بسمه تعالی

4931ترم پاییز -مبانی اقتصاد سومحل تمرینات سری

:1سوال داند برای هر واحد غذایی که مصرف گیرد چه مقدار غذا بخورد میهر دانشجو وقتی تصمیم می Aدر دانشگاه

خورد که خوردن غذا برای او عدم مطلوبیت ایجاد د کرد و بنابراین تا جایی غذا میای پرداخت نخواهکند هزینهمیر هزینه فرصت خوردن هر واحد غذای بیشتر، دو دالر است. ) برای واحدهای غذای بیشت Bنماید ولی در دانشگاه

بنابراین اگر دو دالر اعتبار از دست می دهد( ،کند و برای واحدهای کمتر از آنپوند دو دالر پرداخت می 052از توان میخورد و در واقع خورد به اندازه دو دالر برای او ارزش نداشته باشد آن را نمید غذایی که میآخرین واح

ای هزینه Aکند در حالی که در دانشگاه برای خوردن هر واحد غذا هزینه آن را پرداخت می Bگفت فرد در دانشگاه شود.غذا مصرف می Aکمتر از Bکند و بنابراین در دانشگاه پرداخت نمی

توان با مدل زیر نیز همین نتیجه را نشان داد:می

گیرد:هر دانشجو به صورت زیر تصمیم می Aدر دانشگاه

𝑀𝑎𝑥 𝜋𝐴(𝑥) = 𝑈(𝑥) − 500

𝑠. 𝑡. 𝑥 ≥ 0

شود که در آنای ماکزیمم میاین تابع در نقطه. واحد غذاست 𝑥دهنده مطلوبیت مصرف نشان (𝑈(𝑥که در آن داشته باشیم:

𝑀𝑈(𝑥𝐴) = 0 فرد به صورت زیر تصمیم می گیرد: Bولی در در دانشگاه

𝑀𝑎𝑥 𝜋𝐵(𝑥) = 𝑈(𝑥) − 2𝑥

𝑠. 𝑡. 𝑥 ≥ 0

شود که در آن داشته باشیم:این تابع زمانی ماکزیمم می

𝑀𝑈(𝑥𝐵) = 2 𝑥𝐵گاه تابع مطلوبیت نهایی نزولی خواهد بود و بنابراین: با فرض داشتن تابع مطلوبیت شبه مقعر، آن < 𝑥𝐴

:5وال سa) شود:مسئله به صورت زیر تشکیل می

fhts

fhU

500001000001000000:.

)log5log4max(max

آورد که روی خط بودجه باشد لذا قید با کننده زمانی حداکثر مطلوبیت را به دست میدانیم مصرفمی .دهیمتابع الگرانژ را به صورت زیر تشکیل میعالمت تساوی برقرار خواهدبود. لذا ابتدا

)500001000001000000(log5log4: fhfhL

دهیم:شرایط مرتبه اول را برای تابع الگرنژ تشکیل می

0500001000001000000:][..

0500005

:][..

01000004

:][..

fhCOF

ffCOF

hhCOF

آید:با حل این سه معادله سه مجهولی به دست می

9

100,

9

40 fh

b) را در قیمتش ضرب کنیم مقدار مخارج فرد بر روی اگر مقادیر بهینه مصرفی به دست آمده برای هر کاال آید:هر کدام از کاالها به دست می

c) دهیم: )البته چون قیمت دو کاال یکسان است و مجددا تابع الگرانژ را برای حالت جدید تشکیل میتوان حدس زد میزان مصرفشان نیز به است می 5و ضریب خوراک 4ضریب مسکن در تابع مطلوبیت

همین نسبت خواهدبود(.)1000001000001000000(log5log4: fhfhL

دهیم:شرایط مرتبه اول را برای تابع الگرنژ تشکیل می

9

4000000100000

9

40sin

9

500000050000

9

100

ghouonspend

foodonspend

01000001000001000000:][..

01000005

:][..

01000004

:][..

fhCOF

ffCOF

hhCOF

آید:با حل این سه معادله سه مجهولی به دست می

9

50,

9

40 fh

یابد.میشود با افزایش قیمت غذا مصرف غذا کاهش مشاهده می

کند برابر است با:مقداری نیز که روی هر کاال خرج می

d) زیراد شرود لرذا قیمرت غرذا را در %02برر روی غرذا هماننرد ایرن اسرت کره قیمرت غرذا %02مالیات کنیم. فرض کرده و مسئله را مجددا حل می 55222این حالت

دهیم: حالت جدید تشکیل میمجددا تابع الگرانژ را برای

)550001000001000000(log5log4: fhfhL

دهیم:شرایط مرتبه اول را برای تابع الگرنژ تشکیل می

0550001000001000000:][..

0550005

:][..

01000004

:][..

fhCOF

ffCOF

hhCOF

آید:با حل این سه معادله سه مجهولی به دست می

9

4000000100000

9

40sin

9

5000000100000

9

50

ghouonspend

foodonspend

99

1000,

9

40 fh

کند برابر است با:مقداری نیز که روی هر کاال خرج می

e) براال %0برای به دست آوردن کشش تقاضای هرر کراال بایرد مباسربه کنریم کره اگرر قیمرت آن کراالبررای حرل رود با ثابت فرض کرردن بقیره شررایط تقاضرا بررای آن چنرد درصرد کراهش خواهردیافت.

افررزایش دهرریم و مراحررل قبررل را تکرررار کنرریم امررا %0ترروان قیمررت هررر کرراال را له مرریقریبرری مسررئتکنریم و از روابرط ریاضری کشرش برای بره دسرت آوردن جرواب دقیرئ مسرئله را پرارامتری حرل مری

)البترره در ایررن مسررئله برره علررت ثابررت بررودن کشررش تفرراوتی در جررواب ایجرراد کنرریم.اسررتفاده مرری نخواهدکرد(

دهیم:الگرانژ را به صورت پارامتری تشکیل میتابع

)(log5log4: fPhPIfhL fh

دهیم:شرایط مرتبه اول را برای تابع الگرنژ تشکیل می

0:][..

05

:][..

04

:][..

fPhPICOF

Pf

fCOF

Ph

hCOF

fh

f

h

آید:با حل این سه معادله سه مجهولی به دست می

9

4000000100000

9

40sin

9

500000055000

99

1000

ghouonspend

foodonspend

هررای عررددی اسررت. لررذا همررانطور کرره در حررل 0قیمترری تقاضررا برررای هررر دو کرراال برابررر مقرردار کشررش هررای پرریش دیرردیم هرچقرردر قیمررت یکرری از کاالهررا افررزایش یابررد برره همرران مقرردار مصرررف آن قسررمت

لرذا در ایرن فرررم ترابع مطلوبیررت کراهش خواهردیافت برره روری کره مخررارج روی آن کراال ثابرت بمانررد. دهد. ها تخصیص میدرآمد خود را بین آن فرد متناسب با سهم کاالها در تابع مطلوبیت

f) تغییرر کنرد نسربت %0کنرد کره اگرر قیمرت نسربی کاالهرا کشش جانشینی بین دو کراال بیران مری کند. در واقع داریم:ها چقدر تغییر میمصرف آن

1

)ln(

)ln(

h

f

sub

P

Ph

f

زیرا داریم:

1

)ln(

)ln()ln()

45ln()ln(

4

5

h

ff

h

f

h

P

Ph

f

PP

hf

P

P

hf

g) ضرب کنیم 9اگر از رفین لگاریتم گرفته و در کند زیرا این همان تابع مطلوبیت استهیچ تفاوتی نمی کند.آید. لذا پاسخ قسمت اول هیچ تغییری نمیهمان تابع به دست می

)log(5)log(4)log(5)log(4log9)log(9

5)log(9

4log95

9

4

fhUfhVfhVfhV

h) i :تفراوتی بره هرای بریبرای رسرم منبنریV دهریم و سر مقرادیر مختلرم مریh را برر حسربf کنیم.ترسیم می

fh P

If

P

Ih

9

5,

9

4

1

9401000009

10000004

9

4

9

4

1

9100500009

10000005

9

5

9

5

2

2

fP

I

h

P

P

I

h

P

dP

dh

fP

I

f

P

P

I

f

P

dP

df

h

h

h

h

f

f

f

f

f

f

f

ii .دهیم:تابع الگرانژ را به صورت پارامتری تشکیل می

)(: fPhPIfhL fh

دهیم:شرایط مرتبه اول را برای تابع الگرنژ تشکیل می

0:][..

0:][..

0:][..

1

1

fPhPICOF

PfhfCOF

PfhhCOF

fh

f

h

آید:با حل این سه معادله سه مجهولی به دست می

کند برابر است با:لذا مقداری که روی هر کاال خرج می

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

0 10 20 30 40 50 60 70

indefference curve

ffhhP

I

P

If

P

I

P

Ih

)1(

,)1(

iiiآید:. کشش قیمتی تقاضا برای دو کاال از رابطه زیر به دست می

یابد و مخارج روی دو کاال ثابت است لذا هرچه قیمت یک کاال افزایش یابد به همان میزان مصرفش کاهش می بالعک و کشش تقاض برابر واحد است.

ivنسربت مصررف تغییرر کنرد %0کنرد کره اگرر قیمرت نسربی کاالهرا . کشش جانشینی بین دو کاال بیان می کند. در واقع داریم:ها چقدر تغییر میآن

1

)ln(

)ln(

h

f

sub

P

Ph

f

زیرا داریم:

1

)ln(

)ln()ln()ln()ln(

h

ff

h

f

h

P

Ph

f

PP

hf

P

P

hf

هررای هررم مقرردار بایررد تررابع داده شررده را برابررر یررک مقرردار ثابررت بگیررریم و برررای رسررم منبنرری( 6سوووال -کنریم. برا تغییرر مقردار ثابرت انتخرابس یکی از متغیرهرا را بره صرورت ترابعی از متغیرر دیگرر مباسربه

آید. لذا داریم:مقدار مختلم به دست میهای همشده منبنی

IPffonspending

IPhhonspending

f

h

1

1

2

2

h

P

P

I

h

P

dP

dh

f

P

P

I

f

P

dP

df

h

h

h

h

f

f

f

f

f

f

(a)

15:;

1245

)5,4min(3 212

121cxelsecx

xifxxxc

(b)

1221213

2

3

4)32(

4

1)32(

4

1x

cxxxcxx

(c

33

1

15)3

51log( 122

1

cexxx

xc

(d)

41

2

1

2

4

2

2

1 )10

(10x

cxxxc

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

0 5 10 15 20 25 30

x2

x1

Iso-quant

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

0 20 40 60 80

x1

log(1 + x1/5 +3x2)

x2

x2b

x2a

x2c

e )

65

12

5

25

2

23

1

1 )2

(2

xc

xxxc

0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7

1.5

2

2.5

3

3.5

4

x1

x2

( 7سوال نویسم:مسئله را تشکیل داده و تابع الگرانژ را می

a)

𝑈 = 𝛽ℎ + 𝛼𝑓

𝑆. 𝑡. 𝐼 ≥ 𝑃𝑓 ∗ 𝑓 + 𝑃ℎ ∗ ℎ

ℒ = 𝛽ℎ + 𝛼𝑓 + 𝜆(𝐼 − (𝑃𝑓 ∗ 𝑓 + 𝑃ℎ ∗ ℎ))

𝜕ℒ

𝜕𝑓= 𝛼 − 𝜆 ∗ 𝑃𝑓 = 0 → 𝜆 =

𝛼

𝑃𝑓 I

𝜕ℒ

𝜕ℎ= 𝛽 − 𝜆 ∗ 𝑃ℎ = 0 → 𝜆 =

𝛽

𝑃ℎ ΙΙ

𝜕ℒ

𝜕𝜆= 𝑃𝑓 ∗ 𝑓 + 𝑃ℎ ∗ ℎ − 𝐼 = 0 ΙΙΙ

معادلره مقرادیر مصررف دو کراال را بره دسرت آورد، لرذا حردس 3تروان از حرل ایرن شود که نمریمشاهده میای دارد و مصررف یکری از دو کراال بایرد برابرر صرفر باشرد، پر مسرئله را برا زنیم که مسئله جواب گوشرهمی

کنیم:کینم و دوباره حل میقیدهای کامل بازنویسی می

𝑈 = 𝛽ℎ + 𝛼𝑓

𝑆. 𝑡. 𝐼 ≥ 𝑃𝑓 ∗ 𝑓 + 𝑃ℎ ∗ ℎ

𝑆. 𝑡. ℎ ≥ 0

𝑆. 𝑡. 𝑓 ≥ 0

ℒ = 𝛽ℎ + 𝛼𝑓 + 𝜆 (𝐼 − (𝑃𝑓 ∗ 𝑓 + 𝑃ℎ ∗ ℎ)) + 𝜇ℎ + 𝛾𝑓

𝜕ℒ

𝜕𝑓= 𝛼 − 𝜆 ∗ 𝑃𝑓 + 𝛾 = 0

𝜕ℒ

𝜕ℎ= 𝛽 − 𝜆 ∗ 𝑃ℎ + 𝜇 = 0

𝜆(𝐼 − 𝑃𝑓 ∗ 𝑓 + 𝑃ℎ ∗ ℎ) = 0

𝜇ℎ = 0

𝛾𝑓 = 0

آید:حالت پیش می 3در حل این مسئله

حالت اول:

𝑓 = 0, ℎ ≠ 0(𝜇 = کند. مسکن مصرف میکند و فقط در این حالت فرد هیچ غذایی خریداری نمی: (0دقت کنید که در این حالت ضریب قید بودجه حتما مثبت است و لذا قیدبودجه لزوما با عالمت تساوی برقرار

ℎاست. لذا مصرف مسکن برابر است با: = 𝐼𝑃ℎ

و مخارج مصرفی روی خانه و غذا به ترتیب برابر کل درآمد و صفر خواهدبود.

حالت دوم:

ℎ = 0, 𝑓 ≠ 0(𝛾 = کنررد و فقررط غررذا مصرررف ایررن حالررت فرررد هرریچ مسررکنی خریررداری نمرریدر : (0کنرد. دقرت کنیرد کره در ایرن حالرت ضرریب قیرد بودجره حتمرا مثبرت اسرت و لرذا قیدبودجره لزومرا برا می

𝑓عالمت تساوی برقرار اسرت. لرذا مصررف غرذا برابرر اسرت برا: = 𝐼𝑃𝑓

ا بره مخرارج مصررفی روی خانره و غرذ

خواهدبود. ترتیب برابر صفر و کل درآمد

حالت سوم:

ℎ ≠ 0, 𝑓 ≠ 0( 𝜇و 𝛾 = کند و هر ترکیبی از آنها که در قید : در این حالت فرد از هر دو کاال مصرف می(0در این حالت مخارج روی هرکدام متفاوت خواهدبود ولی جمع مخارج بودجه صدق کند برای فرد مطلوب است.

برابر کل درآمد خواهدبود.

حالت 3خط بودجه به ترتیب بزرگتر، کوچکتر یا مساوی شیب منبنی بیتفاوتی باشد لذا بسته به این که شیب افتد. )مبوری که روی آن خط بودجه خط مطلوبیت را قطع کند کاالی متناظرش مصرف میشود و باال اتفاق می

مصرف کاالی دیگر صفر خواهدبود.(

صفر است،پ مخرج صفر و کشش بی نهایت fیا hدر مورد کشش: چون این دو کاال جانشین کامل هستند یا خواهد بود.

ԑhf = 𝑑(

ℎ

𝑓)

𝑑(𝑞

𝑝) ×

𝑞

𝑝

ℎ

𝑓

توان گفت یه بطری آب معدنی از دو مارک متفاوت یا یک دوهزار تومانی می مثال جانشینی کامل به جای دو یک هزار تومانی

C دهیم. ( در حالتی که دو کاال مکمل کامل هم باشند مسئله را تشکیل می

𝑈 = min (𝛼ℎ, 𝛽𝑓)

𝑆. 𝑡. 𝐼 ≥ 𝑞 ∗ 𝑓 + 𝑝 ∗ ℎ

αℎکنرریم فرررض مرری = min (𝛼ℎ, 𝛽𝑓) ایررن فرررض فرررض بزرگرری نیسررت و خودترران برره عنرروان تمرررین( شود(نشان دهید اگر حالت دیگر هم برقرار باشد در نتایج تغییری حاصل نمی

𝛽𝑓لذا قید دوم به صورت ≥ 𝛼ℎ کنیم.را به مسئله اضافه می

سازیم:این فرض تابع الگرانژ را با دو قید میبا

𝐿: 𝛼ℎ + 𝜆(𝐼 − 𝑝ℎ − 𝑞𝑓) + 𝜇(𝛽𝑓 − 𝛼ℎ) 𝜆(𝐼 − 𝑝ℎ − 𝑞𝑓) = 0 𝜇(𝛽𝑓 − 𝛼ℎ) = 0

با نوشتن روابط شرایط مرتبه اول داریم:

𝐹. 𝑂. 𝐶[ℎ]: 𝛼 − 𝑝𝜆 − 𝛼𝜇 = 0

𝐹. 𝑂. 𝐶[𝑓]: −𝑞𝜆 + 𝛽𝜇 = 0

𝜆(𝐼 − 𝑝ℎ − 𝑞𝑓) = 0

𝜇(𝛽𝑓 − 𝛼ℎ) = 0

که قیمتها حتما مثبت هستند داریم: با حل این معادالت و با فروض مسئله

𝛽𝑓 = 𝛼ℎ 𝜆از آنجایی که ≠ د بودجه با تساوی برقرار است . لذا داریم:ی)چرا؟( ق 0

ℎ =𝐼

𝑝 +𝛼𝑞

𝛽⁄

𝑓 =𝐼

𝑞 +𝛽ℎ

𝛼⁄

در این حالت مخارج روی مسکن و غذا به ترتیب برابر خواهندبود با:

𝑝ℎ =𝐼

1 + (𝛼 𝛽⁄ )(𝑞𝑝

)

𝑞𝑓 =𝐼

1 + (𝛽

𝛼⁄ )(𝑝𝑞

)

چون کاالها مکمل هم هستند و همواره در حالت مطلوبیت ماکسیمم باید با نسبت در این حالت ند. کثابتی مصرف شوند پ نسبت مصرفی دو کاال مقدار ثابتی و با تغییر قیمت نسبی تغییر نمی

پ :

𝜀𝑃𝑓𝑃ℎ

𝑓ℎ =

𝑑 log𝑓ℎ

𝑑 log𝑃𝑓𝑃ℎ

= 0

)مدت زمان روشن بودن المپ( نام برد.توان از از چای و قند یا برق و المپ مثال دو کاال مکمل می

dنویسم:( اختیاری: همانند بخشهای قبل تابع الگرانژ را تشکیل داده و شرایط مرتبه اول را می

][)(:1

qfphIfhL

0:][..

0)(1:][..

0)(1:][..

111

111

qfphICOF

qhfhfCOF

phfhhCOF

آید:با حل این سه معادله سه مجهولی به دست می

1

1

1

1

)(

,

)(p

qpq

If

q

pqp

Ih

روی مسکن و غذا به ترتیب برابر خواهدبود با:در این حالت مخارج

11 )(1

,

)(1p

q

Ifq

q

p

Iph

در این حالت کشش جانشینی برابر خواهد بود با:

۞ ℎ

𝑓 = (

𝑝

𝑞)

1

ρ−1 = (

𝑞

𝑝)

−1

ρ−1 = (

𝑞

𝑝)

1

1−ρ

𝑑(ℎ

𝑓)

𝑑(𝑞

𝑝) =

1

1−ρ(

𝑞

𝑝)

(1

1−ρ−1)

= 1

1−ρ(

𝑞

𝑝)

(ρ

1−ρ)

ԑhf = 𝑑(

ℎ

𝑓)

𝑑(𝑞

𝑝) *

𝑞

𝑝

ℎ

𝑓

= 1

1−ρ(

𝑞

𝑝)

(ρ

1−ρ) ×

𝑞

𝑝

(𝑞

𝑝)

11−ρ

= 1

1−ρ(

𝑞

𝑝)

(ρ

1−ρ)

(𝑞

𝑝)

(−ρ

1−ρ) =

1

1−ρ

این تابع مطلوبیت در واقعیت معموال برای زیر شود که کشش جانشینی دو کاال مقداری ثابت است. مشاهده میتوان از این نوع تابع های مختلم و موارد مشابه میهای اصلی کاربرد دارد مثالً مصرف بین میوههای گروهشاخه

استفاده کرد. مطلوبیت