Το σφαιρίδιο του σχήµατος (1) έχει µάζα m κινού µενο δε πάνω στο λείο οριζόντιο δάπεδο προσπίπτει κάθετα στο κατα κόρυφο τοίχωµα µε ταχύτητα

�

! v

0, της οποίας ο φορέας συµπίπτει µε

τον άξονα του οριζόντιου ελατηρίου σταθεράς k. To σφαιρίδιο ανακλώ µενο αλλάζει φορά κινήσως και συναντά το ελευθερο άκρο του ελατη ρίου, µε αποτέλεσµα αυτό να συσπειρώνεται. Στην συνέχεια το ελατή ριο αποσυσπειρώνεται και το σφαιρίδιο αλλάζει φορά κινήσεως κατευ θυνόµενο πάλι προς το τοίχωµα, όπου και πάλι ανακλάται. Αν σε κάθε ανάκλαση το σφαιρίδιο χάνει το 1/4 της κινητικής του ενέργει ας, να βρεθεί το συνολικό µήκος της διαδροµής του κατά τον χρόνο που αυτό διατηρεί επαφή µε το ελατήριο. ΛΥΣΗ: Εάν

�

! v

n είναι η ταχύτητα ανάκλασης του σφαιριδλιου κατά την n-οστή

πρόσκρουσή του στο τοίχωµα και

�

! v

n-1 η αντίστοιχη ταχύτητα προσπτώσεως, θα

ισχύει σύµφωνα µε τα δεδοµένα του προβλήµατος η σχέση:

�

mvn

2

2=

3

4

mvn-1

2

2

�

!

�

vn=

3vn-1

2 (1)

Το σφαιρίδιο προσπίπτοντας στο ελευθερο άκρο του ελατηρίου µε ταχύτητα

�

! v

n

το συµπιέζει κατά xn και ισχύει η σχέση:

�

mvn

2

2=

kxn

2

2

�

!

�

vn

2=

kxn

2

m

�

!

�

xn

=m

kv

n

�

!

(1)

�

xn

=3m

k

vn-1

2 (2)

Σχήµα 1 µε n=1, 2, 3, . . . Κατά τον χρόνο που το σφαιρίδιο είναι σε επαφή µε το ελατή ριο το µήκος S της διαδροµής του πάνω στο οριζόντιο δάπεδο είναι:

�

S = 2(x1 + x2 + x3 + . . . + xn + . . .)

�

!

(2)

�

S =3m

k(v0 + v1 + v2 + . . . + vn-1 + . . .)

�

!

(1)

�

S =3m

kv

0+

3

2v

0+

3

2

!

" #

$

% &

2

v0+ . . . +

3

2

!

" #

$

% &

n

v0+ . . .

'

(

)

)

*

+

,

,

�

!

�

S =3m

kv

01+

3

2+

3

2

!

" #

$

% &

2

+ . . . +3

2

!

" #

$

% &

n

+ . . .

'

(

)

)

*

+

,

, (3)

Όµως η εντός της αγγύλης παράσταση αποτελεί το άθροισµα των απείρων όρων µιας φθίνουσας γεωµετρικής προόδου µε πρώτο όρο την µονάδα και λόγο

�

3/2, οπότε θα ισχύει:

�

1+3

2+

3

2

!

" #

$

% &

2

+ . . . +3

2

!

" #

$

% &

n

+ . . . =1

1 - 3/2

�

!

�

1+3

2+

3

2

!

" #

$

% &

2

+ . . . +3

2

!

" #

$

% &

n

+ . . . =2

2 - 3

= 2 2 - 3( ) (4)

Έτσι η σχέση (3) παίρνει την µορφή:

�

S = 2 2 - 3( ) 3m

kv

0 (5)

P.M. fysikos

Το µικρό σώµα Σ του σχήµατος (2) µάζας m, αφή νεται να πέσει πάνω στον δίσκο Δ, ο οποίος είναι στερεωµένος στο ένα άκρο κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k, του οποίου το άλλο άκρο έχει στερεωθεί στο έδαφος. i) Eάν το σώµα και ο δίσκος έχουν την ίδια µάζα m, να βρεθεί η συν θήκη ώστε το σώµα αφού συγκρουσθεί ελαστικά µε τον δίσκο να απο χωρισθεί από αυτόν. ii) Εάν η σταθερά του ελατηρίου είναι k=9mg/2h, το σώµα θα αποχω ριστεί από τον δίσκο; Aν ναι να βρεθεί η εξίσωση κινήσεως του δίσ κου µε αρχή των χρόνων την στιγµή που το σώµα αποσπάται από τον δίσκο. Να λάβετε ως θετική φορά την φορά κινήσεως του σώµατος

την στιγµή t=0 και να δεχθείτε ότι το σώµα αποµακρύνεται όταν εγκα ταλείψει τον δίσκο. Δίνεται η επιτάχυνση

�

! g της βαρύτητας.

ΛΥΣΗ: i) Ας δεχθούµε ότι το σώµα αφού συγκρουσθεί ελαστικά µε τον δίσκο χάνει την επαφή του µε αυτόν στην θέση που απέχει από την αρχική θέση Ο του δίσκου απόσταση x*. Στην θέση αυτή η µοναδική δύναµη που δέχεται το σώµα είναι το βάρος του, δηλαδή η αντίστοιχη επιτάχυνσή του είναι ίση µε την επιτάχυνση

�

! g της βαρύτητας. Όµως την ίδια επιτάχυνση έχει και ο δίσκος που

σηµαίνει ότι το ελατήριο δεν εξασκεί δύναµη στον δίσκο, δηλαδή βρίσκεται στην φυσική του κατάσταση. Εφαρµόζοντας για το σύστηµα σώµα-δίσκος-ελατήριο το θεώρηµα διατήρησης της µηχανικής ενέργειας, θεωρώντας ως επί πεδο αναφοράς της βαρυτικής ενέργειας το οριζόντιο επίπεδο που διέρχεται από το Ο, παίρνουµε την σχέση:

�

mgh +kx*

2

2=

2mv*2

2+ 2mgx*

�

!

�

mv2 = mgh +kx*

2

2- 2mgx* (1)

Σχήµα 2

όπου

�

! v

* η κοινή ταχύτητα σώµατος και δίσκου την στιγµή που το σώµα εγκα

ταλείπει τον δίσκο. Όµως στην θέση ισορροπίας Ο του δίσκου το βάρος του

�

m! g

εξουδετερώνεται από την δύναµη

�

! F !"

του συµπιεσµένου κατα x* ελατηρίου, δηλαδή ισχύει:

�

mg = kx*

�

!

�

x* = mg /k (2) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) και (2) έχουµε:

�

mv*2 = mgh +

km2g2

2k2- 2mg

mg

k

�

!

�

v*2 = gh -

3mg2

2k (3)

H (3) έχει νόηµα εφ’ όσον ισχύει:

�

gh -3mg2

2k> 0

�

!

�

gh >3mg2

2k

�

!

�

k >3mg

2h (4)

H σχέση (4) αποτελεί την ζητούµενη συνθήκη.

ii) Εάν η σταθερά k του ελατηρίου έχει την τιµή 9mg/2k είναι προφανές ότι το σώµα εγκαταλείπει τον δίσκο και όταν αποµακρυνθεί ο δίσκος θα εκτελεί κατα κόρυφη αρµονική ταλάντωση µε σταθερά επαναφοράς k και κέντρο ταλάντωσης το Ο και σύµφωνα µε το θεώρηµα διατήρησης της ενέργειας της ταλάντωσης µπορούµε να γράψουµε την σχέση:

�

mv*

2

2+

kx*

2

2=

kx0

2

2

�

!

(2)

�

mv*2 + k

m2g2

k2= kx0

2

�

mv2 + km2g2

k2= kx0

2

�

!

�

mv*2 +

m2g2

k= kx0

2

�

!

�

mv*2 +

m2g2

9mg/2h=

9mg

2hx0

2

�

!

�

v*2 +

2hg

9=

9g

2hx0

2 (5)

όπου x0 το πλάτος ταλάντωσης του δίσκου. Όµως από την σχέση (3) έχουµε:

�

v*2 = gh -

3mg2

2(9mg/2h)= gh -

gh

3=

2gh

3

oπότε η (5) γράφεται:

�

2gh

3+

2hg

9=

9g

2hx0

2

�

!

�

8h

9=

9

2hx

0

2

�

!

�

x0

=4h

9 (6)

Eξάλλου για την αλγεβρική τιµή της αποµάκρυνσης και της ταχύτητας του δίσκου ισχύουν οι σχέσεις:

�

x = x0!µ ("t +#)

v = x0"$%&("t +#)

' ( )

�

!

t= 0

�

x*= x

0!µ"

v*= x

0#$%&"

' ( )

�

!

(6)

�

!µ" = 9x*/4h

#$%" > 0

& ' ( (7)

όπου φ η αρχική φάση ταλαντωσης του δίσκου.Όµως ισχύει ακόµη ότι:

�

x* =mg

k=

mg

9mg/2h=

2h

9

µε αποτέλεσµα οι σχέσεις (7) να γράφονται:

�

!µ" = 1/2

#$%" > 0

& ' (

�

!

�

! ="

6

H ζητούµενη λοιπόν εξίσωση κίνησης του δίσκου έχει την µορφή:

�

x =4h

9!µ "t +

#6

$

% &

'

( ) µε

�

!2

=k

m

P.M. fysikos

Tο νήµα µαθηµατικού εκκρεµούς στερεώνεται στην οροφή ενός οχήµατος, το οποίο κινείται σε οριζόντιο δρόµο µε σταθερή επιτάχυνση

�

! a . Ένας παρατηρητής που βρίσκεται µέσα στο

όχηµα και ισορροπεί ως προς αυτό, παρακολουθεί το σφαιρίδιο του µαθηµατικού εκκρεµούς. i) Nα δείξετε ότι, ο παρατηρητής αυτός είναι υποχρεωµένος να θεω ρεί το σφαιρίδιο του εκκρεµούς µέσα σ’ ένα υποθετικό πεδίο βαρύτη τητας του οποίου η ένταση

�

! g ' ικανοποιεί την σχέση:

�

! g '=! g + (-

! a )

ii) Eάν το σφαιρίδιο εκτραπεί λίγο από την θέση ισορροπίας του, τότε εκτελεί ως προς τον παρατηρητή αρµονική ταλάντωση, της οποίας να βρείτε την περίοδο. Δίνεται το µήκος L του νήµατος του εκκρεµούς και η επιτάχυνση

�

! g της βαρύτητας στον τόπο που κινείται το όχηµα.

ΛYΣH: Aς εξετάσουµε το σφαιρίδιο, όταν αυτό ισορροπεί ως προς ένα παρατη ρητή που µετέχει της οριζόντιας κίνησης του οχήµατος. Tότε ως προς ένα ακίνητο επί του εδάφους παρατηρητή το σφαιρίδιο κινείται µε επιτάχυνση

�

! a ,

υπό την επίδραση του βάρους του

�

m! g και της τάσεως

�

!

F του νήµατος. Για τον

παρατηρητή αυτόν θα πρέπει η συνισταµένη των δυνάµεων

�

!

F και

�

m! g να είναι

ίση µε

�

m

! a , δηλαδή πρέπει να ισχύει η διανυσµατική σχέση:

�

!

F + m! g = m

! a

�

!

�

!

F = m(! a -! g ) (1)

δηλαδή ο ακίνητος παρατηρητής αντιλαµβάνεται ότι, το νήµα βρίσκεται υπό κλίση ως προς την κατακόρυφη διεύθυνση, δηλαδή σχηµατίζει ως προς αυτήν γωνία φ, για την οποία ισχύει: εφφ = ma/mg = a/g (2)

Σχήµα 3 Aλλά και ο κινούµενος παρατηρητής αντιλαµβάνεται το νήµα κεκλιµένο και το σφαιρίδιο να ισορροπεί, οπότε είναι αναγκασµένος να δέχεται ότι, η δύναµη

�

!

F από το νήµα (τάση του νήµατος) εξουδετερώνεται από ένα υποθετικό βάρος

�

m! g '

του σφαιριδίου, δηλαδή για τον παρατηρητή αυτόν ισχύει η σχέση:

�

!

F + m! g '=!

0

�

!

(1)

�

m(! a -! g ) + m

! g '=!

0

�

!

�

! g '=! g -! a = +

! g + (-

! a ) (3)

Έτσι ο κινούµενος παρατηρητής για να εξηγήσει την ισορροπία του σφαιριδίου είναι υποχρεωµένος να το θεωρεί µέσα σ’ ένα υποθετικό πεδίο βαρύτητας, που η έντασή του

�

! g ' ικανοποιεί την σχέση (3). Tο µέτρο της έντασης

�

! g ' θα είναι:

�

g'= g2 + a2 (4)

Σχήµα 4 H διεύθυνση του διανύσµατος

�

! g ' αποτελεί για τον κινούµενο παρατηρητή µια

υποθετική κατακόρυφη διεύθυνση ΟK΄, η οποία σχηµατίζει µε την πραγµατική κατακόρυφη διεύθυνση ΟK γωνία φ, που ικανοποιεί την σχέση (2). Όταν λοιπόν ο κινούµενος παρατηρητής εκτρέψει το σφαιρίδιο από την φαινοµενική θέση ισορροπίας του, ώστε το νήµα να σχηµατίσει µικρή γωνία µε την φαινοµε νική κατακόρυφη διεύθυνση, τότε το σφαιρίδιο θα εκτελέσει ως προς τον παρα τηρητή αυτόν α.τ. της οποίας η περίοδος T υπολογίζεται από την σχέση:

�

T = 2!L

g'

�

!

(4)

�

T = 2!L

(g2 + a2)1 / 2

P.M. fysikos

Σ’ ένα κύκλωµα L-C παραγωγής αµείωτων ηλεκτ ρικών ταλαντώσεων να δείξετε ότι, ο δεύτερος κανόνας του Kirchoff αποτελεί µια έκφραση της αρχής διατήρησης της ενέργειας. Αν στο κύκλωµα αυτό την χρονική στιγµή t=0 ισχύει q(0)=0 και i(0)=i0<0, να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστηµα αξόνων τις γραφικές παραστάσεις της ενέργειας του ηλεκτρικού φορτίου του πυκνωτή και της ενέργειας του µαγνητικού πεδίου του πηνίου, σε συνάρτηση µε τον χρόνο. ΛΥΣΗ: Σύµφωνα µε την αρχή διατήρησης της ενέργειας το άθροισµα της ενέρ γειας του ηλεκτρικού πεδίου του πυκνωτή και της ενέργειας του µαγνητικού πεδίου του πηνίου κάθε στιγµή είναι σταθερό, δηλαδη ισχύει η σχέση:

�

q2

2C+

Li2

2= W0 (1)

όπου q, i το ηλεκτρικό φορτίο του πυκνωτή και i η ένταση του ρεύµατος στο πηνίο αντιστοίχως την τυχαία στιγµή t που εξετάζουµε το κύκλωµα L-C και Ε0 σταθερή θετική ποσότητα.. Διαφορίζοντας τη σχέση (1) παίρνουµε:

q dq

C+ Li di = 0

!

�

q

C

dq

dt

!

" #

$

% & + Li

di

dt

!

" #

$

% & = 0

Σχήµα 5 Ας δεχθούµε, χωρίς αυτό να βλάπτει την γενικότητα, ότι ο οπλισµός αναφοράς α του πυκνωτή την χρονική στιγµή t φέρει θετικό φορτίο, το οποίο µέσω του ρεύµατος τείνει να µειωθεί και ακόµη ότι η αντίστοιχη ένταση του ρεύµατος τείνει να ελλατωθεί*. Τότε θα ισχύει q>0, i=dq/dt<0, di<0 και η προηγούµενη σχέση γράφεται:

�

q

Ci + Li

di

dt

!

" #

$

% & = 0 !

�

q

C+ L

di

dt

!

" #

$

% & = 0 (2)

Όµως την την στιγµή αυτή ο πυκνωτής εκφορτίζεται, δηλαδή συµπεριφέρεται ως ηλεκτρική γεννήτρια µε ηλεκτρεγερτική δύναµη ίση µε την τάση q/C στους οπλισµούς του, ενώ το πηνίο αποτελεί ηλεκτρικό αποδέκτη µε πολικότητα που φαίνεται στο σχήµα (5) και αντιηλεκτρεγερτική δύναµη ίση µε L|di/dt|. Eφαρ µόζοντας την στιγµή t στο κύκλωµα τον δεύτερο κανόνα του Kirchoff παίρνου µε την σχέση:

�

q

C- L

|di|

dt= 0 !

�

q

C+ L

di

dt= 0

δηλαδή επανευρίσκουµε την σχέση (2) γεγονός που πείθει ότι ο δεύτερος κανό νας του Kirchoff αποτελεί µια άλλη εκφραση της αρχής διατηρήσεως της ενέρ γειας. Εξάλλου για το ηλεκτρικό φορτίο q του πυκνωτή και για την ένταση i του ρεύµατος στο πηνίο ισχύουν οι σχέσεις:

�

q = q0!µ ("t +#)

i = q0"$%&("t +#)

' ( )

�

!

t= 0

�

0 = q0!µ"

i0 = q0#$%&"

' ( ) !

�

!µ" = 0

#$%" = i0/q0&

' ( ) !

�

!µ" = 0

#$%" < 0

& ' ( !

�

! = "

όπου q0 θετική σταθερή ποσότητα φ η αρχική φάση της ηλεκτρικής ταλάντωσης και ω η κυκλική ιδιοσυχνότητα του κυκλώµατος L-C ίση µε 1/(LC)1/2. Άρα οι προηγούµενες σχέσεις γράφονται:

�

q = q0!µ ("t + #)

i = q0"$%&("t + #)

' ( ) !

�

q = - (i0/!)"µ (!t + #)

i = -i0$%&(!t + #)

' ( ) !

�

q =(i0/!)"µ!t

i = i0#$%!t

& ' (

Σχήµα 6 Η ενέργεια WC του ηλεκτρικού πεδίου του πυκνωτή και η ενέργεια WL του µαγνητικού πεδίου του πηνίου υπολογίζονται από τις σχέσεις:

�

WC =q2

2C=

1

2C

i0

!"

# $

%

& '

2

(µ2!t !

�

WC

=i0

2LC

2C!µ

2"t =

Li0

2

2!µ

2"t (3)

και

�

WL

=Li

2

2=

Li0

2

2!"#

2$t (4)

Οι γραφικές παραστάσεις των (3) και (4) αποδίδονται στο σχήµα (6).

P.M. fysikos

To ένα άκρο ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k, είναι στερεωµένο στην οροφή ανελκυστήρα, ενώ στο άλλο άκρο του έχει στερεωθεί σφαιρίδιο µάζας m. Την χρονική στιγµή t=0 το σύστηµα είναι ακίνητο και ο ανελκυστήρας αρχίζει να επιταχύνεται προς τα πάνω µε σταθερή επιτάχυνση

�

! a .

i) Να βρεθεί η εξίσωση κίνησης του σφαιριδίου στο σύστηµα αναφο ράς του εδάφους. ii) Να δείξετε ότι η ταχύτητα του σφαιριδίου στο ίδιο σύστηµα µηδε νίζεται κατα τις χρονικές στιγµές που είναι ρίζες της εξίσωσης:

�

!2t2

5!-!

4t4

7!+!

6t6

9!- . . . =

1

6 µε

�

!2

=k

m

ΛΥΣΗ: i) Πριν την εκκίνηση του ανελκυστήρα το σφαιρίδιο ισορροπεί στην θέ ση Ο, υπό την επίδραση του βάρους του

�

m! g και της δύναµης από το τεντωµένο

ελατήριο, η δέ απόστασή του L0 από την οροφή του ανελκυστήρα είναι L+mg/k, όπου L το φυσικό µήκος του ελατηρίου. Εξετάζοντας το σφαιρίδιο στο σύστηµα αναφοράς του ανελκυστήρα όταν αυτός επιταχύνεται, αναγνωρίζουµε ότι αυτό δέχεται το βάρος του

�

m! g , την δύναµη

�

! F !"

από το ελατήριο και την αδρανειακή ψευδοδύναµη D’ Alembert

�

! ! = -m

! a , συµφωνα δε µε τον δεύτερο νόµο κινήσε

ως του Νευτωνα θα ισχύει η σχέση:

�

md2x

dt2= mg + ma - F

!" (1)

Σχήµα 7 όπου

�

! x το διάνυσµα θέσεως (αποµάκρυνση) του σφαιριδίου µε αρχη το Ο, κατά

την χρονική στιγµή t που το εξετάζουµε. Όµως για το µέτρο της δύναµης

�

! F !"

ισχύει:

�

F!"

= k(x + mg/k) = kx + mg oπότε η σχέση (1) γράφεται:

�

md2x

dt2= mg + ma - kx - mg

�

!

�

md

2x

dt2

+ kx = ma

�

!

�

d2x

dt2

+k

mx = a

�

!

�

d2x

dt2

+!2x = a µε

�

!2

=k

m (2)

Η (2) αποτελεί µια µη οµογενή γραµµική διαφορική εξίσωση δευτέρας τάξεως µε σταθερούς συντελεστές και δέχεται µερική λύση της µορφής x1(t)=a/ω2, ενώ η λύση της αντίστοιχης οµογενούς εξίσωσης έχει την µορφή:

�

x2(t) = A!µ ("t +#) (3) όπου Α, φ σταθερές ποσότητες, που θα προσδιορισθούν από τις αρχικές συνθή

κες κίνησης του σφαιριδίου στο σύστηµα αναφοράς του ανελκυστήρα. Η γενική λύση της (2) είναι:

�

x(t) = x1(t) + x2(t)

�

!

(3)

�

x(t) = a/!2 + A"µ (!t +#) (4) Παραγωγίζοντας την (4) ως προς τον χρόνο παίρνουµε την αλγεβρική τιµή της σχετικής ταχύτητας

�

! v του σφαιριδίου ως προς τον ανελκυστήρα, δηλαδή θα

έχουµε:

�

v =dx(t)

dt= A!"#$(!t +%) (5)

Οι σχέσεις (4) και (5) για t=0 δίνουν:

�

0 = a/! 2+ A"µ#

0 = A!$%&'

( ) *

�

!

�

A!µ" = -a/# 2

$%&' = 0

( ) *

�

!

�

A = -a/! 2

" = # /2

$

%

&

(6)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (4) και (6) παίρνουµε την εξίσωση κίνησης του σφαιρι δίου στο σύστηµα αναφοράς του ανεκυστήρα, δηλαδή την σχέση:

�

x(t) =a

!2

-a

!2"µ (!t + # /2)

�

!

�

x(t) =a

!2

1 - "#$(!t( ) (7)

Eξάλλου η αλγεβρική τιµή της µετατόπισης

�

! x ! του ανελκυστήρα στο σύστηµα

αναφοράς του εδάφους, κατά την χρονική στιγµή t είναι:

�

x!

= -at2/2 (8)

οπότε η εξίσωση κίνησης του σφαιριδίου στο σύστηµα αναφοράς του εδάφους θα έχει την µορφή:

�

X(t) = x!

+ x(t)

�

!

(7),(8)

�

X(t) = -at

2

2+

a

!2

1 - "#$!t( ) (9)

ii) H αλγεβρική τιµή της ταχύτητας

�

! v ! του ανεκυστήρα στο σύστηµα αναφο

ράς του εδάφους την χρονική στιγµή t είναι:

�

v!

= -at η δε αλγεβρική τιµή της αντίστοιχης σχετικής ταχύτητας του σφαιριδίου ως προς τον ανελκυστήρα είναι:

�

v = -a!

!2"#$(!t + % /2)

�

!

�

v =a

!"µ!t

H ταχύτητα (αλγεβρική τιµή) του σφαιριδίου στο σύστηµα αναφοράς του εδά φους την χρονική στιγµή t, είναι:

�

V(t) = v!

+ v

�

!

�

V(t) = -at +a

!"µ!t (10)

Οι χρονικές στιγµές που η V(t) µηδενίζεται προκύπτουν από την σχέση:

�

-at +a

!"µ!t = 0

�

!

�

!µ"t = "t

�

!

�

!t

1!-!

3t3

3!+!

5t5

5!-!

7t7

7!+ . . . = !t

�

!

�

-!

3t3

3!+!

5t5

5!-!

7t7

7!+ . . . = 0

�

!

�

! 3t3

-1

3!+! 2

t2

5!-! 4

t4

7!+ . . .

"

# $

%

& ' = 0

�

!

�

!2t2

5!-!

4t4

7!+ . . . =

1

6 (11)

Η (11) είναι µια εξίσωση που δεν λύνεται µε αλγεβρική µέθοδο, µπορεί όµως να λύθεί γραφικά σε ηλεκτρονικό υπολογιστή που χρησιµοποιεί κατάλληλο µαθη µατικό πρόγραµµα.

P.M. fysikos

Στην διάταξη του σχήµατος (8) τα σφαιρίδια Σ1 και Σ2 έχουν την ίδια µάζα m τα δε ελατήρια είναι ιδανικά και έχουν την ίδια σταθερά k. Εκτρέπουµε το σφαιρίδιο Σ1 κατακόρυφα προς τα κάτω από την θέση ισορροπίας του O1 και το αφήνουµε ελευθερο. i) Να βρεθούν οι διαφορικές εξισώσεις κινήσεως των δύο σφαιριδίων. ii) Εάν ω1, ω2 είναι οι γωνιακές συχνότητες των κανονικών τρόπων ταλάντωσης των σφαιριδίων να δείξετε τις σχέσεις:

�

!1

2=

(3 + 5)k

2m και

�

! 2

2=

(3 - 5)k

2m

ΛΥΣΗ: i) Όταν το σύστηµα ισορροπεί το κάτω σφαιρίδιο Σ2 δέχεται το βάρος του

�

m! g και την δύναµη

�

! f 2 από το ελατήριο που το συγκρατεί, οπότε ισχύει:

�

f2 = mg (1) Εξάλλου το πάνω σφαιρίδιο Σ1 δέχεται το βάρος του

�

m! g , την δύναµη από το

κάτω ελατήριο ίση µε

�

-! f 2 και την δύναµη

�

! f 1 από το πάνω ελατήριο, λόγω δε

της ισορροπίας του ισχύει:

�

f1 = mg + f2

�

!

(1)

�

f1 = 2mg (2) Στην συνέχεια εξετάζουµε το σύστηµα κατά µια τυχαία χρονική στιγµή t που οι αποµακρύνσεις των σφαιριδίων Σ1 και Σ2 από τις θέσεις ισορροπίας τους Ο1 και Ο2 είναι

�

! x

1 και

�

! x

2 αντιστοίχως. Εφαρµόζοντας για το σφαιρίδιο Σ2 τον δεύ

τερο νόµο κινήσεως του Νευτωνα παίρνουµε την σχέση:

�

md2x2

dt2= mg - F2 (3)

Σχήµα 8 όπου

�

! F

2 η δύναµη που δέχεται το σφαιρίδιο από το ελατήριο που το συγκρατεί.

Όµως την στιγµή αυτή το ελατήριο είναι τεντωµένο από την φυσική του κατά σταση κατά x2+mg/k-x1, οπότε το µέτρο της

�

! F

2 είναι:

�

F2 = k(x2 + mg/k - x1) = kx2 + mg - kx1 Έτσι η σχέση (3) γράφεται:

�

md2x2

dt2= mg - kx2 + mg + kx1

�

!

�

d2x2

dt2

+k

m(x2 - x1) = 0 (4)

Tην ίδια στιγµή ο δεύτερος νόµος κινήσεως του Νευτωνα δίνει για το σφαιρί διο Σ1 την σχέση:

�

md2x1

dt2= mg + F2 - F1 (5)

όπου

�

-! F

2,

�

! F

1 οι δυνάµεις που δέχεται το Σ1 από το κάτω και το πάνω ελατήριο

αντιστοίχως. Όµως για το µέτρο της

�

! F

1 ισχύει:

�

F1 = k(x1 + 2mg/k) = kx1 + 2mg οπότε η σχέση (5) γράφεται:

�

md2x1

dt2= mg + kx2 + mg - kx1 - kx1 - 2mg

�

!

�

d2x1

dt2

+k

m(2x1 - x2) = 0 (6)

Οι σχέσεις (4) και (6) αποτελούν τις ζητούµενες διαφορικές εξισώσεις κινήσεως των δύο σφαιριδίων. ii) Θα εξετάσουµε αν υπάρχει δυνατότητα τα δύο σφαιρίδια να ταλαντεύονται µε την ίδια γωνιακή συχνότητα. Προς τούτο εξετάζουµε το ενδεχόµενο το σύστηµα των διαφορικών εξισώσεων (4) και (6) να δέχεται λύση της µορφής:

�

x1 = A1!µ ("t+#)

x2 = A2!µ ("t+#)

$ % & (7)

Στην περίπτωση αυτή παραγωγίζοντας δύο φορές ως προς τον χρόνο τις σχέ σεις (7) θα έχουµε:

�

dx1/dt= A1!"#$(!t+%)

dx2/dt= A2!"#$(!t+%)

&

'

(

�

!

�

d2x1/dt2 = -A1!2"µ(!t+#)

d2x2/dt2 = -A2!2"µ(!t+#)

$ % & (8)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (8) µε τις εξισώσεις (4) και (6) παίρνουµε:

�

-A2!2"µ (!t+#) + (k/m)[A2"µ (!t+#) -A1"µ (!t+#)

-A2!2"µ (!t+#) + (k/m)[2A1"µ (!t+#) -A2"µ (!t+#)

$ % &

�

!

�

-A2!2+ (k/m)(A2 -A1) = 0

-A1!2+ (k/m)(2A1 -A2) = 0

"

#

$

�

!

�

A2(-!2+k/m) = (k/m)A1

-A2(k/m) = (! 2 - 2k/m)A1

"

#

$

�

!

(:)

�

-!2+k/m

-k/m=

k/m

!2- 2k/m

�

!

�

-!4+!

2k/m+2!

2k/m - 2k

2/m

2=-k

2/m

2

�

!

�

-! 4+ (3k/m)! 2 - k2/m2 = 0

�

!

�

!4- (3k/m)! 2 + k2/m2 = 0 (9)

Η (9) αποτελεί µια δευτεροβάθµια εξίσωση ως προς ω2 και οι ρίζες της είναι:

�

!1

2 =3k/m + 9k2 /m2 - 4k2 /m2

2=

k(3 + 5

2m

και

�

! 2

2 =3k/m - 9k2 /m2 - 4k2 /m2

2=

k(3 - 5

2m

Από την παραπάνω διαδικασία συµπεραίνουµε ότι το σύστηµα έχει την δυνατό τητα να εκτελεί δύο κανονικούς τρόπους ταλάντωσης. Ο τρόπος ταλάντωσης που αντιστοιχεί στην µεγαλύτερη γωνιακή συχνότητα ω1 χαρακτηρίζεται από την σχέση:

�

A2

k

m-k(3 + 5

2m

!

"

#

#

$

%

&

&

= A1

k

m

�

!

�

A1

A2

=2 - 3 - 5

2< 0

δηλαδή στην περίπτωση αυτή οι αποµακρύνσεις των δύο σφαιριδίων είναι κάθε στιγµή αντίρροπες, που σηµαίνει ότι κατά την γρήγορη ταλάντωση του συστή µατος υπάρχει αντίθεση φάσεως ανάµεσα στα δύο σφαιρίδια. Εξάλλου ο τρόπος ταλάντωσης του σύστήµατος που αντιστοιχεί στην µικρότερη γωνιακή συχνό τητα ω2 χαρακτηρίζεται από την σχέση:

�

A2

k

m-k(3 - 5

2m

!

"

#

#

$

%

&

&

= A1

k

m

�

!

�

A1

A2

=2 - 3 + 5

2> 0

δηλαδή κατά την αργή ταλάντωση του συστήµατος υπάρχει συµφωνία φάσεως ανάµεσα στα δύο σφαιρίδια, που σηµαίνει ότι κάθε στιγµή οι αποµακρύνσεις τους είναι οµόσηµες.

P.M. fysikos

Ένα εκκρεµές αποτελείται από σηµειακή µάζα m που είναι στερεωµένη στο ένα άκρο λεπτής ράβδου µηκούς L και αµελητέας µάζας. Η ράβδος µπορεί να στρέφεται περί οριζόντιο άξονα κάθετο στην ράβδο και διερχόµενο από το άλλο της άκρο, στηρίζεται δε o άξονας αυτός επάνω σε µια βάση, η οποία εκτελεί οριζόντια κίνηση που περιγράφεται στο σύστηµα αναφοράς του εδάφους από την σχέση:

�

x(t) = x0!"#$t όπου x0, ω θετικές και σταθερές ποσότητες. i) Να δείξετε ότι η γωνία φ που σχηµατίζει η ράβδος µε την κατακό ρυφη διεύθυνση καθορίζεται από την διαφορική εξίσωση:

�

d2!

dt2+

g

L"µ! -

x0#2

L$%&#t$%&! = 0

ii) Nα λύσετε την παραπάνω εξίσωση στην περίπτωση που ω2≠g/L µε την προυπόθεση ότι την στιγµή t=0 η γωνιακή εκτροπή της ράβδου από την κατακόρυφη διεύθυνση έχει πολύ µικρή τιµή φ0, η δε γωνια κή της ταχύτητα είναι µηδενική.

ΛΥΣΗ: i) Εξετάζουµε το σύστηµα ράβδος-σηµειακή µάζα m στο σύστηµα ανα φοράς της κινούµενης βάσεως κατά µια τυχαία στιγµή t που η ράβδος σχηµατί ζει µε την κατακόρυφη διεύθυνση γωνία φ. Ένας παρατηρητής που µετέχει της κινήσεως της βάσεως αναγνωρίζει ότι πάνω στο σύστηµα ενεργούν οι εξής δυ νάµεις:

Σχήµα 9

α. το βάρος

�

m! g της σηµειακής µάζας m,

β. η αδρανειακή ψευδοδύναµη D’ Alembert

�

! ! =- m

! a επί της µάζας m, όπου

�

! a η

επιτάχυνση της βάσεως κατα την χρονική στιγµή t και γ, η δύναµη που εξασκεί ο άξονας στήριξης της ράβδου στο άκρο της A που είναι σε επαφή µε την βάση. Eφαρµόζοντας για το σύστηµα τον θεµελιώδη νόµο της στροφικής κίνησης παίρ νουµε την σχέση:

�

Id2!

dt2= -mgx'+"(AB)

�

!

�

Id2!

dt2= -mgL"µ! -maL#$%! (1)

Όµως η ροπή αδράνειας Ι του συστήµατος ως προς τον άξονα περιστροφής του Ο ειναι ίση µε mL2 η δε αλγεβρική τιµή της

�

! a είναι –x0ω

2συνωt, οπότε η (1) παίρνει την µορφή:

�

mL2 d2!

dt2= -mgL"µ! +mx0#

2$%&#tL$%&!

�

!

�

Ld2!

dt2= -g"µ! +x0#

2$%&#t$%&!

�

!

�

d2!

dt2+

g

L"µ! -

x0#2

L$%&#t$%&! = 0 (2)

ii) Eάν η αρχική γωνιακή εκτροπή φ0 της ράβδου από την κατακόρυφη διεύ θυνση είναι µικρή, τότε µπορούµε µε καλή προσέγγιση να θεωρήσουµε ότι συνφ≈1 και ηµφ≈φ, οπότε η σχέση (2) παίρνει την µορφή:

�

d2!

dt2+

g

L! -

x0"2

L#$%"t = 0

�

!

�

d2!

dt2+

g

L! =

x0"2

L#$%"t

�

!

�

d2!

dt2

+"0

2! =

x0"

2

L#$%"t µε

�

! 0

2 =g

L (3)

Η (3) αποτελεί µια γραµµική µη οµογενή διαφορική εξίσωση δευτέρας τάξεως µε σταθερούς συντελεστές και η γενική της λύση θα προκύψει ως άθροισµα µιας µερικής της λύσεως και της λύσεως της αντίστοιχης οµογενούς εξίσωσης. Δοκιµάζουµε ως µερική λύση της (3) την συνάρτηση:

�

!1(t) = A1"µ#t + A2$%&#t (4) οπότε µε διπλή παραγώγιση της συνάρτησης αυτής θα έχουµε:

�

d!1(t)

dt= A1"#$%"t - A2"&µ"t

�

!

�

d2!1(t)

dt2

= -A1"2#µ"t - A2"

2$%&"t (5)

Αντικαθιστώντας στην (3) την τιµή της δεύτερης παραγώγου εκ της (5) παίρ νουµε την σχέση:

�

-A1!2"µ!t - A2!

2#$%!t +! 0

2(A1"µ!t + A2#$%!t) = x0!2#$%!t/L

�

!

�

(! 0

2A1 -! 2A1)"µ!t + (! 0

2A2 - A2!2 - x0!

2/L)#$%!t = 0 (6) Επειδή η (6) πρέπει να ισχύει για κάθε t>0, αυτό εξασφαλίζεται από τις σχέ σεις:

�

!0

2A

1-! 2

A1

= 0

!0

2A

2- A

2! 2

- x0! 2

/L = 0

"

#

$

�

!

�

A1(! 0

2 -! 2) = 0

A2(! 0

2 -! 2) = x0!2/L

"

#

$

�

!

�

A1 = 0

A2=x0!2/L(! 0

2-! 2)

"

#

$

(7)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (4) και (7) παίρνουµε:

�

!1(t) =x0"

2#$%"t

L(" 0

2-"

2) (8)

Η λύση της αντίστοιχης οµογενούς της (3) έχει την µορφή:

�

! 2(t) = C1"µ#0t + C2$%&#0t (9) όπου C1, C2 σταθεροί συντελεστές, που θα προσδιορισθούν από τις αρχικές συνθήκες κινήσεως του συστήµατος. Η γενική λύση φ(t) της (3) είναι:

�

!(t) = !1(t) +! 2(t)

�

!

(8),(9)

�

!(t) =x0"

2#$%"t

L(" 0

2-"

2)+ C1&µ"0t + C2#$%"0t (10)

Παραγωγίζοντας την (10) ως προς τον χρόνο έχουµε:

�

d!(t)

dt= -

x0"3#µ"t

L(" 0

2-"

2)+ C1" 0$%&"0t - C2" 0#µ"0t (11)

Για t=0 οι σχέσεις (10) και (11) δίνουν:

�

! 0 =x0"2/L(" 0

2-" 2)+C2

0=C1" 0

#

$

%

�

!

�

C2 =! 0 - x0"2/L(" 0

2-" 2)

C1 = 0

#

$

%

Η τελική εποµένως µορφή της (10) είναι:

�

!(t) =x0"

2#$%"t

L(" 0

2-"

2)+! 0#$%"0t -

x0"2#$%"0t

L(" 0

2-"

2)

�

!

�

!(t) =x0"

2(#$%"t - #$%"0t)

L(" 0

2-"

2)

+! 0#$%"0t

P.M. fysikos