 .0000 .0001 .0002 .0007 .0016 .0030 .0050 .0077 .0111 .0153 5 .0000 .0000 .0000 .0001 .0002 .0004 .0007 .0012 .0020 .0031 6 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0001 .0002 .0003 .0005 7 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0001 λ x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0

0 .3329 .3012 .2725 .2466 .2231 .2019 .1827 .1653 .1498 .1353 1 .3662 .3614 .3543 .3452 .3347 .3230 .3106 .2975 .2842 .2707 2 .2014 .2169 .2303 .2417 .2510 .2584 .2640 .2678 .2700 .2707 3 .0738 .0867 .0998 .1128 .1255 .1378 .1496 .1607 .1710 .1804 4 .0203 .0260 .0324 .0395 .0471 .0551 .0636 .0723 .0812 .0902 5 .0045 .0062 .0084 .0111 .0141 .0176 .0216 .0260 .0309 .0361 6 .0008 .0012 .0018 .0026 .0035 .0047 .0061 .0078 .0098 .0120 7 .0001 .0002 .0003 .0005 .0008 .0011 .0015 .0020 .0027 .0034 8 .0000 .0000 .0001 .0001 .0001 .0002 .0003 .0005 .0006 .0009 9 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0001 .0001 .0001 .0002 λ x 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3.0

0 .1225 .1108 .1003 .0907 .0821 .0743 .0672 .0608 .0550 .0498 1 .2572 .2438 .2306 .2177 .2052 .1931 .1815 .1703 .1596 .1494 2 .2700 .2681 .2852 .2613 .2565 .2510 .2450 .2384 .2314 .2240 3 .1890 .1966 .2033 .2090 .2138 .2176 .2205 .2225 .2237 .2240 4 .0992 .1082 .1189 .1254 .1336 .1414 .1488 .1557 .1622 .1680 5 .0417 .0476 .0538 .0602 .0668 .0735 .0804 .0872 .0940 .1008 6 .0146 .0174 .0206 .0241 .0278 .0319 .0382 .0407 .0455 .0504 7 .0044 .0055 .0068 .0083 .0099 .0118 .0139 .0163 .0188 .0216 8 .0011 .0015 .0019 .0025 .0031 .0038 .0047 .0057 .0068 .0081 9 .0003 .0004 .0005 .0007 .0009 .0011 .0014 .0018 .0022 .0027

291

ΠΙΝΑΚΑΣ ΙΙ Poisson κατανοµή (συνέχεια)

λ x 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3.0

10 .0001 .0001 .0001 .0002 .0002 .0003 .0004 .0005 .0006 .0008 11 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0001 .0001 .0001 .0002 .0002 12 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0001

λ x 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 4.0

0 .0450 .0408 .0369 .0334 .0302 .0273 .0247 .0224 .0202 .0183 1 .1397 .1304 .1217 .1135 .1057 .0984 .0915 .0850 .0789 .0733 2 .2165 .2087 .2008 .1929 .1850 .1771 .1692 .1615 .1539 .1465 3 .2237 .2226 .2209 .2186 .2158 .2125 .2087 .2046 .2001 .1954 4 .1734 .1781 .1823 .1858 .1888 .1912 .1931 .1944 .1951 .1954 5 .1075 .1140 .1203 .1264 .1322 .1377 .1429 .1477 .1522 .1563 6 .0555 .0608 .0662 .0716 .0771 .0826 .0881 .0936 .0989 .1042 7 .0246 .0278 .0312 .0348 .0385 .0425 .0466 .0508 .0551 .0595 8 .0095 .0111 .0129 .0148 .0169 .0191 .0215 .0241 .0269 .0298 9 .0033 .0040 .0047 .0056 .0066 .0076 .0089 .0102 .0116 .0132 10 .0010 .0013 .0016 .0019 .0023 .0028 .0033 .0039 .0045 .0053 11 .0003 .0004 .0005 .0006 .0007 .0009 .0011 .0013 .0016 .0019 12 .0001 .0001 .0001 .0002 .0002 .0003 .0003 .0004 .0005 .0006 13 .0000 .0000 .0000 .0000 .0001 .0001 .0001 .0001 .0002 .0002 14 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0001

λ x 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5.0

0 .0166 .0150 .0136 .0123 .0111 .0101 .0091 .0082 .0074 .0067 1 .0679 .0630 .0583 .0540 .0500 .0462 .0427 .0395 .0365 .0337 2 .1393 .1323 .1254 .1188 .1125 .1063 .1005 .0948 .0894 .0842 3 .1904 .1852 .1798 .1743 .1687 .1631 .1574 .1517 .1460 .1404 4 .1951 .1944 .1933 .1917 .1898 .1875 .1849 .1820 .1789 .1755 5 .1600 .1633 .1662 .1687 .1708 .1725 .1738 .1747 .1753 .1755 6 .1093 .1143 .1191 .1237 .1281 .1323 .1362 .1398 .1432 .1462 7 .0640 .0686 .0732 .0778 .0824 .0869 .0914 .0959 .1002 .1044 8 .0328 .0360 .0393 .0428 .0463 .0500 .0537 .0575 .0614 .0653 9 .0150 .0168 .0188 .0209 .0232 .0255 .0280 .0307 .0334 .0363

292


λ

x 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5.0

10 .0061 .0071 .0081 .0092 .0104 .0118 .0132 .0147 .0164 .0181 11 .0023 .0027 .0032 .0037 .0043 .0049 .0056 .0064 .0073 .0082 12 .0008 .0009 .0011 .0014 .0016 .0019 .0022 .0026 .0030 .0034 13 .0002 .0003 .0004 .0005 .0006 .0007 .0008 .0009 .0011 .0013 14 .0001 .0001 .0001 .0001 .0002 .0002 .0003 .0003 .0004 .0005 15 .0000 .0000 .0000 .0000 .0001 .0001 .0001 .0001 .0001 .0002

λ x 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8 5.9 6.0

0 .0061 .0055 .0050 .0045 .0041 .0037 .0033 .0030 .0027 .0025 1 .0311 .0287 .0265 .0244 .0225 .0207 .0191 .0176 .0162 .0149 2 .0793 .0746 .0701 .0659 .0618 .0580 .0544 .0509 .0477 .0446 3 .1348 .1293 .1239 .1185 .1133 .1082 .1033 .0985 .0938 .0892 4 .1719 .1681 .1841 .1600 .1558 .1515 .1472 .1428 .1383 .1339 5 .1753 .1748 .1740 .1728 .1714 .1607 .1678 .1656 .1632 .1606 6 .1490 .1515 .1537 .1555 .1571 .1584 .1594 .1601 .1605 .1606 7 .1086 .1125 .1163 .1200 .1234 .1267 .1298 .1326 .1353 .1377 8 .0692 .0731 .0771 .0810 .0849 .0887 .0925 .0962 .0998 .1033 9 .0392 .0423 .0454 .0486 .0519 .0552 .0586 .0620 .0654 .0688 10 .0200 .0220 .0241 .0262 .0285 .0309 .0334 .0359 .0386 .0413 11 .0093 .0104 .0116 .0129 .0143 .0157 .0173 .0190 .0207 .0225 12 .0039 .0045 .0051 .0058 .0065 .0073 .0082 .0092 .0102 .0113 13 .0015 .0018 .0021 .0024 .0028 .0032 .0036 .0041 .0046 .0052 14 .0006 .0007 .0008 .0009 .0011 .0013 .0015 .0017 .0019 .0022 15 .0002 .0002 .0003 .0003 .0004 .0005 .0006 .0007 .0008 .0009 16 .0001 .0001 .0001 .0001 .0001 .0002 .0002 .0002 .0003 .0003 17 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0001 .0001 .0001 .0001 .0001 λ x 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 6.8 6.9 7.0

0 .0022 .0020 .0018 .0017 .0015 .0014 .0012 .0011 .0010 .0009 1 .0137 .0126 .0116 .0106 .0098 .0090 .0082 .0076 .0070 .0064 2 .0417 .0390 .0364 .0340 .0318 .0296 .0276 .0258 .0240 .0223 3 .0848 .0806 .0765 .0726 .0688 .0652 .0617 .0584 .0552 .0521 4 .1294 .1249 .1205 .1162 .1118 .1076 .1034 .0902 .0952 .0012

293

ΠΙΝΑΚΑΣ ΙΙ Poisson κατανοµή (συνέχεια) λ x 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 6.8 6.9 7.0

5 .1579 .1549 .1519 .1487 .1454 .1420 .1385 .1349 .1314 .1277 6 .1605 .1601 .1595 .1586 .1575 .1562 .1546 .1529 .1511 .1490 7 .1399 .1418 .1435 .1450 .1462 .1472 .1480 .1486 .1489 .1490 8 .1066 .1099 .1130 .1160 .1188 .1215 .1240 .1263 .1284 .1304 9 .0723 .0757 .0791 .0825 .0858 .0891 .0923 .0954 .0985 .1014 10 .0441 .0489 .0498 .0528 .0558 .0588 .0618 .0649 .0679 .0710 11 .0245 .0265 .0285 .0307 .0330 .0353 .0377 .0401 .0426 .0452 12 .0124 .0137 .0150 .0164 .0179 .0194 .0210 .0227 .0245 .0264 13 .0058 .0065 .0073 .0081 .0089 .0098 .0108 .0119 .0130 .0142 14 .0025 .0029 .0033 .0037 .0041 .0046 .0052 .0058 .0064 .0071 15 .0010 .0012 .0014 .0016 .0018 .0020 .0023 .0026 .0029 .0033 16 .0004 .0005 .0005 .0006 .0007 .0008 .0010 .0011 .0013 .0014 17 .0001 .0002 .0002 .0002 .0003 .0003 .0004 .0004 .0005 .0006 18 .0000 .0001 .0001 .0001 .0001 .0001 .0001 .0002 .0002 .0002 19 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0001 .0001 .0001 λ x 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 7.7 7.8 7.9 8.0

0 .0008 .0007 .0007 .0006 .0006 .0005 .0005 .0004 .0004 .0003 1 .0059 .0054 .0049 .0045 .0041 .0038 .0035 .0032 .0029 .0027 2 .0208 .0194 .0180 .0167 .0156 .0145 .0134 .0125 .0116 .0107 3 .0492 .0464 .0438 .0413 .0389 .0366 .0345 .0324 .0305 .0286 4 .0874 .0836 .0799 .0764 .0729 .0696 .0663 .0632 .0602 .0573 5 .1241 .1204 .1167 .1130 .1094 .1057 .1021 .0986 .0951 .0916 6 .1468 .1445 .1420 .1394 .1367 .1339 .1311 .1282 .1252 .1221 7 .1489 .1486 .1481 .1474 .1465 .1454 .1442 .1428 .1413 .1396 8 .1321 .1337 .1351 .1363 .1373 .1382 .1388 .1392 .1395 .1396 9 .1042 .1070 .1096 .1121 .1144 .1167 .1187 .1207 .1224 .1241 10 .0740 .0770 .0800 .0829 .0858 .0887 .0914 .0941 .0967 .0993 11 .0478 .0504 .0531 .0558 .0585 .0613 .0640 .0667 .0695 .0722 12 .0283 .0303 .0323 .0344 .0366 .0388 .0411 .0434 .0457 .0481 13 .0154 .0168 .0181 .0196 .0211 .0227 .0243 .0260 .0278 .0296 14 .0078 .0086 .0095 .0104 .0113 .0123 .0134 .0145 .0157 .0169

294


λ x 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 7.7 7.8 7.9 8.0

15 .0037 .0041 .0046 .0051 .0057 .0062 .0069 .0075 .0083 .0090 16 .0016 .0019 .0021 .0024 .0026 .0030 .0033 .0037 .0041 .0045 17 .0007 .0008 .0009 .0010 .0012 .0013 .0015 .0017 .0019 .0021 18 .0003 .0003 .0004 .0004 .0005 .0006 .0006 .0007 .0008 .0009 19 .0001 .0001 .0001 .0002 .0002 .0002 .0003 .0003 .0003 .0004 20 .0000 .0000 .0001 .0001 .0001 .0001 .0001 .0001 .0001 .0002 21 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0001 .0001

λ x 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6 8.7 8.8 8.9 9.0

0 .0003 .0003 .0002 .0002 .0002 .0002 .0002 .0002 .0001 .0001 1 .0025 .0023 .0021 .0019 .0017 .0016 .0014 .0013 .0012 .0011 2 .0100 .0092 .0086 .0079 .0074 .0068 .0063 .0058 .0054 .0050 3 .0269 .0252 .0237 .0222 .0208 .0195 .0183 .0171 .0160 .0150 4 .0544 .0517 .0491 .0466 .0443 .0420 .0398 .0377 .0357 .0337 5 .0882 .0849 .0816 .0784 .0752 .0722 .0692 .0663 .0635 .0607 6 .1191 .1160 .1128 .1097 .1066 .1034 .1003 .0972 .0941 .0911 7 .1378 .1358 .1338 .1317 .1294 .1271 .1247 .1222 .1197 .1171 8 .1395 .1392 .1388 .1382 .1375 .1366 .1356 .1344 .1332 .1318 9 .1256 .1269 .1280 .1290 .1299 .1306 .1311 .1315 .1317 .1318 10 .1017 .1040 .1063 .1084 .1104 .1123 .1140 .1157 .1172 .1186 11 .0749 .0776 .0802 .0828 .0853 .0878 .0902 .0925 .0948 .0970 12 .0505 .0530 .0555 .0579 .0604 .0629 .0654 .0679 .0703 .0728 13 .0315 .0334 .0354 .0374 .0395 .0416 .0438 .0459 .0481 .0504 14 .0182 .0196 .0210 .0225 .0240 .0256 .0272 .0289 .0306 .0324 15 .0098 .0107 .0116 .0126 .0136 .0147 .0158 .0169 .0182 .0194 16 .0050 .0055 .0060 .0066 .0072 .0079 .0086 .0093 .0101 .0109 17 .0024 .0026 .0029 .0033 .0036 .0040 .0044 .0048 .0053 .0058 18 .0011 .0012 .0014 .0015 .0017 .0019 .0021 .0024 .0026 .0029 19 .0005 .0005 .0006 .0007 .0008 .0009 .0010 .0011 .0012 .0014 20 .0002 .0002 .0002 .0003 .0003 .0004 .0004 .0005 .0005 .0006 21 .0001 .0001 .0001 .0001 .0001 .0002 .0002 .0002 .0002 .0003 22 .0000 .0000 .0000 .0000 .0001 .0001 .0001 .0001 .0001 .0001

295


λ x 9.1 9.2 9.3 9.4 9.5 9.6 9.7 9.8 9.9 10

0 .0001 .0001 .0001 .0001 .0001 .0001 .0001 .0001 .0001 .0000 1 .0010 .0009 .0009 .0008 .0007 .0007 .0006 .0005 .0005 .0005 2 .0046 .0043 .0040 .0037 .0034 .0031 .0029 .0027 .0025 .0023 3 .0140 .0131 .0123 .0115 .0107 .0100 .0093 .0087 .0081 .0076 4 .0319 .0302 .0285 .0269 .0254 .0240 .0226 .0213 .0201 .0189 5 .0581 .0555 .0530 .0506 .0483 .0460 .0439 .0418 .0398 .0378 6 .0881 .0851 .0822 .0793 .0764 .0736 .0709 .0682 .0656 .0631 7 .1145 .1118 .1091 .1064 .1037 .1010 .0982 .0955 .0928 .0901 8 .1302 .1286 .1269 .1251 .1232 .1212 .1191 .1170 .1148 .1126 9 .1317 .1315 .1311 .1306 .1300 .1293 .1284 .1274 .1263 .1251 10 .1198 .1210 .1219 .1228 .1235 .1247 .1245 .1249 .1250 .1251 11 .0991 .1012 .1031 .1049 .1067 .1083 .1098 .1112 .1125 .1137 12 .0752 .0776 .0799 .0822 .0844 .0866 .0888 .0908 .0928 .0948 13 .0526 .0549 .0572 .0594 .0617 .0640 .0662 .0685 .0707 .0729 14 .0342 .0361 .0380 .0399 .0419 .0439 .0459 .0479 .0500 .0521 15 .0208 .0221 .0235 .0250 .0265 .0281 .0297 .0313 .0330 .0347 16 .0118 .0127 .0137 .0147 .0157 .0168 .0180 .0192 .0204 .0217 17 .0063 .0069 .0075 .0081 .0088 .0095 .0103 .0111 .0119 .0128 18 .0032 .0035 .0039 .0042 .0046 .0051 .0055 .0060 .0065 .0071 19 .0015 .0017 .0019 .0021 .0023 .0026 .0028 .0031 .0034 .0037 20 .0007 .0008 .0009 .0010 .0011 .0012 .0014 .0015 .0017 .0019 21 .0003 .0003 .0004 .0004 .0005 .0006 .0006 .0007 .0008 .0009 22 .0001 .0001 .0002 .0002 .0002 .0002 .0003 .0003 .0004 .0004 23 .0000 .0001 .0001 .0001 .0001 .0001 .0001 .0001 .0002 .0002 24 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0001 .0001 .0001

296


λ x 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

0 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 1 .0002 .0001 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 2 .0010 .0004 .0002 .0001 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 3 .0037 .0018 .0008 .0004 .0002 .0001 .0000 .0000 .0000 .0000 4 .0102 .0053 .0027 .0013 .0006 .0003 .0001 .0001 .0000 .0000 5 .0224 .0127 .0070 .0037 .0019 .0010 .0005 .0002 .0001 .0001 6 .0411 .0255 .0152 .0087 .0048 .0026 .0014 .0007 .0004 .0002 7 .0646 .0437 .0281 .0174 .0104 .0060 .0034 .0018 .0010 .0005 8 .0888 .0655 .0457 .0304 .0194 .0120 .0072 .0042 .0024 .0013 9 .1085 .0874 .0661 .0473 .0324 .0213 .0135 .0083 .0050 .0029 10 .1194 .1048 .0859 .0663 .0486 .0341 .0230 .0150 .0095 .0058 11 .1194 .1144 .1015 .0844 .0663 .0496 .0355 .0245 .0164 .0106 12 .1094 .1144 .1099 .0984 .0829 .0661 .0504 .0368 .0259 .0176 13 0926 .1056 .1099 .1060 .0956 .0814 .0658 .0509 .0378 .0271 14 .0728 .0905 .1021 .1060 .1024 .0930 .0800 .0655 .0614 .0387 15 .0534 .0724 .0885 .0989 .1024 .0992 .0906 .0786 .0650 .0516 16 .0367 .0543 .0719 .0866 .0960 .0992 .0963 .0884 .0772 .0646 17 .0237 .0383 .0550 .0713 .0847 .0934 .0963 .0936 .0863 .0760 18 .0145 .0256 .0397 .0554 .0706 .0830 .0909 .0936 .0911 .0844 19 .0084 .0161 .0272 .0409 .0557 .0699 .0814 .0887 .0911 .0888 20 .0046 .0097 .0177 .0286 .0418 .0559 .0692 .0798 .0866 .0888 21 .0024 .0055 .0109 .0191 .0299 .0426 .0560 .0684 .0783 .0846 22 .0012 .0030 .0065 .0121 .0204 .0310 .0433 .0560 .0676 .0769 23 .0006 .0016 .0037 .0074 .0133 .0216 .0320 .0438 .0559 .0669 24 .0003 .0008 .0020 .0043 .0083 .0144 .0226 .0328 .0442 .0557 25 .0001 .0004 .0010 .0024 .0050 .0092 .0154 .0237 .0336 .0446 26 .0000 .0002 .0005 .0013 .0029 .0057 .0101 .0164 .0246 .0343 27 .0000 .0001 .0002 .0007 .0016 .0034 .0063 .0109 .0173 .0254 28 .0000 .0000 .0001 .0003 .0009 .0019 .0038 .0070 .0117 .0181 29 .0000 .0000 .0001 .0002 .0004 .0011 .0023 .0044 .0077 .0125

297


λ x 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

30 .0000 .0000 .0000 .0001 .0002 .0006 .0013 .0026 .0049 .0083 31 .0000 .0000 .0000 .0000 .0001 .0003 .0007 .0015 .0030 .0054 32 .0000 .0000 .0000 .0000 .0001 .0001 .0004 .0009 .0018 .0034 33 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0001 .0002 .0005 .0010 .0020 34 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0001 .0002 .0006 .0012 35 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0001 .0003 .0007 36 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0001 .0002 .0004 37 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0001 .0002 38 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0001 39 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0001

298

ΠΙΝΑΚΑΣ ΙΙΙ Τυπική κανονική κατανοµή

Τα στοιχεία του πίνακα είναι οι πιθανότητες Ρ(0<Z<z) z .00 .01 .02 .03 .04 .05 .06 .07 .08 .09

,0 .0000 .0040 .0080 .0120 .0160 .0199 .0239 .0279 .0319 .0359 ,1 .0398 .0438 .0478 .0517 .0557 .0596 .0636 .0675 .0714 .0753 ,2 .0793 .0832 .0871 .0910 .0948 .0987 .1026 .1064 .1103 .1141 ,3 .1179 .1217 .1255 .1293 .1331 .1368 .1406 .1443 .1480 .1517 ,4 .1554 .1591 .1628 .1664 .1700 .1736 .1772 .1808 .1844 .1879 ,5 .1915 .1950 .1985 .2019 .2054 .2088 .2123 .2157 .2190 .2224 ,6 .2257 .2291 .2324 .2357 .2389 .2422 .2454 .2486 .2517 .2549 ,7 .2580 .2611 .2642 .2673 .2704 .2734 .2764 .2794 .2823 .2852 ,8 .2881 .2910 .2939 .2967 .2995 .3023 .3051 .3078 .3106 .3133 ,9 .3159 .3186 .3212 .3238 .3264 .3289 .3315 .3340 .3365 .3389 1.0 .3413 .3438 .3461 .3485 .3508 .3531 .3554 .3577 .3599 .3621 1.1 .3643 .3665 .3686 .3708 .3729 .3749 .3770 .3790 .3810 .3830 1.2 .3849 .3869 .3888 .3907 .3925 .3944 .3962 .3980 .3997 .4015 1.3 .4032 .4049 .4066 .4082 .4099 .4115 .4131 .4147 .4162 .4177 1.4 .4192 .4207 .4222 .4236 .4251 .4265 .4279 .4292 .4306 .4319 1.5 .4332 .4345 .4357 .4370 .4382 .4394 .4406 .4418 .4429 .4441 1.6 .4452 .4463 .4474 .4484 .4495 .4505 .4515 .4525 .4535 .4545 1.7 .4554 .4564 .4573 .4582 .4591 .4599 .4608 .4616 .4625 .4633 1.8 .4641 .4649 .4656 .4664 .4671 .4678 .4686 .4693 .4699 .4706 1.9 .4713 .4719 .4726 .4732 .4738 .4744 .4750 .4756 .4761 .4767 2.0 .4772 .4778 .4783 .4788 .4793 .4798 .4803 .4808 .4812 .4817 2.1 .4821 .4826 .4830 .4834 .4838 .4842 .4846 .4850 .4854 .4857 2.2 .4861 .4864 .4868 .4871 .4875 .4878 .4881 .4884 .4887 .4890 2.3 .4893 .4896 .4898 .4901 .4904 .4906 .4909 .4911 .4913 .4916 2.4 .4918 .4920 .4922 .4925 .4927 .4929 .4931 .4932 .4934 .4936 2.5 .4938 .4940 .4941 .4943 .4945 .4946 .4948 .4949 .4951 .4952 2.6 .4953 .4955 .4956 .4957 .4959 .4960 .4961 .4962 .4963 .4964 2.7 .4965 .4966 .4967 .4968 .4969 .4970 .4971 .4972 .4973 .4974 2.8 .4974 .4975 .4976 .4977 .4977 .4978 .4979 .4979 .4980 .4981 2.9 .4981 .4982 .4982 .4983 .4984 .4984 .4985 .4985 .4986 .4986 3.0 .4987 .4987 .4987 .4988 .4988 .4989 .4989 .4989 .4990 .4990

ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ

Ελ λ η ν ό γ λωσση

1) Βασιλείου, Π.-Χ. Γ. (1996) Στοχαστικές µέθοδοι στις Επιχειρησιακές

Έρευνες, Εκδόσεις ΖΗΤΗ, Θεσσαλονίκη.

2) Βασιλείου, Π.-Χ. Γ., Τσακλίδης, Γ., Τσάντας, Ν. (1997) Ασκήσεις στην

Επιχειρησιακή Έρευνα, Εκδόσεις ΖΗΤΗ, Θεσσαλονίκη

3) Κάκουλλος, Θ. (1971) Μαθήµατα Θεωρίας Πιθανοτήτων, Εκδόσεις Σ.

ΛΕΟΥΣΗΣ, Αθήνα.

4) Κάκουλλος, Θ. (1978) Στοχαστικές Ανελίξεις, 2η Έκδοση, Εκδόσεις Σ.

ΛΕΟΥΣΗΣ, Αθήνα.

5) Κουνιάς, Σ., Μωυσιάδης, Χ. (1995) Θεωρία Πιθανοτήτων Ι: Κλασική

Πιθανότητα, Μονοδιάστατες Κατανοµές, Εκδόσεις ΖΗΤΗ, θεσσαλονίκη.

6) Λάγκαρης, Χ. (2001) Θεωρία Στοχαστικών ∆ιαδικασιών, ΠΑΝ/ΜΙΟ

ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ.

7) Παπαϊωάννου, Τ. (1997) Θεωρία Πιθανοτήτων και Στατιστικής, Εκδόσεις

Α. ΣΤΑΜΟΥΛΗΣ, Αθήνα.

Ξ ε ν ό γ λωσση

8) Bhat, U. N. (1972) Elements of Applied Stochastic Processes, JOHN

WILEY, New York.

9) Breiman, I. (1969) Probability and Stochastic Processes with a View

Toward Applications, HOUGHTON MIFFLIN Company, Boston.

300

10) Burrill, C. W. (1972) Measure, Integration and Probability, McGraw-

Hill, New York.

11) Cox, D. R., Miller, H. D. (1978) The Theory of Stochastic Processes,

CHAPMAN and HALL, London.

12) Feller, W. (1971) An Introduction to Probability Theory and its

Applications, Τόµος Ι, 3η Έκδοση, JOHN WILEY, New York.

13) Feller, W. (1971) An Introduction to Probability Theory and its

Applications, Τόµος IΙ, 2η Έκδοση, JOHN WILEY, New York.

14) Karlin, S., Taylor, H. M. (1975) Α First Course in Stochastic

Processes, 2η Έκδοση, ACADEMIC PRESS.

15) Koulkarni, V. G. (1995) Modeling and Analysis of Stochastic Systems

CHAPMAN & HALL , London

16) Loeve, M. ( 1963) Probability Theory, 3η Έκδοση, VAN NOSTRAD.

17) Renyi, A. (1997) Probability Theory, NORTH HOLLAND.

18) Ross, S. M. (1989) Introduction to Probability Models, ACADEMIC

PRESS.

19) Roussas, G. G. (1973) A First Course in Mathematical Statistics,

ADDISON-WESLEY.

Documents

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ - mathb∞ksgr · PDF file2 ΚΕΦ. 1.- ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ µπορούµε όµως να γνωρίζουµε