25
4 Plane stress and plane strain 4.1 Introduction Two-dimensional elastic problems were the ®rst successful examples of the applica- tion of the ®nite element method. 1;2 Indeed, we have already used this situation to illustrate the basis of the ®nite element formulation in Chapter 2 where the general relationships were derived. These basic relationships are given in Eqs (2.1)±(2.5) and (2.23) and (2.24), which for quick reference are summarized in Appendix C. In this chapter the particular relationships for the plane stress and plane strain problem will be derived in more detail, and illustrated by suitable practical examples, a procedure that will be followed throughout the remainder of the book. Only the simplest, triangular, element will be discussed in detail but the basic approach is general. More elaborate elements to be discussed in Chapters 8 and 9 could be introduced to the same problem in an identical manner. The reader not familiar with the applicable basic de®nitions of elasticity is referred to elementary texts on the subject, in particular to the text by Timoshenko and Goodier, 3 whose notation will be widely used here. In both problems of plane stress and plane strain the displacement ®eld is uniquely given by the u and v displacement in the directions of the cartesian, orthogonal x and y axes. Again, in both, the only strains and stresses that have to be considered are the three components in the xy plane. In the case of plane stress, by de®nition, all other com- ponents of stress are zero and therefore give no contribution to internal work. In plane strain the stress in a direction perpendicular to the xy plane is not zero. However, by de®nition, the strain in that direction is zero, and therefore no contribution to internal work is made by this stress, which can in fact be explicitly evaluated from the three main stress components, if desired, at the end of all computations. 4.2 Element characteristics 4.2.1 Displacement functions Figure 4.1 shows the typical triangular element considered, with nodes i, j , m

 · Compression ( – ) lb/in 2 Tension ( + ) Arrow indicates tension +200 – 100 lb/in 2 Temperature in this region –15°F Temperature drops linearly here

  • Upload
    leliem

  • View
    218

  • Download
    0

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1:  · Compression ( – ) lb/in 2 Tension ( + ) Arrow indicates tension +200 – 100 lb/in 2 Temperature in this region –15°F Temperature drops linearly here

����� ������ �� ���� ������

� � �����������

������������ ��� �� ������� ���� �� �� ������� ������� �� �� �������� �� �� �� �� � ����� �� ������� ������ �� ���� ������� ��� �� � �� �� ����� �� � �� ��� �� �� �� � ����� ������� �� � ���� �� � ����� �� ���������� ����� ���� �������� ���� ���� ���� ����� ��� ���� � ! "���#$"��%#�� "���&# �� "���'#� ����� ��� !���( �������� ��� ������)�� � *������ ��� �� ���� �� �� ��� ������ ���� ����� ��� �� ���� �� �� ���� ���

������� ���� �� ������� � ���� �� ���� �� ���� �� �� �� �� ���� ���� ���� ��������� ��������� �� ���� �� �������� �������� �� �������� �� �� ���(�+�� �� ����� � ��������� ����� ���� �� ������ � �� ��� �� �� ����

�������� � ������� ,��� ������� � ����� � �� ������ � ���� �� - �� .����� �� � ������� � �� ��� ������� � � ��� ���� �������� ������ � �������� �� � �� ���������� ���� ���� �� �� ��� ��� � � ��������

� ����� ��� �� � �� ��/�� � � ��� ������ � �� �� �� ������(� ��0�������& ���� � � �� ���� �� ������ ��� ������ �� � ������� �� ���� �� �� ���� ��� �� ��������� ���� � ��!���� ����

�� �� � �� � ��������� � �� ����� �� �� �� ��� ���� �� ������ � �� � ����*���� � �� �� �� ��� ��� �� ��� �� ���� � �� �������� ��� �� ����

������ � �� �� ����� � �� ��� �� ����� ������� �� ���� ��� ��� � ��� ������� �� �� ��� )��� �� �������� ���� � �� ���� �� � � ���� ���(� � ���������� �� �� � � ����� �� ������������ � �� �� ���� � � )���� 1������� ������ ��� �� ��� � �� ����� �� � )���� �� �������� � �� ���� �� � � �������( � ���� �� �� ��� ����� �� � ��� �� ������� �� ������ �� ���� �� ������� �� ������ � �� ������� � �� �� �� ��� ����� � ���

� � ������� ���������������

����� ������ ��� ���������

2����� '�� ��� �� ������ �������� ����� ��������� �� � ��� �� �� �

Page 2:  · Compression ( – ) lb/in 2 Tension ( + ) Arrow indicates tension +200 – 100 lb/in 2 Temperature in this region –15°F Temperature drops linearly here

������� � � � �����(��� ������ ��� ��������� �� � ��� ���� ��������

�� ������

��'���

�� �� �� ������ �� ����� ��������� ��� �� �� � � ��� ��

�� ���

��

��

�����

���� �'���

��� ��������� �� �� � ����� ���� � �� ��!���� ����� �� ��� �������� ��� ����� ������ � �� � ������� ���� �� �� ����� ���������

� � �� � ���� �& �

� � �' � �%�� �3 ��'�&�

��� �� �� � � �� �� ������ �� ����� �� ����� �� �� � �� ���� ���� �����!�� �� ����� ���� ���� �� �� ���� ������� � ��� ��� �� �� �� ��������� �!�� �� � �� ��������� � ���� ��������� � 4�� ��� ��� ��������

�� � �� � ���� � �& ��

�� � �� � ���� � �& ��

�� � �� � ���� � �& ��

�'�'�

�� �� ����� ���� ��� ��� ��� �� �& � ��� �� �� ���� ��������� ��� �� � �� ���� �� �����

� � �

����� � ��� �� ���� � �� � ��� �� ���� � �� � ��� �� ����� �'�%��

xi

yi

i

m

j

y

x

vi (Vi)

ui (Ui)

��� � � �� ������� �� �������� �� ��� ������ �� ��� ������

�� ����� ������ �� ���� ������

Page 3:  · Compression ( – ) lb/in 2 Tension ( + ) Arrow indicates tension +200 – 100 lb/in 2 Temperature in this region –15°F Temperature drops linearly here

� �����

� � �� �� � ����

� � �� � ��

�� � �� � ��

�'�%��

�� � �� � ��� ���5��� �� ���� �� � ����� ����� � �� �� ������ � �� �������� �� �� �� ������

�� � ��

� �� ��

� �� ��

� �� ��

� � � ����� �� ������ ���� �'�%��

* �� �!�� �� ��� �� ��� ���� ��������� � ��� ������ �� ��� ����

� � �

����� � ��� �� ���� � �� � ��� �� ���� � �� � ��� �� ����� �'�3�

������ � ��� �� ������ � �� ��� �� �� ������ �� ����� ���� ��� !"'�%�# �� "'�3#� � �� ����� ���� �� !� "���#6

� ���

�� ��� � ����� ���� ������ �'�7�

�� � � � �� �� �� ��� � � �� ���� ��

�� �� � ��� �� �

��� � �� �'�-�

��� ���� ��������� ��� �� �� ��� ������ ����� �� �� ��� � �� ���������� �� � ��/��� ����� ������ �� ��������� ���� ������� ���� �� ����� �� ������ ��� �� � ��� ���� ��������� ������ � �� ���� �� ������������ ���� ������� ��� ��� ���� � � �������

����� ����� �����

��� � �� ��� � �� ��� �� �� �� ����� �� �� ����� �� � ���� ������� ����� �� ���� � � � ���� ���(� ���

� ���

��

���

�����

���� �

��� 8

8��

��

���

��

�������

����������

�� �� �'�.�

����6 �� ������� � ��� �(� ���� �� �� ���� �� �� ����� ��

�� � �� � �� � �� � �� � �� � 8 �� � � ���& � � � �

9�� ��� *������ : ��� � ������ �� � ����� ��� � �������

������� ��������������� ��

Page 4:  · Compression ( – ) lb/in 2 Tension ( + ) Arrow indicates tension +200 – 100 lb/in 2 Temperature in this region –15°F Temperature drops linearly here

9�� � � �� !� "'�7# �� ����

� � ��� � ������������

��

��

�����

���� �'��8��

�� � � ������ �� ��� �� ���� ��

�� � ��� �

���

��� 8

8����

��

���

������

��

�������

��������� �

��

�� 8

8� ��

��� �

��

��� �'��8��

��� ���� �� ��� � �� !� "��'# ������� ���� ���� �� � �� �� � �� ��� �� � �� ��� � ������� �� �� ��� �� �� ��

�� ����� � �� ���� �� ��� ��� �� � �������� � � +�������� �� ��� ������ �� � ��� �� ���� � ���� �� � � � ���� �� �� ���� ��� ���

����� �������� ����

��� �� ��� � �� !� "��%#

� ���

��

��

�����

���� � �

��

��

���

�����

����� �8

���

��� �'����

�� �� ������� �� � �� ��� �� �� ����� "�������� ���� �8 ����� � ����� ���� ���#��� ������ �� ������ ��� � �� ������ � � ������ � �� ���� �� ����

� � ����� �8

�� ����� �� ���� �� �� ���� �� �� ���� ����

����� ������ ������ �������2�� ���� �� � � �� ����� �� ����� �� ���� �� ���� ���

�� � ��

� ��

� ��8

�� � � ��

� ��

� ��8

��� ����� ���

� ���8

�'����

9����� �� ����� ��� �� ���� �� �� �� �� �� ��� � �

� �

�� �

� 8

� 8

8 8 ��� ���

��

��� �'��&�

�� ����� ������ �� ���� ������

Page 5:  · Compression ( – ) lb/in 2 Tension ( + ) Arrow indicates tension +200 – 100 lb/in 2 Temperature in this region –15°F Temperature drops linearly here

�� �� �� ��� ��� �

�8 ���8

��8

���8

�����

���� �'��'�

� ����� � �� ��� �� ������ �� � ;���< �� ���

����� ����� ������ �������� �� ��� � ����� �� �� ��� � ���� �� � �� � ��� ���� �� ������ ���� �� �� ����

�� � ��

� ��

� ��

� ��8

�� � � ��

� ��

� ��

� ��8 �'��%�

��� ����� ���

� ���8

�� � ���� ��

�� � � ��

� ��

� ��

� ��8 � 8

����� �����

�� � �� � ��� �� ��8

+ ������ �� �� �� ����� ��� �� ���� ������� ��� �� �� �� �� �� ��� ��

� �

��� ���� ��

�� 8

�� 8

8 8 ��� ����

��

��� �'��3�

�� �� �� ��� ���

�8 ���8 � ��8

��8 � ��8

���8

�����

���� �'��7�

�������� ��������2�� � ������ ��� ��� ����� �� ������ �� ������� ��� �� �� � ��� ������ � ���� ������ ��� �� ������������� ��$ ��� ���� ������'�%

�� ����������� ����� � � �� ���������� � ���� �� �� ������ �� �� ��� �������� � �� �� ������� �� � � ����� ���� ���� � � ����� ������ � ��� �

� ���� ��� ��&

��� ��&

��� �&&

��

��� �'��-�

������� ��������������� ��

Page 6:  · Compression ( – ) lb/in 2 Tension ( + ) Arrow indicates tension +200 – 100 lb/in 2 Temperature in this region –15°F Temperature drops linearly here

� ������� �� �� ������ ����������� ���������� "��� ������ ���� �� �� �� � �� ��� ������ ���� �� ������ �!�������� �� �� ,������$=� � ���������� ������ �� � � ���!���� �� ������ ����� ������� ��� �� �� �� � �(� ������ � ���� ��� � ��#* ��� �� ��� ������ � ��� � ���� ��� � �� �� � > �� ����< �� �������� ���

����� �� ����� � ����� � �� � ���� ���� �� �� ������ �� ��� �� �� �� ������ �� �� �� 9��� � �� ����� ���� ��� ��� ������� ��� �� �� � ���� ������ ��$ ��� ���� �� ���� � �� ���� �������� �� � � �� ��

?�(�� (��' �� �(�� �� �� ����� � ������������ � �� �� � "����� ���� ��� ���# "2��� '��#�

�� ��� �

� ��� �

� ��� �

�� �� ��� �

� �� �

� ��� �

�� �� ��� �

� ��� �

� �� �

��� ����� ��

���

��� ��

��

��

��� ��

��

��

�'��.�

� ����� �� �� � �� � "�� � ������ # ��� ����� �� �� � �� ��������� � �� ���� �� �� �� � �� �� ��� � �� � � ����� �� ����� � �� �������� � �� ��� � �� ������ �� ������� �(�� �� � � � �� ��� � � ��

� � ��� ���

� �� 8

�� � 8

8 8 ���� ����

��

��� �'��8�

y

z

x

Plane of strata parallel to xz

��� � � � �������� ������������ ������ �� �������

�� ����� ������ �� ���� ������

Page 7:  · Compression ( – ) lb/in 2 Tension ( + ) Arrow indicates tension +200 – 100 lb/in 2 Temperature in this region –15°F Temperature drops linearly here

��� ���� �� ��

� � ���� ����� � � �����

���� ���� ����� �� 8

����� �� ��� ��� 8

8 8 ���� ����� � � �����

���

���� �'����

��� ���� ����4��� � � 2��� '�&� �� ����� �� �� �� �� � � ������ � �� ����� �� �

�� �� �� � �� ���� � ������� ������� � � ������� �� � ���������(�� � � ���� �� �� ��� �� ��� � �� ������ ������� � � ����� �� � � ��� � ��� ��

� � ���� �'���������

� ���� � �� � �� � � �� ��� � ��� � � � � ���

� � ��� � � � ��� ��� � � �� �

��

��� �'��&�

�� � � � ����� � 2��� '�&��� �� �� � �� � �� � �������� � � �� � ����� ����� �� �� �!���� �

�� ���(

��� � ���

��

���� � ����

m

i

j

x'

y'y

x

β

��� � � �� ������� �� �������� ������������ ������ �� �������

������� ��������������� ��

Page 8:  · Compression ( – ) lb/in 2 Tension ( + ) Arrow indicates tension +200 – 100 lb/in 2 Temperature in this region –15°F Temperature drops linearly here

���� ����� !� "'���# ������ � � �� "�� ��� ���� �� �#

� � ��� �'��'�

����� ����� ����� ����� ������

>�� ���< ���� ����� ��� ����� ��� ������� �� ��� ��� �� ��� � �������� 9���(���� ��� �� ���� �� ��� �� ���!�� ��� ������ ��� ����� ����� �������� ���� � � �� ��� ��� ��� ��6

�8 � ���8 ��8 ��8 ���8 ���8 ���8�� �'��%�*� ����� �� �� ��� ��� ���� � ������� ����� � �� ��� �� �� �� ��

����� � � ���� ���� �� ����� �� �������� �� � ����� � �� ��� � �� � �� �� � ��� ���� �� ������ �� �� ��������� ��������� ��� ���2�� � �� ����� �� ����� � � ����� ��/�� � � ������ ��� ��� �� �� � �

���5��� �� ������ ������ � �� ���� ����

�8 � ����� � � 8 8 8�� �'��3�� � ���� ��� ��� ����� �� � ������ ���� � ��� ���� ��� ���� ��� !�"'��'# ����� �� �� ��� ��� ���� ��

�8 � ����

8

�����

���� � ��� �'��7�

� ����� ����� �� �� �� ������������ � �� �� ���� ���� ������� ��� � �� ������ ������ � ��� ������ @�� !� "'��7# �� �� ��� ������ ��� ��� �� ��� ��� ���� ��

�8 � ��� ���� �'��-�*�� ����� �� ����� ���� ������ �������� ��� �� ���5��� �� ������

������ ��� ���� �� � ����� ��� � �� ������ ��� �� ������ ��� ������� ��

�8 � ��� �'��.������ � �� ������ �� ������ � ���� *���������� � � ����� ������ � ���� ������ ����� �� ��� ����� � � �������� �� �� �� � �� � ��� � �� �������� ������ ����� �� �� �� �� ������ �� �� ��� ��� ��� � ������ ������ ��� ����� �� � � ������ "����� � � � �������� ����� ��#

� � ����8

��8

���8

�����

���� � ��

��

��

8

�����

���� �'�&8�

����� �� �� �� ��� �� ������ ���5��� �������� � �� � �� � ��������� ������

�� ����� ������ �� ���� ������

Page 9:  · Compression ( – ) lb/in 2 Tension ( + ) Arrow indicates tension +200 – 100 lb/in 2 Temperature in this region –15°F Temperature drops linearly here

�� �� �� ��� ������ � �� �� � � �� � � ������ � �� �� ��� ������� ��

�8 � ���8 �'�&������� � � ���� ���� �� !� "'��&#� ���� �8 �� �� ����� ������ ��� � ���� �� � �� �� �� ���� ������ �� ��� � � ����� �!��� � )��� � �� �� � ������� ��

����� ��� ��������� ����

��� �A� �� ��� �� �� ����� ��� � ����� ���� �� ������ ���� ����� "���&#�� � �� ���5���

�� � �

���� ��� � ���� �'�&��

����� � � �� ���(� �� �� ����� �� �� � ���� �� � �(� ���� �� ���� �� �� ������� �� �� ���(� �� �� ����� � ����� � �� �� � � � ���� �� �������� � �� �� � � �� �)� �� ����� �������� ��� � �� ��� �� �� �� ������ �� � �� � �� ���� �����

�� � � ��� ��� �� �'�&&�

����� � � �� ���� �� �� ������ B������� ����� �� !� "'�%#C� ��� ���� � ���5��� �� ������� ��� ����� � �� �� � �� �� ��� �� ��� ����� �� ���� ��� � �� ����� ���

����� �! ������ !�� �� ����� �����

���� ��� ���� ����� �� �� �� ������� !� "���&�# ������ � ��������� �� � ����� ��� ������

������8 � ���� ��8��� � �� �'�&'����� >�� ��� ���< ����� �� ���� � � �� ��� �� � ����� � � ��!���

���� �� ��!���� ������ ������ ��� 9������ ������� ��� ������� ��� �� ��� �� ������

����" ������#���! #�!� ������

� �� ������ ��� �� ���� �� �� ��� ���� ����� �� �� ���� � �� �� ���� ���/�� � �����

� ����

� �� ����� �� �� �� ��������� � ����

������� ��������������� ��

Page 10:  · Compression ( – ) lb/in 2 Tension ( + ) Arrow indicates tension +200 – 100 lb/in 2 Temperature in this region –15°F Temperature drops linearly here

*���� �� !� "���&�#� �� �� ���� �� �� ��� ����� � ��� � ���� ��� � ���� ��

� �� � ����

���

�����

�� �� !� "'�7#�

� �� � ����

���� �� ��� � �� �'�&%�

�� �� ���� ����� � �� � ��� �� � � * �� � � �� � �� � ���� �� �� ��� ������� �� ������� ��� 9��� ������ � ���� �� �������� ��� � ������ ��� ���� �*������ :�� �� ������ ��� �� ������� �� ���� �� �������� �� �� ����� �� ������� � �

�(� � �� �� ���� �� �� ����� � D���� ���� �

�� �� �� � 8

�� � ��� !� "'�-#

� �� � ����

��� �� ��

��� �

���

���� �

���

��

&�'�&3�

�� ���� �� � �� � ���� -.� ������ ��� ��� �� ����� �����

� � �� ��

� ��

� ��

�����

���� � �

�������������������

������������������

&�'�&7�

����� ��� ����� �� �� � �� ����� �� �� � �� � �� � ����� �� ��� � ������ ����� ��� �� ���� �� � �� ��� � ���� �!��� ��� � ��� ��� ���������� � ������� � �� ��� �� �� �� � ����� ������� ���

����$ %�!� ����� �������

� ��� ��� �� ���� ����� ��� ����� � ��� �� � ���� ����� �� � ��� �

� � � �

��� � � �

���'�&-�

�� �� �� � ���� �� ��� �� �� ����� �� � �� �� � (�� �������� �� ������� � ������� � ���� ��� � �� ��� �� �� ���� ����� �� �� �� � ��� ����� ���� � �� ��� �� �� ����� � �����

��� � �

�����

���� �'�&.�

� ����� ������ �� ���� ������

Page 11:  · Compression ( – ) lb/in 2 Tension ( + ) Arrow indicates tension +200 – 100 lb/in 2 Temperature in this region –15°F Temperature drops linearly here

�� �� � �������� �� � �� � ����� �� � �� �� �� ���� ������� �� �� �� ����� � ��� >���� ��� ��< �� � ����� �� ���� �������� �� ���� �� � ���������� ��� ���� � �� ��� � ������� ! "'�'#$"'�3#� �� �����

� ������������� �'�'8�����

� � � �

��� ���� �� ��

���

��

��

� � � �

��� ����� ��� ���

���

���'�'��

��� ��� �� �� ���� ����� ��� � �� ���� ����� �� � ��� ���� �� ������� !� "'�&7#��

� � � �

3

�� �� �

��� ��� ��

�� �� �

��� ��� ��

�� �� �

��� ��� ��

���������

������������� �'�'��

����& �'����� �� ��������

��� ������� �������� ����� �� ���� �A� �� ��� �� �� ��� ��� � �� ���������� � ��� �� ��� ��������� � �� �� �������� �� �� ��� ���� � ������ ��� � !� "���3# � �� ���� �� �� ��������� �

�� � � �� ��� ���� ����� ���� ��� ���� �� �� ���� ���� ��� �� � �� �� �� ����� � � � ���� �

��� ��� � �� �� ���� �� �� ����� � �� � �� �� �� ������� � �� ���� �� �� ��������� � ��������� * �� ��� ��� ��� �� �� ���� �� ����� � ����� �� �������� �� ����� � �� ��/��� ����� � 9��� >����� ��< ������������� ��� ��� � �� �� �� � � ��������� ��� �� ���� ���� ��� ������������ � ��� ���� � ������� � �� �������� ��� �� ���� ����� �� ��� �����

����� � � ���� �� �' �� ���� �� �� � �� ������� �� �� �������� �� ��� �� �� �� ��������� �� �� �������� ��� �3�7

� � ������� � �� ���������� �� ����������

����� � � ���� �� �� ��� �� � ���� ��� ��� � ������� � ������� �� �9��� '�� �� � �� ���� �� ��������� � ���� ��� ��� ����� � �� ��� �� �

������� � �� ���������� �� ���������� �

Page 12:  · Compression ( – ) lb/in 2 Tension ( + ) Arrow indicates tension +200 – 100 lb/in 2 Temperature in this region –15°F Temperature drops linearly here

�� � �������� � � � ��������� � ��� �� � �� ��� � 2������ ���� ��� �� �� �� ���� �� ����� �� ����* �������� � ���� �� �� �� � �� ��� ����� �� ���� ����� �� ��� ��

��������� �� ���� �� ����� �� ��� ��� ����� �� �� ���� ��� ��� � ���� ���� ���� ��� �� �� ��������� � �� ���� ��� �� ���� ���� �� ����� ��� ���� �� ��������� �� � � ������� � ����� 1������� � �� �� ������)�� �� ��� � �������� ��� � ����� ��� �� �� �� ���� �����������E ���� �� ����� ����� � ���� � ���� ��� � � ���� �4�� � ����� � ��� �� ������ � (�� � �� ����� �� �������� ���������� �

������ ������� �� � � ��� �� ��� �� ����� ��������� � �� ��� ������ ��� �� ����� �� �� ���� �� �������� �� � (��� ���� � ��� �� �� �� � ��� �� �� ���������� ��� �� �� ���� ��� �� ���������4� � �� ��������� �� ��������� �� ������ �� �� � ���� �� ����� ��

��������� �� �� ���� �� ������� � � ������ ������� ��(��� �� � � ���� ����� ��������� 9��� �� �� ��������� ���� ������ �� ������� �� �� ��������������� � �� ���(�� �� �� ����� � � �� ���� �� ������ � ��� ����� ������� ��� ����� ����

��� �� ��� ����������

����� (����� ������ )�!

�� �� ���� ��� �� � � ��� �� �� � ������ �� ���� ��� ��� ���� �� ����� ��������� �� �� � ����� ��� �� ���� ������� ���� �� �� � �� ���� ��� ��� �� ������ ��������� �� �� ������� ��E ���� ���� � � ����� � � �� ����( ����� � ����� �� ��������

����� *����� '����+ ������ )�!

1���� ��������� �� ���� ���� �� �� �� � �� �� �� ���� ����� ��� �� �� ��� �� ���� �� ��������� � ���� � 2��� '�' � ����� ������� �� � ������/�� � �� � ����� ���� � ��� �� � � ������ ����� ��������� � �������� �� �� �� ����� ���� �� ���� �� �� ����� > ������< �� ���� ����� ��� � ��� � �� �� �� � �� ����� ��� ����� �� �� � �� ���� �� ������� �� ��� ��� �� �� >� < ��� ������ �� ���� ������� ����)� �� �� ���� �� ������ ��A�� ���� ���� �� ���� �����

"����� ��� ����� )���#� *���� �������� � ���� �� � �� �� ��� ������ � ���!���� ���� ���� ����� �� ���� ������* � ���� ���� �� �� ������� �� �� ��� �� �������� ����� � �(� �

���� �� ���� �� �� ���� ��� ��� ���� ������ ������ ��� ��� ������� � �� ���� ���� � � � �������� � ����� ��� ������� ��������� � ������ �� �� ��� �� ���� �������� � ��� � 2��� '�'� � �� � ��� � ���� ��� ����� ��� ��� � 1������� �� ���� ��� � ���� �� �' � �� ��� �� �������� ��������� ���� �������� ����� � �� � � ����� �� ������� ��� �

�� ����� ������ �� ���� ������

Page 13:  · Compression ( – ) lb/in 2 Tension ( + ) Arrow indicates tension +200 – 100 lb/in 2 Temperature in this region –15°F Temperature drops linearly here

����� ������ ������������

* ���� ����� �� � ������� � ��� � 2�� '�% �� '�3� 1��� �� F�� �� ������� � �������� ���� � � �� ����� �� � � ��� ����� �� ���� �� ����� � ��������� ��� �� �� ���� �� ��� �������- * ������ ������ � � ����� ���� � ����� � ���� �� ����� ��� � �� ����� ����� ���� �� ������ �������� ��� ��� �������� ���������� �� �� ���� ���� 2��� '�3 ����� ��� �� ������ ��� �������� ���� ���� ��� ���&�.

� �� �� ���� �� �� ���� �� �� ��� ���� ������ � ���� �� �� �� ���� �� � �� �� �� ���� ������� � ����� E �������� �� �������� �� �� ����� �������� �����

σy = –1

Exact(σx = τxy = 0)ν = 0.15

l

Nodal averages

Value atcentres oftriangles

y

x–0.440.070.07

–0.44–0.07–0.07

–0.86–0.07–0.07

0.00–0.070.07

–0.450.07

–0.08

–0.45–0.06–0.06

–0.86–0.07–0.08

0.00–0.07–0.06

–0.48–0.08–0.06

–0.48–0.060.08

0.00–0.09–0.09

–0.830.04

–0.04

��� � � ���� ������� �� ��� ������ �� ���� ����������� ���� �������� �� �������� �� �� ������ ���� � �� � �� �� ������ �� ��� �������

������� � �� ���������� �� ���������� ��

Page 14:  · Compression ( – ) lb/in 2 Tension ( + ) Arrow indicates tension +200 – 100 lb/in 2 Temperature in this region –15°F Temperature drops linearly here

� � ���� �������� ����������

+�������� �� ���� ���� ������� �� �� �� �� ��� ��� ���� ��� �� �� �� ������ �� ��� �� �������� �������� �� ����!�� ��� ���� ������� �������� � ���� ��������� ��� �� � �� ���� ��� �� ��� ��� �� ��� �� �� �� �������� ����� ������ ���� �� ���� ����� ������� ��� � � ���� ����* ��� ������� �� �� ��� ����� ������� �� �� �� �� � ����� �� ��� � �������

������� �� �������� ���� ��� ���� �� �� �����

σx = –1

x

y

��� � � � ����� ���� �� ������� ������ ����� �� ������ � ������� ��� �������� ��������� �� ��������� � �� � �� �� � � � !� � � "��� � "� ��� � "�# �

–1.0 –1.0

–3.0 –2.83

σx σx

1.01.75σy σy

(a) Isotropic (b) Orthotropic

Exact solution for infinite plate

Finite element solution

��� � � $�� ����� �� ��������� �� ����� ������� ������� ��� ��� �� �� ��� �� %��� #�&�

��� ����� ������ �� ���� ������

Page 15:  · Compression ( – ) lb/in 2 Tension ( + ) Arrow indicates tension +200 – 100 lb/in 2 Temperature in this region –15°F Temperature drops linearly here

52100

47100

49

48100

x

y

Restrained in y direction from movement

A

B

C

��� � � ��������� � ����� �� ���� '������ ������ ���� � ������ ���� � ����� �� � �""� �� � &"� (��)���� �� ��� ������� �� *� �� $ �� �� ��� ���� ��� � ! � !�

Page 16:  · Compression ( – ) lb/in 2 Tension ( + ) Arrow indicates tension +200 – 100 lb/in 2 Temperature in this region –15°F Temperature drops linearly here

����� ������ ,�- ����! ���������! ������+ �.�+� ��"�

� ��� ������ ���� �� ������� ��� ���� ����� ���� � �� � ������� � �� ���� (�� ��� ��� �� �� ��� � ��� ������� ��� ���������� ���� �� ������� � ���� ��� �� (� � ��� � ������� � ���(� � ������ �� ��� ��� ����� �� �� �A�� �*���� �� ��� ������� ��� �� � ��� �� ���� �� ���� � ��5��� ���

��� ����� ��� ���� � � � ������ �� ���(� ����� ��� �� ��������� ������ �� �� ��� ��������� ����� ��� �� ���( �� ����� ��� �� ���� �� �� ������ �� �� ��� ��

������ ���� ��� ����� � �� �� ���� �� �������� ����� �� �� ���� ���� ������ ��������� � ���(� � ������ ��� �� �� ��������� �� ��� � �� ���������� � 2��� '�7 ����� ���� ��� �� �� ���� �� ��� ��� �� ����� � ������� ������ ����� �� � �� �� ����� � ������� � �� ����� �� �� ������ �� �� ��� ����� �� � ���

����� /� ���������� '�� ��#0��� �� ��������� ������$ �.�+� ��$�

* ���� ����� ������ ��/�� � � ������ ����)� �� �� � ��������� ����� ����� � �� ����� �� ���� � > �������� �� �����<� �� �� ����� �� �� �� � ����� ���� ��� � ��� ���� �� ��� ��� �� ���� ����� �� �������� ��� ������� � ��

���������� � ��� � ������� �� ������ ������� �� � ���( ��������"9�� �������� �8 ��� ���� ���� ������� �� � �� �����#

����� / ! ��#0��� �� ������ �! ������ -��� ��������������

* �� �� ��� � � ������ ������� ���( ����� �� � ��� � 2��� '�. ��������� ��� ��� "������ �� � �.3'# � �� ��� ������ � ��� � � � �� �� ������ �� �� � ����� �� ��� �� ������� ����� �� ���� ���� ��� �� ��������� ����� �� ����� � ��/�� � ���� ��� ���� �� ����� �� ��� � ���� �������� � � � � �� ���� �� �� �������� ���(��4� � �� ���� �� ����� � ������ � ������ ������� �� ����� �����4�� ���� ������ ��� ��������� �� � �� ��� �������� ��!���� ������ ���

������ ���� � ���� (�� �� � � ����� �� ����� �� �� �� ������ � ���� �� � ��

��� ��� � � ���� ��� � �� ���� ���

� � � ��

��� � � ��

���'�'&�

�� �� �� �� �� ���� ������ ��� � �� ������������ ���� ������ � �� � ��� � �� � ���� ����� �� � ���� � ����� � !� "'�&-#�

2����� '�. ��� �� ����� �������� �� �� ����� �� �� �� ��� �� �� ����2����� '��8"# �� "# ��� �� ��� ���� �� ���� ����� � "������� � �� ������# �� ��� ��� �� ������ ����� � �� �� �� � � �� ���� ���� ��� �� ��� ������

��� ����� ������ �� ���� ������

Page 17:  · Compression ( – ) lb/in 2 Tension ( + ) Arrow indicates tension +200 – 100 lb/in 2 Temperature in this region –15°F Temperature drops linearly here

� � � ���� ���� ������� =� � ��� �� ����� � ����� ���� ������ �� �� �������� ��� ��� � �� ���� ���� �� � ����� � ���� ��� ������� �� ���� ��� �� �������� >�A�� ���< ���� ���� ������ ��

����� ���� �� �� ��� �� ���� ��� ���� �� ��� ����� � ��� �� �� ����� ��� � �� �� ���� ������ � ��

� � ��� � � ��� �� 8� �'�''������ ����� �� ������� �� ����� � �� ������ ������ ���� �� ����� ����8��&

��� �A�� ��� �� � �� ��� ������ ����� ��� � �� ������� �� ����� �������� � ��� �� ����� � �� ��� �� ���� ���(� �� ����� �� ��� ���� ���� ��

–0.37–0.71

–0.27–0.73

–0.11–0.75

–0.40–1.06

–0.49–0.99

–0.56–0.89

–0.55–2.03

–0.51–0.27

–1.89–0.88

–0.66–7.49

–0.23–1.35

–0.32–1.15

–1.95–0.27

–2.20–0.36

–1.78–0.14

–2.08–0.13

–4.50–0.27

–2.61–0.38

–1.86–0.02

–0.12–0.01

–1.58–0.03

–1.440.04 –1.10

0.05

–0.98–0.05

–1.05–0.05

–1.15–0.12

–1.24–0.16

–1.03–0.01

–1.25–0.04

–0.970.04

–0.870.06

–0.970.00

–0.910.04

–0.860.06

–0.860.13

–0.780.17

–0.960.12

–0.920.08

–0.860.03

–0.960.07

–1.090.01

–0.970.02

–0.260.02

–0.670.02 –0.83

0.04 –0.810.08 –0.74

0.14–0.67

0.20–0.76

0.04

–0.790.08

–0.720.08

–0.630.05–0.62

0.11

–0.660.11

–0.710.04

–0.530.08

–0.460.020.09

0.08

0.16–0.04

–0.300.01

–0.470.04 –0.54

0.05–0.54

0.11

–0.510.08

–0.510.06

0.21–0.02

–0.18–0.01

0.20–0.02

–0.340.04

0.07–0.01 –0.13

0.03

–0.20–0.01

–0.32–0.03

–0.440.03

–0.410.06–0.41

0.10

–0.290.06

–0.280.04

–0.360.11

–0.200.04

–0.97–0.01

0.00–0.02–0.01

0.14

1 2 30

1

2

3

Tensile zone

10 to

nne/

m2

E2 = 1 tonne/m 2

x = 2(1 – y2)

0 1 2 3 4 5 6 7 80

1

2

3

4

5

6

7

8

E1 = 10

E2 = 1

y

xu = 0 Region analysed

σy = –1

��� � ! � �����+��� ����� ���� ���,�� �� ����-���� ������ ������ � ��� ����� �." ������ /0 ����������

���� �������� ���������� ���

Page 18:  · Compression ( – ) lb/in 2 Tension ( + ) Arrow indicates tension +200 – 100 lb/in 2 Temperature in this region –15°F Temperature drops linearly here

� ������� �� ���� ����� �� !� "'�'&# � �� ��� �� �A�� ��� �� � �� ������� ��� � �������� �� ���� ����� ��� ���� ������� ��� � �� ���������� � �� ������� ����' �� �� ������ �� �!��������� ���� �� �� !� "���8#�� � � �� �� � ��� � � ��� �� � �� ���� 4�� �� �� �� � � ��� ���� ��� !� "��%#� � ��� �� �A�� ��� ���� �����

� � ���� �8� � �8 �'�'%��� �� � � �� � � �� �!��������� �!�� �� "���8# �� �� �� !� "����# � ������ ����� �� � �� �A� �� ��� ��� �� �� ��� � �� �� ����� ��� ��

Buttress webthickness 9 ft

Constant web taper1 ft in 82 ft 6 in

60°60°

207

ft 0

in

A A121 ft 11 in 121 ft 11 in

10 ft

125

ft 0

in47 ft 0 in 12 ft 0 in

10 ft 6 in

Sectional plan AA(a)

Dam EC

Fault(no restraintassumed)

Altered grit E = EC110

Zero displacementsassumed

Grit EG = 14 ECMudstone E = EC

12

Zero displacementsassumed

(b)

��� � " 1����� ������ �� �������� ��� � ��� ������ �������� �� ������ �� ��� �� �� ��� ����� ����� ���������� �� (�� �������� ������ ������� ��� 23���� �� ��������� ��������� �� �������� ���� ��������������

��� ����� ������ �� ���� ������

Page 19:  · Compression ( – ) lb/in 2 Tension ( + ) Arrow indicates tension +200 – 100 lb/in 2 Temperature in this region –15°F Temperature drops linearly here

–6

–11–16

–18 –8 –22–37

–15–84

–29–29–39

–31

–60 –66

–41–198

–18

–202

–10

–5

–199

–260–283

–2–8–14

–256

–12

–273

–108

–39–65

–47

–71

–29–142

–8 –9

–328 –309

–5

–249

–16

–289

–16

–289 –289

–11 –1

–392

–5–13

–293–288

–19

–317

–18

–327

–7

–337

–8

–355

–7

–375

–11+17

–178–99

+136

–4–85

–70

+17

+8–84

+37–92

–95–2

–84–9

–84

–13 –54

–8

–77

–22

–6

–4

–9

–33 –15 –66

–3–42

–8–17

–205

–282

–4

–43

–11

–14

–48 –52

–34 –25

–188

–18

–253

–15

–240

–8

–238 –246–2

–18–46

–27 –78

–14–170

–304

–2

–288

–9

–285

–14

–290

–8

–202

–2

–347

–7

–310

–17–21

–315

–13

-320

–6

–329

+4

–211

+20–10

+12

–345

+23+16

–30

–13 +144

–118

+59

–9 –265

+26

–100

+10

–358

+5

–1–78

–313

+4

–7

–332

–8–79

–14

–333 –332

–23

–80–15

–296

–310

–25

–473

–303

–39–54 –7

–59–17

+3

–47 –1

+3

–42

–71

0

–87

–4

–69

+3

–62

–2

–61

+8

–71 –75

–8 –16–67

+9

–46+22

–54

+17

–51

+8–38

–59+20

+31

–28

+38

–97–29

–70–14 –11

–70

–17+3

–300

+200

200 lb/in2

300 lb/in2

Compression (–)

Arrow indicatestension

Tensile zone

Tensile zone

–300

+200

200 lb/in2

300 lb/in2

Compression (–)

Arrow indicatestension

Below the foundation initial rock stresses should be superimposed

(a) (b)

��� � �# 1����� ������ �� ��� �������� �� �� %��� #�/� ����� � �������� ��� ������ ���� �� ������� +��� +��� ��������� +��� �� ������ �� � �� � �3���������� ��� � ���� ����� ��� �� ��� ��������

Page 20:  · Compression ( – ) lb/in 2 Tension ( + ) Arrow indicates tension +200 – 100 lb/in 2 Temperature in this region –15°F Temperature drops linearly here

!� "���&�# ���� ����� �� �� � ���� ���� �����

����

��� ������ �'�'3�

��� �� � � � ������ �� �� ���� ��� �� � � � �� ����� ������

����

��� ������� � �'�'7�

��� �� ��� ��� ���� �� � ������� ���� ������ �A�� ����� � ���� ����� ������ �� �� � � �� ��� B� � !� "'�'3# � ������ ��� �����C �� �� � �����!�� �� ��� � ���� ����

����� 1��2��+

��� ���� ��� � �� ������� ������� ���� ���� �� ���� �� ���( � ����(� �� � ���� � �� �� �� ������� ��� ��� � ����( ����� �� �� ��� �� ���������� ��������( �� �� � ������� ���� ����� � � �� ����� �� ����� )��� ��� ��� �

����� � ���� ����� � * ����� �� � � ���� ����(�� ����� � ��� �2��� '���� ����� � �� �� �� �� �� � �� �� � �� �� ����( ����� � ����� �� �� ��� ���� ��������

Upstream

Tensile zone

Compression ( – )

200 lb/in2

400lb/in 2

Tension ( + )

Stresses exclude theoriginal rock stressesin foundation

Arrow indicatestension

Cracked zone(materialconsidered)as E = 0

Tensile zone buttension less thanprobable initialcompression in rock

��� � �� 1������� �� �������� ��� (�� ����������� �� 4�)5 ������� ��� ������ ������������ 6��� ���7��� � %��� #��"���8�

�� ����� ������ �� ���� ������

Page 21:  · Compression ( – ) lb/in 2 Tension ( + ) Arrow indicates tension +200 – 100 lb/in 2 Temperature in this region –15°F Temperature drops linearly here

Compression ( – )

200 lb/in2

Tension ( + )

Arrow indicatestension

+200

–100

100 lb/in2

Temperature in this region –15°F

Temperature dropslinearly here

No temperature charge in foundation

��� � �� 1����� ������ �� �������� ��� (����� �������� ��� �� ������ �� ��� ����� �� �� �& �%�� � ! �"9 ��:�� � � � 9 �"�9��%��

–5 –31

2

–49–8 –42

3–80

–8

–2512–57

–62

13

–32–51

17

–59

9

–98

8

–124

–135

–217

–355 –37

9

–2 10

–6

5

–1

7

–2

–62

7–53

3

–291

–52

1

–56

3

–19

–49

–6

–42–5

–6–85

–6

–56 –71

–59 –8

–85–1

–98

3

–75

–1–12

770

–13

–48 –40

–3

–29

–10

10

–11

7–27

8

4

–61

3

–871

–113

1

–105

–108

0

–1

–149

2

–198

–25

–117

–12

–116

–21

–130

–20

–111–101

–16–10

–88

–1

–89–26

15–21

35

32–22

54

–4

–352

–2

61 –1 48

–6 498

52

–49

3–89

–7

–11

–92–103

–18

0

–79

6 –53

–54

5

–114

–8

1612

27

12

67

121

–7

28

–1534 –2614

–429

–147–15

–8

–29–323–520–374

105

–407–94–9

55

54–70

31–1440

4 x 106 lb

1.3 x 106 lbLoad effectof prestressing

Prestressing cables and gate reactions

60'

–135

25' 25'10'Tailwater level

0 20 40 60 80 100 ft

0 10 20 30 40 ft

Water level

155'

��� � �� � ���� ����� +��� ���� �� ����������� �����

���� �������� ���������� ��

Page 22:  · Compression ( – ) lb/in 2 Tension ( + ) Arrow indicates tension +200 – 100 lb/in 2 Temperature in this region –15°F Temperature drops linearly here

��� � �� �� ����������� �+�� ������� ;��� ���� �� �������

Page 23:  · Compression ( – ) lb/in 2 Tension ( + ) Arrow indicates tension +200 – 100 lb/in 2 Temperature in this region –15°F Temperature drops linearly here

250000 lb/ft2

Indicates tension

x

y

��� � �� �� ����������� �+�� ������� ���� �� ���� � ���������

Page 24:  · Compression ( – ) lb/in 2 Tension ( + ) Arrow indicates tension +200 – 100 lb/in 2 Temperature in this region –15°F Temperature drops linearly here

* ���� ������� � ��������� ��� ������� ����( ������� �� �� ���� �� ������ ���� �� �� �� ��������� "�� G����� �#�

����� ���� ��������

* � ������� �� ������ �� ����� � �� �� ��� ��� � ��� ���� ����� ������ ��� �� ���� �� ���� ��� H��� �� �� ����� ��� ���� � 2��� '����

����� 3�'��� ! �

* �� �� ��� � � � ���� ������� ��� �� ������� �� �� �� � ����� �� ����+ ��� ���� ��� � ����� � ��� �� � �� �� ��� ���� �� � �� �� ��� ������� ��� ��� 2����� '��& ��� � ����� �� � ����� ����� � ���� �� ��� �� ��� �� ��� �� ��������� �� �� ����� � ����������� ��� �� � ��

����� � �� �� ����� ����� �� �� ��� ����� ����� �� ���� /�� �� ��� ���� �� �� ���� � ������� �������� �� �� ���� � ������)�� ����� ����� � ����� � � � � ���� ���� � � ���� ��� ��� �� ������ �� ����� �)� �

��� � ��� ���� �� �� �� �� � �� ����� ��������� �� ������ �� F�� � �� ���� �� �� ����� �� ���������� ��� ����� �� �� �� �)� �� ����� � ����� ����� � �� �� ����� �� &8 � � " �� ����� ����� �������� � �� ����� �� ���� ��� � �� �����#�

����" (�!��+����! ��-�� ������

��� �� �������� ���� �� �� � 2�� '��' �� '��%� ��� � � ��� �� ������� ���1��� �������� ��� ��� ��� �� �� ��� ������� � �� ����� ��� ��A��� ������ �� �8� �� �� ��� ��� ���� ��� ��� � ���� �� � �� (����������� ���������� ���� ��� ��� ����� ��� �� �� ��� �� ��� ���� ������ �� ���� �� �� ����� ��� ���� � �� ���� �� � �������� ������ �������� � � �� �������� �� �� ����� �������� ���� �(� ��� ����� �� >����<�� � � � 8�� 1������� � �� �� ��� �� ����� �� ���� ��� ��� � ����� ��������� � 9��� .��&�

� � ������ ��������� �� ���� ������ $��� ������������%�� ��������

� ���� ���� ��� � �� �� �� ���� ����� "'��3# ����� �� ��� ��� � �� ��� � ���� �� ����� �� ����� ����( ��� ��� ;���< �� �� ������ � ����� �� 8�% � ����� �� � ���� ��� ������ ��� �� * ����� ��� �� ���� ����� �� ��5��� � � � �� ����� �� ;���< �� �� ��������� �� � 8�% �� � �!��� � � � ������������ �������� �� �� �� � ��� �� ��� �� �� ������ � ��� ������ �������� �� ��� � ��� ������ � ���� �� �� ��� ����

��� ����� ������ �� ���� ������

Page 25:  · Compression ( – ) lb/in 2 Tension ( + ) Arrow indicates tension +200 – 100 lb/in 2 Temperature in this region –15°F Temperature drops linearly here

� � &�������� �����'

� ���!�� ���� ��� �� ���� � ������ ����� ����� ���� ���� ���� ���������� ��� �� ��� ����� �� ������ �� ������� � � ��� ������ �������� ����� ��� � �� ������ �� �� ����� ������ ��� ���� � ������ ��� ���������� ���� ����� �������� � ���� ������� � �� ��� � � ������� � ���� ���� ��� ������ �� �� � �� ����� � ��� �� �� ���� ��� ��������� ������ ����� �� �' �� �%�

(���������

�� ,�I� ������ H�4� ������� 1��� ,�� �� �� ?�I� ����� 9 �A� �� ��F�� �� ������� ������� ��� ���� �� ����� � �� ��� -8%$�&� �.%3�

�� H�4� ������� ��� �� � ����� � ���� �� ������ ��� � ��� ���� ����� �� ��� ����� ����������� ;� ������ ;��� 9�� � �.38�

&� 9� ������(� �� I�D� 0������� ������ �� ����� ��� �� ���� ,�0����1���� �.%��

'� 9�0� ?�(�� (��� ������ �� ����� �� �� �� �������� ����� ���� "����� �� ����H��� �� ;� 2��#� 1���� :��� 9� 2������� �.3&�

%� H�2�9� 1������ �� ������ ��� �� ������ �������� ����� ��� +����� @����� �;��� �.3��

3� +��� J��(�����) �� I�J� J��� ��� ����������� �� �� �������� "9;H# �� ���� ����� � ����� ������ � ����� !������ ����� !� �� ����� ���� �87$�'� �..��

7� =� =������� �� +��� J��(�����)� H������� �� �!��������� �� ��� "H ;#� ��������

�� ��� !���� ����� ��� �&7$%'� �..7�-� +��� J��(�����)� K�L� ������ �� L�0� 9 ���� 9 ��� � ��� ����� ����� �� ���� ������ �������� � ������� �� ���( �������� �� ����� �������� �� �7�$-�� �.33�

.� 0�D� 9���� ������ ��� �������� ������ "���� "����� �� ���� H���#� ;������;��� �.3��

�8� +��� J��(�����)� *�1��� ���� ,� ;� ��� =� 9����F��� �� �� 9������ ������������#���� ��� �� I�� 4���� �� 9�� ������ ��� �...�

��� +��� J��(�����) �� K�L� ������ =� �� ��� � ������� ���( ����� ��� $������%��� ��� �.&� �.3'�

��� +��� J��(�����) �� K�L� ������ 9 ��� � �� �� ����$���� ��%��� ��� 3.� �.3%�

�&� L� ���)����� ������� �� ��� !� ��� �� 4����� �.'&��'� +��� J��(�����)� �� 1������� �� H�4� ?���� * ����� �������� � ��� �������

�������� ������� ��� ��� � �� �������� ��� �� ��� ����� �� ���� �� !������ � ���

��� &� ' !� ��� �� L�������� �.7%� 9�� ��� ���� �� ' �� (��� �������� � #����� ��� � "��� 0� 0�����#� ��� �%�$7-� 4����� �.77�

(��������� ���