Брзопроменљиво поље

Максвелове једначине у произвољном електромагнетском пољу гласе

t

BErot , (1)

t

DJHrot , (2)

Ddiv , (3)

0div B . (4)

Прва Максвелова једначина (Фарадејев закон)

Извор индукованог (вртложног) електричног поља је t

B

Друга Максвелова једначина (допуњени уопштени Амперов закон)

Извор магнетског поља су J и t

D (густина струје електричног помераја)

Трећа Максвелова једначина (уопштени Гаусов закон)

Извор електричног поља су електрична оптерећења (наелектрисања)

Четврта Максвелова једначина (закон о конзервацији магнетског флукса)

Не постоје магнетска оптерећења аналогна електричним оптерећењима која стварају магнетско

поље

Везе између вектора, који се појављују у Максвеловим једначинама, дефинисане су конститутивним

релацијама

EJJ , (5)

EDD , (6)

HBB . (7)

У линеарним срединама везе између вектора дате су релацијама

EJ , ED , HB . (8)

Једначина континуитета у брзопроменљивом пољу

На основу друге Максвелове једначине следи да је

t

DJH div divrotdiv , (9)

DJ div div0t

, (10)

t

J div0 . (11)

Одатле се добија за једначину континуитета у брзопроменљивом пољу

t

J div . (12)

Струје и наелектрисања нису међусобно независне величине.

Променљиве струје индукују променљива оптерећења!

У случају када су струје расподељене по површи, једначину континуитета записујемо у облику

t

s

ss div J , (13)

где оператор sdiv означава површинску дивергенцију, а sJ је вектор густине површинске струје.

Веза између струје у проводнику и подужне густине наелектрисања, 'Q , дата је релацијом

t

lQ

l

lI

', (14)

где је l линијска координата, приказана на слици 1. Извођење ове једначине показаћемо нешто касније.

Слика 1.

Пример:

У вакууму постоји површинска простопериодична струја, веома високе кружне учестаности , по површи

кружног прстена, полупречника а и b , као на слици. Ако је вектор густине површинске струје

iJ tJ coscos2 s0s , одредити израз за површинску густину наелектрисања на прстену.

Слика 2.

Израз за дивергенцију у цилиндричном координатном систему гласи

z

AA

rr

rA

r

zr

11 div A . (15)

Површински оператор дивергенције садржи само прва два члана израза (15)

A

rr

rA

r

r 11 divs A . (16)

Одатле следи да је

t

tr

JJ

r

ss0s

ss cossin21

div J . (17)

Решавањем диференцијалне једначине (17) добија се израз за површинску густину наелектрисања

tr

JCt

r

Jtt

r

Jt

t

sinsin2

sinsin2

dcossin2 s0s0s0

s , (18)

јер је 0C у простопериодичном режиму.

Решавање диференцијалних једначина може да се избегне применом комплексног рачуна, као што

ћемо видети касније.

Лоренцови потенцијали

На основу 0div B , следи да вектор магнетске индукције можемо да напишемо као ротор неког вектора,

односно, AB rot . Дивергенција ротора произвољног вектора је увек нула!

Када се AB rot уврсти у прву Максвелову једначину, добија се

ttt

AA

BE rotrotrot , (1)

јер су ротор и извод независни линеарни оператори те могу да замене места. Одатле следи да је

0rot

t

AE , (2)

односно,

Vt

grad

AE . (3)

Ротор градијента проивољне функције је увек нула.

Први члан у изразу (3) представља индуковано електрично поље, а други члан компоненту поља која потиче

од вишка наелектрисања.

Посматрамо сада линеарну и хомогену средину параметара и . Полазимо од друге Максвелове

једначине

t

DJHrot , (4)

која у линеарној средини постаје

t

EJBrot . (5)

Када се вектор електричног изрази преко два потенцијала (3), добија се

V

ttgradrot

AJB , (6)

односно

t

V

t

gradrot

2

2A

JB . (7)

Када се искористи да је AB rot , (7) постаје

t

V

t

gradrot rot

2

2A

JA . (8)

На основу идентитета

AAA divgradrot rot , (9)

добија се за (8)

t

V

t

graddivgrad

2

2A

JAA . (10)

Ова једначина има различита решења у зависности од тога шта се усвоји за Adiv .

Дивергенција неког вектора може независно да се усвоји од ротора датог вектора.

Наиме, ротор и дивергенција неког вектора садрже различите просторне изводе, због чега су

међусобно независни.

На пример у Декартовом координатном систему изрази за ротор и диверенцију гласе, респективно

y

A

x

A

x

A

z

A

z

A

y

A xy

zzx

y

yzx iiiArot , (11)

z

A

y

A

x

A zyx

A div , (12)

одакле следи да ове две величине могу независно да се дефинишу.

Погодно је да се усвоји

t

V

Adiv . (13)

Овај услов назива се Лоренцов услов.

Тада (10) постаје

t

V

tt

V

gradgrad

2

2A

JA , (14)

где имамо исте чланове са леве и десне стране једнакости. Након елиминације истих чланова, добијамо

диференцијалну једначину за магнетски вектор-потенцијал у брзопроменљивом пољу

JA

A

2

2

t. (15)

У стационарном пољу, извод магнетског вектор-потенцијала по времену је нула па диференцијална

једначина гласи

JA , (16)

као што је показано у квазистационарном пољу.

Применом Лоренцовог услова, добија се формално иста диференцијална једначина за електрични скалар-

потенцијал.

Полазимо од израза за вектор електричног поља

Vt

grad

AE . (17)

Узимањем дивергенције обе стране (17), добија се

Vt

grad divdiv div

AE . (18)

У линеарној средини, ова једначина постаје

Vt

grad divdiv div

AD . (19)

Када се уврсти D div и VV grad div , следи да је

Adiv

tV . (20)

Коначно, применом Лоренцовог услова, добија се

2

2

t

VV , (21)

што је формално исто као и

JA

A

2

2

t. (22)

Решења за потенцијале гласе

vR

c

Rt

t

v

d

,'

4,

'

rJ

rA , (23)

vR

c

Rt

tV

v

d

,'

4

1,

'

r

r , (24)

где је

1

c .

Све величине илустроване су на слици 3.

Слика 3.

Потенцијали добијени на овај начин, називају се Лоренцови или закаснели потенцијали. У њима

фигурише кашњење c

R , које представља време потребно да се пертурбација извора пренесе до

тачке у којој се рачунају потенцијали.

Наиме, замислимо да извори (струје и наелектрисања) заузимају физички малу запремину v и да се налазе

на растојању R од тачке у којој рачунамо потенцијале, тада претходни изрази постају

R

vcRtt

4

/JA , (25)

R

vcRttV

4

/. (26)

Из њих следи да се у произвољном тренутку t , на месту где рачунамо потенцијале, осећа јачина извора која

је била у ранијем тренутку cRt / . То значи да се у хомогеном диелектрику пермитивности и

пермитивности , промене извора простиру коначном брзином која је једнака

1

c .

Извори електромагнетског поља

Прави извори електромагнетског поља су струје и наелектрисања. Међутим, за раздвајање наелектрисања и

одржавање струја потребни су извори енергије. Уређаји који другу врсту енергије претварају у

електромагнетску енергију подсећају на струјне и напонске генераторе у теорији електричних кола.

Побудне струје

Претпоставимо да у делу простора постоји струја која не зависи од јачине вектора електричног поља. Вектор

запреминске густинe те струје означавамо са iЈ , а саму струју називамо побудном. У погледу стварања

електромагнетског поља, побудна струја се третира на исти начин као стварна струја. Максвелове једначине

у присуству ових струја гласе

t

BErot , (1)

t

DJJH irot , (2)

Ddiv , (3)

0div B . (4)

Промену је претрпела само друга Максвелова једначина јер су сада извори магнетског поља кондукционе

струје J , побудне струје iJ и густина струје електричног помераја t

D.

Једначина континуитета сада гласи

DJJH divdivrot div it

, (5)

t

idiv JJ . (6)

У специјалном случају линеарне средине, конститутивне једначине гласе

EJ , ED , HB . (7)

Релација EJ показује да вектор електричног поља утиче само на кондукционе струје, а не и на побудне.

Побудно поље

Претпоставимо сада да на наелектрисања делује неелектрично поље, независно од струја које постоје у

датом простору. Овакво поље је еквивалентно идеалном напонском генератору из теорије електричних кола

и називамо га побудним пољем, iЕ .

Побудно поље делује на наелектрисања на исти начин као и право електрично поље, те вектор густине

струје зависи од обе величине iЕЕJJ .

Међутим, временски променљиве побудно поље не ствара временски променљиво магнетско поље, као

обично електрично поље.

t

BErot , (8)

t

DJHrot , (9)

Ddiv , (10)

0div B . (11)

Утицај побудног поља види се само у изразу за густину електричних струја који у специјалном случају

линеарне средине постаје

iЕЕJ . (12)

Преостале две конститутивне једначине остају непромењене: ED и HB .

На основу друге Максвелове једначине, једначина континуитета у овом случају гласи

t

Jdiv . (13)

Гранични услови и Максвелове једначине у интегралном облику

Максвелове једначине у диференцијалном облику захтевају да су први изводи векторских величина које се у

њима појављују коначни. Међутим, на раздвојној површи две средине, неке величине се скоковито мењају,

те су њихови изводи недефинисани. Због тога, на границама домена користимо интегрални облик

Максвелових једначина.

Применом Стоксове теореме и теореме Гауса и Остоградског, добијамо Максвелове једначине у

интегралном облику, као и једначину континуитета

SCt

sB

lE dd (1)

SCt

sD

JlH dd , (2)

vS

vddsD , (3)

0d S

sB , (4)

vS

vt

ddsJ . (5)

Из ових једначина се изводе одговарајући гранични услови

021 EEn , (6)

s21 JHHn , (7)

s21 DDn , (8)

021 BBn , (9)

t

s

21 JJn , (10)

где је нормала усмерена од средине 2 ка средини 1.

Једначина континуитета у проводнику са линијском струјом

Слика 4.

У случају жичаног проводника, једначина континуитета у интегралном облику даје

lt

lQlIllIv

tvS

d'

ddd

sJ . (11)

Одакле следи да је

t

lQ

l

lI

'. (12)

Поље у савршеном проводнику

Посматрамо проводник јако велике проводности, .

Густина струје у проводнику мора бити коначна величина јер је

vJ qN ' , (1)

где је

'N , концентрација слободних носилаца наелектрисања (електрона)

q , наелектрисање једног електрона

v , брзина кретања електрона.

Вектор електричног поља у проводнику је приближно нула

0

J

Е . (2)

Шта је са магнетским пољем у проводнику?

Полазимо од Фарадејевог закона

t

BErot , (3)

који на основу претходног разматрања (2), постаје

0

t

B. (4)

Одатле следи да је једино могуће решење consttB .

У проводнику може да постоји само стационарно магнетског поље.

Компас ће радити у Фарадејевом кавезу!

Проводник у временски променљивом електромагнетском пољу: 0Е , 0D , 0B , 0H .

Проводник у стационарном електромагнетском пољу: 0Е , 0D , constB , constH .

Гранични услови на површи савршеног проводника

С обзиром да је поље у савршеном проводнику нула, гранични услови постају

0021 EnEEn , (5)

ss21 JHnJHHn , (6)

ss21 DnDDn , (7)

0021 BnBBn , (8)

Слика 5.

Комплексни вектори

Простопериодична скаларна величина се дефинише изразом

tUtu cos2 , (1)

где је

tu , тренутна вредност

U , ефективна вредност,

2m UU , максимална вредност

, кружна учестаност,

t , тренутна фаза,

, почетна фаза.

Простопериодична векторска величина је вектор чије су компоненте простопериодичне величине исте

учестаности и, у општем случају, различитих фаза и ефективних вредности.

tatatat zzyyxx iiia , (2)

xxx tAta cos2 , (3)

yyy tAta cos2 , (4)

zzz tAta cos2 . (5)

Тренутни интензитет вектора ta је

tatatata zyx

222 . (6)

222

0

222

0

2 d1

d1

zyx

T

zyx

T

AAAttatataT

ttaT

A , (7)

Комплексни представник скаларне величине tu , дефинише се као

jeUU , (8)

tje2Re Utu . (9)

Комплексни представник векторске величине tа , дефинише се као

zzyyxxAAA iiiA , (10)

где су

x

xxAA

je , (11)

y

yyAA

je , (12)

z

zzAA

je . (13)

комплексни представници појединих компонената у Декартовом координатном систему.

Повратак у временски домен врши се коришћењем израза

tje2Re Aa t . (14)

Максвелове једначине у комплексном домену

Простопериодичан режим је могућ само у линеарним срединама.

Максвелове једначине у комплексном домену без побудних струја и побудног поља гласе

HE јrot , (1)

EJH jrot , (2)

Ddiv , (3)

0div B , (4)

при чему важи D , HB .

Једначина континуитета у комплексном домену гласи

јdivЈ . (5)

У случају жичаног проводника, једначина континуитета има облик

'јd

dQ

l

I . (6)

Како изгледају ове једначине у присуству побудних струја или побудног поља?

Закаснели потенцијали у комплексном домену

Подсетник:

Нека је комплексни представник простопериодичне величине tu ,

jeUU ,

онда је комплексни представник величине tu

je' UU ,

јер се кашњење у времену за , пресликава у множење са je у комплексном домену. Одатле следи да је

vR

vR

c

Rt

t

v

R

v

dе'

4d

,'

4,

ј

rJrA

rJ

rA , (1)

vR

VvR

c

Rt

tV

v

R

v

dе'

4

1d

,'

4

1,

ј

rr

r

r , (2)

где је

22

c

f

c, (3)

фазни коефицијент, а f

c таласна дужина.

Израз за вектор јачине електричног поља у комплексном домену постаје

iq

jgrad

EE

rArrЕ V . (4)

За први члан, односно компоненту која потиче од вишка наелектрисања, добија се

0

јјј

q

е

d

dd'

4

1еgradd'

4

1d

е'grad

4

1rrr

rrE

v

R

v

R

v

R

RRv

Rvv

R,

тј.

02

ј

q

еj1d'

4

1rrrE

v

R

R

Rv , (5)

због тога што градијент делује на координате x, y, z, а не на координате x’, y’, z’.

Израз за индуковано електрично поље гласи

vR

v

R

dе'

4jj

ј

i

rJArЕ . (6)

На основу једначине континуитета, добија се израз за густину наелектрисања

Јdiv1

j

. (7)

Лоренцов услов у комплексном домену гласи

V jdivA

или (8)

Adivj

V . (9)

Применом Лоренцовог услова, електрично поље се може изразити само преко магнетског-вектор

потенцијала

AAAЕ divgrad

1jgradj

2V . (10)

Вектор магнетске индукције једнак је

AB rot . (11)

Када се уврсти интегрални израз за магнетски вектор-потенцијал, добија се

v

R

R

Rv

2

ј

0

еj1d'

4rrJrB . (12)

У случају када је 1R , добијају се изрази који важе у квазистационарном пољу.

Задатак 294.

У вакууму, унутар сфере полупречника а, постоје брзопроменљиве простопериодичне струје комплексне

густине J и угаоне учестаности . Вектор J је константан у свим тачкама сферe. Одредити (а) расподелу

запреминских и површинских наелектрисања сфере, (б) магнетски вектор-потенцијал и електрични скалар-

потенцијал у тачки О и (в) вектор јачине електричног поља у тачки О.

Слика 1.

Решење:

Густину запреминских наелектрисања, , добијамо из једначине континуитета у диференцијалном облику.

jdivJ . (1)

С обзиром да је вектор J константан, следи да је 0 .

Слика 2.

Површинску густину наелектрисања одређујемо на основу граничног услова

s21 j JJn , (2)

где је вектор n усмерен од средине 2 ка средини 1. У посматраном примеру, средина 1 је простор изван

сфере, а средина 2 је простор у сфери. Стога је

sj0 Jn , (3)

cosjs

J. (4)

Расподела наелектрисања је антисиметрично распоређена у односу на тачку О

ss , (5)

одакле следи да је електрични скалар-потенцијал у тачи О једнак нули.

Магнетски вектор-потенцијал у тачи О добијамо помоћу интеграла

a r

v

r

r

rr

r

v

0

2j0

j

0 d4e

4

ed

4

JJA (6)

a

r

a

r rrrr

0

j

2

0

0

j

0 jdejdeJ

J (7)

ax

a

x exxx j

02

0

j

0

2

0 1deJJ

(8)

1ej1 j

2

0

aa

J, (9)

где је 00 .

(б) Електрично поље се састоји из две компоненте: компоненте која потиче од вишка наелектрисања ( qЕ ) и

индукованог електричног поља ( iЕ ). Електрично поље које потиче од вишка наелектрисања одређујемо

помоћу интеграла

02

j

s

0q

dej1

4

1rЕ

S

r

r

Sr,

где је

ddsind 2rS , елементарна површина у

сферном координатном систему,

0r , јединични вектор усмерен од

елементарне површи ка тачки у којој

рачунамо поље.

С обзиром да се правац и смер вектора ri мењају од тачке до тачке, неопходно је овај вектор

разложити на компоненте у Декартовом координатном систему!

zyxr iiiir cossinsincossin0 . (10)

За појединачне компоненте електричног поља у Декартовом координатном систему добија се

0

dcossinej1

4

12

j

s

0q,

S

r

xr

SrЕ , (11)

0

dsinsinej1

4

12

j

s

0q,

S

r

yr

SrЕ , (12)

S

r

zr

Sr

2

j

s

0q,

dcosej1

4

1Е (13)

2

0 02

2j

0

ddsincosej1cosj

4

1

a

aaJ a

(14)

aa aJ

aJ

j

00

22

0

j

0

ej13

jdsincosdej14

j . (15)

Коначно имамо

aa

j

0q ej1

3j

JE .

Индуковано електрично поље је

1ej1jj j

2

0i

aa

JАE . (16)

Поинтингова теорема

Поинтингова теорема представаља закон о одржању снага електромагнетског поља.

Јohn Henry Poynting

Јohn Henry Poynting (9 September 1852 – 30

March 1914) was an English physicist.

From 1872 to 1876 he was a student

at Cambridge University, where he attained

high honours in mathematics.

In the late 1870s he worked in the Cavendish

Laboratory at Cambridge under James Clerk

Maxwell. In 1880, he became the first professor

of physics at the University of Birmingham.

He was the developer and eponym of the

Poynting vector, which describes the direction

and magnitude of electromagnetic energy flow

and is used in the Poynting theorem, a

statement about energy conservation for electric

and magnetic fields. This work was first

published in 1884.

Извор Wikipedia

Посматрамо део простора, запремине v , који је ограничен помоћу површи S . У посматраном делу простора,

средина је линеарна и изотропна, параметара , и .

Полазимо од прве две Максвелове једначине

t

HErot , (1)

t

EJHrot , (2)

Најпре, прву једначину множимо скаларно са H , а другу са Е

t

HHEH rot , (3)

t

EEEJHE rot . (4)

У формулама (3) и (4), појављују се скаларни производи облика t

HH и

t

EE .

Једноставним трансформацијама, показује се да важи

2

2

1H

HH

tt

. (5)

Наиме,

2222 zyx HHH HHH , (6)

222 zyx HHHtt

HH (7)

tt

HH

t

HH

t

HH z

z

y

yx

x

HH2222 . (8)

Применом овог идентитета, (3) и (4), постају

t

2

2rot

HEH , (9)

t

2

2rot

EEJHE . (10)

Одузимањем (9) од (10), добија се

tt

22

22rotrot

HEEJEHHE . (11)

Лева страна једнакости (11), може да се трансформише помоћу идентитета из векторске анализе

HEEHHE rotrotdiv , (12)

( HEEHHE , извод ф-је две променљиве и померање чланова у мешовитом производу)

па је

tt

22

22div

HEEJHE . (13)

У случају када спољашње изворе поља представимо помоћу побудног поља, iE , важи iEEJ

i

2

i EJJ

EJEJ

E

. (14)

Заменом (14) у (13), добија се

HEHEJ

EJ

div

22

222

itt

. (15)

Ако интегралимо обе стране једнакости (15) по запремини v, следи да је

vvtt

vv

vvvv

ddivd22

dd

222

i

HE

HEJEJ . (16)

Применом теореме Гауса и Осторградског, једнакост добија коначан облик

SHEHEJ

EJ dd22

dd

222

i

Svvv

vt

vv . (17)

где је SddS n , при чему се референтни смер за нормалу узима ка споља.

У скраћеној форми, Поинтингова теорема гласи

sP dtotJg

St

Wtptp , (18)

где су све величине дефинисане у табели испод.

iEJ , Запреминска густина снаге извора

2J

,

Запреминска густина снаге Џулових губитака

v

vtp dig EJ , Укупна снага извора у посматраном домену

vtp

v

d

2

J

J,

Укупна снага Џулових губитака у посматраном домену

2

2

E

Ew

Запреминска густина електричне енергије

2

2

M

Hw

Запреминска густина магнетске енергије

v

vW d22

22

TOT

HE

Укупна електромагнетска енергија у посматраном домену

v

vtt

Wd

22

22

TOTHE

,

Брзина промене електромагнетске енергије

HEP , Поинтингов вектор

2m

W

SHESP dd SS

Брзина којом се електромагнетска енергија из посматраног домена

преноси у околни простор

На сличан начин изводи се Поинтингова теорема у случају када су извори поља побудне струје. Једина

разлика је у другој Максвеловој једначини која сада гласи

tt

EJE

EJJH iirot . (19)

Спроводећи исти поступак као малопре, добија се исказ Поинтингове теореме у случају када су извори поља

побудне струје

SHEHE

EEJ dd22

dd

222

i

Svvv

vt

vv . (20)

https://en.wikipedia.org/wiki/File:DipoleRadiation.gif

Задатак 263.

(а) Како гласи Поинтингова теорема у случају савршеног диелектрика?

У савршеном диелектрику 0 нема губитака, па је снага Џулових губитака нула.

(б) Како гласи Поинтингова теорема у случају стационарног поља?

sP dJg S

tptp , јер је 0tot

t

W.

(в) Како гласи Поинтингова теорема у случају домена обухваћеног савршеним проводником?

На површи савршеног проводника, вектор електичног поља има само нормалну компоненту, а вектор

магнетског поља само тангенцијалну. Одатле следи да Поинтингов вектор има само тангенцијалну

компоненту .

tntntnttnn iiiiiiHEP PHEHE .

Флукс Поинтинговог вектора по површи савршеног проводника је нула јер су Поинтингов вектор и вектор

нормале међусобно управни

0dd tnnntn SS

SPSP iiiiii .

Између домена који је ограничен савршеним проводником и околине нема размене електромагнетске

енергије!

Поинтингова теорема у овом случају гласи

t

Wtptp

tot

Jg .

Ради смањења електромагнетског зрачења врши се

оклапање електричних уређаја.