広島大学大学院教育学研究科 数学教育学講座 教職高度化プログラム担当 入川義克

１．はじめに

数学の学習で大切なことは，事象を数学的視点でとらえ

深くかかわる体験をすることです。

感動的な数学的体験（良問との格闘, 新しい発想との

出会い… ）が数学的センスに磨きをかけていくと考えます。

その過程において，その意味を考え，より発展的に考察し

問題の本質を探ろうとする姿勢を大切にして欲しいのです。

こうした経験によって得られたアイデアは，色々な問題を

解決するのに役立つだけでなく，新たな問題発見や知識の

獲得を促す源となっていくのです。

勉強したいというＭｏｔｉｖａｔｉｏｎ

数学に関わる生活がしたいから学習する ⇒ 「統合的動機付け」

数学が将来の自分に利益をもたらすから学習する ⇒ 「道具的動機付け」 別の発想 動機があるから勉強するのではなく，勉強の成功がやる気

を生み，さらに勉強するようになる

　サッカーボールと数学！　

　　　　　　　　　　　　　　　正五角形と正六角形を組み合わせてサッカーボールの

　　　　　　　　　　　　　　模型を作ります。

　　　　　　　　　　　　　　　ただし，正五角形の各辺はすべて正六角形の辺でもある

　　　　　　　　　　　　　　とします。また，正六角形の１つおきの３辺が正五角形の

　　　　　　　　　　　　　　辺になっているとします。それぞれ何枚必要ですか。

　　　　　　　　　　　　　　　

数学化

日本科学未来館 野外実験展示

「シェルピンスキーの森」 http://www.miraikan.jst.go.jp/info

/090619103412.html より引用

京都大学 大学院 人間・環境学研究科特許

申請（２００７．２．１５）

プラトン（ＢＣ４２７～ＢＣ３４７）は 古代ギリシャの哲学者

ソクラテスの弟子 アリストテレス（写真右）の師

プラトンの立体

プラトンは著書「ティマイオス」の中で，宇宙の４大元素と結びつけて考えた。これらの立体は＜Platonic Solids＞と呼ばれている。

火の元素

地の元素

空気の元素

水の元素

宇宙を象徴するもの

Leonhard Euler (1701年～1783年)

プラトン アリストテレス 世界で最も美しい数式

e +1=0

πi

正多面体の大小関係

１つの頂点に集まる面の数

　　　◆次の空欄をうめなさい。

正四面体 正六面体 正八面体 正十二面体 正二十面体

面の形

頂点の数

面の数

辺の数

①すべての面が正三角形である正多面体において，１つの頂点に集まる面の数をと

　する。このときでないと立体角はつくれない。

　また，より，　このことより

　　すべての面が正三角形で１つの頂点に集まる面の数が３のとき，正四面体になる。

　　すべての面が正三角形で１つの頂点に集まる面の数が４のとき，正八面体になる。

　　すべての面が正三角形で１つの頂点に集まる面の数が５のとき，正二十面体になる。

②　すべての面が正方形である正多面体において，同様に考えると

　　　　　より，　このことより

　　すべての面が正方形で１つの頂点に集まる面の数が３のとき，立方体になる。

③　すべての面が正五角形である正多面体において，同様に考えると

　　　　　より，

　このことより

　　すべての面が正五角形で１つの頂点に集まる面の数が３のとき，正十二面体になる。

４ ６ ８ １２ ２０ ４ ８ ６ ２０ １２

正三角形 正方形 正三角形 正五角形 正三角形

６ １２ １２ ３０ ３０

３ ３ ４ ３ ５

オイラーの多面体定理 Ｖ（頂）＋Ｆ（面）－Ｅ（辺）＝２

正多面体の定義 すべての面が正多角形で，どの頂点に集まる面の数も等しく 各頂点における立体角が等しい凸多面体を正多面体という

包含関係

包含関係

Design定規の数学

　　　 　

　

　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　ただし

Design定規の数学

① ② ③ ④ ⑤ ⑥

内側の歯車の数(ｍ) 63 63 52 52 36 36

外側の歯車の数(ｎ) 105 96 105 96 105 96

最大公約数(G.C.D.) 21 3 1 4 3 12

最小公倍数(L.C.M.) 315 2016 5460 1248 1260 288

花びらの数(Ｆ) 5 32 105 24 35 8

☆表を完成させよう．

☆どんな数学が隠れていますか？

トロコイドの軌跡を求めるための基本事項

『円の奇蹟』(ベレルマン著)より

トランプと数学

５２枚のトランプのカードを上から順に重ねておく．これを，次の規則でシャッフルする． [上から２６枚を左組，上から２７枚目から５２枚目を右組とし，１回シャッフルした後のカードの順番が上から，左組の１枚目，右組の１枚目，左組の２枚目，右組の２枚目，… , 左組の２６枚目，右組の２６枚目となるように左組と右組のカードを交互に重ねていく] このとき，トランプを何回シャッフルすると，元の順番に戻るか．

規則

１枚目

２枚目

枚目

枚目

枚目

枚目

１枚目２枚目

枚目

枚目枚目

枚目

左組 右組

は素数，である任意の整数に対して

　　　　　 である

フェルマの小定理の証明

　…， を考える

　が素数で　

　のとき，

　 　 だから

とをで割った余りはすべて異なる．

したがって，…， を

で割った余りは… と

集合として一致する．

このとき， 　

　 　

ゆえに， 　 が成り立つ

トランプの手品

生活の中の数学

≪駐車場の駐車枠に番号をつける≫ 駐車場の駐車枠に１，２，４，５，６，８，９，10 , 11 , 12 , 14 , 15 , 16 , 18 , …と３と７の数字を使わずに番号をつけるとする． (1)駐車枠に１番から100番まで番号をつけたとき，駐車場には何台の車

が駐車できるか． (2) 駐車場に４００台の車が駐車できるようにするとき，駐車枠には何

番まで番号をつけることになるか．

０ 1 ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

20 21 22 23 24 25 26 27 28 29

30 31 32 33 34 35 36 37 38 39

40 41 42 43 44 45 46 47 48 49

50 51 52 53 54 55 56 57 58 59

60 61 62 63 64 65 66 67 68 69

70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99

工夫して表をつくればできそうです

４００台の車が駐車

できるようにする

６４ ６４ ６４－１

１ ６４ ６４

６４－１ １

３８４(台)

コンピュータで見る 数学の美しさ

相似な三角形

相似の中心

どのような力をつけてほしいか？

『｢学力｣というときに， まず第１に思い浮かぶのは知識や技能である。 これは，ペーパーテストで測定しやすいものである。 第２に，客観的ペーパーテストでは測りにくいが重要な 能力として，文章読解力，論述力，討論力，批判的思考力， 問題探求力などがある。 これら２つを「学んだ結果としての学力」とするならば， 第３の学力として「学ぶ力としての学力」と呼ばれるもの がある。それは，自発的な学習意欲とか知的好奇心，学習 を遂行するための計画力・方法・集中力・持続力さらには， 教え合いや話し合いをしながら学んでいくコミュニケーショ ン力などが含まれる。』 －学力低下論争－ 市川 伸一 ちくま書房

２．学習の仕方 （１）数学は積み重ねの学問である。 数学は，基本事項と既習事項を元に新しい事柄を組み立てていく積み木のようなものである。数学ができないという人は必ずその原因となる基本事項や基礎事項が理解できてないのである。基礎ができていない上にいくら積み木を積んでもくずれてしまう。 そして という悪循環をくりかえすのである。 では，高校数学を学習する上での基本事項とはなんだろう。それは，次の８つの事項であり，これがわかっていれば数学Ⅰは理解できると考えている。 これから数学を学びはじめる前にもう一度，基本事項の徹底をはかっておきたいものである。

１．数学の学習目標―何のために数学を学ぶのか― 「何のために数学を勉強するんだろう。」と思う人は多いだろう。そして数学が不得意だと言っている人に限って「将来数学を必要としないから」「数学の勉強をしなくても生きていく上では困らないから」という理由をつけて自分を納得させてはいないだろうか。 しかし，これからいろいろな教科を学習していく中で数学を学習するには大切な理由がある。それは，数学的な考え方（数学をつくりあげていく考え方）を身につけることである。今日のように複雑・多様化した社会において，表面的には数学の利用が目立たない所でも，そのかくれた基礎において数学的な考え方が頻繁に用いられていることは，数学を学べば学ぶほどわかってくるものである。従って，「数学は必要ないから」「数学の勉強をしなくても…」といって自分の殻に閉じこもることなく果敢にアタックし努力する態度や生き方を大切にして欲しい。そうすれば，きっと数学ができたという喜びが味わえ，数学のすばらしさが体験できることだろう。

数学の勉強 をしない

問題が 解けない

数学がきらい

（２）間違いを大切に 数学ができるようになるためには，どこから勉強していけばようのだろう。それは，自分の積み木のくずれている所をはやく見つけて理解することである。そのためには，自分の間違いを大切にするとよい。間違ったら恥ずかしい。わからない所を質問するのは恥ずかしいのではなく，同じ間違いを何度も何度も繰り返す，わからない所をわからないままにしておく，そのことが恥ずかしいことだと気付いて欲しい。間違ったらどこで間違ったか，何がわかってないのか原因を究明しよう。 正しいと思いこんでいることで実は間違いだったということはないだろうか。こうして崩れている積み木を１つ１つ補修していくのである。

加減乗除 分数

文字式 正の数

小数 負の数 方程式 不等式 平方根 関数

解答を求む！

○　○　○　○　○　○　 　 　 　 　

　　　 　 　 　

　　　　　 　 　

　　　　　　　　 　

　　　　　　　　

１ トロコイドの軌跡

２ トランプの手品

３ ピーター・フランクル先生からの問題

４ オイラー線と九点円