ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑΘ.Μ.Τ.

Ανίσωση με απόλυτα: εφαρμόζω το ΘΜΤ και στην τελική μορφή του συμπεράσματος παίρνω απόλυτα. Ανίσωση διπλή με α,β : εφαρμόζω το ΘΜΤ για την f στο [α,β] ή στο [β,α] και στην τελική μορφή του συμπεράσματος παίρνω την ανίσωση που ισχύει για το f΄(χ). Ανίσωση με μεταβλητή χ εκλέγουμε κατάλληλη συνάρτηση F σε διάστημα [α,χ] ή [χ, α] όπου α συγκεκριμένος αριθμός. Σχέση πολλών f΄(ξ1), f΄(ξ2), f΄(ξ3), ….,f΄(ξν). Εφαρμόζω τόσες φορές το ΘΜΤ όσα είναι και τα ξν στα διαδοχικά διαστήματα που προκύπτουν εάν χωρίσω το διάστημα

[α,β] σε ν υποδιαστήματα μήκους . Εφαπτομένη παράλληλη σε ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ: εφαρμόζω ΘΜΤ στο διάστημα [α,β] όπου Α(α , f(α)) και Β(β, f(β)).

Rolle Ν.Δ.Ο. μια εξίσωση έχει το πολύ κ ρίζες. Τότε υποθέτω ότι η εξίσωση έχει κ+1 ρίζες και κάνω Rolle στα κ+1 διαδοχικά διαστήματα με άκρα τις ρίζες και καταλήγω σε άτοπο. Αν θέλω να δείξω ότι έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο (α,β) και δεν είναι f(α).f(β)<0 (γιατί Τότε θα εφαρμόζονταν το bolzano) Τότε κάνω Rolle για την αρχική. Αν θέλω να δείξω ότι μια εξίσωση έχει μοναδική ρίζα Τότε δείχνω με bolzano ή με δοκιμή ότι έχει μια τουλάχιστον και κάνοντας Rolle ή μονοτονία απορρίπτω να έχει δυο. Αν θέλω να δείξω ότι η f΄(χ) έχει μια τουλάχιστον ρίζα. Τότε κάνω Rolle στην αρχική της f (την συνάρτηση που πρέπει να παραγωγίσω για να πάρω την f΄) Αν έχω συνθήκη και ζητείτε να δείξω ότι υπάρχει ρ που ικανοποιεί μια Σχέση με f΄ τότε κάνω συνήθως Rolle και προκύπτει η Σχέση μου.

ΑΣΚΗΣΕΙΣΑ.ROLLE

1. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [-α,α] , α>0 και δύο φορέςπαραγωγίσιμη στο (-α,α) µε f(0)=f(α)=f(-α), να δείξετε ότι υπάρχει σημείο ξ (-α,α): f΄΄(ξ)=0.

2. Να δείξετε ότι η εξίσωση 2χ5+3χ3+χ-10=0 έχει μόνο μια πραγματική ρίζα.

3. Να δείξετε ότι η εξίσωση χeχ-ex+1=0 έχει μόνο την ρίζα χ=0.

4. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση χ2ν+1 +αχ+β=0 με α,β και δεν μπορεί να έχει περισσότερες από 3 ρίζες.

Αν μια συνάρτηση f είναι δυο φορές παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα Δ και η f΄΄ δεν μηδενίζεται να αποδείξετε ότι η εξίσωση f(x)=0 δεν μπορεί να έχει περισσότερες από δυο ρίζες στο Δ.

5. Μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα [α,β], παραγωγίσιμη στο (α,β)και

ισχύει με α,β 0. Εστω η συνάρτηση ορισμένη στο [α,β] Να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ (α,β) ώστε να είναι:

.

6. Έστω μια συνάρτηση f συνεχής στο [α,β], παραγωγίσιμη στο (α,β) και f(α)=f(β)=0. Δίνεται και η g(x)=eλχ.f(χ), λ . Να αποδείξετε ότι για κάθε λ υπάρχει χ0 (α,β) με f΄(χ0)+λf(χ0)=0.

7. Δυο συναρτήσεις f,g είναι συνεχείς στο [α,β] και παραγωγίσιμες στο (α,β)με f(α).g(α)= f(β).g(β). Να αποδείξετε ότι υπάρχει χ0 (α,β) τέτοιο ώστε f΄(χ0).g(χ0)+f(χ0).g΄(χ0)=0.

8. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση: 4χ3-9χ2-2χ+9=0 έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο (1,2).

9. Αν α,β,γ,δ με 3α+4β+6γ+12δ=0, να αποδείξετε ότι η εξίσωση: αχ3+βχ2+γχ+δ=0 έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο (0,1).

10.Αν κ,λ,μ με , να αποδείξετε ότι η εξίσωση κχ4+λχ+μ=0 έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο (0,1).

Θ.Μ.Τ.11.Αν α>β>0 και ν με ν>1 να αποδείξετε ότι: νβν-1(α-β)<αν-βν< ναν-1(α-β).

12.Αν α,β με α<β, να αποδείξετε: .

13.Αν x,y με , να αποδείξετε ότι:(y-x)συνy ημy-ημx (y-x)συνx.

14.Μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο [α,β] και παραγωγίσιμη στο (α,β). Να

αποδείξετε ότι υπάρχουν χ1,χ2,χ3 (α,β) με f΄(χ1)+ f΄(χ2)+ f΄(χ3)= .

15.Μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο [0,1] και παραγωγίσιμη στο (0,1)με f(0)=0 και f(1)=1 . Να αποδείξετε ότι υπάρχουν χ1,χ2,χν (0,1) με

f΄(χ1)+ f΄(χ2)+ f΄(χ3)+…+f΄(χν)=ν.

16.Να αποδείξετε ότι , για κάθε χ (0, ). Στη συνέχεια

να βρείτε το .

17.Έστω μια συνάρτηση f, της οποίας η f΄ είναι γνησίως φθίνουσα στο R. Να αποδείξετε ότι: f(2009)+f(2006)<f(2007)+f(2008).

18.Αν η συνάρτηση f είναι δυο φορές παραγωγίσιμη στο [2007,2009] και f(2008)-f(2007)=f(2009)-f(2008), να αποδείξετε ότι ξ (2007,2009):F΄΄(ξ)=0.

19.Να αποδείξετε ότι: , για κάθε α,β .

20.Αν f συνεχής στο [1,3], με για κάθε χ (1,3) και f(1)=2008, να αποδείξετε ότι: