Embed Size (px)
Citation preview
الفصل األول
Nاألعداد الطبيعية
Zاألعداد الصحيحة
Qاألعداد العادية
Rاألعداد الحقيقية
القيمة المطلقة
0:
0:0
0:
)(
xx
x
xx
xxf
خواصه
عندئذ 0aإذا كان
1) axaax
2) yxyx ..
3) 0: yy
x
y
x
4) yxyx
5) yxyx
تعريف: المسافة بين عددين حقيقيين
Rxx لدينا 21
xxنسمي المسافة أو البعد بين العددين الحقيقين , 21, :),( 21 xxd :أي
2
xxxxd2121
),(
عدد حقيقي ةمجاور تعريف:
Rx ليكن 0
Rxعدد حقيقي موجب نطلق على مجموعة األعداد الحقيقية وليكن
),(المسافة x0 العدد والتي تبعد عن 0xxd اسم المجاور للعددx0
)(بالرمز ةالمجاور إلى هذه نرمز 0x حيث نطلق على العدد اسم نصف قطر
المجاور
,0المسافة بين بما أن xx يعطى بالعالقة التالية
00 ),( xxxxd
حيث تتحقق المتراجحة التالية Rxتكون من 0xللعدد فإن المجاورة
0xx
وحسب خواص القيمة المطلقة ينتج
00
0
xxx
xx
نتمي إلى المجال تمثل مجموعة األعداد التي ت 0xللعدد وهذا يعني أن المجاورة
المفتوح:
),( 00 xx
المجموعة المحدودة
3
بحيث تتحقق Rbأنها محدودة من األعلى إذا وجد عدد Gنقول عن المجموعة
المتراجحة:
bxGx :
Gالحد األعلى للمجموعة bنسمي
بحيث: Raاألدنى إذا وجد أنها محدودة من Gنقول عن المجموعة
axGx :
aيسمى الحد األدنى للمجموعة :
Gنقول أنها محدودة إذا كانت محدودة من األعلى واألدنى معاً ومنه المجموعة
بحيث تتحقق العالقة: M>0محدودة إذا وجد عدد حقيقي مثل
GxMx :
MxM Gx
تعريف
b0ويساوي أأكبر Gbحد أعلى أصغري إذا كان أي حد آخر Gمن b0نقول عن
بـ Gللمجموعة bللحد األعلى األصغري ونرمز
Gb
Gx
xb
sup
sup
0
0
Gaونسمي الحد األدنى 0 حد أدنى أعظمي لـG إذا كان أي حد أدنى آخرGa
infG ونرمز له بـ aأصغر أو يساوي
4
Ga
Gx
xa
inf
inf
0
المتوالية العددية
تعريف المتوالية الحسابية:
RNfهي تطبيق من : يهي مجموعة من األعداد مرتبة على الشكل التال
a , a + r , a+2r , ,…..
: األساسrالحد األول aحيث
يعطى بالدستور nوالحد العام الذي رتيبته
an=L = a1 + (n-1)r ;n = 1,2,……
يعطى بالعالقة: nومجموعة
S = naan
12
La
nrna
nS
12)1(2
2
1 nn aar
ية الهندسيةتعريف المتوال
هي مجموعة من األعداد مرتبة بالشكل التالي
a, ar , ar2 , ar
3 , ……………ar
n
: األساسrالحد األول aحيث
5
يعطى بالعالقة Lالحد العام
L = arn-1
حد يعطى بالعالقة:nومجموعة
raS r
n
1
1
وفي حالة خاصة
0 < r <1 , n
S = r
a
1 :
1
n
n
r
rr
تعريف: دستور ذي الحدين لنيوتن
nnnnnn babn
nba
nb
nba aa
1221
121)(
!)!(
!
!
)1).......(1(
kkn
n
k
knnn
k
n
يمتراجحة برنو ل
nxx n 1)1( 0x
نالحظ 1Aفإن A = (1+x)في حالة
An 1+n(A-1) Nn
مجموعة األعداد العقدية
12 x ليس لها جذر
1,,1,,1,1
1
65432
2
iiiiiiii
i
6
i,i-,1-,1محصورة بين Iنستنتج أن القوى للعدد
Rbaحيث Z = a+ibمن العالقة ,
الجمع، الفرق، الضرب وأخيراً القسمةندرس :
الضرب
Z=a+ib , Z1=a1+ib1
Z.Z1=(ac-bd)+(ad+bc)i
القسمة
a+ibوالمساوي Z.Z1لنأخذ جذر العدد
(c+id)(x+iy)=a+ib
نالحظ x+iyوالمطلوب العدد العقدي لها
cx-dy+(dx+cy)i=a+bi
ومنه نالحظ
cx-dy=a
dx+cy=b
يحل جملة المعادلة نالحظ
22 dc
baac
cd
dc
cb
da
x
7
2222 dc
adbc
dc
bd
ac
Y
022ولكن dc ومنه نكتب
idc
adbc
dc
bdac
idc
iba2222
X + Yi
تمرين:
500أحسب مجموع جميع األعداد الطبيعية الفردية والتي هي أقل من
إن هذه األعداد هي
1,3,5,………..,499
a1=1 , r=2 , an=499
إذاً
L=a1+(n-1)r
L=1+(n-1)2=499
2
)(
2
)4991( naanS n
n
نحصل
n=250 , Sn=62500
تمرين: بين مجموع أول عشرة حدود للمتوالية العددية والمعلوم لدينا
a9=35 , a5=19
8
من الشروط لدينا
a5 = a1+4r=19
a9=a1+8r=35
بحل هذه الجملة نحصل
a1=3 , r=4
rnan
S )1(22
2105)366(10*2
92 1
10
ra
s
تمرين
أحسب أول خمسة حدود للمتوالية الهندسية حيث معلوم لدينا
a2=4 , a5=32
استناداً إلى العالقة
an=a1rn-1
a2=a1r=4
a5=a1r4=32
a1 = 2 r=2بحل الجملة نحصل
يكون لدينا خمسة حدود
2,4,8,16,32
9
الفصل الثاني
المتتاليات العددية
عريف المتتالية العدديةت
RNXنسمي أي تطبيق *: منطلقه مجموعة األعداد الطبيعية*N ومستقره
بمتتالية عددية Rمجموعة األعداد الحقيقية
x(n) = xnأي Nnلصورة العدد xnفلو رمزنا بـ
دينا مجموعة األعدادوفق التطبيق السابق لتشكت ل
{x,x1,x2,x3,…………..}
بالحد العام xnالتي تسمى متتالية عددية حيث يسمى كل عدد فيها حداً ويسمى
للمتتالية ونرمز لمتتالية بـ
1nnx أو nx وهي الصيغة المولدة لعناصر المتتالية التي حدها العامxn أي
بنكت
nn xxxx ,.......,, 21
xnإن الطريقة األساسية إلعطاء المتتالية بإعطاء الحد العام للمتتالية
أمثلة
01
( المتتالية التي حدها العام 02
1
n
nxn
هي
22
1,.......,
16
5,
9
4,
4
3,2
1
n
n
n
n
( المتتالية التي حدها العام 2n
xn
1 هي
nn
1,.......,
3
1,
2
1,1
1
( المتتالية التي حدها العام 3n
nxn
1 :هي
,......1
,......,3
2,
2
1,0
1
n
n
n
n
( المتتالية التي حدها العام 4n
xn
n
)1( هي
nn
nn )1(,.....,
5
1,
4
1,
3
1,
2
1,1
)1(
بإعطاء عالقة تربط بين الحد العام وعدد منته من الحدود التي تسبقه مع إعطاء قيمة
وعالقة الربط يتم إيجاد أي حد من حدود x1حيث بواسطة x1للمتتالية للحد األول
المتتالية
أمثلة
( إيجاد المتتالية التي تتحقق من أجلها العالقة0
21 35 nnn xxx
حسب العالقة نجد: 3أو حدها الثاني يساوي 1يساوي x1حيث حدها األول
00
8998)3(3)18(5
18315)1(3)3(5
4
3
x
x
الحدود المتتالية: وهكذا نحصل على
( المتتالية الحسابية والتي شكلها العام2
bnaxn )1(
B ، أساسهاx1=a حدها األول ومن معرفتهم يتم حساب كافة حدودها
مثال
ينتج b=2 ،x1=3إذا فرضنا
9)3(23
7)2(23
523
)12(
4
3
2
12
x
x
x
bxx
,.......9,7,5,3nx
كل حدها العام( المتتالية الهندسية والتي ش3
1 n
n aqx
أساسها qحدها األول ، x1=aحيث
ينتج: a=3 ،q=2فرضنا
48)2(3
24)2(3
12)2(3
6)2(3
4
5
3
4
2
3
1
12
x
x
x
qxx n
,.......48,24,12,6,3nx
02
مفهوم نهاية المتتالية -المتتالية المتقاربة -2-2
ـ المتتالية المتقاربة )شرط كوشي(0
نقول عن المتتالية العددية nx أنها متقاربة من العدد الحقيقيa أو أن نهايتها العدد(
a 0( إذا استطعنا أن نرفق كل عدد حقيقي بعدد طبيعي)(mm بحيث مهما
تتحقق المتراجحة n>mيكن العدد الطبيعي axn وشي وهذا يكافئ شرط ك
للتقارب المعرف كما يلي:
0 axmnNm n:
نقطة تقارب المتتالية aنسمي nx كما نقول أحياناً أن المتتالية متقاربة )دون أن
نذكر نقطة تقاربها أحياناُ(. وإذا لم تكن المتتالية متقاربة فنسميها متباعدة.
نت المتتالية إذا كا nx متقاربة إلى النقطةa فإننا نكتب في هذه الحالة
axn axn أو lim axn أو n
lim
مالحظة:
ونحصل على )(دل عن ب )(ـ عند دراسة التقارب نستطيع استخدام المتراجحة 0
تعريف مكافئ للسابق كما يلي
axmnNmax nnn
:,0lim
مثال
برهن أن المتتالية التي حدها العام n
nxn
1 تتقارب من الواحد
ط كوشي للتقارب نجد:عدداً حقيقياً معطى ونطبق شر 0الحل: ليكن
03
nn
nn
n
naxn
111
1
إذا كان m
1mأو
1 نجد بسهولة أن:
mn
xnm n
111
1lim nx
وقبل متابعة األمثلة سندرس المعنى الهندسي للتقارب
المعنى الهندسي لتقارب المتتاليات:
لتكن nx متتالية متقاربة من النقطةa 0إن معنى ذلك أنه من أجل يمكن إيجاد
m منN :بحيث تتحقق المتراجحة
axn
nmمن أجل جميع قيم
nmمعنى ذلك أنه من أجل ن يجب أن يكو axa n وهذا يعنى أنه ابتداء
),(يجب أن تقع حدود المتتالية في المجال المفتوح mمن الرتبة aa
ينتج مما سبق أنه إذا كانت المتتالية nx متقاربة من النقطةa فإنه مهما يكن العدد
بحيث تقع جميع حدود المتتالية اعتباراً من mيمكن إيجاد عدد طبيعي 0الحقيقي
),(في المجال mهذه الرتبة aa
وبشكل آخر إذا كانت المتتالية nx متقاربة من النقطةa 0فإنه من أجل أي
),(يجب أن يحوي المجال المفتوح aa جميع حدود المتتالية اعتباراً من رتبة
04
ما عدا عدد منته منها( معينة )أو يجب أن يحوي المجال المفتوح جميع حدود المتتالية
عدداً حقيقياً 0يجب أن نالحظ هنا أن العكس صحيح أيضاً وذلك ألنه إذا كان
),(لمفتوح معطى فإنه من كون المجال ا aa يحوي جميع حدود المتتالية
nmمثالً ينتج أنه إذا كان mاعتباراً من رتبة معينة :فإن
),( aaxaxaax nnn
),(نسمي المجال المفتوح aa بالمجال المفتوح الذي مركزهa ونصف قطره
:بناء على ما سبق يمكن صياغة النظرية التالية .
(1-1نظرية)
الشرط الالزم والكافي لكي تتقارب المتتالية nx النقطة لىإa هو أن يحوي أي
جميع حدود المتتالية ما عد عدد منته 0ونصف قطره aمجال مفتوح مركزه
منها
2)-(1ة مالحظ
تنتمي إليه بسهولة نجد أن هذا المجال aمجاالً مفتوحاً ولتكن النقطة (c,d)ليكن
وذو نصف قطر موجب إذا كان aيحوي مجاالً مفتوحاً مركزه
adca ,min
نجد أن
),(),( dcaa
المالحظة باالعتماد على aجواراً للنقطة aنسمي أي مجال مفتوح يحوي النقطة
السابقة يمكن صياغة النظرية التالية:
05
3)-(1نظرية
الشرط الالزم والكافي لتقارب المتتالية nx النقطة لىإa هو أن يحوي أي جوار
إليه( جميع حدود المتتالية ما عدا عدد منته a)أي مجال مفتوح تنتمي النقطة aللنقطة
منها
:(2)مثال
المتتالية أن برهن
)1(
22 nn
تتقارب من الصفر
عدداً حقيقياً معطى ولنطبق شرط كوشي للتقارب 0الحل ليكن
32
20
)1(
2
nnnaxn
عدد طبيعي يحقق المتراجحة mبفرض 3
2
mm3أو
2
من أجل أي عدد
3 طبيعي 2
mn يعتبر حالً لهذه المسألة حيث نالحظ إذا أخذنا1000
1 فإن
133001.02 mn
تقع ضمن المجال المفتوح الذي مركزه الصفر 13إن جميع الحدود التي تلي العدد
ونصف قطره 1000
1 0lim
n
n
x
مثال
برهن أن نهاية المتتالية
1
12
n
n 2-متقاربة من العدد
06
الحل
عدداً حقيقياً معطى ولنطبق شرط التقارب 0ليكن
1
3
1
3
1
2212)2(
1
12
nnn
nn
n
naxn
عدد طبيعي يحقق المتراجحة mبفرض 1
3
m
13
)1(3
mm
نجد بسهولة من أجل أي عدد طبيعي
13
mn
يعتبر حالً لهذه المسألة فمن أجل 100
1 نجد
29913
1001
mn
(2-)تقع ضمن المجال المفتوح الذي مركزه 299إذاً جميع الحدود التي تلي العدد
ونصف قطره 100
1 2lim
n
nx
(2-)والمتتالية متقاربة من العدد
2)-2-(2مالحظة
mmإن أي عدد طبيعي هو حل لمسألة نهاية المتتالية إذا كانm حالً لها وعلى
mmعداد ذلك ليس من الضروري إيجاد كل األ التي هي حلول لمسألة النهاية بل
يكفي إثبات وجود أحد هذه األعداد فقط
07
المتتالية المتباعدة
نقول عن متتالية nx ربة ويمكن كتابة شرط تباعد اأنها متباعدة إذا كانت غير متق
متتالية كنقيض منطقي لشرط التقارب أي
axmnNm n:,0
بعبارة أخرى تكون المتتالية nx متباعدة إذا كان كل جوار للعددa ال يحتوي على
عدد غير منته من حدود المتتالية
أمثلة: المتتاليات التالية
,...3,2,1 nxn
,.....1,1,1)1( n
nx
,.....3sin,2sin,1sinsin nxn
كلها متقاربة
: وحدانية النهاية (2-2-1)رية نظ
لكل متتالية عددية متقاربة نقطة تقارب وحيدة
: لتكن البرهان nx متتالية من األعداد الحقيقية ومتقاربة من العدد الحقيقيa
a=bنهاية ثانية للمتتالية ولنبرهن أن bوحيدة: لنفرض aولنبرهن
ستناداً إلى شرط كوشي للتقارب يمكن أن نرفق كل عدد نهاية للمتتالية. ا aبما أن
0 بعدد طبيعيm1 بحيث
21
axmn n
08
يكون bوكذلك من أجل
22
bxmn n
)max,(لنختار 21 mmm ويكون من أجلn>m ًلدينا معا
2
2
bx
ax
n
n
baولنحسب من أجلn>m
bxxabxxaba nnnn
أي أن ba وبما أن صغير موجب إذاً مقدارba أصغر من أي عدد
موجب وبالتالي:
baba 0
وهو المطلوب
المتتالية الجزئية: -2-3
ن المتتالية نقول ع nkx أنها متتالية جزئية من المتتالية nx إذا كانت عناصر
المتتالية nkx تشكل من عناصر ت nx
مثال:
المتتالية nxnk 2 متتالية جزئية من المتتالية nxn
1)-3-(2نظرية
إذا كانت المتتالية nx 0متقاربة منx فكل متتالية جزئية nkx منها متقاربة منa
09
البرهان:
بما أن المتتالية nx متقاربة إذاً يمكن إيجاد)(mm حيث
axmnNm n:0
مهما يكنmnk ينتج axnk والمتتالية nkx متقاربة منa
مثال:
المتتاليتان
n
yn2
1 ،
n
xn
1
أن نالحظ ny جزئية من nx فهي متقاربة
:1)-3-(2مالحظة
إذا احتوت المتتالية nx كل متتالية جزئية متقاربة nkx فليس من الضرورة أن
تكون هي نفسها متقاربة
مثال
n
n
nx)1(
1 1
,
n
n
ny2
21
)1(
1
نالحظ ny جزئية من nx وهي متقاربة في حين nx متباعدة
المتتاليات المحدودة -2-4
نسمي المتتالية العددية nx 21محدودة إذا وجد عددين حقيقيين , mm بحيث يكون
,.........2,1,21 nmxm n
بحيث تتحقق المتراجحة M>0أو يوجد عدد حقيقي موجب
21
,.......2,1, nMxn
بسهولة نجد أن المتتالية nx تكون محدودة إذا وفقط إذا وجد مجال مفتوح حاوي
جميع حدود المتتالية
متتالية في الحقيقية إذا كانت ال nx 0محدودة فإنه يوجد<M بحيث يكون<M nx
MxMأي أن n 2,1.......,وذلكn وبالتالي المجال المفتوح),( MM
يحوي جميع حدود المتتالية
),(العكس: ليكن المجال المفتوح 21 mm يحوي جميع حدود المتتالية nx عند ذلك
بفرض 21 .max mmM فإن المجال),( MM يحوي المجال),( 21 mm ومن ثم
,........2,1),,( nMMxn
,2,1.........,...إذاً nMxn
ونقول عن المتتالية nx أنها غير محدودة إذا وجد بعض حدودها تنتمي إلى خارج
),(المجال المفتوح 21 mm مهما تكنRmm 21 ,
المتتالية المحدودة من األعلى 2-4-1
نقول عن المتتالية nx ن األعلى )أو من اليمين( إذا وجد العدد أنها محدودة م
Mالحقيقي
,2,1....,بحيث تتحقق المتراجحة nMxn وهذا يؤدي إلى أن جميع حدودها
),(تنتمي إلى المجال المفتوح M
20
المتتالية المحدودة من األدنى -2-4-2
نقول عن المتتالية nx ا محدودة من األدنى )أو من اليسار( إذا وجد عدد حقيقي أنه
m 2,1.....,بحيث تتحقق المتراجحة, nxm n
وهذا يؤدي إلى أن جميع حدود المتتالية nx تنتمي إلى المجال المفتوح),( m
حدودة من األعلى أو من األدنى المتتالية الغير محدودة قد تكون م (2-4-1)مالحظة
أو من االثنين معاً
أمثلة
ـ المتتالية 0
1n
n2,1,1....., محدودة ألن
1
n
n
nn
,2,1.........,المتراجحة nxبحيث تحقق M=1أو nMxn وذلك من أجل جميع
1n
ية ـ المتتال2 n غير محدودة ألنه ال يوجد عدد حقيقيM يحقق المتراجحة
,.........2,1, nMxn
),0(ولكنها محدودة من اليمين أو من األعلى ألن جميع حدودها تقع ضمن المجال
ـومن أسلوب المثال السابق تكون المتتالية 3 n غير محدودة، ولكنها محدودة من
),(اليسار أو من االدنى ألن جميع حدودها تقع ضمن المجال n
ـالمتتالية 4 nn)1( هي متتالية غير محدودة وبنفس الوقت غير محدودة من األسفل
),(وال من األعلى ألن حدودها تقع في المجال وطرفي المجال هما عددان
غير محدودين
22
المتتالية المرتبة -2-5
نقول عن المتتالية العددية nx أنها مرتبة إذا كانت متزايدة أو متناقصة
المتتالية المتزايدة -2-5-1
نقول عن المتتالية nx أنها متزايدة )غير متناقصة( إذا كان
1,..,2,1,1 nnxx nn
nnوإذا كانت المتراجحة تامة أي nxونرمز لها بـ xx 1 نقول أن المتتالية nx
متزايدة تماماً
المتتالية المتناقصة -2-5-2
نقول عن المتتالية nx متزايدة( إذا كان أنها متناقصة )غير
,........2,1,1 nxx nn
nnوإذا كانت المتراجحة تامة أي nxونرمز لها بـ xx 1 نقول أن المتتالية
متناقصة تماماً
-1-5-2مالحظة
nnنستدل على ترتيب متتالية من دراسة إشارة الفرق xx 1 نت اإلشارة فإذا كا
موجبة فإن المتتالية متزايدة وإذا كانت اإلشارة سالبة فإن المتتالية متناقصة.
أو بمقارنة النسبة n
n
x
x 1 بالعدد واحد حيث النسبة أكبر من الواحد متزايدة وأصغر من
الواحد متناقصة
23
أمثلة
ـ أثبت أن المتتاليات التي حدها العام 01
n
nxn ًهي متزايدة تماما
01لنبرهن في هذه الحالة أن: nn xx
لنوجد
nnnn
nn
n
n
n
nxx nn
)1(
1
)1(
11
1
22
1
إن الكسر nn )1(
1
إذاً المتتالية هي nهو موجب وذلك مهما يكن العدد الطبيعي
متزايدة تماماً
ـ أثبت أن المتتالية التي حدها العام هو 2n
nxn
1 ًهي متناقصة تماما
01في هذه الحالة نثبت أن nn xx : إذاً لنوجد
)1(
1
)1(
1
1
1
1
111 22
1
nnnn
nn
n
n
n
n
n
n
n
nxx nn
إن الكسر )1(
1
nnإذاً المتتالية هي n>1هو سالب وذلك مهما كان العدد الطبيعي
متناقصة تماماً
: المتتالية الموجبة2-5-3
ي المتتالية العددية نسم nx موجبة إذا كانت جميع حدودها موجبة ونرمز لها بـ
)0( nx
24
المتتالية السالبة: -2-5-4
نسمي المتتالية العددية nx سالبة إذا كانت جميع حدودها سالبة ونرمز لها بـ
)0( nx
نظرية:
كل متتالية متقاربة هي متتالية محدودة
البرهان
ليكن 1nnx متتالية متقاربة من العددa 0عندئذ من أجل كل عدد يمكن إيجاد
mn :بحيث
axmn n,
أي axa n
),..,,.........,max(
),..,,.........,min(
121
121
axxx
axxx
n
n
نجد أن:
Nnxn ,
إذاً nx محدودة
مالحظة:
إن عكس هذه النظرية ليس من الضروري أن يكون صحيح. أي إذا كانت
المتتالية nx محدودة فليس من الضروري أن تكون متقاربة .
25
مثال:
المتتالية nxn cos 1محدودة ألنcos n محدودة ولكن غير متقاربة ألن
حدودها
,.......)1(,......,1,1,1cos nn
ليس لها نهاية محدودة
كذلك نالحظ المتتالية
2
sin
nx
نظرية:
بة )متناقصة( محدودة من األعلى )من األدنى( هي متتالية متقار متزايدة كل متتالية
)أي كل متتالية مرتبة ومحدودة متقاربة(
البرهان
لتكن nx متتالية متزايدة ومحدودة من األعلى وحدها األعلى العددL إي
Lxn sup
من mxعنصر على األقل يوجد عدد موجب معطى كيفياً عندئذ 0إذا كان
المتتالية بحيث تتحقق المتراجحة
0
Lx
LxL
m
m
ومنه Lxm وهذه المتراجحة صحيحة من أجل كلm<n ًإذا Lxn
وهو شرط التقارب
Lxnومنه ينتج n
lim وهو المطلوب
26
مالحظة:
المتتالية المتناقصة والمحدودة من األدنى متقاربةيمكن بنفس الطريقة إثبات أن
مثال:
المتتاليتان
n
xn
1 ،
1n
nyn محدودتان ومتقاربتان
العمليات الحسابية على النهايات -2-6
لتكن لدينا nx ، ny نحاول من هاتين المتتاليتين أن نبني متتاليتين عدديتين س
متتاليات جديدة: المتتالية الناتجة من جمع الحدود المتقابلة في المتتاليتين المعطيتين
تسمى مجموع المتتاليتين وتساوي nn yx ( بنفس الطريقة يمكن أن نعرف
nn yx و nn yx فإنه يمكن تعريف المتتالية nوذلك مهما يكن 0nyن إذا كا .
n
n
y
x
نظرية:
إذا كانت nx ، ny :متتاليتين متقاربتين فإن
1) nnnn yxyx limlim)lim(
2) nnnn yxyx lim.lim).lim(
3) nnnn yxyx lim/lim)/lim( : 0lim ny
27
هذه النظرية يجب أن تفهم كما يلي: إذا كانت المتتاليتان nx و ny متقاربتان فإن
والتقسيم )مع الشرط المضاف( تتقارب ونقاط و الضرب متتالية المجموع والطرح
سابقةتقاربها تحقق العالقات ال
البرهان
:(1)لنبرهن
axnلنفرض أن وbyn 0وليكن .عدداً حقيقياً معطى
axnبما أن فإنه من أجل العدد2
بحيث يكون n1يمكن إيجاد عدد طبيعي
2
axn من أجل جميع قيمnn 1 وبما أنbyn فإنه من أجل العدد
2
يمكن
بحيث يكون 2nإيجاد عدد طبيعي 2
byn من أجل . 210 ,max nnn نجد
nnان بسهولة أنه إذا ك 0 فإن
2
axn و
2
byn
nnبناء على ذلك إذا كان 0 :نجد بسهولة أن
22
()()()()(
byax
byaxbyaxbayx
nn
nnnnnn
وهو المطلوب األول
( من أجل ذلك لنحسب المقدار التالي:2
byaaxy
abayayyxabayayyxabyx
nnn
nnnnnnnnnn
..
28
تالية بما أن المت ny متقاربة فإنها تكون محدودة ومن ثم يوجدL بحيث يكون
Lyn مهما يكنn ومن ثم يمكن إيجاد عددM يحقق العالقتين التاليتين Myn
Maو nوذلك مهما يكن
1nفإنه يمكن إيجاد 0nxفياً بما أن يعدداً ك 0خذ لنأ (2)من أجل البرهان على
بحيث تتحقق المتراجحة M
axn2
من أجلnn 1 وبنفس الطريقة يمكن إيجاد
المتراجحة بحيث تتحقق 2nعدد طبيعي M
byn2
من أجلnn 2 0بفرضn
21أكبر العددين , nn نجد بسهولة أن
M
MM
Mabxy nn22
.
وهو المطلوب الثاني
axnلنفرض أن (3)من أجل البرهان على وbyn 0وb ولنحسب بعد ذلك
المقدار التالي
by
ayb
y
ax
by
aybbax
by
bybx
b
a
y
x
n
n
n
n
n
nn
n
nn
n
n
..
)()(
.
nyيكون اآلن حسب النظريةb
2nnمن أجل 1 0لنفرض أخيراً أن عدد
axnكيفي معطى عند ذلك بما أن 2فإنه يمكن إيجادn بحيث تتحقق المتراجحة
4
baxn
bynوبما أن 3فإنه يمكن إيجادn بحيث تتحقق المتراجحة
29
42bbya n
بفرض 3210 ,,max nnnn نجد أنه إذا كانnn 0 :فإن
bb
b
b
b
b
a
y
x
n
n 2.
1.
4
2.
4
3
وهو المطلوب األخير
مالحظة:
يجب أن نالحظ هنا أن المتتاليتين nx ، ny قد تكونا غير متقاربتين مع أن
nn yx أو
n
n
y
xين.فعلى سبيل المثال نجد أن المتتاليتين تكونا متقاربت
nyx nn متباعدتان رغم أن المتتاليتين nn yx و
n
n
y
x متقاربتان
(0نتيجة )
لتكن nx متتالية متقاربة من العددa وR 0 فإن المتتالية عدد اختياري nx
a.متقاربة إلى العدد
(2)نتيجة
bynلتكن n
lim ،0ny ،0b
يتحقق nعندئذ من أجل جميع قيم
bynn
11lim
31
نظرية
إذا كانت nx 0متقاربة وكانnx 1من أجل جميعn 0فإنlim
nn
x
نظرية:
إذا كانت nx و ny متتاليتن متقاربتين وتحققان المتراجحةnn yx من أجل جميع
1n فإنnn
nn
yx
limlim
نظرية
إذا كانت المتتاليات الثالث nxو nyو nZ تحقق دوماً المتراجحاتnnn Zyx
وإذا كانت المتتاليتان nxو nZ تتقاربان من نهاية مشتركة واحدةa :أي
ayaZx nn
nn
nn
limlimlim
nلنأخذ المتغير eالعدد
nn )1( 1 أو المتتالية التي حدها العامn ولندرس هذه
المتتالية نالحظ أوالً أن:
........)1)(1(!3
1)1(
!2
111......
1
!2
)1(1.1 211
2
nnnnn
nn
nn
وبشكل مشابه نجد:
.....)1
21)(
1
11(
!3
1)
1
11(
!2
1111
nnnn
nnوهذا يعني أن 1 1ويعود ذلك ألن العناصر المتقابلة فيn أكبر من عناصر
n 1باإلضافة إلى وجود حد موجب فيn وغير موجود ما يقابله فيn ًإذا
المتتالية n :متزايدة ومن ناحية ثانية لدينا
30
3122
1.....
8
1
4
1
2
12
!
1......
!2
12......)
21)(
11(
!3
1)
11(
!2
12
n
nnnnn
ومن ثم فإن المتتالية محدودة من األعلى إذاً باالعتماد على النظرية السابقة تكون
إذاً eلنهاية هذه المتتالية بـ نرمز 3متقاربة لعدد أقل أو يساوي العدد
en
n )1
1lim(
للوغارتم يلعب دوراً كبيراً في التحليل الرياضي. فهو يؤخذ كأساس eإن العدد
بالعدد النبري باسم العالم نيبر وهو عدد غير عادي eالطبيعي يسمى عادة العدد
e = 2.718281ويساوي تقريباً )بدقة ستة أعداد بعد الفاصلة(
معيار كوشي لوجود النهاية
تتالية لتكن لدينا الم nx ولنفرض أنها تتقارب إلى العددa أي أنaxn lim عند ذلك
بحيث تتحقق المتراجحة 0nيمكن إيجاد من أجل أي عدد موجب معطى
2
axn من أجل جميع قيمnn 0
عند ذلك نجد بسهولة أن 0nأعداداً طبيعية أكبر أو تساوي n,mلتكن
2
axm و
2
axn
وبالتالي ينتج أن:
22mnmnmn xaaxxaaxxx
32
وبالتالي نحصل على الخالصة التالية:
إذا كانت المتتالية nx 0متقاربة فإنه من أجل أي عدد موجب معطى يمكن
بحيث تتحقق المتراجحة 0nإيجاد عدد طبيعي mn xx من أجل جميع قيمn
mnو 0
ويلخص ذلك في النظرية في الحقيقة العكس صحيح أيضاً ونقبل ذلك بدون برهان
التالية:
نظرية
تتقارب المتتالية nx 0إذا وفقط إذا وجد من أجل أي عدد 0 عدد طبيعيn بحيث
تتحقق المتراجحة mn xx من أجل جميع قيمn وmn 0
إن الشرط السابق يسمى عادة بشرط كوشي وتتميز أهميته في أننا نستطيع أن نعرف
ال دون معرفة النقطة التي تتقارب إليها. مهل المتتالية متقاربة أ
المتتاليات المتناهية في الكبر)المتتاليات التي تسعى إلى الالنهاية(
ى وليس لها نقطة تعريف كل متتالية محدودة من األدنى وغير محدودة من األعل
تكاثف )نهاية محدودة( تسمى متتالية متناهية إلى الالنهاية الموجبة
كما تسمى كل متتالية غير محددودة مدن األدندى ومحددودة مدن األعلدى متتاليدة متناهيدة
إلى الالنهاية السالبة
يمكن التعبير عن المتتالية المتناهية إلى الالنهاية الموجبة أو السالبة كما يلي:
33
قول عن متتالية ن 1nnx أنها تؤول إلى)( أو)( إذا استطعنا من أجل كل عدد
يكون: m<nومن أجل كل mكبير بمقدار كاف إيجاد عدد طبيعي Aكيفي موجب
AX n xn < -A
xn > A
مز لذلك بما يلي:ونر
0A Nm :
nn
n xAxmn lim
أو
0A Nm :
xn
n xAxmn lim
مثال
المتتالية التي حدها العام 1
12
n
nxn
هاية حيث أن:تسعى إلى الالن
xn = 2211
1222
n
nnn
nnn
نجد أن 2nمن أجل 2
nxn بذلك نجد أ، المتتالية غير محدودة من األعلى وليس
وهي أيضاً محدودة من األدنى بالصفر 0nxلها نقطة تكاثف ألن
اهية في الكبربعض خواص المتتاليات المتن
lim)(ـ إذا كان 0 xnn
وكانت ny محدودة
lim)()(فإن
nnn
YX
34
n)(ـ إذا كان 2n
x
lim وإذا كان)(lim
nn
y فإن
)()(lim
nnn
yx
lim)(كان ـ إذا3
nn
X وإذا كانت ny محدودة فإن
)(,).(lim
nnn
yx
lim)(ـ إذا كان 4
nn
x 0فإن1
lim xn
n
0lim إن الرمز
nn
x يعني أن المتتالية
nx
1 يم موجبة،تسعى إلى الصفر بق
يعني أن المتتالية تسعى إلى الصفر بقيم سالبة 0-وأن
ـ إذا كان 5
nn
ylim وكانت nx محدودة، وإذا وجد عدد طبيعيm بحيث أنه
0limفإن 0nx، يكون n>mمن أجل كل
n
n
n y
x
nx0يكون n>mبحيث من أجل كل mي ـ إذا وجد عدد طبيع6
nx)أو 0 0( وإذا كانت النهايةlim
nn
y باالحتفاظ بإشارة ثابتة فإن
n
n
n y
xlim
nyو nxوتتحدد اإلشارة حسب إشارة
35
تمالحظا
ـ إذا كان 0
nn
xlim و
nn
ylim
أن نقول أي شيء عن النهاية فال نستطيع
)lim( nn yx
ألنها حالة من حاالت عدم التعيين ويجب دراسة كل حالة خاصة على حدة
0limـ إذا كان 2
nn
x وكان
nn
ylim نقول شيئاً مسبقاً عن نهاية نستطيع أنفال
المتتالية nn yx .
أمثلة
ـ إذا كان 0 3nxn و 2nyn فما هي النهايةnn yx lim
الحل
01
lim:1
1lim1
1lim)(lim)(lim 3323
nnn
nnnnyx
nnnnnn
n
ـ 2 1 nxn و nyn فإن
nn
nnnnnnyx
nnnn
n
1
1)1(lim)1(lim)(lim
01
1lim
1
1lim
nnnn
nn
nn
36
ـ إذا كان 3 nxn و nn
yn sin1
فإن
nnn
nyxnn
nnn
sinlimsin1
.lim).(lim
ال يوجد نهاية محددة
ـ 4
n
xn
1و nyn فإن
nnyxnnn
nnn
lim).(lim)(lim 1
إذا كان ـ 5
1
1
nxn و nyn 2 فإن
21
2lim
1
2lim).(lim
1
n
nnnn
n n
nyx
المتتاليات المتناهية في الصغر )المتتاليات الصفرية( )المتتاليات التي تؤول إلى الصفر(
تعريف:
الصغر أو متتالية تدعى المتتالية المتقاربة التي تنتهيإلى الصفر متتالية متناهية في
صفرية
تتمتع المتتاليات الصفرية بالخواص التالية:
1)
xx nnn0lim
2) 0lim
nn
X ,
0lim nn
y 0)(lim
yx nnn
3) nnnyx ,0lim
0lim محدودة nn yx
37
4) zyx nnn 0limlim zx nn
0lim ny
إن المتتالية األساسية للمتتالية الصفرية هي
1
1
nn
إن كل متتالية من النوع
1
1
nsn
هي متتالية صفرية 1sحيث
نهايات القوة
axn 0ربة متقاnx ،0a ،0b ،aLn
bb
n
b
nn
axx
)(lim)(lim
مثال
المتتالية التي حدها العام
1
2
210 ........
k
k
k
nn
nananaax
kaaaحيث ,......,, هي متتالية صفرية. بالفعل 1sو nهي أعداد مستقلة عن 21
نجد:
na
na
nax kssn
1.......
11110
وبما أن المتتالية
1
1
nsn
فإن (2)صفرية وحسب الخاصة 1nnx هي صفرية
38
تعريف:
نقول أن المتتالية 1nnx المتتالية تسعى إلى الصفر بسرعة أكبر من
1nny إذا
كانت المتتالية
1nn
n
y
x صفرية
مثال: المتتاليتان
n
1و
2
1
n صفريتان ولكن:
1
1
1
112
nnn
n
n صفرية
وهذا يدل على أن
2
1
nبسرعة أكبر من تسعى إلى الصفر
n
1
: (5)نظرية
سندرس المتتالية (1)حسب الخاصة 1n
na
,0نستطيع أ، نكتب 1aبما أن 1
1
a وبالتالي
0,)1(
1
n
na
وبما أن nnn نجد: )1(1
na
n
n 1
)1(
10
إن المتتالية
1
1
nnصفرية وبالتالي
1
1
nn 0أيضاً هي صفرية حيث
فإن المتتالية (4)وحسب الخاصة 1n
na 1وa هي أيضاً صفرية وبذلك برهنا
0lim1أن:
n
naa
39
اعتماداً على العالقة السابقة، يمكن أن نحصل على النظرية التالية الخاصة
بالمتتاليات الصفرية:
: (6)نظرية
إذا كانت المتتالية 1nnx تحقق واحداً من الشرطين التاليين
1) 1lim 1
n
n
n x
x
2) 1lim
nn
nx
فإن 1nnx صفرية
مثال:
المتتالية
1!
n
n
n
a صفرية
الحل:
إن !n
ax
n
n و)!1(
1
1
n
ax
n
n وبالتالي
nn
a
a
n
n
a
x
xn
n
n
n ,01
!
)!1(
11
:(7)نظرية
تتقارب المتتالية 1nnx إلى العددa كانت متتالية الفرق إذا وفقط إذا
1nn ax
متناهية في الصفر )صفرية(
axnnالبرهان: لنضع
41
axلزوم الشرط: نفرض n
n
0ولنبرهن أن
axnn
n
axnبما أن 0فإنه من أجل جد عدد طبيعي يوm :بحيث يكون
axmn n
nmn أو
حسب تعريف المتناهي في الصغر nعندما 0nأي أن
يوجد عدد 0فإنه من أجل nعندما 0nكفاية الشرط: لنفرض أن
بحيث يكون: mطبيعي
nmn
axmn n أو
وحسب تعريف تقارب متتالية، فإن المتراجحة األخيرة تفيد بأن nx تتقارب نحو
.وهوالمطلوب aالعدد
: 2مثال
برهن أن المتتالية
1
2
2
1n
n
naxnلنحسب الفرق a=1تتقارب إلى العدد فنجد
nnnn
nn
n
naxn ,0
1
1
111
1 222
22
2
2
01وهذا يعني أن nx عندماn :ًإذا
11
lim2
2
n
n
n
40
يعي، برهن أن:عدد طب sبفرض
11lim 1
s
nn
لنأخذ الفرق
11
.......1
!2
)1(11111
2
1
s
s
nnnn
ss
nsx
0limوبما أن n
s
n نجد أن: 0sحيث
011lim 1
s
nn
وبالتالي 11lim 1
s
nn
:4مثال
برهن أن كل متتالية من النوع nk an و k>0هي متناهية في الصغر: حيث .
1a.
لندرس النسبة:
aan
n
an
an
x
x k
n
k
nk
nk
n
n .11
.
.)1(1
11
نجد: 3وحسب المثال
0,11.1limlim 11
kaaa
x
x k
nn
n
n
n
فإن المتتالية 6وحسب النظرية nk an متناهية في الصغر. .
42
متتاليات شهيرة:
ـ المتتالية 0 1n
na حيثRa
nلتكن
n ax :ولندرس الحاالت التالية
1,1,1,1 aaaa
0limوجدنا أ، 1aأـ 0
n
na
11نجد a=1 -ب n
nx :وبالتالي نجد المتتالية
,.........1,1,1nx
وهي متقاربة ونهايتها الواحد.
نأخذ المتتالية بالشكل: a=-1 -جـ
,......1,1,1)1( n
1+أو 1-وهي متباعدة ألن نهايتها غير محدودة فهي إما
a<-1أو a>1وهنا العدد 1a -ء
0حيث 1aعندئذ نستطيع أن نكتب a>1لندرس الحالة
nnnnn
a nnn
1.......!2
)1(
!11)1( 2
naأي n 0و .وهذا يدل على أ، المتتالية متباعدة
في هذه الحالة يمكن أ، نجزئ المتتالية a<-1الحالة 1n
na يتين إلى متتاليتين جزئ
1
12
n
na ، 1
2
n
na إن المتتالية األولى تتناهى إلى وأما الثانية ذات القوى
الزوجية فهي تتناهى إلى
43
lim.0 فإن: 1aو 0kـ من أجل كل 2
nk
nan
فمثالً يمكن المتتالية
1
3
2n
n
nأن تكتب بالشكل:
1213 )(
n
nn
1و 3kوهنا نجد 2
1a 0وبالتالي فالمتتالية متقاربة ونهايتها
2lim
3
nn
n
حدودها كما يلي:يمكن أن نكتب بعض
,........,4,,2,)(32
125
8
27
21
1213
n
nn
ـ المتتالية 3
1!
n
n
n
a
وسنبرهن أنها صفرية لذلك نفرض: a>1لهذه المتتالية أهمية عندما
!n
ax
n
n و)!1(
1
1
n
ax
n
n :ومنه نجد
1.
!)1(
.1
n
ax
nn
aax n
n
n
1نجد 1nعندما 1
n
annوبالتالي xx 1 وبالتالي فإنnx 0وبما أنnx
فإن المتتالية متقاربة أما نهايتها فتحسب كما يلي:
01
lim.lim1
limlim 1
n
ax
n
axx
nn
nn
nn
n
0وبذلك نجد !
lim n
a n
n
ة ـ المتتالي4 1nn a ،a>0
1nعندئذ a>1( لنفرض أن 0 a 0نفرضn ،1n a
44
وسنبرهن أن المتتالية n صفرية
1nلنرفع طرفي العالقة a إلى الدرجةn فنجد:
nn
n
n nna ........1)1( حسب عالقة برنولي
nnaأي 0أو nn
a
0limنجد أن 4باالعتماد على الخاصة
nn
:وبالتاليa>1 ،1lim
n
na
11فإن a=1ـ عندما 2 n 1دائماً وبالتاليlim
n
na
لنفرض a<1>0ـ عندما 3b
a1
حيثb>1 :عندئذ
11
1
lim
1lim
1
n
n
nn
n
ba
ba
مالحظة:
naanنعلم أن 1
0وبما أن1
lim nn
1limووجدنا أن
n
na يد على وهذا برهان جد
10أن a حيثa>0 :ويمكن أن نكتب
1limlim 0
1lim1
aaan n
n
n
n
n
برهن تقارب المتتالية
ـ المتتالية 5
1
1 )1(n
n
nnلنكتب
nnx )1( 1
لنشكل المتتالية:
111 )1()1( n
nnnn xy
45
nnإن yx 0
ولكن المتتالية ny متناقصة باضطراد وبما أنها موجبة فهي محدودة من اليسار
وبالتالي فإن ny .متقاربة
من أجل المتتالية nx نكتبn
n
n
yx
11
بأخذ النهاية نجد:
n
n
n
n yy
x lim)1lim(
limlim
1
لية بذلك برهن أن المتتا n
n)1( 1 متقاربة ونهايتها العدد النبريe أي
718182.2)1(lim 1
en
nn
أمثلة محلولة
ـ أوجد نهايات المتتاليات التالية 0 1nnx :إذا كان
1) )2( nnnxn
2)!
3
nx
n
n
3))12)(12(
1........
5.3
1
3.1
1
nnxn
4)11 3)2(
3)2(
nn
nn
nx
5)42
3
5
n
nn
nx
6) )1()1( 7
n
n
nx
46
7)!
5)5(
nx
nn
n
8) nn nx 12
الحل
nx( نضع الحد العام ونقسمه على مرافق 0
nn
n
nn
nnnnnxn
2
2
2
2)2(
نجد: nبالتقسيم على
11
2
2
n
nx
بما أن nn22 111 10.21وlim21)1(lim 12
n
nn
n
11limإذاً: 2
nn
عندئذ:
111
2
11lim
2)2(limlim
2
n
n
nn
nnnnx
2 )!
3
nx
n
n :سنبرهن أن هذه المتتالية متناهية في الصغر باستخدام العالقة
0lim1lim 1
n
nn
n
nxq
x
x
1
3
)!1(
!3
3
!
)!1(
3 11
nn
nn
nx
xn
n
n
n
47
0lim10031
1lim3lim 1
n
nn
n
nx
nx
x
3 ))12)(12(
1........
5.3
1
3.1
1
nnxn
باستخدام المطابقة
12
1
12
1
2
1
)12)(12(
1
kkkk
وبذلك سيأخذ الحد العام للمتتالية الشكل:
12
112
171
51
51
31
31
11 ......
2
1
nnnx
12
11
2
1
nxn
عندئذ بحساب النهاية نجد
2
1
12
1lim
2
1lim
nx
nn
n
4 )11 3)2(
3)2(
nn
nn
nx
3
1
01
01.
3
1
)lim(1
)lim(1
3
1
1)(3
1)(3limlim
1
32
32
1
321
32
n
n
nn
nn
nn
nx
lim)(lim)(0ألن 1
32
32
n
n
n
n
5 )42
3
5
n
nn
nx
فنجد: nنقسم البسط والمقام على
48
4
6
10
463
4105
4323
4525
4323
4525
423
425
]01.[])1[lim(
]01.[])1[lim(
)]lim(1.[])1[lim(
)]lim(1.[])1[lim(
)1lim(.)1lim(
)1lim(.)1lim(
)1(
)1(limlim
3
5
ee
e
x
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
nn
n
ekاستخدمنا النهاية
n
nk
n
)1(lim
4إذاً
42
3
5lim e
n
nn
n
6 ))1()1( 7
n
n
nx
إن جميع عناصر هذه المتتالية محتواة في المتتاليتين:
nx n
2
712 ،
12
7112
nx n
1limبما أن 2
nn
x ،1lim 12
nn
x
وبالتالي فإن للمتتالية
1
71()1(nn
n 1-,1نقطتان للتكاثف هما
تالية متباعدة، أي ليس لها نهاية.وبالتالي فالمت
49
7 )!
5)5(
nx
nn
n
يمكن أن نكتب الحد العام بالشكل:
1)1(!
5 n
n
nn
x
كجداء متتاليتين nxوهنا يمكن اعتبار المتتالية التي حدها العام
1)1( n
nz ،
!
5
ny
n
n
لم أن:نع
0!
5limlim
ny
n
nn
n
21)1( n
nz
وبالتالي فإن nz :متتالية محدودة وبالتالي فإن
01)1(!
5 n
n
nn عندما
أي 01)1(!
5lim
nn
n n
8 )nn nx 12 مكن أن نكتبي
nnnnnn nnnnnn .33212
nnnn nnn .312 أو
51
قانون:
إذا كانت متتالية محصورة بين متتاليتين متساويتين فهي تساويهم
1limإن
n
nn
11.1lim.3lim nn n
112lim
n
nn
من المتتالية ـ اكتب بعض الحدود األولى2 1nnx :حيث
1)2
sin1 nn
xn
2))13)(13(
1
nnxn
3)
n
nn
x
n
nn
;2
)1(
;1
1
4)2
.......321
n
nxn
5) 1;1
1.......3
11
2
11 1222
x
nxn
6) 1,1; 2121 xxxxx nnn
الحل
1) ,........5
1,0,
3
1,0,1
2sin
1
nn
xn
2) 13.11
1,
10.8
1,
7.5
1,
4.2
1
13)(13(
1
nnxn
فردي
زوجي
50
3) ,.........32
1,
5
1,
16
1,
3
1,
4
1,1 nx
4) ,........12
7,
5
3,
8
5,
3
2,
4
3,1
.....3212
n
nxn
5) 1,1
1......3
11
2
11 1222
x
nxn
,.......7
4,
12
7,
5
3,
8
5,
3
2,
4
3,1
6) 1,1; 2121 xxxxx nnn
,........13,8,5,3,2,1,1
ـ أوجد صيغة الحد العام للمتتاليات التالية واستنتج أياً منها محدودة:3
1) ,.........2
,.......,6
4,
5
3,
4
2,
3
1
n
n
إذاً 2
n
nxn 1,0(وهي متتالية محدودة بالمجال(
2) ,.......2
)1(,.......,
16
1,
8
1,
4
1,
2
11
n
n
إذاً n
n
nx2
)1( 1 إن ،
2
1nx
3) ,........12
1,........,
9
1,
7
1,
5
1,
3
1,1
n
إذاً 12
1
nxn ،)1,0(nx
4)15432 2
)2(3,,.........
2
97,
2
19,
2
13,
2
1
n
nn
52
إذاً 12
)2(3
n
nn
nx .وغير محدودة
5) 2222,222,22,2
21
2,2 11
n
nn
x
xxx
ـ ما هي المتتاليات 4 1nnx المرتبة من المتتاليات التي حدودها العامة التالية
1)14.4
4.4
14
4,
14
41
1
1
n
n
n
n
nn
n
n xx
14
14
14.4
44.4
4
14
14.4
4.4
4
14
14
4
411
11
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
x
x
nnإذاً xx 1 .والمتتالية متزايدة
2) 12,1 1 nnxnnx nn
)12(
12
)1(
12
1
121
nn
nn
nn
nn
nn
nn
x
x
n
n
12)1(21
12
nnnnnnn
nn
)1(1
1
nn
قيمتين متتاليتين والتأكد من أن الفرق بين حدين متتاليين سالب nطاء يمكن إع
وبالتالي المتتالية متناقصة.
3)n
xn
n
)1(1
53
,........2
1,0,1,0nx
المتتالية غير مرتبة:
1112.2.1
)12)(1(
nnnnnnnn
nnnn
تمارينأوجد نهايات المتتاليات التالية
1nnx انإذا ك
nnnxnـ 0 2(
nxنضع الحد العام ونقسمه على مرافق
nn
n
nn
nnnnnxn
2
2
2
2)2(
نجد: nبالتقسيم على
11
2
2
n
nx
بما أن nn22 111
10.21lim21)1(lim 12
nn
nn
11limإذاً 2
nn
111
2
11lim
2)2(limlim
2
n
n
nn
nnnnx
ـ 2!
3
nx
n
n :لنبرهن أن هذه المتتالية متناهية في الصغر
54
0lim1limباستخدام العالقة: 1
n
nn
n
nxq
x
x
0lim10031
1lim3lim
1
3
)!1(
!3
3
!
)!1(
3
1
11
nnn
n
n
n
n
n
n
n
xnx
x
nn
nn
nx
x
ـ 311 3)2(
3)2(
nn
nn
nx
1)(3
1)(3limlim
1
321
32
nn
nn
nn
nx
3
1
01
01.
3
1
)lim(1
)lim(1
3
1lim
1
32
32
n
n
nn
x
lim)(lim)(0ألن 1
32
32
n
n
n
n
ـ 442
3
5
n
nn
nx
فنجد: nنقسم البسط والمقام على
4
6
10
463
4105
4323
4525
4323
4525
423
425
]01.[])1[lim(
]01.[])1[lim(
]lim1.[])1[lim(
]lim1.[])1[lim(
)1lim(.)1lim(
)1lim(.)1lim(
)1(
)1(limlim
3
5
ee
e
x
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
nn
n
ekحيث استخدمنا النهاية
n
nk
n
)1(lim
4
42
3
5lim e
n
nn
n
55
ـ 5!
5)5(
nx
nn
n
يكتب الحد العام بالشكل:
1)1(!
5 n
n
nn
x
كجداء متتاليتين nxاعتبار المتتالية التي حدها العام يمكن
1)1( n
nz ،
!
5
ny
n
n
نعلم أن:
0!
5limlim
ny
n
nn
n 0
!lim
n
a n
n
21)1( n
nz مرة موجب ومرة سالب
وبالتالي فإن nz :متتالية محدودة وبالتالي فإن
01)1(!
5 n
n
nn عندما
أي 01)1(!
5lim
nn
n n
6 )nn nx 12 يمكن أن نكتب
nnnnnn nnnnnn .33212
nnnn nnn .312 أو
1lim
n
nn
11.1lim.3lim nn n إذاً
56
112lim
n
nn إذاً
إذا كانت متتالية محصورة بين متتاليتين متساويتين فهي تساويهم
ـ أوجد النهايات التالية:
n
xn
1 ، nyn
?.lim
nnn
yx
n
nyx
nnn
n lim.lim
n
n نضرب بـ
nnlim
1
1
nxn ، nyn 2
?.lim
nnn
yx
201
2
1
2lim
1
2lim.lim
1
n
nnnn
n n
nyx
ـ بين فيما إذا كانت المتتاليات التالية مرتبة:
(أ14.4
4.4
14
4,
14
41
1
1
n
n
n
n
nn
n
n xx
14
14
14.4
44.4
4
14
14.4
4.4
4
14
14
4
411
11
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
x
x
nnإذاً xx 1 .والمتتالية متزايدة
(ب 12,1 1 nnxnnx nn
57
)12(
12
)1(
12
1
121
nn
nn
nn
nn
nn
nn
x
x
n
n
12)1(21
12
nnnnnnn
nn
)1(1
1
nn
قيمتين متتاليتين والتأكد من أن الفرق بين حدين متتاليين سالب nيمكن إعطاء
وبالتالي المتتالية متناقصة.
(جـn
xn
n
)1(1
,........2
1,0,1,0nx
المتتالية غير مرتبة.
المتتاليات
ـ 0المتتالية:
1
2
2
1n
n
n 1
1lim
2
2
n
n
n
ـ 2 11lim 1
s
nn
sعدد طبيعي :
ـ 3 1. n
nk an هي متناهية في الصغر
المتتاليات الشهيرة
ـ 0 1n
na Ra
58
تهناك أربع حاال
1a 0limأـ
n
na
a=1 1lim -ب
n
na
a=-1 -جـ
1+أو 1-متباعدة نهايتها إما
a<-1أو a>1هنا العدد 1a -ء
lim.0ـ2
nk
nan
1}.{ n
nk an
0ـ 3!
lim n
a n
n
1!
n
n
n
a
ـ 4 1nn a ،a>0
a>1 1nأـ a
a=1 1lim-ب
n
na
a<1 1lim>0 -جـ
n
na
ـ 5
1
1 )1(n
n
n en
nn
)1(lim 1
ـ أوجد نهاية المتتالية:8
)12)(12(
1........
5.3
1
3.1
1
nnxn
باستخدام المطابقة
59
12
1
12
1
2
1
)12)(12(
1
kkkk
سيأخذ الحد العام للمتتالية الشكل:
12
112
171
51
51
31
31
11 ......
2
1
nnnx
12
11
2
1
nxn
عندئذ بحساب النهاية نجد
2
1
12
1lim
2
1lim
nx
nn
n
-7-تابع
أوجد نهاية ما يلي:
ـ 0 3nxn ، 2nyn ما هي نهايةnn yx lim
)01(lim)1(lim)(lim)(lim 31323 nnnnyxn
nnn
nnn
ـ 2 1 nxn nyn
01
1lim
1
1lim
1
11lim)1(lim)(lim
nn
nn
nn
nn
nnnnnnyx
n
nnnnn
n
ـ إذا كان 3 nxn ، nn
yn sin1
:فإن
nnn
nyxnn
nnn
sinlim)sin1
.(lim).(lim
ال يوجد نهاية محدودة.
61
الفصل الثالث
السالسل العددية تعريف السلسلة العددية: 3-1
هي المجموعة الالنهائي لحدود متتالية عددية ال نهائية فإذا كانت 1nnu متتالية من
nuuuاألعداد الحقيقية حدودها ,......,, فإن المجموع الالنهائي لهذه الحدود 21
nuuuu بشكل سلسلة عددية ونرمز لها بـ 321......
1n
nU
أو الحد nحدها ذا المرتبة nuحدها الثاني، 2uبالحد األول للسلسلة، 1uنسمي
العام وهو الصيغة الرياضية التي تولد جميع حدود السلسلة.
تمثل السلسلة إما بإعطاء جميع حدودها أو بإعطاء حدها العام وتكتب اختصاراً
بالشكل:
1n
nU حيثnu .هو الحد العام للسلسلة المفروضة
أمثلة
....( السلسلة 01
.......4
1
3
1
2
11
n
60
تسمى هذه السلسلة بالسلسلة التوافقية، حدها العام n
un
1 وتكتب بالشكل المختصر
1
1
n n
( السلسلة 2
....)1(
1.....
4.3
1
3.2
1
2.1
1
nn
حدها العام )1(
1
nnun ونكتب بالشكل المختصر
1 )1(
1
n nn
1862......2)3(1( السلسلة 3 n 2)3(1حدها العام n
nu وشكلها المختصر
1
1)3(2n
n
1..............( السلسلة 4 132 naaaa 0حيثa عدد حقيقي
1ونسمي هذه السلسلة بالسلسلة الهندسية، حدها العام n
n au
32.......)1(.....( السلسلة 5 anaaa
anunتسمى السلسلة الحسابية وفيها الحد العام )1(
مجموع السلسلة
62
nuuuإذا كان المجموع ,......,, منتهياً فديمكن أن نجدد قيمتده الدقيقدة ويسدمى مجمدوع 21
تطيع أن نقددول شديئا عندهً إال فدي بعددض السلسدلة أمدا إذا كدان المجمددوع النهائيداً فدال نسد
الحاالت الخاصة.
متتالية المجاميع الجزئية
لتكن لدينا متتالية األعداد الحقيقية اآلتية:
nuuu ,......,, 21 (1)
وإذا بدأنا بالتتالي بأخذ المجاميع الجزئية لحدودها كما يلي
nnnn uSuuuS
uSuuuS
uSuuS
uS
121
323213
21212
11
......
nsssتتالية تمثل الم ,........,, المجاميع الجزئية للسلسلة 21
1n
nu وتسمى متتالية
المجاميع الجزئية ونرمز لها بـ 1nnS
السالسل المتقاربة والسالسل المتباعدة
إذا كانت متتالية المجاميع الجزئية 1nnS ايتها متقاربة ونهs أيn
nss
lim
يمثل مجموع السلسلة وتكون السلسلة في هذه الحالة متقاربة. أما إذا كانت sفإن العدد
متتالية المجاميع الجزئية 1nnS متباعدة أي ليس لها نهاية محددة، فإن السلسة نفسها
تكون متباعدة وليس لها مجموع محدد.
ث عن مجموع السلسلة يخص السالسل المتقاربة وأما السالسل المتباعدة فال إن الحدي
معنى للحديث عن مجموعها.
63
من السالسل المتباعدة: السلسلة اآلتية:
1+1+1+1+………+1+….
وهي متباعدة ألن متتالية المجاميع الجزئية:
1,2,3,………,n,…….
متباعدة كما نعلم. حيث أنها تؤول إلى الالنهاية
أمثلة
……+1+..……+1+1+1+1( السلسلة 0
لنأخذ متتالية المجاميع الجزئية لها فنحصل
ns
s
s
s
n
1.......11
.
.
3111
211
1
3
2
1
وتكون متتالية المجاميع الجزئية لها:
1,2,3,………,n,…..
وهي متباعدة ألنها تؤول إلى الالنهاية
( السلسلة 2
1 )1(
1
n nn
لنأخذ المجاميع الجزئية لها نحصل
64
1
11
1
111
1
1.........
4
1
3
1
3
1
2
1
2
1
1
1
.
4
11
4
1
3
1
3
1
2
1
2
1
1
1
4.3
1
3.2
1
2.1
1
2
11
2
1
2.1
1
2
1
nnnnnS
S
S
n
وتكون متتالية المجاميع الجزئية لها 1nnS متقاربة ألن
11
1lim1)1(limlim
11
nS
nn
nn
n
( السلسلة 3
......)3(2.....162541862)3(2 1
1
1
n
n
n
بأخذ المجاميع الجزئية لها نحصل
122,40,14,4,2 54321 SSSSS
ال تتقارب إلى أي عدد حقيقي أي أن بسهولة نالحظ أن متتالية المجاميع الجزئية لها
السلسلة متباعدة
لندرس بعض السالسل الهامة، التي تلعب دوراً أساسياً في الرياضيات
السلسلة الحسابية
السلسلة الحسابية: هي مجموع حدود المتتالية الحسابية، وهي متتالية األعداد التي
أساس المتتالية أي: يسمى rينشاً كل حد فيها عن سابقه بإضافة مقدار ثابت
raa kk 1
وبذلك نجد حدود المتتالية الحسابية، تأخذ الشكل اآلتي:
65
,........)1(,,.........2,, rnararaa
ويكون مجموعها النوني
])1([.....)2()( rnararaaAn
خواص السلسلة الحسابية
ـ يعطى الحد العام بالصيغة اآلتية0
rnaan )1(
أي rبين حدين متتاليين يساوي مقداراً ثابتاً هو أساس السلسلة ـ الفرق 2
1 kk aar
ـ كل حد فيها هو وسط حسابي بين مجاوريه ما عدا الحد األول أي3
2
11 kk
k
aaa
rnaـ إن مجموع حدين متقابلين في السلسلة يساوي مقداراً ثابتاً هو 4 )1(2 1
لحقيقة إذا كانت حدود السلسلة على الشكل:با
.............. 12321 nnn aaaaaa
فإن
rnarnaraaa
rnarnaraaa
rnarnaaaa
n
n
n
)1(2)3(2
)1(2)2(
)1(2)1(
11123
11112
1111
ـ مجموع حدود السلسلة الحسابية5
66
لنكتب مجموع حدود السلسلة الحسابية المنتهية مرتين بشكل متعاكس كما يلي
12321
12321
.......
.........
aaaaaa
aaaaaa
nnn
nnn
نجمع كل حدين متقابلين
)()()(........)())(( 1213223121 aaaaaaaaaaaa nnnnnn
زوجاً وأن كل زوج nوبمالحظة أن مجموع األزواج يساوي (4)وبحسب الخاصة
يساوي rna )1(2 1 ًإذا
rnanAn )1(22 1
])1(2[2
1 rnan
An (I)
)(2
1 nn aan
A (I')
من حدود السلسلة الحسابية حداً nتعطيان مجموع ('I) , (I)العالقتان
من البديهي أننا ال نستطيع إيجاد المجموع الالنهائي لحدود السلسلة الحسابية، ألنه
. إذاً فالسلسلة الحسابية nعندما nAفإن ('I) , (I)وحسب الصيغتين
متباعدة دوماً
أمثلة
67
حد األولى من األعداد الطبيعية هو ـ مجموع المائة0
5050)101(2
100100 A
ـ مجموع المائة حد األولى من األعداد الطبيعية الزوجية هو2
10000]2)1100(2[2
100100 A
ـ مجموع المائة حد األولى من األعداد الطبيعية الفردية هو3
9950]2)1100(1[2
100100 A
ـ السلسة الهندسية2
لةتعريف: نسمي السلس
............21 naaa
حيث qسلسلة هندسية إذا كانت القسمة بين حدين متتاليين فيهما تساوي مقداراً ثابتاً
1q :يسمى أساس السلسلة الهندسية، أي
..,.........3,2,1
1
nqaaqa
ann
n
n
وعلى ذلك نستطيع كتابة حدود السلسلة الهندسية بالشكل
.............. 132 naqaqaqaqa
nGلنسمي هذا المجموع
.............. 12 n
n aqaqaqaG (1)
فنجد qلنضرب طرفي هذه العالقة بـ
68
..............32 n
n aqaqaqaqqG (2)
(2)من (1)بطرح
aaqGqG n
nn
)1()1( n
n qaqG
1
1
q
qaG
n
n
خواص السلسلة الهندسية
أساس السلسلة qكل حدودها عن سابقه بضربه بعدد ثابت ـ ينتج 0
qaa kk .1
من حدودها وسط هندسي بين مجاوريه ما عدا الحد األول kaـ كل حد 2
,.....3,2,.. 1111
2 kaaaaaa kkkkkk
برهن العالقة
حداً من حدودها يعطى بالعالقة nـ مجموع 3
q
qa
q
qaG
nn
n
1
1
1
1
دراسة تقارب السلسلة الهندسية
11أي 1qـ عندما 0 q 0نعلم أنlim
n
nq
وبالتالي فإن:
q
a
q
aq
q
a
q
qaGG
n
n
n
nn
n
11lim
11
1limlim
69
أي أن النهاية موجودة ومحدودة فالسلسلة متقاربة
1qأو 1qأي 1qـ 2
بأخذ نهاية المجموع
q
qaG
n
nn
n
1
1limlim
ولكن
n
nqlim 1عندماq
إذاً
q
aq
q
aG
n
nn
n 11limlim
أي أن السلسلة متباعدة
naGnجموعها وعندئذ م aتكون حدود السلسلة ثابتة وتساوي q=1ـ 3
naGn
nn
limlim
أي السلسلة أيضاً متباعدة
يكون مجموع حدود السلسلة 1-ـ 4
aaaaaG n
n
1)1(.........
زوجياً أو فردياً، إذاً nوذلك حسبما يكون aأو 0إن متتالية المجاميع الجزئية تساوي
0متباعدة، علماً أن مجموعها مقداراً ثابتاً ال نستطيع تحديد نهاية لهذه المتتالية فهي
aأو
باقي حدود السلسلة غير المنتهية
71
نقول إن السلسلة غير المنتهية
1n
nu بأنها سلسلة متقاربة حين يكون الـn ًحدا
حداً األولى منها نهاية محددة nاألولى منها مقداراً محدداً. أي عندما تكون نهاية الـ
وهكذا عندما تكون السلسلة متقاربة فإن مجموع هذه السلسلة يؤدي إلى تقاربها
من السلسلة يمثل قيمة تقريبية لمجموع السلسلة لنفرض الخطأ في nإذاً مجموع الـ
حيث nRتقدير مجموع السلسلة
nn AAR
لسلسلة:باقي ا nRيسمى
..........21 nnn uuR
يكون 1qفي السالسل الهندسية المتقاربة عندما
q
aq
q
aqa
q
aGGR
nn
nn
111
النظريات األساسية للسالسل المتقاربة
: الشرط الالزم لتقارب سلسلة عددية هو أن يتناهى حدها العام إلى الصفر1نظرية
البرهان: لنفرض
1n
nU سلسلة متقاربة.إذاً المجموع النوني لحدودها ينتهي إلى نهاية
.nعندما Aمحدودة ووحيدة. ولتكن
إن الحد العام للسلسلة
1n
nU هو الفرق بين المجموعتينnS ،1nS
1 nnn SSu
0)(limlim 1
SSSSu nnn
nn
70
نتيجة:
نفهم من هذه النظرية أنه إذا كان الحد العام ال ينتهي إلى الصفر فهذا يدل على أن
وجدنا أنها متباعدة 1qالسلسلة متباعدة.كمثال على ذلك السلسلة الهندسية التي فيها
0limحيث
n
nq
0limالشرط إن
nn
u هو الزم لتقارب السلسلة وليس كافياً لنأخذ كمثال على ذلك
السلسلة التوافقية
1
1
n n0التي فيها
1lim
nnولكنها متباعدة. بالحقيقة لدينا إن حدود
السلسلة هي:
.........1
.......5
1
4
1
3
1
2
11
1
1
nnn
د هذه السلسلة ابتداء من الحد الثاني على شكل مجموعات عدد يمكن أن نكتب حدو
2,......,1,2,8حدودها 1k حيثk ترتيب المجموعة
.....)......()()()(11
161
91
81
71
61
51
41
31
21
n
وإذا أخذنا من كل مجموعة أصغر حدودها وهو األخير وضربناه بعدد الحدود فيها
ر المجموعة أي:نحصل على قيمة أصغر من القيمة الحقيقية لمجموع عناص
221
161
81
41
21 1......)111(1........8421
1n
n
72
حداً األولى منها وهو (n-1)إن مجموع الـ 2
nيتناهى إلى الالنهاية لذلك نجد أن
مجموع حدود هذه السلسلة يتناهى إلى الالنهاية وبالتالي فهي متباعدة.على الرغم من
0أن 1
lim nn
:2نظرية
ن لتك
1n
nu ،
1n
nv سلسلتين متقاربتين إلى العددA وB إن مجموعهما
BAوفرقهما هو سلسلة متقاربة نحو العدد :أي
BAvu nnn
)(lim
البرهان:
)(حد األولى للمتتالية nلنأخذ المجموع )الفرق( لـ 1
n
nn vu
)....()....()(.....)()( 3213212211 nnnn vvvvuuuuvuvuvu
ومنه ينتج:
BAvuvu nn
nn
nnn
limlim)(lim
:3نظرية
إذا كانت السلسلة
1n
nu متقاربة ومجموعها العددA فإن السلسلة
1n
nu متقاربة
RAومجموعها العدد
73
البرهان:
يمكن أن نكتب
Auuuu
uuuuu
n
n
n
n
n
n
.....).......(
................
321
21
11
وهو المطلوب
: 4نظرية
إذا أضفنا أو حذفنا من السلسلة
1n
nu عدداً منته من حدودها األولى فال تتغير طبيعة
السلسلة من حيث التقارب أو التباعد.
البرهان
لنأخذ السلسلة
1n
nu ولنحذف منهاk السلسلتينحد األولى فينتج
(1) ....................321 nk uuuuu
(2) ................21 nkk uuu
لمجموع الحدود الـ nAو (1)األولى للسلسلة (n)لمجموع الحدود الـ nAولنرمز بـ
n نالحظ: (2)األولى للسلسلة
).......( 21 knn uuuAA
Muuuبفرض k عدد محدود. Mعدد محدود ينتج kحيث 21......
وبأخذ نهاية الطرفين للعالقة األخيرة نجد:
MAuuuAA nn
knn
nn
lim)......(limlim 21
74
موجودة وبالعكس. وبالتالي ال تتغير طبيعة nAlimموجودة ينتج nAlimإذا كان
لة من حيث تقاربها أو تباعدها.السلس
: إذا أضفنا أو طرحنا من السلسلة 4نظرية
1n
nu عدداً منته من الحدود، ال تتغير
طبيعة السلسلة من حيث تقاربها أو تباعدها.
البرهان
لتكن السلسلة
1n
nu ولنحذف منهاn' دةحداً األولى نحصل على سلسلة جدي
1m
mu
حيث
......,.........,, 332211 nnn uvuvuv
لدينا: n'>nعندئذ من أجل
)......().....(
.............
2121
2121
nnn
nnnn
vvvuuu
uuuuuu
نرمز للمجموع الجزئي للسلسلة
1n
nu بـnU وللمجموع الجزئي للسلسلة
1n
nv بـ
nV :عندئذ نجد
nnnnnnn VUUUUU )(
nnVموجودة )أو غير موجودة( فإن النهاية nUlimفإذا كانت النهاية lim تكون
nUموجودة )أو غير موجودة( إذاً ال يتعلق بـn
75
السالسل ذات الحدود الموجبة )غير السالبة(
0nuإن السالسل ذات الحدود الموجبة هي السالسل التي تكون جميع حدودها
3,2,1n.......,حيث
إن السالسل ذات الحدود الموجبة )أو غير السالبة( هي إما متقاربة أو متباعدة أي
AAnإما أوnA
nAAAتالية المجاميع الجزئية للسلسلة الموجبة إن مت ,......,, هي متتالية متزايدة. 21
11حيث nnn aAA 01ولكن na
nnإذاً AA 1
:5نظرية
تتقارب السلسلة
1n
nu متقاربة، عندئذ نوجد النهايةAAnn
lim
هو الحد العام لمتتالية المجاميع الجزئية لهذه السلسلة. وبمالحظة أن nAحيث nA
AAn، ينتج أن Aمتزايدة لكون حدودها موجبة ومتقاربة من وذلك من أجل كل
Nn ًالمتتالية ، إذا nA محدودة من األعلى بالعددA ومن األدنى بالعدد صفر
0nA
كفاية الشرط: لنفرض أن nA محدودة للسلسلة العددية
1n
nu ولما كانت هذه ،
اميع الجزئية السلسلة ذات حدود موجبة، فإن متتالية المج nA .متزايدة
76
إذاً nA متزايدة ومحدودة من األعلى وبالتالي فهي متقاربة، أي أن السلسلة nu
متقاربة.
مثال
السلسلة العددية
1 !
1
n nميع الجزئية ذات حدود موجبة ومتقاربة ألن متتالية المجا nA
محدودة من األعلى ألن:
12 2
1.....
2
1
2
11
!
1.....
!4
1
!3
1
!2
11
nnn
A
حدوداً أكبر منها وهي حدود سلسلة هندسية متقاربة وذلك nAوهنا استبدلنا بحدود
1ألن 2
1q :واستناداً لما سبق يكون
21
1
1
1
21
21
2
12
nA
2ذاً متتالية المجاميع الجزئية محدودة بالعدد إ
مثال:
برهن أن السلسلة
1
1 )1ln(n
n متباعدة.
nnn
nn
ln)1ln(1
ln)1ln( 1
لنشكل متتالية المجاميع الجزئية
kkSn
k
n ln)1ln(1
77
)1ln(ln)1ln(lnln)1ln(
5ln4ln5ln4ln
4ln3ln4ln3ln3ln4ln
3ln2ln3ln2ln
2ln1ln2ln
1
4
23
2
1
nnnnnnSS
S
SS
S
S
nn
)1ln(إذاً nSn
)1ln(limlim nSn
nn
إذاً nS متتالية موجبة متزايدة وغير محدودة من األعلى فهي متباعدة إذاً السلسلة
1
1 )1ln(n
n متباعدة.
اختبارات تقارب السالسل:
ـ اختبار المقارنة:0
لتكن لدينا السلسلتان العدديتان اآلتيتان ذوات الحدود غير السالبة:
..........21
n
N
n uuuu (1)
..........21
n
N
n vvvv (2)
nnوليكن vu من أجلnn 0 0حيثn ترتيب حد من السلسلتين عندئذ
إذا كانت السلسلة
1n
nv متقاربة فإن السلسلة
1n
nu متقاربة
إذا كانت السلسلة
1n
nu متباعدة فإن السلسلة
1n
nv متباعدة
78
البرهان
ليكن
nn uuuS ........21
nn vvvS .....21
nnمن الواضح SS لمتتاليةمتقاربة، فإن ا (2)حسب شروط النظرية بما أن السلسلة
,.........,........,, 21 nSSS
متقاربة أيضاً، وبالتالي فهي محدودة.
مثال:
ادرس تقارب السلسلة
12
1
n n
إن حدود هذه السلسلة أصغر من حدود السلسلة )1(2
nn المتقاربة من السلسلة
1 )1(
12
n nn السلسلة المفروضة متقاربة حيث نالحظ متقاربة )درست سابقاً( إذاً
.....40
2
30
2
20
2
12
2
6
21.......
36
1
25
1
16
1
9
1
4
11
ـ أما إذا كانت السلسلة 3
1n
nv متباعدة، فال نستطيع معرفة طبيعة السلسلة
1n
nu ،
فقد تكون متقاربة وقد تكون متباعدة
:2مالحظة
فة تقارب عدد من السالسل أو تباعدها إن تطبيق اختبار المقارنة يحتاج إلى معر
ونذكر هنا بعضاً منها:
79
ـ السلسلة الحسابية متباعدة دوماً 0
1qومتقاربة عندما 1qـ السلسلة الهندسية متباعدة عندما 2
ـ السلسلة التوافقية 3
1
1
n n متباعدة دوماً
ة ريمن ذات الشكل العام ـ سلسل4
1
1
nPn
p>1متقاربة عندما QPحيث
1pومتباعدة عندما
: لتكن السلسلة العددية1مثال
.........12
1.....
17
1
9
1
5
1
3
1
2
11
n
إن حدودها أصغر من حدود السلسلة:
12
1......
8
1
4
1
2
11
n
1سلة الثانية هندسية أساسها وبما أن السل2
1q فهي متقاربة. إذاً وحسب اختبار
المقارنة فإن السلسلة المفروضة متقاربة.
: ادرس تقارب السلسلة 2مثال
1 )12(
1
n nn
الحل: باستخدام المتراجحة 2
1
)12(
1
kkk
لى حدود السلسلة المفروضة، نجد أنع 3,2,1k......,من أجل
222 3
1
7.3
1,
2
1
5.2
1,
1
1
3.1
1
81
2
1
)12(
1
nnn
أي أننا اخترنا السلسلة
12
1
n nوحسب p=2>1المتقاربة ألنها سلسلة ريمن فيها
اختبار المقارنة فالسلسلة المفروضة متقاربة
: ادرس تقارب السلسلة3مثال
1 25
1
nn n
إن هذه السلسلة ذات حدود موجبة، ألن الحد العام
nu
nn25
1
موجب دوماً. ولكن نجد أن:
nn n 5
1
25
1
وأن السلسلة
1 5
1
nn
1فهي سلسلة هندسية متقاربة ألن أساسها 5
1q إذاً فالسلسلة
المفروضة متقاربة
:4مثال
ادرس تقارب السلسلة
1 )13(
3
nn
n
n
80
الحل
بدراسة الحد العام للسلسلة المفروضة نجد:
nnnu
n
n
n
n
n
1.
2
1
3.2.
3
)13(
3
إن السلسلة
1
1
2
1
n nمتباعدة ألنها شكل خاص من السلسلة التوافقية المتباعدة، إذاً
قارنة.السلسلة المفرضة متباعدة حسب اختبار الم
:5مثال
ادرس تقارب السلسلة
13 2
)1ln(
n n
n
الحل
)1ln(0بما أن n 2من أجلn 3الطرفين على 2n :نجد
3
2
11)1ln(
3 23 2nnn
n
السلسلة
1 3
2
1
n n1 متباعدة ألنها سلسلة ريمن فيها
3
2p
إذاً السلسلة المفروضة متباعدة
82
مثال:
ادرس تقارب السلسلة
32 2
4
n nn
nn
الحل
. ولذلك فإننا سنخرج الحدود غير 16nإن حدود هذه السلسلة غير سالبة من أجل
ود المحذوفة محدود. ولذلك السالبة، دون أن يؤثر ذلك على تقاربها، ألن عدد الحد
سندرس تقارب السلسلة الجديدة
162 2
4
n nn
nn
2
3
414
2
422
nnn
nn
nn
nnun
إن السلسلة ذات الحد العام
2
3
14
1
nnهي حاصل طرح سلسلة متقاربة
1 2
3
4
n nمن
سلسلة متباعدة
1
1
n n باعدة.فهي سلسلة مت
وحسب اختبار المقارنة فالسلسلة المفروضة متباعدة
83
مالحظة اعتماداً على المالحظتين السابقتين
ولحساب النهاية Un , Vnإذا كان لدينا السلسلتين
محدودة
n
n
U
Vlim معدومة =
غير محدودة
ـ إذا كانت النهاية محدودة وغير معدومة فالسلسلتين من نوع واحد0
ـ إذا كانت النهاية معدومة وكانت 2 nu متقاربة فإن nv متقاربة
ـ إذا كانت النهاية غير محدودة وكانت3 nu متباعدة فإن nv متباعدة
ـ إذا كانت النهاية معدومة وكانت4 nu متباعددة فدال نسدتطيع تحديدد طبيعدة السلسدلة
nv
ـدد إذا كانددت النهايددة غيددر محدددودة وكانددت5 nu متقاربددة فددال نسددتطيع تحديددد طبيعددة
السلسلة nv
84
ـ اختبار كوشي2
نظرية:
لتكن
1n
nu سلسلة ذات حدود موجبة ولندرس النهايةlunn
n
lim
فالسلسلة متقاربة 1lـ إذا كان 0
فالسلسلة متباعدة 1lـ إذا كان 2
ينا حالة شك، أي أن اختبار كوشي ال يعطينا نتيجة قاطعة لطبيعة فلد 1lـ إذا كان 3
السلسلة
البرهان
1limإذا كان
lunn
n1وكان ql عندئذ يوجد العدد الطبيعيNm بحيث ،
qunيكون nmمن أجل n و أn
n qu فمن أجل قيم كبيرة لـn أكبر منm ،
نجد أ، السلسلة الهندسية
1n
nq 10متقاربة عندما q وبالتالي السلسلة ،
1n
nu
1limفإن 1qمتقاربة أما عندما
lunn
n، ستكون n، فمن أجل القيم الكبيرة لـ
1nnu 1وبالتاليnu وبالتالي فإن الحد العام للسلسلة ال يتناهى إلى الصفر عندما
n .فالسلسلة متباعدة وهو المطلوب
أمثلة
سل اآلتية:اعتماداً على اختبار كوشي، ادرس تقارب السال
1)n
n n
n
1 13
85
2)
1 14
4
n
n
n
narctg
3) 0,11
an
ann
n
4)2
1
11
n
n n
الحل
1) 13
1
13lim
13limlim
n
n
n
nu
n
n
n
n
nn
n
والسلسلة متقاربة.
2) 14
114
4lim
14
4limlim
arctg
n
narctg
n
narctgu
n
nn
n
nn
n
والسلسلة متقاربة.
3) n
n
n
nn
n n
anu
1limlim
= an
an
n
1lim
:aفإن طبيعة السلسلة تتبع العدد
فإن السلسلة متقاربة 1aـ إذا كان
فإن السلسلة متقاربة 1aـ إذا كان
في السلسلة، فنحصل a=1فلدينا حالة شك، يمكن دراستها بتعويض a=1ـ أما عندما
على السلسلة.
86
n
n n
n
1 1
في معرفة طبيعة هذه السلسلة لذلك نوجد نهاية الحد العام. (1)نعتمد على النظرية
0
1
1lim
1
1
1lim
1limlim
11
en
nu
nn
n
nn
n
nn
n
.(1)وبالتالي السلسلة متباعدة حسب النظرية
4) 11lim1limlim 11
eun
nn
n n
nn
nn
n
والسلسلة متباعدة
تمرين:
اعتماداً على اختبار كوشي، ادرس تقارب )تباعد( السالسل اآلتية:
1)
1
3
nne
n 2)
11000
2
n
n
n
3)
1
12
nn
n
n 4)
2
1 14
13n
n n
n
5)n
n n
n
1 53
12 6)
12
1 13
n
n n
n
7)
2 ln
1
n
n
n 8)
1
2
2
.5
)1(
nnn
n
n
n
9)
2 1arcsin
n
n
n
n 10)
2
1.
2
1
11
n
nn n
n
11)
1 3.
5
nn
n
n 12)
1
1
3
2
nn
n
n
n
87
حتبار النسبية(( اختبار داالمبير )ا3
نظرية: لتكن
1n
nu :سلسلة ذات حدود موجبة ولندرس النهاية
lu
u
n
n
n
1lim
فالسلسلة متقاربة 1l( إذا كان 0
فالسلسلة متباعدة 1l( إذا كان 2
ينا حالة شك في معرفة تقارب أو تباعد السلسلةفلد 1l( إذا كان 3
1lim( إذا كان 0 1
l
u
u
n
n
n1فإن ql عندئذ يوجد العدد الطبيعيNm بحيث
nmمن أجل جميع قيم تتحقق المتراجحة
nn
n
n quuqu
u
1
1
لدينا n=mمن أجل
mmm
mmm
mm
uqquu
uqquu
quu
3
23
2
12
1
تتشكل لدينا السلسلتين
..........21 mmm uuu (1)
........2 mmm uqquu (2)
88
(2)أصغر أو يساوي الحد المقابل له من السلسلة (1)نالحظ أن أي حد من السلسلة
متقاربة وبالتالي (1)لة وبالتالي السلس 1qالمتقاربة ألنها سلسلة هندسية أساسها
1n
nu متقاربة
mnسيكون لدينا اعتباراً من قيمة معينة 1l( لنفرض 2
mnuua
unn
n
n
,1 1
1
ينتج الحد العام ال ينتهي إلى الصفر أبداً m+1إذاً حدود السلسلة متزايدة اعتباراً من
والسلسلة متباعدة.
اختبار راب -4
نظرية
لتكن السلسلة ذات الحدود الموجبة التالية:
1
321 ............n
nn uuuuu
إذا انتهت متتالية راب التالية
11n
n
ru
unR
RRrأي أن nعندما Rإلى n
lim
عندئذ:
تكون السلسلة متقاربة 1Rـ 0
تكون السلسلة متباعدة 1Rـ 2
89
البرهان
مع السلسلتين التاليتين (1)نظرية راب تعتمد على مقارنة السلسلة
ـ المتقاربة0
(2) )1(.....,1
.......3
1
2
11
1
1
snn sss
ns
(3) .......1
........3
1
2
11
1
1
nnn
عدد كبير بشكل كافي تتحقق المترجحة nمن أجل وباالعتماد على نظرية المقارنة، و
rRrالتالية:
1r 1عدد ما، فإن السلسلة تكون متقاربة، وتكون متباعدة عندماnR إذاً يمكن من
كبير بشكل كاف أن nأجل
n
r
u
ur
u
un
n
n
n
n
11111
(4)
rsالمحقق للمتراجحة sلنأخذ العدد األختياري 1 وباإلعتماد على صحة
المبرهنة:
s
n
s
n
n
1
1 11lim
الكبير بقدر كاف نجد أن nإذاً من أجل العدد
nrs
n
n
s
n r
1)1(1)1(
1
1
1
(5)
91
:(5) , (4)نستنتج من
s
n
n
nu
u
11
1
ة هذه المتراجحة على الشكل التالي:ويمكن صياغ
s
n
s
n
n
nn
n
u
u s)1(
1
1
1
المتقاربة (2)نالحظ أن الطرف األيمن عالقة ما بين حدين متتالين للسلسلة
متقاربة (1)وباستخدام نظرية المقارنة نستنتج أن السلسلة
ـ ويمكن ابتداء من قيمة ما يكون:
nu
u
u
un
n
n
n
n 1111
11
المتراجحة بالشكل التالي:ويمكن صياغة هذه
n
n
n
n
n
n
u
u1
11
1
1
المتباعدة وباستخدام 3نالحظ أن الطرف األيمن عالقة ما بين حدين متتاليين للسلسلة
متباعدة 1نظرية المقارنة نستنتج أن السلسلة
90
أمثلة
ادرس تقارب السالسل التالية اعتماداً على اختبار راب
1)
12
1
n n 2)
1 !)!2(
!)!12(
n n
n
الحل
1) 212 )1(
1,
1
nu
nu nn
نطبق اختبار راب
121)1(
lim1lim2
2
1
n
nn
u
un
nn
n
n
R=2إذاً السلسلة متقاربة حيث
2)
3
3
1
3
!)!2)(22(
!)!12)(12(
!)!22(
!)!12(
!)!2(
!)!12(
nn
nn
n
nu
n
nu
n
n
3
1 12
22
n
n
u
u
n
n
12
3
)2(
12
)12(
71812lim1
)12(
)22(lim1lim
31
718
3
2
3
3
1
2
n
nn
nnn
n
n n
nnn
n
nn
u
unR
والسلسلة متقاربة حيث 2
3R
92
أمثلة
ادرس تقارب السالسل التالية اعتماداً على اختبار دالمبير:
1)
1
!.
nn
n
n
ne 2)
1
2
)14)(34........(5.3.1
..........9.4.1
n nn
n
3)
1 !)!2(
)!12(
n n
n 4)
1
!.2
nn
n
n
n
الحل
1) 1
1
11)1(
)!1.(,
!.
n
n
nn
n
n
neu
n
neu
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
ne
n
ne
n
nne
ne
n
n
ne
u
u
1)1()1(
).1(
!.)1(
)!1.(11
11
n
nn
n
nnn
n
n
n
ee
u
u
)1(lim)(
1limlim
11
1
nولكن
nn
)1(lim 1
ومنه: eبقيم أصغر من eيتناهى إلى
1lim 1
n
n
n u
u
والسلسلة متباعدة.
2) )14)(34.......(5.3.1
..........9.4.1 2
nn
nun
)34)(14.......(5.3.1
)1.(........9.4.1 22
1
nn
nnun
2
221
............9.4.1
)14)(34.........(7.5.3.1
)34)(14......(5.3.1
)1(.........9.4.1
n
nn
nn
nn
u
u
n
n
93
)4)()(4(
1
)34)(14(
)1(31
2122
nn
n
nn
n
nn
n
116
1
)4)(4(
)1(limlim
31
211
nn
n
nn
n
n u
u
والسلسلة متباعدة.
3) !)!22(
)!12(,
!)!2(
)!12(1
n
nu
n
nu nn
)!12(
!)!2(
!)!22(
)!12(1
n
n
n
n
u
u
n
n
22
)12(2
)!12(
!)!2(
!)!2)(22(
)!12)(2)(12(
n
nn
n
n
nn
nnn
122
)12(2limlim 1
n
nn
u
u
nn
n
n
والسلسلة متباعدة.
4) 1
1
1)1(
)!1.(2,
!.2
n
n
nn
n
nn
nu
n
nu
n
nn
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
nnn
nnn
n
n
n
n
u
u
)(
2
12
)1(
.2
!.)1)(1(
!.).1.(2
!.2)1(
)!1(211
11
12
)1(
2limlim
1
1
eu
un
nn
n
n
n
والسلسلة متقاربة.
لسلة إن الس
1
!.3
nn
n
n
n متباعدة ألن:
13
lim 1
eu
u
n
n
n
94
تمرين:
اعتماداً على اختبار دالمبير ادرس تقارب )تباعد( السالسل اآلتية:
1)
1 6
!
nn
n 2)
1 6nn
n
3)
1
!
nnn
n 4)
1
3
)!2(n n
n
5) nn
n
3.
34........
3.4
13
3.3
9
3.2
5
3
1
432
6)
12)!(
!)!2(
n n
n 7)
1 !.2nn
n
n
n
8) 1
1 2.
1.
!)!2(
!)!12(
nn nn
n 9)
1
3
)!12(
)1000(
n
n
n
10)
1 4.......12.8.4
)12.......(5.3.1
n n
n 11)
113
12
2
3
nn
n
12)
1 )23........(7.4.1
)298.........(104.102.100
n n
n 13)
1 !.3
!)!12(
nn n
n
14)
12
2
2
)!(
n n
n 15)
1 2sin3
nn
n
16) )12.(2
3..........
7.2
3
5.2
3
3.2
31
1
1
3
2
2
2
nn
n
95
مثال
ادرس تقارب )تباعد( السلسلة 3
1 !)!2(
!)!12(
n n
n
الحل:
بتطبيق اختبار دالمبير نجد:
!)!2)(22(
!)!12)(12(
!)!22(
!)!12(
!)!1(2
!]!1)12(2[
!)!2(
!)!12(
1nn
nn
n
n
n
nu
n
nu
n
n
3
3
3
3
33
331
)22(
)12(
!)!12(
!)!2(
!)!2()22(
!)!12()12(
n
n
n
n
nn
nn
u
u
n
n
12
2
)2(
)2(limlim
323
313
1
n
n
nn
n
n n
n
u
u
تبار راب إذاً اختبار دالمبير لم يعطينا نتيجة واحدة، لذلك سنطبق اختبار آخر وهو اخ
الذي يطبق عادة في مثل هذه الحاالت:
116128
8242481
)12(
)22(1
23
23
3
3
1
nnn
nnnn
n
nn
u
un
n
n
313
7183
3
2
)2(
)12(
)12(
71812 2
n
nn
n
n
n
nnn
12
3
8
12
)1(8
12lim1lim
3
21
718
1
2
n
nn
nn
n
n u
un
والسلسلة متقاربة
96
مثال:
ادرس تقارب )تباعد( السلسلة
1 !
1
n
n
e
n
n
الحل:
بتطبيق اختبار دالمبير نجد
1
1
1
)!1(
1,
!
1
n
n
n
ne
n
nu
e
n
nu
nn
n
n
n
n
n
n
n
nn
n
n
nen
n
e
ne
n
n
en
e
nn
nnn
en
e
n
nu
u
11
111
.
)1(!.)1)(1(
)!)(1(
1!.1
)!1(
11
1
1
11
11
limlim 1
e
e
neu
un
nn
n
n
إذاً اختبار دالمبير ال يعطينا حالً لمسألة تقارب أو تباعد السلسلة نطبق اختبار راب:
n
n
n
n
n
nn
ne
ne
nu
un
)1(
)1(1
)1(1
1
1
11
بما أن en
n n
11lim
.0لنكتب 1
1lim
n
n nenA
ين لذلك نكتب عدم تعي
n
n
n
n
eA
1
1 )1(lim
97
tنفرض n
1
بذلك نستطيع تطبيق قاعدة أوبيتال 0tفإن nعندما
1
)1(lim
0
0)1(lim
1
0
1
0
tt
t
teA
t
t
t
ضنوجد المشتق في البسط اعتماداً على االشتقاق اللوغاريتمي، لذلك سنفر
)1ln(1
ln,)1(1
tt
utu t
باالشتقاق
)1(
1)1ln()1(
1
1.
1)1ln(
122 tt
tt
ttt
tu
u
)1(
)1ln()1(.)1(
2
1
tt
ttttu t
إذاً
122
lim2
11)1ln(lim
)1ln()1(lim.
1
)1(lim 1
1
00200
1
ee
t
te
t
ttt
t
tA t
tttt
t
وبالتالي السلسلة متباعدة
تمرين:
اعتماداً على اختبار راب، ادرس تقارب السالسل اآلتية:
1) 12
1.
!)!2(
!)!12(
1
nn
n
n
2) 0,)).......(2)(1(
!
1
anaaa
n
n
98
سل المتناوبةالسال
ستدرس هذه الفقرة نوعاً من السالسل الخاصة، ذات األهمية
الكبيرة، وهي السالسل ذا الحدود المختلفة اإلشارة، وخاصة
السالسل المتناوبة.
تعريف:
نسمي السلسلة العددية
1n
nu التي فيها كل حدين متجاورين
مختلفين باإلشارة، سلسلة متناوبة.
يمكن أن نكتب السلسلة المتناوبة بالشكل العام التالي:
........)1(......)1( 1
4321
1
1
n
n
n
n
n uuuuuu (1)
سندرس تقارب السالسل المتناوبة اعتماداً على 0nuحيث جميع
االختبار التالي:
Leibnitzاختبار اليبنتز
:نظرية
99
(1)تتقارب السلسلة المتناوبة
1
1)1(n
n
n u إذا تحققت الشروط
التالية:
( متتالية القيم المطلقة لحدود السلسلة 0
1
1)1(n
n
n u متناقصة )أو غير
متزايدة( أي أن:
,.......3,2,1,1 nuu nn
( مع تحقق الشرط األول يكون الشرط الالزم والكافي لتقارب 2
حد العام إلى الصفر أي السلسلة المتناوبة هو أن يتناهى ال
0lim
nn
u
( القيمة المطلقة لباقي حدود السلسلة ال تتعدى الحد األول.3
البرهان
(1)ضرورة الشرط: إن ضرورة الشرط الثاني تأتي من النظرية
حيث أن كل سلسلة متقاربة حدها العام يتناهى إلى الصفر. ولكن مع
(1)افياً الشرط الثالث لتقارب السلسلة تحقق الشرط الثاني يكون ك
كفاية الشرط:
ذات األدلة الزوجية والفردية. (1)لنأخذ المجاميع الجزئية للسلسلة
011
من حدودها األولى أي: 2nنبحث عن مجموعة عدد زوجي
nnn aaaaaaA 21243212 .................
نكتب المجموع على الشكل التالي
)(.......)()( 21243212 nnn aaaaaaA
طلقة لحدود السلسلة متناقصة فرضاً، وعندما يتزايد ولكن القيمة الم
n بال تناه
نستنتج:
1 kk aa , 02212 nn aa
وبالتالي:
nnnnn AaaAA 22212222 )(
غير متناهي. ومن جهة ثانية لدينا: nA2إذاً المقدار المتحول
121122543212 )(...........)()( aaaaaaaaaA nnnn
وذلك ألن جميع القيم داخل األقواس غير سالبة
010
12حيث nمحدودة مهما تكن nA2ومنه إن aA n أي عندماn
تسعى إلى نهاية محدودة وقد برهنا أن كل متتالية مطردة nA2فإن
ومحدودة هي متقاربة
AA nn
2lim
أيضاً لدينا
AaAA nnn 12212
012حيث na ،n ًفرضا
ومنه إذا كان مجموع عدد زوجي أو عدد فردي من حدود السلسلة
Aالمتناوبة يسعى إلى نهاية محدودة
nRلنحسب اآلن باقي السلسلة
مثال:
السلسلة المتناوبة:
1
1 1.)1(
n
n
n
إن هذه السلسلة تحقق شروط نظرية اليبنتز. حيث أنها سلسلة
متناوبة أو متتالية القيم المطلقة لحدودها متناقصة, وكذلك
01
)1(lim 1
n
n
n
012
إذاُ السلسلة المفروضة متقاربة
مثال:السلسلة المتناوبة
1 2.
)1(
nn
n
n
إن هذه السلسلة متناوبة ومتتالية القيم المطلقة لحدودها متناقصة
..........64
1
24
1
8
1
2
1
وأما الحد العام فهو يتناهى إلى الصفر
02.
1.)1(lim
n
n
n n
إذاً السلسلة المفروضة متقاربة:
:3مثال
)!12(
2)1(..........
!7
2
!5
2
!3
21
121
753
n
nn
..........)!12(
2)1(...........
5250
128
120
32
6
82
121
n
nn
للسالسل ذات الحدود متغيرة اإلشارة: التقارب المطلق
السالسل المتقاربة مطلقاً
تعريف:
نقول عن السلسلة العددية ذات الحدود متغيرة اإلشارة
013
..............321
1
n
n
n uuuuu
لة القيم مختلفة اإلشارة. إنها متقاربة مطلقاً، إذاً سلس iuحيث الحدود
المطلقة لحدودها متقاربة، أي إذا كانت السلسلة
.............321
1
n
n
n uuuuu
متقاربة
نتيجة:
إذا تقاربت السلسلة
1n
nu ولم تتقارب مطلقاً )أي كانت nu
متباعدة(، فإن nu .ًمتقاربة شرطيا
ارب المطلق:اختبارات التق
يمكننا استخدام اختبارات التقارب للسالسل ذات الحدود
لدراسة اختبار تقارب السالسل المتناوبة أو ؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟غير
بعد أخذ القيم المطلقة لحدودها، فتصبح ؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟السالسل
ولذلك سنستخدم االختبارات ؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟سالسل ذات حدود
كما هو الحال بالنسبة: ؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟السابقة مع إشارة القيم
014
nالختبار كوشي n
nu
lim
واختبار دالمبير n
n
n u
u 1lim
1limواختبار راب 1
n
n
n u
un
أمثلة
ادرس تقارب السالسل التالية:
1)
12)5(1
)5(
nn
n
2)
2
1
ln
)1(
n
n
nn
3) nn
nn
n
n sin17
23)1(
1
4) !
2)1(
2
1
1
n
n
n
n
5)
1
1 ln)1(
n
n
n
n
6)
1 10
)1(
nn
n
7
1 )52........(11.9.7
)23.....(7.4.1)1(
n
n
n
n
الحل
1)
12)5(1
)5(
nn
n
ندرس التقارب المطلق لهذه السلسلة:
nn
n
n
n
nu5
1
51
5
)5(1
)5(22
015
السلسلة
1 5
1
nn
1سلسلة هندسية أساسها 5
1q .فهي متقاربة
وحسب اختبار المقارنة فإن السلسلة المفروضة متقاربة مطلقاً.
2) 2;ln
)1(
2
1
nnnn
n
م المطلقة نطبق اختبار اليبنتز. حيث أن هذه السلسلة متناوبة، والقي
لحدودها هي:
,.......ln
1.,.........
5ln5
1,
4ln4
1,
3ln3
1,
2ln2
1
nn
إن هذه المتتالية متناقصة، وحدها العام يتناهى إلى الصفر، إذاً
السلسلة المفروضة متقاربة.
3) nn
nn
n
n sin17
23)1(
1
بدراسة القيمة المطلقة لحدها العام نجد:
nnn
n
nn
nn
n
nn
n
nu
17
23sin.
17
23sin
17
23)1(
ندرس تقارب السلسلة ذات الحد العامn
nn
nu
17
23
حسب اختبار كوشي:
016
17
3
17
23lim
17
23limlim
n
n
n
nu
n
n
n
n
nn
n
إذاً هذه السلسلة متقاربة، وحسب اختبار المقارنة، فإن السلسلة
المعطاة متقاربة مطلقاً.
4)
1
1
!
2)1(
2
n
nn
n
!
2
!
2)1(
22
1
nnu
nnn
n
بتطبيق اختبار دالمبير نجد:
)!1(
)1(2
2
1
n
n
un
1
2
2!.)1(
!.2
2
!
)!1(
)1(2 1212
1
2
2
2
2
nnn
n
n
n
n
n
u
u n
n
nn
n
n
1
2limlim
121
nu
u n
nn
n
n
نطبق قاعدة أوبيتال على حالة عدم التعيين السابقة
11
2ln2.2
1
2lim
1212
nn
n n
إذاً nu .متباعدة. وبالتالي السلسلة المفروضة متباعدة
017
1
1 ln)1()5
n
n
n
n nn
nun
1ln
سلسلة بما أن الn
متباعدة فالسلسلة 1 nu متباعدة ولكن السلسلة
n
nn ln)1( يمكن أن تكون متقاربة شرطياً باعتبارها متناوبة، 1
نطبق عليها اختبار اليبنتز.
إن متتالية القيم المطلقة
..,.........5
5ln,
3
3ln,
ln,
2
2ln,
1
1ln
e
e
م مباشرة على أن هذه المتتالية متناقصة.ال نستطيع الحك
سندرس المتتالية التي حدها العام n
nln وسنبرهن أنها متناقصة
وينتهي حدها العام إلى الصفر.
للتأكد من تناقص المتتالية
n
nln :نأخذ التابعx
xy
ln وندرس
مشتقه
0ln12
x
xy
exبدءاً من وبالتالي التابعx
xln أو التابعn
nln متناقص من أجل
enكل
018
أما نهاية الحد العام فتحسب كما يلي:
n
nu
nn
n
lnlimlim
0بتطبيق قاعدة أوبيتال 1
limln
lim1
n
nn n
n
إذاً المتتالية n
nn ln)1( متقاربة شرطياً وغير متقاربة مطلقاً. 1
6)
1 10
)1(
nn
n
0110
1limlim
nnn
nu
بما أن الحد العام ال يتناهى إلى الصفر، فإن السلسلة متباعدة
7) )52.......(11.9.7
)23.........(7.4.1)1(
1
n
n
n
n
)52......(11.9.7
)23.........(7.4.1
n
nun
بتطبيق اختبار دالمبير
)72)(52........(11.9.7
)13)(23(..........7.4.11
nn
nnun
12
3
72
13lim
)23.........(7.4.1
)52........(11.9.7
)72)(52........(11.9.7
)13)(23........(7.4.1limlim 1
n
n
n
n
nn
nn
u
u
n
nn
n
n
019
إذاً السلسلة nu متباعدة، وبالتالي فإن السلسلة متباعدة
تمرين:
ما هي السالسل المتقاربة مطلقاً والمتباعدة شرطياً والمتباعدة من
بين السالسل اآلتية:
1) ........2ln
1)1(.........
8ln4
1
6ln3
1
4ln2
1
2ln
1 1
nn
n
2)
15
2
)2)(1(
)1(
n
nnn
n 3)
1 2
)1(
nn
n
n
4)
1 ln
)1(
n
n
nn 5)
12
1
)ln(
)1(
n
n
nn
6)
1
31
2)1(
nn
n n 7)
1 !
sin
n n
n
8)
1 )4(
1)1(
n
n
nn 9)
15
2
)3(
)5()1(
n
n
n
n
001
10)
1
3
3
2
2
1)1(
n
n
n
n 11)
1
1
5
2)1(
n
n
n
n
12)
16
sin
n n
n 13)
1 100)1(
n
n
n
n
14)
1 5
cos)1(n
n
n
15)
1
3
)1()1(
n
n
nn
n
16)
1
1)1(
n
n
ntg 17)
2 )1(
)12()1(
n
n
nn
n
18)
1 25
.)1(
n
n
n
n 19)
1
1
17
23)1(
n
n
n
n
n
20)
1 )4(ln
sin
nn
n 21)
1 ln
1)1(
n
n
nn
حساب مجموع بعض السالسل:
مثال:
أوجد مجموع السلسلة
111 3
1
2
1
nnn
جموع سلسلتين هندسيتين هما:إن هذه السلسلة هي م
1
11 3
1,
2
1n
nn
1وهما متقاربتان ألن 2
11 q ،1
3
12 q
لذلك فإن مجموعهما هو:
000
21
1
1
1
211
qS
2
31
1
1
32
312
S
2
7
2
3221 SSS
: 2مثال
لة المتقاربةأوجد مجموع حدود السلس
1 )14)(34(
1
n nn
نشكل متتالية المجاميع الجزئية
17.13
1,
13.9
1,
9.5
1,
5.1
14321 uuuu
13.9
1
9.5
1
5.1
1,
9.5
1
5.1
1,
5.1
132321211 uSSuSSuS
وهكذا نجد
)14)(34(
1.......
13.9
1
9.5
1
5.1
1
nnSn
نفرق كسر الحد العام )14)(34(
1
nnun إلى مجموع كسرين
1434)14)(34(
1
n
B
n
A
nn
002
نجد بتوحيد المقامات وحذفها
)34()14(1 nBnA
BBnAAn 3441
بالمطابقة نجد:
BA
BA
31
440
بحل جملة المعادلتين السابقتين نجد:
4
1,
4
1 BA
إذاً نستطيع أن نكتب الحد العام بالشكل
14
1
34
1
4
1
nnun
)14(4
1
4
1
14
1
34
1
4
1.........
13
1
9
1
4
1
9
1
5
1
4
1
5
11
4
1
nnnSn
4
1lim
n
nS
إذاً السلسلة المفروضة متقاربة ومجموعها 4
1S
:3مثال
003
أوجد مجموع السلسلة
133
2
)1(
133
n nn
nn
الحل
نشكل الحد العام لمتتالية المجاميع الجزئية:
33
2
33333 )1(
133.......
4.3
37
3.2
19
2.1
7
nn
nnSn
نفرق الكسر 33
2
)1(
133
nn
nn .إلى مجموع كسور بسيطة
3333
33
33
2
)1(
11
)1(
)1(
)1(
133
nnnn
nn
nn
nn
33333333 )1(
11........
4
1
3
1
3
1
2
1
2
1
1
1
nnSn
3)1(
11
nSn
1lim
nn
SS
1إذاً السلسلة متقاربة ومجموعها
: 4مثال
004
أوجد مجموع حدود السلسلة:
1 )3)(2)(1(
1
n nnnn
الحل
نشكل الحد العام لمتتالية المجاميع الجزئية:
)3)(2)(1(
1.......
6.5.4.3
1
5.4.3.2
1
4.3.2.1
1
nnnnSn
ق كسر الحد العامنفر)3)(2)(1(
1
nnnnun
321)3)(2)(1(
1
n
D
n
C
n
B
n
A
nnnnun
بحساب قيم الثوابت نجد:
6
1,
2
1,
2
1,
6
1 DCBA
وبالتالي:
)3(6
1
)2(2
1
)1(2
1
6
1
nnnnun
005
)2(2
1
)3(6
1
)2(6
1
)1(6
1
18
1
12
1
4
1
6
1
)3(6
1
)2(2
1
)1(2
1
6
1
)2(6
1
)1(2
1
2
1
)1(6
1
)1(6
1
2
1
)1(2
1
)2(6
1
)2(6
1
)1(
1
)2(2
1
)3(6
1.......
7.6
1
6.2
1
5.2
1
4.6
1
5.6
1
4.2
1
4.2
1
3.6
1
4.6
1
3.2
1
3.2
1
2.6
1
4.2
1
3.2
1
2.2
1
1.6
1
nnnn
nnnn
nnnnnnnn
nnnn
S n
)3(6
1
)2(3
1
)1(6
1
18
1
nnnSn
18
1lim
n
nSS
:5مثال
أوجد مجموع حدود السلسلة
1 2
12
n n
n
الحل
nn
nS
2
12.......
28
7
2
5
2
3
2
132
nnلنأخذ الفرق SS2
1 :فنجد
143232 2
12
2
32.......
2
5
2
3
2
1
2
12......
2
5
2
3
2
1
2
1
nnnnn
nnnSS
112
33322
2
12
2
1.......
2
1
2
1
2
1
2
12
2
32
2
12......
2
3
2
5
2
1
2
3
2
1
2
1
nn
nnnn
n
nnnS
006
nnn
nS
2
12
2
1....
2
1
2
111
22
n
n
n
n
n
nnS
2
12)(221
2
12
1
11 1
21
21
1
21
)02
lim(,3lim nn
n
nSS
