ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΣΜΩΝdentsora/DMM01.pdf · ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ • F.C. Tse, I.E. Morse, R.T. Hinkle, Mechanical Vibrations – Theory and

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΣΜΩΝ

Πανεπιστήμιο Πατρών

Τμήμα Μηχανολόγων και Αεροναυπηγών Μηχανικών

Κατασκευαστικός Τομέας

ΜΗΧΑΝΙΣΜΩΝ

Αργύρης Δέντσορας, Καθηγητής

ΔΟΜΗ ΤΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑΣ (1/2)

• ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1• Οι βασικές έννοιες • Ανάλυση των Ταλαντώσεων Μηχανών και Μηχανισμών

• Στοιχεία αδράνειας, ελαστικότητας και απόσβεσης

• ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2• Σύστημα ενός βαθμούς ελευθερίας• Ελεύθερη ταλάντωση

• Εξαναγκασμένη ταλάντωση

– Το πρόβλημα της αζυγοσταθμίας– Ο εξαναγκασμός βάσης– Διέγερση πολλαπλών συχνοτήτων – Ανάλυση κατά Fourier

• ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3• Εισαγωγή

• Κατάστρωση διαφορικών εξισώσεων

• Διατύπωση των διαφορικών εξισώσεων με πίνακες

Δυναμική Μηχανών και Μηχανισμών 2

ΔΟΜΗ ΤΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑΣ (2/2)

• ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4• Το πρόβλημα των ιδιοτιμών και ιδιομορφών

• ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5• Η μέθοδος των απροσδιόριστων συντελεστών και η μέθοδος της

μορφικής ανάλυσης

• ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8• Εισαγωγή• Εισαγωγή

• Απομόνωση ταλαντώσεων – Μονωτήρες

• Απομόνωση ταλαντώσεων που προκαλούνται από αρμονική διέγερση

• Μονωτήρες ταλαντώσεων – Προβλήματα και εφαρμογές• Δυναμικοί αποσβεστήρες χωρίς απόσβεση


ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ

• F.C. Tse, I.E. Morse, R.T. Hinkle, Mechanical Vibrations – Theory and Applications, Allynand Bacon, Inc., Boston, 1978

• Α. Δημαρόγκωνας, Ταλαντώσεις, Πάτρα, 1982• A.C. Walshaw, Mechanical Vibrations with Applications, Ellis Horwood, Chichester, 1984• J.M. Prentis, Dynamics of Mechanical Systems, Ellis Horwood, Chichester, 1986• A.A. Shabana, Theory of Vibration, Vol. I: An Introduction, Springer-Verlag, New York, 1991• A.A. Shabana, Theory of Vibration, Vol. II: Discrete and Continuous Systems, Springer-

Verlag, New York, 1991• W.T. Thomson, Theory of Vibration with Applications, Prentice Hall, New Jersey, 1993


• W.T. Thomson, Theory of Vibration with Applications, Prentice Hall, New Jersey, 1993• Α. Κανάραχος, Ι. Αντωνιάδης, Ταλαντώσεις Μηχανολογικών Συστημάτων, Παπασωτηρίου,

Αθήνα, 1998• S.G. Kelly, Fundamentals of Mechanical Vibrations, McGraw Hill, London, 2000• Α. Δέντσορας, Ταλαντώσεις Μηχανολογικών Συστημάτων ΙΙ, Πανεπιστημιακές Παραδόσεις,

Πάτρα, 2000• E.I. Rivin, Passive Vibration Isolation, ASME Press, New York, 2003• Σ. Παϊπέτης, Δ. Πολύζος, Ταλαντώσεις και Κύματα, Εκδόσεις Ίων, 2003• H. Benaroya, Mechanical Vibration – Analysis, Uncertainties and Control, Marcel Decker,

New York, 2004• A.J. Mansfield, Human Response to Vibration, CRC Press, Florida, 2005

ΕΙΣΑΓΩΓΗ – ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ

• Η ταλαντωτική κίνηση είναι

κίνηση που επαναλαμβάνεται

στον χρόνο

• Ταλαντούμενο σύστημα είναι

ένα σύστημα που ένας

θ

y

x


ένα σύστημα που ένας

αριθμός μερών του ή όλα του

τα μέρη βρίσκονται σε

ταλαντωτική κίνηση


• Ένα ταλαντούμενο σύστημα:– Αποθηκεύει δυναμική και κινητική ενέργεια λόγω της ελαστικότητας

των μερών του και της ύπαρξης αδρανειακών μαζών

– Χάνει ενέργεια προς το περιβάλλον λόγω μηχανισμών απόσβεσης

Κινητική ενέργεια


Δυναμική

ενέργεια

Ενέργεια

απόσβεσης


• Βαθμοί Ελευθερίας (Β.Ε.) ενός ταλαντούμενου συστήματος είναι ο ελάχιστος απαιτούμενος αριθμός ανεξάρτητων μεταβλητών

για τον καθορισμό των θέσεων των ταλαντούμενων μερών του σε κάθε χρονική στιγμή

F(t)


θ θ

y

x

θ2

T (t)2

θ1

T (t)1

θ3

T (t)3

L

x


• Τα διακριτά συστήματα έχουν πεπερασμένο αριθμό βαθμών ελευθερίας

• Στα συνεχή συστήματα ο αριθμός των Β.Ε. είναι άπειρος

F(t)

x

θ2

θ1


• Συνήθως τα συνεχή συστήματα προσεγγίζονται με διακριτά• Όσο αυξάνονται οι Β.Ε. κατά την μοντελοποίηση ενός

συστήματος, τόσο η λύση του ταλαντωτικού προβλήματος κερδίζει σε ακρίβεια.

L

x

T (t)2T (t)1


• Ελεύθερη ταλάντωση συμβαίνει όταν, μετά τη σύντομη δράση

κάποιας εξωτερικής διέγερσης, το σύστημα αφεθεί να

ταλαντωθεί ελεύθερα

• Εξαναγκασμένη ταλάντωση συμβαίνει όταν η εξωτερική

διέγερση δρα συνεχώς καθορίζοντας την διάρκεια και την

ένταση του ταλαντωτικού φαινομένου


ένταση του ταλαντωτικού φαινομένου

• Περιοδικές ταλαντώσεις προκαλούνται όταν η εξωτερική

διέγερση είναι περιοδική

• Οι ταλαντώσεις ονομάζονται μεταβατικές όταν οι εξωτερικές

διεγέρσεις είναι μη περιοδικές

ΕΙΣΑΓΩΓΗ – ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΩΝ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ

• Προβλήματα ταλαντώσεων κατά τη λειτουργία των μηχανών

– Αζυγοσταθμία

• Μη συμμετρική διάταξη της μάζας περιστρεφόμενων μερών

• Προκαλεί προβλήματα στα έδρανα των μηχανών, στα γρανάζια

των μειωτήρων, στους άξονες και στις φέρουσες κατασκευές

– Κόπωση


– Κόπωση

• Προοδευτική θραύση των μελών μιας μηχανής λόγω χρονικά

μεταβαλλόμενων τάσεων που προκαλούνται από ταλαντώσεις

– Συντονισμός

• Μία από τις φυσικές συχνότητες ταλάντωσης ταυτίζεται με τη

συχνότητα της εξωτερικής διέγερσης

• Μπορεί να οδηγήσει σε υπερβολικές παραμορφώσεις και τελικά

σε αστοχία


– Επίδραση στον άνθρωπο

• Επηρεάζουν την αποδοτικότητα της εργασίας του

• Μπορούν να προκαλέσουν παροδικές ή μόνιμες βλάβες στον

οργανισμό του

• Ευεργετική δράση των ταλαντώσεων


• Ευεργετική δράση των ταλαντώσεων

– Αρκετές μηχανές και διατάξεις βασίζουν τη λειτουργία τους στις

ταλαντώσεις

– Παραδείγματα εφαρμογών: Ταλαντωτικοί μεταφορείς, τροφοδότες,τους συμπιεστές και λειαντές επιφανείας (ρεκτιφιέ), ταλαντωτικά

ηλεκτρονικά φίλτρα χύτευση μετάλλων, συγκόλληση κλπ.


• Παραδοχές

� Οι φυσικές ιδιότητες είναι συνεχείς συναρτήσεις χωρικών μεταβλητών

� Η βαρύτητα είναι το μόνο εξωτερικό πεδίο δυνάμεων


� Όλα τα υλικά είναι γραμμικά, ισότροπα και ομογενή

� Το ταλαντούμενο σύστημα δεν υπόκειται σε κανενός είδους, χημικές, πυρηνικές, θερμικές και άλλες επιδράσεις


• Αναγνώριση του προβλήματος – Το φυσικό μοντέλο

� Αναγνώριση των στοιχείων του συστήματος: Μάζες, αδράνειες, ελαστικά στοιχεία, στοιχεία απόσβεσης)

� Καταγραφή των σχέσεων μεταξύ των στοιχείων του συστήματος


� Καθορισμός των ορίων συστήματος – περιβάλλοντος

� Καταγραφή των αλληλεπιδράσεων συστήματος – περιβάλλοντος

� Διαμόρφωση του φυσικού μοντέλου


• Διαμόρφωση και επίλυση του μαθηματικού μοντέλου

� Κατάστρωση των διαφορικών εξισώσεων κίνησης με βάση τις

αρχές της Δυναμικής:• 2ος Νόμος του Newton• Αρχή του D'Alembert• Ενεργειακή μέθοδος (π.χ. εξισώσεις Lagrange)


• Ενεργειακή μέθοδος (π.χ. εξισώσεις Lagrange)

� Επιλογή του συνόλου των μεταβλητών που θα περιγράφουν την

συμπεριφορά του συστήματος:• Ανεξάρτητες μεταβλητές (χρόνος και οι μεταβλητές του χώρου)• Εξαρτώμενες μεταβλητές (μετατοπίσεις, ταχύτητες και

επιταχύνσεις)


� Καθορισμός του πλήθους των Β.Ε.:

• Είναι ίσο προς το πλήθος των κινηματικά ανεξάρτητων μεταβλητών (γενικευμένων συντεταγμένων) που απαιτούνται για την πλήρη περιγραφή της ταλαντωτικής κίνησης

• Οι κινηματικά ανεξάρτητες συντεταγμένες είναι όλες συναρτήσεις της ανεξάρτητης μεταβλητής που είναι ο χρόνος


� Επίλυση των διαφορικών εξισώσεων κίνησης με τις παρακάτω

τεχνικές:

• Κλασικές μέθοδοι

• Μετασχηματισμοί Laplace• Μέθοδοι πινάκων

• Αριθμητικές μέθοδοι


� Ερμηνεία και χρήση των αποτελεσμάτων για:

• Επέμβαση και επίλυση του προβλήματος ταλαντώσεων σε

μηχανή ή σύστημα που ήδη λειτουργεί

• Σχεδιασμό της μηχανής έτσι ώστε αυτή να λειτουργεί με τις

ελάχιστες δυνατές ή με τις επιθυμητές ταλαντώσεις


ΕΙΣΑΓΩΓΗ - ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ, ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΚΑΙ ΑΠΟΣΒΕΣΗΣ

• Στις ταλαντούμενες μηχανές και συστήματα υπάρχουν αδρανειακά,ελαστικά και αποσβεστικά στοιχεία που βρίσκονται σε στενή κινηματική

και ενεργειακή αλληλεξάρτηση

θ2

θ1

•Αδρανειακά στοιχεία:

–Τα αδρανειακά στοιχεία είναι μάζεςπου είτε εκτελούν μεταφορική είτε


T (t)2T (t)1

που είτε εκτελούν μεταφορική είτε περιστροφική ταλαντωτική κίνηση είτε συνδυασμό των δύο

–Στα διακριτά συστήματα η μελέτη της ταλαντωτικής τους συμπεριφοράς ισοδυναμεί με την μελέτη των κινήσεων χαρακτηριστικών σημείων των μαζών τους

L

F(t)

x


– Ένα αδρανειακό στοιχείο αποθηκεύει κινηματική ενέργεια

(Nm)21

( ) [ ( )]2

T t k x t= &


21( ) [ ( )]

2 tT t k θ t= & (Nm)


• Ελαστικά στοιχεία:– Κάθε ελαστικός

σύνδεσμος μεταξύ δύο μαζών αποτελεί ελαστικό στοιχείο

– Η μάζα του ελαστικού στοιχείου συνήθως δεν λαμβάνεται

Σταθερά ελατηρίου (N/m)

F kx= (N)

Δύναμη F (N) προκαλεί μετατόπιση x (m)


δεν λαμβάνεται υπόψη

– Τα ελαστικά στοιχεία είναι από την φύση τους μη γραμμικάαλλά θεωρούνται ως γραμμικά για μικρές μετατοπίσεις

Στρεπτική σταθερά ελατηρίου (Nm/rad)

tM k θ=

Ροπή M (Nm) προκαλεί γωνιακή μετατόπιση θ(rad)

(Nm)


– Ένα ελαστικό στοιχείο αποθηκεύει δυναμική ενέργεια

(Nm)21

( ) [ ( )]2

V t k x t=


21( ) [ ( )]

2 tV t k θ t= (Nm)


– Συνήθεις τύποι ελαστικών

στοιχείων (μεμονωμένα ή σε

συνδυασμό):• Μεταλλικά ελατήρια

(διαφόρων τύπων και μορφών)

• Μεταλλικοί ή μη δοκοί ή ράβδοι

D

r

4

364

GDk

Nr=

GJ=

(N/m)


L,G, J

Js

• Συνθετικά φύλλα σε μονές ή πολλαπλές στρώσεις

• Κυλινδρικά σώματα απλής ή σύνθετης μορφής

– Κάθε τύπος ελαστικού στοιχείου μπορεί να εκφρασθεί μέσω μιας ισοδύναμης σταθεράς ελατηρίου

t

GJk

L= (Nm/rad)


– Πολλές φορές τα ελαστικά στοιχεία παρουσιάζονται σε συνδυασμό είτε εν σειράείτε εν παραλλήλω

1 2 3, , ,..., nk k k k

m

k1

k2

x

n

eq ik k=∑ (N/m)

(N/m)


2

kn

m

k1 k2 kn

x

1eq i

i=∑

1

11eq n

i i

k

k=

=

∑(N/m)


• Τα αποσβεστικά στοιχεία διαχέουν την ενέργεια προς το

περιβάλλον

• Εάν δεν προσδίδεται συνεχώς επαρκής εξωτερική ενέργεια, η

ταλάντωση ενός συστήματος με αποσβεστικά στοιχεία φθίνει και

τελικώς σταματά


• Τύποι μηχανισμών απόσβεσης:– Ιξώδης απόσβεση

– Τύπου Coulomb– Υστερητική απόσβεση

– Άλλοι τύποι απόσβεσης


– Ο ιξώδης αποσβεστήραςλειτουργεί βάσει της ιξώδους τριβής που αναπτύσσεται κατά την επαφή ενός στερεού σώματος και ενός ρευστού

– Η δύναμη λόγω ιξώδους απόσβεσης είναι πάντα

Δύναμη Fc (N) λόγω ιξώδους απόσβεσης

Σταθερά απόσβεσης (Nsec/m)

( ) ( )cF t cx t= & (N)

m

x

J


απόσβεσης είναι πάντα ανάλογη της ταχύτητας

– H σταθερά απόσβεσηςεξαρτάται από το δυναμικό ιξώδες του ρευστού καιτην γεωμετρία του αποσβεστήρα

Ροπή Mc (Nm) λόγω ιξώδους απόσβεσης

Στρεπτική σταθερά απόσβεσης (Nmsec/rad)

( ) ( )c tM t c θ t= & (Nm)

m

cct

Documents

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΣΜΩΝdentsora/DMM01.pdf · ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ • F.C. Tse, I.E. Morse, R.T. Hinkle, Mechanical Vibrations – Theory and