Embed Size (px)
Citation preview
orld of Mathematics 数学烟云W
数学文化 第9卷第1期 201892
动机为塑以数，弄数以塑，此吾之乐也！石
者，万世如斯 ；数者，亘古不灭。雕数于塑
之上，方得永恒。
我曾经觉得，要让生活有条不紊，还是
得把科学和艺术分得越开越好。我怕有人说
我在两方面都不够用心，而这样做才免得暴
露我这条把两者纠缠的灵魂。划清科学和
艺术的界线是我们这代人的教条之一。“鱼
和熊掌不可兼得！”父母们总是好言相劝，
“如果你刚好有点儿科学上的天赋并能从业
于此，那就再好不过——艺术家可混不到饭
吃。”
不过当下既是科学的黄金时代，也是艺
术的豆蔻年华。从业的选择更加丰富。现在，
我终于有机会同时从事科学和艺术，并将两
者结合起来。对此，我心怀感激 1。
数学家有他们自己的审美观，这种对于
“妙”与“美”的独特感受是难以言说的 2。
我的设计灵感总是来源于一些深刻的数学概
念。我的雕塑则在于表达出生活中常见的基
本形体和一些抽象数学概念的深刻联系。
人是一个环面。这就使我们的身体和抽
象的拓扑学有了关联。比如，拿商空间作为
抽象概念，环面就是一个简单的例子。我们
还可以考虑“握手”这个生活中的基本动作，
人们握手时手的空间位置对应的就是一个有
三个洞的环面——这个例子稍微困难一些。
在我的作品里头，几何学、拓扑学和人文学
科相得益彰，并能以各种形式表达在纸上、
电脑上、黏土、青铜或是石头里。
我设计的雕塑，你必须得摸。艺术博物
馆的工作人员总是警告我们“只能看，不能
摸”。而我的雕塑却需要被触摸、被把握，
你要用你的手指触摸、甚至用你的腿脚从它
中间爬过，最后用你的大脑三思，目的才算
达到。
普通的模型，我是不做的。但我有自己
的方式化无形为有形。我的每一具雕塑背后
都藏着一系列漂亮的数学定理。我对数学之
热爱难以诉诸言语，但可以凝聚在雕塑之中。
我渴望我们的艺术和科学中的美丽奇观能够
在一个更广阔的世界中存在 3。
青铜中的数学定理
失蜡铸青铜
和许多雕塑家一样，一开始我从青铜做
起。这个过程有很多复杂的步骤，比如从正
的原型，到负的铸模，到正的蜡模、负的陶
瓷，再到正的青铜。紧接着，还有镂刻、铜
天工数形
Helaman Ferguson, Claire Ferguson/ 文 崔继峰 林家声 / 译
1 Katherine Ungar, Helaman Ferguson: Carving
his own unique niche, in symbols and stone, Science 314 (2006), no. 373, 412–413.2 James A. Cannon, Mathematics in marble and bronze: The sculpture of Helaman Rolfe Pratt Ferguson, The Mathematical Intelligencer 13 (1991), no. 2, 30–39.3 C l a i r e F e r g u s o n , H e l a m a n F e r g u s o n : Mathematics in Stone and Bronze, Meridian Creative Group, Erie, Pennsylvania, 1994.
orld of Mathematics 数学烟云W
2018 第9卷第1期 数学文化 93
锈处理，或是最终的表面抛光等工序。有时
候我先铸一个整体，再往其上做雕刻，最后
将其磨光 3。
青铜和铸铁很类似，其原材料一般是锭
状的。许多工业上的铜合金都以青铜为名，
世界各地的青铜也是五花八门。锰铜合金一
般用在水龙头上。北美的美术用青铜是一种
特制的含有硅的铜合金，倾倒时不会断截且
易磨光。硅铜合金的一个典型的分子式是
9438Cu+430Si+126Mn+4Fe+Zn+Pb。
将上面各元素的系数除以 10000 我们就得到
了美术用硅铜合金的一个“单位”。古往今来，
青铜在工业和军事上都大有价值 ；而人造的
青铜制品一直辗转于危难——即便人们天天
梦想世界和平，烽火硝烟年年都少不了。不
过，青铜被磨光之后，没有其它材料能媲美
其反光效果，熠熠的光彩是它给人的嘉赏，
就像 4, 5, 6, 7, 8 所说的那样。
数控脐环
大概二十年前，我用一块佛得角来的优
雅又古老的彩陶黄铜做了一个“数控”的脐
环 3。我已经用石头雕过不少扭曲的环面了，
比如我就曾用犹他州落基山脉得来的一块可
打磨的石灰岩做过一个脐环。“数控”就是
指“数字控制”，在那时，控制铣床还得用
一卷卷纸带。
比起其它扭曲的环面来说，这个“数控脐
环”最吸引我的注意，因为它和群 GL(2, ! )的表示论有直接联系。群 GL(2, ! ) 就是指
所有 2 阶实可逆矩阵的乘法群。这个群作用
图 1 数控脐环
图 2 犹他州石灰岩做的
4 Sculptor Helaman Ferguson, Clay Mathemat- ics Institute Award, Clay Mathematics Institute, Cambridge, Massachusetts, 1998–present.5 Sculptor Helaman Ferguson, David and Bessie B o r w e i n Aw a r d , C M S / S M C C a r e e r Aw a r d . Canadian Mathematical Society, 2004 to present.6 Scu lp to r He laman Ferguson , AMS Pub l i c Service Award, American Mathematical Society, 2009 to present.7 Sculptor Helaman Ferguson, Gauss Society Donor Award, Mathematical Sciences Research Institute Gauss Society, 2009 to present.8 Sculptor Helaman Ferguson, Stephen Anson Coons Award, career award. ACM/SIGGRAPH, biennial, 1999–present.
orld of Mathematics 数学烟云W
数学文化 第9卷第1期 201894
在所有齐次二元二次型（2 个变量，3 个系数）
上，就得到了我们熟悉的椭圆、双曲线和抛
物线的二次曲线分类。这群还能作用在齐次
二元三次型上（2 个变量，4 个系数），就能
给出椭圆脐型、双曲脐型、抛物脐型和纯三
次型的分类 9。
我曾想以一定的数值精确度雕出径向截
面为（有三个尖的圆内摆线）、轴向截面是
心脏线的 1/3 扭曲环面，还想在表面上表示
出一个填满平面的皮亚诺—希尔伯特曲线。
三轴铣床采用硬质球头铣刀对材料进行切
割，铣刀的所有点对点移动都编写在一卷纸
带中并由其控制。制定刀具的路径时，我发
现用充满平面的曲线来作路径能做到既高效
又美观。刀具的所有偏移和运动都必须预先
编制好。在那会儿，用来控制铣床的 G- 码数据用掉的纸带都够塞满整个车间了！幸
好，实验室人员后来找了硬盘来控制铣床，
替代了纸条子。
在图 3 中我们可以看到三维空间中的刀
具路径曲线，坚硬的铣刀就沿着这条轨迹移
动。这一步机械雕刻只能做出最原始的、不
成形的一坨高密度塑料泡沫。然而要做出这
一原始的“数控脐环”模型，就得用到应用
数学、计算机和工程等不少专业知识。在这
许多繁复的正负形交替的失蜡铸造步骤之
后，我终于用古老的佛得青铜完成了这具“数
控脐环”。
在不少的微积分课本的封面上都能见到
脐环或是其它类似形状的身影。我遇到的许
多学生都和我说，他们都曾看这些封面图和
介绍看得出神。一位年轻的小姐姐还和我说，
由于她的微积分老师太无趣，她就一直看着
这脐环的图像和描述来打发课内时光。
岩石中的数学定理于雕石之上
石头是我最爱用的材料之一。也许是因
为我从小是由一位石匠带大的吧——他在一
块极其普通的野外的石头中也能发现美。我
的审美标准包括地质年代、起源以及减法。
我们是先学习加法再学习减法。减法比较难，
不是吗？
按照传统，做雕塑的过程不是加法就是
减法。加法比较受欢迎 ：先把黏土做成想要
的形状，再把它粘到一个支架上 ；或者把几
块金属焊在一起。这些是对不同模块的操
作。大部分美术学院并不会通过雕石头来教
减法。这种从一整块石头开始、慢慢去掉不
想要的部分而留下所须部分的雕刻方法已经
老掉牙了。这方法不仅难做，更难教。但对
我来说，正是减法才比加法来得更有趣，特
别是当我自己就这么做的时候。
数学家最引人注目的一点就是他们喜欢
把事情都让自己做一遍。不能自己创造定理
来证明，就要无视已有的证法、把别人的定
理让自己证明一遍。雕塑家则与此相反。如
今，要做一个石雕艺术品就像大张旗鼓地录
制一张摇滚音乐专辑 ；足够有钱的雕塑家就
可以把刻石头的工作交给别人，即所谓的“外
包”。我所要关心的，即是“究竟要雕什么
图 3
9 Helaman R. P. Ferguson, Two theorems, two sculptures, two posters, American Mathematical Monthly 97 (1990), no. 7, 589–610.
orld of Mathematics 数学烟云W
2018 第9卷第1期 数学文化 95
东西”这个问题。我如何来分包 C ∞ 函数？
负高斯曲率呢？更重要的是，我做了这件事
之后又学到了什么？
但并不是说，我们既然生活在这个有求
必应的好时代就要把工作都外包出去。我随
便去一个地方都完全可以在当地找一个五金
店，拿它的库存自己组建一个像模像样的石
雕工作室，甚至还能配备各种钻石锯。要是
我在四十年前想建一个这样的工作室，那所
有这一切都压根不可能——这得归功于近几
年来钻石切割技术的迅猛发展 10。随着人造
合成金刚石的生产，现在到处都可以找到加
工得棱角分明、表面光亮的石头。在不久之前，
加工这些石头的开销还高得令人望而却步呢。
通常我的雕塑会被放到各学院和大学当
中。这样的话，学校的教工、学生、职员还有
他们的家人及其世世代代就都能看到我的作品
了。我的作品大概会颠覆他们的种种成见，告
诉他们，数学的创造和艺术的创造何以共有这
种独特的、启迪灵魂并发人深省的生命力。
一块存在了几百万年的石头，再过个几
千年，它也还会在那里。尤其是经过我的雕
刻，它对军事和工业就毫无用处了，就更不
会有人去损坏它。我所用来做雕塑的石头本
身也就没什么价值，而且从功利角度来讲，
这石头经过我的雕刻反而变得更加一无是
处。艺人之意不在用，在乎藏之久也！
要是几千年以后，有人把我的雕塑从土
里挖了出来，他也一定能猜出此中蕴藏的深
意，并继续为数学欢呼喝彩。我的雕塑还
得够大、够坚固，才能让这些漂亮的数学定理
图 4
图 5
1 0 H o w a r d Tr a c y H a l l , U l t r a h i g h p r e s s u r e research: Tetrahedral anvil press, Science 128 (1958), 445–449.
图 6
orld of Mathematics 数学烟云W
数学文化 第9卷第1期 201896
在课本和教室之外也找到一席之地，并能超
脱于当下而“存在”。比如 11, 12, 13, 14, 15, 16。
接下来我们就用数学来谈谈雕塑中的减
法，并把它用到石头上面。然后，以我的两
件石雕作品作为例子总结全文。
减法
欧几里得算法是历史上最古老的数学算
法之一。其对于整数对的算法记录在《原
本》第七卷中，对于实数对的算法则写在第
十一卷。欧氏将这一方法称为“辗转相除法”。
1977 年诺德尼 • 福卡德（Rodney Forcade）和
我发现并证明了，欧氏算法之于 n 元有序实
数组、复数组甚至四元数组都有不可数无穷
多种推广 17。这些算法都是辗转相除法，现
11 Sculptor Helaman Ferguson, Eightfold Way, volume Carrara White Marble and Albemarle Virginia Serpentine, Mathematical Sciences Research Institute, 17 Centennial Way, Berkeley, California, 1993.12 Sculptor Helaman Ferguson, Four Canoes: Two Linking Klein Bottles, volume 12 tons with plaza, billion-year-old Texas red granite, half-billion-year-old Academy Black California quartz diorite. University of St. Thomas, Sabo Square, University of St. Thomas, corner of Cretin and Summit Avenues, St. Paul, Minnesota, 1995.13 Sculptor Helaman Ferguson, Fibonacci Fountain: Essential Singularity II, volume 42 tons of red and beige Texas billion-year-old granite, concrete, and steel. Dean Morehouse, Lake Fibonacci, Maryland Science and Technology Center, Bowie, Maryland, 2000.14 Sculptor Helaman Ferguson, Invisible Hand- shake I, volume 9' × 5' × 6', negative Gaussian curvature carving; base is 10’ diameter hyperbolic disk tiled by right-angled pentagons forming a checkerboard in two colors of granite. Merck Pharmaceutical, Upper Gwynedd, Pennsylvania, 2002.15 Sculptor Helaman Ferguson, SYZYGY: Venus and Mars redux, volume billion-year-old Texas red and beige granite, articulated Poincaré discs with Mayanmars and Venus pyramids. Hamilton College, in front of the Science Center, Hamilton College Campus, Clinton, New York, 2006.16 Sculptor Helaman Ferguson, Invisible Hand- shake II, volume 3-ton quartz diorite, half-billion-years-old, negative Gaussian curvature, Macalester College, Olin-Rice Science Center, Macalester College, St. Paul, Minnesota, 2008.17 Helaman R. P. Ferguson, Analysis of PSLQ, an integer relation finding algorithm, with David H. Bailey and Steve Arno, Mathematics of Computation 68 (1999), no. 225, 351–369.18 David H. Bailey, Integral relation detection, Communications in Science and Engineering, Top 10 Algorithms of the Century: 24–28, January/February 2000.19 Simon Plouffe, David H. Bailey, and Peter B. Borwein, On the rapid computation of various polylogarithmic constants, Mathematics of Computation 66 (1997), no. 218, 903–913.
在被称为 PSLQ 算法。首先取一列有序实数
列 x ∈ ! n，并构造一有序整数列 m∈! n，
使得所取的实数以这些整数为系数线性相
关，即 x ∙ m = 0，如果这样的整数m存在的话。
如果不存在这样的线性相关性，则 PSLQ 至
少可以给出这种相关性大小的下界。PSLQ算法发现一 n 维线性关系所用的时间，是
维数 n 以及其系数组之欧氏范数之对数的
多项式函数 ；在我看来，我的算法即是用
GL(n, ! ) 中矩阵的求逆来进行的“辗转相除
法”。目前为止，这种“辗转相除法”已经
催生了不少新的发现 18。
我来举一个这类发现的例子 ：PSLQ 给
出了一个新的算 π 的公式 19。这公式有一个
惊人之处，即可以直接算出 π 的小数点后任
意位置起的二进制小数，而不用算出前面的
orld of Mathematics 数学烟云W
2018 第9卷第1期 数学文化 97
任何一位。
图 6 看起来就是减法 ：其中黑色的区域
就是一个大的圆盘减去三个小的圆盘，从而
使得整个图形的面积是 π。图中所印的这个
被挖去一部分的圆盘是符合原来的比例的，
也就是和我用笛卡尔激光机器人切出来的丙
烯胶片有相同的比例，而后者只有千分之一
英寸长。
这个缺损的圆盘的面积 π 由一个实数域
上的向量 x = (x1, x4, x5, x6) ∈ ! 4 和一个整数
格点 m = (4, —2,—1, —1) ∈!4 的内积给出。其
中三个负的分量即表示三个被挖走的小圆盘。
在这定理中，
π = x ∙ m,
其中
x j =
116kk≥0
∑ ⋅ 18k + j
,
我们只需要 j =1, 4, 5, 6 这几个值就能表达
出 π。这些由上述呈几何级数速度收敛的和
式给出的 xj 均为实数 ；我们能以任意的精确
度算出它们的值。
发现这个算 π 的新公式 19，在于对向量
y=(—π, x1,x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8) ∈! 9
使用 PSLQ 算法。假设 y⊥的一组基由一个
秩为 8 的 9 阶矩阵 H 给出，即 yH = 0。接着，
PSLQ 算法就将这组 y, H 作为足够长的十进
位字符串来进行迭代。每次迭代都会产生一
个整数矩阵 A ∈ GL(9, ! )，使得 A-1H 越变
越小。在这过程中 yA 也会越变越小，而最
重要的是，yA 的某个坐标可能会变为 0，这
就 A 的一个列向量给出 y 的坐标间一个线性
关系。
就这个例子来说，我们取 y 和 H 的 32位十进制数值，在 50 次迭代之后，PSLQ算法就给出了 GL(9, ! ) 中的矩阵
A =
1 0 0 0 0 0 0 0 04 −11 −36 −68 0 61 −68 −175 −30 −3 4 2 1 −4 −6 −2 00 11 32 69 0 −58 73 177 3−2 17 75 134 −4 −110 127 348 6−1 21 42 86 1 −80 93 234 4−1 −3 −40 −64 3 56 −52 −170 −30 12 22 40 3 −46 52 118 20 −8 −6 −21 −5 15 −27 −61 −1
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
’
且其行列式为 ±1 。这个 9 阶矩阵 A 的第一
列就给出了 y 各坐标的一个关系，这是个相
当小的晶格点。注意到 A 的第一列的某些分
量为零，因 π 的公式就只需要 4 个 xj。
话说到这，我们的石头出现在哪里呢？
原来这块石头是 9 维的，而且非常小。在这
个例子中，这块石头的体积在 10-288 这个数
量级。
在这个实验中，向 y ∈ ! 9 的每个坐标
取的是 32 位小数，而不是真正意义上的实
数。在我们所知的任何计算机中，所有的计
算都是用这种被删短的有理数来进行的，大
部分是所谓的比特串。这个 PSLQ 算法实验
完成所有的“辗转相除”之后，就揭示出，
在这个小小的方形区域里真的有一个具有这
种相关性的向量。这就是我们的发现。这和
雕刻石头一样是要取决于经验的。
不过 PSLQ 算法并不给出证明。所有用
PSLQ 算法做出的发现，都得另外去找证明。图 7 斐波那契喷泉
orld of Mathematics 数学烟云W
数学文化 第9卷第1期 201898
当然，发现本身所具有的形式可能就给我们
指出了证明的思路。我们看到这个 π 的公式
之后，觉得牛顿或是欧拉就完全有可能想出
来，然而他们并没有。PSLQ 算法导致的发
现比我们现在已经证明的那些要多得多。我
想，也许本该就如此吧。
斐波那契喷泉，第二类本性奇点
有时，透过我的斐波那契喷泉，可以看
到彩虹（图 7、8、9、12）。凑巧的是，我
完成这座雕像的时间恰好是比萨的莱昂纳多
（Leonardo of Pisa）变革了加减运算八百年
之后。莱昂纳多发明了在纸上用阿拉伯数字
作加减运算的方法，取代了用罗马数字或是
算盘的老方法（值得注意，印度人比莱昂纳
多早七百年就发明了十进位制的算术 20，紧
接着阿拉伯人也发展了这一方法）。使我们
永远铭记莱昂纳多这名字的，要数他给我们
留下的那个兔子问题，这问题引出了著名的
斐波那契数列
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,……,
通过这数列人们又发展出一般的线性递推数
列 21。线性递推数列随处可见，简直比兔子
还要普遍。
在马里兰州的鲍威，绕着马里兰科学技
术中心占地 15/2 英亩、周长 2/3 英里的斐波
那契湖的沿岸徐徐漫步，我惊讶于错落有致
的花草与树木。这块区域的绿化已经缩减，
只剩下了 500 英亩。若细细探寻，就能发现
叶序中蕴藏的斐波那契数列——麟叶、种子、
球果、嫩芽、叶片和枝条在不同的植物中有
这样的比例（下标指的是这一植物对应的比
例）：榆树 1/2、香脂 2/3、橡木 2/5、樱桃 3/8、
铁杉 3/8、波普勒 3/8、梨 3/8、松 5/8、柳 5/13、
菊花 8/13、向日葵 34/55。园林的主人种在这儿
收藏的每一种花、树和灌木都已经生长在这
至少两百年之久了。现在，这一收藏已经被
忘却了，只有收藏家和他的奴隶们在斐波那
契泉边上这座郁郁葱葱的山林的泥土里静静
地守着。
我这座斐波那契喷泉由 45 吨有着亿万
年历史的德州花岗岩筑成。它的水上部分高
18 英尺，在水下由 14 英尺的钢筋混凝土支
撑，钢筋混凝土又由 40 英尺的泥土筑成的
28 根桩所撑持。钻出岩心试样时，没有发
现基岩。
由十四支高压水枪喷出的水形成一个
三十六英尺高的数学轮廓，同时也不断将新
鲜的氧气带入斐波那契湖的湖水中。石头、
图 8
图 9
20 十进位制是中国人最早使用的——编者注。21 Ivars Peterson, Fibonacci fountain, Science News, 2002.
orld of Mathematics 数学烟云W
2018 第9卷第1期 数学文化 99
水、阳光和雾气相得益彰，交相辉映，景色
尤为壮丽。喷泉的轮廓在普通的三维直角坐
标系中的方程大致是
z = z(x, y) = τ1
x+ y −1 ,τ = 1+ 52
≈ ( fn 5)1n ,z = z(x, y) = τ
1x+ y −1 ,τ = 1+ 5
2≈ ( fn 5)
1n ,,
z = z(x, y) = τ
1x+ y −1 ,τ = 1+ 5
2≈ ( fn 5)
1n ,
其中 fn 指通常的斐波那契递推数列
fn= fn—1+fn—2, n>1, f0=0, f1=1
我将高压水枪照着斐波那契数的间隔，沿 x轴排列在 y = 0 这张垂直的平面内。在这个
平面上，喷泉的轮廓是一条当 x 分别 C ∞ 从
右边以及左边趋于零时分别趋于无穷和零的
本性奇点曲线：这个函数光滑、无限阶可导、
属于 C ∞ 类，但在 x = 0 处不解析。
这种“光滑”和“解析”函数之间的深
刻区别，包括那些有紧支撑的 C ∞ 函数在内，
本身就值得被纪念。
为了做出建筑物大小的雕塑，我找来了
我那些驾驶巨型起重机的朋友。要组装出这
个喷泉需要一台 75 吨起重机。这儿“75 吨”
既不是指起重机所要抬起的重量，也不指它
自身的重量，而是指根据特定的角度和长度
计算出的最大承重。其中角度指（可伸缩的）
吊杆和起重机的平台所成的角度 ；而长度是
指吊杆伸出的距离。起重机必须摆在离喷泉
100 英尺开外的平地上。这就是个杠杆问题：
一个 1500 磅重的花岗岩石板悬吊在 140 英
尺长的吊杆下，要是吊杆同地面的角度很
小的话，起重机完全有可能侧翻在河床的
泥沼之中。于是乎，我们将一块两吨重的
石英闪长岩（恰好我工作室里有这么一块）
放在了起重机的后头。这过程中还发生了
惊险的几幕 ；幸好，最后没有人受伤。
图 10
图 11
orld of Mathematics 数学烟云W
数学文化 第9卷第1期 2018100
鸽巢与高斯
我的设计中，喷泉的每一层是一块
1500 磅的石板，且每块名义上有 4 英寸厚。
图 10 分别为喷泉的侧视图和俯视图，即
x — z平面的截面图x — y平面的投影图。石板“名
义上”有 4 英寸厚指的是它们从采石场的磨坊
产出后，最薄不低于 4 英寸而最厚不超过 412
英寸，也就是说任意两块石板的厚度最多可能
相差半英寸。但许多个半英寸的误差累积起来，
总偏差也许就不容小觑。那怎么办呢？当然是
用数论当中的鸽巢原理 22 啦！
我准备了两种颜色的亿万年的德州花岗
岩石板共 80 块，每种颜色各 40 块。我知道
其中必定有两块 1500 磅“鸽子”的厚度之
差在 1/64 英寸之内。我精确测量了所有这
些“鸽子”并求出了误差的正态分布，据此，
我就可以将一些相容并互补的“鸽子”放进
同一层当中去了。
图 11 展示了一个比较和一个冲突。在
下方的草稿纸上记录了所有这八十块误差在
半英寸之内的石板厚度的分布。一共有两种
记号，一种代表四十块红色石板，另一种则
指浅褐色的四十块。你可以看到每种颜色的
分布中间，都有所该有的正态“凸起”。上
方则展示了我们美妙的一般理论，也就是高
斯分布——一条十分眼熟的单峰钟形曲线，
还有实概率测度
t! e− t
2
, 1π
e− t2
−∞
∞
∫ dt = 1.。
底下则是使人眼花缭乱的离散的现实。
而在上面我们有干净整洁的连续理论，还有
为了好的测度而出现的超越数 π。我完成这
座雕塑就像我完成所有其它雕塑一样，总要
在矛盾对立的双方之间寻求一种平衡，不论
是丑陋和美观之间、现实和理想之间，还是
其它方面。
请注意，我并没有把正态曲线白底黑线
地描上去，实际上，我压根就没有描这条
曲线。取而代之，我画了一块红色区域和
一块蓝色区域。对我来说，这种画法和雕
塑才更相像。对雕塑来说，这就是石头和
空气的分界——每次我都把很大功夫花在
这上面。
闪电！
我在斐波那契喷泉上画了三年心思。然
后，就在它安装完毕三年之后，一道闪电
就摧毁了好几个由花岗岩包裹的高压水枪。
那会儿我就待在不远处，听见了魔鬼般的
雷鸣，也亲眼看见了闪电。这类事情总会
让我有些不详的预感，因为在我三岁之时，
正是亲眼看着自己的亲生母亲被闪电夺去
了生命。幸好，我长大之后并没有对三这
个数字有所忌讳。“三”这第一个奇素数还
挺有用的呢。
这一束闪电告诉我，即便我用亿万年之
久的花岗岩作为挡在匆匆流走的时间前面的
一道墙，在大自然面前，我也是躲得过初一
躲不过十五。不论人类有什么小小的作品，
大自然的压路机照样会碾过去。
在这次雷击之后，我的一位数学家兼潜
水员朋友打捞上来三百磅被击落的花岗岩碎
图 12
22 译者注：“鸽巢原理”国内通常称为“抽屉原理”。
orld of Mathematics 数学烟云W
2018 第9卷第1期 数学文化 101
片，像碎玻璃一样，锋利极了。为免除后患，
我在喷泉上放了一支电荷扩散器，类似工程
师为了提防环境中的高电压、高电流而装在
天线上的那种。重建后的喷泉终于又一次开
始为湖水提供新鲜的氧气了，透过朦胧的水
汽还能隐约看见周围聚集了一群鹅。
《无形的握手 I》
为了雕出负高斯曲率，我采用了从南非
来的一块重二十四吨、有二十亿年历史的黑
色的石英闪长岩。
极小高斯曲率 vs. 负高斯曲率
我之所以要做这样一个雕塑，是由于
几何学家阿尔弗雷德 • 格雷（Alfred Gray）在用环面的拓扑学向我介绍塞尔索 • 科斯
塔（Celso Costa）的极小曲面时，我得到
了启发。
在 ! 3的一个光滑曲面 S 上，每一个点 (x, y, z) 的周围都存在一个圆。过圆上每一点，
都有一张包含 S 在点 (x, y, z) 的法线的平面，
这个平面又和 S 相交成一条曲线。对于这样
形成的每一条曲线，在该点都有一个带符号
的曲率。这样，从圆上所有点组成的集合到
曲率值组成的集合就有一个映射，且是有界
的，因此 (x, y, z) 这点就分别有一个最大曲
率和最小曲率，叫主曲率，分别记作κmax (x, y, z) 和κmin (x, y, z)。这两个曲率之积
κ = κ (x, y, z)= κmax (x, y, z) ∙ κmin (x, y, z)
称为在点 (x, y, z) 的高斯曲率。高斯证明了，
这个乘积曲率是曲面 S 的一个内蕴不变量。
也就是说，曲面 S 经过等度变换，高斯曲率
是不变的。
如果对于 S 上的每一点 (x , y , z)，两
个主曲率都满足绝对值相等、符号相反，
那么 S 就叫做极小曲面，即
κmax = —κmin ， κ =—κmax2
.
图 13 弗格森和《无形的握手》
图 14
orld of Mathematics 数学烟云W
数学文化 第9卷第1期 2018102
极小曲面的魏尔斯特拉斯参数表示 23 由下
列映射的实部或虚部决定 ：
z! f (w) 1− g(w)2 , −1(1+ g(w)2 ),2g(w)( )z0
z
∫ dw,
其中 f 和 g 是 w 的亚纯函数，z 和 z0 则在复
平面的适当区域内。
这些魏尔斯特拉斯参数表示提供了不
可数无穷多种将极小曲面浸入三维（欧氏）
空间的方式。也就是说，有不可数无穷多
个“潜在”的雕塑。我该拿它们怎么办呢？
至少，我可以用立体像对计算机来模拟它
们，然后选几个我最喜欢的。在当下，有了 Mathematica 这样的软件，要从几个积分算
出图像来已经不是难事了。
从雕塑的角度看，高斯曲率于我意味着
什么呢？对坚硬的实体雕塑来说，关键不在
于两个主曲率之间的等式，而在于高斯曲率
所要满足的一个不等式，也就是说它必须是
负的，
κ (x, y, z) < 0。
这个性质对我的雕塑有着深远的意义 ：
在负高斯曲率的曲面上，每一点都有一个鞍
形邻域。用石头的话来说，这就意味着从局
部看，每一点都是一组拱的楔石，经过每一
点的经线和纬线都弯向相反的方向。这样的
石雕，其结构就应该非常坚固，事实确实如
此。翻译成解剖学的语言，这就能让我们认
出许多皮肤表面上的鞍形。比如，在两个人
握手时，就是将两人大拇指和手掌之间的这
块有负高斯曲率的部分拼到了一起。
对我来说，通过科斯塔嵌入的雕塑和! 3中
三个洞的环面的魏尔斯特拉斯浸入的雕塑，
负高斯曲率的那些推论就变得触手可及了。
我把它和椭圆曲线 y2 = x3 + ax + b 还有开
普勒定律（木星和太阳握手）联系在了一起。
在早些时候，我的负高斯曲率的雕塑都
是在虚拟图像投影的帮助下，用白理石来完
成的。这些高科技里头都是些有关斯图尔特
平台和电缆计量学的理论。这儿又用到了“减
法”这个老概念 ：把不需要的地方镂掉。新
科技能帮我把参数方程的图像以虚像的形式
投影到石头的里面。最重要的是，在这些科
技的帮助下，我还学到了许多新的具有负高
斯曲率的形状，并能直接把它们雕刻出来 3。
数学就是我的隐形模具。
雕刻石英闪长岩
《无形的握手》所采用的石英闪长岩比
一般采石场开采的都要大得多。把它直立起
来，高九英尺，宽六英尺，厚五英尺。我这
块石头首先是从南非被海运到新奥尔良港
口，接着搭乘驳船沿密西西比河北上到明尼
苏达州，最后由货车运到我的工作室。这块
石头重 24 吨，用一辆半拖车来运的话，刚
好是高速所允许的最大载重量不到一点儿。
图 15
图 16
23 Alfred Gray, Modern Differential Geometry of Curves and Sur faces wi th Mathemat ica , xxiv+1053 pages. CRC Press, Boca Raton, second edition; 1998. 第 22 章第 2 节论述了高斯的绝妙定理（拉丁语 Theorema Egregium）；第 32 章735-760 页论述了通过魏尔斯特拉斯表示的最小曲面问题（此节第一版未包括）。
orld of Mathematics 数学烟云W
2018 第9卷第1期 数学文化 103
我又用了一辆 70 吨的起重机把它卸下来放
进了我的工作室，然后我就可以用我的钻石
刀把它加工了。
我在上面挖了第一个洞之后，它的拓扑
性质就永远地改变了，即从单连通变成了一
个环。我把脚手架卸了又搭，最后又把它从
一个洞的环变成了三个洞的环。
即便有全新的钻石切割技术的帮忙，我
也没有说这样的雕刻就变得简单了。我的钻
石链锯只是所用到的各种形形色色的工具中
的一种。
从图 15 你可以看到，用来驱动锯齿的
十六马力的马达是由一台水力泵推动的，压
力为 2500 磅每平方英寸的液体在连接着马
达的胶水管里循环。一旁，又有高压水枪来
不断冲走锯链上的碎石并冷却金刚石的锯
齿。花岗岩会把钢铁磨损，让金刚石暴露
在外，这就会给切割带来不便。暴露在空气
中时，金刚石只要微小的热量就会燃烧——
因为金刚石不是别的，而只是碳罢了——所
以得不断用水来冷却它们。有了高压循环的
液体和水，我就可以一口气切到花岗岩里头
十八英寸深的地方。要做出图 16 中供孩子
们玩耍的六条隧道，我就需要这样的工具。
这些孩子们正手脚并用地学习负高斯曲率的
概念呢。
背景和底面
我把我的《无形的握手 I》放在一个直
径十英尺的花岗岩圆盘上，上面铺满了双
曲五边形的瓷砖。雕塑的底面（着地部分）
恰好是中央的 212英尺半径的直角正五边形。
我用电脑制作了一张由庞加莱双曲圆盘
上的直角五边形组成的双曲棋盘图片，每个
五边形上都有一个被拉紧的、移动的数字
“5”的图样。这是我对威廉姆斯（William Carlos Williams）的诗作《图样“5”》及其
好友德姆斯（Charles Demuth）有关画作的
回应。
在图 17 的右边，我把这些直角的双曲
五边形织成了一张“塑像毛毯”，图案是具
有全等五边形镶嵌的棋盘，还是一张有负高
斯曲率的棋盘。这条毯子恰好适合一个人身
体的形状，但恰如同身体的形状，它仅仅局
部可展，而整体不可展。
《无形的握手》完成后，总重 712吨，其底
面是我细细雕镂出来的五边形。这五边形恰好
和那个直径十英尺的庞加莱圆盘用两种颜色的
双曲五边形瓷砖铺完后的中间那块重合。
左边的图 18 中是一小块展示了这种底
面情况的黄铜雕塑。
这座雕塑底部恰好适合共形庞加莱圆盘
图 17
图 18
图 19
orld of Mathematics 数学烟云W
数学文化 第9卷第1期 2018104
中间的这块瓷砖。这些顶点与顶点相接的
五边形所围成的封闭的“项链”中，五边
形的个数按照斐波那契数列中各数的五倍
递增 24。
我们无意中发现了图 19 中的这口 9 吨
重的“钟”。
好大一口“钟”！
镂着镂着，我把一块二十四吨的石头镂
到了九吨。为了用一个水力的切割模板（图
18 的右边）刻出这个直角五边形的底部，
我得将石头侧过来放。仅仅为做到这一点，
我就动用了一台六十吨的起重机，并聘请
了一位起重机驾驶员和一位装配工。要完成
这个高难度的翻转动作，一切都得准备就
绪。这个九吨重的石雕被横着悬在了离地
四英尺的高空中。就在我改装木制脚手架
时，忽然，我听见了“咔擦”一声。这座雕
塑下滑了一英寸。然而，这点摩擦产生的
热量就足以熔化六英寸宽的尼龙吊带——
这九吨的重量就这样砸在了地上！它的一
个角把水泥的地面砸出了直径六英寸的洞。
这声音就像敲了一口大钟！不过，令我没
想到的是，这次事故居然没有在这块硕大
的石头上留下丝毫痕迹。我以为有这么大
的一个力，这石头一定会撞裂呢。
后来我了解到，声音在这块石英闪长岩
当中的传播速度要比在钢铁中更快，即便
钢铁的密度比这石头大得多。在一个有负
高斯曲率的形状的任何一处都有一个局部
的鞍形（双拱）。直立的拱，相对重力来说，
它是非常坚固的。又由于一个负高斯曲率的
形状就像一张由拱组成的网，不管把它怎
么放，每一点都是一个有双拱的楔石，所
以即便经过雕镂之后石头变得更“空而不
实”，它依然有相当大的强度。显然，撞击
产生的冲力瞬间就被均匀地分散到了整个
雕塑上面。
这并不应该在我的意料之外。因为我已
经雕过不少有负高斯曲率的形状，也已经注
意到它们这些类似钟面的性质了。有一次
我制作一个负高斯曲率的雪雕（不是冰雕）
时，就注意到了它惊人的强度。它在阳光
的照射下变软了，但它并没有垮塌。 负高斯曲率的曲面，特别是极小曲面，
在 ! 3中必然有无穷多种。而要制作一个雕
塑，我就得把曲面确定下来。现在，我已
不再顺着石头被开采出来时的纹路雕刻了，
而是先通过解测地线的高斯 - 克里斯托菲尔
（Gauss-Christoffel）方程来决定出 中曲面
上的波前边界。主压力波总是会沿着测地
线扩散的。
未来
目前，我的雕塑工作室位于马里兰州巴
尔第摩市的一个工业园区里。我工作室的
空间大约有 45500 立方英尺。我的“工具
箱”是个集装箱，装满各种器械的时候重
达 14000 磅。每次我坐在这儿，每当我想着
那块十三吨重的有亿万年历史的德州红花岗
图 20
2 4 S c u l p t o r H e l a m a n F e rg u s o n , F i v e - F o l d Negative Gaussian Curvature, volume two-part bronze, triply punctured torus with right-angled pentagon footprint, cuneiform-inscribed Poincaré disk. 2005.
orld of Mathematics 数学烟云W
2018 第9卷第1期 数学文化 105
本文译自：
Helaman ,C la i r e Fe rguson . Ce leb ra t ing Mathematics in Stone and Bronze, Notice of the AMS, 57(7), 840-850, 2010.
作者简介 ：
海拉曼 • 弗格森和克莱尔 • 弗格森曾荣获 2002年 美 国 数 学 联 合 政 策 委 员 会 通 讯 奖（JPBM Communications Award）。
译者简介 ：
崔继峰，2015 年博士毕业于上海交通大学，现任
教于内蒙古工业大学理学院数学系，美国工业和
应用数学学会（SIAM）会员，中国数学学会会员，
硕士生导师。
林家声，美国加州大学圣芭芭拉分校数学系 17 级
本科生。忠实的数学爱好者，沉迷于数学理论的
学习。
岩，我的手就止不住要冒汗。这块花岗岩让
我不禁思索，到底哪一条永恒的定理是适合
它的呢？现在，时间就属于它了。
