Upload
others
View
66
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ
УО «Белорусский государственный экономический университет»
Сборник задач и упражнений
по высшей математике
для студентов экономических специальностей
В 2 частях Часть II
МИНСК 2014
УДК 51 (075.3)
ББК 22.1я 73
С 23 Печатается в авторской редакции
Авторы: Л.Н.Гайшун, Н.В.Денисенко, А.В.Марков, Л.В.Станишевская,
Н.Н.Ящина
Рецензенты: зав. отделом ИМ НАН Беларуси, доктор физико-математических
наук, профессор Н.А.Лиходед
Рекомендовано кафедрой высшей математики
Утверждено Редакционно-издательским советом университета
Сборник задач и упражнений по высшей математике для студентов эконо-
мических специальностей: в 2 ч. / Л.Н.Гайшун, Н.В.Денисенко, А.В.Марков (и
др.). – Минск: БГЭУ, 2014. – Ч.2. – 270 с.
Содержит задачи по следующим разделам математики: функции несколь-
ких переменных, интегральное исчисление и дифференциальные уравнения,
ряды. Каждый параграф сборника содержит краткие сведения из теории, ре-
шенные примеры для иллюстрации наиболее рациональных методов решения и
задачи для самостоятельного решения. В конце каждой главы даны контроль-
ные задания. В приложении содержатся варианты тестовых заданий для кон-
троля усвоения студентами учебного материала. Для усиления прикладной эко-
номической направленности курса высшей математики в сборнике приведено
большое количество задач экономического содержания.
3
Содержание
Предисловие …………………………………………………………………. 5
Раздел IV. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ ………… 6
Глава 8. Функции нескольких переменных …………………………. 6 8.1. Основные понятия ……………………………………………... 6 8.2. Предел и непрерывность функции нескольких переменных 9 8.3. Частные производные, полный дифференциал, производная
в данном направлении и градиент функции …………………. 12
8.4. Дифференцирование сложных и неявных функций. Частные производные и дифференциалы высших порядков …………..
18
8.5. Экстремум функций нескольких переменных. Условный экстремум ……………………………………………………….
22
8.6. Наибольшее и наименьшее значения функции нескольких переменных. Функция нескольких переменных в экономиче-ских задачах ……………………………………………………..
25 8.7. Контрольные задания к главе 8 ………………………………. 28
Раздел V. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ И ДИФФЕРЕНЦИ-АЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ……………………………………...
37
Глава 9. Неопределенный интеграл …………………………………... 31 9.1. Непосредственное интегрирование …………………………... 33 9.2. Интегрирование путем подведения под знак дифференциала
и методом подстановки ………………………………………... 39
9.3. Интегрирование по частям……………………………………... 48 9.4. Интегрирование рациональных функций …………………… 57 9.5. Интегрирование тригонометрических функций ……………... 69 9.6. Интегрирование некоторых иррациональных функций …….. 81 9.7. Контрольные задания к главе 9 ……………………………….. 93
Глава 10. Определенный интеграл и его приложения……………….. 95 10.1. Определенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница …….. 95 10.2. Замена переменной и интегрирование по частям в
определенном интеграле ………………………………………. 103
10.3. Приближенное вычисление определенных интегралов (формула трапеции). Несобственные интегралы ……………..
110
10.4. Геометрические приложения определенного интеграла ……. 122 10.5. Приложения определенного интеграла в решении
физических и экономических задач …………………………... 140
10.6. Контрольные задания к главе 10 ……………………………… 145
4
Глава 11. Дифференциальные уравнения …………………………….. 149 11.1. Основные понятия и определения …………………………….. 149 11.2. Дифференциальные уравнения с разделенными и разделяю-
щимися переменными …………………………………………. 154
11.3. Однородные дифференциальные уравнения 1-го порядка ….. 157 11.4. Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка …….. 161 11.5. Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с по-
стоянными коэффициентами ………………………………….. 166
11.6. Контрольные задания к главе 11 ……………………………… 175
Раздел VI. РЯДЫ ………………………………………………………….. 177 Глава 12. Числовые ряды ………………………………………………... 177
12.1. Числовой ряд, его сходимость ………………………………… 177 12.2. Исследование на сходимость рядов с положительными чле-
нами. Признаки сравнения …………………………………….. 183
12.3. Признаки сходимости Даламбера и Коши. Интегральный признак сходимости …………………………………………….
185
12.4. Абсолютная сходимость. Признак Лейбница о сходимости знакочередующихся рядов ……………………………………..
190
12.5. Контрольные задания к главе 12 ……………………………… 193
Глава 13. Степенные ряды ………………………………………………. 195 13.1. Степенные ряды. Интервал и радиус сходимости …………… 195 13.2. Ряды Тейлора и Маклорена …………………………………… 199 13.3. Применение рядов в приближенных вычислениях ………….. 203 13.4. Контрольные задания к главе 13 ……………………………… 207
Примерные варианты тестовых заданий ………………………………… 209 О т в е т ы …………………………………………………………………….. 227 Л и т е р а т у р а ……………………………………………………………... 269
5
П Р Е Д И С Л О В И Е
В первые два года обучения студенты экономических специальностей изучают курс высшей математики, являющийся фундаментом экономического образования. Для успешного и глубокого усвоения данного курса необходимы не только учебники и справочники по соответствующим разделам, но и задачники, служащие для закрепления теоретического материала и повышения уровня математической подготовки студентов с усилением ее прикладной экономической направленности.
При подготовке сборника авторы исходили из того, что наиболее эффективной формой изучения высшей математики является, помимо изучения теоретического материала, самостоятельная работа студентов над практическими заданиями при надлежащем контроле со стороны преподавателей. Поэтому каждый параграф содержит краткие сведения из теории, носящие справочный характер, и достаточно большое число примеров с подробным решением для иллюстрации наиболее рациональных приемов. В конце каждой главы даны соответствующие контрольные задания, что облегчает использование этого сборника преподавателями.
Материал сборника подготовили сотрудники кафедры высшей математики Белорусского государственного экономического университета:
глава 8 –– кандидат физико-математических наук, доцент А.В. Марков; главы 9, 10 –– кандидат физико-математических наук Л.В. Станишевская; глава 11 –– ассистент Н.Н. Ящина; главы 12, 13 –– кандидат физико-математических наук, доцент Л.Н.
Гайшун. Кандидат физико-математических наук, доцент Н.В.Денисенко
участвовал в написании и редактировании всего сборника. В конце книги даны ответы на предложенные задачи и приведен список
литературы, в который вошли в основном все источники, использованные авторами при составлении данного сборника.
В приложении также даны примерные варианты тестовых заданий для контроля усвоения курса студентами.
Задачник может быть использован студентами экономических специальностей различных вузов всех форм обучения.
Авторы будут благодарны за все замечания и предложения по улучшению данного сборника.
6
Раздел IV ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Глава 8. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
8.1. Основные понятия
Рассмотрим множество ,D состоящее из пар действительных чисел yx, , и некоторое множество Z действительных чисел.
Если каждой паре действительных чисел Dyx , по некоторому прави-лу f поставлено в соответствие одно определенное действительное число
Zz , то говорят, что на множестве D задана функция yxfz , , принимаю-щая значения из множества .Z
Функцию yxfz , называют функцией двух переменных, а переменные x и y – независимыми переменными или аргументами. Множество D называется областью определения функции. Областью определения функции двух переменных является множество точек плоскости. Функцию двух переменных можно задавать аналитически, графически и табличным способом.
Частное значение функции yxfz , при 0xx , 0yy обозначается через 000 , yxfz . Геометрическим изображением (графиком) функции двух переменных
yxfz , является, вообще говоря, поверхность в пространстве .Oxyz Аналогично определяется функция большего числа переменных
nxxxfz ,,, 21 . Геометрические изображения функции трех и большего числа перемен-ных не имеют простого геометрического смысла. В некоторых случаях можно получить наглядное геометрическое пред-ставление о характере изменения функции, рассматривая ее линии уровня (или поверхности уровня), т.е. линии или поверхности, где данная функция сохраня-ет постоянное значение.
Линией уровня функции yxfz , называется множество всех точек плоскости ,Oxy для которых данная функция имеет одно и то же значение. Таким образом, уравнение линии уровня есть ,, Cyxf где C – некото-рая постоянная. Поверхностью уровня функции zyxfu ,, называется множество всех точек пространства ,Oxyz для которых данная функция имеет одно и то же зна-чение.
7
Пример 8.1. Прибыль банка z есть функция процентной ставки ,x по ко-торой банк выдает кредит, и процентной ставки ,y по которой банк принимает вклады. Пример 8.2. Площадь прямоугольника вычисляется по формуле ,xyS где x и y – длины сторон прямоугольника, т.е. S – функция двух переменных. Область определения данной функции – это множество точек yx, таких, что
0x , 0y , т.е. множество всех точек плоскости, расположенных в первой четверти, не включая оси координат (рис. 8.1).
Рис. 8.1
Пример 8.3. Найти область определения функций:
1) 224
1yx
z
; 2) xyxz 2
arcsin .
Р е ш е н и е. 1) Функция имеет действительные значения, если 04 22 yx или 422 yx . Последнему неравенству удовлетворяют коор-
динаты точек, лежащих внутри окружности радиуса 2 с центром в начале коор-динат. Область определения функции есть внутренность этого круга (рис. 8.2).
Рис. 8.2
2) Первое слагаемое функции определено при 12
1 x или 22 x .
Второе слагаемое имеет действительные значения, если 0xy , т.е. в двух слу-
x
y
O -2 2
y
x O
8
чаях: при
0,0
yx
или при
0,0
yx
. Область определения всей функции изобра-
жена на рис. 8.3 и включает границы области.
Рис. 8.3
Пример 8.4. Найти линии уровня следующих функций:
1) yxz 2 ; 2) 2261
yxz
.
Р е ш е н и е. 1) Уравнение линий уровня данной функции можно запи-сать в виде Cyx 2 или Cxy 2 . Линии уровня являются прямыми.
2) Уравнение линий уровня данной функции можно записать в виде
Cyx
2261 или 16 22 yxC 0C , или 11
61
22
C
y
C
x 0C . Линии уров-
ня являются эллипсами.
Задачи для самостоятельного решения
8.1. Вычислить частные значения функций:
а) yxyxz
223 при 2x , 1y ; при 1x , 3y ;
б) yxz sin3 в точке
3;2 M ; в) 322 yyxz в точке
31;
21Q .
8.2. Найти области определения следующих функций и сделать чертежи: а) 229 yxz ; б) 21 yxz ; в) yxz ln ; г) ;arccosyxz
y
x -2 2 0
9
д) 22 44 yxz ; е) yxz arcsin ;
ж) 22 1616 yxz ; з) xyz cos ;
и) 2ln yxz ; к) 221 yxyxarctgz
л) 22
1yx
z
; м) 22sin yxz ;
н) xy
z
2 ; о)
yxz 1
52
.
8.3. Найти области определения следующих функций трех переменных: а) zyxu ; б) ;lg xyzu
в) ;arccosarccosarccos zyxu г) 2221 zyxu .
8.4. Найти линии уровня следующих функций: а) 22ln yxz ; б) xyz arcsin ; в) 22 4yxz ;
г) ;xyz д) yxz
2
; е) 22 49 yxz .
8.5. Найти поверхности уровня функций:
а) zyxu ; б) zyxu ;
в) 222 zyxu ; г) 22 yx
zu
.
8.2. Предел и непрерывность функции нескольких переменных Пусть в некоторой области D задана последовательность точек ...,,,...,,,, 2211 nn yxyxyx . Точка 000 , yxM также принадлежит области D . Расстояние между точками nn yx , и 00 , yx может быть вычислено по формуле
202
0 yyxxd nnn .
Будем говорить, что последовательность точек nn yx , стремится к точ-ке 00 , yx , если при n расстояние 0nd . Пусть функция определена в некоторой окрестности точки 00 , yx , кроме может быть самой точки. Число A называется пределом функции yxfz , в точке 00 , yx , если для любой последовательности точек nn yx , , стремящейся к точке с коорди-
10
натами 00 , yx , точки которой отличны от точки 00 , yx и не выходят из обла-сти определения функции, соответствующая последовательность значений функции ...,,,...,,,, 2211 nn yxfyxfyxf стремится к числу A . В этом случае пишут:
Ayxfyyxx
,lim00
.
Функция yxfz , называется непрерывной в точке с координатами 00 , yx , если предел функции y,xf при 0xx и 0yy равен значению функции в точке 00 , yx , т.е.
00 ,,lim00
yxfyxfyyxx
.
Для функции большего числа переменных предел и непрерывность опре-деляются аналогично.
Пример 8.5. Найти пределы функций:
1) 2
2lim 4432
yx
xy
yx
; 2) y
xy
yx
3sinlim01
; 3) x
yx
yx
00
lim .
Р е ш е н и е. 1) Функция 2
244
yxxyz определена и непрерывна на
всей плоскости, поэтому предел этой функции равен значению функции в точке
3;2 , т.е. 334
9912
28116322
22lim 44
32
yx
xy
yx
.
2) Функция y
xyz 3sin в точке 0;1 не определена. Воспользуемся первым
замечательным пределом 1sinlim0
.
31133
3sinlimlim33
3sin3lim3sinlim01
01
01
01
xy
xyxxy
xyxy
xy
yx
yx
yx
yx
.
3) Рассмотрим две последовательности точек, стремящихся к точке
0;0 , а именно:
nnM n
1;1 и
0;1
nM n , тогда 21
11
limlim00
n
nnx
yxn
yx
,
11
01
limlim00
n
nx
yxn
yx
.
Для разных последовательностей точек получены разные пределы, это и показывает, что данная функция предела не имеет.
11
Пример 8.6. Найти точки разрыва функции yx
xyz
2
2 .
Р е ш е н и е. Для данной функции знаменатель не должен обращаться в ноль. Если 02 yx , то 2xy – уравнение параболы. Следовательно, данная функция имеет линией разрыва параболу 2xy .
Задачи для самостоятельного решения 8.6. Найти пределы функций:
а) yxytg
yx
2lim03
; б) yxyx
yx
33
33
lim ;
в) 42
lim00
xy
xy
yx
; г) 11lim
11
y
x
yx
;
д) 33/133
00
1lim yx
yx
yx
; е) yx
yxyx
1sinlim ;
ж) 22
22
00
limyxyx
yx
; з) 2200
limyx
y
yx
;
и) xy
yxyx
1sinlim 22
00
; к) yxyx
yx
33
00
lim .
8.7. Найти точки разрыва функций:
а) 22ln yxz ; б) 2291
yxz
;
в) 2
1yx
z
; г) xy
z 1cos ;
д) 22 32
1
yx
z ; е) yxyxz
22
;
ж) zyx
u
1 ; з)
xyzu 1cos .
12
8.3. Частные производные, полный дифференциал, производная в данном направлении и градиент функции
Частной производной функции нескольких переменных по одной из этих переменных называется предел отношения соответствующего частного прира-щения функции к приращению данной переменной, когда последнее стремится к нулю. Для функции двух переменных yxfz , , полагая, например, y посто-янной, получаем производную
yxf
xyxfyxxf
xz
xx,,,lim
0
,
которая называется частной производной функции z по переменной x . Анало-гично определяется частная производная функции z по переменной y
yxf
yyxfxyxf
yz
yy,,,lim
0
.
Полным приращением функции yxfz , называется разность
yxfyyxxfz ,, .
Полным дифференциалом функции yxfz , называется главная часть полного приращения z , линейная относительно приращений аргументов x и
y . Полный дифференциал функции yxfz , обозначается символом dz . Разность между полным приращением и полным дифференциалом функ-ции есть бесконечно малая высшего порядка по сравнению с 22 yx . Функция заведомо имеет полный дифференциал в случае непрерывности ее частных производных. Если функция имеет полный дифференциал, то она называется дифференцируемой. Дифференциалы независимых переменных, по определению, совпадают с их приращениями, т.е. xdx и ydy . Полный дифференциал функции yxfz , находится по формуле
dyyzdx
xzdz
.
Аналогично, полный дифференциал функции трех аргументов zyxfu ,, находится по формуле
dzzudy
yudx
xudu
.
13
При достаточно малых x и y , а значит, при достаточно малом 22 yx , для дифференцируемой функции yxfz , имеет место при-
ближенное равенство dzz или
yyzx
xzz
,
откуда
.,, yyzx
xzyxfyyxxf
(8.1)
Формула (8.1) применяется для приближенного вычисления значения функции yxfz , в точке yyxx , по известным значениям функции
yxz , и ее частных производных xz
и yz
в данной точке yx, .
Производной функции yxfz , в данном направлении 1MMl называ-ется
MM
MfMflz
MM1
1
01
lim
,
где Mf и 1Mf – значения функции в точках M и 1M . Если функция z дифференцируема, то справедлива формула
coscosyz
xz
lz
, (8.2)
где – угол, образованный вектором l с осью Ox , а – угол, образованный вектором l с осью Oy , причем 90 (рис. 8.4).
Рис. 8.4
y
x O
M
1M
14
Аналогично определяется производная в данном направлении l для функции трех аргументов zyxfu ,, . В этом случае
coscoscoszu
yu
xu
lu
, (8.3)
где ,, – углы между направлением l и соответствующими координатными осями. Производная в данном направлении характеризует скорость изменения функции в этом направлении. Градиентом функции yxfz , называется вектор, проекциями которо-го на координатные оси являются соответствующие частные производные дан-ной функции:
jyzi
xzzgrad
. (8.4)
Производная данной функции в направлении l связана с градиентом функции следующей формулой:
zgradпрlz
l
,
т.е. производная в данном направлении равна проекции градиента функции на направление дифференцирования. Градиент функции в каждой точке направлен по нормали к соответству-ющей линии уровня функции. Направление градиента функции в данной точке есть направление наибольшей скорости возрастания функции в этой точке, т.е.
при zgradl производная lz
принимает наибольшее значение, равное
22
yz
xz .
Аналогично определяется градиент функции трех переменных zyxfu ,, :
kzuj
yui
xuugrad
.
Градиент функции трех переменных в каждой точке направлен по норма-ли к поверхности уровня, проходящей через эту точку.
Пример 8.7. Найти частные производные следующих функций:
1) xyctgz ln ; 2) 225423 zyxzyxu .
15
Р е ш е н и е. 1) Рассматривая y как постоянную величину, получим:
xyx
yxy
xy
xyctgx
z2sin
2
sin
112
22
. Аналогично, рассматривая x как по-
стоянную, получим:
xyxx
xy
xyctgy
z2sin
21
sin
112
.
2) 43 22
zyxxu
, 52 3
yzxyu
, 223
yxzu
.
Пример 8.8. Найти полный дифференциал функции 33 yxz .
Р е ш е н и е. Найдем частные производные 33
2
23
yxx
xz
,
33
2
23
yxy
yz
. Тогда 33
22
33
2
33
2
233
23
23
yxdyydxxdy
yxydx
yxxdz
.
Пример 8.9. Вычислить приближенно 01.302.1 .
Р е ш е н и е. Искомое число будем рассматривать как значение функции yxz при 2,01x , 1,03y . Значение функции в точке 3;1 равно
113;1 3 z , 02,0x , 01,0y . Используя формулу (8.1), получим
xyxdzz y 1 06,001,01ln102,013ln yxx y . Следовательно,
06,106,0102,1 01.3 . Пример 8.10. Найти производную функции 22 32 yxz в точке 0;1M
в направлении, составляющем с осью Ox угол в 60 . Р е ш е н и е. Найдем частные производные данной функции и их значе-
ния в точке M : xxz 4
; 4
Mxz ; y
yz 6
; 0
Myz . Здесь cos
2160cos ,
2330coscos . Применяя формулу (8.2), получим
2230
214
lz .
Пример 8.11. Найти и построить градиент функции yxz 2 в точке
1;1M .
16
Р е ш е н и е. Вычислим частные производные и их значения в точке M :
xyxz 2
; 2
Mxz ; 2x
yz
; 1
Myz . Следовательно, jizgrad 2
(рис. 8.5).
Рис. 8.5
Задачи для самостоятельного решения
8.8. Найти частные производные функций:
а) xyyxz 333 ; б) yxxz 42sin2 ;
в) yxyxz
3
; г) yxz ;
д) xyz
4
; е) yx
ezsin
;
ж) 22
22
arcsinyxyxz
, 0x , 0y ; з)
yaxz
sinln ;
и) xyz ; к)
2
5yx
xz
;
л) xyarctgz ; м)
yxz
2cos ;
н) zxyu ; о) xyzu .
8.9. Найти полные дифференциалы следующих функций:
а) yxyxz 243 5 ; б) 32 yxz ;
в) 22
22
yxyxz
; г) yxz 22 cossin ;
д) yyxz ; е) 33ln yxz ;
y
1 2 3
1
2
M
O x
17
ж)
yxz 1ln ; з)
xyarcctg
yxarctgz ;
и) yxtgz ln ; к) xyzu ;
л) 3 333 zyxu ; м) xyezu .
8.10. Найти приближенные значения:
а) 32 99,002,1 ; б) 59cos32sin ;
в) 22 97,204,4 ; г) 99,803,1 ;
д)
1
97,098,1arctg ; е) 15,0295,1 e .
8.11. Найти производную функции 22 2yxyxz в точке 2;1M в направле-нии, составляющем с осью Ox угол в 60 .
8.12. Найти производную функции 12 223 xyyxxz в точке 2;1P в направлении, идущем от этой точки к точке 6;4N .
8.13. Найти производную функции 22ln yxz в точке 1;1K в направлении биссектрисы первого координатного угла.
8.14. Найти производную функции 532 yzxu в точке 1;2;1 N в направ-лении, составляющем одинаковые углы со всеми координатными осями.
8.15. Найти производную функции zxyzxyu в точке 3;1;2K в направ-лении, идущем от этой точки к точке 15;5;5L .
8.16. Найти zgrad в точке 1;2 , если xyyxz 333 .
8.17. Найти zgrad в точке 3;5 , если 22 yxz .
8.18. Найти ugrad в точке 3;2;1 , если xyzu .
8.19. Найти угол между градиентами функции xyz ln в точках
41;
21A и
1;1B .
18
8.4. Дифференцирование сложных и неявных функций. Частные производные и дифференциалы высших порядков
Если yxfz , , tx , ty , то z называется сложной функцией от t . При этом
dtdy
yz
dtdx
xz
dtdz
, (8.5)
если f , и – дифференцируемые функции. В частности, если t совпадает с одним из аргументов, например x , то «полная» производная функции z по x находится по формуле:
dxdy
yz
xz
dxdz
. (8.6)
Если yxfz , , где vux , , vuy , (u и v – независимые пере-менные), и если f , и – дифференцируемые функции, то
uy
yz
ux
xz
uz
, vy
yz
vx
xz
vz
. (8.7)
Уравнение 0, yxF , имеющее решение 00 , yx , определяет в окрест-ности 0x переменную y как непрерывную функцию x при условии, что произ-
водная 0
yF и непрерывна в некоторой окрестности точки 00 , yx . Эта
функция называется неявной. Если в окрестности точки 00 , yx существует
также и непрерывная производная xF
, то неявная функция имеет производную
dxdy , определяемую формулой
yFxF
dxdy
. (8.8)
Уравнение 0,, zyxF при аналогичных условиях определяет z как не-явную функцию x и y , имеющую частные производные
zFxF
xz
,
zFyF
yz
. (8.9)
19
Пусть дана функция yxfz , , имеющая частные производные xz
и
yz
. Частные производные от этих производных называются частными произ-
водными 2-го порядка и обозначаются:
2
2
xz
xz
x
; yxz
xz
y
2
;
xyz
yz
x
2
; 2
2
yz
yz
y
.
Аналогично определяются и обозначаются частные производные 3-го порядка и других высших порядков. Смешанные производные, отличающиеся только порядком дифференци- рования, равны, если они непрерывны:
xyz
yxz
22
, 2
33
2
3
xyz
xyxz
yxz
и т.д.
Таблица производных высших порядков выглядит следующим образом:
2-го порядка 2
2
xz
, yxz
2
, 2
2
yz
.
3-го порядка 3
3
xz
, yx
z
2
3
, 2
3
yxz
, 3
3
yz
и т.д.
Полный дифференциал второго порядка определяется так: 2
2
222
2
22 2 dy
yzdxdy
yxzdx
xzzd
. По-иному данное равенство можно запи-
сать символически: zdyy
dxx
zd
22 . Аналогично
zdyy
dxx
zd3
3
и т.д.
Пример 8.12. Найти dtdz , если yxez 23 , где tx cos , 2ty .
Р е ш е н и е. По формуле (8.5) имеем:
ttettetetedtdz ttyxyxyx sin34sin3422sin3
22cos3232323 .
Пример 8.13. Найти частную производную xz
и полную производную
dxdz , если xyez , где xy .
20
Р е ш е н и е. xyyexz
. На основании формулы (8.6) получаем
xxeyedxdz xyxy .
Пример 8.14. Найти uz
и vz
, если yxfz , , где uvx , vuy .
Р е ш е н и е. Применяя формулы (8.7), получим: vy
zvxz
uz 1
,
2vu
yzu
xz
vz
.
Пример 8.15. Найти dxdy , если 013 22322 yxyx .
Р е ш е н и е. Обозначая левую часть данного уравнения через yxF , ,
найдем частные производные 162323 222222
yxxxxyxxF ,
162323 222222
yxyyyyxyF . Отсюда, применяя формулу (8.8),
получим y
xyxyyxx
yFxF
dxdy
1616
222
222
.
Пример 8.16. Найти xz
и yz
, если 023 243 yyzzyx .
Р е ш е н и е. Обозначая левую часть данного уравнения через zyxF ,, ,
найдем частные производные 23xxF
, 112 3
zyyF , yz
zF
4 .
Применив формулы (8.9), получим:
yzx
yzx
zFxF
xz
43
43 22
, zyzy
yzzy
zFyF
yz
4112
4112 33
.
Пример 8.17. Найти частные производные второго порядка от функции
yxarctgz .
Р е ш е н и е. Найдем сначала частные производные первого порядка:
22
2
21
1
1yx
yy
yxx
z
222
2
2
1
1yx
xyx
yxy
z
. Теперь дифференцируем
21
вторично: 222222
2 2yx
xyyx
yxx
z
, 222222
2 2yx
xyyx
xyy
z
,
222
22
222
22
22
2 21yxyx
yxyyyx
yxy
yyxz
.
Смешанную частную производную можно найти и иначе:
222
22
222
22
22
22 21
yx
yx
yx
xxyxyx
xxxy
zyxz
.
Пример 8.18. Найти полные дифференциалы 1-го и 2-го порядков функции 22 32 yxyxz .
Р е ш е н и е. Найдем сначала частные производные первого порядка:
yxxz 34
, yxyz 23
. Тогда dyyxdxyxdyyzdx
xzdz 2334
.
Найдем теперь частные производные второго порядка: 42
2
xz , 3
2
yxz ,
22
2
yz . Дифференциал второго порядка запишется следующим образом:
222 264 dydxdydxzd .
Задачи для самостоятельного решения
8.20. Найти dtdz , если:
а) 22 yxyxz , 2tx , ty ; б) 22 yxz , tx sin , ty cos ;
в) xyz , tex , tey 21 ; г)
yxz sinln , 23tx , 12 ty .
8.21. Найти dxdz , если:
а) xyarctgz , где xey ; б) yxyxz
2
2
, где 12 xy
в) yxez , где xy ; г) 2xyz , где xy ln .
22
8.22. Найти uz
и vz
, если:
а) yxz
2
, где vux 3 , uvy 2 ; б) yxarctgz , где vux sin , vuy cos ;
в) yxz , где uvx , vuy ; г) xyyxz 22 , где 2vux , vuy 2 .
8.23. Найти dxdy из уравнений:
а) 0532 22 yxyx ; б) 32
32
32
ayx ; в) 033 xy yexe ; г) 0433 axyyx .
8.24. Найти xz
и yz
, если:
а) 2333 2 azxzyx ; б) zyxzyx 3232cos3 ; в) 02332 322 yxyzzyx ; г) 1coscoscos xzzyyx .
8.25. Найти все частные производные 2-го порядка, если:
а) yxz 2ln ; б) xyyxarctgz
1; в) 22 yxyz ;
г) 11
xyz ; д) yxxz sin ; е) 1ln2 xyz .
8.26. Найти zd 2 , если:
а) 3
3
xyz ; б)
yxyz ln ; в)
32 yxez ; г) ytgxz sin2 .
8.5. Экстремум функции нескольких переменных.
Условный экстремум
Точка 000 , yxM называется точкой максимума (минимума) функции yxfz , , если существует такая окрестность точки 0M , что для всех точек
yxM , из этой окрестности, отличных от точки 0M , выполняется неравенство 0MfMf ( 0MfMf ). Точки максимума и минимума функции назы-
ваются точками экстремума этой функции. Необходимые условия экстремума. Если функция yxfz , в точке
000 , yxM имеет экстремум, то либо все ее частные производные первого по-рядка в этой точке (если они существуют) равны нулю, т.е.
0
xz , 0
yz , (8.10)
либо хотя бы одна из них не существует.
23
Точки, в которых все частные производные первого порядка функции yxfz , равны нулю или хотя бы одна из них не существует, называются
критическими. Аналогично определяются необходимые условия экстремума функции большего числа переменных.
Достаточные условия экстремума. Пусть 2
2
xzA
,
yxzB
2
и 2
2
yzC
в критической точке 000 , yxM и 2BACCBBA
.
Тогда, если: 1) 0 , 0A , то функция имеет в точке 0M максимум; 2) 0 , 0A , то функция имеет в точке 0M минимум; 3) 0 , то в точке 0M экстремума нет; 4) 0 , то экстремум может быть, а может и не быть (требуются дополни-тельные исследования).
Условный экстремум. Чтобы найти экстремум функции yxfz , при условии, что x и y связаны уравнением 0, yx , составляется вспомога-тельная функция Лагранжа yxyxfu ,, . (8.11) Координаты точки экстремума yx, должны удовлетворять системе трех уравнений
0, yx , 0
xu , 0
yu , (8.12)
из которой и находятся , x и y . Пример 8.19. Исследовать на экстремум функцию yxxyxz 12153 23 . Р е ш е н и е. Найдем частные производные и составим систему уравне-
ний (8.10): 01533 22
yxxz , 0126
xyyz или
020522
xyyx . Ре-
шая систему, получим четыре критические точки: 2;11M , 1;22M ,
2;13 M , 1;24 M . Найдем производные 2-го порядка xxz 62
2
,
yyxz 6
2
, xyz 62
2
и составим определитель 2BAC для каждой критиче-
ской точки.
24
1) Для точки 2;11M : 61
2
2
MxzA , 12
1
2
MyxzB ,
1
2
2
MyzC
6 , 0144362 BAC . Значит, в точке 1M экстремума нет. 2) Для точки 1;22M : 12A , 6B , 12C , 036144 , 0A . В точке 2M функция имеет минимум. Этот минимум равен значению функции при 2x , 1y : 28123068min z .
3) Для точки M : 6A , 12B , 6C , 014436 . Значит, в точке 3M экстремума нет. 4) Для точки 1;24 M : 12A , 6B , 12C , 036144 ,
0A . В точке 4M функция имеет максимум, равный 28123068max z .
Пример 8.20. Найти экстремум функции yxz 346 при условии, что переменные x и y удовлетворяют уравнению 122 yx . Р е ш е н и е. Геометрически задача сводится к нахождению наиболь-шего и наименьшего значений z плоскости yxz 346 для точек пересече-ния ее с цилиндром 122 yx .
Составим функцию Лагранжа (8.11): 1346 22 yxyxu .
Найдем частные производные xxu
24
, yyu
23
и составим систему
уравнений (8.12)
1023024
22 yxyx
, из которой следуют решения: 25
1 , 54
1 x ,
53
1 y и 25
2 , 54
2 x , 53
2 y .
Так как 22
2
xu , 0
2
yxu , 22
2
yu , то 222 2 dydxud . Если
25
, 54
x и 53
y , то 02 ud и в этой точке функция имеет условный мини-
мум. Если 25
, 54
x и 53
y , то 02 ud и в этой точке функция имеет
условный максимум. Таким образом, 1159
5166max z , 1
59
5166min z .
25
Задачи для самостоятельного решения 8.27. Исследовать на экстремум следующие функции: а) 206922 yxyxyxz ; б) yxyxyz 62 ;
в) 468 33 xyyxz ; г) 22 yxezx
; д) yxyxz ln18ln222 ; е) yxyxyxz 222 ;
ж) 32
221 yxz ; з) yxxyz 242 . 8.28. Найти условные экстремумы следующих функций:
а) yx
z 11 при 2 yx ; б) yxz при
2111
22 yx
;
в) xyz при 222 yx ; г) 22 yxz при 132
yx .
8.6. Наибольшее и наименьшее значения функции нескольких перемен-
ных. Функции нескольких переменных в экономических задачах Функция, дифференцируемая в ограниченной замкнутой области, дости-гает своего наибольшего (наименьшего) значения или в критической точке, или в точке границы области. Пример 8.21. Определить наибольшее и наименьшее значения функции
yxxyyxz 22 в области 0x , 0y , 3 yx . Р е ш е н и е. Указанная область – это треугольник (рис. 8.6). 1) Найдем критические точки. Для этого решим систему уравнений
012
yxxz , 012
xyyz .
Рис. 8.6
x
M
0,3
3,0
23,
23
0,
21
21,0
y
26
В результате получаем точку 1;1 M . В точке M значение функции 1Mz .
2) Исследуем функцию на границах области. Если 0x , то yyz 2 , и задача сводится к отысканию наибольшего и наименьшего значений этой функции одного аргумента на отрезке 03 y .
Проводя исследование, находим: 60 xнаибz в точке 3;0 ; 41
0 xнаимz в
точке
21;0 .
Если 0y , то xxz 2 . По аналогии находим: 60 yнаибz в точке
0;3 ; 41
0 yнаимz в точке
0;
21 .
Если 3 yx , т.е. xy 3 , функция имеет вид 693 2 xxz . По
аналогии находим: 43
3 yxнаимz в точке
23;
23 ; 63 yxнаибz совпа-
дает с 0xнаибz и 0yнаибz . Сопоставляя все полученные значения функции z , делаем вывод, что
6наибz в точках 3;0 и 0;3 , 1наимz в критической точке М . Пример 8.22. Производятся два вида товаров, цены которых соответ-ственно равны 40 и 20. Функция затрат, связанных с производством этих това-ров, имеет вид 22 3,01,02,0, yxyxyxC , где x , y – количества товаров первого и второго видов. Требуется составить функцию прибыли, найти ее экс-тремумы и проверить известное правило экономики: предельная цена товара равна предельным издержкам на производство этого товара. Р е ш е н и е. Составим функцию прибыли yxCypxpz ,21
222221 3,01,02,02040 yxyxyxcybxyaxypxp . С экономичес-
кой точки зрения переменные x и y должны быть неотрицательными. Для нахождения критических точек сначала выпишем необходимое усло-вие, т.е. найдем первые частные производные функции z и приравняем их к
нулю: 01,04,040
yxxz , 06,01,020
yxyz . Решая систему уравне-
ний
06,01,02001,04,040
yxyx
, получаем 23
2200x ,
23400
y . Таким образом, имеем
критическую точку
23400;
232200M . (Если бы оказалось, что хотя бы одна из
переменных приняла отрицательное значение, то задача с экономической точки зрения не имела бы решения.)
27
Проверим достаточное условие экстремума. Найдем вторые частные про-
изводные функции z : 4,02
2
xz , 1,0
2
yxz , 6,02
2
yz . Вычислим их зна-
чения в критической точке M : 4,02
2
MxzA , 1,0
2
MyxzB ,
6,02
2
MyzC . Находим 01,024,01,06,04,0 22BAC
023,0 . Значит, найденная критическая точка является точкой экстремума, а так как 0A , то это точка максимума.
Определим максимальное значение прибыли 23
48000max
Mzz . В данном
случае предельная цена товара x равна 401 p , а товара y равна 202 p . Вы-ражение «предельная цена товара равна предельным издержкам на производ-
ство этого товара» математически записывается в виде:
MxyxCp
,1 ,
MyyxCp
,2 , где M – это точка экстремума. В нашем случае
MxyxC , 40
23920
234001,0
2322004,0 ,
234006,0
2322001,0,
MyyxC
2023
460 .
Следовательно, известное правило экономики действительно выполняется.
Задачи для самостоятельного решения 8.29. Найти наибольшее и наименьшее значения функции в указанной области: а) yxz 2 в области 122 yx ; б) xyyxz 322 в области: 20 x , 21 y ; в) yxxyz в области: 1x , 2x , 2y , 3y ; г) 24622 yxyxz в области: 41 x , 23 y ; д) xxyyxz 4222 в области: 3x , 0y , 01 yx . 8.30. При каких размерах открытая прямоугольная емкость объемом V име-ет наименьшую поверхность? 8.31. Сечение канала должно иметь форму равнобочной трапеции заданной площади. Как выбрать его размеры, чтобы площадь поверхности канала, омы-ваемая водой, была наименьшей?
28
8.32. Палатка имеет форму цилиндра с насаженной на него конической вер-хушкой. При каких соотношениях между линейными размерами палатки для ее изготовления потребуется наименьшее количество материала при заданном объеме? 8.33. Найти стороны участка в виде прямоугольного треугольника, имеюще-го при заданной площади S наименьший периметр. 8.34. Определить размеры конуса наибольшего объема при условии, что его боковая поверхность равна S .
8.7. Контрольные задания к главе 8
Вариант 1 1. Найти область определения функции и сделать чертеж: 532ln yxz . 2. Найти частные производные функции 632522 yxxyyxz . 3. Найти полный дифференциал функции xyyxz 433 .
4. Вычислить приближенное значение 3 22 05,002,1 . 5. Найти экстремумы функции yxyxz 1242 22 .
Вариант 2
1. Найти область определения функции и сделать чертеж: 2522 yxz .
2. Найти частные производные функции 22343 82 yxyxxyyxz . 3. Найти полный дифференциал функции 44 yxz . 4. Вычислить приближенное значение 33 99,009,0ln . 5. Найти экстремумы функции 158643 22 yxyxz .
Вариант 3
1. Найти область определения функции и сделать чертеж: 25
122
yx
z .
2. Найти частные производные функции yxyz 3sin . 3. Найти полный дифференциал функции yxz 23 cossin .
4. Вычислить приближенное значение 202,0 03,25 e . 5. Найти экстремумы функции 806254 22 yxyxyxz .
29
Вариант 4
1. Найти область определения функции и сделать чертеж: 2264
1yx
z
.
2. Найти частные производные функции xyxz 2cos2 .
3. Найти полный дифференциал функции 22 yxyz .
4. Вычислить приближенное значение
1
02,197,1arctg .
5. Найти экстремумы функции 581043 22 yxyxyxz .
Вариант 5 1. Найти область определения функции и сделать чертеж: 2222 164 yxyxz .
2. Найти частные производные функции 5 3xyz .
3. Найти полный дифференциал функции 22ln yxz .
4. Вычислить приближенное значение 03,297,0 . 5. Найти экстремумы функции yxxyxz 24513 23 .
Вариант 6
1. Найти область определения функции и сделать чертеж: xyz . 2. Найти частные производные функции yxz 32sin3 . 3. Найти полный дифференциал функции xyz 1ln .
4. Вычислить приближенное значение 22 93,205,4 .
5. Найти экстремумы функции 2244 242 yxyxyxz .
Вариант 7 1. Найти область определения функции и сделать чертеж: xyyxz 2ln .
2. Найти частные производные функции yxyxz
32
.
3. Найти полный дифференциал функции 12
yyxarctgz .
4. Вычислить приближенное значение 97,902,1 .
5. Найти экстремумы функции 22 222
yxez yx .
30
Вариант 8 1. Найти область определения функции и сделать чертеж:
yyxz 1arccosarccos 2 .
2. Найти частные производные функции 22
3
12
yxxz
.
3. Найти полный дифференциал функции yez x cos .
4. Вычислить приближенное значение 22 97,002,1 .
5. Найти экстремумы функции 221
1yx
yxz
.
Вариант 9
1. Найти область определения функции и сделать чертеж: 422 xyz .
2. Найти частные производные функции 22arccos
xyz .
3. Найти полный дифференциал функции yxxz . 4. Вычислить приближенное значение 58cos31sin . 5. Найти экстремумы функции 22 sinsincoscos yxyxz .
Вариант 10
1. Найти область определения функции и сделать чертеж: yx
z 11
1
.
2. Найти частные производные функции 11
xyxyarcctgz .
3. Найти полный дифференциал функции xyz 2sin1 .
4. Вычислить приближенное значение 28sin02,6 2 .
5. Найти экстремумы функции yyx
xz
8 , 0,0 yx .
31
Раздел V ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Глава 9. Неопределенный интеграл Пусть функция )(xf задана на некотором множестве Х. Тогда функция
)(xF , определенная на этом множестве, называется первообразной функции )(xf , если она дифференцируема для любых Xx и )()( xfxF для всех Xx .
Если )(xF – одна из первообразных функции )(xf на множестве Х, то любая другая первообразная функции )(xf имеет вид cxF )( , где с – неко-торая постоянная. Совокупность cxF )( всех первообразных функции )(xf на множестве Х называется неопределенным интегралом от функции )(xf и обозначается
dxxf )( , где – знак интеграла, )(xf – подынтегральная функция, dxxf )( – подынтегральное выражение. Таким образом,
cxFdxxf )()( .
Операция нахождения всех первообразных функции )(xf называется интегрированием этой функции.
Перечислим основные свойства неопределенного интеграла (правила ин-тегрирования):
1) )()( xfdxxf
;
2) dxxfdxxfd )()( ;
3) cxFxFd )())(( ;
4) )0,()()( constdxxfdxxf ;
5) dxxgdxxfdxxgxf )()())()(( .
32
Таблица основных неопределенных интегралов: 1. cdx0 .
2. cxdx1 .
3.
)1(1
1
cxdxx .
4. cxx
dx2
.
5. cxx
dx ||ln .
6. cedxe xx .
7. )1,0(ln
aaca
adxax
x .
8. cxdxx cossin .
9. cxdxx sincos .
10.
Znnxctgx
xdx ,
2cos2 .
11. Znnxcctgxx
dx ,sin 2 .
12.
)1|(|arccosarcsin1 2
xcxcxx
dx .
13.
)0|,||(|arccosarcsin22
aaxcaxc
ax
xadx .
14.
cxarcctgcxarctgx
dx21
.
15. )0(1122
ac
axarcctg
ac
axarctg
aaxdx .
16. |)|||,0(ln21
22 axacaxax
aaxdx
.
17.
caxxax
dx 2222
ln ,0( a в случае знака «минус» должно быть
|)||| ax . Интегралы 1–17 называются табличными.
33
9.1. Непосредственное интегрирование
Непосредственным интегрированием называют приведение данного ин-теграла к алгебраической сумме более простых интегралов, используя основ-ные правила интегрирования (свойства 4 и 5 неопределенного интеграла), тож-дественные преобразования подынтегральной функции и таблицу основных ин-тегралов.
Пример 9.1. Найти интеграл xxdx3 .
Р е ш е н и е. Данный интеграл не является табличным. Представим
подынтегральную функцию в виде 27
31
xxx
, а затем применим формулу 3
таблицы основных интегралов и получим:
cxx
cxcxdxxxx
dx
2251
27
27
3 52
52
127 .
Пример 9.2. Найти интеграл
dx
x
311 .
Р е ш е н и е. Преобразуем подынтегральную функцию, а затем приме-ним формулы и правила интегрирования:
3232
3
3311313111xdx
xdx
xdxdxdx
xxxdx
x
cxxxxdxxdxxx
dxdx21
3||ln33321
32
.213||ln3 2 cxx
xx
Пример 9.3. Найти интеграл
dx
xx 9212
926
22 .
Р е ш е н и е. Используя правила 4 и 5 интегрирования и формулы 15, 16 таблицы интегралов, находим:
.3232ln2
322
232
3
ln
232
16
23
2313
232
12
232
692
1292
62
22
222
cxxxarctgc
x
xxarctg
x
dx
x
dxdxxx
34
Пример 9.4. Найти интеграл 249 xdx .
Р е ш е н и е. Данный интеграл приведем к табличному следующим обра-зом:
.3
2arcsin21
23arcsin
21
232
1
49249 2
22
2cxcx
x
dx
x
dxx
dx
Пример 9.5. Найти интеграл
dx
xxx 123 .
Р е ш е н и е. Находим
cxxdxdxxdxxxdxx
xx 23
21
21
21
3
342212
.34 cxxx
Пример 9.6. Найти интеграл dxx
xx
35335 .
Р е ш е н и е. Используя правило 5 интегрирования и формулу 7 таблицы интегралов, получим:
.35
35ln
35
35ln
35
35
3535
3535
35335
cxcx
dxdxdxdx
x
x
xx
x
xx
Пример 9.7. Найти интеграл
dxee
x
x
112
.
Р е ш е н и е. Находим
.
)1(1
)1)(1(11)(
11 222
cxe
dxdxedxedxe
eedxe
edxee
x
xxx
xx
x
x
x
x
Пример 9.8. Найти интеграл
dxx
eex
x2cos
1 .
Р е ш е н и е. Сведем данный интеграл к сумме табличных путем преоб-разования подынтегральной функции и использования правила 5:
.coscos
1cos
1 222 ctgxex
dxdxedxx
edxx
ee xxxx
x
35
Пример 9.9. Найти интеграл dx
xxexx x
5
453.
Р е ш е н и е. Применяя правило 5 интегрирования и формулы 3, 6, 5 таблицы интегралов, получим:
.||ln11
3||ln
311
1
3 23
311
314
314
5
453
cxexx
cxex
xdxdxedxxdx
xexdx
xxexx
xx
xxx
Пример 9.10. Найти интеграл dxba xxx 2 . Р е ш е н и е. Согласно формуле 7 таблицы интегралов, имеем
.lnln2ln
)2()2ln(
)2()2(2 cba
abcab
abdxabdxbaxx
xxxx
Пример 9.11. Найти интеграл
dxx
xx1
3442
22
.
Р е ш е н и е. Записав числитель в виде 3)1(312 22 xx и почлен-но разделив его на знаменатель, получим сумму табличных интегралов 17, 2 и 16:
.11ln
2331ln2
133
12
13)1(312
1344
2
222
22
2
22
cxxxxx
xdxdx
xdxdx
xxxdx
xxx
Пример 9.12. Найти интеграл
dxxx
2cos1cos2 2
.
Р е ш е н и е. Используя формулу xx 2cos1cos2 2 , имеем
.21
21
coscos2cos2
2cos1cos2
22
22cxtgxdx
xdxdx
xxdx
xx
Пример 9.13. Найти интеграл dxx2
sin5 2 .
Р е ш е н и е. Воспользуемся формулой 2cos1
2sin 2 xx
.
.sin25
25cos
25
25)cos1(
25
2sin5 2 cxxdxxdxdxxdxx
36
Пример 9.14. Найти интеграл dxctgxtgx 2)( . Р е ш е н и е. Возведя подынтегральную функцию в квадрат и воспользо-
вавшись формулами 1,1sin
1,1cos
12
22
2 ctgxtgxx
xctgx
xtg , получим
.sincos
sin1
cos1)2()(
22
22222
cctgxtgxx
dxx
dx
dxxx
dxxctgxtgdxctgxtgx
Пример 9.15. Найти интеграл xx
dx22 cossin
.
Р е ш е н и е. Умножим числитель на «тригонометрическую» единицу )1cos(sin 22 xx и разделим затем почленно на знаменатель:
.sincoscossin
)cos(sincossin 2222
22
22 cctgxtgxx
dxx
dxdxxxxx
xxdx
Задачи для самостоятельного решения
Найти интегралы.
9.1. .)7862( 234 dxxxxx 9.2. .87523
2
234
dxx
xxxx
9.3.
.12 2
2 dxx
xx 9.4. .)( 2 dxbxa
9.5. .)( 3 dxbxa 9.6. .2
3 dxx
x
9.7. .
3)6)(1(
2
2
dxxxx 9.8.
.321
32 dxxxx
9.9.
.7531
8642 dxxxxx
9.10.
.5
5 4
4
dxx
x
9.11.
.11
3
dxx
9.12. .2476129
3
2345
dxx
xxxxx
9.13. .)1)(1(
2
3
dxx
xx 9.14. .)1(
3
22
dxxxx
9.15.
.392
dxx
x 9.16.
.94 2x
dx
37
9.17.
.5 2x
dx 9.18.
.82 2x
dx
9.19.
.14 2x
dx 9.20.
.9
292
3
dxx
xx
9.21.
.14
2
2
dxxx 9.22.
.
12
2
dxx
x
9.23.
.12
2
dxx
x 9.24.
.12
4
dxx
x
9.25.
.22
2
dxax
x 9.26.
.12
2
4
dxxx
9.27.
.)1(
2122
2
dxxx
x 9.28. .)3( 2 dxxx
9.29. .532 3 dxxx 9.30.
.
33 dxxxx
9.31. .3 dxxx 9.32.
.11
4 3dx
xx
9.33.
.133
dxx
x 9.34. .1
3 2dx
xx
9.35.
.1
3 57 dx
xx 9.36.
.1 2
3dx
xx
9.37.
.32
2
dxx
x 9.38. .)1( 2
dxxxn
9.39. ).0(3 adxax 9.40.
.32 2x
dx
9.41.
.
17
13
22 dxxx
9.42.
.
23
25
22 dxxx
9.43.
.
18
12
22dx
xx 9.44.
.1
132
2
dxx
x
9.45.
.1
152
2
dxx
x 9.46.
.9
334
22
dxx
xx
38
9.47.
.35 4 dxxee
xx 9.48.
.1 3 dxxee
xx
9.49.
.112
dxee
x
x
9.50. .532 32 dxxxx
9.51. .33 dxe xx 9.52. .
3532
dxx
xx
9.53. .
3575 12
dxx
xx
9.54. .
1532 11
dxx
xx
9.55.
.2125
dxx
xx 9.56.
.14 3
dxx
aax
x
9.57. .2
cos2 dxx 9.58. .2 dxxtg
9.59. .2 dxxctg 9.60. .)cos4sin3( dxxx
9.61.
.
cos1sin3 2 dx
xx 9.62.
.cos
cos782
3
dxx
x
9.63.
.1cos3
cos1
2 dxxx
9.64.
.sincos4
2cos22 dx
xxx
9.65. .2sin2cos2
2 dxxx 9.66. .)3sin2( 2 dxexx x
9.67. .
sin43
2
2
dxx
xtg 9.68.
.5sin3
sin2
2 dxxx
9.69.
.2cos1
cos1 2
dxxx 9.70.
.
2cos1 xdx
9.71.
.2cos1 x
dx 9.72.
.
2sin
2cos
2
dxxx
9.73. .)2( 2 dxctgxtgx 9.74. .cos
232
2
dxx
xctg
9.75.
.2cos
2
dxxccxctgba 9.76.
.sin 2
2
dxxcxtgba
39
9.2. Интегрирование путем подведения под знак дифференциала и методом подстановки
Если нахождение интеграла dxxf )( затруднительно, то пользуются ме-тодом подстановки или методом замены переменной. При применении этого метода используют подстановки двух видов: 1) ),(tx где )(tx – монотонная непрерывно дифференцируемая функция новой переменной t. В этом случае dtttfdxxf )()()( ; 2) )(xu , где u – новая переменная. Формула замены переменной при такой подстановке
.)())(())(()()( duufxdxfdxxxf
Эта процедура называется подведением функции )(xu под знак диф-ференциала и, фактически, эквивалентна замене переменной х на новую пере-менную )(xu . В простых случаях введения новой переменной u необходимо иметь в виду следующие преобразования дифференциала dx:
1. ),( axddx где а – постоянная величина.
2. ),(1 axda
dx где постоянная 0a .
3. ),(1 baxda
dx где постоянная 0a .
4. )(21 2xdxdx .
5. )(21 2 bxdxdx .
6. )(cossin xddxx . 7. )(sincos xddxx .
8. )(ln xdx
dx .
В общем случае )()( xddxx .
Пример 9.16. Найти интеграл .)53( 20dxx Р е ш е н и е. Этот интеграл можно найти и не производя замены пере-менной. Здесь достаточно развернуть выражение 20)53( x по формуле бинома Ньютона и применить почленное интегрирование. Однако этот способ связан с большим количеством вычислений. При помощи замены переменной можно
40
сразу свести данный интеграл к табличному. Полагая tx 53 , имеем
dtdx 3 , т.е. dtdx31
. Отсюда получаем
.)53(631
211
31
31)53( 21212020 cxctdttdxx
Пример 9.17. Найти интеграл .327 32 dxxx
Р е ш е н и е. Так как dxxxd 23 6)32( , то, применяя метод подведения под знак дифференциала, будем иметь:
.)32(487)32(
87
61
)32()32(616)32(
6132
78
378
3
371
2271
37 32
cxcx
xdxdxxxdxxx
Пример 9.18. Найти интеграл 110
4
xdxx .
Р е ш е н и е. Применим подстановку tx 5 . Тогда dtdxx 45 ,
dtdxx514 и
.
51
51
151
15
210
4carctgxcarctgt
tdt
xdxx
Пример 9.19. Найти интеграл 449 x
xdx .
Р е ш е н и е. Находим cx
xxd
xxdx
xxdx
7
arcsin21
)(721
)(72
21
49
2
222
2
2224.
Пример 9.20. Найти интеграл 2042 xx
dx .
Р е ш е н и е. Выделив полный квадрат в знаменателе 16)2(204 22 xxx , получим:
cxarctgx
xdx
dxxx
dx
4
241
4)2()2(
16)2(204 2222 .
Пример 9.21. Найти интеграл 16262 24 xx
xdx .
Р е ш е н и е. Поступим так же, как в примере 9.20:
.224ln
2201
2282ln
101
221
5)32()32(
221
25)32(22
221
25)32(16262
2
2
2
2
222
2
222224
cxxc
xx
xxd
xxdx
xxdx
xxxdx
41
Пример 9.22. Найти интеграл
dxxx
31 .
Р е ш е н и е. Записав числитель в виде 4)3( x , почленно разделив его на знаменатель и применив формулы 2 и 5 таблицы интегралов, имеем:
.|3|ln43
)3(43
43
413
4)3(31
cxxxxddx
xdxdxdx
xdx
xxdx
xx
Пример 9.23. Найти интеграл
dxxxx4
2
6)32( .
Р е ш е н и е. Разделив почленно числитель на знаменатель, приведем к сумме двух интегралов:
4
3
222
2
4
3
44
2
64
43
6)(
)(6
362
6)32(
xdxx
x
xddxx
xxdxxdx
xxx
.)6ln(
43
661
6)6(
43
661 4
2
4
42
cxxarctgxxdxarctg
Пример 9.24. Найти интеграл
dxxx
11 .
Р е ш е н и е. Умножим числитель и знаменатель подкоренного выраже-
ния на x1 :
222
2
1111
)1)(1()1(
11
xxdx
xdxdx
xxdx
xxxdx
xx
.1arcsin)1()1(21arcsin
1)1(
21arcsin 222
12
2
2
cxxxdxxxxdx
Пример 9.25. Найти интеграл
.12
12
dxx
e x
Р е ш е н и е. Положим tx 12 , тогда tdtdxtx
,2
12
и
.12
1212
cedtedtt
tedxx
e xttx
Пример 9.26. Найти интеграл
.34
2dx
ee
x
x
Р е ш е н и е. Сделаем замену te x 2 , тогда dtdxe x 22 и
ctarctgt
dtdxe
edxe
ex
x
x
x
331
21
321
3)(2
21
3 222
2
4
2
.31
321
3321
2
2
ce
arctgcearctg x
x
42
Пример 9.27. Найти интеграл .)51sin( dxx
Р е ш е н и е. Заметив, что dxxd 5)51( , имеем
.)51cos(51)51()51sin(
51)5)(51sin(
51)51sin( cxxdxdxxdxx
Пример 9.28. Найти интеграл ctgxx
dx1sin 2 .
Р е ш е н и е. Так как dxx
ctgxd 2sin1)1( , то интеграл приводится к
виду
)1()1(1
)1(1sin
21
2 ctgxdctgxctgxctgxd
ctgxxdx
.12
21
)1( 21
cctgxcctgx
Пример 9.29. Найти интеграл dxxxcossin 4 .
Р е ш е н и е. Так как dxxxd cos)(sin , то
.sin51)(sinsincossin 544 cxxdxdxxx
Пример 9.30. Найти интеграл
dxxx
42cos4sin
4 .
Р е ш е н и е. Воспользовавшись тем, что dxxxxd 2sin2cos4)2(cos2 , xxx 2cos2sin24sin , получим
.2
2cos41
22cos
21
21
2)2(cos)2(cos
21
2)2(cos2cos2sin)4(
21
42cos4sin
22
222
2
2224
cxarctgcxarctg
xxddx
xxxdx
xx
Пример 9.31. Найти интеграл dxx8sin 2 .
Р е ш е н и е. Применяя формулу )4cos1(218sin2 xx , имеем
.4sin81
21
)4(4cos41
21
214cos
21
21)4cos1(
218sin2
cxx
xxdxdxxdxdxxdxx
43
Пример 9.32. Найти интеграл xxdx
ln32.
Р е ш е н и е. Так как dxx
xd 3)ln32( , то
)ln32()ln32(31
ln32)ln32(
31
ln323
31
ln3221
xdxxxd
xxdx
xxdx
.ln3232
21
)ln32(31 2
1
cxcx
Пример 9.33. Найти интеграл
dxx
xx2
2
91)3(arccos .
Р е ш е н и е.
dx
xxdx
xxdx
xxdx
xxx
22
2
22
2
91)18(
181
91)3(arccos
9191)3(arccos
.)3(arccos9191
91
3)3(arccos
31
21
)91(181
)3(arccos)3(arccos31)91()91(
181
)3(1)3()3(arccos
31
3232
12
2221
22
2
cxxcxx
xdxxdxdxx
x
Задачи для самостоятельного решения Найти интегралы.
9.77. .)25( 6 dxx 9.78. .)21( 343 dxxx
9.79.
.53 x
dx 9.80.
.35 2 dx
xx
9.81.
.)1( 32 dx
xx 9.82.
.913
2 dxx
x
9.83. .12
xxdx 9.84.
.
652 xxdx
9.85.
.2562 xx
dx 9.86.
.)1(xx
dx
44
9.87.
.53
322 dx
xxx 9.88.
.232
16623
2
dxxxx
xx
9.89.
.5 6
2
dxx
x 9.90.
.54 24 dx
xxx
9.91.
.52 4 dx
xx 9.92.
.)12( 2
3
x
dx
9.93.
.72 x
dx 9.94. .13 dxx
9.95. ;213 dxx 9.96. .12 dxxx
9.97. .3 23 3 dxxx 9.98.
.1 2
dxx
x
9.99.
.32 3
2
dxx
x 9.100.
.1213 2
dxx
xx
9.101.
.222 xx
dx 9.102.
.21 2xxdx
9.103.
.4 2xx
dx 9.104.
.232 2xx
dx
9.105.
.3
352
dxx
x 9.106.
.13 4
dxxx
9.107.
.1
12
dxxx 9.108.
.2
12
dxx
x
9.109.
.49
122
dxxx 9.110.
.
16
2
dxxx
9.111.
.)1( 2
32
dxx
x 9.112. .1 dxxx
9.113. .3 dxxx 9.114. .1)1( dxxx
9.115. .132 dxxx 9.116. .123 dxxx
9.117. .53 dx
xx 9.118.
.2 2
dxx
x
45
9.119.
.1 x
dx 9.120.
.11 x
dx
9.121.
.11 3 x
dx 9.122.
.1xx
dx
9.123.
.92xx
dx 9.124.
.)3( xx
dx
9.125.
.)2( xx
dx 9.126.
.11 xx
dx
9.127.
.12xx
dx 9.128.
.12xx
dx
9.129.
.4 xx
dx 9.130.
.1212
3dx
xx
9.131.
.)( 3
3dx
xxxx 9.132.
.5 dxe x
9.133.
.33 dxeexx
9.134. .
2
dxxe x
9.135. .12 3
dxex x 9.136. .34
dxxex
9.137. .)52( 2 dxxx 9.138.
.7
dxe
ex
x
9.139.
.283
dxee
x
x
9.140.
.64
2
dxe
ex
x
9.141.
.54
2
dxe
ex
x
9.142.
.32 2
2
dxe
ex
x
9.143. .cossin dxxe x 9. 144.
.1 5xe
dx
9.145.
.1 xedx 9.146.
.
2xedx
9.147. .dxx
e x
9.148.
.16
2dx
ee
x
x
9.149.
.2 dx
eee
x
x
9.150.
.14
2
dxee
x
x
46
9.151. .ln xxdx 9.152.
.
)ln3( xxdx
9.153. .)1ln2( 3
dxxx 9.154.
.
)13ln()13( xxdx
9.155. .ln 2 xxdx 9.156.
.ln2 dxx
x
9.157. .lnlnln xxx
dx 9.158.
.ln2
ln dxxx
x
9.159.
.lnln21
ln2
dxxxx
x 9.160. .4ln
2ln dxxx
x
9.161. .2
cos dxx 9.162. .3sin dxx
9.163. .)sin( dxbxa 9.164. .)cos( dxbxa
9.165. .3cos2 x
dx 9.166. .2sin 2 x
dx
9.167. .cossin dxxx 9.168. .)1cos( 32 dxxx
9.169. .5sinsin dxxx 9.170. .3cos2sin dxxx
9.171. .7cos5cos dxxx 9.172.
.
2cos3
2sin2
2
dxxx
9.173.
.
2sin
2cos1
3
dxxx 9.174. .5cos2coscos dxxxx
9.175. .cossin 2 dxxx 9.176. .sincos3 dxxx
9.177. .dxtgx 9.178. .dxctgx
9.179. .2xtg
dx 9.180. .5xctg
dx
9.181. .sin5 dxx 9.182. .cos5 dxx
9.183. .sin dxx
x 9.184. .sin 6 dxx
9.185. .cos6 dxx 9.186. .sin
cos5
dxxx
47
9.187. .5 dxxctg 9.188. .3 dxxtg
9.189. .sincos
3 dxxx 9.190. .
cossin
4 dxx
x
9.191. .1cos 2xdx
x 9.192.
.
2cos12sin dx
xx
9.193. .sin
cos212 dx
xx 9.194.
.
2cos212sin dx
xx
9.195.
;cos31
sin dxx
x 9.196. .cos
sin212 dx
xx
9.197.
.cos312sin
2 dxx
x 9.198.
.sin21
cos dxx
x
9.199. .sin
2sin22 dx
xx 9.200. .
cossin2cos dx
xxx
9.201.
.5cos4cos
sin2 dx
xxx 9.202.
.sin
sin12
3
dxx
x
9.203. .sin
sin322
3
dxx
x 9.204. .cos
cos452
3
dxx
x
9.205.
.2cos
sin 3
dxxbb
xa 9.206.
.cos72sin
4dx
xx
9.207. .2cos
sin dxx
x 9.208.
.cos53
sin dxx
x
9.209.
.cos21
sin dxx
x 9.210.
.2cos2
cos dxx
x
9.211.
.sin74
cos3
dxx
x 9.212. .sin 32 dx
ctgxxx
9.213. .cos2 dx
xtgx
9.214.
.cossin
cossin dxxx
xx
9.215.
.cossin
cossin2222
dxxbxa
xx 9.216. .lnsin dxx
x
9.217.
.41
2arcsin2
dxx
xx 9.218.
.arcsin1 2
dxxx
x
9.219.
.)1(
dxxxxarctg 9.220.
.
412arcsin2 dx
xx
48
9.3. Интегрирование по частям
Одним из эффективных методов интегрирования является метод инте- грирования по частям. Этот метод чаще всего применяется для интегрирования некоторых трансцендентных функций (например, arctgxxx ,arcsin,ln ), а также произведений алгебраических и трансцендентных функций. Суть его состоит в следующем. Если )(xuu и )(xvv – непрерывно дифференцируемые на не-котором интервале функции, кроме того, на этом интервале существует инте-грал vdu, то на нем существует интеграл udv и имеет место формула
vduuvudv . Это соотношение называется формулой интегрирования по частям. При ис-пользовании этой формулы подынтегральное выражение нужно разбивать на два множителя u и dv таким образом, чтобы интегрирование выражений dv и vdu было более простым, чем интегрирование исходного выражения udv . Формула интегрирования по частям может применяться неоднократно. Для интегралов вида
,cos)(,sin)(,)( dxaxxQdxaxxQdxexQ ax где )(xQ – многочлен, в качестве u следует брать )(xQ , а в качестве dv –
выражения dxaxdxaxdxeax cos,sin, соответственно. В случае интегралов вида
dxxxQdxxxQdxxxQdxxxQdxxxQ
arcctg)(,arctg)(,arccos)(,arcsin)(,ln)(
в качестве u берут функции xxxxx arcctg,arctg,arccos,arcsin,ln , а в качестве dv – выражение dxxQ )( . Интегрирование по частям иногда приводит к интегралу, совпадающему с исходным или сводящемуся к нему. В этом случае интеграл находится из полу-чающегося относительно исходного интеграла уравнения. Пример 9.34. Найти интеграл dxex x22 )5( .
Р е ш е н и е. Положим .,5 22 dxedvxu x Тогда
.2,21)2(
21 222 xdxduexdedxev xxx
По формуле интегрирования по частям имеем
.)5(21)2(
21)5(
21)5( 22222222 dxxeexdxxeexdxex xxxxx
Итак, мы понизили степень х на единицу. Поступим аналогично с инте-гралом dxxe x2 , т.е еще раз применим интегрирование по частям: за u
возьмем х, а за d – dxe x2 . Тогда du = dx, xx edxe 22
21
. Для упрощения
вычислений при переходе от dv к v можно полагать с = 0. Следовательно,
49
cexedxexedxxe xxxxx 22222
21
21
21
21
21 . Окончательно имеем
dxex x22 )5( .41
21)5(
21 2222 cexeex xxx
Пример 9.35. Найти интеграл
dxx
x22
2
)3(.
Р е ш е н и е. Находим
.33ln
341
)3(233ln
321
21
)3(2
)3(21
)3(2)3(21
)3(2321
)3(2
)3(21
1)3(
21)3()3(
21)2()3(
21
)3(,,)3(,)3(
22
22222222
2
1222222
222222
2
cxx
xxc
xx
xx
xdx
xx
xdx
xx
xdx
xx
xxxdxdxxx
xdxxvdxduxdxxdvxudxx
x
Пример 9.36. Найти интеграл 322 )( axdx .
Р е ш е н и е. Представив числитель в виде ))((1 2222 xxa
a и разделив
его почленно на знаменатель, получим два интеграла. Ко второму применим формулу интегрирования по частям:
dx
axx
aaxdx
adx
axxxa
aaxdx
322
2
22222322
222
2322 )(1
)(1
)()(1
)(
.)(4)(4
3)(4
)(41
)(1
)(41
)(41
)(1
)(41
2)(
21)()(
21
)()(
21
)(,,
)(,
222222222222
222222222222222
2222222
22222322
322
22
322322
axax
axdx
aaxax
axdx
aaxdx
aaxdx
axx
a
axdx
aaxaxaxdax
axaxd
axxdxvdxdu
axxdxdvxu
В результате применения формулы мы понизили степень знаменателя на единицу и получили аналогичный интеграл, к которому вторично применим формулу интегрирования по частям:
50
.)(22
1
12
1)(2
12
1)(2
121
)(211
)(21
1)(
21)()(
21
)()(
21
)(
,,)(
,)(
111
)(11
)()(1
)(
2223
22223222222
322222322
12222222
222
22
222
222222
2
22
222
2
2222222
222
2222
caxa
xaxarctg
a
caxarctg
aaaxax
axarctg
aaxdx
aaxax
axarctg
aaxdx
axx
aaxarctg
aax
axaxdaxax
axdax
xdxv
dxduax
xdxdvxudxax
xaa
xarctgaa
dxax
xaax
dxa
dxax
xxaaax
dx
Окончательно получим
222222232322 )(4)(221
43
)( axaxc
axax
axarctg
aaaxdx
.)(8
3)(48
322422225 c
axax
axax
axarctg
a
Пример 9.37. Найти интеграл dxxa 22 , если 0a . Р е ш е н и е.
.arcsin
,,,
122222
22222
2222
22222
22
222
222222
caxadxxaxax
xadxadxxa
xaxdxxa
axaxaxdxxa
xxax
xvxa
xdxdudxdvxaudxxa
Мы получили уравнение относительно исходного интеграла, из которого находим
.arcsin21
21 22222 c
axaxaxdxxa
Пример 9.38. Найти интеграл dxx )15(log3 .
Р е ш е н и е. Так как )15ln(3ln
1)15(log 3 xx , то
51
.)15ln(51
3ln1
))15ln(51)15ln((
3ln1
15)15(
51)15ln(
3ln1
151)15()15ln(
3ln1
155)15ln(
3ln1
,15
5,),15ln()15ln(3ln
1)15(log 3
cxxx
cxxxxxxddxxx
dxx
xxxdxx
xxx
xvxdxdudxdvxudxxdxx
Пример 9.39. Найти интеграл dxxxx 5cos)1( 2 . Р е ш е н и е. Так как одним из множителей является многочлен второй степени, то найдем данный интеграл, применив последовательно два раза фор-мулу интегрирования по частям:
dxxxx 5cos)1( 2 [ ,)12(,5cos,12 dxxdudxxdvxxu
xdxxxxxxxxdxdxv 5sin)12(
515sin
515sin
51)5(5cos
515cos
2
.5sin2523
515cos
2512
5sin125
25cos25
125sin5
1)5(5cos125
25cos25
12
5sin5
15cos525cos
512
515sin
51
5cos51)5(5sin
51,2,5sin,12
2
2
22
cxxxxx
cxxxxxxxxdxx
xxxxdxxxxxx
xxxdvdxduxdxdvxu
Пример 9.40. Найти интеграл dxbxeax )sin( .
Р е ш е н и е.
.)sin()sin(1)cos(1
)sin(1)()cos(1)cos(,,)cos(,
)cos()cos(1)cos(1)()sin(1
)sin(,,)sin(,)sin(
cdxbxebabxe
bbabxe
b
bxb
bxdbxb
dxbxvdxaedudxbxdveu
dxbxebabxe
bbx
bbxdbx
b
dxbxvdxaedudxbxdeudxbxe
axaxax
axax
axax
axaxax
52
Из полученного относительно исходного интеграла уравнения находим
.)cos(1)sin()sin()sin( 22
2
cbxeb
bxebadxbxe
badxbxe axaxaxax Отсюда
.))cos()sin((
cos1)sin()sin(
22
222
2
cbxbbxaba
e
cbxeb
bxeba
babdxbxe
ax
axaxax
Пример 9.41. Найти интеграл dxx )sin(ln .
Р е ш е н и е. Применим подстановку tx ln , тогда dtedxex tt , и
dttedxx t sin)sin(ln . Последний интеграл уже найден в общем виде с по-мощью интегрирования по частям (см. пример 9.40), поэтому
dxx)sin(ln cxxxcttedttet
t ))cos(ln)(sin(ln2
)cos(sin2
sin .
Пример 9.42. Найти интеграл dxx
xarctg 3
3.
Р е ш е н и е. Имеем:
.)1(23
)1(23
23
23
23
123
23
23
11)1(
23
23
121
213
21,
1,,
333,,
333 2
222
22
22
2
22
22
22333
3
cxxarctgx
cttarctgtctarctgttarctgtt
dt
dttarctgtdtt
ttarctgtdtt
ttarctgt
ttdtvt
dtdutdtdvtarctgu
dttarctgtdttt
tarctgdttdxtxtxdxx
xarctg
Пример 9.43. Найти интеграл
dxx
x52 )1(
arcsin .
Р е ш е н и е. Находим
5225252 1
,1
,)1(
,arcsin)1(
arcsin
x
dxvx
dxdux
dxdvxudxx
x
53
2
223
2
223
21
21
22
222
222
113112
21)1(
32
21)1()1(
21
)1()1(21
11)1(
21
121
11
21
121,1,11,11
1)1(
xx
xxtttdt
tdtdtt
tttdtdttt
tt
t
dtt
tt
dxt
txt
xt
xxx
dx
xx
xxx
dxxxxx
xx
xx
dxxxxx
xx
x
xx
arcsin)1(3
)23()1()23(
31arcsin
)1(3
)23(
)1()1(
)23(31arcsin
)1(3
)23(
)1(3
)23(
23
2
2
22
3
23
2
2
21
223
2
3
23
2
2
23
2
2
2242
42
23
2
3
22
3
)1(31
21)21(
61arcsin
)1(3
23)1(
2)44(21
31
xxdx
xxxxdx
x
xxdxx
xxx
)1ln(
31arcsin
)1(3
23)1(
)1(61)1ln(
31arcsin
)1(3
23 2
23
2
3
22
22
23
2
3
xxx
xxx
xdxxx
xx
.)1(6
12 c
x
Задачи для самостоятельного решения
Найти интегралы.
9.221. .dxe x 9.222. .dxxex
9.223. .dxxe x 9.224. .)3( dxex x
9.225. .)53( 32 dxexxx
9.226.
.)175( 22 dxexxx
9.227. .)72( 2 dxex x 9.228. .3 dxe x
9.229. .
4 1dxe x 9.230. .3 dxxe x
9.231. .4 dxxe x 9.232. .2 dxx x
9.233. .7 dxx x 9.234. .)( dxebax x
9.235. .2 dxex xn
9.236. .2 dxex x
54
9.237. .2 dxex x 9.238. .52 dxex x
9.239.
.32 dxexx
9.240. .)2( 22 dxex x
9.241. .)( 2 dxxex 9.242. .)1( 2 dxxex
9.243. .3 dxex x 9.244.
.23 dxex x
9.245. .23 dxex x 9.246.
.)( 113 dxeex xx
9.247. .25 dxex x 9.248.
.1
1
dxx
xe x
9.249. .)( 3 dxxex 9.250. .sin xdxex
9.251. .3sin2 dxxex
9.252. .5sin2 xdxe x
9.253. .sin2 xdxe x 9.254. .
4sin 2 dxxex
9.255. .sin 22 dxxe x 9.256.
.)(sin 22 dxbxe ax
9.257. .3cos dxxex 9.258. .cos)1( 2 dxxex
9.259. .2
cos2 dxxe x 9.260. .)cos( 24 dxee xx
9.261. .)cos( dxbxeax 9.262. .sin dxxxex
9.263. .25 2 dxx 9.264.
.)4( 32x
dx
9.265.
.)1( 22
2
dxx
x 9.266. .92 dxx
9.267. .72 dxx 9.268. .22 dxax
9.269. .ln dxx 9.270. .)2ln( dxx
9.271. .5ln dxx 9.272. .)9ln( dxx
9.273. .)1ln( 2 dxx 9.274. .)21(log 2 dxx
9.275. .ln dxxx 9.276. .3ln dxxx
9.277. .)1ln( dxxx 9.278. .ln dxxx
9.279. .)1ln()12( dxxx 9.280. .ln2 dxxx
9.281. .3
ln2 dxxx 9.282. .)2ln(2 dxxx
9.283. .ln)22( 2 dxxxx 9.284. .)3ln(3 dxxx
55
9.285. .2ln)8( 3 dxxx 9.286. .ln 2 dxx
9.287. .3ln 2 dxxx 9.288. .ln 23 dxxx
9.289. .ln)1( 22 dxxx 9.290. .ln)3( 2 dxxxx
9.291. .ln2 dx
xx 9.292. .ln
3 dxx
x
9.293. .2ln3 dx
xx 9.294. .3ln dx
xx
9.295.
.1)1ln( dx
xx 9.296. .ln
3dx
xx
9.297. .ln5
2
dxx
x 9.298. .ln2
2
dxx
x
9.299.
.ln 3
dxxx 9.300. .lnln dx
xx
9.301. .2sin dxx 9.302. .sin dxxx
9.303. .4sin dxxx 9.304. .5sin)2( dxxx
9.305. .2sin)3( dxxx 9.306. .sin dxxx
9.307. .sin2 dxxx 9.308. .7sin2 dxxx
9.309. .2sin)32( 2 dxxx 9.310. .2sin)( 2 dxxax
9.311. .2
sin)3( 2 dxxxx 9.312. .3sin)32( 2 dxxxx
9.313. .sin3 dxxx 9.314. .sin 23 dxxx
9.315. .sin
cos2 dx
xxx 9.316. .
sincos
3 dxxxx
9.317. .
sin1
2 dxx
x 9.318. .6sin 2 dx
xx
9.319. .)5sin(ln dxx 9.320.
.3
lnsin dxx
9.321.
.9
lnsin dxx 9.322. .cos dxx
9.323. .cos)1( dxxx 9.324. .cos dxxx
9.325. .3cos dxxx 9.326. .2cos)19( dxxx
9.327. .
2cos
41 dxxnx 9.328. .cos2 dxxx
56
9.329. .5cos2 dxxx 9.330. .cos)12( 2 dxxxx
9.331. .cos)( 2 dxxcbxax 9.332. .cos)1( 3 dxxx
9.333. .cos2 dx
xx 9.334. .2cos2 dxxx
9.335. .cos
sin3 dx
xxx 9.336. .)cos( 2 dxxex
9.337. .)cos(ln dxx 9.338.
.3
lncos dxx
9.339. .)ln3cos( dxx 9.340. .2 dxxtgx
9.341. .arcsin dxx 9.342. .2
arcsin dxx
9.343. .arcsin dxx 9.344. .2arcsin dxx
9.345. .arcsin dxxx 9.346. .3arcsin dxxx
9.347. .arcsin)1( 2 dxxx 9.348. .arcsin2 dxx
9.349.
.1
arcsin dxx
x 9.350.
.31
3arcsin dxx
x
9.351.
.12
2arcsin dxx
x 9.352.
.2
2arcsin
dxx
x
9.353.
.)1(
arcsin32
dxx
x 9.354. .2arcsin
2 dxx
x
9.355. .arccos dxx 9.356. .2
arccos dxx
9.357. .3arccos dxx 9.358.
.1
arccos dxx
x
9.359. .arccos)1( 2 dxxx 9.360. .2
2arccos dxx
x
9.361.
.1
arccos dxxx 9.362.
.
1arccos dx
xx
9.363.
.1arccos
2dx
xxx 9.364. .dxxarctg
9.365. .5
dxxarctg 9.366. .6 dxxarctg
9.367. .dxxarctg 9.368. .12 dxxarctg
57
9.369. .dxxarctgx 9.370. .9 dxxarctgx
9.371. .dxaxarctgx 9.372. .)2( 2 dxxarctgx
9.373. .2
dxxarcctg 9.374. .2
dxxarcctgx
9.375. .12 dxxarcctgx 9.376. .2)4( dxxarcctgx
9.4. Интегрирование рациональных функций Неопределенный интеграл от целой рациональной функции (многочлена) находится непосредственно:
.2
...1
...)...(
211101
1101
110
cxaxaxnax
nadxaxdxa
dxxadxxadxaxaxaxa
nnnn
nn
nnnn
nn
Функция, заданная в виде отношения двух многочленов
),0,0(......
)()()( 00
11
10
11
10
babxbxbxbaxaxaxa
xQxPxR
mmmm
nnnn
m
n
называется дробной рациональной функцией (или рациональной дробью). В дальнейшем будем считать, что коэффициент 10 b , так как в против-ном случае можно разделить числитель и знаменатель на этот коэффициент. Если mn , рациональная дробь называется правильной, в противном случае – неправильной. Любая правильная рациональная дробь, знаменатель которой имеет толь-ко действительные корни а, b, …, l кратности ,,...,, т.е. )(xQm пред-
ставим в виде )(...)()()( lxbxaxxQm , разлагается на сумму конеч-ного числа простейших рациональных дробей, и это разложение имеет вид
,)(
...)(
...
)(...
)()(...
)()()(
221
221
221
lxL
lxL
lxL
bxB
bxB
bxB
axA
axA
axA
xQxP
m
n
где LAA ,...,, 21 – действительные числа. Если знаменатель имеет действительные и комплексные корни, т.е. рас-кладывается на линейные и квадратичные множители
)()(...)()()( 22 rhxxqpxxbxaxxQm , то
58
,..
)(
......)(
...)(
...)()(
2211
2
21111
rhxx
NxMrhxx
NxMqpxx
DxCqpxx
DxCbx
Bbx
Bax
Aax
AxQxP
m
n
где NMAA ,,...,, 21 – действительные числа, которые подлежат определе-нию. Для их нахождения применяют метод неопределенных коэффициентов. Суть этого метода разъясним на примерах.
Рассмотрим, как интегрируются простейшие правильные дроби.
I.
.||ln)( caxA
axaxdAdx
axA
II.
caxn
AcnaxAaxdaxAdx
axA
nn
n
n
1))(1(1)()()(
)(
1
( 2n – натуральное число).
III.
.2 dxqpxx
BAx
При вычислении интегралов такого вида в числителе подынтегральной дроби выделяют выражение )(2 2 qpxxpx , а в знаменателе – полный квадрат:
qpxxqpxxdA
pqpx
dxApB
dxqpxx
pxAdxqpxx
pABpx
Adxqpxx
BAx
2
2
22
222
)(2
422
22
2)2(
2
.
42
||ln22
42
22
22
222
pqt
dtApB
qpxxAtpxpqpx
pxdApB
Если 04
22
pqk , (т.е. дискриминант 042 qp ), то
59
.2
,12
||ln2
2||ln
2
2
222
2
pxtcktarctg
kApBqpxxA
ktdtApBqpxxAdx
qpxxBAx
В случае положительного дискриминанта
.2
,ln21
2||ln
2
2||ln
2
2
222
2
pxtcktkt
kApBqpxxA
ktdtApBqpxxAdx
qpxxBAx
IV.
)()(2)(
222 qpxxdqpxxAdx
qpxxBAx n
n
nnn ktdtApB
qpxxnA
ktdtApB
)(2))(1(2)(2 221222 ,
где 2,4
,2
22 npqkpxt – натуральное число, и квадратный трехчлен
qpxx 2 имеет комплексные корни.
Полученный интеграл nktdt
)( 22 можно вычислить с помощью триго-
нометрической подстановки tgzkt или путем повторного интегрирования по частям свести его к интегралу вида III. В случае неправильной рациональной дроби ( mn ) сначала надо выде-лить целую часть, деля числитель )(xPn на знаменатель )(xQm по правилу «де-ления углом», т.е. представить дробь в виде
)()()(
)()(
xQxPxM
xQxP
mm
n ,
где )(xM – многочлен, а )(
)(xQ
xPm
– правильная рациональная дробь.
Таким образом, чтобы проинтегрировать любую рациональную дробь, надо уметь интегрировать многочлен и простейшие рациональные дроби.
Пример 9.44. Найти интеграл 1862 xx
dx .
Р е ш е н и е. Выделив полный квадрат в знаменателе подынтегрального выражения, получим
.
33
31
3)3()3(
9)3(186 2222 cxarctgx
xdx
dxxx
dx
60
Пример 9.45. Найти интеграл 20123 2 xx
dx .
Р е ш е н и е. Вынося за скобки коэффициент при 2x и выделяя полный квадрат в знаменателе, будем иметь
2
222
2
322)2(
)2(31
38)2(3
1
32043
120123
x
xd
x
dx
xx
dxxx
dx
.62
)2(362
122
)2(322
331 cxarctgcxarctg
Пример 9.46. Найти интеграл 21102 xx
dx .
Р е ш е н и е. Находим
.37ln
41
22ln
41
25
2)5()5(
4)5(2110 222222
cxxc
tt
tdttx
xxd
xdx
xxdx
Этот интеграл можно найти и другим способом. Разложим знаменатель подынтегрального выражения на множители: )7)(3(21102 xxxx . Так как каждый множитель входит в знаменатель в первой степени, то данная пра-вильная рациональная дробь может быть представлена в виде суммы простей-ших дробей типа I:
7321101
2
xB
xA
xx.
Приведем правую часть равенства к общему знаменателю:
2110)37()(
)7)(3(37
73 2
xxBAxBA
xxBBxAAx
xB
xA .
Следовательно, 2110
)37()(2110
122
xxBAxBA
xx.
Освободившись от знаменателей, получим равенство
)37()(1 BAxBA .
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получим систе-му уравнений для нахождения неизвестных коэффициентов А и В
,1370
BABA
из которой получим .41,
41
BA
61
Таким образом,
.37ln
41|3|ln
41|7|ln
41
741
341
)7(41
)3(41
1862
cxxcxx
xdx
xdxdx
xxxxdx
Пример 9.47. Найти интеграл
dxxx
x65
42 .
Р е ш е н и е. Так как 52)65( 2 xxx , то
65ln21
21
25
25
23
65)65(
21
6523
65)52(
21
653)52(
21
6582
21
654
2222
2
2
2222
xxx
xd
xxxxd
xxdx
dxxx
xdxxx
xdxxx
xdxxx
x
.3)2(ln
)3()2(ln
21
23ln)3)(2(ln
21
23ln
2365ln
21
21
25
21
25
ln23
2
2
43
2
cxxc
xxc
xxxx
cxxxxc
x
x
Пример 9.48. Найти интеграл
dxxx
x2
922 .
Р е ш е н и е. Находим
2)2(
28
2)12(
28)12(
292
2
2
2222 xxxxd
xxdxdx
xxxdx
xxxdx
xxx
.7
127
162ln
27
21
21
8 222
cxarctgxx
x
xd
62
Пример 9.49. Найти интеграл
dxxx
x22 )92(
57 .
Р е ш е н и е.
.)8(
2)8(2
7)8(
21
)8(27
)8(2
)8()8(
27
)8(2
)8(7
)8(72
7
,1,1)8)1((
75
7)92(
57
22222
12
2222
2
222222
2222
tdt
ttdtt
tdt
ttd
tdt
tdttdt
t
t
dtdxtxtxx
xdx
xxx
Представив числитель последнего интеграла в виде 22 )8(81 tt и
почленно разделив его на знаменатель, получим два интеграла. Ко второму применим формулу интегрирования по частям:
.)8(1622232
12222
1161
)8(16222161
821
)8(281
22221
81
)8(21
1)8(
21
)8()8(
21
)8(,,
)8(,
)8(81
)22(81
)8(81
881
)8()8(
81
)8(
2
2
222
12
22
2
222222
2
2222
2
222
22
22
ct
ttarctg
ctarctgt
ttarctg
tdt
tttarctg
tt
ttddt
ttvdtdu
ttdtdvtudt
tt
tdtdt
tt
tdtdt
ttt
tdt
Окончательно имеем:
.)92(8
29221
2161
)8(828
222161
)8(8222161
)8(27
)92(57
22
2222
cxx
xxarctgctttarctg
ct
ttarctgt
dxxx
x
Пример 9.50. Найти интеграл 273xdx .
Р е ш е н и е. Разложим на множители знаменатель подынтегрального выражения: )93)(3(27 23 xxxx и представим исходную дробь в виде суммы простейших дробей:
63
933271
23
xxCBx
xA
x.
Освобождаемся от знаменателей: )3)(()93(1 2 xCBxxxA .
Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получим систему
,139033
0
CACBA
BA
из которой 92,
271,
271
CBA . Тогда
|3|ln271
9361
9332
541|3|ln
271
939)32(
541|3|ln
271
936
271
3271
27
22
223
xxx
dxdxxx
xx
dxxx
xxdxxx
xxdx
xdx
.3332
391
933ln
271
3332
332
61
93ln541|3|ln
271
233
23
23
61
93)93(
541
2
2222
2
cxarctgxx
xcxarctg
xxx
x
xd
xxxxd
Пример 9.51. Найти интеграл
dxxxxx
)1()1(123
22
2
.
Р е ш е н и е. Разложим рациональную дробь на простейшие множители
1)1(1)1()1(123
2222
2
xDCx
xB
xA
xxxx .
Освободимся от знаменателя: 2222 )1)(()1()1)(1(123 xDCxxBxxAxx .
Раскрыв скобки и приведя подобные члены, получим
)()2()2()(123 232 DBAxDCAxDCBAxCAxx .
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получим си-стему уравнений: .1,22,32,0 DBADCADCBACA Решения системы: .1,1,1,1 DCBA Следовательно,
64
.1
1|1|1ln)1ln(
21
)1(1
|1|ln1
)1(21
)1(1|1|ln
11
1)1(|1|ln
11
)1(1)1()1(123
22
2
2
22
1
2222
2
cxarctgxx
xcxarctgxx
xxarctgxxd
xx
xdxdx
xx
xxdxxx
xdx
xdxdx
xxxx
Пример 9.52. Найти интеграл
dxxxx
xxx234
35
22442 .
Р е ш е н и е. Выделим целую часть исходной неправильной рациональ-ной дроби. Для этого разделим числитель на знаменатель «углом»:
Тогда
.)22(
14221
2214
222
4444222
442
22
232
234
23
234
23
234
35
dxxxxxxxxxdx
xxxxxx
dxxdxdxxxxxxxxdx
xxxxxx
Разложим дробь в последнем интеграле на простейшие рациональные
дроби: 22)22(
12222
23
xxDCx
xB
xA
xxxxxx .
С помощью метода неопределенных коэффициентов получим систему
,12122
121
BBA
DBACA
из которой .21,1,
21,0 DCBA Следовательно,
.)1(2)22ln(22221
1)1(2
2222222
21
221)22(2
2221
2221
42221
22442
22
222
2
222
2234
35
cxarctgxxx
xx
xdxdx
xxx
xxxdx
xxx
xxxdx
xx
x
xdxxxdx
xxxxxx
х5
х5 + 2х4 –
– 2х4 –
х4 + 2х3 + 2х2
х – 2 + 2х3 + 4x + 4
4 + 2х3
– 2х4– 4х3 – 4х2 + 4x + 4
4х3 + 4х2 + 4х + 4
65
Задачи для самостоятельного решения Найти интегралы.
9.377.
.7x
dx 9.378.
.3 x
dx
9.379.
.21
3 dxx
9.380.
.32
5 dxx
9.381.
.1212x
dx 9.382.
.322 2x
dx
9.383.
.327 2x
dx 9.384.
.113 2x
dx
9.385.
.192 2x
dx 9.386.
.32 xx
dx
9.387.
.82 2 xx
dx 9.388.
.72 xx
dx
9.389.
.)2( 2x
dx 9.390.
.)5( 2x
dx
9.391.
.21 2xxdx 9.392.
.
62 xxdx
9.393.
.283 2 xx
dx 9.394.
.982 xx
dx
9.395.
.842 xx
dx 9.396.
.22 xx
dx
9.397.
.1412 2 xx
dx 9.398.
.23 2xxdx
9.399.
.273 2 xx
dx 9.400.
.2335 2xx
dx
9.401.
.186 2xx
dx 9.402.
.245 2xx
dx
9.403.
.432 2 xx
dx 9.404.
.5,12 xx
dx
9.405.
.2
722 dx
xxx 9.406.
.1
12 dx
xxx
9.407.
.84
12 dx
xxx 9.408.
.62
2 dxxx
x
9.409.
.182
72 dx
xxx 9.410.
.
)3)(2(dx
xxx
66
9.411. .3
22 xd
xxx
9.412.
.)1)(2(
21 dxxx
x
9.413.
.32
232 dx
xxx 9.414.
.82
52 dx
xxx
9.415.
.102
15,22 dx
xxx 9.416.
.322
52 dx
xxx
9.417.
.52
62 dx
xxx 9.418.
.6
12 dx
xxx
9.419.
.74
22 dx
xxx 9.420.
.523
22 dx
xxx
9.421.
.84
312 dx
xxx 9.422.
.17,02,0
6,02 dx
xxx
9.423.
.158
5,122 dx
xxx 9.424.
.125
12 dx
xxx
9.425.
.522
52 dx
xxx 9.426.
.2910
6,02 dx
xxx
9.427.
.1253x
dx 9.428.
.643x
dx
9.429.
.43 xx
dx 9.430.
.8126 23 xxx
dx
9.431.
.673 32 xxx
dx 9.432.
.3323 xxx
dx
9.433.
.42 23 xxx
dx 9.434.
.233 xx
dx
9.435.
.41082 23 xxx
dx 9.436.
.)32( 3x
dx
9.437.
.1 4x
dx 9.438.
.2 24 xx
dx
9.439.
.32 24 xx
dx 9.440.
.)42( 22 xx
dx
9.441.
.)3)(2( 22 xx
dx 9.442.
.)84)(34( 22 xxxx
dx
9.443.
.)4( 22x
dx 9.444.
.)9( 22x
dx
9.445.
.2414132 234 xxxx
dx 9.446.
.)52(
1222 dx
xxx
67
9.447.
.)22(
5,022 dx
xxx 9.448.
.)102(
6922 dx
xxx
9.449.
.)52(
5,122 dx
xxx 9.450.
.)33(
35,422 dx
xxx
9.451.
.52 xxdx 9.452.
.
)1(3 23 xxdx
9.453.
.)6( 32x
dx 9.454.
.)5( 32x
dx
9.455.
.)106( 32 xx
dx 9.456.
.6116
423 dx
xxxx
9.457.
.819122
32 dxxxx
x 9.458.
.22
423 dx
xxxx
9.459.
.1042
15723 dx
xxxx 9.460.
.366
3 dxxx
x
9.461.
.497
3 dxxx
x 9.462.
.9
33 dx
xxx
9.463.
.32
23 dxxx
x 9.464.
.22
123 dx
xxxx
9.465.
.524 dx
xxx 9.466.
.44
7323 dx
xxxx
9.467.
.)3)(1(
9112 dx
xxx 9.468.
.
232
24 dxxxx
9.469.
.)2(
122 dx
xx 9.470.
.2334 dx
xxx
9.471.
.243
34 dxxx
x 9.472.
.127
324 dx
xxx
9.473.
.)3)(2(
222 dx
xxx 9.474.
.)1)(1(
122 dx
xxxx
9.475.
.10122 24 dx
xxx 9.476.
.
)1( 22 dxx
x
9.477.
.221 5432 dx
xxxxxx
9.478.
.123432 23456 dx
xxxxxxx
9.479.
.22 4
2
dxx
x 9.480.
.3233
2
dxxxxx
68
9.481.
.2
15223
2
dxxxx
xx 9.482.
.65
5,023
2
dxxxx
x
9.483.
.23
3213
2
dxxx
xx 9.484.
.1
233
2
dxx
xx
9.485.
.)4)(1(
25,02
2
dxxx
xx 9.486.
.)1)(2(
5,15,02
2
dxxxx
xx
9.487.
.12112
2419123
2
dxxxxxx 9.488.
.)23)(4(
622
2
dxxxx
xx
9.489.
.)225,0)(168( 22
2
dxxxxx
x 9.490.
.45 24
2
dxxx
x
9.491.
.1281607214
14234
2
dxxxxx
xx 9.492.
.)1( 5
2
dxx
x
9.493.
.)52)(4(
16161922
2
dxxxx
xx 9.494.
.32 36
2
dxxx
x
9.495.
.)54(
)1)(1(22
2
dxxx
xxx 9.496.
.)4)(2(
622
3
dxxxx
9.497.
.2795
518175234
23
dxxxxx
xxx 9.498.
.413
1343432
23
dxxxx
xxx
9.499.
.)1)(22(
322
3
dxxx
x 9.500.
.)22)(12(
2222
3
dxxxx
xx
9.501.
.)2)(2(
61363
32
dxxx
xxx 9.502.
.4852
1763234
23
dxxxxx
xx
9.503.
.221
15432
4
dxxxxxx
x 9.504.
.)1)(32(
17822
24
dxxxx
xx
9.505.
.)1(2
43322
4
dxxx
x
Найти интеграл, выделив предварительно целое выражение в подынте-
гральной неправильной дроби.
9.506.
.32
34 dxx
x 9.507.
.1
2
dxx
x
9.508.
.312
dxxx 9.509.
.4
632
dxx
xx
9.510.
.572
dxx
x 9.511.
.5
1162
dxx
xx
69
9.512. .342
2
dxxx
x
9.513.
.4312
2
2
dxxxxx
9.514.
.1052
2
dxxx
x 9.515.
.1
3
dxxx
9.516.
.152 3
dxxx 9.517.
.
1 2
3
dxx
x
9.518.
.2
7532
23
dxx
xxx 9.519.
.561
2
23
dxxx
xx
9.520.
.1
122
3
dxx
xx 9.521.
.32
22
23
dxxxxx
9.522.
.1332
23
dxxx
xxx 9.523.
.1
32
23
dxxx
xxx
9.524.
.2533
23
dxxx
xxx 9.525.
.223
3
dxxx
x
9.526.
.12
4
dxx
x 9.527.
.42
4
dxx
x
9.528.
.17
2
4
dxxx 9.529.
.1
223
34
dxxxx
xxx
9.530.
.814
4
dxx
x 9.531.
.168
124
5
dxxx
x
9.532.
.4
83
45
dxxx
xx 9.533.
.161
4
5
dxxx
9.5. Интегрирование тригонометрических функций
Обозначим через )cos,(sin xxR рациональную функцию от xsin и xcos . Интегралы вида dxxxR )cos,(sin приводятся к интегралам от рацио-нальных функций с помощью универсальной тригонометрической подстанов-
ки 2xtgt . В результате этой подстановки имеем
22
2
2 12
11,
12)cos,(sin
tdt
tt
ttRdxxxR .
Заметим, что универсальная подстановка во многих случаях приводит к сложным вычислениям, поэтому применяется только тогда, когда нельзя при-менить другие подстановки, вид которых зависит от свойств функции
)cos,(sin xxR .
70
Если )cos,(sin xxR – четная функция относительно xsin и xcos , т.е. )cos,sin( xxR )cos,(sin xxR , то подстановка tgxt преобразует исходный
интеграл в интеграл от рациональной функции аргумента t. При этом исполь-
зуются формулы xtg
xxtg
xtgx 22
2
22
11cos,
1sin
.
Если )cos,(sin xxR – нечетная функция относительно xsin , т.е. )cos,sin( xxR )cos,(sin xxR , то интеграл рационализируется с помощью
подстановки xt cos . Если )cos,(sin xxR – нечетная функция относительно xcos , т.е.
)cos,(sin xxR – )cos,(sin xxR , то подстановка xt sin рационализирует ин-теграл. Интегралы вида dxxtgR )( рационализируются с помощью подстановки
tgxt , а интегралы вида dxxctgR )( – с помощью подстановки ctgxt .
Интегралы вида ,
sin 12 xdx
n xdx
n 12cos находят с помощью универсаль-
ной тригонометрической подстановки. При нахождении интегралов вида ,cossin dxbxax dxbxax coscos ,
dxbxax sinsin , где ba , применяются тригонометрические формулы
;)sin()sin(21cossin xbaxbabxax
;)cos()cos(21coscos xbaxbabxax
.)cos()cos(21sinsin xbaxbabxax
Если ba , то
;42cos2sin
21cossin c
aaxdxaxdxaxax
;42sin
222cos1cos2
caaxxdxaxdxax
.42sin
222cos1sin 2
caaxxdxaxdxax
Интегралы вида ,cossin dxxx nm где Nnm , , вычисляются с помо-щью подстановки xt sin при нечетном п, а при нечетном m – с помощью подстановки xt cos . В случаях четных m и п используются тригономет-рические формулы
71
;2sin21cossin xxx );2cos1(
21sin 2 xx ).2cos1(
21cos2 xx
Интегралы вида
,cos
,sin
,sin
,cos
,, 2222 xdx
xdxdx
xxctgdx
xxtgdxxctgdxxtg lkm
n
m
nnn
где Nlkmn ,,, , находят с помощью формул
,1cos
12
2 x
xtg .1sin
12
2 x
xctg
Пример 9.53. Найти интеграл x
dxcos513
.
Р е ш е н и е. Так как функция xcos513
1
не является четной относи-
тельно xsin и xcos , нечетной относительно xsin и xcos , то применим уни-
версальную тригонометрическую подстановку 2xtgt . Получим
22222
2
22
22
2
2)3()3(
31
2)3(8182
115131
2
12,
11cos,2,
2cos513
ttd
tdt
tdt
ttt
dtt
dtdxttxtarctgxxtgt
xdx
.22
361
23
21
31 cxtgarctgctarctg
Пример 9.54. Найти интеграл 5cos5sin2 xx
dx .
Р е ш е н и е. Подынтегральная функция рационально зависит от xsin и
xcos ; применим подстановку 2xtgt , тогда ,
11cos,
12sin 2
2
2 ttx
ttx
212
tdtdx
и
5115
122
12
5cos5sin22
2
2
2
tt
tt
tdt
xxdx
52)52(
21
52 ttd
tdt .5
22ln
21|52|ln
21 cxtgct
72
Пример 9.55. Найти интеграл xx
dx22 sin3cos2
.
Р е ш е н и е. Так как подынтегральная функция – четная относительно xsin и xcos , то применим подстановку tgxt :
.2323ln
621
2323ln
221
31
)2()3()3(
31
3213
12
1
11cos,
1sin,
1,,
sin3cos2
222
2
2
2
2
22
2
22
222
ctgxtgx
ctt
ttd
tdt
tt
t
tdt
tx
ttx
tdtdxtarctgxtgxt
xxdx
Пример 9.56. Найти интеграл dxxx
8
3
sincos .
Р е ш е н и е. Применим подстановку xt sin , так как подынтегральная функция является нечетной относительно xcos , и получим
22
8
2
8
3
1cos,cos,sinsin
coscossincos txxdxdtxtdx
xxxdx
xx
.sin5
1sin7
151
71)1(
575768
8
2
cxx
ctt
dttdttt
dtt
Пример 9.57. Найти интеграл
dxxx
xcoscos
sin2
3
.
Р е ш е н и е. Подынтегральная функция является нечетной относительно xsin , поэтому применим подстановку xt cos :
dxxx
xcoscos
sin2
3
22
2
2
1sin,sin,coscoscos
sinsin txdxxdtxtdxxx
xx
.|cos|lncos||ln
)1()1(
)1()1( 2
2
2
cxxctttdtdt
tdtt
ttdtt
ttdtt
Пример 9.58. Найти интеграл dx
xtgx2sin
23 .
Р е ш е н и е. Так как xtg
tgxx 2122sin
, то применим подстановку tgxt :
22 1
22sin,1
,,2sin
23ttx
tdtdxtarctgxtgxtdx
xtgx
73
.||ln
23||ln
23
23
2)23(
12)1(
)23(
22
ctgxtgxcttdttdt
tdtt
ttt
dtt
Пример 9.59. Найти интеграл xdx
3sin.
Р е ш е н и е. Находим
32
32
223
)1(8)1(
21
2sin,12,2,
2sinttt
dtttx
tdtdxtarctgxxtgt
xdx
.2
ln21
sin2cos
2ln
21
)cos1(8cos1
)cos1(8cos1
281
2ln
21
28
181
||ln21
81
41
21
4121
41)1(
41
2
2
2
2
23
3
42
3
22
cxtgxxcxtg
xx
xxcxtgxtgxtg
ct
tt
tdttdtdttdt
tttdt
tt
Пример 9.60. Найти интеграл dxxx2
5cos2
sin .
Р е ш е н и е.
.3cos612cos
413cos
61)2cos(
41)3(3sin
61
)2()2(sin(4
1)3sin)2(sin(21
25cos
2sin
cxxcxxxxd
xdxdxxxdxxx
Пример 9.61. Найти интеграл dxxxx 3cos6cos9cos .
Р е ш е н и е. Так как )15cos3(cos216cos9cos xxxx , то
.18sin72112sin
4816sin
241
41
)18cos12(cos41)6cos1(
41
26cos13cos
3cos15cos213cos
213cos6cos9cos
2
2
cxxxx
dxxxdxxxx
dxxxdxxdxxxx
74
Пример 9.62. Найти интеграл dxxx 2)7sin(sin . Р е ш е н и е.
.14sin2818sin
816sin
612sin
41
14sin281
218sin
816sin
612sin
41
21
)14cos1(21)8cos6(cos)2cos1(
21
7sin7sinsin2sin)7sin(sin 222
cxxxxx
cxxxxxx
dxxdxxxdxx
dxxdxxxdxxdxxx
Пример 9.63. Найти интеграл dxxx3
cos3
sin 42 .
Р е ш е н и е. Так как 3
cosи3
sin xx входят в подынтегральное выраже-
ние в четных степенях, то воспользуемся формулами
32cos1
21
3cos,
34cos1
21
32sin,
32sin
41
3cos
3sin 22222 xxxxxxx
и будем иметь
.2sin641
32sin
643
34sin
643
1612sin
641
32sin
643
32sin
323
34sin
643
1612cos
32cos
321
32sin
323
34sin
643
161
32cos
34cos
161
32cos
161
34cos
161
161
32cos1
34cos1
161
3cos
32sin
41
3cos
3sin 2242
cxxxxcxxx
xxdxxxxxx
dxxxdxxdxxdx
dxxxdxxxdxxx
Пример 9.64. Найти интеграл dxxx 43 sincos . Р е ш е н и е. Так как степень xcos нечетная, то применим подстановку
xt sin , из которой dxxdt cos . Таким образом получаем
.sin71sin
51
71
51
)1(coscossinsincos
7575
64242443
cxxctt
dttdttdtttdxxxxdxxx
75
Пример 9.65. Найти интеграл x
dxxcos2
sin 3
.
Р е ш е н и е. В подынтегральное выражение xsin входит в нечетной степени, поэтому применим подстановку xt cos и получим
dt
ttdxxdtxt
xdxx
21sin,cos
cos2sin 23
.
В полученном интеграле выделим целую часть в подынтегральной дроби:
.
Следовательно,
.|2cos|ln3cos2cos21
|2|ln3221
232
21
2
22
cxxx
ctttdtt
tdttt
Пример 9.66. Найти интеграл )32(6 xtg
dx .
Р е ш е н и е. Так как )32()32(
1 66
xctg
xtg, то будем иметь
)32(6 xtgdx
dxxctg )32(6
dx
xxctg 1
)32(sin1)32( 2
4
.)32(21)32(
61)32(
101
21
21
61
1011
sin1
21
61
101
21
)(21
1011
sin1
21
101
21
)(211
sin1
212,32
35
352
352
252
254
42
4
cxxctgxctgxctgct
tctgtctgtctgdtt
tctgtctgdttctg
tctgdtctgtctgdtt
tctgtctgdttctg
tctgdtctgdtt
tctgdxdtxt
Пример 9.67. Найти интеграл dxx
xtg2cos
26
4
.
Р е ш е н и е. Сделаем замену xt 2 и применим формулу
ttgt
22 1
cos1
.
t2 – 1 t2 – 2t
–
2t – 1 – 2t – 4 3
t – 2 t + 2
76
В результате получим
.21012
712
181)()2(
21
)()1(21
coscos1
21
2cos2
579468
2242
2
24
6
4
cxtgxtgxtgttgdttgttgttg
ttgdttgttgt
dtt
ttgdxx
xtg
Пример 9.68. Найти интеграл xdx
3cos8 .
Р е ш е н и е. Находим
.32113
513
31
211
51
31
31
)331(31)()1(
31
coscos1
311
cos1,
31,3
3cos
753753
64232
2
3
22
28
cxtgxtgxtgxcttgttgttgt
dtttgttgttgttgdttg
tdt
tttg
tdtdxxt
xdx
Задачи для самостоятельного решения Найти интегралы.
9.534.
.cos1517 x
dx 9.535.
.cos5 xdx
9.536.
.cos59 x
dx 9.537.
.2cos11 x
dx
9.538.
.sin32 x
dx 9.539.
.sin74 x
dx
9.540.
.sin56 x
dx 9.541.
.sin1 xdx
9.542.
.cossin1 xx
dx 9.543.
.cos2sin32 xx
dx
9.544.
.cos4sin35 xx
dx 9.545.
.cos7sin2 xx
dx
9.546.
.cos2sin6 xx
dx 9.547.
.cos4sin74 xx
dx
9.548.
.cos8sin3 xx
dx 9.549.
.cos7sin34 xx
dx
77
9.550.
.cos3sin28 xx
dx 9.551.
.cossin32 xx
dx
9.552.
.sin3cos xx
dx 9.553.
.cos3sin45 xx
dx
9.554.
.cos6sin57 xx
dx 9.555.
.cos2sin35 xx
dx
9.556.
.2sinsin2 xx
dx 9.557.
.sin1sin1 dx
xx
9.558.
.3sin13sin1 dx
xx 9.559.
.
2sin12sin dx
xx
9.560.
.)5cos1(
5cos2 dx
xx 9.561.
.
1cossin2sin2 2 xxxdx
9.562.
.2sin42cos3 22 xx
dx 9.563. .3
cos3
sin 22 dxxx
9.564.
.cos4cossin41 2 xxx
dx 9.565.
.2cos2sin42sin
2cos2
2
dxxxx
x
9.566. .sin
sin14
2
dxx
x 9.567. .4
cos4
sin 24 dxxx
9.568. .5sin5cos 24 xx
dx 9.569. .cossin 5 xx
dx
9.570. .cossin 33 xx
dx 9.571.
.
2cos
2sin
2cos
33dxxx
x
9.572. .cossin3 7 xx
dx 9.573. .
4cos
4sin4 53 xx
dx
9.574.
.cos3cossin8sin16 22 xxxx
dx
9.575.
.)2cos2(sin 2xx
dx 9.576. .)1(cos3 dxx
9.577.
.1cossin
coscos24
53
dxxx
xx 9.578. .)32(cos3 dxx
9.579. .3sin3cos
3
5
dxxx 9.580.
.
2cos
2sin3
2cos
22
3
dxxx
x
78
9.581. .4sin2sin xx
dx 9.582.
.
2cos1
2cos
2
5
dxx
x
9.583.
.)sin1(cos 2 xx
dx 9.584.
.cos1
cos2
5
dxx
x
9.585.
.sinsin
cos2
3
xxxdx 9.586. .cos3 dxx
9.587. .2
cos5 dxx 9.588. .4cos7 dxx
9.589.
.cos1
cos2
3
dxx
x 9.590. .
3sin
3cos
2
3
dxx
x
9.591. .2cos
2sin2 dx
xx 9.592. .
3cos3sin
5 dxx
x
9.593. .cossin 3
dxxx 9.594. .
2cos2sin
2
3
dxxx
9.595. .
2cos
2sin
9
3
dxx
x
9.596. .
2cossinsin 3
dxx
xx
9.597. .2sin
122 dxx
xctg 9.598.
.3cos
sin 3
dxx
x
9.599. .sin
16
3 dxx
xctg 9.600. .
cossin1 dx
xxxtg
9.601.
.1
2cos12 2
4 dxx
xtg 9.602.
.2sin5,2cos1 2 xx
dx
9.603.
.1
22
22
dxxtgxtg
xtg 9.604. .
cossin 3 xxdx
9.605. .
2cos
2sin 3 xx
dx 9.606. .cossin 33 xx
dx
9.607. .
3sin x
dx 9.608. .2sin 5 x
dx
79
9.609. .sin 7 x
dx 9.610. .2cos x
dx
9.611. .
4cos3 x
dx 9.612. .
2sincossin dxx
xx
9.613. .7cos2sin dxxx 9.614. .3cos2
sin dxxx
9.615. .8cos3sin dxxx 9.616. .4cos)56sin( dxxx
9.617. .3
sin2
sinsin dxxxx 9.618. .8sin2sin dxxx
9.619. .7sin3sin dxxx 9.620. .3
4sin3
sin dxxx
9.621.
.
53sin3sin dxxx 9.622.
.
124sin
34sin dxxx
9.623.
.
1036sin
56sin dxxx 9.624.
.
3coscos dxxx
9.625.
.
4coscos dxxx 9.626. .10cos3cos dxxx
9.627. .5
cos4
cos dxxx 9.628. .6cos2cos dxxx
9.629. .4
cos2
coscos dxxxx 9.630.
.
3cos
63cos dxxx
9.631.
.
53cos
10cos dxxx 9.632. .)22cos()16(cos dxxx
9.633. .5
sin 2 dxx 9.634. .8sin 2 dxx
9.635.
.
33cos2 dxx 9.636.
.
64cos2 dxx
9.637. .cossin 22 dxxx 9.638. .8
cos8
sin 42 dxxx
9.639. .3sin 4 dxx 9.640. .2cos4 dxx
9.641. .5sin3cos 22 dxxx 9.642. .cossin 44 dxxx
9.643. .4
cos6 dxx 9.644. .sin8 dxx
9.645. .cossin 24 dxxx 9.646. .2
cos2
sin 52 dxxx
80
9.647. .3
cos3
sin 55 3 dxxx 9.648. .cossin 32 dxxx
9.649. .5
cos5
sin 34 dxxx 9.650. .cossin 54 dxxx
9.651. .cossin 55 dxxx 9.652. .cossin 4 dxxx
9.653. .sin 3 dxx 9.654. .4cos4sin 23 dxxx
9.655. .2cos2cos
2sin3
3
dxxx
x 9.656. .6cos
6sin3 2
3
dxx
x
9.657. .2
sin2
cos 5 dxxx 9.658. .3 dxxtg
9.659.
.
422 dxxtg 9.660. .23 dxxtg
9.661. .53 dxxctg 9.662. .6
4 dxxtg
9.663. .6 dxxctg 9.664. .17 dxxctg
9.665. .28 xtg
dx 9.666. .cos
16
4 dxx
xtg
9.667. .
2cos
2sin
8
4
dxx
x
9.668. .cossin3 24 xx
dx
9.669. .5sin 4 x
dx 9.670. .7cos4 x
dx
9.671. .
2cos6 x
dx 9.672. .2sin 6 x
dx
9.673.
.1sincos
2sin23 dx
xxx 9.674. .)sin21( 3 dxx
9.675. .)3cos21( 3 dxx 9.676. .)cos31( 2 dxx
9.677.
.sin
2cos
2sin
2
dxx
xx
9.678. .cos
sin12
3
dxx
x
9.679. .
2sin4sin1
2 dxxx 9.680.
.
cos9sin252sin
22dx
xxx
81
9.681.
.1
sin dxxtg
x 9.682.
.1
2sin
2cos
sin23
dxxxx
9.683. Интегрируя по частям, вывести формулы «понижения степени»:
;sin1sincos1sin 21 dxxn
nxxn
dxx nnn
.cos1cossin1cos 21 dxxn
nxxn
dxx nnn
По этим формулам найти 1) dxx6sin ; 2) dxx6cos .
9.6. Интегрирование некоторых иррациональных функций Если подынтегральная функция иррациональна, то ее с помощью замены переменной во многих случаях можно привести к рациональному виду или к табличному интегралу. Этот способ называется интегрированием посредством рационализации подынтегрального выражения.
В интегралах вида
dxdcxbaxxR n, , где R – рациональная функция,
п – натуральное число и dcba ,,, – постоянные, рационализация подынте- грального выражения достигается одной из трех подстановок:
1. n baxt , если с = 0 ; 2. n xt , если b = с = 0 ;
3. ndcxbaxt
в остальных случаях.
Интегралы вида
dxbaxbaxbaxxR k kn mn mn m )(,...,)(,)(, 2 21 1 ,
где kk mnmnmn ,...,,,,, 2211 – целые числа, преобразуются в интегралы от ра-
циональной функции с помощью подстановки stbax , где s – наимень-шее общее кратное чисел knnn ...,,, 21 (НОК ( snnn k )...,,, 21 ).
Интегралы вида
dxdcxbax
dcxbaxxR k
kn
mn
m
,...,, 11
рационализируются подстановкой stdcxbax
, где s – наименьшее общее
кратное чисел knnn ...,,, 21 .
82
С помощью тригонометрических подстановок ,cos
,sint
axtax
ttgax к рациональному тригонометрическому виду приводятся соответ-ственно интегралы
,, 22 dxxaxR ,, 22 dxaxxR dxaxxR 22, .
Интегралы вида dxcbxaxxR 2, могут быть найдены с помощью таких же подстановок, так как после выделения полного квадрата в квадратном трехчлене и применения подстановки получают интегралы от выражений
22, tatR , 22, attR , 22, attR .
Интегралы вида dxcbxaxx
NMx
2)( находятся с помощью подста-
новки t
x 1 .
Интегралы от дифференциальных биномов dxbxax pnm )( , где pnm ,, – рациональные числа, выражаются через элементарные функции только в трех случаях: 1) если р – целое число, то используем подстановку ltx , где l – наименьшее
общее кратное знаменателей дробей 1
1
smm и ,
2
2
sm
n т.е. 21 ;НОК ssl ;
2) если n
m 1 – целое число, ,skp то sn tbxa , где s – знаменатель дроби р;
3) если pn
m
1 – целое число, ,skp то s
n tbxa
, где s – знаменатель
дроби р.
Пример 9.69. Найти интеграл 1732 xx
dx .
Р е ш е н и е. Интегралы вида cbxax
dx2
приводятся к табличным
интегралам путем выделения полного квадрата из квадратного трехчлена. По-этому преобразуем квадратный трехчлен к виду
4
5923173
22
xxx . Тогда
.17323ln
259
23
23
1732
222cxxx
x
xd
xxdx
83
Пример 9.70. Найти интеграл
dxxx
x52
172
.
Р е ш е н и е. Для нахождения интегралов вида
dxcbxax
BAx2
в чис-
лителе выделяют производную квадратного трехчлена, стоящего под знаком корня, и затем раскладывают интеграл на сумму двух интегралов, один из кото-
рых есть табличный, а другой – вида cbxax
dx2
. Значит, выделим в числи-
теле производную подкоренного выражения:
.25
21
41ln
243
5227
439
41
41
243)52(52
47
5243
52)14(
47
5243)14(
47
5217
2
222
221
2
2222
cxxx
xx
x
xdxxdxx
xxdx
xxdxxdx
xx
xdx
xxx
Пример 9.71. Найти интеграл 32)32(5 3 xx
dx .
Р е ш е н и е. Так как НОК (5; 2) = 10, то применим подстановку 1032 tx . Тогда dttdxtx 9
10
5,2
3
и
56
9
5 35
32)32( ttdtt
xxdx
.132ln5)32(5)32(25)32(
35)32(
45
|1|ln5525
35
45
1115
15
10101
51
103
52
234234
cxxxxx
ctttttdtt
tttt
dtt
Пример 9.72. Найти интеграл
dxxx
xxxx)1(
23
63 22
.
Р е ш е н и е. Подынтегральная функция является рациональной функци-
ей от 31
61
32
2 ,,,, xxxxx , и наименьшее общее кратное знаменателей дробей
равно 6. Поэтому вводим замену dttdxtx 56 6, и искомый интеграл при-водим к виду:
84
.11ln31ln66
43
53
11ln
216|1|ln66
43
53
16
1266
43
53
11226
1126
)1()2(6
)1(2
6
633
134
35
226810
2226810
2579
2
3511
26
54612
3
63 22
cxxxxxxx
cttttttt
tdtdt
ttttttdt
tttttt
dtt
tttdttt
tttttdxxx
xxxx
Пример 9.73. Найти интеграл
3
13x
xx
dx .
Р е ш е н и е. Сделаем замену 31 tx
x
, из которой 311t
x
,
23
2
)1(3
tdttdx
и
dttt
tdttt
tt
xxx
dx)3)(1(
3)3()1(
)1(313
3
2
23
32
3
.)1)(3)(1(
3 2
2
dttttt
t
Подынтегральную функцию разложим на простейшие дроби:
131)1)(3)(1( 22
2
ttDCt
tB
tA
ttttt .
Применяя метод неопределенных коэффициентов для нахождения DCBA ,,, , получим систему уравнений
,0330432
1420
DBADCA
DCACBA
из которой .392,
397,
269,
61
DCBA
Таким образом,
85
.3
1239
3
|1|ln787|3|ln
269|1|ln
61
23
21
21
783
1)1(
787|3|ln
269|1|ln
61
173)12(
787|3|ln
269
|1|ln61
127
391
3269
161
)1)(3)(1(
222
2
2
2
22
2
ctarctg
tttt
t
td
ttttdttdt
tt
tt
tdttt
tt
dtt
dtdttttt
t
Окончательно
.1123
113
311
1ln26713ln
262711ln
21
13
33
32
33
3
cx
xarctgx
x
xx
xx
xx
xxx
dx
Пример 9.74. Найти интеграл
xdx
xx
2323 .
Р е ш е н и е. Это интеграл вида
dxdcxbaxxR , . Применим подста-
новку 222
2
)1(6,
)1(2)1(3,
2323
tdttdx
ttxt
xx . Тогда
x
dxxx
2323
.)1)(1(
4)1()1(
)1(4 22
2
222
22
dt
tttdt
tttt Разложим рациональную дробь
)1)(1( 22
2
ttt на простейшие: .
111)1)(1( 222
2
tDCt
tB
tA
ttt
Освободившись от знаменателей, будем иметь: .)()()( 232 DBAtCBAtDBAtCBAt Приравнивая коэф-
фициенты при одинаковых степенях х, получим систему уравнений 0,0,1,0 DBACBADBACBA , решение которой
21,0,
41,
41
DCBA . Таким образом,
86
.21
11ln
41
21
|1|ln41|1|ln
41
121
141
141
)1)(1( 222
2
ctarctgttctarctg
ttt
dttdt
tdtdt
ttt
В результате
.23232
12323
12323
ln2323 c
xxarctg
xxxx
xdx
xx
Пример 9.75. Найти интеграл 0,22 adxxa . Р е ш е н и е. В примере 9.37 мы нашли этот интеграл, используя метод интегрирования по частям. Однако его можно вычислить с помощью тригоно-метрической подстановки tax sin :
dtttaaadttadxtaxdxxa cossincos,sin 22222
.2
arcsin2
2
12sin1sin2cossin22sin,arcsin
2sin42
)2cos1(2
cos
222
222
2
22
22222
cxaxaxaxa
ax
ax
axttttt
axt
ctatadttadtta
Пример 9.76. Найти интеграл 32 )7( xdx .
Р е ш е н и е. Применим подстановку t
dtdxttgx 2cos7,7 , .
7xttg
Тогда
32 )7( xdx
ctdttt
ttg
ttgt
dt sin71cos
71
cos11
)1(cos71
22
222
3
.771
sin22
2
cx
xttg
ttgt
87
Пример 9.77. Найти интеграл 322 xx
dx .
Р е ш е н и е. Сделав замену ,cos
sin3,cos
32 dt
ttdx
tx получим
.3
3331cos1sin
sin31cos
31
3cos
3cos
3cos
sin33
22
22
222
22
cx
xx
xx
tt
ctdtt
ttt
dttxxdx
Пример 9.78. Найти интеграл dxxx 2042 .
Р е ш е н и е. Выделим полный квадрат в квадратном трехчлене:
t
dtdxttgxdxxdxxx 222
cos4,4216)2(204
.cos
16cos
116 32
2
tdt
tdtttg
Так как подынтегральная функция является нечетной относительно tcos ,
то используя подстановку 21
,arcsin,sinz
dzdtzttz
, будем иметь
.)1(
1611ln8
)1(16
116
)1()1(16
)1(16
)1()1(16
cos16
22
2
22
2
2
22
22
2221
223
23
dzz
zzzdz
zz
zdz
dzz
zzz
dz
zz
dzt
dt
Последний интеграл найдем интегрированием по частям:
.11ln
41
)1(2121
)1(2)1(21
)1()1(
21
)1(,,
)1(,
)1(
2222
22
2
222222
2
czz
zz
zdz
zz
z
zzddz
zzvdzdu
zzdzdvzudz
zz
Следовательно,
88
.20422042ln4204
22
2042sin
,204
16
421
11
1cos1sin1sinln4
cossin8
11ln4
18
11ln4
18
11ln8204
2
22
2
2222
2
222
cxxxxxxxxx
xxxt
xxxttgtc
tt
tt
czz
zzc
zz
zz
zzdxxx
Пример 9.79. Найти интеграл dxxx 21011 . Р е ш е н и е. Находим
dttdttdttt
dttdxtxdxxdxxx
)2cos1(18cos36cos6sin3636
cos6,sin65)5(36101122
22
,6
10116
51,6
5sin2sin91822 xxxtscoxtctt
.10112
56
5arcsin18
101118
56
10116
52cossin22sin
2
22
cxxxx
xxxxxxttt
Пример 9.80. Найти интеграл 52)3( 2 xxx
dx .
Р е ш е н и е. Это интеграл вида
dxcbxaxx
NMx2)(
. Поэтому сде-
лаем замену 2
22
2182052,,13,13
tttxx
tdtdx
tx
tx
. Тогда
31
41)15(15ln
521
21)15(
)15(52
1
21)15(
25
1820152)3(
22
2
22
22
2
xtctt
t
td
t
dt
ttt
tt
dtxxx
dx
.)3(2
)52(542ln
521
)3(2)52(5
32ln
521 22
cx
xxxc
xxx
xx
89
Пример 9.81. Найти интеграл
dxx
x
23
2
3
)41(.
Р е ш е н и е. Подынтегральную функцию представим в виде
23
23 )41(
xx . В нашем случае мы имеем интеграл от дифференциального би-
нома, причем 21,23,2,3
nmpnm – целое число. Поэтому делаем
замену .41,
41,41
2222 dttdxxtxtx
Значит,
dxx
x
23
2
3
)41(
.16
414116
11616
111161)1(
161 2
223
2
cxx
ctt
dttt
dttt
Пример 9.82. Найти интеграл
dxx
x4
52 )2(.
Р е ш е н и е. Запишем подынтегральную функцию в виде .)2( 25
24 xx
Здесь 125
231,
25,2,4
p
nmpnm – целое число. Поэтому по-
ложим 3222
222 )1(
2,1
2,1
2,12
t
dttdxt
xt
xtx
. Тогда
.)1()1(
232432
)1(2322
)1(2
)1(4)1(
122
)2(
22
23
22
22
22
6
32
225
2
2
4
52
dttt
tttdtttt
dtt
tt
dtttt
tdxx
x
Подынтегральную функцию последнего интеграла разложим на простей-
шие дроби: 2222
2
)1(1)1(1)1()1(23
tD
tC
tB
tA
ttt .
Освободившись от знаменателей, имеем .)22()()(23 232 DCBAtDCBAtDCBAtCAt
Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений ,022,3,0 DCBADCBACA CBA
2 D , из которой находим 41,
45,
41,
45
DCBA .
Итак,
2222
2
)1(41
145
)1(41
145
)1()1(23
tdt
tdt
tdt
tdtdt
ttt
90
.2
,)1(21
1ln45
)1(41|1|ln
45
)1(41|1|ln
45
2
2
xxt
ct
tttc
tt
tt
Окончательно
.221
22ln
2524)2(
32)2( 2
2
22
3
32
4
52
cxxxxxx
xx
xx
dxx
x
Задачи для самостоятельного решения
Найти интегралы.
9.684.
.41132 xx
dx 9.685.
.842 xx
dx
9.686.
.842 xx
dx 9.687.
.23 2 xx
dx
9.688.
.822 xx
dx 9.689.
.11122
252
dxxx
x
9.690.
.1
1332
dxx
x 9.691.
;2410
232
dxxx
x
9.692.
.)4)(2(3 2xx
dx 9.693.
.)( 33 2 xxx
dx
9.694.
.121
121 dxx
xx 9.695.
.521
523
3dx
xx
9.696.
.)3(3
313 4
6dx
xxx 9.697.
.1
4143
2
dxx
xxx
9.698.
.)7(1
74 3
dxx
x 9.699.
.6 53 2
3dx
xxx
9.700.
.21
23
6dx
xx 9.701.
.
21
)1(1
42 dx
xx
x
9.702.
.)5(5
73
3x
dxxx 9.703.
.
1333 2 xx
dx
9.704.
.3)3(
232 dx
xxx 9.705.
.
52)52(3 2 xxdx
91
9.706.
.27273 xx
dx 9.707.
.2929 4 xx
dx
9.708.
.16
123
dxx
x 9.709.
.12
dxxx
9.710.
.1434
3dx
xx 9.711.
.6)8(
9 dxxx
x
9.712.
.11 3 4
3
dxx
x 9.713.
.32
)1(2
3
dxxx
x
9.714. .dxxax 9.715. .5 2 dxx
9.716. .2 2 dxx 9.717. .76 2 dxxx
9.718. .25 2 dxxx 9.719. .43 2 dxxx
9.720. .23)1( 22 dxxxx 9.721. .4)2( 22 dxxxx
9.722. .)12()1( 323 dxxxx 9.723. .)24()2( 323 dxxxx
9.724.
.)136( 32 xx
dx 9.725.
.2)32( 22 xxxx
dx
9.726.
.86)116( 22 xxxx
dx 9.727.
.)3( 52
2
dxx
x
9.728.
.)6( 52
2
dxx
x 9.729.
.)22(
)1(52
2
dxxx
x
9.730.
.)21(
)1(32
2
dxxx
x 9.731.
.)24(
)2(32
2
dxxx
x
9.732.
.)( 322 ax
dx 9.733.
.)1(
124
2
dxx
xx
9.734.
.)2(2
2
2
dxx
xx 9.735.
.14)4( 22 xx
dx
9.736.
.
)1()28(
6
32
dxx
xx 9.737.
.2322
2
2
dxxxxx
9.738.
.11 2x
dx 9.739.
.2)1( 2 xxx
dx
9.740.
.3 2xxxdx 9.741.
.
2xxxdx
92
9.742.
.11 2xxx
dx 9.743.
.562)1( 2 xxx
dx
9.744.
.12xx
dx 9.745.
.4 2xxdx
9.746.
.22 xxx
dx 9.747.
.362)1( 2 xxx
dx
9.748.
.34)3( 2 xxx
dx 9.749.
.40285)3( 2 xxx
dx
9.750.
.3211
1632
dxxx
x 9.751.
.22
22
dxxxx
x
9.752.
.78
752
dxxx
x 9.753.
.75)2(
532
dxxxx
x
9.754.
.54)3(
12
dxxxx
x 9.755.
.13 3xdx
9.756.
.14 3xxdx 9.757.
.
)1( 3 2xxdx
9.758.
.)2(1)2( 3xx
dx 9.759.
.)2()1( 3 2xx
dx
9.760.
.33)1( 4 23 xxxx
dx 9.761.
.23 33 xx
dx
9.762.
.)1( 322 xx
dx 9.763.
.)32( 32
3
dxx
x
9.764.
.)75( 32
3
dxx
x 9.765.
.6126)2( 3 233 xxxx
dx
9.766.
.22
32
3
dxx
x 9.767.
.2
213dx
xx
9.768.
.12
2 dxxx 9.769.
.
111104 xx
dx
9.770. .1
5
4
dxx
x 9.771.
.)41(
6
3 23
dxx
x
9.772. .11143 dxxx 9.773. .35 33 dxxxx
9.774. .313 3 23 dxxx 9.775.
.12124 22 xxxx
dx
93
9.7. Контрольные задания к главе 9
Вариант 1
Найти интегралы.
1.
.332 xx
dx 2. .5
sin2sin dxxx 3.
.1
52 23
dxx
xx
4.
.8 2xxdx 5. .
2arcsin2 dxxx 6. dxxx 6 .
Вариант 2
Найти интегралы.
1.
.4514 2xx
dx 2. .4cos3sin dxxx 3.
.1
122
23
dxx
xxx
4. .3sin 2 dxx 5. .4
sin)3( dxxx 6. x
dxcos39
.
Вариант 3
Найти интегралы.
1.
.215 2xxdx 2. .3cos
2cos dxxx 3.
.3
2124122 23
dxx
xxx
4.
.32
2
xdxx 5. .
5)3( dxxarctgx 6. dxxx 532 2 .
Вариант 4
Найти интегралы.
1.
.45 2 xx
dx 2.
.2cos33
sin2 3
dxx
x 3.
.5103
34 dxxx
x
4.
.14
72
dxxx
x 5. .7
ln dxxx 6. dxx
x25 .
Вариант 5
Найти интегралы.
1.
.652 xx
dx 2. .4cos)16sin( dxxx 3.
.8 3x
dx
4.
.32323 xx
dx 5. .7sin5 dxxex
6. dxxx 4 .
94
Вариант 6
Найти интегралы.
1.
.12 2 xx
dx 2. .4
cos2
sin dxxx 3.
.)3( 22x
dx
4.
.24 2xxdx 5. .)2ln( dxxx 6.
xxdx
ln25.
Вариант 7
Найти интегралы.
1.
.)10(xx
dx 2.
.3sin5 x
dx 3.
.14
22
3
dxxx
xx
4.
.111
2
2
dxxx 5.
.5
sin dxxe x 6. 25 xxx
dx .
Вариант 8
Найти интегралы.
1.
.21121 2 xx
dx 2. .)72(cos3 dxx 3.
.162
4
dxx
x
4.
.12573 dx
xx 5. .)23ln( 2 dxxx 6. dxxx 32 .
Вариант 9
Найти интегралы.
1.
.42
3 dxxx
x 2. .3cos4 dxx 3.
.6
622
dxx
xx
4. .4
3
2
dxx
x 5. .5
sin)15( 2 dxxxx 6. xx
dxcos4sin72
.
Вариант 10
Найти интегралы.
1.
.3312 2x
dx 2.
.
2sin43 x
dx 3.
.)2()1( 23 xx
dx
4. .10 2
dxx
x 5. .)5( 2 dxexx x 6. xx
dxcos3sin3
.
95
Глава 10. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ
10.1. Определенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница
Пусть функция )(xf определена на отрезке .,ba Разбиением отрезка ba, назовем конечное множество точек ,,,, 10 nxxx таких что
.1210 bxxxxxa nn Отрезки kk xx ,1 называются частичными отрезками, число ,max
,1 knkx
где ,1 kkk xxx называется диаметром раз-
биения.
Выберем произвольно на каждом частичном отрезке точку kkk xx ,1 и построим сумму
,22111
nn
n
kkk xfxfxfxf
которая называется интегральной суммой или суммой Римана, соответ- ствующей данному разбиению отрезка ba, и выбору точек .i Рассмотрим предел интегральных сумм при стремлении диаметра разбиения к нулю, т.е.
.10
lim
n
iii xf
Если существует этот предел, не зависящий от способа разбиения отрезка ba, и от выбора промежуточных точек ,i то говорят, что функция )(xf интегри-руема по Риману на отрезке ,,ba а сам предел называется определенным инте-
гралом и обозначается b
adxxf .)( Число а называется нижним пределом, число
b – верхним пределом интеграла, функция )(xf – подынтегральной функцией, выражение dxxf )( – подынтегральным выражением, а задача о нахождении
b
adxxf )( – интегрированием функции )(xf на отрезке ba, .
Если 0)( xf на ba, , то определенный интеграл b
adxxf )( геометриче-
ски представляет собой площадь криволинейной трапеции – фигуры, ограни-ченной линиями 0,,),( ybxaxxfy (рис. 10.1).
96
Основные свойства определенного интеграла
1. .)()( a
b
b
adxxfdxxf
2. .0)( a
adxxf
3. .)()()( b
c
c
a
b
adxxfdxxfdxxf
4. .)()()()( 2121 b
a
b
a
b
adxxfdxxfdxxfxf
5. ,)()( b
a
b
adxxfcdxxcf где с – постоянная.
6. Если 0)(0)( xfxf для );( bax и ,ba то
.0)(0)(
b
a
b
adxxfdxxf
7. Если )()( 21 xfxf для );( bax и ,ba то
.)()( 21 b
a
b
adxxfdxxf
8. Оценка определенного интеграла: если )(xf интегрируема на отрезке ba, и Mxfm )( на ba, , где Mm, – некоторые числа, то
).()()( abMdxxfabmb
a
9. Если )(xf непрерывна на отрезке ba, , то существует такая точка ,,ba
что справедливо равенство )()( abfdxxfb
a (теорема о среднем значе-
нии).
Рис. 10.1
97
10. Если функция )(xf непрерывна и ,)()( x
adttfx то справедливо равенство
),()( xfx т.е. производная определенного интеграла от непрерывной функции )(xf по его переменному верхнему пределу х существует и равна значению подынтегральной функции при том же х.
Если функция )(xf непрерывна на отрезке ba, и )(xF какая-либо пер-вообразная для )(xf на этом отрезке, то справедлива формула Ньютона-Лейбница
).()()()( aFbFxFdxxfa
bb
a
Пример 10.1. Вычислить интеграл 2
0
2dxx как предел интегральной сум-
мы. Р е ш е н и е. Так как ,2,0,)( 2 baxxf то разделим отрезок 2,0 на n
равных частей nn
abxk2
и выберем .kk x Получим
,22,22,,4,2,0 1210
nnx
nnx
nx
nxx nn
,2,,4,2 22
2
2
1
nnf
nf
nf n
.2223
232
nk
nnkxf kk
Следовательно,
.1lim22limlim1
23
3
13
23
1
2
0
2
n
kn
n
kn
n
kkkn
knn
kxfdxx
Продифференцировав тождество 2132)1( xxxxxx nn три раза по х и положив затем 1x , можно найти, что
3
)1()1()1(1
nnnkkn
k и, значит,
.6
)12()1(3
)1()1(2
)1()1()1(11111
2
nnnnnnnnkkkkkkn
k
n
k
n
k
n
k
Таким образом,
.38
6
)12()11(lim8
6)12()1(lim8 3
2
0
2
nn
nnnndxx
nn
98
Пример 10.2. Оценить интеграл
13
54
.1cos dx
xx
Р е ш е н и е. Так как ,1cos x то при 5x получим неравенство
.51
11cos 2
44
xxx Следовательно, ,58
1cos 2
13
54
dxxx т.е.
.32,01cos13
54
dxxx
Пример 10.3. Оценить интеграл
3
4
2 .cos52
xdx
Р е ш е н и е. Поскольку ,1cos0 2 x то 21
cos521
71
2
x
и
432
1cos52437
1 3
4
2
xdx или
3
4
2 .24cos5284
xdx
Пример 10.4. Вычислить среднее значение функции 33 1
xxy в ин-
тервале (1, 4).
Р е ш е н и е. Согласно теореме о среднем .)()()( abcfdxxfb
a Тогда
.)(1)(
b
adxxf
abcf В данном примере
4
13
3 114
1)( dxx
xcf
.4324
23
4322
2344
43
31
23
43
31 33333234
1
4
xx
Пример 10.5. Вычислить
2
13
2 .11 dxxx
x
Р е ш е н и е. Применим формулу Ньютона-Лейбница:
.2ln2465
21
31
812ln
38
21ln
31112
12
33
2
1
2
x
xxdxxx
x
Пример 10.6. Вычислить 3
0
3 2 .dxxx
Р е ш е н и е.
.95932
53
32 3
3
0
35233
0
32
21
3 2
0
3
xxdxxxdxxx
99
Пример 10.7. Вычислить
2
02
.5 xdx
Р е ш е н и е.
.11,1
52arcsin
02
5arcsin
55
2
0 22
2
02
x
x
dxx
dx
Пример 10.8. Вычислить
1
0.
153e
dxxx
Р е ш е н и е.
0
11ln83
183
18)1(3
153 1
0
1
0
1
0
exxdx
xdx
xxdx
xx eee
.113833 ee
Пример 10.9. Вычислить
0
1
2
.3
72 dxx
xx
Р е ш е н и е.
.823ln28)2ln2871(3ln28
3ln2873
28723
721
00
1
20
1
2
xxxdxx
xdxx
xx
Пример 10.10. Вычислить 6
3
3 .dxex
Р е ш е н и е. ).1(3333
3 236
3
36
3
3
3
6
eeeeexdedxe
xxx
Пример 10.11. Вычислить
12
2
3 .2cos
dxx
Р е ш е н и е.
.4811
81
31
21
212sin
312sin
21
2sinsin1212cos2cos2cos
2
123
12
2
212
2
212
2
3
xx
xdxdxxxdxx
100
Пример 10.12. Решить уравнение
x
xxdx
21 2
.2ln1arcsin
Р е ш е н и е.
x xxx
xxd
xxdx
x
21
212
.6
lnarcsinlnarcsinlnarcsinarcsin
1arcsin2
1
Следовательно, имеем уравнение ,2ln6
lnarcsinln x откуда
,3
lnarcsinln x ,
21т.к.
3lnarcsin
xx .
23
3sin
x
Задачи для самостоятельного решения В задачах 10.1 – 10.3 найти интегралы составлением интегральных сумм и переходом к пределу.
10.1. .1
0 dxx 10.2. .
1
0
2 dxx 10.3. .
1
0 dxex
В задачах 10.4 – 10.9 оценить интегралы.
10.4. .)1(1
0
2 dxxx 10.5. .
252
02
2
dxxx 10.6. .sin
2
dxx
x
10.7. .82
1
3 dxx 10.8. .
1sin5
44
dx
xx 10.9. .
sin25
2
0
xdx
В задачах 10.10 – 10.12 найти среднее значение функции )(xfy на за-данном отрезке. 10.10. 2)( xxf на отрезке .5,4
10.11. 12)( 3 xxxf на отрезке .1,0
10.12. xxxf cos3sin25)( на отрезке .,2
В задачах 10.13 – 10.89 вычислить интегралы.
10.13. .676
1
dx
xx 10.14. .)1(
3
1
2 dxx
10.15. .21
2
2
dxxx 10.16. .131
0
263 dxxx
101
10.17. .27
1
3
dxx 10.18. .248
13
3
dx
xx
10.19. .14
1
3
dx
xx 10.20. .3
7
3 dxx
10.21. .45
0
2 dxxx 10.22. .
1
5,0
02
dx
xx
10.23. .1
5
12
dxx
x 10.24. .1
121
0
2
dxx
xx
10.25. .12122
0
dxxx 10.26. .
234
3
3
dxxx
10.27.
.13
1
022
dx
xx 10.28. .
2
12 xx
dx
10.29. .3
3
32
xdx 10.30. .
6
23
62
xdx
10.31. .12
6
322
xdx 10.32. .
134
1
22
xxdx
10.33. .32
5
22
xxdx 10.34. .
346
8
32
xxdx
10.35. .4
5
12 xxdx 10.36. .
54
1
02
xxdx
10.37. .12
12
02
dxxx
x 10.38. .1
1
04
dx
xx
10.39. .4
1
06
2
dxx
x 10.40. .1
1
08
3
dxx
x
10.41. .246
1
02
xxdx 10.42. .
45
5,3
22
xxdx
10.43. .232
2
75,02
xxdx 10.44. .
22
1
02
xxdx
10.45. .4
1
02
xdx 10.46. .
4
3
02
dx
xx
10.47. .4
5
02
dxx
x 10.48. .1
0
3 2
dxxe x
102
10.49. .23
0 dxx 10.50. .9
0
1
12 3
dxx x
10.51. .41
55,0
02
2arcsin
xdxx 10.52. .9
1
0
13
xdxx
10.53. .1
0 x
dxe x 10.54. .2
12
1
dxxe x
10.55. .1
0
dxexex 10.56. .
1
0 xx ee
dx
10.57. .1
0
215 3
dxxe x 10.58. .
ln
4
3e
e xxdx
10.59.
.ln11
2
e
xxdx 10.60. .ln
1
2
dxx
xe
10.61. .ln1
1dx
xxe
10.62. .sin
dxx
10.63. .4sin4
0
dxx 10.64. .sin4
0
2
dxx
10.65. .cos4
2
2
dxx 10.66. .cos
0
42
xdx
10.67. .cos
6
82
xdx 10.68. .
3cos
4
02
xdx
10.69. .5cos
5,0
02 x
dx 10.70. .sin2
0
3
dxx
10.71. .cos4
0
3
dxx 10.72. .2cos4
0
3
dxx
10.73. .sin2
2
4
dxx 10.74. .cos2
0
4
dxx
10.75. .7sin3sin
dxxx 10.76. .cossin
dxxx
10.77. .cossin2
0
2
dxxx 10.78. .cossin2
0
2
dxxx
10.79. .cos5cos2
0
dxxx 10.80. .4cos4sin12
4
2
dxxx
103
10.81. .sincos230
3
dxxx 10.82. .3
cos3
6sin0
dxxx
10.83. .cos
3
42
xtgxdx 10.84. .cossin
2
0
3
dxxx
10.85. .)cos(ln2
1e
dxx
x 10.86. .cos12
0
dxx
10.87. .1
1
02
dx
xarctgx 10.88.
.
11
4
02
xarctgxdx
10.89. .913arcsin
31
61 22
xxdx
10.2. Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле
Если )(xf непрерывная на отрезке ba, функция, а tx – непре-рывно дифференцируемая функция на отрезке ,, такая, что ba,, и
,)(,)( ba то справедлива формула замены переменной в определенном интеграле
).()()()()( tdtfdtttfdxxfb
a
Если функции )(xuu и )(xvv непрерывно дифференцируемые на от-резке ba, функции, то имеет место формула интегрирования по частям в
определенном интеграле b
a
b
avduuvudv
a
b.
Если функция )(xf нечетная функция, то
0)(
a
adxxf ;
если )(xf четная функция, то
aa
adxxfdxxf
0)(2)( ;
если )(xf периодическая функция периода Т, то при любом Ra
.)()(0
TTa
adxxfdxxf
104
Пример 10.13. Вычислить интеграл .73
2
dxxx
Р е ш е н и е. Сделаем замену ,7 xt из которой получим .2,7 2 dttdxtx Вычислим новые пределы интегрирования: если ,2x то
;3t если ,3x то .2t Поэтому
.1564
3189
5243
356
5322
37
52
7272)2(77
3
235
2
3
242
3
422
3
23
2
tt
dtttdtttdttttdxxx
Пример 10.14. Вычислить интеграл .122
1
23 dxxx
Р е ш е н и е. Положим .12 2 tx Тогда .2,2
122 dttdxxtx
Если
,1x то ;1t если ,2x то .7t Таким образом,
.4791301
152
30791
31
51
377
5749
41
31
51
41
41
21
211212
1
735
7
1
247
1
22
1
222
1
23
tt
dtttdttttdxxxxdxxx
Пример 10.15. Вычислить интеграл .4
12
5
dx
xx
Р е ш е н и е. Положим .4 tx Тогда .2,42 dttdxtx Если ,5x то ;3t если ,12x то .4t Значит,
.3
50129163
642
43
242424 3
434
3
24
3
212
5
ttdtt
tdtttdx
xx
Пример 10.16. Вычислить интеграл .11
0
24 dxxx
Р е ш е н и е. Пусть ,sin tx тогда .cos dttdx Если ,0x то ;0t если ,1x то .2t Отсюда находим:
105
2
0
2
0
2
0
223
2
0
232
0
2
2
0
242
0
241
0
24
0
2
812cos
814cos1
161
)2(sin2sin11612cos2sin12cos
12cos2cos2cos81
22cos1
22cos1
cossincossin1sin1
tdttdtt
tdtttt
dttttdttt
dtttdttttdxxx
.32
4sin6412sin
481
161
812sin
1614sin
641
161
32sin2sin
161
0
2
0
2
0
2
0
2
0
2
0
2
0
2
0
2
3
3
ttt
tttttt
Пример 10.17. Вычислить интеграл .1cos3
2
0
xdx
Р е ш е н и е. Применим подстановку ,2xtgt из которой ,2arctgtx
.12
2tdtdx
Если ,0x то ;0t если ,2x то .1t Следовательно,
1
022
1
02
1
02
22
2
0 221
1131
21cos3 t
dtt
dt
ttt
dtx
dx
.223ln22
1212ln
221
22ln
221
0
1
ttt
Пример 10.18. Вычислить интеграл .2
0
dxee
exx
x
Р е ш е н и е. Сделаем замену .xet Тогда tdtdxtxtex 2,ln2,2 и,
если ,0x то ;1t если ,2x то .et Значит,
e
xx
x
ttt
dttdxee
e
12
2
2
0 12
.21
1ln1ln42
42
1
eette
106
Пример 10.19. Вычислить интеграл .)ln3(2
2 e
edxx
Р е ш е н и е. Воспользуемся формулой интегрирования по частям:
xvx
dxdudxdvxudxxxx
xvdxxxdudxdvxudxx
e
e
e
e
e
e ,,,3ln)3(ln2)ln3(
,)3(ln2,,)ln3()ln3(
2
2
22
22
.10522424)31()32(2
)13()23()3(ln2)ln3(
222222
2222
222
eeeeeeeeeeee
eedxeexxxx
e
ee
e
Пример 10.20. Вычислить интеграл .32
3sin5
52
2
dxx
xx
Р е ш е н и е. Подынтегральная функция – нечетная, следовательно,
.032
3sin5
52
2
dxx
xx
Пример 10.21. Вычислить интеграл .3
3
dxxarctgx
Р е ш е н и е. Так как подынтегральная функция – четная, то
2,
1,,2
2
2
3
0
3
3
xvx
dxdudxxdvxarctgudxxarctgxdxxarctgx
.33
43
3
111
03
121
22
0
3
0
3
0
3 3
02
22
3
02
22
xarctgx
dxx
xxarctgxdxx
xxarctgx
Задачи для самостоятельного решения
В задачах 10.90 – 10.113, 10.115 – 10.147 вычислить интегралы методом замены переменной.
10.90. .111
0 dxxx 10.91. .4
5
0 dxxx
107
10.92. .21
22
0
dxx
x 10.93. .13
3
34
xdx
10.94. .11
8
0
xdx 10.95. .71
4
1
3
dxxx
10.96. .343
32
0
22 dxxx 10.97. .96
32
0
2 dxxx
10.98. .2733
32
2
dxx 10.99. .33
0
2 dxx
10.100. .77
0
2 dxx 10.101. .1
5,0
0
2 dxx
10.102. .491
5,0
22 dxxx 10.103. .2
2
0
22 dxxx
10.104. .164
22
22 dxxx 10.105. .254
4,0
2,0
32 dxx
10.106. .1232
0
22 dxxx 10.107. .14
5,1
5,0
23 dxxx
10.108. .15310
3
0
xxdx 10.109. .
2
1
0
dx
xx
10.110.
.21
1
25,02
x
dx 10.111. .4
2
0
dx
xx
10.112. .163
35
31
xxdx 10.113. .
14
1
312xx
dx
10.114. Решить уравнение: .1212
2
x
xxdx 10.115. .
2
0
a
dxxa
x
10.116. .5
54
532
xxdx 10.117. .
1
2
32
xxdx
10.118.
.1
3
132
x
dx 10.119. .54
5
1
dx
xx
10.120. .22
8
2
dx
xx 10.121. .
1159
1
312
xxxdx
108
10.122. .11
222
2
dxx
x 10.123. .96
3
2
dx
xx
10.124. .16
4
02
2
dxx
x 10.125. .4
1
02
2
dxx
x
10.126. .1
1
12
2
dxx
x 10.127. .2)1(
1
022
dx
xxx
10.128.
.39
1
052
x
dx 10.129. .ln211
e
xxdx
10.130. .1
022 xx ee
dx 10.131. .12ln2
0
2 dxex
10.132. .1
22
0
2
dxe
eex
xx
10.133. .3
125ln
02
22
dxe
eex
xx
10.134. .2cos350
xdx 10.135. .
2sin20
xdx
10.136. .2cos3
4
6
xdx 10.137. .
2sin1
4
0
xdx
10.138. .3cos2
2
0
xdx 10.139. .
3cos23
3
0
xdx
10.140. .sin3
2sin3
0dx
x
x
10.141. .
2cos31
2sin
0dxx
x
10.142. .sin21
4
02
xdx 10.143. .3cos3sin
6
0
2 dxxx
10.144.
.113
42
2
dxtgx
xtg
10.145. .
2sin
2cos2
3
3
dxx
x
10.146. .2coscos
sin6
32 dx
xxx
10.147. .sinsin56
cos2
02 dx
xxx
В задачах 10.148 – 10.150 вычислить интегралы.
10.148. .1arcsin1
12
2
dxx
xx
10.149. .4cossin3
3
3 dxxx
109
10.150. .367
7
23 dxxx
В задачах 10.151 – 10.184 вычислить интегралы интегрированием по частям.
10.151. .5,0
0
2 dxxe x
10.152. .2
0
3 dxex x
10.153. .)4(3
2
2dxex x
10.154. .cos2 dxxex
10.155. .2sin2
0
2 dxxe x
10.156. .2cos2
0
22 dxxe x
10.157. .3cos6
0
3 dxxe x
10.158. .2
3sin0
dxxex
10.159. .2cos2
0
23 dxxe x 10.160. .ln
2
1dxx
e
10.161. .)3ln(1
2dxx
10.162. .)1ln(11
2
2dxxe
10.163. .ln16
1dxxx 10.164. .41ln
5,0
5,0
2 dxxxe
10.165. .2
ln2
4
2 dxxx 10.166. .4ln5,0
5,0
2 dxxxe
10.167. .2
lncos22
2dxxe
10.168. .3
5cos0
3dxxx
10.169. .3
2sin43
0dxxx
10.170. .3
cos0
3dxxx
10.171. .cos2
0dxxx
10.172. .4
sin4
0dxxx
10.173. .cos2
0
2 dxxx
10.174. .sin4
0
2 dxxx
10.175. .2cos4
0
22 dxxx
10.176. .2
sin2
0
3 dxxx
10.177. .sin
2
42 dx
xx
10.178. .3
cos5sin3
3
32 dxxtgxxx
10.179. .cos
sin3
32 dx
xxx
10.180. .3
arcsin5,1
0dxx
110
10.181. .2arccos5,0
0dxx 10.182. .1
4
2dxxarctg
10.183. .2
32
0dxxxarctg 10.184. .
2)1arcsin(2
0dx
xx
10.3. Приближенное вычисление определенных интегралов (формула трапеций). Несобственные интегралы
Точное вычисление определенного интеграла по формуле Ньютона–Лейбница не всегда возможно или целесообразно. В этих случаях, а также в случае, когда подынтегральная функция задана табличным способом, опреде-ленные интегралы вычисляют приближенно. Формула трапеций относится к одной из простейших формул прибли-женного вычисления определенных интегралов и имеет вид
b
a
n
ii
n yyyn
abdxxf ,2
)(1
1
0
где n – число частей, на которые разбивается отрезок ;, ba nixfybxxxxa iinn ,0;110 значения подынтегральной
функции в точках разбиения отрезка ., ba Заметим, что число n выбирается произвольно, и чем больше n, тем с большей точностью получим значение ин-теграла. Если функция )(xf имеет непрерывную вторую производную )(xf на отрезке ,, ba то абсолютная погрешность формулы трапеций выражается не-
равенством ,12
)()( 22
3
Mnabn
где
.)(max,2 xfMbax
Пример 10.22. По формуле трапеций, приняв ,5n вычислить
1
0 2 xdx и
оценить абсолютную погрешность полученных результатов.
Р е ш е н и е. В данном случае 2,0,2
1)(
nab
xxf и
.5,12,00 kkxxk Находим ;1;8,0;6,0;4,0;2,0;0 543210 xxxxxx
.31)(;
8,21)(
;6,2
1)(;4,2
1)(;2,2
1)(;5,002
1)(
5544
33221100
xfyxfy
xfyxfyxfyxfy
111
По формуле трапеций получаем
.4059,00296,22,0
3571,03846,04167,04545,02
333,05,02,02
1
0
x
dx
Оценим абсолютную погрешность. Для этого находим
,)2(
6)(;)2(
2)(;)2(
1)( 432 xxf
xxf
xxf
т.е. критической точки на
отрезке 1,0 функция 3)2(2
x не имеет. Поэтому, чтобы найти наибольшее
значение функции )(xf на отрезке 1,0 , надо сравнить значения )(xf на
концах данного отрезка: .272)1(,
41)0( ff Значит,
4
1)(max1,02
xfM
x, и .001,000083,0
12001
41
3001)5(
Пример 10.23. На сколько частей нужно разбить промежуток интегриро-вания, чтобы по формуле трапеций с точностью до 0,001 вычислить
интеграл .2
cos2
0dxx
Р е ш е н и е. Число отрезков n, на которые нужно разбить промежуток
интегрирования, найдем из неравенства ,12
)(2
23
nMab из которого
.12
)( 23
Mabn
Поскольку ,2
cos41)(;
2sin
21)(;
2cos)( xxfxxfxxf то
.41
2cos
41max)(max
20
2,0
2
xxfMxx
Значит,
.9,623,80001,01248
3
nn
112
Задачи для самостоятельного решения
В задачах 10.185 – 10.188 вычислить приближенно интегралы по формуле трапеций с точностью до 0,01.
10.185.
3
0.
2xdx 10.186.
2
1.
xdx
10.187. .2,1
0dxe x
10.188. .2
0
2dxe x
В задачах 10.189 – 10.220 по формуле трапеций вычислить интегралы, приняв .10n
10.189.
1
0.
1 xdx 10.190.
1
0.
21 xdx 10.191.
1
0.
31 xdx
10.192.
1
0.
41 xdx 10.193.
1
0.
51 xdx 10.194.
1
0.
61 xdx
10.195.
1
0.
71 xdx 10.196.
1
0.
81 xdx 10.197.
1
0.
91 xdx
10.198.
1
0.
101 xdx 10.199.
1
02 .
1xdx 10.200.
1
02 .
4xdx
10.201.
1
02 .
9xdx 10.202.
1
02 .
16xdx 10.203.
1
02 .
25xdx
10.204.
1
02 .
36xdx 10.205.
1
02 .
49xdx 10.206.
1
02 .
64xdx
10.207.
1
02 .
81xdx 10.208.
1
02 .
100xdx 10.209.
1
03 .
1xdx
10.210.
1
03 .
2xdx 10.211.
1
03 .
3xdx 10.212.
1
03 .
4xdx
10.213.
1
03 .
5xdx 10.214.
1
03 .
6xdx 10.215.
1
03 .
7xdx
10.216.
1
03 .
8xdx 10.217.
1
03 .
9xdx 10.218.
1
03 .
10xdx
10.219. 3
0.cos
dxx 10.220. 2
1.
xdx
В задачах 10.221 – 10.228 найти, на сколько частей нужно разбить проме-жуток интегрирования, чтобы по формуле трапеций вычислить интегралы с точностью до 0,001.
113
10.221. 3
1.
xdx 10.222.
2,1
0.sin dxx
10.223. 4
1.)1(ln dxxx 10.224.
3
0.
2xdx
10.225. 2
0.sin
dxx 10.226. 2
1.dxe x
10.227.
1
02 .
1 xdx 10.228.
2
1.
xdx
В задачах 10.229 – 10.232 вычислить приближенно интегралы по формуле трапеций и оценить абсолютную погрешность полученных результатов.
10.229.
5
1
2 .6,2 ndxx 10.230. 4
0.8, ndxx
10.231. 6
0
2 .6,3 ndxx 10.232. 4
0
2 .8,1 ndxx
10.233. Зная, что
1
02 ,
41
xdx вычислить приближенно число , воспользовав-
шись формулой трапеций при .10n Оценить абсолютную погрешность полученных результатов.
10.234. Зная, что 5
2,5,2ln
xdx вычислить приближенно значение ,5,2ln вос-
пользовавшись формулой трапеций при .8n Оценить абсолютную по-грешность полученных результатов.
10.235. Ширина реки 28 м; промеры глубины в поперечном сечении реки через каждые 2 м дали следующие результаты (х – расстояние от одного берега; у – соответствующая глубина):
х 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 у 0,2 0,9 1,5 2,1 2,7 3,5 3,2 3,1 3,6 2,8 1,6 1,3 0,7 0,5 0,3
Определить секундный расход Q воды в реке, если средняя скорость те-
чения v = 1,5 м/с. .,28
0
dxySVSQ
10.236. Прямая линия касается берега реки в точках А и В. Для измерения пло-щади участка между рекой и прямой АВ проведены 11 перпендикуляров к АВ от реки через каждые 5 м (АВ = 60 м). Длины этих перпендикуляров оказались равными 3,28 м; 4,02 м; 4,64 м; 5,26 м; 4,98 м; 3,62 м; 3,82 м; 4,68 м; 5,26 м; 3,82 м; 3,24 м. Вычислить приближенное значение площа-ди участка.
114
Несобственные интегралы
Интегралы с бесконечными пределами интегрирования и интегралы от неограниченных функций называются несобственными интегралами. Пусть функция )(xfy непрерывна на промежутке ;a и интегриру-ема на любом конечном его отрезке .,; baba Тогда несобственным интегра-
лом с бесконечным верхним пределом называется предел
b
abdxxf ,)(lim кото-
рый обозначается символом
adxxf ,)( т.е.
a
b
abdxxfdxxf .)(lim)(
Если предел существует и конечен, то несобственный интеграл называет-ся сходящимся, в противном случае – расходящимся. Аналогично определяются несобственные интегралы на промежутках b; и :);(
b b
aadxxfdxxf ,)(lim)(
b
cb
c
aadxxfdxxfdxxf .)(lim)(lim)(
Если сходятся оба интеграла в правой части последней формулы, то инте-
грал
dxxf )( называется сходящимся, и расходящимся, если хотя бы один из
них расходится. Если )(xf непрерывна для всех х отрезка ,, ba кроме точки с, в которой
)(xf имеет разрыв II рода, то по определению
b
c
b
a
c
adxxfdxxfdxxf
,)(lim)(lim)(
00
где и изменяются независимо друг от друга.
Несобственный интеграл b
abcacfdxxf ),)(()( называется
сходящимся, если оба предела в правой части равенства существуют, и расхо-дящимся, если не существует хотя бы один из них.
В случае ac или bc получаем
b
a
b
adxxfdxxf
),0()(lim)(0
или
115
b
a
b
adxxfdxxf .)0()(lim)(
0
При исследовании сходимости несобственных интегралов пользуются одним из признаков сравнения.
10. Если функции )(xf и )(x определены на промежутке ;a , интегрируе-мы на отрезке ,, Aa где aA и )()(0 xxf для всех ,ax то из сходи-
мости интеграла
adxx)( следует сходимость интеграла
adxxf ,)( а из рас-
ходимости интеграла
adxxf )( вытекает расходимость интеграла
adxx)(
(признак сравнения).
20. Пусть на промежутке ;a определены две положительные функции )(xf и )(x , интегрируемые на любом конечном промежутке ., ba Тогда,
если существует конечный предел ,0)()(lim
L
xgxf
x то интегралы
adxxf )(
и
adxx)( сходятся или расходятся одновременно (предельный признак
сравнения).
30. Если интеграл
adxxf )( сходится, то сходится и интеграл
adxxf )( . В этом
случае интеграл
adxxf )( называется абсолютно сходящимся.
40. Если при x функция 0)( xf является бесконечно малой порядка
по сравнению с ,1x
то интеграл
adxxf )( сходится при 1 и расходится
при .1
На практике часто для сравнения используется функция .1)( 2xx Из-
вестно, что
a xdx
сходится при 1 и расходится при .1
Аналогичные признаки сходимости можно указать и для интегралов от разрывных функций. Для сравнения в признаке 40 используют интеграл
)0()(
b
a xbdx или ,
)(
b
a axdx
который сходится при 1 и расходится при .1
116
Пример 10.24. Вычислить интеграл
1291
3 dxx
xarctg или установить его рас-
ходимость. Р е ш е н и е. Найдем
.15,0326
13361lim
163lim)3(3
31lim
913
22
22
2
112
arctgarctgaarctg
axarctgxarctgdxarctgdxx
xarctg
a
a
a
a
Данный интеграл сходится и приближенно равен 0,15.
Пример 10.25. Вычислить интеграл
41 22 xxdx или установить его
расходимость. Р е ш е н и е. Разложив подынтегральную функцию, находим:
0
0lim
31lim
31
4lim
31
4lim
31
1lim
31
1lim
31
431
431
131
131
431
131
41
02
0
2
02
0
20
2
0
2
02
0
22222
b
aarctgxarctgx
xdx
xdx
xdx
xdx
xdx
xdx
xdx
xdx
xdx
xdx
xxdx
b
b
abaa
b
baa
.6
026
12
0610
231
20
31
221lim
31
221lim
31
0
0
b
a
xarctgxarctgba
Данный интеграл сходится и равен 6 .
Пример 10.26. Исследовать интеграл
13
21 dxx
x на сходимость.
Р е ш е н и е.
.211lnlnlim
31
21
21limlnlim
31
21lim
lim31lim
311
32
32
13
3
1
3
13
3
13
13
2
11
aa
xx
xxddxx
xxd
xdxdx
xx
aaaa
a
a
a
a
aa
Исходный интеграл расходится, так как расходится один из интегралов в пра-вой части последнего равенства.
117
Пример 10.27. Исследовать сходимость интеграла 2
0
2
cossin
dxxx .
Р е ш е н и е. Подынтегральная функция имеет бесконечный разрыв при
.2
x Следовательно,
211
12
sin
12
sinlnlim
21
2sinlim
1sin1sinln
21lim
sinlim1sin)(sinlim)(sinlim
sin1cos)cos(lim
sin1coscos
cossin1
11sincos
cossincossin
cossinlim
cossin
000
2
0 02
2
0 00
2
0
2
0202
2
2
2
222
0
2
0
2
0
2
0
2
0
2
xx
xx
xdxd
dxx
xdxxx
xx
xxx
xxxx
xdxxdx
xx
Интеграл расходится.
Пример 10.28. Исследовать сходимость интеграла
3
02 .
)2(xdx
Р е ш е н и е. Функция 2)2(1x
имеет бесконечный разрыв при .2x
Значит,
1
1
2
0
2
0
2
0
3
222
3
02 )2()2(lim
)2()2()2(
xdx
xdx
xdx
xdx
.11lim211lim
32
1lim2
1lim)2()2(lim
2010
20
1
0
3
2
2
0
21
212
2 20
2
xxxdx
Интеграл расходится.
Пример 10.29. Исследовать сходимость интеграла
181 x
dx .
Р е ш е н и е. Подынтегральная функция 811)(x
xf
в промежутке инте-
грирования меньше, чем .1)( 8xx Исследуем на сходимость :
18
xdx
118
,71
71
71lim
171limlim 77
1
8
18
aa
xdxx
xdx
aa
a
a т.е. интеграл
18x
dx схо-
дится, а, значит, и
181 x
dx также сходится на основании признака сравнения.
Пример 10.30. Исследовать сходимость интеграла .cos
13 dx
xx
Р е ш е н и е. Так как 3331coscosxx
xx
x и
a
adxx
xdx
1
3
13 lim
,21
21
21lim
21lim 22 1
ax aa
a то интеграл
13x
dx сходится, а тогда, со-
гласно признаку сравнения, сходится и интеграл .cos
13
xdxx
Следовательно, на
основании признака 30 интеграл dxx
x
13
cos сходится.
Задачи для самостоятельного решения
В задачах 10.237 – 10.281 вычислить несобственные интегралы или уста-новить их расходимость.
10.237.
22 .
xdx 10.238.
3.
2xdx
10.239.
.
1162 xxdx 10.240.
02 .
4xdx
10.241.
.
1 2xdx 10.242.
.
222 xxdx
10.243.
32 .
10352 dx
xxx 10.244.
0
2 .11 dx
xx
10.245.
.
752 2 xxdx 10.246.
22 .
2xxdx
10.247.
03 .
1 xdx 10.248.
a x
dx .0,
10.249.
1.nx
dx 10.250.
12 .
1 xdx
119
10.251.
02 .
4dx
xx 10.252.
12 .
)1(21 dx
xxx
10.253.
.
12 xxdx 10.254.
1.
1xxdx
10.255.
05 .
)5(xdx 10.256.
1.
xdx
10.257.
1.
xdx 10.258.
22
.1xx
dx
10.259.
122
.1x
dx 10.260.
1.
xxdx
10.261.
12 .
xxdx 10.262.
122
.1xx
dx
10.263.
1
3 .dxe x 10.264.
0.dxe x
10.265.
0.2 dxx x 10.266.
e xxdx .ln
10.267.
e xxdx .ln 2 10.268.
0.2ln dxx
10.269.
0
2.dxxe x 10.270.
0
22 .dxex x
10.271.
3.
ln 4e xx
dx 10.272.
12 .dx
xxarctg
10.273.
02 .
1dx
xxarctg 10.274.
12 .
412 dxx
xarctg
10.275.
0
2 .cos dxxe x 10.276.
0.cos dxxx
10.277.
0.5sin dxx 10.278.
0.cos dxx
10.279.
0.7sin dxxe x 10.280.
0232
.1
dxx
xarctg
10.281.
0.dxe px
120
В задачах 10.282 – 10.306 исследовать на сходимость несобственные ин-тегралы.
10.282.
03
.1 xdx 10.283.
2 4.
1dx
x
x
10.284.
23 3
.1x
dx 10.285.
.
122 dx
xx
10.286.
1 3 2.
1xx
dx 10.287.
024
2
.1
dxxx
x
10.288.
25 3
7 2
.1
23x
x 10.289.
0
2.dxe x
10.290.
110 .
1 xdx 10.291.
12
.xxx
dx
10.292.
.21
132 dx
xxx 10.293.
12 .
112xdx
10.294.
0.dxe x 10.295.
1.dx
xe x
10.296.
12 .
2
dxx
e x 10.297.
1.)1ln( dx
xx
10.298.
1
2
.1ln dxx
x 10.299.
1.2cos1 dx
x
10.300.
03
.1
dxx
xarctgx 10.301.
02 .
12cos dxx
x
10.302.
0
2
.sin dxx
x 10.303.
13 .cos dx
xxx
10.304.
12 .
sindx
xxx 10.305.
0
2 .sin dxx
10.306.
02 .sin dx
xx
В задачах 10.307 – 10.338 вычислить интегралы.
10.307. 1
0.
xdx 10.308.
4
0.
xxdx
10.309.
6
2 3 2.
)4( xdx 10.310.
2
0 3 2.
)1(xdx
121
10.311.
1
0.
)1( xxdx 10.312.
4
22
.86 xx
dx
10.313.
1
02
.1
dxx
x 10.314.
1
02
.1 xdx
10.315.
2
0 2
3.
4dx
x
x 10.316.
3
12
.1
dxx
x
10.317.
2
0542
.1
dxx
x 10.318. 1
03
2
.2 dxxxx
10.319.
3
0.
33 dx
xx 10.320.
3
02
2
.9
dxx
x
10.321. 1
05 3
33.2 dx
xxx 10.322.
2
03 .
1xdx
10.323. a
dxxa2
0.2 10.324.
adx
xaa
022
.
10.325.
2
1.
1xdxx 10.326.
2
12
.1xx
dx
10.327.
2
122
.1xx
dx 10.328.
3
24 2
.42
3 dxx
x
10.329.
2
0 2
5
.4
dxx
x 10.330. 5,0
02 .
ln xxdx
10.331. 1
0.ln dxx 10.332.
1
0
2 .ln dxxx
10.333.
0
13
1
.dxx
e x
10.334. 1
0
2 .ln dxxx
10.335.
1
02
.1
arcsin dxx
x 10.336.
0
12
.1
arccos dxx
x
10.337.
1
23
.)1ln()1(
e
xxdx 10.338.
1
0.
xdx
В задачах 10.339 – 10.375 исследовать интегралы на сходимость.
10.339.
2
1.
xdx 10.340.
2
0.
2 xdx 10.341.
1
02 .
5xxdx
10.342.
2
02 .
)1(xdx 10.343.
3
12 .
)2(xdx 10.344.
3
02 .
)1(xdx
122
10.345.
1
03 .
1 xdx 10.346.
2
22 .
42 dx
xx 10.347.
1
12 .
4xxdx
10.348.
3
03 .
27 xdx 10.349.
1
042 .
xxdx 10.350.
1
03 4
.1 xdx
10.351.
1
04 .
1 xdx 10.352.
1
0.
21 dx
xxx 10.353.
1
02
.xx
dx
10.354.
0
23 .
1)1( xxdx 10.355.
e
xedx
0.
1 10.356.
1
02 .
ln xxdx
10.357. e
xxdx
13 .
ln 10.358.
1
0.
cos1dx
xe x
10.359.
1
0
3 2
.1
1ln dxe
xx
10.360.
1
0sin
3.
11ln dx
ex
x 10.361. 2
0.)ln(sin
dxx
x 10.362.
2
0sin
5 3
.1
1ln dxe
xx
10.363.
1
03 .
1xe
dx 10.364. 2
0.
sin
xdx 10.365.
2
02 .
cos
xdxx
10.366. 1
0.)sin(ln dxx 10.367.
1
0.)cos(ln dxx 10.368.
5
0.cos dx
xx
10.369.
1
03 2
2
.1
cos dxxx 10.370.
2
02 .1sin
xdx
x 10.371.
1
03 .
1cosdx
xx
10.372. 2
0.
dxctgx 10.373.
0.dxtgx 10.374.
1
0.
xtgxdx
10.375. 4
0.
sin3cos
dxxx
10.4. Геометрические приложения определенного интеграла
Вычисление площадей плоских фигур Если непрерывная кривая задана в прямоугольных координатах уравне-нием ,,,0)()( baxxfxfy то площадь плоской фигуры, ограничен-ной этой кривой, прямыми bxax , и осью Ох (рис. 10.2), вычисляется по
формуле b
adxxfS ,)( причем .0S
123
Если baxxf ,,0)( (рис. 10.3), то в этом случае
b
a
b
adxxfdxxfS .)()(
Площадь криволинейной трапеции, ограниченной прямыми ,, dycy непрерывной кривой dcyygygx ,,0)()( и осью Оу (рис. 10.4), вычис-
ляется по формуле d
cdyygS .)(
Если криволинейная трапеция ограничена кривыми )(),( 21 xfyxfy
baxxfxf ,),()( 21 (рис. 10.5), то ее площадь равна
.)()( 12 dxxfxfSb
a
Рис. 10.4
у
х
х = g(y) d
с
0
у
х у = f 1 (х)
а b 0
Рис. 10.5
у = f 2 (х)
у х
у = f (х)
а b 0
Рис. 10.3
у
х
у = f (х)
а b 0
Рис. 10.2
124
Если криволинейная трапеция ограничена прямыми dycy , и кривы-ми )(),( 21 ygxygx dcyygyg ,),()( 21 (рис. 10.6), то ее площадь
вычисляется по формуле .)()( 12 dyygygSd
c
Площадь криволинейной трапеции, ограниченной прямыми ,, bxax осью Ох и кривой, заданной параметрическими уравнениями
,,),(),( 21 ttttyytxx находится по формуле
2
1
)()(t
tdttxtyS
при условии, что )(txx строго возрастает на 21, tt . Если же )(txx строго
убывающая на 21, tt функция, то 2
1
.)()(t
tdttxtyS
Пример 10.31. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями
400,sin xyxy (рис. 10.7). Р е ш е н и е. Данная фигура является криволинейной трапецией, приле-гающей к оси Ох, поэтому ее площадь
.)ед. кв.(2211
4sin
cossin4/
0 0
4/
xdxxS
d
х
х = g1(у)
с
у
0
Рис. 10.6
х = g2(у)
у
х О /4 /2
Рис. 10.7
125
Пример 10.32. Найти площадь фигуры, ограниченной окружностью
,122 yx касательной к ней в точке
22;
22 и осью Ох (рис. 10.8).
Р е ш е н и е. Уравнение касательной имеет вид ,00 xxkyy где уг-
ловой коэффициент .1
22
122
2
xx
xyk Следовательно,
2
22
22 xyxy
искомое уравнение касательной. Касательная пересекает ось Ох в точке .0;2B Найдем площадь за- штрихованной фигуры АВС:
212
то,1 если;4
то,22 если,cos,sin
122112
1
22
21
22
222
22
2
2
2
txtxdttdxtx
dxxxxdxxdxxS
ед.). кв.(8
42sin41
21
412cos1
21
41cos1
41
4
2
4
22/
4/
2/
4/
2
ttdttdtt
Пример 10.33. Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми 2,2 2 xyxxy (рис. 10.9).
Р е ш е н и е.
у
х
А
В С 0
Рис. 10.8
2
2
2
2
2 А
В
С
Рис. 10.9
– 1
– 3
2
у
х
126
Найдем точки пересечения данных кривых. Для этого решим систему
уравнений:
,2,2 2
xyxxy ,02,22 22 xxxxx ,3,1 11 yx
.0,2 22 yx Следовательно, кривые пересекаются в точках А (–1; –3) и С (2; 0). Таким образом, искомая площадь фигуры АВС
.)ед. кв.(292
21
3142
38
221
31222
1
2232
1
22
1
2
xxxdxxxdxxxxS
Пример 10.34. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями 02,432 yxxy (рис. 10.10).
Р е ш е н и е.
Найдем точки пересечения кривых:
,2,432
yxxy
,0103,4)2(3 22 yyyy .5,2 21 yy Находим площадь фигуры:
.18343
310
21
91
310
31
34
312
2
5235
2
25
2
2
yyydyyydyyyS
Пример 10.35. Найти площадь фигуры, ограниченной астроидой taytax 33 sin,cos (рис. 10.11).
Р е ш е н и е. Вычислим площадь 1S ее части, ограниченной дугой АВ, и результат увеличим в 4 раза.
Если ,0x то ;2
t если ,ax то .0t
34
31 2
yx
–2
х = у + 2
5
7
Рис. 10.10
х
у
О
127
02
02
222
0
22
0
22
2
0
2322
0
22
22
0
4220
2
31
832sin
163
24cos1
83)2(sin2sin1
163
12cos2cos2cos83
22cos1
22cos13
cossin3)sin(cos3sin
tatadttatdta
dttttadttta
dtttadtttataS
.32
316
332
3
1634sin
643
1632sin
1612sin
163
222
222322
02
02
02
02
aaa
atatatata
Искомая площадь 8
342
1aSS
(кв.ед).
Задачи для самостоятельного решения В задачах 10.376 – 10.497 найти площадь фигуры, ограниченной задан-ными линиями.
10.376. .0,2 2 yxxy 10.377. .0,183 2 yxxy
10.378. 24 xxy и осью Ох. 10.379. .2,12 yxy
10.380. .1,1,12,0 2 xxxyy
10.381. .2,2 xyxy 10.382. .3,2 xyxxy
у
х – а
– а
а
А
В
Рис. 10.11
0
128
10.383. .13,322 xyxxy 10.384. .10,4231 2 xyxxy
10.385. .2, 2xxyxy 10.386. .27,27 2 yxxxy
10.387. .3,0,2 xyxy 10.388. .0,,22
2
xxyxxy
10.389. .0,1),1(2 2 xxyxy 10.390. .0,2,2 yxyxy
10.391. .)1(,24,0 2 xyxyy
10.392. ,42,0 xyx осью Ох и .12 xy
10.393. .2,1,0,0 2xyxyxy
10.394. .431, 22 xyxy 10.395. .2, 22 xxyxy
10.396. .42,22 22 xxyxxy
10.397. .1,0,1,2 22 xxxyxy 10.398. .)0(6,0,193 23 xyxxxxy
10.399. .3,42 yxyx 10.400. .0832,82 yxxy
10.401. .43,2 xyxy 10.402. .24,322 xyxxy
10.403. .,2,0 xyxyy 10.404. .22,2 xyxy
10.405. .0,34, yxyxy 10.406. .,2 xyxy
10.407. .,2,3 xyxyxy 10.408. .4,2 222 xxyxy
10.409. .)1( 22 xy
10.410. 562 xxy и осями координат.
10.411. .232,
21 2 xyxy 10. 412. .42, 22 xxyxy
10.413. .0,2, xxyxy 10.414. .02,2 yxxy
10.415. .062,4 22 xxyxy 10.416. .5,2,1 22 yxyxy
10.417. .4,2 222 xxyxy 10.418. .4824,168 22 xyxy
10.419. .0124,962 yxxxy 10.420. .3,22 yxxy
10.421. .0,342 yxxy 10.422. .16,6 222 yxxy
10.423. .8,2 222 yxyx 10.424. .0,422 xxy
10.425. .0,23 2 yxxy 10.426. .2, 22 xyxy
10.427. .4,42 xyxxy 10.428. .0,6 2 yxxy
10.429. .3,12 xxy
129
10.430. .1,6,106 22 xxxyxxy
10.431. .1,762 xyxxy 10.432. .5,562 xyxxy
10.433. .7,762 xyxxy 10.434. .1,562 xyxxy
10.435. .2,22 xyxy 10.436. .3,12 yxxy
10.437. .2,92 xyxy 10.438. .4,4 22 yxxy
10.439. .1,122 xyxy 10.440. .0,9 2 yxy
10.441. .0,542 xxyy 10.442. .0,42 xxy
10.443. .,2 2 xyxxy 10.444. .9,9 22 yxxy
10.445. .52,2 yxxy 10.446. .1,0,2,2 xxeyxy x
10.447. .2,0, xyey x 10.448. .,3 xyxy
10.449. .0,2,1,1 yxx
xy 10.450. .
25,
21,0,1
2 xxyx
y
10.451. .1,1,42 xyx
xy 10.452. .6,5 xy
xy
10.453. .4,3 yxxy 10.454. .5,6 xyx
y
10.455. .6,6,5 xxy
xy 10.456. .2,,1
xxyx
y
10.457. .0,9,,9 yxxy
xy 10.458. .06,0,2 yxxy
10.459. ., 32 xyxy 10.460. .2
,4,0,2
2
xxyxyxy
10.461. 2,1,132
xxx
xxy и осью Ох.
10.462. .3,0,0, xyxey x 10.463. .0,2,2 xyy x
10.464. .23,12,12 33 yyy xx 10.465. .2,
21,0,log 2 xxyxy
10.466. .0,,ln yexxy 10.467. .0,2,1 yxey x
10.468. .0,1,1 2 xeyey x 10.469. .0,1, xxey x
10.470. .0),0,0(2,4 222 xyxxxyyx
10.471. .9,3 22 yxxy 10.472. .9,3 2yxyx
10.473. .2
,21,cos
xxyxy 10.474. .0,0,sin xyxy
10.475. .)0(0,1,2sin xxyxy
130
10.476. xxxy ,0,6sin и осью Ох.
10.477. .4
,4
3,0,cos xxyxy 10.478. .3,22
xyxy
10.479. .7,4
4 2
xyx
y
10.480. .sin12cos5,sin5cos12 ttyttx 10.481. Одной аркой циклоиды )cos1(3),sin(3 tyttx и осью Ох
.)20( t 10.482. tytx sin2,cos3 (эллипс).
10.483. ,82 2 xxy касательной к этой параболе в ее вершине и осью ординат.
10.484. 162 xy и касательными к этой параболе, проведенными из начала координат.
10.485. 942 xxy и касательными к ней, проведенными в точках с абсцис-сами 31 x и .02 x
10.486. 241 xxy и касательными к ней, проведенными в точках с абсцис-сами 01 x и .32 x
10.487. 3xy и прямой, проходящей через точки (1; 4), (0,5; 6).
10.488. 102 xy и касательными к этой параболе, проведенными из точки (0; 1).
10.489. ,2 2xy осью Ох и касательной к кривой 22xy в точке ,, 00 yx где .20 x
10.490. 22 xxy и касательной к кривой 3ln xy в точке с абсциссой .1x
10.491. 3,3 xey x и прямой, являющейся касательной к линии xey 3 в точ-ке с абсциссой .0x
10.492. 0,0,2
0cos
xyxxy и прямой, являющейся касательной к
линии xy cos в точке .4
x
10.493. К эллипсу 1416
22
yx проведена касательная в точке .3;2C Найти
площадь криволинейного треугольника АВС, где А (4; 0) – вершина эллипса, а В – точка пересечения касательной с осью Ох.
10.494. 2xy и нормалью к ней, проведенной через точку параболы с абсцис-сой .1x
131
10.495. 22xy и нормалью к ней в точке (2; 2). 10.496. Найти площадь криволинейного четырехугольника, ограниченного ду-
гами эллипсов .)(1,1 2
2
2
2
2
2
2
2
baay
bx
by
ax
10.497. Круг 7522 yx разделен гиперболой 110012
22
yx на три части. Найти
площадь средней части.
Вычисление объема тела вращения Объем тела, образованного вращением криволинейной трапеции, ограни-ченной кривой ),(xfy осью Ох и прямыми ,, bxax вокруг оси Ох (рис. 10.12), находится по формуле
b
a
b
adxxfdxyV .)(22
Если вокруг оси Ох вращается фигура, ограниченная кривыми baxxfxfxfyxfy ,),()(0),(),( 2121 и прямыми ,, bxax то объем
тела вращения вычисляется по формуле
b
adxxfxfV .)()( 2
12
2
Объем тела, образованного вращением вокруг оси Оу криволинейной трапеции, ограниченной кривой ),(ygx осью Оу и прямыми dycy , (рис. 10.13), определяется по формуле
d
c
d
cdyygdyxV .)(22
у
О а b
y = f(x)
х
Рис. 10.12
132
Если фигура ограничена кривыми )(),( 21 ygxygx
dcyygyg ,),()(0 21 и прямыми ,, dycy то объем тела, полученный при вращении этой фигуры вокруг оси Оу, можно найти по формуле
d
cdyygygV .)()( 2
122
Пример 10.36. Найти объем тела, образованного при вращении вокруг оси Ох фигуры, ограниченной линиями 6,3,0,9 xxyxy (рис. 10.14). Р е ш е н и е. Находим
.2
2731
618181819
3
66
3
26
3
2
xdxxdx
xV
Пример 10.37. Найти объем тела, образованного при вращении вокруг оси Ох фигуры, ограниченной линиями 0124,4 2 yxxy (рис. 10.15).
0 х
у
Рис. 10.13
d
c
)(ygx
х
у
3 6
23
3
0
Рис. 10.14
xy9
133
Р е ш е н и е. Найдем точки пересечения кривых. Для этого решим систе-му уравнений
.3,4
,4
,012
,4
,0124,4
21
2
2
22
xx
xy
xx
xyxyxy
Следовательно,
3
4
423
4
222
1616239
443 dxxxxdxxxV
.1203754
564
341236
80243
169
42727
801
481
439
4
3532
xxxx
Пример 10.38. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси Оу фигуры, ограниченной линиями 5,1,5 yyxy и осью Оу (рис. 10.16). Р е ш е н и е.
х
у
О 5
5
1
yx 5
Рис. 10.16
Рис. 10.15
у
х О 3
3
– 4
4у + х – 12 = 0
4у = х2
134
Искомый объем
.201512525255
1
55
1
25
1
2
ydyydy
yV
Пример 10.39. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси
Оу фигуры, ограниченной линиями 0,2
arccos,6
arccos yxyxy
(рис. 10.17). Р е ш е н и е.
Так как ,6
arccosxy то 6x и ;;0;cos6 yyx при .2
0 yx
Аналогично для ,2,2
arccos xxy .;0;cos2 yyx Значит,
.82sin2116
)2cos1(16cos32)cos2()cos6(
2
2/
0
2/
0
22/
0
22
0
2/
yy
dyydyydyyyV
Задачи для самостоятельного решения В задачах 10.498 – 10.548 найти объем тела, образованного при вращении вокруг оси Оу фигуры, ограниченной данными кривыми.
10.498. .3,0,62 xyxy 10.499. .5,25,0,254 xxyxy
10.500. ., 22 yxxy 10.501. .8,4 32 yxyx
10.502. .2,0,,1 xyxy
xy 10.503. .0,)2(8,2 22 yxyxy
2 6 –6 –2
x = 6 cos y
x = 2 cos y
y
x 0
2
Рис. 10.17
135
10.504. .0,2,22 xyxy 10.505. .07,18
2
yxxy
10.506. .4,2 32 xxy 10.507. .0,4,1,4 yxxxy
10.508. .2,0,)1( 2 yxyx 10.509. .0,1,2 yxyx
10.510. .0,2,1,2 yxxxy 10.511. .0,)4( 32 xxy
10.512. .,4 2 xyxxy 10.513. .0,2,3 yxxy
10.514. .0,652 yxxy 10.515. .2,24 22 xxyxxy
10.516. .1,1,23 yxxy 10.517. .0,02,2 2 xyxxxy
10.518. .1,2,0,12 xyxxyx 10.519. .,3 xyxy
10.520. .2,1,2 xyxy 10.521. .2,2 2 xyxxy
10.522. .8,16
64 22 yx
xy
10.523. .5,0,10)52( 2 yxxy
10.524. .0,0,log2,2 2 yxxyy x 10.525. .0,1, yxexy x
10.526. .0,1, yxxey x 10.527. .0,2/0,2sin yxxy
10.528. .0,2
,sin yxxy 10.529. .0,sin,sin3 xxyxy
10.530. .2/0,0,sin,cos xyxyxy 10.531. .2/0,cos,cos5 xxyxy
10.532. .,2
sin 2xyxy
10.533. .0,,2
yaxeeay ax
ax
10.534. .242 xxy 10.535. .)0(2,222 aayayx
10.536. .,22 axaxy 10.537. .2,,0,2 axaxyaxy
10.538. .,0,22 axypxy 10.539. .0,)(2,2 22 yaxqyxpy
10.540. .2,0,)( 2 ayxaxay 10.541. .2,222 axayx
10.542. .)0(115
,1925
22
22
xyxyx 10.543. .1925
,1259
2222
yxyx
10.544. .,12
2
2
2
haxby
ax
10.545. .,12
2
2
2
hxby
ax
10.546. .12
2
2
2
by
ax
10.547. .),(0,0,)()( 222 RyRxyxRRyRx 10.548. .sin,cos tbytax
136
В задачах 10.549 – 10.582 найти объем тела, образованного при вращении вокруг оси Ох фигуры, ограниченной данными кривыми. 10.549. .0,2 2 yxxy 10.550. .,42 xyxy
10.551. .0,42 xxy 10.552. .8, 22 yxxy
10.553. .0,1,2 yxyx 10.554. .0,2,3 yxxy
10.555. 2,1,4 xxxy и осью Ох. 10.556. .2,4 23 yxy
10.557. .8,0,3 yxxy 10.558. .7,3,0,4 xxyxy
10.559. .38,)1(38 2 yxy 10.560. .0,)4( 32 xxy
10.561. .0,4, yxxxy 10.562. .2,422 yyx
10.563. .03,93 2 yxxy 10.564. .432,44 22 xyxy
10.565. .0,0,2 yxyx 10.566. .0,3
arccos,5
arccos yxyxy
10.567. .622 yx 10.568. .242 yyx
10.569. .3/23/23/2 ayx 10.570. .0,2
,arcsin xyxy
10.571. .145
22
yx 10.572. .1,0,arcsin xyxy
10.573. .0,1,2
0,sin xyxxy 10.574. .1,20,cos yxxy
10.575. .0,,6 2 xeyey xx 10.576. .0,0, yxayx
10.577. .)0(,,0,2 babxaxykxy
10.578. .2,)(2 22 apyaxpy 10.579. .,2
ayxaxay
10.580. .222 ayx 10.581. .12
2
2
2
by
ax
10.582. .)cos1(),sin( tayttax
10.583. Плоскость, перпендикулярная к оси параболоида вращения, отсекает от него сегмент, радиус основания которого r и высота h. Найти объем сегмента.
10.584. Определить объем бочки, высота которой равна h, диаметр каждого из оснований – d, диаметр среднего сечения – D. Осевые сечения боковой поверхности являются параболами с вершинами на окружности средне-го сечения.
137
Вычисление длины дуги кривой Если дуга кривой задана уравнением )()( bxaxfy и функция )(xf имеет непрерывную производную в промежутке ,; ba то длина дуги кривой, содержащейся между двумя точками с абсциссами ,, bxax вычисляется по формуле
b
a
b
adxydxxfl .1)(1 22
Если кривая задана уравнением )(ygx в промежутке dc; и функция )(ygx имеет непрерывную производную в этом промежутке, то длина дуги
кривой определяется по формуле
d
c
d
cdyxdyygl .1)(1 22
Длина дуги кривой, заданной параметрически )();( 21 tytx ,21 ttt где )(),( 21 tt – непрерывно дифференцируемые функции, выра-жается формулой
2
1
222
1
22
21 .)()(
t
t
t
tdtyxdtttl
Пример 10.40. Найти длину дуги линииx
ysin
1ln от 3
x до .3
2x
Р е ш е н и е. Поскольку ,,sin
1ln xctgyx
y то
.0986,13ln31ln3ln
21
1cos1cosln
21
1cos)(cos
sinsin
sinsincos1
3
32
3/2
3/2
3/2
3/2
3/2
3/
3/2
3/2
2
xx
xxd
xdxx
xdxdx
xxl
Пример 10.41. Вычислить длину дуги параболы xy 82 от вершины до точки А (8; 8).
Р е ш е н и е. Из уравнения параболы 4
,8
2 yxyx и у изменяется от 0
до 8, следовательно,
138
.52ln416415816ln416
4158
164
16
164158
164116
4
,16
,,161641
161
8
0
228
0
2
8
0 2
8
0 2
28
0 2
22
22
8
0
28
0
2
0
8
0
8
dyyyydyy
y
dydyy
ydyy
yyy
yvy
dyydudydvyudyydyyl
Мы получили уравнение, относительно 8
0
2 ,16 dyy из которого найдем, что
8
0
2 52ln851616 dyy и, значит,
.52ln2541641 8
0
2 dyyl
Пример 10.42. Найти длину дуги линии ,cos2sin22 ttttx
.)0(sin2cos2 2 ttttty
Р е ш е н и е. Найдем .sin)(,cos)( 22 tttytttx Тогда
.33
1sincos3
3
0
2
0
2424
0
tdttdtttttl
Пример 10.43. Найти длину дуги линии ,cos6sin8 ttx tty cos8sin6 от 0t до .2/t
Р е ш е н и е. Найдем ,sin8cos6)(,sin6cos8)( tttytttx
.10100
sin64cossin96cos36sin36cossin96cos64
)()(2222
22
tttttttt
tytx
Следовательно, .51010)()(0
2/2/
0
2/
0
22
tdtdttytxl
Задачи для самостоятельного решения
В задачах 10.585 – 10.623 найти длину дуги кривой.
10.585. .222 ayx 10.586. .)20(4
2
xxy
10.587. 24 xy между точками пересечения ее с осью Ох.
139
10.588. .)0(2
42
yxy 10.589. .)10(2 yyx
10.590. 32 xy от начала координат до точки .55;5
10.591. xy 42 от вершины до точки .2;1
10.592. .)110(2 2/3 xxy 10.593. .)90(54 4/5 xxy
10.594. .)141(12 2 xxxy 10.595. .)10(2
42 xxxy
10.596. .)320()1(32 3 xyx
10.597. 32 xy от точки (0; 0) до точки (4; 8).
10.598. .)22(42 2 xxy 10.599. .)30(32
xxxy
10.600. .)10(21 2 xxy
10.601. ,32 xy отсекаемой прямой .5x
10.602. .)10(2 xxy 10.603. .)30(32 2/3 yyx
10.604. ,32 2 xy отсеченной осью Ох.
10.605. ,)1( 32 xy отсеченной прямой .4x
10.606. 22 )3(9 xxy между точками пересечения с осью Ох.
10.607. .)31(4
ln2
2
xxxy 10.608. .)6222(ln xxy
10.609. .)7ln0( xey x
10.610. 21ln xy от начала координат до точки .43ln;
21
10.611. .)3
0(cosln yyx 10.612. .)
32
3(sinln
xxy
10.613. .)2ln7ln(arcsin xey x 10.614. .)10(arcsin xey x
10.615. )cos2ln( xy между смежными точками пересечения с осями коорди-нат Оу и Ох.
10.616. .1615
36111arccos2
xxxxy
10.617. .1690arcsin1 2
xxxy
140
10.618. .)0()cos(sin),sin(cos ttttRytttRx
10.619. Одной арки циклоиды .)cos1(),sin( tayttax
10.620. taytax 33 sin,cos (астроида).
10.621. 3/23/23/2 ayx (астроида). 10.622. .sin,cos taytax
10.623. .02
// axeeay axax
10.624. Доказать, что длина эллипса )(12
2
2
2
baby
ax
равна длине
синусоиды .)20(sin22 bxbxbay
10.5. Приложения определенного интеграла в решении физических и экономических задач
Если непрерывная функция )(tf характеризует производительность тру-да рабочего в зависимости от времени t, то объем продукции, произведенной рабочим за промежуток времени от 1t до 2t , выражается формулой
2
1
.)(t
tdttfV
Если в функции Кобба-Дугласа затраты труда считать линейно зависи-мыми от времени, а затраты капитала неизменными, то объем продукции V за Т лет равен
T
tdtetV0
.)(
Если проценты по вкладу начисляются непрерывно и их характеризует функция ),(tfy а удельная норма процента равна i, то дисконтированный до-ход К за время Т составляет
TitdtetfK
0.)(
Скорость оттока рабочей силы в момент времени Т можно определить при помощи уравнения восстановления
T
tdttTLtftftL
0
,)()()()(
где )(tf доля тех, кто был вначале (при 0tt ) и покинул предприятие в насто-ящий момент, при )(; tTLTt – скорость оттока людей, пришедших кому-то
141
на смену; )()( tTLtf – полная скорость оттока заместителей, покидающих предприятие в настоящий момент.
Общую сумму S текущих издержек обращения и капиталовложений, сво-димых к текущим затратам, можно определить по формуле
0
.)( dttfS
Если материальная точка движется прямолинейно со скоростью ),(tvv то пройденный ею за промежуток времени от 1t до 2t путь
2
1
.)(t
tdttvS
Пример 10.44. Найти среднее значение издержек ,243)( 2 xxxK вы-раженных в денежных единицах, если объем продукции х меняется от 0 до 3 единиц. Указать объем продукции, при котором издержки принимают среднее значение. Р е ш е н и е. Согласно теореме о среднем значении,
b
adxxf
abf )(1 называется средним значением функции на отрезке .; ba
В нашем случае
17)61827(3122
31243
31
0
3233
0
2 xxxdxxxf (ден.ед.),
т.е. среднее значение издержек равно 17. Определим, при каком объеме из-держки принимают это значение. Для этого решим уравнение
.0154317243 22 xxxx
Так как объем продукции не может быть отрицательной величиной, то
35
x (ед. продукции).
Пример 10.45. Найти объем продукции, произведенной рабочим за тре-тий час рабочего времени, если производительность труда описывается функ-цией .123)( 2 tttf
Р е ш е н и е. .1523
1233
2
232 tttdtttV
Пример 10.46. Найти объем произведенной продукции за 5 лет, если функция Кобба–Дугласа tettg 3)1()( .
142
Р е ш е н и е.
.21791
05
9116
31
31
05
)1(31
31,,,1)1(
153155
0
33
335
0
3
eeedtete
evdtdudtedvtudtetV
ttt
ttt
Пример 10.47. Определить дисконтированный доход, если процентная ставка – 5 %, первоначальные вложения – 5 млн р., прирост – 1 млн р. в год. Срок – 5 лет. Р е ш е н и е. В нашем случае функция капиталовложений, согласно усло-вию задачи, является линейной и равна ,)( ltktf где ,1,5 lk т.е.
.5)( ttf Удельная норма процента .05,0i Тогда дисконтированный доход равен:
.)р. млн(72,32600500
4001052020)5(20
20,,,5)5(
25,0
05,025,05
0
05,005,0
05,005,05
0
05,0
0
5
0
5
e
eedtete
evdtdudtedvtudtetK
ttt
ttt
Пример 10.48. Определить скорость оттока рабочей силы, если ;00 t .)5()()(;24,0)(;5 2/ tetTLtftfT t
Р е ш е н и е. Так как T
tdttTLtftftL
0
,)()()()( то
.547,6424,641024,02)5(224,0
2,,,5)5(24,0)(
2/52/5
0
2/2/
2/5
0
2/2/5
0
2/
0
5
0
5
eedtete
edtevdtdudtedvtudttetL
ttt
tttt
Пример 10.49. Определить общую сумму текущих затрат, если функция, характеризующая текущие издержки обращения и капиталовложения, имеет
вид .52
10)( 2
tttf
Р е ш е н и е.
.55,5)46,057,1(521
25
21
21lim5
21
21lim10
2)1(10lim
5210
022
02 0
arctgarctgaarctg
tarctgdtttt
S
a
a
aa
a
143
Пример 10.50. Скорость движения точки 3
21 tv м/с. Найти путь S, прой-
денный точкой за время Т = 5 с. после начала движения. Чему равна средняя скорость движения за этот промежуток?
Р е ш е н и е. ,м125,7881
21
0
545
0
3 tdttS
.м/с625,155125,78
. TSvср
Задачи для самостоятельного решения
В задачах 10.625 – 10.632 найти среднее значение издержек K (х), выра-женных в денежных единицах, если объем продукции х изменяется от 1x до 2x . Указать объем продукции, при котором издержки принимают среднее значение. 10.625. .4,0,132)( 21
2 xxxxxK
10.626. .5,0,146)( 212 xxxxxK
10.627. .4,0,2)( 21 xxexK x
10.628. .5,2,432)( 212 xxxxxK
10.629. .5,1,42)( 211 xxxK x
10.630. .4,1,143)( 212 xxxxxK
10.631. .3,0,13)( 21 xxxK x
10.632. .3,1,126)( 212 xxxxxK
В задачах 10.633 – 10.638 найти объем произведенной продукции за ука-занные промежутки времени, если производительность труда описывается за-данной функцией времени.
10.633. 1)1(
3)( 2
2
tttttf за первый час работы.
10.634. 292832)( tttf за первую половину восьмичасового рабочего дня.
10.635. 523
3)(
t
tf за пятый час работы.
10.636. 454
3)(
t
tf за третий час работы.
10.637. 5,005,000625,0)( 2 tttf за восьмичасовой рабочий день.
10.638. 23432)( tttf за третий и четвертый часы работы.
144
В задачах 10.639 – 10.642 найти объем произведенной продукции, если задана функция Кобба-Дугласа )(tg и указан временной промежуток.
10.639. tettg )14()( за три года. 10.640. tettg 5)10()( за один год.
10.641. tettg 10)25()( за пять лет. 10.642. tettg 2)3()( за два года. 10.643. Определить дисконтированный доход К, если:
а) процентная ставка – 8 %, первоначальные вложения – 10 млн р., при-рост – 1 млн р. ежегодно. Срок – 3 года;
б) процентная ставка – 7 %, первоначальные вложения – 10 млн р., при-рост – 1 млн р. в год. Срок – 6 лет;
в) процентная ставка – 2 %, первоначальные вложения – 3 млн р., при-рост – 1 млн р. в год. Срок – 10 лет.
10.644. Определить скорость оттока рабочей силы, если:
а) ;3;0;29,0)(;1
)()( 02
Tttf
tttTLtf
б) ;6;0;21,0)(;cossin)()( 0 TttftttTLtf
в) ;4;0;26,0)(;1
)()( 0
TttfeetTLtft
t
г) .16;0;75,0)(;23)()( 0 TttftttTLtf 10.645. Найти общую сумму текущих затрат, если функция, характеризующая
текущие издержки обращения и капиталовложения, имеет вид:
а) ;1
2)( 2
ttf г) ;)( 2tetf
б) ;1
1)( 2
tttf д) ;
)4(5)( 3
t
tf
в) ;1)1(
4)(
tt
tf г) .3)( 4tetf
10.646. Скорость движения тела задана формулой tv 21 м/с. Найти путь, пройденный телом за первые 10 с. после начала движения.
10.647. Скорость точки 31,0 tv м/с. Найти путь S, пройденный точкой за про-межуток времени Т = 10 с., протекший от начала движения. Чему равна средняя скорость движения за этот промежуток?
145
10.6. Контрольные задания к главе 10
Вариант 1
1. Вычислить интеграл .33
0
2 dxxx
2. Вычислить интеграл .cossin6/
0
2
dxxx
3. Вычислить несобственный интеграл
0
7 dxe x или установить его рас-
ходимость. 4. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями
.10,5,0,1 xxy
xy
5. Найти объем тела, образованного при вращении вокруг оси Ох фигуры,
ограниченной кривыми .2,0,212 xyxy
Вариант 2
1. Вычислить интеграл .1
11
02
32
dxxxxx
2. Вычислить интеграл .2sincos3/
0
3
dxxx
3. Вычислить несобственный интеграл
2
02
5
4 xdxx или установить его рас-
ходимость. 4. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями
.5,0,0, xyxey x 5. Найти объем тела, образованного при вращении вокруг оси Ох фигуры, ограниченной кривыми .8,4,0,16 xxyxy
Вариант 3
1. Вычислить интеграл .121
4
0
xdx
2. Вычислить интеграл .sin6
0
5
dxx
146
3. Вычислить несобственный интеграл
35 xdx или установить его расхо-
димость. 4. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями
.4
0,cos,sin xxyxy
5. Найти объем тела, образованного при вращении вокруг оси Ох фигуры, ограниченной кривыми .0,0,sin yxxy
Вариант 4
1. Вычислить интеграл .1
1
02
x
x
edxe
2. Вычислить интеграл .cossin2/
0
dxxx
3. Вычислить несобственный интеграл
6
32)6( x
dx или установить его рас-
ходимость. 4. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями
.0,2
,cos xxyxy
5. Найти объем тела, образованного при вращении вокруг оси Ох фигуры, ограниченной кривыми .2,)1( 32 xxy
Вариант 5
1. Вычислить интеграл .1
4
0 xdx
2. Вычислить интеграл .cos
sin3/
3/2 dx
xxx
3. Вычислить несобственный интеграл
0
4 dxe x или установить его рас-
ходимость. 4. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями .0,, xeyey x 5. Найти объем тела, образованного при вращении вокруг оси Оу фигуры,
ограниченной кривыми .2,2221 2 yxxy
147
Вариант 6
1. Вычислить интеграл .1
1
0
xedx
2. Вычислить интеграл .cossin1
2/
0
xxdx
3. Вычислить несобственный интеграл 4
0 xdx или установить его расходи-
мость. 4. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями
.3
,sin,2sin
xxyxy
5. Найти объем тела, образованного при вращении вокруг оси Оу фигуры, ограниченной кривыми .3,93 2 yxxy
Вариант 7
1. Вычислить интеграл .22
2313
12
dxxx
x
2. Вычислить интеграл .sin2/
0
4
dxx
3. Вычислить несобственный интеграл
742 xxdx или установить его
расходимость. 3. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями
.,1,0,ln exe
xyxy
5. Найти объем тела, образованного при вращении вокруг оси Оу фигуры, ограниченной кривыми .5,2 xyxy
Вариант 8
1. Вычислить интеграл .ln
1dx
xxxe
2. Вычислить интеграл .1
1
dxxarctgx
148
3. Вычислить несобственный интеграл
5
32 158 xx
dx или установить
его расходимость. 4. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями
.123,4 22 xyxy 5. Найти длину дуги кривой .)5ln3(ln xey x
Вариант 9
1. Вычислить интеграл .1744
522/12/
21
2 dxxx
x
2. Вычислить интеграл .cossin2/
3/
23
dxxx
3. Вычислить несобственный интеграл
5
23 5 x
dx или установить его рас-
ходимость. 4. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями .2,4 232 xyxy
5. Найти длину дуги кривой .2302
xxy
Вариант 10
1. Вычислить интеграл .13
1
23 dxxx
2. Вычислить интеграл .sincos2/
0
3
dxxx
3. Вычислить несобственный интеграл e
xxdx
1 ln или установить его рас-
ходимость. 4. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями
.4,0,0, xyxey x
5. Найти длину дуги кривой .23
sinln
xxy
149
Глава 11. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
11.1. Основные понятия и определения
Уравнение вида 0,,,,, nyyyyxF , (11.1)
где F – функция своих аргументов, заданная в области D, x – независимая пере-менная, nyyyy ,,,, - искомая функция и ее производные, называется обыкно-венным дифференциальным уравнением.
Порядок старшей производной неизвестной функции, входящей в уравне-ние (11.1), называется порядком этого уравнения. Дифференциальное уравнение (11.1) будет n-го порядка при условии, что ny обязательно входит в это уравне-ние.
Решением дифференциального уравнения (11.1) называется функция xy , определенная в области D, которая, будучи подставлена в уравнение
(11.1) вместе со своими производными, обращает его в тождество. График этой функции называется интегральной кривой. Если решение задано в неявном виде 0, yx , то его обычно называют интегралом дифференциального уравнения.
Процесс отыскания решений называется интегрированием дифференциаль-ного уравнения. В общем случае нахождения решений уравнения (11.1) потребу-ется n последовательных интегрирований, поэтому общее решение будет содер-жать n произвольных постоянных, т.е. иметь вид
nCCCxy ,,,, 21 (11.2) или
0,,,,, 21 nCCCyx . (11.3) Соотношение (11.3) называется общим интегралом уравнения (11.1). При-
давая в соотношениях (11.2) или (11.3) произвольным постоянным nCCC ,,, 21 конкретные числовые значения, получим частное решение или частный инте-грал.
Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение ви-да
0,, yyxF . (11.4) Если оно разрешимо относительно y , то
yxfy , , (11.5) где функция yxf , задана в некоторой области D плоскости yx; .
150
Функция вида Cxy , называется общим решением дифференциального уравнения первого порядка, определенного в области D, если она удовлетворяет следующим условиям:
1) при любых значениях C функция Cxy , является решением уравне-ния первого порядка;
2) для любых начальных условий Dyx 00; существует такое значение постоянной C, что выполняется равенство Cxy ,00 .
Функция 0,, Cyx , обращающая дифференциальное уравнение первого порядка в тождество, называется общим интегралом этого уравнения.
Геометрически общее решение (и общий интеграл) представляет собой се-мейство интегральных кривых на плоскости, зависящее от одного параметра C.
Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка форму-лируется следующим образом: найти решение Cxy , дифференциального порядка, удовлетворяющее начальному условию 0yy при 0xx , т.е. найти ин-тегральную кривую этого уравнения, проходящую через точку с координатами 00; yx .
Могут быть случаи, когда из общего решения уравнения некоторые реше-ния не получаются ни при каких значениях C. Такие решения называются особы-ми. Признаком особого решения служит нарушение свойства единственности, т.е. если интегральная кривая является особым решением xy , то через каждую точку этой кривой будет проходить, по крайней мере, еще одна интегральная кривая того же уравнения, имеющая в этой точке ту же касательную.
Пример 11.1. Определить порядок дифференциального уравнения: а) 042IV yy ; б) 02 xyxy ; в) 02 yxy . Р е ш е н и е. Первое уравнение является дифференциальным уравнением 4-
го порядка, так как порядок старшей, входящей в него производной равен 4; вто-рое – уравнением 2-го порядка, поскольку порядок старшей производной равен 2; третье уравнение является уравнением 1-го порядка, так как оно содержит только первую производную.
Пример 11.2. Показать, что функция xey 3 является решением дифферен-циального уравнения 0183 yyy .
Р е ш е н и е. Найдем производные нужного порядка xey 3 , xey 33 , xey 39 , xey 327 и подставим их выражения в уравнение. Получим тождество
018927 333 xxx eee . Это означает, что функция xey 3 является решением данного дифференциального уравнения. Это частное решение, так как оно не со-держит произвольной постоянной.
151
Пример 11.3. Установить, является ли функция 022 Cxyx общим ин-
тегралом дифференциального уравнения 02 22 yxyxy .
Р е ш е н и е. Найдем производную 022 Cyyx , т.е. y
xCy2
2 . Из
уравнения 022 Cxyx находим x
yxC22
и подставляем его в формулу для
производной: xy
xyyy
xx
yx
y2
,2
2 22
22
. Подстановка производной в диффе-
ренциальное уравнение приводит к тождеству 02
2 2222
yxxy
xyxy .
Таким образом, неявная функция 022 Cxyx является общим интегра-лом данного дифференциального уравнения.
Пример 11.4. Показать, что функция Cxy 2 является решением диффе-ренциального уравнения xy 2 . Построить семейство интегральных кривых и выделить интегральную кривую, проходящую через точку 3;2 .
Р е ш е н и е. Найдем производную xCxy 2)( 2 и подставим ее в данное уравнение. Получим тождество xx 22 .
Следовательно, Cxy 2 является решением данного дифференциального уравнения.
Уравнение Cxy 2 (*)
определяет семейство парабол (рис. 11.1), которое и бу-дет семейством интегральных кривых. Найдем инте-гральную кривую (параболу), проходящую через задан-ную точку 3;2 . Подставив координаты этой точки в
уравнение (*), получим C 223 , откуда 1C , сле-довательно, функция 12 xy является частным реше-нием данного дифференциального уравнения, а ее график (интегральная кривая) будет проходить через заданную точку.
Пример 11.5. Проинтегрировать дифференциальное уравнение 21x
y .
Найти частное решение, удовлетворяющее начальным условиям: 11,01 yy .
x
y
0
C=0 C=1
Рис.11.1
12 xy
152
Р е ш е н и е. Данное дифференциальное уравнение – 2-го порядка, следо-вательно, его необходимо дважды проинтегрировать, и общее решение будет за-
висеть от двух постоянных: 11 Cx
y , 21ln CxCxy .
Используя начальные условия, находим значения постоянных:
.2,2
.1ln0,11
2
1
21
1
CC
CCC
Следовательно, частное решение дифференциального уравнения – 22ln xxy .
Пример 11.6. Дано семейство функций 21 xCxy , где C – параметр. Найти дифференциальное уравнение с заданным семейством решений.
Р е ш е н и е. Из семейства функций легко увидеть, что 21 x
xyC
. Про-
дифференцировав 21 xCxy , получим 21
1x
Cxy
. Подставив значение
C, получим 21
1x
xyxy
или 21
1xxyy
. Это и есть искомое уравнение; его
общее решение 21 xCxy . Пример 11.7. Для семейства функций 01 xyCyx найти дифферен-
циальное уравнение.
Р е ш е н и е. Из исходного уравнения определим 1
xyyxC . Продифферен-
цируем исходное уравнение. Получим 01 yxyCy . Подставим значение
C. Тогда 01
1
xyyxyyxy , yxxyyxyyxy 21 02 yyxy .
Отсюда 011
2
2
xyy .
Задачи для самостоятельного решения
11.1. Определить порядок дифференциального уравнения.
а) 022 yxxyyx ; б) 0 yy ;
в) 083IV yy ; г) xqyxpy ; д) 0 yxqyxpy ; е) 0 ybyay .
153
11.2. Установить, является ли данная функция решением (интегралом) со-ответствующего дифференциального уравнения.
а) 32
4
11
2;121
xyx
yxxy ;
б) 049;7cos7sin 21 yyxCxCy ;
в) 01;1
yyyx
CCxy ;
г) 221
2 21;1 xyxyxCexy x
;
д) 022;sin yyyxCey x ;
е) 02; xyyyxeCey xx ;
ж) yxyyxx
Cxy
212;
212 ;
з) 02;0 2222 xyyxyxy ;
и) yxyyxyCye xy
22; ;
к) dyyxdxxyCyyx 42242 ; .
11.3. Дано общее решение xx eCeCy 22
1 дифференциального уравнения 02 yyy . Найти частные решения, если:
а) ;0,1 21 CC б) ;1,0 21 CC в) 5,3 21 CC .
11.4. Дано общее решение xCCey x21
2 дифференциального уравнения 044 yyy . Найти частные решения, если:
а) 00,20 yy ; б) 30,10 yy ; в) 01,1 2 yey . 11.5. Проинтегрировать дифференциальные уравнения, найти указанные
частные решения и построить их. а) 20;3 2 yxy ; б) 20,10;2 yyy ;
в) 60;30;10;6 yyyy ; г) 51;0242 yxyyx .
д) 10;2 yyy . 11.6. Составить дифференциальные уравнения заданных семейств функций.
а) Cxy ; б) 21 xCey ;
в) 2
tgln xCy ; г) xxCy
2
2 ;
д) 122 yCx ; е) 222 11 Cyyx ;
ж) Cxxy
arcsin ; з) Cxy sin .
154
11.2. Дифференциальные уравнения с разделенными и разделяющимися переменными
Уравнения вида
yfxfy 21 , (11.6)
а также вида 02121 dyyQxQdxyPxP (11.7)
называются уравнениями с разделяющимися переменными. Метод их решения состоит в нахождении множителя для преобразования в
уравнение с разделенными переменными. Для (11.6) это yf
dx2
, для (11.7) –
yPxQ 21
1 . Тогда уравнения запишутся так:
dxxf
yfdy
12
,
02
2
1
1 dyyPyQdx
xQxP .
Используя инвариантность формы дифференциала, получаем общие реше-ния:
dxxf
yfdy
12
,
CdyyPyQdx
xQxP
2
2
1
1 .
Но при умножении можно потерять решения, поэтому после получения общего решения необходимо проверить, являются ли нули функций yf2 , xQ1 ,
yP2 решениями заданного уравнения и заключены ли они в общем интеграле
при каком-то значении C. Уравнения такого вида применяются в экономических исследованиях,
например, определение спроса из эластичности спроса относительно цены –
yyxyEx ; закон изменения производительности труда может быть выражен
дифференциальным уравнением первого порядка
tf
dttdy
ty
1 , и т.д.
Пример 11.8. Проинтегрировать уравнение 0 yyxy . Найти инте-
гральную кривую, проходящую через точку 3;4A .
155
Р е ш е н и е. Перепишем данное уравнение yx
dxdy
, 0 ydyxdx . Полу-
ченное уравнение является уравнением с разделенными переменными. Интегри-
руя, получаем 1
22
22Cyx
или 122 2Cyx . Пусть 2
12 CC (так как
022 yx ), тогда общий интеграл уравнения запишется в виде 222 Cyx . Это семейство окружностей с центром в начале координат и радиусом C . Найдем окружность, которая проходит через точку 3;4A . Подставляя координаты
точки в уравнение, получаем 222 34 C , т.е. 252 C и 2522 yx – искомая интегральная кривая.
Пример 11.9. Проинтегрировать уравнение 0 xxyy .
Р е ш е н и е. Перепишем уравнение в виде xy
dxdy
. Разделяя переменные,
получим 0x
dxy
dy . Интегрируя, находим 1lnln Cyx . Постоянную 1C мож-
но представить в виде 0ln1 CCC . Подставляя 1C в решение и преобразуя
его, получим 0lnln CCxy , т.е. 0 CCxy . Разделяя переменные, пред-полагалось, что 0y , следовательно, могло быть потеряно решение 0y . Но оно может быть получено из общего интеграла при 0C . Таким образом, общий интеграл выражается формулой RCCxy .
Пример 11.10. Проинтегрировать уравнение xyxyy 22 .
Р е ш е н и е. Перепишем уравнение в виде yyxdxdy 22 . Разделим пере-
менные, для этого умножим данное уравнение на yy
dx22
. Получаем
022
xdx
yydy . Интегрируя, получаем 1
2
22ln
21 Cx
yy
или 2
2
12
x
x
CeCey
(где
12CeC ) – общее решение. Так как уравнение умножалось на выражение
yydx
22 , то могли быть потеряны решения 0y и 2y . Решение 0y получа-
ется из общего решения при 0C , а 2y – при C , так как
21
2222
CeCeCy
xx при C . Это частные решения.
156
Пример 11.11. Найти общий интеграл дифференциального уравнения 01 22 dyxydxxxy .
Р е ш е н и е. Вынесем соответствующие множители за скобки, получим уравнение с разделяющимися переменными 011 22 dyxydxyx . Разделив
уравнение на 011 22 xy , получим 011 22
y
ydyx
xdx . Интегрируя это урав-
нение, находим: Cyx ln1ln1ln 22 , 22 1ln1ln xCy .
Таким образом 011 22 xCy – общий интеграл данного дифференци-ального уравнения.
Решения 1x получаются из общего интеграла при C , так как
1112
2
C
yx при C . Это частные решения.
Пример 11.12. Проинтегрировать уравнение x
yy 1 .
Р е ш е н и е. Умножив данное уравнение на 1y
dx , получим
xdx
ydy
1
. Проинтегрировав, будем иметь Cxy ln12 – общий интеграл
в области 1y , ;00;x . Есть решение 1y , которое не получается из общего. Его называют особым.
Задачи для самостоятельного решения
В задачах 11.7 – 11.30 проинтегрировать уравнения, в отмеченных случаях найти частное решение. 11.7. .012 dxydyx 11.8. .yxey
11.9. .21 22 xyyx 11.10. .2cos12 yyx
11.11. .cos2 xyy 11.12. .01 2 dyxdx
11.13. .01 2 ydydxy 11.14. .0sin y
dyxdx
11.15. .11
2
2
xyy
11.16. .0cossin 6 xdyxdxy
11.17. .123;32
2
yx
xyy 11.18. .2π0;
1sin
2
yxyy
157
11.19. .10;32 yexy x 11.20. .12 yyx
11.21. .019 22 dxyxydyx 11.22. .10;012 2 yydydxyx
11.23. .0 dxxyydyxyx 11.24. .0421 22 dyxxdxxy
11.25. .0923 32 dyxydxx 11.26. .0 ydydxe yx
11.27. .0ln 2 xdxxydy 11.28. .011 222 yeyey xx
11.29. .01arccos1 22 dyxydxxy 11.30. .0ln1 2 dxxdyxe y
11.31. Предположим, что все цены на товары, кроме одного, и доходы потребите-лей фиксированы, а эластичность спроса на товар относительно цены на данный
товар выражена функцией x
xyEx1
. Определить функцию спроса на дан-
ный товар. 11.32. Полные издержки K есть функция объема производства x. Найти функцию издержек, если известно, что предельные издержки для всех значений x равны средним издержкам. 11.33. Пусть темп изменения производительности труда характеризуется функци-ей tf . Определить функцию производительности труда tyy , если:
а) 10,1
22
yt
ttf ; б) 1,ln1
eytt
tf .
11.3. Однородные дифференциальные уравнения 1-го порядка Дифференциальное уравнение вида
yxfy , (11.8) называется однородным, если yxfz , – однородная функция нулевой степени, т.е. при любом 0t выполняется тождество yxftytxf ,, . Аналогично диф-ференциальное уравнение
0,, dyyxQdxyxP (11.9) называется однородным, если yxP , и yxQ , – однородные функции одной степени, т.е.
yxPttytxP m ,, , yxQttytxQ m ,, . Однородное уравнение можно привести к виду
xyy , (11.10)
158
следовательно, с помощью замены ),( uxuyxyuxuy оно сводится к уравнению с разделяющимися переменными относительно x и новой функции xu :
uudxduxuuxu , .
К однородным уравнениям сводятся уравнения вида
222
111
cybxacybxafy , (11.11)
для которого 022
11
baba
, преобразованием 00, yYyxXx , где постоян-
ные 0x и 0y являются решением системы уравнений
.0,0
222
111
cybxacybxa
При 0 уравнение (11.10) сводится к уравнению с разделяющимися перемен-ными преобразованием tybxa 11 .
Пример 11.13. Проинтегрировать уравнение 22 42 xyyxy . Р е ш е н и е. Уравнение однородное. Положим xuy . Тогда
2222 42 xuxuxuux , т. е. 422 22 uuxuu , 42 2 udxduxu или
0,4
22
xx
dxu
udu . Проинтегрировав, получим xCu ln4ln 2 или 42 uxC .
Подставив xyu , получим
42
2
xyxC или 04 22 Cxxy – общий интеграл.
При решении уравнения мы полагали, что 0x . Но 0x – решение урав-нения. Это частное решение. Оно может быть получено из общего интеграла
xxyC 221 4 , где
CC 1
1 при 01 C .
Пример 11.14. Проинтегрировать однородное уравнение 022 3434 dyxyxdxyxy . Р е ш е н и е. Пусть xuy , тогда xduudxdy . И уравнение (после со-
кращения на 04 x ) примет вид 021 34 xduudxuu или
1,0
131,21
3
2
4
3
uudu
uu
uxdx
uuduu
xdx .
159
Интегрируя, получаем Cuux ln1lnlnln 3 , откуда Cuux 31 .
Подставляя xyu , получим Cxyyx 33 – общий интеграл.
При 1u получается решение xy . Это частное решение может быть получено из общего при 0C . При 0u получаются решения 0y , 0x . Они
могут быть получены из общего интеграла xyyxC 331 при 01 C .
Пример 11.15. Проинтегрировать уравнение 0115382 dyxydxx . Р е ш е н и е. Составляем систему:
.01153,082
xyx
Ее решение 3,4 00 yx . Делаем замену 3,4 YyXx . Получаем
0532 dYXYXdX или 053
2
XYX
dXdY – однородное уравнение. Полагаем
XuY . Получается 053
532 2
uuu
dXduX . Разделяем переменные
0253
532
XdXdu
uuu и интегрируем 0ln23ln31ln2 CXuu или
23 123 uXuC . Подставляя XYu , получим 2323 XYXYC . Следо-
вательно, 23 1123 xyxyC – общий интеграл исходного уравнения.
Решения 1 xy и 3
12
xy (при 1u и 32
u соответственно) являют-
ся частными, так как получаются из общего при 0C и C .
Задачи для самостоятельного решения
В задачах 11.34 – 11.73 проинтегрировать уравнения, в отмеченных случаях
найти частное решение.
11.34. .022 dxyxyxdy 11.35. .0222 xydydxyx
11.36. .044 22 yxxyy 11.37. .0tg xyxyyx
11.38. .0tg
dy
yxyxydx 11.39. .2
2
xeyxyy
yx
160
11.40. .0coscos
dy
xyxdx
xyyx 11.41. .01, y
xyey xy
11.42. .21,0 ydxyxxdy 11.43. .332 dxyxdyxy
11.44. .01, yyx
xyy 11.45. .11,0ln ydx
xyyxdy
11.46. .1,lnln1 2eyxyxyy 11.47. .022 22 dyxxydxyxy
11.48. .2yxyxy
11.49. .02 22 dyyxdxyxx
11.50. .22 ydxdxyxxdy 11.51. .0 dyyxdxyx
11.52. .222 dyxdxxyyx 11.53. .11,0 yydxdyxxy
11.54. .ydyydxxdy 11.55. .02 222 dyxdxyx
11.56. .042 22 yxyyx 11.57. .2
2
xyxyy
11.58. .0222 xydxdyyx 11.59. .023 22 xydxdyxy
11.60. .065 22 dxydyxxy 11.61. .223 2xxyxyyx
11.62. .lncos
xyyyx 11.63. .π2,sin yy
xyxyx
11.64. .373773 yyxxy 11.65. .03258512 xyyxy 11.66. .2534 dyyxdxyx 11.67. .3314 dyyxdxyx 11.68. .03642 dyyxdxyx 11.69. .02312 dyxdxyx 11.70. .0122 dyxydxx 11.71. .02416 dyyxdxyx
11.72. .432
yxyxy 11.73. .
122
2
yxyy
11.74. Пусть динамическая функция предложения товара имеет вид
,,,dtdp
pxpx
dtdppxF t
ttt
tttt
где tx – запас товара, tp – цена товара, dtdpt – ве-
личина, характеризующая изменение цены. Определить, как изменяется цена то-вара в зависимости от его количества, если динамическая функция предложения товара равна скорости изменения запаса товара.
11.75. Определить функцию изменения цены товара в зависимости от его
количества, если динамическая функция предложения товара
dtdppxF t
tt ,,
161
dtdp
px t
t
t пропорциональна скорости изменения запаса товара с коэффициентом
пропорциональности, равным величине tt xp lnln1 , при условии, что e
p 11 .
11.4. Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка
Уравнения, которые можно записать в виде xqyxpy (11.12)
или
yqxypdydx
, (11.13)
называются линейными, (11.12) – относительно dxdyy, , (11.13)– относительно
dydxx, . Если 0xq 0yq , то уравнение называется линейным однородным,
иначе – линейным неоднородным. Линейное однородное – это уравнение с разделяющимися переменными,
его общее решение выражается формулой dxxpCey .
Для решения линейного неоднородного уравнения можно применять ме-тод вариации произвольной постоянной, тогда общее решение неоднородного
уравнения получается в виде dxxpexCy .
Линейное неоднородное уравнение может быть сведено к решению двух уравнений с разделяющимися переменными при помощи подстановки xvxuxy . Тогда уравнение (11.12) приводится к виду
xquvxpvvu . В качестве v выбирают одну из функций, удовлетворяю-щих уравнению 0 vxpv (частное решение), а функция u определяется из уравнения xqvu (общее решение). Тогда xvCxuxy , даст общее реше-ние исходного уравнения.
Уравнением Бернулли называется уравнение вида yxqyxpy , (11.14)
где – действительное число. В случае 1,0 уравнение (11.14) является линейным. Во всех других случаях оно сводится к линейному при помощи под-становки 1yu , но его можно решать также подстановкой uvy . Записав
162
уравнение в виде vuxquvxpvvu , находим частное решение уравне-
ния 0 vxpv и общее решение уравнения 1 vuxqu . Тогда xvCxuxy , даст общее решение уравнения Бернулли.
Пример 11.16. Решить уравнение xexyy sincos .
Р е ш е н и е. Для решения используем метод вариации произвольной по- стоянной. Для этого решим линейное однородное уравнение 0cos xyy .
0cos xydxdy , 0cos xdx
ydy , Cxy lnsinln , т. е. xCey sin .
Решение неоднородного уравнения ищем в виде xexCy sin , тогда
xx xexCexCy sinsin cos . Подставляя y и y в уравнение, получаем
1 xC , значит, CxxC . Следовательно, xeCxy sin – общее решение
линейного неоднородного уравнения.
Пример 11.17. Найти общее решение линейного уравнения 3xyyx .
Р е ш е н и е. Решение будем искать в виде uvy , тогда vuvuy .
Уравнение можно записать в виде 3xvuxvvxu . Значит, 0 vvx , xv –
частное решение, 32 xux или xu , Cxu 2
2
– общее решение. Следователь-
но, xCxy
2
2
– общее решение исходного дифференциального уравнения.
Пример 11.18. Найти общий интеграл уравнения 043
yx
dydx .
Р е ш е н и е. Данное уравнение является линейным относительно dydxx, .
Полагаем uvx , тогда vuvudydx
, 043
yvvuvu , 03
yvv , 3
1y
v ,
34yu , Cyu 4 . Следовательно, 3yCyx – общий интеграл.
Пример 11.19. Найти решение уравнения 1 yyx , удовлетворяющее
начальному условию 01 y .
163
Р е ш е н и е. Если рассматривать x как функцию от y , учитывать, что
xy
1 , то получим линейное уравнение yxx . Пусть uvx , vuvux ,
тогда yvvuvu , 0 vv , yev , yeu y , Ceyedyyeu yyy
.
Значит, 1 yCex y – общее решение.
Подставляем начальные значения 11 C , 0C . Следовательно, иско-мое частное решение имеет вид 1 yx или 1 xy .
Пример 11.20. Проинтегрировать уравнение xxyyyx 32 2 .
Р е ш е н и е. Перепишем уравнение в виде 12 22 xyxyy . Это уравне-
ние Бернулли, 2 . Применим подстановку 11 yyu . Тогда u
y 1 ,
2uuy
и уравнение принимает вид 12 2 xxuu . Это линейное уравнение.
Решим его методом вариации произвольной постоянной. Однородное уравнение
0xuu имеет решение Cxu . Значит, решение неоднородного уравнения
ищем в виде xxCu . Тогда xCxxCu , 12 2 xxxC , x
xxC 12 ,
CxxxC ln2 . Значит, Cxxxxu ln3 и xxxCx
yln
13
– общее
решение исходного уравнения.
Пример 11.21. Найти общий интеграл уравнения 021sin2 yyxyx .
Р е ш е н и е. Рассмотрим это уравнение относительно dydx . Тогда
yxxdydxy sin2 3 . Это уравнение Бернулли. Пусть uvx , тогда vuvu
dydx
,
yvuvvyuvuy sin22 33 , 02 vvy , yv 2 , yuu sin2 3 , yC
ucos12
.
Следовательно, yC
yxcos
2
или 22 cos Cxyyx – общий интеграл.
164
Задачи для самостоятельного решения
В задачах 11.76 – 11.121 найти общее решение линейных дифференциаль-ных уравнений, в отмеченных случаях найти частное решение.
11.76. .11
2 22 xy
xxy
11.77. .1
1 2
yx
xy
11.78. .cos2tg
xxxyy 11.79. .1sincos xyxy
11.80. .02 xyxy 11.81. .121
2 22
xxy
xxy
11.82. .11,233 y
xxyy 11.83. .14
xxyy
11.84. .2 2xeyy 11.85. .xeyyx
11.86. .1,00,5 5 yeyy x 11.87. .22xxexyy
11.88. .01,31 2 yexyxyx x 11.89. .2xxexyy
11.90. .10,122
2
y
xx
eyxyxx
11.91. .20,1 2
yx
eyyx
11.92.
.1
11
6422
xxxyy 11.93. .122 xxexyyx
11.94. .12π,sin
1ctg yx
xyy 11.95. .10,2ctg yyxy
11.96. .30,2sin2cos yxyxy 11.97. .2sintg xxyy
11.98. .32π,sinsin cos yxexyy x 11.99. .1 2 x
xxyy
11.100. .1
arcsin2xxyyx
11.101. .12π,cos1sin yxyxy 11.102. .sincossin 3 xyxxy 11.103. .02π,cos1sin yxyxy
11.104. .00,
1133 3
22
y
exeyxy
xx
x
11.105. .0,2ln1 eyyxyx 11.106. .ln
5ln
2
xx
xyyx
11.107. .1,ln22 eyxxyyx 11.108. .2 xyy
165
11.109. .2 2 yxxy 11.110. .3412
y
xxy
11.111. .2 yxy 11.112. .10,2 yydxdyyx
11.113. .12,34 23 yyyxxy 11.114. .10,3 2
y
yxyy
11.115. .00,12 yyxey 11.116. .3
2 2
ye
yxyx
11.117. .4π0,sincos2cos yydyyxydx 11.118. .10,121 yyyyxy
11.119. .2π0,1ctgsin2 yyyxy
11.120. .10,ln42 yydyydxdyyx 11.121. .02 dxdyyx В задачах 11.122 – 11.133 проинтегрировать уравнения Бернулли.
11.122. .2xyyyx 11.123. .4 2 yxyyx
11.124. .2 32 xxyyyx 11.125. .02 2 xyyy
11.126. .cos22
2 xy
xyy 11.127. .ln2 yxyyx
11.128. .33 xyyxy 11.129. .0142 xxyyy
11.130. .yxyy
11.131. .021 22 yxxyyxx
11.132. .2yxxxy 11.133. .ln2 2 yyxyyx Простейшая модель воспроизводства национального дохода имеет вид
tCdtdyBty , где B – коэффициент капиталоемкости национального дохода,
т.е. отношение производственного накопления к приросту национального дохода; tC – непроизводственное потребление, прирост материальных оборотных
средств, государственных материальных резервов, потери.
11.134. Найти функцию, характеризующую изменение национального дохода tyy , если известно, что величина потребления задается функцией tC 2 , ко-
эффициент капиталоемкости прироста дохода 5,0B , 20 y .
11.135. Найти функцию дохода tyy , если известно, что величина потребления задается функцией tC 4 , коэффициент капиталоемкости 25,0B , 40 y .
166
11.136. Функция предложения промышленной продукции предприятия, являю-
щаяся функцией цены предшествующего года, имеет вид dtdptpS 2183 .
Спрос на данный товар определяется ценой на промышленную продукцию этого
года, т.е. функция спроса имеет вид dtdptpq 7 . Определить цену равнове-
сия на товар (цену, при которой спрос равен предложению).
11.137. Цена товара А в начале года составляла 36 денежных единиц, а через t
недель – tp . Спрос определяется уравнением dtdppq 52120 , а предложение
– уравнением dtdppS 50303 , где q и S выражены в тыс. денежных единиц.
Как должна изменяться цена товара, чтобы для каждого значения t равновесие сохранялось?
11.5. Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами
Дифференциальные уравнения вида
xfyxayxayxayxa nnnn
1)1(
1)(
0 , (11.15)
где xfnixai ,,0 – непрерывные на ba; функции, 00 xa , называется ли-
нейным дифференциальным уравнением n-го порядка. Оно всегда имеет общее решение, но нахождение его при 2n затруднительно. При 2n уравнение можно записать так:
xfyxqyxpy . (11.16)
При 0xf уравнение называется линейным однородным, при 0xf –
неоднородным. Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения имеет вид
xyCxyCy 2211 , (11.17)
где xyxy 21 , – два линейно независимых частных решения.
Решения являются линейно независимыми, если их отношение – не посто-янное число.
Для неоднородного линейного уравнения общее решение имеет вид xxyCxyCy 2211 , (11.18)
167
где xyxy 21 , – два линейно независимых частных решения линейного одно-
родного уравнения, соответствующего неоднородному; x – частное решение неоднородного уравнения; или
xYy , где Y – общее решение однородного уравнения, соответствующего неоднородному.
Все частные решения получаются из общего при фиксированных 1C , 2C . Частное решение может быть задано начальными условиями (Коши) 0x ,
00 xyy , 00 xyy , где bax ;0 , 00, yy – произвольные. Если qxqpxp , – постоянные, то линейное дифференциальное урав-
нение xfqyypy (11.19)
называется линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффици-ентами. Для нахождения xyxy 21 , этого уравнения при 0xf составляют
квадратное уравнение 0λλ2 qp , которое называется характеристическим. Для этого уравнения возможны три случая.
1. 0D , корни уравнения 21 λ,λ вещественные различные. Общее решение
однородного уравнения xx eCeCy 21 λ2
λ1 .
2. 0D , корни λλλ 21 вещественные одинаковые. Общее решение од-
нородного уравнения xCCey x21
λ .
3. 0D , корни уравнения )1(λ 2,1 iiβα комплексные. Общее реше-
ние однородного уравнения βxCβxCey αx cossin 21 . Пример 11.22. Проинтегрировать уравнение 065 yyy и найти
частное решение, если 5,3,0 000 yyx .
Р е ш е н и е. Составляем характеристическое уравнение: 06λ5λ2 . Корни этого уравнения 3λ,2λ 21 . Значит, общее решение этого уравнения
xx eCeCy 32
21
. Найдем производную xx eCeCy 32
21 32 .
Для нахождения частного решения подставляем в функцию и производную начальные условия, получаем систему уравнений
.5323
21
21
CCCC
Решая систему, получим 1,4 21 CC . Значит, частное решение xx eey 324 .
168
Пример 11.23. Найти общее решение уравнения 03612 yyy .
Р е ш е н и е. Составляем характеристическое уравнение: 036λ12λ2 . Уравнение имеет кратный корень 6λλλ 21 . Общее решение
xCCey x21
6 .
Пример 11.24. Проинтегрировать уравнение 0106 yyy и найти частное решение, если 10,20 yy .
Р е ш е н и е. Составляем характеристическое уравнение: 010λ6λ2 .
Здесь 044036 D . Корни этого уравнения
2
46λ 2,1
i
32
126 . Значит, 1,3 βα . Общее решение
.cossin 213 xCxCey x Найдем производную xCxCey x cossin3 21
3
xCxCe x sincos 213 .
Для нахождения частного решения подставляем в функцию и производную начальные условия, получаем систему уравнений
,132
12
2
CCC
откуда 2,7 21 CC . Значит, частное решение xxey x cos2sin73 . Для нахождения частного решения неоднородного уравнения можно при-
менять метод вариации произвольных постоянных. Для этого нужно решить си-стему уравнений
,,0
2211
2211
xfxyxCxyxCxyxCxyxC
где 21, yy – линейно независимые частные решения однородного уравнения, от-носительно xCxC 21 , . Затем взять для каждой из полученных функций одну первообразную xCxC 2010 , . Тогда частное решение дифференциального урав-нения запишется xyxCxyxCx 220110 , а общее решение, согласно (11.18), запишется так:
xyxCxyxCxyCxyCy 2201102211 .
Пример 11.25. Проинтегрировать уравнение 3
2
44x
eyyyx
.
Р е ш е н и е. Линейно независимые частные решения однородного уравне-ния 044 yyy : xey 2
1 , xxey 2
2 . Получаем систему
169
.212
,0
3
22
22
1
22
21
xeexxCexC
xexCexCx
xx
xx
Находим: 211x
xC , x
xC 110 , 32
1x
xC , 220 21x
xC . Следователь-
но, общее решение уравнения xxxx xex
ex
xeCeCy 22
222
21 2
11 или
xxCCey x
21
212 .
Если функция xf имеет специальный вид, т.е. является произведением показательной функции и многочлена либо произведением показательной функ-ции, многочленов и тригонометрических функций, то существуют методы по-строения частного решения неоднородного линейного уравнения с постоянными коэффициентами.
Если αxn exPxf , то частное решение неоднородного уравнения имеет
вид αx
n exQx , (11.20) когда α не является корнем характеристического уравнения;
или вид αx
n exxQx , (11.21) когда α – простой корень характеристического уравнения;
или вид αx
n exQxx 2 , (11.22) когда α – кратный корень характеристического уравнения, где
nnn xAxAxAAxQ 2
210 – многочлен степени n с неопределенными ко-эффициентами.
Если βxxQβxxPexf mnαx cossin , то частное решение неоднород-
ного уравнения имеет вид βxxQβxxPex ll
αx cos~sin~ , (11.23)
когда iβα не является корнем характеристического уравнения; или вид:
βxxQβxxPxex llαx cos~sin~
, (11.24)
когда iβα – корень характеристического уравнения, где xPl~ , xQl
~ – много-член степени mnl ,max с неопределенными коэффициентами.
170
Если правая часть дифференциального уравнения является суммой двух функций xfxfxf 21 , то частным решением уравнения является функция
xxx 21 , где x1 и x2 – частные решения уравнений xfqyypy 1 и
xfqyypy 2 соответственно. Пример 11.26. Определить структуру частного решения дифференциально-
го уравнения xxeyyy 334 .
Р е ш е н и е. Характеристическое уравнение 03λ4λ2 имеет корни 1λ,3λ 21 . Правая часть xαx xeexPxf 31 ; 1α – простой корень характе-
ристического уравнения. В соответствии с формулой (11.21) частное решение имеет вид xxx eBxAxeBAxxexxQx 2
1 . Пример 11.27. Определить структуру частного решения дифференциально-
го уравнения xxxyy 3cos3sin9 .
Р е ш е н и е. Характеристическое уравнение 09λ2 имеет комплексные корни i3λ 2,1 . Правая часть xxQxxPxf 3cos3sin 10 ; множитель αxe ра-
вен 1, значит 0α , 3β ; число iiβα 3 является корнем характеристического уравнения. Согласно (11.24) частное решение имеет вид xDxCxxBxAxxxQxxPxx 3cos3sin3cos~3sin~ 22
11 .
Пример 11.28. Проинтегрировать уравнение 5189 2 xyy .
Р е ш е н и е. Характеристическое уравнение 09λ2 имеет корни 3λ,3λ 21 . Значит, общее решение соответствующего однородного уравне-
ния xx eCeCY 32
31
. Находим частное решение исходного уравнения. В данном случае правая
часть является многочленом второй степени 518 22 xxPxf ; множитель
αxe равен 1, значит 0α – не является корнем характеристического уравнения. В соответствии с формулой (11.20) частное решение имеет вид
CBxAxxQx 22 . Подставляя выражения для x , BAxx 2 ,
Ax 2 в данное уравнение, получаем: 51892 22 xCBxAxA , или
5189299 22 xCABxAx . Так как x – решение дифференциального уравнения, то последнее ра-
венство должно выполняться для всех x, т.е. является тождеством. Поэтому ко-эффициенты при одинаковых степенях x, стоящие в разных частях, равны между
171
собой:
.59209189
CABA
Из полученной системы уравнений находим, что
1,0,2 CBA , поэтому 12 2 xx – частное решение неоднородного уравнения.
Значит, общее решение неоднородного уравнения 12 23
23
1 xeCeCy xx .
Пример 11.29. Проинтегрировать уравнение xeyyy 2622 .
Р е ш е н и е. Характеристическое уравнение 02λ2λ2 имеет ком- плексные корни ii 1λ,1λ 21 . Значит, общее решение соответствующего од-
нородного уравнения xCxCeY x sincos 21 . Находим частное решение исходного уравнения. В данном случае правая
часть имеет вид xx exPexf 20 6 , значит 2α – не является корнем характе-
ристического уравнения. В соответствии с формулой (11.20) частное решение имеет вид
xx AexQex 20
2 . Подставляя выражения для x , xAex 22 ,
xAex 24 в данное уравнение, получаем: xxxx eAeAeAe 2222 6244 , т.е. xx eAe 22 62 .
Так как x – решение дифференциального уравнения, то последнее ра-венство должно выполняться для всех x, т.е. является тождеством. Следователь-но, 3A . Поэтому xex 23 – частное решение неоднородного уравнения, а
общее решение xx exCxCey 221 3sincos .
Пример 11.30. Проинтегрировать уравнение xxyyy 2cos242sin1644 .
Р е ш е н и е. Характеристическое уравнение 04λ4λ2 имеет кратный корень 2λλλ 21 . Значит, общее решение соответствующего однородного
уравнения xCCeY x21
2 . Находим частное решение исходного уравнения. В данном случае правая
часть имеет вид xxxxQxxPxf 2cos242sin16cossin 00 , множитель xe равен 1, значит, 0α , 2 , число ii 2 не является корнем характери-
стического уравнения. В соответствии с формулой (11.22) частное решение имеет вид
xBxAxxQxxPx 2cos2sin2cos~2sin~00 . Подставляя выражения для
172
x , xBxAx 2sin22cos2 , xBxAx 2cos42sin4 в данное уравне-ние, получаем:
xxBxAxBxAxBxA 2sin162cos42sin42sin82cos82cos42sin4x2cos24 , т.е. xxxBxA 2cos242sin162sin82cos8 .
Так как x – решение дифференциального уравнения, то последнее ра-венство должно выполняться для всех x, т.е. является тождеством. Следователь-но, 168,248 BA . Значит, 2,3 BA . Поэтому xx 2sin3
x2cos2 – частное решение неоднородного уравнения, а общее решение
xxxCCey x 2cos22sin3212 .
Пример 11.31. Проинтегрировать уравнение xxeyyy 38127 xe12 . Найти частное решение, удовлетворяющее начальным условиям
20,00 yy .
Р е ш е н и е. Характеристическое уравнение 021λ7λ2 имеет различ-ные корни 4λ,3λ 21 . Значит, общее решение соответствующего однородного
уравнения xx eCeCY 42
31 .
Находим частное решение исходного уравнения. В данном случае правая часть является суммой двух функций
xx xexPexf 311 8 , xx exPexf 1202 .
Рассмотрим первую функцию xx xexPexf 311 8 , 3α является про-
стым корнем характеристического уравнения. В соответствии с формулой (11.21) частное решение уравнения
xxeyyy 38127 имеет вид BxAxexQxex xx 231
31 . Подставляя вы-
ражения для x1 , BxABAxex x 233 231 , 23
1 9Axex x
ABxAB 26129 в данное уравнение, получаем: xABAxe x 1299 23
xxx xeBxAxeBxABAxeAB 32323 812233726 , BAxe x 2(3 xxeA 38)2 . Значит, 82 A , 02 AB , т.е. 4A , 8B . Следовательно,
xxexxex xx 2484 23231 .
Рассмотрим вторую функцию xx exPexf 1202 , 1α – не является корнем характеристического уравнения.
В соответствии с формулой (11.20) частное решение уравнения xeyyy 12127 имеет вид: xx AexQex 02 . Подставляя выражения для
x2 , xAex 2 , xAex 2 в данное уравнение, получаем: xxxx eAeAeAe 12127 , xx eAe 126 .Значит, 126 A , т.е. 2A . Следователь-
173
но, xex 22 . Частное решение исходного уравнения равно сумме двух найден-
ных, т.е. xx exxexxx 224 2321 .
Следовательно, общее решение неоднородного уравнения xxxx exxeeCeCy 224 234
23
1 . Найдем частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее
заданным начальным условиям, т.е. значения постоянных 1C и 2C : 00 y : 0221 CC .
xxxxx exexxeeCeCy 222421243 32342
31 ,
20 y : 2643 21 CC .
Получилась система
8432
21
21
CCCC
, из которой 161 C , 142 C .
Следовательно, частное решение xxxx exxeeey 2241416 2343 .
Задачи для самостоятельного решения
В задачах 11.138 – 11.167 найти общие решения однородных дифференци-альных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами. 11.138. 034 yyy . 11.139. 082 yyy . 11.140. 023 yyy . 11.141. 016 yy . 11.142. 090 yyy . 11.143. 0214 yyy . 11.144. 03512 yyy . 11.145. 03613 yyy . 11.146. 02 yyy . 11.147. 0168 yyy . 11.148. 0256 yyy . 11.149. 09 yy . 11.150. 016 yy . 11.151. 0204 yyy . 11.152. 0134 yyy . 11.153. 04 yy . 11.154. 010020 yyy . 11.155. 0816 yyy . 11.156. 096 yyy . 11.157. 01025 yyy . 11.158. 04914 yyy . 11.159. 01449 yyy . 11.160. 044 yyy . 11.161. 0 yyy . 11.162. 03 yy . 11.163. 04 yy . 11.164. 0107 yyy . 11.165. 02 yyy . 11.166. 0172 yyy . 11.167. 0106 yyy .
В задачах 11.168 – 11.178 проинтегрировать уравнения методом вариации произвольных постоянных.
174
11.168. 1
x
x
eeyy . 11.169.
xyy
2cos14 .
11.170. 3
2
44xeyyy
x
. 11.171. xx eeyy cos2 .
11.172. xyy tg . 11.173. x
eyyyx
cos54
2
.
11.174. 132 xeyyy x . 11.175. x
yy 2sin2
.
11.176. xx
xexeyyy 12 .
11.177. 3
2 222x
xxyyy . 11.178.
xxxyy 14 .
В задачах 11.179 – 11.192 записать структуру частного решения неодно-родного уравнения. 11.179. xxyyy 3sin3cos23103 . 11.180. xyy 4cos34 .
11.181. xxyyy 2295 3 . 11.182. xeyyy x cos .
11.183. xxyy 449 3 . 11.184. xxyy 523 2 .
11.185. xexyyy 312372 . 11.186. xexyyy 265 .
11.187. xxxyyy 2sin2cos54 . 11.188. xxeyyy 42168 .
11.189. xexyyy 22sin44 . 11.190. xxeyyy x sin22 .
11.191. xxxyy 6cos6sin236 . 11.192. xexyyy 723 . В задачах 11.193 – 11.218 найти общие решения неоднородных уравнений.
11.193. xyyy 1682 . 11.194. xyy 124 .
11.195. 1843 2 xyyy . 11.196. 34xyy .
11.197. xxyyy 610102 2 . 11.198. xeyyy 42 .
11.199. xeyyy 25149 . 11.200. xeyyy 645 .
11.201. xeyyy 1844 . 11.202. xeyyy 42 .
11.203. xxeyyy 2334 . 11.204. 34156 22 xxeyyy x . 11.205. xyyy sin522 . 11.206. xyyy cos265 . 11.207. xxyyy cos34sin1782 . 11.208. xyyy 2sin39256 . 11.209. xyyy 2sin13102 . 11.210. xyyy 3cos3696 . 11.211. xxxyy cos4sin2 . 11.212. xxxyy 3cos123sin29 .
11.213. xeyyy x 2cos1052 . 11.214. xxeyyy x sin422 .
11.215. 2162486 22 xeyyy x . 11.216. xexyy 32 123 .
11.217. xeyy x cos42 . 11.218. xxyy 2cos9sin2 .
175
В задачах 11.219 – 11.227 найти решения, удовлетворяющие начальным условиям. 11.219. 02π,12π, yyxyy .
11.220. 00,00,644 2 yyeyyy x .
11.221. 40,30,42223 2 yyxxyyy . 11.222. 00,20,2cos122sin92 yyxxyyy .
11.223. 70,00,145942535314 23 yyxxxyyy .
11.224. 10,00,sin2 yyxeyy x . 11.225. xxxxyyy 3cos12363sin1232256 , 40 y , 00 y .
11.226. 00,00,223 32 yyexyyy x .
11.227. 60,20,2sin852 yyxeyyy x .
11.6. Контрольные задания к главе 11 1. Найти общее решение дифференциального уравнения.
1. xdxdyxe yx 3 . 2. 0cos
tgcostg
22 dyy
xdxx
y .
3. yxyy
221 . 4.
yey
x
ln
2
.
5. 23 1 yyyxxy . 6. 02 yyy .
7. yxyxyy 2cos2coscos3 . 8. 02223 yyyxxxy .
9. yxyxy 21 . 10. xyxyyx 22 11 .
11. 04 xydxdyx . 12. 01ln2 xdyyxdxy .
13. 02 2 yyy . 14. 022 dxyydxdyxyx .
15. yxyxy 213 . 2. Найти частное решение (частный интеграл) дифференциального уравне-
ния.
1. 00,3412 yxyyx . 2. 00,cos
1tg yx
xyy .
3. 00,1 yeyyx x . 4. 01,1ln yxyyx .
5. e
yxeyyx x
211,0
2 . 6. 01, yeyyx x .
7. 0,2ln1 eyyxyx . 8. 01,31 2 yexyxyx x .
176
9. 00,1 23 yxxyyx . 10. 01,02 2 yxyyx .
11. 12,1 32 yxxxyyx . 12. e
yx
exyy
x
211,2
2
.
13. 00,ctgcos2ctg 2 yxxyxy .
14. 01,24 ydxyxxdy . 15. 01,0123 yxyxyx .
3. Найти общее решение (общий интеграл) дифференциального уравнения. 1. 0 dyyxdxyx . 2. yxyyxy 22 .
3. 02 22 dyxdxxyy . 4. xdydxxyy .
5. x
yxyxyyx ln . 6.
2
4
xy
xyy .
7. 0222 xydydxyx . 8. 22 2 yxyyxyx .
9. 01ln
xyyyx . 10. 02 xdydxyx .
11. yxyxyxy 22 2 . 12. 223 22 yxyyx .
13.
0sin
1
xyxyy . 14. 02 dyxydxyx .
15. 04922 222 dyxyxdxxyxy .
4. Найти частное решение дифференциального уравнения. 1. 00,20,7265 yyxyyy . 2. 10,00,126136 yyxyyy . 3. 00,70,212 yyxyy . 4. 60,5,50,824 yyxyy . 5. 20,2,00,2cos yyxyy .
6. 20,00,24552 2 yyxxyyy .
7. 20,20,32 2 yyxxeyy x .
8. 00,10,23 2 yyeyyy x . 9. 832π,42π,3cos yyxyy .
10. 20,10,2 yyeyy x .
11. 30,00,34 yyxeyy x . 12. 340,00,sin4 yyxyy . 13. 00,00,222 yyxyyy .
14. 00,00,834 5 yyeyyy x .
15. 10,00,124886 2 yyxxyyy .
177
Раздел VI РЯДЫ
Глава 12. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ
12.1. Числовой ряд и его сходимость
Пусть задана последовательность чисел .,,,,, 321 naaaa Выражение
1
321n
nn aaaaa (12.1)
называется числовым рядом. Числа ,,, 321 aaa называются членами ряда. 1a первый член,
2a второй член,
3a третий член и т.д. Член na ряда, стоящий
на n-ом месте, называется n-ым членом или общим членом ряда. Ряд (12.1) счи-тается заданным, если известен его общий член. Пример 12.1. Написать четыре первых члена ряда, если задан его общий
член .32
)1( 1
na
n
n
Р е ш е н и е. Если 1n , то .51
312)1( 11
1
a Если 2n , то
.71
322)1( 12
2
a Если 3n , то .91
332)1( 13
3
a Если 4n , то
.111
342)1( 14
4
a Следовательно, .32
)1(111
91
71
51
1
1
n
n
n
Если задан ряд (12.1), то можно составить последовательность сумм ,;;;;; 321321321211 nn aaaaSaaaSaaSaS
которые называются частичными или частными суммами ряда. Сумма первых n членов ряда nn aaaS 21 (12.2) называется n-ой частичной суммой. Если последовательность частичных сумм nS имеет конечный предел S, т.е. ,lim SSnn
то ряд называется сходящимся, а число S называется суммой ря-
да и пишут ,1
n
n Sa в противном случае ряд называется расходящимся.
178
Разность nr между его суммой S и частичной суммой nS nn SSr (12.3) называют остатком ряда (12.1) после n-го члена или n-ым остатком ряда. По-дробнее, .2121 knnnn aaaaaaS Тогда
.1
321
nmmknnnnn aaaaar
Теорема. Для того, чтобы ряд (12.1) сходился, необходимо и достаточно, чтобы .0lim
nn
r (12.4)
Свойства сходящихся рядов
1. Отбрасывание конечного числа членов ряда (или добавление к ряду ко-нечного числа членов) не влияет на сходимость или расходимость этого ряда.
2. Если ряд
1nna сходится и его сумма равна S, то будет сходиться также
и ряд ,1
nnca где с – любое действительное число, а его сумма будет равна сS.
3. Сходящиеся ряды можно почленно складывать и вычитать, причем сумма вновь образованного ряда равна сумме или разности исходных рядов, т.е.
если San
n
1 и ,0
1Sb
nn
то .01
SSban
nn
Пример 12.2. Исследуем вопрос о сходимости ряда по определению
.)1(
143
132
121
1
nn
Р е ш е н и е. Составим частичную сумму
43
132
121
1nS .
)1(1
nn
Преобразуем общий член ряда ,1
11)1(
1
nnnn
тогда
;11
111
41
31
31
21
211
;,...41
31
431;
31
21
321;
21
11
211
nnnSn
.111limlim
nS
nnn Следовательно, ряд сходится и его сумма равна 1.
179
Пример 12.3. Изучим вопрос о сходимости ряда, составленного из членов геометрической прогрессии. Ряд, составленный из членов геометрической про-грессии со знаменателем q и первым членом ,0, 11 aa вида
1
11
11
2111
n
n
n qaqaqaqaa , (12.5)
в дальнейшем для простоты будем называть рядом геометрической прогрессии.
Р е ш е н и е. Частичная сумма ряда .1,0,1 1
11
qa
qqaaS
n
n
Рассмотрим 4 случая. 1. Пусть ,1q тогда
0lim
n
nq и ,
111limlim 1
11
qa
qqa
qaS
n
nnn
т.е. ряд сходится и его сумма .1
1
qaS
2. Пусть ,1q тогда nq при n и, следовательно, .nS По-этому ряд расходится и суммы не имеет. 3. Пусть ,1q тогда ряд принимает вид .1111 aaaa Тогда
,1naSn при n .nS Значит, ряд расходится. 4. Пусть ,1q тогда ряд принимает вид 1111 aaaa
.)1( 11 an Его частичные суммы попеременно будут равны то 0, то а1, в
зависимости от того, будет ли n четным или нечетным числом. Очевидно, что при n частичные суммы nS не стремятся ни к какому пределу. Ряд расхо-дится. Таким образом, ряд геометрической прогрессии
.1если,расходится
1если,1
11
11
q
aqa n
n (12.6)
Гармонический ряд Ряд вида
,131
2111
1
nnn (12.7)
называется гармоническим. Можно строго доказать, что он расходится.
180
Обобщенный гармонический ряд, или ряд, Дирихле – это ряд вида
,11
n n (12.8)
где – любое действительное число. Ряд
.1если,расходится1если,cхходитс1
1
n n (12.9)
Например, если 1 это гармонический ряд, который расходится.
Если ,121 то получаем расходящийся ряд
.13
12
111111 2
1
nnn nn
Если α равно, например 2, то получаем сходящийся ряд
,131
2111
2221
2
nnn так как 12 .
Необходимый признак сходимости
Если ряд сходится, то его общий член na стремится к нулю при ,n т.е.
.0lim
nna (12.10)
Необходимый признак сходимости не является достаточным. Выполне-ние условия (12.10) еще не означает сходимость ряда. Так, например, для рас-
ходящегося гармонического ряда
1
1n n
условие 0lim
nna выполняется. Дей-
ствительно, ,1n
an поэтому .01lim nn
Однако если условие 0lim
nna нарушается, то ряд расходится.
Следствие. (Достаточный признак расходимости ряда). Если общий член ряда na не стремится к нулю при ,n т.е. ,0lim
nn
a (12.11)
то ряд расходится.
181
Например, для ряда
1 14273
n nn его общий член ,
14273
nnan при n
.023
14273limlim
nna
nnn Значит, ряд расходится.
Пример 12.4. Исследовать сходимость ряда ...1064
727
481 .
Р е ш е н и е. Обозначим общий член ряда nU . Определим формулу обще-го члена ряда. Рассмотрим последовательности числителей. Числители дробей, членов ряда, можно представить в виде ,...4,3,2,1 3333 и т.д., т.е. показатель степени каждого члена равен трем, а основание степени совпадает с номером этого члена. Тогда общий член последовательности числителей .3nbn Знаме-натели дробей ...,10,7,4,1 образуют арифметическую прогрессию с первым членом 11 a и разностью 3d , поэтому общий член арифметической про-грессии 23331)1(31)1( nnnndaa nn .
Общий член ряда 23
3
nn
abU
n
nn . Найдем
23limlim
3
nnU
nnn. Необхо-
димый признак не выполняется. Ряд расходится.
Пример 12.5. Исследовать сходимость ряда
1
11n
n
n.
Р е ш е н и е. Общий член ряда n
n na
11 . Вычислим
011limlim
e
na
n
nnn. Необходимый признак не выполняется. Ряд расхо-
дится.
Пример 12.6. Исследовать сходимость ряда
2 1ln2)2ln(
n nn .
Р е ш е н и е. Общий член ряда na1ln2)2ln(
nn .
Вычислим
nnn
a limlim
1ln2)2ln(
nn . Для вычисления предела отношения
двух бесконечно больших функций натурального аргумента правило Лопиталя непосредственно применить нельзя, так как для таких функций не определено понятие производной. Чтобы вычислить предел na такого выражения, обозна-
чим его )(nf и заменим более общим выражением ,1ln2)2ln()(
xxxf x .
182
Здесь дискретный аргумент п заменен непрерывным аргументом х. Доказано, что если существует )(lim xf
x конечный или бесконечный x , то )(lim nf
n
тоже существует и равен )(lim xfx
, поэтому вычислим x
lim
1ln2)2ln(
xx
xlim
)1ln2())2(ln(
xx
x
xx 2
21
lim )2(2
limxx
x .
211
21
)2(lim
21
xx
x Тогда
021lim
nx
a . Необходимый признак не выполняется. Ряд расходится.
Задачи для самостоятельного решения 12.1. Дан общий член ряда. Написать первые четыре члена ряда.
а) ;312
nnan б) .
!2)1( 1
na
nn
n
12.2. Найти сумму ряда .)12()12(
175
153
131
1
nn
Доказать сходимость следующих рядов и найти их сумму.
12.3. .21
31
121
61
31 1
n
12.4. .51
51
511 32
12.5. .6
431
nn
nn
12.6. .31
02
nn 12.7. .
)14()34(1
1391
951
511
nn
Исследовать сходимость ряда, используя следствие из необходимого при-знака сходимости.
12.8. .172
1
n nn 12.9. .51
1
n
n
n 12.10. .
354
1
n nn 12.11. .
531
n nn
12.12. .512
12
2
n nn 12.13. .
552
1
n nn 12.14. .
321
12
2
n nnn
183
12.2. Исследование сходимости рядов с положительными членами. Признаки сравнения
Ряд naaaa 321 (12.12) называется положительным, если все его члены положительны, т.е. 0na , и неотрицательным, если 0na .
Первый признак сравнения
Пусть даны два неотрицательных ряда
1
0,n
nn aa и ,0,1
n
nn bb при-
чем nn ba для всех n. Тогда:
1) если сходится ряд
1,
nnb то сходится и ряд
1;
nna
2) если расходится ряд
1,
nna то расходится и ряд
1.
nnb
Второй признак сравнения (признак сравнения в предельной форме).
Если
1nna и
1nnb 0,0 nn ba ряды с положительными членами и су-
ществует конечный и отличный от нуля предел
,),0(lim
lllba
n
nn
то ряды
1nna и
1nnb сходятся или расходятся одновременно.
Пример 12.7. Исследовать сходимость ряда
1 251
nn .
Р е ш е н и е. Запишем ряд в виде 25
1...127
1271
71
n . Сравним
члены данного ряда с членами ряда
151
nn , который запишем в виде
;51...
1251
251
51
n nn 51
251...,,
1251
1271,
251
271,
51
71
. Но ряд
151
nn сходится, как бесконечно убывающая геометрическая прогрессия
1
51 ьзнаменател q . Следовательно, исходный ряд
1 251
nn по первому
признаку сравнения тоже сходится.
184
Пример 12.8. Исследовать сходимость ряда
1 341
n n.
Р е ш е н и е. Запишем ряд в виде 34
1...171
131
91
511
n и срав-
ним его с гармоническим рядом ,11...1...51
41
31
211
n ,
51
21
,91
31 ,
131
41 ...,
3411,...,
171
51
nn . Гармонический ряд расходится, по-
этому расходится и данный ряд по первому признаку сравнения.
Пример 12.9. Исследовать сходимость ряда
12
13n n
n .
Р е ш е н и е. Общий член ряда 213
nnan
. Для больших п общий член
ряда nn
nnn 3313
22 . Поэтому сравним данный ряд с гармоническим рядом
1
1n n
, применив второй признак сравнения. Итак, 213
nnan
, n
bn1
.
0313lim)13(lim1:13limlim 22
nn
nnn
nnn
ba
xxxn
nx
. Мы сравнивали исход-
ный ряд с расходящимся рядом. По второму признаку сравнения данный ряд расходится.
Пример 12.10. Исследовать сходимость ряда
132n n
n .
Р е ш е н и е. 32 nnan
. Для сравнения возьмем обобщенный гармони-
ческий ряд
1
1n n
, который сходится при 1 и расходится при 1 . Для
больших п 2331
2 nnn
nnan
. Ряд
12
1n n
сходится, как обобщенный гармо-
нический ряд при 12 . Положим 21n
bn . Применяя второй признак срав-
нения, вычислим предел 012
lim1:2
limlim 3
3
23
nn
nnn
ba
xxn
nx
.
Мы сравнивали данный ряд со сходящимся рядом. По второму признаку сравнения данный ряд сходится.
185
Пример 12.11. Исследовать сходимость ряда
1 325
nn
n
.
Р е ш е н и е. Применим второй признак сравнения. В этом примере
n
n
na3
25 . Для больших п
n
n
n
n
n
na
32
32
325 . Поэтому сравним данный
ряд с рядом
1 32
n
n
. Это ряд геометрической прогрессии со знаменателем
132q и, значит, сходится. Обозначим п-й член этого ряда
n
nb
32 . Тогда
01125lim
225lim
233)25(lim
32:
325limlim
nxn
n
xnn
nn
xn
n
n
n
xn
nx b
a .
Мы сравнивали исходный ряд со сходящимся рядом. Поэтому исходный ряд по второму признаку сравнения сходится.
Задачи для самостоятельного решения
Исследовать сходимость ряда с помощью признаков сравнения.
12.15. .5
11
n n 12.16. .
423
1
n n 12.17. .
535
12
nn
n
12.18. .53
11
n n
12.19. .1
31
4
2
n nn 12.20. .
21
13
n nn 12.21. .
42
12
n nn 12.22. .
)2(ln1
1
n n
12.3. Признак сходимости Даламбера и Коши. Интегральный признак сходимости
Признак Даламбера
Если для положительного ряда 0,1
n
nn aa существует
,lim 1 la
an
nn
то при 1l ряд сходится, при 1l – расходится. В случае 1l признак вопрос о сходимости ряда не решает. В этом случае следует применять другие призна-ки.
186
Пример 12.12. Исследовать сходимость ряда .!
21
1
n
n
n
Р е ш е н и е. Символ n! означает произведение натуральных чисел от 1 до n включительно, т.е. .321! nn Считается, что ;1!0 ;21!2;1!1
321!3 и т.д. Применим признак Даламбера: ,!
2 1
na
n
n
!1
2 2
1
na
n
n и, следо-
вательно, 1
22!)1(!2 2
1
nnn
aa
n
n
n
n . Тогда .101
2limlim 1
naa
nn
nn
По признаку
Даламбера ряд сходится.
Пример 12.13. Исследовать сходимость ряда
1 !n
n
nn по признаку Далам-
бера.
Р е ш е н и е. Применяя признак Даламбера, получаем ,!n
nan
n
nn
n
n
n
n
n
nn
n nnn
nn
nnnn
aa
nna
111)1(!)1(
!)1(,!)1(
)1( 11
1
1 .
.111limlim 1
e
naa n
nn
nn
Ряд расходится.
Пример 12.14. Исследовать сходимость ряда
1 521
n nn .
Р е ш е н и е. Исследуя по признаку Даламбера ряд ,52
11
n nn получа-
ем:
72
52)1()2(lim
)1(7252)2(limlim,
722,
521 1
1 nn
nn
nnnn
aa
nna
nna
nnn
nnnn
11172
52lim11
21lim
7252lim
12lim
n
n
n
nnn
nn
nnnn.
Предел ,1l признак Даламбера вопрос о сходимости этого ряда не решает. Но в данном случае ряд расходится, так как нарушается необходимый признак
сходимости ряда,
521limlim
nna
nnn и не равен нулю.
187
Пример 12.15. Исследовать сходимость ряда
1 237
n
n
n.
Р е ш е н и е. Применим признак Даламбера. Так как ,23
7
n
an
n
537 1
1
na
n
n , то x
lim
537237lim
237:
537lim
111
nn
nnaa
n
n
x
nn
xn
n
171753
23lim7
5323lim7
53237lim
n
nnn
nn
xxx. По признаку Далам-
бера ряд расходится.
Пример 12.16. Исследовать сходимость ряда
1 )!2(n
n
nn .
Р е ш е н и е. Применим признак Даламбера.
)!22()1(
))!1(2()1(,
)!2(
11
1
nn
nna
nna
nn
n
n
n . x
limn
n
aa 1 =
xlim
)!2(:
)!22()1( 1
nn
nn nn
=
=x
lim
)!22()!2()1( 1
nnnn
n
n
)22)(12(2...212...21)1(1lim
nnnnn
nn n
x
= 102)12(
111lim
nn
n
x. По признаку Даламбера ряд сходится.
Признак Коши
Если для ряда с неотрицательными членами 0,1
n
nn aa существует пре-
дел ,lim lannn
то при 1l ряд сходится, при 1l ряд расходится.
При ,1l как и в случае признака Даламбера, вопрос о сходимости оста-ется нерешенным. На практике признак Коши удобно применять, когда извлекается корень n-ой степени из общего члена na ряда.
Пример 12.17. Исследуем сходимость ряда
1
22n
nn
nn по признаку
Коши.
Р е ш е н и е. Имеем
nn
n
n
nn
n nn
nna 22lim,22
.121221lim222lim
nnn
nn Ряд расходится по признаку Коши.
188
Пример 12.18. Исследовать сходимость ряда
1
5n
n
n
n.
Р е ш е н и е. Общий член ряда n
n
n
n nna
55 . Здесь удобно применить
признак Коши, так как nn
a nn
nn
55
. Тогда
nn
nn
nn na 5limlim
.105lim nn
Следовательно, ряд сходится.
Пример 12.19. Исследовать сходимость ряда
1n
nnarctg .
Р е ш е н и е. Применим признак Коши. Общий член ряда narctga nn .
.12
limlimlim
narctgnarctgan
n n
nn
nn По признаку Коши ряд расходится.
Интегральный признак сходимости Коши–Маклорена
Пусть члены ряда
1nna положительны и убывают, т.е. 321 aaa
, na и пусть )(xf непрерывная, положительная убывающая функция, определенная для 1x и такая, что ,,)(,,)2(,)1( 21 nanfafaf
тогда
1)( dxxf и ряд
1nna сходятся или расходятся одновременно.
Пример 12.20. Исследуем вопрос о сходимости ряда Rnn
,11
.
Р е ш е н и е. Применим интегральный признак сходимости, тогда
.1)(x
xf Эта функция удовлетворяет всем условиям теоремы. Рассмотрим
несобственный интеграл .lim11
B
B xdx
xdx
1. Если ,1 то
.1 если,
;1 если,1
11
11lim
11limlim 1
1
11
Bx
xdx
xdx
B
B
B
B
B
2. Если ,1 то .1lnlnlim1
lnlimlim11
Bxx
dxx
dxB
B
B
B
B
189
Ряд расходится. Тогда несобственный интеграл
.1 если, расходится;1 если, сходится
1
x
dx
Поэтому и ряд, который является рядом Дирихле или обобщенным гармониче-
ским
.1 если, расходится;1 если, сходится1
1
n n
Пример 12.21. Исследуем сходимость ряда
12 )1(ln)1(
1n nn
.
Р е ш е н и е. Рассмотрим функцию )1(ln)1(
1)( 2
xxxf . Она удовле-
творяет условиям интегрального признака сходимости, поэтому, применяя при-знак, рассмотрим несобственный интеграл
.2ln
12ln
1)1ln(
1lim1)1ln(
1lim
)1(ln))1(ln(lim
)1(ln)1(lim
)1(ln)1( 12
12
12
Bx
xxd
xxdx
xxdx
B
B
B
BB
BB
Несобственный интеграл сходится. Значит, сходится и ряд.
Задачи для самостоятельного решения
Исследовать сходимость ряда с помощью признака Даламбера.
12.23. .41
1
nnn
12.24. .3
11
nnn
12.25. .1
21
n
n
n 12.26. .
!5
1
n
n
n
12.27. .!)1(1
2
n nn 12.28. .!
1
nnn
n 12.29. .!)1(11
n
n
nnn 12.30. .
23
1
n
n
n
Исследовать сходимость ряда по признаку Коши.
12.31. .121
n
n
nn 12.32. .11
1
2
n
n
n 12.33. .
)1(ln1
1
nn n
190
12.34. .11
n
n
narctg 12.35. .11
71
1
2
n
n
n n 12.36. .
131
12
2
n
n
nnn
12.37. .143
1
2
n
n
nn 12.38. .
31
1
n
n
nn 12.39. .
)1(2
1
nn
n
n
12.40. .31
21
2
n n
n
n
12.41. .21
31
2
n n
n
n
12.42. .2513
1
n
n
nn
Исследовать сходимость ряда с помощью интегрального признака.
12.43. .)2(ln)2(
11
n nn 12.44. .
)1(ln)1(1
13
n nn
12.45. .41
3
2
n nn 12.46. .
12
n nen
12.4. Абсолютно и условно сходящиеся ряды. Знакочередующиеся ряды.
Признак Лейбница
Будем рассматривать ряды с членами произвольных знаков. Ряд
1nnu (12.13)
называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд из абсолютных величин его членов, т.е. ряд
1nnu . (12.14)
Теорема. Из сходимости ряда из абсолютных величин (12.14) следует сходимость исходного ряда (12.13).
Ряд
1nnu называется условно сходящимся, если этот ряд сходится, в то
время как ряд, составленный из абсолютных величин его членов (12.14), расхо-дится.
Пример 12.22. Исследовать ряд
12222
1
...41
31
211)1(
n
n
n на абсо-
лютную и условную сходимость.
191
Р е ш е н и е. Ряд
12222
1
...41
31
211)1(
n
n
n сходится абсолютно,
так как соответствующий ряд из модулей его членов
12
12
1 1)1(nn
n
nn – ряд
Дирихле, при 12 является сходящимся. Назовем знакочередующимся ряд вида ,...)1(... 1
4321 n
n uuuuu где 0nu , т.е. ряд, в котором члены попеременно меняют знак. Например, ряд
...1)1(...41
31
211 1
nn знакочередующийся.
Признак Лейбница
Если члены знакочередующегося ряда 0...,)1...( 1
4321 nn
n uuuuuu (12.15) убывают по абсолютной величине ...... 14321 nn uuuuuu и
0lim
nnu , то ряд сходится, а его сумма S положительна и не превосходит пер-
вого члена, т.е. 1uS . Пример 12.23. Исследовать сходимость ряда
...)1(...41
31
211
1
n
n
=
1
1)1(n
n
n.
Р е ш е н и е. Ряд ...)1(...41
31
211
1
n
n
=
1
1)1(n
n
n сходится в
силу признака Лейбница, так как 1) ...41
31
211 ; 2) 01lim
nn.
В то же время ряд, составленный из абсолютных величин его членов
11
1 1)1(nn
n
nn, является гармоническим, т.е. расходящимся. Значит, ряд
12
1)1(n
n
n сходится условно.
Заметим, что знакочередующиеся ряды, удовлетворяющие условиям признака Лейбница, называются рядами Лейбница, или рядами лейбницевского типа. Следствие. Остаток ряда Лейбница имеет знак своего первого члена и меньше его по абсолютной величине, т.е. .1 nn ur Действительно, если сумму S сходящегося ряда (12.7) представить как сумму nn rSS , где nr – n-ый остаток ряда.
192
Подробнее
nruu
nSuuuuS n
nn
nn
n ...)1()1()1(... 21
11
321
.
Рассмотрим теперь ...)()1( 21 nnn
n uur . Остаток ряда представляет собой новый знакочередующийся ряд, удовлетворяющий условиям признака Лейбница, поэтому его сумма 1 nn ur , где 1nu – абсолютная величина перво-го из отброшенных членов.
Пример 12.24. Найти приближенно сумму ряда
1
1
)!12(1)1(
n
n
nn с
точностью до 0,001. Р е ш е н и е. Запишем ряд в развернутом виде.
...!94
1!73
1!52
131
1
. Ряд знакочередующийся лейбницевского типа. Он
сходится и имеет сумму 31
S . Для того, чтобы найти сумму ряда приближен-
но с заданной точностью, надо определить число n, равное количеству первых n членов ряда, которые надо оставить, чтобы заменить сумму ряда S его ча-стичной суммой nS , а остальные члены отбросить, оценив сумму отброшенных членов nr . Для ряда Лейбница 1 nn ur )( . По условию 001,0nr . Запишем, учитывая оценку )( , более сильное неравенство: 001,01 nu . Ищем член ряда, значение которого по абсолютной величине меньшей заданной точности. От-брасываем все члены ряда, начиная с него. Все предыдущие члены ряда сумми-руют. Их количество и есть искомое число п, и частичная сумма nS представ-ляет приближенную сумму ряда с заданной точностью. В нашем случае
.001,000006,015120
1,00417,02401,33334,0
31
321 uuu
Третий член меньше по абсолютной величине 0,001, поэтому, начиная с него, все остальные члены ряда отбрасываем. А для получения приближенного значения суммы с точностью 0,001 надо взять два первых члена. Округлив до тысячных долей, имеем:
.329,0;32917,000417,033334,0 SS
Задачи для самостоятельного решения
Исследовать на абсолютную и условную сходимость.
12.47. .3)1(
0
1
nn
n
12.48. .7
)1(0
nn
n
n 12.49. .
23)1()1(
0
n
n
nn
193
12.50. .52
)1(1
1
n
n
n 12.51. .
ln)1(
2
n
n
n 12.52. .
14)1(
03
n
nn
n
12.53. .ln
)1(2
n nn
n
12.54. .)1(ln)1(
)1(1
2
1
n
n
nn 12.55. .
2)1(
1
1
nn
n n
12.56. .!
)1()1(1
21
n
n
nn 12.57. .
5)1(
13
21
n nnn
12.58. .2
1)1(1 3
1
n
n
nn
12.59. .13413)1(
025
4
n nnnn
12.60. .)1(1
2
1
n
n
nn
Вычислить сумму ряда с точностью ε.
12.61. .01,0,12
)1(0
2
n
n
n 12.62. .01,0,
32)1(
03
n
n
n
12.63. .001,0,2
)1(1
2
1
n
n
n
n 12.64. .001,0,
3)1(
1
1
n
n
n
n
12.65. .001,0,!)1(
1
1
n
n
n 12.66. .01,0,
534)1(
03
1
n
n
nn
12.5. Контрольные задания к главе 12
Исследовать сходимость рядов. Вариант 1 Вариант 2 Вариант 3
1. .51
14
n n 1. .
41
1
n nn 1. .
526
1
n nn
2. .5
11
1
nn n
2. .2)23(
11
nnn
2. .11
nnn
3. .31212
12
2
n
n
nn 3. .
521
n
n nn
3. .
31
13
2
n nn
4. .514
1
n nn 4. .
6556
1
n nn 4. .
22
1
n
n
n
5. .!)2(1
2
nnn
n 5. .10
!1
nn
n 5. .!
51
n
n
n
194
Вариант 4 Вариант 5 Вариант 6
1. .1
11 2
n nn 1. .
31
7
nn
n 1. .31
7
nnn
2. .11
2
n nn 2. .
ln1
23
n nn 2. .
)2ln()2(1
1
n nn
3. .31
1
nnn
3. .!)2(
71
3
n
n
n 3. .
114
n nn
4. .3223
1
n nn 4. .
1392
1
n nn 4. .
3245
1
n nn
5. .!)2(1
n
n
nn 5. .
51
n
n narctg 5. .21arcsin
1
n
n
n
Вариант 7 Вариант 8 Вариант 9
1. .131 2
7
n nn 1. .
731
1
n n 1. .
21
13
n nn
2. .243
12
2
n nn 2. .
534
1
n
n
n 2. .
231
12
2
n
n
nnnn
3. .3232
1
nnn
nn
3. .!)12(
)2(1
n
n
nn 3. .
ln1
1
n nn
4. .32
11
2
n nn 4. .
13
13
2
n nn 4. .
!31
1
nn n
n
5. .21
1
2
n
n
nn 5. .
13512
1
n
n nn
5. .42
31
n nn
Вариант 10
1. .3
sin1
nn
n 2. .212
1
n
n n
3. .
!12
1
22
n nn
4. .361
1
nnn 5. .
1)13(1
12
n n
195
Глава 13. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
13.1. Степенные ряды. Интервал и радиус сходимости
Ряд вида
0
2210 ......
n
nn
nn xcxcxcxcc , (13.1)
где ...,,, 210 ccc – числа, называемые коэффициентами ряда, х – переменная, называется степенным рядом. Придавая переменной х определенные числовые значения, получаем числовые ряды, которые могут сходиться, а могут расходиться. Совокупность всех числовых значений х, при которых степенной ряд сходится, называется областью сходимости ряда. Рассматривают также ряды более общего вида (по степеням разности ((х – а), где а – некоторое число), а именно
0
2210 )(...)(...)()(
n
nn
nn axcaxcaxcaxcc . (13.2)
Исследование таких рядов путем замены у = х – а сводится к исследо-ванию рядов (13.1). Поэтому в дальнейшем рассматриваем ряды по степеням х (13.1).
Теорема Абеля. Если степенной ряд
0n
nnxc сходится при значении
,00 x то он сходится, и притом абсолютно, при всех х, удовлетворяющих не-равенству |||| 0xx . Если этот степенной ряд расходится в точке 1xx , то он расходится для всех значений х, для которых |||| 1xx . Для каждого степенного ряда (13.1), если он не является рядом, сходя-щимся лишь в точке х = 0, существует положительное число R такое, что при
Rx || ряд абсолютно сходится, а при Rx || расходится. (Заметим, что неко-торые ряды могут сходиться только в одной точке, тогда R = 0, а некоторые – в любой точке числовой оси, тогда R ). Число R называется радиусом сходимости, а интервал (–R, R) – интерва-лом сходимости степенного ряда (рис. 13.1). На концах интервала сходимости, т.е. в точках х = –R и x = R, степенной ряд может быть как сходящимся, так и расходящимся.
расходится расходится сходится х
R –R O O
? ?
. 0
Рис. 13.1
196
Для ряда (13.2) интервал сходимости ряда принимает вид Rax || или RaxRa , т.е. ),( RaRa . Радиус сходимости степенного ряда (13.1)
можно определить по формулам
1
lim
n
nn c
cR (13.3)
или
n
nnc
R||lim
1
. (13.4)
Для всех значений х, принадлежащих области сходимости степенного ряда, соответствующие числовые ряды сходятся и имеют определенные суммы, т.е. сумма сходящихся на некотором множестве степенного ряда есть функция, определенная на этом множестве. Обозначим ее ),(),( RRxxf .
)(xf
0n
nnxc .
Свойства степенных рядов
1. Сумма степенного ряда )(xf непрерывна внутри его интервала сходи-мости. 2. Степенной ряд можно почленно интегрировать на любом отрезке, це-ликом принадлежащем интервалу сходимости. Степенной ряд можно почленно дифференцировать в интервале сходимости любое число раз. Ряды, полученные почленным интегрированием и почленным дифференцированием степенного ряда, имеют тот же радиус сходимости, что и исходный ряд.
Пример 13.1. Найти область сходимости ряда
0 32
n
nn
nx .
Р е ш е н и е. Найдем радиус сходимости ряда по формуле
42,
32,lim
1
11
n
cn
cccR
n
n
n
nn
nn
.
21
34lim
21
2342limlim 1
1
nn
nn
ccR
nn
n
nn
nn
.
Итак, 21
R . Интервал сходимости ряда
21,
21 . Проверим сходимость
ряда на концах интервала. При 21
R ряд принимает вид
197
00.
3)1(
3212
n
n
n
nn
nn Получим знакочередующийся ряд. Напишем его в
развернутом виде: ...5
14
13
1 . Так как ,...
51
41
31
03
1lim nn
, то по признаку Лейбница ряд сходится (условно). При 21
R
ряд имеет вид
00.
31
3212
nn
nn
nn Исследуем сходимость этого ряда с по-
мощью признака сравнения в предельной форме. Будем сравнивать его с обоб-
щенным гармоническим рядом nn
11
, который является расходящимся.
Итак, .013
lim13
1limlim1;3
1
nnn
nba
nb
na
nnn
nnnn
По признаку сравнения рядов в предельной форме ряд расходится. Таким обра-
зом, область сходимости исходного ряда принимает вид
21,
21 .
Пример 13.2. Найти область сходимости ряда
12
1
5)3()1(
nn
nn
nx .
Р е ш е н и е. Обозначим х + 3 = у и получим ряд
12
1
5)1(
nn
nn
ny . Найдем
радиус сходимости ряда.
51lim5)1(5lim)1(5
)1(5)1(limlim2
2
2
2
211
1
nn
nn
nn
ccR
nnnn
nn
nn
nn
.
Значит, 5R , а интервал сходимости будет (–5, 5). Проверим сходи-мость ряда на концах интервала. Пусть 5y , тогда ряд имеет вид
12
12
12
12
1 1)1(5
)5()1(nn
n
nn
nn
nnn.
Ряд сходится, так как
12
1n n
– сходящийся обобщенный гармонический ряд с
показателем 12 . Пусть у = 5. Тогда имеем
12
1
12
1 )1(5
5)1(n
n
nn
nn
nn.
198
Ряд знакочередующийся, сходится абсолютно, так как ряд из абсолютных ве-
личин
12
12
12 1)1(nn
n
nn – обобщенный гармонический сходящийся ряд.
Следовательно, ряд сходится для 55 y . Заменив переменную у = х + 3, получим 535 x или 28 x . Область сходимости исходного ряда 2,8 .
Пример 13.3. Найти область сходимости ряда
0!
n
nxn .
Р е ш е н и е. Найдем радиус сходимости.
01
1lim)!1(
!limlim1
nn
nccR
nnn
nn
.
Радиус сходимости 0R . Ряд сходится только в одной точке 0x .
Задачи для самостоятельного решения
Найти области сходимости степенных рядов.
13.1. .130
n nxn
13.2. .2)2(
1
n nx n
13.3. .!
20
n
nn
xn
13.4. .7
)1(1
nn
n
nx 13.5. .
1312
n nxn
13.6. .13)2(
0
nn
nx
13.7. .2
111
2
n
nn xnn
13.8. .
43)3(
1
n nxn n
13.9. .4
11
2
n
nn xn
nn
13.10. .!)2(
!)2(0
n nnx n
13.11.
.18
)1(1
2
n nnx n
13.12. .)4(21
nn
nn
nx
13.13. .12)12(
)1(1
1
n nnxnn
13.14. .22)1(
1
1
n
nnn
xn
13.15. .13)1(
13
1
n
nnn
xn
13.16. .!21
n
nn
n
xn
n 13.17. .)2(31
n nx
n
n
13.18. .!31
n nxn
n
13.19. .1
)1(1
3
1
n
nn
xn
13.20. .!1
nn
n
nxn
199
13.2. Ряды Тейлора и Маклорена
Если функция )(xf является суммой степенного ряда на некотором про-межутке, то говорят, что она разлагается в степенной ряд на этом промежутке или степенной ряд сходится к функции )(xf на указанном промежутке.
Пусть функция )(xf имеет в окрестности точки х = а производные лю-бых порядков.
Степенной ряд
0
)(
)(2
)(!
)(
...)(!
)(...)(!2
)()(!1
)()(
n
nn
nn
axn
af
axn
afaxafaxafaf (13.5)
называется рядом Тейлора функции )(xf в точке х = а . Если а = 0, то ряд Тейлора принимает вид
0
)(
)(2
!)0(
...!
)0(...!2
)0(!1
)0()0(
n
nn
nn
xn
f
xn
fxfxff (13.6)
и называется рядом Маклорена. Пусть )()()( xrxSxf nn , где )(xSn – частич-ная сумма, а )(xrn – остаток ряда Тейлора. Теорема. Ряд Тейлора сходится к данной функции )(xf тогда и только тогда, когда остаток ряда стремится к нулю при n , т.е. для всех значений х из интервала сходимости 0)(lim
xrnn
. (13.7)
Теорема. (Достаточное условие разложимости функции в ряд Тейлора). Если производные любого порядка п = 0, 1, 2,… функции )(xf ограничены в некоторой окрестности точки 0x одним и тем же числом 0M , т.е.
Mxf n )()( , то ряд Тейлора функции )(xf сходится к )(xf для любого х из
этой окрестности. Теорема. Если функция )(xf разложима в ряд Тейлора, то это разложе-ние единственно.
Пример 13.4. Разложить в ряд Тейлора функцию x
y 1 по степеням
(х + 2) и найти область сходимости полученного ряда.
200
Р е ш е н и е . Запишем ряд Тейлора для функции )(xf в окрестности точ-
ки х = а . ...)(!
)(...)(!2
)()(!1
)()()(
2
nn
axn
afaxafaxafaf . По усло-
вию 2a . Вычислим значения функции и ее производных в точке 2x .
;212,1)( f
xxf
.2
!)2(,!.......................................................
;2
!22,21)(
;212,1)(
1)(
1)(
33
22
nn
nn nf
xnf
fx
xf
fx
xf
Тогда составляем ряд
0114
3
3
2
214
3
3
2
2
.2
)2(...2
)2(...2
)2(2
)2(
2)2(
21...
2!)2(!...
2!3)2(!3
2!2)2(!2
2!1)2(1
21
nn
n
n
n
n
n
xxxx
xnxnxxx
Найдем радиус сходимости ряда
012n
n
ny , положив 2 xy .
21
22
1limlim2
11
n
nnn
nn c
cR .
Ряд
012n
n
ny сходится на интервале (–2, 2), т.е. для всех у, удовлетворя-
ющих неравенству 22 y . На концах интервала при у = –2 имеем ряд
...21
21
21
21
, который расходится. При у = 2 получаем ряд ...21
21
21
,
который также является расходящимся.
Итак, областью сходимости ряда
012n
n
ny будет интервал (–2, 2). Тогда
областью сходимости ряда
012)2(
nn
nx будет интервал (–4,0), так как
222,2 xxy или 04 x , или интервал (– 4, 0).
201
Разложение функций в ряд Маклорена
1. ...)!1(
...!3!2!1
1132
nxxxxe
nx , x ; (13.8)
2. ...)!12(
)1(...!5!3!1
sin12
153
nxxxxx
nn , x ; (13.9)
3. ...!)2(
)1(...!6!4!2
1cos2642
n
xxxxxn
n , x ; (13.10)
;11...,!
)1)...(1(
...!3
)2)(1(!2
)1(!1
1)1(.4 32
xxn
nmmm
xmmmxmmxmx
n
m
(13.11)
5. ...)1(...432
)1ln( 1432
nxxxxxx
nn , 11 x ;
(13.12)
6.
...53
211ln
53 xxxxx , 11 x ; (13.13)
...
7642531
54231
321arcsin.7
753 xxxxx
...122...642
)12...(531 12
nx
nn n
, ;11 x (13.14)
8.
12)1(...
753
121
753
nxxxxxxarctg
nn , 11 x . (13.15)
Пример 13.5. Разложить в ряд Маклорена функцию x
y
1
1 .
Р е ш е н и е. Разложим функцию в окрестности точки а = 0 в ряд Мак-лорена, т.е. представим в виде
...!
)0(...!2
)0(!1
)0()0()(
2
nn
xn
fxfxff .
Имеем
;1)0(,1
1
y
xy
;!21!2)0(,
)1(21)(
;10,)1(
1)(
3
2
yx
xy
yx
xy
202
.!1!)0(,
)1(...21)(
.......................................................
;!31!3)0(,
)1(321)(
)(1
)(
4
nnyx
nxy
yx
xy
nn
n
Составляем ряд
0
3232 ......1...!!...
!33
!22
!111
n
nnn xxxxxxnnxxx .
Получили ряд геометрической прогрессии со знаменателем xq и пер-вым членом 11 a . Этот ряд, как известно, сходится, если 1|||| xq . Отсюда
имеем: интервал сходимости ряда (–1, 1), а сумма ряда x
S
1
1 .
Итак, на интервале 11 x ряд сходится к функции x1
1 , т.е.
x11 = 11,......1 32 xxxxx n .
Пример 13.6. Разложить в ряд Маклорена функцию )1ln( 22 xxy .
Р е ш е н и е. Разложим в ряд Маклорена функцию )1ln( 22 xxy . Так
как для 11 x по формуле (13.12) ...)1(...32
)1ln(32
n
xxxxxnn
,
то, заменяя х на 2x , получим
....)1(...32
)1ln(
,...)1(...32
4)1ln(
22186422
21622
nxxxxxx
nxxxxx
nn
nn
Область сходимости ряда 1,1 .
Задачи для самостоятельного решения
Разложить в ряд Маклорена.
13.21. .1
1)(x
xf
13.22. .1
)(2
xxxf
13.23. .1)(xe
xf 13.24. .312)( 2x
xf
203
13.25. .cos)( xxxf 13.26. .3sin)(x
xxf
Разложить в ряд Тейлора.
13.27. x
xf 1)( по степеням .)2( x 13.28. 2
cos)( xxf по степеням .2
x
13.29. 3)( xxf по степеням .)1( x 13.30. 3
1)(
x
xf по степеням .)2( x
13.31. 2)(x
exf по степеням .)2( x
13.3. Применение рядов в приближенных вычислениях Представление элементарных функций в виде степенных рядов позволяет применять эти ряды для приближенных вычислений. С заданной степенью точ-ности можно вычислить значения функций, значения определенных интегра-лов, которые не могут быть вычислены с помощью формулы Ньютона-Лейбница, а также можно интегрировать дифференциальные уравнения. Пример 13.7. Вычислить 012cos с точностью до 0,0001, пользуясь раз-ложением xcos в ряд Маклорена.
Р е ш е н и е. Переведем 012 в радианы: .2094,0151416,3
1512
180
Используем разложение косинуса в ряд Маклорена
,
!)1(2)1(
!6!4!21cos
)1(21
642
nxxxxx
nn который сходится на
.),( Получим
.15!6
115!4
115!2
1112cos642
0
(*)
Определим, сколько первых n членов разложения функции в степенной ряд надо оставить, чтобы сумма отброшенных членов (остаток ряда nr ) не пре-восходила 0,0001.
Ряд (*) – знакопеременный ряд, члены которого удовлетворяют признаку Лейбница. Тогда используется оценка ,1 nn ur где 1nu – первый из отбро-шенных членов по абсолютной величине.
0001,000219,015!2
1 2
; .0001,000008,024
00219,015!4
1 4
204
Поэтому достаточно взять два первых члена ряда
.9781,015!2
1112cos2
0
Действительно, если взять в этом равенстве два первых члена, то будем иметь
приближенное равенство ,9781,02
2094,0115
cos2
погрешность которого
равна сумме остатка 4r знакочередующегося ряда, т.е. .!8
15!6
15
86
По признаку Лейбница сумма знакочередующегося ряда не превосходит абсо-лютной величины первого члена.
В нашем случае .0001,000008,024
)2094,0( 4
nr Поэтому мы допуска-
ем ошибку меньшую 0,0001. Итак, 9781,012cos 0 с точностью до 0,0001. В случае знакопостоянного ряда оценка погрешности сложнее. Во многих случаях можно использовать прием, когда ряд из отброшенных членов сравни-вают с бесконечно убывающей геометрической прогрессией. Пример 13.8. Вычислить ,3ln взяв первые три члена разложения функ-ции в ряд. Оценить погрешность.
Р е ш е н и е. Будем использовать разложение в степенной ряд функции
,11ln
xx
формула (13.13). .12753
211ln
12753
n
xxxxxxx n
Этот ряд
сходится при .)1,1(x Полагаем ,311
xx тогда .
21,24;331 xxxx
Эта точка принадлежит области сходимости ряда. Тогда
.92
172
152
132
12123ln 9753
По условию, надо взять три первых
члена ряда. Погрешность вычисления – остаток ряда nr .
.132
1112
192
172
12 131197
nr Этот ряд знакопостоянный положи-
тельный. Оценим каждый член ряда следующим образом: множитель, следующий
за степенью двойки ( 9, 11, 13, …) заменяем на 7: ,72
1112
1;72
192
1111199
.,72
1132
11313
Правые части неравенств увеличиваются:
205
.21
21
211
721
721
721
721
7212
1321
1121
921
7212
6426
131197131197
nr
Ряд, стоящий в скобках, представляет собой бесконечно убывающую
геометрическую прогрессию со знаменателем .41
q Его сумма ,1
1
qaS
где
,11 a т.е. .34
411
1
S
Заменяя бесконечно убывающую геометрическую прогрессию ее суммой,
получим .01,0212
134
721
46
nr Таким образом, взяв три члена ряда можно
вычислить 3ln с точностью до 0,01 095,152
132
12123ln 53
, т.е.
.095,13ln
Пример 13.9. Вычислить число е с точностью до 0,00001. Р е ш е н и е. Воспользуемся разложением функции xe в ряд Маклорена:
.,!!3!2!1
132
xnxxxxe
nx Полагая 1x , имеем
.!
1!3
1!2
1!1
11 n
e Этот ряд положительный. Остаток ряда nr имеет
вид
!)3(
1!)2(
1!)1(
1nnn
rn или
.)3()2()1(
1)2()1(
11
1!
1
nnnnnnnrn Заменяя каждый из
сомножителей ,5,4,3,2 nnnn меньшей величиной 1n , получим
неравенство .)1(
1)1(
11
1!
132
nnnnrn В скобках получаем беско-
нечно убывающую геометрическую прогрессию со знаменателем 11
1
nq и
первым членом 1
11
na , сумма S которой равна
111
1)1(
11
1
nnq
aS
206
.1)11()1(
1nnn
n
Получаем .
!1nn
rn Путем подбора определяем. при ка-
ком n будет выполняться неравенство .00001,0nr Положим, например, .4n
;010417,04!4
14 r ;001667,0
5!51
5 r ;000231,06!6
16 r
;000028,07!7
17 r .00001,0000003,0
8!81
8 r
Итак, принимаем 8n
,718279,2000025,0000198,0001389,0
008333,0041667,0166667,05,02!8
1!7
1!6
1!5
1!4
1!3
1!2
111
e
или 71828,2e с точностью до 0,00001.
Пример 13.10. Вычислить
5,0
0
2dxe x с точностью до 0,001.
Р е ш е н и е. Разложение в ряд функции xe :
,!!2!1
12
nxxxe
nx . x
Заменим х на ,2x получим разложение ,!3!2!1
1642
2 xxxe x
.001,00002,05376
1;001,00031,03201
1105921
53761
3201
241
21
29241
2761
5221
231
21
92476523!3!2!11
9753
2197535,0
0
6425,0
0 0
2
xxxxxdxxxxdxe x
Поэтому, начиная с четвертого члена, отбрасываем все оставшиеся члены
ряда, 4614,00031,00417,05,03201
241
215,0
0
2
2
dxex
или 0,461 с точно-
стью до 0,001.
Пример 13.11. Вычислить с точностью до 0,001 1
0.sin dx
xx
Р е ш е н и е. Разложим в подынтегральном выражении xsin в ряд
207
Маклорена
dxxxxdxx
xxxxdx
xx 1
0
6421
0
753
1
0 !7!5!31!7!5!3sin
0
1352806001850401206
17531
0
642
xxxxdxxxx
35280
16001
1811 . Так как ,001,0000028,0
352801
то
9461,06001
1811sin1
0 dx
xx с точностью до 0,0001.
Задачи для самостоятельного решения
Вычислить, взяв три члена соответствующего ряда Маклорена и оценить погрешность ε. 13.32. .3 e 13.33. .18sin 0
13.34. .1,15 13.35. .04,1ln
13.4. Контрольные задания к главе 13
1 – 2. Найти области сходимости степенных рядов. 3. Разложить в ряд Маклорена. 4. Вычислить приближенно с точностью 001,0 .
Вариант 1 Вариант 2 Вариант 3
1. .131
n
n
nx 1. .
!2
1
n
nn
nx 1. .
1212
n
n
nx
2.
.13)2(
1
nn
n
nx 2. .
3)4(
1
nn
n
nx 2. .)3(
!2!)12(
1
n
nn xn
n
3. .2
xx eey
3. .4cos3 xxy 3. .sincos2x
xxxy
4. .10,15,0
0
33
dxx 4. .10,sin5,0
0
3
dxx
x 4. .18/1
0
3 dxx
208
Вариант 4 Вариант 5 Вариант 6
1. .71
nn
n
nx 1. .
531
n
n
nx 1. .
141 2
n n
n
nx
2. .43)2(
1
nn
nx 2. .)4(!1
n
nn x
nn
2.
.183
)1(1
nnn
nx
3. .2
xxarctgy 3. .
11ln1
xxy
3. .
21
xy
4. .1
5,0
04
xdx 4. .cos
1
0
3 dxxx 4. .375
Вариант 7 Вариант 8 Вариант 9
1. .14
51
n
nn
n
x
1. .
545
1
nn
nn
nx 1. .
932
1
n
nn xn
2. .)1(31
n
n
n
xn
n
2. .)5(321
1
2
n
nn xn 2. .
)3()2(
1
nn
nn
nxn
3. .85 3xy 3. .5cos5sin xxy 3. .1
13 3x
y
4. .4sin1
0 dx
x
x
4. .1,0arctg 4. .2,0
1,03
dxxe x
Вариант 10
1. .4)23(1
nn
n
nx 2. .)3(3!
1
n
nn
n
xn
n 3. .4
sin
xy
4. .102410
209
ПРИМЕРНЫЕ ВАРИАНТЫ ТЕСТОВЫХ ЗАДАНИЙ
Задания к главе 8 № Задание Варианты ответов Ответ 1
Если xyxz ln , то yz 1) xy ; 2)
yx2
; 3) 2yx ; 4)
yx ;
5) xx
y 1ln
4)
2 Если xyxyxz 442 , то xz
1) 142 xyx ; 2) 442 yx ; 3) 142 yx ; 4) 44 y ; 5) другой ответ
2)
3 Если xxyyxz 322 , то xxz
1) x2 ; 2) 22 yy ; 3) y2 ; 4) xy2 ; 5) 32 y
3)
4 Если
yxyz ln , то xyz 1) 1
xy ; 2)
x1 ; 3) 2x
y ; 4) 2y
x ;
5) yy
x 1ln
2)
5 Если zyxeu 32 , то xzu 1) zyxe 323 ; 2) zyxe 32 ; 3) zyxe 326 ; 4) zyxe 322 ; 5) другой ответ
1)
6 Найти xz в точке 4;3M , если
423 yxz
–12
7 Найти yz в точке
2;2 M , если
yxz 4sin2
16
8 Найти yyz в точке
21;4M , ес-
ли 4yxz
6
9 Найти yxz 5 в точке 0;1M , если
yxxyz 23 25
20
10 Полный дифференциал функ-ции 22 3 yxyxz в точке
2;1M равен…
1) dydx 87 ; 2) dydx 78 ; 3) dydx 78 ; 4) dydx 912 ; 5) dydx 712
3)
210
№ Задание Варианты ответов Ответ 11 Полный дифференциал функ-
ции 522 xyxyz в точке 1;2M равен…
1) dydx 4 ; 2) dydx ; 3) dydx 4 ; 4) dydx 5 ; 5) dydx 5
1)
12 Полный дифференциал функ-ции 2332 22 yyxxz в точке
1;2M равен…
1) dydx 5815 ; 2) dydx 5016 ; 3) dydx 5016 ; 4) dydx 4616 ; 5) dydx 4632
3)
13 Полный дифференциал функ-ции 293 22 xxyyz в точ-ке 3;1M равен…
1) dydx 6046 ; 2) dydx 925 ; 3) dydx 117 ; 4) dydx 927 ; 5) dydx 925
2)
14 Полный дифференциал функ-ции 7242 xxyyz в точке
3;4M равен…
1) dydx 1016 ; 2) dydx 1010 ; 3) dydx 317 ; 4) dydx 310 ; 5) dydx 1010
2)
15 Если 67233 xyyxz , 0x , 0y , то минимум этой
функции minz
3
16 Если yxyxyz 62 , то максимум этой функции
maxz
12
17 Если 188
yx
xyz , 0x ,
0y , то минимум этой функ-ции minz
13
18 Если yxyxyxz 847 22 ,
то максимум этой функции maxz
23
19 Если функция 79622 yxyxyxz ,
имеет в точке 000 ; yxM экс-тремум, то 2
020 yx
17
20 Если функция
1339 yx
yxz , имеет кри-
тическую точку 000 ; yxP , то 00 yx
4
211
Задания к главе 9
№ Задание Варианты ответов Ответ 1 Найти интеграл
dxxxx 787 245 1) ;738
57
51 356 cxxxx
2) ;738
57
61 355 cxxxx
3) cxxxx 738
57
61 355
2)
2 Найти интеграл
dxxx
642
2
1) ;
88ln4 c
xxx
2) ;88ln4 c
xxx
3) cxxx
88ln4
1)
3 Найти интеграл
dxx6
cos2 1) ;
3cos
23
21 cxx
2) ;3
sin23
21 cxx
3) cxx 3
sin23
21
3)
4 Найти интеграл
dx
xx 22 85
13
1) ;22
arcsin53 cxarcctgx
2) ;22
arcsin53 cxarctgx
3) cxarctgx 23
arcsin53
2)
5 Найти интеграл dxx 9)21( 1) ;)21(
201 10 cx
2) ;)21(201 10 cx
3) cx 10)21(201
1)
6 Найти интеграл dxxx
52 13 1) ;)12(
181 62 cx
2) ;)13(91 52 cx
3) cx 62 )13(361
3)
212
№ Задание Варианты ответов Ответ 7 Найти интеграл
222 xx
dx
1) ;)1( cxarctg 2) ;)1( cxarctg
3) cxarctg )1(21
2)
8 Найти интеграл
2942 xx
dx 1) ;
52
51 cxarctg
2) ;52
51 cxarctg
3) cxarctg
52
51
1)
9 Найти интеграл
542 xx
dx
1) ;)2( cxarctg 2) ;)2( cxarcctg 3) cxarctg )2(
3)
10 Найти интеграл
dx
xx
12
1) ;|1|ln21 2 cx
2) ;|1|ln21 2 cx
3) cx |1|ln31 2
1)
11 Найти интеграл
)15(xxdx
1) ;15
ln151 c
xx
2) ;15
ln151 c
xx
3) cx
x
15ln151
1)
12 Найти интеграл
122 xx
dx
1) ;34ln
71 c
xx
2) ;43ln
71 c
xx
3) cxx
34ln
71
2)
13 Найти интеграл
)9()1( xx
dx 1) ;
19ln
101 c
xx
2) ;19ln
101 c
xx
3) cxx
19ln
101
1)
213
№ Задание Варианты ответов Ответ 14 Найти интеграл
1032 xx
dx 1) ;
52ln
71 c
xx
2) ;52ln
71 c
xx
3) cxx
52ln
71
3)
15 Найти интеграл
dxxx
221 1) ;
52
542 4
2
cxxx
2) ;52
942 4
2
cxxx
3) cxxx
4
2
92
542
3)
16 Найти интеграл dxx)32sin( 1) ;)32cos(
21 cx
2) ;)32cos(31 cx
3) cx )32sin(31
2)
17 Найти интеграл dxxx 7cossin 1) ;6cos
1218cos
161 cxx
2) ;6cos16116cos
81 cxx
3) cxx 6sin1218sin
161
1)
18 Найти интеграл dxxx 5sin5sin 1) ;10sin
101
3cxx
2) ;10sin201
2cxx
3) cxx 5sin
101
10
2)
19 Найти интеграл dxxx 9sin2sin 1) ;7sin
2217cos
141 cxx
2) ;11sin2217sin
141 cxx
3) cxx 11cos2217sin
141
2)
214
№ Задание Варианты ответов Ответ 20 Найти интеграл
.2cos4cos dxxx 1) .2sin416sin
121 cxx
2) .2sin1213sin
41 cxx
3) .2sin413cos
41 cxx
1)
21. Найти интеграл
dxxx
2cos7sin
1) ;2
sin37cos71 cxx
2) ;2
cos27cos71 cxx
3) cxx 2
sin27cos71
3)
22 Найти интеграл
xdx
2
1) ;)2ln(42 cxx 2) ;)2ln(43 cxx 3) cxx )2ln(24
1)
23 Найти интеграл
2x
x
edxe
1) ;|2|ln cex 2) ;|2|ln 2 ce x
3) cex |2|ln21
1)
24 Найти интеграл
x
dx52
1) ;15ln253 cxx
2) ;25ln452 cxx
3) cxx 25ln52
2)
25 Найти интеграл
xxdx
9ln
1) ;ln71
7 cx
2) ;ln71
8 cx
3) cx 8ln8
1
3)
Задания к главе 10
№ Задание Варианты ответов Ответ 1 Вычислить интеграл
7
226 dxxx
211
215
№ Задание Варианты ответов Ответ 2 Вычислить интеграл
4
2
292832 dxxx
64
3 Вычислить интеграл
3
1
3 dxx
20
4 Вычислить интеграл
3
1 43 dxx
7
5 Вычислить интеграл
1
0
22 130 dxxx
4
6 Вычислить интеграл
4
2
3 dxxx
66
7 Вычислить интеграл
22
228dx
xx
2
8 Вычислить интеграл
9
4
13 dxx
x
40
9 Вычислить интеграл
2/
0cos
dxx
1
10 Вычислить интеграл
3
1
213 dxx
56
11 Вычислить интеграл
3
0
22 95 dxxx
162
12 Вычислить интеграл
2
14
2 18 dxx
x
21
13 Вычислить интеграл
2
0
2 23 dxxx
4
216
№ Задание Варианты ответов Ответ 14 Вычислить интеграл
2/
02sinsin12
dxxx
2
15 Вычислить интеграл
2/
0
23 cossin15
dxxx
2
16 Вычислить интеграл
8/
03coscos128
dxxx
1
17 Вычислить интеграл
5/
0
2 5sin30
dxx
3
18 Вычислить интеграл
6/
8/2 2cos
134
xdx
4
19 Вычислить интеграл
e
xdx
1
1
20 Вычислить интеграл
6
1 33 dx
xx
20
21 Вычислить интеграл
10
32 586
84xxdx
3
22 Вычислить интеграл
1
0
5 dxee
x
5
23 Вычислить интеграл
4/
02cos
xdx
1
24 Вычислить интеграл
3
2224xdx
4
25 Вычислить интеграл
3/
1)sin(ln6
e
xdxx
3
217
Задания к главе 11
№ Задание Варианты ответов Ответ 1 Определить порядок дифференци-
ального уравнения 22 yyx
3
2 Определить порядок дифференци-ального уравнения
033 yy
2
3 Определить порядок дифференци-ального уравнения
xxy 2sinsin 4
3
4 Определить порядок дифференци-ального уравнения
xyyy cos5584
2
5 Определить порядок дифференци-ального уравнения
2yyyx
1
6 Определить порядок дифференци-ального уравнения
0IV yy
4
7 1ln33 xxCy – общее решение дифференциального уравнения 022 xdxdyyxy . Найти C, если 30 y
9
8 Cx
yy
2
2ln – общее решение
дифференциального уравнения xyxyy 22 . Найти C, если
10 y
0
9 22 2
12
1lnx
xCy
y –
общее решение дифференциаль-ного уравнения 011 3233 dyxydxyx . Найти C, если 11 y
0
218
№ Задание Варианты ответов Ответ 10 xx eCeCy 3
22
1 – общее решение дифференциального уравнения
065 yyy . Найти частное решение, если 00 y , 40 y . В ответ указать значение 212 CC
4
11 xCxCy 3sin3cos 21 – общее решение дифференциального уравнения 09 yy . Найти частное решение, если 10 y , 60 y . В ответ указать значение
214 CC
2
12 xx xeCeCy 21 – общее решение дифференциального уравнения
02 yyy . Найти частное решение, если 30 y , 50 y . В ответ указать значение 213 CC
7
13 Уравнением с разделяющимися переменными является…
1) 9
62
x
y ;
2) 222yx
xyy
;
3) 02 xyy ;
4) 03 xyyy ; 5) 034 yyy
1)
14 Линейным уравнением первого порядка является…
1) 9
62
x
y ;
2) 222yx
xyy
;
3) xeyyy 65128 ;
4) 02 xyy ; 5) 034 yyy
4)
219
№ Задание Варианты ответов Ответ 15 Уравнением Бернулли является…
1) 9
62
x
y ;
2) 222yx
xyy
;
3) 02 xyy ; 4) 03 xyyy ; 5) 034 yyy
4)
16 Однородным уравнением первого порядка является… 1)
96
2 x
y ;
2) 222yx
xyy
;
3) 02 xyy ; 4) 03 xyyy ; 5) 034 yyy
2)
17 Линейным однородным уравнени-ем второго порядка с постоянны-ми коэффициентами является…
1) 222yx
xyy
;
2) xyyy 4cos8 ; 3) 02 xyy ; 4) 03 xyyy ; 5) 034 yyy
5)
18 Линейным неоднородным уравнением второго порядка с по-стоянными коэффициентами явля-ется…
1) 9
62
x
y ;
2) 222yx
xyy
;
3) xyyy 4cos528 ; 4) 02 xyy ; 5) 034 yyy
3)
19 Найти общее решение (общий ин-теграл) дифференциального урав-нения yxy ctg12 .
1) Cxxy 2cosln ; 2) Cxxy 2cosln ;
3) Cxxy
22cos
1 ;
4) Cxxy
22sin
1 ;
5) Cxy
2cos
12
2)
220
№ Задание Варианты ответов Ответ 20 Найти общее решение (общий ин-
теграл) дифференциального урав-нения xdxyxdyy sincoscossin .
1) xCy coscos ; 2) xCy sinsin ; 3) Cxy coscos ;
4) Cxy 22 coscos ; 5) Cxy tgtg
1)
21 Найти общее решение (общий ин-теграл) дифференциального урав-нения 21
2yxey x .
1) ysinarc Cex 2
5,0 ;
2) yarctg Cex 2
;
3) yarctg Cex 2
2 ;
4) 1ln 2y Cex 2
5,0 ;
5) yarctg Cex 2
5,0
5)
22 Найти общее решение (общий ин-теграл) дифференциального урав-нения 0cos1 22 yxy .
1) xCy arccostg ;
2) 21lntg xxCy ; 3) xCy arcsinctg ; 4) xCy arcsintg ; 5) xCy arccosctg
4)
23 Найти частное решение (частный интеграл) дифференциального уравнения
4π0,11
2
2
y
xyy
1) 1arctgarctg xy ;
2)4
xy ;
3) 3arctgarctg xy ; 4) 1arctgarctg xy ;
5) 3arctgarctg xy
4)
24 Найти частное решение (частный интеграл) дифференциального уравнения
30,2ctg yyxy
1) xy cos2 ; 2) xy cos21 ; 3) xy sin3 ; 4) xy sin2 ; 5) xy cos2
1)
25 Найти общее решение дифферен-циального уравнения
322 xyyx
1) xCxy 12 ; 2) xCy 1 ;
3) xCxy 12 ; 4) xCy 1 ;
5) 32 3xCxy
1)
221
№ Задание Варианты ответов Ответ 26 Найти общее решение дифферен-
циального уравнения
323x
yx
y
1) Cxy 22 ; 2) 3252 Cxxy ; 3) Cxy 252 ; 4) xCxy 21 ; 5) 322 xCxy
5)
27 Найти общее решение дифферен-циального уравнения
xxyy tgtg
1) Cy 1 ; 2) xCy cos1 ; 3) 1sin xCy ; 4) 1cos xCy ; 5) 1cos xCy
4)
28 Найти общее решение дифферен-циального уравнения
xxyy coscos
1) 1sin xCey ; 2) Cey x sin ; 3) 1sin xCey ; 4) 1cos xCey ; 5) 1Cy
3)
29 Найти общее решение дифферен-циального уравнения
xxyxy cos
1) Cxxy sin ; 2) Cxxy sin ; 3) Cxxy cos ; 4) Cxxy sin ; 5) Cxxy sin
4)
30 Найти частное решение линейного дифференциального уравнения
10, yeyy x
1) xexy 1 ; 2) 1 xxey ; 3) xexy 12 ; 4) xexy 1 ; 5) 1 xxey
1)
31 Найти частное решение линейного дифференциального уравнения
01,012 yxyyx
1) xxy ln ; 2) xxy ln ; 3) xxy ln ; 4) xxy ln ; 5) xxy 11 2
4)
32 Найти частное решение линейного дифференциального уравнения
01,22 4 yxyyx . В ответ записать 2y
12
222
№ Задание Варианты ответов Ответ 33 Найти частное решение линейного
дифференциального уравнения
01,3 yxy
xy . В ответ за-
писать 3y
18
34 Найти общее решение (общий ин-теграл) однородного дифференци-ального уравнения первого порядка
xyxyxy
cos
1) xCxy lncos ; 2) xCxy lnsin ; 3) 21sin xCxy ; 4) 21cos xCxy ; 5) xCy lnsin
2)
35 Найти общее решение (общий ин-теграл) однородного дифференци-ального уравнения первого порядка
xyxeyyx
1) xCe xy ln ; 2) Cxe xy ln ; 3) Cxe y ln ; 4) Cxe xy ln ; 5) Cxe xy 21
4)
36 Найти общее решение (общий ин-теграл) однородного дифференци-ального уравнения первого порядка 02 xdydxyxy
1) Cxxy 2ln ; 2) Cxxy 2ln ; 3) Cxy 2ln ; 4) Cxxy 21 ; 5) Cxxy ln
1)
37 Найти общее решение (общий ин-теграл) однородного дифференци-ального уравнения первого порядка
yxyyx 2
1) Cxxy ln ; 2) Cxy ln ; 3) Cxxy ln ; 4) xCxy ln ; 5) Cxxy ln
5)
38 Найти общее решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с по-стоянными коэффициентами
0168 yyy
1) xx eCeCy 42
41 ;
2) xCxCy 4sin4cos 21 ; 3) xCCey x
214 ;
4) xeCCy 421 ;
5) xCCey x21
4
5)
39 Найти общее решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с по-стоянными коэффициентами
054 yyy
1) xx eCeCy 22
31 ;
2) xCxCey x 5sin5cos 21 ;
3) xeCy 1xeC 5
2 ; 4) xCxCey x sincos 21
5 ; 5) xeCy 5
1xeC2
3)
223
№ Задание Варианты ответов Ответ 40 Найти общее решение линейного
однородного дифференциального уравнения второго порядка с по-стоянными коэффициентами
025 yy
1) xCxCy 5sin5cos 21 ; 2) 2
251 CeCy x ;
3) 225
1 CeCy x ; 4) xx eCeCy 5
25
1 ;
5) xCxCey x 5sin5cos 21
5
1)
41 Найти общее решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с по-стоянными коэффициентами
07 yy
1) xCCey x21
7 ; 2) xeCCy 7
21 ; 3) xCxCy 7sin7cos 21 ; 4) xx eCeCy 7
27
1 ;
5) xx eCeCy 721
2)
42 Найти общее решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с по-стоянными коэффициентами
054 yyy
1) xx eCeCy 221 ;
2) xCxCey x 2sin2cos 21 ;
3) xx eCeCy 23
1 ; 4) xCey x cos1
2 xC sin2 ; 5) xx eCeCy 2
41
4)
43 Найти общее решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с по-стоянными коэффициентами
06416 yyy
1) xx eCeCy 82
81
; 2) xCxCy 8sin8cos 21 ; 3) xCCey x
218 ;
4) xeCCy 821
; 5) xCCey x
218
5)
Задания к главе 12
№ Задание Ответ 1 Записать общий член ряда
10004
41003
3102
2111
2 Пользуясь определением сходимости ряда, найти его сумму
2564
483
162
41
31
3 Если ряд n3
5275
95
35 сходится, то
его сумма равна 25
224
№ Задание Ответ 4 Найти сумму ряда по определению
)52()12(
1115
193
171
1nn
9023
5 Найти сумму ряда по определению
n
nn
963
729243
81451
3
6 Записать общий член ряда
222 41
413131
21211
7 Записать общий член ряда
42
725
23
21
32
8 Найти сумму ряда
)13()23(
11071
741
411
nn 3
1
Исследовать сходимость рядов
9
1 12n nn
Расход.
10
1
1n n
Расход.
11
1 11
1n
n
n
Сход.
12
1
1n nn
Сход.
13
1 52
n
n
Сход.
14
1 1427
nn
nn
Сход.
15
1 743
n nn
Расход
16
13 42
n nn
Сход.
17
1n ntg
Расход.
18
1n ntg
Расход.
225
№ Задание Ответ 19
15
2
4n nn
Сход.
20
1 2sin
nn
Сход.
21
1 231
n n
Расход.
22
1 )4ln(1
n n
Расход.
23
1 3sin
n n
Расход.
24
1 )2()3(1
n nn
Сход.
25
1
1n narctg
Расход.
26
1 13n
n
nn
Сход.
27
1 !2
n nn
Сход.
28
1 61
nnn
Сход.
29
1 7arcsin
n
n
n
Сход.
30
1 ))1(ln(1
nnn
Сход.
Задания к главе 13
№ Задание Разложить в ряд Тейлора функцию в окрестности точки 0x
1 3
1
x
y в окрестности точки 30 x
2 3 xy в окрестности точки 10 x
3 xy ln в окрестности точки 20 x
226
№ Задание 4 xey в окрестности точки 30 x 5
21
x
y в окрестности точки 50 x
6 xey 1 в окрестности точки 10 x 7
6sin xy
в окрестности точки 30 x
8 3 2xy в окрестности точки 10 x 9
xy 1 в окрестности точки 30 x
10 xy ln в окрестности точки 30 x Разложить в ряд Маклорена 11
3 321x
y
12 x
xx
y
1
1ln1
13 xarctgy 14 xy 3cos1 15 xy 2sin 16
241x
y
17 x
y
11
18 2arcsinxy 19 xxy cos 20 22ln xy
227
ОТВЕТЫ
Глава 8
8.1. а) ;3)3;1(;34)1;2( zz б) .
611
31;
21;34
3;2
zz
8.2. а) ;922 yx б) ;xy в) ;xy г) ,1 xy х – любое;
д) ;22,22 yx е) ;11 yx ж) ;44,4,4 yxx
з)
0cos0x
y или ;
0cos0
xy
и) ;2 xy к) ;1,1 xyxy л) ;, xyxy
м) ;),3,2,1,0()12(2 22 nnyxn н) ;xy о) .0,5 yx
8.3. а) ;0,0,0 zyx б) ;0xyz в) ,1,1 yx ;1z г) .1222 zyx
8.4. а) )0(22 ccyx окружности; б) cxy 1c гиперболы или пара
прямых ;0,0 yx в) )0(4 22 ccyx – эллипсы; г) )0( ccxy – гипербо-
лы или пара прямых 0,0 yx ;)0( c д) 2cxy )0,0( xc – параболы с выколотой точкой (0; 0) или 0x )0( y – ось Оу с выколотой точкой (0; 0); е)
cyx 22 49 )0( c – гиперболы или пара прямых xy 32 , .)0(32 cxy 8.5. а) yxcz – плоскости в пространстве; б) yxcz – плоскости
в пространстве; в) )0(,222 cczyx – сферы; г) 22 yxcz – поверх-ности уровня. 8.6. а) 6; б) 27; в) – 4; г) – 1; д) е; е) 1 ж) предел не существует; з) предел не существует; и) 0; к) 0.
8.7. а) О (0; 0) – точка разрыва; б) 922 yx – окружность; в) xy – прямая; г) 0x или 0y – ось Ох и ось Оу; д) М (2; – 3) – точка разрыва; е) xy – прямая; ж) yxz – плоскость; з) 0x или 0y или 0z – коорди-натные плоскости.
8.8. а) ;33;33 22 xyyzyx
xz
б) ;)42cos()42sin(2 yxxyxxxz
;)42cos(4 2 yxxyz
в) ;
)3(
4;)3(
422 yx
xyz
yx
yxz
г) ;1
yyxxz
228
;ln xxyz y
д) ;4;3
2
4
xy
yz
x
yxz
е) ;cos
;cos
2
sinsin
yyxxe
yz
yyxe
xz
yx
yx
ж) ;22
322
yx
xyxz ;22
322
2
yx
xyz з) ;1
yaxctg
yxz
;2 3 y
axctgy
axyz
и) ;1;2 xy
z
x
yxz
к) ;
2
25
32
2
yx
yx
xz
;53
2
yx
xyyz л) ;
22 yx
yxz
;22 yx
xyz
м) ;sin2 2
yxx
xz
;cos2
2
y
xyz
н) ;)( 1
zxyyzxu ;)( 1
zxyxzyu ;)ln()( xyxy
zu z
о) ;ln zyzxu xy
;ln zxzyu xy
.)( 1
xyzxyzu
8.9. а) dxxyxdz
103 2 ;54 23 dyxy
б) ;32 2
dyxydxyxydz
в) ;342
22
dyxydxyx
xydz
г) ;2sin2sin dyydxxdz д) dxxydz y 12
;)ln1( dyxyx y е) ;3
33
22
yx
dyydxxdz
ж) ;1
dy
yxdx
yxdz
з) ;)(222 yx
dyxdxydz
и) ;2sin
2
dyyxdx
yxy
dz к) ;dzxydyxzdxyzdu
л) ;3
2333
222
zyx
dzzdyydxxdu м) .)( dzdyxzdxyzedu xy
229
8.10. а) 1,01; б) 0,272; в) 5,014; г) 9,26; д) 0,805; е) 4,40;
8.11. 2
39 . 8.12. 1. 8.13.
21 . 8.14.
33
. 8.15. 1368 . 8.16. ji 49 .
8.17. ji43
45
. 8.18. kji 236 . 8.19. 103arccos .
8.20. а) ;242 2 tttttdtdz
б) ;0dtdz в) ;
tt ee
dtdz
г) .1
3
112
433
44 2
2
22
2
t
tctgtt
tt
dtdz
8.21. а) ;1 22yx
xeydxdz x
б) ;)(4
22
yx
yxxdxdz в) ;)(1 xxe
dxdz y г) .21
3x
ydxdz
8.22. а) ;)2(2y
xyxuz
;)3(22y
xyxvz
б) ;sincos22 yx
vyvxuz
;)sincos(22 yx
vxvyuvz
в) ;1ln1
vxxvyx
uz yy
;ln2
1
v
uxxuyxvz yy
г) ;222 22 uyxxyxyuz
.222 22
yxxvyxyvz
8.23. а) ;54
23
yx
dxdy б) ;3
xy
dxdy
в) ;3
333
33
xy
yx
exe
eyedxdy
г) .
43
342
2
axy
xaydxdy
8.24. а) ;23
322
2
xz
xzxz
;23
32
2
xz
yyz
б) ;31
xz ;
32
yz
в) ;33
322 xyz
yzxxz
;33
3342 xyz
xzyyz
г) ;cossinsincosxzyxzy
xz
.cossin
cossinxzyzyx
yz
8.25. а) ;2
22
2
2
2
yx
xy
x
z ;22
2
2
yx
xyxz ;1
22
2
2
yxy
z
230
б) ;1
22
22
2
x
x
x
z ;02
yxz ;
1
22
22
2
y
y
y
z в) ;
23
2
2
2
2
yxy
y
x
z
;
23
2
2
yxy
xyyxz ;
23
2
2
2
2
yxy
x
y
z г) ;)1(
)1(232
2
x
y
x
z
;)1(
12
2
xyxz ;0
2
2
y
z д) ;)cos(2
2
yxx
z
;)sin()cos(2
yxxyxyxz
;)sin(
2
2
yxxy
z
е) ;)1( 2
2
2
2
x
y
x
z
;1
22
xy
yxz .)1ln(2
2
2
xy
z
8.26. а) 2
5
32 12 dx
x
yzd ;618 2
34
2
dyx
ydxdyx
y б) ;12 22
2
2 dyy
dxdyx
dxx
yzd
в) 22
22 yxezd
;12412 2222 dyyxydxdydxx
г) .cos
sin2sin2 2
3
22 dyydxxzdy
8.27. а) ;1)1;4(min z б) ;12)4;4(max z в) ;3)21;1(min z г) ;2)0;2(min e
z
д) ;3ln1810)3;1(min z е) ;1)0;1(min z ж) ;1)0;0(max z з) экстремума нет.
8.28. а) ;2)1;1(min z б) ;4)2;2(max z ;4)2;2(min z в) )1;1(minz
;1)1;1(min z ;1)1;1()1;1( maxmax zz г) .13102)
1312;
1318(min z
8.29. а) наибz33
2 при
32
x , 31
y , 33
2наимz при
32
x , 31
y ;
б) 13наибz при 2x , 1y (краевой максимум), 1наимz при 1 yx
(внутренний минимум) и при 0x , 1y (краевой минимум); в)
52;1 наимz , 113;2 наибz ; г) 112;3 наимz , 92;1 наибz ; д)
40;2 наимz , 63;3 наибz .
231
8.30. 3 2V , 3 2V , 3 25,0 V . 8.31. 4 3/2 Abl , 3/ , где l – боковая сто-рона трапеции, b – основание, – угол наклона боковой стороны, A – дан-ная площадь сечения. 8.32. 2/5hR , 2/hH , где R – радиус основания палатки, H – высота цилиндрической части, h – высота конической верхушки.
8.33. S2 , S2 , S2 . 8.34. 3/ SR .
Глава 9
9.1. .74221
51 2345 cxxxxx 9.2. .8ln7523 c
xxxxx
9.3. 3
31 x .12 c
xx 9.4. .
33
222 cxbabxxa
9.5. .42
3 43
32223 cxbxabbxaxa 9.6. .12 cxx
9.7. .2||ln231
61 2 c
xxxx
9.8. .232||ln 2 cxx
x 9.9. x1
.111753 cxxx
9.10. .35
251
35 c
xx
9.11. .213||ln3 2 cxx
xx 9.12. .14||ln7663 223 c
xxxxxx
9.13. .1||ln21
31 23 c
xxxx 9.14. .
212||ln32
21
22 c
xxxxx
9.15. .321 2 cxx 9.16. .
3232ln
121 c
xx
9.17. .55ln
521 c
xx
9.18. .24
1 cxarctg 9.19. .221 cxarctg 9.20. 2
21 x .
332 cxarctg
9.21. .11ln
25 c
xxx
9.22. .cxarctgx 9.23. .
11ln
21 c
xxx
9.24. .31 3 cxarctgxx 9.25. .ln
2c
axaxax
9.26. .
31 3 cxxxarctg
9.27. .||ln cxarctgx 9.28. .21
5123 223 cxxxx 9.29. xxxx
332
23 3
.5 cx 9.30. .1526 2 cxxx 9.31. .
43
32 3 cxxxx 9.32. .42 4 cxx
9.33. .ln6332 cxxxxx 9.34. .)4(
43 3 cxx
232
9.35. .2
387
3 27 c
xxx 9.36. .3
712
236
2
cxxxx 9.37.
.9242 2 cx
xx 9.38.
1242nxxn
.14
2 2
cnx n
9.39. .3
32 cxxa
9.40. .23arcsin
31 cx
9.41. xarctg3 .arccos7 cx
9.42. .2
arcsin322
5 cxxarctg 9.43. .8arcsin2 carctgxx
9.44. .arcsin3 cxx 9.45. .1ln5 2 cxxx 9.46. 23ln xx
.3
arcsin cx 9.47. .15 3 c
xex 9.48. .
21
2 cx
ex 9.49. .cxex
9.50. .2250ln
2250 cx
9.51. .3ln3
33
ce xx
9.52.
.3
5ln3
5
3ln3 c
xx
9.53. 7ln7
25x
.5ln5
7 cx 9.54.
.5ln5
3
152ln2
152
cx
x
9.55. .3
22ln
2 cxx
x
9.56. a
a x
ln.44 cx 9.57. .sin
21
21 cxx 9.58. .cxxtg
9.59. .cxxctg 9.60. .sin4cos3 cxx 9.61. .cos3 ctgxx
9.62. .sin78 cxtgx 9.63. .sin3 cxxxtg 9.64. .41
41 ctgxxctg
9.65. .21
21 cxtgxctg 9.66. .3cos2
31 3 cexx x 9.67. .43 cxctgxtg
9.68. .5cos32 cxxxctg 9.69. .21 cxxctg 9.70. .
21 ctgx
9.71. .21 cctgx 9.72. .cos cxx 9.73. .94 cxctgxtgx
9.74. .23 cctgxtgx 9.75. .)(21 cbctgxatgxc
9.76. .)(1 cbtgxactgxc
9.77. .)25(141 7 cx 9.78. .)21(
321 44 cx 9.79. .|53|ln
51 cx
9.80. .|35|ln61 2 cx 9.81. .
)1(41
22 cx
9.82. .33
1)9ln(23 2 cxarctgx
9.83. .3
123
2 cxarctg 9.84. .
32ln c
xx
9.85. .4
341 cxarctg
233
9.86. .1ln cxx
9.87. .|53|ln 2 cxx 9.88. 32ln x .23 2 cxx
9.89. .553
1 3
cxarctg 9.90. .)2(21 2 cxarctg 9.91. .
52
542 2
cxarctg
9.92. .12
1 cx
9.93. .7272 cx 9.94. .13)13(
92 cxx
9.95. .21)21(83 3 cxx 9.96. .1)1(
31 22 cxx
9.97. .3)3(41 3 33 cxx 9.98. .1 2 cx 9.99. .32
92 3 cx
9.100. .)1(23 3 2 cx 9.101. .221ln 2 cxxx
9.102. .21arcsin cx
9.103. .2
2arcsin cx
9.104. .5
34arcsin2
1 cx
9.105. .3
arcsin335 2 cxx 9.106. .133ln32
1 42 cxx
9.107. .1ln1 22 cxxx 9.108. .2
arcsin2 2 cxx
9.109. .493ln3149
92 22 cxxx 9.110. .1ln
31 63 cxx
9.111. .1
12
cx
9.112. xx 1)1(32 .1)1(
52 2 cxx
9.113. .)3(2)3(52 35 cxx 9.114. cxx 3)1()73(
152
9.115. .)1(92 33 cx 9.116. .)1(
31)1(
51 3252 cxx
9.117. 532 x .553553ln5 c
xx
9.118.
.2222ln
212
2
22 c
xxx
9.119. x2 .)1ln(2 cx 9.120.
.11ln212 cxx
9.121. 33 2 13)1(23
xx .11ln3 3 cx 9.122. .12 cxarctg
9.123. .3
9232 cxarctg
9.124. .33
2 cxarctg 9.125. .22ln
21 c
xx
234
9.126. cxx 33 )1(31)1(
31 9.127. .12 cxarctg 9.128. .11ln
2
cx
x
9.129. 442 xx .)1ln(4 4 cx
9.130. tttttt 4812835
1276 23457 2ln24 2t
.1,22
96 6 xtctarctg 9.131. .1
ln6 6
6c
xx
9.132. .
51 5 ce x
9.133. .3 33 ceexx
9.134. .21 2
ce x 9.135. .31 13
cex 9.136. .41 4
cex
9.137. .25ln
2510ln
1024ln
4 cxxx
9.138. .)7ln( cex 9.139. .4221 2 cxee xx
9.140. .66ln
641
2
2
ceex
x
9.141. .552
1 2
cearctgx
9.142. .|32|ln61 2 ce x
9.143. .sin ce x 9.144. .)1ln(51 5 cex x 9.145. .
1111ln c
eex
x
9.146. .2
22 cearctgx
9.147. .2 ce x 9.148. .
4arcsin2
2ce
x
9.149. .ln2
1x
x
eeee
ec
9.150. .)1(
34)1(
74 4 34 7 cee xx
9.151. .|ln|ln cx 9.152. .|ln3|ln cx 9.153. .)1ln2(81 4 cx
9.154. .|)13ln(|ln31 cx 9.155. .
ln1 cx 9.156. .)ln2(
32 3 cx
9.157. .|ln|lnln cx 9.158. 3)ln2(
32
x .ln24 cx
9.159. .2
1lnarcsin2lnln21 c
xxx
9.160. xln
.|2ln2ln|ln2ln cx 9.161. .2
sin2 cx 9.162. .3cos
31 cx
9.163. .)cos(1 bxab
c 9.164. .)sin(1 cbxab
9.165. .331 cxtg
9.166. .221 cxctg 9.167. .sin
21 2 cx 9.168. .)1sin(
31 3 cx
235
9.169. .6sin1214sin
81 cxx 9.170. .cos
215cos
101 xxc
9.171. .12sin2412sin
41 cxx 9.172. .3
3sin2
31 3
cx
9.173. .2
cos121 4
xc 9.174. .8sin3216sin
2414sin
1612sin
81 cxxxx
9.175. .sin31 3 cx 9.176. .cos
41 4 cx 9.177. .|cos|ln cx
9.178. .|sin|ln cx 9.179. .|2sin|ln21 cx 9.180 .|5cos|ln
51 cx
9.181. .cos51cos
32cos 53 cxxx 9.182. .sin
51sin
32sin 53 cxxx
9.183. .cos2 cx 9.184. xx 2sin41
165
.2sin4814sin
643 3 cxx
9.185. .23sin4814sin
6432sin
41
165
cxxxx
9.186. .4sin412sin|sin|ln cxxx 9.187. .|sin|ln2
214
41 cxxctgxctg
9.188. .|cos|ln21 2 cxxtg 9.189. .
sin21
2 cx 9.190. .
cos31
3 cx
9.191. .1sin cx 9.192. .2cos1ln cx 9.193. .
sincos2 cxx
9.194. .|2cos21|ln41 cx 9.195. .|cos31|ln
31 cx 9.196. .
cos2sin cx
x
9.197. .)cos31ln(31 2 cx 9.198. .|sin21|ln
21 cx 9.199. |sin|ln2 x
.2 cctgx 9.200. .|2sin|ln cx 9.201. .)2(cos cxarctg 9.202. cctgxx cos . 9.203. .cos32 cxctgx 9.204. .sin45 cxtgx
9.205. .cos21
2cx
bctgxba
9.206. .7
cosarcsin2
cx
9.207. .21coscosln
21 2 cxx 9.208. .53
52 xсosc
9.209. .cos21 cx 9.210. .sin32arcsin
21 cx
9.211. c .)sin74(143 3 2x 9.212. .
23 3 2 cxctg 9.213. .
32 3 cxtg
236
9.214. xx cossin2 .c 9.215. .cossin1 222222 cxbxaba
9.216. .)cos(ln cx 9.217. .2arcsin4141
41 22 xxc 9.218. .|arcsin|ln cx
9.219. .)( 2 cxarctg 9.220. .arcsin31 3 cx 9.221. .)1(2 cxe x
9.222. .)1( cxex 9.223. .)1( cex x 9.224. .)2( cex x
9.225. .)43(3 23 cxxex
9.226. .)53275(2 22 cxxex
9.227. .)4(2 cxe x
9.228. .)13(32 3 cxe x 9.229. .61613)1(4 44 314
cxxxe x
9.230. .91
31 33 cexe xx 9.231. .)14(
161 4 cxe x 9.232. .
)2(ln2
2ln2
2 cx xx
9.233. .)7(ln
77ln7
2 cx xx
9.234. .)(2 cabaxe x
9.235. .)12(4 32
2
cxnne xn
9.236. cxxex )22( 2 . 9.237. .)22( 2 cxxe x
9.238. .)21025(125
1 25 cxxe x 9.239. .)186(3 23 cxxex
9.240. .)522(41 22 cxxe x 9.241. xe2
21 .
31)1(2 3 cxxex
9.242. .31
212 232 cxxxexe xx 9.243. 23 3xxe x .66 cx
9.244. .)3664(81 232 cxxxe x 9.245. .)1(
21 22
cxex
9.246. .)663()663( 23123 cxxxexxxe xx
9.247. .)22(21 242
cxxex 9.248. .)212(2 1 cxxe x
9.249. )22(343
23
31 2223 xxeexee xxxx .
41 4 cx
9.250. .)cos(sin21 cxxex 9.251. .)3cos63(sin
372 2 cxxe
x
9.252. .)5cos55sin2(29
2
cxxe x
9.253. .)cossin2(5
2
cxxe x
9.254. .2
cos52
2sin
51
21 cxxex
9.255. .)22sin2(cos
8
2
cxxe x
237
9.256. .2cos2sin14 22
2
cba
bxabxba
e ax
9.257. .)3cos3sin3(10
cxxex
9.258. .sin)cos(sin)cos2(sin51 2 cxxxexxe xx
9.259. cxxe x
2cos4
2sin
172 2
. 9.260. .)cos()sin(21 222 ceee xxx
9.261. .)cos()sin(22 cbxabxbba
eax
9.262. .cos
21)cos(sin
21 cxexxxe xx
9.263. .5
arcsin252521 2 c
xxx
9.264. .24
6
)4(
162561
222 cx
arctgx
x
x
x
9.265. .21
)1(2 2 carctgxxx
9.266. .9ln9921 22 cxxxx
9.267. .7ln7721 22 cxxxx
9.268. .ln21 22222 caxxaaxx 9.269. .ln cxxx
9.270. xc .|2|ln)2( xx 9.271. .5ln cxxx
9.272. .)9ln()9( cxxx 9.273. .33ln
312)1ln( 2 c
xxxxx
9.274. .21ln21
2ln1 cxxx
9.275. .
41ln
21 22 cxxx
9.276. .413ln
21 22 cxxx 9.277. )1ln()1(
21 2 xx .
21
41 2 cxx
9.278. .32ln
32 3 cxx
9.279. cxxxxx 2
21)1ln()2( 22 .
9.280. .91ln
31 33 cxxx 9.281. .
91
3ln
31 33 cxxx 9.282. )2ln()8(
31 3 xx
.34
31
91 23 cxxx 9.283. .2
21
91ln2
31 2323 cxxxxxxx
9.284. .4
2789
41
161)3ln()81(
41 2344 cxxxxxx
9.285. xxx 2ln84
4
.8
16
4
cxx 9.286. .2ln2ln 2 cxxxxx
9.287. .213ln3ln
22
2
cxxx
9.288. .
89ln
23ln
43 23
4
cxxx
238
9.289. xxxxxxxx ln292ln
32322
3
.2
21
272 23 cxxx
9.290. .43
91ln
23
323
23
cxxxxx
9.291. cx
x )1(ln1
9.292. .)1ln2(41
2 cxx
9.293. .)12ln2(41
2 cxx
9.294. cxxx 43ln2 .
9.295. .14)1ln(12 cxxx 9.296. .49ln
23 3 23 2 cxxx
9.297. .2ln3ln49
278 2
3cxx
x
9.298. .)2ln2(ln1 2 cxx
x
9.299. .43ln
23ln
23ln
21 23
2 cxxxx
9.300. .ln)1ln(ln cxx
9.301. .2sin2cos2 cxxx 9.302. .cossin cxxx
9.303. x4sin161 .4cos
4cxx
9.304. .5cos525cos
55sin
251 cxxxx
9.305. .2sin412cos
23 cxxx
9.306. .sin)2(6cos)6(2 cxxxxx
9.307. cxxxxx cos2sin2cos2 .
9.308. .7cos34327sin
4927cos
7
2
cxxxxx
9.309. xxxx 2sin2cos2 .2cos2 cx
9.310. cxaxxxx 2cos)21(
412sin
22cos
2
2
.
9.311. )12(2
sin4 xx .)5(2
cos2 2 cxxx
9.312. )25918(3cos271 2xxx .)1(3sin
92 cxx
9.313. .sin6cos6sin3cos 23 cxxxxxxx
9.314. .cossin21 222 cxxx 9.315. .
2ln
sincxtg
xx
9.316. .sin2
12 cctgxx
x
9.317. cxctgxx |sin|ln)1( .
9.318. .66|6sin|ln361 cxxctgx
9.319. .)5cos(ln)5sin(ln2
cxxx 9.320. .
3lncos
3lnsin
2cxxx
239
9.321. .9
lncos9
lnsin2
cxxx
9.322. .)cossin(2 cxxx
9.323. .cos)73(2sin)7(2 cxxxxx 9.324. .cossin cxxx
9.325. .3cos913sin
3cxxx
9.326. xx 2sin)19(21
.2cos49 cx
9.327. .2
cos12
sin2
122 cxn
nxn
nx
9.328. xxxx cos2sin2 .sin2 cx
9.329. .)5sin25cos105sin25(125
1 2 cxxxxx 9.330. xx cos)14(
.sin)32( 2 cxxx 9.331. .sin2cos2sin 32
2
cxaxbaxxcbxax
9.332. .cos)12(3sin)133( 223 cxxxxxxx 9.333. .|cos|ln cxtgxx
9.334. .)4cos4sin48(321 2 cxxxx 9.335. .)(
21 2 cxtgxxtgx
9.336. .)2sin2)cos(sin42(41 2 cxxxxee xx 9.337. .)lnsinln(cos
2cxxx
9.338. .3
lnsin3
lncos2
cxxx
9.339. .))ln3sin(3)ln3(cos(
10cxxx
9.340. .21|cos|ln 2xxtgxxc 9.341. .1arcsin 2 cxxx
9.342. .42
arcsin 2 cxxx 9.343. .21arcsin
21 2 cxxxx
9.344. .42412arcsin
41 2 cxxxx
9.345.
.14
arcsin41
22
2
cxxxx
9.346. .91
123arcsin
361
22
2
cxxxx
9.347. .1911
49arcsin)3662(
61 2
223 cxxxxxxx
9.348. .arcsin12)2(arcsin 22 xxxxc 9.349. .2arcsin12 cxxx
9.350. .3arcsin31332 cxxx 9.351. .2
41
2sin2 2 cxctgx
x
9.352. .2
arcsin2224 cxxx 9.353. .)1ln(21
1arcsin 2
2cx
xxx
9.354. .42ln21
2arcsin1 2
cx
xxx
9.355. .1arccos 2 cxxx
9.356. .42
arccos 2 cxxx 9.357. .91313arccos 2 cxxx
240
9.358. x .1
arccos cxarctgxxx
9.359. .1)11(91arccos
322
3
cxxxxx
9.360. .212arccos2 cxxx 9.361. .14arccos12 cxxx
9.362. .2arccos12 cxxx 9.363. .arccos1 2 cxxx
9.364. .)1ln(21 2 cxarctgxx 9.365. .)25ln(
25
52 cxxarctgx
9.366. .)361ln(1216 2 cxxarctgx 9.367. .)1( cxxarctgx
9.368. .122112)1( cxxarctgx 9.369. .
21)1(
21 2 cxarctgxx
9.370. .1819)181(
1621 2 cxxarctgx 9.371. .
2)(
21 22 cax
axarctgax
9.372. .61)1ln(
65)6(
31 223 cxxarctgxxx 9.373. .2
2)4( cxxarcctgx
9.374. .2
222322
2
cxarctgxxxxarcctgx 9.375. 1
22
2
xarcctgx
.121 2 cx 9.376. .
4)41ln(2)1324(
81 22 cxxxarcctgxx
9.377. .|7|ln cx 9.378. .|3|ln cx 9.379. .|21|ln23 cx
9.380. x2|ln25
+ .|3 c 9.381. .1111
1 cxarctg 9.382. .44ln
161 c
xx
9.383. .33ln
181 c
xx
9.384. .113
331 cxarctg 9.385. .
192192ln
3821 c
xx
9.386. .3ln31 c
xx
9.387. .
4ln
81 c
xx
9.388. .7
ln71 c
xx
9.389. .2
1 cx
9.390. .5
1 cx
9.391. .2121ln
221 c
xx
9.392. .23ln
51 c
xx
9.393. .22432243ln
2221 c
xx
9.394. .19ln
101 c
xx
9.395. .322322ln
341 c
xx
9.396. .21ln
31 c
xx
9.397. .1636ln
81 c
xx
9.398. .31ln
41 c
xx
9.399. .6313ln
51 c
xx
9.400. .10272ln
171 c
xx
241
9.401. .3
331 cxarctg
9.402. .785
72 cxarctg
9.403. .23
34232 cxarctg
9.404. .5
125
2 cxarctg 9.405. .
)1(2ln 3 c
xx
9.406. .|1|ln21
512512ln
521 2 cxx
xx
9.407. |84|ln21 2 xx –
.322322ln
341 c
xx
9.408. .
6ln
61|6|ln
21 2 c
xxxx
9.409. 22|ln41 x
– .72227222ln
1425|18 c
xxx
9.410. .
)2(
)3(ln 2
3
cx
x
9.411. ||ln
32 x
– .|3|ln35 cx 9.412. .
1)2(ln
3
cxx
9.413. .32)1(ln cxx 9.414. 2|ln21 x
– .24ln|82 c
xxx
9.415. .
31
21)102ln(
45 2 cxarctgxx
9.416. 22|ln
41 x
+ .5
1252
9|32 cxarctgx
9.417. .2
125|52|ln
21 2 cxarctgxx
9.418. .23
12233|6|ln
21 2 cxarctgxx
9.419. .)74ln(
21 2 cxx
9.420. .14
131435)523ln(
61 2 cxarctgxx
9.421. )84ln(
23 2 xx
– .2
225 cxarctg
9.422. .4
11020)17,02,0ln(8 2 cxarctgxx
9.423.
53ln32
xx .|158|ln3 2 cxx
9.424. .2
1552)125ln(
101 2 cxarctgxx
9.425. .3
1265)522ln(
45 2 cxarctgxx
9.426. )2910ln(
21 2 xx
– .2
55
11 cxarctg
9.427. .3552
3251
255)5(ln
1501
2
2
cxarctgxx
x
9.428. .322
3161
164)4(ln
961
2
2
cxarctgxxx
9.429. .4
||ln41
2c
xx
242
9.430. .)2(2
12 c
x
9.431. .|13|ln
113|32|ln
332||ln
31 cxxx
9.432. .334
1)3ln(81|1|ln
41 2 cxarctgxx 9.433.
43|1|ln
81
2 xxx
– .7
3278
5 cxarctg 9.434. .
)1(31
12ln
91 c
xxx
9.435. .12ln
)1(21 c
xx
x
9.436. .
)32(41
2 cx
9.437. .11ln
41
21 c
xxxarctg
9.438.
2221
21 xarctgx
+ .c
9.439. .41
33ln
381 carctgx
xx
9.440. .)2(16
116
12
ln161 c
xxxx
9.441. .33ln
3101
2251 c
xxxarctg
9.442. |1|ln
261|3|ln
581 xx
+ .2
275411)84ln(
3774 2 cxarctgxx
9.443. .
42
2161
2 cxxxarctg
9.444. .9
3354
12 cxxxarctg
9.445. .
43ln
701
12ln
301 c
xx
xx
9.446. .2
1161
)52(89
2 cxarctgxx
x
9.447. .)1(22
241
2 cxarctgxx
x
9.448. .3
1181
)102(61
)102(29
22 cxarctgxx
xxx
9.449. 2
1321
xarctg – .
)52(169
2 cxx
x
9.450. .3
323
13)33(6
72392 cxarctg
xxx
9.451. x1
+ .3
123
1)1(
1ln61
2
2
cxarctgxxx
9.452 .1
ln)1(3
132
6.12 c
xx
xxx
9.453. .
661
)6()10(
961
22
2
cxarctgxxx
243
9.454. .55
3)5(
)253(2001
22
2
cxarctgxxx
9.455. .)3(3)106(
)32183)(3(81
22
2
cxarctgxx
xxx
9.456. |1|ln23
x – .|3|ln21|2|ln2 cxx 9.457. .
)4)(1()3(ln
21
4
5
cxx
x
9.458.
1)2(ln
51
2
2
xx – .9 carctgx
9.459. .
21
||52ln
23 2
cxarctgxxx
9.460.
||36ln
61 2
xx + .
6cxarctg
9.461. .7||
49ln71 2
cxarctgx
x
9.462. ||
9ln31 2
xx
– .33
1 cxarctg 9.463. .323ln
91 c
xxx
9.464. cxarctgxx
x
)1(
23
22||ln
21
2. 9.465. .
1912
191 2
cxarctg
9.466. |2|ln1213|2|ln
41|1|ln
34 xxx .c 9.467. .
321
13ln5 c
xxx
9.468. .12ln 2
2
cxx
9.469.
282
)2(42
2xarctg
xx .c
9.470. .11ln 2 cxx
xx
9.471. .
222ln
41
2 cx
xx
x
9.472. .43ln
23
2
2
cxx
9.473. .33
122
1232ln
21
2
2
cxarctgxarctgxx
9.474.
11ln
21
2
2
xxx
– .3
123
1 carctgxxarctg 9.475. .
51ln
161
2
2
cxx
9.476. .)1(2
12 cx
9.477. .)1(4
1|1|1ln
41
2
2
cxx
xx
9.478.
)1(4)1(41
|1|1ln
41
2
2
xx
xxx
– .41 carctgx 9.479. .
41
11ln
81 carctgx
xx
9.480. .)1(
1ln 3 cxxx
9.481. 1
2x
+ .|)1(|ln cxx 9.482. .|2|ln47||ln
121|3|ln
617 cxxx
9.483. )1(4
3x
– .|2|ln97|1|ln
920 cxx
244
9.484. .27
77275|20147|ln
27 2 cxarctgxx
9.485. .)4ln(41|1|ln
21 2 cxx
9.486. |2|ln23)1ln(
41 2 xxx
312
321 xarctg .c
9.487. .|4|ln5|1|ln4|3|ln7 cxxx 9.488. .)4()1(
)2(ln 53
7
cxx
x
9.489. .4
82
224ln4 c
xxxx
9.490. 23
2 xarctg .31 carctgx
9.491. .4
3)4(2
1324ln2 2 c
xxxx
9.492. .)1(12
1464
2
cxxx
9.493. .2
127
22
524ln4 2
2
cxarctgxarctgxx
x
9.494. .2
123
1 3
cxarctg
9.495. .)2(2
15)54ln(21
)54(2113 2
2 cxarctgxxxx
x
9.496. )2ln(21 2x .
223)4ln(
223 2 cxarctgxxarctg
9.497. .|2|ln3|1|ln2)1(2
12 cxx
x
9.498. .3
234)134ln(
231 2 cxarctgxx
x
9.499.
|1|ln41
)1(42
2 xxx .)1ln(
81 2 carctgxx
9.500. .43)1ln(
41
)1(41 2 carctgxxx
9.501. .|2|ln)2(2
12 cx
x
9.502. .
223
14)4)(1(ln 2 cxarctgx
xx
9.503. .1)1(ln11
21 2
2 cxxxx
9.504. cxarctgxx
xx
312
38
112|32|ln 2 .
9.505. .)1(16
32103571657
22
24
cxxxxarctgx
9.506. .|32|ln
41
23 cxx
9.507. .|1|ln2
2
cxxx 9.508. .|3|ln103
2
2
cxxx
245
9.509. xx2
2
.|4|ln10 cx 9.510. .|5|ln1852
2
cxxx
9.511. .|5|ln62
2
cxxx 9.512. .|1|ln
21|3|ln
29 cxxx
9.513. .7
327
9)43ln(25 2 cxarctgxxx
9.514. .15
52155)105ln(
25 2 cxarctgxxx
9.515. .|1|ln21
31 23 cxxxx
9.516. .|1|ln3232 23 cxxxx 9.517. .|1|ln
21
22
2
cxx
9.518. 2
21 x .
221)2ln(
233 2 cxarctgxx
9.519. .|1|ln43|5|ln
41517
21 2 cxxxx
9.520. .)1ln(21
21 22 carctgxxx
9.521. .|3|ln445|1|ln
414
21 2 cxxxx
9.522. .)1(
||ln42 8
2
cxxxx
9.523. .3
1232
2
cxarctgx
9.524. ||ln23 xx – .1ln 2 cx 9.525. .2|1|ln3||ln2 cx
xxx
9.526. .3
3
carctgxxx 9.527. .
284
3
3
cxarctgxx
9.528. .83
3
carctgxxx 9.529. arctgxx
2
2
.|1|ln cx
9.530. .38
2733ln
43 cxarctg
xxx
9.531. |2|ln32
12921 2 xx .
)2(1633|2|ln
32127
)2(1631 c
xx
x
9.532. .)2()2(ln4
21
31
3
5223 c
xxxxxx
9.533. .21|2|ln
3231|2|ln
3233)4ln(
2161 22 cxxxxxarctg
246
9.534. .24
141 cxtgarctg
9.535. .22
36
1 cxtgarctg
9.536. .27
2141 cxtgarctg
9.537. .
65
3021 ctgxarctg
9.538. .53
22
532
2ln
51 cxtg
xtg
9.539. .
3372
4
3372
4ln
331 cxtg
xtg
9.540. .11
52
6
112 c
xtgarctg
9.541. .42
cxtg
9.542. .12
ln cxtg
9.543. .32
2ln
31 cxtg 9.544. .
32
9
2 cxtg
9.545. .532
27
5322
7ln
531 cxtg
xtg
9.546. .31
12
4
311 c
xtgarctg
9.547. .
74
2ln
71 cxtg
9.548. .1421
25
14212
5ln
1421 cxtg
xtg
9.549. .
32
)74(
2 cxtg
9.550. .51
22
5
511 c
xtgarctg
9.551. .
23
2 cxtg
9.552. .103
2
1032ln
101 cxtg
xtg
9.553. .
242
1 cxtg
9.554. .325
2
3252ln
321 cxtg
xtg
9.555. .
32
32
3
321 c
xtgarctg
9.556. .28
12
ln41 2 cxtgxtg 9.557. .
21
4 cxxtg
247
9.558. .2
343
2 cxxtg
9.559. .221
2cos21 cxxtgx
9.560. .2
5301
25
101 3 cxctgxctg 9.561. .
2121ln
221 c
tgxtgx
9.562. .322
341 cxtgarctg 9.563. .
34sin
323
81 cxx 9.564. .)2( ctgxarctg
9.565. .|2cos42sin|ln136
1|2sin|ln81
171 cxxxx
9.566. .31 3 cxctg 9.567. .
2sin
34sin
161 3 cxxx
9.568. xtgxtg 51515
52 3 .
551 cxtg 9.569. .||ln1
41
24 ctgxxtgxtg
9.570. .||ln2)(21 22 ctgxxctgxtg
9.571. .3
12
2
332
122
12ln
3 2
32
c
xtgarctg
xtgxtg
xtg
9.572. .3
235
2 5 ctgxxtg 9.573. .4
16 4 cxtg 9.574. .1434ln
161 c
tgxtgx
9.575. .)21(2
1 cxtg
9.576. )1sin( x .)1(sin
31 3 cx
9.577. .)(sin6sin
2sin cxarctgx
x 9.578. .)32(sin31)32sin(
21 3 cxx
9.579. .3sin61|3sin|ln
32
3sin61 2
2 cxxx
9.580. .1
2sin2
12
sin2ln
83
2sin
21 cx
xx
9.581. .2sin12sin1ln
81
2sin41 c
xx
x
9.582. .
2sin
21
2sin2
2sinln2 42 cxxx
9.583. .sin1sin1ln
21)(sin
21 c
xxxarctg
9.584. .sin
31sin2
sin1 3 cxxx
9.585. .sin|sin|ln cxx 9.586. .3
sinsin3
cxx
9.587. .2
5sin52
2sin
34
2sin2 3 cxxx
248
9.588. xxx 4sin2034sin
414sin
41 53 .4sin
281 7 cx
9.589. .2sin2sinln
221sin c
xxx
9.590. .
3sin3
3sin
3 cxx
9.591. .2cos2
1 cx 9.592. .
3cos121
4 cx 9.593. .|cos|lnsin
21 2 cxx
9.594. .2cos
12cos21 c
xx
9.595. .
2cos6
1
2cos8
1268
cxx
9.596. xcos21 .
1cos21cos2ln
223 c
xx
9.597. .ln41
2sin42cos2 ctgxxx
9.598. xx cos3cos21 2 .|3cos|ln8 cx 9.599. .
sin81
sin61
86 cxx
9.600. .||ln ctgxtgx 9.601. .261 3 cxtg 9.602. .5ln
51 c
tgxtgx
9.603. .3
221
34 c
xtgarctgx
9.604. .
cos21||ln 2 cx
tgx
9.605. .
2sin2
12
ln22
cxxtg
9.606. ||ln2 tgx .)(21 22 cxctgxtg
9.607. .3
3sin
1ln3 cxctgx 9.608. xx
xx
2sin162cos3
2sin82cos
24 .22sin
1ln163 cxctg
x
9.609. .sin
1ln165
sincos
165
sincos
245
sin6cos
246 cctgxxx
xxx
xx
9.610. .22cos
1ln21 cxtg
x 9.611. .
44
cos
1ln2
4cos
4sin2
2cxtgxx
x
9.612. 2
ln21 xtg .
42ln
21 cxtg
9.613. .5cos
1019cos
181 cxx
249
9.614. .2
5cos51
27cos
71 cxx
9.615. .5cos10111cos
221 cxx
9.616. .)52cos(41)510cos(
201 cxx
9.617. .6
11cos223
67cos
143
65cos
103
6cos
23 cxxxx
9.618. .10sin2016sin
121 cxx 9.619. .10sin
2014sin
81 cxx
9.620. .3
5sin103sin
21 cxx 9.621.
56sin
121 x .
5cos
21 cx
9.622. .1258sin
161
42 cxx
9.623. .10
12sin241 cx
9.624. .41
32sin
41 cxx
9.625. .
42
42sin
41 cxx
9.626. x13sin261 .7sin
141 cx 9.627. .
20sin10
209sin
910 cxx
9.628. .4sin818sin
161 cxx 9.629. .
4sin
43sin
31
45sin
51
47sin
71 cxxxx
9.630. .4cos81
62sin
41 cxx
9.631. .
103
34sin
83
1032sin
43 cxx
9.632. .)38sin(161)14sin(
81 cxx 9.633. .
52sin
45
21 cxx
9.634. .16sin321
21 cxx 9.635. .
326sin
121
21 cxx
9.636. .3
8sin161
21 cxx
9.637. .4sin
321
81 cxx
9.638. 2
sin81
161 xx .
4sin
61 3 cx
9.639. .12sin9616sin
121
83 cxxx
9.640. .8sin6414sin
81
83 cxxx
9.641. .16sin128
14sin32110sin
4016sin
241
4cxxxxx
9.642. xx 4sin128
1128
3 .8sin1024
1 cx
9.643. .4sin1218sin
1634sin
25 3 cxxxx
250
9.644. xx 2sin41
12835 .8sin
102412sin
2414sin
1287 3 cxxx
9.645. .2sin4814sin
641
161 3 cxxx 9.646. .
27sin
72
2sin
54
2sin
32 53 cxxx
9.647. 5 185 8
3sin
915
3sin
815 xx .
3sin
2815
5 28 cx 9.648. .sin
51sin
31 53 cxx
9.649. .5
sin75
5sin 75 cxx
9.650. .sin91sin
72sin
51 975 cxxx
9.651. .sin101sin
41sin
61 1086 cxxx 9.652. .cos
51 5 cx
9.653. .coscos31 3 cxx 9.654. .4cos
1214cos
201 35 cxx
9.655. .2cos2cos103
2cos23 3 2
3 cxxx
9.656. .16cos716cos
21 23 cxx
9.657. .2
sin31 6 cx
9.658. .|cos|ln1cos2
12 cxx
9.659. .4
221 cxxtg
9.660. .|2cos|ln
212
41 2 cxxtg
9.661. .|5sin|ln515
101 2 cxxctg 9.662. .
66
62 3 cxtgxtgx
9.663. .31
51 35 cxctgxxctgxctg
9.664. xtg6
61 .|cos|ln
21
41 24 cxxtgxtg
9.665. xctgxctgxctgxctgx 2212
612
1012
141 357 .
23 c
9.666. .91
72
51 975 cxtgxtgxtg 9.667. .2
722
52 75 cxtgxtg
9.668. .3 3 cctgx 9.669. .51515
51 3 cxctgxctg 9.670. .7
717
211 3 cxtgxtg
9.671. .25
223
42
2 53 cxtgxtgxtg 9.672. .21012
312
21 53 cxctgxctgxctg
9.673. .)cos1(562cos2cosln
51|cos1|ln
52 2 cxarctgxxx
9.674. .cos382sin3cos147 3 cxxxx
9.675. .3sin986sin3sin
3147 3 cxxxx
251
9.676. .2sin49sin6
211 cxxx 9.677. .
2ln cxxtg
9.678. .coscos
1 ctgxxx
9.679. .221|2sin|ln cxctgx
9.680. .cos9sin2581 22 cxx 9.681. xsin
21 .
82ln
221cos
21 cxtgx
9.682. 22
cos22
cosln54
2cos1ln
54 2 xxx .
2cos1
512 cxarctg
9.683. 1) .sin165sin
245sin
61cos
165 35 cxxxxx
2) .cos165cos
245cos
61sin
165 35 cxxxxx
9.684. .41132
13ln 2 cxxx 9.685. .842ln 2 cxxx
9.686. .842ln 2 cxxx 9.687. .)13arcsin(3
1 cx
9.688. .3
1arcsin cx
9.689. 1112225 2 xx .
21163ln
213 2 cxxx
9.690. .arcsin1313 2 cxx 9.691. .)5arcsin(1324103 2 cxxx
9.692. |1|ln21|1|ln 2 ttt .
24,
312
33
3
xxtctarctg
9.693. .1
ln6 6
6c
xx
9.694. .23)12(
61 3 cxx
9.695. .152ln2352
23)52(
43)52(
21 333 2 cxxxx
9.696. |3|ln x .3631ln3 63 cxarctgx
9.697. .1,76
23
56
83 6741016 xtctttt
9.698. .7,|1|ln34
34 433 xtctt
9.699. .)1ln(6632 663 cxxxx
252
9.700. .23232)2(53 666 5 cxarctgxxx 9.701. .
213
4
43
c
xx
9.702. .57
283
57
163
37
34
cxx
xx
9.703. .)1(2
323 c
x
9.704. .3
1323
232
)13(ln2
cxarctgxx
x
9.705. 63 5235223 xx
.152ln3 6 cx 9.706. .127ln3273272327 663 cxxxx
9.707. .129ln229229 44 cxxx 9.708. .)16()1(52 3 2 cxx
9.709. .12)1(31 cxx 9.710. .)143()3(
51 3 2 cxx
9.711. 62 x .2
62 cxarctg
9.712. .)11ln(12
)1(43 3 43 4
3 24
cxxx
9.713. .32)32(31 22 cxxxx 9.714. .)23(
152 22 cxaaaxx
9.715. .5
arcsin5521 2 cxxx
9.716. .
2arcsin2
21 2 cxxx
9.717. .23arcsin76)3(
21 2 cxxxx
9.718. 225)1(
21 xxx
.61arcsin3 cx
9.719. .
72arcsin743)2(
21 2 cxxxx
9.720. .23)21)(1(41
21arcsin2 22 cxxxxxx
9.721.
22arcsin2 x
.4)24)(2(41 22 cxxxxx 9.722.
.)12(71)12(
52 7252 cxxxx
9.723. .)24(71)24(
52 7252 cxxxx 9.724. .
13643
2c
xxx
9.725. .)2(2
)1(36
12 cxx
xarctg
9.726. .)86(2
)3(36
12
cxx
xarctg
253
9.727. .)3(9 32
3
cx
x
9.728. .
)6(108 52
3
cx
x
9.729. .
)22(3)1(
52
3
cxx
x
9.730. .21arcsin
211
2cx
xxx
9.731. .22arcsin
242
2cx
xxx
9.732. .222
caxa
x
9.733. .
)1(6)12(
3
32
cxxx
9.734. xxx 21ln 2
.22
42
cxxx
9.735. .
1421514215ln
1541
2
2
cxxxx
9.736. cx
xx
5
)2
)1(4528(
5
9.737. .221ln12441244ln
221 2
2
2
cxxxxxxxxx
9.738. .1ln11 22
cxxxx
9.739. ""и1 при""
11arcsin
xcx
.1при x 9.740. .332 c
xx
9.741. .12 c
xx
9.742. .11
112 c
xx
9.743. .5622
1ln2
cxxx
x
9.744. .11
ln2
cxx
9.745. .242
21 2
cxx
9.746. .2 cx
x
9.747. .)1(3
arcsin cxx
9.748. .31 c
xx
9.749. .3
240285ln2
cx
xxx
9.750. 32112
11ln21 2 xxx .32113 2 cxx
9.751. .2
4422ln2221ln2
2 cx
xxxxxx
9.752. .3
4arcsin13785 2 cxxx
9.753. 7525ln3 2 xxx .
)2(2752ln
2
cx
xx
254
9.754.
2ln)3(2
11082ln22
xx
xxx .542 cxx
9.755. .1,3
123
1121ln
61 3 3
2
2
xxtctarctg
tttt
9.756. .132
1111ln
31 4 3
4 3
4 3
cxarctgxx
9.757.
.11
1ln3333 c
x
xx
9.758. .|)2(|
1)2(1ln31
3
23
cxx
9.759.
.11
1ln2
3333 c
x
xx
9.760. .3332
133133ln
31 4 23
4 23
4 23
cxxxarctgxxxxxx
9.761. .4
)2(2
3 23
cxx
9.762. .1
212
2
cxxx
9.763. .
32934
2
2
cxx
9.764. .7549
7102
2
cxx
9.765. .)2(4
)6126(2
3 223
cxxxx
9.766. .1)2(311ln3
21 222 cxxxx
9.767. .21,3
12321
|1|ln26 32
xtctarctgtt
tt
9.768. .1)12(32)12(
51124 2 cxxx
9.769.
84 112
1
x .
119
494
cx
9.770. .111ln41
4
4
2
4
cxx
xx
9.771. .5
)41(5
3 53
cxx
9.772. .1,176
58
1336
1124
32 6171513119 xtcttttt
9.773. .35101
3
34
cx
9.774. .31
8131
141 3
43 23
73 2 cxx
9.775. cxxarctg
xxxx
4 4
4 4
4 4 121
11ln
41 .
255
Глава 10
10.1. .21 10.2. .
31 10.3. .1e 10.4. .
2740 I 10.5. .53 I 10.6. .10 I
10.7. .1612 I 10.8. .4 4I 10.9. .3272
I 10.10. .
31 10.11. .
41
10.12. .)2(5
10.13. .6ln65,17 10.14. .
3218 10.15. .5,4 10.16. .14
631 7
10.17. 60. 10.18. 36. 10.19. 32,5. 10.20. .3
16 10.21. .3
19 10.22. .231
10.23. 2. 10.24. .2ln45,2 10.25. .5ln2 10.26. .2ln75,5 10.27. .81
10.28. .34ln 10.29. .
312 10.30. .
612 10.31. .
324 10.32. .
12
10.33. .25ln
41 10.34. .
20 10.35. .
151ln
41 10.36. .
71arctg 10.37. .3ln
10.38. .8 10.39. .
251ln
31 10.40. .
16 10.41. .
62 10.42. .
6
10.43. .22
10.44. .5152ln
10.45. .6 10.46. 1. 10.47. 1. 10.48. .1
61 3 e
10.49. .2ln
7 10.50. .3ln3
4 10.51. .155ln2
1 2
10.52. .199ln
9 3 10.53. )1(2 e .
10.54. .ee 10.55. .eee 10.56. .4
earctg 10.57. )1(151 6 e .
10.58. .34ln 10.59. .
4 10.60. .
31 10.61. .122
43 3 10.62. 0. 10.63. .
21
10.64. .8
2 10.65. .2 10.66. 1. 10.67. .
213 10.68. .
31
10.69. .20
10.70. .32 10.71. .
1225 10.72. .
32 10.73. .
83 10.74. .
163 10.75. 0. 10.76. .
10.77. .31 10.78. .
31 10.79. 0. 10.80. 0. 10.81. .155
83 3 10.82. .
1433
10.83. .3ln 10.84. .218 10.85. .2sin 10.86. .24 10.87. .
32
2 10.88. .2ln
10.89. .3
4 10.90. .1514 10.91. .
15506 10.92. .22 arctg 10.93. .)2ln1(
32
256
10.94. .2ln24 10.95. .137233321 10.96. .
33 10.97. 0,553. 10.98. .62
10.99. .4
3 10.100. .4
7 10.101. .128
3 10.102. 0,733. 10.103. .
4
10.104. .8 10.105. 0,4772. 10.106. .36 10.107. .15
2116
10.108. .25112ln 10.109. Положить .
22;sin2 2
tx 10.110. .
121
23ln
21
10.111. Положить .2;sin4 2 tx 10.112. .612ln
32
10.113. .3
2 10.114. .2x
10.115. Положить .4
)2(;sin2
atax 10.116. .232ln
25 10.117. .
631arcsin
10.118. .2
23 10.119. .6
17 10.120. .26 10.121. .9
727ln 10.122. .4
1
10.123. .33 10.124. .4 10.125. .23
3
10.126. .12ln2
10.127. .3122ln
10.128. .72
3 10.129. .12 10.130. .42
1
earctg
10.131. .4 10.132. .2
1ln42
eearctg 10.133. .
22 10.134. .
4
10.135. .9
34 10.136. .6
12
12
1
arctgarctg 10.137. .
21
10.138. .5
15
2 arctg 10.139. .53
10.140. 0,074. 10.141. .4ln32
10.142. .33
10.143. .91 10.144. .
232 10.145. .1247
163 3
10.146. .3510
43ln
10.147. .34ln 10.148. 0. 10.149. 0. 10.150. 0.
10.151. .4
2e
e 10.152. .322 e 10.153. –2,437. 10.154. 2/2/
52 ee .
10.155. 4
1e . 10.156. .10
13 e 10.157. 161 2/ e . 10.158.
1346 e .
10.159. –8,258. 10.160. 8,389. 10.161. .12ln2 10.162. .12 e
257
10.163. .2816ln3
128 10.164. 1,2585. 10.165. .
956
32ln64 10.166. 1,123.
10.167. .12/ e 10.168. .2518
2 10.169. .
49 10.170. .18
2 10.171. 1
2
10.172. .16 10.173. .4 10.174. 0,089. 10.175. 384
3 .64 10.176. .9616 3
10.177. .22ln
4
10.178. .9
sin6 10.179. 3
4 .125ln2 tg
10.180. .32
334
10.181. .
21 10.182. .13
65
10.183.
38 .32
10.184. 1,349. 10.185. 0,916. 10.186. 0,693. 10.187. 2,320. 10.188. 0,882. 10.189. 0,69377. 10.190. 0,56078. 10.191. 0,46442. 10.192. 0,40551. 10.193. 0,36231. 10.194. 0,32906. 10.195. 0,30257. 10.196. 0,28089. 10.197. 0,26280. 10.198. 0,24744. 10.199. 0,78458. 10.200. 0,23176. 10.201. 0,10723. 10.202. 0,06124. 10.203. 0,03948. 10.204. 0,02752. 10.205. 0,02027. 10.206. 0,01554. 10.207. 0,01229. 10.208. 0,00996. 10.209. 0,84259. 10.210. 0,45261. 10.211. 0,31055. 10.212. 0,23661. 10.213. 0,19119. 10.214. 0,16043. 10.215. 0,13821. 10.216. 0,12140. 10.217. 0,10824. 10.218. 0,09766. 10.219. 0,949. 10.220. 0,6938. 10.221. .37n 10.222. .12n 10.223. .48n 10.224. .24n 10.225. .18n
10.226. .25n 10.227. .13n 10.228. .13n 10.229. .1)6(;31
10.230. .068,0)8(;265,5 10.231. .1)6(;91 10.232. ;5,25 .61)8(
10.233. .6001)10(;1399,3 10.234. .0088,0)8(;916,0 10.235. .с/м25,83 3Q
10.236. .м239 2 10.237. .21 10.238. Расход. 10.239. .
2 10.240. .
4 10.241. .
10.242. . 10.243. Расход. 10.244. Расход. 10.245. .31
2 10.246. .2ln32
10.247. .33
2 10.248. 11
11
a если ;1 расход., если .1 10.249.
11n
,
если 1n ; расход., если 1n . 10.250. 4 . 10.251. Расход. 10.252. .2ln1
10.253. .3
2 10.254. .3 10.255. .104 4 10.256. Расход. 10.257. Расход.
258
10.258. .6 10.259. .
82 10.260. 2. 10.261. .2ln 10.262. 1. 10.263. .
31
3e
10.264. 1. 10.265. .2ln
12 10.266. Расход. 10.267. 1. 10.268. Расход. 10.269. .
21
10.270. 16. 10.271. 0,012. 10.272. .22ln
4
10.273. .8
2 10.274. 0,31. 10.275. .52
10.276. Расход. 10.277. Расход. 10.278. Расход. 10.279. 0,14. 10.280. .12
10.281. ;0 если ,1p
p расход., если .0p 10.282. Сход. 10.283. Расход.
10.284. Расход. 10.285. Расход. 10.286. Сход. 10.287. Сход. 10.288. Расход. 10.289. Сход. 10.290. Сход. 10.291. Сход. 10.292. Сход. 10.293. Сход. 10.294. Сход. 10.295. Сход. 10.296. Сход. 10.297. Расход. 10.298. Расход. 10.299. Сход. 10.300. Расход. 10.301. Сход. абс. 10.302. Сход. 10.303. Сход. абс. 10.304. Расход. 10.305. Сход. 10.306. Сход. абс. 10.307. 2. 10.308. .3ln2
10.309. .263 10.310. 6. 10.311. . 10.312. . 10.313. 1. 10.314. .2 10.315. .
316
10.316. 22 . 10.317. .1325 5 10.318. – 1,768. 10.319. 7,712. 10.320. .
49
10.321. .187625 10.322. 0. 10.323. 4а. 10.324.
2a . 10.325. .
38 10.326. .
3
10.327. .23 10.328. .1254 10.329. .
15256 10.330. .
2ln1 10.331. –1. 10.332. .
91
10.333. .2e
10.334. .41 10.335. .
8
2 10.336. .8
3 2 10.337. .23 10.338. ,
11
;1 если Расход., если .1 10.339. Расход. 10.340. Расход. 10.341. Расход. 10.342. Расход. 10.343. Расход. 10.344. Расход. 10.345. Расход. 10.346. Расход. 10.347. Расход. 10.348. Расход. 10.349. Расход. 10.350. Сход. 10.351. Сход. 10.352. Расход. 10.353. Сход. 10.354. Расход. 10.355. Расход. 10.356. Расход. 10.357. Расход. 10.358. Расход. 10.359. Сход. 10.360. Сход. 10.361. Сход. 10.362. Сход. 10.363. Сход. 10.364. Расход. 10.365. Расход. 10.366. Расход. 10.367. Расход. 10.368. Сход. абс. 10.369. Сход. 10.370. Расход. 10.371. Сход.
10.372. Расход. 10.373. Расход. 10.374. Расход. 10.375. Расход. 10.376. .34
10.377. 121,5. 10.378. .3
32 10.379. .34 10.380. .
310 10.381. .
29 10.382. .
332
259
10.383. .29 10.384. .
281 10.385. .
61 10.386. 9. 10.387. 9. 10.388. .
34 10.389. .
31
10.390. 4,5. 10.391. .32 10.392. .
37 10.393. .
6328 10.394. .
38 10.395. .
31
10.396. 9. 10.397. .35 10.398. .
47 10.399. .
364 10.400. .
34 10.401. .
6125 10.402. .
34
10.403. .67 10.404. .
38 10.405. .
98 10.406. .
61 10.407. .
61 10.408. .
382
10.409. .158 10.410. 13. 10.411. .
12125 10.412. 9. 10.413. .
316 10.414. .
29
10.415. 8. 10.416. .810534
10.417. .382
10.418. .
3632 10.419. .
332
10.420. .3
32 10.421. .34 10.422.
316 .
334 10.423. 2 .
34 10.424. .
316
10.425. .3
32 10.426. .38 10.427. .
6125 10.428. 36. 10.429. .
332 10.430. .
364
10.431. .6
125 10.432. .6
125 10.433. .6
125 10.434. .6
125 10.435. .61 10.436. .
29
10.437. .21 10.438. .
316 10.439. .
316 10.440. 36. 10.441. 36. 10.442. .
332
10.443. .29 10.444. 27. 10.445. .
42ln1615 10.446. .
356 e 10.447. .12 e
10.448. .31 10.449. .2ln 10.450. .
58 10.451. .
23 10.452. .5ln512 10.453. 4 .3ln3
10.454. .23ln6
25 10.455. .
21
56ln5 10.456. .2ln
23 10.457. .3ln9
29
10.458. 18. 10.459. .125 10.460. .2ln4
229
10.461. .2ln23 10.462. .1 3 e
10.463. .2ln
12 10.464. .2ln
2ln1 10.465. .2ln2
123 10.466. 1. 10.467. .32 e
10.468. .12 e 10.469. .1ee 10.470. .
34
10.471. .29
49
10.472. .)2(49
10.473. .143
10.474. 2. 10.475. .21
4
10.476. .31 10.477. 2.
10.478. .3ln232 10.479. 16. 10.480. .169 10.481. .27 10.482. .6
260
10.483. .3
16 10.484. .3
128 10.485. .49 10.486. .
49 10.487. .3ln34 10.488. 18.
10.489. .34 10.490. .
34 10.491.
62 9e .
6101
10.492. .16
21624
10.493. .3
4312 10.494. .48
125 10.495. .12125
10.496. .4arcsin2 22
22
ababarctg
babaab
10.497. .2ln34025
10.498. .27 10.499. .16125
10.500. .3,0 10.501. .354 10.502. .
65
10.503. .3125128 10.504. .4 10.505. 1394,24. 10.506. .32 10.507. .12
10.508. .6
7 10.509. .2 10.510. .2 10.511. .64 10.512. .6,21 10.513. .
7128
10.514. .30 10.515. .
516 10.516. .
744 10.517. .
59 10.518. .5 10.519. .
145
10.520. .5
26 10.521. .5 10.522. .
5)85(16 10.523. .
48875
10.524. .42ln2
52ln
62
10.525. .1
42 e 10.526. .1
42 e 10.527. .
4
2
10.528. .4
2 10.529. .4 2 10.530. .4
)2( 10.531. .6 2 10.532. .103
10.533. .44
223
eea 10.534. .154 10.535. .
34 3a 10.536. .3a 10.537. .
2
3a
10.538. .2pa 10.539.
.20
4
5
gp
a
10.540. .67 3a 10.541. .
38 3a
10.542. .20 10.543. .70 10.544. .3
)3(2
22
aahhb 10.545. .
3)3(2
2
222
aahhb
10.546. .3
4 2ab 10.547. .6
)310(3 R 10.548. .34 2ab 10.549. .
38 10.550. .
15128
10.551. .15
512 10.552. 4,876. 10.553. .5
4 10.554. .5
64 10.555. .8 10.556. .
10.557. .2,19 10.558. .32 10.559. . 10.560. .5,58 10.561. .7
512
261
10.562. .3
64 10.563. .2
9 10.564. .6 10.565. .158 10.566. .4 2 10.567. .68
10.568. .154 10.569. .
10532 3a 10.570. .
2
2 10.571. .3
40 10.572. .4
2
10.573. .4
82 10.574. .4 3 10.575. .3ln)13ln2(3 10.576. 15a .
10.577. .)(2 2 abk 10.578. .3
4 4
pa 10.579. .
6
3a 10.580. .3
4 3a 10.581. .3
4 2ba
10.582. .6 33a 10.583. .2
2hr 10.584. .60
348 22 dDdDh 10.585. .2 a
10.586. .12ln2 10.587. .174ln21172 10.588. .223ln26
10.589. .4
52ln52 10.590. .271112 10.591. .21ln2 10.592. 74.
10.593. .15232 10.594. .
43arcsin 10.595. .
41 10.596. .
314 10.597. .11010
278
10.598. .52ln52 10.599. .3
14 10.600. .2
21ln2 10.601. .27
670
10.602. 21ln2 . Указание: при вычислении интеграла dxxx
1
0
1 приме-
нить подстановку 2
2
tt eex . 10.603. .3
14 10.604. .32ln32
10.605. .27
670 10.606. .34 10.607. .43ln4 10.608. .
34ln
212
10.609. 7
249ln .24 10.610. .213ln 10.611. .32ln 10.612. .3ln
10.613. .32ln 10.614. .1ln 2 ee 10.615. .32ln 10.616. .67
10.617. .2
1 10.618. .2
2R 10.619. .8a 10.620. .8
3 2a 10.621. .6a 10.622. .2 a
10.623. .2
1 eea 10.625. ;23 .318541
10.626. .19131;61
10.627. .4
1ln;741 4
4
ee 10.628. ;5,40 .330141
10.629. .log15log;42ln
1542 e 10.630. .
3297;32
262
10.631. 13ln3
26 .log26log; 273 e 10.632. .1181
61;31 10.633. .
4
10.634. 160. 10.635. 51417ln 10.636. .4
1317ln
43
10.637. .1568 10.638. 32.
10.639. .1316 3 e 10.640. 25
54 5e .2549 10.641. .249299
1001 50 e
10.642. .5941 4 e 10.643. а) 30,5; б) 62,7; в) 715.
10.644. а) ;71,010 б) ;6sin2121,0 2 в) ;21226,0 4 e г) .
125641
10.645. а) ; б) ;33
2 в) 8; г) ;21 д) ;
325 е) .
43 10.646. 31,73 м;
10.647. 250 м; 25 м/с.
Глава 11 11.1. а) 1; б) 2; в) 4; г) 1; д) 2; е) 3. 11.2. а) да; б) да; в) нет; г) да; д) да; е) нет;
ж) да; з) да; и) да; к) да. 11.3. а) xey 2 ; б) xey ; в) xx eey 53 2 .
11.4. а) xey x 422 . б) xey x 12 ; в) xey x 232 . 11.5. а) 23 xy ;
б) 21 xy ; в) 31 xy ; г) 42 xy ; д) x
y
1
1 . 11.6. а) xyy ;
б) 01 2 xyxy ; в) yyxy lnsin ; г) 0 yxyx ; д) 01 2 yyy ;
е) 22 11 yxyxy ; ж) 022 yxxyyx ; з) yyyx arcsin1 2 .
11.7. 12 xCy . 11.8. Cey x ln . 11.9. 1ln1
2
xCy .
11.10.
x
Cy 2arctg . 11.11. xC
ysin1
. 11.12. ,arcsin Cxy 1x .
11.13. ,122 yxC 1y . 11.14.
4cos 2xCy
. 11.15. CxCxy
1.
11.16. 1lncos5 5 Cyx . 11.17. 32 xCy ; 32 xy .
11.18. ;2
tg arctgxCey xey arctg
2tg . 11.19. Cey x 3
31
34
31 3
xey .
11.20. Cxy lnarctg . 11.21. 3
arctg31ln xxCyy .
263
11.22. ,1 22 Cyx ;1y 12y ,4x 1y . 11.23. yxCxy ln .
11.24. ,arctg42 Cyxx ,0x 4x . 11.25. ,39 xCey 3 9x .
11.26. Cyee yx 1 . 11.27. Cxy 32 ln23 .
11.28.
3452
325 yyy xeCyyy x
2
211ln
2.
11.29. 1x , 2
arccos32 23 yyxC 1ln y .
11.30. xxx 2ln1lnlnarcsin21 Ce y . 11.31. x
xCey
12
. 11.32. CxK .
11.33. а) ;12 2 tCey 212 2 tey ; б) ;ln tCy ty ln . 11.34. 22 2 CCyx .
11.35. Cxyx 22 . 11.36. Cx
xy
ln
4 . 11.37. Cxyx sin . 11.38. C
yxy sin .
11.39. Cxe yx ln . 11.40. Cxyx sinln . 11.41. xCxy lnln ;
xxy ln1ln . 11.42. Cxxy ln ; 2ln xxy . 11.43. Cxxy ln3 33 .
11.44. Cxxy ln2 22 ; xxy ln2 22 . 11.45. 1 Cxxey ; xxey 1 .
11.46. Cxxey ; xxey 2 . 11.47. Cyxxy . 11.48. Cxxyy 22 22 .
11.49. Cxyxy 323 3 . 11.50. ,lnarcsin Cxxy xy .
11.51. xyCeyx arctg222 . 11.52. xyCex arctg .
11.53. yxCey 2 ; yxey 22
. 11.54. Cyxy ln .
11.55. xCyxx ln2 . 11.56. 02 2 Cyxyx . 11.57. Cye xy .
11.58. 2x Cyy 2 . 11.59. 3y 22 xyC . 11.60. 66 yxCyx .
11.61. ,1 2 Cxxxy xy . 11.62.
xyCx ln
21ctgln .
11.63. Cxxy arctg2 ; 2
arctg2 xxy . 11.64. 21 xy Cxy 51 .
11.65. Cxyxy 22 414516 .
11.66.
Cxxyxxyxxyy
6322
9616596165995255 .
264
11.67.
Cxyxyxy
3622
213213413 . 11.68. 23 12 xyCxy .
11.69. 325432ln
xyCx . 11.70.
121ln
xyxCxy .
11.71. 232xy 5,23 xyC .
11.72.
Cxyxyxy
2222
721172117211 .
11.73. Cxyy
32arctg2ln . 11.74.
ttt x
Cxp 2ln . 11.75. txtt exp
.
11.76. 21 xCxy . 11.77. 21arcsin xCxy . 11.78. xCxy
cos
2 .
11.79. xCxy cossin . 11.80. xCxy . 11.81. 122 xCxy .
11.82. ;23 Cxyx 312
xxy
. 11.83. 414 Cxy . 11.84. xeCxy 2 .
11.85. Cxey x ln . 11.86. ;1,0 55 xx eCey xey 51,0 .
11.87.
Cxey x
2
22
. 11.88. ;3 Cxyxex 13 xyxex .
11.89. xCey x 22 . 11.90. Cey x (2
x ; xey x arctg12
.
11.91. ;arctg Cxey x 2arctg xey x . 11.92. 32 1xy Cx arctg .
11.93. Ceey xx 1 . 11.94. ;cossin xxCy xxy cossin . 11.95. ;cos2 xCy xy cos32 .
11.96. xxy sin2cos2 ;C 3sin2cos2 xxy . 11.97. xxCy coscos2 .
11.98. Cey xcos xcos ; xey x cos3cos . 11.99. 22 11 xCxy .
11.100. Cx
y 1 x2arcsin5,0 . 11.101. ;2
tg xCxy 2
tg2π1 xxy
.
11.102. xCy tg xsin . 11.103. ;2
ctg xCxy 2
ctg2π xxy
.
11.104. xxx eey 33
ln C1 ; 2
1ln3
3xx
x eey
.
11.105. ;lnln 2 xxCy xxy lnln 2 . 11.106. Cxxxy ln10ln2 2 .
11.107. ;ln2 Cxxxyx 22 ln exxxyx . 11.108. xCexy 1 .
11.109. 122 xCey x . 11.110. 414 6xeCxy x 23 36 xx .
265
11.111. 222 xxCey x . 11.112. ;2 Cyyx yyx 2 .
11.113. 3yx ;2 yCy 23 yyx . 11.114. ;23 yCyx 32 yyx .
11.115. ;yy Ceex yy eex . 11.116. Cexe yy 3ln222
.
11.117. ;2coscos2 yCyx yxcos2 y2cos . 11.118. ;ln1 2 Cyyyx
1ln1 2 yyyx . 11.119. ;cossin yCyx yyx cossin .
11.120. ;1ln22 yyCyx 1ln2 yyx . 11.121. 222 yyCex y .
11.122. xCx
yln
1
. 11.123. 24 ln Cxxy ; 0y .
11.124. xxxCx
yln
13
. 11.125. xCexy 12 .
11.126. xy tg2cosln
xCx
; 0y .
11.127. 1ln1 xCxy . 11.128. 11 22 xCey x . 11.129. xCeyx 2224 .
11.130. 22 2 xCey x , 0y . 11.131. 11
2
xCxy .
11.132. yCyx ln1 . 11.133. yCyx 2ln1 . 11.134. 12 2 tety .
11.135. 134 4 tety . 11.136. 34
1677
415 tCetp . 11.137. 9630 tep .
11.138. xx eCeCy 23
1 . 11.139. xx eCeCy 22
41 . 11.140. xx eCeCy 2
21 .
11.141. xx eCeCy 42
41
. 11.142. xx eCeCy 92
101
. 11.143. xx eCeCy 32
71 .
11.144. xx eCeCy 52
71
. 11.145. xx eCeCy 42
91 . 11.146. xCCey x
21 .
11.147. xCCey x21
4 . 11.148. xCxCey x 4sin4cos 213 .
11.149. xCxCy 3sin3cos 21 . 11.150. 4
sin4
cos 21xCxCy .
11.151. xCey x 4cos12 xC 4sin2 . 11.152. xCxCey x 3sin3cos 21
2 .
11.153. 1Cy xeC 42 . 11.154. xCCey x
2110 . 11.155. xCCey x
2125,0 .
11.156. xCCey x21
3 . 11.157. xCCey x21
2,0 .
11.158. xCCey x21
7 . 11.159. xCCeyx
2171
.
266
11.160. xCCey x21
2 . 11.161.
xCeyx
23cos1
21
xC
23sin2 .
11.162. xeCCy 321
. 11.163. xCxCy 2sin2cos 21 . 11.164. xx eCeCy 22
51 .
11.165. xx eCeCy 22
1 . 11.166. xCey x 4cos1 xC 4sin2 .
1.167. xCxCey x sincos 213 .
11.168. xx eCeCy 21 xxxxx eeeeex 1ln1ln5,0 . 11.169. xCxCy 2sin2cos 21 xxxx 2cosln2cos25,02sin5,0 .
11.170. xCCey x21
2
x21 . 11.171. xx eeCCy cos21 .
11.172.
4π
2tglncossincos 21
xxxCxCy .
11.173. xCxexCxey xx 22
12 sincoslncos . 11.174. xCCey x
21
335121212,1 xxxx . 11.175. 2sincos 21 xCxCy
2tglncos2 xx . 11.176. xxxxx exexxexexCCey 25,025,0ln21 .
11.177. x
xCCey x 121 . 11.178. xeCeCy xx 421 . 11.179. x
xBxA 3sin3cos . 11.180. xBxAx 4sin4cos . 11.181. 23 BxAxx
DCx . 11.182. xBxAex x sincos . 11.183. 23 BxAxx DCx .
11.184. CxBxAxx 23 . 11.185. BxAxex x 23 .
11.186. 3Axex x CxBx 2 . 11.187. xDCxxBAxx 2sin2cos .
11.188. 34 Axex x 2Bx . 11.189. xCexBxAx 2sin2cos .
11.190. xBxAxex x cos2 xDxCx sin2 .
11.191. xBxAxx 6cos2 xDxCx 6sin2 .
11.192. xCxeBAxx . 11.193. xx eCeCy 22
41 5,02 x .
11.194. xeCeCy xx 322
21 . 11.195. 2
24
1 2xeCeCy xx 33 x .
11.196. 1Cy xxxxeC x 24124 2342 .
11.197. xxy 2 xCxCe x cossin 21 .
11.198. xxx eeCeCy 2221 . 11.199. xeCy 2
1 xx xeeC 272 .
11.200. xeCy 41
xx xeeC 22 . 11.201. xCCey x21
2 xe2 .
11.202. 221 2xxCCey x . 11.203. xxx xeeCeCy 23
21 3 .
267
11.204. xxxeeCeCy xxx 23232
21 .
11.205. xxCxCey x sincossin 21 xcos2 .
11.206. xx eCeCy 22
31 xx sincos2,0 .
11.207. xeCy 4
1 xxeC x cos4sin22 .
11.208. xCey x 4sin13 xxC 2sin4,14cos2 x2cos8,0 .
11.209. xxCxCey x 2sin5,13cos3sin 21 x2cos .
11.210. xxCCey x 3sin2213 . 11.211. xxxCxCy sincossin 2
21 .
11.212. xxxCxCy 3sin3cos3sin 221 .
11.213. xx exCxCey 2cos2sin 21 xx 2cos5,02sin .
11.214. xxCxxCey x cossin 221 .
11.215. 232 2242
21 xxeeCeCy xxx .
11.216. 3321 2 xeeCCy xx xx 63 2 .
11.217. xxexCxCy x sin2cossin 21 . 11.218. xCy sin1 x2cos3 .
11.219. xxxy cossin2π1 . 11.220. xexy 223 .
11.221. 224 xeey xx x2 . 11.222. xxeey xx 2sin342 .
11.223. xxxey x 37 2sin3 . 11.224. xx exxey 75,0cos2sin1,0 2 xe55,0 .
11.225. xxxxey x 3sin24sin34cos43 .
11.226. xey 24 5,335,0 23 xxee xx .
11.227. xxey x 2sin32cos2 xxe x 2cos2 .
Глава 12
12.1. а) ;79
67
55
43
б) .!4
2!3
2!2
2!1
2 432
12.2. 21 . 12.3.
32 . 12.4.
9023 . 12.5. 3.
12.6. 89 . 12.7.
41 . 12.8. Расход. 12.9. Расход. 12.10. Расход. 12.11. Расход.
12.12. Расход. 12.13. Расход. 12.14. Расход. 12.15. Расход. 12.16. Расход.
268
12.17. Сход. 12.18. Расход. 12.19. Сход. 12.20. Сход. 12.21. Расход.
12.22. Расход. 12.23. Сход. 12.24. Сход. 12.25. Расход. 12.26. Сход. 12.27. Сход.
12.28. Сход. 12.29. Расход. 12.30. Расход. 12.31. Сход. 12.32. Расход.
12.33. Сход. 12.34. Сход. 12.35. Сход. 12.36. Сход. 12.37. Расход.
12.38. Сход. 12.39. Сход. 12.40. Сход. 12.41. Расход. 12.42. Сход.
12.43. Расход. 12.44. Сход. 12.45. Расход. 12.46. Сход. 12.47. Сход. абс.
12.48. Сход. абс. 12.49. Расход. 12.50. Сход. усл. 12.51. Сход. усл. 12.52. Расход.
12.53. Сход. усл. 12.54. Сход. абс. 12.55. Сход. абс. 12.56. Сход. абс.
12.57. Сход. усл. 12.58. Сход. усл. 12.59. Сход. усл. 12.60. Сход. абс.
12.61. 0,78. 12.62. 0,16.12.63. 0,45.12.64. 0,287. 12.65. 0,625. 12.66. 0,318.
Глава 13
13.1. 1,1 . 13.2. 1,3 . 13.3. ),( . 13.4. 8,6 . 13.5. 1,1 . 13.6. 1,5 .
13.7. )2,2( ee . 13.8. )2,4( . 13.9. )/4,/4( ee . 13.10. ),( . 13.11. 0,2 .
13.12. ),( . 13.13. 1,1 . 13.14.
21,
21 . 13.15.
31,
31 . 13.16.
2,
2ee .
13.17. 3,3 . 13.18. ),( . 13.19. 1,1 . 13.20. ),( ee . 13.32. 01,0;39,1 .
13.33. 0000001,0;3050,0 . 13.34. 001,0;0122,1 . 13.35. 001,0;3413,0 .
269
ЛИТЕРАТУРА
1. Астровский А.И., Воронкова Е.В., Степанович О.П. Высшая математика. 2-е изд. В 2 кн. Кн.1: Учебно- методический комплекс. – Мн.: Изд-во МИУ, 2007. – 384с.
2. Ахтямов А.М. Математика для социологов и экономистов. – М.: Физматлит, 2004. – 464 с.
3. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика, т.1. М., Дрофа, 2004. – 284 с.
4. Бутузов В.Ф., Крутицкая Н. Ч., Шишкин А. А. Линейная алгебра в вопросах и задачах: Учеб. пособие/Под ред. В. Ф. Бутузова. – 2-е изд., испр. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. – 248 с.
5. Гусак А.А. Задачи и упражнения по высшей математике: В 2 ч. Ч. 1.: Для ву-зов. – 2-е изд., перераб. – Мн.: Высш. шк., 1988. – 247 с.: ил.
6. Гуринович С.Л. Математика. Задачи с экономическим содержанием: пособие. – Мн. Новое знание, 2008. – 264с.
7. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Л. Высшая математика в упражнени-ях и задачах: Учебное пособие для студентов втузов. В 2-х ч. Ч.1. – 4-е изд., испр. и доп. – М.: Высш.шк., 1986. – 304с.
8. Жевняк Р.М., Карпук А.А. Высшая математика: [Учеб. пособие для втузов]. Ч. II. – Мн.: Высш. шк., 1985. – 221 с.: ил.
9. Кастрица О.А. Высшая математика: Учебное пособие. – Мн.: Новое знание, 2005. – 491с.
10.Кастрица О.А. Высшая математика: примеры, задачи, упражнения: Учебное пособие для вузов. – М.:ЮНИТИ-ДАНА, 2003. – 254с.
11.Красс М.С., Чупрынов Б.П. Математика для экономистов. – СПб.: Питер, 2005. – 464 с.: ил. – (Серия «Учебное пособие»).
12.Красс М.С. Основы математики и ее приложения в экономическом образо-вании /М.С. Красс, Б.П. Чупрынов. – М.: Дело, 2006.
13.Красс, М.С. Математика для экономистов / М.С. Красс, Б.П. Чупрынов. – СПб.: Питер, 2004.
14.Кремер Н.Ш., Путько Б.А., Тришина И.М., Фридман М.Н. Высшая матема-тика для экономических специальностей: Учебник и Практикум (часть I) / Под ред. проф. Н.Ш.Кремера. – М.: Высшее образование, 2005. – 486 с.
270
15.Кремер Н.Ш., Путько Б.А., Тришина И.М., Фридман М.Н. Высшая матема-тика для экономических специальностей: Учебник и Практикум (часть II) / Под ред. проф. Н.Ш.Кремера. – М.: Высшее образование, 2005. – 407 с.
16.Лихолетов И.И., Мацкевич И.П. Руководство к решению задач по высшей математике и математической статистике. Мн., 1976. – 456 с.: ил.
17.Лунгу К.Н., Письменный Д.Г., Федин С.Н., Шевченко Ю.А. Сборник задач по высшей математике. 1 курс. – М.: Рольф, 2001. – 576 с.
18.Малугин В.А. Линейная алгебра. – М., Эксмо, 2006. – 215 с.
19.Малугин В.А. Математика для экономистов: Математический анализ. Курс лекций. – М.: Эксмо, 2005. – 272 с.
20.В.П. Минорский. Сборник задач по высшей математике. – М., 1969. – 352 с.: ил.
21.Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике: полный курс. – М., Айрис-пресс, 2006. – 608 с.
22.Сборник задач и упражнений по высшей математике: Общий курс: Учеб. по-собие / А.В.Кузнецов, Д.С.Кузнецова, Е.И.Шилкина и др. – Мн.: Высш. шк., 1994. – 284 с.: ил.
23.Солодовников А. С., Бабайцев В. А., Браилов А. В. Математика в экономике. Учебник. В 2-х частях. – М.: Финансы и статистика, 2000, 224с., 376 с.
24.Справочник по математике для экономистов. Под ред. Ермакова В.И. – М.: Высш. шк., 1997. – 384 с.
25. Сухая Т.А., Бубнов В.Ф. Задачи по высшей математике: учеб. пособие. В 2 ч. Ч. 1. – Мн.: Выш. шк., 1993. – 416 с.: ил.
26.Сухая Т.А., Бубнов В.Ф. Задачи по высшей математике: учеб. пособие. В 2 ч. Ч. 2. – Мн.: Выш. шк., 1993. – 303 с.: ил.
27.Шилкина, Е.И. Высшая математика. /Е.И. Шилкина. – Минск: БГЭУ, 2003. – Ч.1.
28.Шилкина, Е.И. Высшая математика / Е.И. Шилкина, М.П. Дымков. – Минск: БГЭУ, 2005. – Ч.2.