Upload
others
View
14
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
University of IoanninaUniversity of IoanninaDepartment of Materials Science & EngineeringComputational Materials Science
Κβαντική Θεωρία της ΎληςΚβαντική Θεωρία της Ύλης
∆ιδάσκων: Λευτέρης ΛοιδωρίκηςΠ1, 7146, [email protected]/elidorik
στασ
ηΜία
∆ιάσ
ανική σε
Μ
Κβαντομηχανική σε
αντομηχα Κβαντομηχανική σε
ί δ ά
Ύλης:
Κβα μία διάσταση
ρία της Ύ
κή Θεω
ρΚβαντι
Στατιστική ερμηνεία κυματοσυνάρτησης
στασ
ηΜία
∆ιάσ
• Max Born (1925):– η κυματοσυνάρτηση εμπεριέχει όλες τις πληροφορίες
σχετικά με το σωματίδιο (εν γένει συνάρτηση του χώρου
ανική σε
Μ σχετικά με το σωματίδιο (εν γένει συνάρτηση του χώρου και του χρόνου)
– η πιθανότητα να βρεθεί το σωματίδιο στο απειροστό διάστημα dx γύρω απο το x
αντομηχα διάστημα dx γύρω απο το x
dxtxdxtxP 2|),(|),(
Ύλης:
Κβα
|),(|),(
*2||
ρία της Ύ
– δεν μπορούμε να μετρήσουμε το Ψ, μόνο το μέτρο του στο τετράγωνο, που εκφράζει πυκνότητα πιθανότηταςη Ψ πρέπει να είναι ομαλή και μονότιμη Το ίδιο και η
κή Θεω
ρ – η Ψ πρέπει να είναι ομαλή και μονότιμη. Το ίδιο και η παράγωγός της
Κβαντι
Κανονικοποίηση
στασ
η • Το άθροισμα όλων των πιθανοτήτων είναι μονάδα– το σωματίδιο κάπου πρέπει να βρίσκεται
Μία
∆ιάσ το σωματίδιο κάπου πρέπει να βρίσκεται
1|)(| 2
dxtx συνθήκη α ο ο οίη ης
ανική σε
Μ 1|),(|
dxtx κανονικοποίησης
αντομηχα • Πιθανότητα να βρίσκεται στο διάστημα a < x < b
b
Ψ ί
Ύλης:
Κβα
aab dxtxP 2|),(| η Ψ εννοείται
κανονικοποιημένη
ρία της Ύ
– εαν δεν είναι κανονικοποιημένηb
κή Θεω
ρ
dxtxP
b
aab
2|),(|
Κβαντι
dxtxPab
2|),(|
Παράδειγμα 5.1στασ
η
Έστω η κυματοσυνάρτηση ενός σωματιδίου
Μία
∆ιάσ • Έστω η κυματοσυνάρτηση ενός σωματιδίου
0/||e)0,( xxCx
ανική σε
Μ
– απεικονίστε την γραφικά
αντομηχα
Ύλης:
Κβα – κανονικοποιήστε την (βρείτε τo C)
ρία της Ύ
1e1|)0,(| 0/||222
dxCdxx xx
κή Θεω
ρ
0/||2
2 11
0x
dC
xx
1C
Κβαντι 0/||2e 0 dxxx
0x
C
Παράδειγμα 5.1
στασ
η
• Υπολογισμός ολοκληρώματος
Μία
∆ιάσ
0
/2/||2 00 e2e dxdx xxxx
ανική σε
Μ
– αντικατάσταση
0
2xy
αντομηχα 0x
y
xx
Ύλης:
Κβα
2 ,
200 xdydxxyx
ρία της Ύ
00
0000/2 )ee()e(e
22e2 0 xxxdyxdx yyxx
κή Θεω
ρ 000000
)()(2
y
/||2
Κβαντι
0/||2 0e xdxxx
Παράδειγμα 5.2
στασ
η
• Στο προηγούμενο παράδειγμα, ποιά η θ ό ίδ β ί
Μία
∆ιάσ πιθανότητα το σωματίδιο να βρίσκεται σε
00 xxx
ανική σε
Μ
0
0
02
/||2 e1|(x)|x
xxx
dxdxP
αντομηχα
00 0
e|(x)|xx
dxx
dxP
Ύλης:
Κβα
0
0
0
/2
0
e2 xxx dx
xP
ρία της Ύ
)ee(e2
2 022
0 dyxx
P y
κή Θεω
ρ 2 00x
Κβαντι
%47.868647.0e1 2 P
Κβαντική vs Κλασική
στασ
ηΜία
∆ιάσ
• Κλασική μηχανική– χρονική εξέλιξη: νόμος
• Κβαντική μηχανική• Κυματοσυνάρτηση: εξίσωση
ανική σε
Μ Νεύτωνα
• θέση
Schrödinger (χρονοανεξάρτητη)
)(tx )0,(x
αντομηχα • θέση
• ταχύτητα• Χρονική εξέλιξη: εξίσωση
Schrödinger
)(tx
)()( txt Ύλης:
Κβα
• επιτάχυνση
g
)()( txta ),( tx
ρία της Ύ
κή Θεω
ρΚβαντι
Ελεύθερο σωματίδιο στασ
ηΜία
∆ιάσ
• Ελεύθερο σωματίδιο δεν ασκείται καμία δύναμη– σταθερή ορμή
k 222
ανική σε
Μ
θ ή έ
kp mk
mpE
22
222
αντομηχα – σταθερή ενέργεια
E mk
2
2
Ύλης:
Κβα
• Η λύση ένα απλό επίπεδο κύμα με
m2
ρία της Ύ
η μ μ– χωρική συχνότητα k– χρονική συχνότητα ω
κή Θεω
ρ
)(e),( tkxik Atx
Κβαντι
)(sin)(cos),( tkxiAtkxAtxk
Ελεύθερο σωματίδιο
στασ
η
• Πυκνότητα πιθανότητας
Μία
∆ιάσ – το σωματίδιο έχει ισόποση πιθανότητα να βρεθεί οπουδήποτε
22)(2 |||e||),(| AAtxP tkxik
ανική σε
Μ
• Απροσδιοριστία στην θέση
|||||),(| k
αντομηχα • Απροσδιοριστία στην θέση
x
Ύλης:
Κβα
ή ί
ρία της Ύ • Ορμή σωματιδίου
kp
κή Θεω
ρ
• Απροσδιοριστία στην ορμή
Κβαντι
0p
Ελεύθερο σωματίδιο στην πράξη
στασ
η
• Ένα επίπεδο κύμα είναι αφύσικη λύσηί ύ ώ έ ίδ έ ά
Μία
∆ιάσ – εκτείνεται παντού, ενώ ένα σωματίδιο έχει κάποιον
εντοπισμό
• Χρησιμοποιούμε μια επαλληλία επίπεδων κυμάτων
ανική σε
Μ
λ ύθ ίδ όλ k έ
k
ikxkax e)0,(
αντομηχα – σε ελεύθερο σωματίδιο όλα τα k επιτρέπονται, το
άθροισμα γίνεται ολοκλήρωμα
dkk ikxe)()0(
Ύλης:
Κβα
λά (k) β ί θ ί λ λ ά
dkkax ikxe)()0,(
ρία της Ύ – τα πλάτη a(k) βρίσκονται απο την θεωρία ολοκληρωμάτων
Fourier
dxxka ikxe)()(
κή Θεω
ρ
Κβαντι
• Χρονική εξέλιξη
dkkatx tkkxi })({e)(),(
θεωρία ολοκληρωμάτων Fourier
στασ
η
• Αρχική εξίσωση:
dkkax ikxe)()(
Μία
∆ιάσ
Π λλ λ άζ λ λ ώ όλ ώ
)()(
xki
ανική σε
Μ • Πολλαπλασιάζουμε με και ολοκληρώνουμε σε όλο τον χώρο
dxdkkadxx xkkixki )(e)(e)(
xkie
αντομηχα
dxdkkadxx )(e)(e)(Ύλης:
Κβα • Στο δεξί μέρος εκτελούμε πρώτα την ολοκλήρωση κατά χ, και μετά κατά k.
)()()()( )( kdkkkkdkdk xkki
ρία της Ύ
– Η συνάρτηση δ(y) του Dirac: είναι μη-μηδενική μόνο για y0
)()()(e)( )( kadkkkkadkdxka xkki
κή Θεω
ρ Η συνάρτηση δ(y) του Dirac: είναι μη μηδενική μόνο για y0
ik
Κβαντι
• Τελικό αποτέλεσμα:
dxxka ikxe)()(
Εξίσωση Schrödingerστασ
η • Erwin Schrödinger (1926)
22
Μία
∆ιάσ
ttxitxxU
xtx
m
),(),()(),(
2 2
22
ανική σε
Μ
• Η συνάρτηση U(x) είναι η δυναμική ενέργειαΗ δύναμη που ασκείται στο σωματίδιο είναι
dUF
αντομηχα – Η δύναμη που ασκείται στο σωματίδιο είναι
• Η εξίσωση Schrodinger είναι μια έκφραση του νόμου διατήρησης ενέργειας
dxF
Ύλης:
Κβα
ξ η g μ φρ η μ ήρη ης ργ ς– για επίπεδο κύμα )(e),( tkxi
k tx
)(2)(2
e)(e tkxitkxi ik )()( e)(e tkxitkxi i
ρία της Ύ
– η εξίσωση Schrödinger γίνεται
)()(2 e)(e
xik
e)(e
ti
κή Θεω
ρ
)()()(22
e)(ee)(2
tkxitkxitkxi iiUikm
Κβαντι
EUm
pUmk
22
222
Τελεστές ορμής και ενέργειας
στασ
η
• Ορίζουμε τον τελεστή της ορμής δ ά ά έ ί δ ύ x
i
p
Μία
∆ιάσ – η δράση του πάνω σε ένα επίπεδο κύμα
)()()()()( eee)(ex
eˆ tkxitkxitkxitkxitkxi pkikii
p
ανική σε
Μ
• Ορίζουμε τον τελεστή της ολικής ενέργειας δ ά ά έ ί δ ύ t
i
E
αντομηχα – η δράση του πάνω σε ένα επίπεδο κύμα t
)()()()()( eee)(et
eˆ tkxitkxitkxitkxitkxi Eiii
E
Ύλης:
Κβα
• Ορίζουμε τον τελεστή της κινητικής ενέργειαςη δράση του πάνω σε ένα επίπεδο κύμα
t
2
22
2ˆ
xm
K
ρία της Ύ – η δράση του πάνω σε ένα επίπεδο κύμα 2 xm
)()(22
)(22
)(2
22)( ee
2e)(
2e
2eˆ tkxitkxitkxitkxitkxi K
mkk
mxm
K
κή Θεω
ρ
• Ορίζουμε τον τελεστή της Χαμιλτονιαλής
222 mmxm
)(2
ˆˆˆ2
22
xUxm
UKH
Κβαντι
• Εξίσωση Schrödinger ),(ˆ),(ˆ txtx EH2 xm
Λύση χρονικής εξέλιξης
στασ
η
• Έστω οτι η είναι γνωστή. Πως βρίσκουμε την ;)0,(x ),( tx
Μία
∆ιάσ
η γ ή ς ρ μ η ;– γνωρίζοντας την παράγωγο (κλίση) ως πρός την χρόνο (ανάπτυγμα Foyrier)
),( ),(
ttxttt
),()()(
ανική σε
Μ tt
txttx
),(),(),(
)(1)( 22 txtx
αντομηχα
),()(),(2
1),(2 txxU
xtx
mittx
Ύλης:
Κβα
– μετά απο κάθε βήμα, ξανα-υπολογίζουμε την παράγωγο ως πρός χρόνο
ρία της Ύ
λ ό λί ό
υπολογιστική μεθοδολογία
κή Θεω
ρ υπολογισμός κλίσης στον χρόνο tπροσδιορισμός νέας κυματοσυνάρτησης στον t+δt
Κβαντι
Υπολογισμός ιδιοσυναρτήσεων
στασ
η
• Χωρισμός μεταβλητών: )()(),( txtx
Μία
∆ιάσ
ttxitxxU
xtx
m
)]()([)]()()[()]()([2 2
22
ανική σε
Μ txm 2
txitxxUtx
)()()()()()()(22
αντομηχα t
xitxxUtxm
)()()()()(2 2
t )(1)(1 22
Ύλης:
Κβα
tt
tixU
xx
xm
)()(
1)()()(
12 2
22
ρία της Ύ
ExUx
)()()(
12 2
22 Eti
)()(
1
κή Θεω
ρ
• Χρονο-ανεξάρτητη εξίσωση Schrödinger
xxm )(
)(2 2 tt )(
22
Κβαντι
)()()()(2 2
22
xExxUdx
xdm
)()( tEdt
tdi
Υπολογισμός ιδιοσυναρτήσεωνστασ
η
• Χρονική εξέλιξη dtiEdtE
dttdi
)()(
Μία
∆ιάσ idt
dtEidtEi ln titEi
)(
ανική σε
Μ dti
ti
ln tit ee)(
αντομηχα • Χρονοανεξάρτητη κυματοσυνάρτηση ψ(x)
– ομαλή, πεπερασμένη, μονοσήμαντη, με συναχή παράγωγο
Ύλης:
Κβα
• για μηδέν δυναμικό (μηδέν δυνάμεις, ελεύθερα σωματίδια)
2)(22 mExd
ρία της Ύ 02)()(
2 22
mExEdx
xdm
2
κή Θεω
ρ
02 k ikxx e)( 2
2
mEk
Κβαντι
– επίπεδα κύματαtiikx
kk txtx ee)()(),(
Ιδιοσυναρτήσεις: στάσιμες καταστάσεις
στασ
η
Ιδιοσυνάρτηση: η λύση ψ(χ) της χρονοανεξάρτητης εξίσωσης Schrödinger
Μία
∆ιάσ • Ιδιοσυνάρτηση: η λύση ψ(χ) της χρονοανεξάρτητης εξίσωσης Schrödinger
• Η πυκνότητα πιθανότητας για μια ιδιοσυνάρτηση – όταν δηλαδή είναι σε μορφή χωρισμού μεταβλητών
ανική σε
Μ η ή μ ρφή ρ μ μ η
2222 |)(||e||)(||),(| xxtx ti
αντομηχα
στις ιδιοσυναρτήσεις δεν μεταβάλλεται η κατανομή πιθανοτήτωνά ύ ( ά ά)
Ύλης:
Κβα - στάσιμα κύματα (π.χ. ατομικά τροχιακά)
ρία της Ύ
κή Θεω
ρΚβαντι
Σωματίδιο σε κουτί
στασ
ηΜία
∆ιάσ • Ελεύθερο σωματίδιο περιορισμένο στον χώρο
– η κλασική εικόνα:• ελεύθερη κίνηση μέσα στο κουτί
ανική σε
Μ ρη η η μ• ελαστική ανάκλαση στα τοιχώματα• κανένας περιορισμός για την ενέργεια του
σωματιδίου (μπορεί να γίνει και μηδέν)
αντομηχα
– Η κβαντική εικόνα• αρχή της απροσδιοριστίας
Ύλης:
Κβα
• αρχή της απροσδιοριστίας• κβάντωση ενέργειας
έ ό ό ά
ρία της Ύ • Απλουστευμένο πρόβλημα: απειρόβαθο πηγάδι
– ή απειρόβαθο ορθογώνιο φρέαρ δυναμικού– V
κή Θεω
ρ V – U(x) = 0 για 0<x<L– U(x) = για x<0 και x>L
το σωματίδιο ΔΕΝ μπορεί να υπάρξει έξω απο το
Κβαντι • το σωματίδιο ΔΕΝ μπορεί να υπάρξει έξω απο το
κουτί
Απειρόβαθο ορθογώνιο φρέαρ δυναμικού
στασ
η
• Ψάχνουμε για σταθερές λύσεις (ιδιοσυναρτήσεις, στάσιμες λύσεις)λύ ξά ξί
Μία
∆ιάσ – λύνουμε την χρονο-ανεξάρτητη εξίσωση
• Εξίσωση Schrödinger
)(22 xd
ανική σε
Μ )()()()(2 2 xExxU
dxxd
m
αντομηχα • Μέσα στο πηγάδι U(x)=0
)()(22
xExd Ύλης:
Κβα
• Έξω απο το πηγάδι U(x)= ψ(χ) = 0
)(2 2 xE
dxm
ρία της Ύ Έξω απο το πηγάδι U(x) ψ(χ) 0
– συνοριακές συνθήκες:
0)0( 0)( L
κή Θεω
ρ 0)0( 0)(L
Κβαντι
Κβάντωση: βρείτε τις επιτρεπτές ενέργειες Ε και κυματοσυναρτήσεις
Απειρόβαθο ορθογώνιο φρέαρ δυναμικούστασ
η • Xρονο-ανεξάρτητη εξίσωση (μέσα στο κουτί)
Μία
∆ιάσ
)()(2 2
22
xEdx
xdm
ανική σε
Μ
02 k 22 2
mEk
αντομηχα
• Πιθανές λύσεις της χρονο-ανεξάρτητης εξίσωσης
Ύλης:
Κβα )cos()( kxx
)sin()( kxx
Κάθε μια ικανοποιεί την εξίσωση Schrödinger
Ποιά όμως διαλέγουμε ως λύση;
ρία της Ύ
)sin()( kxxikxx e)(
μ ς γ μ ς η;Με τί κριτίριο επιλέγουμε;
Επιλέγουμε έναν γραμμικό συνδιασμό πιθανών λύσεων
κή Θεω
ρ
ikxx e)( Επιβάλουμε τις συνοριακές συνθήκες
0)0( 0)( L
Κβαντι
• Η κβάντωση προκύπτει λόγω των συνοριακών συνθηκών
Απειρόβαθο ορθογώνιο φρέαρ δυναμικού
στασ
η • Γενική λύση– με στάσιμα κύματα
Μία
∆ιάσ με στάσιμα κύματα
)cos()sin()( kxBkxAx
ανική σε
Μ – ή με επίπεδα κύματαikxikx BAx ee)(
αντομηχα – και τα δύο είναι ισοδύναμα, καθώς
ikxikxkx ee)cos(2
Ύλης:
Κβα
• Λύση: βρείτε τις σταθερές Α Β που ικανοποιούν τις συνοριακές συνθήκες
ikxikxkxi ee)sin(20)0( 0)( L
ρία της Ύ • Λύση: βρείτε τις σταθερές Α, Β που ικανοποιούν τις συνοριακές συνθήκες
– με τα στάσιμα κύματα είναι πιο εύκολο
)cos()sin()( kxBkxAx κή Θεω
ρ )cos()sin()( kxBkxAx
00)0( B
kLL 0)(
LxnAx sin)(
Κβαντι
• Η κβάντωση προκύπτει λόγω των συνοριακών συνθηκών nkLL 0)(
n: οποιοσδήποτε θετικός ακέραιος
Απειρόβαθο ορθογώνιο φρέαρ δυναμικού
στασ
η
• Συνθήκη κβάντωσηςn Ln 22
Μία
∆ιάσ
LnknkL
nL
Ln 22
ανική σε
Μ
• Με απλά λόγια:2nL
στάσιμα κύματα όπου ακέραιος αριθμός μισών μηκών κύματος χωρούν στο κουτί
αντομηχα οι πιθανότητες του που θα βρεθεί το
σωματίδιο δεν είναι ισοκατανεμημένες
Ύλης:
Κβα
ρία της Ύ
κή Θεω
ρΚβαντι
Απειρόβαθο ορθογώνιο φρέαρ δυναμικού
στασ
η
• Ιδιοσυναρτήσεις
Μία
∆ιάσ
ρ ή ς
LxnAkxAx sinsin)(
ανική σε
Μ • Κανονικοποίηση
1sin|| 22
L
dxxnA 1sin|| 22 n
dyyLAαντομηχα 1sin||
0
dx
LA 1sin||
0
dyy
nA
nL 2 xn2
Ύλης:
Κβα
LAn
nLA 21
2|| 2
Lxn
Lxn
sin2)(
ρία της Ύ • Ενέργειες
kE22 222nE
κή Θεω
ρ
mE
2 22mL
En
Κβαντι
• κβαντισμένες (διακριτές) ενέργειες• ελάχιστη ενέργεια για n=1 (δεν υπάρχει κατάσταση με ενέργεια μηδέν
Ενεργειακές ιδιοτιμές στασ
η
• Ενέργεια θεμελιώδους κατάστασης
Μία
∆ιάσ – επίσης ονομάζεται ενέργεια μηδενικού σημείου
22
E
ανική σε
Μ
21 2mLE
αντομηχα • Ενεργειακές ιδιοτιμές:
12EnE
Ύλης:
Κβα
• Κβαντική φύση της ύλης: ένα περιορισμένο σωματίδιο δεν μπορεί να έχει
1EnEn
ρία της Ύ – ένα περιορισμένο σωματίδιο δεν μπορεί να έχει
μηδενική ενέργεια– θα μπορούσαμε να προσεγγίσουμε την
θεμελιώδη ενέργεια απλά χρησιμοποιώντας την
κή Θεω
ρ θεμελιώδη ενέργεια απλά χρησιμοποιώντας την αρχή της απροσδιοριστίας;
px22
Κβαντι
LpLx
2
22
22 mLE
mpE
Παράδειγμα 5.6
στασ
η • Σε ένα απλοποιημένο μοντέλο ατόμου υποθέτουμε το άτομο ως φρέαρ δυναμικού Εάν η ακτίνα του
Μία
∆ιάσ το άτομο ως φρέαρ δυναμικού. Εάν η ακτίνα του
ατόμου είναι 0.2 nm– πόση ενέργεια απαιτείται για διέγερση απο την
θεμελιώδη στην πρώτη διεγερμένη στάθμη;
ανική σε
Μ μ η η ρ η γ ρμ η μη;– Σε τι μήκος κύματος φωτονίου αντιστοιχεί αυτή η
ενέργεια;22
E
αντομηχα 21 2mL
E
s)J10545701()141593( 2-342
Ύλης:
Κβα J 105059.1
)m 10kg)(0.2 1011.9(2s)J 1054570.1()14159.3( 18
29-311
E
ρία της Ύ
eV 40.9C 10602.1J 105059.1
19
18
1
E
κή Θεω
ρ
eV 6.374 12 EE nm 44eV228
nmeV 1240
Κβαντι
eV 2.28E
eV 2.28
Παράδειγμα 5.5
στασ
η
• Ένα μικρό αντικείμενο μάζας 1 mg είναι περιορισμένο ανάμεσα σε δύο τοιχώματα με L=1 cm
Μία
∆ιάσ τοιχώματα με L=1 cm.
– ποιά η ελάχιστη ενέργεια του σωματιδίου;
)J10545701()141593( 234222
ανική σε
Μ
J 1049.5)m kg)(10 10(2
s)J 1054570.1()14159.3( 5822-6
2-342
1
E2
22
1 2mLE
αντομηχα
– ποιά η ελάχιστη ταχύτητά του;
J)10495(21 58
Ύλης:
Κβα m/s 1031.3
kg) 10(J) 1049.5(2
21 26
612
Em
ρία της Ύ – σε πόσο χρόνο θα διανύσει την απόσταση L;
s103m 01.0 23Lt
κή Θεω
ρ s 103m/s 1031.3 26
t
s103 1623
Κβαντι
years 10606024365
s 103 16
t
Παράδειγμα 5.5
στασ
η
• Ένα μικρό αντικείμενο μάζας 1 mg είναι περιορισμένο ανάμεσα σε δύο τοιχώματα με L=1 cm
Μία
∆ιάσ τοιχώματα με L=1 cm.
– Εάν η ταχύτητά του είναι 3 cm/s, σε ποιόν κβαντικό αριθμό αντιστοιχεί;
J1054/ )k )(0 0310(11 10262 E
ανική σε
Μ
10 J10504
J 105.4m/s) kg)(0.0310(22
10262 mEn
αντομηχα
ά ή β λή έ ό άλ β ύ θ ύ
23581
2 1005.9J 1049.5J 1050.4
nEnEnΎλης:
Κβα – ποιά η σχετική μεταβολή ενέργειας σε τόσο μεγάλους κβαντικούς αριθμούς;
2412
12
1 10212)1(
nEnEnEE nn
ρία της Ύ 2
12 10
nnEnEn
κή Θεω
ρΚβαντι
Παράδειγμα 5.7στασ
η
• Έστω σωματίδιο σε φρέαρ δυναμικού L, στην θεμελιώδη κατάσταση
Μία
∆ιάσ θεμελιώδη κατάσταση.
– ποιά η πιθανότητα το σωματίδιο να εντοπιστεί στο κεντρικό ήμισυ του φρέατος L/4 < x < 3L/4
ανική σε
Μ
Lx
Lx sin2)(1
αντομηχα LL
4/3
24/3
2 i2|)(|LL
dxdP
4/32 )(i2
dL
Ύλης:
Κβα
4/
2
4/
21 sin|)(|
LL
dxLL
dxxP 4/
2 )(sin
dyyL
ρία της Ύ
4/3
2)2cos(12
dyyLL
4/34/3
)2sin(41
212
y
κή Θεω
ρ
4/ 2L
4/4/ 42
Κβαντι
11412
443
212
%8.81818.01
21
Παράδειγμα 5.7
στασ
η
• Έστω σωματίδιο σε φρέαρ δυναμικού L, στην θεμελιώδη κατάσταση
Μία
∆ιάσ θεμελιώδη κατάσταση.
– πως αλλάζει αυτή η πιθανότητα σαν συνάρτηση του n;
ανική σε
Μ
Lxn
Lxn
sin2)(
αντομηχα LL
4/3
24/3
2 sin2|)(|LL
dxxndxxP 4/3
2 )(sin2 n
dyyL
Ύλης:
Κβα
4/4/
sin|)(|LL
n dxLL
dxxP 4/
)(sin n
dyynL
ρία της Ύ
4/3
2)2cos(12
n
dyynL
L
4/34/3
)2sin(41
212
nn
yn
κή Θεω
ρ
12312
4/ 2 nnL
4/4/ 42 nnn
1
Κβαντι
)1(412
443
212 O
nnn
n
%50
21
Πεπερασμένο φρέαρ δυναμικού
στασ
η • Στην πράξη, δεν έχουμε ποτέ απειρόβαθα πηγάδια δυναμικού
Μία
∆ιάσ πηγάδια δυναμικού
– πιο συνηθισμένα: πηγάδια που δημιουργούνται μεταξύ διαφορετικών ημιαγωγώνπολύ χρήσιμα σε laser LED αισθητήτες
ανική σε
Μ – πολύ χρήσιμα σε laser, LED, αισθητήτες
• Δυναμική ενέργεια:κβαντικό πηγάδι GaAs/AlGaAsLxxU 0όταν0)(
αντομηχα
ηγ
LxxUxULxxU
,0 όταν )(
0 όταν 0)(
Ύλης:
Κβα
ρία της Ύ
κή Θεω
ρΚβαντι
Πεπερασμένο φρέαρ δυναμικού
στασ
η
• Λύση εξίσωσης Schrödinger στις περιοχές Ι, ΙΙ, ΙΙΙ
Μία
∆ιάσ – ξεχωριστή γενική λύση σε κάθε περιοχή Ι, ΙΙ, ΙΙΙ
• εφαρμογή συνοριακών συνθηκών:– συνέχεια της κυματοσυνάρτησης στο χ=0 χ=L
ανική σε
Μ συνέχεια της κυματοσυνάρτησης στο χ=0, χ=L– συνέχεια της πρώτης παραγώγου της κυματοσυνάρτησης στο χ=0, χ=L
αντομηχα • Αποτέλεσμα: ενεργειακές ιδιοτιμές και κυματοσυναρτήσεις
– για Ε>U: ελεύθερα σωματίδια, μπορούν να βρεθούν παντούγια Ε<U: δέσμια σωματίδια μπορούν να είναι μόνο μέσα στο πηγάδι
Ύλης:
Κβα – για Ε<U: δέσμια σωματίδια, μπορούν να είναι μόνο μέσα στο πηγάδι
ρία της Ύ
κή Θεω
ρΚβαντι
Δέσμιες καταστάσεις (Ε<U)στασ
η
• Περιοχή ΙΙ (0 ≤ χ ≤ L)
Μία
∆ιάσ – εξίσωση Schrödinger
IIII E
dd
2
22
2
022 IIII
mE
ανική σε
Μ
– γενική λύση
IIdxm22 2 IIII
αντομηχα )cos()sin( kxDkxCII /2mEk
συνοριακές συνθήκες
)0()0( III
Ύλης:
Κβα
• Περιοχή Ι και ΙΙΙ (χ ≤ 0 και χ ≥ L)– εξίσωση Schrödinger
)0()0( III
III
ρία της Ύ
III EU
dxd
m
2
22
2
0)(22
IIUEm
)()()()(
LLLL
IIIII
IIIII
κή Θεω
ρ
– γενική λύσηxx
I BA ee/)(2 EU 1|| 2
dx
Κβαντι I
/)(2 EUm xx
III FE ee||
Δέσμιες καταστάσεις (Ε<U)
στασ
ηΜία
∆ιάσ
ανική σε
Μαντομηχα
Ύλης:
Κβα
• Προσέγγιση ενεργειακών ιδιοτιμών:– το πρόβλημα είναι παρόμοιο με απειρόβαθο πηγάδι μεγαλύτερού πλάτους
ρία της Ύ
ρ μ ρ μ μ ρ γ μ γ ρ ς– το σωματίδιο εισχωρεί κατά μέσο όρο απόσταση δ: δ=1/α η απόσταση όπου ψ=e-1
2 LL )(1
κή Θεω
ρ
• Αυτοσυνεπή εξίσωση για την ενέργειαΠεπερασμένος αριθμός δέσμιων καταστάσεων
2 LL
2
222
)2(2
Lm
nEn)(2 EUm
Κβαντι • Πεπερασμένος αριθμός δέσμιων καταστάσεων
– τόσες, όσο ικανοποιείται η UEn
Παράδειγμα 5.8
στασ
η • Προσεγγίστε την ενέργεια θεμελιώδους κατάστασης ενός ηλεκτρονίου παγιδευμένου σε φρέαρ δυναμικού, εύρους 0.2 nm και βάθους 100 eV.
Μία
∆ιάσ – Προσεγγιστική λύση: θεωρούμε φρέαρ απείρου βάθους, με εύρος L+2δ.
)(2/ EUm
ανική σε
Μ
– Δεν γνωρίζουμε το Ε. Εφαρμόζουμε αυτοσυνεπή επαναλληπτική διεργασία
)(
V4922
E
αντομηχα • πρώτη μαντεψιά
02050sJ 1054570.1 -34
eV 4.92 2 mL
E
Ύλης:
Κβα nm 0205.0
J) 10eV)(1.602 9.4-eV kg)(100 1011.9(2)(2 19-31
EUm
22
ρία της Ύ • δεύτερη μαντεψιά eV47.6
)2(2 2
Lm
E
J10545701 34
κή Θεω
ρ
nm 0202.0J) 10eV)(1.602 6.47-eV kg)(100 1011.9(2
sJ 1054570.1)(2 19-31
-34
EUm
Κβαντι
• τρίτη μαντεψιά eV 51.6)2(2 2
22
Lm
E πραγματική τιμήeV 52.6E
Γενική περίπτωση δυναμικής ενέργειας
στασ
η
• Γενική περίπτωση δυναμικής ενέργειας
Μία
∆ιάσ
ή ρ η μ ής ργ ς– ελάχιστα: σημεία ευσταθούς ισορροπίας
dU 2Ud
ανική σε
Μ 0dxdU
02 dx
Ud
αντομηχα – μέγιστα: σημεία ασταθούς ισορροπίας
0dU
02
Ud
Ύλης:
Κβα 0
dx02
dx
ρία της Ύ Στο σημείο a
για χ=a: 0)( xUF
Στο σημείο b
για χ=b: 0)( xUF
κή Θεω
ρ για χ a:
για χ<a:
0)(xU
0)( xUF
για χ b:
για χ<b:
0)(xU
0)( xUF
Κβαντι
για χ>a: 0)( xUF για χ>b: 0)( xUF
Γενική περίπτωση δυναμικής ενέργειαςστασ
η
• Γενική περίπτωση δυναμικής ενέργειας
Μία
∆ιάσ
ή ρ η μ ής ργ ς– ελάχιστα: σημεία ευσταθούς ισορροπίας
dU 2Ud
ανική σε
Μ 0dxdU
02 dx
Ud
αντομηχα • Γενική μορφή γύρω απο το σημείο a
)()()()()( 32 UUUUU
Ύλης:
Κβα
– για χα:
...)(!3
)(!2
)(!1
)()( 32 axaxaxaUxU
αρμονικός ταλαντωτής
ρία της Ύ για χα:
ά άξ
2))((21)()( axxUaUxU
αρμονικός ταλαντωτήςδυναμική ενέργεια
21)( KxxU
κή Θεω
ρ – μεταφορά του χ άξονα στο a– μεταφορά του y άξονα στο U(a)
δύναμη επαναφοράς
2)( KxxU
dU )(1 Ud 2
Κβαντι
Kxdx
xdUF )(2
21)( KxxU
axdxUdK
2
2
Κλασικός αρμονικός ταλαντωτής
στασ
ηΜία
∆ιάσ
• Κλασικός ταλαντωτής:– σταθερά ελατηρίου Κ K m
ανική σε
Μ
– μάζα m– συχνότητα ταλάντωσης
mK
K
αντομηχα
• Εαν η ολική ενέργεια είναι Ε– το Ε μπορεί να πάρει οποιαδήποτε τιμή
Ύλης:
Κβα
το μ ορεί να άρει ο οιαδή οτε τιμή– Η μέγιστη κινητική ενέργεια
EmE 21
ρία της Ύ
– Η μέγιστη δυναμική ενέργεια
EmEK max2
κή Θεω
ρ
EKxEU 2max2
1
EE 212
Κβαντι
– Το πλάτος ταλάντωσηςmE
KEx 212
max
Κβαντικός αρμονικός ταλαντωτής
στασ
η
• Δυναμική ενέργεια11
Μία
∆ιάσ
Εξίσωση Schrödinger
222
21
21)( xmKxxU
ανική σε
Μ • Εξίσωση Schrödinger
)()(21)(
222
2
22
xExxmd
xd
αντομηχα
– συνοριακές συνθήκες
)()(22 2dxm
0)(
Ύλης:
Κβα
• Η θεμελιώδης κατάσταση πρέπει να είναι συμμετρική γύρω απο το χ=0
ρία της Ύ συμμετρική γύρω απο το χ=0
– μια δοκιμαστική κυματοσυνάρτηση είναι2
e)( 0axCx
κή Θεω
ρ
– αντικαθιστούμε στην εξίσωση Schrödinger
e)( 0Cx
2
e2)( axaxCx
Κβαντι e2)( 0 axCx
22
e4e2)( 2200
axax xaCaCx
Θεμελιώδης κατάσταση
στασ
η
• Εξίσωση Schrödinger
Μία
∆ιάσ
)()(21)(
222
2
22
xExxmdx
xdm
ανική σε
Μ
22
e)21(e)24(
2 022
022
2axax CxmECaxa
m
αντομηχα
22222 1)24( xmEaxa
22mΎλης:
Κβα 2
)24(2
xmEaxam
222 2mExm
ρία της Ύ
2222 224
mExmaxa
κή Θεω
ρ
2ma
12
EmE
Κβαντι
maE
2
22
Em
E
Πρώτη διεγερμένη κατάστασηστασ
η • Η πρώτη διεγερμένη θα πρέπει να έχει έναν δεσμό– να είναι αντισυμμετρική στο μηδέν
Μία
∆ιάσ να είναι αντισυμμετρική στο μηδέν
• Δοκιμαστική συνάρτηση2
e)( axxCx
ανική σε
Μ
• Αντικατάσταση στην εξίσωση Schrödinger
e)( 1xCx
αντομηχα
)()(21)(
222
2
22
xExxmdx
xdm
Ύλης:
Κβα
22222
21)64(
2xmEaxa
m
ρία της Ύ
22m
22
22222 264
mExmaxa
κή Θεω
ρ
2ma
33 2
EmE
Κβαντι
maE
2
3
22
Em
E
Καταστάσεις αρμονικού ταλαντωτή
στασ
ηΜία
∆ιάσ
1
ανική σε
Μ ,....2 ,1 ,0 ,21
nnE
αντομηχα
Ύλης:
Κβα
ρία της Ύ
κή Θεω
ρΚβαντι
Παράδειγμα 5.9
στασ
η
• Κανονικοποίηση της κυνατοσυνάρτησης της θεμελιώδους κατάστασης του ταλαντωτή
Μία
∆ιάσ ταλαντωτή
2
e)( 00axCx
2ma
ανική σε
Μ )( 002
2222
ax
αντομηχα 1e|)(| 22
02
0
dxCdxx ax
Ύλης:
Κβα
adxax
2
eδίνεται:
ρία της Ύ
4/1222 21e
2
aCCdxC ax
κή Θεω
ρ 000 12
e
Ca
CdxC
4/1
Κβαντι
0
mC
Παράδειγμα 5.10
στασ
η • Τα όρια ταλάντωσης για έναν κλασικό ταλαντωτή με ενέργεια αυτή της θεμελιώδους κατάστασης
Μία
∆ιάσ με ενέργεια αυτή της θεμελιώδους κατάστασης
του κβαντικού ταλαντωτή
1E
11 2KA
ανική σε
Μ 2
E 22
2 KA
αντομηχα
mmKA
2Ύλης:
Κβα
– ποιά η πυκνότητα πιθανότητα να βρεθεί ένας κβαντικός ταλαντωτής στο χ=Α;
2
ρία της Ύ 222
02 e|)(| aACAP
m 24/1
m
κή Θεω
ρ
2ma
mA
2
2/1
0
mC
Κβαντι
1e
mP
Παράδειγμα 5.11στασ
η • Ποια η πιθανότητα ο κβαντικός ταλαντωτής να βρεθεί στην μη κλασική περιοχή;
A
Μία
∆ιάσ
A
A
dxxdxxP 22 |)(||)(|
ανική σε
Μ
A
dxxP 2|)(|2
αντομηχα A
2ma A
24/1
0
mC
Ύλης:
Κβα
xm dxmP /
2/12
e2
2 m 0
ρία της Ύ
m
dxP/
e2
m
κή Θεω
ρ
2
xmy
θέτουμε:
Κβαντι
16%)(~ 157.0e2
1
2
dyP y
Παράδειγμα 5.12
στασ
η
• Η κβάντωση ενέργειας ταλαντωτή στο κλασικό όριο. Έστω μια μάζα m=0.01
Μία
∆ιάσ η ργ ς ή ρ μ μ ζ
kg σε ελατήριο σταθεράς K=0.1 N/m. Μπορούμε να παρατηρήσουμε την κβαντική συμπεριφορά;
Ποια η διαφορά μεταξύ των ενεργειακών σταθμών;
ανική σε
Μ – Ποια η διαφορά μεταξύ των ενεργειακών σταθμών;
E
αντομηχα
rad/s 16.3kg 01.0
N/m 1.0
mK
Ύλης:
Κβα
eV 102.08rad/s) s)(3.16eV 10582.6( -1516 E
ρία της Ύ
– εαν ταλαντώνεται με πλάτος Α=1cm, σε τι κβαντικό αριθμό αντιστοιχεί;
)/ )((11 622A
κή Θεω
ρ J 105m) N/m)(0.01 1.0(21
21 622 KA
6 J)105(
Κβαντι 28
15-19 105.1eV) 10J/eV)(2.08 10602.1(
J) 105(
n
Μέση τιμή μετρήσεων
στασ
η • ‘Εστω οτι εκτελούμε πολλές μετρήσεις θέσης σε ένα κβαντικό σύστημα– οι τιμές που λαμβάνουμε έχουν σχέση με την κατανομή πιθανοτήτων |ψ(χ)|2
Μία
∆ιάσ οι τιμές που λαμβάνουμε έχουν σχέση με την κατανομή πιθανοτήτων |ψ(χ)|
– τι συμεράσματα μπορούμε να βγάλουμε;ύ ά ή άλ ή
ανική σε
Μ – μπορούμε αν κάνουμε στατιστική ανάλυση των μετρήσεων;
• Έστω οι παρακάτω μετρήσεις θέσης:
αντομηχα
Έστω οι παρακάτω μετρήσεις θέσης:
A/A τιμή A/A τιμή A/A τιμή1 2 7 8 13 4
Ύλης:
Κβα
8 32 4 8 6 14 93 1 9 4 15 64 8 10 5 16 7
ρία της Ύ 5 6 11 7 17 5
6 5 12 3 18 5
κή Θεω
ρ
– μέση τιμή
1 N
Κβαντι
28.511
i
ixN
x
Μέση τιμή μετρήσεων
στασ
η • Πως μπορούμε να υπολογίσουμε τον μέσο όρο αλλοιώς;A/A τιμή A/A τιμή A/A τιμή
Μία
∆ιάσ
– στο παραπάνω παράδειγμα:1 2 7 8 13 42 4 8 6 14 93 1 9 4 15 64 8 10 5 16 7
ανική σε
Μ 5 6 11 7 17 56 5 12 3 18 5
αντομηχα – το γράφουμε ισοδύναμα ως: xxPx
τιμή συχνότητα πιθανότητα
1 xPΎλης:
Κβα τιμή
θέσηςσυχνότητα εμφάνισης
πιθανότητα εμφάνισης Px
1 1 1/182 1 1/18 στο συνεχές
ρία της Ύ 2 1 1/18
3 1 1/184 3 3/185 4 4/18
ς
dxxxPx )(
κή Θεω
ρ 5 4 4/186 3 3/187 2 2/188 2 2/18
1)( dxxP
Κβαντι 8 2 2/18
9 1 1/1810 0 0/18
Αναμενόμενες τιμέςστασ
η
• Στην κβαντική, η μέση τιμή της μέτρησης μιας ποσότητας ονομάζεται «αναμενόμενη» τιμή και συμβολίζεται με
Μία
∆ιάσ «αναμενόμενη» τιμή και συμβολίζεται με
– αναμενόμενη τιμή της θέσης
ανική σε
Μ
dxtxxx 2|),(|
αντομηχα
• εν γένει η αναμενόμενη τιμή είναι συνάρτηση του χρόνου• για ιδιοκαταστάσεις (στάσιμες) η αναμενόμενη τιμή είναι σταθερή
Ύλης:
Κβα
– αναμενόμενη τιμή μιας οποιαδήποτε συνάρτησης του χ
ρία της Ύ
dxtxxff 2|),(|)(
κή Θεω
ρ
– για παράδειγμα
2222222 111
Κβαντι
dxtxxmxmxmU 2222222 |),(|21
21
21
Υπολογισμός αβεβαιότητας θέσης
στασ
η
• Η αβεβαιότητα θέσης σχετίζεται με την τυπική απόκλιση
Μία
∆ιάσ
Nxxi
2)(
ανική σε
Μ N
xxxxxxxxxx 2)2()( 22222
αντομηχα
Nxx
Nx
Nx
Nxxxx
Nxx iiiii
2)2()(
Ύλης:
Κβα
22
xxi 22
ρία της Ύ
222 1xx
xN
22 xx
κή Θεω
ρ
2
2
2 xxx
xNN
ii
22 xxx
κβαντική αβεβαιότητα θέσης
Κβαντι 222 x
Nx
Nii xxx
Παράδειγμα 5.14
στασ
η • Υπολογίστε την μέση θέση <χ> και την αβεβαιότητα Δχ για σωματίδιο σε απειρόβαθο πηγάδι που βρίσκεται στην θεμελιώδη κατάσταση
Μία
∆ιάσ απειρόβαθο πηγάδι που βρίσκεται στην θεμελιώδη κατάσταση
L
dxLxx
Ldxxx 22 sin2||
ανική σε
Μ LL 0
42sin2 2
22
2
2 LydyyLL
x 2Lx
αντομηχα 420
2 y yy
L 2
L2
Ύλης:
Κβα
L
dxLxx
Ldxxx
0
22222 sin2||
ρία της Ύ
232
12sin2 3
3
222
3
32
LydyyLL
x2
222
23 LLx
κή Θεω
ρ 2320 L 23
1112
Κβαντι
LLxxx 181.041
21
31
222
Φυσικά μεγέθη και τελεστές
στασ
η
• Φυσικό μέγεθος είναι οποιαδήποτε μετρήσημη ιδιότητα του σωματιδίου
Μία
∆ιάσ • Φυσικό μέγεθος είναι οποιαδήποτε μετρήσημη ιδιότητα του σωματιδίου
– π.χ. θέση, ορμή, ενέργεια, κτλ– σε κάθε φυσικό μέγεθος αντιστοιχίζεται ένας τελεστής
ανική σε
Μ
• Η αναμενόμενη τιμή για ένα φυσικό μέγεθος
αντομηχα
dxQ Q*Ύλης:
Κβα
• Αβεβαιότητα στην μέτρηση ενός φυσικού μεγέθους
22
ρία της Ύ 22 QQQ
κή Θεω
ρΚβαντι
Σαφή μεγέθηστασ
η • Σαφή μεγέθη:– π χ ενέργεια στάσιμων καταστάσεων ορμή επίπεδων κυμάτων
0Q
Μία
∆ιάσ π.χ. ενέργεια στάσιμων καταστάσεων, ορμή επίπεδων κυμάτων
• Για ένα σαφές μέγεθος, η κυματοσυνάρτηση είναι ιδιοσυνάρτηση του
ανική σε
Μ αντίστοιχου τελεστή – π.χ. η Χαμιλτονιανή για στάσιμα κύματα φρέατος
αντομηχα
)(sin22
sin22
sin2ˆ2
222
2
22
xELxn
LLn
mLxn
dxd
LmLxn
L nn
H
Ύλης:
Κβα
nnnnnn EdxEdxE
**H
ρία της Ύ nnnnnn
2*2*2 ˆˆ EdEdE
HH
κή Θεω
ρ 222nnnnnn EdxEdxE
HH
Κβαντι
02222 nn EEEEE
Ασαφή μεγέθη
στασ
η
• Ασαφή μεγέθη: θέ ή ά ά
0Q
Μία
∆ιάσ – π.χ. θέση, ορμή στάσιμων κυμάτων
)(cos2sinsin2ˆ xnnixndixn
p
ανική σε
Μ )(cossinsin xpLLL
iLdx
iLL nn
p
αντομηχα
0cossin2ˆ*
dxL
xnLxn
Lnidxp nn
p
Ύλης:
Κβα LLL
2222
2222*2 |)(|ˆ ndnd
p
ρία της Ύ 2
22
22 |)(|L
dxxL
dxp nnn
p
κή Θεω
ρ
Lnppp
22
Κβαντι
στο παραπάνω, το είναι ασαφές, ενώ το είναι σαφέςp 2p
Πρόβλημα 5.1
στασ
η • Ένα ελεύθερο ηλεκτρόνιο έχει κυματοσυνάρτηση (το χ σε μέτρα)
)105i ()( 10A
Μία
∆ιάσ
– α) το μήκος κύματος de Broglie
)105sin()( 10 xAx
ανική σε
Μ
-110 m 105k nm 126.0m 105
2m 105210
1-10
αντομηχα
– β) η ορμή του ηλεκτρονίου
105
Ύλης:
Κβα m/skg 1028.5)m 105(s)J 1054570.1( 24-110-34 kp
ρία της Ύ – η ενέργεια του ηλεκτρονίου σε eV
J105261m/s)kg 1028.5( 172242
pE
κή Θεω
ρ J 10526.1kg) 1011.9(2
)g(2 31
mpE
J105261 17
Κβαντι
eV 25.95J/eV 10602.1
J 10526.119
17
E
Πρόβλημα 5.3
στασ
η
• Σε μια περιοχή του χώρου, ένα σωματίδιο με μηδενική ενέργεια έχει κυματοσυνάρτηση 22 / L
Μία
∆ιάσ κυματοσυνάρτηση
– βρείτε την δυναμική ενέργεια σαν συνάρτηση της θέσης
22 /e)( LxAxx
ανική σε
Μ
0)()()(2 2
22
xxUdx
xdm
2
22 )()(
12
)(dx
xdxm
xU
αντομηχα 2 dxm )(2 dxxm
2222 /2
/ e2e)( LxLx xAxΎλης:
Κβα
2 ee)(L
Ax
2
/3
// 46442 222222 xxxx LLL
ρία της Ύ
42/
4/
2/
2
46)(e4e4e2)(222222
Lx
Lx
Lx
Lx
LxAx LxLxLx
κή Θεω
ρ
64)(22 xxU 23)0(U
ελάχιστο ενέργειας
Κβαντι
62
)( 22 LmLxU
2
3)0(mL
U
Πρόβλημα 5.6στασ
η • Έστω οτι το πυρηνικό δυναμικό προσεγγίζεται απο ορθογώνιο απειρόβαθο φρέαρ δυναμικού, πλάτους L=10-5 nm.
Μία
∆ιάσ φρέαρ δυναμικού, πλάτους L 10 nm.
– ποιό μήκος κύματος εκπέμπεται όταν πρωτόνιο μεταπίπτει απο την πρώτη διεγερμένη στην θεμελιώδη κατάσταση;
ανική σε
Μ
2
222
2mLnEn
αντομηχα 2mL
s)J1054570.1( 6132-342
Ύλης:
Κβα eV1005.2J1028.3
m) 10(kg) 106726.1(2s)J 1054570.1( 613
214271
E
ρία της Ύ
eV 1015.63 61 EE
κή Θεω
ρ
nm 000202.0V10156
nmeV 12406
E
hc
Κβαντι eV 1015.6 6E
Πρόβλημα 5.8
στασ
η • Ένα ηλεκτρόνιο βρίσκεται ορθογώνιο απειρόβαθο φρέαρ δυναμικού, πλάτους L=0.1 nm, στην κατάσταση n=4
Μία
∆ιάσ πλάτους L 0.1 nm, στην κατάσταση n 4
– Ποιά μήκη κύματος θα εκπεμφθούν κατά την αποδιέγερσή του σε χαμηλότερες στάθμες;
222
ανική σε
Μ
2
222
2mLnEn
αντομηχα
eV 6.37J 10024.6m)10(kg)10119(2
s)J 1054570.1( 1821031
2-342
1
E
Ύλης:
Κβα m) 10(kg) 1011.9(2
)12()13()23()14()24()34( 222222222222 EEEEEEE
ρία της Ύ )12( ),13( ),23( ),14( ),24( ),34( 22
122
122
122
122
122
1 EEEEEEE
111111 3 ,8 ,5 ,15 , 12 ,7 EEEEEEE
κή Θεω
ρ
hchchchchchc
111111 ,,,,,
Κβαντι
3 ,
5 ,
7 ,
8 ,
12,
15 111111 EEEEEE
Πρόβλημα 5.22
στασ
η • Ηλεκτρόνιο περιγράφεται απο την κυματοσυνάρτηση
00 2
Μία
∆ιάσ
0
0)e1(e
0)(
xx
Cx xx
2|)(| x
ανική σε
Μ
– σχεδιάστε την
κανονικοποιήστε την
αντομηχα – κανονικοποιήστε την
1)e2e(e1|)(| 34222
dxCdxx xxx
Ύλης:
Κβα
)(|)(|00
111
ρία της Ύ 1e
312e
41e
21
0
3
0
4
0
22
xxxC
κή Θεω
ρ
12132
41
212
CC
Κβαντι 342
Πρόβλημα 5.22
στασ
η • Ηλεκτρόνιο περιγράφεται απο την κυματοσυνάρτηση
00
2|)(| x
Μία
∆ιάσ
0
0)e1(e
0)(
xx
Cx xx
ανική σε
Μ
– Ποιά η πιο πιθανή θέση του ηλεκτρονίου;
0)e2e(e 342 xxxd0e6e42e 342 mmm xxx
αντομηχα
)(dx
0e3e21 2 mm xx 24-93e mx 2/1e mx
Ύλης:
Κβα 4
693.0)2ln( mx
ρία της Ύ
– Ποιά η μέση θέση του ηλεκτρονίου
3422 )e2e(e dxxCx xxx2
1e dxx ax
χρησιμοποιούμε
κή Θεω
ρ 0
)e2e(e dxxCx
211
20 a
οταν η κυματοσυνάρτηση
Κβαντι 0834.1
92
161
4112
x δεν είναι συμμετρική:
maxxx
Πρόβλημα 5.28στασ
η
• Βρείτε το Δχ για έναν κβαντικό ταλαντωτή στην θεμελιώδη του κατάσταση
Μία
∆ιάσ
2
e)( 00axCx
2ma
4/1
0
mC
ανική σε
Μ
dax
2
e 0e2
dax dax 1e22
δίνονται:
αντομηχα a
dxax
e 0e
dxx ax
aadxx ax
2e2
Ύλης:
Κβα
0e||222
02
0
dxxCdxxx ax
ρία της Ύ
mdxxCdxxx axe||2222
02
022
κή Θεω
ρ
mmmdxxCdxxx
22e|| 00
Κβαντι
mxxx
222
Πρόβλημα 5.29
στασ
η
• Βρείτε το Δp για έναν κβαντικό ταλαντωτή στην θεμελιώδη του κατάσταση 2 m 4/1
Μία
∆ιάσ 2
e)( 00axCx
2ma 0
mC
δίνονται:
ανική σε
Μ
adxax
2
e 0e2
dxx ax
aadxx ax
21e
22
δίνονται:
αντομηχα
0e2eeˆ 222 220
20
*0
*0
dxxaCidxdxd-iCdxp axaxax p
Ύλης:
Κβα
dx
dxxaaCdxdCdxp axaxax 222 222222
22*2*2 )e42(eeˆ p
ρία της Ύ
dxxaaCdxdx
-Cdxp 02000 )e42(ee p
122222222 2 m
κή Θεω
ρ
22414
22)e42( 22
022222
02 2 m
aaa
aaCdxxaaC ax
Κβαντι
222 mppp
Πρόβλημα 5.30
στασ
η
• Χρησιμοποιώντας τα δύο παραπάνω προβλήματα, πως εκφράζεται η αρχή της απροσδιοριστίας για τον αρμονικό ταλαντωτή στη θεμελιώδη του
Μία
∆ιάσ της απροσδιοριστίας για τον αρμονικό ταλαντωτή στη θεμελιώδη του
κατάσταση;
ανική σε
Μ
222
m
mpx
αντομηχα
– Αυτό είναι το μισό απο οτι είχαμε θεωρήσει μέχρι τώρα. Από μια αυστηρότερη θεώρηση της αρχής της απροσδιοριστίας προκύπτει οτι η ελάχιστη δυνατή τιμή
Ύλης:
Κβα του γινομένου ΔχΔp είναι ακριβώς το και αυτή η ελάχιστη τιμή
εμφανίζεται πράγματι στον αρμονικό ταλαντωτή2/
ρία της Ύ
κή Θεω
ρΚβαντι