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ACAFE
Erivaldo
Chamaremos de S(n) a soma dos algarismos do número inteiro positivo n, e de P(n) o produto dos algarismos de n. Por exemplo, se n = 47 então S(n) = 11 e P(n) 28. Se n é um número inteiro positivo de dois algarismos tal que n = S(n) + P(n) então, o algarismo das unidades de n é a) 1. b) 2. c) 3. d) 6. e) 9. Resolução:
Matemática Básica
n = ab
n = a.101 +b.100
n = 10.a + b
n = S(n) + P(n)
10.a + b = (a+b) + (a.b)
10.a + b – a – b = a.b
Chamaremos de S(n) a soma dos algarismos do número inteiro positivo n, e de P(n) o produto dos algarismos de n. Por exemplo, se n = 47 então S(n) = 11 e P(n) 28. Se n é um número inteiro positivo de dois algarismos tal que n = S(n) + P(n) então, o algarismo das unidades de n é a) 1. b) 2. c) 3. d) 6. e) 9. Resolução:
Matemática Básica
n = S(n) + P(n)
10.a + b – a – b = a.b
9.a = a.b
9.a = a.b ÷(a)
b = 9
Gabarito : e
Potênciação
Exemplos:
1) (2)3 = 8
2) (– 4 )2 = 16
3) –52 = – 25
4) 30 = 1
5) 7-1 = 1/7
6) (5/3)-2 = 9/25
Propriedades:
P1) am.an = am+n
P2) am÷an = am – n
P3) (am)n = am.n
P4) (a.b)n = an.bn
P5) (a÷b)n = an ÷ bn
Importante:
No de Algarismos
.1042 324
3 + 42
45 algarismos
Radiciação
índice
radicando
raiz
radical
Classifique em Verdadeiro ou Falso, cada item: V
V
V
V
V
F
Matemática Básica Exemplo 05:
Identifique os casos de fatoração:
a) x2 + 9x + 14 = (x + 2).(x + 7) Trinômio do segundo grau
b) 2x5 – 4x3 + 6x2 = 2x2.( x3 – 2x + 3) Fator comum em evidência
c) 4x6 – 9y2 = (2x3 + 3y).(2x3 – 3y) Diferença de dois quadrados
d) 9x2 – 30xy + 25y2 = (3x – 5y)2 Trinômio quadrado perfeito
e) x4 – x3 – 8x + 8 = (x3– 8).(x – 1) Agrupamento
Geometria Analítica
Baricentro:
A(2,6) , B(6,9) e C(7,-3) :
Área:
A(2,6) , B(6,9) e C(7,-3) : 2 6
6 9
7 -3
2 6
Geometria Analítica
Equação da reta:
Dois pontos: A(3,-2) e B(4,1)
-3x + y +11 = 0 ( Equação Geral )
y = 3x - 11 ( Equação Reduzida )
Coeficiente angular : 3 Coeficiente linear : -11
Geometria Analítica
Equação da reta:
Um ponto e o coeficiente angular: A(-3,2) e m = 5
y – y0 = m.(x – x0)
5x – y + 17 = 0
y = a.x + b
y = 5.x + b
A(-3,2) 2 = 5.(-3) + b
b = 17
y = 5x + 17
y – 2 = 5.(x +3)
Geometria Analítica
Retas paralelas:
Mesmo coeficiente angular
r//s mr = ms
Retas perpendiculares:
Coeficientes angulares, inversos e opostos
(r) 3x – 4y + 2 = 0
(s) 3x – 4y + c = 0
(r) 5x + 2y – 3 = 0
(s) 2x – 5y + c = 0
Geometria Analítica
Equação da circunferência:
Dados : Centro C(a , b) e Raio r
Exemplo: C( 3, -2) e r = 5
(x – a)2 + (y – b)2 = r2
(x – 3)2 + (y + 2)2 = 25
Geometria Analítica
Equação da circunferência:
x2 + y2 – 8x – 8y + 28 = 0
:(-2) :(-2)
C ( 4 , 4)
(4)2 (4)2 + – 28 = R2 2 = R
Análise Combinatória
Questão
Assinale V ou F nas seguintes afirmativas:
I) ( ) Com os algarismos do sistema decimal é possível formar 900 números distintos de três algarismos.
Resolução:
Algarismos: { 0 , 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }
Etapas: ____ . ____ . ____ = 9p 10p 10p 900
F
Análise Combinatória
II)( ) Com os algarismos do sistema decimal é possível formar 320 números pares de três algarismos distintos.
Resolução: Algarismos: { 0 , 1 2, 3 4, 5, 6, 7 8, 9 }
Etapas: ____ . ____ . ____
1º caso: O zero está na casa das unidades
____ . ____ . ____ = 0 fixo
par
9p 8p 72
2º caso: O zero não está na casa das unidades
____ . ____ . ____ = 4p 8p 8p 256 Resposta: 72 + 256 = 328
F
Análise Combinatória
III)( ) Com 5 homens e 4 mulheres, podem ser formadas 81 comissões de 5 pessoas, com pelo menos 3 homens.
Resolução: (3H e 2M) ou (4H e 1M) ou (5H)
x x + +
V
Análise Combinatória
IV)( ) Dos 120 anagramas da palavra CLARO, 36 possuem as consoantes juntas.
Resolução: Anagramas = Permutação
____ ____ ____ ____ ____ C L R O A
P3 P3.
3!. 3!
6. 6 = 36
V
Gabarito: F , F , V , V
Probabilidade
Questão Considere uma urna contendo 10 bolas idênticas. Em cada bola foi gravado um único número do conjunto Qual é a probabilidade de se retirar dessa urna, ao acaso, uma bola em que está gravado um número racional? Resolução:
Números Racionais:
Probabilidade:
Probabilidade
Questão Se um casal tiver quatro filhos, a probabilidade de que tenham exatamente duas meninas é de :
Resolução:
M e M e H e H
x x x
Probabilidade:
Função
Lei de formação
Domínio Contradomínio x y
Função
Questão Encontre os domínios das seguintes funções:
Resolução:
Função Afim
f(x) = a.x + b
x
y
x
y
x
y
a b
< 0
b
(x,0)
> 0 x: raiz ou zero da função
a b
> 0 < 0
b (x,0)
x: raiz ou zero da função
a b
= 0 > 0
b
Função Quadrática
f(x) = a.x2 + b.x + c
x
y
Sinal do a: a > 0
Parábola côncava para cima
Sinal do b: b < 0
Parábola passa por “y” descendo
Sinal do c: c > 0
Parábola toca “y” no positivo
c
(x1,0) (x2,0)
x1 e x2: zeros da função ou raízes
Sinal do Δ: Δ > 0
Parábola toca “x” em dois pontos
Função Quadrática
x
y
x1 x2
vértice
xV
yV
O Vértice da parábola será:
-O ponto máximo ( a<0 )
-O ponto mínimo
( a>0 )
f(x) = a.x2 + b.x + c
Um jogador de futebol chuta uma bola a 30 m do gol adversario. A bola descreve uma trajeto ria parabo lica, passa por cima da trave e cai a uma distancia de 40 m de sua posicao original. Se, ao cruzar a linha do gol, a bola estava a 3 m do chão, a altura máxima por ela alcançada esteve entre
Função Quadrática
a) 4,1 e 4,4m. b) 3,8 e 4,1m. c) 3,2 e 3,5m. d) 3,5 e 3,8m.
Função Quadrática
Resolução: “Se, ao cruzar a linha do gol, a bola estava a 3 m do chão, a altura máxima por ela alcançada esteve entre”
x
y
0 40
3
30
Função Quadrática
x
y
0 40 30
3
Lei de formação: y = a.(x – x1).(x – x2)
y = a.(x – 0).(x – 40)
(30,3) 3 = a.(30 – 0).(30 – 40) a = -1/100
y = a.(x – 0).(x – 40)
Função Quadrática
x
y
0 40 30
3
“a altura máxima por ela alcançada esteve entre”
20
ymáx.
x = 20
Gabarito: b
Paridade
Função Par f(x) = f(-x)
Domínios opostos
Imagens iguais
Função Ímpar f(x) = -f(-x)
Domínios opostos
Imagens opostas
Função Inversa
O gráfico de uma função e o gráfico da sua inversa sempre serão simétricos em relação as B.Q.I.
x
y f B.Q.I.
f-1
A composta de uma função com a sua inversa sempre
resultará na função identidade
fof-1(x) = x f-1of(x) = x
Exponencial
Função
f(x) = ax
C.E. a > 0 e a ≠ 1 a 0 1
0 < a < 1 a >1
decrescente crescente
f(x) = ax
x
y
0 < a < 1
1 x
y
a > 1
1
Exponencial
Inequação
>
>
base > 1
>
<
0 < base < 1
Logaritmo
Definição:
logb a = x bx = a
Condição de Existência: Base: b > 0 e b ≠ 1 Logaritmo: x é real Logaritmando: a > 0
Propriedades:
logb (a.c) = logb a + logbc
logb (a/c) = logb a – logb c
logb (an) = n.logb a
Mudança de base:
logb a = log log
c
c a b
Logaritmo
Assinale V ou F:
( ) log71 = 0 V
( ) eln5 = 5 V
V
V
( ) log32 + log37 = log314 V
( ) log(x3.y2) = 3.log x+2.log y V
V
( ) log 2 + log 5 = 1 V
Logaritmo
A temperatura média da Terra começou a ser medida por volta de 1870 e em 1880 já apareceu uma diferença: estava (0,01) °C (graus Celsius) acima daquela registrada em 1870 (10 anos antes). A função t(x)=(0,01).2(0,05).x ,com t(x) em °C e x em anos, fornece uma estimativa para o aumento da temperatura média da Terra (em relação àquela registrada em 1870) no ano (1880 + x), x ≥ 0. Com base na função, determine em que ano a temperatura média da Terra terá aumentado 3°C. (Use as aproximações log2(3) = 1,6 e log2(5) = 2,3).
Logaritmo
A função: t(x) = (0,01).2(0,05).x ,com t(x) em °C e x em anos. Use as aproximações: log23 = 1,6 e log25 = 2,3.
Em que ano (1880+x) a temperatura terá aumentado 3°C. Resolução:
Logaritmo
Use as aproximações: log23 = 1,6 e log25 = 2,3.
Em que ano (1880+x) a temperatura terá aumentado 3°C. Resolução:
Ano: 1880 + 164 = 2044
Polinômios
Do ano 2000 (x=0) até o ano 2006 (x=6), o número de automóveis numa certa cidade variou conforme a função V(x) = 9x + 100, enquanto a população variou, nesse mesmo período, segundo o polinômio P(x) = 1,8x2 + 47x + 300, sendo V(x) e P(x) dados em milhares de unidades. Podemos afirmar que, nesse período, o número de habitantes por automóvel variou segundo a função: a) y = 0,2x + 2,4 b) y = 0,3x + 1,8 c) y = 3x + 0,6 d) y = 0,2x + 3 e) y = 1,2x + 1,6
Resolução: Habitantes: P(x) = 1,8x2 + 47x + 300 Automóveis: V(x) = 9x + 100
Polinômios
Resolução: Habitantes: P(x) = 1,8x2 + 47x + 300
Automóveis: V(x) = 9x + 100
“O número de habitantes por automóvel”
a) y = 0,2x + 2,4 b) y = 0,3x + 1,8 c) y = 3x + 0,6 d) y = 0,2x + 3 e) y = 1,2x + 1,6
1,8x2 + 47x + 300 9x + 100
0,2x -1,8x2 - 20x 0.x2 + 27x + 300
+ 3
- 27x - 300 0
FIM
Erivaldo