הקבוצות תורת

לוי עזריאל פרופ' הרצאות על מבוסס

(80200) הקבוצות" "תורת בקורס

2014 א' סמסטר העברית, האוניברסיטה

nachi.avraham@gmail.com להערות:

נחי

ותיקונים הערות ששלח מי לכל תודה

1

עניינים תוכן

6 בסיסיות עובדות I

7 מושגי־יסוד II

7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . הקבוצות תורת אקסיומות 1

7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ההיקפיות אקסיומת 1.1

7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . הבסיסיות הקיום אקסיומות 1.2

7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ראסל של האנטינומיה 1.3

8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . הגודל הגבלת דוקטרינת 1.4

8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . מחלקות 2

8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . השפה 3

9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ומושגים הגדרות רשימת 3.1

11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . הסדור הזוג 3.2

11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (הדו־מקומי) היחס מושג 3.3

14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . הפונקציה מושג 3.4

16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . הדיון והרחבת סיכום 4

18 מניה ובנות סופיות קבוצות III

18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . סופיות עוצמות 5

19 . . . . . . . . . . . . . סופיות לקבוצות האינדוקציה עקרון 5.1

21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . חסומות קבוצות 5.2

23 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . בנות־מניה קבוצות 6

24 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Z השלמים קבוצת עוצמת 6.1

24 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . N× N הקבוצה עוצמת 6.2

25 . . . . . . . . . . . . . . . . . N-ל חלקיות קבוצות עוצמת 6.3

27 . . . . . . . . . . . . . . . . . Q הרציונליים קבוצת עוצמת 6.4

27 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . n־יות 6.5

2

28 . . . . . . . . . . . . . האלגבריים המספרים קבוצת עוצמת 6.6

29 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . הדיון והרחבת סיכום 7

32 קבוצות השוואת IV

32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . הממשיים המספרים עוצמת 8

34 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . קבוצות השוואת 9

36 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . קנטור משפט 9.1

36 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . קנטור־ברנשטיין משפט 9.2

37 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . הסנדוויץ' למת 9.3

39 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . AB הקבוצה 9.4

41 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . הדיון והרחבת סיכום 10

43 העוצמות V

43 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . חלקי סדר יחס 11

44 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . עוצמה/מונה 12

45 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . העוצמות של החלקי הסדר 13

46 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . עוצמות חשבון 14

47 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . חיבור 14.1

49 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . כפל 14.2

50 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . חזקה 14.3

54 . . . . . הטבעיים המספרים על הסדר ויחס החשבון פעולות 14.4

56 הבחירה אקסיומת VI

56 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . מבוא 15

58 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . הבחירה אקסיומת 16

58 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . הבחירה אקסיומת של שימושים 17

59 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . אינסופיים וכפל סכום 17.1

61 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . הדיון והרחבת סיכום 18

3

62 טוב סדר VII

62 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . מבוא 19

63 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . טוב סדר 20

64 . . . . . . . . . . . . . טרנספיניטית) (או שלמה אינדוקציה 20.1

65 . . . . . . . . . . . . . . . . פונקציה של רקורסיבית הגדרה 20.2

65 . . . . . . . . . . . . . . . . דמיון) העתקת (או איזומורפיזם 20.3

69 . . . . . . . . . . . . . . . . . (אה"ב) הטוב הסידור משפט 20.4

70 . . . . . . . . . . . . . . . . . לקסיקוגרפי) (או מילוני סדר 20.5

70 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . הדיון והרחבת סיכום 21

77 הסודרים המספרים VIII

77 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . מבוא 22

78 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . סודר 23

79 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . יסודיות תכונות 23.1

81 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . הסודרים כל מיון 23.2

82 . . . . . . . . . . . . . . . היטב הסדורות הקבוצות כל מיון 23.3

83 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . הרטוגס משפט 23.4

84 הבחירה אקסיומת של שקולות צורות IX

84 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (אה"ב) הטוב הסידור משפט 24

85 . . . . . . . . . . . . . . . (אה"ב) העוצמות/הקבוצות השוואת משפט 25

85 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (אה"ב) צורן של הלמה 26

87 . . . . . צורן) של בלמה (שימוש ווקטורי למרחב בסיס קיום 26.1

88 כעוצמות הסודרים X

88 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . מונים 27

88 . . . . . . . . . . . . . . . . מחודשת) (גישה העוצמה מושג 27.1

89 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ℵ הפונקציה 28

4

90 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . אלפים חיבור 28.1

92 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . אלפים כפל 28.2

93 . . . . . . . . . . . . . . . הרצף) השערת (או: אלפים חזקת 28.3

93 . . . אה"ב) צרמלו־קניג; אי־שוויון (או: אינסופיים וכפל חיבור 28.4

5

I חלק

בסיסיות עובדות

.{x|Φ (x)} מסומנת Φ התכונה בעלי העצמים מחלקת

סוגים: לשני מתחלקות המחלקות ולכן קבוצה, היא מחלקה כל לא

מתמטיים. עצמים עצמן הן כך ומתוקף קבוצות, שהן מחלקות .1

מתמטיים עצמים אינן אלו מחלקות קבוצות. שאינן המחלקות שהן ממש, מחלקות .2מחלקות. של איברים להיות יכולות ואינן

שמחלקות קובעות והן הבסיסיות, הקיום מאקסיומות לקוחות הבאות הקיום אקסיומותקבוצות: גם הן מסוימות

קבוצה. היא {x, y} המחלקה הזוג: אקסיומת

קבוצה.1 היא⋃A שלה האיחוד מחלקת גם אז קבוצה A אם האיחוד: אקסיומת

קבוצה. היא N הטבעיים המספרים מחלקת האינסוף: אקסיומת

קבוצה.2 היא לקבוצה, חלקית מחלקה ההפרדה: אקסיומת

היא F [A] גם אז ,F לתחום חלקית קבוצה A-ו פונקציה F אם ההחלפה: אקסיומתקבוצה.3

קבוצה. P (A) החזקה קבוצת גם אז קבוצה A אם החזקה: קבוצת אקסיומת

איחוד". "מחלקת המושג הגדרת את 2.3.1 בפרק להלן 1ראו

"חלקיות". למושג ההגדרה את 2.3.1 בפרק להלן 2ראו

ו"טווח". "תחום" "פונקציה", המושגים הגדרת את 2.3.4 בפרק להלן 3ראו

6

II חלק

מושגי־יסוד

בעצמו לשמש היכול עצמים של כלשהו אוסף הקבוצה: של האינטואיטיבי המושג •מתמטי. עצם

הקבוצות תורת אקסיומות 1

ההיקפיות אקסיומת 1.1

,x ∈ B אמ"מ x ∈ A מתקיים x לכל אם כלומר האיברים, אותם A,B לקבוצות אםזהות. מסמן השיוויון כאשר ,A = B אז

אחר, גורם אף ע"י ולא איבריה זהות ע"י לגמרי נקבעת שקבוצה אומרת זאת אקסיומהלקבוצת (זהה) שווה השוקיים שווי המשולשים כל קבוצת למשל כך הקבוצה. הגדרת כגוןהקבוצה. של שונות הגדרות בשתי כאן שמדובר למרות שוות, זוויות שתי בעלי המשולשים

הבסיסיות הקיום אקסיומות 1.2

.Φ התכונה בעלי העצמים כל את בדיוק המכילה קבוצה קיימת Φ תכונה בהינתן

עצם היא שקבוצה בעוד השפה של יצור היא שתכונה הם לקבוצה תכונה בין ההבדלים"יודעת" שתכונה בעוד בה, נמצא אינו ומי בה נמצא מי רק "יודעת" שקבוצה וגם מתמטי,

אותה. המקיימים עצמים על נוסף משהו

ולכן בהמשך, שנראה כפי התכונות, כל על במרוכז לדבר יכולים איננו המתמטית בשפהשל רבות אקסיומות קיימות ולכן ,Φ תכונה לכל נפרדת קיום לאקסיומת זקוקים אנו

קבוצות. קיום

המכילה אחת קבוצה היותר לכל ההיקפיות, אקסיומת לפי קיימת, Φ לתכונה משפט:הקיום אקסיומות לאור ולכן, ,Φ התכונה בעלי שהם העצמים כל את בדיוקשהם x העצמים כל את בדיוק המכילה אחת קבוצה בדיוק קיימת הבסיסיותהטענה היא Φ (x) כאשר ,{x | Φ (x)}-ב מסומנת זאת קבוצה .Φ התכונה בעלי

.Φ התכונה בעל הוא x-ש

ראסל של האנטינומיה 1.3

הקבוצה כלומר, .x /∈ x המקיימות x הקבוצות את בדיוק המכילה Y קבוצה קיימת לאקיימת. אינה {x|x /∈ x}

7

וזאת ,Y /∈ Y אמ"מ Y ∈ Y שמתקיים נובע מהגדרתה אז כזאת, היא Y אם הוכחה:� סתירה.

הגודל הגבלת דוקטרינת 1.4

המוגדרת Φ התכונה עבור הבסיסיות הקיום אקסיומות את סותרת ראסל של האנטינומיהכך על־ידי נעשה זאת בעיות. שתיגרמנה נראה שלא היכן רק בהן נשתמש לכן .x /∈ x

מתוכן. אקסיומות במספר רק שנשתמש

שאפשר האומרת גודל, הגבלת של דוקטרינה יהיה אלו אקסיומות בבחירת קו־מנחהבהשוואה מדי" "גדולה שאינה קבוצה נותנת היא עוד כל קיום באקסיומת להשתמש

קיימות. לקבוצות

מחלקות 2

על לדון נוכל (x /∈ x היא Φ-ש במקרה (כמו קבוצה קובעת אינה Φ שתכונה היכן גם.Φ התכונה בעלי שהם העצמים כל מחלקת

דיבור בעצם הוא מחלקה על הדיבור מתמטי. עצם בהכרח אינה מחלקה לקבוצה, בניגודבמקום במחלקות להשתמש מעדיפים אנו אולם השפה, באמצעות שמוגדרת תכונה עלאותה. המקיימים בעצמים אלא התכונה של בניסוח לא מעוניינים שאנו היכן בתכונות

.{x | Φ (x)}-ב נסמן Φ התכונה בעלי העצמים מחלקת את

ממש. מחלקות נקרא קבוצות שאינן ולמחלקות קבוצות, הן המחלקות מן חלק

מתאימות אמנם מסויימות Φ שלתכונות האומרות אקסיומות מספר בהמשך נראהקבוצות. הן Φ מסויימות לתכונות המתאימות {x | Φ (x)} המחלקות כלומר קבוצות,

השפה 3

לומר חשוב משתמשים, אנו בה בשפה תלויות להביע יכולים אנו אותן שהתכונות מכיווןהקבוצות, תורת בשפת להשתמש אסור ובמה מותר במה נבהיר לא אם השפה. על משהוהירוקות" הקבוצות כל "קבוצת כמו משמעות, חסרי בביטויים רק לא להיתקל עלולים אנושאי־ ביותר הקטן הטבעי "המספר בביטוי נתבונן הבאה: בדרך לסתירה להגיע אף אלאמספרים אינסוף שיש מכיוון העברית". בשפה מילים מעשרים בפחות להגדירו אפשרסופי, הוא העברית בשפה מילים מעשרים פחות בעלי הביטויים מספר ואילו טבעייםבשפה מילים מעשרים בפחות להגדירם אפשר שאי טבעיים מספרים קיימים בהכרח

מינימלי. מספר קיים טבעיים מספרים של ריקה לא בקבוצה העברית.

שאי־ הטבעיים המספרים קבוצת של המינימלי "המספר הבאה: להגדרה לב נשים כעתמעשרים בפחות הגדרנו שכן סתירה, מתקבלת מילים." מעשרים בפחות להגדירם אפשר

8

מילים. מ-20 בפחות להגדירם שאי־אפשר המספרים לקבוצת ששייך מספר מילים

בדיוק מה משמעי חד לא שזה במובן היטב, הוגדרה לא שהשפה מכך נובעת זאת סתירההשפה. את היטב כאן נגדיר כאלו סתירות למנוע כדי העברית. בשפה להביע אפשר

הבאים: המושגים את מכילה נשתמש בה השפה

A,B, . . . , x, y, . . . משתנים: •

∈,=,⊆ יחס: סימני •

,↔ ("אמ"מ") אם" ורק "אם ,→ אז" - "אם ,∧ "וגם" ,∨ "או" לוגיים: קשרים •¬ ו-"לא"

∃ ו-"קיים" ∀ "לכל" כמתים: •

"קבוצה" התכונה •

חדשים מושגים של הגדרות ע"י אותה ונעשיר הקבוצות" תורת "שפת נקרא זאת לשפהלשפה. שנכניס

מרוכב", ממשי, אלגברי, רציונלי, שלם, טבעי, - "מספר המילים את בנוסף תכיל השפהאלו. במספרים החשבון ופעולות הסדר יחס עבור הסימנים ואת

בהם צורך אין ולכן הקבוצות תורת בשפת להגדיר אפשר הללו הנוספים הרכיבים כל אתאלו. מהגדרות חלק לפחות נביא בהמשך הבסיסית. בשפה

ומושגים הגדרות רשימת 3.1

את בדיוק להן יש אם ,A = B וכותבים שוות, A,B שהמחלקות אומרים אנו שוויון:האיברים. אותם

של מחלקה תת או ,B מחלקה של חלקית מחלקה היא A שמחלקה אומרים אנו הכלה:היא A אם .A ⊆ B ב־ זאת ומסמנים ,B של איבר הוא A של איבר כל אם ,B

B של תת־קבוצה או ,B של חלקית קבוצה שהיא אומרים אנו קבוצה

A אם ,B מחלקה של ממש חלקית מחלקה היא A שמחלקה אומרים אנו חלקיות:.A $ B-ב זאת ומסמנים לה, שווה אינה אבל B-ל חלקית

בדיוק המכילה B קבוצה A קבוצה לכל קיימת Φ תכונה בהינתן ההפרדה: אקסיומותהוא אלו אקסיומות של אחר נוסח .Φ התכונה בעלי שהם A איברי אותם את

קבוצה. היא גם לקבוצה חלקית מחלקה שכל

הן הקיום. אקסיומות קבוצת מתוך הלקוחות קיום אקסיומות הן אלו אקסיומותגדולה אינה A אם הגודל: הגבלת דוקטרינת של ביותר המיידי השימוש את מהוות

מדי. גדולה אינה בוודאי לה החלקית B מחלקה כל אז מדי

9

לא אחרות, במילים ממש. מחלקה היא הקבוצות כל את המכילה המחלקה משפט:הקבוצות. כל קבוצת שהיא קבוצה קיימת

החלקית המחלקה שגם נובע קודמת מטענה אז קבוצה, זו מחלקה היתה אילו הוכחה:� קבוצה. היתה ראסל אנטינומיית של {x | x /∈ x} לה

קבוצות. גם הן שחלקן נראה בהמשך מחלקות. מספר כעת נגדיר •

∅ = {x | x 6= x} הריקה: המחלקה

{a} = {x | x = a} יחידה: מחלקת

{a, b} = {x | x = a או x = b} סדור): (לא זוג

A ∪B = {x|x ∈ A או x ∈ B} מחלקות: איחוד

A ∩B = {x|x ∈ A וגם x ∈ B} מחלקות: חיתוך

A \B = {x|x ∈ A וגם x /∈ B} מחלקות: ⋃הפרשA = {x | A של כלשהו איבר של איבר הוא x} האיחוד: ⋂מחלקת

A = {x | A של איבר כל של איבר הוא x} החיתוך: מחלקת

מתקיים: A,B,C המחלקות לכל משפט:

∅ ⊆ A .1

A ⊆ A .2

A ∪B ⊆ C אז B ⊆ C ו- A ⊆ C אם .A,B ⊆ A ∪B .3

C ⊆ A ∩B אז C ⊆ B ו- C ⊆ A אם .A ∩B ⊆ A,B .4

כתרגיל). מושארת (ההוכחה

קבוצה.⋂A אז קבוצות של ריקה לא מחלקה A אם משפט:

קבוצה, היא⋂A ההפרדה אקסיומת ולפי ,

⋂A ⊆ u אז A של איבר היא u אם הוכחה:

� .A של האחרים האיברים בכל גם הנמצאים u איברי כל קבוצת היא כי

קבוצת מתוך אקסיומות שהן קיום, אקסיומות הן הבאות האקסיומות קיום: אקסיומותהקיום. אקסיומות

ואת a את בדיוק המכילה קבוצה קיימת a, b העצמים לכל הזוג: אקסיומת .1קבוצה. היא {a, b} המחלקה a, b העצמים לכל אחרות: במילים .b

קבוצה. היא⋃A גם אז קבוצה היא A אם האיחוד: אקסיומת .2

קבוצה. היא N הטבעיים המספרים מחלקת האינסוף: אקסיומת .3

10

משפט:

קבוצה. היא ∅ הריקה המחלקה .1

כלשהי קבוצה קיום כאשר ,x 6= x התכונה עם ההפרדה, מאקסיומות [נובעהאינסוף]. מאקסיומת למשל, נובע,

קבוצה. A ∪B אז קבוצות A,B אם .2

[.A ∪B =⋃{A,B} כי והאיחוד, הזוג אקסיומות [לפי

קבוצה. A ∩B אז מחלקה, B-ו קבוצה A אם .3

ההפרדה.] ואקסיומות האחרון, שלפני במשפט ד' סעיף [לפי

במפורש. זאת נזכיר לא אבל נוספות, קיום באקסיומות שימוש ייעשה בהמשך

הסדור הזוג 3.2

x על המצביע ,〈x, y〉 עצם כלשהם x, y מעצמים היוצרת פעולה היא הסדור הזוג פעולתהשני. במקום הנמצא כעצם y ועל הראשון במקום הנמצא כעצם

.〈x, y〉6=〈y, x〉 מתקיים סדור זוג עבור ,{x, y} = {y, x} שבהן לקבוצות בניגוד כלומר

מתקיים אזי 〈x, y〉 = 〈u, v〉 המקיימים עצמים הם x, y, u, v אם הסדור: הזוג תכונת.y = v וגם x = u

את להגדיר ניתן לכן הסדור. הזוג תכונת את המקיים זוג הוא סדור זוג מבחינתנובידינו: יש שכבר הפעולות מן הסדור הזוג פעולת

〈x, y〉 = {{x} , {x, y}} הגדרה:

כלומר .y = v וגם x = u אז 〈x, y〉 = 〈u, v〉-ש כך עצמים הם x, y, u, v אם משפט:הסדור. הזוג תכונת את מקיימת זו הגדרה

אחרת הגדרה בכל הזו ההגדרה את להחליף אפשר אותנו, שמעניינת התכלית מבחינתהסדור. הזוג תכונת את המקיימת 〈x, y〉 הפעולה של

(הדו־מקומי) היחס מושג 3.3

יכולים x, y עצמים שני אז כלשהו, יחס הוא R אם איברים. זוגות של מחלקה הוא יחס.R ביחס להיות לא או להיות

.〈x, y〉 ∈ R הזוג כלומר .y-ל R ביחס נמצא x כי לומר כשנרצה xRy נכתוב

כך: שברשותנו הכלים באמצעות היחס מושג את נגדיר

11

הגדרות:

להיות יכולה זאת מחלקה סדורים. זוגות איבריה שכל מחלקה הוא יחס .1מתמטי. עצם הוא היחס ואז קבוצה,

.〈x, y〉 ∈ R כאשר xRy נסמן .2

{x | ש- כך y {קיים המחלקה הוא Dom (R)-ב המסומן ,R היחס תחום .3.xRy

{y | ש- כך x {קיים המחלקה הוא Range (R)-ב המסומן ,R היחס טווח .4.xRy

אז ,y-ו x על משהו האומרת פסוק תבנית Φ (x, y) תהי יחס: של התיקנית ההגדרהקיים x, y שלכל כך R היחס היא {〈x, y〉 |Φ (x, y)-ש כך x, y {קיימים המחלקה

.Φ (x, y) מתקיים אמ"מ xRy

ההגדרה נקרא R של כזאת ולהגדרה {〈x, y〉 | Φ (x, y)}-כ נכתוב הזה היחס אתהיחס. של התיקנית

.{〈x, y〉 | x ∈ A , y ∈ B} היחס הוא A×B הגדרה:

קבוצה. היא A×B גם אז קבוצות A,B אם טענה:

Range (R) ⊆ ו- Dom (R) ⊆ A-ש כך יחס הוא R-ו קבוצות A,B שאם נובע מזהקבוצה. הוא R גם אז ,B

נסיק: קבוצה. C-ל x, y ∈ C יהיו כללי, באופן הוכחה:

{x} , {x, y} ⊆ C⇓

{x} , {x, y} ∈ P (C)⇓

〈x, y〉 = {{x} , {x, y}} ⊆ P (C)⇓

〈x, y〉 ∈ P (P (C))

,〈x, y〉 ∈ P (P (A ∪B)) ולכן x, y ∈ A∪B מתקיים 〈x, y〉 ∈ A×B לכל לכןולכן:

A×B ⊆ P (P (A ∪B))

מחלקה שהיא A × B ולכן קבוצה, הוא ימין אגף אז קבוצות A,B-ש מכיוון� קבוצה. היא גם לה, חלקית

כלומר ,A של איברים בין רק קיים הוא אם ,A מחלקה על יחס נקרא R יחס הגדרה:.R ⊆ A×A אם

12

הבאים: התנאים את מקיים הוא אם A מחלקה על שקילות יחס נקרא R יחס הגדרה:

.xRx מתקיים x ∈ A לכל רפלקסיביות: .1

.yRx גם אז xRy אם ,x, y ∈ A לכל סימטריות: .2

.xRz גם אז yRz-ו xRy אם ,x, y, z ∈ A לכל טרנזיטיביות: .3

היא אם A של חלוקה נקראת A למחלקה חלקיות קבוצות של P מחלקה הגדרה:הבאים: התנאים את מקיימת

ריקה. אינה P ב- קבוצה כל כלומר ,∅ /∈ P .1

.P של יחידה בקבוצה נמצא A של איבר כל .2של שונים B,C איברים שני לכל כך: גם לנסח אפשר היחידות דרישת את

.B ∩ C = ∅ כלומר זרים, הם P

D = {x ∈ A | zRx} המחלקה z ∈ A לכל אז ,A מחלקה על שקילות יחס R אם הגדרה:.R ביחס z של השקילות מחלקת נקראת

משפט:

R של השקילות מחלקות קבוצת אז ,A קבוצה על שקילות יחס R אם .1.A של חלוקה היא (R ביחס A איברי של השקילות מחלקות (כלומר

y-ו x אם xRy ע"י המוגדר R היחס אז ,A מחלקה של חלוקה היא P אם .2.A על שקילות יחס הוא ,P של קבוצה באותה נמצאים

יחס הוא R = {〈x, y〉 | (∃D ∈ P ) (x, y ∈ D)} היחס סימבולי: ובניסוחשקילות.

הוכחה:

כי z את מכילה z של השקילות מחלקת כי ריקה, אינה שקילות מחלקת .1רפלקסיבי. הוא R היחס

הסימטריה מן וכתוצאה zRu קיים אז u של השקילות במחלקת נמצא z אםהעצמים בדיוק הם xRz המקיימים x העצמים ,R של והטרנזיטיביותהשקילות למחלקת שווה u של השקילות מחלקת ולכן xRu המקיימיםהמכילה היחידה השקילות מחלקת היא z של השקילות מחלקת ולכן ,x של

.z את

ולכן ,P החלוקה מקבוצות אחת שהיא D בקבוצה נמצא x אז x ∈ A אם .2.xRx קיים

.yRx גם ולכן ,x, y ∈ D-ש כך D ∈ P קיימת אז xRy אםאת המכילה D החלוקה בקבוצת נמצאים z וגם x גם אז yRz-ו xRy אם

� .xRz ולכן כזאת), אחת רק יש חלוקה P ש- (מכיוון y

13

הפונקציה מושג 3.4

מותאם x עצם שלכל כך ,y עצמים מסויימים x לעצמים המתאים משהו היא פונקציהאחד. y עצם היותר לכל

F הפונקציה אם .F (x)-ב מסומן זה עצם אז ,x-ל עצם מתאימה F הפונקציה אםמוגדר. אינו F (x) שהביטוי אומרים אנו אז ,x-ל עצם מתאימה אינה

ברשותנו, כבר הנמצאים הקבוצות תורת בכלי בשפה מושגים לנסח שלנו הכוונה לאורכדלקמן. הפונקציה מושג את נגדיר

הגדרות:

xFy אם ,x, y, z שלכל כך F יחס כלומר ערכי. חד יחס היא פונקציה .1.y = z אז xFz-ו

את F (x)-ב מסמנים אנו x ∈ Dom (F ) אם הפונקציה, למושג בהתאם .2.xFy המקיים היחיד y-ה

מוגדר. אינו F (x)-ש אומרים אנו אז x /∈ Dom (F ) אם

F אם ,B-ל A-מ העתקה היא F ש- גם ואומרים ,F : A→ B כותבים אנו .3מתקיים x ∈ A לכל (כלומר B-ל חלקי וטווחה A שתחומה פונקציה היא

.(F (x) ∈ B.Range (F ) = B אם ,B מחלקה על היא F שהפונקציה אומרים אנו .4

.F (x) = y-ש כך x ∈ Dom (F ) מתקיים y ∈ B לכל אם כלומר

אם ,x, y ∈ Dom (F ) לכל אם (חח"ע), ערכית חד־חד נקראת F פונקציה .5.x = y אז F (x) = F (y) אם שקול: ובאופן ,F (x) 6= F (y) אז x 6= y

שהיא ,{F (x) | x ∈ A} את F [A]-ב מסמנים אנו A ⊆ Dom (F ) עבור .6.A איברי עבור מקבלת F ש- הערכים מחלקת

המוגדרת G הפונקציה את F � A-ב נסמן .A ⊆ Dom (F ו-( פונקציה F תהי הגדרה:.G (x) = F (x) מתקיים x ∈ A ולכל ,Dom (G) = A ע"י

F [A] = מתקיים זו הגדרה לפי .A-ל F של ההגבלה נקראת G = F � ARange (F � A)

שלכל כך פסוק, תבנית Φ (x, y) ותהי מחלקה A תהי פונקציה: של התיקנית ההגדרה.Φ (x, y) המקיים אחד y בדיוק ישנו x ∈ A

Dom (F ) = המקיימת פונקציה הוא F = {〈x, y〉 | x ∈ A ∧ Φ (x, y)} היחס אזוהוא ,Φ (x, y) התכונה את המקיים y-ה הוא F (x) האיבר ,x ∈ A ולכל ,A

אלו. תנאים המקיימת היחידה הפונקציה

,Dom(F ) = A מהצורה: להגדרה נקרא F פונקציה של תיקנית הגדרה בשם.Φ (x, y) המקיים y-ה הוא F (x) כי מתקיים x ∈ A ולכל

14

היא F � A גם ,A ⊆ Dom (F ) מחלקה לכל אז ערכית, חד־חד פונקציה F תהי טענה:כתרגיל). מושארת (ההוכחה ערכית. חד־חד

הגדרות:

ע"י הנתונה הפונקציה היא A על 1A הזהות פונקצית ,A מחלקה לכל .1.1A (x) = x מתקיים x ∈ A ולכל ,Dom (1A) = A

היא אלו פונקציות של ההרכבה אז על, G : B → C-ו על F : A→ B אם .2ולכל ,Dom (GF ) = A ע"י הנתונה על, היא גם ,GF : A→ C הפונקציה

.(GF ) (x) =: G (F (x)) מתקיים x ∈ A,F−1 : B → A ההפוכה הפונקציה אז ועל, ערכית חד חד F : A→ B אם .3ולכל Dom

(F−1

)= B ע"י הנתונה הפוקציה היא ועל, חח"ע היא גם

.F (x) = y-ש כך x-ה הוא F−1 (y) כי מתקיים y ∈ B

משפט:

.A על A של ערכית חד חד העתקה היא 1A .1

היא GF : A → C אז ,C על G : B → C ו- B על F : A → B אם .2.C על העתקה

חד חד GF גם אז ערכיות, חד חד הן G : B → C-ו F : A → B אם .3ערכית.

חד העתקה היא F−1 אז ,B על A של ערכית חד חד העתקה היא F אם .4ומתקיים: ,A על B של ערכית )חד

F−1)−1 = F FF−1 = 1B F−1F = 1A

x ∈ Dom (F )∩Dom (G) לכל אם מתיישבות F,G שהפונקציות אומרים אנו הגדרה:.F (x) = G (x) מתקיים

למה:

פונקציה. היא F ∪G אמ"מ מתיישבות F,G הפונקציות .1

(Dom (F ) ∩ Dom (G) = ∅ (כלומר זרים שתחומיהן פונקציות F,G אם .2פונקציה. היא F ∪G-ו מתיישבות הן אז

והטווחים ערכיות חד־חד הן G וגם F גם אמ"מ ערכית חד־חד היא F ∪G .3.Range (F ) ∩ Range (G) = ∅ כלומר זרים. G-ו F של

שתי כל אמ"מ פונקציה היא⋃W אז פונקציות. של מחלקה W תהי .4

מתיישבות. W ב- פונקציות

15

סדרה, בשם גם נקרא הטבעיים המספרים קבוצת הוא שתחומה a לפונקציה הגדרה:.an-ב גם נסמן n עבור שלה הערך ואת

.〈a0, a1, a2, . . . כ-〈 גם פורמלי לא ובאופן ,〈an | n ∈ N〉-כ גם נכתוב הסדרה את

.{a0, a1, a2, . . . כ-{ פורמלי לא ובאופן ,{an | n ∈ N}-כ נכתוב הסדרה טווח את

קבוצה. היא שלה, הטווח וגם סדרה, כל קודמת טענה לפי

F [A] גם קבוצה A אם אז ,A ⊆ Dom (F ו-( פונקציה F אם ההחלפה: אקסיומתקבוצה.

F [A] = Range (F � A) אז קבוצה, A = Dom (F � A) אם שקול: באופןקבוצה.

הדיון והרחבת סיכום 4

קבוצה. קובעת תכונה שכל הבסיסיות, הקיום באקסיומות הגלום הרעיון על לוותר נאלצנוקובעת תכונה כל שלא לכך ולהסכים הלוגיקה של לעליונותה להיכנע נאלצים אנו כאןלא שאלוהים לכך להיכנע נאלצים יכול כל הוא שאלוהים המאמינים אלו גם כך קבוצה.שנאלצנו הוויתור אותה. להרים יכול אינו שהוא כבדה כך כל שהיא אבן לברוא יכולהמתיישבות אלו את רק מקבלים אנו הבסיסיות הקיום אקסיומות שמתוך הוא לעשותרעיוני שיקול בהכרח אינו הזאת הבחירה את שמצדיק מה הגודל. הגבלת דוקטרינת עםהמתמטיקה את מגבלות בלי לפתח לנו מאפשרת זאת שבחירה העובדה אלא כלשהו

לנו. המוכרת

מושג את לעולם הבאנו קבוצה קובעת תכונה כל שלא העובדה עם להתמודד כדילהיות אמורה מחלקה מחלקה. קובעת המתמטיים העצמים של תכונה שכל כך המחלקה,אינה היא ולכן מתמטי, עצם אינה היא ממש מחלקה היא שאם לכך פרט קבוצה, כמומחלקה. של איבר להיות יכול מתמטי עצם רק כי כלשהי, מחלקה של איבר להיות יכולהלא עדיין שהדמוקרטיה מכיוון שונות. זכויות בעלי עצמים סוגי שני עם עולם יצרנו כךעל מכביד גם והוא אסתטי איננו הוא אבל יתכן, כזה מצב המתמטיקה על השתלטהבקצרה שהזכרנו זאת היא במחלקות להתבונן הטובה הדרך לכן הקבוצות. תורת חקרלנוחיות שלנו המצאה הן אלא כלל עצמים אינן שהמחלקות והיא במחלקות, כשעסקנוכלשהי, {x|Φ(x)} למחלקה מתכוונים אנו A מחלקה על מדברים אנו כאשר הדיבור.להזכיר מבלי להגיד יכולים אנו {x | Φ (x)} המחלקה על אומרים שאנו מה את ואז

כלל. מחלקות

המדבר כפסוק מחלקות על המדבר פסוק כל לפרש כיצד המלאה הדרך את כאן ניתן לא.A ∈ z הפסוק היא הראשונה הדוגמה דוגמאות. בשתי ונסתפק מתמטיים, עצמים על רק

.{x | Φ (x)} ∈ z הפסוק את לפרש עלינו ולכן {x | Φ (x)} המחלקות את מייצגת Aקבוצה הוא y-ש כך z הקבוצה של y איבר "קיים הפסוק הוא זה פסוק של הפירוש

16

על כלל מדבר אינו זה פירוש ."Φ התכונה בעלי שהם העצמים כל בדיוק הם שאיבריהמחלקות.

גם אז קבוצות הן B-ו A המחלקות שאם האומר שהזכרנו משפט היא השניה הדוגמה.{x | Ψ (x)} מחלקה מייצגת B-ו {x | Φ (x)} מחלקה מייצגת A קבוצה. היא A ∪Bאז קבוצות, הן {x | Ψ (x)}-ו {x | Φ (x)} שאם אומר המשפט אלו, למחלקות בהתייחסקבוצה קיימת "אם הוא זה פסוק של הפירוש קבוצה. היא {x | Φ (x)}∪{x | Ψ (x)} גםהם שאיבריה v קבוצה קיימת ואם Φ התכונה בעלי העצמים כל בדיוק הם שאיבריה uהעצמים בדיוק הם שאיבריה w קבוצה קיימת אז ,Ψ התכונה בעלי העצמים כל בדיוק

".Ψ התכונה בעלי או Φ התכונה בעלי שהם

17

III חלק

מניה ובנות סופיות קבוצות

סופיות עוצמות 5

הגדרות:

,A ≈ B כותבים ואנו ,B לקבוצה עוצמה שוות A שהקבוצה אומרים אנו .1.B ועל ערכית חד־חד שהיא F : A→ B פונקציה קיימת אם

קבוצות הן אם גם הגודל באותו הן קבוצות שתי מתי לקבוע מאפשר זה יחסאינסופיות.

.F [A] ≈ A אז DomF ל- חלקית קבוצה A-ו ערכית חד־חד פונקציה F אם .2

סימטרי 4,(A ≈ A) רפלקסיבי כלומר שקילות, יחס הוא ≈ העוצמה שוויון יחס משפט:6.(A ≈ C אז A ≈ B,B ≈ C (אם וטרנזיטיבי 5(B ≈ A⇔ A ≈ B (אם

הסטנדרטי הסדר יחס כולל: לנו, כידועים הטבעיים למספרים נתייחס הטבעיים: המספריםעליהם פונקציות והגדרת בהם, החשבון פעולות באינדוקציה, הוכחה שלהם,

טבעיים. מספרים יסמנו k, l,m, n האותיות בדרך־כךך ברקורסיה.

בהם הדברים מן בחלק לפחות ונטפל הטבעיים המספרים את נגדיר יותר מאוחרעתה. משתמשים אנו

הגדרות:

.Nn = {m | m ∈ N, m < n} .1

.A ≈ Nn אם איברים n בת היא A קבוצה כי אומרים ,n ∈ N לכל .2

כלשהו. n ∈ N-ל איברים n בת היא אם סופית נקראת A קבוצה .3

,A ≈ Nn המקיים n קיים שלא כך A קבוצה כלומר סופית, שאינה קבוצה .4אינסופית. נקראת

מסקנות:

אמ"מ איברים n בת היא גם B קבוצה אז איברים n בת קבוצה A אם .1.B ≈ A

הזהות. בפונקציית 4נשתמש

ההפוכה. בפונקציה 5נשתמש

הפונקציות. בהרכבת 6נשתמש

18

סופית. היא סופית, לקבוצה עוצמה שוות קבוצה .2

אינסופית. היא גם אינסופית לקבוצה עוצמה שוות קבוצה .3

משפט:

סופית. היא ∅ הריקה הקבוצה .1

שכן ,N0 לבין ∅ בין ועל חח"ע יחס להגדיר כדי הריקה בפונקציה [נשתמש[.N0 = {m|m ∈ N, m < 0} = ∅

סופית קבוצה היא A∪ {x} אז ,x 6∈ A-ו איברים n בת קבוצה היא A אם .2איברים. n+ 1 בת

פונקציה: נגדיר ועל, חח"ע F : A→ Nn אם [כי

F ∪ {〈y, n〉} : A ∪ {y} → Nn ∪ {n} = Nn+1

ועל.] חח"ע היא וגם

סופית. היא A ∪ {x} הקבוצה ,x לכל אז סופית קבוצה היא A אם .3

כלשהו. m ≤ n-ל איברים m בת קבוצה היא Nn-ל חלקית A קבוצה .4

או A = B ואז ,B = A ∩ Nn תהי n + ל-1 .n על [באינדוקציה[.2 ובסעיף B על האינדוקציה בהנחת משתמשים ואז ,A = B ∪ {n}

אינסופית קבוצה המקיפה קבוצה סופית. היא סופית לקבוצה חלקית קבוצה .5אינסופית. היא

סופיות לקבוצות האינדוקציה עקרון 5.1

ש: כך תכונה, Φ תהי

.Φ התכונה בעלת היא ∅ הריקה הקבוצה האינדוקציה: בסיס

גם אז Φ התכונה בעלת היא A אם ,x /∈ A ועצם A קבוצה לכל האינדוקציה: וצעדΦ התכונה בעלת היא A ∪ {x}

.Φ התכונה בעלת היא סופית קבוצה כל האינדוקציה: מסקנת אז

A ∪ {x} = A אז x ∈ A אם כי ,x /∈ A עבור האינדוקציה צעד את להוכיח די הערה:.Φ התכונה בעלת A ∪ {x} = A גם אז Φ התכונה בעלת A שאם ברור ולכן

סופית. היא גם A ∪B אז זרות) דווקא (לאו סופיות קבוצות A,B אם משפט:

.A על באינדוקציה נוכיח הוכחה:

A∪B הקבוצה ,B סופית קבוצה "לכל היא: בה עוסקים שאנו A של Φ התכונהסופית".

19

קבוצה וזאת ,∅ ∪B = B כי מתקיימת זאת תכונה A = ל-∅ האינדוקציה: בסיסמהגדרתה. סופית

סופית. A ∪B כי נניח האינדוקציה: הנחת

קודמת. טענה לפי סופית, (A ∪ {x})∪B = (A ∪B)∪ {x} האינדוקציה: צעד

� סופית. A ∪B סופיות A,B קבוצות לכל האינדוקציה: מסקנת לכן

סופית. קבוצה Range (F ) גם אז סופית קבוצה DomF אם פונקציה. F תהי משפט:.(A על באינדוקציה להשתמש יש כתרגיל. מושארת (ההוכחה

F : A→ B חח"ע פונקציה קיימת אז כלשהי, מחלקה B-ו סופית קבוצה A תהי משפט:.G : B → A חח"ע פונקציה שקיימת או

.A על באינדוקציה הוכחה:

חח"ע. שהיא ,F : ∅ → B הריקה הפונקציה קיימת A = ∅ עבורמקרים: בשני נדון .A ∪ {x} עבור ונוכיח A עבור הטענה את נניח

הנדרש. את מקיימת G : B → A ∪ {x} אז חח"ע, G : B → A קיימת אם -

אינה F או B על F - אפשרויות שתי ייתכנו אז חח"ע, F : A→ B קיימת אם -כזאת.

ש- ומכיוון ,A ועל חח"ע שהיא F−1 : B → A קיימת אז ועל, חח"ע F אםהנדרש. את מקיימת הפונקציה A ⊆ A ∪ {x}

זה במקרה .z /∈ Range (F ש-( כך z ∈ B קיימת אז ,B על ואינה חח"ע F אםנגדיר:

F ∪ {〈x, z〉} : A ∪ {x} → B

� חח"ע. פונקציה וקיבלנו

.m ≤ n המקיים כלשהו טבעי m עבור A ≈ Nm אז A ⊆ Nn אם טבעי, n לכל משפט:

A ∪ {u} ≈ B ∪ {v} מתקיים u /∈ A, v /∈ B עבור אז A ≈ B אם למה:

הפונקציה: את נגדיר ועל. חח"ע F : A→ B כי נניח הלמה: הוכחת

F ∪ {〈u, v〉} : A ∪ {u} → B ∪ {v}

� ועל. חח"ע היא שגם לראות וניתן

.n על באינדוקציה הוכחה:

.A ≈ N0 ולכן ,A = ∅ מתקיים A ⊆ N0 לכל ,n = 0 אם

.A ⊆ Nn+1 ותהי ,n עבור הטענה את נניח

20

,m < n+ 1 ובפרט m ≤ n קיים האינדוקציה ומהנחת A ⊆ Nn אז n /∈ A אם.A ≈ Nm המקיים

המקיים m ≤ n קיים האינדוקציה ומהנחת A\ {n} ⊆ Nn אז n ∈ A אם.A\ {n} ≈ Nm

� .A ≈ Nm+1 כי ונקבל ,m את ימין ולאגף n את שמאל לאגף נוסיף

סופית. קבוצה היא סופית לקבוצה חלקית קבוצה מסקנה:

F : A → Nn וקיימת ,A ≈ Nn משמע איברים. n בת סופית קבוצה A תהי הוכחה:ועל. חח"ע

F [B] ≈ כי נסיק האחרון ומהמשפט ,F [B] ⊆ Nn כי מתקיים אזי ,B ⊆ A תהיכלשהו. m ≤ n עבור Nm

ועל. חח"ע שהיא g : F [B]→ Nm הפונקציה קיימת לכן

הבאות: הפונקציות קיימות לכן

F � B : B → F [B]

.A ≈ Nn-ש מכך ועל, חח"ע שהיא

G : F [B]→ Nm

.F [B] ≈ Nm-ש מכך ועל, חח"ע שהיא

ונקבל: הפונקציות את נרכיב

G ◦ F � B : B → Nm

� ועל. חח"ע פונקציה שהיא

אזי כלשהי, מחלקה B-ו סופית קבוצה A עבור כי שהוכחנו קודם במשפט ניזכר הארה:חח"ע. G : B → A או חח"ע F : A→ B

היא G : B → Range (G) כי לב נשים השנייה. האפשרות שמתקיימת נניחסופית. Range (G) ⊆ A כי נובע סופית A-ש מכך ולכן ועל. חח"ע פונקציה

אינסופית קבוצה B אם אולם סופית. קבוצה B כאשר רק קיימת זו אפשרות לכןהראשונה. האפשרות מתקיימת בהכרח ממש, מחלקה או

חסומות קבוצות 5.2

,m הטבעי המספר ע"י חסומה נקראת A טבעיים. מספרים של קבוצה A תהי הגדרה:.n ≤ m מתקיים n ∈ A לכל אם ,A של חסם נקרא m-ו

כלשהו. טבעי מספר ע"י חסומה היא אם חסומה נקראת A

21

משפט:

m בת היא n טבעי מספר ע"י החסומה טבעיים מספרים של קבוצה כל .1כלשהו. m ≤ n+ 1 עבור איברים

חסומה. היא טבעיים מספרים של סופית קבוצה כל .2

אינסופית. היא עצמה, N ובמיוחד טבעיים, מספרים של חסומה לא קבוצה כל .3

על באינדוקציה השנייה הטענה את נוכיח לעיל. הוכחנו הראשונה הטענה את הוכחה:הקבוצה.

ריק. באופן a ≤ 0 מתקיים a ∈ ∅ לכל כי חסומה, ∅ כי ברור

חסומה. A ∪ {k} כי נראה חסומה. A כי נניח

אזי k > n ואם סיימנו, k ≤ n אם .A ⊆ Nn נובע חסומה A כי מהנתון� וסיימנו. A ∪ {k} ⊆ Nk+1

חח"ע G : A→ B קיימת אזי ,u ∈ A, v ∈ B ויהיו ועל, חח"ע F : A→ B תהי למה:.G (u) = v-ש כך ועל

וסיימנו. G = F נגדיר אז ,F (u) = v אם הוכחה:

הפונקציה: את נגדיר .F (u) 6= v נניח לכן

G = F �(A\{⟨u, F−1 (u)

⟩})∪{〈u, v〉 ,

⟨F−1 (v) , F (u)

⟩}

אז ,A ≈ B-ו z ∈ B ,y ∈ A אם לא) או (סופיות A,B קבוצות זוג לכל מסקנה:.A\ {y} ≈ B\ {z}

ברור .F (y) = z-ש כך B על A של חח"ע F העתקה קיימת קודמת למה לפי הוכחה:� כנדרש. ,B \ {z} על A \ {y} של חח"ע העתקה היא F � A \ {y} כי

שלה. ממש חלקית לקבוצה שוות־עוצמה אינה A סופית קבוצה מסקנה:

.A הסופית הקבוצה על באינדוקציה הוכחה:

ממש. חלקית קבוצות אין הריקה לקבוצה כי ריק באופן נכונה הטענה A = ∅ אם.y /∈ A עבור A ∪ {y}-ל אותו ונוכיח A-ל מתקיים המשפט כי עתה נניח

מקרים. בשני נדון .B $ A ∪ {y} כאשר חח"ע F : A ∪ {y} → B תהי

.A = (A ∪ {y})\{y} ≈ B\{y} ⊆ A מתקיים קודמת למה לפי אז y ∈ B אם -

לכך בניגוד B = A∪ {y} אז B \ {y} = A אילו כי ,A-ל ממש חלקית B \ {y}.B & A ∪ {y}-ש

22

האינדוקציה. להנחת בסתירה A ≈ B \ {y} כי מצאנו כך אם

.A = (A ∪ {y})\{y} ≈ B\{F (y)} קודמת למה לפי .B ⊆ A אז y /∈ B אם -

,F (y) את מכילה אינה היא כי A-ל ממש חלקית קבוצה B\{F (y)} כי לב נשים� האינדוקציה. להנחת בסתירה

מסקנות:

אינסופית. היא אז שלה, ממש חלקית לקבוצה שוות־עוצמה היא קבוצה אם .1

אז m < n אם (כי עוצמה. שוות אינן Nm-ו Nn כי מתקיים ,m 6= n לכל .2.(Nm & Nn

יחיד. טבעי n-ל איברים n בת היא סופית קבוצה כל .3

סופית. A×B גם אז סופיות, קבוצות A,B אם משפט:

תכונה היא שנבחן והתכונה קבועה, סופית קבוצה A כלומר .B על באינדוקציה הוכחה:.B של

סופית. והיא ,A×B = ∅ אז B = ∅ אםA × כי להוכיח יש ,y /∈ B יהי סופית. A × B כי היא האינדוקציה הנחת

שמתקיים: לב נשים סופית. (B ∪ {y})

A× (B ∪ {y}) = (A×B)︸ ︷︷ ︸�nite

∪ (A× {y})

סופי. שהאיחוד ינבע קודם וממשפט סופית A× {y} כי להראות נשאר

שזו לבדוק ניתן .F (x) = 〈x, y〉 המוגדרת F : A → A × {y} פונקציה נגדיר� ועל. חח"ע פונקציה

בנות־מניה קבוצות 6

.N-ל עוצמה שוות היא אם בת־מניה נקראת A קבוצה הגדרה:

לא ובאופן ,{an | n ∈ N}-כ מניה בת קבוצה כל לכתוב אפשר שהזכרנו בסימון.{a0, a1, a3, . . . כ-{ פורמלי

האינסופיות הקבוצות הן המניה בנות הקבוצות יותר, מאוחר שנראה במובןביותר. הקטנות

משפט:

בת־מניה. היא N .1

23

אינסופית. היא בת־מניה קבוצה כל .2

עוצמה שוות היא אמ"מ בת־מניה היא B קבוצה אז בת־מניה, קבוצה A אם .3.A-ל

בת־מנייה. היא {m | n ≤ m} = N \Nn הקבוצה n ∈ N לכל .4

מניה. בת A ∪ {x} אז בת־מניה קבוצה A אם .5

בת־מניה. קבוצה הוא B סופית וקבוצה A בת־מניה קבוצה של איחוד .6

בנות־מניה. הן האי־זוגיים הטבעיים וקבוצת הזוגיים הטבעיים קבוצת .7

מאוחר (יותר בת־מניה. קבוצה הוא זרות בנות־מניה קבוצות שתי של איחוד .8מיותר). הזרות שתנאי נראה

ועל. חח"ע a : N→ A וגם ועל חח"ע b : Nk → B וכן ,A∩B = ∅ כי נניח (6) הוכחה:

הבא: באופן c : N→ A ∪B הפונקציה את נגדיר

cn =

{bn n ≤ kan+k n > k

� ועל. חח"ע פונקציה c כי לראות ניתן

Z השלמים קבוצת עוצמת 6.1

מניה. בת היא Z השלמים המספרים קבוצת

השליליים. השלמים וקבוצת N - המנייה בנות הקבוצות שתי של איחוד היא Z הוכחה:�

N× N הקבוצה עוצמת 6.2

מניה. בת קבוצה היא N× N

הבא: באופן N× N איברי כל את נציג הוכחה:

〈0, 0〉 〈1, 0〉 〈2, 0〉 . . .〈0, 1〉 〈1, 1〉 〈2, 1〉 . . .〈0, 2〉 〈1, 2〉 〈2, 2〉 . . ....

......

. . .

הקרטזי, במישור שהצגנו הנקודות בשריג האלכסונים לאורך N×N איברי ספירת. (k+l+1)(k+l)

2 המספר את k, l הקואורדינטות בעלת לנקודה נותנת

של חח"ע העתקה היא F (k, l) = (k+l+1)(k+l)2 שהפונקציה מראה ישירה בדיקה

� .N על N× N

24

משפט:

.A×B ≈ C ×D אז B ≈ D-ו A ≈ C אם .1

מניה. בת A×B אז מניה בנות הן B-ו A אם .2

חח"ע G : A → N, H : B → N ויהיו ועל, חח"ע F : N × N → N תהי (2) הוכחה:ועל.

הבא: באופן ועל, חח"ע שתהיה J : A×B → N פונקציה נגדיר

J (a, b) = F (G (a) , H (b)) ∈ N

� ועל. חח"ע פונקציה שזו לוודא ניתן

N-ל חלקיות קבוצות עוצמת 6.3

בת־מניה. או סופית היא B ⊆ N כל

בת־מניה והיא חסומה, היא אמ"מ סופית היא B ⊆ N שכל מכך, יותר נסיק למעשהחסומה. אינה היא אמ"מ

ונוכיח חסומה לא B כי נניח קודמת. טענה לפי סופית היא אז חסומה B אם הוכחה:בת־מניה. היא כי

הבא: באופן N על F פונקציה ברקורסיה נגדיר

לא B כי וזאת ריקה, אינה B כי כזה (יש B של המזערי האיבר הוא F (0)חסומה).

אינה B כי כזה (יש F (n)-מ הגדול B של המזערי האיבר הוא F (n+ 1)חסומה).

בחירת לפי F (n) < F (n+ 1) שמתקיים וכן F : N → B כי לראות קל.B ועל חח"ע F כי להוכיח נותר הערכים.

חח"ע. ודאי ולכן ממש עולה פונקציה F כי לראות קל חח"ע: היא כי נראה

כי n על באינדוקציה מוכיחים ראשית ,B על F כי להוכיח כדי על: היא כי נראה.F (n) < F (n+ 1) מתקיים n שלכל מכך נובע הדבר טבעי. n לכל n ≤ F (n)

המקיים המזערי המספר m יהי .k ≤ F (k) מתקיים וככלל כלשהו, k ∈ B יהיעל F כלומר ,k ∈ range (B) כי ינבע ומכך F (m) = k כי נוכיח .k ≤ F (m)

.B

ש- ומכך ,B-ב המינימלי המספר F (m) כי נובע F מהגדרת אז m = 0 אםוסיימנו. k = F (m) כי נובע B 3 k ≤ F (m)

25

כאיבר m בחירת לפי F (m− 1) < k ≤ F (m) מתקיים אז 0 < m אםהנ"ל. התכונה את המקיים המינימלי

שמקיים B-ב המזערי המספר הוא F (m) כי נובע F שמהגדרת לב נשים אבל� .F (m) = k בהכרח ולכן F (m− 1) < F (m)

מסקנות:

חסומה. אינה אמ"מ ובת־מניה חסומה, אמ"מ סופית היא N-ל חלקית קבוצה כל .1

בת־מניה. או סופית היא בת־מניה קבוצה של חלקית קבוצה .2

זרות). אינן אם (גם בת־מניה A ∪B אז מניה בנות B-ו A אם .3

בת־מניה או סופית A ∪ B גם אז שתיהן, בנות־מניה או סופיות A,B אם .4בן־מניה. איחודן אז סופית, והאחרת בת־מניה מהן אחת אם בהתאמה.

B \ A כי מתקיים .B \ A-ו A הזרות הקבוצות של האיחוד היא A ∪ B (3) הוכחה:של איחוד כי נובע לעיל שהוכחנו מטענה .B-ל חלקית היא כי בת־מניה או סופית

בת־מניה. קבוצה הוא ובנות־מניה זרות קבוצות שתי

בת־מניה. או סופית A אז על, פונקציה F : N→ A אם משפט:

לראות ניתן .F (k) = F (l)⇔ kRl כך F באמצעות המוגדר R ביחס נתבונן הוכחה:שקילות. למחלקות N את המחלק שקילות יחס שזה

F � D ש-: כך בת־מניה) או סופית D קודמת (מטענה D ⊆ N קבוצה נחפשבת־מניה. או סופית A כי מיד נקבל ומכך ועל, חח"ע תהיה D → A

נרצה וכן חח"ע, שתהיה כדי מחלקה מכל אחד מאיבר יותר לא תכיל D כי נרצהעל. שתהיה כדי מחלקה מכל אחד איבר לפחות תכיל D כי

.R של השקילות במחלקות המינימליים האיברים קבוצת להיות D את נגדיר לכן�

בת־מניה. או סופית B אז בת־מניה, A-ו על, פונקציה F : A→ B אם טענה:

נותנת הבאה מהצורה שההרכבה לראות ניתן ועל. חח"ע G : N → A כי נניח הוכחה:על: פונקציה

N G−→ AF−→ B

� הנדרש. את נסיק קודם ממשפט

26

Q הרציונליים קבוצת עוצמת 6.4

מניה. בת היא Q הרציונליים המספרים קבוצת משפט:

מתקיים z = kl רציונלי מספר שלכל המקיימת הפונקציה F : Q→ Z×N תהי הוכחה:

זרים. k, l וכן ,l 6= 0 ,k ∈ Z, l ∈ N כאשר ,F (z) = 〈k, l〉.Range (F ל-( עוצמה שוות Q ולכן ביחידות, נקבעים ולכן זרים k, l כי חח"ע F

טענות לפי מניה בת או סופית היא ולכן Range (F ) ⊆ Z × N כי לב נשיםכזאת. Q שגם מכאן קודמות.

� בת־מניה. Q ולכן ,N ⊆ Q כי למשל סופית, אינה Q-ש ברור

n־יות 6.5

7.Nn הוא שתחומה לפונקציה נקרא סדורה, n־יה או n־יה בשם הגדרה:

.a (0) , a (1) , ..., a (n− 1) לערכים ה-n־יה רכיבי בשם נקרא ,a n־יה עבור.a0, a1, ..., an−1 גם אותם נסמן

.A איברי של n־יה נקראת ,A של איברים הם שלה הרכיבים שכל n־יה

איבריה. של ה־n־יות קבוצת את An-ב נסמן A לקבוצה

הערות:

y-ו x הם שרכיביה ה-2־יה כי הסדור, הזוג למושג זהה אינו ה-2־יה מושג .1.〈x, y〉 הוא רכיבים אותם עם הסדור והזוג {〈0, x〉 , 〈1, y〉} היא

לשמש יכולה היא ולכן הסדור הזוג תכונת אחר ממלאת ה-2־יה זאת עםלבין 〈x, y〉 הסדור הזוג בין נבחין לא ואילך ומכאן הסדור, הזוג במקום

.{〈0, x〉 , 〈1, y〉} ה-2־יההריקה. הקבוצה והיא ,〈〉 אחת 0־יה בדיוק שישנה לב נשים .2

שמדובר למרות ,〈x〉 ה-1־יה לבין x העצם בין נבחין לא רבות פעמים .3שונים. בעצמים

המתאים. n-ה הוא הסדרה אורך כלשהו. n ∈ N עבור n־יה היא סופית סדרה הגדרה:

.A איברי הם רכיביה שכל סופית סדרה היא A איברי של סופית סדרה

.F (〈a0, ..., an−1〉) עבור F (a0, ..., an−1) נסמן 〈a0, ..., an−1〉 ו-n־יה F פונקציה לכל הגדרה:

.A איברי של הסופיות הסדרות כל מחלקת את A∗-ב נסמן הגדרה:

.Nn =: {0, 1, ..., n− 1} 7נזכיר:

27

.An ≈ Bn מתקיים n ∈ N לכל אז A ≈ B אם למה:

להיות: G : An → Bn פונקציה נגדיר ועל. חח"ע פונקציה F : A→ B תהי הוכחה:

G (〈a0, ..., an−1〉) = 〈F (a0) , ..., F (an−1)〉

� ועל. חח"ע פונקציה שזו מיד ניכר

חיובי. טבעי n לכל בת־מניה An אז בת־מניה, A אם משפט:

נגדיר ועל. חח"ע פונקציה F : N × N → N תהי .N-ב נדון הפשטות לצורך הוכחה:להיות: Fn : Nn → N פונקציה ברקורסיה

F1 (〈k〉) = k

Fn+1 (a0, ..., an) = F (Fn (a0, ..., an−1) , an)

� ועל. חח"ע פונקציה שזו באינדוקציה להוכיח ניתן

בת־מניה. A∗ אז בת־מניה, A אם משפט:

בת־מניה קבוצה של איחוד שכן מה-0־יה, נתעלם .N-ב נדון הפשטות לצורך הוכחה:בת־מניה. קבוצה היא אחד, איבר עם

סופית N∗ כי קודמת טענה לפי ינבע ומכך F ∗ : N∗ → N חח"ע העתקה נגדירבת־מניה. תהיה היא ולכן סופית אינה N∗ כי ברור בת־מניה. או

מה-0־יה). (מתעלמים כלשהו 1 ≤ n עבור N איבר של n־יה הוא a ∈ N∗ כלעבורו: נגדיר

F ∗ (a) = F (n− 1, Fn (a))

,F ∗ ∈ N כי לב נשים האחרונה. בהוכחה שהגדרנו הפונקציות הן F, Fn כאשר� חח"ע. F ∗ גם כי נובע חח"ע F, Fn-ש ומכך

.A∗ ≈ B∗ אז A ≈ B אם טענה:

בת־מניה. A∗ אז בת־מניה A שאם מכאן

האלגבריים המספרים קבוצת עוצמת 6.6

מניה. בת היא האלגבריים המספרים קבוצת

28

n > 0 ממעלה שלמים מקדמים עם p פולינום של שורש הוא אלגברי מספר הוכחה:.mp-ב מספרם את נסמן שורשים, n היותר לכל יש p-ל כלשהי.

שלהם, הממשי הרכיב של הסדר לפי (למשל, כלשהו שיטתי בסדר אותם נסדרהפונקציה fp ותהי הדמיוני) הרכיב לפי נסדר ממשי רכיב אותו עם השורשים ואתהסדר לפי p שורשי קבוצת על {0, . . . ,mp − 1} המספרים קבוצת את המעתיקה

שלהם.

מספרים של מ-1 גדול באורך סדרה היא a-ש היכן 〈a, k〉 הזוגות קבוצת W תהישל השורשים ממספר קטן טבעי מספר k-ו 0 אינו הראשון שרכיבה שלמים,

.a היא מקדמיו שסדרת הפולינום

הוא F (a, k) כי מתקיים 〈a, k〉 ∈ W ושלכל W שתחומה הפונקציה F תהי.F (a, k) = fp (k) כלומר .a היא מקדמיו שסידרת p הפולינום של ה-k־י השורש

W ⊆ האלגבריים. המספרים קבוצת על W של העתקה היא F כי לב נשיםZ∗ × N השלמים. המספרים של הסדרות כל קבוצת היא Z∗-ש היכן ,Z∗ × N

קודמות. טענות לפי מניה, בת היא

קבוצת קודמת טענה לפי מניה. בת היא W ולכן סופית אינה W ש- ברורהיא כי סופית אינה היא אולם מניה, בת או סופית היא האלגבריים המספרים

� .N את מקיפה

הדיון והרחבת סיכום 7

אם כלומר כלשהו, n טבעי למספר איברים n בת היא אם סופית היא שקבוצה הגדרנופשוטה אפשרות גם ישנה .nמ־ הקטנים הטבעיים המספרים לקבוצת עוצמה שוות היאכיצד עתה ונראה הטבעי, המספר במושג תלות ללא הסופית הקבוצה מושג להגדרת

זאת. לעשות

ע"י הריקה הקבוצה מן מתקבלת היא אם סופית היא A שקבוצה להגדיר היא מטרתנואת מתמטי באופן לנסח איך היא הבעיה הוספות). 0 (כולל פעם כל איבר הוספת

פעם". כל איבר הוספת ע"י הריקה הקבוצה מן "מתקבלת האינטואיטיבית התכונה

אינדוקטיבית קבוצה היא B-ש נאמר .A-ל חלקיות קבוצות של כלשהי קבוצה B תהיP ∪{x} גם ,A של x איבר ולכל B-ב P קבוצה ולכל ,B-ב נמצאת הריקה הקבוצה אם

.Bב־ נמצאת

שאליהן הקבוצות כל את כמובן, מכילה, A-ל חלקיות קבוצות של B אינדוקטיבית קבוצהעצמה A-ל אם לכן פעם. כל A של איבר הוספת ע"י הריקה הקבוצה מן להגיע ניתן

.Bב־ נמצאת עצמה A גם אז פעם, כל איבר הוספת ע"י להגיע אפשר

הקבוצה מן להגיע ניתן אליהן A-ל החלקיות הקבוצות קבוצת את C-ב נסמן שני, מצדאינה A ואם אינדוקטיבית, היא עצמה C-ש ברור פעם. כל איבר הוספת ע"י הריקה

29

A-ש קיבלנו כך .Cב־ אינה A אז פעם כל איבר הוספת ע"י הריקה הקבוצה מן מתקבלתקבוצה בכל נמצאת A אמ"מ פעם כל איבר הוספת ע"י הריקה הקבוצה מן מתקבלת

.A-ל חלקיות קבוצות של אינדוקטיבית

תכונה היא לה חלקיות קבוצות של אינדוקטיבית קבוצה בכל נמצאת A-ש התכונההסופיות. להגדרת בה ונשתמש היטב, מנוסחת מתמטית

חלקיות קבוצות של קבוצה היא אם A-ב אינדוקטיבית קבוצה נקראת B קבוצה הגדרה:.Bב־ נמצאת P ∪ {x} x ∈ A-ו P ∈ B קבוצה ולכל ,∅ ∈ B-ש כך ,A-ל

.A-ב אינדוקטיבית קבוצה בכל נמצאת היא אם סופית נקראת A קבוצה

הטבעיים המספרים של החסומות הקבוצות כל קבוצת סופית: שאינה לקבוצה דוגמה.N את מכילה אינה היא אבל , הטבעיים המספרים בקבוצת אינדוקטיבית היא

משפט:

סופית. היא ∅ הריקה הקבוצה .1

סופית. A ∪ {y} גם אז כלשהו, עצם y-ו סופית A הקבוצה אם .2של הקבוצה את C-ב נסמן .A∪{y}-ב אינדוקטיבית קבוצה B תהי [רמז:ולכן A-ב אינדוקטיבית C מתקיים .Aל־ חלקיות שהן B-ב קבוצות אותן

[.A ∈ C ⊆ B

סופיות לקבוצות האינדוקציה עקרון

A קבוצה ולכל ,Φ התכונה בעלת היא ∅ אם כלומר אינדוקטיבית, תכונה היא Φ אםכל אז ,Φ התכונה בעלת היא A∪ {x} גם אז Φ התכונה בעלת היא A אם x עצם ולכל

.Φ התכונה בעלת היא סופית קבוצה

היא Φ התכונה בעלות שהן A-ל החלקיות הקבוצות כל קבוצת A קבוצה לכל [רמז:[.A-ב אינדוקטיבית קבוצה

באמצעות לעיל שהוגדר הסופיות למושג זהה כאן שהוגדר הסופיות מושג כי נוכיח כעתהטבעיים. המספרים

עבור איברים n בת קבוצה היא כאן שהוגדר כפי סופית, קבוצה כל כי נראה ראשית,טבעי מספר עבור איברים n בת קבוצה להיות שהתכונה שנראה ע"י כלשהו, טבעי מספר

אינדוקטיבית. תכונה היא כלשהו n

טבעי למספר איברים, n בת היא A קבוצה אם איברים. 0 בת היא ∅ הריקה הקבוצהאיברים. n+ 1 בת היא A ∪ {x} אז n

ונעשה כאן, ההגדרה לפי סופית היא איברים n בת קבוצה כל כי נראה ההפוך, בכוון.n על באינדוקציה זאת

30

x ויהי איברים, n+ 1 בת קבוצה A תהי סופית. היא ולכן ∅ היא איברים 0 בת קבוצההנחת לפי סופית היא ולכן איברים n בת קבוצה היא A ∪ {x} אז .A של כלשהו איבר

האינדוקציה.

סופית. A = (A \ {x}) ∪ {x} גם דלעיל המשפט של ב' חלק לפי

סופית, היא סופית קבוצה של חלקית קבוצה שכל כאן הדיון של בשיטות להוכיח תרגיל:באינדוקציה. והשניה הסופיות בהגדרת ישיר שימוש ע"י היא האחת דרכים: בשתי

אינסופיות קבוצות של תכונה

ממש חלקית לקבוצה ערכית חד־חד העתקה ישנה A לקבוצה שאם נובע קודמת מטענהאינסופית. היא A אז שלה,

שלה? חלקית תת־קבוצה על ערכית חד־חד העתקה קיימת A אינסופית קבוצה לכל האםהמשפט זהו לומר כבר יכולים שאנו ומה זאת, שאלה על לענות יכולים איננו זה בשלב

הבא.

יש אמ"מ שלה ממש חלקית קבוצה על ערכית חד־חד העתקה Aישנה לקבוצה משפט:מניה. בת קבוצה תת A-ל

יהי שלה. ממש חלקית קבוצה על A של ערכית חד־חד העתקה F תהי [רמז:להיות אותה נגדיר n ולכל ,w0 = w ברקורסיה נגדיר .w ∈ A \ RangeF

.wn+1 = F (wn)

31

IV חלק

קבוצות השוואת

בנות הקבוצות מן בעוצמתן יותר גדולות שהן אינסופיות קבוצות נראה זה בפרק •הממשיים, המספרים קבוצת היא אלו קבוצות מבין ביותר הפופולרית המנייה.

זאת. בקבוצה בהתבוננות ונתחיל

הממשיים המספרים עוצמת 8

לזו. זו עוצמה שוות ממשיים מספרים של הבאות הקבוצות משפט:

.R הממשיים המספרים קבוצת .1

מהצורה: הפתוחים הקטעים כל .2

(a, b) =: {x ∈ R | a < x < b}

מהצורה: הפתוחות הקרניים כל .3

(a,∞) =: {x ∈ R | a < x}

(−∞, a) =: {x ∈ R | x < a}

.

מהצורה: הסגורים הקטעים כל .4

[a, b] =: {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}

ממש. a < b כאשר

מהצורה: הסגורות הקרניים כל .5

[a,∞) =: {x ∈ R | a ≤ x}

(−∞, a] =: {x ∈ R | x ≤ a}

.

32

מהצורה: החצי־פתוחים הקטעים כל .6

[a, b) =: {x ∈ R | a ≤ x < b}

(a, b] =: {x ∈ R | a < x ≤ b}

הללו. העוצמות משוויונות חלק נוכיח הוכחה:

על (a, b) את מעתיקה (a, b)-ל המוגבלת f (x) = c + x−ab−a (d− c) הפונקציה

לזה. זה שווי־עוצמה 2 של מהצורה הקטעים כל לכן .(c, d)

.(0,∞) הקרן על (0, 1) את מעתיקה (0, ל-(1 מוגבלת g (x) = 1x − 1 הפונקציה

ל-3. שוות־עוצמה 2 לכן

.R על (−1, 1) את המעתיקה פונקציה הנ"ל g-ל הדומות פונקציות משתי נבנהל-1. עוצמה שוות 2 לכן

:(−1, 1) על [−1, 1] את מעתיקה [−1, 1] שתחומה הבאה, h הפונקציה

h (x) =

{x2 |x| ∈ {2−n|n ∈ N}x otherwise

� ל-4. שוות־עוצמה 2 לכן

בת־מניה. אינה R הממשיים המספרים קבוצת משפט:

מניה. בת קבוצה אינו (0, 1) שהקטע להוכיח שמספיק נובע הקודם מהמשפט הוכחה:

בכך זאת נעשה .(0, 1) על איננה F : N → (0, 1) העתקה שכל נוכיח לשם־כך.F בטווח שאינו כלשהו, 0 < b < 1 ממשי מספר כזאת F העתקה לכל שנבנה

של ההצגה 0.an,0an,1... תהי n לכל כנ"ל. העתקה F : N → (0, 1) תהיאינסופי. עשרוני כשבר F (n) ∈ (0, 1)

שהוא שנבטיח כך 0.b1b2... העשרונית הצגה באמצעות b ∈ (0, 1) מספר נבנההבא: באופן זאת נעשה .F (0) , F (1) , ... המספרים מכל שונה יהיה

מן שונה תהיה שהיא כך bn הסיפרה את נבחר F (n)-מ שונה יהיה b-ש כדי.F (n) בהצגת מקום באותו הנמצאת an,n הסיפרה

ההצגה כך .an,n−1 או an,n+1 שהיא ל-8 1 בין כסיפרה נבחר bn הסיפרה את.F (0) , F (1) , . . . של העשרוניות ההצגות מכל שונה b של העשרונית

33

שנתון נניח .b של העשרוני בייצוג הספרות בחירת את ממחישה הבאה הטבלההבא: באופן הפונקציה טווח כל

F (0) = 0. a0,0 a0,1 a0,2 a0,3 a0,4 . . .F (1) = 0. a1,0 a1,1 a1,2 a1,3 a1,4 . . .F (2) = 0. a2,0 a2,1 a2,2 a2,3 a2,4 . . .F (3) = 0. a3,0 a3,1 a3,2 a3,3 a3,4 . . .F (4) = 0. a4,0 a4,1 a4,2 a4,3 a4,4 . . .

......

......

......

.... . .

לכל bn 6= ann מתקיים b = 0.b0b1b2... שלו העשרוני שבייצוג המספר יהיה bבייצוג מלהופיע נפסלות המרכזי באלכסון שמופיעות הספרות כלומר טבעי. n

.b של העשרוני

b-ול 0 < b < 1 מקיים b-ש הרי ,b של בהצגה מופיעות אינן 0, 9 שהספרות מכיווןכשבר הצגות שתי להם שיש (למספרים אינסופי עשרוני כשבר יחידה הצגה ישנהואילך, מסויים ממקום מקום בכל 9 הסיפרה אחת בהצגה מופיעה אינסופי עשרונייש F (n)-ול b-של המצב לכן ואילך). מסויים ממקום 0 הסיפרה מופיעה ובשניה

� .n ∈ N לכל b 6= F (n)-ש מבטיח n-ל המתאים במקום שונות ספרות

לאורך הולכים שאנו ע"י b את בונים אנו כי האלכסון שיטת נקראת b של הבניה שיטתעובר שהאלכסון הסיפרה מן השונה סיפרה מקום בכל ובוחרים שלעיל בהצגה האלכסון

דרכה.

בנות הקבוצות מן בעוצמתה גדולה הממשיים המספרים שקבוצת עתה זה ראינו •.A-מ בעוצמתה הגדולה קבוצה A קבוצה מכל לקבל דרך עתה נראה המניה.

קבוצות השוואת 9

קבוצות. A,B יהיו הגדרות:

אומרים זה במקרה ערכית. חד־חד F : A→ B קיימת אם A � B נסמן .1.A-מ בעוצמתה שווה או גדולה B-וש ,B-מ בעוצמתה שווה או קטנה A-ש

קטנה A-ש אומרים זה במקרה .A 6≈ B וגם A � B אם A ≺ B נסמן .2.A-מ בעוצמתה גדולה B-וש ,B-מ בעוצמתה

.N ≺ R אז ,N 6≈ R וגם N ⊆ R-ש מכיוון הערה:

טענה:

34

.A ≈ C-ש כך C ⊆ B ישנה אמ"מ A � B .1

הקבוצה כי מתקיים חח"ע. F : A → B יש אז A � B אם [הוכחה:.A ≈ range (G) מקיימת Range (F ) ⊆ B

ובפרט ועל, חח"ע F : A → C קיימת אז ,A ≈ C-ש כך C ⊆ B יש אםחח"ע.] F : A→ B

תמיד ולכן למשל), הזהות, פונקציית (על־ידי A � B אז A ⊆ B אם .2רפלקסיבי. � שהיחס מכאן .A � A

אי־רפלקסיבי. ≺ שהיחס מכאן .A 6≺ A תמיד ולכן ,A 6≺ B אז A ≈ B אם .3

.A � C אז B � C-ו A � B אם טרנזיטיבי: הוא � היחס .4

חח"ע.] פונקציה נותנת חח"ע פונקציות הרכבת [כי

אז A ≺ B ואם ,A′ � B′ אז A � B אם .B′ ≈ B-ו A′ ≈ A כי נניח .5.A′ ≺ B′

טענה:

סופית. A גם אז ,A � B-ו סופית B אם .1

[.A ≈ C-ש כך C ⊆ B קיימת אמ"מ A � B כי שהראינו מה [לפי

אינסופית. B גם אז A � B-ו אינסופית A אם .2

.m ≤ n אמ"מ Nm � Nn מתקיים m,n ∈ N לכל .3

.Nn ≺ N מתקיים n ∈ N לכל .4

הקבוצות כל את המכילה קבוצה קיימת A קבוצה לכל החזקה: קבוצת אקסיומתקבוצה). היא A-ל החלקיות הקבוצות מחלקת אחרות: (במילים A-ל החלקיות

מאוחר (נראה A של החזקה קבוצת נקראת A-ל החלקיות הקבוצות כל קבוצת הגדרה:.P (A)-ב אותה מסמנים ואנו זה) שם בא מהיכן יותר

היא .(2) הבסיסיות הקיום אקסיומות לקבוצת שייכת החזקה קבוצת אקסיומת הערה:לומר אפשר מסויים במובן כי הגודל, הגבלת דוקטרינת של המטריה תחת נכנסת

.A-ל בהשוואה "מדי" גדולה אינה P (A) שהקבוצהלהבין וכדי זאת, דוקטרינה של בגבול מתחככים אנחנו שכאן לב לשים כדאי זאת עםn בת סופית קבוצה A אם כי להוכיח קל הסופיות. בקבוצות להתבונן לנו די זה את

איברים. 2n בת קבוצה היא P (A) אז איבריםמשחק ממציא כאשר הפרסי השח נוכח ,n-מ גדול יותר הרבה הוא 2n-ש בעובדהגרגיר השחמט לוח של הראשונה במשבצת לשים המצאתו, כשכר ממנו, ביקש השחמטבמשבצת הגרגירים ממספר כפול במספר גרגירים שאחריה משבצת ובכל אחד, חיטה

שלפניה.

35

קנטור משפט 9.1

ממש. A ≺ P (A) מתקיים A קבוצה לכל

היא G (x) = {x} על־ידי המוגדרת G : A → P (A) הפונקציה כי ברור הוכחה:כנ"ל העתקה קיימת שלא נראה .P (A) לתוך A של ערכית חד־חד העתקה

.P (A) על שתהיה

אינה R הממשיים המספרים שקבוצת להוכחה ששימשה הלכסון בטכניקה כמואיבר F : A → P (A) העתקה מכל היוצרת פעולה על נצביע כאן גם בת־מניה,

.F בטווח שאינו u ∈ P (A)

B =: {x ∈ A | x /∈ F (x)} ∈ להיות A של תת־קבוצה נגדיר ,F : A→ P (A) בהינתן.P (A) על אינה F ולכן B /∈ Range (F ) כי נוכיח .P (A)

.w ∈ F (w) האם נבדוק .B = F (w)-ש כך w ∈ A קיים כי בשלילה נניח

.w /∈ F (w) ולכן ,w /∈ B = F (w) מתקיים B הגדרת לפי אז ,w ∈ F (w) אם

.w ∈ F (w) ולכן ,w ∈ B = F (w) מתקיים B הגדרת לפי אז w /∈ F (w) אם

� סתירה. וזו ,w /∈ F (w) אמ"מ w ∈ F (w) כי קיבלנו

מתקיים: טבעי m לכל מסקנה:

N ≺ P (N) ≺ P 2 (N) ≺ ... ≺ pm (N) ≺ ... ≺⋃k∈N

P k (N)

קנטור־ברנשטיין משפט 9.2

קטנה A-ש אומרים A ≺ B שאם אמרנו ולעיל קבוצות, בהשוואת עתה עוסקים אנוB ≺ A גם זמן שבאותו יתכן האם היא שלפנינו המשפט עוסק בה השאלה .B-משאנו מה איננו כמובן זה .Aמ־ קטנה B וגם B-מ קטנה A גם כלומר ,A ≺ B וגם

אפשרי. אינו זה שמצב לנו מבטיח הבא המשפט "השוואה". במונח לו מתכוונים

.A ≈ B אז ,B � A וגם A � B אם משפט:

המתואר מצב ערכיות. חד־חד פונקציות G : B → A-ו F : A → B תהיינה הוכחה:הבא: בציור

36

ולכן: ערכית, חד־חד GF שלהן ההרכבה גם ערכיות, חד־חד G-ו F ש- מכיוון

A ≈ Range (F ) ≈ Range (GF ) = G [Range (F )]

G [Range (F )] ⊆ Range (G) ⊆ מתקיים אז Range (F ) ⊆ B-ש מכיוון כי לב נשים כמו־כן.A

G [Range (F )] הקיצוניות הקבוצות זאת, בשלשה כי נובע אלה תובנות משתי כי לב נשיםשוות־עוצמה. A-ו

(A-ל (ובפרט אלו קבוצות לשתי שוות־עוצמה Range (G) הביניים שקבוצת נוכיח אם� .A ≈ B כי להסיק ונוכל ערכית) חד־חד G (כי Range (G) ≈ B כי נסיים,

הבא. במשפט כללי באופן זו טענה נוכיח

הסנדוויץ' למת 9.3

.B ≈ A גם אז ,C ≈ A וכן C ⊆ B ⊆ A-ש כך קבוצות A,B,C תהיינה

עתה נגדיר ועל. ערכית חד־חד העתקה F : A → C ⊆ B תהי ראשונה: הוכחהועל. ערכית חד־חד G : A→ B העתקה

תחומה את ונגדיל ,�B: B → B הזהות מפונקצית שנצא הוא G בניית של הרעיון.B הטווח את לשנות מבלי לתחום A \B הקבוצה הוספת ע"י A-ל

משוכן x ∈ B דייר כל כלומר בחדרו. גר דייר כל בו מלון כעל B על נתבונןהזהות). (פונקציית x בחדר

האלו האורחים למען .P0-ב שנסמנה A \B האורחים קבוצת למלון מגיעה כעתלפי במלון האורחים את ומשכנים צריך, אם מחדריהם דיירים להוציא מוכנים אנו

.F (x)-ה במקום משוכן x ∈ A\B חדש אורח כל כלומר .F הפונקציה

37

ונסמנה ,F [A \B] = F [P0] היא אלו אורחים נכנסו שאליהם החדרים קבוצת.P1-ב

F בפונקציה נשתמש ולכן מחסה, ללא נשארו אלו בחדרים קודם שהיו הדיירים.P2-ב שנסמנה F [P1] החדרים לקבוצת יעברו והם לשכנם כדי

.Pn+1 = F [Pn] מגדירים n טבעי מספר לכל וכך

.Pn+1-ב כולם שוכנו Pn של הקודמים הדיירים ,n לכל כי מקום נמצא דייר לכל

בקבוצה x ודייר אורח כל כך .Pn הקבוצות כל של האיחוד שהיא הקבוצה P תהיהמבוקשת G הפונקציה במקומם. נשארו הדיירים יתר וכל ,F (x) בחדר שוכן P

הבא: בשרטוט מתוארת

שתיארנו. ההתאמה את פורמלי באופן נבטא

רקורסיבי: באופן מגדירים ועל. חח"ע F : A→ C שקיימת נתון

P0 = A\B Pn+1 = F [Pn] P =⋃j∈N

Pj

להיות: המוגדרת G : A→ B מהצורה ההתאמה את מייצרים

G (x) =

{x x ∈ A\P

F (x) x ∈ P

.B ועל חח"ע G כי להוכיח נותר

38

.x 6= y ,x, y ∈ A יהיו ערכית: חד־חד G כי נוכיח •חד־חד F כי G (x) = F (x) 6= F (y) = G (y) אז x, y ∈ P אם -

ערכית.

.G (x) = x 6= y = G (y) אז x, y ∈ A \ P אם -

G (x) = F (x) ∈ P אז ,y ∈ A \P ו- x ∈ P הכלליות, הגבלת ללא אם, -.G (x) 6= G (y) ולכן ,G (y) = y ∈ A \ P ו-

.y ∈ B ⊆ A יהי :B על G כי נוכיח •כי ומכאן כלשהו, 0 < n עבור y ∈ Pn = F [Pn−1] אז y ∈ P אם -

.y = G (x) ולכן על, F כי מסויים x ∈ Pn−1 עבור y = F (x)

� .y = G (y) ומתקיים y ∈ A \ P אז y /∈ P אם -

במספרים משתמשת אינה היא אבל הראשונה להוכחה דומה זאת הוכחה שנייה: הוכחההטבעיים.

סגורה והיא ,A\B את מקיפה הראשונה בהוכחה שהוגדרה P שהקבוצה לב נשים.F (x) ∈ P גם אז x ∈ P אם כלומר .F תחת

כל את מקיפה F תחת וסגורה A\B את המקיפה Q ⊆ A קבוצה כל כי גם ברורכקבוצה P את ישירות נגדיר הנוכחית בהוכחה לכן .P את גם ולכן ה-‘Pn־ים,

.F תחת והסגורה A \B את המקיפה ה"מזערית" A-ל החלקית

.F תחת והסגורות Q ⊇ A \ B המקיימות Q הקבוצות כל קבוצת W תהי.A ∈W כי ריקה אינה W כי מתקיים

כמו G את נגדיר .F תחת סגורה P וכי P ⊇ A \B כי ברור .P =⋂W תהי

הראשונה. בהגדרה

בהוכחה שנעשה ממה שונה B על A של ערכית חד־חד העתקה היא G-ש ההוכחההבא: בפרט רק הראשונה

נניח מסויים. x ∈ P עבור y = F (x)-ש להראות ועלינו y ∈ P ו- y ∈ B יהיבסתירה ,F תחת סגורה והיא A \B את מקיפה P \ {y} הקבוצה גם ואז שלא

� .P את מקיפה אלו תכונות בעלת קבוצה שכל לכך

.A ≺ C אז ,A ≺ B � C או A � B ≺ C אם מסקנה:

קנטור־ברנשטיין משפט ולפי A � B ≺ C ≈ A כי נקבל .A ≈ C בשלילה נניח הוכחה:� לנתון. סתירה וזו ,B ≈ A ≈ C מתקיים

AB הקבוצה 9.4

.B-ל A-מ הפונקציות כל קבוצת את AB ב־ נסמן הגדרה:

תרגיל:

39

.P (A) ≈ P (B) אז A ≈ B אם .P (A) � P (B) אז A � B אם .1

אז B ≈ D-ו A ≈ C אם .AB �C D אז B � D-ו A � C אם .2.AB ≈C D

†B : A→ מהצורה פונקציה היא ,A-ל ביחס B ⊆ A של האופיינית הפונקציה הגדרה:להיות: המוגדרת כלשהם, T, F שונים עצמים שני עבור {T, F}

†B (x) =

{T x ∈ BF x /∈ B

.P (A) ≈ A {T, F} מתקיים T, F שונים עצמים שני ולכל A קבוצה לכל משפט:

.†B האופיינית הפונקציה נתונה B ∈ P (A) כל עבור הוכחה:

היא כי ונראה ,H (B) = †B להיות H : P (A) → A {T, F} פונקציה נגדיר.A {T, F} על P (A) של ערכית חד־חד העתקה

.y ∈ B \C הכלליות הגבלת ללא קיים ,B 6= C כאשר B,C ⊆ A לכל חח"ע: H.H (B) = †B 6= †C = H (C) ולכן †B (y) = T 6= F = †C (y) מתקיים לכן

.B = {x ∈ A | g (x) = T} ⊆ A נגדיר g ∈ A {T, F} תהי :A {T, F} על Hואם ,†B (x) = T = g (x) ולכן ,x ∈ B אז g (x) = T אם ,x ∈ A כל עבור

.†B (x) = F = g (x) ולכן x 6∈ B אז g (x) = F

� .H של בטווח g כלומר ,g = †B = H (B) כי נסיק מכאן

R ≈ P (N) משפט:

קנטור־ברנשטיין. במשפט נשתמש הוכחה:

הרציונליים. קבוצת היא Q כאשר R � P (Q) כי נוכיח :R � P (N) הכיוון •גורר הנ"ל העוצמות שוויון כי להוכיח כתרגיל ניתן וכן ,N ≈ Q כי הוכחנו

תספיק. הנ"ל הטענה ולכן ,P (Q) ≈ P (N)

.F (x) = {r ∈ Q | r < x} ∈ P (Q) על־ידי F : R → P (Q) נגדירערכית, חד־חד היא F רציונלי, מספר יש שונים ממשיים שני כל שבין מכיוון

.R � P (Q) ≈ P (N) נקבל ולכן

.1, ..., 8 הספרות מבין שונות ספרות שתי k, l תהיינה :P (N) � R הכיוון •N {k, l} � להוכיח די ולכן P (Q) ≈ Q {k, l} ≈ N {k, l} קודמת טענה לפי

.Rפונקציה כל התאמת באמצעות G : N {k, l} → [0, 1] ≈ R פונקציה נגדיר.0.g (0) g (1) g (2) ... על־ידי עשרונית שמיוצג הממשי למספר g ∈ N {k, l}

40

למקרה פרט יחידה, היא אינסופי עשרוני כשבר ממשי מספר שהצגת לב נשיםואילך מסויים ממקום 0 מופיע באחת כאלו: הצגות שתי ממשי למספר יש בו{k, l} 6= {0, 9} בחרנו שכאן מכיוון ואילך. מסויים ממקום 9 מופיע ובשניה

� חח"ע. G ולכן ,G ערכי עבור לקרות יכול לא זה

הדיון והרחבת סיכום 10

נעשה לא אמנם קבוצות. הן שאלו באמירה והסתפקנו קבוצות הרבה בדי כה עד עסקנוקבוצות. באמת הן שאלו מוכיחים כיצד לראות כדאי אבל סלולה, בדרך והלכנו נזק

החזקה קבוצת באקסיומת א' בפרק שראינו האקסיומות על בנוסף נשתמש, כך לשםהבאה: האקסיומות ובקבוצת

קבוצה. RangeF גם אז קבוצה DomF אם פונקציה. F תהי ההחלפה: אקסיומת

לכל נפרדת אקסיומה כאן ישנה כי אחת, אקסיומה על ולא אקסיומות על כאן מדובר.{x | Φ (x)}-כ הנתונה F מחלקה

המחלקה אינטואיטיבית, כי הגודל הגבלת דוקטרינת את לגמרי תואמות אלו אקסיומות.DomF מ־ יותר גדולה איננה RangeF

מקבוצה יוצאים אנחנו שאם אומרות הן כי ההחלפה אקסיומות נקראות אלו אקסיומותהמחלקה F (x) בעצם שלה x איבר כל ומחליפים ,F פונקציה של התחום שהיא ,A

קבוצה. היא המתקבלת RangeF

את שהגדרנו נזכור החזקה. קבוצת אקסיומת בעזרת להוכיח יכולים אנו מה נראה תחילה,A×A המחלקה אז קבוצה היא A אם לכן ,{{u} , {u, v}} כקבוצה 〈u, v〉 הסדור הזוגולכן, ,P (P (A))-ל חלקית מחלקה היא ,A איברי של הסדורים הזוגות כל מחלקת שהיא

קבוצה. היא ההפרדה, אקסיומת לפי

חלקית מחלקה הוא ,A ל- חלקיים שלו והטווח שהתחום R יחס כלומר ,A על R יחס כלקבוצה, A∪B גם אז קבוצות הן B-ו A אם כי הוכחנו קבוצה. הוא גם ולכן A×A-ל

קבוצה. היא (A ∪B)× (A ∪B)-ל החלקית A×B גם ולכןAB המחלקה קבוצה. היא ולכן ,A × B-ל חלקית קבוצה היא B-ל A-מ פונקציה כל

קבוצה. והיא P (A×B)-ל חלקית לכן היא לעיל המוגדרת

הקבוצות, בתורת והממשיים הרציונליים השלמים, המספרים של המקובלות בהגדרותקבוצות כי החזקה, קבוצת ובאקסיומת א' פרק של באקסיומות שימוש ע"י להוכיח, אפשר

קבוצות. אמנם הן אלו

דעת בקלות שהשתמשנו הוא הראשון חסרונות. שני ישנם כה עד כאן שעשינו למהצמחוניות. די מסקנות לקבלת הדין, יום נשק שהיא החזקה, קבוצת באקסיומת

41

כבר השונים. המושגים את הגדרנו בה הדרך על צורך ללא שהסתמכנו השני החסרוןלהגדיר שאפשר למרות ,{{u} , {u, v}}-כ הוגדר שהוא בכך השתמשנו הסדור הזוג עבור

הסדור. הזוג תכונת את שתקיים דרך בכל גם זה מושג

להסתמך צריכים היינו בוודאי והממשיים הרציונליים השלמים, המספרים של לקבוצותהקבוצות. בתורת שלהם מסויימות הגדרות על

ההגדרות על להסתמך מבלי לעיל שעשינו מה כל את לעשות אפשר כיצד עתה נסקורההחלפה, באקסומות שימוש תוך השונות, המספרים וקבוצות הסדור הזוג של המסויימות

חיוני. שהדבר היכן רק החזקה קבוצת באקסיומת ושימוש

Fy (x) = 〈x, y〉 ע"י המוגדרת A על הפונקציה Fy תהי .y ∈ A ויהי קבוצה, A תהי.x ∈ A לכל

קבוצה. היא Ay = {〈x, y〉 | x ∈ A} = RangeFy המחלקה ההחלפה אקסיומת לפי

ההחלפה אקסיומת לפי .G (y) = Ay על־ידי המוגדרת A על הפונקציה G תהיA × B ⊆ גם לכן קבוצה. היא A × A =

⋃RangeG ולכן קבוצה, היא RangeG

קבוצה. היא (A ∪B)× (A ∪B)

המספרים מחלקת היא ,n ∈ N לכל F (n) = −n ע"י הנתונה N על F הפונקציה טווחשהוא ,N עם שלה והאיחוד קבוצה, היא ההחלפה אקסיומת לפי ולכן האי־חיוביים,

קבוצה. הוא השלמים, המספרים מחלקת

n ∈ N שלכל תחילה מראים קבוצה, היא הרציונליים המספרים שמחלקת לקבל כדיהיא ,n הוא המצומצמת בהצגה שלהם שהמכנה הרציונליים המספרים של Qn המחלקהולכן ,Q =

⋃{Qn | n ∈ N} היא הרציונליים המספרים שמחלקת מראים אז קבוצה.

קבוצה. היא

קבוצת W ⊆ P (Q) תהי קבוצה. היא P (Q) המחלקה החזקה קבוצת אקסיומת לפיולכל W שתחומה הפונקציה H תהי וחסומות. ריקות לא שהן B ⊆ Q הקבוצותR = RangeH הממשיים המספרים מחלקת לכן .H (B) = supB מתקיים B ∈ W

קבוצה. היא

42

V חלק

העוצמות

חלקי סדר יחס 11

או "קטן של במובן האחד חלקי, סדר יחס של מזה זה שונים מושגים שני עתה נגדירחלקי". "סדר נקרא אלו מושגים ולשני "קטן", של במובן והשני שווה"

שנשתמש פעם ובכל בחברו, אחד מאוד קשורים הללו המושגים שני כי בעיה יוצר לא זהמתכוונים. אנו מושג לאיזה לגמרי ברור יהיה בהם

(במובן חלקי סדר יחס נקרא ,A×A-ל חלקי יחס כלומר ,A מחלקה על ≤ יחס הגדרה:הבאים: התנאים את מקיים הוא אם A על שווה") או "קטן

x ≤ x מתקיים x ∈ A לכל רפלקסיביות: .1

.x = y אז y ≤ x וגם x ≤ y אם x, y ∈ A לכל אנטי־סימטריה: .2

.x ≤ z אז y ≤ z וגם x ≤ y אם x, y, z ∈ A לכל טרנזיטיביות: .3

(במובן חלקי סדר יחס נקרא ,A×A-ל חלקי יחס כלומר A מחלקה על < יחס הגדרה:הבאים: התנאים את מקיים הוא אם A על "קטן")

.x 6< x מתקיים x ∈ A לכל אי־רפלקסיביות: .1

.x < z אז y < z וגם x < y אם x, y, z ∈ A לכל טרנזיטיביות: .2

גם: קיים כי נובע אלו תנאים ומשני

אם [כי .y < x וגם x < y גם שקיים יתכן לא x, y ∈ A לכל א־סימטריה: .3ל-א'.] בסתירה ,x < x ב' לפי אז x < y < x

למה:

אם x < y ע"י המוגדר A על < היחס אז ,A על חלקי סדר יחס ≤ אם .1.A על חלקי סדר יחס הוא x 6= y וגם x ≤ y

אם x ≤ y ע"י המוגדר A על ≤ היחס אז A על חלקי סדר יחס < אם .2.A על חלקי סדר יחס הוא x = y או x < y

הטבעיים. המספרים בין "n את מחלק m" היחס קבוצות. בין ⊆ היחס דוגמאות:

43

עוצמה/מונה 12

כבר שעבורן הסופיות לקבוצות רק ולא קבוצה, לכל "מספר" למצוא הוא הבסיסי הרעיוןמספר, אותו יהיה עוצמה שוות קבוצות שלשתי נרצה כמובן טבעיים. מספרים לנו יש

שונים. מספרים להיות צריכים עוצמה שוות שאינן ולקבוצות

ואת ,|A|-ב A של העוצמה לו שנקרא ,A קבוצה של המספר את נסמן :1 אקסיומהנבטא: עתה זה שהזכרנו הדרישות

|A| = |B| ⇐⇒ A ≈ B

.A-ל עוצמה שוות x שהקבוצה התכונה את ΦA (x)-ב נסמן ,A קבוצה בהינתן.{x | x ≈ A} המחלקה כמובן מתאימה זאת לתכונה

היה ולכן לקבוצה נחשבה זו מחלקה ראסל, של האנטינומיה על ידוע שהיה לפניהדרישה את מקיימת בוודאי זאת והגדרה זאת, כקבוצה |A| את להגדיר אפשרהגדרה שלפי יודעים שאנו כעת אולם .1884 בשנת Frege עשה אכן כך שהזכרנו.מטרתנו על עונה אינה היא ממש, מחלקה שזאת להוכיח וקל מחלקה, היא |A| זאת

מתמטי. עצם תהיה קבוצה של שהעוצמה

קבוצה לכל הנותנת לפעולה נתייחס העוצמה. הגדרת על נוותר זה בשלב לכןכאקסיומה. שהזכרנו הדרישה את ונקבע חדש יסודי מושג כאל שלה העוצמה אתלכך פרט ,|A| העצם על דבר יודעים איננו A שלקבוצה הוא דבר של פירושו

זה. בשלב להסתפק ניתן בכך .A של העוצמה שהוא

של עוצמה הוא אם מונה, בקיצור או מונה, מספר או עוצמה נקרא כלשהו עצם הגדרה:עוצמות. יסמנו a, b, c, d, e האותיות בדרך־כלל כלשהי. קבוצה

בעצם לבחור מיוחדת סיבה לנו אין זה שבשלב ,A קבוצה לסתם בניגוד :2 אקסיומהאותנו הביאה היא אבל כזאת סיבה לנו היתה דיוק, (וליתר שלה כעוצמה מסויםמועמד יש ,Nn לקבוצה ובמיוחד סופית, A לקבוצה הרי קבוצה) שאינה למחלקהנוסיף לכן .n המספר והוא א', מכיתה עוד לנו הידוע האיברים למספר מתאים

.|Nn| = n האקסיומה את

ש- הוכחנו כי שהזכרנו, הראשונה האקסיומה עם מתנגשת אינה זו אקסיומה.Nm 66≈ Nn אמ"מ m 6= n

שתי את להוכיח שנוכל כך העוצמה מושג את להגדיר מסויימות, בהנחות נוכל, בהמשךלמשפטים. מאקסיומות ייהפכו כמובן הן ואז שהזכרנו, האקסיומות

משפט:

44

|A| ∈ N אמ"מ סופית A כי מתקיים A קבוצה לכל .1

A = ∅ אמ"מ |A| = 0 כי מתקיים A קבוצה לכל .2

סימון:

|N| = ℵ0 .1

|R| = 2ℵ0 .2

חזקה. ולא בלבד סימון 2ℵ0-ב לראות יש זה בשלב

העוצמות של החלקי הסדר 13

|B| = b ,|A| = a-ש כך A,B קבוצות קיימות אם a ≤ b מתקיים a, b למונים הגדרה:.A � B-ו

.a 6= b וגם a ≤ b אם a < b מתקיים a, b למונים

למה:

העוצמות: של החלקי הסדר להגדרת שקולים איפיונים הם הבאים התנאים ארבעת

שהגדרנו) (במובן a ≤ b .1

A ⊆ B וכן |B| = b ,|A| = a-ש כך A,B קבוצות קיימות .2

|A| = a-ש כך A ⊆ B קבוצה קיימת |B| = b-ש כך B קבוצה לכל .3

A � B מתקיים |B| = b ,|A| = a המקיימות A,B הקבוצות לכל .4

הוכחה:

נבחר חח"ע. f : A → B העתקה וקיימת A,B קבוצות שקיימות נתון (2 ⇐ 1)הנדרש. את ונקבל Range (f) ⊆ B את

|A′| = a, |B′| = b-ש כך A′, B′ שיש נובע 2 מהנחת .|B| = b תהי (3 ⇐ 2).|A| = a המקיימת A ⊆ B שקיימת צ"ל .A′ ⊆ B′ המקיימות

בהעתקה נתבונן ועל. חח"ע g : B′ → B העתקה יש ולכן B′ ≈ B נובע מההנחהומכאן ,A′ ≈ g [A′] ולכן ועל חח"ע שהיא לב ונשים ,g � A′ : A′ → g [A′] ⊆ B

.|A′| = a שכן כנדרש, פונקציה שקיימת

שיש נובע 3 מהנחת .(3 מהנחת (קיימות |A| = a , |B| = b יהיו (4 ⇐ 3)מהנתון אבל ועל. חח"ע h : A→ A′ העתקה יש ולכן ,|A′| = a-ש כך A′ ⊆ B

כנדרש. A � B כי נסיק A′ ⊆ BA,B קיימות שבפרט ברור אז כנ"ל, A,B לכל מתקיים התנאי אם (1 ⇐ 4)

� כנ"ל.

45

שקולים: הבאים התנאים למה:

a < b .1

A ≺ B וכן |B| = b ,|A| = a-ש כך A,B קבוצות קיימות .2

A ≺ B מתקיים |B| = b ,|A| = a המקיימות A,B הקבוצות לכל .3

הקודמת. להוכחה דומה באופן הוכחה:

חלקיים. סדר יחסי הם העוצמות בין ו-> ≤ היחסים משפט:

הוכחה:

.a ≤ a ולכן A � A וכמובן A ≈ A מתקיים |A| = a לכל רפלקסיביות:

כך B � C וגם A � B קיימות אזי .b ≤ c וגם a ≤ b כי נניח טרנזיטיביות:.|A| = a, |B| = b, |C| = c-ש

מטרנזיטיביות .B � C כי נסיק b ≤ c-ש ומכך A � B כי נסיק a ≤ b-ש מכך.a ≤ c ולכן A � C כי נסיק קבוצות על הסדר יחס

כך |A| = a, |B| = b קיימות כלומר .b ≤ a וגם a ≤ b כי נניח אנטיסימטריות:.a = b כי ומכאן ,A ≈ B קנטור־ברנשטיין ממשפט ולכן B � A וגם A � B-ש

�

משפט:

.a ∈ Nn+1-ו סופית עוצמה a גם אז a ≤ n אם סופי, n לכל .1לקבוצה חלקית וקבוצה ,|A| = a-ש כך A ⊆ Nn יש אז a ≤ n אם [כי

סופית.] היא סופית

.n < a מתקיים a אינסופית עוצמה ולכל סופי n לכל .2מתקיים n לכל וכן אינסופית, A-ש כך |A| = a יש אז אינסופית a אם [כי

[.n < a ומכאן Nn � Aסופית. עוצמה a אז a < ℵ0 אם ,a עוצמה לכל .3

[.N ≺ R-ש הוכחנו [כי ℵ0 < 2ℵ0 .4

עוצמות חשבון 14

למה:

נניח .D על B של חח"ע העתקה G-ו C על A של חח"ע העתקה F תהי .1A ∪ B של חח"ע העתקה היא F ∪ G אז ,C ∩D = ו-∅ A ∩ B = ∅ גם

.C ∪D על

.A ∪B ≈ C ∪D אז ,C ∩D = ∅ וכן A ∩B = ∅ ,B ≈ D ,A ≈ C אם .2

46

חיבור 14.1

.a+ b = |A ∪B| נגדיר .A ∩B = ∅ וכן |B| = b ,|A| = a כי נניח הגדרה:

הדברים את להוכיח עלינו היטב מוגדר והוא עוצמות זוג לכל מוגדר שהחיבור לראות כדיהבאים:

A,B קבוצות יש a, b לכל כי לראות עלינו a, b לכל מוגדר יהיה שהחיבור כדי .1בהגדרה. כמו

.|B| = b ,|A| = a-ש כך A,B קבוצות קיימות העוצמה מושג הגדרת לפי אכןעוצמה ושוות זרות שהן {1} × B-וב {0} × A-ב אותן נחליף זרות אינן הן אם

בהתאמה. ,B-ול A-ל

.A,B הקבוצות בבחירת תלוי אינו כאן שהוגדר שהסכום להראות צריך .2

,|B′| = b = |B| ,|A′| = a = |A| כלומר כאלו, קבוצות A′, B′ גם תהיינהשמתקיים נסיק A′ ∩ B′ = ו-∅ A ∩ B = ש-∅ מכיוון .B′ ≈ B ,A′ ≈ A ולכןA′, B′-ב A,B והחלפת ,|A′∪B′| = |A∪B| = a+b ומכאן ,A′∪B′ ≈ A∪B

.a+ b את משנה אינה

משפט:

בסדר.] תלוי אינו קבוצות איחוד [כי a+ b = b+ a החילוף: חוק .1

אסוציאטיבי.] הוא קבוצות איחוד [כי a+(b+c) = (a+b)+c הקיבוץ: חוק .2

[.A ∪ ∅ = A מתקיים A קבוצה לכל [כי a+ 0 = a .3

משפט:

a+ b ≥ a .1

של לסדר השני האיפיון ולפי ,A ⊆ A ∪ B מתקיים זרות A,B עבור [כיהמבוקש.] את נקבל העוצמות

a+ c = b-ש כך c מונה קיים אז a ≤ b אם .2

המקיימות מתאימות קבוצות זוג קיימות העוצמות של לסדר השני האיפיון [לפי[.|A|+ |B \A| = |B| ולכן ,A ⊆ B

c+ a ≤ c+ b אז a ≤ b אם מונוטוניות: .3

c + a ≤ (c + a) + d = נסיק 1 ולפי ,a + d = b-ש כך d קיים 2 [לפי.[c+ (a+ d) = c+ b

משפט:

47

ℵ0 + n = ℵ0 מתקיים n ∈ N לכל .1

[.{m ∈ N|n ≤ m} ∪Nn = N מתקיים [כי

ℵ0 + ℵ0 = ℵ0 .2

[.ℵ0 היא האי־זוגיים עוצמת וגם היא הזוגיים עוצמת גם כי [למשל

משפט:

.a+ n = a מתקיים n ∈ N לכל וכן ,a+ ℵ0 = a אז ℵ0 ≤ a אם .1

ולכן: ,ℵ0 + b = a-ש כך b עוצמה קיימת [כי

a+ℵ0 = (ℵ0 + b)+ℵ0 = ℵ0+(ℵ0 + b) = (ℵ0 + ℵ0)+b = ℵ0+b = a

כנדרש.]

.a+ n = a מתקיים טבעי n לכל אז ℵ0 ≤ a אם .2

[a ≤ a+ n ≤ a+ ℵ0 = a [כי

.a+ b = a אז ,b+ b = b וכן b ≤ a אם .3

[.1 להוכחת דומה [באופן

.n ∈ N לכל ,2ℵ0 + 2ℵ0 = 2ℵ0 + ℵ0 = 2ℵ0 + n = 2ℵ0 משפט:

לכן .2ℵ0 +2ℵ0 ≥ 2ℵ0 +ℵ0 ≥ 2ℵ0 +n ≥ 2ℵ0 האי־שוויון שמתקיים לראות קל הוכחה:ברנשטיין קנטור וממשפט ,2ℵ0 + 2ℵ0 = 2ℵ0 השוויון שמתקיים להראות מספיק

המבוקש. את נקבל

כי נקבל ולכן הממשיים, לכל בעוצמתו שווה ממשי קטע שכל הראינו כזכור� .2ℵ0 + 2ℵ0 = 2ℵ0 כי ומכאן (−∞, 0] ∪ (0,∞) = R

הערות:

מונים של חיסור להגדיר אפשר אי ולכן מונים, בחיבור חילוץ קיים לא .1טבעיים. מספרים של לחיסור הדומה

[.0 6= 1 אולם ℵ0 + 0 = ℵ0 + 1 כי [למשל

קיים. לא החיבור מונוטוניות של ההפוך הכוון .2

[.1 6≤ 0 אולם ,ℵ0 + 1 ≤ ℵ0 + 0 כי [למשל

החיבור. של החזקה המונוטוניות קיימת לא .3

[.ℵ0 + 0 = ℵ0 + 1 בעוד 0 < 1 כי [למשל

זה. בשלב תשובה אין a < b כי גורר c+ a < c+ b אם השאלה על .4

48

כפל 14.2

.A×B ≈ A′ ×B′ אז B ≈ B′-ו A ≈ A′ אם למה:

ההעתקה אזי ועל, חח"ע G : B → B′ וכי ועל חח"ע F : A → A′ כי נניח הוכחה:היא ,H (x, y) = 〈F (x) , G (y)〉 להיות המוגדרת H : A × B → A′ × B′

� ועל. חח"ע העתקה

להיות מוגדרת a · b המכפלה .|B| = b ,|A| = a-ש כך קבוצות A,B תהיינה הגדרה:.|A×B|

אינה כאן שהוגדרה שהמכפלה להוכיח עלינו היטב מוגדר שהכפל לראות כדי.A,B הקבוצות בבחירת תלויה

|B′| = b = |B| וכן |A′| = a = |A| משמע כאלו, קבוצות A′, B′ גם תהיינה|A′×B′| = ומכאן A′×B′ ≈ A×B כי נובע מהלמה .B′ ≈ B-ו A′ ≈ A ולכן

.a · b את משנה אינה A′, B′ב־ A,B שהחלפת ומכאן ,|A×B| = a · b

משפט:

a · b = b · a החילוף: חוק .1

נגדיר .A×B ≈ B×A מתקיים |A| = a, |B| = b עבור כי צ"ל [הוכחה:שזו לראות קל .F (x, y) = (y, x) להיות F : A × B → B × A העתקה

ועל.] חח"ע העתקה

a · (b · c) = (a · b) · c הקיבוץ: חוק .2

(A×B) × מתקיים |A| = a, |B| = b, |C| = c עבור כי צ"ל [הוכחה:F : (A×B)× C → A× (B × C) העתקה נגדיר .C ≈ A× (B × C)ועל.] חח"ע העתקה שזו לראות קל .F (((x, y) , z)) = (x, (y, z)) להיות

a · 1 = a ,a · 0 = 0 .3

[.A× {x} ≈ A וכן A× ∅ = ∅ [כיa · (b+ c) = a · b+ a · c הפילוג: חוק .4

|A| = a, |B| = b, |C| = c שעבור להוכיח כתרגיל נשאיר [הוכחה:[8.A× (B ∪ C) ≈ (A×B) ∪ (A× C) מתקיים

.b = 0 או a = 0 אמ"מ a · b = 0 .5

.c · a ≤ c · b אז a ≤ b אם הכפל: מונוטוניות .6

הפילוג: חוק לפי נסיק מכאן .a+ d = b-ש כך d יש ולכן a ≤ b [הוכחה:

ca ≤ ca+ cd = c (a+ d) = cb

עוצמה. בשקילות רק ולא זה, במקרה ממש בשוויון מדובר שלמעשה לב 8נשים

49

משפט:

.ℵ0 · ℵ0 = ℵ0 · n = ℵ0 מתקיים 0 6= n ∈ N לכל .1

נותר .ℵ0 · ℵ0 ≥ ℵ0 · n ≥ ℵ0 השוויון אי שמתקיים לראות קל [הוכחה:מכך למשל נובע זה שוויון .ℵ0 · ℵ0 = ℵ0 השוויון את להראות אם־כן

[.N× N ≈ N שמתקיים

.2ℵ0 · ℵ0 = 2ℵ0 · n = 2ℵ0 מתקיים 0 6= n ∈ N לכל .2

נותר .2ℵ0 · ℵ0 ≥ 2ℵ0 · n ≥ 2ℵ0 השוויון אי שמתקיים לראות קל [הוכחה:.2ℵ0 · ℵ0 = 2ℵ0 השוויון את להראות אם־כן

.F (t,m) = t + m להיות F : (0, 1) × N → R מהצורה פונקציה נגדירבכיוון חח"ע פונקציה לייצר קל .2ℵ0 · ℵ0 ≤ 2ℵ0 ולכן חח"ע, פונקציה זו

השוויון.] את נסיק ברנשטיין קנטור ממשפט ולכן ההפוך,

הערות:

לחילוק הדומה פעולה להגדיר אפשר אי ולכן מונים, בכפל חילוץ קיים לא .1טבעיים. מספרים של שארית עם

[.1 6= 2 אולם ℵ0 · 1 = ℵ0 · 2 כי [למשל

קיים. לא הכפל מונוטוניות של ההפוך הכיוון .2

[.2 6≤ 1 אולם ,ℵ0 · 2 ≤ ℵ0 · 1 כי [למשל

הכפל. של החזקה המונוטוניות קיימת לא .3

[.ℵ0 · 1 = ℵ0 · 2 בעוד 1 < 2 כי [למשל

זה. בשלב תשובה אין a < b כי גורר c · a < c · b אם השאלה על .4

חזקה 14.3

הפונקציות כל קבוצת להיות BA את נגדיר כלשהן, קבוצות A,B בהינתן הגדרה:.f : B → A מהצורה

למה:

BA ≈ DC אז B ≈ D-ו A ≈ C אם .1∅A = {∅} .2

B∅ = ∅ אז B 6= ∅ אם .3

.∅ לבין {∅} בין להבדל לשים לב חשובB∪CA ≈ BA×C A אז B ∩ C = ∅ אם .4

C(A×B) ≈ CA×C B .5

50

C(BA)≈ C×BA .6

הוכחה:

ועל. חח"ע G : B → D וכן ועל חח"ע F : A→ C תהי .1

,j ∈ BA פונקציה שעבור כך להיות H : BA →D C ההעתקה את נגדיר.H (j) = F ◦j◦G−1 ע"י המוגדרת הפונקציה היא H (j) ∈ DC הפונקציה

.F(j(G−1 (x)

))ל- x ∈ D כל מעתיקה H (j) כלומר

מתקיים j ∈ BA עבור חח"ע: פונקציות של הרכבה היא כי חח"ע H.j = F−1H (j)G

כי ונקבל F−1 ◦ k ◦G ∈ BA את נבחר k ∈ DC עבור כי ,DC על היא H.H(F−1 ◦ k ◦G

)= k

כתרגיל. מושארת ההוכחה .2

כתרגיל. מושארת ההוכחה .3

להיות j ∈B∪C A עבור המוגדרת H : B∪CA→B A× CA העתקה נגדיר .4.H (j) = 〈j � B, j � C〉

.j = j � B ∪ j � C מתקיים j ∈ B∪CA פונקציה עבור כי חח"ע H

f ∪ g ∈ B∪CA אז ,g ∈ CA-ו f ∈ BA אם כי ,BA×C A על H כמו־כן.H (f ∪ g) = 〈f, g〉-ו

מ- הסדורים הזוגות כל מחלקת הוא שתחומה הפונקציה את 1st-ב נסמן .51st(x, y) = כלומר הזוג. של הראשון הרכיב את כערך שנותנת ,(A×B)

.x

מ- הסדורים הזוגות כל מחלקת הוא שתחומה הפונקציה את 2nd-ב נסמן.2nd(x, y) = y כלומר הזוג. של השני הרכיב את כערך שנותנת ,(A×B)

j ∈ שאת כך להיות H : C (A×B) → CA × CB העתקה נגדירו- 1stj כי לב (נשים H (j) =

⟨1stj, 2ndj

⟩ל- מעתיקה היא C (A×B)

פונקציות). של הרכבות הן כאן הכתובות 2ndj

הפונקציה אז 〈f, g〉 ∈ CA × CB אם כי ,CA × CB ועל חח"ע היא Hע"י הנתונה j היא H (j) = 〈f, g〉 המקיימת היחידה j ∈ C(A × B)

.x ∈ C לכל j(x) = 〈f (x) , g (x)〉j ∈ הפונקציה שאת כך להיות H : C

(BA)→ C×BA העתקה נגדיר .6

לכל והמקיימת C × B שתחומה H (j) לפונקציה תעתיק היא C(BA)

.H (j) (x, y) = j (x) (y) כי ,y ∈ B ,x ∈ Cכי מתקיים y ∈ B ,x ∈ C לכל אז H (j1) = H (j2) אם כי חח"ע היא H

.j1 (x) (y) = H (j1) (x, y) = H (j2) (x, y) = j2 (x) (y)

לכל j1 (x) = j2 (x) לכן B הוא j2 (x)-ו j1 (x) של שהתחום מכיוון.j1 = j2 ולכן ,x ∈ C

51

הפונקציה j ∈ C(BA)תהי w ∈ C×BA כל עבור כי ,C×BA על היא H

כך B שתחומה הפונקציה היא j(x) הפונקציה x ∈ C ולכל C שתחומה.j (x) (y) = w (x, y) ∈ A כי מתקיים y ∈ B שלכל

,H (j) (x, y) = j (x) (y) = w (x, y) כי מתקיים y ∈ B ולכל x ∈ C לכל.C×BA על היא H-ו H (j) = w ולכן

להיות מוגדרת ab החזקה .|B| = b ,|A| = a-ש כך קבוצות A,B תהיינה הגדרה:.∣∣BA∣∣

אינה כאן שהוגדרה שהחזקה להוכיח עלינו היטב מוגדרת שהחזקה לראות כדי.A,B הקבוצות בבחירת תלויה

לכן .|D| = b = |B|-ו |C| = a = |A| ואז כאלו קבוצות C,D גם תהיינה.D ≈ B וכן C ≈ A

ולכן ,|DC| = |BA| = ab כי ומכאן ,DC ≈ BA שמתקיים נובע שהוכחנו מהלמה.ab את משנה אינה C,D-ב A,B החלפת

.a(bc)-ל היא הכוונה סוגריים ללא ab

cשכתוב היכן הערה:

משפט:

[.∅A = {∅} [כי a0 = 1 .1

.a = 0 וגם b 6= 0 אמ"מ ab = 0 .2

אחרת כי ,B 6= ∅ בהכרח אז BA ≈ ∅ שאם מכך נובע זה ראשון [בכיווןראינו שני בכיוון .A = ∅ היא היחידה שהאפשרות ומכאן ,BA ≈ {∅} היה

[.B∅ = ∅ אז B 6= ∅ שאם1a = 1 ,a1 = a .3

f (t) = הקבועות הפונקציות אוסף כלומר ,{t}A ≈ {f = a}a∈A ≈ A [כי.A-ל שווה־עוצמה a ∈ A כל עבור a

הפונקציות אוסף כלומר ,A {t} ≈ {f = 1} ≈ {t}-ש מכך הוא השני השוויוןאחת.] פונקציה בדיוק מכיל a ∈ A כל עבור f (a) = t הקבועות

ℵn0 = ℵ0 מתקיים n ≥ 1 לכל .4

ℵ10 = כי בפרט נובע האחרונה מהטענה .n על באינדוקציה נוכיח [הוכחה:ונסיק: ,ℵn0 = ℵ0 מתקיים n עבור כי נניח .ℵ0

ℵn+10 = ℵn0 · ℵ10 = ℵ0 · ℵ0 = ℵ0

זו.] בהוכחה השתמשנו בו החזקה כלל את מיד נוכיח

החזקה כללי

52

ab+c = ab · ac .1

[.B∪CA ≈ BA×C A שמתקיים הוכחנו [כי

(a · b) c = ac · bc .2

[.C(A×B) ≈ CA×C B שמתקיים הוכחנו )[כיab)c

= ab·c .3

[.C(BA)≈ C×BA שמתקיים הוכחנו [כי

החזקה: מונוטוניות טענה:

.ca ≤ cb אז ,c 6= 0 וכן a ≤ b אם .1

cb = ca+d = נובע מכאן .a + d = b-ש כך d יש אז a ≤ b אם [כי[.ca · cd ≥ ca

.ac ≤ bc אז a ≤ b אם .2

[.CA ⊆ CB ולכן ,A ⊆ B כי נסיק עוצמות על לסדר השני האיפיון [לפי

נקראת P (A) מדוע לכך ההסבר זהו .|P (A)| = 2|A| מתקיים A קבוצה לכל משפט:.A של החזקה" "קבוצת

� .P (A) ≈ A{T,F} ≈ 2|A| שמתקיים ראינו הוכחה:

.|R| = 2ℵ0 לסימון ההצדקה ומכאן ,|R| = |P (N)| = 2ℵ0 כי הוכחנו הערה:

[ממשפט .a < ba מתקיים 2 ≤ b מונה לכל ולכן ,a < 2a מתקיים a מונה לכל משפט:החזקה.] ומונוטוניות קנטור

קנטור. במשפט שימוש ללא ישירות זאת להוכיח תרגיל:

משפט:

.2ℵ0 · 2ℵ0 = 2ℵ0 ובפרט ,(2ℵ0)ℵ0 =

(2ℵ0)n

= 2ℵ0 מתקיים 0 < n לכל .1

[.N× N ≈ N-ש ומכך החזקה כללי לפי ,(2ℵ0)ℵ0 = 2ℵ0·ℵ0 = 2ℵ0 [כי

.a·2a = 2a ובפרט ,b·2a = 2a מתקיים 1 ≤ b ≤ 2a לכל אז a+a = a אם .2

הכפל מונוטוניות לפי ,2a = 1 · 2a ≤ b · 2a ≤ 2a · 2a = 2a+a = 2a [כיהחזקה.] וכללי

.ba = 2a מתקיים 2 ≤ b ≤ 2a לכל אז a · a = a אם .3

החזקה.] וכללי הכפל מונוטוניות לפי ,2a = ba ≤ (2a)a = 2a·a = 2a [כי

.(2ℵ0)2ℵ0

= ℵ2ℵ0

0 = 22ℵ0 .4

[.a = b = 2ℵ0 עבור ,3 של פרטי מקרה זהו ,2ℵ0 · 2ℵ0 = 2ℵ0-ש [מכיוון

53

משפט:

הקודם.] [מהמשפט .22ℵ0 היא RR הממשיות הפונקציות כל קבוצת עוצמת .1

.2ℵ0 היא הרציפות הממשיות הפונקציות כל קבוצת עוצמת .2

במשפט נשתמש הרציפות. הממשיות הפונקציות כל קבוצת W תהי (2 (של הוכחה:קנטור־ברנשטיין.

הקבועה הפונקציה להיות F (z) את נגדיר z ∈ R שלכל כך F : R → W תהי.2ℵ0 ≤ |W | ולכן חח"ע F ש- לראות קל .x ∈ R לכל F (z) (x) = z כלומר .z

קבוצת Q כאשר ,G (f) = f � Q ע"י הנתונה הפונקציה G : W → QR תהי כעתע"י נקבעים רציפה ממשית פונקציה של הערכים כל כי חח"ע היא G הרציונליים.

כי: הקודם מהמשפט נסיק לכן הרציונליים. על ערכיה

|W | ≤∣∣∣QR∣∣∣ =

(2ℵ0)ℵ0

= 2ℵ0

�

הטבעיים המספרים על הסדר ויחס החשבון פעולות 14.4

הטבעיים המספרים כולל העוצמות, לכל החלקי הסדר ויחס החשבון פעולות את הגדרנוויחס חשבון פעולות כבר לנו יש הטבעיים המספרים על אבל סופיות, עוצמות שמהוויםשהגדרנו והיחס הפעולות הטבעיים המספרים בתחום אם לבדוק ועלינו מוכרות, סדר

מכבר. לנו המוכרות לאלו זהות עתה

איחוד באמצעות אותה למדנו א' בכיתה החיבור פעולת את למדנו כאשר החיבור: פעולתהמתמטית ההגדרה אבל לעוצמות, כעת אותה שהגדרנו כפי בדיוק זרות, קבוצותאת בלבד, זאת הוכחה לצורכי נסמן, לכן קבוצות. באמצעות אינה המקובלת

ב-⊕. הטבעיים המספרים של לנו המוכרת החיבור פעולת

ומכיוון |Nn| = n האקסיומה לפי .k ⊕ 1 = k + 1 טבעי k שלכל נראה תחילהמתקיים: זרות, {k}-ו Nk שהקבוצות

k ⊕ 1 = |Nk⊕1| = |Nk ∪ {k}| = |Nk|+ |{k}| = k + 1

.m⊕ n = m+ n טבעי n שלכל n על באינדוקציה נוכיח כעת

מהנחת יוצאים אנו האינדוקציה בשלב .m⊕ 0 = m = m+ 0 מתקיים n = ל-0להוכיח עלינו כלומר ,n⊕ ל-1 זאת להוכיח ועלינו m⊕ n = m+ n האינדוקציה

54

,k⊕1 = k+1 השיוויון לפי האינדוקציה, הנחת לפי .m⊕(n⊕1) = m+(n⊕1)מתקיים: ו-+ ⊕ אסוציאטיביות ולפי

m⊕(n⊕ 1) = (m⊕ n)⊕1 = (m+ n)⊕1 = (m+ n)+1 = m+(n+ 1) = m+(n⊕ 1)

ברקורסיה. חוזר כחיבור מוגדרת הטבעיים במספרים הכפל פעולת הכפל: פעולת

m לכל שהוכחנו, הכפל כללי לפי כי זאת הגדרה אחר ממלא העוצמות כפל.m · (n+ 1) = m · n+m מתקיים n ולכל m · 0 = 0 מתקיים

ברקורסיה. חוזר ככפל מוגדרת הטבעיים במספרים החזקה פעולת החזקה: פעולת

m לכל שהוכחנו, החזקה כללי לפי כי זאת הגדרה אחר ממלאת העוצמות חזקת.mn+1 = mn ·m מתקיים n ולכל m0 = 1 מתקיים

יחס את ב-5 נסמן שהגדרנו. העוצמות של החלקי הסדר יחס את מסמן ≤ הסדר: יחסהטבעיים. המספרים על הרגיל הסדר

k טבעי מספר קיים הטבעיים המספרים של הסדר תכונת לפי אז m 5 n אםמתקיים לעוצמות הסדר יחס תכונות ולפי ,m+ k = n ולכן ,m⊕ k = n-ש כך

.m ≤ nש- כך c עוצמה קיימת שהוכחנו טענה לפי אז, m ≤ n אם ההפוך, בכיווןהוא c גם וכן c ≤ n מתקיים לעוצמות הסדר יחס תכונות לפי לכן ,m+ c = nמתקיים לטבעיים הסדר יחס תכונות ולפי ,m ⊕ c = n כי מכאן טבעי. מספר

.m 5 n

55

VI חלק

הבחירה אקסיומת

מבוא 15

היא ממנה הקטנה עוצמה שכל במובן מינימלית אינסופית עוצמה היא ℵ0 כי הוכחנוa אינסופית עוצמה שלכל במובן המינימלית האינסופית העוצמה גם היא האם סופית.

?ℵ0 ≤ a קיים

כלומר .N � A מתקיים A אינסופית קבוצה לכל כי להוכיח עלינו זאת להוכיח כדיחח"ע. a : N→ A סדרה שקיימת

ולכן ריקה, אינה היא אינסופית Aש־־ מכיוון כדלקמן: כזאת a סדרה ברקורסיה נגדירAn = {a0, . . . , an−1} ⊆ A הקבוצה 0 < n עבור .a0 = w נגדיר .w איבר בה ישקל .A\An של כלשהו איבר an-ל נקח לכן אינסופית. A בעוד סופית היא כי ,A כל אינה,{an | n ∈ N} ⊆ A על N של חח"ע העתקה היא ולכן חח"ע היא זאת a סדרה כי לראות

.N � A כלומר

סדרה, להגדיר כדי אולם ברקורסיה, שהגדרנו a בסדרה השתמשנו שהבאנו בהוכחהאיננו .Φ (x, y) כיחס תיקנית הגדרה לה לתת שאפשר להראות עלינו פונקציה, שהיאשאנחנו אלא קיימות, אינן תיקנית מהגדרה באות שאינן שפונקציות בזאת אומריםהקיימות האקסיומות מן קיומן את הוכחנו אם רק קיימות אלו שפונקציות לטעון יכוליםהסדרה את הגדרנו כאן קיומן. את להוכיח אפשר שמהן אקסיומות מוסיפים שאנחנו אוהקיום אקסיומות באמצעות קיומה את להוכיח יכולים אנו אם ונראה ברקורסיה, a

הבסיסיות.

קיומן את להוכיח שאפשר ברקורסיה המוגדרות הפונקציות מהן בדיון כאן נתעמק לאb : N → N סדרה נגדיר בודדת: בדוגמה נסתפק אלא הבסיסיות, הקיום מאקסיומות

.bn+1 = bn · (bn − 1) נגדיר n ∈ N ולכל ,b0 = 3 כך: ברקורסיה

כלומר תיקנית, הגדרה לה לתת שאפשר להראות עלינו סדרה אמנם היא b-ש לקבל כדי.y = bx-ו x ∈ N אמ"מ היחס את מקיים 〈x, y〉 שהזוג כך Φ (x, y) יחס להציג

פורמלית: לא בצורה אותו נתאר שתחילה הבא, כיחס Φ (x, y) את נבחר זאת b לפונקציה

בצעד בו צעדים, x+ 1 בן חישוב של האחרון בשלב המתקבל המספר הוא y-ש "נאמראז u המספר את צעד באותו קיבלנו אם צעד ובכל ,3 המספר את מקבלים אנו הראשון

."u · (u− 1) המספר את הבא בצעד מקבלים אנו

.x נתון כאשר y לחישוב מתכון אפילו וזה ,Φ היחס של תיאור כאן שיש ברור

56

היא: Φ(x, y) של הפורמלית ההגדרה

x ∈ N ∧ ∃g[g : Nx+1 → N ∧ g (0) = 3∧

(∀n < x) (g (n+ 1) = g (n) · (g (n)− 1)) ∧ g (x) = y]

הקטנים הטבעיים המספרים מקבוצת g פונקציה וקיימת טבעי, מספר הוא x" אומר: זההקטן n מספר ולכל g (0) = ש-3 כך הטבעיים המספרים קבוצת לתוך x-ל שווים או

".g (x) = y-ו g (n+ 1) = g (n) · (g (n)− 1) קיים x-מ

להוכיח עלינו כך ולשם ,N שתחומה פונקציה מגדיר אמנם Φ(x, y)-ש להוכיח יש כעתשהסדרה להוכיח יש כך על נוסף .Φ (x, y) את המקיים יחיד y קיים x ∈ N כל שעבור

כאן. זאת נעשה לא שלה. הרקורסיבית ההגדרה את מקיימת אמנם b

y-ש נאמר לעיל, שהגדרנו ליחס הדומה a הסדרה עבור Φ (x, y) יחס לנסח ננסה אםאנחנו הראשון בצעד בו צעדים, x+1 בן תהליך של האחרון בשלב המתקבל המספר הואמכל השונה A של כלשהו איבר בוחרים אנחנו צעד ובכל A של כלשהו איבר בוחריםשהיחס כדי כי פונקציה, יהיה לא זה שיחס ברור הקודמים. בצעדים שבחרנו A איברישהם התהליכים כל של בסופם המתקבל A של יחיד y איבר שיהיה צריך פונקציה יהיההדרישות את המקיים חישוב כל בה הקודמת לדוגמה שבניגוד וברור ,Φ(x, y)-ב כנדרש,Φ(x, y) את המקיים יחיד y יש הנתון x עבור כלומר מספר, לאותו יוביל החישוב מןאם ולכן שתואר. כפי תהליך בסוף להתקבל יכול A של y איבר כל הנוכחית בדוגמה

פונקציה. יהיה לא זה יחס כאן שתואר כפי Φ (x, y) יחס ננסח

יכולים איננו כי קיומה את להוכיח יכולים שאיננו פונקציה של ציורית דוגמה עתה נראהHn האיבר n לכל כלומר נעליים, זוגות של סדרה (Hn)∞n=1 תהי מתאים. יחס לנסחקל .(Hn)∞n=1 שבתחום נעליים זוג מכל נעל הבוחרת a סדרה רוצים אנו נעליים. זוג הוא.an = the right shoe of Hn להגדיר נוכל n ∈ N לכל כי כזאת, לסדרה להגיע מאוד

כזאת. a סדרה שקיימת וכמובן הנ"ל, בדוגמה כמו תקנית הגדרה זו

הבוחרת a בסדרה מעוניינים ואנו גרביים, זוגות של אינסופית סדרה (Hn)∞n=1 תהי כעתהיא an ∈ Hn יתקיים n ∈ N שלכל הדרישה .(Hn)∞n=1 שבטווח גרביים זוג מכל גרבנראית ולא ,a של הגדרה אינה עדיין היא אבל תקיים, a שהסדרה רוצים שאנו תנאי

כזאת. לסדרה הגדרה כל לעין

גרב יהיה an האיבר n ∈ N שלכל כך a סדרה לקבל למשל, רוצים, אנו אם לכןפונקציה שקיימת האומרת אקסיומה במפורש להוסיף עלינו ,Hn הגרביים זוג מתוך אחת

כזאת.

57

הבחירה אקסיומת 16

לכל אם ,A על בחירה פונקצית נקראת A שתחומה C פונקציה ,A לקבוצה הגדרה:.C (X) ∈ X מתקיים ריקה לא קבוצה שהיא X ∈ A

.A שתחומה C בחירה פונקציה קיימת A קבוצה לכל הבחירה: אקסיומת

"(אה"ב)". נציין הבחירה באקסיומת נשתמש בהם ומסקנות במשפטים הערה:

שתחומה F ופונקציה A קבוצה לכל הוא: הבחירה אקסיומת של שקול ניסוח משפט:קבוצה היא F (x) שעבורו x ∈ A שלכל כך ,A שתחומה G פונקציה קיימת A

.G (x) ∈ F (x) מתקיים ריקה לא

פונקצית C תהי כנ"ל, F ו- A בהינתן הבחירה. אקסיומת את נניח ראשון: בכיוון הוכחה:.G (x) = C (F (x)) ∈ F (x) כי ונקבל G = CF נבחר .F של הטווח על בחירה

הזהות פונקצית F תהי ,A קבוצה בהינתן שבמשפט. הנוסח את נניח שני: בכיווןקיים x ∈ A שלכל כך A שתחומה C פונקציה קיימת מההנחה .A על 1A

� .C (x) ∈ 1A (x) = x

הבחירה אקסיומת של שימושים 17

מניה. בת תת־קבוצה יש A אינסופית קבוצה לכל (אה"ב): משפט

כדלקמן: a : N→ A ברקורסיה נגדיר .P (A) שתחומה בחירה פונקצית C תהי הוכחה:לכן .(a0 = C (A) אומר זה n = 0 (עבור .an = C (A \ {a0, a1, ..., an−1})הקבוצה חח"ע. היא a והסדרה a0, a1, ..., an−1 מכל השונה A של איבר הוא an

.A-ל חלקית והיא בת־מניה כמובן היא {an | n ∈ N}

a אינסופי מונה שלכל זה במובן המזערי, האינסופי המונה הוא ℵ0 (אה"ב): מסקנה.ℵ0 ≤ a מתקיים

תת־ על שלה חח"ע העתקה קיימת לא אמ"מ סופית היא A קבוצה (אה"ב): מסקנהשלה. ממש קבוצה

F � D-ש כך D ⊂ A תת־קבוצה קיימת אז ,B על F : A → B אם (אה"ב): משפט.|B| ≤ |A| ולכן ,B על D של חח"ע העתקה היא

ברור .F (x) = F (y) ⇐⇒ x ∼ y ע"י הנתון A על xRy ביחס נתבונן הוכחה:היא y את המכילה שלו השקילות ומחלקת ,A על שקילות יחס הוא R-ש

.{x ∈ A | F (x) = F (y)}אותה של שונים איברים שני להכיל יכולה אינה מעוניינים אנו בה D הקבוצהלהיות F � D ועל הערך אותו את האיברים לשני נותנת F כי שקילות, מחלקת

58

מתקיים y ∈ A ועבור ,B על להיות אמורה F � D-ש מכיוון שני, מצד חח"ע.איבר כלומר ,F (x) = F (y) המקיים x איבר להכיל אמורה D אז ,F (y) ∈ Bלהכיל אמורה D כך אם .{x ∈ A | F (x) = F (y)} השקילות במחלקת הנמצאבמשפט. כנדרש היא אז כזאת היא ואם שקילות, מחלקת מכל אחד איבר בדיוק

על בחירה פונקצית C תהי הבחירה: אקסיומת בדיוק מתאימה זאת למטרהנבחר: אז ,R של השקילות מחלקות קבוצת

D = {y ∈ A | y = C ({x ∈ A | F (x) = F (y)})}

� במשפט. כנדרש היא D-ש ברור

אינסופיים וכפל סכום 17.1

והכפל החיבור פעולות של ההגדרה היא הבחירה באקסיומת ישיר לשימוש נוספת דוגמההעוצמות. של האינסופיות

החיבור את הדרך באותה להגדיר ואפשר עוצמות, שתי של והכפל החיבור את הגדרנוa+ b+ c הסכום את להגדיר אפשר למשל, עוצמות. של כלשהו סופי מספר של והכפלהדדית זרות קבוצות A,B,C עבור |A ∪ B ∪ C| להיות a, b, c העוצמות שלוש של

.|C| = c ,|B| = b ,|A| = a המקיימות

כי עוצמות, של סופי מספר של והכפל החיבור של מיוחדת בהגדרה צורך אין זאת, עםאת להגדיר אפשר עוצמות שתי של והכפל החיבור פעולות של האסוציאטיביות לאורלמשל, עוצמות. בשתי פעולות אותן על כחזרה עוצמות של סופי מספר של והכפל החיבורגם השווה (a + b) + c להיות להגדיר אפשר עוצמות שלוש של a + b + c הסכום את

.a+ (b+ c)-ל

ישירות, להגדרות זקוקים עוצמות של אינסופי מספר של והכפל החיבור זאת, לעומתעוצמות. שתי של והכפל החיבור הגדרות של הכללות שיהיו

אינסופי סכום

לכל כלומר העוצמות. מחלקת לתוך I-מ פונקציה a ותהי כלשהי קבוצה I תהי הגדרה:כלשהי. עוצמה היא ai הערך i ∈ I

,Σi∈Iai =:∣∣⋃

i∈I Ai∣∣ להיות {ai}i∈I העוצמות אוסף של הסכום את נגדיר

(מסמנים |Ai| = ai מתקיים i ∈ I ולכל I שתחומה פונקציה היא A כאשרבזוגות. זרות Ai הקבוצות וכל ,(A (i) = Ai בקיצור

.|⋃Range (A)| העוצמה הוא הללו העוצמות סכום כלומר

פונקציה קיימת שתמיד ראשית דברים: שני להוכיח עלינו תקפה תהיה זאת שהגדרה כדי.A הפונקציה בבחירת תלוי אינו שהוא כלומר היטב, מוגדר שהסכום ושנית כנדרש, A

59

עוצמה של קיומה את להניח צריכים אנו כנדרש, A פונקציה קיום הוכחת לצורך .1ע"י מוכח כזאת עוצמה קיום .i ∈ I לכל ai העוצמות מכל שווה או הגדולה b

יותר. מאוחר אותו שנראה הבחירה באקסיומת ישיר לא שימוש

קבוצה קיימת i ∈ I לכל כזה שבמקרה הוכחנו כנ"ל. b שעוצמתה קבוצה B תהיריקה. אינה {D ⊆ B | |D| = ai} הקבוצה ולכן ,ai שעוצמתה B-ל חלקית

Di = C ({D ⊆ B | |D| = ai}) הקבוצה את נגדיר .P (P (B)) על בחירה פונקצית C תהי.{Di}i∈I כל את כזה באופן נבחר .ai שעוצמתה

.i ∈ I לכל Ai = {i} ×Di ע"י I שתחומה A הפונקציה את עתה נגדיר

i 6= j אם ,i, j ∈ A כל ועבור |Ai| = |Di| = ai מתקיים i ∈ I לכל כי ברורהיא A לכן .Di ע"י ולא {i} ×Di ע"י הטווח את הגדרנו כי Ai ∩ Aj = ∅ אז

כנדרש. פונקציה

כנדרש פונקציות A,B אם כי להראות יש היטב, מוגדר שהחיבור להראות כדי .2הסכום. אותו את נותנות שתיהן אז

|Ai| = ai = מתקיים i ∈ I שלכל נובע מהגדרתן כנדרש. פונקציות A,B יהיוBi על Ai-מ החח"ע הפונקציות כל של Hi הקבוצה משמע ,Ai ≈ Bi ולכן ,|Bi|

ריקה. אינה

שלכל כך I שתחומה G פונקציה קיימת הבחירה אקסיומת של שקול נוסח לפי.Bi על Ai של חח"ע העתקה היא Gi כלומר, ,Gi ∈ Hi קיים i ∈ I

ומכיוון פונקציה, הוא F =⋃i∈I Gi האיחוד הדדית זרות Ai שהקבוצות מכיוון

חח"ע. F הדדית זרות Bi והקבוצות חח"ע היא Hi פונקציה שכל

נותנות B-ו A והפוקציות⋃i∈I Bi על

⋃i∈I Ai של חח"ע העתקה היא F לכן

העוצמות. של הסכום אותו את

כתרגיל). מושארת (ההוכחה .Σi∈Ib = b · |I| אזי קבוצה, I-ו עוצמה b תהי למה:

אינסופי כפל

היא Ai כי מתקיים i ∈ I שלכל כך ,I שתחומה פונקציה A-ו קבוצה I תהי הגדרה:קבוצה.

שתחומן s הפונקציות קבוצת להיות מוגדרת ×i∈IAi שמסומנת הקרטזית המכפלה.si ∈ Ai מתקיים i ∈ I שלכל כך ,I

לכל כלומר העוצמות. מחלקת לתוך I-מ פונקציה a ותהי כלשהי קבוצה I תהי הגדרה:כלשהי. עוצמה היא ai הערך i ∈ I

, Πi∈Iai =: |×i∈IAi| להיות {ai}i∈I העוצמות אוסף של המכפלה את נגדיר.|A (i)| = ai מתקיים i ∈ I ולכל I שתחומה פונקציה היא A כאשר

60

פונקציה קיימת שתמיד הוכחנו אינסופי סכום כשהגדרנו תקפה. הגדרה אכן שזו נראהיש כלומר .A הפונקציה בבחירת תלויה אינו שהמכפלה להוכיח נותר לכן כנדרש. A

המכפלה. אותה את נותנות שתיהן אז כנדרש פונקציות A,B שאם להראות

כי ינבע מכך .F : ×i∈IAi → ×i∈IBi מהצורה ועל חח"ע פונקציה נגדיר כך לשםA את מחליפים אנחנו כאשר משתנה אינה המכפלה משמע ,| ×i∈I Ai| = | ×i∈I Bi|

.B-ב

לסכום שהגדרנו כפי Bi על Ai של חח"ע העתקה להיות Gi את נגדיר i ∈ I לכל.F (s) = 〈Gi (si) | i ∈ I〉 נקבע s ∈ ×i∈IAi לכל :F את נגדיר כעת אינסופי.

מכיוון .sj 6= tj-ש כך j ∈ I קיים .s 6= t ,s, t ∈ ×i∈IAi יהיו חח"ע. היא F כי נוכיח.F (s) 6= F (t) ולכן ,F (sj) = Gj (sj) 6= Gj (tj) = F (tj) אז חח"ע Gj-ש

.s =⟨G−1i (wi) | i ∈ I

⟩∈ ×i∈IAi יהי אז .w ∈ ×i∈IBi יהי .×i∈IBi על F כי נוכיח

.F (s) = w כי לראות קל

.Πi∈Ba = ab וכן Σi∈Ba = a · b אזי ,b שעוצמתה קבוצה B-ו עוצמות a, b יהיו למה:כתרגיל). מושארת (ההוכחה

הדיון והרחבת סיכום 18

גרביים זוגות של אינסופית סדרה במקום אם קורה מה הגרביים. זוגות של לדוגמה נחזור?N3 שתחומה פונקציה היא H כלומר גרביים, זוגות שלושה בת סדרה לנו יש

להצביע יכולים איננו אם גם כנדרש F פונקציה קיום להוכיח יכולים אנו זה במקרה,a ∈ H (0) , b ∈ H (1) , c ∈ H (2) כי נניח הבא: באופן כזאת, מסויימת פונקציה על

מפורש: באופן נגדיר

F (0) = a F (1) = b F (2) = c

.n ∈ N2 לכל F (n) ∈ H (n) המקיימת F פונקציה קיימת כנ"ל a, b, c שלכל הוכחנו כך

ריקה, לא היא גרביים שתי בת היא H (0) , H (1) , H (2) מהקבוצות אחת שכל מכיוון.n ∈ N2 לכל F (n) ∈ H (n) המקיימת F פונקציה שיש כך כנ"ל a, b, c קיימים לכן

כפרמטרים. בו מופיעים a, b, c שהמשתנים Φ (x, y) יחס באמצעות מוגדרת זאת פונקציה

קיבוץ. וחוקי חילוף חוקי המוכללות והכפל החיבור לפעולות ולהוכיח נסחו תרגיל:

61

VII חלק

טוב סדר

מבוא 19

תזכורת:

A על יחס הוא אם ,A מחלקה על חלקי סדר יחס הוא < יחס כי הגדרנו .1הבאים: התנאים את שמקיים

וגם x < y אם טרנזיטיביות: ,x ≮ x מתקיים x ∈ A לכל אי־רפלקסיביות:.x < z אז y < z

מחלקה על מלא) סדר יחס או קווי סדר יחס (או סדר יחס נקרא < היחס .2שאומר: ההשוואה, תנאי את גם המקיים A על חלקי סדר יחס הוא אם ,A

≤ סדר יחס על נדבר (אם .y < x או x < y אז ,x 6= y ,x, y ∈ A לכל.(y ≤ x או x ≤ y יתקיים x, y ∈ A שלכל הוא ההשוואה תנאי אז ,A על

קבוצת היא נוספת דוגמה עליהן. הסטנדרטי הסדר יחס עם N,Z,Q,R דוגמאות:במילון. מסודרות שהן כמו הסדר עם עבריות, באותיות לכתוב שאפשר המילים

y ∈ A קיים אז ,A על חלקי סדר יחס ו-> ריקה לא סופית קבוצה A אם תרגיל:x ∈ A קיים לא כלומר ל->. ביחס מקסימלי z ∈ A וקיים ל->, ביחס מינימלי

.x > z או x < y המקיים

.A על סדר יחס < כי נניח הגדרה:

x < y אם x ∈ A לכל ,y ∈ B לכל אם ל->) (ביחס A של רישא נקראת B אז.x ∈ B אז

.A של ממש רישא נקראת היא A-מ שונה B אם

אם x ∈ A לכל ,y ∈ B לכל אם ל->) (ביחס A של סיפא נקראת B כמו־כן.x ∈ B אז x > y

.A של ממש סיפא נקראת היא A-מ שונה B אם

וגם רישא גם שהן היחידות המחלקות אז ,A על סדר יחס הוא < היחס אם תרגיל:עצמה. A-ו הריקה המחלקה הן A של סיפא

איבר איבר הקבוצות באיברי לטפל לנו המאפשרים קבוצות על סדר ביחסי ענין לנו ישהסדר. לפי

62

שיש הראינו אז ריקה לא סופית קבוצה A אם כזה. הוא סופית קבוצה על סדר יחס כלהאיברים יתר קבוצת אז איברים עוד בקבוצה יש אם בו. מטפלים ואנו ראשון איבר להעד הלאה נמשיך בו. מטפלים ואנו ראשון איבר יש לה גם ולכן סופית, ולכן A-ל חלקית

איברים. ייוותרו שלא

יחס הוא זה, אחר זה באיבריה טיפול המאפשר אינסופית קבוצה על סדר ליחס דוגמהטיפלנו כבר ואם ב-0, הטיפול את מתחילים אנחנו הטבעיים. המספרים של הרגיל הסדרסדר הטבעיים. המספרים כל מטופלים כך .n+ ב-1 מטפלים אנו n עד מ-0 במספריםאנחנו זה בסדר גם .0, 2, 4, ..., 1, 3, 5, ... בסדר להתבונן ניתן למשל כך בלעדי. אינו זההבא הזוגי במספר מטפלים אנחנו n זוגי מספר כל אחרי ב-0, הטיפול את מתחיליםהראשון המספר הזוגיים, המספרים בכל הטיפול את מסיימים כאשר הלאה. וכך n+ 2שמסתיים עד הסדר לפי האי־זוגיים במספרים מטפלים אנחנו וכעת 1 הוא אחריהם

הטבעיים. המספרים בכל הטיפול

לפי זה אחר בזה באיבריה טיפול מאפשר שאינו אינסופית קבוצה על סדר ליחס דוגמהראשון מספר אין גם שם הרציונליים. המספרים על הטבעי הסדר יחס הוא הסדר,אין וב-0, השליליים המספרים בכל טיפלנו כבר אם וגם הטיפול, את בו להתחיל בשביל

בו. לטפל שיש ראשון חיובי מספר

הסדר. לפי איבר איבר טיפול המאפשרת סדר יחסי של תכונה להגדיר נרצה

טוב סדר 20

A על קווי סדר יחס הוא אם ,A על טוב סדר יחס נקרא A קבוצה על < יחס הגדרה:כלומר ל->. ביחס מינימלי איבר יש ריקה שאינה ∅ 6= B ⊆ A קבוצה שלכל כך

.y ≤ x מתקיים x ∈ B שלכל כך y ∈ B איבר

את היטב המסדר יחס הוא ש-> כך 〈A,<〉 הזוג היא היטב סדורה קבוצה.A הקבוצה

שלה ריקה לא סיפא לכל אם מנומסת תיקרא A קווית סדורה קבוצה שקולה: הגדרהמינימלי. איבר יש

גוררת גם שהיא נראה הראשונה. ההגדרה של פרטי מקרה היא השנייה ההגדרה הוכחה:הראשונה. את

לראות קל .D = {y ∈ A|∃x∈B x ≤ y} הקבוצה את נגדיר .∅ 6= B ⊆ A תהי.z ∈ D מינימלי איבר לה יש ולכן ,A של סיפא D כי

תנבע D-ב z ממינימליות ,z ∈ B כי נראה אם ולכן ,B ⊆ D כי לב נשיםמינימלי. איבר יש B-ל כלומר ,B-ב שלו המינימליות

,u ∈ B ⊆ D כי לב נשים .u ≤ z-ש כך u ∈ B שיש נובע z ∈ D-ש מכיוון� כנדרש. z ∈ B כלומר ,z = u כי מכאן ,z ≤ u כי נובע D-ב z וממינימליות

63

טענה:

כלומר ,< היחס של B ⊆ A-ל ההגבלה אז ,A על חלקי סדר יחס < אם.B על חלקי סדר היא ,< ∩B ×B

.B על סדר יחס < ∩B ×B אז ,B ⊆ A וכן A על סדר יחס < אם

.B על טוב סדר יחס < ∩B ×B אז B ⊆ A-ו A על טוב סדר יחס < אם

טרנספיניטית) (או שלמה אינדוקציה 20.1

תכונה. Φ ותהי היטב סדורה קבוצה (A,<) תהי משפט:

הוא y < x המקיים y ∈ A כל אם ,x ∈ A לכל האינדוקציה: צעד קיים אםכל האינדוקציה: מסקנת קיימת אז ,Φ התכונה בעל הוא x גם אז Φ התכונה בעל

.Φ התכונה בעלי הם A איברי

הוא y < x המקיים y "כל החלק חלקים: לשני מתחלק x על האינדוקציה צעד הסבר:נקרא "Φ התכונה בעל הוא x" והחלק האינדוקציה, הנחת נקרא "Φ התכונה בעל

האינדוקציה. צעד מסקנת

בעלי הם A איברי שכל להוכיח ורוצים היטב סדורה (A,<) קבוצה נתונה כאשרהאינדוקציה צעד את נוכיח שאם מבטיח באינדוקציה ההוכחה משפט ,Φ התכונההאינדוקציה צעד את להוכיח כדי .Φ התכונה בעלי הם A איברי שכל כבר נדע אזצעד מסקנת את ממנה ומוכיחים האינדוקציה הנחת את כלשהו x-ל מניחים אנו

האינדוקציה.

הראשון (המקרה רגילה באינדוקציה האינדוקציה" ל"הנחת שהאנלוג לב נשיםa ∈ A כי נניח שכן השלמה. האינדוקציה בצעד כבר חבוי ,("n = 0" בד"כ שהואשכל ריק באופן נכון קודמים, אין a-של מכיוון אז ביחס, המינימלי האיבר הואבעל הוא a-ש ישירות אומר האינדוקציה צעד לכן .Φ התכונה בעלי הם קודמיו

האינדוקציה). למשפט זקוקים היינו לא כך (ולשם Φ התכונה

זאת שהוכחה לוודא עלינו האינדוקציה צעד את מוכיחים אנו שכאשר כמובןצעד את מוכיחים אנו אם .Aב־ הראשון האיבר שהוא x-ל וגם x לכל תקפההוכחנו לא אז Aב־ קודמים להם שיש A של x איברים עבור רק האינדוקציהההוכחה במשפט להשתמש יכולים ואיננו ,A איברי לכל האינדוקציה צעד את

באינדוקציה.

A איברי קבוצת B תהי .Φ התכונה בעלי הם A איברי כל שלא בשלילה נניח הוכחה:ריקה. אינה B כי נובע בשלילה ומההנחה ,Φ התכונה בעלי שאינם

אינו הוא ולכן b ∈ B כי לב נשים מינימלי. b ∈ B קיים ולכן היטב סדורה Aהוא ממנו הקטן A-ב איבר שכל נובע B-ב שלו ומהמינימליות ,Φ התכונה בעל

.Φ התכונה בעל

64

כלשהו לאיבר הקודמים כל שאם האומר האינדוקציה, לצעד סתירה קיבלנו אם־כך� זאת. תכונה בעל הוא עצמו x גם אז Φ התכונה בעלי הם x

פונקציה של רקורסיבית הגדרה 20.2

מגדירים ,A היטב סדורה קבוצה עבור F : A→ B פונקציה ברקורסיה מגדירים כאשר.y-ל הקודמים A איברי על F בערכי בתלות y ∈ A לכל F (y) הערך את

.F � {x ∈ A | x < y} בפונקציה מצוי y-ל הקודמים A באיברי F ערכי על המידע כלפונקציה H ותהי ,B-ב מוכל וטווחן A-ל חלקי שתחומן הפונקציות כל במחלקת נתבונן

.Range (H) ⊆ B-ש כך זו מחלקה הוא שתחומה

{x ∈ A|x < y} הוא שתחומה הנ"ל במחלקה F יחידה פונקציה קיימת ,y ∈ A לכלהגדרת של ביותר הכללית הצורה לכן .F (y) = H (F � {x ∈ A|x < y}) והמקיימת

היא: ברקורסיה F

∀x∈A F (x) = H (F � {y ∈ A | y < x})

עצמה היא F הפונקציה של מפורשת בהגדרה כי ,F של מפורשת הגדרה אינה זו הערה:ההגדרה. שוויון של ימין בצד להופיע יכולה לא

את המקיימת F פונקציה קיימת שאכן להוכיח יש לגיטימית הגדרה תהיה שזו כדיהיחידה הפונקציה להיות F את להגדיר יכולים אנו ואז יחידה, היא וכי השוויון

הזו.

הן F1, F2 אם כי הנ"ל, השוויון את המקיימת אחת F מפונקציה יותר אין אכןx ∈ A לכל כי באינדוקציה להוכיח קל אז השוויון את המקיימות פונקציות שתי

.F1(x) = F2(x) מתקיים

עקרון את כאן נקבל אנו יותר. ארוכה כנ"ל F פונקציה קיימת שאמנם ההוכחההוכחה. ללא ברקורסיה ההגדרה

דמיון) העתקת (או איזומורפיזם 20.3

שומרת F ש- אומרים ,F : A→ B פונקציה וקיימת סדורות קבוצות A,B אם הגדרה:.F (x) < F (y) אז x < y אם x, y ∈ A לכל אם סדר,

חד היא סדורה לקבוצה סדורה מקבוצה סדר שומרת פונקציה שכל לראות קלערכית. חד

קוראים אנו B סדורה קבוצה על A סדורה מקבוצה סדר שומרת לפונקציה הגדרה:.B-ל A-מ דמיון העתקת גם או B-ל A-מ איזומורפיזם

65

דומות. או איזומורפיות A,B כי אומרים כנ"ל איזומורפיזם שקיימת במקרה

כך איזומורפיזם. F−1 : B → A אז איזומורפיזם F : A→ B אם כי לראות קלאיזומורפיזם. G ◦ F : A→ C אז איזומורפיזם G : B → C גם אם

וטרנזיטיבי. סימטרי רפלקסיבי, כלומר, שקילות. יחס הוא הדימיון יחס מכך כתוצאהעוצמה. שוות גם בפרט הן אז איזומורפיות הן סדורות קבוצות שתי שאם כמובן

C ⊆ A רישא לכל אזי איזומורפיזם, F : A→ B-ו סדורות קבוצות A,B אם משפט:.B של רישא F (C) כי מתקיים

כי להראות נרצה ,u < F (x) יהי כלשהו. x ∈ C עבור F (x) ∈ F (C) יהי הוכחה:.u ∈ F (C)

F (x) ≤ אז x ≤ z אילו .F (z) = u-ש כך z ∈ A יש אז u ∈ B-ש מכיוון.z < x לכן ,u < F (x) להנחה בסתירה F (z) = u

כלומר ,u = F (z) ∈ F (C) ולכן z ∈ C אז z < x ∈ C כי נובע רישא C מהיות� רישא. אכן F (C)

מתקיים x ∈ A לכל אז סדר, שומרת F : A→ A-ו היטב סדורה קבוצה A תהי משפט:.x ≤ F (x)

מתקיים y < x שלכל תהיה האינדוקציה הנחת נניח. .x על באינדוקציה נוכיח הוכחה:.x ≤ f (x) כי גורר שזה ונראה y ≤ f (y)

נפעיל כאשר נשמר זה יחס סדר שומרת f-ש מכיוון .f (x) < x כי בשלילה נניח.f (f (x)) < f (x) נקבל ולכן אגפיו, שני על f את

להתקיים צריך האינדוציה הנחת לפי צריך ולכן f (x) < x הרי כי סתירה, זו� .f (x) ≤ f (f (x))

לרישא היותר לכל איזומורפיזם A-ל יש אז היטב, סדורות קבוצות A,B אם :1 מסקנה.B של אחת

.C $ D הכלליות הגבלת ללא כי ברור שונות. רישות שתי C,D ⊆ B כי נניח הוכחה:

איזומורפיזמים. G : A→ D ,F : A→ C שקיימים בשלילה ונניח ,z ∈ D\C יהי

מצד אולם .F(G−1 (z)

)< z בהכרח ולכן F

(G−1 (z)

)∈ C כי לב נשים

z < כי נובע מהמשפט ולכן סדר, שומרת העתקה F ◦ G−1 : B → B שני� סתירה. וזו ,F

(G−1 (z)

)רישא לאף איזומורפית אינה A היטב סדורה קבוצה כי בפרט נובע זו ממסקנה הערה:רישא היא A-ו עצמה, על A של איזומורפיזם היא הזהות העתקת שכן שלה, ממש

עצמה. של

ביניהן. אחד איזומורפיזם היותר לכל יש אז היטב, סדורות קבוצות A,B אם :2 מסקנה

66

שעבורו z ∈ A שקיים כך שונים, איזומורפיזמים שני F,G : A → B כי נניח הוכחה:הכלליות. הגבלת ללא G (z) < F (z)

אולם .F−1 (G (z)) < z ומכאן F−1 (G (z)) < F−1 (F (z)) מתקיים לכןכי נובע מהמשפט ולכן סדר, שומרת העתקה F−1 ◦ G : B → B שני מצד

� סתירה. וזו ,z < F−1 (G (z))

רישא על מהן אחת של איזומורפיזם קיים ,A,B היטב סדורות קבוצות שתי לכל משפט:השניה. של

,B של הראשון לאיבר A של הראשון האיבר את להעתיק הוא ההוכחה רעיון הוכחה:הקבוצות משתי שבאחת עד הלאה, וכן B של השני לאיבר A של השני האיבר את

איברים. נותרים לא

יחידון {end} /∈ B כאשר ,F : A → B ∪ {end} פונקציה ברקורסיה נגדירכלשהו.

המינימלי האיבר יהיה F (y) אז ממש F [{x ∈ A|x < y}] $ B אם ,y ∈ A לכל.F (y) = {end} אז F [{x ∈ A|x < y}] = B ואם ,B\F [{x ∈ A|x < y}] שלהאחרת, של רישא על B או A-מ איזומורפיזם היא זו פונקציה שאכן להראות כדי

מקרים: שני בין נפריד

end /∈ כלומר ,F הגדרת כדי תוך נגמרה לא B הקבוצה א': מקרה •של איזומורפיזם היא כי נוכיח .Range (F ) ⊆ B כי ברור ואז ,Range (F )

.B של רישא על A

כי ונראה z < x ,x, z ∈ A כי נניח סדר. שומרת F כי נראה –.F (z) < F (x)

ובפרט ,y < x עבור F (y) מכל שונה מהגדרתה F (x) כי לב נשים.F (x) ∈ {B \ F (y) | y < z} ולכן F (x) ∈ {F (y) | y < z} וכן F (x) 6= F (z)B\{F (y) | y < z} של הראשון האיבר הוא מהגדרתו F (z) כי לב נשיםכלומר ,F (z) < F (x) לכן ,F (z) 6= F (x) וכן F (x) את המכילה

סדר. שומרת F

u < v ∈ Range(F ) כי נניח .B של רישא הוא F טווח כי נראה –.u ∈ Range(F ) גם כי ונוכיח

מהגדרת .v = F (x)-ש כך x ∈ A קיים v ∈ Range(F ש-( מכיווןמכיוון ולכן ,B \ {F (y) | y < x} של הראשון האיבר הוא F (x)בהכרח u ∈ B-ש ומכיוון זאת, בקבוצה uאינו משמע u < F (x)-שולכן ,u = F (y)-ש כך y < x קיים לכן .u ∈ {F (y) | y < x}

.B של רישא הוא F וטווח u ∈ Range(F )

על B שתחומו איזומורפיזם שקיים נראה .end ∈ Range(F ) ב': מקרה •.A של רישא

67

מתקיים x < u לכל ואז ,F (u) = end-ש כך A של מינימלי u כי נניח –.{F (y) | y < u} ⊆ B כלומר ,F (x) ∈ B

מתקיים ולכן B \{F (y) ∈ B | y < u} = ∅ מתקיים F (u) מהגדרתRange(F � {y | y < u}) = כלומר ,{F (y) ∈ B | y < u} = B כי

.Bהרישא הוא G תחום .G = F � {y ∈ A | y < u} נסמן

.B הוא וטווחה ,A של {y ∈ A | y < u}.z < x < u כלומר ,G בתחום z < x יהיו סדר. שומרת G כי נראה –,y < x לכל F (x) 6= F (y) כי ברור F (x) ומהגדרת x < u-ש מכיווןF (x) ∈ לכן .F (x) 6∈ {F (y) | y < z} וגם F (x) 6= F (z) ובפרט

.B \ {F (y) | y < z}של הראשון האיבר הוא כי F (z) מהגדרת נובע z < u-ש מכיווןF (z) 6= גם וכן ,F (x) את המכילה B \ {F (y) | y < z} הקבוצהשומרת היא G-ו G (z) < G (x) כלומר .F (z) < F (x) ולכן F (x)

סדר.ולכן ,B על A של רישא של G איזומורפיזם זה במקרה קבלנו כך אם

.A של רישא על B של איזומורפיזם היא G−1 הפונקציה

�

אינה F הגדרת פניה ועל ,F פונקציה ברקורסיה הגדרנו המשפט בהוכחת הערה:להשתמש לנו המתיר המשפט שהוא רקורסיבית, לפונקציה ההגדרה של במתכונתההגדרה ממשפט בהוכחה ההגדרה משתלבת כיצד נראה ברקורסיה. בהגדרה

ברקורסיה.

היא שתחומה H פונקציה נגדיר ,end 6∈ B ועצם B היטב סדורה קבוצה בהינתןאם כדלקמן: H (f) הערך את f פונקציה לכל שנקבע ע"י הפונקציות כל מחלקתואחרת זאת, קבוצה של הראשון האיבר הוא H (f) אז B \ Range (F ) 6= ∅

.H (f) = end

מכיוון .H (F � {y ∈ A | y < x})-ב משתמשים אנו ברקורסיה ההגדרה במתכונתשבחרנו כפי H עבור לכן Range (F � {y ∈ A | y < x}) = {F (y) | y < x}–ששל הראשון האיבר הוא F (x)-ש נותנת ברקורסיה ההגדרה מתכונת עתה זהזאת אחרת. F (x) = end-ו ריקה אינה זאת קבוצה אם B \ {F (y) | y < x}

במשפט. השתמשנו בה ההגדרה בדיוק

כדלקמן. ברקורסיה, בהגדרה שימוש ללא המשפט את להוכיח תרגיל:

של רישא על A של מרישא הסדר שומרות ההעתקות כל קבוצת W תהי הדרכה:התחומים בחיתוך x שאם להראות x על באינדוקציה .F,G ∈ W ותהיינה BH =

⋃W האחוד לכן מתיישבות. F,G כלומר ,F (x) = G (x) אז F,G של

פונקציה. הוא W איברי כל של

68

,B של לרישא A של מרישא סדר שומרת פונקציה היא H גם כי להוכיח כעתאת להרחיב ניתן אחרת כי ,B הוא H טווח או A הוא H תחום כי מכן ולאחר

� .W ב- היא וגם H תחום את ממש מקיף שתחומה לפונקציה H

שלא לב נשים .B � A או A � B אז היטב סדורות קבוצות A,B שאם נובע מהמשפטהאומרת הפשוטה לאינטואיציה בניגוד ,B-ו A קבוצות שתי לסתם זאת להוכיח יכולנוצריכה מהן אחת אז שוות אינן כמויות שתי אם אז כמויות, מייצגות שהעוצמות שמכיוון

מחברתה. גדולה להיות

ניתנות עוצמות שתי שכל נדע היטב לסידור ניתנת קבוצה שכל להוכיח נצליח אםהבחירה. באקסיומת שימוש תוך זאת להוכיח אפשר זו טענה כי נראה להשוואה.

(אה"ב) הטוב הסידור משפט 20.4

היטב. A את המסדר < יחס קיים A קבוצה כל על

איבר בתור A של כלשהו איבר לבחור הוא הרעיון גס, באופן להוכחה: כלליים קוויםאיברים נותרים שלא עד כך ולהמשיך שני כאיבר A של כלשהו אחר איבר ראשון,

הזה. התהליך את במדוייק לתאר יכולים שאיננו היא הבעייה .A-ב

קבוצת על C בחירה לפונקצית זקוקים אנו הזה התהליך את לתאר שנוכל כדיל- טוב סדר לבנות יכולים אנו C בחירה פונקציית בהינתן .A של החזקהיהיה השני ,C (A) יהיה A של הראשון האיבר כדלקמן: שיטתי באופן Aהאיבר יהיה A של x איבר כל כללי, באופן הלאה. וכן ,C (A \ {C (A)})

לסדר. הוכנסו לא שעדיין האיברים מקבוצת C ע"י הנבחר

שתארנו הסדר את יוצרות יותר מאוחר שנביא ההוכחה וגם הנוכחית ההוכחה גםאינטואיטיבית. כאן

אשר ,R טוב סדר יחס עם B ⊆ A לקבוצה נקרא שיטתית סדורה קבוצה בשם הוכחה:כלומר, .x לפני נכנסו שלא A איברי כל מבין הנבחר האיבר הוא x ∈ B כל בו

.x = C (A \ {y ∈ A | yRx}) מתקיים x ∈ B לכל

הבאים: בצעדים ללכת יש כעת

לפי חברתה של רישא היא מהן אחת שיטתית, סדורות קבוצות שתי לכל .1קודם. משפט

הוא שלהן הסדר יחסי איחוד עם שיטתית הסדורות הקבוצות כל איחוד .2המקסימלית. שיטתית הסדורה הקבוצה כמובן שהיא שיטתית, סדורה קבוצה

להרחיב ניתן אחרת כי כולה, A הקבוצה היא זאת שיטתית סדורה קבוצה .3שלה. למקסימליות בסתירה A של נוסף לאיבר אותה

69

לקסיקוגרפי) (או מילוני סדר 20.5

.<B היחס ע"י סדורה קבוצה B ותהי <A היחס ע"י סדורה קבוצה A תהי הגדרה:

a <A a′ כאשר 〈a, b〉 < 〈a′, b′〉 על־ידי A×B הקבוצה על המוגדר היחס < יהי

.b <B b′-ו a = a′ כאשר או

כי (הלקסיקוגרפי) המילוני הסדר נקרא והוא A × B על סדר יחס הוא זה יחסבמילון. המילים מסודרות בו הסדר זהו

.< היחס ע"י סדורה קבוצה A תהי הגדרה:

הנתון ,A איברי של הסופיות הסדרות של A∗ הקבוצה על המוגדר היחס < יהיi < m לכל ai = bi-ש כך m ≤ k, l קיים אם 〈a0, . . . , ak〉 < 〈b0, . . . , bl〉 ע"י

.ai = bi מתקיים i < k ולכל k < l שמתקיים או ,am < bm וגם

(הלקסיקוגרפי). המילוני הסדר נקרא והוא A∗ על סדר יחס הוא זה יחס

משפט:

סדר הוא A × B של המילוני הסדר אז היטב, סדורות קבוצות A,B אם .1שלה. טוב

הוא An של המילוני הסדר ,n ∈ N לכל אז היטב סדורה קבוצה A אם .2שלה. טוב סדר

הסדורה A∗-ש לכך A על ומספיק הכרחי תנאי מצאו סדורה. קבוצה A תהי תרגיל:היטב. סדורה תהיה המילוני בסדר

הדיון והרחבת סיכום 21

הבאות: הטענות שתי את להוכיח תרגיל:

בסדר הסדורה Nn לקבוצה איזומורפית איברים n בת סדורה קבוצה כל .1הרגיל.

איברים n לפחות בת סדורה קבוצה B-ו איברים n בת סדורה קבוצה A אם .2.B לתוך A של סדר שומרת העתקה קיימת אז ( |B| ≥ n (כלומר

הקבוצות הממשיים, של הרגיל בסדר הסדורה R הממשיים המספרים בקבוצת תרגיל:כל ,a < b כאשר (a, b) הפתוחים הקטעים כל עמה, R איזומורפיות: כולן הבאות

.(−∞, a)-ו (a,∞) הפתוחות הקרניים

הרגיל. בסדר הסדורה הרציונליים המספרים לקבוצת גם נכון דבר אותו

70

צפופה, קבוצה נקראת והקבוצה צפוף, סדר נקרא A סדורה קבוצה של הסדר הגדרה:כך z ∈ A קיים x < y-ש כך x, y ∈ A ולכל איברים שני לפחות A-ב יש אם

.x < z < y-ש

הרגיל, בסדר סדורות הממשיים, המספרים וקבוצת הרציונליים המספרים קבוצת(מדוע?). צפופה איננה היטב סדורה קבוצה אף צפופות. הן

ותהי ,P (A) על C בחירה פונקצית שקיימת כך צפופה סדורה קבוצה A תהי משפט:לתוך B של סדר שומרת העתקה קיימת אזי כלשהי, בת־מניה סדורה קבוצה B

.A

קבוצה היא A אם אבל הבחירה, באקסיומת להשתמש נצטרך הכללי במקרה הערה:הבחירה. לאקסיומת בלי גם כזאת בחירה פונקצית קיימת בת־מניה

כי אחרון, ואיבר ראשון איבר A-ל אין בו במקרה לטפל שמספיק לב נשים הוכחה:הראשון האיבר הוצאת ע"י A-מ המתקבלת A′ בקבוצה A את נחליף אחרת

.A′ לתוך תהיה המתקבלת וההעתקה והאחרון,

סדרה ברקורסיה נגדיר חח"ע. סדרה b עבור ,B = {b0, b1, . . . } תהי .1פונקציה היא fn : {b0, b1, . . . , bn} → A-ש כך פונקציות של 〈fn | n ∈ N〉

סדר. שומרת

טריוויאלי. באופן סדר שומרת זאת פונקציה .f0 = {〈b0, C (A)〉} נקבעיהיו סדר. שומרת fn : {b0, . . . , bn} → A-מ יוצאים אנו הרקורסיה בשלבשלהם הסדר לפי מסודרים כשהם B של b0, . . . , bn האיברים c0, . . . , cn

.B-ב

האפשרויות רק ייתכנו ולכן ,b0, . . . , bn שהם c0, . . . , cn-מ שונה bn+1

הבאות:

fn+1 (bn+1) = C ({y ∈ A | y < fn (c0)}) נבחר אז bn+1 < c0 אם (א)

fn+1 (bn+1) = נבחר אז ,ck < bn+1 < ck+1-ש כך 0 ≤ k < n קיים אם (ב)C ({y ∈ A | fn(ck) < y < fn (ck+1)})

fn+1 (bn+1) = C ({y ∈ A | y > fn (cn)}) נבחר אז ,cn < bn+1 אם (ג)

fn+1 (bn+1) כאשר ,fn∪{〈bn+1, fn+1 (bn+1)〉} להיות fn+1 את נבחר כלומרשל המיקום כמו יהיה fn (b0) , . . . , fn (bn)-ל ביחס שמיקומו כך נקבע

.c0, . . . , cn-ל ביחס bn+1

בשני כאשר ב', למקרה זאת נעשה סדר. שומרת fn+1 כי עתה נראה .2דומה. ההוכחה האחרים המקרים

.x < y ,x, y ∈ {b0, . . . , bn+1} יהיוfn+1 (x) = סדר, שומרת fn-ש מכיוון אז x, y ∈ {b0, . . . , bn} אם

.fn (x) < fn (y) = fn+1 (y)

71

fn+1 (x) < ולכן מסויים, k+1 ≤ m ≤ n עבור y = cm אז x = bn+1 אם.fn (ck+1) ≤ fn (cm) = fn (cm) = fn (y) = fn+1 (y)

fn+1 (x) = ואז מסויים 0 ≤ m ≤ k עבור x = cm אז y = bn+1 אם.fn+1 (cm) = fn (cm) ≤ fn (ck) < fn+1 (bn+1) = fn+1 (y)

,fk ⊆ fl מתקיים k < l לכל ולכן ,fn ⊆ fn+1 טבעי n שלכל קבלנו כךפונקציה היא F =

⋃{fn | n ∈ N} לכן מתיישבות. fk, fl והפונקציות

.B כלומר ,fn הפונקציות של התחומים איחוד הוא שתחומה A לתוך

y = bl ,x = bk ויהיו x < y ,x, y ∈ B יהיו סדר: שומרת F כי נראה .3היא F לכן .F (x) = fn (x) < fn (y) = F (y) מתקיים .n ≥ k, l ויהיו

� במשפט. נדרש שקיומה הפונקציה

ואחרון, ראשון איבר ןבלי בנות־מניה צפופות, סדורות, קבוצות A,B תהיינה משפט:איזומורפיות. הן אזי

הרגיל. בסדר הרציונליים המספרים קבוצת היא כזאת לקבוצה דוגמה

עובדים אנו שכאן רק הקודם, המשפט להוכחת מאוד דומה זה משפט הוכחת הוכחה:.B → A ,A→ B - הכיוונים בשני

חח"ע. סדרות a, b כאשר ,B = {b0, b1, . . . } A = {a0, a1, . . . } תהיינהשומרת פונקציה fn-ש כך פונקציות של 〈fn | n ∈ N〉 סדרה ברקורסיה נגדירוהמקיימת {b0, b1, . . . , bn} ⊆ Domfn ⊆ B המקיים סופי תחום עם סדר

.{a0, a1, . . . , an} ⊆ Rangefn ⊆ Abn+1 ∈ אם כך: f+n פונקציה תחילה נגדיר fn בהינתן .f0 = {〈b0, a0〉} נקבעאת שקבענו כמו f+n את נקבע bn+1 /∈ Domfn אם .f+n = fn נבחר Domfn

הקודם. המשפט בהוכחת fn+1

.B-ב שלהם הסדר לפי מסודרים כשהם Domfn של האיברים c0, . . . , cj יהיובאותו רק כאן נטפל .c0, . . . , cj האיברים בין bn+1 של המקום את נמצאש- כך 0 ≤ k < n שקיים והוא הקודם, המשפט בהוכחת טיפלנו בו מקרהfn∪{〈bn+1, f

+n (bn+1)〉} להיות f+n את נקבע זה במקרה .ck < bn+1 < ck+1

.fn (ck) < ai < fn (ck+1) המקיים המזערי i-ה עם ai הוא f+n (bn+1) כאשר

במשפט סדר שומרת fn+1-ש ההוכחה כמו היא סדר שומרת f+n ש- ההוכחההקודם.

ואם ,fn+1 = f+n נקבע an+1 ∈ Rangef+n אם כך: fn+1 את נקבע כעתמסודרים כשהם Rangef+n של האיברים d0, . . . , dm יהיו an+1 /∈ Rangef+nונקבע הללו האיברים בין an+1 של המקום את כעת נמצא .A-ב שלהם הסדר לפינמצא br-ש כך המזערי המספר הוא r כאשר f+n ∪{〈br, an+1〉} להיות fn+1 את

.d0, . . . , dm האיברים בין an+1 כמו f+n של לתחום ביחס המתאים במקום

72

סופי תחום עם סדר שומרת פונקציה היא שהתקבלה fn+1 שהפונקציה לראות קל{a0, a1, . . . , an+1} ⊆ והמקיימת {b0, b1, . . . , bn+1} ⊆ Domfn+1 ⊆ B המקיים

.Rangefn+1 ⊆ Aהיא זאת ופונקציה ,F =

⋃{fn | n ∈ N} נקבע קודם משפט בהוכחת כמו

� .A על B של סדר שומרת העתקה

ממש. למחלקות גם אותו נרחיב ותחילה הטוב, הסדר במושג לדון נעבור כעת

A על סדר יחס הוא אם ,A על טוב סדר יחס נקרא A מחלקה על < יחס הגדרה:הבאים: התנאים שני את המקיים

שלכל כך y איבר כלומר ראשון, איבר יש ריקה שאינה w ⊆ A קבוצה לכל .1.y ≤ x מתקיים x ∈ w

קבוצה. היא y-ל הקודמים A איברי מחלקת ,y ∈ A לכל .2

הנוכחית ההגדרה A קבוצה עבור ולכן קבוצה, היא A כאשר אוטומטית מתקיים ב' תנאיהרגילה. להגדרה שקולה

עתה נרחיב קבוצה. היא היטב סדורה מחלקה של ממש רישא שכל נובע ב' מתנאיבאינדוקציה. ההוכחה משפט את למחלקות

היטב סדורה שהיא מחלק A תהי היטב: סדורה מחלקה על באינדוקציה ההוכחה משפטתכונה. Φ ותהי ,< היחס ע"י

הוא y < x המקיים y ∈ A כל אם ,x ∈ A לכל האינדוקציה: צעד מתקיים אםאז (Φ התכונה בעלי הם < ביחס x-ל הקודמים כל אם (כלומר, Φ התכונה בעל

,Φ התכונה בעל הוא x גם

.Φ התכונה בעלי הם A איברי כל האינדוקציה: מסקנת קיימת אז

בעלי הם A איברי כל שלא נניח כך ולשם השלילה, בדרך המשפט את נוכיח הוכחה:.Φ התכונה

הראשון שהוא b ∈ A איבר שקיים נראה .Φ התכונה בעל שאינו y ∈ A יהיהתכונה בעל שאינו הראשון אינו y אם .Φ התכונה בעל שאינו A איברי מביןאינה Φ התכונה בעלי שאינם y-ל הקודמים A איברי של B המחלקה אז Φולכן א' תנאי לפי קבוצה שהיא A איברי למחלקת חלקית זאת מחלקה ריקה.הם b-ל הקודמים A איברי כל b בחירת לפי .b ראשון איבר לה ויש קבוצה היא

.Φ התכונה בעל שאינו b-ל בניגוד ,Φ התכונה בעלי

x כלשהו לאיבר הקודמים כל שאם האומר האינדוקציה לצעד סתירה קבלנו כך� זאת. תכונה בעל הוא עצמו x גם אז Φ התכונה בעלי הם

73

באופן הוכח שהוא מבלי היטב סדורה קבוצה על פונקציה של ההגדרה משפט את ראינוהיטב סדורה מחלקה על ברקורסיה הגדרה של יותר הכללי המשפט את נביא כאן מלא.

אותו. ונוכיח

ותהי היטב סדורה מחלקה A תהי היטב: סדורה מחלקה על ברקורסיה פונקציה הגדרת.A-ל חלקי שתחומן פונקציות שהן הקבוצות כל מחלקת היא שתחומה פונקציה H

המקיימת: A שתחומה יחידה F פונקציה קיימת אז

∀x∈A F (x) = H (F � {y ∈ A|y < x})

רישא הוא שתחומה f לפונקציה טובה" "פונקציה בשם נקרא זאת הוכחה לצורך הוכחה:תנאי את בתחומה x לכל והמקיימת קבוצות) הם עצמה f-ו f תחום (ולכן A של

.f (x) = H (F � {y ∈ A|y < x}) שהוא הרקורסיה

f טובה פונקציה "קיימת ע"י הנתון Φ (x, y) היחס ע"י נגדיר F הפונקציה את."f (x) = y והמקיימת בתחומה נמצא x אשר

ושפונקציה A שתחומה פונקציה הוא Φ (x, y) ע"י הנתון היחס כי להוכיח עלינו כעתהרקורסיה. תנאי את מקיימת זאת

הן ולכן חברתה את מקיפה מהן שאחת נוכיח טובות. פונקציות f, g תהיינהמתיישבות. בוודאי

נניח חברו. את מקיף מהם אחד אז A של רישות הם f, g של שהתחומים מכיווןx ∈ Domf לכל כי להוכיח עלינו כך לשם .f ⊆ g כי ונוכיח Domf ⊆ Domg כי

באינדוקציה. זה את נוכיח .f (x) = g (x) מתקיים

f � {y ∈ A | y < x} = ולכן ,y < x לכל f (y) = g (y) היא האינדוקציה הנחתאז: הרקורסיה תנאי את מקיימות f, g-ש מכיוון .g � {y ∈ A | y < x}

f (x) = H (f � {y ∈ A | y < x}) = H (g � {y ∈ A | y < x}) = g(x)

האינדוקציה. צעד מסקנת הוכחה ובכך

המקיים אחד y היותר לכל קיים x ∈ A שלכל נובע כי נראה ראינו שכבר ממהקיימות אז .Φ (x, z) Φ (x, y)-ש כך z, y שקיימים נניח כך לשם .Φ (x, y)שתי שכל מכיוון אבל .g (x) = z ,f (x) = y-ש כך f, g טובות פונקציות

.y = f(x) = g(x) = z מתקיים מתיישבות טובות פונקציות

קיימת x ∈ A שלכל להוכיח די ,Φ (x, y)-ש כך y קיים x ∈ A שלכל להוכיח כדי.x על באינדוקציה זאת נעשה .x את מכיל שתחומה טובה פונקציה

את מכיל שתחומה g טובה פונקציה קיימת u < x שלכל היא האינדוקציה הנחתg כאשר j (u) = g (u) על־ידי {u ∈ A | u < x} על j הפונקציה את נגדיר .u

74

כל כי יחיד ערך j (u)-ל נתנו בכך .u את מכיל שתחומה כלשהי טובה פונקציהמתיישבות. טובות פונקציות שתי

u את מכיל שתחומה טובה פונקציה g תהי טובה. פונקציה היא j כי עתה נוכיח.v < u-ש כך v כל את גם ולכן

את מכיל שתחומה טובה פונקציה היא g-ש מכיוון ולכן, v < x מקיים v ≤ u כל.j (v) = g (v) מתקיים ,v

ומתקיים: j � {y ∈ A | y < u} = g � {y ∈ A | y < u} לכן

j (u) = g (u) = H (g � {y ∈ A | y < u}) = H (j � {y ∈ A | y < u})

טובה פונקציה היא j ∪ {〈x,H (j)〉} גם לכן טובה. פונקציה j-ש ראינו כךהאינדוקציה. שלב הוכחת את סיימנו ובזה ,x את מכיל שתחומה

כי להוכיח ונותר ,A שתחומה F פונקציה מגדיר Φ (x, y) שהיחס ראינו כך אםהרקורסיה. תנאי אחר ממלאת זאת F

שמתקיים ברור .x את מכיל שתחומה טובה פונקציה g ותהי x ∈ A יהי.Φ (y, g (y)) מתקיים y < x לכל וגם ,Φ (x, g (x))

F (x) ש-= אומר זה Φ (x, y) היחס על־ידי המוגדרת הפונקציה היא F ש- מכיווןולכן: ,F (y) = g (y) מתקיים y < x ולכל ,g (x)

F � {y ∈ A | y < x} = g � {y ∈ A | y < x}

מתקיים: טובה פונקציה g-ש מכיוון

F (x) = g (x) = H (g � {y ∈ A | y < x}) = H (F � {y ∈ A | y < x})

� .F ל- הרקורסיה תנאי וזהו

למחלקות. ההכללה הוא הבא המשפט

משפט:

על מהן מאחת איזומורפיזם קיים ,A,B היטב סדורות מחלקות שתי לכל .1השניה. של רישא

מן היא האיזומורפיזם אז ממש מחלקה והשניה קבוצה היא B או A אם .2המחלקה. של רישא על הקבוצה

כל ולכן השניה, על מהן מאחת היא האיזומורפיזם ממש, מחלקות A,B אם .3איזומורפיות. היטב סדורות ממש מחלקות שתי

הוכחה:

75

לקבוצות. המשפט להוכחת זהה ההוכחה .1

חח"ע העתקה היתה F−1 אז קבוצה, לתוך F הדימיון העתקת היתה אילו .2היתה ההחלפה אקסיומת ולפי ,DomF על קבוצה, שהיא ,RangeF של

ממש. מחלקה ולא קבוצה DomF

שכל מכיוון אז ,B של ממש רישא על A-מ היתה הדימיון העתקת אילו .3איזומורפיזם היתה זאת קבוצה, היא היטב סדורה מחלקה של ממש רישא

� יתכן. לא שזה ב-ב' וראינו קבוצה, לתוך ממש מחלקה של

76

VIII חלק

הסודרים המספרים

מבוא 22

להשוות באים אנו כאשר היטב. סדורות קבוצות שתי להשוות תמיד יכולים שאנו הוכחנואנו אלא לזו זו ישירות אותן להשוות צריכים איננו כי נוח, מצבנו סופיות קבוצות שתי

מהן. אחת כל של האיברים ספירת באמצעות זאת עושים

לאיבר .0 במספר הספירה את שנתחיל והוא קטן, שינוי נעשה הסודרים במספריםהמספר הלאה. וכן ,1 הסודר המספר את לשני ,0 הסודר המספר את נצמיד הראשוןהקבוצה. איברי של הסודרים למספרים העוקב המספר יהיה כולה הקבוצה של הסודרוהמספר ,0, 1, 2 הם איברים 3 בת סדורה קבוצה איברי של הסודרים המספרים כךהמספרים השוואת ע"י עתה נעשית הקבוצות השוואת .3 הוא הקבוצה של הסודר

שלהן. הסודרים

נגדיר כלומר אינסופיות, היטב סדורות לקבוצות גם הדבר אותו את לעשות עתה ניגששל לרישא איזומורפית A הקבוצה כי נדע ואז כאלו, לקבוצות גם סודר מספר של מושג

.B של לזה שווה או קטן A של הסודר המספר אמ"מ B

את ספרנו בו האופן באותו הסדר לפי הטבעיים המספרים כל קבוצת לספירת עתה ניגשהוא מספר כל של הסודר המספר הטבעיים המספרים בספירת הסופיות. הקבוצות איבריהסודרים למספרים העוקב המספר את לקבוצה לתת עלינו הספירה ובתום עצמו המספרטבעי מספר קיים שלא היא הטבעיים המספרים כל קבוצת בספירת הבעיה איבריו. של(אומגה). ω ונסמנו חדש סודר מספר נמציא זאת למטרה הטבעיים, המספרים לכל העוקבקבוצת של הסודר המספר יהיה והוא הטבעיים המספרים לכל העוקב המספר יהיה זהאת ונספור (1, 2, ...,−1) היטב הסדורה בקבוצה עתה נתבונן הטבעיים. המספריםלהתאים ועלינו אלו מספרים לנו נגמרו הטבעיים המספרים כל על עברנו כאשר איבריה,

.ω יהיה שהוא הבא, המספר את אחריהם הבא ל-1−

כזה מספר לנו שאין ומכיוון ω-ל העוקב המספר את להתאים עלינו כולה לקבוצהלשם הדרושים. המספרים כל ליצירת שיטתית דרך עתה נראה אותו. להמציא עלינואת זה בקורס קיבלנו עתה עד סופיות. לקבוצות הדבר נעשה בה בדרך נתבונן כךגם יכולים שאנו נראה כעת מבחוץ. הקבוצות לתורת שבאו כעצמים הטבעיים המספריםתורת בתוך המתמטיקה כל את לפתח לרצון בהתאם מסויימות, כקבוצות אותם להגדיר

הקבוצות.

כלומר .∅, {∅} , {{∅}} , ... הבא: באופן הטבעיים המספרים את הגדיר צרמלו ארנסטשלו העוקב ,n טבעי מספר ולכל ,∅ הריקה כקבוצה שמוגדר 0 במספר מתחילים הםנעדיף אנו אפשרי). זה (אך זו בקבוצה סדר יחס למצוא קשה .{n} היחידון קבוצת הוא

77

לצורך טבעי באופן להרחיב נוכל שאותה הטבעיים, המספרים של הבאה ההגדרה אתסודרים. מספרים של ההגדרה

כלומר .∅, {∅} , {∅, {∅}} , ... הבא: באופן הטבעיים המספרים את הגדיר פון־נוימן ג'ון.{0, 1, 2, ..., n− 1} הקבוצה הוא n טבעי מספר כל

באופן הטבעיים למספרים מעל סודרים מספרים להגדיר להמשיך מאפשרת זו הגדרההבא:

הטבעיים המספרים כל קבוצת יהיה הטבעיים המספרים לכל שמעבר הראשון המספרפון־נוימן, של להגדרה טבעי כהמשך יהיה, ω של העוקב .ω = {0, 1, 2, ...} שנסמןהלאה. וכן ,ω′′ = {0, 1, 2, ..., ω, ω′} יהיה ω′ של העוקב ,ω′ = {0, 1, 2, ..., ω} האיבר

סודרים. בקיצור או סודרים, מספרים נקרא שנקבל האלה למספרים

מושג את להגדיר כיצד מהן ונלמד נוימן פון של המספרים של התכונות מהן כעת נראההסודר. המספר

הם m מספר של והאיברים ממנו, הקטנים m המספרים כל הם n מספר של האיבריםאיבר כלומר, .n של איברים הם כי ומכאן n-מ גם קטנים ולכן ,m-מ הקטנים מספריםהסודרים. המספרים בהגדרת זו תכונה על לשמור נרצה .n של איבר הוא n של איבר של

.∈ היחס כלומר ה"איברות", ביחס להשתמש נרצה כלומר

סודר 23

.A של איבר הוא A של איבר של איבר כל אם טרנזיטיבית נקראת A מחלקה הגדרה:.a ⊂ A מתקיים a ∈ A לכל אם כלומר

הבאים: התנאים שני מתקיימים אם טרנזיטיבית היא A מחלקה איפיון־שקול:

קבוצה.9 הוא A של איבר כל .1

.x ∈ A אז x ∈ a אם ,a ∈ A לכל .2

ריקה) שאינה (בהנחה⋂A-ו

⋃A גם אז טרנזיטיביות, קבוצות של קבוצה A אם טענה:

טרנזיטיביות. קבוצות

B ומטרנזיטיביות u ∈ a ∈ B ∈ A-ש כך B ∈ A יש אז u ∈ a ∈⋃A אם הוכחה:

.u ∈ B ⊆⋃A כי נובע

B ומטרנזיטיביות ,u ∈ a ∈ B מתקיים B ∈ A לכל אז u ∈ a ∈⋂A 6= ∅ אם

� .u ∈⋂A ולכן B ∈ A לכל מתקיים זה .u ∈ B כי נובע

זאת. ראינו לא זה שבקורס אלא קבוצה, הוא קבוצה בכל איבר כל 9עקרונית

78

מתקיים: אם סודר, בקיצור או סודר מספר היא y קבוצה כי נאמר הגדרה:

טרנזיטיבית קבוצה y .1

∈ היחס על־ידי היטב סדורה קבוצה y .2

.α, β, γ, δ באותיות בדרך־כלל סודרים נסמן

יסודיות תכונות 23.1

סודר. הוא סודר של איבר כל משפט:

∈ היחס כי ומכאן ,b ⊆ α כי נובע α מטרנזיטיביות .b ∈ α ויהי סודר α יהי הוכחה:סודר. להגדרת השני התנאי מתקיים ולכן ,b את היטב מסדר b-ל מצומצם

,α-ב איבר הוא b-ב איבר שכל לב נשים טרנזיטיבית. קבוצה b כי להראות נותרולכן u ∈ v ∈ α נובע α מטרנזיטיביות .u ∈ v ∈ b ∈ α יהיו קבוצה. הוא ולכן

� .u ∈ b נובע ∈ ומטרנזיטיביות u, v, b ∈ α כלומר ,u ∈ α

ריק). באופן מתקיימות הנדרשות התכונות (כל סודר. הוא ∅ משפט:

אם בפרט .α של איבר היא ,α לסודר ממש חלקית טרנזיטיבית קבוצה כל משפט:.β ∈ α או β = α אז β ⊆ α

b = β כי נוכיח .α\b של הראשון האיבר β ויהי טרנזיטיבית, b $ α תהי הוכחה:.b = β ∈ α כי נסיק ומכך הדדית, הכלה באמצעות

β-ש שמכך לב נשים .β ⊂ α ולכן β ∈ α כי מתקיים :β ⊆ b ההכלה את נראה.β ⊆ b ולכן x ∈ b כי מכאן ,x /∈ α\b מתקיים x ∈ β לכל אז α\b-ב הראשון

ניתנים הם ולכן x, β ∈ α כי מתקיים .x ∈ b ⊆ α יהי :b ⊆ β ההכלה את נראהβ ∈ x ∈ b כי נובע b מטרנזיטיביות אז β = x או β ∈ x אם ב-∋. להשוואה

� .b ⊆ β ולכן x ∈ β כי מכאן .β לבחירת בסתירה ,β ∈ b ולכן

סודר. α ∪ {α} אז סודר α אם משפט:

היא קודמת מטענה ולכן סודרים, של טרנזיטיבית קבוצה היא α∪{α} הקבוצה הוכחה:� סודר.

.α סודר לכל α /∈ α משפט:

נניח אי־רפלקסיבי. ולכן סדר יחס הוא ∈ כי ,β /∈ β מתקיים β ∈ α לכל הוכחה:וזו ,α /∈ α גורר α ∈ α לכן .α /∈ α מקיים α בפרט כי נסיק ,α ∈ α כי בשלילה

� סתירה.

.β ∈ α אמ"מ β $ α כי מתקיים α, β סודרים זוג לכל משפט:

79

כי קודמת מטענה נובע כסודר β מטרנזיטיביות ,β $ α נניח ראשון) (כיוון הוכחה:.β ∈ α

כי ידוע אבל ,β ⊆ α כי נובע α מטרנזיטיביות אז ,β ∈ α כי נניח שני) (כיוון� .β $ α בהכרח ולכן β /∈ β

.∈ ביחס להשוואה ניתנים סודרים שני כל משפט:

היא ולכן לשתיהן וחלקית טרנזיטיבית α∩β כי מתקיים סודרים. שני α, β יהי הוכחה:סודר.

שסודר לכך בסתירה ,α∩β ∈ α∩β כי נקבל אז ,α∩β ∈ β וגם α∩β ∈ α אםלעצמו. שייך אינו

הבאות: האפשרויות משתי אחת מתקיימת בהכרח לכן

וסיימנו. α = β ואז ,α ∩ β = β וגם α ∩ β = α -

� וסיימנו. ,β ∈ α סימטרי באופן או ,α ∈ β ואז α ∩ β ∈ β וגם α ∩ β = α -

המינימלי האיבר והיא סודר, היא⋂A אז סודרים, של ריקה לא מחלקה A אם משפט:

.∈ הסדר תחת A של

קבוצה הוא כזה שחיתוך הוכחנו שכן סודר, הוא α =:⋂A כי מתקיים הוכחה:

טוב. סדר הוא α-ל ∈ היחס של והצמצום טרנזיטיבית

או α = β כי נובע קודם ממשפט ולכן ,α ⊆ β מתקיים β ∈ A שלכל לב נשים.α ∈ β

מתקיים אחרת ,A של המינימלי האיבר β אז α = β-ש כך β ∈ A יש אםשייך לא שסודר לכך בסתירה ,α ∈

⋂A = α ולכן β ∈ A לכל α ∈ β ∈ A

� לעצמו.

.∈ על־ידי היטב סדורה On שנסמן הסודרים כל מחלקת משפט:

סדר, יחס עליה מוגדר כי להראות יש היטב סדורה שקבוצה להראות כדי הוכחה:איברים זוג כל כלומר מלא, הזה שהסדר וכן וטרנזיטיבי, אי־רפלקסיבי כלומר

מינימלי. איבר יש שלה תת־קבוצה שלכל וכן להשוואה, ניתן

שתמיד הוכחנו כי אי־רפלקסיבי הוא ∈ באמצעות On על שמוגדר הסדר יחס -.α ∈ γ אז α ∈ β ∈ γ אם שכן הסודרים, מטרנזיטיביות וטרנזיטיבי α /∈ α

מלא. סדר זה ולכן ,∈ ביחס להשוואה ניתן סודרים זוג שכל הוכחנו -

ריקה לא A קבוצה לכל מינימלי⋂A כי שהוכחנו מכך נובע מינימלי איבר קיום -

� סודרים. של

סודר. היא סודרים של טרנזיטיבית קבוצה כל מסקנה:

80

∈ הסדר צמצום הסודרים, למחלקת חלקית שהיא ומכיוון נתונה, הטרנזיטיביות הוכחה:� ב-∋. שלה היטב סידור מהווה אליה הסודרים מחלקת של

העליון החסם והיא סודר, היא⋃A אז סודרים, של ריקה לא מחלקה A אם מסקנה:

הסודרים מכל שווה או שגדול הראשון הסודר הוא כלומר .∈ הסדר תחת A של.A-ב

הוא טרנזיטיביות קבוצות של שאיחוד הוכחנו שכן סודר, הוא⋃A כי מתקיים הוכחה:

סודר. שהיא קודם ממשפט נסיק סודרים איבריה שכל ומכיוון טרנזיטיבית, קבוצה

סודר β אם מינימלי. מלעיל חסם שהוא נראה מלעיל, חסם שזה לראות קלולכן ,γ ∈ A לכל γ ⊆ β כי קודמת מטענה נובע ,γ ∈ A לכל γ ∈ β המקיים

� .⋃A ∈ β כי נסיק קודמת טענה אותה לפי שוב .

⋃A ⊆ β

ממש. מחלקה היא On הסודרים מחלקת מסקנה:

עליה ומוגדר טרנזיטיבית היא שכן סודר, הייתה היא אז קבוצה הייתה On לו הוכחה:כלומר ,On הסודרים כל בקבוצת מוכלת עצמה היא לכן .∈ טוב סדר יחס

� בעצמו. מוכל לא סודר שאף לכך בסתירה וזאת ,On ∈ On

הסודרים כל מיון 23.2

הבאים: הסוגים לשלושת מתחלקים כולם הסודרים

∅ הסודר •{α ∈ On|∃β∈On α = β ∪ {β}

}כלומר העוקבים. הסודרים כל •

עוקבים. ואינם ∅ שאינם הסודרים כל כלומר הגבוליים. הסודרים כל •

β ∈ γ ∈ α שמתקיים כך γ קיים β ∈ α לכל וגם α 6= ∅ אמ"מ גבולי סודר α משפט:שונים). (שלושתם

סודר אף של עוקב לא והוא α 6= ∅ כלומר גבולי. סודר α כי נניח ראשון) (כיוון הוכחה:אחר.

,β ∪ {β} 6= α כי נובע עוקב אינו α-ו מאחר .β ∈ α סודר קיים α 6= ו-∅ מאחר.γ = β ∪ {β} נקבל במשפט הסימון תחת לכן .β ∪ {β} ∈ α בהכרח ולכן

α 6= ∅ כי נתון ראשית במשפט. התנאי מתקיים α סודר שעבור נניח שני) (כיווןעוקב. אינו α-ש להראות נותר ולכן

מתקיים לכן כלשהו. סודר β-ל α = β ∪ {β} כלומר עוקב, α-ש בשלילה נניחושלושתם β ∈ γ ∈ α שמתקיים כך γ סודר שקיים נובע במשפט ומהתנאי ,β ∈ α

� .β של העוקב α-ש לכך בסתירה וזאת שונים,

81

עוקב. או ∅ הוא ממנו קטן סודר כל אם או ∅ הוא אם טבעי מספר נקרא סודר הגדרה:

טבעי. מספר גם n+ 1 כי לראות קל טבעי מספר n אם טענה:

טבעי. מספר m < n שכל לראות קל טבעי מספר n אם

היטב הסדורות הקבוצות כל מיון 23.3

הסודרים. כל למיון זהה היטב הסדורות הקבוצות כל מיון כי נראה

טיפוס מכונה זה סודר .α יחיד לסודר איזומורפית היטב סדורה קבוצה כל משפט:.A של הסדר

הוכחה:

F : A → On פונקציה ברקורסיה נגדיר היטב. סדורה קבוצה A תהי .1מועתק A של המינימלי האיבר כלומר, .F (x) = {F (y) |y < x} להיותקטנים לאיברים המתאימים הסודרים כל אוסף הוא F (x) והאיבר ל-∅,

.x-מ

F (y) הקבוצה y < x לכל ראשית .x ∈ A לכל סודר F (x)-ש נוכיחקבוצת היא F (x) = {F (y) |y < x} ולכן האינדוקציה, מהנחת סודר היאעבור F (y) הוא F (x) של כללי איבר כי טרנזיטיבית, קבוצה זו סודרים.

נובע: מההגדרה ולכן כלשהו, y < x

F (y) = {F (z) |z < y} ⊂ {F (z) |z < x} = F (x)

היא ולכן סודרים, שאיבריה טרנזיטיבית קבוצה היא Range (F ) הקבוצהסודר. עצמה

שנובע כפי F (y) ⊂ F (x) אז y < x אם שכן סדר, שומרת F כי מתקיים.α שנסמן Range (F ) הסודר על A של איזומורפיזם F לכן מההגדרה.

α, β סודרים לזוג איזומורפית A כי בשלילה נניח יחיד. α כי נראה .2היטב סדורה קבוצה היא β כי מתקיים כללי באופן .β ∈ α המקיימיםומכאן ,α היטב הסדורה הקבוצה של ממש לרישא איזומורפית היא ולכן� סתירה. וזאת ,α של ממש לרישא וגם α-ל גם איזומורפית A כי נקבל

בהתאמה. α, β לסודרים שאיזומורפיות היטב, סדורות קבוצות A,B יהיו משפט:

בהתאמה). (ממש, β ∈ α אמ"מ A של (ממש) לרישא איזומורפית B אזי

A′ ⊂ A כי ונניח היטב סדורות קבוצות של איזומורפיזם F : A→ B אם למה:.B של ממש רישא F [A′] אז ,A של ממש רישא

82

נרצה ,u < v ∈ G [A′] יהיו .B של רישא F [A′] כי נראה ראשית הוכחה:.u ∈ F [A′] להראות

על F ש- מכיוון .v = F (x)-ש כך x ∈ A′ שיש נובע v ∈ F [A′] מהנתון.u = f (y)-ש כך y ∈ A שיש נובע B

בסתירה ,v = F (x) ≤ F (y) = u כי נקבל אז ,x ≤ y כי בשלילה נניחy < x ∈ כי נובע רישא A′-ש מהנתון .y < x בהכרח ולכן ,u < v להנחה

� כנדרש. ,u = F (y) ∈ F [A′] ולכן y ∈ A′ אז A′

איזומורפיזמים. G : β → B ,F : α→ A יהיו הוכחה:

כי מתקיים .FG−1 : B → A באיזומורפיזם נתבונן ,β ∈ α אם ראשון) (כיווןולכן ,B של רישא G [β] כי נובע מהלמה .FG−1 [B] = G

[F−1 [B]

]= G [β]

.A של רישא על B של איזומורפיזם היא GF−1

כי מתקיים רישא. A′ ⊂ A כאשר איזומורפיזם, H : B → A′ כי נניח שני) (כיווןאיזומורפיזם, היא HG : β → α′ ההעתקה ולכן ,Range (G) = B = Dom (H)הסדר טיפוס הוא β כי ומכאן ,α′ ∈ α ולכן ,A′ של הסדר טיפוס היא α′ כאשר

� .α של רישא של

הרטוגס משפט 23.4

ועל. חח"ע העתקה F : A→ B ותהי ,A על כלשהו יחס <A יהי הגדרה:

<B המסומן היחס הוא ,F באמצעות <A על־ידי B על המושרה היחס כי נאמרלהיות: המוגדר

<B= {F (x) <B F (y) |x <A y}

טוב סדר יחס הוא <B המושרה היחס אז ,A על טוב סדר יחס <A שבו במקרה.B על

.A בתוך α את לשכן א"א כלומר .α � A-ש כך α סודר קיים A קבוצה לכל משפט:

של הסודרים כל קבוצת להיות המוגדרת W בקבוצה נתבונן קבוצה. A תהי הוכחה:.A-ל חלקיות קבוצות של הטובים הסידורים

β שכן ,W איברי מכל גדול α כי מתקיים .α = β ∪ {β} וכן β =⋃W נגדיר

שלהם. עליון חסם הוא

.F : α → B ⊂ A מהצורה חח"ע העתקה יש כלומר ,α � A כי בשלילה נניחמתקיים זה יחס ותחת ,B בקבוצה F על־ידי המושרה הטוב הסדר ביחס נתבונןהוא α ולכן היטב, סדורה B קבוצה על α הסודר של איזומורפיזם היא F כיאיברי מכל גדול α-ש לכך בסתירה ,α ∈W כי ומכאן ,B ⊂ A של הסדר טיפוס

� .W

83

IX חלק

הבחירה אקסיומת של שקולות צורות

שזאת כך על שמצביע מה שונות, בצורות מופיעה הבחירה שאקסיומת נראה זה בפרקמזה. זה ושונים רבים בהקשרים המופיעה הקבוצות תורת של טבעית אקסיומה

הרבה עולם הוא טוב בסדר לסדרן שאפשר הקבוצות עולם הקודם, בפרק שראינו כפילנו מאפשר הוא קבוצה על טוב סדר יש כאשר הקבוצות. כל עולם מאשר נוח יותרההוכחה במשפטי במיוחד מתבטא וזה זה, אחר בזה אינדיבידואלי טיפול באיבריה לטפלאז קבוצות שתי על טוב סדר יש כאשר כן, על יתר ברקורסיה. וההגדרה באינדוקציההשניה, לתוך מהן אחת של ערכית חד חד העתקה שקיימת במובן להשוואה ניתנות הן

מלא. סדר להיות הופך העוצמות של החלקי הסדר מזה וכתוצאה

(אה"ב) הטוב הסידור משפט 24

טוב. סדר יש קבוצה לכל

סודר α ויהי ,P (A) החזקה קבוצת על בחירה פונקציית C ותהי קבוצה A תהי הוכחה:.end /∈ A יהי הרטוגס. ממשפט כזה קיים .α ⊀ A המקיים

:β ∈ α סודר שלכל כך ,F : α→ A ∪ {end} פונקציה ברקורסיה נגדיר

F (β) =

{C (A\ {F (γ) |γ ∈ β}) {F (γ) |γ ∈ β} $ A

end otherwise

כלומר חח"ע, F אז כי ,{F (γ) |γ ∈ β} $ A מתקיים β ∈ α שלכל ייתכן לאמינימלי סודר δ ∈ α קיים לכן .α לבחירת בסתירה ,A בתוך α של שיכון היא

.F (δ) = end המקיים

היא F � δ כי נקבל ולכן ,A ⊆ {F (γ) |γ ∈ δ} כי מתקיים F (δ) הגדרת לפיכלומר ,A על טוב סדר משרה δ הסודר של הטוב הסדר לכן .A על δ של שיכון

� היטב. סדורה A

הבחירה. אקסיומת את גורר הטוב הסידור משפט משפט:

את היטב שמסדר < יחס שקיים נובע הטוב הסידור ממשפט קבוצה. A תהי הוכחה:.⋃A

אז X = ∅ ואם ,C (X) = minimum of X פונקציה נגדיר ∅ 6= X ∈ A לכל� כנדרש. בחירה, פונקציית C כי לראות קל כלשהו. a /∈ A עבור C (X) = a

הבחירה. לאקסיומת שקול הטוב הסידור משפט מסקנה:

84

(אה"ב) העוצמות/הקבוצות השוואת משפט 25

להשוואה. ניתנות קבוצות זוג כל

את לסדר ניתן כי נובע הבחירה, לאקסיומת ששקול הטוב, הסידור ממשפט הוכחה:כל מחלקת כי ידוע המתאימים, הסודרים טיפוסי הם α, β כי נניח היטב. A,Bבהתאמה יקבע עליהם והיחס להשוואה, ניתנים α, β ולכן היטב, סדורה הסודרים

� .A,B על היחס את

הבחירה. אקסיומת את גורר העוצמות/הקבוצות השוואת משפט משפט:

הטוב. הסידור משפט את גורר שהוא נוכיח הוכחה:

הרטוגס. ממשפט כזה קיים .α ⊀ A המקיים סודר α ויהי כלשהי קבוצה A תהיקיים כלומר ,A ≺ α שמתקיים אם־כן נובע העוצמות/קבוצות השוואת ממשפט

� כנדרש. ,A על טוב סדר משרה F−1 כך אם .F : A→ α שיכון

הבחירה. לאקסיומת שקול העוצמות/קבוצות השוואת משפט מסקנה:

(אה"ב) צורן של הלמה 26

שרשרת, היא B ⊆ A חלקית קבוצה כי אומרים חלקית. סדורה קבוצה A תהי הגדרה:אליה. המצומצם הסדר ביחס מלא סדורה B אם

היטב. סדורה B ⊆ A מקסימלית שרשרת ישנה חלקית, סדורה קבוצה A תהי טענה:.A בתוך ממש מלעיל חסומה שאינה היטב, קווית סדורה תת־קבוצה כלומר

על בחירה פונקציית C תהי ריקה, אינה A אם .B = ∅ נבחר A = ∅ אם הוכחה:החסמים קבוצת להיות H (D) את נגדיר D ⊆ A תת־קבוצה כל עבור וכן ,P (A)

.D של ממש מלעיל

ברקורסיה ונגדיר end /∈ A יהי .γ ⊀ A המקיים γ סודר קיים הרטוגס ממשפטלהיות: F : γ → A ∪ {end} מהצורה פונקציה

F (β) =

{C (H (F [β])) for F [β] ⊆ A H (F [β]) 6= ∅

end otherwise

אכן אם F [δ] = end וגם δ ≤ γ המקיים המינימלי הסודר להיות δ את נגדירשהפונקציה נוכיח .δ = γ נגדיר ואחרת אלה, תנאים שני שמקיים סודר קיים

.A בתוך δ של שיכון היא F � δ

.F [λ] ⊆ A ולכן F [λ] ∈ A המקיים λ < δ סודר שקיים נובע δ ממינימליותלכל ולכן ,{F (α) |α < λ} הקבוצה של ממש מלעיל חסם F (λ) כי מתקיים

85

סדר, שומרת פונקציה F � δ כי לראות קל .F (β) < F (λ) מתקיים β < λחח"ע. היא וכן היטב סדורה שרשרת היא F [δ] ולכן

.δ < γ ולכן δ = γ ייתכן שלא נובע γ ⊀ A שיקיים γ שמבחירת לב נשים כעתממש מלעיל חסומה לא שרשרת היא F [δ] ולכן F (δ) = end כי הראינו אבל

� .A-ב

מלעיל, חסם יש שרשרת לכל שבה חלקית סדורה קבוצה A תהי צורן): של (הלמה טענהמקסימלי. איבר A-ב יש אזי

לאקסיומת שקולה היא שנראה כפי שכן "למה", אינה צורן" של "הלמה היסטורית: הערהלראשונה שהבין מי שכן צורן, מקס המתמטיקאי של לא גם והיא הבחירה,האוסדורף, פליקס המתמטיקאי היה הבחירה אקסיומת לבין בינה השקילות אתבשנות ששימש מכיוון צורן" של "הלמה מכונה זה עקרון ה־20. המאה בתחילתלמשל באלגברה, שונות טענות בהוכחת צורן מקס את ה־20 המאה של ה-30

בסיס. יש ווקטורי מרחב שלכל

שאינה היטב סדורה שרשרת שהיא B ⊆ A שקיימת נובע הקודמת מהטענה הוכחה:.A-ב ממש מלעיל חסומה

חסם יש היטב סדורה שרשרת שלכל נובע צורן של בלמה מההנחה שני, מצדלא מלעיל חסם הוא x בהכרח לכן .B של מלעיל חסם x ∈ A קיים ולכן מלעיל,

.B היטב הסדורה השרשרת של מקסימום הוא כלומר ממש.

היה y אז x < y היה לא שכן ,A-ב מקסימלי בהכרח הוא x-ש לב נשים כעת� .B של ממש מלעיל חסם גם בפרט

הבחירה. אקסיומת את גוררת צורן של הלמה משפט:

ששקול העוצמות/קבוצות השוואת משפט את גוררת צורן של שהלמה נוכיח הוכחה:הבחירה. לאקסיומת

את נגדיר .F : A → B חח"ע פונקציה למצוא נרצה קבוצות, A,B יהיו .1,B בתוך וטווחן A-ל חלקי שתחומן החח"ע הפונקציות כל קבוצת להיות D

ההכלה. יחס באמצעות זו קבוצה על חלקי סדר ונגדיר

שרשרת לכל D שבקבוצה צורן, של בלמה הנדרש התנאי שמתקיים נוכיח .2מלעיל. חסם יש

לראות קל .S של מלעיל חסם הוא⋃S כי נראה שרשרת, S ⊆ D תהי

פונקציה עצמה שהיא להראות נותר לכן ,S-ב פונקציה כל מקיפה⋃S כי

G1, G2 ∈ S פונקציות קיימות משמע .〈x, y〉 , 〈x, z〉 ∈⋃S יהיו חח"ע.

נניח אם ולכן ,〈x, z〉 ∈ G2 ∈⋃S וכן 〈x, y〉 ∈ G1 ∈

⋃S המקיימות

קווית סדורה לשרשרת שייכות שתיהן (שכן G1 ⊆ G2 הכלליות הגבלת ללא.y = z כי ינבע G2 מחח"ע ולכן 〈x, y〉 , 〈x, z〉 ∈ G2 כי נסיק הכלה) על־ידי

86

קיימת כלומר מקסימלי. איבר D-ב שיש נובע צורן של מהלמה כך, אם .3מהמקסימליות .Range (F ) ⊆ B וכן Dom (f) ⊆ A המקיימת F חח"ע פונקציהכלומר ,Range (F ) = B או Dom (f) = A מתקיים שבהכרח נובע F של

� המבוקשת. הפונקציה היא F

הבחירה. לאקסיומת שקולה צורן של הלמה מסקנה:

צורן) של בלמה (שימוש ווקטורי למרחב בסיס קיום 26.1

הגדרות:

אם ,W ⊆ V קבוצה של לינארי כצירוף v את נגדיר ווקטורי. מרחב V יהי .1.W מ- ווקטורים של סופי כסכום לביטוי ניתן הוא

של לינארי צרוף אינו v ∈ W כל אם בלתי־תלויה נקראת W ⊆ V קבוצה .2.W\ {v}

תת־קבוצה כל אמ"מ בלתי־תלויה היא W ⊆ V שתת־קבוצה לראות קלבלתי־תלויה. היא שלה סופית

v ∈ V וכל תלויה, בלתי היא היא ,V של בסיס נקראת W ⊆ V תת־קבוצה .3.W של לינארי צרוף הוא

בסיס. יש ווקטורי מרחב לכל (אה"ב): משפט

הוכחה:

יחס עליה ונגדיר ,V במרחב הבלתי־תלויות הקבוצות תת כל קבוצת Q תהי .1ההכלה. יחס על־ידי חלקי סדר

חסם יש שרשרת שלכל צורן, של בלמה הנדרש התנאי בה שמתקיים נוכיח .2מלעיל.

כי לראות קל ראשית .S של מלעיל חסם⋃S כי נוכיח .Q-ב שרשרת S תהי

עצמה שהיא להראות נותר לכן ,Q-ב בלתי־תלויה תת־קבוצה כל מקיפה Sבלתי־ זו קבוצה כי נוכיח ,{s1, s2, ..., sn} ⊆

⋃S תהי בלתי־תלויה. קבוצה

.si ∈ Ti ∈ S המקיימת Ti קבוצה קיימת 1 ≤ i ≤ n שלכל לב נשים תלויה.מקסימלי איבר לה ויש סדורה ולכן {T1, T2, ..., Tn} ⊆ S הקבוצה כך אםומכיוון ,{s1, s2, ..., sn} ⊆ Tj ∈ S שמתקיים כך ,si כל את שמכיל Tj

בלתי־תלויה. {s1, s2, ..., sn} כי נובע בלתי־תלויה S-ש

מתקיים .P שנסמן מקסימלי איבר Q-ב שיש נובע צורן של מהלמה כך, אם .3.V של בסיס היא P כי נוכיח בלתי־תלויה. קבוצה P ולכן P ∈ Q כי

אזי ,P ב- איברים של לינארי צירוף אינו v כי בשלילה נניח .v ∈ V יהיסתירה זו ולכן P את מקיפה היא אבל בלתי־תלויה, P ∪ {v} הקבוצה

� .P למקסימליות

87

X חלק

כעוצמות הסודרים

מונים 27

.A-ל ששווה־עוצמה המינימלי הסודר הוא |A| קבוצה. A תהי הגדרה:

ממנו. קטן סודר לאף שווה־עוצמה אינו |A| הסודר ,A שלכל לראות קל

ממנו. קטן סודר לאף שווה־עוצמה שאינו סודר הוא מונה, בקיצור או מונה סודר הגדרה:

שהגדרנו. |A| העוצמות הם שהמונים לראות קל

מונה. ω וכן מונה, הוא סופי סודר כל משפט:

גבולי. סודר הוא אינסופי מונה כל משפט:

אינסופי בהכרח β הסודר .α = β + 1 כי בשלילה ונניח אינסופי, מונה α יהי הוכחה:.ω ⊆ β ומכאן ω ∈ β לכן אינסופי. α שכן

כלומר ,α = β + 1 = β ∪ {β} ≈ β כי נובע בת־מניה קבוצה מקיף β-ש מכיוון� מונה. α להיות בסתירה ממנו, קטן לסודר שווה־עוצמה α

.α < β מונה קיים α מונה לכל משפט:

לא .β = |γ| נבחר .α-ב משתכן שאינו γ סודר שקיים נובע הרטוגס ממשפט הוכחה:את לשכן יכולים היינו ולכן ,β על γ של חח"ע העתקה קיימת שכן β ≤ α ייתכן

� .γ לבחירת בסתירה ,α בתוך γ

.⋃A = supA לסמן נהוג מונה.

⋃A העליון החסם אז מונים של קבוצה A אם משפט:

.α = β כי ונוכיח β = |α| נסמן לא, אם סיימנו. α ∈ A אם .α =⋃A נסמן הוכחה:

α כלומר ,α = β בהכרח ולכן α ≤ β גם אז ,γ ≤ β מתקיים γ ∈ A לכל אםמונה.

ומכיוון ,β < γ ≤ α כי נקבל ,β < γ המקיים γ ∈ A קיים זאת לעומת אם� מונה. γ להיות בסתירה ,γ ≈ β כי נסיק α ≈ β-ש

מחודשת) (גישה העוצמה מושג 27.1

ניתנת קבוצה כל אז הטוב, הסידור למשפט ששקולה הבחירה אקסיומת את מניחים אםמשמע שלה, לסודר היטב סדורה קבוצה כל בין איזומורפיזם שקיים מכיוון טוב. לסידור

המתאים. למונה שוות־עוצמה שהיא ומכאן שלה, לסודר שוות־עוצמה קבוצה כל

88

היחיד המונה כעוצמת ,|A| שנסמן ,A קבוצה של העוצמה את להגדיר יכולים אנחנו לכן.A-ל ששווה־עוצמה

ℵ הפונקציה 28

הבא: באופן המונים למחלקת הסודרים ממחלקת ℵ פונקציה ברקורסיה נגדיר הגדרה:

להיות ℵα את ונגדיר α = β + 1 נסמן עוקב α אם ,α סודר לכל .ℵ0 = ω10.ℵα =

⋃{ℵβ|β < α} נגדיר גבולי α ואם ,ℵβ-מ שגדול המינימלי המונה

טענה:

סודר לכל F (α) < F (α+ 1) המקיימת פונקציה F : On → On תהי .1F אזי ,α < β כל עבור F (α) ≤ F (β) מקיימת β גבולי סודר ולכל ,α

סדר). (שומרת עולה פונקציה

α ≤ F (α) מתקיים α סודר לכל אזי עולה, פונקציה F : On→ On תהי .2

הוכחה:

.F (α) < F (γ) מתקיים α < γ שלכל γ על באינדוקציה נוכיח .1

α ≤ β מתקיים α < γ לכל לכן .γ = β + 1 נסמן עוקב γ-ש במקרהF (α) ≤ F (β) < F (β + 1) = מתקיים F על ומהנתון האינדוקציה ומהנחת

.F (γ)

F (α) < נסיק ולכן α+ 1 < γ מתקיים α < γ לכל אז גבולי γ-ש במקרה.F (α+ 1) ≤ F (γ)

.0 ≤ F (0) מתקיים ודאי α = 0 עבור .α על באינדוקציה נוכיח .2

β ≤ נובע האינדוקציה מהנחת .α = β + 1 נסמן עוקב α-ש במקרהα = β + 1 ≤ נובע עוקב α-ש ומכיוון F (β) < F (β + 1) = F (α)

.F (α)

β ≤ F (β) < מתקיים β < α לכל האינדוקציה מהנחת גבולי, α-ש במקרה� .α ≤ F (α) ולכן F (α)

מסקנה:

ההגדרה. לפי ℵα < ℵα+1 מתקיים שכן עולה, ℵ הפונקציה .1

.α ≤ ℵα מתקיים α סודר לכל .2

קודמת. בטענה שהוכחנו כפי מונה, מגדיר אכן זה 10ביטוי

89

מונה כל כלומר האינסופיים. המונים כל מחלקת הוא ℵ הפונקציה של הטווח משפט:כלשהו. α אינסופי לסודר ℵα הוא אינסופי

ממשפט נסיק ולכן אינסופי, מונה הוא כלשהו α אינסופי לסודר ℵα שכל ברורהאלפים. מחלקת לבין האינסופיים המונים מחלקת בין זהות שיש זה

העוצמות כל ולכן מונים הן העוצמות כל אז הבחירה, אקסיומת את מניחים אםהאלפים. בעצם הן

{β|α ≤ ℵβ} הקבוצה ולכן α ≤ ℵα מתקיים קודמת מטענה אינסופי. מונה α יהי הוכחה:וזה α = ℵβ כי נוכיח .α ≤ ℵβ המקיים המינימלי הסודר β יהי ריקה. אינה

מקרים: בשלושה נדון .α = ℵβ ∈ Range (ℵ) כי יספיק

.α = ω = ℵ0 כי נובע ומאינסופיותו α ≤ ℵ0 = ω אז β = 0 אם -

נסיק ולכן ,ℵγ < α מתקיים כמינימלי ומהגדרתו ,β = γ+ 1 נסמן עוקב β אם -כי ומכאן ℵγ-מ שגדול המינימלי המונה הוא ℵγ+1 = ℵβ הסודר כי מההגדרה

.α = ℵβ ולכן ההפוך השוויון אי גם מתקיים אבל .ℵβ = ℵγ+1 ≤ αהמקיים γ < β היה אם שכן ,ℵγ < α מתקיים γ < β לכל גבולי, β אם -מתקיים לכן הנ"ל. לתכונה ביחס β למינימליות סתירה הייתה זו α ≤ ℵγ� .ℵβ = α כי נקבל ההפוך השוויון מאי ושוב ,ℵβ =

⋃{ℵγ |γ < β} ≤ α

אלפים חיבור 28.1

.ℵα · 2 = ℵα אחרות במילים או ,ℵα + ℵα = ℵα מתקיים α סודר לכל משפט:

הוכחה:

ℵα = ℵα · 1 ≤ ℵα · 2 ≤ ℵα · ℵα = ℵα

הבא.� מהמשפט נובע האחרון השוויון כאשר

מתקיים טבעי n ולכל ,ℵα + ℵβ = ℵmax{α,β} מתקיים α, β סודרים זוג לכל מסקנה:.ℵα + n = ℵα

באופן A×A הקבוצה על <∗ סדר יחס נגדיר היטב. סדורה קבוצה 〈A,<〉 תהי למה:הבא:

max {x, y} = כאשר או 11max {x, y} < max {u, v} מתקיים אם 〈x, y〉 <∗ 〈u, v〉השמאלי. המילוני בסדר 〈x, y〉 < 〈u, v〉 מתקיים אם max {u, v}

.A×A על טוב סדר הוא שהגדרנו <∗ כי מתקיים

זרות, סודרים קבוצות שתי של איחוד הוא גבולי סודר שכל נראה נוספת: הוכחה.ℵα = ℵα+ℵα כי נסיק גבולי סודר הוא מונה שכל מכיוון לסודר. שאיזומורפיות

.< הסדר באמצעות השנים מבין הגדול את בוחרים 11כאשר

90

הבא: באופן n על ברקורסיה α + n את נגדיר טבעי, n-ו α סודר לכל הגדרה:להגדיר ניתן אמנם .α+(n ∪ {n}) = (α+ n)∪{α+ n} וכן ,α+0 = αלא אולם סופיים, סודרים של חיבור רק ולא סודרים, בין חיבור כללי באופן

כאן. מזה יותר נצטרך

למה:

.α+m < α+ n מתקיים טבעיים m < n ולכל α לכל .1[.n על באינדוקציה [הוכחה

מתקיים טבעי n לכל גבולי, סודר β כאשר סודרים α < β לכל .2.α+ n < β

לכל אמ"מ גבולי הוא α שסודר ונזכור ,n על באינדוקציה [הוכחה[.γ < δ < α המקיים δ סודר קיים γ < α

לכל הסודרים: מחלקת הוא שתחומה lim פונקציה ברקורסיה נגדיר הגדרה:נסמן עוקב סודר α ואם ,lim (α) = α נגדיר גבולי, או 0 שהוא α סודר

.lim (α) = lim (β) ונגדיר α = β + 1

α סודר לכל הסודרים: מחלקת הוא שתחומה Fin פונקציה ברקורסיה נגדירα = β+ 1 נסמן עוקב סודר α ואם ,Fin (α) = 0 נגדיר גבולי, או 0 שהוא

.Fin (α) = Fin (β) + 1 ונגדיר

שקטן ביותר הגדול הגבולי המספר הוא lim (α)-ש הוא הללו ההגדרות של הרעיוןזה. גבולי מסודר α של המרחק כלומר השארית, הוא Fin (α) וכן ,α-ל שווה או

למה:

.α = lim (α) + Fin (α) מתקיים α סודר לכל .1[.α על באינדוקציה [הוכחה

אם או lim (α) < lim (β)] ⇐⇒ α < β מתקיים סודרים α, β לכל .2[Fin (α) < Fin (β) וגם lim (α) = lim (β)

הקודמת.] מהלמה [נובע

אחת שכל זרות, סודרים קבוצות שתי של איחוד הוא λ גבולי סודר כל משפט:.λ הסודר מטיפוס היא מהן

.Fi (α) = lim (α) + 2 · Fin (α) + i פונקציה נגדיר i ∈ {0, 1} עבור הוכחה:היא ולכן הקודמת, הלמה לפי סדר שומרת הללו הפונקציות משתי אחת כלRange (Fi) של הסדר שטיפוס ומכאן ,Range (Fi) על λ של איזומורפיזם

.λ הוא

הראשונה, הלמה של 2 חלק לפי λ-ל חלקיים הפונקציות שתי שטווחי לב נשיםהלמה של 1 מחלק זרות. קבוצות אלו כי נובע השנייה הלמה של 2 ומחלק

� .λ כל הוא שתיהן של שאיחוד נובע השנייה

אחת שכל זרות סודרים קבוצות שתי של איחוד הוא λ סודר כל למעשה הערה:גבולי. או 0 הוא λ אמ"מ λ הסודר מטיפוס היא מהן

91

שתי של איחוד הוא λ שאם נראה .⇒ הכיוון את הראה האחרון המשפטזרות. לא בהכרח הן אז λ הסודר מטיפוס מהם אחת שכל סודרים קבוצות

זרים. טווחים בעלות סדר שומרות פונקציות שתי F0, F1 : λ → λ כי נניחעוקב הוא λ אם .α ≤ Fi (α) כאלה פונקציות עבור שמתקיים הראינו,µ = Fi (µ) בהכרח ולכן ,µ ≤ Fi (µ) < λ מתקיים ואז ,λ = µ+ 1 נסמן� זרים. שהם לכך בסתירה הפונקציות, שתי בטווחי משותף איבר µ כלומר

אלפים כפל 28.2

ℵα · ℵα = ℵα משפט:

ומכך ,ℵα סדר בטיפוס ℵα×ℵα איברי כל את לסדר נרצה .α על באינדוקציה הוכחה:המשפט. ינבע

שהגדרנו. <∗ הסדר יחס באמצעות ℵα × ℵα על טוב סדר נגדיר

מתקיים .δ < γ ויהי כלשהו, סודר γ-ל איזומורפיזם F : ℵα × ℵα → γ תהיונגדיר ζ = max {ξ, η} + 1 נגדיר . (ξ, η) ∈ ℵα × ℵα עבור δ = F (ξ, η) כילב נשים .<∗ בסדר (ξ, η) מהזוג הקטנים ℵα×ℵα איברי קבוצת להיות W את

.W ⊆ ζ × ζ שמתקיים

סופית. W גם אז סופי ζ אם

לכן .ζ < ℵα ולכן ζ = η + 1 או ζ = β + 1 כי מתקיים אז אינסופי, ζ אם.|W | ≤ |ζ| · |ζ| = ℵλ · ℵλ כי נסיק ולכן |ζ| = ℵλ מתקיים כלשהו λ < α עבור

.|W | ≤ ℵλ < ℵα ולכן ,ℵλ · ℵλ = ℵλ כי נסיק האינדוקציה מהנחת

.δ < ℵα כלומר |δ| < ℵα ולכן |W | < ℵα מתקיים מקרה שבכל מכאן

בהכרח ולכן ,ℵα · ℵα ≤ ℵα כי ומכאן Range (F ) = γ ≤ ℵα שמתקיים מכאן� שוויון. מתקיים

.ℵα · ℵβ = ℵmax{α,β} מתקיים α, β סודרים זוג לכל מסקנה:

מסקנה:

מתקיים: 2 ≤ n ולכל β ≤ α לכל .1(2ℵα)ℵα

=(

2ℵβ)ℵα

=(

2ℵα)ℵβ

=(

2ℵα)n

= (2n)ℵα = 2ℵα

.a(2ℵα) = 2(2ℵα) מתקיים 2 ≤ a ≤ 2ℵα ולכל α לכל .2

92

הרצף) השערת (או: אלפים חזקת 28.3

לגמרי. שונה החזקה פעולת ברורות, תוצאות שנתנו אלפים של וכפל לחיבור בניגוד

נובע קנטור ממשפט הממשיים. המספרים עוצמת שהיא 2ℵ0-ל ביחס התעוררה השאלההעוקב היא 2ℵ0 שהעוצמה כלומר ,2ℵ0 = ℵ1 האם ברור לא אולם ,ℵ0 < 2ℵ0 שמתקיים

ביניהן. עוצמה ואין ℵ0 של

העוקב המונה עוצמת היא 2ℵo עוצמת כלומר ,2ℵ0 = ℵ1 שמתקיים אומרת הרצף השערת.2ℵα = ℵα+1 מתקיים α שלכל אומרת המוכללת הרצף השערת ממנו. גדולה ולא ℵ0 של

הרצף, השערת את להוכיח בניסיון מאמצים השקיע קנטור גאורג הקבוצות תורת מייסדהקבוצות תורת שמאקסיומות גדל קורט הוכיח ה־20 המאה של ה־40 בשנות נכשל. אךשמאקסיומות כהן פול הוכיח ה־60 ובשנות המוכללת, הרצף השערת את לסתור אי־אפשרהרצף השערת כלומר המוכללת. הרצף השערת את להוכיח אי־אפשר הקבוצות תורת

הקבוצות. תורת באקסיומות תלויה אינה המוכללת

אה"ב) צרמלו־קניג; אי־שוויון (או: אינסופיים וכפל חיבור 28.4

לכל ai < bi מתקיים אם סודרים. {bi}i∈I ,{ai}i∈I ויהיו אינדקסים, קבוצת I תהיאז: ,i ∈ I∑

i∈Iai <

∏i∈I

bi

לכל bj = 2 ,aj = 1 נבחר ,A קבוצה בהינתן שכן קנטור, משפט של הכללה זו הערה:ונקבל: j ∈ A

|A| =∑j∈A

1 =∑j∈A

aj <∏j∈A

bj =∏j∈A

2 = 2|I|

.|Bi| = bi ,|Ai| = ai ומקיימות זרות Bi ,Ai הקבוצות i ∈ I שלכל נניח הוכחה:

מהצורה על העתקה קיימת שלא להראות יש∑

i∈I ai <∏i∈I bi להראות כדי

על. להיות יכולה לא שהיא ונראה כנ"ל העתקה F תהי .⋃i∈I Ai → ×i∈IBi

כלומר .F של בתמונה שאינו w ∈ ×i∈Ibi איבר האלכסון בשיטת נבנה כך לשם.w /∈ F [Ai]

איבר כל ושמעתיקה Ai לתחום שמצומצמת gi הפונקציה את נגדיר i ∈ I לכללווקטור F על־ידי מועתק x ∈ Ai כל כלומר שלו. F של התמונה של i-ה לרכיב.gi (x) = F (x)i ∈ Bi נגדיר gi עבור אז ,(F (x)1 , F (x)2 , ...) שנסמן אינסופי

.F [Ai] של ה-i־ים הרכיבים קבוצת הוא gi של התמונה אם־כך

93

ולכן על, אינה gi הפונקציה שבהכרח נובע |Ai| < |Bi| שמתקיים מהנתוןהווקטור להיות w את נקבע בחירה פונקציית באמצעות .Bi\Range (gi) 6= ∅לראות קל .wi ∈ Bi\Range (gi) יתקיים i ∈ I שלכל כך (w1, w2, ...) האינסופי

� על. אינה F ולכן w /∈ F [Ai] כי שמתקיים

מסקנות:

לפי נסיק ולכן ,ℵn < ℵω מתקיים n ∈ ω לכל שכן ,ℵω < ℵℵ0ω מתקיים .1צרמלו־קניג: א"ש

ℵω =∑n∈ωℵn <

∏n∈ωℵω = ℵℵ0ω

שהראינו כפי(2ℵ0)ℵ0 = 2ℵ0·ℵ0 = 2ℵ0 אחד מצד שכן ,2ℵ0 6= ℵω מתקיים .2

יכול לא ולכן ,ℵℵ0ω > ℵω נובע האחרונה מהמסקנה שני מצד אולם לעיל,.ℵω = 2ℵ0 להיות

94