Как устроен курс?Sergey Zyubin Алгебра, 2-й семестр 4 мая 2020 г.6/375 Дополнительная литература Калужнин Л.А., Введение

Как устроен курс?

1-й семестрВведение в математику — 1-я половина — экзаменАлгебра — 2-я половина — экзамен

2,3,4-й семестрыАлгебра — зачет и экзамен

Sergey Zyubin Алгебра, 2-й семестр 4 мая 2020 г. 1 / 375

Введение в математику. Содержание

1 Основы математической логики2 Основы теории множеств3 Основы комбинаторной математики4 Алгебраические системы5 Основы теории групп6 Подстановки


Алгебра (1-й семестр). Содержание

1 Основы теории чисел2 Основные алгебраические структуры и операции3 Матрицы и определители


Алгебра (2-й семестр). Содержание

1 Многочлены2 Линейная алгебра3 Теория групп


Основная литератураКострикин А.И., Введение в алгебру. Часть I: Основыалгебры. Физматлит, 2004.Кострикин А.И., Введение в алгебру. Часть II: Линейнаяалгебра. Физматлит, 2000.Курош А.Г., Курс высшей алгебры. Лань, 2013.Мальцев А.И., Основы линейная алгебры. Наука, 1985.Кострикин А.И., Манин Ю.И., Линейная алгебра игеометрия. Физматлит, 1986.Глухов М.М., Елизаров В.П., Нечаев А.А., Алгебра. Лань,2015.ван дер Варден Б.Л., Алгебра. Физматлит, 1979.Шафаревич И.Р., Ремизов А.О., Линейная алгебра игеометрия. Физматлит, 2009.Куликов Л.Я., Алгебра и теория чисел. Высшая школа, 1979.Ильин В. А., Позняк Э.Г., Линейная алгебра. Физматлит,2005.


Задачники

Проскуряков И.В., Сборник задач по линейной алгебре.Бином, 2005.под ред. Кострикина А.И. (Аржанцев И.В. и др.), Сборникзадач по алгебре. МЦНМО, 2009.Фаддеев Д.К., Соминский И.С., Задачи по высшей алгебре.Лань, 1999.Куликов Л.Я., Москаленко Л.И., Фомин Л.Л., Сборникзадач по алгебре и теории чисел. Просвещение, 1993.Шнеперман Л.Б., Сборник задач по алгебре и теориичисел. Высшая школа, 1982.Беклемишева Л.А. и др., Сборник задач по аналитическойгеометрии и линейной алгебре. Физматлит, 2004.


Дополнительная литература

Калужнин Л.А., Введение в общую алгебру. Физматлит, 1973.Прасолов В.В., Многочлены. МЦНМО, 2003.Халмош П., Конечномерные векторные пространства.Физматлит, 1963.Постников М.М., Лекции по геометрии. Семестр II.Линейная алгебра. Физматлит, 1986.Беклемишев Д.В., Курс аналитической геометрии илинейной алгебры. Физматлит, 2005.Прасолов В.В., Задачи и теоремы линейной алгебры.Физматлит, 1996.Окунев Л.Я., Сборник задач по высшей алгебре.Просвещение, 1964.Глухов М.М., Солодовников А.С., Задачник-практикум повысшей алгебре. Просвещение, 1969.


Многочлены

Многочленом n-й степени от неизвестного x с коэффициентами изполя F будем называть запись вида

a0 + a1x + · · ·+ an−1xn−1 + anx

n,

где ai ∈ F , an 6= 0. Совокупность всех многочленов с коэффициентамииз F будем обозначать F [x ].

Многочлены f (x) = a0 + a1x + · · ·+ an−1xn−1 + anx

n иg(x) = b0 + b1x + · · ·+ bm−1x

m−1 + bmxm будем считать равными,

если n = m и ai = bi для i = 0, 1, . . . , n.


МногочленыЕсли f (x) = a0 + a1x + · · ·+ an−1x

n−1 + anxn и

g(x) = b0 + b1x + · · ·+ bm−1xm−1 + bmx

m — многочлены степеней n иm соответственно, то суммой многочленов f и g называется многочлен

h(x) = (a0 + b0) + (a1 + b1)x + · · ·+ (ai + bi )xi + · · ·+ (ak + bk)xk ,

где k = max(n,m) и aj = 0 (bj = 0) для j > n (j > m). При этом будемзаписывать h = f + g .

ЛЕММА 1 (о сумме многочленов)Алгебраическая система 〈F [x ],+〉 является абелевой группой.

Произведением многочленов f (x) = a0 + a1x + · · ·+ an−1xn−1 + anx

n иg(x) = b0 + b1x + · · ·+ bm−1x

m−1 + bmxm будем называть многочлен

h(x) = c0 + c1x + · · ·+ ckxk + . . . , коэффициенты которого

вычисляются по следующему правилу: ck =∑k

i=0 aibk−i . Полагаемпри этом ai = 0, bj = 0 для i > n, j > m.


МногочленыМногочлен с единственным ненулевым коэффициентом называетсямономом: f (x) = akx

k . Старшим (младшим) членом многочленаназывается моном многочлена, с наибольшей (наименьшей) степенью,при которой стоит ненулевой коэффициент.

ЛЕММА 2 (о произведении многочленов)Старший (младший) член произведения многочленов равенпроизведению старших (младший) членов сомножителей. Степеньпроизведения многочленов равна сумме степеней сомножителей.

Пусть f (x) = a0 + a1x + · · ·+ an−1xn−1 + anx

n иg(x) = b0 + b1x + · · ·+ bm−1x

m−1 + bmxm. По определению

произведения многочленов коэффициент при xn+m равен∑n+mi=0 aibn+m−i = anbm, поскольку при i < n, то имеем n + m − i > m

и bn+m−i = 0, при i > n ai = 0. Аналогичные рассужденияпоказывают,что при более высоких степенях x коэффициентыпроизведения равны 0. Поскольку an 6= 0 и bm 6= 0, то в поле Fanbm 6= 0, т.е. anbmxn+m — старший член произведения. 2



ТЕОРЕМА 1 (о кольце многочленов)Алгебраическая система 〈F [x ],+, ·〉 являетсяассоциативно-коммутативным кольцом с единицей и не имеетделителей нуля.

Для доказательства достаточно проверить аксиомы. Отсутствиеделителей нуля следует из предыдущей леммы.



Степенью многочлена f называется степень его старшего монома.Степень обозначается deg f .

ТЕОРЕМА 2 (о делении многочленов с остатком)Для любых многочленов f , g ∈ F [x ] существует единственная парамногочленов q, r ∈ F [x ], такая, что f = gq + r и 0 6 deg(r) < deg(g).


МногочленыДоказательство. Опишем алгоритм деления многочленов. Пустьданы многочлены f (x) и g(x). Для удобства записи алгоритмаизменим нумерацию их коэффициентов:f (x) = a0x

n + a1xn−1 + · · ·+ an−1x + an и

g(x) = b0xm + b1x

m−1 + · · ·+ bm−1x + bm. Предположим n > m. Пусть

f (x)− a0b0xn−mg(x) = f1(x), f1(x) = a10x

n1 + . . . ,

f1(x)− a10b0xn1−mg(x) = f2(x), f2(x) = a20x

n2 + . . .

. . . . . . . . . . . .

fk(x)− ak0b0xnk−mg(x) = fk+1(x), степень fk+1(x) = nk+1 < m

Сложим полученные равенства. Получим f (x)− q(x)g(x) = fk+1(x),где q(x) = a0

b0xn−m +

a10b0xn1−m + · · ·+ ak0

b0xn1−m. Или

f (x) = q(x)g(x) + r(x), где r(x) = fk+1(x). Многочлены q(x) и r(x)определены однозначно, мы будем называть их, соответственно,частным и остатком от деления f (x) на g(x). 2



Для случая, когда g(x) = x − c , мы построим более удобныйалгоритм. Обозначим q(x) = b0x

n−1 + b1xn−2 + · · ·+ bn−2x + bn−1.

Поскольку f (x) = q(x)g(x) + r , r ∈ F , то имеем систему равенств:a0 = b0, a1 = b1− cb0, . . . , an−1 = bn−1− cbn−2, an = r − cbn−1. Откудаb0 = a0, b1 = a1 + cb0, . . . , bn−1 = an−1 + cbn−2, r = an + cbn−1.Вычисления по описанному алгоритму, который мы будем называтьсхемой Горнера, удобно располагать в виде следующей таблицы:

a0 a1 a2 . . . an−1 an+cb0 +cb1 . . . +cbn−2 +cban−1

c b0 b1 b2 . . . bn−1 r



Говорят, что многочлен f (x) делится на многочлен g(x), еслисуществует многочлен q(x) такой, что f (x) = q(x)g(x). Утверждение,что многочлен f (x) делится на многочлен g(x), обозначается так:

f (x)... g(x) или g(x)|f (x).

ТЕОРЕМА 3 (о свойствах отношения делимости многочленов)1) Нулевой многочлен 0 делится на все многочлены;2) элементы поля F делят все многочлены;3) f |f ;4) если g |f и f |g , то существует c ∈ F : g(x) = cf (x);5) если h|g и g |f , то h|f ;6) если f |g и f |h, то f |(g ± h);7) если f |g , то fh|gh;8) если f |g1, . . . , f |gs , то f |(u1g1 + . . .+ ungn) для любыхu1, . . . , us ∈ F [x ].



Докажем свойство 4. Пусть f (x) = q1(x)g(x) и g(x) = q2(x)f (x).Тогда f (x) = q1(x)(q2(x)f (x)) = (q1(x)q2(x))f (x) и, следовательно,многочлен q1(x)q2(x) имеет нулевую степень, но тогда и обасомножителя q1(x) и q2(x) имеют нулевую степень. Поскольку по

определению равенство f (x) = cg(x) означает f (x)...g(x), то для

доказательства обратного достаточно заметить, что из равенства

f (x) = cg(x) следует равенство g(x) = c−1f (x), т.е. g(x)...f (x). Для

доказательства остальных свойств достаточно воспользоватьсяопределением отношения делимости. 2


МногочленыМногочлен ϕ(x) называется общим делителем многочленовf1(x), . . . fn(x), если ϕ(x)|f1(x), . . . , ϕ(x)|fn(x). Общий делитель d(x)называется наибольшим общим делителем многочленовf1(x), . . . , fn(x), если d(x) делится на любой общий делительмногочленов f1(x), . . . , fn(x). Если d(x) — наибольший общий делительмногочленов f1(x), . . . fn(x), то пишут d(x) = (f1(x), . . . , fn(x)).Из свойств отношения делимости следует, что наибольший общийделитель определён с точностью до умножения на элемент поля.Многочлены f1(x), . . . , fn(x) называются взаимно простыми, если(f1(x), . . . , fn(x)) = c , где c 6= 0, c ∈ F . В этом случае пишут(f1(x), . . . , fn(x)) = 1.

ТЕОРЕМА 4 (о наибольшем общем делителе многочленов)Для всякого набора многочленов f1(x), . . . , fn(x) ∈ F [x ] существуетнаибольший общий делитель, определённый однозначно с точностьюдо умножения на элемент поля F и равный линейной комбинацииu1f1 + . . .+ unfn, для некоторых u1, . . . , un ∈ F [x ].



СЛЕДСТВИЕ 1 (о признаке НОД для многочленов)

Если d — общий делитель многочленов f1, . . . , fn и одновременно dпредставим как их линейная комбинация:d = u1f1 + . . .+ unfn (u1, . . . , un ∈ F [x ]), то d = НОД(f1, . . . , fn).

ТЕОРЕМА 5 (об алгоритме Евклида для НОД многочленов)Пусть f , g — многочлены. Обозначим f1 = f , f2 = g . Последующие fiопределим рекуррентно, как остатки от деления fi−2 на fi−1, т.е.

fi−2 = qi−1fi−1 + fi , deg fi < deg fi−1.

Тогда последовательность {fi} обрывается, когда некоторый fn = 0(так как делить на нуль нельзя) и последний не равный нулю остатокfn−1, является наибольшим общим делителем многочленов f , g .



Доказательство. Опишем алгоритм Евклида нахождения НОДмногочленов. Проведем серию делений многочленов:

f (x) = g(x)q0(x) + r1(x), deg r1(x) < deg g(x),g(x) = r1(x)q1(x) + r2(x), deg r2(x) < deg r1(x),r1(x) = r2(x)q2(x) + r3(x), deg r3(x) < deg r2(x),

. . . . . . . . . . . .ri (x) = ri+1(x)qi+1(x) + ri+2(x), deg ri+2(x) < deg ri+1(x),

. . . . . . . . . . . .rk−1(x) = rk(x)qk(x) + rk+1(x), deg rk+1(x) < deg rk(x),

rk(x) = rk+1(x)qk+1(x).



Данный процесс последовательного нахождения остатков должензакончиться через конечное число шагов, самое позднее, когда мыполучим остаток нулевой степени либо ранее, поскольку степениостатков понижаются. Последний ненулевой остаток rk+1 будетнаибольшим общим делителем многочленов f (x) и g(x). В самом

деле, из последнего равенства следует, что rk...rk+1. Далее в силу

свойств отношения делимости из предпоследнего равенства следует

rk−1...rk+1. Поднимаясь по данной цепочке равенств, мы видим

наконец, что в силу первых двух равенств f (x)...rk+1 и g(x)

...rk+1, т.е.rk+1 — общий делитель f (x) и g(x). Обратно, пусть d(x) — общийделитель f (x) и g(x). Тогда из первого равенства вытекает в силу

свойств делимости, что r1(x)...d(x). Из второго равенства следует

r2(x)...d(x) и т.д., предпоследее равенство дает rk+1(x)

...d(x), т.е.rk+1(x) — наибольший общий делитель. 2



ЛЕММА 3 (о соотношении Безу для многочленов)

Пусть d(x) — наибольший общий делитель многочленов f (x) и g(x).Тогда существуют многочлены u(x) и v(x), такие что

u(x)f (x) + v(x)g(x) = d(x) (1)

При этом многочлены u(x) и v(x) можно выбрать так, что степеньu(x) меньше степени g(x) и степень v(x) меньше степени f (x).


МногочленыДоказательства требует только последнее утверждение. Предположим,что уже найдены многочлены u(x) и v(x), удовлетворяющие равенствуu(x)f (x) + v(x)g(x) = d(x). Разделим u(x) на g(x) с остатком:u(x) = q(x)g(x) + u1(x). Теперь подставим в исходное равенствовместо u(x) его представление q(x)g(x) + u1(x) и преобразуемполученное равенство:

u(x)f (x) + v(x)g(x) = (q(x)g(x) + u1(x))f (x) + v(x)g(x) =

u1(x)f (x) + (q(x)f (x) + v(x))g(x) = d(x). (2)

Достаточно показать, что степень q(x)f (x) + v(x) меньше степениf (x). Предположим, что, напротив, степень q(x)f (x) + v(x) не меньшестепени f (x). Поскольку степень u1(x) меньше степени g(x), то впоследнем из равенств 2 степень левой части будет равна степени(q(x)f (x) + v(x))g(x) и, следовательно, не ниже степени произведенияf (x)g(x), в то время как степень многочлена d(x), стоящего в правойчасти равенства, не превосходит min(deg f (x), deg g(x)). Полученноепротиворечие доказывает лемму. 2



ЛЕММА 4 (о свойствах НОД многочленов)1) (hf , hg) = h(f , g);2) (f , g) = (f , g − f );3) если (f , g) = 1 и (f , h) = 1, то (f , gh) = 1;4) если (f , g) = 1, то (f , gh) = (f , h);5) если f |gh и (f , g) = 1, то f |h;6) если f |h, g |h и (f , g) = 1, то fg |h.



Доказательство: 1) Пусть d = (f , g). Тогда ∃u, v : uf + vg = d .Отсюда, u(hf ) + v(hg) = hd , т.е. hd представляется в виде линейнойкомбинации hf и hg . Так как hd является делителем hf , hg , то последствию 1 оно является их НОД.

2) Пусть d = (f , g). Тогда ∃u, v : uf + vg = d . Отсюда,(u + v)f + v(g − f ) = d , т.е. d представляется в виде линейнойкомбинации f и g − f . Так как d является делителем f , g − f , то последствию 1 оно является их НОД.

3) Из условия следует, что ∃u, v : uf + vg = 1 и ∃w , z : wf + zh = 1.Перемножим левые и правые части этих равенств. Имеем,(uf + vg)(wf + zh) = 1 ⇒ (uwf + vwg + uzh)f + vz · gh = 1. Такимобразом, единица представима линейной комбинацией f и gh.Следовательно, они взаимно просты.



4) Из условия следует, что ∃u, v : uf + vg = 1. Пусть d = (f , h). Тогда∃w , z : wf + zh = d . Перемножим левые и правые части этихравенств. Имеем,(uf + vg)(wf + zh) = d ⇒ (uwf + vwg + uzh)f + vz · gh = d . Такимобразом, d представим линейной комбинацией f и gh и, будучи ихобщим делителем, является их НОД.

5) Из условия следует, что ∃u, v : uf + vg = 1. Умножим обе частиравенства на h: ufh + vgh = h. Так как f делит gh, то f делит левуючасть равенства и, следовательно, делит правую часть, т.е. h.

6) Так как f делит h, то fg делит hg . Так как g делит h, то fg делитfh. Из условия следует, что ∃u, v : uf + vg = 1. Умножим обе части наh: uhf + vhg = h. Многочлен fg делит оба слагаемых в левой части и,следовательно, делит правую часть, т.е. h. �



Многочлен ненулевой степени f (x) ∈ F [x ] назовем неприводимым надполем F , если степень любого его делителя либо равна нулю (то естьделитель является элементом поля F ), либо совпадает со степеньюf (x).

ЛЕММА 5 (о свойствах неприводимых многочленов)1. Всякий многочлен первой степени неприводим.2. Если многочлен p(x) неприводим над F , то неприводимым будет ивсякий многочлен cp(x), где c — отличный от 0 элемент из F .3. Если f (x) — произвольный, а p(x) — неприводимый многочлен, толибо f (x) делится на p(x), либо же эти многочлены взаимно просты.4. Если произведение многочленов f (x) и g(x) делится нанеприводимый многочлен p(x), то хотя бы один из этих множителейделится на p(x).



ТЕОРЕМА 6 (о разложении многочлена в произведение)Всякий многочлен ненулевой степени может быть разложен впроизведение неприводимых.

ТЕОРЕМА 7 (о единственности разложения многочлена)Если многочлен f (x) из кольца F [x ] двумя способами разложен впроизведение нериводимых множителей:

f (x) = p1(x)p2(x) . . . ps(x) = q1(x)q2(x) . . . qt(x),

то s = t и, при соответствующей нумерации, имеют место равенства

qi (x) = cipi (x), i = 1, . . . , s,

где ci — отличные от 0 элементы поля F .


МногочленыЭлемент c поля F назовем корнем многочлена f (x) ∈ F [x ], еслиf (c) = 0.

ТЕОРЕМА 8 (Теорема Безу)Остаток от деления многочлена f (x) на x − c равен f (c).

Таким образом, если c — корень многочлена f (x), то f (x) делится наx − c , то есть f (x) = (x − c)g(x) для некоторого многочлена g(x).Если f (x) = (x − c)kg(x) и g(c) 6= 0 (то есть g(x) не делится наx − c), то число k будем называть кратностью корня c .

ЛЕММА 6 (о числе корней многочлена над полем)Многочлен степени n имеет не более n корней с учетом кратности.

ТЕОРЕМА 9 (о рациональных корнях многочлена)Пусть многочлен f (x) = a0 + a1x + . . .+ anx

n ∈ Z[x ] имеетрациональный корень x0 = k

m ∈ Q, где (k,m) = 1. Тогда k |a0 и m|an.


МногочленыЕсли f (x) = a0 + a1x + · · ·+ an−1x

n−1 + anxn, то его (формальной)

производной называется многочлен

f ′(x) = a1 + · · ·+ (n − 1)an−1xn−2 + nanx

n−1.

Это определение пригодно для многочленов над любым полем исохраняет обычные свойства производной:

(cf (x))′ = cf ′(x),

(f (x) + g(x))′ = f ′(x) + g ′(x),

(f (x)g(x))′ = f ′(x)g(x) + f (x)g ′(x).

ЛЕММА 7 (о кратности корней производной)Если x0 — корень многочлена f (x), имеющий кратность k , тократность корня x0 для производной f ′(x) равна k − 1.



Расширением поля F называется любое поле содержащее поле F .

ЛЕММА 8 (о НОД многочленов с общим корнем)Если многочлены f (x) и g(x) с коэффициентами из поля F имеютобщий корень в некотором расширении поля F , то (f , g) 6= 1.


МногочленыЛЕММА 9 (об определителе Вандермонда)

∣∣∣∣∣∣∣∣1 1 . . . 1x1 x2 . . . xn. . . . . . . . . . . .

xn−11 xn−12 . . . xn−1n

∣∣∣∣∣∣∣∣ =∏i>j

(xi − xj).

Каждому многочлену f (x) = a0 + a1x + · · ·+ an−1xn−1 + anx

n скоэффициентами из поля F можно сопоставить отображениеf : F → F следующим образом:f : c → a0 + a1c + · · ·+ an−1c

n−1 + ancn.

ЛЕММА 10 (о равенстве многочленов, совпадающих в точках)Если значения многочленов f (x) и g(x) степени не более n скоэффициентами из поля F совпадают более чем в n точках, тоf (x) = g(x).


МногочленыПусть требуется построить многочлен f (x) степени не более n,имеющий в точках xi значения yi , (i = 0, 1, . . . , n):

x x0 x1 x2 . . . xn−1 xnf (x) y0 y1 y2 . . . yn−1 yn

Приведем два способа решения данной интерполяционной задачи.Интерполяционный многочлен Лагранжа:

f (x) =n∑

i=0

yi(x − x0) . . . (x − xi−1)(x − xi+1) . . . (x − xn)

(xi − x0) . . . (xi − xi−1)(xi − xi+1) . . . (xi − xn).

Интерполяционный многочлен Ньютона:

f (x) = A0 + A1(x − x0) + A2(x − x0)(x − x1) + . . .

+Ai+1(x − x0)(x − x1) . . . (x − xi ) + . . .

+An(x − x0)(x − x1) . . . (x − xn−1). (3)


МногочленыПодставляя в указанный многочлен по очереди вместо переменной xзначения x0, x1,...,xn, получим систему линейных уравнений n + 1-гопорядка для нахождения коэффициентов A0,A1, . . . ,An многочленаf (x):

A0 = y0,A0 + A1(x1 − x0) = y1,A0 + A1(x2 − x0) + A2(x2 − x0)(x2 − x1) = y2,. . . . . . . . . . . . . . .A0 + A1(xi+1 − x0) + A2(xi+1 − x0)(xi+1 − x1) + . . .

+ Ai+1(xi+1 − x0)(xi+1 − x1) . . . (xi+1 − xi ) = yi+1,. . . . . . . . . . . . . . .A0 + A1(xn − x0) + A2(xn − x0)(xn − x1) + . . .

+ Ai+1(xn − x0)(xn − x1) . . . (xn − xi ) + . . .+ An(xn − x0)(xn − x1) . . . (xn − xn−1) = yn.

Данная система имеет единственное решение.



ТЕОРЕМА 10 (Теорема Виета)Пусть x1, . . . xn — корни многочленаf (x) = a0x

n + a1xn−1 + · · ·+ an−1x + an. Тогда

x1 + x2 + · · ·+ xn = −a1a0,

x1x2 + x1x3 + · · ·+ xn−2xn + xn−1xn = a2a0,

. . . . . . . . . . . .∑16i1<i2<···<ik6n

xi1xi2 . . . xik = (−1)k aka0,

. . . . . . . . . . . .a0x1x2 . . . xn = (−1)n an

a0.

Пусть многочлен f (x) ∈ F [x ] степени n имеет в поле F или внекотором его расширении n корней с учетом их кратности. Применяятеорему Безу, получаем следующее разложение многочлена:f (x) = a0(x − x1)(x − x2) . . . (x − xn). Раскрывая скобки, получимтребуемую систему равенств. 2



Пусть f (x) = a0xn + a1x

n−1 + · · ·+ an−1x + an - многочлен степени n иx0 - произвольное комплексное число. Проведем следующую сериюделений на x − x0:

f (x) = (x − x0)q1(x) + r0,q1(x) = (x − x0)q2(x) + r1,

. . . . . .qn−2(x) = (x − x0)qn−1(x) + rn−2,qn−1(x) = (x − x0)qn(x) + rn−1.

Пользуясь данной системой равенств, мы можем представить f (x)следующим образом:f (x) = r0 + r1(x − x0) + r2(x − x0)2 + · · ·+ qn(x − x0)n.Такое представление называется разложением многочлена по степеням(x − x0).



Примечание. Отметим, что в данном разложении qn = a0. В самомделе, поскольку старший член произведения многочленов равенпроизведению старших членов сомножителей, то старший членпоследнего слагаемого равен qnx

n; старшие члены остальныхслагаемых имеют меньшую степень. Итак, старший член правой частиравен qnx

n, а старший член левой части равен a0xn, откуда получаем

требуемое равенство.



ЛЕММА 11 (о непрерывности многочлена)

Любой многочлен f (x) ∈ C[x ] является функцией непрерывной вкаждой точке x ∈ C.

Доказательство. Так как r0 = f (x0), то получаемf (x)− f (x0) = r1(x − x0) + r2(x − x0)2 + · · ·+ qn(x − x0)n. ПолагаяM = max(|r1|, . . . , |rn−1|, |qn|) и |x − x0| < δ = ε

M+ε получим|f (x)− f (x0)| 6 M(|x − x0|+ |x − x0|2 + · · ·+ |x − x0|n) =

M |x−x0|−|x−x0|n+1

1−|x−x0| < M |x−x0|1−|x−x0| <

Mδ1−δ = ε. 2



ЛЕММА 12 (о скорости роста старшего члена)

Пусть задан многочлен f (x) = a0xn + a1x

n−1 + · · ·+ an−1x + anстепени n > 1. Для любого действительного k > 0 существуетдействительное M > 0 такое, что при |x | > M

|a0xn| > k |a1xn−1 + · · ·+ an−1x + an|. (4)

Доказательство. Пусть A = max(|a1|, . . . , |an|). Имеем|a1xn−1 + · · ·+ an−1x + an| 6 |a1||xn−1|+ · · ·+ |an−1||x |+ |an| 6A(|xn−1|+ · · ·+ |x |+ 1) = A |x |

n−1|x |−1 . Предположив |x | > 1, получим

|x |n−1|x |−1 < |x |n

|x |−1 . Следовательно, |a1xn−1 + · · ·+ an−1x + an| < A |x |

n

|x |−1 .Теперь для выполнения неравенства 4 достаточно выбрать x так,чтобы кроме условия |x | > 1 выполнялось неравенствоkA |x |

n

|x |−1 6 |a0xn| = |a0||xn|, т.е. |x | > kA

|a0| + 1, что и требовалосьдоказать. 2


МногочленыЛЕММА 13 (Лемма о возрастании модуля)

Пусть f (x) ∈ C[x ] — произвольный многочлен степени n > 1, тогдадля любого действительного K > 0 существует действительное M > 0такое, что при |x | > M справедливо неравенство |f (x)| > K .

Доказательство. Пусть f (x) = a0xn + a1x

n−1 + · · ·+ an−1x + an. Посвойству модуля

|f (x)| = |a0xn + a1xn−1 + · · ·+ an−1x + an| >

|a0xn| − |a1xn−1 + · · ·+ an−1x + an|. (5)

Применяя лемму 12 при k = 2, получим: существует такое N1, что при|x | > N1 выполнено |a0xn| > 2|a1xn−1 + · · ·+ an−1x + an|.Следовательно, |a1xn−1 + · · ·+ an−1x + an| < 1

2 |a0xn| и с учетом

неравенства 5 имеем |f (x)| > |a0xn| − 12 |a0x

n| = 12 |a0x

n|. Неравенство12 |a0x

n| > K справедливо при |x | > N2 = n

√2K|a0| . Итак, при

|x | > max(N1,N2) имеем |f (x)| > K , что и требовалось доказать. 2Sergey Zyubin Алгебра, 2-й семестр 4 мая 2020 г. 39 / 375


ЛЕММА 14 (Лемма Даламбера)Если многочлен f (x) степени n > 1 в точке x0 не обращается в 0, тосуществует такое комплексное число h, что |f (x0 + h)| < |f (x0)|.

Доказательство. Пусть h — некоторое пока произвольноеприращение аргумента x . Разложим f (x0 + h) по степеням h:

f (x0 + h) = c0 + c1h + c2h2 + · · ·+ cnh

n. (6)

По условию теоремы c0 = f (x0) 6= 0 и cn 6= 0, т.к. cn совпадает состаршим коэффициентом многочлена f (x). Пусть c1 = · · · = ck−1 = 0,ck 6= 0. Так как cn 6= 0, то k < n. Деля обе части равенства (6) наc0 = f (x0) и вводя новые обозначения bi = ci

c0, получаем

f (x0 + h)

f (x0)= 1 + bkh

k + bk+1hk+1 + · · ·+ bnh

n.



Учитывая, что ck 6= 0, имеем

f (x0 + h)

f (x0)= (1 + bkh

k) + bkhk

(bk+1

bkh + · · ·+ bn

bkhn−k

). (7)

Ввиду свойства модуля получаем неравенство∣∣∣∣ f (x0 + h)

f (x0)

∣∣∣∣ 6 |1 + bkhk |+ |bkhk |

∣∣∣∣bk+1

bkh + · · ·+ bn

bkhn−k

∣∣∣∣ . (8)



Так как многочлен g(h) = bk+1

bkh + · · ·+ bn

bkhn−k является непрерывной

функцией от h и g(0) = 0, то, в силу леммы 11, существует такое δ1,что при |h| < δ1 будет выполнено |g(h)| < 1

2 (здесь мы полагаемε = 1

2). С другой стороны, если |h| < δ2 = k√|bk |−1, то |bkhk | < 1.

Выберем h так, чтобы выполнялись оба неравенства, т.е.

|h| < min(δ1, δ2). (9)

Тогда неравенство 8 превращается в строгое неравенство∣∣∣∣ f (x0 + h)

f (x0)

∣∣∣∣ < |1 + bkhk |+ 1

2|bkhk |. (10)



Аргумент числа h выберем так, чтобы число bkhk было

отрицательным действительным числом, т.е.arg(bkh

k) = arg(bk) + k · arg(h) = π, или

arg(h) =π − arg(bk)

k. (11)

В этом случае bkhk = −|bkhk | и так как |bkhk | < 1, то

|1 + bkhk | = |1− |bkhk || = 1− |bkhk |. Таким образом, если h

удовлетворяет условиям 9, 11, то неравенство 10 принимает вид∣∣∣∣ f (x0 + h)

f (x0)

∣∣∣∣ < 1− |bkhk |+1

2|bkhk | = 1− 1

2|bkhk |.

Следовательно, | f (x0+h)f (x0)

| = |f (x0+h)||f (x0)| < 1, т.е. |f (x0 + h)| < |f (x0)|, что и

требовалось доказать. 2



ТЕОРЕМА 11 (Основная теорема алгебры)

Для любого многочлена f (x) ∈ C[x ] степени n > 1 существует x0 ∈ C,такое, что f (x0) = 0.

Поле F называется алгебраически замкнутым, если любой многочлениз F [x ] имеет корень в поле F . Таким образом в теореме утверждаетсяалгебраическая замкнутость поля C.Для доказательства сформулированной теоремы воспользуемсяобобщением теоремы Вейерштрасса на случай действительнойфункции комплексного переменного.

ТЕОРЕМА 12Если действительная функция g(x) комплексного переменного xнепрерывна во всех точках замкнутого круга E , то существует в кругеE такая точка x0, что для всех x ∈ E имеет место неравенствоg(x) > g(x0).



Доказательство теоремы 11. Пусть дан многочленf (x) = a0x

n + · · ·+ an степени n > 1. Если an = 0, то f (0) = an = 0, иутверждение теоремы справедливо. Предположим an 6= 0. Согласнолемме 13 для M = |f (0)| = |an| существует такое N > 0, что при|x | > N будет выполняться неравенство |f (x)| > |f (0)|. Из теоремыВейерштрасса следует, что в круге E = {z | |z | 6 N} существует такаяточка x0, что при любом x ∈ E |f (x)| > |f (x0)|, в частности|f (0)| > |f (x0)|. Поскольку за пределами круга E |x | > N и поэтому|f (x)| > |f (0)|, то при любом комплексном значении переменной x|f (x)| > |f (x0)|, т.е. точка x0 является точкой минимума функции|f (x)| на всей комплексной плоскости. Если f (x0) 6= 0, то по леммеДаламбера существует такое x1, что |f (x1)| < |f (x0)| — в противоречиис тем, что точка x0 является точкой минимума функции f (x) на всейкомплексной плоскости. Следовательно, f (x0) = 0 и теорема доказана.2



ЛЕММА 15 (о комплексных корнях действительногомногочлена)

Если f (x) — произвольный многочлен степени n > 1 из кольца R[x ] иα — его корень, то α также является корнем многочлена f (x).

Доказательство. Пусть f (x) = a0xn + · · ·+ an−1x + an и α — корень

f (x). Тогда f (α) = a0(α)n + · · ·+ an−1α + an = 0, и посколькукоэффициенты ai — действительные, то f (α) =a0(α)n + · · ·+ an−1α + an = a0(α)n + · · ·+ an−1α + an = f (α) = 0 = 0,что и требовалось доказать. 2



ЛЕММА 16 (о приводимости действительных многочленов)Любой многочлен f (x) ∈ R[x ] степени > 2 приводим над полем Rдействительных чисел. Многочлен f (x) ∈ R[x ] неприводим над полемR действительных чисел ⇐⇒ либо его степень равна 1, либо онимеет степень 2 и не имеет действительных корней.



Доказательство. Пусть f (x) — произвольный многочлен сдействительными коэффициентами степени > 2 и α — его корень.Если α — действительное число, то разделим f (x) на x − α:f (x) = (x − α)g(x). В соответствии с алгоритмом деления g(x) имеетдействительные коэффициенты. Если же α — комплексное (недействительное) число, то по лемме 15 число α также являетсякорнем многочлена f (x). Многочленϕ(x) = (x − α)(x − α) = x2 − (α + α)x + αα имеет действительныекоэффициенты. Разделим f (x) на ϕ(x): f (x) = ϕ(x)g(x). Всоответствии с алгоритмом деления g(x) имеет действительныекоэффициенты. Отметим кроме того, что многочлен второй степениψ(x) ∈ R[x ] неприводим над полем действительных чисел тогда итолько тогда, когда он не имеет действительных корней. 2



Систему многочленов f0, . . . , fs назовём системой Штурма длямногочлена f = f0, если выполняются следующие условия:(1) Произведение f0(x)f1(x) при переходе через корень многочлена f0меняет знак с − на +;(2) два соседних многочлена fi (x) и fi+1(x) не имеют общих корней;(3) если fi (α) = 0, для 0 < i < s, то fi−1(α) и fi+1(α) имеют разныезнаки;(4) fs не имеет действительных корней.


МногочленыПусть дана последовательность ненулевых действительных чиселc1, c2, . . . , cm, числом перемен знаков в данной последовательностибудем называть число пар соседних чисел, имеющих противоположныезнаки. Число перемен знаков в произвольной последовательностибудем считать, игнорируя входящие в последовательность нули.Числом перемен знаков системы многочленов f0, . . . , fs в точке αбудем называть число перемен знаков последовательностиf0(α), . . . , fs(α). Обозначать это число будем W (α). Далее нампотребуется теорема Коши о промежуточных значениях функции,непрерывной на отрезке [a, b]. Сформулируем ее без доказательства.

ТЕОРЕМА 13Пусть f — действительная функция действительного переменного,непрерывная на отрезке [a, b], и действительное число C лежит междуf (a) и f (b). Тогда существует действительное число θ ∈ [a, b] такое,что f (θ) = C .



ТЕОРЕМА 14 (о числе перемен знака в системе Штурма)Пусть a, b — действительные числа, не являющиеся корнямимногочлена f (x), и f0, . . . , fs — система Штурма многочлена f (x), неимеющего кратных корней. Тогда число действительных корнеймногочлена f (x) на интервале (a, b) равно W (a)−W (b).

Доказательство. Пусть f0, . . . , fs — некоторая система Штурма длямногочлена f (x). Корни α1, . . . , αm многочленов f0, . . . , fs−1 (fs поусловию (4) корней не имеет) разбивают интервал (a, b) на конечноемножество меньших интервалов:

(α0, α1), (α1, α2), . . . , (αm−1, αm), (αm, αm+1),

здесь α0 = a, αm+1 = b. В силу теоремы Коши внутри указанныхинтервалов (αi , αi+1) все многочлены системы Штурма сохраняютсвои знаки. Выясним, как изменяется W (x) в точках α1, . . . , αm.



Рассмотрим вначале случай, когда αi корень многочлена fk(x)(0 < k < s). По п.(3) определения системы Штурма числа fk−1(αi ) иfk+1(αi ) имеют разные знаки. Тогда и в интервалах (αi−1, αi ) и(αi , αi+1) многочлены fk−1 и fk+1 имеют разные знаки. При этомнезависимо от знака числа fk(x) при x , принимающем значения вуказанных интервалах, в последовательности значенийfk−1(x), fk(x), fk+1(x) всегда будет только одна перемена знаков. Такимобразом, W (x) не меняется при переходе через точку αi , являющуюсякорнем многочлена fk(x) (0 < k < s). Пусть теперь αi кореньмногочлена f0(x). Тогда по свойству (2) системы Штурма внутриинтервала (αi−1, αi+1) f1(x) 6= 0 и сохраняет знак. В силу свойства (1)значения f0(x) и f1(x) при x ∈ (αi−1, αi ) противоположных знаков, апри x ∈ (αi , αi+1) — одинаковых знаков. Поскольку, как былопоказано, все остальные перемены знаков в ряду Штурма сохраняютсяпри переходе через точку αi , то при переходе через корень αi

многочлена f0(x) W (x) уменьшается на единицу. Теорема доказана. 2


МногочленыЕсли у многочлена f (x) нет кратных корней, то систему Штурма длямногочлена f (x) можно построить следующим образом. Положимf0 = f , f1 = f ′ и произведём последовательность делений:

f0(x) = f1(x)q0(x)− f2(x),f1(x) = f2(x)q1(x)− f3(x),

. . . . . . . . . . . .fi (x) = fi+1(x)qi (x)− fi+2(x),

. . . . . . . . . . . .fk−1(x) = fk(x)qk−1(x)− fk+1(x),

fk(x) = fk+1(x)qk(x)

Поскольку многочлен f не имеет кратных корней, то (f , f ′) = 1,следовательно, fk+1(x) = const. Нетрудно проверить, что полученнаясистема является системой Штурма.Если многочлен f имеет кратные корни, то следует рассмотретьмногочлен f

(f ,f ′) , который уже не имеет кратных корней.



Мономом от переменных x1, . . . , xn будем называть выражение,имеющее вид x t11 x t22 . . . x tnn , где t1, . . . , tn — неотрицательные целыечисла. Мономы x s11 x s22 . . . x snn и x t11 x t22 . . . x tnn будем считать равными,если si = ti для i = 1, . . . , n. Многочленом от n переменных x1, . . . , xnнад полем F будем называть выражениеf (x1, . . . , xn) =

∑k0 aix

si11 , . . . , x sinn , где sij - неотрицательные целые

числа, ai ∈ F . При этом предполагается, что в указанном выражениипри i 6= j мономы x si11 , . . . , x sinn и x

sj11 , . . . , x

sjnn различны. Число

∑nj=1 sij

будем называть степенью члена aixsi11 , . . . , x sinn , а число

t = maxi∑n

j=1 sij назовём степенью многочлена f (x1, . . . , xn). Длясокращения записи будем опускать члены с нулевымикоэффициентами, а при записи членов нулевой степени - указыватьтолько его коэффициент. Данное соглашение будем использовать и вобратном смысле, т.е. будем считать, что любой член, отсутствующийв записи данного многочлена, входит в него с коэффициентом 0, аэлементы поля F будем рассматривать как многочлены степени 0.



Многочлен, все коэффициенты которого равны нулю, будемобозначать 0. Два многочлена f и g от n переменных x1, . . . , xn будемсчитать равными, если у них совпадают коэффициенты приодинаковых мономах. На множестве многочленов от n переменныхx1, . . . , xn определим операции сложения и умножения многочленов,которые будем обозначать, соответственно, + и · (при записипроизведения по традиции мы часто будем опускать знак операцииумножения).Суммой многочленов f (x1, . . . , xn) и g(x1, . . . , xn) будем называтьмногочлен h(x1, . . . , xn), у которого коэффициент при произвольноммономе x t11 . . . x tnn равен сумме коэффициентов при этом мономе вмногочленах f (x1, . . . , xn) и g(x1, . . . , xn).


МногочленыДля определения произведения многочленов рассмотрим вначалепростейший случай, когда f (x1, . . . , xn) = ax s11 . . . x snn иg(x1, . . . , xn) = bx t11 . . . x tnn . Положим. что в этом случаеf (x1, . . . , xn) · g(x1, . . . , xn) = (ab)x s1+t1

1 . . . x sn+tnn . Поскольку каждый

многочлен от n переменных x1, . . . , xn является суммой указанныхмногочленов простейшего вида («одночленов»), то в общем случаемы определим произведение многочленов как результат почленногоперемножения слагаемых и последующего приведения подобныхчленов, т.е. сложения коэффициентов при одинаковых мономах.Непосредственная проверка аксиом показывает, что справедливаследующая

ЛЕММА 17Множество многочленов от n переменных x1, . . . , xn над полем Fотносительно операций сложения и умножения многочленовсоставляет ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей.



Кольцо многочленов от переменных x1, . . . , xn над полем F будемобозначать F [x1, . . . , xn].Буквой M обозначим множество всех мономов. Введём на множествеM линейный порядок, который будем называть лексикографическим.Пусть u = x s11 x s22 . . . x snn и v = x t11 x t22 . . . x tnn . Будем говорить, что мономu старше монома v (u � v), если для некоторого i ∈ {1, . . . , n}s1 = t1, . . . , si−1 = ti−1, si > ti . Если ввести отношение u < v ,означающее, что либо u � v , либо u = v , то отношение < будетотношением линейного порядка на множестве M мономов отпеременных x1, . . . , xn. Кроме того, введенный на множестве Mпорядок будет дискретным, т.е. для любых u, v ∈ M множество{w |u < w < v} конечно.



Член многочлена f (x1, . . . , xn) от переменных x1, . . . , xn являетсяпроизведением элемента поля F на моном, т.е. многочлен f (x1, . . . , xn)от переменных x1, . . . , xn является конечной суммой мономов, взятых снекоторыми коэффициентами из поля F . Будем называтьamx

sm11 , . . . , x smn

n старшим членом многочленаf (x1, . . . , xn) =

∑k0 aix

si11 , . . . , x sinn , если моном x sm1

1 , . . . , x smnn является

наибольшим относительно лексикографического порядка средимономов, входящих в многочлен f (x1, . . . , xn) с ненулевымикоэффициентами.


МногочленыЛЕММА 18 (о старшем члене произведения многочленов от nпеременных)Старший член произведения многочленов от n переменных скоэффициентами из некоторого поля равен произведению старшихчленов сомножителей.Доказательство. Пусть u = axq11 . . . xqnn — старший член иu′ = a′x r11 , . . . , x

rnn — любой другой член многочлена f (x1, . . . , xn), а

v = bx s11 , . . . , xsnn — старший член и v ′ = b′x t11 , . . . , x

tnn — любой другой

член многочлена g(x1, . . . , xn). Тогда существуют такие i и j , чтоq1 = r1, . . . , qi = ri , qi+1 > ri+1,s1 = t1, . . . , sj = tj , sj+1 > tj+1.

(12)

Поскольку uv = abxq1+s11 , . . . , xqn+sn

n и u′v ′ = a′b′x r1+t11 , . . . , x rn+tn

n , то изнеравенств 12 следует, что uv � u′v ′. В самом деле, при i 6 jq1 + s1 = r1 + t1, . . . , qi + si = ri + ti , qi+1 + si+1 > ri+1 + ti+1, при i > jq1 + s1 = r1 + t1, . . . , qj + sj = rj + tj , qj+1 + sj+1 > rj+1 + tj+1.Небольшая модификация приведенных рассуждений позволяетпоказать, что uv � uv ′ и uv � u′v , что и завершает доказательство. 2



Многочлен f (x1, . . . , xn) назовём симметрическим, если при любойперестановке переменных многочлен не меняется, т.е.

f (xi1 , . . . , xin) = f (x1, . . . , xn).

Следующие многочлены назовём элементарными симметрическимимногочленами:

σ1 = x1 + x2 + · · ·+ xn,σ2 = x1x2 + x1x3 + · · ·+ xn−2xn + xn−1xn,

. . . . . . . . . . . .σk =

∑16i1<i2<···<ik6n

xi1xi2 . . . xik ,

. . . . . . . . . . . .σn = x1x2 . . . xn.



ТЕОРЕМА 15 (о симметрических многочленах)Всякий симметрический многочлен с коэффициентами из поля Fможно представить в виде многочлена от σ1, . . . , σn скоэффициентами из поля F .

Доказательство. Пусть f (x1, . . . , xn) — симметрический многочлен,старший член которого равен a0x

s11 x s22 . . . x snn . Для показателей si

справедливы неравенства s1 > s2 > · · · > sn, иначе среди членовf (x1, . . . , xn) будет находится некоторый член, полученный из данногоперестановкой переменных, который будет старше его. Положим

f1(x1, . . . , xn) =

f (x1, . . . , xn)− a0σs1−s21 σs2−s32 . . . σ

sn−1−snn−1 σsnn . (13)



Старший член многочлена a0σs1−s21 σs2−s32 . . . σ

sn−1−snn−1 σsnn равен

произведению a0xs1−s21 (x1x2)s2−s3 . . . (x1 . . . xn−1)sn−1−sn(x1 . . . xn)sn , т.е.

старшему члену a0xs11 x s22 . . . x snn многочлена f (x1, . . . , xn).

Следовательно, старший член многочлена f1(x1, . . . , xn) будет младшестаршего члена многочлена f (x1, . . . , xn). Повторив аналогичныедействия с построенным многочленом f1(x1, . . . , xn), получиммногочлен f2(x1, . . . , xn), старший член которого младше старшегочлена f1(x1, . . . , xn).



Поскольку имеется лишь конечное число членов, являющихся младшенекоторого фиксированного члена, то через конечное число шаговполучим нулевой многочлен, т.е.0 = fk(x1, . . . , xn)− b0σ

t1−t21 σt2−t32 . . . σ

tn−1−tnn−1 σtnn . Сложив почленно

данные равенства, получим

0 = f (x1, . . . , xn)− a0σs1−s21 σs2−s32 . . . σ

sn−1−snn−1 σsnn − . . .

−b0σt1−t21 σt2−t32 . . . σtn−1−tnn−1 σtnn . (14)

То есть

f (x1, . . . , xn) = a0σs1−s21 σs2−s32 . . . σ

sn−1−snn−1 σsnn + . . .

+b0σt1−t21 σt2−t32 . . . σ

tn−1−tnn−1 σtnn . (15)

2


МногочленыПусть f (x) = a0x

n + a1xn−1 + · · ·+ an−1x + an и

g(x) = b0xm + b1x

m−1 + · · ·+ bm−1x + bm — многочлены над полем F ,а F — поле разложения многочлена f (x) · g(x) и α1, . . . , αn — корнимногочлена f (x), а β1, . . . , βm — корни многочлена g(x). Результантоммногочленов f (x) и g(x) назовём элемент

R(f , g) = am0 bn0

n∏i=1

m∏j=1

(αi − βj) (16)

поля F . В соответствии с приведённым определением результантR(g , f ) многочленов g(x) и f (x) имеет следующий вид:

R(g , f ) = bn0am0

n∏i=1

m∏j=1

(βj − αi ). (17)

Нетрудно видеть, что результанты R(f , g) и R(g , f ) связанысоотношением R(f , g) = (−1)nmR(g , f ).



Многочлены f (x) и g(x) имеют общий корень ⇐⇒ R(f , g) = 0.Так как f (x) = a0

∏ni=1(x − αi ) и g(x) = b0

∏mj=1(x − βj), то

f (βj) = a0∏n

i=1(βj − αi ) и g(αi ) = b0∏m

j=1(αi − βj).Из этих равенств получаем

R(f , g) = am0

n∏i=1

g(αi ), (18)

R(g , f ) = bn0

m∏j=1

f (βj). (19)



ТЕОРЕМА 16Справедливо равенство

R(f , g) =∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a0 a1 . . . an 0 . . . 00 a0 . . . an−1 an . . . 0. . . . . . . . . . . . . . .0 . . . 0 a0 a1 . . . anb0 b1 . . . bm 0 . . . 00 b0 b1 . . . bm . . . 0. . . . . . . . . . . . . . .0 0 0 b0 b1 . . . bm

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

m строк

n строк

(20)


МногочленыДоказательство. Рассмотрим определитель Вандермондаследующего вида:

M =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

βn+m−11 . . . βn+m−1

m αn+m−11 . . . αn+m−1

n

βn+m−21 . . . βn+m−2

m αn+m−21 . . . αn+m−2

n

. . . . . . . . . . . . . . . . . .β21 . . . β2m α2

1 . . . α2n

β1 . . . βm α1 . . . αn

1 . . . 1 1 . . . 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣. (21)

Из леммы 9 следует, что

M =∏

16i<j6m

(βi − βj) ·m∏j=1

n∏i=1

(βj − αi ) ·∏

16i<j6n

(αi − αj). (22)

Обозначим через D определитель в правой части равенства (20).Ввиду равенства (17) имеем

am0 bn0DM = D · R(g , f ) ·

∏16i<j6m

(βi − βj) ·∏

16i<j6n

(αi − αj). (23)



В соответствии с теоремой об определителе произведения матрицимеем

DM =∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥

βm−11 f (β1) βm−12 f (β2) . . . βm−1m f (βm) 0 . . . 0

βm−21 f (β1) βm−22 f (β2) . . . βm−2m f (βm) 0 . . . 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

β1f (β1) β2f (β2) . . . βmf (βm) 0 . . . 0f (β1) f (β2) . . . f (βm) 0 . . . 0

0 0 . . . 0 αn−11 g(α1) . . . αn−1

n g(αn)

0 0 . . . 0 αn−21 g(α1) . . . αn−2

n g(αn). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .0 0 . . . 0 α1g(α1) . . . αng(αn)0 0 . . . 0 g(α1) . . . g(αn)

∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥

.


МногочленыВынесем из столбцов полученного определителя общие множителиf (βi ) и g(αj) и разложим после этого определитель по первым mстрокам используя теорему Лапласа. Результатом разложения будетпроизведение двух определителей Вандермонда порядков m и n,зависящих от βi и αj , соответственно, вычисляя их, получим

am0 bn0DM = am0 b

n0

m∏i=1

f (βj) ·∏

16i<j6m

(βi − βj) ·

n∏i=1

g(αj) ·∏

16i<j6n

(αi − αj). (24)

Используя равенства (18), мы можем переписать (24) в виде

am0 bn0DM = R(f , g)R(g , f ) ·

∏16i<j6m

(βi − βj) ·∏

16i<j6n

(αi − αj). (25)



Так как равны левые части равенств (23) и (25), то получаемравенство

D · R(g , f ) ·∏

16i<j6m

(βi − βj) ·∏

16i<j6n

(αi − αj) =

R(f , g)R(g , f ) ·∏

16i<j6m

(βi − βj) ·∏

16i<j6n

(αi − αj). (26)

Последнее равенство справедливо для любых многочленов f и g ,поэтому мы можем считать, что корни α1, . . . , αn, β1, . . . , βmмногочленов f (x) и g(x) все попарно различны. В этом случае общиемножители в левой и правой частях равенства 26 отличны от 0 ипосле сокращения получаем равенство R(f , g) = D, что и требовалосьдоказать. 2



Пусть R(f , f ′) — результант многочлена f степени n и его производнойf ′ и a0 — старший коэффициент многочлена f . Тогда значениевыражения

D(f ) = (−1)n(n−1)

2 a−10 R(f , f ′)

называется дискриминантом многочлена f (x). Условия наличия общихкорней у двух многочленов и критерий наличия кратных корней умногочлена приводят к следующему утверждению.

ЛЕММА 19Многочлен f (x) имеет кратные корни тогда и только тогда, когда егодискриминант равен 0.



Если f (x) = a0xn + a1x

n−1 + · · ·+ an, то из выражения 20 длярезультанта получаем следующее выражение для дискриминанта:

D(f ) =∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a0 a1 . . . an 0 00 a0 a1 . . . an 0. . . . . . . . . . . . . . .0 0 a0 a1 . . . anna0 (n − 1)a1 . . . an−1 0 00 na0 (n − 1)a1 . . . an−1 0. . . . . . . . . . . . . . .0 0 na0 (n − 1)a1 . . . an−1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

n − 1 строка

n строк.



ЛЕММА 20Пусть x1, . . . , xn — все корни многочлена f = a0x

n + . . .+ an−1x + an,причем корни в данном ряду повторяются согласно их кратности.Тогда

D(f ) = (−1)n(n−1)

2 a2n−20

∏i 6=j

(xi − xj) = a2n−20

∏16i<j6n

(xi − xj)2.

Дискриминант квадратного многочлен ax2 + bx + c равенD = b2 − 4ac .

Дискриминант кубического многочлена ax3 + bx2 + cx + d равенD = b2c2 − 4ac3 − 4b3d − 27a2d2 + 18abcd .


Линейная алгебраЛинейным (или векторным) пространством над полем K называетсямножество V c заданными на нём операциями сложения «+» двухэлементов множества V ,

+: V × V → V , (u, v) 7→ u + v

и умножения «·» элементов V на элементы поля K ,

· : K × V → V , (λ, v) 7→ λ · v ,которые удовлетворяют следующим условиям:1) u + v = v + u для любых u, v ∈ V ;2) (u + v) + w = u + (v + w) для любых u, v ,w ∈ V ;3) существует такой элемент 0 ∈ V , что v +0 = v для любого v ∈ V ;4) для любого v ∈ V существует такой элемент −v ∈ V , что

v + (−v) = 0;5) λ · (u + v) = λ · u + λ · v для любых u, v ∈ V и λ ∈ K ;6) (λ+ µ) · v = λ · v + µ · v для любых v ∈ V и λ, µ ∈ K ;7) λ · (µ · v) = (λµ) · v для любых v ∈ V и λ, µ ∈ K ;8) 1 · v = v для любого v ∈ V .


Линейная алгебра

Свойства 1)–4) означают, что V является абелевой группойотносительно операции сложения. Элемент 0 называется нулевым, аэлемент (−v) называется противоположным к v . Элементы поля Kиногда называют скалярами.

Обычно мы будем опускать знак умножения: λ · v = λv .



ЛЕММА 21а) 0v = λ0 = 0 для любых v ∈ V , λ ∈ K ;б) (−1)v = −v для любого v ∈ V ;в) если λv = 0, то либо λ = 0, либо v = 0.

Доказательство. Докажем а). Действительно,0v + 0v = (0 + 0)v = 0v , откуда 0v = 0 по свойству сокращения вабелевой группе. Аналогично, λ0 + λ0 = λ(0 + 0) = λ0, т.е. λ0 = 0.Докажем б). Действительно,v + (−1)v = 1v + (−1)v = (1 + (−1))v = 0v = 0, т.е. вектор (−1)vпротивоположен к v .Наконец, докажем в). Если λ 6= 0, то0 = λ−1(λv) = (λ−1λ)v = 1v = v . 2



ПРИМЕР.1. Множество {0}, состоящее из одного элемента 0, являетсялинейным пространством над любым полем.

2. Множества векторов на прямой, на плоскости, в пространстве,являются линейными пространствами над полем R.

3. Поле K является векторным пространством над самим собой.

4. Поле C является линейным пространством над полем R, а поле Rявляется линейным пространством над полем рациональных чисел Q.Более общо, если K1 — подполе в K2 (т.е. K2 является расширениемполя K1), то K2 является линейным пространством над K1.



5. ПустьKn :=

{(x1, . . . , xn) : xi ∈ K

}— множество последовательностей (строк или столбцов)фиксированной длины n из элементов поля K . Операциипокомпонентного сложения и умножения на скаляры, т.е.

(x1, x2, . . . , xn) + (y1, y2, . . . , yn) := (x1 + y1, x2 + y2, . . . , xn + yn),

λ · (x1, x2, . . . , xn) := (λx1, λx2, . . . , λxn),

задают на Kn структуру линейного пространства над K . Ононазывается n-мерным координатным (или арифметическим)пространством над K . При n = 1 мы получаем пространство изпримера 3.

Мы в основном будем иметь дело с пространствами Rn, Cn, Znp.



6. Множество функций на произвольном множестве X со значениямив поле K , обозначаемое KX , является линейным пространствомотносительно операций поточечного сложения, т.е. значение функцииf + g в точке x ∈ X полагается равным f (x) + g(x), и поточечногоумножения на скаляры, т.е. (λ · f )(x) = λf (x). В случае, когда X —конечное множество из n элементов, мы получаем пространство Kn изпредыдущего примера.

7. Множество C (R) непрерывных функций на вещественной прямой имножество C [a, b] непрерывных функций на отрезке являютсялинейными пространствами над R. Также линейными пространствамиявляются множества дифференцируемых функций (на прямой или наотрезке).

8. Множество решений однородной системы линейных уравненийявляется линейным пространством.


Линейная алгебра9. Рассмотрим множество R∞, состоящее из бесконечныхпоследовательностей вещественных чисел, в которых лишь конечноечисло членов отлично от нуля (такие последовательности называютсяфинитными). Тогда R∞ — линейное пространство относительноопераций поэлементного сложения и умножения на числа.Пространство R∞ можно отождествить с бесконечным объединением⋃

n>0Rn. Пространство R∞ всех бесконечных последовательностейтакже является линейным пространством.

10. Множество K [x ] многочленов от одной переменной скоэффициентами в K является линейным пространством. Такжелинейным пространством является множество Kn[x ] многочленовстепени не выше n.

11. Множество всех матриц размера m × n с элементами из Kобразует линейное пространство MatK (m, n) относительно операцийсложения матриц и поэлементного умножения матриц на числа. Приm = 1 мы получаем пространство строк Kn.



В предыдущих примерах мы столкнулись с ситуацией, когдаподмножество линейного пространства само является линейнымпространством. Это приводит к следующему определению.Подмножество W ⊂ V линейного пространства V называетсяподпространством, если для любых векторов u, v ∈W и скаляраλ ∈ K мы имеем u + v ∈W и λu ∈W . Другими словами, W —подпространство, если W само является линейным пространствомотносительно операций, заданных в пространстве V .

Утверждение о том, что W является подпространством пространстваV обозначается W 6 V .



ПРИМЕР. Вот некоторые примеры подпространств.

1. {0} является подпространством в любом пространстве V .

2. Множество векторов, коллинеарных заданному вектору, являетсяподпространством в пространстве всех векторов на плоскости или впространстве.

3. Пространство C (R) непрерывных функций являетсяподпространством в пространстве RR всех функций на R.

4. Пространство R∞ финитных последовательностей являетсяподпространством в пространстве R∞ всех последовательностей.

5. Kn[x ] является подпространством в Km[x ] при m > n, а такжев K [x ].



Пусть V — линейное пространство над полем K .Линейной комбинацией системы векторов v1, . . . , vn пространства Vназывается сумма вида λ1v1 + . . .+ λnvn, где λi ∈ K .

Линейной комбинацией бесконечной системы векторов {v i : i ∈ I}называется сумма вида

∑i∈I λiv i , в которой лишь конечное число

скаляров λi отлично от нуля.

Линейная комбинация∑

i∈I λiv i называется тривиальной, если в нейвсе коэффициенты λi равны нулю.

Линейной оболочкой системы векторов {v i : i ∈ I} называетсямножество всех линейных комбинаций этой системы. Для линейнойоболочки используется обозначение 〈v i : i ∈ I 〉 или 〈v1, . . . , vk〉 вслучае конечной системы.



ЛЕММА 22 (о линейной оболочке)Линейная оболочка 〈vi : i ∈ I , vi ∈ V 〉 является линейнымподпространством в V . Более того, 〈vi : i ∈ I 〉 является наименьшимпо включению линейным подпространством, содержащим все векторысистемы {vi : i ∈ I}.

Доказательство. Сумма векторов системы и результат умножениявектора системы на скаляр являются линейными комбинациями ипотому принадлежат линейной оболочке. Следовательно, 〈v i : i ∈ I 〉 —подпространство. Если W — произвольное подпространство,содержащее все векторы из {v i : i ∈ I}, то W также содержит все ихлинейные комбинации, а значит W содержит 〈v i : i ∈ I 〉. 2



Система векторов {v i : i ∈ I} (конечная или бесконечная) называетсялинейно зависимой, если существуют числа λi , не все равные нулю,такие, что

∑i∈I λiv i = 0 (т.е. существует нетривиальная линейная

комбинация векторов системы, равная нулю). В противном случаесистема называется линейно независимой.

ЛЕММА 23 (о системе зависимых векторов)Если система векторов {vi : i ∈ I} линейно зависима, то один извекторов системы является линейной комбинацией остальных.

Доказательство. Пусть λ1v1 + . . .+ λkvk = 0, причем существуетλi 6= 0. Тогда

λiv i = −λ1v1 − . . .− λi−1v i−1 − λi+1v i+1 − . . .− λkvk .

Умножив обе части этого равенства на λ−1i , получим, что v i являетсялинейной комбинацией векторов v1, . . . , v i−1, v i+1, . . . , vk . 2


Линейная алгебраГоворят, что система векторов {v i : i ∈ I} порождает пространство V ,если каждый вектор v ∈ V представляется в виде линейнойкомбинации

∑i∈I λiv i . При этом, сами {v i : i ∈ I} называются

образующими. Если система образующих {v i : i ∈ I} является линейнонезависимой, то она называется базисом пространства V .

Другими словами, базисом называется максимальная (по включению)линейно независимая система векторов в пространстве V .

ЛЕММА 24 (о единственности разложения по базису)

Если {vi : i ∈ I} — базис пространства V , то представление любоговектора v ∈ V в виде линейной комбинации

∑i∈I λivi единственно.

Доказательство. Действительно, если v =∑

i∈I λiv i =∑

i∈I µiv i , тополучаем 0 =

∑i∈I (λi − µi )v i . Так как система {v i : i ∈ I} линейно

независима, из последнего равенства вытекает, что λi = µi , т.е. двапредставления v в виде линейных комбинаций совпадают. 2



Пространство V называется конечномерным, если в нём существуетбазис, состоящий из конечного числа векторов. В противном случаепространство называется бесконечномерным.

ТЕОРЕМА 17 (о равномощности базисов)

В конечномерном пространстве все базисы состоят из одного числаэлементов.

Доказательство этой теоремы будет опираться на следующую лемму.

ЛЕММА 25 (о сравнении базисов вложимых оболочек)

Пусть e1, . . . , em и f1, . . . , fn — две (конечных) линейно независимыхсистемы векторов, причём вторая система содержится в линейнойоболочке первой системы. Тогда n 6 m.


Линейная алгебраДоказательство леммы. Пусть f j = a1je1 + . . .+ amjem, aij ∈ K ,j = 1, . . . , n. Так как f 1, . . . , f n — линейно независимая система, мыимеем

x1f 1 + . . .+ xnf n = 0 ⇐⇒ x1 = . . . = xn = 0. (27)

Подставляя в линейную комбинацию (27) выражения f i черезe1, . . . , em, получаем:

0 = x1(a11e1 + . . .+ am1em) + . . .+ xn(a1ne1 + . . .+ amnem) =

= (a11x1 + . . .+ a1nxn)e1 + . . .+ (am1x1 + . . .+ amnxn)em.

Так как e1, . . . , em — линейно независимая система, предыдущееравенство равносильно системе уравнений:

a11x1 + . . .+ a1nxn = 0. . .

am1x1 + . . .+ amnxn = 0

Если n > m, то эта система имеет ненулевое решение, чтопротиворечит (27). 2



Доказательство теоремы 17. Пусть V — конечномерноепространство. По определению, в V существует конечный базисe1, . . . , em. Пусть {f i : i ∈ I} — другой базис. Если это базисбесконечен, то в нём содержится конечная линейно независимаясистема f 1, . . . , f n, где n > m. При этом, так как e1, . . . , em — базис,мы имеем {f 1, . . . , f n} ⊂ 〈e1, . . . , em〉, что противоречит лемме 25.Следовательно базис {f i : i ∈ I} конечен, т.е. имеет вид f 1, . . . , f n.Тогда {f 1, . . . , f n} ⊂ 〈e1, . . . , em〉 и {e1, . . . , em} ⊂ 〈f 1, . . . , f n〉, и излеммы 25 вытекает, что m = n. 2

Размерностью конечномерного линейного пространства V(обозначение: dimV ) называется число элементов в (любом)базисе V . Если же V бесконечномерно, то мы пишем dimV =∞.

Размерность линейной оболочки системы векторов {e i : i ∈ I}называется рангом системы векторов.


Линейная алгебраЗамечание. В пространстве {0} базисом естественно считать пустоемножество ∅. Мы имеем dim{0} = 0, так как пустое множествосостоит из 0 элементов.

ЛЕММА 26 (о размерности подпространства)

Подпространство W конечномерного пространства V конечномерно,причём dimW 6 dimV , и равенство достигается только при W = V .

Доказательство. Пусть dimV = m и e1, . . . , em — базиспространства V . Если dimW > m, то в W найдётся линейнонезависимая система f 1, . . . , f n с n > m. Тогда{f 1, . . . , f n} ⊂ 〈e1, . . . , em〉 = V , что противоречит лемме 25.Следовательно, dimW 6 dimV .Пусть dimW = dimV = m и пусть f 1, . . . , f m — базис в W . Тогдакаждый вектор e i линейно выражается через f 1, . . . , f m, так как иначемы бы получили линейно независимую систему f 1, . . . , f m, e i из m + 1векторов в V , что противоречит теореме 17. Следовательно, любойвектор из V лежит в 〈f 1, . . . , f m〉 = W , т.е. V = W . 2


Линейная алгебраТЕОРЕМА 18 (о дополнимости базиса подпространства)

Любой базис подпространства W конечномерного пространства Vможно дополнить до базиса всего пространства V .

Доказательство. Согласно лемме 26, пространство W конечномерно;пусть e1, . . . , er — его базис. Если W = V , то e1, . . . , er — базис в V идоказывать нечего. В противном случае в V найдётся векторer+1 /∈ 〈e1, . . . , er 〉 = W . Рассмотрим подпространствоW1 = 〈e1, . . . , er , er+1〉 ⊂ V . Если W1 = V , то всё доказано. Впротивном случае аналогично строим подпространствоW2 = 〈e1, . . . , er , er+1, er+2〉 ⊂ V , и так далее. Пустьk = dimV − dimW . Тогда на k-м шаге мы получим подпространствоWk ⊂ V с dimWk = dimV . Согласно лемме 26, Wk = V , а значит мыдополнили базис e1, . . . , er в W до базиса в V векторамиer+1, . . . , er+k . 2Замечание. Теорема имеет место и в бесконечномерном случае.Доказательство этого факта использует лемму Цорна.


Линейная алгебраПРИМЕР.1. В арифметическом пространстве Kn имеется стандартный базисe1, . . . , en, где e i = (0, . . . , 1, . . . , 0) — строка, в которой на i-м местестоит 1, а на остальных местах — нули. Таким образом, dimKn = n.

2. В пространстве Kn[x ] многочленов степени 6 n имеется базис изодночленов 1, x , x2, . . . , xn. Таким образом, dimKn[x ] = n + 1. Впространстве K [x ] всех многочленов имеется бесконечный базис изодночленов 1, x , x2, x3, . . . всех степеней. Таким образом,dimK [x ] =∞.

3. В пространстве финитных последовательностей R∞ имеетсябесконечный базис e1, e2, . . ., где e i = (0, . . . , 0, 1, 0, . . .) —последовательность, в которой на i-м месте стоит 1, а на остальныхместах — нули. Заметим, что эта же система e1, e2, . . . не являетсябазисом в пространстве R∞ всех последовательностей. Действительно,например, последовательность, состоящая из одних единиц непредставляется в виде (конечной) линейной комбинациипоследовательностей e1, e2, . . ..


Линейная алгебраДалее все пространства мы будем предполагатьконечномерными, если явно не указано противное.Бесконечномерным пространствам будет посвящён отдельный курсфункционального анализа. В этом курсе линейной алгебры мы лишьиногда будем встречаться с ними в примерах.

ЛЕММА 27Пересечение V1 ∩ V2 подпространств пространства V также являетсяподпространством.

Доказательство. Для любых u, v ∈ V1 ∩ V2 и λ ∈ K сумма u + v ипроизведение λv также лежат и в V1, и в V2, а значит и в пересеченииV1 ∩ V2. 2В отличие от пересечения, объединение подпространств V1 ∪ V2 вобщем случае не будет линейным подпространством.Суммой V1 + V2 подпространств V1 и V2 пространства V называетсямножество всех векторов v ∈ V , которые можно представить в видесуммы v = v1 + v2, где v1 ∈ V1 и v2 ∈ V2.



ЛЕММА 28 (о сумме подпространств)Сумма подпространств является линейной оболочкой их объединения:V1 + V2 = 〈V1 ∪ V2〉. Таким образом, V1 + V2 является линейнымподпространством.

Доказательство. Включение V1 + V2 ⊂ 〈V1 ∪V2〉 следует из того, чтовектор v1 + v2 является линейной комбинацией векторовv1, v2 ∈ V1 ∪ V2.Докажем обратное включение 〈V1 ∪ V2〉 ⊂ V1 + V2. Рассмотримлинейную комбинацию v = λ1u1 + . . .+ λnun векторовu1, . . . ,un ∈ V1 ∪ V2. Можно считать, что u1, . . . ,uk лежат в V1, аuk+1, . . . ,un лежат в V2. Тогда мы имеем v = v1 + v2, гдеv1 = λ1u1 + . . .+ λkuk ∈ V1 и v2 = λk+1uk+1 + . . .+ λnun ∈ V2.Следовательно, v ∈ V1 + V2. 2



ТЕОРЕМА 19 (о формуле размерностей)

Для любых подпространств V1 и V2 линейного пространства V имеетместо равенство

dimV1 + dimV2 = dim(V1 + V2) + dim(V1 ∩ V2).

Доказательство. Выберем базис e1, . . . , ek пространства V1 ∩ V2.Воспользовавшись теоремой 18, дополним его до базисаe1, . . . , ek , f 1, . . . , f l пространства V1 и до базисаe1, . . . , ek , g1, . . . , gm пространства V2. Тогда мы имеем

dim(V1 ∩ V2) = k , dimV1 = k + l , dimV2 = k + m. (28)

Докажем, что e1, . . . , ek , f 1, . . . , f l , g1, . . . , gm — базиспространства V1 + V2.


Линейная алгебраПрежде всего заметим, что так как V1 + V2 = 〈V1 ∪ V2〉, любой векториз V1 + V2 линейно выражается через эту систему векторов. Остаётсяпроверить, что эта система линейно независима. Допустим

λ1e1 + . . .+ λkek + µ1f 1 + . . .+ µl f l + ν1g1 + . . .+ νmgm = 0. (29)

Перепишем равенство в виде

λ1e1 + . . .+ λkek + µ1f 1 + . . .+ µl f l = −ν1g1 − . . .− νmgm.

Вектор, стоящий в обеих частях этого равенства, лежит как в V1, так ив V2. Следовательно, он лежит в V1 ∩ V2 и линейно выражается черезe1, . . . , ek . Так как векторы e1, . . . , ek , f 1, . . . , f l линейно независимыпо построению, мы получаем, что µ1 = . . . = µl = 0. Аналогичнымобразом доказывается, что ν1 = . . . = νm = 0. Тогда из линейнойнезависимости e1, . . . , ek и (29) следует, что λ1 = . . . = λk = 0.Итак, система e1, . . . , ek , f 1, . . . , f l , g1, . . . , gm порождаетпространство V1 + V2 и линейно независима. Следовательно, это —базис в V1 + V2 и dim(V1 + V2) = k + l + m. Отсюда и из (28)вытекает требуемое равенство. 2



Сумма V1 + V2 подпространств пространства V называется прямой(обозначение: V1 ⊕ V2), если для любого вектора v ∈ V1 + V2

представление v = v1 + v2, где v1 ∈ V1 и v2 ∈ V2, единственно.

ТЕОРЕМА 20 (о прямой сумме двух подпространств)Следующие условия эквивалентны для подпространств V1, V2:а) сумма V1 + V2 прямая;б) V1 ∩ V2 = {0}.в) если 0 = v1 + v2, где v1 ∈ V1 и v2 ∈ V2, то v1 = v2 = 0;г) dimV1 + dimV2 = dim(V1 + V2);



Доказательство. Мы докажем импликации а)⇒ б)⇒ в)⇒ а) и б)⇔ г).а)⇒ б). Пусть существует v ∈ V1 ∩ V2, v 6= 0. Тогда0 = 0 + 0 = v + (−v), где v ∈ V1 и v ∈ V2. Получаем, чтопредставление вектора 0 в виде суммы векторов из V1 и V2 неединственно, т.е. сумма V1 + V2 не прямая.б)⇒ в). Если существует представление 0 = v1 + v2, где v1 ∈ V1,v2 ∈ V2 и v1 6= 0, то v1 ∈ V1 и v1 = −v2 ∈ V2, т.е. v1 ∈ V1 ∩ V2 иV1 ∩ V2 6= {0}. Противоречие.в)⇒ а). Пусть у вектора v ∈ V есть два разложения:v = u1 + u2 = v1 + v2, где u1, v1 ∈ V1 и u2, v2 ∈ V2. Тогда0 = (u1 − v1) + (u2 − v2), где u1 − v1 ∈ V1 и u2 − v2 ∈ V2.Следовательно, u1 − v1 = u2 − v2 = 0, т.е. два разложения вектора vсовпадают.б)⇔ г). Эта эквивалентность вытекает из теоремы 19, так как лишьтривиальное пространство может иметь нулевую размерность. 2


Линейная алгебраПонятие прямой суммы обобщается на любое конечное числоподпространств:Сумма V1 + . . .+ Vn подпространств пространства V называетсяпрямой, если для любого вектора v ∈ V1 + . . .+ Vn представлениеv = v1 + . . .+ vn, где v i ∈ Vi , единственно.

ТЕОРЕМА 21Для подпространств V1, . . . ,Vn пространства V следующие условияэквивалентны:а) сумма V1 + . . .+ Vn прямая;б) Vi ∩ (V1 + . . .+ Vi−1 + Vi+1 + . . .+ Vn) = {0} для любого

i = 1, . . . , n;в) Vi ∩ (Vi+1 + . . .+ Vn) = {0} для любого i = 1, . . . , n − 1;г) если 0 = v1 + . . .+ vn, где vi ∈ Vi , то v1 = . . . = vn = 0;д) dimV1 + . . .+ dimVn = dim(V1 + . . .+ Vn).

Доказательство теоремы проводится индукцией по n.Sergey Zyubin Алгебра, 2-й семестр 4 мая 2020 г. 99 / 375


ПРИМЕР. При n > 3 условие б) в предыдущей теореме болеесильное, чем условие Vi ∩ Vj = {0} при 1 6 i < j 6 n. Это последнееусловие не гарантирует, что сумма подпространств прямая.Действительно, рассмотрим следующие три подпространства в R2 состандартным базисом e1, e2:

V1 = 〈e1〉, V2 = 〈e2〉, V3 = 〈e1 + e2〉

(можно также взять любые три попарно различные прямые,пересекающиеся в нуле). Тогда Vi ∩ Vj = {0} при i 6= j , но суммаV1 + V2 + V3 не прямая, так как, например, вектор e1 + e2 допускаетдва различных представления в виде суммы v1 + v2 + v3 с v i ∈ Vi , аименно e1 + e2 = e1 + e2 + 0 = 0 + 0 + (e1 + e2). Заметим также, чтоdimVi = 1, а dim(V1 + V2 + V3) = dimR2 = 2.



Пусть V1, . . . ,Vn — линейные пространства над одним полем K . Ихвнешней прямой суммой, обозначаемой через V1⊕ . . .⊕Vn, называетсялинейное пространство, состоящее из всех упорядоченных наборов(v1, . . . , vn), где v i ∈ Vi с операциями, определёнными покомпонентно:

(u1, . . . ,un) + (v1, . . . , vn) := (u1 + v1, . . . ,un + vn),

λ · (v1, . . . , vn) := (λv1, . . . , λvn).


Линейная алгебраПусть V — линейное пространство, а W 6 V — подпространство.Классом смежности вектора v ∈ V по подпространству W называетсямножество v +W , состоящее из всех векторов вида v + w , где w ∈W .

ЛЕММА 29

Равенство v1 + W = v2 + W имеет место тогда и только тогда, когдаv1 − v2 ∈W .

Доказательство. Пусть v1 + W = v2 + W . Тогдаv1 ∈ v1 + W = v2 + W , а значит найдётся такой вектор w ∈W , чтоv1 = v2 + w . Следовательно, v1 − v2 = w ∈W .Обратно, пусть v := v1 − v2 ∈W . Докажем, что v1 + W ⊂ v2 + W .Возьмём произвольный вектор u ∈ v1 + W . Тогда u = v1 + w длянекоторого w ∈W . Мы имеем u = v1 + w = v2 + (v + w), гдеv + w ∈W . Следовательно, u ∈ v2 + W и v1 + W ⊂ v2 + W .Противоположное включение v2 + W ⊂ v1 + W доказываетсяаналогично. Итак, v1 + W = v2 + W . 2



Фактор-пространством V /W линейного пространства V поподпространству W называется множество {v + W : v ∈ V } всехклассов смежности по подпространству W с операциями сложения иумножения на скаляры:

(u + W ) + (v + W ) := (u + v) + W ,

λ · (v + W ) := λv + W .

ЛЕММА 30 (о фактор-пространстве)Приведённые выше операции определены на классах смежностикорректно и задают на V /W структуру линейного пространства.



Доказательство. Вначале проверим корректность определенияопераций, т.е. независимость результата операции от выбора вектораv в смежном классе v + W . Докажем корректность для сложения.Если u1 + W = u2 + W и v1 + W = v2 + W , то u := u1 − u2 ∈W иv := v1 − v2 ∈W в силу леммы 29. Следовательно,

(u1 + W ) + (v1 + W ) = (u1 + v1) + W = (u2 + v2) + (u + v) + W =

= (u2 + v2) + W = (u2 + W ) + (v2 + W ),

т.е. сложение определено корректно. Корректность определенияумножения на скаляры проверяется аналогично.



Теперь докажем, что V /W — линейное пространство. Свойства 1) и 2)из определения линейного пространства (ассоциативность икоммутативность сложения для смежных классов) вытекают изсоответствующих свойств сложения в V . Нулевым элементом в V /Wявляется смежный класс 0 + W = W , а противоположным элементомдля v + W является (−v) + W . Проверим свойство 5):

λ ((u + W ) + (v + W )) = λ ((u + v) + W ) = λ(u+v)+W = (λu+λv)+W =

= (λu + W ) + (λv + W ) = λ(u + W ) + λ(v + W ).

Оставшиеся свойства 6)–8) проверяются аналогично. 2


Линейная алгебраТЕОРЕМА 22 (о размерности фактор-пространства)

Пусть W — подпространство линейного пространства V . Тогда

dimV /W = dimV − dimW .

Доказательство. Пусть dimV = n, dimW = k и пусть e1, . . . , ek —базис в W . Дополним его до базиса e1, . . . , ek , ek+1, . . . , en в V .Докажем, что классы

ek+1 + W , . . . , en + W (30)

образуют базис в V /W .Вначале докажем, что классы (30) линейно независимы. Пусть

λk+1(ek+1 + W ) + . . .+ λn(en + W ) = 0 + W .

Тогда (λk+1ek+1 + . . .+ λnen) + W = 0 + W , т.е.v := λk+1ek+1 + . . .+ λnen ∈W в силу леммы 29.


Линейная алгебраТак как e1, . . . , ek — базис в W , мы можем записатьv = λ1e1 + . . .+ λkek . Тогда получаем

λ1e1 + . . .+ λkek − λk+1ek+1 − . . .− λnen = 0.

Так как e1, . . . , ek , ek+1, . . . , en — базис в V , отсюда вытекает, чтоλk+1 = . . . = λn = 0, т.е. классы (30) линейно независимы.Осталось доказать, что классы (30) порождают всёпространство V /W . Возьмём произвольный вектор v + W ∈ V /W .Разложим вектор v по базису в V :

v = λ1e1 + . . .+ λkek + λk+1ek+1 + . . .+ λnen.

Тогда

v + W = (λk+1ek+1 + . . .+ λnen) + (λ1e1 + . . .+ λkek) + W =

= (λk+1ek+1 + . . .+ λnen) + W = λk+1(ek+1 + W ) + . . .+ λn(en + W ).

Итак, (30) — базис в V /W , а значит dimV /W = n − k . 2Sergey Zyubin Алгебра, 2-й семестр 4 мая 2020 г. 107 / 375


Пусть V — линейное пространство и e1, . . . , en — базис в V . Любойвектор x ∈ V единственным образом представляется в виде линейнойкомбинации базисных векторов: x = x1e1 + . . .+ xnen. Числаx1, . . . , xn ∈ K называются координатами вектора x в базисеe1, . . . , en.

Обозначения Эйнштейна для координат

Мы, как правило, будем писать индексы у координат сверху, а неснизу, т.е. x1, . . . , xn вместо x1, . . . , xn. Вместо длинной записиразложения вектора по базису x = x1e1 + . . .+ xnen мы будемиспользовать запись x = x ie i , подразумевая сумму

∑ni=1 x

ie i (т.е.суммирование всегда будет подразумеваться по повторяющимсяверхним и нижним индексам).



При работе с матрицами координаты вектора x в базисе e1, . . . , en мыбудем записывать в виде столбца высоты n, обозначая его простой

(нежирной) буквой x с чертой, т.е. x =

x1

...xn

.

Также будем обозначать e = (e1, . . . , en) — строку из (базисных)векторов.

Вектор x можно записать как матричное произведение строкибазисных векторов на столбец координат вектора

x = e x = (e1, . . . , en)

x1

...xn

= x1e1 + . . .+ xnen = x ie i .


Линейная алгебраПусть в пространстве V заданы два базиса: «старый» e1, . . . , en и«новый» e ′1, . . . , e

′n. Запишем формулы, выражающие векторы нового

базиса через старый базис:

e ′1 = c11e1 + . . .+ cn1 en,

· · · · · ·e ′n = c1ne1 + . . .+ cnnen,

или, используя обозначения Эйнштейна,

e ′j = c ij e i , j = 1, . . . n.

Эти формулы равносильны одному матричному равенству

(e ′1 . . . e′n) = (e1 . . . en)

c11 · · · c1n...

. . ....

cn1 · · · cnn

или e′ = eC .



Матрица

C = (c ij ) =

c11 · · · c1n...

. . ....

cn1 · · · cnn

называется матрицей перехода от базиса e1, . . . , en к базисуe ′1, . . . , e

′n. Её столбцами являются координаты новых базисных

векторов в старом базисе.


Линейная алгебраТЕОРЕМА 23 (о законе изменения координат)Пусть x1, . . . , xn — координаты вектора x в базисе e1, . . . , en, аx ′1, . . . , x ′n — координаты этого же вектора в базисе e′1, . . . , e

′n. Тогда

два набора координат связаны следующими формулами.В развёрнутом координатном виде:

x1 = c11x′1 + . . .+ c1nx

′n,

· · · · · ·xn = cn1 x

′1 + . . .+ cnn x′n.

В матричном виде:x1

...xn

= C

x ′1

...x ′n

или x = Cx ′.

В обозначениях Эйнштейна:

x i = c ij x′j , i = 1, . . . , n.



Доказательство. (три варианта доказательства)

x1e1 + . . .+ xnen = x = x ′1e ′1 + . . .+ x ′ne ′n =

= x ′1(c11e1 + . . .+ cn1 en) + . . .+ x ′n(c1ne1 + . . .+ cnnen) =

= (c11x′1 + . . .+ c1nx

′n)e1 + . . .+ (cn1 x′1 + . . .+ cnn x

′n)en.

Так как e1, . . . , en — базис, мы получаем x i = c i1x′1 + . . .+ c inx

′n дляi = 1, . . . , n.

Та же выкладка в матричных обозначениях имеет вид

e x = x = e ′ x ′ = eCx ′, откуда x = Cx ′ или

x1

...xn

= C

x ′1

...x ′n

.

Наконец, используя обозначения Эйнштейна, получаемx ie i = x = x ′je ′j = x ′jc ij e i , откуда x i = x ′jc ij = c ij x

′j . 2


Линейная алгебраОбратим внимание также, что в определении матрицы перехода мывыражаем новые векторы через старые, а в законе преобразованиякоординат, наоборот, старые координаты выражаются через новые.

Обозначения Эйнштейна для матриц

Пусть A = (aij) — матрица размера l ×m, а B = (bjk) — матрицаразмера m × n. Тогда закон умножения матриц в обозначенияхЭйнштейна выглядит следующим образом: для компонентl × n-матрицы C = (c ik), получаемой как произведение матриц A и B ,имеет место соотношение c ik = aijb

jk (по повторяющемуся индексу j

производится суммирование).Компоненты единичной (квадратной) матрицы E задаются символом

Кронекера: E = (δij ), где δij =

{1, при i = j ,0, при i 6= j .

Матрица D = (d jk)

является обратной к матрице C = (c ij ), т.е. D = C−1, если выполненосоотношение c ij d

jk = δik .



ЛЕММА 31 (о матрицах перехода)

а) Матрица Ce′→e = (c ′ji ) перехода от базиса e′1, . . . , e′n к базису

e1, . . . , en является обратной к матрице Ce→e′ = (c ii ′) перехода отe1, . . . , en к e′1, . . . , e

′n, т.е.

Ce→e′Ce′→e = E .

В частности, матрица перехода всегда невырождена (обратима).б) Если e1, . . . , en, e′1, . . . , en, e′′1, . . . , e

′′n — три базиса, то для

соответствующих матриц перехода имеет место соотношение

Ce→e′′ = Ce→e′Ce′→e′′ .

Доказательство. Первое утверждение следует из второго, еслиположить e ′′i = e i . Докажем второе утверждение. Имеемe′′ = e′Ce′→e′′ = eCe→e′Ce′→e′′ откуда Ce→e′′ = Ce→e′Ce′→e′′ . 2


Линейная алгебраПусть V и W — линейные пространства над полем K . ОтображениеA : V →W называется линейным, если для любых векторов u, v ∈ Vи скаляра λ ∈ K выполнены равенства

A(u + v) = Au +Av , A(λv) = λAv .

Биективное (т.е. взаимно однозначное) линейное отображениеA : V →W называется изоморфизмом. Пространства V и Wназываются изоморфными, если между ними существует изоморфизм.Обозначение изоморфизма V 'W или V ∼= W

ПРИМЕР. Вот два важнейших примера линейных отображений.1. Линейное отображение f : V → K пространства V над полем K вполе K (рассматриваемое как 1-мерное линейное пространство)называется линейной функцией или линейным функционалом.

2. Линейное отображение A : V → V пространства V в себяназывается линейным оператором.


Линейная алгебраТЕОРЕМА 24 (о изоморфизме линейных пространств)

Два пространства V и W над полем K изоморфны тогда и толькотогда, когда они имеют одинаковые размерности.

Доказательство. Из определения изоморфизма вытекает, чтосвойство системы векторов быть линейной независимой и порождатьвсё пространство сохраняются при изоморфизмах, т.е. приизоморфизме базис переходит в базис. Следовательно, еслиA : V →W — изоморфизм, то dimV = dimW .Пусть теперь dimV = dimW = n. Выберем базисы e1, . . . , en иf 1, . . . , f n в V и W соответственно. Тогда формула

A(x ie i ) = x i f i

(где по i подразумевается суммирование) определяет линейноеотображение A : V →W . Оно является биекцией, так как формулаA−1(x i f i ) = x ie i определяет обратное отображение. Итак, A —изоморфизм. 2


Линейная алгебраВ силу доказанной теоремы любое n-мерное линейное пространствуизоморфно координатному пространству Kn. Поэтому далее можносчитать, что мы имеем дело с Kn.Пусть A : V →W — линейное отображение. Множество векторовv ∈ V , для которых Av = 0, называется ядром отображения A иобозначается kerA. Образ линейного отображения A : V →W ,обозначаемый ImA, определяется так же, как и для любогоотображения: ImA = {Av : v ∈ V }.ЛЕММА 32 (о ядре и образе линейного отображения)Пусть A : V →W — линейное отображение. Тогда kerA являетсяподпространством в V , а ImA является подпространством в W .Доказательство. Пусть u, v ∈ kerA, т.е. Au = Av = 0. ТогдаA(u + v) = Au +Av = 0 + 0 = 0 и A(λv) = λAv = 0. Следовательно,u + v ∈ kerA и λv ∈ kerA, а значит kerA — подпространство в V .Пусть теперь x , y ∈ ImA, т.е. существуют u, v ∈ V , такие, что Au = xи Av = y . Тогда A(u + v) = x + y и A(λu) = λx . Следовательно,x + y ∈ ImA и λx ∈ ImA, а значит ImA — подпространство в W . 2



ТЕОРЕМА 25 (о гомоморфизме линейных пространств)Пусть A : V →W — линейное отображение. Тогда соответствиеv + kerA 7→ Av задаёт изоморфизм между факторпространствомV / kerA и подпространством ImA.

Доказательство. Это доказательство полностью повторяетдоказательство теоремы из курса алгебры о том, что «гомоморфныйобраз группы изоморфен факторгруппе по ядру гомоморфизма».Сначала проверим, что v + kerA 7→ Av действительно корректноопределяет отображение A : V / kerA → ImA. Для этого нужнопроверить, что если u + kerA = v + kerA, то Au = Av . В силулеммы 29, из равенства классов смежности u + kerA = v + kerAвытекает, что u − v ∈ kerA, т.е. Au = Av +A(u − v) = Av . Итак,отображение A : V / kerA → ImA определено корректно.



Линейность и сюръективность отображения A очевидны. Проверим,что оно также инъективно. Пусть A(u + kerA) = A(v + kerA). Этоозначает, что Au = Av , т.е. u − v ∈ kerA. Тогда из леммы 29 следует,что u + kerA = v + kerA, т.е. A инъективно. Так как линейноеотображение A : V / kerA → ImA сюръективно и инъективно, оноявляется изоморфизмом. 2

СЛЕДСТВИЕ 2

Для любого линейного отображения A : V →W мы имеем

dimV = dim kerA+ dim ImA.

Доказательство. Из предыдущей теоремы следует, чтоdim(V / kerA) = dim ImA, а dim(V / kerA)=dimV− dim kerA потеореме 22 о размерности факторпространства. 2


Линейная алгебраПусть A : V →W — линейное отображение, e1, . . . , em — базис в V , аf 1, . . . , f n — базис в W .Матрицей отображения A : V →W по отношению к базисамe1, . . . , em и f 1, . . . , f n называется матрица

A =

a11 a12 . . . a1ma21 a22 . . . a2m...

.... . .

...an1 an2 . . . anm

размера n ×m, в которой i-й столбец составлен из координат вектораA(e i ) относительно базиса f 1, . . . , f n:

Ae i = aji f j .

Действие оператора A на базисе e можно записать как матричноепроизведение

A(e) = f A.



Зная матрицу линейного отображения A, мы можем найти образлюбого вектора x ∈ V при отображении A следующим образом.

ЛЕММА 33

Пусть x = x jej — произвольный вектор из V , а y = y i fi — его образв W , т.е. y = Ax. Тогда

y = Ax или

y1

...yn

=

a11 . . . a1m...

. . ....

an1 . . . anm

x1

...xm

или y i = aijxj .

Доказательство. Действительно,

f y = y = Ax = A(e x) = A(e)x = f Ax .

Так как {f i} — базис, отсюда следует, что y = Ax . 2



Множество всех линейных отображений A : V →W из V в W соперациями сложения и умножения

(A1 +A2)(v) := A1v +A2v , (λA)(v) := λ(Av)

само является линейным пространством. Оно называетсяпространством линейных отображений из V в W и обозначаетсяHomK (V ,W ) или просто Hom(V ,W ).



ЛЕММА 34Пусть dimV = m и dimW = n. Тогда пространство линейныхотображений HomK (V ,W ) изоморфно пространству матрицMatK (n,m).

Доказательство. Выберем базисы e1, . . . , em и f 1, . . . , f n в V и Wсоответственно. Определим отображение HomK (V ,W )→ MatK (n,m),которое сопоставляет линейному отображению его матрицу ввыбранных базисах. Непосредственно проверяется, что этоотображение линейно. Кроме того, оно биективно: обратноеотображение сопоставляет n ×m-матрице A = (aij) линейноеотображение, определяемое в координатах формулой из леммы 33.Следовательно, наше отображение HomK (V ,W )→ MatK (n,m)является изоморфизмом. 2



Пусть в пространстве V выбран новый базис e ′1, . . . , e′m, а в

пространстве W — новый базис f ′1, . . . , f′n.

ТЕОРЕМА 26 (о законе изменения матрицы линейногоотображения)

Имеет место соотношение

A′ = D−1AC ,

где A — матрица линейного отображения A : V →W по отношению кбазисам e1, . . . , em и f1, . . . , fn; A′ — матрица отображения A поотношению к базисам e′1, . . . , e

′m и f ′1, . . . , f

′n; C = Ce→e′ — матрица

перехода от базиса e1, . . . , em к базису e′1, . . . , e′m и D = Df→f ′ —

матрица перехода от f1, . . . , fn к f ′1, . . . , f′n.



Доказательство. Пусть C = (c ij ) и A = (ajk), тогда

A e ′ = A(eC ) = (Ae)C = (f A)C .

С другой стороны, если A′ = (a′ji ) и D = (dkj ), то

A e ′ = f′A′ = f DA′.

Сравнивая полученные соотношения, имеем AC = DA′, т.е.A′ = D−1AC . 2



Напомним, что линейной функцией называется линейное отображениеf : V → K . Как и всякое множество линейных отображений междудвумя пространствами, множество линейных функций являетсялинейным пространством.Пространство Hom(V ,K ) линейных функций f : V → K называетсядвойственным (или сопряжённым) пространством к V иобозначается V ∗.



Пусть e1, . . . , en — базис в V . Значение линейной функции ξ ∈ V ∗ налюбом векторе x = x ie i ∈ V определяется её значениями на базисныхвекторах, так как ξ(x) = x iξ(e i ). Определим линейные функцииε1, . . . , εn ∈ V ∗ по правилу

εi (e j) = δij .

Тогда для любого вектора x = x je j мы имеем

εi (x) = εi (x je j) = x jεi (e j) = x jδij = x i .

В связи с этим функции εi часто называют координатнымифункциями.



ЛЕММА 35 (о базисе двойственного пространства)

Линейные функции ε1, . . . , εn образуют базис в V ∗.

Доказательство. Линейная независимость. Пустьx1ε

1 + . . .+ xnεn = o. Это равенство означает, что линейная функция

ξ := xiεi равна нулю на любом векторе из V . Вычислим её на векторе

e j : 0 = ξ(e j) = xiεi (e j) = xiδ

ij = xj . Итак, все коэффициенты xj равны

нулю, а значит ε1, . . . , εn ∈ V ∗ линейно независимы.Теперь проверим, что ε1, . . . , εn порождают всё пространство V ∗. Мыутверждаем, что любая линейная функции ξ представляется в виделинейной комбинации ξ = ξiε

i , где ξi = ξ(e i ). Действительно, длялюбого вектора x = x je j ∈ V мы имеем

ξiεi (x) = ξix

i = ξ(e i )xi = ξ(x ie i ) = ξ(x).

Следовательно, ξ = ξiεi , т.е. ε1, . . . , εn — базис в V ∗. 2


Линейная алгебраБазис ε1, . . . , εn пространства V ∗ называется двойственными (илисопряжённым) базисом к e1, . . . , en.


dimV = dimV ∗.

Из следствия 3 вытекает, что пространства V и V ∗ изоморфны.Однако для построения изоморфизма между ними нам необходимовыбрать базис в V (и двойственный базис в V ∗); изоморфизм междуV и V ∗ «неканоничен» в том смысле, что он зависит от выборабазиса. Разные базисы дают разные изоморфизмы.

Для бесконечномерных пространств ситуация иная: пространства V иV ∗ никогда не изоморфны, пространство V ∗ всегда «больше». Мы небудем приводить доказательства этого факта (и даже не будемприводить его точной формулировки), а лишь проиллюстрируем егона примере.



Напомним, что K∞ — это пространство финитныхпоследовательностей, т.е. бесконечных последовательностей элементовполя K , в которых лишь конечное число элементов отличны от нуля.Через K∞ мы обозначали пространство всех бесконечныхпоследовательностей.

ЛЕММА 36

Двойственное пространство к K∞ изоморфно K∞.

Доказательство. Воспользуемся тем фактом, что в пространстве K∞

имеется стандартный базис e1, e2, . . ., где e i = (0, . . . , 0, 1, 0, . . .) —последовательность, в которой на i-м месте стоит 1, а на остальныхместах — нули.



Рассмотрим отображение

A : (K∞)∗ → K∞, f 7→ (f (e1), f (e2), . . .) ,

которое линейной функции f ∈ (K∞)∗ ставит в соответствиепоследовательность её значений на базисных векторах e i . Этоотображение очевидно линейно. Кроме того, отображение Aбиективно: обратное отображение A−1 задаётся формулой

A−1 ((x1, x2, . . .)) = f ∈ (K∞)∗, где f (e i ) = xi .

Так как любой элемент y ∈ K∞ есть (конечная) линейная комбинацияэлементов e i , значение линейной функции f на y однозначновосстанавливается по её значениям f (e i ). Итак, A — изоморфизм. 2



Пусть K = Z2 — поле из двух элементов.

ЛЕММА 37

Пространства Z∞2 и Z∞2 неизоморфны. Таким образом, пространствоZ∞2 не изоморфно своему двойственному пространству.

Доказательство. Дело в том, что Z∞2 как множество счётно, а Z∞2 неявляется счётным, так что между Z∞2 и Z∞2 нельзя установитьбиекцию.Действительно, элементы множества Z∞2 соответствуют конечнымпоследовательностям из нулей и единиц. Количество такихпоследовательностей длины n конечно (равно 2n), а поэтому Z∞2счётно как счётное объединение конечных множеств. (Это такжеможно увидеть, отождествив Z∞2 с множеством рациональных чиселна отрезке [0, 1] в двоичной записи).



С другой стороны, множество Z∞2 всех последовательностей из нулейи единиц не является счётным. Действительно, предположим, что намудалось перенумеровать все такие последовательности: a1, a2, . . . ,.Рассмотрим последовательность b, в которой K -й элемент отличаетсяот K -го элемента последовательности ak . Тогда последовательность bне может присутствовать в списке a1, a2, . . ., так как она отличается отK -ой последовательности из списка по крайней мере в K -м члене.Полученное противоречие показывает, что Z∞2 не является счётным.(Множество Z∞2 можно также отождествить с множеством всех чиселна отрезке [0, 1] в двоичной записи.) 2В качестве задачи полезно доказать, что пространство R∞ также неизоморфно своему двойственному пространству R∞ (указание: в R∞имеется счётный базис, а в R∞ не существует счётного базиса).



Мы видели, что пространства V и V ∗ изоморфны (в конечномерномслучае), однако для построения изоморфизма нам требовалосьвыбрать базис в V . Сейчас мы построим изоморфизм междупространством V и его вторым двойственным пространством V ∗∗,который не требует выбора базиса.По определению, элементами пространства V ∗∗ являются линейныефункции на пространстве линейных функций V ∗.



ТЕОРЕМА 27Пусть V — конечномерное линейное пространство. Отображениеϕ : V → V ∗∗, сопоставляющее вектору x ∈ V линейную функцию ϕx наV ∗, задаваемую формулой

ϕx(ξ) := ξ(x), для ξ ∈ V ∗,

является изоморфизмом.

Доказательство. Очевидно, что ϕx — линейная функция на V ∗.Кроме того,

ϕ(x + y) = ϕx+y = ϕx + ϕy = ϕ(x) + ϕ(y)

и ϕ(λx) = λϕ(x), т.е. отображение ϕ линейно.



Докажем, что ϕ : V → V ∗∗ инъективно, т.е. kerϕ = {0}. Пустьϕ(x) = ϕx = o. Последнее равенство означает, что ϕx(ξ) = ξ(x) = 0для любой линейной функции ξ ∈ V ∗. В частности, это верно для всехлинейных функций ε1, . . . , εn двойственного базиса к произвольномубазису e1, . . . , en в V . Следовательно, εi (x) = x i = 0, т.е. всекоординаты вектора x ∈ V в базисе e1, . . . , en равны нулю. Этоозначает, что x = 0, т.е. kerϕ = {0}.Так как dimV = dimV ∗∗ = dim kerϕ+ dim Imϕ (последнее равенствовытекает из следствия 2) и dim kerϕ = 0, мы получаемdim Imϕ = dimV ∗∗. Следовательно, Imϕ = V ∗∗ и ϕ сюръективно.Итак, ϕ линейно и биективно, а значит это — изоморфизм. 2При построении изоморфизма ϕ : V → V ∗∗ мы ни разу неиспользовали базис (базис использовался только при доказательстве).Изоморфизм, который не зависит от выбора базиса, называетсяканоническим.


Линейная алгебраПусть теперь e1′ , . . . , en′ — другой базис пространства V и C = (c ii ′) —матрица перехода, e i ′ = c ii ′e i . Рассмотрим двойственные базисыε1, . . . , εn и ε1

′, . . . , εn

′.

ЛЕММА 38Матрица перехода от ε1, . . . , εn к ε1

′, . . . , εn

′есть (C−1)T .

Доказательство. Для любого вектора x = x ie i = x i′e i ′ мы имеем

εi (x) = x i = c ii ′xi ′ = c ii ′ε

i ′(x). Следовательно,

εi = c ii ′εi ′ .

Это эквивалентно матричному соотношениюε1

...εn

= C

ε1′

...εn′

или

(ε1′. . . εn

′) = (ε1 . . . εn)(C−1)T .

Это означает, что (C−1)T — это матрица перехода от ε1, . . . , εn кε1′, . . . , εn

′. 2



Пусть A : V →W — линейное отображение. ОтображениеA∗ : W ∗ → V ∗, заданное формулой

(A∗ξ)(v) := ξ(Av) для ξ ∈W ∗, v ∈ V ,

называется сопряжённым к A.Непосредственно проверяется, что A∗ — линейное отображение.

ЛЕММА 39

Пусть e1, . . . , em и f1, . . . , fn — базисы пространств V и Wсоответственно. Тогда матрица отображения A : V →W в этихбазисах и матрица сопряжённого отображения A : W ∗ → V ∗ вдвойственных базисах ϕ1, . . . , ϕn и ε1, . . . , εm получаются друг издруга траспонированием.



Доказательство. Пусть A = (aij) — матрица отображения A в базисахe1, . . . , em и f 1, . . . , f n. Тогда для любого вектора x = x ie i мы имеем

(A∗ϕi )(x) = ϕi (Ax) = ϕi (ajkxk f j) = ajkx

kϕi (f j) = ajkxkδij = aikx

k = aikεk(x).

Следовательно, A∗ϕi = aikεk . Это равенство означает, что в i-й строке

матрицы A = (aik) стоят координаты образа ϕi при отображении A∗ поотношению к базису ε1, . . . , εm. По определению это означает, чтоматрица линейного отображения A∗ получается из матрицы Aтранспонированием. 2



Рассмотрим теперь линейные операторы. Далее мы нередко будемназывать их просто «операторами».В определении матрицы A линейного отображения A : V → Vестественно в качестве базисов в обоих экземплярах пространства Vбрать один и тот же базис e1, . . . , en. Получаемая квадратная матрицаA = (aji ) называется матрицей линейного оператора A : V → V вбазисе e1, . . . , en. Таким образом, i-й столбец матрицы A составлен изкоординат вектора Ae i относительно базиса e1, . . . , en:

Ae i = ajie j .



ПРИМЕР.1. Тождественный оператор id переводит каждый вектор v ∈ V в себя:id v = v . Матрицей оператора id в любом базисе является единичнаяматрица E . Обратно, если матрица оператора A в каком-то базисеесть E , то A = id.

2. Рассмотрим оператор дифференцирования ddx в пространстве K2[x ]

многочленов степени не выше 2. Тогда ddx 1 = 0, d

dx x = 1 и ddx x

2 = 2x .Таким образом, матрицей оператора d

dx в базисе 1, x , x2 являетсяматрица 0 1 0

0 0 20 0 0

.



3. В пространстве R3 рассмотрим оператор prv ортогональногопроектирования на направление вектора v = (1, 1, 1). Найдём матрицуэтого оператора в стандартном базисе e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0) иe3 = (0, 0, 1). По формуле из аналитической геометрии, для любоговектора u ∈ R3 мы имеем prvu = (u,v)

(v ,v)v . Следовательно,

prve1 = prve2 = prve3 =1

3(1, 1, 1) =

1

3e1 +

1

3e2 +

1

3e3.

Таким образом, матрица оператора prv имеет вид13

13

13

13

13

13

13

13

13

.



ТЕОРЕМА 28 (закон изменения матрицы линейного оператора)Имеет место соотношение

A′ = C−1AC ,

где A — матрица оператора A : V → V в базисе e1, . . . , en, A′ —матрица в базисе e′1, . . . , e

′n и C — матрица перехода от базиса

e1, . . . , en к базису e′1, . . . , e′n.

Доказательство. Так как мы выбираем один и тот же базис в обоихэкземплярах пространства V , мы должны подставить C = D вформулу A′ = D−1AC преобразования матрицы линейногоотображения из теоремы 26. 2Матрицы A и A′, удовлетворяющие соотношению A′ = C−1AC , гдеC — невырожденная матрица, называются подобными илисопряжённым. Таким образом, матрицы одного оператора в разныхбазисах подобны. Cлед trA матрицы A = (aij) — это сумма еёдиагональных элементов, trA = aii .


Линейная алгебраЛЕММА 40 (о следе и определителе подобных матриц)

Определители и следы подобных матриц равны.

Доказательство. Пусть A′ = C−1AC . Тогда для определителя имеем

detA′ = det(C−1AC ) = (detC−1)(detA)(detC ) =

= (detC )−1(detC )(detA) = detA.

Для вычисления следа используем обозначения Эйнштейна:a′kl = c ′ki aijc

jl , откуда

trA′ = a′kk = c ′ki aijcjk = c jkc

′ki aij = δji a

ij = aii = trA. 2

Определитель (соответственно, след) линейного оператораA : V → V — это определитель (соответственно, след) матрицыоператора A в любом базисе; обозначается detA (соответственно,trA).



Оператор A называется невырожденным, если detA 6= 0.Композицией операторов A : V → V и B : V → V называетсялинейный оператор A ◦ B : V → V , определяемый формулой(A ◦ B)(v) = A(Bv).

ЛЕММА 41 (о матрице композиции операторов)Матрица композиции операторов A ◦ B в любом базисе естьпроизведение матриц операторов A и B в этом базисе.

Доказательство. Пусть A = (aij) и B = (bij ) — матрицы операторов Aи B в базисе e1, . . . , en и пусть C = AB = (c ij ). Тогда

(A ◦ B)(e i ) = A(Be i ) = A(bji e j) = bjiAe j = bji akj ek = akj b

ji ek = cki ek ,

т.е. C = AB есть матрица оператора A ◦ B. 2


Линейная алгебраТЕОРЕМА 29 (о свойствах невырожденного оператора)Следующие условия эквивалентны для оператора A : V → V :а) оператор A невырожден, т.е. detA 6= 0;б) оператор A обратим, т.е. существует A−1 : V → V , A ◦ A−1 = id;в) ImA = V ;г) kerA = {0}.

Доказательство. Мы докажем импликации а)⇒ б)⇒ в)⇒ г⇒ а).а)⇒ б). Пусть detA 6= 0 и A — матрица оператора A в некоторомбазисе. Тогда detA 6= 0. Следовательно, существует обратная матрицаA−1. Рассмотрим оператор A−1, который в данном базисе задаётсяматрицей A−1. Тогда по предыдущей лемме, матрица оператораA ◦ A−1 есть AA−1 = E , а значит A ◦ A−1 = id.б)⇒ в). Пусть A обратим. Предположим, что ImA 6= V . Выберемтакой v ∈ V , что v /∈ ImA. Пусть A−1(v) = u. Тогда Au ∈ ImA. Сдругой стороны, Au = A ◦ A−1(v) = v . Противоречие.



в)⇒ г). Пусть ImA = V , т.е. dimV = dim ImA. Согласно следствию 2,dimV = dim kerA+ dim ImA. Следовательно, dim kerA = 0, т.е.kerA = {0}.г)⇒ а). Пусть kerA = {0}. Предположим, что detA = 0. ТогдаdetA = 0, где A — матрица оператора A в некотором базисеe1, . . . , en. Это означает, что система линейных уравнений Ax = 0имеет ненулевое решение x1, . . . , xn. Согласно лемме 33, это означает,что Ax = 0, где x = x ie i 6= 0. Таким образом, kerA содержитненулевой вектор x . Противоречие. 2



Множество Hom(V ,V ) всех линейных операторов A : V → V вфиксированном пространстве V образует кольцо относительноопераций сложения и композиции (если включить в рассмотрение иумножение операторов на элементы поля K , то получаемый объектназывается алгеброй над полем K ). Наряду с Hom(V ,V ) для этогокольца (или алгебры) используется обозначение End(V ).Невырожденные операторы в V образуют (неабелеву) группуотносительно композиции. Эта группа называется общей линейнойгруппой пространства V и обозначается GL (V ). Если dimV = n, тогруппа GL (V ) изоморфна группе невырожденных квадратных матрицразмера n с элементами из поля K по умножению; эта группаобозначается GLn(K ).Матрицы (или операторы) с определителем 1 образуют подгруппу вGLn(K ); эта подгруппа называется специальной линейной группой иобозначается SLn(K ).



Пусть пространство V представлено в виде прямой суммы двухподпространств: V = V1 ⊕ V2. Тогда для любого вектора v ∈ Vимеется единственное разложение v = v1 + v2, v1 ∈ V1, v2 ∈ V2.Оператор P : V → V , переводящий вектор v = v1 + v2 в вектор v1,называется проектором на V1 вдоль V2.Для такого проектора P мы очевидно имеем ImP = V1 и kerP = V2.



ТЕОРЕМА 30 (о проекторе)

Следующие условия эквивалентны для оператора A : V → V :а) A является проектором;б) A2 = A.

Доказательство. Если A — проектор на V1 вдоль V2, то дляv = v1 + v2 имеем

A2v = A (A(v1 + v2)) = Av1 = v1 = Av ,

т.е. A2 = A.Пусть теперь A2 = A. Положим V1 := ImA и V2 := kerA. Мыпокажем, что A — проектор на V1 вдоль V2.


Линейная алгебраСначала докажем, что V = V1 ⊕ V2, т.е., что V = V1 + V2 иV1 ∩V2 = {0}. Пусть v ∈ V1 ∩V2. Тогда v ∈ V1 = ImA, т.е. существуеттакой вектор u ∈ V , что Au = v , и v ∈ V2 = kerA, т.е. Av = 0. Тогда

v = Au = A2u = A(Au) = Av = 0,

т.е. v = 0. Итак, V1 и V2 действительно образуют прямую сумму.Кроме того,

dim(V1 ⊕ V2) = dimV1 + dimV2 = dim ImA+ dim kerA = dimV ,

т.е. V = V1 ⊕ V2.Рассмотрим теперь произвольный вектор v ∈ V и представим его ввиде v = v1 + v2, v1 ∈ V1 = ImA, v2 ∈ V2 = kerA. Тогда существуетu ∈ V такой, что v1 = Au, а Av2 = 0. Мы имеем

Av = Av1 +Av2 = A(Au) = Au = v1.

Итак, A — действительно проектор на V1 вдоль V2. 2Sergey Zyubin Алгебра, 2-й семестр 4 мая 2020 г. 152 / 375


Матрица проектора на V1 вдоль V2 в базисе, составленном из базисов

пространств V1 и V2 имеет вид(

E 00 0

), где E — единичная

матрица размера k = dimV1, а 0 обозначает матрицу из нулейсоответствующего размера.

Пусть A : V → V — оператор. Мы уже рассматривали его квадрат A2.На самом деле каждому многочленуP(t) = a0 + a1t + a2t

2 + . . .+ antn ∈ K [t] можно сопоставить оператор

P(A) := a0 id+a1A+ a2A2 + . . .+ anAn,

который называется многочленом от оператора A.Многочлен P(t) называется аннулирующим оператор A, еслиP(A) = O (нулевой оператор).


Линейная алгебраПРИМЕР. 1. Многочлен t − 1 аннулирует тождественный оператор id.2. Многочлен t2 − t аннулирует любой проектор P согласноТеореме 30.

ЛЕММА 42 (о существовании аннулирующего многочлена)У любого оператора существует ненулевой аннулирующий многочлен.

Доказательство. Пусть dimV = n. Рассмотрим n2 + 1 операторовA0 = id, A1 = A,A2 . . . ,An2 . Так как размерность пространстваоператоров равна n2, эти операторы линейно зависимы, т.е.существуют числа a0, a1, . . . , an2 , не все равные нулю, такие, чтоa0 id+a1A+ . . .+ an2An2 = O. Тогда ненулевой многочленP(t) = a0 + a1t + . . .+ an2t

n2 аннулирует оператор A. 2Ненулевой многочлен P(t) называется минимальным аннулирующиммногочленом (или просто минимальным многочленом) дляоператора A, если P(A) = O, многочлен P(t) имеет наименьшуюстепень среди всех ненулевых аннулирующих многочленов, и егостарший коэффициент равен 1.



ЛЕММА 43Для любого оператора существует единственный минимальныйаннулирующий многочлен.

Доказательство. Мы уже доказали существование ненулевогоаннулирующего многочлена. Среди всех аннулирующих многочленоввыберем многочлен наименьшей степени и разделим его на старшийкоэффициент. В результате мы по определению получимминимальный многочлен.Докажем единственность. Пусть P1(t) и P2(t) — два минимальныхмногочлена для оператора A. Степени и старшие коэффициентымногочленов P1(t) и P2(t) равны. Тогда P1(t)− P2(t) будетаннулирующим многочленом меньшей степени, а значитP1(t)− P2(t) = 0. 2



При работе с линейными пространствами и операторами часто бываетудобно изменить поле скаляров. Здесь мы рассмотрим две такиеоперации: переход от пространств над полем вещественных чисел R кпространствам над полем комплексных чисел C (комплексификациявещественного пространства) и переход от пространств над C кпространствам над R (овеществление комплексного пространства).Пусть V — комплексное пространство (пространство над полем C).Рассмотрим множество VR, состоящее из тех же векторов, что и V . НаVR имеется операция сложения (та же, что и на V ), а вместооперации умножения на все комплексные числа мы оставим лишьумножение на вещественные числа. Тогда VR — вещественноепространство (пространство над полем R), которое называетсяовеществлением пространства V .



ЛЕММА 44

Пусть e1, . . . , en — базис пространства V . Тогда e1, . . . , en,ie1, . . . , ien — базис пространства VR. Таким образом,dimVR = 2 dimV .

Доказательство. Проверим, что векторы e1, . . . , en, ie1, . . . , ien

линейно независимы в VR. Пусть

λ1e1 + . . .+ λnen + µ1ie1 + . . .+ µnien = 0,

в пространстве VR, где λk , µk ∈ R. Тогда в пространстве V мы имеем

(λ1 + iµ1)e1 + . . .+ (λn + iµn)en = 0.

Так как векторы e1, . . . , en линейно независимы в V , мы имеемλk + iµk = 0, т.е. λk = µk = 0. Следовательно, e1, . . . , en, ie1, . . . , ien

линейно независимы в VR.Sergey Zyubin Алгебра, 2-й семестр 4 мая 2020 г. 157 / 375


Теперь проверим, что любой вектор v ∈ VR представляется в виделинейной комбинации (с вещественными коэффициентами) векторовe1, . . . , en, ie1, . . . , ien. Рассмотрим v как вектор из V . Так какe1, . . . , en — базис в V , мы имеем

v = α1e1 + . . .+ αnen

для некоторых αk ∈ C. Запишем αk = λk + iµk , где λk , µk ∈ R. Тогда

v = λ1e1 + . . .+ λnen + µ1ie1 + . . .+ µnien.

2



Пусть V — комплексное пространство и A : V → V — оператор. Тогдатот же оператор, рассматриваемый в пространстве VR, называетсяовеществлением оператора A и обозначается AR.

ЛЕММА 45

Запишем матрицу оператора A в базисе e1, . . . , en пространства V ввиде A + iB , где A и B — вещественные матрицы. Тогдаа) матрица оператора AR в базисе e1, . . . , en, ie1, . . . , ien есть(

A −BB A

);

б) detAR = | detA|2.


Линейная алгебраДоказательство. Пусть A = (alk) и B = (blk). Тогда

AR(ek) = A(ek) = (alk + iblk)e l = alke l + blk ie l ,

AR(iek) = A(iek) = iA(ek) = i(alk + iblk)e l = −blke l + alk ie l ,

и утверждение а) вытекает из определения матрицы оператора.Для доказательства утверждения б) произведём следующиеэлементарные преобразования над строками и столбцами матрицыоператора AR:(

A −BB A

)→(A− iB −B − iA

B A

)→

→(A− iB −B − iA + i(A− iB)

B A + iB

)=

(A− iB 0

B A + iB

).

Отсюда получаемdetAR = det(A− iB) det(A + iB) = detA · detA = | detA|2. 2



Пусть V — вещественное пространство. Комплексной структурой на Vназывается такой оператор J : V → V , что J 2 = − id.

ЛЕММА 46

Пусть V — вещественное пространство с комплексной структурой J .Введём на V операцию умножения на комплексные числа по правилу

(λ+ iµ) · v = λv + µJ (v).

Тогда V превращается в комплексное пространство V , для которогоVR = V , а овеществление оператора умножения на i есть J .

Доказательство. Необходимо проверить свойства 5)–8) изопределения линейного пространства над C. Эта проверкаосуществляется непосредственно. 2



ЛЕММА 47Пусть J — комплексная структура на V . Тогдаа) размерность вещественного пространства V чётна;б) в подходящем базисе матрица оператора J имеет вид(

0 −EE 0

).

Доказательство. Рассмотрим комплексное пространство V изпредыдущей леммы. Так как любой базис в V порождает V , этопространство конечномерно. Так как V = VR, из леммы 44 следует,что dimV = 2 dim V — чётно.Далее, если e1, . . . , en — базис комплексного пространства V , тоe1, . . . , en, ie1, . . . , ien — базис пространства VR = V . В этом базисеоператор J (овеществление оператора умножения на i) имеетуказанный вид. Это проверяется непосредственно, а также вытекает излеммы 45 а). 2



Пусть V — пространство над R. Рассмотрим пространство V ⊕ V ,состоящее из пар (u, v), где u, v ∈ V , и введём на нём комплекснуюструктуру следующим образом: J (u, v) := (−v ,u). Получаемоепространство V ⊕ V над полем C называется комплексификациейпространства V и обозначается VC.

ЛЕММА 48Пусть e1, . . . , en — базис пространства V . Тогда векторы(e1, 0), . . . , (en, 0) образуют базис пространства VC. Таким образом,dimVC = dimV .



Доказательство. Как всегда, нужно проверить, что (e1, 0), . . . , (en, 0)линейно независимы и порождают всё пространство VC. Пусть

α1(e1, 0) + . . .+ αn(en, 0) = (0, 0) (31)

для некоторых αk = λk + iµk ∈ C. Так как(λk + iµk) · (ek , 0) = λk(ek , 0) + µkJ (ek , 0) = (λkek , µkek), изравенства (31) мы получаем

(λ1e1 + . . .+ λnen, µ1e1 + . . .+ µnen) = (0, 0),

откуда все λk , µk , а значит и αk , равны нулю. Итак, (e1, 0), . . . , (en, 0)линейно независимы. То, что они порождают пространство VC,проверяется аналогично. 2



Пусть V — вещественное пространство и A : V → V — оператор.Оператор AC : VC → VC, заданный формулой AC(u, v) := (Au,Av),называется комплексификацией оператора A.

ЛЕММА 49Пусть A — матрица оператора A в базисе e1, . . . , en. Тогда операторAC в базисе (e1, 0), . . . , (en, 0) имеет ту же матрицу A.

Доказательство. AC(ek , 0) = (Aek , 0) = (alke l , 0) = alk(e l , 0). 2


Линейная алгебраПри работе с комплексифицированным пространством VC удобнозаписывать векторы (u, v) ∈ VC в виде u + iv . Тогда действиекомплексифицированного оператора AC записывается в видеAC(u + iv) = Au + iAv .

ЛЕММА 50Пространство (VC)R канонически изоморфно V ⊕ V .

Доказательство. Действительно, VC = V ⊕ V , а (V ⊕ V )R = V ⊕ Vсогласно лемме 46 (мы просто сначала добавили, а потом убралиумножение на комплексные скаляры). 2Можно доказать (задача), что (VR)C канонически изоморфно V ⊕ V ,где V — комплексно сопряжённое пространство, в котором сложението же, что и в V , а умножение на комплексные числа определено поформуле λ · v := λv .Как мы вскоре убедимся, комплексификация предоставляет весьмаполезный инструмент для работы с операторами в вещественныхпространствах.



Подпространство W ⊂ V называется инвариантным относительнооператора A : V → V , если A(W ) ⊂W .

ПРИМЕР. Ядро kerA и образ ImA оператора A являютсяинвариантными подпространствами.

Пусть W ⊂ V — инвариантное подпространство для оператораA : V → V . Выберем базис e1, . . . , ek в W и дополним его до базисаe1, . . . , ek , ek+1, . . . , en в V . Пусть A = (aij) — матрица оператора A вэтом базисе. Тогда Ae j = a1j e1 + . . .+ akj ek при j = 1, . . . , k . Этоозначает, что матрица A имеет вид

A =

(∗ ∗0 ∗

),

где в левом нижнем углу стоит матрица размера (n − k)× k из нулей.



Аналогично, если имеет место разложение V = W1 ⊕W2 в прямуюсумму инвариантных подпространств, A(W1) ⊂W1 и A(W2) ⊂W2, тов подходящем базисе матрица оператора A будет иметьблочно-диагональный вид

A =

(∗ 00 ∗

),

Пусть W ⊂ V — инвариантное подпространство для оператораA : V → V . Тогда оператор A : W →W , определённый равенствомAw := Aw для w ∈W , называется ограничением оператора A наподпространство W и часто обозначается A|W .

Линейный оператор A : V /W → V /W , определённый на классахсмежности по правилу A(v + W ) = Av + W , называетсяфактор-оператором.


Линейная алгебраОпределение фактор-оператора корректно. Действительно, еслиv + W = u + W , то v − u ∈W , A(v − u) ∈W , и мы имеем

A(v+W ) = A(u+v−u)+W = Au+A(v−u)+W = Au+W = A(u+W ).

ЛЕММА 51 (о матрицах фактор-оператора и ограничения)Пусть W ⊂ V — инвариантное подпространство для оператораA : V → V . Пусть e1, . . . , ek — базис в W и e1, . . . , ek , ek+1, . . . , en —базис в V . Тогда матрица оператора A в этом базисе имеет вид

A =

(A ∗0 A

),

где A — матрица ограничения A|W в базисе e1, . . . , ek , а A — матрицафактор-оператора в базисе ek+1 + W , . . . , en + Wфакторпространства V /W .

Доказательство. Это вытекает из предыдущих рассуждений. 2Sergey Zyubin Алгебра, 2-й семестр 4 мая 2020 г. 169 / 375


Ненулевой вектор v ∈ V называется собственным для оператора A,если Av = λv для некоторого λ ∈ K .Число λ ∈ K называется собственным значением, если существуетсобственный вектор v , для которого Av = λv .

ЛЕММА 52 (о подпространстве собственных векторов)Все собственные векторы, отвечающие собственному значению λ, ивектор 0 образуют подпространство, которое совпадает с ядромоператора A− λ · id.

Доказательство. Равенство Av = λv имеет место тогда и только,когда v ∈ ker(A− λ · id). 2


Линейная алгебраПусть λ — собственное значение для оператора A. ПодпространствоVλ = ker(A− λ · id) называется собственным подпространством,соответствующим λ.

ЛЕММА 53Собственное подпространство Vλ инвариантно.

Доказательство. Действительно, если v ∈ Vλ, то Av = λv ∈ Vλ. 2ПРИМЕР.1. Для тождественного оператора id : V → V все ненулевые векторыявляются собственными с собственным значением 1.

2. Ядро любого оператора A : V → V состоит из собственных векторовс собственным значением 0 и нулевого вектора.

3. Все собственные значения проектора P : V → V суть 0 или 1.Причём если P — проектор на U вдоль W , то U — это собственноеподпространство, соответствующее λ = 1, а W — собственноеподпространство, соответствующее λ = 0.



Многочлен PA(t) := det(A− t · id) называется характеристическиммногочленом оператора A.Так как характеристический многочлен определён как определительоператора, его можно вычислять как определитель матрицы этогооператора в любом базисе:

PA(t) = det(A− tE ) =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11 − t a12 · · · a1na21 a22 − t · · · a2n...

.... . .

...an1 an2 · · · ann − t

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ ,где A = (aij) — матрица оператора A в любом базисе, а E —единичная матрица. Из этой формулы ясно, чтоPA(t) = pnt

n + pn−1tn−1 + . . .+ p0 — многочлен степени n = dimV .

Кроме того, мы имеем pn = (−1)n, pn−1 = (−1)n−1 trA, p0 = detA.



ЛЕММА 54 (о собственных значениях оператора)Собственные значения оператора A — это в точности корни егохарактеристического многочлена.

Доказательство. Если λ — собственное значение, то операторA− λ · id вырожден, т.е. det(A− λ · id) = 0, а значит λ — кореньмногочлена PA(t). Обратно, если λ — корень многочлена PA(t), тоdet(A− λ · id) = 0. Поэтому ker(A− λ · id) 6= {0}, а значит λ —собственное значение. 2

ТЕОРЕМА 31 (об инвариантных подпространствах над R и C)

а) Оператор A : V → V в нетривиальном пространстве над полем Cимеет инвариантное подпространство размерности 1.

б) Оператор A : V → V в нетривиальном пространстве над полем Rимеет инвариантное подпространство размерности 1 или 2.


Линейная алгебраДоказательство. Для доказательства а) заметим, что так как поле Cалгебраически замкнуто, характеристический многочлен PA(t) имееткорень λ. Значит оператор A имеет собственный вектор v , т.е.Av = λv и 〈v〉 — одномерное инвариантное подпространство.Докажем б). Если характеристический многочлен PA(t) имеетвещественный корень, то мы получаем одномерное инвариантноеподпространство. Предположим, что PA(t) не имеет вещественныхкорней. Пусть λ+ iµ — комплексный корень, µ 6= 0. Тогда λ+ iµ —собственное значение комплексифицированного оператора AC(напомним, что в подходящих базисах матрицы операторов A и ACсовпадают). Возьмём соответствующий собственный векторu + iv ∈ VC. Тогда

Au + iAv = AC(u + iv) = (λ+ iµ)(u + iv) = (λu − µv) + i(µu + λv).

Следовательно, Au = λu − µv и Av = µu + λv , и линейная оболочка〈u, v〉 ⊂ V является инвариантным подпространством для A. 2


Линейная алгебраПусть Vλ = ker(A− λ · id) — собственное подпространство.

ЛЕММА 55 (о размерности собственного подпространства Vλ)Размерность собственного подпространства Vλ не превосходиткратности λ как корня характеристического многочлена.

Доказательство. Пусть dimVλ = k . Выберем базис e1, . . . , ek впространстве Vλ и дополним его до базиса в V . Так как Ae i = λe i приi = 1, . . . , k , матрица оператора A в выбранном базисе имеет вид

A =

λ 0

. . .0 λ

∗

0 A

.

Тогда PA(t) = det(A− tE ) = (λ− t)k det(A− tE ) = (λ− t)kPA(t), гдеA — фактор-оператор. Отсюда вытекает, что кратность корня λ неменьше k = dimVλ. 2


Линейная алгебраТЕОРЕМА 32 (Гамильтона–Кэли)Характеристический многочлен PA(t) оператора A : V → Vаннулирует этот оператор, т.е. PA(A) = O.

Мы приведём два доказательства этого фундаментального факта.Первое доказательство более элементарное, но используетспециальный трюк. Второе доказательство идейно проще, ноиспользует понятие факторпространства.Доказательство.[Первое доказательство] Для квадратной матрицыM обозначим через M матрицу того же размера, на ij-м месте которойстоит алгебраическое дополнение ji-го элемента матрицы M. Какизвестно из курса алгебры, имеет место тождество

MM = detM · E .Теперь возьмём в качестве M матрицу A− tE , где A — матрицаоператора A в произвольном базисе. Тогда

(A− tE )(A− tE ) = det(A− tE ) · E = PA(t)E . (32)Sergey Zyubin Алгебра, 2-й семестр 4 мая 2020 г. 176 / 375


По определению элементы матрицы A− tE являются многочленамиот t степени не выше n − 1, где n = dimV . Следовательно, этуматрицу можно записать в виде

A− tE = B0 + tB1 + t2B2 + . . .+ tn−1Bn−1,

где Bi — числовые матрицы. Подставив это разложение вместе сразложением характеристического многочленаPA(t) = a0 + a1t + . . .+ ant

n в формулу (32), получим

(A−tE )(B0+tB1+t2B2+. . .+tn−1Bn−1) = (a0+a1t+a2t2+. . .+ant

n)E .


Линейная алгебраПриравнивая коэффициенты при различных степенях t, получим

AB0 = a0E ,

−B0 + AB1 = a1E ,

−B1 + AB2 = a2E ,

. . .

−Bn−2 + ABn−1 = an−1E

−Bn−1 = anE

Умножив слева обе части второго равенства на A, третьего — на A2, ит.д., и сложив все полученные равенства, получим

0 = a0E + a1A + a2A2 + . . .+ anA

n.

В правой части стоит результат подстановки A в характеристическиймногочлен. 2


Линейная алгебраДоказательство.[Второе доказательство] Вначале докажем теоремунад алгебраически замкнутым полем, например, над полем C.Проведём индукцию по размерности V . Если V одномерно, тоA = λ · id — умножение на скаляр λ. Тогда PA(t) = λ− t, а значитPA(A) = λ · id−A = O.Пусть теперь dimV = n, и предположим, что теорема доказана дляпространств размерности n − 1. Выберем инвариантное одномерноеподпространство U для A; это подпространство порожденособственным вектором u с собственным значением λ. Дополнимвектор u до базиса. В этом базисе матрица оператора A имеет вид

A =

(λ ∗0 A

),

где A — матрица фактор-оператора A, действующего вфактор-пространстве V /U.


Линейная алгебраОтсюда вытекает, что

PA(t) = det(A− tE ) = (λ− t) det(A− tE ) = (λ− t)PA(t),

где PA(t) — характеристический многочлен фактор-оператора.Так как dimV /U = n − 1, по предположению индукции PA(A) = O.По определению фактор-оператора это означает, что для любоговектора v ∈ V имеем PA(A)v ∈ U, т.е. PA(A)v = µu длянекоторого µ. Следовательно,

PA(A)v = (λ · id−A)PA(A)v = (λ · id−A)(µu) = 0,

так как Au = λu. Итак, PA(A) = O для операторов в комплексныхпространствах.Для доказательства теоремы над полем R воспользуемсякомплексификацией AC оператора A. Так как в соответствующихбазисах пространств V и VC матрицы операторов A и AC совпадают,мы имеем PA(t) = PAC(t) и PA(A) = PAC(A) = 0. 2


Линейная алгебраОператор A называется диагонализируемым, если существует базис, вкотором матрица этого оператора диагональна. По определениюматрицы оператора, базис, в котором его матрица диагональна,состоит из собственных векторов. Поэтому оператор диагонализируемтогда и только тогда, когда для него существует базис из собственныхвекторов.ТЕОРЕМА 33 (о критерии диагонализируемости)Оператор A в n-мерном пространстве V диагонализируем тогда итолько тогда, когда его характеристический многочлен имеет вточности n корней (с учётом кратностей), и размерность каждогособственного подпространства Vλ равна кратности корня λ.

Для доказательства теоремы нам понадобится лемма.

ЛЕММА 56 (о прямой сумме собственных подпространств)Собственные подпространства Vλ1 , . . . ,Vλk , соответствующие попарноразличным собственным значениям λ1, . . . , λk оператора A, образуютпрямую сумму Vλ1 ⊕ . . .⊕ Vλk .


Линейная алгебраДоказательство. Проведём индукцию по k . При k = 1 утверждениеочевидно.По определению прямой суммы мы должны проверить, чтосоотношение

v1 + . . .+ vk = 0, (33)

где v i ∈ Vλi , влечёт v1 = . . . = vk = 0. Применив к (33) оператор A,получим

λ1v1 + . . .+ λkvk = 0

Умножим (33) на λk и вычтем из предыдущего соотношения:

(λ1 − λk)v1 + . . .+ (λk−1 − λk)vk−1 = 0.

По предположению индукции получаем(λ1 − λk)v1 = . . . = (λk−1 − λk)vk−1 = 0. Так как по условиюλ1 − λk 6= 0, . . . , λk−1 − λk 6= 0, получаем v1 = . . . = vk−1 = 0. Тогдаиз (33) следует, что и vk = 0. 2



Сформулируем одно полезное следствие этой леммы.

СЛЕДСТВИЕ 4Собственные векторы оператора, отвечающие различным собственнымзначениям, линейно независимы.

Доказательство.[Доказательство теоремы 33] Предположим, чтооператор A диагонализируем. Пусть на диагонали матрицы Dоператора A стоят числа λ1, . . . , λk , причём число λi присутствует riраз. Тогда мы имеем PA(t) = det(D − tE ) =

∏ki=1(λi − t)ri .

Следовательно, многочлен PA(t) имеет∑k

i=1 ri = n корней, и каждомукорню λi соответствует ri линейно независимых собственных векторов,т.е. dimVλi = ri .



Предположим теперь, что многочлен PA(t) имеет различные корниλ1, . . . , λk , причём кратность корня λi равна ri ,

∑ki=1 ri = n и

dimVλi = ri . Согласно лемме 56, пространства Vλ1 , . . . ,Vλk образуютпрямую сумму, а по условию сумма их размерностей равна n = dimV .Следовательно, V = Vλ1 ⊕ . . .⊕ Vλk . Выбрав базис в каждом изподпространств Vλi и взяв объединение этих базисов, мы получимбазис пространства V , состоящий из собственных векторов. Итак,оператор A диагонализируем. 2



СЛЕДСТВИЕ 5Пусть характеристический многочлен PA(t) имеет n = dimVразличных корней. Тогда оператор A диагонализируем.

Набор собственных значений оператора A часто называют егоспектром (эта терминология будет прояснена в курсе функциональногоанализа, когда будут рассматриваться операторы с непрерывнымспектром в бесконечномерных пространствах). Если все собственныезначения имеют кратность 1 как корни характеристическогомногочлена, то говорят о простом спектре. Таким образом, операторыс простым спектром диагонализируемы. Появление кратных корнейявляется «особенностью», которая устраняется произвольно малымвозмущением коэффициентов матрицы оператора. Таким образом,над полем C «почти все» операторы диагонализируемы.



ПРИМЕР.

1. Оператор, заданный матрицей(

0 −11 0

)в стандартном базисе R2,

не диагонализируем, так как его характеристический многочлен t2 + 1не имеет вещественных корней. Однако тот же оператор в C2

диагонализируем: в базисе f 1 = (1 i), f 2 = (1 − i) его матрица(−i 00 i

)диагональна.

2. Оператор, заданный матрицей(

1 10 1

), не диагонализируем ни над

каким полем по другой причине: его характеристический многочлен(t − 1)2 имеет корень 1 кратности 2, но при этом размерностьсоответствующего собственного подпространства равна 1 (векторe2 = (0 1) не является собственным).



Оператор A называется нильпотентным, если Ak = O для некоторогонатурального k . Минимальное число k , для которого Ak = O,называется степенью нильпотентности оператора A.ПРИМЕР. Рассмотрим оператор A, заданный в базисе e1, . . . , en

матрицей 0 1 0

0. . .. . . 1

0 0

(34)

(над диагональю стоят единицы, а на остальных местах — нули).Действие этого оператора на базисные векторы описывается схемойen 7→ en−1 7→ . . . 7→ e1 7→ 0. Отсюда видно, что An = O, т.е. операторA нильпотентен и имеет степень n.



Сформулируем несколько простых свойств нильпотентных операторов.

ЛЕММА 57 (о свойствах нильпотентного оператора)Пусть A : V → V — нильпотентный оператор, причём dimV = n.Тогдаа) единственным собственным значением оператора A является 0;б) оператор A диагонализируем тогда и только тогда, когда A = O;в) An = O, т.е. степень нильпотентности A не

превосходит n = dimV .



Доказательство. Докажем а). Пусть Ak = O и Ak−1 6= O. Значитсуществует такой вектор v , что u := Ak−1v 6= 0. Тогда Au = Akv = 0,т.е. u — собственный вектор с собственным значением 0. Если теперьλ 6= 0 — другое собственное значение, то по определению найдётсяw 6= 0, такой, что Aw = λw . Тогда 0 = Akw = λkw . Отсюда 0 = λk ,т.е. λ = 0 — противоречие.Докажем б). Если A диагонализируем, то на диагонали егодиагональной матрицы стоят собственные значения, которые всеравны нулю в силу а). Следовательно, матрица нулевая и A = O.Докажем в). Из утверждения а) вытекает, что характеристическиймногочлен оператора A есть (−t)n. Тогда An = O по теоремеГамильтона–Кэли. 2


Линейная алгебраСледующая теорема показывает, что любой нильпотентный операторявляется прямой суммой операторов из примера 20.

ТЕОРЕМА 34 (о матрице нильпотентного оператора)

Пусть A : V → V — нильпотентный оператор. Тогда в пространстве Vсуществует базис, в котором матрица оператора A имеетблочно-диагональный вид с блоками из матриц (34) произвольныхразмеров. Такой вид матрицы оператора единствен с точностью доперестановки блоков.

Базис, существование которого утверждается в этой теореме,называется нормальным, а матрица оператора в таком базисеназывается нормальным видом (или нормальной формой)нильпотентного оператора.Доказательство.[Доказательство теоремы 34] Базис, в которомматрица оператора состоит из блоков вида (34), удобно изображать ввиде диаграммы



ppppppppppp ppp pp p p?

??

???

?????

В этой диаграмме точки изображают элементы нормального базиса, астрелки описывают действие оператора A. Элементы нижней строкиоператор переводит в нуль, т.е. в ней стоят собственные векторыоператора (с собственным значением 0), входящие в базис. Каждыйстолбец соответствует одному блоку вида (34), причём размер блокаравен высоте соответствующего столбца (количеству точек в столбце).Итак, нам нужно доказать существование базиса, действие оператораA на элементы которого описывается диаграммой указанного вида.Проведём индукцию по размерности пространства V . Если dimV = 1,то нильпотентный оператор A является нулевым, и любой ненулевойвектор в V образует нормальный базис.Пусть теперь dimV = n > 1, и пусть для размерностей, меньших n,существование нормального базиса уже доказано.


Линейная алгебраПусть V0 = kerA — подпространство собственных векторов для A. Таккак dimV0 > 0, имеем dimV /V0 < n. Рассмотрим фактор-операторA : V /V0 → V /V0, A(v + V0) = Av + V0. По индуктивномупредположению A имеет нормальный базис. Можно считать егонепустым: иначе V = V0 и любой базис в V0 будет нормальнымдля A. Построим диаграмму D для элементов нормального базисаоператора A, в каждом её столбце возьмём самый верхний вектор e i ,i = 1, . . . ,m (здесь m — количество столбцов в D), и положимe i = e i + V0, e i ∈ V . Теперь построим диаграмму D из векторовпространства V следующим образом. Для i = 1, . . . ,m столбец сномером i диаграммы D будет состоять (сверху вниз) из векторовe i ,Ae i , . . . ,Ahi−1e i ,Ahie i , где hi — высота i-го столбца вдиаграмме D. Так как Ahi e i = 0, мы имеем Ahie i ∈ V0 и Ahi+1e i = 0.Выберем базис в линейной оболочке 〈Ah1e1, . . . ,Ahmem〉 ⊂ V0,дополним его до базиса V0 и поставим дополняющие векторы вкачестве новых столбцов (высоты один) в нижней строкедиаграммы D; оператор A переводит их в нуль.



Таким образом, построенная диаграмма D из векторов пространстваV имеет в точности такой вид, как требуется для нормального базиса.Нужно лишь проверить, что векторы, составляющие диаграмму,действительно образуют базис в V .Сначала покажем, что векторы из D порождают всё V . Пусть v ∈ V .Положим v = v + V0. По предположению v =

∑mi=1

∑hi−1j=0 λijAj e i .

Тогда

v −m∑i=1

hi−1∑j=0

λijAje i ∈ V0.

Но все векторы Aje i , j 6 hi − 1, лежат в строках диаграммы D,начиная со второй снизу, а подпространство V0 порождено векторамииз нижней строки D по построению. Поэтому v можно представить ввиде линейной комбинации векторов из D.


Линейная алгебраОстаётся проверить линейную независимость векторов из D. Сначаладокажем, что векторы нижней строки линейно независимы.Действительно, если некоторая их нетривиальная линейнаякомбинация равна нулю, то она должна иметь вид

∑mi=1 λiAhie i = 0,

ибо остальные элементы нижней строки дополняют базис линейнойоболочки 〈Ah1e1, . . . ,Ahmem〉 до базиса V0. Но все hi > 1, поэтому

A

(m∑i=1

λiAhi−1e i

)= 0,

так чтоm∑i=1

λiAhi−1e i ∈ V0 иm∑i=1

λiAhi−1e i = 0.

Из последнего соотношения следует, что все λi = 0, так как векторыAhi−1e i составляют нижнюю строку диаграммы D и являются частьюбазиса пространства V /V0.



Наконец, покажем, что если имеется любая нетривиальная линейнаякомбинация векторов D, равная нулю, то из неё можно получитьнетривиальную линейную зависимость между векторами нижнейстроки D. Отметим самую верхнюю строку D, в которой имеютсяненулевые коэффициенты этой воображаемой линейной комбинации.Пусть номер этой строки (считая снизу) равен h. Применим к этойкомбинации оператор Ah−1. При этом её часть, лежащая в h-й строке,перейдёт в нетривиальную линейную комбинацию элементов нижнейстроки, а остальные слагаемые обратятся в нуль. Это завершаетдоказательство существования нормального базиса.



Теперь докажем единственность. Размеры блоков — это высотыстолбцов диаграммы. Если расположить столбцы, как на рисунке, впорядке убывания, то их высоты однозначно определяются, еслиизвестны длины строк в диаграмме, начиная с нижней, в порядкеубывания. Из предыдущего рассуждения следует, что длина нижнейстроки равна dimV0 = dim kerA и не зависит от выбора базиса. Длинавторой снизу строки равна размерности ядра фактор-оператора A впространстве V / kerA, т.е. dim kerA2 − dim kerA, что также независит от выбора базиса. Продолжая далее, мы видим, что длинаK -й снизу строки равна размерности ядра фактор-оператора впространстве V / kerAk−1, т.е. dim kerAk − dim kerAk−1. Этозавершает доказательство единственности. 2



Замечание. На практике для нахождения нормального базисанильпотентного оператора используется следующая модификацияпроцедуры, изложенной в доказательстве теоремы. Сначала находимстепень нильпотентности k оператора A, возводя матрицу в степень,пока не получим 0. Векторы из первой сверху строки диаграммы Dсоответствуют элементам базиса факторпространства V / kerAk−1.Для их нахождения мы выбираем максимальную линейно независимуюсистему векторов V , не лежащих в kerAk−1. Затем мы «спускаем»найденные векторы на одну строку вниз, применяя к ним оператор A.Полученная система векторов лежит в kerAk−1, но не лежит вkerAk−2, и мы заполняем вторую строку, дополняя эти векторы добазиса в kerAk−1/ kerAk−2. Затем мы спускаем все векторы из второйстроки ещё на одну строку и заполняем третью строку, дополняявекторы, пришедшие из второй строки, до базиса в kerAk−2/ kerAk−3.И так далее. На последнем шаге мы заполняем нижнюю строку,дополняя векторы, пришедшие сверху, до базиса в kerA.



Если оператор A в комплексном пространстве имеет всего однособственное значение λ, то его характеристический многочлен имеетвид (−1)n(t − λ)n, а значит (A− λ · id)n = 0 по теоремеГамильтона–Кэли. Следовательно, оператор A− λ · id нильпотентен ик нему можно применить теорему из предыдущего раздела.В случае, когда имеется более одного различного собственногозначения λ, соответствующие операторы A− λ · id не будутнильпотентными.Вектор v ∈ V называется корневым вектором оператора A,отвечающим числу λ ∈ K , если существует такое m, что(A− λ · id)mv = 0.



Обозначим через Rλ множество всех корневых векторов,отвечающих λ.

ЛЕММА 58 (о корневом подпространстве)Rλ является подпространством в V .

Доказательство. Пусть u, v ∈ Rλ, т.е.(A− λ · id)lu = (A− λ · id)mv = 0 для некоторых l ,m. Тогда(A− λ · id)m(µv) = 0 для любого µ ∈ K . Положим p = max{l ,m}.Тогда (A− λ · id)p(u + v) = 0, т.е. Rλ — действительноподпространство. 2



Подпространство Rλ ⊂ V называется корневым подпространством дляоператора A, отвечающим λ.

ЛЕММА 59Подпространство Rλ нетривиально тогда и только тогда, когда λ —собственное значение оператора A. При этом Vλ ⊂ Rλ, т.е. корневоеподпространство содержит собственное подпространство.

Доказательство. Действительно, если λ — собственное значение, тосуществует ненулевой вектор v , для которого (A− λ · id)v = 0, т.е.v ∈ Rλ и Rλ нетривиально. Отсюда также следует, что Vλ ⊂ Rλ.Обратно, пусть Rλ содержит ненулевой вектор u, для которого(A− λ · id)mu = 0, причём m минимально, т.е.v := (A− λ · id)m−1u 6= 0. Тогда имеем(A− λ · id)v = (A− λ · id)mu = 0, т.е. v — собственный вектор,отвечающий λ. 2



Далее будем рассматривать только нетривиальные корневыеподпространства Rλ.

ТЕОРЕМА 35

Пусть A — оператор в пространстве V над алгебраически замкнутымполем, и пусть λ1, . . . , λk — все собственные значения оператора A.Тогда V является прямой суммой всех корневых подпространств, т.е.

V = Rλ1 ⊕ . . .⊕ Rλk .

Доказательство теоремы будет опираться на три леммы.


Линейная алгебраЛЕММА 60 (о действии оператора на корневомподпространстве)Подпространство Rλ инвариантно относительно любогооператора A− µ · id, µ ∈ K (в частности, Rλ инвариантноотносительно A). Ограничение

(A− µ · id)|Rλ : Rλ → Rλ

при λ 6= µ является обратимым, а при λ = µ — нильпотентнымоператором.

Доказательство. Пусть v ∈ Rλ, т.е. (A− λ · id)mv = 0. Тогда

(A− λ · id)m(A− µ · id)v = (A− µ · id)(A− λ · id)mv = 0,

так как (A− µ · id) и (A− λ · id)m являются многочленами отоператора A, а любые два многочлена от оператора коммутируют.Итак, Rλ является (A− µ · id)-инвариантным подпространством, и мыможем рассмотреть ограничение (A− µ · id)|Rλ .



Пусть v ∈ ker(A− µ · id)|Rλ , т.е. v ∈ Rλ и Av = µv . Тогда(A− λ · id)v = (µ− λ)v , а значит

(µ− λ)mv = (A− λ · id)mv = 0.

Следовательно, если λ 6= µ, то v = 0. Таким образом, при λ 6= µ мыполучаем, что ядро оператора (A− µ · id)|Rλ тривиально, а значитэтот оператор обратим.Наконец, если e1, . . . , er — базис в Rλ и (A− λ · id)mie i = 0, то(A− λ · id)mv = 0 для любого вектора v ∈ Rλ, где m — наибольшее изчисел m1, . . . ,mr . Это означает, что оператор (A− λ · id)|Rλнильпотентен. 2



ЛЕММА 61 (о прямой сумме корневых подпространств)

Корневые подпространства Rλ1 , . . . ,Rλk , соответствующие различнымсобственным значениям λ1, . . . , λk , образуют прямую суммуRλ1 ⊕ . . .⊕ Rλk .

Доказательство. Проведём индукцию по K . При k = 1 утверждениеочевидно. Предположим, что утверждение доказано для k − 1подпространств.Докажем, что соотношение

v1 + . . .+ vk = 0, (35)

где v i ∈ Rλi , влечёт v1 = . . . = vk = 0. Имеем (A− λk · id)pvk = 0 длянекоторого p. Применив к (35) оператор (A− λk · id)p, получим

(A− λk · id)pv1 + . . .+ (A− λk · id)pvk−1 = 0. (36)



Так как подпространства Rλ1 , . . . ,Rλk−1инвариантны относительно

A− λk · id, мы имеем (A− λk · id)pv i ∈ Rλi , i = 1, . . . , k − 1. Тогда попредположению индукции из (36) вытекает, что (A− λk · id)pv i = 0,i = 1, . . . , k − 1. Так как по предыдущей лемме оператор A− λk · id впространствах Rλ1 , . . . ,Rλk−1

обратим, отсюда следует, чтоv1 = . . . = vk−1 = 0. Тогда из (35) получаем, что и vk = 0. 2



ЛЕММА 62 (о размерности корневого подпространства)Размерность корневого подпространства Rλ равна кратности λ каккорня характеристического многочлена оператора A.

Доказательство. Обозначим через rλ кратность корня λ. ПустьA = A|Rλ — ограничение оператора A на Rλ и A : V /Rλ → V /Rλ —фактор-оператор. Тогда для характеристических многочленов мыимеем

PA(t) = PA(t)PA(t) = (λ− t)dimRλPA(t) (37)

(см. лемму 51), откуда dimRλ ≤ rλ.Предположим, что dimRλ < rλ. Тогда из (37) следует, что λ являетсякорнем многочлена PA(t), т.е. собственным значением оператора A.Пусть v + Rλ — соответствующий (ненулевой) собственный вектор, т.е.

A(v + Rλ) = λ(v + Rλ) или Av + Rλ = λv + Rλ.



Отсюда вытекает, что Av − λv = (A− λ · id)v ∈ Rλ. По определениюRλ это означает, что 0 = (A− λ · id)m(A− λ · id)v = (A− λ · id)m+1v ,т.е. v ∈ Rλ. Но тогда v + Rλ — нулевой вектор пространства V /Rλ.Противоречие. 2

Доказательство.[Доказательство теоремы 35] Пусть dimV = n ипусть ri — кратность корня λi , i = 1 . . . , k . Тогда

∑ki=1 ri = n (здесь

мы пользуемся алгебраической замкнутостью поля) и из двухпредыдущих лемм вытекает, чтоdim(Rλ1 ⊕ . . .⊕ Rλk ) =

∑ki=1 ri = dimV . Следовательно,

V = Rλ1 ⊕ . . .⊕ Rλk . 2Разложение V = Rλ1 ⊕ . . .⊕ Rλk называется корневым разложениемдля V .



Давайте посмотрим, как выглядит матрица оператора A|Rλ(ограничения оператора A на корневое подпространство Rλ). Так как(A− λ · id)|Rλ является нильпотентным оператором (лемма 60), впространстве Rλ можно выбрать нормальный базис для этогооператора. Тогда матрица оператора (A− λ · id)|Rλ в этом базисебудет состоять из блоков вида (34), а значит матрица оператора A|Rλв том же базисе будет состоять из блоков вида

Jλ =

λ 1 0

λ. . .. . . 1

0 λ

(38)

(на диагонали стоит λ, над диагональю — единицы, а на остальныхместах нули).Матрица (38) называется жордановой клеткой.


Линейная алгебраЕсли матрица оператора A в некотором базисе являетсяблочно-диагональной c блоками вида (38) (возможно,соответствующими различным λ), то такая матрица называетсяжордановой нормальной формой оператора A. Базис, в которомоператор имеет жорданову нормальную форму, называетсяжордановым.

ТЕОРЕМА 36

Для любого оператора A в пространстве V над алгебраическизамкнутым полем существует жорданов базис (в котором операторимеет жорданову нормальную форму). Жорданова нормальная формаоператора единственна с точностью до перестановки блоков (клеток).

Доказательство. Существование жордановой формы являетсяпрямым следствием теорем о разложении в сумму корневыхподпространств и существования нормального вида длянильпотентных операторов.



Действительно, пусть λ1, . . . , λk — все собственные значения A.Выберем в каждом корневом пространстве Rλi нормальный базис длянильпотентного оператора (A− λi · id)|Rλi . Тогда объединение этихбазисов даст жорданов базис для оператора A в силу наличиякорневого разложения V = Rλ1 ⊕ . . .⊕ Rλk (здесь мы пользуемсяалгебраической замкнутостью поля).Докажем единственность жордановой формы. Надо показать, чтоколичество жордановых клеток фиксированного размера с одним итем же λ не зависит от способа приведения к жордановой форме (т.е.от выбора жорданова базиса). Выберем произвольный жордановбазис. Пусть Wλi — линейная оболочка части этого базиса,отвечающей всем клеткам с λi на диагонали. Тогда ограничениеоператора (A− λi · id) на Wλi — нильпотентный оператор, а значитWλi ⊂ Rλi . Кроме того, V = Wλ1 ⊕ . . .⊕Wλk по определениюжорданова базиса и V = Rλ1 ⊕ . . .⊕ Rλk (корневое разложение).Следовательно, dimWλi = dimRλi и Wλi = Rλi .



Итак, подпространства, отвечающие клеткам с собственнымзначением λi , не зависят от способа приведения к жордановой формеи равны Rλi .Таким образом, мы свели доказательство единственности жордановойформы к случаю, когда оператор A имеет одно собственноезначение λ. Любой жорданов базис для такого оператора будет такженормальным базисом для нильпотентного оператора A− λ · id. Длянильпотентных операторов мы уже доказали единственностьнормального вида (т.е. жордановой формы) в теореме 34. 2На языке матриц данная теорема означает, что любая квадратнаякомплексная матрица A ∈ Matn(C) подобна матрице J, состоящей изжордановых клеток, т.е. J = C−1AC для некоторой невырожденнойматрицы C .



Замечание. В отличие от жордановой формы, жорданов базисоператора далеко не единствен. Например, для тождественногооператора id любой базис будет жордановым.Теорема 36 не имеет места над полем R. Например, оператор,

заданный матрицей(

0 −11 0

)в R2, не приводится к жордановой

форме (докажите).



Ранг матрицы

Пусть дана прямоугольная матрица A = ||aij || размера m × n. Будемрассматривать строки этой матрицы как векторы координатногопространства Kn, а столбцы — как векторы координатногопространства Km. Тогда мы сможем говорить о линейной зависимостии независимости строк данной матрицы или о линейной зависимости инезависимости ее столбцов.

Пусть отмечено k разных строк и k разных столбцов матрицы A(k 6 n, k 6 m). Элементы матрицы A, стоящие на пересеченииотмеченных строк и столбцов, сами образуют некоторую, очевидноквадратную, матрицу B . Определитель матрицы B называетсяминором порядка k данной матрицы A.



Отметим, если это возможно, еще одну строку и еще один столбецматрицы A, не повторяя тех, которые уже были отмечены раньше.Теперь все отмеченные строки и столбцы своим пересечениемопределяют некоторую квадратную матрицу C .

Определитель матрицы C есть минор порядка k + 1 матрицы A. Мыбудем называть его окаймляющим для первоначального взятогоминора (т. е. для определителя матрицы B).

Если k = n или k = m, то для минора порядка k окаймляющихминоров нет.

Если k = 1, то матрица B состоит из одного элемента матрицы A.Миноры первого порядка представляют собой численные значенияэлементов матрицы.



Минор матрицы называется базисным, если он не равен нулю, аокаймляющие его миноры либо все равны нулю, либо отсутствуютвовсе.

Столбцы (строки) матрицы, пересекающие базисный минор,называются базисными столбцами (строками).

Матрица может иметь несколько базисных миноров и соответственнонесколько систем базисных столбцов. Всякая матрица, кроме нулевой,имеет по крайней мере один базисный минор и, тем самым, покрайней мере одну систему базисных столбцов.

ЛЕММА 63 (о базисном миноре)Базисные столбцы (строки) линейно независимы; любой столбец(любая строка) матрицы линейно выражается через базисные.



Доказательство первого утверждения леммы — методом отпротивного. Предположим, что базисные столбцы линейно зависимы.Тогда линейно зависимы столбцы базисного минора. Но в такомслучае базисный минор равен нулю, что противоречит егоопределению.Доказательство второго утверждения. Будем считать дляопределенности, что рассматриваемый базисный минор имеетпорядок r и занимает верхний левый угол матрицы:

a11 . . . a1r . . . a1k . . . a1n. . .ar1 . . . arr . . . ark . . . arn. . .am1 . . . amr . . . amk . . . amn

.

Обозначим этот базисный минор через D.


Линейная алгебраВозьмем произвольные индексы i , k (1 6 i 6 m, 1 6 k 6 n) исоставим определитель порядка r + 1

∆ik =

∣∣∣∣∣∣∣∣a11 . . . a1r a1k. . . . . . . . . . . . . . . . . .ar1 . . . arr arkai1 . . . air aik

∣∣∣∣∣∣∣∣ .Докажем, что ∆ik = 0. Рассмотрим три возможных случая:1) i 6 r . В этом случае ∆ik = 0, так как в нем последняя строка

совпадает с одной из предыдущих строк.2) k 6 r . В этом случае ∆ik = 0, потому что в нем последний

столбец совпадает с одним из предыдущих.3) i > r , k > r . В этом случае определитель ∆ik является

окаймляющим для минора D и равен нулю потому, что D —базисный минор.


Линейная алгебраЗафиксируем k и будем считать, что i пробегает всевозможныезначения от 1 до m.Разложим ∆ik по элементам последней строки. Алгебраическиедополнения элементов последней строки обозначим через A1,A2, . . . , Ar+1. При изменении i эти величины остаются неизменными,так как алгебраическое дополнение какого-либо элемента зависиттолько от его места в определителе, но не зависит от численногозначения самого элемента. В результате разложения получим

∆ik = A1ai1 + · · ·+ Arair + Ar+1aik = 0, (1)

причемAr+1 = D 6= 0. (2)

Соотношения (1) и (2) дают

aik =

(−A1

D

)ai1 + · · ·+

(−Ar

D

)air .



Напомним, что k зафиксировано, i пробегает все значения от 1 до m,поэтому a1k

...amk

=

(−A1

D

)a11...

am1

+ · · ·+(−Ar

D

)a1r...

amr

. (3)

Формула (3) представляет k-й столбец матрицы (который может бытьвзят произвольно) в виде линейной комбинации базисных столбцов.Лемма доказана. 2



Рангом матрицы называется максимальное число ее линейнонезависимых столбцов. Иначе говоря, ранг матрицы есть размерностьлинейной оболочки ее столбцов, рассматриваемых как векторыкоординатного пространства.Ранг матрицы A будем обозначать символом RangA.Если матрица A нулевая, то RangA = 0, так как у нулевой матрицынет линейно независимых столбцов. Отметим, что ранг ненулевойматрицы всегда положителен.



ТЕОРЕМА 37 (о ранге матрицы)Ранг произвольной матрицы равен порядку любого ее базисногоминора.

Доказательство. Если RangA = 0, то A — нулевая матрица, и у неенет отличных от нуля миноров.Пусть далее матрица A — ненулевая. Пусть M — ее базисный минор.По лемме о базисном миноре столбцы матрицы A, пересекающиеминор M, линейно независимы. Поэтому RangA > r . По той же леммелюбой столбец матрицы A линейно выражается через базисныестолбцы. Отсюда, RangA 6 r . Таким образом, RangA = r , что итребовалось доказать. 2



СЛЕДСТВИЕ 6Все базисные миноры ненулевой матрицы имеют одинаковый порядок,равный ее рангу.

СЛЕДСТВИЕ 7Если в матрице A минор M базисный, то все миноры более высокогопорядка равны нулю (а не только миноры, окаймляющие M).


Линейная алгебраТЕОРЕМА 38Максимальное число линейно независимых строк произвольнойматрицы A равно максимальному числу ее линейно независимыхстолбцов (то есть, равно рангу A).

Доказательство. Если матрица A — нулевая, то число линейнонезависимых строк, как и число линейно независимых столбцов, равнонулю. Пусть A — ненулевая матрица. Транспонируем матрицу A. Тогдаее строки перейдут в столбцы транспонированной матрицы AT ,линейно независимые строки перейдут в линейно независимыестолбцы AT , а максимальный порядок отличных от нуля миноровсохранится, поскольку при транспонировании каждый из миноровсохраняет свое числовое значение. Таким образом,

RangA = RangAT

и равен максимальному числу линейно независимых строк матрицы A.2



СЛЕДСТВИЕ 8Если A — произвольная m × n-матрица, то RangA не превышаетменьшего из двух чисел m и n.

Из предыдущего ясно, что ранг матрицы не изменяется приперестановке ее столбцов или строк.Кроме того, ранг матрицы не изменится, если какую-нибудь из еестрок умножить на ненулевой коэффициент, а также если к одной изстрок прибавить другую строку, умноженную на произвольное число.Это последнее из указанных здесь преобразований матрицы обсудимподробнее.


Линейная алгебраПусть ее строки есть x1, . . . , xn до преобразования, y1, . . . , yn —после преобразования. Тогда

y1 = x1

. . .

yp = xp

. . .

yq = αxp + xq

. . .

и

x1 = y1

. . .

xp = yp

. . .

xq = −αyp + yq

. . .

.

Отсюда вытекает, что ранг матрицы не изменится, если к одной из еестрок прибавить линейную комбинацию других ее строк. Также рангсохраняется, если строку умножить на ненулевой коэффициент или кодной из строк прибавить линейную комбинацию других строк. Этисвойства обычно используются для вычисления ранга матрицы:данную матрицу преобразуют так, чтобы ранг не изменился, но чтобыполучилась матрица, у которой сразу виден базисный минор.



Обратно к жордановой форме

Для нахождения жордановой формы и жорданова базиса оператора,заданного матрицей A, можно использовать следующий алгоритм.Сначала находим характеристический многочлен и его корниλ1, . . . , λk (собственные значения) с кратностями. Затем находимкорневые подпространства Rλi . Для этого возводим матрицу A− λiE встепень до тех пор, пока не наступит стабилизация ранга:Rang(A− λiE )mi = Rang(A− λiE )mi+1. Тогда Rλi = ker(A− λiE )mi , ачисло mi будет размером максимальной жордановой клетки,отвечающей λi . Далее в каждом пространстве Rλi находимнормальный базис для нильпотентного оператора (A− λi · id)|Rλi (какописано ранее); объединение этих базисов и будет жордановымбазисом для A.


Линейная алгебраЗная жорданову форму, легко найти минимальный многочленоператора.ЛЕММА 64Минимальный аннулирующий многочлен оператора A над полем Cесть P(t) =

∏ki=1(t − λi )mi , где λ1, . . . , λk — все собственные

значения A, а mi — размер максимальной жордановой клетки,отвечающей λi .

Доказательство. Мы имеем Rλi = ker(A− λi id)mi , поэтомумногочлен (t − λi )mi является минимальным аннулирующим дляоператора A|Rλi . В силу теоремы о корневом разложении, любойвектор v ∈ V представляется в виде v =

∑i v i , где v i ∈ Rλi . Так как

P(A) содержит множитель (A− λi id)mi , мы имеем P(A)v i = 0, т.е.P(A)v = 0 и многочлен P(t) аннулирует оператор A. С другойстороны, любой многочлен Q(t), аннулирующий оператор A, делитсяна минимальный аннулирующий многочлен для оператора A|Rλi , т.е.на (t − λi )mi , для каждого λi . Следовательно, Q(t) делится на P(t), иP(t) — минимальный многочлен. 2



Одним из важных применений жордановой формы являетсяэффективное вычисление многочленов и функций от операторов(матриц).Прежде всего получим формулу для многочлена от жордановойклетки.

ЛЕММА 65 (о значении многочлена на жордановой клетке)Пусть f (t) — многочлен. Тогда его значение на жордановойклетке (38) размера n вычисляется по формуле

f (Jλ) =

f (λ) f ′(λ)

1! . . . f (n−1)(λ)(n−1)!

. . . . . ....

f (λ) f ′(λ)1!

0 f (λ)

. (39)


Линейная алгебраДоказательство. Вначале по индукции проверим эту формулу длямногочлена f (t) = tm, т.е. для m-й степени жордановой клетки. ПустьJmλ = (amij ), т.е. (ij)-й элемент матрицы Jmλ есть amij . По предположениюиндукции для f (t) = tm−1 имеем

am−1ij =f (j−i)(λ)

(j − i)!= C j−i

m−1λm−1−j+i ,

где C ik = k!

i!(k−i)! — биномиальный коэффициент; мы считаем C ik = 0

при i < 0 или i > k . Тогда из соотношения Jmλ = Jm−1λ Jλ по правилуумножения матриц вычисляем

amik =n∑

j=1

am−1ij a1jk =n∑

j=1

C j−im−1λ

m−1−j+iC k−j1 λ1−k+j =

= C k−1−im−1 λm+i−k + C k−i

m−1λm+i−k = C k−i

m λm−k+i ,

что и требовалось доказать. Осталось заметить, что формула (39)линейна по f , а значит она верна для любого многочлена f (t). 2



На основе формулы (39) мы можем также вычислять многочлены отматриц в жордановой форме J, так как многочлен применяется ктакой матрице поблочно.Теперь если A — произвольная матрица, то мы можем привести её кжордановой форме, т.е. найти жорданову матрицу J, для которойA = CJC−1. При возведении матрицы A в степень мы получаем

Am = (CJC−1)m = CJC−1CJC−1 . . .CJC−1 = CJmC−1.

Тогда аналогичная формула верна и для произвольногомногочлена f (t):

f (A) = Cf (J)C−1. (40)

При помощи этой формулы мы можем вычислить любой многочлен отматрицы A, зная её жорданову форму и жорданов базис.



Пусть A — оператор в комплексном пространстве с собственнымизначениями λ1, . . . , λk кратностей rλ1 , . . . , rλk соответственно. Говорят,что два многочлена f (t) и g(t) совпадают на спектре оператора A,если

f (j)(λi ) = g (j)(λi ) при i = 1, . . . , k , j = 0, . . . , rλi − 1. (41)

ЛЕММА 66Если два многочлена f (t) и g(t) совпадают на спектре оператора A,то f (A) = g(A).

Доказательство. При вычислении многочлена f (A) поформулам (39) и (40) используются производные многочлена f (t) вточках λi порядка не выше rλi − 1. 2



Это утверждение позволяет находить многочлен f (t) большой степениот матрицы A (например, возводить матрицу в большую степень),вовсе не вычисляя её жордановой формы, следующим образом.Если матрица A размера n, то можно найти многочлен g(t) степени невыше n − 1, удовлетворяющий соотношениям (41), при помощиформул интерполяции или методом неопределённых коэффициентов.Тогда мы имеем f (A) = g(A). Если же нам известна жорданова формаматрицы A, то можно ещё снизить степень многочлена g , заменив всоотношениях (41) числа rλi на числа mλi — размеры максимальныхжордановых клеток с λi на диагонали (жорданов базис для этогознать не обязательно).



На самом деле формулы (39) и (40) можно использовать также длявычисления более общих функций f от операторов или матриц (а нетолько многочленов). Если функция f гладкая и хорошо приближаетсямногочленами (такие функции называются аналитическими) вокрестности собственных значений матрицы A, то можно определитьf (A) как предел последовательности многочленов, получаемыхобрезанием ряда Тейлора для f . При этом, однако, необходимообосновывать сходимость получаемых последовательностей (илирядов) из матриц. Мы этого делать не будем, а скажем лишь, чтотаким образом можно определить eA, sinA, cosA, а также

√A и lnA

для матриц с положительными собственными значениями. Можнотакже использовать формулы (39) и (40) в качестве определения f (A)для функций f , которые определены на спектре A.


Линейная алгебраМы рассмотрим экспоненту более подробно.Экспонентой оператора A называется оператор

eA =∞∑k=0

1

k!Ak = id+A+

A2

2+A3

6+ . . . .

ЛЕММА 67Имеет место соотношение det eA = etrA.

Доказательство. Приведём матрицу оператора к жордановой форме:A = CJC−1. Используя формулы (39) и (40) для f (t) = et , вычисляем

det eA = det(CeJC−1) = det eJ =k∏

i=1

erλi λi = e∑k

i=1 rλi λi = etr J = etrA.

2



Основное свойство числовой экспоненты eaeb = ea+b, вообще говоря,нарушается для экспоненты операторов. Однако есть важный случай,когда оно выполнено.

ЛЕММА 68Если операторы A,B : V → V коммутируют, т.е. AB = BA, тоeAeB = eA+B.

Доказательство. Мы имеем:

eAeB =

( ∞∑i=0

1i!A

i

)( ∞∑j=0

1j!B

j

)=∑i ,j>0

1i!j!A

iBj =∑k>0

k∑i=0

1i!(k−i)!A

iBk−i =

=∑k>0

1k!

k∑i=0

k!i!(k−i)!A

iBk−i =∑k>0

1k!(A+ B)k = eA+B. Коммутативность

A и B используется в том месте, где (A+ B)k раскладывается поформуле бинома Ньютона. 2


Линейная алгебраЛинейное пространство над полем R называется евклидовым, если напарах его векторов определена функция f : V × V → R (обозначаемая(a, b) := f (a, b) и называемая скалярным произведением),удовлетворяющая следующим свойствам:1) билинейность, т.е.

(λ1u1 + λ2u2, v) = λ1(u1, v) + λ2(u2, v) и(u, µ1v1 + µ2v2) = µ1(u, v1) + µ2(u, v2)

для любых λ1, λ2, µ1, µ2 ∈ R и u,u1,u2, v , v1, v2 ∈ V ;2) симметричность: (v ,u) = (u, v) для любых u, v ∈ V ;3) положительная определённость: (v , v) > 0 для любого v ∈ V ,

причём (v , v) = 0 только при v = 0.Свойство билинейности выражает линейность скалярногопроизведения по каждому из аргументов. Ввиду наличия свойствасимметричности, билинейность очевидно вытекает из линейности полюбому из двух аргументов.


Линейная алгебраЛинейное пространство над полем C называется эрмитовым, (илиунитарным) если на парах его векторов определена функцияf : V × V → C (обозначаемая (a, b) := f (a, b) и называемаяскалярным произведением), удовлетворяющая следующим свойствам:1) полуторалинейность, т.е.

(λ1u1 + λ2u2, v) = λ1(u1, v) + λ2(u2, v) и(u, µ1v1 + µ2v2) = µ1(u, v1) + µ2(u, v2)

для любых λ1, λ2, µ1, µ2 ∈ C и u,u1,u2, v , v1, v2 ∈ V ;2) эрмитовость: (v ,u) = (u, v) для любых u, v ∈ V ; в частности,

(v , v) вещественно для любого v ∈ V .3) положительная определённость: (v , v) > 0 для любого v ∈ V ,

причём (v , v) = 0 только при v = 0.Свойство полуторалинейности выражает линейность скалярногопроизведения по второму аргументу и антилинейность по первому.Ввиду наличия свойства эрмитовости, полуторалинейность очевидновытекает из линейности по второму аргументу.


Линейная алгебраПРИМЕР. 1. Скалярное произведение векторов u = (u1, . . . , un) иv = (v1, . . . , vn) в пространстве Rn определяется по формуле

(u, v) := u1v1 + u2v2 + . . .+ unvn. (42)

Скалярное произведение векторов в Cn определяется по формуле

(u, v) := u1v1 + u2v2 + . . .+ unvn. (43)

2. Скалярное произведение в пространстве MatC(n, n) квадратныхкомплексных матриц размера n задаётся с помощью формулы

(A,B) := Tr(ATB) =

n∑i ,j=1

aijbij .

При отождествлении пространства MatC(n, n) с Cn2 это скалярноепроизведение переходит в стандартное скалярное произведение изпредыдущего примера.



3. Рассмотрим пространство C [a, b] вещественнозначных функций,непрерывных на отрезке [a, b]. Зададим скалярное произведениефункций f и g по формуле

(f , g) :=

∫ b

af (x)g(x)dx .

Тогда свойства 1) и 2) скалярного произведения очевидны, а 3)вытекает из того, что интеграл

∫ ba f 2(x)dx от неотрицательной

непрерывной функции f 2(x) неотрицателен и обращается в нультолько при f (x) ≡ 0.

Аналогично, скалярное произведение в пространствекомплекснозначных функций можно определить по формуле

(f , g) :=b∫af (x)g(x)dx .



Пусть V — евклидово или эрмитово пространство. Для v ∈ Vвеличина

√(v , v) называется длиной вектора v и обозначается |v |.

Векторы u, v ∈ V , скалярное произведение которых равно нулю,называются перпендикулярными или ортогональными. В этом случаепишут u ⊥ v .

ЛЕММА 69 (об ортогональном разложении)Пусть u — ненулевой вектор евклидова или эрмитова пространства V .Тогда для любого вектора v ∈ V существует единственное разложениеv = v1 + v2, где вектор v1 коллинеарен вектору u, а вектор v2ортогонален u.



Доказательство. Сначала докажем единственность. Пустьv = v1 + v2 — такое разложение. Тогда для λ ∈ R имеем v1 = λu,v2 = v − λu. Условие u ⊥ v2 влечёт

0 = (u, v2) = (u, v − λu) = (u, v)− λ(u,u).

Отсюда λ = (u, v)/(u,u) и

v1 =(u, v)

(u,u)u. (44)

Тем самым векторы v1 и v2 = v − v1 определены однозначно. Сдругой стороны, определив v1 по этой формуле, мы получимv2 = (v − v1) ⊥ u. 2


Линейная алгебраВектор (44) называется ортогональной проекцией вектора v нанаправление вектора u и обозначается прu v , а вектор (v − прu v)называется ортогональной составляющей вектора v относительно u иобозначается ortu v .Длина ортогональной проекции вычисляется по формуле

| прu v | =√

(прu v , прu v) =

√((u,v)(u,u)u,

(u,v)(u,u)u

)=

√(u,v)(u,v)

(u,u) = |(u,v)||u| .

ТЕОРЕМА 39 (о неравенстве Коши–Буняковского)Для любых двух векторов u, v евклидова или эрмитова пространстваимеет место неравенство

|(u, v)| 6 |u| · |v|,

причем равенство имеет место только в случае, когда векторы u, vколлинеарны.



Доказательство. Если u = 0, утверждение очевидно. Пусть u 6= 0.Запишем v = v1 + v2, где v1 = прu v и v2 = ortu v . Тогда(v1, v2) = 0, и мы имеем

|v |2 = (v , v) = (v1+v2, v1+v2) = (v1, v1)+(v1, v2)+(v2, v1)+(v2, v2) = |v1|2+|v2|2.

Отсюда |v1| 6 |v |, причём равенство достигается только при v2 = 0,т.е. когда вектор v коллинеарен вектору u. Осталось заметить, что|v1| = | прu v | = |(u,v)|

|u| , так что неравенство |v1| 6 |v | эквивалентнотребуемому. 2



Углом между двумя ненулевыми векторами u, v евклидовапространства называется величина

∠(u, v) := arccos(u, v)

|u| |v |∈ [0, π].

Неравенство Коши–Буняковского гарантирует, что угол междуненулевыми векторами всегда определен.

СЛЕДСТВИЕ 9 (неравенство треугольника)Для любых двух векторов u, v евклидова или эрмитова пространствавыполнено неравенство

|u + v| 6 |u|+ |v|.



Доказательство. В обеих частях неравенства стоят неотрицательныевеличины, поэтому при возведении в квадрат получается равносильноенеравенство

(u + v ,u + v) 6 (u,u) + (v , v) + 2|u| |v |.

После раскрытия скобок в левой части и сокращения подобных членовмы получаем следующее неравенство:

(u, v) + (v ,u) 6 2|u| |v |,

которое следует из неравенства Коши–Буняковского. 2


Линейная алгебраЛЕММА 70 (о линейной независимости ортогональной системы)Пусть v1, . . . , vk — набор попарно ортогональных ненулевых векторовевклидова или эрмитова пространства. Тогда эти векторы линейнонезависимы.

Доказательство. Пусть некоторая линейная комбинация данныхвекторов равна нулю:

∑ki=1 λiv i = 0. Умножим обе части этого

равенства скалярно на v j и воспользуемся линейностью скалярногопроизведения по второму аргументу:

0 =

(v j ,

k∑i=1

λiv i

)=

k∑i=1

λi (v j , v i ) = λj(v j , v j),

так как по условию остальные слагаемые в этой сумме равны нулю.Поскольку по условию v j 6= 0, из положительной определенностискалярного произведения следует, что (v j , v j) 6= 0, а значит, λj = 0.Это выполнено для любого j = 1, . . . , k , следовательно, линейнаякомбинация

∑ki=1 λiv i тривиальна. 2


Линейная алгебраБазис e1, . . . , en евклидова или эрмитова пространства называетсяортогональным, если его векторы попарно ортогональны. Если приэтом длина каждого вектора равна 1, то базис называетсяортонормированным.

ТЕОРЕМА 40 (Грама-Шмидта)Пусть a1, . . . , ak — набор линейно независимых векторовпространства V . Тогда существует такой набор попарно ортогональныхвекторов b1, . . . ,bk , что для каждого i = 1, . . . , k линейная оболочка〈b1, . . . ,bi 〉 совпадает с 〈a1, . . . , ai 〉.

Доказательство. При k = 1 утверждение очевидно: можно взятьb1 = a1. Предположим, что утверждение верно для наборов из iвекторов, и докажем его для наборов из i + 1 вектора. Пустьb1, . . . ,bi — ортогональный набор, построенный по набору a1, . . . , ai .Мы хотим, чтобы для нового вектора bi+1 линейная оболочка〈b1, . . . ,bi ,bi+1〉 совпадала с 〈a1, . . . , ai , ai+1〉 = 〈b1, . . . ,bi , ai+1〉, ипоэтому будем искать bi+1 в виде bi+1 = ai+1 + λ1b1 + . . .+ λibi .


Линейная алгебраКоэффициенты λ1, . . . , λi будем подбирать так, чтобы вектор bi+1 былортогонален всем предыдущим векторам b1, . . . ,bi . Умножив скалярнопредыдущее равенство слева на bj и использовав то, что (bj ,b`) = 0при j 6= `, получаем

0 = (bj ,bi+1) = (bj , ai+1) + λj(bj ,bj),

откуда λj = − (bj ,ai+1)(bj ,bj )

для j = 1, . . . , i . Окончательно для вектора bi+1

получаем

bi+1 = ai+1 −(b1, ai+1)

(b1,b1)b1 −

(b2, ai+1)

(b2,b2)b2 − . . .−

(bi , ai+1)

(bi ,bi )bi =

= ai+1 − прb1ai+1 − прb2

ai+1 − . . .− прbiai+1.

(45)

При этом bi+1 6= 0 (так как b1 . . . ,bi , ai+1 линейно независимы), bi+1

ортогонален векторам b1, . . . ,bi , а〈b1, . . . ,bi ,bi+1〉 = 〈b1, . . . ,bi , ai+1〉 = 〈a1, . . . , ai , ai+1〉. 2



Индуктивная процедура перехода от набора a1 . . . , ak кортогональному набору b1, . . . ,bk называется процессомортогонализации Грама–Шмидта. Условие 〈b1, . . . ,bi 〉 = 〈a1, . . . , ai 〉при i = 1, . . . , k означает, что матрица перехода от a1 . . . , ak кb1, . . . ,bk является верхнетреугольной.

СЛЕДСТВИЕ 10В евклидовом или эрмитовом пространстве V существуютортонормированные базисы.

Доказательство. Действительно, возьмём произвольный базиспространства V и применим к нему ортогонализацию Грама–Шмидта.В результате получим ортогональный базис b1, . . . ,bn. Тогда базис,состоящий из векторов b1

|b1| , . . . ,bn|bn| будет ортонормированным. 2



ЛЕММА 71

Пусть векторы u и v имеют координаты u1, . . . , un и v1, . . . , vn внекотором ортонормированном базисе евклидова или эрмитовапространства V . Тогда их скалярное произведение вычисляется поформуле

(u, v) = u1v1 + u2v2 + . . .+ unvn.

Доказательство. Пусть e1, . . . , en — ортонормированный базис. Тогда(u, v) = (uie i , v

je j) = uiv j(e i , e j) = uiv jδij = u1v1 + u2v2 + . . .+ unvn.2

Матрица перехода от одного ортонормированного базиса евклидова(соответственно, эрмитова) пространства к другомуортонормированному базису называется ортогональной(соответственно, унитарной).



ЛЕММА 72Следующие условия эквивалентны:а) матрица C ортогональна (соответственно, унитарна);

б) CTC = E (соответственно, CTC = E );

в) столбцы матрицы C образуют ортонормированный базиспространства xRn (соответственно, пространства Cn);

г) CCT = E (соответственно, CCT = E );д) строки матрицы C образуют ортонормированный базис

пространства Rn (соответственно, пространства Cn).

Доказательство. Условия б) и г) эквивалентны, так как каждое изних эквивалентно равенству CT = C−1 (соответственно, CT

= C−1).Эквивалентности б)⇔ в) и г)⇔ д) вытекают из правила умноженияматриц и формул (42) и (43) для скалярного произведения в Rn и Cn.


Линейная алгебраДокажем импликацию а)⇒ б). Пусть e1, . . . , en и e ′1, . . . , e

′n — два

ортонормированных базиса в эрмитовом пространстве и C = (c ik) —матрица перехода, т.е. e ′k = c ike i . Тогда (e i , e j) = δij и (e ′k , e

′`) = δk`,

откуда

δk` = (e ′k , e′`) = (c ike i , c

jè j) = c ikc

j`(e i , e j) = c ikc

j`δij = c ikδijc

j` . (46)

Согласно правилу умножения матриц, это эквивалентно матричномусоотношению E = C

TEC или C

TC = E . Случай евклидова

пространства рассматривается аналогично.Осталось доказать импликацию б)⇒ а). Пусть имеет место тождествоC

TC = E или, в обозначениях Эйнштейна, c ikδijc

j` = δk`. Возьмём

произвольный ортонормированный базис e1, . . . , en. Из соотношенияC

TC = E вытекает, что матрица C невырождена, и поэтому можно

рассмотреть новый базис e ′1, . . . , e′n, где e ′k = c ike i . Тогда аналогично

выкладке (46) мы получаем (e ′k , e′`) = c ikδijc

j` = δk`, т.е. базис

e ′1, . . . , e′n также ортонормирован, и C — матрица перехода от одного

ортонормированного базиса к другому. 2Sergey Zyubin Алгебра, 2-й семестр 4 мая 2020 г. 252 / 375

Линейная алгебраТЕОРЕМА 41 (о QR-разложении)Для любой невырожденной вещественной (соответственно,комплексной) матрицы A имеет место разложение

A = QR,

где Q — ортогональная (соответственно, унитарная) матрица, а R —верхнетреугольная матрица с положительными числами на диагонали.

Доказательство. Пусть a1, . . . , an — базис пространства Rn (или Cn),состоящий из столбцов матрицы A. Применив к немуортогонализацию Грама–Шмидта, получим ортогональный базисb1, . . . ,bn. Пусть C — матрица перехода, т.е.

(b1 . . . bn) = (a1 . . . an)C

или B = AC , где B — матрица, столбцы которой суть b1, . . . ,bn. Приэтом матрица C — верхнетреугольная с единицами на диагонали (этоследует из соотношений (45)).



При переходе от ортогонального базиса b1, . . . ,bn кортонормированному базису b′1, . . . ,b

′n, где b′i = bi

|bi | , мы получаемB = B ′D, где B ′ = (b′1, . . . ,b

′n) — ортогональная матрица, а D —

диагональная матрица с числами |bi | на диагонали. Из соотношенийB = AC и B = B ′D мы получаем A = B ′DC−1. Тогда положив Q = B ′

и R = DC−1, мы получим требуемое разложение A = QR , так как R —верхнетреугольная матрица, на диагонали которой стоятположительные числа |bi |. 2

Упражнение. QR-разложение имеет место также и для вырожденныхматриц A (при этом на диагонали R могут стоять нули), а также дляпрямоугольных матриц A произвольного размера.



Пусть W 6 V — подпространство евклидова или эрмитовапространства. Ортогональным дополнением к W называетсямножество W⊥, состоящее из векторов, ортогональных всем векторамиз W , т.е.

W⊥ = {v ∈ V : (v ,w) = 0 для всех w ∈W }.

Легко видеть, что ортогональное дополнение W⊥ являетсяподпространством.

ЛЕММА 73 (об ортогональном дополнении)Для любого подпространства W 6 V имеет место разложениеV = W ⊕W⊥.



Доказательство. Пусть a1, . . . , ak — базис в W , дополним его добазиса всего пространства V векторами ak+1, . . . , an. Применивортогонализацию Грама–Шмидта, получим ортогональный базисb1, . . . ,bk ,bk+1, . . . ,bn в V , причём его первые k векторов будутбазисом в W , так как 〈b1, . . . ,bk〉 = 〈a1, . . . , ak〉 = W . В то же времяbk+1, . . . ,bn лежат в W⊥ по определению ортогонального дополнения.Итак, для любого вектора v ∈ V мы имеем разложение по базису

v = λ1b1 + . . .+ λkbk︸︷︷︸∈W

+λk+1bk+1 + . . .+ λnbn︸︷︷︸∈W⊥

,

т.е. V = W + W⊥.Осталось доказать, что эта сумма прямая. Пусть v ∈W ∩W⊥. Таккак v ∈W⊥, мы имеем (v ,w) = 0 для всех w ∈W . Так как v ∈W , вкачестве w мы можем взять сам вектор v . Тогда (v , v) = 0, т.е. v = 0и сумма — прямая. 2



Пусть W 6 V — подпространство евклидова или эрмитовапространства. Для произвольного вектора v ∈ V запишем разложениеv = v1 + v2, где v1 ∈W , а v2 ∈W⊥. Тогда вектор v1 называетсяортогональной проекцией вектора v на подпространство W иобозначается прW v , а вектор v2 = v − прW v называетсяортогональной составляющей вектора v относительноподпространства W и обозначается ortW v .Ясно, что ortW v = прW⊥ v .



ЛЕММА 74 (о векторе ортогональной проекции)

Вектор ортогональной проекции прW v есть вектор для которогодостигается минимум длин векторов (v− x) среди всех x ∈W .

Доказательство. Пусть v ∈ V , x ∈W . Необходимо доказать, что|v − x | > |v − прW v | или равносильно(v − x , v − x) > (v − прW v , v − прW v). Имеем (v − x , v − x) =((v − прW v) + (прW v − x), (v − прW v) + (прW v − x)) =(v−прW v , v−прW v)+2(v − прW v︸︷︷︸

∈W⊥

, прW v − x︸︷︷︸∈W

)+(прW v−x , прW v−x)

= (v − прW v , v − прW v) + (прW v − x , прW v − x) >(v − прW v , v − прW v). 2


Линейная алгебраЛЕММА 75 (о нахождении вектора проекции)

Пусть подпространство W 6 V задано как линейная оболочка системывекторов: W = 〈a1, . . . , ak〉. Тогда проекция вектора v ∈ V на W естьлинейная комбинация прW v = λ1a1 + . . .+ λkak , коэффициентыкоторой находятся из системы линейных уравнений

(a1, a1)λ1 + (a1, a2)λ2 + . . .+ (a1, ak)λk = (a1, v),

(a2, a1)λ1 + (a2, a2)λ2 + . . .+ (a2, ak)λk = (a2, v),

· · · · · ·(ak , a1)λ1 + (ak , a2)λ2 + . . .+ (ak , ak)λk = (ak , v).

Доказательство. Запишем v = прW v + ortW v . Тогда векторortW v = v − λ1a1 − . . .− λkak ортогонален каждому из векторовa1, . . . , ak . Взяв скалярное произведение ai с ortW v , мы получаем

(ai , v − λ1a1 − . . .− λkak) = 0,

что эквивалентно i-му уравнению системы. 2Sergey Zyubin Алгебра, 2-й семестр 4 мая 2020 г. 259 / 375


Пусть V — евклидово пространство. Углом между вектором v ∈ V иподпространством W 6 V точная нижняя грань углов между v ипроизвольным вектором w ∈W :

∠(v ,W ) := infw∈W

∠(v ,w).

Точная нижняя грань infw∈W ∠(v ,w) существует, так как множествоуглов ∠(v ,w) ограничено снизу нулём. На самом деле точная нижняягрань достигается на векторе w = прW v , как показано в следующемутверждении.


Линейная алгебраЛЕММА 76Угол между вектором и подпространством равен углу между вектороми его проекцией на это подпространство:

∠(v,W ) = ∠(v, прW v).

Доказательство. Пусть w ∈W — произвольный вектор. Обозначимα = ∠(v , прW v), β = ∠(v ,w) и v1 = прW v . Необходимо показать,что α 6 β. Так как 0 6 α, β 6 π, неравенство α 6 β эквивалентнонеравенству cosα > cosβ, т.е.

(v , v1)

|v | |v1|>

(v ,w)

|v | |w |. (47)

Запишем v = v1 + v2, где v2 = ortW v ∈W⊥. Тогда(v , v1) = (v1 + v2, v1) = |v1|2 и (v ,w) = (v1 + v2,w) = (v1,w).Подставив это в (47), получим |v1| > (v1,w)

|w | , что вытекает изнеравенства Коши–Буняковского. 2



Матрицей Грама системы векторов a1, . . . , ak называется матрица

G = G (a1, . . . , ak) =

(a1, a1) (a1, a2) . . . (a1, ak)(a2, a1) (a2, a2) . . . (a2, ak)

......

. . ....

(ak , a1) (ak , a2) . . . (ak , ak)

.

Матрица G симметрична (GT = G ) в евклидовом пространстве иэрмитова (GT

= G ) в эрмитовом.Матрица Грама уже появлялась как матрица системы для нахождениякоэффициентов проекции вектора на подпространство 〈a1, . . . , ak〉 (см.лемму 75).



ЛЕММА 77

Пусть G — матрица Грама системы векторов a1, . . . , ak , а A = (aij) —матрица, в столбцы которой записаны координаты векторов a1, . . . , akв некотором ортонормированном базисе. Тогда имеет местосоотношение

G = ATA (G = ATA в евклидовом пространстве).

Доказательство. Это следует из закона умножения матриц иформулы для скалярного произведения в ортонормированном базисе(лемма 71). 2


Линейная алгебраЛЕММА 78 (о связи матрицы Грама и линейной зависимости)Векторы a1, . . . , ak линейно зависимы тогда и только тогда, когдаdetG (a1, . . . , ak) = 0.

Доказательство.Предположим, что векторы a1, . . . , ak линейно зависимы. Тогдастолбцы матрицы Грама линейно зависимы с теми жекоэффициентами и, следовательно, ее определитель равен нулю.

Обратно, пусть определитель матрицы Грама равен нулю. Тогда еестолбцы линейно зависимы, т.е. найдутся λi не все равные нулю, такиечто λ1(aj , a1) + . . .+ λk(aj , ak) = 0 для 1 6 j 6 k . Отсюда(aj ,

∑ki=1 λiai ) = 0. Домножая каждое из равенств на λj и складывая

их, получаем∑k

j=1 λj

(aj ,∑k

i=1 λiai

)=(∑k

j=1 λjaj ,∑k

i=1 λiai

)= 0 .

Отсюда, в силу положительной определённости скалярногопроизведения,

∑ki=1 λiai = 0 — нетривиальная линейная комбинация

равная нулю, т.е. векторы линейно зависимы. 2Sergey Zyubin Алгебра, 2-й семестр 4 мая 2020 г. 264 / 375

Линейная алгебраЧасто на практике при исследовании какого-нибудь природного илисоциального явления делается допущение, что это явлениеописывается линейной формулой. Точнее, мы предполагаем, чтонекоторая величина b линейно зависит от других величин a1, . . . , an, ихотим найти эту зависимость

b = a1x1 + . . .+ anx

n,

т.е. найти неизвестные коэффициенты x1, . . . , xn (это называетсямоделью линейной регрессии). Для нахождения зависимости b отa1, . . . , an делается большое число m измерений (как правило m� n),и по таблице измеренных значений записывается система линейныхуравнений

a11x1 + . . .+ a1nx

n = b1

· · · · · · · · ·am1 x

1 + . . .+ amn xn = bm

(48)

в которой число неизвестных меньше числа уравнений.Sergey Zyubin Алгебра, 2-й семестр 4 мая 2020 г. 265 / 375


Такая система, как правило, несовместна. Поэтому находится«наилучшее приближённое» решение x1, . . . , xn, для которогоотклонение значений bi от aijx

j = ai1x1 + . . .+ ainx

n будет наименьшим.Метод наименьших квадратов решает задачу нахождения наилучшегоприближённого решения в предположении, что в качестве мерыотклонения берётся сумма квадратов разностей величинai1x

1 + . . .+ ainxn и bi .

Псевдорешением системы (48) называется набор x1, . . . , xn, которыйминимизирует сумму квадратов разностей левых и правых частейуравнений системы, т.е. минимизирует величину

(a1j xj − b1)2 + (a2j x

j − b2)2 + . . .+ (amj xj − bm)2 (49)

по всем (x1, . . . , xn) ∈ Rn. Эта величина называется квадратичнымотклонением.



Пусть A = (aij) — матрица системы (48), a1, . . . , an ∈ Rm —векторы-столбцы этой матрицы, а b ∈ Rm — вектор правых частей.

ТЕОРЕМА 42Псевдорешение системы (48) находится как решение системы

(a1, a1)x1 + . . .+ (a1, an)xn = (a1,b),

· · · · · · · · · · · ·(an, a1)x1 + . . .+ (an, an)xn = (an,b).

Другими словами, псевдорешение — это набор коэффициентов вразложении проекции пр〈a1,...,an〉 b по векторам a1, . . . , an, аквадратичное отклонение псевдорешения — это квадрат длинывектора ort〈a1,...,an〉 b.



Доказательство. Согласно лемме 74 вектор ортогональной проекциивектора b на подпространство 〈a1, . . . , an〉 минимизирует длинувектора x1a1 + . . .+ xnan − b, т. е. соотношение (49). Из леммы 75следует, что вектор ортогональной проекции находится по формулам,записанным в данной теореме. 2

Аналогично, методом наименьших квадратов можно находить болеесложные зависимости величины b от a1, . . . , an. Например, в случаенеоднородной линейной зависимости b = x0 + a1x

1 + . . .+ anxn можно

находить коэффициенты x0, x1, . . . , xn. В случае, когдапредполагаемая зависимость b от одной величины a выражаетсямногочленом n-й степени b = x0 + ax1 + a2x2 + . . .+ anxn снеизвестными коэффициентами x0, x1, . . . , xn, метод наименьшихквадратов позволяет находить наилучшее приближение для этихкоэффициентов.



Два евклидовых или эрмитовых пространства V и W называютсяизоморфными, если существует изоморфизм линейных пространствA : V →W , сохраняющий скалярное произведение, т.е.

(Au,Av) = (u, v) для любых u, v ∈ V .

ЛЕММА 79Два евклидовых или эрмитовых пространства V и W изоморфнытогда и только тогда, когда их размерности совпадают.


Линейная алгебраДоказательство. Если V и W изоморфны как евклидовы (эрмитовы)пространства, то они изоморфны как линейные пространства, апотому dimV = dimW .Доказательство обратного утверждения аналогично доказательствусоответствующего утверждения для линейных пространств(теорема 24): изоморфизм между евклидовыми (эрмитовыми)пространствами n устанавливается при помощи взаимно однозначногосоответствия между базисами e1, . . . , en в V и f 1, . . . , f n в W . Длятого, чтобы получаемый изоморфизм линейных пространствA : V →W сохранял скалярное произведение, базисы необходимовыбрать ортонормированными. В этом случае мы имеем f i = Ae i и(e i , e j) = (f i , f j) = δij . Поэтому для любых векторов u = uie i иv = v je j из V мы имеем

(Au,Av) = uiv j(Ae i ,Ae j) = uiv j(f i , f j) = uiv jδij =n∑

i=1

uiv i = (u, v),

т.е. изоморфизм A сохраняет скалярное произведение. 2Sergey Zyubin Алгебра, 2-й семестр 4 мая 2020 г. 270 / 375


Так как пространства V и V ∗ имеют одну размерность (вконечномерном случае), они изоморфны. Однако построениеизоморфизма между ними требует выбора базисов и в этом смысленеканонично. Оказывается, что в присутствии скалярногопроизведения можно установить изоморфизм V → V ∗ каноническимобразом, т.е. не прибегая к выбору базисов.Пусть V — евклидово пространство. Каждому вектору u ∈ Vсопоставим линейную функцию ξu = (u, · ), заданную по формулеξu(v) = (u, v).



ТЕОРЕМА 43

Пусть V — евклидово пространство. Отображение u 7→ ξu = (u, · )устанавливает канонический изоморфизм A : V → V ∗.

Доказательство. Линейность отображения u 7→ ξu вытекает излинейности скалярного произведения по первому аргументу. Так какdimV = dimV ∗, чтобы проверить, что A : V → V ∗ — изоморфизм,достаточно проверить, что kerA = {0}. Пусть v ∈ kerA, т.е.Av = ξv = o. Следовательно, ξv (w) = (v ,w) = 0 для любого w ∈ V .Но тогда и (v , v) = 0, значит v = 0 и ядро отображения A нулевое. 2

Аналогичным образом для эрмитова пространства V устанавливаетсяканонический изоморфизм V → V ∗, u 7→ (u, · ), где V — комплексносопряжённое пространство (с умножением на скаляры, определённымпо формуле λ · v := λv). Это позволяет отождествить два понятия«сопряжённого» пространства для эрмитова пространства V .


Линейная алгебраПусть A : V → V — линейный оператор в евклидовом пространстве V .Ранее мы определили сопряжённое линейное отображениеA∗ : V ∗ → V ∗ по формуле

(A∗ξ)(v) := ξ(Av) для ξ ∈ V ∗, v ∈ V .

При каноническом отождествлении V ↔ V ∗, u ↔ ξu = (u, · ) операторA∗ : V ∗ → V ∗ переходит в оператор A∗ : V → V , (который мы дляпростоты будем обозначать тем же символом A∗), удовлетворяющийсоотношению ξA∗u = A∗ξu для любого вектора u ∈ V . Этоописывается следующей диаграммой:

VA∗ //

∼=��

V

∼=��

V ∗A∗ // V ∗

u � //_

��

A∗u_

��ξu

� // A∗ξu ξA∗u


Линейная алгебраЧтобы установить связь между A : V → V и A∗ : V → Vнепосредственно, вычислим значение линейных функций ξA∗u и A∗ξuна векторе v ∈ V :

ξA∗u(v) = (A∗u, v), (A∗ξu)(v) = ξu(Av) = (u,Av).

Так как ξA∗u = A∗ξu , мы получаем (A∗u, v) = (u,Av) для любыхu, v ∈ V .Пусть A : V → V — оператор в евклидовом или эрмитовомпространстве V . Линейный оператор A∗ : V → V , удовлетворяющийсоотношению

(A∗u, v) = (u,Av)

для любых u, v ∈ V , называется сопряжённым к A.Соотношение (A∗u, v) = (u,Av) определяет оператор A∗ однозначно.Действительно, если (A′u, v) = (u,Av) для другого оператораA′ : V → V , то мы получаем ((A∗ −A′)u, v) = 0 для любых u, v ∈ V .В частности, ((A∗ −A′)u, (A∗ −A′)u) = 0, т.е. (A∗ −A′)u = 0 длялюбого u ∈ V . Следовательно, A∗ = A′.



ЛЕММА 80

Пусть A — матрица оператора A : V → V в ортонормированном базисеевклидова (эрмитова) пространства V . Тогда матрица сопряжённогооператора A∗ : V → V в том же базисе есть AT (соответственно, AT ).

Доказательство. Это следует из леммы 39 (о матрице сопряжённогоотображения), но мы также дадим прямое доказательство. Пустьe1, . . . , en — ортонормированный базис, A = (aij) — матрица оператораA : V → V в этом базисе, а A = (aij) — матрица оператораA∗ : V → V . Тогда мы имеем

(Ae j , ek) = (aije i , ek) = aij(e i , ek) = aijδik = akj ,

(e j ,A∗ek) = (e j , aike i ) = aik(e j , e i ) = aikδji = ajk .

Так как (Ae j , ek) = (e j ,A∗ek), мы получаем akj = ajk или AT

= A. 2


Линейная алгебраЛЕММА 81Имеют место следующие равенства:а) (A+ B)∗ = A∗ + B∗, (λA)∗ = λA∗;б) (AB)∗ = B∗A∗.

Доказательство. Это следует из свойств операции транспонированияматриц, благодаря лемме 80. 2Докажем ключевую лемму, которая нам не раз понадобится вдальнейшем.

ЛЕММА 82 (об инвариантных подпространствах сопряженногооператора)Если W ⊂ V — инвариантное подпространство относительно A, тоW⊥ — инвариантное подпространство относительно A∗.

Доказательство. Пусть u ∈W⊥. Тогда для любого w ∈W имеем(A∗u,w) = (u,Aw) = 0 так как Aw ∈W , а u ∈W⊥. Следовательно,A∗u ∈W⊥. 2


Линейная алгебраОператор A : V → V в евклидовом или эрмитовом пространственазывается самосопряжённым, если A∗ = A, т.е. выполненосоотношение (Au, v) = (u,Av) для любых u, v ∈ V .

ЛЕММА 83

Матрица A самосопряжённого оператора A в ортонормированномбазисе евклидова (эрмитова) пространства симметрична (эрмитова),т.е. AT = A (соответственно, AT

= A).Если матрица оператора A в некотором ортонормированном базисесимметрична (эрмитова), то оператор A самосопряжён.

Доказательство. Первое утверждение вытекает из леммы 80: так какматрица оператора A∗ есть A

T и A∗ = A, мы получаем AT

= A.Докажем второе утверждение. Пусть e1, . . . , en — ортонормированныйбазис, в котором матрица A оператора A эрмитова, т.е. AT

= A. Тогдаиз леммы 80 следует, что матрица A

T оператора A∗ в том же базисесовпадает с A. Следовательно, A∗ = A и оператор A самосопряжён. 2


Линейная алгебраВ связи с этим самосопряжённые операторы в евклидовомпространстве также называют симметрическими, а в эрмитовомпространстве — эрмитовыми.Вот основное свойство самосопряжённых операторов.

ТЕОРЕМА 44 (о самосопряжённом операторе)

Самосопряжённый оператор диагонализируем в ортонормированномбазисе. Другими словами, для самосопряжённого операторасуществует ортонормированный базис из собственных векторов.

Доказательство будет опираться на лемму, которая важна сама посебе.

ЛЕММА 84 (о корнях характеристического многочленасамосопряжённого оператора)Все корни характеристического многочлена самосопряжённогооператора A вещественны.


Линейная алгебраДоказательство леммы. Вначале докажем лемму для эрмитовапространства. В этом случае корни характеристического многочленасуть собственные значения оператора A. Пусть λ ∈ C такой корень иv 6= 0 — соответствующий собственный вектор, т.е. Av = λv . Тогда

λ(v , v) = (λv , v) = (Av , v) = (v ,Av) = (v , λv) = λ(v , v).

Так как (v , v) 6= 0, получаем λ = λ, т.е. λ ∈ R.Случай евклидова пространства сводится к эрмитовому случаю припомощи комплексификации. Пусть A — матрица самосопряжённогооператора A в ортонормированном базисе евклидова пространства V .Тогда матрица A вещественна и симметрична. Та же матрица A будетматрицей комплексифицированного оператора AC в соответствующембазисе эрмитова пространства VC. Этот базис также ортонормирован,а матрица A, будучи вещественной и симметричной, являетсяэрмитовой. Следовательно, оператор AC самосопряжён, а корни егохарактеристического многочлена вещественны и совпадают с корнямимногочлена оператора A. 2



Доказательство.[Доказательство теоремы 44] Используем индукциюпо размерности пространства V . При dimV = 1 доказывать нечего.Предположим, что утверждение доказано для операторов впространствах размерности n − 1 и докажем его для пространства Vразмерности n.В силу предыдущей леммы у самосопряжённого оператора A имеетсясобственный вектор v , т.е. одномерное инвариантное подпространствоW = 〈v〉. В силу леммы 82 ортогональное дополнение W⊥

инвариантно относительно оператора A∗ = A. Так как dimW⊥ = n−1,в пространстве W⊥ имеется ортонормированный базис e1, . . . , en−1 изсобственных векторов оператора A|W⊥ . Тогда e1, . . . , en−1,

v|v | —

ортонормированный базис из собственных векторов оператора A. 2


Линейная алгебраДиагональный вид матрицы самосопряжённого оператора A вортонормированном базисе из собственных векторов называетсяканоническим видом самосопряжённого оператора.На практике для нахождения ортонормированного базиса изсобственных используется лемма.

ЛЕММА 85 (о собственных векторах самосопряжённогооператора)Собственные векторы, отвечающие различным собственнымзначениям самосопряжённого оператора A, взаимно ортогональны.

Доказательство. Пусть Au = λu и Av = µv , где λ 6= µ —вещественные собственные значения. Тогда

λ(u, v) = (λu, v) = (Au, v) = (u,Av) = (u, µv) = µ(u, v),

откуда (u, v) = 0, так как λ 6= µ. 2


Линейная алгебраДля нахождения канонического базиса самосопряжённого оператора Aнаходятся все его собственные подпространства, а затем в каждом изних выбирается ортонормированный базис. Объединение этих базисови будет каноническим базисом для A.В евклидовом пространстве верно утверждение, обратное к теореме 44:

ЛЕММА 86Если оператор A в евклидовом пространстве диагонализируем вортонормированном базисе, то A самосопряжён.

Доказательство. Действительно, диагональная матрицасимметрична, а оператор, имеющий симметричную матрицу вортонормированном базисе евклидова пространства самосопряжёнсогласно лемме 83. 2

В эрмитовом пространстве класс операторов, диагонализируемых вортонормированном базисе, шире, чем самосопряжённые операторы(так как на диагонали могут стоять не вещественные числа).



Пусть пространство V представлено в виде прямой суммыV = U ⊕W . Напомним (см. раздел 14), что оператор P : V → V ,переводящий v = u + w в u (где u ∈ U, w ∈W ), называетсяпроектором на U вдоль W . При этом ImP = U и kerP = W .Проектор P : V → V на U вдоль W называется ортогональным, еслиW = U⊥. Такой проектор будем обозначать через прU .Это обозначение вполне согласуется с предыдущими: еслиV = U ⊕ U⊥, то для любого v ∈ V мы имеем v = прU v + ortU v .



ЛЕММА 87Проектор P : V → V является самосопряжённым оператором тогда итолько тогда, когда он ортогонален.

Доказательство. Пусть P = прU — ортогональный проектор.Выберем ортонормированный базис в U и дополним его доортонормированного базиса в V . Тогда в этом ортонормированномбазисе матрица оператора прU диагональна (с единицами и нулями надиагонали), а значит оператор прU самосопряжён.Обратно пусть P — самосопряжённый проектор на U вдоль W .Возьмём произвольные векторы u ∈ U = ImP и w ∈W = kerP.Тогда u = Pv для некоторого v ∈ V и Pw = 0. Мы имеем

(u,w) = (Pv ,w) = (v ,Pw) = 0,

откуда получаем W = U⊥ и P = прU . 2



ПРИМЕР. Пусть u = (u1, . . . , un)T ∈ Rn — ненулевой вектор-столбеци U = 〈u〉 — одномерное подпространство. Тогда матрица операторапрu = прU в стандартном базисе Rn есть

1

|u|2uuT =

1

|u|2

u1

u2

...un

(u1 u2 · · · un)

=1

|u|2

u1u1 u1u2 · · · u1un

u2u1 u2u2 · · · u2un

......

. . ....

unu1 unu2 · · · unun



Напомним, что спектром оператора A называется множество егособственных значений. Для каждого собственного значения λрассмотрим ортогональный проектор прVλ на соответствующеесобственное подпространство Vλ.

ТЕОРЕМА 45 (о спектральном разложении)Пусть A — самосопряжённый оператор. Тогда имеет место разложение

A =∑λ

λ прVλ ,

где сумма берётся по всем собственным значениям. При этомпроекторы прVλ удовлетворяют соотношениямпрVλ A = A прVλ = λ прVλ и прVλ прVµ = O при λ 6= µ.



Доказательство. Соотношения прVλ A = A прVλ = λ прVλ ипрVλ прVµ = O при λ 6= µ выполнены, так как они выполнены дляматриц входящих в них операторов в каноническом базисе дляоператора A (в этом базисе матрицы всех входящих в соотношенияоператоров диагональны). Разложению V =

⊕λ Vλ в прямую сумму

собственных подпространств соответствует разложениетождественного оператора в сумму ортогональных проекторов

id =∑λ

прVλ .

Умножив это соотношение слева на A и использовав соотношениеA прVλ = λ прVλ , получим требуемое. 2


Линейная алгебраОператор A : V → V в евклидовом (эрмитовом) пространственазывается кососимметрическим (соответственно, косоэрмитовым),если A∗ = −A, т.е. выполнено соотношение

(Au, v) = −(u,Av)

для любых u, v ∈ V .

ЛЕММА 88Матрица A кососимметрического (косоэрмитова) оператора A вортонормированном базисе евклидова (эрмитова) пространствакососимметрична (косоэрмитова), т.е. AT = −A (соответственно,AT

= −A).Если матрица оператора A в некотором ортонормированном базисекососимметрична (косоэрмитова), то оператор A кососимметричен(косоэрмитов).

Доказательство. То же, что и для самосопряжённых операторов(лемма 83). 2



ТЕОРЕМА 46 (о косоэрмитовом операторе)

Для косоэрмитова оператора A существует ортонормированный базис,в котором его матрица диагональна с чисто мнимыми числами надиагонали. Другими словами, для косоэрмитова оператора существуетортонормированный базис из собственных векторов, а все собственныезначения — чисто мнимые.

Доказательство. Доказательство, как и в случае самосопряжённогооператора, основано на лемме 82. Будем вести индукцию поразмерности пространства V . При dimV = 1 доказывать нечего.Предположим, что утверждение доказано для операторов впространствах размерности n − 1 и докажем его для размерности n.



Выберем собственный вектор v для A, т.е. одномерное инвариантноеподпространство W = 〈v〉. В силу леммы 82 ортогональноедополнение W⊥ инвариантно относительно оператора A∗, а значитоно инвариантно и относительно A = −A∗. Так как dimW⊥ = n − 1, впространстве W⊥ имеется ортонормированный базис e1, . . . , en−1 изсобственных векторов оператора A|W⊥ . Тогда e1, . . . , en−1,

v|v | —

ортонормированный базис из собственных векторов оператора A.Пусть D — диагональная матрица косоэрмитова оператора A вортонормированном базисе из собственных векторов. Так какA∗ = −A, получаем D

T= −D. Следовательно, диагональные

элементы матрицы D (собственные числа) удовлетворяютсоотношению λ = −λ, т.е. являются чисто мнимыми. 2



Кососимметрические операторы в евклидовом пространстве, какправило, не диагонализируемы. Например, как мы видели ранее,

оператор с матрицей(

0 −aa 0

)с ненулевым a не диагонализируем в

вещественном пространстве.

ТЕОРЕМА 47 (о кососимметрическом операторе)

Для кососимметрического оператора A существуетортонормированный базис, в котором его матрицаблочно-диагональная с блоками размера 1 или 2, причём блоки

размера 1 нулевые, а блоки размера 2 имеют вид(

0 −aa 0

)с

ненулевыми a ∈ R.


Линейная алгебраДоказательство. В пространстве размерности 1 или 2 доказыватьнечего, так как кососимметрическая матрица и так имеет тамтребуемый вид. Предположим, что утверждение доказано дляоператоров в пространствах размерности не больше n − 1 и докажемего для пространства V размерности n (где n > 3).В силу теоремы 31 б) для оператора A существует 1-мерное или2-мерное инвариантное подпространство W ⊂ V . Как и в случаекосоэрмитовых операторов, из леммы 82 следует, что ортогональноедополнение W⊥ также инвариантно.По предположению индукции, в пространстве W⊥ имеется требуемыйбазис для оператора A|W⊥ . Выбрав произвольныйортонормированный базис в W и взяв объединение базисов в W⊥ иW , мы получим ортнормированный базис пространства V , в которомматрица оператора A состоит из блоков требуемого вида и ещё одногоблока размера 1 или 2 — матрицы оператора A|W . Этот последнийблок — кососимметрическая матрица размера 1 или 2, т.е. она тожеимеет требуемый вид. 2



Вид матрицы кососимметрического или косоэрмитова оператора,описанный в предыдущих теоремах, называется каноническим видомоператора.Заметим, что если A — эрмитов оператор, то оператор iA косоэрмитови наоборот. Поэтому теорему 46 можно было свести к теореме 44.

ТЕОРЕМА 48 (эрмитово разложение)Для любого оператора A в эрмитовом пространстве существуетединственное представление в виде

A = R+ iI,

где R и I — эрмитовы операторы.



Доказательство. Сначала докажем единственность. ЕслиA = R+ iI — эрмитово разложение, то A∗ = R∗ − iI∗ = R− iI. Изэтих двух соотношений получаем

R =1

2(A∗ +A), I =

i

2(A∗ −A),

т.е. операторы R и I определены однозначно и эрмитово разложениеединственно.С другой стороны, операторы R и I, задаваемые предыдущимиформулами, очевидно эрмитовы (самосопряжены), так что эрмитоворазложение существует. 2

В одномерном эрмитовом пространстве C эрмитовы операторы — этовещественные числа, а операторы R и I в эрмитовом разложении —это вещественная и мнимая части комплексного числа.



ЛЕММА 89 (об условиях ортогональности оператора)

Следующие условия для оператора A : V → V в евклидовом илиэрмитовом пространстве эквивалентны:а) оператор A сохраняет длины векторов, т.е. |Av| = |v| для любого

v ∈ V ;б) оператор A сохраняет скалярное произведение, т.е.

(Au,Av) = (u, v) для любых u, v ∈ V ;в) оператор A переводит ортонормированные базисы в

ортонормированные, т.е. если e1, . . . , en — ортонормированныйбазис, то Ae1, . . . ,Aen — также ортонормированный базис;

г) матрица A оператора A в ортонормированном базисеортогональна (унитарна), т.е. ATA = E (соответственно,ATA = E );

д) A∗A = id, т.е. сопряжённый оператор к A является его обратным.


Линейная алгебраДоказательство. Мы докажем импликации а)⇔ б) иб)⇒ в)⇒ г)⇒ д)⇒ б).а)⇒ б). В евклидовом пространстве имеем(u + v ,u + v) = (u,u) + 2(u, v) + (v , v), откуда

(u, v) =1

2((u + v ,u + v)− (u,u)− (v , v)) .

Поэтому, если оператор A сохраняет длины, т.е. скалярныепроизведения вида (v , v), то он сохраняет и все скалярныепроизведения.В эрмитовом пространстве имеем(u+v ,u+v) = (u,u)+(u, v)+(u, v)+(v , v) = (u,u)+2Re(u, v)+(v , v),откуда Re(u, v) = 1

2 ((u + v ,u + v)− (u,u)− (v , v)) и аналогичноIm(u, v) = −1

2 ((u + iv ,u + iv)− (u,u)− (v , v)) . Поэтому, еслиоператор A сохраняет длины, то он сохраняет и скалярноепроизведение (u, v), так как сохраняет его вещественную и мнимуючасти.



б)⇒ а). Очевидно.б)⇒ в). Пусть (Au,Av) = (u, v). Тогда если e1, . . . , en —ортонормированный базис, то (Ae i ,Ae j) = (e i , e j) = δij , т.е. базисAe1, . . . ,Aen также ортонормирован.в)⇒ г). Пусть A переводит ортонормированный базис e1, . . . , en вортонормированный базис Ae1, . . . ,Aen и A = (aki ) — матрицаоператора в базисе e1, . . . ,en. Тогда

δij = (Ae i ,Ae j) = (aki ek , a`j e`) = aki a

`j (ek , e`) = aki a

`j δk` = aki δkà

`j .

Это эквивалентно матричному соотношению E = ATEA или A

TA = E .

г)⇒ д). Это следует из леммы 80.д)⇒ б). Пусть A∗A = id. Тогда (Au,Av) = (A∗Au, v) = (u, v), т.е. Aсохраняет скалярное произведение. 2


Линейная алгебраОператор A : V → V в евклидовом (эрмитовом) пространстве,удовлетворяющий одному из эквивалентных условий из леммы 89,называется ортогональным (соответственно, унитарным).Иногда ортогональные и унитарные операторы называютизометрическими.

ЛЕММА 90 (о инвариантом подпространствеортогонального/унитарного оператора)

Пусть A : V → V — ортогональный или унитарный оператор, аW ⊂ V — инвариантное относительно A подпространство. Тогдаортогональное дополнение W⊥ также инвариантно относительно A.

Доказательство. Пусть u ∈W⊥. Нам надо доказать, что Au ∈W⊥,т.е., что (Au,w) = 0 для любого w ∈W . Мы знаем, что A(W ) ⊂W .Поскольку оператор A oбратим, A(W ) = W . Тогда найдётся такойвектор v ∈W , что w = Av , а значит(Au,w) = (Au,Av) = (u, v) = 0. 2


Линейная алгебраЛЕММА 91 (о собственных значениях ортогонального(унитарного) оператора)Собственные значения ортогонального (унитарного) оператора A помодулю равны единице.

Доказательство. Действительно, пусть Av = λv для v 6= 0. Тогда(v , v) = (Av ,Av) = (λv , λv) = λλ(v , v) = |λ|2(v , v),

откуда |λ|2 = 1. 2

ТЕОРЕМА 49 (об унитарном операторе)Для унитарного оператора A существует ортонормированный базис, вкотором его матрица диагональна, а все диагональные элементы помодулю равны единице.

Доказательство. Полностью аналогично доказательству теорем 44и 46 для самосопряжённых или косоэрмитовых операторов. Шагиндукции проводим, выбирая собственный вектор v и устанавливаяинвариантность подпространства 〈v〉⊥ при помощи леммы 90. 2



ТЕОРЕМА 50 (об ортогональном операторе)

Для ортогонального оператора A существует ортонормированныйбазис, в котором его матрица блочно-диагональная с блоками размера1 или 2, причём блоки размера 1 имеют вид (1) или (−1), а блоки

размера 2 имеют вид(

cosϕ − sinϕsinϕ cosϕ

), где ϕ 6= πk с целым K .


Линейная алгебраДоказательство. В пространстве размерности 1 ортогональнаяматрица и так имеет вид (1) или (−1). В пространстве размерности 2

любая ортогональная матрица имеет вид(

cosϕ − sinϕsinϕ cosϕ

)(если

определитель равен 1) или(

cosϕ sinϕsinϕ − cosϕ

)(если определитель

равен −1). В первом случае мы уже имеем требуемый вид (а операторпредставляет собой поворот на угол ϕ в положительном направлении).Во втором случае оператор представляет собой симметриюотносительно прямой под углом ϕ

2 к оси абсцисс. Такой операторимеет два ортогональных собственных вектора: (cos ϕ2 , sin ϕ

2 ) (векторвдоль оси симметрии) и (− sin ϕ

2 , cos ϕ2 ) (вектор, перпендикулярныйоси симметрии). В ортонормированном базисе из этих собственных

векторов оператор(


)принимает требуемый вид(

1 00 −1

).



Далее действуем по индукции, как и при доказательстве теоремы 47для кососимметрических операторов. Предположим, что утверждениедоказано для операторов в пространствах размерности не большеn − 1 и докажем его для пространства V размерности n (где n > 3).В силу теоремы 31 б) для оператора A существует 1-мерное или2-мерное инвариантное подпространство W ⊂ V . Из леммы 90следует, что ортогональное дополнение W⊥ также инвариантно.По предположению индукции, в пространстве W⊥ имеется требуемыйбазис для ортогонального оператора A|W⊥ . Выбравортонормированный базис в пространстве W , как описано в началедоказательства, и взяв объединение базисов в W⊥ и W , мы получимтребуемый ортнормированный базис пространства V . 2



Матрицы, описанные в теоремах 49 и 50, называются каноническимвидом унитарного и ортогонального оператора.ПРИМЕР. 1. Как указано в доказательстве предыдущей теоремы,

ортогональный оператор с матрицей(


)имеет

канонический вид(

1 00 −1

). Тот же канонический вид будет, если

оператор рассматривать как унитарный.

2. Канонический вид ортогонального оператора с матрицей(cosϕ − sinϕsinϕ cosϕ

)— это та же самая матрица. В то же время

канонический вид этого оператора, рассматриваемого как унитарный

оператор, есть(e iϕ 00 e−iϕ

).


Линейная алгебра3. В трёхмерном пространстве канонический вид ортогональногооператора есть cosϕ − sinϕ 0

sinϕ cosϕ 00 0 ±1

где в левом нижнем углу стоит 1 или −1 в зависимости от знакаопределителя оператора. (Операторы, канонический вид которыхимеет три блока (1) или (−1), получаются при ϕ = πk .) Еслиопределитель положителен, то такой оператор представляет собойповорот (вокруг оси третьего вектора канонического базиса). Если жеопределитель отрицателен, то оператор — это «поворот спереворотом», т.е. композиция поворота и симметрии относительноплоскости, перпендикулярной оси поворота.Отсюда, в частности, следует, что композиция двух поворотов — этоснова поворот вокруг некоторой оси (так как в каноническом видевсегда происходит всего один поворот).



4. В четырёхмерном пространстве уже бывают «независимыеповороты». А именно, канонический вид ортогонального оператораобщего вида с положительным определителем представляет собойматрицу из двух блоков размера 2:

cosϕ − sinϕ 0 0sinϕ cosϕ 0 0

0 0 cosψ − sinψ0 0 sinψ cosψ

Это — композиция двух независимых поворотов: на угол ϕ вплоскости первого и второго базисных векторов и на угол ψ вплоскости третьего и четвёртого базисных векторов. Такой операторне сводится к одному повороту.



Произведение ортогональных операторов очевидно являетсяортогональным оператором, и поэтому ортогональные операторы вевклидовом пространстве V образуют подгруппу в общей линейнойгруппе GL (V ). Эта подгруппа называется ортогональной группой иобозначается O(V ). Если dimV = n, то группа O(V ) изоморфнагруппе ортогональных матриц размера n; эта группа обозначается On.

Аналогично, унитарные операторы в эрмитовом пространстве Vобразуют унитарную группу, которая обозначается U(V ). ЕслиdimV = n, то группа U(V ) изоморфна группе унитарных матрицразмера n; эта группа обозначается Un.

Наконец, ортогональные (унитарные) матрицы с определителем 1образуют подгруппу в On (соответственно, в Un). Эта подгруппаназывается специальной ортогональной группой (соответственно,специальной унитарной группой) и обозначается SOn (соответственно,SUn).


Линейная алгебраСамосопряжённый оператор A называется положительным, если(Av , v) > 0 для любого ненулевого вектора v ∈ V .

ЛЕММА 92 (об условиях положительности самосопряжённогооператора)

Самосопряжённый оператора A положителен тогда и только тогда,когда все его собственные значения положительны.

Доказательство. Пусть (Av , v) > 0 при v 6= 0. Рассмотримсобственный вектор v с собственным значением λ. Тогдаλ(v , v) = (Av , v) > 0, откуда λ > 0.Обратно, пусть все собственные значения λi положительны. Выберемканонический ортонормированный базис из собственных векторовe1, . . . , en с собственными значениями λ1, . . . , λn. Тогда дляненулевого вектора v = v ie i мы имеем

(Av , v) =(A(v ie i ), v

je j

)= v iv j(Ae i , e j) =

n∑i=1

λi |v i |2 > 0. 2


Линейная алгебраТЕОРЕМА 51Для положительного оператора A существует единственныйположительный оператор P, удовлетворяющий соотношению P2 = A.

Доказательство. Пусть λ1, . . . , λk — различные собственныезначения оператора A и V1, . . . ,Vk — соответствующие собственныеподпространства. Согласно лемме 92 все λi положительны. Положимµi =

√λi . Рассмотрим оператор P, действующий в пространстве Vi

умножением на µi . Тогда P2 = A. Оператор P самосопряжён (так какон задаётся диагональной матрицей в ортонормированном базисе изсобственных векторов оператора A) и положителен в силу леммы 92.Осталось доказать единственность оператора P. Пусть оператор Pудовлетворяет условиям теоремы. Пусть µ1, . . . , µk — его различныесобственные значения и W1, . . . ,Wk — соответствующие собственныеподпространства. Тогда оператор P2 = A действует в пространстве Wi

умножением на µ2i . Поэтому при подходящей нумерации имеем µ2i = λiи Wi = Vi . Это показывает, что оператор P определён однозначно. 2



Оператор P, построенный в предыдущей теореме, называетсяположительным корнем из положительного оператора A иобозначается

√A.

Самосопряжённый оператор A называется неотрицательным, если(Av , v) > 0 для любого вектора v ∈ V . Все утверждения вышепереносятся без изменений на неотрицательные операторы.

ТЕОРЕМА 52 (о полярном разложении)Для любого невырожденного оператора A в евклидовом илиэрмитовом пространстве существует единственное представление ввиде

A = PU ,

где P — положительный, а U — ортогональный (унитарный) оператор.



Доказательство. Если A = PU , то A∗ = U∗P иAA∗ = PUU∗P = P2. Оператор AA∗ очевидно самосопряжён; крометого, он является положительным:

(AA∗v , v) = (A∗v ,A∗v) > 0,

при v 6= 0, так как A∗v 6= 0 в силу невырожденности A. Поэтомуположительный оператор P, удовлетворяющий соотношениюAA∗ = P2, единствен в силу теоремы 51, а именно, P =

√AA∗. Тогда

оператор U = P−1A также определён однозначно. Мы имеемUU∗ = P−1AA∗P−1 = P−1P2P−1 = id. Следовательно, U —ортогональный (унитарный) оператор и A = PU . 2



Аналогично, рассмотрев положительный оператор A∗A, можнодоказать существование второго полярного разложения A = U ′P ′ (гдеP ′ =

√A∗A).

Замечание. Для произвольного оператора A существует полярноеразложение A = PU , где P — неотрицательный оператор, а U —ортогональный или унитарный оператор (задача). Однако такоеразложение не единственно.

В одномерном эрмитовом пространстве C положительныеоператоры — это положительные вещественные числа, а унитарныеоператоры — это комплексные числа, по модулю равные 1, т.е. видаe iϕ. Поэтому полярное разложение — это представление комплексногочисла z в полярных координатах: z = ρe iϕ, что объясняет название.


Линейная алгебраОператор A в евклидовом или эрмитовом пространстве называетсянормальным, если он коммутирует с сопряжённым, т.е. A∗A = AA∗.Все специальные классы операторов, рассмотренные выше в этойглаве (от самосопряжённых до унитарных) являются нормальными.

ЛЕММА 93 (о собственном векторе нормального оператора)Пусть v — собственный вектор нормального оператора A ссобственным значением λ. Тогда v также является собственнымвектором для сопряжённого оператора A∗, с собственным значением λ.

Доказательство. Если оператор A нормален, то

(Av ,Av) = (A∗Av , v) = (AA∗v , v) = (A∗v ,A∗v),

т.е. |Av | = |A∗v | для любого вектора v . Поскольку вместе соператором A нормален и каждый оператор вида A− λ id, отсюдаследует, что

|(A− λ id)v | = |(A∗ − λ id)v |для любого λ. Поэтому, если (A− λ id)v = 0, то (A∗ − λ id)v = 0. 2


Линейная алгебраВ эрмитовом пространстве класс нормальных операторов — это вточности операторы, диагонализируемые в ортонормированном базисе:

ТЕОРЕМА 53Оператор в эрмитовом пространстве диагонализируем вортонормированном базисе тогда и только тогда, когда он нормален.

Доказательство. Пусть матрица оператора A в некоторомортонормированном базисе диагональна с числами λ1, . . . , λn надиагонали. Тогда сопряжённый оператор A∗ в том же базисе имеетдиагональную матрицу с числами λ1, . . . , λn. Так как диагональныематрицы коммутируют, мы получаем A∗A = AA∗, т.е. A нормален.Обратно, пусть A∗A = AA∗. Доказательство диагонализируемости вортнормированном базисе будем вести по индукции по размерностипространства V . При dimV = 1 доказывать нечего. Предположим, чтоутверждение доказано для пространств размерности не больше n− 1 идокажем его для размерности n.


Линейная алгебраВыберем собственный вектор v с собственным значением λ для A, т.е.одномерное инвариантное подпространство W = 〈v〉. Докажем, чтоортогональное дополнение W⊥ также инвариантно относительно A.Пусть u ∈W⊥, т.е. (u, v) = 0. Тогда

(Au, v) = (u,A∗v) = (u, λv) = λ(u, v) = 0

(где мы воспользовались леммой 93). Следовательно, Au ∈W⊥ ипространство W⊥ инвариантно относительно оператора A.С другой стороны, пространство W⊥ инвариантно относительнооператора A∗ в силу леммы 82. Так как W⊥ инвариантно иотносительно A и относительно A∗, ограничение A|W⊥ являетсянормальным оператором. Так как dimW⊥ = n − 1, по предположениюиндукции в пространстве W⊥ имеется ортонормированный базисe1, . . . , en−1 из собственных векторов оператора A|W⊥ . Тогдаe1, . . . , en−1,

v|v | — ортонормированный базис из собственных векторов

оператора A. 2Sergey Zyubin Алгебра, 2-й семестр 4 мая 2020 г. 314 / 375


В евклидовом пространстве аналог этой теоремы не имеет места:

оператор(a −bb a

)нормален, но не диагонализируем при b 6= 0. На

самом деле мы знаем, что в евклидовом пространстве классоператоров, диагонализируемых в ортонормированном базисе, — это вточности самосопряжённые операторы.

Замечание. Можно доказать, что для нормального оператора вевклидовом пространстве существует ортонормированный базис, вкотором его матрица состоит из блоков размера 1 или 2, причём

блоки размера 2 имеют вид(a −bb a

)(задача).



Соберём в одну таблицу всю информацию о специальных классахоператоров из этой главы (отдельно для евклидова и эрмитовапространства):

Название ОпределениеСвойство матри-цы (в ортонорми-ров. базисе)

Канонический вид

Самосопряжённый(симметрический)

A∗ = A AT = A(симметричная)

диагональный

Косо-симметрический

A∗ = −A AT = −A(кососимметр.)

блоки (0) и(0 −aa 0

)Ортогональный A∗ = A−1 AT = A−1

(ортогональная)блоки (±1) и(cosϕ −sinϕsinϕ cosϕ

)Нормальный A∗A = AA∗ ATA = AAT блоки (a) и

(a −bb a

)



Самосопряжённый(эрмитов)

A∗ = A AT

= A(эрмитова)

диагональный с веществен-ными числами на диагона-ли

Косоэрмитов A∗ = −A AT

= −A(косоэрмитова)

диагональный с чисто мни-мыми числами на диагона-ли

Унитарный A∗ = A−1 AT

= A−1

(унитарная)на диагонали — числа, рав-ные по модулю 1

Нормальный A∗A = AA∗ ATA = AA

T диагональный



Пусть V — линейное пространство над полем K . ФункцияB : V ×V → K называется билинейной функцией, если она линейна покаждому аргументу:

B(λ1x1 + λ2x2, y) = λ1B(x1, y) + λ2B(x2, y) иB(x , µ1y1 + µ2y2) = µ1B(x , y1) + µ2B(x , y2)

для любых λ1, λ2, µ1, µ2 ∈ K и x , x1, x2, y , y1, y2 ∈ V .

Матрицей билинейной функции B в базисе e1, . . . , en пространства Vназывается квадратная матрица B = (bij) размера n × n, гдеbij = B(e i , e j).


Линейная алгебраПРИМЕР. Скалярное произведение в евклидовом пространствеявляется билинейной функцией. Таким образом, понятие билинейнойфункции обобщает понятие скалярного произведения (вместо трёхусловий на функцию V × V → R требуется выполнение лишь первого,т.е. билинейности). Матрица билинейной функции являетсяобобщением матрицы Грама скалярного произведения.Зная матрицу B = (bij) билинейной функции, можно восстановитьзначение B(x , y) на любой паре векторов x = x ie i и y = y je j :

B(x , y) = B(x ie i , yje j) = x iy jB(e i , e j) = bijx

iy j = xTBy .

Выражение B(x , y) = bijxiy j = xTBy называется билинейной формой

(здесь, как обычно, мы предполагаем, что x = (x1, . . . , xn)T — этостолбец высоты n, так что xT — это строка длины n). Билинейнаяформа представляет собой однородный многочлен степени 2 от двухнаборов переменных x1, . . . , xn и y1, . . . , yn, который линеен по x прификсированных y и линеен по y при фиксированных x .


Линейная алгебраТЕОРЕМА 54 (закон изменения матрицы билинейной функции)Имеет место соотношение

B ′ = CTBC ,

где B — матрица билинейной функции B : V × V → K в базисеe1, . . . , en, B ′ — матрица в базисе e′1, . . . , e

′n и C — матрица перехода

от базиса e1, . . . , en к базису e′1, . . . , e′n.

Доказательство. Пусть B = (bij), B ′ = (b′k`), C = (c ik). Мы имеем

b′k` = B(ek , e`) = B(c ike i , cjè j) = c ikc

j`B(e i , e j) = c ikbijc

j` ,

что эквивалентно матричному соотношению B ′ = CTBC .То же рассуждение можно провести, используя матричную записьбилинейных форм. Значение B(x , y) можно записать в видебилинейных форм от новых или старых координат:B(x , y) = xTBy = (x ′)TB ′y ′. Мы имеем x = Cx ′ и y = Cy ′. Тогда(x ′)TB ′y ′ = xTBy = (x ′)TCTBCy ′. Так как это верно для любыхнаборов x ′, y ′, получаем B ′ = CTBC . 2



СЛЕДСТВИЕ 11Ранг матрицы билинейной функции не зависит от базиса.

Доказательство. Так как матрица C обратима,RangB ′ = Rang(CTBC ) = RangB . 2

Рангом билинейной функции B (обозначается RangB) называется рангеё матрицы в произвольном базисе. Билинейная функция B впространстве V называется невырожденной, если RangB = dimV .Множество B(V ) всех билинейных функций в пространстве Vобразует линейное пространство относительно операций сложенияфункций и умножения функций на скаляры. Сопоставлениебилинейной функции B её матрицы B в фиксированном базисеe1, . . . , en устанавливает изоморфизм между пространством B(V ) ипространством квадратных матриц Matn(K ). Как и в случаепространства линейных операторов Hom(V ,V ), этот изоморфизмнеканоничен, так как он зависит от выбора базиса.


Линейная алгебраНаряду с B(V ) рассмотрим пространство Hom(V ,V ∗) линейныхотображений из V в двойственное пространство V ∗.

ТЕОРЕМА 55Отображение ϕ : B(V )→ Hom(V ,V ∗), сопоставляющее билинейнойфункции B линейное отображение B : V → V ∗, задаваемое формулой

B(x) = B(x, · ) для x ∈ V ,

является каноническим изоморфизмом. (Здесь B(x, · ) ∈ V ∗ —линейная функция, значение которой на векторе y ∈ V есть B(x, y).)

Доказательство. Отображение ϕ линейно, так как билинейнаяфункция линейна по первому аргументу x . Кроме того, отображение ϕбиективно: обратное отображение ϕ−1 ставит в соответствиелинейному отображению B : V → V ∗ билинейную функцию B,заданную по формуле B(x , y) = B(x)(y). Следовательно, ϕ —изоморфизм. Этот изоморфизм каноничен, так как в его конструкциине использовался базис. 2



В комплексном пространстве V наряду с билинейными функциямирассматриваются полуторалинейные:Пусть V — линейное пространство над полем C. ФункцияS : V × V → C называется полуторалинейной функцией, если оналинейна по второму аргументу и антилинейна (или полулинейна) попервому аргументу:

S(λ1x1 + λ2x2, y) = λ1S(x1, y) + λ2S(x2, y) иS(x , µ1y1 + µ2y2) = µ1S(x , y1) + µ2S(x , y2)

для любых λ1, λ2, µ1, µ2 ∈ C и x , x1, x2, y , y1, y2 ∈ V .



Матрица полуторалинейной функции S в базисе e1, . . . , en

определяется как S = (sij), где sij = S(e i , e j).Значение S(x , y) выражается через матрицу S = (sij) и координатывекторов x = x ie i и y = y je j следующим образом:

S(x , y) = S(x ie i , yje j) = x iy jS(e i , e j) = sijx

iy j = xTSy .

Выражение S(x , y) = sijxiy j = xTSy называется полуторалинейной

формой.Пример полуторалинейной функции — эрмитово скалярноепроизведение.Матрицы S и S ′ полуторалинейной функции S в разных базисахсвязаны соотношением S ′ = C

TSC , которое доказывается аналогично

соотношению для билинейных функций. Отсюда следует, что рангматрицы полуторалинейной функции не зависит от выбора базиса.



Билинейная функция B : V × V → K называется симметрической,если B(y , x) = B(x , y), и кососимметрической, еслиB(y , x) = −B(x , y), для любых x , y ∈ V .

Полуторалинейная функция S : V × V → C в комплексномпространстве называется эрмитовой, если S(y , x) = S(x , y), икосоэрмитовой, если S(y , x) = −S(x , y).

Матрица симметрической (кососимметрической) билинейной функциив любом базисе симметрична (соответственно, кососимметрична).Матрица эрмитовой (косоэрмитовой) полуторалинейной функции влюбом базисе эрмитова (соответственно, косоэрмитова). Кроме того,полуторалинейная функция S является эрмитовой тогда и толькотогда, когда функция iS является косоэрмитовой.Далее мы будем предполагать, что характеристика поля K отличнаот 2.



Квадратичной формой над K называется однородный многочленвторой степени от n переменных x = (x1, . . . , xn), т.е. многочлен видаQ(x) = Q(x1, . . . , xn) = qijx

ix j =∑n

i=1 qii (xi )2 +

∑i<j 2qijx

ix j , гдеqji = qij ∈ K . Симметричная матрица Q = (qij) размера n × nназывается матрицей квадратичной формы. Если B(x , y) = bijx

iy j —симметрическая билинейная форма, то B(x , x) = bijx

ix j являетсяквадратичной формой с матрицей B . Таким образом, квадратичнаяформа B(x , x) полностью определяет симметрическую билинейнуюформу B(x , y), а значит и симметрическую билинейную функциюB(x , y). Это можно увидеть и не прибегая к выбору базиса: длясимметрической билинейной функции имеет место соотношениеB(x , y) = 1

2 (B(x + y , x + y)− B(x , x)− B(y , y)) , т.е. значение B напроизвольной паре векторов можно восстановить, зная лишь значенияB на парах совпадающих векторов. Функцию V → K , x 7→ B(x , x)называют квадратичной функцией.



ТЕОРЕМА 56 (о диагонализации симметрической билинейнойформы)

Для симметрической билинейной функции B над полемхарактеристики, отличной от 2, существует базис, в котором еёматрица диагональна.Другими словами, любую квадратичную форму Q(x) линейнойзаменой координат x = Cy можно привести к виду

Q(y) = r11(y1)2 + . . .+ rnn(yn)2.

Мы приведём два доказательства этого факта. В первом случае будемработать с квадратичными формами и координатами, а во втором — ссимметрическими билинейными функциями и базисами. Каждое издоказательств будет проведено таким образом, что его можно будетиспользовать как алгоритм, а не просто как доказательствосуществования нужного преобразования.


Линейная алгебраДоказательство.[Первое доказательство (метод Лагранжа)] ПустьQ(x) = qijx

ix j — квадратичная форма. Доказательство заключается впоследовательном упрощении Q(x), использующем основное и двавспомогательных преобразования.Основное преобразование производится, если в квадратичной формеQ(x) = qijx

ix j первый коэффициент q11 не равен нулю. Тогда имеем

Q(x1, . . . , xn) = q11(x1)2 + 2q12x1x2 + . . .+ 2q1nx

1xn +∑i ,j>1

qijxix j =

= q11

(x1 +

q12q11

x2 + . . .+q1nq11

xn)2

− q11

(q12q11

x2 + . . .+q1nq11

xn)2

+

+∑i ,j>1

qijxix j =

= q11

(x1 +

q12q11

x2 + . . .+q1nq11

xn)2

+ Q ′(x2, . . . , xn),

где Q ′(x2, . . . , xn) — квадратичная форма от n − 1 переменных.Sergey Zyubin Алгебра, 2-й семестр 4 мая 2020 г. 328 / 375


Теперь сделаем замену координат

u1 = x1 +q12q11

x2 + . . .+q1nq11

xn,

u2 = x2, . . . , un = xn.

В результате форма Q(x) преобразуется к виду

Q(u1, . . . , un) = q11(u1)2 + Q ′(u2, . . . , un).

Если в форме Q ′(u2, . . . , un) первый коэффициент (т.е. q′22) не равеннулю, то мы снова можем применить основное преобразование, и т.д.Первое вспомогательное преобразование производится, если q11 = 0,но существует qii 6= 0. В этом случае мы делаем замену u1 = x i ,ui = x1, а остальные координаты без изменений. В результатеполучаем q′11 6= 0.


Линейная алгебраВторое вспомогательное преобразование производится, если всекоэффициенты qii при квадратах равны нулю, но при этом есть хотябы один ненулевой коэффициент (в противном случае Q(x) ≡ 0 ужеимеет нужный вид). Пусть qij 6= 0, где i < j . Произведём заменукоординат

x i = ui , x j = ui + uj , xk = uk , при k 6= i , j .

В результате форма Q(x) преобразуется к виду

Q(x) = 2qijxix j + . . . = 2qiju

i (ui + uj) + . . . = 2qij(ui )2 + . . . ,

где . . . означает члены, не содержащие квадратов. Далее мы можемприменить предыдущие преобразования.Последовательно применяя основное преобразование и (если нужно)вспомогательные преобразования, мы приводим форму Q(x) кдиагональному виду. 2



Доказательство.[Второе доказательство (метод поиска базиса)] Этотметод можно рассматривать как обобщение метода ортогонализацииГрама–Шмидта. Базис, в котором матрица билинейной функции Bдиагональна — это «ортогональный» базис в смысле «скалярногопроизведения», задаваемого симметрической билинейной функцией B.Здесь также имеется основное и вспомогательные преобразования.Пусть B = (bij) — матрица билинейной функции B в исходном базисеe1, . . . , en.Основное преобразование производится, если b11 = B(e1, e1) 6= 0 (этовсегда так, если симметрическая билинейная функция B задаётскалярное произведение, т.е. является положительно определённой).


Линейная алгебраВыберем новый базис следующим образом:

e1′ = e1,

e2′ = e2 −B(e1, e2)

B(e1, e1)e1 = e2 −

b12b11

e1,

· · ·

en′ = en −B(e1, en)

B(e1, e1)e1 = en −

b1nb11

e1.

(50)

В результате мы получаем B(e1′ , e i ′) = 0 при i > 1. Таким образом,матрица B ′ билинейной функции B в новом базисе принимает вид

B ′ =

b11 0 · · · 0

0...0

B ′

где B ′ — матрица размера (n − 1)× (n − 1) билинейной функции B наподпространстве 〈e2′ , . . . , en′〉. Далее мы работаем уже с B ′.


Линейная алгебраПервое вспомогательное преобразование производится, если b11 = 0,но имеется bii 6= 0. Тогда делаем замену, меняющую местами 1-й и i-йбазисный векторы.Второе вспомогательное преобразование производится, если все biiравны нулю, но при этом билинейная функция B не являетсятождественно нулевой, т.е. bij = B(e i , e j) 6= 0 для некоторых i < j .Произведём замену базиса

e i ′ = e i + e j , e j ′ = e j , ek ′ = ek при k 6= i , j .

Тогда в новом базисе мы имеем

b′ii = B(e i ′ , e i ′) = B(e i + e j , e i + e j) = 2B(e i , e j) = 2bij 6= 0.

Далее мы можем применить предыдущие преобразования.Последовательно применяя основное преобразование и дополняя его внеобходимых случаях вспомогательными преобразованиями, мыполучаем базис f 1, . . . , f n, в котором матрица билинейной функции Bимеет диагональный вид. 2


Линейная алгебраОбратим внимание, что основное и вспомогательное преобразование вобоих доказательствах — это одно и то же преобразование, просто впервом случае оно записано через координаты, а во втором — черезбазисы. Так что диагональные матрицы, получаемые первым ивторым методом, совпадают, как и все промежуточные матрицы.Замечание. Если при приведении матрицы билинейной функции(квадратичной формы) к диагональному виду использовалось лишьосновное преобразование, то матрица перехода от исходного базиса кбазису, в котором матрица имеет диагональный вид, являетсяверхнетреугольной (как и в случае процесса ортогонализацииГрама–Шмидта). Если же хоть раз применялось вспомогательноепреобразование, то матрица перехода может не бытьверхнетреугольной.ПРИМЕР. Над полем Z2 симметрическая билинейная функция с

матрицей(

0 11 0

)не приводится к диагональному виду заменой

базиса (задача).Sergey Zyubin Алгебра, 2-й семестр 4 мая 2020 г. 334 / 375

Линейная алгебраНад полем R квадратичную форму можно далее упростить:

ЛЕММА 94Для любой симметрической билинейной функции B в пространственад полем R существует базис, в котором её матрица имеетдиагональный вид с 1, −1 и 0 на диагонали. Другими словами,вещественную квадратичную форму Q(x) линейной заменойкоординат x = Cy можно привести к виду

(y1)2 + . . .+ (yp)2 − (yp+1)2 − . . .− (yp+q)2.

Доказательство. Сначала мы с помощью теоремы 56 приведёмквадратичную форму к виду

Q(u) = r11(u1)2 + . . .+ rnn(un)2.

Если rii > 0, то замена y i =√riiu

i приводит слагаемое rii (ui )2 к виду

(y i )2. Если же rii < 0, то замена y i =√|rii |ui приводит слагаемое

rii (ui )2 к виду −(y i )2. В результате получаем требуемый вид

квадратичной формы с коэффициентами 1, −1 и 0. 2Sergey Zyubin Алгебра, 2-й семестр 4 мая 2020 г. 335 / 375


Вид, описанный в лемме 94, называется нормальным видомвещественной симметрической билинейной формы (вещественнойквадратичной формы). Как мы увидим ниже, это — наиболее простойвид, к которому можно привести квадратичную форму над полем R.Над полем C квадратичную форму можно ещё больше упростить:

ЛЕММА 95Для любой симметрической билинейной функции B над полем Cсуществует базис, в котором её матрица имеет диагональный вид с 1 и0 на диагонали. Другими словами, комплексную квадратичную формуQ(x) линейной заменой координат x = Cz можно привести к виду

(z1)2 + . . .+ (z r )2.



Доказательство. Сначала мы с помощью леммы 94 приведёмквадратичную форму к виду (y1)2 + . . .+ (yp)2 − (yp+1)2 − . . .−(yp+q)2. Затем сделаем замену координат yk = zk при k 6 p иyk = izk при k > p. В результате получим требуемый вид, гдеr = p + q = RangQ. 2

Вид, описанный в лемме 95, называется нормальным видомкомплексной симметрической билинейной формы (комплекснойквадратичной формы).



ТЕОРЕМА 57Для любой эрмитовой полуторалинейной функции S существуетбазис, в котором её матрица имеет диагональный вид с 1, −1 и 0 надиагонали.

Доказательство. Доказательство аналогично доказательствутеоремы 56 для симметрических билинейных функций: отличиеимеется лишь во вспомогательном преобразовании. Мы проведёмдоказательство методом поиска базиса.Пусть S = (sij) — матрица полуторалинейной функции S в исходномбазисе.Основное преобразование производится, если хотя бы одиндиагональный элемент sii = S(e i , e i ) отличен от нуля. Пусть s11 6= 0.Замена базиса производится по тем же формулам (50), что и длясимметрической билинейной функции (надо лишь заменить bij на sij иB на S в формулах).



Первое вспомогательное преобразование производится, если s11 = 0,но существует sii 6= 0, и заключается в перестановке 1-го и i-гобазисных векторов. Второе вспомогательное преобразованиепроизводится, если все sii = S(e i , e i ) равны нулю. Пустьs12 = S(e1, e2) 6= 0. Здесь возможны два случая: Re s12 6= 0 иRe s12 = 0. В первом случае производим ту же замену, что и длясимметрических билинейных функций:

e1′ = e1 + e2, e2′ = e2, . . . , en′ = en.


s ′11 = S(e1′ , e1′) = S(e1+e2, e1+e2) = S(e1, e2)+S(e2, e1) = 2Re s12 6= 0.

Далее мы можем применить основное преобразование.


Линейная алгебраЕсли же Re s12 = 0, то Im s12 6= 0 (так как s12 6= 0 по предположению).В этом случае делаем замену

e1′ = e1 + ie2, e2′ = e2, . . . , en′ = en.


s ′11 = S(e1′ , e1′) = S(e1 + ie2, e1 + ie2) =

= iS(e1, e2)− iS(e2, e1) = −2 Im s12 6= 0,

и мы снова можем применить основное преобразование.Последовательно применяя основное преобразование и дополняя его внеобходимых случаях вспомогательными преобразованием, мыполучаем базис f 1, . . . , f n, в котором матрица эрмитовой функции Sимеет диагональный вид. Пусть S(f i , f i ) = rii . Эти числа вещественныв силу эрмитовости. Далее доказательство завершается так же, как идля симметрических функций. 2



Эрмитова полуторалинейная форма, соответствующая диагональнойматрице из предыдущей теоремы, имеет вид

x1y1 + . . .+ xpyp − xp+1yp+1 − . . .− xp+qyp+q,

называемый нормальным видом эрмитовой полуторалинейной формы.В случае симметрической билинейной формы над C нормальный видзависит только от её ранга, и поэтому мы получаем:

ЛЕММА 96Две комплексные симметрические билинейные формы (комплексныеквадратичные формы) получаются друг из друга линейной заменойкоординат тогда и только тогда, когда их ранги совпадают.


Линейная алгебраВ случае вещественных симметрических билинейных форм и в случаеэрмитовых полуторалинейных форм ситуация сложнее: их нормальныйвид не определяется одним лишь рангом, а зависит ещё от количества1 и −1 на диагонали матрицы. Оказывается, что нормальный видтакой формы не зависит от способа приведения к нормальному виду:

ТЕОРЕМА 58 (о законе инерции)Количество 1, −1 и 0 на диагонали матрицы вещественнойсимметрической билинейной функции B не зависит от способаприведения к нормальному виду.Другими словами, если квадратичная форма Q(x) вещественнойлинейной заменой x = Cy приводится к виду

(y1)2 + . . .+ (yp)2 − (yp+1)2 − . . .− (yp+q)2,

а вещественной линейной заменой x = C ′z — к виду(z1)2 + . . .+ (zp

′)2 − (zp

′+1)2 − . . .− (zp′+q′)2,

то мы имеем p = p′ и q = q′.



Доказательство. Пусть (x1, . . . , xn) – координаты в исходном базисеe1, . . . , en пространства V , (y1, . . . , yn) — координаты в базисеf 1, . . . , f n, а (z1, . . . , zn) — координаты в базисе g1, . . . , gn.Рассмотрим подпространства

U+ = 〈f 1, . . . , f p〉, U− = 〈f p+1, . . . , f p+q〉, U0 = 〈f p+q+1, . . . , f n〉,W+ = 〈g1, . . . , gp′〉, W− = 〈gp′+1, . . . , gp′+q′〉, W0 = 〈gp′+q′+1, . . . , gn〉.

Для ненулевого вектора x ∈ U+ мы имеем x = y1f 1 + . . .+ ypf p ипоэтому B(x , x) = (y1)2 + . . .+ (yp)2 > 0. Аналогично, еслиx ∈ U− ⊕ U0, то B(x , x) 6 0. Для ненулевого вектора x ∈W+ мыимеем B(x , x) > 0, а для x ∈W− ⊕W0 имеем B(x , x) 6 0.



Предположим, что p > p′. Тогда

dimU+ + dim(W− ⊕W0) = p + (n − p′) > n = dimV ,

значит, U+ ∩ (W− ⊕W0) 6= {0}. Возьмём ненулевой вектор x в этомпересечении. Так как x ∈ U+, имеем B(x , x) > 0. С другой стороны, изx ∈W− ⊕W0 следует, что B(x , x) 6 0. Противоречие. Аналогичноприводится к противоречию случай p < p′.Следовательно, p = p′. Кроме того, p + q = p′ + q′ = RangB, а значити q = q′. 2



Имеет место также закон инерции для эрмитовых полуторалинейныхфункций, который доказывается полностью аналогично:

ТЕОРЕМА 59Количество 1, −1 и 0 на диагонали матрицы эрмитовойполуторалинейной функции не зависит от способа приведения кнормальному виду.

Разность p − q между числом положительных и отрицательныхдиагональных элементов в нормальном виде называется сигнатуройвещественной симметрической билинейной функции (эрмитовойполуторалинейной функции).



Из теоремы 58 следует, что сигнатура, как и ранг, являетсяинвариантном вещественной симметрической билинейной функции(эрмитовой полуторалинейной функции), т.е. не зависит от базиса.

СЛЕДСТВИЕ 12Две вещественные симметрические билинейные формы или двеэрмитовы полуторалинейные функции получаются друг из другалинейной заменой координат тогда и только тогда, когда их ранги исигнатуры совпадают.

Все результаты этого раздела можно свести в одно утверждение:нормальный вид симметрической или кососимметрической билинейнойфункции или эрмитовой полуторалинейной функции единствен.



Теорема Якоби позволяет (при выполнении некоторогодополнительного условия) найти нормальный вид квадратичнойформы без нахождения преобразования. Напомним, что угловымминором порядка K матрицы называется минор (определительподматрицы), составленный из первых K строк и первых K столбцов.

ТЕОРЕМА 60 (Якоби)Предположим, что все угловые миноры матрицы Q квадратичнойформы отличны от нуля до порядка r = RangQ. Тогда существуетзамена координат, приводящая данную квадратичную форму к виду

|Q1|(x1)2 +|Q2||Q1|

(x2)2 + . . .+|Qr ||Qr−1|

(x r )2,

где |Qi | — угловой минор порядка i .



Сначала докажем лемму. Скажем, что для квадратичной формы имеетместо регулярный случай, если она приводится к диагональному видупоследовательным применением исключительно основногопреобразования метода Лагранжа.

ЛЕММА 97 (о регулярном случае для квадратичной форме)

Для квадратичной формы Q(x) имеет место регулярный случай тогдаи только тогда, когда все угловые миноры её матрицы Q отличны отнуля до порядка r = RangQ.

Доказательство. Пусть угловые миноры до порядка r отличны отнуля. Тогда q11 = |Q1| — угловой минор порядка 1, который не равеннулю по предположению. Значит, на первом шаге применимо основноепреобразование метода Лагранжа.


Линейная алгебраПредположим теперь, что после K -кратного применения основногопреобразования метода Лагранжа матрица квадратичной формыпринимает вид

Q ′ =

q′11 0. . . 0

0 q′kkq′k+1,k+1 . . .

0...

. . .

(51)

Заметим, что матрица замены координат для основногопреобразования есть

C =

1 −q12

q11· · · −q1n

q11

0 1 · · · 0...

.... . .

...0 0 · · · 1

(см. формулы (50)).


Линейная алгебраДля угловых подматриц Qk мы имеем Q ′k = CT

k QkCk , где Ck —угловая подматрица матрицы C . Так как detCk = 1, мы получаем|Q ′k | = |Qk |, т.е. угловые миноры матрицы квадратичной формы неменяются при основном преобразовании метода Лагранжа.Возвращаясь к матрице (51), мы получаем |Qk+1| = |Q ′k+1| == q′11 · · · q′kkq′k+1,k+1 6= 0 при k < r по предположению. Следовательно,q′k+1,k+1 6= 0, и мы снова можем применить основное преобразование.После r -кратного применения основного преобразования мы получаемматрицу (51), где k = r и матрица в правом нижнем углу равна нулю.Следовательно, квадратичная форма приведена к диагональному видупоследовательным применением основного преобразования методаЛагранжа, и мы имеем регулярный случай.Пусть теперь имеет место регулярный случай, т.е. форма приведена кдиагональному виду с ненулевыми числами q′11, . . . , q

′rr на диагонали

последовательным применением основного преобразования. Тогда, таккак угловые миноры не меняются при основном преобразовании, мыимеем |Qk | = |Q ′k | = q′11 · · · q′kk 6= 0 при k 6 r . 2



Доказательство.[Доказательство теоремы Якоби] В силу предыдущейлеммы, мы можем привести квадратичную форму к диагональномувиду

q′11(u1)2 + . . .+ q′rr (ur )2

используя лишь основное преобразование метода Лагранжа. Тогда|Qk | = |Q ′k | = q′11 · · · q′kk при k 6 r , т.е. q′kk = |Qk |

|Qk−1| , что и требовалось.2

Симметрическая билинейная функция B называется положительноопределённой, если B(x , x) > 0 при x 6= 0. Соответствующаяквадратичная форма Q(x) удовлетворяет условию Q(x) > 0 при x 6= 0и также называется положительно определённой.Положительно определённая симметрическая билинейная функциязадаёт в пространстве V скалярное произведение, т.е. превращает V вевклидово пространство.


Линейная алгебраТЕОРЕМА 61 (о критерии Сильвестра)Симметрическая билинейная функция (квадратичная форма)положительно определена тогда и только тогда, когда все угловыеминоры её матрицы в некотором базисе положительны.

Доказательство. Пусть все угловые миноры |Qk | матрицыквадратичной формы Q(x) положительны. Тогда в силу теоремыЯкоби квадратичная форма приводится к видуQ(u) = q′11(u1)2 + . . .+ q′nn(un)2, где n = RangQ = dimV , аq′kk = |Qk |

|Qk−1| > 0. Такая квадратичная форма положительноопределена, так как Q(u) > 0 при u 6= 0.Обратно, пусть Q(x) положительно определена. Так как в любомбазисе мы имеем qii = B(e i , e i ) > 0, всегда применимо основноепреобразование метода Лагранжа. Тогда последовательно применяяосновное преобразование, мы приведём квадратичную форму к видуQ(u) = q′11(u1)2 + . . .+ q′nn(un)2, где q′ii > 0. Следовательно,|Qk | = |Q ′k | = q′11 · · · q′kk > 0 для любого K . 2



Пусть V — евклидово пространство. Мы знаем из теоремы 43, чтоотображение x 7→ ξx = (x , · ) устанавливает каноническийизоморфизм V → V ∗ между V и его двойственнымпространством V ∗. Это позволяет нам отождествить пространствалинейных отображений Hom(V ,V ) и Hom(V ,V ∗). С другой стороны,Hom(V ,V ) — это пространство End(V ) линейных операторов, а всилу теоремы 55, Hom(V ,V ∗) — это пространство билинейныхфункций B(V ). Если вникнуть в построение этих изоморфизмов, томы увидим, что в явном виде канонический изоморфизм междупространством операторов и пространством билинейных функций вевклидовом пространстве описывается следующим утверждением,которое легко доказать и непосредственно:



ЛЕММА 98

Пусть V — евклидово пространство. Отображение A 7→ BA = (A · , · )устанавливает изоморфизм ψ : End(V )→ B(V ) между пространствомоператоров и пространством билинейных функций. ЗдесьBA = (A · , · ) — билинейная функция, задаваемая формулойBA(x, y) = (Ax, y).

Доказательство. Так как пространства End(V ) и B(V ) имеютодинаковую размерность n2, достаточно проверить мономорфностьотображения ψ. Пусть ψ(A) = 0, т.е. BA — тождественно нулеваяфункция. Тогда (Ax , y) = 0 для любых x , y . В частности,(Ax ,Ax) = 0 для любого x , т.е. Ax = 0 и A = O — нулевой оператор.2

Это утверждение имеет важные следствия: оно позволяет переводитьутверждения об операторах в утверждения о билинейных функциях инаоборот. Одно из основных приложений заключается в следующем:


Линейная алгебраТЕОРЕМА 62 (о каноническом виде билинейнойсимметрической функции)Для билинейной симметрической функции в евклидовом пространствесуществует ортонормированный базис, в котором её матрицадиагональна. Другими словами, квадратичная форма приводится кдиагональному виду ортогональным преобразованием.

Доказательство.[Первое доказательство] Пусть B — симметрическаябилинейная функция и A — соответствующий ей оператор, т.е.B = BA. Тогда из B(x , y) = B(y , x) получаем(Ax , y) = (Ay , x) = (x ,Ay), т.е. оператор A самосопряжён. Выберемортонормированный базис e1, . . . , en из собственных векторовоператора A, т.е. Ae i = λie i . Тогда для матрицы B = (bij) функции Bв этом базисе имеем

bij = B(e i , e j) = (Ae i , e j) = (λie i , e j) = λiδij ,

т.е. матрица B диагональна (и совпадает с матрицей оператора A). 2Sergey Zyubin Алгебра, 2-й семестр 4 мая 2020 г. 355 / 375


Доказательство.[Второе доказательство] Посмотрим, какпреобразуются матрица билинейной функции и матрица операторапри ортогональном преобразовании. Пусть B — матрица билинейнойфункции в некотором ортонормированном базисе. При ортогональномпреобразовании с матрицей C матрица B переходит в матрицуB ′ = CTBC . Так как матрица C ортогональна, то же преобразованиемы можем записать в виде B ′ = C−1BC . Но это — законпреобразования для матрицы оператора. Так как оператор ссимметричной матрицей B в ортонормированном базисесамосопряжён, его можно привести к диагональному видуортогональным преобразованием. 2

Диагональный вид, к которому приводится симметрическаябилинейная функция (квадратичная форма) ортогональнымпреобразованием, называется каноническим.



ЛЕММА 99Канонический вид симметрической билинейной функции(квадратичной формы) единствен с точностью до перестановкидиагональных элементов. Эти элементы представляют собойсобственные значения матрицы квадратичной формы в любомортонормированном базисе.

Доказательство. Пусть Q — матрица квадратичной формы вортонормированном базисе. Тогда диагональные элементыканонического вида — это собственные значения самосопряжённогооператора с матрицей Q, т.е. корни уравнения det(Q − tE ) = 0. Вдругом ортонормированном базисе матрица квадратичной формы естьQ ′ = CTQC и её собственные значения находятся из уравненияdet(Q ′ − tE ) = 0. Так как det(Q ′ − tE ) = det(CTQC − tCTC ) =det(CT (Q − tE )C ) = det(CTC ) det(Q − tE ) = det(Q − tE ),собственные значения матриц Q и Q ′ совпадают. 2


Линейная алгебраСобственные векторы матрицы квадратичной формы также называютеё главными осями, а приведение к каноническому виду —приведением к главным осям.Модификация теоремы 62 позволяет одновременно приводить кдиагональному виду сразу две квадратичные формы, одна из которыхположительно определена:

ТЕОРЕМА 63Пусть даны две квадратичные формы Q(x) и B(x), причём формаQ(x) положительно определена. Тогда существует линейная заменакоординат x = Cy , приводящая форму Q(x) к нормальному виду(y1)2 + . . .+ (yn)2, а форму B(x) — к диагональному видуλ1(y1)2 + . . .+ λn(yn)2.

Доказательство. Положительно определённая симметрическаябилинейная функция, соответствующая квадратичной форме Q(x),превращает V в евклидово пространство. В исходных координатахматрица Грама скалярного произведения есть Q.


Линейная алгебраВ любом ортонормированном базисе матрица Грама (она же матрицаквадратичной формы Q(x)) будет единичной. Согласно теореме 62,существует ортонормированный базис, в котором матрица формыB(x) имеет диагональный вид. 2

Обратим внимание, что матрица C замены координат из предыдущейтеоремы не является ортогональной: вместо соотношения CTC = Eона удовлетворяет соотношению CTQC = E . Другими словами,столбцы матрицы C образуют ортонормированный базисотносительно скалярного произведения в Rn с матрицей Грама Q.Если мы попытаемся превратить доказательство теоремы 63 впрактический алгоритм, то нам придётся действовать в два шага:сначала найти матрицу C ′, приводящую Q к единичному виду, т.е.(C ′)TQC ′ = E , а матрицу B к некоторому виду B ′ = (C ′)TBC ′; затемнайти ортогональную матрицу C ′′, приводящую B ′ к каноническому(диагональному) виду, т.е. (C ′′)TB ′C ′′ = D — диагональная матрица;тогда для C = C ′C ′′ мы имеем CTQC = E и CTBC = D.


Линейная алгебраНа практике, однако, это метод не очень эффективен. Болееэффективный метод основан на следующем определении:Пусть даны две квадратичные формы Q(x) и B(x), причём Q(x)положительно определена. Корни уравнения det(B − tQ) = 0называются собственными значениями пары форм Q(x) и B(x).Пусть λ — собственное значение пары форм Q(x) и B(x). Ненулевойвектор y , удовлетворяющий системе уравнений (B − λQ)y = 0,называется собственным вектором пары форм, соответствующимсобственному значению λ.

ТЕОРЕМА 64 (о приведении пары квадратичных форм)Предположим, что линейная замена x = Cy приводит положительноопределённую форму Q(x) к нормальному виду (y1)2 + . . .+ (yn)2, аформу B(x) — к диагональному виду λ1(y1)2 + . . .+ λn(yn)2. Тогдачисла λ1, . . . , λn суть собственные векторы пары форм Q(x) и B(x), астолбцы матрицы C образуют базис из собственных векторов парыформ, который является ортонормированным относительноскалярного произведения, задаваемого формой Q(x).



Доказательство. Мы имеем CTQC = E , а CTBC = D, где D —диагональная матрица с числами λ1, . . . , λn на диагонали. Тогда длялюбого i матрица D − λiE вырождена, следовательно,

0 = det(D−λiE ) = det(CTBC−λiCTQC ) = det(CT (B−λiQ)C ) = det(C )2 det(B−λiQ).

Так как матрица C невырождена, отсюда следует, чтоdet(B − λiQ) = 0, т.е. λi — собственное значение пары форм.Пусть ci — i-й столбец матрицы C . Из соотношенияCT (B − λiQ)C = D − λiE мы получаем, что i-й столбец матрицыCT (B − λiQ)C нулевой, т.е. CT (B − λiQ)ci = 0. Так как матрица Cобратима, отсюда следует, что (B − λiQ)ci = 0, т.е. ci — собственныйвектор пары форм, отвечающий собственному значению λi .Наконец, соотношение CTQC = E выражает тот факт, что столбцыматрицы C образуют ортонормированный базис относительноскалярного произведения с матрицей Грама Q. 2


Линейная алгебраПусть B — кососимметрическая билинейная функция в пространственад полем характеристики, не равной 2. Соответствующую ейкососимметрическую билинейную форму B(x , y) = bijx

iy j , гдеbji = −bij , можно представить в виде

B(x , y) =∑i<j

bij(xiy j − x jy i ).

ТЕОРЕМА 65 (о нормальном виде кососимметрическойбилинейной функции)Для любой кососимметрической билинейной функции B над полемхарактеристики, не равной 2, существует базис, в котором её матрицаблочно-диагональная с блоками размера 1 или 2, причём блоки

размера 1 нулевые, а блоки размера 2 имеют вид(

0 1−1 0

).

Другими словами, любую кососимметрическую билинейную формуB(x , y) линейной заменой координат можно привести к виду

(x1y2 − x2y1) + (x3y4 − x4y3) + . . .+ (x2k−1y2k − x2ky2k−1).


Линейная алгебраДоказательство индукцией по размерности пространства V .При dimV = 1 доказывать нечего, так как кососимметрическаяфункция нулевая (здесь пользуемся тем, что характеристика поля неравна 2).Пусть dimV = 2. Тогда матрица кососимметрической функции впроизвольном базисе e1, e2 имеет вид

(0 b−b 0

), где b = b12 = B(e1, e2).

Пусть b 6= 0 (иначе мы уже имеем два блока из нулей). Тогда в новомбазисе e1′ = e1 и e2′ = 1

be2 мы имеем

b′12 = B(e1′ , e2′) = B(e1,1

be2) =

1

bB(e1, e2) = 1,

т.е. матрица кососимметрической формы имеет требуемый вид(

0 1−1 0

).

Теперь предположим, что утверждение уже доказано для пространствразмерности меньше n, и докажем его для размерности n. Можносчитать, что функция B не является тождественно нулевой (иначедоказывать нечего).


Линейная алгебраПусть b12 = B(e1, e2) 6= 0 для некоторого базиса e1, . . . , en.Попытаемся заменить базисные векторы так, чтобы новые векторыe1′ , . . . , en′ удовлетворяли соотношениям

B(e1′ , e2′) = 1, B(e1′ , e i ′) = B(e2′ , e i ′) = 0 при i > 3. (52)

Новый базис будем искать в виде

e1′ = e1, e2′ = ce2, e i ′ = e i + c1i ′e1 + c2i ′e2 при i > 3.

Подставив эти соотношения в (52), получим c = 1b12

и

0 = B(e1′ , e i ′) = B(e1, e i + c1i ′e1 + c2i ′e2) = b1i + c2i ′b12,

откуда c2i ′ = − b1ib12

. Аналогично,

0 = B(e2′ , e i ′) = B(ce2, e i + c1i ′e1 + c2i ′e2) = c(b2i − c1i ′b12),

откуда c1i ′ = b2ib12

. Окончательно, наша замена базиса имеет вид

e1′ = e1, e2′ =1

b12e2, e i ′ = e i +

b2ib12

e1 −b1ib12

e2 при i > 3.


Линейная алгебраВвиду соотношений (52), в новом базисе матрица билинейнойфункции B имеет вид

B ′ =

0 1−1 0

0 · · · 00 · · · 0

0 0...

...0 0

B ′

где B ′ — матрица билинейной функции B на подпространстве〈e3′ , . . . , en′〉. Так как это пространство имеет размерность n − 2, попредположению индукции в нём существует требуемый базисe3′′ , . . . , en′′ . Тогда в базисе e1′ , e2′ , e3′′ , . . . , en′′ исходногопространства V матрица кососимметрической функции B имееттребуемый вид. 2Вид, описанный в теореме 65, называется нормальным видомкососимметрической билинейной формы.




а) Ранг кососимметрической билинейной функции — чётное число.б) Кососимметрическая билинейная функция в пространстве

нечётной размерности всегда вырождена.

Ясно, что нормальный вид кососимметрической билинейной формызависит только от её ранга, и поэтому мы получаем:

ЛЕММА 100Две кососимметрические билинейные формы получаются друг издруга линейной заменой координат тогда и только тогда, когда ихранги совпадают.

Обратим внимание, что, в отличие от случая симметрическихфункций, нормальный вид кососимметрической функции не зависитот поля (при условии, что его характеристика отлична от 2).


Линейная алгебраЕвклидово пространство можно определить как вещественное линейноепространство с фиксированной невырожденной симметрическойбилинейной функцией. Аналогично вводится следующее определение.Симплектическим пространством называется вещественноепространство V с фиксированной невырожденной кососимметрическойбилинейной функцией, которая обозначается ω : V × V → R,(u, v) 7→ ω(u, v).Из следствия 13 вытекает, что размерность симплектическогопространства V всегда чётна; мы фиксируем обозначениеdimV = n = 2m.Ортогональным дополнением подпространства U в симплектическомпространстве V называется подпространство

U⊥ = {v ∈ V : ω(u, v) = 0 для всех u ∈ U}.

Свойства ортогонального дополнения в симплектическом пространствево многом повторяют свойства в евклидовом пространстве.


Линейная алгебраЛЕММА 101Для подпространств U и W симплектического пространства V имеема) dimU⊥ = n − dimU.б) (U⊥)⊥ = U.в) (U + W )⊥ = U⊥ ∩W⊥.г) (U ∩W )⊥ = U⊥ + W⊥.

Доказательство. а) Выберем базис e1, . . . , ek в U и дополним его добазиса e1, . . . , en в V . Пусть в этом базисе кососимметрическаяфункция ω задаётся матрицей B = (bij), т. е. ω(e i , e j) = bij . Тогда длявектора x = x je j условие принадлежности подпространству U⊥

записывается k линейными уравнениями ω(e i , x) = ω(e i , xje j) =

= bijxj = 0, i = 1, . . . , k . Матрица этой системы уравнений есть

(k × n)-матрица, составленная из первых k строк матрицы B . Так какматрица B невырождена (имеет ранг n), ранг матрицы системыравен k , а значит размерность пространства решений равнаn − k = n − dimU, что и требовалось.


Линейная алгебраб) Так как ω — кососимметрическая функция, равенство ω(u, v) = 0для любых u ∈ U и v ∈ U⊥ означает, что U ⊂ (U⊥)⊥. Из а) вытекает,что dim(U⊥)⊥ = n − (n − dimU) = dimU, поэтому U = (U⊥)⊥.

в) Докажем, что (U + W )⊥ ⊂ U⊥ ∩W⊥. Пусть v ∈ (U + W )⊥, т. е.(u + w , v) = 0 для любых u ∈ U и w ∈W . Полагая w = 0 и u = 0 мыполучим, соответственно, v ∈ U⊥ и v ∈W⊥, откуда v ∈ U⊥ ∩W⊥.Теперь докажем, что U⊥ ∩W⊥ ⊂ (U + W )⊥. Пусть v ∈ U⊥ ∩W⊥.Тогда (u, v) = 0 для любого u ∈ U и (w , v) = 0 для любого w ∈W .Следовательно, (u + w , v) = 0, т. е. v ∈ (U + W )⊥.

г) Ясно, что U⊥ ⊂ (U ∩W )⊥ и W⊥ ⊂ (U ∩W )⊥, откудаU⊥ + W⊥ ⊂ (U ∩W )⊥. Далее, имеем

dim(U⊥ + W⊥) = dimU⊥ + dimW⊥ − dim(U⊥ ∩W⊥) =

= dimU⊥ + dimW⊥ − dim(U + W )⊥ =

= n−dimU+n−dimW−n+dim(U+W ) = n−dim(U∩W ) = dim(U∩W )⊥.

Поэтому (U ∩W )⊥ = U⊥ + W⊥. 2Sergey Zyubin Алгебра, 2-й семестр 4 мая 2020 г. 369 / 375


Замечание. Лемма 101 выполнена для произвольной невырожденнойбилинейной функции, но при этом необходимо различать левое иправое ортогональное дополнение.В отличие от евклидовых пространств, равенство V = U ⊕ U⊥ можетне иметь места в симплектическом пространстве.Подпространство U ⊂ V называется изотропным, если ω|U = 0, т. е.ω(u,u′) = 0 для любых u,u′ ∈ U.Другими словами, U изотропно, если U ⊂ U⊥. Для изотропногопространства мы имеем dimU 6 dimU⊥ = n − dimU, откудаdimU 6 m = n

2 .Изотропное подпространство L максимальной размерности m = dimV

2называется лагранжевым. Для такого подпространства имеем L = L⊥.



Из теоремы 65 о каноническом виде кососимметрической функциивытекает, что существует базис e1, . . . , e2n, для которого

ω(e i , e j) =

{1, если i нечётно и j = i + 1,0 для всех остальных i и j > i .

Рассмотрим новый базис, получаемый перенумерацией векторовe1, . . . , e2n:

ai = e2i−1, bi = e2i , i = 1, . . . ,m.

Такой базис a1, . . . , am,b1, . . . ,bm удовлетворяет соотношениям

ω(ai ,bj) = δij , ω(ai , aj) = ω(bi ,bj) = 0

и называется симплектическим или гамильтоновым базисом. Матрица

функции ω в симплектическом базисе имеет вид(

0 E−E 0

).



Из существования симплектического базиса сразу вытекаетсуществование лагранжевых подпространств. Для каждогоподмножества индексов I = {i1, . . . , ik} ⊂ {1, . . . ,m} (возможно,пустого) положим

LI = 〈ai : i ∈ I , bj : j /∈ I 〉.

Ясно, что dim Li = m и LI — лагранжево подпространство. Вчастности, L{1,...,m} = 〈a1, . . . , am〉 и L∅ = 〈b1, . . . ,bm〉. Лагранжевыпространства вида LI называются стандартными для данногосимплектического базиса.

Следующие два утверждения показывают, что лагранжевыхподпространств достаточно много.


Линейная алгебраЛЕММА 102Любое изотропное подпространство U содержится в некоторомлагранжевом.

Доказательство. Пусть dimU = k . Рассмотрим ω|U⊥ — ограничениекососимметрической функции ω на подпространство U⊥. Так какω|U = 0 и U ⊂ U⊥, кососимметрическая функция ω|U⊥ вырождена(если U 6= {0}), а её ранг равен

dimU⊥ − dim(U⊥)⊥ = dimU⊥ − dimU = n − k − k = 2(m − k).

Приведя функцию ω|U⊥ к нормальному виду, получим, что внекотором базисе a1, . . . , am−k ,b1, . . . ,bm−k , c1, . . . , ck её матрицабудет иметь вид

(0 E 0−E 0 00 0 0

). При этом U = 〈c1, . . . , ck〉. Рассмотрим

L = 〈b1, . . . ,bm−k , c1, . . . , ck〉. Тогда U ⊂ L и dim L = m. Наконец, Lлагранжево, так как матрица ограничения ω|L есть правый нижнийквадрат из нулей в матрице ограничения ω|U⊥ . 2



ТЕОРЕМА 66Для любого лагранжева подпространства L ⊂ V существует такоелагранжево подпространство L, что V = L⊕ L. Подпространство Lможно выбрать среди стандартных подпространств LI , отвечающихпроизвольному наперёд заданному симплектическому базису.

Доказательство. Рассмотрим подпространствоL{1,...,m} = 〈a1, . . . , am〉 и пусть I — такое подмножество индексов, чтовекторы ai , i ∈ I , порождают в L{1,...,m} подпространство,дополнительное к L{1,...,m} ∩ L:

(L{1,...,m} ∩ L)⊕ 〈ai : i ∈ I 〉 = L{1,...,m}

(для этого нужно выбрать базис e1, . . . , ek в L{1,...,m} ∩ L и затемвыбросить из семейства векторов e1, . . . , ek , a1, . . . , am все векторы,линейно выражающиеся через предыдущие).



Так как L{1,...,m} ∩ L ⊂ L = L⊥ и 〈ai : i ∈ I 〉 ⊂ LI = L⊥I , мы имеем

L{1,...,m} = (L{1,...,m} ∩ L)⊕ 〈ai : i ∈ I 〉 ⊂ L⊥ + L⊥I = (L ∩ LI )⊥.

Следовательно, L ∩ LI ⊂ L⊥{1,...,m} = L{1,...,m}. Тогда

L∩LI = (L∩L{1,...,m})∩(LI ∩L{1,...,m}) = (L∩L{1,...,m})∩〈ai : i ∈ I 〉 = {0}.

Так как dim L + dim LI = dimV , мы получаем, что V = L⊕ LI . 2


Documents

Как устроен курс?Sergey Zyubin Алгебра, 2-й семестр 4 мая 2020 г.6/375 Дополнительная литература Калужнин Л.А., Введение