Upload
others
View
2
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
1
Ñèíÿ ×îðíà 1
Ã.Ì. ÂîçíÿêÃ.Ì. ËèòâèíåíêîÞ.². Ìàëüîâàíèé
ÀËÃÅÁÐÀ
9 ÊËÀÑ
ÒÅÐÍÎϲËÜÍÀÂ×ÀËÜÍÀ ÊÍÈÃÀ � ÁÎÃÄÀÍ
Çà ðåäàêö³ºþ ÷ëåíà-êîðåñïîíäåíòà ÀÏÍ Óêðà¿íèÞ.². Ìàëüîâàíîãî
Çàòâåðäæåíî ̳í³ñòåðñòâîì îñâ³òè ³ íàóêè Óêðà¿íè
ϳäðó÷íèêäëÿ çàãàëüíîîñâ³òí³õíàâ÷àëüíèõ çàêëàä³â
2
Ñèíÿ ×îðíà 2
ÁÁÊ 22.1ÿ7274.262.21Â53
© Âîçíÿê Ã. Ì., Ëèòâèíåíêî Ã. Ì., Ìàëüîâàíèé Þ.²., 2003© Íàâ÷àëüíà êíèãà � Áîãäàí, ìàêåò, õóäîæíº îôîðìëåííÿ, 2003ISBN 966-7924-53-Õ
Ãîëîâíèé ðåäàêòîð Á.ª. Áóäíèé
Âîçíÿê Ã.Ì., Ëèòâèíåíêî Ã.Ì., Ìàëüîâàíèé Þ.².Â53 Àëãåáðà: ϳäðó÷íèê äëÿ 9 êëàñó çàãàëüíîîñâ³òí³õ íàâ÷àëüíèõ çàêëàä³â. �
Òåðíîï³ëü: Íàâ÷àëüíà êíèãà � Áîãäàí, 2003. � 184 ñ.ISBN 966-7924-53-Õ
ÁÁÊ 22.1ÿ72
Îõîðîíÿºòüñÿ çàêîíîì ïðî àâòîðñüêå ïðàâî.Æîäíà ÷àñòèíà äàíîãî âèäàííÿ íå ìîæå áóòè âèêîðèñòàíà ÷è â³äòâîðåíà
â áóäü-ÿêîìó âèãëÿä³ áåç äîçâîëó àâòîðà ÷è âèäàâíèöòâà
Ðåöåíçåíòè:êàíäèäàò ô³çèêî�ìàòåìàòè÷íèõ íàóê,
äîöåíò Òåðíîï³ëüñüêîãî îáëàñíîãî ³íñòèòóòó ï³ñëÿäèïëîìíî¿ îñâ³òèÄ.Ì. Ãàëàí
êàíäèäàò ïåäàãîã³÷íèõ íàóê,çàâ. êàá³íåòó ìàòåìàòèêè Äîíåöüêîãî îáëàñíîãî ³íñòèòóòó ï³ñëÿäèïëîìíî¿ îñâ³òè
Ë.ß. Ôåä÷åíêî
â÷èòåëü ìàòåìàòèêè Îáðîøèíñüêî¿ ñåðåäíüî¿ øêîëè Ëüâ³âñüêî¿ îáëàñò³,â÷èòåëü�ìåòîäèñò
Ì.Î. Ìàðè÷
Çàòâåðäæåíî ̳í³ñòåðñòâîì îñâ³òè ³ íàóêè Óêðà¿íè(ëèñò ¹ 1/11�3488 â³ä 10.08.2001)
3
Ñèíÿ ×îðíà 3
Çì³ñò
Ïåðåäìîâà ...........................................................................6
². Íåð³âíîñò³, ôóíêö³¿ òà ð³âíÿííÿ
§ 1. Íåð³âíîñò³
1.1. ×èñëîâ³ íåð³âíîñò³ ......................................................... 9
1.2. Âëàñòèâîñò³ ÷èñëîâèõ íåð³âíîñòåé ...................................13
1.3. Ïî÷ëåííå äîäàâàííÿ ³ ìíîæåííÿ ÷èñëîâèõ íåð³âíîñòåé...... 16
1.4. Çàñòîñóâàííÿ íåð³âíîñòåé äëÿ îö³íêè çíà÷åíü âèðàçó ........19
1.5. ˳í³éíà íåð³âí³ñòü ç îäí³ºþ çì³ííîþ ................................21
1.6. Ñèñòåìà ë³í³éíèõ íåð³âíîñòåé ç îäí³ºþ çì³ííîþ ................28
1.7. Íåð³âíîñò³, ùî ì³ñòÿòü ìîäóë³ ......................................... 34
1.8. Äîâåäåííÿ íåð³âíîñòåé ...................................................38
Çàïèòàííÿ äëÿ ñàìîïåðåâ³ðêè ...........................................41
Çàäà÷³ ³ âïðàâè äëÿ ñàìîêîíòðîëþ .....................................41
§ 2. Êâàäðàòíèé òðè÷ëåí
2.1. Êâàäðàòíèé òðè÷ëåí òà éîãî âëàñòèâîñò³ ......................... 43
2.2. Ðîçêëàäàííÿ êâàäðàòíîãî òðè÷ëåíà íà ìíîæíèêè .............45
Çàïèòàííÿ äëÿ ñàìîïåðåâ³ðêè ...........................................48
Çàäà÷³ ³ âïðàâè äëÿ ñàìîêîíòðîëþ .....................................49
§ 3. Êâàäðàòè÷íà ôóíêö³ÿ
3.1. Ïîíÿòòÿ êâàäðàòè÷íî¿ ôóíêö³¿ .......................................50
3.2. Ôóíêö³ÿ y = x2 + ï òà ¿¿ ãðàô³ê ...................................... 51
3.3. Ôóíêö³ÿ y = (x + m)2 òà ¿¿ ãðàô³ê.................................... 53
3.4. Ôóíêö³ÿ y = (x + m)2 + ï òà ¿¿ ãðàô³ê.............................. 55
3.5. Ôóíêö³ÿ y = àx2 òà ¿¿ ãðàô³ê ...........................................57
3.6. Ôóíêö³ÿ y = à(x + m)2 + ï òà ¿¿ ãðàô³ê ............................ 61
3.7. Ôóíêö³ÿ y = ax2 + bx + c òà ¿¿ ãðàô³ê .............................. 64
3.8. Âëàñòèâîñò³ êâàäðàòè÷íî¿ ôóíêö³¿ ...................................68
3.9. Ïåðåòâîðåííÿ ãðàô³ê³â ôóíêö³é.......................................75
4
Ñèíÿ ×îðíà 4
Çàïèòàííÿ äëÿ ñàìîïåðåâ³ðêè ........................................... 77
Çàäà÷³ ³ âïðàâè äëÿ ñàìîêîíòðîëþ .....................................78
§ 4. Íåð³âíîñò³ äðóãîãî ñòåïåíÿ ç îäí³ºþ çì³ííîþ
4.1. Ãðàô³÷íèé ñïîñ³á ðîçâ�ÿçóâàííÿ ...................................... 79
4.2. Àíàë³òè÷íèé ñïîñ³á ðîçâ�ÿçóâàííÿ ..................................82
4.3. Ìåòîä ³íòåðâàë³â ........................................................... 86
Çàïèòàííÿ äëÿ ñàìîïåðåâ³ðêè ........................................... 89
Çàäà÷³ ³ âïðàâè äëÿ ñàìîêîíòðîëþ .....................................89
§ 5. Ñèñòåìà ð³âíÿíü äðóãîãî ñòåïåíÿ ç äâîìà çì³ííèìè
5.1. Ñòåï³íü ð³âíÿííÿ ç äâîìà çì³ííèìè ................................90
5.2. Ðîçâ�ÿçóâàííÿ ñèñòåìè ð³âíÿíü äðóãîãî ñòåïåíÿ ç äâîìàçì³ííèìè ........................................................................91
5.3. Ðîçâ�ÿçóâàííÿ òåêñòîâèõ çàäà÷ .......................................97
Çàïèòàííÿ äëÿ ñàìîïåðåâ³ðêè .......................................... 101
Çàäà÷³ ³ âïðàâè äëÿ ñàìîêîíòðîëþ .................................... 101
§ 6. ×èñëîâ³ ïîñë³äîâíîñò³
6.1. Ïîñë³äîâíîñò³ òà ¿õ âëàñòèâîñò³ ..................................... 102
6.2. Àðèôìåòè÷íà ïðîãðåñ³ÿ ................................................. 109
6.3. Ãåîìåòðè÷íà ïðîãðåñ³ÿ .................................................. 116
6.4. Íåñê³í÷åííà ñïàäíà ãåîìåòðè÷íà ïðîãðåñ³ÿ ...................... 122
Çàïèòàííÿ äëÿ ñàìîïåðåâ³ðêè .......................................... 124
Çàäà÷³ ³ âïðàâè äëÿ ñàìîêîíòðîëþ .................................... 125
²². Åëåìåíòè ïðèêëàäíî¿ ìàòåìàòèêè
§ 7. Ìàòåìàòè÷íå ìîäåëþâàííÿ
7.1. Ïðèêëàäè ìàòåìàòè÷íîãî ìîäåëþâàííÿ .......................... 129
7.2. Çàäà÷³ íà â³äñîòêîâ³ ðîçðàõóíêè .................................... 132
§ 8. Íàáëèæåí³ îá÷èñëåííÿ
8.1. Àáñîëþòíà ³ â³äíîñíà ïîõèáêà íàáëèæåíîãî çíà÷åííÿ
÷èñëà ............................................................................ 138
8.2. ij¿ íàä íàáëèæåíèìè çíà÷åííÿìè ÷èñåë ......................... 145
Çàïèòàííÿ äëÿ ñàìîïåðåâ³ðêè .......................................... 149
Çàäà÷³ ³ âïðàâè äëÿ ñàìîêîíòðîëþ .................................... 149
Çì³ñò
5
Ñèíÿ ×îðíà 5
§ 9. Åëåìåíòè ñòàòèñòèêè
9.1. Ïåðø³ â³äîìîñò³ ïðî ñòàòèñòèêó ..................................... 150
9.2. Ãðàô³÷íå çîáðàæåííÿ ñòàòèñòè÷íèõ äàíèõ....................... 154
9.3. Ñåðåäí³ çíà÷åííÿ.......................................................... 155
9.4. Ìîäà ³ ìåä³àíà ............................................................. 161
Çàïèòàííÿ äëÿ ñàìîïåðåâ³ðêè .......................................... 163
Çàäà÷³ ³ âïðàâè äëÿ ñàìîêîíòðîëþ .................................... 163
Ïîâòîðåííÿ
1. ×èñëà ³ 䳿 íàä íèìè ....................................................... 166
2. Òîòîæí³ ïåðåòâîðåííÿ ..................................................... 167
3. гâíÿííÿ ³ ñèñòåìè ð³âíÿíü .............................................. 168
4. Íåð³âíîñò³ ...................................................................... 169
5. Ôóíêö³¿ ......................................................................... 1716. Ïîñë³äîâíîñò³ ................................................................. 174
7. Òåêñòîâ³ çàäà÷³ ............................................................... 175
Çàäà÷³ ³ âïðàâè äëÿ ñàìîêîíòðîëþ .................................... 176
8. Çàäà÷³ ï³äâèùåíî¿ ñêëàäíîñò³ ........................................... 176
³äïîâ³ä³ òà âêàç³âêè ...................................................... 179
Ôîðìóëè ........................................................................... 183
Çì³ñò
9
Ñèíÿ ×îðíà 9
§ 1. ÍÅвÂÍÎÑÒ²
1.1. ×ÈÑËβ ÍÅвÂÍÎÑÒ²
¬ Âàì óæå íå ðàç äîâîäèëîñÿ ïîð³âíþâàòè ÷èñëà.  ðåçóëüòàò³ïîð³âíÿííÿ âñòàíîâëþþòü îäíå ç òðüîõ ìîæëèâèõ â³äíîøåíü ì³æäâîìà ÷èñëàìè à ³ b: à á³ëüøå â³ä b (a > b); à ìåíøå â³ä b (à < b); aäîð³âíþº b (à = b).
Âè çíàºòå, ùî áóäü-ÿêå äîäàòíå ÷èñëî á³ëüøå â³ä 0, à áóäü-ÿêåâ³ä�ºìíå ÷èñëî ìåíøå â³ä 0. Òîìó çàïèñ a > 0 îçíà÷àº, ùî à � ÷èñëîäîäàòíå, à çàïèñ à < 0 � ùî à � ÷èñëî â³ä�ºìíå.
Íà êîîðäèíàòí³é ïðÿì³é äîäàòí³ ÷èñëà ðîçì³ùåí³ ñïðàâà â³ä íóëÿ,à â³ä�ºìí³ � çë³âà. Âçàãàë³, ÿêùî a > b, òî ÷èñëî à íà êîîðäèíàòí³éïðÿì³é ðîçì³ùåíå ïðàâ³øå â³ä b (ðèñ. 1).
Äîñ³ ñòðîãèõ îçíà÷åíü â³äíîøåíü «á³ëüøå», «ìåíøå», «äîð³âíþº»ì³æ äâîìà ÷èñëàìè íå äàâàëîñÿ, õî÷à âîíè äîñèòü ïðîñò³ ³ ïîáóäîâàí³íà âèêîðèñòàíí³ çíà÷åííÿ ð³çíèö³ äàíèõ ÷èñåë. ßê â³äîìî, òàêà ð³ç-íèöÿ ìîæå áóòè äîäàòíîþ, â³ä�ºìíîþ àáî äîð³âíþâàòè íóëþ. ³äïî-â³äíî,
÷èñëî a á³ëüøå â³ä ÷èñëà b, ÿêùî ð³çíèöÿ a � b äîäàòíà:a > b, ÿêùî a � b > 0;
÷èñëî a ìåíøå â³ä ÷èñëà b, ÿêùî ð³çíèöÿ a � b â³ä�ºìíà:a < b, ÿêùî a � b < 0;
÷èñëî a äîð³âíþº ÷èñëó b, ÿêùî ð³çíèöÿ a � b äîð³âíþºíóëþ:
a ===== b, ÿêùî a � b ===== 0.
Âðàõîâóþ÷è ö³ îçíà÷åííÿ, äëÿ ïîð³âíÿííÿ áóäü-ÿêèõ äâîõ ÷èñåëñë³ä óòâîðèòè ¿õ ð³çíèöþ ³ âèçíà÷èòè ¿¿ çíàê.
Ðîçãëÿíóâøè ïðèêëàäè, ñïðîáóºìî âèçíà÷èòè, ùî á³ëüøå:
à) 5
8 ֏
4
7?
5 4 35 32 30.
8 7 56 56
−− = = > Îòæå,
5 4.
8 7>
0– +
ab x
10
Ñèíÿ ×îðíà 10
á) �15 ÷è �17?�15 � (�17) = �15 + 17 = 2 > 0. Îòæå, �15 > �17.
â) 0,333 ÷è 1
3?
−− = − = = − <1 333 1 999 1000 10,333 0.
3 1000 3 3000 3000 Îòæå, < 1
0,333 .3
ã) 7 ÷è 4 3 ?
Äëÿ âèçíà÷åííÿ çíàêà ð³çíèö³ −7 4 3 ïåðåòâîðèìî ¿¿, çàïèñàâøè7 ÿê 4 + 3. Ìàºìî:
( )− = + − = − + = − ⋅ ⋅ + =2
27 4 3 4 3 4 3 4 4 3 3 2 2 2 3 3
( )= − >2
2 3 0. Îòæå, >7 4 3.
Äâà ÷èñëà, ñïîëó÷åí³ çíàêîì > (á³ëüøå) àáî < (ìåíøå), óòâî-ðþþòü ÷èñëîâó íåð³âí³ñòü.
Ïðèêëàäè: 3 < 5; �1 > �9; 0 < 4,5.Çíàêè íåð³âíîñò³ > ³ < íàçèâàþòü ïðîòèëåæíèìè.Òîìó íåð³âíîñò³ âèäó à > b ³ c < d (àáî à < b ³ c > d) íàçèâàþòü
íåð³âíîñòÿìè ïðîòèëåæíîãî ñìèñëó.
Íàïðèêëàä, >5 2 ³ 1
0,33
< º íåð³âíîñòÿìè ïðîòèëåæíîãî ñìèñ-
ëó; íåð³âíîñò³ 4 < 6,5 ³ 8 > 0 � òàê ñàìî.Íåð³âíîñò³ âèäó à > b ³ c > d (àáî à < b ³ c < d) íàçèâàþòü
íåð³âíîñòÿìè îäíàêîâîãî ñìèñëó.
Íàïðèêëàä, >5 2 ³ π > 3,1 � íåð³âíîñò³ îäíàêîâîãî ñìèñëó.ßê ³ ÷èñëîâ³ ð³âíîñò³, ÷èñëîâ³ íåð³âíîñò³ ìîæóòü áóòè ïðàâèëüíè-
ìè ³ íåïðàâèëüíèìè. Íàïðèêëàä, íåð³âíîñò³ 2 < 7, > 10,5
3 º ïðàâè-
ëüíèìè, à íåð³âíîñò³ 1 > 2, 3 < � 0,8, >1 1
3 2 � íåïðàâèëüí³.
® Ó ïðîöåñ³ ðîçâ�ÿçóâàííÿ çàäà÷ òà äîâåäåííÿ òâåðäæåíü êîðèñ-òóþòüñÿ òàêèìè î÷åâèäíèìè âëàñòèâîñòÿìè.
Íåð³âíîñò³, ôóíêö³¿ òà ð³âíÿííÿ
89
Ñèíÿ ×îðíà 89
Çàïèòàííÿ äëÿ ñàìîïåðåâ³ðêè
1. ßê³ ñïîñîáè ðîçâ�ÿçóâàííÿ íåð³âíîñòåé äðóãîãî ñòåïåíÿ ç îäí³-ºþ çì³ííîþ âè çíàºòå?
2. Ïîÿñí³òü ñóòü ãðàô³÷íîãî ñïîñîáó ðîçâ�ÿçóâàííÿ íåð³âíîñòåéäðóãîãî ñòåïåíÿ ç îäí³ºþ çì³ííîþ. Ïðî³ëþñòðóéòå ñâî¿ ì³ðêóâàííÿ,ðîçâ�ÿçàâøè íåð³âí³ñòü 2õ2 + 7õ � 4 > 0.
3. ßê ðîçâ�ÿçàòè àíàë³òè÷íèì ñïîñîáîì íåð³âí³ñòü äðóãîãî ñòåïå-íÿ ó âèïàäêó, êîëè êâàäðàòíèé òðè÷ëåí ó ë³â³é ÷àñòèí³ íåð³âíîñò³:
à) ìîæíà ðîçêëàñòè íà ë³í³éí³ ìíîæíèêè;á) íå ìîæíà ðîçêëàñòè íà ë³í³éí³ ìíîæíèêè.
4. Ñê³ëüêè ðîçâ�ÿçê³â ìîæå ìàòè íåð³âí³ñòü äðóãîãî ñòåïåíÿ ç îä-í³ºþ çì³ííîþ?
5. Íà ïðèêëàä³ íåð³âíîñò³ (õ + 2)(õ � 1,5)(õ � 3,5) ≤ 0 ïîÿñí³òü,ÿê ðîçâ�ÿçóþòü íåð³âíîñò³ ìåòîäîì ³íòåðâàë³â.
Çàäà÷³ ³ âïðàâè äëÿ ñàìîêîíòðîëþ
1°°°°°. Ðîçâ�ÿæ³òü ãðàô³÷íèì ñïîñîáîì íåð³âí³ñòü:à) õ2 + 8õ + 15 > 0; á) 2õ2 � õ � 6 ≤ 0;â) 9õ2 + 6õ + 1 > 0; ã) �õ2 + 10õ � 25 ≤ 0;´) 3õ2 + 5õ + 7 < 0; ã) 4õ2 + õ + 2 > 0.
2°°°°°. Ðîçâ�ÿæ³òü àíàë³òè÷íèì ñïîñîáîì íåð³âí³ñòü:à) (õ � 2)(õ + 5) > 0; á) (õ + 1)(3 � õ) < 0;â) õ2 + 4õ + 5 > 0; ã) �õ2 + õ � 3 > 0.
3. Ðîçâ�ÿæ³òü íåð³âí³ñòü:à°°°°°) õ2 � 3õ > 0; á°°°°°) õ2 < 36;â) 3õ2 � 7õ � 40 ≤ 0; ã°°°°°) (x + 1)(õ � 2)(õ � 6) > 0;
´) ( )(2 ) 4 0;x x x− π + − ≤ ä) 4õ3 � 14õ2 � 30õ > 0;
â) 2
2
10;
4 60
x
x x
+ <− −
ã)2 2 35
0.3
x x
x
− − ≥+
4. Çíàéä³òü îáëàñòü âèçíà÷åííÿ ôóíêö³¿:
à°°°°°) (5 )( 4);y x x= − − á) 29 ;y x x= −
â) =− −2
3( ) ;
3 2 5f x
x xã)
2
2
7 10( ) .
10 25
x xf x
x x
− +=+ +
Íåð³âíîñò³ äðóãîãî ñòåïåíÿ ç îäí³ºþ çì³ííîþ
90
Ñèíÿ ×îðíà 90
5. Ïðè ÿêèõ çíà÷åííÿõ à ãðàô³ê ôóíêö³¿ ó = õ2 � 2(à � 1)õ + 2à + 1ïîâí³ñòþ ðîçì³ùåíèé íàä â³ññþ àáñöèñ?
6*. Ïðè ÿêèõ çíà÷åííÿõ b íåð³âí³ñòü 3bx2 � 4(b � 1)x + 2b � 5 > 0º ïðàâèëüíîþ äëÿ âñ³õ ä³éñíèõ õ?
7*. ßêèìè ìàþòü áóòè ñòîðîíè ïðÿìîêóòíèê³â ³ç ïëîùåþ 144 ì2,ùîá ¿õí³é ïåðèìåòð áóâ á³ëüøèì â³ä 50 ì?
§ 5. ÑÈÑÒÅÌÈ Ð²ÂÍßÍÜ ÄÐÓÃÎÃÎ ÑÒÅÏÅÍßÇ ÄÂÎÌÀ Ç̲ÍÍÈÌÈ
5.1. ÑÒÅϲÍÜ Ð²ÂÍßÍÍß Ç ÄÂÎÌÀ Ç̲ÍÍÈÌÈ
Ðîçãëÿíåìî ð³âíÿííÿ ç äâîìà çì³ííèìè:à) 2õ = 5ó � 2; á) õ2 � 6õó = 4;â) õó2 + 7õ2 = 4õó2 � 2; ã) õ(3ó2 � õó3) + 4 = õ2 � 5õ2ó3.Êîæíå ç íèõ øëÿõîì ïåðåòâîðåíü, ùî íå ïîðóøóþòü ð³âíîñèëü-
íîñò³, ìîæíà çâåñòè äî òàêîãî âèãëÿäó, ùîá ó ë³â³é ¿õ ÷àñòèí³ áóâìíîãî÷ëåí, à ó ïðàâ³é � íóëü.
Äëÿ ð³âíÿíü à) ³ á) íåîáõ³äíå ïåðåòâîðåííÿ ïîëÿãຠó ïåðåíåñåíí³âñ³õ ÷ëåí³â ð³âíÿííÿ â îäíó ÷àñòèíó:
à) 2õ � 5ó + 2 = 0;á) õ2 � 6õó � 4 = 0.Äëÿ ð³âíÿííÿ â) öå ïåðåòâîðåííÿ äîïîâíþºòüñÿ çâåäåííÿì ïîä³á-
íèõ ÷ëåí³â:â) õó2 + 7õ2 � 4õó2 + 2 = 0; �3õó2 + 7õ2 + 2 = 0.Ó ð³âíÿíí³ ã), êð³ì óæå íàçâàíèõ ïåðåòâîðåíü, ïîòð³áíî ùå é ðîç-
êðèòè äóæêè:ã) õ(3ó2 � õó3) + 4 � õ2 + 5õ2ó3 = 0; 4õ2ó3 + 3õó2 � õ2 + 4 = 0.ßêùî ð³âíÿííÿ ç äâîìà çì³ííèìè ìîæíà çâåñòè äî çàçíà÷åíîãî
âèãëÿäó, òî ñòåïåíåì öüîãî ð³âíÿííÿ íàçèâàþòü ñòåï³íü ìíîãî÷ëå-íà ó éîãî ë³â³é ÷àñòèí³, òîáòî ñóìó ïîêàçíèê³â ñòåïåí³â çì³ííèõ óòîìó ÷ëåí³, äå âîíà íàéá³ëüøà.
Îòæå, ð³âíÿííÿ à) � ïåðøîãî ñòåïåíÿ; ð³âíÿííÿ á) � äðóãîãîñòåïåíÿ; ð³âíÿííÿ â) � òðåòüîãî ñòåïåíÿ; ð³âíÿííÿ ã) � ï�ÿòîãîñòåïåíÿ.
Çàóâàæèìî, ùî ð³âíÿííÿ, âñ³ ÷ëåíè ÿêîãî ìàþòü îäíàêîâèé ñòå-ï³íü, à â³ëüíèé ÷ëåí äîð³âíþº íóëþ, íàçèâàºòüñÿ îäíîð³äíèì.
Íàïðèêëàä, ð³âíÿííÿ 2õ2 � 4ó2 + 3õó = 0 º îäíîð³äíèì.
Íåð³âíîñò³, ôóíêö³¿ òà ð³âíÿííÿ
91
Ñèíÿ ×îðíà 91
Çàãàëüíèé âèãëÿä ïîâíîãî ð³âíÿííÿ äðóãîãî ñòåïåíÿ ç äâîìà çì³í-íèìè º òàêèì:
ax2 + bxy + cy2 + dx + åy + k ===== 0,ïðè÷îìó êîåô³ö³ºíòè à, b ³ ñ íå ìîæóòü äîð³âíþâàòè íóëþ îäíî÷àñ-íî, áî òîä³ ð³âíÿííÿ áóäå íå äðóãîãî, à ïåðøîãî ñòåïåíÿ.
Çàäà÷³ ³ âïðàâè
242°°°°°. Âèçíà÷òå ñòåï³íü ð³âíÿííÿ:à) 2õ2 � 3õó + 4ó2 = 4; á) õ3 + 3ó2 + 2õó = 0;â) 5õ2 � 4ó2 � 2õ + 7ó + 9 = 0; ã) 3õó2 � 4ó + 7 = 0;´) 6ó2 + õó � 5õ2 = 7; ä) õó2 � õ2 + 3ó = 0.
Çíàéä³òü áóäü-ÿê³ äâà ðîçâ�ÿçêè ð³âíÿííÿ (243�244).243°°°°°. à) õó = 12; á) õ2 � ó2 = 0; â) õ2 � ó = 0;
ã) õ � õó = 0; ´) õ � õó = 2; ä) õ2 + ó2 = 9.244. à) õ2 � 2õó + ó2 = 0; á) õ2 � 4õó + 4ó2 = 0;
â) õ3 � 3õ2ó + 3õó2 � ó3 = 0; ã) 4õ2 � 4õó + ó2 = 0;´) õ2 � 2õó + ó2 + õ � ó = 0; ä) (õ2 + ó2)(õ � 1)= 0;å) (õ2 + ó2)(ó + 1) = 0; º) (õ2 +ó2)(2õ � 1) = 0.
245*. Ñêëàä³òü ð³âíÿííÿ ç äâîìà çì³ííèìè, ÿêå:à) íå ìຠðîçâ�ÿçê³â; á) ìຠîäèí ðîçâ�ÿçîê;â) ìຠäâà ðîçâ�ÿçêè; ã) ìຠá³ëüøå äâîõ ðîçâ�ÿçê³â.
246. ßê³ ç äàíèõ ð³âíÿíü º îäíîð³äíèìè?à) õ2 � 3õó + ó2 = 0; á) õ2 � 3õó + ó2 = 1;â) õ2 � 3õó + 4ó2 = 0; ã) õ2 � 3õó + ó = 0;´) õ2 � 3õó + ó2 = 2õ; ä) õ2 � 3õó + 4ó = 0.
5.2. ÐÎÇÂ�ßÇÓÂÀÍÍß ÑÈÑÒÅÌÈ Ð²ÂÍßÍÜ ÄÐÓÃÎÃÎ ÑÒÅÏÅÍßÇ ÄÂÎÌÀ Ç̲ÍÍÈÌÈ
¬ Ñèñòåìó ð³âíÿíü äðóãîãî ñòåïåíÿ ç äâîìà çì³ííèìè ìîæóòüóòâîðþâàòè äâà ð³âíÿííÿ, êîæíå ç ÿêèõ º ð³âíÿííÿì äðóãîãî ñòå-ïåíÿ, àáî ÿêùî îäíå ç íèõ º ð³âíÿííÿì äðóãîãî, à äðóãå � ïåðøîãîñòåïåíÿ.
ªäèíîãî ñïîñîáó ðîçâ�ÿçóâàííÿ òàêèõ ñèñòåì íå ³ñíóº. Çàçâè-÷àé çàñòîñîâóþòüñÿ ð³çí³ ñïîñîáè ðîçâ�ÿçóâàííÿ ñèñòåì: ï³äñòàíî-âêè, äîäàâàííÿ, äåÿê³ øòó÷í³ ïðèéîìè. Ïðî³ëþñòðóºìî öå íà ïðè-êëàäàõ.
Ñèñòåìè ð³âíÿíü äðóãîãî ñòåïåíÿ ç äâîìà çì³ííèìè
183
Ñèíÿ ×îðíà 183
ÔÎÐÌÓËÈ
1. ÂËÀÑÒÈÂÎÑÒ² ÑÒÅÏÅͲÂ
Äëÿ áóäü-ÿêèõ ö³ëèõ m, n ³ äîäàòíèõ à ³ b ñïðàâåäëèâ³ ð³âíîñò³:
n m n ma a a +⋅ = ; n m n ma a a −=: ; ( )mn nma a= ;
( )n n nab a b= ;n n
n
a a
b b =
; nn
aa
− = 1; a =0 1.
2. ÌÍÎÃÎ×ËÅÍÈ
Äëÿ áóäü-ÿêèõ à ³ b ñïðàâåäëèâ³ ð³âíîñò³:
a b a b a b− = − +2 2 ( )( ); a b a ab b+ = + +2 2 2( ) 2 ;
a b a a b ab b+ = + + +3 3 2 2 3( ) 3 3 ; a b a b ab a b+ = + + +3 3 3( ) 3 ( );
a b a b a ab b+ = + − +3 3 2 2( )( ); a b a b a ab b− = − + +3 3 2 2( )( ).
3. ÂËÀÑÒÈÂÎÑÒ² ÊÂÀÄÐÀÒÍÈÕ ÊÎÐÅͲÂ
Äëÿ áóäü-ÿêîãî íàòóðàëüíîãî n òà íåâ³ä�ºìíèõ à ³ b ñïðàâåäëèâ³ð³âíîñò³:
= ⋅ab a b; =a a
b b, ≠b 0;
a aa a
a a
≥= = − <
2 , ÿêùî 0,
, ÿêùî 0;nna a=2 .
4. ÊÂÀÄÐÀÒÍÈÉ ÒÐÈ×ËÅÍ
ax bx c+ + =2 0,b b ac
xa
− ± −=2 4
.2
ax bx c a x x x x+ + = − −21 2( )( );
bx x
a+ = −1 2 ;
cx x
a⋅ =1 2 ,
äå õ1 ³ õ
2 � êîðåí³ êâàäðàòíîãî ð³âíÿííÿ.
184
Ñèíÿ ×îðíà 184
ϳäïèñàíî äî äðóêó 8.07.2003. Ôîðìàò 60×84/16. Ïàï³ð îôñåòíèé. Ãàðí³òóðàØê³ëüíà. Äðóê îôñåòíèé. Óìîâí. äðóê. àðê. 10,69. Óìîâí. ôàðáî-â³äá. 21,39.
Íàâ÷àëüíå âèäàííÿ
Âîçíÿê Ãðèãîð³é Ìèõàéëîâè÷Ëèòâèíåíêî Ãðèãîð³é Ìèêîëàéîâè÷
Ìàëüîâàíèé Þð³é ²âàíîâè÷(Òåìó «Åëåìåíòè ñòàòèñòèêè» ï³äãîòóâàëà Îëüãà Ãðèãîð³âíà Âîçíÿê)
ÀËÃÅÁÐÀϳäðó÷íèê äëÿ 9 êëàñó
çàãàëüíîîñâ³òí³õ íàâ÷àëüíèõ çàêëàä³âÇà ðåäàêö³ºþ ÷ëåíà-êîðåñïîíäåíòà ÀÏÍ Óêðà¿íè
Þ.². Ìàëüîâàíîãî
Ãîëîâíèé ðåäàêòîð Á.ª. ÁóäíèéÐåäàêòîð Ã.ª. Áåçêîðîâàéíèé
Òåõí³÷íèé ðåäàêòîð ².Î. ÊîçóáÕóäîæíèê Â.À. Áàñàëèãà
Êîìï�þòåðíà âåðñòêà À.Â. Êðàâ÷óê
Âèäàâíèöòâî «Íàâ÷àëüíà êíèãà � Áîãäàí»Ñâ³äîöòâî ïðî âíåñåííÿ äî Äåðæàâíîãî ðåºñòðó âèäàâö³â
ÄÊ ¹370 â³ä 21.03.2001 ð.
46008, ì.Òåðíîï³ëü, âóë. Òàíöîðîâà, 14. À/ñ 529.òåë./ôàêñ (0352) 43-00-46; 25-18-09; 25-37-53
Å-mail: [email protected]