Upload
others
View
3
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
²²²¡¡¡ÅÅŲ²²¡¡¡ÅÅÅ���������ÚÚÚòòò���
²²²¡¡¡ÅÅÅ���\\\kkkÑÑÑ������������mmm(A lossy half space)Berenger’s PML 000���
Berenger ���PML������III��� úúúªªª������ÉÉÉ555���áááÂÂÂ000���(An anisotropic absorbing medium)
PML���nnnØØØ555���UPML333FDTDþþþ���kkk���¢¢¢yyy
�SN
1 ²¡Å
2 ²¡Å���Úò�
3 ²¡Å�\kÑ����m(A lossy half space)4 Berenger’s PML 0�
��TEz �/
TM wave (2-Dimential case)n��/
5 Berenger �PML��I� úª6 ��É5�áÂ0�(An anisotropic absorbing medium)
�����ü¶0�(perfectly matched uniaxialmedium)
�Berenger’s|©�PML�'Xn�úª
�Ó�0�
PML�nØ5�Tiao Lu PML
²²²¡¡¡ÅÅŲ²²¡¡¡ÅÅÅ���������ÚÚÚòòò���
²²²¡¡¡ÅÅÅ���\\\kkkÑÑÑ������������mmm(A lossy half space)Berenger’s PML 000���
Berenger ���PML������III��� úúúªªª������ÉÉÉ555���áááÂÂÂ000���(An anisotropic absorbing medium)
PML���nnnØØØ555���UPML333FDTDþþþ���kkk���¢¢¢yyy
Åc,� ���¡�Åc.²¡Å, Åc´²¡�Å.Å�¡�´���,XJÅc´äkÓ�� ÚÓ��Ì�²¡.
�54z,XJEѲ1u���½���,¡T²¡Å´�54z�. XJ²¡ÅØ´�54z�,K´�54z�²¡Å�Ú.Þ~,E1ÚE2R�,� ØÓ, §��ÚE = E1 + E2��Øä
Cz,XJ|E1| = |E2|,KE;,´�,ÄK´ý�. ÷z¶��DÂ��54z�²¡Å�/ªXe
E = Em exp j(ωt − kz), (1)
H = Hm exp j(ωt − kz), (2)
Ù¥j = −√
(−1), k´Åê(wave number),k´¢�,XJvkP~(attenuation).
Tiao Lu PML
²²²¡¡¡ÅÅŲ²²¡¡¡ÅÅÅ���������ÚÚÚòòò���
²²²¡¡¡ÅÅÅ���\\\kkkÑÑÑ������������mmm(A lossy half space)Berenger’s PML 000���
Berenger ���PML������III��� úúúªªª������ÉÉÉ555���áááÂÂÂ000���(An anisotropic absorbing medium)
PML���nnnØØØ555���UPML333FDTDþþþ���kkk���¢¢¢yyy
r�54z�²¡Å�\Maxwell Equation,¿�b�gd>Öρf = 0,>6�ÝJf = σE��
−jkz ·E = 0,−jkz × E = −jωµH, (3)
−jkz ·H = 0, −jkz × H = σE + jωǫE, (4)
u´
z ·E = 0, E = − k
ωǫ − jσz × H, (5)
z ·H = 0, H =k
ωµz × E. (6)
ùL²EÚH´îÅ(transverse wave)�´���(orthogonal).E ×H��DÂ��.
Tiao Lu PML
²²²¡¡¡ÅÅŲ²²¡¡¡ÅÅÅ���������ÚÚÚòòò���
²²²¡¡¡ÅÅÅ���\\\kkkÑÑÑ������������mmm(A lossy half space)Berenger’s PML 000���
Berenger ���PML������III��� úúúªªª������ÉÉÉ555���áááÂÂÂ000���(An anisotropic absorbing medium)
PML���nnnØØØ555���UPML333FDTDþþþ���kkk���¢¢¢yyy
0��A�{|(characteristic impedance)
Z =|E||H| =
k
ωǫ − jσ=
ωµ
k. (7)
þª�±�ÑÅêk÷v��§
k2 = ω2ǫµ − jωσµ = ω2ǫµ
= ω2ǫ0µ0ǫrµr(1 − jσ
ωǫ),
(8)
Ù¥,ǫ0,µ0´ý��0>~ê(>NÇelectric permittivity)Ú^�Xê(^�Çmagnetic permeability).
Tiao Lu PML
²²²¡¡¡ÅÅŲ²²¡¡¡ÅÅÅ���������ÚÚÚòòò���
²²²¡¡¡ÅÅÅ���\\\kkkÑÑÑ������������mmm(A lossy half space)Berenger’s PML 000���
Berenger ���PML������III��� úúúªªª������ÉÉÉ555���áááÂÂÂ000���(An anisotropic absorbing medium)
PML���nnnØØØ555���UPML333FDTDþþþ���kkk���¢¢¢yyy
y
z
x
kI
θI
θR
θT
kT
kR
Medium 1 Medium 2
Plane of incidence
Interface
Tiao Lu PML
²²²¡¡¡ÅÅŲ²²¡¡¡ÅÅÅ���������ÚÚÚòòò���
²²²¡¡¡ÅÅÅ���\\\kkkÑÑÑ������������mmm(A lossy half space)Berenger’s PML 000���
Berenger ���PML������III��� úúúªªª������ÉÉÉ555���áááÂÂÂ000���(An anisotropic absorbing medium)
PML���nnnØØØ555���UPML333FDTDþþþ���kkk���¢¢¢yyy
Figure: \�>^Å30�1(Medium 1)Ú0�2(Medium 2)�m�.¡þ�)
����ÅÚ��DÑÅ.�þk´��A�ÅcR���DÂ�
�.�θI ,θR,θT©O´\��,���Úò��.
0�1¥´\�ÅÚ��Å,0�2¥´ò�Å. {üå�,·��Ä\�Å´�54z�.u´,\�Å
EI = EIm exp j(ωI − kI · r) (9)
ùp,kI´¢�,��\�Å�DÂ��.ù��§3¤k�mtÚ�mrþ½Â��²¡Å,�´�·^u0�1. ��ÅÚò�Å�´�54z�²¡Å,/ªXe
ER = ERm exp j(ωRt − kR · r), (10)
Tiao Lu PML
²²²¡¡¡ÅÅŲ²²¡¡¡ÅÅÅ���������ÚÚÚòòò���
²²²¡¡¡ÅÅÅ���\\\kkkÑÑÑ������������mmm(A lossy half space)Berenger’s PML 000���
Berenger ���PML������III��� úúúªªª������ÉÉÉ555���áááÂÂÂ000���(An anisotropic absorbing medium)
PML���nnnØØØ555���UPML333FDTDþþþ���kkk���¢¢¢yyy
ET = ETm exp j(ωT t − kT · r). (11)
rþ¡�/ª�\Maxwell Equations�ÅÄ/ª
△E − ǫµ∂2
E
∂2t− σµ
∂E
∂t=
∆ρf
ǫ, (12)
b�σ = 0,ρf = 0,��
△ER + ǫ1µ1ω2ER = △ER + k1ER = 0, (13)
Ù¥
k1 = ω√
ǫ1µ1. (14)
Ïd
k2Rx + k
2Ry + k
2Rz = k2
1. (15)
Tiao Lu PML
²²²¡¡¡ÅÅŲ²²¡¡¡ÅÅÅ���������ÚÚÚòòò���
²²²¡¡¡ÅÅÅ���\\\kkkÑÑÑ������������mmm(A lossy half space)Berenger’s PML 000���
Berenger ���PML������III��� úúúªªª������ÉÉÉ555���áááÂÂÂ000���(An anisotropic absorbing medium)
PML���nnnØØØ555���UPML333FDTDþþþ���kkk���¢¢¢yyy
��
k2Ix + k
2Iy + k
2Iz = k2
1, (16)
k2Tx + k
2Ty + k
2Tz = k2
2, (17)
(18)
\�Å,��ÅÚò�Å�m��,«3·^u�.¡þz�:Úz����'X.Ïd
ωI = ωR = ωT , (19)
kI · rint = kR · rint = kT · rint, (20)
Ù¥,rint´�.¡þ:.u´k�²1�.¡�©þÑ��.
Tiao Lu PML
²²²¡¡¡ÅÅŲ²²¡¡¡ÅÅÅ���������ÚÚÚòòò���
²²²¡¡¡ÅÅÅ���\\\kkkÑÑÑ������������mmm(A lossy half space)Berenger’s PML 000���
Berenger ���PML������III��� úúúªªª������ÉÉÉ555���áááÂÂÂ000���(An anisotropic absorbing medium)
PML���nnnØØØ555���UPML333FDTDþþþ���kkk���¢¢¢yyy
XJkIy = 0,KkRy = 0, kTy = 0.u´��kI , kR,kT´�¡
�.ùn��þ¤3�²¡�¡�\�¡(the plane of incidence).k�x©þ��
kRx = kTx = kIx = k1 sin θI (21)
Xã1 u´N´�
k2Rx + k
2Rz = k
2Ix + k
2Iz = k2
1 (22)
Úk2Rz = k
2Iz,kRz = −kIz. ·�ÀJKÒ,Ï���Å´lm�
.¡�. ¤±
θR = θI . (23)
Tiao Lu PML
²²²¡¡¡ÅÅŲ²²¡¡¡ÅÅÅ���������ÚÚÚòòò���
²²²¡¡¡ÅÅÅ���\\\kkkÑÑÑ������������mmm(A lossy half space)Berenger’s PML 000���
Berenger ���PML������III��� úúúªªª������ÉÉÉ555���áááÂÂÂ000���(An anisotropic absorbing medium)
PML���nnnØØØ555���UPML333FDTDþþþ���kkk���¢¢¢yyy
=����u\��(��½Æ).dã1,
kIx = k1 sin θI , (24)
kTx = k2 sin θT . (25)
dª(21),��
k1 sin θI = k2 sin θT (26)
ùÒ´ò�½Æ(Snell’s law ).ÏdXã1,
EI = EIm exp j(ωt − k1(x sin θI − z cos θI)), (27)
ER = EIm exp j(ωt − k1(x sin θR + z cos θR)), (28)
Tiao Lu PML
²²²¡¡¡ÅÅŲ²²¡¡¡ÅÅÅ���������ÚÚÚòòò���
²²²¡¡¡ÅÅÅ���\\\kkkÑÑÑ������������mmm(A lossy half space)Berenger’s PML 000���
Berenger ���PML������III��� úúúªªª������ÉÉÉ555���áááÂÂÂ000���(An anisotropic absorbing medium)
PML���nnnØØØ555���UPML333FDTDþþþ���kkk���¢¢¢yyy
ET = EIm exp j(ωt − k2(x sin θT − z cos θT )). (29)
dª(1.6),·���HÚE�'XXe
H =k× E
ωµ(30)
¦)��ÇΓ = EmHm
, ©ü«�¹, TE wave ÚTM wave. ?Û
²¡ÅÑ�±©)¡ùü«Å�Ú.TE wave, E²11u\�¡;TM wave, ER�u\�¡.dAmpere’s law(S�>´½Æ)�Ñ�EÚH 3�.¡üý���©þ��,? �±�Ñ��Ç.
Tiao Lu PML
²²²¡¡¡ÅÅŲ²²¡¡¡ÅÅÅ���������ÚÚÚòòò���
²²²¡¡¡ÅÅÅ���\\\kkkÑÑÑ������������mmm(A lossy half space)Berenger’s PML 000���
Berenger ���PML������III��� úúúªªª������ÉÉÉ555���áááÂÂÂ000���(An anisotropic absorbing medium)
PML���nnnØØØ555���UPML333FDTDþþþ���kkk���¢¢¢yyy
EIm
ERm
ETm
θI
θR
θT
Figure: TE wave, HR��¡�
Tiao Lu PML
²²²¡¡¡ÅÅŲ²²¡¡¡ÅÅÅ���������ÚÚÚòòò���
²²²¡¡¡ÅÅÅ���\\\kkkÑÑÑ������������mmm(A lossy half space)Berenger’s PML 000���
Berenger ���PML������III��� úúúªªª������ÉÉÉ555���áááÂÂÂ000���(An anisotropic absorbing medium)
PML���nnnØØØ555���UPML333FDTDþþþ���kkk���¢¢¢yyy
Xã2,TE wave��.¡���©þkHyÚEx.¤±
HIm − HRm = HTm (31)
½öEIm − ERm
Z1=
ETM
Z2(32)
¿�
(EIm + ERm) cos θI = ETm cos θI (33)
¦),�
Γ =ERm
ETm=
Z2 cos θT − Z1 cos θI
Z2 cos θT + Z1 cos θI(34)
Tiao Lu PML
²²²¡¡¡ÅÅŲ²²¡¡¡ÅÅÅ���������ÚÚÚòòò���
²²²¡¡¡ÅÅÅ���\\\kkkÑÑÑ������������mmm(A lossy half space)Berenger’s PML 000���
Berenger ���PML������III��� úúúªªª������ÉÉÉ555���áááÂÂÂ000���(An anisotropic absorbing medium)
PML���nnnØØØ555���UPML333FDTDþþþ���kkk���¢¢¢yyy
HIm
HRm
HTm
θI
θR
θT
Figure: TE wave, ER��¡�p
Tiao Lu PML
²²²¡¡¡ÅÅŲ²²¡¡¡ÅÅÅ���������ÚÚÚòòò���
²²²¡¡¡ÅÅÅ���\\\kkkÑÑÑ������������mmm(A lossy half space)Berenger’s PML 000���
Berenger ���PML������III��� úúúªªª������ÉÉÉ555���áááÂÂÂ000���(An anisotropic absorbing medium)
PML���nnnØØØ555���UPML333FDTDþþþ���kkk���¢¢¢yyy
Xã3,TM wave��.¡���©þkHxÚEy.¤±
EIm + ERm = ETm (35)
¿�
(HIm − HRm) cos θI = HTm cos θI (36)
½ö(EIm − ERm) cos θI
Z1=
ETM cos θT
Z2(37)
¦),�
Γ =ERm
ETm=
Z2 cos θI − Z1 cos θT
Z2 cos θI + Z1 cos θT(38)
o(:��½ÆÚ\�½Æé�«�¹Ñé§EÚH�.¡²
1�©þ���´é�«�/Ñ駧´·��Ñ��'�^
�"Tiao Lu PML
²²²¡¡¡ÅÅŲ²²¡¡¡ÅÅÅ���������ÚÚÚòòò���
²²²¡¡¡ÅÅÅ���\\\kkkÑÑÑ������������mmm(A lossy half space)Berenger’s PML 000���
Berenger ���PML������III��� úúúªªª������ÉÉÉ555���áááÂÂÂ000���(An anisotropic absorbing medium)
PML���nnnØØØ555���UPML333FDTDþþþ���kkk���¢¢¢yyy
(ε1,µ
1,0,0) (ε
2,µ
2,σ,σ*)
Region 1 Region 2
x
y
Tiao Lu PML
²²²¡¡¡ÅÅŲ²²¡¡¡ÅÅÅ���������ÚÚÚòòò���
²²²¡¡¡ÅÅÅ���\\\kkkÑÑÑ������������mmm(A lossy half space)Berenger’s PML 000���
Berenger ���PML������III��� úúúªªª������ÉÉÉ555���áááÂÂÂ000���(An anisotropic absorbing medium)
PML���nnnØØØ555���UPML333FDTDþþþ���kkk���¢¢¢yyy
Äk·�5ïÄ�e�uÅ��DÚ�Ñ�0���/"AO
�§·��ÄTEzÅ,E�ܲ1z¶§0�Xã4"Region 1(x < 0)´ÃÑ�0�§Region 2(x > 0)´�>�´σ§^�´σ∗.\�Å�^|H
inc = zH0 exp(−jβ1xx − jβ1yy)u´3Region 1�o�>^|£\�+��¤
H1 = zH0(1 + Γe2jβ1xx)e−jβ1xx−jβ1yy (39a)
E1 = [−xβ1y
ωǫ1(1 + Γe2jβ1xx) + y
β1x
ωǫ1(1− Γe2jβ1xx)]H0e
−jβ1xx−jβ1yy
(39b)>^|3Region 2¥
H2 = zH0τe−jβ2xx−jβ2yy (40a)
Tiao Lu PML
²²²¡¡¡ÅÅŲ²²¡¡¡ÅÅÅ���������ÚÚÚòòò���
²²²¡¡¡ÅÅÅ���\\\kkkÑÑÑ������������mmm(A lossy half space)Berenger’s PML 000���
Berenger ���PML������III��� úúúªªª������ÉÉÉ555���áááÂÂÂ000���(An anisotropic absorbing medium)
PML���nnnØØØ555���UPML333FDTDþþþ���kkk���¢¢¢yyy
E2 = [−xβ2y
ωǫ2(1 + σjωǫ2
)+ y
β1x
ωǫ2(1 + σjωǫ2
)]H0τe−jβ2xx−jβ2yy
(40b)Ù¥ΓÚτ´��'ÚDÑ'.
β1x = k1 cos θ; β1y = k1 sin θ x < 0 (41a)
β2x =
√
(k2)2(1 +σ
jωǫ2)(1 +
σ∗
jωµ2) − (β2y)2 x > 0 (41b)
Kki = ω√
µiǫi i = 1, 2.��þHz3�.¡üý��,
1 + Γ = τ (42)
Tiao Lu PML
²²²¡¡¡ÅÅŲ²²¡¡¡ÅÅÅ���������ÚÚÚòòò���
²²²¡¡¡ÅÅÅ���\\\kkkÑÑÑ������������mmm(A lossy half space)Berenger’s PML 000���
Berenger ���PML������III��� úúúªªª������ÉÉÉ555���áááÂÂÂ000���(An anisotropic absorbing medium)
PML���nnnØØØ555���UPML333FDTDþþþ���kkk���¢¢¢yyy
��þEy3�.¡üý��,
β1x
ωǫ1(1 − Γ) =
β2x
ωǫ2(1 + σjωǫ2
)τ (43)
d(42),(43)�,
Γ =
β1xωǫ1
− β2x
ωǫ2(1+σ
jωǫ2)
β1x
ωǫ1+ β2x
ωǫ2(1+σ
jωǫ2)
(44)
�,β2y = β1y = k1 sin θ £ò�½Æsnell’slaw¤. �±w�Γ´θ�¼ê,��5`,é?¿\��θ, Γ 6= 0, 3AÏ�¹e(\��θ = 0),·�k
Γ =η1 − η2
η1 + η2(45)
Tiao Lu PML
²²²¡¡¡ÅÅŲ²²¡¡¡ÅÅÅ���������ÚÚÚòòò���
²²²¡¡¡ÅÅÅ���\\\kkkÑÑÑ������������mmm(A lossy half space)Berenger’s PML 000���
Berenger ���PML������III��� úúúªªª������ÉÉÉ555���áááÂÂÂ000���(An anisotropic absorbing medium)
PML���nnnØØØ555���UPML333FDTDþþþ���kkk���¢¢¢yyy
Ù¥
η1 =√
µ1
ǫ1
η2 =
√
µ2(1+σ∗
jωµ2)
ǫ2(1+σ
jωǫ2)
(46)
u´,XJ�µ2 = µ1, ǫ2 = ǫ1 �
σ∗
µ2=
σ
ǫ2(47)
Kk1 = k2, η1 = η2. ù�Γ = 0,��Ã���Å.ù�,�±¦Ñ
β2x = (1 +σ
jωǫ1)k1 = k1 − jση1 (48)
Tiao Lu PML
²²²¡¡¡ÅÅŲ²²¡¡¡ÅÅÅ���������ÚÚÚòòò���
²²²¡¡¡ÅÅÅ���\\\kkkÑÑÑ������������mmm(A lossy half space)Berenger’s PML 000���
Berenger ���PML������III��� úúúªªª������ÉÉÉ555���áááÂÂÂ000���(An anisotropic absorbing medium)
PML���nnnØØØ555���UPML333FDTDþþþ���kkk���¢¢¢yyy
u´3Region 2¥�Å
E2 = yη1H0e−jk1xe−ση1x (49a)
H2 = zH0e−jk1xe−ση1x (49b)
wþª§3R�\���¹e§3Region 2¥�Å3R�u.¡���þ�êP~"?�Ú�§¦+3Ñ�0�¥D§Å%´
ÃÚÑ�£dispersionless¤.�Ò´`§Å�´Ø�6uªÇ�§Ïd§éR�\�Å ó,Region 2 (Ô�ëêX(47)½Â)´����Region 1�"
Tiao Lu PML
²²²¡¡¡ÅÅŲ²²¡¡¡ÅÅÅ���������ÚÚÚòòò���
²²²¡¡¡ÅÅÅ���\\\kkkÑÑÑ������������mmm(A lossy half space)Berenger’s PML 000���
Berenger ���PML������III��� úúúªªª������ÉÉÉ555���áááÂÂÂ000���(An anisotropic absorbing medium)
PML���nnnØØØ555���UPML333FDTDþþþ���kkk���¢¢¢yyy
þ¡§·�0�Ñ�0�^5��áÂ�§§��k�
�¤õ§(J3uT0��U��áÂR�\��ŧÏd§�
�ÅÒ¬��£O�«�§»�ê�)"��)û��{§áÂ
�7L�3lÅ ¿©��/�§±�u\�Å�CuR�\�
�§éu��O�«�§ù´Øy¢�"BerergerJø#��Ôn�áÂ�§�±áÂ(Ã��)?Û�Ý\���«ªÇ�ŧ¦¦^�©�|��{§æ^�õ�gdݧBerengerreported local refection coefficients for his PML 1/3000th that ofthe Mur ABC .
�ÄTEz²¡Å(Xã3)§0���.¡´x = 0.3Region2,Maxwell’s curl equations��¤(time-dependent form)
ǫ2∂Ex
∂t+ σyEx =
∂Hz
∂y(50a)
Tiao Lu PML
²²²¡¡¡ÅÅŲ²²¡¡¡ÅÅÅ���������ÚÚÚòòò���
²²²¡¡¡ÅÅÅ���\\\kkkÑÑÑ������������mmm(A lossy half space)Berenger’s PML 000���
Berenger ���PML������III��� úúúªªª������ÉÉÉ555���áááÂÂÂ000���(An anisotropic absorbing medium)
PML���nnnØØØ555���UPML333FDTDþþþ���kkk���¢¢¢yyy
ǫ2∂Ey
∂t+ σxEy = −∂Hz
∂x(50b)
µ2∂Hzx
∂t+ σ∗
xHzx = −∂Ey
∂x(50c)
µ2∂Hzy
∂t+ σ∗
yHzy =∂Ex
∂y(50d)
Ù¥
Hz = Hzx + Hzy (51)
σx, σy L«electric conductivities, and the parameters σ∗x and σ∗
y
L«magnetic losses.σx = σy = 0, σ∗
x = σ∗y = 0 lossless medium.
σx = σy = σ, σ∗x = σ∗
y = 0 electrically conductive medium.
Tiao Lu PML
²²²¡¡¡ÅÅŲ²²¡¡¡ÅÅÅ���������ÚÚÚòòò���
²²²¡¡¡ÅÅÅ���\\\kkkÑÑÑ������������mmm(A lossy half space)Berenger’s PML 000���
Berenger ���PML������III��� úúúªªª������ÉÉÉ555���áááÂÂÂ000���(An anisotropic absorbing medium)
PML���nnnØØØ555���UPML333FDTDþþþ���kkk���¢¢¢yyy
if ǫ1 = ǫ2, µ1 = µ2, σx = σy = σ, σ∗x = σ∗
y = 0 �÷v σǫ2
= σ∗
µ2Ò
´c�Ü©ù�UÃ���áÂR�\�Å�áÂ�"
(50d)L¤Time-harmonic form
jωǫ2(1 +σy
jωǫ2)Ex =
∂
∂y(Hzx + Hzy) (52a)
jωǫ2(1 +σx
jωǫ2)Ey = − ∂
∂x(Hzx + Hzy) (52b)
jωµ2(1 +σ∗
x
jωµ2)Hzx = −∂Ey
∂x(52c)
jωµ2(1 +σ∗
y
jωµ2)Hzy =
∂Ey
∂y(52d)
Tiao Lu PML
²²²¡¡¡ÅÅŲ²²¡¡¡ÅÅÅ���������ÚÚÚòòò���
²²²¡¡¡ÅÅÅ���\\\kkkÑÑÑ������������mmm(A lossy half space)Berenger’s PML 000���
Berenger ���PML������III��� úúúªªª������ÉÉÉ555���áááÂÂÂ000���(An anisotropic absorbing medium)
PML���nnnØØØ555���UPML333FDTDþþþ���kkk���¢¢¢yyy
Ù¥L«phasor quantity( letting the hat symbol denote a phasorquantity){üå�§Ú\e¡�ÎÒ§
sω = (1 +σω
jωǫ2); s∗ω = (1 +
σ∗ω
jωµ2) : ω = x, y (53)
u´(52)Ú(52b)�±#�¤
jωǫ2syEx =∂
∂y(Hzx + Hzy) (54a)
jωǫ2sxEy = − ∂
∂x(Hzx + Hzy) (54b)
Tiao Lu PML
²²²¡¡¡ÅÅŲ²²¡¡¡ÅÅÅ���������ÚÚÚòòò���
²²²¡¡¡ÅÅÅ���\\\kkkÑÑÑ������������mmm(A lossy half space)Berenger’s PML 000���
Berenger ���PML������III��� úúúªªª������ÉÉÉ555���áááÂÂÂ000���(An anisotropic absorbing medium)
PML���nnnØØØ555���UPML333FDTDþþþ���kkk���¢¢¢yyy
Berenger’s0�¥�²¡Å) e¡ò�ÑBerenger’s0�¥�²¡Å). (54)ü>éy¦�£kü>رsy¤
jωǫ2∂Ex
∂y=
∂
∂y
1
sy
∂
∂y(Hzx + Hzy) (55)
r(52d)�∂Ex∂y �L�ª�\þª
− ωǫ2µ2Hzy =1
s∗y
∂
∂y
1
sy(Hzx + Hzy) (56)
aq�§
− ωǫ2µ2Hzx =1
s∗x
∂
∂x
1
sx(Hzx + Hzy) (57)
Tiao Lu PML
²²²¡¡¡ÅÅŲ²²¡¡¡ÅÅÅ���������ÚÚÚòòò���
²²²¡¡¡ÅÅÅ���\\\kkkÑÑÑ������������mmm(A lossy half space)Berenger’s PML 000���
Berenger ���PML������III��� úúúªªª������ÉÉÉ555���áááÂÂÂ000���(An anisotropic absorbing medium)
PML���nnnØØØ555���UPML333FDTDþþþ���kkk���¢¢¢yyy
üª�\§¿|^(51)
1
s∗x
∂
∂x
1
sx
∂
∂xHz +
1
s∗y
∂
∂y
1
sy
∂
∂yHz + ω2µ2ǫ2Hz = 0 (58)
ù��§ke¡/ª�)£this wave solution supports thesolutions ¤
Hz = H0τe−j√
sxs∗xβ2xx−j√
sys∗yβ2yy (59)
with the dispersion relationship
(β2x)2 + (β2y)2 = (k2)
2 = ωǫ2µ2 (60)
=⇒ β2x =√
(k2)2 − (β2y)2 (61)
Tiao Lu PML
²²²¡¡¡ÅÅŲ²²¡¡¡ÅÅÅ���������ÚÚÚòòò���
²²²¡¡¡ÅÅÅ���\\\kkkÑÑÑ������������mmm(A lossy half space)Berenger’s PML 000���
Berenger ���PML������III��� úúúªªª������ÉÉÉ555���áááÂÂÂ000���(An anisotropic absorbing medium)
PML���nnnØØØ555���UPML333FDTDþþþ���kkk���¢¢¢yyy
u´§l(56),(57)Ú(51),·���
Ex = −H0τβ2y
ωǫ2
√
s∗ysy
e−j√
sxs∗xβ2xx−j√
sys∗yβ2yy (62a)
Ey = H0τβ2x
ωǫ2
√
s∗xsx
e−j√
sxs∗xβ2xx−j√
sys∗yβ2yy (62b)
¦+æ^|©�§£field splitting¤§EÚH²1u.¡�©
þ��E,´é�§dd§·��±¦Ñ��'"Äk§du
3x = 0�,é?�y§��þ��Ѥá§�Snell’s lawaq§ATk
√
sys∗yβ2y = β1y = k1 sin θ (Snell′slaw) (63)
Tiao Lu PML
²²²¡¡¡ÅÅŲ²²¡¡¡ÅÅÅ���������ÚÚÚòòò���
²²²¡¡¡ÅÅÅ���\\\kkkÑÑÑ������������mmm(A lossy half space)Berenger’s PML 000���
Berenger ���PML������III��� úúúªªª������ÉÉÉ555���áááÂÂÂ000���(An anisotropic absorbing medium)
PML���nnnØØØ555���UPML333FDTDþþþ���kkk���¢¢¢yyy
·��±�sy = s∗y = 1,=⇒ σ = σ∗ = 0 d3x = 0�,.¡üý���þëY§�
Γ = (β1x
ωǫ1− β2x
ωǫ2
√
sx
s∗x) · (β1x
ωǫ1+
β2x
ωǫ2
√
sx
s∗x)−1 (64)
τ = 1 + Γ (65)
����^�
y3b�ǫ1 = ǫ2, µ1 = µ2, sx = s∗x.ù�duk1 = k2, η1 =
√
µ1/ǫ1 =√
µ2/ǫ2,�σx/ǫ1 = σ∗
x/µ1�±��β2y = β1yd(61)ª�β2x = β1x�
\(65)ª�, é¤k�\��θ, Γ = 0 . 3ù«�¹e§3x > 0�«�§>^|
Hz = H0e−jsxβ1xx−jβ1yy = H0e
−jβ1xx−jβ1yye−σxxη1 cos θ (66a)
Tiao Lu PML
²²²¡¡¡ÅÅŲ²²¡¡¡ÅÅÅ���������ÚÚÚòòò���
²²²¡¡¡ÅÅÅ���\\\kkkÑÑÑ������������mmm(A lossy half space)Berenger’s PML 000���
Berenger ���PML������III��� úúúªªª������ÉÉÉ555���áááÂÂÂ000���(An anisotropic absorbing medium)
PML���nnnØØØ555���UPML333FDTDþþþ���kkk���¢¢¢yyy
Ex = −H0η1 sin θe−jβ1xx−jβ1yye−σxxη1 cos θ (66b)
Ey = H0η1 cos θe−jβ1xx−jβ1yye−σxxη1 cos θ (66c)
3matched Berenger’s medium,DÂ�Å(the transmitted wave)�DÂ��Ú�Ý�\�Å�Ó§Ó�÷Xx���êP~§P~Ïf(the attenuation factor)´Ø�6uªÇ�§Ø�DÚ�Ñ�0�§ù«5�·^u�«�Ý\��Å"
Ez = Ezx + Ezy (67)
µ2∂Hx
∂t+ σ∗
yHx = −∂Ez
∂y(68a)
µ2∂Hy
∂t+ σ∗
xHy =∂Ez
∂x(68b)
Tiao Lu PML
²²²¡¡¡ÅÅŲ²²¡¡¡ÅÅÅ���������ÚÚÚòòò���
²²²¡¡¡ÅÅÅ���\\\kkkÑÑÑ������������mmm(A lossy half space)Berenger’s PML 000���
Berenger ���PML������III��� úúúªªª������ÉÉÉ555���áááÂÂÂ000���(An anisotropic absorbing medium)
PML���nnnØØØ555���UPML333FDTDþþþ���kkk���¢¢¢yyy
ǫ2∂Ezx
∂t+ σxEzx =
∂Hy
∂x(68c)
ǫ2∂Ezy
∂t+ σyEzy = −∂Hx
∂y(68d)
�TE caseaq§�±�ÑPML5�§(J�ké��Cz§�Ü©�§�´ǫ2Úµ2p�§σÚσ∗p�,, PML ��^�´���"
(ǫ∂
∂t+ σy)Exy =
∂
∂y(Hzx + Hzy) (69a)
(ǫ∂
∂t+ σz)Exz = − ∂
∂z(Hyx + Hyz) (69b)
Tiao Lu PML
²²²¡¡¡ÅÅŲ²²¡¡¡ÅÅÅ���������ÚÚÚòòò���
²²²¡¡¡ÅÅÅ���\\\kkkÑÑÑ������������mmm(A lossy half space)Berenger’s PML 000���
Berenger ���PML������III��� úúúªªª������ÉÉÉ555���áááÂÂÂ000���(An anisotropic absorbing medium)
PML���nnnØØØ555���UPML333FDTDþþþ���kkk���¢¢¢yyy
(ǫ∂
∂t+ σz)Eyz =
∂
∂z(Hxy + Hxz) (69c)
(ǫ∂
∂t+ σx)Eyx = − ∂
∂x(Hzx + Hzy) (69d)
(ǫ∂
∂t+ σx)Ezx =
∂
∂x(Hyx + Hzy) (69e)
(ǫ∂
∂t+ σy)Ezy = − ∂
∂y(Hxy + Hxz) (69f)
Ó�§Faraday’s Law is given by
(µ∂
∂t+ σ∗
y)Hxy = − ∂
∂y(Ezx + Ezy) (70a)
Tiao Lu PML
²²²¡¡¡ÅÅŲ²²¡¡¡ÅÅÅ���������ÚÚÚòòò���
²²²¡¡¡ÅÅÅ���\\\kkkÑÑÑ������������mmm(A lossy half space)Berenger’s PML 000���
Berenger ���PML������III��� úúúªªª������ÉÉÉ555���áááÂÂÂ000���(An anisotropic absorbing medium)
PML���nnnØØØ555���UPML333FDTDþþþ���kkk���¢¢¢yyy
(µ∂
∂t+ σ∗
z)Hxz =∂
∂z(Eyx + Eyz) (70b)
(µ∂
∂t+ σ∗
z)Hyz = − ∂
∂z(Exy + Exz) (70c)
(µ∂
∂t+ σ∗
x)Hyx =∂
∂x(Ezx + Ezy) (70d)
(µ∂
∂t+ σ∗
x)Hzx = − ∂
∂x(Eyx + Ezy) (70e)
(µ∂
∂t+ σ∗
y)Hzy =∂
∂y(Exy + Exz) (70f)
�PML��TE�/aq§�±�Ñn�PML"
Tiao Lu PML
²²²¡¡¡ÅÅŲ²²¡¡¡ÅÅÅ���������ÚÚÚòòò���
²²²¡¡¡ÅÅÅ���\\\kkkÑÑÑ������������mmm(A lossy half space)Berenger’s PML 000���
Berenger ���PML������III��� úúúªªª������ÉÉÉ555���áááÂÂÂ000���(An anisotropic absorbing medium)
PML���nnnØØØ555���UPML333FDTDþþþ���kkk���¢¢¢yyy
|©���§�±�¤E�I�mþ�Maxwell’s �§e¡��IC�§
x →∫ x
0sx(x
′
)dx′
; y →∫ y
0sy(y
′
)dy′
; z →∫ z
0sz(z
′
)dz′
(71)3(71)¥§b�sω3÷�I¶��´ëY¼ê§3� �IX¥
� �
∂
∂x=
1
sx
∂
∂x;
∂
∂y=
1
sy
∂
∂y;
∂
∂z=
1
sz
∂
∂z(72)
u´§½ÂFÝ�f
∇ = x∂
∂x+ y
∂
∂y+ z
∂
∂z= x
1
sx
∂
∂x+ y
1
sy
∂
∂y+ z
1
sz
∂
∂z(73)
Tiao Lu PML
²²²¡¡¡ÅÅŲ²²¡¡¡ÅÅÅ���������ÚÚÚòòò���
²²²¡¡¡ÅÅÅ���\\\kkkÑÑÑ������������mmm(A lossy half space)Berenger’s PML 000���
Berenger ���PML������III��� úúúªªª������ÉÉÉ555���áááÂÂÂ000���(An anisotropic absorbing medium)
PML���nnnØØØ555���UPML333FDTDþþþ���kkk���¢¢¢yyy
5µ∇f(x, y, z) 6= ∇f(x, y, z),∇ Ø´�5�FÝ�f3#�IXe�/ª§ ½Â�#��f.�mNÚ�Maxwell’s equations 3E�� �I�mÒ�L�¤
jωǫE = ∇ × H
= x(1
sy
∂
∂yHz −
1
sz
∂
∂zHy) + y(
1
sz
∂
∂zHx − 1
sx
∂
∂xHz)
+ z(1
sx
∂
∂xHy −
1
sy
∂
∂yHx)
(74)
− jωµH = ∇ × E
= x(1
sy
∂
∂yEz −
1
sz
∂
∂zEy) + y(
1
sz
∂
∂zEx − 1
sx
∂
∂xEz)
+ z(1
sx
∂
∂xEy −
1
sy
∂
∂yEx)
(75)
Tiao Lu PML
²²²¡¡¡ÅÅŲ²²¡¡¡ÅÅÅ���������ÚÚÚòòò���
²²²¡¡¡ÅÅÅ���\\\kkkÑÑÑ������������mmm(A lossy half space)Berenger’s PML 000���
Berenger ���PML������III��� úúúªªª������ÉÉÉ555���áááÂÂÂ000���(An anisotropic absorbing medium)
PML���nnnØØØ555���UPML333FDTDþþþ���kkk���¢¢¢yyy
5¿µ
∇ · (D) = ∇ · (ǫE) 6= 0 (76)
∇ · (D) = ∇ · (ǫE) = 0 (77)
½Â#�f§¢Sþ´½Â#���É5e�MaxwellEquation.�ksx = sy = sz�,â�DÚÔ��Maxwell Equation�Ó§þ¡ª¤á�^�´>Ö�"§Ó�sx independent on y, z§sy
independent on x, y, sz independent on x, y, (74)Ú(75)¢Sþ�d(69f)Ú(70f)�Ñ"~X:(69f) �Time-harmonic �/ª
jωǫsyExy =∂
∂y(Hzx + Hzy) (78a)
Tiao Lu PML
²²²¡¡¡ÅÅŲ²²¡¡¡ÅÅÅ���������ÚÚÚòòò���
²²²¡¡¡ÅÅÅ���\\\kkkÑÑÑ������������mmm(A lossy half space)Berenger’s PML 000���
Berenger ���PML������III��� úúúªªª������ÉÉÉ555���áááÂÂÂ000���(An anisotropic absorbing medium)
PML���nnnØØØ555���UPML333FDTDþþþ���kkk���¢¢¢yyy
jωǫszExz = − ∂
∂z(Hyx + Hyz) (78b)
jωǫszEyz =∂
∂z(Hxy + Hxz) (78c)
jωǫsxEyx = − ∂
∂x(Hzx + Hzy) (78d)
jωǫsxEzx =∂
∂x(Hyx + Hyz) (78e)
jωǫsyEzy = − ∂
∂y(Hxy + Hxz) (78f)
u´(78)+(78b);(78c)+(78d);(78e)+(78f)¦^'XEx = Exy + Exz, Ey = Eyx + ExzÚEz = Ezx + Ezy§
��
Tiao Lu PML
²²²¡¡¡ÅÅŲ²²¡¡¡ÅÅÅ���������ÚÚÚòòò���
²²²¡¡¡ÅÅÅ���\\\kkkÑÑÑ������������mmm(A lossy half space)Berenger’s PML 000���
Berenger ���PML������III��� úúúªªª������ÉÉÉ555���áááÂÂÂ000���(An anisotropic absorbing medium)
PML���nnnØØØ555���UPML333FDTDþþþ���kkk���¢¢¢yyy
jωǫEx =1
sy
∂
∂yHz −
1
sz
∂
∂zHy (79a)
jωǫEy =1
sz
∂
∂zHx − 1
sx
∂
∂xHz (79b)
jωǫEz =1
sx
∂
∂xHy −
1
sy
∂
∂yHx (79c)
(??)�(74)�Ó§Ó���{^u(70f)��(75), E�I�úªÄ�`:´N´êÆí�§l ¦�PMLN´n)§Ó�§�Jø��Ù¦�IXe�PML£X¥�I§Î�I¤��«�{"
Tiao Lu PML
²²²¡¡¡ÅÅŲ²²¡¡¡ÅÅÅ���������ÚÚÚòòò���
²²²¡¡¡ÅÅÅ���\\\kkkÑÑÑ������������mmm(A lossy half space)Berenger’s PML 000���
Berenger ���PML������III��� úúúªªª������ÉÉÉ555���áááÂÂÂ000���(An anisotropic absorbing medium)
PML���nnnØØØ555���UPML333FDTDþþþ���kkk���¢¢¢yyy
©�|PML´ÄuêÆ�.��«b�0�.E�IC��.¦^��´�Ôn0�.XJ§�Ñ���6u�IX,XJù«Ô��3,§7½´��É5�. Äu��É5�Ôn�.,ÄkdSacks�?Ø,éu,�.¡,��É5�0�´ü¶�(uniaxial),k0>Ú0^Üþ(is composed of both electric andmagnetic permittirity tensors ),ù«uniaxial medium �Berger’sPML�J��,q;��Ôn�|©�,e¡0�UPML(uniaxialPML)�nØÄ:,¿�Berger’s PMLÚ�I� �PML'�.
�Ä?¿4z���(time-harmonic)²¡ÅH
inc = H0e−jβ1xx−jβ1yy ,3Region 1¥DÂ,Region 1´��Ó
5(isotropic)��mx < 0.b�TÅ�\Refion 2,Region2´x > 0���m.
Tiao Lu PML
²²²¡¡¡ÅÅŲ²²¡¡¡ÅÅÅ���������ÚÚÚòòò���
²²²¡¡¡ÅÅÅ���\\\kkkÑÑÑ������������mmm(A lossy half space)Berenger’s PML 000���
Berenger ���PML������III��� úúúªªª������ÉÉÉ555���áááÂÂÂ000���(An anisotropic absorbing medium)
PML���nnnØØØ555���UPML333FDTDþþþ���kkk���¢¢¢yyy
dü¶��É5�0��¤,0>ÜþÚ^�(permeability)ÜþXe.
¯ǫ2 = ǫ2
a 0 00 b 00 0 b
, ¯µ2 = µ2
c 0 00 d 00 0 d
(80)
ùp, ǫyy = ǫzz, µyy = µzz,Ï�b½0�´7x¶^=é¡�.3Region 2¥-u�>|�´²¡Å,¿�÷vMaxwell’s aurleqs.·���
β2 × E = ω ¯µ2H; β2 × H = −ω¯ǫ2E; (81)
Tiao Lu PML
²²²¡¡¡ÅÅŲ²²¡¡¡ÅÅÅ���������ÚÚÚòòò���
²²²¡¡¡ÅÅÅ���\\\kkkÑÑÑ������������mmm(A lossy half space)Berenger’s PML 000���
Berenger ���PML������III��� úúúªªª������ÉÉÉ555���áááÂÂÂ000���(An anisotropic absorbing medium)
PML���nnnØØØ555���UPML333FDTDþþþ���kkk���¢¢¢yyy
ùpβ2 = xβ2x + yβ2y ´��É5�,Region 2¥�Å�þ(wavevector),ù�±�ÑÅ�§
β2 × (¯ǫ−12 β2) × H + ω2 ¯µ2H = 0 (82)
r�¦(cross product)L«¤Ý�f,Å�§�±L«¤Ý/ª
k22c − (β2y)
2b−1 β2xβ2yb−1 0
β2xβ2yb−1 k2
2d − (β2x)2b−1 00 0 k2
2d − (β2x)2b−1 − (β2y)2a−1
Hx
Hy
Hz
= 0 (83)
Tiao Lu PML
²²²¡¡¡ÅÅŲ²²¡¡¡ÅÅÅ���������ÚÚÚòòò���
²²²¡¡¡ÅÅÅ���\\\kkkÑÑÑ������������mmm(A lossy half space)Berenger’s PML 000���
Berenger ���PML������III��� úúúªªª������ÉÉÉ555���áááÂÂÂ000���(An anisotropic absorbing medium)
PML���nnnØØØ555���UPML333FDTDþþþ���kkk���¢¢¢yyy
ùpk22 = ω2µ2ǫ2ÚÑ'X�±lÝ�1�ª¦Ñ5, ¦
)β2x,·�uyk4«A��ª(eigenmode)�).ù)�±©)¤�cÚ���TEzÚTMz modes,÷vÚÑ'X
k22 − (β2x)2b−1d−1 − (β2y)
2a−1d−1 = 0 : TEz(Hx, Hy = 0)(84)
k22 − (β2x)2b−1d−1 − (β2y)
2b−1c−1 = 0 : TEz(Hz = 0) (85)
Region 1ÚRegion 2m��.¡���Xê�±�Ñ. b�Region1¥�\�Å´TEzÅ.@o3��Ó5�Region 1¥,|�L¤\�ÅÚ��Å�S\.
H1 = zH0(1 + Γe2jβ1xx)e−jβ1xx−jβ1yy
E1 = (−xβ1y
ωǫ1(1 + Γe2jβ1xx) + y
β1x
ωǫ1(1 − Γe2jβ1xx))H0e
−jβ1xx−jβ1yy
(86)
Tiao Lu PML
²²²¡¡¡ÅÅŲ²²¡¡¡ÅÅÅ���������ÚÚÚòòò���
²²²¡¡¡ÅÅÅ���\\\kkkÑÑÑ������������mmm(A lossy half space)Berenger’s PML 000���
Berenger ���PML������III��� úúúªªª������ÉÉÉ555���áááÂÂÂ000���(An anisotropic absorbing medium)
PML���nnnØØØ555���UPML333FDTDþþþ���kkk���¢¢¢yyy
DÂ�Region 2¥�Å�´TEz,DÂ�A�(propagationcharacteristics)�(84)ª��,|�L«¤
H2 = zH0τe−jβ2xx−jβ2yy
E2 = (−xβ2y
ωǫ2a+ y
β2x
ωǫ2b)H0τe−jβ2xx−jβ2yy
(87)
ùpΓÚτ´|H���'ÚDÑ',§��±dEÚH3�.¡x = 0üý���þëY�Ñ.
Γ =β1x − β2xb−1
β1x + β2xb−1; τ = 1 + Γ =
2β1x
β1x + β2xb−1(88)
?�Ú,3�.¡x = 0?,
β2y = β1y (89)
Tiao Lu PML
²²²¡¡¡ÅÅŲ²²¡¡¡ÅÅÅ���������ÚÚÚòòò���
²²²¡¡¡ÅÅÅ���\\\kkkÑÑÑ������������mmm(A lossy half space)Berenger’s PML 000���
Berenger ���PML������III��� úúúªªª������ÉÉÉ555���áááÂÂÂ000���(An anisotropic absorbing medium)
PML���nnnØØØ555���UPML333FDTDþþþ���kkk���¢¢¢yyy
r(89)�\(84),¦β2x
β2x =√
k22bd − β2
1ya−1b (90)
u´XJ-ǫ1 = ǫ2, µ1 = µ2, d = b, a−1 = b ·�kk1 = k2,¿�
β2x =√
k21b
2 − (β1y)2b2 = b√
k21 − (β1y)2 = bβ1x (91)
r(92)�\(88) Ò��é?¿�β1x,Γ = 0. u´,Region 1ÚRegion 2m��.¡éTEzÅ�±Ó��ö�,E���'Ú(88)´éó(dual)�,��rb�¤d,ra�¤c=�,ù�,Ã��^�¤á,XJ,b = d�c−1 = arTEzÚTMz�¹(Üå5, Å
Tiao Lu PML
²²²¡¡¡ÅÅŲ²²¡¡¡ÅÅÅ���������ÚÚÚòòò���
²²²¡¡¡ÅÅÅ���\\\kkkÑÑÑ������������mmm(A lossy half space)Berenger’s PML 000���
Berenger ���PML������III��� úúúªªª������ÉÉÉ555���áááÂÂÂ000���(An anisotropic absorbing medium)
PML���nnnØØØ555���UPML333FDTDþþþ���kkk���¢¢¢yyy
lRegion 1D�Region 2�,Ã��^�´Region 2¥�0�äkXe�ǫÚµÜþ.
¯ǫ2 = ǫ1 ¯s; ¯µ2 = µ1 ¯s; ¯s =
s−1x 0 00 sx 00 0 sx
(92)
ù«Ã���5�´��Ø�6u\�Å�\���,4z��ÚªÇ�. ?�Ú,l(84)Ú(85)�,TEÚTM4z�ÅDÂA�´�
��,·�rù«0�¡�ü¶�����(UPML),´Ï�§�ü¶��É5(uniaxial anisotropy)Ú����(perfect matching).�Berenger’s PMLaq,Region 2¥UPML�Ã��A5é?Û
Tiao Lu PML
²²²¡¡¡ÅÅŲ²²¡¡¡ÅÅÅ���������ÚÚÚòòò���
²²²¡¡¡ÅÅÅ���\\\kkkÑÑÑ������������mmm(A lossy half space)Berenger’s PML 000���
Berenger ���PML������III��� úúúªªª������ÉÉÉ555���áááÂÂÂ000���(An anisotropic absorbing medium)
PML���nnnØØØ555���UPML333FDTDþþþ���kkk���¢¢¢yyy
�sxÑ´k��. ~X,�sx = 1 + σx/jωǫ1 = 1 − jσx/ωǫ1. u´l(92)�
β2x = (1 − jσx/ωǫ1)β1x (93)
5¿,β2x�¢ÜÚβ1x��, (Ü(89)��\�ÅÚ��Å���é�«\�� óÑ´���.Region 2�0��A�{|ÚRegion 1 ���.��,r(89)�\(87)Ò�TEz\�Å3Region 2¥�)�DÂÅ´
H2 = zH0τe−jβ1xx−jβ1yye−σxxη1 cos θ
E2 = (−xsxη1 sin θ + yη1 cos θ)H0e−jβ1xx−jβ1yye−σxxη1 cos θ
(94)
ùpη1 =√
µ1/ǫ1,θ´\����x¶�Y�. u´DÑűÓ��Å�3UPML¥DÂ, Ó�÷x��(�Region 1ÚRegion 2��
Tiao Lu PML
²²²¡¡¡ÅÅŲ²²¡¡¡ÅÅÅ���������ÚÚÚòòò���
²²²¡¡¡ÅÅÅ���\\\kkkÑÑÑ������������mmm(A lossy half space)Berenger’s PML 000���
Berenger ���PML������III��� úúúªªª������ÉÉÉ555���áááÂÂÂ000���(An anisotropic absorbing medium)
PML���nnnØØØ555���UPML333FDTDþþþ���kkk���¢¢¢yyy
.¡R�)�êP~. P~Ïf´Ø�6uªÇ�,�§´\��θÚUPML�>�(conductivity)σ�¼ê.
'�UPMLÚBerenger’s¥�DÑÅ(94)Ú(66c)·�w��öäkÓ��|ÚÓ��DÂA�, ?�Ú,*(58)Ú(82)ü«�{�ÑÓ��Å�§.l ü«�{÷vÓ�ÚÑ'X(dispersion relation ªÇ�Å�þ�m�'X)., ,'���.¡�©þEx, ·�5¿�§��m���Ïfsx, ¯¢þ,�\�Å'�,uyé©�|, Ex3x = 0üý´ëY�., ,éUPML, ExØëY, Dx = ǫs−1
x Ex´ëY�, ùÒV«ùü«�{÷vØÓ�Ñݽn. 3UPML¥, Gauss’s Law
∇ ·D = ∇ · (ǫ¯sE) =∂
∂x(ǫs−1
x Ex) +∂
∂y(ǫsxEy) +
∂
∂z(ǫsxEz) = 0
(95)
Tiao Lu PML
²²²¡¡¡ÅÅŲ²²¡¡¡ÅÅÅ���������ÚÚÚòòò���
²²²¡¡¡ÅÅÅ���\\\kkkÑÑÑ������������mmm(A lossy half space)Berenger’s PML 000���
Berenger ���PML������III��� úúúªªª������ÉÉÉ555���áááÂÂÂ000���(An anisotropic absorbing medium)
PML���nnnØØØ555���UPML333FDTDþþþ���kkk���¢¢¢yyy
3�.¡x = 0?vk (source),KDx = ǫs−1x Ex�½´ëY
�.ǫ´ëY�. '�(94)Ú(86)w�TEzÅDx(¢´ëY�.,�wBerenger’s PMLúª¥�Gauss’s Law,�f∇�½Â¤
∇ = x∂
sx∂x+ y
∂
∂y+ z
∂
∂z(96)
u´1
sx
∂
∂x(ǫEx) +
∂
∂y(ǫEy) +
∂
∂z(ǫEz) = 0 (97)
ǫ3�.¡?ëY,s−1x �3�ê�fÜ,¤±DxÚExÑ´ëY
�.o�,Berenger’s PMLÚUPMLkÓ��Å�§,ÏdkÓ��DÂ
Tiao Lu PML
²²²¡¡¡ÅÅŲ²²¡¡¡ÅÅÅ���������ÚÚÚòòò���
²²²¡¡¡ÅÅÅ���\\\kkkÑÑÑ������������mmm(A lossy half space)Berenger’s PML 000���
Berenger ���PML������III��� úúúªªª������ÉÉÉ555���áááÂÂÂ000���(An anisotropic absorbing medium)
PML���nnnØØØ555���UPML333FDTDþþþ���kkk���¢¢¢yyy
A�,, §�kØÓ�Gauss½Æ,ÏdEÚH��.¡R��©þØÓ.
y3,·��E·^u��FDTDO�«��UPML0�,ù«�E�¦Ä��O�«�´ÃÑ����Ó5�(losslessisotropic) 0�.ù�,UPML�±~�b���Å.��Maxwell’s curl equations 3UPML¥�±�¤
∇× H = jωǫ¯sE (98a)
∇× E = −jωǫ¯sH (98b)
Tiao Lu PML
²²²¡¡¡ÅÅŲ²²¡¡¡ÅÅÅ���������ÚÚÚòòò���
²²²¡¡¡ÅÅÅ���\\\kkkÑÑÑ������������mmm(A lossy half space)Berenger’s PML 000���
Berenger ���PML������III��� úúúªªª������ÉÉÉ555���áááÂÂÂ000���(An anisotropic absorbing medium)
PML���nnnØØØ555���UPML333FDTDþþþ���kkk���¢¢¢yyy
ùp¯s´é�Üþ,½ÂXe
¯s =
s−1x 0 00 sx 00 0 sx
s−1y 0 0
0 sy 00 0 sy
s−1z 0 00 sz 00 0 sz
=
syszs−1x 0 0
0 sxszs−1y 0
0 0 sxsys−1z
(99)
#N�ü ¢Üκ,
sx = κx +σx
jωǫ(100a)
sy = κy +σy
jωǫ(100b)
Tiao Lu PML
²²²¡¡¡ÅÅŲ²²¡¡¡ÅÅÅ���������ÚÚÚòòò���
²²²¡¡¡ÅÅÅ���\\\kkkÑÑÑ������������mmm(A lossy half space)Berenger’s PML 000���
Berenger ���PML������III��� úúúªªª������ÉÉÉ555���áááÂÂÂ000���(An anisotropic absorbing medium)
PML���nnnØØØ555���UPML333FDTDþþþ���kkk���¢¢¢yyy
sz = κz +σz
jωǫ(100c)
y3kþ¡�½Â,e¡�ÑäN¢y��«AÏ�¹.ÃÑ����Ó5�S�¯s´ü Üþ,�sx = sy = sz = 1.3xminÚxmax?�>.UPML¯sd(93)�Ñ,�sy = sz = 1.3yminÚymax?�>.UPML�sx = sz = 1.3zminÚzmax?�>.UPML�sx = sy = 1.3xmin,xmaxÚymin,ymaxü¡��?�UPML�sz = 1.3xmin,xmaxÚzmin,zmaxü¡��?�UPML
Tiao Lu PML
²²²¡¡¡ÅÅŲ²²¡¡¡ÅÅÅ���������ÚÚÚòòò���
²²²¡¡¡ÅÅÅ���\\\kkkÑÑÑ������������mmm(A lossy half space)Berenger’s PML 000���
Berenger ���PML������III��� úúúªªª������ÉÉÉ555���áááÂÂÂ000���(An anisotropic absorbing medium)
PML���nnnØØØ555���UPML333FDTDþþþ���kkk���¢¢¢yyy
�sy = 1.3ymin,ymaxÚzmin,zmaxü¡��?�UPML�sx = 1.3n¡���UPML¦^(99)ª�Ñ�Üþ.
d(99) �E�ÜþØ´ü¶�, ´����É5�., ,ù«PMLE,��UPML,Q,§3vk��?�«�´ü¶��É5�.
PML²~�^5�äb½Ã����Ó�0�, ��~f´ïá3/¡þ�>´.,��~f´b½÷¶���´Ã¡��1n.ù«�¹e,ØÓ0��Ô�«�òÐ�PML, ù�,3À�PML�ëê���%âU��½°(�úª.
Tiao Lu PML
²²²¡¡¡ÅÅŲ²²¡¡¡ÅÅÅ���������ÚÚÚòòò���
²²²¡¡¡ÅÅÅ���\\\kkkÑÑÑ������������mmm(A lossy half space)Berenger’s PML 000���
Berenger ���PML������III��� úúúªªª������ÉÉÉ555���áááÂÂÂ000���(An anisotropic absorbing medium)
PML���nnnØØØ555���UPML333FDTDþþþ���kkk���¢¢¢yyy
�Ä�x¶R��UPML>.,�PML��´3yz��´©¡~êØÓ����Nǫ(y, z). lÄ��>^ÅnØ,Dy = ǫEy3ª
L�yR��>.,Dz = ǫEzªL�zR��>.Ñ´ëY�,u´lUPML�Gauss’s Law (95),·�uysx7L´Ø�6uy,z. �k�σx/ǫ´~þ�,ùâ´é�. ù�±ÏL�«{ü��ª��,=3�xR���?Uσx,¦σx(y, z)/ǫ(y, z)´~ê. �«{ü��{Ò´rσx^�é0>Xê(relative permittivity)�Kz(normalize),?U(100a)�
sx = κx +σ
′
x
jωǫ0(101)
Tiao Lu PML
²²²¡¡¡ÅÅŲ²²¡¡¡ÅÅÅ���������ÚÚÚòòò���
²²²¡¡¡ÅÅÅ���\\\kkkÑÑÑ������������mmm(A lossy half space)Berenger’s PML 000���
Berenger ���PML������III��� úúúªªª������ÉÉÉ555���áááÂÂÂ000���(An anisotropic absorbing medium)
PML���nnnØØØ555���UPML333FDTDþþþ���kkk���¢¢¢yyy
ùpǫ0´ý��0>Xê, ù«�¹e,σ′
x3y, z���´��~ê,�,3x���±� . y3,Gauss’s Law3UPML¥Ò÷v,�Ñ��·½(well-posed)�úª.
5¿,þ¡�ã�'usxbu�6y, z´UPML¥�D÷
vGauss’s Law�¿©^���Ï)º�ØÐ. ·��Ä�x¶R��UPML>.,�PML���´3yz��´©¡~ê���Nǫ(y, z), UPML�0>Xê
¯ǫ = ǫ
s−1x 0 00 sx 00 0 sx
.
Tiao Lu PML
²²²¡¡¡ÅÅŲ²²¡¡¡ÅÅÅ���������ÚÚÚòòò���
²²²¡¡¡ÅÅÅ���\\\kkkÑÑÑ������������mmm(A lossy half space)Berenger’s PML 000���
Berenger ���PML������III��� úúúªªª������ÉÉÉ555���áááÂÂÂ000���(An anisotropic absorbing medium)
PML���nnnØØØ555���UPML333FDTDþþþ���kkk���¢¢¢yyy
·��ÄTEz wave, (94)�ÑUPML¥�Å.é(94)A^Gauss’sLaw,
∇ · D = ∇ · (¯ǫE2)
=∂
∂x(ǫs−1
x sxη1 sin θH0e−jsxβ1xx−jβ1y) +
∂
∂y(sxη1 cos θH0e
−jsxβ1xx
XJsx�6y,
= (−η1 sin θ)(−jsxβ1x) + (sxη1 cos θ)(−jβ1y)
|^β1x = k1 cos θ, β1y = k2 sin θ,
= 0.
(102)
l(102)�±wÑ,éTEzÅ ó,3�x¶R��UPML¥,sxØ�
6y´UPML¥�D ÷vGauss’s Law���¿©^�.XJ��
Tiao Lu PML
²²²¡¡¡ÅÅŲ²²¡¡¡ÅÅÅ���������ÚÚÚòòò���
²²²¡¡¡ÅÅÅ���\\\kkkÑÑÑ������������mmm(A lossy half space)Berenger’s PML 000���
Berenger ���PML������III��� úúúªªª������ÉÉÉ555���áááÂÂÂ000���(An anisotropic absorbing medium)
PML���nnnØØØ555���UPML333FDTDþþþ���kkk���¢¢¢yyy
´TEyÅ,Å�þ´k = (β1x, β1z), aq�,�±��3�x¶R��UPML¥,sxØ�6z´UPML¥�D÷vGauss’s Law���¿©^�.aqéTMÅO�,Gauss’s Law÷v���¿©^�Ò´sxØ�6y, z.Ù¦²¡ÅÑ´ùo«Å�U\,Ïd, sxØ�
6y, z´UPML¥�²¡Å÷vGauss’s Law�¿©^�, ���Å´²¡Å�U\,¤±,§�´���Å÷vGauss’s Law�¿©^�.
e�Ú,�ÄBerenger’s|©�PML.�n)ù«E|3�Ó�0�þ���, ·���w�I� �L«�§.3� �Ie, Gauss’s Law �L«¤(97),ùpq�ésxvk��,�´w(74),é�§�>�ÑÝ,Ò��Gauss’s Law (97),�´ém>�ÑÝ,H�^Ý�ÑÝ�0.=�sxØ�6uyÚz�â¤á. ùI�´σx/ǫÕáuy,z�,u´ùq�±ÏL^(101) L«sx5¢y.
Tiao Lu PML
²²²¡¡¡ÅÅŲ²²¡¡¡ÅÅÅ���������ÚÚÚòòò���
²²²¡¡¡ÅÅÅ���\\\kkkÑÑÑ������������mmm(A lossy half space)Berenger’s PML 000���
Berenger ���PML������III��� úúúªªª������ÉÉÉ555���áááÂÂÂ000���(An anisotropic absorbing medium)
PML���nnnØØØ555���UPML333FDTDþþþ���kkk���¢¢¢yyy
o�,�Ð�á��0��±�UPMLÚBerenger’s PML5��, �öé?¿\��>^ÅÑ´�����,�öÑ´°(Ú½�. ��sω(sx, sy,½sz) Ø�6î��I.rσω^�é0>X
ê�Kz5¢y§,�sω = κω + σ′
ω/jωǫ0ùp´÷î�´ØC�.
Tiao Lu PML
²²²¡¡¡ÅÅŲ²²¡¡¡ÅÅÅ���������ÚÚÚòòò���
²²²¡¡¡ÅÅÅ���\\\kkkÑÑÑ������������mmm(A lossy half space)Berenger’s PML 000���
Berenger ���PML������III��� úúúªªª������ÉÉÉ555���áááÂÂÂ000���(An anisotropic absorbing medium)
PML���nnnØØØ555���UPML333FDTDþþþ���kkk���¢¢¢yyy
�·�^PML�äO�«��,PMLkþÝd.XJ�>.b½�PEC(X�N)p,k��Uþ���£�©O�«�, \���θ�Å�\PML,���±ÏLD��©Û�).
R(θ) = e−2σωηd cos θ (103)
ùpηÚσω©O´PML�A�{|Ú>�(conductivity).R(θ)�¡�”��Ø�”,ù´duPEC wall��Ôn��E¤�.·�5¿���Ø�éü«PMLÑ´���, Ï�§��Å�§��,TØ��σωÚd�êP~,�¬�ecos θO\,duecos θ ��
3,3θ = 90o�,�¹¬C�é�,ù�,R = 1, PML´��Ã�
Tiao Lu PML
²²²¡¡¡ÅÅŲ²²¡¡¡ÅÅÅ���������ÚÚÚòòò���
²²²¡¡¡ÅÅÅ���\\\kkkÑÑÑ������������mmm(A lossy half space)Berenger’s PML 000���
Berenger ���PML������III��� úúúªªª������ÉÉÉ555���áááÂÂÂ000���(An anisotropic absorbing medium)
PML���nnnØØØ555���UPML333FDTDþþþ���kkk���¢¢¢yyy
�,·�F"R(θ)¦�U��,²w�,éu��PML�,7L4σω�,AO´θ �C90o�.
nØþ,Ø+σÚσ∗ÛÜXÛmä,ëY\�Å3�\�Ñج�)��, , ,3FDTD½ö?ÛMaxwell ’s equation �lÑ/ª,k���m��Ѭ�5ê�¯K, l ,XPML¥�σÚσ∗��¤�Úmä�{,ò¬3PMLL¡�)é��Å���.
�~���Ø�,BerengerJÑPML�Ñ�Xê,÷��.¡R���l0ÅìO�.ÅìO�vkUCPML�5�, |^ù«g�·��Ä��~f,\���θ,�.¡�x = 0, PMLþÝ�d,��´PEC. PML�>�σx(x), l(71)Ú(66c)½(94)·�����Ïf
R(θ) = e−2η cos θR d0 σx(x)dx (104)
Tiao Lu PML
²²²¡¡¡ÅÅŲ²²¡¡¡ÅÅÅ���������ÚÚÚòòò���
²²²¡¡¡ÅÅÅ���\\\kkkÑÑÑ������������mmm(A lossy half space)Berenger’s PML 000���
Berenger ���PML������III��� úúúªªª������ÉÉÉ555���áááÂÂÂ000���(An anisotropic absorbing medium)
PML���nnnØØØ555���UPML333FDTDþþþ���kkk���¢¢¢yyy
σx(x)¦^�o¼êQ?�¤õ�´õ�ª½öAÛCz(geometric variation).
õ�ªCz
σx(x) = (x/d)mσx,max (105a)
κx(x) = 1 + (κx,max − 1) · (x/d)m (105b)
�±w�σx(x)d3x = 0?�0C�x = d?�σx,max,aq�,UPML¥κx(x)d1C�κx,max,r(105)�\(104),�
R(θ) = e−2ησx,maxd cos θ/(m+1) (106)
éu,��½�d,õ�ªìOJøü�ëê:σx,maxÚm.��m�)�σx(x)©Ù3�CPMLL¡?A�´²�, 3ù�«
Tiao Lu PML
²²²¡¡¡ÅÅŲ²²¡¡¡ÅÅÅ���������ÚÚÚòòò���
²²²¡¡¡ÅÅÅ���\\\kkkÑÑÑ������������mmm(A lossy half space)Berenger’s PML 000���
Berenger ���PML������III��� úúúªªª������ÉÉÉ555���áááÂÂÂ000���(An anisotropic absorbing medium)
PML���nnnØØØ555���UPML333FDTDþþþ���kkk���¢¢¢yyy
�,|��Ì´~��,lÑ�z�Ø���,��5`,uy3 ≤ m ≤ 4ééõFDTD �[5`´Ð�ÀJ.
éuõ�ªìO(polynomial grading),PML�ëê�±d�½�Ø�5(½. ~X,m,d �����Ø�R(0)®�,d(106)�±�Ñσx,max
σx,max = −(m + 1) ln[R(0)]
2ηd(107)
AÛCz(geometric grading)
PML�Ñ�Xê
σx(x) = (g1∆ )xσx,0 (108a)
κx(x) = (g1∆ )x (108b)
Tiao Lu PML
²²²¡¡¡ÅÅŲ²²¡¡¡ÅÅÅ���������ÚÚÚòòò���
²²²¡¡¡ÅÅÅ���\\\kkkÑÑÑ������������mmm(A lossy half space)Berenger’s PML 000���
Berenger ���PML������III��� úúúªªª������ÉÉÉ555���áááÂÂÂ000���(An anisotropic absorbing medium)
PML���nnnØØØ555���UPML333FDTDþþþ���kkk���¢¢¢yyy
ùpσx,0´PMLL¡�>�,g´'~Ïf,∆´FDTD����Ý.ùpPML>�dσx,0O\�gd/∆σx,0, r(108)�\(104),�
R(θ) = e−2ησx,0∆(gd/∆−1) cos θ/ ln g (109)
éu,���½�d, geometric gradingJøü�ëê,gÚσx,0.σx,0 �½�v�,5~��¦�lÑØ�,ëêg > 1��σx(x)O��Ý. ��g¦σx(x)3x = 0?Cz²�, �xO�,Czé�. ��5`,g, dÚR(0)´�½�,d§��Ñσx,0
σx,0 = − ln[R(0)] ln(g)
2η∆(gd/∆ − 1)(110)
��5`,2 ≤ g ≤ 3é�õêFDTD�[5`´Ð�.lÑØ�
Tiao Lu PML
²²²¡¡¡ÅÅŲ²²¡¡¡ÅÅÅ���������ÚÚÚòòò���
²²²¡¡¡ÅÅÅ���\\\kkkÑÑÑ������������mmm(A lossy half space)Berenger’s PML 000���
Berenger ���PML������III��� úúúªªª������ÉÉÉ555���áááÂÂÂ000���(An anisotropic absorbing medium)
PML���nnnØØØ555���UPML333FDTDþþþ���kkk���¢¢¢yyy
�Ok��PMLI�²ïnØ��Ø�R(θ)Úê�lÑØ�. ~X,(107)´dýk�½�R(0)Úm�σx,max, XJσx,max�,K��Ì�5gPEC wall. (104)�Ñù«�¹e�����°(��O,��5`,·�����σx,max5¦�R(θ)¦�U�. Ø3�´,XJσx,max��,FDTDCq�5�lÑØ�åÌ��^,'(104)�O��ÐA�êþ?, XÛÀJσx,max5²ï�ö?�þ�ê�¢�L²,é�õêA^Ð�ÀJ,10-cell-thickpolynomial-graded PML R(0) = e−16; 10-cell-thickpolynomial-graded PML R(0) = e−8, l(107)�, épolynomialgrading
σx,opt = −(m + 1) · (−16)
(2η) · (10∆)=
0.8(m + 1)
η∆(111)
ù�®²�y¢ééõA^Ñ´érobust.
Tiao Lu PML
²²²¡¡¡ÅÅŲ²²¡¡¡ÅÅÅ���������ÚÚÚòòò���
²²²¡¡¡ÅÅÅ���\\\kkkÑÑÑ������������mmm(A lossy half space)Berenger’s PML 000���
Berenger ���PML������III��� úúúªªª������ÉÉÉ555���áááÂÂÂ000���(An anisotropic absorbing medium)
PML���nnnØØØ555���UPML333FDTDþþþ���kkk���¢¢¢yyy
ùÜ©?ØUPML3FDTDlÑ¥XÛA^.FDTDlÑ��§´(98).�§�Ô�ëêd(100)½Â.
l(98a)Ú(99)XÃ,Ampere’s Law 3UPML ¥�L«¤
∂Hz∂y −∂Hy
∂z∂Hx∂z −∂Hz
∂x∂Hy
∂x −∂Hx∂y
= jωǫ
sysz
sx0 0
0 sxszsy
0
0 0sxsy
sz
Ex
Ey
Ez
(112)
ùp�L«�B,·�E(100),½Âsx, syÚsz.
sx = κx +σx
jωǫ(113a)
sy = κy +σy
jωǫ(113b)
Tiao Lu PML
²²²¡¡¡ÅÅŲ²²¡¡¡ÅÅÅ���������ÚÚÚòòò���
²²²¡¡¡ÅÅÅ���\\\kkkÑÑÑ������������mmm(A lossy half space)Berenger’s PML 000���
Berenger ���PML������III��� úúúªªª������ÉÉÉ555���áááÂÂÂ000���(An anisotropic absorbing medium)
PML���nnnØØØ555���UPML333FDTDþþþ���kkk���¢¢¢yyy
sz = κz +σz
jωǫ(113c)
��r(113)�\(112),,�C���m«�(time domain)¬��ÜþXêÚE |�òÈ,ù´ØÐ�,Ï�òÈ�¢yO�þé�,��k���{´½Â#�'X, تÇ��ÍÜ.AO�,-
Dx = ǫsz
sxEx (114a)
Dy = ǫsx
syEy (114b)
Dz = ǫsy
szEz (114c)
u´(112)�±U�¤
Tiao Lu PML
²²²¡¡¡ÅÅŲ²²¡¡¡ÅÅÅ���������ÚÚÚòòò���
²²²¡¡¡ÅÅÅ���\\\kkkÑÑÑ������������mmm(A lossy half space)Berenger’s PML 000���
Berenger ���PML������III��� úúúªªª������ÉÉÉ555���áááÂÂÂ000���(An anisotropic absorbing medium)
PML���nnnØØØ555���UPML333FDTDþþþ���kkk���¢¢¢yyy
∂Hz∂y −∂Hy
∂z∂Hx∂z −∂Hz
∂x∂Hy
∂x −∂Hx∂y
= jω
sy 0 00 sz 00 0 sx
Dx
Dy
Dz
(115)
r(113)�\(115),,�|^Fourier_C�(inverse Fouriertransform), jωf(ω) → (∂/∂t)f(t).,Ò���(115)�d��m«��§
∂Hz∂y −∂Hy
∂z∂Hx∂z −∂Hz
∂x∂Hy
∂x −∂Hx∂y
=
∂
∂t
κy 0 00 κz 00 0 κx
Dx
Dy
Dz
+1
ǫ
σy 0 00 σz 00 0 σx
Dx
Dy
Dz
(116)
Tiao Lu PML
²²²¡¡¡ÅÅŲ²²¡¡¡ÅÅÅ���������ÚÚÚòòò���
²²²¡¡¡ÅÅÅ���\\\kkkÑÑÑ������������mmm(A lossy half space)Berenger’s PML 000���
Berenger ���PML������III��� úúúªªª������ÉÉÉ555���áááÂÂÂ000���(An anisotropic absorbing medium)
PML���nnnØØØ555���UPML333FDTDþþþ���kkk���¢¢¢yyy
(116)�±^IO�Yee�ªlÑ,�m�¡^�a�ª,ÑÑ�^�Ûª, ùÒ�ÑDx,Dy,Dzwª��ª,~XDx�±ù��#
Dx|n+1i+1/2,j,k =(
2ǫκy − σy∆t
2ǫκy + σy∆t)Dx|ni+1/2,j,k + (
2ǫ∆t
2ǫκy + σy∆t)·
(Hz|n+1/2
i+1/2,j+1/2,k − Hz|n+1/2i+1/2,j−1/2,k
△y
−Hy|n+1/2
i+1/2,j,k+1/2 − Hy|n+1/2i+1/2,j,k−1/2
△z)
(117)
Tiao Lu PML
²²²¡¡¡ÅÅŲ²²¡¡¡ÅÅÅ���������ÚÚÚòòò���
²²²¡¡¡ÅÅÅ���\\\kkkÑÑÑ������������mmm(A lossy half space)Berenger’s PML 000���
Berenger ���PML������III��� úúúªªª������ÉÉÉ555���áááÂÂÂ000���(An anisotropic absorbing medium)
PML���nnnØØØ555���UPML333FDTDþþþ���kkk���¢¢¢yyy
e�Ú,·�w(114a)-(114c) ,~X·��Ä(114a),ü>Ó�¦sx,,�rsxÚsz^(113a)Ú(113c)�O, ·�k
(κx +σx
jωǫ)Dx = ǫ(κz +
σz
jωǫ)Ex (118)
ü>Ó¦±jω,C���m«�,Ò��
∂
∂t(κxDx) +
σx
ǫDx = ǫ
∂
∂t[(κzEx) +
σz
ǫEx] (119a)
aq�,l(114b)Ú(114c),·���
∂
∂t(κyDy) +
σy
ǫDy = ǫ
∂
∂t[(κxEy) +
σx
ǫEy] (119b)
Tiao Lu PML
²²²¡¡¡ÅÅŲ²²¡¡¡ÅÅÅ���������ÚÚÚòòò���
²²²¡¡¡ÅÅÅ���\\\kkkÑÑÑ������������mmm(A lossy half space)Berenger’s PML 000���
Berenger ���PML������III��� úúúªªª������ÉÉÉ555���áááÂÂÂ000���(An anisotropic absorbing medium)
PML���nnnØØØ555���UPML333FDTDþþþ���kkk���¢¢¢yyy
∂
∂t(κzDz) +
σz
ǫDz = ǫ
∂
∂t[(κyEz) +
σy
ǫEz] (119c)
(119)¥��mlѦ^IO�Yee�a�ª,Ñ��¦^�m²þ(�Ûª).Ò��Ex, Ey, Ez��#/ª,~XEx��#úª´
Ex|n+1i+1/2,j,k =(
2ǫκz − σz∆t
2ǫκz + σz∆t)Ex|ni+1/2,j,k + [
1
(2ǫκz + σz∆t)ǫ]·
[(2ǫκx + σx∆t)Dx|n+1i+1/2,j,k − (2ǫκx − σx∆t)Dx|ni+1/2,j,k]
(120)
Tiao Lu PML
²²²¡¡¡ÅÅŲ²²¡¡¡ÅÅÅ���������ÚÚÚòòò���
²²²¡¡¡ÅÅÅ���\\\kkkÑÑÑ������������mmm(A lossy half space)Berenger’s PML 000���
Berenger ���PML������III��� úúúªªª������ÉÉÉ555���áááÂÂÂ000���(An anisotropic absorbing medium)
PML���nnnØØØ555���UPML333FDTDþþþ���kkk���¢¢¢yyy
o�,�#UPML¥EI�üÚ(1)d(117)�D (2)d(120)dD¦E.aq�Ú½·��±�#UPML¥�H. l(109)Ú(99)·��±��B��#, ±Bx�~,
Bx|n+3/2i,j+1/2,k+1/2 =(
2ǫκy − σy∆t
2ǫκy + σy∆t)Bx|n+1/2
i,j+1/2,k+1/2 − (2ǫ△t
2ǫκy + σy∆t)
(Ez|n+1
i,j+1,k+1/2 − Ez|n+1i,j,k+1/2
△y
−Ey|n+1
i,j+1/2,k+1 − Ey|n+1i,j+1/2,k
△z)
(121)
Tiao Lu PML
²²²¡¡¡ÅÅŲ²²¡¡¡ÅÅÅ���������ÚÚÚòòò���
²²²¡¡¡ÅÅÅ���\\\kkkÑÑÑ������������mmm(A lossy half space)Berenger’s PML 000���
Berenger ���PML������III��� úúúªªª������ÉÉÉ555���áááÂÂÂ000���(An anisotropic absorbing medium)
PML���nnnØØØ555���UPML333FDTDþþþ���kkk���¢¢¢yyy
1�Ú,dB¦H±Hx�~
Hx|n+3/2i,j+1/2,k+1/2 =(
2ǫκz − σz∆t
2ǫκz + σz∆t)Hx|n+1/2
i,j+1/2,k+1/2 + [1
(2ǫκz + σz∆t)µ]·
[(2ǫκx + σx∆t)Bx|n+2/3i,j+1/2,k+1/2
− (2ǫκx − σx∆t)Bx|n+1/2i,j+1/2,k+1/2]
(122)
3CFL^�e, ¦^(117),(120),(121)Ú(122) �O��ê�½5®�ê�¢���(shown). ?�Ú,�±L²(shown)lÑ|÷vGauss’s Law,UPML´·½�(well posed).
Tiao Lu PML