53

КИЇВСЬКИЙ УНІВЕРСИТЕТ ІМЕНІ ТАРАСА ШЕВЧЕНКА

Р.М.ТРОХИМЧУК

ЗБІРНИК ЗАДАЧ

ІЗ

ТЕОРІЇ ГРАФІВ

Навчальний посібник

для студентів факультету кібернетики

КИЇВ

Редакційно-видавничий центр

“Київський університет”

1998

54

Р.М.ТРОХИМЧУК ЗБІРНИК ЗАДАЧ ІЗ ТЕОРІЇ ГРАФІВ Навчальний посібник для студентів

факультету кібернетики.- К.: РВЦ “Київський університет”, 1998. - 57 с.

Рецензенти Сущанський В.І., д-р фіз.-мат.наук, проф.

Шевченко В.П., канд.фіз.-мат.наук, доцент

Затверджено Радою

факультету кібернетики

8 вересня 1997 року

ТРОХИМЧУК Р.М., 1998

55

1. Способи завдання графів. Степені вершин

Нехай V деяка непорожня скінченна множина, а V (2)

множина всіх двохелементних

підмножин (невпорядкованих пар різних елементів) множини V.

Графом (неорієнтованим графом) G називається пара множин (V,E ), де Е довільна

підмножина множини V (2)

(Е V (2)

); позначається G =(V,E ).

Елементи множини V називаються вершинами графа G, а елементи множини Е ребрами

графа G. Відповідно V називається множиною вершин і Е множиною ребер графа G.

Традиційно ребра {v,w} записуються за допомогою круглих дужок (v,w) (іноді просто vw).

Граф, який складається з однієї вершини, називається тривіальним.

Оскільки обидві множини V i E скінченні, то одним зі способів завдання графа G =(V,E ) є

завдання кожної з множин V і Е за допомогою переліку їхніх елементів.

Нехай задано граф G =(V,E ). Якщо (v,w)Е, то кажуть, що вершини v i w є суміжними, у

противному разі вершини v i w є несуміжними. Якщо е=(v,w) ребро графа, то вершини v i w

називаються кінцями ребра е. Кажуть також, що ребро е з’єднує вершини v i w. Вершина v і

ребро е називаються інцидентними, якщо v є кінцем е.

Два ребра називаються суміжними, якщо вони мають спільну вершину.

Степенем вершини v називається кількість ребер, інцидентних вершині v; позначається (v).

Вершина степеня 0 називається ізольованою, а вершина степеня 1 кінцевою (або висячою)

вершиною.

Кубічним графом називається граф, степені всіх вершин якого дорівнюють 3.

Граф G =(V,E ) зручно зображати за допомогою рисунка на площині, який називають

діаграмою графа G. Вершинам графа G ставляться у бієктивну відповідність певні точки

площини; точки, що відповідають вершинам v i w, з’єднуються лінією (відрізком або кривою)

тоді і тільки тоді, коли v i w суміжні.

Графи можна задавати за допомогою матриць.

Занумеруємо всі вершини графа G натуральними числами від 1 до n. Матрицею суміжності А

графа G називається квадратна nn-матриця, в якій елемент аij i-го рядка та j-го стовпчика

дорівнює 1, якщо вершини vi та vj з номерами i та j суміжні, і дорівнює 0 у противному разі.

Занумеруємо всі вершини графа G числами від 1 до n і всі його ребра числами від 1 до m.

Матрицею інцидентності В графа G називається nm-матриця, в якій елемент bij i-го рядка

і j-го стовпчика дорівнює 1, якщо вершина vi з номером і інцидентна ребру еj з номером j, і

дорівнює 0 у противному разі.

Граф G =(V,E ) називається повним, якщо будь-які дві його вершини суміжні (тобто Е=V(2)

).

Повний граф із n вершинами позначається Кn.

Об’єднанням графів G1=(V1,E1) і G2=(V2,E2) називається граф G =(V1V2,E1E2);

позначається G =G1G2. Об’єднання G =G1G2 називається прямою сумою графів G1 i G2,

якщо V1V2=.

Перетином і різницею графів G1= (V,E1) i G2= (V,E2) з однаковими множинами вершин

називаються графи G = (V,E1E2) i G =(V,E1\E2) відповідно; позначаються G =G1G2 і -

G = G1\G2.

Доповненням графа G = (V,E ) називається граф G = (V,V(2)

\E ); отже, граф G має ту саму

множину вершин V, що й граф G, а будь-які дві вершини графа G суміжні тоді і тільки тоді,

коли вони несуміжні в G.

Граф G = (V,E ) називається двочастковим, якщо існує таке розбиття множини його вершин

V на дві підмножини (частки) V1 і V2, що кінці будь-якого ребра графа G належать різним

часткам.

Двочастковий граф називається повним двочастковим графом, якщо будь-які дві його

вершини, що належать різним часткам, є суміжними. Повний двочастковий граф, частки

якого V1 і V2 складаються з n і m вершин відповідно, позначається Кn,m.

Граф G1= (V1,E1) називається підграфом графа G = (V,E ), якщо V1 V i E1 E.

Важливі класи підграфів складають підграфи, які отримуються в результаті застосування

до заданого графа операції вилучення вершини і операції вилучення ребра.

56

Операція вилучення вершини v із графа G = (V,E ) полягає у вилученні з множини V елемента

v, а з множини Е усіх ребер, інцидентних v.

Операція вилучення ребра е з графа G = (V,E ) полягає у вилученні елемента е з множини Е.

При цьому всі вершини зберігаються.

1. Нехай задано граф G =(V,E ):

(а) V = {1,2,3,4}, E = {(1,3),(2,3),(3,4),(4,1),(4,2)};

(б) V = {a,b,c,d,e},E = {(a,d),(b,c),(b,e),(c,e),(d,b),(d,e),(e,a)};

(в) V = {1,2,3}, E = {(1,2),(1,3),(2,3)};

(г) V = {A,B,C,D}, E = {(A,B),(A,D),(B,C),(B,D),(C,A),(C,D)}.

Побудувати діаграму, матриці суміжності та інцидентності для кожного із заданих графів.

2. Нехай V={a,b,c,d,e}. Граф G =(V,E ) задано за допомогою матриці суміжності A.

(а) A=

0110110011100010100011100

; (в) A=

0010100100110110010110110

;

(б) A=

0100110100010100010110010

; (г) A=

0110010100110000000000000

.

Визначити множину ребер E графа G. Побудувати діаграму та матрицю інцидентності графа

G.

3. Граф G задано його діаграмою (рис.1).

а) б) в)

Рис.1

Визначити множину вершин V і множину ребер E, матриці суміжності та інцидентності графа

G.

4. Нарисуйте діаграму повного графа з n вершинами Kn для

(а) n = 2; (б) n = 3; (в) n = 4; (г) n = 5.

5. Чому дорівнює степінь кожної вершини у повному графі з n вершинами?

6. Скільки ребер містить повний граф із n вершинами?

7. Чи існує повний граф, у якого кількість ребер дорівнює

(а) 15;

(б) 18;

(в) 199...900...0 (n дев’яток і n нулів);

(г) 8k 2+2k, k N?

8. Довести, що доповненням графа G є граф G.

9. Чому дорівнює степінь вершини v у графі G , якщо в графі G з n вешинами

1 2

5

3 4

d

f e

b

c

a B

E F

C

D

A

57

(а) (v) = 1;

(б) (v) = n1;

(в) (v) = 0;

(г) (v) = k?

10. Чому дорівнює кількість ребер у графі G , якщо граф G має n вершин і k ребер?

11. Довести, що для довільного графа G об’єднання GG є повним графом.

12. Нехай графи G1=(V,E1) i G2=(V,E2) задано за допомогою матриць суміжності A1 і A2

відповідно (|V |=n). Визначити матрицю суміжності A для графа

(а) G1G2; (в) G1\G2;

(б) G1G2; (г) G 1.

13. Нехай задано матрицю суміжності A деякого графа G. Як за допомогою матриці A

визначити

(а) кількість вершин графа G;

(б) кількість ребер графа G;

(в) степінь (v) певної вершини v графа G;

(г) чи є граф G повним графом;

(д) матрицю інцидентності графа ?

14. Нехай A матриця суміжності графа G з n вершинами. Довести, що i-й діагональний

елемент матриці A 2 дорівнює степеню (vi) i-ї вершини графа G, i=1,2,...,n.

15. Нехай B матриця інцидентності графа G з n вершинами. Довести, що i-й діагональний

елемент матриці BB T дорівнює степеню (vi) i-ї вершини графа G, i=1,2,...,n.

16. Нехай A матриця суміжності, а B матриця інцидентності графа G. Довести, що матриця

A дорівнює матриці BB T, в якій усі діагональні елементи замінено нулями.

17. Довести, що в будь-якому графі G =(V,E ) v V

(v)=2|Е |.

18. Скільки ребер у графі з n вершинами, якщо всі його вершини мають степінь 2?

19. Довести, що в будь-якому графі кількість вершин, степінь яких непарний, є парною.

20. Нехай у графі G з n вершинами і m ребрами є p вершин степеня t, а всі інші вершини

мають степінь t +1. Довести, що p = (t +1) n 2m.

21. 29 команд беруть участь у футбольному турнірі. Довести, що в будь-який момент

знайдеться команда, яка зіграла парну кількість матчів.

22. Чи існує граф із n вершинами, усі вершини якого є кінцевими, якщо

(а) n=10;

(б) n=11;

(в) n=2k 1;

(г) n=2k ?

23. Скільки вершин може мати граф, усі вершини якого є кінцевими? Скільки ребер у такому

графі?

24. Чи можна з повного графа K17 вилучити деякі ребра так, щоб степінь кожної з вершин

дорівнював

(а) 15; (б) 2; (в) 1 ?

25. Чи існує кубічний граф із n вершинами, якщо

(а) n=100;

(б) n=101;

(в) n=102;

(г) n=2k 1;

(д) n=2k ?

26. Скільки вершин повинен мати кубічний граф? Скільки ребер у такому графі?

27. Побудувати кубічний граф із

(а) чотирма вершинами;

(б) шістьма вершинами;

58

(в) вісьмома вершинами.

28. Довести, шо доповнення жодного кубічного графа не є кубічним графом.

29. У певному товаристві з n осіб кожен є знайомим з k і тільки k іншими особами. Чи

можливе таке товариство для

(а) n = 5, k = 2;

(б) n = 5, k = 3;

(в) n = 2m, k = 1;

(г) n = 2m, k = 3 ?

30. Скільки ребер містить повний двочастковий граф Kn,m?

31. Які особливості має матриця суміжності двочасткового графа?

32. Чи для кожного натурального k 2 існує повний двочастковий граф, кількість ребер

якого дорівнює k?

33. Який вигляд має доповнення графа Kn,m?

34. Довести, що в будь-якому графі з n вершинами (n2) завжди знайдуться принаймні дві

вершини з однаковими степенями.

35. Побудуйте граф із п’ятьма вершинами, в якому тільки дві вершини мають однакові

степені.

36. У графі з п’ятьма вершинами тільки дві вершини мають однакові степені. Чи можуть

обидві ці вершини мати степінь 0 або степінь 4?

37. Декілька осіб проводять шаховий турнір в одне коло. У деякий момент виявилось, що

тільки двоє шахістів зіграли однакову кількість партій. Довести, що тоді є або тільки один

учасник, який не зіграв жодної партії, або тільки один, який зіграв усі партії турніру.

38. Скільки вершин із однаковими степенями має граф G , якщо граф G має тільки 2 вершини

з однаковими степенями?

39. Довести, що в довільному графі G із шістьма вершинами завжди знайдуться три вершини,

які є або попарно суміжними, або попарно несуміжними. (Це математичне формулювання

відомої задачі: довести, що серед будь-яких шести осіб знайдеться або три особи, що попарно

знайомі між собою, або три особи, попарно незнайомі).

40. Чи існує граф із шістьма вершинами, степені яких дорівнюють

(а) 2,3,3,4,4,4;

(б) 2,2,2,4,5,5?

Відповідь обгрунтувати.

41. Позначимо через O(v) множину всіх вершин, суміжних із вершиною v, а через O (v)

множину O(v){v}. Нехай Rn це множина всіх графів G =(V,E ) з n вершинами таких, що

1) для будь-яких несуміжних вершин v,w V виконується або O(v) O(w), або O(w) O(v);

2) для будь-яких суміжних вершин v,w V виконується або O (v) O (w), або O (w)

O (v).

Довести, що в довільному графі G Rn

(а) вершини з однаковими степенями або всі попарно суміжні, або всі попарно несуміжні;

(б) існує принаймні одна вершина степеня n 1;

(в) якщо для деякого k вершини степеня k попарно суміжні, то й вершини степеня, більшого

ніж k, також попарно суміжні;

(г) вилучення будь-якої вершини приводить до графа з множини Rn-1.

59

2. Ізоморфізм графів

Графи G1=(V1,E1) і G2=(V2,E2) називаються ізоморфними, якщо існує таке взаємно

однозначне відображення множини вершин V1 на множину вершин V2, що ребро

(v,w)належить E1 тоді і тільки тоді, коли ребро ((v),(w))належить E2. Відображення

називається ізоморфним відображенням або ізоморфізмом графа G1 на граф G2.

Ізоморфне відображення графа G на себе називається автоморфізмом графа G.

Автоморфізм графа G =(V,E ), при якому для кожної вершини v V виконується (v)=v,

називається тривіальним автоморфізмом.

Граф G, ізоморфний своєму доповненню G , називається самодоповнювальним.

Реберним графом L(G) графа G =(V,E) називається граф, множиною вершин якого є

множина ребер E графа G, а вершини e1 і e2 є суміжними в графі L(G) тоді і тільки тоді,

коли ребра e1 і e2 є суміжними в G.

Означення циклу, простого циклу, довжини циклу, ациклічного графа буде наведено в

наступному розділі.

1. Довести, що всі ізоморфні графи мають однакову кількість вершин і однакову кількість

ребер.

2. Довести, що в ізоморфних графів кількість вершин степеня k однакова для довільного k

(k 0).

3. Довести, що у випадку, коли для деякого k (k 0) кількості вершин степеня k в графах G1 і

G2 різні, графи G1 і G2 неізоморфні.

4. Довести, що в ізоморфних графів кількість простих циклів довжини l однакова для

довільного l.

5. Довести, що для n 4 графи G1 і G2 з n вершинами є ізоморфними тоді і тільки тоді, коли

для будь-якого k 0 кількість вершин степеня k у графів G1 і G2 однакова.

6. Знайти по три пари неізоморфних графів G1 і G2, в яких

(а) кількість вершин степеня k однакова для всіх k 0;

(б) кількість простих циклів довжини l однакова для всіх l ;

(в) виконуються обидві умови з пунктів (а) і (б).

7. Нехай графи G1 і G2 мають однакову кількість вершин. Для кожної з вершин одного графа

існує вершина іншого графа з тим самим степенем. Обидва графи мають тільки по дві

вершини з однаковими степенями. Довести, що графи G1 і G2 ізоморфні.

8. Довести, що ізоморфізм є відношенням еквівалентності на сукупності графів.

9. Довести, що графи з n вершинами, в яких степені всіх вершин дорівнюють 2 і в яких

збігаються кількості простих циклів довжини l для всіх l, є ізоморфними.

10. Пояснити, чому пари графів, зображені на рис.2, не є ізоморфними.

(а)

(б)

(в)

60

(г)

(д)

(е)

(є)

(ж)

Рис.2

11. Довести, що пари графів, зображені на рис.3, є ізоморфними.

(а)

(б )

(в)

(г)

61

(д)

Рис.3

12. Визначити серед пар графів, зображених на рис.4, пари ізоморфних і пари неізморфних

графів. Відповіді обгрунтувати.

(а)

(б)

(в)

(г)

(д)

(е)

Рис.4

62

13. Перевірити, чи є ізоморфними графи G1 і G2, задані своїми матрицями суміжності A1 і A2.

(а) A1=

011111101111110110111001111000110100

, A2=

001101001111110111111011011100111100

;

(б) A1=

0110101101001011000010000101100101001001001011000

, A2=

0111100101100011000101100100100100100100010000110

;

(в) A1=

010110101001010110101001101001010110

, A2=

000111001101010110111000101001110010

;

(г) A1=

000111000111000111111000111000111000

, A2=

001101001101110010110010001101110010

.

14. Довести, що графи G1 і G2 ізоморфні тоді і тільки тоді, коли матрицю суміжності

(матрицю інцидентності) одного з цих графів можна одержати з матриці суміжності (матриці

інцидентності) іншого за допомогою відповідних перестановок рядків і стовпчиків.

15. Довести, що графи G1 і G2 ізоморфні тоді і тільки тоді, коли ізоморфні їхні доповнення

G 1 і G 2.

16. Знайти нетривіальний самодоповнювальний граф із найменшою кількістю вершин.

17. Довести, що існує тільки один самодоповнювальний граф із чотирма вершинами.

18. Довести, що існує тільки два самодоповнювальні графи з п’ятьма вершинами.

19. Чи існує самодоповнювальний граф, у якого кількість ребер дорівнює

(а) 5; (б) 7; (в) 4k 2 2, k N?

20. Чи існує самодоповнювальний граф, у якого кількість вершин дорівнює

(а) 6; (б) 7; (в) 4k 1, k N?

21. Довести, що кількість вершин будь-якого самодоповнювального графа дорівнює або 4k,

або 4k +1, k N.

22. Довести, що довільний самодоповнювальний граф містить або 4k 2 k, або 4k

2 + k ребер,

k N.

23. Побудувати чотири попарно неізоморфні самодоповнювальні графи з вісьмома

вершинами.

24. Нарисувати всі попарно неізоморфні графи з n вершинами для

(а) n=2; (б) n=3; (в) n=4; (г) n=5.

25. Позначимо через nk(G ) кількість вершин степеня k в графі G. Побудувати всі попарно

неізоморфні графи G, в яких

(а) n2(G )=1, n3(G )=n4(G )=2 i nk(G )=0 для k2,3,4;

(б) n2(G )=3, n3(G )=2, n4(G )=1 i nk(G )=0 для k2,3,4;

63

(в) n2(G )=n3(G )=n4(G )=2 i nk(G )=0 для k2,3,4;

(г) n2(G )=n3(G )=2, n4(G )=3 i nk(G )=0 для k2,3,4.

26. Побудувати всі попарно неізоморфні графи із шістьма вершинами, степені яких

дорівнюють 2,2,3,3,3,5.

27. Скільки існує попарно неізоморфних кубічних графів з шістьма вершинами?

28. Скільки існує попарно неізоморфних графів, які мають

(а) 6 вершин і 11 ребер;

(б) 7 вершин і 18 ребер;

(в) 8 вершин і 24 ребра;

(г) 8 вершин, сума всіх степенів яких не менша від 53;

(д) 10 вершин і 43 ребра;

(е) n вершин і n(n1)/22 ребра?

29. Побудувати нетривіальний граф із найменшою кількістю вершин, який не має

нетривіальних автоморфізмів.

30. Знайти нетривіальний ациклічний граф із найменшою кількістю вершин, який не має

нетривіальних автоморфізмів.

31. Скільки автоморфізмів має граф

(а) Kn; (б) K1,n; (в) Kn,m?

32. Побудувати реберні графи для графів, зображених на рис.1 і рис.2.

33. Побудувати реберні графи для графів K2, K3, K4, K5, K3,3 і K1,3.

34. Довести, що реберні графи графів K3 та K1,3 ізоморфні.

35. Нехай для ребра e=(v,w) у графі G відомі степені його вершин (v) і (w). Чому дорівнює

степінь вершини e в реберному графі L(G )?

36. Визначити кількість вершин та степені вершин для реберного графа повного графа Kn.

37. Визначити кількість вершин та степені вершин для реберного графа повного

двочасткового графа Kn,m.

38. Граф G =(V,E ) має n вершин (|V |=n) зі степенями d1,d2,...,dn i m ребер (|Е |=m). Cкільки

вершин і скільки ребер має його реберний граф L(G )?

39. Побудувати три попарно неізоморфні графи, які ізоморфні своїм реберним графам.

40. Довести, що граф G є ізоморфний своєму реберному графу L(G ) тоді і тільки тоді, коли

степені всіх вершин графа G дорівнюють 2.

41. Побудувати граф, доповнення якого є ізоморфним його реберному графу.

42. Для заданого графа G дослідити граф L(L(G )).

43. Нехай A матриця інцидентності графа G =(V,E ), а B відповідна матриця суміжності

реберного графа L(G ) (тобто матриця, в якій нумерація вершин збігається з нумерацією ребер

для A). Довести, що B = ATA 2Im, де Im одинична матриця порядку m=|Е |.

44. Довести, що при n>2 граф K1,n не є реберним графом для жодного графа G.

45. Довести, що будь-який граф із множини Rn (див. задачу 1.41) однозначно з точністю до

ізоморфізму визначається завданням степенів усіх його вершин.

3. Маршрути в графі. Зв’язність графів

Маршрутом (або шляхом) у графі G =(V,E) називається послідовність

v1, e1, v2, e2, … , ek, vk+1 (1)

вершин vi і ребер ei така, що ei=(vi,vi+1), i=1,2,…,k. Кажуть, що цей маршрут з’єднує вершини

v1 і vk+1 або веде з вершини v1 у вершину vk+1.

Число k ребер у маршруті називається довжиною маршруту. Маршрутом довжини 0

вважається послідовність, що складається з єдиної вершини.

Маршрут, в якому всі ребра попарно різні, називається ланцюгом. Маршрут, в якому всі

вершини попарно різні, називається простим ланцюгом.

Маршрут (1) називається замкненим (або циклічним), якщо v1=vk+1. Замкнений ланцюг

називається циклом, а замкнений простий ланцюг простим циклом.

Граф, усі вершини та ребра якого утворюють простий цикл довжини n, позначається Cn.

Простий цикл довжини 3 називається трикутником.

64

Граф, який не має циклів, називається ациклічним графом.

Граф називається зв’язним, якщо будь-які дві його вершини можуть бути з’єднані деяким

маршрутом (тобто є зв’язаними).

Компонентою зв’язності (або зв’язною компонентою) графа G називається такий його

зв’язний підграф, який не є власним підграфом жодного іншого зв’язного підграфа графа G.

Відстанню між вершинами v і w зв’язного графа (позначається d (v,w)) називається довжина

найкоротшого простого ланцюга, що з’єднує вершини v і w.

Ексцентриситетом e (v) довільної вершини v зв’язного графа G =(V,E) називається найбільша

з відстаней між вершиною v і всіма іншими вершинами графа G, тобто e (v)=

maxw V

{d (v,w)}.

Діаметром зв’язного графа G (позначається D(G)) називається максимальний із усіх

ексцентриситетів вершин графа G. Мінімальний із усіх ексцентриситетів вершин зв’язного

графа G називається його радіусом і позначається R(G).

Вершина v називається центральною, якщо e (v)=R(G). Центром графа G називається

множина всіх його центральних вершин.

1. На рис.5 зображено граф G.

(а) Знайти всі ланцюги, що ведуть із вершини v1 у v12.

(б) Знайти всі прості ланцюги, що ведуть із вершини v1 у v12.

(в) Знайти ланцюг, що веде з вершини v1 у v12 і містить усі вершини графа G.

(г) Чи існує в графі G простий ланцюг, що веде з вершини v1 у v12 і містить усі вершини графа

G?

(д) Знайти маршрут у графі G, який веде з v1 у v12 і не є ланцюгом.

(е) Знайти маршрут у графі G, який веде з v1 у v12, містить усі вершини графа G і не є

ланцюгом.

(є) Знайти який-небудь цикл у графі G.

(ж) Знайти всі прості цикли графа G.

Рис.5

2. Знайти в графі K5 цикли довжини

(а) 3; (б) 4; (в) 5; (г) 6; (д) 10.

Які з цих циклів є простими?

3. Чи існує в графі K5 цикл довжини 9? Відповідь обгрунтувати.

4. Скільки ребер містить

(а) простий ланцюг із k вершин;

(б) простий цикл із k вершин;

(в) найкоротший простий цикл?

5. Довести, що будь-який ланцюг, який веде з вершини v у вершину w (v w) містить простий

ланцюг, що веде з v у w.

6. Спростувати таке твердження: якщо деякий ланцюг, що веде з вершини v у вершину w,

проходить через вершину u (u v і u w), то цей ланцюг містить простий ланцюг, що веде з v

у w і проходить через u.

v3

v2

v1

v4

v5

v6 v7

v8 v9

v10

v11

v12

65

7. Довести, що коли для довільних трьох різних вершин v, w і u в графі G існують ланцюги,

один з яких веде з v у w, а другий із w в u, тоді в графі G є ланцюг, що веде з v в u.

8. Спростувати таке твердження: якщо в графі G для деяких трьох різних вершин v, w і u

існують прості ланцюги, один із яких веде з v у w, а другий із w в u, то в графі G є простий

ланцюг, що веде з v в u і проходить через w.

9. Довести, що будь-який найкоротший ланцюг, що веде з вершини v у вершину w (v w), є

простим ланцюгом.

10. Довести, що довільний цикл містить простий цикл.

11. Довести, що коли два різні цикли графа G містять ребро e, тоді в графі G є цикл, серед

ребер якого немає e.

12. Довести, що в графа, усі прості цикли якого мають парну довжину, немає жодного циклу

непарної довжини.

13. Довести, що будь-який замкнений маршрут непарної довжини містить простий цикл. Чи

справедливим є аналогічне твердження для замкнених маршрутів парної довжини?

14. Довести, що в графі G, степені всіх вершин якого не менші від k, існує ланцюг довжини не

менше k.

15. Довести, що в графі, степені всіх вершин якого більші 1, є цикл.

16. Довести, що коли в графі G степені всіх вершин не менші від k і k 2, тоді в G є цикл

довжини не менше k +1.

17. Довести, що для довільного n 3 існує граф із n вершинами, в якому n 1 вершина мають

попарно різні степені, і цей граф зв’язний.

18. Довести, що зв’язний граф є простим циклом тоді і тільки тоді, коли кожна його вершина

має степінь 2.

19. Довести, що в графі Kn кожне ребро належить n 2 трикутникам.

20. Чи існує граф із n вершинами, відмінний від повного графа, в якому кожне ребро належить

n 2 трикутникам?

21. Довести, що найбільша кількість ребер у графі G з n вершинами, який не містить

трикутників, дорівнює [n 2/4]. Побудувати граф, для якого ця межа досягається.

22. Довести, що в графі G із 2n вершинами і n 2 +1 ребрами кількість трикутників не менше n.

23. Побудувати кубічний граф із 2n вершинами (n 3), який не має трикутників.

24. Чи може двочастковий граф містити трикутники?

25. Довести, що граф є двочастковим тоді і тільки тоді, коли всі його цикли мають парну

довжину.

26. За яких умов у повному двочастковому графі Kn,m існує цикл довжини

(а) 4; (б) 6 (в) 2k, k N; (г) mn ?

27. Визначити для зв’язного двочасткового графа з n вершинами найменшу та найбільшу

можливу кількість ребер.

28. Довести, що граф G з n вершинами не є двочастковим, якщо кількість його ребер більша

від n 2/4.

29. Позначимо через G граф, який отримаємо після вилучення зі зв’язного графа G =(V,E )

деякого ребра eE.

Довести, що

(а) граф G зв’язний, якщо ребро e належить циклу в графі G;

(б) граф G незв’язний, і має тільки дві компоненти зв’язності, якщо ребро e не входить у

жодний цикл у графі G.

30. Довести, що граф G =(V,E ) зв’язний тоді і тільки тоді, коли для будь-якого розбиття

множини вершин V на дві підмножини V1 і V2 існує ребро (v,w)E таке, що вершина v

належить одній із підмножин розбиття, а вершина w другій підмножині.

31. Довести, що граф G =(V,E ) зв’язний тоді і тільки тоді, коли не існує такого розбиття

множини вершин V на дві підмножини V1 і V2, що для кожного ребра (v,w)E обидві вершини

v і w одночасно належать або V1, або V2.

66

32. Нехай G =(V,E ) зв’язний граф, який не є повним графом. Довести, що в G існують три такі

вершини u, v та w, що (u,v)E і (v,w)E, однак (u,w) E.

33. Довести, що в зв’язному графі будь-які два прості ланцюги максимальної довжини мають

принаймні одну спільну вершину. Чи правильно, що вони завжди мають спільне ребро?

34. Довести, що граф G із n вершинами та m ребрами

(а) є незв’язний, якщо m < n 1;

(б) може бути незв’язний, якщо m n 1 і n > 3.

35. Нехай у графі G з n вершинами степінь кожної вершини не менший від (n 1)/2. Довести,

що граф G зв’язний. Чи можна в цьому твердженні замінити (n 1)/2 на [(n 1)/2]?

36. Нехай у графі G з n вершинами відсутні цикли непарної довжини й число ребер перевищує

((n 1)/2)2. Довести, що граф G зв’язний.

37. Довести, що в довільному графі з n вершинами і k компонентами зв’язності кількість його

ребер m задовольняє такі нерівності: n k m (n k)(n k +1)/2. Довести, що і нижня, і

верхня межі є досяжними.

38. Довести, що зв’язний граф із n вершинами містить не менше ніж n 1 ребро.

39. Довести, що коли в графі G з n вершинами кількість ребер більша ніж (n 1)(n 2)/2, тоді

граф G зв’язний.

40. На множині вершин графа G =(V,E ) означимо відношення R: (v,w)R тоді і тільки тоді,

коли v і w зв’язані вершини. Довести, що R є відношенням еквівалентності на множині V.

Охарактеризувати класи еквівалентності за відношенням R.

41. Скільки існує попарно неізоморфних графів, які мають

(а) 6 вершин, 7 ребер і 2 компоненти зв’язності;

(б) 8 вершин, 6 ребер і 2 компоненти зв’язності;

(а) 8 вершин, 6 ребер і 3 компоненти зв’язності?

42. Побудувати всі попарно неізоморфні графи з шістьма вершинами, які мають

(а) 4 компоненти зв’язності;

(б) 3 компоненти зв’язності;

(в) одну компоненту зв’язності, 7 ребер і тільки 2 кінцеві вершини.

43. Довести, що будь-який граф може бути однозначно зображений у вигляді прямої суми

своїх зв’язних компонент.

44. Довести, що коли в графі G тільки дві вершини v і w мають непарні степені, тоді ці

вершини є зв’язаними в графі G.

45. Для графа G, зображеного на рис.5, визначити:

(а) відстані d (v1,v12), d (v2,v8), d (v10,v11);

(б) ексцентриситети всіх вершин;

(в) діаметр D(G );

(г) радіус R(G );

(д) центральні вершини;

(е) центр.

46. Чому дорівнюють діаметр і радіус

(а) повного графа Kn;

(б) повного двочасткового графа Kn,m?

47. Побудувати граф, центр якого

(а) складається тільки з однієї вершини;

(б) складається тільки з двох вершин;

(в) складається з трьох вершин і не збігається з множиною всіх вершин;

(г) збігається з множиною всіх вершин.

48. Довести, що для довільного зв’язного графа G =(V,E ) функція відстані d (v,w) задовольняє

три аксіоми метрики, тобто для будь-яких вершин v,w, uV виконується

1) d (v,w) 0; d (v,w)=0 тоді і тільки тоді, коли v=w;

2) d (v,w)=d (w,v);

67

3) d (v,w) d (v, u)+d (u,w).

49. Довести, що коли для вершин v і w виконується d (v,w)2, тоді існує вершина u така, що

d (v, u)+d (u,w)=d (v,w).

50. Довести, що вершина u належить найкоротшому простому ланцюгу між вершинами v і w

тоді і тільки тоді, коли d (v,w)=d (v, u)+d (u,w).

51. Довести, що в довільному зв’язному графі G із центром у вершині z існує шлях між

деякими вершинами v і w такий, що z середина цього шляху, тобто d (v,z)=d (z,w).

52. Довести, що для довільного графа G виконується R(G ) D(G ) 2R(G ).

53. Знайти граф G, в якого

(а) D(G )=R(G );

(б) D(G )=2R(G ).

54. Позначимо через (G ) найбільший зі степенів вершин графа G з n вершинами. Довести,

що n(G ) n+1(G )R(G)+1

.

55. Довести, що діаметр графа G дорівнює 1 тоді і тільки тоді, коли граф G повний.

56. Скільки автоморфізмів має граф Cn?

57. Довести, що в графі, який містить більше однієї вершини та не має нетривіальних

автоморфізмів,

(а) відстань між будь-якими кінцевими вершинами більша 2;

(б) існує вершина степеня 3 або більшого.

58. Довести, що для будь-якого графа G або він сам, або його доповнення G є зв’язним

графом.

59. Довести, що коли граф G незв’язний, тоді граф G зв’язний і D(G ) 2.

60. Нехай для діаметра зв’язного графа G виконується D(G )3. Довести, що граф G є

зв’язним і D(G ) 3.

61.Довести, що самодоповнювальний граф є завжди зв’язним.

62. Довести, що діаметр D(G ) довільного самодоповнювального графа G дорівнює або 2, або

3.

63. Довести, що для довільного графа G ранг його матриці суміжності A не менше ніж діаметр

D(G ).

64. Довести, що ранг матриці інцидентності зв’язного графа G з n вершинами дорівнює n 1.

65. Довести, що ранг матриці інцидентності графа G з n вершинами і k компонентами

зв’язності дорівнює nk.

66. Довести, що коли граф G зв’язний, тоді його реберний граф L(G ) також зв’язний.

67. Нехай G зв’язний граф. Визначити зв’язок між відстанню d (ei,ej) для довільних вершин

ei і ej реберного графа L(G ) та відстанями між кінцями ребер ei і ej в графі G.

68. Виразити кількість трикутників у реберному графі L(G ) через кількість трикутників у

графі G і степені його вершин.

69. Знайти умову, при виконанні якої зв’язний граф G має реберний граф L(G ),в якого степені

всіх вершин рівні між собою.

70. Довести, що зв’язний граф G є ізоморфним своєму реберному графу L(G ) тоді і тільки

тоді, коли G простий цикл.

71. Довести, що коли графи G1 і G2 ізоморфні, тоді графи L(G1) і L(G2) також ізоморфні. Чи

справедливе обернене твердження? (Розглянути графи K3 і K1,3).

72. Нехай G1 і G2 зв’язні графи, в яких реберні графи L(G1) і L(G2) ізоморфні. Довести, що

графи G1 і G2 ізоморфні, за винятком випадку, коли один із них K3, а другий K1,3.

73. Позначимо через Pk граф, множина вершин якого дорівнює Nk={1,2,...,k }, а множина ребер

E означається так:

E={ (i, j) | якщо i і j взаємно прості числа, i, j Nk }.

(а) Визначити матриці суміжності та побудувати діаграми для графів P5 і P7.

(б) Чи є граф Pk зв’язним?

(в) Довести, що для m < n граф Pm є підграфом графа Pn.

68

74. Нехай задано сім’ю графів F (G )={H1,H2,...,Hn}, в якій граф Hi одержано з n-вершинного

графа G вилученням вершини з номером i, i=1,2,...,n; n2. Зауважимо, що в графах Hi вершини

не відмічені. Довести, що за відомою сім’єю F (G ) можна

(а) визначити кількість ребер графа G;

(б) за допомогою кожного Hi знайти степінь відповідної вилученої вершини i;

(в) визначити для довільного графа L, який має не більше n1 вершини, чи є він підграфом

графа G;

(г) визначити, чи є граф G зв’язним;

(д) визначити граф G, якщо він не є зв’язним.

75. Нехай A матриця суміжності графа G. Довести, що елемент aij(k)

i-го рядка і j-го

стовпчика матриці A k дорівнює кількості маршрутів довжини k, які ведуть у графі G із

вершини з номером i у вершину з номером j.

76. Нехай A матриця суміжності графа G. Довести, що

(а) діагональний елемент aii(2)

матриці A2 дорівнює степеню вершини графа G із номером i;

(б) діагональний елемент aii(3)

матриці A3 дорівнює подвоєній кількості трикутників графа G,

які містять вершину з номером i.

(в) сума всіх діагональних елементів aii(3)

матриці A3 в шість разів перевищує кількість

трикутників у графі G.

77. Нехай A матриця суміжності зв’язного графа G. Довести, що відстань d (vi,vj) між

вершинами vi і vj (i j) дорівнює найменшому натуральному числу k, для якого елемент aij(k)

i-

го рядка і j-го стовпчика матриці Ak відмінний від 0.

78. Нехай A матриця суміжності графа G з n вершинами. Довести, що граф G буде зв’язним

тоді і тільки тоді, коли матриця Mn=In+A+A 2+...+A

n-1 не містить нульових елементів.

79. Нехай A матриця суміжності графа G. Довести, що граф G є двочастковим тоді і тільки

тоді, коли для довільного непарного числа n усі діагональні елементи матриці An дорівнюють

0.

4. Розділювальні вершини, мости, блоки

Вершина графа, вилучення якої збільшує кількість компонент зв’язності, називається

розділювальною вершиною або точкою зчленування графа.

Ребро графа, вилучення якого збільшує кількість компонент зв’язності, називається мостом

графа.

Блоком графа G називається його максимальний зв’язний підграф, який не має

розділювальних вершин, тобто такий зв’язний підграф графа G, що він не є власним

підграфом жодного іншого зв’язного підграфа, в якому немає розділювальних вершин, графа

G.

1. У графі G, зображеному на рис.5, знайти

(а) усі розділювальні вершини;

(б) усі мости;

(в) усі блоки;

(г) усі вершини, які не є розділювальними.

2. Довести, що будь-який нетривіальний зв’язний граф містить принаймні дві вершини, які не

є розділювальними.

3. Яку найбільшу та яку найменшу кількості розділювальних вершин може мати зв’язний граф

із n вершинами?

4. Нехай v вершина зв’язного графа G =(V,E ). Довести, що такі твердження є

рівносильними:

(1) v розділювальна вершина графа G;

(2) у графі G існують вершини u і w, відмінні від v, такі, що будь-який маршрут між u і w

проходить через вершину v;

(3) існує розбиття множини вершин V \{v} на підмножини V1 і V2 такі, що довільний шлях між

будь-якими вершинами u V1 і w V2 проходить через вершину v;

69

(4) у графі G існують такі суміжні з v вершини u і w, що будь-який маршрут між u і w

проходить через вершину v.

5. Довести, що якщо v розділювальна вершина графа G, то v не є розділювальною вершиною

в графі G .

6. Довести, що степені всіх вершин зв’язного графа G з n вершинами (n ), який не має

розділювальних вершин, більше 1.

7. Нехай G =(V,E ) зв’язний граф із n вершинами (n 3). Довести, що такі твердження

рівносильні:

(1) граф G не має розділювальних вершин;

(2) будь-які дві вершини графа G належать деякому простому циклу;

(3) будь-яка вершина та будь-яке ребро графа G належать деякому простому циклу;

(4) будь-які два ребра графа G належать деякому простому циклу;

(5) для будь-яких двох вершин v і w та будь-якого ребра e в графі G існує простий ланцюг, що

веде з v у w і містить ребро e;

(6) для будь-яких трьох вершин v, w та u в графі G існує простий ланцюг, що веде з v у w і

проходить через вершину u.

8. Довести, що реберний граф L(G ) зв’язного графа G, який не має розділювальних вершин, є

також зв’язним і не має розділювальних вершин.

9. Нехай e ребро зв’язного графа G =(V,E ). Довести, що такі твердження рівносильні:

(1) e міст графа G;

(2) ребро e не належить жодному простому циклу графа G;

(3) у графі G існують такі вершини v і w, що ребро e належить усім простим ланцюгам, які

ведуть із v у w;

(4) у графі G існують такі вершини v і w, що ребро e належить усім маршрутам, які ведуть із v

у w;

(5) якщо вершини v і w є кінцями ребра e, то v,e,w це єдиний простий ланцюг, що з’єднує

вершини v і w;

(6) існує таке розбиття множини вершин V на підмножини V1 і V2, що для будь-яких вершин

vV1 і wV2 ребро e належить довільному простому ланцюгу, що веде з v у w.

10. Яку найбільшу і яку найменшу кількості мостів може мати зв’язний граф G з n

вершинами?

11. Побудувати зв’язний граф, у якому кожне ребро є мостом.

12. Нехай G =(V,E ) зв’язний граф із n вершинами (n3). Довести, що такі твердження

рівносильні:

(1) граф G не має мостів;

(2) будь-які дві вершини графа G належать деякому циклу;

(3) будь-яка вершина та будь-яке ребро графа G належать деякому циклу;

(4) будь-які два ребра графа G належать деякому циклу;

(5) для будь-яких двох вершин v і w та будь-якого ребра e в графі G існує ланцюг, що веде з v

у w і містить ребро e;

(6) для будь-яких двох вершин v і w та будь-якого ребра e в графі G існує ланцюг, що веде з v

у w і не містить ребра e;

(7) для будь-яких трьох вершин v, w і u в графі G існує ланцюг, що веде з v у w і проходить

через вершину u.

13. Довести, що кубічний граф має розділювальну вершину тоді і тільки тоді, коли він має

міст.

14. Довести, що e є розділювальною вершиною в реберному графі L(G ) тоді і тільки тоді,

коли e є мостом у графі G і степені обох вершин ребра e більше 1.

15. Довести, що двочастковий кубічний граф не має мостів.

16. Нехай графи G1 і G2 мають по шість вершин і по вісім ребер кожен і не мають

розділювальних вершин. Граф G1 має тільки дві вершини степеня 2, а граф G2 тільки чотири

вершини степеня 3. Чи правильним є твердження, що такі графи G1 і G2 завжди

70

(а) ізоморфні;

(б) неізоморфні?

17. Графи G1 і G2 мають по шість вершин і по десять ребер кожен і не мають розділювальних

вершин. Одна з вершин у кожному графі має степінь s (1 s 5), а всі інші степінь t

(t < s). Довести, що графи G1 і G2 ізоморфні.

18. Граф G має шість вершин і дев’ять ребер і не має розділювальних вершин. Степені всіх

вершин графа G рівні між собою і він має тільки два трикутники. Побудувати граф G.

Визначити кількість його автоморфізмів.

19. Нехай G =(V,E ) зв’язний граф із n вершинами (n 3). Довести, що такі твердження

рівносильні:

(1) G блок;

(2) будь-які дві вершини графа G належать деякому спільному простому циклу;

(3) будь-яка вершина та будь-яке ребро графа G належать деякому спільному простому циклу;

(4) будь-які два ребра графа G належать деякому спільному простому циклу;

(5) для будь-яких двох вершин v і w та будь-якого ребра e графа G існує простий ланцюг, що

веде з v у w і містить ребро e;

(6) для довільних трьох різних вершин у графі G існує простий ланцюг, який веде від однієї з

цих вершин до іншої та проходить через третю вершину;

(7) для довільних трьох різних вершин у графі G існує простий ланцюг, який веде від однієї з

них до іншої і не проходить через третю вершину;

(8) будь-які два ребра графа G, які мають спільну вершину, належать деякому простому циклу.

20. Довести, що кожна вершина і кожне ребро довільного графа G належать деякому блоку

графа G.

21. Довести, що будь-які два блоки графа G мають не більше однієї спільної вершини.

22. Нехай вершина v належить двом різним блокам графа G. Довести, що v розділювальна

вершина графа G.

23. Довести, що будь-які дві розділювальні вершини графа G входять не більше ніж в один

спільний блок.

24. Довести, що вершина v є розділювальною вершиною графа G тоді і тільки тоді, коли вона

належить принаймні двом різним блокам графа G.

25. Довести, що будь-яке ребро графа G належить лише одному блоку графа G.

26. Довести, що для будь-яких двох вершин v і w з одного блоку B графа всі ребра довільного

простого ланцюга, що веде з v у w, також належать блоку B.

27. Нехай граф G має розділювальну вершину. Довести, що він містить принаймні два блоки.

28. Довести, що кожен блок нетривіального зв’язного графа містить принаймні одне ребро.

29. Довести, що два різні ребра e1 і e2 графа G належать одному блоку графа G тоді і тільки

тоді, коли вони містяться в деякому циклі графа G.

30. Довести, що в графі G, який є блоком і степені всіх вершин якого не менші 3, існує

вершина v, після вилучення якої отримуємо блок.

31. Довести, що коли в графі G немає циклів непарної довжини, тоді кожний блок у G є або

K1, або K2, або об’єднанням циклів парної довжини.

32. Позначимо через b(v) кількість блоків графа G =(V,E ), які містять вершину v. Довести, що

кількість блоків графа G дорівнює k + v V

(b(v) 1), де k число компонент зв’язності графа

G.

33. Позначимо через c(B ) кількість розділювальних вершин зв’язного графа G, які належать

блоку B графа G. Довести, що кількість розділювальних вершин зв’язного графа G дорівнює

(c(B ) 1)+1, де сума береться за всіма блоками B графа G.

34. Нехай A матриця суміжності зв’язного графа G з n вершинами. Якою є матриця A, якщо

(а) вершина з номером i є розділювальною вершиною;

(б) ребро між вершинами з номерами i та j є мостом?

35. Довести, що центр довільного графа G належить деякому блоку графа G.

71

36. Позначимо через l довжину найдовшого простого ланцюга, а через z довжину

найдовшого простого цикла графа G. Довести, що коли в графі G немає розділювальних

вершин, тоді z 2 > l.

37. Поліпшити нерівність з попередньої задачі, визначивши такий множник k, що z 2 kl.

5. Дерева

Ациклічний зв’язний граф називається деревом.

Незв’язний ациклічний граф називається лісом.

Кістяковим деревом зв’язного графа G =(V,E) називається дерево T=(V,ET), яке є підграфом

графа G і множина вершин якого збігається з множиною вершин графа G.

Кістяковим лісом довільного незв’язного графа називається об'єднання кістякових дерев всіх

його зв’язних компонент.

Цикломатичним числом графа G =(V,E), який має k компонент зв’язності, називається число

|E | |V |+k; цикломатичне число графа G позначається (G).

1. Побудувати всі попарно неізоморфні зв’язні графи без циклів із п’ятьма вершинами.

Скількі ребер мають ці графи?

2. Побудувати зв’язний граф із сімома вершинами й шістьма ребрами.

3. Чи може зв’язний граф із n вершинами та n1 ребром мати цикл? Відповідь обгрунтувати.

4. Довести, що для довільного графа T=(V,E ) з n вершинами (n 2) і m ребрами такі

твердження є рівносильними:

(1) T дерево (ациклічний зв’язний граф);

(2) T зв’язний граф і m=n 1;

(3) T ациклічний граф і m=n 1;

(4) для будь-яких вершин v і w в графі T існує тільки один простий ланцюг, що веде з v у w;

(5) T зв’язний граф, але після вилучення будь-якого ребра в ньому стає незв’язним;

(6) T ациклічний граф, але після проведення ребра між будь-якою парою несуміжних

вершин v і w у графі з’являється один простий цикл;

(7) T зв’язний граф, відмінний від Kn, і після проведення ребра між будь-якою парою

несуміжних вершин v і w у графі з’являється один простий цикл;

(8) T зв’язний граф і кожний його блок ізоморфний K2.

5. Довести, що будь-яке дерево є двочастковим графом. Які дерева є повними двочастковими

графами?

6. Побудувати всі попарно неізоморфні дерева з трьома, чотирма і п’ятьма вершинами.

7. Побудувати всі попарно неізоморфні дерева, які мають

а) 6 ребер та 3 кінцеві вершини;

б) 6 ребер та 4 кінцеві вершини;

в) 7 ребер та 3 кінцеві вершини;

г) 8 ребер та 3 вершини степеня 3.

8. Побудувати три попарно неізоморфні дерева, в яких для будь-якого k 0 кількість вершин

степеня k однакова.

9. Довести, що в дереві T=(V,E ) з n вершинами виконується v V

(v)=2(n 1).

10. Довести, що коли граф G з n вершинами має більше ніж n 1 ребро, тоді в графі G є

принаймні один цикл.

11. Довести, що будь-яке дерево з n вершинами (n 2) має принаймні дві кінцеві вершини.

12. Довести, що дерево має тільки дві кінцеві вершини тоді і тільки тоді, коли воно є простим

ланцюгом.

13. Довести, що після вилучення в дереві будь-якої кінцевої вершини отримуємо дерево.

14. Довести, що кількість кінцевих вершин у дереві з n вершинами, серед яких немає вершин

степеня 2, не менша від n/2+1.

72

15. Довести, що в дереві з n вершинами (n3), в якому найбільший степінь вершини дорівнює

s, кількість кінцевих вершин не перевищує числа (n(s 2)+2)/(s 1).

16. Довести, що в дереві T вершина v є розділювальною тоді і тільки тоді, коли (v) 2.

17. Нехай у графі G з n вершинами (n 3) кількість кінцевих вершин збігається з кількістю

ребер. Довести, що граф G або є незв’язним, або є деревом.

18. Яку найбільшу та яку найменшу кількості кінцевих вершин може мати дерево з n

вершинами? Яку структуру мають відповідні дерева?

19. Описати всі дерева, доповнення яких також є деревами.

20. Описати всі дерева, які є самодоповнювальними графами.

21. Довести, що в дереві T кожне ребро є мостом.

22. Довести, що ліс, який має n вершин і складається з k дерев, містить nk ребер.

23. Побудувати кістякові дерева для графів, зображених на рисунках 3 і 5.

24. Довести, що граф G є зв’язним тоді і тільки тоді, коли він має кістякове дерево.

25. Довести, що ребро зв’язного графа G, яке інцидентне кінцевій вершині, входить в усі

кістякові дерева графа G.

26. Довести, що будь-яке ребро зв’язного графа G є ребром деякого кістякового дерева графа

G.

27. Довести, що будь-який ациклічний підграф довільного графа G є підграфом деякого

кістякового лісу графа G.

28. Скільки ребер необхідно вилучити зі зв’язного графа, який має n вершин і m ребер, щоб

отримати його кістякове дерево?

29. Яку найбільшу кількість ребер можна вилучити з графа з nm вершинами, зображеного на

рис.6, щоб залишився зв’язний граф?

30. Нехай задано граф G =(V,E ), який має k компонент зв’язності. Довести, що для отримання

його кістякового лісу з графа G необхідно вилучити (G )=|E | |V |+k ребер ((G )

цикломатичне число графа).

31. Довести, що для довільного підграфа G графа G виконується (G ) (G ).

32. Довести, що цикломатичне число (G ) довільного графа G невід’ємне.

33. Довести, що цикломатичне число (G ) довільного графа G дорівнює сумі цикломатичних

чисел його зв’язних компонентів.

Рис.6

34. Довести, що для довільного графа G =(V,E ) з k компонентами зв’язності

виконується v V

((v)

2 — 1) = (G ) k.

35. Нехай (G ) цикломатичне число графа G. Довести, що

а) граф G є лісом тоді і тільки тоді, коли (G )=0;

б) граф G має тільки один простий цикл тоді і тільки тоді, коли (G )=1;

в) (G )=1 тоді і тільки тоді, коли в графі G є ребро, після вилучення якого отримуємо ліс.

г) кількість циклів у графі G не менша ніж (G ).

36. Довести, що центр будь-якого дерева складається з однієї або з двох суміжних вершин.

m

n

73

37. Довести, що центр дерева складається з однієї вершини, якщо діаметр дерева парне число,

і з двох суміжних вершин, якщо діаметр дерева число непарне.

38. Довести, що центр дерева T належить будь-якому простому ланцюгу максимальної

довжини в дереві T.

39. Довести, що радіус R (T) і діаметр D (T) довільного дерева T пов’язані співвідношенням

R (T)=]D (T)/2[.

40. Довести, що в дереві з непарним діаметром будь-які два прості ланцюги максимальної

довжини мають принаймні одне спільне ребро.

41. Обгрунтувати такий спосіб знаходження центральних вершин заданого дерева T.

Обираємо довільну кінцеву вершину й знаходимо одну з найвіддаленіших від неї вершин

вершину v (очевидно, що вершина v є також кінцевою). Відтак, знаходимо вершину w,

найбільш віддалену від v; будуємо простий ланцюг L із v у w. Це найдовший простий ланцюг у

дереві T. Якщо довжина L парна, то середня вершина в L єдина центральна вершина дерева

T. Якщо ж довжина L непарна, то обидві вершини середнього ребра в L є центральними для

дерева T.

42. Чи справедливим є твердження: якщо діаметр зв’язного графа G дорівнює k (k 3), то для

G існує кістякове дерево, діаметр якого також дорівнює k?

43. Для довільного k (k>2) побудувати граф, діаметр якого дорівнює k, а будь-яке його

кістякове дерево має діаметр 2k.

44. Довести, що для довільного зв’язного графа G з діаметром k існує кістякове дерево,

діаметр якого не перевищує 2k.

45. Довести, що діаметр дерева T з n+1 вершиною дорівнює 2 тоді і тільки тоді, коли T =K1,n.

46. Довести або спростувати такі твердження:

а) якщо діаметр зв’язного графа G з n+1 вершиною дорівнює 2, то K1,n буде кістяковим

деревом графа G;

б) якщо K1,n є кістякове дерево графа G, то D(G )=2.

47. Нехай T1=(V,E1) і T2=(V,E2) кістякові дерева зв’язного графа G =(V,E ). Довести, що для

будь-якого ребра e E1 дерева T1 існує ребро g E2 дерева T2 таке, що граф T=(V,(E1\{e}){g})

(тобто граф, який отримуємо після вилучення з T1 ребра e і додавання до нього ребра g) є

також кістяковим деревом графа G.

48. Довести, що довільне кістякове дерево T1 графа G можна перетворити в будь-яке інше

кістякове дерево T2 графа G, послідовно замінюючи одне ребро з T1 на ребро з T2 так, що на

кожному кроці отримуємо кістякове дерево графа G (див. попередню задачу).

49. Граф G з n вершинами і m ребрами називається збалансованим, якщо жоден його підграф

не має вершин степеня, більшого ніж 2m/n.

а) довести, що дерево з n вершинами не є збалансованим графом для n>2;

б) побудувати збалансований граф G, у якого m=n+3.

50. Довести, що дерева, які мають однакові кількості вершин і в яких попарно рівні відстані

між усіма кінцевими вершинами, є ізоморфними.

51. Нехай для деякого невідомого графа G задано сім’ю графів F(G )={H1,H2,...,Hn} (див.

задачу 3.74). Довести, що за відомою сім’єю F(G ) можна

а) визначити, чи є граф G деревом;

б) відновити (з точністю до ізоморфізму) граф G, якщо G дерево.

6. Планарність графів

Плоским графом називається граф, у діаграмі якого лінії, що відповідають ребрам,

перетинаються лише в точках, які відповідають вершинам графа.

Планарним графом називається граф G, ізоморфний деякому плоскому графу. Останній

називається плоскою картою графа G.

Внутрішньою гранню плоского зв’язного графа називається скінченна область площини, що

обмежена замкненим маршрутом графа і не містить усередині ні вершин, ні ребер графа.

74

Частина площини, яка складається з точок, що не належать жодній внутрішній грані,

називається зовнішньою гранню.

Множина всіх граней плоского зв’язного графа позначається P. Замкнений маршрут, що

обмежує грань, називається межею грані, а довжина цього маршруту степенем грані.

Степінь грані r P позначається r.

Для графа G означимо операцію підрозбиття його ребра e = (v,w) так: з графа G вилучаємо

ребро e, відтак додаємо нову вершину u та два нові ребра (v, u) і (u,w). Назвемо графи

гомеоморфними, якщо їх можна отримати з одного й того ж графа за допомогою

підрозбиття його ребер.

Максимальним планарним графом називається планарний граф, який при додаванні до нього

будь-якого ребра перестає бути планарним.

Плоский зв’язний граф, кожна грань якого (включаючи й зовнішню) обмежена трикутником,

називається триангуляцією.

1. Переконатись у тому, що всі графи, зображені на рис.2, є планарні. Побудувати для них

плоскі карти.

2. Показати, що всі графи, зображені на рис.7, планарні.

а) б) в)

Рис.7

3. Чи існує непланарний граф із чотирма вершинами?

4. Для яких n графи з 2n вершинами, зображені на рис.8, є планарні?

5. Довести, що будь-який підграф планарного графа є планарним.

6. Довести, що граф є планарним тоді і тільки тоді, коли кожна з його зв’язних компонент є

планарною.

7. Нехай граф G складається з двох зв’язних компонент G1=(V1,E1) і G2=(V2,E2), які є плоскими

графами. Довести, що граф G, отриманий із G злиттям двох довільних вершин v1V1 і v2V2 в

одну вершину v, є планарний і вершина v є розділювальною вершиною графа G.

а) б)

Рис.8

8. Показати, що для довільного плоского графа кожна точка площини, яка не лежить на ребрі,

належить тільки одній грані, а кожна точка ребра, відмінна від вершини графа, належить

тільки одній грані, якщо це ребро є мостом, і належить двом граням, якщо воно не є мостом.

9. Скільком граням може належати вершина степеня k плоского графа?

10. Довести, що для довільного планарного графа G =(V,E ) виконується r P

r=2|E |.

11. Довести, що будь-яке дерево є планарним графом. Скільки граней має дерево?

12. Чому дорівнює степінь єдиної грані дерева з n вершинами?

75

13. Довести, що для будь-якого зв’язного планарного графа G =(V,E ) виконується

|V | |E |+|P |=2 (теорема Ейлера).

14. Довести, що теорему Ейлера можна узагальнити для довільного планарного графа

G =(V,E ) так: |V ||E |+|P |=k+1, де

k кількість зв’язних компонент графа G.

15. Довести, що кількість граней будь-якої плоскої карти зв’язного планарного графа G з n

вершинами і m ребрами є величиною сталою для графа G і дорівнює mn+2.

16. Довести, що кількість внутрішніх граней довільного плоского графа G дорівнює

цикломатичному числу (G ) графа G.

17. Довести, що для зв’язного планарного графа G з n вершинами (n 3) і m ребрами

виконується нерівність m 3n 6.

18. Знайти зв’язний плоский граф із n вершинами і m ребрами, для якого m>3n6.

19. Чи існує планарний граф, який має:

(а) 7 вершин і 16 ребер;

(б) 8 вершин і 17 ребер?

20. Яку найбільшу кількість граней може мати плоский граф із п’ятьма вершинами?

Побудувати цей граф.

21. Чи існує плоский граф із шістьма вершинами, що має 9 граней?

22. Побудувати всі попарно неізоморфні плоскі графи з шістьма вершинами, що мають 8

граней.

23. Довести, що плоский кубічний граф, степені всіх граней якого не менші 5, має принаймні

20 вершин. Навести приклад такого графа.

24. Нехай G плоский зв’язний кубічний граф. Позначимо через gk кількість граней графа G

степеня k (k 3). Довести, що k 3

(6 k)gk=12.

25. Довести, що повний граф із п’ятьма вершинами K5 не є планарним.

26. Довести, що повний двочастковий граф K3,3 не є планарним.

27. Визначити, які з повних двочасткових графів Kn,m планарні.

28. Довести, що будь-який граф, гомеоморфний планарному графу, є планарним.

29. Довести, що гомеоморфність є відношенням еквівалентності на сукупності графів.

30. Довести, що для довільних гомеоморфних графів G1=(V1,E1) і G2=(V2,E2) виконується

|E1| |V1|=|E2| |V2|.

31. Довести, що гомеоморфні графи мають однакові цикломатичні числа.

32. Довести, що коли графи G1 і G2 гомеоморфні, тоді

(а) для кожного s (s 2) кількість вершин степеня s в обох графах однакова;

(б) існує взаємно однозначна відповідність між множинами простих циклів обох графів, при

якій кількість вершин степеня s у відповідних циклах однакова для всіх s 2.

33. Визначити, чи містять графи, зображені на рис.9, підграфи, гомеоморфні графу

(а) K4; (б) K5; (в) K3,3.

34. Побудувати граф із 6 вершинами та 12 ребрами, який містить одночасно підграфи,

гомеоморфні K5 і K3,3.

а) б) в)

Рис.9

76

35. Побудувати всі непланарні графи з 6 вершинами та 11 ребрами.

36. Для графа G означимо операцію стягування його вершин так: вилучаємо з графа будь-які

дві суміжні вершини, відтак додаємо нову вершину та з’єднуємо її ребрами з усіма тими

вершинами, з якими були з’єднані вилучені вершини.

Довести, що граф, який отримаємо в результаті застосування операцій стягування до

планарного графа, є планарним.

37. Довести, що граф, який містить підграф, гомеоморфний K5 або K3,3, не є планарний.

38. Довести, що граф, який містить підграф, котрий за допомогою операцій стягування може

бути перетворений у K5 або K3,3, не є планарний.

Застосувавши це твердження до графів, зображених на рис.10, показати, що вони не є

планарними.

а) б)

Рис.10

39. Яку найменшу кількість вершин потрібно вилучити з графів, зображених на рис.10, щоб

кожен із них перетворився в планарний граф.

40. Яку найменшу кількість ребер потрібно вилучити з графів, зображених на рис.10, щоб

вони стали планарними.

41. Довести, що в зв’язному плоскому графі з n вершинами і m ребрами, степені всіх граней

якого дорівнюють k, виконується

m(k2)=k (n2).

42. Довести, що коли у зв’язному плоскому графі з n вершинами і m ребрами довжини всіх

простих циклів не менше k, тоді m(k2) k (n2).

43. Довести, що для зв’язного плоского графа з n вершинами (n3) і m ребрами, який не

містить трикутників, виконується m 2n4.

44. Довести, що зв’язний плоский граф із n вершинами (n 2) не має розділювальних вершин

тоді і тільки тоді, коли межами всіх його граней є прості цикли.

45. Довести, що граф є планарним тоді і тільки тоді, коли кожний його блок є планарним.

46. Довести, що для довільного графа G з n вершинами при n<8 виконується: принаймні один

із графів G або G є планарним.

47. Побудувати граф G із вісьмома вершинами такий, що граф G і його доповнення G не є

планарними графами.

48. Довести, що графи G та G не можуть бути одночасно планарними, якщо кількість вершин

у них не менше 11.

49. Побудувати планарний граф із вісьмома вершинами, доповнення якого є також планарним

графом.

50. Довести, що в будь-якому планарному графі є принаймні одна вершина, степінь якої не

перевищує 5.

51. Довести, що в будь-якому планарному графі з n вершинами є принаймні чотири вершини,

степені яких не перевищують 5 (n 4).

52. Довести, що в будь-якому планарному графі є або вершина степеня менше 3, або грань

степеня менше 6.

77

53. Нехай зв’язний граф G з n вершинами (n>6) має таку властивість: після вилучення будь-

яких п’яти вершин із графа G отримуємо зв’язний граф. Довести, що G не є планарним.

54. Побудувати плоский граф, що має чотири вершини, степені яких не перевищують 5.

55. Довести, що граф є максимальним плоским графом тоді і тільки тоді, коли він є

триангуляцією.

56. Довести, що будь-яка триангуляція з n вершинами (n 3) містить 3n6 ребер і має 2n4

граней.

57. Довести, що в триангуляції з n вершинами степінь кожної вершини не менше 3, якщо

n 4.

58. Довести, що існує тільки одна триангуляція з чотирма вершинами.

59. Довести, що існує тільки одна триангуляція з п’ятьма вершинами.

60. Побудувати дві неізоморфні триангуляції з шістьма вершинами.

61. Чи можна до плоского графа G, зображеного на рис.11, додати нові ребра так, щоб

отриманий граф залишився плоским? Якщо можна, то які ребра і скільки?

а) б) в)

Рис.11

62. Довести, що для будь-якого планарного графа існує плоска карта, усі ребра якої є

відрізками прямих ліній.

63. Довести, що не існує плоского графа з п’ятьма гранями, будь-які дві грані якого мають

спільне ребро.

64. Довести, що будь-який плоский граф, який не містить вершин степеня 2, має грань,

степінь якої не більше 5.

65. Переконатись, що реберні графи графів K5 i K3,3 не є планарними.

66. Довести, що реберний граф L(G ) непланарного графа G є непланарним.

67. Чи для довільного планарного графа G завжди є планарним його реберний граф L(G )?

68. Довести, що реберний граф L(G ) планарний тоді і тільки тоді, коли граф G є планарним,

степені всіх його вершин не перевищують 4 і кожна вершина степеня 4 є розділювальною.

78

7. Розфарбування графів

Нехай G =(V,E) довільний граф, а Nk={1,2,...,k}.

Будь-яке відображення f:VNk , яке ставить у відповідність кожній вершині v V деяке

натуральне число f (v)Nk , називається розфарбуванням графа G. Число f (v) називається

кольором або номером фарби вершини v.

Розфарбування f графа G називається правильним, якщо для будь-яких його суміжних вершин

v і w виконується f (v) f (w).

Мінімальне число k, для якого існує правильне розфарбування графа G, називається

хроматичним числом графа G і позначається (G).

Мінімальним правильним розфарбуванням графа G називається правильне розфарбування для

k = (G).

Граф G називається критичним, якщо хроматичне число підграфа G', який отримується в

результаті вилучення будь-якої вершини з G, буде строго меншим ніж хроматичне число

графа G. Критичний граф G, в якого k=(G), називається k-критичним.

1. Знайти хроматичні числа та мінімальні правильні розфарбування графів, зображених на

рис.12.

а) б) в)

Рис.12

2. Визначити хроматичні числа графів, зображених на рис.7 і рис.10.

3. Визначити хроматичне число

(а) повного графа Kn;

(б) повного двочасткового графа Kn,m;

(в) довільного двочасткового графа;

(г) простого цикла довжини 2k;

(д) простого цикла довжини 2k+1, k N;

(е) дерева.

4. Чому дорівнює хроматичне число повного графа Kn, з якого вилучено одне ребро?

5. Довести, що для будь-якого графа G, який не є повним, існує таке правильне

розфарбування, що принаймні дві вершини графа G пофарбовані в один колір.

6. Довести, що хроматичне число графа G дорівнює 2 тоді і тільки тоді, коли граф G не

містить циклів непарної довжини.

7. Довести, що хроматичне число зв’язного планарного графа дорівнює 2 тоді і тільки тоді,

коли степені всіх його граней парні.

8. Знайти графи, які мають різні хроматичні числа і в яких

(а) кількість вершин степеня k однакова для всіх k 0;

(б) кількість простих циклів довжини l однакова для всіх l ;

(в) виконуються обидві умови з пунктів (а) і (б).

9. Довести, що для кожного графа G існує розбиття на два підграфи G1 i G2 такі, що

(G )=(G1)+(G2).

79

10. Довести, що коли для правильного розфарбування кожного з блоків графа G потрібно не

більше k фарб, тоді хроматичне число графа G не перевищує k.

11. Позначимо через (G ) найбільший зі степенів вершин графа G. Довести, що для будь-

якого графа G виконується нерівність (G ) 1+(G ).

12. Довести, що для графа G з n вершинами і m ребрами виконується (G ) n 2/(n

22m).

13. Довести, що для графа G з n вершинами, усі степені яких дорівнюють k, виконується

(G ) n/(nk).

14. Довести, що вершини довільного планарного графа можна правильно розфарбувати не

більше ніж у шість кольорів.

15. Довести, що для довільного планарного графа G виконується (G ) 5.

16. Побудувати плоский граф G з найменшою кількістю вершин такий, що (G )=4.

17. Довести, що для правильного розфарбування довільного кубічного графа достатньо

чотирьох фарб.

18. Нехай l довжина найдовшого простого ланцюга в графі G. Довести, що (G ) l +1.

19. Нехай p найбільше число, для якого в графі G існує підграф, ізоморфний графу Kp.

Довести, що (G ) p.

20. Нехай z довжина найдовшого простого циклу в графі G. Довести, що коли z непарне

число, тоді (G ) z+1.

21. Нехай будь-які два цикли непарної довжини в графі G мають спільну вершину. Довести,

що (G ) 5.

22. Вершини графа G =(V,E ) розташовано в порядку незростання їхніх степенів, тобто

(v1)(v2) ... (vn). Довести, що (G ) max1 i n

min { i, (vi )+1}.

23. Довести, що будь-який повний граф є критичним.

24. Довести, що простий цикл Cn є критичним графом тоді і тільки тоді, коли кількість його

вершин n є непарною.

25. Довести, що довільний критичний граф є зв’язним.

26. Довести, що критичний граф є блоком.

27. Знайти всі 2-критичні графи.

28. Довести, що граф G 3-критичний тоді і тільки тоді, коли він є простим циклом непарної

довжини.

29. Довести, що степені всіх вершин k-критичного графа G не менше k1.

30. Знайти 5-критичний граф із дев’ятьма вершинами.

31. Довести, що для хроматичних чисел графа G з n вершинами і його доповнення G

виконуються нерівності

(а) 2 n (G )+(G ) n+1;

(б) n (G )(G ) (n+1)2/4.

Навести приклади графів, для яких ці оцінки досяжні.

32. Довести, що в довільному правильному розфарбуванні реберного графа L(G ) будь-яка

вершина є суміжною не більше ніж з двома вершинами одного кольору.

8. Обходи графів

Цикл у графі називається ейлеровим, якщо він містить усі ребра графа. Граф, що має ейлерів

цикл, називається ейлеровим графом.

Ланцюг, який містить усі ребра графа, називається ейлеровим ланцюгом.

Гамільтоновим циклом графа називається простий цикл, що містить усі вершини графа.

Граф називається гамільтоновим, якщо для нього існує гамільтонів цикл.

1. Побудувати три попарно неізоморфні графи з вісьмома вершинами, які мають ейлерові

цикли.

2. Переконатись у тому, що графи, зображені на рис.13, ейлерові.

80

3. Довести, що зв’язний граф є ейлеровим тоді і тільки тоді, коли степені всіх його вершин

парні.

4. Довести, що зв’язний граф G =(V,E ) є ейлеровим тоді і тільки тоді, коли G можна подати у

вигляді об’єднання його підграфів, які є простими циклами.

5. Довести, що кожна вершина ейлерового графа належить деякому циклу цього графа.

а) б) в)

Рис.13

6. Довести, що зв’язний граф є ейлеровим тоді і тільки тоді, коли кожний його блок є

ейлеровим графом.

7. Визначити, які з повних графів Kn є ейлеровими.

8. Для яких значень n і m повний двочастковий граф Kn,m є ейлеровим?

9. Побудувати граф із вісьмома вершинами, який не має ейлерового циклу, але має ейлерів

ланцюг.

10. Довести, що множину ребер зв’язного графа, який має 2k вершин із непарними степенями,

можна розбити на k простих ланцюгів.

11. Довести, що зв’язний граф має ейлерів ланцюг тоді і тільки тоді, коли він має тільки дві

вершини з непарними степенями.

12. Довести, що хроматичне число (G ) триангуляції G дорівнює 3 тоді і тільки тоді, коли G

ейлерів граф.

13. На рис.14 зображено схеми музеїв, у яких вершинами є зали музеїв, а ребрами переходи

між ними. Визначити, з якого залу потрібно розпочати екскурсію і в якому завершити для

того, щоб провести відвідувачів по всіх залах, пройшовши по кожному з переходів один раз.

Знайти один із таких маршрутів.

а) б)

Рис.14

14. На рис.15 зображено лабіринт. Знайти у ньому такий маршрут, щоб розпочавши шлях з

якоїсь кімнати, пройти по одному разу через усі двері й повернутись у початкову точку.

15. Знайти в графах, зображених на рис.11, циклічні маршрути, які містять усі ребра цих

графів двічі.

16. Довести, що для довільного зв’язного графа існує циклічний маршрут, який починається з

будь-якої вершини і містить усі ребра графа, причому кожне з них двічі.

81

Рис.15

17. Довести, що для довільного зв’язного графа існує маршрут, який містить усі ребра графа,

причому кожне з них не більше двох разів.

18. Довести, що не для всіх зв’язних графів існує циклічний маршрут, який містить кожне

ребро графа тричі. Сформулювати умови існування такого маршруту.

19. Знайти гамільтонові цикли в графах, зображених на рис.16.

а) б)

Рис.16

20. Довести, що в повному графі Kn існує гамільтонів цикл для довільного n 3.

21. Довести, що в повному двочастковому графі Kn,n існує гамільтонів цикл для довільного

натурального n.

22. Для яких значень n і m повний двочастковий граф Kn,m є гамільтоновим?

23. Занумеруємо вершини графа Kn.

(а) Скільки різних ейлерових циклів має цей граф?

(б) Скільки різних гамільтонових циклів має цей граф?

24. Довести, що в будь-якому гамільтоновому графі немає розділювальних вершин.

25. Довести, що коли зв’язний граф G не має розділювальних вершин, тоді або граф G має

гамільтонів цикл, або довжина k його найдовшого простого циклу задовольняє нерівність

k 2s1, де s1 найменший степінь вершини графа G.

26. Довести, що коли зв’язний граф G не має розділювальних вершин, тоді або граф G має

гамільтонів цикл, або довжина k його найдовшого простого циклу задовольняє нерівність

k s1+s2, де s1 i s2 два найменші значення степенів вершин графа G.

27. Нехай для довільних несуміжних вершин v i w зв’язного графа G з n вершинами

виконується (v)+(w) n. Довести, що граф G гамільтонів.

28. Довести, що граф G з n вершинами є гамільтоновим, якщо для кожної пари його вершин v

i w виконується (v)+(w) n1.

29. Нехай у графі G з n вершинами існує пара несуміжних вершин v i w така, що (v)+(w) n.

Позначимо через G граф, який отримано додаванням до графа G ребра (v,w). Довести, що

граф G є гамільтоновим тоді і тільки тоді, коли граф G гамільтонів.

30. Нехай для будь-якої вершини v зв’язного графа G з n вершинами (n 3) виконується

(v) n/2. Довести, що граф G гамільтонів.

31. Довести, що будь-який граф G з n вершинами (n 3) і m ребрами, для якого виконується

m (n1)(n2)/2+2, є гамільтоновим.

82

32. Довести, що граф, який має дві несуміжні вершини степеня 3, а всі інші вершини степеня

не більше 2, не має гамільтонового циклу.

33. Навести приклади графа, який є ейлеровим, але не є гамільтоновим, а також

гамільтонового графа, який не є ейлеровим.

34. Охарактеризувати графи, в яких ейлерів цикл є одночасно й гамільтоновим.

35. Охарактеризувати графи, які є одночасно ейлеровими і гамільтоновими.

36. Яким повинен бути граф G, щоб його реберний граф L(G ) був ейлеровим?

37. Довести, що коли граф G ейлерів, тоді реберний граф L(G ) є ейлеровим і гамільтоновим

графом.

38. Довести, що коли G гамільтонів граф, тоді реберний граф L(G ) є також гамільтоновим

графом.

39. Побудувати граф, який не має ейлерового циклу, але такий, що його реберний граф L(G )

(а) ейлерів;

(б) гамільтонів.

40. Побудувати граф G, який не має гамільтонового циклу, але такий, що його реберний граф

L(G ) є гамільтоновим.

41. Довести, що реберний граф L(G ) є гамільтоновим тоді і тільки тоді, коли граф G має

простий цикл, який містить принаймні по одній вершині з кожного ребра графа G.

42. Довести, що для зв’язного графа G реберний граф L(G ) є ейлеровим тоді і тільки тоді,

коли степені всіх вершин графа G мають однакову парність.

43. Побудуємо граф G з 64 вершинами, які взаємно однозначно відповідають клітинкам

шахівниці. Вершини vi i vj з’єднаємо ребром, якщо з клітинки vi можна перейти на клітинку vj

одним ходом

(1) коня;

(2) тури;

(3) короля;

(4) ферзя.

Визначити для кожного з цих графів

(а) найменший і найбільший степені вершин;

(б) кількість ребер;

(в) найдовший простий ланцюг і найдовший простий цикл;

(г) радіус і діаметр.

Дослідити, чи є цей граф

(д) зв’язним;

(е) планарним;

(є) ейлеровим;

(ж) гамільтоновим.

83

9. Орієнтовані графи

Орієнтованим графом або орграфом G називається пара множин (V,E), де Е V V.

Елементи множини V називаються вершинами орграфа G, а елементи множини Е дугами

орграфа G = (V,E). Отже, дуга це впорядкована пара вершин. Відповідно, V називається

множиною вершин і Е множиною дуг орграфа G.

Якщо е= (v,w) дуга, то вершина v називається початком, а вершина w кінцем дуги е.

Кажуть, що дуга е веде з вершини v у вершину w або виходить із v і заходить у w. Дугу е та

вершини v і w називають інцидентними між собою, а вершини v i w суміжними.

Дуга (v,v), в якій початок і кінець збігаються, називається петлею. Надалі розглядатимемо

тільки орграфи без петель.

Як і звичайний граф, орграф G = (V,E ) може бути заданий шляхом переліку елементів

скінченних множин V i E, діаграмою або за допомогою матриць.

Діаграма орграфа відрізняється від діаграми звичайного графа тим, що дуги орграфа

зображаються напрямленими лініями (відрізками або кривими), що йдуть від початку до

кінця дуги. Напрямок лінії позначається стрілкою.

Занумеруємо всі вершини орграфа G =(V,E ) натуральними числами від 1 до n; дістанемо

множину вершин V у вигляді {v1,v2,...,vn}. Матрицею суміжності А орграфа G називається

квадратна матриця порядку n, в якій елемент і-го рядка і j-го стовпчика

1, якщо (vi,vj)E ;

aij =

0, у противному разі.

Занумеруємо всі вершини орграфа G =(V,E) числами від 1 до n, а дуги числами від 1 до m.

Матрицею інцидентності В орграфа G називається nm-матриця, в якій елемент і-го рядка і

j-го стовпчика

1, якщо вершина vi є початком дуги ej ;

bij = 1, якщо вершина vi є кінцем дуги ej ;

0, якщо вершина vi і дуга ej неінцидентні.

Орграфи G1= (V1,E1) i G2= (V2,E2) називаються ізоморфними, якщо існує взаємно однозначне

відображення множини V1 на множину V2 таке, що дуга (v,w)Е1 тоді і тільки тоді, коли

дуга ((v),(w))Е2.

Півстепенем виходу вершини v орграфа G називається кількість дуг орграфа G, початком

яких є вершина v; позначається +(v). Півстепенем заходу вершини v орграфа G називається

кількість дуг орграфа G, кінцем яких є вершина v; позначається —

(v).

Маршрутом або шляхом в орграфі G =(V,E) називається послідовність його вершин і дуг

v1, e1, v2, e2, … , ek, vk+1 (2)

така, що ei=(vi,vi+1), i=1,2,...,k. Кажуть, що цей маршрут веде з вершини v1 у вершину vk+1.

Число k дуг у маршруті (2) називається його довжиною.

Маршрут, в якому всі дуги попарно різні, називається ланцюгом. Маршрут, в якому всі

вершини попарно різні, називається простим ланцюгом. Маршрут (2) називається замкненим

(або циклічним), якщо v1=vk+1. Замкнений ланцюг називається циклом, а замкнений простий

ланцюг простим циклом або контуром.

Орграф називається ациклічним (або безконтурним), якщо він не має жодного циклу.

Якщо існує маршрут, який веде з вершини v у вершину w, то кажуть, що вершина w є

досяжною з вершини v. У цьому випадку відстанню d(v,w) від вершини v до вершини w

називається довжина найкоротшого маршруту, що веде з v y w. Відстань між вершинами v i

w, які є недосяжними одна з одної, позначається символом .

Множину всіх вершин, досяжних із даної вершини v, позначатимемо D(v).

Вершина v орграфа G називається джерелом, якщо з v є досяжною будь-яка інша вершина

орграфа G. Вершина w називається стоком, якщо вона є досяжною з будь-якої іншої вершини

орграфа G.

84

Вершина v орграфа G називається тупиковою, якщо жодна з вершин орграфа G не є

досяжною з v. Вершина v орграфа G називається недосяжною, якщо вона не є досяжною з

жодної вершини орграфа G.

Повним орграфом (або турніром) називається орграф G, в якому будь-які дві вершини є

інцидентними одній і тільки одній дузі.

Існують тільки два повні орграфи з трьома вершинами (див. рис.17). Перший із них

називається трикутником (або циклічною трійкою), другий транзитивною трійкою.

Послідовність (2) називається напівмаршрутом, якщо кожна дуга еі цієї послідовності є

такою, що або еi=(vi,vi+1), або ei=(vi+1,vi). (Можна вважати, що при побудові напівмаршруту

ми ігноруємо орієнтацію дуг орграфа). Аналогічно означаються напівланцюг, напівцикл і

напівконтур.

а) б)

Рис.17

Орграф називається сильно зв’язним, якщо будь-які дві його вершини є досяжними одна з

одної. Орграф називається однобічно зв’язним, якщо для будь-яких двох його вершин

принаймні одна з них є досяжною з іншої. Орграф називається слабо зв’язним, якщо для будь-

яких двох його вершин існує напівмаршрут, що веде з однієї вершини в іншу.

Орграф, в якому є джерело і немає жодного напівконтура, називається кореневим деревом.

Вхідне дерево це орграф, який має стік і не має жодного напівконтура.

Орграф називається функціональним, якщо кожна його вершина має півстепінь виходу,

рівний 1. Орграф називається ін’єктивним, якщо півстепінь заходу кожної його вершини

дорівнює 1.

Найменша множина вершин, з якої є досяжними всі вершини G, називається вершинною

базою орграфа G.

1-базою (ядром) орграфа G називається найменша множина вершин В така, що вершини

множини В є попарно несуміжними і будь-яка вершина орграфа G або належить В, або є

суміжною з деякою вершиною з В.

Ейлеровим контуром в орграфі G називається контур, що містить всі дуги орграфа G.

Ейлеровим орграфом називається орграф, в якому є ейлерів контур. Ейлеровим ланцюгом

називається ланцюг, що містить усі дуги орграфа.

Гамільтоновим контуром називається контур, який містить усі вершини орграфа. Орграф,

який має гамільтонів контур, називається гамільтоновим орграфом. Простий ланцюг, що

містить усі вершини орграфа, називається гамільтоновим.

Орграф G = (V,E ) називається транзитивним, якщо з умов (v,w)Е і (w, u)Е випливає (v,

u)Е.

Реберним орграфом L(G) орграфа G = (V,E) називається орграф, множиною вершин якого є

множина дуг Е орграфа G, а вершини е1 і е2 з’єднуються дугою (е1,е2) в L(G), якщо дуги е1 і е2

утворюють маршрут у G (тобто кінець дуги е1 збігається з початком дуги е2 в орграфі G).

1. Нехай задано орграф G =(V,E ):

(а) V ={1,2,3,4,5}, E ={(1,3),(2,1),(2,5),(3,4),(4,2),(4,5)};

(б) V ={a,b,c,d}, E ={(a,c),(a,d),(b,a),(b,d),(c,b),(d,c)};

(в) V ={A,B,C,D,F}, E ={(A,B),(B,A),(C,F),(D,C),(D,F),(F,A)}.

Побудувати діаграму, матриці суміжності та інцидентності для кожного із заданих орграфів.

85

2. Нехай V ={a,b,c,d,e}. Орграф G = (V,E ) задано за допомогою матриці суміжності A.

(а) A=

0011010111010010110000000

(б) A=

0100100011110100000111000

Визначити множину дуг E орграфа G. Побудувати діаграму та матрицю інцидентності орграфа

G.

3. Орграф G = (V,E ) задано його діаграмою (рис.18).

а) б)

Рис.18

Визначити множину вершин V і множину дуг E, матриці суміжності та інцидентності орграфа

G.

4. Для орграфа, зображеного на рис.19, визначити

(а)півстепені виходу та півстепені заходу для кожної вершини;

(б) джерела та стоки;

(в) кількість шляхів із вершини 1 у вершину 10;

(г) відстань d (1,10) від вершини 1 до вершини 10;

(д) недосяжні вершини;

(е) тупикові вершини;

(є) матрицю інцидентності;

(ж) матрицю суміжності.

5. Побудувати всі попарно неізоморфні орграфи, які містять

(а) 3 вершини і 3 дуги;

(б) 3 вершини і 4 дуги;

(в) 4 вершини і 3 дуги.

Визначити серед них сильно зв’язні, слабо зв’язні та однобічно зв’язні орграфи.

6. Визначити кількість попарно неізоморфних орграфів із n вершинами для (а) n=2; (б) n=3;

(в) n=4.

Рис.19

7. Побудувати орграф із п’ятьма вершинами, який

(а) має два стоки й одне джерело;

(б) не має ні стоків, ні джерел.

8. Як за допомогою матриці інцидентності орграфа визначити

2

3

4 5

1

E F

D

B

C A

9

4

7

8

10 6 5 3

1

2

86

(а) півстепені виходу та півстепені заходу кожної вершини;

(б) недосяжні вершини;

(в) тупикові вершини;

(г) чи є орграф повним?

9. Як за допомогою матриці суміжності орграфа визначити

(а) півстепені виходу та півстепені заходу кожної вершини;

(б) недосяжні вершини;

(в) тупикові вершини;

(г) чи є орграф повним?

10. Довести, що для довільного орграфа G = (V,E ) виконується

(а) v V

+(v) = |E |;

(б) v V

+(v) =

v V

—

(v).

11. Чи існує орграф із трьома вершинами, в якого півстепені виходу вершин дорівнюють 2, 2 і

0, а відповідні півстепені заходу 2, 1 і 1?

12. Побудувати всі попарно неізоморфні повні орграфи з трьома й чотирма вершинами.

Визначити серед них сильно зв’язні, слабо зв’язні та однобічно зв’язні орграфи.

13. Побудувати всі попарно неізоморфні повні орграфи з п’ятьма вершинами, які містять

принаймні одне джерело та принаймні один стік.

14. Побудувати повний орграф із шістьма вершинами.

15. Проведено турнір в одне коло (кожен учасник зустрівся з усіма іншими по одному разу)

серед n баскетбольних команд.

Визначити, скільки команд можуть

(а) не мати жодної поразки;

(б) не мати жодної перемоги.

16. Довести, що в повному орграфі завжди є джерело.

17. Довести, що в повному орграфі завжди є стік.

18. Довести, що в повному орграфі може бути не більше однієї недосяжної вершини.

19. Довести, що в повному орграфі може бути не більше однієї тупикової вершини.

20. Довести, що для довільного повного орграфа G = (V,E ) з n вершинами виконується

(а) i

n

1

+(vi) = n(n 1)/2;

(б) i

n

1

+(vi) =

i

n

1

(n 1+(vi));

(в) i

n

1

(+(vi))

2 =

i

n

1

(—

(vi))2;

(г) i

n

1

(+(vi))

2 =

i

n

1

(n 1+(vi))

2.

21. Довести, що коли в повному орграфі є принаймні дві вершини з однаковими півстепенями

виходу, тоді у цьому орграфі знайдуться три вершини, які є вершинами трикутника.

22. Довести, що в будь-якому повному орграфі існує простий ланцюг, який приходить через

усі вершини орграфа.

23. Довести, що транзитивний повний орграф є ациклічним.

24. Нумерацією орграфа G = (V,E ) з n вершинами називатимемо взаємно однозначне

відображення f :VNn, яке кожній вершині vV ставить у відповідність натуральне число f (v)

із множини Nn={1,2,...,n}.

87

Довести, що для довільного ациклічного орграфа G = (V,E ) існує нумерація f, яка задовольняє

умову: для будь-якої пари різних вершин v,wV таких, що f (v)<f (w) виконується (v,w)E.

25. Нехай f нумерація ациклічного орграфа G = (V,E ), яка задовольняє умову попередньої

задачі.

(а) Чи справедливо, що з нерівності f (v)<f (w) випливає +(v)

+(w), v,w V?

(б) Чи є така нумерація єдиною для орграфа G ?

26. Довести, що для ациклічного орграфа G = (V,E ) існує нумерація f така, що для будь-якої

дуги (v,w)E виконується f (v)<f (w). Така нумерація називається правильною нумерацією або

топологічним сортуванням вершин орграфа G.

27. Довести, що для транзитивного повного орграфа завжди існує правильна нумерація.

28. Довести, що нетривіальний транзитивний повний орграф не є сильно зв’язним.

29. Довести, що в будь-якому сильно зв’язному повному орграфі з n вершинами існує контур

довжини k для довільного k =3,4,...,n.

30. Довести, що в будь-якому повному сильно зв’язному орграфі з n вершинами для довільної

його вершини v і будь-якого k =3,4,...,n існує контур довжини k, який містить вершину v.

31. Довести, що для сильної зв’язності повного орграфа необхідно і достатньо, щоб він мав

контур, який проходить через усі його вершини.

32. Нехай v вершина повного орграфа G, яка має найбільший півстепінь виходу в орграфі G.

Довести, що відстань від вершини v до будь-якої іншої вершини орграфа G дорівнює або 1,

або 2.

33. Нехай G повний орграф із n вершинами та s1, s2, ... , sn набір півстепенів виходу всіх

його вершин такий, що s1 s2 ... sn.

Довести, що

(а) i

n

1

si = n(n 1)/2;

(б) i

n

1

si k(k 1)/2 для всіх k =1,2,...,n 1, причому строга нерівність для всіх k =1,2,...,n 1

має місце тоді і тільки тоді, коли G є сильно зв’язним;

(в) (k 1)/2 sk k(k 1)/2 для всіх k =1,2,...,n;

(г) G є транзитивним тоді і тільки тоді, коли sk=k 1 для всіх k =1,2,...,n.

34. Довести, що коли з повного сильно зв’язного орграфа G з n вершинами (n 4) вилучити

будь-яку вершину, отримаємо або сильно зв’язний орграф, або орграф, який може бути

перетворений у сильно зв’язний після додавання лише однієї відповідної дуги.

35. Довести, що кількість транзитивних трійок у повному орграфі G з n вершинами дорівнює

i

n

1

+(vi)(

+(vi) 1)/2.

36. Довести, що кількість трикутників у будь-якому повному орграфі G з n вершинами не

перевищує n(n21)/24, якщо n непарне й не перевищує n(n

24)/24, якщо n парне.

37. Нехай в орграфі G вершина w є досяжною з вершини v, а вершина u - з вершини w.

Довести, що вершина u є досяжною з v.

38. Довести, що коли в орграфі G вершина w є досяжною з вершини v, а вершина u з

вершини w, тоді d(v,w)+d(w, u) d(v, u).

39. Довести, що в орграфі G вершина w є досяжною з вершини v тоді і тільки тоді, коли D

(w) D (v).

40. Довести, що орграф G сильно зв’язний тоді і тільки тоді, коли для будь-якої пари його

вершин v i w виконується D (w)=D (v).

41. Довести, що вершина v орграфа G = (V,E ) є джерелом тоді і тільки тоді, коли D (v)=V.

42. Довести, що вершина v орграфа G = (V,E ) є стоком тоді і тільки тоді, коли для довільної

вершини wV виконується vD (w).

88

43. Довести, що будь-який сильно зв’язний орграф є

(а) однобічно зв’язним;

(б) слабо зв’язним.

44. Довести, що однобічно зв’язний орграф є слабо зв’язним.

45. Побудувати орграф із трьома вершинами, який

(а) є слабо зв’язним, але не є однобічно зв’язним;

(б) є однобічно зв’язним, але не є сильно зв’язним.

46. Довести, що для слабо зв’язного орграфа G з n вершинами і m дугами виконується

n1 m (n1)2, якщо G не є сильно зв’язним орграфом.

47. Довести, що для сильно зв’язного орграфа G з n вершинами і m дугами виконується

n m n(n1).

48. Довести, що будь-який маршрут з вершини v у вершину w в орграфі G містить простий

ланцюг, що веде з v у w.

49. Довести, що будь-який замкнений маршрут в орграфі G містить простий цикл.

50. Довести, що будь-який замкнений маршрут непарної довжини в орграфі G містить

простий цикл непарної довжини.

51. Довести, що будь-яка дуга циклу в орграфі G належить деякому простому циклу, що

міститься в цьому циклі.

52. Довести, що вершини v i w орграфа G є взаємно досяжними (тобто w є досяжною з v, а v

з w) тоді і тільки тоді, коли вони обидві належать деякому замкненому маршруту орграфа G.

53. Довести, що орграф G є сильно зв’язним тоді і тільки тоді, коли у ньому є замкнений

маршрут, який проходить через усі вершини орграфа G.

54. Чи можна в попередньому твердженні замінити слова “замкнений маршрут” на “цикл”?

55. Довести, що орграф G є сильно зв’язним тоді і тільки тоді, коли в ньому є замкнений

маршрут, який містить кожну дугу орграфа G принаймні один раз.

56. Довести, що орграф сильно зв’язний тоді і тільки тоді, коли він слабо зв’язний і кожна

його дуга належить деякому циклу.

57. Довести, що орграф G = (V,E ) сильно зв’язний тоді і тільки тоді, коли для будь-якого

розбиття множини вершин V на дві підмножини V1 i V2 існує принаймні одна дуга (v,w)E

така, що vV1 i wV2 і принаймні одна дуга (u,z)E така, що uV2 i zV1.

58. Довести, що орграф G є однобічно зв’язним тоді і тільки тоді, коли в ньому є маршрут, що

проходить через усі вершини орграфа G.

59. Довести, що орграф G є слабо зв’язним тоді і тільки тоді, коли в ньому є напівмаршрут, що

проходить через усі вершини.

60. Спростувати таке твердження: якщо півстепені виходу і півстепені заходу будь-якої

вершини орграфа додатні й парні, то кожна вершина цього орграфа належить деякому

контуру.

61. Довести, що коли в орграфі G не більше шести вершин і всі їхні півстепені виходу і

півстепені заходу додатні та парні, тоді кожна вершина належить деякому контуру.

62. Чи справедливим є таке твердження: якщо для всіх вершин v орграфа G виконується

+(v)>0 i

—(v)>0, то кожна вершина орграфа G належить принаймні одному контуру?

63. Нехай орграф G = (V,E ) є принаймні слабо зв’язним. Для множини вершин V ={v1,v2,...,vn}

виконується: n 2,

+(v1)

—(v1)=1,

+(v2)

—(v2)= 1 i

+(vi)=

—(vi), i=3,4,...,n. Довести, що в орграфі G існує

ланцюг, який веде з вершини v1 у вершину v2 і містить усі дуги орграфа G.

64. Нехай G повний сильно зв’язний орграф із n вершинами, n 4. Довести, що в G є

принаймні дві вершини, після вилучення кожної з яких отримуємо орграфи, що є сильно

зв’язними.

65.Орієнтацією графа G називається орграф G, який отримуємо приписуванням деякої

орієнтації кожному ребру графа G.

Довести, що для графа G існує сильно зв’язна орієнтація тоді і тільки тоді, коли граф G

зв’язний і не має мостів.

89

66. Довести, що для довільного графа G існує орієнтація така, що для будь-якої її вершини v

виконуватиметься |+(v)

—(v)|1.

67. Довести, що в довільній орієнтації графа G існує маршрут довжини (G )1.

68. Довести, що для довільного графа G існує ациклічна орієнтація.

69. Довести, що будь-який повний орграф або є сильно зв’язним, або може бути

перетворений у сильно зв’язний зміною орієнтації лише однієї дуги.

70. Нехай орграф G є слабо зв’язним, але не є однобічно зв’язним. Довести, що в G не існує

такої вершини, після вилучення якої отримуємо сильно зв’язний орграф.

71. Довести, що коли для кожної вершини v орграфа G виконується +(v)>0, тоді в орграфі G є

принаймні один контур.

72. Довести, що в безконтурному орграфі завжди існує принаймні одна вершина з нульовим

півстепенем виходу (тупикова вершина).

73. Нехай для кожної вершини v орграфа G виконується

—

(v)> 0. Довести, що в орграфі G є принаймні один контур.

74. Довести, що в безконтурному орграфі завжди існує принаймні одна вершина з нульовим

півстепенем заходу (недосяжна вершина).

75. Довести, що такі твердження є рівносильними:

(1) орграф G не має контурів;

(2) кожний маршрут у G є ланцюгом;

(3) вершини орграфа G можна упорядкувати так, що його матриця суміжності буде верхньою

трикутною матрицею.

76. Побудувати всі кореневі дерева з чотирма і п’ятьма вершинами.

77. Побудувати всі кореневі дерева з шістьма вершинами, які не мають ланцюгів довжини

більше ніж 3.

78. Довести, що слабо зв’язний орграф G буде кореневим деревом тоді і тільки тоді, коли

тільки одна його вершина має нульовий півстепінь заходу, а в усіх інших вершин півстепінь

заходу дорівнює 1.

79. Довести, що слабо зв’язний орграф G буде вхідним деревом тоді і тільки тоді, коли тільки

одна його вершина має нульовий півстепінь виходу, а в усіх інших вершин півстепінь виходу

дорівнює 1.

80. Довести, що для слабо зв’язного орграфа G такі твердження є рівносильними:

(1) G функціональний орграф;

(2) у G є тільки один контур такий, що після вилучення його дуг отримуємо орграф, в якому

кожна слабо зв’язна компонента є вхідним деревом;

(3) у G є тільки один контур такий, що після вилучення будь-якої його дуги отримуємо вхідне

дерево.

81. Довести, що для слабо зв’язного орграфа G такі твердження є рівносильними:

(1) G ін'єктивний орграф;

(2) у G є тільки один контур такий, що після вилучення його дуг отримуємо орграф, в якому

кожна слабо зв’язна компонента є кореневим деревом;

(3) у G є тільки один контур такий, що після вилучення будь-якої його дуги отримуємо

кореневе дерево.

82. Довести, що будь-який безконтурний орграф має єдину вершинну базу, яка складається з

усіх недосяжних вершин.

83. Довести, що будь-який безконтурний орграф має 1-базу.

84. Довести, що будь-який орграф, в якому немає контурів непарної довжини, має 1-базу.

85. Нехай A матриця суміжності орграфа G. Довести, що елемент aij(k)

i-го рядка та j-го

стовпчика матриці Ak дорівнює кількості шляхів довжини k, які ведуть в орграфі G із вершини

з номером i у вершину з номером j.

86. Довести, що вершина з номером j є досяжною з вершини з номером i в орграфі G тоді і

тільки тоді, коли елемент aij(k)

k-го степеня матриці суміжності A орграфа G більше 0 для

деякого k.

90

87. Нехай A матриця суміжності орграфа G. Довести, що відстань d (vi,vj) від вершини vi з

номером i до вершини vj з номером j (i j) в орграфі G дорівнює найменшому натуральному

числу k, для якого елемент aij(k)

i-го рядка та j-го стовпчика матриці Ak більше 0, і дорівнює ,

якщо таких чисел не існує.

88. Довести, що стовпчики матриці інцидентності орграфа G, які відповідають дугам деякого

циклу в G, є лінійно залежними.

89. Нехай A матриця інцидентності орграфа G = (V,E ). Довести, що підмножина дуг E1E

належить простому напівциклу тоді і тільки тоді, коли множина стовпчиків S матриці A, які

відповідають дугам з E1, є лінійно залежною, а будь-яка власна підмножина множини S є

лінійно незалежною.

90. Довести, що визначник будь-якої квадратної підматриці матриці інцидентності орграфа G

дорівнює або 0, або 1, або 1.

91. Довести, що слабо зв’язний орграф G = (V,E ) є ейлеровим тоді і тільки тоді, коли в будь-

якої його вершини півстепінь виходу дорівнює півстепеню заходу.

92. Довести, що слабо зв’язний орграф G має ейлерів ланцюг тоді і тільки тоді, коли він має

дві такі вершини v i w, що

+(v)=

—(v)+1 і

+(w)=

—(w)1, а для всіх інших вершин u орграфа G виконується

+(u)=

—

(u).

93. Нехай в орграфі G з n вершинами для будь-яких двох несуміжних вершин v i w

виконується нерівність

+(v)+

—(v)+

+(w)+

—(w) 2n3. Довести, що в орграфі G є гамільтонів ланцюг.

94. Довести, що повний орграф є сильно зв’язним тоді і тільки тоді, коли він є гамільтоновим.

95. Довести, що в будь-якому повному орграфі існує гамільтонів ланцюг.

96. Довести, що транзитивний повний орграф має єдиний гамільтонів ланцюг.

97. Довести, що кількості h i h1 гамільтонових ланцюгів у повному орграфі G і повному

орграфі G , який отримуємо з G зміною орієнтації однієї його дуги, є числами однакової

парності, тобто h h1(mod 2).

98. Довести, що в будь-якому повному орграфі кількість усіх гамільтонових ланцюгів

непарна.

99. Нехай k максимальна довжина маршруту в орграфі G. Довести, що (G ) k +1.

100. Виразити кількість вершин і кількість дуг реберного орграфа L(G ) через відповідні

параметри орграфа G.

101. Для орграфа G будемо називати оберненим і позначати

G—1

орграф, який відрізняється від орграфа G тільки зміною орієнтації всіх його дуг. Як

пов’язані між собою матриці суміжності та матриці інцидентності орграфів G і G—1

?

102. Навести приклад орграфа, ізоморфного своєму оберненому.

103. Довести, що реберний орграф L(G ) слабо зв’язного орграфа G буде ізоморфним самому

орграфу G тоді і тільки тоді, коли або G, або G—1

є функціональним орграфом.

104. Показати, що коли G незв’язний орграф, тоді твердження попередньої задачі є

неправильним.

105. Довести, що кількість ейлерових ланцюгів у орграфі G дорівнює кількості гамільтонових

контурів у реберному орграфі L(G ).

91

Список літератури

Лекции по теории графов / Емеличев В.А., Мельников О.И., Сарванов В.И., Тышкевич Р.И.М.,

1990.

Харари Т. Теория графов. М.,1973.

Оре О. Теория графов. М., 1980.

Свами М., Тхуласираман К. Графы, сети, алгоритмы. М., 1984.

Уилсон Р. Введение в теорию графов. М.,1977.

Гаврилов Г.П., Сапоженко А.А. Сборник задач по дискретной математике. М., 1977.

Трохимчук Р.М. Теорія графів: Навч. посібник. Київ, 1998.

92

ЗМІСТ

1. Способи завдання графів. Степені вершин......................... 3

2. Ізоморфізм графів............................................................. 9

3. Маршрути в графі. Зв’язність графів............................... 15

4. Розділювальні вершини, мости, блоки ............................. 22

5. Дерева............................................................................. 26

6. Планарність графів.......................................................... 31

7. Розфарбування графів....................................................... 37

8. Обходи графів.................................................................. 39

9. Орієнтовані графи............................................................ 44

Список літератури......................................................... 56

93

Навчальне видання

ТРОХИМЧУК Ростислав Миколайович

ЗБІРНИК ЗАДАЧ ІЗ ТЕОРІЇ ГРАФІВ

Навчальний посібник

для студентів факультету кібернетики

Редактор В.Р.Філь

Молодший редактор