مجموعات النقط يف الأعداد املركبةمن املس توي حيث : Mمجموعة النقط

0   . Aa z z z : (a 0وz معلوم انمركب انعدد)ان غري معدومني.

ذا اكن -10 1a ا : النقطة دائرة مركزها مجموعة النقط يهA و نصف قطرها0r z.

ذا اكن -10 1a ا : النقطة دائرة مركزها مجموعة النقط يهE الحقهتاAz

a0zو نصف قطرها

ra

.

 من املس توي حيث : Mمجموعة النقط      A Bkz z z z: ( k وA Bz z )

ذا -10 0k اكن ا : النقطة دائرة مركزهامجموعة النقط يهA و نصف قطرهاBr z.

ذا اكن -10 1kا : املس تقمي احملوي للقطعة املس تقمية مجموعة النقط يه AB.

ذا اكن -10 1kا : مجموعة النقط يه املس تقمي احملوي للقطعة املس تقمية AB . : حيثB الحقهتاBz .

ذا اكن -10 kا 1وk : مجموعة النقط يه املس تقمي احملوي للقطعة املس تقمية AB .B نقطة الحقهتاBz

k

ذا اكن -10 1k ا : دائرة قطرها مجموعة النقط يه 1 2G G :1 ، حيثG مرحج امجلةل ( ,1),( , )A E k

مرحج امجلةل 2Gو ( ,1),( , )A E k ، وE نقطة الحقهتاBz

k .

)0من املس توي حيث : Mمجموعة النقط )( )A Az z z z z : (0z .)عدد مركب معلوم

و نصف قطرها A النقطة دائرة مركزها مجموعة النقط يه -100r z.

argمن املس توي حيث : Mالنقطمجموعة B

A

z z

z z

:

ذا اكن -10 0ا 2k : املس تقميمجموعة النقط يه( )AB قطعة املس تقميةابس تثناء ال AB.

ذا اكن -01 2kا : قطعة املس تقميةالمجموعة النقط يه AB ابس تثناء النقطتنيA وB

ذا اكن -00 0 ا k : املس تقميمجموعة النقط يه( )AB ابس تثناء النقطتنيA وB

ذا اكن -00 2ا 2

k

: مجموعة النقط يه نصف دائرة قطرها AB متسح القوسBA

B B Aو Aابس تثناء النقطتنييف الاجتاه املبارش

ذا اكن -00 2ا 2

k

: نصف دائرة قطرهامجموعة النقط يه AB متسح القوسAB

Bو Aابس تثناء النقطتنييف الاجتاه املبارش

ذا اكن -00 ا 2

k

: مجموعة النقط يه دائرة قطرها AB ابس تثناء النقطتنيA وB

B: من املس توي حيث Mوعة النقطمجم

A

z zL

z z

ذا اكن -00 )املس تقميمجموعة النقط يه : حقيقي L ا )AB ابس تثناء النقطةA.

ذا اكن -00 )املس تقميمجموعة النقط يه : حقيقي موجب L ا )AB ابس تثناء القطعة AB

ذا اكن -00 املس تقميةالقطعة مجموعة النقط يه : حقيقي سالب L ا AB ابس تثناء النقطةA.

ذا اكن -00 دائرة قطرهامجموعة النقط يه : ختييل Lا AB ابس تثناء النقطةA.

M

ذا اكن -00 دائرة قطرهانصف مجموعة النقط يه : ختييل موجب Lا AB ابس تثناء النقطةA. (فوق املس تقمي)

ذا اكن -01 دائرة قطرها نصف مجموعة النقط يه : ختييل سالب Lا AB ابس تثناء النقطةA.(املس تقمي حتت)

من املس توي حيث : Mمجموعة النقط arg 2Akz z k :( زاوية معلومة وk)عدد مركب غري معدوم

ذا اكن -00 1kا :نصف املس تقمي مجموعة النقط يه AM ابس تثناءA الحقهتاAz :حيث ،

, 2i AM k . و النقطة احداثياهتا cos ; sin.A Ax y تنمتي هل

ذا اكن -00 1kا :نصف املس تقمي مجموعة النقط يه A M ابس تثناءA الحقهتاAz :حيث ،

, 2i A M k . و النقطة احداثياهتا cos ; i. s nA Ax y .تنمتي هل

ذا اكن -00 ا 1,1k :نصف املس تقمي مجموعة النقط يه A M ابس تثناءA الحقهتاAz

k، حيث:

, 2i A M q k و arg 2k q k

و النقطة احداثياهتا cos ; i. s nA Ax y .تنمتي هل

من املس توي حيث : Mالنقطمجموعة arg Akz z k :( زاوية معلومة وk)عدد مركب غري معدوم

ذا اكن -00 1kا :املس تقمي مجموعة النقط يه AM النقطة ابس تثناءA الحقهتاAz :حيث ، ,i AM .

و النقطة احداثياهتا cos ; sin.A Ax y تنمتي هل

ذا اكن -00 1kا :املس تقمي مجموعة النقط يه AM النقطة ابس تثناءA الحقهتاAz :حيث ،

, 2i A M k . و النقطة احداثياهتا cos ; i. s nA Ax y .تنمتي هل

ذا اكن -00 ا 1,1k :املس تقمي مجموعة النقط يه AM النقطة ابس تثناءA الحقهتاAz

k، حيث:

, 2i A M q k و arg 2k q k

و النقطة احداثياهتا cos ; i. s nA Ax y .تنمتي هل

من املس توي حيث : Mمجموعة النقط arg argA Az z z z :

، حيث : Aالنقطةابس تثناء Aو املا ابلنقطة ام وحو الووال املس تقمي املوازي حل مجموعة النقط يه -00

, 0 2i AM k

من املس توي حيث : Mالنقطمجموعة arg argA Bz z kz z :

ذا اكن -00 1kا :املس تقمي مجموعة النقط يه AB النقطتنيابس تثناءA وB .

ذا اكن -00 1kا : قطعة املس تقميةالمجموعة النقط يه AB ابس تثناء النقطتنيA وB الحقهتاBz.

ذا اكن -01 kا i قطرها : مجموعة النقط يه نصف دائرة AB متسح القوسAB ابس تثناء يف الاجتاه املبارش

Bو Aالنقطتني الحقهتاBiz.

ذا اكن -00 kا i دائرة قطرها: مجموعة النقط يه نصف AB متسح القوسB A ابس تثناء يف الاجتاه املبارش

Bو Aالنقطتني الحقهتاBiz.

iمن املس توي حيث : Mمجموعة النقط

Az z ke : ( زاوية متغرية وk ) عدد حقيقي معلوم

ذا اكن -00 0k ا : النقطة دائرة مركزهامجموعة النقط يهA و نصف قطرهاk.

ذا اكن -00 0kا : مجموعة النقط يه دائرة مركزها النقطةA و نصف قطرهاk.

iمن املس توي حيث : Mمجموعة النقط

Az z ke : (Az و عدد مركب معلوم زاوية معلومة وk يتغري عىل.)

ذا اكن -00 ميسح k ا

نصف املس تقمي مجموعة النقط يه: AM النقطةابس تثناءA الحقهتاAz. و اذلي حيقق

, 2i AM k و النقطة احداثياهتا cos ; sin.A Ax y .تنمتي هل

ذا اكن -00 ميسح k ا

نصف املس تقمي وعة النقط يه: مجم AM النقطةابس تثناءA الحقهتاAz. و اذلي حيقق

, 2i AM k و النقطة احداثياهتا cos( ) ; sin( ).A Ax y .تنمتي هل

ذا اكن -00 س تقميامل مجموعة النقط يه: ميسح k ا AM النقطةابس تثناءA الحقهتاAz : حيث ،

و , 2i AM k النقطة احداثياهتا و cos ; sin.A Ax y .تنمتي هل

الربهان عىل مجموعات النقط

ع م متعامد و متااس املزود مب املس توي املركبيف خالية: , ,o u v نعترب النقطA ،B وC قط ثالث ن،

Az الحقةA وBz الحقةB .وCz الحقةC : دلينا

الحقة الشعاعAB يه A Bz z : و طويلته ،   A BA z zB

, arg. . 2.B Ai AB z z

., arg 2. ..B C

A C

z zCA CB

z z

من املس توي حيث : Mمجموعة النقط0   . Aa z z z( :a 0وz معلوم انمركب انعدد)ان غري معدومني.

ذا اكن -0 1aا : مجموعة النقط يه دائرة مركزها النقطةA و نصف قطرها0r z.

: 10الربهان

1a : ذن ا 0   Az zz

نعترب 0z وM نقطة الحقهتاz وA الحقهتا Az : و منه   A Az z M

ذن : AMا و يه تعني معادةل دائرة مركزهاA و نصف قطرها.

ذا اكن -0 1aا : مجموعة النقط يه دائرة مركزها النقطةE الحقهتاAz

a0zو نصف قطرها

ra

.

: 10 الربهان

دلينا : 0   . Aa z z z : 0و منه   . Az

a za

z

0aو مبا أأن : و : ذن  0ا  Aza z

az

 0و ابلتايل :  Azz

a a

z ذن يه دائرة مركزها Azالحقهتا Eالنقطة ، و يه من شلك العبا ة السابقة ا

aو نصف

0zقطرها r

a .

 من املس توي حيث : Mمجموعة النقط      A Bkz z z z: (k وA Bz z )

ذا اكن -0 0kا : مجموعة النقط يه دائرة مركزها النقطةA و نصف قطرهاBr z.

: 01الربهان 0kدلينا: : ذن  ا      A Bz z z : نع م أأن ،       B Bz z :و منه       A Bz z z

ذن : 10و هذا يرجعنا ا ىل مجموعة النقط مق و نصف قطرها Aالنقطة دائرة مركزهامجموعة النقط يه ا Br z.

ذا اكن -0 1kا : مجموعة النقط يه املس تقمي احملوي للقطعة املس تقمية AB.

: 01الربهان 1kدلينا: : ذن  ا      A Bz z z z

 و منه : Bz الحقهتا Bو Az الحقهتا Aو zنقطة الحقهتا Mنعترب  A Az z M

 و  B Bz z M : و ابلتايلAM BM لقطعة و يه تعني معادةل مس تقمي وحو ي ل AB

ذا اكن -0 1kا : مجموعة النقط يه املس تقمي احملوي للقطعة املس تقمية AB . : حيث B الحقهتاBz .

: 01الربهان 1kدلينا: : ذن  ا      A Bz z z z عام مشرتك جند: -، نـأأخذ      ( ) A Bz z z z

 و منه :     (1 ) A Bz z z z : و ابلتايل      ( ) A Bz z z z

Bبوضع : Bz z :جند       A Bz z z z املس تقمي احملوي للقطعة فهيي 01و ابلرجوع ا ىل مجموعة النقط مق

املس تقمية AB : و مبا أأنB Bz z : فا نB نظرية B .ابلنس بة ملبدأأ املع م

ذا اكن -0 kا 1 وk : مجموعة النقط يه املس تقمي احملوي للقطعة املس تقمية AE. E نقطة الحقهتاBz

k

: 01الربهان

 دلينا :      A Bkz z z z : 0و مبا أأنk : ذن  ا      BA

zz z zk

k

 و منه :      BA

zkz z z

k 1: ، و مبا أأنk : ذن  ا      B

A

zz z z

k

املس تقمي احملوي للقطعة املس تقميةفهيي 10و ابلرجوع ا ىل مجموعة النقط مق AE : حيثE نقطة الحقهتاBz

k

ذا اكن -0 1k ا : للقطعة املس تقمية مجموعة النقط يه دائرة قطرها 1 2G G :1 ، حيثG مرحج امجلةل

( ,1),( , )A B k 2وG مرحج امجلةل ( ,1),( , )A B k.

: 01الربهان

 دلينا :      A Bkz z z z : 0و مبا أأنk : ذن  ا      BA

zz z zk

k

 و منه :      BA

zkz z z

k

Bzالحقهتا Eو Az الحقهتا Aو zنقطة الحقهتا Mنعترب

k و منه :  A Az z M

 و  B Ez Mz

k : و ابلتايلAM k EM : برتبيع الطرفني جند

2 22AM k EM

و منه : 2 22

0AM k EM : ذن ا 0AM k EM AM k EM

1مبا أأن : 0k 1نعتربG :مرحج امجلةل ( ,1),( , )A E k :و منه 11AM k EM k G M

1و مبا أأن : 0k 2نعتربG :مرحج امجلةل ( ,1),( , )A E k :و منه 21AM k EM k G M

ابلتعويض جند: 1 21 1 0k k G M G M : و مبا أأن 1 1 0k k

ذن : ا 1 2 0G M G M و يه تعني معادةل دائرة قطرها ، 1 2G G.

)0من املس توي حيث : Mمجموعة النقط )( )A Az z z z z : (0z عدد مركب معلوم).

و نصف قطرها A النقطة دائرة مركزها مجموعة النقط يه -00r z.

: 01الربهان

0( )( )A Az z z z z ، : 2و مبا أأن( )( )A A Az z z z z z : ذن 2ا

0Az z z

 و منه : Az الحقهتا Aو zنقطة الحقهتا Mنعترب  A Az z M : و نضع0z

ابلتعويض : 2

AM : و مبا أأن : ذن موجب ا 22

AM

Brو نصف قطرها Aالنقطة دائرة مركزهامجموعة النقط يه و منه : z.

argمن املس توي حيث : Mمجموعة النقط B

A

z z

z z

:

ذا اكن -0 0ا 2k : املس تقميمجموعة النقط يه( )AB قطعة املس تقميةابس تثناء ال AB.

: 10الربهان

0 2k :يعين أأنarg 0B

A

z z

z z

Bzحيث : z وAz z

و منه: Bz الحقهتا Bو Az الحقهتا Aو zنقطة الحقهتا Mنعترب arg , 0B

A

z zMA MB

z z

ال تنمتي للقطعة املس تقمية Mيف اس تقامية و النقطة Bو M،Aو ابلتايل النقط AB

)املس تقميمجموعة النقط يه و منه : )AB قطعة املس تقميةابس تثناء ال AB. ذا اكن -01 2kا : قطعة املس تقميةالمجموعة النقط يه AB ابس تثناء النقطتنيA وB

: 01الربهان

2k :يعين أأنarg B

A

z z

z z

Bzحيث : z وAz z

و منه: Bz الحقهتا Bو Az الحقهتا Aو zنقطة الحقهتا Mنعترب arg ,B

A

z zAM BM

z z

تنمتي للقطعة املس تقمية Mيف اس تقامية و النقطة Bو M،Aو ابلتايل النقط AB

قطعة املس تقميةالمجموعة النقط يه و منه : AB ابس تثناء النقطتنيA وB.

ذا اكن -00 0ا k : مجموعة النقط يه املس تقمي( )AB ابس تثناء النقطتنيA وB

: 00الربهان

0 k : يعين أأنarg 0B

A

z z

z z

argأأو B

A

z z

z z

Bzحيث : z وAz z

arg 0B

A

z z

z z

)املس تقمييه 10وع ا ىل مجموعة النقط مق رج، و ابل )AB قطعة املس تقميةابس تثناء ال AB.

argأأو B

A

z z

z z

قطعة املس تقميةاليه 01ا ىل مجموعة النقط مق ،و ابلرجوع AB ابس تثناء النقطتنيA وB.

)احتاد اجملموعتني هو املس تقمي )AB ابس تثناء النقطتنيA وB.

ذا اكن -00 2ا 2

k

: مجموعة النقط يه نصف دائرة قطرها AB متسح القوسBA يف الاجتاه املبارش

Bو Aابس تثناء النقطتني

: 12الربهان

22

k

: يعين أأنarg2

B

A

z z

z z

Bzحيث : z وAz z

، Bz الحقهتا Bو Az الحقهتا Aو zنقطة الحقهتا Mنعترب

و منه: arg ,2

B

A

z zMA MB

z z

B A

0MA و ابلتايل : MB تعني نصف دائرة قطرها يه، و AB ابس تثناء النقطتنيA وB.

و هو النصف من ادلائرة تكون الزاوية 2

.

مبا أأن املس توي موجه فا ن يف نصف ادلائرة الزاوية : مالحظة2

و يف النصف الآخر الزاوية

2

ذا اكن -00 2ا 2

k

: مجموعة النقط يه نصف دائرة قطرها AB متسح القوسAB يف الاجتاه

.Bو Aابس تثناء النقطتنياملبارش

: 00الربهان

22

k

: يعين أأنarg2

B

A

z z

z z

Bzحيث : z وAz z

، Bz الحقهتا Bو Az الحقهتا Aو zنقطة الحقهتا Mنعترب

و منه: arg ,2

B

A

z zMA MB

z z

B A

0MA و ابلتايل : MB دائرة قطرها تعني نصف يه، و AB ابس تثناء النقطتنيA وB.

و هو النصف من ادلائرة تكون الزاوية 2

ذا اكن -00 ا 2

k

: دائرة قطرهامجموعة النقط يه AB ابس تثناء النقطتنيA وB

M

M

: 14الربهان

2k

: يعين أأنarg

2

B

A

z z

z z

argأأو

2

B

A

z z

z z

Bzحيث : z وAz z

arg2

B

A

z z

z z

يه نصف دائرة قطرها .00ا ىل مجموعة النقط مق و ابلرجوع AB ابس تثناءA وB.

argو2

B

A

z z

z z

دائرة قطرها نصفيه 00و ابلرجوع ا ىل مجموعة النقط مق AB ابس تثناءA وB.

دائرة قطرهااحتاد اجملموعتني هو AB ابس تثناء النقطتنيA وB.

B: من املس توي حيث Mالنقط وعةمجم

A

z zL

z z

( B Az z و Az z )

) عىل الشلك اجلربي: Lنكتب ) ( )

( ) ( )

B B B B B

A A A A A

z z x iy x iy x x y y iL

z z x iy x iy x x y y i

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

B B A A

A A A A

x x y y i x x y y i

x x y y i x x y y i

2 2

2 2 2 2

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

A B A B A B A B A B B A B A A B

A A A A

x y x x x y y y x x y y y y x x x y x y x yi

x x y y x x y y

. الرمس يكون كام ييل : Bو Aهمام اكنت النقطتني

ذا اكن -00 )املس تقميمجموعة النقط يه : حقيقي L ا )AB ابس تثناء النقطةA.

: 00 الربهان

L : حقيقي يعين أأنIm( ) 0L : و منه2 2

( ) ( )0

( ) ( )

A B B A B A A B

A A

y y x x x y x y x y

x x y y

)و ابلتايل : ) ( ) 0A B B A B A A By y x x x y x y x y 2و 2( ) ( ) 0A Ax x y y

Bمبا أأن: Az z : ذن 0B ا Ax x 0وA By y س تقميو منه املعادةل يه معادةل م

) يف املعادةل جند: Aالنقطة حداثيات اب نعوض ) ( ) 0A B B A B A A By y x x x y x y x y

0Aو منه: A B A B A A A B A A By x y x x y x y x y x y : و منهA .تنمتي للمس تقمي

) : يف املعادةل جند Bالنقطة حداثيات اب نعوض ) ( ) 0A B B A B A A By y x x x y x y x y

0Aو منه: B B B B B A B B A A By x y x x y x y x y x y : و منهB .تنمتي للمس تقمي

2و مبا أأن : 2( ) ( ) 0B Bx x y y : ذن Azا z النقطة و ابلتايل سس تثينA من املس تقمي

)املس تقميمجموعة النقط يه أأخريا : )AB ابس تثناء النقطةA.

ذا اكن -00 )مجموعة النقط يه املس تقمي حقيقي موجب : Lا )AB القطعة املس تقمية ابس تثناء النقطة AB .

A

B

: 00الربهان

L : حقيقي موجب يعين أأنIm( ) 0L وRe( ) 0L : و منه

2 2

( ) ( )0

( ) ( )

A B B A B A A B

A A

y y x x x y x y x y

x x y y

و

2 2

2 2

( ) ( )0

( ) ( )

A B A B A B A B

A A

x y x x x y y y x x y y

x x y y

أأوال :2 2

( ) ( )0

( ) ( )

A B B A B A A B

A A

y y x x x y x y x y

x x y y

)و ابلتايل : ) ( ) 0A B B A B A A By y x x x y x y x y 2و 2( ) ( ) 0A Ax x y y

Bمبا أأن: Az z : ذن 0B ا Ax x 0وA By y و منه املعادةل يه معادةل مس تقمي

اثنيا : 2 2

2 2

( ) ( )0

( ) ( )

A B A B A B A B

A A

x y x x x y y y x x y y

x x y y

ذن : 2املقام موجب ا 2 ( ) ( ) 0A B A B A B A Bx y x x x y y y x x y y

و هذه تعني النقط املوجودة خا ج ادلائرة.

ذن مجموعة النقط يه النقط اليت ةتنمتي ا ىل املس تقمي و اليت تكون خا ج ادلائرة. و ابلتايل يه املس تقمي ابس تثناء القطعا AB

ذا اكن -00 القطعة املس تقميةمجموعة النقط يه : حقيقي سالب L ا AB ابس تثناء النقطةA.

: 17الربهان

L : حقيقي سالب يعين أأنIm( ) 0L وRe( ) 0L : و منه

2 2

( ) ( )0

( ) ( )

A B B A B A A B

A A

y y x x x y x y x y

x x y y

و

2 2

2 2

( ) ( )0

( ) ( )

A B A B A B A B

A A

x y x x x y y y x x y y

x x y y

أأوال :2 2

( ) ( )0

( ) ( )

A B B A B A A B

A A

y y x x x y x y x y

x x y y

)و ابلتايل : ) ( ) 0A B B A B A A By y x x x y x y x y 2و 2( ) ( ) 0A Ax x y y

Bمبا أأن: Az z : ذن 0B ا Ax x 0وA By y و منه املعادةل يه معادةل مس تقمي

اثنيا : 2 2

2 2

( ) ( )0

( ) ( )

A B A B A B A B

A A

x y x x x y y y x x y y

x x y y

ذن : 2املقام موجب ا 2 ( ) ( ) 0A B A B A B A Bx y x x x y y y x x y y

تعني النقط املوجودة داخ ادلائرة.و هذه

ذن مجموعة النقط يه النقط اليت تنمتي ا ىل املس تقمي و اليت تكون داخ ادلائرة. و ابلتايل يه القطعة املس تقمية ا AB

دائرة قطرهامجموعة النقط يه : رصف ختييل Lذا اكن ا -00 AB ابس تثناء النقطتنيA وB

: 18 الربهان

L يعين أأن : ختييلRe( ) 0L : و منه2 2

2 2

( ) ( )0

( ) ( )

A B A B A B A B

A A

x y x x x y y y x x y y

x x y y

و ابلتايل:2 2 ( ) ( ) 0A B A B A B A Bx y x x x y y y x x y y 2و 2( ) ( ) 0A Ax x y y

حنسب : 2 2

4

a bc

2 2 2 2( ) ( ) ( ) ( ) 4 4( )

4 4

A B A B A B A B A B A BA B A B

x x y y x x y y x x y yx x y y

2 2 2 2 2 2( 2 2 4 4

4

A B A B A B A B A B A Bx x x x y y y y x x y y

2 2 2 2 2 2 2 22 2 ( ) ( )

4 4

A B A B A B A B A B A Bx x x x y y y y x x y y

Bمبا أأن: Az z : ذن 0A ا Bx x 0وB Ay y : و منه2 2( ) ( )

04

A B A Bx x y y

ذن يه معادةل دائرة مركزها ,ا ,2 2 2 2

A B A Ba b x x y y

منتصف القطعة ، نالحظ أأن AB

منه قطرها و AB.

2و مبا أأن : 2( ) ( ) 0A Ax x y y : ذن Azا z و ابلتايل سس تثين النقطةA .من ادلائرة

ذا اكن -00 دائرة قطرها نصف مجموعة النقط يه :ختييل موجب Lا AB ابس تثناء النقطةA.فوق القطعة ( AB )

: 19 الربهان

L يعين أأن : موجب ختييلRe( ) 0L وIm( ) 0L : و منه2 2

2 2

( ) ( )0

( ) ( )

A B A B A B A B

A A

x y x x x y y y x x y y

x x y y

و 2 2

( ) ( )0

( ) ( )

A B B A B A A B

A A

y y x x x y x y x y

x x y y

أأوال : 2 2

2 2

( ) ( )0

( ) ( )

A B A B A B A B

A A

x y x x x y y y x x y y

x x y y

و ابلتايل:2 2 ( ) ( ) 0A B A B A B A Bx y x x x y y y x x y y 2و 2( ) ( ) 0A Ax x y y

ذن يه معادةل دائرة مركزها ,ا ,2 2 2 2

A B A Ba b x x y y

منتصف القطعة ، نالحظ أأن AB

و منه قطرها AB.

2و مبا أأن : 2( ) ( ) 0A Ax x y y : ذن Azا z و ابلتايل سس تثين النقطةA .من ادلائرة

اثنيا :

2 2

( ) ( )0

( ) ( )

A B B A B A A B

A A

y y x x x y x y x y

x x y y

ذن : )املقام موجب ا ) ( ) 0A B B A B A A By y x x x y x y x y

و يه تعني النقط اليت تكون فوق املس تقمي .

ذن مجموعة النقط يه النقط اليت تنمتي ا ىل ادلائرة و اليت تكون فوق املس تقمي. و ابلتايل ة قطرهادائر نصفا AB ابس تثناء

) فوق القطعة.Aالنقطة AB .)

ذا اكن -01 نصف دائرة قطرهامجموعة النقط يه ختييل سالب : Lا AB ابس تثناء النقطةAحتت القطعة (. AB )

: 01 الربهان

L يعين أأن : موجب ختييلRe( ) 0L وIm( ) 0L : و منه

2 2

2 2

( ) ( )0

( ) ( )

A B A B A B A B

A A

x y x x x y y y x x y y

x x y y

و 2 2

( ) ( )0

( ) ( )

A B B A B A A B

A A

y y x x x y x y x y

x x y y

أأوال : 2 2

2 2

( ) ( )0

( ) ( )

A B A B A B A B

A A

x y x x x y y y x x y y

x x y y

و ابلتايل:2 2 ( ) ( ) 0A B A B A B A Bx y x x x y y y x x y y 2و 2( ) ( ) 0A Ax x y y

ذن يه معادةل دائرة مركزها ,ا ,2 2 2 2

A B A Ba b x x y y

منتصف القطعة ، نالحظ أأن AB

و منه قطرها AB.

2و مبا أأن : 2( ) ( ) 0A Ax x y y : ذن Azا z و ابلتايل سس تثين النقطةA .من ادلائرة

اثنيا :

2 2

( ) ( )0

( ) ( )

A B B A B A A B

A A

y y x x x y x y x y

x x y y

ذن : )املقام موجب ا ) ( ) 0A B B A B A A By y x x x y x y x y

و يه تعني النقط اليت تكون حتت املس تقمي .

ذن مجموعة النقط يه النقط اليت تنمتي ا ىل رة قطرهادائ نصفادلائرة و اليت تكون حتت املس تقمي. و ابلتايل ا AB ابس تثناء

) حتت القطعة.Aالنقطة AB .)

من املس توي حيث : Mمجموعة النقط arg 2Akz z k :( زاوية معلومة وk)عدد مركب غري معدوم

ذا اكن -00 1kا مجموعة النقط يه نصف املس تقمي : AM ابس تثناءA الحقهتاAz :حيث ،

, 2i AM k .

: 00 الربهان

ذا اكن : 1kا : ذن ا arg 2Az z k : يعين أأن , 2i AM k

متغرية ا ذن يه نصف مس تقمي zالحقهتا Mاثبتة ، و النقطة الزاوية AM ابس تثناءA.

لأنه ال يوجد معدة لعدد معدوم. Aسس تثين النقطة مالحظة :

ذا اكن -00 1kا :نصف املس تقمي مجموعة النقط يه A M ابس تثناءA الحقهتاAz :حيث ،

, 2i A M k .

: 00 الربهان

ذا اكن : 1kا : ذن ا arg 2Az z k عام مشرتك : –نأأخذ arg ( 1)( ) 2Az z k

و منه : arg( 1) arg ( ) 2Az z k : و مبا أأن arg( 1) : ذن ا

arg 2Az z k : و ابلتايل arg 2Az z k :حيثA الحقهتاAz.

مجموعة النقط يه نصف املس تقمي 00ع ا ىل مجموعة النقط مق و رجو ابل A M ابس تثناءA الحقهتاAz :حيث ،

,i A M .

ذا اكن -00 ا 1,1k :نصف املس تقمي مجموعة النقط يه A M ابس تثناءA الحقهتاAz

k، حيث:

, 2i A M q k و arg 2k q k

: 00 الربهان

ذا اكن : ا 1,1k : ذن ا arg 2Akz z k

argعام مشرتك : kنأأخذ 2Azk z k

k

)argو منه : ) arg 2Az

k z kk

argو ابلتايل : arg( ) 2Azz k k

k

بوضع : arg k q وAA

zz

k : ذن ا arg 2Az z q k

. 00نرجع ا ىل مجموعة النقط مق

مجموعة النقط يه نصف املس تقميو منه A M ابس تثناءA الحقهتاAz

k، حيث: , 2i A M q k و

arg 2k q k من املس توي حيث : Mمجموعة النقط arg Akz z k :( زاوية معلومة وk)عدد مركب غري معدوم

ذا اكن -00 1kا :املس تقمي مجموعة النقط يه AM النقطة ابس تثناءA الحقهتاAz :حيث ، ,i AM .

: 00 الربهان

ذا اكن 1kا : و منه arg Az z k ما عدد زويج kعدد فردي أأو k، ا

عدد فردي جند: kمن أأج arg Az z 2نطرح : جند arg Az z

مجموعة النقط يه نصف املس تقمي 00ابلرجوع ا ىل مجموعة النقط مق و AM ابس تثناءA الحقهتاAz :حيث ،

,i AM .

عدد زويج جند: kمن أأج arg 2Az z ، يه نصف مجموعة النقط 00ابلرجوع ا ىل مجموعة النقط مق و

املس تقمي AM ابس تثناءA الحقهتاAz :حيث ، ,i AM .

ذن : املس تقمي مجموعة النقط يهمجموعة النقط يه احتاد اجملموعتني ا AM النقطة ابس تثناءA الحقهتاAz :حيث ،

,i AM .

ذا اكن -00 1kا :املس تقمي مجموعة النقط يه AM النقطة ابس تثناءA الحقهتاAz :حيث ،

, 2i A M k .

: 00 الربهان

ذا اكن 1kا : و منه arg Az z k عام مشرتك : - ،نأأخذ arg ( 1)( ( )Az z k

Aنضع : Az z : و دلينا : و منهarg( 1) :ذن ا arg Az z k

ما عدد زويج kعدد فردي أأو kا

عدد فردي جند: kمن أأج arg Az z ، مجموعة النقط يه نصف 00ابلرجوع ا ىل مجموعة النقط مق و

املس تقمي A M ابس تثناءA الحقهتاAz :حيث ، ,i A M .

عدد زويج جند: kمن أأج arg Az z ، يه نصف مجموعة النقط 00ابلرجوع ا ىل مجموعة النقط مق و

املس تقمي A M ابس تثناءA الحقهتاAz :حيث ، ,i A M .

ذن : املس تقمي مجموعة النقط يهمجموعة النقط يه احتاد اجملموعتني ا A M النقطة ابس تثناءA الحقهتاAz :حيث ،

,i A M .

ذا اكن -00 ا 1,1k :املس تقمي مجموعة النقط يه AM النقطة ابس تثناءA الحقهتاAz

k، حيث:

, 2i A M q k و arg 2k q k

: 00 الربهان

ذا اكن ا 1,1k : و منه arg Akz z k نأأخذ ،k : عام مشرتك جند

arg Azk z k

k

)argو منه : ، ) arg Az

k z kk

)arg، بوضع : )k q

Aو بوضع : A

zz

k :ذن ا arg Az z q k

ما عدد زويج kعدد فردي أأو kا

عدد فردي جند: kمن أأج arg Az z q ، مجموعة النقط يه نصف 00ابلرجوع ا ىل مجموعة النقط مق و

املس تقمي A M ابس تثناءA الحقهتاAz

k، حيث: , 2i A M q k و arg 2k q k

عدد زويج جند: kمن أأج arg Az z q ، مجموعة النقط يه 00ابلرجوع ا ىل مجموعة النقط مق و

نصف املس تقمي A M ابس تثناءA الحقهتاAz

k، حيث: ,i A M q .

ذن : املس تقمي مجموعة النقط يهمجموعة النقط يه احتاد اجملموعتني ا A M النقطة ابس تثناءA الحقهتاAz

k، حيث:

,i A M q .

من املس توي حيث : Mمجموعة النقط arg argA Az z z z :

حيث:.Aابس تثناء Aاملس تقمي املوازي حلام وحو الووال و املا ابلنقطةنصف مجموعة النقط يه -00

, 0 2i AM k

: 00 الربهان

دلينا : arg arg 2A Az z z z k ، : ابلتعويض جند arg arg 2A Az z z z k

و منه : 2arg 2Az z k جند : 0نقسم الطرفني عىل arg Az z k : و هذا يعين أأن

فردي : kمن أأج ,i AM وحو الووال ابس تثناء النقطةحام يوازي يه تعني نصف املس تقميA .

زويج : kو من أأج , 0i AM وحو الووال ابس تثناء النقطةحام يوازي يه تعني نصف املس تقميA .

املس تقميمجموعة النقط يه و منه AM املا ابلنقطة و وحو الووال حام يوازيA ابس تثناء النقطةA.

من املس توي حيث : Mمجموعة النقط arg argA Bz z kz z :

ذا اكن -00 1kا :املس تقمي مجموعة النقط يه AB النقطتنيابس تثناءA وB .

: 00 الربهان

ذا اكن 1kا : فا ن arg argA Bz z z z : و منه arg arg 0 2A Bz z z z k

Bzمن أأج z ذن arg: ا 0 2A

B

z zk

z z

مجموعة النقط يه املس تقمي 10و ابلرجوع ا ىل مجموعة النقط مق

( )AB ابس تثناء القطعة املس تقمية AB.

ذا اكن -00 1kا : قطعة املس تقميةالمجموعة النقط يه AB ابس تثناء النقطتنيA وB الحقهتاBz.

: 00 الربهان

ذا اكن 1kا : فا ن arg argA Bz z z z : و منه arg arg ( 1)( )A Bz z z z

ذن : ا arg arg( 1) arg ( )A Bz z z z

)argدلينا : 1) 2k :و بوضعB Bz z : ذن ، ا arg arg 2A Bz z z z k

Bzمن أأج z جند :arg 2A

B

z zk

z z

قطعةالمجموعة النقط يه 01و ابلرجوع ا ىل مجموعة النقط مق

املس تقمية AB ابس تثناء النقطتنيA وB .

ذا اكن -01 kا i دائرة قطرها: مجموعة النقط يه نصف AB متسح القوسAB ابس تثناء يف الاجتاه املبارش

Bو Aالنقطتني الحقهتاBiz.

: 01 الربهان

ذا اكن kا i فا ن: arg argA Bz z iz z

: عام مشرتك جند iنأأخذ arg arg ( )( ( )A Bz z i z iz

)argدلينا : ) 22

i k

:و بوضعB Bz iz : ذن ، ا arg arg 22

A Bz z z z k

و منه : arg arg 22

A Bz z z z k

Bzمن أأج z جند :arg 22

A

B

z zk

z z

نصف دائرة قطرها يه 00و ابلرجوع ا ىل مجموعة النقط مق

AB ابس تثناء النقطتنيA وB و هو النصف من ادلائرة تكون الزاوية2

يف الاجتاه املبارش

ذا اكن -00 kا i مجموعة النقط يه نصف دائرة قطرها : AB متسح القوسB A ابس تثناء يف الاجتاه املبارش

Bو Aالنقطتني الحقهتاBiz.

: 00 الربهان

ذا اكن kا i فا ن: arg argA Bz z iz z

: عام مشرتك جند iنأأخذ arg arg ( )( ( )A Bz z i z iz

)argدلينا : ) 22

i k

:و بوضعB Bz iz : ذن ، ا arg arg 22

A Bz z z z k

و منه : arg arg 22

A Bz z z z k

Bzمن أأج z جند :arg 22

A

B

z zk

z z

نصف دائرة قطرها يه 00و ابلرجوع ا ىل مجموعة النقط مق

AB ابس تثناء النقطتنيA وB و هو النصف من ادلائرة تكون الزاوية2

يف الاجتاه غري املبارش

iمن املس توي حيث : Mمجموعة النقط

Az z ke : ( زاوية متغرية وk غري معدوم عدد حقيقي معلوم )

ذا اكن -00 0k ا : النقطة دائرة مركزهامجموعة النقط يهA و نصف قطرهاk.

: 00 الربهان

i دلينا :

Az z ke : ابملرو ا ىل الطويةلi

Az z ke : و منهAz z k

0kمبا أأن : : ذن ا Az z k

.kو نصف قطرها Aالنقطة دائرة مركزهايه فهيي 10و ابلرجوع ا ىل مجموعة النقط

ذا اكن -00 0kا : مجموعة النقط يه دائرة مركزها النقطةA و نصف قطرهاk.

: 00 الربهان

iدلينا :

Az z ke : ابملرو ا ىل الطويةلi

Az z ke : و منهAz z k

.kو نصف قطرها Aالنقطة دائرة مركزهايه فهيي 10و ابلرجوع ا ىل مجموعة النقط

iمن املس توي حيث : Mمجموعة النقط

Az z ke : (Az و عدد مركب معلوم زاوية معلومة وk يتغري عىل.)

ذا اكن -00 ميسح k ا

نصف املس تقمي مجموعة النقط يه: AM النقطةابس تثناءA الحقهتاAz. و اذلي حيقق

, 2i AM k

: 00 الربهان

ذا اكن ميسح kا

ذن 0kا :و منهi

Az z ke : و ابلتايلi

Az z ke : و هذا يعين أأن

arg( ) 2Az z k ذن : مجموعة النقط يه نصف املس تقمي 00و ابلرجوع ا ىل مجموعة النقط مق ا AM

. و اذلي حيقق Azالحقهتا Aابس تثناء النقطة , 2i AM k

ذا اكن -00 ميسح k ا

نصف املس تقمي وعة النقط يه: مجم AM النقطةابس تثناءA الحقهتاAz. و اذلي حيقق

, 2i AM k

: 00 الربهان

ذا اكن ميسح kا

ذن 0kا : و منهi

Az z ke عام مشرتك و ابلتايل : –و ميكن أأخذi

Az z k e : 1و دلينا ie : ابلتعويض ،( )i

Az z k e : و هذا يعين أأن

arg( ) 2Az z k ذن : مجموعة النقط يه نصف املس تقمي 00و ابلرجوع ا ىل مجموعة النقط مق ا AM

. و اذلي حيقق Azالحقهتا Aابس تثناء النقطة , 2i AM k

ذا اكن -00 املس تقمي مجموعة النقط يه: ميسح k ا AM النقطةابس تثناءA الحقهتاAz : حيث ،

, 2i AM k

: 00 الربهان

ذا اكن ما : ميسح kا ذن ا 0kا 0أأوk

0kمن أأج :

iو منه:

Az z ke : و ابلتايلi

Az z ke : و هذا يعين أأنarg( ) 2Az z k

ذن : مجموعة النقط يه نصف املس تقمي 00و ابلرجوع ا ىل مجموعة النقط مق ا AM ابس تثناء النقطةA الحقهتاAz و .

اذلي حيقق , 2i AM k

0kمن أأج :

iو منه :

Az z ke عام مشرتك و ابلتايل : –و ميكن أأخذi

Az z k e : 1و دلينا ie ،

)ابلتعويض : )i

Az z k e : و هذا يعين أأنarg( ) 2Az z k

ذن : مجموعة النقط يه نصف املس تقمي 00و ابلرجوع ا ىل مجموعة النقط مق ا AM ابس تثناء النقطةA الحقهتاAz و .

اذلي حيقق , 2i AM k ،

النقط يه املس تقميو مجموعة النقط يه احتاد مجموعيت النقط السابقتني و ابلتايل : مجموعة AM ابس تثناء النقطةA الحقهتا

Az : حيث ، , 2i AM k .