Embed Size (px)
Citation preview
, Junio 2019
Departamento Educación Primaria
Título: El desarrollo de habilidades al resolver problemas matemáticos en escolares
Autor: Betsy Espinosa Rodríguez
Tutores: MS.c. Odayme Abreu Rodríguez
, june, 2019
Academic Departament Primary Education
Title: The development of skills in solving mathematical problems in school children
Author: Betsy Espinosa Rodríguez
Thesis Director: MS.c. Odayme Abreu Rodríguez
Este documento es Propiedad Patrimonial de la Universidad Central “Marta Abreu” de
Las Villas, y se encuentra depositado en los fondos de la Biblioteca Universitaria
“Chiqui Gómez Lubian” subordinada a la Dirección de Información Científico Técnica
de la mencionada casa de altos estudios.
Se autoriza su utilización bajo la licencia siguiente:
Atribución- No Comercial- Compartir Igual
Para cualquier información contacte con:
Dirección de Información Científico Técnica. Universidad Central “Marta Abreu” de
Las Villas. Carretera a Camajuaní. Km 5½. Santa Clara. Villa Clara. Cuba. CP. 54 830
Teléfonos.: +53 01 42281503-1419
RESUMEN.
La potencialidad del hombre para la solución de problemas es un tema muy
discutido en el mundo, se considera una actividad de gran importancia en la
enseñanza, esta caracteriza a una de las conductas más inteligentes del
hombre y que más utilidad y práctica tiene, ya que la vida misma obliga a
resolver problemas continuamente. El presente trabajo tiene como objetivo
proponer un sistema de ejercicios que contribuya al desarrollo de las
habilidades para resolver problemas matemáticos en los escolares de 5.grado
de la ENU Pepito Tey. Se realizó mediante un estudio en el que se emplearon
métodos del nivel teórico y empírico que permitieron profundizar en el objeto de
investigación. La propuesta se sustenta en la utilización de las técnicas de la
lectura analítica, reformulación, modelación y el control, así como el uso de
principios e impulsos heurísticos para contribuir al desarrollo de las habilidades
para resolver problemas matemáticos en correspondencia con las exigencias
del programa de Matemática de 5.grado.Los especialistas consultados
refirmaron la pertinencia de la propuesta. Con la aplicación de la misma se
constató que los escolares tomados como muestra trabajaron con mayor
independencia y manifestaron desarrollo de habilidades en solución total de los
problemas matemáticos.
Palabras claves:
Desarrollo, habilidades, solución de problemas matemáticos, sistema de ejercicios, métodos, implementación y diagnóstico
Abstract.
The present investigative work has as its title: System of activities for the
development of skills in the solution of mathematical problems in the 5th grade
students of the Pepito Tey school. The potential of the man for the solution of
problems is a subject very discussed in the world, it is considered an activity of
great importance in the education, this characterizes to one of the most
intelligent behaviors of the man and that more utility and practice has, since life
itself forces us to solve problems continuously. For the development of the
research, we helped ourselves with different methods, techniques and
instruments, which allowed us to determine the educational needs of the 5th
grade students referred to the development of skills for the solution of
mathematical problems. It offers a system of structured activities in a coherent
way, responding to the demands of a system and favors the development of
skills for solving mathematical problems in the 5th grade students of the ENU
Pepito Tey. It aims to propose activities that contribute to the development of
skills for the solution of mathematical problems.
Keywords
Development, skills, solving mathematical problems, exercise system,
methods, implementation, diagnosis.
ÍNDICE. INTRODUCCÍON…………………………………..................................................1
DESARROLLO……………………………………… ………………………….........7 1 FUNDAMENTOS TEÓRICOS-METODOLÓGICOS QUE SUSTENTAN EL DESARROLLO DE LAS HABILIDADES PARA RESOLVER PROBLEMAS MATEMÁTICOS. ……………………………………………………………………..7
1.1 LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS MATEMÁTICOS Y EL
DESARRROLLO DE HABILIDADES……………….............................................7
1.2 LOS PROBLEMAS EN LA EDUCACIÓN PRIMARIA………………………..9
1.3 LAS HABILIDADES MATEMÁTICAS EN LA RESOLUCIÓN DE
PROBLEMAS…………………………………………………………………………15
II- MODELACIÓN TEÓRICO - PRÁCTICA DEL SISTEMA DE EJERCICIOS.....................................................................................................18
2.1 DIAGNOSTICO Y DETERMINACION DE LAS NESECIDADES DE LOS
ESCOLARES…………………………………………………………………………20
2.2 FUNDAMENTOS DE LA PROPUESTA……………………………………….20
2.3 PRESENTACION DE LA PROPUESTA ……………………………………...24
2.4 VALORACIÓN DEL SISTEMA POR ESPECIALISTAS……………………..29
2.5 INSTRUMENTACIÓN PRÁCTICA DE LA PROPUESTA DE
EJERCICIOS…………………………………………………………………………29
CONCLUSIONES……………………………………………………………………32
RECOMENDACIONES……………………………………………………………...33
BIBLIOGRAFÍA………………………………………..…………………………….34
ANEXOS
1
Introducción: “La educación es de hecho la influencia de unas personas sobre otras, con la
ayuda de la cual se logra o pretende encauzar, con un determinado fin, la
asimilación de contenidos sociales en interés de las clases sociales”.
En el mundo contemporáneo, marcado por la globalización de la economía, las
diferencias sociales y los problemas que estas engendran; los sistemas
educativos no responden totalmente a lo que la sociedad necesita, de ahí que
para muchos países el cambio educativo sea una fuerte demanda.
La Matemática, por sus características y posibilidades educativas, puede
contribuir a satisfacer las demandas de preparación del hombre para su
inserción en el mundo contemporáneo.
Al maestro de Matemática se le plantea como problemática universal la de
encontrar vías que garanticen un adecuado aprendizaje de la misma que le
permita a las generaciones venideras enfrentar los retos y resolver los múltiples
problemas a los que tendrán que buscar soluciones.
Al decir de Trigo, () “uno de los componentes esenciales en el aprendizaje de
las matemáticas se relaciona con las ideas propias de lo que son las
matemáticas”.
La Matemática, entendida como “el producto de una serie de épocas históricas
y el trabajo de muchas generaciones”, tiene como objeto el estudio de “las
formas y relaciones reales de la realidad”; este estudio se realiza,
esencialmente, a través de la abstracción, intentando, según Engels, () el
aislamiento de esas formas y relaciones de su contenido, lo cual es realmente
imposible y constituye la “contradicción fundamental de la Matemática”.
Diferentes autores refieren que las abstracciones matemáticas se caracterizan
porque “tratan fundamentalmente de las relaciones cuantitativas y formas
espaciales, abstrayéndolas de todas las demás propiedades” aparecen con
creciente grado de profundidad, “llegando muy lejos en esta dirección que la
abstracción en las demás ciencias” y por último, porque la matemática “se
mueve casi por completo en el campo de los conceptos abstractos y sus
interrelaciones”.
Resulta claro que esta concepción de la Ciencia Matemática condiciona su
enseñanza – aprendizaje, ligada a la resolución de problemas, aspecto
considerado esencial en el desarrollo de las ideas matemáticas. La resolución
2
de problemas caracteriza a una de las conductas más inteligentes del hombre y
que más utilidad práctica tiene”.
Todo lo anterior permite asegurar las posibilidades educativas que tiene la
enseñanza – aprendizaje de la Matemática, y en especial de la resolución de
problemas en ella.
Desde la época de Polya (1954) hasta la fecha son muchos los docentes e
investigadores que se han dedicado a buscar respuestas a las dificultades de
los escolares en la resolución de problemas matemáticos.
La anterior búsqueda se ha realizado desde posiciones teóricas y
metodológicas diferentes, intentando abordar el problema desde diferentes
ángulos: la instrucción heurística, la búsqueda de “modelos” para el desarrollo
de la “habilidad” para resolver problemas.
En Cuba, muchos maestros e investigadores se han dedicado al estudio de la
resolución de problemas matemáticos, entre ellos se mencionan los siguientes:
Dávidson & Reguera (1979), precursores del trabajo con los estudiantes
preseleccionados para participar en las olimpiadas de matemática. Han
aportado esencialmente un estilo de trabajo con ese tipo de escolares,
conjuntamente con un importante número de problemas para ser utilizados en
el referido entrenamiento.
Campistrous & Rizo (2002) profundizan magistralmente en lo relacionado con
procedimientos para la resolución de clases de problemas (problemas
aritméticos).
Labarrere (2002) ha trabajado durante muchos años la resolución de
problemas matemáticos, abordándolos desde el punto de vista psicológico. Ha
profundizado en la función de la metacognición en la resolución de problemas
matemáticos. Sus trabajos son de obligada consulta para todos los
investigadores en Didáctica de la Matemática.
Rebollar (2006) ha trabajado lo relativo a la enseñanza de clases de problemas
en la enseñanza de la Matemática.
Delgado (2009), considera la resolución de problemas como una habilidad
matemática.
Sin embargo, como se ha podido apreciar, esto es un problema aún no
resuelto, según la opinión de esta autora, no se ha atendido sistemáticamente
lo relativo a las acciones intelectuales para la resolución de problemas, a las
3
bases de conocimientos que poseen los escolares, a la calidad de los procesos
psíquicos que intervienen en el proceso y a la metacognición. En comprobaciones de conocimientos, observación de los escolares en clases,
resultados de los operativos de la calidad y evaluaciones sistemáticas, la
autora de este trabajo ha constatado insuficiencias en la resolución de
problemas matemáticos en cuanto a:
• Determinar de qué trata el problema.
• Identificar los datos.
• Reconocer los conocimientos matemáticos que debe utilizar para
resolver el problema y establecer relaciones.
Lo anterior permite inferir que existe una evidente contradicción entre el estado
actual y el estado deseado si se tiene en cuenta que en las aspiraciones del
modelo de escuela primaria se plantea que los alumnos de 5. Grado deben
resolver problemas matemáticos simples y compuestos a partir del
conocimiento del significado de las operaciones, técnicas de solución de
problemas y el dominio del cálculo con números naturales cualesquiera y
cantidades de magnitud, lo que condujo a plantear como:
Problema Científico. ¿Cómo contribuir al desarrollo de habilidades para
resolver problemas matemáticos en los escolares de 5.grado de la ENU Pepito
Tey?
El objeto de esta investigación es, por tanto, el proceso de enseñanza –
aprendizaje de la Matemática.
Como campo de acción se precisa el desarrollo de habilidades para resolver
problemas matemáticos en los escolares de 5.grado de la ENU Pepito Tey
Para darle solución al problema descrito se propone el siguiente:
Objetivo: Proponer un sistema de ejercicios que contribuya al desarrollo de las
habilidades para resolver problemas matemáticos en los escolares de 5.grado
de la ENU Pepito Tey.
Dicho problema conduce a las siguientes interrogantes científicas:
1. ¿Qué sustentos teóricos metodológicos fundamentan el proceso de
enseñanza aprendizaje de la Matemática en la Enseñanza Primaria?
2. ¿Cuál es el estado actual del desarrollo de las habilidades para resolver
problemas matemáticos en los escolares de 5. grado de la ENU Pepito Tey?
4
3. ¿Qué características debe poseer un sistema de ejercicios que
contribuya al desarrollo de las habilidades para resolver problemas
matemáticos en los escolares de 5. Grado?
4. ¿Qué criterios tienen los especialistas con respecto a la estructura,
utilidad y factibilidad del sistema de ejercicios propuestos que contribuya al
desarrollo de las habilidades para resolver problemas matemáticos en los
escolares de 5. grado de la ENU Pepito Tey?
5. ¿Qué resultados se obtendrán con la aplicación, en la práctica escolar,
del sistema de ejercicios propuesto que contribuya al desarrollo de las
habilidades para resolver problemas matemáticos en los escolares de 5. grado
de la ENU Pepito Tey?
Tareas científicas: 1. Determinación de los fundamentos teóricos y metodológicos que
sustentan el desarrollo de las habilidades para resolver problemas matemáticos
en los escolares de la escuela primaria.
2. Diagnóstico del desarrollo de las habilidades para resolver problemas
matemáticos en los escolares de 5. grado de la ENU Pepito Tey.
3. Elaboración de un sistema de ejercicios que contribuya al desarrollo de
las habilidades para resolver problemas matemáticos en los escolares de 5.
grado de la ENU Pepito Tey.
4. Valoración de la estructura, utilidad y factibilidad del sistema de
ejercicios que contribuya al desarrollo de las habilidades para resolver
problemas matemáticos a través del criterio de especialistas.
5. Validación de los resultados obtenidos con la aplicación en la práctica
escolar del sistema de ejercicios elaborados que contribuya al desarrollo de las
habilidades para resolver problemas matemáticos en los escolares de 5. grado
de la ENU Pepito Tey.
En esta investigación se utilizarán los siguientes métodos y técnicas
investigativas:
Del nivel teórico: Analítico – Sintético: Permite analizar el programa de la asignatura, las
orientaciones metodológicas, libros de texto y cuaderno de trabajo para
seleccionar los fundamentos que sustentan el desarrollo de las habilidades
para resolver problemas aritméticos que justifican desde una posición teórico-
5
metodológica la relación causa-efecto en torno al trabajo con sistemas de
ejercicios.
Inductivo - Deductivo: Se utilizan datos para corroborar la teoría y explicarla a
través de los datos que se presentarán asociados al desarrollo de las
habilidades para resolver problemas matemáticos, permitiendo a partir de la
lógica que se establece, proponer los ejercicios para lograr el desarrollo de las
habilidades en los escolares de 5. grado de la ENU Pepito Tey.
Sistémico – Estructural: Se utilizó para la definición del contenido y la
estructura del sistema de ejercicios en subsistemas avalados por relaciones de
subordinación e independencia.
Histórico - lógico: Se utiliza para conocer el objeto de investigación en sus
antecedentes y en las tendencias actuales.
Modelación: para la elaboración de los ejercicios para contribuir al desarrollo de
la capacidad para resolver problemas matemáticos
Del Nivel empíricos: Permiten la valoración del problema científico desde su
estado inicial hasta el estado final a través del análisis documental, la prueba
pedagógica y el criterio de especialistas.
Análisis documental: Se aplicó con la intención de constatar cómo se aborda en
los documentos normativos el desarrollo de las habilidades para resolver
problemas matemáticos en quinto grado.
Prueba Pedagógica: Para el análisis del estado actual del desarrollo de las
habilidades para resolver problemas matemáticos en escolares de quinto
grado.
Criterio de especialista: Se aplicó a maestros de experiencias con el propósito
de evaluar a través de sus juicios el sistema de ejercicios propuesto.
Del nivel Matemático y/o estadístico.
Análisis porcentual: Se utilizó para cuantificar los resultados de la recopilación
de la información, de las pruebas pedagógicas y el criterio de especialistas con
el propósito de facilitar el procesamiento y análisis. Se utilizó además tablas y
gráficos. .
6
Indicadores
1. Comprender el ejercicio.
2. Dominar las acciones para determinar los datos.
3. Establecer las relaciones entre lo dado y lo buscado.
4. Buscar la vía de solución
5. Resolver
6. controlar
Población y muestra:
De una población de 36 escolares de 5. Grado de la ENU Pepito Tey se
seleccionó como muestra los 16 escolares, con un criterio no probabilístico e
intencional por ser el grupo donde la autora se desempeña como maestra.
Novedad científica: Radica en que se propone un sistema de ejercicios que se
sustenta en la utilización de las técnicas de la lectura analítica, reformulación,
modelación y el control, así como el uso de principios e impulsos heurísticos
para contribuir al desarrollo de las habilidades para resolver problemas
matemáticos en correspondencia con las exigencias del programa de
Matemática de 5.grado.
El trabajo de diploma está estructurado por: Introducción, desarrollo con dos
capítulos y sus epígrafes correspondientes, finalmente se exponen las
conclusiones, recomendaciones, bibliografía y anexos sobre aspectos
relevantes de la investigación.
7
1. Fundamentos teóricos-metodológicos que sustentan el desarrollo de las habilidades para resolver problemas matemáticos 1.1 La resolución de problemas matemáticos y el desarrollo de las habilidades. Una de las prioridades de la educación en Cuba es alcanzar niveles óptimos en
la formación matemática de los alumnos, que indica las habilidades
matemáticas que deben ser atendidas con mayor fuerza, entre ellas la de
solución de problemas, y propone investigar las metodologías que son
empleadas en la dirección del proceso de enseñanza aprendizaje.
La solución de problemas es considerada en la actualidad la parte esencial de
la educación matemática. Mediante la resolución de problemas, los estudiantes
experimentan la potencia y utilidad de las Matemáticas en el mundo que les
rodea. El lugar que ocupa la solución de problemas como actividad matemática
fundamental se debate explícitamente a partir de diferentes tendencias
contemporáneas para, en consecuencia, estudiar la naturaleza de las
habilidades matemáticas.
La Matemática es una de las ciencias más antiguas cuyo desarrollo se ha
estimulado por la actividad productiva de los hombres que, como ciencia
particular, con su propio objeto de estudio, ha recibido la mayor influencia de
las ciencias naturales para la formación de los nuevos conceptos y métodos
matemáticos desde su surgimiento.
Santos Trigo señala, que en el aprendizaje de la Matemática es importante el
proceso y el sentido que los estudiantes muestren en el desarrollo o
construcción de las ideas matemáticas señala además que aprender los
conceptos acerca de los números, resolver ecuaciones, graficar funciones, etc.,
no es desarrollar matemáticas. "Hacer o desarrollar matemáticas incluye el
resolver problemas, abstraer, inventar, probar y encontrar el sentido a las ideas
matemáticas". Trigo, (1995, p47)
“A la solución de problemas se le ha llamado con razón, el corazón de los
matemáticos, pues es ahí donde se puede adquirir el verdadero sabor que ha
atraído y atrae a los matemáticos de todas las épocas. Del enfrentamiento con
problemas adecuados es donde pueden resultar motivaciones, actitudes,
hábitos, ideas para el desarrollo de herramientas, en una palabra, la vida propia
de las matemáticas.” Guzmán. (1992, p.12).
8
La resolución de problemas constituye un objetivo básico y una parte integral
de toda actividad matemática. Se trata de un proceso que debe proporcionar en
el aula, el contexto donde puedan aprender los conceptos y destrezas,
desarrollar y aplicar las estrategias para su resolución, valorar el proceso
utilizando al menos en la misma medida en que se valora el resultado,
interpretar el resultado obtenido con relación a lo demandado, potenciar la
comunicación matemática entre los alumnos y el profesor, aumentar la
confianza en el uso de las matemáticas, considerando el error en su justa
medida y, en definitiva, percibir la correcta visión de lo que significa aprender
matemáticas y resolver problemas.
El enfoque histórico cultural, en el que se sustenta el sistema educativo
cubano, toma como premisa la relación enseñanza - desarrollo, es el elemento
de partida en el análisis del papel del profesor, en su intervención pedagógica y
en la dirección del aprendizaje de sus alumnos, en un contexto socializado
dentro de la clase y fuera de ella, a través de métodos que estimulen el interés,
la disposición y el compromiso en el enfrentamiento de las tareas docentes, en
la búsqueda de soluciones a los problemas.
En las tendencias constructivistas, actualmente, se observa que la discusión
acerca del concepto de habilidad se ha encaminado a precisar la importancia
de la enseñanza a través de problemas, como vía para proporcionar al alumno
un contexto significativo para actuar y construir interpretaciones. La concepción
constructivista del aprendizaje parte de que toda actividad mental es
constructiva.
En las concepciones didácticas actuales, en nuestro país, el análisis sistémico
del contenido de la enseñanza distingue entre sus componentes: un sistema de
conocimientos y un sistema de habilidades. El conocimiento refleja el objeto de
la ciencia y su movimiento propio y las habilidades reflejan las relaciones del
hombre con dicho objeto. Lo esencial del contenido es lo que determina las
invariantes de conocimientos y habilidades.
La invariante de habilidad, habilidad generalizadora, caracteriza el modo de
actuar el estudiante en el contexto de un tema y como señala Álvarez (1984,
p.46), es: “el modo de actuar, de relacionarse el estudiante con el objeto de
estudio, está condicionado por dicho objeto, por sus componentes, por su
estructura, por las relaciones que están presentes en el mismo. El dominio de
9
la habilidad presupone, a la vez, el dominio de las características del objeto
de estudio".
Cada nueva habilidad, según Álvarez, (1984, p.130), en "su estructura de
acciones y operaciones contiene componentes que son dominados
previamente por el escolar, para él es novedosa la nueva estructura y quizás
alguna acción del conjunto que exige la nueva habilidad”. En esta idea se
expresa el carácter flexible de la habilidad que se manifiesta en la medida en
que se plantea al alumno una nueva situación, un nuevo problema que
enriquece el nuevo objeto de estudio.
En esta discusión se centra la importante idea de que la habilidad no sólo se
limita al resultado o producto de la formación de sistemas de acciones o el
dominio de una metodología de acción ya aprendida, sino que comprende
también la actuación del sujeto en una nueva situación, cómo se orienta en la
búsqueda y ejecución de esos modos de actuar a partir de las condiciones
previas que posee.
La formación de habilidades en el proceso docente educativo, así comprendida,
precisa que no puede verse aislada de las demás formas de asimilación de la
actividad: los hábitos y las capacidades, porque la habilidad se forma y
desarrolla en la unidad del sistema de acciones y conocimientos, por lo que
debe prevalecer su integración para que el alumno se apropie de un modo de
actuación.
Estas posiciones permiten una orientación precisa al profesor y al alumno
hacia lo esencial en la actividad de aprendizaje, en particular, cuando se dice
que un escolar posee determinadas habilidades matemáticas se entiende que
él puede ante todo establecer el tipo de problema que debe resolver,
determinar las relaciones implicadas, las condiciones del problema, los datos,
lo que es necesario hallar, así como la vía de solucionar y proceder a la
solución de un problema.
1.2. Los problemas matemáticos en la Educación Primaria. La Educación Primaria en nuestro país enfrenta en la actualidad una serie de
transformaciones, que sin lugar a dudas se constituyen en condiciones
favorables para llevar a efecto un proceso educativo con mayor calidad,
influenciados fundamentalmente por el reducido número de matrícula por aula,
así como la inserción de la tecnología educativa, constituida en complemento
10
significativo para los procesos instructivos y educativos que se desarrollan en la
escuela unidos a los procesos de organización escolar que favorecen de forma
coherente el trabajo encaminado a lograr la formación integral de la
personalidad de los escolares. A la anterior se unen los resultados de
investigaciones y su introducción gradual en la práctica escolar para la
contribución del perfeccionamiento continuo de la misma.
Los diferentes aspectos señalados, tributan el alcance de un proceso
enseñanza aprendizaje desarrollados que tiene como propósito central que
cada niño y niña alcance los objetivos previstos de acuerdo con las
particularidades individuales, lo que se traduce en el desarrollo integral de su
personalidad a partir de las exigencias del nivel de enseñanza, apreciada en
sus niveles de desempeño cognitivo en unidad con la formación de
motivaciones, sentimientos y orientaciones valorativas. Crecer y alcanzar un
mayor desarrollo requiere encontrar las dificultades existentes y proyectar
científicamente su solución, dirigiendo las acciones hacia nuevas etapas de
desarrollo.
Guzmán (1984, p.115) comenta que «lo que sobre todo deberíamos
proporcionar a nuestros alumnos a través de las matemáticas es la posibilidad
de hacerse con hábitos de pensamiento adecuados para la resolución de
problemas matemáticos y no matemáticos. ¿De qué les puede servir hacer un
hueco en su mente en que quepan unos cuantos teoremas y propiedades
relativas a entes con poco significado si luego van a dejarlos allí
herméticamente emparedados? A la resolución de problemas se le ha llamado,
con razón, el corazón de las matemáticas, pues ahí es donde se puede adquirir
el verdadero sabor que ha traído y atrae a los matemáticos de todas las
épocas. Del enfrentamiento con problemas adecuados es de donde pueden
resultar motivaciones, actitudes, hábitos, ideas para el desarrollo de
herramientas una palabra, la vida propia de las matemáticas».
En los ejercicios se puede decidir con rapidez si se saben resolver o no; se
trata de aplicar un algoritmo, que pueden conocer o ignorar. Pero, una vez
localizado, se aplica y basta. Justamente, la proliferación de ejercicios en clase
de matemáticas ha desarrollado y arraigado en los alumnos un síndrome
generalizado; en cuanto se les plantea una tarea a realizar, tras una somera
11
reflexión, contestan: "lo sé" o "no lo sé", según hayan localizado o no el
algoritmo apropiado. Ahí acaban, en general, sus elucubraciones.
En los problemas no es evidente el camino a seguir; incluso puede haber
varios; y desde luego no está codificado y enseñado previamente. Hay que
apelar a conocimientos dispersos, y no siempre de matemáticas; hay que
relacionar saberes procedentes de campos diferentes, hay que poner a punto
relaciones nuevas.
Por tanto, un "problema" sería una cuestión a la que no es posible contestar
por aplicación directa de ningún resultado conocido con anterioridad, sino que
para resolverla es preciso poner en juego conocimientos diversos, matemáticos
o no, y buscar relaciones nuevas entre ellos. Pero además tiene que ser una
cuestión que nos interese, que nos provoque las ganas de resolverla, una tarea
a la que estemos dispuestos a dedicarle tiempo y esfuerzos. Como
consecuencia de todo ello, una vez resuelta nos proporciona una sensación
considerable de placer. E incluso, sin haber acabado el proceso, sin haber
logrado la solución, también en el proceso de búsqueda, en los avances que
vamos realizando, encontraremos una componente placentera.
El concepto de problema es comprendido, en la didáctica, como una situación
inherente a un objeto, que induce una necesidad en un sujeto que se relaciona
con dicho objeto y que sirve como punto de partida, tanto para el diseño, como
para el desarrollo del proceso docente educativo, lo que significa, según.
Álvarez de Zayas, (1984), que en el desarrollo del proceso docente educativo el
problema es el punto de partida para que en su solución el alumno aprenda a
dominar la habilidad y se apropie del conocimiento. Es importante en esta
investigación la relación que establece este autor entre las categorías problema
y habilidad.
Como se indica, resolver problemas es considerado, actualmente, una
actividad de especial importancia en el proceso docente educativo, por su valor
instructivo y formativo. Lo esencial para comprender la particularidad de esta
actividad está en la idea siguiente: resolver un problema es hacer lo que se
hace cuando no se sabe qué hacer pues si se sabe lo que hay que hacer ya no
hay problema. Esto, evidentemente, rompe con la idea de que sea una
actividad basada en la repetición de acciones o estrategias ya asimiladas y
deja claro el reto de que el individuo se enfrenta a situaciones que lo deben
12
poner a prueba, por su novedad, por la diversidad de posibilidades al cambiar
las condiciones en que se manifiesta esa situación.
Los problemas son importantes por las funciones que desempeñan en la
enseñanza de la Matemática, dichas funciones son: instructiva, educativa,
desarrolladora y de control.
Desde el punto de vista instructivo, los problemas permiten formar en el alumno
un sistema de conocimientos, capacidades, habilidades y hábitos matemáticos;
fijándose de esa manera conceptos, teoremas y procedimientos de esta
asignatura.
La función desarrolladora está encaminada a fomentar el pensamiento de los
alumnos y a dotarlos de métodos efectivos de actividad intelectual. Es
reconocida la estricta relación existente entre el pensamiento y el proceso de
resolución de problemas; diferentes psicólogos consideran que el pensamiento
tiene lugar como la actividad de resolución de problemas y afirman que la vía
más eficaz para la formación del pensamiento tiene lugar en la resolución de
problemas. En los problemas existen potencialidades educativas, orientadas a:
la formación de la concepción científica del mundo; al desarrollo de intereses
cognoscitivo, la independencia y hábitos de trabajo escolar; y a la formación de
ideas, convicciones y cualidades morales. La función de control se orienta a
comprobar en qué medida se cumplen los objetivos planteados para el
tratamiento de problemas aritméticos en la asignatura.
El término problema suele utilizarse con diversos sentidos. En el ámbito de la
enseñanza es común emplearlo para designar algún tipo de tarea que se
plantea al escolar. Sin embargo, la comprensión de lo que es un problema
como determinado tipo de tarea, debe venir acompañada de una serie de
apreciaciones que otorguen especificidad al concepto. Para un profesor de
Matemática esta palabra ha de tener un significado más preciso. Luego ¿Qué
es un problema?
El concepto de problema, establecido en la Metodología de la enseñanza de la
Matemática de autores alemanes Jungk, & Zillmer, (1986), y retomada por el
colectivo de autores cubanos en el libro de texto vigente para la asignatura, en
los Institutos Superiores Pedagógicos, expresa que un problema es un ejercicio
que refleja, determinadas situaciones a través de elementos y relaciones del
dominio de las ciencias o la práctica, en el lenguaje común y exige de medios
13
matemáticos para su solución; se caracteriza por tener una situación inicial
(elementos dados, datos) conocida y una situación final (incógnita, elementos
buscados) desconocida, mientras que su vía de solución también desconocida
se obtiene con ayuda de procedimientos heurísticos.
En este concepto se concentra la atención en el aspecto de la formulación o
presentación de la situación (de la práctica o de los dominios de las ciencias)
en un lenguaje común, no teniendo en cuenta las situaciones que dentro de la
matemática constituyen verdaderos problemas para el alumno (no disponen de
vías inmediatas de solución) y pueden estar descritas con una orden muy
directa o planteadas en el lenguaje propio de la disciplina. De igual manera no
se tiene en cuenta que para que exista un problema además del aspecto
objetivo señalado, hay que considerar el aspecto subjetivo, la disposición,
motivación e interés de ese alumno por darle solución.
En los estudios más recientes sobre este concepto se destaca la atención al
aspecto objetivo del sujeto que aprende, considerando lo que debe saber hacer
(métodos, procedimientos) y también los factores afectivos y volitivos que se
comprometen en la resolución de problemas. Como señalan Campistrous &
Rizo (1989, p.12) el problema es “toda situación en la que hay un
planteamiento inicial y una exigencia que obliga a transformarlo”, pero que en
su solución hay al menos dos condiciones necesarias: la vía de solución tiene
que ser desconocida y el individuo quiere hacer la transformación, es decir,
quiere resolver el problema.
En este sentido González (1993) expresa que un sujeto está ante una situación
problemática cuando, estando motivado (u obligado por las circunstancias
académicas, personales o vitales) para alcanzar un determinado objetivo, se
encuentra impedido o frustrado, de modo temporal para lograrlo. Significa
entonces que el sujeto ha de estar consciente de la existencia de la situación y
de que desea o necesita actuar para superar la situación. La diferencia que
enmarca este autor entre los conceptos de problema y de ejercicio se sustenta
en los objetivos que cada uno se propone. Los ejercicios se proponen para el
aprendizaje de hechos y habilidades específicas y los problemas permiten la
adquisición de enfoques generales que enfrentar situaciones matemáticas
diversas, ayudan a “aprender a aprender”.
14
En este sentido, el estudio del pensamiento matemático, la actividad
matemática y la resolución de problemas, en su interrelación, revela en los
trabajos de Schoenfeld, (1992) cuatro categorías que ayudan a dilucidar cómo
el sujeto entiende la Matemática y por qué es más importante que la entienda a
que la ejercite:
Los recursos se refieren a los conocimientos matemáticos que el sujeto
posee y cómo accede a ellos para su utilización.
La heurística se refiere a las estrategias matemáticas generales para
resolver exitosamente problemas, teniendo en cuenta la naturaleza de cada
una y el tipo de conocimiento que requiere para implementarlas.
El control se refiere a cómo lograr un hacer competente y poder evaluar de
qué depende la actuación matemática.
El sistema de creencias se refiere al conjunto de entendimientos acerca de
qué es lo que la Matemática establece y el contexto psicológico en el que el
sujeto hace Matemática, aquí se argumenta que la visión matemática de las
personas determina su orientación hacia los problemas, los instrumentos y
cómo las técnicas en las cuales la persona cree son relevantes, incluso su
acceso inconsciente está potencialmente relacionado constituyendo un material
útil.
En algunos países los trabajos de Schoenfeld ,(1992) ya son considerados una
propuesta en la dirección del aprendizaje de las Matemáticas (México,
Argentina, España, además de Estados Unidos) al implementar actividades
relacionadas con el proceso de resolver problemas en el aprendizaje de las
Matemáticas a partir de lograr esclarecimientos acerca de cómo los sujetos
actúan cuando resuelven problemas matemáticos.
Consideramos que, las categorías descritas, reflejan más la responsabilidad del
alumno, y no del profesor, en el proceso de enseñanza aprendizaje, aquellas
condiciones que él debe ser capaz de desplegar para poder enfrentar el
objetivo formativo fundamental que es resolver los problemas, que en cada
nivel de su desarrollo se plantean. Ha de tenerse en cuenta como expresa la
Dra. Rico, (2000) que la actividad cognoscitiva de aprendizaje escolar,
reproduce los componentes estructurales y funcionales de cualquier actividad
humana: la orientación, la ejecución y el control.
15
1.3 Las habilidades matemáticas en la resolución de problemas matemáticos. La habilidad matemática es aquella en que el escolar es capaz de comprender
conceptos, proponer y efectuar algoritmos y desarrollar aplicaciones a través
de la resolución de problemas. En la habilidad matemática interviene la
capacidad del alumno para comprender, realizar generalizaciones y
abstracciones.
Dentro de la psicología marxista leninista la categoría actividad ocupa un
importante lugar. La actividad humana está conformada por diferentes
procesos mediante los cuales, el hombre, respondiendo a sus necesidades, se
relaciona con la realidad, es decir, con la naturaleza. Algunos psicólogos como
Rubinstein, Vigotski, Uznadze, Leontiev & Petrovski, (1989) desarrollaron
importantes ideas acerca de la estructura de la actividad que revelan la relación
motivo - objetivo y los tránsitos recíprocos entre las distintas unidades de la
actividad.
La actividad humana tiene un carácter objetal y por dicho carácter está
indisolublemente ligada a su motivo que le confiere a la actividad de la
personalidad su dirección, orientación y sentido para el sujeto.
De ahí que la actividad que constituye la vida humana esté formada por
actividades específicas de acuerdo al motivo que las induce. Cada una de ellas
está compuesta por acciones que son procesos subordinados a objetivos, cuyo
logro conduce al objetivo general de la actividad como expresión consciente del
motivo de la misma. A su vez, las acciones transcurren a través de operaciones
que son formas de realización a tener de las condiciones orientadas para el
logro de los objetivos. Esta es la estructura general de la actividad de la
personalidad. Brito, (1987, p.51)
Actividad Acción Operación
Motivación Objetivos Tareas
Sistema de Sistema de Sistema de
Acciones y operaciones condiciones
Operaciones del sujeto
16
El análisis de una actividad debe iniciarse por la delimitación de la actuación
que el que la realiza debe cumplir para resolver la tarea que se le plantea, para
luego pasar a la separación de las acciones que la forman y, después, al
análisis estructural y funcional del contenido de cada una de ellas, que es lo
que permite, como análisis sistémico, revelar sus componentes, vínculos,
interrelaciones y dependencias para asegurar el logro del objetivo de la
actividad de la que forman parte.
Muchos de estos psicólogos han orientado su estudio hacia las formas de
asimilación de la actividad que se explican a través de los conceptos de
hábitos, habilidades y capacidades y se caracterizan por reflejar diferentes
niveles de dominio de las unidades estructurales: operación, acción y actividad,
respectivamente.
Por la importancia que tiene el estudio de estos conceptos en el proceso de
enseñanza aprendizaje se ha destacado la atención al análisis de las acciones
del alumno que conllevan a asimilar conocimientos, hábitos y habilidades que
le permiten adoptar formas de conducta y tipos específicos de actividad para el
logro de un objetivo determinado.
La expresión de las formas de asimilación de la actividad humana, dada a
través de los conceptos de hábitos, habilidades y capacidades, explica estos
conceptos a partir del nivel de perfeccionamiento que se alcanza en el dominio
de sistemas de acciones y operaciones que conforman una determinada
actividad.
Sobre el concepto de habilidad son conocidos los estudios realizados por L. F.
Sprint en su libro Formación de las habilidades profesionales del maestro, en el
que selecciona 22 definiciones dadas por autores como: Abdulina, Boiko,
Viktorov, Kuzmina, Leontiev, Platonov, &. Stepano y otros, que expresan las
dos principales tendencias en la evolución de este concepto: los que definen la
habilidad como un hábito culminado y los que la definen como una acción
creadora en constante perfeccionamiento. El estudio de éste y otros trabajos
sobre el tema, indica la mayor tendencia al segundo grupo, tanto en psicólogos
como en pedagogos.
Derivado de esta tendencia una de las definiciones más difundida en nuestro
país es la de Brito, (1987) que señala que las habilidades constituyen el
dominio de acciones (psíquicas y prácticas) que permiten una regulación
17
racional de la actividad, con ayuda de los conocimientos y hábitos que el sujeto
posee.
Las habilidades se forman con la sistematización de las acciones subordinadas
a un fin consciente y se desarrollan sobre la base de la experiencia del sujeto,
de sus conocimientos y de los hábitos que posee; pero los conocimientos se
manifiestan o expresan concretamente en las habilidades, en la posibilidad de
operar con ellos, de ahí que se les denomine como instrumentación consciente
en la manifestación ejecutora de la actuación de la persona en un contexto
dado.
En general, muchos de los autores citados asumen que la habilidad es
resultado de la asimilación de conocimientos y hábitos por lo que prestan la
mayor atención a su estructura funcional y se ocupan menos de cómo actúa el
sujeto con esos conocimientos y hábitos en los diferentes niveles de
sistematicidad del contenido. Especialmente importante es el hecho de que la
actuación del sujeto se motiva por un fin consciente que consideramos ha de
estar relacionado con el contexto que brinda el problema que se propone
resolver.
La reducción del concepto de habilidad a tratar de describir sistemas o
conjuntos de acciones, en ocasiones, lleva a la expresión de un proceso
algorítmico que muestra cada uno de los pasos o momentos de la actuación y
se atiende muy poco a la contextualización de ese sistema de acciones en
función de los problemas que se resuelven con su ejecución y las
condiciones del sujeto. De igual forma, ha sido restringida la comprensión de
este concepto en el sentido de la repetición, a través de ejercicios, del sistema
de acciones determinado.
18
II- MODELACIÓN TEÓRICO - PRÁCTICA DEL SISTEMA DE EJERCICIOS. 2.1 Diagnóstico y determinación de necesidades de los escolares Se seleccionó como muestra 16 escolares, con un criterio no probabilístico e
intencional por ser el grupo donde la autora se desempeña como maestra
caracterizado por presentar insuficiencias para resolver problemas, visto en:
Pocas veces pueden reproducir el enunciado del problema después que
lo leen.
A la generalidad de los escolares les cuesta trabajo determinar los datos
del problema y establecer relaciones entre ellos.
No siempre pueden representar los datos en un gráfico u otra
representación.
No siempre pueden determinar las exigencias del problema.
Pocos llegan a resolver con éxito el problema dado.
A partir de los indicadores anteriores y las necesidades investigativas, se
elaboraron los siguientes instrumentos:
1. Análisis de documentos.
2. Prueba pedagógica.
Se puso en práctica la aplicación de métodos e instrumentos, los resultados se
describen a continuación:
Se procede al análisis de los documentos que norman el tratamiento de este
contenido en la escuela primaria, para lo cual se emplea la guía (Anexo 1). Al
analizar el Modelo de Escuela Primaria resulta de interés para la autora, el fin
de la escuela primaria, que por su contenido constituye un elemento de
inapreciable valor en el sentido orientador porque se ve la correspondencia con
las exigencias planteadas en la dirección del proceso de enseñanza
aprendizaje para la resolución de problemas, en los objetivos generales del
nivel se expresa lo siguiente: ¨Interpretar adecuadamente la información
cuantitativa que por diferentes vías recibe, así como formular y resolver
problemas aritméticos a partir del empleo de diferentes técnicas de solución,
sus habilidades de cálculo con números naturales y fraccionarios y cantidades
de magnitudes, así como interpretar y ejecutar diferentes órdenes y
orientaciones como parte de los ejercicios, que le permitan la búsqueda de
alternativas de solución.
19
En el programa de este grado correspondiente a la asignatura Matemática se
evidencia claramente el objetivo referido al tema de la investigación, aunque
no existen dosificadas cierta cantidad de horas clases en las unidades que se
destinen a trabajar este contenido, aparece de forma general siendo el maestro
el que debe dosificar el contenido, esta flexibilidad da la posibilidad de que no
siempre se trabaje el contenido de forma sistemática y por consiguiente no se
logre el desarrollo de habilidades en la solución de problemas matemáticos.
En la revisión de las orientaciones metodológicas de Matemática se ofrece
recomendaciones, específicas para el tratamiento de este contenido y en los
ejercicios que aparecen para la ejercitación las preguntas que se le realizan
responden al primer y segundo nivel de desempeño (reproductivo y aplicativo).
Consideramos que en el Libro de texto del grado aparecen suficientes
ejercicios relacionados con este contenido, aunque carecen de variedad y
actualidad, por lo que permiten ser enriquecidos y actualizados por el docente
Se evidenció de manera general que en estos documentos se hace referencia
al tema investigado y que existen ejercicios relacionados con esta temática los
carecen de actualidad y variedad.
Para diagnosticar el estado del desarrollo de las habilidades para resolver
problemas matemáticos de los escolares de quinto grado, previo a la
elaboración del sistema de ejercicios se aplicó la prueba pedagógica (Anexo 2).
Acorde con el desarrollo de habilidades para resolver problemas matemáticos,
como se puede apreciar en la tabla y gráfico de barras que aparece en el
(anexo 3), solo 9 escolares para un 56,25 % logran comprender el ejercicio,
así como dominar las acciones para determinar los datos, 8 que representan el
50 % logran establecer las relaciones entre lo dado y lo buscado, 7 buscan la
vía de solución para un 43,75 %, 6 que representan el 37,50 % resuelven
correctamente el problema y solamente 2 escolares que representan 12.50 %
alcanzan llegar hasta el control del ejercicio.
Es significativo destacar que de los 9 escolares que comprenden el ejercicio y
determina los datos, 1 escolar que representa 6, 25 % no logra establecer
correctamente la relación entre lo dado y lo buscado, la vía de solución es
incorrecta, no resuelve el ejercicio de forma correcta y no evidencia el control
del resultado obtenido
20
Un análisis integral de los indicadores asumidos revela que solo 2 escolares
que representan 12.50 % muestran tener habilidades al demostrar que
dominan el proceso total para la solución de problemas matemáticos, porque
logran comprender el problema, realizar acciones para determinar datos,
establecer relaciones entre lo dado y lo buscado, buscar, ejecutar y controlar la
vía de solución utilizada
Regularidades del diagnóstico y determinación de necesidades En sentido general los instrumentos aplicados permitieron identificar las
principales necesidades de los escolares que conforman la muestra,
profundizar en las potencialidades que poseen y conocer cualitativamente las
características del objeto de estudio. La atención es relativamente constante,
por lo que necesitan estar motivados para mantener su concentración.
Predomina la ejecución y no la reflexión. Demuestran sus conocimientos de
forma reproductiva, en algunos casos se logra la reflexión y aplicación. Los
escolares pocas veces pueden reproducir el enunciado del problema después
que lo leen; les cuesta trabajo determinar los datos del problema y establecer
relaciones entre ellos; no siempre utilizan la modelación como alternativa para
la solución del problema., en ocasiones no logran resolver correctamente el
problema.
Por ello se determinó que existen las siguientes necesidades educativas que se
manifiestan en los escolares del grupo de 5. Grado de la ENU Pepito Tey.
Insuficiencias en la aplicación de la modelación como alternativa para la
comprensión de problemas.
No reconocimiento de las relaciones esenciales que se establecen entre
los datos y la incógnita para determinar la vía de solución y su control.
Manifiestan muy bajo desarrollo de las habilidades para resolver el
proceso total problemas matemáticos de forma independiente.
Por lo anteriormente expuesto se decide por la autora, la elaboración de un
sistema de ejercicios que contribuya al desarrollo de las habilidades para
resolver problemas matemáticos en los escolares de 5.grado de la ENU Pepito
Tey, el cual se concibió sobre la base de todas las necesidades detectadas.
2.2. Fundamentación de la propuesta.
21
El sistema de ejercicios que se propone asume criterios filosóficos,
sociológicos, psicológicos y pedagógicos que presentamos a continuación:
Criterios filosóficos: sustentados en las leyes, principios, categorías y métodos
del Materialismo Dialéctico e Histórico y en las concepciones marxistas y
martianas de la educación de las nuevas generaciones que hacen posible
nuestra comprensión de la pedagogía como una ciencia al expresar su carácter
social de orientación humanista y transformador.
Toma de la filosofía marxista leninista su fundamento metodológico, es decir su
método materialista dialéctico que permite el análisis y la interpretación de los
procesos pedagógicos, toma también su fundamento gnoseológico, la teoría
del conocimiento partiendo de la práctica pedagógica como piedra angular
para los conocimientos mediante procedimientos lógicos que permiten la
comprensión consciente de la práctica social y su transformación.
Criterios sociológicos: Se rigen sobre la base del impacto social del sistema al
estar intencionado para preparar a los escolares de quinto grado de la escuela
primaria para favorecer el desarrollo de habilidades para resolver problemas
matemáticos.
Criterios psicológicos: Tiene como fin provocar determinados cambios en los
escolares, desde una posición activa de estos en el proceso de actividad y
comunicación, sustentando su enfoque educativo desde las posiciones socio
cultural de Vigotsky y su seguidor Galperín, sobre la base de la teoría del
conocimiento, el flujo del contenido desde y hacia la práctica educativa y su
transformación.
Criterios pedagógicos: Se centran en la comprensión y concreción
contextualizada de las interrelaciones dinámicas de las leyes, contradicciones,
principios categorías, eslabones, etapas, componentes y funciones didácticas
que rigen el proceso pedagógico, así como en las particularidades esenciales
que lo caracterizan para lograr la optimización de este con un enfoque
personalizado, vivencial, lúdico, activo, participativo de los sujetos involucrados
en el proceso de cambio, mediante la conformación estructural y funcional de
los ejercicios.
El sistema como resultado científico se basa en la Teoría General del Sistema
y es por ello que se hace necesario abordar elementos en este sentido. Con
22
relación al concepto de sistema existen múltiples definiciones dadas por
Campistrous, (1975); Leyva, (1999); Arnold & Osorio, (2003).
De ellas existe consenso al señalar que: El sistema es una forma de existencia
de la realidad objetiva, existen también sistemas que el hombre crea con
determinados propósitos, un sistema es una totalidad sometida a determinadas
leyes generales, es un conjunto de elementos que se distinguen por un cierto
ordenamiento, donde cada elemento del sistema será sumido a su vez como
totalidad, la idea de sistema supera a la idea de suma de las partes que lo
componen, es una cualidad nueva.
Al respecto. Campistrous, (1975), plantea como definición: “un sistema de
ejercicios es el conjunto de ejercicios que ordenadamente relacionados entre
sí, conllevan al logro de determinados objetivos de manera que se desarrollen
conocimientos y habilidades. Constituyen un grupo de acciones que se
ejecutan teniendo en cuenta los niveles de asimilación del conocimiento de los
niños¨
La autora se adscribe al concepto dado por Campistrous, (1975), porque es el
que más se ajusta a su contexto en cuanto al desarrollo de las habilidades en
la búsqueda de la vía de solución a través del desarrollo de la habilidad
considera que el sistema de ejercicios es un conjunto de ejercicios que
ordenadamente relacionados entre sí, conllevan al logro de determinados
objetivos de manera que se desarrollen conocimientos y habilidades, así como
acciones que se ejecutan teniendo en cuenta los niveles de asimilación del
conocimiento de los escolares.
De lo anterior planteado, la autora conceptualiza su sistema de ejercicios, como
la secuencia de ejercicios, que ordenadamente relacionados entre sí, posibilita
la realización de acciones que van encaminadas al objetivo: contribuir al
desarrollo de habilidades para la solución de problemas matemáticos en los
escolares de la ENU Pepito Tey.
Al efecto, el sistema de ejercicios que se propone tiene como aspiración:
Desarrollar habilidades en la resolución de problemas matemáticos en los
escolares de 5.grado, para ello se estructura en tres subsistemas, el primer
subsistema con el objetivo de estimular la comprensión y el análisis apoyado
de las técnicas de estimulación intelectual, el segundo subsistema tiene la
peculiaridad que el escolar dará continuación al proceso a partir de establecer
23
la vía de solución, su ejecución y control, el tercer subsistema los escolares se
enfrentaran a la solución de nuevos problemas, el cual tiene como objetivo
ejercitar lo aprendido a partir de la solución de problemas matemáticos a
través del análisis de los éxitos y fracasos en todo el proceso.
• Totalidad: El sistema de ejercicios no es una suma de sus partes, solamente
un conjunto, sino que entre sus tres subsistemas existe una interconexión
mediada por la dinámica que revelan los ejercicios que transitan por las fases o
etapas por la que transita la enseñanza de la solución de problemas
matemáticos.
• Complejidad: La complejidad es inherente al propio concepto del sistema y
por lo tanto define la existencia del sistema de ejercicios que se propone a
partir de la organización que se adopta.
• Jerarquización: Implica el criterio de ordenamiento y organización de sus
componentes a partir de la relación en que se trabaja el desarrollo de las
habilidades acorde con las exigencias declaradas en el Modelo y el programa
del grado.
• Adaptabilidad: Propiedad que tiene el sistema de ejercicio de armonía y
aplicación a partir de propiciar el desarrollo de habilidades para resolver
problemas matemáticos.
• Integración: se manifiesta a partir del objetivo declarado como máxima
aspiración: Desarrollar habilidades en la solución de problemas matemáticos en
los escolares de 5.grado, ello propicia la armonía y consolidación del sistema
como un todo.
En consecuencia, el sistema propuesto se representa gráficamente de la
siguiente forma:
24
El sistema de ejercicios propuesto se organiza con un enfoque inductivo, de
manera tal que los escolares transiten por fases o etapas de todo el proceso de
solución de problemas matemáticos
Consecuente con todos los presupuestos antes referidos se presenta el
sistema de ejercicios propuesto.
2.3. Propuesta de sistema de ejercicios El sistema de ejercicios tiene como objetivo general:
Desarrollar habilidades en la resolución de problemas matemáticos en los
escolares de 5.grado
El sistema de ejercicios está conformado por 10 ejercicios en tres subsistemas
interrelacionados entre sí, el primero integrado por 5 ejercicios dedicado a la
comprensión y análisis del problema con la utilización de los impulsos
heurísticos, las técnicas de la lectura analítica, la reformulación y la
modelación; en segundo subsistema, dirigido al desarrollo de habilidades para la comprobación de los problemas con la utilización de impulsos heurísticos ,
el análisis de la o las vías encontradas, así como los éxitos y fracasos en todo
el proceso, es significativo resaltar que se trabajan con los mismos problemas
propuestos y analizados en el primer subsistema; el tercer subsistema se
proponen 5 ejercicios para la resolución de problemas encaminado a la
reafirmación y consolidación de lo aprendido en los dos subsistemas
anteriores.
Subsistema I. Ejercicios para la comprensión y análisis del problema. Objetivo específico: Comprender y analizar los problemas a partir de las
técnicas de estimulación intelectual como acciones. El subsistema lo integran
los problemas del 1 al 5.
1-Para el cumpleaños de Janella se compraron 210 caramelos de tres sabores
diferentes, 50 de fresa y 74 de chocolate. ¿Cuántos caramelos de vainilla se
compraron?
Lee y relee el problema, ¿Qué dice?
¿De qué trata? ¿Qué conozco? (Se pueden subrayar los datos o extraerlos),
¿Qué no conozco? ¿Qué se busca?
¿Son suficientes los datos?, ¿Podría proponerse el problema de otra manera?,
¿Cómo?, (Reformulación).
25
¿Cómo podemos representar la cantidad de caramelos que se han comprado
para el cumpleaños de Janella? (Por T). ¿Cuántos se han comparado ya de
fresa y chocolate?, ¿Qué representa esto? (las partes que han comprado),
¿Cómo lo podemos representar? (P1 y P2)
¿Qué tenemos que averiguar? ¿Cuántos de vainilla hay?, ¿Qué representa
esto? (la parte que falta por averiguar P3)
¿Qué relación podemos establecer entre los elementos conocidos y el que hay
que averiguar? Puedes hacer un gráfico que esclarezca la situación, (Modelo
lineal).
2-José es más alto que Pedro pero más bajo que Manuel. Manuel es más alto
que José pero más bajo que Raúl. ¿Quién es más alto y quién le sigue en
estatura?
Lee y relee el problema, ¿Qué dice?
¿De qué trata?
¿Quién lo expresa con sus propias palabras?
¿Qué conozco?, (Se pueden subrayar los datos o extraerlos)
¿Qué no conozco?, ¿Qué se busca?, ¿Son suficientes los datos?
¿Qué relaciones se pueden establecer entre los datos para solucionar el
problema?
¿Qué relación podemos establecer entre los elementos conocidos y el que hay
que averiguar?
¿Qué tenemos que averiguar?
¿Qué relación podemos establecer entre los elementos conocidos y los que
hay que averiguar?
Puedes hacer una representación gráfica que esclarezca la situación.
3- El equipo de beisbol de Villa Clara en la final de la serie nacional del año
2018 perdió 4 juegos frente al equipo de Las Tunas, lo que representa 𝟐𝟐𝟑𝟑 del
total de juegos celebrados. ¿Cuántos juegos se celebraron?
Lee y relee el problema, ¿Qué dice?, ¿De qué trata?
¿Qué conozco?, (Se pueden subrayar los datos o extraerlos)
¿Qué no conozco?, ¿Qué se busca?
¿Son suficientes los datos?
¿Existe algún dato innecesario?
26
¿Podría proponerse el problema de otra manera?, ¿Cómo?, (Reformulación).
¿Qué relación podemos establecer entre los elementos conocidos y el que hay
que averiguar?
¿Qué tenemos que averiguar?
¿Qué representa esto?
Puedes hacer un gráfico que esclarezca la situación, (Pintográficos)
4-Laura salió de compras y gastó del dinero que tenía $.30 en lápices y $10 en
gomas y aún le quedaron $ 9 ¿Cuántos pesos tenía Laura originalmente?
Lee el problema, vuelve a leerlo ¿De qué trata? (trabajo educativo en función
de la importancia del cuidado y conservación de los lápices y las gomas como
implementos importantes para su aprovechamiento académico)
¿Qué dice?, ¿Qué conozco?, (Se pueden subrayar los datos o extraerlos),
¿Qué se busca?, ¿Son suficientes los datos?, ¿Puedes expresarlo con tus
palabras?, ¿Cómo? (Reformulación)
¿Cuánto dinero tenía Laura inicialmente?
¿Qué relaciones se pueden establecer entre los datos para solucionar el
problema?, una parte de lo que gastó en lápices más la otra parte que gastó
en goma es igual al total de lo que gastó. Aquí se pone de manifiesto el
significado de la adición y la relación que se establece entre las partes y el todo
P 1+ P 2 = T)
¿Qué representa el todo? ¿Gastó más o menos del dinero que le quedó?
¿Qué tenemos que averiguar?,¿Puedes hacer un gráfico que esclarezca la
situación, (Modelo lineal).
5-Un campamento de pioneros tiene la capacidad para 10 000 niños. Si el
primer día entraron 4 170 niños y el segundo 1 140 menos que el primer día,
¿Cuál es la cantidad de pioneros que aún pueden entrar?
Lee y relee el problema, ¿Qué dice?, ¿De qué trata?, (trabajo educativo en
función de la importancia de las actividades en la organización OPJM), ¿Qué
conozco?, (Se pueden subrayar los datos o extraerlos),
¿Qué no conozco?, ¿Qué se busca?, ¿Son suficientes los datos?,
¿Podría proponerse el problema de otra manera?, ¿Cómo?, (Reformulación).
Ej: Si el primer día entraron 4 170 niños y el segundo 1 140 menos que el
27
primer día a un campamento de pioneros, que tiene la capacidad para 10 000
niños. ¿Cuántos pioneros ya entraron? ¿Cuál es la cantidad de pioneros que
aún pueden entrar?
¿Qué relaciones se pueden establecer entre los datos para solucionar el
problema?
¿El primer día entraron más o menos niños que el segundo día?
¿Cuántos pioneros entraron en total entre el 1 Y el 2 día?,
¿Qué representa que el segundo día entraron 1 140 menos que el primer día?
(un exceso)
¿Qué relación podemos establecer entre los elementos conocidos y el que hay
que averiguar? (aquí se pone de manifiesto otro significado de la sustracción:
dada una parte y su exceso sobre otra, hallar la otra parte. ( P1 – E = P2)
¿Qué representa P2? (la cantidad de pioneros que entraron el 2. día)
¿Cómo averiguar los pioneros que aún pueden entrar?
¿Qué capacidad tiene el campamento?,
¿Los que todavía pueden entrar serán más o menos que los que entraron?
¿Los que todavía pueden entrar serán más o menos que la capacidad total del
campamento? ¿Cómo lo sabes?
¿Cómo podemos representar la capacidad total del campamento? (por T).
¿Cuántos han entrado en los dos días?, ¿Qué representa esto? (las partes que
han entrado), ¿Cómo lo podemos representar? (P1 y P2)
¿Qué tenemos que averiguar?/ Cuántos pioneros faltan por entrar
¿Qué representa esto? (la parte que falta por entrar)
¿Qué relación podemos establecer entre los elementos conocidos y el que hay
que averiguar? La maestra explicará que aquí se pone de manifiesto un
significado de la sustracción: dado el todo y una parte hallar la otra parte. (T –
P1 = P2). Puedes hacer un gráfico que esclarezca la situación, (Modelo lineal).
Ejemplo:
T = 10 000
P1= 14 170 P2= P1- E ?
28
Subsistema II. Ejercicios para determinar la vía de solución, ejecución y control
Objetivo específico: Determinar la vía de solución y su control a partir del
análisis realizado entre lo dado y lo buscado.
Para el desarrollo de este subsistema sugieren los siguientes impulsos
heurísticos
a) ¿De qué trata? ¿Puedes expresarlo con tus palabras?
b) ¿Puedes obtener diferentes planteamientos del problema? Hazlo.
c) Separa los datos de lo que quieres hallar?
d) ¿Puedes hacer una figura de análisis o representación gráfica? Hazlo.
e) ¿Relaciona en la figura los datos y lo que quieres hallar?
f).¿Qué situaciones parecidas te recuerda este problema?
g) ¿Puedes asociar los datos de otra manera? Si se puede, hazlo
h) ¿Puedes reformular la pregunta o descomponerla en otros más sencillas?. Si
puedes, hazlo.
i) ¿Qué operaciones debes realizar? Haz el plan solución.
j) Compara el resultado obtenido con la situación inicial y exigencias del
problema
k) Es correcta a la vía de solución utilizada
l) Se puede comprobar resolviendo el problema por otra vía.
Subsistema III. Ejercitación
Objetivo específico: Ejercitar lo aprendido a partir de la solución de problemas
matemáticos a través del análisis de los éxitos y fracasos en todo el proceso.
Resuelve los siguientes problemas.
1-Se distribuyen 875 litros de leche durante 5 días. Si se deben distribuir 3 600
litros de leche ¿Cuántos litros de leche faltan por distribuir’
2 Los pioneros de 5 Grado de la escuela Pepito Tey ya han recogido 147
frascos vacíos para entregar como materia prima. Al otro día recogen 126
frascos más, ¿cuántos han recogido en total? Para llevarlos al depósito quieren
colocar en cada caja de 3 ¿Cuántos frascos deben echar en cada caja?
3-En una población había, el primero de enero, 143450 habitantes; durante el
año nacieron 2 460 niños, fallecieron 1 556 personas y 701 se fueron para
otros lugares. ¿Cuántas personas había a final de año?
29
4- De los 2506 libros de la biblioteca de la escuela Pepito Tey se prestaron 647
libros a la escuela Ernesto Guevara. ¿Cuántos libros hay ahora en la
biblioteca?
5-En el huerto de la escuela hay sembradas 105 matas de lechugas y los
escolares de 5 grado sembraron 120 más. ¿Cuántas matas de habichuelas hay
sembradas en la escuela?
2.4- Valoración de la propuesta por especialistas: Antes de aplicar el sistema de ejercicios que contribuya al desarrollo de las
habilidades para la resolución de problemas matemáticos en los escolares de
5. grado de la ENU Pepito Tey fue sometido a valoración por los especialistas
a través de una encuesta. (Anexo 3).
Los criterios asumidos para la selección de los especialistas fueron: tener el
título académico de Licenciado o Máster, dominio de la temática y tener más de
diez años de experiencia en el segundo ciclo de la enseñanza primaria.
En este sentido, los diez especialistas son licenciados y siete son máster en
Ciencias de la Educación, todos alegan que tienen dominio de la temática que
se investiga y tiene más de once años de experiencia de trabajo en el segundo
ciclo de la enseñanza primaria.
El sistema de ejercicios fue valorado por el 80 % de los especialistas de
adecuado, en cuanto a su estructura, destacando su correspondencia con las
características del escolar de quinto grado.
El 30 % de los especialistas consideran que se debe trabajar en una unidad
específica del grado, así como tener en cuenta las exigencias del grado.
Resulta significativo que el 80 % de los especialistas considera que para su
aplicación pueden ser enriquecidas con impulsos heurísticos
De las sugerencias ofrecidas por los especialistas, la autora reconoce y asume
tener en cuenta las exigencias del grado para su elaboración, donde se
incluyeron ejercicios no solo con números naturales, se tuvo en cuenta el
cálculo con fraccionarios y las magnitudes, Así como incluir los impulsos
heurísticos fundamentalmente en los dos primeros subsistema.
La autora no asume la recomendación ofrecida por los especialistas asociada a
trabajar el sistema de ejercicios en una unidad específica puesto que el trabajo
con los problemas se sistematiza en todas las unidades del grado
2.5 Instrumentación práctica de la propuesta de ejercicios
30
La implementación se inició en las clases de ejercitación donde se fueron
dedicando varios encuentros a la resolución de problemas, aumentando el nivel
de dificultad.
Como resultado se fueron preparando y adquiriendo habilidades para realizar
los problemas matemáticos, porque cada uno de los escolares trabajaba a
partir de lo que había alcanzado desde el punto de vista de las acciones
intelectuales desarrolladas, se trabajó cada subsistema de manera tal que se
cumpliera el objetivo de cada uno, pero sin olvidar el objetivo general del
sistema de actividades.
En el primer subsistema de forma general, los escolares presentan dificultades
para comprender y analizar el problema, pues les costaba trabajo establecer
relaciones matemáticas, necesitaron de impulsos heurísticos para la
comprensión de los mismos como:
Lee y relee el problema tantas veces como sea necesario
¿De qué trata el problema?
¿Puedes decirlo de otra forma? /Reformulación
¿Qué datos te dan?
¿Qué te piden?
¿Son suficientes los datos?
¿Existe algún dato innecesario? Subráyalo
¿Puedes representarlo en un gráfico?
¿Piensa cómo lo puedes resolver?
En la medida que se entrenaron los escolares fueron desarrollando habilidades
en la solución de los problemas matemáticos, sin la ayuda de impulsos
heurísticos, hasta llegar a encontrar la vía de solución, 10 escolares para un
62,50 %.
En las acciones del segundo subsistema de ejercicios, por la peculiaridad que
lo distingue, los escolares mostraron tener más dominio en las acciones de
búsqueda de vía de solución, su ejecución y control a partir de poder reafirmar
la comprensión en cuanto a la comprensión del problema, trabajaron con más
limpieza y mostraron mayor desarrollo de las habilidades. Lograron resolver el
problema y comprobar sus resultados 14 escolares que representan un 87,50
%. Es significativo destacar que se observa la utilización de diferentes técnicas
para la comprensión de los problemas propuestos, mostraron dominio del
31
proceder para comprobar si la solución es correcta o no, utilizaron las técnicas
de la comprobación, la utilización del resultado como dato, la operación inversa
u otra vía de solución para comprobar los resultados. Cada vez necesitaron
menos impulsos por parte del maestro, solo 2 para un 12,50 % necesitó de
alguna ayuda.
En el tercer subsistema a partir de la ejercitación, el 93,75 % de los escolares
tomados como muestra trabajaron con mayor independencia, manifestaron
desarrollo de habilidades en solución total de los problemas propuestos, así
como en la construcción de los esquemas y las técnicas a utilizar. Fueron
capaces de valorar su trabajo y el de sus compañeros, solamente 1 escolar
necesitó niveles de ayuda para la comprensión en reiteradas ocasiones, lo que
representa el 6,25 %.
32
Conclusiones: 1. Los fundamentos teóricos y metodológicos, que sustentan el proceso de
enseñanza aprendizaje de la Matemática en la escuela primaria, en particular
la solución de problemas responden a la comprensión de los significados
prácticos de las operaciones aritméticas a través de la relación parte todo
enmarcada en el procedimiento generalizado para la resolución de problemas,
la aplicación de técnicas como la modelación, lectura analítica y reformulación
para el logro del aprendizaje desarrollador, como se expresa en el Modelo de
Escuela Primaria.
2. El diagnóstico aplicado permitió determinar que en los escolares tomados
como muestra predomina la ejecución y no la reflexión. Insuficiencias en la
aplicación de la modelación como alternativa para la comprensión, no
reconocimiento de las relaciones esenciales que se establecen entre los datos
y la incógnita para determinar la vía de solución y su control y por consiguiente
manifiestan muy bajo desarrollo de las habilidades para resolver el proceso
total problemas matemáticos de forma independiente.
3. El sistema de ejercicios propuesto se sustenta en la utilización de las
técnicas de la lectura analítica, reformulación, modelación y el control, así como
el uso de principios e impulsos heurísticos para contribuir al desarrollo de las
habilidades para resolver problemas matemáticos en correspondencia con las
exigencias del programa de Matemática de 5.grado.
4. Los especialistas consultados reconocen estructura, utilidad y factibilidad
del sistema de ejercicios elaborado. Consideran que la misma resulta oportuna
a partir de cumplir con las exigencias planteadas en el Modelo de Escuela
Primaria para el logro de un aprendizaje desarrollador.
5. La aplicación de la propuesta demostró que el sistema de ejercicios
elaborados contribuyó al desarrollo de habilidades a resolver problemas
matemáticos en los escolares de 5 grado de la ENU Pepito Tey,
constatándose que el 93,75 % de los escolares tomados como muestra
trabajaron con mayor independencia y manifestaron desarrollo de habilidades
en solución total de los problemas matemáticos.
33
Recomendaciones Presentar los resultados de esta investigación en eventos científicos y
actividades metodológicas a nivel de escuela.
Continuar el desarrollo de investigaciones relacionadas con el desarrollo
de habilidades para la solución de problemas matemáticos en escolares
de la educación primaria.
34
Bibliografía: Albarrán, J.et all. (2005). Didáctica de la Matemática en la escuela primaria.
Editorial Pueblo y Educación, La Habana.
Ballester, S.et all. (1992). Metodología de la enseñanza de la Matemática.
Tomo I y II. La Habana: Ed. Pueblo y Educación,
Caballero, E. (2002). Didáctica de la escuela primaria, Selección de lecturas,
Compilación, Editorial Pueblo y Educación, La Habana.
Campistrous. L. (1996). Aprende a resolver problemas aritméticos. ED. Pueblo
y Educación. La Habana,
Castellanos, D. (2001). Educación, aprendizaje y desarrollo, Instituto
Pedagógico Latinoamericano y caribeño La Habana.
Colectivo de autores del MINED. (1991). Programas de la escuela primaria, La
Habana.
---------------------, (1991). Libros de texto de primero a quinto grado de la
escuela primaria, La Habana.
---------------------, (1991). Orientaciones de primero a quinto grado de la escuela
primaria, La Habana.
Dávidson, L. et all. (1987). Problemas de matemática elementales I, Editorial
Pueblo y Educación, La Habana.
Fernández Bravo, J. A.(s/a). Algo sobre resolución de problemas matemáticos.
[et all.]. [En Línea]. Disponible en: http://www.berrikuntza. net. /Revista
SIGMA.N.29 /Centro de orientación pedagógica/.
Galperin, P. Ya. (1986). Sobre el método de formación por etapas de las
acciones intelectuales. En Antología de la Psicología Pedagógica y de
las edades. Editorial Pueblo y Educación. Ciudad de la Habana.
Labarrere, A. (2002). Bases psicopedagógicas de la solución de problemas en
la escuela primaria, Editorial Pueblo y Educación, La Habana, citado por
MINED. (1987). Seminario Nacional para educadores, material impreso,
La Habana.
Rico, P. et all. (2008). Exigencias del modelo de escuela primaria para la
Dirección por el maestro de los procesos de educación, enseñanza y
aprendizaje; Editorial Pueblo y Educación, La Habana.
35
________, (1978). El papel de la formación de acciones de control en el
desarrollo de autovaloración adecuada de los escolares de primaria.
Universidad de La Habana. Cuidad de la Habana.
Silvestre, M. & Zilberstein, J. (2002). Hacia una didáctica desarrolladora.
Ciudad de La Habana: Pueblo y Educación.
Trigueros Gaisman, M. (2009). El uso de la modelación en la enseñanza de las
matemáticas. [En Línea]. Disponible en:
http://www.redalyc.org/articulo.oa?/ Innovación Educativa, vol. 9, núm.
46, enero-marzo, pp. 75-87/Instituto Politécnico Nacional/Distrito
Federal, México.
Werner, J. (1979). Conferencia sobre MEM, Primera y segunda parte. Editorial
Pueblo y Educación. La Habana.
Anexos Anexo 1 Guía para el análisis de documentos.
Objetivo: Comprobar cómo se concibe el tratamiento a la solución de
problemas aritméticos en los documentos normativos: (Modelo de Escuela
Primaria, programa, orientaciones metodológicas, libro de texto, cuaderno de
actividades)
Indicadores:
• Cantidad y variedad de orientaciones metodológicas que ofrecen con
relación al contenido solución de problemas matemáticos y a la modelación.
• Frecuencia que se propone trabajar el componente solución de
problemas matemáticos en las unidades de otros contenidos.
• Cantidad y variedad de ejercicios destinados al componente solución de
problemas matemáticos.
• Forma en que están diseñados los ejercicios que aparecen en el libro de
texto y cuaderno de actividades, intencionalidad respecto al uso de la
modelación.
ANEXO 2 Prueba pedagógica.
Objetivo: Comprobar el desarrollo de habilidades que poseen los escolares de
5. grado para la solución de problemas.
Nombre y Apellidos:
Lee, analiza y resuelve los siguientes problemas.
En el huerto hay sembradas 324 matas de pepinos y los escolares de 5. grado
sembraron 215 más. ¿Cuántas matas de pepinos hay sembradas ahora en el
huerto?
En la cosecha de la guayaba los escolares de 5. grado se comprometieron a
recoger 2018 guayabas. Los varones recogieron 1 005 guayabas y las hembras
recogieron 990 guayabas.
a)- ¿Cuántas guayabas han recogido los escolares de 5. grado?
b)- ¿Cuántas guayabas les falta por recoger todavía para cumplir con el
compromiso contraído?
Anexo 3 Resultados de la Prueba pedagógica
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Comprender el ejercicio
Dominar las acciones para determinar los
datos
Establecer las relaciones
entre lo dado y lo buscado
Buscar la vía de solución
Resolver Controlar
Escolares
Anexo 4 Criterio de especialistas: Objetivo: Constatar los criterios que tienen los especialistas seleccionados con
respecto a la estructura, utilidad y factibilidad del sistema de ejercicios
elaborado.
Datos generales Título académico que posee______________________
Dominio de la temática que se investiga: Sí____ No ____
Años de experiencia en el segundo ciclo de la enseñanza primaria_____ 1. Estudie detenidamente el sistema de ejercicios que se propone para el
desarrollo de las habilidades para resolver problemas matemáticos en los
escolares de 5. grado de la ENU Pepito Tey.
2. Evalúe, marcando con una (X), cada uno de los parámetros que se
ofrecen con la categoría que usted considere en la tabla que se propone.
3. Emita sugerencias de cada una de las evaluaciones que asume.
Parámetros Muy adecuado Adecuado Poco adecuado
Estructura
Utilidad
Factibilidad
Sugerencias
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
