Софийски университет „Св. Кл. Охридски“, Факултет по ... · по ВМ2 от количеството решени примери от

Софийски университет „Св. Кл. Охридски“, Факултет по математика и информатика

Райна Милкова Алашка

Дисертационен труд

на

ТЕМА

ПРИЛОЖЕНИЕ НА ВЕРОЯТНОСТНИ МОДЕЛИ

ЗА АНАЛИЗ НА РЕЗУЛТАТИ

ОТ ИЗПИТИ И ТЕСТОВЕ

За присъждане на

Образователна и научна степен „Доктор”

Област на висше образование: 1. Педагогически науки.

Професионално направление: 1.3. Педагогика на обучението по …

Научна специалност:

05.07.03. „Методика на обучението по математика и информатика“

Научен ръководител: проф. д-р Кирил Георгиев Банков

София, 2017 г.

РАЙНА МИЛКОВА АЛАШКА

2

ПРИЛОЖЕНИЕ НА ВЕРОЯТНОСТНИ МОДЕЛИ ЗА АНАЛИЗ НА РЕЗУЛТАТИ ОТ ИЗПИТИ И ТЕСТОВЕ

3

СЪДЪРЖАНИЕ ВЪВЕДЕНИЕ…………………………………………………………………………. 7

ПЪРВА ГЛАВА

ВЕРОЯТНОСТНИ МОДЕЛИ И ВЪЗМОЖНОСТИ ЗА ИЗПОЛЗВАНЕТО

ИМ В ОБРАЗОВАНИЕТО ………………………………………………………….

18

УВОД…………………………………………………………………………………… 18

1. МЕТОД НА НАЙ-МАЛКИТЕ КВАДРАТИ………………………………………. 20

1.1. Най-добри приближения с полиноми………………………………………… 20

1.2. Приближено решаване на преопределени системи………………………….. 22

1.3. Многофакторен линеен регресионен модел и проверка за значимост на

получените коефициенти……………………………………………………………...

26

2. ЛИНЕЕН ВЕРОЯТНОСТЕН МОДЕЛ И ПРИЛОЖЕНИЯ……………………….. 29

2.1. Еднофакторен модел…………………………………………………………… 29

2.2. Двуфакторен модел…………………………………………………………... 33

3. ПОЛИНОМИАЛЕН ВЕРОЯТНОСТЕН МОДЕЛ И ПРИЛОЖЕНИЯ…………... 35

3.1. Квадратичен вероятностен модел…………………………………………….. 35

3.2. Определяне на продължителността на занятието и дължината на теста…... 38

4. ЛОГИСТИЧЕН ВЕРОЯТНОСТЕН (LOGIT) МОДЕЛ…………………………… 46

5. ПРОБИТ (PROBIT) МОДЕЛ……………………………………………………….. 53

6. ТОБИТ (TOBIT) МОДЕЛ...………………………………………………………… 58

7. ПАРАМЕТРИЧНИ ВЕРОЯТНОСТНИ МОДЕЛИ………………………………... 62

8. ОПРЕДЕЛЯНЕ НА ПАРАМЕТРИТЕ НА ЗАДАНИЕТО ЧРЕЗ СРАВНЯВАНЕ

НА ЕДНОПАРАМЕТРИЧНИЯ И ДВУПАРАМЕТРИЧНИЯ МОДЕЛ СЪС

СЪОТВЕТНИ ЛОГИСТИЧНИ МОДЕЛИ……………………………………………

72

8.1. Еднопараметричен модел на Раш……………………………………………... 72

8.2. Двупараметричен модел на Бирнбаум………………………………………... 74

ВТОРА ГЛАВА

ПРИЛОЖЕНИЕ НА ВЕРОЯТНОСТНИТЕ МОДЕЛИ И S-МЕТОДА ЗА

ИЗСЛЕДВАНИЯ И ИЗМЕРВАНИЯ В ОБРАЗОВАНИЕТО……………………

76

УВОД…………………………………………………………………………………… 76


4

1. ПРОБЛЕМИ В ОБУЧЕНИЕТО ПО МАТЕМАТИКА НА СТУДЕНТИТЕ ОТ

ВТУ „ТОДОР КАБЛЕШКОВ” И НАЧИНИ ЗА ТЯХНОТО ПРЕОДОЛЯВАНЕ….

78

2. ВЕРОЯТНОСТТА ЗА УСПЕХ НА ИЗПИТА КАТО ФУНКЦИЯ ОТ

ИЗПЪЛНЕНИЕТО НА ДОМАШНИТЕ РАБОТИ…………………………………...

94

2.1. Линеен вероятностен модел…………………………………………………… 95

2.2. Логистичен вероятностен модел (LOGIT)……………………………………. 97

2.3. Пробит модел (PROBIT)………………………………………………………. 101

2.4. Сравнителна характеристика на линейния вероятностен, логит и пробит

моделите………………………………………………………………………………...

105


ИЗПЪЛНЕНИЕТО НА ДОМАШНИТЕ РАБОТИ И ПОСЕЩАЕМОСТТА НА

УЧЕБНИТЕ ЗАНЯТИЯ………………………………………………………………..

109

3.1. Двуфакторен линеен вероятностен модел……………………………………. 110

3.2. Двуфакторен логит модел……………………………………………………... 113

3.3. Двуфакторен пробит модел…………………………………………………… 117

3.4. Сравнителна характеристика на двуфакторните модели…………………… 122

4. ОБОБЩЕНИЕ НА ПАРАМЕТРИЧНИТЕ, ЛОГИТ И ПРОБИТ

ВЕРОЯТНОСТНИ МОДЕЛИ…………………………………………………………

125

4.1. Векторен вид на двуфакторния логит модел и приложения.…..…………… 125

4.2. Многомерно обобщение на моделите на Раш и Бирнбаум………………….. 132

4.3. Многомерно обобщение на логит моделите……………………..…………... 135

4.4. Многомерно обобщение на пробит моделите……………………..…………. 137

5. S-МЕТОД НА ШЕФЕ ЗА СРАВНЕНИЯ НА ГРУПИ……………………………. 139

5.1. Дисперсионен анализ………………………………………………………….. 139

5.2. Метод на Шефе………………………………………………………………… 140

5.3. Оценка на различните форми на обучение…………………………………... 142

6. АНАЛИЗ НА ИЗПИТ ПО ВИСША МАТЕМАТИКА 2 ЧАСТ ПО ТЕМИ…...… 147

6.1. Линеен вероятностен модел по теми…………………………………………. 147

6.2. Дисперсионен анализ и метод на Шефе……………………………………… 149

6.3. Корелационен анализ………………………………………………………….. 151

ОБОБЩЕНИЕ НА РЕЗУЛТАТИТЕ ОТ ВТОРА ГЛАВА…………………………...

152


5

ТРЕТА ГЛАВА

СТАТИСТИЧЕСКИ И ВЕРОЯТНОСТНИ МЕТОДИ ЗА СРАВНЯВАНЕ И

ОЦЕНКА НА КАНДИДАТ-СТУДЕНТСКИ ТЕСТОВЕ И ОЦЕНКА НА

РЕАЛЕН ИЗПИТЕН ТЕСТ ЗА УЧЕНИЦИ……………………………………….

154

УВОД…………………………………………………………………………………… 154

1. ОСНОВНИ ЧИСЛОВИ ХАРАКТЕРИСТИКИ И ОЦЕНКА НА КАЧЕСТВОТО

НА ИЗПИТЕН ТЕСТ…………………………………………………………………..

156

1.1. Основни емпирични статистики на теста……………………………………. 157

1.2. Анализ на качествата на задачите от теста…………………………………... 160

1.3. Надеждност на теста…………………………………………………………… 169

1.4. Стандартна грешка на измерването…………………………………………... 171

2. СРАВНИТЕЛЕН АНАЛИЗ МЕЖДУ РЕАЛНИ ИЗПИТНИ ТЕСТОВЕ………… 172

2.1. Основни емпирични статистики на тестовете……………………………….. 173

2.2. Сравнителен анализ на качествата на задачите от тестовете………………... 176

2.3. Дисперсионен анализ………………………………………………………….. 178

2.4. Изводи…………………………………………………………………………... 178

3. СТАТИСТИЧЕСКИ АНАЛИЗ НА ТЕСТ ПО МАТЕМАТИКА ЗА УЧЕНИЦИ

И ОЦЕНКА ЗА ВЛИЯНИЕТО НА РАЗЛИЧНИ ФАКТОРИ………………………..

179

3.1. Основни статистически характеристики……………………………………... 182

3.2. Анализ на получените резултати и изводи…………………………………… 185

4. ИЗПОЛЗВАНЕ НА ЕДНОПАРАМЕТРИЧНИЯ МОДЕЛ НА РАШ ЗА

АНАЛИЗ НА ТЕСТ ПО МАТЕМАТИКА ЗА УЧЕНИЦИ…………………………..

188

4.1. Процедура за изчисление на способността Xi и трудността Tj от

емпирични данни………………………………………………………………………

188

4.2. Анализ на теста………………………………………………………………… 193

4.3. Сравняване на способностите по групи……………………...……………... 198

4.4. Предимства на еднопараметричния модел на Раш………………………….. 201

4.5. Определяне на оптималната дължина на тест……………………………….. 202

5. ИЗПОЛЗВАНЕ НА ДВУПАРАМЕТРИЧНИЯ МОДЕЛ НА БИРНБАУМ ЗА

АНАЛИЗ НА ТЕСТ ПО МАТЕМАТИКА ЗА УЧЕНИЦИ………………………….

208

5.1. Процедура за изчисление на дискриминация на задачата aj от емпирични

данни……………………………………………………………………………………

208

5.2. Анализ на теста………………………………………………………………… 214


6

5.3. Сравнение на вероятностните модели на Раш и Бирнбаум…………………. 216

6. ОПРЕДЕЛЯНЕ НА ПАРАМЕТРИТЕ НА ЗАДАЧИТЕ НА

ЕДНОПАРАМЕТРИЧНИЯ И ДВУПАРАМЕТРИЧНИЯ МОДЕЛ, ЧРЕЗ

ИЗПОЛЗВАНЕТО НА СЪОТВЕТНИТЕ ЛОГИТ МОДЕЛИ ……………………….

218

6.1. Определяне на параметъра на трудност Tj на задачите в

еднопараметричния модел на Раш и сравняване на получените резултати………..

218

6.2. Определяне на параметъра на трудност Tj и параметъра на дискриминация

aj на задачите в двупараметричния модел на Бирнбаум и сравнение на

получените резултати………………………………………………………………….

221

7. СЪПОСТАВИТЕЛЕН АНАЛИЗ НА ЕДНОИМЕННИТЕ ПАРАМЕТРИ НА

ЗАДАЧИТЕ, ПОЛУЧЕНИ ПРИ КЛАСИЧЕСКАТА ТЕОРИЯ НА ТЕСТОВЕТЕ

(КТТ), ТЕОРИЯТА НА ВЕРОЯТНОСТНОТО МОДЕЛИРАНЕ (IRT) И ЛОГИТ

МОДЕЛИТЕ…………………………………………………………………………….

225

7.1. Съпоставителен анализ на параметрите на трудност………………………... 225

7.2. Съпоставителен анализ на параметрите на дискриминация………………... 226

ОБОБЩЕНИЕ НА РЕЗУЛТАТИТЕ ОТ ТРЕТА ГЛАВА…………………………… 228

ЗАКЛЮЧЕНИЕ……………………………………………………………………… 230

ОСНОВНИ РЕЗУЛТАТИ И ПРИНОСИ……………………………….…………..…

СПИСЪК НА ПУБЛИКАЦИИТЕ ПО ТЕМАТА НА ДИСЕРТАЦИЯТА И

УЧАСТИЯ НА КОНФЕРЕНЦИИ……………………………………………………..

ДЕКЛАРАЦИЯ ЗА ОРИГИНАЛНОСТ………………………………………………

ЛИТЕРАТУРА………………………………………………………………………...

230

233

235

236

ПРИЛОЖЕНИЯ……………………………………………………………………… 241

ПРИЛОЖЕНИЕ 1. КОНКУРСНИ ТЕСТОВЕ ПО МАТЕМАТИКА ЗА

ПОСТЪПВАНЕ ВЪВ ВТУ „ТОДОР КАБЛЕШКОВ“………………………………

241

ПРИЛОЖЕНИЕ 2. ЗАДАЧИ ЗА САМОСТОЯТЕЛНА ПОДГОТОВКА

(ДОМАШНИ РАБОТИ) ПО ВМ 2 ЧАСТ ВЪВ ВТУ „ТОДОР

КАБЛЕШКОВ“…...........................................................................................................

258

ПРИЛОЖЕНИЕ 3. ИЗПИТ ПО ВИСША МАТЕМАТИКА 2 ЧАСТ…..………..

ПРИЛОЖЕНИЕ 4. ТЕСТ ПО МАТЕМАТИКА ЗА 7 КЛАС……………………

274

276

ПРИЛОЖЕНИЕ 5. ХРОНОЛОГИЯ НА НАЦИОНАЛНОТО ТЕСТОВОТО

ИЗПИТВАНЕ И НАЦИОНАЛНО ВЪНШНО ОЦЕНЯВАНЕ ПО

МАТЕМАТИКА СЛЕД 7 КЛАС………………………………………………...........

289


7

ВЪВЕДЕНИЕ

Актуалност на темата

През последните години оценяването на придобитите знания и умения от ученици

и студенти все по често се извършва чрез тестове. Тестовото изпитване има редица

предимства, като: бърза проверка (все по-често и автоматизирана), бързо

диагностициране на типичните грешки на изпитваните, оценяването не зависи от

субективни фактори, проверява се по-голям обем учебно съдържание и др. За да бъде

тестовото измерване обективен и надежден метод за оценяване, необходимо е то да се

извършва с „качествен“ тест. Конструирането на един тест става по определени

правила. Спазването на тези правила е задължително условие за получаване на

„качествен“ тест с добри измерителни показатели. В българското образование се

наблюдава масовото производство на тестове, голяма част от които не са съобразени с

тези правила за конструиране на тестове. Съществува мнението, че писането на тест е

лесна работа и може да се извършва от всеки. Не се разбира важността от анализа на

резултатите от тестирането и съответните изводи.

В исторически план първата теория на тестовете, която възниква, е така

наречената класическа теория. За начало на тази теория се водят работите на

английския психолог Чарлз Спирмън през годините между 1904 и 1913 [15].

Класическата теория на тестовете се използва широко в практиката и е в основата за

пресмятане на параметрите на тестовете и анализ на получените резултати. По-късно в

развитието на педагогическите изследвания при разработване на изследователските

модели и анализ на данни широко приложение намира и вариант на вероятностно

моделиране – IRT (Item Response Theory). Тази теория включва различни параметрични

вероятностни модели за определяне на връзката между изпълнението на дадена тестова

задача от конкретно лице и неговата способност. Основен недостатък на класическата

теория на тестовете е, че основните числови характеристики на задачите (трудност,

дискриминация) зависят от измерваните лица и обратно, постиженията (способностите)

на измерваните лица зависят от задачите, с които ги оценяваме. Тази взаимно

свързаност не съществува при вероятностното моделиране. Основни предимства на

последната теория са: (1) способността на изпитваните и трудността на задачите могат

да се представят на една и съща скала; (2) способността на изпитваните не зависи от

трудността на задачите, с които ги оценяваме; (3) трудността на задачите не зависи от

способността на ученици, които оценяваме. Вероятностното моделиране (IRT) се


8

наблюдава и при широко-мащабни международни изследвания, като TIMSS (Trends in

Mathematics and Science Study) и PISA (Programme for International Student Assessment).

В настоящия дисертационен труд са дадени практически приложения на тези две

теории за анализ на резултати от изпити и тестове. Направен е съпоставителен анализ

между тях. Разгледани са техните предимства и недостатъци.

От друга страна, вероятностното моделиране, в частност моделите за разпознаване

на риска, намира сериозно развитие от втората половина на 20 век. То се прилага

предимно в сферата на икономиката, бизнеса, застраховането, медицината и други

социално-икономически области за оценка на риска, като се използват различни

вероятностни модели. Някои от публикациите по тази тематика са [34], [35], [58], [62],

[65], [66], [74], [76], [81].

В настоящия дисертационен труд са приложени част от тези модели. Направени са

техни модификации и многомерни обобщения.

Цел и задачи на дисертационния труд

Основна цел в дисертационния труд е прилагането на различни тестови теории,

статистически методи и вероятностни модели, на основата на конкретни изследвания:

за анализ на резултати от изпити и тестове;

за оценка влиянието на различни фактори върху резултатите на

изпитваните;

за решаване на редица проблеми, които възникват в образованието.

За постигането на тази цел в дисертационния труд се решават следните основни

задачи:

1. Проучване и анализ на използваните в образованието тестови теории;

2. Приложение на линейния вероятностен модел (ЛВМ), квадратичния

вероятностен модел, Логит-модела и Пробит-модела в образованието.

3. Определяне на оптималната продължителност на занятие в подготвителния

курс по математика за 3 и 4 клас на Първа частна математическа гимназия

(ПЧМГ);

4. Определяне на оптималната дължина на теста за прием в ПЧМГ;

5. Разработване на домашни работи (задачи за самостоятелна подготовка),

съобразени с възможностите на студентите и учебната програма по Висша

математика 2 част (ВМ2) във ВТУ „Тодор Каблешков“;


9

6. Анкетно проучване за идентифициране нагласите на студентите към

домашните работи;

7. Определяне на зависимостта на вероятността за успешно полагане на изпита

по ВМ2 от количеството на решените примери от домашните задания;

8. Определяне на зависимостта на вероятността за успешно полагане на изпита

по ВМ2 от количеството решени примери от зададените домашни работи и

посещаемостта на учебните занятия (упражнения, лекции);

9. Изследване на вероятността за успех на изпита по статистика във ВТУ „Тодор

Каблешков“, като функция на броя часове на самоподготовка;

10. Оценка на различните форми на обучение по математика във ВТУ „Тодор

Каблешков“;

11. Анализ на изпит по ВМ2 по теми;

12. Пресмятане на основните числови характеристики и оценка качеството на

изпитен (приемен) тест във ВТУ „Тодор Каблешков”;

13. Сравнителен анализ между реални изпитни тестове във ВТУ „Тодор

Каблешков”;

14. Статистически анализ на тест по математика за ученици и оценка за влиянието

на различни фактори;

15. Определянето на оптималната дължината на теста и продължителността за

изпълнението му, чрез модел от тестове с различна дължина;

16. Сравнителен анализ между различните теории и модели за анализ на тест.

Място на емпиричните изследванията

Проведените изследванията със студенти са извършени във ВТУ „Тодор

Каблешков”. Проведените изследвания с ученици от 4 клас са проведени в ПЧМГ и

Частно Начално Училище „Питагор”. Проведените изследвания с ученици от 7 клас са

проведени в ПЧМГ, Софийска Математическа Гимназия „Паисий Хилендарски“ (СМГ),

38 ОУ „Васил Априлов“ и 45 ОУ „Константин Величков“.

Обект на изследванията

1. Учениците от подготвителните курсове за 4 клас в ПЧМГ, учениците от Частно

Начално Училище „Питагор” и кандидатите за 5 клас в ПЧМГ през учебната 2014-2015

година.


10

2. Студентите редовно и задочно обучение от І курс във ВТУ „Тодор Каблешков”

през учебната 2014-2015 година.

3. Кандидат-студентите във ВТУ „Тодор Каблешков” през 2008 и 2009 година.

4. Ученици от седми клас от различни училища в град София.

Хипотеза на дисертационния труд

Познатите от социално-икономически области вероятностни модели за оценка на

риска и техни модификации могат успешно да се прилагат за изследвания и анализи в

образованието, както самостоятелно, така и в комбинация с класическата теория на

тестовете и IRT-моделите.

Методи на изследванията

Методите, които се прилагат са: Линеен вероятностен модел (ЛВМ); Логит-модел;

Пробит-модел; Квадратичен вероятностен модел; Еднопараметричен „модел на Раш“,

Двупараметричен „модел на Бирнбаум“; Класическа Теория на Тестовете (КТТ); Метод

на най-малките квадрати; Регресионен анализ; Корелационен анализ; Дисперсионен

анализ; Метод на Шефе (S-метод), Статистическа обработка на данни, получени от

анкетни карти; Графично представяне на резултати.

Структура на дисертационния труд

Настоящият дисертационен труд е озаглавен „Приложение на вероятностни

модели за анализ на резултати от изпити и тестове”. Дисертацията съдържа въведение, три глави, заключение, литература и

приложения.

Основната част на дисертацията е от 240 страници, а литературата съдържа 81

заглавия.

Първа глава е озаглавена „Вероятностни модели и възможности за използването

им в образованието”.

Втора глава „Приложение на вероятностните модели и S-метода за изследвания и

измервания в образованието”.

Трета глава „Статистически и вероятностни методи за сравняване и оценка на

кандидат-студентски тестове и оценка на реален изпитен тест за ученици”.

В дисертацията релациите (равенства, неравенства, формули) са означени в ляво

на реда на релацията за всяка глава отделно с (П.Н), където П е номерът на параграфа в


11

главата, а Н е номерът на съответната релация. Фигурите са отбелязани в средата под

самата фигура с Фиг. Г.Ф, където Г е номерът на главата, а Ф е номерът на съответната

фигура в главата. Таблиците са отбелязани над самата таблица с Таблица Г.Т, където Г

е номерът на главата, а Т е номерът на съответната таблица в главата. Цитиранията са

[Л], където Л е номерът на съответната литература, понякога е споменато и името на

автора на съответната литература.

В дисертацията се използват познания по различни математически дисциплини,

като теория на апроксимациите, теория на вероятностите и статистика, математически

анализ, линейна алгебра, аналитична геометрия и други.

Проверени са 10 изследователски хипотези и над 100 статически хипотези.

Първа глава „Вероятностни модели и възможности за използването им в

образованието” се състои от увод и осем параграфа. В увода кратко е описана

необходимостта от изследванията, съдържащи се в главата, дадени са кратки

исторически бележки.

Описани са известни вероятностни модели и се дава нов по-различен подход, с

възможности за използване им в образованието. Дадени са теоретичните основи на тези

модели и са направени техни подобрения и модификации за успешното им прилагане в

образованието.

При тях се използва методът на най-малките квадрати (МНМК). Дадени са

различни негови модификации – за приближаване на функции, за регресионен анализ,

за корелационен анализ, за решаване на преопределени системи. Изведени са директно

формули за различна размерност, които ще бъдат прилагани многократно в

дисертацията.

Тези модели са използвани за различни приложения в образованието, както в тази

глава, така и в следващата. Могат да се прилагат и за други незасегнати в дисертацията

въпроси, не само в образованието, но и в други сфери на обществото. Описано е кратко

съдържанието на всеки параграф.

Представен е линейният вероятностен модел (ЛВМ) в две точки:

1. Еднофакторен модел и 2. Двуфакторен модел.

Разглежданата при ЛВМ зависимата променлива Y е дихотомна и има само две

значения – 0 и 1, които са индикатор за наличие и отсъствие на някакво явление.

1, при наличие на дадено явление,

0, при отсъствие на дадено явление.iY


12

При еднофакторния ЛВМ е използван двукратно методът на най-малките квадрати

(МНМК). Първия път за предварително намиране на вероятностите и пресмятане на

теглата и втория път за същинското пресмятане на вероятностите.

Теглата са пропорционални на единица върху средноквадратичното отклонение на

остатъците и имат вида: 1 1( ) ( (1 ))i i iW P P , вж. [18], [19] ], [34] .

Ще отбележим, че при еднофакторния модел след прилагането на МНМК се стига

до решаването на система две на две, а при двуфакторният модел след прилагането на

МНМК се стига до решаване на система три на три.

Направена е модификация на линейния вероятностен модел, като функцията за

приближение не е линейна, а полином от по-висока степен. Така получаваме

полиномиален вероятностен модел (ПВМ). По-подробно е описан моделът, когато

функцията е полином от втора степен, този метод наричаме квадратичен вероятностен

модел (КВМ).

Разгледан е пример за частта на грешките според продължителността на

занятието. От емпиричните данни се забелязва, че грешките до един момент намаляват

и след това започват да се увеличават. Това ни дава основание да приложим

квадратичния вероятностен модел. Намираме точката на минимум на параболата и

пресмятаме оптималната продължителност на занятието. Даден е и пример за успеха на

изпитваните, според броя на задачите в изпитната тема. Отново прилагаме

квадратичния вероятностен модел. Намираме точката на максимум на параболата и

определяме оптималния брой задачи в изпитната тема. Дават се и възможни други

приложения на методите в образованието.

Описан е логистичният вероятностен модел (Logit-модел). Представена е

функцията на логистичното разпределение и са дадени редица нейни свойства.

Функцията на разпределение ( ) ( )x p x , която задава кумулативната вероятност до

точката x се представя с формулата: 1

( )1 1

x

x x

ex

e e

. От теорията на

апроксимациите е известно, че: ( ; )sup (1,702. ) ( ) 0,01

xx F x

, където ( )F x е

функцията на разпределение на стандартното нормално разпределение. Този факт

обяснява защо в параметричните вероятностни модели се използва константата 1,7.

Въвежда се шансовата пропорция, която се дефинира като:

0 1

0 1

0 1

( )( )

( )

1

1 1

XX

X

P ee

P e

.


13

Логаритмуваме двете страни на равенство и получаваме 0 1ln1

PL X

P

,

който в литературата се нарича logit (логит), затова този модел се нарича логит-модел.

Приближаваме логита по метода на най-малките квадрати (МНМК). Дадени са теглата,

които имат вида: (1 )i i i iW N p p , вж. [18], [19] ], [34].

Вероятностите да се сбъдне събитието могат да се пресметнат и без тегла, но

тогава методът може да доведе до неточности.

Описан е пробит моделът (Probit-модел), при който се използва стандартно

нормално разпределение и отново е приложен методът на най-малките квадрати

(МНМК). За използването на пробит модела е конструиран ненаблюдаван индекс за

полезност iI , наречен нормит, за който е в сила: 2

0 1

21

( )2

iX z

i iP F I e dz

.

Изходните променливи отново могат да се претеглят с тегло iW , където

2( )

(1 )i i

i

i i

N IW

p p

, вж. [18], [19] ], [34] и след това се прилага МНМК.

И за трите модела са построени многофакторни модели.

Моделите могат да се използва в образованието. Например, ако искаме да

пресметнем вероятността студент да си вземе, както целия изпит, така и да реши части

от него. В частност могат да се приложат и за всяка задача поотделно.

Представен е кратко тобит моделът (Tobit-модел) [34], [74], [81], който носи

името на Нобеловия лауреат по икономика от 1981г. Джеймс Тобин. Този модел е

модификация на вероятностния пробит модел. Той разглежда тъй наречените

цензурирани извадки, когато липсват данни за зависимата променлива на част от

извадката. При него се прилага методът на максималното правдоподобие (ММП).

Представени са четирите параметрични вероятностни модела, прилагани в

образованието. Те използват основните параметри на задачите. Такива са параметрите

на трудност, дискриминация, налучкване и мотивация. Споменава се за тяхното

развитие в исторически план и за техните автори. Някои от публикациите по тази

тематика са [12], [51], [52], [53], [54], [55], [59], [67], [69], [72], [79].

Предложен от автора е нов петпараметричен модел. При него, освен описаните в

предходните вероятностни модели параметри, участва и параметърът k -


14

„компрометиране“. Той показва преписването, подсказването, изтичането на

информация за задачата и др. Характеристичната функция на всяка задача е от вида:

1

( ) (1 ) ( )1 j j

j j j j j a X Tp X k k c d c

e

.

Стойностите на параметъра jk се изменят в интервала 0,1 .

В последния параграф са оценени параметрите трудност и дискриминация на

заданието, като са сравнени еднопараметричният модел на Раш (вж. [69]) и

двупараметричният модел на Бирнбаум (вж. [54]) с подходящи логистични модели,

получени по МНМК. Резултатите показват, че при тези способности на изпитваните, за

да имаме най-малка средноквадратична грешка, трудността на заданието и

дискриминацията трябва да се задават с конкретни формули, които са посочени. Това

са препоръчителната трудност и препоръчителната дискриминация.

Втора глава е озаглавена „Приложение на вероятностните модели и S-метода

за изследвания и измервания в образованието”. Тя съдържа увод и шест параграфа.

В увода кратко е описано съдържанието на останалите параграфи. В тази глава са

разгледани наблюдения на резултатите по Висша математика 2 част на студенти от

ВТУ „Тодор Каблешков”. Върху тези наблюдения са приложени различни

вероятностни модели за пресмятане на вероятността за успешно полагане на изпита в

зависимост от посещаемостта на учебните занятия, изпълнението на домашните

задания и други. Дадени са и статистически методи за оценка на различните методи,

форми, стил и др. на преподаване от преподавателите, които оказват влияние върху

получените резултати от студентите на изпита. Определена е връзката между отделните

теми от изпита.

В началото е описан начинът на провеждане на изпита по Висша математика 2

част и оценяването на студентите. Представени са проблемите при обучението на

студентите. Дадени са способи за частичното преодоляване на част от тези проблеми.

Описана е важната роля на изпълнението на домашните работи. Показана е диаграма на

студентите от различните форми на обучение с процентите на „явилите се” и „не

явилите се” на изпит и на „взелите” и „не взелите” изпита, общо и по форми на

обучение.


15

Обобщени са резултатите от анкетните карти на студентите и са представени

диаграми, които дават нагледна представа за мнението им по различните въпроси, за

които са анкетирани.

Приложени са линейният вероятностен модел (ЛВМ) , Логит-моделът и Пробит-

моделът за получаване на вероятността за успешно полагане на изпита в зависимост от

изпълнението на домашните задания. Използват се тегла, свързани с дисперсиите на

остатъците, за уточнение на регресионните коефициенти. Сравнени са различните

модели и са направени изводи от тях.

Използвани са данните за 50 студента, за да се установи връзката на вероятността

за успех на изпита на студентите, от изпълнението на домашните задания. Направена е

таблица. Представени са графики на вероятността за успех. Показани са на една фигура

графиките и на трите модела, което дава възможност те нагледно да се сравнят.

Направени са изводи за техните предимства и недостатъци.

Направен е двуфакторен анализ за получаване на вероятността за успешно

полагане на изпита в зависимост от посещаемостта на учебните занятия и изпълнението

на домашните задания, като са използвани горните вероятностни модели. Това се

налага и по простата причина, че в предходния параграф свободният член в линейния

модел се оказва положителен, което подсказва за наличието на друг фактор.

И за трите модела са построени критичните прави, които са проекции върху

равнината 1 2X OX на кривите, за които вероятността за успех е равна на 0,5. Построени

са графиките и на трите критични прави на една фигура, което дава по-добра нагледна

представа за тях. Извършено е сравнение между различните модели и са направени

изводи за вероятността за успешно полагане на изпита от студентите според тях.

Дадена е сравнителна таблица за трите модела с функциите за вероятностите и

получените регресионни коефициенти.

Направено е многомерно обобщение във векторен вид на параметричните

вероятностни модели, както и на логистичния и пробит модела. Обосновано е защо се

налага това обобщение. Определена е критичната права (равнина, хиперравнина),

където вероятността е равна на 0,5. Посочен е най-краткия път до нея. Споменати са

възможни приложения на направените обобщения и в други области.

Разгледан е методът на Шефе (Schefe) [21], означен кратко като S-метод, за

множествени сравнения. Този метод е част от post-hoc тестовете за множествени


16

сравнения. Въведени са различни видове контрасти. Показано е предимството на някои

форми на обучение и начин на преподаване и подготовка за изпита.

В последния параграф е направен анализ на изпита по Висша математика 2 част.

Отчетени са резултатите от статистическото изследване с S-метода за връзката между

отделните теми от изпита. Използван е и корелационен анализ [10], [28] за връзката

между отделните теми от конкретен изпит. Взети са предвид резултатите от ЛВМ, за да

оценим защо някои теми са по-предпочитани от студентите пред други. Дадени са

възможни обяснения за това.

Трета глава е озаглавена „Статистически и вероятностни методи за

сравняване и оценка на кандидат-студентски тестове и оценка на реален изпитен

тест за ученици”.

В първите три параграфа на тази глава е приложена Класическата Теория на

Тестовете (КТТ) за пресмятане на параметрите на тестовете и анализ на получените

резултати [4], [5], [6], [13], [33], а в останалите параграфи е приложена теорията от

вероятностното моделиране, известна още като IRT (Item Response Theory) и теорията

на логит моделите.

Дефинирани са основните характеристики на изпитен тест, дадени са и основни

познания от статистиката (корелационен анализ, дисперсионен анализ и други).

Определени са понятия, като: надеждност, трудност, валидност, дискриминация, алфа

на Кронбах и други, според КТТ.

Разгледани са резултатите от четири приемни кандидат-студентски изпити по

математика за ВТУ „Тодор Каблешков”. Пресметнати са основните им характеристики

и е извършено сравнение между тях с използването на методите от дисперсионния

анализ. Показано е, че те са надеждни и измерват едно и също качество на студентите и

са практически неразличими. Един и същи кандидат-студент, ако се яви и на четирите

изпита, би получил сходни резултати. От получените резултати са направени изводи за

качеството на обучението по математика в средния курс и са дадени конкретни

препоръки. Представени са таблици и графики, които дават по-добра нагледна

представа.

Изследвани са резултатите от реален изпитен тест по математика за ученици от

седми клас. Общо са изследвани 302 ученици от различни училища в град София. След

изпълнението на теста учениците са попълнили анкетна карта. Направен е анализ на


17

получените резултати и се оценява влиянието на различните фактори. Представени са

таблици и графики, които дават по-добра нагледна представа.

Приложен е еднопараметричният модел на Раш, който е част от вероятностното

моделиране или IRT (Item Response Theory). Пресметнати са вероятностите за

правилното решаване на задачите от теста и параметрите им. Тестът е същия тест,

който е разгледан и с помощта на КТТ. Направено е сравнение на получените резултати

по двата метода. Направени са таблици и графики, които дават по-добра нагледна

представа. Показани са графиките на характеристичната и информационна функция,

както на целия тест, така и по задачи. Представени са графиките на характеристичната

и информационна функция, както на средното за всички ученици, така и за учениците

по училища и пол. Използван е квадратичен метод по броя на задачите за определяне на

максимума на отклонението, свързано с оптималната дължина на теста и определяне на

оптимално време за изпълнението му.

Приложен е двупараметричният модел на Бирнбаум за същия тест и са

пресметнати характеристиките му. Представени са графиките на характеристичната и

информационна функция, както на целия тест, така и по задачи. Направено е сравнение

с модела на Раш от предния параграф. Показани са сравнителни графики на

характеристичната и информационна функция на двата модела.

Приложени са логит–моделите, които са разгледани в параграф 8 на Първа глава,

за да се оценят съответно параметрите на трудност на задачите в еднопараметричния

модел на Раш и параметрите на трудност и дискриминация на задачите в

двупараметричния модел на Бирнбаум. Сравнени са резултатите на едноименните

модели, получени по двете методики за определяне на параметрите им.

Направен е съпоставителен анализ на едноименните параметри на задачите

получени при Класическата теория на тестовете, Теорията на вероятностното

моделиране и Теорията на логит моделите.


18

ПЪРВА ГЛАВА

ВЕРОЯТНОСТНИ МОДЕЛИ И ВЪЗМОЖНОСТИ

ЗА ИЗПОЛЗВАНЕТО ИМ В ОБРАЗОВАНИЕТО

УВОД

В последните години, освен класическата теория на тестовете (КТТ) широко

приложение намира вероятностното моделиране – IRT (Item Response Theory).

Вероятностното моделиране е разработено през втората половина на 20 век. За

основополагащ труд се счита книгата на датския математик Г. Раш (Rasch,1960) [69]. В

нея подробно се представя еднопараметричния модел. По-късно са разработени

двупараметричен, трипараметричен и четирипараметричен модел [52], [53], [54].

В тази глава ще разгледаме нов по-различен подход, с използване и на други

вероятностни модели, които могат да се прилагат в образованието. Дадени са

теоретичните основи на тези модели и са направени техни подобрения и модификации,

които дават възможност те да се прилагат успешно в образованието. При тях е

използван обобщеният метод на най-малките квадрати (МНМК). Направени са

различни наблюдения и са приложени статистически методи за пресмятане например

на вероятността за успешно полагане на изпита в зависимост от посещаемостта на

учебните занятия, изпълнението на домашните задания и други.

Тези модели се използват за различни приложения в образованието, както в тази

глава, така и в следващата. Могат да се използват и за други незасегнати в

дисертацията въпроси не само в образованието, но и в други сфери на обществото.

В първи параграф е описан методът на най-малките квадрати (МНМК). Дават се

различни негови модификации – за приближаване на функции, за регресионен анализ,

за решаване на преопределени системи. Изведени са директно формули за различна

размерност, които ще бъдат прилагани многократно в следващите параграфи.

Във втори параграф е описан линейният вероятностен модел. При него е

използван двукратно метода на най-малките квадрати (МНМК): първия път за

предварително намиране на вероятностите и пресмятане на теглата и втория път за

същинското пресмятане на вероятностите. Методът е приложен за пресмятане на

вероятността за успешно полагане на изпит в зависимост от броя на решените задачи от

зададените домашни.


19

В трети параграф е направена модификация на линейния вероятностен модел, като

функцията за приближение не е линейна, а полином от по-висока степен. Така

получаваме полиномиален вероятностен модел (ПВМ). По-подробно е описан моделът,

когато функцията е полином от втора степен. Този метод наричаме квадратичен

вероятностен модел (КВМ). Дадени са и са решени примери за частта на грешките

според продължителността на занятието и за успеваемостта според броя на задачите на

изпита. Дадени са и възможни други приложения на методите в образованието.

В четвърти параграф е описан логистичният вероятностен (Logit) модел. Въведена

е шансова пропорция и са дадени теглата при прилагане на обобщението на метода на

най-малките квадрати (МНМК), който се използва при Логит-модела.

В пети параграф е описан пробит (probit) модела, при който се използва

стандартно нормално разпределение и отново е приложен методът на най-малките

квадрати (МНМК).

В шести параграф е описан кратко тобит (tobit) модела, който носи името на

Нобеловия лауреат по икономика от 1981г. Джеймс Тобин. Този модел е модификация

на вероятностния пробит (probit) модел. Той разглежда тъй наречените цензурирани

извадки, когато липсват данни за част от извадката. При него се прилага методът на

максималното правдоподобие (ММП).

В седми параграф са представени прилаганите в образованието четири

параметрични модела. Те използват основни параметри на задачите. Такива са трудност

на задачата, дискриминация, налучкване и мотивация. Споменато е за тяхното развитие

в исторически план и за техните автори. Предложен е петпараметричен модел и са

дадени примери за неговото приложение.

В осми параграф са оценени параметрите трудност и дискриминация на задачата,

като са сравнени еднопараметричният модел на Раш и двупараметричният модел на

Бирнбаум с подходящи логистични модели, получени по МНМК.

Направени са препоръки за подбиране на задачи с подходяща трудност и

дискриминация, според способностите на изпитваните.


20

1. МЕТОД НА НАЙ-МАЛКИТЕ КВАДРАТИ

За метода на най-малките квадрати и приложението му за статистически

изследвания има редица публикации, например: [25], [28], [32], [34], [37], [45], [46],

[47].

В дисертацията този метод е многократно използван с различни негови

модификации при пресмятане на коефициенти на корелация и при представянето на

вероятностните модели, които ще приложим за педагогически изследвания.

1.1. Най-добри приближения с полиноми

Нека в резултат на някакви изследвания сме получили данни за функцията ( )y x в

определени точки, т.е. известни са стойностите ( )i iy y x в точките ix , 1, 2, ,i m .

Искаме да приближим функцията ( )y x с полином от степен k , имащ вида:

(1.1) 1 21 2 1 0( ) k k

k k kp x b x b x b x b x b ,

като познаваме стойността на функцията и променливата в ( 1)m m k точки.

Трябва да решим по МНМК матричното уравнение (системата), относно

коефициентите jb :

(1.2) 1 21 2 1 0( ) k k

i k i k i i iy x b x b x b x b x b за 1, 2,..., при 1i m m k .

Методът на най-малките квадрати (МНМК) разглежда минимизирането на

функцията:

(1.3) 1 2 20 2 1 2 1 0

1

( , , , ) ( )m

k kk k i k i i i i

i

F b b b b x b x b x b x b y

.

Тази функция представлява обобщената грешка от изглаждането, отчитаща

грешката която ще направим във всяка една от точките ix , 1, 2, ,i m .

От необходимото условие за екстремум след внимателно преобразуване следва, че

коефициентите на полинома на най-добро приближение ( )kp x трябва да

удовлетворяват системата:

(1.4)

0 11 1 1

2 10 1

1 1 1 1

1 20 1

1 1 1 1

.m m m

ki k i i

i i i

m m m mk

i i k i i ii i i i

m m m mk k k ki i k i i i

i i i i

b m b x b x y

b x b x b x x y

b x b x b x x y

.


21

При 1k се получава задачата за линейна регресия. Търсим уравнение от вида

0 1Y b b X и системата има вида:

(1.5) 0 1i iY b b X за 1,2,..., при 2i m m (вж. Фиг. 1.1).

Системата за намиране на неизвестните 0 1,b b е:

(1.6) 0 1

1 1

20 1

1 1 1

.m m

i ii i

m m m

i i i ii i i

b n b x y

b x b x x y

.

Фиг. 1.1 Графично представяне на задачата за линейна регресия

Във всяко уравнение имаме остатъци ie , изпълнено е всъщност:

0 1i i iY b b X e за 1,2,..., при 2i m m .

За остатъците при МНМК трябва да е в сила условието за хомоскедастицитет,

което означава да имаме еднакво разпределение на дисперсиите 2i на остатъците.

Тогава в сила е: 2 2 21 2 ... m .

На Фиг. 1.2 нагледно е представено условието за хомоскедастицитет при

нормално разпределение на остатъците.


22

Фиг. 1.2 Графично представяне на условието за хомоскедастицитет

При 2k търсим уравнение от вида 20 1 2Y b b X b X и системата има вида:

(1.7) 20 1 2i i iY b b X b X за 1,2,..., при 3i m m .

За намирането на неизвестните 0 1 2, ,b b b съставяме системата:

(1.8)

20 1 2

1 1 1

2 30 1 2

1 1 1 1

2 3 4 20 1 2

1 1 1 1

.m m m

i i ii i i

m m m m

i i i i ii i i i

m m m m

i i i i ii i i i

b m b x b x y

b x b x b x x y

b x b x b x x y

.

1.2. Приближено решаване на преопределени системи

Да разгледаме система от n линейни уравнения с k неизвестни:

(1.9)

11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 2 2

1 1 2 2

k k

k k

n n nk k n

a x a x a x d

a x a x a x d

a x a x a x d

,

където коефициентите ,ij ia d , за 1, 2, , , 1, 2, ,i n j k са дадени и е изпълнено

неравенството k n .


23

При стандартни матрични означения

11 1

1

k

n nk

a a

A

a a

,

1

2

n

d

dD

d

,

1

2

k

x

xX

x

система (1.9) може да запишем във вида:

(1.10) .A X D ,

Система (1.9) се нарича преопределена, ако броят на линейно независимите

уравнения в тази система е по-голям от броя на неизвестните k. Ще считаме, че всички

n уравнения в (1.9) са линейно независими.

Известно е, че такава система няма решение. Ще покажем как може да се решават

преопределени системи, макар и приближено. За приближеното решение на (1.9) ще

търсим наредена k–торка числа, която да удовлетворява системата с възможно най-

малка грешка.

Методът на най-малките квадрати (МНМК) разглежда минимизирането на

функцията:

(1.11) 21 2 1 1 2 2

1

( , , , ) ( )n

k i i ik k ii

F x x x a x a x a x d

.

Тази функция е точно сумата от квадратите на грешките, които ще направим във

всяко едно уравнение на системата, ако за приближено решение сме избрали

1 2( , , , )kx x x .

Минимизирането на тази обобщена грешка води до задача за минимизиране на

функция на няколко променливи. От необходимото условие за екстремум след

преобразуване получаваме системата:

(1.12)

1 1 1 2 2 1 1 1 11 1 1 1

1 1 2 2 2 2 2 2 21 1 1 1

1 1 2 21 1 1 1

n n n n

i i i i k ik i ii i i i

n n n n

i i i i k ik i ii i i i

n n n n

i ik i ik k ik ik k iki i i i

x a a x a a x a a d a



,

Нека означим с A транспонираната матрица на матрицата A .


24

Произведението A A е квадратна матрица от ред k, а A D е вектор-стълб с k

елемента. Освен това, може да се докаже, че det( ) 0A A и тогава система (1.12) има

единствено решение. Решението на (1.12) е точка на глобален минимум на функцията

1 2( , , , )kF x x x и представлява най-добро приближение по метода на най-малките

квадрати. Следователно най-доброто приближено решение по МНМК на (1.9) е точното

решение на (1.12). Тази система може да се запише, като матрично уравнение във вида:

(1.13) .A A X A D .

Ще разгледаме два частни случая, когато броят на неизвестните е 2 и когато броят

на неизвестните е 3, защото те ще бъдат многократно използвани в дисертацията.

Нека системата е от n линейни уравнения с 2 неизвестни:

(1.14)

01 0 11 1 1

02 0 12 1 2

0 0 1 1n n n

c x c x d

c x c x d

c x c x d

,

където коефициентите 0 1, ,i i ic c d , за 1,2, ,i n са дадени и е изпълнено

неравенството 2n .

Векторният вид на системата (1.14) може да запишем във вида:

(1.15) 0 0 1 1. .C x C x D ,

където:

01

020

0n

c

cC

c

,

11

121

1n

c

cC

c

,

1

2

n

d

dD

d

.

Матричният вид на система (1.14) може да запишем във вида:

(1.16) .C X D ,

където:

01 11

02 12

0 1n n

c c

c cC

c c

,

1

2

n

d

dD

d

, 0

1

xX

x

, 01 02 0

11 12 1

n

n

c c cC

c c c

.

Най-доброто приближено решение по МНМК на (1.16) е точното решение на

(1.17) .C C X C D .


25

Пресмятаме:

01 11 20 0 1

1 101 02 0 02 12

11 12 1 20 1 1

1 10 1

n n

i i ii in

n nn

i i ii in n

c cc c c

c c c c cC C

c c cc c c

c c

;

10

101 02 0 2

11 12 11

1

n

i iin

nn

i iin

dc d

c c c dC D

c c cc d

d

.

Система (1.17) приема вида

(1.18)

20 0 1 0 1 0

1 1 1

20 0 1 1 1 1

1 1 1

n n n

i i i i ii i i

n n n

i i i i ii i i

x c x c c c d

x c c x c c d

,

с неизвестни 0 1,x x .

Детерминантата на линейна система (1.18) е различна от нула, следователно

можем да намерим единствено решение на тази система, което ни дава най-доброто

приближено решение по МНМК на система (1.14).

Нека системата е от n линейни уравнения с 3 неизвестни:

(1.19)

01 0 11 1 21 2 1

02 0 12 1 22 2 2

0 0 1 1 2 2n n n n

c x c x c x d

c x c x c x d

c x c x c x d

,

където коефициентите 0 1 2, , ,i i i ic c c d , за 1, 2, ,i n са дадени и е изпълнено

неравенството 3n .

Най-доброто приближение на система (1.19) е точното решение на системата:

(1.20)

20 0 1 0 1 2 0 2 0

1 1 1 1

20 0 1 1 1 2 1 2 1

1 1 1 1

20 0 2 1 1 2 2 2 2

1 1 1 1

n n n n

i i i i i i ii i i i

n n n n


n n n n


x c x c c x c c c d

x c c x c x c c c d

x c c x c c x c c d

.


26

1.3. Многофакторен линеен регресионен модел и проверка за значимост на

получените коефициенти

Многофакторен линеен регресионен модел.

Нека изследваме зависимостта на променливата y от променливите 1 2, , , kx x x .

Търсим линейно уравнение за зависимост от вида:

(1.21) 0 1 1 2 2ˆ . . .k ky x x x .

Правим наблюдение (извадка) с обем ( 1)n n k . С 1 2, , ,j j kjx x x отбелязваме

стойностите на 1 2, , , kx x x при j -тия опит, а jy е стойността на y при j -тия опит.

Заместваме с данните за 1 2, , , kx x x и y , получени при опитите в уравнение

(1.21) и получаваме система от n уравнения с (k + 1) неизвестни:

(1.22)

0 11 1 21 2 1 1

0 12 1 22 2 2 2

0 1 1 2 2

. . .

. . .

. . .

k k

k k

n n kn k n

x x x y

x x x y

x x x y

.

При стандартни матрични означения

11 21 1

12 22 2

13 23 3

1 2

1

1

1

1

k

k

k

n n kn

x x x

x x x

X x x x

x x x

,

1

2

n

y

yY

y

,

0

1

2

k

B

,

система (1.22) може да запишем във вида:

(1.23) .X B Y ,

При обем на извадката 1n k , система (1.22) е преопределена и се решава по

метода на най-малките квадрати, чрез системата:


27

(1.24)

0 1 11 1 1

20 1 1 1 1 1

1 1 1 1

20 1 1

1 1 1 1

.n n n

i k ki ii i i

n n n n

i i k i ki i ii i i i

n n n n

ki i ki k ki ki ii i i i

n x x y

x x x x x y

x x x x x y

.

В матричен вид системата е:

(1.25) .X X B X Y ,

където:

X - транспонирана матрица на матрицата X .

Решението на система (1.25) в матричен вид е:

(1.26) 1.B X X X Y

.

Проверка за значимост на коефициентите на линейната регресия.

По МНМК получаваме приближени стойности за коефициентите на регресия,

които могат да се различават от същинските коефициенти. Поради това се налага да се

извърши проверка за значимост на получените стойности [21], [77].

Дефинираме (k+1) на брой хипотези, които се отнасят за същинските коефициенти

и имат един и същ вид:

(1.27) 0

1

: 0, 0,1, ,

: 0j

j

Hj k

H

.

Изчисляваме оценка на случайния компонент в общата дисперсия по формулата:

(1.28)

2

2 1

ˆ( )

( 1)

n

i ii

e

y y

n k

.

Тъй като матрицата G X X е квадратна и det( ) 0G можем да намерим нейната

обратна матрица. Матрицата 1G се нарича дисперсионна или ковариационна матрица

и има вида:


28

(1.29)

00 01 0

10 11 11 1

0 1

( )

k

k

k k kk

g g g

g g gG X X

g g g

Пресмятаме средната стохастическа грешка за коефициентите , 0,1, ,j j k по

формулата:

(1.30) 2.j e jjg ,

където jjg е j -я диагонален елемент на дисперсионната матрица (1.29).

Изчисляваме емпиричните стойности:

(1.31) . j

j

j

емпt

, 0,1, ,j k .

Определяме равнището на значимост (риск за грешка) и степените на свобода

( 1)n k .

Намираме теоретичната стойност, като използваме разпределението на Стюдънт (t

– разпределението):

(1.32) , ( 1)Tt t n k .

Сравняваме емпиричните и теоретичните стойности и правим извод относно

значимостта на коефициентите , 0,1, ,j j k .

Ако . jемп Tt t се приема алтернативната хипотеза 1H , т.е. коефициентът j е

статистически значим, с равнище на значимост .

Ако . jемп Tt t се приема нулевата хипотеза 0H , т.е. коефициентът j е

статистически незначим, с равнище на значимост .

Забележка:

Методът може да се използва и при преопределени системи за проверка

значимостта на получените оценки за неизвестните. Като следствие от това, описаният

метод може да се използва и за оценка на значимостта на коефициентите на

множествена линейна регресия, когато прилагаме МНМК с тегло.


29

2. ЛИНЕЕН ВЕРОЯТНОСТЕН МОДЕЛ И ПРИЛОЖЕНИЯ

При линейния вероятностен модел зависимата променлива Y е дихотомна и има

само две значения – 0 и 1, които са индикатор за наличие и отсъствие на някакво

явление.

(2.1) 1, при наличие на дадено явление,


1. Еднофакторен модел

Ще търсим стойността на променливата Y , като зависеща линейно от един фактор

X :

(2.2) 0 1Y X .

където:

0 – свободен член;

1 – коефициентът пред фактора Х;

– остатък (стохастично отклонение).

Ще разгледаме зависимата променлива Y , като случайна величина, която има

следното разпределение:

Значение на iY Вероятност

1 iP

0 1 iP

Общо: 1

Тогава за математическото очакване ( )M Y на случайната величина имаме:

(2.3) ( ) 1. 0.(1 )i iM Y P P .

Ако разгледаме математическото очакване на условната случайна величина, да се

случи Y при наличието на фактора X , съгласно МНМК уравнението (2.2) можем да

запишем във вида:

(2.4) 0 1( / )M Y X Y b b X .

От горните две равенства следва връзката:


30

(2.5) 0 1( ) ( / )i i i i i iM Y M Y X Y b b X P .

От уравнение (2.2) намираме стохастичното отклонение:

0 1Y X .

Без да влизаме в големи подробности, които да затрудняват изложението на

модела ще отбележим, че дисперсиите на остатъците i зависят от зависимата

променлива X. Нарушено е условието за хомоскедастицитет (за равенство на

стандартните отклонения при различни стойности на факторната променлива).

Директното приложение на МНМК може да даде големи отклонения.

Остатъците имат разпределение близко до биномното разпределение ( , ( ))i iB N P X

с дисперсия 2 ( )(1 ( )) (1 )i i i iP X P X P P , съгласно [18], [19], [34].

Това ни дава основание да приложим обобщения (претеглен) МНМК с тегла

(1 )i i iW P P , съгласно [34]. Тъй като вероятностите не са ни предварително

известни и поради равенство (2.5) ще направим оценка за теглата iW . Това става като

приложим МНМК за матричното уравнение (2.4) и използваме равенството

0 1i i iY b b X P .

Етапи:

1. Намираме оценка за теглата iW по описания начин и претегляме изходните

данни, като разделяме изходното матрично уравнение с тях:

(2.6)

0 1i i

i i i i

Y X

W W W W

.

2. Използваме уравнението с трансформираните променливи, прилагаме МНМК и

получаваме оценките за параметрите му.

Ще опишем по-подробно стъпките на метода.

1. Определяме изходното уравнение във вида, посочен в (2.2).

2. Заместваме параметрите с техните бъдещи оценки и уравнението приема вида:

(2.7) 0 1i iY b b X .


31

Прилагаме спрямо това уравнение МНМК и по познатия начин получаваме

теоретичните стойности на резултативната променлива iY .

3. Използваме връзката i iP Y за да получим теглата:

(2.8) (1 )i iiW Y Y .

4. Претегляме изходните данни, като разделяме на теглата и получаваме:

(2.9) i

i

i

YZ

W ,

0

1i

i

cW

и 1

ii

i

Xc

W .

Така, уравнението от което ще се оценяват регресионните коефициенти, приема

вида:

(2.10) * *0 0 1 1i i iZ b c b c .

Прилагаме МНМК и намираме регресионните коефициенти от системата:

(2.11)

* 2 *0 0 1 0 1 0

1 1 1

* * 20 0 1 1 1 1

1 1 1

n n n

i i i i ii i i

n n n

i i i i ii i i

b c b c c c Z

b c c b c c Z

.

5. С получените оценки заместваме в изходното уравнение при непретеглени

стойности на iX и получаваме очакваната стойност на вероятността *iY за наличието

на явлението при дадено равнище на iX .

За получаване стойностите на *iY използваме:

(2.12) ** * *

0 1i i iY b b X P .

Забележка:

Ще отбележим, че ако на първия етап получим отрицателни стойности за i iP Y ,

то тези статистически данни се премахват от следващите пресмятания, защото

вероятността трябва да е по-голяма или равна на нула и дисперсията (1 ) 0i i iW P P .

Ако за вероятността *iY се получи по-голяма от 1 стойност, то считаме, че

вероятността * 1iY и ако * 0iY ще считаме, че * 0iY .


32

На Фиг. 1.3 и Фиг. 1.4 са представени графиките на връзката между X и Y

съответно, когато стойностите на *iY са без и със ограничение.

Моделът може да се използва в образованието например, ако искаме да

пресметнем вероятността студент да си вземе изпита в зависимост от броя на

посещенията му на учебните занятия или в зависимост от количеството и качеството на

вярно решените задачи за подготовката за изпита и други. Примери за приложение на

модела ще дадем във втора глава.

Фиг. 1.3 Графика на връзката между X и Y, когато стойностите на *iY

са без ограничение

Фиг. 1.4 Графика на връзката между X и Y, когато стойностите на *iY

са с ограничение

Ще разгледаме многофакторен модел, когато фиктивната променлива Y зависи от

повече фактори 1X , 2X ,..., sX . Ще се спрем подробно на двуфакторния модел.

Принципно няма разлика при модели с повече от два фактора.


33

2. Двуфакторен модел

Фиктивната променлива Y зависи от два фактора 1X и 2X .

Нека разглежданите възможни стойности за 1X са k , възможните стойности за

2X са l . Тогава възможните различни двойки стойности са .m k l . При

статистическите наблюдения е възможно някои двойки да липсват или да се повтарят.

Нека изследваните от нас данни са n , където 3n . Предполагаме, че двата

фактора са еднакво мащабирани. Ще търсим уравнение от вида:

(2.13) 0 1 1 2 2Y X X .

1. Без да изпадаме в подробности и да повтаряме вече изложените разсъждения,

след като заместим със стойностите на факторните променливи, стигаме до матричното

уравнение (системата):

(2.14) 1, 2, 0 1 1, 2 2,( ) ( / , )i i i i i i i iM Y M Y X X Y b b X b X P за 1,2,...,i n .

2. Решаваме системата по МНМК и получаваме теоретичните стойности за

резултативната променлива iY .

3. Използваме връзката i iP Y , за да получим теглата:

(2.15) (1 )i iiW Y Y .


(2.16)

ii

i

YZ

W ,

0

1i

i

cW

, 1,

1i

i

i

Xc

W и

2,

2i

i

i

Xc

W .

Така уравнението от което ще се оценяват регресионните коефициенти приема

вида:

(2.17) * * *0 0 1 1 2 2i i i iZ b c b c b c .



34

(2.18)

* 2 * *0 0 1 0 1 2 0 2 0

1 1 1 1

* * 2 *0 0 1 1 1 2 1 2 1

1 1 1 1

* * * 20 0 2 1 1 2 2 2 2

1 1 1 1

n n n n


n n n n


n n n n


b c b c c b c c c Z

b c c b c b c c c Z

b c c b c c b c c Z

.



на явлението при дадено равнище на 1,iX и 2,iX .

За намиране стойностите на *iY използваме:

(2.19) ** * * *

0 1 1, 2 2,i i i iY b b X b X P .


пресметнем вероятността студент да си вземе изпита в зависимост от посещението му

на учебните занятия и в зависимост от количеството решени задачи за подготовката за

изпита. Тук факторните променливи са броя на посещенията му на учебните занятия и

броя вярно решени задачи за подготовката за изпита. Моделът може да се приложи,

както за целия изпит, така и за части от него. В частност може да се приложи и за всяка

задача поотделно. Примери за приложение на модела са дадени във Втора глава.


35

3. ПОЛИНОМИАЛЕН ВЕРОЯТНОСТЕН МОДЕЛ И ПРИЛОЖЕНИЯ

В този параграф ще направим модификация на линейния вероятностен модел,

като функцията за приближение не е линейна, а полином от по-висока степен. Така

получаваме полиномиален вероятностен модел (ПВМ).

(3.1) 20 1 2

nnY X X X .

По-подробно ще опишем модела, когато функцията е полином от втора степен,

този модел наричаме квадратичен вероятностен модел (КВМ).

3.1. Квадратичен вероятностен модел

Квадратичният вероятностен модел (КВМ) се описва с уравнението:

(3.2) 20 1 2Y X X .

От това уравнение намираме стохастичното отклонение:

20 1 2Y X X .

Дисперсиите на отклоненията i зависят от зависимата променлива X. Нарушено е

условието за хомоскедастицитет (за равенство на стандартните отклонения при

различни стойности на факторната променлива). Директното приложение на МНМК

може да даде големи отклонения.

Остатъците имат разпределение близко до биномното разпределение ( , ( ))i iB N P X

с дисперсия 2 ( )(1 ( )) (1 )i i i iP X P X P P .

Това ни дава основание да приложим обобщения (претеглен) МНМК с тегла

(1 )i i iW P P . Тъй като вероятностите не са ни предварително известни и поради

равенството 20 1 2( ) ( / )i i i i i i iM Y M Y X Y b b X b X P ще направим оценка за теглата

iW . Това става като се приложи МНМК за матричното уравнение

20 1 2( / )M Y X Y b b X b X и се използва равенството 2

0 1 2i i i iY b b X b X P .

Етапи:

1. Намираме оценка за теглата iW по описания начин и претегляме изходните

данни, като разделяме изходното матрично уравнение с тях:

(3.3)

20 1 2i i i

i i i i i

Y X X

W W W W W

.


36

2. Използваме уравнението с трансформираните променливи, прилагаме МНМК и

получаваме оценките за параметрите му.


1. Определяме изходното уравнение във вида, посочен в (3.2).

2. Заместваме параметрите с техните бъдещи оценки и уравнението приема вида:

(3.4) 20 1 2i i iY b b X b X .

Прилагаме спрямо това уравнение МНМК и по познатия начин получаваме

теоретичните стойности на резултативната променлива iY .

3. Използваме връзката i iP Y , за да получим теглата:

(3.5) (1 )i iiW Y Y .


(3.6) i

i

i

YZ

W ,

0

1i

i

cW

, 1

ii

i

Xc

W и

2

2i

i

i

Xc

W .


вида:

(3.7) * * *0 0 1 1 2 2i i i iZ b c b c b c .


(3.8)

* 2 * *0 0 1 0 1 2 0 2 0

1 1 1 1

* * 2 *0 0 1 1 1 2 1 2 1

1 1 1 1

* * * 20 0 2 1 1 2 2 2 2

1 1 1 1

n n n n


n n n n


n n n n


b c b c c b c c c Z

b c c b c b c c c Z

b c c b c c b c c Z

.



на явлението при дадено равнище на iX .


37

За получаване стойностите на *iY използваме:

(3.9) ** * * * 2

0 1 2i i i iY b b X b X P .

Както при линейния вероятностен модел (ЛВМ) и за полиномиалните

вероятностни модели (ПВМ), в частност и за квадратичен вероятностен модел (КВМ),

се в сила следните забележки.

Забележки:

1. Ще отбележим, че ако на първия етап получим отрицателни стойности за

i iP Y , то тези статистически данни се премахват от следващите пресмятания.

2. Ако за вероятността *iY се получи по-голяма от 1 стойност, то считаме, че

вероятността * 1iY и ако * 0iY ще считаме, че * 0iY .

Понякога вместо дихотомната променлива:

* 1, при наличие на дадено явление,

0, при отсъствие на дадено явление,iY

може да се използва честотата iY , с която се случва явлението.

След това се прилага МНМК като се използват честотите, тогава имаме:

(3.10) 20 1 2i i iY b b X b X за 1,2,...,i n .

Получаваме вероятностите за резултативната променлива iY .

Процесът може да спре и тук, но може да се използват получените стойности

отново да се сметнат теглата и с тях да се използва обобщения МНМК и да се уточнят

стойностите на вероятностите.

Използваме връзката i iP Y , за да получим теглата:

(3.11) (1 )i iiW Y Y .

Процедурата продължава както описаното преди от точка 4. нататък.

Ще разгледаме конкретни примери за приложение на КВМ.


38

3.2. Определяне на продължителността на занятието и дължината на теста

Изследване 1.

Проведен е подготвителен курс с ученици от 4 клас с първоначална

продължителност на занятието 180 минути. В първите 20 минути преподавателят

представя темата и след това поставя еднотипни тестови задачи за самостоятелна

работа. На всеки 20 минути проверява верността на решените от курсистите

(учениците) задачи според получените отговори и следи за процента на грешките,

които правят курсистите. Получените данни обобщено са поместени в таблица 1.1.

Таблица 1.1 Дял на грешните отговори с изменение на времето

Продължителност на обучението в минути

40 60 80 100 120 140 160 180

Дял (част) на грешно решените задачи

0,50 0,40 0,30 0,20 0,05 0,10 0,15 0,25

Ще определим частта на грешките според времето и ще определим колко трябва

да е оптималната продължителност на занятието, че курсистите да са във върхова

форма. Вижда се, че грешките имат вид на парабола и ще определим нейните

коефициентите.

Цел на изследването е определяне на оптималната продължителност на

подготвителния курс за 4 клас.

Място на изследването е Първа Частна Математическа Гимназия (ПЧМГ).

Обект на изследването са 44 курсисти (ученици) от подготвителния курс по

математика за 4 клас.

Предмет на изследването е броят на допуснатите грешки в зависимост от

изминалото време от началото на занятието.

Данните са получени от предварително раздадените бланки за отговори.

Хипотеза за резултата от изследването: Броят на допуснатите грешки зависи

от продължителността на занятието.

Метод на теоретичното изследване е квадратичният вероятностен модел.


Ако с X отбележим времето от началото на занятието, а Y е частта на грешките

за това време, определяме изходното уравнение във вида:

20 1 2Y X X .

Заместваме параметрите с техните бъдещи оценки и уравнението приема вида:

20 1 2 1, 2,...,8 .i i iY b b X b X i


39

Намираме коефициентите 0 1 2, ,b b b по МНМК:

Коефициент Стойност

0b 0,98780

1b -0,01320

2b 0,00005

Тогава за приближението на частта на грешките Y получаваме уравнението:

20,98780 0,01320. 0,00005.i i iY X X .

Намираме точката на минимум на параболата 10

22

bX

b

и пресмятаме частта на

грешките 0( )Y X от горното уравнение:

0 132,39X , 0( ) 0,114Y X .

Това показва, че оптималната продължителност е 132,39 минути и ако учебните

часове са по 45 минути, това прави 3 учебни часа, като преподавателят има малко

повече от 2 минути за заключителни бележки. След това време курсистите са изморени

или разконцентрирани и започват да правят повече грешки. Методът може да завърши

и дотук, но ще продължим с втория етап, за да изгладим възможните грешки.

Сега ще доуточним коефициентите, като използваме тегла от получените

резултати дотук и приложим обобщения МНМК.

За теоретичните стойности на резултативната променлива iY и за теглата iW

получаваме данните, представени в таблица 1.2.

Претегляме изходните данни, като разделяме на теглата:

i

i

i

YZ

W ,

0

1i

i

cW

, 1

ii

i

Xc

W и

2

2i

i

i

Xc

W .

и получаваме таблица 1.3.


вида: * * *0 0 1 1 2 2i i i iZ b c b c b c .

Прилагаме МНМК и намираме регресионните коефициенти:


*0b 1,03250 *1b -0,01414 *2b 0,00005


40

Таблица 1.2 Тегла

iX iY iY

iW

40 0,50 0,540 0,498

60 0,40 0,375 0,484

80 0,30 0,251 0,434

100 0,20 0,166 0,372

120 0,05 0,122 0,327

140 0,10 0,117 0,321

160 0,15 0,152 0,359

180 0,25 0,227 0,419

Таблица 1.3 Претеглени данни

0ic 0ic 0ic iZ

2,01 80,25 3210,08 1,00

2,07 123,92 7434,95 0,83

2,31 184,53 14762,63 0,69

2,69 268,52 26852,01 0,54

3,06 367,01 44040,83 0,15

3,11 435,62 60987,43 0,31

2,78 445,56 71289,01 0,42

2,39 429,65 77336,77 0,60

С получените оценки заместваме в изходното уравнение при непретеглени


на явлението при дадено равнище на iX :

* 21,03250 0,01414. 0,00005.i i iY X X .

Намираме точката на минимум на параболата *

* 10 *

22

bX

b


грешките * *0( )Y X от горното уравнение :

*0 131,46X , * *

0( ) 0,103Y X .

Резултати от изследването: Броят на допуснатите грешки съществено зависи от

продължителността на занятието. Оптималната продължителност е 131,46 минути и ако

учебните часове са по 45 минути, това прави 3 учебни часа, като преподавателят има

малко повече от 3 минути за заключителни бележки. След това време курсистите са

изморени или разконцентрирани и започват да правят повече грешки.

Ще представим получените вероятности за грешки, получени при двата етапа,

без тегла и с тегла за сравнение в таблица 1.4.


41

Таблица 1.4 Вероятности за грешки

За нагледност ще приложим и графиките на получените параболи при двата

етапа на Фиг. 1.5.

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

0 30 60 90 120 150 180 210 240

Дял

на

греш

ките

Минути

непретеглени стойности претеглени стойности

Фиг. 1.5 Графично представяне на вероятностите за грешки

Извод на изследването: Оптималната продължителност на занятието е 3 учебни

часа.

Практическо приложение на изследването: В резултат от проведеното изследване

и направените изводи, продължителността на занятията в подготвителните курсове в

ПЧМГ са по 3 учебни часа.

iX iY без тегла с тегла

iY

*iY

40 0,50 0,540 0,553 60 0,40 0,375 0,378 80 0,30 0,251 0,245 100 0,20 0,166 0,156 120 0,05 0,122 0,110 140 0,10 0,117 0,107 160 0,15 0,152 0,147 180 0,25 0,227 0,230


42

Ще разгледаме и втори пример от образованието, при който върхът на параболата

е отгоре.


Направено е статистическо изследване за успеваемостта на изпитваните, когато

изпитната тема съдържа различен брой задачи.

Получени данни са представени в таблица 1.5.

Таблица 1.5 Успеваемост на учениците според броя на задачите в теста.

Брой задачи в теста 10 15 20 25 30 35 40

Брой учениците, успешно положили изпита

13 19 31 35 34 28 20

Дял (част) на учениците, успешно положили изпита

0,19 0,28 0,46 0,52 0,51 0,42 0,30

Ще определим частта на успешно положилите изпита според броя на задачите в

теста и ще определим колко да е оптималната дължина (броя на задачите) на теста, че

частта на изпитваните, успешно положили изпита, да е най-голяма. Вижда се, че частта

на изпитваните, успешно положили изпита, има вид на парабола и ще определим

нейните коефициентите.

Цел на изследването е определяне на оптималната дължина (броя на задачите) в

теста за прием в 5 клас на ПЧМГ.

Място на изследването е Първа Частна Математическа Гимназия (ПЧМГ).

Обект на изследването е извадка от 67 ученици от подготвителните курсове по

математика за 4 клас, учениците от Частно Начално Училище „Питагор” и кандидати за

5 клас в ПЧМГ.

Предмет на изследването е броят на учениците, успешно положили изпита, в

зависимост от броя на задачите в теста.

Данните са получени от резултатите на учениците от пробни и приемни изпити.

Хипотеза за резултата от изследването: Броят на успешно положилите изпита

зависи от дължината (броя на задачите) на теста.

Метод на теоретичното изследване е квадратичният вероятностен модел.


Ако с X отбележим броя на задачите в теста, а Y е частта на успешно

положилите изпита при този брой задачи, определяме изходното уравнение във вида:

20 1 2Y X X .


43

Заместваме параметрите с техните бъдещи оценки и уравнението приема вида:

20 1 2i i iY b b X b X .



0b -0,3700

1b 0,0652

2b -0,0012

20,3700 0,0652. 0,0012.i i iY X X .

Намираме точката на максимум на параболата 10

22

bX

b


успешно взелите изпита 0( )Y X от горното уравнение:

0 26,95X , 0( ) 0,508Y X .

Ще приложим и втория етап като използваме тегла, за да доуточним

коефициентите. Теоретичните стойности на резултативната променлива iY и теглата

iW са пресметнати в таблица 1.6.

Претегляме изходните данни, като разделяме на теглата:

i

i

i

YZ

W ,

0

1i

i

cW

, 1

ii

i

Xc

W и

2

2i

i

i

Xc

W .

Получените стойности са пресметнати в таблица 1.7.

Таблица 1.6 Тегла

iX iY iY

iW

10 0,19 0,161 0,367

15 0,28 0,336 3,162

20 0,46 0,450 0,497

25 0,52 0,504 0,500

30 0,51 0,497 0,500

35 0,42 0,430 0,495

40 0,3 0,302 0,459

Таблица 1.7 Претеглени данни

0ic 0ic 0ic iZ

2,72 27,21 272,12 0,52

0,32 4,74 71,15 0,09

2,01 40,20 804,03 0,92

2,00 50,00 1250,04 1,04

2,00 60,00 1800,03 1,02

2,02 70,70 2474,37 0,85

2,18 87,09 3483,64 0,65

2,72 27,21 272,12 0,52


44


вида:

* * *0 0 1 1 2 2i i i iZ b c b c b c .



*0b -0,3297 *1b 0,0639 *2b -0,0012



на явлението при дадено равнище на iX :

* 20,3297 0,0639. 0,0012.i i iY X X .

Намираме точката на максимум на параболата *

* 10 *

22

bX

b


успешно взелите изпита * *0( )Y X от горното уравнение :

0 26,50X , *0( ) 0,517iY X .

Ще представим получените части за успешно полагане на изпита, получени при

двата етапа, без тегла и с тегла за сравнение в таблица 1.8.

Таблица 1.8 Вероятности за успешно полагане на изпита

iX iY Без тегла С тегла

iY

*iY

10 0,19 0,161 0,189

15 0,28 0,336 0,358

20 0,46 0,450 0,466

25 0,52 0,504 0,514

30 0,51 0,497 0,502

35 0,42 0,430 0,430

40 0,3 0,302 0,297


45

За нагледност ще приложим и графиките на получените параболи при двата етапа

на Фиг. 1.6.

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46

Дял

на

взел

ите

изпи

та

Брой задачи

непретеглени стойности претеглени стойности

Фиг. 1.6 Графично представяне на вероятности за успешно полагане на изпита

Резултати от изследването:

При първия етап (без тегло) оптималната дължина на теста е 26,95 или закръглено

до цяло число 27, тогава частта на взелите изпита е 0,508.

При втория етап (с тегло) оптималната дължина на теста е 26,50 или закръглено до

цяло число 27, тогава частта на взелите изпита е 0,517.

Извод на изследването: Оптималната дължина на теста е 27 задачи.

Практическо приложение на изследването: В резултат от проведеното изследване

и направените изводи, от 2017 година ПЧМГ промени формата на приемния си изпит,

като броят на задачите в него съответства на получените от изследването резултати.


46

4. ЛОГИСТИЧЕН ВЕРОЯТНОСТЕН (LOGIT) МОДЕЛ

Ще използваме логистичното разпределение и някои негови свойства. То има

функция на разпределение ( ) ( )x p x , която дава кумулативната вероятност до

точката x и се задава с формулата:

(4.1) 1

( )1 1

x

x x

ex

e e

.

То има следните свойства:

1. Приема стойности в интервала 0,1 ;

2. Границата при безкрайно голям аргумент lim ( ) 1x

x

;

3. Границата при безкрайно малък аргумент lim ( ) 0x

x

;

4. Стойността при нулева стойност на аргумента 1

(0)2

;

5. Значението при всяка стойност на аргумента съвпада със стойността на

функцията на нормалното разпределение 2

21

( )2

x u

F x e du

при изменение на

мащаба с 1,702 с точност до стотните.

В сила е:

(4.2) 2

2

( ; )

1sup (1,702. ) 0,01

2

x u

xx e du

;

На Фиг. 1.7 и Фиг. 1.8 са показани, съответно сравнения между графиките на

функциите на плътността и функциите на разпределение за логистичното и нормалното

разпределение.

Фиг. 1.7 Плътност Фиг. 1.8 Функции на разпределение


47

6. Тъй като 1

( )1 1

x

x x

ex

e e

, то

11 ( )

1 xx

e

;

7. За производна имаме 2( ) ( ) 1 ( )

(1 )

x

x

ex x x

e

.

От горната формула се вижда, че производната е неотрицателна във всяка точка,

което показва, че функцията е монотонно растяща;

8. Графиката на функцията ( )x е S – образна и има вида:

Фиг. 1.9 Графика на функцията ( )x

9. Графиката на функцията ( )x T е същата като на ( )x , но е изместена с T

надясно при положително T ;

Фиг. 1.10 Графика на функцията ( )x T


48

10. Графиката на функцията ( )ax е подобна на ( )x , но наклона в точката 0 е 4

a и

е по-стръмна при 1a . Пресмятаме производната от точка 7. и имаме:

0 0

1 1( ) ( )(1 ( ))

2 2 4x x

aax a ax ax a

;

Фиг. 1.11 Графика на функцията ( )ax

11. Графиката на функцията ( ( ))a x T е подобна на ( )ax , но е изместена с T

надясно при положително T ;

Фиг. 1.12 Графика на функцията ( ( ))a x T


49

При логистичния вероятностен (Logit) модел зависимата променлива

(следствието) *Y е ненаблюдаема, обикновено наречена скрита (латентна) променлива.

Това, което се наблюдава е фиктивна променлива iY , чрез която се опитваме да опишем

ненаблюдаемата променлива *Y . За скритата (латентна) променлива *Y фиктивната

променлива iY има дихотомно проявление и се дефинира като:

(4.3) *

*

1, ако показва наличие на изследваното явление;

0, ако показва липса на изследваното явление. i

YY

Y

Например, ако наблюдаваме фиктивната променлива заетост на едно лице с две

разновидности iY зает и iY безработен , латентната променлива *Y е склонност

или възможност лицето да си намери работа.

Ако наблюдаваме фиктивната променлива на изпитваните студенти с две

разновидности iY издържал и iY не издържал изпита, латентната променлива *Y е

вероятността или възможността студентът да издържи изпита.

Формата на модела се определя от кумулативната честотна функция на

разпределение на остатъците на регресионния модел. При логистичния вероятностен

(Logit) модел разпределението е логистично и има вида:

(4.4) 0 1( )

1

1 XYe

и пресмятаме:

(4.5) 0 1( )

1( 1/ )

1 ii i XP M Y X

e

,

където: iP е вероятността 1Y при определено значение на iX .

Вероятността 0Y се оценява с израза:

(4.6) 0 1( )

11

1 ii XPe

.

Тъй като уравненията (4.5) и (4.6) са нелинейни по отношение на параметрите си

приложението на метода на най-малките квадрати (МНМК) за оценка на параметрите

0 и 1 не е възможно пряко. Проблемът е само привиден. Проявлението на латентната

променлива ще разгледаме чрез оценката на така наречената шансова пропорция.

Шансовата пропорция при логит-модела се дефинира като:

(4.7) 0 1

0 1

0 1

( )( )

( )

1

1 1

XX

X

P ee

P e

.


50

В горното равенство имаме частното на вероятността за наличие на дадено

явление спрямо вероятността за неговото отсъствие, наречена пропорция, измерваща

„шанса за реализация на дадено явление”. Колкото е по-голям шанса, толкова е по-

вероятно да се случи събитието (явлението).

Например ако 0,75P да се случи за обекта (лицето) изследваното явление, това

ще означава, че съществува шанс 3:1 в полза на това да се случи явлението за обекта

(лицето).

Логаритмуваме с натурален логаритъм двете страни на равенство (4.7) и

получаваме:

(4.8) 0 1( )0 1ln ln

1XP

L e XP

.

В израза за L с е отбелязано отклонението от линейността на L спрямо

независимата променлива X .

В литературата L се нарича logit (логит), затова този модел се нарича логит-

модел.

Ще пресметнем производната на логита ( ) ln1

PL P L

P

. За производната

имаме:

(4.9) 1 1 1

( ) (ln ln(1 ))1 (1 )

L P P PP P P P

.

Вижда се от (4.8), че L е приблизително линейна относно независимата

променлива с параметри 0 и 1 , които ще оценим по метода на най-малките квадрати

(МНМК). Ще търсим представяне на L по МНМК от вида:

(4.10) 0 1L b b X ,

където L е оценката на истинския логаритъм на шанса.

Стъпките са следните:

1. Намираме вероятностите ip при равнище iX на факторната променлива, което

се изчислява от отношението:

(4.11) ii

i

np

N ,

където in е броят на единиците притежаващи значение 1Y в категорията iX , а iN е

общият брой на единиците в тази категория.


51

2. Моделът приема вида, изразен чрез матричното уравнение (системата):

0 1ln

1i

i i

i

pL b b X

p

.

3. Прилагаме МНМК и получаваме стойностите за

(4.12) 0 1i iL b b X .

От тях намираме теоретичните стойности за вероятностите 1

1 ii L

Pe

, защото е в

сила равенството ln

1i

i

i

PL

P

.

4. Директното прилагане на МНМК води до неточности, поради различния вид на

отклоненията i . Нарушено е условието за хомоскедастицитет (за равенство на

стандартните отклонения (дисперсиите) при различни стойности на факторната

променлива). Отклоненията на вероятностите имат биномно разпределение

( , ( ))i iB N P X с дисперсия 2 ( )(1 ( )) (1 )P i i i iP X P X p p [34]. Тогава в сила за логита

L е следното отношение:

.( ( ) ( )) (0, )i iN L p L P N ,

където (0, )N е нормалното разпределение с математическо очакване 0 и дисперсия

2 [31].

За дисперсията, като използваме производната на логита (4.9) имаме:

(4.13) 2 1

(1 )P P

.

Затова пресмятаме теглата, които имат вида:

(4.14) (1 )i i i iW N p p .

5. Претегляме двете страни на матричното уравнение (4.12), чрез

трансформацията:

*i i iL W L ; 0i iW c ; 1i i iX W c .

Получаваме:

(4.15) * * *0 0 1 1i i iL b c b c .


52

6. Прилагаме МНМК за намиране на параметрите на полученото матрично

уравнение; като използваме системата:

(4.16)

* 2 * *0 0 1 0 1 0

1 1 1

* * 2 *0 0 1 1 1 1

1 1 1

n n n

i i i i ii i i

n n n

i i i i ii i i

b c b c c c L

b c c b c c L

.

7. Полагаме *

* *0 1i iL b b X .

8. Антилогаритмуваме и получаваме:

(4.17)

*

*

*1

ii L

i

Pe

P

.

9. Пресмятаме последователно вероятността от равенството:

(4.18) ** *(1 )iL

i iP e P и намираме

*

* *

* 1

1 1

i

i i

L

iL L

eP

e e

.

10. За нарастването на вероятността имаме:

(4.19) * * **1 (1 )i i iP b P P ,

от свойствата на производната на функцията на логистичното разпределение.



на учебните занятия или в зависимост от количеството решени задачи за подготовката

за изпита и други. Моделът може да се приложи, както за целия изпит, така и за части

от него. В частност може да се приложи и за всяка задача поотделно.

Примери за приложение на модела са дадени във втора глава.

Можем да построим многофакторен модел, както беше направен такъв линеен

вероятностен модел. Проблемът е в трудното намиране на първоначални честоти

(вероятности) ip , защото трябва да се разгледат много по обем данни. Тогава

препоръчваме първоначалните вероятности да се намерят като се приложи

многофакторния линеен вероятностен модел. За вероятностите, които са равни на 1,

полагаме 1ip , където 0,001 . За вероятностите, които са равни на 0, полагаме

ip . С така получените вероятности построяваме шансовата функция и логита L .

След това процедурата продължава по вече описания начин, включително и с

пресмятане на теглата и прилагане на обобщения МНМК.


53

5. ПРОБИТ (PROBIT) МОДЕЛ

Основната отличителна черта на пробит моделите е, че при тях кумулативната

честотна функция на остатъците ( ) следва закона на нормалното разпределение.

За използването на пробит модела се конструира ненаблюдаван индекс за

полезност iI . Величината му зависи от факторната променлива. Колкото е по-голяма

стойността му, толкова е по-голяма вероятността да се случи явлението. Ще търсим

ненаблюдаемия индекс в линеен вид:

(5.1) 0 1i iI X .

Ненаблюдаваният индекс за полезност iI се обвързва със зависимата променлива

iY , която е дихотомна и има само две значения – 0 и 1, които са индикатор за наличие и

отсъствие на някакво явление, т.е.

(5.2) 1, при наличие на дадено явление,


Приема се, че за всяко лице (обект) съществува критично равнище на индекса *iI ,

след което за лицето (обектът) ще се появи явлението, а преди това ще отсъства

явлението. Ако *i iI I се появява явлението, а ако *

i iI I ще отсъства явлението. За

вероятността *i iI I е в сила:

(5.3) 2

0 1

* 21

( 1) ( ) ( )2

iX z

i i i iP P Y P I I F I e dz

,

където:

( )F z е функцията на стандартното нормално разпределение, т.е. (0;1)I N .

Фиг. 1.13 Пресмятане на вероятността iP при зададен индекс за полезност iI


54

На Фиг. 1.13 е представена вероятността iP събитието да се случи. Тази

вероятност се измерва с площта под интегралната крива в граници ; iI

Ако ни е известна кумулативната вероятност iP , тогава намираме индекса iI от:

(5.4) 10 1( )i i iI F P X ,

където:

1( )F P е обратната функция на функцията на стандартното нормално


На езика на пробит анализа ненаблюдаемият индекс на полезност iI се нарича

нормит. Когато 0,5iP , тогава е в сила 0iI . По тази причина, следвайки [34] към

нормита се прибавя 5 и се получава пробит (probit), т.е.

(5.5) Probit=пробит = нормит + 5 = iI + 5.

Оценките на параметрите 0 и 1 ще се получат от уравнението:

(5.6) 0 1 ii iI X ,

където:

iX - независимата (факторната) променлива;

0 и 1 - оценяваните параметри;

i - стохастическият компонент в модела.

Заместваме 0 и 1 с техните оценки 0b и 1b и моделът приема вида:

(5.7) 0 1i iI b b X ,

където iI е оценката на истинския ненаблюдаем индекс на полезност.


55

Ще опишем етапите, през които преминава оценката на параметрите и на

ненаблюдаемия индекс на полезност:

1. От групираните данни изчисляваме емпиричните вероятности ip по формулата:

ii

i

np

N ,

където:

in е броят на единиците притежаващи значение 1Y в категорията iX , а iN е

общият брой на единиците в тази категория.

2. От таблиците за стандартното нормално разпределение намираме значенията на

нормираните отклонения, които приравняваме на ненаблюдаемия индекс на полезност -

iI .

Фиг. 1.14 Пресмятане индекса на полезност iI при зададен вероятност iP

3. Получените значения за i iI I заместваме в матричното уравнение (5.7) на

мястото на зависимата променлива.

4. Решаваме матричното уравнение по МНМК и определяме 0b и 1b .

5. От получената стойност от уравнението за iI чрез таблиците за стандартно

нормално разпределение определяме оценката за вероятността iP .


56

Забележки:

1. Ако 0,5ip , индекса на полезност iI ще е отрицателен. За да се преодолее

това, вместо ненаблюдаемия индекс в точка 3. може да се използват пробитите, тогава

уравнението, което ще решаваме по МНМК в точка 4. приема вида:

(5.8) пробит = iZ = iI +5= * *0 1 ib b X .

Ще отбележим, че разликата от това дали решаваме уравнение (5.7) или уравнение

(5.8) ще е само в оценката на свободния член, т.е. *0 0b b , докато *

1 1b b .

2. Ако разгледаме остатъците, отново е нарушено условието за хомоскедастицитет

(за равенство на стандартните отклонения (дисперсиите) при различни стойности на

факторната променлива). Те имат дисперсии

22

(1 )i ii

i i

p p

N I

[34].

Изходните променливи отново могат да се претеглят с тегло iW , където:

(5.9) 2( )

(1 )i i

i

i i

N IW

p p

и след това се прилага МНМК.



на учебните занятия или в зависимост от количеството решени задачи за подготовката

за изпита и други. Моделът може да се приложи, както за целия изпит, така и за части

от него. В частност може да се приложи и за всяка задача поотделно.

Примери за приложение на модела са дадени във Втора глава.

На Фиг. 1.15 е дадено сравнение при прилагане на логит модел и пробит модел.

Вижда се, че пробит модела приближава по-добре данните при граничните стойности.

Логит модела е с леко повдигната опашка при тези стойности.


57

Фиг. 1.15 Логит модел и Пробит модел

Можем да построим многофакторен модел, както беше направен такъв линеен

вероятностен модел. Проблемът е в трудното намиране на първоначални честоти

(вероятности) ip , защото трябва да се разгледат много по обем данни. Препоръчваме

първоначалните вероятности да се намерят като се приложи многофакторният линеен

вероятностен модел. За вероятностите, които са равни на 1, полагаме 1ip , където

0,001 . За вероятностите, които са равни на 0, полагаме ip . С така получените

вероятности за iI процедурата продължава по вече описания начин, включително и с

пресмятане на теглата и прилагане на обобщения МНМК.

Ще обобщим пробит модела, като търсим ненаблюдаемия индекс на полезност iI ,

вместо от линейния вид, зададен с уравнение (5.1) в квадратичен вид, а именно:

(5.10) 20 1 2i i i iI X X .

Намирането на оценките за параметрите му става с МНМК, при който се стига до

решаване на система три на три.


58

6.ТОБИТ (TOBIT) МОДЕЛ

Тобит (tobit) моделът носи името на Нобеловия лауреат по икономика от 1981 г.

Джеймс Тобин. Моделът е модификация на вероятностния пробит (probit) модел.

Наменованието на модела идва от Tobin’s probit. Този модел разглежда така

наречените цензурирани извадки, когато липсват данни за част от извадката.

Публикации по темата са например [74], [81]. При него се прилага методът на

максималното правдоподобие (ММП).

За разлика от линейния вероятностен модел (ЛВМ), където ни интересува само

случило ли се е или не се е случило явлението, то при тобит модела се интересуваме и

от стойността, с която се е случило явлението. Например, ако при ЛВМ се

интересуваме само от това, дали лицето с годишен доход от iX хиляди лева е готово да

инвестира допълнително в образованието по математика на детето си, то при тобит

модела се интересуваме и от това каква сума iU е готово да инвестира. При този

пример е ясно, че ще изследваме само тези, които са готови да инвестират. Ясно е, че

има лица, за които нямаме данни за инвестицията (не са посочили сумата). В тобит

моделите се отчитат и тези случаи, когато имаме данни за факторната променлива, но

не знаем стойността на зависимата променлива. Например не знаем каква сума би

инвестирало лицето, защото нямаме данни за това. Нека от общия обем n на извадката

за 1n знаем стойността на факторната и зависима променлива, а за 2n знаем стойността

на факторната променлива, но не знаем стойността на зависимата променлива.

При логит-модела изследвахме латентната променлива *iY - възможността да се

случи наблюдаваното явление. При пробит-модела изследвахме ненаблюдавания

индекс за полезност iI и неговото критично равнище *iI . Изследвахме фиктивната

променлива iY , която има дихотомно проявление и се дефинира като:

(6.1) *

*

1, ако 0;

0, ако е друг случай.i

i

i

YY

Y

Съвкупност (извадка), при която разполагаме с информация за следствието само

за част от наблюдаваните единици се нарича цензурирана. Моделът, който изразява

връзката при такива съвкупности се нарича цензуриран регресионен модел или тобит

модел.


59

Такъв модел се представя във вида:

(6.2) * *

1*

2

, ако 0 за единици;

0, за всички останали случаи при 0 за единици.i i

i

i

Y Y nY

Y n

В примера, който дадохме с инвестицията iU на i -тото лице, тогава променливата

*i iY U . Ако данни за инвестицията липсват, то считаме 0iU . С други думи във

втората група попадат тези, които не са посочили каква сума са готови да инвестират.

Ще представим фиктивната променлива във вида:

(6.3) 0 1Y X .

Като заместим с данните на факторната променлива получаваме матричното

уравнение (системата):

(6.4) 0 1i i iY X .

Тогава за отклоненията при * 0iY имаме:

(6.5) 0 1i iY X

и за тях е в сила, че те са стандартно нормално разпределени.

Те имат плътност 2

21 1

( )2

z

e f z

, където ( )f x е плътността на стандартното

нормално разпределение, а 0 1i iY Xz

.

Когато * 0iY , тогава е в сила неравенството:

(6.6) 0 1 0i iX .

За отклоненията получаваме: 0 1i X

.


60

За вероятността им е в сила, че тя е равна на кумулативната честота (функцията на

разпределение) на стандартното нормално разпределение:

(6.7) 0 1 ii

XP F

.

Ще напомним, че ( ) ( )t

F t f x dx

.

Известно е, че при отрицателни стойности на аргумента, например когато е

изпълнено 0 1( ) 0X , тогава е в сила:

(6.8) 0 1 0 11X X

F F

.

Фиг. 1.16 Тобит модел

Намирането на оценки за параметрите 0 1, и става чрез използването на

метода на максималното правдоподобие (ММП).

Построяваме функцията на максимално правдоподобие:

(6.9) 0 1 0 1

0 0

11

i i

i i i

Y Y

Y b b X b b XL f F

.

Логаритмуваме я и получаваме:


61

(6.10) 0 1 0 1

0 0

1ln ln ln 1

i i

i i

Y Y

Y b b X b b XL f F

.

Намираме максимума по параметрите 0 1,b b и . Това става като сметнем

частните производни спрямо тях и ги приравним на нула.

Ще напомним, че максимумът на ln L е максимум и на L .

След като намерим параметрите получаваме:

линейна част за наблюдаваните данни 0 1i iY X и

пробит част за неизвестните (частично цензурирани) данни.

Ще посочим и друг възможен пример за приложение на модела в образованието.

Ако при ЛВМ се интересуваме само от това взел ли си е изпита студентът, то при тобит

модела се интересуваме и от това с каква оценка iU си е взел изпита. При този пример е

ясно че има студенти, които не са се явили на изпита. В тобит моделите се отчитат и

тези случаи, когато имаме данни за факторната променлива, но не знаем стойността на

зависимата променлива. Например не знаем каква оценка би получил студентът,

защото не се явил на изпита, въпреки че знаем колко задачи от домашните е решил или

колко часа е присъствал на учебните занятия и други.

В примера, който дадохме с оценката iU на i -тия студент на изпита, тогава

променливата *i iY U , ако оценка липсва, то считаме 0iU . Във втората група попадат

тези, които не са се явили на изпита.


62

7. ПАРАМЕТРИЧНИ ВЕРОЯТНОСТНИ МОДЕЛИ

Да допуснем, че възможността произволно избран студент (ученик) да реши

дадена тестова задача зависи основно от два фактора: подготвеността на тестирания

(способността) и трудността на тестовата задача. В общия случай тази възможност има

вероятностен характер и представлява функция на два аргумента:

(7.1) ( , )p p s t ,

където:

s – подготвеността (способността) на тестирания;

t – трудността на тестовата задача.

Такава функция се нарича функция на успеха. Най-опростеният модел на такава

функция е разработен в началото на 60-те години от датския математик Г. Раш и има

вида:

(7.2) 1

( , )1

sp s t

ts ts

.

Аргументите на тази функция се явяват латентни параметри, които не можем да

измерим непосредствено. Ще отбележим, че функцията е хомогенна от първи ред и

нейната стойност зависи не от конкретните значения на s и t, а само от тяхното

отношение. Въвеждаме следните означения:

(7.3) ln ,

ln ,

X

T

s X s e

t T t e

.

При тези означения функцията на успеха (7.2) приема вида:

(7.4) 1

( , )1 T X

p X Te

.

Функцията (7.4) се нарича „Модел на Раш“ [69]. Вероятността произволно избран

i–ти участник да отговори вярно на j–тата задача, зависи само от един параметър –

разликата i jX T . Затова този модел се нарича още „Еднопараметричен

вероятностен модел“.

Вероятността p като функция на X при фиксирана трудност на задача 0T T се

нарича характеристична функция на задачата и има вида:

(7.5) 0

1( ) ,

1 T Xp X

e


63

Тя характеризира възможността участници с различни способности да решат или

не решат задача с трудност 0T . Графиката на характеристичната функция на задачата се

нарича характеристична крива на задачата.

В случая когато способността на участника е равна на трудността на задачата,

вероятността да се даде верен отговор на задачата е 0,5, т.е. при jX T , 1

( )2

p X .

Фиг. 1.17 Единна скала на параметрите T и X

Параметърът jT определя положение на характеристичната крива по отношение

на скалата на способността. Колкото по-голяма е трудността на задачата jT , толкова

по-голяма способност е необходима за да се получи вероятността за верен отговор 0,5.

Обратно, колкото по-малка е трудността, толкова по-малка способност е необходима за

да се получи вероятността за верен отговор 0,5.

Средната стойност на параметъра jT за всички задачи, обикновено се оразмерява

с 0. Тогава границите на изменение на параметъра jT варират между – 3 и 3 [51].

Стойности на jT близки до – 3 съответстват на много лесни задачи, стойности на jT

близки до 3 – на много трудни задачи.


64

На Фиг. 1.18 са представени три характеристични криви с параметър на трудност

– 2, 0 и 1.

Фиг. 1.18 Характеристични криви на задачи – 1 параметър

Еднопараметричният вероятностен модел е единственият при който лица с една и

съща способност имат един и същ действителен бал.

Вероятността p като функция на T при фиксирана способност iX x се нарича

характеристична функция на i-я изпитван и има вида:

(7.6) 1

( )1 iT xp T

e

.

На Фиг. 1.19 е представена характеристичната крива на i-я изпитван.

Фиг. 1.19 Характеристична крива на i-я изпитван


65

Вторият най-широко използван модел е двупараметричния вероятностен модел

(„Модел на Бирнбаум”) [54]. При него се добавя втори параметър ja – дискриминация

на задачата.

Характеристичната функция, на която и да е задачата има вида:

(7.7) 1

( )1 j ja X T

p Xe

.

Параметърът ja определя тангенсът на ъгъла (наклона) на допирателната в

точката jX T на характеристичната крива. Колкото по-голяма е дискриминацията на

задачата ja , толкова по-стръмна е графиката на характеристичната крива и

следователно по–добре разграничава участниците със способности близки до jT .

Обратно, колкото по-малка е дискриминацията на задачата ja , толкова по-полегата е

графиката на характеристичната крива и следователно по–лошо разграничава

участниците със способности близки до jT . Теоретичните граници на изменение на

дискриминацията на задачата ja са от ; , но практически тя е ограничена между

0; 2,8 [51].

На Фиг. 1.20 са представени две двупараметрични характеристични криви с един

и същи параметър на трудност jT при дискриминация 1ja и 1ja

Фиг. 1.20 Характеристични криви – 2 параметъра


66

Следващият модел, който ще разгледаме е трипараметричният вероятностен

модел. При него се добавя още един параметър jc – за налучкване на верния отговор на

задачата. Моделът е разработен от А. Бирнбаум [54], [55], за да отрази обичайното в

тестовата практика обстоятелство – при липса на необходимата подготовка, участникът

прибягва до стратегия за налучкване на правилния отговор.

Характеристичната функция на всяка задача е от вида:

(7.8) 1

( ) (1 )1 j j

j j a X Tp X c c

e

.

Параметърът jc се дефинира като долна асимптота на характеристичната крива,

която вече не съвпада с абсцисната ос, а е издигната над нея, т.е. ( ) 0p X .

Теоретичните граници на изменение на параметъра jc са от 0;1 [51], но

практически стойности над 0,10 се считат за неприемливи.

На Фиг. 1.21 е представена трипараметрична характеристична крива с параметър

на налучкване jc .

Фиг. 1.21 Характеристична крива – 3 параметъра

Четвъртият модел, който ще разгледаме е четирипараметричния вероятностен

модел. При него освен описаните по-горе параметри, се добавя и параметъра jd –

„невнимателност”, „разсеяност”. Моделът е разработен от М. Бартън и Ф. Лорд [52], за

да отрази обичайните в тестовата практика обстоятелства – невнимателност,


67

разсеяност, слаба мотивация, небрежност, умора и други. За параметрите е изпълнено

неравенството: 0 1j jc d .

Характеристичната функция на всяка задача е от вида:

(7.9) 1

( ) ( )1 j j

j j j a X Tp X c d c

e

.

Параметърът jd се дефинира като горна асимптота на характеристичната крива,

която вече не съвпада с горната абсциса, а е разположена под нея, т.е. ( ) 1p X

Теоретичните граници на изменение на параметъра jd са от 0;1 , но практически

стойности под 0,90 се считат за неприемливи.

На Фиг. 1.22 е представена характеристична крива за четирипараметричния

модел.


Петпараметричен вероятностен модел

През последните години с развитието на информационните и комуникационни

технологии нарастват случаите на компрометиране (изтичане на информация за изпита,

получаване отвън на верните отговори и др.) на резултатите от изпити и тестове. По

информационните медии се изнасят редица данни за компрометиране на държавните

зрелостни изпити и изпитите за външно оценяване. Министерството на образованието и

науката (МОН) предприема различни мерки, които да ограничат тези негативни

явления.


68

От друга страна, поради автономността на висшите учебни заведения и

повишената студентска мобилност често възниква въпросът да се признаят или да не се

признаят положените от тях в други висши учебни заведения изпити в зависимост от

частта на съвпадение на учебните програми по съответните дисциплини.

Ще разгледаме два вида особена компетентност: добра (присъща) компетентност

и лоша (привнесена) компетентност.

Добрата (присъща) компетентност показва наличните от предишни обучения

компетентности на изпитваните, а при задачите това са задачи, които предполагат

познания известни от преди етапа на обучение. Такива могат да бъдат за изпитваните

например: студенти със завършено преди това друго висше образование, където е

изучаван материала или част от материала; студенти със завършена математическа

гимназия; с успешно участие на олимпиади със съответната подготовка и други. Отнася

се за ученици, които са подбирани на предишен етап с по-високи показатели и които

изучават същия материал, за който са изпитвани, с по-голям хорариум. При задачите се

появява, когато задаваме задачи, характерни за ученици от по-нисък клас за пробация

от ученици в по-висок клас, когато изпитваният е решавал случайно същата задача и

други. Добрата компетентност с известна условност можем да считаме, че се включва в

способността на изпитвания, а за задачите намалява трудността им.

По-различно стоят нещата с лошата (привнесената) компетентност

(компрометиранe), която показва преписването, подсказването, изтичането на

информация за отделна задача или за теста (изпита) като цяло и др. Тази компетентност

е привнесена към изпитваните от други лица и води до изкривяване на получената

информация от изпитването. Ще споменем за случая с резултатите от матурите на

учениците от Софийска Математическа Гимназия (СМГ) и учениците от Ардино. Това

е типичен случай на съпоставяне на двата вида компетентност: „присъща“ за тези от

СМГ и „привнесена“ за тези от Ардино. Всъщност учениците от СМГ се конкурират с

учителите от Ардино. Друг пример за лоша компетентност е теоретичният изпит за

шофьори и свързаната и разкрита корупция при него. Срещу привнесената

компетентност битката е преди всичко с технически и административни мерки. Ще

посочим само два от възможните начини за противодействие на „привнесената”

компетентност. При първия начин това се постига като се ограничи времето за

решаване на част от задачите и по този начин се ограничи и възможността за

получаване на външна информация. При втория начин се разместват местата на

възможните отговори за изпитваните, според заеманото от тях място. При четири


69

възможни отговора, от които да се избере правилният отговор, възможностите за всяка

задача са 4! 1.2.3.4 24 . Примерно при национално външно оценяване, ако учениците

са до 24 в стая, то всеки ученик ще има различна подредба на възможните отговори.

Ще си позволим да предложим петпараметричен вероятностен модел, който

дава възможност да отчетем „лошата“ компетентност (компрометираност). При него,

освен описаните в предходните вероятностни модели параметри, участва и нов пети

параметър k - „компрометиране”.

Характеристичната функция на всяка задача за петпараметричния вероятностен

модел е от вида:

(7.10) 1

( ) (1 ) ( )1 j j

j j j j j a X Tp X k k c d c

e

.

Стойностите на параметъра jk се изменят в интервала 0,1 , но при стойности по-

големи от 0,5, те на практика не се прилагат, защото натежават във формулата.

Ще пресметнем стойностите на горната и долната асимптота при този модел и

критичната стойност, точката в която функцията сменя изпъкналостта си ( )jX T .

За долната асимптота полагаме втория член в скобите от (7.10) на нула и


(1 )j j j j j j jk k c c k c k .

За горната асимптота полагаме втория член в скобите от (7.10) на единица и


(1 )( )j j j j j j j j jk k c d c d k d k .

За критичната стойност полагаме втория член в скобите от (7.10) на 0,5 и


(1 )(0,5.( )) 12 2

j j j jj j j j j

c d c dk k c d k

.

На Фиг. 1.23 е представена характеристична крива за петпараметричния модел.


70


Ще пресметнем някои гранични стойности на описаните характеристики при този

модел.

Ако положим 0jk , тогава получаваме четирипараметричния модел.

Ако положим 1jk , тогава получаваме, че горната и долната асимптота съвпадат

и те са равни на едно.

Знаем, че за параметрите е изпълнено неравенството: 0 1j jc d .

Ако положим параметъра 0jc , тогава получаваме за долната асимптота, че тя е

равна на jk , критичната стойност е (1 )0,5. 0,5. (1 0,5. )j j j j j jk k d d d k .

Ако положим 1jd , тогава получаваме, че горната асимптота е равна на едно.

Ако положим 0 и 1j jc d , тогава критичната стойност е (1 ).0,5jk .

Ще отбележим, че при пресмятане на вероятностите след отчитане на

резултатите, ние получаваме вероятностите по петпараметричния модел.

Между характеристичните функции на петпараметричния и на четири-

параметричния вероятностен модел съществува следната връзка:

(7.11) 5 4( ) (1 ) ( )j jp X k k p X ,

където:

5 ( )p X - вероятността произволно избран участник да отговори вярно на j–тата

задача при петпараметричния вероятностен модел;

4

1( ) ( )

1 j jj j j a X T

p X c d ce

- вероятността произволно избран участник да

отговори вярно на j–тата задача при четирипараметричния вероятностен модел;


71

jk - параметър „компрометиране“.

При случаи на компрометиране, за коригиране на вероятността произволно

избран участник да отговори вярно на j–тата задача, може да използваме формулата:

(7.12) 54

( )( )

(1 )j

j

p X kp X

k

Лесно се забелязва, че стойността на вероятността при четирипараметричния

модел е по-малка вероятността при петпараметричния модел.

В таблица 1.9 са поместени примерни параметри за четирипараметричния и

петпараметричния вероятностен модел, при известен параметър „компрометиране“.

Таблица 1.9. Примерни параметри на задача

Параметричен модел jT ja jc jd jk

Четирипараметричен модел 0 1 0 0,95 0

Петпараметричен модел 0 1 0 0,95 0,2

На Фиг. 1.24 са сравнени характеристичните криви на двата модела при

зададените параметри.

0,00

0,10

0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

0,80

0,90

1,00

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

Способност

Ве

ро

ятно

ст

Четирипараметричен Петпараметричен

Фиг. 1.24 Характеристични криви – 4 параметъра и 5 параметъра

Част от резултатите на този параграф са публикувани в [9].


72

8. ОПРЕДЕЛЯНЕ НА ПАРАМЕТРИТЕ НА ЗАДАНИЕТО ЧРЕЗ СРАВНЯВАНЕ

НА ЕДНОПАРАМЕТРИЧНИЯ И ДВУПАРАМЕТРИЧНИЯ МОДЕЛ СЪС

СЪОТВЕТНИ ЛОГИТ-МОДЕЛИ

8.1. Еднопараметричен модел на Раш

При еднопараметричния модел на Раш се конструира logit-функцията

ln1

PL

P

(натурален логаритъм от шанса).

Лесно се получава за вероятността:

1

1 1

L

L L

eP

e e

.

При него L X T , където X е способността, а T e трудността. Тогава за

вероятността имаме:

(8.1) ( )

1

1 X TP

e

.

Ще конструираме логит-модел, като търсим L от вида 0i iL X b , където iX е

способността на група i . Тогава за вероятността имаме:

(8.2) 0( )

1

1 X bP

e

.

Нека имаме m групи със съответстващи честоти на успешно положилите

заданието ii

i

np

N , като

1

m

ii

N n

. Броят на всички в група i e iN , а броят на успешно

положилите заданието в групата е in .

Тогава имаме ln

1i

i

i

pL

p

.

Решаваме по МНМК и последователно получаваме равенствата:

01 1 1

m m m

i ii i i

L X b

;


73

01 1

m m

i ii i

mb X L

;

1 10

m m

i ii i

X Lb X L

m m

.

С X отбелязваме средното аритметично на iX , а с L отбелязваме средното

аритметично на iL .

Заместваме iL с неговото равно и получаваме:

0

1 1

1 1ln ln ln

1 1 1

mmi i

i ii i G

p p pb X X X

m mp p p

.

Използвахме означението 1 2. ....mG mV V V V за средното геометрично на iV .

Горното равенство може да се получи и във вида:

0 ln ln ln 11 G G

G

pb X X p p

p

.

Сравняваме получения резултат при този логит-модел от (8.2) с

еднопараметричния модел на Раш, зададен с (8.1). Получаваме, че те ще съвпадат, ако

за трудността е изпълнено:

(8.3) 0 ln ln 1GG

T b X p p

Резултатът показва, че при тази способност на изпитваните, за да имаме най-малка

средноквадратична грешка, трудността на заданието трябва да се задава с формула

(8.3). Това е препоръчителната трудност.

Сега ще приложим обобщеният МНМК.

Претегляме двете страни на уравнение 0i iL X b с теглата (1 )i i i iW N p p и


0i i i i iL W X W b W .


74

Получаваме системата:

01 1 1

m m m

i i i i ii i i

L W X W b W

.

Изразяваме 0b и намираме трудността:

1 10

1 1

m m

i i i ii i

m m

i ii i

X W L WT b

W W

.

Получават се претеглени средни аритметични.

8.2. Двупараметричен модел на Бирнбаум

Сега ще разгледаме двупараметричния модел на Бирнбаум.

При него вероятността се задава с формулата:

(8.4) 1,7 ( )

1

1 a X TP

e

.

Тук с a е отбелязана дискриминацията на заданието, останалите означения са

същите като преди.

Означаваме ln1

PL

P

(натурален логаритъм от шанса).

Намираме, че е в сила следната формула:

1,7. .( ) 1,7. . 1,7. .L a X T a X a T .

Конструираме логит-модел, като търсим ln1

PL

P

от вида 1 0i iL b X b , където

iX е способността на група i . Тогава за вероятността имаме:

(8.5) 1 0( )

1

1 b X bP

e

.

Този логит-модел беше вече разглеждан в параграфа за логит-моделите.

Сравняваме (8.4) и (8.5) и получаваме, че за да са еднакви трябва да е изпълнено:

1 01,7. 1,7. .b a и b a T .

Тогава за дискриминацията и трудността получаваме:


75

(8.6) 1

1,7

ba е дискриминацията,

(8.7) 0 0

11,7.

b bT

a b е трудността.

Резултатът показва, че при тази способност на изпитваните, за да имаме най-малка

средноквадратична грешка, трудността на заданието трябва да се задава с формула

(8.7), а дискриминацията с формула (8.6). Това са препоръчителната трудност и

препоръчителната дискриминация.

Ще напомним, че коефициентите 0b и 1b се получават по МНМК, т.е. те са

решения на системата:

(8.8) 0 1

1 1

20 1

1 1 1

.

( )

m m

i ii i

m m m

i i i ii i i

b m b X L

b X b X X L

Тук приложихме логит-модела без тегла. Възможно е да се приложи обобщения

МНМК с тегла (1 )i i i iW N p p , както това е направено в параграфа, описващ

логит-модела, така ще се прецизират коефициентите от МНМК.

Тогава за дискриминацията и трудността получаваме:

(8.9) *1

1,7

ba е дискриминацията,

(8.10) * *0 0

*11,7.

b bT

a b е трудността.

Коефициентите *0b и *

1b намираме от системата:

(8.11)

* 2 * *0 0 1 0 1 0

1 1 1

* * 2 *0 0 1 1 1 1

1 1 1

m m m

i i i i ii i i

m m m

i i i i ii i i

b c b c c c L

b c c b c c L

,

където:




76

ВТОРА ГЛАВА

ПРИЛОЖЕНИЕ НА ВЕРОЯТНОСТНИТЕ МОДЕЛИ И S-МЕТОДА ЗА

ИЗСЛЕДВАНИЯ И ИЗМЕРВАНИЯ В ОБРАЗОВАНИЕТО

УВОД

В тази глава са дадени приложения в образованието на линейния вероятностен

модел (ЛВМ), Логит-модела и Пробит-модела с една, две и повече променливи. Като

конкретен пример са разгледани резултатите от изпита по Висша математика 2 част на

студенти от ВТУ „Тодор Каблешков”. Върху тези резултати са приложени

вероятностните модели за пресмятане на вероятността за успешно полагане на изпита в

зависимост от посещаемостта на учебните занятия, изпълнението на домашните

задания и други. Дадени са и статистически методи за оценка на различните методи,

форми, стил и др. на преподаване от асистентите за резултатите, получени от

студентите им на изпита. Установена е връзката между отделните теми от изпита.

В първи параграф е описан начинът на провеждане на изпита по Висша

математика 2 част и оценяването на студентите. Представени са проблемите при

обучението на студентите. Дадени са способи за частичното преодоляване на част от

тези проблеми. Обобщени са резултатите от анкетните карти на студентите и са

представени диаграми, които дават нагледна представа за мнението им по различните

въпроси, за които са анкетирани.

Във втори параграф се изследва вероятността за успешно полагане на изпита в

зависимост от изпълнението на домашните задания. Приложени са линейният

вероятностен модел (ЛВМ), Логит-моделът и Пробит-моделът. Използвани са тегла,

свързани с дисперсиите на отклоненията, за уточнение на регресионните коефициенти.

Сравнени са резултатите получени по различните модели и са направени изводи от тях.

В трети параграф е направен двуфакторен анализ за получаване на вероятността за

успешно полагане на изпита в зависимост от посещаемостта на учебните занятия и

изпълнението на домашните задания, като са използвани горните вероятностни модели.

Въведена е критична права върху която вероятността за успех е равна на 0,5. Сравнени

са резултатите от различните модели и са направени изводи за вероятността за успешно

полагане на изпита според тях.

В четвърти параграф е направено обобщение на логит моделите. Представен е

векторен вид на двуфакторния логит модел и са разгледани негови приложения. Даден


77

е пример за определяне на необходимите часове за подготовка по теория и на

необходимите часове за решаване на задачи.

Разгледани са многомерни обобщения на моделите на Раш и на Бирнбаум, както и

на изведените в първа глава логит и пробит модели. Представени са формули за

основните им характеристики. Дадени са определения за критична хиперравнина, върху

която вероятността за успех е 0,5. Сравнени са различните модели.

В пети параграф е разгледан методът на Шефе (Schefe) или S-метод за

множествени сравнения. Този метод е част от post-hoc тестовете за множествени

сравнения. Въведени са различни видове контрасти. В този параграф е приложен S-

методът за оценка на различните методи, форми, стил и др. на преподаване от

преподавателите и различните форми на обучение. Дадени са възможности за

приложение на метода при сравняване на резултатите и при други групи, например

начинът на изпитване и други.

Показано е предимството на някои форми на обучение и начин на преподаване и

подготовка за изпита.

В шести параграф е направен анализ на изпит по Висша математика 2 част.

Отчетени са резултатите от статистическото изследване с S-метода за връзката между

отделните теми от изпита. Използван е и корелационен анализ за връзката между

отделните теми на конкретен изпит.

Взети са предвид резултатите от ЛВМ, за да се оцени защо някои теми са по-

предпочитани от студентите пред други. Дадени са възможни обяснения за това.

Направен е анализ за трудността на всяка задача от изпита. Оценена е

надеждността на изпита като цяло и са направени препоръки за неговото подобряване.


78

1. ПРОБЛЕМИ В ОБУЧЕНИЕТО ПО МАТЕМАТИКА НА СТУДЕНТИТЕ

ОТ ВТУ „ТОДОР КАБЛЕШКОВ” И НАЧИНИ ЗА ТЯХНОТО ПРЕОДОЛЯВАНЕ

Предпоставки за неуспеха на първокурсниците на изпитите по Висша

математика.

Преходът „Ученик – Студент” е период свързан с различни промени и много

трудности за повечето първокурсници във висшите училища. При голяма част от

студентите съществува голямо разминаване между реалните знания и самооценка. Те

не осъзнават характера и дълбочината на своите пропуски и оскъдни знания по

математика. Липсва минимум знания, необходими за надграждане на нови знания. Не

са наясно защо трябва да учат висша математика. Нямат навици за самостоятелна

подготовка – не знаят как да учат. Налице е обърканост и несигурност в новата

обстановка, съчетана със слаби оценки на първите сесии. Университетските

преподаватели са единодушни, че през последните години е налице сериозен спад на

знанията по математика на приетите студенти.

Поради намаляването на броя на зрелостниците и увеличаване на броя на

студентите се разширява достъпа до висшето образование. В него попадат студенти,

които нямат нужните основни знания, за да могат да продължат успешно своето

обучение. В резултат на това посочените проблеми се задълбочават.

Друг проблем е, че голяма част от задочните студенти са завършили преди повече

от 10 години средното си образование. Завръщането в системата на образованието, след

толкова години е труден процес. За разликата от редовните студенти, те знаят какво не

знаят, и са силно мотивирани да го научат. Те виждат в учебния процес основа за

кариерно развитие и растеж.

Основни трудности в учебния процес, които изпитват първокурсниците.

Лоша изчислителна техника – дори да са разбрали някоя задача, студентите не

могат да я решат докрай вярно, защото допускат изчислителни грешки дори при работа

с цели числа. Голяма част от студентите не могат да решават дори линейни и квадратни

уравнения. Липсват им основни знания от цели раздели на училищния курс по


Запаметяване на определени алгоритми за решаване на задачи, без да се изучава

необходимата за това теория. При вярно решена задача, студентите не могат да обяснят

решението.


79

Има неумение и нежелание на студентите да учат самостоятелно. Липсва

самоподготовка.

Забелязва се, неумение да се водят записки – студентите не могат да разграничат

съществената от несъществената информация и се опитват да запишат всичко.

Не умеят да ползват математически справочници.

Студентите учат епизодично само преди контролни и най-вече преди изпит.

Демотивиращо на системното учене влияят, липсата на контрол и обратна връзка по

време на семестъра, възможността за явяване на един изпит многократно, записване в

по-горен курс с невзети изпити.

При прехода от училище към университет за много кратко време се въвеждат

много нови теми. Формалните дефиниции на новите понятия и логическите

доказателства, включващи преобразувания със символи се оказват непосилни за по-

голямата част от студентите.

За да наберат необходимият брой студенти, висшите училища намаляват

изискванията по приема. Липсват допълнителни усилия, както на студентите, така и на

преподавателите да попълнят пропуските в знанията. Съществува „сваляне на летвата”

на изпитните сесии.

За да бъде успешно преподадена една тема по математика е необходимо новите

знания да съответстват на нивото на наличните знания, т.е. да има надграждане. Ролята

на преподавателя е не само да обучава студентите на математика, но и да ги научи да

учат математика.

Друг сериозен проблем е паралелното ходене на работа. Голяма част от

студентите почват работа още в самото начало на следването.

Експериментът

Експериментът, който ще представим в тази глава е проведен със студенти от

първи курс редовно и задочно обучение във ВТУ „Тодор Каблешков”.

Експериментът обхваща 120 студенти и резултатите им по Висша математика 2

част (ВМ2). Отчетени са броят на решените от тях примери от зададените им домашни

работи, посещенията им на занятията и попълнена анкетна карта. Включени са

студенти от различни специалности. На студентите са преподавали различни

преподаватели.


80

Анотация на дисциплината

Висша математика 2 част е основна учебна дисциплина за всички студенти

редовно и задочно обучение във ВТУ „Тодор Каблешков”. Тя има за цел да запознае

обучаемите с основния математически апарат, необходим за решаването на конкретни

приложни задачи от преподаваните фундаментални и специализирани учебни

дисциплини.

Учебната програма по Висша математика 2 част съдържа основите на

диференциалното и интегралното смятане за функция на една реална променлива.

Изучават се числови редици, производни и техните приложения, неопределен интеграл,

определен интеграл и неговите приложения, числови и функционални редове.

Лекциите се водят в поток. В тях се преподава теоретичният материал на

дисциплината, който се илюстрира с кратки примери. На семинарните упражнения

обучаваните прилагат получените знания при решаването на по-сложни задачи.

Хорариумът на дисциплината Висша математика 2 част е описан с таблицата 2.1:

Таблица 2.1 Хорариум на дисциплината ВМ 2 част

Редовно обучение

Задочно обучение

Л СУ Л СУ 30 45 15 23

За усвояването на дисциплината са необходими основни знания от елементарната


В началото на семестъра на студентите се обявяват правилата за провеждане на

изпит и формирането на крайната оценка по дисциплината. Тези правила са

формулирани ясно и са публикувани на страницата на катедрата по „Математика и

информатика”.

Правила за провеждане на изпита.

Изпитът по Висша математика 2 част се състои от 4 секции разпределени в две

части. Изпитът се оценява на 200 точки. По време на изпита не се разрешава

общуването с никого, с изключение на квестора. Мобилните телефони трябва да бъдат

изключени и прибрани. За да удостовери присъствието си на изпита, всеки студент

трябва да представи документ за самоличност. Тези мерки са взети с цел намаляване

опитите за преписване.


81

Първата част се състои от секция 1 с включени 10 задачи с разширен свободен

отговор, всяка от които се оценява максимум с 12 точки. Максималният брой точки,

които студентът може да получи на тази част е 120 точки. По време на първата част на

изпита е разрешено ползването на непрограмируем калкулатор и помагало с формули, в

което няма решени примери и задачи. Времето за работа е 90 минути.

В таблица 2.2 е дадена структурата на задачите от 1 секция:

Таблица 2.2 Структура на задачите от 1 секция по ВМ 2 част

№ Тема Брой

задачи Брой точки

1. Граници на редица. Граница на функции. 1 12 2. Производна на функция. 1 12

3. Интервали на монотоност. Локални екстремуми. Интервали на изпъкналост и вдлъбнатост и инфлексни точки.

1 12

4. Асимптоти. 1 12 5. Неопределени интеграли. 2 24 6. Определени интеграли. Приложения. 2 24 7. Числови редове. 1 12 8. Функционални редове. 1 12 Общо: 10 120

Втората част на изпита се състои от 3 секции (2, 3 и 4). Максималния брой точки,

които студентът може да получи е 80 точки. Времето за работа 60 минути. За тази част

на изпита не се разрешава използването на каквито и да са учебници, записки,

справочници, калкулатори.

Секция 2 се състои от 4 задачи със свободен отговор. Най-често от студентите се

изисква да дадат определение, да напишат свойства, да изведат твърдение, да докажат

теорема, да напишат приложение и други. За пълен отговор на всеки от въпросите в

тази секция изпитваните получават 8 точки. За непопълнен или грешен отговор

студентите не се наказват.

Секция 3 се състои от 8 задачи с избираем отговор от вида „Вярно – Грешно”. За

всеки правилен отговор студентите получават по 2 точки. Както е известно

вероятността на налучкване при този вид въпроси е 50% поради което при грешен

отговор студентите се наказват с – 2 точки. За непопълнен отговор не се дават и не се

отнемат точки.

Секция 4 се състои от 8 задачи с избираем отговор с класически формат. Броят на

възможните отговори към всеки въпрос е 4, от които само един е правилен. За всеки

правилен отговор студентите получават по 4 точки. Както е известно вероятността на


82

налучкване при този вид въпроси е 25% поради което при грешен отговор студентите

се наказват с – 1 точки. За непопълнен отговор не се дават и не се отнемат точки.

В началото на всяка секция е дадена кратка инструкция за отговаряне и начин на

точкуване.

Често в литературата се срещат препоръки от вида: „Не се препоръчва даването на

наказателни (отрицателни) точки за неправилен отговор, тъй като тогава изпитваните

се страхуват да отговарят, ако не са напълно убедени, и така не показват истинското

ниво на своите знания”. Аргументите за неспазване на това правило при оценяването на

студенти са, че тук вече не говорим за ученици, а за бъдещи професионалисти. Всеки

професионалист в дадена област трябва да си дава ясна сметка какво знае и какво не

знае. Една дори дребна грешка може да доведе до абсолютно непредвидими последици

– застрашаване на човешки живот, сблъскване на два влака и други. Наказателните

точки принуждава изпитвания да избягва „играта на тото”, когато не знае отговора на

даден въпрос.

Цел, задачи и очаквания от изпита по Висша математика 2 част.

Целта на изпита е обективно и надеждно да се оценят изходните знания, свързани

с учебната дисциплина. В изпита студентите трябва да демонстрират умения за точност

в отговорите, за правилно формулиране на понятия, за възпроизвеждане по образец,

правила и система от правила. Трябва да покажат конструктивност и възможностите си

за синтез и анализ.

Задачите на изпита са: да се измерят ясно придобитите знания; да съдържа такива

задачи и въпроси, които са най-подходящи за анализ и оценка на усвоените тематични

умения от учебната програма; да се съставят възможно най-валидни и най-надеждни

тестове и техните резултати да служат за справедливо и обективно оценяване.

Очакванията от изпита са: студентите да демонстрират ясни и точни познания

върху учебното съдържание; да покажат, че са усвоили теоретичните знания и че умеят

да ги прилагат.


83

Формиране на оценка по Висша математика 2 част.

За оценяване на знанията на студентите, получени на семинарните упражнения

и при самостоятелната им подготовка, през семестъра се провеждат две

контролни работи. Контролните работи не са задължителни за студентите.

Всяка от контролните работи се оценява с 40 точки.

През сесията студентите полагат изпит върху целия изучаван материал.

Явяването на изпит е задължително условие да бъде оформена крайната

оценка по разглежданата дисциплина.

Ако студент не се яви на нито една от двете контролни работи, и получи на

изпита t точки, набира сбор n t точки.

Ако студент се яви само на една от контролните работи и получи на нея k

точки, а на изпита получи t точки, набира сбор от n точки равен на по-

голямото от числата 0,8.k t и t, т.е. max{ 0,8. ; }n k t t .

Ако студент се яви и на двете контролни работи и получи на тях съответно p и

q точки, а на изпита получи t точки, набира сбор от n точки равен на най-

голямото от четирите числа: 0,8.p t , 0,8.q t , 0,6.p q t и t, т.е.

max{ 0,8. ; 0,8. ; 0,6. ; }n p t q t p q t t .

Точките получени на контролните работи важат само при явяване на първите

две сесии (редовна и поправителна). При явяване на ликвидационна сесия и

при всяко следващо явяване, оценките от контролните работи не се взимат под

влияние.

Студент може да получи за участие в Национална студентска олимпиада по

математика (НСОМ) допълнителен бонус от b точки. За участие в отбора на

ВТУ „Тодор Каблешков” за НСОМ – 25 точки, за достойно представяне с

отбора на НСОМ от 25 до 50 точки, за индивидуално призово място на НСОМ

– 100 точки.

В зависимост от сбора точки N n b , се оформя окончателната оценка по

шестобалната система според скалата:

Таблица 2.3 Скала за оценяване по ВМ 2 част

Брой точки (N) Оценка по-малко от 60 Слаб 2

от 60 до 94 Среден 3 от 95 до 129 Добър 4 от 130до 164 Много добър 5 повече от 164 Отличен 6


84

Анализ на резултатите от изпита по ВМ2 през последните години.

В таблица 2.4 е дадена справка за броя на студентите изучавали дисциплината

Висша математика 2 част през учебната 2014/ 2015 година и резултатите от

семестриалния изпит.

Таблица 2.4 Брой студенти изучавали ВМ 2 част

Форма на обучение Редовна форма

Задочна форма

Общо

Общ брой студенти 149 201 350

Брой студенти явили се на изпита

75 77 152

Процент на явилите се студенти от общия брой

50,34% 38,31% 43,43%

Процент на неявилите се студенти

49,66% 61,69% 56,57%

Брой студенти издържали изпита

30 29 59

Процент на издържалите изпита студенти спрямо явилите се на изпит студенти

40,00% 37,66% 38,82%

Процент на издържалите изпита студенти спрямо общия брой студенти

20,13% 14,43% 16,86%

На Фиг. 2.1 са представени кръгови диаграми на разпределението на студентите.

Неявили се56,6%

Неиздържали26,6%

Издържали16,9%

Явили се43,4%

Фиг. 2.1 Структура на студентите изучавали ВМ 2 част


85

Студентите обикновено остават с невзет изпит не поради слаба оценка, а защото

въобще не се явяват на изпита (56,57%). Една от причините затова е, че голяма част от

студентите изпитват някакъв страх от явяването на изпит, породен от липсата на

достатъчна подготвеност. Друга причина за да не се явяват на изпит е възможността

студентите да се записват в по-горен курс с голям брой невзети изпити. Забелязва се, че

процентът на взелите изпита студенти от редовна форма на обучение е по-висок от

съответния процент при задочна форма на обучение.

Липсата на задължителен минимум точки по отделните секции от изпита по ВМ2

и трудното боравене със символи, дефиниции, теореми и др., кара студентите все по-

рядко да учат теория. За да успеят да си вземат изпита, те наблягат предимно на

задачите от секция 1. Студентите трябва да се убедят, че без познаването на

теоретичния материал е трудно да се решават задачи. За да се наложи това становище

трябва да се помисли, дали да няма изискване задължително за получаване на

определен минимален брой точки и от теоретичната част. Такъв експеримент е правен

и той довежда до повишаване на резултатите. Първоначално студентите не харесват

този начин на изпитване, защото искат да минат по „най-малкото напрежение”. След

време те осъзнават, че това е начин за повишаване на резултатите им. Въпреки всичко

съпротивата им е голяма срещу този начин на изпитване.

Ролята на домашните работи за частично преодоляване на проблемите.

Съвременната визия на висшето образование извежда на преден план

необходимостта от търсене на решение за преодоляване на проблема с активността и

самостоятелната подготовка на студентите.

Няма учебни помагала съдържащи примерни задачи, които студентите да могат да

ползват успешно при подготовката си за изпита по ВМ2. Съществуващите сборници и

ръководства по висша математика се оказват много трудни, обемисти и неефективни за

студентите от ВТУ „Тодор Каблешков”. Това наложи разработването на домашни

(самостоятелни) работи, които са съобразени с възможностите на студентите и с

изискванията на изпита по ВМ2. Домашните работи подпомагат студентите в

подготовката им и скъсяват пътя към успешното полагане на изпита.

Домашната работа дава възможност за усъвършенстване на образованието,

повишаване на неговата ефективност и формира умения за самостоятелно учене. Тя

поддържа мотивацията и положителното отношение на студентите към ученето и

резултатите от него. Домашната работа предразполага студентите за самостоятелно,


86

съзнателно и активно организиране на ученето си в съответствие с поставената цел.

Основното предназначение на домашната работа е както затвърдяване на знанията и

уменията и по-задълбочено усвояване на учебното съдържание, така и изчистване на

пропуски от елементарната математика. Личното отношение, мотивацията и нагласата

на студентите за изпълнение на домашните работи са определящи за ефективността на

тяхното изпълнение.

Структура на домашните работи:

Разработените домашните работи (задачи за самостоятелна подготовка) по Висша

математика 2 част са съобразени, както с учебния план по дисциплината, така и с

липсата на основни знания от елементарната математика на първокурсниците.

Съставени са общо 7 домашни работи, които обхващат целия учебен материал.

Таблица 2.5 Структура на домашните работи по ВМ 2 част

№ ДР

№ Тема

Домашна работа / Тема Брой

задачи Брой

примери 1. 1. Производна на функция. 13 130

2. 2. Граници на редица. Граница на функции.

12 120

3. 3.

Интервали на монотоност. Локални екстремуми. Интервали на изпъкналост и вдлъбнатост и инфлексни точки.

10 100

4. Асимптоти. 4 40

4. 5.

Неопределени интеграли. Непосредствено интегриране. Интегриране чрез внасяне под диференциала.

12 120

5.

6. Интегриране на рационални функции.

5 50

7. Интегриране по части. Интегриране чрез смяна на променливите.

7 70

6. 8. Определени интеграли. Приложения на определените интеграли.

9 90

7. 9. Числови редове. 9 90 10. Функционални редове. 4 40

Общо: 85 850


87

Функция на домашните работи.

Всяка домашна работа е структурирана от учебно – познавателни задачи с

нарастваща трудност. Основните типове задачи са: възпроизвеждане по образец, по

правила, по система от правила, конструктивна, т.е. в подредбата на задачите има

плавно надграждане.

Основната функция на задачите за „възпроизвеждане по образец” е, че при

нейното изпълнение студентите оперират с вече усвоените от тях знания.

Познавателната дейност се характеризира с внимателно разглеждане, запомняне и

дословно възпроизвеждане на показания им образец.

При задачите от типовете „по правила” и „по система от правила” се изисква

приложение на усвоените от тях знания и умения в нови условия, следвайки дадено

правило (система от правила), зададено от преподавателя. Следва се постепенно

усложнение на задачите, търси се проява на отделни елементи на творчество.

Последният тип задачи са конструктивните. Те изискват творчески подход.

Предназначени са за най-добрите студенти. При тях студентите със своя опит,

въображение и мислене създават нещо ново.

С цел ограничаване на възможността за преписване на домашните работи от

състуденти всяка задача е съставена от 10 различни примера (различни задачи с

еднакви функции), от които за студентите задължителен е само един, определен по

случаен начин. След приключване на темата, студентите имат една седмица срок да

предадат домашната работа за проверка. Останалите примери студентите могат да

използват според нуждите си – за да затвърдят знанията си, за подобряване на

изчислителната си техника, за подготовка за контролни работи и семестриален изпит. С

решаването на по-голям брой подобни задачи, голяма част от студентите успяват да

преодолеят „комплекса си от математиката”. Много често в практиката ми се е

случвало да чувам изявления от вида: „Госпожо за първи път ми доставя удоволствие

да решавам задачи”, „На стари години ще заобичам математиката”, „Свърши ли часа –

искаме още”, „Няма ли листчета с домашни и по статистика” и др.


88

Използване на домашните работи

Първоначално разработените домашни работи бяха използвани само от мен и

студенти от групите на които преподавам. На колегите ми това се стори твърде

училищно. Но с течение на времето студентите от другите групи започнаха да издирват

домашните работи и да ги решават. От две години домашните работи се затвърдиха

като задължително средство за успешно представяне на изпита. Всички колеги ги

раздават на студентите си, но не всички от тях успяват да мотивират студентите си да

ги решават.

Изследване 3. Анкетно проучване.

Цел на изследването е да се идентифицират нагласите на студентите към

домашните работи.

Предмет на изследването е анкетно проучване, пряко насочено към оценка

отношението на студентите към домашните работи в няколко аспекта:

Ефект за развитие на способностите;

Начин на задаване на домашните работи;

Необходимо условие за постигане успех на изпита по ВМ2;

Затруднения при решаване на домашните работи.

Място на изследването е ВТУ „Тодор Каблешков”.

Обект на изследването са 120 студенти от ВТУ „Тодор Каблешков”.

Анкетираните студенти са разделени по равно в четири групи:

Първата от тях са студенти редовно обучение, за които домашната работа е

задължителна. Втората група са студенти редовно обучение, за които домашната работа

не е задължителна. Третата група са студенти задочно обучение, за които домашната

работа е задължителна. Четвъртата група са студенти задочно обучение, за които

домашната работа не е задължителна.

Инструмент на изследването е анкетна карта.

Данните са получени от анкетните карти.

Методи на теоретичното изследване: статистическа обработка на получените

резултати и графично представяне на данните.

Хипотеза на изследването: Тъй като домашните работи не влияят пряко на

изпитната оценка (нямат дял при формирането на оценката), а са примерни задачи за

самоподготовка за изпита, то голяма част от студентите ще имат положително

отношение към тях.


89

Анкетна карта

АНКЕТНА КАРТА

Уважаеми студенти, Моля на всеки от поставените въпроси да отбележите отговора, който отразява Вашето мнение. Направете това, като запълните съответното квадратче с Х. На всеки ред запълнете само едно квадратче. Благодаря Ви предварително за отзивчивостта!

Да Не

Не мога да преценя

1. Домашните работи имат ли положителен

ефект за развитие на способностите Ви?

2. Имате ли интерес към домашните

работи?

3. Подходящ ли е начинът на задаване на

задачите в домашните работи?

4. Добре ли са подредени задачите в

домашните работи?

5. Необходими ли са Ви домашните работи

за успешно полагане на изпита?

6.

Необходима ли Ви е допълнителна

помощ за изпълнение на домашните

работи?

7. Намирате ли време за изпълнение на

домашните работи?

8. Задължителна ли е за Вас домашната

работа?

Вие сте студент редовно/задочно обучение.


90

Резултати от изследването.

Анализ на въпросите от анкетната карта.

Въпрос 1:

Домашните работи имат ли положителен ефект за развитие на способностите Ви?


18%

Да 71%

Не11%

0% 20% 40% 60% 80% 100%

Група 1

Група 2

Група 3

Група 4

Да Не Не мога да преценя

Фиг. 2.2 Фиг. 2.3

71% от анкетираните студенти определят положителен ефект на домашните

работи за развитие на способностите си (Фиг. 2.2). От Фиг. 2.3 се вижда, че при

групите, за които домашната работа е задължителна (1 и 3 група), процентът е

значително по-висок. Осъзнаването на този ефект на домашните работи от страна на

студентите е основа за тяхната мотивация.

Въпрос 2:

Имате ли интерес към домашните работи?


20%

Да 65%

Не15%

0% 20% 40% 60% 80% 100%

Група 1

Група 2

Група 3

Група 4


Фиг. 2.4 Фиг. 2.5


91

Интерес към домашните работи в обучението по ВМ 2 част проявяват 65% от

анкетираните студенти.

Въпрос 3:

Подходящ ли е начинът на задаване на задачите в домашните работи?


16%

Да 73%

Не11%

0% 20% 40% 60% 80% 100%

Група 1

Група 2

Група 3

Група 4


Фиг. 2.6 Фиг. 2.7

73% от анкетираните студенти посочват като подходящ начина на задаване на

домашната работа.

Въпрос 4:

Добре ли са подредени задачите в домашните работи?


17%

Да 78%

Не5%

0% 20% 40% 60% 80% 100%

Група 1

Група 2

Група 3

Група 4


Фиг. 2.8 Фиг. 2.9

78% от анкетираните студенти смятат, че задачите в домашните работи са

подредени добре.


92

Въпрос 5:

Необходими ли са Ви домашните работи за успешно полагане на изпита?


13%

Да 81%

Не6%

0% 20% 40% 60% 80% 100%

Група 1

Група 2

Група 3

Група 4


Фиг. 2.10 Фиг. 2.11

Анкетираните студенти по безспорен начин определят, че изпълнението на

домашните работи е необходимо условие за успешното полагане на изпита (81% от

тях).

Въпрос 6:

Необходима ли Ви е допълнителна помощ за изпълнение на домашните работи?


13%Да

37%

Не50%

0% 20% 40% 60% 80% 100%

Група 1

Група 2

Група 3

Група 4


Фиг. 2.12 Фиг. 2.13

Резултатите по отношение на изследване на затрудненията на студентите по

реализирането на домашните работи показват, че на 37% от студентите им е

необходима допълнителна помощ.


93

Въпрос 7:

Намирате ли време за изпълнение на домашните работи?


9%

Да 68%

Не23%

0% 20% 40% 60% 80% 100%

Група 1

Група 2

Група 3

Група 4


Фиг. 2.14 Фиг. 2.15

23% от студентите не намират време за изпълнение на домашните работи.

Интересен е фактът, че този процент е по-висок за студентите редовно обучение.

Изводи от изследването.

По-голяма част от студенти определят, че домашните работи имат положителен

ефект за развитие на способностите им и считат, че те са необходимо условие за

постигане успех на изпита по ВМ 2 част. Одобряват начина на задаване на домашните

работи.


94


ИЗПЪЛНЕНИЕТО НА ДОМАШНИТЕ РАБОТИ

В този параграф са дадени приложения на линейния вероятностен модел (ЛВМ),

Логит-модела и Пробит-модела. Като конкретен пример е направено изследване за

резултатите от изпита по Висша математика 2 част на студенти от ВТУ „Тодор

Каблешков”. Върху тези резултати са приложени вероятностните модели за пресмятане

на вероятността за успешно полагане на изпита в зависимост от изпълнението на

домашните задания (задачите за самоподготовка).


Цел на изследването е определяне на зависимостта на вероятността за успешно

полагане на изпита от количеството на решените примери от домашните задания.


Обект на изследването са 50 студента – редовно и задочно обучение от І курс.

Предмет на изследването са резултатите от изпита по ВМ 2 част.

Данните са получени от изпитните работи, изпитните протоколи, справки от

преподавателите за изпълнение на домашните задания.

Събраните данни са представени обобщено в таблица 2.6.

Таблица 2.6 Данни за брой решени примери и резултат от изпита на студентите

№ на студента

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Общ брой решени

примери от домашните

работи

80 180 200 180 80 200 300 80 300 200 180 180 180 260 200 100 200 260 160 80

Резултат от изпита

(1 - издържал, 0

- неиздържал)

0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0

№ на

студента 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40



работи

180 200 160 300 260 180 200 200 260 300 130 260 200 300 180 130 200 160 80 100


(1 - издържал,

0 - неиздържал)

0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1


95

№ на студента

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50



работи

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0


(1 - издържал, 0 - неиздържал)

0 0 0 1 0 0 0 1 1 1

Хипотеза за резултата от изследването: Вероятността за успех на изпита

зависи от количеството на решените примери от домашните задания.

Методи на теоретичното изследване: Приложени са 6 еднофакторни модела.

Те са линейният вероятностен модел (ЛВМ), Логит-моделът и Пробит-моделът, всеки

от тях без тегло и с тегло.

2.1. Линеен вероятностен модел

Определяме общия вид на модела. Той се представя чрез уравнението:

0 1Y X ,

където:

X е факторната променлива – общият брой решени примери от домашните

работи;

1, студентът е издържал изпита,

0, студентът не е издържал изпита.iY

Оценяваме параметрите на модела по МНМК:

0 12

0 1

. i i

i i i i

b n b X Y

b X b X X Y

.

От изходните данни получаваме следните характеристики:

50n ; 7580iX ; 2 1609800iX ; 32iY ; 5750i iX Y .

Намираме оценките 0 1,b b от системата:

0 1

0 1

. 50 .7580 32

.7580 .1609800 5750

b b

b b

.

Решенията на системата са представени в таблицата:


0b 0,3442

1b 0,0020


96

Получаваме теоретичните стойности на резултативната променлива:

0,3442 0,0020.i iY X .

Тъй като остатъците имат разпределение близко до биномното разпределение

( , ( ))i iB N P X с дисперсия 2 ( )(1 ( )) (1 )i i i iP X P X P P [34] ще използваме

стойностите на iY за да пресметнем теглата (1 )i iiW Y Y . Тъй като нямаме

отрицателни стойности на iY , нямаме отпаднали студенти от анализа.

Претегляме изходните данни, като разделяме на теглата и получаваме

уравнението, от което ще се оценяват регресионните коефициенти:

* *0 0 1 1i i iZ b c b c ,

където:

i

i

i

YZ

W ,

0

1i

i

cW

и 1

ii

i

Xc

W .

Прилагаме обобщения модел на МНМК:

* 2 *0 0 1 0 1 0* * 20 0 1 1 1 1

i i i i i

i i i i i

b c b c c c Z

b c c b c c Z

.

Намираме интересуващите ни характеристики:

20 298,89ic ; 0 1 55849,54i ic c ; 2

1 13507623,62ic ;

0 205,95i ic Z ; 1 43555, 46i ic Z .

Решаваме системата:

* *0 1* *0 1

.298,89 .55849,54 205,95

.55849,54 .13507623,62 43555, 46

b b

b b

.

За регресионните коефициентите * *0 1,b b получаваме:


*0b 0,3804 *1b 0,0017

Окончателно за регресионното уравнение, от което ще оценяваме стойността на

вероятността един студент да си вземе изпита при дадено количество решени примери

от домашните работи, получаваме:

* 0,3804 0,0017.i iY X .


97

Коефициентът *0 0,3804b показва каква е вероятността студент, който не се е

подготвял за изпита с примерите от домашните работи да издържи изпита. Както се

вижда тази вероятност е 38,04%. Коефициентът *1 0,0017b показва как се изменя

средно вероятността студент да издържи изпита при нарастване на решените примери с

един. Средната стойност на вероятността студент да издържи изпита, изразена в

проценти, нараства с 3,30% с увеличаване на решените примери с 20.

На Фиг. 2.16 е дадена графиката на връзката между X и Y.

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

0 20 40 60 80 100

120

140

160

180

200

220

240

260

280

300

320

340

360

380

Брой решени примери

Вер

оя

тно

ст

Фиг. 2.16 Връзката между X и Y - Линеен вероятностен модел

2.2. Логистичен вероятностен модел (LOGIT)

Данни от изследването са групирани по брой решени примери. Групираните

данни са представени в таблица 2.7.

Таблица 2.7 Брой студенти, издържали изпита, в зависимост от решените примери


0 80 100 130 160 180 200 260 300

Брой студенти 10 5 2 2 3 8 10 5 5

Брой студенти издържали изпита

4 1 1 1 2 6 9 4 4

Дефинираме скритата, латентна променлива, която искаме да изследваме. В

случая това е *Y - вероятността или възможността студента да издържи изпита по


98

Висша математика 2 част. За тази латентна променлива наблюдаваме фиктивната

променлива ( iY ) с две разновидности, издържал или не издържал изпита по ВМ2. Ако

изследваните студенти са издържали изпита - 1iY . Ако изследваните студенти не са

издържали изпита - 0iY .

Определяме факторната променлива iX – общ брой решени примери от

домашните работи.

Изчисляваме вероятностите ip при равнище iX на факторната променлива по

формулата ii

i

np

N , където in е броят на студентите издържали изпита в категорията

iX , а iN е общия брой на студентите в тази категория. Получените изчисления са

поместени в колона 5 на таблица 2.8.

Пресмятаме логаритъма на шанса по формулата ln

1i

i

i

pL

p

. Получените

изчисления са поместени в колона 8 на таблица 2.8.

Съставяме модела:

0 1ln

1i

i i

i

pL b b X

p

;


0 12

0 1

. i i

i i i i

b n b X L

b X b X X L

.


9n ; 1410iX ; 2 288900iX ; 4,97iL ; 1413,52i iX L .


0 1

0 1

. 9 .1410 4,97

.1410 .288900 1413,52

b b

b b

.



0b -0,9106

1b 0,0093


99


0,9106 0,0093.i iL X (колона 9 на таблица 2.8).

Пресмятаме вероятностите от равенството:

1

1 1

i

i i

L

iL L

eP

e e


вероятности са поместени в колона 10 на таблица 2.8.

Тъй като отклоненията на вероятностите имат биномно разпределение

( , ( ))i iB N P X с дисперсия 2 ( )(1 ( )) (1 )P i i i iP X P X p p [34] и за логита L е в сила

отношението .( ( ) ( )) (0, )i iN L p L P N , пресмятаме теглата по формулата

(1 )i i i iW N p p . Получените тегла са поместени в колона 12 на таблица 2.8.

Претегляме двете страни на модела и получаваме:

* * *0 0 1 1i i iL b c b c ,

където:


Параметрите на полученото матрично уравнение намираме като приложим

обобщения модел на МНМК:

* 2 * *0 0 1 0 1 0* * 2 *0 0 1 1 1 1

i i i i i

i i i i i

b c b c c c L

b c c b c c L

.


20 8,87ic ; 0 1 1183,67i ic c ; 2

1 246316,67ic ;

*0 4, 22i ic L ; *

1 1298, 40i ic L .


* *0 1* *0 1

.8,87 .1183,67 4,22

.1183,67 .246316,67 1298,40

b b

b b

.



*0b -0,6342 *1b 0,0083


100

Таблица 2.8 Работна таблица за изчисляване на вероятността студент да издържи изпита по ВМ 2 част при дадено количество

решени примери от домашните работи (Логит – модел)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

№ iX iN in ˆ ip ˆ1 ip ˆ

ˆ1i

i

p

p

iL iL

iP ˆ ˆ(1 )i ip p iW 0i ic W 1i i ic X W *i i iL L W *

iL *

iP

1 0 10 4 0,40 0,60 0,67 -0,4055 -0,9106 0,2869 0,24 2,40 1,549 0,000 -0,628 -0,634 0,347

2 80 5 1 0,20 0,80 0,25 -1,3863 -0,1636 0,4592 0,16 0,80 0,894 71,554 -1,240 0,031 0,508

3 100 2 1 0,50 0,50 1,00 0,0000 0,0231 0,5058 0,25 0,50 0,707 70,711 0,000 0,198 0,549

4 130 2 1 0,50 0,50 1,00 0,0000 0,3032 0,5752 0,25 0,50 0,707 91,924 0,000 0,447 0,610

5 160 3 2 0,67 0,33 2,00 0,6931 0,5833 0,6418 0,22 0,67 0,816 130,639 0,566 0,697 0,667

6 180 8 6 0,75 0,25 3,00 1,0986 0,7701 0,6835 0,19 1,50 1,225 220,454 1,346 0,863 0,703

7 200 10 9 0,90 0,10 9,00 2,1972 0,9568 0,7225 0,09 0,90 0,949 189,737 2,084 1,030 0,737

8 260 5 4 0,80 0,20 4,00 1,3863 1,5170 0,8201 0,16 0,80 0,894 232,551 1,240 1,529 0,822

9 300 5 4 0,80 0,20 4,00 1,3863 1,8905 0,8688 0,16 0,80 0,894 268,328 1,240 1,861 0,865

Общо: 1410 4,969813 8,87 8,637 1275,898 4,608


101


вероятността един студент да си вземе изпита при дадено количество решени примери

от домашните работи, получаваме:

*0,6342 0,0083.i iL X (колона 16 на таблица 2.8).

За всяка група пресмятаме вероятността студент да издържи изпита по ВМ 2 част,

като използваме формулата: *

* 1

1 i

iL

Pe

(колона 17 на таблица 2.8).

На Фиг. 2.17 е представена сравнителна графика на Логит–модела.

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

0 20 40 60 80 100

120

140

160

180

200

220

240

260

280

300

320

340

360

380


Вер

оя

тно

ст

без тегло с тегло

Фиг. 2.17 Сравнителна графика на Логит–модела.

2.3. Пробит модел (PROBIT)

Възможността (вероятността) i–ят студент да е издържал изпита по ВМ2 ще се

основава на ненаблюдаемия индекс за полезност iI , който зависи от броя на решените

примери от домашните работи. Моделът на връзката между индекса на полезност и

броя на решените примери се дава в линеен вид:

0 1i iI X

Ненаблюдаваният индекс на полезност iI се обвързва със зависимата променлива

iY , която е дихотомна. Ако изследваните студенти са издържали изпита – 1iY . Ако

изследваните студенти не са издържали изпита – 0iY .


102

Използваме данните от таблица 2.8 за факторната променлива iX – общ брой

решени примери от домашните работи и изчислените вероятностите ip при равнище

iX на факторната променлива.

От таблиците за стандартното нормално разпределение намираме значенията на


iI ( 1( )i iI F p ). Намерените значения са поместени в колона 6 на таблица 2.9.

Получените значения за i iI I заместваме в матричното уравнение 0 1i iI b b X

на мястото на зависимата променлива.


0 12

0 1

. i i

i i i i

b n b X I

b X b X X I


9n ; 1410iX ; 2 288900iX ; 2,975iI ; 850,61i iX I .


0 1

0 1

. 9 .1410 2,975

.1410 .288900 850,61

b b

b b

.



0b -0,5554

1b 0,0057


0,5554 0,0057.i iI X (колона 7 на таблица 2.9).

От получената стойност от уравнението за iI (колона 7 на таблица 2.9) чрез

таблиците за стандартно нормално разпределение определяме оценката за вероятността

iP ( ( )i iP F I ). Пресметнатите вероятности са поместени в колона 8 на таблица 2.9.


103

Тъй като остатъците имат дисперсии

22

(1 )i ii

i i

p p

N I

, пресмятаме теглата по

формулата 2( )

(1 )i i

i

i i

N IW

p p

[18], [19], [34]. Получените тегла са поместени в колона 10

на таблица 2.9.

Претегляме двете страни на модела и получаваме:

* * *0 0 1 1i i iI b c b c ,

където:

*i i iI W I ; 0i iW c ; 1i i iX W c .

Прилагаме МНМК за намиране на параметрите на полученото матрично

уравнение:

* 2 * *0 0 1 0 1 0* * 2 *0 0 1 1 1 1

i i i i i

i i i i i

b c b c c c I

b c c b c c I

.


20 273, 48ic ; 0 1 54558,38i ic c ; 2

1 11622636,04ic ;

*0 265,99i ic I ; *

1 58244, 41i ic I .


* *0 1* *0 1

.273,48 .54558,38 265,99

.54558,38 .11622636,04 58244,41

b b

b b

.



*0b -0,4270 *1b 0,0070


вероятността един студент да си вземе изпита при дадено количество вярно решени

примери от домашните работи, получаваме:

*0, 4270 0,0070.i iI X (колона 13 на таблица 2.9).


104

Таблица 2.9 Работна таблица за изчисляване на вероятността студент да издържи изпита по ВМ 2 част при дадено количество

решени примери от домашните работи (Пробит–модел)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

№ iX iN in ˆ ip 1 ˆ( )i iI F p iI

iP iW 0i ic W 1i i ic X W *i i iI I W *

iI *

iP

1 0 10 4 0,40 -0,253 -0,555 0,289 2,67 1,64 0,000 -0,414 -0,427 0,335

2 80 5 1 0,20 -0,842 -0,103 0,459 22,14 4,70 376,384 -3,960 0,134 0,553

3 100 2 1 0,50 0,000 0,010 0,504 0,00 0,00 0,000 0,000 0,275 0,608

4 130 2 1 0,50 0,000 0,180 0,571 0,00 0,00 0,000 0,000 0,485 0,686

5 160 3 2 0,67 0,431 0,349 0,637 2,50 1,58 253,215 0,682 0,696 0,757

6 180 8 6 0,75 0,674 0,463 0,678 19,41 4,41 793,035 2,972 0,836 0,798

7 200 10 9 0,90 1,282 0,576 0,718 182,49 13,51 2701,748 17,312 0,976 0,836

8 260 5 4 0,80 0,842 0,915 0,820 22,14 4,70 1223,249 3,960 1,397 0,919

9 300 5 4 0,80 0,842 1,141 0,873 22,14 4,70 1411,442 3,960 1,678 0,953

Общо: 1410 2,975 2,975 35,25 6759,073 24,511


105

От получената стойност от уравнението за *

iI (колона 13 на таблица 2.9) чрез

таблиците за стандартно нормално разпределение определяме оценката за вероятността

*

iP , т.е. * *

( )i iP F I (колона 14 на таблица 2.9).

На Фиг. 2.18 е представена сравнителна графика на Пробит–модела.

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

0 20 40 60 80 100

120

140

160

180

200

220

240

260

280

300

320

340

360

380


Вер

оя

тно

ст


Фиг. 2.18 Сравнителна графика на Пробит–модела

Резултати от изследването: При всички, разгледани модели има зависимост на

стойността на вероятността за успешно полагане на изпита от броя на решените

примери от домашните задания (задачите за самоподготовка).

2.4. Сравнителна характеристика на линейния вероятностен, логит и пробит

моделите.

Сравнението между трите групи вероятностни модели може да бъде извършено в

четири направления.

Първо, при трите модела следствието е представено на слабата скала с две

разновидности. За предоставянето на тези две разновидности се използват фиктивни

означения 1, студентът е издържал изпита

0, студентът не е издържал изпитаiY

. При третиране на следствието

съществува принципна разлика. При ЛВМ се анализира дихотомната променлива,

такава, каквато е. При логит и пробит моделите се приема, че съществува латентна


106

променлива, за която се наблюдава дихотомно проявление. Разликата между логит и

пробит модела е свързана с кумулативното честотно разпределение на остатъците. При

логит модела то е логистично, а при пробит модела следва нормалния закон на

разпределение. Както се вижда от Фиг. 2.19, двата модела са напълно сравними.

Получените криви за стойността на вероятността за успешно полагане на изпита в

зависимост от броя на решените примери от домашните задания са достатъчно близки

една до друга. Основната разлика е, че кривата на пробит модела е по-стръмна и по-

плътно се доближава до граничните стойности, докато логит моделът има леко

повдигната опашка.

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

0 20 40 60 80 100

120

140

160

180

200

220

240

260

280

300

320

340

360

380

ЛВМ Logit Probit

Фиг. 2.19 Сравнителна графика на ЛВМ, логит и пробит модела

В таблица 2.10 са поместени основните характеристики на ЛВМ, логит и пробит

модела.


107

Таблица 2.10 Основни характеристики на ЛВМ, логит и пробит модела

Модел

Оценки на параметрите Функция за вероятността

Дисперсия на остатъците *

0b *1b

ЛВМ 0,3804 0,0017 * *0 1( )i iP X b b X 2 (1 )i iP P

Логит модел

-0,6342 0,0083 * *0 1( )

1( )

1 ii b b X

P Xe

2 1

(1 )i i iN P P

Пробит модел

-0,4270 0,0070

* * 20 1

* * 20 1

1( ) ( )

2

ib b X z

i iP X F b b X e dz

2

2

(1 )

( )i i

i i

P P

N I

Второ, получените оценки на параметрите на регресионното уравнение при трите

вероятностни модела не са директно сравними. Причината за това е, че при трите

модела разсейването на оценките е различно (колона 5 на таблица 2.10).

В таблица 2.11 е направена проверка за значимостта на коефициентите на ЛВМ,

логит и пробит модела.

Таблица 2.11 Ниво на значимост на параметрите на ЛВМ, логит и пробит модела.

Мод

ел

Оц

енк

а н

а

случ

айн

ия

ком

пон

ент

в об

щат

а ди

спер

сия

Пар

амет

ър

Оц

енк

и н

а п

арам

етр

ите

Ди

агон

алн

и

елем

енти

в

ков

ари

ци

онн

ата

мат

ри

ца

Ср

едн

а ст

охас

тич

еск

а гр

ешк

а н

а оц

енен

ите

п

а рам

етр

и

Ем

пи

ри

чн

и

стой

нос

ти

Ни

во н

а зн

ачи

мос

т С

теп

ени

на

св

обод

а

Тео

рет

ич

ни

ст

ойн

ости

ЛВМ без

тегло 0,2035

0b 0,3442 0,0698892 0,1192 2,8866 0,01 48 2,682

1b 0,0020 0,0000022 0,0007 2,9358 0,01 48 2,682

ЛВМ с тегло

0,2044 *0b 0,3804 0,0147123 0,0548 6,9374 0,01 48 2,682 *1b 0,0017 0,0000003 0,0003 6,4020 0,01 48 2,682

Логит без

тегло 0,5389

0b -0,9106 0,4720588 0,5044 1,8054 0,12 7 1,770

1b 0,0093 0,0000147 0,0028 3,3166 0,02 7 2,998

Логит с тегло

0,5666 *0b -0,6342 0,3146044 0,4222 1,5023 0,18 7 1,489 *1b 0,0083 0,0000113 0,0025 3,2842 0,02 7 2,998

Пробит без

тегло 0,1877

0b -0,5554 0,4720588 0,2977 1,8655 0,12 7 1,770

1b 0,0057 0,0000147 0,0017 3,4032 0,02 7 2,998

Пробит с тегло

0,3557 *0b -0,4270 0,0575505 0,1431 2,9843 0,03 7 2,715 *1b 0,0070 0,0000014 0,0007 10,1082 0,01 7 3,499


108

При трите модела, с тегло и без тегло, коефициентите на линейна регресия са

статистически значими с различно ниво на значимост. Ще отбележим, че за

коефициентите пред променливата ( 1b или *1b ) са с висока статистическа значимост -

нивото на значимост е 0,01 или 0,02. Това показва, че променливата е удачно избрана и

тя наистина има влияние върху вероятността за успех. При линейния вероятностен

модел нивото на значимост за коефициентите е най-ниско (0,01). При този модел

директно смятаме вероятността, докато при другите модели смятаме с линейна

регресия междинна функция, която после използваме за пресмятане на вероятността.

При пробит модела с тегло, нивото на значимост за коефициентите също е много ниско

(0,03 и 0,01), което показва необходимостта от използване на тегло и близостта между

разпределението на Стюдънт (t – разпределение) и нормалното разпределение.

Трето, тълкуването на регресионните коефициенти при трите вероятностни

модела е различно. При ЛВМ регресионният коефициент *1b измерва директно

промяната във вероятността iP студентът да издържи изпита по ВМ2. Той ни показва с

колко средно ще се промени вероятността при промяна на броя решени примери с

единица. Промяната във вероятността остава константа за всички значения на Х. При

логит моделите регресионният коефициент *1b измерва промяната в логаритъма на

шанса L за единица промяна на Х. Тук промяната във вероятността iP студентът да

издържи изпита по ВМ2 се свързва с регресионния коефициент *1b по-сложно, а именно

*1 (1 )i i iP b P P . При пробит моделите обвързаността между вероятността и

регресионния коефициент е най-сложно. Промяната във вероятността iP се свързва с

регресионния коефициент *1b с промяната на израза *

1 ( )ib F I .

Четвърто, като разгледаме ЛВМ виждаме, че коефициентът *0b е положителен,

което показва, че разгледаният фактор не е единственият фактор, от който зависи

успеваемостта на студентите на изпита. Същото показват и графиките на логит и

пробит моделите.

Извод на изследването: Стойността на вероятността зависи от броя на решените

примери, но това не е единственият фактор, който влияе за успешното полагане на

изпита.

Практическо приложение на изследването: След изследването използването на

домашните задания се прилага във всички групи и от всички преподаватели.


109


ИЗПЪЛНЕНИЕТО НА ДОМАШНИТЕ РАБОТИ И ПОСЕЩАЕМОСТТА НА

УЧЕБНИТЕ ЗАНЯТИЯ

В този параграф са дадени приложения на линейния вероятностен модел (ЛВМ),

Логит-модела и Пробит-модела с две факторни променливи. Като конкретен пример е

направено изследване за резултатите от изпита по Висша математика 2 част на

студенти от ВТУ „Тодор Каблешков”. Върху тези резултати са приложени

вероятностните модели за пресмятане на вероятността за успешно полагане на изпита в

зависимост от количеството решени примери от зададените домашни работи и

посещаемостта на учебните занятия (упражнения, лекции).


Цел на изследването е определяне на зависимостта на вероятността за успешно

полагане на изпита от количеството решени примери от зададените домашни работи и

посещаемостта на учебните занятия (упражнения, лекции).




Данните са получени от справки от преподавателите за изпълнение на

домашните задания и присъствени списъци, изпитните работи и изпитните протоколи.

Хипотеза за резултата от изследването: Вероятността за успех на изпита

зависи от количеството на решените примери от домашните задания и посещаемостта

на учебните занятия (упражнения, лекции).

Методи на теоретичното изследване: Приложени са 6 двуфакторни модела. Те

са линейният вероятностен модел (ЛВМ), Логит-моделът и Пробит-моделът, всеки от

тях без тегло и с тегло.

При разгледаните модели следствието е представено на слабата скала с две

разновидности. За представянето на тези две разновидности се използват фиктивни

означения 1, студентът е издържал изпита;

0, студентът не е издържал изпита.iY

Факторните променливи са две. 1X е факторната променлива – общ брой вярно

решени примери от домашните работи. 2X е факторната променлива – брой посещения

на учебните занятия. Разглежданите стойности за 1X са 4 (0, 100, 200, 300).

Разглежданите стойности за 2X са 3 (10, 20, 30). Тогава възможните различни двойки


110

стойности са 3.4 12 . При наблюденията от изследването липсват 4 двойки: (0, 10),

(100, 20), (100, 30) и (300, 10).

Обобщените данни от експеримента са дадени в таблица 2.12.

Таблица 2.12 Брой студенти, издържали изпита, в зависимост от решените

примери и посещаемостта на учебните занятия

Брой примери 0 0 100 200 200 200 300 300

Брой занятия 20 30 10 10 20 30 20 30

Брой студенти 4 6 7 3 5 15 6 4

Брой издържали изпита

1 3 2 1 3 14 5 3

3.1. Двуфакторен линеен вероятностен модел

Общият вид на модела се представя чрез уравнението:

0 1 1 2 2Y X X .


0 1 1, 2 2,2

0 1, 1 1, 2 1, 2, 1,2

0 2, 1 1, 2, 2 2, 2,

. i i i

i i i i i i

i i i i i i

b n b X b X Y

b X b X b X X X Y

b X b X X b X X Y

.

От изходните данни получаваме характеристики, които са ни необходими:

50n ; 1, 8300iX ; 2, 1150iX ;

21, 1890000iX ; 2

2, 29500iX ; 1, 2, 195000i iX X ;

32iY ; 1, 6200i iX Y ; 2, 810i iX Y .

Заместваме с получените характеристики и решаваме системата:

0 1 2

0 1 2

0 1 2

.50 .8300 .1150 32

.8300 .1890000 .195000 6200

.1150 .195000 .29500 810

b b b

b b b

b b b

.



0b -0,1283

1b 0,0016

2b 0,0222


111

За теоретичните стойности за резултативната променлива получаваме:

1, 2,0,1283 0,0016. 0,0222.i i iY X X .

Претегляме изходните данни с теглата (1 )i iiW Y Y [34] и получаваме:

* * *0 0 1 1 2 2i i i iZ b c b c b c ,

където:

ii

i

YZ

W ,

0

1i

i

cW

, 1,

1i

i

i

Xc

W и

2,

2i

i

i

Xc

W .

Прилагаме обобщения МНМК:

* 2 * *0 0 1 0 1 2 0 2 0* * 2 *0 0 1 1 1 2 1 2 1* * * 20 0 2 1 1 2 2 2 2

i i i i i i i

i i i i i i i

i i i i i i i

b c b c c b c c c Z

b c c b c b c c c Z

b c c b c c b c c Z

.

Пресмятаме необходимите ни характеристики:

20 265,5ic ; 2

1 9552358,3ic ; 22 161539,02ic ;

0 1 44353,3i ic c ; 0 2 6217,8i ic c ; 1 2 1057612,6i ic c ;

0 182, 4i ic Z ; 1 34998,1i ic Z 2 4706, 4i ic Z .


* * *0 1 2* * *0 1 2* * *0 1 2

.265,5 .44353,3 .6217,8 182,4

.44353,3 .9552358,3 .1057612,6 34998,1

.6217,8 .1057612,6 .161539,02 4706,4

b b b

b b b

b b b

.

Намираме оценките на регресионните коефициенти:


*0b -0,2168 *1b 0,0019 *2b 0,0251

С получените оценки заместваме в изходното уравнение и получаваме очакваната

стойност на вероятността *iY за наличието на явлението при дадено равнище на 1,iX и

2,iX .

(3.1) *1, 2,0, 2168 0,0019. 0,0251.i i iY X X .


112

Пресичаме горната равнина с равнината * 1

2iP Y

Тогава получаваме за сечението права, чиято проекция върху равнината 1 2X OX е

права с уравнение :

(3.2) 1, 2,0,0019. 0,0251. 0,7168i iX X .

Тази права ще наричаме критична права.

Графиката на критичната права е представена на Фиг. 2.20.

0

5

10

15

20

25

30

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 380


Бр

ой

зан

яти

я

Фиг. 2.20 Двуфакторен линеен вероятностен модел – критична права

Тъй като коефициентите пред 1 2иX X в (3.1) са положителни, това означава, че с

нарастване на аргументите, расте и функцията (вероятността) *iP Y .

Така получаваме следните три части в зависимост от стойностите на 1 2иX X :

1. Под правата с уравнение (3.2) вероятността за успех на изпита е * 1

2iP Y ;

2. Върху правата с уравнение (3.2) вероятността за успех на изпита е * 1

2iP Y ;

3. Над правата с уравнение (3.2) вероятността за успех на изпита е * 1

2iP Y .


113

3.2. Двуфакторен логит модел

Изчисляваме вероятностите ii

i

np

N за всяка от групите ( 1,iX , 2,iX ), където in е

броят на студентите издържали изпита в групата ( 1,iX , 2,iX ), а iN е общия брой на

студентите в тази група. Получените изчисления са поместени в колона 6 на таблица

2.13.

Пресмятаме логаритъма на шанса по формулата ln

1i

i

i

pL

p


изчисления са поместени в колона 9 на таблица 2.13.

Съставяме модела:

0 1 1, 2 2,ln

1i

i i i

i

pL b b X b X

p

;


0 1 1, 2 2,2

0 1, 1 1, 2 1, 2, 1,2

0 2, 1 1, 2, 2 2, 2,

. i i i

i i i i i i

i i i i i i

b n b X b X L

b X b X b X X X L

b X b X X b X X L

.


8n ; 1, 1300iX ; 2, 170iX ;

21, 310000iX ; 2

2, 4100iX ; 1, 2, 28000i iX X ;

3,04iL ; 1, 1191i iX L ; 2, 114i iX L .

Намираме оценките 0 1 2, ,b b b от системата:

0 1 2

0 1 2

0 1 2

.8 .1300 .170 3,04

.1300 .310000 .28000 1191

.170 .28000 .4100 114

b b b

b b b

b b b

.



0b -2,7612

1b 0,0067

2b 0,0967 За теоретичните стойности за резултативната променлива получаваме:

1, 2,2,7612 0,0067. 0,0967.i i iL X X (колона 10 на таблица 2.13).


114

Пресмятаме вероятностите от равенството:

1

1 1

i

i i

L

iL L

eP

e e


вероятности са поместени в колона 11 на таблица 2.13.

Претегляме двете страни на модела с теглата (1 )i i i iW N p p [34] и


* * * *0 0 1 1 2 2i i i iL b c b c b c ,

където:

*i i iL W L ; 0i iW c ; 1, 1i i iX W c , 2, 2i i iX W c .


* 2 * * *0 0 1 0 1 2 0 2 0* * 2 * *0 0 1 1 1 2 1 2 1* * * 2 *0 0 2 1 1 2 2 2 2

i i i i i i i

i i i i i i i

i i i i i i i

b c b c c b c c c L

b c c b c b c c c L

b c c b c c b c c L

.


20 8,1ic ; 2

1 268785,7ic ; 22 4187,9ic ;

0 1 1177,9i ic c ; 0 2 172,1i ic c ; 1 2 24911,9i ic c ;

*0 2,5i ic L ; *

1 1016, 2i ic L *2 100,98i ic L .


* * *0 1 2* * *0 1 2* * *0 1 2

.8,1 .1177,9 .172,1 2,5

.1177,9 .268785,7 .24911,9 1016,2

.172,1 .24911,9 .4187,9 100,98

b b b

b b b

b b b

.



*0b -2,7309 *1b 0,0069 *2b 0,0951

Окончателно за регресионното уравнение, получаваме:

*

1, 2,2,7309 0,0069. 0,0951.i i iL X X (колона 18 на таблица 2.13).

Пресмятаме вероятностите от равенството: *

* 1

1 ii

LP

e

. Получените вероятности

са поместени в колона 19 на таблица 2.13.


115

Таблица 2.13 Работна таблица за изчисляване на вероятността студент да издържи изпита по ВМ 2 част в зависимост от

решените примери и посещаемостта на учебните занятия (Логит–модел)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

№ 1,iX 2,iX iN in ˆ ip ˆ1 ipˆ

ˆ1i

i

p

p

iL iL

iP ˆ ˆ(1 )i ip p iW 0i ic W 1 1,i i ic X W 2 2,i i ic X W *i i iL L W *

iL *

iP

1 0 20 4 1 0,25 0,75 0,33 -1,099 -0,827 0,304 0,19 0,75 0,866 0,000 17,321 -0,951 -0,829 0,304

2 0 30 6 3 0,50 0,50 1,00 0,000 0,141 0,535 0,25 1,50 1,225 0,000 36,742 0,000 0,122 0,531

3 100 10 7 2 0,29 0,71 0,40 -0,916 -1,125 0,245 0,20 1,43 1,195 119,523 11,952 -1,095 -1,087 0,252

4 200 10 3 1 0,33 0,67 0,50 -0,693 -0,457 0,388 0,22 0,67 0,816 163,299 8,165 -0,566 -0,393 0,403

5 200 20 5 3 0,60 0,40 1,50 0,405 0,510 0,625 0,24 1,20 1,095 219,089 21,909 0,444 0,558 0,636

6 200 30 15 14 0,93 0,07 14,00 2,639 1,478 0,814 0,06 0,93 0,966 193,218 28,983 2,550 1,509 0,819

7 300 20 6 5 0,83 0,17 5,00 1,609 1,179 0,765 0,14 0,83 0,913 273,861 18,257 1,469 1,251 0,777

8 300 30 4 3 0,75 0,25 3,00 1,099 2,146 0,895 0,19 0,75 0,866 259,808 25,981 0,951 2,202 0,900

Общо: 1300 170 3,04 7,943 1228,798 169,310 2,802


116

За непретегленият логит модел 0,5iP , когато 0iL . Така получаваме крива,

чиято проекция върху равнината 1 2X OX е права с уравнение :

1, 2,0,0067. 0,0967. 2,7612i iX X (Фиг. 2.21).

За претегленият логит модел *

0,5iP , когато *

0iL . Така получаваме крива,

чиято проекция върху равнината 1 2X OX е права с уравнение :

1, 2,0,0069. 0,0951. 2,7309i iX X (Фиг. 2.21).

Получените прави ще наричаме критична права за съответния модел. Графиките

им са представени на Фиг. 2.21.

0

5

10

15

20

25

30

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 380


Бр

ой

зан

яти

я


Фиг. 2.21 Двуфакторен логит модел – критични прави

Можем да обобщим.

За логит модела без тегло пресмятаме :

1 2( ) ( 2,7612 0,0067. 0,0967. ) 0,0067. 0,0967.grad L grad X X i j

.

Знаем, че 0b =2,7612 и нека означим с 1 2. .X X i X j

радиус-вектора, характерен

за студент с неговите стойности на факторните променливи.


117

Тогава, ако:

0( ( ). )grad L X b

, то вероятността за успех e равна на 0,5,

0( ( ). )grad L X b

, то вероятността за успех e по-малка от 0,5,

0( ( ). )grad L X b

, то вероятността за успех e по-голяма от 0,5.

За логит модела с тегло пресмятаме:

*

1 2( ) 2,7309 0,0069. 0,0951. 0,0069 0,0951grad L X X i j

.

Знаем, че *0b =2,7612 и нека означим с 1 2. .X X i X j

вектора, характерен за

студент с неговите стойности на факторните променливи.

Тогава, ако:

* *0( ( ). )grad L X b

, то вероятността за успех e равна на 0,5,

**0( ( ). )grad L X b

, то вероятността за успех e по-малка от 0,5,

**0( ( ). )grad L X b

, то вероятността за успех e по-голяма от 0,5.

Означили сме с ( ( ). )grad L X

скаларното произведение на векторите:

1 2. .X X i X j

и ( )grad L .

С *( ( ). )grad L X

, по аналогичен начин, сме означили скаларното произведение на

векторите:

1 2. .X X i X j

и *( )grad L .

С иi j

сме означили единичните вектори, съответно по осите 1 2иX X .

3.3. Двуфакторен пробит модел

Моделът на връзката между индекса на полезност и факторните променливи е:

0 1 1, 2 2,i i iI X X

Използваме данните от таблица 2.13 за факторните променливи 1,iX , 2,iX и

изчислените вероятностите ip .


118

От таблиците за стандартното нормално разпределение намираме значенията на


iI , т.е. 1( )i iI F p . Намерените значения са поместени в колона 7 на таблица 2.14.

Получените значения за i iI I заместваме в матричното уравнение

0 1 1, 2 2,i i iI b b X b X на мястото на зависимата променлива.

Оценяваме параметрите на модела по обобщения МНМК:

0 1 1, 2 2,2

0 1, 1 1, 2 1, 2, 1,2

0 2, 1 1, 2, 2 2, 2,

. i i i

i i i i i i

i i i i i i

b n b X b X I

b X b X b X X X I

b X b X X b X X I

.


8n ; 1, 1300iX ; 2, 170iX ;

21, 310000iX ; 2

2, 4100iX ; 1, 2, 28000i iX X ;

1,73iI ; 1, 701i iX I ; 2, 66i iX I .

Намираме оценките 0 1 2, ,b b b от системата:

0 1 2

0 1 2

0 1 2

.8 .1300 .170 1,73

.1300 .310000 .28000 701

.170 .28000 .4100 66

b b b

b b b

b b b

.



0b -1,6634

1b 0,0040

2b 0,0575

За теоретичните стойности за резултативната променлива получаваме:

1, 2,1,6634 0,0040. 0,0575.i i iI X X .

От получените стойности за iI (колона 8 на таблица 2.14) чрез таблиците за

стандартно нормално разпределение определяме оценката за стойността на

вероятността iP ( ( )i iP F I ). Пресметнатите вероятности са поместени в колона 9 на

таблица 2.14.


119

Претегляме двете страни на модела с теглата 2( )

(1 )i i

i

i i

N IW

p p

[18], [19], [34] и


* * *0 0 1 1i i iI b c b c ,

където:

*i i iI W I ; 0i iW c ; 1, 1i i iX W c , 2, 2i i iX W c .


* 2 * * *0 0 1 0 1 2 0 2 0* * 2 * *0 0 1 1 1 2 1 2 1* * * 2 *0 0 2 1 1 2 2 2 2

i i i i i i i

i i i i i i i

i i i i i i i

b c b c c b c c c I

b c c b c b c c c I

b c c b c c b c c I

.


20 617,9ic ; 2

1 26503663ic ; 22 519550ic ;

0 1 125547, 2i ic c ; 0 2 17751, 4i ic c ; 1 2 3610456,6i ic c ;

*0 847,5i ic I ; *

1 176005,1i ic I *2 25243,1i ic I .


* * *0 1 2* * *0 1 2* * *0 1 2

.617,9 .125547,2 .17751,4 847,5

.125547,2 .26503663 .3610456,6 176005,1

.17751,4 .3610456,6 .519550 25243,1

b b b

b b b

b b b

.



*0b -1,9893 *1b 0,0035 *2b 0,0923

Окончателно за регресионното уравнение, получаваме:

*

1, 2,1,9893 0,0035. 0,0923.i i iI X X .

От получената стойност от уравнението за *

iI (колона 14 на таблица 2.14) чрез

таблиците за стандартно нормално разпределение определяме оценката за стойността

на вероятността *

iP , т.е. * *

( )i iP F I (колона 15 на таблица 2.14).


120

Таблица 2.14 Работна таблица за изчисляване на вероятността студент да издържи изпита по ВМ 2 част в зависимост от решените

примери и посещаемостта на учебните занятия (Пробит–модел)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

№ 1,iX 2,iX iN in ˆ ip 1 ˆ( )i iI F p iI

iP 0i ic W 1 1,i i ic X W 2 2,i i ic X W *i i iI I W *

iI *

iP

1 0 20 4 1 0,25 -0,674 -0,513 0,304 3,115 0,000 62,307 -2,101 -0,144 0,443

2 0 30 6 3 0,50 0,000 0,063 0,525 0,000 0,000 0,000 0,000 0,779 0,782

3 100 10 7 2 0,29 -0,566 -0,684 0,247 3,315 331,455 33,145 -1,876 -0,717 0,237

4 200 10 3 1 0,33 -0,431 -0,280 0,390 1,583 316,519 15,826 -0,682 -0,368 0,357

5 200 20 5 3 0,60 0,253 0,295 0,616 1,156 231,273 23,127 0,293 0,555 0,711

6 200 30 15 14 0,93 1,501 0,871 0,808 23,307 4661,315 699,197 34,985 1,478 0,930

7 300 20 6 5 0,83 0,967 0,699 0,758 6,359 1907,563 127,171 6,151 0,904 0,817

8 300 30 4 3 0,75 0,674 1,274 0,899 3,115 934,600 93,460 2,101 1,827 0,966

Общо: 1300 170 1,725 1,725 8382,725 1054,234 38,872


121

За непретегленият пробит модел 1

2iP , когато 0iI .

Така получаваме крива, чиято проекция върху равнината 1 2X OX е права с

уравнение:

1, 2,0,0040. 0,0575. 1,6634i iX X (Фиг. 2.22).

За претегленият пробит модел * 1

2iP , когато

*0iI .


уравнение:

1, 2,0,0035. 0,0923. 1,9893i iX X (Фиг. 2.22).

Получените прави ще наричаме критична права за съответния модел. Графиките

им са представени на Фиг. 2.22.

0

5

10

15

20

25

30

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 380


Бр

ой

зан

яти

я


Фиг. 2.22 Двуфакторен пробит модел – критични прави

Резултати от изследването: При всички разгледани модели има зависимост на

стойността на вероятността за успешно полагане на изпита от броя на решените

примери от домашните задания (задачите за самоподготовка) и посещаемостта на

учебните занятия (упражнения, лекции).


122

3.4. Сравнителна характеристика на двуфакторните модели.

Ще се опитаме да дадем някои характерни особености на решавания проблем чрез

сравняване на трите модела и техните общи характеристики. В таблица 2.15 са

поместени основните характеристики на двуфакторните модели.

Таблица 2.15 Основни характеристики на двуфакторните модели

Модел Оцени на параметрите

Функция за вероятността *0b *

1b *2b

ЛВМ -0,2168 0,0019 0,0251 * * *0 1 1, 2 2,( )i i iP X b b X b X

Логит модел

-2,7309 0,0069 0,0951 * * *0 1 1, 2 2,( )

1( )

1 i ii b b X b X

P Xe

Пробит модел

-1,9893 0,0035 0,0923* * * 20 1 1, 2 2,

* * *0 1 1, 2 2,

2

( ) ( )

1

2

i i

i i i

b b X b X Z

P X F b b X b X

e dz

Изводи и възможни приложения от изследването.

Първо, като разгледаме ЛВМ виждаме, че коефициентът *0b е отрицателен. Това

показва, че разгледаните два фактора изчерпват основните фактори, от които зависи

успеваемостта на студентите на изпита. Без известен брой посещения на учебните

занятия или частично изпълнение на домашните работи (самоподготовка) е

невъзможно да се положи успешно изпитът. Ако студент, който не е посещавал нито

едно учебно занятие и не е изпълнявал нито една домашна работа, си вземе изпита, то

това се дължи на преписване, подсказване, предварителни компетентности или на

случайни причини. Това не е така при еднофакторния модел, разгледан в предишния

параграф.

Второ, коефициентите пред факторните променливи в ЛВМ показват, че

решаването на 10 примера повече повишава вероятността, изразена в проценти с 1,9 %.

Посещението на всяко занятие води до повишаване на вероятността с 2,5%. Можем да

направим извода, че посещението на едно занятие е еквивалентно на решаването на 14

примера.

Трето, при трите модела коефициентите пред факторните променливи са

положителни. От това и от вида на функциите на вероятността се вижда, че те са

растящи функции спрямо всяка от тези променливи.


123

В таблица 2.16 е направена проверка за значимостта на коефициентите на ЛВМ,

логит и пробит модела.

Таблица 2.16 Ниво на значимост на параметрите на ЛВМ, логит и пробит модела. М

одел

Оц

енк

а н

а

случ

айн

ия

ком

пон

ент

в об

щат

а ди

спер

сия

Пар

амет

ър

Оц

енк

и н

а п

арам

етр

ите

Ди

агон

алн

и

елем

енти

в

ков

ари

ци

онн

ата

мат

ри

ца

Ср

едн

а ст

охас

тич

еск

а гр

ешк

а н

а оц

енен

ите

п

а рам

етр

и

Ем

пи

ри

чн

и

стой

нос

ти

Ни

во н

а зн

ачи

мос

т С

теп

ени

на

св

обод

а

Тео

рет

ич

ни

ст

ойн

ости

ЛВМ без

тегло 0,1808

0b -0,1283 0,2294552 0,2037 0,6297 0,01 47 2,685

1b 0,0016 0,0000020 0,0006 2,6052 0,02 47 2,408

2b 0,0222 0,0003314 0,0077 2,8640 0,01 47 2,685

ЛВМ с тегло

0,1840

*0b -0,2168 0,0472585 0,0933 2,3247 0,03 47 2,238 *1b 0,0019 0,0000005 0,0003 6,4275 0,01 47 2,685 *2b 0,0251 0,0000634 0,0034 7,3452 0,01 47 2,685

Логит без

тегло 0,5672

0b -2,7612 1,2682292 0,8481 3,2557 0,03 5 3,003

1b 0,0067 0,0000102 0,0024 2,7849 0,04 5 2,757

2b 0,0967 0,0020573 0,0342 2,8319 0,04 5 2,757

Логит с тегло

0,5707

*0b -2,7309 1,2638097 0,8493 3,2157 0,03 5 3,003 *1b 0,0069 0,0000104 0,0024 2,8521 0,04 5 2,757 *2b 0,0951 0,0019508 0,0334 2,8506 0,04 5 2,757

Пробит без

тегло 0,1796

0b -1,6634 1,2682292 0,4773 3,4852 0,02 5 3,365

1b 0,0040 0,0000102 0,0014 2,9901 0,04 5 2,757

2b 0,0575 0,0020573 0,0192 2,9934 0,04 5 2,757

Пробит с тегло

0,4678

*0b -1,9893 0,1255446 0,2424 8,2081 0,01 5 4,032 *1b 0,0035 0,0000010 0,0007 5,0877 0,01 5 4,032 *2b 0,0923 0,0001049 0,0070 13,1732 0,01 5 4,032

От таблицата се вижда, че и при трите модела, с тегло и без тегло, коефициентите

на линейна регресия са статистически значими с много ниско ниво на значимост под

0,04. Ще отбележим, че за коефициентите пред променливите ( 1b , 2b или *1b , *

2b ) са с

висока статистическа значимост. Това показва, че променливите са удачно избрани и те

наистина имат влияние върху вероятността за успех. При линейния вероятностен модел

нивото на значимост за коефициентите е ниско (0,01; 0,02; 0,03). Това се обяснява с

това, че при този модел директно смятаме вероятността, докато при другите модели

смятаме с линейна регресия междинна функция, която после използваме за пресмятане


124

на вероятността. При пробит модела с тегло, нивото на значимост за всичките

коефициенти е най-ниско (0,01), което показва необходимостта от използване на тегло

и близостта между разпределението на Стюдънт и нормалното разпределение.

Четвърто, на Фиг. 2.23 са представени критичните прави в равнината 1 2X OX за

всеки от моделите. Ако една точка с координати 0 01 2( , )X X лежи на правата, то

вероятността, според съответния модел е равна на 0,5, ако е под правата, вероятността е

по-малка от 0,5, а ако е над правата, вероятността според съответния модел е над 0,5.

Ако обобщим трите модела и имаме точка с координати 0 01 2( , )X X от първи

квадрант на равнината 1 2X OX , която лежи и под трите прави на моделите, то тогава

вероятността студентът да си вземе изпита е по-малка от 0,5.

Точка с координати 1 11 2( , )X X от първи квадрант на равнината 1 2X OX , която лежи

и над трите прави на моделите, то тогава вероятността студентът да си вземе изпита е

по-голяма от 0,5.

0

5

10

15

20

25

30

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 380


Бр

ой

зан

яти

я

ЛВМ Логит Пробит

Фиг. 2.23 Критични прави за ЛВМ, логит и пробит модела

Например, ако студент е бил на 15 занятия и е решил 80 примера, то вероятността

да си вземе изпита е по-малка от 0,5.

Ако студент е бил на 15 занятия и е решил 250 примера, то вероятността да си

вземе изпита е по-голяма от 0,5.

Ако студент е бил на 25 занятия и е решил 80 примера, то вероятността да си

вземе изпита е по-голяма от 0,5.


125

4. ОБОБЩЕНИЕ НА ПАРАМЕТРИЧНИТЕ, ЛОГИТ И ПРОБИТ

ВЕРОЯТНОСТНИ МОДЕЛИ

По многомерни изследвания и приложенията им има редица публикации,

например: [48], [56], [57].

4.1. Векторен вид на двуфакторния логит модел и приложения

Нека L е оценката за логита при двуфакторния модел от вида 0 1 1 2 2L b b X b X .

Когато той е равен на нула ( 0L ), вероятността за успех е равна на 0,5 ( 0,5P ).

Пресмятаме градиента му (нормалния вектор n

към правата, която се задава с

уравнението 0 1 1 2 20 b b X b X в равнината 1 2X OX ):

0 1 1 2 2 1 2 1 21 2

( ) ( . . ) . . ,L L

grad L grad b b X b X i j b i b j n b bX X

.

Тогава може да запишем логита във векторен вид:

(4.1) 0 1 1 2 2 0 .L b b X b X b n X

.

Ще дадем препоръка на студентите, за които вероятността да си вземат изпита е

по-малка от 0,5.

Нека 0 0 01 2,X X X

( 0 0 0

1 2. .X X i X j

) е векторът, характерен за студент с

неговите стойности на факторните променливи 1 2,X X , за които вероятността да си

вземе изпита е по-малка от 0,5.

Тогава е в сила: 00( ( ). )grad L X s b

.

Ако студентът иска да достигне критичната права или да я надмине (да повиши

вероятността си за успех до и над 0,5) най-бързо, трябва да се движи по вектора на

градиента. Трябва да увеличи показателите си и по двата фактора и да достигне поне до

състояние 1 1 11 2,X X X

, такова че 1

0( ( ). )grad L X b

(Фиг. 2.24).

За вектора 1X

е изпълнено:

1 0 . ( )n

X X r grad L

.

Ще определим стойността на числото r .

10( ( ). )grad L X b

;


126

00. .grad L X r grad L b

;

200. .grad L X r grad L b

;

2

0.s r grad L b .

Окончателно получаваме:

0 0 0

2 2 2 21 2

( ) ( ) ( )b s b s b sr

b bngrad L

.

Фиг. 2.24 Векторен вид на двуфакторния логит модел

Без да изпадаме в подробности 0b , може да се тълкува като число,

пропорционално на трудността. Тогава 0( ( ). )grad L X s

за студента с вектор

0 0 01 2,X X X

, може да се тълкува като число, пропорционално със същия коефициент

на пропорция, на способността.

Тъй като 0 0 0( ). . . .coss grad L X n X n X

, способността зависи от два

компонента - от дължината на вектора 0 0 01 2,X X X

и от това, какъв е ъгълът между

него и вектора ( )n grad L

.


127

При различни вектори 0 0 01 2,i i iX X X

с еднаква дължина 0X

, за способността ще

имаме най-голяма стойност, при този вектор, който е колинеарен на вектора

( )n grad L

(ъгълът заключен между него и n

е равен на нула).

Ще отбележим, че за постигане на високи постижения в много области на живота

са необходими поне два фактора – талант и труд.

Ще продължим разсъжденията при горните означения.

Дължината на вектора n

е 2 21 2n b b

.

Получаваме единичния вектор по градиента (единичния нормален вектор) l

nn

n .

Логитът ще запишем във вида:

0 0 00

( ). . .l l

b b bnL b n X n X n n X n n X

n n n n

.

При този начин на запис за логита, можем да уточним:

трудността е 0 0

2 21 2

b b

n b b

;

способността е .ln X

;

дискриминацията е 2 21 2n b b

.

В частност, ако 1,0n

, тогава този вектор е единичен и имаме:

1 0L X b .


128

Фиг. 2.25 Модел на Раш

Получаваме модела на Раш, с трудност 0b и способност 1X .

Ако имаме вектора ,0n a

, където 0a , тогава получаваме:

01.( )

bL a X

a

.

Това е моделът на Бирнбаум, с трудност 0b

a

, със способност 1X и

дискриминация a .

Навсякъде тук с .u v

сме означили скаларното произведение на векторите u

и v

.

От проведените разсъждения, можем да обобщим моделите на Раш и Бирнбаум.


Ще илюстрираме изложения метод със следния пример (изследване).


Изследвана е вероятността за успех на изпита по статистика, като функция на броя

часове на самоподготовка. Тези часове са разделени на два фактора. Първият фактор

1X е брой часове за практическа самоподготовка (решаване на задачи, казуси и др.).

Вторият фактор 2X е брой часове за теоретична самоподготовка (запознаване с

теоретични факти, разучаване на различни методи, модели и др.).

Цел на изследването е определяне на вероятността за успешно полагане на изпита

по статистика във ВТУ „Тодор Каблешков” в зависимост от броя на часовете за

практическа и теоретична самоподготовка.



129


Предмет на изследването са резултатите от изпита по статистика.

Данните са получени от попълнените от студентите въпросници, изпитните

работи и изпитните протоколи.

Хипотеза за резултата от изследването: Вероятността за успех на изпита по

статистика зависи от броя на часовете за практическа и теоретична самоподготовка.

Методи на теоретичното изследване: Двуфакторен логит модел и неговия

векторен вид.

Разглежданите стойности за 1X са 3 (10, 20, 30). Разглежданите стойности за 2X

също са 3 (10, 20, 30). Тогава възможните различни двойки стойности са 3.3 9 . При

наблюденията от примера липсва 1 наредена двойка: (10, 30). Обобщените данни от

изследването са дадени в таблица 2.17.

Таблица 2.17 Брой студенти, издържали изпита, в зависимост броя на часовете за

практическа и теоретична самоподготовка

Брой часове практическа самоподготовка

10 10 20 20 20 30 30 30

Брой часове теоретична самоподготовка 10 20 10 20 30 10 20 30

Брой явили се на изпит студенти 4 9 5 8 9 14 21 5

Брой издържали изпита студенти 1 4 3 6 8 10 16 4

Съставяме логит модел от вида:

0 1 1, 2 2,i i iL b b X b X .

Намираме оценките на коефициенти 0 1 2, иb b b по описаният в параграф 3.2

начин, като използваме претегления модел.


*0b -1,8327 *1b 0,0687 *2b 0,0568


130

Окончателно за логита, получаваме:

*

1, 2,1,8327 0,0687. 0,0568.ii i iL L X X .

Когато 0L , вероятността студентът да издържи изпита е равна на 0

1 1

1 2P

e

.


уравнение:

1, 2,0,0687. 0,0568. 1,8327 0i iX X (Фиг. 2.26).

0

4

8

12

16

20

24

28

32

0 4 8 12 16 20 24

Практически (брой часове)

Те

ор

ети

чн

и (

бр

ой

ча

со

ве

)

Фиг. 2.26 Критична права

Нормалния вектор към тази правата е (0,0687;0,0568)n n

. Дължината на n

е

2 20,0687 0,0568 0,891n

.

Резултати от изследването: Стойността на вероятността за успешно полагане на

изпита по статистика зависи от броя на часовете за практическа и теоретична

самоподготовка.

Да разгледаме група студенти, за които вероятността да си вземат изпита е точно

0,5. За да намерим колко най-малко часове самоподготовка от двата вида са били

необходими на един студент от тази група, трябва да намерим пресечната точка на

правата 1, 2,0,0687. 0,0568. 1,8327 0i iX X и правата, която е перпендикулярна на нея

и минава през точката (0; 0).


131

Съставяме системата:

1, 2,

2, 1,

0,0687. 0,0568. 1,8327

0,0568. 0,0687. 0i i

i i

X X

X X

.

Решението на системата е * *1 2; (16;13)X X . То показва най-бързия начин ( *X

е

най-малко) по който един студент може да стигне до желаната вероятност 0,5.

Извод:

Оптималното време, необходимо за самоподготовка на един студент, за да

постигне успех на изпита (с вероятност 0,5) е 16 часа за практическа и 13 часа за

теоретична самоподготовка.

Да разгледаме сега четири студента, съответно с вектори 01 16;7X

, 02 13;11X

,

03 8;17X

и 04 5;20X

. За всички тях вероятността да си вземат изпита е 0,416 и

00. 1, 4927 1,8327in X s b

. Ще покажем как тези студенти, най-бързо могат да

повишат вероятността си за успех до 0,5, т.е. да достигнат до критичната права.

Всеки един от тях трябва да увеличи показателите си и по двата фактора и да

достигне поне до състояние 1 1 11 2, , 1, 2,3,4i i iX X X i

, такова че 1 0,5, 1,2,3,4iP X i .

Пресмятаме стойността на r :

02 2

( ) 1,8327 1,492742,78

0,0891

b sr

n

.

Намираме координатите на вектора .r n

:

. 42,78.(0,0687;0,0568) (3; 2)r n

.

Извод:

Всеки един от студентите трябва да продължи самоподготовката по двата

фактора, съответно с 3 и с 2 часа.

По този начин способностите на студентите ще достигнат до критичното ниво:

1 0 (3; 2), 1, 2,3,4i iX X i

.

Конкретните вектори са 11 19;9X

, 12 16;13X

, 1

3 11;19X

и 14 8;22X

.


132

4.2. Многомерно обобщение на моделите на Раш и Бирнбаум.

Нека способността включва няколко компоненти. Такива могат да бъдат:

уменията за логическо мислене, познаването на теоретичния материал, уменията за

техническо пресмятане и преобразования, въображението, възможностите да се

направи правилен чертеж и други.

И така нека показателите на изпитвания при положение, че компонентите са m да

означим с вектора 1 2, ,..., mX X X X

, където координатите са уменията по различните

компоненти. За конкретната задача ни е зададен единичен вектор 1 2, ,...,l mn k k k

,

където координатите му показват съотношенията на различните компоненти, които

трябва да притежава изпитваният, за да реши задачата.

Нека трудността на задачата е T .

Обобщение на модела на Раш.

Формулата за пресмятане на вероятността е:

(4.2)

.

..

1( )

11

l

ll

n X T

n X Tn X T

eP X

ee

.

В горната формула с .ln X

сме означили скаларното произведение на векторите ln

и X

.

Ясно е, че:

при .ln X T

, вероятността е по-малка от 0,5;

при .ln X T

, вероятността е равна на 0,5;

при .ln X T

, вероятността е по-голяма от 0,5.

Забелязваме например, че когато . lX T n

, вероятността е равна на 0,5, разбира се,

че има и други стойности, при които вероятността отново е 0,5, но тогава дължината на

вектора X

ще е по-голяма от T .

Можем да обобщим, че способността на изпитвания е равна на .ln X

, а трудността

е T .

Ще запишем формула (4.2) в друг вид, за да бъдат еднакви размерностите на

измерителите за способност и трудност.


133

В сила е:

(4.3)

.( ) .( )

.( ) .( ) .( ).

1 1( )

1 1 11

l l l

l l l ll

n X T n n X T

n X T n n X T n X Tn X T

e eP X

e e ee

.

В горната формула сме означили . lT T n

. Този вектор задава трудността на

задачата с нейните компоненти.

От дефиницията за скаларно произведение имаме 1.( ) . .cosl ln X T n X T

,

където 1 е ъгъла между вектора ln

и вектора ( )X T

и се изменя в интервала [0, ] .

Тогава е в сила:

при .( )1 1

1, cos 0, 1 и ( )

2 2ln X Te P X

;

при .( )1 1

1, cos 0, 1 и ( )

2 2ln X Te P X

;

при .( )1 1

1, cos 0, 1 и ( )

2 2ln X Te P X

.

Определение. Съвкупността от точките, които са краища на вектора X

, за който

.( ) 0ln X T

, ще наричаме критична хиперравнина. За точките от нея вероятността е

равна на 0,5.

Вероятността ще е равна на 0,5, не само когато векторът ( )X T

е нулев вектор,

но и когато този вектор е перпендикулярен на ln

.

От това следва, че понякога задачата може да бъде решена по няколко различни

начина, а не само така, както е предвидил съставителят на задачата (теста). Възможно е

да се получат изненадващи решения, които да са дори по-оригинални от предложените

от автора на задачата. Това би било основание, за следващи изпитвания, съставителят

на задачата да коригира вектора ln

, задаващ пропорциите на необходимите умения за

решаването на задачата.


134

Обобщение на модела на Бирнбаум.

Нека имаме положително число 0a , което е дискриминацията на задачата с

компоненти на трудността, зададени с вектора . lT T n

.

Формулата за пресмятане на вероятността е:

(4.4)

.( ) .( )

.( ) .( ).

1( )

1 11

l l l

l l ll

an X T n an X T

an X T n an X Ta n X T

e eP X

e ee

.

Ако означим .a ln a n

, тогава моделът добива вида:

(4.5)

.( )

.( ).

1( )

11

a

aa

n X T

n X Tn X T

eP X

ee

.

Ще отбележим, че векторът an

е колинеарен с вектора T

.

От дефиницията за скаларно произведение имаме 1.( ) . .cosa an X T n X T

,

където 1 е ъгъла между вектора an

и вектора ( )X T


В сила е:

при .( )1 1

1, cos 0, 1 и ( )

2 2an X Te P X

;

при .( )1 1

1, cos 0, 1 и ( )

2 2an X Te P X

;

при .( )1 1

1, cos 0, 1 и ( )

2 2an X Te P X

.


, за който

.( ) 0an X T



При обобщения модел на Раш, логитът е ln1 l

PL n X T

P

, а при обобщения

модел на Бирнбаум, логитът е ln1 a

PL n X T

P

.


135

4.3. Многомерно обобщение на логит моделите

В описаните и използваните в параграф 3.2 двуфакторни модели, които са част от

многофакторните логит модели използвахме друг подход.

Нека имаме данни за уменията на ( 1)M M m групи изпитвани, които се

задават с векторите на уменията 1 2, ,..., 1, 2,...,i i i imX X X X i M

.

Логитът сега търсим от вида:

(4.6) 0 1 1 2 2 0... .m mL b b X b X b X b b X

.

Заместваме със стойностите на 1 2, ,..., 1, 2,...,i i i imX X X X i M

. С получените

резултати при решаването на задачата (изпита), изразени с дихотомна променлива iY ,

която е единица, ако е решил успешно задачата (изпита) и нула, в противен случай,

намираме честотите ip на успешно решилите задачата (изпита) при тези стойности на

показателите за изпитваните, като броят им е по-голям от 1m .

Пресмятаме, при получените стойности за ip , логита ln1

ii

i

pL

p

.

Прилагаме МНМК и обобщения МНМК (с тегло) и получаваме стойностите на

0 1 2, , ,..., mb b b b . Тези стойности определят най-доброто средноквадратично приближение

за логита. На практика те определят препоръчителните стойности за вектора на

трудността и дискриминацията на задачата (изпита).

За вероятността получаваме формулата:

(4.7) 0

0 0

.

( ) .

1( )

1 1

b X b

b X b b X b

eP X

e e

.

С b

кратко означихме вектора 1 2, ,..., mb b b b

.

Можем да извършим следните преобразования:

00 0 2 2

.1. . . .

b bb b b b b

b b

.

Полагаме 002

bT

b , тогава имаме:

00 0 02

.. .( ) .( )b b

b b b T b b Tb

.


136

Формула (4.7) ще запишем във вид подобен на формулите за вече обобщените

модели на Раш и Бирнбаум:

(4.8)

00

0 0 0 0

.

( ) .

1 1( )

1 1 1 1

b X Tb X b

b X b b X b b X T b X T

e eP X

e e e e

0

0

1 1

11

lb b b X Tb X Tb e

e

.

Векторът l

bb

b

е единичен вектор за съотношенията на компонентите на

уменията, които се препоръчва да се проверяват със задачата (изпита).

Като сравним с обобщения модел на Бирнбаум, получаваме:

b

е дискриминацията;

00.

bT b

b

е трудността.

От дефиницията за скаларно произведение имаме 0 0 1. . .cosb X T b X T

,

където 1 е ъгъла между вектора b

и вектора 0( )X T


Тогава е в сила:

при 0.

1 1

1, cos 0, 1 и ( )

2 2

b X Te P X

;

при 0.

1 1

1, cos 0, 1 и ( )

2 2

b X Te P X

;

при 0.

1 1

1, cos 0, 1 и ( )

2 2

b X Te P X

.


, за който

0.( ) 0b X T



Ще отбележим, че предложените тук модели са приложими не само в

образованието, но и в други области на живота, където постиженията зависят от повече

от един показател. Например в някои спортни дисциплини постиженията зависят от

притежаването на няколко показателя: бързина, гъвкавост, физическа сила, техника,

пъргавина, рефлекс, тренираност (положен труд), талант и други.


137

4.4. Многомерно обобщение на пробит моделите

Нека имаме данни за уменията на ( 1)M M m групи изпитвани, които се

задават с векторите на уменията 1 2, ,..., 1, 2,...,i i i imX X X X i M

. Намираме честотите

във всяка от групите ii

i

np

N , където in е броя на вярно решилите задачата, а iN е броя

на елементите в групата. Намираме ненаблюдавания индекс (нормита) от формулата

1( )i iI F p , където 1( )F p е обратната функция на функцията на нормалното

разпределение 2

21

( )2

x z

F x e dz

.

Съставяме модела за връзката между ненаблюдавания индекс и факторните

променливи:

(4.9) 0 1 1 2 2 0... .i i i ii m mI b b X b X b X b b X

.

Прилагаме МНМК и обобщения МНМК (с тегло) и намираме стойностите на

0 1 2, , ,..., mb b b b . Тези стойности определят най-доброто средноквадратично приближение

за нормита, който има вида:

(4.10) 0 . iiI b b X

.

Вероятността за правилно решение на задачата получаваме по формулата:

(4.11) 2

0 .

21

( )2

ib b X z

iiP F I e dz

.

Ако 0 . 0I b b X , то вероятността за успех е

1

2p .


1

2p .


1

2p .

Определение. При 1

2p , намираме хиперравнината 0: . 0I b b X

, която ще

наричаме критична хиперравнина. В частност при 1m - критична точка, при 2m -

критична права, при 3m - критична равнина.


138

Извършваме следните преобразувания:

0 0 00 . | | | | . | | .

| | | | | | | |l l

b b bbb b X b X b b X b b X

b b b b

0

00 0| | . . | | . . .

| |l l l

T

bb b X b b b X T b X T

b

.

В сила е:

00 0.

| |l l

bT b T b

b

е вектора на трудността;

X

е вектора на способността;

| |b

е дискриминацията, а b

е вектора на дискриминация.

Тогава:

(4.12) 2 20 0| |. . .

2 21 1

( )2 2

lb b X T b X Tz z

P X e dz e dz

.

От дефиницията за скаларно произведение имаме 0 0 1. . .cosb X T b X T

,

където 1 е ъгъла между вектора b

и вектора 0( )X T


В сила е:

при 1 1

1, cos 0, 0 и ( )

2 2I P X

;

при 1 1

1, cos 0, 0 и ( )

2 2I P X

;

при 1 1

1, cos 0, 0 и ( )

2 2I P X

.


139

5. S-МЕТОД НА ШЕФЕ ЗА СРАВНЕНИЯ НА ГРУПИ

5.1. Дисперсионен анализ

Дисперсионният анализ е метод за проверка на хипотеза за равенство на повече от

две средни едновременно [20], [28], [36]. При него се проверява степента на влияние на

даден фактор–причина върху фактор-резултат. Обикновено факторът–причина е

описателен, т.е. измерва се на слабата номинална скала, а факторът-резултат е измерим,

т.е. измерва се върху силна скала.

Дисперсионният анализ е метод за изследване на зависимости. Чрез него може да

се провери има или не зависимост, но не може да се прецени колко силна е тази

зависимост. При прилагането на дисперсионният анализ се използват различни

компоненти на дисперсията, но се прави извод за равенство или не на средните,

получени при различни значения на фактора–причина.

За проверка на хипотезата се използва F -критерия, т.е. използва се F -

разпределението за сравняване на наличието или отсъствието на връзка между

факторите.

Нека изследвания фактор–причина Х приема k различни значения, които

определят броя k на групите. Броят на елементите в j -тата група ще отбелязваме с jn .

Основните понятия и означения в дисперсионния анализ са:

Общ брой на всички елементи: 1

k

jj

N n

.

Средно в j – тата група: 1

jn

iji

jj

yy

n

.

Общо средно: 1

k

jj

y

yk

.

Обща девиация: 2

1 1

( )jnk

o ijj i

SS y y

.

Вътрешногрупова девиация: 2

1 1

( )jnk

b ij jj i

SS y y

.

Междугрупова девиация: 2

1

( )k

m j jj

SS n y y

.


140

При дадено ниво на значимост , теоретичната стойност TF се взема от

таблицата за F - разпределение. В сила е равенството ( , 1, )TF F k N k .

Ако e TF F приемаме нулевата хипотеза. Ако e TF F нулевата хипотеза се

отхвърля и се приема алтернативната хипотеза.

Един удобен начин за представяне на получените резултати е стандартната

таблична форма (Таблица 2.18). Този начин е стандартен за повечето статистически

пакети.

Таблица 2.18. Формули за еднофакторния дисперсионен анализ

Източник на дивиация

Сума от квадратите

на отклонения

та

Степени на

свобода

Оценки на дисперсията

Емпирична стойност

Теоретична стойност

Междугрупова mSS 1k 2

1m

m

SSs

k

2

2m

eb

sF

s ( , 1, )TF F k N k

Вътрешно-групова bSS N k

2 bb

SSs

N к

0Приемаме ,e TF F H

1Приемаме .e TF F H Обща oSS 1N

2

1o

o

SSs

N

5.2. Метод на Шефе

Методът на Шефе се препоръчва, когато чрез дисперсионния анализ е установено

наличието на значимо F-отношение и е налице дисбаланс в броя на измерванията в

отделните групи [21], [44]. Естествено, методът може да се използва и когато групите

имат равни обеми. Методът е консервативна процедура, която дава статистически

значим резултат при подвойкови сравнения и за малък брой разлики между

извадковите средни.

S-методът има предимството, че могат да се правят не само подвойкови

сравнения, а и при сложна структура на необходимите сравнения.

Нека имаме k групи и искаме да ги сравним при ниво на значимост .

S-методът минава през два етапа:

1. Проверява се с дисперсионния анализ нулевата хипотеза 0 1 2: ... kH

при даденото ниво на значимост , ако нулевата хипотезата се отхвърли се преминава

на втория етап;


141

2. Създава се необходимият контраст. Изчислява се по формулата емпиричната

стойност eF и теоретичната стойност TF и се сравняват.

При метода на Шефе се създават контрасти, които са линейна комбинация на

средните с коефициенти, чиято сума е нула. Видът на един контраст е:

(5.1) 1

k

i ii

C ,

където 1

0k

ii

C

.

В зависимост от това какво искаме да проверим контрастите могат да имат

различен вид, но винаги трябва сумата от коефициентите да е нула. Приравняват се

контрастите на нула и получаваме вида на нулевите хипотези.

В обобщен вид нулевата хипотеза се записва като:

(5.2) 1

: 0k

o i ii

H C

,

където 1

0k

ii

C

.

Когато някой от коефициентите 0jC , това означава, че j -тата група се

игнорира от сравнението.

Тестовата статистика (емпиричната стойност) по метода на Шефе е:

(5.3)

2

1

22

1

k

j jj

ek

jb

j j

C y

FC

sn

,

където 2bs е оценката на вътрешногруповата дисперсия от дисперсионния анализ, jC са

коефициентите на контраста и jn е обема на j -тата група.

За теоретичната стойност имаме ( 1)T TF k F , където TF е теоретичната стойност

от дисперсионния анализ ( F -разпределението).

Когато e TF F нулевата хипотеза се отхвърля и се приема алтернативната

хипотеза. Ако това неравенство не е изпълнено се приема нулевата хипотеза.


142

5.3. Оценка на различните форми на обучение

Ще направим сравнително изследване относно ефективността на четири различни

форми на обучение. Разполагаме с резултатите от изпита по ВМ2 на студенти от ВТУ

„Тодор Каблешков“ обучавани по четири различни форми на обучение: задочно

обучение със задължителна домашна работа (форма 1), редовно обучение със

задължителна домашна работа (форма 2), редовно обучение без задължителна домашна

работа (форма 3) и задочно обучение без задължителна домашна работа (форма 4).


Цел на изследването е установяване наличието или отсъствието на зависимост

между резултатите от изпита по ВМ 2 и формата на обучение.




Данните са получени изпитните работи и изпитните протоколи.

Хипотеза за резултата от изследването: Формата на обучение оказва влияние

на резултатите от изпита по ВМ 2 част.

Методи на теоретичното изследване: Дисперсионен анализ, Метод на Шефе.

Получените резултати са представени в таблица 2.19.

Таблица 2.19 Резултати от изследването

Форма на обучение

Брой точки от изпита по ВМ2

Задочно обучение -ДР

145 170 65 105 120 62 70 68 80 79 42 30 26 18 21

50 12 35 24 10 0

Редовно обучение -ДР

135 142 153 98 60 65 75 80 64 32 40 25 42 36 0

150 99 100 63 75 72 69 43 27 39 48 45 0 0

Редовно обучение

76 88 62 26 60 58 69 43 27 20 32 45 0 0 0 0

Задочно обучение

60 65 14 12 16 15 10 0 0 0 0 0 0


143

Нека означим средния брой точки, получени от студентите, обучавани по първа,

втора, трета и четвърта форма на обучение, съответно с 1 2 3 4, , , .

Дефинираме нулевата хипотеза 0 1 2 3 4:H .

Средният брой точки, получени от студентите, обучавани по различните форми е

един и същ.

Алтернативната хипотеза е 1 :H 1 2 1 3 1 4

2 3 2 4 3 4

или или

или или

.

Средният брой точки на поне две от форми на обучение се различават значимо.

Равнище на значимост 0,05 .

В таблица 2.20 са пресметнати основните характеристики по групи: общ брой

единици в групата, сумата на всички измервания в групата, средното аритметично и

дисперсията в групата.

Таблица 2.20 Основни характеристики по групи

Форма Група Брой Сума Средно Дисперсия Форма 1 Задочно обучение със

задължителна домашна работа 21 1232 58,67 2097,83

Форма 2 Редовно обучение със задължителна домашна работа

29 1877 64,72 1801,35

Форма 3 Редовно обучение 16 606 37,88 855,98

Форма 4 Задочно обучение 13 192 14,77 492,53

В таблица 2.21 са представени резултатите от еднофакторния дисперсионен

анализ.

Таблица 2.21 Таблично представяне на резултати от дисперсионния анализ




та

Степени на

свобода




Междугрупова 26329,1 3 8776,36 5,92eF (0,05,3,75)

2,73T

F

F

Вътрешно-групова 111144,5 75 1481,93

1Приемаме .e TF F H

Обща 137473,6 78


144

Тъй като e TF F , отхвърляме нулевата хипотеза и приемаме алтернативната.

Изводът е, че ефектът от обучението по четирите различни форми е различен. Не

е ясно обаче кои именно форми или групи от форми се различават и дали има форми,

които са с еднакъв ефект.

За да дадем отговор на горните въпроси ще приложим метода на Шефе.

Имаме 4 форми на обучение и искаме да сравним всяка форма с всяка от

останалите. Възможният брой на нулевите хипотези е 24

46

2C

. В нашия случай

нулевата хипотеза има вида:

01 1 2 3 4

02 1 2 3 4

03 1 2 3 4

04 1 2 3 4

05 1 2 3 4

06 1 2 3 4

: ( 1) ( 1) (0) (0) 0

: ( 1) (0) ( 1) (0) 0

: ( 1) (0) (0) ( 1) 0

: (0) ( 1) ( 1) (0) 0

: (0) ( 1) (0) ( 1) 0

: (0) (0) ( 1) ( 1) 0

H

H

H

H

H

H

Теоретичната стойност, която съответства на метода на Шефе получаваме като

умножим теоретичната стойност от дисперсионния анализ по 3 (4 – 1), т.е.

(4 1) 3.2,73 8,18T TF F .

Таблица 2.22 показва изчислителния процес при проверка на хипотеза по метода

на Шефе. Съответните контрасти са означени със 1 2 3 4 5 6, , , , ,C C C C C C . Съответните

емпирични характеристики са означени с 1 2 3 4 5 6, , , , ,e e e e e eF F F F F F .


145

Таблица 2.22 Изчисляване на емпиричните характеристики по метода на Шефе

Група (форма на обучение)

1 2 3 4

Средно в групата

jy 58,67 64,72 37,88 14,77

Брой в групата

jn 21 29 16 13

1C 1 -1 0 0

2C 1 0 -1 0

3C 1 0 0 -1

4C 0 1 -1 0

5C 0 1 0 -1

6C 0 0 1 -1

2

1(58,67 64,72)

0,31 1

1481,93.21 29

eF

2

2(58,67 37,88)

2,651 1

1481,93.21 16

eF

2

3(58,67 14,77)

10,441 1

1481,93.21 13

eF

2

4(64,72 37,88)

5,021 1

1481,93.29 16

eF

2

5(64,72 14,77)

15,121 1

1481,93.29 13

eF

2

6(37,88 14,77)

2,581 1

1481,93.16 13

eF

Сравняваме съответните емпирични характеристики с теоретичната. Когато

8,18ej TF F , нулевата хипотеза се отхвърля и се приема алтернативната хипотеза.

Ако това неравенство не е изпълнено се приема нулевата хипотеза.

Таблица 2.23. Връзка между формите на обучение

Група 1 2 3

1

2 H0

3 H0 H0

4 H1 H1 H0


146

Изводът е, че ефектът от обучението по форма 4 е различен от обучението по

форма 1 и форма 2.

Сега ще проверим дали обучението по форма 2 (редовно обучение със

задължителна домашна работа) дава резултати, които се различават от резултатите на

другите три форми на обучение. Записваме нулевата хипотеза във вида:

0 1 2 3 4: ( 1) ( 3) ( 1) ( 1) 0H .

В този сложен контраст всички коефициенти са различни от нула и всички средни

участват в изчисленията. В таблица 2.24 са дадени необходимите данни и изчисления за

този контраст.

Таблица 2.24 Изчисляване на емпиричната характеристика при сложен контраст

Група (форма на обучение)

1 2 3 4

Средно в групата

jy 58,67 64,72 37,88 14,77

Брой в групата

jn 21 29 16 13

Коефициент +1 -3 +1 +1

Емпирична характеристика

2(58,67 3.64,72 37,88 14,77)9,32

1 9 1 11481,93.

21 29 16 13

eF

Сравняваме съответната емпирични характеристики с теоретичната. Тъй като

9,32 8,18e TF F , нулевата хипотеза се отхвърля и се приема алтернативната

хипотеза.

Можем да направим извод, че обучението по форма 2 дава среден резултат, който

е различен от средния резултат на комбинацията от другите три форми.


147

6. АНАЛИЗ НА ИЗПИТ ПО ВИСША МАТЕМАТИКА 2 ЧАСТ ПО ТЕМИ

Ще напомним отново темите, по които са задачите от изпита.

Таблица 2.25 Теми по ВМ 2 част

№ Тема 1. Производна на функция. 2. Граници на редица. Граница на функции.

3. Интервали на монотоност. Локални екстремуми. Интервали на изпъкналост и вдлъбнатост и инфлексни точки.

4. Асимптоти. 5. Неопределени интеграли – непосредствено интегриране. 6. Неопределени интеграли – рационална функция. 7. Определени интеграли – интегриране по части. 8. Определени интеграли – субституции. Приложения. 9. Числови редове. 10. Функционални редове.

6.1. Линеен вероятностен модел по теми

От ЛВМ получихме следните резултати по задачи от отделните теми.

Таблица 2.26 Линеен вероятностен модел по теми

Коефициенти Тема коефициент

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 *0b -0,0740 -0,2982 0,3177 0,0971 0,5031 0,0261 -0,2321 -0,1607 -0,0127 -0,0070 *1b 0,0213 0,0315 0,0197 0,0471 0,0106 0,0347 0,0331 0,0283 0,0488 0,0495

Забелязваме, че коефициентите *0b при теми 3, 4, 5 и 6 са положителни. Това

означава, че без да са решавали домашни работи (да са се подготвяли самостоятелно),

студентите могат да решат съответните задачи с известен успех. Обяснението на това

се състои в следното. Те имат право да ползват справочници, където тези теми са

описани ясно. При асимптотите и изследването на функции темите се разглеждат на

едни и същи занятия и функциите, които се изследват са сравнително прости. Същото

важи и за интегралите с непосредствено интегриране и за интегриране на рационални

функции. При останалите теми коефициентите *0b са отрицателни, което показва, че е

необходимо студентите да са решавали домашни работи (да са се подготвяли


148

самостоятелно), за да постигнат успех при решаването им. За броя на решаваните

задачи и вероятностите за успех при решаването им е направена таблица, от която се

вижда колко задачи са необходими за частичен или пълен успех на всяка задача.

Таблица 2.27 Вероятности за успешно решаване на задача от дадена тема


Тема 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

5 0,0323 0,0000 0,4161 0,3324 0,5563 0,1998 0,0000 0,0000 0,2314 0,2407

10 0,1386 0,0168 0,5145 0,5678 0,6095 0,3735 0,0988 0,1223 0,4756 0,4884

15 0,2449 0,1744 0,6129 0,8032 0,6626 0,5473 0,2642 0,2638 0,7198 0,7362

20 0,3511 0,3319 0,7114 1,0000 0,7158 0,7210 0,4297 0,4053 0,9639 0,9839

25 0,4574 0,4895 0,8098 1,0000 0,7690 0,8947 0,5951 0,5468 1,0000 1,0000

30 0,5637 0,6470 0,9082 1,0000 0,8222 1,0000 0,7606 0,6883 1,0000 1,0000

35 0,6700 0,8045 1,0000 1,0000 0,8754 1,0000 0,9260 0,8298 1,0000 1,0000

40 0,7763 0,9621 1,0000 1,0000 0,9286 1,0000 1,0000 0,9713 1,0000 1,0000

45 0,8825 1,0000 1,0000 1,0000 0,9818 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000

50 0,9888 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000

55 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000

Вижда се че при тема 4, 9 и 10 е достатъчно да се решат сравнително по-малко

задачи от домашните работи за постигане на успех при решаването на задачи от тези

теми на изпита. Това се обяснява със сравнително еднаквия тип на задачите по тези

теми и ясния алгоритъм, по който се решават те. За тема 3 е необходимо да се решат

малко повече задачи в сравнение с тема 6, но те са сравними по брой и са повече от

тези при теми 4, 9, 10.

За задачите по теми 2, 5, 7 и 8 е необходимо да се решат повече задачи от тези по

тема 6. Най-много задачи трябва да се решат по тема 1. Те обаче са изключително

важни, защото умението да се пресмятат производни се използва при повечето от

останалите теми. За решаването им не е достатъчно пряко да се използват таблиците с

основните производни, а трябва да се приложат, понякога и няколко пъти свойствата на

производните, което затруднява студентите. Ясно е, че решаването на много задачи

води до усвояването на правилата за намиране на производна, до премахване на

комплекса от намиране на сложни производни и води до успех на изпита.


149

Ще използваме дисперсионния анализ и метода на Шефе за сравняване на

получените резултати по теми.

6.2. Дисперсионен анализ и метод на Шефе

Ще разгледаме метода, като сравним резултатите по теми и ги сравним. Основни

характеристики в групите са представени в таблица 2.28.

Таблица 2.28 Основни характеристики по теми

Група / Тема

Брой Сума Средно Дисперсия

1 40 26 0,65 0,2333

2 40 21 0,525 0,2558

3 40 34 0,85 0,1308

4 40 34 0,85 0,1308

5 40 29 0,725 0,2045

6 40 22 0,55 0,2538

7 40 11 0,275 0,2045

8 40 6 0,15 0,1308

9 40 25 0,625 0,2404

10 40 22 0,55 0,2538


анализ.

Таблица 2.29 Таблично представяне на резултати от дисперсионния анализ




та

Степени на

свобода




Междугрупова 18,25 9 2,0278 9,95eF (0,05,9,390)

1,9039T

F

F


1Приемаме .e TF F H

Обща 97,75 399

Теоретичната стойност, която съответства на метода на Шефе получаваме като

умножим теоретичната стойност от дисперсионния анализ по 9 (10 – 1), т.е.

(10 1) 9.1,9039 17,14T TF F . Имаме 10 теми и искаме да проверим всяка тема с

всяка от останалите. Възможният брой на нулевите хипотези е 10

452

.


150

Таблица 2.30 показва изчислените емпирични характеристики.

Таблица 2.30 Емпиричните характеристики по метода на Шефе

Тема 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 6,13 3 15,70 41,45 4 15,70 41,45 0,00 5 2,21 15,70 6,13 6,13 6 3,92 0,25 35,32 35,32 12,02 7 55,19 24,53 129,75 129,75 79,47 29,68 8 98,11 55,19 192,30 192,30 129,75 62,79 6,13 9 0,25 3,92 19,87 19,87 3,92 2,21 48,08 88,55 10 3,92 0,25 35,32 35,32 12,02 0,00 29,68 62,79 2,21

Като сравним емпиричните стойности с теоретичната получаваме таблица 2.31.

Таблица 2.31 Връзка между различните теми

Тема 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 H1 3 H1 H0 4 H1 H0 H1 5 H1 H1 H1 H1 6 H1 H1 H0 H0 H1 7 H0 H0 H0 H0 H0 H0 8 H0 H0 H0 H0 H0 H0 H1 9 H1 H1 H0 H0 H1 H1 H0 H0 10 H1 H1 H0 H0 H1 H1 H0 H0 H1

Ще тълкуваме някои от получените резултати.

Получава се, че успешното решаване на тема 1 е свързано по резултати с

успешното решаване на тема 7 и тема 8, което е напълно логично, защото решаването

на интеграли е свързано с намирането на производна. Резултатите по тема 5 са свързани

с резултатите по тема 7 и тема 8, което също е обяснимо, защото пресмятането на

определен интеграл е свързано с пресмятането на неопределен интеграл. Тема 2 е

свързана с тема 4, защото за пресмятането на асимптоти се използват граници, чрез

използването и на правилото на Лопитал. Тема 6 е свързана с тема 7 и тема 8, защото

има връзка между намирането на неопределен интеграл и пресмятането на определен

интеграл, който при голяма част от субституциите се свежда до пресмятане на

неопределен интеграл от рационална функция.


151

6.3. Корелационен анализ

В таблица 2.32 са систематизирани коефициентите на корелация между всеки две

теми .

Таблица 2.32 Корелационна матрица

Тема 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 1,000 2 0,562 1,000 3 0,279 0,442 1,000 4 0,279 0,301 0,608 1,000 5 0,135 -0,025 0,055 0,368 1,000 6 0,074 0,146 0,183 0,183 0,681 1,000 7 0,217 0,362 0,102 0,102 0,129 0,332 1,000 8 0,308 0,400 0,176 0,176 0,259 0,380 0,682 1,000 9 -0,027 0,194 0,108 0,108 -0,014 0,337 0,246 0,181 1,000 10 0,074 0,146 -0,099 -0,099 -0,219 0,091 0,332 0,239 0,545 1,000

Средната корелация на всички задачи (теми) е 1

0, 44545 ij

i j

R

. Надеждността

на изпита, оценена по формулата на Спирмън–Браун е 1010

10.0,8003

1 (10 1).r

.

В таблица 2.33 са дадени коефициентите на корелация между бала на дадена тема

и общият бал, както и тяхното тълкуване (С – слаба зависимост, У – умерена

зависимост, З – значителна зависимост).

Таблица 2.33 Връзка между бала по дадена тема и общият бал

Тема 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Коефициент на корелация

0,320 0,470 0,489 0,489 0,330 0,504 0,281 0,275 0,507 0,285

Тълкуване У У У У У З С С З С

Прави впечатление слабата корелация на теми 7, 8 и 10. Първите две теми са

свързани с решаването на определени интеграли – интегриране по части, субституции и

приложения. Този тип задачи са конструктивни. Обикновено те изискват творчески

подход. Предназначени са за най-добрите студенти. Тема 10 „Функционални редове” е

последната тема, която се преподава последна и в повечето случаи времето за

упражнение както в занятията, така и самостоятелна подготовка не е достатъчно.


152

ОБОБЩЕНИЕ НА РЕЗУЛТАТИТЕ ОТ ВТОРА ГЛАВА

Използваните в тази глава вероятностни модели имат своите предимства и

недостатъци в сравнение един с друг. Всички модели показват, че стойността на

вероятността студент да си вземе изпита по ВМ 2 зависи от количеството на решените

примери от домашното задание и посещението на учебните занятия

правопропорционално с различни коефициенти на пропорционалност. Само

решаването самостоятелно на примери не е достатъчно, необходимо е и посещение на

учебните занятия, където да се използват преподавателските указания.

Линейният вероятностен модел (ЛВМ) е най-простият модел от трите модела,

при който директно се приближава стойността на вероятността за успех. Недостатъкът

му е, че може да се получи отрицателна вероятност, което може да доведе до отпадане

на част от данните. Основно предимство на линейният вероятностен модел е лесното

тълкуване на регресионният коефициент *1b . Той измерва директно промяната във

вероятността iP .

При логистичния модел и при пробит модела се приближава помощна функция,

съответно логит и пробит (нормит) и от нея се пресмята вероятността. И двата модела

би трябвало да са по-точни от ЛВМ. Те са достатъчно близки един до друг, което се

вижда от свойствата на логистичната функция виж глава 1, параграф 4, свойство 5. Тя

се използва при логистичния модел и има явен вид, а според теорията на

апроксимациите се приближава до функцията на разпределение за нормалното

разпределение, която се задава с интеграл и се използва при пробит модела. В повечето

случаи резултатите от използването на двата модела са много сходни. В редки случаи

резултатите могат съществено да се различават. Това е налице когато зависимата

променлива е силно небалансирана, например само 10% от случаите са 1iY .

Предимство на логистичния модел е, че не се изисква пресмятането на интеграл и

оценката е по-бърза. При съвременната мощност на компютрите това е без значение и е

въпрос на вкус, кой от двата модела ще се избере. Друго предимство на логистичния

модел е по–лесната интерпретация на регресионния коефициент *1b .

Векторното и многомерното обобщение на вероятностните модели и

параметричните модели, показват как могат да се използват способността и трудността,

когато те се състоят от няколко компоненти. Дадени са критични прави и

хиперравнини, чиито нормални вектори зависят от стойността на тези компоненти и


153

върху които стойността на вероятността за успех е равна на 0,5. Като частен случай от

векторния запис на логистичния модел при конкретни нормални вектори се получават

съответно еднопараметричният „модел на Раш” и двупараметричният „модел на

Бирнбаум”, а всички възможни нормални вектори са безбройно много. Дадени са

препоръки към студентите, как най-бързо да достигнат до критичната права.

Методът на Шефе ни показва, че има значение формата, стилът и начинът на

обучение и преподаване за стойността на вероятността за успешно полагане на изпита.

Извършени са проверки на повече от 55 статистически хипотези, които дават връзката

както между задачите от различните теми, така и между задачите по отделните теми и

целия изпит. Изчислени са коефициентите на корелация, които дават връзката както

между отделните теми, така и между отделните теми и целия изпит.


154

ТРЕТА ГЛАВА

СТАТИСТИЧЕСКИ И ВЕРОЯТНОСТНИ МЕТОДИ ЗА СРАВНЯВАНЕ И

ОЦЕНКА НА КАНДИДАТ-СТУДЕНТСКИ ТЕСТОВЕ И ОЦЕНКА НА РЕАЛЕН

ИЗПИТЕН ТЕСТ ЗА УЧЕНИЦИ

УВОД

През последните години широко се прилага използването на тестове за изпитване

и има редица публикации за тяхното съставяне, оценяване и използване. Малка част от

публикациите по тази тема са: [1], [2], [3], [11], [14], [15], [16], [17], [22], [23], [24], [26].

Тази глава се състои от седем параграфа. В нея са разгледани резултатите от

четири теста за кандидат-студенти във ВТУ „Тодор Каблешков” и от тест за ученици от

седми клас, проведен с ученици от различни училища в град София. Получени са

параметрите на тестовете според Класическата Теория на Тестовете (КТТ), теорията от

вероятностното моделиране, известна още като IRT (Item Response Theory) и теорията

на логит моделите. За ученическия тест анализът е извършен и по трите метода.

В първите три параграфа на тази глава е приложена Класическата Теория на

Тестовете (КТТ) за пресмятане на параметрите на тестовете и анализ на получените

резултати, а в четвъртия и петия параграф е приложена теорията от вероятностното

моделиране (IRT). В шести параграф са приложени логистичните модели, а в седми е

направен сравнителен анализ между трите теории.

В първи параграф са пресметнати основните характеристики на конкретен

изпитен тест, представени са и понятия от статистиката (корелационен анализ,

дисперсионен анализ и други). Пресметнати са показателите трудност, дискриминация,

надеждност, валидност, алфа на Кронбах и други, според КТТ.

Във втори параграф са разгледани резултатите от четири приемни кандидат-

студентски изпити по математика за ВТУ „Тодор Каблешков”. Пресметнати са

основните им характеристики и е извършено сравнение между тях с използването на

методите от дисперсионния анализ. Показано е, че те са надеждни и измерват едно и

също качество на кандидат-студентите и са практически неразличими. Един и същи

кандидат-студент, ако се яви и на четирите изпита, би получил близки резултати. От

получените резултати са направени изводи за обучението по математика в средния курс

на обучение. Представени са таблици и графики, които дават по-добра нагледна

представа.


155

В трети параграф е направен анализ на резултатите от реален изпитен тест по

математика за ученици от 7 клас. След изпълнението на теста учениците са попълнили

анкетна карта. Направен е анализ на получените резултати и са оценени влиянието на

различните фактори.

В четвърти параграф е приложен еднопараметричния модел на Раш, който е част

от вероятностното моделиране или IRT (Item Response Theory). Даден е алгоритъм за

изчисление на способностите Xi на учениците и параметрите на трудност на задачите Tj

от емпирични данни. Пресметнати са вероятностите за правилното решаване на

задачите от теста и параметрите му. Тестът е същия, който е разгледан с помощта на

КТТ в предишния параграф. Представени са графиките на характеристичната и

информационна функция, както на целия тест, така и по задачи. Дадени са графиките

на характеристичната функция, както на средното за всички ученици, така и за

учениците по училища и пол. Използван е квадратичен метод по броя на задачите за

определяне на максимума на отклонението, свързано с оптималната дължина на теста и

определяне на оптимално време за изпълнението му.

В пети параграф е приложен двупараметричния модел на Бирнбаум за същия тест

и са пресметнати хараактеристиките му. Даден е алгоритъм за изчисление на

параметрите на дискриминация на задачите aj от емпирични данни. Представени са

графиките на характеристичната и информационна функция, както на целия тест, така и

по задачи.

Направено е сравнение с модела на Раш от предния параграф. Представени са

сравнителни графики на характеристичната и информационна функция на двата

модела.

В шести параграф са приложени Логит–моделите, които са разгледани в параграф

8 на Първа глава, за да се оценят съответно параметрите на трудност на задачите в

еднопараметричния модел на Раш и параметрите на трудност и дискриминация на

задачите в двупараметричния модел на Бирнбаум. Сравнени са получените резултати с

резултатите получени в четвърти и пети параграф.

В седми параграф е направен съпоставителен анализ на едноименните параметри

на задачите получени при Класическата теория на тестовете (КТТ), Теорията на

вероятностното моделиране (IRT) и Теорията на логит моделите.


156

1. ОСНОВНИ ЧИСЛОВИ ХАРАКТЕРИСТИКИ И ОЦЕНКА КАЧЕСТВОТО

НА ИЗПИТЕН ТЕСТ

В настоящият параграф е направен статистически анализ, основан на

класическата теория на тестовете [15], [22], [33] за независима оценка на качеството на

приемен тест за ВТУ „Тодор Каблешков”, проведен на 28 юли 2009 година.

Тестът се състои от 20 задачи с избираем отговор и 10 задачи със свободен

отговор. Задачите са независими една от друга, т.е. информацията в една задача не

подпомага отговора на друга задача. Към всяка задача с избираем отговор са дадени 4

възможности за отговор, от които точно една е правилният отговор. Максималният бал

на теста е 120 точки. За правилен отговор на задачите с избираем отговор се получават

– 3 точки, за грешен – 0 точки, за неотбелязан отговор – 1 точка. За задачите със

свободен отговор се дават по 6 точки при правилен отговор и по 0 точки при грешен

или неотбелязан отговор.

Тестът е решаван от 650 кандидат-студента. Целта на теста е да се определи

група от кандидати, които имат добри математически познания и владеят работата с

математически справочник и те да се разграничат от кандидатите с по-ниски

действителни способности. Друга цел на теста е да се намали възможността от много на

брой отлични оценки. Част от резултатите на този параграф са публикувани в [4] и [6].


Цел на изследването е да се направи независима оценка на качеството на

приемен тест за за ВТУ „Тодор Каблешков”, проведен на 28 юли 2009 година.

Хипотеза за резултата от изследването: Приемният тест за ВТУ „Тодор

Каблешков”, проведен на 28 юли 2009 година има добри измерителни показатели и

изпълнява целите, за които е съставен.

Задачи на изследването:

1. Представяне на основни емпирични статистики на теста;

2. Анализ на качествата на задачите от теста;

3. Надеждност на теста и стандартна грешка на измерването.


Данните са получени от изпитните работи на 650 кандидат-студенти.

Метод на теоретичното изследване е статистически анализ на данни, основан

на класическата теория на тестовете.


157

1.1. Основни емпирични статистики на теста

Таблично и графично представяне на честотните характеристики

Баловете на кандидат-студентите, изразени в точки са групирани в 5 групи. В

таблица 3.1 са дадени абсолютните, относителните и кумулативните (натрупани)

честоти на данните от теста.

Таблица 3.1 Честотно разпределение на резултатите от теста

Група (интервал№

Среди на интервалите

Абсолютна честота

Натрупана честота

Относителна честота

Натрупана относителна

честота

Xi fi Ci pi (%) Ci,o (%) 1 - 24 12,5 194 194 29,8% 29,8% 25 - 48 36,5 272 466 41,8% 71,7% 49 - 72 60,5 127 593 19,5% 91,2% 73 - 96 84,5 52 645 8,0% 99,2% 97 - 120 108,5 5 650 0,8% 100,0% Общо: 650 100%

На Фиг. 3.1 е построена хистограма на абсолютните честоти на данните от теста.

Основата на всеки от защрихованите правоъгълници е съответната оценъчна категория

с точен ляв и десен край, а височината на правоъгълника е равна на абсолютната

честота на съответната оценка.

На Фиг. 3.2 е построена кръгова диаграма за разпределение на кандидатите според

бала, който са получили на теста.

194

52

5

127

272

0

50

100

150

200

250

300

1 - 24 25 - 48 49 - 72 73 - 96 97 - 120

8,0%29,8%

0,8%

41,8%

19,5%

1 - 24 25 - 48 49 - 72 73 - 96 97 - 120

Фиг. 3.1 Абсолютните честоти Фиг.3.2 Структура според бала

На Фиг. 3.3 и Фиг. 3.4 са построени съответно полигоните на относителното и

относителното кумулативно честотно разпределение на кандидатите.


158

19,5%

41,8%

8,0%

0,8%

29,8%

0%

5%

10%

15%

20%

25%

30%

35%

40%

45%

1 - 24 25 - 48 49 - 72 73 - 96 97 - 120

30%

72%

91%

99% 100%

0%

20%

40%

60%

80%

100%

1 - 24 25 - 48 49 - 72 73 - 96 97 - 120

Фиг. 3.3 Относително разпределение Фиг. 3.4 Относ. кумулативно разпределение

Най-много кандидати (41,8%) попадат във втората група (25 – 48), която

съответства на среден. Ясно се вижда, че 91% от кандидатите са получили бал по-малък

или равен на добър (49 – 72).

Средни статистически величини

Средните величини са свързани с онези признаци и свойства на единиците от

статистическата съвкупност, които са количествено измерими и варират. Те

уравновесяват (балансират) различията и чрез тях се определя най-често срещаното

значение на даден признак. Средните величини разкриват общите, типичните,

закономерно проявяващи свойства на съвкупността. Основно средните величини се

делят на два типа: алгебрични и неалгебрични. При изчисляването на алгебричните

средни участват всички значения на осреднявания признак. При изчисляването на

неалгебричните участват само определени значения в зависимост от мястото или

честота им.

Средно претеглена аритметична величина:

(1.1) 42,38.

5

1

5

1

ii

iii

f

fxx .

Медианата (средна по положение) е числовата стойност, която разделя

вариационния ред на две равни части. Медианата при групирани данни изчисляваме по

формулата:

(1.2) Me

MeMeMee f

hCNLM )( 1 ,


159

където:

LМe – е стойността на долната граница на медианния интервал;

CМe-1 – е стойността на кумулативната честота в предмедианния интервал;

h – е ширината на медианния интервал;

fМe – е честотата на медианния интервал;

2

1

nN Me – номерът на единицата, носеща медианното значение.

Конкретната числова стойност на медианата е равна на: 56,36eM

Модата (средна по честота) е числова стойност на вариационния ред, имаща най-

голяма абсолютна честота. Тя е средна величина на гъстотата. Модата при групирани

данни изчисляваме по формулата:

(1.3) )()(

).(

11

1

MoMoMoMo

MoMoMo ffff

hffLMo ,

където:

LMо – долна граница на модалния интервал;

h – ширина на модалния интервал;

fMо+1 – честота в следмодалния интервал;

fMо-1 – честота в предмодалния интервал;

fMо – честота в модалния интервал.

Конкретната числова стойност на модата е равна на 39,33Mo .

Стойностите на средно претеглената, на медианата и на модата са близо и между

тях съществуват неравенствата Мо < Me < X , което означава, че разпределението е

дясно изтеглено.

Измерители на статистическото разсейване

Статистическото разсейване или вариацията изразяват колебанията, различията,

отклоненията между единиците по изучавания статистически признак в

статистическата съвкупност. Измерителите на различията между единиците по

изучавания статистически признак характеризират в обобщен вид степента на

нееднородност на статистическата съвкупност.


160

Дисперсията е точен измерител на разсейването и се основава на това, че сумата

от квадратите на отклоненията на индивидуалните значения от средната аритметична

да е минимално. Дисперсията при групирани данни изчисляваме по формулата:

(1.4) 97,504.)( 2

i

ii

f

fxxD .

Стандартно (средно квадратично) отклонение е най-често използвания

измерител на разсейването. Пресмята се като корен квадратен от дисперсията:

(1.5) 5,22 D .

1.2. Анализ на качествата на задачите от теста

Анализът на задачите от теста е необходим за откриване на евентуални дефекти в

измерителните качества на теста, дължащи се на лошо функциониращи задачи, които

не измерват в необходимата степен постиженията, които мери целия тест и/или са с

неподходяща трудност. Откриването на такива задачи се основава на изучаване на

оценките на параметрите. Обикновено анализът открива дефектните задачи, но не

установява причините за това.

За анализа на задачите от теста, ще въведем следните означения:

N – брой изпитвани;

М – брой задачи в теста;

( )ij N Ma – матрица на резултатите от теста.

Трудност

Коефициентът на трудност е равен на процента на кандидатите, които са решили

правилно задачата, изчислен от броя на всички кандидати, които са я решавали.

Коефициентът на трудност (дялът на верните отговори) изчисляваме по

формулата:

(1.6) , 1, 2, ,jj

Rt j M

N ,

където:

1

N

j iji

R a

– количеството на верните отговори на j–тата задача.

Допустимите стойности на коефициента са между 0 и 100. Броят на възможните

отговори на една задача оказва влияние при тълкуване на коефициента на трудност. В


161

таблица 3.2 е дадено тълкуването на коефициента на трудност за тестови задачи с 4

алтернативни отговора. Оптималната трудност на задача с 4 алтернативни отговора е

62,5 [33].

Таблица 3.2 Тълкуване на коефициента на трудност

Вид на задачата Коефициент на

трудност

Много лесна 86 – 100

Лесна 71 – 85

Оптимална 41 – 70

Трудна 26 – 40

Много трудна 0 – 25

На Фиг. 3.5 и Фиг. 3.6 са представени съответно хистограма на честотното

разпределение и кръгова диаграма на процентното разпределение на задачите от

изследвания тест по трудност.

0

2

4

6

8

10

12

14

Много

лесна

Лесна Оптимална Тру дна Много

тру дна

4; 13% 13; 44%

4; 13%0; 0%9; 30%

Много лесна Лесна Оптимална Тру дна Много тру дна

Фиг. 3.5 Брой задачи по трудност Фиг. 3.6 Структура на задачите по трудност

Тестът не съдържа много лесни задачи, тъй като прекалено лесните задачи дават

една постоянна добавка към бала на всяко лице.

По-големият брой трудни задачи води до изкривяване на разпределението на бала

на ляво. Такъв тест работи за отделянето на лица с отлично разбиране на материала от

останалите.

Дискриминативна сила

Дискриминацията на задачата е степента, в която тя разграничава кандидатите с

високи постижения от тези с ниски постижения. При анализ на дискриминацията на

задачите чрез коефициента на дискриминацията се определят две групи от кандидати –

„силна група” и „слаба група”. Двете групи се определят, след като кандидатите се


162

подредат по бал и се вземат първите 27% (първите 176 кандидата) от тях, получили

най-високи резултати, и последните 27% (последните 176 кандидата) от тях, получили

най-ниски резултати на теста.

Коефициентът на дискриминация на една тестова задача е равен на разликата от

частта на вярно отговорилите кандидати от силната група и частта на вярно

отговорилите кандидати от слабата група. Възможните стойности на коефициента са

между – 1 и 1. Колкото коефициентът е по-близо до 1, толкова повече задачата прави

по-добро отделяне на лицата, получаващи висок общ бал, от лицата получаващи нисък

общ бал. Тълкуването на дискриминацията е дадено в таблица 3.3 [33].

Таблица 3.3 Тълкуване на коефициента на дискриминация

Вид на задачата Коефициент на дискриминация

Много добра 0,41 – 1,00

Добра 0,31 – 0,40

Средна 0,21 – 0,30

Ниска 0,11 – 0,20

Много ниска < 0,10

По-голямата част от задачите в теста (70%) са с много добра дискриминация, т.е.

те са отличен разграничител на двете групи. На Фиг. 3.7 и Фиг. 3.8 са представени

съответно хистограма и кръгова диаграма на процентното разпределение на задачите

по дискриминативна сила.

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

Много

добра

Добра Средна Ниска Много

ниска

21; 70%2; 7%

3; 10%

1; 3% 3; 10%

Много добра Добра Средна Ниска Много ниска

Фиг. 3.7 Брой задачи по дискриминация Фиг. 3.8 Структура на задачите по дискриминация

На таблица 3.4 и таблица 3.5 са представени коефициентите на трудност и

дискриминация за всяка от задачите в теста и тяхното тълкуване.

При равни други условия, колкото по-големи са коефициентите на дискриминация

на задачите, толкова по надежден е теста. Разпределението на баловете се разпростира


163

по-широко, когато средната дискриминация нараства. Надеждността на теста може да

се увеличи чрез използване на средно трудни задачи с висока дискриминация.

Таблица 3.4 Коефициенти на трудност

Зада

ча

№

Бр

ой п

рав

ил

ни

от

гово

ри

Коефициент на трудност

Тъ

лк

уван

е н

а к

оеф

иц

иен

та н

а тр

удн

ост

спрямо всички

спрямо отговорилите

1 460 71% 75% лесна

2 228 35% 45% оптимална

3 361 56% 61% оптимална

4 424 65% 74% лесна

5 467 72% 79% лесна

6 249 38% 48% оптимална

7 348 54% 67% оптимална

8 324 50% 58% оптимална

9 71 11% 33% трудна

10 191 29% 51% оптимална

11 215 33% 48% оптимална

12 201 31% 39% трудна

13 99 15% 37% трудна

14 359 55% 66% оптимална

15 310 48% 62% оптимална

16 387 60% 71% лесна

17 145 22% 43% оптимална

18 256 39% 58% оптимална

19 225 35% 52% оптимална

20 223 34% 52% оптимална

21 96 15% много трудна







28 194 30% трудна



Таблица 3.5 Коефициенти на дискриминация

Зада

ча

№

Дял правилни отговори в

групата

Кое

фи

ци

ент

на

диск

ри

ми

нац

ия

Тъ

лк

уван

е н

а к

оеф

иц

иен

та н

а ди

скр

им

ин

аци

я

Силна група

Слаба група

1 0,903 0,307 0,597 Много добра

2 0,636 0,125 0,511 Много добра

3 0,869 0,239 0,631 Много добра

4 0,903 0,364 0,540 Много добра

5 0,943 0,358 0,585 Много добра

6 0,705 0,102 0,602 Много добра

7 0,864 0,165 0,699 Много добра

8 0,869 0,148 0,722 Много добра

9 0,188 0,097 0,091 Много ниска

10 0,580 0,108 0,472 Много добра

11 0,642 0,125 0,517 Много добра

12 0,608 0,142 0,466 Много добра

13 0,193 0,125 0,068 Много ниска

14 0,841 0,233 0,608 Много добра

15 0,875 0,210 0,665 Много добра

16 0,926 0,114 0,813 Много добра

17 0,506 0,040 0,466 Много добра

18 0,790 0,136 0,653 Много добра

19 0,688 0,142 0,545 Много добра

20 0,545 0,176 0,369 Добра

21 0,364 0,017 0,347 Добра

22 0,653 0,006 0,648 Много добра

23 0,614 0,017 0,597 Много добра

24 0,483 0,006 0,477 Много добра

25 0,051 0,000 0,051 Много ниска

26 0,114 0,000 0,114 Ниска

27 0,278 0,006 0,273 Средна

28 0,790 0,017 0,773 Много добра

29 0,222 0,000 0,222 Средна 30 0,216 0,000 0,216 Средна


164

Корелация между бала на дадена задача и общия бал

Корелацията дава друг начин за оценяване на дискриминацията на тестовите

задачи. Тя определя връзката на задачата с останалите задачи. Корелацията не се

изчислява от определените силна и слаба група, а се извежда от средния бал на лицата,

които са отговорили правилно на задачата, и от средния бал на всички кандидати.

(1.7)

22 )(.)(

))((

YYXX

YYXXR

jiij

jiiji

Коефициентът на корелация е по-информативна характеристика от коефициента

на дискриминация. В неговото изчисляване участват всичките тестови балове, докато

коефициентът на дискриминация се основава само на част от получените балове.

Допустимите стойности на коефициента на корелация са между -1 и 1. Висока

положителна корелация показва, че тези кандидати, които са отговорили правилно на

задачата, имат по-висок от средния общ бал. В таблица 3.6 е дадено тълкуването на

коефициента на корелация на Пирсън [28].

Таблица 3.6 Тълкуване на коефициента на корелация

Корелационна зависимост

Коефициент на корелация (R)

Липсва | Ri | = 0

Слаба 0 < | Ri | ≤ 0,3

Умерена 0,3 < | Ri | ≤ 0,5

Значителна 0,5 < | Ri | ≤ 0,7

Голяма 0,7 < | Ri | ≤ 0,9

Много голяма 0,9 < | Ri | ≤ 1

Отрицателната корелация на задачата с общия бал е силен показател за

несъвместимост на задачата с теста. Ако има такава задача в теста, тя трябва да се

изключи от него или да се подобри (промени). В изследвания тест няма задачи с

отрицателна корелация.

На таблица 3.7 са представени коефициентите на корелация между бала на дадена

задача и общия бал и тяхното тълкуване.

На Фиг. 3.9 е представена с хистограма на честотното разпределение на задачите

по корелационната им зависимост с общия бал.

На Фиг. 3.10 е представена кръгова диаграма на процентното разпределение на

задачите по корелационната им зависимост с общия бал.


165

0

2

4

6

8

10

12

14

16

Слаба Умерена Значителна Голяма Много

голяма

; 0%

12; 40%

; 0%

15; 50%

3; 10%

Слаба Умерена Значителна Голяма Много голяма

Фиг. 3.9 Брой задачи по Фиг. 3. 10 Структура на задачите по корелационната им зависимост с общия бал корелационната им зависимост с общия бал

Корелация на дадена задача с всички останали задачи от теста

Пресмята се коефициента на корелация между всеки две задачи по формулата на

Пирсън:

(1.8)

22 )(.)(

))((

jjkiik

jjkiikij

XXXX

XXXXR

Коефициентите на корелация между всеки две задачи се систематизират в

„корелационна матрица”. На таблица 3.9 е представена корелационната матрица на

теста.

Връзката на всяка задача с останалите може да си види от най-високата, най-

ниската и средната корелация на задачата с останалите. По-големият брой отрицателни

корелации показва, че задачата мери нещо по-различно от това, което мерят другите

задачи. В теста няма задачи с отрицателна корелации помежду си, т.е. няма

несъвместими задачи.

Ефективност на дистракторите

Това качеството е свързано с анализа на дистракторите на всяка задача.

Неподходящо подбрани алтернативи често водят до лоша дискриминация или до

нежелана степен на трудност. Няма определен процент от отговори, който да се изисква

за всяка алтернатива, но обикновено дистракторите, събрали под 5% от отговорите, не

са за предпочитане. В изследвания тест алтернативите са подбрани добре, като са

използвани най–често срещаните грешки между изпитваните.

На таблица 3.8 са представен анализ на дистракторите на задачите в теста.


166

Таблица 3.7 Коефициенти на корелация между бала на дадена задача и общия бал

Зада

ча

№

Коефициент на корелация

Тълкуване на коефициента на

корелация

1 0,436 Умерена





6 0,504 Значителна



9 0,268 Слаба




13 0,210 Слаба












25 0,272 Слаба






Таблица 3.8 Анализ на дистракторите на задачите

Зада

ча

№ Процент на дадените отговори от

всички

0 1 2 3 4

1 5,1% 6,5% 70,8% 10,5% 7,2%

2 22,2% 35,1% 21,5% 13,1% 8,2%

3 8,3% 6,6% 21,2% 8,3% 55,5%

4 12,2% 7,2% 5,1% 65,2% 10,3%

5 9,4% 5,8% 6,6% 71,8% 6,3%

6 20,8% 38,3% 28,9% 8,8% 3,2%

7 20,6% 9,1% 8,3% 53,5% 8,5%

8 14,3% 49,8% 8,6% 3,2% 24,0%

9 66,6% 7,1% 8,6% 6,8% 10,9%

10 42,2% 11,8% 11,1% 5,5% 29,4%

11 30,6% 33,1% 10,0% 17,2% 9,1%

12 21,4% 19,1% 30,9% 8,2% 20,5%

13 59,2% 8,0% 10,9% 6,6% 15,2%

14 16,8% 8,6% 4,0% 55,2% 15,4%

15 22,5% 10,2% 10,8% 8,9% 47,7%

16 15,7% 59,5% 6,3% 5,5% 12,9%

17 48,0% 5,2% 22,3% 14,3% 10,2%

18 32,0% 39,4% 11,8% 8,0% 8,8%

19 33,4% 13,5% 34,6% 9,4% 9,1%

20 34,0% 12,0% 14,8% 34,3% 4,9%

21 85,2%

22 75,7%

23 75,5%

24 82,8%

25 98,5%

26 96,2%

27 90,3%

28 70,2%

29 93,4%

30 93,8%


167

Таблица 3.9 Корелационната матрица на задачите от теста.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29

1

2 0,19

3 0,28 0,22

4 0,24 0,15 0,16

5 0,22 0,22 0,22 0,26

6 0,22 0,21 0,21 0,19 0,29

7 0,30 0,17 0,30 0,27 0,30 0,25

8 0,28 0,20 0,26 0,21 0,28 0,28 0,30

9 0,12 0,09 0,05 0,08 0,06 0,11 0,05 0,17

10 0,13 0,19 0,19 0,19 0,21 0,32 0,24 0,21 0,18

11 0,19 0,21 0,23 0,11 0,17 0,16 0,27 0,27 0,15 0,29

12 0,15 0,15 0,20 0,15 0,10 0,16 0,17 0,26 0,07 0,12 0,22

13 0,10 0,06 0,10 0,04 0,00 0,11 0,04 0,05 0,01 0,05 0,05 0,07

14 0,27 0,10 0,20 0,19 0,24 0,27 0,22 0,26 0,09 0,22 0,15 0,14 0,05

15 0,22 0,20 0,27 0,27 0,25 0,26 0,27 0,24 0,15 0,24 0,24 0,26 0,04 0,23

16 0,32 0,21 0,30 0,27 0,32 0,25 0,33 0,35 0,22 0,23 0,27 0,23 0,11 0,28 0,33

17 0,20 0,19 0,23 0,24 0,23 0,25 0,23 0,28 0,18 0,28 0,27 0,19 0,11 0,23 0,32 0,31

18 0,23 0,18 0,30 0,22 0,25 0,22 0,23 0,30 0,15 0,22 0,29 0,21 0,06 0,20 0,36 0,37 0,31

19 0,18 0,19 0,24 0,23 0,15 0,22 0,22 0,24 0,15 0,17 0,22 0,24 0,08 0,15 0,29 0,25 0,25 0,30

20 0,20 0,15 0,18 0,11 0,12 0,11 0,15 0,13 0,13 0,14 0,13 0,15 0,05 0,16 0,16 0,18 0,16 0,19 0,20

21 0,11 0,19 0,18 0,11 0,15 0,21 0,19 0,19 0,05 0,21 0,17 0,11 0,12 0,13 0,14 0,13 0,14 0,21 0,13 0,07

22 0,21 0,22 0,27 0,19 0,24 0,29 0,31 0,34 0,11 0,20 0,23 0,18 0,08 0,27 0,30 0,28 0,26 0,28 0,30 0,20 0,19

23 0,16 0,21 0,20 0,21 0,23 0,24 0,25 0,30 0,11 0,28 0,24 0,18 0,05 0,27 0,24 0,24 0,21 0,25 0,17 0,18 0,25 0,34

24 0,15 0,26 0,27 0,20 0,18 0,27 0,23 0,20 0,12 0,29 0,22 0,21 0,15 0,15 0,27 0,19 0,28 0,24 0,24 0,19 0,21 0,29 0,27

25 0,05 0,05 0,08 0,07 0,08 0,12 0,03 0,07 0,12 0,14 0,10 0,06 0,13 0,08 0,08 0,10 0,14 0,13 0,12 0,07 0,12 0,13 0,05 0,21

26 0,11 0,10 0,14 0,11 0,01 0,06 0,09 0,08 0,10 0,13 0,20 0,14 0,10 0,12 0,12 0,09 0,16 0,13 0,07 0,13 0,07 0,09 0,18 0,25 0,30

27 0,12 0,12 0,15 0,17 0,15 0,20 0,14 0,21 0,10 0,18 0,24 0,22 0,06 0,21 0,19 0,17 0,30 0,18 0,19 0,11 0,16 0,21 0,19 0,19 0,25 0,12

28 0,25 0,27 0,30 0,25 0,29 0,32 0,32 0,33 0,11 0,30 0,30 0,31 0,12 0,24 0,36 0,38 0,30 0,34 0,32 0,18 0,27 0,39 0,43 0,35 0,08 0,11 0,16

29 0,13 0,15 0,17 0,12 0,12 0,16 0,15 0,14 0,15 0,10 0,21 0,24 0,17 0,10 0,17 0,19 0,22 0,21 0,26 0,17 0,13 0,24 0,27 0,29 0,22 0,20 0,21 0,31

30 0,12 0,22 0,16 0,12 0,09 0,20 0,16 0,20 0,18 0,17 0,22 0,24 0,14 0,12 0,21 0,18 0,26 0,18 0,22 0,13 0,15 0,29 0,29 0,34 0,23 0,22 0,35 0,32 0,42


168

Изводи

Голяма част от задачите, разгледани в теста, са с оптимална трудност (44%).

Същевременно 30% от задачите в теста са се оказали много трудни за кандидатите.

Това е оправдано с една от поставените цели – да се намали броят на отличните оценки.

Липсват задачи с много лесна трудност, което показва слабата подготовка на

кандидатите като цяло. Спорен момент е даването на една точка за непопълнен отговор

за първите 20 задачи. Това дава един постоянен бал за кандидатите, които евентуално

изпитват трудност при решаването на съответната задача. От друга страна това

ограничава случайното попълване на отговорите (налучкването на верния отговор).

Повечето задачи в теста са с много добър и добър коефициент на дискриминация

(70%), което дава възможност да се разграничат индивидуалните способностите на

отделните кандидати. Само 3 задачи са с много нисък коефициент на дискриминация.

Половината задачи са с умерен коефициент на корелация, а 40% от задачите са със

значителна степен на корелация. Липсват задачи с голяма и много голяма корелация.

Това показва сравнителната независимост на задачите, което води до по-доброто

измерване от теста. Прави впечатление слабата корелация на задачи с номер 9, 13 и 25.

Същите имат и много нисък коефициент на дискриминация и съответно труден и много

труден коефициент на трудност. Това прави задачите неподходящи за изпитваните

кандидати и не дава принос за разграничителната способност на теста, а само

ограничава максималния брой точки. Забелязва се, че за решаването на тези задачи е

необходимо да се направят повече от три предварителни преобразования. Това показва,

че трябва да се избягва даването на такива задачи в теста.

Корелациите между всеки две задачи са сравнително ниски, което показва, че

тестът е направен така, че да покрива висок диапазон от учебния материал по

математика за средния курс.

Дистракторите на задачите са сравнително добре подбрани, с малки изключения.

Такива дистрактори са например: за задача № 6 – 4 отговор, за задача № 8 – 3 отговор,

за задача № 14 – 2 отговор. Те са събрали малък процент отговори.


169

1.3. Надеждност на теста

Надеждността на теста е мярка за точността на получените балове. Тя изразява

вероятността за получаване на един и същ бал от един кандидат във времето или

различни балове от различни кандидати по едно и също време. Надеждността е

свързана с квадрата на корелацията между наблюдавания и действителния бал.

Високата надеждност води до ограничаване грешката при измерване на действителния

бал.

Корелация между задачите

Като използваме корелационната матрица на задачите от теста (таблица 3.9) ще

пресметнем надеждността на теста.

Средната корелация на всички задачи е:

(1.9) 193,0435

1

jiijR ,

където:

ijR е корелацията между i задача и j задача.

Надеждността оценяваме по формулата на Спирмън –Браун:

(1.10) 3030

30.

1 (30 1).r

.

Конкретната числова стойност за изследвания тест е 3030 0,878r .

Разделяне на теста на две

Ще оценим надеждността на теста чрез корелацията между два подтеста. За целта

разделяме тестовите задачи на две части – четни и нечетни номера на задачите, след

което изчисляваме корелацията на баловете от двете половинки.

Коефициентът на корелация на Пирсън между двете половини на теста е

951,0XYR .

Тъй като, полученият коефициент на корелация отразява надеждност въз основа

на половинките на теста, а не на основата на неговата цялост, ще използваме

„коригиращата” формула на Спирмън - Браун:

(1.11) 22

2.

1XY

XY

Rr

R

.


170

Окончателно за надеждността получаваме: 22

2.0,9510,975

1 0,951r

Корелация между задачите с избираем и свободен отговор

Коефициентът на корелация на Пирсън е 769,0XYR .

Като използваме „коригиращата” формулата на Спирмън – Браун за оценката на

надеждността получаваме: 22

2.0,7690,869

1 0,769r

.

Алфа на Кронбах

Коефициентът не определя надеждността на теста, а е само една долна граница

за нея. Приема стойности от 0 до 1. Колкото задачите са по надеждни и мерят един и

същ действителен бал, толкова е по-близо до 1. Той се пресмята по формулата:

(1.12)

21

2

11 X

k

ii

k

k

,

където:

k – броят на задачите;

2i – дисперсията на i–тата задача;

2X – дисперсията на общия бал.

В нашия случай 874,0 .

Изводи

Коефициентът на надеждност по Спирмън–Браун и долната граница на

надеждността (коефициентът Алфа на Кронбах) са високи и много близки един до друг,

което показва висока надеждност на теста. Коефициентът на корелация между задачите

с четен и нечетен номер е висок, което показва правилно разпределение на задачите в

теста. Същото се вижда и от високата корелацията между задачите с избираем и

свободен отговор.


171

1.4. Стандартна грешка на измерването

Стандартната грешка е показател за надеждност в смисъла на оценка за това,

колко често могат да се очакват грешки в определен размер при многократното му

използване.

Пресмятането на стандартната грешка SE при измерването се извършва по

формулата:

(1.13) RSE X 1 ,

където:

X – средноквадратично отклонение на общия бал;

R – коефициент на надеждност по формулата на Спирмън – Браун.

Конкретната числова стойност за изследвания тест е: 61,7SE .

Доверителният интервал за реалната оценка на всеки кандидат се определя на

основата на получената от него оценка Хi, стандартната грешка SE и избраната

вероятност за грешка α.

Интерпретирайки α чрез процентно изразена „достоверност”, ако получената

оценка от даден кандидат е равна на Хi ,то:

При 68% сигурност реалната оценка на този кандидат попада в интервала

(Хi – SE ; Хi + SE);

При 95% сигурност реалната оценка на този кандидат попада в интервала

(Хi – 2SE ; Хi + 2SE);

Почти с пълна сигурност реалната оценка на този кандидат попада в интервала

(Хi – 3SE ; Хi + 3SE).

Ако доверителните интервали на двама кандидата се застъпват, може да се приеме

със съответната вероятност за грешка, че действителните постижения (реалните

оценки) на тези кандидати не се различават съществено и разликата се дължи на

грешки на измерването чрез теста.

Извод на изследването: Приемният тест за ВТУ „Тодор Каблешков”, проведен на

28 юли 2009 година има добри измерителни показатели и изпълнява целите, за които е

съставен.


172

2. СРАВНИТЕЛЕН АНАЛИЗ МЕЖДУ РЕАЛНИ ИЗПИТНИ ТЕСТОВЕ

В този параграф е направен сравнителен анализ между четири реални теста за

прием във ВТУ „Тодор Каблешков” проведени на 21 юни 2008 г., 29 юли 2008 г., 21

юни 2009 г. и 28 юли 2009 г. За краткост ще ги означаваме съответно с 1 тест (изпит), 2

тест (изпит), 3 тест (изпит), 4 тест (изпит). Всеки от тези тестове съдържа 20 задачи с

избираем отговор и 10 задачи със свободен отговор. Към всяка задача с избираем

отговор са дадени 4 възможности за отговор, от които точно една е правилният отговор.

За правилен отговор на задачите с избираем отговор се получават – 3 точки, за грешен

– 0 точки, за неотбелязан отговор – 1 точка. За задачите със свободен отговор се дават

по 6 точки при правилен отговор и по 0 точки при грешен или неотбелязан отговор.

Целта на тестовете е да се определи група от кандидати, които имат добри

математически познания и владеят работата с математически справочник и те да се

разграничат от кандидатите с по-ниски действителни способности. Друга цел на

тестовете е да се намали възможността от много на брой отлични оценки.



Цел на изследването е да се направи сравнителен анализ на 4 различни теста за

прием във ВТУ „Тодор Каблешков”.

Хипотези за резултата от изследването:

1. Не са налице съществени различия между основните характеристики на

задачите в различните тестове.

2. Различните тестове измерват едно и също количество знание от кандидатите,

като отделят еднакви групи от кандидати за прием във ВТУ „Тодор

Каблешков”.


1. Сравнителен анализ на основни емпирични статистики на тестовете.

2. Сравнителен анализ на качествата на задачите от тестовете


Данните са получени от общо 2046 изпитни работи на кандидат-студентите.

Методи на теоретичното изследване: сравнителен анализ, основан на

класическата теория на тестовете, корелационен анализ, дисперсионен анализ.


173

Задачите от тестовете са разпределени на 6 основни теми (виж таблица 3.10).

Таблица 3.10 Разпределение на задачите по теми

№ ТЕМА Брой задачи

1 тест 2 тест 3 тест 4 тест

1 Алгебрични действия. Степенна, логаритмична и показателна функция. Прогресии.

5 7 8 9

2 Уравнения, неравенства, системи. 9 7 7 5

3 Планиметрия. 4 6 5 7

4 Стереометрия. 2 2 2 2

5 Тригонометрия. 4 3 2 2

6 Комбинаторика. Класическа вероятност. Граница на функция. Производна на функция.

6 5 6 5

Общо: 30 30 30 30

2.1. Основни емпирични статистики на тестовете

На Фиг. 3.11 е показан броят на задачите по теми за четирите теста.

На Фиг. 3.12 е показана структурата на тестовете по броя на задачите от

различните теми за четирите теста.

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1 2 3 4 5 6


`

16,7%

23,3%

26,7%

30,0%

30,0%

23,3%

23,3%

16,7%

13,3%

20,0%

16,7%

23,3%

6,7%

6,7%

6,7%

6,7%

13,3%

10,0%

6,7%

6,7%

20,0%

16,7%

20,0%

16,7%

0% 20% 40% 60% 80% 100%

1 тест

2 тест

3 тест

4 тест

1 2 3 4 5 6

`

Фиг. 3.11 Брой задачи по теми Фиг. 3.12 Структура на теста по теми

В таблица 3.11 е даден максималният брой точки, които може да получи

кандидатът по всяка тема за различните тестове.


174

На Фиг. 3.13 е показана структурата на теста по брой точки от различните теми за

четирите теста.

Таблица 3.11 Максимален бал по теми

№ на темата

Максимален бал за темата


1 18 24 30 33 2 36 27 30 18 3 12 21 21 27 4 12 12 12 12 5 15 12 6 9 6 27 24 21 21

Общо: 120 120 120 120

Фиг. 3.13 Структура на теста по брой точки

Анализ на получените оценки

Групираме получените тестови балове, за всеки от тестовете, в пет групи с

еднаква ширина на интервала.

На Фиг. 3.14 са построени сравнителни хистограми на абсолютните честоти,

приведени към 100 кандидата по групи за всеки от тестовете.

На Фиг. 3.15 е направено сравнение между тестовете, чрез линейни диаграми за

процентното съотношение на кандидатите по групи .

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

1 изпит 2 изпит 3 изпит 4 изпит

1 - 24 25 - 48 49 - 72 73 - 96 97 - 120

27%

14%

23%

30%

40%

47%

42%

42%

22%

24%

22%

20%

8%

13%

10%

8% 1%

3%

2%

3%

0% 20% 40% 60% 80% 100%

1 изпит

2 изпит

3 изпит

4 изпит

1 - 24 25 - 48 49 - 72 73 - 96 97 - 120

Фиг. 3.14 Абсолютните честоти Фиг. 3.15 Процентното съотношение

На Фиг. 3.16 са съпоставени полигоните за различните тестове по групи.

15,0%

20,0%

25,0%

27,5%

30,0%

22,5%

25,0%

15,0%

10,0%

17,5%

17,5%

22,5%

10,0%

10,0%

10,0%

10,0%

12,5%

10,0%

7,5%

22,5%

20,0%

17,5%

17,5%

5,0%

0% 20% 40% 60% 80% 100%

1 тест

2 тест

3 тест

4 тест

1 2 3 4 5 6

`


175

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

1 - 24 25 - 48 49 - 72 73 - 96 97 - 120


Фиг. 3.16 Сравнение на полигоните на различните тестове по групи

Основни статистики на тестовете

В таблица 3.12 и таблица 3.13 са дадени средните статистически величини и

отклонение за бала по тестове, съответно за негрупирани и групирани данни.

Таблица 3.12 Негрупирани данни

Изп

ит

Бр

ой

изп

итв

ани

Ср

едн

о

Ста

нда

ртн

о от

кл

онен

ие

Мод

а

Мед

иан

а

1 изпит 393 42,10 23,59 15 37

2 изпит 628 46,34 21,93 30 41

3 изпит 375 43,41 23,47 27 38

4 изпит 650 39,24 21,46 18 35

Таблица 3.13 Групирани данни

Изп

ит

Бр

ой

изп

итв

ани

Ср

едн

о

Ста

нда

ртн

о от

кл

онен

ие

Мод

а

Мед

иан

а

1 изпит 393 41,45 24,40 35,23 38,99

2 изпит 628 46,25 22,65 39,04 43,20

3 изпит 375 43,48 24,64 36,76 40,57

4 изпит 650 38,42 22,47 33,39 36,56

От Фиг. 3.16 и таблица 3.13 се вижда, че стойностите на средното, медианата и

модата за четирите теста са близо и между тях съществуват неравенствата

o eM M X , което означава, че разпределенията им са дясно изтеглени асиметрични.

На Фиг. 3.17 са представени хистограма според броя кандидати, положили

изпитите и полигонът за средния получен бал от тях.

393 375 650628

38,42

43,4846,25

41,45

0

100

200

300

400

500

600

700


0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

Брой кандидати Среден бал

Фиг. 3.17 Брой кандидати и среден бал по тестове


176

2.2. Сравнителен анализ на качествата на задачите от тестовете

Трудност

В таблица 3.14 и таблица 3.15 са пресметнати средните коефициентите на

трудност по теми.

Таблица 3.14 Коефициентите на трудност на задачите спрямо всички изпитвани


Коефициент на трудност на задачите спрямо всички

изпитвани 1 тест 2 тест 3 тест 4 тест

1 48,2% 47,6% 35,9% 38,8% 2 45,7% 48,5% 48,7% 48,5% 3 41,7% 48,9% 38,2% 36,8% 4 4,2% 9,2% 10,0% 6,4% 5 24,9% 19,3% 21,6% 8,4% 6 26,3% 24,2% 31,4% 22,4%

Общо: 36,2% 38,8% 35,7% 33,0%

Таблица 3.15 Коефициентите на трудност на задачите спрямо отговорилите


Коефициент на трудност на задачите спрямо

отговорилите 1 тест 2 тест 3 тест 4 тест

1 57,2% 60,8% 44,3% 49,0% 2 49,4% 55,8% 51,6% 54,1% 3 63,6% 63,0% 45,9% 47,0% 4 4,2% 9,2% 10,0% 6,4% 5 33,8% 27,8% 42,0% 11,9% 6 30,0% 27,3% 41,5% 27,0%

Общо: 42,8% 47,0% 43,1% 40,2%

Можем да отбележим, че задачите от четвърта тема „Стереометрия” са много

трудни за кандидатите във всички години (тестове). Причината за това е, че в

задължителните програми по математика в средния курс се изучава по-малко

стереометрия. За повишаване разграничителната способност на теста, задачите от тема

„Стереометрия” трябва да са с по-малка трудност. Пета тема „Тригонометрия” и шеста

тема „Комбинаторика. Класическа вероятност. Граница на функция. Производна на

функция” също се оказват трудни. Това може да се обясни, че част от задачите от тези

теми са извадени от задължителните програми в средния курс и се изучават само в

профилираните паралелки. От тези наблюдения могат да се изведат следните изводи:

Първо, в теста трябва да се сведат до минимум задачите, които не се изучават в

задължителните програми. Второ, програмите по висша математика трябва да се

съобразят с тази липса и да я запълнят, а не да се предполага, че този материал е

изучаван в средния курс.

Успеваемост

В таблица 3.16 е даден средният бал, получен от кандидатите за една задача от

тема, при различните тестове.

В таблица 3.17 е даден средният бал (средният брой получени точки от

кандидатите) по темите, получени за различните тестове.


177

Таблица 3.16 Среден бал за задача


Среден бал за една задача


1 1,70 1,73 1,39 1,51 2 1,65 1,89 1,79 1,65 3 1,60 1,85 1,67 1,55 4 0,25 0,55 0,60 0,38 5 1,06 0,97 1,13 0,57 6 1,27 1,19 1,33 0,92

Общо: 1,40 1,54 1,45 1,31

Таблица 3.17 Среден бал за тема


Среден бал за темата


1 8,49 12,08 11,09 13,60 2 14,89 13,23 12,53 8,24 3 6,38 11,08 8,33 10,88 4 0,50 1,10 1,20 0,77 5 4,22 2,90 2,27 1,14 6 7,61 5,95 8,00 4,62

Общо: 42,10 46,34 43,41 39,24

В таблица 3.18 е даден процентът на средния получен бал спрямо максимално

възможния бал по темите получен за различните тестове.

Таблица 3.18 Процент на средния бал за темата спрямо максималният


Процент на средния бал за темата спрямо максималният


1 47,17% 50,33% 36,95% 41,20% 2 41,37% 49,00% 41,77% 45,76% 3 53,18% 52,74% 39,64% 40,30% 4 4,20% 9,16% 10,00% 6,38% 5 28,14% 24,20% 37,78% 12,68% 6 28,20% 24,81% 38,08% 22,01%

Общо: 35,09% 38,62% 36,17% 32,70%

Корелация на даден тест с всички останали тестове

Корелация по задачи

В таблица 3.19 е дадена общата матрица на корелация между тестовете, като

корелацията е смятана спрямо всички задачи от тях.

Корелация по теми

В таблица 3.20 е дадена общата матрица на корелация между тестовете, като

корелацията е смятана по определените 6 теми.

Таблица 3.19 Корелация по задачи

1 2 3 4 1 1,000 0,416 0,417 0,533 2 0,416 1,000 0,287 0,481 3 0,417 0,287 1,000 -0,053 4 0,533 0,481 -0,053 1,000

Таблица 3.20 Корелация по теми

1 2 3 4 1 1,000 0,950 0,937 0,913 2 0,950 1,000 0,947 0,990 3 0,937 0,947 1,000 0,908 4 0,913 0,990 0,908 1,000


178

Получената ниска корелация в таблица 3.19 се обяснява с разместване на местата

на задачите от различните теми в тестовете. От таблица 3.20 се вижда висока корелация

между тестовете по задачите групирани в теми.

2.3. Дисперсионен анализ

Целта е да се установи дали различните тестове водят до различни резултати.

Нулевата хипотеза гласи, че всички средни са равни, т.е. средният резултат на

кандидати при различните тестове би бил еднакъв.

Алтернативната хипотеза е, че резултатът от различните тестове би бил различен.

Определяме равнище на значимост 01,0 .


анализ.

Таблица 3.21 Таблично представяне на резултатите от дисперсионния анализ


Сума от квадратите на отклоненията

Степени на

свобода




Междугрупова 4,34 3 1,45 0,59eF (0,01,3,20)

4,94T

F

F


0Приемаме .e TF F H Обща 493,72 23

Имаме e TF F , т.е. с риск за грешка 1% може да се твърди, че разглежданите

тестове водят до еднакви резултати.

2.4. Изводи

Извод на изследването:

Проведените корелационен и дисперсионен анализ показват, че различните

тестове измерват едно и също количество знание от кандидатите, като отделят еднакви

групи от кандидати за прием във ВТУ „Тодор Каблешков”. Тестовете са подходящо

съставени и осъществяват първоначалните си цели.

Всички тестове имат дясно изтеглено асиметрично разпределение, което

ограничава получаването на много на брой високи оценки.

Забележка: Тези изводи са направени при предположение, че кандидатите се

явяват по едно и също време на изпит, без да отчитаме различната степен на

подготвеност на кандидатите по години, което е свързано и с евентуално различни

учебни програми.


179

3. СТАТИСТИЧЕСКИ АНАЛИЗ НА ТЕСТ ПО МАТЕМАТИКА ЗА УЧЕНИЦИ

И ОЦЕНКА ЗА ВЛИЯНИЕТО НА РАЗЛИЧНИ ФАКТОРИ

В съвремената педагогическа практика все по-често се използват тестове както в

учебния процес, така и за измерване на знания и умения. Съществува достатъчно много

литература и публикации за принципите за конструиране на качествени тестове, за

разработка на различните видове и формати на тестови задачи, които са безусловно

най-важните задачи стоящи пред съставителите на тестовете. Част от публикациите по

темата са: [15], [60], [61], [73], [75], [77], [80]. Същевремено втората най-важна част при

използването на тестове е математически грамотна интерпретация на резултатите на

тестирането, използваща тестовия бал на участниците, което се являва реално

измерение за тяхното равнище на подготвеност на определена скала.

За измерване и оценяване на знания и умения на даден ученик съществуват два

основни подхода – нормативен и критериален. Нормативният подход ни позволява да

сравним постиженията на даден ученик с останалите ученици, на основата на тестовия

бал. Той се използва предимно за селективни цели и цели, свързани с позиционирането.

Например, при конкурсни изпити за прием в учебно заведение, за разпределение на

учениците в различни групи в зависимост от степента на знанията и др. Критериалният

подход ни позволява да оценим в каква степен ученикът е усвоил учебното

съдържание, определено в съответните документи.


Цел на изследването е да се приложат различните тестови теории и логистични

модели върху тест със структурата на националния изпит-тест за прием след завършен

7 клас в държавните и в общинските училища и да се направи съпоставителен анализ

между тях. За целта на изследването е използван нормативният подход, както при

изготвянето на теста, така и при интерпретацията на получените резултати.


1. Да се създаде подходящ инструментариум (тест);

2. Да се направи анализ на теста и интерпретация на получените резултати,

основани на класическата теория на тестовете;

3. Да се направи анализ на теста и интерпретация на получените резултати, чрез

използване на еднопараметричния модел на Раш;


180

4. Чрез използване на квадратичен метод да се определи оптималната дължина

на теста и на оптимално време за изпълнението му;

5. Да се направи анализ на теста и интерпретация на получените резултати, чрез

използване на двупараметричния модел на Бирнбаум;

6. Да се направи сравнителен анализ между еднопараметричния модел на Раш и

двупараметричния модел на Бирнбаум;

7. Да се оценят съответно параметрите на трудност на задачите в

еднопараметричния модел на Раш и параметрите на трудност и

дискриминация на задачите в двупараметричния модел на Бирнбаум, чрез

приложение на логит–моделите, които са разгледани в параграф 8 на Първа

глава;

8. Да се направи сравнителен анализ на едноименните модели, получени по

двете методики за определяне на параметрите им;

9. Да се направи съпоставителен анализ на едноименните параметри на

задачите, получени при Класическата теория на тестовете, Теорията на

вероятностното моделиране и Теорията на логит моделите.

Инструментариум на изследването:

1. Тест по математика, съобразен с Държавните образователни изисквания за

учебното съдържание и изпитната програма по математика за 7 клас. Тестът

съдържа 40 задачи с избираем отговор и 10 задачи със свободен отговор.

Задачите са независими една от друга, т.е. информацията в една задача не

подпомага отговора на друга задача. Към всяка задача с избираем отговор са

дадени 4 възможности за отговор, от които точно една е правилен отговор.

Продължителността на теста е 180 минути.

2. Анкетна карта, съдържаща 10 основни въпроса с различни възможности за

отговор. Засегнати са въпроси за допълнителните занимания с математика, за

отношението на родителите и учениците към математиката, за честотата на

даваните домашни, контролни и изпитвания по математика и други. Времето

за попълване на анкетната карта е приблизително 15 минути.

Методиката на изготвяне на инструментариума е съобразена с утвърдената

практика в образованието.


181

Място на изследването:

Изследването е проведено успоредно в ПЧМГ, СМГ„Паисий Хилендарски“, 38

ОУ „Васил Априлов“ и 45 ОУ „Константин Величков“.

Обект на изследването:

В изследването участват общо 302 ученици от седми клас от различни училища

в град София. 249 от тях изучават математика само в часовете по задължителна

подготовка (ЗП) – 4 часа седмично. 53 ученици (от математически паралелки) изучават

математика и под формата на: задължително избираема подготовка (ЗИП) – 2 часа

седмично; свободно избираема подготовка (СИП) – 3 часа седмично.

Период на изследването:

Изследването е проведено две седмици преди националния изпит-тест за прием

след завършен 7 клас в държавните и в общинските училища.

Хипотези за резултата от изследването:

Всяка от тестовите теории може да се прилага самостоятелно, но за по-добър

анализ и съдържателни резултати е по-добре да се използват успоредно няколко

теории.

Методи на теоретичното изследване:

Класическата Теория на Тестовете (КТТ); Еднопараметричен „модел на Раш“;

Квадратичният вероятностен модел; Двупараметричен „модел на Бирнбаум“; Логит-

модели; Сравнителен анализ; Корелационен анализ; Дисперсионен анализ.

В този параграф е извършен статистически анализ на теста, основан на

класическата теория на тестовете. Основните емпирични статистики на теста са

представени графично чрез кръгови и стъпаловидни диаграми, графики и полигони.

Направен е анализ и са пресметнати различни измерителни показатели за качеството на

отделните задачи. Пресметнати са коефициентите на трудност на задачите,

дискриминация на задачите, различни видове корелации между задачите. Пресметнати

са различни коефициенти за оценка на надеждността на теста: корелация между

задачите, разделяне на теста на две, Алфа на Кронабах.

Направен е сравнителен анализ по отделни групи – пол, тип училище. Оценено е

влиянието на различните фактори, като брой изучавани часове, брой допълнителни

часове и самостоятелно занимание.


182

Направен е корелационен анализ за зависимост на получените резултати и оценки

по математика на учениците в предишни периоди за различните училища. Направено е

заключение за обективността на тези оценки. В изследването е анализирана

необходимостта от независимо външно оценяване.

В резултат от статистическия анализ и получените резултати от влиянието на

отделните фактори е направен извод за необходимия брой часове за занимания по

математика, като цяло и поотделно по теми. Част от резултатите на този параграф са

публикувани в [5].

3.1. Основни статистически характеристики

Основни статистики на теста

В таблица 3.22 са дадени средните статистически величини и отклонение

съответно за броя вярно решени задачи и получения бал.

Таблица 3.22 Основни статистики на теста

Общо Момичета Момчета Брой

решени задачи

Брой получени

точки

Брой решени задачи


точки

Брой решени задачи


точки Средно 26,6 49,1 25,9 47,8 27,2 50,3Стандартно отклонение

10,3 20,9 10,2 20,6 10,2 21,0

Мода 23 38 23 30 23 38Медиана 25,5 45 24 43 26 46Минимум 7 14 8 16 7 14Максимум 48 95 48 95 48 94І квартил 19 33 18 31,25 20 34,75ІІІ квартил 34 65 33 62,75 35,25 68,25

От таблица 3.22 се вижда, че стойностите на средното, медианата и модата и за

двата показателя са близо и между тях съществуват неравенствата Мо < Me < X , което

означава, че разпределенията им са дясно изтеглени асиметрични.

Анализ на качествата на задачите от теста

Трудност


разпределение и кръгова диаграма на процентното разпределение на задачите по

трудност.


183

Разпределението на задачите по трудност е симетрично, като 56% от задачите в

теста са с оптимална трудност.

2

710

3

28

0

4

8

12

16

20

24

28

32

Многолесна

Лесна Оптимална Трудна Многотрудна

6% 4% 14%

56%

20%

Много лесна Лесна Оптимална

Трудна Много трудна

Фиг. 3.18 Брой задачи по трудност Фиг. 3.19 Структура на задачите по трудност

Дискриминативна сила

Дискриминацията на задачата е степента, в която тя разграничава кандидатите с

високи постижения от тези с ниски постижения. От задачите в теста 76% са с много

добра дискриминация и са отличен разграничител на двете групи.


разпределение и кръгова диаграма на процентното разпределение на задачите по

дискриминативна сила.

8

31 0

38

048

1216202428323640

Многодобра

Добра Средна Ниска Многониска

2% 6%

16%76%

0%

Много добра Добра Средна

Ниска Много ниска

Фиг. 3.20 Брой задачи по дискриминация Фиг. 3. 21 Структура на задачите по дискриминация


Корелацията дава друг начин за оценяване на дискриминацията на тестовите

задачи. Коефициентът на корелация е по-информативна характеристика от

коефициента на дискриминация.


184

На Фиг. 3.22 и Фиг. 3.23 са представени хистограма на честотното разпределение

и кръгова диаграма на процентното разпределение на задачите по корелационната им

зависимост с общия бал.

7

32

11

0 00

4

8

12

16

20

24

28

32

36

Слаба Умерена Значителна Голяма Многоголяма

14%

64%

22%

0%0%

Слаба Умерена Значителна

Голяма Много голяма

Фиг. 3.22 Брой задачи по Фиг. 3. 23 Структура на задачите по корелационната им зависимост с общия бал корелационната им зависимост с общия бал

От задачите в теста 64% са с умерен коефициент на корелация, а 22% от задачите

са със значителна степен на корелация. Липсата на задачи с голяма и много голяма

корелация показва сравнителната независимост на задачите.

Корелация на дадена задача с всички останали задачи от теста

Стойностите на пресметнатите коефициентите на корелация между всеки две

задачи в изследвания тест са положителни, т.е. няма несъвместими задачи в теста.

Ефективност на дистракторите

Няма дистрактори, събрали под 5% от отговорите. Това показва, че в изследвания

тест алтернативите са подбрани добре.

Надеждност на теста

Надеждността на теста е мярка за точността на получените балове. Високата

надеждност води до ограничаване грешката при измерване на действителния бал.

Корелация между задачите

Средната корелация на всички задачи в теста е:

(3.1) 1

0,1761225 ij

i j

R

, където ijR е корелацията между i и j задача.


185

Надеждността оценена по формулата на Спирмън – Браун е:

(3.2) 5050

50.0,914

1 (50 1).r

.

Разделяне на теста на две

Коефициентът на корелация на Пирсън между двете половини на теста (четни и

нечетни номера) е 0,826XYR .

Надеждността оценена въз основа на половините на теста е:

(3.3) 22

2.0,905

1XY

XY

Rr

R

.

Алфа на Кронбах.

Коефициентът не определя надеждността на теста, а е само една долна граница

за нея. Приема стойности от 0 до 1. Колкото задачите са по надеждни и мерят един и

същ действителен бал, толкова е по-близо до 1. В нашия случай 0,899 .

Изводи

Изпитният тест е с добри измерителни качества и висока степен на надеждност,

задачите са добре корелирани помежду си и са с оптимална трудност и много добра

дискриминация.

3.2. Анализ на получените резултати и изводи

Зависимост на получените резултати и оценките от предишни периоди

В таблица 3.23 е дадена общата матрица на корелация за зависимостта на

получените резултати от теста и оценките по математика на учениците в предишни

периоди.

Таблица 3.23 Корелация по класове

5 клас 6 клас 7 клас Тест

5 клас 1,000 0,657 0,435 0,034

6 клас 0,657 1,000 0,664 0,250

7 клас 0,435 0,664 1,000 0,474

Тест 0,034 0,250 0,474 1,000

На Фиг. 3.24 и Фиг. 3.25 са представени сравнителна хистограма на оценките по

години и сравнителен полигон на оценките от теста и годишната оценка от 7 клас.


186

020406080

100120140160180200

Слаб 2 Среден 3 Добър 4 Многодобър 5

Отличен6

5 клас 6 клас 7 клас

0

20

40

60

80

100

120

140

160


Отличен67 клас Тест

Фиг. 3.24 Сравнение на хистограмите Фиг. 3.25 Сравнение на полигоните

Зависимост на получените резултати от вида паралелка

Сравнението на получените резултати на учениците по видове паралелки е дадено

в таблица 3.24.

Таблица 3.24 Резултати на учениците по видове паралелки

Брой

ученици

Среден брой решени задачи

Среден бал

Максимален бал

Минимален бал

Математически паралелки

53 40 76 95 38

Обикновени паралелки

249 24 43 89 14

Общо 302 27 49 95 14

Зависимост на получените резултати от пола

На Фиг. 3.26 е показана сравнителна хистограма на оценките от теста по пол.

На Фиг. 3.27 е показана структурата на оценките от теста по пол.

0

10

20

30

40

50

60


Отличен6

момичета момчета

0% 50% 100%

мом

ичет

ам

омче

та

Слаб 2 Среден 3 Добър 4

Много добър 5 Отличен 6

Фиг.26 Оценките от теста по пол Фиг.27 Процентното съотношение


187

Изводи

Полигонът на резултатите от теста е изтеглен вдясно, за разлика от полигона от

оценките в 7-ми клас, който е изтеглен в ляво. Това показва, че учениците са надценени

в училище и има необходимост от външно оценяване. В анкетата над 92% от учениците

посочват, че са правилно оценени или подценени, т.е. те нямат реална представа за

знанията си.

В обикновените паралелки учениците изучават математика само в часовете по

задължителна подготовка (ЗП) – 4 часа седмично. В математически паралелки

учениците изучават математика 9 часа седмично под различни форми (ЗП – 4 часа, ЗИП

– 2 часа, СИП – 3 часа).

Сравнителната таблица за резултатите на учениците от математическите

паралелки и тези на учениците от обикновените паралелки показват по-добър резултат

на първите, т.е. налице е положителен ефект на профилираната подготовка по

математика върху знанията и уменията на учениците. Това се дължи на подбора на

учениците в тях, на средата, начина на преподаване и броя часове по математика.

Можем да твърдим, че за успешното представяне на изпита са необходими повече

часове по математика под различна форма.

Сравнението на резултатите по пол и направеният t-тест не дават съществени

различия между половете.


188

4. ИЗПОЛЗВАНЕ НА ЕДНОПАРАМЕТРИЧНИЯ МОДЕЛ НА РАШ ЗА

АНАЛИЗ НА ТЕСТ ПО МАТЕМАТИКА ЗА УЧЕНИЦИ

4.1. Процедура за изчисление на способността Xi и трудността Tj от

емпирични данни

В този параграф ще разгледаме процедура за изчисление на способността Xi на

изпитваните и трудността Tj на задачата от емпиричните данни, получени от теста на

ученици.

За изходни данни ще използваме бинарната матрица ( )ij N Ma (N – брой изпитвани;

М – брой задачи в теста) на резултатите от теста за ученици разгледан в параграф 3.

Всички редове и всички стълбове на тази матрица се състоят от 0 и 1. Това е хубаво,

защото:

Ако един ред се състои само от 0, това означава, че ученикът не е отговорил вярно

на нито една задача, т.е. тестът е твърде сложен за него;

Ако един ред се състои само от 1, това означава, че ученикът е отговорил вярно на

всички задачи, т.е. тестът е твърде лесен за него;

Ако един стълб се състои само от 0, това означава, че на тази задача нито един

ученик не е отговорил вярно, т.е. задачата е твърде сложна за учениците и тя трябва да

се изключи от теста;

Ако един стълб се състои само от 1, това означава, че на тази задача всички

ученици са отговорил вярно, т.е. задачата е твърде лесна за учениците и не може да

оцени техните способности. Такава задача също трябва да се изключи от теста.

Ще опишем процедура за изчисленията на Xi и Tj по стъпки, като следваме [19],

[20], [23] и [35]:

1. Изчисляваме дяла на верните и дяла на грешните отговори за всеки изпитван

спрямо всички задачи от теста.

Изчисленията извършваме по-формулите:

(4.1) 1 , 1, 2, ,

M

ijj

i

a

p i NM

– дял на верните отговори за i–я изпитван;

(4.2) 1 , 1,2, ,i iq p i N – дял на грешните отговори за i–я изпитван.


189

Дялът на верните отговори в разглежданата съвкупност варира от 0,16 (за ученик

решил правилно 8 задачи от тест с 50 задачи) до 0,9 (за ученик решил правилно 45

задачи от тест с 50 задачи).

2. Изчисляваме началната оценка на способността на изпитвания по формулата:

(4.3) 0 ln , 1,2, ,ii

i

pX i N

q .

В изследваната съвкупност най-ниската начална оценка на способността е – 1,82, а

най-високата начална оценка на способността е 3,18.

3. Изчисляваме дяла на на верните и дяла на грешните отговори за всяка задача.

Изчисленията извършваме по-формулите:

(4.4) 1 , 1, 2, ,

N

iji

j

ap j M

N

– дял на верните отговори за j–тата задача;

(4.5) 1 , 1,2, ,j jq p j M – дял на грешните отговори за j–тата задача.

Дялът на верните отговори в разглежданата съвкупност варира от 0,16 (за задача,

която е решена правилно от 49 ученици от общо 302 ) до 0,94 (за задача, която е решена

правилно от 284 ученици от общо 302).

4. Изчисляваме началната оценка на трудността на задачата по формулата:

(4.6) 0 ln , 1, 2, ,jj

j

qT j M

p .

В изследваната съвкупност най-ниската начална оценка на трудността е 0,06, а

най-високата начална оценка на трудността е 5,16.

5. Изчисляваме средните стойности на началните оценки на способността на

изпитваните и трудността на задачите:

(4.7)

0

1

N

ii

XX

N

– средна стойност на способностите на изпитваните;


190

(4.8)

0

1

M

jj

T

TM

– средна стойност на трудността на задачите.

Средните стойности на началните оценки на способността на изпитваните и на

трудността на задачите в разглежданата съвкупност са съответно 0,186X и

0,172Т .

6. Изчисляваме оценките на дисперсиите на способността на изпитваните и

трудността на задачите:

(4.9) 20

2 1

1

N

ii

X

X X

N

– оценка на дисперсия на способностите на


(4.10) 20

12

1

M

jj

T

T T

M

– оценка на дисперсия на трудността на задачите.

Дисперсиите на началните оценки на способността на изпитваните и на

трудността на задачите в разглежданата съвкупност са съответно 2 0,997X и

2 0,720T .

Оценките получени до тази стъпка са изразени в интервална скала, но с различни

средни значения и различни дисперсии. В следващите две стъпки ще приведем

началните оценки на способността на изпитваните и на трудността на задачите в

единна интервална скала.

7. Изчисляваме коригиращиге множители по формулата [51]:

(4.11)

2

2

2 2

4

11,702

11,702

T

XX T

– коригиращ множител за способностите на



191

(4.12)

2

2

2 2

4

11,702

11,702

X

TX T

– коригиращ множител за трудността на задачите.

Конкретните стойности на коригиращите множители са съответно: 1,169X и

1, 212T .

8. Пресмятаме оценките на способностите Xi на изпитваните и оценките на

трудността Tj по формулите

(4.13) 0. , 1, 2, ,i X iX X T i N – способности на изпитваните;

(4.14) 0. , 1, 2, ,j T jT T X j M – трудност на задачите.

Оценките получени по формули (4.13) и (4.14) са обективни оценки на

параметрите, независими са една от друга и са представени на една скала. Конкретните

формули в нашия случай са:

01,169. 0,172, 1,2, ,302i iX X i ;

01, 212. 0,186, 1, 2, ,50j jT T j .

9. Пресмятането на стандартните грешки (SE) на получените оценки:

(4.15) ( ) , 1, 2, ,(1 )X X

i

i i i i

SE X i NMp p Mp q

;

(4.16) ( ) , 1, 2, ,(1 )

T Tj

j j j j

SE T j MNp p Np q

.

10. Пресмятаме характеристичните функции:

(4.17) 1,702.( )

1( ) , 1, 2, ,

1 i jj i X TP X j Me

– характеристични функция на j –

тата задача;

(4.17) 1,702.( )

1( ) , 1, 2, ,

1 i ji j X TP Т i Ne

– характеристични функция на i –я

изпитван.


192

11. Построяваме характеристичните криви на задачите и характеристичните криви

на изпитваните.

12. Пресмятаме действителния бал на изпитваните:

(4.18) 1

( ) ( )M

i j ij

TS X P X

, 1, 2, ,i N

където:

( )j iP X –вероятността за правилен отговор на j–тата задача при равнище на

способност iX .

Тъй като за всяка стойност на j, вероятността ( )j iP X се изменя между 0 и 1, то

действителният бал ( )iTS X се изменя между 0 и М, т.е. 0 ( )iTS X M .

13. Построяваме характеристичната крива на теста.

Характеристичната крива на теста отразява функционалната връзка между

скалата на способностите iX и действителния бал на изпитваните.

14. Пресмятаме информационната функция на задачата.

Информационната функция на j–тата задача е обратно пропорционална на

стандартната грешка при измерване на способността iX с помощта на j–тата задача. Тя

се задава с формулата:

(4.19) 2

( )( ) , 1, 2, ,

( ). ( )j i

j ij i j i

P XI X j M

P X Q X

,

където:

( )j iI X – стойността на информационната функция на j–тата задача при равнище

на способност iX .

( )j iP X – вероятността за правилен отговор на j–тата задача при равнище на


( ) 1 ( )j i j iQ X P X – вероятността за неправилен отговор на j–тата задача при

равнище на способност iX .


193

За производната ( )j iP X при еднопараметрични модел на Раш имаме:

(4.20) ( ) 1,702. ( ). ( )j i j i j iP X P X Q X .

Тогава за информационната функция при еднопараметрични модел на Раш


(4.21) 2( ) 1,702 . ( ). ( ), 1, 2, ,j i j i j iI X P X Q X j M .

15. Построяваме информационните криви на задачите.

Максималното значение на информационната функция (4.21) е равно на

2 1 11,702 0,724

2 2 .

16. Пресмятаме информационната фуннкция на теста.

Информационната функция на теста е сума от информационните функции на

задачите от които е съставен, т.е.

(4.22) 1

( ) ( )M

i j ij

I X I X

,

където:

( )j iI X – стойността на информационната функция на j–тата задача при равнище

на способност iX .

17. Построяваме информационната крива на теста.

4.2. Анализ на теста

Използвайки процедурата описана в подпараграф 4.1 са оценени способността Xi

на учениците и трудността Tj на задачите от теста за ученици описан в параграф 3.

Основни статистики на теста

В таблица 3.25 са дадени средните статистически величини и

средноквадратичното отклонение, съответно на оценките на способността на

учениците, стандартната грешка, първичния и действителния бал.


194

Таблица 3.25 Основни статистики на способността на изпитваните

Оценка на способностите

на изпитваните

Стандартна грешка на

оценката на способността

Първичен бал

Действителен бал

Средна стойност 0,05 0,38 26,57 24,58

Средноквадратично отклонение 1,17 0,08 10,27 13,10Максимална стойност

3,54 0,84 48 49,65

Минимална стойност

-2,29 0,33 7 3,50

На Фиг. 3.28 е представена хистограма на честотното разпределение на учениците

по способност.

0

24

6

810

1214

16

1820

22

-2,2

9-2

,11

-1,9

4-1

,79

-1,6

5-1

,52

-1,3

9-1

,28

-1,1

6-1

,05

-0,9

5-0

,84

-0,7

4-0

,65

-0,5

5-0

,45

-0,3

6-0

,27

-0,1

7-0

,08

0,02

0,11

0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

0,71

0,82

0,93

1,05

1,17

1,31

1,45

1,60

1,77

1,95

2,16

2,40

2,68

3,04

3,54


Бр

ой

уч

ен

иц

и

Фиг. 3.28 Разпределение на учениците по способност

В изследването са участвали ученици с равнище на способност от – 2,29 до 3,54

логита. Средната способност на ученици е 0,05. Модата (стойността с най-голяма

честота) на способността e – 0,36. Медиана (средната по положение) на разпределението

е равна на – 0,17.

На Фиг. 3.29 е характеристичната крива на теста. Тя отразява връзка между

скалата на способностите на учениците и техния действителен бал. Например ученик

със способност 0, има действителен бал 24,11, а ученик със способност 2, има

действителен бал 46,40.


195

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

-5,0 -4,0 -3,0 -2,0 -1,0 0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0


Де

йс

тви

тел

ен

ба

л

Фиг. 3.29 Характеристична крива на теста


средноквадратичното отклонение съответно на процента решени задачи, оценките на

трудността на задачите в теста, стандартната грешка.

Задачите в теста са с равнище на трудност от – 3,16 до 2,18 логита. Средната

трудност на задачите е – 0,02.

Таблица 3.26 Основни статистики на трудността на задачите

Процент решени задачи

Оценка на трудността на

задачите

Стандартна грешка на

оценката на трудността

Средна стойност 53,15% -0,02 0,15

Средноквадратично отклонение 17,44% 1,03 0,03 Максимална стойност

94,04% 2,18 0,29


16,23% -3,16 0,14

На Фиг. 3.30 е представено разпределение на задачите на теста по трудност.


196

-3,5 -3 -2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5

Трудност

Фиг. 3.30 Разпределение на задачите по трудност

На таблица 3.27 са представени пет примерни нива на трудност на тестовите

задачи и съответното разпределение на тестовите задачи по тях.

Таблица 3.27 Тълкуване на параметъра трудност

Тълкуване на трудността на

задачата Трудност


Много лесна 2,5jT 2

Лесна 2,5 1jT 6

Оптимална 1 1jT 37

Трудна 1 2,5jT 5

Много трудна 2,5 jT 0

Най-голяма ефективност имат задачите с оптимална трудност.

На Фиг. 3.31 са представени характеристичните криви на задачите в теста.


197

0,00

0,10

0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

0,80

0,90

1,00

-5,0 -4,0 -3,0 -2,0 -1,0 0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0


Вер

оя

тно

ст

Фиг. 3.31 Характеристични криви на задачите в теста

Графиките на характеристичните криви на задачите показват, че са съсредоточени

и имат средна трудност близка до нула (– 0,02). В идеалният случай характеристичните

криви трябва да са разположени равномерно в интервала (– 5; + 5). От Фиг. 3.31 се

вижда, че характеристичните криви на задачите в теста са разположени достатъчно

равномерно.

На Фиг. 3.32 са представени информационните криви на задачите в теста

0,00

0,10

0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

0,80

-5,0 -4,0 -3,0 -2,0 -1,0 0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0


Фиг. 3.32 Информационни криви на задачите в теста


198

Графиката на информационната функция на задачата при оценяване на

способността на ученика дава повече информация (е по-ефективна), когато се оценяват

способности близки до трудността на задачата.

На Фиг. 3.33 е представена информационната крива на теста.

0

3

6

9

12

15

18

21

24

27

-5,0 -4,0 -3,0 -2,0 -1,0 0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0


Фиг. 3.33 Информационна крива на теста

Информационната крива на теста показва, че тестът се състои от задачи, които са

достатъчно добре балансирани по трудност (средната стойност на оценката на трудност

на задачите има логит минус 0,02). Графиката на информационната функция на теста

показва, че тестът е подходящ за провеждане на педагогически измервания на

резултатите на ученици със способности, изменящи се от минус 2 логит до плюс 2

логит.

4.3. Сравняване на способносттите по групи

Сравнение по пол

В изследването са участвали 146 момичета и 156 момчета.

В таблица 3.28 и таблица 3.29 са сравнени съответно способностите на учениците

и действителните балове получени на теста по пол.


199

Таблица 3.28 Сравнение на способно-стите на учениците по пол


Момичета Момчета Общо Средна стойност -0,02 0,11 0,05

Средно-квадратично отклонение

1,16 1,17 1,17

Максимална стойност 3,54 3,54 3,54

Минимална стойност -2,11 -2,29 -2,29

Таблица 3.29 Сравнение на действи-телните балове на учениците по пол


Момичета Момчета Общо Средна стойност 23,70 25,40 24,58


13,04 13,16 13,10


Минимална стойност 4,22 3,50 3,50

На Фиг. 3.34 е представено сравнение на характеристичните криви на учениците

със средни способности по пол.

0,0

0,5

1,0

-5,0 -4,0 -3,0 -2,0 -1,0 0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0

Трудност

Вер

оятн

ост

Момичета Момчета Средно

Фиг. 3.34 Сравнение на характеристичните криви на учениците по пол

Сравнението на способностите на учениците и действителните балове получени

на теста по пол не дават съществени различия между половете.

Сравнение по вид на паралелка на обучение

В изследването са участвали 249 ученици от обикновени паралелки и 53 ученици

математически паралелки.


200

В таблица 3.30 и таблица 3.31 са сравнени съответно способностите на учениците

и действителните балове получени на теста по вид паралелка.

Таблица 3.30 Сравнение на способно-стите на учениците по вид паралелка


Обикно-

вена паралелка

Матема-тическа

паралелка Общо

Средна стойност -0,28 1,59 0,05


0,93 0,91 1,17


Минимална стойност -2,29 -0,55 -2,29

Таблица 3.31 Сравнение на действи-телните балове на учениците по вид паралелка


Обикно-

вена паралелка

Матема-тическа

паралелка Общо

Средна стойност 20,95 41,65 24,58


11,02 7,40 13,10


Минимална стойност 3,50 16,50 3,50

На Фиг. 3.35 е представено сравнение на характеристичните криви на учениците

със средни способности по вид на паралелката на обучение.

0,0

0,5

1,0

-5,0 -4,0 -3,0 -2,0 -1,0 0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0

Трудност

Вер

оятн

ост

Обикновена паралелка Математическа паралелка Средно

Фиг. 3.35 Сравнение на характеристичните криви на учениците по вид паралелка

Сравнението на способностите на учениците и действителните балове получени

на теста на учениците от математическите паралелки и тези на учениците от

обикновените паралелки показват значително по-високи стойности на първите.


201

4.4. Предимства на еднопараметричния модел на Раш

1. Дава възможност да се разграничат учениците по равнище на способност, а на

задачите от теста по равнище на трудност.

2. Представяне на равнището на спосособност на учениците и равнището на

трудност на задачите на една и съща скала.

3. Дава възможност всяка задача да се съпостави с всеки ученик (изпитван).

Изчисляване на вероятността за правилен отговор на всяка задача от всеки ученик.

4. Стандартните грешки на измерването (SE) се оценяват индивидуално за всяка

задача и за всеки ученик.

5. Дава възможност да се оценят равнищата на способност на ученици,

независимо от избора на тестовите задачи, т.е. способността на ученици, не зависи от

трудността на задачите с които ги оценяваме.

6. Дава възможност да се оценят равнищата на трудност на тестовите задачи,

независимо от избора на ученици, т.е. трудността на задачите, не зависи от

способността на ученици с които ги оценяваме.

7. По лесни изчисления, в сравнение с другите вероятностни модели.

8. Многоаспектна проверка на адекватността на модела: за всяка задача поотделно

или за група от задачи, за всеки ученик поотделно или за група от ученици. С помощта

на характеристичните и информационни криви на задачите може да се усъвършенства

теста.

Ще покажем, че шансът ученик да даде правилен отговор на j–тата задача, не

зависи от трудността на задачата jT , а само от неговото равнище на способност.

Вероятностите за верен и грешен отговор на j–тата задача, на ученик със

способност iX са съответно:

1,702.( )

1,702.( ) 1,702.( )

1( )

1 1

i j

i j i j

X T

i j X T X T

eP T

e e

;

1,702.( )

1,702.( ) 1,702.( )

1( ) 1 ( ) 1

1 1

i j

i j i j

X T

i j i j X T X T

eQ T P T

e e

.

Тогава шансът за успех (верен отговор) на j–тата задача, на ученик със способност

iX е:


202

1,702.( ) 1,702.1,702.( )( )

( )i j ji

X T Ti j Xi j

i j

P TC T e e e

Q T .

Аналогично шансът за успех на j–тата задача, на ученик със способност kX е:

1,702.( ) 1,702.1,702.( )( )

( )k j jk

X T Tk j Xk j

k j

P TC T e e e

Q T .

Сравняваме шансовете на успех j–тата задача за двамата ученици, като

образуваме отношението:

1,702.1,702. 1,702.1,702.( )

1,702. 1,702.1,702.

( )

( )

ji i

i k

j kk

TX Xi j X X

T XXk j

C T e e ee

C T ee e

.

Следователно, успехът за правилно решаване на j–тата задача не зависи от

трудността на задачата, а само от способности на двамата ученици.

По аналогичен начин ще покажем, че трудността на задачата jT , не зависи от

способностите на учениците които я решават.

Шансът за успех (верен отговор) на j–тата задача, на ученик със способност iX е:

1,702.( ) 1,702.1,702.( )( )

( )i j ji

X T Tj i Xj i

j i

P XC X e e e

Q X .

Аналогично шансът за успех на n–тата задача, на същия ученик е:

1,702.( ) 1,702. 1,702.( )( )

( )i n i nX T X Tn i

n in i

P XC X e e e

Q X .

Сравняваме шансовете на успех на ученика за двете задачи, като образуваме

отношението:

1,702. 1,702.1,702.1,702.( )

1,702. 1,702. 1,702.

( )

( )

j jin j

i n n

T TXT Tj i

X T Tn i

C X e e ee

C X e e e

.

Следователно, успехът за правилно решаване двете задачи не зависи от

способността на ученика, а само от трудността на двете задачи.

4.5. Определяне на оптималната дължина на тест

Под дължина на теста разбираме броя на задачите включени в него.

Дължината на един тест трябва да бъде оптимална. Тест, който не е с оптимална

дължина понижава своите измерителни качества. Например, при тест с малка дължина

и лесни задачи, учениците с малки способности и учениците с големи способности, ще


203

имат един и същ действителен бал, т.е. тестът ще има слаба разграничителна сила. Ако

тестът е с голяма дължина, учениците с малки способности няма да се справят с по-

трудните задачи поради слаба подготвеност, а учениците с големи способности –

поради липса на достатъчно време.

Ще се опитаме да намерим оптималната дължина на теста, като изследваме

тестове с различна дължина.

Сортираме задачите по трудност и образуваме 50 теста с различна дължина, като

задачите във всеки тест са с нарастваща трудност. Първият тест ще се състои само от

една задача – най-лесната задача, вторият – от две задачи, третият – от три задачи,

последният от всичките 50 задачи.

За всеки ученик изчисляваме средната стойност за вероятността за правилен

отговор на една задача, при различна дължина на теста, по формулата:

(5.1) 1

( )

( )

k

j ij

k i

P X

P Xк

, 1, 2, ,i N , 1, 2, ,k M ,

където:

( )j iP X – вероятността за правилен отговор на j–тата задача при равнище на


1, 2, ,k M – дължина на теста.

За всеки тест с различна дължина изчисляваме средната стойност за вероятността,

за правилен отговор на една задача, по формулата:

(5.2) 1

( ), 1, 2, ,

N

k ii

k

P XP k M

N

.

За всеки тест с различна дължина изчисляваме дисперсиите и стандартните

отклонения на стойността на вероятността, за правилен отговор на една задача, по

формулите:

(5.3) 2

2 1

( ), 1, 2, ,

1

N

k i ki

k

P X Pk M

N

– дисперсии;

(5.4) 2

1

( ), 1, 2, ,

1

N

k i ki

k

P X Pk M

N

– стандартни отклонения.


204

В таблица 3.32 са представени пресметнатите средни стойности и стандартни

отклонения на стойността на вероятността за правилен отговор на една задача, при

различните дължини на теста.

Таблица 3.32 Средни стойности и стандартни отклонения на стойността на вероятността за правилен отговор на една задача, в зависимост от дължината на теста

k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

kP 0,985 0,972 0,951 0,937 0,921 0,905 0,886 0,870 0,854 0,839 0,820 0,804 0,789

k 0,025 0,043 0,068 0,084 0,100 0,115 0,130 0,142 0,153 0,163 0,173 0,182 0,190 k 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26

kP 0,773 0,759 0,745 0,733 0,722 0,712 0,702 0,692 0,683 0,674 0,666 0,657 0,650

k 0,197 0,203 0,209 0,215 0,219 0,224 0,228 0,231 0,235 0,238 0,241 0,243 0,246 k 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39

kP 0,641 0,634 0,626 0,618 0,611 0,604 0,598 0,591 0,584 0,578 0,571 0,565 0,559

k 0,248 0,250 0,252 0,254 0,256 0,257 0,259 0,260 0,261 0,262 0,263 0,264 0,265 k 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

kP 0,553 0,548 0,542 0,537 0,532 0,527 0,521 0,514 0,507 0,500 0,492

k 0,265 0,266 0,267 0,267 0,268 0,268 0,268 0,268 0,266 0,265 0,262

На Фиг. 3.36 са построени точките с координати ( ; )kk .

0,000,020,040,060,080,100,120,140,160,180,200,220,240,260,280,30

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50

Дължина на теста

Ста

нд

артн

о о

ткл

он

ени

е

Фиг. 3.36 Стандартни отклонения в зависимост от дължината на теста


205

Графиката точките ( ; )kk наподобява част от парабола, което ни дава основание

да потърсим „най-добрия” полином от втора степен.

За оптимална дължина на теста ще изберем тази дължина при която се достига

максимум на стандартното отклонение на стойността на вероятността, за правилен

отговор на една задача. В тази точка (максимума) разграничителната сила на теста ще

бъде най-голяма.

Ако с k отбележим дължината на теста, а стандартните отклонения на

стойността на вероятността, за правилен отговор на една задача при тази дължина на

теста, определяме изходното уравнение във вида:

20 1 2k k .

Заместваме параметрите с техните бъдещи оценки и уравнението добива вида:

20 1 2i i ib b k b k .



0b 0,0459

1b 0,0120

2b -0,0002

Окончателно за регресионното уравнение получаваме:

20,0459 0,0120. 0,0002.i i ik k .

Намираме точката на максимум на параболата 10

22

bk

b

и пресмятаме

стандартното отклонение 0( )X от горното уравнение:

0 37,75k , 0( ) 0, 273k .

Ще доуточним коефициентите, като претеглим изходните данни.

Претегляме изходните данни, като разделяме на теглата (1 )i i iW :

i

i

i

ZW

,

0

1i

i

cW

, 1

ii

i

kc

W и

2

2i

i

i

kc

W .

Така уравнението от което ще се оценяват регресионните коефициенти добива

вида:


206

* * *0 0 1 1 2 2i i i iZ b c b c b c .



*0b -0,3297 *1b 0,0639 *2b -0,0012


стойности на ik и получаваме:

* 20,0347 0,0131. 0,0002.i i ik k .

Намираме точката на максимум на параболата *

* 10 *

22

bk

b

и пресмятаме

стандартното отклонение * *0( )k от горното уравнение :

*0 36,78k , * *

0( ) 0, 275i k .

Ще представим получените стандартни отклонения, получени при двата етапа, без

тегла и с тегла за сравнение в таблица 3.33.

Таблица 3.33 Стандартни отклонения, получени при двата етапа

Дължина на теста

ik 10 15 20 25 30 35 40 45 50

Изходни данни

i 0,163 0,203 0,228 0,243 0,254 0,261 0,265 0,268 0,262

Без тегла i 0,15 0,19 0,222 0,247 0,263 0,271 0,272 0,264 0,249

С тегла *i 0,148 0,191 0,225 0,25 0,267 0,274 0,273 0,263 0,244

За нагледност ще приложим и графиките на получените параболи при двата етапа

на Фиг. 3.37.


207

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75

Ста

нда

ртн

о от

кл

онен

ие


претеглени стойности непретеглени стойностти

Фиг. 3.37 Графично представяне на стандартните отклонения

При първия етап (без тегло) оптималната дължина на теста е 37,75 или закръглено

до цяло число 38, тогава стандартното отклонение ще е най-голямо 0,273.

При втория етап (с тегло) оптималната дължина на теста е 36,78 или закръглено до

цяло число 37, тогава стандартното отклонение ще е най-голямо 0,275.

Дължината на един тест и времето за неговото изпълнение са тясно свързани.

Изходният тест се състои от 50 задачи и време за изпълнение 180 минути.

Средното време за решаване на една задача е 3 минути и 36 секунди.

Ако умножим оптималната дължина на теста по средното времето необходимо за

решаване на една задача ще получим: 37 x (3 минути и 36 секунди) 133 минути.

Оптималният тест ще има дължина 35 задачи и време за изпълнение 120 минути.


208

5. ИЗПОЛЗВАНЕ НА ДВУПАРАМЕТРИЧНИЯ МОДЕЛ НА БИРНБАУМ ЗА

АНАЛИЗ НА ТЕСТ ПО МАТЕМАТИКА ЗА УЧЕНИЦИ

5.1. Процедура за изчисление на дискриминация на задачата aj от емпирични

данни

В този параграф ще разгледаме процедура за изчисляване на коефициента на

дискриминация на задачата aj от получените емпиричните данни, като следваме [22] и

[26].

За изходни данни ще използваме бинарната матрица ( )ij N Ma (N – брой изпитвани;

М – брой задачи в теста) на резултатите от теста за ученици разгледан в параграф 3.


Коефициентът на корелация е мярка, която описва силата на връзката между две

променливи. Той се изменя в интервала [ 1;1] . Знакът пред коефициентът показва

посоката на връзката, а абсолютната му стойност – размера на взаимовръзката.

Ще представим най-често използваните коефициенти за пресмятане на корелация

между бала на дадена задача и общия (първичния) бал на тест.

Коефициент на Пирсън.

Коефициентът на Пирсън се използва, когато двете променливи се измерват в

интервална скала. Той се изчислява по формулата:

(5.1) 1

2 2

1 1

( )( ), 1,2, ,

( ) . ( )

N

ij j ii

j N N

ij j ii i

a a Y Yr j M

a a Y Y

,

където:

1

N

iji

j

aa

N

– средна стойност на бала на j–тата задача;

1

N

ii

YY

N

– средна стойност на първичния бал;

iY – първичен бал на i–я изпитван;


209

N – брой изпитвани.

Като разкрием скобите и прегрупираме съответните членове във формула (5.1)

получаваме по-удобна формула за изчисление:

(5.2) 1 1 1

2 2

2 2

1 1 1 1

., 1, 2, ,

.

N N N

ij i ij ii i i

jN N N N

ij ij i ii i i i

N a Y a Yr j M

N a a N Y Y

.

Точково – бисериален коефициент на корелация.

Точково–бисериаленият коефициент на корелация е специален случай на

коефициента на корелация на Пирсън. Той се използва, когато едната променлива се

измерва в интервална скала, а другата в дискретна дихотомна скала. Тъй като ija са

дихотомни променливи приемащи стойности 0 или 1, то формула (5.2) може да се

опрости.

Ще въведем следните означения:

1 jN – брой на изпитваните, отговорили на j–тата задача вярно, т.е. стойността на

1ija .

0 1j jN N N – брой на изпитваните, отговорили на j–тата задача грешно, т.е.

стойността на 0ija .

1 jY – сумата на всички първични балове iY , за които 1ija .

0 jY – сумата на всички първични балове iY , за които 0ija .

Тъй като ija са дихотомни променливи приемащи стойности 0 или 1, то:

11

N

ij i ji

a Y Y

, 11

N

ij ji

a N

, 21

1

N

ij ji

a N

, 0 11

N

i j ji

Y Y Y

.

Като заместим горните равенства във формула (5.2) получаваме:


210

1 1 0

11 1 1 0

22 22 2

1 1 1 1 21 1

. .

j j j

jj j j j

jN N

i ij j i i j j

i i

N Y YYN Y N Y Y Nr

N Y YN N N N Y Y N N N

N

1 1 1 1 0 1 1 1 0

21 01 0

( )

..

j j j j j j j j j

Y j jj j Y

N Y N Y N Y N N Y N Y

N NN NN N

0 1 0 11 0 1 0

0 1

1 0 1 0

0 1

. .

j j j jj j j j

j j

Y j j Y j j

j j

NN N N NY Y Y Y N NN N N N

NN N N NN N

1 0

1 0 1 0 1 0

2

1 0

1

j j

j j j j j jj j

YY

Yj jj j

Y Y

N N Y Y Y Yp q

Np qN N

.

Окончателно, за точково – бисериаленият коефициент на корелация, получаваме

формулата:

(5.3) 1 0j jj j j

Y

Y Yr p q

,

където:

1 jY – средната стойност на първичните балове iY , за които 1ija ;

0 jY – средната стойност на първичните балове iY , за които 0ija ;

1 1

N

ijj i

j

aN

pN N

– дял на верните отговори за j–тата задача;

1j jq p – дял на грешните отговори за j–тата задача;

Y – стандартното отклонение на всички първични балове iY .


211

Бисериален коефициент на корелация.

Бисериаленият коефициент на корелация е подобен на точково-бисериаления

коефициент. Той се използва, когато едната променлива се измерва в най-малко

интервална скала, а другата в номинална непрекъсната скала, т.е. действителното

разпределение на тази величина е непрекъснато нормално, но тя се измерва в

дихотомна скала. Формулата за изчесляване на бисериалните коефициенти на

корелация е следната:

(5.4) 1 0

( )j j j j

bis jY j

Y Y p qr

f z

,

където: 2

21

( )2

jz

jf z e

– ординатата (височината) на графиката на функцията на

плътност на стандартното нормалното разпределение в точката, в която

перпендикулярът издигнат към абсцисата, разделя лицето под функцията на две части с

лица съответно jp и 1j jq p ;

1( )j jz F p – обратната функция на функцията на стандартното нормално


На Фиг. 3.38 е показано как се определя ( )jf z геометрично в точката 0,6jp .

Фиг. 3.38 Геометрично пресмятане на ( )jf z при зададено 0,6jp .

Последователно намираме:

1 1( ) (0,6) 0, 2533j jz F p F ,

20,2533

21

( ) (0,2533) 0,38632

jf z f e

.


212

Връзка между бисериалния коефициент и точково-бисериалния коефициент на

корелация.

(5.5) ( )

j j

bis jjj

p qr r

f z .

Тъй като множителят 1( )

j j

j

p q

f z , за всяко j, то бисериалният коефициент е винаги

по-голям от точково-бисериалния коефициент на корелация. Разликата нараства с

отдалечаването на относителните дялове ( )j jp q от 0,5.

Дискриминация на задачата aj.

Формулата за оценка на параметъра дисриминация aj на задачите има вида:

(5.6)

2, 1, 2, ,

1

bis jj

bis j

ra j M

r

,

където:

bis jr – коефициент на бисериална корелация, пресметнат по формула (5.4).

Характеристични функции:

(5.7) 1,702 ( )

1( ) , 1, 2, ,

1 j i jj i a X TP X j Me

– характеристични функция на j–

тата задача;

(5.8) 1,702. ( )

1( ) , 1, 2, ,

1 j i ji j a X TP Т i Ne

– характеристични функция на i–я

изпитван.

Информационни функции:

(5.9) 2 2( ) 1,702 . . ( ). ( ), 1, 2, ,j i j j i j iI X a P X Q X j M – информационна функция

на j –тата задача;

(5.10) 1

( ) ( )M

i j ij

I X I X

– информационна функция на теста.


213

В таблица 3.34 са представени точково-бисериалните коефициенти на корелация,

бисериалните коефициент на корелация и оценките на дискриминацията за всяка от

задачите в теста, изчислени съответно по формули (5.3), (5.5) и (5.6).

Таблица 3.34 Дискриминация на задачите в теста

№ н

а за

дач

ата

Точково-бисериален коефициент

Бисериален коефициент

Оценка на дискрими-нацията на

задачите

№ н

а за

дач

ата

Точково-бисериален коефициент


Оценка на дискрими-нацията на

задачите

1 0,329 0,416 0,457 26 0,266 0,333 0,354

2 0,258 0,516 0,602 27 0,354 0,445 0,496

3 0,358 0,553 0,663 28 0,429 0,550 0,658

4 0,529 0,670 0,904 29 0,401 0,580 0,713

5 0,454 0,604 0,757 30 0,488 0,649 0,853

6 0,318 0,481 0,548 31 0,483 0,607 0,763

7 0,554 0,694 0,964 32 0,280 0,352 0,376

8 0,470 0,606 0,762 33 0,422 0,533 0,630

9 0,371 0,506 0,586 34 0,272 0,343 0,366

10 0,587 0,735 1,085 35 0,632 0,804 1,351

11 0,491 0,690 0,952 36 0,319 0,404 0,441

12 0,459 0,618 0,787 37 0,438 0,552 0,662

13 0,381 0,659 0,876 38 0,590 0,747 1,123

14 0,601 0,755 1,151 39 0,451 0,570 0,693

15 0,554 0,720 1,038 40 0,568 0,775 1,227

16 0,442 0,567 0,688 41 0,394 0,496 0,571

17 0,470 0,618 0,786 42 0,458 0,578 0,707

18 0,426 0,537 0,636 43 0,428 0,544 0,648

19 0,380 0,477 0,543 44 0,417 0,523 0,614

20 0,652 0,826 1,463 45 0,363 0,545 0,649

21 0,467 0,587 0,725 46 0,403 0,506 0,586

22 0,244 0,306 0,322 47 0,440 0,560 0,676

23 0,381 0,481 0,548 48 0,391 0,491 0,563

24 0,524 0,665 0,890 49 0,365 0,466 0,527

25 0,616 0,781 1,249 50 0,534 0,743 1,110


214

5.2. Анализ на теста


средноквадратичното отклонение съответно на точково-бисериалния коефициент на

корелация, бисериалния коефициент на корелация и оценките на дискриминацията на

задачите в теста.

Дискриминацията на задачите в теста се изменя от 0,322 до 1,463. Средната

дискриминация на задачите е 0,747.

Таблица 3.35 Основни статистики на дискриминацията на задачите

Точково-

бисериален коефициент


Оценка на дискриминацията

на задачите

Средна стойност 0,438 0,575 0,747

Средноквадратично отклонение 0,102 0,126 0,264 Максимална стойност

0,652 0,826 1,463


0,244 0,306 0,322

На таблица 3.36 са представени шест примерни нива за тълкуване на

коефициентът на дискриминация на тестовите задачи и съответното разпределение на

тестовите задачи по тях.

Таблица 3.36 Тълкуване на параметъра дикриминация

Тълкуване на дискриминацията

на задачата Дискриминация


Липсва 0ja 0

Много ниска 0 0,34ja 1

Ниска 0,34 0,64ja 18

Средна 0,64 1,34ja 29

Добра 1,34 1,69ja 2

Много добра 1,69 ja 0

На Фиг. 3.39 са представени характеристичните криви на задачите в теста за

двупараметричния модел. По-стръмните криви съответстват на задачите с по-голяма

дискриминация.


215

0,00

0,10

0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

0,80

0,90

1,00

-6,0 -5,0 -4,0 -3,0 -2,0 -1,0 0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0


Вер

оя

тно

ст

Фиг. 3.39 Характеристични криви на задачите в теста

На Фиг. 3.40 са представени информационните криви на задачите в теста за

двупараметричния модел.

0,00

0,20

0,40

0,60

0,80

1,00

1,20

1,40

1,60

-6,0 -5,0 -4,0 -3,0 -2,0 -1,0 0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0


Вер

оя

тно

ст

Фиг. 3.40 Информационни криви на задачите в теста

Ще отбележим, че максимумът на иформационната функция на задачата се

получава в точката, която е равна на трудността и стойността му е по-голяма при

задачите с по-голяма дискриминация, дори да е еднаква трудността им. Следователно

по-високите криви съответстват на задачи с по-голяма дискриминация.


216

5.3. Сравнение на вероятностните модели на Раш и Бирнбаум.

В таблица 3.37 е направено сравнение между първичния бал и действителния бал

пресметнат съответно по моделите на Раш и Бирнбаум.

Таблица 3.37 Сравнение между първичния бал и действителния бал на теста




Действителен бал - Раш

Действителен бал -

Бирнбаум

Средна стойност 0,05 26,57 24,58 24,68

Средноквадратично отклонение

1,17 10,27 13,10 11,12

Максимална стойност

3,54 48 49,65 48,45


-2,29 7 3,50 5,86

На Фиг. 3.41 са сравнени характеристичните криви на теста получени при двата

модела.

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

-5,0 -4,0 -3,0 -2,0 -1,0 0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0


Де

йс

тви

тел

ен

ба

л

Модел на Бирнбаум Модел на Раш

Фиг 3.41 Сравнение на характеристичните криви на теста от двата модела

Забелязва се, че моделът на Бирнбаум по-добре се приближава до първичните

данни относно средноквадратичното отклонение и при граничните стойности на

способностите.


217

Моделът на Раш дава възможност да се оцени трудността на задачите, независимо

от изпитваните и да се оцени способността на изпитваните независимо от набора на

задачите. Наличието само на един параметър опростява изчисленията.

Предимствата на модела на Бирнбаум е, че той дава възможност да се

диференцират задачите по трудност, а също така дава възможност да се определят и

евентуално да се заменят тези от тях, които не могат достатъчно добре да разграничат

изпитваните според способностите им.

Всеки от тези два модела има и свои недостатъци. Например при модела на Раш

това са твърдите (непроменливите) условия на свойствата на използваните задачи. При

модела на Бирнбаум е възможно при един и същи брой верни отговори да се получи

различен тестови бал.

На Фиг. 3.42 са сравнени информационните криви на теста, получени при двата

модела.

02468

10121416182022242628

-5,0 -4,0 -3,0 -2,0 -1,0 0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0


Модел на Бирнбаум Модел на Раш

Фиг. 3.42 Сравнение на информационните криви на теста от двата модела

Максимумът на информационната функция (трудността) при модела на Бирнбаум

е леко изместен в дясно.


218

6. ОПРЕДЕЛЯНЕ НА ПАРАМЕТРИТЕ НА ЗАДАЧИТЕ НА

ЕДНОПАРАМЕТРИЧНИЯ И ДВУПАРАМЕТРИЧНИЯ МОДЕЛ, ЧРЕЗ

ИЗПОЛЗВАНЕТО НА СЪОТВЕТНИТЕ ЛОГИТ МОДЕЛИ

В този параграф, ще приложим Логит–моделите, които разгледахме в параграф 8

на Първа глава, за да оценим съответно параметрите на трудност на задачите в


задачите в двупараметричния модел на Бирнбаум.

На таблица 3.38 е показано разпределението на 302 ученици в 42 групи ( 42m )

спрямо равнището им на способност. Броят на учениците във всяка група означаваме с

iN . За всяка група и за всяка задача пресмятаме броя на учениците, които са решили

вярно задачата – in .

Таблица 3.38 Разпределение на учениците спрямо равнището им на способност.

Способност -2,29 -2,11 -1,94 -1,79 -1,65 -1,52 -1,39 -1,28 -1,16 -1,05 -0,95 -0,84 -0,74 -0,65

Брой ученици

1 2 2 6 5 8 10 6 5 8 10 9 11 13

Способност -0,55 -0,45 -0,36 -0,27 -0,17 -0,08 0,02 0,11 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,71


11 11 20 12 8 8 7 4 11 10 6 7 9 10

Способност 0,82 0,93 1,05 1,17 1,31 1,45 1,60 1,77 1,95 2,16 2,40 2,68 3,04 3,54


5 2 6 3 5 8 11 9 7 5 4 2 1 4

6.1. Определяне на параметъра на трудност Tj на задачите в

еднопараметричния модел на Раш и сравняване на получените резултати.

За всяка задача, конструираме логит модел от вида 0ij i jL X b . Оценяваме

коефициентите 0 jb от формулата:

(6.1) 1 10

1 1

, 1, 2, ,

m m

i ij ij iji i

j j m m

ij iji i

X W L WT b j M

W W

,

където:

iX - способността в i–тата група;


219

ln

1

ijij

ij

pL

p

– натурален логаритъм от шанса;

(1 )ij i ij ijW N p p – теглата с които си гарантираме, че ще е изпълнено

условието за хомоскедастицитет (за равенство на стандартните отклонения).

, 1, 2,...., , 1, 2, ,ijij

i

np i m j M

N - дял (честота) на верните отговори в i–тата

група;

m – брой на групите;

M – брой на задачите в теста.

Таблица 3.39 Сравнение на параметрите на трудност на задачите

Задача №

Трудност Задача

№

Трудност

I начин II начин

I начин II начин

1 -0,24 -0,36 26 0,22 0,05

2 -3,16 -2,82 27 0,41 0,18

3 -1,96 -1,88 28 -0,51 -0,70

4 -0,30 -0,41 29 -1,58 -1,56

5 -0,93 -1,11 30 1,30 1,00

6 -1,83 -1,65 31 0,03 -0,20

7 0,25 0,05 32 -0,02 -0,17

8 -0,58 -0,68 33 0,57 0,45

9 -1,16 -1,23 34 -0,19 -0,32

10 0,14 -0,05 35 0,72 0,50

11 -1,38 -1,44 36 0,62 0,42

12 -1,05 -1,17 37 -0,14 -0,34

13 -2,53 -2,34 38 0,64 0,50

14 -0,01 -0,19 39 -0,20 -0,30

15 1,06 0,72 40 1,53 1,26

16 -0,49 -0,67 41 0,46 0,30

17 -0,81 -0,89 42 -0,19 -0,30

18 0,54 0,38 43 0,72 0,51

19 0,11 -0,07 44 0,36 0,18

20 0,66 0,58 45 2,18 1,91

21 0,43 0,33 46 0,31 0,10

22 0,09 -0,08 47 0,74 0,46

23 -0,15 -0,30 48 0,35 0,14

24 0,67 0,49 49 0,81 0,63

25 0,66 0,44 50 1,68 1,40


220

Във втората колона на таблица 3.39 са поместени параметрите на трудност на

задачите пресметнати в параграф 4 (I начин), а в третата колона параметрите на

трудност на задачите, при изчислението на които са използвани логит модели

(II начин).

Коефициентът на корелация на Пирсън между коефициентите на трудност

пресметнати по двата начина е 0,998. Интерпретацията на тази стойност показва много

висока положителна линейна връзка между двата коефициента.

В таблица 3.40 са сравнени средните стойности и средноквадратичното

отклонение на трудността на задачите в теста пресметнати по двата начина.

Таблица 3. 40 Сравнение на основни статистики на трудността на задачите


задачите I начин


задачите II начин

Средна стойност -0,02 -0,16Средноквадратично отклонение 1,03 0,92Максимална стойност

2,18 1,91


-3,16 -2,82


различни метода.

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

-5,0 -4,0 -3,0 -2,0 -1,0 0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0


Де

йс

тви

тел

ен

ба

л

II начин I начин

Фиг. 3.43 Сравнение на характеристичните криви на теста от двата метода


221


пресметнат съответно по моделите на Раш за двата варианта





Действителен бал – Раш (I начин)

Действителен бал – Раш (II начин)

Средна стойност 0,05 26,57 24,58 26,31


3,54 48 49,65 49,76


-2,29 7 3,50 3,49

Можем да заключим, че при втория вариант има по-голяма дискриминация около

средната трудност на теста и този вариант дава по-близки средни стойности до

средните стойности на първичния бал.

6.2. Определяне на параметъра на трудност Tj и параметъра на

дискриминация aj на задачите в двупараметричния модел на Бирнбаум и

сравнение на получените резултати.

За всяка задача, конструираме логит модел от вида 1 0ij j i jL b X b .

Оценяваме коефициентът 0 jb и 1 jb като приложим обобщения МНМК с

тегла (1 )ij i ij ijW N p p , както е описано в параграф 4 на глава 1.

Намираме оценки за параметрите на дискриминация и трудност на задачите

съответно по формулите:

1

1,702j

j

ba , 0 0

11,702.j j

jj

b bT

a b .

В таблица 3.42 са представени оценките на коефициентите 0 jb , 1 jb на логит

моделите и оценките на параметрите ja (дисриминация) и jT (трудност) на задачите.


222

Таблица 3.42 Оценки на параметри на задачите, получени чрез Логит-модели

Задача №

Коефициенти на логит модела

Параметри на задачата

Задача №

Коефициенти на логит модела

Параметри на задачата

0 jb 1 jb * ja jT 0 jb 1 jb * ja jT

1 0,250 0,374 0,220 -0,668 26 -0,084 0,379 0,223 0,222

2 2,238 0,804 0,472 -2,783 27 -0,173 0,462 0,272 0,375

3 1,483 0,654 0,384 -2,266 28 0,514 0,503 0,296 -1,022

4 0,346 0,824 0,484 -0,419 29 1,336 0,681 0,400 -1,963

5 1,039 0,873 0,513 -1,190 30 -0,815 0,817 0,480 0,998

6 1,262 0,509 0,299 -2,479 31 0,181 0,802 0,471 -0,225

7 -0,048 1,018 0,598 0,048 32 0,105 0,335 0,197 -0,314

8 0,506 0,700 0,411 -0,724 33 -0,326 0,680 0,400 0,479

9 1,038 0,686 0,403 -1,512 34 0,233 0,276 0,162 -0,845

10 0,079 0,994 0,584 -0,079 35 -0,539 1,125 0,661 0,479

11 1,472 1,172 0,689 -1,255 36 -0,355 0,497 0,292 0,714

12 1,022 0,812 0,477 -1,259 37 0,272 0,744 0,437 -0,366

13 1,940 0,945 0,555 -2,053 38 -0,506 1,096 0,644 0,462

14 0,126 1,010 0,593 -0,125 39 0,287 0,561 0,330 -0,511

15 -0,557 0,790 0,464 0,706 40 -1,129 0,989 0,581 1,142

16 0,570 0,828 0,486 -0,689 41 -0,301 0,507 0,298 0,594

17 0,787 0,799 0,469 -0,985 42 0,227 0,770 0,452 -0,295

18 -0,345 0,545 0,320 0,632 43 -0,445 0,636 0,373 0,700

19 0,011 0,574 0,337 -0,019 44 -0,159 0,598 0,351 0,265

20 -0,478 1,057 0,621 0,452 45 -1,528 0,603 0,354 2,537

21 -0,297 0,691 0,406 0,430 46 -0,167 0,519 0,305 0,321

22 0,006 0,333 0,196 -0,017 47 -0,401 0,532 0,312 0,754

23 0,229 0,504 0,296 -0,455 48 -0,173 0,651 0,382 0,266

24 -0,491 0,838 0,492 0,586 49 -0,526 0,524 0,308 1,004

25 -0,323 0,816 0,480 0,395 50 -1,074 0,838 0,493 1,282

Получените параметри на задачите са сравнени с параметрите на трудност

пресметнати в параграф 4 и с коефициентите на дискриминация пресметнати в

параграф 5. Коефициентът на корелация на Пирсън между параметрите на трудност

пресметнати по двата начина е 0,975, което съответства на много висока положителна

линейна връзка между тях. Коефициентът на корелация на Пирсън между параметрите

на дискриминация пресметнати по двата начина е 0,872, т.е. имаме висока положителна

линейна връзка между тях.


223


средноквадратичното отклонение на параметрите на задачите в теста за

двупараметричния модел на Бирнбаум пресметнати по двата начина.

Таблица 3.43 Сравнение на параметрите на задачите получени по двата метода

Параметри на задачата (I начин)

Параметри на задачата (II начин)

ja jT ja jT

Средна стойност 0,75 -0,02 0,41 -0,17


1,46 2,18 0,69 2,54


0,32 -3,16 0,16 -2,78


различни метода.

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

-5,0 -4,0 -3,0 -2,0 -1,0 0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0


Де

йс

тви

тел

ен

ба

л

II начин I начин

Фиг. 3.44 Сравнение на характеристичните криви на теста от двата метода


224


пресметнат съответно по моделите на Бирнбаум за двата варианта





Действителен бал –

Бирнбаум (I вариант)

Действителен бал –

Бирнбаум (II вариант)

Средна стойност 0,05 26,57 24,68 26,24


3,54 48 48,45 45,07


-2,29 7 5,86 10,81

Вижда се, че при втория вариант е по-малко средноквадратичното отклонение.

Този модел дава по-близки средни стойности до средните стойности на първичния бал.


225

7. СЪПОСТАВИТЕЛЕН АНАЛИЗ НА ЕДНОИМЕННИТЕ ПАРАМЕТРИ НА

ЗАДАЧИТЕ ПОЛУЧЕНИ ПРИ КЛАСИЧЕСКАТА ТЕОРИЯ НА ТЕСТОВЕТЕ

(КТТ), ТЕОРИЯТА НА ВЕРОЯТНОСТНОТО МОДЕЛИРАНЕ (IRT) И ЛОГИТ

МОДЕЛИТЕ

7.1. Съпоставителен анализ на параметрите на трудност

Съгласно класическата теория на тестовете коефициентът на трудност е равен на

процента на изпитваните, които са решили правилно задачата, изчислен от броя на

всички изпитвани, които са я решавали, т.е. коефициентът на трудност е дялът на

правилните отговори. Допустимите стойности на коефициента на трудност са между 0

и 100, а като относителен дял между 0 и 1. Според КТТ колкото по-голям е

коефициентът на трудност, толкова по-лесна е задачата, което е обратното на другите

теории. За да можем да сравним коефициентът на трудност по КТТ с едноименните му

коефициенти от другите теории, трябвя да го преобразуваме (трансформираме).

Трансформацията извършваме на две стъпки:

1. Присмятаме делът на грешните отговори : * 1 , 1, 2, ,j jt t j M ;

2. Стандартизираме получените стойности: * *

*, 1, 2, ,j j

jj

t tz j M

.

В таблица 3.45 са дадени средните величини и средноквадратичното отклонение

на трудността на задачите в теста, пресметнати по различните теории.

Таблица 3.45 Сравнение на коефициентите на трудност на задачите

Коефициент на трудност - КТТ

(стандартизиранистойности)


(IRT)


Раш - Логит


Бирнбаум - Логит

Средна стойност 0,00 -0,02 -0,16 -0,17


2,12 2,18 1,91 2,54


-2,34 -3,16 -2,82 -2,78

В таблица 3.46 са представени коефициентите на корелация между параметрите на

трудност, пресметнати по различните теории.


226

Таблица 3.46 Корелационна матрица между коефициентите на трудност

Коефициент на трудност - КТТ

(стандартизиранистойности)


(IRT)


Раш - Логит


Бирнбаум - Логит

Коефициент на трудност - КТТ (стандартизирани стойности)

1,000 0,990 0,993 0,980

Коефициент на трудност (IRT) 1,000 0,998 0,975

Коефициент на трудност - Раш - Логит

1,000 0,978

Коефициент на трудност - Бирнбаум - Логит

1,000

Между оценките на трудност се наблюдават изключително високи коефициенти

на корелация. Можем да заключим, че между оценките на трудност, получени по трите

теории се наблюдава висока степен на съгласуваност и в този смисъл са

взаимнозаменяеми.

7.2. Съпоставителен анализ на параметрите на дискриминация

В таблица 3.47 са дадени средните величини и средноквадратичното отклонение

на коефициентите на корелация и дискриминация на задачите в теста, пресметнати по

различните теории.

Таблица 3.47 Сравнение на коефициентите на дискриминация на задачите

Коефициент на дискри-минация

(КТТ)

Точково-бисериален коефициент (Коефициент на Пирсън)



(IRT)


Логит

Средна стойност 0,51 0,44 0,58 0,75 0,41

Средноквадратично отклонение 0,15 0,10 0,13 0,26 0,13Максимална стойност

0,82 0,65 0,83 1,46 0,69


0,15 0,24 0,31 0,32 0,16


227

В таблица 3.48 са пресметнати коефициентите на корелация между различните

измерители на дискриминация пресметнати по различните теории.

Таблица 3.48 Корелационна матрица между коефициентите на дискриминация


(КТТ)




(IRT)


Логит

Коефициент на дискриминация (КТТ)

1,000 0,906 0,744 0,753 0,587


1,000 0,942 0,935 0,810

Бисериален коефициент 1,000 0,976 0,903

Коефициент на дискриминация (IRT) 1,000 0,872

Коефициент на дискриминация - Логит

1,000

Измерителите на дискриминацията са по-малко устойчиви от тези на трудността.

Стойностите по IRT са по-високи от тези на КТТ, които от своя страна са по-високи от

точково–биселарния коефициент на корелация. Стойностите на дискриминация

пресметнати по Логит–модела са близки до бисериалния коефициент на корелация.

Можем да заключим, че между оценките на дискриминация, получени по трите

теории, се наблюдава определена степен на съгласуваност, макар и не така добре

изразена, както при оценките на трудността.


228

ОБОБЩЕНИЕ НА РЕЗУЛТАТИТЕ ОТ ТРЕТА ГЛАВА

В сравнение с класическата теория IRT моделите имат своите предимства и

ограничения.

Предимства на IRT моделите са:

Оценките на параметрите на задачите, определени чрез IRT моделите, не

зависят от избора (способността) на оценяваните лица;

Оценката на способностите на оценяваните лица не зависи от равнището на

трудност на теста като цяло и равнището на трудност на отделните тестови

задачи;

Посредством IRT моделите лесно се установява съответствие между

равнището на трудност на задачите и равнището на способност на

изпитваните, което повишава качеството на измерването;

Равнището на способност на оценяваните лица и равнището на трудност на

задачите се представят на една и съща скала;

Надеждността на тестовите резултати може да се определи без използването

на паралелни варианти на теста. Така се решава трудната педагогическа

задача – създаване на паралелни варианти на теста;

IRT моделите позволяват да се намират локални коефициенти на надеждност

за тестовите резултати на оценявани лица със зададено равнище на

способност, въз основа на информационната функция.

Ограниченията на IRT моделите са:

За тях са необходими по-строги предположения, отколко при използване на

класическата теория;

IRT моделите изискват добра математическа подготовка, поради което тази

теория по-слабо се разбира от част на педагогическата колегия;

Необходима е по-голяма извадка на оценяваните лица за обосноваване на

оценките на параметрите.

За определяне на надеждността и валидността на един тест, значителна роля има

класическата теория на тестовете. Тя е полезна и за решаване на следните задачи от

педагогическите изследвания и измервания: разработка на спецификациите и

съдържателната рамка на теста, създаване на банка от тестови задачи и тяхната

експертна оценка, апробация и анализ на тестовите задачи, конструиране на

окончателен вариант на теста и др.


229

Съчетаването на двете тестови теории води до повече съдържателни резултати,

отколкото тяхното самостоятелно използване.

Друг въпрос, който възникна е: „Кой от IRT моделите, позволява най-точно да се

измери равнището на способностите и равнището на трудност на задачите при

използване на тестове?“. На различни места по света се организират конференции и

издания, посветени на IRT моделите и моделите на Раш, например [49], [50], [63], [64],

[68], [70], [71], [78]. През последните години има редица публикации свързани с

теорията на тестовете и по поставения въпрос, например [26], [29], [30], [31], [38], [39],

[40], [41], [42], [43], [79]. В [26] авторът посочва, че през 2002 година в ГУ „Центром

тестирования министерства образования России”, след дълги спорове, е било проведено

гласуване за избор на модела за изчисление на тестовите балове при провеждане на

централизираното тестване през 2002 година. В гласуването са взели участие 47

представителя на ГУ „Центром тестирования министерства образования России”.

Гласовете са се разпределили по следния начин: 15 гласа за модела на Раш и 32 гласа за

модела на Бирнбаум. Защитниците на модела на Раш апелират, че двупараметричния

модел на Бирнбаум не дава еднозначно съответствие между количеството на първичния

и действителния тестови бал. Същевремено на едно и също количество верни отговори

може да съответства различен действителен бал. Подръжниците на модела на Бирнбаум

виждат неговите преимущества във възможността да се диференцират задачите по

равнището на трудност. Освен това модела на Бирнбаум изисква по-малко твърди

условия към свойствата на тестовите задачи. В съответствие с казаното е сложно да се

направи еднозначен избор на един или друг модел за измерване на способността в IRT.

Все пак се счита, че за задачите с отворен отговор по-подходящо е да се използва

моделът на Раш. За тестове съдържащи задачи с избираем отговор по-добре е да се

използва двупараметричният или трипараметричният модел на Бирнбаум.

Логит–моделите, които въведохме и разгледахме в параграф 8 на Първа глава и

използвахме в параграф 6 на настоящата глава, имат своите предимства. При тях по-

лесно и едновременно се оценяват съответно параметрите на трудност на задачите в


задачите в двупараметричния модел на Бирнбаум. Коефициентите на корелация между

параметрите, получените при Логит–моделите и съответстващите им параметри от IRT

моделите са много високи, което е едно доказателство за тяхна приложимост за

изследвания и анализи в образованието.


230

ЗАКЛЮЧЕНИЕ Представен е математическият апарат, необходим за изчислителната страна на

статистическите методи и вероятностните модели, използвани в дисертацията. За всеки

от моделите подробно са описани етапите и стъпките за неговата реализация.

Многомерните модели са представени и във векторен вид. За всеки от тях са

дефинирани съответно понятията: критична права, критична равнина или критична

хиперравнина.

Всички изчисления и диаграми са реализирани чрез програмата за електронни

таблици Microsoft Excel. Графиките са реализирани чрез обектно-ориентираната

програма CorelDraw. Голяма част от изчисленията биха могли да се осъществят и със

специализирани пакети за статистическа обработка като Statistica и SPSS, както и със

специализираните програми за анализ на тестови задачи като Xcalibre4.1.8 (Item

Parameter Estimation Software), RUMM (Rasch Unidimensional Measurement Model) и др.

В изпълнение на поставените в дисертацията задачи са проведени 10 изследвания с

различни групи ученици и студенти. Всяко от изследванията е представено с неговите

основни етапи и компоненти: от избора на обекта и предмета, през целта и задачите,

формулиране на хипотеза на конкретното изследване, изработване на

инструментариум, осигуряване на теоретичен метод, избор на технология за анализ и

тълкуване на получените резултати.

Направените от всяко изследване изводи дават основание да се приеме верността

на хипотеза на дисертационния труд: „Познатите от социално-икономически области

вероятностни модели за оценка на риска и техни модификации могат успешно да се

прилагат за изследвания и анализи в образованието както самостоятелно, така и в

комбинация с класическата теория на тестовете и IRT-моделите“.

ОСНОВНИ РЕЗУЛТАТИ И ПРИНОСИ

Основни приноси на дисертацията са:

1. Реализиране на идеята за използването в образованието на описаните в първа

глава: Линеен вероятностен модел; Логистичен вероятностен (Logit) модел;

Пробит (Probit) модел;

2. Въведен е квадратичен (полиномиален) вероятностен модел и са дадени негови

приложения в образованието за определяне на оптималната продължителност на

занятието и оптималната дължина на теста;

3. Предложен е петпараметричен вероятностен модел и са дадени примери за

приложението му в образованието;


231

4. Определянето на параметрите на задачите чрез сравняване на

еднопараметричния и двупараметрия модел със съответни логистични модели.

5. Прилагането на вероятностните модели от Първа глава във висшето образование

и сравнителния анализ между тях;

6. Прилагането на двуфакторните вероятностни модели в образованието,

векторният им вид и определянето на критичната права за вероятността;

7. Многомерното обобщение на логистичния и пробит вероятностни модели,

определянето на критичната хиперравнина и сравняване с модела на Раш и

модела на Бирнбаум;

8. Използването на Класическата теория на тестовете (КТТ) за оценка на кандидат-

студентски изпити във ВТУ „Тодор Каблешков“, включително и сравнителен

анализ между няколко изпита, както и изводите и препоръките, които се правят

за нивото на подготовка по математика в средния курс на обучение и за броя

часове, отделени за някои теми;

9. Приложението на различните тестови теории и логистични модели за анализ на

тест по математика за ученици от 7 клас и интерпретацията на получените

резултати;

10. Определянето на оптималната дължина на теста и продължителността за

изпълнението му, чрез модел от тестове с различна дължина, като се отчита

големината на отклонението;

11. Сравнителният анализ между модела на Раш и модела на Бирнбаум с

едноименните им модели, когато параметрите са определени чрез съответни

логистични модели;

12. Извършеният съпоставителен анализ на едноименните параметри на задачите,

получени при Класическата теория на тестовете, Теорията на вероятностното

моделиране и Логит-моделите от Първа глава.

Практическите приложения на дисертационния труд, които вече са

осъществени или са в процес на реализация са:

1. Определяне продължителността на занятията в подготвителните курсове в ПЧМГ.

От 2014 година, във връзка с проведеното изследване, продължителността на

занятията са по 3 учебни часа.

2. Определяне оптималната дължина (броят на задачите) в теста за прием в 5 клас на

ПЧМГ. В резултат от проведеното изследване и направените изводи, от 2017


232

година ПЧМГ промени формата на приемния си изпит, като броят на задачите в

него съответства на получените от изследването резултати.

3. В резултат и от направения във Втора глава експеримент и анализ на изпита по

Висша математика 2 част, от учебната 2016 – 2017 година, бяха извършени

промени в съдържанието на учебните програми, във формата на изпитните теми и

в начина на формиране на крайната оценка по предметите Висша математика 1

част, Висша математика 2 част, Висша математика 3 част, Висша математика 4

част и Статистика.

4. От направения в Трета глава сравнителен анализ на резултатите от кандидат-

студентските изпити по математика за ВТУ „Тодор Каблешков” и направените

изводи, през 2016 година от приемния изпит по математика бяха премахнати

задачите (темите), които се изучават само в профилираните паралелки. За да се

компенсират някои от тези теми и да се даде равен шанс на всички студенти, от

учебната 2016 – 2017 година, в програмата по Висша математика 1 част е въведен

нов модул „Увод във висшата математика”. Извършена беше актуализация и на

програмата на кандидат-студентските курсове по математика.

5. Разработените от автора задачи за самостоятелна подготовка (домашни работи)

по Висша математика 2 част се използват успешно от всички преподаватели по

математика във ВТУ „Тодор Каблешков“. Поради мобилността на преподаватели

от ВТУ „Тодор Каблешков“ към други университети, авторът е получил отзиви за

тяхното успешно приложение и в други университети.

Други възможни практически приложения на дисертационния труд са:

Дадени са препоръки към студентите от ВТУ „Тодор Каблешков” за успешно

полагане на изпита по Висша математика 2 част. На основа на тези препоръки, те могат

да изградят оптимална стратегия за подготовката си за полагане на изпита.

Дисертационният труд може да бъде полезен за преподавателите и

изследователите в областта на образованието и сродни области. Доказателство за това

е, че част от публикациите по дисертацията са вече цитирани в две успешно защитени

дисертации за присъждане на образователната и научна степен „Доктор“ в областта на

педагогиката и образованието.

Дисертационният труд може да се използва като ръководство за анализ на

резултати от изпити и тестове.


233

СПИСЪК НА ПУБЛИКАЦИИТЕ ПО ТЕМАТА НА ДИСЕРТАЦИЯТА И

УЧАСТИЯ НА КОНФЕРЕНЦИИ

Авторът на дисертационния труд Райна Милкова Алашка има следните научни

публикации по дисертацията:

1. Алашка Р.М. Статистически анализ за оценка качеството на изпитен тест.

Механика, транспорт, комуникации, научно списание, брой 3, София, 2009,

стр.IX-19 –IX-24

2. Алашка Р.М. Статистически анализ на тест по математика за ученици и оценка

за влиянието на различни фактори. Механика, транспорт, комуникации, научно

списание, брой 3, София, 2011, стр.IX-29 –IX-33

3. Алашка Р.М. Приложение на логистични вероятностни модели в образованието

за оптимално определяне на параметрите в моделите на Раш и на Бирнбаум.

Механика, транспорт, комуникации, научно списание, том14, брой 3/2, 2016

4. Алашка Р.М. Двуфакторни вероятностни модели в образованието. Механика,

транспорт, комуникации, научно списание, том14, брой 3/2, 2016

5. Алашка Р.М., Михалев Д.Й. Основни числови характеристики на реален изпитен

тест. Механика, транспорт, комуникации, научно списание, брой 3, София, 2009,


6. Михалев Д.Й., Алашка Р.М. Сравнителен анализ на реални изпитни тестове.

Механика, транспорт, комуникации, научно списание, брой 3, София, 2009,


7. Алашка Р.М., Михалев Д.Й. Параметрични вероятностни модели. Механика,

транспорт, комуникации, научно списание, , том14, брой 3/2, 2016

Първите четири публикации са самостоятелни, а другите публикации са в

съавторство с доц. д-р Драго Михалев.

Публикациите са докладвани на международни научни конференции:

„ТРАНСПОРТ 2009” , „ТРАНСПОРТ 2011” и „Механика, транспорт, комуникации

2016”.

Освен тези публикации авторът на дисертационния труд има, в съавторство с

доц. д-р Драго Михалев, издаден учебник и справочник по близка тематика, съответно

със заглавия:


234

8. Михалев Д.Й., Алашка Р.М. Теория на вероятностите и статистика. София, 2012,

312 стр.;

9. Алашка Р.М., Михалев Д.Й. Формули и таблици по вероятности и статистика.

ВТУ „Тодор Каблешков”, София, 2014, 106 стр.

Авторът на дисертационния труд има дългогодишен опит в разработването и

съставянето на тестове както за подготовка, така и за пробни и приемни изпити за

ученици. Автор и съавтор е на учебни помагала, част от които са:

10. Паскалева З., Алашка М., Алашка Р. Национално външно оценяване математика

– 4 клас, Учебно помагало, Издателство Архимед, 2010





13. Паскалева З., Алашка М., Алашка Р. Национално външно оценяване и прием

след 7 клас (нов формат на изпита) – математика, Част 1, Учебно помагало,

Издателство Архимед, 2012

14. Паскалева З., Алашка М., Алашка Р. Национално външно оценяване и прием

след 7 клас (нов формат на изпита) – математика, Част 2, Учебно помагало,

Издателство Архимед, 2012

15. Паскалева З., Алашка М., Алашка Р. Задачи по формата PISA с решения, Учебно

помагало, Издателство Архимед, 2012

16. Алашка Р. Тестове за прием в ПЧМГ – 4 клас, Учебно помагало, Издателство

ПСМГ, 2014

17. Алашка Р. Тестове за прием в ПЧМГ – 3. и 4. клас, Учебно помагало,

Издателство ПСМГ, 2017


235

ДЕКЛАРАЦИЯ ЗА ОРИГИНАЛНОСТ

Аз, долуподписаната

Райна Милкова Алашка

Декларирам, че настоящият дисертационен труд „Приложение на

вероятностни модели за анализ на резултати от изпити и тестове” е

изцяло мой авторски продукт и в неговото разработване не са ползвани

чужди публикации и разработки в нарушение на авторските им права.

20.04.2017 г. Подпис:

София /Райна Алашка/


236

ЛИТЕРАТУРА

1. Аванесов В.С. Композиция тестовых заданий. 2 изд., испр. и доп., - Москва, Адепт,

1998, 217 стр.

2. Аванесов В.С. Форма тестовых заданий. - Москва, изд. Центр тестирования, 2005,

156 стр.

3. Аванесов В.С. Основы научной организации педагогического контроля в высшей

школе. -Москва, 1989, 167 стр.

4. Алашка Р.М. Статистически анализ за оценка качеството на изпитен тест.

Механика, транспорт, комуникации, научно списание, брой 3, София, 2009, стр.IX-

19 –IX-24

5. Алашка Р.М. Статистически анализ на тест по математика за ученици и оценка за

влиянието на различни фактори. Механика, транспорт, комуникации, научно

списание, брой 3, София, 2011, стр.IX-29 –IX-33

6. Алашка Р.М., Михалев Д.Й. Основни числови характеристики на реален изпитен

тест. Механика, транспорт, комуникации, научно списание, брой 3, София, 2009,


7. Алашка Р.М. Приложение на логистични вероятностни модели в образованието за

оптимално определяне на параметрите в моделите на Раш и на Бирнбаум.

Механика, транспорт, комуникации, научно списание, том14, брой 3/2, 2016

8. Алашка Р.М. Двуфакторни вероятностни модели в образованието. Механика,

транспорт, комуникации, научно списание, том14, брой 3/2, 2016

9. Алашка Р.М., Михалев Д.Й. Параметрични вероятностни модели. Механика,

транспорт, комуникации, научно списание, , том14, брой 3/2, 2016

10. Алашка Р.М., Михалев Д.Й. Формули и таблици по вероятности и статистика. ВТУ

„Тодор Каблешков”, София, 2014, 106 стр.

11. Анастази А., Урбина С. Психологическое тестирование.-Спр. пособ.: Питер, 2006. -

688 стр.

12. Банков К.Г. Широко мащабни оценъчно-диагностични педагогически изследвания

– Хабилитационен труд за академична длъжност професор, София, 2012

13. Банков К.Г. Методи за оценяване на постиженията на ученици. Съвременната

педагогическа реалност – резултати и очаквани постижения. Сборник с материали

от научно-практическата конференция, 29-30.10.2009


237

14. Банков К.Г. Измерване и оценяване на постиженията на учениците. В. „Азбуки”,

брой 48, 2009

15. Банков К.Г. Увод в тестологията, Издателство „Изкуство”, София, 2012, 140 стр.

16. Банков К.Г. Качествена интерпретация на резултатите от тестове за постижения.

Математика и математическо образование – тридесет и първа пролетна

конференция на СМБ, 2002

17. Великова Евг., Григорова Д., Славчова-Божкова М. Анализ и влияние на приема с

матура в кандидат-студентската кампания 2009 във факултета по математика и

информатика на СУ „Климент Охридски”. Математика и математическо

образование – тридесет и девета пролетна конференция на СМБ, 2010.

18. Въндев Д. Л. Записки по приложна статистика 1, СУ, София, 2003.

19. Въндев Д. Л. Записки по приложна статистика 2, СУ, София, 2003.

20. Гатев К., Гатева Н. Самоучител по статистика. София, УНСС, Издателство

„Стопанство”, 2000, 232 стр.

21. Калинов Кр. Статистически методи в поведенческите и социални науки. 2

преработено и допълнено издание, Нов Български Университет, София, 2010, 569

стр.

22. Ким В.С. Тестирование учебных достижений. УГПИ, Уссурийск, 2007, 214 стр.

23. Ким В.С. Анализ результатов тестирования в процесе Rasch measurement //

Педагогические измерения, №4, 2005, стр 39-45.

24. Ким В.С. Развивающая функция тестовых заданий. // Педагогические измерения,

№1, 2007, стр 77-84.

25. Львовский Е.Н. Статистические методы построения эмпирическх формул. Москва,

Высшая школа, 1988, 240 стр.

26. Магранова Ю.В. Теория тестированиния как основа оценивания уровня знаний в

современной системе образования. стр. 186-210.

27. Михалев Д.Й., Алашка Р.М. Сравнителен анализ на реални изпитни тестове.

Механика, транспорт, комуникации, научно списание, брой 3, София, 2009, стр.IX-

31 –IX-35

28. Михалев Д.Й., Алашка Р.М. Теория на вероятностите и статистика. София, 2012

29. Нейман Ю.М., Хлебников В.А. Введение в теорию моделирования и

параметризации педагогических тестов. Москва, 2000.-168 стр.

30. Нейман Ю.М., Хлебников В.А. Педагогическое тестирование как измерение.

Москва, Центр тестирования МО РФ, 2002.-67 стр.


238

31. Переверзев В.Ю. Технология разработки тестовых заданий. Справ. Руководство,

Москва, Е-Медиа, 2005. – 265 стр.

32. Роберт Ван Криген, Стивен Баккер. Подготовка и проведение экзаменов.

Руководство для организации и разработки ценрализованных экзаменов. – Амхем,

Нидерланды, 1995.

33. Стоименова Е.А. Измерителни качества на тестове. Нов Български Университет,

София, 2000, 176 стр.

34. Съйкова Ив. Д., Стойкова-Къналиева Адр. Ст., Съйкова Св. Ст.. Статистическо

изследване на зависимости. Унив. изд. „Стопанство”, София, 2002, 453 стр.

35. Съйкова Ив. Д., Тодорова С. Статистическо изследване (постановка, методи и

анализ на резултатите). НБУ, София, 2000.

36. Тодорова С. Статистика в икономиката и бизнеса (методи, решения и изпитни

тестове). НБУ, София, 2004.

37. Успенский А.Б., Федоров В.В. Вычислительные аспекты метода наименьших

квадратов при анализе и планировании регресионных экспериментов. Москва, изд.

МГУ, 1976.

38. Феськов Н.С., Якобчук А.П. Математические методы интерпретации результатов

нормативно-ориентированвого тестирования. „Адукацыя i выхаванне”, №3.-2007.

39. Химмельблау Д. Анализ процессов статистическими методами. М., Мир, 1973.

40. Хлебников В. А. Теоретические основы обьективного измерения учебных

достижений учащихся. Москва: Федеральное государственое учреждение-

Федеральный центр тестирования, 2005, 127 стр.

41. Челышкова М.Б. Организация контроля учебной деятельности студентов в

условиях педагогического сотрудничества: Дис., Киев, 1990.

42. Челышкова М.Б. Разработка педагогических тестов на основе современных

математических моделей. Москва, МИСИС, 1995, 195 стр.

43. Челышкова М.Б. Теория и практика конструирования педагогических тестов.

Учебное пособие.- Москва, Логос, 2002, 432 стр.

44. Шеффе Д. Дисперсионный анализ. Москва, Физматгиз, 1963.

45. Ширяев А.Н. Статистический последоватьный анализ. Оптимальные правила

остановки. Москва, Наука, 1976.

46. Щиголев Б.М. Математическая обработка наблюдений. Москваа, Наука, 1969.

47. Яснопольский С.Л. Построение эмпирических формул и подбор их параметров

методом наименьших квадратов и методом средних. Москва, изд. МИСиС, 1972.


239

48. Abedi J. The interrater/test reliability system (ITRS). Multivariate Behavioral Research,

1996, 31, 4, p 409-417.

49. Adedoyin O., Nenty H., & Chilisa B.. Investigating the invariance of item difficulty

parameter estimates based on CTT and IRT. Educational Research and Review, 2008,

vol.3 (2), p 83-93.

50. Andrich, D., Sheridan, B., Lyne, A & Luo, G. RUMM: A windows-based item analysis

program employing Rasch unidimensional measurement models (Parth: Murdoch

University), 2000.

51. Baker F. B. The Вasics of Item Response Theory. ERIC Clearinghouse on Assessment

and Evaluation, 2001, 2-nd ed.

52. Barton M.A., Lord F.M.. An upperasymptote for the three-parameter logistic item-

response model. Princeton,N.J.: Educational Testing Service, 1981.

53. Bechger T., Maris G., Verstralen h. & Beguin A. Using classical test theory in

combination with item response theory. Applied Psychological Measurement, 2003,

27(5), p 319-334.

54. Birnbaum A., Some Latent Trait Models and Their Use in Inferring an Examinee’s

Ability. In F.M. Lord and M.R. Novick. Statistical Theories of Mental Test Scores.

Readinf Mass.: Addison-Wesley, 1968. Ch. 17-20. –p 397-479.

55. Birnbaum M.H., editor. Measurement, Judgement and Decision Making. Academic Press,

1997.

56. Bolt D.M., Cohen A.S. & Wollack J.A. A mixture item response model for multiple-

choice data. Journal of Educational and Behavioral Statistics, 2001, 26(4), p 381-409.

57. Camilli G., Shepard L.A. Methods for Identifyinc Biased Test Items, Sage,1994.

58. Carson R.T., Yixiao Sun. The Tobit model with a non-zero threshold. Royal Economic

Society , Econometrics Journal, volume 10, 2007, pp 488-502.

59. Crocker L. Algina J. Introduction to Classical and Modern Test Theory. Harcourt Brace,

1986.

60. Cronbach L. Essentials of psychological testing. NY: Harper & Row, 1977.

61. Everitt B.S. Making Sense of Statistics in Psychology. 1996.

62. Fisher W. The Standard Model in the History of Natural Sciences. Econometrics and the

Social Sciences. Journal of Physics: Conference Series, 2011, p 238.

63. Hambleton R.K. Aplication of Item Response Theory. Vancouver, Ed. Res. Inst. B. C.,

1983.


240

64. Holland P., Hoskens M. Classical test theory as a first-order item response theory:

Application to true-score prediction from a possibly nonparallel test. Psychometrika,

2003, Vol.68, 1, p 123-149.

65. Iman, Ronald L. et al. Modern Business Statistics, N. Y., 1989.

66. Johnston J. Econometric Methods. N.Y., 1963.

67. Keeves J.P. (Ed.). Educational Reserch, Methodology and Measurement: An

International Handbook. Oxford, Pergamon Press, 1988.

68. MacCann R., Stanley G. The Use of Rasch Modeling to Improve Standard Settings.

Practical Assessment, Research & Evaluation, 2006, 11

69. Rasch G. Probabilistic Models for Some Intelligence and Attainment Tests. Copenhagen,

1960, Danisch Institute of Educational Research. (Expanded edition, Chicago, 1980, The

University of Chicago Press).

70. Rasch G. On objectivity and specifity of the probabilistic basis for testing. In: Rasch

Lectures. In honor of Georg Rasch’s 100 years birthday on Semtember, 2001.

71. Roid G., Haladyna T. A Technology for Test-Item Writing. Academic Press, 1981.

72. Sazberger T. Does the Rasch Model Convert an Ordinal Scale into an Interval Scale?

Rasch Measurement Transactions SIG American Educational Research Association,

2010, 24(2), p 1273-1275.

73. Suen H.K. Principles of Test Theories. Erlbaum, 1990.

74. Tobin J. Estimation on relationships for limited dependent variables. Econometrica 26,

1958, p 24-36.

75. Traub R.E. Reliability for the Social Sciences: Theory and Appplications. Sage, 1984.

76. Tukey J. Methodology and the Statistician’s Responsibility, J. Am. Stat. Ass., 1979,

vol.74.

77. Vandev D.L., Neykov N.M. About Regresion Estimators with Hight Breakdown Point,

Statistics, 1998, p 111-129.

78. Wright B.D., Stone M.H. Best test design, Chicago, : Rasch Measurement. Mesa Press,

1979, 220 p.

79. Wright B.D., IRT in the 1990s: Which Models Work Best? // Rasch Measurement

Transactions, 1992, 6:1, p 196-200.

80. Zeidner M., Most R. (editors). Psychological Testing. An Inside view. Consulting

Psychologists Press, 1992.

81. Zuehlke T. Estimation of a Tobit model with unknown censoring threshold. Applied

Economics 35, 2003, p 1163-1169.

ПРИЛОЖЕНИЯ

ПРИЛОЖЕНИЕ 1.

КОНКУРСНИ ТЕСТОВЕ ПО МАТЕМАТИКА ЗА ПОСТЪПВАНЕ ВЪВ ВТУ

„ТОДОР КАБЛЕШКОВ“

1 тест (изпит) проведени на 21 юни 2008 г.;

2 тест (изпит) проведени на 29 юли 2008 г.;

3 тест (изпит) проведени на 21 юни 2009 г.;

4 тест (изпит) проведени на 28 юли 2009 г.

241

ÊÎÍÊÓÐÑÅÍ ÒÅÑÒ ÏÎ ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ

çà ïîñòúïâàíå âúâ ÂÒÓ ½Òîäîð Êàáëåøêîâ“

21 þíè 2008 ã.

Âàðèàíò �1

Êîíêóðñíèÿò òåñò ïî ìàòåìàòèêà çà ïîñòúïâàíå âúâ ÂÒÓ ½Òîäîð Êàá-

ëåøêîâ“ ñå ñúñòîè îò 20 çàäà÷è ñ èçáèðàåì îòãîâîð è 10 çàäà÷è áåç

èçáèðàåì îòãîâîð.

Âðåìå çà ðàáîòà � 150 ìèíóòè.

Çà âñÿêà îò ñëåäâàùèòå 20 çàäà÷è õ å îòáåëÿçàí âåðíèÿò îòãîâîð.

Îöåíÿâàíå íà âñÿêà îò ñëåäâàùèòå 20 çàäà÷è:

3 òî÷êè ïðè ïðàâèëåí îòãîâîð

1 òî÷êà ïðè íåîòáåëÿçàí îòãîâîð

0 òî÷êè ïðè ãðåøåí îòãîâîð

• Çà ðåøåíèåòî (x; y) íà ñèñòåìàòà

∣∣∣∣ x + 2y = 02x + 3y = 1

å â ñèëà:

� x + y = 0 � x + y = 1 � x + y = 2 � x + y = 3

• Àêîa

b= 3, òî ñòîéíîñòòà íà èçðàçà

3a2 + 3b2 − ab

a2 + abå:

� 0 �9

4� −4

9�

4

9

• Àêî |x| − x = 2, òî:

� x + 1 = 0 � x + 2 = 0 � x− 1 = 0 � x− 2 = 0

• Íà êîëêî å ðàâíî ïðîèçâåäåíèåòî îò êîðåíèòå íà óðàâíåíèåòî x2 + 7x + 6 = 0:

� 6 � −6 � −7

6� −7

1

242

• Êîðåíèòå íà óðàâíåíèåòî x2 − x + p = 0 ñà ðåàëíè ïðè:

� p = 3 � p = 2 � p = 1 � p = 0

• Ðåøåíèÿòà íà íåðàâåíñòâîòî x2 − 5x + 4 ≤ 0 ñà:

� (1; 4) � [1; 4]

� (−∞; 1)∪(4; +∞) � (−∞; 1] ∪ [4; +∞)

• Íà êîëêî å ðàâíà íàé-ìàëêàòà ñòîéíîñò íà ôóíêöèÿòà y = x2−2x+1, x∈(−2; 2):

� 0 � 1

� −1 � ôóíêöèÿòà íÿìà íàé-ìàëêà ñòîé-

íîñò

• Ðåøåíèÿòà íà íåðàâåíñòâîòî(x− 1)(x + 1)

x(1− x)≤ 0 ñà:

� [−1; 0) ∪ (0; 1] � (−∞;−1]

� (−∞;−1] ∪ (0; 1) ∪ (1; +∞) � [0; 1]

• Ðåøåíèÿòà íà íåðàâåíñòâîòî√

x + 1 < 2 ñà:

� x ∈ (−∞;−3) � x ∈ [−1; 3) � x ∈ (−1; 3) � x ∈ (3; +∞)

• Êîå îò ÷èñëàòà å êîðåí íà óðàâíåíèåòî 5x = 25−3 :

� 3 � −6 � 1 � −9

• log2 4−3 =

� −6 � 6 � −2 � 2−3

• tg5π

3=

� −√

3

3�

√3

3�√

3 � −√

3

• Íà êîëêî å òúæäåñòâåíî ðàâíî sin2 x

2− cos2 x

2:

� cos x � − sin x � − cos x � sin x

• Êîëêî êîðåíà èìà óðàâíåíèåòî cos x = 1,5 â èíòåðâàëà[0;

π

2

]:

� 0 � 1 � 2 � áåçáðîé ìíîãî

• Òî÷êàòà M å ìåäèöåíòúðúò íà 4ABC, à òî÷êàòà P ëåæè âúðõó ñòðàíàòà

AB è AP : PB = 2 : 5. Îòíîøåíèåòî íà ëèöàòà íà òðèúãúëíèöèòå BMP è

ABC å:

�2

5�

5

21�

3

7�

3

35

2

243

• Äèàìåòúðúò íà îïèñàíàòà îêðúæíîñò îêîëî ïðàâîúãúëåí òðèúãúëíèê ñ êàòåòè

5 è 12 å:

� 12 � 13 � 15 � 17

• Çà 4ABC å äàäåíî BC = 4, AC = 2, sin <) ABC = 0,2. Íà êîëêî å ðàâåí

sin <) CAB :

�2

5�

1

2�

3

2� 2

• Çà 4ABC å äàäåíî BC = 3, AC = 2, <) ACB = 60◦. Íà êîëêî å ðàâíà

äúëæèíàòà íà AB :

�√

7 �√

8 �√

13 � 13− 3√

3

• Áðîÿò íà äèàãîíàëèòå íà ïðàâèëåí äâàíàäåñåòîúãúëíèê å ðàâåí íà:

� 120 � 66 � 54 � 12

• Îò êóòèÿ, ñúäúðæàùà 5 áåëè è 3 ÷åðíè òîïêè, ïî ñëó÷àåí íà÷èí ñå âàäÿò äâå.

Âåðîÿòíîñòòà äâåòå èçâàäåíè òîïêè äà ñà áåëè å:

�5

8�

5

14�

1

5�

3

5

Îöåíÿâàíå íà âñÿêà îò ñëåäâàùèòå 10 çàäà÷è:

6 òî÷êè ïðè âåðåí îòãîâîð

0 òî÷êè ïðè ãðåøåí èëè íåîòáåëÿçàí îòãîâîð

• Íàé-ãîëåìèÿò èçìåæäó êîðåíèòå íà óðàâíåíèåòî x2 + 5|x| − 6 = 0 å ðàâåí íà:

Îòãîâîð: 1

• Ñòîéíîñòèòå íà ïàðàìåòúðà q, çà êîèòî êîðåíèòå íà óðàâíåíèåòî x2−x+q = 0ñà ïîëîæèòåëíè, ñà:

Îòãîâîð: q ∈(0;

1

4

]• Íàé-ãîëÿìàòà ñòîéíîñò íà ôóíêöèÿòà y = cos 2x, x ∈ [0;

π

6], å ðàâíà íà:

Îòãîâîð: 1

• Àêî (x; y) å ðåøåíèå íà ñèñòåìàòà

∣∣∣∣ x + y = −4xy = 3,

òî x3 + y3 å ðàâíî íà:

Îòãîâîð: −28

3

244

• Ðåøåíèÿòà íà íåðàâåíñòâîòî lg(2x + 1) < 2 ñà:

Îòãîâîð: x ∈(− 1

2;99

2

)• Ðåøåíèÿòà íà óðàâíåíèåòî sin2 x− cos x + 1 = 0 ñà:

Îòãîâîð: 2kπ, k = 0,±1,±2, . . .

• Ãðàíèöàòà limx→2

x2 − 4

x2 − x− 2å ðàâíà íà:

Îòãîâîð:4

3

• Ïðîèçâîäíàòà íà ôóíêöèÿòà f(x) = 3x4 − 2 sin x− 10 å:

Îòãîâîð: 12x3 − 2 cos x

• Îñíîâíèÿò ðúá íà ïðàâèëíà òðèúãúëíà ïèðàìèäà å 1, à úãúëúò ìåæäó îêîëíà

ñòåíà è îñíîâàòà å 60◦. Ëèöåòî íà îêîëíàòà ïîâúðõíèíà íà ïèðàìèäàòà å ðàâíîíà:

Îòãîâîð:

√3

2

• Ïðàâ êðúãîâ êîíóñ èìà ðàäèóñ íà îñíîâàòà 5 è âèñî÷èíà 12. Äèàìåòúðúò íà

ñôåðàòà, îïèñàíà îêîëî êîíóñà å:

Îòãîâîð:169

12

4

245

ÊÎÍÊÓ�ÑÅÍ ÒÅÑÒ ÏÎ ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀçà ïîñòúïâàíå âúâ ÂÒÓ ½Òîäîð Êàáëåøêîâ“29 þëè 2008 ã.Âàðèàíò �3Êîíêóðñíèÿò òåñò ïî ìàòåìàòèêà çà ïîñòúïâàíå âúâ ÂÒÓ ½Òîäîð Êàá-ëåøêîâ“ ñå ñúñòîè îò 20 çàäà÷è ñ èçáèðàåì îòãîâîð è 10 çàäà÷è áåçèçáèðàåì îòãîâîð. Âðåìå çà ðàáîòà � 150 ìèíóòè.Çà âñÿêà îò ñëåäâàùèòå 20 çàäà÷è ìàðêèðàéòå ñ ⊠ íå ïîâå÷å îò åäèíîò ÷åòèðèòå âúçìîæíè îòãîâîðà � òîçè, êîéòî ñìÿòàòå çà âåðåí.Çà âñÿêà îò ñëåäâàùèòå 20 çàäà÷è ïîëó÷àâàòå:3 òî÷êè ïðè ïðàâèëåí îòãîâîð1 òî÷êà ïðè íåîòáåëÿçàí îòãîâîð0 òî÷êè ïðè ãðåøåí îòãîâîð

• Ñóìàòà íà àðèòìåòè÷íàòà ïðîãðåñèÿ 39, 41, 43, 45, 47, 49, 51 å:⊠ 315 � 340 � 385 � 490

• Àêî äúëæèíèòå íà îñíîâèòå â òðàïåö ñà 13 è 7, òî äúëæèíàòà íà ñðåäíàòàîòñå÷êà å:� 6 ⊠ 10 � 20 � 40

• �åøåíèåòî íà ñèñòåìàòà ∣

∣

∣

∣

x + y = 6x − y = 4

å:� (x; y) = (4; 2) � (x; y) = (1; 5) � (x; y) = (2; 4) ⊠ (x; y) = (5; 1)

• Â ãåîìåòðè÷íà ïðîãðåñèÿ ñà èçâåñòíè ïúðâèÿò ÷ëåí a1 = 1 è òðåòèÿò ÷ëåía3 = 4. Àêî ÷àñòíîòî íà ïðîãðåñèÿòà å ïîëîæèòåëíî ÷èñëî, òî ñóìàòà íàïúðâèòå 5 ÷ëåíà íà òàçè ïðîãðåñèÿ å:� 5 � 12 ⊠ 31 � 451

246

• Óðàâíåíèåòî (2p− 1)x+3− p = 0, êúäåòî p å ïàðàìåòúð, íÿìà ðåøåíèå ïðè:� p = 0 ⊠ p =

1

2� p = 2 � p = 3

• Ñáîðúò îò êîðåíèòå íà óðàâíåíèåòî x2 + 2x − 15 = 0 e:� 0 � 2 ⊠ −2 � 15

• Êâàäðàòíîòî óðàâíåíèå 2x2 −√

5 x + k = 0 èìà äâîåí êîðåí ïðè:� k = 0 � k =

5

2⊠ k =

5

8� k =

8

5

• Íà êîëêî å ðàâíà íàé-ìàëêàòà ñòîéíîñò íà �óíêöèÿòà y = x2−4x+3, x∈ [−4; 5]:� 0 � 1

⊠ −1 ��óíêöèÿòà íÿìà íàé-ìàëêà ñòîéíîñò• �åøåíèÿòà íà íåðàâåíñòâîòî 1 − x

x − 2≥ 2 ñà:

� (−∞;5

3] ∪ (2; +∞) ⊠ [

5

3; 2)

� (−∞;5

3) ∪ [2; +∞) � (

5

3; 2]

• �åøåíèÿòà íà íåðàâåíñòâîòî 3√

x3 + 1 ≤ x + 1 ñà:� x ∈ [0; +∞) � x ∈ (−∞;−1]

� x ∈ [−1; 0] ⊠ x ∈ (−∞;−1] ∪ [0; +∞)

• Êîðåí íà óðàâíåíèåòî 4x−1 = 16 å:� 0 ⊠ 3 � 4 � 5

• log424 + log

24−2 =

⊠ −2 � 0 � 2 � 1

• 2√

3 cos13π

6=

�√

3 � −√

3 ⊠ 3 � −3

• Áðîÿò íà êîðåíèòå íà óðàâíåíèåòî 4 − 3 sin x = 0 â èíòåðâàëà [−π; π] å:� 3 � 2 � 1 ⊠ 0

• Äèàãîíàëèòå íà êâàäðàòà ABCD ñå ïðåñè÷àò â òî÷êàòà O, à òî÷êàòà Pëåæè âúðõó ñòðàíàòà BC è BP : PC = 1 : 2. Îòíîøåíèåòî íà ëèöàòà íàòðèúãúëíèêà CPO è êâàäðàòà ABCD å:⊠

1

6�

2

3�

8

3�

1

32247

• Àêî äúëæèíèòå íà êàòåòèòå â ïðàâîúãúëåí òðèúãúëíèê ñà 3 è 4, òî äúëæè-íàòà íà âèñî÷èíàòà íà òðèúãúëíèêà å:⊠

12

5�

20

3�

15

4�

24

5

• Çà △ABC å äàäåíî BC = 5, AC = 3, sin <) ABC = 0,3. Íà êîëêî å ðàâåísin <) CAB :�

1

10�

3

5�

5

3⊠

1

2

• Çà óñïîðåäíèêà ABCD å äàäåíî BC = 5, CD = 3, <) BAD = 60◦. Íà êîëêîå ðàâíà äúëæèíàòà íà äèàãîíàëà AC :⊠ 7 � 8 �

√19 �

√34

• Ñóìà îò 10000 ëâ. å âíåñåíà íà åäíîãîäèøåí âëîã. Ñëåä ïúðâàòà ãîäèíà ñóìàòà,çàåäíî ñ ëèõâàòà, å îñòàâåíà íà âëîã ïðè ñúùèÿ ëèõâåí ïðîöåíò. Â êðàÿ íàâòîðàòà ãîäèíà ñóìàòà ïî âëîãà áèëà 11236 ëâ. Êàêúâ å áèë ãîäèøíèÿò ëèõâåíïðîöåíò:� 3% � 4% � 5% ⊠ 6%

• Îò êóòèÿ, ñúäúðæàùà 8 ñèíè è 6 ÷åðâåíè òîïêè, ïî ñëó÷àåí íà÷èí ñå âàäÿòäâå. Âåðîÿòíîñòòà äâåòå èçâàäåíè òîïêè äà ñà ñèíè å:�

4

7�

9

49⊠

4

13�

15

91Îöåíÿâàíå íà âñÿêà îò ñëåäâàùèòå 10 çàäà÷è:6 òî÷êè ïðè âåðåí îòãîâîð0 òî÷êè ïðè ãðåøåí èëè íåîòáåëÿçàí îòãîâîð

• Äàäåí å ïðàâèëåí øåñòîúãúëíèê. Áðîÿò íà òðèúãúëíèöèòå, ÷èèòî âúðõîâå ñàâúðõîâå è íà øåñòîúãúëíèêà å:Îòãîâîð: 20• Íàé-ìàëêèÿò èçìåæäó êîðåíèòå íà óðàâíåíèåòî |x − 2| = 1 å ðàâåí íà:Îòãîâîð: 1• Àêî (x; y) å ðåøåíèå íà ñèñòåìàòà ∣

∣

∣

∣

x + y = −8xy = 7,

òî x

y+

y

xå ðàâíî íà:Îòãîâîð: 7

1

7

• �åøåíèÿòà íà íåðàâåíñòâîòî lg(3x − 4) ≤ 1 ñà:Îòãîâîð: x ∈ (4

3;14

3] 3

248

• Â ðàâíîáåäðåí òðàïåö úãúëúò ìåæäó áåäðîòî è ãîëÿìàòà îñíîâà å 45◦, àìàëêàòà îñíîâà è âèñî÷èíàòà èìàò äúëæèíè 3. Ëèöåòî íà òðàïåöà å:Îòãîâîð: 18• �åøåíèÿòà íà óðàâíåíèåòî sin2 x − 4 cos x + 4 = 0 ñà:Îòãîâîð: x = 2kπ, k = 0,±1,±2, . . .

• �ðàíèöàòà limx→3

x2 − 4x + 3

x2 − 9å ðàâíà íà:Îòãîâîð: 1

3

• Ïðîèçâîäíàòà íà �óíêöèÿòà f(x) = 5x3 − 4 tgx + 2 å:Îòãîâîð: 15x2 − 4

cos2 x

• Ïðàâèëíà ÷åòèðèúãúëíà ïèðàìèäà èìà îñíîâåí ðúá ñ äúëæèíà 5√

2 è âèñî÷èíàñ äúëæèíà 12. �àäèóñúò íà ñ�åðàòà, îïèñàíà îêîëî ïèðàìèäàòà å:Îòãîâîð: 169

24

• Îáðàçóâàùàòà íà ïðàâ êðúãîâ êîíóñ èìà äúëæèíà 6, à úãúëúò ìåæäó îá-ðàçóâàùàòà è ðàâíèíàòà íà îñíîâàòà íà êîíóñà å 60◦. Ëèöåòî íà îêîëíàòàïîâúðõíèíà íà êîíóñà å ðàâíî íà:Îòãîâîð: 18π

4249

ÊÎÍÊÓ�ÑÅÍ ÒÅÑÒ ÏÎ ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀçà ïîñòúïâàíå âúâ ÂÒÓ ½Òîäîð Êàáëåøêîâ“20 þíè 2009 ã.Âàðèàíò �3Êîíêóðñíèÿò òåñò ïî ìàòåìàòèêà çà ïîñòúïâàíå âúâ ÂÒÓ ½Òîäîð Êàá-ëåøêîâ“ ñå ñúñòîè îò 20 çàäà÷è ñ èçáèðàåì îòãîâîð è 10 çàäà÷è ñúññâîáîäåí îòãîâîð. Âðåìå çà ðàáîòà � 150 ìèíóòè.Çà âñÿêà îò ñëåäâàùèòå 20 çàäà÷è ⊠ å îòáåëÿçàí âåðíèÿò îòãîâîð.Îöåíÿâàíå íà âñÿêà îò ñëåäâàùèòå 20 çàäà÷è:3 òî÷êè ïðè ïðàâèëåí îòãîâîð1 òî÷êà ïðè íåîòáåëÿçàí îòãîâîð0 òî÷êè ïðè ãðåøåí îòãîâîð

• Ñòîéíîñòòà íà èçðàçà 2a2 + 3b2 − ab

a2 − abïðè a = 0,1 è b = −1 å:

� 0 �2,88

0,11�

4,12

1,01⊠

3,12

0,11

• �åøåíèÿòà íà óðàâíåíèåòî 2x2 + (x − 1)(x + 3) = x(3x + 1) ñà:� 1 è −3 ⊠ 3 � 0 è −1

3� 1

• Çà ðåøåíèåòî (x; y) íà ñèñòåìàòà ∣

∣

∣

∣

x − 4y = 02x + y = 9

å â ñèëà:⊠ x + y = 5 � x + 2y = −2 � x − 2y = 1 � 2x − y = −11

250

• Íà êîëêî å ðàâíî ïðîèçâåäåíèåòî îò êîðåíèòå íà óðàâíåíèåòî x2 + 4x− 5 = 0:� 1 � −4 ⊠ −5 � 5

• Àêî x +1

x=

7

2, òî x2 +

1

x2=

⊠41

4�

7

4�

49

4� 7

• Êîðåíèòå íà óðàâíåíèåòî x2 + 4x − a = 0, êúäåòî a å ïàðàìåòúð, ñà ðàâíèïðè:� a = 4 ⊠ a = −4 � a = 1 � a = −1

• Íàé-ìàëêàòà ñòîéíîñò íà �óíêöèÿòà y = x2 − 2x − 3, x∈(−2; 2), å:� −3 � −2 � 0 ⊠ −4

• Êîé èíòåðâàë ñúäúðæà êîðåí íà óðàâíåíèåòî √3x + 1 = 4 :

� (−∞; 5) � (5; 10) ⊠ [5; 10) � (10; +∞)

• Êîå îò ÷èñëàòà å êîðåí íà óðàâíåíèåòî 7x + 7−x = 2 :⊠ 0

� −1

� 1

� óðàâíåíèåòî íÿìà êîðåíè• �åøåíèÿòà íà íåðàâåíñòâîòî 5−x ≤ 25 ñà ÷èñëàòà îò èíòåðâàëà:

� (−∞;−2) � [0; 2] ⊠ [−2; +∞) � [2; +∞)

• log5

1

5+ log

5

1

25=

� 3 ⊠ −3 �1

125�

1

30

• Íà êîëêî å ðàâíà ñòîéíîñòòà íà ïðîèçâîäíàòà íà �óíêöèÿòà f(x) = 1− 3

x−2x4ïðè x = 1 :

� −4 � 0 � 2 ⊠ −5

• otg 23π

4=

� 1 �

√2

2� −

√2

2⊠ −12

251

• Àêî sin x + cos x = m è 0 < m <

√2

2, òî íà êîëêî å ðàâíî sin 2x :

� 2m2⊠ m2 − 1 � 2m � m2 + 1

• Íàé-ìàëêàòà ñòîéíîñò íà �óíêöèÿòà y = cos 2x, x ∈ [0;π

6], å ðàâíà íà:

� 1 �

√3

2⊠

1

2�

√2

2

• Íà êîëêî å ðàâíî ëèöåòî íà ðàâíîñòðàíåí òðèúãúëíèê ñ ðàäèóñ íà âïèñàíàòàîêðúæíîñò 2:� 4

√3 ⊠ 12

√3 �

√3 � 16

√3

• Â ïðàâîúãúëåí òðèúãúëíèê êàòåòèòå ñà ñ äúëæèíè 6 è 8. Äúëæèíàòà íà ìåäè-àíàòà êúì ïî-ãîëåìèÿ êàòåò å:� 5 ⊠ 2√13 � 4 � 8

• Çà △ABC å äàäåíî BC = 4, <) BAC = 30◦. Íà êîëêî å ðàâåí ðàäèóñúò íàîïèñàíàòà îêîëî △ABC îêðúæíîñò:⊠ 4

� 4√

2

� 2

� íå ìîæå äà ñå îïðåäåëè åäíîçíà÷íî• Òî÷êàòà O å ïðåñå÷íàòà òî÷êà íà äèàãîíàëèòå íà óñïîðåäíèêà ABCD.Áðîÿò íà òðèúãúëíèöèòå, âñè÷êè âúðõîâå íà êîèòî ñà èçìåæäó òî÷êèòå

A, B, C, D, O, å ðàâåí íà:� 6 ⊠ 8 � 10 � 12

• Îò êóòèÿ, ñúäúðæàùà 6 áåëè è 4 ÷åðíè òîïêè, ïî ñëó÷àåí íà÷èí ñå âàäÿò äâå.Âåðîÿòíîñòòà äâåòå èçâàäåíè òîïêè äà ñà îò åäèí öâÿò å:�

1

2�

48

90�

12

90⊠

42

90

3252

Îöåíÿâàíå íà âñÿêà îò ñëåäâàùèòå 10 çàäà÷è:6 òî÷êè ïðè âåðåí îòãîâîð0 òî÷êè ïðè ãðåøåí èëè íåîòáåëÿçàí îòãîâîð• �åøåíèÿòà íà íåðàâåíñòâîòî 5x + 2

x − 1≤ 4 ñà ÷èñëàòà îò èíòåðâàëà:Îòãîâîð: [−6; 1)

• Áðîÿò íà êîðåíèòå íà óðàâíåíèåòî |x2 + 8x| = b, êîãàòî ïàðàìåòúðúò b å îòèíòåðâàëà (0; 5), å:Îòãîâîð: 4• �åøåíèÿòà íà óðàâíåíèåòî 4x − 3 . 2x+1 + 8 = 0 ñà:Îòãîâîð: x = 1 è x = 2

• �åøåíèÿòà íà íåðàâåíñòâîòî log4(x − 1) < 2 ñà:Îòãîâîð: x ∈ (1; 17)

• Àêî (x; y) å ðåøåíèå íà ñèñòåìàòà ∣

∣

∣

∣

x + y = −4xy = 4,

òî 1

x2+

1

y2å ðàâíî íà:Îòãîâîð: 1

2

• �ðàíèöàòà limx→3

x2 − 9

x2 − 5x + 6å ðàâíà íà:Îòãîâîð: 6

• Çà △ABC å äàäåíî BC = 8, AC = 5, <) BCA = 60◦. Íà êîëêî å ðàâíàäúëæèíàòà íà AB:Îòãîâîð: 7

• Äàäåíà å îêðúæíîñò k ñ öåíòúð O è ðàäèóñ 6. Ïðåç òî÷êà M , íà ðàçñòîÿíèå10 îò O, ñà ïðåêàðàíè äîïèðàòåëíèòå MA è MB êúì k, êàòî A è B ñàîò k. Íà êîëêî å ðàâíà AB :Îòãîâîð: 9,6

• Ïðàâ êðúãîâ öèëèíäúð èìà ðàäèóñ íà îñíîâàòà 3 è âèñî÷èíà 8. Äèàìåòúðúò íàñ�åðàòà, îïèñàíà îêîëî öèëèíäúðà, å:Îòãîâîð: 10

• Êóáúò ABCDA1B1C1D1 èìà ðúá ñ äúëæèíà 1. Òî÷êàòà M å ñðåäàòà íà AB,òî÷êàòà N å ñðåäàòà íà AD. Ëèöåòî íà △MNA1 å ðàâíî íà:Îòãîâîð: 3

8 4253

ÊÎÍÊÓ�ÑÅÍ ÒÅÑÒ ÏÎ ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀçà ïîñòúïâàíå âúâ ÂÒÓ ½Òîäîð Êàáëåøêîâ“28 þëè 2009 ã.Âàðèàíò �2Êîíêóðñíèÿò òåñò ïî ìàòåìàòèêà çà ïîñòúïâàíå âúâ ÂÒÓ ½Òîäîð Êàá-ëåøêîâ“ ñå ñúñòîè îò 20 çàäà÷è ñ èçáèðàåì îòãîâîð è 10 çàäà÷è ñúññâîáîäåí îòãîâîð. Âðåìå çà ðàáîòà � 150 ìèíóòè.Çà âñÿêà îò ñëåäâàùèòå 20 çàäà÷è ⊠ å îòáåëÿçàí âåðíèÿò îòãîâîð.Îöåíÿâàíå íà âñÿêà îò ñëåäâàùèòå 20 çàäà÷è:3 òî÷êè ïðè ïðàâèëåí îòãîâîð1 òî÷êà ïðè íåîòáåëÿçàí îòãîâîð0 òî÷êè ïðè ãðåøåí îòãîâîð

• Ñòîéíîñòòà íà èçðàçà a + 2b

3a + bïðè a = 1,5 è b = −2,5 å:

� 0,75 ⊠ −1,75 � −1,25 � −3,5

• Êîðåíèòå íà óðàâíåíèåòî x2 − 6x− p = 0, êúäåòî p å ïàðàìåòúð, ñà ðåàëíèïðè:⊠ p ∈ [−9; +∞) � p ∈ [9; +∞) � p ∈ (−∞; 9] � p ∈ (−∞;−9]

• Íà êîëêî å ðàâíî ïðîèçâåäåíèåòî îò êîðåíèòå íà óðàâíåíèåòî 6x2−7x−1 = 0:� −1 �

1

6� 1 ⊠ −1

61254

• Çà ðåøåíèåòî (x; y) íà ñèñòåìàòà ∣

∣

∣

∣

x − y = 0x2 + y2 = 12

å â ñèëà:� xy = 0 � xy = 2 ⊠ xy = 6 � xy = 12

• Êîðåíúò íà óðàâíåíèåòî 2x

x + 1=

2x − 1

xå:

� 2 � −2 ⊠ 1 � 0

• Àêî b − 1

b=

8

3, òî b2 +

1

b2=

⊠82

9�

64

9�

46

9�

9

46

• Êîé èíòåðâàë ñúäúðæà êîðåí íà óðàâíåíèåòî √4x − 3 = 5 :

� (−∞; 3) � [3; 6) ⊠ [6; 8) � [8; +∞)

• Êîå îò ÷èñëàòà å êîðåí íà óðàâíåíèåòî 3x + 3x+2 = 30 :⊠ 1 � 2 � 0 � íèêîå îò òåçè

• Àêî log52 = m òî lg 40 =

�3m

m + 1�

m + 3

3m + 1�

m + 3

m + 1⊠

3m + 1

m + 1

• �åøåíèÿòà íà íåðàâåíñòâîòî 4x > 5 ñà ÷èñëàòà îò èíòåðâàëà:� (45; +∞) � (log

54; +∞) � (54; +∞) ⊠ (log

45; +∞)

• Íà êîëêî å ðàâíà ñòîéíîñòòà íà ïðîèçâîäíàòà íà �óíêöèÿòàf(x) = 2(x − 2)2 +

√x ïðè x = 2 :

⊠1

2√

2� 4 �

√2

2�

1√2

• Íàé-ãîëÿìàòà ñòîéíîñò íà �óíêöèÿòà y = −x2 + 2x + 7, x∈(−3; 2), å:� 7 ⊠ 8 � 0 � 2

• Àêî sin 2ϕ = b è ϕ ∈ (0;π

2), òî íà êîëêî å ðàâíî cos ϕ + sin ϕ :

�√

2 + b �

√

b + 1

2�

√

b − 1

2⊠ íèêîå îò òåçè

2255

• Ïåòèÿò ÷ëåí íà àðèòìåòè÷íà ïðîãðåñèÿ {an}, íà êîÿòî a3 = 16 è a7 = 4, åðàâåí íà:� 20 � 6 ⊠ 10 � 8

• Íà êîëêî å ðàâíî ëèöåòî íà òðèúãúëíèê ñ äúëæèíè íà ñòðàíèòå 4, 5 è 7:� 4

√3 � 10 �

35

2⊠ 4

√6

• Â ïðàâîúãúëåí òðèúãúëíèê êàòåòèòå ñà ñ äúëæèíè 3 è 4. �àäèóñúò íàîïèñàíàòà îêîëî òðèúãúëíèêà îêðúæíîñò å:⊠

5

2�

√7 �

7

2� íèêîå îò òåçè

• Â ïðàâîúãúëåí òðèúãúëíèê ïðîåêöèèòå íà êàòåòèòå âúðõó õèïîòåíóçàòà ñà ñäúëæèíè 2 è 5. Ïî-ìàëêèÿò êàòåò íà òðèúãúëíèêà èìà äúëæèíà:�

√6 ⊠

√14 � 4 � 2

√7

• �àâíîáåäðåí òðèúãúëíèê èìà îñíîâà ñ äúëæèíà 16 è áåäðî ñ äúëæèíà 10.�àäèóñúò íà âïèñàíàòà â òðèúãúëíèêà îêðúæíîñò å:⊠

8

3� 3 �

3

8� 5

• Çà óñïîðåäíèêà ABCD å äàäåíî AB = 4, BC = 3 è cos <) ABC = −1

2.Äúëæèíàòà íà äèàãîíàëà BD å ðàâíà íà:

� 5 ⊠√

13 � 7 �√

37

• Îò òåñòå ñ 24 êàðòè çà èãðà (ïî 4 àñà, ïîïîâå, äàìè, âàëåòà, äåñåòêè è äåâåòêè)ñà èçòåãëåíè ïîñëåäîâàòåëíî áåç âðúùàíå 2 êàðòè. Âåðîÿòíîñòòà äà ñà èçòåãëåíèäâå äàìè å:�

1

36�

7

24⊠

1

46�

1

2

3256

Îöåíÿâàíå íà âñÿêà îò ñëåäâàùèòå 10 çàäà÷è:6 òî÷êè ïðè âåðåí îòãîâîð0 òî÷êè ïðè ãðåøåí èëè íåîòáåëÿçàí îòãîâîð◮ Ïîëîæèòåëíèòå ðåøåíèÿ íà íåðàâåíñòâîòî x2 + 7x − 8 ≤ 0 ñà ÷èñëàòà îòèíòåðâàëà:Îòãîâîð: (0; 1]

◮ Ñáîðúò îò ïúðâèòå 5 ÷ëåíà íà ãåîìåòðè÷íàòà ïðîãðåñèÿ {an} ñ a1 = 1 èa4 = 64 å:Îòãîâîð: 341

◮ Â ïðàâîúãúëíà êîîðäèíàòíà ñèñòåìà âúðõîâåòå íà óñïîðåäíèêà ABCD ñàA(1; 2), B(4; 1), C(6; 3). Êàêâè ñà êîîðäèíàòèòå íà âúðõà D?Îòãîâîð: (3; 4)

◮ �åøåíèÿòà íà íåðàâåíñòâîòî log4(x + 9) > 2 ñà:Îòãîâîð: x ∈ (7; +∞)

◮ �åøåíèÿòà íà óðàâíåíèåòî 2 sin2 x + 2 cos 2x = 1 ñà:Îòãîâîð: x = ±π

4+kπ, k = 0,±1,±2, . . . èëè x = ±45◦+180◦k, k = 0,±1,±2, . . .

◮ limx→0

tg 2x

5x=Îòãîâîð: 2

5

◮ Ëîêàëíèÿò ìàêñèìóì íà �óíêöèÿòà f(x) = x3 − 5x2, x∈(−∞; +∞), å:Îòãîâîð: 0

◮ Â ïðàâîúãúëåí òðàïåö áåäðàòà èìàò äúëæèíè 6 è 10, à ìàëêàòà îñíîâà å ñäúëæèíà 3. Íà êîëêî å ðàâíî ëèöåòî íà òðàïåöà?Îòãîâîð: 42

◮ Ïðàâ êðúãîâ öèëèíäúð èìà âèñî÷èíà 5 è ëèöå íà îêîëíàòà ïîâúðõíèíà 60π.�àäèóñúò íà ñ�åðàòà, îïèñàíà îêîëî öèëèíäúðà, å:Îòãîâîð: 13

2

◮ �úáîâåòå AB, AC è AD íà òðèúãúëíàòà ïèðàìèäà ABCD ñà ñ äúëæèíà 4è ñà äâà ïî äâà âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíè. Ëèöåòî íà ñòåíàòà BCD å ðàâíî íà:Îòãîâîð: 8√

3 4257


ЗАДАЧИ ЗА САМОСТОЯТЕЛНА ПОДГОТОВКА (ДОМАШНИ

РАБОТИ) ПО ВМ 2 ЧАСТ ВЪВ ВТУ „ТОДОР КАБЛЕШКОВ“

ДР№ 1. Производна на функция.

ДР№ 2. Граници на редица. Граница на функции.

ДР№ 3. Интервали на монотоност. Локални екстремуми. Интервали

на изпъкналост и вдлъбнатост и инфлексни точки. Асимптоти.

ДР№ 4. Неопределени интеграли. Непосредствено интегриране.

Интегриране чрез внасяне под диференциала.

ДР№ 5. Интегриране на рационални функции. Интегриране по части.

Интегриране чрез смяна на променливите.

ДР№ 6. Определени интеграли. Приложения на определените

интеграли.

ДР№ 7. Числови редове. Функционални редове.

258

1

ДОМАШНА РАБОТА №1

1) Пресметнете производната на функцията:

1.1. 3 24 3 5 3y x x x ; 1.2. 5 3 25 2 5 15y x x x ;

1.3. 6 47 8 6 1y x x x ; 1.4. 8 4 25 3 5 9y x x x ;

1.5. 8 6 33 2 5 9y x x x ; 1.6. 10 82 3 10y x x x ;

1.7. 12 83 6 5y x x x ; 1.8. 15 6 44 5 8y x x x ;

1.9. 10 74 3 4 11y x x x ; 1.10. 12 10 25 4 7 6y x x x . 2) Пресметнете производната на функцията:

2.1. 3 2 53

6 4y x x

x x ; 2.2. 34 6

4

8 5y x x

x x ;

2.3. 5 3 82

10 9y x x

x x ; 2.4. 54 3

4

10 2y x x

x x ;

2.5. 5 4 53

8 6y x x

x x ; 2.6. 3 7 5

2 3

8 6y x x

x x ;

2.7. 9 345 4

6 8y x x

x x ; 2.8. 3 8 7

5

6 10y x x

x x ;

2.9. 7 94

4

9 12y x x

x x ; 2.10. 5 6 11

3 3

8 9y x x

x x .


3.1. 3 6tg 4e 5sinx xy x x ; 3.2. 4 6cotg 4ln 5cosxy x x x ;

3.3. 5 6cos 9ln 4arccosxy x x x ; 3.4. 6 8ln 4cos 5arcsinxy x x x ;

3.5. 7 8e 4tg 6arctgx xy x x ; 3.6. 8 6cotg 5e 6lnx xy x x ;

3.7. 9 6cos 7e 5lnx xy x x ; 3.8. 10 7cos 7arccot g 5tgxy x x x ;

3.9. 2 9 ln 5cos 8arcsinxy x x x ; 3.10. 11 9e 5tg arctgx xy x x . 4) Пресметнете производната на функцията:

4.1. 3(3 3 ).sinxy x x x ; 4.2. 5( 3 2).cosy x x x ;

4.3. 5 2( 3 8).lny x x x ; 4.4. 6( 5).arcsiny x x ;

4.5. 3 .arctgy x x ; 4.6. 3 .cotgy x x ;

2

4.7. 3 .exy x ; 4.8. 4 2 .tgy x x x ;

4.9. 33

1.arccosy x x

x

; 4.10. 2 1.arccotgy x x

x

.


5.1. 2

2

5

4

xy

x

; 5.2.

2

2

7

3

xy

x

;

5.3. 2

2

3 7

2 3

xy

x

; 5.4.

2

2

2 3

3 2

xy

x

;

5.5. 2

2

7 1

1

x xy

x

; 5.6.

2

2

9

2

x xy

x

;

5.7. 2

2

7

2 3

xy

x x

; 5.8.

2

2

4

4 6

xy

x x

;

5.9. 2

3 5

5

xy

x

; 5.10.

2

4 3

6

xy

x

.


6.1. 2sin( 5)y x ; 6.2. 3 5 4x xy e ;

6.3. 4cos( 5 )y x x ; 6.4. 2arctg(3 )y x ;

6.5. 3ln( 6 1)y x x ; 6.6. 5arccotg(2 )y x ;

6.7. 6tg( 3)y x x ; 6.8. 8arccos(2 )y x ;

6.9. 4 2cotg( 1)y x x ; 6.10. arcsin(3 1)y x . 7) Пресметнете производната на функцията:

7.1. 4 8( 5 3)y x x ; 7.2. 10 6( 5)y x ;

7.3. 7 2 10( 3 4)y x x ; 7.4. 6 5( 3 )y x x ;

7.5. 4 4

1

( 6)y

x

; 7.6.

2 3

1

( 6 10)y

x x

;

7.7. 4 4 9y x x ; 7.8. 3 4 2y x ;

7.9. 6

1

2 1y

x

; 7.10.

3 3

1

2y

x

.

259

3


8.1. 2

3

1

xy

x

; 8.2.

2 3

3 5

xy

x

;

8.3. 32 1

3 7

xy

x

; 8.4.

2

42

2 3

7

xy

x

;

8.5. 53 5

6

xy

x

; 8.6. 7

3

2 3

7

xy

x

;

8.7. 5

2 5

4 1

xy

x

; 8.8.

73 7

2 8

xy

x

;

8.9. 6

4 2

3 5

xy

x

; 8.10.

82 2

1

xy

x

.


9.1. 2 2arcsin ( 3)y x ; 9.2. 4 3tg ( 1)y x ;

9.3. 3 3arctgy

x

; 9.4. 3cos5

xy

;

9.5. 43

4arccosy

x

; 9.6. 3

6sin3

xy

;

9.7. 64

5arccotgy

x

; 9.8. 4

2cotg2

xy

;

9.9. 8 4ln ( 2 5)y x x ; 9.10. 5 5cos 2y x x .


10.1. 4 5tg( 3)y x ; 10.2. 4 2 8ln( 2 5)y x x ;

10.3. 5 3cos( 1)y x ; 10.4. 4arcsin 5y x ;

10.5. 4 7sin( 3 1)y x x ; 10.6. arctg 2 3y x ;

10.7. 4 6cotg(x 1)y x ; 10.8. 6 2arccotg 1y x x ;

10.9. 3 4( 5)xy e ; 10.10. 2arccos 7y x .

4


11.1. 4 4 4 4cotg cotg cotgy x x x ; 11.2. 5 5 5 5arccotg arccotg arccotgy x x x ;

11.3. 2 2 2 2tg tg tgy x x x ; 11.4. 3 3 3 3arctg arctg arctgy x x x ;

11.5. 7 7 7 7sin sin siny x x x ; 11.6. 8 8 8 8arcsin arcsin arcsiny x x x ;

11.7. 3 3 3 3cos cos cosy x x x ; 11.8. 4 4 4 4arccos arccos arccosy x x x ;

11.9. 6 6 6 6tg tg tgy x x x ; 11.10. 2 2 2 2arccotg arccotg arccotgy x x x . 12) Пресметнете производната на функцията:

12.1. 3 33

4( 5).arccosy x

x

; 12.2. 4 42

6( 3 2).arcsiny x x

x

;

12.3. 6 2 13.sin

3

xy x

x

; 12.4. 3 3 4

3 5.cos2 5

xy x

x

;

12.5. 2

2

3 2.arcsin

1

xy

x x

; 12.6.

4

4 2

5 3.arctg

2

xy

x x

;

12.7. 5 4 3( 3 ) . xy x x e ; 12.8. 4 3( 2 1) .tg 2x+1y x x ;

12.9. 3 5 45 5 .tgxy x x x ; 12.10. 4 34 4 4 .ln (2 5)xy x x x . 13) Пресметнете производната на функцията:

13.1. 2( 4)xy x ; 13.2. 3xy x ;

13.3. (cos )xy x ; 13.4. (sin )xy x ;

13.5. 2 3xy x ; 13.6. (tg )xy x ;

13.7. (cotg )xy x ; 13.8. 3

(sin )xy x ;

13.9. 2 1(cos ) xy x ; 13.10. 22 3(tg ) xy x .

260

1


1) Пресметнете границата:

1.1. lim 2n

n n

; 1.2. lim 5 2n

n n

;

1.3. 2 2lim 4 4n

n n

; 1.4. 2 2lim 4 1n

n n

;

1.5. 2 2lim 2 5 2 5n

n n n n

; 1.6. 2 2lim 6 6n

n n n n

;

1.7. 2lim 4n

n n

; 1.8. 2lim 2n

n n

;

1.9. 3 3lim 1n

n n

; 1.10. 3 3lim 3n

n n

.


2.1. 3

lim 1n

n n

; 2.2. 5

lim 1n

n n

;

2.3. 2

4lim 1

n

n n

; 2.4. 3

2lim 1

n

n n

;

2.5. 31

lim 16

n

n n

; 2.6.; 41

lim 18

n

n n

;

2.7. 2

limn

n

n

n

; 2.8. 3

limn

n

n

n

;

2.9. 2 1

1lim

n

n

n

n

; 2.10. 3 2

1lim

n

n

n

n

.


3.1. 3 2

3

3 2 5lim

4n

n n

n

; 3.2. 4 3

3

4 2 5lim

4n

n n n

n n

;

3.3. 3 2

3

4 2 3 5lim

2 3 2n

n n n

n n

; 3.4. 2

3

2 5 6lim

2 3 2n

n n

n n

;

3.5. 4 2

3

6 3 2lim

2 5 4n

n n n

n n

; 3.6. 3 2

4 2

6 3 2lim

2 5 4n

n n n

n n n

;

3.7. 5 3

5 2

8 3 2lim

4 7n

n n n

n n

; 3.8. 5 2

7 3

2 3 3 1lim

2 7n

n n n

n n n

;

3.9. 4 2

3 2

4 2 2lim

4 7 1n

n n

n n n

; 3.10. 4 2

4 2

3 3 2 5lim

2 5 8n

n n n

n n n

.

2


4.1. 5

1 2lim

5x

x

x

; 4.2. 3

1 2lim

3x

x

x

;

4.3. 3

3 6lim

3x

x

x

; 4.4. 4

3 5lim

4x

x

x

;

4.5. 4

4lim

8 2x

x

x

; 4.6. 2

2lim

2 2x

x

x

;

4.7. 2

20

1 1lim

4 2x

x

x

; 4.8.

2

20

4 2lim

16 4x

x

x

;

4.9. 2

20

1lim

9x

x x

x x

; 4.10.

2

2 6lim

2x

x x

x

.


5.1. 2

31

3 2 1lim

3 4x

x x

x x

; 5.2. 4 2

21

5 4lim

2 1x

x x

x x

;

5.3. 2

31

7 6limx

x x

x x

; 5.4. 2

31

3 4lim

1x

x x

x

;

5.5. 2

3 22

2 8lim

2x

x x

x x

; 5.6. 2

33

12lim

9x

x x

x x

;

5.7. 2

32

5 6lim

8x

x x

x

; 5.8. 2

3 23

6lim

3 3x

x x

x x x

;

5.9. 2

3 21

2 1lim

4 5x

x x

x x

; 5.10. 4

3 21

1lim

5 6 1x

x

x x

.


6.1. 20

sin 2 3tglim

+ arctg 4x

x x

x x

; 6.2.

30

sin 4 arctg 2lim

+ tg 2x

x x

x x

;

6.3. 2

0

e cos3 6lim

arcsin 4

x

x

x x

x

; 6.4.

3

30

e 2cos 2 3lim

arcsin 2

x

x

x

x x

;

6.5. 0

sin 4 sin 6lim

arctg 2x

x x

x x

; 6.6. 0

cos 6 cos3 6lim

sin 2 sin 4x

x x x

x x

;

6.7. 0

tg6 tg3lim

arctg 3 arctg 2x

x x

x x

; 6.8. 2 3

0

e e 2cos 2lim

arcsin 2 sin 4

x x

x

x

x x

;

6.9. 3

50

e cos 4 2lim

e 1

x

xx

x

x

; 6.10. 50

3e 2cos 2 5lim

e sin 3 1

x

xx

x

x

.

261

3


7.1. 2

31

sin( 2)limx

x x

x x

; 7.2. 2

22

sin( 3 2)lim

4x

x x

x

;

7.3. 2

23

tg( 2 3)lim

3x

x x

x x

; 7.4. 3

21

tg( 3 2)lim

5 4x

x x

x x

;

7.5. 3

21

sin( 5 4)lim

sin( 1)x

x x

x

; 7.6. 3

21

sin( 1)lim

sin( 4 3)x

x

x x

;

7.7. 24

arctg( 4)lim

4x

x

x x

; 7.8. 2

21

arctg( 1)lim

2 1x

x

x x

;

7.9. 31

arcsin( 1)lim

1x

x

x

; 7.10. 2

32

arcsin( 2 )lim

4x

x x

x x

.


8.1. 20

sin 2 ln(1 2 )lim

4x

x x

x

; 8.2.

20

ln(1 3 ) sin 3lim

3x

x x

x

;

8.3. 20

e e 2lim

8

x x

x x

; 8.4.

3

60

e 3 1lim

e 6 1

x

xx

x

x

;

8.5. 2

0

2e sin 4 2lim

1 cos 2

x

x

x

x

; 8.6. 2

0

e cos 2 2lim

1 cos 4

x

x

x x

x

;

8.7. 21

1 cos( )lim

2 1x

x

x x

; 8.8. 30

3 sin 3limx

x x

x

;

8.9. 22

1 cos( )lim

4 4x

x

x x

; 8.10. 3 3

30

e e 6lim

x x

x

x

x

.


9.1. 20

sin 5lim

3 sinx

x x

x x x ; 9.2.

20

cos sinlim

4x

x x x

x

;

9.3. 0

sinlim

sinx

x x

x x

; 9.4.

0

tglim

sinx

x x

x x

;

9.5. 3 20

e sinlim

4

x

x

x x

x x

; 9.6. 1

1 lnlim

( 1) lnx

x x

x x

;

9.7. 20

sinlim

4 sin 2 2x

x x

x x x ; 9.8.

0

sinlim

tgx

x x

x x

;

9.9. 0

tglim

tgx

x x

x x

; 9.10.

4 20

2 e sin 2lim

2

x

x

x x

x x

.

4


10.1. 2

0

elim

e cos 4

x

xx

x

x x

; 10.2.

3 2

2 20

( ) cos 2lim

e e 2x xx

x x x

;

10.3.; 22

0

elim

3e sin 3 3

x

xx

x

x

10.4.

2

20

cos 6lim

8 2sin 2x

x x

x x x ;

10.5. 21

4arctglim

lnx

x

x x

; 10.6.

21

4arctglim

sin( )x

x

x x

;

10.7. 2 3

3

( 9)elim

5 1 4

x

x

x

x

; 10.8. 22

4 1 3lim

( 3)sin( )x

x

x x

;

10.9. 4

2 1 3lim

( 3)sin( 4)x

x

x x

; 10.10. 22 1

1

( )elim

2 1

x

x

x x

x x

.


11.1. 4

20

e 4 1lim

sin 2

x

x

x

x

; 11.2.

4

20

1 cos8lim

tg 2x

x x

x

;

11.3.; 6

20

e sin 6 1lim

tg 3

x

x

x

x

11.4.

4 4

20

e e 2lim

sin 4

x x

x x

;

11.5. 20

e e 2lim

tg 4

x x

x x

; 11.6.

2

20

10 3sin 3lim

sin 3x

x x x

x

;

11.7. 20

6e sin 6 6lim

arctg 2

x

x

x

x

; 11.8.

2

20

1 cos6lim

arctg 3x

x x

x

;

11.9. 3

20

cos 2 1lim

arcsin 2x

x x

x

; 11.10.

20

e cos5lim

arcsin

x

x

x x

x

.


12.1. 0

1 1lim

sinx x x

; 12.2. 0

1 1lim

tgx x x

;

12.3. 1

1 1lim

1 lnx x x

; 12.4.

0

1 1lim

ln( 1)x x x

;

12.5. 20

1 1lim

sinx x x

; 12.6. 0

1 1lim

1xx x e

;

12.7. 0

1 1lim

arctgx x x

; 12.8.

0

1lim cotgx

xx

;

12.9. 2

1lim

cotg 2cosx x x

; 12.10.

2 20

1 1lim

sinx x x

.

262

1


1) Намерете интервалите на монотонност, локалните екстремуми, интервалите на изпъкналост и вдлъбнатост и инфлексните точки на функцията:

1.1. 3 2( ) 3 9 10f x x x x ; 1.2. 3 2( ) 6 15 12f x x x x ;

1.3. 3 2( ) 3 45 5f x x x x ; 1.4. 3 2( ) 6 36 12f x x x x ;

1.5. 3 2( ) 3 24 6f x x x x ; 1.6. 3 2( ) 6 63 10f x x x x ;

1.7. 3 2( ) 3 9 6f x x x x ; 1.8. 3 2( ) 9 15 5f x x x x ;

1.9. 3 2( ) 6 9 3f x x x x ; 1.10. 3 2( ) 9 21 7f x x x x . 2) Намерете интервалите на монотонност, локалните екстремуми, интервалите на

изпъкналост и вдлъбнатост и инфлексните точки на функцията:

2.1. 3( ) 3 12f x x x ; 2.2. 3( ) 3 8f x x x ;

2.3. 3( ) 12 2f x x x ; 2.4. 3( ) 12 6f x x x ;

2.5. 3( ) 27 5f x x x ; 2.6.; 3( ) 27 4f x x x ;

2.7. 3( ) 2 6 3f x x x ; 2.8. 3( ) 2 6 5f x x x ;

2.9. 3( ) 2 24 5f x x x ; 2.10. 3( ) 2 24 9f x x x . 3) Намерете интервалите на монотонност, локалните екстремуми, интервалите на

изпъкналост и вдлъбнатост и инфлексните точки на функцията:

3.1. 3 2( ) 3 8f x x x ; 3.2. 3 2( ) 2 9 4f x x x ;

3.3. 3 2( ) 2 6 4f x x x ; 3.4. 3 2( ) 4 6 5f x x x ;

3.5. 3 2( ) 3 9 2f x x x ; 3.6. 3 2( ) 3 18 5f x x x ;

3.7. 3 2( ) 9 5f x x x ; 3.8. 3 2( ) 9 4f x x x ;

3.9. 3 2( ) 6 8f x x x ; 3.10. 3 2( ) 12 8f x x x .

4) Намерете интервалите на монотонност и локалните екстремуми на функцията:

4.1. 4 3( ) 4 2f x x x ; 4.2. 4 3( ) 4 6f x x x ;

4.3. 4 3( ) 8 6f x x x ; 4.4. 4 3( ) 8 8f x x x ;

4.5. 4 3( ) 3 4 8f x x x ; 4.6. 4 3( ) 3 4 12f x x x ;

4.7. 5 3( ) 3 5 15f x x x ; 4.8. 5 3( ) 3 5 5f x x x ;

4.9. 5 4( ) 4 5 20f x x x ; 4.10. 5 4( ) 4 5 10f x x x .

2


5.1. 4 3 21( ) 3

2f x x x x ; 5.2. 4 3 2( ) 3 8 6 12f x x x x ;

5.3. 4 3 2( ) 2 4f x x x x ; 5.4. 4 3 2( ) 8 18 16f x x x x ;

5.5. 4 3 2( ) 3 8 6 12f x x x x ; 5.6. 4 3 2( ) 3 16 24 8f x x x x ;

5.7. 4 3 2( ) 3 16 24 10f x x x x ; 5.8. 4

3 2( ) 2 44

xf x x x ;

5.9. 4 3 2( ) 4 4 4f x x x x ; 5.10. 4 3 2( ) 4 20 8f x x x x . 6) Намерете интервалите на монотонност и локалните екстремуми на функцията:

6.1. 4 2( ) 2 4 8f x x x ; 6.2. 4 2( ) 2 4 10f x x x ;

6.3. 4 2( ) 3 6 4f x x x ; 6.4. 4 2( ) 3 6 8f x x x ;

6.5. 4 2( ) 18 2f x x x ; 6.6. 4 2( ) 18 9f x x x ;

6.7. 4 2( ) 2 4f x x x ; 6.8. 4 2( ) 2 6f x x x ;

6.9. 4 2( ) 8 2f x x x ; 6.10. 4 2( ) 8 12f x x x .

7) Намерете интервалите на изпъкналост и вдлъбнатост и инфлексните точки на функцията:

7.1. 4 3 2( ) 4 18 6f x x x x ; 7.2. 4 3 2( ) 8 18 4f x x x x ;

7.3. 4 3 2( ) 4 48 6f x x x x ; 7.4. 4 3 2( ) 2 12 6f x x x x ;

7.5. 4 3( ) 4 10f x x x ; 7.6. 4 3 2( ) 2 36 4f x x x x ;

7.7. 4 2( ) 24 10f x x x ; 7.8. 4 3( ) 6 12f x x x ;

7.9. 4 3( ) 2 12f x x x ; 7.10. 4 2( ) 6 12f x x x .


8.1. 2

( )1

xf x

x

; 8.2.

2

( )1

xf x

x

;

8.3. 2

( )2

xf x

x

; 8.4.

2

( )2

xf x

x

;

8.5. 2

( )3

xf x

x

; 8.6.

2

( )3

xf x

x

;

8.7. 2

( )4

xf x

x

; 8.8.

2

( )4

xf x

x

;

8.9. 2

( )5

xf x

x

; 8.10.

2

( )5

xf x

x

.

263

3


9.1. 2 3 3

( )2

x xf x

x

; 9.2.

2 3 6( )

2

x xf x

x

;

9.3. 2 3 9

( )2

x xf x

x

; 9.4.

2 2 1( )

3

x xf x

x

;

9.5. 2 3 6

( )2

x xf x

x

; 9.6.

2 4 5( )

2

x xf x

x

;

9.7. 2 4 8

( )2

x xf x

x

; 9.8.

2 6 10( )

3

x xf x

x

;

9.9. 2 2 1

( )3

x xf x

x

; 9.10.

2 5 5( )

2

x xf x

x

.


10.1. 3 27( ) ex xf x ; 10.2.

3 12( ) e x xf x ;

10.3. ( ) 2arctgf x x x ; 10.4. 2( ) e xf x x ;

10.5. 2( ) 8lnf x x x ; 10.6. 2

2 2( ) ex

f x x

;

10.7. 22( ) e xf x x ; 10.8. ( ) e xf x x ;

10.9. 2( ) 2 lnf x x x ; 10.10. ( ) arctg2f x x x .

11) Намерете асимптотите на функцията:

11.1. 3

2

2 1( )

2 15

xf x

x x

; 11.2.

4

223)(

2

23

x

xxxf ;

11.3.; 3

2

4 3( )

2 3

x xf x

x x

11.4.

9

132)(

2

23

x

xxxf ;

11.5. 2

3

4

22)(

x

xxxf

; 11.6. 3 2

2

2 5( )

x xf x

x x

;

11.7. 2

3

9

123)(

x

xxxf

; 11.8. 3

2

2 2( )

3 4

x xf x

x x

;

11.9. 3

2

2( )

2 8

xf x

x x

; 11.10.

3

2

2 1( )

3

x xf x

x x

.

4


12.1. 4 2

3

2 11( )

4

x xf x

x x

; 12.2.

3 2

2

2 5( )

1

x xf x

x

;

12.3. 4 3

3

3 4( )

x xf x

x x

; 12.4.

3 2

2

2 3( )

4 1

x xf x

x

;

12.5. 4 3

3 2

3 4( )

4 5

x xf x

x x x

; 12.6.

3 2

2

3 2 1( )

9 1

x xf x

x

;

12.7. 4

3 2

2 5( )

2 2

x xf x

x x x

; 12.8.

3

2

2 5( )

4 5

xf x

x x

;

12.9. 4 2

3

4 2( )

2

x xf x

x x

; 12.10.

3

2

8( )

2 10

xf x

x x

.


13.1. 4 2

3

3 4( )

x xf x

x x

; 13.2.

4 2

3

2 10( )

4

x xf x

x x

;

13.3. 3

2

8 5( )

4 1

xf x

x

; 13.4.

4 3

3

3 6( )

x xf x

x x

;

13.5. 3

2

27 3 9( )

9 1

x xf x

x

; 13.6.

4 2

3 2

3 6( )

4 5

x xf x

x x x

;

13.7. 4

3 2

2 5 2( )

4 5

x xf x

x x x

; 13.8.

4

3 2

2 5( )

2 8

x xf x

x x x

;

13.9. 4

3

3 6( )

4

x xf x

x x

; 13.10.

4

3 2

5( )

2 15

xf x

x x x

.


14.1. 2

2

2( )

3

xf x

x x

; 14.2.

2

2

2 5( )

4 3

x xf x

x x

;

14.3. 2

2

6( )

xf x

x x

; 14.4.

2

2

5( )

2

xf x

x x

;

14.5. 3

3

3 4( )

9

xf x

x x

; 14.6.

3

3

3 5( )

1

x xf x

x

;

14.7. 2

2

2 5( )

4

x xf x

x

; 14.8.

3

3

3 5( )

1

xf x

x

;

14.9. 2

2

3 2 7( )

1

x xf x

x

; 14.10.

3

3

2 6( )

8

xf x

x

.

264

1


1) Пресметнете интеграла:

1.1. 3 24 6 8 3x x x dx ; 1.2. 7 4 38 5 8 3x x x dx ;

1.3. 4 25 10 12 4x x x dx ; 1.4. 8 5 29 6 6 7x x x dx ;

1.5. 5 36 8 10 2x x x dx ; 1.6. 7 316 4 2 10x x x dx ;

1.7. 6 4 37 10 8 5x x x dx ; 1.8. 9 5 210 6 12 7x x x dx ;

1.9. 4 210 12 2 1x x x dx ; 1.10. 3 212 3 4 15x x x dx .


2.1. 3 5 43

6 4x x dx

xx ; 2.2. 54 3

3

6 53x x dx

x x ;

2.3. 3 2 66

10 5x x dx

x x ; 2.4. 3 7 5

6 3

10 36x x dx

x x ;

2.5. 5 2 32

6 4x x dx

x x ; 2.6.; 7 34

3 5

4 66x x dx

x x ;

2.7. 33

34

6 7x x dx

x x ; 2.8. 3 11 5

3 2

4 10x x dx

x x ;

2.9. 7 5 7

5

9 12x x dx

x x ; 2.10. 5 7 13

6

8 7x x dx

x x .


3.1. 2 2

6 43 5sin

cos 1x x dx

x x

; 3.2. 2 2

4 46 3sin

cos 1

x x dxx x

;

3.3. 2 2

4 32 7 cos

sin 1x x dx

x x

; 3.4. 2 2

4 28 5cos

sin 1

x x dxx x

;

3.5. 2 2

4 27 7e

cos 1x x dx

x x

; 3.6. 2 2

2 610 8e

cos 1

x x dxx x

;

3.7. 2 2

3 54 10e

sin 1

x x dxx x

; 3.8. 2 2

6 42 8sin

cos 1x x dx

x x

;

3.9. 2 2

2 35 sin

cos 1

x x dxx x

; 3.10. 2 2

2 47 6cos

sin 1x x dx

x x

.

2


4.1. 22

6 3

34dx

xx

; 4.2.

22

4 6

92dx

xx

;

4.3. 22

2 4

93dx

xx

; 4.4.

22

10 7

495dx

xx

;

4.5. 22

8 6

216dx

xx

; 4.6.

22

10 11

1125dx

xx

;

4.7. 22

5 8

165dx

xx

; 4.8.

22

10 12

365dx

xx

;

4.9. 22

8 7

74dx

xx

; 4.10.

22

8 5

564dx

xx

.


5.1. sin(2 4)x dx ; 5.2. cos(3 7)x dx ;

5.3. 2 4e x dx ; 5.4. 4 13 x dx ;

5.5. 2

1

sin (3 4)dx

x ; 5.6. 2

1

cos (5 3)dx

x ;

5.7. 3

sin2

xdx ; 5.8.

5cos

4

xdx ;

5.9. 2

1

sin3

dxx ; 5.10.

2

1

cos5

dxx .


6.1. 6(3 7)x dx ; 6.2. 5(9 4 )x dx ;

6.3. 2 8x dx ; 6.4. 4 3 5x dx ;

6.5. 6

1

(2 3)dx

x ; 6.6. 7

1

(5 4 )dx

x ;

6.7. 1

6 5dx

x ; 6.8. 1

5dx

x ;

6.9. 3

1

2 7dx

x ; 6.10. 5

1

6 7dx

x .

265

3


7.1. 2

1 1

4 1 4 1dx

x x

; 7.2. 2

1 1

1 41 4dx

xx

;

7.3. 2

1 1

9 1 9 1dx

x x

; 7.4. 2

1 1

1 91 9dx

xx

;

7.5. 2

1 1

4 94 9dx

xx

; 7.6.

2

1 1

9 49 4dx

xx

;

7.7. 2

1 1

25 925 9dx

xx

; 7.8.

2

1 1

49 449 4dx

xx

;

7.9. 2

1 1

9 16 9 16dx

x x

; 7.10. 2

1 1

4 25 4 25dx

x x

.


8.1. 32 2 2

3 3 4

cos 2 4x dx

x x x

; 8.2. 742

3 3cos3

1 4x x dx

xx

;

8.3. 52 2

5 4 6

sin 2 9x dx

x x x

; 8.4. 32 2

7 6 6

cos 3 9x dx

x x x

;

8.5. 33 2

6 32 e

9

xx dxx x

; 8.6. 742

4 6cos 2

42x x dx

xx

;

8.7. 2

3 2

6 33 e

4

xx dxx x

; 8.8. 44 2

6 63 e

1 4

xx dxx x

;

8.9. 3 5

4 2

6 3sin 2

5x x dx

x x

; 8.10. 34

3 2

4 3sin 3

4x x dx

x x

.


9.1. 2sin( 3)x x dx ; 9.2. 2cos(3 2)x x dx ;

9.3. 2 4e xx dx ; 9.4.

23 5e xx dx ;

9.5. 2 2sin (2 1)

xdx

x ; 9.6. 2 2cos (4 3)

xdx

x ;

9.7. 4 1

xdx

x ; 9.8. 4 1

xdx

x ;

9.9. 4 1

xdx

x ; 9.10.

41

xdx

x .

4


10.1. 2

2 5

1

xdx

x

; 10.2.

2

4 3

1

xdx

x

;

10.3. 2

4 3

4

xdx

x

; 10.4.

2

6 5

4

xdx

x

;

10.5. 2

6 1

9

xdx

x

; 10.6.

2

2 7

9

xdx

x

;

10.7. 2

4 1

16

xdx

x

; 10.8.

2

6 5

16

xdx

x

;

10.9. 2

8 5

25

xdx

x

; 10.10.

2

8 4

25

xdx

x

.


11.1. sin cosx x dx ; 11.2. 3sin cosx x dx ;

11.3. 3sin cosx x dx ; 11.4. 2sin cosx x dx ;

11.5. 2

sin

cos

xdx

x ; 11.6. 3

cos

sin

xdx

x ;

11.7. sin

1 cos

xdx

x ; 11.8. cos

1 sin

xdx

x ;

11.9. 2

sin

1 cos

xdx

x ; 11.10. 2

cos

1 sin

xdx

x .


12.1. ln x

dxx ; 12.2.

2ln xdx

x ;

12.3. ln

dx

x x ; 12.4. 2ln

dx

x x ;

12.5. 2

arctg

1

xdx

x ; 12.6. 3

2

arctg

1

xdx

x ;

12.7. 2

arcsin

1

xdx

x ; 12.8.

4

2

arcsin

1

xdx

x ;

12.9. 2

e

1 e

x

xdx

; 12.10. e

4 e

x

xdx

.

266

1



1.1. 2(4 1)e xx dx ; 1.2. (6 7)e xx dx ;

1.3. 3(6 5)e xx dx ; 1.4. 2(4 3)e xx dx ;

1.5. 4(8 7)e xx dx ; 1.6. 3(6 1)e xx dx ;

1.7. 5(10 3)e xx dx ; 1.8. 4(8 5)e xx dx ;

1.9. 6(6 5)e xx dx ; 1.10. 5(5 4)e xx dx .


2.1. (8 3)sin 4x x dx ; 2.2. (5 4)cos5x x dx ;

2.3. (6 1)sin2

xx dx ; 2.4. (2 1)cos

3

xx dx ;

2.5. (8 3)sin3

xx dx ; 2.6.; (3 4)cos

2

xx dx ;

2.7. (9 5)sin 3x x dx ; 2.8. (4 3)cos 2x x dx ;

2.9. (5 3)sin 5x x dx ; 2.10. (9 2)cos3x x dx .


3.1. (4 3) lnx x dx ; 3.2. 2(6 5) lnx x dx ;

3.3. 3(4 3) ln 2x x dx ; 3.4. 4(5 4) ln 3x x dx ;

3.5. 3(8 4 6) lnx x x dx ; 3.6. 4(10 6 8) lnx x x dx ;

3.7. lnx x dx ; 3.8. 3 2 lnx x dx ;

3.9. 3

ln xdx

x ; 3.10. ln x

dxx .

2


4.1. arctg2x dx ; 4.2. arccotg3x dx ;

4.3. arcsin2x dx ; 4.4. arccos3x dx ;

4.5. arctg3x x dx ; 4.6. arccotg2x x dx ;

4.7. ln( 5)x dx ; 4.8. ln(2 3)x dx ;

4.9. 2ln( 4)x dx ; 4.10. 2ln( 9)x dx .

5) Пресметнете интеграла чрез полагане:

5.1. 2

2 5

2 3

xdx

x x

; 5.2.

2

3 4

6 5

xdx

x x

;

5.3. 2

4 1

2

xdx

x x

; 5.4.

2

6 3

3 2

xdx

x x

;

5.5. 2

3 7

4 4

xdx

x x

; 5.6.

2

2 9

6 9

xdx

x x

;

5.7. 2

2 9

4 13

xdx

x x

; 5.8.

2

3 4

6 10

xdx

x x

;

5.9. 2

2 3

2 10

xdx

x x

; 5.10.

2

4 5

2 5

xdx

x x

.


6.1. 2

3 8

4

xdx

x

; 6.2.

2

5 9

9

xdx

x

;

6.3. 2

4 1

2

xdx

x x

; 6.4.

2

6 5xdx

x x

;

6.5. 2

2 5

2 8

xdx

x x

; 6.6.

2

3 4

5 6

xdx

x x

;

6.7. 2

4 3

7 12

xdx

x x

; 6.8.

2

4 1

6 7

xdx

x x

;

6.9. 2 2 15

xdx

x x ; 6.10. 2 4 5

xdx

x x .

267

3


7.1. 3 2

10

2

xdx

x x x

; 7.2.

3 2

12

3 4

xdx

x x x

;

7.3. 2

3 2

5

2 8

xdx

x x x

; 7.4.

2

3 2

10

12

xdx

x x x

;

7.5. 3

2 5xdx

x x

; 7.6.

3

3 8

4

xdx

x x

;

7.7. 3

2 18

9

xdx

x x

; 7.8.

2

3

6xdx

x x

;

7.9. 2

3

12

4

xdx

x x

; 7.10.

2

3

9

9

xdx

x x

.


8.1. 3

2 7xdx

x x

; 8.2.

3

8

4

xdx

x x

;

8.3. 3

3 18

9

xdx

x x

; 8.4.

2

3

5xdx

x x

;

8.5. 2

3

12

4

xdx

x x

; 8.6.

2

3

2 9

9

xdx

x x

;

8.7. 2

3

2 5x xdx

x x

; 8.8.

2

3

6 4

4

x xdx

x x

;

8.9. 2

3

9

9

x xdx

x x

; 8.10.

2

3

3x xdx

x x

.


9.1. 3 2

3 1xdx

x x

; 9.2.

3 2

3 4

2

xdx

x x

;

9.3. 3 2

5 9

3

xdx

x x

; 9.4.

3 2

3 8

4

xdx

x x

;

9.5. 3 2

10

2

xdx

x x x

; 9.6.

3 2

5 12

4 4

xdx

x x x

;

9.7. 3 2

3 14

2

xdx

x x x

; 9.8.

3 2

18

6 9

xdx

x x x

;

9.9. 3 2

2 5xdx

x x

; 9.10.

3 2

2 9

9

xdx

x x

.

4


10.1. sin 3cos 4

dx

x x ; 10.2. 2sin 5cos 6

dx

x x ;

10.3. 3cos2sin xx

dx; 10.4. 7cos6sin2 xx

dx;

10.5. xx

dx

cos5sin1213; 10.6. xx

dx

cos7sin2425;

10.7. 5 3sin 4cos

dx

x x ; 10.8. 4 5sin 3cos

dx

x x ;

10.9. sin cos 2

dx

x x ; 10.10. 3sin cos 2

dx

x x .


11.1. 982 xxx

dx; 11.2.

432 xxx

dx;

11.3. 2 8 9

dx

x x x ; 11.4.

2 3 4

dx

x x x ;

11.5. 24 5 1

dx

x x x ; 11.6.

2 5 4

dx

x x x ;

11.7. 2 8 1

dx

x x x ; 11.8.

2 8 9

dx

x x x ;

11.9. 2 7 6

dx

x x x ; 11.10.

2 3 2

dx

x x x .


12.1. 43 xxx

dxx; 12.2. xxx

dxx3

3

;

12.3. 2

6

3

1 xdx

x

; 12.4.

3

3

1

1

x xdx

x

;

12.5. 1

xdx

x ; 12.6. 1

1dx

x ;

12.7. sin x

dxx ; 12.8.

cos xdx

x ;

12.9. xe

dxx ; 12.10. 4x x dx .

268

1



1.1. 2

4 2

1

5 9 12 3x x x dx ; 1.2. 1

8 5 2

0

9 12 6 2x x x dx ;

1.3. 2

5 3

0

6 8 10 2x x x dx ; 1.4. 1

7 3

0

16 4 2 10x x x dx ;

1.5. 2

6 4 3

1

7 10 8 5x x x dx ; 1.6. 1

9 5 2

1

10 6 12 7x x x dx

;

1.7. 2

4 2

2

10 12 2 1x x x dx

; 1.8. 3

3 2

2

12 3 4 15x x x dx ;

1.9. 3

3 2

1

4 6 8 5x x x dx ; 1.10. 1

7 4 3

1

8 5 8 3x x x dx

.


2.1. 8

3

31

6x dx

x ; 2.2.

164

41

2x dx

x ;

2.3. 6

1

3 5e

dxx x ; 2.4.

21

4 7e

dxx x ;

2.5. 4

1

4xdx

x ; 2.6.;

9

1

2xdx

x ;

2.7. 8

33

1

x x dx ; 2.8. 2

55

1

x x dx ;

2.9. 7

1

9e

x dxx ; 2.10. 5

1

4e

x dxx .


3.1. 4

20 cos

dx

x

; 3.2. 2

2

4

sin

dx

x

; 3.3.

2

4

sin x dx

; 3.4.

2

cos x dx

; 3.5.

1

20 1

dx

x

3.6.

1

2

20 1

dx

x ; 3.7.

6

2

2x dx ; 3.8. 16

0

9x dx ; 3.9. 9

0 16

dx

x ; 3.10. 9

0 25

dx

x .

2


4.1. 4

0

sin 2x dx

; 4.2. 6

0

cos3x dx

; 4.3. 2

3 6

0

e x dx ; 4.4.

1

44 1

0

3 x dx ;

4.5. 6

2

12

1

sin 3dx

x

; 4.6.

20

20

1

cos 5dx

x

; 4.7. 0

3sin

2

xdx

; 4.8. 0

5cos

4

xdx

;

4.9. 3

0

sin6

xdx

; 4.10. 2

0

cos4

xdx

.


5.1. 1

2

0

(6 5)e xx dx ; 5.2. 3

0

(2 5)e xx dx ;

5.3. 2 3

0(3 1)e xx dx ; 5.4.

22

1

(4 7)e xx dx ;

5.5. 1

4

1

(6 1)e xx dx

; 5.6. 1

3

0

(5 3)e xx dx ;

5.7. 3

5

0

(2 3)e xx dx ; 5.8. 1

4

1

( 7)e xx dx

;

5.9. 1

6

0

( 2)e xx dx ; 5.10. 2

5

1

(8 3)e xx dx .


6.1. 8

0

(8 5)sin 4x x dx

; 6.2. 2

0

(6 2)cosx x dx

;

6.3. 0

(3 2)sin2

xx dx

; 6.4. 3

0

( 5)cos3

xx dx

;

6.5. 0

(2 3)sin3

xx dx

; 6.6. 2

(2 5)cos2

xx dx

;

6.7. 3

0

(6 7)sin 3x x dx

; 6.8. 6

0

(12 7)cos 2x x dx

;

6.9. 10

0

(10 1)sin 5x x dx

; 6.10. 6

0

(6 7)cos3x x dx

.

269

3


7.1. 1

(8 5) lne

x x dx ; 7.2. 2

1

(12 4) lne

x x dx ;

7.3. 3

1

(16 3) lne

x x dx ; 7.4. 4

1

(25 12) lne

x x dx ;

7.5. 3

1

(16 4 7) lne

x x x dx ; 7.6. 4

1

(25 8 9) lne

x x x dx ;

7.7. 2

1

(4 9) ln 2x x dx ; 7.8. 3

1

(8 7) ln 3x x dx ;

7.9. 2

2

1

(9 4 ) lnx x x dx ; 7.10. 4

1

( 8 9) lnx x dx .


8.1. 4

21

8 1

6

xdx

x x

; 8.2.

5

20

8 7

3 4

xdx

x x

;

8.3. 4

22

13

2 3

xdx

x x

; 8.4.

3

20

11 1

2

xdx

x x

;

8.5. 4

0 1

dx

x ; 8.6. 9

0 5

dx

x ;

8.7. 9

6

2 7

5

xdx

x

; 8.8.

8

3

4 1

1

xdx

x

;

8.9. 7

4

2 5

3

xdx

x

; 8.10.

5

0

3 2

4

xdx

x

.

9) Пресметнете лицето на фигурата, ограничена от кривите:

9.1. 2 3y x x , 3 4y x ; 9.2. 2 1y x , 1y x ;

9.3. 2 2y x x , 2 4y x ; 9.4. 2 4y x x , 4 1y x ;

9.5. 2 9y x , 2 9y x ; 9.6. 2 4y x , 3 4y x ;

9.7. 2 2y x x , 2 1y x ; 9.8. 2 2 3y x x , 3y x ;

9.9. 2 2y x x , 2y x ; 9.10. 2 3y x x , 3 4y x .

270

1


1) Изследвайте за сходимост числовия ред:

1.1. 1

.3

2 1

n

n

n

n

; 1.2. 1

.2

3 2

n

n

n

n

;

1.3. 1

( 1).4

5 3

n

n

n

n

; 1.4.

3

1

.3

4 1

n

n

n

n

;

1.5. 1

1

(2 1).4nn

n

n

; 1.6.

1 (3 1).2nn

n

n

;

1.7. 2

1

4 1

.2nn

n

n

; 1.8. 1

1

5 1

( 1).5nn

n

n

;

1.9. 1

2 5

( 5).2nn

n

n

; 1.10.

1

(2 1).7

3 1

n

n

n

n

.


2.1. 1

8

( 1)!

n

n n

; 2.2. 1

5

( 3)!

n

n n

;

2.3. 2

1

3

( 6)!

n

n n

; 2.4. 2

1

4

( 2)!

n

n n

;

2.5. 1

.2

( 7)!

n

n

n

n

; 2.6. 1

1

.5

( 5)!

n

n

n

n

;

2.7. 1

(2 1).6

( 3)!

n

n

n

n

; 2.8.

1

(3 2).4

( 4)!

n

n

n

n

;

2.9. 1

( 1)!

(2 3).2nn

n

n

; 2.10.

1

!

(3 1).7nn

n

n

.


3.1. 1

3

(2 1)!

n

n n

; 3.2. 5

1

2

(2 5)!

n

n n

;

3.3. 1

(2 7)!

.4nn

n

n

; 3.4. 1

(2 3)!

( 1).5nn

n

n

;

3.5. 1

1

(2 1)!

8nn

n

; 3.6. 3

1

(2 3)!

4nn

n

;

3.7. 2

1

7

(3 1)!

n

n n

; 3.8. 1

2

(3 2)!

n

n n

;

3.9. 1

.5

(2 1)!

n

n

n

n

; 3.10. 1

( 2).9

(2 7)!

n

n

n

n

.

2


4.1. 0

2 . !

2.5...(3 2)

n

n

n

n

; 4.2. 0

3 .( 2)!

3.7...(4 3)

n

n

n

n

;

4.3. 1

0

4 . !

5.7...(2 5)

n

n

n

n

; 4.4. 2

0

7 .( 3)!

3.8...(5 3)

n

n

n

n

;

4.5. 0

2 .( 5)!

4.7...(3 4)

n

n

n

n

; 4.6.

1

0

6 . !

2.9...(7 2)

n

n

n

n

;

4.7. 0

5.8...(3 5)

5 . !nn

n

n

; 4.8. 0

3.5...(2 3)

3 .( 6)!nn

n

n

;

4.9. 1

0

1.8...(7 1)

8 .( 2)!nn

n

n

; 4.10.

30

5.9...(4 5)

7 . !nn

n

n

.


5.1. 1

0

1.8...(7 1)

7 .( 3)!nn

n

n

; 5.2.

0

4.7...(3 4)

3 . !nn

n

n

;

5.3. 0

5.9...(4 5)

4 .( 1)!nn

n

n

; 5.4.

0

7.9...(2 7)

2 . !nn

n

n

;

5.5. 0

1.5...(4 1)

4 . !nn

n

n

; 5.6. 0

3.8...(5 3)

5 .( 5)!nn

n

n

;

5.7. 0

4 .( 1)!

5.9...(4 5)

n

n

n

n

; 5.8.

1

0

3 .( 7)!

2.5...(3 2)

n

n

n

n

;

5.9. 0

5 . !

2.7...(5 2)

n

n

n

n

; 5.10. 0

2 .( 8)!

4.6...(2 4)

n

n

n

n

.


6.1.

1 !)!12(

!.2

n

n

n

n; 6.2.

1 !)!12(

!)!2(

n n

n;

6.3. 2

1

2 .( 3)!

(2 4)!!

n

n

n

n

; 6.4.

1

(2 6)!!

(2 3)!!n

n

n

;

6.5. 3

1

2 . !

(2 5)!!

n

n

n

n

; 6.6. 1

(2 1)!!

(2 4)!!n

n

n

;

6.7. 1

(2 3)!!

2 . !nn

n

n

; 6.8. 1

(2 )!! 1

(2 1)!! 2 5n

n

n n

;

6.9. 1

(2 )!!

2 .( 5)!nn

n

n

; 6.10. 1

(2 2)!! 1

(2 5)!! 2 1n

n

n n

.

271

3


7.1. 2

1

3 .( !)

(2 1)!

n

n

n

n

; 7.2. 2

1

2 .( !)

(2 1)!

n

n

n

n

;

7.3. 2

1

5 . ( 1)!

(2 1)!

n

n

n

n

; 7.4.

2

1

2 .(( 2)!)

(2 1)!

n

n

n

n

;

7.5. 1 2

1

(2 3)!

7 .( !)nn

n

n

; 7.6. 3 2

1

(2 6)!

2 .( !)nn

n

n

;

7.7. 1 2

1

(2 5)!

6 .(( 1)!)nn

n

n

; 7.8.

1 21

(2 3)!

2 .(( 3)!)nn

n

n

;

7.9. 2

1

(2 2)!

4 .(( 2)!)nn

n

n

; 7.10.

21

(2 4)!

2 .(( 3)!)nn

n

n

.


8.1. 1

2 3

3 5

n

n

n

n

; 8.2. 1

3 1

7

n

n

n

n

;

8.3. 2

1

4 3

3 5

n

n

n

n

; 8.4. 3

1

2 1

3 2

n

n

n

n

;

8.5. 1

(2 3)

(5 2)

n

nn

n

n

; 8.6.

1

(4 2)

(3 1)

n

nn

n

n

;

8.7. 2

21

(6 5)

(2 3)

n

nn

n

n

; 8.8.

3

31

( 3)

(2 1)

n

nn

n

n

;

8.9. 2

1

(7 1)

( 2)

n

nn

n

n

; 8.10.

3

1

(2 1)

(5 4)

n

nn

n

n

.


9.1.

2

1

1n

n

n

n

; 9.2.

2

1

1n

n

n

n

;

9.3.

2

1

2n

n

n

n

; 9.4.

2

1

2n

n

n

n

;

9.5.

2

1

3

2

n

n

n

n

; 9.6.

2

1

4

3

n

n

n

n

;

9.7.

2

1

5

1

n

n

n

n

; 9.8.

2

1

2

3

n

n

n

n

;

9.9.

2

1

2 3

2 2

n

n

n

n

; 9.10.

2

1

2 4

2 5

n

n

n

n

.

4

10) Определете радиуса и интервала на сходимост на степенния ред:

10.1. 0

2

3 5

nn

n

xn

; 10.2.

0

( 3)

2 7

nn

n

xn

;

10.3. 0

4

2 3

nn

n

xn

; 10.4.

0

( 4)

4 3

nn

n

xn

;

10.5. 0

(3 )

4 5

n

n

x

n

; 10.6. 0

( 2 )

3 1

n

n

x

n

;

10.7. 0

(5 )

2 9

n

n

x

n

; 10.8. 0

( 5 )

5 2

n

n

x

n

;

10.9. 0 4 1

n

n

x

n

; 10.10. 0

( )

6 5

n

n

x

n

.


11.1. 0

1

3 ( 5)n

nn

xn

; 11.2.

0

1

( 5) (4 1)n

nn

xn

;

11.3. 0 2 (3 2)

n

nn

x

n

; 11.4. 0 ( 2) ( 1)

n

nn

x

n

;

11.5. 0 5 (3 5)

n

nn

x

n

; 11.6. 0 ( 4) (2 8)

n

nn

x

n

;

11.7. 0

3

4 (4 1)

nn

nn

xn

; 11.8.

0

( 5)

2 (5 2)

nn

nn

xn

;

11.9. 0

(7 )

3 (6 5)

n

nn

x

n

; 11.10. 0

( 3 )

5 (4 3)

n

nn

x

n

.


12.1. 2

0

5

2

nn

n

xn n

; 12.2.

20

( 3)

5

nn

n

xn n

;

12.3. 2

0

(4 )

1

n

n

x

n

; 12.4. 2

0

( 4 )

6

n

n

x

n

;

12.5. 2

0

n

n

x

n n

; 12.6. 2

0

( )

2

n

n

x

n n

;

12.7. 2

0 3 ( 4)

n

nn

x

n

; 12.8. 2

0 ( 4) ( 3)

n

nn

x

n

;

12.9. 2

0

3

4 ( )

nn

nn

xn n

; 12.10.

20

( 3 )

3 ( 2)

n

nn

x

n

.

272

5


13.1. 0

4

( 5)!

nn

n

xn

; 13.2.

0

( 5)

( 7)!

nn

n

xn

;

13.3. 2

0

3

( 1)!

nn

n

xn

; 13.4.

3

0

( 4)

( 5)!

nn

n

xn

;

13.5. 0

(2 )

!

n

n

x

n

; 13.6.

0

( 5 )

!

n

n

x

n

;

13.7. 0

( 3)!

3n

nn

nx

; 13.8.

0

( 2)!

( 2)n

nn

nx

;

13.9. 2

0

( )!

7n

nn

nx

; 13.10. 2

0

( )!

7n

nn

nx

.

273


ИЗПИТ ПО ВИСША МАТЕМАТИКА 2 ЧАСТ

274

275


ТЕСТ ПО МАТЕМАТИКА ЗА 7 КЛАС

Инструкция;

Бланка за отговори;

Тест;

Отговори;

Тестова спецификация;

Анкетна карта.

276

ТТЕЕССТТ ппоо ММААТТЕЕММААТТИИККАА 7 клас

ИНСТРУКЦИЯ

Този ТЕСТ съдържа 50 задачи. Задачите са два вида:

40 задачи с избираем отговор;

10 задачи със свободен отговор.

За всяка задача с избираем отговор са дадени четири отговора А), Б), В) и Г), от които само

един верен. За тези задачи в бланката за отговори срещу номера и отбележете буквата на верния

според вас отговор. Например, ако искате да отбележите отговор В), направете го по следния

начин:

За всяка задача със свободен отговор, отговорът е цяло число от 0 до 9999. В бланката за

отговори срещу номера на всяка такава задача попълнете числото, което според вас e верния

отговор. При записване на числото спазвайте следното правило:

в първата колона отбележете цифрата на хилядите;

във втората колона отбележете цифрата на стотиците;

в третата колона отбележете цифрата на десетиците;

в четвъртата колона отбележете цифрата на единиците.

Например, ако искате да запишете числата 0; 3; 22; 146; 7701, направете го по следния начин:

Точките, които при верен отговор ще ви донесе съответната задача, са отбелязани в скоби до

номера на задачата.

Максимален брой точки – 100. Време за работа – 180 минути.

Не се разрешава използването на калкулатори и други електрони средства!

Пожелаваме Ви успех!

277

ТТЕЕССТТ ппоо ММААТТЕЕММААТТИИККАА 7 клас

БЛАНКА ЗА ОТГОВОРИ

ИМЕ: ПРЕЗИМЕ: ФАМИЛИЯ:

УЧИЛИЩЕ:

БРОЙ ТОЧКИ: ОЦЕНКА:

278

1

ТТЕЕССТТ ппоо ММААТТЕЕММААТТИИККАА

77 ккллаасс

1. (1) Стойността на израза

3

1:3|2:|8A е:

А) 13; Б) 3; В) 5; Г) 13.

2. (1) Сборът 20от%3035от5

2

е равен на:

А) 14; Б) 6; В) 74; Г) 20. 3. (1) Нормалният вид на едночлена 2343 )3.(2 ахха е:

А) 746 ха ; Б) 629 ха ; В) 24618 ха ; Г) 10518 ха .

4. (1) Числената стойност на израза 87

45

3.)3(

9.)3(

B е корен на уравнението:

А) 013 х ; Б) 019 х ; В) 013 х ; Г) 4

1

5

1 хх

.

5. (1) Ако у

х 4

5,8 , намерете стойността на израза 123 хуC .

6. (1) Най-малкият от ъглите на чертежа има големина: А) 30°; Б) 40°; В) 38°; Г) 14°.

7. (1) Ако 23 32 х и 32 35 у , за числата y

xa

|| ,

x

yb

|2| ,

|1|

|2|

y

xc е вярно, че:

А) cbа ; Б) cab ; В) bac ; Г) abc .

8. (1) Стойността на параметъра m, при която неравенствата mx 12 и 2

1

3

xx са

равносилни, е: А) 5; Б) 7; В) 7; Г)

9. (1) На чертежа a || b || c. Големината на ъгъл x в градуси е: А) 12º; Б) 30º; В) 42º; Г) 18º.

279

2

10. (1) Ако | x | 4 и | y | 5, намерете най-голямата стойност на израза А = 3x – 4y . 11. (1) Ако cbа 0 , то вярно е, че:

А) 0.

.

ca

ba; Б) 0. ba ; В) 0.. cba ; Г) 0. cb .

12. (1) ABCD е успоредник и DE е ъглополовяща на ADC

Големината на AEF в градуси е: А) 52º; Б) 76º; В) 104º; Г) 128º.

13. (1) НЕ съществува триъгълник със страни: А) a 2 cm; b 6 cm; c 7 cm;

Б) a 1 m; b 2 m; c 4 m;

В) a 3 dm; b 4 dm; c 6 dm;

Г) a 2 mm; b 5 mm; c 6 mm.

14. (1) НЕ е вярно равенството:

А) 0,0000003 : 0,0003 103;

Б) 0,0002 : 0,00002 10;

В) 12,34567 : 12345,67 10–3;

Г) 24680,24 : 24,68024 103.

15. (1) При 12х , намерете стойността на израза 3

2

2

3

6

)2(

xxxxD .

16. (2) При 3

2х и 18у , стойността на израза

322

2

3:

4

3

y

x

y

xЕ e:

А) 6; Б) 2; В) 2; Г) 18. 17. (2) Коренът на уравнението 22 )4()2)(13()32( хххх е:

А) 13

11; Б)

3

1; В)

5

34 ; Г) 5.

18. (2) Всяко число x е решение на уравнението

(x – a) (x2 a2) (x a) – x (x2 2 x 4) (x – 2) a (8 a2 – x),

ако стойността на параметъра a е:

А) 8; Б) 2; В) 0; Г) 8. 19. (2) Най-малкото цяло число, което е решение на неравенството

4

4

3

352

2

11

2

22

ххх е:

А) 10; Б) 9; В) 8; Г) . 20. (2) Намерете корена на уравнението | 2 – x | x3 2 (5 x – 1), ако x 2.

280

3

21. (2) Ако лицето на ∆MQN е 36 cm2, лицето на квадрата ABCD, в квадратни сантиметри, е:

А) 144;

Б) 108;

В) 216;

Г) 320.

22. (2) Диагоналите на ромба ABCD се пресичат в точка O. Ако AB BD m и AC 2n, то НЕ е вярно, че:

А) Разстоянието от O до AB е 0,5n. Б) Разстоянието от B до AD е n. В) SABCD 2mn.

Г) Разстоянието от D до AC е 0,5m.

23. (2) Корените на уравнението 8)6()3)(3()2( 3 хххххх са:

А) 0; 5

3 ; Б) 0; 3; В) 0;

5

3; Г) 0; 3.

24. (2) На чертежа правите a и b са успоредни. Големината на ъгъл x в градуси е:

А) 30º; Б) 40º; В) 50º; Г) 20º.

25. (2) Моторна лодка със собствена скорост 11 km/h тръгва от пристанище A по течението на реката, стига до пристанище B и се връща обратно. Намерете разстоянието между пристанищата A и B в километри, ако времето на връщане е с 2 часа и 15 минути по-голямо от времето на отиване и течението на реката е със скорост 3 km/h.

26. (2) Машинописка запланувала да набере една книга, като набира по 60 страници на ден. След първите два дни тя увеличила нормата си с 50% и набрала книгата два дни предсрочно. Намерете за колко дни машинописката е набрала книгата.

А) 4; Б) 6; В) 8; Г) 10.

27. (2) В ромба ABCD АВС 120º, AC 42 cm.

BM и DN са ъглополовящи съответно на CBD и ADB .

Периметърът на четириъгълника BMDN в сантиметри е: А) 28; Б) 48; В) 56; Г) 70.

28. (2) За ъглите α, β и γ на ∆ АВС е дадено, че α : β : γ 3 : 2 : 4. Ъглополовящата на

ВАС пресича BC в точка L. НЕ е вярно, че:

А) AC BC AB;

Б) CL AC AL;

В) AL LB AB;

Г) AC AL AB.

281

4

29. (2) Ако ∆ АВС ∆ MBN, големината на ъгъл х е:

А) 182º;

Б) 74º;

В) 106º;

Г) 134º.

30. (2) В многочлена, равен на израза )32()1)(( 22 mxxmxxmxA ,

коефициентът на члена от втора степен е равен на 1. Намерете стойността на израза А при 2х .

31. (2) Единият корен на уравнението 3|2| mx e два пъти по-голям от другия, ако стойността на параметъра m е:

А) 11; Б) 7; В)11; Г) .

32. (2) Акционер закупил акции от две акционерни дружества и получил от тях дивиденти в размер на 1 940 лв. при печалба 2,5 % от първото и 2,2 % от второто. Намерете общият размер на акциите му в лева, ако акциите в първото дружество са с 40 000 лв. повече от тези във второто.

А) 20 000; Б) 60 000; В) 80 000; Г) 100 000.

33. (2) В ∆ АВС (CA CB) и АСВ 40°. SAC пресича правата AB в

точка M. Ако N лежи на правата СМ и BM CN, ъглите на ∆ АMN са: А) 70°; 70°; 40°; Б) 90°; 45°; 45°; В) 30°; 40°; 110°; Г) 100°; 40°; 40°.

34. (2) В ∆ АВС АВС 90°. Ъглополовящите на вътрешния и външния ъгъл при върха С пресичат правата АВ съотвитно в точки M и N . Ако CM = CN и BAC 25°; големината на АВС е:

А) 110º; Б) 120º; В) 150º; Г) 115º.

35. (2) Влак с дължина 180 m се движи по мост със скорост 5 m/s. Мостът е дълъг 480 m.

За колко време влакът преминава по моста? Запишете отговора в секунди.

36. (3) На чертежа ∆ ABC (C = 90°) и ACMN и BCPQ са квадрати. Ако разстоянията от точките N и Q до правата AB са съответно m и n, то отсечката AB е равна на:

А) m . n;

Б) 2

nm ;

В) nm

2;

Г) m + n.

282

5

37. (3) Изразът 652 23 xxx в разложен вид е: А) )3)(2)(1( xхх ; Б) )3)(2)(1( xхх ; В) )3)(2)(1( xхх ; Г) )3)(2)(1( xхх .

38. (3) Дадена е правоъгълна координатна система Оxy и точките А(-4;-3), В(3;-5) и С(1;4). Лицето на ∆ АВС в квадратни мерни единици е:

А) 28; Б) 30; В) 31,5; Г) 29,5.

39. (3) Ако 2:3: bа и cba , то стойността на израза cba

cba

3

432 e:

А) 5; Б) 4; В) 4; Г) 5.

40. (3) Затворен съд с формата на правоъгълен паралелепипед съдържа 60 литра вода. Ако поставим паралелепипеда на всяка от страните му, нивото на водата е на височина съответно 3 dm, 4 dm и 5 dm. Намерете повърхнината на паралелепипеда в квадратни дециметри.

41. (3) В ∆ ABC 6α 30β 5γ. Ако медианата CM 22 cm, лицето на ∆ MBC, в квадратни сантиметри, е:

А) 120; Б) 240; В) 121; Г) 242.

42. (3) Големината на ADC от чертежа е:

А) 36º30´; Б) 36º50´; В) 45º; Г) 73º.

43. (3) В ∆ ABC ACB 60º , CB = a и CA = b. Ако ъглополовящата CL на ACB е l, лицето на ∆ ABC се дава с формулата:

А) 2

аb; Б)

2

).( lba ; В)

4

аb; Г)

4

).( lba .

44. (3) Правоъгълен триъгълник с катети а = 8 сm и b сm се върти около катета b. Ако

обемът на полученото тяло е 128 π сm3, намерете дължината на катета b в сантиметри.

А) 3

2; Б) 6; В) 3; Г) 4.

283

6

45. (3) В квадрата ABCD е построен лъч с начало точка A, минаващ във вътрешността на квадрата и образуващ ъгъл 17º с AB. Ако точка Q е петата на перпендикуляра, спуснат от точка C към построения лъч, намерете големината на CDQ в градуси.

46. (3) Ако страната на всяко квадратче от мрежата е 1 cm, лицето на фигурата в квадратни сантиметри е:

А) 16 π 8; Б) 8 π 16; В) 6 π 16; Г) 8 π. 47. (3) Намерете броя на всички двойки цели отрицателни числа );( ух , които

удовлетворяват равенството 1212 ух .

А) 11; Б) 10; В) 6; Г) 1.

48. (3) Ако a2 +2 a b 2 b2 4 b 4 0, намерете стойността на израза 3a2 b3.

А) 24; Б) 4; В) 4; Г) 24.

49. (3) Четирима приятели – Емил, Филип, Йордан и Христо, отишли с приятелките си на дискотека. Отначало всеки танцувал със своята приятелка, но скоро двойките се разменили. Боряна танцувала с Емил, Ася – с приятеля на Катя, Дени – с приятеля на Ася, Филип – с приятелката на Йордан, а Йордан – с приятелката на Емил. Приятелката на Христо е:

А) Ася; Б) Боряна; В) Дени; Г) Катя.

50. (3) За отпечатването на номерацията на страниците на една математическа енциклопедия са били използвани 3029 цифри. Намерете колко страници има енциклопедията.

284

ТТЕЕССТТ ппоо ММААТТЕЕММААТТИИККАА

ОТГОВОРИ

1. В 16. В 36. Г

2. Г 17. Б 37. Г

3. Г 18. А 38. Г

4. Г 19. В 39. Б

5. 90 20. 3 40. 94

6. А 21. В 41. В

7. А 22. В 42. А

8. А 23. Б 43. Г

9. В 24. Б 44. Б

10. 32 25. 42 45. 28

11. В 26. Б 46. Б

12. Г 27. В 47. Б

13. Б 28. В 48. В

14. А 29. Г 49. Б

15. 3 30. 25 50. 1034

31. А

32. В

33. Г

34. Г

35. 132

285

Тестова спецификация

1 2 3

1 • Умее да пресмята част (процент) от дадено число, число по дадена част (процент) от него и да представя отношение на две числа в проценти (части)

2 26, 21, 32

2 • Умее да изразява пропорционална зависимост и да разделя определено количество в дадено отношение

5 28 39, 41

3 • Умее да степенува с показател цяло число и да извършва основни действия със степени

4, 7, 14 16

4 • Умее да намира абсолютна стойност (модул) на число 1, 7, 10 20

5 • Умее да построява точка по дадени координати и намира координати на точка спрямо декартова координатна система

38

6 • Умее да извършва действия с едночлени и опростява изрази, съдържащи едночлени

3 16

7 • Умее да събира и изважда многочлени, да умножава многочлен с едночлен и да умножава многочлен с многочлен

15 30

8 • Умее да прилага формулите за съкратено умножение при тъждествени преобразувания на изрази

17, 18, 23

9

• Умее да разлага многочлени на множители чрез: изнасяне на общ множител пред скоби, формулите за съкратено умножение, групиране и комбинирано използване на различни методи

20, 23 48, 37

10 • Умее да намира числена стойност на израз 1, 5, 10, 15 30 39

11 • Умее да прилага свойствата на числовите равенства

12 • Умее да решава линейни уравнения с едно неизвестно и свеждащи се към тях уравнения

17, 20, 23

13 • Умее да решава модулни линейни уравнения 31

14 • Умее да решава линейни параметрични уравнения с едно неизвестно

18, 31

15 • Умее да решава текстови задачи с математически модел линейно уравнение

725, 26, 35,

3250

16 • Умее да прилага свойствата на числовите неравенства 11

17 • Умее да решава линейни неравенства с едно неизвестно и свеждащи се към тях неравенства

8 19

18 • Умее да решава линейни параметрични неравенства с едно неизвестно

8

Оценявани компетенттентности от учебното съдържаниеПознавателно равнище

286

1 2 3Оценявани компетенттентности от учебното съдържание

Познавателно равнище

19 • Умее да намира разстояние между две точки и разстояние от точка до права

22 36

20 • Умее да сравнява отсечки и ъгли 28

21 • Умее да намира обиколка (периметър) и лице на триъгълник, успоредник, трапец и правилен многоъгълник

22 38, 41, 43

22 • Умее да намира дължина на окръжност и лице на кръг 46

23 • Умее да прилага свойствата на съседни и противоположни ъгли

6, 12

24 • Знае и умее да прилага формулата за сбор от ъглите в триъгълник, както и тази за външен ъгъл в триъгълника

28 41 , 42

25 • Знае и умее да прилага свойства и признаци за успоредни прави

9, 12 24

26 • Умее да определя съответните елементи на еднакви триъгълници

29

27 • Знае и умее да прилага признаците за еднаквост на триъгълници

36

28 • Знае и умее да прилага свойствата на симетрала на отсечка и ъглополовяща на ъгъл

33 43

29 • Знае и умее да прилага свойствата на: равнобедрен триъгълнк, правоъгълен триъгълник с ъгъл 30 градуса , медиана към хипотенуза в правоъгълен триъгълник

21, 27, 33 , 34

41, 43, 45

30 • Знае и умее да прилага неравенствата между страни и ъгли в триъгълника

28

31 • Знае и умее да прилага неравенството на триъгълника 13

32 • Знае и умее да прилага свойства и признаци за успоредник, правоъгълник, ромб, квадрат и трапец

12 21, 22, 27 45

33 • Знае и умее да прилага свойствата на куб, паралелепипед, права призма и правилна пирамида

40

34 • Знае и умее да прилага свойствата на прав кръгов цилиндър и прав кръгов конус

44

35 • Умее да образува отрицание на твърдение 49

36 • Знае и умее да прилага на конкретно ниво смисъла на логическите съюзи „и” и „или” и умее да образува отрицанието на твърдения, съдържащи тези съюзи.

49

287

Анкетна карта

Моля на всеки от поставените въпроси да отбележите отговора, който в най-голяма степен отразява Вашето мнение. Направете това, като запълните съответното квадратче с Х. На всеки ред запълнете само едно квадратче.

Благодаря Ви предварително за отзивчивостта!

Име: Презиме:

Фамилия: Училище:

1. Колко време на ден след (преди) училище отделяте за следните дейности?

Николко По –малко

от 1 час 1 – 2 часа

3 – 4 часа

Повече от 4 часа

Гледам телевизия и видео

Играя компютърни игри

Играя с приятели

Говоря с приятели по интернет

Върша домашна работа

Спортувам

Чета книга за удоволствие

Уча

2. Колко често учителят по математика Ви задава следните дейности ?Всеки

ден Веднъж

седмично 2 – 3 пъти седмично

1 – 2 пъти месечно

По-рядко

Домашна работа

Контролна работа

Тест

Изпитва ви на дъската

3. Каква е оценката Ви по математика?

Слаб Среден ДобърМногодобър

Отличен

В края на 5 клас

В края на 6 клас

В края на І срок на 7 клас

4. Как смятате, че сте оценени отучителя си по математика?

Подценен Правилно оценен Надценен

5. Как оценявате трудността нанастоящия тест поматематика?

6. Колко часа седмично отделяте за допълнителни часове по математика?

0 часа 1 - 2 часа 3 – 4 часа 5 – 6часа

Повече от 6 часа

СИП

ЗИП

Подготвителни курсове

Частни уроци

Самостоятелно занимание

7. До колко сте съгласни със следните твърдения за математиката?Напълно съгласен

По-скоро съгласен

По-скоро несъгласен

Напълно несъгласен

Изучаването на математиката ще ми помогне в ежедневието. Математиката ми е нужна при изучаването на другите предмети. Математиката ми е нужна само за да ме приемат в желаното от мен училище.

Математиката не ми е нужна.

Математиката ме учи на логично мислене.

8. Какво е отношението Ви към математиката?Напълно съгласен

По-скоро съгласен

По-скоро несъгласен

Напълно несъгласен

Аз обичам математиката.

Математиката е досадна.

Математиката не е моята сила.

С удоволствие се занимавам с математика.

Обикновено съм добър по математика.

9. Как се отнасят Вашитеродители към заниманията Ви поматематика?

10. Каква форма на изпитванепредпочитате?

Много лесен

Лесен Нормален Труден Много труден

Помагат ми лично

Поощряват ме

Не мепоощряват

Безразлично

Тест Писмено изпитване Изпитване на дъската

288


ХРОНОЛОГИЯ НА НАЦИОНАЛНОТО ТЕСТОВОТО ИЗПИТВАНЕ И

НАЦИОНАЛНО ВЪНШНО ОЦЕНЯВАНЕ ПО МАТЕМАТИКА СЛЕД 7 КЛАС

За първи път изпит – тест по математика се въвежда от Министерството на

образованието и науката от учебната 2006 – 2007 година за учениците, които ще се

явяват на изпит по математика след 7. клас. Тестът се състои от 40 задачи с избираем

отговор и 10 задачи с кратък свободен отговор, които трябва се решат за 180 минути. В

края на 2009 година Министерството на образованието, младежта и науката (МОМН)

публикува нова наредба за външно оценяване и прием след 7 клас. Тестът съдържа 30

задачи по математика, структурирани в два модула. В първия модул има 25 задачи с

избираем отговор, които трябва да се решат 60 минути. Вторият модул се състои от две

части: в първата част са дадени 3 задачи със свободен отговор, а във втората част са

дадени 2 задачи, за които си изисква разширен отговор. Времето за работа по втория

модул е 90 минути. Общата продължителност на изпита е 150 минути. В края на 2011

година МОН отново промени наредбата за външно оценяване и прием след 7 клас.

Тестът вече съдържа 24 задачи по математика, структурирани в два модула. Първия

модул се състои от 16 задачи с избираем отговор и 4 задачи със свободен отговор,

които трябва да се решат 60 минути. Допълнителният модул се състои от две части: в

първата част са дадени 2 задачи с кратък отговор по формата на PISA, а във втората

част са дадени 2 задачи, за които си изисква разширен отговор. През лятото на 2015

година, МОН оптимизира тестовите задачи от първия модул в действащия изпитен

формат, без да променя същността на формàта като цяло. Последната промяна, която

направи МОН е от есента на 2016 година. Съгласно нея оценките от националното

външно оценяване в края на 7 клас ще се изразяват само с количествени показатели – в

брой точки, без да се приравняват към оценки.

289


290

БЛАГОДАРНОСТИ

Искрено благодаря на:

научния ми ръководител проф. Кирил Банков, който провокира в мен интерес към

тестологията и ми даде много ценни съвети;

доц. Драго Михалев за добрите идеи, за полезните съвети, за отделеното време и

оказаната помощ;

инж. Марияна Влъчкова, директор на Първа Частна Математическа Гимназия,

която осигури условията за експериментиране в ПЧМГ и за голямото доверие, което ми

гласува;

проф. Огнян Касабов за ценните препоръки и оказаната помощ;

проф. Даниела Тодорова, ректор на ВТУ „Тодор Каблешков“, за оказаната

финансова подкрепа.

Благодарна съм и на колегите ми във ВТУ „Тодор Каблешков“ за проявеното

разбиране, както и на всички ученици и студенти, участвали в експериментите.

Благодаря на семейството ми и на приятелите ми, които се лишиха от вниманието

и помощта ми през последните години.

Documents

Софийски университет „Св. Кл. Охридски“, Факултет по ... · по ВМ2 от количеството решени примери от