Embed Size (px)
Citation preview
١
سوم فصل
توابع چند متغيره
RRDfتابع : تعريف nf يـا ). مي باشد f دامنه fD. ( يك تابع چند متغيره ناميده مي شود :⊇→
. متغيره ناميمn را fبه طور خالصه
xyxyxf: مثال += ),,()ln(يك تابع دو متغيره و ),(2 yzxxyzzyxg ++= يك تابع يك 2
.سه متغيره است
حد و پيوستگي توابع چند متغيره : 3-1
nRa باشد و D متغيره با دامنه n يك تابع f فرض كنيم :تعريف a به طوري كه هر همـسايگي ∋
نزديك مي شود برابـر a به X وقتي كه Xf)(گوييم حد . باشد f از دامنه aشامل نقطه اي غير از
Lاست و مي نويسم :
LXfaX
=→
)(lim
وجود داشته باشد به طوري كه δ⟨0 عدد ε⟨0اگر براي هر
00 εδ ⟨−⇒⟨−⟨∈∀ LXfaXDX )(||||:
RRDfتابع: تعريف nf lim)()( پيوسته است اگر ∋fDa در :⊇→ afXf
aX=
→.
باشند آنگاه a متغيره ي پيوسته در نقطه n در تابع g و fاگر : قضيه
gf: الف . پيوسته استa در +
gf: ب . پيوسته استa در −
gf: ج . پيوسته استa در .
اه آنگag)(≠0اگر : دg
f در aپيوسته است .
٢
RRDhاگر : قضيه h RRDf و :⊇→ nf a در f تعريف شده باشند به طـوري كـه :⊇→
. پيوسته استa درhof پيوسته باشد آنگاه af)( در hپيوسته و
xyeتابع : مثالx
xyyxf +
+= )(sin),(
12
),( در 00=aپيوسته است .
.با توجه به قضاياي فوق مي توانيم نتيجه زير را براي محاسبه حد داشته باشيم
را در aنقطـه سبه ي حد تابع چند متغيره با توجه به قـضاياي ذكـر شـده كـافي اسـت براي محا :نتيجه
. مي باشد a در نقطهfفرمول تابع قرار دهيم اگر حالت مبهم ايجاد نشود مقدار حاصل حد تابع
. حدهاي زير را حساب كنيد:مثال
101
1
22
2
01
=+
=+→ yx
x
yx ),(),(lim
01
10
1
1
1
222000
==+
=+++→
LnLnzyx
Lnzyx
)()(lim),,(),,(
در توابـع چنـد همچنـين . استفاده كـرد هوپيتالدر توابع چند متغيره نمي توان براي رفع ابهام از قاعده ي
.ندارد رابطه ي كوچكتري معناnRچون در . متغيره حد چپ و راست معنا ندارد
براي محاسبه ),(),(
),(limbayx
yxf→
وقتي كـه يكـي از حالتهـاي مـبهم پـيش آيـد، حـدهاي مـسيري را مطـرح
. تغيره مي باشندحدهاي مسيري مشابه حد چپ و راست در توابع يك م. مي كنيم
),( يك مسير عبارت است از يك منحني كه از نقطه ي :تعريف baA مي گذرد يا در حـد از ايـن =
xgy)(نقطه مي گذرد يعني اين كه منحني اگر توسط ),( داده شده باشد آن گـاه در حـد از = ∞+0
bxg. مي گذردax
=→
)(lim
∞→⇒→= yxx
y 01
٣
RnRfDfاگر : قضيه ),( تعريف شـده باشـد و :⊇→ ba نقطـه ي حـدي دامنـه باشـد در ايـن
Lyxfصورت bayx
=→
),(lim),(),(
xgy)( اگر و تنها اگر روي هـر مـسير L برابـر f حـد تـابع =
Lxgxfد يعني باشax
=→
))(,(lim
از آن جايي كه تعداد مسيرهاي مورد نظر بي نهايـت مـي باشـد از قـضيه فـوق بـه صـورت زيـر اسـتفاده
:مي كنيم
اگر حد روي يكي از اين مسيرهاي اصلي موجود نباشد يا روي دو . چند مسير اصلي را تعريف مي كنيم
اگـر روي همـه ي . حـد نـدارد fم برابر نباشد در اين صورت تابع مسير حد وجود داشته باشد ولي با ه
حد موجود و برابر بود نمي توانيم بگوييم حد وجود دارد ولي مي تـوانيم ) اصلي(مسيرهاي ذكر شده ي
ده مقدار حد را حدس بزنيم و سپس با استفاده از تعريف حد ثابت كنيم مقدار حد همان مقدار حـدس ز
. شده است يا مجبوريم با روش هاي ديگر حد را رد كنيم
: مسيرهاي اصلي
RRDfفرض كنيد →⊆ باشد، مسيرهاي اصلي براي محاسبه :2),(),(
),(limbayx
yxf→
: عبارتند از
axخط -1 =
byخط -2 =
3- )( axmby ). مي گذرندt و aتمام خطوطي كه از (==−
4- raxmby )( ),(منحني هايي كه از (==− baمي گذرند .(
fفرمول با توجه به عبارت هاي ظاهر شده در fمسير خاص تابع -5
. در صورت مبهم بودن حد از مسيرهاي اصلي استفاده مي كنيم: نكته *
در وجود يا عدم وجود حد زير بحث كنيد : مثال
٤
مبهم 0
0
2200
=+→ yx
xy
yx ),(),(lim
x 00=0روي مسير ) الف
0
0
02
022
00
==+
×=+ →→→ yyyx y
y
yx
xylimlimlim
),(),(
y 00=0روي مسير ) ب
0
0
02
022
00
==+
=+ →→→ yyyx x
x
yx
xylim
)(limlim
),(),(
mxymروي مسير ) پ =≠ )( 0
0
11222
2
022
00
≠+
=+
=+ →→ m
m
mx
xm
yx
xy
xyx )(limlim
),(),(
چون روي دو مسير مقدار حد متفاوت است
. پس حد وجود ندارد)(
lim),(),(
xy
yx
xymIf
yx
=
≠=+
⇒=→
02
11
2200
fDa در نقطه ي f تابع :تعريف lim)()( پيوسته است اگر ∋ afxfax
=→
تابع بستگي به وجود حد روي مسيرهاي ذكر شده در مبحـث حـد دارد لـذا پيوستگيبا توجه به اين كه
.مشابهتاً پيوستگي مسيري را داريم
RRfDfتابع: قضيه →⊆ . روي هر مسير پيوسته باشدf پيوسته است اگر و تنها اگر a در :2
در مبدأ پيوسته است؟ fآيا: مثال
=≠
+
=
),(),(
),(),(
),(00
000
22yx
yx
xy
yx
yxf
: پاسخ),(),(
?),(),(lim
00
000
→==
yx
fyxf
xyبر روي مسير : داريم=
٥
),(lim
limlim),(),(),(),(
002
1
2
0
2
2
2200
2200
fx
x
yx
xy
yx
xy
yxyxyx
≠=
+⇒=
+ → →=
xy روي مسيرfپس ),( در = . شد پيوسته نمي با00
),( با ضابطه ي زير در نقطه ي fمشخص كنيد آيا تابع : 2 فصل 81تمرين . پيوسته است−01
=−≠
++++
−=
),(),(
),(),(
),(01
12
010
22yx
xyx
yxy
yx
yxf
:حل
مبهم ),(),(
),(lim
01
0
0
−→
=
yx
yxf
1
3012
11
2010
12
0
100
11
0
121
01
2101
20
2001
0
1
+=
−≠=⇒+=
−==++
=
==−+
=+−+
+−=
−→
−→−→
→→− →
=
−=
xy
fyxfxmy
fxx
yxf
yy
yyyxf
yx
xyx
yyyx
y
x
(),(),(lim)(
(),(lim),(lim
(limlimlim),(lim
),(),(
)(),(),(
),(),(
) 4(و ) 3(در فرمول تابع باشند از مسيرهاي ... و sin,cos,sinh,log اگر توابع خاص مانند :نكته
٦
ر اين گونه توابع يا مسير خاص خودشان وجود دارد يا بايد از قضايا استفاده استفاده نمي كنيم زيرا د
. كنيم
. در وجود يا عدم وجود حد زير بحث كنيد:مثال
مبهم 0
0
22
22
00
=+
+→ yx
yxx
yx
)(sin.sinlim
),(),(
1يم مي دان
0
=→ t
t
t
sinlim . اگرtyx =+ 22
آنگاه ),(),(
lim00
0
→=
yxt . در نتيجه
1
022
22
00
==+
+→→ t
t
yx
yx
tyx
sinlim
)sin(lim
),(),(
: مثال
مبهم 0
01
00
=+
→ xy
xyLn
yx sin
)(sinlim
),(),(
txyاگر =sinآنگاه ),(),(
lim00
0
→=
yxt . لذا
111
000
=+=+
→→ tyxt
t
xy
xy )ln(lim
sin
)ln(sinlim
),(),(
فرض كنيد )77تمرين
=≠
+
=
),(),(
),(),(
),(00
000
26
3
yxyx
yx
yx
yxf آيا f در تمام نقاط دامنه پيوسته
2RfD است؟ چرا؟ =
),( در تمام نقاط به جز f: حل صـورت و مخـرج چنـد جملـه اي ( پيوسته است طبق قضاياي حد 00
)مي باشند كه همواره پيوسته و تقسيم دو تابع در نقاطي كه مخرج مخالف صفر است پيوسته است
),( را در fتابعپس كافي است پيوستگي بررسي كنيم00
٧
مبهم 0
0
26
3
00
=+
=→ yx
yxyxf
yxlim),(lim
),(),(
پيوسته است f حد تابع برابر صفر است و y=0 و x=0واضح است روي مسير
00024
2
0226
4
0
==+
=+
==→→
),(limlim),(lim fmm
mx
xmm
mxyxfmxy
xx
(*) a
a
xyx
a
mmm
mxxyxfmxy
226
3
000 ++==
→→lim),(lim
),(),(
),(lim)(, 002
1
2
136
6
0
fx
xmif
x≠==∗⇒==
→α
د جملـه اي بـر يكـديگر مي توان گفت در بيشتر مسائلي كه فرمول توابع به صورت تقسيم دو چنـ :نكته
yxمي باشد و در همه ي جمالت متغيرهاي ظاهر شده است بهتر است براي بررسي حـد و پيوسـتگي ,
mxyمستقيماً به سراغ مسيرهاي amxy و = . برويم معموالً روي اين مسيرها به تناقض مي رسيم=
حـد مواقـع ها يكسان مي باشد در بـسياري از α,mر مسأله اي ديديم كه مقدار حد براي تمام يا اگر د
.اما مطلب در حالت كلي درست نمي باشد. وجود دارد يا تابع پيوسته است
),(,),(),( :مثال 000
0
22≠=
+= yx
yx
xyyxf
000
00022
00
===+
=→→→→→ xyxyy
yxfyx
xyyxf lim)),((limlimlim),(lim
.اين مثال نشان مي دهد كه حدهاي مكرر وجود دارند ولي تابع حد ندارد
حال اين سؤال مطرح است كه اگر حد اصلي موجود باشند آيا لزوماً برابر حدهاي مكرر هستند؟
براي تابع )83تمرين yx
yxyxf11
sinsin)(),( نـشان دهيدحـدودمكرر =+00 →→ xy
yxf )),((limlim
و 00 →→ yx
yxf )),((limlimوجود ندارند اما ),(),(),(lim00→yx
yxfوجود دارد :
٨
0 چون : حل
00
=+→ ),(),(
)(limyx
yx و تابعyx
11sinsin كران دار مي باشد
011
00
=+→ yx
yxyx
sinsin)(lim),(),(
xyx
yxyx
yyxyx
y 1
11
12
111
0 sin)(
sinsin)(
sin)(sinsin)(lim)(+
+=⇒=+
→α
الزم اسـت حـد ) 2( باشـد آن گـاه بـا توجـه بـه رابطـه ي αبرابر ) 1( اگر حد :فرض خلف yy
1
0→sin
. موجود باشد و اين تناقض است
),( در fبع آيا تا) مثال پيوسته است؟ 10
=
≤++
⟩+
1
1
2222
22
yxyx
yxxyyxf ),(
fدر ),( ),( پيوسته نمي باشد چون اگر از درون و روي دايره به 10 زديك شويم ن10
),(),(
lim),(lim
10
122
→=+=
yx
yxyxf
),(اگر از خارج دايره واحد به نزديك شويم 10
),(),(
lim),(lim
10
0
→==
yx
yxyxf
. آنها پيوسته باشد درfبه طوري كه ) در صورت وجود(نقاطي را روي دايره ي واحد بيابيد ) ب
: چون تمام مسيرهايي كه از نقاط روي دايره مي گذرند مي توانند به دو دسته زيـر تقـسيم شـوند :پاسخ
تمام منحني درون يا روي دايره است يا تمام منحني خارج دايره است پس براي پيوسـتگي كـافي اسـت
.ي كنيمدو ضابطه ي تابع را برابر هم قرار دهيم و سپس معادله را حل م
122 =+ yx
xy
٩
4
3
2
101
1111
1
2224
24
2
221
1
21
22
22
−=+⇒=+−
=+⇒=+⇒=⇒= →
= =+
=+
)(
),(
)(,)(
)(
)(
xxx
xxx
xx
yxy
yxf xyyx
yx
1 روي دايره fپس . معادله ي فوق جواب ندارد22 =+ yxپيوسته نمي باشد .
),( به صورت 2R يك دنباله در :تعريف nynx گـوييم . مي باشد),(),( banynx اگـر و تنهـا →
anxاگر bny و → → .
: حدهاي دنباله اي:تعريف
{ }
∞→=⇒→
⊆∀⇔= ∈
n
lyxfbayx
Ryxlyxf
nnnn
Nnnn
),(lim),(),(
,),(),(lim 2
نشان دهيد ) مثالyxyx
11
00
sinsinlim),(),( →
. وجود ندارد
:مي گيريمدنباله هاي زير را در نظر : حل
21
2
12
11
2
101
2
2
())(
(sinlim),(lim:)(
()(sinlim),(lim:
=+=′′+
=′=′
====
∞→
∞→∞→π
π
ππ
nyxf
nyx
nyxfn
yx
nnnnn
nnn
nnn
نظيـر يـك . از جمله قضاياي مهم براي توابع حقيقـي پيوسـته، قـضيه ي مقـدار ميـاني و اكـسترمم اسـت
. يك گوي بسته داريم و دو قضيه ي زير برقرار مي باشدnRفاصله ي بسته در
يعني باشدnR درr و شعاع a يك گوي بسته به مركز B فرض كنيد :1قضيه
. { } { }raxxraxxB ≤−=≤−= ::
١٠
ــابع ــر تـ ــد و B رويfاگـ ــته باشـ 12 پيوسـ aa ــه , ــوري كـ ــه طـ ــند بـ ــوي باشـ ــن گـ ــاطي در ايـ نقـ
)()( 21 afaf ⟨⟨ λ 0 ، آن گاه نقطه يx در اين گوي وجود دارد به طوري كه
[ ] RdcBfxf ⊆== ,)()( λ0
مـاكزيمم و مـي نـيمم مطلـق nR هر تابع پيوسته روي يك مجموعه ي بسته و كران دار در :2قضيه
.خود را اختيار مي كند
),(نشان دهيد كه نقطه ي ) الف ( )74تمرين نقطه ي انباشتگي منحنـي يك 002
1
xey
−نقطـه اي ( =
lim)(كه منحني در حد از آن مي گذرد xybax→
=.
),( تعريف شده به صورت زير در fنشان دهيد تابع ) ب( پيوسته نمي باشد00
=
≠
+
=
−
−
0
00
2
2
2
2
1
x
ey
ey
x
x
x
yxf
)(
),(
2000
1000
000
000
(lim),(lim
(lim),(lim
),(),(
),(),(
===
===
→→
→→
xyx
yyx
yxfy
yxfx
),(اين مسير از نقطه ي عبور نمي كند ولي در حد از آن عبور مي كند يعني اين كه 00
2مسير ) 3
1
xey
−
=
),(اين مسير از نقطه عبور نمي كند ولي در حد از آن عبور مي كند يعني اين كه00
١١
),(lim),(lim
limlim
),(),(00
2
1
2
0
2
2
2
2
2
000
1
0
f
e
eyxf
ey
x
x
xyx
x
x
≠==
==
−
−
→→
−
→
: مشتق توابع چند متغيره
RRDfمي دانيم اگر a در fتناهي باشد آن گاه مقدار حد را مشتق و حد زير موجود و م :⊇→
. نشان مي دهيمaf)(ناميده و به
ax
afxf
ax −−
→
)()(lim
عمل تقسيم را تعريف كنيم لذا نمـي تـوانيم تعريـف مـشتق را nR طور كه مي دانيم نتوانستيم در همان
كه براي توابع يك متغيره به صورت باال مي باشد براي توابع چند متغيره به كار ببريم زيرا در اين حالت
ax لت هايي را در نظر مي گيريم كـه مـستلزم اسـتفاده از تقـسيم بـر يك بردار مي باشد لذا ابتدا حا −
.بردار نباشد
a بـه V در راسـتاي بـردار يكـاني x در اين قسمت فرض مي كنيم ) :جهتي(مشتق سويي ) الف
: در اين حالت مي توان گفت. نزديك مي شود
RtVtax ∈=− ,
. در نتيجه مي توانيم تعريفي براي مشتق به صورت زير ارائه كنيم
RnRDf فرض كنيد :تعريف: الف باشـد fD يـك نقطـه از a تعريـف شـده باشـد و :⊇→
در a بـا هـر همـسايگي V بـه مـوازي a بردار يكـاني باشـد كـه خـط گـذرا بـر Vهمچنين فرض كنيد
در a درfمقـدار حـد را مـشتق ، باشد در اين صورت اگر حد زير موجـود و متنـاهي باشـد fدامنه ي
: نمايش مي دهيمafvD)( ناميده و به صورت Vجهت
١٢
t
aftVafafD
tv
)()(lim)(
−+=→0
xzxyxzyxfكنيد فرض : مثال 22 ++=),,(
),,( در نقطه ي fمطلوبست محاسبه ي مشتق سويي ),,( در سوي بردار 010 111
t
ftf
V
t
),,(),,(),,(
lim
),,(),,(
0003
3
3
3
3
3010
3
3
3
3
3
3
3
111
0
−
+
==
→
3
39
3
3
1
3
3
3
1010
3
30
3
31
3
30
322
00
=+++
=−+++
=→→ t
tttt
t
ftttffD
ttv lim
),,(),,(lim
مثال فوق بـراي . ه مي كند محاسب a در نقطه ي V را در جهت بردار fمشتق سويي نرخ تغييرات تابع
. مثال ساده اي است كه وجود حد را به راحتي مي توان بررسي كردمحاسبه
لت كلي روش سـاده اي وجـود دارد كـه بـدون محاسـبه ي حـد، حال اين سؤال مطرح است كه در حا
منظور فرمول هاي مشتق گيـري ( محاسبه كرد a در نقطه ي Vمشتق سويي يك تابع را در سوي بردار
)است
RnRDf فرض كنيد : مشتقات جزيي : ب ),( و :⊇→ 00 yxa باشد f نقطه اي در دامنه ي =
),( باشــد يعنــي i برابــر Vاگــر در تعريــف مــشتق ســويي فــرض كنــيم بــردار يكــاني 01=V در ايــن
ــي afvD)(صــورت ــشتق جزي ــه a درf را م ــسبت ب ــا نمادهــاي x ن ــده و ب ، axf)( ، af1)( نامي
)(ax
f
∂ . نمايش مي دهيمafD1)( و ∂
t
yxfytxf
t
aftVafa
x
f
tt
),(),(lim
)()(lim)( 0000
00
−+=−+=
∂∂
→→
),(اگر 10== Vj آن گاه )()()()()( afafay
fafDafD yv 22 ==
∂∂==
١٣
Rtt
yxftyxfafD
t∈∀
−+=
→
),(),(lim)( 0000
02
RnRDfدر حالت كلي اگر →⊆: ، ),...,,( naaaa 21=
),...,,,.,...,( ام iمؤلفه ي = 1 00100== ieV
)()()()( afafDax
fafD
ixii
v ==∂∂=
t
aafaataaafafD nniii
ti
),...,(),...,,,,...,(lim)( 1111
0
−+= +−
→
ــال ــد : مثــ 222 فــــرض كنيــ zyzxzyxf مطلوبــــست),,(=+x
f
∂ــه fD3 ، yf و ∂ درنقطــ
),,(ي 000 zyx .
),,(
)()(lim
),,(),,(lim
),,(lim
)(lim
),,(),,(lim
0003200
20
20
200
20
20
200
20
0
000000
0
000000
20000
20
20
0
0200
20
20
200
20
0
000000
0
2
22
zyxfDyzx
t
zyzxtzytzx
t
zyxftzyxf
zyxx
fzx
t
zxzxtztzx
t
zyzxzyztx
t
zyxfzytxf
tt
t
tt
=+=
−−+++=
−+
∂∂==
−++=
−−++=
−+
→→
→
→→
0 به طريق مشابه 202000 yzzyxyf =),,(
.بنابراين قضيه زير را براي محاسبه مشتقات جزئي داريم
براي محاسبه ي مشتق جزيي نسبت به يك متغير كافي است ساير متغيرها را هماننـد عـدد ثابـت : قضيه
يك متغيره براي محاسبه ي مشتق جزئي نسبت به متغير مـورد مشتق توابع در نظر گرفته و از تمام قوانين
. نظر استفاده كرد
ــال ــد :مثــ ــرض كنيــ ),,(sin)( فــ wzyxwzyxezyxf +++=2
ــبه ي ــست محاســ مطلوبــ
z
fffD y ∂
∂,,4.
١٤
)(cos.
)(cos
)(cos
wzyxwyxeyz
f
wzyxwzxezf
wzyxzyxefD
wzyx
wzyxy
wzyx
+=∂∂
+=
+×=
++
++
++
2
2
2
14
ــال ــد : مث ــرض كني ف
=
≠+
=
),(),(
),(),(
),(
00
000
22yx
yx
xy
yx
yxfــبه ي ــست محاس ),( مطلوب 001 fD و
),( 002 fD .
),(
.
lim),(),(
lim
),(
))((
lim),(),(
lim
000
0
0
0
000
000
0
0
0
0000
2
22
00
1
22
00
fDtt
t
t
ftf
fDt
t
t
t
ftf
tt
tt
==−
+=−
==−
+=−+
→→
→→
آيا از وجود مشتقات جزيي در يك نقطه مـي تـوان پيوسـتگي در آن نقطـه را نتيجـه گرفـت؟ : سؤال
خير، مثال باال
: نشان دهيد قضيه ي مقدار ميانگين براي مشتقات جزيي برقرار است:تمرين
))(,(),(),(
))(,(),(),(
abcxy
fbxfaxf
abycx
fybfyaf
−∂∂=−
−∂∂=−
1000
00
. مي باشندb و a بين c و 1cكه
a در f موجـود و كـران دار باشـند آن گـاه a در يـك همـسايگي f اگر مشتقات جزيـي :تمرين
. پيوسته است
١٥
RnRDf فرض كنيم :حل fDyxa تعريف شده باشد و :⊇→ ∈= ),( f مـشتقات جزيـي 00
. كران دار استaدر يك همسايگي
2
1000
021 000
Myxx
f
Myxx
fyxyxyx
MM
⟨∂∂
⟨∂∂
⇒⟨−∀
⟩⟩⟩∃
),(&
),(),(),(:),(
,,
δ
δ
: الزم است ثابت كنيمa درfي پيوستگي برا
[ ]
kCxx
fhkyC
x
f
yxfkyxfkyxfkyhxfyxfkyhxf
kh
yxfkyhxf
kh
yxfkyhxf
yx
),(),(
),(),(),(),(),(),(
),(),(
),(),(lim
),(),(
),(),(lim
100
000000000000
0000
0000
00
0
00
∂∂++
∂∂=
−+++−++=−++→
=−++⇒
→=++
876876
0δδبا توجه به روابط باال و انتخاب داريم=
kMhMyxfkyhxf 2100000 +≤−++≤ ),(),(
: از طرفين و قضيه ي ساندويچ خواهيم داشتبا حدگيري
),(),(lim),(),(lim),(),(),(),(
000000
000000
yxfkyhxfyxfkyhxfkhkh
=++⇒−++→→
:نكات
. وجود مشتق هاي جزيي در يك نقطه پيوستگي در آن نقطه را نتيجه نمي دهد-1
وجود مشتق هاي جزيي و كران دار بودن آن ها در يك همسايگي نقطه، پيوستگي در آن نقطه را -2
. نتيجه مي دهد
. را نتيجه مي دهدa در f پيوستگي a در يك همسايگي fيوستگي مشتقات جزيي پ-3
١٦
زيرا پيوستگي مشتقات جزيي در يك همسايگي طبق قـضيه ي اكـسترمم، كرانـداري آن را نتيجـه مـي (
) را نتيجه مي دهدfي مشتقات جزيي پيوستگيدهد و كران دار
:مشتقات جزيي مراتب باالتر
لـذا مـشتق . فرض كنيد مشتقات جزيي تابع خود توابعي باشند كه مشتقات جزيي آن هـا موجـود اسـت
بـه همـين ترتيـب مـشتق جزيـي مشتق جزيي مرتبه ي دوم ناميده مي شـود fجزيي از مشتق جزيي تابع
نمادهايي كه براي مشتقات جزيي مراتب باالتر به كار مي رود به صورت . مراتب باالتر تعريف مي شود
.زير است
)))((()()(
)()(
fDDDDfDfDDfD
ffx
f
yyx
fxyyx
232123212121
2
==
=∂∂
∂∂=
∂∂∂
xyeyxyxf فرض كنيد : مثال += .fD21 و fD12 مطلوبست محاسبه ي ),(2
xyxyexyexxyxexDfDDfD
xyxyexyexxyyexyDfDDfD
++=+==
++=+==
22
12121
2221212
)()(
)()(
همان طور كه مي بينيد ترتيب مشتقات جزيي در اين مثال اهميتي ندارد اما در حالت كلي اين طور
.نيست
: تابع زير مفروض است )85تمرين
=
≠+−
=
),(),(
),(),(
),(
00
000
22
22
yxyx
yxxy
yx
yxf
),(مطلوبست محاسبه ي 00
2
yx
f
∂∂),( و ∂ 00
2
xy
f
∂∂ : ، چه نتيجه اي مي گيريد∂
0000000 =
∂∂
⇒=−),(
),(),(lim
y
f
t
ftf
١٧
=∂∂
≠+
+−+−
=
),(),()(
))((
),(),(
002
423
000
222
322232
yxyx
yxyxyxyyx
yxx
f
100
1
000
2
4
5
00
−=∂∂
∂⇒
−=
−
=∂∂−
∂∂
→→
),(
lim
),(),(
lim
yx
f
tt
t
t
x
ft
x
f
tt
=∂∂
≠+
−−+−
=
),(),()(
)()()(
),(),(
0023
000
222
332223
yxyx
xyyxyyxxyx
yx
y
f
),(),(
lim
),(),(
lim),)((
),(
0000
1
000
00
22
4
5
00
00
2
xy
f
yx
f
tt
t
t
y
ft
y
f
y
f
xxy
f
tt
∂∂∂≠
∂∂∂
⇒
==∂∂−
∂∂
=∂∂
∂∂=
∂∂∂
→→
با توجه به مثال فوق مي بينيم كه در حالت كلي نمي توان ترتيب مـشتقات جزيـي را ناديـده بگيـريم امـا
. قضيه ي زير در اين مورد مفيد است
پيوسته باشند آن گـاه ترتيـب اهميـت a در يك همسايگي f اگر مشتقات جزيي مراتب باالتر : قضيه
)()(يعني . ندارد afaf yxxy =.
. تابعي مثال بزنيد كه پيوسته نباشد ولي مشتقات جزيي موجود باشند: مثال
0
0
02
=−+⇒+=
=
==≠+
≠=
zyxyxz
yxf
yxyxyx
xyx
),(
يا
و
١٨
. ما يك خط از اين صفحه برداشتيم
در بخش هاي بعد مثالي را ارائه خواهيم داد كه عليرغم وجود مشتقات سويي در هر سو باز تابع پيوسـته
. نمي باشد
: مطلوبست تعيين مشتقات جزيي توابع زير :مثال
xyexyxf) الف =),(
xy
xyxy
exx
f
exyeyxx
f
2=∂∂
+=∂∂
),(
),,cos(sin))(() ب xyzzyxf +=
)cos(cos)(
)cos(cos)sin(
)cos(coscos
yxzz
f
yxzyxx
f
yxzyx
f
+=∂∂
+−=∂∂
+=∂∂
1
=∫) پ)(
)()()(
xh
xgdVVfxf) و ) الف ∫=
xy
xdVVfyxf ) ب (),()(
( ) ( ))()()()()( xgfxgxhfxhxf )الف (′=′−′
2
221
)(sin)(),(
sin)()(sin),(
xyxyxx
f
xxyyyxx
f
=∂∂
−=∂∂
)ب (
) :مشتق كل(مشتق پذيري تابع
RRDfفرض كنيد آن گاه . مشتق پذير باشدa در :⊇→
0=
′−−−⇔′=
−−
→)(
)()(lim)(
)()(lim af
ax
afxfaf
ax
afxf
ax
١٩
.مي خواهيم از اين تعريف يك تعريف ديگر به دست آوريم كه تقسيم نداشته باشد
xaxاگر xax آن گاه −=∆ و =+∆
)(
)()()(
)()()(
lim
xhx
xafafxaf
afx
afxaf
x
∆=∆
∆′−−∆+⇔
=
′−∆
−∆+→∆
0
0
0 كه
0
=∆→∆
)(lim xhx
.
لذا )()()()()(
)()()()(
xxhxafafxaf
xxhxafafxaf
∆∆+∆′=−∆+⇔=∆∆−∆′−−∆+ 0
RRDf اگر :تعريف fDa در fتعريف شده باشد آن گاه گوييم :⊇→ مشتق پذير است ∋
)( و تابع Aاگر عدد xh وجود داشته باشد به طوري كه ∆
1 ( )()(.)()( xxhxAafxaf ∆∆−∆=−∆+
0و
0
=∆→∆
)(lim xhx
. برقرار باشد) 1( را طوري بيابيم كه رابطه ي h و A مشتق پذير است اگر بتوانيم عدد a در fتابع
af)( ناميده و با a در f را مشتق Aعدد اين تعريف براي توابـع چنـد متغيـره قابـل . نشان مي دهيم ′
. تعريف است
RRDf اگر :تعريف →⊆ ),( تعريف شده باشد و نقطه ي :2 00 yxدر دامنه f باشد گوييم
f در a مشتق پذير است اگر اعداد A و B و توابع ),( yxE ),( و1∆∆ yxE موجود باشند به 2∆∆
طوري كه
yyxExyxEyBxAyxfyyxxf ∆∆∆+∆∆∆+∆+∆=−∆+∆+ .),(),(..),(),( 210000
و
0
00
2
00
1 =∆∆=∆∆→∆∆→∆∆ ),(),(),(),(
),(lim),(limyxyx
yxEyxE
٢٠
ــال ــابع : مثـ ــد تـ ــشان دهيـ 22نـ yyxyxf ــه ي ),(=+ ),( در نقطـ 00 yx ــت ــذير اسـ ــشتق پـ . مـ
[ ]
200
2002
22002
2200020
20
20
200
2002
220002
220
200
20
200
200000
yyxyyyyyxxyxyxxyxyxyx
yyxyyyyyyxxxx
yyxyyyyxxyxfyyxxf
−−∆+∆++∆∆+∆∆+∆+∆+∆+=
−−∆+∆++∆+∆+∆+=
−−∆++∆+∆+=−∆+∆+
))((
)()()(),()(,)(
. يد حذف گردند ندارند با∆y و ∆xدقت كنيم عباراتي را كه
yyxxxxyxyyxxyx ∆∆+∆+∆+∆∆+∆++∆= ).())(.()( 22
00220002
به وضوح داريم
),(),(
,),(lim
00
210
→∆∆==∆∆
yx
iyxEi
f مشتق پذير باشد حتماً مـشتقات جزيـي a در نقطه ي fهمان طور كه در مثال باال مي بينيم اگر تابع
وجود دارد و aدر
)()( ax
fBa
x
fA
∂∂=
∂∂=
RRDf اگر:قضيه →⊆ ),(ر دf تعريف شده باشد :2 ba مشتق پذير است اگر
),( در f ) الف baپيوسته است .
),( در fمشتقات جزيي ) ب baوجود دارد .
),(در حقيقت ( bafDA ),( و =1 bafDB 2=(
),( در fتابع ) پ ba در هر سو مانند ),( 21 VVV مشتق پذير است و =
(*)221121 VbafDVbafDVBVAbafDV ),(),(),( +=+=
٢١
: كافي است ثابت كنيم)الف :برهان
[ ][ ]),(),(
),()(,)(lim
00
0
→∆∆=−∆+∆+
yx
bafybxaf
),(مشتق پذير است در fچون ba 1 توابعE 2 وE و اعداد A و B وجود دارند كه در مـشتق صـدق
:كنند لذا داريم
yExEyBxAbafybxaf ∆+∆+∆+∆=−∆+∆+ 21..),(),(
:با حد گيري از طرفين داريم
[ ]),(),(
),(),(lim
00
0
→∆∆=−∆+∆+
yx
bafybxaf
)ب
( )
( )B
y
bafybafLim
Ax
bafbxafLim
y
x
=∆
−∆+
=∆
−∆+
→∆
→∆),(,
),(,)(
0
0
مسيرهاي خاص را برويم ولي اگر حـد در مـسيرها وجـود داشـته باشـد وقتي حد وجود دارد مي توانيم
. نمي توان حد كلي را نتيجه گرفت
AEA
x
xExA
x
bafbxaf
yExEyBxAbafybxaf
xxx=+=
∆∆+∆
=∆
−∆+∆+∆+∆+∆=−∆+∆+
→∆→∆→∆1
0
1
00
21
lim.
lim),(),(
lim
..),(),(
: مشتق هاي سويي وجود دارند، با روش مشابه داريم← مشتق پذير باشد fاگر
By
bafybaf
y=
∆−∆+
→∆
),(),(lim
0
)پ} }
),(),(),(
lim 2121
0
VVVt
baftVbtVaf
yx
t=
−++∆∆
→
. مشتق پذير است پس رابطه ي زير درست و برقرار استfچون
٢٢
[ ]
} }
2122121211210
2212121121
0
21
0 VBVAVVtVtEVVtVtEVBVA
t
VtVtVtEVtVtVtEVtBVtA
yyxExyxEybxabafybxaf
yx
t
t
++=
+++=
+++⇒
∆∆∆+∆∆∆+∆+∆=−∆+∆+
∆∆
→
→
),(),(lim
.),(.),()(.lim
).,(.),(..),(),(
گر صحبت از مشتق سويي بود يك گزينه مربوط به همين فرمول است و شـرط ايـن در تست ها ا : نكته
fدر مثال زيـر رابطـه برقـرار نيـست چـون . تابع مشتق پذير باشد اين است كه درست باشد * كه رابطه
.مشتق پذير نيست
=
≠+=
),(),(
),(),(),(
000
0022
yx
yxyx
xy
yxf
),( در fاگر : نتيجه baمشتق پذير باشد آن گاه اعداد ),( baدر تعريف مشتق منحصر به فردند .
ــال ــد : مث ــرض كني zyxezyxfف ++=2
ــويي ),,( ــشتق س ــه ي f ، م ),( در نقط ــوي 00 در س
),,(2
20
2
برابر است با 2
) الف2
2 وجود ندارد) ت1) پ0) ب
. چون تابع نمايي است پس حتماً مشتق پذير است
( )
2
2
2
2101
2
20000
3221
22
=++=
++==++=
)()(),,(
)()()(
fVD
zyxefDfDzyxxefD
.درست است) الف(گزينه ي
را نتيجه مي دهد ايـن f آيا تحت شرايطي مي توان گفت وجود مشتقات جزيي وجود مشتق در تابع *
. نكته را در قضيه زير نشان مي دهيم
٢٣
RRDf اگر :قضيه →⊆ ),( در يـك همـسايگي fتعريف شده باشد و مـشتقات جزيـي :2 ba
),(موجود باشند و در ba پيوسته باشند آن گاه تحت اين شرايط f در ),( baمشتق پذير است .
. ميانگين براي مشتقات جزيي برقرار استقضيه مقدار: نكته *
:اثباتxbcfDycxafD
bafbxafxafybxaf
bafybxaf
∆+∆∆+−∆++∆+−∆+∆+=
−∆+∆+
),(.),(
),(),((),(
),(),(
1122
),(كه داريم xaac ),( و 1∋+∆ ybbc ∆+∈2
021از طرفين حد بگيريم و فرض كنيم =EE يـن قـضيه حتمـاً در هستند قضيه اثبـات مـي شـود از ا ,
. كارشناسي ارشد تست مي آيد
:نكات
. وجود مشتق جزيي و سويي مشتق پذيري را نتيجه نمي دهد-1
. پيوسته باشندf اگر مشتقات جزيي پيوسته باشند خود -2
: كداميك از گزاره هاي زير درست است: مثال
. پيوسته استf موجود باشند آن گاه A در نقطه ي fاگر مشتقات جزيي) الف
. در هر سو مشتق پذير استf موجود باشند آن گاه A در نقطه ي fاگر مشتقات جزيي ) ب
. در هر سو مشتق پذير استf پيوسته باشند آن گاه A در نقطه ي fي اگر مشتقات جزي ) ت
هيچ كدام ) ث
.مي باشد) ت(جواب صحيح گزينه
هر سو موجود و برابر باشند آن گاه نمـي تـوان در a در نقطه ي f حتي اگر مشتقات سويي تابع :نكته
. پيوسته استa درfگفت
. به صورت زير مفروض استfتابع : مثال
٢٤
=
≠+=
),(),(
),(),(,),(
000
0066
3
yx
yxyx
yx
yxf
f در ),( )(),( در هر سوي 00 bauba ==+ 1 : داراي مشتق سوئي صفر است زيرا22
0
00
264
3
0
2642
34
00
=+
=
+=−
→
→→
bat
bat
t
batt
bat
t
ftbtaf
t
tt
.lim
)(lim
),(),(lim
),( در fاما 3xy پيوسته نمي باشد زيرا روي مسير 00 : داريم=
),(lim),(lim),(),(
0002
1
66
6
0003
fxx
xyxf
xyxxy
=≠=+
=→ →
=
: a در fالگوريتم بررسي مشتق پذيري تابع
. پيوستگي تابع را بررسي مي كنيم اگر تابع پيوسته نباشد آن گاه مشتق پذير نيست-1
.مي رويم پيوسته باشد آن گاه به مرحله ي دوم fاگر
را بررسي مي كنيم اگر يكي از مشتقات جزيـي موجـود نباشـد تـابع مـشتق پـذير f مشتقات جزيي -2
. مي رويم3اگر همه ي مشتقات جزيي موجود باشند به مرحله ي . نيست
را در تعريف مشتق داريم سعي مي كنيم بـا تعريـف B و A با توجه به وجود مشتقات جزيي اعداد -3
1Eمشتق، مشتق پذيري را اثبات كنيم اگر مشتق پذيري ثابت شد بحث تمام است اگر نتوانـستيم توابـع
. مي رويم4 را با شرايط ذكر شده در تعريف به دست آوريم، به مرحله ي 2Eو
),( را در سوي بردار دلخـواه يكـاني f در اين مرحله سعي مي كنيم وجود مشتق سويي -4 21 vvV =
وجـــــود نداشـــــت يـــــا a در fاگـــــر در يـــــك ســـــو، مـــــشتق ســـــوئي . بررســـــي كنـــــيم
٢٥
2211 VafDVafDafDV )()()( در غيـر ايـن صـورت بـه . مشتق پذير نيست a در f آن گاه ≠+
. مرحله بعد مي رويم
. پيوستگي مشتقات جزيي را بررسي مي كنيم-5
. مشتق پذير استa در f پيوسته باشند آن گاه a در fاگر مشتقات جزيي
. اگر مشتقات جزيي پيوسته نباشند آن گاه با روشهاي ابتكاري ديگري مشتق پذيري را بررسي مي كنيم
. مفروض استfتابع ) 98 مسأله ي : مثال
≥−
≤=
yxx
yxxyxf ),(
. در همه جا پيوسته استfنشان دهيد ) الف
. در مبدأ وجود دارندfنشان دهيد مشتقات جزيي) ب
. در مبدأ مشتق پذير استfآيا ) پ
xyام نقـاط خـارج از خطـوط در تم fنشان دهيد : سؤال به نوع ديگر xy و = پيوسـته اسـت و =−
xyروي xy و= . فقط در مبدأ پيوسته است=−
yxyx )پاسخ ±=⇒=
f 1( در تمام نقاط واقع در ناحيه هاي(
با توجه به قضايا پيوسته) 4(و ) 3(، ) 2(و
است، كافي است پيوستگي تابع را روي
xyخطوط xy و = . بررسي كنيم=−
),(فرض كنيم 00 yx نقطه ي دلخواه روي خط
xy xy يا = باشد آن گاه =−
yx ⟩ yx ≥
yx ≤
yx ≤
xy −=
xy =
)(4
)(3
)(2
)(1
٢٦
),(سيرهايي كه از نقطه يم 00 yx 3 و 2 واقع اند يا در ناحيه ي 4 و 1 مي گذرند يا در ناحيه ي.
. رابر هم قرار مي دهيم دو تابع در دو ضابطه را ب:نكته ي تستي
: داريم 4 و 1 روي مسير در ناحيه ي )الف
),(lim),(lim),(),(),(),(
00000
00
yxfxxyxfyxyxyx
===→→
lim),(lim),( : داريم) 3(و ) 2( روي مسير )ب),(),(
000
00
yxfxxyxfyxyx
−=−=−=→
يعنير تابع باشندبراي پيوستگي الزم است دو حد برابر و برابر مقدا
0xx =−
00لذا =x 00 و در نتيجه =yاست .
xyپس روي خط xy و = −= ، f فقط در ),( . پيوسته است00
0000
0000
1001000
200
100
===−
−=−=−=−
→→
→→
),(lim),(),(
lim
),(lim),(),(
lim
fDtt
ftf
fDt
t
t
ftf
tt
tt
. مي باشد3 و 2ها ناحيه ي x است و محور 4 و 1ها ناحيه ي yزيرا محور
),( اگر2
2
2
2=V آن گاه
2
2
2
200
2
2
2
2
00
==−
→→ t
t
t
ftt
ttlim
),(),(lim
: در نتيجه
2
200
2
200
2
200 21 ),(),(),( fDfDfDV +≠=
در fپس
٢٧
در مبدأ مشتق پذير است ولي كه با ضابطه ي زير مفروض است f نشان دهيد تابع )99مسأله ي
. مشتقات جزيي آن در مبدأ پيوسته نيست
=
≠+
+=
),(),(
),(),(sin),(
000
001
22
22
yx
yxyx
yxyxf
:ابتدا پيوستگي را بررسي مي كنيم: پاسخ
≥⇒كران دار +
≤− 1
22
11
yxsin
00
0000
22 =⇒=+→→ ),(),(),(),(
),(limlimyxyx
yxfyx
. يوسته نيستپس پ
),(الزم است از تعريف مشتق پذيري استفاده كنيم اما چون در تعريف همواره : حل 001 fDA و =
),( 002 fDB : است پس ابتدا مشتقات جزيي را مي نويسيم=
0
1
00000
2
2
001 ==−=
→→ xx
x
x
fxffD
xx
sin
lim),(),(
lim),(
. نيستtجاهايي كه در مبدأ است ديگر لزومي به گذاشتن
),(),( 0000 =yx چون yy
xx
fDB
=∆=∆
== 0002 ),(
} } } }
y
E
yxyx
E
yxx
yB
xA
yxyxf
y
yx
xf
.)(sin.)(sin
)()(sin)(),(),(
44 344 21444 3444 21
21
22
1
22
1
00
22
12200
++
++
×+×=+
+=−∆∆
