Upload
leliem
View
218
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
�
����� ������ �� ���� ������
� � �����������
������������ ��� �� ������� ���� �� �� ������� ������� �� �� �������� �� �� �� �� � ����� �� ������� ������ �� ���� ������� ��� �� � �� �� ����� �� � �� ��� �� �� �� � ����� ������� �� � ���� �� � ����� �� ���������� ����� ���� �������� ���� ���� ���� ����� ��� ���� � ! "���#$"��%#�� "���&# �� "���'#� ����� ��� !���( �������� ��� ������)�� � *������ ��� �� ���� �� �� ��� ������ ���� ����� ��� �� ���� �� �� ���� ���
������� ���� �� ������� � ���� �� ���� �� ���� �� �� �� �� ���� ���� ���� ��������� ��������� �� ���� �� �������� �������� �� �������� �� �� ���(�+�� �� ����� � ��������� ����� ���� �� ������ � �� ��� �� �� ����
�������� � ������� ,��� ������� � ����� � �� ������ � ���� �� - �� .����� �� � ������� � �� ��� ������� � � ��� ���� �������� ������ � �������� �� � �� ���������� ���� ���� �� �� ��� ��� � � ��������
� ����� ��� �� � �� ��/�� � � ��� ������ � �� �� �� ������(� ��0�������& ���� � � �� ���� �� ������ ��� ������ �� � ������� �� ���� �� �� ���� ��� �� ��������� ���� � ��!���� ����
�� �� � �� � ��������� � �� ����� �� �� �� ��� ���� �� ������ � �� � ����*���� � �� �� �� ��� ��� �� ��� �� ���� � �� �������� ��� �� ����
������ � �� �� ����� � �� ��� �� ����� ������� �� ���� ��� ��� � ��� ������� �� �� ��� )��� �� �������� ���� � �� ���� �� � � ���� ���(� � ���������� �� �� � � ����� �� ������������ � �� �� ���� � � )���� 1������� ������ ��� �� ��� � �� ����� �� � )���� �� �������� � �� ���� �� � � �������( � ���� �� �� ��� ����� �� � ��� �� ������� �� ������ �� ���� �� ������� �� ������ � �� ������� � �� �� �� ��� ����� � ���
� � ������� ���������������
����� ������ ��� ���������
2����� '�� ��� �� ������ �������� ����� ��������� �� � ��� �� �� �
������� � � � �����(��� ������ ��� ��������� �� � ��� ���� ��������
�� ������
��'���
�� �� �� ������ �� ����� ��������� ��� �� �� � � ��� ��
�� ���
��
��
�����
���� �'���
��� ��������� �� �� � ����� ���� � �� ��!���� ����� �� ��� �������� ��� ����� ������ � �� � ������� ���� �� �� ����� ���������
� � �� � ���� �& �
� � �' � �%�� �3 ��'�&�
��� �� �� � � �� �� ������ �� ����� �� ����� �� �� � �� ���� ���� �����!�� �� ����� ���� ���� �� �� ���� ������� � ��� ��� �� �� �� ��������� �!�� �� � �� ��������� � ���� ��������� � 4�� ��� ��� ��������
�� � �� � ���� � �& ��
�� � �� � ���� � �& ��
�� � �� � ���� � �& ��
�'�'�
�� �� ����� ���� ��� ��� ��� �� �& � ��� �� �� ���� ��������� ��� �� � �� ���� �� �����
� � �
����� � ��� �� ���� � �� � ��� �� ���� � �� � ��� �� ����� �'�%��
xi
yi
i
m
j
y
x
vi (Vi)
ui (Ui)
��� � � �� ������� �� �������� �� ��� ������ �� ��� ������
�� ����� ������ �� ���� ������
� �����
� � �� �� � ����
� � �� � ��
�� � �� � ��
�'�%��
�� � �� � ��� ���5��� �� ���� �� � ����� ����� � �� �� ������ � �� �������� �� �� �� ������
�� � ��
� �� ��
� �� ��
� �� ��
� � � ����� �� ������ ���� �'�%��
* �� �!�� �� ��� �� ��� ���� ��������� � ��� ������ �� ��� ����
� � �
����� � ��� �� ���� � �� � ��� �� ���� � �� � ��� �� ����� �'�3�
������ � ��� �� ������ � �� ��� �� �� ������ �� ����� ���� ��� !"'�%�# �� "'�3#� � �� ����� ���� �� !� "���#6
� ���
�
�� ��� � ����� ���� ������ �'�7�
�� � � � �� �� �� ��� � � �� ���� ��
�� �� � ��� �� �
��� � �� �'�-�
��� ���� ��������� ��� �� �� ��� ������ ����� �� �� ��� � �� ���������� �� � ��/��� ����� ������ �� ��������� ���� ������� ���� �� ����� �� ������ ��� �� � ��� ���� ��������� ������ � �� ���� �� ������������ ���� ������� ��� ��� ���� � � �������
����� ����� �����
��� � �� ��� � �� ��� �� �� �� ����� �� �� ����� �� � ���� ������� ����� �� ���� � � � ���� ���(� ���
� ���
��
���
�����
���� �
�
��� 8
8��
��
�
���
�
��
�������
����������
�
�� �� �'�.�
����6 �� ������� � ��� �(� ���� �� �� ���� �� �� ����� ��
�� � �� � �� � �� � �� � �� � 8 �� � � ���& � � � �
9�� ��� *������ : ��� � ������ �� � ����� ��� � �������
������� ��������������� ��
9�� � � �� !� "'�7# �� ����
� � ��� � ������������
��
��
�����
���� �'��8��
�� � � ������ �� ��� �� ���� ��
�� � ��� �
���
��� 8
8����
��
���
������
��
�������
��������� �
��
�� 8
8� ��
��� �
��
��� �'��8��
��� ���� �� ��� � �� !� "��'# ������� ���� ���� �� � �� �� � �� ��� �� � �� ��� � ������� �� �� ��� �� �� ��
�� ����� � �� ���� �� ��� ��� �� � �������� � � +�������� �� ��� ������ �� � ��� �� ���� � ���� �� � � � ���� �� �� ���� ��� ���
����� �������� ����
��� �� ��� � �� !� "��%#
� ���
��
��
�����
���� � �
��
��
���
�����
����� �8
���
��� �'����
�� �� ������� �� � �� ��� �� �� ����� "�������� ���� �8 ����� � ����� ���� ���#��� ������ �� ������ ��� � �� ������ � � ������ � �� ���� �� ����
� � ����� �8
�� ����� �� ���� �� �� ���� �� �� ���� ����
����� ������ ������ �������2�� ���� �� � � �� ����� �� ����� �� ���� �� ���� ���
�� � ��
� ��
� ��8
�� � � ��
� ��
� ��8
��� ����� ���
� ���8
�'����
9����� �� ����� ��� �� ���� �� �� �� �� �� ��� � �
� �
�� �
� 8
� 8
8 8 ��� ���
��
��� �'��&�
�� ����� ������ �� ���� ������
�� �� �� ��� ��� �
�8 ���8
��8
���8
�����
���� �'��'�
� ����� � �� ��� �� ������ �� � ;���< �� ���
����� ����� ������ �������� �� ��� � ����� �� �� ��� � ���� �� � �� � ��� ���� �� ������ ���� �� �� ����
�� � ��
� ��
� ��
� ��8
�� � � ��
� ��
� ��
� ��8 �'��%�
��� ����� ���
� ���8
�� � ���� ��
�� � � ��
� ��
� ��
� ��8 � 8
����� �����
�� � �� � ��� �� ��8
+ ������ �� �� �� ����� ��� �� ���� ������� ��� �� �� �� �� �� ��� ��
� �
��� ���� ��
�� 8
�� 8
8 8 ��� ����
��
��� �'��3�
�� �� �� ��� ���
�8 ���8 � ��8
��8 � ��8
���8
�����
���� �'��7�
�������� ��������2�� � ������ ��� ��� ����� �� ������ �� ������� ��� �� �� � ��� ������ � ���� ������ ��� �� ������������� ��$ ��� ���� ������'�%
�� ����������� ����� � � �� ���������� � ���� �� �� ������ �� �� ��� �������� � �� �� ������� �� � � ����� ���� ���� � � ����� ������ � ��� �
� ���� ��� ��&
��� ��&
��� �&&
��
��� �'��-�
������� ��������������� ��
� ������� �� �� ������ ����������� ���������� "��� ������ ���� �� �� �� � �� ��� ������ ���� �� ������ �!�������� �� �� ,������$=� � ���������� ������ �� � � ���!���� �� ������ ����� ������� ��� �� �� �� � �(� ������ � ���� ��� � ��#* ��� �� ��� ������ � ��� � ���� ��� � �� �� � > �� ����< �� �������� ���
����� �� ����� � ����� � �� � ���� ���� �� �� ������ �� ��� �� �� �� ������ �� �� �� 9��� � �� ����� ���� ��� ��� ������� ��� �� �� � ���� ������ ��$ ��� ���� �� ���� � �� ���� �������� �� � � �� ��
?�(�� (��' �� �(�� �� �� ����� � ������������ � �� �� � "����� ���� ��� ���# "2��� '��#�
�� ��� �
� ��� �
� ��� �
�� �� ��� �
� �� �
� ��� �
�� �� ��� �
� ��� �
� �� �
��� ����� ��
���
��� ��
��
��
��� ��
��
��
�'��.�
� ����� �� �� � �� � "�� � ������ # ��� ����� �� �� � �� ��������� � �� ���� �� �� �� � �� �� ��� � �� � � ����� �� ����� � �� �������� � �� ��� � �� ������ �� ������� �(�� �� � � � �� ��� � � ��
� � ��� ���
� �� 8
�� � 8
8 8 ���� ����
��
��� �'��8�
y
z
x
Plane of strata parallel to xz
��� � � � �������� ������������ ������ �� �������
�� ����� ������ �� ���� ������
��� ���� �� ��
� � ���� ����� � � �����
���� ���� ����� �� 8
����� �� ��� ��� 8
8 8 ���� ����� � � �����
���
���� �'����
��� ���� ����4��� � � 2��� '�&� �� ����� �� �� �� �� � � ������ � �� ����� �� �
�� �� �� � �� ���� � ������� ������� � � ������� �� � ���������(�� � � ���� �� �� ��� �� ��� � �� ������ ������� � � ����� �� � � ��� � ��� ��
� � ���� �'���������
� ���� � �� � �� � � �� ��� � ��� � � � � ���
� � ��� � � � ��� ��� � � �� �
��
��� �'��&�
�� � � � ����� � 2��� '�&��� �� �� � �� � �� � �������� � � �� � ����� ����� �� �� �!���� �
�� ���(
��� � ���
��
���� � ����
m
i
j
x'
y'y
x
β
��� � � �� ������� �� �������� ������������ ������ �� �������
������� ��������������� ��
���� ����� !� "'���# ������ � � �� "�� ��� ���� �� �#
� � ��� �'��'�
����� ����� ����� ����� ������
>�� ���< ���� ����� ��� ����� ��� ������� �� ��� ��� �� ��� � �������� 9���(���� ��� �� ���� �� ��� �� ���!�� ��� ������ ��� ����� ����� �������� ���� � � �� ��� ��� ��� ��6
�8 � ���8 ��8 ��8 ���8 ���8 ���8�� �'��%�*� ����� �� �� ��� ��� ���� � ������� ����� � �� ��� �� �� �� ��
����� � � ���� ���� �� ����� �� �������� �� � ����� � �� ��� � �� � �� �� � ��� ���� �� ������ �� �� ��������� ��������� ��� ���2�� � �� ����� �� ����� � � ����� ��/�� � � ������ ��� ��� �� �� � �
���5��� �� ������ ������ � �� ���� ����
�8 � ����� � � 8 8 8�� �'��3�� � ���� ��� ��� ����� �� � ������ ���� � ��� ���� ��� ���� ��� !�"'��'# ����� �� �� ��� ��� ���� ��
�8 � ����
�
8
�����
���� � ��� �'��7�
� ����� ����� �� �� �� ������������ � �� �� ���� ���� ������� ��� � �� ������ ������ � ��� ������ @�� !� "'��7# �� �� ��� ������ ��� ��� �� ��� ��� ���� ��
�8 � ��� ���� �'��-�*�� ����� �� ����� ���� ������ �������� ��� �� ���5��� �� ������
������ ��� ���� �� � ����� ��� � �� ������ ��� �� ������ ��� ������� ��
�8 � ��� �'��.������ � �� ������ �� ������ � ���� *���������� � � ����� ������ � ���� ������ ����� �� ��� ����� � � �������� �� �� �� � �� � ��� � �� �������� ������ ����� �� �� �� �� ������ �� �� ��� ��� ��� � ������ ������ ��� ����� �� � � ������ "����� � � � �������� ����� ��#
� � ����8
��8
���8
�����
���� � ��
��
��
8
�����
���� �'�&8�
����� �� �� �� ��� �� ������ ���5��� �������� � �� � �� � ��������� ������
�� ����� ������ �� ���� ������
�� �� �� ��� ������ � �� �� � � �� � � ������ � �� �� ��� ������� ��
�8 � ���8 �'�&������� � � ���� ���� �� !� "'��&#� ���� �8 �� �� ����� ������ ��� � ���� �� � �� �� �� ���� ������ �� ��� � � ����� �!��� � )��� � �� �� � ������� ��
����� ��� ��������� ����
��� �A� �� ��� �� �� ����� ��� � ����� ���� �� ������ ���� ����� "���&#�� � �� ���5���
�� � �
���� ��� � ���� �'�&��
����� � � �� ���(� �� �� ����� �� �� � ���� �� � �(� ���� �� ���� �� �� ������� �� �� ���(� �� �� ����� � ����� � �� �� � � � ���� �� �������� � �� �� � � �� �)� �� ����� �������� ��� � �� ��� �� �� �� ������ �� � �� � �� ���� �����
�� � � ��� ��� �� �'�&&�
����� � � �� ���� �� �� ������ B������� ����� �� !� "'�%#C� ��� ���� � ���5��� �� ������� ��� ����� � �� �� � �� �� ��� �� ��� ����� �� ���� ��� � �� ����� ���
����� �! ������ !�� �� ����� �����
���� ��� ���� ����� �� �� �� ������� !� "���&�# ������ � ��������� �� � ����� ��� ������
������8 � ���� ��8��� � �� �'�&'����� >�� ��� ���< ����� �� ���� � � �� ��� �� � ����� � � ��!���
���� �� ��!���� ������ ������ ��� 9������ ������� ��� ������� ��� �� ��� �� ������
����" ������#���! #�!� ������
� �� ������ ��� �� ���� �� �� ��� ���� ����� �� �� ���� � �� �� ���� ���/�� � �����
� ����
�
� �� ����� �� �� �� ��������� � ����
������� ��������������� ��
*���� �� !� "���&�#� �� �� ���� �� �� ��� ����� � ��� � ���� ��� � ���� ��
� �� � ����
���
�����
�� �� !� "'�7#�
� �� � ����
���� �� ��� � �� �'�&%�
�� �� ���� ����� � �� � ��� �� � � * �� � � �� � �� � ���� �� �� ��� ������� �� ������� ��� 9��� ������ � ���� �� �������� ��� � ������ ��� ���� �*������ :�� �� ������ ��� �� ������� �� ���� �� �������� �� �� ����� �� ������� � �
�(� � �� �� ���� �� �� ����� � D���� ���� �
�� �� �� � 8
�� � ��� !� "'�-#
� �� � ����
��� �� ��
��� �
���
���� �
���
��
&�'�&3�
�� ���� �� � �� � ���� -.� ������ ��� ��� �� ����� �����
� � �� ��
� ��
� ��
�����
���� � �
�
�
�
�
�
�
�������������������
������������������
�
&�'�&7�
����� ��� ����� �� �� � �� ����� �� �� � �� � �� � ����� �� ��� � ������ ����� ��� �� ���� �� � �� ��� � ���� �!��� ��� � ��� ��� ���������� � ������� � �� ��� �� �� �� � ����� ������� ���
����$ %�!� ����� �������
� ��� ��� �� ���� ����� ��� ����� � ��� �� � ���� ����� �� � ��� �
� � � �
��� � � �
���'�&-�
�� �� �� � ���� �� ��� �� �� ����� �� � �� �� � (�� �������� �� ������� � ������� � ���� ��� � �� ��� �� �� ���� ����� �� �� �� � ��� ����� ���� � �� ��� �� �� ����� � �����
��� � �
�
�
�����
���� �'�&.�
� ����� ������ �� ���� ������
�� �� � �������� �� � �� � ����� �� � �� �� �� ���� ������� �� �� �� ����� � ��� >���� ��� ��< �� � ����� �� ���� �������� �� ���� �� � ���������� ��� ���� � �� ��� � ������� ! "'�'#$"'�3#� �� �����
� ������������� �'�'8�����
� � � �
��� ���� �� ��
���
��
��
� � � �
��� ����� ��� ���
���
���'�'��
��� ��� �� �� ���� ����� ��� � �� ���� ����� �� � ��� ���� �� ������� !� "'�&7#��
� � � �
3
�� �� �
��� ��� ��
�� �� �
��� ��� ��
�� �� �
��� ��� ��
���������
������������� �'�'��
����& �'����� �� ��������
��� ������� �������� ����� �� ���� �A� �� ��� �� �� ��� ��� � �� ���������� � ��� �� ��� ��������� � �� �� �������� �� �� ��� ���� � ������ ��� � !� "���3# � �� ���� �� �� ��������� �
�� � � �� ��� ���� ����� ���� ��� ���� �� �� ���� ���� ��� �� � �� �� �� ����� � � � ���� �
��� ��� � �� �� ���� �� �� ����� � �� � �� �� �� ������� � �� ���� �� �� ��������� � ��������� * �� ��� ��� ��� �� �� ���� �� ����� � ����� �� �������� �� ����� � �� ��/��� ����� � 9��� >����� ��< ������������� ��� ��� � �� �� �� � � ��������� ��� �� ���� ���� ��� ������������ � ��� ���� � ������� � �� �������� ��� �� ���� ����� �� ��� �����
����� � � ���� �� �' �� ���� �� �� � �� ������� �� �� �������� �� ��� �� �� �� ��������� �� �� �������� ��� �3�7
� � ������� � �� ���������� �� ����������
����� � � ���� �� �� ��� �� � ���� ��� ��� � ������� � ������� �� �9��� '�� �� � �� ���� �� ��������� � ���� ��� ��� ����� � �� ��� �� �
������� � �� ���������� �� ���������� �
�� � �������� � � � ��������� � ��� �� � �� ��� � 2������ ���� ��� �� �� �� ���� �� ����� �� ����* �������� � ���� �� �� �� � �� ��� ����� �� ���� ����� �� ��� ��
��������� �� ���� �� ����� �� ��� ��� ����� �� �� ���� ��� ��� � ���� ���� ���� ��� �� �� ��������� � �� ���� ��� �� ���� ���� �� ����� ��� ���� �� ��������� �� � � ������� � ����� 1������� � �� �� ������)�� �� ��� � �������� ��� � ����� ��� �� �� �� ���� �����������E ���� �� ����� ����� � ���� � ���� ��� � � ���� �4�� � ����� � ��� �� ������ � (�� � �� ����� �� �������� ���������� �
������ ������� �� � � ��� �� ��� �� ����� ��������� � �� ��� ������ ��� �� ����� �� �� ���� �� �������� �� � (��� ���� � ��� �� �� �� � ��� �� �� ���������� ��� �� �� ���� ��� �� ���������4� � �� ��������� �� ��������� �� ������ �� �� � ���� �� ����� ��
��������� �� �� ���� �� ������� � � ������ ������� ��(��� �� � � ���� ����� ��������� 9��� �� �� ��������� ���� ������ �� ������� �� �� ��������������� � �� ���(�� �� �� ����� � � �� ���� �� ������ � ��� ����� ������� ��� ����� ����
��� �� ��� ����������
����� (����� ������ )�!
�� �� ���� ��� �� � � ��� �� �� � ������ �� ���� ��� ��� ���� �� ����� ��������� �� �� � ����� ��� �� ���� ������� ���� �� �� � �� ���� ��� ��� �� ������ ��������� �� �� ������� ��E ���� ���� � � ����� � � �� ����( ����� � ����� �� ��������
����� *����� '����+ ������ )�!
1���� ��������� �� ���� ���� �� �� �� � �� �� �� ���� ����� ��� �� �� ��� �� ���� �� ��������� � ���� � 2��� '�' � ����� ������� �� � ������/�� � �� � ����� ���� � ��� �� � � ������ ����� ��������� � �������� �� �� �� ����� ���� �� ���� �� �� ����� > ������< �� ���� ����� ��� � ��� � �� �� �� � �� ����� ��� ����� �� �� � �� ���� �� ������� �� ��� ��� �� �� >� < ��� ������ �� ���� ������� ����)� �� �� ���� �� ������ ��A�� ���� ���� �� ���� �����
"����� ��� ����� )���#� *���� �������� � ���� �� � �� �� ��� ������ � ���!���� ���� ���� ����� �� ���� ������* � ���� ���� �� �� ������� �� �� ��� �� �������� ����� � �(� �
���� �� ���� �� �� ���� ��� ��� ���� ������ ������ ��� ��� ������� � �� ���� ���� � � � �������� � ����� ��� ������� ��������� � ������ �� �� ��� �� ���� �������� � ��� � 2��� '�'� � �� � ��� � ���� ��� ����� ��� ��� � 1������� �� ���� ��� � ���� �� �' � �� ��� �� �������� ��������� ���� �������� ����� � �� � � ����� �� ������� ��� �
�� ����� ������ �� ���� ������
����� ������ ������������
* ���� ����� �� � ������� � ��� � 2�� '�% �� '�3� 1��� �� F�� �� ������� � �������� ���� � � �� ����� �� � � ��� ����� �� ���� �� ����� � ��������� ��� �� �� ���� �� ��� �������- * ������ ������ � � ����� ���� � ����� � ���� �� ����� ��� � �� ����� ����� ���� �� ������ �������� ��� ��� �������� ���������� �� �� ���� ���� 2��� '�3 ����� ��� �� ������ ��� �������� ���� ���� ��� ���&�.
� �� �� ���� �� �� ���� �� �� ��� ���� ������ � ���� �� �� �� ���� �� � �� �� �� ���� ������� � ����� E �������� �� �������� �� �� ����� �������� �����
σy = –1
Exact(σx = τxy = 0)ν = 0.15
l
Nodal averages
Value atcentres oftriangles
y
x–0.440.070.07
–0.44–0.07–0.07
–0.86–0.07–0.07
0.00–0.070.07
–0.450.07
–0.08
–0.45–0.06–0.06
–0.86–0.07–0.08
0.00–0.07–0.06
–0.48–0.08–0.06
–0.48–0.060.08
0.00–0.09–0.09
–0.830.04
–0.04
��� � � ���� ������� �� ��� ������ �� ���� ����������� ���� �������� �� �������� �� �� ������ ���� � �� � �� �� ������ �� ��� �������
������� � �� ���������� �� ���������� ��
� � ���� �������� ����������
+�������� �� ���� ���� ������� �� �� �� �� ��� ��� ���� ��� �� �� �� ������ �� ��� �� �������� �������� �� ����!�� ��� ���� ������� �������� � ���� ��������� ��� �� � �� ���� ��� �� ��� ��� �� ��� �� �� �� �������� ����� ������ ���� �� ���� ����� ������� ��� � � ���� ����* ��� ������� �� �� ��� ����� ������� �� �� �� �� � ����� �� ��� � �������
������� �� �������� ���� ��� ���� �� �� �����
σx = –1
x
y
��� � � � ����� ���� �� ������� ������ ����� �� ������ � ������� ��� �������� ��������� �� ��������� � �� � �� �� � � � !� � � "��� � "� ��� � "�# �
–1.0 –1.0
–3.0 –2.83
σx σx
1.01.75σy σy
(a) Isotropic (b) Orthotropic
Exact solution for infinite plate
Finite element solution
��� � � $�� ����� �� ��������� �� ����� ������� ������� ��� ��� �� �� ��� �� %��� #�&�
��� ����� ������ �� ���� ������
52100
47100
49
48100
x
y
Restrained in y direction from movement
A
B
C
��� � � ��������� � ����� �� ���� '������ ������ ���� � ������ ���� � ����� �� � �""� �� � &"� (��)���� �� ��� ������� �� *� �� $ �� �� ��� ���� ��� � ! � !�
����� ������ ,�- ����! ���������! ������+ �.�+� ��"�
� ��� ������ ���� �� ������� ��� ���� ����� ���� � �� � ������� � �� ���� (�� ��� ��� �� �� ��� � ��� ������� ��� ���������� ���� �� ������� � ���� ��� �� (� � ��� � ������� � ���(� � ������ �� ��� ��� ����� �� �� �A�� �*���� �� ��� ������� ��� �� � ��� �� ���� �� ���� � ��5��� ���
��� ����� ��� ���� � � � ������ �� ���(� ����� ��� �� ��������� ������ �� �� ��� ��������� ����� ��� �� ���( �� ����� ��� �� ���� �� �� ������ �� �� ��� ��
������ ���� ��� ����� � �� �� ���� �� �������� ����� �� �� ���� ���� ������ ��������� � ���(� � ������ ��� �� �� ��������� �� ��� � �� ���������� � 2��� '�7 ����� ���� ��� �� �� ���� �� ��� ��� �� ����� � ������� ������ ����� �� � �� �� ����� � ������� � �� ����� �� �� ������ �� �� ��� ����� �� � ���
����� /� ���������� '�� ��#0��� �� ��������� ������$ �.�+� ��$�
* ���� ����� ������ ��/�� � � ������ ����)� �� �� � ��������� ����� ����� � �� ����� �� ���� � > �������� �� �����<� �� �� ����� �� �� �� � ����� ���� ��� � ��� ���� �� ��� ��� �� ���� ����� �� �������� ��� ������� � ��
���������� � ��� � ������� �� ������ ������� �� � ���( ��������"9�� �������� �8 ��� ���� ���� ������� �� � �� �����#
����� / ! ��#0��� �� ������ �! ������ -��� ��������������
* �� �� ��� � � ������ ������� ���( ����� �� � ��� � 2��� '�. ��������� ��� ��� "������ �� � �.3'# � �� ��� ������ � ��� � � � �� �� ������ �� �� � ����� �� ��� �� ������� ����� �� ���� ���� ��� �� ��������� ����� �� ����� � ��/�� � ���� ��� ���� �� ����� �� ��� � ���� �������� � � � � �� ���� �� �� �������� ���(��4� � �� ���� �� ����� � ������ � ������ ������� �� ����� �����4�� ���� ������ ��� ��������� �� � �� ��� �������� ��!���� ������ ���
������ ���� � ���� (�� �� � � ����� �� ����� �� �� �� ������ � ���� �� � ��
��� ��� � � ���� ��� � �� ���� ���
� � � ��
��� � � ��
���'�'&�
�� �� �� �� �� ���� ������ ��� � �� ������������ ���� ������ � �� � ��� � �� � ���� ����� �� � ���� � ����� � !� "'�&-#�
2����� '�. ��� �� ����� �������� �� �� ����� �� �� �� ��� �� �� ����2����� '��8"# �� "# ��� �� ��� ���� �� ���� ����� � "������� � �� ������# �� ��� ��� �� ������ ����� � �� �� �� � � �� ���� ���� ��� �� ��� ������
��� ����� ������ �� ���� ������
� � � ���� ���� ������� =� � ��� �� ����� � ����� ���� ������ �� �� �������� ��� ��� � �� ���� ���� �� � ����� � ���� ��� ������� �� ���� ��� �� �������� >�A�� ���< ���� ���� ������ ��
����� ���� �� �� ��� �� ���� ��� ���� �� ��� ����� � ��� �� �� ����� ��� � �� �� ���� ������ � ��
� � ��� � � ��� �� 8� �'�''������ ����� �� ������� �� ����� � �� ������ ������ ���� �� ����� ����8��&
��� �A�� ��� �� � �� ��� ������ ����� ��� � �� ������� �� ����� �������� � ��� �� ����� � �� ��� �� ���� ���(� �� ����� �� ��� ���� ���� ��
–0.37–0.71
–0.27–0.73
–0.11–0.75
–0.40–1.06
–0.49–0.99
–0.56–0.89
–0.55–2.03
–0.51–0.27
–1.89–0.88
–0.66–7.49
–0.23–1.35
–0.32–1.15
–1.95–0.27
–2.20–0.36
–1.78–0.14
–2.08–0.13
–4.50–0.27
–2.61–0.38
–1.86–0.02
–0.12–0.01
–1.58–0.03
–1.440.04 –1.10
0.05
–0.98–0.05
–1.05–0.05
–1.15–0.12
–1.24–0.16
–1.03–0.01
–1.25–0.04
–0.970.04
–0.870.06
–0.970.00
–0.910.04
–0.860.06
–0.860.13
–0.780.17
–0.960.12
–0.920.08
–0.860.03
–0.960.07
–1.090.01
–0.970.02
–0.260.02
–0.670.02 –0.83
0.04 –0.810.08 –0.74
0.14–0.67
0.20–0.76
0.04
–0.790.08
–0.720.08
–0.630.05–0.62
0.11
–0.660.11
–0.710.04
–0.530.08
–0.460.020.09
0.08
0.16–0.04
–0.300.01
–0.470.04 –0.54
0.05–0.54
0.11
–0.510.08
–0.510.06
0.21–0.02
–0.18–0.01
0.20–0.02
–0.340.04
0.07–0.01 –0.13
0.03
–0.20–0.01
–0.32–0.03
–0.440.03
–0.410.06–0.41
0.10
–0.290.06
–0.280.04
–0.360.11
–0.200.04
–0.97–0.01
0.00–0.02–0.01
0.14
1 2 30
1
2
3
Tensile zone
10 to
nne/
m2
E2 = 1 tonne/m 2
x = 2(1 – y2)
0 1 2 3 4 5 6 7 80
1
2
3
4
5
6
7
8
E1 = 10
E2 = 1
y
xu = 0 Region analysed
σy = –1
��� � ! � �����+��� ����� ���� ���,�� �� ����-���� ������ ������ � ��� ����� �." ������ /0 ����������
���� �������� ���������� ���
� ������� �� ���� ����� �� !� "'�'&# � �� ��� �� �A�� ��� �� � �� ������� ��� � �������� �� ���� ����� ��� ���� ������� ��� � �� ���������� � �� ������� ����' �� �� ������ �� �!��������� ���� �� �� !� "���8#�� � � �� �� � ��� � � ��� �� � �� ���� 4�� �� �� �� � � ��� ���� ��� !� "��%#� � ��� �� �A�� ��� ���� �����
� � ���� �8� � �8 �'�'%��� �� � � �� � � �� �!��������� �!�� �� "���8# �� �� �� !� "����# � ������ ����� �� � �� �A� �� ��� ��� �� �� ��� � �� �� ����� ��� ��
Buttress webthickness 9 ft
Constant web taper1 ft in 82 ft 6 in
60°60°
207
ft 0
in
A A121 ft 11 in 121 ft 11 in
10 ft
125
ft 0
in47 ft 0 in 12 ft 0 in
10 ft 6 in
Sectional plan AA(a)
Dam EC
Fault(no restraintassumed)
Altered grit E = EC110
Zero displacementsassumed
Grit EG = 14 ECMudstone E = EC
12
Zero displacementsassumed
(b)
��� � " 1����� ������ �� �������� ��� � ��� ������ �������� �� ������ �� ��� �� �� ��� ����� ����� ���������� �� (�� �������� ������ ������� ��� 23���� �� ��������� ��������� �� �������� ���� ��������������
��� ����� ������ �� ���� ������
–6
–11–16
–18 –8 –22–37
–15–84
–29–29–39
–31
–60 –66
–41–198
–18
–202
–10
–5
–199
–260–283
–2–8–14
–256
–12
–273
–108
–39–65
–47
–71
–29–142
–8 –9
–328 –309
–5
–249
–16
–289
–16
–289 –289
–11 –1
–392
–5–13
–293–288
–19
–317
–18
–327
–7
–337
–8
–355
–7
–375
–11+17
–178–99
+136
–4–85
–70
+17
+8–84
+37–92
–95–2
–84–9
–84
–13 –54
–8
–77
–22
–6
–4
–9
–33 –15 –66
–3–42
–8–17
–205
–282
–4
–43
–11
–14
–48 –52
–34 –25
–188
–18
–253
–15
–240
–8
–238 –246–2
–18–46
–27 –78
–14–170
–304
–2
–288
–9
–285
–14
–290
–8
–202
–2
–347
–7
–310
–17–21
–315
–13
-320
–6
–329
+4
–211
+20–10
+12
–345
+23+16
–30
–13 +144
–118
+59
–9 –265
+26
–100
+10
–358
+5
–1–78
–313
+4
–7
–332
–8–79
–14
–333 –332
–23
–80–15
–296
–310
–25
–473
–303
–39–54 –7
–59–17
+3
–47 –1
+3
–42
–71
0
–87
–4
–69
+3
–62
–2
–61
+8
–71 –75
–8 –16–67
+9
–46+22
–54
+17
–51
+8–38
–59+20
+31
–28
+38
–97–29
–70–14 –11
–70
–17+3
–300
+200
200 lb/in2
300 lb/in2
Compression (–)
Arrow indicatestension
Tensile zone
Tensile zone
–300
+200
200 lb/in2
300 lb/in2
Compression (–)
Arrow indicatestension
Below the foundation initial rock stresses should be superimposed
(a) (b)
��� � �# 1����� ������ �� ��� �������� �� �� %��� #�/� ����� � �������� ��� ������ ���� �� ������� +��� +��� ��������� +��� �� ������ �� � �� � �3���������� ��� � ���� ����� ��� �� ��� ��������
!� "���&�# ���� ����� �� �� � ���� ���� �����
����
��� ������ �'�'3�
��� �� � � � ������ �� �� ���� ��� �� � � � �� ����� ������
����
��� ������� � �'�'7�
��� �� ��� ��� ���� �� � ������� ���� ������ �A�� ����� � ���� ����� ������ �� �� � � �� ��� B� � !� "'�'3# � ������ ��� �����C �� �� � �����!�� �� ��� � ���� ����
����� 1��2��+
��� ���� ��� � �� ������� ������� ���� ���� �� ���� �� ���( � ����(� �� � ���� � �� �� �� ������� ��� ��� � ����( ����� �� �� ��� �� ���������� ��������( �� �� � ������� ���� ����� � � �� ����� �� ����� )��� ��� ��� �
����� � ���� ����� � * ����� �� � � ���� ����(�� ����� � ��� �2��� '���� ����� � �� �� �� �� �� � �� �� � �� �� ����( ����� � ����� �� �� ��� ���� ��������
Upstream
Tensile zone
Compression ( – )
200 lb/in2
400lb/in 2
Tension ( + )
Stresses exclude theoriginal rock stressesin foundation
Arrow indicatestension
Cracked zone(materialconsidered)as E = 0
Tensile zone buttension less thanprobable initialcompression in rock
��� � �� 1������� �� �������� ��� (�� ����������� �� 4�)5 ������� ��� ������ ������������ 6��� ���7��� � %��� #��"���8�
�� ����� ������ �� ���� ������
Compression ( – )
200 lb/in2
Tension ( + )
Arrow indicatestension
+200
–100
100 lb/in2
Temperature in this region –15°F
Temperature dropslinearly here
No temperature charge in foundation
��� � �� 1����� ������ �� �������� ��� (����� �������� ��� �� ������ �� ��� ����� �� �� �& �%�� � ! �"9 ��:�� � � � 9 �"�9��%��
–5 –31
2
–49–8 –42
3–80
–8
–2512–57
–62
13
–32–51
17
–59
9
–98
8
–124
–135
–217
–355 –37
9
–2 10
–6
5
–1
7
–2
–62
7–53
3
–291
–52
1
–56
3
–19
–49
–6
–42–5
–6–85
–6
–56 –71
–59 –8
–85–1
–98
3
–75
–1–12
770
–13
–48 –40
–3
–29
–10
10
–11
7–27
8
4
–61
3
–871
–113
1
–105
–108
0
–1
–149
2
–198
–25
–117
–12
–116
–21
–130
–20
–111–101
–16–10
–88
–1
–89–26
15–21
35
32–22
54
–4
–352
–2
61 –1 48
–6 498
52
–49
3–89
–7
–11
–92–103
–18
0
–79
6 –53
–54
5
–114
–8
1612
27
12
67
121
–7
28
–1534 –2614
–429
–147–15
–8
–29–323–520–374
105
–407–94–9
55
54–70
31–1440
4 x 106 lb
1.3 x 106 lbLoad effectof prestressing
Prestressing cables and gate reactions
60'
–135
25' 25'10'Tailwater level
0 20 40 60 80 100 ft
0 10 20 30 40 ft
Water level
155'
��� � �� � ���� ����� +��� ���� �� ����������� �����
���� �������� ���������� ��
��� � �� �� ����������� �+�� ������� ;��� ���� �� �������
250000 lb/ft2
Indicates tension
x
y
��� � �� �� ����������� �+�� ������� ���� �� ���� � ���������
* ���� ������� � ��������� ��� ������� ����( ������� �� �� ���� �� ������ ���� �� �� �� ��������� "�� G����� �#�
����� ���� ��������
* � ������� �� ������ �� ����� � �� �� ��� ��� � ��� ���� ����� ������ ��� �� ���� �� ���� ��� H��� �� �� ����� ��� ���� � 2��� '����
����� 3�'��� ! �
* �� �� ��� � � � ���� ������� ��� �� ������� �� �� �� � ����� �� ����+ ��� ���� ��� � ����� � ��� �� � �� �� ��� ���� �� � �� �� ��� ������� ��� ��� 2����� '��& ��� � ����� �� � ����� ����� � ���� �� ��� �� ��� �� ��� �� ��������� �� �� ����� � ����������� ��� �� � ��
����� � �� �� ����� ����� �� �� ��� ����� ����� �� ���� /�� �� ��� ���� �� �� ���� � ������� �������� �� �� ���� � ������)�� ����� ����� � ����� � � � � ���� ���� � � ���� ��� ��� �� ������ �� ����� �)� �
��� � ��� ���� �� �� �� �� � �� ����� ��������� �� ������ �� F�� � �� ���� �� �� ����� �� ���������� ��� ����� �� �� �� �)� �� ����� � ����� ����� � �� �� ����� �� &8 � � " �� ����� ����� �������� � �� ����� �� ���� ��� � �� �����#�
����" (�!��+����! ��-�� ������
��� �� �������� ���� �� �� � 2�� '��' �� '��%� ��� � � ��� �� ������� ���1��� �������� ��� ��� ��� �� �� ��� ������� � �� ����� ��� ��A��� ������ �� �8� �� �� ��� ��� ���� ��� ��� � ���� �� � �� (����������� ���������� ���� ��� ��� ����� ��� �� �� ��� �� ��� ���� ������ �� ���� �� �� ����� ��� ���� � �� ���� �� � �������� ������ �������� � � �� �������� �� �� ����� �������� ���� �(� ��� ����� �� >����<�� � � � 8�� 1������� � �� �� ��� �� ����� �� ���� ��� ��� � ����� ��������� � 9��� .��&�
� � ������ ��������� �� ���� ������ $��� ������������%�� ��������
� ���� ���� ��� � �� �� �� ���� ����� "'��3# ����� �� ��� ��� � �� ��� � ���� �� ����� �� ����� ����( ��� ��� ;���< �� �� ������ � ����� �� 8�% � ����� �� � ���� ��� ������ ��� �� * ����� ��� �� ���� ����� �� ��5��� � � � �� ����� �� ;���< �� �� ��������� �� � 8�% �� � �!��� � � � ������������ �������� �� �� �� � ��� �� ��� �� �� ������ � ��� ������ �������� �� ��� � ��� ������ � ���� �� �� ��� ����
��� ����� ������ �� ���� ������
� � &�������� �����'
� ���!�� ���� ��� �� ���� � ������ ����� ����� ���� ���� ���� ���������� ��� �� ��� ����� �� ������ �� ������� � � ��� ������ �������� ����� ��� � �� ������ �� �� ����� ������ ��� ���� � ������ ��� ���������� ���� ����� �������� � ���� ������� � �� ��� � � ������� � ���� ���� ��� ������ �� �� � �� ����� � ��� �� �� ���� ��� ��������� ������ ����� �� �' �� �%�
(���������
�� ,�I� ������ H�4� ������� 1��� ,�� �� �� ?�I� ����� 9 �A� �� ��F�� �� ������� ������� ��� ���� �� ����� � �� ��� -8%$�&� �.%3�
�� H�4� ������� ��� �� � ����� � ���� �� ������ ��� � ��� ���� ����� �� ��� ����� ����������� ;� ������ ;��� 9�� � �.38�
&� 9� ������(� �� I�D� 0������� ������ �� ����� ��� �� ���� ,�0����1���� �.%��
'� 9�0� ?�(�� (��� ������ �� ����� �� �� �� �������� ����� ���� "����� �� ����H��� �� ;� 2��#� 1���� :��� 9� 2������� �.3&�
%� H�2�9� 1������ �� ������ ��� �� ������ �������� ����� ��� +����� @����� �;��� �.3��
3� +��� J��(�����) �� I�J� J��� ��� ����������� �� �� �������� "9;H# �� ���� ����� � ����� ������ � ����� !������ ����� !� �� ����� ���� �87$�'� �..��
7� =� =������� �� +��� J��(�����)� H������� �� �!��������� �� ��� "H ;#� ��������
�� ��� !���� ����� ��� �&7$%'� �..7�-� +��� J��(�����)� K�L� ������ �� L�0� 9 ���� 9 ��� � ��� ����� ����� �� ���� ������ �������� � ������� �� ���( �������� �� ����� �������� �� �7�$-�� �.33�
.� 0�D� 9���� ������ ��� �������� ������ "���� "����� �� ���� H���#� ;������;��� �.3��
�8� +��� J��(�����)� *�1��� ���� ,� ;� ��� =� 9����F��� �� �� 9������ ������������#���� ��� �� I�� 4���� �� 9�� ������ ��� �...�
��� +��� J��(�����) �� K�L� ������ =� �� ��� � ������� ���( ����� ��� $������%��� ��� �.&� �.3'�
��� +��� J��(�����) �� K�L� ������ 9 ��� � �� �� ����$���� ��%��� ��� 3.� �.3%�
�&� L� ���)����� ������� �� ��� !� ��� �� 4����� �.'&��'� +��� J��(�����)� �� 1������� �� H�4� ?���� * ����� �������� � ��� �������
�������� ������� ��� ��� � �� �������� ��� �� ��� ����� �� ���� �� !������ � ���
��� &� ' !� ��� �� L�������� �.7%� 9�� ��� ���� �� ' �� (��� �������� � #����� ��� � "��� 0� 0�����#� ��� �%�$7-� 4����� �.77�
(��������� ���