東 海 大 學

工業工程與經營資訊學系

碩士論文

結合混沌理論與模糊迴歸之預測模式

研 究 生 林葦柔

指導教授 張炳騰 教授

中 華 民 國 一 二 年 六 月

I

Combine Forecasting Model with Chaos Theory and

Fuzzy Regression

By

Wei-Jou Lin

Advisor Dr Ping-Teng Chang

A Thesis

Submitted to the Institute of Industrial Engineering and Enterprise

Information at Tunghai University

in Partial Fulfillment of the Requirements

for the Degree of Master of Science

in

Industrial Engineering and Enterprise Information

June 2013

Taichung Taiwan Republic of China

II

結合混沌理論與模糊迴歸之預測模式

學生林葦柔 指導教授張炳騰 教授

東海大學工業工程與經營資訊學系

摘 要

過去傳統迴歸分析成功表達了現象的因果關係然而由於許多社會現象的複雜性

有些資料具有模糊現象使得傳統的分析方法可能難以適用Tanaka et al曾於1982 年

提出模糊迴歸分析的論點認為觀測值與估計值間的殘差是由於參數的不確定性所造成

的而後續發展也有許多研究指出模糊迴歸分析對於處理具相關性之不確定性資料有相

當助益時間序列資料具高度自我相關性及不確定性故將模糊理論應用於時間序列模

式參數之估計是為一可行之方法

Tanaka 等人將傳統迴歸分析拓展至模糊環境後便有越來越多的學者紛紛投入模

式的建立與分析但多數文獻的共同特色是求解出的迴歸係數為模糊數造成進行應變

數的估計時估計值的散度會隨著應變數數值的增加而擴大因而降低了模式的估計準

確度

本研究提出將模糊迴歸估計方法與一般混沌時間序列參數之估計方法作結合以了

解所建構模糊模式的預測可行性利用兩種求解模式來建構模糊迴歸模式第一種求解

模型係利用 Tanaka所提出的方法建立模糊迴歸模式基於 H截集的概念直接對觀察值

求取出上下限值而第二種求解模式則是利用 Chang 與 Lee 所提出的修正型模糊迴歸

建立模糊迴歸模式其觀念為散度有負值使模糊迴歸更能保有明確值的特性

關鍵字詞 混沌時間序列複線性迴歸模糊理論模糊迴歸模糊預測

III

Combine Forecasting Model with Chaos Theory

and Fuzzy Regression

Student Wei-Jou Lin Advisor Prof Ping-Teng Chang

Department of Industrial Engineering and Enterprise Information

Tunghai University

ABSTRACT The traditional regression analysis has successfully expressed the phenomenon of

causality However because of complexity of phenomena and some of them has fuzziness it

may make the traditional analysis difficult to apply Tanaka et al had in 1982 proposed fuzzy

regression analysis and argued that between the observed value and the estimated value of the

residuals it is due to the uncertainty of parameters In subsequent developments there are also

many studies indicating that the fuzzy regression is helpful for dealing with the uncertainties

of correlated information Time series data has a high degree of autocorrelation and

uncertainty Hence fuzzy theory applied to the estimated of model parameters of the time

series seems to be a practicable approach

After Tanaka et al expanded the traditional regression to fuzzy environment there are

more and more investigators who have invested in the establishment and analysis of the

models But a common feature of the literatures is the regression coefficients that are solved

and are fuzzy numbers resulting in that when estimating the dependent variable the spread

value of the estimated will increase as dependent variable enlarges thereby reducing the

modelrsquos accuracy

This study proposes combining the general estimation method of chaotic time series

parameters and fuzzy regression estimation method to understand the feasibility of forecast

of the fuzzy model established Two fuzzy regression models are used in this study the first

is the method of Tanaka et al fuzzy regression model based on the concept of H cut directly

solving the upper and lower bounds from observations While the second model is the Chang

and Leersquos modified fuzzy regression model with the concept of a negative spread value

making fuzzy regression retain more the features of deterministic values

Keywords Chaos Time Series Multiple Linear Regression Fuzzy Set Theory Fuzzy

Regression Fuzzy Prediction

IV

致謝詞

在東海就讀了六年從成為大一新生開始懵懵懂懂到現在研究所畢

業有太多的回憶及感觸點點滴滴在心頭猶記第一眼看見東海地標路

思義教堂的心情尖聳的教堂頂端滿載著許多對未來的憧憬與期許也

還記得在東海上的第一堂課必須穿過路思義教堂的旁的大草皮走過長

長的文理大道充滿日式建築特色的工學院木製長廊最後坐進座椅被固

定的大教室如今東海的一草一木都將成為最美好最懷念的回憶

首先感謝張炳騰老師在研究的這條路上提攜指點不遺餘力的照顧

及關心研究生們使我在這兩年的研究所生涯裡獲得許多知識及理解做人

處事的道理謝謝博班的龍廷學長總是關心著我們碩二生在口試前一天

仍撥空陪我們預演練習給我們建議使我們大家能以較不緊張的態度面

對口試委員謝謝 IKS 研究室碩二的三位夥伴富源子琪宜璟在過去的

兩年裡一起努力做研究在最後關頭互相打氣成為精神支柱謝謝振鈺

宇凡士瑋士戎世念及意凡在就讀研究所的日子裡彼此扶持談論

未來一起度過許多難忘的時光謝謝碩一的學弟妹們秀儒凱雯逸琮

博仁負責處理研究室裡大小事務還有一同緊張準備 meeting一起出遊的

愉快我都深深烙印在腦中也謝謝佳陞在我熬夜時或是感到挫折時陪

伴我安慰我以及鼓勵我給我溫暖讓我依賴你的肩膀及胸膛是我的避

風港

最後謝謝我的爸媽跟姊姊總在我最難熬的時候為我加油打氣給予

我正面的力量讓我充滿能量繼續面對下一步的挑戰不論遇到多少瓶頸

家人的肯定是最大的動力來源擁有這麼完美且甜蜜的家庭真的是我的

福氣謝謝東海大學孕育我使我成長指引我前往光明的路上現已要

踏上未來的未知旅程我會繼續努力朝著目標前進

林葦柔謹誌於

東海大學工業工程與經營資訊學系

中華民國一百零二年六月

V

目錄

摘 要 II

ABSTRACT III

致謝詞 IV

目錄_ V

圖目錄 VI

第一章 緒論 1

11 研究背景與動機 1

12 研究目的與範圍 2

13 研究架構與流程 2

第二章 文獻探討 4

21 混沌理論 4

22 複線性迴歸分析 11

23 模糊理論 12

24 模糊迴歸 19

第三章 研究方法 28

31 混沌時間序列建立預測方法 28

32 複線性迴歸 30

33 模糊迴歸分析 31

第四章 數值分析 33

41 複線性迴歸混沌全域法 35

42 複線性迴歸混沌局域法 36

43 複線性迴歸去除季節性後混沌全域法 37

44 模糊迴歸 38

第五章 結論及未來研究方向 42

51 結論 42

52 未來之研究方向 42

參考文獻 44

VI

圖目錄

圖 11 本研究之架構與流程 3

圖 21 三角模糊數 17

圖 22 梯形模糊數 17

圖 23 模糊數的中心值與散佈值 20

圖 31 模糊區間隨自變數越大而越窄 31

圖 41 相空間維度及 LNC與 LN R斜率關係圖 34

圖 42 相空間維度及 LNC與 LN R斜率關係圖 34

圖 43 原始資料時間序列圖 35

圖 44 複線性迴歸分析預測與原始資料比較圖-全域法 35

圖 45 複線性迴歸分析預測與原始資料比較圖-局域法(K=200) 36

圖 46 考慮季節性複線性迴歸分析預測與原始資料比較圖-全域法 37

圖 47 TANAKA模糊迴歸 38

圖 48 TANAKA模糊迴歸中心線與預測值之結合 39

圖 49 TANAKA模糊迴歸中心線上下界與實際值之結合 39

圖 410 TANAKA模糊迴歸中心線上下界與實際值之結合 40

圖 411 修正型模糊迴歸中心線上下界與實際值之結合 41

圖 412 TANAKA上下界與修正型模糊迴歸上下界的寬度差別 41

1

第一章 緒論

本章節主要在說明本研究之整體結構透過研究背景與動機清楚導引

出本研究之目的並利用研究目的與範圍定義研究的範疇邊界將依下列

三小節逐項說明

11 研究背景與動機

在日常生活中很多的現象與問題往往充滿著不確定性面對不確定

性以往皆是用隨機的概念加以描述直到1960年代開始有人質疑隨機

的概念用在有不確定性之現象的適用性為了有效解決人文思維的不確定

性Zadeh在1965年首先提出了模糊集合的概念而後到了1970年Zadeh

與Bellman又區分出隨機(Randomness)與模糊(Fuzziness)之間的不同

在對某一對象進行研究時除了希望了解其目前的狀況之外更希望

能夠做到預測未來的現象生活中包含社會經濟教育體育等等的現

象與問題皆常常希望描述自變數與因變數之間的關係因此迴歸模型

便是一種最常用的統計方法

在傳統的迴歸分析當中所假設的估計值是由實際的因變數加上誤差

所產生的這也表式因變數是一種含有不確定性的隨機變數不過在現

實生活當中很多事情往往不符合這個假設因為許多的變數並不是一個

明確的數值而是含有多重隸屬的特性以問卷調查為例若一張為卷調

查的答案分為五個等級滿分五分意表「非常滿意」最低一分意表「非

常不滿意」若有兩人在填問卷時針對同一題問題一人回答「非常滿

意」而另一人回答「滿意」則我們不能太過明確的斷定得到5分的「非

常滿意」跟4分的「滿意」之間的優劣如果太過依賴實際數字去斷定這兩

位顧客的滿意程度也許會造成預測結果與實際狀況上的誤差

因此為了解決此種問題Tanaka等人(1982)提出了模糊線性迴歸模式來

處理模糊性資料的問題而Chang與Lee也提出了修正型的模糊迴歸此模

式是利用模糊的散度可為負值討論模糊迴歸來建立迴歸式由模式所估

計而得的迴歸係數與預測值均為一個模糊數或區間值此模式因散度挑

選為負值可修正掉Tanaka的模糊迴歸上下界不停擴散的缺點此點為其

最大的特色所以我們將利用模糊的不確定性特色來加入討論預測的結果

使預測視界更為開闊

2

12 研究目的與範圍

傳統的預測方法都是利用建立數據序列模型後再進行計算及與預測

然而隨著混沌科學發展發現混沌的現象存在於生活許多細節中於是學

者致力於發展混沌科學利用歷史資料的混沌規律性建立客觀的模型可

避免人為的主觀想法而影響預測的準確性

本論文的研究目的在於利用混沌理論建立時間序列與應用傳統複線性

迴歸計算進行預測已是一種在社會科學中被廣泛應用的預測方法但是

在預測的領域中加入模糊討論的情形卻很少在傳統的迴歸分析當中

所假設的估計值是由實際的因變數加上誤差所產生的也就是說因變數

是一種含有不確定性的隨機變數不過在現實生活當中很多事情往往不

符合這個假設因為許多的變數並不是一個明確的數值而是含有多重隸

屬的特性以學生的考試成績為例不能明確的斷定得到99分的學生和得

到97分的學生之間的優劣如果太過依賴實際數字去斷定這兩位學生的素

質高下也許會造成預測結果與實際狀況上的誤差

因此為了解決此種問題Tanaka等人(1982)提出了模糊線性迴歸模式來

處理模糊性資料的問題之後續有學者Chang與Lee也提出了修正型的模糊

迴歸選擇散度可為負值所以本文將依模糊理論中的模糊迴歸的特性來

加入預測值範圍討論處理不確定性問題

13 研究架構與流程

本論文的研究流程如圖 11 所示主要研究步驟從確立研究方向進

行相關文獻的探討然後建立本研究的預測方法流程並做混沌系統與模

糊系統的結合來做出預測最後給予本研究上的結論與建議研究架構圖

可參考圖 11

3

確認研究方向

相關文獻回顧

複線性迴歸預測模式

混沌理論 複線性迴歸 模糊理論

結論與建議

模糊迴歸上下界選取預測範圍

糢糊迴歸

建立預測模式

圖 11本研究之架構與流程

4

第二章 文獻探討

傳統的預測方法都是利用建立數據序列模型後再進行計算及與預測

然而隨著混沌科學發展發現混沌的現象存在於生活許多細節中於是學

者致力於發展混沌科學利用歷史資料的混沌規律性建立客觀的模型可

避免人為的主觀想法而影響預測的準確性

預測是一種資料探勘的相關技術通常都是利用各種統計或迴歸的方

法從過去的歷史資料中找出有用的趨勢或是模式然後利用這些趨勢或

模式來求得下一期間或週期的預測值要進行任何預測之前收集足夠的

有效觀察值是一種必要的程序在以往統計或迴歸的方法中均需要大量

的有效觀察值才能夠準確的判斷出預測結果

傳統的主觀意見預測法因為人為意見的影響較大無法利用電腦技術

來協助進行預測目前已經普遍不被企業所使用時間序列的數學方法是

以過去資料之時間序列為主而其基礎為假設未來之情形與過去情勢相雷

同因此若有某因素改變情形時必須參照判斷予以修正預測才能正確

而時間序列是指一個固定間隔為基礎經過了一段時間(如每小時每日

每月每週每月每季每年)之時間序列的觀察結果

本章節首先概述混沌理論的發展以及建立時間序列預測所運用的方法

再加以介紹模糊的幾何意義與模糊的演算法及結合傳統方法與模糊間的概

念

21 混沌理論

混沌理論是對一個不規則又看似無法預測的現象及過程加以分析在

現代科學史中真正數學和物理學意義下的混沌理論公認是由麻省理工

學院的氣象學家羅倫茲(Lorenz)提出的196年冬天某日當時還是副教授

的羅倫茲用一台 RoyalMcBee LPG-30 電腦對一個包含 12 個微分方程的

氣象動力學方程組進行數值模擬試驗在其中的一次驗算裡為貪圖方便

他把一個小數點後六位數的初始值做了四捨五入處理僅輸入了小數點後

前三位數但結果讓他大吃一驚這個與精確數值不到千分之一的誤差

讓最後計算結果大相逕庭這個偶然的取值失誤讓羅倫茲發現了一個簡

單具體並且有明確物理意義的可以用來表現和驗證彭加萊混沌理論的數

學模型於是 1963年洛倫茲在美國《氣象學報》上發表了題為「確定性

5

的非周期流」的論文這篇文章和他隨後發表的另一篇相關論文指出對

於模型中關鍵參數的微小改變會導致完全不一樣的結果使得有規律的周

期性行為能夠進入雜亂無章的狀態令精確的長期天氣預報變得不可能

Hayles(1990)於 Choas boundOrderly disorder in temporary literature and

science 一文中指出混沌的含義有兩個

1 系統失序的前兆與狀態

2 強調存在於雜亂現象內潛藏的規律與秩序結構

Curtis(1990)認為混沌理論或多或少隱含了隨機(randomness)的現象其

含義有兩個觀點

1 混沌是規律秩序的預兆當各種事件在一個系統中進行時混沌現象開

始出現就必須注意「驅散(disspative)結構」的雜亂現象同時也會產生

假使這個系統在「熱力函數」上有足夠熱度則它的結果將使「驅散結

構」的雜亂現象成為確切明白的秩序(Prigogine amp Stenger1984)這種

規律秩序的預兆Gleick (1987)稱之為介於熱力學和動力系統間以高

度個體化和關聯化的哲學觀點「規律秩序之外的秩序」稱之為「混沌」

2 強調經過混沌吸引子的吸收進而啟動「混沌系統」發展出「力的性

質」進而產生混沌系統的模式特徵姜濤(1993)認為從物理意義上來看

一個確定性系統(含有隨機或偶然因素)在沒有外界隨機干擾的情形下

所出現的無規則形態都可以稱為混沌現象Wheatly(1994)將混沌理

論定義為可能是一個事件行為或是過程它是多變的非線性的及

無法預測的所以模式和範圍是彈性的會隨時隨地改變

J Yorke(2002)將混沌賦予新義指出混沌是一種有結構有規則的系

統混沌的雜亂只是表象最終會回歸平衡且等待下一次的失序如此

一直循環著 混沌系統兩個十分重要的特性

1 系統的變化驟看似是毫無規則但實際上是由物理定律所決定的

2 系統的演化對初始條件的選取非常敏感初始條件極微小的分別 (就例

如 02 和 02001 只相差兩千分之一)在一段時間的演化後也可帶來

南轅北轍的結果

211碎形維度及混沌吸引子

碎形幾何理論(Fractals Geometry)是一門新興理論專門用來解釋以前

6

歐氏幾何學無法解釋的自然現象舉凡不規則形狀的自然物體都無法用歐

式幾何學解釋如雪花雲朵流水樹木hellip等所以碎形幾何理論是

用來解釋具有自我相似性及非整數維度的特徵

因此所謂碎形指的是一個幾何物件其外型不像直線弧線這些古

典歐幾里德幾何（Euclidian geometry）的表面那麼平滑而是相當破碎

不規則且無論巨觀或微觀都不是連續的這些不規則的碎形和我們習以

為常的觀念有所不同且基本上大多數的現象並不是如歐幾里德幾何所描

述的那樣

舉例來說一顆籃球對於向來熟悉阿基里德空間的我們來說直覺性

的會認為這是三度空間中的一個球體其維度為三但當把距離拉遠看

似一個圓形維度成為二若把距離縮近成為一公釐則可以發現籃球上

有凹下的線條有防滑的凸點顆粒這種情況下維度又該如何界定而曼

德布洛特在分析英國科學家李查(Lewis F Richardson)遺稿當中的一篇論文

時察覺任何國家的邊界在某種定義下都是無限長其重點在於測量時所

使用的基準長度一般要測量海岸線長度時測量員會架起兩腳器並預設

成一個長度沿著海岸線進行測量之後將兩腳器的尺度縮小重頭再量一

次海岸線長而所量到的這兩種尺寸後者一定較前者為長也較逼近真

實的邊界長度同理將兩腳器的兩腳距無限的縮小則所量到的邊界就

成為無限長

1967年代數學家 Benoit Mandelbrot發表了一篇名為「英國海岸線有

多長」的論文文中提到新的維度觀念也就是碎形維度碎形維度具

有四種特性(1)自相似性(2)自我模仿性(3)碎形維度為有限區域的無限

結構(4)碎形是非動力過程的結果混沌現象具有特殊的碎形維度(Fractals)

混沌狀態出現時運動軌跡不穩定它們隨機但緊密的逐漸收斂到一個整體

縮小但局部分離的區域此區域就稱為奇異吸引子（strange attractor）

Hayles(1990)指出混沌是強調存在於雜亂現象之內潛藏的規律秩序結構

因為雜亂現象之內隱含有「奇異吸子」(strangeattractors)進而啟動運作「混

沌系統」Griffths Hart amp Blair(1991)認為混沌理論應用在教育行政中

也具有奇異吸子的特徵奇異吸引子不同於的穩定的整數維吸引子（即不動

點極限環和環面）它具有的是奇特的非整數的空間維度這種空間被

稱作豪斯道夫（Hausdorff）空間因此混沌奇異吸子是一個整體穩定但是

7

局部不穩定的運動空間

212李亞普諾夫(Lyapunov)指數

混沌系統的初始值非常敏感使得初始時刻靠得很相近兩條相軌跡隨

著時間的增長而逐漸遠離如果能夠定量描繪出此種鄰近軌跡的發散性

便可建立出混沌變動情形的一種數值判斷方法李亞普諾夫指數就是用來

表示相空間內鄰近軌跡的平均指數發散率的數值特徵m 維相空間中的某

一時刻兩條鄰近軌跡之間的距離可以分解在 n 個不同的方向這 n 個不

同方向上的距離增長率是不相同的而每一個增長率就是一個李亞普諾夫

指數

最大李亞普諾夫指數是判斷和描述非線性時間序列是否為混沌系統的

重要參數因此是一個重要的混沌不變數對於混沌系統來說發散是一種

整體性的穩定因素動力系統一方面作為發散系統最終要收縮到相空間的

有限區域也就是吸引子上另一方面系統在相體積收縮的同時運動軌

跡是不穩定的要沿某些方向進行指數分離

對於 m 維的動力系統中 中初始兩點迭代後會互相分離

或是靠近取決於

的值若

則迭代使兩點分離若

則迭代使兩點靠近在不斷迭代過程中

也會隨之改變呈現出時而接

近時而分離的情形為了表示從整體上觀察得到的情況必須對時間(或反

覆運算次數)取平均設平均每次反覆運算所引起的指數分離指數為 於

是原來相距 的兩點經過 n次迭代後距離變為

(21)

若取極限 則式(21)變為

(22)

(22)式可簡化為

(23)

上式中的 與初始值的選取無關稱為原動力系統的李亞普諾夫指數

它表示系統在多次反覆運算中平均每次反覆運算所引起的指數分離中的

8

指數若 則表示相鄰點最終會靠近合併成一點若 則表示

相鄰點最終會發散而對應於軌道的局部不穩定若軌道還存有整體的穩

定因素(如整體有界發散存在捕捉區域等)系統則需在有限的幾何物件

上無窮次折疊以實現指數分離系統在此作用下反覆折疊並形成混沌吸

引子故 可做為判斷混沌情形的準則

混沌系統中的李雅普諾夫指數可用來判斷系統是收斂的還是混沌的

當系統的李雅普諾夫指數中至少有一個為正時 系統是混沌的 當系統的

李雅普諾夫指數均為負數時 系統是收斂的

對於一般 m維的動力系統定義李亞普諾夫指數如下設 F為

上的 m維映射假設一個 m維離散動力系統 將系統的初

始條件假設為一個無窮小的 m維小球由於演化過程中的自然變形圓球

將變成橢圓球將橢圓球上的所有主軸依其長度排列則第 i 個李亞普諾

夫指數根據第 i個主軸的長度 的增加速率定義為

(24)

李亞普諾夫指數與相空間的軌道收縮或擴張性質是有關連性的在李

亞普諾夫指數小於零的方向上軌道收縮運動穩定對於初始值不敏感

而在李亞普諾夫指數為正的方向上軌道迅速分離對初始值敏感李亞

普諾夫指數的前 j個指數的和是由前 j個主軸定義的 j維立體指數增加的長

期平均速率確定如橢球長度按 增加由前兩個主軸定義的區域面積依

增加由前三個主軸定義的區域面積依 增加以此類推在

李亞普諾夫指數譜中最小的李亞普諾夫指數決定軌道收縮的快慢最大

的李亞普諾夫指數則決定軌到發散也就是覆蓋整個混沌吸引子的快慢

而所有李亞普諾夫指數之和 可以大致表示為軌道的平均發散速度

李亞普諾夫指數是衡量系統動力學特性的一個重要定量指標它代表

了系統在相空間中相鄰軌道間收斂或發散的平均指數率對於系統是否存

在動力學混沌可以直觀的判斷最大李亞普諾夫指數是否大於零一個正

的李亞普諾夫指數代表著在系統相空間中無論初始兩條軌跡的間距多

小兩條軌跡的差別都會隨著時間的演化而成指數率的增加而導致無法

預測這就是混沌現象

213 混沌系統之時間序列

9

2131 相空間局部近似法

Farmer and Sidorowich(1987)在其混沌預測方法之研究提出所謂的相

空間局部近似法(phase space local approximation method)對系統之演變行為

進行預測這種奠基於時間延遲法(time delay method)所構成之重建相空間

(reconstructed phase space)的預測方式能夠適應吸引子(attractor)的局部行

為經後續進一步研究發現其具有相當良好之預測能力因此採 Farmer and

Sidorowich(1987)之相空間局部近似法構建交通量預測模式期能增加預測

準確度

2132 時間序列與相空間重構

相空間的概念就是把運行方程式所獲得的數字或數據轉換成為圖形

並將系統中隨時間改變的重要的資訊(無論是機械或是流體)抽取出來把各

式各樣可能的狀況註明在圖上利用延遲時間的概念模擬出類似原始系統

之相空間當重建一個空間使得此空間可以具體的包含吸引子特徵則此

空間之維度我們稱為嵌入維度Takens等人(1981)提出嵌入定理對於無

限長無雜訊的 d維混沌吸引子的標量時間序列x(n)可以在拓撲不變的

意義上找到一個 m維的嵌入相空間只有維數 m gt2d+ 1才可保有原始吸

引子的特徵Takens 定理保證了我們可以從一維混沌時間序列中重構一個

與原動力系統在拓撲意義下等價的相空間混沌時間序列的判定分析與

預測是在這個重構的相空間中進行的因此相空間的重構是混沌時間序列

研究的關鍵將收集的一維歷史資料例如現有歷史資料為 9筆13579

10131115間遞移的結果為1711391351015在此我們將利用此

時間遞移建立的時間序列觀念x(t) x(t minusτ ) x(t minus 2τ )hellip來重建相空間

2133 延遲時間 τ的決定

時間延遲如果 τ太小則相空間向量 x(i) = x(t) x(t minusτ ) x(t minus 2τ )hellip

中的任意兩個分量 x(t)和 x(t minusτ )在數值上非常接近以至於無法相互區分

從而無法提供兩個獨立的座標分量但如果時間延遲 τ 太大的話則兩座

標在統計意義上又是完全獨立的混沌吸引子的軌跡在兩個方向上的投影

毫無相關性可言因此需要用一定的方法來確定一個合適的 τ 值本文確

定 τ的主要方法為相關維度法

2134 自相關函數

自相關係數是利用時間序列裡每一筆數據與其前的數據根據不同遲延

10

時間距離的數值進行相關係數計算而成如遲延時間距離為 1表示將每

一筆數據與緊接其前的一筆數據進行相關係數計算如遲延時間距離為 2

表示將每一筆數據與其前第二筆數據進行相關係數計算如遲延時間距離

為 3表示將每一筆數據與其前第三筆數據列進行相關係數計算如此類

推自相關係數 之計算公式如下

1

1

1( )( )

1( )

n k

t t k

tk n

t

t

x x x xn k

r

x xn

(25)

式中 n為資料數k為時間遞移後的點t為時間點

將自相關係數計算的結果與每一筆遲延時間距離數值繪製成圖表可

由圖表中可分析辨別時間序列數據的初步基本特徵如圖表繪製的結果顯

示自相關係數沒有跟隨遲延時間距離數值的增加而顯示收歛之跡象也就

是說繪製線不斷於 X軸零座標線做不規律的上下擺動表示數據為隨機時

間序列即每一數據都視為個別獨立的事件且與過去某一筆遲延時間距離

數值的事件無關係反之若圖表繪製的結果顯示自相關係數跟隨遲延時

間距離數值的增加而顯示收歛且具有震盪循環之跡象則表示數據具有一

種規則屬於一混沌時間序列

2135 季節趨勢

季節趨勢預測法是根據事物每年重覆出現的週期性季節變動指數預

測其季節性變動趨勢

季節指數的概念即是利用簡單平均法計算週期內各時期模型季節性影響的

相對數季節指數反映了該季與總平均值間的穩定關係若季節指數大於

1則表示該季的值常會高於平均值若季節指數小於 1則表示該季的值

常會低於平均值若序列的季節指數都近似於 1則表示該序列沒有明顯

的季節效應季節指數的計算方式如下

計算週期內各期平均數

k=12hellipm (26)

計算總平均

(27)

計算季節指數

11

k=12hellipm (28)

其中 n為期數m為季節數

22 複線性迴歸分析

迴歸分析的目的主要是建立變數之間的關係進而應用於預測分析中

內政部營建署(1997)就曾利用迴歸分析來探討反彈數及現場鑽心試體之間

的抗壓強度關係進而建構出一迴歸方程式做為混凝土試體的抗壓強度

預測而在土木工程領域中也已有許多學者利用迴歸分析來進行研究

例如潘南飛與黃冠智(2005)利用迴歸分析來預測橋面版劣化狀況且考慮

以交通量及降雨量作為迴歸模式中的自變數最後得一配適佳的迴歸式

凌偉峻(2006)利用複線性迴歸分析建立模式及混沌系統的相空間鄰近點相

似特性來建立車流量預測模式Cheung et al (2008)使用氣候值持續值

颱風強度Julian Date記日本地時間七級風暴風半徑及颱風中心速度共

7個預報參數進行多變量的複線性迴歸(multiple linear regression)分析並以

20個傳統雨量站進行測試各新增變量中以颱風強度七級風暴風半徑及

中心速度對預報之改善較顯著其受改善之時數及相關係數之增加幅度皆

較其它變量為多顯示颱風結構參數在颱風降雨預報中比簡單的季節性因

素或日夜對流差異來得重要

敘述自變數( 1 kx x x x 2 3 )依變數 y 和誤差項 i 之間關係的方程式

稱為複線性迴歸模式複迴歸其主要目的有二

1 可以降低隨機誤差此與迴歸之變異數分析有關增加解釋變數之個數

可以使迴歸分析可解釋變動的部分增加相對的誤差就會減少

2 可以避免反應變數中影響重大的解釋變數有所遺漏而無法具體描述實

際資料的狀況估計複迴歸方程式或估計多元迴歸方程式(Estimated

multiple regression equation)大部分情況下複迴歸模式中的迴歸參數

皆不知其實際數值僅可以利用樣本數值估算分別以樣

本統計值 作為迴歸參數 的點估計值本研究

利用全域法訓練迴歸參數 即是利用前九日的歷史資料

複線性迴訓練出迴歸係數預測出第十日的資料型態複迴歸分析是將

簡單迴歸分析其自變數由一個增加至數個研究一群自變數和一個反應

變數之間的關係複線性迴歸模式定義如下

12

(29)

其中 為常態 n 隨機變數期望值 E(ε)=0且彼此互相獨立若有 n

組樣本觀測值(ngtp)組我們就可將方程式寫成

(210)

其中 i=123hellipn

若將複線性迴歸寫成矩陣可得下式

(211)

也可將式(211)寫成矩陣形式

(212)

其中 為觀察值向量 為參數向量 為自變數矩陣 為獨立之常態

隨機變數向量且滿足 向量 Y的期望值表示如下

(213)

複線性迴歸之最小平方標準方程式矩陣表示為

(214)

其中

為最佳模式之參數矩陣因此可求得最小平方估計式矩陣

表示為

(215)

其中 為 之轉置矩陣 為 之反矩陣只要利用式(215)

即可獲得複線性迴歸方程式

23 模糊理論

模糊理論是由美國加州大學伯克利分校電氣工程系的L A Zadeh在

1965年首次提出Zadeh在1965年發表了一篇傳統科學皆以排除具模糊性的

研究為主而模糊理論則以包含模糊性的研究為主現今科學發達所要

探討的議題越來越多由於人類的知識與研究會因本身主觀的意識因應

不同的人事時地物而具模糊性使得無法清楚呈現研究的本質為何要

13

在日常生活中精確地描述一個現象必定忽略其中的些微變化然而此描

述又無法真實描述現實因此模糊理論(Fuzzy Theory)正好能被廣泛應用在

研究上

模糊概念是指這個概念的外延具有不確定性或者說它的外延是不清

清楚的是模糊的例如好的壞的好壞的概念我們非常清楚但是

它的外延也就是究竟事件發生的條件到底是要如何才會是好的跟壞的

每個人的回答都會是不同的這就是一個模糊的概念所以當我們在接

觸模糊時是允許主觀意識的因為每個人對模糊的概念不盡相同儘管

如此當我們利用模糊統計方法進行分析時對於好與壞之間的界限又有

一定的概念

其次模糊性與精確性是相對立的但卻不能將模糊性理解成較差的

結果因為實際上我們在處理客觀事物時經常藉助於模糊性例如

若我們要在路上找一位「年輕的漂亮女孩」「年輕」及「漂亮」都是模

糊的概念但對我們而言這在路上不難找到因為我們的大腦會分析什麼

是「年輕」及「漂亮」於是我們就可以判斷出我們要找的人然而若我

們要求必須用電腦查詢「年輕的漂亮女孩」我們就必須將「年輕」及「漂

亮」這兩個模糊的條件利用具體的數據輸入電腦分析才能找到符合我們

要求的人

最後人們對模糊性的認知常與隨機性混淆其實它們之間有著很大

的不同隨機性是本身具有明確意義只是因為發生的條件不充分使得

在條件與事件之間不能產生確定的因果關係所以事件的出現與否表現出

一種不確定性而事物的模糊性是指我們要處理的事物的概念本身就是模

糊的即一個對象難以確定是否符合這個概念也就是由於概念外延模糊

而帶來的不確定性

231模糊的發展

模糊理論是在美國加州大學伯克利分校電氣工程系的 LAzadeh 教授

於 1965年創立的模糊集合理論的數學基礎上發展起來的主要包括模糊集

合理論模糊邏輯模糊推理和模糊控制等方面的內容

早在 20世紀 20年代著名的哲學家和數學家 B Russell就寫出了有關

「模糊性」的論文他認為所有的自然語言均是模糊的比如「紅的」和

「老的」等概念沒有明確的內涵和外延因而是不明確的和模糊的可是

14

在特定的環境中人們用這些概念來描述某個具體對象時卻又能心領神會

很少引起誤解和歧義

美國加州大學的 L A Zadeh 教授在 1965 年發表了著名的論文文中

首次提出表達事物模糊性的重要概念隸屬函數從而突破了 19世紀末勒

內middot笛卡爾（Rene Descartes）的經典集合理論奠定模糊理論的基礎1966

年P N Marinos發表模糊邏輯的研究報告1974年L A Zadeh 發表模

糊推理的研究報告從此模糊理論成了一個熱門的課題1974 年英國

的 E H Mamdani 首次用模糊邏輯和模糊推理實現了世界上第一個實驗性

的蒸汽機控制並取得了比傳統的直接數字控制演算法更好的效果從而

宣告模糊控制的誕生1980年丹麥的 LPHolmblad 和 Ostergard 在水泥窯

爐採用模糊控制並取得了成功這是第一個商業化的有實際意義的模糊控

制器

事實上模糊理論應用最有效最廣泛的領域就是模糊控制模糊控

制在各種領域出人意料的解決了傳統控制理論無法解決的或難以解決的問

題並取得了一些令人信服的成效

模糊控制的基本思想把人類專家對特定的被控對象或過程的控制策略總

結成一系列以ldquoIF THENrdquo形式表示的控制規則通過模糊推理得到控製作用

集作用於被控對象或過程控製作用集為一組條件語句狀態語句和控

製作用均為一組被量化了的模糊語言集如「正大」「負大」「正小」

「負小」零等

模糊控制的幾個研究方向

1 模糊控制的穩定性研究

2 模糊模型及辯識

3 模糊最優控制

4 模糊自組織控制

5 模糊自適應控制

6 多模態模糊控制

模糊控制的主要缺陷

信息簡單的模糊處理將導致系統的控制精度降低和動態品質變差若

要提高精度則必然增加量化級數從而導致規則搜索範圍擴大降低決策

15

速度甚至不能實時控制模糊控制的設計尚缺乏系統性無法定義控制

目標控制規則的選擇論域的選擇模糊集的定義量化因數的選取多

採用試湊發這對複雜系統的控制是難以奏效的

232模糊至今應用的範圍

模糊理論發展至今已接近三十餘年應用的範圍非常廣泛從工程科

技到社會人文科學都可以發現模糊理論研究的蹤跡與成果我們分別由工

程科技與社會人文科學的角度瞭解模糊理論應用的範疇

1 工程科技方面

(1) 型樣識別文字識別指紋識別手寫字體辨識影像辨識語音

辨識

(2) 控制工程機器人控制汽車控制家電控制工業儀錶控制電

力控制

(3) 信號及資訊處理影像處理語音處理資料整理資料庫管理

(4) 人工智慧及專家系統故障診斷自然語言處理自動翻譯地震

預測工業設計

(5) 環保廢水處理凈水處理廠工程空氣污染檢驗空氣品質監控

(6) 其他建築結構分析化工製程控制

2 教育社會及人文科學方面

(1) 教育教學成果評量心理測驗性向測驗電腦輔助教學

(2) 心理學心理分析性向測驗

(3) 決策決定決策支援決策分析多目標評價綜合評價風險分

析

233模糊集合

過去傳統數學上集合的基本定義是以二值邏輯(Binary Logic)為基礎的

方式來描述事物為屬於或不屬於此集合也就是元素 x和集合 A的關係

只能是isinA或notinA明確的判斷對象為所屬集合也就是明確集合(Crisp Set)

如果要描述適當的模糊事物時須將所屬集合的概念模糊化使之無明確

判對象所屬的集合模糊集合是指在界限或邊界不分明且具有特定事物的

集合以建立隸屬函數(Membership Function)來表示模糊集合承認論域

(Universe of Discourse)上存在既非完全屬於集合A又非完全不屬於集合A

16

使傳統集合的絕對屬於的概念改變為相對屬於的概念以數學式表示論域

U 上的模糊集合 A可表示為元素 x與它的歸屬函數集合

(216)

其中 A為一模糊集合 為歸屬函數x稱作元素U為論域一

般情況下歸屬度會界定在 0跟 1之間

(1) =0表示元素 x不屬於

(2) =1表示元素 x完全屬於

(3) 趨近 0表示元素 x極不可能屬於

(4) 趨近 1表示元素 x極有可能屬於

這個表示式的完整解釋為當 x 在 U 的範圍內會對應到一個介於 0

到 1之間的數值 所有這種 x所成的集合就是一個模糊集合模糊集

合可表示為

1 當論域Ｕ為有限離散(discrete)集合的情形下模糊集合 可表示成

(217)

2 當論域Ｕ為實數論域所組成之在連續(continuous)集合的情形下模糊

集合 可表示成

isin (218)

其中 並非積分符號而是單純的連結符號

234 模糊數(Fuzzy Number)

1 模糊數(triangular fuzzy number)

假設 是模糊集合或模糊數(FN)在實線 2R 上則以三角形隸屬函數

(triangular membership function）表示為 1 2 3( )a a a 2 x R to A 則

1

1 2 1 1 2

3 3 2 2 3

3

0

( ) ( ) ( )

( ) ( )

0

x a

x a a a a x aA x

a x a a a x a

x a

(217)

17

1

其隸屬函數圖形如圖 21

圖 21 三角模糊數

2 梯形模糊數(trapezoidal fuzzy number)

梯形模糊數可表示為 如圖 22其隸屬度函數定義為

(218)

其隸屬度函數如圖 22

圖 22梯形模糊數

a b c d

1

18

在一信賴區間 α水準α 01 我們定義 A

( )A x A x (218)

三角形隸屬度函數以 α-cut表示為

( ) ( )

1 3 1 1 2 3 2 3[ ] [ ( ) ( )]A a a a a a a a a

(219)

( )

1a 與 ( )

3a 個別代表 A的下界及上界

根據模糊算術方法Zadehrsquos sup-min 方法表示如下

( )( ) sup min( ( ) ( ))x y z

A B z A x B y

(220)

其中 sup表任何模糊算式Mizumoto and Tanaka（1976）使用相同方

法在 α 截集模糊數和區間算術Chang（2003）和 Chang et al （2006）和

Chang and Hung（2006）整理使用 α 截集模糊算術方法的文獻α截集模

糊算術中模糊數基本運算公式（加法減法乘法除法）可以計算的

更快在每一個 α-level 區間中使用區間算術（Kaufmann and Gupta

1988）

1 模糊數加法

令A和 B分別為兩模糊數 A和 B在一信賴區間 α水準 ( ) ( )

1 2[ ]A a a

( ) ( )

1 2[ ]B b b αisin 01 forall A B sub 2R 表示如下

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 2 1 2 1 1 2 2[ ] [ ] [ ]A B a a b b a b a b

forallαisin 01 (221)

2 模糊數減法

在一信賴區間 α水準forall A B sub 2R αisin 01

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 2 1 2 1 2 2 1[ ] [ ] [ ]A B a a b b a b a b

(222)

3 模糊數乘法

在一信賴區間 α水準forall A B sub 2R αisin 01

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 2 1 2 1 1 1 2 2 1 2 2

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 1 1 2 2 1 2 2

[ ] [ ] [min(

max( )]

A B a a b b a b a b a b a b

a b a b a b a b

(223)

4 模糊數除法

在一信賴區間 α水準forall A B sub 2R αisin 01

19

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 1 1 2 2

1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 2 1 2 1 2 1 2

[ ] [ ] [min( )max( )]a a a a a a a a

A B a a b bb b b b b b b b

式中 ( )

1b ( )

2b gt0forallαisin[01] (224)

235模糊運算

根據 Zadeh（1965）的擴展原理（Extension Principle）可以廣義的使

用一般基準 T取代原來的最小值模糊數的數學運算表示如下

1 加法

( )( ) sup ( ( ) ( ))x y z

A B z T A x B y

(225)

2 減法

( )( ) sup ( ( ) ( ))x y z

A B z T A x B y

(226)

3 乘法

( )( ) sup ( ( ) ( ))x y z

A B z T A x B y

(227)

4 除法

( )( ) sup ( ( ) ( ))x y z

A B z T A x B y

(228)

24 模糊迴歸

在科學研究過程中許多研究者常使用迴歸來描述自變數 x和應變數 Y

之間的關係傳統的迴歸分析均假設觀察值由實際應變數影響加上隨機誤

差而產生也就是說應變數是一種帶有不確定性的隨機變數不過在很

多的實務應用上往往無法滿足這樣的假設例如有些應變數 Y 的觀察值

並不是以單一數值的型式存在而是帶有多重隸屬的特性這些觀察值雖

然帶有不確定性但這種不確定的特性是來自於模糊現象而非隨機現象

若由模糊觀點套用迴歸分析來處理模糊資料問題就稱為模糊迴歸分析

模糊迴歸分析最早是由 Tanaka et al (1980) 提出一般模糊迴歸能夠處理的

樣本型式有兩種一種是實數值樣本 其中 為實數向量 為觀測

到的實數值另一種是模糊數樣本( 其中 為觀測到的模糊數不論

是實數值樣本或是模糊數樣本想要估計模糊迴歸參數估計方法大都是

20

利用線性規劃的技巧來尋求一組能將實數值樣本 或模糊數樣本(

包含在內的區間再將三角形隸屬函數（triangular membership function）套

用

在此區間上如此便求得一組模糊迴歸估計式要得到正確的估計結

果最好是收集具有代表性的隸屬函數樣本所謂具有代表性的隸屬函數

樣本應該是以模糊數的形式存在所以本文就樣本模糊數 進行討論

線性模糊迴歸模式常表示成

0 1 1 2 2( ) i i i p piY x A A x A x A x (229)

其中 1 2 3(1 ) i i i i p ix x x x x 為自變數向量 ( )iY x 為模糊應變數

為模糊參數利用樣本模糊數 估計參數 時通

常假設 與 的隸屬函數為對稱三角型式 與 的隸屬函數表達如下

( ) max 1 0 i

i

Y

i

t yt t

r

(230)

其中 為三角隸屬函數的中點 為三角隸屬函數的分布半徑可令

( ) max 1 0 m

m

A

m

t ct t

s

(231)

其中 為三角形的中點 是三角形的分布半徑 與 間的關係

如圖 23所示

圖 23模糊數的中心值與散佈值

1

0

21

再令 則前述的模糊迴歸方程式可改寫成

0 1 1 2 20 1 2( ) i i ipi p pY x x xC S xC S C S C S (232)

因此模糊應變數 ( )iY x 的隸屬函數也屬於三角型式可表示成

( )

0

0

( ) max 1 0 Y xi

p

m m

m

p

m mi

m

t c x

t t

S x

(233)

其中 因此只要估計出三角形的中點 及半徑 便可得到

隸屬函數的估計值模糊迴歸分析是在要求每一個觀測值 隸屬於模糊

迴歸區間的隸屬程度至少 的情況之下尋求最小的模糊迴歸預測區間如

(234)式表示

forall ( 234)

在利用 對未知的模糊參數 進行估計前一般先定

義模糊樣本 和模糊應變數 的 h截集其定義如下

令 為一組模糊樣本 ( )iY x 為模糊應變數若 與

分

別為 及 的 h截集(h-cut)則

(235)

(236)

因具代表性的樣本 其 h 截集 應要盡量接近模糊應變數 的 h

截集 意即

其中容許

不完全落在 之

內的情形發生根據以上觀點王景南(2002)認為樣本的左端點

和右端點 隸屬於 的程度會有一定的水準於是設立此水準

為 H因此假設 隸屬於 的隸屬度會盡量的接近 H其間的關係

為

( 與

( (237)

所謂的盡量接近 H是可允許隸屬度大於 H或小於 H而不是均大於

22

H

根據以上的對樣本的解釋運用最小平方法以所有樣本的左端點

配置一迴歸直線稱之為左端直線估計式

(238)

其中 為迴歸係數再以所有右端點 配置右端

直線估計式

(239)

其中 為迴歸係數

前文已假設樣本的左右端點隸屬於 的隸屬度會盡量的接近 H所

以將這兩條直線函式來估計 之 H截集的左右邊界即

(240)

如此可推導出 的隸屬函數為

(241)

其中 且

(242)

意即

(243)

其中

為三角形底邊中點是

分布半徑如此便可得一組估

計的模糊迴歸模式

(244)

仍需注意的是當樣本為對稱型態時左右迴歸函數式其配適的結果式

相同的只有常數項不同當對稱情形發生時可以考慮利用各別對應相

之權重除以常數項的分布半徑做為個別對應項之分布半徑意即

分布半徑

除此之外Celmins及Diamond Celmins也分別提出最小平方法之模糊迴

23

歸模式以便求解資料間距離最小的模糊迴歸方程

模糊迴歸應用上比統計迴歸更具彈性統計迴歸通常需要大量資料以

支持其假設而模糊迴歸卻無此需求因此當資料量不足或隨機性難以驗

證時模糊迴歸是較強健的(Robust)同時當所蒐集之資料的不確定性乃

來自於人類之主觀判斷時模糊迴歸較具適用性

因此模糊迴歸模式逐漸受到重視在1990年代的研究包括Sakawa及

Yano針對投入變數與輸出變數皆為模糊資料的問題建構出一個多目標的模

糊迴歸模式此外Chang和Lee則認為模糊迴歸中心線的趨勢與模糊迴歸散

佈值的趨勢可以存在不一致性為了分析統計迴歸與模糊迴歸的差異Kim

Moskowitz 及Koksalan 利用模擬分析比較統計迴歸與模糊迴歸的結果認

為由機率論所得的統計迴歸模式在大樣本時其預測績效遠比可能性理論

(Possibility theory)推演而得的模糊迴歸模式為佳然而當資料量遞減或所構

建的模式適合性變差時(即變數間存在模糊關係)則模糊迴歸模式的預測績

效將優於統計迴歸模式由於模糊迴歸模式在解決資料量少及系統關係模

糊不清的問題上具有較佳之績效而存在其正面之價值當變數間存在模

糊關係時

從早期到目前已發展出多種模糊迴歸模式求解方式以下根據薛展青

(2004)所整理的模糊迴歸分析整裡敘述如下

1 區間迴歸法

區間迴歸法(interval regression)其模型架構主要是由Tanaka et al(1982)

所提出的模糊線性迴歸(fuzzy linear regression)模型Tanaka et al(1982)所發

表的論文中表示傳統的迴歸模型中造成實際值與估計值的誤差來源被

認為是由測量或觀察所造成的而此誤差項在模糊線性迴歸模型中是因

模糊系統中參數的模糊性所產生的即誤差是反應模糊線性函數的模糊現

象因此以模糊線性函數來表示迴歸方程式而迴歸參數則是以模糊集合

來表示

Tanaka et al(1982)在估計模糊迴歸參數時是利用線性規劃技巧

(linearprogramming method)來尋求一組能將實數值樣本或模糊數樣本全部

包含的區間最後求得一組對稱三角形模糊數之迴歸參數

自Tanaka等人(1982)的文章發表之後後續的學者大多以此為基礎陸

續題出各種相關的模式與求解方法如Peters (1994)將Tanaka的線性規劃法

24

求解推廣為模糊線性規劃法求解讓資料對模糊迴歸模式的適應性更加提

升YenGhoshray 與Roig (1999)提出由於非對稱迴歸係數導因於大多數的

資料為離群值使得對稱三角迴歸係數不再適用因此將Tanaka et al的模

式推廣為非對稱三角迴歸係數Moskowitz 與Kim (1993)探討不同水準值下

模糊迴歸模式的求解與模式配適程度Redden 與Woodall (1996)探討模糊

迴歸分析預測未來值的結果Sakawa 與Yano (1992)將Tanaka的方法擴展到

依變數及自變數皆是模糊集合的情況並將之稱為多目標線性迴歸法

(multiobjective linear regression model)Koumlrner 與Naumlther (1998)討論解釋變

數與反應變數兩者皆為模糊數值的情況Kacprzyk 與Fedrizzi (1992)則蒐集

了各種不同迴歸模式的求解方法Redden 與Woodall (1994)說明Tanaka後

續提出的求解模式當中所具備的性質以及與傳統迴歸方法的差異比較

但是在此模式下求解之迴歸係數本身亦為一對稱的三角模糊數值

而且求解結果很容易受到資料尺度(scale)的影響使得反應變數估計值之展

度會變得更為寬廣後來Tanaka (1987)根據1982年的文獻發展為更完整的

可能性線性系統使模糊迴歸的結構更趨適應性Tanaka 與Watada (1988)

闡明可能性線性模式的概念推演建構成可能性線性迴歸模式Tanaka et

al(1989)應用模糊資料於可能性迴歸系統中並建構最小化最大化及混合

式三種線性規劃模式又對先前所提出的模式加以修正但就如Redden 與

Woodall (1994)所指出Tanaka 類型的模式對於離群值(outlier)的反應非常

敏感甚至在觀察值的個數增加時求解結果可能會產生無限多解因

此在Tsaur 與Wang (1999)提出的文獻對於在模糊迴歸分析中的離群值進行

一系列探討

2 模糊最小平方法

模糊最小平方法(fuzzy least squares)乃擴展傳統之最小平方法的觀念

最早由Diamond (1988)所提出利用傳統最小平方法的觀念求出一個模糊

迴歸模式以估算(approximate)反應變數的觀察值並非如區間迴歸中的包含

觀察值在其模式中利用反應變數的觀察值與估計值的模糊數值之最小

值最可能值與最大值定義兩者之間的距離以衡量迴歸模式與模糊資

料之間的最佳配適度的情形在使得所有觀察值與估計值的模糊數值之間

的距離平方總和為最小時可以導出類似傳統迴歸分析中的正規方程式

(normal equation)以求解迴歸係數

25

其後Chang 與Lee (1996)則將Diamond (1988)的方法加以擴充將迴

歸係數的最可能值與展度分別估計該方法的特點在於可將極端值(outlier)

加以處理並降低其影響程度Ma等人(1997)則將此類方法發展於適合非

三角模糊數值的場合Diamond 與Koumlrner (1997)則在此類方法中定義一

個判定係數的計算方法以比較不同模式的適合性Wu與Tseng (2002)提出

改善模糊迴歸模式之最小平方法其模式主要觀念是利用最小平方法將所

有樣本的左端點及右端點各配置一條迴歸線然後在將其左右迴歸線統合

成一條迴歸線

而在Kim 與Bishu (1998)的研究中是利用各個具有三角模糊數值的反

應變數之最小值最可能值與最大值以最小平方法分別計算出模糊迴歸

係數所得到的係數不一定為對稱的三角模糊數在此種求解方式下雖

然可以得到比較小的估計誤差但其缺點是無法處理解釋變數為模糊數的

情形另外Kim 與Bishu(1998)還提出了評估模糊迴歸模式的準則利用觀

察值與估計值歸屬函數之間面積的差異做為迴歸模式的估計誤差但其評

估準則的問題是無法比較不同模式在觀察值與估計值歸屬函數之間不具有

交集時的誤差情況在此情況下求算估計誤差時無法準確評估其總誤差而

導致評估失真而其他學者如Yang與Ko (1997)Yang 與Lin (2002)等則

是提出以最小平方法為基礎的模糊聚類分析求解方式

3 模糊隨機變數估計法

為了建構一個同時具有隨機和模糊特性的系統Kwakernaak (1978)首

先提出模糊隨機變數(fuzzy random variables)的概念認為傳統的隨機變數

U Ωrarr R為實數可測函數而模糊隨機變數則將一般隨機變數的概念廣義

化模糊隨機變數可表示為X ΩrarrS設ω isinΩ而ω 所對應到的不再是實

數值U(ω)而是模糊集合X (ω)S 代表模糊集合且Kwakernaak (1978)擴

充原來Zadeh 提出模糊集合之架構認為有時供作參考的資訊不齊全在

對某些述句進行評斷時我們無法判斷其絕對為真或絕對為假此時我

們考慮將原有的二元邏輯思維方式推廣暫且不作肯定的判決而僅是表

達出對錯的程度換句話說真值可以是介於單位區間[01] 內的任何值

如此思維方式稱之為多值邏輯(multivalued value)並將模糊集合視為一組

述句(statement)的集合且每個述句均對應一真值程度以符合人類的思維與

想法Stein 與Talati (1981)利用模糊數值的隸屬函數提出模糊隨機變數

26

的期望值之計算方式Kruse 與Meyer (1987)藉助集合表徵的概念建立了

一套模糊隨機變數的定義而為了讓模糊隨機變數能實際應用並將討論

的範圍界定在一模糊集合族上Koumlrner (1997)及Naumlther (1997)利用該方法以

求算模糊隨機變數的期望值與變異數並應用於線性模糊迴歸模式的求解

等另外在曾能芳(民 91)的博士論文研究中指出在Tanaka et al (1982)

的模糊迴歸模式中並不具備誤差項因此模式無法呈現樣本與期望值之間

的關係而無法討論線性規劃估計程序所具備的統計性質所以在曾能芳

(民 91)提出的迴歸模式中採用模糊樣本是由依變數之模糊期望值加上測量

誤差所組成並提出測量誤差存在於中點的模糊迴歸模式以及測量誤差

同時存在於中點和半徑的模糊迴歸模式

4 兩階段求解方法

以兩階段方法(two stage method)求解模糊迴歸模式的想法是在於結合

最小平方法與區間迴歸的觀念試圖降低反應變數估計值的模糊度如Savic

與Pedrycz (1991)對模糊迴歸模式的求解分為兩個步驟進行第一步以

反應變數的模糊數值之最可能數值為基礎將模糊數值視為簡化的明確數

值以傳統最小平方法求解迴歸係數的中心值第二步利用區間迴歸的

方式在使得迴歸係數的模糊度為最小的情形下以決定迴歸係數的三角

模糊數值Kao 與Chyu (2002)提出另一種模糊迴歸模式的兩階段求解方

法在第一階段先利用解模糊(defuzzification)方法將模糊觀察值轉換成為一

組明確數值之後利用該組明確數值以傳統的最小平方法求解迴歸係

數第二階段則是以Kim 與Bishu 所提之評估準則為目標式決定一個誤

差項估計值的模糊數以使得在Kim 與Bishu (1998)評估準則下的總誤差量

為最小該方法的特別之處在於求解的迴歸係數為明確數值而誤差項估計

值為模糊數值雖然此種求解方式可以得到很小的估計誤差但因其所著

眼的仍是Kim 與Bishu 評估準則下的面積估計誤差使得當觀察值與估計

值歸屬函數之間不具有交集時所衡量出的估計誤差較真實誤差為小且其

求解方法比較適合於觀察值為三角或梯形的模糊數值欲應用於其他型式

的模糊數值求解上則較為困難而在邱清爐(民 91)的博士論文中則是將

其兩階段求解方法對各種不同的模糊迴歸模式進行建構與評估並將其求

解方法應用於工作滿意度實例

5 其他求解方法與相關研究

27

Tanaka 等人(1995)後來提出另外一種模糊迴歸模式的求解方法將傳

統的估計誤差當作是存在解釋變數與反應變數之間的關係之可能性

(possibility)故模糊觀察值的展度可以直接轉換成迴歸係數的指數可能性

分配(exponentialpossibility distribution)而可以使用與傳統迴歸非常類似的

方式加以求解Tanaka與 Lee (1999)再利用辨識方法(identification method)

求解迴歸模式在其研究中利用辨識方法以決定模糊線性系統(fuzzy linear

system)中迴歸係數的可能性分配並認為由此方法所求解的迴歸係數會

有比較小範圍的可能性分配近年來有愈來愈多的學者將模糊迴歸分析

應用於其他傳統的決策方法及不同領域上如 Dunyak 與 Wunsch(2000)使

用 α 截集的端點以類神經網路(neuralnetworks)進行模糊迴歸分析Lee

與 Chen(2001)則將模糊迴歸模式使用於人力預測的問題上Tseng 等人

(2001)將由模糊迴歸模式建立之 ARIMA 模式用以預測匯率Tseng 與

Tzeng(2002)則利用模糊迴歸模式的求解方法以建構具有季節變動的

ARIMA 模式Kim 與 Bishu(1996)應用於人力可靠度分析的操作反應時間

上Wu 與 Tseng(2002)將其模糊迴歸模式應用在景氣對策信號上的分析

王景男(民 89)將模糊迴歸分析應用於籃球比賽攻防技術策略上曹勝雄

曾國雄江勁毅(民 85)以國人赴港旅客需求之預測為例說明傳統迴歸

模糊迴歸類神經網路之差別張良斌陳育民(民 86)將模糊目標迴歸法

應用在垃圾衛生掩埋場沼氣回收設備的成本估算謝邦昌林燦隆呂理

添(民 85)將模糊迴歸運用在甘蔗產量的預測對於上列有關模糊迴歸分析

的研究中絕大部份的文章均侷限於線性模式的分析鮮有文章討論非線

性模糊迴歸模式的求解最近雖然有少數學者開始討論非線性模糊迴歸模

式的解法如 Xu(1997)Buckley 與 Feuring(2000)的研究等但使用的方

法所求解的迴歸係數仍然為模糊數值其造成反應變數估計值的展度會

隨著解釋變數之數值增加而擴大的問題仍無法避免

28

第三章 研究方法

本章介紹本文將運用於數值分析中的預測研究方法利用本章建構的

方法可清楚了解如何利用混沌理論基於相空間重構的方式及模糊迴歸方

法於預測中

31 混沌時間序列建立預測方法

時間序列的模型建構和預測是資料處理研究領域中的重要方向其中

預測方法主要有線性和非線性預測方法兩種預測就是對未來作出估計和

推斷而通常要對研究對象或資料進行假設這一過程稱為建模利用建

模的方式獲得資料的科學表示就稱為模型混沌時間序列雖然看似隨機

但它卻是由確定系統產生的因此我們可以對混沌時間序列作出短期預測

同時由於混沌對初始條件微小差異的高度敏感性我們無法對混沌時間序

列作出長期預測每一步預測帶來的微小偏差都會使得下一步預測的偏差

擴大最終導致預測序列與原始序列完全不同

311李亞普諾夫指數判定資料混沌特性

進行預測前需根據 212節中提及的李亞普諾夫指數來判定資料是否

具有混沌特性最大李亞普諾夫指數是判斷和描述非線性時間序列是否為

混沌系統的重要參數因此是一個重要的混沌不變數

混沌系統中的李雅普諾夫指數可用來判斷系統是收斂的還是混沌的當系

統的李雅普諾夫指數中至少有一個為正時系統是混沌的 當系統的李雅

普諾夫指數均為負數時系統是收斂的 對於系統是否存在動力學混沌可以直觀的判斷最大李亞普諾夫指數是否

大於零一個正的李亞普諾夫指數代表著在系統相空間中無論初始兩

條軌跡的間距多小兩條軌跡的差別都會隨著時間的演化而成指數率的增

加而導致無法預測這就是混沌現象

312重建相空間

傳統的建模和預測方法己廣泛地應用社會科學中但大部分都是基於

線性系統混沌時間序列並不適用於非線性的混沌時間序列於是在判斷

時間序列性質後若判定序列以隨機性為主應採用從 AR 或 ARIMA 等隨

機模型來預測如果判定以混沌為主則應採用非線性確定性的方法進行

29

預測非線性時間序列的預報是經過相空間重構後對相空間中的動力軌

跡進行預報由於混沌系統具有被稱為「蝴蝶效應」的初始值敏感性所

以混沌時間序列是不能長期預測的但對於短時間內混沌系統的軌道在

相空間中具有一定的規律它們的預測性是可獲得的並比一般的基於統

計方法的預測能力要來得好

時間序列資料是時間離散後的樣本值用 表示將它「嵌入」到

一個 m維(mgt0)的空間中進行相空間重構後得到嵌入向量

(31)

由嵌入向量 可擴張成一嵌入空間 E由 Taken嵌入定理可知存

在映射面 滿足

(32)

上式表是出在拓樸的意義中可完全預測吸引子的特徵所以上式也可

表示為

(33)

其中函數 為 的一個估計值由式 (33)可得之我們可用

來預測

313相空間維度相關維度

在實作的研究上有許多方法可以用來估計混沌吸引子的維度本研

究選用較為常見的相關維度方法相關維度需先計算相關和將相空間中

所有樣本點皆計算其各別半徑收斂後之趨近值相關方程式（Correlation

Function）定義如下

(34)

其中

當 rrarr0時

兩邊同取對數可得

(35)

定義相關維度為 與 之曲線斜率為

(36)

在實際應用中經常給定一組維度 值選取適當的 r繪出

30

曲線求曲線當中直線段的斜率 如果系統存在這樣一個 值達到此

值後相應的關聯維數不再隨 的增長而變化也就是趨於飽和這表明

該序列為混沌系統其吸引子是存在的此時 值即為重構相空間的最佳

嵌入維數否則則表明該序列為隨機系統不具有混沌性

314 時間遞移數

利用 2123節中介紹的概念及 2124 中介紹的自相關函數求解出時

間遞移數的結果自相關函數公式如下

1

1

1( )( )

1( )

n k

t t k

tk n

t

t

x x x xn k

r

x xn

(37)

n為原資料樣本數k為時間遞移後的樣本點

將自相關係數計算的結果與每一筆遲延時間距離數值繪製成圖表可

由圖表中可分析辨別時間序列數據的初步基本特徵圖表繪製的結果顯示

自相關係數跟隨遲延時間距離數值的增加而顯示收歛且具有震盪循環之跡

象則表示數據具有一種規則屬於一混沌時間序列

32 複線性迴歸

確立資料為混沌後運用自我相關係數計算出時間遞移數及相空間維

度後將加入複線性迴歸運算複線性迴歸中常用的預測方法分為兩種

1 全域法

全域法就是利用相空間軌跡中的全部向量點做為擬合對象找出其

規律由此進行短期預測也就是說利用收集的大量的歷史資料利用

複線性迴歸訓練出迴歸參數再將未放進訓練迴歸參數的資料使用訓練

出的迴歸參數計算出預測值的資料型態本文還將原本的歷史資料分析

出資料的季節性後先去除季節性的影響最後再加回季節性討論預測結

果

2 局域法

局域法的基本原理是僅利用有限個鄰近點的資訊而不是利用全部的

樣本點來擬合 局域法預測是把相空間軌跡中的最後一點作為待測點對

離待測點鄰近的若干個相空間點的關係作出擬合再對預測相空間點的未

來演化規律進行預測本文使用零階局域法零階局域法是直接將鄰近樣

31

本點應用於預測根據鄰近樣本點預測 的最簡單的方法就是尋找相

空間中距離 最近的點假設距離最近的點是 那麼它的下一個樣本

點為 即可做為 的預測值

因數值資料在每日重複發生變動所以本研究又加入計算季節性指數

對趨勢線做季節性調整也就是對時間序列做季節性調整

33 模糊迴歸分析

運用模糊的概念帶進迴歸模式中處理具模糊性的資料問題此稱為模

糊迴歸分析本文利用的模糊迴歸模式主要有兩個方向一個是Tanaka et al

(1982)提出的模糊線性迴歸另一個是由Chang 與Lee (1994)所提出修正型

迴歸模式Tanaka 起初所提出的線性規劃模型

0 1

[ ( )]p n

j ij

j i

Min C X

st 0 0

(1 ) (1 )p p

j ij j ij ii

j j

X H c X y H e

(38)

0 0

(1 ) (1 )p p

j ij j ij ii

j j

X H c X y H e

0jc j R 0 1iX 0 1H 123i n 012j p

Tanaka 所提出的模糊模型未考慮到散度為負值的條件所以模糊上下

界會不斷的擴張而越來越寬大由 Chang 與 Lee (1994)所提出修正型迴歸

模式即將模糊的散度可為負值使上下界的模糊區間為遞減的情形遞

減的情形由圖 31表示

圖 31 模糊區間隨自變數越大而越窄

0

2

4

6

8

10

上界 中心線 下界

32

假設圖表中計算出的模糊迴歸函數為 0 0 1 1 Y c c X 模糊上界為

0 0 1 1UY c c X 模糊下界為 0 0 1 1LY c c X

33

第四章 數值分析

本章資料來源1台灣區車輛工業同業公會

2台北市交通局

本章所使用的數據資料為台北市交通局提供的公開的車流量資料數

值分析所使用的方法已在第三章論述利用第三章的方法分析數值預測的

準確性並結合模糊迴歸常見的兩種方法幫助決定預測的可接受範圍本

章介紹本文所利用的數學模型及方法在複線性迴歸的模型中分成混沌全

域法去季節性後的混沌全域法以及混沌局域法預測出的結果加以討論預

測的準確性再將預測值去季節性觀察準確程度最後再帶入模糊迴歸

利用 05H 加以討論如何將模糊迴歸中的散度用以選擇預測值的範圍第

一節針對傳統複線性迴歸方法並結合全域法觀念訓練資料迴歸係數討

論預測結果第二節針對傳統複線性迴歸方法並結合局域法觀念訓練資

料迴歸係數討論預測結果第三節針對預測資料去除季節性後再利用

傳統複線性迴歸方法討論預測結果第四節針對模糊迴歸的兩種方法選

擇出預測的範圍

利用第三章論述的時間遞移及相關維度的做法將本文利用具混沌性

的資料加以分析將資料先利用 212 節中介紹的李雅普諾夫指數 判定是

否具混沌性具有混沌性的資料才能利用混沌理論重構相空間若李雅

普諾夫指數 介在 0跟 1之間則表示資料具有混沌性質本文資料利用程

式計算出李雅普諾夫指數 運用自我相關係數判斷出時間遞移

數 相關維度計算出維度 我相關係數判斷時間遞移數與相關維

度的圖形以及原始資料時間遞移後的資料圖如圖 41圖 42圖 43

34

圖 41相空間維度及 lnC與 ln r斜率關係圖

圖 42相空間維度及 lnC與 ln r斜率關係圖

0

1

2

3

4

5

6

7

0 5 10 15 20

相空間維度

斜

率

d

-02

0

02

04

06

08

1

12

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33

時間遞移數

自我相關函數

35

圖 43 原始資料時間序列圖

41 複線性迴歸混沌全域法

本文所使用的資料為 10日的車流量資料利用前 9日的資料訓練出迴

歸參數將迴歸參數代入複線性數學模型中計算出的迴歸方程式為

1 2 3 4

5 6 7 8 9

10 11 12 13 14

435363 00819 00338 01777 00070

01116 01999 00299 02716 00349

01399 00056 01113 00738 02038

y x x x x

x x x x x

x x x x x

(41)

解出迴歸參數計算出複線性迴歸方程式後再將最後一日 144筆的車

流資料代入方程式中計算出預測值利用複線性迴歸混沌域法預測出的結

果如圖 44

圖 44 複線性迴歸分析預測與原始資料比較圖-全域法

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

1 53

10

5

157

209

26

1 31

3

365

41

7

469

52

1 57

3

625

67

7

729

78

1 83

3

885

93

7

989

10

41

1093

11

45

1197

12

49

1301

13

53

1405

原始資料點

原始資料點

-50

0

50

100

150

200

1

7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

103

109

115

121

127

133

139

實際值

預測值

36

由圖表的狀況可觀察出運用複線性迴歸模型預測的結果不盡理想本

研究認為運用複線性迴歸預測的結果不佳的原因有二

1 利用全域法預測是將較大量的歷史資料加入考慮訓練出迴歸參數這

樣的結果造成削弱了原本的奇異點(相較於同時段資料差異性較大的點)

的影響力

2 嵌入維度 太高對於混沌時間序列隨著嵌入維度增高歷史

對未來的影響是呈指數衰減的所以全域法所利用的資訊歷史就越長

預測的精準度就會迅速下降因此本研究將加入局域法討論預測的準

確性

42 複線性迴歸混沌局域法

局域法的做法為尋找相空間重構後的點對待測點尋找鄰近的 k個相

空間點對離待測點鄰近的若 k個相空間點的關係作出擬合並分析出複

迴歸方程式的迴歸參數本文嘗試選取 k=50~250的結果以下只列舉 k=200

的圖解釋預測結果

圖 45 複線性迴歸分析預測與原始資料比較圖-局域法(k=200)

圖 44與圖 45比較後可看出區域法預測的準確性比全域法更好某

些預測出來的結果的點與原始資料的點差異性大有明顯的偏移本研究

認為利用局域法預測的結果不佳的原因如下由圖 45可看出預測結果與

原始資料間差異性較大的點位為數列的右側 而數列尾端的資料為凌晨或

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

1

7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

103

109

115

121

127

133

139

實際值

估計值

37

是深夜的車流量因每日凌晨或是深夜的車流量變化量較少(例如某日的凌

晨十二點十分可能為 0台車或是小於 10台車經過)所以資料的差異性

較大造成頭尾的資料預測上較為不準確

因為同時段的資料可能會影響資料預測出的結果所以我們下節就以

加入季節性的考慮來加以討論預測結果

43 複線性迴歸去除季節性後混沌全域法

本文使用的車流量資料為每日 24時換算成 1440分鐘每 10分鐘記

錄一點於是本研究依資料的記錄時間點來劃分季節性將季節分成 144

個季分別求出季節性指數求取季節性指數後將每個資料點先去除季

節性利用全域法訓練出去季節性後的迴歸係數再利用複線性求出預測

值最後將去除的季節指數乘回預測點結果如下

圖 46考慮季節性複線性迴歸分析預測與原始資料比較圖-全域法

此考慮季節性因子的複線性迴歸分析預測與原始資料的比較是用全

域法去訓練迴歸參數的而由圖 44我們可以得知一開始未考慮季節因

子使用全域法的複線性迴歸預測是不準確的本研究認為原本的歷史資

料隨著季節性因子的變化該系統原本呈現複雜的動態特性實際上由於

車流量的變動有許多外在因素的影響例如氣候假期hellip等影響會使

資料的變化過程發生不同程度的偏離而對於季節性事件來說其事件發

生的過程主要受季節性參數週期性變化的影響 因此影響因素的具體形

式可以近似地表示為單一函數本文考慮季節因素對車流量的影響意即

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

1

7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

10

3

10

9

11

5

12

1

12

7

13

3

13

9 實際值

預測值

38

經過季節性分析後的得到的預測分析結果很準確如圖 46所示此結果

表示季節性影響樣本資料的情形大也代表著在季節因素影響下系統中

事件的動態變化情況是隨著季節影響參數的變化而造成系統呈現各種

各樣複雜的動態特性如週期解混沌情形hellip等

44 模糊迴歸

441Tanaka模糊迴歸

μ及 H 值之選定原則為當不確定性愈大時其 μ及 H 值愈接近 0

反之當資料不確定性愈小時μ及 H 值取愈接近 1 之值Bardossy 等人

建議其值在 05~07間為適宜根據 Tanaka在 1982年所提到的方法我們

可以求得一模糊迴歸函數並可得知其中心線與其上界及下界假定在 H =

05的情況下利用 Tanaka模糊迴歸模式算出迴歸函數為

(42)

中心線與上下界的簡單迴歸方程式為

中心線 (43)

上界 (44)

下界 (45)

繪製出的圖形如圖 47所示

圖 47 Tanaka 模糊迴歸

0

50

100

150

200

250

300

1

7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

103

109

115

121

127

133

139

下界

中心線

上界

39

圖 48 Tanaka 模糊迴歸中心線與預測值之結合

從圖 48可看出預測值與模糊迴歸的中心線 有明顯的時間差異但由

圖可以觀察出模糊迴歸的中心線 的預測趨勢與實際值是相近的雖然利

用模糊迴歸預測的時間點比實際時間快但是相對來說也是可以用來預

測之後將發生的趨勢本研究認為若模糊迴歸可用於預測中則可用模糊

的散度 c當做預測行為中選取的可接受的變動範圍如圖 49最後將 Tanaka

模糊迴歸中心線上下界與實際值之結合如圖 410所示

圖 49 Tanaka 模糊迴歸中心線上下界與實際值之結合

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

1

8

15

22

29

36

43

50

57

64

71

78

85

92

99

106

113

120

127

134

141

實際值

中心線

0

50

100

150

200

250

300

1

7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

103

109

115

121

127

133

139

實際值

下界

上界

預測

值

預測值

40

圖 410 Tanaka 模糊迴歸中心線上下界與實際值之結合

442修正型 Tanaka模糊迴歸

因為我們要將模糊迴歸應用於預測中所以本研究將複線性迴歸的趨

勢線視為模糊迴歸的中心線再利用修正型 Tanaka模糊迴歸模式算出迴歸

函數為

(46)

中心線與上下界的簡單迴歸方程式為

中心線

上界

下界

繪製出圖形如圖 411

0

50

100

150

200

250

300

1 7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

103

109

115

121

127

133

139

實際值

預測值

下界

上界

41

圖 411 修正型模糊迴歸中心線上下界與實際值之結合

本研究使用的修正型模糊迴歸中心線與傳統的迴歸方程式相同所以

可用來處理或分析模糊資料與明確資料同時修正型模糊迴歸的上下界

與 Tanaka 模糊迴歸相較也變窄了此兩種現象就是修正型迴歸的特色因

為中心線與傳統的迴歸方程式也相同這種修正型迴歸散度可選擇為負值

的特色本研究認為可以應用在預測上因為上下界與中心線間的散度變

窄使得前文所敘述到的利用散度來選取預測範圍便可更為嚴格也可

使預測的結果更為可靠如圖 412所示

圖 412 Tanaka 上下界與修正型模糊迴歸上下界的寬度差別

0

50

100

150

200

250

1 7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

103

109

115

121

127

133

139

下界

中心線

上界

0

50

100

150

200

250

300

1 8 15

22

29

36

43

50

57

64

71

78

85

92

99

106

113

120

127

134

141

Tanaka下界

Tanaka上界

Tanaka修正型下界

Tanaka修正型上界

42

第五章 結論及未來研究方向

51 結論

根據前文的討論傳統迴歸和模糊迴歸建立在不同的理論基礎上傳

統迴歸是以機率為基礎而模糊迴歸則是以可能性為基礎傳統迴歸因變

數的估計值與觀測值之間的差異為因變數的隨機性而模糊迴歸因變數的

估計值則產生於觀測值之模糊度惟兩者最大不同處在於模糊迴歸式的

迴歸係數與預測值皆為模糊數（區間值）不同於傳統迴歸係數與預測值

均為明確的數值此外傳統迴歸侷限於對明確資料的分析可能性模糊

迴歸僅適用於分析具模糊性的資料而複合的模糊迴歸則可同時適用於分

析模糊與明確的資料此為此模式最大的特點

模糊迴歸應用於預測中大多的結果是不佳的但是我們透過結合混

沌與模糊迴歸的概念將混沌的預測單點概念拓展成一個可接受的預測

範圍

PT Chang 與ES Lee 使用修正型模糊迴歸重新定義散度做出新的

模糊上下界均為改善模糊迴歸模式Tanaka之研究本研究將模糊迴歸與

混沌理論之建立時間序列的預測情形加以結合討論發現模糊迴歸在預測

的行為中是可行的但可惜的是即使預測的趨勢相近但預測值出時間

的點卻有差別這樣的結果我們可以看出若能找到解決加強模糊與複線性

迴歸關係之間時間的關聯性就能利用模糊的不確定性來討論預測問題

52 未來之研究方向

本研究將模糊迴歸與混沌理論之建立時間序列的預測情形加以結合討

論發現模糊迴歸在預測的行為中是可行的但可惜的是即使預測的趨

勢相近但預測值出時間的點卻有差別這樣的結果我們可以看出若能找

到解決加強模糊與附線性迴歸關係之間時間的關聯性就能利用模糊的不

確定性來討論預測問題

為了符合現今社會多元的狀況模糊迴歸與傳統迴歸之觀念勢必加以

混合應用也為了解決此等問題混合式迴歸（Hybrid Regression）在近年

來被提起也因此參數的估計模糊迴歸與傳統迴歸的混合應用將成

為往後繼續研究探討之目標

建議未來可用模糊加權修正模糊迴歸使模糊迴歸在預測上更能直接

43

將對事物多個構面評估的意見與其影響事物狀況的重要程度作加權的運

算

44

參考文獻

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I

Combine Forecasting Model with Chaos Theory and

Fuzzy Regression

By

Wei-Jou Lin

Advisor Dr Ping-Teng Chang

A Thesis

Submitted to the Institute of Industrial Engineering and Enterprise

Information at Tunghai University

in Partial Fulfillment of the Requirements

for the Degree of Master of Science

in

Industrial Engineering and Enterprise Information

June 2013

Taichung Taiwan Republic of China

II

結合混沌理論與模糊迴歸之預測模式

學生林葦柔 指導教授張炳騰 教授

東海大學工業工程與經營資訊學系

摘 要

過去傳統迴歸分析成功表達了現象的因果關係然而由於許多社會現象的複雜性

有些資料具有模糊現象使得傳統的分析方法可能難以適用Tanaka et al曾於1982 年

提出模糊迴歸分析的論點認為觀測值與估計值間的殘差是由於參數的不確定性所造成

的而後續發展也有許多研究指出模糊迴歸分析對於處理具相關性之不確定性資料有相

當助益時間序列資料具高度自我相關性及不確定性故將模糊理論應用於時間序列模

式參數之估計是為一可行之方法

Tanaka 等人將傳統迴歸分析拓展至模糊環境後便有越來越多的學者紛紛投入模

式的建立與分析但多數文獻的共同特色是求解出的迴歸係數為模糊數造成進行應變

數的估計時估計值的散度會隨著應變數數值的增加而擴大因而降低了模式的估計準

確度

本研究提出將模糊迴歸估計方法與一般混沌時間序列參數之估計方法作結合以了

解所建構模糊模式的預測可行性利用兩種求解模式來建構模糊迴歸模式第一種求解

模型係利用 Tanaka所提出的方法建立模糊迴歸模式基於 H截集的概念直接對觀察值

求取出上下限值而第二種求解模式則是利用 Chang 與 Lee 所提出的修正型模糊迴歸

建立模糊迴歸模式其觀念為散度有負值使模糊迴歸更能保有明確值的特性

關鍵字詞 混沌時間序列複線性迴歸模糊理論模糊迴歸模糊預測

III

Combine Forecasting Model with Chaos Theory

and Fuzzy Regression

Student Wei-Jou Lin Advisor Prof Ping-Teng Chang

Department of Industrial Engineering and Enterprise Information

Tunghai University

ABSTRACT The traditional regression analysis has successfully expressed the phenomenon of

causality However because of complexity of phenomena and some of them has fuzziness it

may make the traditional analysis difficult to apply Tanaka et al had in 1982 proposed fuzzy

regression analysis and argued that between the observed value and the estimated value of the

residuals it is due to the uncertainty of parameters In subsequent developments there are also

many studies indicating that the fuzzy regression is helpful for dealing with the uncertainties

of correlated information Time series data has a high degree of autocorrelation and

uncertainty Hence fuzzy theory applied to the estimated of model parameters of the time

series seems to be a practicable approach

After Tanaka et al expanded the traditional regression to fuzzy environment there are

more and more investigators who have invested in the establishment and analysis of the

models But a common feature of the literatures is the regression coefficients that are solved

and are fuzzy numbers resulting in that when estimating the dependent variable the spread

value of the estimated will increase as dependent variable enlarges thereby reducing the

modelrsquos accuracy

This study proposes combining the general estimation method of chaotic time series

parameters and fuzzy regression estimation method to understand the feasibility of forecast

of the fuzzy model established Two fuzzy regression models are used in this study the first

is the method of Tanaka et al fuzzy regression model based on the concept of H cut directly

solving the upper and lower bounds from observations While the second model is the Chang

and Leersquos modified fuzzy regression model with the concept of a negative spread value

making fuzzy regression retain more the features of deterministic values

Keywords Chaos Time Series Multiple Linear Regression Fuzzy Set Theory Fuzzy

Regression Fuzzy Prediction

IV

致謝詞

在東海就讀了六年從成為大一新生開始懵懵懂懂到現在研究所畢

業有太多的回憶及感觸點點滴滴在心頭猶記第一眼看見東海地標路

思義教堂的心情尖聳的教堂頂端滿載著許多對未來的憧憬與期許也

還記得在東海上的第一堂課必須穿過路思義教堂的旁的大草皮走過長

長的文理大道充滿日式建築特色的工學院木製長廊最後坐進座椅被固

定的大教室如今東海的一草一木都將成為最美好最懷念的回憶

首先感謝張炳騰老師在研究的這條路上提攜指點不遺餘力的照顧

及關心研究生們使我在這兩年的研究所生涯裡獲得許多知識及理解做人

處事的道理謝謝博班的龍廷學長總是關心著我們碩二生在口試前一天

仍撥空陪我們預演練習給我們建議使我們大家能以較不緊張的態度面

對口試委員謝謝 IKS 研究室碩二的三位夥伴富源子琪宜璟在過去的

兩年裡一起努力做研究在最後關頭互相打氣成為精神支柱謝謝振鈺

宇凡士瑋士戎世念及意凡在就讀研究所的日子裡彼此扶持談論

未來一起度過許多難忘的時光謝謝碩一的學弟妹們秀儒凱雯逸琮

博仁負責處理研究室裡大小事務還有一同緊張準備 meeting一起出遊的

愉快我都深深烙印在腦中也謝謝佳陞在我熬夜時或是感到挫折時陪

伴我安慰我以及鼓勵我給我溫暖讓我依賴你的肩膀及胸膛是我的避

風港

最後謝謝我的爸媽跟姊姊總在我最難熬的時候為我加油打氣給予

我正面的力量讓我充滿能量繼續面對下一步的挑戰不論遇到多少瓶頸

家人的肯定是最大的動力來源擁有這麼完美且甜蜜的家庭真的是我的

福氣謝謝東海大學孕育我使我成長指引我前往光明的路上現已要

踏上未來的未知旅程我會繼續努力朝著目標前進

林葦柔謹誌於

東海大學工業工程與經營資訊學系

中華民國一百零二年六月

V

目錄

摘 要 II

ABSTRACT III

致謝詞 IV

目錄_ V

圖目錄 VI

第一章 緒論 1

11 研究背景與動機 1

12 研究目的與範圍 2

13 研究架構與流程 2

第二章 文獻探討 4

21 混沌理論 4

22 複線性迴歸分析 11

23 模糊理論 12

24 模糊迴歸 19

第三章 研究方法 28

31 混沌時間序列建立預測方法 28

32 複線性迴歸 30

33 模糊迴歸分析 31

第四章 數值分析 33

41 複線性迴歸混沌全域法 35

42 複線性迴歸混沌局域法 36

43 複線性迴歸去除季節性後混沌全域法 37

44 模糊迴歸 38

第五章 結論及未來研究方向 42

51 結論 42

52 未來之研究方向 42

參考文獻 44

VI

圖目錄

圖 11 本研究之架構與流程 3

圖 21 三角模糊數 17

圖 22 梯形模糊數 17

圖 23 模糊數的中心值與散佈值 20

圖 31 模糊區間隨自變數越大而越窄 31

圖 41 相空間維度及 LNC與 LN R斜率關係圖 34

圖 42 相空間維度及 LNC與 LN R斜率關係圖 34

圖 43 原始資料時間序列圖 35

圖 44 複線性迴歸分析預測與原始資料比較圖-全域法 35

圖 45 複線性迴歸分析預測與原始資料比較圖-局域法(K=200) 36

圖 46 考慮季節性複線性迴歸分析預測與原始資料比較圖-全域法 37

圖 47 TANAKA模糊迴歸 38

圖 48 TANAKA模糊迴歸中心線與預測值之結合 39

圖 49 TANAKA模糊迴歸中心線上下界與實際值之結合 39

圖 410 TANAKA模糊迴歸中心線上下界與實際值之結合 40

圖 411 修正型模糊迴歸中心線上下界與實際值之結合 41

圖 412 TANAKA上下界與修正型模糊迴歸上下界的寬度差別 41

1

第一章 緒論

本章節主要在說明本研究之整體結構透過研究背景與動機清楚導引

出本研究之目的並利用研究目的與範圍定義研究的範疇邊界將依下列

三小節逐項說明

11 研究背景與動機

在日常生活中很多的現象與問題往往充滿著不確定性面對不確定

性以往皆是用隨機的概念加以描述直到1960年代開始有人質疑隨機

的概念用在有不確定性之現象的適用性為了有效解決人文思維的不確定

性Zadeh在1965年首先提出了模糊集合的概念而後到了1970年Zadeh

與Bellman又區分出隨機(Randomness)與模糊(Fuzziness)之間的不同

在對某一對象進行研究時除了希望了解其目前的狀況之外更希望

能夠做到預測未來的現象生活中包含社會經濟教育體育等等的現

象與問題皆常常希望描述自變數與因變數之間的關係因此迴歸模型

便是一種最常用的統計方法

在傳統的迴歸分析當中所假設的估計值是由實際的因變數加上誤差

所產生的這也表式因變數是一種含有不確定性的隨機變數不過在現

實生活當中很多事情往往不符合這個假設因為許多的變數並不是一個

明確的數值而是含有多重隸屬的特性以問卷調查為例若一張為卷調

查的答案分為五個等級滿分五分意表「非常滿意」最低一分意表「非

常不滿意」若有兩人在填問卷時針對同一題問題一人回答「非常滿

意」而另一人回答「滿意」則我們不能太過明確的斷定得到5分的「非

常滿意」跟4分的「滿意」之間的優劣如果太過依賴實際數字去斷定這兩

位顧客的滿意程度也許會造成預測結果與實際狀況上的誤差

因此為了解決此種問題Tanaka等人(1982)提出了模糊線性迴歸模式來

處理模糊性資料的問題而Chang與Lee也提出了修正型的模糊迴歸此模

式是利用模糊的散度可為負值討論模糊迴歸來建立迴歸式由模式所估

計而得的迴歸係數與預測值均為一個模糊數或區間值此模式因散度挑

選為負值可修正掉Tanaka的模糊迴歸上下界不停擴散的缺點此點為其

最大的特色所以我們將利用模糊的不確定性特色來加入討論預測的結果

使預測視界更為開闊

2

12 研究目的與範圍

傳統的預測方法都是利用建立數據序列模型後再進行計算及與預測

然而隨著混沌科學發展發現混沌的現象存在於生活許多細節中於是學

者致力於發展混沌科學利用歷史資料的混沌規律性建立客觀的模型可

避免人為的主觀想法而影響預測的準確性

本論文的研究目的在於利用混沌理論建立時間序列與應用傳統複線性

迴歸計算進行預測已是一種在社會科學中被廣泛應用的預測方法但是

在預測的領域中加入模糊討論的情形卻很少在傳統的迴歸分析當中

所假設的估計值是由實際的因變數加上誤差所產生的也就是說因變數

是一種含有不確定性的隨機變數不過在現實生活當中很多事情往往不

符合這個假設因為許多的變數並不是一個明確的數值而是含有多重隸

屬的特性以學生的考試成績為例不能明確的斷定得到99分的學生和得

到97分的學生之間的優劣如果太過依賴實際數字去斷定這兩位學生的素

質高下也許會造成預測結果與實際狀況上的誤差

因此為了解決此種問題Tanaka等人(1982)提出了模糊線性迴歸模式來

處理模糊性資料的問題之後續有學者Chang與Lee也提出了修正型的模糊

迴歸選擇散度可為負值所以本文將依模糊理論中的模糊迴歸的特性來

加入預測值範圍討論處理不確定性問題

13 研究架構與流程

本論文的研究流程如圖 11 所示主要研究步驟從確立研究方向進

行相關文獻的探討然後建立本研究的預測方法流程並做混沌系統與模

糊系統的結合來做出預測最後給予本研究上的結論與建議研究架構圖

可參考圖 11

3

確認研究方向

相關文獻回顧

複線性迴歸預測模式

混沌理論 複線性迴歸 模糊理論

結論與建議

模糊迴歸上下界選取預測範圍

糢糊迴歸

建立預測模式

圖 11本研究之架構與流程

4

第二章 文獻探討

傳統的預測方法都是利用建立數據序列模型後再進行計算及與預測

然而隨著混沌科學發展發現混沌的現象存在於生活許多細節中於是學

者致力於發展混沌科學利用歷史資料的混沌規律性建立客觀的模型可

避免人為的主觀想法而影響預測的準確性

預測是一種資料探勘的相關技術通常都是利用各種統計或迴歸的方

法從過去的歷史資料中找出有用的趨勢或是模式然後利用這些趨勢或

模式來求得下一期間或週期的預測值要進行任何預測之前收集足夠的

有效觀察值是一種必要的程序在以往統計或迴歸的方法中均需要大量

的有效觀察值才能夠準確的判斷出預測結果

傳統的主觀意見預測法因為人為意見的影響較大無法利用電腦技術

來協助進行預測目前已經普遍不被企業所使用時間序列的數學方法是

以過去資料之時間序列為主而其基礎為假設未來之情形與過去情勢相雷

同因此若有某因素改變情形時必須參照判斷予以修正預測才能正確

而時間序列是指一個固定間隔為基礎經過了一段時間(如每小時每日

每月每週每月每季每年)之時間序列的觀察結果

本章節首先概述混沌理論的發展以及建立時間序列預測所運用的方法

再加以介紹模糊的幾何意義與模糊的演算法及結合傳統方法與模糊間的概

念

21 混沌理論

混沌理論是對一個不規則又看似無法預測的現象及過程加以分析在

現代科學史中真正數學和物理學意義下的混沌理論公認是由麻省理工

學院的氣象學家羅倫茲(Lorenz)提出的196年冬天某日當時還是副教授

的羅倫茲用一台 RoyalMcBee LPG-30 電腦對一個包含 12 個微分方程的

氣象動力學方程組進行數值模擬試驗在其中的一次驗算裡為貪圖方便

他把一個小數點後六位數的初始值做了四捨五入處理僅輸入了小數點後

前三位數但結果讓他大吃一驚這個與精確數值不到千分之一的誤差

讓最後計算結果大相逕庭這個偶然的取值失誤讓羅倫茲發現了一個簡

單具體並且有明確物理意義的可以用來表現和驗證彭加萊混沌理論的數

學模型於是 1963年洛倫茲在美國《氣象學報》上發表了題為「確定性

5

的非周期流」的論文這篇文章和他隨後發表的另一篇相關論文指出對

於模型中關鍵參數的微小改變會導致完全不一樣的結果使得有規律的周

期性行為能夠進入雜亂無章的狀態令精確的長期天氣預報變得不可能

Hayles(1990)於 Choas boundOrderly disorder in temporary literature and

science 一文中指出混沌的含義有兩個

1 系統失序的前兆與狀態

2 強調存在於雜亂現象內潛藏的規律與秩序結構

Curtis(1990)認為混沌理論或多或少隱含了隨機(randomness)的現象其

含義有兩個觀點

1 混沌是規律秩序的預兆當各種事件在一個系統中進行時混沌現象開

始出現就必須注意「驅散(disspative)結構」的雜亂現象同時也會產生

假使這個系統在「熱力函數」上有足夠熱度則它的結果將使「驅散結

構」的雜亂現象成為確切明白的秩序(Prigogine amp Stenger1984)這種

規律秩序的預兆Gleick (1987)稱之為介於熱力學和動力系統間以高

度個體化和關聯化的哲學觀點「規律秩序之外的秩序」稱之為「混沌」

2 強調經過混沌吸引子的吸收進而啟動「混沌系統」發展出「力的性

質」進而產生混沌系統的模式特徵姜濤(1993)認為從物理意義上來看

一個確定性系統(含有隨機或偶然因素)在沒有外界隨機干擾的情形下

所出現的無規則形態都可以稱為混沌現象Wheatly(1994)將混沌理

論定義為可能是一個事件行為或是過程它是多變的非線性的及

無法預測的所以模式和範圍是彈性的會隨時隨地改變

J Yorke(2002)將混沌賦予新義指出混沌是一種有結構有規則的系

統混沌的雜亂只是表象最終會回歸平衡且等待下一次的失序如此

一直循環著 混沌系統兩個十分重要的特性

1 系統的變化驟看似是毫無規則但實際上是由物理定律所決定的

2 系統的演化對初始條件的選取非常敏感初始條件極微小的分別 (就例

如 02 和 02001 只相差兩千分之一)在一段時間的演化後也可帶來

南轅北轍的結果

211碎形維度及混沌吸引子

碎形幾何理論(Fractals Geometry)是一門新興理論專門用來解釋以前

6

歐氏幾何學無法解釋的自然現象舉凡不規則形狀的自然物體都無法用歐

式幾何學解釋如雪花雲朵流水樹木hellip等所以碎形幾何理論是

用來解釋具有自我相似性及非整數維度的特徵

因此所謂碎形指的是一個幾何物件其外型不像直線弧線這些古

典歐幾里德幾何（Euclidian geometry）的表面那麼平滑而是相當破碎

不規則且無論巨觀或微觀都不是連續的這些不規則的碎形和我們習以

為常的觀念有所不同且基本上大多數的現象並不是如歐幾里德幾何所描

述的那樣

舉例來說一顆籃球對於向來熟悉阿基里德空間的我們來說直覺性

的會認為這是三度空間中的一個球體其維度為三但當把距離拉遠看

似一個圓形維度成為二若把距離縮近成為一公釐則可以發現籃球上

有凹下的線條有防滑的凸點顆粒這種情況下維度又該如何界定而曼

德布洛特在分析英國科學家李查(Lewis F Richardson)遺稿當中的一篇論文

時察覺任何國家的邊界在某種定義下都是無限長其重點在於測量時所

使用的基準長度一般要測量海岸線長度時測量員會架起兩腳器並預設

成一個長度沿著海岸線進行測量之後將兩腳器的尺度縮小重頭再量一

次海岸線長而所量到的這兩種尺寸後者一定較前者為長也較逼近真

實的邊界長度同理將兩腳器的兩腳距無限的縮小則所量到的邊界就

成為無限長

1967年代數學家 Benoit Mandelbrot發表了一篇名為「英國海岸線有

多長」的論文文中提到新的維度觀念也就是碎形維度碎形維度具

有四種特性(1)自相似性(2)自我模仿性(3)碎形維度為有限區域的無限

結構(4)碎形是非動力過程的結果混沌現象具有特殊的碎形維度(Fractals)

混沌狀態出現時運動軌跡不穩定它們隨機但緊密的逐漸收斂到一個整體

縮小但局部分離的區域此區域就稱為奇異吸引子（strange attractor）

Hayles(1990)指出混沌是強調存在於雜亂現象之內潛藏的規律秩序結構

因為雜亂現象之內隱含有「奇異吸子」(strangeattractors)進而啟動運作「混

沌系統」Griffths Hart amp Blair(1991)認為混沌理論應用在教育行政中

也具有奇異吸子的特徵奇異吸引子不同於的穩定的整數維吸引子（即不動

點極限環和環面）它具有的是奇特的非整數的空間維度這種空間被

稱作豪斯道夫（Hausdorff）空間因此混沌奇異吸子是一個整體穩定但是

7

局部不穩定的運動空間

212李亞普諾夫(Lyapunov)指數

混沌系統的初始值非常敏感使得初始時刻靠得很相近兩條相軌跡隨

著時間的增長而逐漸遠離如果能夠定量描繪出此種鄰近軌跡的發散性

便可建立出混沌變動情形的一種數值判斷方法李亞普諾夫指數就是用來

表示相空間內鄰近軌跡的平均指數發散率的數值特徵m 維相空間中的某

一時刻兩條鄰近軌跡之間的距離可以分解在 n 個不同的方向這 n 個不

同方向上的距離增長率是不相同的而每一個增長率就是一個李亞普諾夫

指數

最大李亞普諾夫指數是判斷和描述非線性時間序列是否為混沌系統的

重要參數因此是一個重要的混沌不變數對於混沌系統來說發散是一種

整體性的穩定因素動力系統一方面作為發散系統最終要收縮到相空間的

有限區域也就是吸引子上另一方面系統在相體積收縮的同時運動軌

跡是不穩定的要沿某些方向進行指數分離

對於 m 維的動力系統中 中初始兩點迭代後會互相分離

或是靠近取決於

的值若

則迭代使兩點分離若

則迭代使兩點靠近在不斷迭代過程中

也會隨之改變呈現出時而接

近時而分離的情形為了表示從整體上觀察得到的情況必須對時間(或反

覆運算次數)取平均設平均每次反覆運算所引起的指數分離指數為 於

是原來相距 的兩點經過 n次迭代後距離變為

(21)

若取極限 則式(21)變為

(22)

(22)式可簡化為

(23)

上式中的 與初始值的選取無關稱為原動力系統的李亞普諾夫指數

它表示系統在多次反覆運算中平均每次反覆運算所引起的指數分離中的

8

指數若 則表示相鄰點最終會靠近合併成一點若 則表示

相鄰點最終會發散而對應於軌道的局部不穩定若軌道還存有整體的穩

定因素(如整體有界發散存在捕捉區域等)系統則需在有限的幾何物件

上無窮次折疊以實現指數分離系統在此作用下反覆折疊並形成混沌吸

引子故 可做為判斷混沌情形的準則

混沌系統中的李雅普諾夫指數可用來判斷系統是收斂的還是混沌的

當系統的李雅普諾夫指數中至少有一個為正時 系統是混沌的 當系統的

李雅普諾夫指數均為負數時 系統是收斂的

對於一般 m維的動力系統定義李亞普諾夫指數如下設 F為

上的 m維映射假設一個 m維離散動力系統 將系統的初

始條件假設為一個無窮小的 m維小球由於演化過程中的自然變形圓球

將變成橢圓球將橢圓球上的所有主軸依其長度排列則第 i 個李亞普諾

夫指數根據第 i個主軸的長度 的增加速率定義為

(24)

李亞普諾夫指數與相空間的軌道收縮或擴張性質是有關連性的在李

亞普諾夫指數小於零的方向上軌道收縮運動穩定對於初始值不敏感

而在李亞普諾夫指數為正的方向上軌道迅速分離對初始值敏感李亞

普諾夫指數的前 j個指數的和是由前 j個主軸定義的 j維立體指數增加的長

期平均速率確定如橢球長度按 增加由前兩個主軸定義的區域面積依

增加由前三個主軸定義的區域面積依 增加以此類推在

李亞普諾夫指數譜中最小的李亞普諾夫指數決定軌道收縮的快慢最大

的李亞普諾夫指數則決定軌到發散也就是覆蓋整個混沌吸引子的快慢

而所有李亞普諾夫指數之和 可以大致表示為軌道的平均發散速度

李亞普諾夫指數是衡量系統動力學特性的一個重要定量指標它代表

了系統在相空間中相鄰軌道間收斂或發散的平均指數率對於系統是否存

在動力學混沌可以直觀的判斷最大李亞普諾夫指數是否大於零一個正

的李亞普諾夫指數代表著在系統相空間中無論初始兩條軌跡的間距多

小兩條軌跡的差別都會隨著時間的演化而成指數率的增加而導致無法

預測這就是混沌現象

213 混沌系統之時間序列

9

2131 相空間局部近似法

Farmer and Sidorowich(1987)在其混沌預測方法之研究提出所謂的相

空間局部近似法(phase space local approximation method)對系統之演變行為

進行預測這種奠基於時間延遲法(time delay method)所構成之重建相空間

(reconstructed phase space)的預測方式能夠適應吸引子(attractor)的局部行

為經後續進一步研究發現其具有相當良好之預測能力因此採 Farmer and

Sidorowich(1987)之相空間局部近似法構建交通量預測模式期能增加預測

準確度

2132 時間序列與相空間重構

相空間的概念就是把運行方程式所獲得的數字或數據轉換成為圖形

並將系統中隨時間改變的重要的資訊(無論是機械或是流體)抽取出來把各

式各樣可能的狀況註明在圖上利用延遲時間的概念模擬出類似原始系統

之相空間當重建一個空間使得此空間可以具體的包含吸引子特徵則此

空間之維度我們稱為嵌入維度Takens等人(1981)提出嵌入定理對於無

限長無雜訊的 d維混沌吸引子的標量時間序列x(n)可以在拓撲不變的

意義上找到一個 m維的嵌入相空間只有維數 m gt2d+ 1才可保有原始吸

引子的特徵Takens 定理保證了我們可以從一維混沌時間序列中重構一個

與原動力系統在拓撲意義下等價的相空間混沌時間序列的判定分析與

預測是在這個重構的相空間中進行的因此相空間的重構是混沌時間序列

研究的關鍵將收集的一維歷史資料例如現有歷史資料為 9筆13579

10131115間遞移的結果為1711391351015在此我們將利用此

時間遞移建立的時間序列觀念x(t) x(t minusτ ) x(t minus 2τ )hellip來重建相空間

2133 延遲時間 τ的決定

時間延遲如果 τ太小則相空間向量 x(i) = x(t) x(t minusτ ) x(t minus 2τ )hellip

中的任意兩個分量 x(t)和 x(t minusτ )在數值上非常接近以至於無法相互區分

從而無法提供兩個獨立的座標分量但如果時間延遲 τ 太大的話則兩座

標在統計意義上又是完全獨立的混沌吸引子的軌跡在兩個方向上的投影

毫無相關性可言因此需要用一定的方法來確定一個合適的 τ 值本文確

定 τ的主要方法為相關維度法

2134 自相關函數

自相關係數是利用時間序列裡每一筆數據與其前的數據根據不同遲延

10

時間距離的數值進行相關係數計算而成如遲延時間距離為 1表示將每

一筆數據與緊接其前的一筆數據進行相關係數計算如遲延時間距離為 2

表示將每一筆數據與其前第二筆數據進行相關係數計算如遲延時間距離

為 3表示將每一筆數據與其前第三筆數據列進行相關係數計算如此類

推自相關係數 之計算公式如下

1

1

1( )( )

1( )

n k

t t k

tk n

t

t

x x x xn k

r

x xn

(25)

式中 n為資料數k為時間遞移後的點t為時間點

將自相關係數計算的結果與每一筆遲延時間距離數值繪製成圖表可

由圖表中可分析辨別時間序列數據的初步基本特徵如圖表繪製的結果顯

示自相關係數沒有跟隨遲延時間距離數值的增加而顯示收歛之跡象也就

是說繪製線不斷於 X軸零座標線做不規律的上下擺動表示數據為隨機時

間序列即每一數據都視為個別獨立的事件且與過去某一筆遲延時間距離

數值的事件無關係反之若圖表繪製的結果顯示自相關係數跟隨遲延時

間距離數值的增加而顯示收歛且具有震盪循環之跡象則表示數據具有一

種規則屬於一混沌時間序列

2135 季節趨勢

季節趨勢預測法是根據事物每年重覆出現的週期性季節變動指數預

測其季節性變動趨勢

季節指數的概念即是利用簡單平均法計算週期內各時期模型季節性影響的

相對數季節指數反映了該季與總平均值間的穩定關係若季節指數大於

1則表示該季的值常會高於平均值若季節指數小於 1則表示該季的值

常會低於平均值若序列的季節指數都近似於 1則表示該序列沒有明顯

的季節效應季節指數的計算方式如下

計算週期內各期平均數

k=12hellipm (26)

計算總平均

(27)

計算季節指數

11

k=12hellipm (28)

其中 n為期數m為季節數

22 複線性迴歸分析

迴歸分析的目的主要是建立變數之間的關係進而應用於預測分析中

內政部營建署(1997)就曾利用迴歸分析來探討反彈數及現場鑽心試體之間

的抗壓強度關係進而建構出一迴歸方程式做為混凝土試體的抗壓強度

預測而在土木工程領域中也已有許多學者利用迴歸分析來進行研究

例如潘南飛與黃冠智(2005)利用迴歸分析來預測橋面版劣化狀況且考慮

以交通量及降雨量作為迴歸模式中的自變數最後得一配適佳的迴歸式

凌偉峻(2006)利用複線性迴歸分析建立模式及混沌系統的相空間鄰近點相

似特性來建立車流量預測模式Cheung et al (2008)使用氣候值持續值

颱風強度Julian Date記日本地時間七級風暴風半徑及颱風中心速度共

7個預報參數進行多變量的複線性迴歸(multiple linear regression)分析並以

20個傳統雨量站進行測試各新增變量中以颱風強度七級風暴風半徑及

中心速度對預報之改善較顯著其受改善之時數及相關係數之增加幅度皆

較其它變量為多顯示颱風結構參數在颱風降雨預報中比簡單的季節性因

素或日夜對流差異來得重要

敘述自變數( 1 kx x x x 2 3 )依變數 y 和誤差項 i 之間關係的方程式

稱為複線性迴歸模式複迴歸其主要目的有二

1 可以降低隨機誤差此與迴歸之變異數分析有關增加解釋變數之個數

可以使迴歸分析可解釋變動的部分增加相對的誤差就會減少

2 可以避免反應變數中影響重大的解釋變數有所遺漏而無法具體描述實

際資料的狀況估計複迴歸方程式或估計多元迴歸方程式(Estimated

multiple regression equation)大部分情況下複迴歸模式中的迴歸參數

皆不知其實際數值僅可以利用樣本數值估算分別以樣

本統計值 作為迴歸參數 的點估計值本研究

利用全域法訓練迴歸參數 即是利用前九日的歷史資料

複線性迴訓練出迴歸係數預測出第十日的資料型態複迴歸分析是將

簡單迴歸分析其自變數由一個增加至數個研究一群自變數和一個反應

變數之間的關係複線性迴歸模式定義如下

12

(29)

其中 為常態 n 隨機變數期望值 E(ε)=0且彼此互相獨立若有 n

組樣本觀測值(ngtp)組我們就可將方程式寫成

(210)

其中 i=123hellipn

若將複線性迴歸寫成矩陣可得下式

(211)

也可將式(211)寫成矩陣形式

(212)

其中 為觀察值向量 為參數向量 為自變數矩陣 為獨立之常態

隨機變數向量且滿足 向量 Y的期望值表示如下

(213)

複線性迴歸之最小平方標準方程式矩陣表示為

(214)

其中

為最佳模式之參數矩陣因此可求得最小平方估計式矩陣

表示為

(215)

其中 為 之轉置矩陣 為 之反矩陣只要利用式(215)

即可獲得複線性迴歸方程式

23 模糊理論

模糊理論是由美國加州大學伯克利分校電氣工程系的L A Zadeh在

1965年首次提出Zadeh在1965年發表了一篇傳統科學皆以排除具模糊性的

研究為主而模糊理論則以包含模糊性的研究為主現今科學發達所要

探討的議題越來越多由於人類的知識與研究會因本身主觀的意識因應

不同的人事時地物而具模糊性使得無法清楚呈現研究的本質為何要

13

在日常生活中精確地描述一個現象必定忽略其中的些微變化然而此描

述又無法真實描述現實因此模糊理論(Fuzzy Theory)正好能被廣泛應用在

研究上

模糊概念是指這個概念的外延具有不確定性或者說它的外延是不清

清楚的是模糊的例如好的壞的好壞的概念我們非常清楚但是

它的外延也就是究竟事件發生的條件到底是要如何才會是好的跟壞的

每個人的回答都會是不同的這就是一個模糊的概念所以當我們在接

觸模糊時是允許主觀意識的因為每個人對模糊的概念不盡相同儘管

如此當我們利用模糊統計方法進行分析時對於好與壞之間的界限又有

一定的概念

其次模糊性與精確性是相對立的但卻不能將模糊性理解成較差的

結果因為實際上我們在處理客觀事物時經常藉助於模糊性例如

若我們要在路上找一位「年輕的漂亮女孩」「年輕」及「漂亮」都是模

糊的概念但對我們而言這在路上不難找到因為我們的大腦會分析什麼

是「年輕」及「漂亮」於是我們就可以判斷出我們要找的人然而若我

們要求必須用電腦查詢「年輕的漂亮女孩」我們就必須將「年輕」及「漂

亮」這兩個模糊的條件利用具體的數據輸入電腦分析才能找到符合我們

要求的人

最後人們對模糊性的認知常與隨機性混淆其實它們之間有著很大

的不同隨機性是本身具有明確意義只是因為發生的條件不充分使得

在條件與事件之間不能產生確定的因果關係所以事件的出現與否表現出

一種不確定性而事物的模糊性是指我們要處理的事物的概念本身就是模

糊的即一個對象難以確定是否符合這個概念也就是由於概念外延模糊

而帶來的不確定性

231模糊的發展

模糊理論是在美國加州大學伯克利分校電氣工程系的 LAzadeh 教授

於 1965年創立的模糊集合理論的數學基礎上發展起來的主要包括模糊集

合理論模糊邏輯模糊推理和模糊控制等方面的內容

早在 20世紀 20年代著名的哲學家和數學家 B Russell就寫出了有關

「模糊性」的論文他認為所有的自然語言均是模糊的比如「紅的」和

「老的」等概念沒有明確的內涵和外延因而是不明確的和模糊的可是

14

在特定的環境中人們用這些概念來描述某個具體對象時卻又能心領神會

很少引起誤解和歧義

美國加州大學的 L A Zadeh 教授在 1965 年發表了著名的論文文中

首次提出表達事物模糊性的重要概念隸屬函數從而突破了 19世紀末勒

內middot笛卡爾（Rene Descartes）的經典集合理論奠定模糊理論的基礎1966

年P N Marinos發表模糊邏輯的研究報告1974年L A Zadeh 發表模

糊推理的研究報告從此模糊理論成了一個熱門的課題1974 年英國

的 E H Mamdani 首次用模糊邏輯和模糊推理實現了世界上第一個實驗性

的蒸汽機控制並取得了比傳統的直接數字控制演算法更好的效果從而

宣告模糊控制的誕生1980年丹麥的 LPHolmblad 和 Ostergard 在水泥窯

爐採用模糊控制並取得了成功這是第一個商業化的有實際意義的模糊控

制器

事實上模糊理論應用最有效最廣泛的領域就是模糊控制模糊控

制在各種領域出人意料的解決了傳統控制理論無法解決的或難以解決的問

題並取得了一些令人信服的成效

模糊控制的基本思想把人類專家對特定的被控對象或過程的控制策略總

結成一系列以ldquoIF THENrdquo形式表示的控制規則通過模糊推理得到控製作用

集作用於被控對象或過程控製作用集為一組條件語句狀態語句和控

製作用均為一組被量化了的模糊語言集如「正大」「負大」「正小」

「負小」零等

模糊控制的幾個研究方向

1 模糊控制的穩定性研究

2 模糊模型及辯識

3 模糊最優控制

4 模糊自組織控制

5 模糊自適應控制

6 多模態模糊控制

模糊控制的主要缺陷

信息簡單的模糊處理將導致系統的控制精度降低和動態品質變差若

要提高精度則必然增加量化級數從而導致規則搜索範圍擴大降低決策

15

速度甚至不能實時控制模糊控制的設計尚缺乏系統性無法定義控制

目標控制規則的選擇論域的選擇模糊集的定義量化因數的選取多

採用試湊發這對複雜系統的控制是難以奏效的

232模糊至今應用的範圍

模糊理論發展至今已接近三十餘年應用的範圍非常廣泛從工程科

技到社會人文科學都可以發現模糊理論研究的蹤跡與成果我們分別由工

程科技與社會人文科學的角度瞭解模糊理論應用的範疇

1 工程科技方面

(1) 型樣識別文字識別指紋識別手寫字體辨識影像辨識語音

辨識

(2) 控制工程機器人控制汽車控制家電控制工業儀錶控制電

力控制

(3) 信號及資訊處理影像處理語音處理資料整理資料庫管理

(4) 人工智慧及專家系統故障診斷自然語言處理自動翻譯地震

預測工業設計

(5) 環保廢水處理凈水處理廠工程空氣污染檢驗空氣品質監控

(6) 其他建築結構分析化工製程控制

2 教育社會及人文科學方面

(1) 教育教學成果評量心理測驗性向測驗電腦輔助教學

(2) 心理學心理分析性向測驗

(3) 決策決定決策支援決策分析多目標評價綜合評價風險分

析

233模糊集合

過去傳統數學上集合的基本定義是以二值邏輯(Binary Logic)為基礎的

方式來描述事物為屬於或不屬於此集合也就是元素 x和集合 A的關係

只能是isinA或notinA明確的判斷對象為所屬集合也就是明確集合(Crisp Set)

如果要描述適當的模糊事物時須將所屬集合的概念模糊化使之無明確

判對象所屬的集合模糊集合是指在界限或邊界不分明且具有特定事物的

集合以建立隸屬函數(Membership Function)來表示模糊集合承認論域

(Universe of Discourse)上存在既非完全屬於集合A又非完全不屬於集合A

16

使傳統集合的絕對屬於的概念改變為相對屬於的概念以數學式表示論域

U 上的模糊集合 A可表示為元素 x與它的歸屬函數集合

(216)

其中 A為一模糊集合 為歸屬函數x稱作元素U為論域一

般情況下歸屬度會界定在 0跟 1之間

(1) =0表示元素 x不屬於

(2) =1表示元素 x完全屬於

(3) 趨近 0表示元素 x極不可能屬於

(4) 趨近 1表示元素 x極有可能屬於

這個表示式的完整解釋為當 x 在 U 的範圍內會對應到一個介於 0

到 1之間的數值 所有這種 x所成的集合就是一個模糊集合模糊集

合可表示為

1 當論域Ｕ為有限離散(discrete)集合的情形下模糊集合 可表示成

(217)

2 當論域Ｕ為實數論域所組成之在連續(continuous)集合的情形下模糊

集合 可表示成

isin (218)

其中 並非積分符號而是單純的連結符號

234 模糊數(Fuzzy Number)

1 模糊數(triangular fuzzy number)

假設 是模糊集合或模糊數(FN)在實線 2R 上則以三角形隸屬函數

(triangular membership function）表示為 1 2 3( )a a a 2 x R to A 則

1

1 2 1 1 2

3 3 2 2 3

3

0

( ) ( ) ( )

( ) ( )

0

x a

x a a a a x aA x

a x a a a x a

x a

(217)

17

1

其隸屬函數圖形如圖 21

圖 21 三角模糊數

2 梯形模糊數(trapezoidal fuzzy number)

梯形模糊數可表示為 如圖 22其隸屬度函數定義為

(218)

其隸屬度函數如圖 22

圖 22梯形模糊數

a b c d

1

18

在一信賴區間 α水準α 01 我們定義 A

( )A x A x (218)

三角形隸屬度函數以 α-cut表示為

( ) ( )

1 3 1 1 2 3 2 3[ ] [ ( ) ( )]A a a a a a a a a

(219)

( )

1a 與 ( )

3a 個別代表 A的下界及上界

根據模糊算術方法Zadehrsquos sup-min 方法表示如下

( )( ) sup min( ( ) ( ))x y z

A B z A x B y

(220)

其中 sup表任何模糊算式Mizumoto and Tanaka（1976）使用相同方

法在 α 截集模糊數和區間算術Chang（2003）和 Chang et al （2006）和

Chang and Hung（2006）整理使用 α 截集模糊算術方法的文獻α截集模

糊算術中模糊數基本運算公式（加法減法乘法除法）可以計算的

更快在每一個 α-level 區間中使用區間算術（Kaufmann and Gupta

1988）

1 模糊數加法

令A和 B分別為兩模糊數 A和 B在一信賴區間 α水準 ( ) ( )

1 2[ ]A a a

( ) ( )

1 2[ ]B b b αisin 01 forall A B sub 2R 表示如下

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 2 1 2 1 1 2 2[ ] [ ] [ ]A B a a b b a b a b

forallαisin 01 (221)

2 模糊數減法

在一信賴區間 α水準forall A B sub 2R αisin 01

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 2 1 2 1 2 2 1[ ] [ ] [ ]A B a a b b a b a b

(222)

3 模糊數乘法

在一信賴區間 α水準forall A B sub 2R αisin 01

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 2 1 2 1 1 1 2 2 1 2 2

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 1 1 2 2 1 2 2

[ ] [ ] [min(

max( )]

A B a a b b a b a b a b a b

a b a b a b a b

(223)

4 模糊數除法

在一信賴區間 α水準forall A B sub 2R αisin 01

19

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 1 1 2 2

1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 2 1 2 1 2 1 2

[ ] [ ] [min( )max( )]a a a a a a a a

A B a a b bb b b b b b b b

式中 ( )

1b ( )

2b gt0forallαisin[01] (224)

235模糊運算

根據 Zadeh（1965）的擴展原理（Extension Principle）可以廣義的使

用一般基準 T取代原來的最小值模糊數的數學運算表示如下

1 加法

( )( ) sup ( ( ) ( ))x y z

A B z T A x B y

(225)

2 減法

( )( ) sup ( ( ) ( ))x y z

A B z T A x B y

(226)

3 乘法

( )( ) sup ( ( ) ( ))x y z

A B z T A x B y

(227)

4 除法

( )( ) sup ( ( ) ( ))x y z

A B z T A x B y

(228)

24 模糊迴歸

在科學研究過程中許多研究者常使用迴歸來描述自變數 x和應變數 Y

之間的關係傳統的迴歸分析均假設觀察值由實際應變數影響加上隨機誤

差而產生也就是說應變數是一種帶有不確定性的隨機變數不過在很

多的實務應用上往往無法滿足這樣的假設例如有些應變數 Y 的觀察值

並不是以單一數值的型式存在而是帶有多重隸屬的特性這些觀察值雖

然帶有不確定性但這種不確定的特性是來自於模糊現象而非隨機現象

若由模糊觀點套用迴歸分析來處理模糊資料問題就稱為模糊迴歸分析

模糊迴歸分析最早是由 Tanaka et al (1980) 提出一般模糊迴歸能夠處理的

樣本型式有兩種一種是實數值樣本 其中 為實數向量 為觀測

到的實數值另一種是模糊數樣本( 其中 為觀測到的模糊數不論

是實數值樣本或是模糊數樣本想要估計模糊迴歸參數估計方法大都是

20

利用線性規劃的技巧來尋求一組能將實數值樣本 或模糊數樣本(

包含在內的區間再將三角形隸屬函數（triangular membership function）套

用

在此區間上如此便求得一組模糊迴歸估計式要得到正確的估計結

果最好是收集具有代表性的隸屬函數樣本所謂具有代表性的隸屬函數

樣本應該是以模糊數的形式存在所以本文就樣本模糊數 進行討論

線性模糊迴歸模式常表示成

0 1 1 2 2( ) i i i p piY x A A x A x A x (229)

其中 1 2 3(1 ) i i i i p ix x x x x 為自變數向量 ( )iY x 為模糊應變數

為模糊參數利用樣本模糊數 估計參數 時通

常假設 與 的隸屬函數為對稱三角型式 與 的隸屬函數表達如下

( ) max 1 0 i

i

Y

i

t yt t

r

(230)

其中 為三角隸屬函數的中點 為三角隸屬函數的分布半徑可令

( ) max 1 0 m

m

A

m

t ct t

s

(231)

其中 為三角形的中點 是三角形的分布半徑 與 間的關係

如圖 23所示

圖 23模糊數的中心值與散佈值

1

0

21

再令 則前述的模糊迴歸方程式可改寫成

0 1 1 2 20 1 2( ) i i ipi p pY x x xC S xC S C S C S (232)

因此模糊應變數 ( )iY x 的隸屬函數也屬於三角型式可表示成

( )

0

0

( ) max 1 0 Y xi

p

m m

m

p

m mi

m

t c x

t t

S x

(233)

其中 因此只要估計出三角形的中點 及半徑 便可得到

隸屬函數的估計值模糊迴歸分析是在要求每一個觀測值 隸屬於模糊

迴歸區間的隸屬程度至少 的情況之下尋求最小的模糊迴歸預測區間如

(234)式表示

forall ( 234)

在利用 對未知的模糊參數 進行估計前一般先定

義模糊樣本 和模糊應變數 的 h截集其定義如下

令 為一組模糊樣本 ( )iY x 為模糊應變數若 與

分

別為 及 的 h截集(h-cut)則

(235)

(236)

因具代表性的樣本 其 h 截集 應要盡量接近模糊應變數 的 h

截集 意即

其中容許

不完全落在 之

內的情形發生根據以上觀點王景南(2002)認為樣本的左端點

和右端點 隸屬於 的程度會有一定的水準於是設立此水準

為 H因此假設 隸屬於 的隸屬度會盡量的接近 H其間的關係

為

( 與

( (237)

所謂的盡量接近 H是可允許隸屬度大於 H或小於 H而不是均大於

22

H

根據以上的對樣本的解釋運用最小平方法以所有樣本的左端點

配置一迴歸直線稱之為左端直線估計式

(238)

其中 為迴歸係數再以所有右端點 配置右端

直線估計式

(239)

其中 為迴歸係數

前文已假設樣本的左右端點隸屬於 的隸屬度會盡量的接近 H所

以將這兩條直線函式來估計 之 H截集的左右邊界即

(240)

如此可推導出 的隸屬函數為

(241)

其中 且

(242)

意即

(243)

其中

為三角形底邊中點是

分布半徑如此便可得一組估

計的模糊迴歸模式

(244)

仍需注意的是當樣本為對稱型態時左右迴歸函數式其配適的結果式

相同的只有常數項不同當對稱情形發生時可以考慮利用各別對應相

之權重除以常數項的分布半徑做為個別對應項之分布半徑意即

分布半徑

除此之外Celmins及Diamond Celmins也分別提出最小平方法之模糊迴

23

歸模式以便求解資料間距離最小的模糊迴歸方程

模糊迴歸應用上比統計迴歸更具彈性統計迴歸通常需要大量資料以

支持其假設而模糊迴歸卻無此需求因此當資料量不足或隨機性難以驗

證時模糊迴歸是較強健的(Robust)同時當所蒐集之資料的不確定性乃

來自於人類之主觀判斷時模糊迴歸較具適用性

因此模糊迴歸模式逐漸受到重視在1990年代的研究包括Sakawa及

Yano針對投入變數與輸出變數皆為模糊資料的問題建構出一個多目標的模

糊迴歸模式此外Chang和Lee則認為模糊迴歸中心線的趨勢與模糊迴歸散

佈值的趨勢可以存在不一致性為了分析統計迴歸與模糊迴歸的差異Kim

Moskowitz 及Koksalan 利用模擬分析比較統計迴歸與模糊迴歸的結果認

為由機率論所得的統計迴歸模式在大樣本時其預測績效遠比可能性理論

(Possibility theory)推演而得的模糊迴歸模式為佳然而當資料量遞減或所構

建的模式適合性變差時(即變數間存在模糊關係)則模糊迴歸模式的預測績

效將優於統計迴歸模式由於模糊迴歸模式在解決資料量少及系統關係模

糊不清的問題上具有較佳之績效而存在其正面之價值當變數間存在模

糊關係時

從早期到目前已發展出多種模糊迴歸模式求解方式以下根據薛展青

(2004)所整理的模糊迴歸分析整裡敘述如下

1 區間迴歸法

區間迴歸法(interval regression)其模型架構主要是由Tanaka et al(1982)

所提出的模糊線性迴歸(fuzzy linear regression)模型Tanaka et al(1982)所發

表的論文中表示傳統的迴歸模型中造成實際值與估計值的誤差來源被

認為是由測量或觀察所造成的而此誤差項在模糊線性迴歸模型中是因

模糊系統中參數的模糊性所產生的即誤差是反應模糊線性函數的模糊現

象因此以模糊線性函數來表示迴歸方程式而迴歸參數則是以模糊集合

來表示

Tanaka et al(1982)在估計模糊迴歸參數時是利用線性規劃技巧

(linearprogramming method)來尋求一組能將實數值樣本或模糊數樣本全部

包含的區間最後求得一組對稱三角形模糊數之迴歸參數

自Tanaka等人(1982)的文章發表之後後續的學者大多以此為基礎陸

續題出各種相關的模式與求解方法如Peters (1994)將Tanaka的線性規劃法

24

求解推廣為模糊線性規劃法求解讓資料對模糊迴歸模式的適應性更加提

升YenGhoshray 與Roig (1999)提出由於非對稱迴歸係數導因於大多數的

資料為離群值使得對稱三角迴歸係數不再適用因此將Tanaka et al的模

式推廣為非對稱三角迴歸係數Moskowitz 與Kim (1993)探討不同水準值下

模糊迴歸模式的求解與模式配適程度Redden 與Woodall (1996)探討模糊

迴歸分析預測未來值的結果Sakawa 與Yano (1992)將Tanaka的方法擴展到

依變數及自變數皆是模糊集合的情況並將之稱為多目標線性迴歸法

(multiobjective linear regression model)Koumlrner 與Naumlther (1998)討論解釋變

數與反應變數兩者皆為模糊數值的情況Kacprzyk 與Fedrizzi (1992)則蒐集

了各種不同迴歸模式的求解方法Redden 與Woodall (1994)說明Tanaka後

續提出的求解模式當中所具備的性質以及與傳統迴歸方法的差異比較

但是在此模式下求解之迴歸係數本身亦為一對稱的三角模糊數值

而且求解結果很容易受到資料尺度(scale)的影響使得反應變數估計值之展

度會變得更為寬廣後來Tanaka (1987)根據1982年的文獻發展為更完整的

可能性線性系統使模糊迴歸的結構更趨適應性Tanaka 與Watada (1988)

闡明可能性線性模式的概念推演建構成可能性線性迴歸模式Tanaka et

al(1989)應用模糊資料於可能性迴歸系統中並建構最小化最大化及混合

式三種線性規劃模式又對先前所提出的模式加以修正但就如Redden 與

Woodall (1994)所指出Tanaka 類型的模式對於離群值(outlier)的反應非常

敏感甚至在觀察值的個數增加時求解結果可能會產生無限多解因

此在Tsaur 與Wang (1999)提出的文獻對於在模糊迴歸分析中的離群值進行

一系列探討

2 模糊最小平方法

模糊最小平方法(fuzzy least squares)乃擴展傳統之最小平方法的觀念

最早由Diamond (1988)所提出利用傳統最小平方法的觀念求出一個模糊

迴歸模式以估算(approximate)反應變數的觀察值並非如區間迴歸中的包含

觀察值在其模式中利用反應變數的觀察值與估計值的模糊數值之最小

值最可能值與最大值定義兩者之間的距離以衡量迴歸模式與模糊資

料之間的最佳配適度的情形在使得所有觀察值與估計值的模糊數值之間

的距離平方總和為最小時可以導出類似傳統迴歸分析中的正規方程式

(normal equation)以求解迴歸係數

25

其後Chang 與Lee (1996)則將Diamond (1988)的方法加以擴充將迴

歸係數的最可能值與展度分別估計該方法的特點在於可將極端值(outlier)

加以處理並降低其影響程度Ma等人(1997)則將此類方法發展於適合非

三角模糊數值的場合Diamond 與Koumlrner (1997)則在此類方法中定義一

個判定係數的計算方法以比較不同模式的適合性Wu與Tseng (2002)提出

改善模糊迴歸模式之最小平方法其模式主要觀念是利用最小平方法將所

有樣本的左端點及右端點各配置一條迴歸線然後在將其左右迴歸線統合

成一條迴歸線

而在Kim 與Bishu (1998)的研究中是利用各個具有三角模糊數值的反

應變數之最小值最可能值與最大值以最小平方法分別計算出模糊迴歸

係數所得到的係數不一定為對稱的三角模糊數在此種求解方式下雖

然可以得到比較小的估計誤差但其缺點是無法處理解釋變數為模糊數的

情形另外Kim 與Bishu(1998)還提出了評估模糊迴歸模式的準則利用觀

察值與估計值歸屬函數之間面積的差異做為迴歸模式的估計誤差但其評

估準則的問題是無法比較不同模式在觀察值與估計值歸屬函數之間不具有

交集時的誤差情況在此情況下求算估計誤差時無法準確評估其總誤差而

導致評估失真而其他學者如Yang與Ko (1997)Yang 與Lin (2002)等則

是提出以最小平方法為基礎的模糊聚類分析求解方式

3 模糊隨機變數估計法

為了建構一個同時具有隨機和模糊特性的系統Kwakernaak (1978)首

先提出模糊隨機變數(fuzzy random variables)的概念認為傳統的隨機變數

U Ωrarr R為實數可測函數而模糊隨機變數則將一般隨機變數的概念廣義

化模糊隨機變數可表示為X ΩrarrS設ω isinΩ而ω 所對應到的不再是實

數值U(ω)而是模糊集合X (ω)S 代表模糊集合且Kwakernaak (1978)擴

充原來Zadeh 提出模糊集合之架構認為有時供作參考的資訊不齊全在

對某些述句進行評斷時我們無法判斷其絕對為真或絕對為假此時我

們考慮將原有的二元邏輯思維方式推廣暫且不作肯定的判決而僅是表

達出對錯的程度換句話說真值可以是介於單位區間[01] 內的任何值

如此思維方式稱之為多值邏輯(multivalued value)並將模糊集合視為一組

述句(statement)的集合且每個述句均對應一真值程度以符合人類的思維與

想法Stein 與Talati (1981)利用模糊數值的隸屬函數提出模糊隨機變數

26

的期望值之計算方式Kruse 與Meyer (1987)藉助集合表徵的概念建立了

一套模糊隨機變數的定義而為了讓模糊隨機變數能實際應用並將討論

的範圍界定在一模糊集合族上Koumlrner (1997)及Naumlther (1997)利用該方法以

求算模糊隨機變數的期望值與變異數並應用於線性模糊迴歸模式的求解

等另外在曾能芳(民 91)的博士論文研究中指出在Tanaka et al (1982)

的模糊迴歸模式中並不具備誤差項因此模式無法呈現樣本與期望值之間

的關係而無法討論線性規劃估計程序所具備的統計性質所以在曾能芳

(民 91)提出的迴歸模式中採用模糊樣本是由依變數之模糊期望值加上測量

誤差所組成並提出測量誤差存在於中點的模糊迴歸模式以及測量誤差

同時存在於中點和半徑的模糊迴歸模式

4 兩階段求解方法

以兩階段方法(two stage method)求解模糊迴歸模式的想法是在於結合

最小平方法與區間迴歸的觀念試圖降低反應變數估計值的模糊度如Savic

與Pedrycz (1991)對模糊迴歸模式的求解分為兩個步驟進行第一步以

反應變數的模糊數值之最可能數值為基礎將模糊數值視為簡化的明確數

值以傳統最小平方法求解迴歸係數的中心值第二步利用區間迴歸的

方式在使得迴歸係數的模糊度為最小的情形下以決定迴歸係數的三角

模糊數值Kao 與Chyu (2002)提出另一種模糊迴歸模式的兩階段求解方

法在第一階段先利用解模糊(defuzzification)方法將模糊觀察值轉換成為一

組明確數值之後利用該組明確數值以傳統的最小平方法求解迴歸係

數第二階段則是以Kim 與Bishu 所提之評估準則為目標式決定一個誤

差項估計值的模糊數以使得在Kim 與Bishu (1998)評估準則下的總誤差量

為最小該方法的特別之處在於求解的迴歸係數為明確數值而誤差項估計

值為模糊數值雖然此種求解方式可以得到很小的估計誤差但因其所著

眼的仍是Kim 與Bishu 評估準則下的面積估計誤差使得當觀察值與估計

值歸屬函數之間不具有交集時所衡量出的估計誤差較真實誤差為小且其

求解方法比較適合於觀察值為三角或梯形的模糊數值欲應用於其他型式

的模糊數值求解上則較為困難而在邱清爐(民 91)的博士論文中則是將

其兩階段求解方法對各種不同的模糊迴歸模式進行建構與評估並將其求

解方法應用於工作滿意度實例

5 其他求解方法與相關研究

27

Tanaka 等人(1995)後來提出另外一種模糊迴歸模式的求解方法將傳

統的估計誤差當作是存在解釋變數與反應變數之間的關係之可能性

(possibility)故模糊觀察值的展度可以直接轉換成迴歸係數的指數可能性

分配(exponentialpossibility distribution)而可以使用與傳統迴歸非常類似的

方式加以求解Tanaka與 Lee (1999)再利用辨識方法(identification method)

求解迴歸模式在其研究中利用辨識方法以決定模糊線性系統(fuzzy linear

system)中迴歸係數的可能性分配並認為由此方法所求解的迴歸係數會

有比較小範圍的可能性分配近年來有愈來愈多的學者將模糊迴歸分析

應用於其他傳統的決策方法及不同領域上如 Dunyak 與 Wunsch(2000)使

用 α 截集的端點以類神經網路(neuralnetworks)進行模糊迴歸分析Lee

與 Chen(2001)則將模糊迴歸模式使用於人力預測的問題上Tseng 等人

(2001)將由模糊迴歸模式建立之 ARIMA 模式用以預測匯率Tseng 與

Tzeng(2002)則利用模糊迴歸模式的求解方法以建構具有季節變動的

ARIMA 模式Kim 與 Bishu(1996)應用於人力可靠度分析的操作反應時間

上Wu 與 Tseng(2002)將其模糊迴歸模式應用在景氣對策信號上的分析

王景男(民 89)將模糊迴歸分析應用於籃球比賽攻防技術策略上曹勝雄

曾國雄江勁毅(民 85)以國人赴港旅客需求之預測為例說明傳統迴歸

模糊迴歸類神經網路之差別張良斌陳育民(民 86)將模糊目標迴歸法

應用在垃圾衛生掩埋場沼氣回收設備的成本估算謝邦昌林燦隆呂理

添(民 85)將模糊迴歸運用在甘蔗產量的預測對於上列有關模糊迴歸分析

的研究中絕大部份的文章均侷限於線性模式的分析鮮有文章討論非線

性模糊迴歸模式的求解最近雖然有少數學者開始討論非線性模糊迴歸模

式的解法如 Xu(1997)Buckley 與 Feuring(2000)的研究等但使用的方

法所求解的迴歸係數仍然為模糊數值其造成反應變數估計值的展度會

隨著解釋變數之數值增加而擴大的問題仍無法避免

28

第三章 研究方法

本章介紹本文將運用於數值分析中的預測研究方法利用本章建構的

方法可清楚了解如何利用混沌理論基於相空間重構的方式及模糊迴歸方

法於預測中

31 混沌時間序列建立預測方法

時間序列的模型建構和預測是資料處理研究領域中的重要方向其中

預測方法主要有線性和非線性預測方法兩種預測就是對未來作出估計和

推斷而通常要對研究對象或資料進行假設這一過程稱為建模利用建

模的方式獲得資料的科學表示就稱為模型混沌時間序列雖然看似隨機

但它卻是由確定系統產生的因此我們可以對混沌時間序列作出短期預測

同時由於混沌對初始條件微小差異的高度敏感性我們無法對混沌時間序

列作出長期預測每一步預測帶來的微小偏差都會使得下一步預測的偏差

擴大最終導致預測序列與原始序列完全不同

311李亞普諾夫指數判定資料混沌特性

進行預測前需根據 212節中提及的李亞普諾夫指數來判定資料是否

具有混沌特性最大李亞普諾夫指數是判斷和描述非線性時間序列是否為

混沌系統的重要參數因此是一個重要的混沌不變數

混沌系統中的李雅普諾夫指數可用來判斷系統是收斂的還是混沌的當系

統的李雅普諾夫指數中至少有一個為正時系統是混沌的 當系統的李雅

普諾夫指數均為負數時系統是收斂的 對於系統是否存在動力學混沌可以直觀的判斷最大李亞普諾夫指數是否

大於零一個正的李亞普諾夫指數代表著在系統相空間中無論初始兩

條軌跡的間距多小兩條軌跡的差別都會隨著時間的演化而成指數率的增

加而導致無法預測這就是混沌現象

312重建相空間

傳統的建模和預測方法己廣泛地應用社會科學中但大部分都是基於

線性系統混沌時間序列並不適用於非線性的混沌時間序列於是在判斷

時間序列性質後若判定序列以隨機性為主應採用從 AR 或 ARIMA 等隨

機模型來預測如果判定以混沌為主則應採用非線性確定性的方法進行

29

預測非線性時間序列的預報是經過相空間重構後對相空間中的動力軌

跡進行預報由於混沌系統具有被稱為「蝴蝶效應」的初始值敏感性所

以混沌時間序列是不能長期預測的但對於短時間內混沌系統的軌道在

相空間中具有一定的規律它們的預測性是可獲得的並比一般的基於統

計方法的預測能力要來得好

時間序列資料是時間離散後的樣本值用 表示將它「嵌入」到

一個 m維(mgt0)的空間中進行相空間重構後得到嵌入向量

(31)

由嵌入向量 可擴張成一嵌入空間 E由 Taken嵌入定理可知存

在映射面 滿足

(32)

上式表是出在拓樸的意義中可完全預測吸引子的特徵所以上式也可

表示為

(33)

其中函數 為 的一個估計值由式 (33)可得之我們可用

來預測

313相空間維度相關維度

在實作的研究上有許多方法可以用來估計混沌吸引子的維度本研

究選用較為常見的相關維度方法相關維度需先計算相關和將相空間中

所有樣本點皆計算其各別半徑收斂後之趨近值相關方程式（Correlation

Function）定義如下

(34)

其中

當 rrarr0時

兩邊同取對數可得

(35)

定義相關維度為 與 之曲線斜率為

(36)

在實際應用中經常給定一組維度 值選取適當的 r繪出

30

曲線求曲線當中直線段的斜率 如果系統存在這樣一個 值達到此

值後相應的關聯維數不再隨 的增長而變化也就是趨於飽和這表明

該序列為混沌系統其吸引子是存在的此時 值即為重構相空間的最佳

嵌入維數否則則表明該序列為隨機系統不具有混沌性

314 時間遞移數

利用 2123節中介紹的概念及 2124 中介紹的自相關函數求解出時

間遞移數的結果自相關函數公式如下

1

1

1( )( )

1( )

n k

t t k

tk n

t

t

x x x xn k

r

x xn

(37)

n為原資料樣本數k為時間遞移後的樣本點

將自相關係數計算的結果與每一筆遲延時間距離數值繪製成圖表可

由圖表中可分析辨別時間序列數據的初步基本特徵圖表繪製的結果顯示

自相關係數跟隨遲延時間距離數值的增加而顯示收歛且具有震盪循環之跡

象則表示數據具有一種規則屬於一混沌時間序列

32 複線性迴歸

確立資料為混沌後運用自我相關係數計算出時間遞移數及相空間維

度後將加入複線性迴歸運算複線性迴歸中常用的預測方法分為兩種

1 全域法

全域法就是利用相空間軌跡中的全部向量點做為擬合對象找出其

規律由此進行短期預測也就是說利用收集的大量的歷史資料利用

複線性迴歸訓練出迴歸參數再將未放進訓練迴歸參數的資料使用訓練

出的迴歸參數計算出預測值的資料型態本文還將原本的歷史資料分析

出資料的季節性後先去除季節性的影響最後再加回季節性討論預測結

果

2 局域法

局域法的基本原理是僅利用有限個鄰近點的資訊而不是利用全部的

樣本點來擬合 局域法預測是把相空間軌跡中的最後一點作為待測點對

離待測點鄰近的若干個相空間點的關係作出擬合再對預測相空間點的未

來演化規律進行預測本文使用零階局域法零階局域法是直接將鄰近樣

31

本點應用於預測根據鄰近樣本點預測 的最簡單的方法就是尋找相

空間中距離 最近的點假設距離最近的點是 那麼它的下一個樣本

點為 即可做為 的預測值

因數值資料在每日重複發生變動所以本研究又加入計算季節性指數

對趨勢線做季節性調整也就是對時間序列做季節性調整

33 模糊迴歸分析

運用模糊的概念帶進迴歸模式中處理具模糊性的資料問題此稱為模

糊迴歸分析本文利用的模糊迴歸模式主要有兩個方向一個是Tanaka et al

(1982)提出的模糊線性迴歸另一個是由Chang 與Lee (1994)所提出修正型

迴歸模式Tanaka 起初所提出的線性規劃模型

0 1

[ ( )]p n

j ij

j i

Min C X

st 0 0

(1 ) (1 )p p

j ij j ij ii

j j

X H c X y H e

(38)

0 0

(1 ) (1 )p p

j ij j ij ii

j j

X H c X y H e

0jc j R 0 1iX 0 1H 123i n 012j p

Tanaka 所提出的模糊模型未考慮到散度為負值的條件所以模糊上下

界會不斷的擴張而越來越寬大由 Chang 與 Lee (1994)所提出修正型迴歸

模式即將模糊的散度可為負值使上下界的模糊區間為遞減的情形遞

減的情形由圖 31表示

圖 31 模糊區間隨自變數越大而越窄

0

2

4

6

8

10

上界 中心線 下界

32

假設圖表中計算出的模糊迴歸函數為 0 0 1 1 Y c c X 模糊上界為

0 0 1 1UY c c X 模糊下界為 0 0 1 1LY c c X

33

第四章 數值分析

本章資料來源1台灣區車輛工業同業公會

2台北市交通局

本章所使用的數據資料為台北市交通局提供的公開的車流量資料數

值分析所使用的方法已在第三章論述利用第三章的方法分析數值預測的

準確性並結合模糊迴歸常見的兩種方法幫助決定預測的可接受範圍本

章介紹本文所利用的數學模型及方法在複線性迴歸的模型中分成混沌全

域法去季節性後的混沌全域法以及混沌局域法預測出的結果加以討論預

測的準確性再將預測值去季節性觀察準確程度最後再帶入模糊迴歸

利用 05H 加以討論如何將模糊迴歸中的散度用以選擇預測值的範圍第

一節針對傳統複線性迴歸方法並結合全域法觀念訓練資料迴歸係數討

論預測結果第二節針對傳統複線性迴歸方法並結合局域法觀念訓練資

料迴歸係數討論預測結果第三節針對預測資料去除季節性後再利用

傳統複線性迴歸方法討論預測結果第四節針對模糊迴歸的兩種方法選

擇出預測的範圍

利用第三章論述的時間遞移及相關維度的做法將本文利用具混沌性

的資料加以分析將資料先利用 212 節中介紹的李雅普諾夫指數 判定是

否具混沌性具有混沌性的資料才能利用混沌理論重構相空間若李雅

普諾夫指數 介在 0跟 1之間則表示資料具有混沌性質本文資料利用程

式計算出李雅普諾夫指數 運用自我相關係數判斷出時間遞移

數 相關維度計算出維度 我相關係數判斷時間遞移數與相關維

度的圖形以及原始資料時間遞移後的資料圖如圖 41圖 42圖 43

34

圖 41相空間維度及 lnC與 ln r斜率關係圖

圖 42相空間維度及 lnC與 ln r斜率關係圖

0

1

2

3

4

5

6

7

0 5 10 15 20

相空間維度

斜

率

d

-02

0

02

04

06

08

1

12

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33

時間遞移數

自我相關函數

35

圖 43 原始資料時間序列圖

41 複線性迴歸混沌全域法

本文所使用的資料為 10日的車流量資料利用前 9日的資料訓練出迴

歸參數將迴歸參數代入複線性數學模型中計算出的迴歸方程式為

1 2 3 4

5 6 7 8 9

10 11 12 13 14

435363 00819 00338 01777 00070

01116 01999 00299 02716 00349

01399 00056 01113 00738 02038

y x x x x

x x x x x

x x x x x

(41)

解出迴歸參數計算出複線性迴歸方程式後再將最後一日 144筆的車

流資料代入方程式中計算出預測值利用複線性迴歸混沌域法預測出的結

果如圖 44

圖 44 複線性迴歸分析預測與原始資料比較圖-全域法

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

1 53

10

5

157

209

26

1 31

3

365

41

7

469

52

1 57

3

625

67

7

729

78

1 83

3

885

93

7

989

10

41

1093

11

45

1197

12

49

1301

13

53

1405

原始資料點

原始資料點

-50

0

50

100

150

200

1

7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

103

109

115

121

127

133

139

實際值

預測值

36

由圖表的狀況可觀察出運用複線性迴歸模型預測的結果不盡理想本

研究認為運用複線性迴歸預測的結果不佳的原因有二

1 利用全域法預測是將較大量的歷史資料加入考慮訓練出迴歸參數這

樣的結果造成削弱了原本的奇異點(相較於同時段資料差異性較大的點)

的影響力

2 嵌入維度 太高對於混沌時間序列隨著嵌入維度增高歷史

對未來的影響是呈指數衰減的所以全域法所利用的資訊歷史就越長

預測的精準度就會迅速下降因此本研究將加入局域法討論預測的準

確性

42 複線性迴歸混沌局域法

局域法的做法為尋找相空間重構後的點對待測點尋找鄰近的 k個相

空間點對離待測點鄰近的若 k個相空間點的關係作出擬合並分析出複

迴歸方程式的迴歸參數本文嘗試選取 k=50~250的結果以下只列舉 k=200

的圖解釋預測結果

圖 45 複線性迴歸分析預測與原始資料比較圖-局域法(k=200)

圖 44與圖 45比較後可看出區域法預測的準確性比全域法更好某

些預測出來的結果的點與原始資料的點差異性大有明顯的偏移本研究

認為利用局域法預測的結果不佳的原因如下由圖 45可看出預測結果與

原始資料間差異性較大的點位為數列的右側 而數列尾端的資料為凌晨或

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

1

7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

103

109

115

121

127

133

139

實際值

估計值

37

是深夜的車流量因每日凌晨或是深夜的車流量變化量較少(例如某日的凌

晨十二點十分可能為 0台車或是小於 10台車經過)所以資料的差異性

較大造成頭尾的資料預測上較為不準確

因為同時段的資料可能會影響資料預測出的結果所以我們下節就以

加入季節性的考慮來加以討論預測結果

43 複線性迴歸去除季節性後混沌全域法

本文使用的車流量資料為每日 24時換算成 1440分鐘每 10分鐘記

錄一點於是本研究依資料的記錄時間點來劃分季節性將季節分成 144

個季分別求出季節性指數求取季節性指數後將每個資料點先去除季

節性利用全域法訓練出去季節性後的迴歸係數再利用複線性求出預測

值最後將去除的季節指數乘回預測點結果如下

圖 46考慮季節性複線性迴歸分析預測與原始資料比較圖-全域法

此考慮季節性因子的複線性迴歸分析預測與原始資料的比較是用全

域法去訓練迴歸參數的而由圖 44我們可以得知一開始未考慮季節因

子使用全域法的複線性迴歸預測是不準確的本研究認為原本的歷史資

料隨著季節性因子的變化該系統原本呈現複雜的動態特性實際上由於

車流量的變動有許多外在因素的影響例如氣候假期hellip等影響會使

資料的變化過程發生不同程度的偏離而對於季節性事件來說其事件發

生的過程主要受季節性參數週期性變化的影響 因此影響因素的具體形

式可以近似地表示為單一函數本文考慮季節因素對車流量的影響意即

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

1

7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

10

3

10

9

11

5

12

1

12

7

13

3

13

9 實際值

預測值

38

經過季節性分析後的得到的預測分析結果很準確如圖 46所示此結果

表示季節性影響樣本資料的情形大也代表著在季節因素影響下系統中

事件的動態變化情況是隨著季節影響參數的變化而造成系統呈現各種

各樣複雜的動態特性如週期解混沌情形hellip等

44 模糊迴歸

441Tanaka模糊迴歸

μ及 H 值之選定原則為當不確定性愈大時其 μ及 H 值愈接近 0

反之當資料不確定性愈小時μ及 H 值取愈接近 1 之值Bardossy 等人

建議其值在 05~07間為適宜根據 Tanaka在 1982年所提到的方法我們

可以求得一模糊迴歸函數並可得知其中心線與其上界及下界假定在 H =

05的情況下利用 Tanaka模糊迴歸模式算出迴歸函數為

(42)

中心線與上下界的簡單迴歸方程式為

中心線 (43)

上界 (44)

下界 (45)

繪製出的圖形如圖 47所示

圖 47 Tanaka 模糊迴歸

0

50

100

150

200

250

300

1

7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

103

109

115

121

127

133

139

下界

中心線

上界

39

圖 48 Tanaka 模糊迴歸中心線與預測值之結合

從圖 48可看出預測值與模糊迴歸的中心線 有明顯的時間差異但由

圖可以觀察出模糊迴歸的中心線 的預測趨勢與實際值是相近的雖然利

用模糊迴歸預測的時間點比實際時間快但是相對來說也是可以用來預

測之後將發生的趨勢本研究認為若模糊迴歸可用於預測中則可用模糊

的散度 c當做預測行為中選取的可接受的變動範圍如圖 49最後將 Tanaka

模糊迴歸中心線上下界與實際值之結合如圖 410所示

圖 49 Tanaka 模糊迴歸中心線上下界與實際值之結合

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

1

8

15

22

29

36

43

50

57

64

71

78

85

92

99

106

113

120

127

134

141

實際值

中心線

0

50

100

150

200

250

300

1

7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

103

109

115

121

127

133

139

實際值

下界

上界

預測

值

預測值

40

圖 410 Tanaka 模糊迴歸中心線上下界與實際值之結合

442修正型 Tanaka模糊迴歸

因為我們要將模糊迴歸應用於預測中所以本研究將複線性迴歸的趨

勢線視為模糊迴歸的中心線再利用修正型 Tanaka模糊迴歸模式算出迴歸

函數為

(46)

中心線與上下界的簡單迴歸方程式為

中心線

上界

下界

繪製出圖形如圖 411

0

50

100

150

200

250

300

1 7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

103

109

115

121

127

133

139

實際值

預測值

下界

上界

41

圖 411 修正型模糊迴歸中心線上下界與實際值之結合

本研究使用的修正型模糊迴歸中心線與傳統的迴歸方程式相同所以

可用來處理或分析模糊資料與明確資料同時修正型模糊迴歸的上下界

與 Tanaka 模糊迴歸相較也變窄了此兩種現象就是修正型迴歸的特色因

為中心線與傳統的迴歸方程式也相同這種修正型迴歸散度可選擇為負值

的特色本研究認為可以應用在預測上因為上下界與中心線間的散度變

窄使得前文所敘述到的利用散度來選取預測範圍便可更為嚴格也可

使預測的結果更為可靠如圖 412所示

圖 412 Tanaka 上下界與修正型模糊迴歸上下界的寬度差別

0

50

100

150

200

250

1 7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

103

109

115

121

127

133

139

下界

中心線

上界

0

50

100

150

200

250

300

1 8 15

22

29

36

43

50

57

64

71

78

85

92

99

106

113

120

127

134

141

Tanaka下界

Tanaka上界

Tanaka修正型下界

Tanaka修正型上界

42

第五章 結論及未來研究方向

51 結論

根據前文的討論傳統迴歸和模糊迴歸建立在不同的理論基礎上傳

統迴歸是以機率為基礎而模糊迴歸則是以可能性為基礎傳統迴歸因變

數的估計值與觀測值之間的差異為因變數的隨機性而模糊迴歸因變數的

估計值則產生於觀測值之模糊度惟兩者最大不同處在於模糊迴歸式的

迴歸係數與預測值皆為模糊數（區間值）不同於傳統迴歸係數與預測值

均為明確的數值此外傳統迴歸侷限於對明確資料的分析可能性模糊

迴歸僅適用於分析具模糊性的資料而複合的模糊迴歸則可同時適用於分

析模糊與明確的資料此為此模式最大的特點

模糊迴歸應用於預測中大多的結果是不佳的但是我們透過結合混

沌與模糊迴歸的概念將混沌的預測單點概念拓展成一個可接受的預測

範圍

PT Chang 與ES Lee 使用修正型模糊迴歸重新定義散度做出新的

模糊上下界均為改善模糊迴歸模式Tanaka之研究本研究將模糊迴歸與

混沌理論之建立時間序列的預測情形加以結合討論發現模糊迴歸在預測

的行為中是可行的但可惜的是即使預測的趨勢相近但預測值出時間

的點卻有差別這樣的結果我們可以看出若能找到解決加強模糊與複線性

迴歸關係之間時間的關聯性就能利用模糊的不確定性來討論預測問題

52 未來之研究方向

本研究將模糊迴歸與混沌理論之建立時間序列的預測情形加以結合討

論發現模糊迴歸在預測的行為中是可行的但可惜的是即使預測的趨

勢相近但預測值出時間的點卻有差別這樣的結果我們可以看出若能找

到解決加強模糊與附線性迴歸關係之間時間的關聯性就能利用模糊的不

確定性來討論預測問題

為了符合現今社會多元的狀況模糊迴歸與傳統迴歸之觀念勢必加以

混合應用也為了解決此等問題混合式迴歸（Hybrid Regression）在近年

來被提起也因此參數的估計模糊迴歸與傳統迴歸的混合應用將成

為往後繼續研究探討之目標

建議未來可用模糊加權修正模糊迴歸使模糊迴歸在預測上更能直接

43

將對事物多個構面評估的意見與其影響事物狀況的重要程度作加權的運

算

44

參考文獻

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II

結合混沌理論與模糊迴歸之預測模式

學生林葦柔 指導教授張炳騰 教授

東海大學工業工程與經營資訊學系

摘 要

過去傳統迴歸分析成功表達了現象的因果關係然而由於許多社會現象的複雜性

有些資料具有模糊現象使得傳統的分析方法可能難以適用Tanaka et al曾於1982 年

提出模糊迴歸分析的論點認為觀測值與估計值間的殘差是由於參數的不確定性所造成

的而後續發展也有許多研究指出模糊迴歸分析對於處理具相關性之不確定性資料有相

當助益時間序列資料具高度自我相關性及不確定性故將模糊理論應用於時間序列模

式參數之估計是為一可行之方法

Tanaka 等人將傳統迴歸分析拓展至模糊環境後便有越來越多的學者紛紛投入模

式的建立與分析但多數文獻的共同特色是求解出的迴歸係數為模糊數造成進行應變

數的估計時估計值的散度會隨著應變數數值的增加而擴大因而降低了模式的估計準

確度

本研究提出將模糊迴歸估計方法與一般混沌時間序列參數之估計方法作結合以了

解所建構模糊模式的預測可行性利用兩種求解模式來建構模糊迴歸模式第一種求解

模型係利用 Tanaka所提出的方法建立模糊迴歸模式基於 H截集的概念直接對觀察值

求取出上下限值而第二種求解模式則是利用 Chang 與 Lee 所提出的修正型模糊迴歸

建立模糊迴歸模式其觀念為散度有負值使模糊迴歸更能保有明確值的特性

關鍵字詞 混沌時間序列複線性迴歸模糊理論模糊迴歸模糊預測

III

Combine Forecasting Model with Chaos Theory

and Fuzzy Regression

Student Wei-Jou Lin Advisor Prof Ping-Teng Chang

Department of Industrial Engineering and Enterprise Information

Tunghai University

ABSTRACT The traditional regression analysis has successfully expressed the phenomenon of

causality However because of complexity of phenomena and some of them has fuzziness it

may make the traditional analysis difficult to apply Tanaka et al had in 1982 proposed fuzzy

regression analysis and argued that between the observed value and the estimated value of the

residuals it is due to the uncertainty of parameters In subsequent developments there are also

many studies indicating that the fuzzy regression is helpful for dealing with the uncertainties

of correlated information Time series data has a high degree of autocorrelation and

uncertainty Hence fuzzy theory applied to the estimated of model parameters of the time

series seems to be a practicable approach

After Tanaka et al expanded the traditional regression to fuzzy environment there are

more and more investigators who have invested in the establishment and analysis of the

models But a common feature of the literatures is the regression coefficients that are solved

and are fuzzy numbers resulting in that when estimating the dependent variable the spread

value of the estimated will increase as dependent variable enlarges thereby reducing the

modelrsquos accuracy

This study proposes combining the general estimation method of chaotic time series

parameters and fuzzy regression estimation method to understand the feasibility of forecast

of the fuzzy model established Two fuzzy regression models are used in this study the first

is the method of Tanaka et al fuzzy regression model based on the concept of H cut directly

solving the upper and lower bounds from observations While the second model is the Chang

and Leersquos modified fuzzy regression model with the concept of a negative spread value

making fuzzy regression retain more the features of deterministic values

Keywords Chaos Time Series Multiple Linear Regression Fuzzy Set Theory Fuzzy

Regression Fuzzy Prediction

IV

致謝詞

在東海就讀了六年從成為大一新生開始懵懵懂懂到現在研究所畢

業有太多的回憶及感觸點點滴滴在心頭猶記第一眼看見東海地標路

思義教堂的心情尖聳的教堂頂端滿載著許多對未來的憧憬與期許也

還記得在東海上的第一堂課必須穿過路思義教堂的旁的大草皮走過長

長的文理大道充滿日式建築特色的工學院木製長廊最後坐進座椅被固

定的大教室如今東海的一草一木都將成為最美好最懷念的回憶

首先感謝張炳騰老師在研究的這條路上提攜指點不遺餘力的照顧

及關心研究生們使我在這兩年的研究所生涯裡獲得許多知識及理解做人

處事的道理謝謝博班的龍廷學長總是關心著我們碩二生在口試前一天

仍撥空陪我們預演練習給我們建議使我們大家能以較不緊張的態度面

對口試委員謝謝 IKS 研究室碩二的三位夥伴富源子琪宜璟在過去的

兩年裡一起努力做研究在最後關頭互相打氣成為精神支柱謝謝振鈺

宇凡士瑋士戎世念及意凡在就讀研究所的日子裡彼此扶持談論

未來一起度過許多難忘的時光謝謝碩一的學弟妹們秀儒凱雯逸琮

博仁負責處理研究室裡大小事務還有一同緊張準備 meeting一起出遊的

愉快我都深深烙印在腦中也謝謝佳陞在我熬夜時或是感到挫折時陪

伴我安慰我以及鼓勵我給我溫暖讓我依賴你的肩膀及胸膛是我的避

風港

最後謝謝我的爸媽跟姊姊總在我最難熬的時候為我加油打氣給予

我正面的力量讓我充滿能量繼續面對下一步的挑戰不論遇到多少瓶頸

家人的肯定是最大的動力來源擁有這麼完美且甜蜜的家庭真的是我的

福氣謝謝東海大學孕育我使我成長指引我前往光明的路上現已要

踏上未來的未知旅程我會繼續努力朝著目標前進

林葦柔謹誌於

東海大學工業工程與經營資訊學系

中華民國一百零二年六月

V

目錄

摘 要 II

ABSTRACT III

致謝詞 IV

目錄_ V

圖目錄 VI

第一章 緒論 1

11 研究背景與動機 1

12 研究目的與範圍 2

13 研究架構與流程 2

第二章 文獻探討 4

21 混沌理論 4

22 複線性迴歸分析 11

23 模糊理論 12

24 模糊迴歸 19

第三章 研究方法 28

31 混沌時間序列建立預測方法 28

32 複線性迴歸 30

33 模糊迴歸分析 31

第四章 數值分析 33

41 複線性迴歸混沌全域法 35

42 複線性迴歸混沌局域法 36

43 複線性迴歸去除季節性後混沌全域法 37

44 模糊迴歸 38

第五章 結論及未來研究方向 42

51 結論 42

52 未來之研究方向 42

參考文獻 44

VI

圖目錄

圖 11 本研究之架構與流程 3

圖 21 三角模糊數 17

圖 22 梯形模糊數 17

圖 23 模糊數的中心值與散佈值 20

圖 31 模糊區間隨自變數越大而越窄 31

圖 41 相空間維度及 LNC與 LN R斜率關係圖 34

圖 42 相空間維度及 LNC與 LN R斜率關係圖 34

圖 43 原始資料時間序列圖 35

圖 44 複線性迴歸分析預測與原始資料比較圖-全域法 35

圖 45 複線性迴歸分析預測與原始資料比較圖-局域法(K=200) 36

圖 46 考慮季節性複線性迴歸分析預測與原始資料比較圖-全域法 37

圖 47 TANAKA模糊迴歸 38

圖 48 TANAKA模糊迴歸中心線與預測值之結合 39

圖 49 TANAKA模糊迴歸中心線上下界與實際值之結合 39

圖 410 TANAKA模糊迴歸中心線上下界與實際值之結合 40

圖 411 修正型模糊迴歸中心線上下界與實際值之結合 41

圖 412 TANAKA上下界與修正型模糊迴歸上下界的寬度差別 41

1

第一章 緒論

本章節主要在說明本研究之整體結構透過研究背景與動機清楚導引

出本研究之目的並利用研究目的與範圍定義研究的範疇邊界將依下列

三小節逐項說明

11 研究背景與動機

在日常生活中很多的現象與問題往往充滿著不確定性面對不確定

性以往皆是用隨機的概念加以描述直到1960年代開始有人質疑隨機

的概念用在有不確定性之現象的適用性為了有效解決人文思維的不確定

性Zadeh在1965年首先提出了模糊集合的概念而後到了1970年Zadeh

與Bellman又區分出隨機(Randomness)與模糊(Fuzziness)之間的不同

在對某一對象進行研究時除了希望了解其目前的狀況之外更希望

能夠做到預測未來的現象生活中包含社會經濟教育體育等等的現

象與問題皆常常希望描述自變數與因變數之間的關係因此迴歸模型

便是一種最常用的統計方法

在傳統的迴歸分析當中所假設的估計值是由實際的因變數加上誤差

所產生的這也表式因變數是一種含有不確定性的隨機變數不過在現

實生活當中很多事情往往不符合這個假設因為許多的變數並不是一個

明確的數值而是含有多重隸屬的特性以問卷調查為例若一張為卷調

查的答案分為五個等級滿分五分意表「非常滿意」最低一分意表「非

常不滿意」若有兩人在填問卷時針對同一題問題一人回答「非常滿

意」而另一人回答「滿意」則我們不能太過明確的斷定得到5分的「非

常滿意」跟4分的「滿意」之間的優劣如果太過依賴實際數字去斷定這兩

位顧客的滿意程度也許會造成預測結果與實際狀況上的誤差

因此為了解決此種問題Tanaka等人(1982)提出了模糊線性迴歸模式來

處理模糊性資料的問題而Chang與Lee也提出了修正型的模糊迴歸此模

式是利用模糊的散度可為負值討論模糊迴歸來建立迴歸式由模式所估

計而得的迴歸係數與預測值均為一個模糊數或區間值此模式因散度挑

選為負值可修正掉Tanaka的模糊迴歸上下界不停擴散的缺點此點為其

最大的特色所以我們將利用模糊的不確定性特色來加入討論預測的結果

使預測視界更為開闊

2

12 研究目的與範圍

傳統的預測方法都是利用建立數據序列模型後再進行計算及與預測

然而隨著混沌科學發展發現混沌的現象存在於生活許多細節中於是學

者致力於發展混沌科學利用歷史資料的混沌規律性建立客觀的模型可

避免人為的主觀想法而影響預測的準確性

本論文的研究目的在於利用混沌理論建立時間序列與應用傳統複線性

迴歸計算進行預測已是一種在社會科學中被廣泛應用的預測方法但是

在預測的領域中加入模糊討論的情形卻很少在傳統的迴歸分析當中

所假設的估計值是由實際的因變數加上誤差所產生的也就是說因變數

是一種含有不確定性的隨機變數不過在現實生活當中很多事情往往不

符合這個假設因為許多的變數並不是一個明確的數值而是含有多重隸

屬的特性以學生的考試成績為例不能明確的斷定得到99分的學生和得

到97分的學生之間的優劣如果太過依賴實際數字去斷定這兩位學生的素

質高下也許會造成預測結果與實際狀況上的誤差

因此為了解決此種問題Tanaka等人(1982)提出了模糊線性迴歸模式來

處理模糊性資料的問題之後續有學者Chang與Lee也提出了修正型的模糊

迴歸選擇散度可為負值所以本文將依模糊理論中的模糊迴歸的特性來

加入預測值範圍討論處理不確定性問題

13 研究架構與流程

本論文的研究流程如圖 11 所示主要研究步驟從確立研究方向進

行相關文獻的探討然後建立本研究的預測方法流程並做混沌系統與模

糊系統的結合來做出預測最後給予本研究上的結論與建議研究架構圖

可參考圖 11

3

確認研究方向

相關文獻回顧

複線性迴歸預測模式

混沌理論 複線性迴歸 模糊理論

結論與建議

模糊迴歸上下界選取預測範圍

糢糊迴歸

建立預測模式

圖 11本研究之架構與流程

4

第二章 文獻探討

傳統的預測方法都是利用建立數據序列模型後再進行計算及與預測

然而隨著混沌科學發展發現混沌的現象存在於生活許多細節中於是學

者致力於發展混沌科學利用歷史資料的混沌規律性建立客觀的模型可

避免人為的主觀想法而影響預測的準確性

預測是一種資料探勘的相關技術通常都是利用各種統計或迴歸的方

法從過去的歷史資料中找出有用的趨勢或是模式然後利用這些趨勢或

模式來求得下一期間或週期的預測值要進行任何預測之前收集足夠的

有效觀察值是一種必要的程序在以往統計或迴歸的方法中均需要大量

的有效觀察值才能夠準確的判斷出預測結果

傳統的主觀意見預測法因為人為意見的影響較大無法利用電腦技術

來協助進行預測目前已經普遍不被企業所使用時間序列的數學方法是

以過去資料之時間序列為主而其基礎為假設未來之情形與過去情勢相雷

同因此若有某因素改變情形時必須參照判斷予以修正預測才能正確

而時間序列是指一個固定間隔為基礎經過了一段時間(如每小時每日

每月每週每月每季每年)之時間序列的觀察結果

本章節首先概述混沌理論的發展以及建立時間序列預測所運用的方法

再加以介紹模糊的幾何意義與模糊的演算法及結合傳統方法與模糊間的概

念

21 混沌理論

混沌理論是對一個不規則又看似無法預測的現象及過程加以分析在

現代科學史中真正數學和物理學意義下的混沌理論公認是由麻省理工

學院的氣象學家羅倫茲(Lorenz)提出的196年冬天某日當時還是副教授

的羅倫茲用一台 RoyalMcBee LPG-30 電腦對一個包含 12 個微分方程的

氣象動力學方程組進行數值模擬試驗在其中的一次驗算裡為貪圖方便

他把一個小數點後六位數的初始值做了四捨五入處理僅輸入了小數點後

前三位數但結果讓他大吃一驚這個與精確數值不到千分之一的誤差

讓最後計算結果大相逕庭這個偶然的取值失誤讓羅倫茲發現了一個簡

單具體並且有明確物理意義的可以用來表現和驗證彭加萊混沌理論的數

學模型於是 1963年洛倫茲在美國《氣象學報》上發表了題為「確定性

5

的非周期流」的論文這篇文章和他隨後發表的另一篇相關論文指出對

於模型中關鍵參數的微小改變會導致完全不一樣的結果使得有規律的周

期性行為能夠進入雜亂無章的狀態令精確的長期天氣預報變得不可能

Hayles(1990)於 Choas boundOrderly disorder in temporary literature and

science 一文中指出混沌的含義有兩個

1 系統失序的前兆與狀態

2 強調存在於雜亂現象內潛藏的規律與秩序結構

Curtis(1990)認為混沌理論或多或少隱含了隨機(randomness)的現象其

含義有兩個觀點

1 混沌是規律秩序的預兆當各種事件在一個系統中進行時混沌現象開

始出現就必須注意「驅散(disspative)結構」的雜亂現象同時也會產生

假使這個系統在「熱力函數」上有足夠熱度則它的結果將使「驅散結

構」的雜亂現象成為確切明白的秩序(Prigogine amp Stenger1984)這種

規律秩序的預兆Gleick (1987)稱之為介於熱力學和動力系統間以高

度個體化和關聯化的哲學觀點「規律秩序之外的秩序」稱之為「混沌」

2 強調經過混沌吸引子的吸收進而啟動「混沌系統」發展出「力的性

質」進而產生混沌系統的模式特徵姜濤(1993)認為從物理意義上來看

一個確定性系統(含有隨機或偶然因素)在沒有外界隨機干擾的情形下

所出現的無規則形態都可以稱為混沌現象Wheatly(1994)將混沌理

論定義為可能是一個事件行為或是過程它是多變的非線性的及

無法預測的所以模式和範圍是彈性的會隨時隨地改變

J Yorke(2002)將混沌賦予新義指出混沌是一種有結構有規則的系

統混沌的雜亂只是表象最終會回歸平衡且等待下一次的失序如此

一直循環著 混沌系統兩個十分重要的特性

1 系統的變化驟看似是毫無規則但實際上是由物理定律所決定的

2 系統的演化對初始條件的選取非常敏感初始條件極微小的分別 (就例

如 02 和 02001 只相差兩千分之一)在一段時間的演化後也可帶來

南轅北轍的結果

211碎形維度及混沌吸引子

碎形幾何理論(Fractals Geometry)是一門新興理論專門用來解釋以前

6

歐氏幾何學無法解釋的自然現象舉凡不規則形狀的自然物體都無法用歐

式幾何學解釋如雪花雲朵流水樹木hellip等所以碎形幾何理論是

用來解釋具有自我相似性及非整數維度的特徵

因此所謂碎形指的是一個幾何物件其外型不像直線弧線這些古

典歐幾里德幾何（Euclidian geometry）的表面那麼平滑而是相當破碎

不規則且無論巨觀或微觀都不是連續的這些不規則的碎形和我們習以

為常的觀念有所不同且基本上大多數的現象並不是如歐幾里德幾何所描

述的那樣

舉例來說一顆籃球對於向來熟悉阿基里德空間的我們來說直覺性

的會認為這是三度空間中的一個球體其維度為三但當把距離拉遠看

似一個圓形維度成為二若把距離縮近成為一公釐則可以發現籃球上

有凹下的線條有防滑的凸點顆粒這種情況下維度又該如何界定而曼

德布洛特在分析英國科學家李查(Lewis F Richardson)遺稿當中的一篇論文

時察覺任何國家的邊界在某種定義下都是無限長其重點在於測量時所

使用的基準長度一般要測量海岸線長度時測量員會架起兩腳器並預設

成一個長度沿著海岸線進行測量之後將兩腳器的尺度縮小重頭再量一

次海岸線長而所量到的這兩種尺寸後者一定較前者為長也較逼近真

實的邊界長度同理將兩腳器的兩腳距無限的縮小則所量到的邊界就

成為無限長

1967年代數學家 Benoit Mandelbrot發表了一篇名為「英國海岸線有

多長」的論文文中提到新的維度觀念也就是碎形維度碎形維度具

有四種特性(1)自相似性(2)自我模仿性(3)碎形維度為有限區域的無限

結構(4)碎形是非動力過程的結果混沌現象具有特殊的碎形維度(Fractals)

混沌狀態出現時運動軌跡不穩定它們隨機但緊密的逐漸收斂到一個整體

縮小但局部分離的區域此區域就稱為奇異吸引子（strange attractor）

Hayles(1990)指出混沌是強調存在於雜亂現象之內潛藏的規律秩序結構

因為雜亂現象之內隱含有「奇異吸子」(strangeattractors)進而啟動運作「混

沌系統」Griffths Hart amp Blair(1991)認為混沌理論應用在教育行政中

也具有奇異吸子的特徵奇異吸引子不同於的穩定的整數維吸引子（即不動

點極限環和環面）它具有的是奇特的非整數的空間維度這種空間被

稱作豪斯道夫（Hausdorff）空間因此混沌奇異吸子是一個整體穩定但是

7

局部不穩定的運動空間

212李亞普諾夫(Lyapunov)指數

混沌系統的初始值非常敏感使得初始時刻靠得很相近兩條相軌跡隨

著時間的增長而逐漸遠離如果能夠定量描繪出此種鄰近軌跡的發散性

便可建立出混沌變動情形的一種數值判斷方法李亞普諾夫指數就是用來

表示相空間內鄰近軌跡的平均指數發散率的數值特徵m 維相空間中的某

一時刻兩條鄰近軌跡之間的距離可以分解在 n 個不同的方向這 n 個不

同方向上的距離增長率是不相同的而每一個增長率就是一個李亞普諾夫

指數

最大李亞普諾夫指數是判斷和描述非線性時間序列是否為混沌系統的

重要參數因此是一個重要的混沌不變數對於混沌系統來說發散是一種

整體性的穩定因素動力系統一方面作為發散系統最終要收縮到相空間的

有限區域也就是吸引子上另一方面系統在相體積收縮的同時運動軌

跡是不穩定的要沿某些方向進行指數分離

對於 m 維的動力系統中 中初始兩點迭代後會互相分離

或是靠近取決於

的值若

則迭代使兩點分離若

則迭代使兩點靠近在不斷迭代過程中

也會隨之改變呈現出時而接

近時而分離的情形為了表示從整體上觀察得到的情況必須對時間(或反

覆運算次數)取平均設平均每次反覆運算所引起的指數分離指數為 於

是原來相距 的兩點經過 n次迭代後距離變為

(21)

若取極限 則式(21)變為

(22)

(22)式可簡化為

(23)

上式中的 與初始值的選取無關稱為原動力系統的李亞普諾夫指數

它表示系統在多次反覆運算中平均每次反覆運算所引起的指數分離中的

8

指數若 則表示相鄰點最終會靠近合併成一點若 則表示

相鄰點最終會發散而對應於軌道的局部不穩定若軌道還存有整體的穩

定因素(如整體有界發散存在捕捉區域等)系統則需在有限的幾何物件

上無窮次折疊以實現指數分離系統在此作用下反覆折疊並形成混沌吸

引子故 可做為判斷混沌情形的準則

混沌系統中的李雅普諾夫指數可用來判斷系統是收斂的還是混沌的

當系統的李雅普諾夫指數中至少有一個為正時 系統是混沌的 當系統的

李雅普諾夫指數均為負數時 系統是收斂的

對於一般 m維的動力系統定義李亞普諾夫指數如下設 F為

上的 m維映射假設一個 m維離散動力系統 將系統的初

始條件假設為一個無窮小的 m維小球由於演化過程中的自然變形圓球

將變成橢圓球將橢圓球上的所有主軸依其長度排列則第 i 個李亞普諾

夫指數根據第 i個主軸的長度 的增加速率定義為

(24)

李亞普諾夫指數與相空間的軌道收縮或擴張性質是有關連性的在李

亞普諾夫指數小於零的方向上軌道收縮運動穩定對於初始值不敏感

而在李亞普諾夫指數為正的方向上軌道迅速分離對初始值敏感李亞

普諾夫指數的前 j個指數的和是由前 j個主軸定義的 j維立體指數增加的長

期平均速率確定如橢球長度按 增加由前兩個主軸定義的區域面積依

增加由前三個主軸定義的區域面積依 增加以此類推在

李亞普諾夫指數譜中最小的李亞普諾夫指數決定軌道收縮的快慢最大

的李亞普諾夫指數則決定軌到發散也就是覆蓋整個混沌吸引子的快慢

而所有李亞普諾夫指數之和 可以大致表示為軌道的平均發散速度

李亞普諾夫指數是衡量系統動力學特性的一個重要定量指標它代表

了系統在相空間中相鄰軌道間收斂或發散的平均指數率對於系統是否存

在動力學混沌可以直觀的判斷最大李亞普諾夫指數是否大於零一個正

的李亞普諾夫指數代表著在系統相空間中無論初始兩條軌跡的間距多

小兩條軌跡的差別都會隨著時間的演化而成指數率的增加而導致無法

預測這就是混沌現象

213 混沌系統之時間序列

9

2131 相空間局部近似法

Farmer and Sidorowich(1987)在其混沌預測方法之研究提出所謂的相

空間局部近似法(phase space local approximation method)對系統之演變行為

進行預測這種奠基於時間延遲法(time delay method)所構成之重建相空間

(reconstructed phase space)的預測方式能夠適應吸引子(attractor)的局部行

為經後續進一步研究發現其具有相當良好之預測能力因此採 Farmer and

Sidorowich(1987)之相空間局部近似法構建交通量預測模式期能增加預測

準確度

2132 時間序列與相空間重構

相空間的概念就是把運行方程式所獲得的數字或數據轉換成為圖形

並將系統中隨時間改變的重要的資訊(無論是機械或是流體)抽取出來把各

式各樣可能的狀況註明在圖上利用延遲時間的概念模擬出類似原始系統

之相空間當重建一個空間使得此空間可以具體的包含吸引子特徵則此

空間之維度我們稱為嵌入維度Takens等人(1981)提出嵌入定理對於無

限長無雜訊的 d維混沌吸引子的標量時間序列x(n)可以在拓撲不變的

意義上找到一個 m維的嵌入相空間只有維數 m gt2d+ 1才可保有原始吸

引子的特徵Takens 定理保證了我們可以從一維混沌時間序列中重構一個

與原動力系統在拓撲意義下等價的相空間混沌時間序列的判定分析與

預測是在這個重構的相空間中進行的因此相空間的重構是混沌時間序列

研究的關鍵將收集的一維歷史資料例如現有歷史資料為 9筆13579

10131115間遞移的結果為1711391351015在此我們將利用此

時間遞移建立的時間序列觀念x(t) x(t minusτ ) x(t minus 2τ )hellip來重建相空間

2133 延遲時間 τ的決定

時間延遲如果 τ太小則相空間向量 x(i) = x(t) x(t minusτ ) x(t minus 2τ )hellip

中的任意兩個分量 x(t)和 x(t minusτ )在數值上非常接近以至於無法相互區分

從而無法提供兩個獨立的座標分量但如果時間延遲 τ 太大的話則兩座

標在統計意義上又是完全獨立的混沌吸引子的軌跡在兩個方向上的投影

毫無相關性可言因此需要用一定的方法來確定一個合適的 τ 值本文確

定 τ的主要方法為相關維度法

2134 自相關函數

自相關係數是利用時間序列裡每一筆數據與其前的數據根據不同遲延

10

時間距離的數值進行相關係數計算而成如遲延時間距離為 1表示將每

一筆數據與緊接其前的一筆數據進行相關係數計算如遲延時間距離為 2

表示將每一筆數據與其前第二筆數據進行相關係數計算如遲延時間距離

為 3表示將每一筆數據與其前第三筆數據列進行相關係數計算如此類

推自相關係數 之計算公式如下

1

1

1( )( )

1( )

n k

t t k

tk n

t

t

x x x xn k

r

x xn

(25)

式中 n為資料數k為時間遞移後的點t為時間點

將自相關係數計算的結果與每一筆遲延時間距離數值繪製成圖表可

由圖表中可分析辨別時間序列數據的初步基本特徵如圖表繪製的結果顯

示自相關係數沒有跟隨遲延時間距離數值的增加而顯示收歛之跡象也就

是說繪製線不斷於 X軸零座標線做不規律的上下擺動表示數據為隨機時

間序列即每一數據都視為個別獨立的事件且與過去某一筆遲延時間距離

數值的事件無關係反之若圖表繪製的結果顯示自相關係數跟隨遲延時

間距離數值的增加而顯示收歛且具有震盪循環之跡象則表示數據具有一

種規則屬於一混沌時間序列

2135 季節趨勢

季節趨勢預測法是根據事物每年重覆出現的週期性季節變動指數預

測其季節性變動趨勢

季節指數的概念即是利用簡單平均法計算週期內各時期模型季節性影響的

相對數季節指數反映了該季與總平均值間的穩定關係若季節指數大於

1則表示該季的值常會高於平均值若季節指數小於 1則表示該季的值

常會低於平均值若序列的季節指數都近似於 1則表示該序列沒有明顯

的季節效應季節指數的計算方式如下

計算週期內各期平均數

k=12hellipm (26)

計算總平均

(27)

計算季節指數

11

k=12hellipm (28)

其中 n為期數m為季節數

22 複線性迴歸分析

迴歸分析的目的主要是建立變數之間的關係進而應用於預測分析中

內政部營建署(1997)就曾利用迴歸分析來探討反彈數及現場鑽心試體之間

的抗壓強度關係進而建構出一迴歸方程式做為混凝土試體的抗壓強度

預測而在土木工程領域中也已有許多學者利用迴歸分析來進行研究

例如潘南飛與黃冠智(2005)利用迴歸分析來預測橋面版劣化狀況且考慮

以交通量及降雨量作為迴歸模式中的自變數最後得一配適佳的迴歸式

凌偉峻(2006)利用複線性迴歸分析建立模式及混沌系統的相空間鄰近點相

似特性來建立車流量預測模式Cheung et al (2008)使用氣候值持續值

颱風強度Julian Date記日本地時間七級風暴風半徑及颱風中心速度共

7個預報參數進行多變量的複線性迴歸(multiple linear regression)分析並以

20個傳統雨量站進行測試各新增變量中以颱風強度七級風暴風半徑及

中心速度對預報之改善較顯著其受改善之時數及相關係數之增加幅度皆

較其它變量為多顯示颱風結構參數在颱風降雨預報中比簡單的季節性因

素或日夜對流差異來得重要

敘述自變數( 1 kx x x x 2 3 )依變數 y 和誤差項 i 之間關係的方程式

稱為複線性迴歸模式複迴歸其主要目的有二

1 可以降低隨機誤差此與迴歸之變異數分析有關增加解釋變數之個數

可以使迴歸分析可解釋變動的部分增加相對的誤差就會減少

2 可以避免反應變數中影響重大的解釋變數有所遺漏而無法具體描述實

際資料的狀況估計複迴歸方程式或估計多元迴歸方程式(Estimated

multiple regression equation)大部分情況下複迴歸模式中的迴歸參數

皆不知其實際數值僅可以利用樣本數值估算分別以樣

本統計值 作為迴歸參數 的點估計值本研究

利用全域法訓練迴歸參數 即是利用前九日的歷史資料

複線性迴訓練出迴歸係數預測出第十日的資料型態複迴歸分析是將

簡單迴歸分析其自變數由一個增加至數個研究一群自變數和一個反應

變數之間的關係複線性迴歸模式定義如下

12

(29)

其中 為常態 n 隨機變數期望值 E(ε)=0且彼此互相獨立若有 n

組樣本觀測值(ngtp)組我們就可將方程式寫成

(210)

其中 i=123hellipn

若將複線性迴歸寫成矩陣可得下式

(211)

也可將式(211)寫成矩陣形式

(212)

其中 為觀察值向量 為參數向量 為自變數矩陣 為獨立之常態

隨機變數向量且滿足 向量 Y的期望值表示如下

(213)

複線性迴歸之最小平方標準方程式矩陣表示為

(214)

其中

為最佳模式之參數矩陣因此可求得最小平方估計式矩陣

表示為

(215)

其中 為 之轉置矩陣 為 之反矩陣只要利用式(215)

即可獲得複線性迴歸方程式

23 模糊理論

模糊理論是由美國加州大學伯克利分校電氣工程系的L A Zadeh在

1965年首次提出Zadeh在1965年發表了一篇傳統科學皆以排除具模糊性的

研究為主而模糊理論則以包含模糊性的研究為主現今科學發達所要

探討的議題越來越多由於人類的知識與研究會因本身主觀的意識因應

不同的人事時地物而具模糊性使得無法清楚呈現研究的本質為何要

13

在日常生活中精確地描述一個現象必定忽略其中的些微變化然而此描

述又無法真實描述現實因此模糊理論(Fuzzy Theory)正好能被廣泛應用在

研究上

模糊概念是指這個概念的外延具有不確定性或者說它的外延是不清

清楚的是模糊的例如好的壞的好壞的概念我們非常清楚但是

它的外延也就是究竟事件發生的條件到底是要如何才會是好的跟壞的

每個人的回答都會是不同的這就是一個模糊的概念所以當我們在接

觸模糊時是允許主觀意識的因為每個人對模糊的概念不盡相同儘管

如此當我們利用模糊統計方法進行分析時對於好與壞之間的界限又有

一定的概念

其次模糊性與精確性是相對立的但卻不能將模糊性理解成較差的

結果因為實際上我們在處理客觀事物時經常藉助於模糊性例如

若我們要在路上找一位「年輕的漂亮女孩」「年輕」及「漂亮」都是模

糊的概念但對我們而言這在路上不難找到因為我們的大腦會分析什麼

是「年輕」及「漂亮」於是我們就可以判斷出我們要找的人然而若我

們要求必須用電腦查詢「年輕的漂亮女孩」我們就必須將「年輕」及「漂

亮」這兩個模糊的條件利用具體的數據輸入電腦分析才能找到符合我們

要求的人

最後人們對模糊性的認知常與隨機性混淆其實它們之間有著很大

的不同隨機性是本身具有明確意義只是因為發生的條件不充分使得

在條件與事件之間不能產生確定的因果關係所以事件的出現與否表現出

一種不確定性而事物的模糊性是指我們要處理的事物的概念本身就是模

糊的即一個對象難以確定是否符合這個概念也就是由於概念外延模糊

而帶來的不確定性

231模糊的發展

模糊理論是在美國加州大學伯克利分校電氣工程系的 LAzadeh 教授

於 1965年創立的模糊集合理論的數學基礎上發展起來的主要包括模糊集

合理論模糊邏輯模糊推理和模糊控制等方面的內容

早在 20世紀 20年代著名的哲學家和數學家 B Russell就寫出了有關

「模糊性」的論文他認為所有的自然語言均是模糊的比如「紅的」和

「老的」等概念沒有明確的內涵和外延因而是不明確的和模糊的可是

14

在特定的環境中人們用這些概念來描述某個具體對象時卻又能心領神會

很少引起誤解和歧義

美國加州大學的 L A Zadeh 教授在 1965 年發表了著名的論文文中

首次提出表達事物模糊性的重要概念隸屬函數從而突破了 19世紀末勒

內middot笛卡爾（Rene Descartes）的經典集合理論奠定模糊理論的基礎1966

年P N Marinos發表模糊邏輯的研究報告1974年L A Zadeh 發表模

糊推理的研究報告從此模糊理論成了一個熱門的課題1974 年英國

的 E H Mamdani 首次用模糊邏輯和模糊推理實現了世界上第一個實驗性

的蒸汽機控制並取得了比傳統的直接數字控制演算法更好的效果從而

宣告模糊控制的誕生1980年丹麥的 LPHolmblad 和 Ostergard 在水泥窯

爐採用模糊控制並取得了成功這是第一個商業化的有實際意義的模糊控

制器

事實上模糊理論應用最有效最廣泛的領域就是模糊控制模糊控

制在各種領域出人意料的解決了傳統控制理論無法解決的或難以解決的問

題並取得了一些令人信服的成效

模糊控制的基本思想把人類專家對特定的被控對象或過程的控制策略總

結成一系列以ldquoIF THENrdquo形式表示的控制規則通過模糊推理得到控製作用

集作用於被控對象或過程控製作用集為一組條件語句狀態語句和控

製作用均為一組被量化了的模糊語言集如「正大」「負大」「正小」

「負小」零等

模糊控制的幾個研究方向

1 模糊控制的穩定性研究

2 模糊模型及辯識

3 模糊最優控制

4 模糊自組織控制

5 模糊自適應控制

6 多模態模糊控制

模糊控制的主要缺陷

信息簡單的模糊處理將導致系統的控制精度降低和動態品質變差若

要提高精度則必然增加量化級數從而導致規則搜索範圍擴大降低決策

15

速度甚至不能實時控制模糊控制的設計尚缺乏系統性無法定義控制

目標控制規則的選擇論域的選擇模糊集的定義量化因數的選取多

採用試湊發這對複雜系統的控制是難以奏效的

232模糊至今應用的範圍

模糊理論發展至今已接近三十餘年應用的範圍非常廣泛從工程科

技到社會人文科學都可以發現模糊理論研究的蹤跡與成果我們分別由工

程科技與社會人文科學的角度瞭解模糊理論應用的範疇

1 工程科技方面

(1) 型樣識別文字識別指紋識別手寫字體辨識影像辨識語音

辨識

(2) 控制工程機器人控制汽車控制家電控制工業儀錶控制電

力控制

(3) 信號及資訊處理影像處理語音處理資料整理資料庫管理

(4) 人工智慧及專家系統故障診斷自然語言處理自動翻譯地震

預測工業設計

(5) 環保廢水處理凈水處理廠工程空氣污染檢驗空氣品質監控

(6) 其他建築結構分析化工製程控制

2 教育社會及人文科學方面

(1) 教育教學成果評量心理測驗性向測驗電腦輔助教學

(2) 心理學心理分析性向測驗

(3) 決策決定決策支援決策分析多目標評價綜合評價風險分

析

233模糊集合

過去傳統數學上集合的基本定義是以二值邏輯(Binary Logic)為基礎的

方式來描述事物為屬於或不屬於此集合也就是元素 x和集合 A的關係

只能是isinA或notinA明確的判斷對象為所屬集合也就是明確集合(Crisp Set)

如果要描述適當的模糊事物時須將所屬集合的概念模糊化使之無明確

判對象所屬的集合模糊集合是指在界限或邊界不分明且具有特定事物的

集合以建立隸屬函數(Membership Function)來表示模糊集合承認論域

(Universe of Discourse)上存在既非完全屬於集合A又非完全不屬於集合A

16

使傳統集合的絕對屬於的概念改變為相對屬於的概念以數學式表示論域

U 上的模糊集合 A可表示為元素 x與它的歸屬函數集合

(216)

其中 A為一模糊集合 為歸屬函數x稱作元素U為論域一

般情況下歸屬度會界定在 0跟 1之間

(1) =0表示元素 x不屬於

(2) =1表示元素 x完全屬於

(3) 趨近 0表示元素 x極不可能屬於

(4) 趨近 1表示元素 x極有可能屬於

這個表示式的完整解釋為當 x 在 U 的範圍內會對應到一個介於 0

到 1之間的數值 所有這種 x所成的集合就是一個模糊集合模糊集

合可表示為

1 當論域Ｕ為有限離散(discrete)集合的情形下模糊集合 可表示成

(217)

2 當論域Ｕ為實數論域所組成之在連續(continuous)集合的情形下模糊

集合 可表示成

isin (218)

其中 並非積分符號而是單純的連結符號

234 模糊數(Fuzzy Number)

1 模糊數(triangular fuzzy number)

假設 是模糊集合或模糊數(FN)在實線 2R 上則以三角形隸屬函數

(triangular membership function）表示為 1 2 3( )a a a 2 x R to A 則

1

1 2 1 1 2

3 3 2 2 3

3

0

( ) ( ) ( )

( ) ( )

0

x a

x a a a a x aA x

a x a a a x a

x a

(217)

17

1

其隸屬函數圖形如圖 21

圖 21 三角模糊數

2 梯形模糊數(trapezoidal fuzzy number)

梯形模糊數可表示為 如圖 22其隸屬度函數定義為

(218)

其隸屬度函數如圖 22

圖 22梯形模糊數

a b c d

1

18

在一信賴區間 α水準α 01 我們定義 A

( )A x A x (218)

三角形隸屬度函數以 α-cut表示為

( ) ( )

1 3 1 1 2 3 2 3[ ] [ ( ) ( )]A a a a a a a a a

(219)

( )

1a 與 ( )

3a 個別代表 A的下界及上界

根據模糊算術方法Zadehrsquos sup-min 方法表示如下

( )( ) sup min( ( ) ( ))x y z

A B z A x B y

(220)

其中 sup表任何模糊算式Mizumoto and Tanaka（1976）使用相同方

法在 α 截集模糊數和區間算術Chang（2003）和 Chang et al （2006）和

Chang and Hung（2006）整理使用 α 截集模糊算術方法的文獻α截集模

糊算術中模糊數基本運算公式（加法減法乘法除法）可以計算的

更快在每一個 α-level 區間中使用區間算術（Kaufmann and Gupta

1988）

1 模糊數加法

令A和 B分別為兩模糊數 A和 B在一信賴區間 α水準 ( ) ( )

1 2[ ]A a a

( ) ( )

1 2[ ]B b b αisin 01 forall A B sub 2R 表示如下

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 2 1 2 1 1 2 2[ ] [ ] [ ]A B a a b b a b a b

forallαisin 01 (221)

2 模糊數減法

在一信賴區間 α水準forall A B sub 2R αisin 01

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 2 1 2 1 2 2 1[ ] [ ] [ ]A B a a b b a b a b

(222)

3 模糊數乘法

在一信賴區間 α水準forall A B sub 2R αisin 01

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 2 1 2 1 1 1 2 2 1 2 2

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 1 1 2 2 1 2 2

[ ] [ ] [min(

max( )]

A B a a b b a b a b a b a b

a b a b a b a b

(223)

4 模糊數除法

在一信賴區間 α水準forall A B sub 2R αisin 01

19

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 1 1 2 2

1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 2 1 2 1 2 1 2

[ ] [ ] [min( )max( )]a a a a a a a a

A B a a b bb b b b b b b b

式中 ( )

1b ( )

2b gt0forallαisin[01] (224)

235模糊運算

根據 Zadeh（1965）的擴展原理（Extension Principle）可以廣義的使

用一般基準 T取代原來的最小值模糊數的數學運算表示如下

1 加法

( )( ) sup ( ( ) ( ))x y z

A B z T A x B y

(225)

2 減法

( )( ) sup ( ( ) ( ))x y z

A B z T A x B y

(226)

3 乘法

( )( ) sup ( ( ) ( ))x y z

A B z T A x B y

(227)

4 除法

( )( ) sup ( ( ) ( ))x y z

A B z T A x B y

(228)

24 模糊迴歸

在科學研究過程中許多研究者常使用迴歸來描述自變數 x和應變數 Y

之間的關係傳統的迴歸分析均假設觀察值由實際應變數影響加上隨機誤

差而產生也就是說應變數是一種帶有不確定性的隨機變數不過在很

多的實務應用上往往無法滿足這樣的假設例如有些應變數 Y 的觀察值

並不是以單一數值的型式存在而是帶有多重隸屬的特性這些觀察值雖

然帶有不確定性但這種不確定的特性是來自於模糊現象而非隨機現象

若由模糊觀點套用迴歸分析來處理模糊資料問題就稱為模糊迴歸分析

模糊迴歸分析最早是由 Tanaka et al (1980) 提出一般模糊迴歸能夠處理的

樣本型式有兩種一種是實數值樣本 其中 為實數向量 為觀測

到的實數值另一種是模糊數樣本( 其中 為觀測到的模糊數不論

是實數值樣本或是模糊數樣本想要估計模糊迴歸參數估計方法大都是

20

利用線性規劃的技巧來尋求一組能將實數值樣本 或模糊數樣本(

包含在內的區間再將三角形隸屬函數（triangular membership function）套

用

在此區間上如此便求得一組模糊迴歸估計式要得到正確的估計結

果最好是收集具有代表性的隸屬函數樣本所謂具有代表性的隸屬函數

樣本應該是以模糊數的形式存在所以本文就樣本模糊數 進行討論

線性模糊迴歸模式常表示成

0 1 1 2 2( ) i i i p piY x A A x A x A x (229)

其中 1 2 3(1 ) i i i i p ix x x x x 為自變數向量 ( )iY x 為模糊應變數

為模糊參數利用樣本模糊數 估計參數 時通

常假設 與 的隸屬函數為對稱三角型式 與 的隸屬函數表達如下

( ) max 1 0 i

i

Y

i

t yt t

r

(230)

其中 為三角隸屬函數的中點 為三角隸屬函數的分布半徑可令

( ) max 1 0 m

m

A

m

t ct t

s

(231)

其中 為三角形的中點 是三角形的分布半徑 與 間的關係

如圖 23所示

圖 23模糊數的中心值與散佈值

1

0

21

再令 則前述的模糊迴歸方程式可改寫成

0 1 1 2 20 1 2( ) i i ipi p pY x x xC S xC S C S C S (232)

因此模糊應變數 ( )iY x 的隸屬函數也屬於三角型式可表示成

( )

0

0

( ) max 1 0 Y xi

p

m m

m

p

m mi

m

t c x

t t

S x

(233)

其中 因此只要估計出三角形的中點 及半徑 便可得到

隸屬函數的估計值模糊迴歸分析是在要求每一個觀測值 隸屬於模糊

迴歸區間的隸屬程度至少 的情況之下尋求最小的模糊迴歸預測區間如

(234)式表示

forall ( 234)

在利用 對未知的模糊參數 進行估計前一般先定

義模糊樣本 和模糊應變數 的 h截集其定義如下

令 為一組模糊樣本 ( )iY x 為模糊應變數若 與

分

別為 及 的 h截集(h-cut)則

(235)

(236)

因具代表性的樣本 其 h 截集 應要盡量接近模糊應變數 的 h

截集 意即

其中容許

不完全落在 之

內的情形發生根據以上觀點王景南(2002)認為樣本的左端點

和右端點 隸屬於 的程度會有一定的水準於是設立此水準

為 H因此假設 隸屬於 的隸屬度會盡量的接近 H其間的關係

為

( 與

( (237)

所謂的盡量接近 H是可允許隸屬度大於 H或小於 H而不是均大於

22

H

根據以上的對樣本的解釋運用最小平方法以所有樣本的左端點

配置一迴歸直線稱之為左端直線估計式

(238)

其中 為迴歸係數再以所有右端點 配置右端

直線估計式

(239)

其中 為迴歸係數

前文已假設樣本的左右端點隸屬於 的隸屬度會盡量的接近 H所

以將這兩條直線函式來估計 之 H截集的左右邊界即

(240)

如此可推導出 的隸屬函數為

(241)

其中 且

(242)

意即

(243)

其中

為三角形底邊中點是

分布半徑如此便可得一組估

計的模糊迴歸模式

(244)

仍需注意的是當樣本為對稱型態時左右迴歸函數式其配適的結果式

相同的只有常數項不同當對稱情形發生時可以考慮利用各別對應相

之權重除以常數項的分布半徑做為個別對應項之分布半徑意即

分布半徑

除此之外Celmins及Diamond Celmins也分別提出最小平方法之模糊迴

23

歸模式以便求解資料間距離最小的模糊迴歸方程

模糊迴歸應用上比統計迴歸更具彈性統計迴歸通常需要大量資料以

支持其假設而模糊迴歸卻無此需求因此當資料量不足或隨機性難以驗

證時模糊迴歸是較強健的(Robust)同時當所蒐集之資料的不確定性乃

來自於人類之主觀判斷時模糊迴歸較具適用性

因此模糊迴歸模式逐漸受到重視在1990年代的研究包括Sakawa及

Yano針對投入變數與輸出變數皆為模糊資料的問題建構出一個多目標的模

糊迴歸模式此外Chang和Lee則認為模糊迴歸中心線的趨勢與模糊迴歸散

佈值的趨勢可以存在不一致性為了分析統計迴歸與模糊迴歸的差異Kim

Moskowitz 及Koksalan 利用模擬分析比較統計迴歸與模糊迴歸的結果認

為由機率論所得的統計迴歸模式在大樣本時其預測績效遠比可能性理論

(Possibility theory)推演而得的模糊迴歸模式為佳然而當資料量遞減或所構

建的模式適合性變差時(即變數間存在模糊關係)則模糊迴歸模式的預測績

效將優於統計迴歸模式由於模糊迴歸模式在解決資料量少及系統關係模

糊不清的問題上具有較佳之績效而存在其正面之價值當變數間存在模

糊關係時

從早期到目前已發展出多種模糊迴歸模式求解方式以下根據薛展青

(2004)所整理的模糊迴歸分析整裡敘述如下

1 區間迴歸法

區間迴歸法(interval regression)其模型架構主要是由Tanaka et al(1982)

所提出的模糊線性迴歸(fuzzy linear regression)模型Tanaka et al(1982)所發

表的論文中表示傳統的迴歸模型中造成實際值與估計值的誤差來源被

認為是由測量或觀察所造成的而此誤差項在模糊線性迴歸模型中是因

模糊系統中參數的模糊性所產生的即誤差是反應模糊線性函數的模糊現

象因此以模糊線性函數來表示迴歸方程式而迴歸參數則是以模糊集合

來表示

Tanaka et al(1982)在估計模糊迴歸參數時是利用線性規劃技巧

(linearprogramming method)來尋求一組能將實數值樣本或模糊數樣本全部

包含的區間最後求得一組對稱三角形模糊數之迴歸參數

自Tanaka等人(1982)的文章發表之後後續的學者大多以此為基礎陸

續題出各種相關的模式與求解方法如Peters (1994)將Tanaka的線性規劃法

24

求解推廣為模糊線性規劃法求解讓資料對模糊迴歸模式的適應性更加提

升YenGhoshray 與Roig (1999)提出由於非對稱迴歸係數導因於大多數的

資料為離群值使得對稱三角迴歸係數不再適用因此將Tanaka et al的模

式推廣為非對稱三角迴歸係數Moskowitz 與Kim (1993)探討不同水準值下

模糊迴歸模式的求解與模式配適程度Redden 與Woodall (1996)探討模糊

迴歸分析預測未來值的結果Sakawa 與Yano (1992)將Tanaka的方法擴展到

依變數及自變數皆是模糊集合的情況並將之稱為多目標線性迴歸法

(multiobjective linear regression model)Koumlrner 與Naumlther (1998)討論解釋變

數與反應變數兩者皆為模糊數值的情況Kacprzyk 與Fedrizzi (1992)則蒐集

了各種不同迴歸模式的求解方法Redden 與Woodall (1994)說明Tanaka後

續提出的求解模式當中所具備的性質以及與傳統迴歸方法的差異比較

但是在此模式下求解之迴歸係數本身亦為一對稱的三角模糊數值

而且求解結果很容易受到資料尺度(scale)的影響使得反應變數估計值之展

度會變得更為寬廣後來Tanaka (1987)根據1982年的文獻發展為更完整的

可能性線性系統使模糊迴歸的結構更趨適應性Tanaka 與Watada (1988)

闡明可能性線性模式的概念推演建構成可能性線性迴歸模式Tanaka et

al(1989)應用模糊資料於可能性迴歸系統中並建構最小化最大化及混合

式三種線性規劃模式又對先前所提出的模式加以修正但就如Redden 與

Woodall (1994)所指出Tanaka 類型的模式對於離群值(outlier)的反應非常

敏感甚至在觀察值的個數增加時求解結果可能會產生無限多解因

此在Tsaur 與Wang (1999)提出的文獻對於在模糊迴歸分析中的離群值進行

一系列探討

2 模糊最小平方法

模糊最小平方法(fuzzy least squares)乃擴展傳統之最小平方法的觀念

最早由Diamond (1988)所提出利用傳統最小平方法的觀念求出一個模糊

迴歸模式以估算(approximate)反應變數的觀察值並非如區間迴歸中的包含

觀察值在其模式中利用反應變數的觀察值與估計值的模糊數值之最小

值最可能值與最大值定義兩者之間的距離以衡量迴歸模式與模糊資

料之間的最佳配適度的情形在使得所有觀察值與估計值的模糊數值之間

的距離平方總和為最小時可以導出類似傳統迴歸分析中的正規方程式

(normal equation)以求解迴歸係數

25

其後Chang 與Lee (1996)則將Diamond (1988)的方法加以擴充將迴

歸係數的最可能值與展度分別估計該方法的特點在於可將極端值(outlier)

加以處理並降低其影響程度Ma等人(1997)則將此類方法發展於適合非

三角模糊數值的場合Diamond 與Koumlrner (1997)則在此類方法中定義一

個判定係數的計算方法以比較不同模式的適合性Wu與Tseng (2002)提出

改善模糊迴歸模式之最小平方法其模式主要觀念是利用最小平方法將所

有樣本的左端點及右端點各配置一條迴歸線然後在將其左右迴歸線統合

成一條迴歸線

而在Kim 與Bishu (1998)的研究中是利用各個具有三角模糊數值的反

應變數之最小值最可能值與最大值以最小平方法分別計算出模糊迴歸

係數所得到的係數不一定為對稱的三角模糊數在此種求解方式下雖

然可以得到比較小的估計誤差但其缺點是無法處理解釋變數為模糊數的

情形另外Kim 與Bishu(1998)還提出了評估模糊迴歸模式的準則利用觀

察值與估計值歸屬函數之間面積的差異做為迴歸模式的估計誤差但其評

估準則的問題是無法比較不同模式在觀察值與估計值歸屬函數之間不具有

交集時的誤差情況在此情況下求算估計誤差時無法準確評估其總誤差而

導致評估失真而其他學者如Yang與Ko (1997)Yang 與Lin (2002)等則

是提出以最小平方法為基礎的模糊聚類分析求解方式

3 模糊隨機變數估計法

為了建構一個同時具有隨機和模糊特性的系統Kwakernaak (1978)首

先提出模糊隨機變數(fuzzy random variables)的概念認為傳統的隨機變數

U Ωrarr R為實數可測函數而模糊隨機變數則將一般隨機變數的概念廣義

化模糊隨機變數可表示為X ΩrarrS設ω isinΩ而ω 所對應到的不再是實

數值U(ω)而是模糊集合X (ω)S 代表模糊集合且Kwakernaak (1978)擴

充原來Zadeh 提出模糊集合之架構認為有時供作參考的資訊不齊全在

對某些述句進行評斷時我們無法判斷其絕對為真或絕對為假此時我

們考慮將原有的二元邏輯思維方式推廣暫且不作肯定的判決而僅是表

達出對錯的程度換句話說真值可以是介於單位區間[01] 內的任何值

如此思維方式稱之為多值邏輯(multivalued value)並將模糊集合視為一組

述句(statement)的集合且每個述句均對應一真值程度以符合人類的思維與

想法Stein 與Talati (1981)利用模糊數值的隸屬函數提出模糊隨機變數

26

的期望值之計算方式Kruse 與Meyer (1987)藉助集合表徵的概念建立了

一套模糊隨機變數的定義而為了讓模糊隨機變數能實際應用並將討論

的範圍界定在一模糊集合族上Koumlrner (1997)及Naumlther (1997)利用該方法以

求算模糊隨機變數的期望值與變異數並應用於線性模糊迴歸模式的求解

等另外在曾能芳(民 91)的博士論文研究中指出在Tanaka et al (1982)

的模糊迴歸模式中並不具備誤差項因此模式無法呈現樣本與期望值之間

的關係而無法討論線性規劃估計程序所具備的統計性質所以在曾能芳

(民 91)提出的迴歸模式中採用模糊樣本是由依變數之模糊期望值加上測量

誤差所組成並提出測量誤差存在於中點的模糊迴歸模式以及測量誤差

同時存在於中點和半徑的模糊迴歸模式

4 兩階段求解方法

以兩階段方法(two stage method)求解模糊迴歸模式的想法是在於結合

最小平方法與區間迴歸的觀念試圖降低反應變數估計值的模糊度如Savic

與Pedrycz (1991)對模糊迴歸模式的求解分為兩個步驟進行第一步以

反應變數的模糊數值之最可能數值為基礎將模糊數值視為簡化的明確數

值以傳統最小平方法求解迴歸係數的中心值第二步利用區間迴歸的

方式在使得迴歸係數的模糊度為最小的情形下以決定迴歸係數的三角

模糊數值Kao 與Chyu (2002)提出另一種模糊迴歸模式的兩階段求解方

法在第一階段先利用解模糊(defuzzification)方法將模糊觀察值轉換成為一

組明確數值之後利用該組明確數值以傳統的最小平方法求解迴歸係

數第二階段則是以Kim 與Bishu 所提之評估準則為目標式決定一個誤

差項估計值的模糊數以使得在Kim 與Bishu (1998)評估準則下的總誤差量

為最小該方法的特別之處在於求解的迴歸係數為明確數值而誤差項估計

值為模糊數值雖然此種求解方式可以得到很小的估計誤差但因其所著

眼的仍是Kim 與Bishu 評估準則下的面積估計誤差使得當觀察值與估計

值歸屬函數之間不具有交集時所衡量出的估計誤差較真實誤差為小且其

求解方法比較適合於觀察值為三角或梯形的模糊數值欲應用於其他型式

的模糊數值求解上則較為困難而在邱清爐(民 91)的博士論文中則是將

其兩階段求解方法對各種不同的模糊迴歸模式進行建構與評估並將其求

解方法應用於工作滿意度實例

5 其他求解方法與相關研究

27

Tanaka 等人(1995)後來提出另外一種模糊迴歸模式的求解方法將傳

統的估計誤差當作是存在解釋變數與反應變數之間的關係之可能性

(possibility)故模糊觀察值的展度可以直接轉換成迴歸係數的指數可能性

分配(exponentialpossibility distribution)而可以使用與傳統迴歸非常類似的

方式加以求解Tanaka與 Lee (1999)再利用辨識方法(identification method)

求解迴歸模式在其研究中利用辨識方法以決定模糊線性系統(fuzzy linear

system)中迴歸係數的可能性分配並認為由此方法所求解的迴歸係數會

有比較小範圍的可能性分配近年來有愈來愈多的學者將模糊迴歸分析

應用於其他傳統的決策方法及不同領域上如 Dunyak 與 Wunsch(2000)使

用 α 截集的端點以類神經網路(neuralnetworks)進行模糊迴歸分析Lee

與 Chen(2001)則將模糊迴歸模式使用於人力預測的問題上Tseng 等人

(2001)將由模糊迴歸模式建立之 ARIMA 模式用以預測匯率Tseng 與

Tzeng(2002)則利用模糊迴歸模式的求解方法以建構具有季節變動的

ARIMA 模式Kim 與 Bishu(1996)應用於人力可靠度分析的操作反應時間

上Wu 與 Tseng(2002)將其模糊迴歸模式應用在景氣對策信號上的分析

王景男(民 89)將模糊迴歸分析應用於籃球比賽攻防技術策略上曹勝雄

曾國雄江勁毅(民 85)以國人赴港旅客需求之預測為例說明傳統迴歸

模糊迴歸類神經網路之差別張良斌陳育民(民 86)將模糊目標迴歸法

應用在垃圾衛生掩埋場沼氣回收設備的成本估算謝邦昌林燦隆呂理

添(民 85)將模糊迴歸運用在甘蔗產量的預測對於上列有關模糊迴歸分析

的研究中絕大部份的文章均侷限於線性模式的分析鮮有文章討論非線

性模糊迴歸模式的求解最近雖然有少數學者開始討論非線性模糊迴歸模

式的解法如 Xu(1997)Buckley 與 Feuring(2000)的研究等但使用的方

法所求解的迴歸係數仍然為模糊數值其造成反應變數估計值的展度會

隨著解釋變數之數值增加而擴大的問題仍無法避免

28

第三章 研究方法

本章介紹本文將運用於數值分析中的預測研究方法利用本章建構的

方法可清楚了解如何利用混沌理論基於相空間重構的方式及模糊迴歸方

法於預測中

31 混沌時間序列建立預測方法

時間序列的模型建構和預測是資料處理研究領域中的重要方向其中

預測方法主要有線性和非線性預測方法兩種預測就是對未來作出估計和

推斷而通常要對研究對象或資料進行假設這一過程稱為建模利用建

模的方式獲得資料的科學表示就稱為模型混沌時間序列雖然看似隨機

但它卻是由確定系統產生的因此我們可以對混沌時間序列作出短期預測

同時由於混沌對初始條件微小差異的高度敏感性我們無法對混沌時間序

列作出長期預測每一步預測帶來的微小偏差都會使得下一步預測的偏差

擴大最終導致預測序列與原始序列完全不同

311李亞普諾夫指數判定資料混沌特性

進行預測前需根據 212節中提及的李亞普諾夫指數來判定資料是否

具有混沌特性最大李亞普諾夫指數是判斷和描述非線性時間序列是否為

混沌系統的重要參數因此是一個重要的混沌不變數

混沌系統中的李雅普諾夫指數可用來判斷系統是收斂的還是混沌的當系

統的李雅普諾夫指數中至少有一個為正時系統是混沌的 當系統的李雅

普諾夫指數均為負數時系統是收斂的 對於系統是否存在動力學混沌可以直觀的判斷最大李亞普諾夫指數是否

大於零一個正的李亞普諾夫指數代表著在系統相空間中無論初始兩

條軌跡的間距多小兩條軌跡的差別都會隨著時間的演化而成指數率的增

加而導致無法預測這就是混沌現象

312重建相空間

傳統的建模和預測方法己廣泛地應用社會科學中但大部分都是基於

線性系統混沌時間序列並不適用於非線性的混沌時間序列於是在判斷

時間序列性質後若判定序列以隨機性為主應採用從 AR 或 ARIMA 等隨

機模型來預測如果判定以混沌為主則應採用非線性確定性的方法進行

29

預測非線性時間序列的預報是經過相空間重構後對相空間中的動力軌

跡進行預報由於混沌系統具有被稱為「蝴蝶效應」的初始值敏感性所

以混沌時間序列是不能長期預測的但對於短時間內混沌系統的軌道在

相空間中具有一定的規律它們的預測性是可獲得的並比一般的基於統

計方法的預測能力要來得好

時間序列資料是時間離散後的樣本值用 表示將它「嵌入」到

一個 m維(mgt0)的空間中進行相空間重構後得到嵌入向量

(31)

由嵌入向量 可擴張成一嵌入空間 E由 Taken嵌入定理可知存

在映射面 滿足

(32)

上式表是出在拓樸的意義中可完全預測吸引子的特徵所以上式也可

表示為

(33)

其中函數 為 的一個估計值由式 (33)可得之我們可用

來預測

313相空間維度相關維度

在實作的研究上有許多方法可以用來估計混沌吸引子的維度本研

究選用較為常見的相關維度方法相關維度需先計算相關和將相空間中

所有樣本點皆計算其各別半徑收斂後之趨近值相關方程式（Correlation

Function）定義如下

(34)

其中

當 rrarr0時

兩邊同取對數可得

(35)

定義相關維度為 與 之曲線斜率為

(36)

在實際應用中經常給定一組維度 值選取適當的 r繪出

30

曲線求曲線當中直線段的斜率 如果系統存在這樣一個 值達到此

值後相應的關聯維數不再隨 的增長而變化也就是趨於飽和這表明

該序列為混沌系統其吸引子是存在的此時 值即為重構相空間的最佳

嵌入維數否則則表明該序列為隨機系統不具有混沌性

314 時間遞移數

利用 2123節中介紹的概念及 2124 中介紹的自相關函數求解出時

間遞移數的結果自相關函數公式如下

1

1

1( )( )

1( )

n k

t t k

tk n

t

t

x x x xn k

r

x xn

(37)

n為原資料樣本數k為時間遞移後的樣本點

將自相關係數計算的結果與每一筆遲延時間距離數值繪製成圖表可

由圖表中可分析辨別時間序列數據的初步基本特徵圖表繪製的結果顯示

自相關係數跟隨遲延時間距離數值的增加而顯示收歛且具有震盪循環之跡

象則表示數據具有一種規則屬於一混沌時間序列

32 複線性迴歸

確立資料為混沌後運用自我相關係數計算出時間遞移數及相空間維

度後將加入複線性迴歸運算複線性迴歸中常用的預測方法分為兩種

1 全域法

全域法就是利用相空間軌跡中的全部向量點做為擬合對象找出其

規律由此進行短期預測也就是說利用收集的大量的歷史資料利用

複線性迴歸訓練出迴歸參數再將未放進訓練迴歸參數的資料使用訓練

出的迴歸參數計算出預測值的資料型態本文還將原本的歷史資料分析

出資料的季節性後先去除季節性的影響最後再加回季節性討論預測結

果

2 局域法

局域法的基本原理是僅利用有限個鄰近點的資訊而不是利用全部的

樣本點來擬合 局域法預測是把相空間軌跡中的最後一點作為待測點對

離待測點鄰近的若干個相空間點的關係作出擬合再對預測相空間點的未

來演化規律進行預測本文使用零階局域法零階局域法是直接將鄰近樣

31

本點應用於預測根據鄰近樣本點預測 的最簡單的方法就是尋找相

空間中距離 最近的點假設距離最近的點是 那麼它的下一個樣本

點為 即可做為 的預測值

因數值資料在每日重複發生變動所以本研究又加入計算季節性指數

對趨勢線做季節性調整也就是對時間序列做季節性調整

33 模糊迴歸分析

運用模糊的概念帶進迴歸模式中處理具模糊性的資料問題此稱為模

糊迴歸分析本文利用的模糊迴歸模式主要有兩個方向一個是Tanaka et al

(1982)提出的模糊線性迴歸另一個是由Chang 與Lee (1994)所提出修正型

迴歸模式Tanaka 起初所提出的線性規劃模型

0 1

[ ( )]p n

j ij

j i

Min C X

st 0 0

(1 ) (1 )p p

j ij j ij ii

j j

X H c X y H e

(38)

0 0

(1 ) (1 )p p

j ij j ij ii

j j

X H c X y H e

0jc j R 0 1iX 0 1H 123i n 012j p

Tanaka 所提出的模糊模型未考慮到散度為負值的條件所以模糊上下

界會不斷的擴張而越來越寬大由 Chang 與 Lee (1994)所提出修正型迴歸

模式即將模糊的散度可為負值使上下界的模糊區間為遞減的情形遞

減的情形由圖 31表示

圖 31 模糊區間隨自變數越大而越窄

0

2

4

6

8

10

上界 中心線 下界

32

假設圖表中計算出的模糊迴歸函數為 0 0 1 1 Y c c X 模糊上界為

0 0 1 1UY c c X 模糊下界為 0 0 1 1LY c c X

33

第四章 數值分析

本章資料來源1台灣區車輛工業同業公會

2台北市交通局

本章所使用的數據資料為台北市交通局提供的公開的車流量資料數

值分析所使用的方法已在第三章論述利用第三章的方法分析數值預測的

準確性並結合模糊迴歸常見的兩種方法幫助決定預測的可接受範圍本

章介紹本文所利用的數學模型及方法在複線性迴歸的模型中分成混沌全

域法去季節性後的混沌全域法以及混沌局域法預測出的結果加以討論預

測的準確性再將預測值去季節性觀察準確程度最後再帶入模糊迴歸

利用 05H 加以討論如何將模糊迴歸中的散度用以選擇預測值的範圍第

一節針對傳統複線性迴歸方法並結合全域法觀念訓練資料迴歸係數討

論預測結果第二節針對傳統複線性迴歸方法並結合局域法觀念訓練資

料迴歸係數討論預測結果第三節針對預測資料去除季節性後再利用

傳統複線性迴歸方法討論預測結果第四節針對模糊迴歸的兩種方法選

擇出預測的範圍

利用第三章論述的時間遞移及相關維度的做法將本文利用具混沌性

的資料加以分析將資料先利用 212 節中介紹的李雅普諾夫指數 判定是

否具混沌性具有混沌性的資料才能利用混沌理論重構相空間若李雅

普諾夫指數 介在 0跟 1之間則表示資料具有混沌性質本文資料利用程

式計算出李雅普諾夫指數 運用自我相關係數判斷出時間遞移

數 相關維度計算出維度 我相關係數判斷時間遞移數與相關維

度的圖形以及原始資料時間遞移後的資料圖如圖 41圖 42圖 43

34

圖 41相空間維度及 lnC與 ln r斜率關係圖

圖 42相空間維度及 lnC與 ln r斜率關係圖

0

1

2

3

4

5

6

7

0 5 10 15 20

相空間維度

斜

率

d

-02

0

02

04

06

08

1

12

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33

時間遞移數

自我相關函數

35

圖 43 原始資料時間序列圖

41 複線性迴歸混沌全域法

本文所使用的資料為 10日的車流量資料利用前 9日的資料訓練出迴

歸參數將迴歸參數代入複線性數學模型中計算出的迴歸方程式為

1 2 3 4

5 6 7 8 9

10 11 12 13 14

435363 00819 00338 01777 00070

01116 01999 00299 02716 00349

01399 00056 01113 00738 02038

y x x x x

x x x x x

x x x x x

(41)

解出迴歸參數計算出複線性迴歸方程式後再將最後一日 144筆的車

流資料代入方程式中計算出預測值利用複線性迴歸混沌域法預測出的結

果如圖 44

圖 44 複線性迴歸分析預測與原始資料比較圖-全域法

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

1 53

10

5

157

209

26

1 31

3

365

41

7

469

52

1 57

3

625

67

7

729

78

1 83

3

885

93

7

989

10

41

1093

11

45

1197

12

49

1301

13

53

1405

原始資料點

原始資料點

-50

0

50

100

150

200

1

7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

103

109

115

121

127

133

139

實際值

預測值

36

由圖表的狀況可觀察出運用複線性迴歸模型預測的結果不盡理想本

研究認為運用複線性迴歸預測的結果不佳的原因有二

1 利用全域法預測是將較大量的歷史資料加入考慮訓練出迴歸參數這

樣的結果造成削弱了原本的奇異點(相較於同時段資料差異性較大的點)

的影響力

2 嵌入維度 太高對於混沌時間序列隨著嵌入維度增高歷史

對未來的影響是呈指數衰減的所以全域法所利用的資訊歷史就越長

預測的精準度就會迅速下降因此本研究將加入局域法討論預測的準

確性

42 複線性迴歸混沌局域法

局域法的做法為尋找相空間重構後的點對待測點尋找鄰近的 k個相

空間點對離待測點鄰近的若 k個相空間點的關係作出擬合並分析出複

迴歸方程式的迴歸參數本文嘗試選取 k=50~250的結果以下只列舉 k=200

的圖解釋預測結果

圖 45 複線性迴歸分析預測與原始資料比較圖-局域法(k=200)

圖 44與圖 45比較後可看出區域法預測的準確性比全域法更好某

些預測出來的結果的點與原始資料的點差異性大有明顯的偏移本研究

認為利用局域法預測的結果不佳的原因如下由圖 45可看出預測結果與

原始資料間差異性較大的點位為數列的右側 而數列尾端的資料為凌晨或

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

1

7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

103

109

115

121

127

133

139

實際值

估計值

37

是深夜的車流量因每日凌晨或是深夜的車流量變化量較少(例如某日的凌

晨十二點十分可能為 0台車或是小於 10台車經過)所以資料的差異性

較大造成頭尾的資料預測上較為不準確

因為同時段的資料可能會影響資料預測出的結果所以我們下節就以

加入季節性的考慮來加以討論預測結果

43 複線性迴歸去除季節性後混沌全域法

本文使用的車流量資料為每日 24時換算成 1440分鐘每 10分鐘記

錄一點於是本研究依資料的記錄時間點來劃分季節性將季節分成 144

個季分別求出季節性指數求取季節性指數後將每個資料點先去除季

節性利用全域法訓練出去季節性後的迴歸係數再利用複線性求出預測

值最後將去除的季節指數乘回預測點結果如下

圖 46考慮季節性複線性迴歸分析預測與原始資料比較圖-全域法

此考慮季節性因子的複線性迴歸分析預測與原始資料的比較是用全

域法去訓練迴歸參數的而由圖 44我們可以得知一開始未考慮季節因

子使用全域法的複線性迴歸預測是不準確的本研究認為原本的歷史資

料隨著季節性因子的變化該系統原本呈現複雜的動態特性實際上由於

車流量的變動有許多外在因素的影響例如氣候假期hellip等影響會使

資料的變化過程發生不同程度的偏離而對於季節性事件來說其事件發

生的過程主要受季節性參數週期性變化的影響 因此影響因素的具體形

式可以近似地表示為單一函數本文考慮季節因素對車流量的影響意即

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

1

7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

10

3

10

9

11

5

12

1

12

7

13

3

13

9 實際值

預測值

38

經過季節性分析後的得到的預測分析結果很準確如圖 46所示此結果

表示季節性影響樣本資料的情形大也代表著在季節因素影響下系統中

事件的動態變化情況是隨著季節影響參數的變化而造成系統呈現各種

各樣複雜的動態特性如週期解混沌情形hellip等

44 模糊迴歸

441Tanaka模糊迴歸

μ及 H 值之選定原則為當不確定性愈大時其 μ及 H 值愈接近 0

反之當資料不確定性愈小時μ及 H 值取愈接近 1 之值Bardossy 等人

建議其值在 05~07間為適宜根據 Tanaka在 1982年所提到的方法我們

可以求得一模糊迴歸函數並可得知其中心線與其上界及下界假定在 H =

05的情況下利用 Tanaka模糊迴歸模式算出迴歸函數為

(42)

中心線與上下界的簡單迴歸方程式為

中心線 (43)

上界 (44)

下界 (45)

繪製出的圖形如圖 47所示

圖 47 Tanaka 模糊迴歸

0

50

100

150

200

250

300

1

7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

103

109

115

121

127

133

139

下界

中心線

上界

39

圖 48 Tanaka 模糊迴歸中心線與預測值之結合

從圖 48可看出預測值與模糊迴歸的中心線 有明顯的時間差異但由

圖可以觀察出模糊迴歸的中心線 的預測趨勢與實際值是相近的雖然利

用模糊迴歸預測的時間點比實際時間快但是相對來說也是可以用來預

測之後將發生的趨勢本研究認為若模糊迴歸可用於預測中則可用模糊

的散度 c當做預測行為中選取的可接受的變動範圍如圖 49最後將 Tanaka

模糊迴歸中心線上下界與實際值之結合如圖 410所示

圖 49 Tanaka 模糊迴歸中心線上下界與實際值之結合

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

1

8

15

22

29

36

43

50

57

64

71

78

85

92

99

106

113

120

127

134

141

實際值

中心線

0

50

100

150

200

250

300

1

7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

103

109

115

121

127

133

139

實際值

下界

上界

預測

值

預測值

40

圖 410 Tanaka 模糊迴歸中心線上下界與實際值之結合

442修正型 Tanaka模糊迴歸

因為我們要將模糊迴歸應用於預測中所以本研究將複線性迴歸的趨

勢線視為模糊迴歸的中心線再利用修正型 Tanaka模糊迴歸模式算出迴歸

函數為

(46)

中心線與上下界的簡單迴歸方程式為

中心線

上界

下界

繪製出圖形如圖 411

0

50

100

150

200

250

300

1 7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

103

109

115

121

127

133

139

實際值

預測值

下界

上界

41

圖 411 修正型模糊迴歸中心線上下界與實際值之結合

本研究使用的修正型模糊迴歸中心線與傳統的迴歸方程式相同所以

可用來處理或分析模糊資料與明確資料同時修正型模糊迴歸的上下界

與 Tanaka 模糊迴歸相較也變窄了此兩種現象就是修正型迴歸的特色因

為中心線與傳統的迴歸方程式也相同這種修正型迴歸散度可選擇為負值

的特色本研究認為可以應用在預測上因為上下界與中心線間的散度變

窄使得前文所敘述到的利用散度來選取預測範圍便可更為嚴格也可

使預測的結果更為可靠如圖 412所示

圖 412 Tanaka 上下界與修正型模糊迴歸上下界的寬度差別

0

50

100

150

200

250

1 7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

103

109

115

121

127

133

139

下界

中心線

上界

0

50

100

150

200

250

300

1 8 15

22

29

36

43

50

57

64

71

78

85

92

99

106

113

120

127

134

141

Tanaka下界

Tanaka上界

Tanaka修正型下界

Tanaka修正型上界

42

第五章 結論及未來研究方向

51 結論

根據前文的討論傳統迴歸和模糊迴歸建立在不同的理論基礎上傳

統迴歸是以機率為基礎而模糊迴歸則是以可能性為基礎傳統迴歸因變

數的估計值與觀測值之間的差異為因變數的隨機性而模糊迴歸因變數的

估計值則產生於觀測值之模糊度惟兩者最大不同處在於模糊迴歸式的

迴歸係數與預測值皆為模糊數（區間值）不同於傳統迴歸係數與預測值

均為明確的數值此外傳統迴歸侷限於對明確資料的分析可能性模糊

迴歸僅適用於分析具模糊性的資料而複合的模糊迴歸則可同時適用於分

析模糊與明確的資料此為此模式最大的特點

模糊迴歸應用於預測中大多的結果是不佳的但是我們透過結合混

沌與模糊迴歸的概念將混沌的預測單點概念拓展成一個可接受的預測

範圍

PT Chang 與ES Lee 使用修正型模糊迴歸重新定義散度做出新的

模糊上下界均為改善模糊迴歸模式Tanaka之研究本研究將模糊迴歸與

混沌理論之建立時間序列的預測情形加以結合討論發現模糊迴歸在預測

的行為中是可行的但可惜的是即使預測的趨勢相近但預測值出時間

的點卻有差別這樣的結果我們可以看出若能找到解決加強模糊與複線性

迴歸關係之間時間的關聯性就能利用模糊的不確定性來討論預測問題

52 未來之研究方向

本研究將模糊迴歸與混沌理論之建立時間序列的預測情形加以結合討

論發現模糊迴歸在預測的行為中是可行的但可惜的是即使預測的趨

勢相近但預測值出時間的點卻有差別這樣的結果我們可以看出若能找

到解決加強模糊與附線性迴歸關係之間時間的關聯性就能利用模糊的不

確定性來討論預測問題

為了符合現今社會多元的狀況模糊迴歸與傳統迴歸之觀念勢必加以

混合應用也為了解決此等問題混合式迴歸（Hybrid Regression）在近年

來被提起也因此參數的估計模糊迴歸與傳統迴歸的混合應用將成

為往後繼續研究探討之目標

建議未來可用模糊加權修正模糊迴歸使模糊迴歸在預測上更能直接

43

將對事物多個構面評估的意見與其影響事物狀況的重要程度作加權的運

算

44

參考文獻

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[20] 謝逸婷(2005)模糊排序法於資料包絡分析模式之應用南台科技大學工業管理研

III

Combine Forecasting Model with Chaos Theory

and Fuzzy Regression

Student Wei-Jou Lin Advisor Prof Ping-Teng Chang

Department of Industrial Engineering and Enterprise Information

Tunghai University

ABSTRACT The traditional regression analysis has successfully expressed the phenomenon of

causality However because of complexity of phenomena and some of them has fuzziness it

may make the traditional analysis difficult to apply Tanaka et al had in 1982 proposed fuzzy

regression analysis and argued that between the observed value and the estimated value of the

residuals it is due to the uncertainty of parameters In subsequent developments there are also

many studies indicating that the fuzzy regression is helpful for dealing with the uncertainties

of correlated information Time series data has a high degree of autocorrelation and

uncertainty Hence fuzzy theory applied to the estimated of model parameters of the time

series seems to be a practicable approach

After Tanaka et al expanded the traditional regression to fuzzy environment there are

more and more investigators who have invested in the establishment and analysis of the

models But a common feature of the literatures is the regression coefficients that are solved

and are fuzzy numbers resulting in that when estimating the dependent variable the spread

value of the estimated will increase as dependent variable enlarges thereby reducing the

modelrsquos accuracy

This study proposes combining the general estimation method of chaotic time series

parameters and fuzzy regression estimation method to understand the feasibility of forecast

of the fuzzy model established Two fuzzy regression models are used in this study the first

is the method of Tanaka et al fuzzy regression model based on the concept of H cut directly

solving the upper and lower bounds from observations While the second model is the Chang

and Leersquos modified fuzzy regression model with the concept of a negative spread value

making fuzzy regression retain more the features of deterministic values

Keywords Chaos Time Series Multiple Linear Regression Fuzzy Set Theory Fuzzy

Regression Fuzzy Prediction

IV

致謝詞

在東海就讀了六年從成為大一新生開始懵懵懂懂到現在研究所畢

業有太多的回憶及感觸點點滴滴在心頭猶記第一眼看見東海地標路

思義教堂的心情尖聳的教堂頂端滿載著許多對未來的憧憬與期許也

還記得在東海上的第一堂課必須穿過路思義教堂的旁的大草皮走過長

長的文理大道充滿日式建築特色的工學院木製長廊最後坐進座椅被固

定的大教室如今東海的一草一木都將成為最美好最懷念的回憶

首先感謝張炳騰老師在研究的這條路上提攜指點不遺餘力的照顧

及關心研究生們使我在這兩年的研究所生涯裡獲得許多知識及理解做人

處事的道理謝謝博班的龍廷學長總是關心著我們碩二生在口試前一天

仍撥空陪我們預演練習給我們建議使我們大家能以較不緊張的態度面

對口試委員謝謝 IKS 研究室碩二的三位夥伴富源子琪宜璟在過去的

兩年裡一起努力做研究在最後關頭互相打氣成為精神支柱謝謝振鈺

宇凡士瑋士戎世念及意凡在就讀研究所的日子裡彼此扶持談論

未來一起度過許多難忘的時光謝謝碩一的學弟妹們秀儒凱雯逸琮

博仁負責處理研究室裡大小事務還有一同緊張準備 meeting一起出遊的

愉快我都深深烙印在腦中也謝謝佳陞在我熬夜時或是感到挫折時陪

伴我安慰我以及鼓勵我給我溫暖讓我依賴你的肩膀及胸膛是我的避

風港

最後謝謝我的爸媽跟姊姊總在我最難熬的時候為我加油打氣給予

我正面的力量讓我充滿能量繼續面對下一步的挑戰不論遇到多少瓶頸

家人的肯定是最大的動力來源擁有這麼完美且甜蜜的家庭真的是我的

福氣謝謝東海大學孕育我使我成長指引我前往光明的路上現已要

踏上未來的未知旅程我會繼續努力朝著目標前進

林葦柔謹誌於

東海大學工業工程與經營資訊學系

中華民國一百零二年六月

V

目錄

摘 要 II

ABSTRACT III

致謝詞 IV

目錄_ V

圖目錄 VI

第一章 緒論 1

11 研究背景與動機 1

12 研究目的與範圍 2

13 研究架構與流程 2

第二章 文獻探討 4

21 混沌理論 4

22 複線性迴歸分析 11

23 模糊理論 12

24 模糊迴歸 19

第三章 研究方法 28

31 混沌時間序列建立預測方法 28

32 複線性迴歸 30

33 模糊迴歸分析 31

第四章 數值分析 33

41 複線性迴歸混沌全域法 35

42 複線性迴歸混沌局域法 36

43 複線性迴歸去除季節性後混沌全域法 37

44 模糊迴歸 38

第五章 結論及未來研究方向 42

51 結論 42

52 未來之研究方向 42

參考文獻 44

VI

圖目錄

圖 11 本研究之架構與流程 3

圖 21 三角模糊數 17

圖 22 梯形模糊數 17

圖 23 模糊數的中心值與散佈值 20

圖 31 模糊區間隨自變數越大而越窄 31

圖 41 相空間維度及 LNC與 LN R斜率關係圖 34

圖 42 相空間維度及 LNC與 LN R斜率關係圖 34

圖 43 原始資料時間序列圖 35

圖 44 複線性迴歸分析預測與原始資料比較圖-全域法 35

圖 45 複線性迴歸分析預測與原始資料比較圖-局域法(K=200) 36

圖 46 考慮季節性複線性迴歸分析預測與原始資料比較圖-全域法 37

圖 47 TANAKA模糊迴歸 38

圖 48 TANAKA模糊迴歸中心線與預測值之結合 39

圖 49 TANAKA模糊迴歸中心線上下界與實際值之結合 39

圖 410 TANAKA模糊迴歸中心線上下界與實際值之結合 40

圖 411 修正型模糊迴歸中心線上下界與實際值之結合 41

圖 412 TANAKA上下界與修正型模糊迴歸上下界的寬度差別 41

1

第一章 緒論

本章節主要在說明本研究之整體結構透過研究背景與動機清楚導引

出本研究之目的並利用研究目的與範圍定義研究的範疇邊界將依下列

三小節逐項說明

11 研究背景與動機

在日常生活中很多的現象與問題往往充滿著不確定性面對不確定

性以往皆是用隨機的概念加以描述直到1960年代開始有人質疑隨機

的概念用在有不確定性之現象的適用性為了有效解決人文思維的不確定

性Zadeh在1965年首先提出了模糊集合的概念而後到了1970年Zadeh

與Bellman又區分出隨機(Randomness)與模糊(Fuzziness)之間的不同

在對某一對象進行研究時除了希望了解其目前的狀況之外更希望

能夠做到預測未來的現象生活中包含社會經濟教育體育等等的現

象與問題皆常常希望描述自變數與因變數之間的關係因此迴歸模型

便是一種最常用的統計方法

在傳統的迴歸分析當中所假設的估計值是由實際的因變數加上誤差

所產生的這也表式因變數是一種含有不確定性的隨機變數不過在現

實生活當中很多事情往往不符合這個假設因為許多的變數並不是一個

明確的數值而是含有多重隸屬的特性以問卷調查為例若一張為卷調

查的答案分為五個等級滿分五分意表「非常滿意」最低一分意表「非

常不滿意」若有兩人在填問卷時針對同一題問題一人回答「非常滿

意」而另一人回答「滿意」則我們不能太過明確的斷定得到5分的「非

常滿意」跟4分的「滿意」之間的優劣如果太過依賴實際數字去斷定這兩

位顧客的滿意程度也許會造成預測結果與實際狀況上的誤差

因此為了解決此種問題Tanaka等人(1982)提出了模糊線性迴歸模式來

處理模糊性資料的問題而Chang與Lee也提出了修正型的模糊迴歸此模

式是利用模糊的散度可為負值討論模糊迴歸來建立迴歸式由模式所估

計而得的迴歸係數與預測值均為一個模糊數或區間值此模式因散度挑

選為負值可修正掉Tanaka的模糊迴歸上下界不停擴散的缺點此點為其

最大的特色所以我們將利用模糊的不確定性特色來加入討論預測的結果

使預測視界更為開闊

2

12 研究目的與範圍

傳統的預測方法都是利用建立數據序列模型後再進行計算及與預測

然而隨著混沌科學發展發現混沌的現象存在於生活許多細節中於是學

者致力於發展混沌科學利用歷史資料的混沌規律性建立客觀的模型可

避免人為的主觀想法而影響預測的準確性

本論文的研究目的在於利用混沌理論建立時間序列與應用傳統複線性

迴歸計算進行預測已是一種在社會科學中被廣泛應用的預測方法但是

在預測的領域中加入模糊討論的情形卻很少在傳統的迴歸分析當中

所假設的估計值是由實際的因變數加上誤差所產生的也就是說因變數

是一種含有不確定性的隨機變數不過在現實生活當中很多事情往往不

符合這個假設因為許多的變數並不是一個明確的數值而是含有多重隸

屬的特性以學生的考試成績為例不能明確的斷定得到99分的學生和得

到97分的學生之間的優劣如果太過依賴實際數字去斷定這兩位學生的素

質高下也許會造成預測結果與實際狀況上的誤差

因此為了解決此種問題Tanaka等人(1982)提出了模糊線性迴歸模式來

處理模糊性資料的問題之後續有學者Chang與Lee也提出了修正型的模糊

迴歸選擇散度可為負值所以本文將依模糊理論中的模糊迴歸的特性來

加入預測值範圍討論處理不確定性問題

13 研究架構與流程

本論文的研究流程如圖 11 所示主要研究步驟從確立研究方向進

行相關文獻的探討然後建立本研究的預測方法流程並做混沌系統與模

糊系統的結合來做出預測最後給予本研究上的結論與建議研究架構圖

可參考圖 11

3

確認研究方向

相關文獻回顧

複線性迴歸預測模式

混沌理論 複線性迴歸 模糊理論

結論與建議

模糊迴歸上下界選取預測範圍

糢糊迴歸

建立預測模式

圖 11本研究之架構與流程

4

第二章 文獻探討

傳統的預測方法都是利用建立數據序列模型後再進行計算及與預測

然而隨著混沌科學發展發現混沌的現象存在於生活許多細節中於是學

者致力於發展混沌科學利用歷史資料的混沌規律性建立客觀的模型可

避免人為的主觀想法而影響預測的準確性

預測是一種資料探勘的相關技術通常都是利用各種統計或迴歸的方

法從過去的歷史資料中找出有用的趨勢或是模式然後利用這些趨勢或

模式來求得下一期間或週期的預測值要進行任何預測之前收集足夠的

有效觀察值是一種必要的程序在以往統計或迴歸的方法中均需要大量

的有效觀察值才能夠準確的判斷出預測結果

傳統的主觀意見預測法因為人為意見的影響較大無法利用電腦技術

來協助進行預測目前已經普遍不被企業所使用時間序列的數學方法是

以過去資料之時間序列為主而其基礎為假設未來之情形與過去情勢相雷

同因此若有某因素改變情形時必須參照判斷予以修正預測才能正確

而時間序列是指一個固定間隔為基礎經過了一段時間(如每小時每日

每月每週每月每季每年)之時間序列的觀察結果

本章節首先概述混沌理論的發展以及建立時間序列預測所運用的方法

再加以介紹模糊的幾何意義與模糊的演算法及結合傳統方法與模糊間的概

念

21 混沌理論

混沌理論是對一個不規則又看似無法預測的現象及過程加以分析在

現代科學史中真正數學和物理學意義下的混沌理論公認是由麻省理工

學院的氣象學家羅倫茲(Lorenz)提出的196年冬天某日當時還是副教授

的羅倫茲用一台 RoyalMcBee LPG-30 電腦對一個包含 12 個微分方程的

氣象動力學方程組進行數值模擬試驗在其中的一次驗算裡為貪圖方便

他把一個小數點後六位數的初始值做了四捨五入處理僅輸入了小數點後

前三位數但結果讓他大吃一驚這個與精確數值不到千分之一的誤差

讓最後計算結果大相逕庭這個偶然的取值失誤讓羅倫茲發現了一個簡

單具體並且有明確物理意義的可以用來表現和驗證彭加萊混沌理論的數

學模型於是 1963年洛倫茲在美國《氣象學報》上發表了題為「確定性

5

的非周期流」的論文這篇文章和他隨後發表的另一篇相關論文指出對

於模型中關鍵參數的微小改變會導致完全不一樣的結果使得有規律的周

期性行為能夠進入雜亂無章的狀態令精確的長期天氣預報變得不可能

Hayles(1990)於 Choas boundOrderly disorder in temporary literature and

science 一文中指出混沌的含義有兩個

1 系統失序的前兆與狀態

2 強調存在於雜亂現象內潛藏的規律與秩序結構

Curtis(1990)認為混沌理論或多或少隱含了隨機(randomness)的現象其

含義有兩個觀點

1 混沌是規律秩序的預兆當各種事件在一個系統中進行時混沌現象開

始出現就必須注意「驅散(disspative)結構」的雜亂現象同時也會產生

假使這個系統在「熱力函數」上有足夠熱度則它的結果將使「驅散結

構」的雜亂現象成為確切明白的秩序(Prigogine amp Stenger1984)這種

規律秩序的預兆Gleick (1987)稱之為介於熱力學和動力系統間以高

度個體化和關聯化的哲學觀點「規律秩序之外的秩序」稱之為「混沌」

2 強調經過混沌吸引子的吸收進而啟動「混沌系統」發展出「力的性

質」進而產生混沌系統的模式特徵姜濤(1993)認為從物理意義上來看

一個確定性系統(含有隨機或偶然因素)在沒有外界隨機干擾的情形下

所出現的無規則形態都可以稱為混沌現象Wheatly(1994)將混沌理

論定義為可能是一個事件行為或是過程它是多變的非線性的及

無法預測的所以模式和範圍是彈性的會隨時隨地改變

J Yorke(2002)將混沌賦予新義指出混沌是一種有結構有規則的系

統混沌的雜亂只是表象最終會回歸平衡且等待下一次的失序如此

一直循環著 混沌系統兩個十分重要的特性

1 系統的變化驟看似是毫無規則但實際上是由物理定律所決定的

2 系統的演化對初始條件的選取非常敏感初始條件極微小的分別 (就例

如 02 和 02001 只相差兩千分之一)在一段時間的演化後也可帶來

南轅北轍的結果

211碎形維度及混沌吸引子

碎形幾何理論(Fractals Geometry)是一門新興理論專門用來解釋以前

6

歐氏幾何學無法解釋的自然現象舉凡不規則形狀的自然物體都無法用歐

式幾何學解釋如雪花雲朵流水樹木hellip等所以碎形幾何理論是

用來解釋具有自我相似性及非整數維度的特徵

因此所謂碎形指的是一個幾何物件其外型不像直線弧線這些古

典歐幾里德幾何（Euclidian geometry）的表面那麼平滑而是相當破碎

不規則且無論巨觀或微觀都不是連續的這些不規則的碎形和我們習以

為常的觀念有所不同且基本上大多數的現象並不是如歐幾里德幾何所描

述的那樣

舉例來說一顆籃球對於向來熟悉阿基里德空間的我們來說直覺性

的會認為這是三度空間中的一個球體其維度為三但當把距離拉遠看

似一個圓形維度成為二若把距離縮近成為一公釐則可以發現籃球上

有凹下的線條有防滑的凸點顆粒這種情況下維度又該如何界定而曼

德布洛特在分析英國科學家李查(Lewis F Richardson)遺稿當中的一篇論文

時察覺任何國家的邊界在某種定義下都是無限長其重點在於測量時所

使用的基準長度一般要測量海岸線長度時測量員會架起兩腳器並預設

成一個長度沿著海岸線進行測量之後將兩腳器的尺度縮小重頭再量一

次海岸線長而所量到的這兩種尺寸後者一定較前者為長也較逼近真

實的邊界長度同理將兩腳器的兩腳距無限的縮小則所量到的邊界就

成為無限長

1967年代數學家 Benoit Mandelbrot發表了一篇名為「英國海岸線有

多長」的論文文中提到新的維度觀念也就是碎形維度碎形維度具

有四種特性(1)自相似性(2)自我模仿性(3)碎形維度為有限區域的無限

結構(4)碎形是非動力過程的結果混沌現象具有特殊的碎形維度(Fractals)

混沌狀態出現時運動軌跡不穩定它們隨機但緊密的逐漸收斂到一個整體

縮小但局部分離的區域此區域就稱為奇異吸引子（strange attractor）

Hayles(1990)指出混沌是強調存在於雜亂現象之內潛藏的規律秩序結構

因為雜亂現象之內隱含有「奇異吸子」(strangeattractors)進而啟動運作「混

沌系統」Griffths Hart amp Blair(1991)認為混沌理論應用在教育行政中

也具有奇異吸子的特徵奇異吸引子不同於的穩定的整數維吸引子（即不動

點極限環和環面）它具有的是奇特的非整數的空間維度這種空間被

稱作豪斯道夫（Hausdorff）空間因此混沌奇異吸子是一個整體穩定但是

7

局部不穩定的運動空間

212李亞普諾夫(Lyapunov)指數

混沌系統的初始值非常敏感使得初始時刻靠得很相近兩條相軌跡隨

著時間的增長而逐漸遠離如果能夠定量描繪出此種鄰近軌跡的發散性

便可建立出混沌變動情形的一種數值判斷方法李亞普諾夫指數就是用來

表示相空間內鄰近軌跡的平均指數發散率的數值特徵m 維相空間中的某

一時刻兩條鄰近軌跡之間的距離可以分解在 n 個不同的方向這 n 個不

同方向上的距離增長率是不相同的而每一個增長率就是一個李亞普諾夫

指數

最大李亞普諾夫指數是判斷和描述非線性時間序列是否為混沌系統的

重要參數因此是一個重要的混沌不變數對於混沌系統來說發散是一種

整體性的穩定因素動力系統一方面作為發散系統最終要收縮到相空間的

有限區域也就是吸引子上另一方面系統在相體積收縮的同時運動軌

跡是不穩定的要沿某些方向進行指數分離

對於 m 維的動力系統中 中初始兩點迭代後會互相分離

或是靠近取決於

的值若

則迭代使兩點分離若

則迭代使兩點靠近在不斷迭代過程中

也會隨之改變呈現出時而接

近時而分離的情形為了表示從整體上觀察得到的情況必須對時間(或反

覆運算次數)取平均設平均每次反覆運算所引起的指數分離指數為 於

是原來相距 的兩點經過 n次迭代後距離變為

(21)

若取極限 則式(21)變為

(22)

(22)式可簡化為

(23)

上式中的 與初始值的選取無關稱為原動力系統的李亞普諾夫指數

它表示系統在多次反覆運算中平均每次反覆運算所引起的指數分離中的

8

指數若 則表示相鄰點最終會靠近合併成一點若 則表示

相鄰點最終會發散而對應於軌道的局部不穩定若軌道還存有整體的穩

定因素(如整體有界發散存在捕捉區域等)系統則需在有限的幾何物件

上無窮次折疊以實現指數分離系統在此作用下反覆折疊並形成混沌吸

引子故 可做為判斷混沌情形的準則

混沌系統中的李雅普諾夫指數可用來判斷系統是收斂的還是混沌的

當系統的李雅普諾夫指數中至少有一個為正時 系統是混沌的 當系統的

李雅普諾夫指數均為負數時 系統是收斂的

對於一般 m維的動力系統定義李亞普諾夫指數如下設 F為

上的 m維映射假設一個 m維離散動力系統 將系統的初

始條件假設為一個無窮小的 m維小球由於演化過程中的自然變形圓球

將變成橢圓球將橢圓球上的所有主軸依其長度排列則第 i 個李亞普諾

夫指數根據第 i個主軸的長度 的增加速率定義為

(24)

李亞普諾夫指數與相空間的軌道收縮或擴張性質是有關連性的在李

亞普諾夫指數小於零的方向上軌道收縮運動穩定對於初始值不敏感

而在李亞普諾夫指數為正的方向上軌道迅速分離對初始值敏感李亞

普諾夫指數的前 j個指數的和是由前 j個主軸定義的 j維立體指數增加的長

期平均速率確定如橢球長度按 增加由前兩個主軸定義的區域面積依

增加由前三個主軸定義的區域面積依 增加以此類推在

李亞普諾夫指數譜中最小的李亞普諾夫指數決定軌道收縮的快慢最大

的李亞普諾夫指數則決定軌到發散也就是覆蓋整個混沌吸引子的快慢

而所有李亞普諾夫指數之和 可以大致表示為軌道的平均發散速度

李亞普諾夫指數是衡量系統動力學特性的一個重要定量指標它代表

了系統在相空間中相鄰軌道間收斂或發散的平均指數率對於系統是否存

在動力學混沌可以直觀的判斷最大李亞普諾夫指數是否大於零一個正

的李亞普諾夫指數代表著在系統相空間中無論初始兩條軌跡的間距多

小兩條軌跡的差別都會隨著時間的演化而成指數率的增加而導致無法

預測這就是混沌現象

213 混沌系統之時間序列

9

2131 相空間局部近似法

Farmer and Sidorowich(1987)在其混沌預測方法之研究提出所謂的相

空間局部近似法(phase space local approximation method)對系統之演變行為

進行預測這種奠基於時間延遲法(time delay method)所構成之重建相空間

(reconstructed phase space)的預測方式能夠適應吸引子(attractor)的局部行

為經後續進一步研究發現其具有相當良好之預測能力因此採 Farmer and

Sidorowich(1987)之相空間局部近似法構建交通量預測模式期能增加預測

準確度

2132 時間序列與相空間重構

相空間的概念就是把運行方程式所獲得的數字或數據轉換成為圖形

並將系統中隨時間改變的重要的資訊(無論是機械或是流體)抽取出來把各

式各樣可能的狀況註明在圖上利用延遲時間的概念模擬出類似原始系統

之相空間當重建一個空間使得此空間可以具體的包含吸引子特徵則此

空間之維度我們稱為嵌入維度Takens等人(1981)提出嵌入定理對於無

限長無雜訊的 d維混沌吸引子的標量時間序列x(n)可以在拓撲不變的

意義上找到一個 m維的嵌入相空間只有維數 m gt2d+ 1才可保有原始吸

引子的特徵Takens 定理保證了我們可以從一維混沌時間序列中重構一個

與原動力系統在拓撲意義下等價的相空間混沌時間序列的判定分析與

預測是在這個重構的相空間中進行的因此相空間的重構是混沌時間序列

研究的關鍵將收集的一維歷史資料例如現有歷史資料為 9筆13579

10131115間遞移的結果為1711391351015在此我們將利用此

時間遞移建立的時間序列觀念x(t) x(t minusτ ) x(t minus 2τ )hellip來重建相空間

2133 延遲時間 τ的決定

時間延遲如果 τ太小則相空間向量 x(i) = x(t) x(t minusτ ) x(t minus 2τ )hellip

中的任意兩個分量 x(t)和 x(t minusτ )在數值上非常接近以至於無法相互區分

從而無法提供兩個獨立的座標分量但如果時間延遲 τ 太大的話則兩座

標在統計意義上又是完全獨立的混沌吸引子的軌跡在兩個方向上的投影

毫無相關性可言因此需要用一定的方法來確定一個合適的 τ 值本文確

定 τ的主要方法為相關維度法

2134 自相關函數

自相關係數是利用時間序列裡每一筆數據與其前的數據根據不同遲延

10

時間距離的數值進行相關係數計算而成如遲延時間距離為 1表示將每

一筆數據與緊接其前的一筆數據進行相關係數計算如遲延時間距離為 2

表示將每一筆數據與其前第二筆數據進行相關係數計算如遲延時間距離

為 3表示將每一筆數據與其前第三筆數據列進行相關係數計算如此類

推自相關係數 之計算公式如下

1

1

1( )( )

1( )

n k

t t k

tk n

t

t

x x x xn k

r

x xn

(25)

式中 n為資料數k為時間遞移後的點t為時間點

將自相關係數計算的結果與每一筆遲延時間距離數值繪製成圖表可

由圖表中可分析辨別時間序列數據的初步基本特徵如圖表繪製的結果顯

示自相關係數沒有跟隨遲延時間距離數值的增加而顯示收歛之跡象也就

是說繪製線不斷於 X軸零座標線做不規律的上下擺動表示數據為隨機時

間序列即每一數據都視為個別獨立的事件且與過去某一筆遲延時間距離

數值的事件無關係反之若圖表繪製的結果顯示自相關係數跟隨遲延時

間距離數值的增加而顯示收歛且具有震盪循環之跡象則表示數據具有一

種規則屬於一混沌時間序列

2135 季節趨勢

季節趨勢預測法是根據事物每年重覆出現的週期性季節變動指數預

測其季節性變動趨勢

季節指數的概念即是利用簡單平均法計算週期內各時期模型季節性影響的

相對數季節指數反映了該季與總平均值間的穩定關係若季節指數大於

1則表示該季的值常會高於平均值若季節指數小於 1則表示該季的值

常會低於平均值若序列的季節指數都近似於 1則表示該序列沒有明顯

的季節效應季節指數的計算方式如下

計算週期內各期平均數

k=12hellipm (26)

計算總平均

(27)

計算季節指數

11

k=12hellipm (28)

其中 n為期數m為季節數

22 複線性迴歸分析

迴歸分析的目的主要是建立變數之間的關係進而應用於預測分析中

內政部營建署(1997)就曾利用迴歸分析來探討反彈數及現場鑽心試體之間

的抗壓強度關係進而建構出一迴歸方程式做為混凝土試體的抗壓強度

預測而在土木工程領域中也已有許多學者利用迴歸分析來進行研究

例如潘南飛與黃冠智(2005)利用迴歸分析來預測橋面版劣化狀況且考慮

以交通量及降雨量作為迴歸模式中的自變數最後得一配適佳的迴歸式

凌偉峻(2006)利用複線性迴歸分析建立模式及混沌系統的相空間鄰近點相

似特性來建立車流量預測模式Cheung et al (2008)使用氣候值持續值

颱風強度Julian Date記日本地時間七級風暴風半徑及颱風中心速度共

7個預報參數進行多變量的複線性迴歸(multiple linear regression)分析並以

20個傳統雨量站進行測試各新增變量中以颱風強度七級風暴風半徑及

中心速度對預報之改善較顯著其受改善之時數及相關係數之增加幅度皆

較其它變量為多顯示颱風結構參數在颱風降雨預報中比簡單的季節性因

素或日夜對流差異來得重要

敘述自變數( 1 kx x x x 2 3 )依變數 y 和誤差項 i 之間關係的方程式

稱為複線性迴歸模式複迴歸其主要目的有二

1 可以降低隨機誤差此與迴歸之變異數分析有關增加解釋變數之個數

可以使迴歸分析可解釋變動的部分增加相對的誤差就會減少

2 可以避免反應變數中影響重大的解釋變數有所遺漏而無法具體描述實

際資料的狀況估計複迴歸方程式或估計多元迴歸方程式(Estimated

multiple regression equation)大部分情況下複迴歸模式中的迴歸參數

皆不知其實際數值僅可以利用樣本數值估算分別以樣

本統計值 作為迴歸參數 的點估計值本研究

利用全域法訓練迴歸參數 即是利用前九日的歷史資料

複線性迴訓練出迴歸係數預測出第十日的資料型態複迴歸分析是將

簡單迴歸分析其自變數由一個增加至數個研究一群自變數和一個反應

變數之間的關係複線性迴歸模式定義如下

12

(29)

其中 為常態 n 隨機變數期望值 E(ε)=0且彼此互相獨立若有 n

組樣本觀測值(ngtp)組我們就可將方程式寫成

(210)

其中 i=123hellipn

若將複線性迴歸寫成矩陣可得下式

(211)

也可將式(211)寫成矩陣形式

(212)

其中 為觀察值向量 為參數向量 為自變數矩陣 為獨立之常態

隨機變數向量且滿足 向量 Y的期望值表示如下

(213)

複線性迴歸之最小平方標準方程式矩陣表示為

(214)

其中

為最佳模式之參數矩陣因此可求得最小平方估計式矩陣

表示為

(215)

其中 為 之轉置矩陣 為 之反矩陣只要利用式(215)

即可獲得複線性迴歸方程式

23 模糊理論

模糊理論是由美國加州大學伯克利分校電氣工程系的L A Zadeh在

1965年首次提出Zadeh在1965年發表了一篇傳統科學皆以排除具模糊性的

研究為主而模糊理論則以包含模糊性的研究為主現今科學發達所要

探討的議題越來越多由於人類的知識與研究會因本身主觀的意識因應

不同的人事時地物而具模糊性使得無法清楚呈現研究的本質為何要

13

在日常生活中精確地描述一個現象必定忽略其中的些微變化然而此描

述又無法真實描述現實因此模糊理論(Fuzzy Theory)正好能被廣泛應用在

研究上

模糊概念是指這個概念的外延具有不確定性或者說它的外延是不清

清楚的是模糊的例如好的壞的好壞的概念我們非常清楚但是

它的外延也就是究竟事件發生的條件到底是要如何才會是好的跟壞的

每個人的回答都會是不同的這就是一個模糊的概念所以當我們在接

觸模糊時是允許主觀意識的因為每個人對模糊的概念不盡相同儘管

如此當我們利用模糊統計方法進行分析時對於好與壞之間的界限又有

一定的概念

其次模糊性與精確性是相對立的但卻不能將模糊性理解成較差的

結果因為實際上我們在處理客觀事物時經常藉助於模糊性例如

若我們要在路上找一位「年輕的漂亮女孩」「年輕」及「漂亮」都是模

糊的概念但對我們而言這在路上不難找到因為我們的大腦會分析什麼

是「年輕」及「漂亮」於是我們就可以判斷出我們要找的人然而若我

們要求必須用電腦查詢「年輕的漂亮女孩」我們就必須將「年輕」及「漂

亮」這兩個模糊的條件利用具體的數據輸入電腦分析才能找到符合我們

要求的人

最後人們對模糊性的認知常與隨機性混淆其實它們之間有著很大

的不同隨機性是本身具有明確意義只是因為發生的條件不充分使得

在條件與事件之間不能產生確定的因果關係所以事件的出現與否表現出

一種不確定性而事物的模糊性是指我們要處理的事物的概念本身就是模

糊的即一個對象難以確定是否符合這個概念也就是由於概念外延模糊

而帶來的不確定性

231模糊的發展

模糊理論是在美國加州大學伯克利分校電氣工程系的 LAzadeh 教授

於 1965年創立的模糊集合理論的數學基礎上發展起來的主要包括模糊集

合理論模糊邏輯模糊推理和模糊控制等方面的內容

早在 20世紀 20年代著名的哲學家和數學家 B Russell就寫出了有關

「模糊性」的論文他認為所有的自然語言均是模糊的比如「紅的」和

「老的」等概念沒有明確的內涵和外延因而是不明確的和模糊的可是

14

在特定的環境中人們用這些概念來描述某個具體對象時卻又能心領神會

很少引起誤解和歧義

美國加州大學的 L A Zadeh 教授在 1965 年發表了著名的論文文中

首次提出表達事物模糊性的重要概念隸屬函數從而突破了 19世紀末勒

內middot笛卡爾（Rene Descartes）的經典集合理論奠定模糊理論的基礎1966

年P N Marinos發表模糊邏輯的研究報告1974年L A Zadeh 發表模

糊推理的研究報告從此模糊理論成了一個熱門的課題1974 年英國

的 E H Mamdani 首次用模糊邏輯和模糊推理實現了世界上第一個實驗性

的蒸汽機控制並取得了比傳統的直接數字控制演算法更好的效果從而

宣告模糊控制的誕生1980年丹麥的 LPHolmblad 和 Ostergard 在水泥窯

爐採用模糊控制並取得了成功這是第一個商業化的有實際意義的模糊控

制器

事實上模糊理論應用最有效最廣泛的領域就是模糊控制模糊控

制在各種領域出人意料的解決了傳統控制理論無法解決的或難以解決的問

題並取得了一些令人信服的成效

模糊控制的基本思想把人類專家對特定的被控對象或過程的控制策略總

結成一系列以ldquoIF THENrdquo形式表示的控制規則通過模糊推理得到控製作用

集作用於被控對象或過程控製作用集為一組條件語句狀態語句和控

製作用均為一組被量化了的模糊語言集如「正大」「負大」「正小」

「負小」零等

模糊控制的幾個研究方向

1 模糊控制的穩定性研究

2 模糊模型及辯識

3 模糊最優控制

4 模糊自組織控制

5 模糊自適應控制

6 多模態模糊控制

模糊控制的主要缺陷

信息簡單的模糊處理將導致系統的控制精度降低和動態品質變差若

要提高精度則必然增加量化級數從而導致規則搜索範圍擴大降低決策

15

速度甚至不能實時控制模糊控制的設計尚缺乏系統性無法定義控制

目標控制規則的選擇論域的選擇模糊集的定義量化因數的選取多

採用試湊發這對複雜系統的控制是難以奏效的

232模糊至今應用的範圍

模糊理論發展至今已接近三十餘年應用的範圍非常廣泛從工程科

技到社會人文科學都可以發現模糊理論研究的蹤跡與成果我們分別由工

程科技與社會人文科學的角度瞭解模糊理論應用的範疇

1 工程科技方面

(1) 型樣識別文字識別指紋識別手寫字體辨識影像辨識語音

辨識

(2) 控制工程機器人控制汽車控制家電控制工業儀錶控制電

力控制

(3) 信號及資訊處理影像處理語音處理資料整理資料庫管理

(4) 人工智慧及專家系統故障診斷自然語言處理自動翻譯地震

預測工業設計

(5) 環保廢水處理凈水處理廠工程空氣污染檢驗空氣品質監控

(6) 其他建築結構分析化工製程控制

2 教育社會及人文科學方面

(1) 教育教學成果評量心理測驗性向測驗電腦輔助教學

(2) 心理學心理分析性向測驗

(3) 決策決定決策支援決策分析多目標評價綜合評價風險分

析

233模糊集合

過去傳統數學上集合的基本定義是以二值邏輯(Binary Logic)為基礎的

方式來描述事物為屬於或不屬於此集合也就是元素 x和集合 A的關係

只能是isinA或notinA明確的判斷對象為所屬集合也就是明確集合(Crisp Set)

如果要描述適當的模糊事物時須將所屬集合的概念模糊化使之無明確

判對象所屬的集合模糊集合是指在界限或邊界不分明且具有特定事物的

集合以建立隸屬函數(Membership Function)來表示模糊集合承認論域

(Universe of Discourse)上存在既非完全屬於集合A又非完全不屬於集合A

16

使傳統集合的絕對屬於的概念改變為相對屬於的概念以數學式表示論域

U 上的模糊集合 A可表示為元素 x與它的歸屬函數集合

(216)

其中 A為一模糊集合 為歸屬函數x稱作元素U為論域一

般情況下歸屬度會界定在 0跟 1之間

(1) =0表示元素 x不屬於

(2) =1表示元素 x完全屬於

(3) 趨近 0表示元素 x極不可能屬於

(4) 趨近 1表示元素 x極有可能屬於

這個表示式的完整解釋為當 x 在 U 的範圍內會對應到一個介於 0

到 1之間的數值 所有這種 x所成的集合就是一個模糊集合模糊集

合可表示為

1 當論域Ｕ為有限離散(discrete)集合的情形下模糊集合 可表示成

(217)

2 當論域Ｕ為實數論域所組成之在連續(continuous)集合的情形下模糊

集合 可表示成

isin (218)

其中 並非積分符號而是單純的連結符號

234 模糊數(Fuzzy Number)

1 模糊數(triangular fuzzy number)

假設 是模糊集合或模糊數(FN)在實線 2R 上則以三角形隸屬函數

(triangular membership function）表示為 1 2 3( )a a a 2 x R to A 則

1

1 2 1 1 2

3 3 2 2 3

3

0

( ) ( ) ( )

( ) ( )

0

x a

x a a a a x aA x

a x a a a x a

x a

(217)

17

1

其隸屬函數圖形如圖 21

圖 21 三角模糊數

2 梯形模糊數(trapezoidal fuzzy number)

梯形模糊數可表示為 如圖 22其隸屬度函數定義為

(218)

其隸屬度函數如圖 22

圖 22梯形模糊數

a b c d

1

18

在一信賴區間 α水準α 01 我們定義 A

( )A x A x (218)

三角形隸屬度函數以 α-cut表示為

( ) ( )

1 3 1 1 2 3 2 3[ ] [ ( ) ( )]A a a a a a a a a

(219)

( )

1a 與 ( )

3a 個別代表 A的下界及上界

根據模糊算術方法Zadehrsquos sup-min 方法表示如下

( )( ) sup min( ( ) ( ))x y z

A B z A x B y

(220)

其中 sup表任何模糊算式Mizumoto and Tanaka（1976）使用相同方

法在 α 截集模糊數和區間算術Chang（2003）和 Chang et al （2006）和

Chang and Hung（2006）整理使用 α 截集模糊算術方法的文獻α截集模

糊算術中模糊數基本運算公式（加法減法乘法除法）可以計算的

更快在每一個 α-level 區間中使用區間算術（Kaufmann and Gupta

1988）

1 模糊數加法

令A和 B分別為兩模糊數 A和 B在一信賴區間 α水準 ( ) ( )

1 2[ ]A a a

( ) ( )

1 2[ ]B b b αisin 01 forall A B sub 2R 表示如下

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 2 1 2 1 1 2 2[ ] [ ] [ ]A B a a b b a b a b

forallαisin 01 (221)

2 模糊數減法

在一信賴區間 α水準forall A B sub 2R αisin 01

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 2 1 2 1 2 2 1[ ] [ ] [ ]A B a a b b a b a b

(222)

3 模糊數乘法

在一信賴區間 α水準forall A B sub 2R αisin 01

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 2 1 2 1 1 1 2 2 1 2 2

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 1 1 2 2 1 2 2

[ ] [ ] [min(

max( )]

A B a a b b a b a b a b a b

a b a b a b a b

(223)

4 模糊數除法

在一信賴區間 α水準forall A B sub 2R αisin 01

19

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 1 1 2 2

1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 2 1 2 1 2 1 2

[ ] [ ] [min( )max( )]a a a a a a a a

A B a a b bb b b b b b b b

式中 ( )

1b ( )

2b gt0forallαisin[01] (224)

235模糊運算

根據 Zadeh（1965）的擴展原理（Extension Principle）可以廣義的使

用一般基準 T取代原來的最小值模糊數的數學運算表示如下

1 加法

( )( ) sup ( ( ) ( ))x y z

A B z T A x B y

(225)

2 減法

( )( ) sup ( ( ) ( ))x y z

A B z T A x B y

(226)

3 乘法

( )( ) sup ( ( ) ( ))x y z

A B z T A x B y

(227)

4 除法

( )( ) sup ( ( ) ( ))x y z

A B z T A x B y

(228)

24 模糊迴歸

在科學研究過程中許多研究者常使用迴歸來描述自變數 x和應變數 Y

之間的關係傳統的迴歸分析均假設觀察值由實際應變數影響加上隨機誤

差而產生也就是說應變數是一種帶有不確定性的隨機變數不過在很

多的實務應用上往往無法滿足這樣的假設例如有些應變數 Y 的觀察值

並不是以單一數值的型式存在而是帶有多重隸屬的特性這些觀察值雖

然帶有不確定性但這種不確定的特性是來自於模糊現象而非隨機現象

若由模糊觀點套用迴歸分析來處理模糊資料問題就稱為模糊迴歸分析

模糊迴歸分析最早是由 Tanaka et al (1980) 提出一般模糊迴歸能夠處理的

樣本型式有兩種一種是實數值樣本 其中 為實數向量 為觀測

到的實數值另一種是模糊數樣本( 其中 為觀測到的模糊數不論

是實數值樣本或是模糊數樣本想要估計模糊迴歸參數估計方法大都是

20

利用線性規劃的技巧來尋求一組能將實數值樣本 或模糊數樣本(

包含在內的區間再將三角形隸屬函數（triangular membership function）套

用

在此區間上如此便求得一組模糊迴歸估計式要得到正確的估計結

果最好是收集具有代表性的隸屬函數樣本所謂具有代表性的隸屬函數

樣本應該是以模糊數的形式存在所以本文就樣本模糊數 進行討論

線性模糊迴歸模式常表示成

0 1 1 2 2( ) i i i p piY x A A x A x A x (229)

其中 1 2 3(1 ) i i i i p ix x x x x 為自變數向量 ( )iY x 為模糊應變數

為模糊參數利用樣本模糊數 估計參數 時通

常假設 與 的隸屬函數為對稱三角型式 與 的隸屬函數表達如下

( ) max 1 0 i

i

Y

i

t yt t

r

(230)

其中 為三角隸屬函數的中點 為三角隸屬函數的分布半徑可令

( ) max 1 0 m

m

A

m

t ct t

s

(231)

其中 為三角形的中點 是三角形的分布半徑 與 間的關係

如圖 23所示

圖 23模糊數的中心值與散佈值

1

0

21

再令 則前述的模糊迴歸方程式可改寫成

0 1 1 2 20 1 2( ) i i ipi p pY x x xC S xC S C S C S (232)

因此模糊應變數 ( )iY x 的隸屬函數也屬於三角型式可表示成

( )

0

0

( ) max 1 0 Y xi

p

m m

m

p

m mi

m

t c x

t t

S x

(233)

其中 因此只要估計出三角形的中點 及半徑 便可得到

隸屬函數的估計值模糊迴歸分析是在要求每一個觀測值 隸屬於模糊

迴歸區間的隸屬程度至少 的情況之下尋求最小的模糊迴歸預測區間如

(234)式表示

forall ( 234)

在利用 對未知的模糊參數 進行估計前一般先定

義模糊樣本 和模糊應變數 的 h截集其定義如下

令 為一組模糊樣本 ( )iY x 為模糊應變數若 與

分

別為 及 的 h截集(h-cut)則

(235)

(236)

因具代表性的樣本 其 h 截集 應要盡量接近模糊應變數 的 h

截集 意即

其中容許

不完全落在 之

內的情形發生根據以上觀點王景南(2002)認為樣本的左端點

和右端點 隸屬於 的程度會有一定的水準於是設立此水準

為 H因此假設 隸屬於 的隸屬度會盡量的接近 H其間的關係

為

( 與

( (237)

所謂的盡量接近 H是可允許隸屬度大於 H或小於 H而不是均大於

22

H

根據以上的對樣本的解釋運用最小平方法以所有樣本的左端點

配置一迴歸直線稱之為左端直線估計式

(238)

其中 為迴歸係數再以所有右端點 配置右端

直線估計式

(239)

其中 為迴歸係數

前文已假設樣本的左右端點隸屬於 的隸屬度會盡量的接近 H所

以將這兩條直線函式來估計 之 H截集的左右邊界即

(240)

如此可推導出 的隸屬函數為

(241)

其中 且

(242)

意即

(243)

其中

為三角形底邊中點是

分布半徑如此便可得一組估

計的模糊迴歸模式

(244)

仍需注意的是當樣本為對稱型態時左右迴歸函數式其配適的結果式

相同的只有常數項不同當對稱情形發生時可以考慮利用各別對應相

之權重除以常數項的分布半徑做為個別對應項之分布半徑意即

分布半徑

除此之外Celmins及Diamond Celmins也分別提出最小平方法之模糊迴

23

歸模式以便求解資料間距離最小的模糊迴歸方程

模糊迴歸應用上比統計迴歸更具彈性統計迴歸通常需要大量資料以

支持其假設而模糊迴歸卻無此需求因此當資料量不足或隨機性難以驗

證時模糊迴歸是較強健的(Robust)同時當所蒐集之資料的不確定性乃

來自於人類之主觀判斷時模糊迴歸較具適用性

因此模糊迴歸模式逐漸受到重視在1990年代的研究包括Sakawa及

Yano針對投入變數與輸出變數皆為模糊資料的問題建構出一個多目標的模

糊迴歸模式此外Chang和Lee則認為模糊迴歸中心線的趨勢與模糊迴歸散

佈值的趨勢可以存在不一致性為了分析統計迴歸與模糊迴歸的差異Kim

Moskowitz 及Koksalan 利用模擬分析比較統計迴歸與模糊迴歸的結果認

為由機率論所得的統計迴歸模式在大樣本時其預測績效遠比可能性理論

(Possibility theory)推演而得的模糊迴歸模式為佳然而當資料量遞減或所構

建的模式適合性變差時(即變數間存在模糊關係)則模糊迴歸模式的預測績

效將優於統計迴歸模式由於模糊迴歸模式在解決資料量少及系統關係模

糊不清的問題上具有較佳之績效而存在其正面之價值當變數間存在模

糊關係時

從早期到目前已發展出多種模糊迴歸模式求解方式以下根據薛展青

(2004)所整理的模糊迴歸分析整裡敘述如下

1 區間迴歸法

區間迴歸法(interval regression)其模型架構主要是由Tanaka et al(1982)

所提出的模糊線性迴歸(fuzzy linear regression)模型Tanaka et al(1982)所發

表的論文中表示傳統的迴歸模型中造成實際值與估計值的誤差來源被

認為是由測量或觀察所造成的而此誤差項在模糊線性迴歸模型中是因

模糊系統中參數的模糊性所產生的即誤差是反應模糊線性函數的模糊現

象因此以模糊線性函數來表示迴歸方程式而迴歸參數則是以模糊集合

來表示

Tanaka et al(1982)在估計模糊迴歸參數時是利用線性規劃技巧

(linearprogramming method)來尋求一組能將實數值樣本或模糊數樣本全部

包含的區間最後求得一組對稱三角形模糊數之迴歸參數

自Tanaka等人(1982)的文章發表之後後續的學者大多以此為基礎陸

續題出各種相關的模式與求解方法如Peters (1994)將Tanaka的線性規劃法

24

求解推廣為模糊線性規劃法求解讓資料對模糊迴歸模式的適應性更加提

升YenGhoshray 與Roig (1999)提出由於非對稱迴歸係數導因於大多數的

資料為離群值使得對稱三角迴歸係數不再適用因此將Tanaka et al的模

式推廣為非對稱三角迴歸係數Moskowitz 與Kim (1993)探討不同水準值下

模糊迴歸模式的求解與模式配適程度Redden 與Woodall (1996)探討模糊

迴歸分析預測未來值的結果Sakawa 與Yano (1992)將Tanaka的方法擴展到

依變數及自變數皆是模糊集合的情況並將之稱為多目標線性迴歸法

(multiobjective linear regression model)Koumlrner 與Naumlther (1998)討論解釋變

數與反應變數兩者皆為模糊數值的情況Kacprzyk 與Fedrizzi (1992)則蒐集

了各種不同迴歸模式的求解方法Redden 與Woodall (1994)說明Tanaka後

續提出的求解模式當中所具備的性質以及與傳統迴歸方法的差異比較

但是在此模式下求解之迴歸係數本身亦為一對稱的三角模糊數值

而且求解結果很容易受到資料尺度(scale)的影響使得反應變數估計值之展

度會變得更為寬廣後來Tanaka (1987)根據1982年的文獻發展為更完整的

可能性線性系統使模糊迴歸的結構更趨適應性Tanaka 與Watada (1988)

闡明可能性線性模式的概念推演建構成可能性線性迴歸模式Tanaka et

al(1989)應用模糊資料於可能性迴歸系統中並建構最小化最大化及混合

式三種線性規劃模式又對先前所提出的模式加以修正但就如Redden 與

Woodall (1994)所指出Tanaka 類型的模式對於離群值(outlier)的反應非常

敏感甚至在觀察值的個數增加時求解結果可能會產生無限多解因

此在Tsaur 與Wang (1999)提出的文獻對於在模糊迴歸分析中的離群值進行

一系列探討

2 模糊最小平方法

模糊最小平方法(fuzzy least squares)乃擴展傳統之最小平方法的觀念

最早由Diamond (1988)所提出利用傳統最小平方法的觀念求出一個模糊

迴歸模式以估算(approximate)反應變數的觀察值並非如區間迴歸中的包含

觀察值在其模式中利用反應變數的觀察值與估計值的模糊數值之最小

值最可能值與最大值定義兩者之間的距離以衡量迴歸模式與模糊資

料之間的最佳配適度的情形在使得所有觀察值與估計值的模糊數值之間

的距離平方總和為最小時可以導出類似傳統迴歸分析中的正規方程式

(normal equation)以求解迴歸係數

25

其後Chang 與Lee (1996)則將Diamond (1988)的方法加以擴充將迴

歸係數的最可能值與展度分別估計該方法的特點在於可將極端值(outlier)

加以處理並降低其影響程度Ma等人(1997)則將此類方法發展於適合非

三角模糊數值的場合Diamond 與Koumlrner (1997)則在此類方法中定義一

個判定係數的計算方法以比較不同模式的適合性Wu與Tseng (2002)提出

改善模糊迴歸模式之最小平方法其模式主要觀念是利用最小平方法將所

有樣本的左端點及右端點各配置一條迴歸線然後在將其左右迴歸線統合

成一條迴歸線

而在Kim 與Bishu (1998)的研究中是利用各個具有三角模糊數值的反

應變數之最小值最可能值與最大值以最小平方法分別計算出模糊迴歸

係數所得到的係數不一定為對稱的三角模糊數在此種求解方式下雖

然可以得到比較小的估計誤差但其缺點是無法處理解釋變數為模糊數的

情形另外Kim 與Bishu(1998)還提出了評估模糊迴歸模式的準則利用觀

察值與估計值歸屬函數之間面積的差異做為迴歸模式的估計誤差但其評

估準則的問題是無法比較不同模式在觀察值與估計值歸屬函數之間不具有

交集時的誤差情況在此情況下求算估計誤差時無法準確評估其總誤差而

導致評估失真而其他學者如Yang與Ko (1997)Yang 與Lin (2002)等則

是提出以最小平方法為基礎的模糊聚類分析求解方式

3 模糊隨機變數估計法

為了建構一個同時具有隨機和模糊特性的系統Kwakernaak (1978)首

先提出模糊隨機變數(fuzzy random variables)的概念認為傳統的隨機變數

U Ωrarr R為實數可測函數而模糊隨機變數則將一般隨機變數的概念廣義

化模糊隨機變數可表示為X ΩrarrS設ω isinΩ而ω 所對應到的不再是實

數值U(ω)而是模糊集合X (ω)S 代表模糊集合且Kwakernaak (1978)擴

充原來Zadeh 提出模糊集合之架構認為有時供作參考的資訊不齊全在

對某些述句進行評斷時我們無法判斷其絕對為真或絕對為假此時我

們考慮將原有的二元邏輯思維方式推廣暫且不作肯定的判決而僅是表

達出對錯的程度換句話說真值可以是介於單位區間[01] 內的任何值

如此思維方式稱之為多值邏輯(multivalued value)並將模糊集合視為一組

述句(statement)的集合且每個述句均對應一真值程度以符合人類的思維與

想法Stein 與Talati (1981)利用模糊數值的隸屬函數提出模糊隨機變數

26

的期望值之計算方式Kruse 與Meyer (1987)藉助集合表徵的概念建立了

一套模糊隨機變數的定義而為了讓模糊隨機變數能實際應用並將討論

的範圍界定在一模糊集合族上Koumlrner (1997)及Naumlther (1997)利用該方法以

求算模糊隨機變數的期望值與變異數並應用於線性模糊迴歸模式的求解

等另外在曾能芳(民 91)的博士論文研究中指出在Tanaka et al (1982)

的模糊迴歸模式中並不具備誤差項因此模式無法呈現樣本與期望值之間

的關係而無法討論線性規劃估計程序所具備的統計性質所以在曾能芳

(民 91)提出的迴歸模式中採用模糊樣本是由依變數之模糊期望值加上測量

誤差所組成並提出測量誤差存在於中點的模糊迴歸模式以及測量誤差

同時存在於中點和半徑的模糊迴歸模式

4 兩階段求解方法

以兩階段方法(two stage method)求解模糊迴歸模式的想法是在於結合

最小平方法與區間迴歸的觀念試圖降低反應變數估計值的模糊度如Savic

與Pedrycz (1991)對模糊迴歸模式的求解分為兩個步驟進行第一步以

反應變數的模糊數值之最可能數值為基礎將模糊數值視為簡化的明確數

值以傳統最小平方法求解迴歸係數的中心值第二步利用區間迴歸的

方式在使得迴歸係數的模糊度為最小的情形下以決定迴歸係數的三角

模糊數值Kao 與Chyu (2002)提出另一種模糊迴歸模式的兩階段求解方

法在第一階段先利用解模糊(defuzzification)方法將模糊觀察值轉換成為一

組明確數值之後利用該組明確數值以傳統的最小平方法求解迴歸係

數第二階段則是以Kim 與Bishu 所提之評估準則為目標式決定一個誤

差項估計值的模糊數以使得在Kim 與Bishu (1998)評估準則下的總誤差量

為最小該方法的特別之處在於求解的迴歸係數為明確數值而誤差項估計

值為模糊數值雖然此種求解方式可以得到很小的估計誤差但因其所著

眼的仍是Kim 與Bishu 評估準則下的面積估計誤差使得當觀察值與估計

值歸屬函數之間不具有交集時所衡量出的估計誤差較真實誤差為小且其

求解方法比較適合於觀察值為三角或梯形的模糊數值欲應用於其他型式

的模糊數值求解上則較為困難而在邱清爐(民 91)的博士論文中則是將

其兩階段求解方法對各種不同的模糊迴歸模式進行建構與評估並將其求

解方法應用於工作滿意度實例

5 其他求解方法與相關研究

27

Tanaka 等人(1995)後來提出另外一種模糊迴歸模式的求解方法將傳

統的估計誤差當作是存在解釋變數與反應變數之間的關係之可能性

(possibility)故模糊觀察值的展度可以直接轉換成迴歸係數的指數可能性

分配(exponentialpossibility distribution)而可以使用與傳統迴歸非常類似的

方式加以求解Tanaka與 Lee (1999)再利用辨識方法(identification method)

求解迴歸模式在其研究中利用辨識方法以決定模糊線性系統(fuzzy linear

system)中迴歸係數的可能性分配並認為由此方法所求解的迴歸係數會

有比較小範圍的可能性分配近年來有愈來愈多的學者將模糊迴歸分析

應用於其他傳統的決策方法及不同領域上如 Dunyak 與 Wunsch(2000)使

用 α 截集的端點以類神經網路(neuralnetworks)進行模糊迴歸分析Lee

與 Chen(2001)則將模糊迴歸模式使用於人力預測的問題上Tseng 等人

(2001)將由模糊迴歸模式建立之 ARIMA 模式用以預測匯率Tseng 與

Tzeng(2002)則利用模糊迴歸模式的求解方法以建構具有季節變動的

ARIMA 模式Kim 與 Bishu(1996)應用於人力可靠度分析的操作反應時間

上Wu 與 Tseng(2002)將其模糊迴歸模式應用在景氣對策信號上的分析

王景男(民 89)將模糊迴歸分析應用於籃球比賽攻防技術策略上曹勝雄

曾國雄江勁毅(民 85)以國人赴港旅客需求之預測為例說明傳統迴歸

模糊迴歸類神經網路之差別張良斌陳育民(民 86)將模糊目標迴歸法

應用在垃圾衛生掩埋場沼氣回收設備的成本估算謝邦昌林燦隆呂理

添(民 85)將模糊迴歸運用在甘蔗產量的預測對於上列有關模糊迴歸分析

的研究中絕大部份的文章均侷限於線性模式的分析鮮有文章討論非線

性模糊迴歸模式的求解最近雖然有少數學者開始討論非線性模糊迴歸模

式的解法如 Xu(1997)Buckley 與 Feuring(2000)的研究等但使用的方

法所求解的迴歸係數仍然為模糊數值其造成反應變數估計值的展度會

隨著解釋變數之數值增加而擴大的問題仍無法避免

28

第三章 研究方法

本章介紹本文將運用於數值分析中的預測研究方法利用本章建構的

方法可清楚了解如何利用混沌理論基於相空間重構的方式及模糊迴歸方

法於預測中

31 混沌時間序列建立預測方法

時間序列的模型建構和預測是資料處理研究領域中的重要方向其中

預測方法主要有線性和非線性預測方法兩種預測就是對未來作出估計和

推斷而通常要對研究對象或資料進行假設這一過程稱為建模利用建

模的方式獲得資料的科學表示就稱為模型混沌時間序列雖然看似隨機

但它卻是由確定系統產生的因此我們可以對混沌時間序列作出短期預測

同時由於混沌對初始條件微小差異的高度敏感性我們無法對混沌時間序

列作出長期預測每一步預測帶來的微小偏差都會使得下一步預測的偏差

擴大最終導致預測序列與原始序列完全不同

311李亞普諾夫指數判定資料混沌特性

進行預測前需根據 212節中提及的李亞普諾夫指數來判定資料是否

具有混沌特性最大李亞普諾夫指數是判斷和描述非線性時間序列是否為

混沌系統的重要參數因此是一個重要的混沌不變數

混沌系統中的李雅普諾夫指數可用來判斷系統是收斂的還是混沌的當系

統的李雅普諾夫指數中至少有一個為正時系統是混沌的 當系統的李雅

普諾夫指數均為負數時系統是收斂的 對於系統是否存在動力學混沌可以直觀的判斷最大李亞普諾夫指數是否

大於零一個正的李亞普諾夫指數代表著在系統相空間中無論初始兩

條軌跡的間距多小兩條軌跡的差別都會隨著時間的演化而成指數率的增

加而導致無法預測這就是混沌現象

312重建相空間

傳統的建模和預測方法己廣泛地應用社會科學中但大部分都是基於

線性系統混沌時間序列並不適用於非線性的混沌時間序列於是在判斷

時間序列性質後若判定序列以隨機性為主應採用從 AR 或 ARIMA 等隨

機模型來預測如果判定以混沌為主則應採用非線性確定性的方法進行

29

預測非線性時間序列的預報是經過相空間重構後對相空間中的動力軌

跡進行預報由於混沌系統具有被稱為「蝴蝶效應」的初始值敏感性所

以混沌時間序列是不能長期預測的但對於短時間內混沌系統的軌道在

相空間中具有一定的規律它們的預測性是可獲得的並比一般的基於統

計方法的預測能力要來得好

時間序列資料是時間離散後的樣本值用 表示將它「嵌入」到

一個 m維(mgt0)的空間中進行相空間重構後得到嵌入向量

(31)

由嵌入向量 可擴張成一嵌入空間 E由 Taken嵌入定理可知存

在映射面 滿足

(32)

上式表是出在拓樸的意義中可完全預測吸引子的特徵所以上式也可

表示為

(33)

其中函數 為 的一個估計值由式 (33)可得之我們可用

來預測

313相空間維度相關維度

在實作的研究上有許多方法可以用來估計混沌吸引子的維度本研

究選用較為常見的相關維度方法相關維度需先計算相關和將相空間中

所有樣本點皆計算其各別半徑收斂後之趨近值相關方程式（Correlation

Function）定義如下

(34)

其中

當 rrarr0時

兩邊同取對數可得

(35)

定義相關維度為 與 之曲線斜率為

(36)

在實際應用中經常給定一組維度 值選取適當的 r繪出

30

曲線求曲線當中直線段的斜率 如果系統存在這樣一個 值達到此

值後相應的關聯維數不再隨 的增長而變化也就是趨於飽和這表明

該序列為混沌系統其吸引子是存在的此時 值即為重構相空間的最佳

嵌入維數否則則表明該序列為隨機系統不具有混沌性

314 時間遞移數

利用 2123節中介紹的概念及 2124 中介紹的自相關函數求解出時

間遞移數的結果自相關函數公式如下

1

1

1( )( )

1( )

n k

t t k

tk n

t

t

x x x xn k

r

x xn

(37)

n為原資料樣本數k為時間遞移後的樣本點

將自相關係數計算的結果與每一筆遲延時間距離數值繪製成圖表可

由圖表中可分析辨別時間序列數據的初步基本特徵圖表繪製的結果顯示

自相關係數跟隨遲延時間距離數值的增加而顯示收歛且具有震盪循環之跡

象則表示數據具有一種規則屬於一混沌時間序列

32 複線性迴歸

確立資料為混沌後運用自我相關係數計算出時間遞移數及相空間維

度後將加入複線性迴歸運算複線性迴歸中常用的預測方法分為兩種

1 全域法

全域法就是利用相空間軌跡中的全部向量點做為擬合對象找出其

規律由此進行短期預測也就是說利用收集的大量的歷史資料利用

複線性迴歸訓練出迴歸參數再將未放進訓練迴歸參數的資料使用訓練

出的迴歸參數計算出預測值的資料型態本文還將原本的歷史資料分析

出資料的季節性後先去除季節性的影響最後再加回季節性討論預測結

果

2 局域法

局域法的基本原理是僅利用有限個鄰近點的資訊而不是利用全部的

樣本點來擬合 局域法預測是把相空間軌跡中的最後一點作為待測點對

離待測點鄰近的若干個相空間點的關係作出擬合再對預測相空間點的未

來演化規律進行預測本文使用零階局域法零階局域法是直接將鄰近樣

31

本點應用於預測根據鄰近樣本點預測 的最簡單的方法就是尋找相

空間中距離 最近的點假設距離最近的點是 那麼它的下一個樣本

點為 即可做為 的預測值

因數值資料在每日重複發生變動所以本研究又加入計算季節性指數

對趨勢線做季節性調整也就是對時間序列做季節性調整

33 模糊迴歸分析

運用模糊的概念帶進迴歸模式中處理具模糊性的資料問題此稱為模

糊迴歸分析本文利用的模糊迴歸模式主要有兩個方向一個是Tanaka et al

(1982)提出的模糊線性迴歸另一個是由Chang 與Lee (1994)所提出修正型

迴歸模式Tanaka 起初所提出的線性規劃模型

0 1

[ ( )]p n

j ij

j i

Min C X

st 0 0

(1 ) (1 )p p

j ij j ij ii

j j

X H c X y H e

(38)

0 0

(1 ) (1 )p p

j ij j ij ii

j j

X H c X y H e

0jc j R 0 1iX 0 1H 123i n 012j p

Tanaka 所提出的模糊模型未考慮到散度為負值的條件所以模糊上下

界會不斷的擴張而越來越寬大由 Chang 與 Lee (1994)所提出修正型迴歸

模式即將模糊的散度可為負值使上下界的模糊區間為遞減的情形遞

減的情形由圖 31表示

圖 31 模糊區間隨自變數越大而越窄

0

2

4

6

8

10

上界 中心線 下界

32

假設圖表中計算出的模糊迴歸函數為 0 0 1 1 Y c c X 模糊上界為

0 0 1 1UY c c X 模糊下界為 0 0 1 1LY c c X

33

第四章 數值分析

本章資料來源1台灣區車輛工業同業公會

2台北市交通局

本章所使用的數據資料為台北市交通局提供的公開的車流量資料數

值分析所使用的方法已在第三章論述利用第三章的方法分析數值預測的

準確性並結合模糊迴歸常見的兩種方法幫助決定預測的可接受範圍本

章介紹本文所利用的數學模型及方法在複線性迴歸的模型中分成混沌全

域法去季節性後的混沌全域法以及混沌局域法預測出的結果加以討論預

測的準確性再將預測值去季節性觀察準確程度最後再帶入模糊迴歸

利用 05H 加以討論如何將模糊迴歸中的散度用以選擇預測值的範圍第

一節針對傳統複線性迴歸方法並結合全域法觀念訓練資料迴歸係數討

論預測結果第二節針對傳統複線性迴歸方法並結合局域法觀念訓練資

料迴歸係數討論預測結果第三節針對預測資料去除季節性後再利用

傳統複線性迴歸方法討論預測結果第四節針對模糊迴歸的兩種方法選

擇出預測的範圍

利用第三章論述的時間遞移及相關維度的做法將本文利用具混沌性

的資料加以分析將資料先利用 212 節中介紹的李雅普諾夫指數 判定是

否具混沌性具有混沌性的資料才能利用混沌理論重構相空間若李雅

普諾夫指數 介在 0跟 1之間則表示資料具有混沌性質本文資料利用程

式計算出李雅普諾夫指數 運用自我相關係數判斷出時間遞移

數 相關維度計算出維度 我相關係數判斷時間遞移數與相關維

度的圖形以及原始資料時間遞移後的資料圖如圖 41圖 42圖 43

34

圖 41相空間維度及 lnC與 ln r斜率關係圖

圖 42相空間維度及 lnC與 ln r斜率關係圖

0

1

2

3

4

5

6

7

0 5 10 15 20

相空間維度

斜

率

d

-02

0

02

04

06

08

1

12

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33

時間遞移數

自我相關函數

35

圖 43 原始資料時間序列圖

41 複線性迴歸混沌全域法

本文所使用的資料為 10日的車流量資料利用前 9日的資料訓練出迴

歸參數將迴歸參數代入複線性數學模型中計算出的迴歸方程式為

1 2 3 4

5 6 7 8 9

10 11 12 13 14

435363 00819 00338 01777 00070

01116 01999 00299 02716 00349

01399 00056 01113 00738 02038

y x x x x

x x x x x

x x x x x

(41)

解出迴歸參數計算出複線性迴歸方程式後再將最後一日 144筆的車

流資料代入方程式中計算出預測值利用複線性迴歸混沌域法預測出的結

果如圖 44

圖 44 複線性迴歸分析預測與原始資料比較圖-全域法

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

1 53

10

5

157

209

26

1 31

3

365

41

7

469

52

1 57

3

625

67

7

729

78

1 83

3

885

93

7

989

10

41

1093

11

45

1197

12

49

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13

53

1405

原始資料點

原始資料點

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0

50

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115

121

127

133

139

實際值

預測值

36

由圖表的狀況可觀察出運用複線性迴歸模型預測的結果不盡理想本

研究認為運用複線性迴歸預測的結果不佳的原因有二

1 利用全域法預測是將較大量的歷史資料加入考慮訓練出迴歸參數這

樣的結果造成削弱了原本的奇異點(相較於同時段資料差異性較大的點)

的影響力

2 嵌入維度 太高對於混沌時間序列隨著嵌入維度增高歷史

對未來的影響是呈指數衰減的所以全域法所利用的資訊歷史就越長

預測的精準度就會迅速下降因此本研究將加入局域法討論預測的準

確性

42 複線性迴歸混沌局域法

局域法的做法為尋找相空間重構後的點對待測點尋找鄰近的 k個相

空間點對離待測點鄰近的若 k個相空間點的關係作出擬合並分析出複

迴歸方程式的迴歸參數本文嘗試選取 k=50~250的結果以下只列舉 k=200

的圖解釋預測結果

圖 45 複線性迴歸分析預測與原始資料比較圖-局域法(k=200)

圖 44與圖 45比較後可看出區域法預測的準確性比全域法更好某

些預測出來的結果的點與原始資料的點差異性大有明顯的偏移本研究

認為利用局域法預測的結果不佳的原因如下由圖 45可看出預測結果與

原始資料間差異性較大的點位為數列的右側 而數列尾端的資料為凌晨或

0

20

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115

121

127

133

139

實際值

估計值

37

是深夜的車流量因每日凌晨或是深夜的車流量變化量較少(例如某日的凌

晨十二點十分可能為 0台車或是小於 10台車經過)所以資料的差異性

較大造成頭尾的資料預測上較為不準確

因為同時段的資料可能會影響資料預測出的結果所以我們下節就以

加入季節性的考慮來加以討論預測結果

43 複線性迴歸去除季節性後混沌全域法

本文使用的車流量資料為每日 24時換算成 1440分鐘每 10分鐘記

錄一點於是本研究依資料的記錄時間點來劃分季節性將季節分成 144

個季分別求出季節性指數求取季節性指數後將每個資料點先去除季

節性利用全域法訓練出去季節性後的迴歸係數再利用複線性求出預測

值最後將去除的季節指數乘回預測點結果如下

圖 46考慮季節性複線性迴歸分析預測與原始資料比較圖-全域法

此考慮季節性因子的複線性迴歸分析預測與原始資料的比較是用全

域法去訓練迴歸參數的而由圖 44我們可以得知一開始未考慮季節因

子使用全域法的複線性迴歸預測是不準確的本研究認為原本的歷史資

料隨著季節性因子的變化該系統原本呈現複雜的動態特性實際上由於

車流量的變動有許多外在因素的影響例如氣候假期hellip等影響會使

資料的變化過程發生不同程度的偏離而對於季節性事件來說其事件發

生的過程主要受季節性參數週期性變化的影響 因此影響因素的具體形

式可以近似地表示為單一函數本文考慮季節因素對車流量的影響意即

0

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9

11

5

12

1

12

7

13

3

13

9 實際值

預測值

38

經過季節性分析後的得到的預測分析結果很準確如圖 46所示此結果

表示季節性影響樣本資料的情形大也代表著在季節因素影響下系統中

事件的動態變化情況是隨著季節影響參數的變化而造成系統呈現各種

各樣複雜的動態特性如週期解混沌情形hellip等

44 模糊迴歸

441Tanaka模糊迴歸

μ及 H 值之選定原則為當不確定性愈大時其 μ及 H 值愈接近 0

反之當資料不確定性愈小時μ及 H 值取愈接近 1 之值Bardossy 等人

建議其值在 05~07間為適宜根據 Tanaka在 1982年所提到的方法我們

可以求得一模糊迴歸函數並可得知其中心線與其上界及下界假定在 H =

05的情況下利用 Tanaka模糊迴歸模式算出迴歸函數為

(42)

中心線與上下界的簡單迴歸方程式為

中心線 (43)

上界 (44)

下界 (45)

繪製出的圖形如圖 47所示

圖 47 Tanaka 模糊迴歸

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下界

中心線

上界

39

圖 48 Tanaka 模糊迴歸中心線與預測值之結合

從圖 48可看出預測值與模糊迴歸的中心線 有明顯的時間差異但由

圖可以觀察出模糊迴歸的中心線 的預測趨勢與實際值是相近的雖然利

用模糊迴歸預測的時間點比實際時間快但是相對來說也是可以用來預

測之後將發生的趨勢本研究認為若模糊迴歸可用於預測中則可用模糊

的散度 c當做預測行為中選取的可接受的變動範圍如圖 49最後將 Tanaka

模糊迴歸中心線上下界與實際值之結合如圖 410所示

圖 49 Tanaka 模糊迴歸中心線上下界與實際值之結合

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實際值

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109

115

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127

133

139

實際值

下界

上界

預測

值

預測值

40

圖 410 Tanaka 模糊迴歸中心線上下界與實際值之結合

442修正型 Tanaka模糊迴歸

因為我們要將模糊迴歸應用於預測中所以本研究將複線性迴歸的趨

勢線視為模糊迴歸的中心線再利用修正型 Tanaka模糊迴歸模式算出迴歸

函數為

(46)

中心線與上下界的簡單迴歸方程式為

中心線

上界

下界

繪製出圖形如圖 411

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133

139

實際值

預測值

下界

上界

41

圖 411 修正型模糊迴歸中心線上下界與實際值之結合

本研究使用的修正型模糊迴歸中心線與傳統的迴歸方程式相同所以

可用來處理或分析模糊資料與明確資料同時修正型模糊迴歸的上下界

與 Tanaka 模糊迴歸相較也變窄了此兩種現象就是修正型迴歸的特色因

為中心線與傳統的迴歸方程式也相同這種修正型迴歸散度可選擇為負值

的特色本研究認為可以應用在預測上因為上下界與中心線間的散度變

窄使得前文所敘述到的利用散度來選取預測範圍便可更為嚴格也可

使預測的結果更為可靠如圖 412所示

圖 412 Tanaka 上下界與修正型模糊迴歸上下界的寬度差別

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中心線

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127

134

141

Tanaka下界

Tanaka上界

Tanaka修正型下界

Tanaka修正型上界

42

第五章 結論及未來研究方向

51 結論

根據前文的討論傳統迴歸和模糊迴歸建立在不同的理論基礎上傳

統迴歸是以機率為基礎而模糊迴歸則是以可能性為基礎傳統迴歸因變

數的估計值與觀測值之間的差異為因變數的隨機性而模糊迴歸因變數的

估計值則產生於觀測值之模糊度惟兩者最大不同處在於模糊迴歸式的

迴歸係數與預測值皆為模糊數（區間值）不同於傳統迴歸係數與預測值

均為明確的數值此外傳統迴歸侷限於對明確資料的分析可能性模糊

迴歸僅適用於分析具模糊性的資料而複合的模糊迴歸則可同時適用於分

析模糊與明確的資料此為此模式最大的特點

模糊迴歸應用於預測中大多的結果是不佳的但是我們透過結合混

沌與模糊迴歸的概念將混沌的預測單點概念拓展成一個可接受的預測

範圍

PT Chang 與ES Lee 使用修正型模糊迴歸重新定義散度做出新的

模糊上下界均為改善模糊迴歸模式Tanaka之研究本研究將模糊迴歸與

混沌理論之建立時間序列的預測情形加以結合討論發現模糊迴歸在預測

的行為中是可行的但可惜的是即使預測的趨勢相近但預測值出時間

的點卻有差別這樣的結果我們可以看出若能找到解決加強模糊與複線性

迴歸關係之間時間的關聯性就能利用模糊的不確定性來討論預測問題

52 未來之研究方向

本研究將模糊迴歸與混沌理論之建立時間序列的預測情形加以結合討

論發現模糊迴歸在預測的行為中是可行的但可惜的是即使預測的趨

勢相近但預測值出時間的點卻有差別這樣的結果我們可以看出若能找

到解決加強模糊與附線性迴歸關係之間時間的關聯性就能利用模糊的不

確定性來討論預測問題

為了符合現今社會多元的狀況模糊迴歸與傳統迴歸之觀念勢必加以

混合應用也為了解決此等問題混合式迴歸（Hybrid Regression）在近年

來被提起也因此參數的估計模糊迴歸與傳統迴歸的混合應用將成

為往後繼續研究探討之目標

建議未來可用模糊加權修正模糊迴歸使模糊迴歸在預測上更能直接

43

將對事物多個構面評估的意見與其影響事物狀況的重要程度作加權的運

算

44

參考文獻

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[20] 謝逸婷(2005)模糊排序法於資料包絡分析模式之應用南台科技大學工業管理研

IV

致謝詞

在東海就讀了六年從成為大一新生開始懵懵懂懂到現在研究所畢

業有太多的回憶及感觸點點滴滴在心頭猶記第一眼看見東海地標路

思義教堂的心情尖聳的教堂頂端滿載著許多對未來的憧憬與期許也

還記得在東海上的第一堂課必須穿過路思義教堂的旁的大草皮走過長

長的文理大道充滿日式建築特色的工學院木製長廊最後坐進座椅被固

定的大教室如今東海的一草一木都將成為最美好最懷念的回憶

首先感謝張炳騰老師在研究的這條路上提攜指點不遺餘力的照顧

及關心研究生們使我在這兩年的研究所生涯裡獲得許多知識及理解做人

處事的道理謝謝博班的龍廷學長總是關心著我們碩二生在口試前一天

仍撥空陪我們預演練習給我們建議使我們大家能以較不緊張的態度面

對口試委員謝謝 IKS 研究室碩二的三位夥伴富源子琪宜璟在過去的

兩年裡一起努力做研究在最後關頭互相打氣成為精神支柱謝謝振鈺

宇凡士瑋士戎世念及意凡在就讀研究所的日子裡彼此扶持談論

未來一起度過許多難忘的時光謝謝碩一的學弟妹們秀儒凱雯逸琮

博仁負責處理研究室裡大小事務還有一同緊張準備 meeting一起出遊的

愉快我都深深烙印在腦中也謝謝佳陞在我熬夜時或是感到挫折時陪

伴我安慰我以及鼓勵我給我溫暖讓我依賴你的肩膀及胸膛是我的避

風港

最後謝謝我的爸媽跟姊姊總在我最難熬的時候為我加油打氣給予

我正面的力量讓我充滿能量繼續面對下一步的挑戰不論遇到多少瓶頸

家人的肯定是最大的動力來源擁有這麼完美且甜蜜的家庭真的是我的

福氣謝謝東海大學孕育我使我成長指引我前往光明的路上現已要

踏上未來的未知旅程我會繼續努力朝著目標前進

林葦柔謹誌於

東海大學工業工程與經營資訊學系

中華民國一百零二年六月

V

目錄

摘 要 II

ABSTRACT III

致謝詞 IV

目錄_ V

圖目錄 VI

第一章 緒論 1

11 研究背景與動機 1

12 研究目的與範圍 2

13 研究架構與流程 2

第二章 文獻探討 4

21 混沌理論 4

22 複線性迴歸分析 11

23 模糊理論 12

24 模糊迴歸 19

第三章 研究方法 28

31 混沌時間序列建立預測方法 28

32 複線性迴歸 30

33 模糊迴歸分析 31

第四章 數值分析 33

41 複線性迴歸混沌全域法 35

42 複線性迴歸混沌局域法 36

43 複線性迴歸去除季節性後混沌全域法 37

44 模糊迴歸 38

第五章 結論及未來研究方向 42

51 結論 42

52 未來之研究方向 42

參考文獻 44

VI

圖目錄

圖 11 本研究之架構與流程 3

圖 21 三角模糊數 17

圖 22 梯形模糊數 17

圖 23 模糊數的中心值與散佈值 20

圖 31 模糊區間隨自變數越大而越窄 31

圖 41 相空間維度及 LNC與 LN R斜率關係圖 34

圖 42 相空間維度及 LNC與 LN R斜率關係圖 34

圖 43 原始資料時間序列圖 35

圖 44 複線性迴歸分析預測與原始資料比較圖-全域法 35

圖 45 複線性迴歸分析預測與原始資料比較圖-局域法(K=200) 36

圖 46 考慮季節性複線性迴歸分析預測與原始資料比較圖-全域法 37

圖 47 TANAKA模糊迴歸 38

圖 48 TANAKA模糊迴歸中心線與預測值之結合 39

圖 49 TANAKA模糊迴歸中心線上下界與實際值之結合 39

圖 410 TANAKA模糊迴歸中心線上下界與實際值之結合 40

圖 411 修正型模糊迴歸中心線上下界與實際值之結合 41

圖 412 TANAKA上下界與修正型模糊迴歸上下界的寬度差別 41

1

第一章 緒論

本章節主要在說明本研究之整體結構透過研究背景與動機清楚導引

出本研究之目的並利用研究目的與範圍定義研究的範疇邊界將依下列

三小節逐項說明

11 研究背景與動機

在日常生活中很多的現象與問題往往充滿著不確定性面對不確定

性以往皆是用隨機的概念加以描述直到1960年代開始有人質疑隨機

的概念用在有不確定性之現象的適用性為了有效解決人文思維的不確定

性Zadeh在1965年首先提出了模糊集合的概念而後到了1970年Zadeh

與Bellman又區分出隨機(Randomness)與模糊(Fuzziness)之間的不同

在對某一對象進行研究時除了希望了解其目前的狀況之外更希望

能夠做到預測未來的現象生活中包含社會經濟教育體育等等的現

象與問題皆常常希望描述自變數與因變數之間的關係因此迴歸模型

便是一種最常用的統計方法

在傳統的迴歸分析當中所假設的估計值是由實際的因變數加上誤差

所產生的這也表式因變數是一種含有不確定性的隨機變數不過在現

實生活當中很多事情往往不符合這個假設因為許多的變數並不是一個

明確的數值而是含有多重隸屬的特性以問卷調查為例若一張為卷調

查的答案分為五個等級滿分五分意表「非常滿意」最低一分意表「非

常不滿意」若有兩人在填問卷時針對同一題問題一人回答「非常滿

意」而另一人回答「滿意」則我們不能太過明確的斷定得到5分的「非

常滿意」跟4分的「滿意」之間的優劣如果太過依賴實際數字去斷定這兩

位顧客的滿意程度也許會造成預測結果與實際狀況上的誤差

因此為了解決此種問題Tanaka等人(1982)提出了模糊線性迴歸模式來

處理模糊性資料的問題而Chang與Lee也提出了修正型的模糊迴歸此模

式是利用模糊的散度可為負值討論模糊迴歸來建立迴歸式由模式所估

計而得的迴歸係數與預測值均為一個模糊數或區間值此模式因散度挑

選為負值可修正掉Tanaka的模糊迴歸上下界不停擴散的缺點此點為其

最大的特色所以我們將利用模糊的不確定性特色來加入討論預測的結果

使預測視界更為開闊

2

12 研究目的與範圍

傳統的預測方法都是利用建立數據序列模型後再進行計算及與預測

然而隨著混沌科學發展發現混沌的現象存在於生活許多細節中於是學

者致力於發展混沌科學利用歷史資料的混沌規律性建立客觀的模型可

避免人為的主觀想法而影響預測的準確性

本論文的研究目的在於利用混沌理論建立時間序列與應用傳統複線性

迴歸計算進行預測已是一種在社會科學中被廣泛應用的預測方法但是

在預測的領域中加入模糊討論的情形卻很少在傳統的迴歸分析當中

所假設的估計值是由實際的因變數加上誤差所產生的也就是說因變數

是一種含有不確定性的隨機變數不過在現實生活當中很多事情往往不

符合這個假設因為許多的變數並不是一個明確的數值而是含有多重隸

屬的特性以學生的考試成績為例不能明確的斷定得到99分的學生和得

到97分的學生之間的優劣如果太過依賴實際數字去斷定這兩位學生的素

質高下也許會造成預測結果與實際狀況上的誤差

因此為了解決此種問題Tanaka等人(1982)提出了模糊線性迴歸模式來

處理模糊性資料的問題之後續有學者Chang與Lee也提出了修正型的模糊

迴歸選擇散度可為負值所以本文將依模糊理論中的模糊迴歸的特性來

加入預測值範圍討論處理不確定性問題

13 研究架構與流程

本論文的研究流程如圖 11 所示主要研究步驟從確立研究方向進

行相關文獻的探討然後建立本研究的預測方法流程並做混沌系統與模

糊系統的結合來做出預測最後給予本研究上的結論與建議研究架構圖

可參考圖 11

3

確認研究方向

相關文獻回顧

複線性迴歸預測模式

混沌理論 複線性迴歸 模糊理論

結論與建議

模糊迴歸上下界選取預測範圍

糢糊迴歸

建立預測模式

圖 11本研究之架構與流程

4

第二章 文獻探討

傳統的預測方法都是利用建立數據序列模型後再進行計算及與預測

然而隨著混沌科學發展發現混沌的現象存在於生活許多細節中於是學

者致力於發展混沌科學利用歷史資料的混沌規律性建立客觀的模型可

避免人為的主觀想法而影響預測的準確性

預測是一種資料探勘的相關技術通常都是利用各種統計或迴歸的方

法從過去的歷史資料中找出有用的趨勢或是模式然後利用這些趨勢或

模式來求得下一期間或週期的預測值要進行任何預測之前收集足夠的

有效觀察值是一種必要的程序在以往統計或迴歸的方法中均需要大量

的有效觀察值才能夠準確的判斷出預測結果

傳統的主觀意見預測法因為人為意見的影響較大無法利用電腦技術

來協助進行預測目前已經普遍不被企業所使用時間序列的數學方法是

以過去資料之時間序列為主而其基礎為假設未來之情形與過去情勢相雷

同因此若有某因素改變情形時必須參照判斷予以修正預測才能正確

而時間序列是指一個固定間隔為基礎經過了一段時間(如每小時每日

每月每週每月每季每年)之時間序列的觀察結果

本章節首先概述混沌理論的發展以及建立時間序列預測所運用的方法

再加以介紹模糊的幾何意義與模糊的演算法及結合傳統方法與模糊間的概

念

21 混沌理論

混沌理論是對一個不規則又看似無法預測的現象及過程加以分析在

現代科學史中真正數學和物理學意義下的混沌理論公認是由麻省理工

學院的氣象學家羅倫茲(Lorenz)提出的196年冬天某日當時還是副教授

的羅倫茲用一台 RoyalMcBee LPG-30 電腦對一個包含 12 個微分方程的

氣象動力學方程組進行數值模擬試驗在其中的一次驗算裡為貪圖方便

他把一個小數點後六位數的初始值做了四捨五入處理僅輸入了小數點後

前三位數但結果讓他大吃一驚這個與精確數值不到千分之一的誤差

讓最後計算結果大相逕庭這個偶然的取值失誤讓羅倫茲發現了一個簡

單具體並且有明確物理意義的可以用來表現和驗證彭加萊混沌理論的數

學模型於是 1963年洛倫茲在美國《氣象學報》上發表了題為「確定性

5

的非周期流」的論文這篇文章和他隨後發表的另一篇相關論文指出對

於模型中關鍵參數的微小改變會導致完全不一樣的結果使得有規律的周

期性行為能夠進入雜亂無章的狀態令精確的長期天氣預報變得不可能

Hayles(1990)於 Choas boundOrderly disorder in temporary literature and

science 一文中指出混沌的含義有兩個

1 系統失序的前兆與狀態

2 強調存在於雜亂現象內潛藏的規律與秩序結構

Curtis(1990)認為混沌理論或多或少隱含了隨機(randomness)的現象其

含義有兩個觀點

1 混沌是規律秩序的預兆當各種事件在一個系統中進行時混沌現象開

始出現就必須注意「驅散(disspative)結構」的雜亂現象同時也會產生

假使這個系統在「熱力函數」上有足夠熱度則它的結果將使「驅散結

構」的雜亂現象成為確切明白的秩序(Prigogine amp Stenger1984)這種

規律秩序的預兆Gleick (1987)稱之為介於熱力學和動力系統間以高

度個體化和關聯化的哲學觀點「規律秩序之外的秩序」稱之為「混沌」

2 強調經過混沌吸引子的吸收進而啟動「混沌系統」發展出「力的性

質」進而產生混沌系統的模式特徵姜濤(1993)認為從物理意義上來看

一個確定性系統(含有隨機或偶然因素)在沒有外界隨機干擾的情形下

所出現的無規則形態都可以稱為混沌現象Wheatly(1994)將混沌理

論定義為可能是一個事件行為或是過程它是多變的非線性的及

無法預測的所以模式和範圍是彈性的會隨時隨地改變

J Yorke(2002)將混沌賦予新義指出混沌是一種有結構有規則的系

統混沌的雜亂只是表象最終會回歸平衡且等待下一次的失序如此

一直循環著 混沌系統兩個十分重要的特性

1 系統的變化驟看似是毫無規則但實際上是由物理定律所決定的

2 系統的演化對初始條件的選取非常敏感初始條件極微小的分別 (就例

如 02 和 02001 只相差兩千分之一)在一段時間的演化後也可帶來

南轅北轍的結果

211碎形維度及混沌吸引子

碎形幾何理論(Fractals Geometry)是一門新興理論專門用來解釋以前

6

歐氏幾何學無法解釋的自然現象舉凡不規則形狀的自然物體都無法用歐

式幾何學解釋如雪花雲朵流水樹木hellip等所以碎形幾何理論是

用來解釋具有自我相似性及非整數維度的特徵

因此所謂碎形指的是一個幾何物件其外型不像直線弧線這些古

典歐幾里德幾何（Euclidian geometry）的表面那麼平滑而是相當破碎

不規則且無論巨觀或微觀都不是連續的這些不規則的碎形和我們習以

為常的觀念有所不同且基本上大多數的現象並不是如歐幾里德幾何所描

述的那樣

舉例來說一顆籃球對於向來熟悉阿基里德空間的我們來說直覺性

的會認為這是三度空間中的一個球體其維度為三但當把距離拉遠看

似一個圓形維度成為二若把距離縮近成為一公釐則可以發現籃球上

有凹下的線條有防滑的凸點顆粒這種情況下維度又該如何界定而曼

德布洛特在分析英國科學家李查(Lewis F Richardson)遺稿當中的一篇論文

時察覺任何國家的邊界在某種定義下都是無限長其重點在於測量時所

使用的基準長度一般要測量海岸線長度時測量員會架起兩腳器並預設

成一個長度沿著海岸線進行測量之後將兩腳器的尺度縮小重頭再量一

次海岸線長而所量到的這兩種尺寸後者一定較前者為長也較逼近真

實的邊界長度同理將兩腳器的兩腳距無限的縮小則所量到的邊界就

成為無限長

1967年代數學家 Benoit Mandelbrot發表了一篇名為「英國海岸線有

多長」的論文文中提到新的維度觀念也就是碎形維度碎形維度具

有四種特性(1)自相似性(2)自我模仿性(3)碎形維度為有限區域的無限

結構(4)碎形是非動力過程的結果混沌現象具有特殊的碎形維度(Fractals)

混沌狀態出現時運動軌跡不穩定它們隨機但緊密的逐漸收斂到一個整體

縮小但局部分離的區域此區域就稱為奇異吸引子（strange attractor）

Hayles(1990)指出混沌是強調存在於雜亂現象之內潛藏的規律秩序結構

因為雜亂現象之內隱含有「奇異吸子」(strangeattractors)進而啟動運作「混

沌系統」Griffths Hart amp Blair(1991)認為混沌理論應用在教育行政中

也具有奇異吸子的特徵奇異吸引子不同於的穩定的整數維吸引子（即不動

點極限環和環面）它具有的是奇特的非整數的空間維度這種空間被

稱作豪斯道夫（Hausdorff）空間因此混沌奇異吸子是一個整體穩定但是

7

局部不穩定的運動空間

212李亞普諾夫(Lyapunov)指數

混沌系統的初始值非常敏感使得初始時刻靠得很相近兩條相軌跡隨

著時間的增長而逐漸遠離如果能夠定量描繪出此種鄰近軌跡的發散性

便可建立出混沌變動情形的一種數值判斷方法李亞普諾夫指數就是用來

表示相空間內鄰近軌跡的平均指數發散率的數值特徵m 維相空間中的某

一時刻兩條鄰近軌跡之間的距離可以分解在 n 個不同的方向這 n 個不

同方向上的距離增長率是不相同的而每一個增長率就是一個李亞普諾夫

指數

最大李亞普諾夫指數是判斷和描述非線性時間序列是否為混沌系統的

重要參數因此是一個重要的混沌不變數對於混沌系統來說發散是一種

整體性的穩定因素動力系統一方面作為發散系統最終要收縮到相空間的

有限區域也就是吸引子上另一方面系統在相體積收縮的同時運動軌

跡是不穩定的要沿某些方向進行指數分離

對於 m 維的動力系統中 中初始兩點迭代後會互相分離

或是靠近取決於

的值若

則迭代使兩點分離若

則迭代使兩點靠近在不斷迭代過程中

也會隨之改變呈現出時而接

近時而分離的情形為了表示從整體上觀察得到的情況必須對時間(或反

覆運算次數)取平均設平均每次反覆運算所引起的指數分離指數為 於

是原來相距 的兩點經過 n次迭代後距離變為

(21)

若取極限 則式(21)變為

(22)

(22)式可簡化為

(23)

上式中的 與初始值的選取無關稱為原動力系統的李亞普諾夫指數

它表示系統在多次反覆運算中平均每次反覆運算所引起的指數分離中的

8

指數若 則表示相鄰點最終會靠近合併成一點若 則表示

相鄰點最終會發散而對應於軌道的局部不穩定若軌道還存有整體的穩

定因素(如整體有界發散存在捕捉區域等)系統則需在有限的幾何物件

上無窮次折疊以實現指數分離系統在此作用下反覆折疊並形成混沌吸

引子故 可做為判斷混沌情形的準則

混沌系統中的李雅普諾夫指數可用來判斷系統是收斂的還是混沌的

當系統的李雅普諾夫指數中至少有一個為正時 系統是混沌的 當系統的

李雅普諾夫指數均為負數時 系統是收斂的

對於一般 m維的動力系統定義李亞普諾夫指數如下設 F為

上的 m維映射假設一個 m維離散動力系統 將系統的初

始條件假設為一個無窮小的 m維小球由於演化過程中的自然變形圓球

將變成橢圓球將橢圓球上的所有主軸依其長度排列則第 i 個李亞普諾

夫指數根據第 i個主軸的長度 的增加速率定義為

(24)

李亞普諾夫指數與相空間的軌道收縮或擴張性質是有關連性的在李

亞普諾夫指數小於零的方向上軌道收縮運動穩定對於初始值不敏感

而在李亞普諾夫指數為正的方向上軌道迅速分離對初始值敏感李亞

普諾夫指數的前 j個指數的和是由前 j個主軸定義的 j維立體指數增加的長

期平均速率確定如橢球長度按 增加由前兩個主軸定義的區域面積依

增加由前三個主軸定義的區域面積依 增加以此類推在

李亞普諾夫指數譜中最小的李亞普諾夫指數決定軌道收縮的快慢最大

的李亞普諾夫指數則決定軌到發散也就是覆蓋整個混沌吸引子的快慢

而所有李亞普諾夫指數之和 可以大致表示為軌道的平均發散速度

李亞普諾夫指數是衡量系統動力學特性的一個重要定量指標它代表

了系統在相空間中相鄰軌道間收斂或發散的平均指數率對於系統是否存

在動力學混沌可以直觀的判斷最大李亞普諾夫指數是否大於零一個正

的李亞普諾夫指數代表著在系統相空間中無論初始兩條軌跡的間距多

小兩條軌跡的差別都會隨著時間的演化而成指數率的增加而導致無法

預測這就是混沌現象

213 混沌系統之時間序列

9

2131 相空間局部近似法

Farmer and Sidorowich(1987)在其混沌預測方法之研究提出所謂的相

空間局部近似法(phase space local approximation method)對系統之演變行為

進行預測這種奠基於時間延遲法(time delay method)所構成之重建相空間

(reconstructed phase space)的預測方式能夠適應吸引子(attractor)的局部行

為經後續進一步研究發現其具有相當良好之預測能力因此採 Farmer and

Sidorowich(1987)之相空間局部近似法構建交通量預測模式期能增加預測

準確度

2132 時間序列與相空間重構

相空間的概念就是把運行方程式所獲得的數字或數據轉換成為圖形

並將系統中隨時間改變的重要的資訊(無論是機械或是流體)抽取出來把各

式各樣可能的狀況註明在圖上利用延遲時間的概念模擬出類似原始系統

之相空間當重建一個空間使得此空間可以具體的包含吸引子特徵則此

空間之維度我們稱為嵌入維度Takens等人(1981)提出嵌入定理對於無

限長無雜訊的 d維混沌吸引子的標量時間序列x(n)可以在拓撲不變的

意義上找到一個 m維的嵌入相空間只有維數 m gt2d+ 1才可保有原始吸

引子的特徵Takens 定理保證了我們可以從一維混沌時間序列中重構一個

與原動力系統在拓撲意義下等價的相空間混沌時間序列的判定分析與

預測是在這個重構的相空間中進行的因此相空間的重構是混沌時間序列

研究的關鍵將收集的一維歷史資料例如現有歷史資料為 9筆13579

10131115間遞移的結果為1711391351015在此我們將利用此

時間遞移建立的時間序列觀念x(t) x(t minusτ ) x(t minus 2τ )hellip來重建相空間

2133 延遲時間 τ的決定

時間延遲如果 τ太小則相空間向量 x(i) = x(t) x(t minusτ ) x(t minus 2τ )hellip

中的任意兩個分量 x(t)和 x(t minusτ )在數值上非常接近以至於無法相互區分

從而無法提供兩個獨立的座標分量但如果時間延遲 τ 太大的話則兩座

標在統計意義上又是完全獨立的混沌吸引子的軌跡在兩個方向上的投影

毫無相關性可言因此需要用一定的方法來確定一個合適的 τ 值本文確

定 τ的主要方法為相關維度法

2134 自相關函數

自相關係數是利用時間序列裡每一筆數據與其前的數據根據不同遲延

10

時間距離的數值進行相關係數計算而成如遲延時間距離為 1表示將每

一筆數據與緊接其前的一筆數據進行相關係數計算如遲延時間距離為 2

表示將每一筆數據與其前第二筆數據進行相關係數計算如遲延時間距離

為 3表示將每一筆數據與其前第三筆數據列進行相關係數計算如此類

推自相關係數 之計算公式如下

1

1

1( )( )

1( )

n k

t t k

tk n

t

t

x x x xn k

r

x xn

(25)

式中 n為資料數k為時間遞移後的點t為時間點

將自相關係數計算的結果與每一筆遲延時間距離數值繪製成圖表可

由圖表中可分析辨別時間序列數據的初步基本特徵如圖表繪製的結果顯

示自相關係數沒有跟隨遲延時間距離數值的增加而顯示收歛之跡象也就

是說繪製線不斷於 X軸零座標線做不規律的上下擺動表示數據為隨機時

間序列即每一數據都視為個別獨立的事件且與過去某一筆遲延時間距離

數值的事件無關係反之若圖表繪製的結果顯示自相關係數跟隨遲延時

間距離數值的增加而顯示收歛且具有震盪循環之跡象則表示數據具有一

種規則屬於一混沌時間序列

2135 季節趨勢

季節趨勢預測法是根據事物每年重覆出現的週期性季節變動指數預

測其季節性變動趨勢

季節指數的概念即是利用簡單平均法計算週期內各時期模型季節性影響的

相對數季節指數反映了該季與總平均值間的穩定關係若季節指數大於

1則表示該季的值常會高於平均值若季節指數小於 1則表示該季的值

常會低於平均值若序列的季節指數都近似於 1則表示該序列沒有明顯

的季節效應季節指數的計算方式如下

計算週期內各期平均數

k=12hellipm (26)

計算總平均

(27)

計算季節指數

11

k=12hellipm (28)

其中 n為期數m為季節數

22 複線性迴歸分析

迴歸分析的目的主要是建立變數之間的關係進而應用於預測分析中

內政部營建署(1997)就曾利用迴歸分析來探討反彈數及現場鑽心試體之間

的抗壓強度關係進而建構出一迴歸方程式做為混凝土試體的抗壓強度

預測而在土木工程領域中也已有許多學者利用迴歸分析來進行研究

例如潘南飛與黃冠智(2005)利用迴歸分析來預測橋面版劣化狀況且考慮

以交通量及降雨量作為迴歸模式中的自變數最後得一配適佳的迴歸式

凌偉峻(2006)利用複線性迴歸分析建立模式及混沌系統的相空間鄰近點相

似特性來建立車流量預測模式Cheung et al (2008)使用氣候值持續值

颱風強度Julian Date記日本地時間七級風暴風半徑及颱風中心速度共

7個預報參數進行多變量的複線性迴歸(multiple linear regression)分析並以

20個傳統雨量站進行測試各新增變量中以颱風強度七級風暴風半徑及

中心速度對預報之改善較顯著其受改善之時數及相關係數之增加幅度皆

較其它變量為多顯示颱風結構參數在颱風降雨預報中比簡單的季節性因

素或日夜對流差異來得重要

敘述自變數( 1 kx x x x 2 3 )依變數 y 和誤差項 i 之間關係的方程式

稱為複線性迴歸模式複迴歸其主要目的有二

1 可以降低隨機誤差此與迴歸之變異數分析有關增加解釋變數之個數

可以使迴歸分析可解釋變動的部分增加相對的誤差就會減少

2 可以避免反應變數中影響重大的解釋變數有所遺漏而無法具體描述實

際資料的狀況估計複迴歸方程式或估計多元迴歸方程式(Estimated

multiple regression equation)大部分情況下複迴歸模式中的迴歸參數

皆不知其實際數值僅可以利用樣本數值估算分別以樣

本統計值 作為迴歸參數 的點估計值本研究

利用全域法訓練迴歸參數 即是利用前九日的歷史資料

複線性迴訓練出迴歸係數預測出第十日的資料型態複迴歸分析是將

簡單迴歸分析其自變數由一個增加至數個研究一群自變數和一個反應

變數之間的關係複線性迴歸模式定義如下

12

(29)

其中 為常態 n 隨機變數期望值 E(ε)=0且彼此互相獨立若有 n

組樣本觀測值(ngtp)組我們就可將方程式寫成

(210)

其中 i=123hellipn

若將複線性迴歸寫成矩陣可得下式

(211)

也可將式(211)寫成矩陣形式

(212)

其中 為觀察值向量 為參數向量 為自變數矩陣 為獨立之常態

隨機變數向量且滿足 向量 Y的期望值表示如下

(213)

複線性迴歸之最小平方標準方程式矩陣表示為

(214)

其中

為最佳模式之參數矩陣因此可求得最小平方估計式矩陣

表示為

(215)

其中 為 之轉置矩陣 為 之反矩陣只要利用式(215)

即可獲得複線性迴歸方程式

23 模糊理論

模糊理論是由美國加州大學伯克利分校電氣工程系的L A Zadeh在

1965年首次提出Zadeh在1965年發表了一篇傳統科學皆以排除具模糊性的

研究為主而模糊理論則以包含模糊性的研究為主現今科學發達所要

探討的議題越來越多由於人類的知識與研究會因本身主觀的意識因應

不同的人事時地物而具模糊性使得無法清楚呈現研究的本質為何要

13

在日常生活中精確地描述一個現象必定忽略其中的些微變化然而此描

述又無法真實描述現實因此模糊理論(Fuzzy Theory)正好能被廣泛應用在

研究上

模糊概念是指這個概念的外延具有不確定性或者說它的外延是不清

清楚的是模糊的例如好的壞的好壞的概念我們非常清楚但是

它的外延也就是究竟事件發生的條件到底是要如何才會是好的跟壞的

每個人的回答都會是不同的這就是一個模糊的概念所以當我們在接

觸模糊時是允許主觀意識的因為每個人對模糊的概念不盡相同儘管

如此當我們利用模糊統計方法進行分析時對於好與壞之間的界限又有

一定的概念

其次模糊性與精確性是相對立的但卻不能將模糊性理解成較差的

結果因為實際上我們在處理客觀事物時經常藉助於模糊性例如

若我們要在路上找一位「年輕的漂亮女孩」「年輕」及「漂亮」都是模

糊的概念但對我們而言這在路上不難找到因為我們的大腦會分析什麼

是「年輕」及「漂亮」於是我們就可以判斷出我們要找的人然而若我

們要求必須用電腦查詢「年輕的漂亮女孩」我們就必須將「年輕」及「漂

亮」這兩個模糊的條件利用具體的數據輸入電腦分析才能找到符合我們

要求的人

最後人們對模糊性的認知常與隨機性混淆其實它們之間有著很大

的不同隨機性是本身具有明確意義只是因為發生的條件不充分使得

在條件與事件之間不能產生確定的因果關係所以事件的出現與否表現出

一種不確定性而事物的模糊性是指我們要處理的事物的概念本身就是模

糊的即一個對象難以確定是否符合這個概念也就是由於概念外延模糊

而帶來的不確定性

231模糊的發展

模糊理論是在美國加州大學伯克利分校電氣工程系的 LAzadeh 教授

於 1965年創立的模糊集合理論的數學基礎上發展起來的主要包括模糊集

合理論模糊邏輯模糊推理和模糊控制等方面的內容

早在 20世紀 20年代著名的哲學家和數學家 B Russell就寫出了有關

「模糊性」的論文他認為所有的自然語言均是模糊的比如「紅的」和

「老的」等概念沒有明確的內涵和外延因而是不明確的和模糊的可是

14

在特定的環境中人們用這些概念來描述某個具體對象時卻又能心領神會

很少引起誤解和歧義

美國加州大學的 L A Zadeh 教授在 1965 年發表了著名的論文文中

首次提出表達事物模糊性的重要概念隸屬函數從而突破了 19世紀末勒

內middot笛卡爾（Rene Descartes）的經典集合理論奠定模糊理論的基礎1966

年P N Marinos發表模糊邏輯的研究報告1974年L A Zadeh 發表模

糊推理的研究報告從此模糊理論成了一個熱門的課題1974 年英國

的 E H Mamdani 首次用模糊邏輯和模糊推理實現了世界上第一個實驗性

的蒸汽機控制並取得了比傳統的直接數字控制演算法更好的效果從而

宣告模糊控制的誕生1980年丹麥的 LPHolmblad 和 Ostergard 在水泥窯

爐採用模糊控制並取得了成功這是第一個商業化的有實際意義的模糊控

制器

事實上模糊理論應用最有效最廣泛的領域就是模糊控制模糊控

制在各種領域出人意料的解決了傳統控制理論無法解決的或難以解決的問

題並取得了一些令人信服的成效

模糊控制的基本思想把人類專家對特定的被控對象或過程的控制策略總

結成一系列以ldquoIF THENrdquo形式表示的控制規則通過模糊推理得到控製作用

集作用於被控對象或過程控製作用集為一組條件語句狀態語句和控

製作用均為一組被量化了的模糊語言集如「正大」「負大」「正小」

「負小」零等

模糊控制的幾個研究方向

1 模糊控制的穩定性研究

2 模糊模型及辯識

3 模糊最優控制

4 模糊自組織控制

5 模糊自適應控制

6 多模態模糊控制

模糊控制的主要缺陷

信息簡單的模糊處理將導致系統的控制精度降低和動態品質變差若

要提高精度則必然增加量化級數從而導致規則搜索範圍擴大降低決策

15

速度甚至不能實時控制模糊控制的設計尚缺乏系統性無法定義控制

目標控制規則的選擇論域的選擇模糊集的定義量化因數的選取多

採用試湊發這對複雜系統的控制是難以奏效的

232模糊至今應用的範圍

模糊理論發展至今已接近三十餘年應用的範圍非常廣泛從工程科

技到社會人文科學都可以發現模糊理論研究的蹤跡與成果我們分別由工

程科技與社會人文科學的角度瞭解模糊理論應用的範疇

1 工程科技方面

(1) 型樣識別文字識別指紋識別手寫字體辨識影像辨識語音

辨識

(2) 控制工程機器人控制汽車控制家電控制工業儀錶控制電

力控制

(3) 信號及資訊處理影像處理語音處理資料整理資料庫管理

(4) 人工智慧及專家系統故障診斷自然語言處理自動翻譯地震

預測工業設計

(5) 環保廢水處理凈水處理廠工程空氣污染檢驗空氣品質監控

(6) 其他建築結構分析化工製程控制

2 教育社會及人文科學方面

(1) 教育教學成果評量心理測驗性向測驗電腦輔助教學

(2) 心理學心理分析性向測驗

(3) 決策決定決策支援決策分析多目標評價綜合評價風險分

析

233模糊集合

過去傳統數學上集合的基本定義是以二值邏輯(Binary Logic)為基礎的

方式來描述事物為屬於或不屬於此集合也就是元素 x和集合 A的關係

只能是isinA或notinA明確的判斷對象為所屬集合也就是明確集合(Crisp Set)

如果要描述適當的模糊事物時須將所屬集合的概念模糊化使之無明確

判對象所屬的集合模糊集合是指在界限或邊界不分明且具有特定事物的

集合以建立隸屬函數(Membership Function)來表示模糊集合承認論域

(Universe of Discourse)上存在既非完全屬於集合A又非完全不屬於集合A

16

使傳統集合的絕對屬於的概念改變為相對屬於的概念以數學式表示論域

U 上的模糊集合 A可表示為元素 x與它的歸屬函數集合

(216)

其中 A為一模糊集合 為歸屬函數x稱作元素U為論域一

般情況下歸屬度會界定在 0跟 1之間

(1) =0表示元素 x不屬於

(2) =1表示元素 x完全屬於

(3) 趨近 0表示元素 x極不可能屬於

(4) 趨近 1表示元素 x極有可能屬於

這個表示式的完整解釋為當 x 在 U 的範圍內會對應到一個介於 0

到 1之間的數值 所有這種 x所成的集合就是一個模糊集合模糊集

合可表示為

1 當論域Ｕ為有限離散(discrete)集合的情形下模糊集合 可表示成

(217)

2 當論域Ｕ為實數論域所組成之在連續(continuous)集合的情形下模糊

集合 可表示成

isin (218)

其中 並非積分符號而是單純的連結符號

234 模糊數(Fuzzy Number)

1 模糊數(triangular fuzzy number)

假設 是模糊集合或模糊數(FN)在實線 2R 上則以三角形隸屬函數

(triangular membership function）表示為 1 2 3( )a a a 2 x R to A 則

1

1 2 1 1 2

3 3 2 2 3

3

0

( ) ( ) ( )

( ) ( )

0

x a

x a a a a x aA x

a x a a a x a

x a

(217)

17

1

其隸屬函數圖形如圖 21

圖 21 三角模糊數

2 梯形模糊數(trapezoidal fuzzy number)

梯形模糊數可表示為 如圖 22其隸屬度函數定義為

(218)

其隸屬度函數如圖 22

圖 22梯形模糊數

a b c d

1

18

在一信賴區間 α水準α 01 我們定義 A

( )A x A x (218)

三角形隸屬度函數以 α-cut表示為

( ) ( )

1 3 1 1 2 3 2 3[ ] [ ( ) ( )]A a a a a a a a a

(219)

( )

1a 與 ( )

3a 個別代表 A的下界及上界

根據模糊算術方法Zadehrsquos sup-min 方法表示如下

( )( ) sup min( ( ) ( ))x y z

A B z A x B y

(220)

其中 sup表任何模糊算式Mizumoto and Tanaka（1976）使用相同方

法在 α 截集模糊數和區間算術Chang（2003）和 Chang et al （2006）和

Chang and Hung（2006）整理使用 α 截集模糊算術方法的文獻α截集模

糊算術中模糊數基本運算公式（加法減法乘法除法）可以計算的

更快在每一個 α-level 區間中使用區間算術（Kaufmann and Gupta

1988）

1 模糊數加法

令A和 B分別為兩模糊數 A和 B在一信賴區間 α水準 ( ) ( )

1 2[ ]A a a

( ) ( )

1 2[ ]B b b αisin 01 forall A B sub 2R 表示如下

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 2 1 2 1 1 2 2[ ] [ ] [ ]A B a a b b a b a b

forallαisin 01 (221)

2 模糊數減法

在一信賴區間 α水準forall A B sub 2R αisin 01

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 2 1 2 1 2 2 1[ ] [ ] [ ]A B a a b b a b a b

(222)

3 模糊數乘法

在一信賴區間 α水準forall A B sub 2R αisin 01

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 2 1 2 1 1 1 2 2 1 2 2

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 1 1 2 2 1 2 2

[ ] [ ] [min(

max( )]

A B a a b b a b a b a b a b

a b a b a b a b

(223)

4 模糊數除法

在一信賴區間 α水準forall A B sub 2R αisin 01

19

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 1 1 2 2

1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 2 1 2 1 2 1 2

[ ] [ ] [min( )max( )]a a a a a a a a

A B a a b bb b b b b b b b

式中 ( )

1b ( )

2b gt0forallαisin[01] (224)

235模糊運算

根據 Zadeh（1965）的擴展原理（Extension Principle）可以廣義的使

用一般基準 T取代原來的最小值模糊數的數學運算表示如下

1 加法

( )( ) sup ( ( ) ( ))x y z

A B z T A x B y

(225)

2 減法

( )( ) sup ( ( ) ( ))x y z

A B z T A x B y

(226)

3 乘法

( )( ) sup ( ( ) ( ))x y z

A B z T A x B y

(227)

4 除法

( )( ) sup ( ( ) ( ))x y z

A B z T A x B y

(228)

24 模糊迴歸

在科學研究過程中許多研究者常使用迴歸來描述自變數 x和應變數 Y

之間的關係傳統的迴歸分析均假設觀察值由實際應變數影響加上隨機誤

差而產生也就是說應變數是一種帶有不確定性的隨機變數不過在很

多的實務應用上往往無法滿足這樣的假設例如有些應變數 Y 的觀察值

並不是以單一數值的型式存在而是帶有多重隸屬的特性這些觀察值雖

然帶有不確定性但這種不確定的特性是來自於模糊現象而非隨機現象

若由模糊觀點套用迴歸分析來處理模糊資料問題就稱為模糊迴歸分析

模糊迴歸分析最早是由 Tanaka et al (1980) 提出一般模糊迴歸能夠處理的

樣本型式有兩種一種是實數值樣本 其中 為實數向量 為觀測

到的實數值另一種是模糊數樣本( 其中 為觀測到的模糊數不論

是實數值樣本或是模糊數樣本想要估計模糊迴歸參數估計方法大都是

20

利用線性規劃的技巧來尋求一組能將實數值樣本 或模糊數樣本(

包含在內的區間再將三角形隸屬函數（triangular membership function）套

用

在此區間上如此便求得一組模糊迴歸估計式要得到正確的估計結

果最好是收集具有代表性的隸屬函數樣本所謂具有代表性的隸屬函數

樣本應該是以模糊數的形式存在所以本文就樣本模糊數 進行討論

線性模糊迴歸模式常表示成

0 1 1 2 2( ) i i i p piY x A A x A x A x (229)

其中 1 2 3(1 ) i i i i p ix x x x x 為自變數向量 ( )iY x 為模糊應變數

為模糊參數利用樣本模糊數 估計參數 時通

常假設 與 的隸屬函數為對稱三角型式 與 的隸屬函數表達如下

( ) max 1 0 i

i

Y

i

t yt t

r

(230)

其中 為三角隸屬函數的中點 為三角隸屬函數的分布半徑可令

( ) max 1 0 m

m

A

m

t ct t

s

(231)

其中 為三角形的中點 是三角形的分布半徑 與 間的關係

如圖 23所示

圖 23模糊數的中心值與散佈值

1

0

21

再令 則前述的模糊迴歸方程式可改寫成

0 1 1 2 20 1 2( ) i i ipi p pY x x xC S xC S C S C S (232)

因此模糊應變數 ( )iY x 的隸屬函數也屬於三角型式可表示成

( )

0

0

( ) max 1 0 Y xi

p

m m

m

p

m mi

m

t c x

t t

S x

(233)

其中 因此只要估計出三角形的中點 及半徑 便可得到

隸屬函數的估計值模糊迴歸分析是在要求每一個觀測值 隸屬於模糊

迴歸區間的隸屬程度至少 的情況之下尋求最小的模糊迴歸預測區間如

(234)式表示

forall ( 234)

在利用 對未知的模糊參數 進行估計前一般先定

義模糊樣本 和模糊應變數 的 h截集其定義如下

令 為一組模糊樣本 ( )iY x 為模糊應變數若 與

分

別為 及 的 h截集(h-cut)則

(235)

(236)

因具代表性的樣本 其 h 截集 應要盡量接近模糊應變數 的 h

截集 意即

其中容許

不完全落在 之

內的情形發生根據以上觀點王景南(2002)認為樣本的左端點

和右端點 隸屬於 的程度會有一定的水準於是設立此水準

為 H因此假設 隸屬於 的隸屬度會盡量的接近 H其間的關係

為

( 與

( (237)

所謂的盡量接近 H是可允許隸屬度大於 H或小於 H而不是均大於

22

H

根據以上的對樣本的解釋運用最小平方法以所有樣本的左端點

配置一迴歸直線稱之為左端直線估計式

(238)

其中 為迴歸係數再以所有右端點 配置右端

直線估計式

(239)

其中 為迴歸係數

前文已假設樣本的左右端點隸屬於 的隸屬度會盡量的接近 H所

以將這兩條直線函式來估計 之 H截集的左右邊界即

(240)

如此可推導出 的隸屬函數為

(241)

其中 且

(242)

意即

(243)

其中

為三角形底邊中點是

分布半徑如此便可得一組估

計的模糊迴歸模式

(244)

仍需注意的是當樣本為對稱型態時左右迴歸函數式其配適的結果式

相同的只有常數項不同當對稱情形發生時可以考慮利用各別對應相

之權重除以常數項的分布半徑做為個別對應項之分布半徑意即

分布半徑

除此之外Celmins及Diamond Celmins也分別提出最小平方法之模糊迴

23

歸模式以便求解資料間距離最小的模糊迴歸方程

模糊迴歸應用上比統計迴歸更具彈性統計迴歸通常需要大量資料以

支持其假設而模糊迴歸卻無此需求因此當資料量不足或隨機性難以驗

證時模糊迴歸是較強健的(Robust)同時當所蒐集之資料的不確定性乃

來自於人類之主觀判斷時模糊迴歸較具適用性

因此模糊迴歸模式逐漸受到重視在1990年代的研究包括Sakawa及

Yano針對投入變數與輸出變數皆為模糊資料的問題建構出一個多目標的模

糊迴歸模式此外Chang和Lee則認為模糊迴歸中心線的趨勢與模糊迴歸散

佈值的趨勢可以存在不一致性為了分析統計迴歸與模糊迴歸的差異Kim

Moskowitz 及Koksalan 利用模擬分析比較統計迴歸與模糊迴歸的結果認

為由機率論所得的統計迴歸模式在大樣本時其預測績效遠比可能性理論

(Possibility theory)推演而得的模糊迴歸模式為佳然而當資料量遞減或所構

建的模式適合性變差時(即變數間存在模糊關係)則模糊迴歸模式的預測績

效將優於統計迴歸模式由於模糊迴歸模式在解決資料量少及系統關係模

糊不清的問題上具有較佳之績效而存在其正面之價值當變數間存在模

糊關係時

從早期到目前已發展出多種模糊迴歸模式求解方式以下根據薛展青

(2004)所整理的模糊迴歸分析整裡敘述如下

1 區間迴歸法

區間迴歸法(interval regression)其模型架構主要是由Tanaka et al(1982)

所提出的模糊線性迴歸(fuzzy linear regression)模型Tanaka et al(1982)所發

表的論文中表示傳統的迴歸模型中造成實際值與估計值的誤差來源被

認為是由測量或觀察所造成的而此誤差項在模糊線性迴歸模型中是因

模糊系統中參數的模糊性所產生的即誤差是反應模糊線性函數的模糊現

象因此以模糊線性函數來表示迴歸方程式而迴歸參數則是以模糊集合

來表示

Tanaka et al(1982)在估計模糊迴歸參數時是利用線性規劃技巧

(linearprogramming method)來尋求一組能將實數值樣本或模糊數樣本全部

包含的區間最後求得一組對稱三角形模糊數之迴歸參數

自Tanaka等人(1982)的文章發表之後後續的學者大多以此為基礎陸

續題出各種相關的模式與求解方法如Peters (1994)將Tanaka的線性規劃法

24

求解推廣為模糊線性規劃法求解讓資料對模糊迴歸模式的適應性更加提

升YenGhoshray 與Roig (1999)提出由於非對稱迴歸係數導因於大多數的

資料為離群值使得對稱三角迴歸係數不再適用因此將Tanaka et al的模

式推廣為非對稱三角迴歸係數Moskowitz 與Kim (1993)探討不同水準值下

模糊迴歸模式的求解與模式配適程度Redden 與Woodall (1996)探討模糊

迴歸分析預測未來值的結果Sakawa 與Yano (1992)將Tanaka的方法擴展到

依變數及自變數皆是模糊集合的情況並將之稱為多目標線性迴歸法

(multiobjective linear regression model)Koumlrner 與Naumlther (1998)討論解釋變

數與反應變數兩者皆為模糊數值的情況Kacprzyk 與Fedrizzi (1992)則蒐集

了各種不同迴歸模式的求解方法Redden 與Woodall (1994)說明Tanaka後

續提出的求解模式當中所具備的性質以及與傳統迴歸方法的差異比較

但是在此模式下求解之迴歸係數本身亦為一對稱的三角模糊數值

而且求解結果很容易受到資料尺度(scale)的影響使得反應變數估計值之展

度會變得更為寬廣後來Tanaka (1987)根據1982年的文獻發展為更完整的

可能性線性系統使模糊迴歸的結構更趨適應性Tanaka 與Watada (1988)

闡明可能性線性模式的概念推演建構成可能性線性迴歸模式Tanaka et

al(1989)應用模糊資料於可能性迴歸系統中並建構最小化最大化及混合

式三種線性規劃模式又對先前所提出的模式加以修正但就如Redden 與

Woodall (1994)所指出Tanaka 類型的模式對於離群值(outlier)的反應非常

敏感甚至在觀察值的個數增加時求解結果可能會產生無限多解因

此在Tsaur 與Wang (1999)提出的文獻對於在模糊迴歸分析中的離群值進行

一系列探討

2 模糊最小平方法

模糊最小平方法(fuzzy least squares)乃擴展傳統之最小平方法的觀念

最早由Diamond (1988)所提出利用傳統最小平方法的觀念求出一個模糊

迴歸模式以估算(approximate)反應變數的觀察值並非如區間迴歸中的包含

觀察值在其模式中利用反應變數的觀察值與估計值的模糊數值之最小

值最可能值與最大值定義兩者之間的距離以衡量迴歸模式與模糊資

料之間的最佳配適度的情形在使得所有觀察值與估計值的模糊數值之間

的距離平方總和為最小時可以導出類似傳統迴歸分析中的正規方程式

(normal equation)以求解迴歸係數

25

其後Chang 與Lee (1996)則將Diamond (1988)的方法加以擴充將迴

歸係數的最可能值與展度分別估計該方法的特點在於可將極端值(outlier)

加以處理並降低其影響程度Ma等人(1997)則將此類方法發展於適合非

三角模糊數值的場合Diamond 與Koumlrner (1997)則在此類方法中定義一

個判定係數的計算方法以比較不同模式的適合性Wu與Tseng (2002)提出

改善模糊迴歸模式之最小平方法其模式主要觀念是利用最小平方法將所

有樣本的左端點及右端點各配置一條迴歸線然後在將其左右迴歸線統合

成一條迴歸線

而在Kim 與Bishu (1998)的研究中是利用各個具有三角模糊數值的反

應變數之最小值最可能值與最大值以最小平方法分別計算出模糊迴歸

係數所得到的係數不一定為對稱的三角模糊數在此種求解方式下雖

然可以得到比較小的估計誤差但其缺點是無法處理解釋變數為模糊數的

情形另外Kim 與Bishu(1998)還提出了評估模糊迴歸模式的準則利用觀

察值與估計值歸屬函數之間面積的差異做為迴歸模式的估計誤差但其評

估準則的問題是無法比較不同模式在觀察值與估計值歸屬函數之間不具有

交集時的誤差情況在此情況下求算估計誤差時無法準確評估其總誤差而

導致評估失真而其他學者如Yang與Ko (1997)Yang 與Lin (2002)等則

是提出以最小平方法為基礎的模糊聚類分析求解方式

3 模糊隨機變數估計法

為了建構一個同時具有隨機和模糊特性的系統Kwakernaak (1978)首

先提出模糊隨機變數(fuzzy random variables)的概念認為傳統的隨機變數

U Ωrarr R為實數可測函數而模糊隨機變數則將一般隨機變數的概念廣義

化模糊隨機變數可表示為X ΩrarrS設ω isinΩ而ω 所對應到的不再是實

數值U(ω)而是模糊集合X (ω)S 代表模糊集合且Kwakernaak (1978)擴

充原來Zadeh 提出模糊集合之架構認為有時供作參考的資訊不齊全在

對某些述句進行評斷時我們無法判斷其絕對為真或絕對為假此時我

們考慮將原有的二元邏輯思維方式推廣暫且不作肯定的判決而僅是表

達出對錯的程度換句話說真值可以是介於單位區間[01] 內的任何值

如此思維方式稱之為多值邏輯(multivalued value)並將模糊集合視為一組

述句(statement)的集合且每個述句均對應一真值程度以符合人類的思維與

想法Stein 與Talati (1981)利用模糊數值的隸屬函數提出模糊隨機變數

26

的期望值之計算方式Kruse 與Meyer (1987)藉助集合表徵的概念建立了

一套模糊隨機變數的定義而為了讓模糊隨機變數能實際應用並將討論

的範圍界定在一模糊集合族上Koumlrner (1997)及Naumlther (1997)利用該方法以

求算模糊隨機變數的期望值與變異數並應用於線性模糊迴歸模式的求解

等另外在曾能芳(民 91)的博士論文研究中指出在Tanaka et al (1982)

的模糊迴歸模式中並不具備誤差項因此模式無法呈現樣本與期望值之間

的關係而無法討論線性規劃估計程序所具備的統計性質所以在曾能芳

(民 91)提出的迴歸模式中採用模糊樣本是由依變數之模糊期望值加上測量

誤差所組成並提出測量誤差存在於中點的模糊迴歸模式以及測量誤差

同時存在於中點和半徑的模糊迴歸模式

4 兩階段求解方法

以兩階段方法(two stage method)求解模糊迴歸模式的想法是在於結合

最小平方法與區間迴歸的觀念試圖降低反應變數估計值的模糊度如Savic

與Pedrycz (1991)對模糊迴歸模式的求解分為兩個步驟進行第一步以

反應變數的模糊數值之最可能數值為基礎將模糊數值視為簡化的明確數

值以傳統最小平方法求解迴歸係數的中心值第二步利用區間迴歸的

方式在使得迴歸係數的模糊度為最小的情形下以決定迴歸係數的三角

模糊數值Kao 與Chyu (2002)提出另一種模糊迴歸模式的兩階段求解方

法在第一階段先利用解模糊(defuzzification)方法將模糊觀察值轉換成為一

組明確數值之後利用該組明確數值以傳統的最小平方法求解迴歸係

數第二階段則是以Kim 與Bishu 所提之評估準則為目標式決定一個誤

差項估計值的模糊數以使得在Kim 與Bishu (1998)評估準則下的總誤差量

為最小該方法的特別之處在於求解的迴歸係數為明確數值而誤差項估計

值為模糊數值雖然此種求解方式可以得到很小的估計誤差但因其所著

眼的仍是Kim 與Bishu 評估準則下的面積估計誤差使得當觀察值與估計

值歸屬函數之間不具有交集時所衡量出的估計誤差較真實誤差為小且其

求解方法比較適合於觀察值為三角或梯形的模糊數值欲應用於其他型式

的模糊數值求解上則較為困難而在邱清爐(民 91)的博士論文中則是將

其兩階段求解方法對各種不同的模糊迴歸模式進行建構與評估並將其求

解方法應用於工作滿意度實例

5 其他求解方法與相關研究

27

Tanaka 等人(1995)後來提出另外一種模糊迴歸模式的求解方法將傳

統的估計誤差當作是存在解釋變數與反應變數之間的關係之可能性

(possibility)故模糊觀察值的展度可以直接轉換成迴歸係數的指數可能性

分配(exponentialpossibility distribution)而可以使用與傳統迴歸非常類似的

方式加以求解Tanaka與 Lee (1999)再利用辨識方法(identification method)

求解迴歸模式在其研究中利用辨識方法以決定模糊線性系統(fuzzy linear

system)中迴歸係數的可能性分配並認為由此方法所求解的迴歸係數會

有比較小範圍的可能性分配近年來有愈來愈多的學者將模糊迴歸分析

應用於其他傳統的決策方法及不同領域上如 Dunyak 與 Wunsch(2000)使

用 α 截集的端點以類神經網路(neuralnetworks)進行模糊迴歸分析Lee

與 Chen(2001)則將模糊迴歸模式使用於人力預測的問題上Tseng 等人

(2001)將由模糊迴歸模式建立之 ARIMA 模式用以預測匯率Tseng 與

Tzeng(2002)則利用模糊迴歸模式的求解方法以建構具有季節變動的

ARIMA 模式Kim 與 Bishu(1996)應用於人力可靠度分析的操作反應時間

上Wu 與 Tseng(2002)將其模糊迴歸模式應用在景氣對策信號上的分析

王景男(民 89)將模糊迴歸分析應用於籃球比賽攻防技術策略上曹勝雄

曾國雄江勁毅(民 85)以國人赴港旅客需求之預測為例說明傳統迴歸

模糊迴歸類神經網路之差別張良斌陳育民(民 86)將模糊目標迴歸法

應用在垃圾衛生掩埋場沼氣回收設備的成本估算謝邦昌林燦隆呂理

添(民 85)將模糊迴歸運用在甘蔗產量的預測對於上列有關模糊迴歸分析

的研究中絕大部份的文章均侷限於線性模式的分析鮮有文章討論非線

性模糊迴歸模式的求解最近雖然有少數學者開始討論非線性模糊迴歸模

式的解法如 Xu(1997)Buckley 與 Feuring(2000)的研究等但使用的方

法所求解的迴歸係數仍然為模糊數值其造成反應變數估計值的展度會

隨著解釋變數之數值增加而擴大的問題仍無法避免

28

第三章 研究方法

本章介紹本文將運用於數值分析中的預測研究方法利用本章建構的

方法可清楚了解如何利用混沌理論基於相空間重構的方式及模糊迴歸方

法於預測中

31 混沌時間序列建立預測方法

時間序列的模型建構和預測是資料處理研究領域中的重要方向其中

預測方法主要有線性和非線性預測方法兩種預測就是對未來作出估計和

推斷而通常要對研究對象或資料進行假設這一過程稱為建模利用建

模的方式獲得資料的科學表示就稱為模型混沌時間序列雖然看似隨機

但它卻是由確定系統產生的因此我們可以對混沌時間序列作出短期預測

同時由於混沌對初始條件微小差異的高度敏感性我們無法對混沌時間序

列作出長期預測每一步預測帶來的微小偏差都會使得下一步預測的偏差

擴大最終導致預測序列與原始序列完全不同

311李亞普諾夫指數判定資料混沌特性

進行預測前需根據 212節中提及的李亞普諾夫指數來判定資料是否

具有混沌特性最大李亞普諾夫指數是判斷和描述非線性時間序列是否為

混沌系統的重要參數因此是一個重要的混沌不變數

混沌系統中的李雅普諾夫指數可用來判斷系統是收斂的還是混沌的當系

統的李雅普諾夫指數中至少有一個為正時系統是混沌的 當系統的李雅

普諾夫指數均為負數時系統是收斂的 對於系統是否存在動力學混沌可以直觀的判斷最大李亞普諾夫指數是否

大於零一個正的李亞普諾夫指數代表著在系統相空間中無論初始兩

條軌跡的間距多小兩條軌跡的差別都會隨著時間的演化而成指數率的增

加而導致無法預測這就是混沌現象

312重建相空間

傳統的建模和預測方法己廣泛地應用社會科學中但大部分都是基於

線性系統混沌時間序列並不適用於非線性的混沌時間序列於是在判斷

時間序列性質後若判定序列以隨機性為主應採用從 AR 或 ARIMA 等隨

機模型來預測如果判定以混沌為主則應採用非線性確定性的方法進行

29

預測非線性時間序列的預報是經過相空間重構後對相空間中的動力軌

跡進行預報由於混沌系統具有被稱為「蝴蝶效應」的初始值敏感性所

以混沌時間序列是不能長期預測的但對於短時間內混沌系統的軌道在

相空間中具有一定的規律它們的預測性是可獲得的並比一般的基於統

計方法的預測能力要來得好

時間序列資料是時間離散後的樣本值用 表示將它「嵌入」到

一個 m維(mgt0)的空間中進行相空間重構後得到嵌入向量

(31)

由嵌入向量 可擴張成一嵌入空間 E由 Taken嵌入定理可知存

在映射面 滿足

(32)

上式表是出在拓樸的意義中可完全預測吸引子的特徵所以上式也可

表示為

(33)

其中函數 為 的一個估計值由式 (33)可得之我們可用

來預測

313相空間維度相關維度

在實作的研究上有許多方法可以用來估計混沌吸引子的維度本研

究選用較為常見的相關維度方法相關維度需先計算相關和將相空間中

所有樣本點皆計算其各別半徑收斂後之趨近值相關方程式（Correlation

Function）定義如下

(34)

其中

當 rrarr0時

兩邊同取對數可得

(35)

定義相關維度為 與 之曲線斜率為

(36)

在實際應用中經常給定一組維度 值選取適當的 r繪出

30

曲線求曲線當中直線段的斜率 如果系統存在這樣一個 值達到此

值後相應的關聯維數不再隨 的增長而變化也就是趨於飽和這表明

該序列為混沌系統其吸引子是存在的此時 值即為重構相空間的最佳

嵌入維數否則則表明該序列為隨機系統不具有混沌性

314 時間遞移數

利用 2123節中介紹的概念及 2124 中介紹的自相關函數求解出時

間遞移數的結果自相關函數公式如下

1

1

1( )( )

1( )

n k

t t k

tk n

t

t

x x x xn k

r

x xn

(37)

n為原資料樣本數k為時間遞移後的樣本點

將自相關係數計算的結果與每一筆遲延時間距離數值繪製成圖表可

由圖表中可分析辨別時間序列數據的初步基本特徵圖表繪製的結果顯示

自相關係數跟隨遲延時間距離數值的增加而顯示收歛且具有震盪循環之跡

象則表示數據具有一種規則屬於一混沌時間序列

32 複線性迴歸

確立資料為混沌後運用自我相關係數計算出時間遞移數及相空間維

度後將加入複線性迴歸運算複線性迴歸中常用的預測方法分為兩種

1 全域法

全域法就是利用相空間軌跡中的全部向量點做為擬合對象找出其

規律由此進行短期預測也就是說利用收集的大量的歷史資料利用

複線性迴歸訓練出迴歸參數再將未放進訓練迴歸參數的資料使用訓練

出的迴歸參數計算出預測值的資料型態本文還將原本的歷史資料分析

出資料的季節性後先去除季節性的影響最後再加回季節性討論預測結

果

2 局域法

局域法的基本原理是僅利用有限個鄰近點的資訊而不是利用全部的

樣本點來擬合 局域法預測是把相空間軌跡中的最後一點作為待測點對

離待測點鄰近的若干個相空間點的關係作出擬合再對預測相空間點的未

來演化規律進行預測本文使用零階局域法零階局域法是直接將鄰近樣

31

本點應用於預測根據鄰近樣本點預測 的最簡單的方法就是尋找相

空間中距離 最近的點假設距離最近的點是 那麼它的下一個樣本

點為 即可做為 的預測值

因數值資料在每日重複發生變動所以本研究又加入計算季節性指數

對趨勢線做季節性調整也就是對時間序列做季節性調整

33 模糊迴歸分析

運用模糊的概念帶進迴歸模式中處理具模糊性的資料問題此稱為模

糊迴歸分析本文利用的模糊迴歸模式主要有兩個方向一個是Tanaka et al

(1982)提出的模糊線性迴歸另一個是由Chang 與Lee (1994)所提出修正型

迴歸模式Tanaka 起初所提出的線性規劃模型

0 1

[ ( )]p n

j ij

j i

Min C X

st 0 0

(1 ) (1 )p p

j ij j ij ii

j j

X H c X y H e

(38)

0 0

(1 ) (1 )p p

j ij j ij ii

j j

X H c X y H e

0jc j R 0 1iX 0 1H 123i n 012j p

Tanaka 所提出的模糊模型未考慮到散度為負值的條件所以模糊上下

界會不斷的擴張而越來越寬大由 Chang 與 Lee (1994)所提出修正型迴歸

模式即將模糊的散度可為負值使上下界的模糊區間為遞減的情形遞

減的情形由圖 31表示

圖 31 模糊區間隨自變數越大而越窄

0

2

4

6

8

10

上界 中心線 下界

32

假設圖表中計算出的模糊迴歸函數為 0 0 1 1 Y c c X 模糊上界為

0 0 1 1UY c c X 模糊下界為 0 0 1 1LY c c X

33

第四章 數值分析

本章資料來源1台灣區車輛工業同業公會

2台北市交通局

本章所使用的數據資料為台北市交通局提供的公開的車流量資料數

值分析所使用的方法已在第三章論述利用第三章的方法分析數值預測的

準確性並結合模糊迴歸常見的兩種方法幫助決定預測的可接受範圍本

章介紹本文所利用的數學模型及方法在複線性迴歸的模型中分成混沌全

域法去季節性後的混沌全域法以及混沌局域法預測出的結果加以討論預

測的準確性再將預測值去季節性觀察準確程度最後再帶入模糊迴歸

利用 05H 加以討論如何將模糊迴歸中的散度用以選擇預測值的範圍第

一節針對傳統複線性迴歸方法並結合全域法觀念訓練資料迴歸係數討

論預測結果第二節針對傳統複線性迴歸方法並結合局域法觀念訓練資

料迴歸係數討論預測結果第三節針對預測資料去除季節性後再利用

傳統複線性迴歸方法討論預測結果第四節針對模糊迴歸的兩種方法選

擇出預測的範圍

利用第三章論述的時間遞移及相關維度的做法將本文利用具混沌性

的資料加以分析將資料先利用 212 節中介紹的李雅普諾夫指數 判定是

否具混沌性具有混沌性的資料才能利用混沌理論重構相空間若李雅

普諾夫指數 介在 0跟 1之間則表示資料具有混沌性質本文資料利用程

式計算出李雅普諾夫指數 運用自我相關係數判斷出時間遞移

數 相關維度計算出維度 我相關係數判斷時間遞移數與相關維

度的圖形以及原始資料時間遞移後的資料圖如圖 41圖 42圖 43

34

圖 41相空間維度及 lnC與 ln r斜率關係圖

圖 42相空間維度及 lnC與 ln r斜率關係圖

0

1

2

3

4

5

6

7

0 5 10 15 20

相空間維度

斜

率

d

-02

0

02

04

06

08

1

12

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33

時間遞移數

自我相關函數

35

圖 43 原始資料時間序列圖

41 複線性迴歸混沌全域法

本文所使用的資料為 10日的車流量資料利用前 9日的資料訓練出迴

歸參數將迴歸參數代入複線性數學模型中計算出的迴歸方程式為

1 2 3 4

5 6 7 8 9

10 11 12 13 14

435363 00819 00338 01777 00070

01116 01999 00299 02716 00349

01399 00056 01113 00738 02038

y x x x x

x x x x x

x x x x x

(41)

解出迴歸參數計算出複線性迴歸方程式後再將最後一日 144筆的車

流資料代入方程式中計算出預測值利用複線性迴歸混沌域法預測出的結

果如圖 44

圖 44 複線性迴歸分析預測與原始資料比較圖-全域法

0

20

40

60

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120

140

160

180

1 53

10

5

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209

26

1 31

3

365

41

7

469

52

1 57

3

625

67

7

729

78

1 83

3

885

93

7

989

10

41

1093

11

45

1197

12

49

1301

13

53

1405

原始資料點

原始資料點

-50

0

50

100

150

200

1

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13

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25

31

37

43

49

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61

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91

97

103

109

115

121

127

133

139

實際值

預測值

36

由圖表的狀況可觀察出運用複線性迴歸模型預測的結果不盡理想本

研究認為運用複線性迴歸預測的結果不佳的原因有二

1 利用全域法預測是將較大量的歷史資料加入考慮訓練出迴歸參數這

樣的結果造成削弱了原本的奇異點(相較於同時段資料差異性較大的點)

的影響力

2 嵌入維度 太高對於混沌時間序列隨著嵌入維度增高歷史

對未來的影響是呈指數衰減的所以全域法所利用的資訊歷史就越長

預測的精準度就會迅速下降因此本研究將加入局域法討論預測的準

確性

42 複線性迴歸混沌局域法

局域法的做法為尋找相空間重構後的點對待測點尋找鄰近的 k個相

空間點對離待測點鄰近的若 k個相空間點的關係作出擬合並分析出複

迴歸方程式的迴歸參數本文嘗試選取 k=50~250的結果以下只列舉 k=200

的圖解釋預測結果

圖 45 複線性迴歸分析預測與原始資料比較圖-局域法(k=200)

圖 44與圖 45比較後可看出區域法預測的準確性比全域法更好某

些預測出來的結果的點與原始資料的點差異性大有明顯的偏移本研究

認為利用局域法預測的結果不佳的原因如下由圖 45可看出預測結果與

原始資料間差異性較大的點位為數列的右側 而數列尾端的資料為凌晨或

0

20

40

60

80

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120

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160

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1

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97

103

109

115

121

127

133

139

實際值

估計值

37

是深夜的車流量因每日凌晨或是深夜的車流量變化量較少(例如某日的凌

晨十二點十分可能為 0台車或是小於 10台車經過)所以資料的差異性

較大造成頭尾的資料預測上較為不準確

因為同時段的資料可能會影響資料預測出的結果所以我們下節就以

加入季節性的考慮來加以討論預測結果

43 複線性迴歸去除季節性後混沌全域法

本文使用的車流量資料為每日 24時換算成 1440分鐘每 10分鐘記

錄一點於是本研究依資料的記錄時間點來劃分季節性將季節分成 144

個季分別求出季節性指數求取季節性指數後將每個資料點先去除季

節性利用全域法訓練出去季節性後的迴歸係數再利用複線性求出預測

值最後將去除的季節指數乘回預測點結果如下

圖 46考慮季節性複線性迴歸分析預測與原始資料比較圖-全域法

此考慮季節性因子的複線性迴歸分析預測與原始資料的比較是用全

域法去訓練迴歸參數的而由圖 44我們可以得知一開始未考慮季節因

子使用全域法的複線性迴歸預測是不準確的本研究認為原本的歷史資

料隨著季節性因子的變化該系統原本呈現複雜的動態特性實際上由於

車流量的變動有許多外在因素的影響例如氣候假期hellip等影響會使

資料的變化過程發生不同程度的偏離而對於季節性事件來說其事件發

生的過程主要受季節性參數週期性變化的影響 因此影響因素的具體形

式可以近似地表示為單一函數本文考慮季節因素對車流量的影響意即

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

1

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13

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3

10

9

11

5

12

1

12

7

13

3

13

9 實際值

預測值

38

經過季節性分析後的得到的預測分析結果很準確如圖 46所示此結果

表示季節性影響樣本資料的情形大也代表著在季節因素影響下系統中

事件的動態變化情況是隨著季節影響參數的變化而造成系統呈現各種

各樣複雜的動態特性如週期解混沌情形hellip等

44 模糊迴歸

441Tanaka模糊迴歸

μ及 H 值之選定原則為當不確定性愈大時其 μ及 H 值愈接近 0

反之當資料不確定性愈小時μ及 H 值取愈接近 1 之值Bardossy 等人

建議其值在 05~07間為適宜根據 Tanaka在 1982年所提到的方法我們

可以求得一模糊迴歸函數並可得知其中心線與其上界及下界假定在 H =

05的情況下利用 Tanaka模糊迴歸模式算出迴歸函數為

(42)

中心線與上下界的簡單迴歸方程式為

中心線 (43)

上界 (44)

下界 (45)

繪製出的圖形如圖 47所示

圖 47 Tanaka 模糊迴歸

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100

150

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250

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115

121

127

133

139

下界

中心線

上界

39

圖 48 Tanaka 模糊迴歸中心線與預測值之結合

從圖 48可看出預測值與模糊迴歸的中心線 有明顯的時間差異但由

圖可以觀察出模糊迴歸的中心線 的預測趨勢與實際值是相近的雖然利

用模糊迴歸預測的時間點比實際時間快但是相對來說也是可以用來預

測之後將發生的趨勢本研究認為若模糊迴歸可用於預測中則可用模糊

的散度 c當做預測行為中選取的可接受的變動範圍如圖 49最後將 Tanaka

模糊迴歸中心線上下界與實際值之結合如圖 410所示

圖 49 Tanaka 模糊迴歸中心線上下界與實際值之結合

0

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1

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22

29

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106

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141

實際值

中心線

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73

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91

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103

109

115

121

127

133

139

實際值

下界

上界

預測

值

預測值

40

圖 410 Tanaka 模糊迴歸中心線上下界與實際值之結合

442修正型 Tanaka模糊迴歸

因為我們要將模糊迴歸應用於預測中所以本研究將複線性迴歸的趨

勢線視為模糊迴歸的中心線再利用修正型 Tanaka模糊迴歸模式算出迴歸

函數為

(46)

中心線與上下界的簡單迴歸方程式為

中心線

上界

下界

繪製出圖形如圖 411

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133

139

實際值

預測值

下界

上界

41

圖 411 修正型模糊迴歸中心線上下界與實際值之結合

本研究使用的修正型模糊迴歸中心線與傳統的迴歸方程式相同所以

可用來處理或分析模糊資料與明確資料同時修正型模糊迴歸的上下界

與 Tanaka 模糊迴歸相較也變窄了此兩種現象就是修正型迴歸的特色因

為中心線與傳統的迴歸方程式也相同這種修正型迴歸散度可選擇為負值

的特色本研究認為可以應用在預測上因為上下界與中心線間的散度變

窄使得前文所敘述到的利用散度來選取預測範圍便可更為嚴格也可

使預測的結果更為可靠如圖 412所示

圖 412 Tanaka 上下界與修正型模糊迴歸上下界的寬度差別

0

50

100

150

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1 7

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139

下界

中心線

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0

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1 8 15

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92

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106

113

120

127

134

141

Tanaka下界

Tanaka上界

Tanaka修正型下界

Tanaka修正型上界

42

第五章 結論及未來研究方向

51 結論

根據前文的討論傳統迴歸和模糊迴歸建立在不同的理論基礎上傳

統迴歸是以機率為基礎而模糊迴歸則是以可能性為基礎傳統迴歸因變

數的估計值與觀測值之間的差異為因變數的隨機性而模糊迴歸因變數的

估計值則產生於觀測值之模糊度惟兩者最大不同處在於模糊迴歸式的

迴歸係數與預測值皆為模糊數（區間值）不同於傳統迴歸係數與預測值

均為明確的數值此外傳統迴歸侷限於對明確資料的分析可能性模糊

迴歸僅適用於分析具模糊性的資料而複合的模糊迴歸則可同時適用於分

析模糊與明確的資料此為此模式最大的特點

模糊迴歸應用於預測中大多的結果是不佳的但是我們透過結合混

沌與模糊迴歸的概念將混沌的預測單點概念拓展成一個可接受的預測

範圍

PT Chang 與ES Lee 使用修正型模糊迴歸重新定義散度做出新的

模糊上下界均為改善模糊迴歸模式Tanaka之研究本研究將模糊迴歸與

混沌理論之建立時間序列的預測情形加以結合討論發現模糊迴歸在預測

的行為中是可行的但可惜的是即使預測的趨勢相近但預測值出時間

的點卻有差別這樣的結果我們可以看出若能找到解決加強模糊與複線性

迴歸關係之間時間的關聯性就能利用模糊的不確定性來討論預測問題

52 未來之研究方向

本研究將模糊迴歸與混沌理論之建立時間序列的預測情形加以結合討

論發現模糊迴歸在預測的行為中是可行的但可惜的是即使預測的趨

勢相近但預測值出時間的點卻有差別這樣的結果我們可以看出若能找

到解決加強模糊與附線性迴歸關係之間時間的關聯性就能利用模糊的不

確定性來討論預測問題

為了符合現今社會多元的狀況模糊迴歸與傳統迴歸之觀念勢必加以

混合應用也為了解決此等問題混合式迴歸（Hybrid Regression）在近年

來被提起也因此參數的估計模糊迴歸與傳統迴歸的混合應用將成

為往後繼續研究探討之目標

建議未來可用模糊加權修正模糊迴歸使模糊迴歸在預測上更能直接

43

將對事物多個構面評估的意見與其影響事物狀況的重要程度作加權的運

算

44

參考文獻

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[20] 謝逸婷(2005)模糊排序法於資料包絡分析模式之應用南台科技大學工業管理研

V

目錄

摘 要 II

ABSTRACT III

致謝詞 IV

目錄_ V

圖目錄 VI

第一章 緒論 1

11 研究背景與動機 1

12 研究目的與範圍 2

13 研究架構與流程 2

第二章 文獻探討 4

21 混沌理論 4

22 複線性迴歸分析 11

23 模糊理論 12

24 模糊迴歸 19

第三章 研究方法 28

31 混沌時間序列建立預測方法 28

32 複線性迴歸 30

33 模糊迴歸分析 31

第四章 數值分析 33

41 複線性迴歸混沌全域法 35

42 複線性迴歸混沌局域法 36

43 複線性迴歸去除季節性後混沌全域法 37

44 模糊迴歸 38

第五章 結論及未來研究方向 42

51 結論 42

52 未來之研究方向 42

參考文獻 44

VI

圖目錄

圖 11 本研究之架構與流程 3

圖 21 三角模糊數 17

圖 22 梯形模糊數 17

圖 23 模糊數的中心值與散佈值 20

圖 31 模糊區間隨自變數越大而越窄 31

圖 41 相空間維度及 LNC與 LN R斜率關係圖 34

圖 42 相空間維度及 LNC與 LN R斜率關係圖 34

圖 43 原始資料時間序列圖 35

圖 44 複線性迴歸分析預測與原始資料比較圖-全域法 35

圖 45 複線性迴歸分析預測與原始資料比較圖-局域法(K=200) 36

圖 46 考慮季節性複線性迴歸分析預測與原始資料比較圖-全域法 37

圖 47 TANAKA模糊迴歸 38

圖 48 TANAKA模糊迴歸中心線與預測值之結合 39

圖 49 TANAKA模糊迴歸中心線上下界與實際值之結合 39

圖 410 TANAKA模糊迴歸中心線上下界與實際值之結合 40

圖 411 修正型模糊迴歸中心線上下界與實際值之結合 41

圖 412 TANAKA上下界與修正型模糊迴歸上下界的寬度差別 41

1

第一章 緒論

本章節主要在說明本研究之整體結構透過研究背景與動機清楚導引

出本研究之目的並利用研究目的與範圍定義研究的範疇邊界將依下列

三小節逐項說明

11 研究背景與動機

在日常生活中很多的現象與問題往往充滿著不確定性面對不確定

性以往皆是用隨機的概念加以描述直到1960年代開始有人質疑隨機

的概念用在有不確定性之現象的適用性為了有效解決人文思維的不確定

性Zadeh在1965年首先提出了模糊集合的概念而後到了1970年Zadeh

與Bellman又區分出隨機(Randomness)與模糊(Fuzziness)之間的不同

在對某一對象進行研究時除了希望了解其目前的狀況之外更希望

能夠做到預測未來的現象生活中包含社會經濟教育體育等等的現

象與問題皆常常希望描述自變數與因變數之間的關係因此迴歸模型

便是一種最常用的統計方法

在傳統的迴歸分析當中所假設的估計值是由實際的因變數加上誤差

所產生的這也表式因變數是一種含有不確定性的隨機變數不過在現

實生活當中很多事情往往不符合這個假設因為許多的變數並不是一個

明確的數值而是含有多重隸屬的特性以問卷調查為例若一張為卷調

查的答案分為五個等級滿分五分意表「非常滿意」最低一分意表「非

常不滿意」若有兩人在填問卷時針對同一題問題一人回答「非常滿

意」而另一人回答「滿意」則我們不能太過明確的斷定得到5分的「非

常滿意」跟4分的「滿意」之間的優劣如果太過依賴實際數字去斷定這兩

位顧客的滿意程度也許會造成預測結果與實際狀況上的誤差

因此為了解決此種問題Tanaka等人(1982)提出了模糊線性迴歸模式來

處理模糊性資料的問題而Chang與Lee也提出了修正型的模糊迴歸此模

式是利用模糊的散度可為負值討論模糊迴歸來建立迴歸式由模式所估

計而得的迴歸係數與預測值均為一個模糊數或區間值此模式因散度挑

選為負值可修正掉Tanaka的模糊迴歸上下界不停擴散的缺點此點為其

最大的特色所以我們將利用模糊的不確定性特色來加入討論預測的結果

使預測視界更為開闊

2

12 研究目的與範圍

傳統的預測方法都是利用建立數據序列模型後再進行計算及與預測

然而隨著混沌科學發展發現混沌的現象存在於生活許多細節中於是學

者致力於發展混沌科學利用歷史資料的混沌規律性建立客觀的模型可

避免人為的主觀想法而影響預測的準確性

本論文的研究目的在於利用混沌理論建立時間序列與應用傳統複線性

迴歸計算進行預測已是一種在社會科學中被廣泛應用的預測方法但是

在預測的領域中加入模糊討論的情形卻很少在傳統的迴歸分析當中

所假設的估計值是由實際的因變數加上誤差所產生的也就是說因變數

是一種含有不確定性的隨機變數不過在現實生活當中很多事情往往不

符合這個假設因為許多的變數並不是一個明確的數值而是含有多重隸

屬的特性以學生的考試成績為例不能明確的斷定得到99分的學生和得

到97分的學生之間的優劣如果太過依賴實際數字去斷定這兩位學生的素

質高下也許會造成預測結果與實際狀況上的誤差

因此為了解決此種問題Tanaka等人(1982)提出了模糊線性迴歸模式來

處理模糊性資料的問題之後續有學者Chang與Lee也提出了修正型的模糊

迴歸選擇散度可為負值所以本文將依模糊理論中的模糊迴歸的特性來

加入預測值範圍討論處理不確定性問題

13 研究架構與流程

本論文的研究流程如圖 11 所示主要研究步驟從確立研究方向進

行相關文獻的探討然後建立本研究的預測方法流程並做混沌系統與模

糊系統的結合來做出預測最後給予本研究上的結論與建議研究架構圖

可參考圖 11

3

確認研究方向

相關文獻回顧

複線性迴歸預測模式

混沌理論 複線性迴歸 模糊理論

結論與建議

模糊迴歸上下界選取預測範圍

糢糊迴歸

建立預測模式

圖 11本研究之架構與流程

4

第二章 文獻探討

傳統的預測方法都是利用建立數據序列模型後再進行計算及與預測

然而隨著混沌科學發展發現混沌的現象存在於生活許多細節中於是學

者致力於發展混沌科學利用歷史資料的混沌規律性建立客觀的模型可

避免人為的主觀想法而影響預測的準確性

預測是一種資料探勘的相關技術通常都是利用各種統計或迴歸的方

法從過去的歷史資料中找出有用的趨勢或是模式然後利用這些趨勢或

模式來求得下一期間或週期的預測值要進行任何預測之前收集足夠的

有效觀察值是一種必要的程序在以往統計或迴歸的方法中均需要大量

的有效觀察值才能夠準確的判斷出預測結果

傳統的主觀意見預測法因為人為意見的影響較大無法利用電腦技術

來協助進行預測目前已經普遍不被企業所使用時間序列的數學方法是

以過去資料之時間序列為主而其基礎為假設未來之情形與過去情勢相雷

同因此若有某因素改變情形時必須參照判斷予以修正預測才能正確

而時間序列是指一個固定間隔為基礎經過了一段時間(如每小時每日

每月每週每月每季每年)之時間序列的觀察結果

本章節首先概述混沌理論的發展以及建立時間序列預測所運用的方法

再加以介紹模糊的幾何意義與模糊的演算法及結合傳統方法與模糊間的概

念

21 混沌理論

混沌理論是對一個不規則又看似無法預測的現象及過程加以分析在

現代科學史中真正數學和物理學意義下的混沌理論公認是由麻省理工

學院的氣象學家羅倫茲(Lorenz)提出的196年冬天某日當時還是副教授

的羅倫茲用一台 RoyalMcBee LPG-30 電腦對一個包含 12 個微分方程的

氣象動力學方程組進行數值模擬試驗在其中的一次驗算裡為貪圖方便

他把一個小數點後六位數的初始值做了四捨五入處理僅輸入了小數點後

前三位數但結果讓他大吃一驚這個與精確數值不到千分之一的誤差

讓最後計算結果大相逕庭這個偶然的取值失誤讓羅倫茲發現了一個簡

單具體並且有明確物理意義的可以用來表現和驗證彭加萊混沌理論的數

學模型於是 1963年洛倫茲在美國《氣象學報》上發表了題為「確定性

5

的非周期流」的論文這篇文章和他隨後發表的另一篇相關論文指出對

於模型中關鍵參數的微小改變會導致完全不一樣的結果使得有規律的周

期性行為能夠進入雜亂無章的狀態令精確的長期天氣預報變得不可能

Hayles(1990)於 Choas boundOrderly disorder in temporary literature and

science 一文中指出混沌的含義有兩個

1 系統失序的前兆與狀態

2 強調存在於雜亂現象內潛藏的規律與秩序結構

Curtis(1990)認為混沌理論或多或少隱含了隨機(randomness)的現象其

含義有兩個觀點

1 混沌是規律秩序的預兆當各種事件在一個系統中進行時混沌現象開

始出現就必須注意「驅散(disspative)結構」的雜亂現象同時也會產生

假使這個系統在「熱力函數」上有足夠熱度則它的結果將使「驅散結

構」的雜亂現象成為確切明白的秩序(Prigogine amp Stenger1984)這種

規律秩序的預兆Gleick (1987)稱之為介於熱力學和動力系統間以高

度個體化和關聯化的哲學觀點「規律秩序之外的秩序」稱之為「混沌」

2 強調經過混沌吸引子的吸收進而啟動「混沌系統」發展出「力的性

質」進而產生混沌系統的模式特徵姜濤(1993)認為從物理意義上來看

一個確定性系統(含有隨機或偶然因素)在沒有外界隨機干擾的情形下

所出現的無規則形態都可以稱為混沌現象Wheatly(1994)將混沌理

論定義為可能是一個事件行為或是過程它是多變的非線性的及

無法預測的所以模式和範圍是彈性的會隨時隨地改變

J Yorke(2002)將混沌賦予新義指出混沌是一種有結構有規則的系

統混沌的雜亂只是表象最終會回歸平衡且等待下一次的失序如此

一直循環著 混沌系統兩個十分重要的特性

1 系統的變化驟看似是毫無規則但實際上是由物理定律所決定的

2 系統的演化對初始條件的選取非常敏感初始條件極微小的分別 (就例

如 02 和 02001 只相差兩千分之一)在一段時間的演化後也可帶來

南轅北轍的結果

211碎形維度及混沌吸引子

碎形幾何理論(Fractals Geometry)是一門新興理論專門用來解釋以前

6

歐氏幾何學無法解釋的自然現象舉凡不規則形狀的自然物體都無法用歐

式幾何學解釋如雪花雲朵流水樹木hellip等所以碎形幾何理論是

用來解釋具有自我相似性及非整數維度的特徵

因此所謂碎形指的是一個幾何物件其外型不像直線弧線這些古

典歐幾里德幾何（Euclidian geometry）的表面那麼平滑而是相當破碎

不規則且無論巨觀或微觀都不是連續的這些不規則的碎形和我們習以

為常的觀念有所不同且基本上大多數的現象並不是如歐幾里德幾何所描

述的那樣

舉例來說一顆籃球對於向來熟悉阿基里德空間的我們來說直覺性

的會認為這是三度空間中的一個球體其維度為三但當把距離拉遠看

似一個圓形維度成為二若把距離縮近成為一公釐則可以發現籃球上

有凹下的線條有防滑的凸點顆粒這種情況下維度又該如何界定而曼

德布洛特在分析英國科學家李查(Lewis F Richardson)遺稿當中的一篇論文

時察覺任何國家的邊界在某種定義下都是無限長其重點在於測量時所

使用的基準長度一般要測量海岸線長度時測量員會架起兩腳器並預設

成一個長度沿著海岸線進行測量之後將兩腳器的尺度縮小重頭再量一

次海岸線長而所量到的這兩種尺寸後者一定較前者為長也較逼近真

實的邊界長度同理將兩腳器的兩腳距無限的縮小則所量到的邊界就

成為無限長

1967年代數學家 Benoit Mandelbrot發表了一篇名為「英國海岸線有

多長」的論文文中提到新的維度觀念也就是碎形維度碎形維度具

有四種特性(1)自相似性(2)自我模仿性(3)碎形維度為有限區域的無限

結構(4)碎形是非動力過程的結果混沌現象具有特殊的碎形維度(Fractals)

混沌狀態出現時運動軌跡不穩定它們隨機但緊密的逐漸收斂到一個整體

縮小但局部分離的區域此區域就稱為奇異吸引子（strange attractor）

Hayles(1990)指出混沌是強調存在於雜亂現象之內潛藏的規律秩序結構

因為雜亂現象之內隱含有「奇異吸子」(strangeattractors)進而啟動運作「混

沌系統」Griffths Hart amp Blair(1991)認為混沌理論應用在教育行政中

也具有奇異吸子的特徵奇異吸引子不同於的穩定的整數維吸引子（即不動

點極限環和環面）它具有的是奇特的非整數的空間維度這種空間被

稱作豪斯道夫（Hausdorff）空間因此混沌奇異吸子是一個整體穩定但是

7

局部不穩定的運動空間

212李亞普諾夫(Lyapunov)指數

混沌系統的初始值非常敏感使得初始時刻靠得很相近兩條相軌跡隨

著時間的增長而逐漸遠離如果能夠定量描繪出此種鄰近軌跡的發散性

便可建立出混沌變動情形的一種數值判斷方法李亞普諾夫指數就是用來

表示相空間內鄰近軌跡的平均指數發散率的數值特徵m 維相空間中的某

一時刻兩條鄰近軌跡之間的距離可以分解在 n 個不同的方向這 n 個不

同方向上的距離增長率是不相同的而每一個增長率就是一個李亞普諾夫

指數

最大李亞普諾夫指數是判斷和描述非線性時間序列是否為混沌系統的

重要參數因此是一個重要的混沌不變數對於混沌系統來說發散是一種

整體性的穩定因素動力系統一方面作為發散系統最終要收縮到相空間的

有限區域也就是吸引子上另一方面系統在相體積收縮的同時運動軌

跡是不穩定的要沿某些方向進行指數分離

對於 m 維的動力系統中 中初始兩點迭代後會互相分離

或是靠近取決於

的值若

則迭代使兩點分離若

則迭代使兩點靠近在不斷迭代過程中

也會隨之改變呈現出時而接

近時而分離的情形為了表示從整體上觀察得到的情況必須對時間(或反

覆運算次數)取平均設平均每次反覆運算所引起的指數分離指數為 於

是原來相距 的兩點經過 n次迭代後距離變為

(21)

若取極限 則式(21)變為

(22)

(22)式可簡化為

(23)

上式中的 與初始值的選取無關稱為原動力系統的李亞普諾夫指數

它表示系統在多次反覆運算中平均每次反覆運算所引起的指數分離中的

8

指數若 則表示相鄰點最終會靠近合併成一點若 則表示

相鄰點最終會發散而對應於軌道的局部不穩定若軌道還存有整體的穩

定因素(如整體有界發散存在捕捉區域等)系統則需在有限的幾何物件

上無窮次折疊以實現指數分離系統在此作用下反覆折疊並形成混沌吸

引子故 可做為判斷混沌情形的準則

混沌系統中的李雅普諾夫指數可用來判斷系統是收斂的還是混沌的

當系統的李雅普諾夫指數中至少有一個為正時 系統是混沌的 當系統的

李雅普諾夫指數均為負數時 系統是收斂的

對於一般 m維的動力系統定義李亞普諾夫指數如下設 F為

上的 m維映射假設一個 m維離散動力系統 將系統的初

始條件假設為一個無窮小的 m維小球由於演化過程中的自然變形圓球

將變成橢圓球將橢圓球上的所有主軸依其長度排列則第 i 個李亞普諾

夫指數根據第 i個主軸的長度 的增加速率定義為

(24)

李亞普諾夫指數與相空間的軌道收縮或擴張性質是有關連性的在李

亞普諾夫指數小於零的方向上軌道收縮運動穩定對於初始值不敏感

而在李亞普諾夫指數為正的方向上軌道迅速分離對初始值敏感李亞

普諾夫指數的前 j個指數的和是由前 j個主軸定義的 j維立體指數增加的長

期平均速率確定如橢球長度按 增加由前兩個主軸定義的區域面積依

增加由前三個主軸定義的區域面積依 增加以此類推在

李亞普諾夫指數譜中最小的李亞普諾夫指數決定軌道收縮的快慢最大

的李亞普諾夫指數則決定軌到發散也就是覆蓋整個混沌吸引子的快慢

而所有李亞普諾夫指數之和 可以大致表示為軌道的平均發散速度

李亞普諾夫指數是衡量系統動力學特性的一個重要定量指標它代表

了系統在相空間中相鄰軌道間收斂或發散的平均指數率對於系統是否存

在動力學混沌可以直觀的判斷最大李亞普諾夫指數是否大於零一個正

的李亞普諾夫指數代表著在系統相空間中無論初始兩條軌跡的間距多

小兩條軌跡的差別都會隨著時間的演化而成指數率的增加而導致無法

預測這就是混沌現象

213 混沌系統之時間序列

9

2131 相空間局部近似法

Farmer and Sidorowich(1987)在其混沌預測方法之研究提出所謂的相

空間局部近似法(phase space local approximation method)對系統之演變行為

進行預測這種奠基於時間延遲法(time delay method)所構成之重建相空間

(reconstructed phase space)的預測方式能夠適應吸引子(attractor)的局部行

為經後續進一步研究發現其具有相當良好之預測能力因此採 Farmer and

Sidorowich(1987)之相空間局部近似法構建交通量預測模式期能增加預測

準確度

2132 時間序列與相空間重構

相空間的概念就是把運行方程式所獲得的數字或數據轉換成為圖形

並將系統中隨時間改變的重要的資訊(無論是機械或是流體)抽取出來把各

式各樣可能的狀況註明在圖上利用延遲時間的概念模擬出類似原始系統

之相空間當重建一個空間使得此空間可以具體的包含吸引子特徵則此

空間之維度我們稱為嵌入維度Takens等人(1981)提出嵌入定理對於無

限長無雜訊的 d維混沌吸引子的標量時間序列x(n)可以在拓撲不變的

意義上找到一個 m維的嵌入相空間只有維數 m gt2d+ 1才可保有原始吸

引子的特徵Takens 定理保證了我們可以從一維混沌時間序列中重構一個

與原動力系統在拓撲意義下等價的相空間混沌時間序列的判定分析與

預測是在這個重構的相空間中進行的因此相空間的重構是混沌時間序列

研究的關鍵將收集的一維歷史資料例如現有歷史資料為 9筆13579

10131115間遞移的結果為1711391351015在此我們將利用此

時間遞移建立的時間序列觀念x(t) x(t minusτ ) x(t minus 2τ )hellip來重建相空間

2133 延遲時間 τ的決定

時間延遲如果 τ太小則相空間向量 x(i) = x(t) x(t minusτ ) x(t minus 2τ )hellip

中的任意兩個分量 x(t)和 x(t minusτ )在數值上非常接近以至於無法相互區分

從而無法提供兩個獨立的座標分量但如果時間延遲 τ 太大的話則兩座

標在統計意義上又是完全獨立的混沌吸引子的軌跡在兩個方向上的投影

毫無相關性可言因此需要用一定的方法來確定一個合適的 τ 值本文確

定 τ的主要方法為相關維度法

2134 自相關函數

自相關係數是利用時間序列裡每一筆數據與其前的數據根據不同遲延

10

時間距離的數值進行相關係數計算而成如遲延時間距離為 1表示將每

一筆數據與緊接其前的一筆數據進行相關係數計算如遲延時間距離為 2

表示將每一筆數據與其前第二筆數據進行相關係數計算如遲延時間距離

為 3表示將每一筆數據與其前第三筆數據列進行相關係數計算如此類

推自相關係數 之計算公式如下

1

1

1( )( )

1( )

n k

t t k

tk n

t

t

x x x xn k

r

x xn

(25)

式中 n為資料數k為時間遞移後的點t為時間點

將自相關係數計算的結果與每一筆遲延時間距離數值繪製成圖表可

由圖表中可分析辨別時間序列數據的初步基本特徵如圖表繪製的結果顯

示自相關係數沒有跟隨遲延時間距離數值的增加而顯示收歛之跡象也就

是說繪製線不斷於 X軸零座標線做不規律的上下擺動表示數據為隨機時

間序列即每一數據都視為個別獨立的事件且與過去某一筆遲延時間距離

數值的事件無關係反之若圖表繪製的結果顯示自相關係數跟隨遲延時

間距離數值的增加而顯示收歛且具有震盪循環之跡象則表示數據具有一

種規則屬於一混沌時間序列

2135 季節趨勢

季節趨勢預測法是根據事物每年重覆出現的週期性季節變動指數預

測其季節性變動趨勢

季節指數的概念即是利用簡單平均法計算週期內各時期模型季節性影響的

相對數季節指數反映了該季與總平均值間的穩定關係若季節指數大於

1則表示該季的值常會高於平均值若季節指數小於 1則表示該季的值

常會低於平均值若序列的季節指數都近似於 1則表示該序列沒有明顯

的季節效應季節指數的計算方式如下

計算週期內各期平均數

k=12hellipm (26)

計算總平均

(27)

計算季節指數

11

k=12hellipm (28)

其中 n為期數m為季節數

22 複線性迴歸分析

迴歸分析的目的主要是建立變數之間的關係進而應用於預測分析中

內政部營建署(1997)就曾利用迴歸分析來探討反彈數及現場鑽心試體之間

的抗壓強度關係進而建構出一迴歸方程式做為混凝土試體的抗壓強度

預測而在土木工程領域中也已有許多學者利用迴歸分析來進行研究

例如潘南飛與黃冠智(2005)利用迴歸分析來預測橋面版劣化狀況且考慮

以交通量及降雨量作為迴歸模式中的自變數最後得一配適佳的迴歸式

凌偉峻(2006)利用複線性迴歸分析建立模式及混沌系統的相空間鄰近點相

似特性來建立車流量預測模式Cheung et al (2008)使用氣候值持續值

颱風強度Julian Date記日本地時間七級風暴風半徑及颱風中心速度共

7個預報參數進行多變量的複線性迴歸(multiple linear regression)分析並以

20個傳統雨量站進行測試各新增變量中以颱風強度七級風暴風半徑及

中心速度對預報之改善較顯著其受改善之時數及相關係數之增加幅度皆

較其它變量為多顯示颱風結構參數在颱風降雨預報中比簡單的季節性因

素或日夜對流差異來得重要

敘述自變數( 1 kx x x x 2 3 )依變數 y 和誤差項 i 之間關係的方程式

稱為複線性迴歸模式複迴歸其主要目的有二

1 可以降低隨機誤差此與迴歸之變異數分析有關增加解釋變數之個數

可以使迴歸分析可解釋變動的部分增加相對的誤差就會減少

2 可以避免反應變數中影響重大的解釋變數有所遺漏而無法具體描述實

際資料的狀況估計複迴歸方程式或估計多元迴歸方程式(Estimated

multiple regression equation)大部分情況下複迴歸模式中的迴歸參數

皆不知其實際數值僅可以利用樣本數值估算分別以樣

本統計值 作為迴歸參數 的點估計值本研究

利用全域法訓練迴歸參數 即是利用前九日的歷史資料

複線性迴訓練出迴歸係數預測出第十日的資料型態複迴歸分析是將

簡單迴歸分析其自變數由一個增加至數個研究一群自變數和一個反應

變數之間的關係複線性迴歸模式定義如下

12

(29)

其中 為常態 n 隨機變數期望值 E(ε)=0且彼此互相獨立若有 n

組樣本觀測值(ngtp)組我們就可將方程式寫成

(210)

其中 i=123hellipn

若將複線性迴歸寫成矩陣可得下式

(211)

也可將式(211)寫成矩陣形式

(212)

其中 為觀察值向量 為參數向量 為自變數矩陣 為獨立之常態

隨機變數向量且滿足 向量 Y的期望值表示如下

(213)

複線性迴歸之最小平方標準方程式矩陣表示為

(214)

其中

為最佳模式之參數矩陣因此可求得最小平方估計式矩陣

表示為

(215)

其中 為 之轉置矩陣 為 之反矩陣只要利用式(215)

即可獲得複線性迴歸方程式

23 模糊理論

模糊理論是由美國加州大學伯克利分校電氣工程系的L A Zadeh在

1965年首次提出Zadeh在1965年發表了一篇傳統科學皆以排除具模糊性的

研究為主而模糊理論則以包含模糊性的研究為主現今科學發達所要

探討的議題越來越多由於人類的知識與研究會因本身主觀的意識因應

不同的人事時地物而具模糊性使得無法清楚呈現研究的本質為何要

13

在日常生活中精確地描述一個現象必定忽略其中的些微變化然而此描

述又無法真實描述現實因此模糊理論(Fuzzy Theory)正好能被廣泛應用在

研究上

模糊概念是指這個概念的外延具有不確定性或者說它的外延是不清

清楚的是模糊的例如好的壞的好壞的概念我們非常清楚但是

它的外延也就是究竟事件發生的條件到底是要如何才會是好的跟壞的

每個人的回答都會是不同的這就是一個模糊的概念所以當我們在接

觸模糊時是允許主觀意識的因為每個人對模糊的概念不盡相同儘管

如此當我們利用模糊統計方法進行分析時對於好與壞之間的界限又有

一定的概念

其次模糊性與精確性是相對立的但卻不能將模糊性理解成較差的

結果因為實際上我們在處理客觀事物時經常藉助於模糊性例如

若我們要在路上找一位「年輕的漂亮女孩」「年輕」及「漂亮」都是模

糊的概念但對我們而言這在路上不難找到因為我們的大腦會分析什麼

是「年輕」及「漂亮」於是我們就可以判斷出我們要找的人然而若我

們要求必須用電腦查詢「年輕的漂亮女孩」我們就必須將「年輕」及「漂

亮」這兩個模糊的條件利用具體的數據輸入電腦分析才能找到符合我們

要求的人

最後人們對模糊性的認知常與隨機性混淆其實它們之間有著很大

的不同隨機性是本身具有明確意義只是因為發生的條件不充分使得

在條件與事件之間不能產生確定的因果關係所以事件的出現與否表現出

一種不確定性而事物的模糊性是指我們要處理的事物的概念本身就是模

糊的即一個對象難以確定是否符合這個概念也就是由於概念外延模糊

而帶來的不確定性

231模糊的發展

模糊理論是在美國加州大學伯克利分校電氣工程系的 LAzadeh 教授

於 1965年創立的模糊集合理論的數學基礎上發展起來的主要包括模糊集

合理論模糊邏輯模糊推理和模糊控制等方面的內容

早在 20世紀 20年代著名的哲學家和數學家 B Russell就寫出了有關

「模糊性」的論文他認為所有的自然語言均是模糊的比如「紅的」和

「老的」等概念沒有明確的內涵和外延因而是不明確的和模糊的可是

14

在特定的環境中人們用這些概念來描述某個具體對象時卻又能心領神會

很少引起誤解和歧義

美國加州大學的 L A Zadeh 教授在 1965 年發表了著名的論文文中

首次提出表達事物模糊性的重要概念隸屬函數從而突破了 19世紀末勒

內middot笛卡爾（Rene Descartes）的經典集合理論奠定模糊理論的基礎1966

年P N Marinos發表模糊邏輯的研究報告1974年L A Zadeh 發表模

糊推理的研究報告從此模糊理論成了一個熱門的課題1974 年英國

的 E H Mamdani 首次用模糊邏輯和模糊推理實現了世界上第一個實驗性

的蒸汽機控制並取得了比傳統的直接數字控制演算法更好的效果從而

宣告模糊控制的誕生1980年丹麥的 LPHolmblad 和 Ostergard 在水泥窯

爐採用模糊控制並取得了成功這是第一個商業化的有實際意義的模糊控

制器

事實上模糊理論應用最有效最廣泛的領域就是模糊控制模糊控

制在各種領域出人意料的解決了傳統控制理論無法解決的或難以解決的問

題並取得了一些令人信服的成效

模糊控制的基本思想把人類專家對特定的被控對象或過程的控制策略總

結成一系列以ldquoIF THENrdquo形式表示的控制規則通過模糊推理得到控製作用

集作用於被控對象或過程控製作用集為一組條件語句狀態語句和控

製作用均為一組被量化了的模糊語言集如「正大」「負大」「正小」

「負小」零等

模糊控制的幾個研究方向

1 模糊控制的穩定性研究

2 模糊模型及辯識

3 模糊最優控制

4 模糊自組織控制

5 模糊自適應控制

6 多模態模糊控制

模糊控制的主要缺陷

信息簡單的模糊處理將導致系統的控制精度降低和動態品質變差若

要提高精度則必然增加量化級數從而導致規則搜索範圍擴大降低決策

15

速度甚至不能實時控制模糊控制的設計尚缺乏系統性無法定義控制

目標控制規則的選擇論域的選擇模糊集的定義量化因數的選取多

採用試湊發這對複雜系統的控制是難以奏效的

232模糊至今應用的範圍

模糊理論發展至今已接近三十餘年應用的範圍非常廣泛從工程科

技到社會人文科學都可以發現模糊理論研究的蹤跡與成果我們分別由工

程科技與社會人文科學的角度瞭解模糊理論應用的範疇

1 工程科技方面

(1) 型樣識別文字識別指紋識別手寫字體辨識影像辨識語音

辨識

(2) 控制工程機器人控制汽車控制家電控制工業儀錶控制電

力控制

(3) 信號及資訊處理影像處理語音處理資料整理資料庫管理

(4) 人工智慧及專家系統故障診斷自然語言處理自動翻譯地震

預測工業設計

(5) 環保廢水處理凈水處理廠工程空氣污染檢驗空氣品質監控

(6) 其他建築結構分析化工製程控制

2 教育社會及人文科學方面

(1) 教育教學成果評量心理測驗性向測驗電腦輔助教學

(2) 心理學心理分析性向測驗

(3) 決策決定決策支援決策分析多目標評價綜合評價風險分

析

233模糊集合

過去傳統數學上集合的基本定義是以二值邏輯(Binary Logic)為基礎的

方式來描述事物為屬於或不屬於此集合也就是元素 x和集合 A的關係

只能是isinA或notinA明確的判斷對象為所屬集合也就是明確集合(Crisp Set)

如果要描述適當的模糊事物時須將所屬集合的概念模糊化使之無明確

判對象所屬的集合模糊集合是指在界限或邊界不分明且具有特定事物的

集合以建立隸屬函數(Membership Function)來表示模糊集合承認論域

(Universe of Discourse)上存在既非完全屬於集合A又非完全不屬於集合A

16

使傳統集合的絕對屬於的概念改變為相對屬於的概念以數學式表示論域

U 上的模糊集合 A可表示為元素 x與它的歸屬函數集合

(216)

其中 A為一模糊集合 為歸屬函數x稱作元素U為論域一

般情況下歸屬度會界定在 0跟 1之間

(1) =0表示元素 x不屬於

(2) =1表示元素 x完全屬於

(3) 趨近 0表示元素 x極不可能屬於

(4) 趨近 1表示元素 x極有可能屬於

這個表示式的完整解釋為當 x 在 U 的範圍內會對應到一個介於 0

到 1之間的數值 所有這種 x所成的集合就是一個模糊集合模糊集

合可表示為

1 當論域Ｕ為有限離散(discrete)集合的情形下模糊集合 可表示成

(217)

2 當論域Ｕ為實數論域所組成之在連續(continuous)集合的情形下模糊

集合 可表示成

isin (218)

其中 並非積分符號而是單純的連結符號

234 模糊數(Fuzzy Number)

1 模糊數(triangular fuzzy number)

假設 是模糊集合或模糊數(FN)在實線 2R 上則以三角形隸屬函數

(triangular membership function）表示為 1 2 3( )a a a 2 x R to A 則

1

1 2 1 1 2

3 3 2 2 3

3

0

( ) ( ) ( )

( ) ( )

0

x a

x a a a a x aA x

a x a a a x a

x a

(217)

17

1

其隸屬函數圖形如圖 21

圖 21 三角模糊數

2 梯形模糊數(trapezoidal fuzzy number)

梯形模糊數可表示為 如圖 22其隸屬度函數定義為

(218)

其隸屬度函數如圖 22

圖 22梯形模糊數

a b c d

1

18

在一信賴區間 α水準α 01 我們定義 A

( )A x A x (218)

三角形隸屬度函數以 α-cut表示為

( ) ( )

1 3 1 1 2 3 2 3[ ] [ ( ) ( )]A a a a a a a a a

(219)

( )

1a 與 ( )

3a 個別代表 A的下界及上界

根據模糊算術方法Zadehrsquos sup-min 方法表示如下

( )( ) sup min( ( ) ( ))x y z

A B z A x B y

(220)

其中 sup表任何模糊算式Mizumoto and Tanaka（1976）使用相同方

法在 α 截集模糊數和區間算術Chang（2003）和 Chang et al （2006）和

Chang and Hung（2006）整理使用 α 截集模糊算術方法的文獻α截集模

糊算術中模糊數基本運算公式（加法減法乘法除法）可以計算的

更快在每一個 α-level 區間中使用區間算術（Kaufmann and Gupta

1988）

1 模糊數加法

令A和 B分別為兩模糊數 A和 B在一信賴區間 α水準 ( ) ( )

1 2[ ]A a a

( ) ( )

1 2[ ]B b b αisin 01 forall A B sub 2R 表示如下

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 2 1 2 1 1 2 2[ ] [ ] [ ]A B a a b b a b a b

forallαisin 01 (221)

2 模糊數減法

在一信賴區間 α水準forall A B sub 2R αisin 01

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 2 1 2 1 2 2 1[ ] [ ] [ ]A B a a b b a b a b

(222)

3 模糊數乘法

在一信賴區間 α水準forall A B sub 2R αisin 01

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 2 1 2 1 1 1 2 2 1 2 2

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 1 1 2 2 1 2 2

[ ] [ ] [min(

max( )]

A B a a b b a b a b a b a b

a b a b a b a b

(223)

4 模糊數除法

在一信賴區間 α水準forall A B sub 2R αisin 01

19

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 1 1 2 2

1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 2 1 2 1 2 1 2

[ ] [ ] [min( )max( )]a a a a a a a a

A B a a b bb b b b b b b b

式中 ( )

1b ( )

2b gt0forallαisin[01] (224)

235模糊運算

根據 Zadeh（1965）的擴展原理（Extension Principle）可以廣義的使

用一般基準 T取代原來的最小值模糊數的數學運算表示如下

1 加法

( )( ) sup ( ( ) ( ))x y z

A B z T A x B y

(225)

2 減法

( )( ) sup ( ( ) ( ))x y z

A B z T A x B y

(226)

3 乘法

( )( ) sup ( ( ) ( ))x y z

A B z T A x B y

(227)

4 除法

( )( ) sup ( ( ) ( ))x y z

A B z T A x B y

(228)

24 模糊迴歸

在科學研究過程中許多研究者常使用迴歸來描述自變數 x和應變數 Y

之間的關係傳統的迴歸分析均假設觀察值由實際應變數影響加上隨機誤

差而產生也就是說應變數是一種帶有不確定性的隨機變數不過在很

多的實務應用上往往無法滿足這樣的假設例如有些應變數 Y 的觀察值

並不是以單一數值的型式存在而是帶有多重隸屬的特性這些觀察值雖

然帶有不確定性但這種不確定的特性是來自於模糊現象而非隨機現象

若由模糊觀點套用迴歸分析來處理模糊資料問題就稱為模糊迴歸分析

模糊迴歸分析最早是由 Tanaka et al (1980) 提出一般模糊迴歸能夠處理的

樣本型式有兩種一種是實數值樣本 其中 為實數向量 為觀測

到的實數值另一種是模糊數樣本( 其中 為觀測到的模糊數不論

是實數值樣本或是模糊數樣本想要估計模糊迴歸參數估計方法大都是

20

利用線性規劃的技巧來尋求一組能將實數值樣本 或模糊數樣本(

包含在內的區間再將三角形隸屬函數（triangular membership function）套

用

在此區間上如此便求得一組模糊迴歸估計式要得到正確的估計結

果最好是收集具有代表性的隸屬函數樣本所謂具有代表性的隸屬函數

樣本應該是以模糊數的形式存在所以本文就樣本模糊數 進行討論

線性模糊迴歸模式常表示成

0 1 1 2 2( ) i i i p piY x A A x A x A x (229)

其中 1 2 3(1 ) i i i i p ix x x x x 為自變數向量 ( )iY x 為模糊應變數

為模糊參數利用樣本模糊數 估計參數 時通

常假設 與 的隸屬函數為對稱三角型式 與 的隸屬函數表達如下

( ) max 1 0 i

i

Y

i

t yt t

r

(230)

其中 為三角隸屬函數的中點 為三角隸屬函數的分布半徑可令

( ) max 1 0 m

m

A

m

t ct t

s

(231)

其中 為三角形的中點 是三角形的分布半徑 與 間的關係

如圖 23所示

圖 23模糊數的中心值與散佈值

1

0

21

再令 則前述的模糊迴歸方程式可改寫成

0 1 1 2 20 1 2( ) i i ipi p pY x x xC S xC S C S C S (232)

因此模糊應變數 ( )iY x 的隸屬函數也屬於三角型式可表示成

( )

0

0

( ) max 1 0 Y xi

p

m m

m

p

m mi

m

t c x

t t

S x

(233)

其中 因此只要估計出三角形的中點 及半徑 便可得到

隸屬函數的估計值模糊迴歸分析是在要求每一個觀測值 隸屬於模糊

迴歸區間的隸屬程度至少 的情況之下尋求最小的模糊迴歸預測區間如

(234)式表示

forall ( 234)

在利用 對未知的模糊參數 進行估計前一般先定

義模糊樣本 和模糊應變數 的 h截集其定義如下

令 為一組模糊樣本 ( )iY x 為模糊應變數若 與

分

別為 及 的 h截集(h-cut)則

(235)

(236)

因具代表性的樣本 其 h 截集 應要盡量接近模糊應變數 的 h

截集 意即

其中容許

不完全落在 之

內的情形發生根據以上觀點王景南(2002)認為樣本的左端點

和右端點 隸屬於 的程度會有一定的水準於是設立此水準

為 H因此假設 隸屬於 的隸屬度會盡量的接近 H其間的關係

為

( 與

( (237)

所謂的盡量接近 H是可允許隸屬度大於 H或小於 H而不是均大於

22

H

根據以上的對樣本的解釋運用最小平方法以所有樣本的左端點

配置一迴歸直線稱之為左端直線估計式

(238)

其中 為迴歸係數再以所有右端點 配置右端

直線估計式

(239)

其中 為迴歸係數

前文已假設樣本的左右端點隸屬於 的隸屬度會盡量的接近 H所

以將這兩條直線函式來估計 之 H截集的左右邊界即

(240)

如此可推導出 的隸屬函數為

(241)

其中 且

(242)

意即

(243)

其中

為三角形底邊中點是

分布半徑如此便可得一組估

計的模糊迴歸模式

(244)

仍需注意的是當樣本為對稱型態時左右迴歸函數式其配適的結果式

相同的只有常數項不同當對稱情形發生時可以考慮利用各別對應相

之權重除以常數項的分布半徑做為個別對應項之分布半徑意即

分布半徑

除此之外Celmins及Diamond Celmins也分別提出最小平方法之模糊迴

23

歸模式以便求解資料間距離最小的模糊迴歸方程

模糊迴歸應用上比統計迴歸更具彈性統計迴歸通常需要大量資料以

支持其假設而模糊迴歸卻無此需求因此當資料量不足或隨機性難以驗

證時模糊迴歸是較強健的(Robust)同時當所蒐集之資料的不確定性乃

來自於人類之主觀判斷時模糊迴歸較具適用性

因此模糊迴歸模式逐漸受到重視在1990年代的研究包括Sakawa及

Yano針對投入變數與輸出變數皆為模糊資料的問題建構出一個多目標的模

糊迴歸模式此外Chang和Lee則認為模糊迴歸中心線的趨勢與模糊迴歸散

佈值的趨勢可以存在不一致性為了分析統計迴歸與模糊迴歸的差異Kim

Moskowitz 及Koksalan 利用模擬分析比較統計迴歸與模糊迴歸的結果認

為由機率論所得的統計迴歸模式在大樣本時其預測績效遠比可能性理論

(Possibility theory)推演而得的模糊迴歸模式為佳然而當資料量遞減或所構

建的模式適合性變差時(即變數間存在模糊關係)則模糊迴歸模式的預測績

效將優於統計迴歸模式由於模糊迴歸模式在解決資料量少及系統關係模

糊不清的問題上具有較佳之績效而存在其正面之價值當變數間存在模

糊關係時

從早期到目前已發展出多種模糊迴歸模式求解方式以下根據薛展青

(2004)所整理的模糊迴歸分析整裡敘述如下

1 區間迴歸法

區間迴歸法(interval regression)其模型架構主要是由Tanaka et al(1982)

所提出的模糊線性迴歸(fuzzy linear regression)模型Tanaka et al(1982)所發

表的論文中表示傳統的迴歸模型中造成實際值與估計值的誤差來源被

認為是由測量或觀察所造成的而此誤差項在模糊線性迴歸模型中是因

模糊系統中參數的模糊性所產生的即誤差是反應模糊線性函數的模糊現

象因此以模糊線性函數來表示迴歸方程式而迴歸參數則是以模糊集合

來表示

Tanaka et al(1982)在估計模糊迴歸參數時是利用線性規劃技巧

(linearprogramming method)來尋求一組能將實數值樣本或模糊數樣本全部

包含的區間最後求得一組對稱三角形模糊數之迴歸參數

自Tanaka等人(1982)的文章發表之後後續的學者大多以此為基礎陸

續題出各種相關的模式與求解方法如Peters (1994)將Tanaka的線性規劃法

24

求解推廣為模糊線性規劃法求解讓資料對模糊迴歸模式的適應性更加提

升YenGhoshray 與Roig (1999)提出由於非對稱迴歸係數導因於大多數的

資料為離群值使得對稱三角迴歸係數不再適用因此將Tanaka et al的模

式推廣為非對稱三角迴歸係數Moskowitz 與Kim (1993)探討不同水準值下

模糊迴歸模式的求解與模式配適程度Redden 與Woodall (1996)探討模糊

迴歸分析預測未來值的結果Sakawa 與Yano (1992)將Tanaka的方法擴展到

依變數及自變數皆是模糊集合的情況並將之稱為多目標線性迴歸法

(multiobjective linear regression model)Koumlrner 與Naumlther (1998)討論解釋變

數與反應變數兩者皆為模糊數值的情況Kacprzyk 與Fedrizzi (1992)則蒐集

了各種不同迴歸模式的求解方法Redden 與Woodall (1994)說明Tanaka後

續提出的求解模式當中所具備的性質以及與傳統迴歸方法的差異比較

但是在此模式下求解之迴歸係數本身亦為一對稱的三角模糊數值

而且求解結果很容易受到資料尺度(scale)的影響使得反應變數估計值之展

度會變得更為寬廣後來Tanaka (1987)根據1982年的文獻發展為更完整的

可能性線性系統使模糊迴歸的結構更趨適應性Tanaka 與Watada (1988)

闡明可能性線性模式的概念推演建構成可能性線性迴歸模式Tanaka et

al(1989)應用模糊資料於可能性迴歸系統中並建構最小化最大化及混合

式三種線性規劃模式又對先前所提出的模式加以修正但就如Redden 與

Woodall (1994)所指出Tanaka 類型的模式對於離群值(outlier)的反應非常

敏感甚至在觀察值的個數增加時求解結果可能會產生無限多解因

此在Tsaur 與Wang (1999)提出的文獻對於在模糊迴歸分析中的離群值進行

一系列探討

2 模糊最小平方法

模糊最小平方法(fuzzy least squares)乃擴展傳統之最小平方法的觀念

最早由Diamond (1988)所提出利用傳統最小平方法的觀念求出一個模糊

迴歸模式以估算(approximate)反應變數的觀察值並非如區間迴歸中的包含

觀察值在其模式中利用反應變數的觀察值與估計值的模糊數值之最小

值最可能值與最大值定義兩者之間的距離以衡量迴歸模式與模糊資

料之間的最佳配適度的情形在使得所有觀察值與估計值的模糊數值之間

的距離平方總和為最小時可以導出類似傳統迴歸分析中的正規方程式

(normal equation)以求解迴歸係數

25

其後Chang 與Lee (1996)則將Diamond (1988)的方法加以擴充將迴

歸係數的最可能值與展度分別估計該方法的特點在於可將極端值(outlier)

加以處理並降低其影響程度Ma等人(1997)則將此類方法發展於適合非

三角模糊數值的場合Diamond 與Koumlrner (1997)則在此類方法中定義一

個判定係數的計算方法以比較不同模式的適合性Wu與Tseng (2002)提出

改善模糊迴歸模式之最小平方法其模式主要觀念是利用最小平方法將所

有樣本的左端點及右端點各配置一條迴歸線然後在將其左右迴歸線統合

成一條迴歸線

而在Kim 與Bishu (1998)的研究中是利用各個具有三角模糊數值的反

應變數之最小值最可能值與最大值以最小平方法分別計算出模糊迴歸

係數所得到的係數不一定為對稱的三角模糊數在此種求解方式下雖

然可以得到比較小的估計誤差但其缺點是無法處理解釋變數為模糊數的

情形另外Kim 與Bishu(1998)還提出了評估模糊迴歸模式的準則利用觀

察值與估計值歸屬函數之間面積的差異做為迴歸模式的估計誤差但其評

估準則的問題是無法比較不同模式在觀察值與估計值歸屬函數之間不具有

交集時的誤差情況在此情況下求算估計誤差時無法準確評估其總誤差而

導致評估失真而其他學者如Yang與Ko (1997)Yang 與Lin (2002)等則

是提出以最小平方法為基礎的模糊聚類分析求解方式

3 模糊隨機變數估計法

為了建構一個同時具有隨機和模糊特性的系統Kwakernaak (1978)首

先提出模糊隨機變數(fuzzy random variables)的概念認為傳統的隨機變數

U Ωrarr R為實數可測函數而模糊隨機變數則將一般隨機變數的概念廣義

化模糊隨機變數可表示為X ΩrarrS設ω isinΩ而ω 所對應到的不再是實

數值U(ω)而是模糊集合X (ω)S 代表模糊集合且Kwakernaak (1978)擴

充原來Zadeh 提出模糊集合之架構認為有時供作參考的資訊不齊全在

對某些述句進行評斷時我們無法判斷其絕對為真或絕對為假此時我

們考慮將原有的二元邏輯思維方式推廣暫且不作肯定的判決而僅是表

達出對錯的程度換句話說真值可以是介於單位區間[01] 內的任何值

如此思維方式稱之為多值邏輯(multivalued value)並將模糊集合視為一組

述句(statement)的集合且每個述句均對應一真值程度以符合人類的思維與

想法Stein 與Talati (1981)利用模糊數值的隸屬函數提出模糊隨機變數

26

的期望值之計算方式Kruse 與Meyer (1987)藉助集合表徵的概念建立了

一套模糊隨機變數的定義而為了讓模糊隨機變數能實際應用並將討論

的範圍界定在一模糊集合族上Koumlrner (1997)及Naumlther (1997)利用該方法以

求算模糊隨機變數的期望值與變異數並應用於線性模糊迴歸模式的求解

等另外在曾能芳(民 91)的博士論文研究中指出在Tanaka et al (1982)

的模糊迴歸模式中並不具備誤差項因此模式無法呈現樣本與期望值之間

的關係而無法討論線性規劃估計程序所具備的統計性質所以在曾能芳

(民 91)提出的迴歸模式中採用模糊樣本是由依變數之模糊期望值加上測量

誤差所組成並提出測量誤差存在於中點的模糊迴歸模式以及測量誤差

同時存在於中點和半徑的模糊迴歸模式

4 兩階段求解方法

以兩階段方法(two stage method)求解模糊迴歸模式的想法是在於結合

最小平方法與區間迴歸的觀念試圖降低反應變數估計值的模糊度如Savic

與Pedrycz (1991)對模糊迴歸模式的求解分為兩個步驟進行第一步以

反應變數的模糊數值之最可能數值為基礎將模糊數值視為簡化的明確數

值以傳統最小平方法求解迴歸係數的中心值第二步利用區間迴歸的

方式在使得迴歸係數的模糊度為最小的情形下以決定迴歸係數的三角

模糊數值Kao 與Chyu (2002)提出另一種模糊迴歸模式的兩階段求解方

法在第一階段先利用解模糊(defuzzification)方法將模糊觀察值轉換成為一

組明確數值之後利用該組明確數值以傳統的最小平方法求解迴歸係

數第二階段則是以Kim 與Bishu 所提之評估準則為目標式決定一個誤

差項估計值的模糊數以使得在Kim 與Bishu (1998)評估準則下的總誤差量

為最小該方法的特別之處在於求解的迴歸係數為明確數值而誤差項估計

值為模糊數值雖然此種求解方式可以得到很小的估計誤差但因其所著

眼的仍是Kim 與Bishu 評估準則下的面積估計誤差使得當觀察值與估計

值歸屬函數之間不具有交集時所衡量出的估計誤差較真實誤差為小且其

求解方法比較適合於觀察值為三角或梯形的模糊數值欲應用於其他型式

的模糊數值求解上則較為困難而在邱清爐(民 91)的博士論文中則是將

其兩階段求解方法對各種不同的模糊迴歸模式進行建構與評估並將其求

解方法應用於工作滿意度實例

5 其他求解方法與相關研究

27

Tanaka 等人(1995)後來提出另外一種模糊迴歸模式的求解方法將傳

統的估計誤差當作是存在解釋變數與反應變數之間的關係之可能性

(possibility)故模糊觀察值的展度可以直接轉換成迴歸係數的指數可能性

分配(exponentialpossibility distribution)而可以使用與傳統迴歸非常類似的

方式加以求解Tanaka與 Lee (1999)再利用辨識方法(identification method)

求解迴歸模式在其研究中利用辨識方法以決定模糊線性系統(fuzzy linear

system)中迴歸係數的可能性分配並認為由此方法所求解的迴歸係數會

有比較小範圍的可能性分配近年來有愈來愈多的學者將模糊迴歸分析

應用於其他傳統的決策方法及不同領域上如 Dunyak 與 Wunsch(2000)使

用 α 截集的端點以類神經網路(neuralnetworks)進行模糊迴歸分析Lee

與 Chen(2001)則將模糊迴歸模式使用於人力預測的問題上Tseng 等人

(2001)將由模糊迴歸模式建立之 ARIMA 模式用以預測匯率Tseng 與

Tzeng(2002)則利用模糊迴歸模式的求解方法以建構具有季節變動的

ARIMA 模式Kim 與 Bishu(1996)應用於人力可靠度分析的操作反應時間

上Wu 與 Tseng(2002)將其模糊迴歸模式應用在景氣對策信號上的分析

王景男(民 89)將模糊迴歸分析應用於籃球比賽攻防技術策略上曹勝雄

曾國雄江勁毅(民 85)以國人赴港旅客需求之預測為例說明傳統迴歸

模糊迴歸類神經網路之差別張良斌陳育民(民 86)將模糊目標迴歸法

應用在垃圾衛生掩埋場沼氣回收設備的成本估算謝邦昌林燦隆呂理

添(民 85)將模糊迴歸運用在甘蔗產量的預測對於上列有關模糊迴歸分析

的研究中絕大部份的文章均侷限於線性模式的分析鮮有文章討論非線

性模糊迴歸模式的求解最近雖然有少數學者開始討論非線性模糊迴歸模

式的解法如 Xu(1997)Buckley 與 Feuring(2000)的研究等但使用的方

法所求解的迴歸係數仍然為模糊數值其造成反應變數估計值的展度會

隨著解釋變數之數值增加而擴大的問題仍無法避免

28

第三章 研究方法

本章介紹本文將運用於數值分析中的預測研究方法利用本章建構的

方法可清楚了解如何利用混沌理論基於相空間重構的方式及模糊迴歸方

法於預測中

31 混沌時間序列建立預測方法

時間序列的模型建構和預測是資料處理研究領域中的重要方向其中

預測方法主要有線性和非線性預測方法兩種預測就是對未來作出估計和

推斷而通常要對研究對象或資料進行假設這一過程稱為建模利用建

模的方式獲得資料的科學表示就稱為模型混沌時間序列雖然看似隨機

但它卻是由確定系統產生的因此我們可以對混沌時間序列作出短期預測

同時由於混沌對初始條件微小差異的高度敏感性我們無法對混沌時間序

列作出長期預測每一步預測帶來的微小偏差都會使得下一步預測的偏差

擴大最終導致預測序列與原始序列完全不同

311李亞普諾夫指數判定資料混沌特性

進行預測前需根據 212節中提及的李亞普諾夫指數來判定資料是否

具有混沌特性最大李亞普諾夫指數是判斷和描述非線性時間序列是否為

混沌系統的重要參數因此是一個重要的混沌不變數

混沌系統中的李雅普諾夫指數可用來判斷系統是收斂的還是混沌的當系

統的李雅普諾夫指數中至少有一個為正時系統是混沌的 當系統的李雅

普諾夫指數均為負數時系統是收斂的 對於系統是否存在動力學混沌可以直觀的判斷最大李亞普諾夫指數是否

大於零一個正的李亞普諾夫指數代表著在系統相空間中無論初始兩

條軌跡的間距多小兩條軌跡的差別都會隨著時間的演化而成指數率的增

加而導致無法預測這就是混沌現象

312重建相空間

傳統的建模和預測方法己廣泛地應用社會科學中但大部分都是基於

線性系統混沌時間序列並不適用於非線性的混沌時間序列於是在判斷

時間序列性質後若判定序列以隨機性為主應採用從 AR 或 ARIMA 等隨

機模型來預測如果判定以混沌為主則應採用非線性確定性的方法進行

29

預測非線性時間序列的預報是經過相空間重構後對相空間中的動力軌

跡進行預報由於混沌系統具有被稱為「蝴蝶效應」的初始值敏感性所

以混沌時間序列是不能長期預測的但對於短時間內混沌系統的軌道在

相空間中具有一定的規律它們的預測性是可獲得的並比一般的基於統

計方法的預測能力要來得好

時間序列資料是時間離散後的樣本值用 表示將它「嵌入」到

一個 m維(mgt0)的空間中進行相空間重構後得到嵌入向量

(31)

由嵌入向量 可擴張成一嵌入空間 E由 Taken嵌入定理可知存

在映射面 滿足

(32)

上式表是出在拓樸的意義中可完全預測吸引子的特徵所以上式也可

表示為

(33)

其中函數 為 的一個估計值由式 (33)可得之我們可用

來預測

313相空間維度相關維度

在實作的研究上有許多方法可以用來估計混沌吸引子的維度本研

究選用較為常見的相關維度方法相關維度需先計算相關和將相空間中

所有樣本點皆計算其各別半徑收斂後之趨近值相關方程式（Correlation

Function）定義如下

(34)

其中

當 rrarr0時

兩邊同取對數可得

(35)

定義相關維度為 與 之曲線斜率為

(36)

在實際應用中經常給定一組維度 值選取適當的 r繪出

30

曲線求曲線當中直線段的斜率 如果系統存在這樣一個 值達到此

值後相應的關聯維數不再隨 的增長而變化也就是趨於飽和這表明

該序列為混沌系統其吸引子是存在的此時 值即為重構相空間的最佳

嵌入維數否則則表明該序列為隨機系統不具有混沌性

314 時間遞移數

利用 2123節中介紹的概念及 2124 中介紹的自相關函數求解出時

間遞移數的結果自相關函數公式如下

1

1

1( )( )

1( )

n k

t t k

tk n

t

t

x x x xn k

r

x xn

(37)

n為原資料樣本數k為時間遞移後的樣本點

將自相關係數計算的結果與每一筆遲延時間距離數值繪製成圖表可

由圖表中可分析辨別時間序列數據的初步基本特徵圖表繪製的結果顯示

自相關係數跟隨遲延時間距離數值的增加而顯示收歛且具有震盪循環之跡

象則表示數據具有一種規則屬於一混沌時間序列

32 複線性迴歸

確立資料為混沌後運用自我相關係數計算出時間遞移數及相空間維

度後將加入複線性迴歸運算複線性迴歸中常用的預測方法分為兩種

1 全域法

全域法就是利用相空間軌跡中的全部向量點做為擬合對象找出其

規律由此進行短期預測也就是說利用收集的大量的歷史資料利用

複線性迴歸訓練出迴歸參數再將未放進訓練迴歸參數的資料使用訓練

出的迴歸參數計算出預測值的資料型態本文還將原本的歷史資料分析

出資料的季節性後先去除季節性的影響最後再加回季節性討論預測結

果

2 局域法

局域法的基本原理是僅利用有限個鄰近點的資訊而不是利用全部的

樣本點來擬合 局域法預測是把相空間軌跡中的最後一點作為待測點對

離待測點鄰近的若干個相空間點的關係作出擬合再對預測相空間點的未

來演化規律進行預測本文使用零階局域法零階局域法是直接將鄰近樣

31

本點應用於預測根據鄰近樣本點預測 的最簡單的方法就是尋找相

空間中距離 最近的點假設距離最近的點是 那麼它的下一個樣本

點為 即可做為 的預測值

因數值資料在每日重複發生變動所以本研究又加入計算季節性指數

對趨勢線做季節性調整也就是對時間序列做季節性調整

33 模糊迴歸分析

運用模糊的概念帶進迴歸模式中處理具模糊性的資料問題此稱為模

糊迴歸分析本文利用的模糊迴歸模式主要有兩個方向一個是Tanaka et al

(1982)提出的模糊線性迴歸另一個是由Chang 與Lee (1994)所提出修正型

迴歸模式Tanaka 起初所提出的線性規劃模型

0 1

[ ( )]p n

j ij

j i

Min C X

st 0 0

(1 ) (1 )p p

j ij j ij ii

j j

X H c X y H e

(38)

0 0

(1 ) (1 )p p

j ij j ij ii

j j

X H c X y H e

0jc j R 0 1iX 0 1H 123i n 012j p

Tanaka 所提出的模糊模型未考慮到散度為負值的條件所以模糊上下

界會不斷的擴張而越來越寬大由 Chang 與 Lee (1994)所提出修正型迴歸

模式即將模糊的散度可為負值使上下界的模糊區間為遞減的情形遞

減的情形由圖 31表示

圖 31 模糊區間隨自變數越大而越窄

0

2

4

6

8

10

上界 中心線 下界

32

假設圖表中計算出的模糊迴歸函數為 0 0 1 1 Y c c X 模糊上界為

0 0 1 1UY c c X 模糊下界為 0 0 1 1LY c c X

33

第四章 數值分析

本章資料來源1台灣區車輛工業同業公會

2台北市交通局

本章所使用的數據資料為台北市交通局提供的公開的車流量資料數

值分析所使用的方法已在第三章論述利用第三章的方法分析數值預測的

準確性並結合模糊迴歸常見的兩種方法幫助決定預測的可接受範圍本

章介紹本文所利用的數學模型及方法在複線性迴歸的模型中分成混沌全

域法去季節性後的混沌全域法以及混沌局域法預測出的結果加以討論預

測的準確性再將預測值去季節性觀察準確程度最後再帶入模糊迴歸

利用 05H 加以討論如何將模糊迴歸中的散度用以選擇預測值的範圍第

一節針對傳統複線性迴歸方法並結合全域法觀念訓練資料迴歸係數討

論預測結果第二節針對傳統複線性迴歸方法並結合局域法觀念訓練資

料迴歸係數討論預測結果第三節針對預測資料去除季節性後再利用

傳統複線性迴歸方法討論預測結果第四節針對模糊迴歸的兩種方法選

擇出預測的範圍

利用第三章論述的時間遞移及相關維度的做法將本文利用具混沌性

的資料加以分析將資料先利用 212 節中介紹的李雅普諾夫指數 判定是

否具混沌性具有混沌性的資料才能利用混沌理論重構相空間若李雅

普諾夫指數 介在 0跟 1之間則表示資料具有混沌性質本文資料利用程

式計算出李雅普諾夫指數 運用自我相關係數判斷出時間遞移

數 相關維度計算出維度 我相關係數判斷時間遞移數與相關維

度的圖形以及原始資料時間遞移後的資料圖如圖 41圖 42圖 43

34

圖 41相空間維度及 lnC與 ln r斜率關係圖

圖 42相空間維度及 lnC與 ln r斜率關係圖

0

1

2

3

4

5

6

7

0 5 10 15 20

相空間維度

斜

率

d

-02

0

02

04

06

08

1

12

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33

時間遞移數

自我相關函數

35

圖 43 原始資料時間序列圖

41 複線性迴歸混沌全域法

本文所使用的資料為 10日的車流量資料利用前 9日的資料訓練出迴

歸參數將迴歸參數代入複線性數學模型中計算出的迴歸方程式為

1 2 3 4

5 6 7 8 9

10 11 12 13 14

435363 00819 00338 01777 00070

01116 01999 00299 02716 00349

01399 00056 01113 00738 02038

y x x x x

x x x x x

x x x x x

(41)

解出迴歸參數計算出複線性迴歸方程式後再將最後一日 144筆的車

流資料代入方程式中計算出預測值利用複線性迴歸混沌域法預測出的結

果如圖 44

圖 44 複線性迴歸分析預測與原始資料比較圖-全域法

0

20

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160

180

1 53

10

5

157

209

26

1 31

3

365

41

7

469

52

1 57

3

625

67

7

729

78

1 83

3

885

93

7

989

10

41

1093

11

45

1197

12

49

1301

13

53

1405

原始資料點

原始資料點

-50

0

50

100

150

200

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97

103

109

115

121

127

133

139

實際值

預測值

36

由圖表的狀況可觀察出運用複線性迴歸模型預測的結果不盡理想本

研究認為運用複線性迴歸預測的結果不佳的原因有二

1 利用全域法預測是將較大量的歷史資料加入考慮訓練出迴歸參數這

樣的結果造成削弱了原本的奇異點(相較於同時段資料差異性較大的點)

的影響力

2 嵌入維度 太高對於混沌時間序列隨著嵌入維度增高歷史

對未來的影響是呈指數衰減的所以全域法所利用的資訊歷史就越長

預測的精準度就會迅速下降因此本研究將加入局域法討論預測的準

確性

42 複線性迴歸混沌局域法

局域法的做法為尋找相空間重構後的點對待測點尋找鄰近的 k個相

空間點對離待測點鄰近的若 k個相空間點的關係作出擬合並分析出複

迴歸方程式的迴歸參數本文嘗試選取 k=50~250的結果以下只列舉 k=200

的圖解釋預測結果

圖 45 複線性迴歸分析預測與原始資料比較圖-局域法(k=200)

圖 44與圖 45比較後可看出區域法預測的準確性比全域法更好某

些預測出來的結果的點與原始資料的點差異性大有明顯的偏移本研究

認為利用局域法預測的結果不佳的原因如下由圖 45可看出預測結果與

原始資料間差異性較大的點位為數列的右側 而數列尾端的資料為凌晨或

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20

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1

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97

103

109

115

121

127

133

139

實際值

估計值

37

是深夜的車流量因每日凌晨或是深夜的車流量變化量較少(例如某日的凌

晨十二點十分可能為 0台車或是小於 10台車經過)所以資料的差異性

較大造成頭尾的資料預測上較為不準確

因為同時段的資料可能會影響資料預測出的結果所以我們下節就以

加入季節性的考慮來加以討論預測結果

43 複線性迴歸去除季節性後混沌全域法

本文使用的車流量資料為每日 24時換算成 1440分鐘每 10分鐘記

錄一點於是本研究依資料的記錄時間點來劃分季節性將季節分成 144

個季分別求出季節性指數求取季節性指數後將每個資料點先去除季

節性利用全域法訓練出去季節性後的迴歸係數再利用複線性求出預測

值最後將去除的季節指數乘回預測點結果如下

圖 46考慮季節性複線性迴歸分析預測與原始資料比較圖-全域法

此考慮季節性因子的複線性迴歸分析預測與原始資料的比較是用全

域法去訓練迴歸參數的而由圖 44我們可以得知一開始未考慮季節因

子使用全域法的複線性迴歸預測是不準確的本研究認為原本的歷史資

料隨著季節性因子的變化該系統原本呈現複雜的動態特性實際上由於

車流量的變動有許多外在因素的影響例如氣候假期hellip等影響會使

資料的變化過程發生不同程度的偏離而對於季節性事件來說其事件發

生的過程主要受季節性參數週期性變化的影響 因此影響因素的具體形

式可以近似地表示為單一函數本文考慮季節因素對車流量的影響意即

0

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40

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3

10

9

11

5

12

1

12

7

13

3

13

9 實際值

預測值

38

經過季節性分析後的得到的預測分析結果很準確如圖 46所示此結果

表示季節性影響樣本資料的情形大也代表著在季節因素影響下系統中

事件的動態變化情況是隨著季節影響參數的變化而造成系統呈現各種

各樣複雜的動態特性如週期解混沌情形hellip等

44 模糊迴歸

441Tanaka模糊迴歸

μ及 H 值之選定原則為當不確定性愈大時其 μ及 H 值愈接近 0

反之當資料不確定性愈小時μ及 H 值取愈接近 1 之值Bardossy 等人

建議其值在 05~07間為適宜根據 Tanaka在 1982年所提到的方法我們

可以求得一模糊迴歸函數並可得知其中心線與其上界及下界假定在 H =

05的情況下利用 Tanaka模糊迴歸模式算出迴歸函數為

(42)

中心線與上下界的簡單迴歸方程式為

中心線 (43)

上界 (44)

下界 (45)

繪製出的圖形如圖 47所示

圖 47 Tanaka 模糊迴歸

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121

127

133

139

下界

中心線

上界

39

圖 48 Tanaka 模糊迴歸中心線與預測值之結合

從圖 48可看出預測值與模糊迴歸的中心線 有明顯的時間差異但由

圖可以觀察出模糊迴歸的中心線 的預測趨勢與實際值是相近的雖然利

用模糊迴歸預測的時間點比實際時間快但是相對來說也是可以用來預

測之後將發生的趨勢本研究認為若模糊迴歸可用於預測中則可用模糊

的散度 c當做預測行為中選取的可接受的變動範圍如圖 49最後將 Tanaka

模糊迴歸中心線上下界與實際值之結合如圖 410所示

圖 49 Tanaka 模糊迴歸中心線上下界與實際值之結合

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實際值

中心線

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115

121

127

133

139

實際值

下界

上界

預測

值

預測值

40

圖 410 Tanaka 模糊迴歸中心線上下界與實際值之結合

442修正型 Tanaka模糊迴歸

因為我們要將模糊迴歸應用於預測中所以本研究將複線性迴歸的趨

勢線視為模糊迴歸的中心線再利用修正型 Tanaka模糊迴歸模式算出迴歸

函數為

(46)

中心線與上下界的簡單迴歸方程式為

中心線

上界

下界

繪製出圖形如圖 411

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139

實際值

預測值

下界

上界

41

圖 411 修正型模糊迴歸中心線上下界與實際值之結合

本研究使用的修正型模糊迴歸中心線與傳統的迴歸方程式相同所以

可用來處理或分析模糊資料與明確資料同時修正型模糊迴歸的上下界

與 Tanaka 模糊迴歸相較也變窄了此兩種現象就是修正型迴歸的特色因

為中心線與傳統的迴歸方程式也相同這種修正型迴歸散度可選擇為負值

的特色本研究認為可以應用在預測上因為上下界與中心線間的散度變

窄使得前文所敘述到的利用散度來選取預測範圍便可更為嚴格也可

使預測的結果更為可靠如圖 412所示

圖 412 Tanaka 上下界與修正型模糊迴歸上下界的寬度差別

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下界

中心線

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113

120

127

134

141

Tanaka下界

Tanaka上界

Tanaka修正型下界

Tanaka修正型上界

42

第五章 結論及未來研究方向

51 結論

根據前文的討論傳統迴歸和模糊迴歸建立在不同的理論基礎上傳

統迴歸是以機率為基礎而模糊迴歸則是以可能性為基礎傳統迴歸因變

數的估計值與觀測值之間的差異為因變數的隨機性而模糊迴歸因變數的

估計值則產生於觀測值之模糊度惟兩者最大不同處在於模糊迴歸式的

迴歸係數與預測值皆為模糊數（區間值）不同於傳統迴歸係數與預測值

均為明確的數值此外傳統迴歸侷限於對明確資料的分析可能性模糊

迴歸僅適用於分析具模糊性的資料而複合的模糊迴歸則可同時適用於分

析模糊與明確的資料此為此模式最大的特點

模糊迴歸應用於預測中大多的結果是不佳的但是我們透過結合混

沌與模糊迴歸的概念將混沌的預測單點概念拓展成一個可接受的預測

範圍

PT Chang 與ES Lee 使用修正型模糊迴歸重新定義散度做出新的

模糊上下界均為改善模糊迴歸模式Tanaka之研究本研究將模糊迴歸與

混沌理論之建立時間序列的預測情形加以結合討論發現模糊迴歸在預測

的行為中是可行的但可惜的是即使預測的趨勢相近但預測值出時間

的點卻有差別這樣的結果我們可以看出若能找到解決加強模糊與複線性

迴歸關係之間時間的關聯性就能利用模糊的不確定性來討論預測問題

52 未來之研究方向

本研究將模糊迴歸與混沌理論之建立時間序列的預測情形加以結合討

論發現模糊迴歸在預測的行為中是可行的但可惜的是即使預測的趨

勢相近但預測值出時間的點卻有差別這樣的結果我們可以看出若能找

到解決加強模糊與附線性迴歸關係之間時間的關聯性就能利用模糊的不

確定性來討論預測問題

為了符合現今社會多元的狀況模糊迴歸與傳統迴歸之觀念勢必加以

混合應用也為了解決此等問題混合式迴歸（Hybrid Regression）在近年

來被提起也因此參數的估計模糊迴歸與傳統迴歸的混合應用將成

為往後繼續研究探討之目標

建議未來可用模糊加權修正模糊迴歸使模糊迴歸在預測上更能直接

43

將對事物多個構面評估的意見與其影響事物狀況的重要程度作加權的運

算

44

參考文獻

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VI

圖目錄

圖 11 本研究之架構與流程 3

圖 21 三角模糊數 17

圖 22 梯形模糊數 17

圖 23 模糊數的中心值與散佈值 20

圖 31 模糊區間隨自變數越大而越窄 31

圖 41 相空間維度及 LNC與 LN R斜率關係圖 34

圖 42 相空間維度及 LNC與 LN R斜率關係圖 34

圖 43 原始資料時間序列圖 35

圖 44 複線性迴歸分析預測與原始資料比較圖-全域法 35

圖 45 複線性迴歸分析預測與原始資料比較圖-局域法(K=200) 36

圖 46 考慮季節性複線性迴歸分析預測與原始資料比較圖-全域法 37

圖 47 TANAKA模糊迴歸 38

圖 48 TANAKA模糊迴歸中心線與預測值之結合 39

圖 49 TANAKA模糊迴歸中心線上下界與實際值之結合 39

圖 410 TANAKA模糊迴歸中心線上下界與實際值之結合 40

圖 411 修正型模糊迴歸中心線上下界與實際值之結合 41

圖 412 TANAKA上下界與修正型模糊迴歸上下界的寬度差別 41

1

第一章 緒論

本章節主要在說明本研究之整體結構透過研究背景與動機清楚導引

出本研究之目的並利用研究目的與範圍定義研究的範疇邊界將依下列

三小節逐項說明

11 研究背景與動機

在日常生活中很多的現象與問題往往充滿著不確定性面對不確定

性以往皆是用隨機的概念加以描述直到1960年代開始有人質疑隨機

的概念用在有不確定性之現象的適用性為了有效解決人文思維的不確定

性Zadeh在1965年首先提出了模糊集合的概念而後到了1970年Zadeh

與Bellman又區分出隨機(Randomness)與模糊(Fuzziness)之間的不同

在對某一對象進行研究時除了希望了解其目前的狀況之外更希望

能夠做到預測未來的現象生活中包含社會經濟教育體育等等的現

象與問題皆常常希望描述自變數與因變數之間的關係因此迴歸模型

便是一種最常用的統計方法

在傳統的迴歸分析當中所假設的估計值是由實際的因變數加上誤差

所產生的這也表式因變數是一種含有不確定性的隨機變數不過在現

實生活當中很多事情往往不符合這個假設因為許多的變數並不是一個

明確的數值而是含有多重隸屬的特性以問卷調查為例若一張為卷調

查的答案分為五個等級滿分五分意表「非常滿意」最低一分意表「非

常不滿意」若有兩人在填問卷時針對同一題問題一人回答「非常滿

意」而另一人回答「滿意」則我們不能太過明確的斷定得到5分的「非

常滿意」跟4分的「滿意」之間的優劣如果太過依賴實際數字去斷定這兩

位顧客的滿意程度也許會造成預測結果與實際狀況上的誤差

因此為了解決此種問題Tanaka等人(1982)提出了模糊線性迴歸模式來

處理模糊性資料的問題而Chang與Lee也提出了修正型的模糊迴歸此模

式是利用模糊的散度可為負值討論模糊迴歸來建立迴歸式由模式所估

計而得的迴歸係數與預測值均為一個模糊數或區間值此模式因散度挑

選為負值可修正掉Tanaka的模糊迴歸上下界不停擴散的缺點此點為其

最大的特色所以我們將利用模糊的不確定性特色來加入討論預測的結果

使預測視界更為開闊

2

12 研究目的與範圍

傳統的預測方法都是利用建立數據序列模型後再進行計算及與預測

然而隨著混沌科學發展發現混沌的現象存在於生活許多細節中於是學

者致力於發展混沌科學利用歷史資料的混沌規律性建立客觀的模型可

避免人為的主觀想法而影響預測的準確性

本論文的研究目的在於利用混沌理論建立時間序列與應用傳統複線性

迴歸計算進行預測已是一種在社會科學中被廣泛應用的預測方法但是

在預測的領域中加入模糊討論的情形卻很少在傳統的迴歸分析當中

所假設的估計值是由實際的因變數加上誤差所產生的也就是說因變數

是一種含有不確定性的隨機變數不過在現實生活當中很多事情往往不

符合這個假設因為許多的變數並不是一個明確的數值而是含有多重隸

屬的特性以學生的考試成績為例不能明確的斷定得到99分的學生和得

到97分的學生之間的優劣如果太過依賴實際數字去斷定這兩位學生的素

質高下也許會造成預測結果與實際狀況上的誤差

因此為了解決此種問題Tanaka等人(1982)提出了模糊線性迴歸模式來

處理模糊性資料的問題之後續有學者Chang與Lee也提出了修正型的模糊

迴歸選擇散度可為負值所以本文將依模糊理論中的模糊迴歸的特性來

加入預測值範圍討論處理不確定性問題

13 研究架構與流程

本論文的研究流程如圖 11 所示主要研究步驟從確立研究方向進

行相關文獻的探討然後建立本研究的預測方法流程並做混沌系統與模

糊系統的結合來做出預測最後給予本研究上的結論與建議研究架構圖

可參考圖 11

3

確認研究方向

相關文獻回顧

複線性迴歸預測模式

混沌理論 複線性迴歸 模糊理論

結論與建議

模糊迴歸上下界選取預測範圍

糢糊迴歸

建立預測模式

圖 11本研究之架構與流程

4

第二章 文獻探討

傳統的預測方法都是利用建立數據序列模型後再進行計算及與預測

然而隨著混沌科學發展發現混沌的現象存在於生活許多細節中於是學

者致力於發展混沌科學利用歷史資料的混沌規律性建立客觀的模型可

避免人為的主觀想法而影響預測的準確性

預測是一種資料探勘的相關技術通常都是利用各種統計或迴歸的方

法從過去的歷史資料中找出有用的趨勢或是模式然後利用這些趨勢或

模式來求得下一期間或週期的預測值要進行任何預測之前收集足夠的

有效觀察值是一種必要的程序在以往統計或迴歸的方法中均需要大量

的有效觀察值才能夠準確的判斷出預測結果

傳統的主觀意見預測法因為人為意見的影響較大無法利用電腦技術

來協助進行預測目前已經普遍不被企業所使用時間序列的數學方法是

以過去資料之時間序列為主而其基礎為假設未來之情形與過去情勢相雷

同因此若有某因素改變情形時必須參照判斷予以修正預測才能正確

而時間序列是指一個固定間隔為基礎經過了一段時間(如每小時每日

每月每週每月每季每年)之時間序列的觀察結果

本章節首先概述混沌理論的發展以及建立時間序列預測所運用的方法

再加以介紹模糊的幾何意義與模糊的演算法及結合傳統方法與模糊間的概

念

21 混沌理論

混沌理論是對一個不規則又看似無法預測的現象及過程加以分析在

現代科學史中真正數學和物理學意義下的混沌理論公認是由麻省理工

學院的氣象學家羅倫茲(Lorenz)提出的196年冬天某日當時還是副教授

的羅倫茲用一台 RoyalMcBee LPG-30 電腦對一個包含 12 個微分方程的

氣象動力學方程組進行數值模擬試驗在其中的一次驗算裡為貪圖方便

他把一個小數點後六位數的初始值做了四捨五入處理僅輸入了小數點後

前三位數但結果讓他大吃一驚這個與精確數值不到千分之一的誤差

讓最後計算結果大相逕庭這個偶然的取值失誤讓羅倫茲發現了一個簡

單具體並且有明確物理意義的可以用來表現和驗證彭加萊混沌理論的數

學模型於是 1963年洛倫茲在美國《氣象學報》上發表了題為「確定性

5

的非周期流」的論文這篇文章和他隨後發表的另一篇相關論文指出對

於模型中關鍵參數的微小改變會導致完全不一樣的結果使得有規律的周

期性行為能夠進入雜亂無章的狀態令精確的長期天氣預報變得不可能

Hayles(1990)於 Choas boundOrderly disorder in temporary literature and

science 一文中指出混沌的含義有兩個

1 系統失序的前兆與狀態

2 強調存在於雜亂現象內潛藏的規律與秩序結構

Curtis(1990)認為混沌理論或多或少隱含了隨機(randomness)的現象其

含義有兩個觀點

1 混沌是規律秩序的預兆當各種事件在一個系統中進行時混沌現象開

始出現就必須注意「驅散(disspative)結構」的雜亂現象同時也會產生

假使這個系統在「熱力函數」上有足夠熱度則它的結果將使「驅散結

構」的雜亂現象成為確切明白的秩序(Prigogine amp Stenger1984)這種

規律秩序的預兆Gleick (1987)稱之為介於熱力學和動力系統間以高

度個體化和關聯化的哲學觀點「規律秩序之外的秩序」稱之為「混沌」

2 強調經過混沌吸引子的吸收進而啟動「混沌系統」發展出「力的性

質」進而產生混沌系統的模式特徵姜濤(1993)認為從物理意義上來看

一個確定性系統(含有隨機或偶然因素)在沒有外界隨機干擾的情形下

所出現的無規則形態都可以稱為混沌現象Wheatly(1994)將混沌理

論定義為可能是一個事件行為或是過程它是多變的非線性的及

無法預測的所以模式和範圍是彈性的會隨時隨地改變

J Yorke(2002)將混沌賦予新義指出混沌是一種有結構有規則的系

統混沌的雜亂只是表象最終會回歸平衡且等待下一次的失序如此

一直循環著 混沌系統兩個十分重要的特性

1 系統的變化驟看似是毫無規則但實際上是由物理定律所決定的

2 系統的演化對初始條件的選取非常敏感初始條件極微小的分別 (就例

如 02 和 02001 只相差兩千分之一)在一段時間的演化後也可帶來

南轅北轍的結果

211碎形維度及混沌吸引子

碎形幾何理論(Fractals Geometry)是一門新興理論專門用來解釋以前

6

歐氏幾何學無法解釋的自然現象舉凡不規則形狀的自然物體都無法用歐

式幾何學解釋如雪花雲朵流水樹木hellip等所以碎形幾何理論是

用來解釋具有自我相似性及非整數維度的特徵

因此所謂碎形指的是一個幾何物件其外型不像直線弧線這些古

典歐幾里德幾何（Euclidian geometry）的表面那麼平滑而是相當破碎

不規則且無論巨觀或微觀都不是連續的這些不規則的碎形和我們習以

為常的觀念有所不同且基本上大多數的現象並不是如歐幾里德幾何所描

述的那樣

舉例來說一顆籃球對於向來熟悉阿基里德空間的我們來說直覺性

的會認為這是三度空間中的一個球體其維度為三但當把距離拉遠看

似一個圓形維度成為二若把距離縮近成為一公釐則可以發現籃球上

有凹下的線條有防滑的凸點顆粒這種情況下維度又該如何界定而曼

德布洛特在分析英國科學家李查(Lewis F Richardson)遺稿當中的一篇論文

時察覺任何國家的邊界在某種定義下都是無限長其重點在於測量時所

使用的基準長度一般要測量海岸線長度時測量員會架起兩腳器並預設

成一個長度沿著海岸線進行測量之後將兩腳器的尺度縮小重頭再量一

次海岸線長而所量到的這兩種尺寸後者一定較前者為長也較逼近真

實的邊界長度同理將兩腳器的兩腳距無限的縮小則所量到的邊界就

成為無限長

1967年代數學家 Benoit Mandelbrot發表了一篇名為「英國海岸線有

多長」的論文文中提到新的維度觀念也就是碎形維度碎形維度具

有四種特性(1)自相似性(2)自我模仿性(3)碎形維度為有限區域的無限

結構(4)碎形是非動力過程的結果混沌現象具有特殊的碎形維度(Fractals)

混沌狀態出現時運動軌跡不穩定它們隨機但緊密的逐漸收斂到一個整體

縮小但局部分離的區域此區域就稱為奇異吸引子（strange attractor）

Hayles(1990)指出混沌是強調存在於雜亂現象之內潛藏的規律秩序結構

因為雜亂現象之內隱含有「奇異吸子」(strangeattractors)進而啟動運作「混

沌系統」Griffths Hart amp Blair(1991)認為混沌理論應用在教育行政中

也具有奇異吸子的特徵奇異吸引子不同於的穩定的整數維吸引子（即不動

點極限環和環面）它具有的是奇特的非整數的空間維度這種空間被

稱作豪斯道夫（Hausdorff）空間因此混沌奇異吸子是一個整體穩定但是

7

局部不穩定的運動空間

212李亞普諾夫(Lyapunov)指數

混沌系統的初始值非常敏感使得初始時刻靠得很相近兩條相軌跡隨

著時間的增長而逐漸遠離如果能夠定量描繪出此種鄰近軌跡的發散性

便可建立出混沌變動情形的一種數值判斷方法李亞普諾夫指數就是用來

表示相空間內鄰近軌跡的平均指數發散率的數值特徵m 維相空間中的某

一時刻兩條鄰近軌跡之間的距離可以分解在 n 個不同的方向這 n 個不

同方向上的距離增長率是不相同的而每一個增長率就是一個李亞普諾夫

指數

最大李亞普諾夫指數是判斷和描述非線性時間序列是否為混沌系統的

重要參數因此是一個重要的混沌不變數對於混沌系統來說發散是一種

整體性的穩定因素動力系統一方面作為發散系統最終要收縮到相空間的

有限區域也就是吸引子上另一方面系統在相體積收縮的同時運動軌

跡是不穩定的要沿某些方向進行指數分離

對於 m 維的動力系統中 中初始兩點迭代後會互相分離

或是靠近取決於

的值若

則迭代使兩點分離若

則迭代使兩點靠近在不斷迭代過程中

也會隨之改變呈現出時而接

近時而分離的情形為了表示從整體上觀察得到的情況必須對時間(或反

覆運算次數)取平均設平均每次反覆運算所引起的指數分離指數為 於

是原來相距 的兩點經過 n次迭代後距離變為

(21)

若取極限 則式(21)變為

(22)

(22)式可簡化為

(23)

上式中的 與初始值的選取無關稱為原動力系統的李亞普諾夫指數

它表示系統在多次反覆運算中平均每次反覆運算所引起的指數分離中的

8

指數若 則表示相鄰點最終會靠近合併成一點若 則表示

相鄰點最終會發散而對應於軌道的局部不穩定若軌道還存有整體的穩

定因素(如整體有界發散存在捕捉區域等)系統則需在有限的幾何物件

上無窮次折疊以實現指數分離系統在此作用下反覆折疊並形成混沌吸

引子故 可做為判斷混沌情形的準則

混沌系統中的李雅普諾夫指數可用來判斷系統是收斂的還是混沌的

當系統的李雅普諾夫指數中至少有一個為正時 系統是混沌的 當系統的

李雅普諾夫指數均為負數時 系統是收斂的

對於一般 m維的動力系統定義李亞普諾夫指數如下設 F為

上的 m維映射假設一個 m維離散動力系統 將系統的初

始條件假設為一個無窮小的 m維小球由於演化過程中的自然變形圓球

將變成橢圓球將橢圓球上的所有主軸依其長度排列則第 i 個李亞普諾

夫指數根據第 i個主軸的長度 的增加速率定義為

(24)

李亞普諾夫指數與相空間的軌道收縮或擴張性質是有關連性的在李

亞普諾夫指數小於零的方向上軌道收縮運動穩定對於初始值不敏感

而在李亞普諾夫指數為正的方向上軌道迅速分離對初始值敏感李亞

普諾夫指數的前 j個指數的和是由前 j個主軸定義的 j維立體指數增加的長

期平均速率確定如橢球長度按 增加由前兩個主軸定義的區域面積依

增加由前三個主軸定義的區域面積依 增加以此類推在

李亞普諾夫指數譜中最小的李亞普諾夫指數決定軌道收縮的快慢最大

的李亞普諾夫指數則決定軌到發散也就是覆蓋整個混沌吸引子的快慢

而所有李亞普諾夫指數之和 可以大致表示為軌道的平均發散速度

李亞普諾夫指數是衡量系統動力學特性的一個重要定量指標它代表

了系統在相空間中相鄰軌道間收斂或發散的平均指數率對於系統是否存

在動力學混沌可以直觀的判斷最大李亞普諾夫指數是否大於零一個正

的李亞普諾夫指數代表著在系統相空間中無論初始兩條軌跡的間距多

小兩條軌跡的差別都會隨著時間的演化而成指數率的增加而導致無法

預測這就是混沌現象

213 混沌系統之時間序列

9

2131 相空間局部近似法

Farmer and Sidorowich(1987)在其混沌預測方法之研究提出所謂的相

空間局部近似法(phase space local approximation method)對系統之演變行為

進行預測這種奠基於時間延遲法(time delay method)所構成之重建相空間

(reconstructed phase space)的預測方式能夠適應吸引子(attractor)的局部行

為經後續進一步研究發現其具有相當良好之預測能力因此採 Farmer and

Sidorowich(1987)之相空間局部近似法構建交通量預測模式期能增加預測

準確度

2132 時間序列與相空間重構

相空間的概念就是把運行方程式所獲得的數字或數據轉換成為圖形

並將系統中隨時間改變的重要的資訊(無論是機械或是流體)抽取出來把各

式各樣可能的狀況註明在圖上利用延遲時間的概念模擬出類似原始系統

之相空間當重建一個空間使得此空間可以具體的包含吸引子特徵則此

空間之維度我們稱為嵌入維度Takens等人(1981)提出嵌入定理對於無

限長無雜訊的 d維混沌吸引子的標量時間序列x(n)可以在拓撲不變的

意義上找到一個 m維的嵌入相空間只有維數 m gt2d+ 1才可保有原始吸

引子的特徵Takens 定理保證了我們可以從一維混沌時間序列中重構一個

與原動力系統在拓撲意義下等價的相空間混沌時間序列的判定分析與

預測是在這個重構的相空間中進行的因此相空間的重構是混沌時間序列

研究的關鍵將收集的一維歷史資料例如現有歷史資料為 9筆13579

10131115間遞移的結果為1711391351015在此我們將利用此

時間遞移建立的時間序列觀念x(t) x(t minusτ ) x(t minus 2τ )hellip來重建相空間

2133 延遲時間 τ的決定

時間延遲如果 τ太小則相空間向量 x(i) = x(t) x(t minusτ ) x(t minus 2τ )hellip

中的任意兩個分量 x(t)和 x(t minusτ )在數值上非常接近以至於無法相互區分

從而無法提供兩個獨立的座標分量但如果時間延遲 τ 太大的話則兩座

標在統計意義上又是完全獨立的混沌吸引子的軌跡在兩個方向上的投影

毫無相關性可言因此需要用一定的方法來確定一個合適的 τ 值本文確

定 τ的主要方法為相關維度法

2134 自相關函數

自相關係數是利用時間序列裡每一筆數據與其前的數據根據不同遲延

10

時間距離的數值進行相關係數計算而成如遲延時間距離為 1表示將每

一筆數據與緊接其前的一筆數據進行相關係數計算如遲延時間距離為 2

表示將每一筆數據與其前第二筆數據進行相關係數計算如遲延時間距離

為 3表示將每一筆數據與其前第三筆數據列進行相關係數計算如此類

推自相關係數 之計算公式如下

1

1

1( )( )

1( )

n k

t t k

tk n

t

t

x x x xn k

r

x xn

(25)

式中 n為資料數k為時間遞移後的點t為時間點

將自相關係數計算的結果與每一筆遲延時間距離數值繪製成圖表可

由圖表中可分析辨別時間序列數據的初步基本特徵如圖表繪製的結果顯

示自相關係數沒有跟隨遲延時間距離數值的增加而顯示收歛之跡象也就

是說繪製線不斷於 X軸零座標線做不規律的上下擺動表示數據為隨機時

間序列即每一數據都視為個別獨立的事件且與過去某一筆遲延時間距離

數值的事件無關係反之若圖表繪製的結果顯示自相關係數跟隨遲延時

間距離數值的增加而顯示收歛且具有震盪循環之跡象則表示數據具有一

種規則屬於一混沌時間序列

2135 季節趨勢

季節趨勢預測法是根據事物每年重覆出現的週期性季節變動指數預

測其季節性變動趨勢

季節指數的概念即是利用簡單平均法計算週期內各時期模型季節性影響的

相對數季節指數反映了該季與總平均值間的穩定關係若季節指數大於

1則表示該季的值常會高於平均值若季節指數小於 1則表示該季的值

常會低於平均值若序列的季節指數都近似於 1則表示該序列沒有明顯

的季節效應季節指數的計算方式如下

計算週期內各期平均數

k=12hellipm (26)

計算總平均

(27)

計算季節指數

11

k=12hellipm (28)

其中 n為期數m為季節數

22 複線性迴歸分析

迴歸分析的目的主要是建立變數之間的關係進而應用於預測分析中

內政部營建署(1997)就曾利用迴歸分析來探討反彈數及現場鑽心試體之間

的抗壓強度關係進而建構出一迴歸方程式做為混凝土試體的抗壓強度

預測而在土木工程領域中也已有許多學者利用迴歸分析來進行研究

例如潘南飛與黃冠智(2005)利用迴歸分析來預測橋面版劣化狀況且考慮

以交通量及降雨量作為迴歸模式中的自變數最後得一配適佳的迴歸式

凌偉峻(2006)利用複線性迴歸分析建立模式及混沌系統的相空間鄰近點相

似特性來建立車流量預測模式Cheung et al (2008)使用氣候值持續值

颱風強度Julian Date記日本地時間七級風暴風半徑及颱風中心速度共

7個預報參數進行多變量的複線性迴歸(multiple linear regression)分析並以

20個傳統雨量站進行測試各新增變量中以颱風強度七級風暴風半徑及

中心速度對預報之改善較顯著其受改善之時數及相關係數之增加幅度皆

較其它變量為多顯示颱風結構參數在颱風降雨預報中比簡單的季節性因

素或日夜對流差異來得重要

敘述自變數( 1 kx x x x 2 3 )依變數 y 和誤差項 i 之間關係的方程式

稱為複線性迴歸模式複迴歸其主要目的有二

1 可以降低隨機誤差此與迴歸之變異數分析有關增加解釋變數之個數

可以使迴歸分析可解釋變動的部分增加相對的誤差就會減少

2 可以避免反應變數中影響重大的解釋變數有所遺漏而無法具體描述實

際資料的狀況估計複迴歸方程式或估計多元迴歸方程式(Estimated

multiple regression equation)大部分情況下複迴歸模式中的迴歸參數

皆不知其實際數值僅可以利用樣本數值估算分別以樣

本統計值 作為迴歸參數 的點估計值本研究

利用全域法訓練迴歸參數 即是利用前九日的歷史資料

複線性迴訓練出迴歸係數預測出第十日的資料型態複迴歸分析是將

簡單迴歸分析其自變數由一個增加至數個研究一群自變數和一個反應

變數之間的關係複線性迴歸模式定義如下

12

(29)

其中 為常態 n 隨機變數期望值 E(ε)=0且彼此互相獨立若有 n

組樣本觀測值(ngtp)組我們就可將方程式寫成

(210)

其中 i=123hellipn

若將複線性迴歸寫成矩陣可得下式

(211)

也可將式(211)寫成矩陣形式

(212)

其中 為觀察值向量 為參數向量 為自變數矩陣 為獨立之常態

隨機變數向量且滿足 向量 Y的期望值表示如下

(213)

複線性迴歸之最小平方標準方程式矩陣表示為

(214)

其中

為最佳模式之參數矩陣因此可求得最小平方估計式矩陣

表示為

(215)

其中 為 之轉置矩陣 為 之反矩陣只要利用式(215)

即可獲得複線性迴歸方程式

23 模糊理論

模糊理論是由美國加州大學伯克利分校電氣工程系的L A Zadeh在

1965年首次提出Zadeh在1965年發表了一篇傳統科學皆以排除具模糊性的

研究為主而模糊理論則以包含模糊性的研究為主現今科學發達所要

探討的議題越來越多由於人類的知識與研究會因本身主觀的意識因應

不同的人事時地物而具模糊性使得無法清楚呈現研究的本質為何要

13

在日常生活中精確地描述一個現象必定忽略其中的些微變化然而此描

述又無法真實描述現實因此模糊理論(Fuzzy Theory)正好能被廣泛應用在

研究上

模糊概念是指這個概念的外延具有不確定性或者說它的外延是不清

清楚的是模糊的例如好的壞的好壞的概念我們非常清楚但是

它的外延也就是究竟事件發生的條件到底是要如何才會是好的跟壞的

每個人的回答都會是不同的這就是一個模糊的概念所以當我們在接

觸模糊時是允許主觀意識的因為每個人對模糊的概念不盡相同儘管

如此當我們利用模糊統計方法進行分析時對於好與壞之間的界限又有

一定的概念

其次模糊性與精確性是相對立的但卻不能將模糊性理解成較差的

結果因為實際上我們在處理客觀事物時經常藉助於模糊性例如

若我們要在路上找一位「年輕的漂亮女孩」「年輕」及「漂亮」都是模

糊的概念但對我們而言這在路上不難找到因為我們的大腦會分析什麼

是「年輕」及「漂亮」於是我們就可以判斷出我們要找的人然而若我

們要求必須用電腦查詢「年輕的漂亮女孩」我們就必須將「年輕」及「漂

亮」這兩個模糊的條件利用具體的數據輸入電腦分析才能找到符合我們

要求的人

最後人們對模糊性的認知常與隨機性混淆其實它們之間有著很大

的不同隨機性是本身具有明確意義只是因為發生的條件不充分使得

在條件與事件之間不能產生確定的因果關係所以事件的出現與否表現出

一種不確定性而事物的模糊性是指我們要處理的事物的概念本身就是模

糊的即一個對象難以確定是否符合這個概念也就是由於概念外延模糊

而帶來的不確定性

231模糊的發展

模糊理論是在美國加州大學伯克利分校電氣工程系的 LAzadeh 教授

於 1965年創立的模糊集合理論的數學基礎上發展起來的主要包括模糊集

合理論模糊邏輯模糊推理和模糊控制等方面的內容

早在 20世紀 20年代著名的哲學家和數學家 B Russell就寫出了有關

「模糊性」的論文他認為所有的自然語言均是模糊的比如「紅的」和

「老的」等概念沒有明確的內涵和外延因而是不明確的和模糊的可是

14

在特定的環境中人們用這些概念來描述某個具體對象時卻又能心領神會

很少引起誤解和歧義

美國加州大學的 L A Zadeh 教授在 1965 年發表了著名的論文文中

首次提出表達事物模糊性的重要概念隸屬函數從而突破了 19世紀末勒

內middot笛卡爾（Rene Descartes）的經典集合理論奠定模糊理論的基礎1966

年P N Marinos發表模糊邏輯的研究報告1974年L A Zadeh 發表模

糊推理的研究報告從此模糊理論成了一個熱門的課題1974 年英國

的 E H Mamdani 首次用模糊邏輯和模糊推理實現了世界上第一個實驗性

的蒸汽機控制並取得了比傳統的直接數字控制演算法更好的效果從而

宣告模糊控制的誕生1980年丹麥的 LPHolmblad 和 Ostergard 在水泥窯

爐採用模糊控制並取得了成功這是第一個商業化的有實際意義的模糊控

制器

事實上模糊理論應用最有效最廣泛的領域就是模糊控制模糊控

制在各種領域出人意料的解決了傳統控制理論無法解決的或難以解決的問

題並取得了一些令人信服的成效

模糊控制的基本思想把人類專家對特定的被控對象或過程的控制策略總

結成一系列以ldquoIF THENrdquo形式表示的控制規則通過模糊推理得到控製作用

集作用於被控對象或過程控製作用集為一組條件語句狀態語句和控

製作用均為一組被量化了的模糊語言集如「正大」「負大」「正小」

「負小」零等

模糊控制的幾個研究方向

1 模糊控制的穩定性研究

2 模糊模型及辯識

3 模糊最優控制

4 模糊自組織控制

5 模糊自適應控制

6 多模態模糊控制

模糊控制的主要缺陷

信息簡單的模糊處理將導致系統的控制精度降低和動態品質變差若

要提高精度則必然增加量化級數從而導致規則搜索範圍擴大降低決策

15

速度甚至不能實時控制模糊控制的設計尚缺乏系統性無法定義控制

目標控制規則的選擇論域的選擇模糊集的定義量化因數的選取多

採用試湊發這對複雜系統的控制是難以奏效的

232模糊至今應用的範圍

模糊理論發展至今已接近三十餘年應用的範圍非常廣泛從工程科

技到社會人文科學都可以發現模糊理論研究的蹤跡與成果我們分別由工

程科技與社會人文科學的角度瞭解模糊理論應用的範疇

1 工程科技方面

(1) 型樣識別文字識別指紋識別手寫字體辨識影像辨識語音

辨識

(2) 控制工程機器人控制汽車控制家電控制工業儀錶控制電

力控制

(3) 信號及資訊處理影像處理語音處理資料整理資料庫管理

(4) 人工智慧及專家系統故障診斷自然語言處理自動翻譯地震

預測工業設計

(5) 環保廢水處理凈水處理廠工程空氣污染檢驗空氣品質監控

(6) 其他建築結構分析化工製程控制

2 教育社會及人文科學方面

(1) 教育教學成果評量心理測驗性向測驗電腦輔助教學

(2) 心理學心理分析性向測驗

(3) 決策決定決策支援決策分析多目標評價綜合評價風險分

析

233模糊集合

過去傳統數學上集合的基本定義是以二值邏輯(Binary Logic)為基礎的

方式來描述事物為屬於或不屬於此集合也就是元素 x和集合 A的關係

只能是isinA或notinA明確的判斷對象為所屬集合也就是明確集合(Crisp Set)

如果要描述適當的模糊事物時須將所屬集合的概念模糊化使之無明確

判對象所屬的集合模糊集合是指在界限或邊界不分明且具有特定事物的

集合以建立隸屬函數(Membership Function)來表示模糊集合承認論域

(Universe of Discourse)上存在既非完全屬於集合A又非完全不屬於集合A

16

使傳統集合的絕對屬於的概念改變為相對屬於的概念以數學式表示論域

U 上的模糊集合 A可表示為元素 x與它的歸屬函數集合

(216)

其中 A為一模糊集合 為歸屬函數x稱作元素U為論域一

般情況下歸屬度會界定在 0跟 1之間

(1) =0表示元素 x不屬於

(2) =1表示元素 x完全屬於

(3) 趨近 0表示元素 x極不可能屬於

(4) 趨近 1表示元素 x極有可能屬於

這個表示式的完整解釋為當 x 在 U 的範圍內會對應到一個介於 0

到 1之間的數值 所有這種 x所成的集合就是一個模糊集合模糊集

合可表示為

1 當論域Ｕ為有限離散(discrete)集合的情形下模糊集合 可表示成

(217)

2 當論域Ｕ為實數論域所組成之在連續(continuous)集合的情形下模糊

集合 可表示成

isin (218)

其中 並非積分符號而是單純的連結符號

234 模糊數(Fuzzy Number)

1 模糊數(triangular fuzzy number)

假設 是模糊集合或模糊數(FN)在實線 2R 上則以三角形隸屬函數

(triangular membership function）表示為 1 2 3( )a a a 2 x R to A 則

1

1 2 1 1 2

3 3 2 2 3

3

0

( ) ( ) ( )

( ) ( )

0

x a

x a a a a x aA x

a x a a a x a

x a

(217)

17

1

其隸屬函數圖形如圖 21

圖 21 三角模糊數

2 梯形模糊數(trapezoidal fuzzy number)

梯形模糊數可表示為 如圖 22其隸屬度函數定義為

(218)

其隸屬度函數如圖 22

圖 22梯形模糊數

a b c d

1

18

在一信賴區間 α水準α 01 我們定義 A

( )A x A x (218)

三角形隸屬度函數以 α-cut表示為

( ) ( )

1 3 1 1 2 3 2 3[ ] [ ( ) ( )]A a a a a a a a a

(219)

( )

1a 與 ( )

3a 個別代表 A的下界及上界

根據模糊算術方法Zadehrsquos sup-min 方法表示如下

( )( ) sup min( ( ) ( ))x y z

A B z A x B y

(220)

其中 sup表任何模糊算式Mizumoto and Tanaka（1976）使用相同方

法在 α 截集模糊數和區間算術Chang（2003）和 Chang et al （2006）和

Chang and Hung（2006）整理使用 α 截集模糊算術方法的文獻α截集模

糊算術中模糊數基本運算公式（加法減法乘法除法）可以計算的

更快在每一個 α-level 區間中使用區間算術（Kaufmann and Gupta

1988）

1 模糊數加法

令A和 B分別為兩模糊數 A和 B在一信賴區間 α水準 ( ) ( )

1 2[ ]A a a

( ) ( )

1 2[ ]B b b αisin 01 forall A B sub 2R 表示如下

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 2 1 2 1 1 2 2[ ] [ ] [ ]A B a a b b a b a b

forallαisin 01 (221)

2 模糊數減法

在一信賴區間 α水準forall A B sub 2R αisin 01

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 2 1 2 1 2 2 1[ ] [ ] [ ]A B a a b b a b a b

(222)

3 模糊數乘法

在一信賴區間 α水準forall A B sub 2R αisin 01

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 2 1 2 1 1 1 2 2 1 2 2

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 1 1 2 2 1 2 2

[ ] [ ] [min(

max( )]

A B a a b b a b a b a b a b

a b a b a b a b

(223)

4 模糊數除法

在一信賴區間 α水準forall A B sub 2R αisin 01

19

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 1 1 2 2

1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 2 1 2 1 2 1 2

[ ] [ ] [min( )max( )]a a a a a a a a

A B a a b bb b b b b b b b

式中 ( )

1b ( )

2b gt0forallαisin[01] (224)

235模糊運算

根據 Zadeh（1965）的擴展原理（Extension Principle）可以廣義的使

用一般基準 T取代原來的最小值模糊數的數學運算表示如下

1 加法

( )( ) sup ( ( ) ( ))x y z

A B z T A x B y

(225)

2 減法

( )( ) sup ( ( ) ( ))x y z

A B z T A x B y

(226)

3 乘法

( )( ) sup ( ( ) ( ))x y z

A B z T A x B y

(227)

4 除法

( )( ) sup ( ( ) ( ))x y z

A B z T A x B y

(228)

24 模糊迴歸

在科學研究過程中許多研究者常使用迴歸來描述自變數 x和應變數 Y

之間的關係傳統的迴歸分析均假設觀察值由實際應變數影響加上隨機誤

差而產生也就是說應變數是一種帶有不確定性的隨機變數不過在很

多的實務應用上往往無法滿足這樣的假設例如有些應變數 Y 的觀察值

並不是以單一數值的型式存在而是帶有多重隸屬的特性這些觀察值雖

然帶有不確定性但這種不確定的特性是來自於模糊現象而非隨機現象

若由模糊觀點套用迴歸分析來處理模糊資料問題就稱為模糊迴歸分析

模糊迴歸分析最早是由 Tanaka et al (1980) 提出一般模糊迴歸能夠處理的

樣本型式有兩種一種是實數值樣本 其中 為實數向量 為觀測

到的實數值另一種是模糊數樣本( 其中 為觀測到的模糊數不論

是實數值樣本或是模糊數樣本想要估計模糊迴歸參數估計方法大都是

20

利用線性規劃的技巧來尋求一組能將實數值樣本 或模糊數樣本(

包含在內的區間再將三角形隸屬函數（triangular membership function）套

用

在此區間上如此便求得一組模糊迴歸估計式要得到正確的估計結

果最好是收集具有代表性的隸屬函數樣本所謂具有代表性的隸屬函數

樣本應該是以模糊數的形式存在所以本文就樣本模糊數 進行討論

線性模糊迴歸模式常表示成

0 1 1 2 2( ) i i i p piY x A A x A x A x (229)

其中 1 2 3(1 ) i i i i p ix x x x x 為自變數向量 ( )iY x 為模糊應變數

為模糊參數利用樣本模糊數 估計參數 時通

常假設 與 的隸屬函數為對稱三角型式 與 的隸屬函數表達如下

( ) max 1 0 i

i

Y

i

t yt t

r

(230)

其中 為三角隸屬函數的中點 為三角隸屬函數的分布半徑可令

( ) max 1 0 m

m

A

m

t ct t

s

(231)

其中 為三角形的中點 是三角形的分布半徑 與 間的關係

如圖 23所示

圖 23模糊數的中心值與散佈值

1

0

21

再令 則前述的模糊迴歸方程式可改寫成

0 1 1 2 20 1 2( ) i i ipi p pY x x xC S xC S C S C S (232)

因此模糊應變數 ( )iY x 的隸屬函數也屬於三角型式可表示成

( )

0

0

( ) max 1 0 Y xi

p

m m

m

p

m mi

m

t c x

t t

S x

(233)

其中 因此只要估計出三角形的中點 及半徑 便可得到

隸屬函數的估計值模糊迴歸分析是在要求每一個觀測值 隸屬於模糊

迴歸區間的隸屬程度至少 的情況之下尋求最小的模糊迴歸預測區間如

(234)式表示

forall ( 234)

在利用 對未知的模糊參數 進行估計前一般先定

義模糊樣本 和模糊應變數 的 h截集其定義如下

令 為一組模糊樣本 ( )iY x 為模糊應變數若 與

分

別為 及 的 h截集(h-cut)則

(235)

(236)

因具代表性的樣本 其 h 截集 應要盡量接近模糊應變數 的 h

截集 意即

其中容許

不完全落在 之

內的情形發生根據以上觀點王景南(2002)認為樣本的左端點

和右端點 隸屬於 的程度會有一定的水準於是設立此水準

為 H因此假設 隸屬於 的隸屬度會盡量的接近 H其間的關係

為

( 與

( (237)

所謂的盡量接近 H是可允許隸屬度大於 H或小於 H而不是均大於

22

H

根據以上的對樣本的解釋運用最小平方法以所有樣本的左端點

配置一迴歸直線稱之為左端直線估計式

(238)

其中 為迴歸係數再以所有右端點 配置右端

直線估計式

(239)

其中 為迴歸係數

前文已假設樣本的左右端點隸屬於 的隸屬度會盡量的接近 H所

以將這兩條直線函式來估計 之 H截集的左右邊界即

(240)

如此可推導出 的隸屬函數為

(241)

其中 且

(242)

意即

(243)

其中

為三角形底邊中點是

分布半徑如此便可得一組估

計的模糊迴歸模式

(244)

仍需注意的是當樣本為對稱型態時左右迴歸函數式其配適的結果式

相同的只有常數項不同當對稱情形發生時可以考慮利用各別對應相

之權重除以常數項的分布半徑做為個別對應項之分布半徑意即

分布半徑

除此之外Celmins及Diamond Celmins也分別提出最小平方法之模糊迴

23

歸模式以便求解資料間距離最小的模糊迴歸方程

模糊迴歸應用上比統計迴歸更具彈性統計迴歸通常需要大量資料以

支持其假設而模糊迴歸卻無此需求因此當資料量不足或隨機性難以驗

證時模糊迴歸是較強健的(Robust)同時當所蒐集之資料的不確定性乃

來自於人類之主觀判斷時模糊迴歸較具適用性

因此模糊迴歸模式逐漸受到重視在1990年代的研究包括Sakawa及

Yano針對投入變數與輸出變數皆為模糊資料的問題建構出一個多目標的模

糊迴歸模式此外Chang和Lee則認為模糊迴歸中心線的趨勢與模糊迴歸散

佈值的趨勢可以存在不一致性為了分析統計迴歸與模糊迴歸的差異Kim

Moskowitz 及Koksalan 利用模擬分析比較統計迴歸與模糊迴歸的結果認

為由機率論所得的統計迴歸模式在大樣本時其預測績效遠比可能性理論

(Possibility theory)推演而得的模糊迴歸模式為佳然而當資料量遞減或所構

建的模式適合性變差時(即變數間存在模糊關係)則模糊迴歸模式的預測績

效將優於統計迴歸模式由於模糊迴歸模式在解決資料量少及系統關係模

糊不清的問題上具有較佳之績效而存在其正面之價值當變數間存在模

糊關係時

從早期到目前已發展出多種模糊迴歸模式求解方式以下根據薛展青

(2004)所整理的模糊迴歸分析整裡敘述如下

1 區間迴歸法

區間迴歸法(interval regression)其模型架構主要是由Tanaka et al(1982)

所提出的模糊線性迴歸(fuzzy linear regression)模型Tanaka et al(1982)所發

表的論文中表示傳統的迴歸模型中造成實際值與估計值的誤差來源被

認為是由測量或觀察所造成的而此誤差項在模糊線性迴歸模型中是因

模糊系統中參數的模糊性所產生的即誤差是反應模糊線性函數的模糊現

象因此以模糊線性函數來表示迴歸方程式而迴歸參數則是以模糊集合

來表示

Tanaka et al(1982)在估計模糊迴歸參數時是利用線性規劃技巧

(linearprogramming method)來尋求一組能將實數值樣本或模糊數樣本全部

包含的區間最後求得一組對稱三角形模糊數之迴歸參數

自Tanaka等人(1982)的文章發表之後後續的學者大多以此為基礎陸

續題出各種相關的模式與求解方法如Peters (1994)將Tanaka的線性規劃法

24

求解推廣為模糊線性規劃法求解讓資料對模糊迴歸模式的適應性更加提

升YenGhoshray 與Roig (1999)提出由於非對稱迴歸係數導因於大多數的

資料為離群值使得對稱三角迴歸係數不再適用因此將Tanaka et al的模

式推廣為非對稱三角迴歸係數Moskowitz 與Kim (1993)探討不同水準值下

模糊迴歸模式的求解與模式配適程度Redden 與Woodall (1996)探討模糊

迴歸分析預測未來值的結果Sakawa 與Yano (1992)將Tanaka的方法擴展到

依變數及自變數皆是模糊集合的情況並將之稱為多目標線性迴歸法

(multiobjective linear regression model)Koumlrner 與Naumlther (1998)討論解釋變

數與反應變數兩者皆為模糊數值的情況Kacprzyk 與Fedrizzi (1992)則蒐集

了各種不同迴歸模式的求解方法Redden 與Woodall (1994)說明Tanaka後

續提出的求解模式當中所具備的性質以及與傳統迴歸方法的差異比較

但是在此模式下求解之迴歸係數本身亦為一對稱的三角模糊數值

而且求解結果很容易受到資料尺度(scale)的影響使得反應變數估計值之展

度會變得更為寬廣後來Tanaka (1987)根據1982年的文獻發展為更完整的

可能性線性系統使模糊迴歸的結構更趨適應性Tanaka 與Watada (1988)

闡明可能性線性模式的概念推演建構成可能性線性迴歸模式Tanaka et

al(1989)應用模糊資料於可能性迴歸系統中並建構最小化最大化及混合

式三種線性規劃模式又對先前所提出的模式加以修正但就如Redden 與

Woodall (1994)所指出Tanaka 類型的模式對於離群值(outlier)的反應非常

敏感甚至在觀察值的個數增加時求解結果可能會產生無限多解因

此在Tsaur 與Wang (1999)提出的文獻對於在模糊迴歸分析中的離群值進行

一系列探討

2 模糊最小平方法

模糊最小平方法(fuzzy least squares)乃擴展傳統之最小平方法的觀念

最早由Diamond (1988)所提出利用傳統最小平方法的觀念求出一個模糊

迴歸模式以估算(approximate)反應變數的觀察值並非如區間迴歸中的包含

觀察值在其模式中利用反應變數的觀察值與估計值的模糊數值之最小

值最可能值與最大值定義兩者之間的距離以衡量迴歸模式與模糊資

料之間的最佳配適度的情形在使得所有觀察值與估計值的模糊數值之間

的距離平方總和為最小時可以導出類似傳統迴歸分析中的正規方程式

(normal equation)以求解迴歸係數

25

其後Chang 與Lee (1996)則將Diamond (1988)的方法加以擴充將迴

歸係數的最可能值與展度分別估計該方法的特點在於可將極端值(outlier)

加以處理並降低其影響程度Ma等人(1997)則將此類方法發展於適合非

三角模糊數值的場合Diamond 與Koumlrner (1997)則在此類方法中定義一

個判定係數的計算方法以比較不同模式的適合性Wu與Tseng (2002)提出

改善模糊迴歸模式之最小平方法其模式主要觀念是利用最小平方法將所

有樣本的左端點及右端點各配置一條迴歸線然後在將其左右迴歸線統合

成一條迴歸線

而在Kim 與Bishu (1998)的研究中是利用各個具有三角模糊數值的反

應變數之最小值最可能值與最大值以最小平方法分別計算出模糊迴歸

係數所得到的係數不一定為對稱的三角模糊數在此種求解方式下雖

然可以得到比較小的估計誤差但其缺點是無法處理解釋變數為模糊數的

情形另外Kim 與Bishu(1998)還提出了評估模糊迴歸模式的準則利用觀

察值與估計值歸屬函數之間面積的差異做為迴歸模式的估計誤差但其評

估準則的問題是無法比較不同模式在觀察值與估計值歸屬函數之間不具有

交集時的誤差情況在此情況下求算估計誤差時無法準確評估其總誤差而

導致評估失真而其他學者如Yang與Ko (1997)Yang 與Lin (2002)等則

是提出以最小平方法為基礎的模糊聚類分析求解方式

3 模糊隨機變數估計法

為了建構一個同時具有隨機和模糊特性的系統Kwakernaak (1978)首

先提出模糊隨機變數(fuzzy random variables)的概念認為傳統的隨機變數

U Ωrarr R為實數可測函數而模糊隨機變數則將一般隨機變數的概念廣義

化模糊隨機變數可表示為X ΩrarrS設ω isinΩ而ω 所對應到的不再是實

數值U(ω)而是模糊集合X (ω)S 代表模糊集合且Kwakernaak (1978)擴

充原來Zadeh 提出模糊集合之架構認為有時供作參考的資訊不齊全在

對某些述句進行評斷時我們無法判斷其絕對為真或絕對為假此時我

們考慮將原有的二元邏輯思維方式推廣暫且不作肯定的判決而僅是表

達出對錯的程度換句話說真值可以是介於單位區間[01] 內的任何值

如此思維方式稱之為多值邏輯(multivalued value)並將模糊集合視為一組

述句(statement)的集合且每個述句均對應一真值程度以符合人類的思維與

想法Stein 與Talati (1981)利用模糊數值的隸屬函數提出模糊隨機變數

26

的期望值之計算方式Kruse 與Meyer (1987)藉助集合表徵的概念建立了

一套模糊隨機變數的定義而為了讓模糊隨機變數能實際應用並將討論

的範圍界定在一模糊集合族上Koumlrner (1997)及Naumlther (1997)利用該方法以

求算模糊隨機變數的期望值與變異數並應用於線性模糊迴歸模式的求解

等另外在曾能芳(民 91)的博士論文研究中指出在Tanaka et al (1982)

的模糊迴歸模式中並不具備誤差項因此模式無法呈現樣本與期望值之間

的關係而無法討論線性規劃估計程序所具備的統計性質所以在曾能芳

(民 91)提出的迴歸模式中採用模糊樣本是由依變數之模糊期望值加上測量

誤差所組成並提出測量誤差存在於中點的模糊迴歸模式以及測量誤差

同時存在於中點和半徑的模糊迴歸模式

4 兩階段求解方法

以兩階段方法(two stage method)求解模糊迴歸模式的想法是在於結合

最小平方法與區間迴歸的觀念試圖降低反應變數估計值的模糊度如Savic

與Pedrycz (1991)對模糊迴歸模式的求解分為兩個步驟進行第一步以

反應變數的模糊數值之最可能數值為基礎將模糊數值視為簡化的明確數

值以傳統最小平方法求解迴歸係數的中心值第二步利用區間迴歸的

方式在使得迴歸係數的模糊度為最小的情形下以決定迴歸係數的三角

模糊數值Kao 與Chyu (2002)提出另一種模糊迴歸模式的兩階段求解方

法在第一階段先利用解模糊(defuzzification)方法將模糊觀察值轉換成為一

組明確數值之後利用該組明確數值以傳統的最小平方法求解迴歸係

數第二階段則是以Kim 與Bishu 所提之評估準則為目標式決定一個誤

差項估計值的模糊數以使得在Kim 與Bishu (1998)評估準則下的總誤差量

為最小該方法的特別之處在於求解的迴歸係數為明確數值而誤差項估計

值為模糊數值雖然此種求解方式可以得到很小的估計誤差但因其所著

眼的仍是Kim 與Bishu 評估準則下的面積估計誤差使得當觀察值與估計

值歸屬函數之間不具有交集時所衡量出的估計誤差較真實誤差為小且其

求解方法比較適合於觀察值為三角或梯形的模糊數值欲應用於其他型式

的模糊數值求解上則較為困難而在邱清爐(民 91)的博士論文中則是將

其兩階段求解方法對各種不同的模糊迴歸模式進行建構與評估並將其求

解方法應用於工作滿意度實例

5 其他求解方法與相關研究

27

Tanaka 等人(1995)後來提出另外一種模糊迴歸模式的求解方法將傳

統的估計誤差當作是存在解釋變數與反應變數之間的關係之可能性

(possibility)故模糊觀察值的展度可以直接轉換成迴歸係數的指數可能性

分配(exponentialpossibility distribution)而可以使用與傳統迴歸非常類似的

方式加以求解Tanaka與 Lee (1999)再利用辨識方法(identification method)

求解迴歸模式在其研究中利用辨識方法以決定模糊線性系統(fuzzy linear

system)中迴歸係數的可能性分配並認為由此方法所求解的迴歸係數會

有比較小範圍的可能性分配近年來有愈來愈多的學者將模糊迴歸分析

應用於其他傳統的決策方法及不同領域上如 Dunyak 與 Wunsch(2000)使

用 α 截集的端點以類神經網路(neuralnetworks)進行模糊迴歸分析Lee

與 Chen(2001)則將模糊迴歸模式使用於人力預測的問題上Tseng 等人

(2001)將由模糊迴歸模式建立之 ARIMA 模式用以預測匯率Tseng 與

Tzeng(2002)則利用模糊迴歸模式的求解方法以建構具有季節變動的

ARIMA 模式Kim 與 Bishu(1996)應用於人力可靠度分析的操作反應時間

上Wu 與 Tseng(2002)將其模糊迴歸模式應用在景氣對策信號上的分析

王景男(民 89)將模糊迴歸分析應用於籃球比賽攻防技術策略上曹勝雄

曾國雄江勁毅(民 85)以國人赴港旅客需求之預測為例說明傳統迴歸

模糊迴歸類神經網路之差別張良斌陳育民(民 86)將模糊目標迴歸法

應用在垃圾衛生掩埋場沼氣回收設備的成本估算謝邦昌林燦隆呂理

添(民 85)將模糊迴歸運用在甘蔗產量的預測對於上列有關模糊迴歸分析

的研究中絕大部份的文章均侷限於線性模式的分析鮮有文章討論非線

性模糊迴歸模式的求解最近雖然有少數學者開始討論非線性模糊迴歸模

式的解法如 Xu(1997)Buckley 與 Feuring(2000)的研究等但使用的方

法所求解的迴歸係數仍然為模糊數值其造成反應變數估計值的展度會

隨著解釋變數之數值增加而擴大的問題仍無法避免

28

第三章 研究方法

本章介紹本文將運用於數值分析中的預測研究方法利用本章建構的

方法可清楚了解如何利用混沌理論基於相空間重構的方式及模糊迴歸方

法於預測中

31 混沌時間序列建立預測方法

時間序列的模型建構和預測是資料處理研究領域中的重要方向其中

預測方法主要有線性和非線性預測方法兩種預測就是對未來作出估計和

推斷而通常要對研究對象或資料進行假設這一過程稱為建模利用建

模的方式獲得資料的科學表示就稱為模型混沌時間序列雖然看似隨機

但它卻是由確定系統產生的因此我們可以對混沌時間序列作出短期預測

同時由於混沌對初始條件微小差異的高度敏感性我們無法對混沌時間序

列作出長期預測每一步預測帶來的微小偏差都會使得下一步預測的偏差

擴大最終導致預測序列與原始序列完全不同

311李亞普諾夫指數判定資料混沌特性

進行預測前需根據 212節中提及的李亞普諾夫指數來判定資料是否

具有混沌特性最大李亞普諾夫指數是判斷和描述非線性時間序列是否為

混沌系統的重要參數因此是一個重要的混沌不變數

混沌系統中的李雅普諾夫指數可用來判斷系統是收斂的還是混沌的當系

統的李雅普諾夫指數中至少有一個為正時系統是混沌的 當系統的李雅

普諾夫指數均為負數時系統是收斂的 對於系統是否存在動力學混沌可以直觀的判斷最大李亞普諾夫指數是否

大於零一個正的李亞普諾夫指數代表著在系統相空間中無論初始兩

條軌跡的間距多小兩條軌跡的差別都會隨著時間的演化而成指數率的增

加而導致無法預測這就是混沌現象

312重建相空間

傳統的建模和預測方法己廣泛地應用社會科學中但大部分都是基於

線性系統混沌時間序列並不適用於非線性的混沌時間序列於是在判斷

時間序列性質後若判定序列以隨機性為主應採用從 AR 或 ARIMA 等隨

機模型來預測如果判定以混沌為主則應採用非線性確定性的方法進行

29

預測非線性時間序列的預報是經過相空間重構後對相空間中的動力軌

跡進行預報由於混沌系統具有被稱為「蝴蝶效應」的初始值敏感性所

以混沌時間序列是不能長期預測的但對於短時間內混沌系統的軌道在

相空間中具有一定的規律它們的預測性是可獲得的並比一般的基於統

計方法的預測能力要來得好

時間序列資料是時間離散後的樣本值用 表示將它「嵌入」到

一個 m維(mgt0)的空間中進行相空間重構後得到嵌入向量

(31)

由嵌入向量 可擴張成一嵌入空間 E由 Taken嵌入定理可知存

在映射面 滿足

(32)

上式表是出在拓樸的意義中可完全預測吸引子的特徵所以上式也可

表示為

(33)

其中函數 為 的一個估計值由式 (33)可得之我們可用

來預測

313相空間維度相關維度

在實作的研究上有許多方法可以用來估計混沌吸引子的維度本研

究選用較為常見的相關維度方法相關維度需先計算相關和將相空間中

所有樣本點皆計算其各別半徑收斂後之趨近值相關方程式（Correlation

Function）定義如下

(34)

其中

當 rrarr0時

兩邊同取對數可得

(35)

定義相關維度為 與 之曲線斜率為

(36)

在實際應用中經常給定一組維度 值選取適當的 r繪出

30

曲線求曲線當中直線段的斜率 如果系統存在這樣一個 值達到此

值後相應的關聯維數不再隨 的增長而變化也就是趨於飽和這表明

該序列為混沌系統其吸引子是存在的此時 值即為重構相空間的最佳

嵌入維數否則則表明該序列為隨機系統不具有混沌性

314 時間遞移數

利用 2123節中介紹的概念及 2124 中介紹的自相關函數求解出時

間遞移數的結果自相關函數公式如下

1

1

1( )( )

1( )

n k

t t k

tk n

t

t

x x x xn k

r

x xn

(37)

n為原資料樣本數k為時間遞移後的樣本點

將自相關係數計算的結果與每一筆遲延時間距離數值繪製成圖表可

由圖表中可分析辨別時間序列數據的初步基本特徵圖表繪製的結果顯示

自相關係數跟隨遲延時間距離數值的增加而顯示收歛且具有震盪循環之跡

象則表示數據具有一種規則屬於一混沌時間序列

32 複線性迴歸

確立資料為混沌後運用自我相關係數計算出時間遞移數及相空間維

度後將加入複線性迴歸運算複線性迴歸中常用的預測方法分為兩種

1 全域法

全域法就是利用相空間軌跡中的全部向量點做為擬合對象找出其

規律由此進行短期預測也就是說利用收集的大量的歷史資料利用

複線性迴歸訓練出迴歸參數再將未放進訓練迴歸參數的資料使用訓練

出的迴歸參數計算出預測值的資料型態本文還將原本的歷史資料分析

出資料的季節性後先去除季節性的影響最後再加回季節性討論預測結

果

2 局域法

局域法的基本原理是僅利用有限個鄰近點的資訊而不是利用全部的

樣本點來擬合 局域法預測是把相空間軌跡中的最後一點作為待測點對

離待測點鄰近的若干個相空間點的關係作出擬合再對預測相空間點的未

來演化規律進行預測本文使用零階局域法零階局域法是直接將鄰近樣

31

本點應用於預測根據鄰近樣本點預測 的最簡單的方法就是尋找相

空間中距離 最近的點假設距離最近的點是 那麼它的下一個樣本

點為 即可做為 的預測值

因數值資料在每日重複發生變動所以本研究又加入計算季節性指數

對趨勢線做季節性調整也就是對時間序列做季節性調整

33 模糊迴歸分析

運用模糊的概念帶進迴歸模式中處理具模糊性的資料問題此稱為模

糊迴歸分析本文利用的模糊迴歸模式主要有兩個方向一個是Tanaka et al

(1982)提出的模糊線性迴歸另一個是由Chang 與Lee (1994)所提出修正型

迴歸模式Tanaka 起初所提出的線性規劃模型

0 1

[ ( )]p n

j ij

j i

Min C X

st 0 0

(1 ) (1 )p p

j ij j ij ii

j j

X H c X y H e

(38)

0 0

(1 ) (1 )p p

j ij j ij ii

j j

X H c X y H e

0jc j R 0 1iX 0 1H 123i n 012j p

Tanaka 所提出的模糊模型未考慮到散度為負值的條件所以模糊上下

界會不斷的擴張而越來越寬大由 Chang 與 Lee (1994)所提出修正型迴歸

模式即將模糊的散度可為負值使上下界的模糊區間為遞減的情形遞

減的情形由圖 31表示

圖 31 模糊區間隨自變數越大而越窄

0

2

4

6

8

10

上界 中心線 下界

32

假設圖表中計算出的模糊迴歸函數為 0 0 1 1 Y c c X 模糊上界為

0 0 1 1UY c c X 模糊下界為 0 0 1 1LY c c X

33

第四章 數值分析

本章資料來源1台灣區車輛工業同業公會

2台北市交通局

本章所使用的數據資料為台北市交通局提供的公開的車流量資料數

值分析所使用的方法已在第三章論述利用第三章的方法分析數值預測的

準確性並結合模糊迴歸常見的兩種方法幫助決定預測的可接受範圍本

章介紹本文所利用的數學模型及方法在複線性迴歸的模型中分成混沌全

域法去季節性後的混沌全域法以及混沌局域法預測出的結果加以討論預

測的準確性再將預測值去季節性觀察準確程度最後再帶入模糊迴歸

利用 05H 加以討論如何將模糊迴歸中的散度用以選擇預測值的範圍第

一節針對傳統複線性迴歸方法並結合全域法觀念訓練資料迴歸係數討

論預測結果第二節針對傳統複線性迴歸方法並結合局域法觀念訓練資

料迴歸係數討論預測結果第三節針對預測資料去除季節性後再利用

傳統複線性迴歸方法討論預測結果第四節針對模糊迴歸的兩種方法選

擇出預測的範圍

利用第三章論述的時間遞移及相關維度的做法將本文利用具混沌性

的資料加以分析將資料先利用 212 節中介紹的李雅普諾夫指數 判定是

否具混沌性具有混沌性的資料才能利用混沌理論重構相空間若李雅

普諾夫指數 介在 0跟 1之間則表示資料具有混沌性質本文資料利用程

式計算出李雅普諾夫指數 運用自我相關係數判斷出時間遞移

數 相關維度計算出維度 我相關係數判斷時間遞移數與相關維

度的圖形以及原始資料時間遞移後的資料圖如圖 41圖 42圖 43

34

圖 41相空間維度及 lnC與 ln r斜率關係圖

圖 42相空間維度及 lnC與 ln r斜率關係圖

0

1

2

3

4

5

6

7

0 5 10 15 20

相空間維度

斜

率

d

-02

0

02

04

06

08

1

12

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33

時間遞移數

自我相關函數

35

圖 43 原始資料時間序列圖

41 複線性迴歸混沌全域法

本文所使用的資料為 10日的車流量資料利用前 9日的資料訓練出迴

歸參數將迴歸參數代入複線性數學模型中計算出的迴歸方程式為

1 2 3 4

5 6 7 8 9

10 11 12 13 14

435363 00819 00338 01777 00070

01116 01999 00299 02716 00349

01399 00056 01113 00738 02038

y x x x x

x x x x x

x x x x x

(41)

解出迴歸參數計算出複線性迴歸方程式後再將最後一日 144筆的車

流資料代入方程式中計算出預測值利用複線性迴歸混沌域法預測出的結

果如圖 44

圖 44 複線性迴歸分析預測與原始資料比較圖-全域法

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

1 53

10

5

157

209

26

1 31

3

365

41

7

469

52

1 57

3

625

67

7

729

78

1 83

3

885

93

7

989

10

41

1093

11

45

1197

12

49

1301

13

53

1405

原始資料點

原始資料點

-50

0

50

100

150

200

1

7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

103

109

115

121

127

133

139

實際值

預測值

36

由圖表的狀況可觀察出運用複線性迴歸模型預測的結果不盡理想本

研究認為運用複線性迴歸預測的結果不佳的原因有二

1 利用全域法預測是將較大量的歷史資料加入考慮訓練出迴歸參數這

樣的結果造成削弱了原本的奇異點(相較於同時段資料差異性較大的點)

的影響力

2 嵌入維度 太高對於混沌時間序列隨著嵌入維度增高歷史

對未來的影響是呈指數衰減的所以全域法所利用的資訊歷史就越長

預測的精準度就會迅速下降因此本研究將加入局域法討論預測的準

確性

42 複線性迴歸混沌局域法

局域法的做法為尋找相空間重構後的點對待測點尋找鄰近的 k個相

空間點對離待測點鄰近的若 k個相空間點的關係作出擬合並分析出複

迴歸方程式的迴歸參數本文嘗試選取 k=50~250的結果以下只列舉 k=200

的圖解釋預測結果

圖 45 複線性迴歸分析預測與原始資料比較圖-局域法(k=200)

圖 44與圖 45比較後可看出區域法預測的準確性比全域法更好某

些預測出來的結果的點與原始資料的點差異性大有明顯的偏移本研究

認為利用局域法預測的結果不佳的原因如下由圖 45可看出預測結果與

原始資料間差異性較大的點位為數列的右側 而數列尾端的資料為凌晨或

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

1

7

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43

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73

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91

97

103

109

115

121

127

133

139

實際值

估計值

37

是深夜的車流量因每日凌晨或是深夜的車流量變化量較少(例如某日的凌

晨十二點十分可能為 0台車或是小於 10台車經過)所以資料的差異性

較大造成頭尾的資料預測上較為不準確

因為同時段的資料可能會影響資料預測出的結果所以我們下節就以

加入季節性的考慮來加以討論預測結果

43 複線性迴歸去除季節性後混沌全域法

本文使用的車流量資料為每日 24時換算成 1440分鐘每 10分鐘記

錄一點於是本研究依資料的記錄時間點來劃分季節性將季節分成 144

個季分別求出季節性指數求取季節性指數後將每個資料點先去除季

節性利用全域法訓練出去季節性後的迴歸係數再利用複線性求出預測

值最後將去除的季節指數乘回預測點結果如下

圖 46考慮季節性複線性迴歸分析預測與原始資料比較圖-全域法

此考慮季節性因子的複線性迴歸分析預測與原始資料的比較是用全

域法去訓練迴歸參數的而由圖 44我們可以得知一開始未考慮季節因

子使用全域法的複線性迴歸預測是不準確的本研究認為原本的歷史資

料隨著季節性因子的變化該系統原本呈現複雜的動態特性實際上由於

車流量的變動有許多外在因素的影響例如氣候假期hellip等影響會使

資料的變化過程發生不同程度的偏離而對於季節性事件來說其事件發

生的過程主要受季節性參數週期性變化的影響 因此影響因素的具體形

式可以近似地表示為單一函數本文考慮季節因素對車流量的影響意即

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

1

7

13

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31

37

43

49

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97

10

3

10

9

11

5

12

1

12

7

13

3

13

9 實際值

預測值

38

經過季節性分析後的得到的預測分析結果很準確如圖 46所示此結果

表示季節性影響樣本資料的情形大也代表著在季節因素影響下系統中

事件的動態變化情況是隨著季節影響參數的變化而造成系統呈現各種

各樣複雜的動態特性如週期解混沌情形hellip等

44 模糊迴歸

441Tanaka模糊迴歸

μ及 H 值之選定原則為當不確定性愈大時其 μ及 H 值愈接近 0

反之當資料不確定性愈小時μ及 H 值取愈接近 1 之值Bardossy 等人

建議其值在 05~07間為適宜根據 Tanaka在 1982年所提到的方法我們

可以求得一模糊迴歸函數並可得知其中心線與其上界及下界假定在 H =

05的情況下利用 Tanaka模糊迴歸模式算出迴歸函數為

(42)

中心線與上下界的簡單迴歸方程式為

中心線 (43)

上界 (44)

下界 (45)

繪製出的圖形如圖 47所示

圖 47 Tanaka 模糊迴歸

0

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100

150

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121

127

133

139

下界

中心線

上界

39

圖 48 Tanaka 模糊迴歸中心線與預測值之結合

從圖 48可看出預測值與模糊迴歸的中心線 有明顯的時間差異但由

圖可以觀察出模糊迴歸的中心線 的預測趨勢與實際值是相近的雖然利

用模糊迴歸預測的時間點比實際時間快但是相對來說也是可以用來預

測之後將發生的趨勢本研究認為若模糊迴歸可用於預測中則可用模糊

的散度 c當做預測行為中選取的可接受的變動範圍如圖 49最後將 Tanaka

模糊迴歸中心線上下界與實際值之結合如圖 410所示

圖 49 Tanaka 模糊迴歸中心線上下界與實際值之結合

0

20

40

60

80

100

120

140

160

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1

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22

29

36

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106

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134

141

實際值

中心線

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49

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103

109

115

121

127

133

139

實際值

下界

上界

預測

值

預測值

40

圖 410 Tanaka 模糊迴歸中心線上下界與實際值之結合

442修正型 Tanaka模糊迴歸

因為我們要將模糊迴歸應用於預測中所以本研究將複線性迴歸的趨

勢線視為模糊迴歸的中心線再利用修正型 Tanaka模糊迴歸模式算出迴歸

函數為

(46)

中心線與上下界的簡單迴歸方程式為

中心線

上界

下界

繪製出圖形如圖 411

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127

133

139

實際值

預測值

下界

上界

41

圖 411 修正型模糊迴歸中心線上下界與實際值之結合

本研究使用的修正型模糊迴歸中心線與傳統的迴歸方程式相同所以

可用來處理或分析模糊資料與明確資料同時修正型模糊迴歸的上下界

與 Tanaka 模糊迴歸相較也變窄了此兩種現象就是修正型迴歸的特色因

為中心線與傳統的迴歸方程式也相同這種修正型迴歸散度可選擇為負值

的特色本研究認為可以應用在預測上因為上下界與中心線間的散度變

窄使得前文所敘述到的利用散度來選取預測範圍便可更為嚴格也可

使預測的結果更為可靠如圖 412所示

圖 412 Tanaka 上下界與修正型模糊迴歸上下界的寬度差別

0

50

100

150

200

250

1 7

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19

25

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127

133

139

下界

中心線

上界

0

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100

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1 8 15

22

29

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85

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106

113

120

127

134

141

Tanaka下界

Tanaka上界

Tanaka修正型下界

Tanaka修正型上界

42

第五章 結論及未來研究方向

51 結論

根據前文的討論傳統迴歸和模糊迴歸建立在不同的理論基礎上傳

統迴歸是以機率為基礎而模糊迴歸則是以可能性為基礎傳統迴歸因變

數的估計值與觀測值之間的差異為因變數的隨機性而模糊迴歸因變數的

估計值則產生於觀測值之模糊度惟兩者最大不同處在於模糊迴歸式的

迴歸係數與預測值皆為模糊數（區間值）不同於傳統迴歸係數與預測值

均為明確的數值此外傳統迴歸侷限於對明確資料的分析可能性模糊

迴歸僅適用於分析具模糊性的資料而複合的模糊迴歸則可同時適用於分

析模糊與明確的資料此為此模式最大的特點

模糊迴歸應用於預測中大多的結果是不佳的但是我們透過結合混

沌與模糊迴歸的概念將混沌的預測單點概念拓展成一個可接受的預測

範圍

PT Chang 與ES Lee 使用修正型模糊迴歸重新定義散度做出新的

模糊上下界均為改善模糊迴歸模式Tanaka之研究本研究將模糊迴歸與

混沌理論之建立時間序列的預測情形加以結合討論發現模糊迴歸在預測

的行為中是可行的但可惜的是即使預測的趨勢相近但預測值出時間

的點卻有差別這樣的結果我們可以看出若能找到解決加強模糊與複線性

迴歸關係之間時間的關聯性就能利用模糊的不確定性來討論預測問題

52 未來之研究方向

本研究將模糊迴歸與混沌理論之建立時間序列的預測情形加以結合討

論發現模糊迴歸在預測的行為中是可行的但可惜的是即使預測的趨

勢相近但預測值出時間的點卻有差別這樣的結果我們可以看出若能找

到解決加強模糊與附線性迴歸關係之間時間的關聯性就能利用模糊的不

確定性來討論預測問題

為了符合現今社會多元的狀況模糊迴歸與傳統迴歸之觀念勢必加以

混合應用也為了解決此等問題混合式迴歸（Hybrid Regression）在近年

來被提起也因此參數的估計模糊迴歸與傳統迴歸的混合應用將成

為往後繼續研究探討之目標

建議未來可用模糊加權修正模糊迴歸使模糊迴歸在預測上更能直接

43

將對事物多個構面評估的意見與其影響事物狀況的重要程度作加權的運

算

44

參考文獻

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1

第一章 緒論

本章節主要在說明本研究之整體結構透過研究背景與動機清楚導引

出本研究之目的並利用研究目的與範圍定義研究的範疇邊界將依下列

三小節逐項說明

11 研究背景與動機

在日常生活中很多的現象與問題往往充滿著不確定性面對不確定

性以往皆是用隨機的概念加以描述直到1960年代開始有人質疑隨機

的概念用在有不確定性之現象的適用性為了有效解決人文思維的不確定

性Zadeh在1965年首先提出了模糊集合的概念而後到了1970年Zadeh

與Bellman又區分出隨機(Randomness)與模糊(Fuzziness)之間的不同

在對某一對象進行研究時除了希望了解其目前的狀況之外更希望

能夠做到預測未來的現象生活中包含社會經濟教育體育等等的現

象與問題皆常常希望描述自變數與因變數之間的關係因此迴歸模型

便是一種最常用的統計方法

在傳統的迴歸分析當中所假設的估計值是由實際的因變數加上誤差

所產生的這也表式因變數是一種含有不確定性的隨機變數不過在現

實生活當中很多事情往往不符合這個假設因為許多的變數並不是一個

明確的數值而是含有多重隸屬的特性以問卷調查為例若一張為卷調

查的答案分為五個等級滿分五分意表「非常滿意」最低一分意表「非

常不滿意」若有兩人在填問卷時針對同一題問題一人回答「非常滿

意」而另一人回答「滿意」則我們不能太過明確的斷定得到5分的「非

常滿意」跟4分的「滿意」之間的優劣如果太過依賴實際數字去斷定這兩

位顧客的滿意程度也許會造成預測結果與實際狀況上的誤差

因此為了解決此種問題Tanaka等人(1982)提出了模糊線性迴歸模式來

處理模糊性資料的問題而Chang與Lee也提出了修正型的模糊迴歸此模

式是利用模糊的散度可為負值討論模糊迴歸來建立迴歸式由模式所估

計而得的迴歸係數與預測值均為一個模糊數或區間值此模式因散度挑

選為負值可修正掉Tanaka的模糊迴歸上下界不停擴散的缺點此點為其

最大的特色所以我們將利用模糊的不確定性特色來加入討論預測的結果

使預測視界更為開闊

2

12 研究目的與範圍

傳統的預測方法都是利用建立數據序列模型後再進行計算及與預測

然而隨著混沌科學發展發現混沌的現象存在於生活許多細節中於是學

者致力於發展混沌科學利用歷史資料的混沌規律性建立客觀的模型可

避免人為的主觀想法而影響預測的準確性

本論文的研究目的在於利用混沌理論建立時間序列與應用傳統複線性

迴歸計算進行預測已是一種在社會科學中被廣泛應用的預測方法但是

在預測的領域中加入模糊討論的情形卻很少在傳統的迴歸分析當中

所假設的估計值是由實際的因變數加上誤差所產生的也就是說因變數

是一種含有不確定性的隨機變數不過在現實生活當中很多事情往往不

符合這個假設因為許多的變數並不是一個明確的數值而是含有多重隸

屬的特性以學生的考試成績為例不能明確的斷定得到99分的學生和得

到97分的學生之間的優劣如果太過依賴實際數字去斷定這兩位學生的素

質高下也許會造成預測結果與實際狀況上的誤差

因此為了解決此種問題Tanaka等人(1982)提出了模糊線性迴歸模式來

處理模糊性資料的問題之後續有學者Chang與Lee也提出了修正型的模糊

迴歸選擇散度可為負值所以本文將依模糊理論中的模糊迴歸的特性來

加入預測值範圍討論處理不確定性問題

13 研究架構與流程

本論文的研究流程如圖 11 所示主要研究步驟從確立研究方向進

行相關文獻的探討然後建立本研究的預測方法流程並做混沌系統與模

糊系統的結合來做出預測最後給予本研究上的結論與建議研究架構圖

可參考圖 11

3

確認研究方向

相關文獻回顧

複線性迴歸預測模式

混沌理論 複線性迴歸 模糊理論

結論與建議

模糊迴歸上下界選取預測範圍

糢糊迴歸

建立預測模式

圖 11本研究之架構與流程

4

第二章 文獻探討

傳統的預測方法都是利用建立數據序列模型後再進行計算及與預測

然而隨著混沌科學發展發現混沌的現象存在於生活許多細節中於是學

者致力於發展混沌科學利用歷史資料的混沌規律性建立客觀的模型可

避免人為的主觀想法而影響預測的準確性

預測是一種資料探勘的相關技術通常都是利用各種統計或迴歸的方

法從過去的歷史資料中找出有用的趨勢或是模式然後利用這些趨勢或

模式來求得下一期間或週期的預測值要進行任何預測之前收集足夠的

有效觀察值是一種必要的程序在以往統計或迴歸的方法中均需要大量

的有效觀察值才能夠準確的判斷出預測結果

傳統的主觀意見預測法因為人為意見的影響較大無法利用電腦技術

來協助進行預測目前已經普遍不被企業所使用時間序列的數學方法是

以過去資料之時間序列為主而其基礎為假設未來之情形與過去情勢相雷

同因此若有某因素改變情形時必須參照判斷予以修正預測才能正確

而時間序列是指一個固定間隔為基礎經過了一段時間(如每小時每日

每月每週每月每季每年)之時間序列的觀察結果

本章節首先概述混沌理論的發展以及建立時間序列預測所運用的方法

再加以介紹模糊的幾何意義與模糊的演算法及結合傳統方法與模糊間的概

念

21 混沌理論

混沌理論是對一個不規則又看似無法預測的現象及過程加以分析在

現代科學史中真正數學和物理學意義下的混沌理論公認是由麻省理工

學院的氣象學家羅倫茲(Lorenz)提出的196年冬天某日當時還是副教授

的羅倫茲用一台 RoyalMcBee LPG-30 電腦對一個包含 12 個微分方程的

氣象動力學方程組進行數值模擬試驗在其中的一次驗算裡為貪圖方便

他把一個小數點後六位數的初始值做了四捨五入處理僅輸入了小數點後

前三位數但結果讓他大吃一驚這個與精確數值不到千分之一的誤差

讓最後計算結果大相逕庭這個偶然的取值失誤讓羅倫茲發現了一個簡

單具體並且有明確物理意義的可以用來表現和驗證彭加萊混沌理論的數

學模型於是 1963年洛倫茲在美國《氣象學報》上發表了題為「確定性

5

的非周期流」的論文這篇文章和他隨後發表的另一篇相關論文指出對

於模型中關鍵參數的微小改變會導致完全不一樣的結果使得有規律的周

期性行為能夠進入雜亂無章的狀態令精確的長期天氣預報變得不可能

Hayles(1990)於 Choas boundOrderly disorder in temporary literature and

science 一文中指出混沌的含義有兩個

1 系統失序的前兆與狀態

2 強調存在於雜亂現象內潛藏的規律與秩序結構

Curtis(1990)認為混沌理論或多或少隱含了隨機(randomness)的現象其

含義有兩個觀點

1 混沌是規律秩序的預兆當各種事件在一個系統中進行時混沌現象開

始出現就必須注意「驅散(disspative)結構」的雜亂現象同時也會產生

假使這個系統在「熱力函數」上有足夠熱度則它的結果將使「驅散結

構」的雜亂現象成為確切明白的秩序(Prigogine amp Stenger1984)這種

規律秩序的預兆Gleick (1987)稱之為介於熱力學和動力系統間以高

度個體化和關聯化的哲學觀點「規律秩序之外的秩序」稱之為「混沌」

2 強調經過混沌吸引子的吸收進而啟動「混沌系統」發展出「力的性

質」進而產生混沌系統的模式特徵姜濤(1993)認為從物理意義上來看

一個確定性系統(含有隨機或偶然因素)在沒有外界隨機干擾的情形下

所出現的無規則形態都可以稱為混沌現象Wheatly(1994)將混沌理

論定義為可能是一個事件行為或是過程它是多變的非線性的及

無法預測的所以模式和範圍是彈性的會隨時隨地改變

J Yorke(2002)將混沌賦予新義指出混沌是一種有結構有規則的系

統混沌的雜亂只是表象最終會回歸平衡且等待下一次的失序如此

一直循環著 混沌系統兩個十分重要的特性

1 系統的變化驟看似是毫無規則但實際上是由物理定律所決定的

2 系統的演化對初始條件的選取非常敏感初始條件極微小的分別 (就例

如 02 和 02001 只相差兩千分之一)在一段時間的演化後也可帶來

南轅北轍的結果

211碎形維度及混沌吸引子

碎形幾何理論(Fractals Geometry)是一門新興理論專門用來解釋以前

6

歐氏幾何學無法解釋的自然現象舉凡不規則形狀的自然物體都無法用歐

式幾何學解釋如雪花雲朵流水樹木hellip等所以碎形幾何理論是

用來解釋具有自我相似性及非整數維度的特徵

因此所謂碎形指的是一個幾何物件其外型不像直線弧線這些古

典歐幾里德幾何（Euclidian geometry）的表面那麼平滑而是相當破碎

不規則且無論巨觀或微觀都不是連續的這些不規則的碎形和我們習以

為常的觀念有所不同且基本上大多數的現象並不是如歐幾里德幾何所描

述的那樣

舉例來說一顆籃球對於向來熟悉阿基里德空間的我們來說直覺性

的會認為這是三度空間中的一個球體其維度為三但當把距離拉遠看

似一個圓形維度成為二若把距離縮近成為一公釐則可以發現籃球上

有凹下的線條有防滑的凸點顆粒這種情況下維度又該如何界定而曼

德布洛特在分析英國科學家李查(Lewis F Richardson)遺稿當中的一篇論文

時察覺任何國家的邊界在某種定義下都是無限長其重點在於測量時所

使用的基準長度一般要測量海岸線長度時測量員會架起兩腳器並預設

成一個長度沿著海岸線進行測量之後將兩腳器的尺度縮小重頭再量一

次海岸線長而所量到的這兩種尺寸後者一定較前者為長也較逼近真

實的邊界長度同理將兩腳器的兩腳距無限的縮小則所量到的邊界就

成為無限長

1967年代數學家 Benoit Mandelbrot發表了一篇名為「英國海岸線有

多長」的論文文中提到新的維度觀念也就是碎形維度碎形維度具

有四種特性(1)自相似性(2)自我模仿性(3)碎形維度為有限區域的無限

結構(4)碎形是非動力過程的結果混沌現象具有特殊的碎形維度(Fractals)

混沌狀態出現時運動軌跡不穩定它們隨機但緊密的逐漸收斂到一個整體

縮小但局部分離的區域此區域就稱為奇異吸引子（strange attractor）

Hayles(1990)指出混沌是強調存在於雜亂現象之內潛藏的規律秩序結構

因為雜亂現象之內隱含有「奇異吸子」(strangeattractors)進而啟動運作「混

沌系統」Griffths Hart amp Blair(1991)認為混沌理論應用在教育行政中

也具有奇異吸子的特徵奇異吸引子不同於的穩定的整數維吸引子（即不動

點極限環和環面）它具有的是奇特的非整數的空間維度這種空間被

稱作豪斯道夫（Hausdorff）空間因此混沌奇異吸子是一個整體穩定但是

7

局部不穩定的運動空間

212李亞普諾夫(Lyapunov)指數

混沌系統的初始值非常敏感使得初始時刻靠得很相近兩條相軌跡隨

著時間的增長而逐漸遠離如果能夠定量描繪出此種鄰近軌跡的發散性

便可建立出混沌變動情形的一種數值判斷方法李亞普諾夫指數就是用來

表示相空間內鄰近軌跡的平均指數發散率的數值特徵m 維相空間中的某

一時刻兩條鄰近軌跡之間的距離可以分解在 n 個不同的方向這 n 個不

同方向上的距離增長率是不相同的而每一個增長率就是一個李亞普諾夫

指數

最大李亞普諾夫指數是判斷和描述非線性時間序列是否為混沌系統的

重要參數因此是一個重要的混沌不變數對於混沌系統來說發散是一種

整體性的穩定因素動力系統一方面作為發散系統最終要收縮到相空間的

有限區域也就是吸引子上另一方面系統在相體積收縮的同時運動軌

跡是不穩定的要沿某些方向進行指數分離

對於 m 維的動力系統中 中初始兩點迭代後會互相分離

或是靠近取決於

的值若

則迭代使兩點分離若

則迭代使兩點靠近在不斷迭代過程中

也會隨之改變呈現出時而接

近時而分離的情形為了表示從整體上觀察得到的情況必須對時間(或反

覆運算次數)取平均設平均每次反覆運算所引起的指數分離指數為 於

是原來相距 的兩點經過 n次迭代後距離變為

(21)

若取極限 則式(21)變為

(22)

(22)式可簡化為

(23)

上式中的 與初始值的選取無關稱為原動力系統的李亞普諾夫指數

它表示系統在多次反覆運算中平均每次反覆運算所引起的指數分離中的

8

指數若 則表示相鄰點最終會靠近合併成一點若 則表示

相鄰點最終會發散而對應於軌道的局部不穩定若軌道還存有整體的穩

定因素(如整體有界發散存在捕捉區域等)系統則需在有限的幾何物件

上無窮次折疊以實現指數分離系統在此作用下反覆折疊並形成混沌吸

引子故 可做為判斷混沌情形的準則

混沌系統中的李雅普諾夫指數可用來判斷系統是收斂的還是混沌的

當系統的李雅普諾夫指數中至少有一個為正時 系統是混沌的 當系統的

李雅普諾夫指數均為負數時 系統是收斂的

對於一般 m維的動力系統定義李亞普諾夫指數如下設 F為

上的 m維映射假設一個 m維離散動力系統 將系統的初

始條件假設為一個無窮小的 m維小球由於演化過程中的自然變形圓球

將變成橢圓球將橢圓球上的所有主軸依其長度排列則第 i 個李亞普諾

夫指數根據第 i個主軸的長度 的增加速率定義為

(24)

李亞普諾夫指數與相空間的軌道收縮或擴張性質是有關連性的在李

亞普諾夫指數小於零的方向上軌道收縮運動穩定對於初始值不敏感

而在李亞普諾夫指數為正的方向上軌道迅速分離對初始值敏感李亞

普諾夫指數的前 j個指數的和是由前 j個主軸定義的 j維立體指數增加的長

期平均速率確定如橢球長度按 增加由前兩個主軸定義的區域面積依

增加由前三個主軸定義的區域面積依 增加以此類推在

李亞普諾夫指數譜中最小的李亞普諾夫指數決定軌道收縮的快慢最大

的李亞普諾夫指數則決定軌到發散也就是覆蓋整個混沌吸引子的快慢

而所有李亞普諾夫指數之和 可以大致表示為軌道的平均發散速度

李亞普諾夫指數是衡量系統動力學特性的一個重要定量指標它代表

了系統在相空間中相鄰軌道間收斂或發散的平均指數率對於系統是否存

在動力學混沌可以直觀的判斷最大李亞普諾夫指數是否大於零一個正

的李亞普諾夫指數代表著在系統相空間中無論初始兩條軌跡的間距多

小兩條軌跡的差別都會隨著時間的演化而成指數率的增加而導致無法

預測這就是混沌現象

213 混沌系統之時間序列

9

2131 相空間局部近似法

Farmer and Sidorowich(1987)在其混沌預測方法之研究提出所謂的相

空間局部近似法(phase space local approximation method)對系統之演變行為

進行預測這種奠基於時間延遲法(time delay method)所構成之重建相空間

(reconstructed phase space)的預測方式能夠適應吸引子(attractor)的局部行

為經後續進一步研究發現其具有相當良好之預測能力因此採 Farmer and

Sidorowich(1987)之相空間局部近似法構建交通量預測模式期能增加預測

準確度

2132 時間序列與相空間重構

相空間的概念就是把運行方程式所獲得的數字或數據轉換成為圖形

並將系統中隨時間改變的重要的資訊(無論是機械或是流體)抽取出來把各

式各樣可能的狀況註明在圖上利用延遲時間的概念模擬出類似原始系統

之相空間當重建一個空間使得此空間可以具體的包含吸引子特徵則此

空間之維度我們稱為嵌入維度Takens等人(1981)提出嵌入定理對於無

限長無雜訊的 d維混沌吸引子的標量時間序列x(n)可以在拓撲不變的

意義上找到一個 m維的嵌入相空間只有維數 m gt2d+ 1才可保有原始吸

引子的特徵Takens 定理保證了我們可以從一維混沌時間序列中重構一個

與原動力系統在拓撲意義下等價的相空間混沌時間序列的判定分析與

預測是在這個重構的相空間中進行的因此相空間的重構是混沌時間序列

研究的關鍵將收集的一維歷史資料例如現有歷史資料為 9筆13579

10131115間遞移的結果為1711391351015在此我們將利用此

時間遞移建立的時間序列觀念x(t) x(t minusτ ) x(t minus 2τ )hellip來重建相空間

2133 延遲時間 τ的決定

時間延遲如果 τ太小則相空間向量 x(i) = x(t) x(t minusτ ) x(t minus 2τ )hellip

中的任意兩個分量 x(t)和 x(t minusτ )在數值上非常接近以至於無法相互區分

從而無法提供兩個獨立的座標分量但如果時間延遲 τ 太大的話則兩座

標在統計意義上又是完全獨立的混沌吸引子的軌跡在兩個方向上的投影

毫無相關性可言因此需要用一定的方法來確定一個合適的 τ 值本文確

定 τ的主要方法為相關維度法

2134 自相關函數

自相關係數是利用時間序列裡每一筆數據與其前的數據根據不同遲延

10

時間距離的數值進行相關係數計算而成如遲延時間距離為 1表示將每

一筆數據與緊接其前的一筆數據進行相關係數計算如遲延時間距離為 2

表示將每一筆數據與其前第二筆數據進行相關係數計算如遲延時間距離

為 3表示將每一筆數據與其前第三筆數據列進行相關係數計算如此類

推自相關係數 之計算公式如下

1

1

1( )( )

1( )

n k

t t k

tk n

t

t

x x x xn k

r

x xn

(25)

式中 n為資料數k為時間遞移後的點t為時間點

將自相關係數計算的結果與每一筆遲延時間距離數值繪製成圖表可

由圖表中可分析辨別時間序列數據的初步基本特徵如圖表繪製的結果顯

示自相關係數沒有跟隨遲延時間距離數值的增加而顯示收歛之跡象也就

是說繪製線不斷於 X軸零座標線做不規律的上下擺動表示數據為隨機時

間序列即每一數據都視為個別獨立的事件且與過去某一筆遲延時間距離

數值的事件無關係反之若圖表繪製的結果顯示自相關係數跟隨遲延時

間距離數值的增加而顯示收歛且具有震盪循環之跡象則表示數據具有一

種規則屬於一混沌時間序列

2135 季節趨勢

季節趨勢預測法是根據事物每年重覆出現的週期性季節變動指數預

測其季節性變動趨勢

季節指數的概念即是利用簡單平均法計算週期內各時期模型季節性影響的

相對數季節指數反映了該季與總平均值間的穩定關係若季節指數大於

1則表示該季的值常會高於平均值若季節指數小於 1則表示該季的值

常會低於平均值若序列的季節指數都近似於 1則表示該序列沒有明顯

的季節效應季節指數的計算方式如下

計算週期內各期平均數

k=12hellipm (26)

計算總平均

(27)

計算季節指數

11

k=12hellipm (28)

其中 n為期數m為季節數

22 複線性迴歸分析

迴歸分析的目的主要是建立變數之間的關係進而應用於預測分析中

內政部營建署(1997)就曾利用迴歸分析來探討反彈數及現場鑽心試體之間

的抗壓強度關係進而建構出一迴歸方程式做為混凝土試體的抗壓強度

預測而在土木工程領域中也已有許多學者利用迴歸分析來進行研究

例如潘南飛與黃冠智(2005)利用迴歸分析來預測橋面版劣化狀況且考慮

以交通量及降雨量作為迴歸模式中的自變數最後得一配適佳的迴歸式

凌偉峻(2006)利用複線性迴歸分析建立模式及混沌系統的相空間鄰近點相

似特性來建立車流量預測模式Cheung et al (2008)使用氣候值持續值

颱風強度Julian Date記日本地時間七級風暴風半徑及颱風中心速度共

7個預報參數進行多變量的複線性迴歸(multiple linear regression)分析並以

20個傳統雨量站進行測試各新增變量中以颱風強度七級風暴風半徑及

中心速度對預報之改善較顯著其受改善之時數及相關係數之增加幅度皆

較其它變量為多顯示颱風結構參數在颱風降雨預報中比簡單的季節性因

素或日夜對流差異來得重要

敘述自變數( 1 kx x x x 2 3 )依變數 y 和誤差項 i 之間關係的方程式

稱為複線性迴歸模式複迴歸其主要目的有二

1 可以降低隨機誤差此與迴歸之變異數分析有關增加解釋變數之個數

可以使迴歸分析可解釋變動的部分增加相對的誤差就會減少

2 可以避免反應變數中影響重大的解釋變數有所遺漏而無法具體描述實

際資料的狀況估計複迴歸方程式或估計多元迴歸方程式(Estimated

multiple regression equation)大部分情況下複迴歸模式中的迴歸參數

皆不知其實際數值僅可以利用樣本數值估算分別以樣

本統計值 作為迴歸參數 的點估計值本研究

利用全域法訓練迴歸參數 即是利用前九日的歷史資料

複線性迴訓練出迴歸係數預測出第十日的資料型態複迴歸分析是將

簡單迴歸分析其自變數由一個增加至數個研究一群自變數和一個反應

變數之間的關係複線性迴歸模式定義如下

12

(29)

其中 為常態 n 隨機變數期望值 E(ε)=0且彼此互相獨立若有 n

組樣本觀測值(ngtp)組我們就可將方程式寫成

(210)

其中 i=123hellipn

若將複線性迴歸寫成矩陣可得下式

(211)

也可將式(211)寫成矩陣形式

(212)

其中 為觀察值向量 為參數向量 為自變數矩陣 為獨立之常態

隨機變數向量且滿足 向量 Y的期望值表示如下

(213)

複線性迴歸之最小平方標準方程式矩陣表示為

(214)

其中

為最佳模式之參數矩陣因此可求得最小平方估計式矩陣

表示為

(215)

其中 為 之轉置矩陣 為 之反矩陣只要利用式(215)

即可獲得複線性迴歸方程式

23 模糊理論

模糊理論是由美國加州大學伯克利分校電氣工程系的L A Zadeh在

1965年首次提出Zadeh在1965年發表了一篇傳統科學皆以排除具模糊性的

研究為主而模糊理論則以包含模糊性的研究為主現今科學發達所要

探討的議題越來越多由於人類的知識與研究會因本身主觀的意識因應

不同的人事時地物而具模糊性使得無法清楚呈現研究的本質為何要

13

在日常生活中精確地描述一個現象必定忽略其中的些微變化然而此描

述又無法真實描述現實因此模糊理論(Fuzzy Theory)正好能被廣泛應用在

研究上

模糊概念是指這個概念的外延具有不確定性或者說它的外延是不清

清楚的是模糊的例如好的壞的好壞的概念我們非常清楚但是

它的外延也就是究竟事件發生的條件到底是要如何才會是好的跟壞的

每個人的回答都會是不同的這就是一個模糊的概念所以當我們在接

觸模糊時是允許主觀意識的因為每個人對模糊的概念不盡相同儘管

如此當我們利用模糊統計方法進行分析時對於好與壞之間的界限又有

一定的概念

其次模糊性與精確性是相對立的但卻不能將模糊性理解成較差的

結果因為實際上我們在處理客觀事物時經常藉助於模糊性例如

若我們要在路上找一位「年輕的漂亮女孩」「年輕」及「漂亮」都是模

糊的概念但對我們而言這在路上不難找到因為我們的大腦會分析什麼

是「年輕」及「漂亮」於是我們就可以判斷出我們要找的人然而若我

們要求必須用電腦查詢「年輕的漂亮女孩」我們就必須將「年輕」及「漂

亮」這兩個模糊的條件利用具體的數據輸入電腦分析才能找到符合我們

要求的人

最後人們對模糊性的認知常與隨機性混淆其實它們之間有著很大

的不同隨機性是本身具有明確意義只是因為發生的條件不充分使得

在條件與事件之間不能產生確定的因果關係所以事件的出現與否表現出

一種不確定性而事物的模糊性是指我們要處理的事物的概念本身就是模

糊的即一個對象難以確定是否符合這個概念也就是由於概念外延模糊

而帶來的不確定性

231模糊的發展

模糊理論是在美國加州大學伯克利分校電氣工程系的 LAzadeh 教授

於 1965年創立的模糊集合理論的數學基礎上發展起來的主要包括模糊集

合理論模糊邏輯模糊推理和模糊控制等方面的內容

早在 20世紀 20年代著名的哲學家和數學家 B Russell就寫出了有關

「模糊性」的論文他認為所有的自然語言均是模糊的比如「紅的」和

「老的」等概念沒有明確的內涵和外延因而是不明確的和模糊的可是

14

在特定的環境中人們用這些概念來描述某個具體對象時卻又能心領神會

很少引起誤解和歧義

美國加州大學的 L A Zadeh 教授在 1965 年發表了著名的論文文中

首次提出表達事物模糊性的重要概念隸屬函數從而突破了 19世紀末勒

內middot笛卡爾（Rene Descartes）的經典集合理論奠定模糊理論的基礎1966

年P N Marinos發表模糊邏輯的研究報告1974年L A Zadeh 發表模

糊推理的研究報告從此模糊理論成了一個熱門的課題1974 年英國

的 E H Mamdani 首次用模糊邏輯和模糊推理實現了世界上第一個實驗性

的蒸汽機控制並取得了比傳統的直接數字控制演算法更好的效果從而

宣告模糊控制的誕生1980年丹麥的 LPHolmblad 和 Ostergard 在水泥窯

爐採用模糊控制並取得了成功這是第一個商業化的有實際意義的模糊控

制器

事實上模糊理論應用最有效最廣泛的領域就是模糊控制模糊控

制在各種領域出人意料的解決了傳統控制理論無法解決的或難以解決的問

題並取得了一些令人信服的成效

模糊控制的基本思想把人類專家對特定的被控對象或過程的控制策略總

結成一系列以ldquoIF THENrdquo形式表示的控制規則通過模糊推理得到控製作用

集作用於被控對象或過程控製作用集為一組條件語句狀態語句和控

製作用均為一組被量化了的模糊語言集如「正大」「負大」「正小」

「負小」零等

模糊控制的幾個研究方向

1 模糊控制的穩定性研究

2 模糊模型及辯識

3 模糊最優控制

4 模糊自組織控制

5 模糊自適應控制

6 多模態模糊控制

模糊控制的主要缺陷

信息簡單的模糊處理將導致系統的控制精度降低和動態品質變差若

要提高精度則必然增加量化級數從而導致規則搜索範圍擴大降低決策

15

速度甚至不能實時控制模糊控制的設計尚缺乏系統性無法定義控制

目標控制規則的選擇論域的選擇模糊集的定義量化因數的選取多

採用試湊發這對複雜系統的控制是難以奏效的

232模糊至今應用的範圍

模糊理論發展至今已接近三十餘年應用的範圍非常廣泛從工程科

技到社會人文科學都可以發現模糊理論研究的蹤跡與成果我們分別由工

程科技與社會人文科學的角度瞭解模糊理論應用的範疇

1 工程科技方面

(1) 型樣識別文字識別指紋識別手寫字體辨識影像辨識語音

辨識

(2) 控制工程機器人控制汽車控制家電控制工業儀錶控制電

力控制

(3) 信號及資訊處理影像處理語音處理資料整理資料庫管理

(4) 人工智慧及專家系統故障診斷自然語言處理自動翻譯地震

預測工業設計

(5) 環保廢水處理凈水處理廠工程空氣污染檢驗空氣品質監控

(6) 其他建築結構分析化工製程控制

2 教育社會及人文科學方面

(1) 教育教學成果評量心理測驗性向測驗電腦輔助教學

(2) 心理學心理分析性向測驗

(3) 決策決定決策支援決策分析多目標評價綜合評價風險分

析

233模糊集合

過去傳統數學上集合的基本定義是以二值邏輯(Binary Logic)為基礎的

方式來描述事物為屬於或不屬於此集合也就是元素 x和集合 A的關係

只能是isinA或notinA明確的判斷對象為所屬集合也就是明確集合(Crisp Set)

如果要描述適當的模糊事物時須將所屬集合的概念模糊化使之無明確

判對象所屬的集合模糊集合是指在界限或邊界不分明且具有特定事物的

集合以建立隸屬函數(Membership Function)來表示模糊集合承認論域

(Universe of Discourse)上存在既非完全屬於集合A又非完全不屬於集合A

16

使傳統集合的絕對屬於的概念改變為相對屬於的概念以數學式表示論域

U 上的模糊集合 A可表示為元素 x與它的歸屬函數集合

(216)

其中 A為一模糊集合 為歸屬函數x稱作元素U為論域一

般情況下歸屬度會界定在 0跟 1之間

(1) =0表示元素 x不屬於

(2) =1表示元素 x完全屬於

(3) 趨近 0表示元素 x極不可能屬於

(4) 趨近 1表示元素 x極有可能屬於

這個表示式的完整解釋為當 x 在 U 的範圍內會對應到一個介於 0

到 1之間的數值 所有這種 x所成的集合就是一個模糊集合模糊集

合可表示為

1 當論域Ｕ為有限離散(discrete)集合的情形下模糊集合 可表示成

(217)

2 當論域Ｕ為實數論域所組成之在連續(continuous)集合的情形下模糊

集合 可表示成

isin (218)

其中 並非積分符號而是單純的連結符號

234 模糊數(Fuzzy Number)

1 模糊數(triangular fuzzy number)

假設 是模糊集合或模糊數(FN)在實線 2R 上則以三角形隸屬函數

(triangular membership function）表示為 1 2 3( )a a a 2 x R to A 則

1

1 2 1 1 2

3 3 2 2 3

3

0

( ) ( ) ( )

( ) ( )

0

x a

x a a a a x aA x

a x a a a x a

x a

(217)

17

1

其隸屬函數圖形如圖 21

圖 21 三角模糊數

2 梯形模糊數(trapezoidal fuzzy number)

梯形模糊數可表示為 如圖 22其隸屬度函數定義為

(218)

其隸屬度函數如圖 22

圖 22梯形模糊數

a b c d

1

18

在一信賴區間 α水準α 01 我們定義 A

( )A x A x (218)

三角形隸屬度函數以 α-cut表示為

( ) ( )

1 3 1 1 2 3 2 3[ ] [ ( ) ( )]A a a a a a a a a

(219)

( )

1a 與 ( )

3a 個別代表 A的下界及上界

根據模糊算術方法Zadehrsquos sup-min 方法表示如下

( )( ) sup min( ( ) ( ))x y z

A B z A x B y

(220)

其中 sup表任何模糊算式Mizumoto and Tanaka（1976）使用相同方

法在 α 截集模糊數和區間算術Chang（2003）和 Chang et al （2006）和

Chang and Hung（2006）整理使用 α 截集模糊算術方法的文獻α截集模

糊算術中模糊數基本運算公式（加法減法乘法除法）可以計算的

更快在每一個 α-level 區間中使用區間算術（Kaufmann and Gupta

1988）

1 模糊數加法

令A和 B分別為兩模糊數 A和 B在一信賴區間 α水準 ( ) ( )

1 2[ ]A a a

( ) ( )

1 2[ ]B b b αisin 01 forall A B sub 2R 表示如下

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 2 1 2 1 1 2 2[ ] [ ] [ ]A B a a b b a b a b

forallαisin 01 (221)

2 模糊數減法

在一信賴區間 α水準forall A B sub 2R αisin 01

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 2 1 2 1 2 2 1[ ] [ ] [ ]A B a a b b a b a b

(222)

3 模糊數乘法

在一信賴區間 α水準forall A B sub 2R αisin 01

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 2 1 2 1 1 1 2 2 1 2 2

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 1 1 2 2 1 2 2

[ ] [ ] [min(

max( )]

A B a a b b a b a b a b a b

a b a b a b a b

(223)

4 模糊數除法

在一信賴區間 α水準forall A B sub 2R αisin 01

19

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 1 1 2 2

1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 2 1 2 1 2 1 2

[ ] [ ] [min( )max( )]a a a a a a a a

A B a a b bb b b b b b b b

式中 ( )

1b ( )

2b gt0forallαisin[01] (224)

235模糊運算

根據 Zadeh（1965）的擴展原理（Extension Principle）可以廣義的使

用一般基準 T取代原來的最小值模糊數的數學運算表示如下

1 加法

( )( ) sup ( ( ) ( ))x y z

A B z T A x B y

(225)

2 減法

( )( ) sup ( ( ) ( ))x y z

A B z T A x B y

(226)

3 乘法

( )( ) sup ( ( ) ( ))x y z

A B z T A x B y

(227)

4 除法

( )( ) sup ( ( ) ( ))x y z

A B z T A x B y

(228)

24 模糊迴歸

在科學研究過程中許多研究者常使用迴歸來描述自變數 x和應變數 Y

之間的關係傳統的迴歸分析均假設觀察值由實際應變數影響加上隨機誤

差而產生也就是說應變數是一種帶有不確定性的隨機變數不過在很

多的實務應用上往往無法滿足這樣的假設例如有些應變數 Y 的觀察值

並不是以單一數值的型式存在而是帶有多重隸屬的特性這些觀察值雖

然帶有不確定性但這種不確定的特性是來自於模糊現象而非隨機現象

若由模糊觀點套用迴歸分析來處理模糊資料問題就稱為模糊迴歸分析

模糊迴歸分析最早是由 Tanaka et al (1980) 提出一般模糊迴歸能夠處理的

樣本型式有兩種一種是實數值樣本 其中 為實數向量 為觀測

到的實數值另一種是模糊數樣本( 其中 為觀測到的模糊數不論

是實數值樣本或是模糊數樣本想要估計模糊迴歸參數估計方法大都是

20

利用線性規劃的技巧來尋求一組能將實數值樣本 或模糊數樣本(

包含在內的區間再將三角形隸屬函數（triangular membership function）套

用

在此區間上如此便求得一組模糊迴歸估計式要得到正確的估計結

果最好是收集具有代表性的隸屬函數樣本所謂具有代表性的隸屬函數

樣本應該是以模糊數的形式存在所以本文就樣本模糊數 進行討論

線性模糊迴歸模式常表示成

0 1 1 2 2( ) i i i p piY x A A x A x A x (229)

其中 1 2 3(1 ) i i i i p ix x x x x 為自變數向量 ( )iY x 為模糊應變數

為模糊參數利用樣本模糊數 估計參數 時通

常假設 與 的隸屬函數為對稱三角型式 與 的隸屬函數表達如下

( ) max 1 0 i

i

Y

i

t yt t

r

(230)

其中 為三角隸屬函數的中點 為三角隸屬函數的分布半徑可令

( ) max 1 0 m

m

A

m

t ct t

s

(231)

其中 為三角形的中點 是三角形的分布半徑 與 間的關係

如圖 23所示

圖 23模糊數的中心值與散佈值

1

0

21

再令 則前述的模糊迴歸方程式可改寫成

0 1 1 2 20 1 2( ) i i ipi p pY x x xC S xC S C S C S (232)

因此模糊應變數 ( )iY x 的隸屬函數也屬於三角型式可表示成

( )

0

0

( ) max 1 0 Y xi

p

m m

m

p

m mi

m

t c x

t t

S x

(233)

其中 因此只要估計出三角形的中點 及半徑 便可得到

隸屬函數的估計值模糊迴歸分析是在要求每一個觀測值 隸屬於模糊

迴歸區間的隸屬程度至少 的情況之下尋求最小的模糊迴歸預測區間如

(234)式表示

forall ( 234)

在利用 對未知的模糊參數 進行估計前一般先定

義模糊樣本 和模糊應變數 的 h截集其定義如下

令 為一組模糊樣本 ( )iY x 為模糊應變數若 與

分

別為 及 的 h截集(h-cut)則

(235)

(236)

因具代表性的樣本 其 h 截集 應要盡量接近模糊應變數 的 h

截集 意即

其中容許

不完全落在 之

內的情形發生根據以上觀點王景南(2002)認為樣本的左端點

和右端點 隸屬於 的程度會有一定的水準於是設立此水準

為 H因此假設 隸屬於 的隸屬度會盡量的接近 H其間的關係

為

( 與

( (237)

所謂的盡量接近 H是可允許隸屬度大於 H或小於 H而不是均大於

22

H

根據以上的對樣本的解釋運用最小平方法以所有樣本的左端點

配置一迴歸直線稱之為左端直線估計式

(238)

其中 為迴歸係數再以所有右端點 配置右端

直線估計式

(239)

其中 為迴歸係數

前文已假設樣本的左右端點隸屬於 的隸屬度會盡量的接近 H所

以將這兩條直線函式來估計 之 H截集的左右邊界即

(240)

如此可推導出 的隸屬函數為

(241)

其中 且

(242)

意即

(243)

其中

為三角形底邊中點是

分布半徑如此便可得一組估

計的模糊迴歸模式

(244)

仍需注意的是當樣本為對稱型態時左右迴歸函數式其配適的結果式

相同的只有常數項不同當對稱情形發生時可以考慮利用各別對應相

之權重除以常數項的分布半徑做為個別對應項之分布半徑意即

分布半徑

除此之外Celmins及Diamond Celmins也分別提出最小平方法之模糊迴

23

歸模式以便求解資料間距離最小的模糊迴歸方程

模糊迴歸應用上比統計迴歸更具彈性統計迴歸通常需要大量資料以

支持其假設而模糊迴歸卻無此需求因此當資料量不足或隨機性難以驗

證時模糊迴歸是較強健的(Robust)同時當所蒐集之資料的不確定性乃

來自於人類之主觀判斷時模糊迴歸較具適用性

因此模糊迴歸模式逐漸受到重視在1990年代的研究包括Sakawa及

Yano針對投入變數與輸出變數皆為模糊資料的問題建構出一個多目標的模

糊迴歸模式此外Chang和Lee則認為模糊迴歸中心線的趨勢與模糊迴歸散

佈值的趨勢可以存在不一致性為了分析統計迴歸與模糊迴歸的差異Kim

Moskowitz 及Koksalan 利用模擬分析比較統計迴歸與模糊迴歸的結果認

為由機率論所得的統計迴歸模式在大樣本時其預測績效遠比可能性理論

(Possibility theory)推演而得的模糊迴歸模式為佳然而當資料量遞減或所構

建的模式適合性變差時(即變數間存在模糊關係)則模糊迴歸模式的預測績

效將優於統計迴歸模式由於模糊迴歸模式在解決資料量少及系統關係模

糊不清的問題上具有較佳之績效而存在其正面之價值當變數間存在模

糊關係時

從早期到目前已發展出多種模糊迴歸模式求解方式以下根據薛展青

(2004)所整理的模糊迴歸分析整裡敘述如下

1 區間迴歸法

區間迴歸法(interval regression)其模型架構主要是由Tanaka et al(1982)

所提出的模糊線性迴歸(fuzzy linear regression)模型Tanaka et al(1982)所發

表的論文中表示傳統的迴歸模型中造成實際值與估計值的誤差來源被

認為是由測量或觀察所造成的而此誤差項在模糊線性迴歸模型中是因

模糊系統中參數的模糊性所產生的即誤差是反應模糊線性函數的模糊現

象因此以模糊線性函數來表示迴歸方程式而迴歸參數則是以模糊集合

來表示

Tanaka et al(1982)在估計模糊迴歸參數時是利用線性規劃技巧

(linearprogramming method)來尋求一組能將實數值樣本或模糊數樣本全部

包含的區間最後求得一組對稱三角形模糊數之迴歸參數

自Tanaka等人(1982)的文章發表之後後續的學者大多以此為基礎陸

續題出各種相關的模式與求解方法如Peters (1994)將Tanaka的線性規劃法

24

求解推廣為模糊線性規劃法求解讓資料對模糊迴歸模式的適應性更加提

升YenGhoshray 與Roig (1999)提出由於非對稱迴歸係數導因於大多數的

資料為離群值使得對稱三角迴歸係數不再適用因此將Tanaka et al的模

式推廣為非對稱三角迴歸係數Moskowitz 與Kim (1993)探討不同水準值下

模糊迴歸模式的求解與模式配適程度Redden 與Woodall (1996)探討模糊

迴歸分析預測未來值的結果Sakawa 與Yano (1992)將Tanaka的方法擴展到

依變數及自變數皆是模糊集合的情況並將之稱為多目標線性迴歸法

(multiobjective linear regression model)Koumlrner 與Naumlther (1998)討論解釋變

數與反應變數兩者皆為模糊數值的情況Kacprzyk 與Fedrizzi (1992)則蒐集

了各種不同迴歸模式的求解方法Redden 與Woodall (1994)說明Tanaka後

續提出的求解模式當中所具備的性質以及與傳統迴歸方法的差異比較

但是在此模式下求解之迴歸係數本身亦為一對稱的三角模糊數值

而且求解結果很容易受到資料尺度(scale)的影響使得反應變數估計值之展

度會變得更為寬廣後來Tanaka (1987)根據1982年的文獻發展為更完整的

可能性線性系統使模糊迴歸的結構更趨適應性Tanaka 與Watada (1988)

闡明可能性線性模式的概念推演建構成可能性線性迴歸模式Tanaka et

al(1989)應用模糊資料於可能性迴歸系統中並建構最小化最大化及混合

式三種線性規劃模式又對先前所提出的模式加以修正但就如Redden 與

Woodall (1994)所指出Tanaka 類型的模式對於離群值(outlier)的反應非常

敏感甚至在觀察值的個數增加時求解結果可能會產生無限多解因

此在Tsaur 與Wang (1999)提出的文獻對於在模糊迴歸分析中的離群值進行

一系列探討

2 模糊最小平方法

模糊最小平方法(fuzzy least squares)乃擴展傳統之最小平方法的觀念

最早由Diamond (1988)所提出利用傳統最小平方法的觀念求出一個模糊

迴歸模式以估算(approximate)反應變數的觀察值並非如區間迴歸中的包含

觀察值在其模式中利用反應變數的觀察值與估計值的模糊數值之最小

值最可能值與最大值定義兩者之間的距離以衡量迴歸模式與模糊資

料之間的最佳配適度的情形在使得所有觀察值與估計值的模糊數值之間

的距離平方總和為最小時可以導出類似傳統迴歸分析中的正規方程式

(normal equation)以求解迴歸係數

25

其後Chang 與Lee (1996)則將Diamond (1988)的方法加以擴充將迴

歸係數的最可能值與展度分別估計該方法的特點在於可將極端值(outlier)

加以處理並降低其影響程度Ma等人(1997)則將此類方法發展於適合非

三角模糊數值的場合Diamond 與Koumlrner (1997)則在此類方法中定義一

個判定係數的計算方法以比較不同模式的適合性Wu與Tseng (2002)提出

改善模糊迴歸模式之最小平方法其模式主要觀念是利用最小平方法將所

有樣本的左端點及右端點各配置一條迴歸線然後在將其左右迴歸線統合

成一條迴歸線

而在Kim 與Bishu (1998)的研究中是利用各個具有三角模糊數值的反

應變數之最小值最可能值與最大值以最小平方法分別計算出模糊迴歸

係數所得到的係數不一定為對稱的三角模糊數在此種求解方式下雖

然可以得到比較小的估計誤差但其缺點是無法處理解釋變數為模糊數的

情形另外Kim 與Bishu(1998)還提出了評估模糊迴歸模式的準則利用觀

察值與估計值歸屬函數之間面積的差異做為迴歸模式的估計誤差但其評

估準則的問題是無法比較不同模式在觀察值與估計值歸屬函數之間不具有

交集時的誤差情況在此情況下求算估計誤差時無法準確評估其總誤差而

導致評估失真而其他學者如Yang與Ko (1997)Yang 與Lin (2002)等則

是提出以最小平方法為基礎的模糊聚類分析求解方式

3 模糊隨機變數估計法

為了建構一個同時具有隨機和模糊特性的系統Kwakernaak (1978)首

先提出模糊隨機變數(fuzzy random variables)的概念認為傳統的隨機變數

U Ωrarr R為實數可測函數而模糊隨機變數則將一般隨機變數的概念廣義

化模糊隨機變數可表示為X ΩrarrS設ω isinΩ而ω 所對應到的不再是實

數值U(ω)而是模糊集合X (ω)S 代表模糊集合且Kwakernaak (1978)擴

充原來Zadeh 提出模糊集合之架構認為有時供作參考的資訊不齊全在

對某些述句進行評斷時我們無法判斷其絕對為真或絕對為假此時我

們考慮將原有的二元邏輯思維方式推廣暫且不作肯定的判決而僅是表

達出對錯的程度換句話說真值可以是介於單位區間[01] 內的任何值

如此思維方式稱之為多值邏輯(multivalued value)並將模糊集合視為一組

述句(statement)的集合且每個述句均對應一真值程度以符合人類的思維與

想法Stein 與Talati (1981)利用模糊數值的隸屬函數提出模糊隨機變數

26

的期望值之計算方式Kruse 與Meyer (1987)藉助集合表徵的概念建立了

一套模糊隨機變數的定義而為了讓模糊隨機變數能實際應用並將討論

的範圍界定在一模糊集合族上Koumlrner (1997)及Naumlther (1997)利用該方法以

求算模糊隨機變數的期望值與變異數並應用於線性模糊迴歸模式的求解

等另外在曾能芳(民 91)的博士論文研究中指出在Tanaka et al (1982)

的模糊迴歸模式中並不具備誤差項因此模式無法呈現樣本與期望值之間

的關係而無法討論線性規劃估計程序所具備的統計性質所以在曾能芳

(民 91)提出的迴歸模式中採用模糊樣本是由依變數之模糊期望值加上測量

誤差所組成並提出測量誤差存在於中點的模糊迴歸模式以及測量誤差

同時存在於中點和半徑的模糊迴歸模式

4 兩階段求解方法

以兩階段方法(two stage method)求解模糊迴歸模式的想法是在於結合

最小平方法與區間迴歸的觀念試圖降低反應變數估計值的模糊度如Savic

與Pedrycz (1991)對模糊迴歸模式的求解分為兩個步驟進行第一步以

反應變數的模糊數值之最可能數值為基礎將模糊數值視為簡化的明確數

值以傳統最小平方法求解迴歸係數的中心值第二步利用區間迴歸的

方式在使得迴歸係數的模糊度為最小的情形下以決定迴歸係數的三角

模糊數值Kao 與Chyu (2002)提出另一種模糊迴歸模式的兩階段求解方

法在第一階段先利用解模糊(defuzzification)方法將模糊觀察值轉換成為一

組明確數值之後利用該組明確數值以傳統的最小平方法求解迴歸係

數第二階段則是以Kim 與Bishu 所提之評估準則為目標式決定一個誤

差項估計值的模糊數以使得在Kim 與Bishu (1998)評估準則下的總誤差量

為最小該方法的特別之處在於求解的迴歸係數為明確數值而誤差項估計

值為模糊數值雖然此種求解方式可以得到很小的估計誤差但因其所著

眼的仍是Kim 與Bishu 評估準則下的面積估計誤差使得當觀察值與估計

值歸屬函數之間不具有交集時所衡量出的估計誤差較真實誤差為小且其

求解方法比較適合於觀察值為三角或梯形的模糊數值欲應用於其他型式

的模糊數值求解上則較為困難而在邱清爐(民 91)的博士論文中則是將

其兩階段求解方法對各種不同的模糊迴歸模式進行建構與評估並將其求

解方法應用於工作滿意度實例

5 其他求解方法與相關研究

27

Tanaka 等人(1995)後來提出另外一種模糊迴歸模式的求解方法將傳

統的估計誤差當作是存在解釋變數與反應變數之間的關係之可能性

(possibility)故模糊觀察值的展度可以直接轉換成迴歸係數的指數可能性

分配(exponentialpossibility distribution)而可以使用與傳統迴歸非常類似的

方式加以求解Tanaka與 Lee (1999)再利用辨識方法(identification method)

求解迴歸模式在其研究中利用辨識方法以決定模糊線性系統(fuzzy linear

system)中迴歸係數的可能性分配並認為由此方法所求解的迴歸係數會

有比較小範圍的可能性分配近年來有愈來愈多的學者將模糊迴歸分析

應用於其他傳統的決策方法及不同領域上如 Dunyak 與 Wunsch(2000)使

用 α 截集的端點以類神經網路(neuralnetworks)進行模糊迴歸分析Lee

與 Chen(2001)則將模糊迴歸模式使用於人力預測的問題上Tseng 等人

(2001)將由模糊迴歸模式建立之 ARIMA 模式用以預測匯率Tseng 與

Tzeng(2002)則利用模糊迴歸模式的求解方法以建構具有季節變動的

ARIMA 模式Kim 與 Bishu(1996)應用於人力可靠度分析的操作反應時間

上Wu 與 Tseng(2002)將其模糊迴歸模式應用在景氣對策信號上的分析

王景男(民 89)將模糊迴歸分析應用於籃球比賽攻防技術策略上曹勝雄

曾國雄江勁毅(民 85)以國人赴港旅客需求之預測為例說明傳統迴歸

模糊迴歸類神經網路之差別張良斌陳育民(民 86)將模糊目標迴歸法

應用在垃圾衛生掩埋場沼氣回收設備的成本估算謝邦昌林燦隆呂理

添(民 85)將模糊迴歸運用在甘蔗產量的預測對於上列有關模糊迴歸分析

的研究中絕大部份的文章均侷限於線性模式的分析鮮有文章討論非線

性模糊迴歸模式的求解最近雖然有少數學者開始討論非線性模糊迴歸模

式的解法如 Xu(1997)Buckley 與 Feuring(2000)的研究等但使用的方

法所求解的迴歸係數仍然為模糊數值其造成反應變數估計值的展度會

隨著解釋變數之數值增加而擴大的問題仍無法避免

28

第三章 研究方法

本章介紹本文將運用於數值分析中的預測研究方法利用本章建構的

方法可清楚了解如何利用混沌理論基於相空間重構的方式及模糊迴歸方

法於預測中

31 混沌時間序列建立預測方法

時間序列的模型建構和預測是資料處理研究領域中的重要方向其中

預測方法主要有線性和非線性預測方法兩種預測就是對未來作出估計和

推斷而通常要對研究對象或資料進行假設這一過程稱為建模利用建

模的方式獲得資料的科學表示就稱為模型混沌時間序列雖然看似隨機

但它卻是由確定系統產生的因此我們可以對混沌時間序列作出短期預測

同時由於混沌對初始條件微小差異的高度敏感性我們無法對混沌時間序

列作出長期預測每一步預測帶來的微小偏差都會使得下一步預測的偏差

擴大最終導致預測序列與原始序列完全不同

311李亞普諾夫指數判定資料混沌特性

進行預測前需根據 212節中提及的李亞普諾夫指數來判定資料是否

具有混沌特性最大李亞普諾夫指數是判斷和描述非線性時間序列是否為

混沌系統的重要參數因此是一個重要的混沌不變數

混沌系統中的李雅普諾夫指數可用來判斷系統是收斂的還是混沌的當系

統的李雅普諾夫指數中至少有一個為正時系統是混沌的 當系統的李雅

普諾夫指數均為負數時系統是收斂的 對於系統是否存在動力學混沌可以直觀的判斷最大李亞普諾夫指數是否

大於零一個正的李亞普諾夫指數代表著在系統相空間中無論初始兩

條軌跡的間距多小兩條軌跡的差別都會隨著時間的演化而成指數率的增

加而導致無法預測這就是混沌現象

312重建相空間

傳統的建模和預測方法己廣泛地應用社會科學中但大部分都是基於

線性系統混沌時間序列並不適用於非線性的混沌時間序列於是在判斷

時間序列性質後若判定序列以隨機性為主應採用從 AR 或 ARIMA 等隨

機模型來預測如果判定以混沌為主則應採用非線性確定性的方法進行

29

預測非線性時間序列的預報是經過相空間重構後對相空間中的動力軌

跡進行預報由於混沌系統具有被稱為「蝴蝶效應」的初始值敏感性所

以混沌時間序列是不能長期預測的但對於短時間內混沌系統的軌道在

相空間中具有一定的規律它們的預測性是可獲得的並比一般的基於統

計方法的預測能力要來得好

時間序列資料是時間離散後的樣本值用 表示將它「嵌入」到

一個 m維(mgt0)的空間中進行相空間重構後得到嵌入向量

(31)

由嵌入向量 可擴張成一嵌入空間 E由 Taken嵌入定理可知存

在映射面 滿足

(32)

上式表是出在拓樸的意義中可完全預測吸引子的特徵所以上式也可

表示為

(33)

其中函數 為 的一個估計值由式 (33)可得之我們可用

來預測

313相空間維度相關維度

在實作的研究上有許多方法可以用來估計混沌吸引子的維度本研

究選用較為常見的相關維度方法相關維度需先計算相關和將相空間中

所有樣本點皆計算其各別半徑收斂後之趨近值相關方程式（Correlation

Function）定義如下

(34)

其中

當 rrarr0時

兩邊同取對數可得

(35)

定義相關維度為 與 之曲線斜率為

(36)

在實際應用中經常給定一組維度 值選取適當的 r繪出

30

曲線求曲線當中直線段的斜率 如果系統存在這樣一個 值達到此

值後相應的關聯維數不再隨 的增長而變化也就是趨於飽和這表明

該序列為混沌系統其吸引子是存在的此時 值即為重構相空間的最佳

嵌入維數否則則表明該序列為隨機系統不具有混沌性

314 時間遞移數

利用 2123節中介紹的概念及 2124 中介紹的自相關函數求解出時

間遞移數的結果自相關函數公式如下

1

1

1( )( )

1( )

n k

t t k

tk n

t

t

x x x xn k

r

x xn

(37)

n為原資料樣本數k為時間遞移後的樣本點

將自相關係數計算的結果與每一筆遲延時間距離數值繪製成圖表可

由圖表中可分析辨別時間序列數據的初步基本特徵圖表繪製的結果顯示

自相關係數跟隨遲延時間距離數值的增加而顯示收歛且具有震盪循環之跡

象則表示數據具有一種規則屬於一混沌時間序列

32 複線性迴歸

確立資料為混沌後運用自我相關係數計算出時間遞移數及相空間維

度後將加入複線性迴歸運算複線性迴歸中常用的預測方法分為兩種

1 全域法

全域法就是利用相空間軌跡中的全部向量點做為擬合對象找出其

規律由此進行短期預測也就是說利用收集的大量的歷史資料利用

複線性迴歸訓練出迴歸參數再將未放進訓練迴歸參數的資料使用訓練

出的迴歸參數計算出預測值的資料型態本文還將原本的歷史資料分析

出資料的季節性後先去除季節性的影響最後再加回季節性討論預測結

果

2 局域法

局域法的基本原理是僅利用有限個鄰近點的資訊而不是利用全部的

樣本點來擬合 局域法預測是把相空間軌跡中的最後一點作為待測點對

離待測點鄰近的若干個相空間點的關係作出擬合再對預測相空間點的未

來演化規律進行預測本文使用零階局域法零階局域法是直接將鄰近樣

31

本點應用於預測根據鄰近樣本點預測 的最簡單的方法就是尋找相

空間中距離 最近的點假設距離最近的點是 那麼它的下一個樣本

點為 即可做為 的預測值

因數值資料在每日重複發生變動所以本研究又加入計算季節性指數

對趨勢線做季節性調整也就是對時間序列做季節性調整

33 模糊迴歸分析

運用模糊的概念帶進迴歸模式中處理具模糊性的資料問題此稱為模

糊迴歸分析本文利用的模糊迴歸模式主要有兩個方向一個是Tanaka et al

(1982)提出的模糊線性迴歸另一個是由Chang 與Lee (1994)所提出修正型

迴歸模式Tanaka 起初所提出的線性規劃模型

0 1

[ ( )]p n

j ij

j i

Min C X

st 0 0

(1 ) (1 )p p

j ij j ij ii

j j

X H c X y H e

(38)

0 0

(1 ) (1 )p p

j ij j ij ii

j j

X H c X y H e

0jc j R 0 1iX 0 1H 123i n 012j p

Tanaka 所提出的模糊模型未考慮到散度為負值的條件所以模糊上下

界會不斷的擴張而越來越寬大由 Chang 與 Lee (1994)所提出修正型迴歸

模式即將模糊的散度可為負值使上下界的模糊區間為遞減的情形遞

減的情形由圖 31表示

圖 31 模糊區間隨自變數越大而越窄

0

2

4

6

8

10

上界 中心線 下界

32

假設圖表中計算出的模糊迴歸函數為 0 0 1 1 Y c c X 模糊上界為

0 0 1 1UY c c X 模糊下界為 0 0 1 1LY c c X

33

第四章 數值分析

本章資料來源1台灣區車輛工業同業公會

2台北市交通局

本章所使用的數據資料為台北市交通局提供的公開的車流量資料數

值分析所使用的方法已在第三章論述利用第三章的方法分析數值預測的

準確性並結合模糊迴歸常見的兩種方法幫助決定預測的可接受範圍本

章介紹本文所利用的數學模型及方法在複線性迴歸的模型中分成混沌全

域法去季節性後的混沌全域法以及混沌局域法預測出的結果加以討論預

測的準確性再將預測值去季節性觀察準確程度最後再帶入模糊迴歸

利用 05H 加以討論如何將模糊迴歸中的散度用以選擇預測值的範圍第

一節針對傳統複線性迴歸方法並結合全域法觀念訓練資料迴歸係數討

論預測結果第二節針對傳統複線性迴歸方法並結合局域法觀念訓練資

料迴歸係數討論預測結果第三節針對預測資料去除季節性後再利用

傳統複線性迴歸方法討論預測結果第四節針對模糊迴歸的兩種方法選

擇出預測的範圍

利用第三章論述的時間遞移及相關維度的做法將本文利用具混沌性

的資料加以分析將資料先利用 212 節中介紹的李雅普諾夫指數 判定是

否具混沌性具有混沌性的資料才能利用混沌理論重構相空間若李雅

普諾夫指數 介在 0跟 1之間則表示資料具有混沌性質本文資料利用程

式計算出李雅普諾夫指數 運用自我相關係數判斷出時間遞移

數 相關維度計算出維度 我相關係數判斷時間遞移數與相關維

度的圖形以及原始資料時間遞移後的資料圖如圖 41圖 42圖 43

34

圖 41相空間維度及 lnC與 ln r斜率關係圖

圖 42相空間維度及 lnC與 ln r斜率關係圖

0

1

2

3

4

5

6

7

0 5 10 15 20

相空間維度

斜

率

d

-02

0

02

04

06

08

1

12

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33

時間遞移數

自我相關函數

35

圖 43 原始資料時間序列圖

41 複線性迴歸混沌全域法

本文所使用的資料為 10日的車流量資料利用前 9日的資料訓練出迴

歸參數將迴歸參數代入複線性數學模型中計算出的迴歸方程式為

1 2 3 4

5 6 7 8 9

10 11 12 13 14

435363 00819 00338 01777 00070

01116 01999 00299 02716 00349

01399 00056 01113 00738 02038

y x x x x

x x x x x

x x x x x

(41)

解出迴歸參數計算出複線性迴歸方程式後再將最後一日 144筆的車

流資料代入方程式中計算出預測值利用複線性迴歸混沌域法預測出的結

果如圖 44

圖 44 複線性迴歸分析預測與原始資料比較圖-全域法

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

1 53

10

5

157

209

26

1 31

3

365

41

7

469

52

1 57

3

625

67

7

729

78

1 83

3

885

93

7

989

10

41

1093

11

45

1197

12

49

1301

13

53

1405

原始資料點

原始資料點

-50

0

50

100

150

200

1

7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

103

109

115

121

127

133

139

實際值

預測值

36

由圖表的狀況可觀察出運用複線性迴歸模型預測的結果不盡理想本

研究認為運用複線性迴歸預測的結果不佳的原因有二

1 利用全域法預測是將較大量的歷史資料加入考慮訓練出迴歸參數這

樣的結果造成削弱了原本的奇異點(相較於同時段資料差異性較大的點)

的影響力

2 嵌入維度 太高對於混沌時間序列隨著嵌入維度增高歷史

對未來的影響是呈指數衰減的所以全域法所利用的資訊歷史就越長

預測的精準度就會迅速下降因此本研究將加入局域法討論預測的準

確性

42 複線性迴歸混沌局域法

局域法的做法為尋找相空間重構後的點對待測點尋找鄰近的 k個相

空間點對離待測點鄰近的若 k個相空間點的關係作出擬合並分析出複

迴歸方程式的迴歸參數本文嘗試選取 k=50~250的結果以下只列舉 k=200

的圖解釋預測結果

圖 45 複線性迴歸分析預測與原始資料比較圖-局域法(k=200)

圖 44與圖 45比較後可看出區域法預測的準確性比全域法更好某

些預測出來的結果的點與原始資料的點差異性大有明顯的偏移本研究

認為利用局域法預測的結果不佳的原因如下由圖 45可看出預測結果與

原始資料間差異性較大的點位為數列的右側 而數列尾端的資料為凌晨或

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

1

7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

103

109

115

121

127

133

139

實際值

估計值

37

是深夜的車流量因每日凌晨或是深夜的車流量變化量較少(例如某日的凌

晨十二點十分可能為 0台車或是小於 10台車經過)所以資料的差異性

較大造成頭尾的資料預測上較為不準確

因為同時段的資料可能會影響資料預測出的結果所以我們下節就以

加入季節性的考慮來加以討論預測結果

43 複線性迴歸去除季節性後混沌全域法

本文使用的車流量資料為每日 24時換算成 1440分鐘每 10分鐘記

錄一點於是本研究依資料的記錄時間點來劃分季節性將季節分成 144

個季分別求出季節性指數求取季節性指數後將每個資料點先去除季

節性利用全域法訓練出去季節性後的迴歸係數再利用複線性求出預測

值最後將去除的季節指數乘回預測點結果如下

圖 46考慮季節性複線性迴歸分析預測與原始資料比較圖-全域法

此考慮季節性因子的複線性迴歸分析預測與原始資料的比較是用全

域法去訓練迴歸參數的而由圖 44我們可以得知一開始未考慮季節因

子使用全域法的複線性迴歸預測是不準確的本研究認為原本的歷史資

料隨著季節性因子的變化該系統原本呈現複雜的動態特性實際上由於

車流量的變動有許多外在因素的影響例如氣候假期hellip等影響會使

資料的變化過程發生不同程度的偏離而對於季節性事件來說其事件發

生的過程主要受季節性參數週期性變化的影響 因此影響因素的具體形

式可以近似地表示為單一函數本文考慮季節因素對車流量的影響意即

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

1

7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

10

3

10

9

11

5

12

1

12

7

13

3

13

9 實際值

預測值

38

經過季節性分析後的得到的預測分析結果很準確如圖 46所示此結果

表示季節性影響樣本資料的情形大也代表著在季節因素影響下系統中

事件的動態變化情況是隨著季節影響參數的變化而造成系統呈現各種

各樣複雜的動態特性如週期解混沌情形hellip等

44 模糊迴歸

441Tanaka模糊迴歸

μ及 H 值之選定原則為當不確定性愈大時其 μ及 H 值愈接近 0

反之當資料不確定性愈小時μ及 H 值取愈接近 1 之值Bardossy 等人

建議其值在 05~07間為適宜根據 Tanaka在 1982年所提到的方法我們

可以求得一模糊迴歸函數並可得知其中心線與其上界及下界假定在 H =

05的情況下利用 Tanaka模糊迴歸模式算出迴歸函數為

(42)

中心線與上下界的簡單迴歸方程式為

中心線 (43)

上界 (44)

下界 (45)

繪製出的圖形如圖 47所示

圖 47 Tanaka 模糊迴歸

0

50

100

150

200

250

300

1

7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

103

109

115

121

127

133

139

下界

中心線

上界

39

圖 48 Tanaka 模糊迴歸中心線與預測值之結合

從圖 48可看出預測值與模糊迴歸的中心線 有明顯的時間差異但由

圖可以觀察出模糊迴歸的中心線 的預測趨勢與實際值是相近的雖然利

用模糊迴歸預測的時間點比實際時間快但是相對來說也是可以用來預

測之後將發生的趨勢本研究認為若模糊迴歸可用於預測中則可用模糊

的散度 c當做預測行為中選取的可接受的變動範圍如圖 49最後將 Tanaka

模糊迴歸中心線上下界與實際值之結合如圖 410所示

圖 49 Tanaka 模糊迴歸中心線上下界與實際值之結合

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

1

8

15

22

29

36

43

50

57

64

71

78

85

92

99

106

113

120

127

134

141

實際值

中心線

0

50

100

150

200

250

300

1

7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

103

109

115

121

127

133

139

實際值

下界

上界

預測

值

預測值

40

圖 410 Tanaka 模糊迴歸中心線上下界與實際值之結合

442修正型 Tanaka模糊迴歸

因為我們要將模糊迴歸應用於預測中所以本研究將複線性迴歸的趨

勢線視為模糊迴歸的中心線再利用修正型 Tanaka模糊迴歸模式算出迴歸

函數為

(46)

中心線與上下界的簡單迴歸方程式為

中心線

上界

下界

繪製出圖形如圖 411

0

50

100

150

200

250

300

1 7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

103

109

115

121

127

133

139

實際值

預測值

下界

上界

41

圖 411 修正型模糊迴歸中心線上下界與實際值之結合

本研究使用的修正型模糊迴歸中心線與傳統的迴歸方程式相同所以

可用來處理或分析模糊資料與明確資料同時修正型模糊迴歸的上下界

與 Tanaka 模糊迴歸相較也變窄了此兩種現象就是修正型迴歸的特色因

為中心線與傳統的迴歸方程式也相同這種修正型迴歸散度可選擇為負值

的特色本研究認為可以應用在預測上因為上下界與中心線間的散度變

窄使得前文所敘述到的利用散度來選取預測範圍便可更為嚴格也可

使預測的結果更為可靠如圖 412所示

圖 412 Tanaka 上下界與修正型模糊迴歸上下界的寬度差別

0

50

100

150

200

250

1 7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

103

109

115

121

127

133

139

下界

中心線

上界

0

50

100

150

200

250

300

1 8 15

22

29

36

43

50

57

64

71

78

85

92

99

106

113

120

127

134

141

Tanaka下界

Tanaka上界

Tanaka修正型下界

Tanaka修正型上界

42

第五章 結論及未來研究方向

51 結論

根據前文的討論傳統迴歸和模糊迴歸建立在不同的理論基礎上傳

統迴歸是以機率為基礎而模糊迴歸則是以可能性為基礎傳統迴歸因變

數的估計值與觀測值之間的差異為因變數的隨機性而模糊迴歸因變數的

估計值則產生於觀測值之模糊度惟兩者最大不同處在於模糊迴歸式的

迴歸係數與預測值皆為模糊數（區間值）不同於傳統迴歸係數與預測值

均為明確的數值此外傳統迴歸侷限於對明確資料的分析可能性模糊

迴歸僅適用於分析具模糊性的資料而複合的模糊迴歸則可同時適用於分

析模糊與明確的資料此為此模式最大的特點

模糊迴歸應用於預測中大多的結果是不佳的但是我們透過結合混

沌與模糊迴歸的概念將混沌的預測單點概念拓展成一個可接受的預測

範圍

PT Chang 與ES Lee 使用修正型模糊迴歸重新定義散度做出新的

模糊上下界均為改善模糊迴歸模式Tanaka之研究本研究將模糊迴歸與

混沌理論之建立時間序列的預測情形加以結合討論發現模糊迴歸在預測

的行為中是可行的但可惜的是即使預測的趨勢相近但預測值出時間

的點卻有差別這樣的結果我們可以看出若能找到解決加強模糊與複線性

迴歸關係之間時間的關聯性就能利用模糊的不確定性來討論預測問題

52 未來之研究方向

本研究將模糊迴歸與混沌理論之建立時間序列的預測情形加以結合討

論發現模糊迴歸在預測的行為中是可行的但可惜的是即使預測的趨

勢相近但預測值出時間的點卻有差別這樣的結果我們可以看出若能找

到解決加強模糊與附線性迴歸關係之間時間的關聯性就能利用模糊的不

確定性來討論預測問題

為了符合現今社會多元的狀況模糊迴歸與傳統迴歸之觀念勢必加以

混合應用也為了解決此等問題混合式迴歸（Hybrid Regression）在近年

來被提起也因此參數的估計模糊迴歸與傳統迴歸的混合應用將成

為往後繼續研究探討之目標

建議未來可用模糊加權修正模糊迴歸使模糊迴歸在預測上更能直接

43

將對事物多個構面評估的意見與其影響事物狀況的重要程度作加權的運

算

44

參考文獻

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2

12 研究目的與範圍

傳統的預測方法都是利用建立數據序列模型後再進行計算及與預測

然而隨著混沌科學發展發現混沌的現象存在於生活許多細節中於是學

者致力於發展混沌科學利用歷史資料的混沌規律性建立客觀的模型可

避免人為的主觀想法而影響預測的準確性

本論文的研究目的在於利用混沌理論建立時間序列與應用傳統複線性

迴歸計算進行預測已是一種在社會科學中被廣泛應用的預測方法但是

在預測的領域中加入模糊討論的情形卻很少在傳統的迴歸分析當中

所假設的估計值是由實際的因變數加上誤差所產生的也就是說因變數

是一種含有不確定性的隨機變數不過在現實生活當中很多事情往往不

符合這個假設因為許多的變數並不是一個明確的數值而是含有多重隸

屬的特性以學生的考試成績為例不能明確的斷定得到99分的學生和得

到97分的學生之間的優劣如果太過依賴實際數字去斷定這兩位學生的素

質高下也許會造成預測結果與實際狀況上的誤差

因此為了解決此種問題Tanaka等人(1982)提出了模糊線性迴歸模式來

處理模糊性資料的問題之後續有學者Chang與Lee也提出了修正型的模糊

迴歸選擇散度可為負值所以本文將依模糊理論中的模糊迴歸的特性來

加入預測值範圍討論處理不確定性問題

13 研究架構與流程

本論文的研究流程如圖 11 所示主要研究步驟從確立研究方向進

行相關文獻的探討然後建立本研究的預測方法流程並做混沌系統與模

糊系統的結合來做出預測最後給予本研究上的結論與建議研究架構圖

可參考圖 11

3

確認研究方向

相關文獻回顧

複線性迴歸預測模式

混沌理論 複線性迴歸 模糊理論

結論與建議

模糊迴歸上下界選取預測範圍

糢糊迴歸

建立預測模式

圖 11本研究之架構與流程

4

第二章 文獻探討

傳統的預測方法都是利用建立數據序列模型後再進行計算及與預測

然而隨著混沌科學發展發現混沌的現象存在於生活許多細節中於是學

者致力於發展混沌科學利用歷史資料的混沌規律性建立客觀的模型可

避免人為的主觀想法而影響預測的準確性

預測是一種資料探勘的相關技術通常都是利用各種統計或迴歸的方

法從過去的歷史資料中找出有用的趨勢或是模式然後利用這些趨勢或

模式來求得下一期間或週期的預測值要進行任何預測之前收集足夠的

有效觀察值是一種必要的程序在以往統計或迴歸的方法中均需要大量

的有效觀察值才能夠準確的判斷出預測結果

傳統的主觀意見預測法因為人為意見的影響較大無法利用電腦技術

來協助進行預測目前已經普遍不被企業所使用時間序列的數學方法是

以過去資料之時間序列為主而其基礎為假設未來之情形與過去情勢相雷

同因此若有某因素改變情形時必須參照判斷予以修正預測才能正確

而時間序列是指一個固定間隔為基礎經過了一段時間(如每小時每日

每月每週每月每季每年)之時間序列的觀察結果

本章節首先概述混沌理論的發展以及建立時間序列預測所運用的方法

再加以介紹模糊的幾何意義與模糊的演算法及結合傳統方法與模糊間的概

念

21 混沌理論

混沌理論是對一個不規則又看似無法預測的現象及過程加以分析在

現代科學史中真正數學和物理學意義下的混沌理論公認是由麻省理工

學院的氣象學家羅倫茲(Lorenz)提出的196年冬天某日當時還是副教授

的羅倫茲用一台 RoyalMcBee LPG-30 電腦對一個包含 12 個微分方程的

氣象動力學方程組進行數值模擬試驗在其中的一次驗算裡為貪圖方便

他把一個小數點後六位數的初始值做了四捨五入處理僅輸入了小數點後

前三位數但結果讓他大吃一驚這個與精確數值不到千分之一的誤差

讓最後計算結果大相逕庭這個偶然的取值失誤讓羅倫茲發現了一個簡

單具體並且有明確物理意義的可以用來表現和驗證彭加萊混沌理論的數

學模型於是 1963年洛倫茲在美國《氣象學報》上發表了題為「確定性

5

的非周期流」的論文這篇文章和他隨後發表的另一篇相關論文指出對

於模型中關鍵參數的微小改變會導致完全不一樣的結果使得有規律的周

期性行為能夠進入雜亂無章的狀態令精確的長期天氣預報變得不可能

Hayles(1990)於 Choas boundOrderly disorder in temporary literature and

science 一文中指出混沌的含義有兩個

1 系統失序的前兆與狀態

2 強調存在於雜亂現象內潛藏的規律與秩序結構

Curtis(1990)認為混沌理論或多或少隱含了隨機(randomness)的現象其

含義有兩個觀點

1 混沌是規律秩序的預兆當各種事件在一個系統中進行時混沌現象開

始出現就必須注意「驅散(disspative)結構」的雜亂現象同時也會產生

假使這個系統在「熱力函數」上有足夠熱度則它的結果將使「驅散結

構」的雜亂現象成為確切明白的秩序(Prigogine amp Stenger1984)這種

規律秩序的預兆Gleick (1987)稱之為介於熱力學和動力系統間以高

度個體化和關聯化的哲學觀點「規律秩序之外的秩序」稱之為「混沌」

2 強調經過混沌吸引子的吸收進而啟動「混沌系統」發展出「力的性

質」進而產生混沌系統的模式特徵姜濤(1993)認為從物理意義上來看

一個確定性系統(含有隨機或偶然因素)在沒有外界隨機干擾的情形下

所出現的無規則形態都可以稱為混沌現象Wheatly(1994)將混沌理

論定義為可能是一個事件行為或是過程它是多變的非線性的及

無法預測的所以模式和範圍是彈性的會隨時隨地改變

J Yorke(2002)將混沌賦予新義指出混沌是一種有結構有規則的系

統混沌的雜亂只是表象最終會回歸平衡且等待下一次的失序如此

一直循環著 混沌系統兩個十分重要的特性

1 系統的變化驟看似是毫無規則但實際上是由物理定律所決定的

2 系統的演化對初始條件的選取非常敏感初始條件極微小的分別 (就例

如 02 和 02001 只相差兩千分之一)在一段時間的演化後也可帶來

南轅北轍的結果

211碎形維度及混沌吸引子

碎形幾何理論(Fractals Geometry)是一門新興理論專門用來解釋以前

6

歐氏幾何學無法解釋的自然現象舉凡不規則形狀的自然物體都無法用歐

式幾何學解釋如雪花雲朵流水樹木hellip等所以碎形幾何理論是

用來解釋具有自我相似性及非整數維度的特徵

因此所謂碎形指的是一個幾何物件其外型不像直線弧線這些古

典歐幾里德幾何（Euclidian geometry）的表面那麼平滑而是相當破碎

不規則且無論巨觀或微觀都不是連續的這些不規則的碎形和我們習以

為常的觀念有所不同且基本上大多數的現象並不是如歐幾里德幾何所描

述的那樣

舉例來說一顆籃球對於向來熟悉阿基里德空間的我們來說直覺性

的會認為這是三度空間中的一個球體其維度為三但當把距離拉遠看

似一個圓形維度成為二若把距離縮近成為一公釐則可以發現籃球上

有凹下的線條有防滑的凸點顆粒這種情況下維度又該如何界定而曼

德布洛特在分析英國科學家李查(Lewis F Richardson)遺稿當中的一篇論文

時察覺任何國家的邊界在某種定義下都是無限長其重點在於測量時所

使用的基準長度一般要測量海岸線長度時測量員會架起兩腳器並預設

成一個長度沿著海岸線進行測量之後將兩腳器的尺度縮小重頭再量一

次海岸線長而所量到的這兩種尺寸後者一定較前者為長也較逼近真

實的邊界長度同理將兩腳器的兩腳距無限的縮小則所量到的邊界就

成為無限長

1967年代數學家 Benoit Mandelbrot發表了一篇名為「英國海岸線有

多長」的論文文中提到新的維度觀念也就是碎形維度碎形維度具

有四種特性(1)自相似性(2)自我模仿性(3)碎形維度為有限區域的無限

結構(4)碎形是非動力過程的結果混沌現象具有特殊的碎形維度(Fractals)

混沌狀態出現時運動軌跡不穩定它們隨機但緊密的逐漸收斂到一個整體

縮小但局部分離的區域此區域就稱為奇異吸引子（strange attractor）

Hayles(1990)指出混沌是強調存在於雜亂現象之內潛藏的規律秩序結構

因為雜亂現象之內隱含有「奇異吸子」(strangeattractors)進而啟動運作「混

沌系統」Griffths Hart amp Blair(1991)認為混沌理論應用在教育行政中

也具有奇異吸子的特徵奇異吸引子不同於的穩定的整數維吸引子（即不動

點極限環和環面）它具有的是奇特的非整數的空間維度這種空間被

稱作豪斯道夫（Hausdorff）空間因此混沌奇異吸子是一個整體穩定但是

7

局部不穩定的運動空間

212李亞普諾夫(Lyapunov)指數

混沌系統的初始值非常敏感使得初始時刻靠得很相近兩條相軌跡隨

著時間的增長而逐漸遠離如果能夠定量描繪出此種鄰近軌跡的發散性

便可建立出混沌變動情形的一種數值判斷方法李亞普諾夫指數就是用來

表示相空間內鄰近軌跡的平均指數發散率的數值特徵m 維相空間中的某

一時刻兩條鄰近軌跡之間的距離可以分解在 n 個不同的方向這 n 個不

同方向上的距離增長率是不相同的而每一個增長率就是一個李亞普諾夫

指數

最大李亞普諾夫指數是判斷和描述非線性時間序列是否為混沌系統的

重要參數因此是一個重要的混沌不變數對於混沌系統來說發散是一種

整體性的穩定因素動力系統一方面作為發散系統最終要收縮到相空間的

有限區域也就是吸引子上另一方面系統在相體積收縮的同時運動軌

跡是不穩定的要沿某些方向進行指數分離

對於 m 維的動力系統中 中初始兩點迭代後會互相分離

或是靠近取決於

的值若

則迭代使兩點分離若

則迭代使兩點靠近在不斷迭代過程中

也會隨之改變呈現出時而接

近時而分離的情形為了表示從整體上觀察得到的情況必須對時間(或反

覆運算次數)取平均設平均每次反覆運算所引起的指數分離指數為 於

是原來相距 的兩點經過 n次迭代後距離變為

(21)

若取極限 則式(21)變為

(22)

(22)式可簡化為

(23)

上式中的 與初始值的選取無關稱為原動力系統的李亞普諾夫指數

它表示系統在多次反覆運算中平均每次反覆運算所引起的指數分離中的

8

指數若 則表示相鄰點最終會靠近合併成一點若 則表示

相鄰點最終會發散而對應於軌道的局部不穩定若軌道還存有整體的穩

定因素(如整體有界發散存在捕捉區域等)系統則需在有限的幾何物件

上無窮次折疊以實現指數分離系統在此作用下反覆折疊並形成混沌吸

引子故 可做為判斷混沌情形的準則

混沌系統中的李雅普諾夫指數可用來判斷系統是收斂的還是混沌的

當系統的李雅普諾夫指數中至少有一個為正時 系統是混沌的 當系統的

李雅普諾夫指數均為負數時 系統是收斂的

對於一般 m維的動力系統定義李亞普諾夫指數如下設 F為

上的 m維映射假設一個 m維離散動力系統 將系統的初

始條件假設為一個無窮小的 m維小球由於演化過程中的自然變形圓球

將變成橢圓球將橢圓球上的所有主軸依其長度排列則第 i 個李亞普諾

夫指數根據第 i個主軸的長度 的增加速率定義為

(24)

李亞普諾夫指數與相空間的軌道收縮或擴張性質是有關連性的在李

亞普諾夫指數小於零的方向上軌道收縮運動穩定對於初始值不敏感

而在李亞普諾夫指數為正的方向上軌道迅速分離對初始值敏感李亞

普諾夫指數的前 j個指數的和是由前 j個主軸定義的 j維立體指數增加的長

期平均速率確定如橢球長度按 增加由前兩個主軸定義的區域面積依

增加由前三個主軸定義的區域面積依 增加以此類推在

李亞普諾夫指數譜中最小的李亞普諾夫指數決定軌道收縮的快慢最大

的李亞普諾夫指數則決定軌到發散也就是覆蓋整個混沌吸引子的快慢

而所有李亞普諾夫指數之和 可以大致表示為軌道的平均發散速度

李亞普諾夫指數是衡量系統動力學特性的一個重要定量指標它代表

了系統在相空間中相鄰軌道間收斂或發散的平均指數率對於系統是否存

在動力學混沌可以直觀的判斷最大李亞普諾夫指數是否大於零一個正

的李亞普諾夫指數代表著在系統相空間中無論初始兩條軌跡的間距多

小兩條軌跡的差別都會隨著時間的演化而成指數率的增加而導致無法

預測這就是混沌現象

213 混沌系統之時間序列

9

2131 相空間局部近似法

Farmer and Sidorowich(1987)在其混沌預測方法之研究提出所謂的相

空間局部近似法(phase space local approximation method)對系統之演變行為

進行預測這種奠基於時間延遲法(time delay method)所構成之重建相空間

(reconstructed phase space)的預測方式能夠適應吸引子(attractor)的局部行

為經後續進一步研究發現其具有相當良好之預測能力因此採 Farmer and

Sidorowich(1987)之相空間局部近似法構建交通量預測模式期能增加預測

準確度

2132 時間序列與相空間重構

相空間的概念就是把運行方程式所獲得的數字或數據轉換成為圖形

並將系統中隨時間改變的重要的資訊(無論是機械或是流體)抽取出來把各

式各樣可能的狀況註明在圖上利用延遲時間的概念模擬出類似原始系統

之相空間當重建一個空間使得此空間可以具體的包含吸引子特徵則此

空間之維度我們稱為嵌入維度Takens等人(1981)提出嵌入定理對於無

限長無雜訊的 d維混沌吸引子的標量時間序列x(n)可以在拓撲不變的

意義上找到一個 m維的嵌入相空間只有維數 m gt2d+ 1才可保有原始吸

引子的特徵Takens 定理保證了我們可以從一維混沌時間序列中重構一個

與原動力系統在拓撲意義下等價的相空間混沌時間序列的判定分析與

預測是在這個重構的相空間中進行的因此相空間的重構是混沌時間序列

研究的關鍵將收集的一維歷史資料例如現有歷史資料為 9筆13579

10131115間遞移的結果為1711391351015在此我們將利用此

時間遞移建立的時間序列觀念x(t) x(t minusτ ) x(t minus 2τ )hellip來重建相空間

2133 延遲時間 τ的決定

時間延遲如果 τ太小則相空間向量 x(i) = x(t) x(t minusτ ) x(t minus 2τ )hellip

中的任意兩個分量 x(t)和 x(t minusτ )在數值上非常接近以至於無法相互區分

從而無法提供兩個獨立的座標分量但如果時間延遲 τ 太大的話則兩座

標在統計意義上又是完全獨立的混沌吸引子的軌跡在兩個方向上的投影

毫無相關性可言因此需要用一定的方法來確定一個合適的 τ 值本文確

定 τ的主要方法為相關維度法

2134 自相關函數

自相關係數是利用時間序列裡每一筆數據與其前的數據根據不同遲延

10

時間距離的數值進行相關係數計算而成如遲延時間距離為 1表示將每

一筆數據與緊接其前的一筆數據進行相關係數計算如遲延時間距離為 2

表示將每一筆數據與其前第二筆數據進行相關係數計算如遲延時間距離

為 3表示將每一筆數據與其前第三筆數據列進行相關係數計算如此類

推自相關係數 之計算公式如下

1

1

1( )( )

1( )

n k

t t k

tk n

t

t

x x x xn k

r

x xn

(25)

式中 n為資料數k為時間遞移後的點t為時間點

將自相關係數計算的結果與每一筆遲延時間距離數值繪製成圖表可

由圖表中可分析辨別時間序列數據的初步基本特徵如圖表繪製的結果顯

示自相關係數沒有跟隨遲延時間距離數值的增加而顯示收歛之跡象也就

是說繪製線不斷於 X軸零座標線做不規律的上下擺動表示數據為隨機時

間序列即每一數據都視為個別獨立的事件且與過去某一筆遲延時間距離

數值的事件無關係反之若圖表繪製的結果顯示自相關係數跟隨遲延時

間距離數值的增加而顯示收歛且具有震盪循環之跡象則表示數據具有一

種規則屬於一混沌時間序列

2135 季節趨勢

季節趨勢預測法是根據事物每年重覆出現的週期性季節變動指數預

測其季節性變動趨勢

季節指數的概念即是利用簡單平均法計算週期內各時期模型季節性影響的

相對數季節指數反映了該季與總平均值間的穩定關係若季節指數大於

1則表示該季的值常會高於平均值若季節指數小於 1則表示該季的值

常會低於平均值若序列的季節指數都近似於 1則表示該序列沒有明顯

的季節效應季節指數的計算方式如下

計算週期內各期平均數

k=12hellipm (26)

計算總平均

(27)

計算季節指數

11

k=12hellipm (28)

其中 n為期數m為季節數

22 複線性迴歸分析

迴歸分析的目的主要是建立變數之間的關係進而應用於預測分析中

內政部營建署(1997)就曾利用迴歸分析來探討反彈數及現場鑽心試體之間

的抗壓強度關係進而建構出一迴歸方程式做為混凝土試體的抗壓強度

預測而在土木工程領域中也已有許多學者利用迴歸分析來進行研究

例如潘南飛與黃冠智(2005)利用迴歸分析來預測橋面版劣化狀況且考慮

以交通量及降雨量作為迴歸模式中的自變數最後得一配適佳的迴歸式

凌偉峻(2006)利用複線性迴歸分析建立模式及混沌系統的相空間鄰近點相

似特性來建立車流量預測模式Cheung et al (2008)使用氣候值持續值

颱風強度Julian Date記日本地時間七級風暴風半徑及颱風中心速度共

7個預報參數進行多變量的複線性迴歸(multiple linear regression)分析並以

20個傳統雨量站進行測試各新增變量中以颱風強度七級風暴風半徑及

中心速度對預報之改善較顯著其受改善之時數及相關係數之增加幅度皆

較其它變量為多顯示颱風結構參數在颱風降雨預報中比簡單的季節性因

素或日夜對流差異來得重要

敘述自變數( 1 kx x x x 2 3 )依變數 y 和誤差項 i 之間關係的方程式

稱為複線性迴歸模式複迴歸其主要目的有二

1 可以降低隨機誤差此與迴歸之變異數分析有關增加解釋變數之個數

可以使迴歸分析可解釋變動的部分增加相對的誤差就會減少

2 可以避免反應變數中影響重大的解釋變數有所遺漏而無法具體描述實

際資料的狀況估計複迴歸方程式或估計多元迴歸方程式(Estimated

multiple regression equation)大部分情況下複迴歸模式中的迴歸參數

皆不知其實際數值僅可以利用樣本數值估算分別以樣

本統計值 作為迴歸參數 的點估計值本研究

利用全域法訓練迴歸參數 即是利用前九日的歷史資料

複線性迴訓練出迴歸係數預測出第十日的資料型態複迴歸分析是將

簡單迴歸分析其自變數由一個增加至數個研究一群自變數和一個反應

變數之間的關係複線性迴歸模式定義如下

12

(29)

其中 為常態 n 隨機變數期望值 E(ε)=0且彼此互相獨立若有 n

組樣本觀測值(ngtp)組我們就可將方程式寫成

(210)

其中 i=123hellipn

若將複線性迴歸寫成矩陣可得下式

(211)

也可將式(211)寫成矩陣形式

(212)

其中 為觀察值向量 為參數向量 為自變數矩陣 為獨立之常態

隨機變數向量且滿足 向量 Y的期望值表示如下

(213)

複線性迴歸之最小平方標準方程式矩陣表示為

(214)

其中

為最佳模式之參數矩陣因此可求得最小平方估計式矩陣

表示為

(215)

其中 為 之轉置矩陣 為 之反矩陣只要利用式(215)

即可獲得複線性迴歸方程式

23 模糊理論

模糊理論是由美國加州大學伯克利分校電氣工程系的L A Zadeh在

1965年首次提出Zadeh在1965年發表了一篇傳統科學皆以排除具模糊性的

研究為主而模糊理論則以包含模糊性的研究為主現今科學發達所要

探討的議題越來越多由於人類的知識與研究會因本身主觀的意識因應

不同的人事時地物而具模糊性使得無法清楚呈現研究的本質為何要

13

在日常生活中精確地描述一個現象必定忽略其中的些微變化然而此描

述又無法真實描述現實因此模糊理論(Fuzzy Theory)正好能被廣泛應用在

研究上

模糊概念是指這個概念的外延具有不確定性或者說它的外延是不清

清楚的是模糊的例如好的壞的好壞的概念我們非常清楚但是

它的外延也就是究竟事件發生的條件到底是要如何才會是好的跟壞的

每個人的回答都會是不同的這就是一個模糊的概念所以當我們在接

觸模糊時是允許主觀意識的因為每個人對模糊的概念不盡相同儘管

如此當我們利用模糊統計方法進行分析時對於好與壞之間的界限又有

一定的概念

其次模糊性與精確性是相對立的但卻不能將模糊性理解成較差的

結果因為實際上我們在處理客觀事物時經常藉助於模糊性例如

若我們要在路上找一位「年輕的漂亮女孩」「年輕」及「漂亮」都是模

糊的概念但對我們而言這在路上不難找到因為我們的大腦會分析什麼

是「年輕」及「漂亮」於是我們就可以判斷出我們要找的人然而若我

們要求必須用電腦查詢「年輕的漂亮女孩」我們就必須將「年輕」及「漂

亮」這兩個模糊的條件利用具體的數據輸入電腦分析才能找到符合我們

要求的人

最後人們對模糊性的認知常與隨機性混淆其實它們之間有著很大

的不同隨機性是本身具有明確意義只是因為發生的條件不充分使得

在條件與事件之間不能產生確定的因果關係所以事件的出現與否表現出

一種不確定性而事物的模糊性是指我們要處理的事物的概念本身就是模

糊的即一個對象難以確定是否符合這個概念也就是由於概念外延模糊

而帶來的不確定性

231模糊的發展

模糊理論是在美國加州大學伯克利分校電氣工程系的 LAzadeh 教授

於 1965年創立的模糊集合理論的數學基礎上發展起來的主要包括模糊集

合理論模糊邏輯模糊推理和模糊控制等方面的內容

早在 20世紀 20年代著名的哲學家和數學家 B Russell就寫出了有關

「模糊性」的論文他認為所有的自然語言均是模糊的比如「紅的」和

「老的」等概念沒有明確的內涵和外延因而是不明確的和模糊的可是

14

在特定的環境中人們用這些概念來描述某個具體對象時卻又能心領神會

很少引起誤解和歧義

美國加州大學的 L A Zadeh 教授在 1965 年發表了著名的論文文中

首次提出表達事物模糊性的重要概念隸屬函數從而突破了 19世紀末勒

內middot笛卡爾（Rene Descartes）的經典集合理論奠定模糊理論的基礎1966

年P N Marinos發表模糊邏輯的研究報告1974年L A Zadeh 發表模

糊推理的研究報告從此模糊理論成了一個熱門的課題1974 年英國

的 E H Mamdani 首次用模糊邏輯和模糊推理實現了世界上第一個實驗性

的蒸汽機控制並取得了比傳統的直接數字控制演算法更好的效果從而

宣告模糊控制的誕生1980年丹麥的 LPHolmblad 和 Ostergard 在水泥窯

爐採用模糊控制並取得了成功這是第一個商業化的有實際意義的模糊控

制器

事實上模糊理論應用最有效最廣泛的領域就是模糊控制模糊控

制在各種領域出人意料的解決了傳統控制理論無法解決的或難以解決的問

題並取得了一些令人信服的成效

模糊控制的基本思想把人類專家對特定的被控對象或過程的控制策略總

結成一系列以ldquoIF THENrdquo形式表示的控制規則通過模糊推理得到控製作用

集作用於被控對象或過程控製作用集為一組條件語句狀態語句和控

製作用均為一組被量化了的模糊語言集如「正大」「負大」「正小」

「負小」零等

模糊控制的幾個研究方向

1 模糊控制的穩定性研究

2 模糊模型及辯識

3 模糊最優控制

4 模糊自組織控制

5 模糊自適應控制

6 多模態模糊控制

模糊控制的主要缺陷

信息簡單的模糊處理將導致系統的控制精度降低和動態品質變差若

要提高精度則必然增加量化級數從而導致規則搜索範圍擴大降低決策

15

速度甚至不能實時控制模糊控制的設計尚缺乏系統性無法定義控制

目標控制規則的選擇論域的選擇模糊集的定義量化因數的選取多

採用試湊發這對複雜系統的控制是難以奏效的

232模糊至今應用的範圍

模糊理論發展至今已接近三十餘年應用的範圍非常廣泛從工程科

技到社會人文科學都可以發現模糊理論研究的蹤跡與成果我們分別由工

程科技與社會人文科學的角度瞭解模糊理論應用的範疇

1 工程科技方面

(1) 型樣識別文字識別指紋識別手寫字體辨識影像辨識語音

辨識

(2) 控制工程機器人控制汽車控制家電控制工業儀錶控制電

力控制

(3) 信號及資訊處理影像處理語音處理資料整理資料庫管理

(4) 人工智慧及專家系統故障診斷自然語言處理自動翻譯地震

預測工業設計

(5) 環保廢水處理凈水處理廠工程空氣污染檢驗空氣品質監控

(6) 其他建築結構分析化工製程控制

2 教育社會及人文科學方面

(1) 教育教學成果評量心理測驗性向測驗電腦輔助教學

(2) 心理學心理分析性向測驗

(3) 決策決定決策支援決策分析多目標評價綜合評價風險分

析

233模糊集合

過去傳統數學上集合的基本定義是以二值邏輯(Binary Logic)為基礎的

方式來描述事物為屬於或不屬於此集合也就是元素 x和集合 A的關係

只能是isinA或notinA明確的判斷對象為所屬集合也就是明確集合(Crisp Set)

如果要描述適當的模糊事物時須將所屬集合的概念模糊化使之無明確

判對象所屬的集合模糊集合是指在界限或邊界不分明且具有特定事物的

集合以建立隸屬函數(Membership Function)來表示模糊集合承認論域

(Universe of Discourse)上存在既非完全屬於集合A又非完全不屬於集合A

16

使傳統集合的絕對屬於的概念改變為相對屬於的概念以數學式表示論域

U 上的模糊集合 A可表示為元素 x與它的歸屬函數集合

(216)

其中 A為一模糊集合 為歸屬函數x稱作元素U為論域一

般情況下歸屬度會界定在 0跟 1之間

(1) =0表示元素 x不屬於

(2) =1表示元素 x完全屬於

(3) 趨近 0表示元素 x極不可能屬於

(4) 趨近 1表示元素 x極有可能屬於

這個表示式的完整解釋為當 x 在 U 的範圍內會對應到一個介於 0

到 1之間的數值 所有這種 x所成的集合就是一個模糊集合模糊集

合可表示為

1 當論域Ｕ為有限離散(discrete)集合的情形下模糊集合 可表示成

(217)

2 當論域Ｕ為實數論域所組成之在連續(continuous)集合的情形下模糊

集合 可表示成

isin (218)

其中 並非積分符號而是單純的連結符號

234 模糊數(Fuzzy Number)

1 模糊數(triangular fuzzy number)

假設 是模糊集合或模糊數(FN)在實線 2R 上則以三角形隸屬函數

(triangular membership function）表示為 1 2 3( )a a a 2 x R to A 則

1

1 2 1 1 2

3 3 2 2 3

3

0

( ) ( ) ( )

( ) ( )

0

x a

x a a a a x aA x

a x a a a x a

x a

(217)

17

1

其隸屬函數圖形如圖 21

圖 21 三角模糊數

2 梯形模糊數(trapezoidal fuzzy number)

梯形模糊數可表示為 如圖 22其隸屬度函數定義為

(218)

其隸屬度函數如圖 22

圖 22梯形模糊數

a b c d

1

18

在一信賴區間 α水準α 01 我們定義 A

( )A x A x (218)

三角形隸屬度函數以 α-cut表示為

( ) ( )

1 3 1 1 2 3 2 3[ ] [ ( ) ( )]A a a a a a a a a

(219)

( )

1a 與 ( )

3a 個別代表 A的下界及上界

根據模糊算術方法Zadehrsquos sup-min 方法表示如下

( )( ) sup min( ( ) ( ))x y z

A B z A x B y

(220)

其中 sup表任何模糊算式Mizumoto and Tanaka（1976）使用相同方

法在 α 截集模糊數和區間算術Chang（2003）和 Chang et al （2006）和

Chang and Hung（2006）整理使用 α 截集模糊算術方法的文獻α截集模

糊算術中模糊數基本運算公式（加法減法乘法除法）可以計算的

更快在每一個 α-level 區間中使用區間算術（Kaufmann and Gupta

1988）

1 模糊數加法

令A和 B分別為兩模糊數 A和 B在一信賴區間 α水準 ( ) ( )

1 2[ ]A a a

( ) ( )

1 2[ ]B b b αisin 01 forall A B sub 2R 表示如下

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 2 1 2 1 1 2 2[ ] [ ] [ ]A B a a b b a b a b

forallαisin 01 (221)

2 模糊數減法

在一信賴區間 α水準forall A B sub 2R αisin 01

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 2 1 2 1 2 2 1[ ] [ ] [ ]A B a a b b a b a b

(222)

3 模糊數乘法

在一信賴區間 α水準forall A B sub 2R αisin 01

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 2 1 2 1 1 1 2 2 1 2 2

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 1 1 2 2 1 2 2

[ ] [ ] [min(

max( )]

A B a a b b a b a b a b a b

a b a b a b a b

(223)

4 模糊數除法

在一信賴區間 α水準forall A B sub 2R αisin 01

19

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 1 1 2 2

1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 2 1 2 1 2 1 2

[ ] [ ] [min( )max( )]a a a a a a a a

A B a a b bb b b b b b b b

式中 ( )

1b ( )

2b gt0forallαisin[01] (224)

235模糊運算

根據 Zadeh（1965）的擴展原理（Extension Principle）可以廣義的使

用一般基準 T取代原來的最小值模糊數的數學運算表示如下

1 加法

( )( ) sup ( ( ) ( ))x y z

A B z T A x B y

(225)

2 減法

( )( ) sup ( ( ) ( ))x y z

A B z T A x B y

(226)

3 乘法

( )( ) sup ( ( ) ( ))x y z

A B z T A x B y

(227)

4 除法

( )( ) sup ( ( ) ( ))x y z

A B z T A x B y

(228)

24 模糊迴歸

在科學研究過程中許多研究者常使用迴歸來描述自變數 x和應變數 Y

之間的關係傳統的迴歸分析均假設觀察值由實際應變數影響加上隨機誤

差而產生也就是說應變數是一種帶有不確定性的隨機變數不過在很

多的實務應用上往往無法滿足這樣的假設例如有些應變數 Y 的觀察值

並不是以單一數值的型式存在而是帶有多重隸屬的特性這些觀察值雖

然帶有不確定性但這種不確定的特性是來自於模糊現象而非隨機現象

若由模糊觀點套用迴歸分析來處理模糊資料問題就稱為模糊迴歸分析

模糊迴歸分析最早是由 Tanaka et al (1980) 提出一般模糊迴歸能夠處理的

樣本型式有兩種一種是實數值樣本 其中 為實數向量 為觀測

到的實數值另一種是模糊數樣本( 其中 為觀測到的模糊數不論

是實數值樣本或是模糊數樣本想要估計模糊迴歸參數估計方法大都是

20

利用線性規劃的技巧來尋求一組能將實數值樣本 或模糊數樣本(

包含在內的區間再將三角形隸屬函數（triangular membership function）套

用

在此區間上如此便求得一組模糊迴歸估計式要得到正確的估計結

果最好是收集具有代表性的隸屬函數樣本所謂具有代表性的隸屬函數

樣本應該是以模糊數的形式存在所以本文就樣本模糊數 進行討論

線性模糊迴歸模式常表示成

0 1 1 2 2( ) i i i p piY x A A x A x A x (229)

其中 1 2 3(1 ) i i i i p ix x x x x 為自變數向量 ( )iY x 為模糊應變數

為模糊參數利用樣本模糊數 估計參數 時通

常假設 與 的隸屬函數為對稱三角型式 與 的隸屬函數表達如下

( ) max 1 0 i

i

Y

i

t yt t

r

(230)

其中 為三角隸屬函數的中點 為三角隸屬函數的分布半徑可令

( ) max 1 0 m

m

A

m

t ct t

s

(231)

其中 為三角形的中點 是三角形的分布半徑 與 間的關係

如圖 23所示

圖 23模糊數的中心值與散佈值

1

0

21

再令 則前述的模糊迴歸方程式可改寫成

0 1 1 2 20 1 2( ) i i ipi p pY x x xC S xC S C S C S (232)

因此模糊應變數 ( )iY x 的隸屬函數也屬於三角型式可表示成

( )

0

0

( ) max 1 0 Y xi

p

m m

m

p

m mi

m

t c x

t t

S x

(233)

其中 因此只要估計出三角形的中點 及半徑 便可得到

隸屬函數的估計值模糊迴歸分析是在要求每一個觀測值 隸屬於模糊

迴歸區間的隸屬程度至少 的情況之下尋求最小的模糊迴歸預測區間如

(234)式表示

forall ( 234)

在利用 對未知的模糊參數 進行估計前一般先定

義模糊樣本 和模糊應變數 的 h截集其定義如下

令 為一組模糊樣本 ( )iY x 為模糊應變數若 與

分

別為 及 的 h截集(h-cut)則

(235)

(236)

因具代表性的樣本 其 h 截集 應要盡量接近模糊應變數 的 h

截集 意即

其中容許

不完全落在 之

內的情形發生根據以上觀點王景南(2002)認為樣本的左端點

和右端點 隸屬於 的程度會有一定的水準於是設立此水準

為 H因此假設 隸屬於 的隸屬度會盡量的接近 H其間的關係

為

( 與

( (237)

所謂的盡量接近 H是可允許隸屬度大於 H或小於 H而不是均大於

22

H

根據以上的對樣本的解釋運用最小平方法以所有樣本的左端點

配置一迴歸直線稱之為左端直線估計式

(238)

其中 為迴歸係數再以所有右端點 配置右端

直線估計式

(239)

其中 為迴歸係數

前文已假設樣本的左右端點隸屬於 的隸屬度會盡量的接近 H所

以將這兩條直線函式來估計 之 H截集的左右邊界即

(240)

如此可推導出 的隸屬函數為

(241)

其中 且

(242)

意即

(243)

其中

為三角形底邊中點是

分布半徑如此便可得一組估

計的模糊迴歸模式

(244)

仍需注意的是當樣本為對稱型態時左右迴歸函數式其配適的結果式

相同的只有常數項不同當對稱情形發生時可以考慮利用各別對應相

之權重除以常數項的分布半徑做為個別對應項之分布半徑意即

分布半徑

除此之外Celmins及Diamond Celmins也分別提出最小平方法之模糊迴

23

歸模式以便求解資料間距離最小的模糊迴歸方程

模糊迴歸應用上比統計迴歸更具彈性統計迴歸通常需要大量資料以

支持其假設而模糊迴歸卻無此需求因此當資料量不足或隨機性難以驗

證時模糊迴歸是較強健的(Robust)同時當所蒐集之資料的不確定性乃

來自於人類之主觀判斷時模糊迴歸較具適用性

因此模糊迴歸模式逐漸受到重視在1990年代的研究包括Sakawa及

Yano針對投入變數與輸出變數皆為模糊資料的問題建構出一個多目標的模

糊迴歸模式此外Chang和Lee則認為模糊迴歸中心線的趨勢與模糊迴歸散

佈值的趨勢可以存在不一致性為了分析統計迴歸與模糊迴歸的差異Kim

Moskowitz 及Koksalan 利用模擬分析比較統計迴歸與模糊迴歸的結果認

為由機率論所得的統計迴歸模式在大樣本時其預測績效遠比可能性理論

(Possibility theory)推演而得的模糊迴歸模式為佳然而當資料量遞減或所構

建的模式適合性變差時(即變數間存在模糊關係)則模糊迴歸模式的預測績

效將優於統計迴歸模式由於模糊迴歸模式在解決資料量少及系統關係模

糊不清的問題上具有較佳之績效而存在其正面之價值當變數間存在模

糊關係時

從早期到目前已發展出多種模糊迴歸模式求解方式以下根據薛展青

(2004)所整理的模糊迴歸分析整裡敘述如下

1 區間迴歸法

區間迴歸法(interval regression)其模型架構主要是由Tanaka et al(1982)

所提出的模糊線性迴歸(fuzzy linear regression)模型Tanaka et al(1982)所發

表的論文中表示傳統的迴歸模型中造成實際值與估計值的誤差來源被

認為是由測量或觀察所造成的而此誤差項在模糊線性迴歸模型中是因

模糊系統中參數的模糊性所產生的即誤差是反應模糊線性函數的模糊現

象因此以模糊線性函數來表示迴歸方程式而迴歸參數則是以模糊集合

來表示

Tanaka et al(1982)在估計模糊迴歸參數時是利用線性規劃技巧

(linearprogramming method)來尋求一組能將實數值樣本或模糊數樣本全部

包含的區間最後求得一組對稱三角形模糊數之迴歸參數

自Tanaka等人(1982)的文章發表之後後續的學者大多以此為基礎陸

續題出各種相關的模式與求解方法如Peters (1994)將Tanaka的線性規劃法

24

求解推廣為模糊線性規劃法求解讓資料對模糊迴歸模式的適應性更加提

升YenGhoshray 與Roig (1999)提出由於非對稱迴歸係數導因於大多數的

資料為離群值使得對稱三角迴歸係數不再適用因此將Tanaka et al的模

式推廣為非對稱三角迴歸係數Moskowitz 與Kim (1993)探討不同水準值下

模糊迴歸模式的求解與模式配適程度Redden 與Woodall (1996)探討模糊

迴歸分析預測未來值的結果Sakawa 與Yano (1992)將Tanaka的方法擴展到

依變數及自變數皆是模糊集合的情況並將之稱為多目標線性迴歸法

(multiobjective linear regression model)Koumlrner 與Naumlther (1998)討論解釋變

數與反應變數兩者皆為模糊數值的情況Kacprzyk 與Fedrizzi (1992)則蒐集

了各種不同迴歸模式的求解方法Redden 與Woodall (1994)說明Tanaka後

續提出的求解模式當中所具備的性質以及與傳統迴歸方法的差異比較

但是在此模式下求解之迴歸係數本身亦為一對稱的三角模糊數值

而且求解結果很容易受到資料尺度(scale)的影響使得反應變數估計值之展

度會變得更為寬廣後來Tanaka (1987)根據1982年的文獻發展為更完整的

可能性線性系統使模糊迴歸的結構更趨適應性Tanaka 與Watada (1988)

闡明可能性線性模式的概念推演建構成可能性線性迴歸模式Tanaka et

al(1989)應用模糊資料於可能性迴歸系統中並建構最小化最大化及混合

式三種線性規劃模式又對先前所提出的模式加以修正但就如Redden 與

Woodall (1994)所指出Tanaka 類型的模式對於離群值(outlier)的反應非常

敏感甚至在觀察值的個數增加時求解結果可能會產生無限多解因

此在Tsaur 與Wang (1999)提出的文獻對於在模糊迴歸分析中的離群值進行

一系列探討

2 模糊最小平方法

模糊最小平方法(fuzzy least squares)乃擴展傳統之最小平方法的觀念

最早由Diamond (1988)所提出利用傳統最小平方法的觀念求出一個模糊

迴歸模式以估算(approximate)反應變數的觀察值並非如區間迴歸中的包含

觀察值在其模式中利用反應變數的觀察值與估計值的模糊數值之最小

值最可能值與最大值定義兩者之間的距離以衡量迴歸模式與模糊資

料之間的最佳配適度的情形在使得所有觀察值與估計值的模糊數值之間

的距離平方總和為最小時可以導出類似傳統迴歸分析中的正規方程式

(normal equation)以求解迴歸係數

25

其後Chang 與Lee (1996)則將Diamond (1988)的方法加以擴充將迴

歸係數的最可能值與展度分別估計該方法的特點在於可將極端值(outlier)

加以處理並降低其影響程度Ma等人(1997)則將此類方法發展於適合非

三角模糊數值的場合Diamond 與Koumlrner (1997)則在此類方法中定義一

個判定係數的計算方法以比較不同模式的適合性Wu與Tseng (2002)提出

改善模糊迴歸模式之最小平方法其模式主要觀念是利用最小平方法將所

有樣本的左端點及右端點各配置一條迴歸線然後在將其左右迴歸線統合

成一條迴歸線

而在Kim 與Bishu (1998)的研究中是利用各個具有三角模糊數值的反

應變數之最小值最可能值與最大值以最小平方法分別計算出模糊迴歸

係數所得到的係數不一定為對稱的三角模糊數在此種求解方式下雖

然可以得到比較小的估計誤差但其缺點是無法處理解釋變數為模糊數的

情形另外Kim 與Bishu(1998)還提出了評估模糊迴歸模式的準則利用觀

察值與估計值歸屬函數之間面積的差異做為迴歸模式的估計誤差但其評

估準則的問題是無法比較不同模式在觀察值與估計值歸屬函數之間不具有

交集時的誤差情況在此情況下求算估計誤差時無法準確評估其總誤差而

導致評估失真而其他學者如Yang與Ko (1997)Yang 與Lin (2002)等則

是提出以最小平方法為基礎的模糊聚類分析求解方式

3 模糊隨機變數估計法

為了建構一個同時具有隨機和模糊特性的系統Kwakernaak (1978)首

先提出模糊隨機變數(fuzzy random variables)的概念認為傳統的隨機變數

U Ωrarr R為實數可測函數而模糊隨機變數則將一般隨機變數的概念廣義

化模糊隨機變數可表示為X ΩrarrS設ω isinΩ而ω 所對應到的不再是實

數值U(ω)而是模糊集合X (ω)S 代表模糊集合且Kwakernaak (1978)擴

充原來Zadeh 提出模糊集合之架構認為有時供作參考的資訊不齊全在

對某些述句進行評斷時我們無法判斷其絕對為真或絕對為假此時我

們考慮將原有的二元邏輯思維方式推廣暫且不作肯定的判決而僅是表

達出對錯的程度換句話說真值可以是介於單位區間[01] 內的任何值

如此思維方式稱之為多值邏輯(multivalued value)並將模糊集合視為一組

述句(statement)的集合且每個述句均對應一真值程度以符合人類的思維與

想法Stein 與Talati (1981)利用模糊數值的隸屬函數提出模糊隨機變數

26

的期望值之計算方式Kruse 與Meyer (1987)藉助集合表徵的概念建立了

一套模糊隨機變數的定義而為了讓模糊隨機變數能實際應用並將討論

的範圍界定在一模糊集合族上Koumlrner (1997)及Naumlther (1997)利用該方法以

求算模糊隨機變數的期望值與變異數並應用於線性模糊迴歸模式的求解

等另外在曾能芳(民 91)的博士論文研究中指出在Tanaka et al (1982)

的模糊迴歸模式中並不具備誤差項因此模式無法呈現樣本與期望值之間

的關係而無法討論線性規劃估計程序所具備的統計性質所以在曾能芳

(民 91)提出的迴歸模式中採用模糊樣本是由依變數之模糊期望值加上測量

誤差所組成並提出測量誤差存在於中點的模糊迴歸模式以及測量誤差

同時存在於中點和半徑的模糊迴歸模式

4 兩階段求解方法

以兩階段方法(two stage method)求解模糊迴歸模式的想法是在於結合

最小平方法與區間迴歸的觀念試圖降低反應變數估計值的模糊度如Savic

與Pedrycz (1991)對模糊迴歸模式的求解分為兩個步驟進行第一步以

反應變數的模糊數值之最可能數值為基礎將模糊數值視為簡化的明確數

值以傳統最小平方法求解迴歸係數的中心值第二步利用區間迴歸的

方式在使得迴歸係數的模糊度為最小的情形下以決定迴歸係數的三角

模糊數值Kao 與Chyu (2002)提出另一種模糊迴歸模式的兩階段求解方

法在第一階段先利用解模糊(defuzzification)方法將模糊觀察值轉換成為一

組明確數值之後利用該組明確數值以傳統的最小平方法求解迴歸係

數第二階段則是以Kim 與Bishu 所提之評估準則為目標式決定一個誤

差項估計值的模糊數以使得在Kim 與Bishu (1998)評估準則下的總誤差量

為最小該方法的特別之處在於求解的迴歸係數為明確數值而誤差項估計

值為模糊數值雖然此種求解方式可以得到很小的估計誤差但因其所著

眼的仍是Kim 與Bishu 評估準則下的面積估計誤差使得當觀察值與估計

值歸屬函數之間不具有交集時所衡量出的估計誤差較真實誤差為小且其

求解方法比較適合於觀察值為三角或梯形的模糊數值欲應用於其他型式

的模糊數值求解上則較為困難而在邱清爐(民 91)的博士論文中則是將

其兩階段求解方法對各種不同的模糊迴歸模式進行建構與評估並將其求

解方法應用於工作滿意度實例

5 其他求解方法與相關研究

27

Tanaka 等人(1995)後來提出另外一種模糊迴歸模式的求解方法將傳

統的估計誤差當作是存在解釋變數與反應變數之間的關係之可能性

(possibility)故模糊觀察值的展度可以直接轉換成迴歸係數的指數可能性

分配(exponentialpossibility distribution)而可以使用與傳統迴歸非常類似的

方式加以求解Tanaka與 Lee (1999)再利用辨識方法(identification method)

求解迴歸模式在其研究中利用辨識方法以決定模糊線性系統(fuzzy linear

system)中迴歸係數的可能性分配並認為由此方法所求解的迴歸係數會

有比較小範圍的可能性分配近年來有愈來愈多的學者將模糊迴歸分析

應用於其他傳統的決策方法及不同領域上如 Dunyak 與 Wunsch(2000)使

用 α 截集的端點以類神經網路(neuralnetworks)進行模糊迴歸分析Lee

與 Chen(2001)則將模糊迴歸模式使用於人力預測的問題上Tseng 等人

(2001)將由模糊迴歸模式建立之 ARIMA 模式用以預測匯率Tseng 與

Tzeng(2002)則利用模糊迴歸模式的求解方法以建構具有季節變動的

ARIMA 模式Kim 與 Bishu(1996)應用於人力可靠度分析的操作反應時間

上Wu 與 Tseng(2002)將其模糊迴歸模式應用在景氣對策信號上的分析

王景男(民 89)將模糊迴歸分析應用於籃球比賽攻防技術策略上曹勝雄

曾國雄江勁毅(民 85)以國人赴港旅客需求之預測為例說明傳統迴歸

模糊迴歸類神經網路之差別張良斌陳育民(民 86)將模糊目標迴歸法

應用在垃圾衛生掩埋場沼氣回收設備的成本估算謝邦昌林燦隆呂理

添(民 85)將模糊迴歸運用在甘蔗產量的預測對於上列有關模糊迴歸分析

的研究中絕大部份的文章均侷限於線性模式的分析鮮有文章討論非線

性模糊迴歸模式的求解最近雖然有少數學者開始討論非線性模糊迴歸模

式的解法如 Xu(1997)Buckley 與 Feuring(2000)的研究等但使用的方

法所求解的迴歸係數仍然為模糊數值其造成反應變數估計值的展度會

隨著解釋變數之數值增加而擴大的問題仍無法避免

28

第三章 研究方法

本章介紹本文將運用於數值分析中的預測研究方法利用本章建構的

方法可清楚了解如何利用混沌理論基於相空間重構的方式及模糊迴歸方

法於預測中

31 混沌時間序列建立預測方法

時間序列的模型建構和預測是資料處理研究領域中的重要方向其中

預測方法主要有線性和非線性預測方法兩種預測就是對未來作出估計和

推斷而通常要對研究對象或資料進行假設這一過程稱為建模利用建

模的方式獲得資料的科學表示就稱為模型混沌時間序列雖然看似隨機

但它卻是由確定系統產生的因此我們可以對混沌時間序列作出短期預測

同時由於混沌對初始條件微小差異的高度敏感性我們無法對混沌時間序

列作出長期預測每一步預測帶來的微小偏差都會使得下一步預測的偏差

擴大最終導致預測序列與原始序列完全不同

311李亞普諾夫指數判定資料混沌特性

進行預測前需根據 212節中提及的李亞普諾夫指數來判定資料是否

具有混沌特性最大李亞普諾夫指數是判斷和描述非線性時間序列是否為

混沌系統的重要參數因此是一個重要的混沌不變數

混沌系統中的李雅普諾夫指數可用來判斷系統是收斂的還是混沌的當系

統的李雅普諾夫指數中至少有一個為正時系統是混沌的 當系統的李雅

普諾夫指數均為負數時系統是收斂的 對於系統是否存在動力學混沌可以直觀的判斷最大李亞普諾夫指數是否

大於零一個正的李亞普諾夫指數代表著在系統相空間中無論初始兩

條軌跡的間距多小兩條軌跡的差別都會隨著時間的演化而成指數率的增

加而導致無法預測這就是混沌現象

312重建相空間

傳統的建模和預測方法己廣泛地應用社會科學中但大部分都是基於

線性系統混沌時間序列並不適用於非線性的混沌時間序列於是在判斷

時間序列性質後若判定序列以隨機性為主應採用從 AR 或 ARIMA 等隨

機模型來預測如果判定以混沌為主則應採用非線性確定性的方法進行

29

預測非線性時間序列的預報是經過相空間重構後對相空間中的動力軌

跡進行預報由於混沌系統具有被稱為「蝴蝶效應」的初始值敏感性所

以混沌時間序列是不能長期預測的但對於短時間內混沌系統的軌道在

相空間中具有一定的規律它們的預測性是可獲得的並比一般的基於統

計方法的預測能力要來得好

時間序列資料是時間離散後的樣本值用 表示將它「嵌入」到

一個 m維(mgt0)的空間中進行相空間重構後得到嵌入向量

(31)

由嵌入向量 可擴張成一嵌入空間 E由 Taken嵌入定理可知存

在映射面 滿足

(32)

上式表是出在拓樸的意義中可完全預測吸引子的特徵所以上式也可

表示為

(33)

其中函數 為 的一個估計值由式 (33)可得之我們可用

來預測

313相空間維度相關維度

在實作的研究上有許多方法可以用來估計混沌吸引子的維度本研

究選用較為常見的相關維度方法相關維度需先計算相關和將相空間中

所有樣本點皆計算其各別半徑收斂後之趨近值相關方程式（Correlation

Function）定義如下

(34)

其中

當 rrarr0時

兩邊同取對數可得

(35)

定義相關維度為 與 之曲線斜率為

(36)

在實際應用中經常給定一組維度 值選取適當的 r繪出

30

曲線求曲線當中直線段的斜率 如果系統存在這樣一個 值達到此

值後相應的關聯維數不再隨 的增長而變化也就是趨於飽和這表明

該序列為混沌系統其吸引子是存在的此時 值即為重構相空間的最佳

嵌入維數否則則表明該序列為隨機系統不具有混沌性

314 時間遞移數

利用 2123節中介紹的概念及 2124 中介紹的自相關函數求解出時

間遞移數的結果自相關函數公式如下

1

1

1( )( )

1( )

n k

t t k

tk n

t

t

x x x xn k

r

x xn

(37)

n為原資料樣本數k為時間遞移後的樣本點

將自相關係數計算的結果與每一筆遲延時間距離數值繪製成圖表可

由圖表中可分析辨別時間序列數據的初步基本特徵圖表繪製的結果顯示

自相關係數跟隨遲延時間距離數值的增加而顯示收歛且具有震盪循環之跡

象則表示數據具有一種規則屬於一混沌時間序列

32 複線性迴歸

確立資料為混沌後運用自我相關係數計算出時間遞移數及相空間維

度後將加入複線性迴歸運算複線性迴歸中常用的預測方法分為兩種

1 全域法

全域法就是利用相空間軌跡中的全部向量點做為擬合對象找出其

規律由此進行短期預測也就是說利用收集的大量的歷史資料利用

複線性迴歸訓練出迴歸參數再將未放進訓練迴歸參數的資料使用訓練

出的迴歸參數計算出預測值的資料型態本文還將原本的歷史資料分析

出資料的季節性後先去除季節性的影響最後再加回季節性討論預測結

果

2 局域法

局域法的基本原理是僅利用有限個鄰近點的資訊而不是利用全部的

樣本點來擬合 局域法預測是把相空間軌跡中的最後一點作為待測點對

離待測點鄰近的若干個相空間點的關係作出擬合再對預測相空間點的未

來演化規律進行預測本文使用零階局域法零階局域法是直接將鄰近樣

31

本點應用於預測根據鄰近樣本點預測 的最簡單的方法就是尋找相

空間中距離 最近的點假設距離最近的點是 那麼它的下一個樣本

點為 即可做為 的預測值

因數值資料在每日重複發生變動所以本研究又加入計算季節性指數

對趨勢線做季節性調整也就是對時間序列做季節性調整

33 模糊迴歸分析

運用模糊的概念帶進迴歸模式中處理具模糊性的資料問題此稱為模

糊迴歸分析本文利用的模糊迴歸模式主要有兩個方向一個是Tanaka et al

(1982)提出的模糊線性迴歸另一個是由Chang 與Lee (1994)所提出修正型

迴歸模式Tanaka 起初所提出的線性規劃模型

0 1

[ ( )]p n

j ij

j i

Min C X

st 0 0

(1 ) (1 )p p

j ij j ij ii

j j

X H c X y H e

(38)

0 0

(1 ) (1 )p p

j ij j ij ii

j j

X H c X y H e

0jc j R 0 1iX 0 1H 123i n 012j p

Tanaka 所提出的模糊模型未考慮到散度為負值的條件所以模糊上下

界會不斷的擴張而越來越寬大由 Chang 與 Lee (1994)所提出修正型迴歸

模式即將模糊的散度可為負值使上下界的模糊區間為遞減的情形遞

減的情形由圖 31表示

圖 31 模糊區間隨自變數越大而越窄

0

2

4

6

8

10

上界 中心線 下界

32

假設圖表中計算出的模糊迴歸函數為 0 0 1 1 Y c c X 模糊上界為

0 0 1 1UY c c X 模糊下界為 0 0 1 1LY c c X

33

第四章 數值分析

本章資料來源1台灣區車輛工業同業公會

2台北市交通局

本章所使用的數據資料為台北市交通局提供的公開的車流量資料數

值分析所使用的方法已在第三章論述利用第三章的方法分析數值預測的

準確性並結合模糊迴歸常見的兩種方法幫助決定預測的可接受範圍本

章介紹本文所利用的數學模型及方法在複線性迴歸的模型中分成混沌全

域法去季節性後的混沌全域法以及混沌局域法預測出的結果加以討論預

測的準確性再將預測值去季節性觀察準確程度最後再帶入模糊迴歸

利用 05H 加以討論如何將模糊迴歸中的散度用以選擇預測值的範圍第

一節針對傳統複線性迴歸方法並結合全域法觀念訓練資料迴歸係數討

論預測結果第二節針對傳統複線性迴歸方法並結合局域法觀念訓練資

料迴歸係數討論預測結果第三節針對預測資料去除季節性後再利用

傳統複線性迴歸方法討論預測結果第四節針對模糊迴歸的兩種方法選

擇出預測的範圍

利用第三章論述的時間遞移及相關維度的做法將本文利用具混沌性

的資料加以分析將資料先利用 212 節中介紹的李雅普諾夫指數 判定是

否具混沌性具有混沌性的資料才能利用混沌理論重構相空間若李雅

普諾夫指數 介在 0跟 1之間則表示資料具有混沌性質本文資料利用程

式計算出李雅普諾夫指數 運用自我相關係數判斷出時間遞移

數 相關維度計算出維度 我相關係數判斷時間遞移數與相關維

度的圖形以及原始資料時間遞移後的資料圖如圖 41圖 42圖 43

34

圖 41相空間維度及 lnC與 ln r斜率關係圖

圖 42相空間維度及 lnC與 ln r斜率關係圖

0

1

2

3

4

5

6

7

0 5 10 15 20

相空間維度

斜

率

d

-02

0

02

04

06

08

1

12

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33

時間遞移數

自我相關函數

35

圖 43 原始資料時間序列圖

41 複線性迴歸混沌全域法

本文所使用的資料為 10日的車流量資料利用前 9日的資料訓練出迴

歸參數將迴歸參數代入複線性數學模型中計算出的迴歸方程式為

1 2 3 4

5 6 7 8 9

10 11 12 13 14

435363 00819 00338 01777 00070

01116 01999 00299 02716 00349

01399 00056 01113 00738 02038

y x x x x

x x x x x

x x x x x

(41)

解出迴歸參數計算出複線性迴歸方程式後再將最後一日 144筆的車

流資料代入方程式中計算出預測值利用複線性迴歸混沌域法預測出的結

果如圖 44

圖 44 複線性迴歸分析預測與原始資料比較圖-全域法

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

1 53

10

5

157

209

26

1 31

3

365

41

7

469

52

1 57

3

625

67

7

729

78

1 83

3

885

93

7

989

10

41

1093

11

45

1197

12

49

1301

13

53

1405

原始資料點

原始資料點

-50

0

50

100

150

200

1

7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

103

109

115

121

127

133

139

實際值

預測值

36

由圖表的狀況可觀察出運用複線性迴歸模型預測的結果不盡理想本

研究認為運用複線性迴歸預測的結果不佳的原因有二

1 利用全域法預測是將較大量的歷史資料加入考慮訓練出迴歸參數這

樣的結果造成削弱了原本的奇異點(相較於同時段資料差異性較大的點)

的影響力

2 嵌入維度 太高對於混沌時間序列隨著嵌入維度增高歷史

對未來的影響是呈指數衰減的所以全域法所利用的資訊歷史就越長

預測的精準度就會迅速下降因此本研究將加入局域法討論預測的準

確性

42 複線性迴歸混沌局域法

局域法的做法為尋找相空間重構後的點對待測點尋找鄰近的 k個相

空間點對離待測點鄰近的若 k個相空間點的關係作出擬合並分析出複

迴歸方程式的迴歸參數本文嘗試選取 k=50~250的結果以下只列舉 k=200

的圖解釋預測結果

圖 45 複線性迴歸分析預測與原始資料比較圖-局域法(k=200)

圖 44與圖 45比較後可看出區域法預測的準確性比全域法更好某

些預測出來的結果的點與原始資料的點差異性大有明顯的偏移本研究

認為利用局域法預測的結果不佳的原因如下由圖 45可看出預測結果與

原始資料間差異性較大的點位為數列的右側 而數列尾端的資料為凌晨或

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

1

7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

103

109

115

121

127

133

139

實際值

估計值

37

是深夜的車流量因每日凌晨或是深夜的車流量變化量較少(例如某日的凌

晨十二點十分可能為 0台車或是小於 10台車經過)所以資料的差異性

較大造成頭尾的資料預測上較為不準確

因為同時段的資料可能會影響資料預測出的結果所以我們下節就以

加入季節性的考慮來加以討論預測結果

43 複線性迴歸去除季節性後混沌全域法

本文使用的車流量資料為每日 24時換算成 1440分鐘每 10分鐘記

錄一點於是本研究依資料的記錄時間點來劃分季節性將季節分成 144

個季分別求出季節性指數求取季節性指數後將每個資料點先去除季

節性利用全域法訓練出去季節性後的迴歸係數再利用複線性求出預測

值最後將去除的季節指數乘回預測點結果如下

圖 46考慮季節性複線性迴歸分析預測與原始資料比較圖-全域法

此考慮季節性因子的複線性迴歸分析預測與原始資料的比較是用全

域法去訓練迴歸參數的而由圖 44我們可以得知一開始未考慮季節因

子使用全域法的複線性迴歸預測是不準確的本研究認為原本的歷史資

料隨著季節性因子的變化該系統原本呈現複雜的動態特性實際上由於

車流量的變動有許多外在因素的影響例如氣候假期hellip等影響會使

資料的變化過程發生不同程度的偏離而對於季節性事件來說其事件發

生的過程主要受季節性參數週期性變化的影響 因此影響因素的具體形

式可以近似地表示為單一函數本文考慮季節因素對車流量的影響意即

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

1

7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

10

3

10

9

11

5

12

1

12

7

13

3

13

9 實際值

預測值

38

經過季節性分析後的得到的預測分析結果很準確如圖 46所示此結果

表示季節性影響樣本資料的情形大也代表著在季節因素影響下系統中

事件的動態變化情況是隨著季節影響參數的變化而造成系統呈現各種

各樣複雜的動態特性如週期解混沌情形hellip等

44 模糊迴歸

441Tanaka模糊迴歸

μ及 H 值之選定原則為當不確定性愈大時其 μ及 H 值愈接近 0

反之當資料不確定性愈小時μ及 H 值取愈接近 1 之值Bardossy 等人

建議其值在 05~07間為適宜根據 Tanaka在 1982年所提到的方法我們

可以求得一模糊迴歸函數並可得知其中心線與其上界及下界假定在 H =

05的情況下利用 Tanaka模糊迴歸模式算出迴歸函數為

(42)

中心線與上下界的簡單迴歸方程式為

中心線 (43)

上界 (44)

下界 (45)

繪製出的圖形如圖 47所示

圖 47 Tanaka 模糊迴歸

0

50

100

150

200

250

300

1

7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

103

109

115

121

127

133

139

下界

中心線

上界

39

圖 48 Tanaka 模糊迴歸中心線與預測值之結合

從圖 48可看出預測值與模糊迴歸的中心線 有明顯的時間差異但由

圖可以觀察出模糊迴歸的中心線 的預測趨勢與實際值是相近的雖然利

用模糊迴歸預測的時間點比實際時間快但是相對來說也是可以用來預

測之後將發生的趨勢本研究認為若模糊迴歸可用於預測中則可用模糊

的散度 c當做預測行為中選取的可接受的變動範圍如圖 49最後將 Tanaka

模糊迴歸中心線上下界與實際值之結合如圖 410所示

圖 49 Tanaka 模糊迴歸中心線上下界與實際值之結合

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

1

8

15

22

29

36

43

50

57

64

71

78

85

92

99

106

113

120

127

134

141

實際值

中心線

0

50

100

150

200

250

300

1

7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

103

109

115

121

127

133

139

實際值

下界

上界

預測

值

預測值

40

圖 410 Tanaka 模糊迴歸中心線上下界與實際值之結合

442修正型 Tanaka模糊迴歸

因為我們要將模糊迴歸應用於預測中所以本研究將複線性迴歸的趨

勢線視為模糊迴歸的中心線再利用修正型 Tanaka模糊迴歸模式算出迴歸

函數為

(46)

中心線與上下界的簡單迴歸方程式為

中心線

上界

下界

繪製出圖形如圖 411

0

50

100

150

200

250

300

1 7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

103

109

115

121

127

133

139

實際值

預測值

下界

上界

41

圖 411 修正型模糊迴歸中心線上下界與實際值之結合

本研究使用的修正型模糊迴歸中心線與傳統的迴歸方程式相同所以

可用來處理或分析模糊資料與明確資料同時修正型模糊迴歸的上下界

與 Tanaka 模糊迴歸相較也變窄了此兩種現象就是修正型迴歸的特色因

為中心線與傳統的迴歸方程式也相同這種修正型迴歸散度可選擇為負值

的特色本研究認為可以應用在預測上因為上下界與中心線間的散度變

窄使得前文所敘述到的利用散度來選取預測範圍便可更為嚴格也可

使預測的結果更為可靠如圖 412所示

圖 412 Tanaka 上下界與修正型模糊迴歸上下界的寬度差別

0

50

100

150

200

250

1 7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

103

109

115

121

127

133

139

下界

中心線

上界

0

50

100

150

200

250

300

1 8 15

22

29

36

43

50

57

64

71

78

85

92

99

106

113

120

127

134

141

Tanaka下界

Tanaka上界

Tanaka修正型下界

Tanaka修正型上界

42

第五章 結論及未來研究方向

51 結論

根據前文的討論傳統迴歸和模糊迴歸建立在不同的理論基礎上傳

統迴歸是以機率為基礎而模糊迴歸則是以可能性為基礎傳統迴歸因變

數的估計值與觀測值之間的差異為因變數的隨機性而模糊迴歸因變數的

估計值則產生於觀測值之模糊度惟兩者最大不同處在於模糊迴歸式的

迴歸係數與預測值皆為模糊數（區間值）不同於傳統迴歸係數與預測值

均為明確的數值此外傳統迴歸侷限於對明確資料的分析可能性模糊

迴歸僅適用於分析具模糊性的資料而複合的模糊迴歸則可同時適用於分

析模糊與明確的資料此為此模式最大的特點

模糊迴歸應用於預測中大多的結果是不佳的但是我們透過結合混

沌與模糊迴歸的概念將混沌的預測單點概念拓展成一個可接受的預測

範圍

PT Chang 與ES Lee 使用修正型模糊迴歸重新定義散度做出新的

模糊上下界均為改善模糊迴歸模式Tanaka之研究本研究將模糊迴歸與

混沌理論之建立時間序列的預測情形加以結合討論發現模糊迴歸在預測

的行為中是可行的但可惜的是即使預測的趨勢相近但預測值出時間

的點卻有差別這樣的結果我們可以看出若能找到解決加強模糊與複線性

迴歸關係之間時間的關聯性就能利用模糊的不確定性來討論預測問題

52 未來之研究方向

本研究將模糊迴歸與混沌理論之建立時間序列的預測情形加以結合討

論發現模糊迴歸在預測的行為中是可行的但可惜的是即使預測的趨

勢相近但預測值出時間的點卻有差別這樣的結果我們可以看出若能找

到解決加強模糊與附線性迴歸關係之間時間的關聯性就能利用模糊的不

確定性來討論預測問題

為了符合現今社會多元的狀況模糊迴歸與傳統迴歸之觀念勢必加以

混合應用也為了解決此等問題混合式迴歸（Hybrid Regression）在近年

來被提起也因此參數的估計模糊迴歸與傳統迴歸的混合應用將成

為往後繼續研究探討之目標

建議未來可用模糊加權修正模糊迴歸使模糊迴歸在預測上更能直接

43

將對事物多個構面評估的意見與其影響事物狀況的重要程度作加權的運

算

44

參考文獻

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3

確認研究方向

相關文獻回顧

複線性迴歸預測模式

混沌理論 複線性迴歸 模糊理論

結論與建議

模糊迴歸上下界選取預測範圍

糢糊迴歸

建立預測模式

圖 11本研究之架構與流程

4

第二章 文獻探討

傳統的預測方法都是利用建立數據序列模型後再進行計算及與預測

然而隨著混沌科學發展發現混沌的現象存在於生活許多細節中於是學

者致力於發展混沌科學利用歷史資料的混沌規律性建立客觀的模型可

避免人為的主觀想法而影響預測的準確性

預測是一種資料探勘的相關技術通常都是利用各種統計或迴歸的方

法從過去的歷史資料中找出有用的趨勢或是模式然後利用這些趨勢或

模式來求得下一期間或週期的預測值要進行任何預測之前收集足夠的

有效觀察值是一種必要的程序在以往統計或迴歸的方法中均需要大量

的有效觀察值才能夠準確的判斷出預測結果

傳統的主觀意見預測法因為人為意見的影響較大無法利用電腦技術

來協助進行預測目前已經普遍不被企業所使用時間序列的數學方法是

以過去資料之時間序列為主而其基礎為假設未來之情形與過去情勢相雷

同因此若有某因素改變情形時必須參照判斷予以修正預測才能正確

而時間序列是指一個固定間隔為基礎經過了一段時間(如每小時每日

每月每週每月每季每年)之時間序列的觀察結果

本章節首先概述混沌理論的發展以及建立時間序列預測所運用的方法

再加以介紹模糊的幾何意義與模糊的演算法及結合傳統方法與模糊間的概

念

21 混沌理論

混沌理論是對一個不規則又看似無法預測的現象及過程加以分析在

現代科學史中真正數學和物理學意義下的混沌理論公認是由麻省理工

學院的氣象學家羅倫茲(Lorenz)提出的196年冬天某日當時還是副教授

的羅倫茲用一台 RoyalMcBee LPG-30 電腦對一個包含 12 個微分方程的

氣象動力學方程組進行數值模擬試驗在其中的一次驗算裡為貪圖方便

他把一個小數點後六位數的初始值做了四捨五入處理僅輸入了小數點後

前三位數但結果讓他大吃一驚這個與精確數值不到千分之一的誤差

讓最後計算結果大相逕庭這個偶然的取值失誤讓羅倫茲發現了一個簡

單具體並且有明確物理意義的可以用來表現和驗證彭加萊混沌理論的數

學模型於是 1963年洛倫茲在美國《氣象學報》上發表了題為「確定性

5

的非周期流」的論文這篇文章和他隨後發表的另一篇相關論文指出對

於模型中關鍵參數的微小改變會導致完全不一樣的結果使得有規律的周

期性行為能夠進入雜亂無章的狀態令精確的長期天氣預報變得不可能

Hayles(1990)於 Choas boundOrderly disorder in temporary literature and

science 一文中指出混沌的含義有兩個

1 系統失序的前兆與狀態

2 強調存在於雜亂現象內潛藏的規律與秩序結構

Curtis(1990)認為混沌理論或多或少隱含了隨機(randomness)的現象其

含義有兩個觀點

1 混沌是規律秩序的預兆當各種事件在一個系統中進行時混沌現象開

始出現就必須注意「驅散(disspative)結構」的雜亂現象同時也會產生

假使這個系統在「熱力函數」上有足夠熱度則它的結果將使「驅散結

構」的雜亂現象成為確切明白的秩序(Prigogine amp Stenger1984)這種

規律秩序的預兆Gleick (1987)稱之為介於熱力學和動力系統間以高

度個體化和關聯化的哲學觀點「規律秩序之外的秩序」稱之為「混沌」

2 強調經過混沌吸引子的吸收進而啟動「混沌系統」發展出「力的性

質」進而產生混沌系統的模式特徵姜濤(1993)認為從物理意義上來看

一個確定性系統(含有隨機或偶然因素)在沒有外界隨機干擾的情形下

所出現的無規則形態都可以稱為混沌現象Wheatly(1994)將混沌理

論定義為可能是一個事件行為或是過程它是多變的非線性的及

無法預測的所以模式和範圍是彈性的會隨時隨地改變

J Yorke(2002)將混沌賦予新義指出混沌是一種有結構有規則的系

統混沌的雜亂只是表象最終會回歸平衡且等待下一次的失序如此

一直循環著 混沌系統兩個十分重要的特性

1 系統的變化驟看似是毫無規則但實際上是由物理定律所決定的

2 系統的演化對初始條件的選取非常敏感初始條件極微小的分別 (就例

如 02 和 02001 只相差兩千分之一)在一段時間的演化後也可帶來

南轅北轍的結果

211碎形維度及混沌吸引子

碎形幾何理論(Fractals Geometry)是一門新興理論專門用來解釋以前

6

歐氏幾何學無法解釋的自然現象舉凡不規則形狀的自然物體都無法用歐

式幾何學解釋如雪花雲朵流水樹木hellip等所以碎形幾何理論是

用來解釋具有自我相似性及非整數維度的特徵

因此所謂碎形指的是一個幾何物件其外型不像直線弧線這些古

典歐幾里德幾何（Euclidian geometry）的表面那麼平滑而是相當破碎

不規則且無論巨觀或微觀都不是連續的這些不規則的碎形和我們習以

為常的觀念有所不同且基本上大多數的現象並不是如歐幾里德幾何所描

述的那樣

舉例來說一顆籃球對於向來熟悉阿基里德空間的我們來說直覺性

的會認為這是三度空間中的一個球體其維度為三但當把距離拉遠看

似一個圓形維度成為二若把距離縮近成為一公釐則可以發現籃球上

有凹下的線條有防滑的凸點顆粒這種情況下維度又該如何界定而曼

德布洛特在分析英國科學家李查(Lewis F Richardson)遺稿當中的一篇論文

時察覺任何國家的邊界在某種定義下都是無限長其重點在於測量時所

使用的基準長度一般要測量海岸線長度時測量員會架起兩腳器並預設

成一個長度沿著海岸線進行測量之後將兩腳器的尺度縮小重頭再量一

次海岸線長而所量到的這兩種尺寸後者一定較前者為長也較逼近真

實的邊界長度同理將兩腳器的兩腳距無限的縮小則所量到的邊界就

成為無限長

1967年代數學家 Benoit Mandelbrot發表了一篇名為「英國海岸線有

多長」的論文文中提到新的維度觀念也就是碎形維度碎形維度具

有四種特性(1)自相似性(2)自我模仿性(3)碎形維度為有限區域的無限

結構(4)碎形是非動力過程的結果混沌現象具有特殊的碎形維度(Fractals)

混沌狀態出現時運動軌跡不穩定它們隨機但緊密的逐漸收斂到一個整體

縮小但局部分離的區域此區域就稱為奇異吸引子（strange attractor）

Hayles(1990)指出混沌是強調存在於雜亂現象之內潛藏的規律秩序結構

因為雜亂現象之內隱含有「奇異吸子」(strangeattractors)進而啟動運作「混

沌系統」Griffths Hart amp Blair(1991)認為混沌理論應用在教育行政中

也具有奇異吸子的特徵奇異吸引子不同於的穩定的整數維吸引子（即不動

點極限環和環面）它具有的是奇特的非整數的空間維度這種空間被

稱作豪斯道夫（Hausdorff）空間因此混沌奇異吸子是一個整體穩定但是

7

局部不穩定的運動空間

212李亞普諾夫(Lyapunov)指數

混沌系統的初始值非常敏感使得初始時刻靠得很相近兩條相軌跡隨

著時間的增長而逐漸遠離如果能夠定量描繪出此種鄰近軌跡的發散性

便可建立出混沌變動情形的一種數值判斷方法李亞普諾夫指數就是用來

表示相空間內鄰近軌跡的平均指數發散率的數值特徵m 維相空間中的某

一時刻兩條鄰近軌跡之間的距離可以分解在 n 個不同的方向這 n 個不

同方向上的距離增長率是不相同的而每一個增長率就是一個李亞普諾夫

指數

最大李亞普諾夫指數是判斷和描述非線性時間序列是否為混沌系統的

重要參數因此是一個重要的混沌不變數對於混沌系統來說發散是一種

整體性的穩定因素動力系統一方面作為發散系統最終要收縮到相空間的

有限區域也就是吸引子上另一方面系統在相體積收縮的同時運動軌

跡是不穩定的要沿某些方向進行指數分離

對於 m 維的動力系統中 中初始兩點迭代後會互相分離

或是靠近取決於

的值若

則迭代使兩點分離若

則迭代使兩點靠近在不斷迭代過程中

也會隨之改變呈現出時而接

近時而分離的情形為了表示從整體上觀察得到的情況必須對時間(或反

覆運算次數)取平均設平均每次反覆運算所引起的指數分離指數為 於

是原來相距 的兩點經過 n次迭代後距離變為

(21)

若取極限 則式(21)變為

(22)

(22)式可簡化為

(23)

上式中的 與初始值的選取無關稱為原動力系統的李亞普諾夫指數

它表示系統在多次反覆運算中平均每次反覆運算所引起的指數分離中的

8

指數若 則表示相鄰點最終會靠近合併成一點若 則表示

相鄰點最終會發散而對應於軌道的局部不穩定若軌道還存有整體的穩

定因素(如整體有界發散存在捕捉區域等)系統則需在有限的幾何物件

上無窮次折疊以實現指數分離系統在此作用下反覆折疊並形成混沌吸

引子故 可做為判斷混沌情形的準則

混沌系統中的李雅普諾夫指數可用來判斷系統是收斂的還是混沌的

當系統的李雅普諾夫指數中至少有一個為正時 系統是混沌的 當系統的

李雅普諾夫指數均為負數時 系統是收斂的

對於一般 m維的動力系統定義李亞普諾夫指數如下設 F為

上的 m維映射假設一個 m維離散動力系統 將系統的初

始條件假設為一個無窮小的 m維小球由於演化過程中的自然變形圓球

將變成橢圓球將橢圓球上的所有主軸依其長度排列則第 i 個李亞普諾

夫指數根據第 i個主軸的長度 的增加速率定義為

(24)

李亞普諾夫指數與相空間的軌道收縮或擴張性質是有關連性的在李

亞普諾夫指數小於零的方向上軌道收縮運動穩定對於初始值不敏感

而在李亞普諾夫指數為正的方向上軌道迅速分離對初始值敏感李亞

普諾夫指數的前 j個指數的和是由前 j個主軸定義的 j維立體指數增加的長

期平均速率確定如橢球長度按 增加由前兩個主軸定義的區域面積依

增加由前三個主軸定義的區域面積依 增加以此類推在

李亞普諾夫指數譜中最小的李亞普諾夫指數決定軌道收縮的快慢最大

的李亞普諾夫指數則決定軌到發散也就是覆蓋整個混沌吸引子的快慢

而所有李亞普諾夫指數之和 可以大致表示為軌道的平均發散速度

李亞普諾夫指數是衡量系統動力學特性的一個重要定量指標它代表

了系統在相空間中相鄰軌道間收斂或發散的平均指數率對於系統是否存

在動力學混沌可以直觀的判斷最大李亞普諾夫指數是否大於零一個正

的李亞普諾夫指數代表著在系統相空間中無論初始兩條軌跡的間距多

小兩條軌跡的差別都會隨著時間的演化而成指數率的增加而導致無法

預測這就是混沌現象

213 混沌系統之時間序列

9

2131 相空間局部近似法

Farmer and Sidorowich(1987)在其混沌預測方法之研究提出所謂的相

空間局部近似法(phase space local approximation method)對系統之演變行為

進行預測這種奠基於時間延遲法(time delay method)所構成之重建相空間

(reconstructed phase space)的預測方式能夠適應吸引子(attractor)的局部行

為經後續進一步研究發現其具有相當良好之預測能力因此採 Farmer and

Sidorowich(1987)之相空間局部近似法構建交通量預測模式期能增加預測

準確度

2132 時間序列與相空間重構

相空間的概念就是把運行方程式所獲得的數字或數據轉換成為圖形

並將系統中隨時間改變的重要的資訊(無論是機械或是流體)抽取出來把各

式各樣可能的狀況註明在圖上利用延遲時間的概念模擬出類似原始系統

之相空間當重建一個空間使得此空間可以具體的包含吸引子特徵則此

空間之維度我們稱為嵌入維度Takens等人(1981)提出嵌入定理對於無

限長無雜訊的 d維混沌吸引子的標量時間序列x(n)可以在拓撲不變的

意義上找到一個 m維的嵌入相空間只有維數 m gt2d+ 1才可保有原始吸

引子的特徵Takens 定理保證了我們可以從一維混沌時間序列中重構一個

與原動力系統在拓撲意義下等價的相空間混沌時間序列的判定分析與

預測是在這個重構的相空間中進行的因此相空間的重構是混沌時間序列

研究的關鍵將收集的一維歷史資料例如現有歷史資料為 9筆13579

10131115間遞移的結果為1711391351015在此我們將利用此

時間遞移建立的時間序列觀念x(t) x(t minusτ ) x(t minus 2τ )hellip來重建相空間

2133 延遲時間 τ的決定

時間延遲如果 τ太小則相空間向量 x(i) = x(t) x(t minusτ ) x(t minus 2τ )hellip

中的任意兩個分量 x(t)和 x(t minusτ )在數值上非常接近以至於無法相互區分

從而無法提供兩個獨立的座標分量但如果時間延遲 τ 太大的話則兩座

標在統計意義上又是完全獨立的混沌吸引子的軌跡在兩個方向上的投影

毫無相關性可言因此需要用一定的方法來確定一個合適的 τ 值本文確

定 τ的主要方法為相關維度法

2134 自相關函數

自相關係數是利用時間序列裡每一筆數據與其前的數據根據不同遲延

10

時間距離的數值進行相關係數計算而成如遲延時間距離為 1表示將每

一筆數據與緊接其前的一筆數據進行相關係數計算如遲延時間距離為 2

表示將每一筆數據與其前第二筆數據進行相關係數計算如遲延時間距離

為 3表示將每一筆數據與其前第三筆數據列進行相關係數計算如此類

推自相關係數 之計算公式如下

1

1

1( )( )

1( )

n k

t t k

tk n

t

t

x x x xn k

r

x xn

(25)

式中 n為資料數k為時間遞移後的點t為時間點

將自相關係數計算的結果與每一筆遲延時間距離數值繪製成圖表可

由圖表中可分析辨別時間序列數據的初步基本特徵如圖表繪製的結果顯

示自相關係數沒有跟隨遲延時間距離數值的增加而顯示收歛之跡象也就

是說繪製線不斷於 X軸零座標線做不規律的上下擺動表示數據為隨機時

間序列即每一數據都視為個別獨立的事件且與過去某一筆遲延時間距離

數值的事件無關係反之若圖表繪製的結果顯示自相關係數跟隨遲延時

間距離數值的增加而顯示收歛且具有震盪循環之跡象則表示數據具有一

種規則屬於一混沌時間序列

2135 季節趨勢

季節趨勢預測法是根據事物每年重覆出現的週期性季節變動指數預

測其季節性變動趨勢

季節指數的概念即是利用簡單平均法計算週期內各時期模型季節性影響的

相對數季節指數反映了該季與總平均值間的穩定關係若季節指數大於

1則表示該季的值常會高於平均值若季節指數小於 1則表示該季的值

常會低於平均值若序列的季節指數都近似於 1則表示該序列沒有明顯

的季節效應季節指數的計算方式如下

計算週期內各期平均數

k=12hellipm (26)

計算總平均

(27)

計算季節指數

11

k=12hellipm (28)

其中 n為期數m為季節數

22 複線性迴歸分析

迴歸分析的目的主要是建立變數之間的關係進而應用於預測分析中

內政部營建署(1997)就曾利用迴歸分析來探討反彈數及現場鑽心試體之間

的抗壓強度關係進而建構出一迴歸方程式做為混凝土試體的抗壓強度

預測而在土木工程領域中也已有許多學者利用迴歸分析來進行研究

例如潘南飛與黃冠智(2005)利用迴歸分析來預測橋面版劣化狀況且考慮

以交通量及降雨量作為迴歸模式中的自變數最後得一配適佳的迴歸式

凌偉峻(2006)利用複線性迴歸分析建立模式及混沌系統的相空間鄰近點相

似特性來建立車流量預測模式Cheung et al (2008)使用氣候值持續值

颱風強度Julian Date記日本地時間七級風暴風半徑及颱風中心速度共

7個預報參數進行多變量的複線性迴歸(multiple linear regression)分析並以

20個傳統雨量站進行測試各新增變量中以颱風強度七級風暴風半徑及

中心速度對預報之改善較顯著其受改善之時數及相關係數之增加幅度皆

較其它變量為多顯示颱風結構參數在颱風降雨預報中比簡單的季節性因

素或日夜對流差異來得重要

敘述自變數( 1 kx x x x 2 3 )依變數 y 和誤差項 i 之間關係的方程式

稱為複線性迴歸模式複迴歸其主要目的有二

1 可以降低隨機誤差此與迴歸之變異數分析有關增加解釋變數之個數

可以使迴歸分析可解釋變動的部分增加相對的誤差就會減少

2 可以避免反應變數中影響重大的解釋變數有所遺漏而無法具體描述實

際資料的狀況估計複迴歸方程式或估計多元迴歸方程式(Estimated

multiple regression equation)大部分情況下複迴歸模式中的迴歸參數

皆不知其實際數值僅可以利用樣本數值估算分別以樣

本統計值 作為迴歸參數 的點估計值本研究

利用全域法訓練迴歸參數 即是利用前九日的歷史資料

複線性迴訓練出迴歸係數預測出第十日的資料型態複迴歸分析是將

簡單迴歸分析其自變數由一個增加至數個研究一群自變數和一個反應

變數之間的關係複線性迴歸模式定義如下

12

(29)

其中 為常態 n 隨機變數期望值 E(ε)=0且彼此互相獨立若有 n

組樣本觀測值(ngtp)組我們就可將方程式寫成

(210)

其中 i=123hellipn

若將複線性迴歸寫成矩陣可得下式

(211)

也可將式(211)寫成矩陣形式

(212)

其中 為觀察值向量 為參數向量 為自變數矩陣 為獨立之常態

隨機變數向量且滿足 向量 Y的期望值表示如下

(213)

複線性迴歸之最小平方標準方程式矩陣表示為

(214)

其中

為最佳模式之參數矩陣因此可求得最小平方估計式矩陣

表示為

(215)

其中 為 之轉置矩陣 為 之反矩陣只要利用式(215)

即可獲得複線性迴歸方程式

23 模糊理論

模糊理論是由美國加州大學伯克利分校電氣工程系的L A Zadeh在

1965年首次提出Zadeh在1965年發表了一篇傳統科學皆以排除具模糊性的

研究為主而模糊理論則以包含模糊性的研究為主現今科學發達所要

探討的議題越來越多由於人類的知識與研究會因本身主觀的意識因應

不同的人事時地物而具模糊性使得無法清楚呈現研究的本質為何要

13

在日常生活中精確地描述一個現象必定忽略其中的些微變化然而此描

述又無法真實描述現實因此模糊理論(Fuzzy Theory)正好能被廣泛應用在

研究上

模糊概念是指這個概念的外延具有不確定性或者說它的外延是不清

清楚的是模糊的例如好的壞的好壞的概念我們非常清楚但是

它的外延也就是究竟事件發生的條件到底是要如何才會是好的跟壞的

每個人的回答都會是不同的這就是一個模糊的概念所以當我們在接

觸模糊時是允許主觀意識的因為每個人對模糊的概念不盡相同儘管

如此當我們利用模糊統計方法進行分析時對於好與壞之間的界限又有

一定的概念

其次模糊性與精確性是相對立的但卻不能將模糊性理解成較差的

結果因為實際上我們在處理客觀事物時經常藉助於模糊性例如

若我們要在路上找一位「年輕的漂亮女孩」「年輕」及「漂亮」都是模

糊的概念但對我們而言這在路上不難找到因為我們的大腦會分析什麼

是「年輕」及「漂亮」於是我們就可以判斷出我們要找的人然而若我

們要求必須用電腦查詢「年輕的漂亮女孩」我們就必須將「年輕」及「漂

亮」這兩個模糊的條件利用具體的數據輸入電腦分析才能找到符合我們

要求的人

最後人們對模糊性的認知常與隨機性混淆其實它們之間有著很大

的不同隨機性是本身具有明確意義只是因為發生的條件不充分使得

在條件與事件之間不能產生確定的因果關係所以事件的出現與否表現出

一種不確定性而事物的模糊性是指我們要處理的事物的概念本身就是模

糊的即一個對象難以確定是否符合這個概念也就是由於概念外延模糊

而帶來的不確定性

231模糊的發展

模糊理論是在美國加州大學伯克利分校電氣工程系的 LAzadeh 教授

於 1965年創立的模糊集合理論的數學基礎上發展起來的主要包括模糊集

合理論模糊邏輯模糊推理和模糊控制等方面的內容

早在 20世紀 20年代著名的哲學家和數學家 B Russell就寫出了有關

「模糊性」的論文他認為所有的自然語言均是模糊的比如「紅的」和

「老的」等概念沒有明確的內涵和外延因而是不明確的和模糊的可是

14

在特定的環境中人們用這些概念來描述某個具體對象時卻又能心領神會

很少引起誤解和歧義

美國加州大學的 L A Zadeh 教授在 1965 年發表了著名的論文文中

首次提出表達事物模糊性的重要概念隸屬函數從而突破了 19世紀末勒

內middot笛卡爾（Rene Descartes）的經典集合理論奠定模糊理論的基礎1966

年P N Marinos發表模糊邏輯的研究報告1974年L A Zadeh 發表模

糊推理的研究報告從此模糊理論成了一個熱門的課題1974 年英國

的 E H Mamdani 首次用模糊邏輯和模糊推理實現了世界上第一個實驗性

的蒸汽機控制並取得了比傳統的直接數字控制演算法更好的效果從而

宣告模糊控制的誕生1980年丹麥的 LPHolmblad 和 Ostergard 在水泥窯

爐採用模糊控制並取得了成功這是第一個商業化的有實際意義的模糊控

制器

事實上模糊理論應用最有效最廣泛的領域就是模糊控制模糊控

制在各種領域出人意料的解決了傳統控制理論無法解決的或難以解決的問

題並取得了一些令人信服的成效

模糊控制的基本思想把人類專家對特定的被控對象或過程的控制策略總

結成一系列以ldquoIF THENrdquo形式表示的控制規則通過模糊推理得到控製作用

集作用於被控對象或過程控製作用集為一組條件語句狀態語句和控

製作用均為一組被量化了的模糊語言集如「正大」「負大」「正小」

「負小」零等

模糊控制的幾個研究方向

1 模糊控制的穩定性研究

2 模糊模型及辯識

3 模糊最優控制

4 模糊自組織控制

5 模糊自適應控制

6 多模態模糊控制

模糊控制的主要缺陷

信息簡單的模糊處理將導致系統的控制精度降低和動態品質變差若

要提高精度則必然增加量化級數從而導致規則搜索範圍擴大降低決策

15

速度甚至不能實時控制模糊控制的設計尚缺乏系統性無法定義控制

目標控制規則的選擇論域的選擇模糊集的定義量化因數的選取多

採用試湊發這對複雜系統的控制是難以奏效的

232模糊至今應用的範圍

模糊理論發展至今已接近三十餘年應用的範圍非常廣泛從工程科

技到社會人文科學都可以發現模糊理論研究的蹤跡與成果我們分別由工

程科技與社會人文科學的角度瞭解模糊理論應用的範疇

1 工程科技方面

(1) 型樣識別文字識別指紋識別手寫字體辨識影像辨識語音

辨識

(2) 控制工程機器人控制汽車控制家電控制工業儀錶控制電

力控制

(3) 信號及資訊處理影像處理語音處理資料整理資料庫管理

(4) 人工智慧及專家系統故障診斷自然語言處理自動翻譯地震

預測工業設計

(5) 環保廢水處理凈水處理廠工程空氣污染檢驗空氣品質監控

(6) 其他建築結構分析化工製程控制

2 教育社會及人文科學方面

(1) 教育教學成果評量心理測驗性向測驗電腦輔助教學

(2) 心理學心理分析性向測驗

(3) 決策決定決策支援決策分析多目標評價綜合評價風險分

析

233模糊集合

過去傳統數學上集合的基本定義是以二值邏輯(Binary Logic)為基礎的

方式來描述事物為屬於或不屬於此集合也就是元素 x和集合 A的關係

只能是isinA或notinA明確的判斷對象為所屬集合也就是明確集合(Crisp Set)

如果要描述適當的模糊事物時須將所屬集合的概念模糊化使之無明確

判對象所屬的集合模糊集合是指在界限或邊界不分明且具有特定事物的

集合以建立隸屬函數(Membership Function)來表示模糊集合承認論域

(Universe of Discourse)上存在既非完全屬於集合A又非完全不屬於集合A

16

使傳統集合的絕對屬於的概念改變為相對屬於的概念以數學式表示論域

U 上的模糊集合 A可表示為元素 x與它的歸屬函數集合

(216)

其中 A為一模糊集合 為歸屬函數x稱作元素U為論域一

般情況下歸屬度會界定在 0跟 1之間

(1) =0表示元素 x不屬於

(2) =1表示元素 x完全屬於

(3) 趨近 0表示元素 x極不可能屬於

(4) 趨近 1表示元素 x極有可能屬於

這個表示式的完整解釋為當 x 在 U 的範圍內會對應到一個介於 0

到 1之間的數值 所有這種 x所成的集合就是一個模糊集合模糊集

合可表示為

1 當論域Ｕ為有限離散(discrete)集合的情形下模糊集合 可表示成

(217)

2 當論域Ｕ為實數論域所組成之在連續(continuous)集合的情形下模糊

集合 可表示成

isin (218)

其中 並非積分符號而是單純的連結符號

234 模糊數(Fuzzy Number)

1 模糊數(triangular fuzzy number)

假設 是模糊集合或模糊數(FN)在實線 2R 上則以三角形隸屬函數

(triangular membership function）表示為 1 2 3( )a a a 2 x R to A 則

1

1 2 1 1 2

3 3 2 2 3

3

0

( ) ( ) ( )

( ) ( )

0

x a

x a a a a x aA x

a x a a a x a

x a

(217)

17

1

其隸屬函數圖形如圖 21

圖 21 三角模糊數

2 梯形模糊數(trapezoidal fuzzy number)

梯形模糊數可表示為 如圖 22其隸屬度函數定義為

(218)

其隸屬度函數如圖 22

圖 22梯形模糊數

a b c d

1

18

在一信賴區間 α水準α 01 我們定義 A

( )A x A x (218)

三角形隸屬度函數以 α-cut表示為

( ) ( )

1 3 1 1 2 3 2 3[ ] [ ( ) ( )]A a a a a a a a a

(219)

( )

1a 與 ( )

3a 個別代表 A的下界及上界

根據模糊算術方法Zadehrsquos sup-min 方法表示如下

( )( ) sup min( ( ) ( ))x y z

A B z A x B y

(220)

其中 sup表任何模糊算式Mizumoto and Tanaka（1976）使用相同方

法在 α 截集模糊數和區間算術Chang（2003）和 Chang et al （2006）和

Chang and Hung（2006）整理使用 α 截集模糊算術方法的文獻α截集模

糊算術中模糊數基本運算公式（加法減法乘法除法）可以計算的

更快在每一個 α-level 區間中使用區間算術（Kaufmann and Gupta

1988）

1 模糊數加法

令A和 B分別為兩模糊數 A和 B在一信賴區間 α水準 ( ) ( )

1 2[ ]A a a

( ) ( )

1 2[ ]B b b αisin 01 forall A B sub 2R 表示如下

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 2 1 2 1 1 2 2[ ] [ ] [ ]A B a a b b a b a b

forallαisin 01 (221)

2 模糊數減法

在一信賴區間 α水準forall A B sub 2R αisin 01

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 2 1 2 1 2 2 1[ ] [ ] [ ]A B a a b b a b a b

(222)

3 模糊數乘法

在一信賴區間 α水準forall A B sub 2R αisin 01

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 2 1 2 1 1 1 2 2 1 2 2

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 1 1 2 2 1 2 2

[ ] [ ] [min(

max( )]

A B a a b b a b a b a b a b

a b a b a b a b

(223)

4 模糊數除法

在一信賴區間 α水準forall A B sub 2R αisin 01

19

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 1 1 2 2

1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 2 1 2 1 2 1 2

[ ] [ ] [min( )max( )]a a a a a a a a

A B a a b bb b b b b b b b

式中 ( )

1b ( )

2b gt0forallαisin[01] (224)

235模糊運算

根據 Zadeh（1965）的擴展原理（Extension Principle）可以廣義的使

用一般基準 T取代原來的最小值模糊數的數學運算表示如下

1 加法

( )( ) sup ( ( ) ( ))x y z

A B z T A x B y

(225)

2 減法

( )( ) sup ( ( ) ( ))x y z

A B z T A x B y

(226)

3 乘法

( )( ) sup ( ( ) ( ))x y z

A B z T A x B y

(227)

4 除法

( )( ) sup ( ( ) ( ))x y z

A B z T A x B y

(228)

24 模糊迴歸

在科學研究過程中許多研究者常使用迴歸來描述自變數 x和應變數 Y

之間的關係傳統的迴歸分析均假設觀察值由實際應變數影響加上隨機誤

差而產生也就是說應變數是一種帶有不確定性的隨機變數不過在很

多的實務應用上往往無法滿足這樣的假設例如有些應變數 Y 的觀察值

並不是以單一數值的型式存在而是帶有多重隸屬的特性這些觀察值雖

然帶有不確定性但這種不確定的特性是來自於模糊現象而非隨機現象

若由模糊觀點套用迴歸分析來處理模糊資料問題就稱為模糊迴歸分析

模糊迴歸分析最早是由 Tanaka et al (1980) 提出一般模糊迴歸能夠處理的

樣本型式有兩種一種是實數值樣本 其中 為實數向量 為觀測

到的實數值另一種是模糊數樣本( 其中 為觀測到的模糊數不論

是實數值樣本或是模糊數樣本想要估計模糊迴歸參數估計方法大都是

20

利用線性規劃的技巧來尋求一組能將實數值樣本 或模糊數樣本(

包含在內的區間再將三角形隸屬函數（triangular membership function）套

用

在此區間上如此便求得一組模糊迴歸估計式要得到正確的估計結

果最好是收集具有代表性的隸屬函數樣本所謂具有代表性的隸屬函數

樣本應該是以模糊數的形式存在所以本文就樣本模糊數 進行討論

線性模糊迴歸模式常表示成

0 1 1 2 2( ) i i i p piY x A A x A x A x (229)

其中 1 2 3(1 ) i i i i p ix x x x x 為自變數向量 ( )iY x 為模糊應變數

為模糊參數利用樣本模糊數 估計參數 時通

常假設 與 的隸屬函數為對稱三角型式 與 的隸屬函數表達如下

( ) max 1 0 i

i

Y

i

t yt t

r

(230)

其中 為三角隸屬函數的中點 為三角隸屬函數的分布半徑可令

( ) max 1 0 m

m

A

m

t ct t

s

(231)

其中 為三角形的中點 是三角形的分布半徑 與 間的關係

如圖 23所示

圖 23模糊數的中心值與散佈值

1

0

21

再令 則前述的模糊迴歸方程式可改寫成

0 1 1 2 20 1 2( ) i i ipi p pY x x xC S xC S C S C S (232)

因此模糊應變數 ( )iY x 的隸屬函數也屬於三角型式可表示成

( )

0

0

( ) max 1 0 Y xi

p

m m

m

p

m mi

m

t c x

t t

S x

(233)

其中 因此只要估計出三角形的中點 及半徑 便可得到

隸屬函數的估計值模糊迴歸分析是在要求每一個觀測值 隸屬於模糊

迴歸區間的隸屬程度至少 的情況之下尋求最小的模糊迴歸預測區間如

(234)式表示

forall ( 234)

在利用 對未知的模糊參數 進行估計前一般先定

義模糊樣本 和模糊應變數 的 h截集其定義如下

令 為一組模糊樣本 ( )iY x 為模糊應變數若 與

分

別為 及 的 h截集(h-cut)則

(235)

(236)

因具代表性的樣本 其 h 截集 應要盡量接近模糊應變數 的 h

截集 意即

其中容許

不完全落在 之

內的情形發生根據以上觀點王景南(2002)認為樣本的左端點

和右端點 隸屬於 的程度會有一定的水準於是設立此水準

為 H因此假設 隸屬於 的隸屬度會盡量的接近 H其間的關係

為

( 與

( (237)

所謂的盡量接近 H是可允許隸屬度大於 H或小於 H而不是均大於

22

H

根據以上的對樣本的解釋運用最小平方法以所有樣本的左端點

配置一迴歸直線稱之為左端直線估計式

(238)

其中 為迴歸係數再以所有右端點 配置右端

直線估計式

(239)

其中 為迴歸係數

前文已假設樣本的左右端點隸屬於 的隸屬度會盡量的接近 H所

以將這兩條直線函式來估計 之 H截集的左右邊界即

(240)

如此可推導出 的隸屬函數為

(241)

其中 且

(242)

意即

(243)

其中

為三角形底邊中點是

分布半徑如此便可得一組估

計的模糊迴歸模式

(244)

仍需注意的是當樣本為對稱型態時左右迴歸函數式其配適的結果式

相同的只有常數項不同當對稱情形發生時可以考慮利用各別對應相

之權重除以常數項的分布半徑做為個別對應項之分布半徑意即

分布半徑

除此之外Celmins及Diamond Celmins也分別提出最小平方法之模糊迴

23

歸模式以便求解資料間距離最小的模糊迴歸方程

模糊迴歸應用上比統計迴歸更具彈性統計迴歸通常需要大量資料以

支持其假設而模糊迴歸卻無此需求因此當資料量不足或隨機性難以驗

證時模糊迴歸是較強健的(Robust)同時當所蒐集之資料的不確定性乃

來自於人類之主觀判斷時模糊迴歸較具適用性

因此模糊迴歸模式逐漸受到重視在1990年代的研究包括Sakawa及

Yano針對投入變數與輸出變數皆為模糊資料的問題建構出一個多目標的模

糊迴歸模式此外Chang和Lee則認為模糊迴歸中心線的趨勢與模糊迴歸散

佈值的趨勢可以存在不一致性為了分析統計迴歸與模糊迴歸的差異Kim

Moskowitz 及Koksalan 利用模擬分析比較統計迴歸與模糊迴歸的結果認

為由機率論所得的統計迴歸模式在大樣本時其預測績效遠比可能性理論

(Possibility theory)推演而得的模糊迴歸模式為佳然而當資料量遞減或所構

建的模式適合性變差時(即變數間存在模糊關係)則模糊迴歸模式的預測績

效將優於統計迴歸模式由於模糊迴歸模式在解決資料量少及系統關係模

糊不清的問題上具有較佳之績效而存在其正面之價值當變數間存在模

糊關係時

從早期到目前已發展出多種模糊迴歸模式求解方式以下根據薛展青

(2004)所整理的模糊迴歸分析整裡敘述如下

1 區間迴歸法

區間迴歸法(interval regression)其模型架構主要是由Tanaka et al(1982)

所提出的模糊線性迴歸(fuzzy linear regression)模型Tanaka et al(1982)所發

表的論文中表示傳統的迴歸模型中造成實際值與估計值的誤差來源被

認為是由測量或觀察所造成的而此誤差項在模糊線性迴歸模型中是因

模糊系統中參數的模糊性所產生的即誤差是反應模糊線性函數的模糊現

象因此以模糊線性函數來表示迴歸方程式而迴歸參數則是以模糊集合

來表示

Tanaka et al(1982)在估計模糊迴歸參數時是利用線性規劃技巧

(linearprogramming method)來尋求一組能將實數值樣本或模糊數樣本全部

包含的區間最後求得一組對稱三角形模糊數之迴歸參數

自Tanaka等人(1982)的文章發表之後後續的學者大多以此為基礎陸

續題出各種相關的模式與求解方法如Peters (1994)將Tanaka的線性規劃法

24

求解推廣為模糊線性規劃法求解讓資料對模糊迴歸模式的適應性更加提

升YenGhoshray 與Roig (1999)提出由於非對稱迴歸係數導因於大多數的

資料為離群值使得對稱三角迴歸係數不再適用因此將Tanaka et al的模

式推廣為非對稱三角迴歸係數Moskowitz 與Kim (1993)探討不同水準值下

模糊迴歸模式的求解與模式配適程度Redden 與Woodall (1996)探討模糊

迴歸分析預測未來值的結果Sakawa 與Yano (1992)將Tanaka的方法擴展到

依變數及自變數皆是模糊集合的情況並將之稱為多目標線性迴歸法

(multiobjective linear regression model)Koumlrner 與Naumlther (1998)討論解釋變

數與反應變數兩者皆為模糊數值的情況Kacprzyk 與Fedrizzi (1992)則蒐集

了各種不同迴歸模式的求解方法Redden 與Woodall (1994)說明Tanaka後

續提出的求解模式當中所具備的性質以及與傳統迴歸方法的差異比較

但是在此模式下求解之迴歸係數本身亦為一對稱的三角模糊數值

而且求解結果很容易受到資料尺度(scale)的影響使得反應變數估計值之展

度會變得更為寬廣後來Tanaka (1987)根據1982年的文獻發展為更完整的

可能性線性系統使模糊迴歸的結構更趨適應性Tanaka 與Watada (1988)

闡明可能性線性模式的概念推演建構成可能性線性迴歸模式Tanaka et

al(1989)應用模糊資料於可能性迴歸系統中並建構最小化最大化及混合

式三種線性規劃模式又對先前所提出的模式加以修正但就如Redden 與

Woodall (1994)所指出Tanaka 類型的模式對於離群值(outlier)的反應非常

敏感甚至在觀察值的個數增加時求解結果可能會產生無限多解因

此在Tsaur 與Wang (1999)提出的文獻對於在模糊迴歸分析中的離群值進行

一系列探討

2 模糊最小平方法

模糊最小平方法(fuzzy least squares)乃擴展傳統之最小平方法的觀念

最早由Diamond (1988)所提出利用傳統最小平方法的觀念求出一個模糊

迴歸模式以估算(approximate)反應變數的觀察值並非如區間迴歸中的包含

觀察值在其模式中利用反應變數的觀察值與估計值的模糊數值之最小

值最可能值與最大值定義兩者之間的距離以衡量迴歸模式與模糊資

料之間的最佳配適度的情形在使得所有觀察值與估計值的模糊數值之間

的距離平方總和為最小時可以導出類似傳統迴歸分析中的正規方程式

(normal equation)以求解迴歸係數

25

其後Chang 與Lee (1996)則將Diamond (1988)的方法加以擴充將迴

歸係數的最可能值與展度分別估計該方法的特點在於可將極端值(outlier)

加以處理並降低其影響程度Ma等人(1997)則將此類方法發展於適合非

三角模糊數值的場合Diamond 與Koumlrner (1997)則在此類方法中定義一

個判定係數的計算方法以比較不同模式的適合性Wu與Tseng (2002)提出

改善模糊迴歸模式之最小平方法其模式主要觀念是利用最小平方法將所

有樣本的左端點及右端點各配置一條迴歸線然後在將其左右迴歸線統合

成一條迴歸線

而在Kim 與Bishu (1998)的研究中是利用各個具有三角模糊數值的反

應變數之最小值最可能值與最大值以最小平方法分別計算出模糊迴歸

係數所得到的係數不一定為對稱的三角模糊數在此種求解方式下雖

然可以得到比較小的估計誤差但其缺點是無法處理解釋變數為模糊數的

情形另外Kim 與Bishu(1998)還提出了評估模糊迴歸模式的準則利用觀

察值與估計值歸屬函數之間面積的差異做為迴歸模式的估計誤差但其評

估準則的問題是無法比較不同模式在觀察值與估計值歸屬函數之間不具有

交集時的誤差情況在此情況下求算估計誤差時無法準確評估其總誤差而

導致評估失真而其他學者如Yang與Ko (1997)Yang 與Lin (2002)等則

是提出以最小平方法為基礎的模糊聚類分析求解方式

3 模糊隨機變數估計法

為了建構一個同時具有隨機和模糊特性的系統Kwakernaak (1978)首

先提出模糊隨機變數(fuzzy random variables)的概念認為傳統的隨機變數

U Ωrarr R為實數可測函數而模糊隨機變數則將一般隨機變數的概念廣義

化模糊隨機變數可表示為X ΩrarrS設ω isinΩ而ω 所對應到的不再是實

數值U(ω)而是模糊集合X (ω)S 代表模糊集合且Kwakernaak (1978)擴

充原來Zadeh 提出模糊集合之架構認為有時供作參考的資訊不齊全在

對某些述句進行評斷時我們無法判斷其絕對為真或絕對為假此時我

們考慮將原有的二元邏輯思維方式推廣暫且不作肯定的判決而僅是表

達出對錯的程度換句話說真值可以是介於單位區間[01] 內的任何值

如此思維方式稱之為多值邏輯(multivalued value)並將模糊集合視為一組

述句(statement)的集合且每個述句均對應一真值程度以符合人類的思維與

想法Stein 與Talati (1981)利用模糊數值的隸屬函數提出模糊隨機變數

26

的期望值之計算方式Kruse 與Meyer (1987)藉助集合表徵的概念建立了

一套模糊隨機變數的定義而為了讓模糊隨機變數能實際應用並將討論

的範圍界定在一模糊集合族上Koumlrner (1997)及Naumlther (1997)利用該方法以

求算模糊隨機變數的期望值與變異數並應用於線性模糊迴歸模式的求解

等另外在曾能芳(民 91)的博士論文研究中指出在Tanaka et al (1982)

的模糊迴歸模式中並不具備誤差項因此模式無法呈現樣本與期望值之間

的關係而無法討論線性規劃估計程序所具備的統計性質所以在曾能芳

(民 91)提出的迴歸模式中採用模糊樣本是由依變數之模糊期望值加上測量

誤差所組成並提出測量誤差存在於中點的模糊迴歸模式以及測量誤差

同時存在於中點和半徑的模糊迴歸模式

4 兩階段求解方法

以兩階段方法(two stage method)求解模糊迴歸模式的想法是在於結合

最小平方法與區間迴歸的觀念試圖降低反應變數估計值的模糊度如Savic

與Pedrycz (1991)對模糊迴歸模式的求解分為兩個步驟進行第一步以

反應變數的模糊數值之最可能數值為基礎將模糊數值視為簡化的明確數

值以傳統最小平方法求解迴歸係數的中心值第二步利用區間迴歸的

方式在使得迴歸係數的模糊度為最小的情形下以決定迴歸係數的三角

模糊數值Kao 與Chyu (2002)提出另一種模糊迴歸模式的兩階段求解方

法在第一階段先利用解模糊(defuzzification)方法將模糊觀察值轉換成為一

組明確數值之後利用該組明確數值以傳統的最小平方法求解迴歸係

數第二階段則是以Kim 與Bishu 所提之評估準則為目標式決定一個誤

差項估計值的模糊數以使得在Kim 與Bishu (1998)評估準則下的總誤差量

為最小該方法的特別之處在於求解的迴歸係數為明確數值而誤差項估計

值為模糊數值雖然此種求解方式可以得到很小的估計誤差但因其所著

眼的仍是Kim 與Bishu 評估準則下的面積估計誤差使得當觀察值與估計

值歸屬函數之間不具有交集時所衡量出的估計誤差較真實誤差為小且其

求解方法比較適合於觀察值為三角或梯形的模糊數值欲應用於其他型式

的模糊數值求解上則較為困難而在邱清爐(民 91)的博士論文中則是將

其兩階段求解方法對各種不同的模糊迴歸模式進行建構與評估並將其求

解方法應用於工作滿意度實例

5 其他求解方法與相關研究

27

Tanaka 等人(1995)後來提出另外一種模糊迴歸模式的求解方法將傳

統的估計誤差當作是存在解釋變數與反應變數之間的關係之可能性

(possibility)故模糊觀察值的展度可以直接轉換成迴歸係數的指數可能性

分配(exponentialpossibility distribution)而可以使用與傳統迴歸非常類似的

方式加以求解Tanaka與 Lee (1999)再利用辨識方法(identification method)

求解迴歸模式在其研究中利用辨識方法以決定模糊線性系統(fuzzy linear

system)中迴歸係數的可能性分配並認為由此方法所求解的迴歸係數會

有比較小範圍的可能性分配近年來有愈來愈多的學者將模糊迴歸分析

應用於其他傳統的決策方法及不同領域上如 Dunyak 與 Wunsch(2000)使

用 α 截集的端點以類神經網路(neuralnetworks)進行模糊迴歸分析Lee

與 Chen(2001)則將模糊迴歸模式使用於人力預測的問題上Tseng 等人

(2001)將由模糊迴歸模式建立之 ARIMA 模式用以預測匯率Tseng 與

Tzeng(2002)則利用模糊迴歸模式的求解方法以建構具有季節變動的

ARIMA 模式Kim 與 Bishu(1996)應用於人力可靠度分析的操作反應時間

上Wu 與 Tseng(2002)將其模糊迴歸模式應用在景氣對策信號上的分析

王景男(民 89)將模糊迴歸分析應用於籃球比賽攻防技術策略上曹勝雄

曾國雄江勁毅(民 85)以國人赴港旅客需求之預測為例說明傳統迴歸

模糊迴歸類神經網路之差別張良斌陳育民(民 86)將模糊目標迴歸法

應用在垃圾衛生掩埋場沼氣回收設備的成本估算謝邦昌林燦隆呂理

添(民 85)將模糊迴歸運用在甘蔗產量的預測對於上列有關模糊迴歸分析

的研究中絕大部份的文章均侷限於線性模式的分析鮮有文章討論非線

性模糊迴歸模式的求解最近雖然有少數學者開始討論非線性模糊迴歸模

式的解法如 Xu(1997)Buckley 與 Feuring(2000)的研究等但使用的方

法所求解的迴歸係數仍然為模糊數值其造成反應變數估計值的展度會

隨著解釋變數之數值增加而擴大的問題仍無法避免

28

第三章 研究方法

本章介紹本文將運用於數值分析中的預測研究方法利用本章建構的

方法可清楚了解如何利用混沌理論基於相空間重構的方式及模糊迴歸方

法於預測中

31 混沌時間序列建立預測方法

時間序列的模型建構和預測是資料處理研究領域中的重要方向其中

預測方法主要有線性和非線性預測方法兩種預測就是對未來作出估計和

推斷而通常要對研究對象或資料進行假設這一過程稱為建模利用建

模的方式獲得資料的科學表示就稱為模型混沌時間序列雖然看似隨機

但它卻是由確定系統產生的因此我們可以對混沌時間序列作出短期預測

同時由於混沌對初始條件微小差異的高度敏感性我們無法對混沌時間序

列作出長期預測每一步預測帶來的微小偏差都會使得下一步預測的偏差

擴大最終導致預測序列與原始序列完全不同

311李亞普諾夫指數判定資料混沌特性

進行預測前需根據 212節中提及的李亞普諾夫指數來判定資料是否

具有混沌特性最大李亞普諾夫指數是判斷和描述非線性時間序列是否為

混沌系統的重要參數因此是一個重要的混沌不變數

混沌系統中的李雅普諾夫指數可用來判斷系統是收斂的還是混沌的當系

統的李雅普諾夫指數中至少有一個為正時系統是混沌的 當系統的李雅

普諾夫指數均為負數時系統是收斂的 對於系統是否存在動力學混沌可以直觀的判斷最大李亞普諾夫指數是否

大於零一個正的李亞普諾夫指數代表著在系統相空間中無論初始兩

條軌跡的間距多小兩條軌跡的差別都會隨著時間的演化而成指數率的增

加而導致無法預測這就是混沌現象

312重建相空間

傳統的建模和預測方法己廣泛地應用社會科學中但大部分都是基於

線性系統混沌時間序列並不適用於非線性的混沌時間序列於是在判斷

時間序列性質後若判定序列以隨機性為主應採用從 AR 或 ARIMA 等隨

機模型來預測如果判定以混沌為主則應採用非線性確定性的方法進行

29

預測非線性時間序列的預報是經過相空間重構後對相空間中的動力軌

跡進行預報由於混沌系統具有被稱為「蝴蝶效應」的初始值敏感性所

以混沌時間序列是不能長期預測的但對於短時間內混沌系統的軌道在

相空間中具有一定的規律它們的預測性是可獲得的並比一般的基於統

計方法的預測能力要來得好

時間序列資料是時間離散後的樣本值用 表示將它「嵌入」到

一個 m維(mgt0)的空間中進行相空間重構後得到嵌入向量

(31)

由嵌入向量 可擴張成一嵌入空間 E由 Taken嵌入定理可知存

在映射面 滿足

(32)

上式表是出在拓樸的意義中可完全預測吸引子的特徵所以上式也可

表示為

(33)

其中函數 為 的一個估計值由式 (33)可得之我們可用

來預測

313相空間維度相關維度

在實作的研究上有許多方法可以用來估計混沌吸引子的維度本研

究選用較為常見的相關維度方法相關維度需先計算相關和將相空間中

所有樣本點皆計算其各別半徑收斂後之趨近值相關方程式（Correlation

Function）定義如下

(34)

其中

當 rrarr0時

兩邊同取對數可得

(35)

定義相關維度為 與 之曲線斜率為

(36)

在實際應用中經常給定一組維度 值選取適當的 r繪出

30

曲線求曲線當中直線段的斜率 如果系統存在這樣一個 值達到此

值後相應的關聯維數不再隨 的增長而變化也就是趨於飽和這表明

該序列為混沌系統其吸引子是存在的此時 值即為重構相空間的最佳

嵌入維數否則則表明該序列為隨機系統不具有混沌性

314 時間遞移數

利用 2123節中介紹的概念及 2124 中介紹的自相關函數求解出時

間遞移數的結果自相關函數公式如下

1

1

1( )( )

1( )

n k

t t k

tk n

t

t

x x x xn k

r

x xn

(37)

n為原資料樣本數k為時間遞移後的樣本點

將自相關係數計算的結果與每一筆遲延時間距離數值繪製成圖表可

由圖表中可分析辨別時間序列數據的初步基本特徵圖表繪製的結果顯示

自相關係數跟隨遲延時間距離數值的增加而顯示收歛且具有震盪循環之跡

象則表示數據具有一種規則屬於一混沌時間序列

32 複線性迴歸

確立資料為混沌後運用自我相關係數計算出時間遞移數及相空間維

度後將加入複線性迴歸運算複線性迴歸中常用的預測方法分為兩種

1 全域法

全域法就是利用相空間軌跡中的全部向量點做為擬合對象找出其

規律由此進行短期預測也就是說利用收集的大量的歷史資料利用

複線性迴歸訓練出迴歸參數再將未放進訓練迴歸參數的資料使用訓練

出的迴歸參數計算出預測值的資料型態本文還將原本的歷史資料分析

出資料的季節性後先去除季節性的影響最後再加回季節性討論預測結

果

2 局域法

局域法的基本原理是僅利用有限個鄰近點的資訊而不是利用全部的

樣本點來擬合 局域法預測是把相空間軌跡中的最後一點作為待測點對

離待測點鄰近的若干個相空間點的關係作出擬合再對預測相空間點的未

來演化規律進行預測本文使用零階局域法零階局域法是直接將鄰近樣

31

本點應用於預測根據鄰近樣本點預測 的最簡單的方法就是尋找相

空間中距離 最近的點假設距離最近的點是 那麼它的下一個樣本

點為 即可做為 的預測值

因數值資料在每日重複發生變動所以本研究又加入計算季節性指數

對趨勢線做季節性調整也就是對時間序列做季節性調整

33 模糊迴歸分析

運用模糊的概念帶進迴歸模式中處理具模糊性的資料問題此稱為模

糊迴歸分析本文利用的模糊迴歸模式主要有兩個方向一個是Tanaka et al

(1982)提出的模糊線性迴歸另一個是由Chang 與Lee (1994)所提出修正型

迴歸模式Tanaka 起初所提出的線性規劃模型

0 1

[ ( )]p n

j ij

j i

Min C X

st 0 0

(1 ) (1 )p p

j ij j ij ii

j j

X H c X y H e

(38)

0 0

(1 ) (1 )p p

j ij j ij ii

j j

X H c X y H e

0jc j R 0 1iX 0 1H 123i n 012j p

Tanaka 所提出的模糊模型未考慮到散度為負值的條件所以模糊上下

界會不斷的擴張而越來越寬大由 Chang 與 Lee (1994)所提出修正型迴歸

模式即將模糊的散度可為負值使上下界的模糊區間為遞減的情形遞

減的情形由圖 31表示

圖 31 模糊區間隨自變數越大而越窄

0

2

4

6

8

10

上界 中心線 下界

32

假設圖表中計算出的模糊迴歸函數為 0 0 1 1 Y c c X 模糊上界為

0 0 1 1UY c c X 模糊下界為 0 0 1 1LY c c X

33

第四章 數值分析

本章資料來源1台灣區車輛工業同業公會

2台北市交通局

本章所使用的數據資料為台北市交通局提供的公開的車流量資料數

值分析所使用的方法已在第三章論述利用第三章的方法分析數值預測的

準確性並結合模糊迴歸常見的兩種方法幫助決定預測的可接受範圍本

章介紹本文所利用的數學模型及方法在複線性迴歸的模型中分成混沌全

域法去季節性後的混沌全域法以及混沌局域法預測出的結果加以討論預

測的準確性再將預測值去季節性觀察準確程度最後再帶入模糊迴歸

利用 05H 加以討論如何將模糊迴歸中的散度用以選擇預測值的範圍第

一節針對傳統複線性迴歸方法並結合全域法觀念訓練資料迴歸係數討

論預測結果第二節針對傳統複線性迴歸方法並結合局域法觀念訓練資

料迴歸係數討論預測結果第三節針對預測資料去除季節性後再利用

傳統複線性迴歸方法討論預測結果第四節針對模糊迴歸的兩種方法選

擇出預測的範圍

利用第三章論述的時間遞移及相關維度的做法將本文利用具混沌性

的資料加以分析將資料先利用 212 節中介紹的李雅普諾夫指數 判定是

否具混沌性具有混沌性的資料才能利用混沌理論重構相空間若李雅

普諾夫指數 介在 0跟 1之間則表示資料具有混沌性質本文資料利用程

式計算出李雅普諾夫指數 運用自我相關係數判斷出時間遞移

數 相關維度計算出維度 我相關係數判斷時間遞移數與相關維

度的圖形以及原始資料時間遞移後的資料圖如圖 41圖 42圖 43

34

圖 41相空間維度及 lnC與 ln r斜率關係圖

圖 42相空間維度及 lnC與 ln r斜率關係圖

0

1

2

3

4

5

6

7

0 5 10 15 20

相空間維度

斜

率

d

-02

0

02

04

06

08

1

12

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33

時間遞移數

自我相關函數

35

圖 43 原始資料時間序列圖

41 複線性迴歸混沌全域法

本文所使用的資料為 10日的車流量資料利用前 9日的資料訓練出迴

歸參數將迴歸參數代入複線性數學模型中計算出的迴歸方程式為

1 2 3 4

5 6 7 8 9

10 11 12 13 14

435363 00819 00338 01777 00070

01116 01999 00299 02716 00349

01399 00056 01113 00738 02038

y x x x x

x x x x x

x x x x x

(41)

解出迴歸參數計算出複線性迴歸方程式後再將最後一日 144筆的車

流資料代入方程式中計算出預測值利用複線性迴歸混沌域法預測出的結

果如圖 44

圖 44 複線性迴歸分析預測與原始資料比較圖-全域法

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

1 53

10

5

157

209

26

1 31

3

365

41

7

469

52

1 57

3

625

67

7

729

78

1 83

3

885

93

7

989

10

41

1093

11

45

1197

12

49

1301

13

53

1405

原始資料點

原始資料點

-50

0

50

100

150

200

1

7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

103

109

115

121

127

133

139

實際值

預測值

36

由圖表的狀況可觀察出運用複線性迴歸模型預測的結果不盡理想本

研究認為運用複線性迴歸預測的結果不佳的原因有二

1 利用全域法預測是將較大量的歷史資料加入考慮訓練出迴歸參數這

樣的結果造成削弱了原本的奇異點(相較於同時段資料差異性較大的點)

的影響力

2 嵌入維度 太高對於混沌時間序列隨著嵌入維度增高歷史

對未來的影響是呈指數衰減的所以全域法所利用的資訊歷史就越長

預測的精準度就會迅速下降因此本研究將加入局域法討論預測的準

確性

42 複線性迴歸混沌局域法

局域法的做法為尋找相空間重構後的點對待測點尋找鄰近的 k個相

空間點對離待測點鄰近的若 k個相空間點的關係作出擬合並分析出複

迴歸方程式的迴歸參數本文嘗試選取 k=50~250的結果以下只列舉 k=200

的圖解釋預測結果

圖 45 複線性迴歸分析預測與原始資料比較圖-局域法(k=200)

圖 44與圖 45比較後可看出區域法預測的準確性比全域法更好某

些預測出來的結果的點與原始資料的點差異性大有明顯的偏移本研究

認為利用局域法預測的結果不佳的原因如下由圖 45可看出預測結果與

原始資料間差異性較大的點位為數列的右側 而數列尾端的資料為凌晨或

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

1

7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

103

109

115

121

127

133

139

實際值

估計值

37

是深夜的車流量因每日凌晨或是深夜的車流量變化量較少(例如某日的凌

晨十二點十分可能為 0台車或是小於 10台車經過)所以資料的差異性

較大造成頭尾的資料預測上較為不準確

因為同時段的資料可能會影響資料預測出的結果所以我們下節就以

加入季節性的考慮來加以討論預測結果

43 複線性迴歸去除季節性後混沌全域法

本文使用的車流量資料為每日 24時換算成 1440分鐘每 10分鐘記

錄一點於是本研究依資料的記錄時間點來劃分季節性將季節分成 144

個季分別求出季節性指數求取季節性指數後將每個資料點先去除季

節性利用全域法訓練出去季節性後的迴歸係數再利用複線性求出預測

值最後將去除的季節指數乘回預測點結果如下

圖 46考慮季節性複線性迴歸分析預測與原始資料比較圖-全域法

此考慮季節性因子的複線性迴歸分析預測與原始資料的比較是用全

域法去訓練迴歸參數的而由圖 44我們可以得知一開始未考慮季節因

子使用全域法的複線性迴歸預測是不準確的本研究認為原本的歷史資

料隨著季節性因子的變化該系統原本呈現複雜的動態特性實際上由於

車流量的變動有許多外在因素的影響例如氣候假期hellip等影響會使

資料的變化過程發生不同程度的偏離而對於季節性事件來說其事件發

生的過程主要受季節性參數週期性變化的影響 因此影響因素的具體形

式可以近似地表示為單一函數本文考慮季節因素對車流量的影響意即

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

1

7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

10

3

10

9

11

5

12

1

12

7

13

3

13

9 實際值

預測值

38

經過季節性分析後的得到的預測分析結果很準確如圖 46所示此結果

表示季節性影響樣本資料的情形大也代表著在季節因素影響下系統中

事件的動態變化情況是隨著季節影響參數的變化而造成系統呈現各種

各樣複雜的動態特性如週期解混沌情形hellip等

44 模糊迴歸

441Tanaka模糊迴歸

μ及 H 值之選定原則為當不確定性愈大時其 μ及 H 值愈接近 0

反之當資料不確定性愈小時μ及 H 值取愈接近 1 之值Bardossy 等人

建議其值在 05~07間為適宜根據 Tanaka在 1982年所提到的方法我們

可以求得一模糊迴歸函數並可得知其中心線與其上界及下界假定在 H =

05的情況下利用 Tanaka模糊迴歸模式算出迴歸函數為

(42)

中心線與上下界的簡單迴歸方程式為

中心線 (43)

上界 (44)

下界 (45)

繪製出的圖形如圖 47所示

圖 47 Tanaka 模糊迴歸

0

50

100

150

200

250

300

1

7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

103

109

115

121

127

133

139

下界

中心線

上界

39

圖 48 Tanaka 模糊迴歸中心線與預測值之結合

從圖 48可看出預測值與模糊迴歸的中心線 有明顯的時間差異但由

圖可以觀察出模糊迴歸的中心線 的預測趨勢與實際值是相近的雖然利

用模糊迴歸預測的時間點比實際時間快但是相對來說也是可以用來預

測之後將發生的趨勢本研究認為若模糊迴歸可用於預測中則可用模糊

的散度 c當做預測行為中選取的可接受的變動範圍如圖 49最後將 Tanaka

模糊迴歸中心線上下界與實際值之結合如圖 410所示

圖 49 Tanaka 模糊迴歸中心線上下界與實際值之結合

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

1

8

15

22

29

36

43

50

57

64

71

78

85

92

99

106

113

120

127

134

141

實際值

中心線

0

50

100

150

200

250

300

1

7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

103

109

115

121

127

133

139

實際值

下界

上界

預測

值

預測值

40

圖 410 Tanaka 模糊迴歸中心線上下界與實際值之結合

442修正型 Tanaka模糊迴歸

因為我們要將模糊迴歸應用於預測中所以本研究將複線性迴歸的趨

勢線視為模糊迴歸的中心線再利用修正型 Tanaka模糊迴歸模式算出迴歸

函數為

(46)

中心線與上下界的簡單迴歸方程式為

中心線

上界

下界

繪製出圖形如圖 411

0

50

100

150

200

250

300

1 7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

103

109

115

121

127

133

139

實際值

預測值

下界

上界

41

圖 411 修正型模糊迴歸中心線上下界與實際值之結合

本研究使用的修正型模糊迴歸中心線與傳統的迴歸方程式相同所以

可用來處理或分析模糊資料與明確資料同時修正型模糊迴歸的上下界

與 Tanaka 模糊迴歸相較也變窄了此兩種現象就是修正型迴歸的特色因

為中心線與傳統的迴歸方程式也相同這種修正型迴歸散度可選擇為負值

的特色本研究認為可以應用在預測上因為上下界與中心線間的散度變

窄使得前文所敘述到的利用散度來選取預測範圍便可更為嚴格也可

使預測的結果更為可靠如圖 412所示

圖 412 Tanaka 上下界與修正型模糊迴歸上下界的寬度差別

0

50

100

150

200

250

1 7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

103

109

115

121

127

133

139

下界

中心線

上界

0

50

100

150

200

250

300

1 8 15

22

29

36

43

50

57

64

71

78

85

92

99

106

113

120

127

134

141

Tanaka下界

Tanaka上界

Tanaka修正型下界

Tanaka修正型上界

42

第五章 結論及未來研究方向

51 結論

根據前文的討論傳統迴歸和模糊迴歸建立在不同的理論基礎上傳

統迴歸是以機率為基礎而模糊迴歸則是以可能性為基礎傳統迴歸因變

數的估計值與觀測值之間的差異為因變數的隨機性而模糊迴歸因變數的

估計值則產生於觀測值之模糊度惟兩者最大不同處在於模糊迴歸式的

迴歸係數與預測值皆為模糊數（區間值）不同於傳統迴歸係數與預測值

均為明確的數值此外傳統迴歸侷限於對明確資料的分析可能性模糊

迴歸僅適用於分析具模糊性的資料而複合的模糊迴歸則可同時適用於分

析模糊與明確的資料此為此模式最大的特點

模糊迴歸應用於預測中大多的結果是不佳的但是我們透過結合混

沌與模糊迴歸的概念將混沌的預測單點概念拓展成一個可接受的預測

範圍

PT Chang 與ES Lee 使用修正型模糊迴歸重新定義散度做出新的

模糊上下界均為改善模糊迴歸模式Tanaka之研究本研究將模糊迴歸與

混沌理論之建立時間序列的預測情形加以結合討論發現模糊迴歸在預測

的行為中是可行的但可惜的是即使預測的趨勢相近但預測值出時間

的點卻有差別這樣的結果我們可以看出若能找到解決加強模糊與複線性

迴歸關係之間時間的關聯性就能利用模糊的不確定性來討論預測問題

52 未來之研究方向

本研究將模糊迴歸與混沌理論之建立時間序列的預測情形加以結合討

論發現模糊迴歸在預測的行為中是可行的但可惜的是即使預測的趨

勢相近但預測值出時間的點卻有差別這樣的結果我們可以看出若能找

到解決加強模糊與附線性迴歸關係之間時間的關聯性就能利用模糊的不

確定性來討論預測問題

為了符合現今社會多元的狀況模糊迴歸與傳統迴歸之觀念勢必加以

混合應用也為了解決此等問題混合式迴歸（Hybrid Regression）在近年

來被提起也因此參數的估計模糊迴歸與傳統迴歸的混合應用將成

為往後繼續研究探討之目標

建議未來可用模糊加權修正模糊迴歸使模糊迴歸在預測上更能直接

43

將對事物多個構面評估的意見與其影響事物狀況的重要程度作加權的運

算

44

參考文獻

[1] 九章出版社編輯部(民 89)模糊數學入門台北市九章出版社

[2] 台北市交通局網站httpwwwdottaipeigovtw

[3] 台灣區車輛工業同業公會網站httpwwwttvmaorgtw

[4] 王景南(2000)模糊迴歸分析在籃球比賽攻防技術之應用國家科學委員會研究彙

刊人文及社會科學10(3)287-298

[5] 林真真鄒幼涵(1990)迴歸分析台北市華泰書局19-30101-114

[6] 呂金虎陸君安陳士華(2002)混沌時間序列分析及其應用中國武漢武漢大

學出版社

[7] 邱清爐(2002)模糊迴歸分析中最小平方法之求解與應用國立成功大學工業管理

研究所博士論文台南市

[8] 李鴻毅(2005)傳統線性迴歸與模糊線性迴歸在預測應用方面的比較國立台灣科

技大學工業管理系碩士論文台北市

[9] 姜濤(1993)混沌理論與其發展簡介台北歐華學報(3)146-149

[10] 姜量議(2004)模糊需求下製造商-零售商系統利潤最佳化之研究南台科技大學工

業管理研究所碩士論文台南市

[11] 莊宗南(2002)模糊零工式排程之研究國立成功大學企業管理研究所博士論文

台南市

[12] 穎哲(2003)考慮模糊需求之耗損性商品存貨控制模式國立成功大學工業管理科

學研究所碩士論文台南市

[13] 陳鍾基(1979)迴歸分析入門台北市萬人出版社

[14] 陳靜怡(2004)以建構具有模糊資料下的整合性存貨模式之需求南台科技大學工

業管理研究所碩士論文台南市

[15] 張益欽(2006)模糊要素價格下要素配置問題之求解與其應用南台科技大學工業

管理研究所碩士論文台南市

[16] 蔡明君(2009)模糊環境下專案趕工問題之分析探討國立中正大學企業管理研究

所碩士論文嘉義市

[17] 劉錦輝(2002)結合模糊迴歸分析與品質機能展開於工程設計之最佳化朝陽科技

大學工業工程與管理所碩士論文台中市

[18] 薛展青(2004)求解模糊迴歸之參數估計成功大學工業與資訊管理學系碩士論文

台南市

[19] 闕頌廉(民 81)應用模糊數學台北市科技圖書股份有限公司

[20] 謝逸婷(2005)模糊排序法於資料包絡分析模式之應用南台科技大學工業管理研

4

第二章 文獻探討

傳統的預測方法都是利用建立數據序列模型後再進行計算及與預測

然而隨著混沌科學發展發現混沌的現象存在於生活許多細節中於是學

者致力於發展混沌科學利用歷史資料的混沌規律性建立客觀的模型可

避免人為的主觀想法而影響預測的準確性

預測是一種資料探勘的相關技術通常都是利用各種統計或迴歸的方

法從過去的歷史資料中找出有用的趨勢或是模式然後利用這些趨勢或

模式來求得下一期間或週期的預測值要進行任何預測之前收集足夠的

有效觀察值是一種必要的程序在以往統計或迴歸的方法中均需要大量

的有效觀察值才能夠準確的判斷出預測結果

傳統的主觀意見預測法因為人為意見的影響較大無法利用電腦技術

來協助進行預測目前已經普遍不被企業所使用時間序列的數學方法是

以過去資料之時間序列為主而其基礎為假設未來之情形與過去情勢相雷

同因此若有某因素改變情形時必須參照判斷予以修正預測才能正確

而時間序列是指一個固定間隔為基礎經過了一段時間(如每小時每日

每月每週每月每季每年)之時間序列的觀察結果

本章節首先概述混沌理論的發展以及建立時間序列預測所運用的方法

再加以介紹模糊的幾何意義與模糊的演算法及結合傳統方法與模糊間的概

念

21 混沌理論

混沌理論是對一個不規則又看似無法預測的現象及過程加以分析在

現代科學史中真正數學和物理學意義下的混沌理論公認是由麻省理工

學院的氣象學家羅倫茲(Lorenz)提出的196年冬天某日當時還是副教授

的羅倫茲用一台 RoyalMcBee LPG-30 電腦對一個包含 12 個微分方程的

氣象動力學方程組進行數值模擬試驗在其中的一次驗算裡為貪圖方便

他把一個小數點後六位數的初始值做了四捨五入處理僅輸入了小數點後

前三位數但結果讓他大吃一驚這個與精確數值不到千分之一的誤差

讓最後計算結果大相逕庭這個偶然的取值失誤讓羅倫茲發現了一個簡

單具體並且有明確物理意義的可以用來表現和驗證彭加萊混沌理論的數

學模型於是 1963年洛倫茲在美國《氣象學報》上發表了題為「確定性

5

的非周期流」的論文這篇文章和他隨後發表的另一篇相關論文指出對

於模型中關鍵參數的微小改變會導致完全不一樣的結果使得有規律的周

期性行為能夠進入雜亂無章的狀態令精確的長期天氣預報變得不可能

Hayles(1990)於 Choas boundOrderly disorder in temporary literature and

science 一文中指出混沌的含義有兩個

1 系統失序的前兆與狀態

2 強調存在於雜亂現象內潛藏的規律與秩序結構

Curtis(1990)認為混沌理論或多或少隱含了隨機(randomness)的現象其

含義有兩個觀點

1 混沌是規律秩序的預兆當各種事件在一個系統中進行時混沌現象開

始出現就必須注意「驅散(disspative)結構」的雜亂現象同時也會產生

假使這個系統在「熱力函數」上有足夠熱度則它的結果將使「驅散結

構」的雜亂現象成為確切明白的秩序(Prigogine amp Stenger1984)這種

規律秩序的預兆Gleick (1987)稱之為介於熱力學和動力系統間以高

度個體化和關聯化的哲學觀點「規律秩序之外的秩序」稱之為「混沌」

2 強調經過混沌吸引子的吸收進而啟動「混沌系統」發展出「力的性

質」進而產生混沌系統的模式特徵姜濤(1993)認為從物理意義上來看

一個確定性系統(含有隨機或偶然因素)在沒有外界隨機干擾的情形下

所出現的無規則形態都可以稱為混沌現象Wheatly(1994)將混沌理

論定義為可能是一個事件行為或是過程它是多變的非線性的及

無法預測的所以模式和範圍是彈性的會隨時隨地改變

J Yorke(2002)將混沌賦予新義指出混沌是一種有結構有規則的系

統混沌的雜亂只是表象最終會回歸平衡且等待下一次的失序如此

一直循環著 混沌系統兩個十分重要的特性

1 系統的變化驟看似是毫無規則但實際上是由物理定律所決定的

2 系統的演化對初始條件的選取非常敏感初始條件極微小的分別 (就例

如 02 和 02001 只相差兩千分之一)在一段時間的演化後也可帶來

南轅北轍的結果

211碎形維度及混沌吸引子

碎形幾何理論(Fractals Geometry)是一門新興理論專門用來解釋以前

6

歐氏幾何學無法解釋的自然現象舉凡不規則形狀的自然物體都無法用歐

式幾何學解釋如雪花雲朵流水樹木hellip等所以碎形幾何理論是

用來解釋具有自我相似性及非整數維度的特徵

因此所謂碎形指的是一個幾何物件其外型不像直線弧線這些古

典歐幾里德幾何（Euclidian geometry）的表面那麼平滑而是相當破碎

不規則且無論巨觀或微觀都不是連續的這些不規則的碎形和我們習以

為常的觀念有所不同且基本上大多數的現象並不是如歐幾里德幾何所描

述的那樣

舉例來說一顆籃球對於向來熟悉阿基里德空間的我們來說直覺性

的會認為這是三度空間中的一個球體其維度為三但當把距離拉遠看

似一個圓形維度成為二若把距離縮近成為一公釐則可以發現籃球上

有凹下的線條有防滑的凸點顆粒這種情況下維度又該如何界定而曼

德布洛特在分析英國科學家李查(Lewis F Richardson)遺稿當中的一篇論文

時察覺任何國家的邊界在某種定義下都是無限長其重點在於測量時所

使用的基準長度一般要測量海岸線長度時測量員會架起兩腳器並預設

成一個長度沿著海岸線進行測量之後將兩腳器的尺度縮小重頭再量一

次海岸線長而所量到的這兩種尺寸後者一定較前者為長也較逼近真

實的邊界長度同理將兩腳器的兩腳距無限的縮小則所量到的邊界就

成為無限長

1967年代數學家 Benoit Mandelbrot發表了一篇名為「英國海岸線有

多長」的論文文中提到新的維度觀念也就是碎形維度碎形維度具

有四種特性(1)自相似性(2)自我模仿性(3)碎形維度為有限區域的無限

結構(4)碎形是非動力過程的結果混沌現象具有特殊的碎形維度(Fractals)

混沌狀態出現時運動軌跡不穩定它們隨機但緊密的逐漸收斂到一個整體

縮小但局部分離的區域此區域就稱為奇異吸引子（strange attractor）

Hayles(1990)指出混沌是強調存在於雜亂現象之內潛藏的規律秩序結構

因為雜亂現象之內隱含有「奇異吸子」(strangeattractors)進而啟動運作「混

沌系統」Griffths Hart amp Blair(1991)認為混沌理論應用在教育行政中

也具有奇異吸子的特徵奇異吸引子不同於的穩定的整數維吸引子（即不動

點極限環和環面）它具有的是奇特的非整數的空間維度這種空間被

稱作豪斯道夫（Hausdorff）空間因此混沌奇異吸子是一個整體穩定但是

7

局部不穩定的運動空間

212李亞普諾夫(Lyapunov)指數

混沌系統的初始值非常敏感使得初始時刻靠得很相近兩條相軌跡隨

著時間的增長而逐漸遠離如果能夠定量描繪出此種鄰近軌跡的發散性

便可建立出混沌變動情形的一種數值判斷方法李亞普諾夫指數就是用來

表示相空間內鄰近軌跡的平均指數發散率的數值特徵m 維相空間中的某

一時刻兩條鄰近軌跡之間的距離可以分解在 n 個不同的方向這 n 個不

同方向上的距離增長率是不相同的而每一個增長率就是一個李亞普諾夫

指數

最大李亞普諾夫指數是判斷和描述非線性時間序列是否為混沌系統的

重要參數因此是一個重要的混沌不變數對於混沌系統來說發散是一種

整體性的穩定因素動力系統一方面作為發散系統最終要收縮到相空間的

有限區域也就是吸引子上另一方面系統在相體積收縮的同時運動軌

跡是不穩定的要沿某些方向進行指數分離

對於 m 維的動力系統中 中初始兩點迭代後會互相分離

或是靠近取決於

的值若

則迭代使兩點分離若

則迭代使兩點靠近在不斷迭代過程中

也會隨之改變呈現出時而接

近時而分離的情形為了表示從整體上觀察得到的情況必須對時間(或反

覆運算次數)取平均設平均每次反覆運算所引起的指數分離指數為 於

是原來相距 的兩點經過 n次迭代後距離變為

(21)

若取極限 則式(21)變為

(22)

(22)式可簡化為

(23)

上式中的 與初始值的選取無關稱為原動力系統的李亞普諾夫指數

它表示系統在多次反覆運算中平均每次反覆運算所引起的指數分離中的

8

指數若 則表示相鄰點最終會靠近合併成一點若 則表示

相鄰點最終會發散而對應於軌道的局部不穩定若軌道還存有整體的穩

定因素(如整體有界發散存在捕捉區域等)系統則需在有限的幾何物件

上無窮次折疊以實現指數分離系統在此作用下反覆折疊並形成混沌吸

引子故 可做為判斷混沌情形的準則

混沌系統中的李雅普諾夫指數可用來判斷系統是收斂的還是混沌的

當系統的李雅普諾夫指數中至少有一個為正時 系統是混沌的 當系統的

李雅普諾夫指數均為負數時 系統是收斂的

對於一般 m維的動力系統定義李亞普諾夫指數如下設 F為

上的 m維映射假設一個 m維離散動力系統 將系統的初

始條件假設為一個無窮小的 m維小球由於演化過程中的自然變形圓球

將變成橢圓球將橢圓球上的所有主軸依其長度排列則第 i 個李亞普諾

夫指數根據第 i個主軸的長度 的增加速率定義為

(24)

李亞普諾夫指數與相空間的軌道收縮或擴張性質是有關連性的在李

亞普諾夫指數小於零的方向上軌道收縮運動穩定對於初始值不敏感

而在李亞普諾夫指數為正的方向上軌道迅速分離對初始值敏感李亞

普諾夫指數的前 j個指數的和是由前 j個主軸定義的 j維立體指數增加的長

期平均速率確定如橢球長度按 增加由前兩個主軸定義的區域面積依

增加由前三個主軸定義的區域面積依 增加以此類推在

李亞普諾夫指數譜中最小的李亞普諾夫指數決定軌道收縮的快慢最大

的李亞普諾夫指數則決定軌到發散也就是覆蓋整個混沌吸引子的快慢

而所有李亞普諾夫指數之和 可以大致表示為軌道的平均發散速度

李亞普諾夫指數是衡量系統動力學特性的一個重要定量指標它代表

了系統在相空間中相鄰軌道間收斂或發散的平均指數率對於系統是否存

在動力學混沌可以直觀的判斷最大李亞普諾夫指數是否大於零一個正

的李亞普諾夫指數代表著在系統相空間中無論初始兩條軌跡的間距多

小兩條軌跡的差別都會隨著時間的演化而成指數率的增加而導致無法

預測這就是混沌現象

213 混沌系統之時間序列

9

2131 相空間局部近似法

Farmer and Sidorowich(1987)在其混沌預測方法之研究提出所謂的相

空間局部近似法(phase space local approximation method)對系統之演變行為

進行預測這種奠基於時間延遲法(time delay method)所構成之重建相空間

(reconstructed phase space)的預測方式能夠適應吸引子(attractor)的局部行

為經後續進一步研究發現其具有相當良好之預測能力因此採 Farmer and

Sidorowich(1987)之相空間局部近似法構建交通量預測模式期能增加預測

準確度

2132 時間序列與相空間重構

相空間的概念就是把運行方程式所獲得的數字或數據轉換成為圖形

並將系統中隨時間改變的重要的資訊(無論是機械或是流體)抽取出來把各

式各樣可能的狀況註明在圖上利用延遲時間的概念模擬出類似原始系統

之相空間當重建一個空間使得此空間可以具體的包含吸引子特徵則此

空間之維度我們稱為嵌入維度Takens等人(1981)提出嵌入定理對於無

限長無雜訊的 d維混沌吸引子的標量時間序列x(n)可以在拓撲不變的

意義上找到一個 m維的嵌入相空間只有維數 m gt2d+ 1才可保有原始吸

引子的特徵Takens 定理保證了我們可以從一維混沌時間序列中重構一個

與原動力系統在拓撲意義下等價的相空間混沌時間序列的判定分析與

預測是在這個重構的相空間中進行的因此相空間的重構是混沌時間序列

研究的關鍵將收集的一維歷史資料例如現有歷史資料為 9筆13579

10131115間遞移的結果為1711391351015在此我們將利用此

時間遞移建立的時間序列觀念x(t) x(t minusτ ) x(t minus 2τ )hellip來重建相空間

2133 延遲時間 τ的決定

時間延遲如果 τ太小則相空間向量 x(i) = x(t) x(t minusτ ) x(t minus 2τ )hellip

中的任意兩個分量 x(t)和 x(t minusτ )在數值上非常接近以至於無法相互區分

從而無法提供兩個獨立的座標分量但如果時間延遲 τ 太大的話則兩座

標在統計意義上又是完全獨立的混沌吸引子的軌跡在兩個方向上的投影

毫無相關性可言因此需要用一定的方法來確定一個合適的 τ 值本文確

定 τ的主要方法為相關維度法

2134 自相關函數

自相關係數是利用時間序列裡每一筆數據與其前的數據根據不同遲延

10

時間距離的數值進行相關係數計算而成如遲延時間距離為 1表示將每

一筆數據與緊接其前的一筆數據進行相關係數計算如遲延時間距離為 2

表示將每一筆數據與其前第二筆數據進行相關係數計算如遲延時間距離

為 3表示將每一筆數據與其前第三筆數據列進行相關係數計算如此類

推自相關係數 之計算公式如下

1

1

1( )( )

1( )

n k

t t k

tk n

t

t

x x x xn k

r

x xn

(25)

式中 n為資料數k為時間遞移後的點t為時間點

將自相關係數計算的結果與每一筆遲延時間距離數值繪製成圖表可

由圖表中可分析辨別時間序列數據的初步基本特徵如圖表繪製的結果顯

示自相關係數沒有跟隨遲延時間距離數值的增加而顯示收歛之跡象也就

是說繪製線不斷於 X軸零座標線做不規律的上下擺動表示數據為隨機時

間序列即每一數據都視為個別獨立的事件且與過去某一筆遲延時間距離

數值的事件無關係反之若圖表繪製的結果顯示自相關係數跟隨遲延時

間距離數值的增加而顯示收歛且具有震盪循環之跡象則表示數據具有一

種規則屬於一混沌時間序列

2135 季節趨勢

季節趨勢預測法是根據事物每年重覆出現的週期性季節變動指數預

測其季節性變動趨勢

季節指數的概念即是利用簡單平均法計算週期內各時期模型季節性影響的

相對數季節指數反映了該季與總平均值間的穩定關係若季節指數大於

1則表示該季的值常會高於平均值若季節指數小於 1則表示該季的值

常會低於平均值若序列的季節指數都近似於 1則表示該序列沒有明顯

的季節效應季節指數的計算方式如下

計算週期內各期平均數

k=12hellipm (26)

計算總平均

(27)

計算季節指數

11

k=12hellipm (28)

其中 n為期數m為季節數

22 複線性迴歸分析

迴歸分析的目的主要是建立變數之間的關係進而應用於預測分析中

內政部營建署(1997)就曾利用迴歸分析來探討反彈數及現場鑽心試體之間

的抗壓強度關係進而建構出一迴歸方程式做為混凝土試體的抗壓強度

預測而在土木工程領域中也已有許多學者利用迴歸分析來進行研究

例如潘南飛與黃冠智(2005)利用迴歸分析來預測橋面版劣化狀況且考慮

以交通量及降雨量作為迴歸模式中的自變數最後得一配適佳的迴歸式

凌偉峻(2006)利用複線性迴歸分析建立模式及混沌系統的相空間鄰近點相

似特性來建立車流量預測模式Cheung et al (2008)使用氣候值持續值

颱風強度Julian Date記日本地時間七級風暴風半徑及颱風中心速度共

7個預報參數進行多變量的複線性迴歸(multiple linear regression)分析並以

20個傳統雨量站進行測試各新增變量中以颱風強度七級風暴風半徑及

中心速度對預報之改善較顯著其受改善之時數及相關係數之增加幅度皆

較其它變量為多顯示颱風結構參數在颱風降雨預報中比簡單的季節性因

素或日夜對流差異來得重要

敘述自變數( 1 kx x x x 2 3 )依變數 y 和誤差項 i 之間關係的方程式

稱為複線性迴歸模式複迴歸其主要目的有二

1 可以降低隨機誤差此與迴歸之變異數分析有關增加解釋變數之個數

可以使迴歸分析可解釋變動的部分增加相對的誤差就會減少

2 可以避免反應變數中影響重大的解釋變數有所遺漏而無法具體描述實

際資料的狀況估計複迴歸方程式或估計多元迴歸方程式(Estimated

multiple regression equation)大部分情況下複迴歸模式中的迴歸參數

皆不知其實際數值僅可以利用樣本數值估算分別以樣

本統計值 作為迴歸參數 的點估計值本研究

利用全域法訓練迴歸參數 即是利用前九日的歷史資料

複線性迴訓練出迴歸係數預測出第十日的資料型態複迴歸分析是將

簡單迴歸分析其自變數由一個增加至數個研究一群自變數和一個反應

變數之間的關係複線性迴歸模式定義如下

12

(29)

其中 為常態 n 隨機變數期望值 E(ε)=0且彼此互相獨立若有 n

組樣本觀測值(ngtp)組我們就可將方程式寫成

(210)

其中 i=123hellipn

若將複線性迴歸寫成矩陣可得下式

(211)

也可將式(211)寫成矩陣形式

(212)

其中 為觀察值向量 為參數向量 為自變數矩陣 為獨立之常態

隨機變數向量且滿足 向量 Y的期望值表示如下

(213)

複線性迴歸之最小平方標準方程式矩陣表示為

(214)

其中

為最佳模式之參數矩陣因此可求得最小平方估計式矩陣

表示為

(215)

其中 為 之轉置矩陣 為 之反矩陣只要利用式(215)

即可獲得複線性迴歸方程式

23 模糊理論

模糊理論是由美國加州大學伯克利分校電氣工程系的L A Zadeh在

1965年首次提出Zadeh在1965年發表了一篇傳統科學皆以排除具模糊性的

研究為主而模糊理論則以包含模糊性的研究為主現今科學發達所要

探討的議題越來越多由於人類的知識與研究會因本身主觀的意識因應

不同的人事時地物而具模糊性使得無法清楚呈現研究的本質為何要

13

在日常生活中精確地描述一個現象必定忽略其中的些微變化然而此描

述又無法真實描述現實因此模糊理論(Fuzzy Theory)正好能被廣泛應用在

研究上

模糊概念是指這個概念的外延具有不確定性或者說它的外延是不清

清楚的是模糊的例如好的壞的好壞的概念我們非常清楚但是

它的外延也就是究竟事件發生的條件到底是要如何才會是好的跟壞的

每個人的回答都會是不同的這就是一個模糊的概念所以當我們在接

觸模糊時是允許主觀意識的因為每個人對模糊的概念不盡相同儘管

如此當我們利用模糊統計方法進行分析時對於好與壞之間的界限又有

一定的概念

其次模糊性與精確性是相對立的但卻不能將模糊性理解成較差的

結果因為實際上我們在處理客觀事物時經常藉助於模糊性例如

若我們要在路上找一位「年輕的漂亮女孩」「年輕」及「漂亮」都是模

糊的概念但對我們而言這在路上不難找到因為我們的大腦會分析什麼

是「年輕」及「漂亮」於是我們就可以判斷出我們要找的人然而若我

們要求必須用電腦查詢「年輕的漂亮女孩」我們就必須將「年輕」及「漂

亮」這兩個模糊的條件利用具體的數據輸入電腦分析才能找到符合我們

要求的人

最後人們對模糊性的認知常與隨機性混淆其實它們之間有著很大

的不同隨機性是本身具有明確意義只是因為發生的條件不充分使得

在條件與事件之間不能產生確定的因果關係所以事件的出現與否表現出

一種不確定性而事物的模糊性是指我們要處理的事物的概念本身就是模

糊的即一個對象難以確定是否符合這個概念也就是由於概念外延模糊

而帶來的不確定性

231模糊的發展

模糊理論是在美國加州大學伯克利分校電氣工程系的 LAzadeh 教授

於 1965年創立的模糊集合理論的數學基礎上發展起來的主要包括模糊集

合理論模糊邏輯模糊推理和模糊控制等方面的內容

早在 20世紀 20年代著名的哲學家和數學家 B Russell就寫出了有關

「模糊性」的論文他認為所有的自然語言均是模糊的比如「紅的」和

「老的」等概念沒有明確的內涵和外延因而是不明確的和模糊的可是

14

在特定的環境中人們用這些概念來描述某個具體對象時卻又能心領神會

很少引起誤解和歧義

美國加州大學的 L A Zadeh 教授在 1965 年發表了著名的論文文中

首次提出表達事物模糊性的重要概念隸屬函數從而突破了 19世紀末勒

內middot笛卡爾（Rene Descartes）的經典集合理論奠定模糊理論的基礎1966

年P N Marinos發表模糊邏輯的研究報告1974年L A Zadeh 發表模

糊推理的研究報告從此模糊理論成了一個熱門的課題1974 年英國

的 E H Mamdani 首次用模糊邏輯和模糊推理實現了世界上第一個實驗性

的蒸汽機控制並取得了比傳統的直接數字控制演算法更好的效果從而

宣告模糊控制的誕生1980年丹麥的 LPHolmblad 和 Ostergard 在水泥窯

爐採用模糊控制並取得了成功這是第一個商業化的有實際意義的模糊控

制器

事實上模糊理論應用最有效最廣泛的領域就是模糊控制模糊控

制在各種領域出人意料的解決了傳統控制理論無法解決的或難以解決的問

題並取得了一些令人信服的成效

模糊控制的基本思想把人類專家對特定的被控對象或過程的控制策略總

結成一系列以ldquoIF THENrdquo形式表示的控制規則通過模糊推理得到控製作用

集作用於被控對象或過程控製作用集為一組條件語句狀態語句和控

製作用均為一組被量化了的模糊語言集如「正大」「負大」「正小」

「負小」零等

模糊控制的幾個研究方向

1 模糊控制的穩定性研究

2 模糊模型及辯識

3 模糊最優控制

4 模糊自組織控制

5 模糊自適應控制

6 多模態模糊控制

模糊控制的主要缺陷

信息簡單的模糊處理將導致系統的控制精度降低和動態品質變差若

要提高精度則必然增加量化級數從而導致規則搜索範圍擴大降低決策

15

速度甚至不能實時控制模糊控制的設計尚缺乏系統性無法定義控制

目標控制規則的選擇論域的選擇模糊集的定義量化因數的選取多

採用試湊發這對複雜系統的控制是難以奏效的

232模糊至今應用的範圍

模糊理論發展至今已接近三十餘年應用的範圍非常廣泛從工程科

技到社會人文科學都可以發現模糊理論研究的蹤跡與成果我們分別由工

程科技與社會人文科學的角度瞭解模糊理論應用的範疇

1 工程科技方面

(1) 型樣識別文字識別指紋識別手寫字體辨識影像辨識語音

辨識

(2) 控制工程機器人控制汽車控制家電控制工業儀錶控制電

力控制

(3) 信號及資訊處理影像處理語音處理資料整理資料庫管理

(4) 人工智慧及專家系統故障診斷自然語言處理自動翻譯地震

預測工業設計

(5) 環保廢水處理凈水處理廠工程空氣污染檢驗空氣品質監控

(6) 其他建築結構分析化工製程控制

2 教育社會及人文科學方面

(1) 教育教學成果評量心理測驗性向測驗電腦輔助教學

(2) 心理學心理分析性向測驗

(3) 決策決定決策支援決策分析多目標評價綜合評價風險分

析

233模糊集合

過去傳統數學上集合的基本定義是以二值邏輯(Binary Logic)為基礎的

方式來描述事物為屬於或不屬於此集合也就是元素 x和集合 A的關係

只能是isinA或notinA明確的判斷對象為所屬集合也就是明確集合(Crisp Set)

如果要描述適當的模糊事物時須將所屬集合的概念模糊化使之無明確

判對象所屬的集合模糊集合是指在界限或邊界不分明且具有特定事物的

集合以建立隸屬函數(Membership Function)來表示模糊集合承認論域

(Universe of Discourse)上存在既非完全屬於集合A又非完全不屬於集合A

16

使傳統集合的絕對屬於的概念改變為相對屬於的概念以數學式表示論域

U 上的模糊集合 A可表示為元素 x與它的歸屬函數集合

(216)

其中 A為一模糊集合 為歸屬函數x稱作元素U為論域一

般情況下歸屬度會界定在 0跟 1之間

(1) =0表示元素 x不屬於

(2) =1表示元素 x完全屬於

(3) 趨近 0表示元素 x極不可能屬於

(4) 趨近 1表示元素 x極有可能屬於

這個表示式的完整解釋為當 x 在 U 的範圍內會對應到一個介於 0

到 1之間的數值 所有這種 x所成的集合就是一個模糊集合模糊集

合可表示為

1 當論域Ｕ為有限離散(discrete)集合的情形下模糊集合 可表示成

(217)

2 當論域Ｕ為實數論域所組成之在連續(continuous)集合的情形下模糊

集合 可表示成

isin (218)

其中 並非積分符號而是單純的連結符號

234 模糊數(Fuzzy Number)

1 模糊數(triangular fuzzy number)

假設 是模糊集合或模糊數(FN)在實線 2R 上則以三角形隸屬函數

(triangular membership function）表示為 1 2 3( )a a a 2 x R to A 則

1

1 2 1 1 2

3 3 2 2 3

3

0

( ) ( ) ( )

( ) ( )

0

x a

x a a a a x aA x

a x a a a x a

x a

(217)

17

1

其隸屬函數圖形如圖 21

圖 21 三角模糊數

2 梯形模糊數(trapezoidal fuzzy number)

梯形模糊數可表示為 如圖 22其隸屬度函數定義為

(218)

其隸屬度函數如圖 22

圖 22梯形模糊數

a b c d

1

18

在一信賴區間 α水準α 01 我們定義 A

( )A x A x (218)

三角形隸屬度函數以 α-cut表示為

( ) ( )

1 3 1 1 2 3 2 3[ ] [ ( ) ( )]A a a a a a a a a

(219)

( )

1a 與 ( )

3a 個別代表 A的下界及上界

根據模糊算術方法Zadehrsquos sup-min 方法表示如下

( )( ) sup min( ( ) ( ))x y z

A B z A x B y

(220)

其中 sup表任何模糊算式Mizumoto and Tanaka（1976）使用相同方

法在 α 截集模糊數和區間算術Chang（2003）和 Chang et al （2006）和

Chang and Hung（2006）整理使用 α 截集模糊算術方法的文獻α截集模

糊算術中模糊數基本運算公式（加法減法乘法除法）可以計算的

更快在每一個 α-level 區間中使用區間算術（Kaufmann and Gupta

1988）

1 模糊數加法

令A和 B分別為兩模糊數 A和 B在一信賴區間 α水準 ( ) ( )

1 2[ ]A a a

( ) ( )

1 2[ ]B b b αisin 01 forall A B sub 2R 表示如下

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 2 1 2 1 1 2 2[ ] [ ] [ ]A B a a b b a b a b

forallαisin 01 (221)

2 模糊數減法

在一信賴區間 α水準forall A B sub 2R αisin 01

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 2 1 2 1 2 2 1[ ] [ ] [ ]A B a a b b a b a b

(222)

3 模糊數乘法

在一信賴區間 α水準forall A B sub 2R αisin 01

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 2 1 2 1 1 1 2 2 1 2 2

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 1 1 2 2 1 2 2

[ ] [ ] [min(

max( )]

A B a a b b a b a b a b a b

a b a b a b a b

(223)

4 模糊數除法

在一信賴區間 α水準forall A B sub 2R αisin 01

19

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 1 1 2 2

1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 2 1 2 1 2 1 2

[ ] [ ] [min( )max( )]a a a a a a a a

A B a a b bb b b b b b b b

式中 ( )

1b ( )

2b gt0forallαisin[01] (224)

235模糊運算

根據 Zadeh（1965）的擴展原理（Extension Principle）可以廣義的使

用一般基準 T取代原來的最小值模糊數的數學運算表示如下

1 加法

( )( ) sup ( ( ) ( ))x y z

A B z T A x B y

(225)

2 減法

( )( ) sup ( ( ) ( ))x y z

A B z T A x B y

(226)

3 乘法

( )( ) sup ( ( ) ( ))x y z

A B z T A x B y

(227)

4 除法

( )( ) sup ( ( ) ( ))x y z

A B z T A x B y

(228)

24 模糊迴歸

在科學研究過程中許多研究者常使用迴歸來描述自變數 x和應變數 Y

之間的關係傳統的迴歸分析均假設觀察值由實際應變數影響加上隨機誤

差而產生也就是說應變數是一種帶有不確定性的隨機變數不過在很

多的實務應用上往往無法滿足這樣的假設例如有些應變數 Y 的觀察值

並不是以單一數值的型式存在而是帶有多重隸屬的特性這些觀察值雖

然帶有不確定性但這種不確定的特性是來自於模糊現象而非隨機現象

若由模糊觀點套用迴歸分析來處理模糊資料問題就稱為模糊迴歸分析

模糊迴歸分析最早是由 Tanaka et al (1980) 提出一般模糊迴歸能夠處理的

樣本型式有兩種一種是實數值樣本 其中 為實數向量 為觀測

到的實數值另一種是模糊數樣本( 其中 為觀測到的模糊數不論

是實數值樣本或是模糊數樣本想要估計模糊迴歸參數估計方法大都是

20

利用線性規劃的技巧來尋求一組能將實數值樣本 或模糊數樣本(

包含在內的區間再將三角形隸屬函數（triangular membership function）套

用

在此區間上如此便求得一組模糊迴歸估計式要得到正確的估計結

果最好是收集具有代表性的隸屬函數樣本所謂具有代表性的隸屬函數

樣本應該是以模糊數的形式存在所以本文就樣本模糊數 進行討論

線性模糊迴歸模式常表示成

0 1 1 2 2( ) i i i p piY x A A x A x A x (229)

其中 1 2 3(1 ) i i i i p ix x x x x 為自變數向量 ( )iY x 為模糊應變數

為模糊參數利用樣本模糊數 估計參數 時通

常假設 與 的隸屬函數為對稱三角型式 與 的隸屬函數表達如下

( ) max 1 0 i

i

Y

i

t yt t

r

(230)

其中 為三角隸屬函數的中點 為三角隸屬函數的分布半徑可令

( ) max 1 0 m

m

A

m

t ct t

s

(231)

其中 為三角形的中點 是三角形的分布半徑 與 間的關係

如圖 23所示

圖 23模糊數的中心值與散佈值

1

0

21

再令 則前述的模糊迴歸方程式可改寫成

0 1 1 2 20 1 2( ) i i ipi p pY x x xC S xC S C S C S (232)

因此模糊應變數 ( )iY x 的隸屬函數也屬於三角型式可表示成

( )

0

0

( ) max 1 0 Y xi

p

m m

m

p

m mi

m

t c x

t t

S x

(233)

其中 因此只要估計出三角形的中點 及半徑 便可得到

隸屬函數的估計值模糊迴歸分析是在要求每一個觀測值 隸屬於模糊

迴歸區間的隸屬程度至少 的情況之下尋求最小的模糊迴歸預測區間如

(234)式表示

forall ( 234)

在利用 對未知的模糊參數 進行估計前一般先定

義模糊樣本 和模糊應變數 的 h截集其定義如下

令 為一組模糊樣本 ( )iY x 為模糊應變數若 與

分

別為 及 的 h截集(h-cut)則

(235)

(236)

因具代表性的樣本 其 h 截集 應要盡量接近模糊應變數 的 h

截集 意即

其中容許

不完全落在 之

內的情形發生根據以上觀點王景南(2002)認為樣本的左端點

和右端點 隸屬於 的程度會有一定的水準於是設立此水準

為 H因此假設 隸屬於 的隸屬度會盡量的接近 H其間的關係

為

( 與

( (237)

所謂的盡量接近 H是可允許隸屬度大於 H或小於 H而不是均大於

22

H

根據以上的對樣本的解釋運用最小平方法以所有樣本的左端點

配置一迴歸直線稱之為左端直線估計式

(238)

其中 為迴歸係數再以所有右端點 配置右端

直線估計式

(239)

其中 為迴歸係數

前文已假設樣本的左右端點隸屬於 的隸屬度會盡量的接近 H所

以將這兩條直線函式來估計 之 H截集的左右邊界即

(240)

如此可推導出 的隸屬函數為

(241)

其中 且

(242)

意即

(243)

其中

為三角形底邊中點是

分布半徑如此便可得一組估

計的模糊迴歸模式

(244)

仍需注意的是當樣本為對稱型態時左右迴歸函數式其配適的結果式

相同的只有常數項不同當對稱情形發生時可以考慮利用各別對應相

之權重除以常數項的分布半徑做為個別對應項之分布半徑意即

分布半徑

除此之外Celmins及Diamond Celmins也分別提出最小平方法之模糊迴

23

歸模式以便求解資料間距離最小的模糊迴歸方程

模糊迴歸應用上比統計迴歸更具彈性統計迴歸通常需要大量資料以

支持其假設而模糊迴歸卻無此需求因此當資料量不足或隨機性難以驗

證時模糊迴歸是較強健的(Robust)同時當所蒐集之資料的不確定性乃

來自於人類之主觀判斷時模糊迴歸較具適用性

因此模糊迴歸模式逐漸受到重視在1990年代的研究包括Sakawa及

Yano針對投入變數與輸出變數皆為模糊資料的問題建構出一個多目標的模

糊迴歸模式此外Chang和Lee則認為模糊迴歸中心線的趨勢與模糊迴歸散

佈值的趨勢可以存在不一致性為了分析統計迴歸與模糊迴歸的差異Kim

Moskowitz 及Koksalan 利用模擬分析比較統計迴歸與模糊迴歸的結果認

為由機率論所得的統計迴歸模式在大樣本時其預測績效遠比可能性理論

(Possibility theory)推演而得的模糊迴歸模式為佳然而當資料量遞減或所構

建的模式適合性變差時(即變數間存在模糊關係)則模糊迴歸模式的預測績

效將優於統計迴歸模式由於模糊迴歸模式在解決資料量少及系統關係模

糊不清的問題上具有較佳之績效而存在其正面之價值當變數間存在模

糊關係時

從早期到目前已發展出多種模糊迴歸模式求解方式以下根據薛展青

(2004)所整理的模糊迴歸分析整裡敘述如下

1 區間迴歸法

區間迴歸法(interval regression)其模型架構主要是由Tanaka et al(1982)

所提出的模糊線性迴歸(fuzzy linear regression)模型Tanaka et al(1982)所發

表的論文中表示傳統的迴歸模型中造成實際值與估計值的誤差來源被

認為是由測量或觀察所造成的而此誤差項在模糊線性迴歸模型中是因

模糊系統中參數的模糊性所產生的即誤差是反應模糊線性函數的模糊現

象因此以模糊線性函數來表示迴歸方程式而迴歸參數則是以模糊集合

來表示

Tanaka et al(1982)在估計模糊迴歸參數時是利用線性規劃技巧

(linearprogramming method)來尋求一組能將實數值樣本或模糊數樣本全部

包含的區間最後求得一組對稱三角形模糊數之迴歸參數

自Tanaka等人(1982)的文章發表之後後續的學者大多以此為基礎陸

續題出各種相關的模式與求解方法如Peters (1994)將Tanaka的線性規劃法

24

求解推廣為模糊線性規劃法求解讓資料對模糊迴歸模式的適應性更加提

升YenGhoshray 與Roig (1999)提出由於非對稱迴歸係數導因於大多數的

資料為離群值使得對稱三角迴歸係數不再適用因此將Tanaka et al的模

式推廣為非對稱三角迴歸係數Moskowitz 與Kim (1993)探討不同水準值下

模糊迴歸模式的求解與模式配適程度Redden 與Woodall (1996)探討模糊

迴歸分析預測未來值的結果Sakawa 與Yano (1992)將Tanaka的方法擴展到

依變數及自變數皆是模糊集合的情況並將之稱為多目標線性迴歸法

(multiobjective linear regression model)Koumlrner 與Naumlther (1998)討論解釋變

數與反應變數兩者皆為模糊數值的情況Kacprzyk 與Fedrizzi (1992)則蒐集

了各種不同迴歸模式的求解方法Redden 與Woodall (1994)說明Tanaka後

續提出的求解模式當中所具備的性質以及與傳統迴歸方法的差異比較

但是在此模式下求解之迴歸係數本身亦為一對稱的三角模糊數值

而且求解結果很容易受到資料尺度(scale)的影響使得反應變數估計值之展

度會變得更為寬廣後來Tanaka (1987)根據1982年的文獻發展為更完整的

可能性線性系統使模糊迴歸的結構更趨適應性Tanaka 與Watada (1988)

闡明可能性線性模式的概念推演建構成可能性線性迴歸模式Tanaka et

al(1989)應用模糊資料於可能性迴歸系統中並建構最小化最大化及混合

式三種線性規劃模式又對先前所提出的模式加以修正但就如Redden 與

Woodall (1994)所指出Tanaka 類型的模式對於離群值(outlier)的反應非常

敏感甚至在觀察值的個數增加時求解結果可能會產生無限多解因

此在Tsaur 與Wang (1999)提出的文獻對於在模糊迴歸分析中的離群值進行

一系列探討

2 模糊最小平方法

模糊最小平方法(fuzzy least squares)乃擴展傳統之最小平方法的觀念

最早由Diamond (1988)所提出利用傳統最小平方法的觀念求出一個模糊

迴歸模式以估算(approximate)反應變數的觀察值並非如區間迴歸中的包含

觀察值在其模式中利用反應變數的觀察值與估計值的模糊數值之最小

值最可能值與最大值定義兩者之間的距離以衡量迴歸模式與模糊資

料之間的最佳配適度的情形在使得所有觀察值與估計值的模糊數值之間

的距離平方總和為最小時可以導出類似傳統迴歸分析中的正規方程式

(normal equation)以求解迴歸係數

25

其後Chang 與Lee (1996)則將Diamond (1988)的方法加以擴充將迴

歸係數的最可能值與展度分別估計該方法的特點在於可將極端值(outlier)

加以處理並降低其影響程度Ma等人(1997)則將此類方法發展於適合非

三角模糊數值的場合Diamond 與Koumlrner (1997)則在此類方法中定義一

個判定係數的計算方法以比較不同模式的適合性Wu與Tseng (2002)提出

改善模糊迴歸模式之最小平方法其模式主要觀念是利用最小平方法將所

有樣本的左端點及右端點各配置一條迴歸線然後在將其左右迴歸線統合

成一條迴歸線

而在Kim 與Bishu (1998)的研究中是利用各個具有三角模糊數值的反

應變數之最小值最可能值與最大值以最小平方法分別計算出模糊迴歸

係數所得到的係數不一定為對稱的三角模糊數在此種求解方式下雖

然可以得到比較小的估計誤差但其缺點是無法處理解釋變數為模糊數的

情形另外Kim 與Bishu(1998)還提出了評估模糊迴歸模式的準則利用觀

察值與估計值歸屬函數之間面積的差異做為迴歸模式的估計誤差但其評

估準則的問題是無法比較不同模式在觀察值與估計值歸屬函數之間不具有

交集時的誤差情況在此情況下求算估計誤差時無法準確評估其總誤差而

導致評估失真而其他學者如Yang與Ko (1997)Yang 與Lin (2002)等則

是提出以最小平方法為基礎的模糊聚類分析求解方式

3 模糊隨機變數估計法

為了建構一個同時具有隨機和模糊特性的系統Kwakernaak (1978)首

先提出模糊隨機變數(fuzzy random variables)的概念認為傳統的隨機變數

U Ωrarr R為實數可測函數而模糊隨機變數則將一般隨機變數的概念廣義

化模糊隨機變數可表示為X ΩrarrS設ω isinΩ而ω 所對應到的不再是實

數值U(ω)而是模糊集合X (ω)S 代表模糊集合且Kwakernaak (1978)擴

充原來Zadeh 提出模糊集合之架構認為有時供作參考的資訊不齊全在

對某些述句進行評斷時我們無法判斷其絕對為真或絕對為假此時我

們考慮將原有的二元邏輯思維方式推廣暫且不作肯定的判決而僅是表

達出對錯的程度換句話說真值可以是介於單位區間[01] 內的任何值

如此思維方式稱之為多值邏輯(multivalued value)並將模糊集合視為一組

述句(statement)的集合且每個述句均對應一真值程度以符合人類的思維與

想法Stein 與Talati (1981)利用模糊數值的隸屬函數提出模糊隨機變數

26

的期望值之計算方式Kruse 與Meyer (1987)藉助集合表徵的概念建立了

一套模糊隨機變數的定義而為了讓模糊隨機變數能實際應用並將討論

的範圍界定在一模糊集合族上Koumlrner (1997)及Naumlther (1997)利用該方法以

求算模糊隨機變數的期望值與變異數並應用於線性模糊迴歸模式的求解

等另外在曾能芳(民 91)的博士論文研究中指出在Tanaka et al (1982)

的模糊迴歸模式中並不具備誤差項因此模式無法呈現樣本與期望值之間

的關係而無法討論線性規劃估計程序所具備的統計性質所以在曾能芳

(民 91)提出的迴歸模式中採用模糊樣本是由依變數之模糊期望值加上測量

誤差所組成並提出測量誤差存在於中點的模糊迴歸模式以及測量誤差

同時存在於中點和半徑的模糊迴歸模式

4 兩階段求解方法

以兩階段方法(two stage method)求解模糊迴歸模式的想法是在於結合

最小平方法與區間迴歸的觀念試圖降低反應變數估計值的模糊度如Savic

與Pedrycz (1991)對模糊迴歸模式的求解分為兩個步驟進行第一步以

反應變數的模糊數值之最可能數值為基礎將模糊數值視為簡化的明確數

值以傳統最小平方法求解迴歸係數的中心值第二步利用區間迴歸的

方式在使得迴歸係數的模糊度為最小的情形下以決定迴歸係數的三角

模糊數值Kao 與Chyu (2002)提出另一種模糊迴歸模式的兩階段求解方

法在第一階段先利用解模糊(defuzzification)方法將模糊觀察值轉換成為一

組明確數值之後利用該組明確數值以傳統的最小平方法求解迴歸係

數第二階段則是以Kim 與Bishu 所提之評估準則為目標式決定一個誤

差項估計值的模糊數以使得在Kim 與Bishu (1998)評估準則下的總誤差量

為最小該方法的特別之處在於求解的迴歸係數為明確數值而誤差項估計

值為模糊數值雖然此種求解方式可以得到很小的估計誤差但因其所著

眼的仍是Kim 與Bishu 評估準則下的面積估計誤差使得當觀察值與估計

值歸屬函數之間不具有交集時所衡量出的估計誤差較真實誤差為小且其

求解方法比較適合於觀察值為三角或梯形的模糊數值欲應用於其他型式

的模糊數值求解上則較為困難而在邱清爐(民 91)的博士論文中則是將

其兩階段求解方法對各種不同的模糊迴歸模式進行建構與評估並將其求

解方法應用於工作滿意度實例

5 其他求解方法與相關研究

27

Tanaka 等人(1995)後來提出另外一種模糊迴歸模式的求解方法將傳

統的估計誤差當作是存在解釋變數與反應變數之間的關係之可能性

(possibility)故模糊觀察值的展度可以直接轉換成迴歸係數的指數可能性

分配(exponentialpossibility distribution)而可以使用與傳統迴歸非常類似的

方式加以求解Tanaka與 Lee (1999)再利用辨識方法(identification method)

求解迴歸模式在其研究中利用辨識方法以決定模糊線性系統(fuzzy linear

system)中迴歸係數的可能性分配並認為由此方法所求解的迴歸係數會

有比較小範圍的可能性分配近年來有愈來愈多的學者將模糊迴歸分析

應用於其他傳統的決策方法及不同領域上如 Dunyak 與 Wunsch(2000)使

用 α 截集的端點以類神經網路(neuralnetworks)進行模糊迴歸分析Lee

與 Chen(2001)則將模糊迴歸模式使用於人力預測的問題上Tseng 等人

(2001)將由模糊迴歸模式建立之 ARIMA 模式用以預測匯率Tseng 與

Tzeng(2002)則利用模糊迴歸模式的求解方法以建構具有季節變動的

ARIMA 模式Kim 與 Bishu(1996)應用於人力可靠度分析的操作反應時間

上Wu 與 Tseng(2002)將其模糊迴歸模式應用在景氣對策信號上的分析

王景男(民 89)將模糊迴歸分析應用於籃球比賽攻防技術策略上曹勝雄

曾國雄江勁毅(民 85)以國人赴港旅客需求之預測為例說明傳統迴歸

模糊迴歸類神經網路之差別張良斌陳育民(民 86)將模糊目標迴歸法

應用在垃圾衛生掩埋場沼氣回收設備的成本估算謝邦昌林燦隆呂理

添(民 85)將模糊迴歸運用在甘蔗產量的預測對於上列有關模糊迴歸分析

的研究中絕大部份的文章均侷限於線性模式的分析鮮有文章討論非線

性模糊迴歸模式的求解最近雖然有少數學者開始討論非線性模糊迴歸模

式的解法如 Xu(1997)Buckley 與 Feuring(2000)的研究等但使用的方

法所求解的迴歸係數仍然為模糊數值其造成反應變數估計值的展度會

隨著解釋變數之數值增加而擴大的問題仍無法避免

28

第三章 研究方法

本章介紹本文將運用於數值分析中的預測研究方法利用本章建構的

方法可清楚了解如何利用混沌理論基於相空間重構的方式及模糊迴歸方

法於預測中

31 混沌時間序列建立預測方法

時間序列的模型建構和預測是資料處理研究領域中的重要方向其中

預測方法主要有線性和非線性預測方法兩種預測就是對未來作出估計和

推斷而通常要對研究對象或資料進行假設這一過程稱為建模利用建

模的方式獲得資料的科學表示就稱為模型混沌時間序列雖然看似隨機

但它卻是由確定系統產生的因此我們可以對混沌時間序列作出短期預測

同時由於混沌對初始條件微小差異的高度敏感性我們無法對混沌時間序

列作出長期預測每一步預測帶來的微小偏差都會使得下一步預測的偏差

擴大最終導致預測序列與原始序列完全不同

311李亞普諾夫指數判定資料混沌特性

進行預測前需根據 212節中提及的李亞普諾夫指數來判定資料是否

具有混沌特性最大李亞普諾夫指數是判斷和描述非線性時間序列是否為

混沌系統的重要參數因此是一個重要的混沌不變數

混沌系統中的李雅普諾夫指數可用來判斷系統是收斂的還是混沌的當系

統的李雅普諾夫指數中至少有一個為正時系統是混沌的 當系統的李雅

普諾夫指數均為負數時系統是收斂的 對於系統是否存在動力學混沌可以直觀的判斷最大李亞普諾夫指數是否

大於零一個正的李亞普諾夫指數代表著在系統相空間中無論初始兩

條軌跡的間距多小兩條軌跡的差別都會隨著時間的演化而成指數率的增

加而導致無法預測這就是混沌現象

312重建相空間

傳統的建模和預測方法己廣泛地應用社會科學中但大部分都是基於

線性系統混沌時間序列並不適用於非線性的混沌時間序列於是在判斷

時間序列性質後若判定序列以隨機性為主應採用從 AR 或 ARIMA 等隨

機模型來預測如果判定以混沌為主則應採用非線性確定性的方法進行

29

預測非線性時間序列的預報是經過相空間重構後對相空間中的動力軌

跡進行預報由於混沌系統具有被稱為「蝴蝶效應」的初始值敏感性所

以混沌時間序列是不能長期預測的但對於短時間內混沌系統的軌道在

相空間中具有一定的規律它們的預測性是可獲得的並比一般的基於統

計方法的預測能力要來得好

時間序列資料是時間離散後的樣本值用 表示將它「嵌入」到

一個 m維(mgt0)的空間中進行相空間重構後得到嵌入向量

(31)

由嵌入向量 可擴張成一嵌入空間 E由 Taken嵌入定理可知存

在映射面 滿足

(32)

上式表是出在拓樸的意義中可完全預測吸引子的特徵所以上式也可

表示為

(33)

其中函數 為 的一個估計值由式 (33)可得之我們可用

來預測

313相空間維度相關維度

在實作的研究上有許多方法可以用來估計混沌吸引子的維度本研

究選用較為常見的相關維度方法相關維度需先計算相關和將相空間中

所有樣本點皆計算其各別半徑收斂後之趨近值相關方程式（Correlation

Function）定義如下

(34)

其中

當 rrarr0時

兩邊同取對數可得

(35)

定義相關維度為 與 之曲線斜率為

(36)

在實際應用中經常給定一組維度 值選取適當的 r繪出

30

曲線求曲線當中直線段的斜率 如果系統存在這樣一個 值達到此

值後相應的關聯維數不再隨 的增長而變化也就是趨於飽和這表明

該序列為混沌系統其吸引子是存在的此時 值即為重構相空間的最佳

嵌入維數否則則表明該序列為隨機系統不具有混沌性

314 時間遞移數

利用 2123節中介紹的概念及 2124 中介紹的自相關函數求解出時

間遞移數的結果自相關函數公式如下

1

1

1( )( )

1( )

n k

t t k

tk n

t

t

x x x xn k

r

x xn

(37)

n為原資料樣本數k為時間遞移後的樣本點

將自相關係數計算的結果與每一筆遲延時間距離數值繪製成圖表可

由圖表中可分析辨別時間序列數據的初步基本特徵圖表繪製的結果顯示

自相關係數跟隨遲延時間距離數值的增加而顯示收歛且具有震盪循環之跡

象則表示數據具有一種規則屬於一混沌時間序列

32 複線性迴歸

確立資料為混沌後運用自我相關係數計算出時間遞移數及相空間維

度後將加入複線性迴歸運算複線性迴歸中常用的預測方法分為兩種

1 全域法

全域法就是利用相空間軌跡中的全部向量點做為擬合對象找出其

規律由此進行短期預測也就是說利用收集的大量的歷史資料利用

複線性迴歸訓練出迴歸參數再將未放進訓練迴歸參數的資料使用訓練

出的迴歸參數計算出預測值的資料型態本文還將原本的歷史資料分析

出資料的季節性後先去除季節性的影響最後再加回季節性討論預測結

果

2 局域法

局域法的基本原理是僅利用有限個鄰近點的資訊而不是利用全部的

樣本點來擬合 局域法預測是把相空間軌跡中的最後一點作為待測點對

離待測點鄰近的若干個相空間點的關係作出擬合再對預測相空間點的未

來演化規律進行預測本文使用零階局域法零階局域法是直接將鄰近樣

31

本點應用於預測根據鄰近樣本點預測 的最簡單的方法就是尋找相

空間中距離 最近的點假設距離最近的點是 那麼它的下一個樣本

點為 即可做為 的預測值

因數值資料在每日重複發生變動所以本研究又加入計算季節性指數

對趨勢線做季節性調整也就是對時間序列做季節性調整

33 模糊迴歸分析

運用模糊的概念帶進迴歸模式中處理具模糊性的資料問題此稱為模

糊迴歸分析本文利用的模糊迴歸模式主要有兩個方向一個是Tanaka et al

(1982)提出的模糊線性迴歸另一個是由Chang 與Lee (1994)所提出修正型

迴歸模式Tanaka 起初所提出的線性規劃模型

0 1

[ ( )]p n

j ij

j i

Min C X

st 0 0

(1 ) (1 )p p

j ij j ij ii

j j

X H c X y H e

(38)

0 0

(1 ) (1 )p p

j ij j ij ii

j j

X H c X y H e

0jc j R 0 1iX 0 1H 123i n 012j p

Tanaka 所提出的模糊模型未考慮到散度為負值的條件所以模糊上下

界會不斷的擴張而越來越寬大由 Chang 與 Lee (1994)所提出修正型迴歸

模式即將模糊的散度可為負值使上下界的模糊區間為遞減的情形遞

減的情形由圖 31表示

圖 31 模糊區間隨自變數越大而越窄

0

2

4

6

8

10

上界 中心線 下界

32

假設圖表中計算出的模糊迴歸函數為 0 0 1 1 Y c c X 模糊上界為

0 0 1 1UY c c X 模糊下界為 0 0 1 1LY c c X

33

第四章 數值分析

本章資料來源1台灣區車輛工業同業公會

2台北市交通局

本章所使用的數據資料為台北市交通局提供的公開的車流量資料數

值分析所使用的方法已在第三章論述利用第三章的方法分析數值預測的

準確性並結合模糊迴歸常見的兩種方法幫助決定預測的可接受範圍本

章介紹本文所利用的數學模型及方法在複線性迴歸的模型中分成混沌全

域法去季節性後的混沌全域法以及混沌局域法預測出的結果加以討論預

測的準確性再將預測值去季節性觀察準確程度最後再帶入模糊迴歸

利用 05H 加以討論如何將模糊迴歸中的散度用以選擇預測值的範圍第

一節針對傳統複線性迴歸方法並結合全域法觀念訓練資料迴歸係數討

論預測結果第二節針對傳統複線性迴歸方法並結合局域法觀念訓練資

料迴歸係數討論預測結果第三節針對預測資料去除季節性後再利用

傳統複線性迴歸方法討論預測結果第四節針對模糊迴歸的兩種方法選

擇出預測的範圍

利用第三章論述的時間遞移及相關維度的做法將本文利用具混沌性

的資料加以分析將資料先利用 212 節中介紹的李雅普諾夫指數 判定是

否具混沌性具有混沌性的資料才能利用混沌理論重構相空間若李雅

普諾夫指數 介在 0跟 1之間則表示資料具有混沌性質本文資料利用程

式計算出李雅普諾夫指數 運用自我相關係數判斷出時間遞移

數 相關維度計算出維度 我相關係數判斷時間遞移數與相關維

度的圖形以及原始資料時間遞移後的資料圖如圖 41圖 42圖 43

34

圖 41相空間維度及 lnC與 ln r斜率關係圖

圖 42相空間維度及 lnC與 ln r斜率關係圖

0

1

2

3

4

5

6

7

0 5 10 15 20

相空間維度

斜

率

d

-02

0

02

04

06

08

1

12

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33

時間遞移數

自我相關函數

35

圖 43 原始資料時間序列圖

41 複線性迴歸混沌全域法

本文所使用的資料為 10日的車流量資料利用前 9日的資料訓練出迴

歸參數將迴歸參數代入複線性數學模型中計算出的迴歸方程式為

1 2 3 4

5 6 7 8 9

10 11 12 13 14

435363 00819 00338 01777 00070

01116 01999 00299 02716 00349

01399 00056 01113 00738 02038

y x x x x

x x x x x

x x x x x

(41)

解出迴歸參數計算出複線性迴歸方程式後再將最後一日 144筆的車

流資料代入方程式中計算出預測值利用複線性迴歸混沌域法預測出的結

果如圖 44

圖 44 複線性迴歸分析預測與原始資料比較圖-全域法

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

1 53

10

5

157

209

26

1 31

3

365

41

7

469

52

1 57

3

625

67

7

729

78

1 83

3

885

93

7

989

10

41

1093

11

45

1197

12

49

1301

13

53

1405

原始資料點

原始資料點

-50

0

50

100

150

200

1

7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

103

109

115

121

127

133

139

實際值

預測值

36

由圖表的狀況可觀察出運用複線性迴歸模型預測的結果不盡理想本

研究認為運用複線性迴歸預測的結果不佳的原因有二

1 利用全域法預測是將較大量的歷史資料加入考慮訓練出迴歸參數這

樣的結果造成削弱了原本的奇異點(相較於同時段資料差異性較大的點)

的影響力

2 嵌入維度 太高對於混沌時間序列隨著嵌入維度增高歷史

對未來的影響是呈指數衰減的所以全域法所利用的資訊歷史就越長

預測的精準度就會迅速下降因此本研究將加入局域法討論預測的準

確性

42 複線性迴歸混沌局域法

局域法的做法為尋找相空間重構後的點對待測點尋找鄰近的 k個相

空間點對離待測點鄰近的若 k個相空間點的關係作出擬合並分析出複

迴歸方程式的迴歸參數本文嘗試選取 k=50~250的結果以下只列舉 k=200

的圖解釋預測結果

圖 45 複線性迴歸分析預測與原始資料比較圖-局域法(k=200)

圖 44與圖 45比較後可看出區域法預測的準確性比全域法更好某

些預測出來的結果的點與原始資料的點差異性大有明顯的偏移本研究

認為利用局域法預測的結果不佳的原因如下由圖 45可看出預測結果與

原始資料間差異性較大的點位為數列的右側 而數列尾端的資料為凌晨或

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

1

7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

103

109

115

121

127

133

139

實際值

估計值

37

是深夜的車流量因每日凌晨或是深夜的車流量變化量較少(例如某日的凌

晨十二點十分可能為 0台車或是小於 10台車經過)所以資料的差異性

較大造成頭尾的資料預測上較為不準確

因為同時段的資料可能會影響資料預測出的結果所以我們下節就以

加入季節性的考慮來加以討論預測結果

43 複線性迴歸去除季節性後混沌全域法

本文使用的車流量資料為每日 24時換算成 1440分鐘每 10分鐘記

錄一點於是本研究依資料的記錄時間點來劃分季節性將季節分成 144

個季分別求出季節性指數求取季節性指數後將每個資料點先去除季

節性利用全域法訓練出去季節性後的迴歸係數再利用複線性求出預測

值最後將去除的季節指數乘回預測點結果如下

圖 46考慮季節性複線性迴歸分析預測與原始資料比較圖-全域法

此考慮季節性因子的複線性迴歸分析預測與原始資料的比較是用全

域法去訓練迴歸參數的而由圖 44我們可以得知一開始未考慮季節因

子使用全域法的複線性迴歸預測是不準確的本研究認為原本的歷史資

料隨著季節性因子的變化該系統原本呈現複雜的動態特性實際上由於

車流量的變動有許多外在因素的影響例如氣候假期hellip等影響會使

資料的變化過程發生不同程度的偏離而對於季節性事件來說其事件發

生的過程主要受季節性參數週期性變化的影響 因此影響因素的具體形

式可以近似地表示為單一函數本文考慮季節因素對車流量的影響意即

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

1

7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

10

3

10

9

11

5

12

1

12

7

13

3

13

9 實際值

預測值

38

經過季節性分析後的得到的預測分析結果很準確如圖 46所示此結果

表示季節性影響樣本資料的情形大也代表著在季節因素影響下系統中

事件的動態變化情況是隨著季節影響參數的變化而造成系統呈現各種

各樣複雜的動態特性如週期解混沌情形hellip等

44 模糊迴歸

441Tanaka模糊迴歸

μ及 H 值之選定原則為當不確定性愈大時其 μ及 H 值愈接近 0

反之當資料不確定性愈小時μ及 H 值取愈接近 1 之值Bardossy 等人

建議其值在 05~07間為適宜根據 Tanaka在 1982年所提到的方法我們

可以求得一模糊迴歸函數並可得知其中心線與其上界及下界假定在 H =

05的情況下利用 Tanaka模糊迴歸模式算出迴歸函數為

(42)

中心線與上下界的簡單迴歸方程式為

中心線 (43)

上界 (44)

下界 (45)

繪製出的圖形如圖 47所示

圖 47 Tanaka 模糊迴歸

0

50

100

150

200

250

300

1

7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

103

109

115

121

127

133

139

下界

中心線

上界

39

圖 48 Tanaka 模糊迴歸中心線與預測值之結合

從圖 48可看出預測值與模糊迴歸的中心線 有明顯的時間差異但由

圖可以觀察出模糊迴歸的中心線 的預測趨勢與實際值是相近的雖然利

用模糊迴歸預測的時間點比實際時間快但是相對來說也是可以用來預

測之後將發生的趨勢本研究認為若模糊迴歸可用於預測中則可用模糊

的散度 c當做預測行為中選取的可接受的變動範圍如圖 49最後將 Tanaka

模糊迴歸中心線上下界與實際值之結合如圖 410所示

圖 49 Tanaka 模糊迴歸中心線上下界與實際值之結合

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

1

8

15

22

29

36

43

50

57

64

71

78

85

92

99

106

113

120

127

134

141

實際值

中心線

0

50

100

150

200

250

300

1

7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

103

109

115

121

127

133

139

實際值

下界

上界

預測

值

預測值

40

圖 410 Tanaka 模糊迴歸中心線上下界與實際值之結合

442修正型 Tanaka模糊迴歸

因為我們要將模糊迴歸應用於預測中所以本研究將複線性迴歸的趨

勢線視為模糊迴歸的中心線再利用修正型 Tanaka模糊迴歸模式算出迴歸

函數為

(46)

中心線與上下界的簡單迴歸方程式為

中心線

上界

下界

繪製出圖形如圖 411

0

50

100

150

200

250

300

1 7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

103

109

115

121

127

133

139

實際值

預測值

下界

上界

41

圖 411 修正型模糊迴歸中心線上下界與實際值之結合

本研究使用的修正型模糊迴歸中心線與傳統的迴歸方程式相同所以

可用來處理或分析模糊資料與明確資料同時修正型模糊迴歸的上下界

與 Tanaka 模糊迴歸相較也變窄了此兩種現象就是修正型迴歸的特色因

為中心線與傳統的迴歸方程式也相同這種修正型迴歸散度可選擇為負值

的特色本研究認為可以應用在預測上因為上下界與中心線間的散度變

窄使得前文所敘述到的利用散度來選取預測範圍便可更為嚴格也可

使預測的結果更為可靠如圖 412所示

圖 412 Tanaka 上下界與修正型模糊迴歸上下界的寬度差別

0

50

100

150

200

250

1 7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

103

109

115

121

127

133

139

下界

中心線

上界

0

50

100

150

200

250

300

1 8 15

22

29

36

43

50

57

64

71

78

85

92

99

106

113

120

127

134

141

Tanaka下界

Tanaka上界

Tanaka修正型下界

Tanaka修正型上界

42

第五章 結論及未來研究方向

51 結論

根據前文的討論傳統迴歸和模糊迴歸建立在不同的理論基礎上傳

統迴歸是以機率為基礎而模糊迴歸則是以可能性為基礎傳統迴歸因變

數的估計值與觀測值之間的差異為因變數的隨機性而模糊迴歸因變數的

估計值則產生於觀測值之模糊度惟兩者最大不同處在於模糊迴歸式的

迴歸係數與預測值皆為模糊數（區間值）不同於傳統迴歸係數與預測值

均為明確的數值此外傳統迴歸侷限於對明確資料的分析可能性模糊

迴歸僅適用於分析具模糊性的資料而複合的模糊迴歸則可同時適用於分

析模糊與明確的資料此為此模式最大的特點

模糊迴歸應用於預測中大多的結果是不佳的但是我們透過結合混

沌與模糊迴歸的概念將混沌的預測單點概念拓展成一個可接受的預測

範圍

PT Chang 與ES Lee 使用修正型模糊迴歸重新定義散度做出新的

模糊上下界均為改善模糊迴歸模式Tanaka之研究本研究將模糊迴歸與

混沌理論之建立時間序列的預測情形加以結合討論發現模糊迴歸在預測

的行為中是可行的但可惜的是即使預測的趨勢相近但預測值出時間

的點卻有差別這樣的結果我們可以看出若能找到解決加強模糊與複線性

迴歸關係之間時間的關聯性就能利用模糊的不確定性來討論預測問題

52 未來之研究方向

本研究將模糊迴歸與混沌理論之建立時間序列的預測情形加以結合討

論發現模糊迴歸在預測的行為中是可行的但可惜的是即使預測的趨

勢相近但預測值出時間的點卻有差別這樣的結果我們可以看出若能找

到解決加強模糊與附線性迴歸關係之間時間的關聯性就能利用模糊的不

確定性來討論預測問題

為了符合現今社會多元的狀況模糊迴歸與傳統迴歸之觀念勢必加以

混合應用也為了解決此等問題混合式迴歸（Hybrid Regression）在近年

來被提起也因此參數的估計模糊迴歸與傳統迴歸的混合應用將成

為往後繼續研究探討之目標

建議未來可用模糊加權修正模糊迴歸使模糊迴歸在預測上更能直接

43

將對事物多個構面評估的意見與其影響事物狀況的重要程度作加權的運

算

44

參考文獻

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5

的非周期流」的論文這篇文章和他隨後發表的另一篇相關論文指出對

於模型中關鍵參數的微小改變會導致完全不一樣的結果使得有規律的周

期性行為能夠進入雜亂無章的狀態令精確的長期天氣預報變得不可能

Hayles(1990)於 Choas boundOrderly disorder in temporary literature and

science 一文中指出混沌的含義有兩個

1 系統失序的前兆與狀態

2 強調存在於雜亂現象內潛藏的規律與秩序結構

Curtis(1990)認為混沌理論或多或少隱含了隨機(randomness)的現象其

含義有兩個觀點

1 混沌是規律秩序的預兆當各種事件在一個系統中進行時混沌現象開

始出現就必須注意「驅散(disspative)結構」的雜亂現象同時也會產生

假使這個系統在「熱力函數」上有足夠熱度則它的結果將使「驅散結

構」的雜亂現象成為確切明白的秩序(Prigogine amp Stenger1984)這種

規律秩序的預兆Gleick (1987)稱之為介於熱力學和動力系統間以高

度個體化和關聯化的哲學觀點「規律秩序之外的秩序」稱之為「混沌」

2 強調經過混沌吸引子的吸收進而啟動「混沌系統」發展出「力的性

質」進而產生混沌系統的模式特徵姜濤(1993)認為從物理意義上來看

一個確定性系統(含有隨機或偶然因素)在沒有外界隨機干擾的情形下

所出現的無規則形態都可以稱為混沌現象Wheatly(1994)將混沌理

論定義為可能是一個事件行為或是過程它是多變的非線性的及

無法預測的所以模式和範圍是彈性的會隨時隨地改變

J Yorke(2002)將混沌賦予新義指出混沌是一種有結構有規則的系

統混沌的雜亂只是表象最終會回歸平衡且等待下一次的失序如此

一直循環著 混沌系統兩個十分重要的特性

1 系統的變化驟看似是毫無規則但實際上是由物理定律所決定的

2 系統的演化對初始條件的選取非常敏感初始條件極微小的分別 (就例

如 02 和 02001 只相差兩千分之一)在一段時間的演化後也可帶來

南轅北轍的結果

211碎形維度及混沌吸引子

碎形幾何理論(Fractals Geometry)是一門新興理論專門用來解釋以前

6

歐氏幾何學無法解釋的自然現象舉凡不規則形狀的自然物體都無法用歐

式幾何學解釋如雪花雲朵流水樹木hellip等所以碎形幾何理論是

用來解釋具有自我相似性及非整數維度的特徵

因此所謂碎形指的是一個幾何物件其外型不像直線弧線這些古

典歐幾里德幾何（Euclidian geometry）的表面那麼平滑而是相當破碎

不規則且無論巨觀或微觀都不是連續的這些不規則的碎形和我們習以

為常的觀念有所不同且基本上大多數的現象並不是如歐幾里德幾何所描

述的那樣

舉例來說一顆籃球對於向來熟悉阿基里德空間的我們來說直覺性

的會認為這是三度空間中的一個球體其維度為三但當把距離拉遠看

似一個圓形維度成為二若把距離縮近成為一公釐則可以發現籃球上

有凹下的線條有防滑的凸點顆粒這種情況下維度又該如何界定而曼

德布洛特在分析英國科學家李查(Lewis F Richardson)遺稿當中的一篇論文

時察覺任何國家的邊界在某種定義下都是無限長其重點在於測量時所

使用的基準長度一般要測量海岸線長度時測量員會架起兩腳器並預設

成一個長度沿著海岸線進行測量之後將兩腳器的尺度縮小重頭再量一

次海岸線長而所量到的這兩種尺寸後者一定較前者為長也較逼近真

實的邊界長度同理將兩腳器的兩腳距無限的縮小則所量到的邊界就

成為無限長

1967年代數學家 Benoit Mandelbrot發表了一篇名為「英國海岸線有

多長」的論文文中提到新的維度觀念也就是碎形維度碎形維度具

有四種特性(1)自相似性(2)自我模仿性(3)碎形維度為有限區域的無限

結構(4)碎形是非動力過程的結果混沌現象具有特殊的碎形維度(Fractals)

混沌狀態出現時運動軌跡不穩定它們隨機但緊密的逐漸收斂到一個整體

縮小但局部分離的區域此區域就稱為奇異吸引子（strange attractor）

Hayles(1990)指出混沌是強調存在於雜亂現象之內潛藏的規律秩序結構

因為雜亂現象之內隱含有「奇異吸子」(strangeattractors)進而啟動運作「混

沌系統」Griffths Hart amp Blair(1991)認為混沌理論應用在教育行政中

也具有奇異吸子的特徵奇異吸引子不同於的穩定的整數維吸引子（即不動

點極限環和環面）它具有的是奇特的非整數的空間維度這種空間被

稱作豪斯道夫（Hausdorff）空間因此混沌奇異吸子是一個整體穩定但是

7

局部不穩定的運動空間

212李亞普諾夫(Lyapunov)指數

混沌系統的初始值非常敏感使得初始時刻靠得很相近兩條相軌跡隨

著時間的增長而逐漸遠離如果能夠定量描繪出此種鄰近軌跡的發散性

便可建立出混沌變動情形的一種數值判斷方法李亞普諾夫指數就是用來

表示相空間內鄰近軌跡的平均指數發散率的數值特徵m 維相空間中的某

一時刻兩條鄰近軌跡之間的距離可以分解在 n 個不同的方向這 n 個不

同方向上的距離增長率是不相同的而每一個增長率就是一個李亞普諾夫

指數

最大李亞普諾夫指數是判斷和描述非線性時間序列是否為混沌系統的

重要參數因此是一個重要的混沌不變數對於混沌系統來說發散是一種

整體性的穩定因素動力系統一方面作為發散系統最終要收縮到相空間的

有限區域也就是吸引子上另一方面系統在相體積收縮的同時運動軌

跡是不穩定的要沿某些方向進行指數分離

對於 m 維的動力系統中 中初始兩點迭代後會互相分離

或是靠近取決於

的值若

則迭代使兩點分離若

則迭代使兩點靠近在不斷迭代過程中

也會隨之改變呈現出時而接

近時而分離的情形為了表示從整體上觀察得到的情況必須對時間(或反

覆運算次數)取平均設平均每次反覆運算所引起的指數分離指數為 於

是原來相距 的兩點經過 n次迭代後距離變為

(21)

若取極限 則式(21)變為

(22)

(22)式可簡化為

(23)

上式中的 與初始值的選取無關稱為原動力系統的李亞普諾夫指數

它表示系統在多次反覆運算中平均每次反覆運算所引起的指數分離中的

8

指數若 則表示相鄰點最終會靠近合併成一點若 則表示

相鄰點最終會發散而對應於軌道的局部不穩定若軌道還存有整體的穩

定因素(如整體有界發散存在捕捉區域等)系統則需在有限的幾何物件

上無窮次折疊以實現指數分離系統在此作用下反覆折疊並形成混沌吸

引子故 可做為判斷混沌情形的準則

混沌系統中的李雅普諾夫指數可用來判斷系統是收斂的還是混沌的

當系統的李雅普諾夫指數中至少有一個為正時 系統是混沌的 當系統的

李雅普諾夫指數均為負數時 系統是收斂的

對於一般 m維的動力系統定義李亞普諾夫指數如下設 F為

上的 m維映射假設一個 m維離散動力系統 將系統的初

始條件假設為一個無窮小的 m維小球由於演化過程中的自然變形圓球

將變成橢圓球將橢圓球上的所有主軸依其長度排列則第 i 個李亞普諾

夫指數根據第 i個主軸的長度 的增加速率定義為

(24)

李亞普諾夫指數與相空間的軌道收縮或擴張性質是有關連性的在李

亞普諾夫指數小於零的方向上軌道收縮運動穩定對於初始值不敏感

而在李亞普諾夫指數為正的方向上軌道迅速分離對初始值敏感李亞

普諾夫指數的前 j個指數的和是由前 j個主軸定義的 j維立體指數增加的長

期平均速率確定如橢球長度按 增加由前兩個主軸定義的區域面積依

增加由前三個主軸定義的區域面積依 增加以此類推在

李亞普諾夫指數譜中最小的李亞普諾夫指數決定軌道收縮的快慢最大

的李亞普諾夫指數則決定軌到發散也就是覆蓋整個混沌吸引子的快慢

而所有李亞普諾夫指數之和 可以大致表示為軌道的平均發散速度

李亞普諾夫指數是衡量系統動力學特性的一個重要定量指標它代表

了系統在相空間中相鄰軌道間收斂或發散的平均指數率對於系統是否存

在動力學混沌可以直觀的判斷最大李亞普諾夫指數是否大於零一個正

的李亞普諾夫指數代表著在系統相空間中無論初始兩條軌跡的間距多

小兩條軌跡的差別都會隨著時間的演化而成指數率的增加而導致無法

預測這就是混沌現象

213 混沌系統之時間序列

9

2131 相空間局部近似法

Farmer and Sidorowich(1987)在其混沌預測方法之研究提出所謂的相

空間局部近似法(phase space local approximation method)對系統之演變行為

進行預測這種奠基於時間延遲法(time delay method)所構成之重建相空間

(reconstructed phase space)的預測方式能夠適應吸引子(attractor)的局部行

為經後續進一步研究發現其具有相當良好之預測能力因此採 Farmer and

Sidorowich(1987)之相空間局部近似法構建交通量預測模式期能增加預測

準確度

2132 時間序列與相空間重構

相空間的概念就是把運行方程式所獲得的數字或數據轉換成為圖形

並將系統中隨時間改變的重要的資訊(無論是機械或是流體)抽取出來把各

式各樣可能的狀況註明在圖上利用延遲時間的概念模擬出類似原始系統

之相空間當重建一個空間使得此空間可以具體的包含吸引子特徵則此

空間之維度我們稱為嵌入維度Takens等人(1981)提出嵌入定理對於無

限長無雜訊的 d維混沌吸引子的標量時間序列x(n)可以在拓撲不變的

意義上找到一個 m維的嵌入相空間只有維數 m gt2d+ 1才可保有原始吸

引子的特徵Takens 定理保證了我們可以從一維混沌時間序列中重構一個

與原動力系統在拓撲意義下等價的相空間混沌時間序列的判定分析與

預測是在這個重構的相空間中進行的因此相空間的重構是混沌時間序列

研究的關鍵將收集的一維歷史資料例如現有歷史資料為 9筆13579

10131115間遞移的結果為1711391351015在此我們將利用此

時間遞移建立的時間序列觀念x(t) x(t minusτ ) x(t minus 2τ )hellip來重建相空間

2133 延遲時間 τ的決定

時間延遲如果 τ太小則相空間向量 x(i) = x(t) x(t minusτ ) x(t minus 2τ )hellip

中的任意兩個分量 x(t)和 x(t minusτ )在數值上非常接近以至於無法相互區分

從而無法提供兩個獨立的座標分量但如果時間延遲 τ 太大的話則兩座

標在統計意義上又是完全獨立的混沌吸引子的軌跡在兩個方向上的投影

毫無相關性可言因此需要用一定的方法來確定一個合適的 τ 值本文確

定 τ的主要方法為相關維度法

2134 自相關函數

自相關係數是利用時間序列裡每一筆數據與其前的數據根據不同遲延

10

時間距離的數值進行相關係數計算而成如遲延時間距離為 1表示將每

一筆數據與緊接其前的一筆數據進行相關係數計算如遲延時間距離為 2

表示將每一筆數據與其前第二筆數據進行相關係數計算如遲延時間距離

為 3表示將每一筆數據與其前第三筆數據列進行相關係數計算如此類

推自相關係數 之計算公式如下

1

1

1( )( )

1( )

n k

t t k

tk n

t

t

x x x xn k

r

x xn

(25)

式中 n為資料數k為時間遞移後的點t為時間點

將自相關係數計算的結果與每一筆遲延時間距離數值繪製成圖表可

由圖表中可分析辨別時間序列數據的初步基本特徵如圖表繪製的結果顯

示自相關係數沒有跟隨遲延時間距離數值的增加而顯示收歛之跡象也就

是說繪製線不斷於 X軸零座標線做不規律的上下擺動表示數據為隨機時

間序列即每一數據都視為個別獨立的事件且與過去某一筆遲延時間距離

數值的事件無關係反之若圖表繪製的結果顯示自相關係數跟隨遲延時

間距離數值的增加而顯示收歛且具有震盪循環之跡象則表示數據具有一

種規則屬於一混沌時間序列

2135 季節趨勢

季節趨勢預測法是根據事物每年重覆出現的週期性季節變動指數預

測其季節性變動趨勢

季節指數的概念即是利用簡單平均法計算週期內各時期模型季節性影響的

相對數季節指數反映了該季與總平均值間的穩定關係若季節指數大於

1則表示該季的值常會高於平均值若季節指數小於 1則表示該季的值

常會低於平均值若序列的季節指數都近似於 1則表示該序列沒有明顯

的季節效應季節指數的計算方式如下

計算週期內各期平均數

k=12hellipm (26)

計算總平均

(27)

計算季節指數

11

k=12hellipm (28)

其中 n為期數m為季節數

22 複線性迴歸分析

迴歸分析的目的主要是建立變數之間的關係進而應用於預測分析中

內政部營建署(1997)就曾利用迴歸分析來探討反彈數及現場鑽心試體之間

的抗壓強度關係進而建構出一迴歸方程式做為混凝土試體的抗壓強度

預測而在土木工程領域中也已有許多學者利用迴歸分析來進行研究

例如潘南飛與黃冠智(2005)利用迴歸分析來預測橋面版劣化狀況且考慮

以交通量及降雨量作為迴歸模式中的自變數最後得一配適佳的迴歸式

凌偉峻(2006)利用複線性迴歸分析建立模式及混沌系統的相空間鄰近點相

似特性來建立車流量預測模式Cheung et al (2008)使用氣候值持續值

颱風強度Julian Date記日本地時間七級風暴風半徑及颱風中心速度共

7個預報參數進行多變量的複線性迴歸(multiple linear regression)分析並以

20個傳統雨量站進行測試各新增變量中以颱風強度七級風暴風半徑及

中心速度對預報之改善較顯著其受改善之時數及相關係數之增加幅度皆

較其它變量為多顯示颱風結構參數在颱風降雨預報中比簡單的季節性因

素或日夜對流差異來得重要

敘述自變數( 1 kx x x x 2 3 )依變數 y 和誤差項 i 之間關係的方程式

稱為複線性迴歸模式複迴歸其主要目的有二

1 可以降低隨機誤差此與迴歸之變異數分析有關增加解釋變數之個數

可以使迴歸分析可解釋變動的部分增加相對的誤差就會減少

2 可以避免反應變數中影響重大的解釋變數有所遺漏而無法具體描述實

際資料的狀況估計複迴歸方程式或估計多元迴歸方程式(Estimated

multiple regression equation)大部分情況下複迴歸模式中的迴歸參數

皆不知其實際數值僅可以利用樣本數值估算分別以樣

本統計值 作為迴歸參數 的點估計值本研究

利用全域法訓練迴歸參數 即是利用前九日的歷史資料

複線性迴訓練出迴歸係數預測出第十日的資料型態複迴歸分析是將

簡單迴歸分析其自變數由一個增加至數個研究一群自變數和一個反應

變數之間的關係複線性迴歸模式定義如下

12

(29)

其中 為常態 n 隨機變數期望值 E(ε)=0且彼此互相獨立若有 n

組樣本觀測值(ngtp)組我們就可將方程式寫成

(210)

其中 i=123hellipn

若將複線性迴歸寫成矩陣可得下式

(211)

也可將式(211)寫成矩陣形式

(212)

其中 為觀察值向量 為參數向量 為自變數矩陣 為獨立之常態

隨機變數向量且滿足 向量 Y的期望值表示如下

(213)

複線性迴歸之最小平方標準方程式矩陣表示為

(214)

其中

為最佳模式之參數矩陣因此可求得最小平方估計式矩陣

表示為

(215)

其中 為 之轉置矩陣 為 之反矩陣只要利用式(215)

即可獲得複線性迴歸方程式

23 模糊理論

模糊理論是由美國加州大學伯克利分校電氣工程系的L A Zadeh在

1965年首次提出Zadeh在1965年發表了一篇傳統科學皆以排除具模糊性的

研究為主而模糊理論則以包含模糊性的研究為主現今科學發達所要

探討的議題越來越多由於人類的知識與研究會因本身主觀的意識因應

不同的人事時地物而具模糊性使得無法清楚呈現研究的本質為何要

13

在日常生活中精確地描述一個現象必定忽略其中的些微變化然而此描

述又無法真實描述現實因此模糊理論(Fuzzy Theory)正好能被廣泛應用在

研究上

模糊概念是指這個概念的外延具有不確定性或者說它的外延是不清

清楚的是模糊的例如好的壞的好壞的概念我們非常清楚但是

它的外延也就是究竟事件發生的條件到底是要如何才會是好的跟壞的

每個人的回答都會是不同的這就是一個模糊的概念所以當我們在接

觸模糊時是允許主觀意識的因為每個人對模糊的概念不盡相同儘管

如此當我們利用模糊統計方法進行分析時對於好與壞之間的界限又有

一定的概念

其次模糊性與精確性是相對立的但卻不能將模糊性理解成較差的

結果因為實際上我們在處理客觀事物時經常藉助於模糊性例如

若我們要在路上找一位「年輕的漂亮女孩」「年輕」及「漂亮」都是模

糊的概念但對我們而言這在路上不難找到因為我們的大腦會分析什麼

是「年輕」及「漂亮」於是我們就可以判斷出我們要找的人然而若我

們要求必須用電腦查詢「年輕的漂亮女孩」我們就必須將「年輕」及「漂

亮」這兩個模糊的條件利用具體的數據輸入電腦分析才能找到符合我們

要求的人

最後人們對模糊性的認知常與隨機性混淆其實它們之間有著很大

的不同隨機性是本身具有明確意義只是因為發生的條件不充分使得

在條件與事件之間不能產生確定的因果關係所以事件的出現與否表現出

一種不確定性而事物的模糊性是指我們要處理的事物的概念本身就是模

糊的即一個對象難以確定是否符合這個概念也就是由於概念外延模糊

而帶來的不確定性

231模糊的發展

模糊理論是在美國加州大學伯克利分校電氣工程系的 LAzadeh 教授

於 1965年創立的模糊集合理論的數學基礎上發展起來的主要包括模糊集

合理論模糊邏輯模糊推理和模糊控制等方面的內容

早在 20世紀 20年代著名的哲學家和數學家 B Russell就寫出了有關

「模糊性」的論文他認為所有的自然語言均是模糊的比如「紅的」和

「老的」等概念沒有明確的內涵和外延因而是不明確的和模糊的可是

14

在特定的環境中人們用這些概念來描述某個具體對象時卻又能心領神會

很少引起誤解和歧義

美國加州大學的 L A Zadeh 教授在 1965 年發表了著名的論文文中

首次提出表達事物模糊性的重要概念隸屬函數從而突破了 19世紀末勒

內middot笛卡爾（Rene Descartes）的經典集合理論奠定模糊理論的基礎1966

年P N Marinos發表模糊邏輯的研究報告1974年L A Zadeh 發表模

糊推理的研究報告從此模糊理論成了一個熱門的課題1974 年英國

的 E H Mamdani 首次用模糊邏輯和模糊推理實現了世界上第一個實驗性

的蒸汽機控制並取得了比傳統的直接數字控制演算法更好的效果從而

宣告模糊控制的誕生1980年丹麥的 LPHolmblad 和 Ostergard 在水泥窯

爐採用模糊控制並取得了成功這是第一個商業化的有實際意義的模糊控

制器

事實上模糊理論應用最有效最廣泛的領域就是模糊控制模糊控

制在各種領域出人意料的解決了傳統控制理論無法解決的或難以解決的問

題並取得了一些令人信服的成效

模糊控制的基本思想把人類專家對特定的被控對象或過程的控制策略總

結成一系列以ldquoIF THENrdquo形式表示的控制規則通過模糊推理得到控製作用

集作用於被控對象或過程控製作用集為一組條件語句狀態語句和控

製作用均為一組被量化了的模糊語言集如「正大」「負大」「正小」

「負小」零等

模糊控制的幾個研究方向

1 模糊控制的穩定性研究

2 模糊模型及辯識

3 模糊最優控制

4 模糊自組織控制

5 模糊自適應控制

6 多模態模糊控制

模糊控制的主要缺陷

信息簡單的模糊處理將導致系統的控制精度降低和動態品質變差若

要提高精度則必然增加量化級數從而導致規則搜索範圍擴大降低決策

15

速度甚至不能實時控制模糊控制的設計尚缺乏系統性無法定義控制

目標控制規則的選擇論域的選擇模糊集的定義量化因數的選取多

採用試湊發這對複雜系統的控制是難以奏效的

232模糊至今應用的範圍

模糊理論發展至今已接近三十餘年應用的範圍非常廣泛從工程科

技到社會人文科學都可以發現模糊理論研究的蹤跡與成果我們分別由工

程科技與社會人文科學的角度瞭解模糊理論應用的範疇

1 工程科技方面

(1) 型樣識別文字識別指紋識別手寫字體辨識影像辨識語音

辨識

(2) 控制工程機器人控制汽車控制家電控制工業儀錶控制電

力控制

(3) 信號及資訊處理影像處理語音處理資料整理資料庫管理

(4) 人工智慧及專家系統故障診斷自然語言處理自動翻譯地震

預測工業設計

(5) 環保廢水處理凈水處理廠工程空氣污染檢驗空氣品質監控

(6) 其他建築結構分析化工製程控制

2 教育社會及人文科學方面

(1) 教育教學成果評量心理測驗性向測驗電腦輔助教學

(2) 心理學心理分析性向測驗

(3) 決策決定決策支援決策分析多目標評價綜合評價風險分

析

233模糊集合

過去傳統數學上集合的基本定義是以二值邏輯(Binary Logic)為基礎的

方式來描述事物為屬於或不屬於此集合也就是元素 x和集合 A的關係

只能是isinA或notinA明確的判斷對象為所屬集合也就是明確集合(Crisp Set)

如果要描述適當的模糊事物時須將所屬集合的概念模糊化使之無明確

判對象所屬的集合模糊集合是指在界限或邊界不分明且具有特定事物的

集合以建立隸屬函數(Membership Function)來表示模糊集合承認論域

(Universe of Discourse)上存在既非完全屬於集合A又非完全不屬於集合A

16

使傳統集合的絕對屬於的概念改變為相對屬於的概念以數學式表示論域

U 上的模糊集合 A可表示為元素 x與它的歸屬函數集合

(216)

其中 A為一模糊集合 為歸屬函數x稱作元素U為論域一

般情況下歸屬度會界定在 0跟 1之間

(1) =0表示元素 x不屬於

(2) =1表示元素 x完全屬於

(3) 趨近 0表示元素 x極不可能屬於

(4) 趨近 1表示元素 x極有可能屬於

這個表示式的完整解釋為當 x 在 U 的範圍內會對應到一個介於 0

到 1之間的數值 所有這種 x所成的集合就是一個模糊集合模糊集

合可表示為

1 當論域Ｕ為有限離散(discrete)集合的情形下模糊集合 可表示成

(217)

2 當論域Ｕ為實數論域所組成之在連續(continuous)集合的情形下模糊

集合 可表示成

isin (218)

其中 並非積分符號而是單純的連結符號

234 模糊數(Fuzzy Number)

1 模糊數(triangular fuzzy number)

假設 是模糊集合或模糊數(FN)在實線 2R 上則以三角形隸屬函數

(triangular membership function）表示為 1 2 3( )a a a 2 x R to A 則

1

1 2 1 1 2

3 3 2 2 3

3

0

( ) ( ) ( )

( ) ( )

0

x a

x a a a a x aA x

a x a a a x a

x a

(217)

17

1

其隸屬函數圖形如圖 21

圖 21 三角模糊數

2 梯形模糊數(trapezoidal fuzzy number)

梯形模糊數可表示為 如圖 22其隸屬度函數定義為

(218)

其隸屬度函數如圖 22

圖 22梯形模糊數

a b c d

1

18

在一信賴區間 α水準α 01 我們定義 A

( )A x A x (218)

三角形隸屬度函數以 α-cut表示為

( ) ( )

1 3 1 1 2 3 2 3[ ] [ ( ) ( )]A a a a a a a a a

(219)

( )

1a 與 ( )

3a 個別代表 A的下界及上界

根據模糊算術方法Zadehrsquos sup-min 方法表示如下

( )( ) sup min( ( ) ( ))x y z

A B z A x B y

(220)

其中 sup表任何模糊算式Mizumoto and Tanaka（1976）使用相同方

法在 α 截集模糊數和區間算術Chang（2003）和 Chang et al （2006）和

Chang and Hung（2006）整理使用 α 截集模糊算術方法的文獻α截集模

糊算術中模糊數基本運算公式（加法減法乘法除法）可以計算的

更快在每一個 α-level 區間中使用區間算術（Kaufmann and Gupta

1988）

1 模糊數加法

令A和 B分別為兩模糊數 A和 B在一信賴區間 α水準 ( ) ( )

1 2[ ]A a a

( ) ( )

1 2[ ]B b b αisin 01 forall A B sub 2R 表示如下

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 2 1 2 1 1 2 2[ ] [ ] [ ]A B a a b b a b a b

forallαisin 01 (221)

2 模糊數減法

在一信賴區間 α水準forall A B sub 2R αisin 01

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 2 1 2 1 2 2 1[ ] [ ] [ ]A B a a b b a b a b

(222)

3 模糊數乘法

在一信賴區間 α水準forall A B sub 2R αisin 01

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 2 1 2 1 1 1 2 2 1 2 2

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 1 1 2 2 1 2 2

[ ] [ ] [min(

max( )]

A B a a b b a b a b a b a b

a b a b a b a b

(223)

4 模糊數除法

在一信賴區間 α水準forall A B sub 2R αisin 01

19

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 1 1 2 2

1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 2 1 2 1 2 1 2

[ ] [ ] [min( )max( )]a a a a a a a a

A B a a b bb b b b b b b b

式中 ( )

1b ( )

2b gt0forallαisin[01] (224)

235模糊運算

根據 Zadeh（1965）的擴展原理（Extension Principle）可以廣義的使

用一般基準 T取代原來的最小值模糊數的數學運算表示如下

1 加法

( )( ) sup ( ( ) ( ))x y z

A B z T A x B y

(225)

2 減法

( )( ) sup ( ( ) ( ))x y z

A B z T A x B y

(226)

3 乘法

( )( ) sup ( ( ) ( ))x y z

A B z T A x B y

(227)

4 除法

( )( ) sup ( ( ) ( ))x y z

A B z T A x B y

(228)

24 模糊迴歸

在科學研究過程中許多研究者常使用迴歸來描述自變數 x和應變數 Y

之間的關係傳統的迴歸分析均假設觀察值由實際應變數影響加上隨機誤

差而產生也就是說應變數是一種帶有不確定性的隨機變數不過在很

多的實務應用上往往無法滿足這樣的假設例如有些應變數 Y 的觀察值

並不是以單一數值的型式存在而是帶有多重隸屬的特性這些觀察值雖

然帶有不確定性但這種不確定的特性是來自於模糊現象而非隨機現象

若由模糊觀點套用迴歸分析來處理模糊資料問題就稱為模糊迴歸分析

模糊迴歸分析最早是由 Tanaka et al (1980) 提出一般模糊迴歸能夠處理的

樣本型式有兩種一種是實數值樣本 其中 為實數向量 為觀測

到的實數值另一種是模糊數樣本( 其中 為觀測到的模糊數不論

是實數值樣本或是模糊數樣本想要估計模糊迴歸參數估計方法大都是

20

利用線性規劃的技巧來尋求一組能將實數值樣本 或模糊數樣本(

包含在內的區間再將三角形隸屬函數（triangular membership function）套

用

在此區間上如此便求得一組模糊迴歸估計式要得到正確的估計結

果最好是收集具有代表性的隸屬函數樣本所謂具有代表性的隸屬函數

樣本應該是以模糊數的形式存在所以本文就樣本模糊數 進行討論

線性模糊迴歸模式常表示成

0 1 1 2 2( ) i i i p piY x A A x A x A x (229)

其中 1 2 3(1 ) i i i i p ix x x x x 為自變數向量 ( )iY x 為模糊應變數

為模糊參數利用樣本模糊數 估計參數 時通

常假設 與 的隸屬函數為對稱三角型式 與 的隸屬函數表達如下

( ) max 1 0 i

i

Y

i

t yt t

r

(230)

其中 為三角隸屬函數的中點 為三角隸屬函數的分布半徑可令

( ) max 1 0 m

m

A

m

t ct t

s

(231)

其中 為三角形的中點 是三角形的分布半徑 與 間的關係

如圖 23所示

圖 23模糊數的中心值與散佈值

1

0

21

再令 則前述的模糊迴歸方程式可改寫成

0 1 1 2 20 1 2( ) i i ipi p pY x x xC S xC S C S C S (232)

因此模糊應變數 ( )iY x 的隸屬函數也屬於三角型式可表示成

( )

0

0

( ) max 1 0 Y xi

p

m m

m

p

m mi

m

t c x

t t

S x

(233)

其中 因此只要估計出三角形的中點 及半徑 便可得到

隸屬函數的估計值模糊迴歸分析是在要求每一個觀測值 隸屬於模糊

迴歸區間的隸屬程度至少 的情況之下尋求最小的模糊迴歸預測區間如

(234)式表示

forall ( 234)

在利用 對未知的模糊參數 進行估計前一般先定

義模糊樣本 和模糊應變數 的 h截集其定義如下

令 為一組模糊樣本 ( )iY x 為模糊應變數若 與

分

別為 及 的 h截集(h-cut)則

(235)

(236)

因具代表性的樣本 其 h 截集 應要盡量接近模糊應變數 的 h

截集 意即

其中容許

不完全落在 之

內的情形發生根據以上觀點王景南(2002)認為樣本的左端點

和右端點 隸屬於 的程度會有一定的水準於是設立此水準

為 H因此假設 隸屬於 的隸屬度會盡量的接近 H其間的關係

為

( 與

( (237)

所謂的盡量接近 H是可允許隸屬度大於 H或小於 H而不是均大於

22

H

根據以上的對樣本的解釋運用最小平方法以所有樣本的左端點

配置一迴歸直線稱之為左端直線估計式

(238)

其中 為迴歸係數再以所有右端點 配置右端

直線估計式

(239)

其中 為迴歸係數

前文已假設樣本的左右端點隸屬於 的隸屬度會盡量的接近 H所

以將這兩條直線函式來估計 之 H截集的左右邊界即

(240)

如此可推導出 的隸屬函數為

(241)

其中 且

(242)

意即

(243)

其中

為三角形底邊中點是

分布半徑如此便可得一組估

計的模糊迴歸模式

(244)

仍需注意的是當樣本為對稱型態時左右迴歸函數式其配適的結果式

相同的只有常數項不同當對稱情形發生時可以考慮利用各別對應相

之權重除以常數項的分布半徑做為個別對應項之分布半徑意即

分布半徑

除此之外Celmins及Diamond Celmins也分別提出最小平方法之模糊迴

23

歸模式以便求解資料間距離最小的模糊迴歸方程

模糊迴歸應用上比統計迴歸更具彈性統計迴歸通常需要大量資料以

支持其假設而模糊迴歸卻無此需求因此當資料量不足或隨機性難以驗

證時模糊迴歸是較強健的(Robust)同時當所蒐集之資料的不確定性乃

來自於人類之主觀判斷時模糊迴歸較具適用性

因此模糊迴歸模式逐漸受到重視在1990年代的研究包括Sakawa及

Yano針對投入變數與輸出變數皆為模糊資料的問題建構出一個多目標的模

糊迴歸模式此外Chang和Lee則認為模糊迴歸中心線的趨勢與模糊迴歸散

佈值的趨勢可以存在不一致性為了分析統計迴歸與模糊迴歸的差異Kim

Moskowitz 及Koksalan 利用模擬分析比較統計迴歸與模糊迴歸的結果認

為由機率論所得的統計迴歸模式在大樣本時其預測績效遠比可能性理論

(Possibility theory)推演而得的模糊迴歸模式為佳然而當資料量遞減或所構

建的模式適合性變差時(即變數間存在模糊關係)則模糊迴歸模式的預測績

效將優於統計迴歸模式由於模糊迴歸模式在解決資料量少及系統關係模

糊不清的問題上具有較佳之績效而存在其正面之價值當變數間存在模

糊關係時

從早期到目前已發展出多種模糊迴歸模式求解方式以下根據薛展青

(2004)所整理的模糊迴歸分析整裡敘述如下

1 區間迴歸法

區間迴歸法(interval regression)其模型架構主要是由Tanaka et al(1982)

所提出的模糊線性迴歸(fuzzy linear regression)模型Tanaka et al(1982)所發

表的論文中表示傳統的迴歸模型中造成實際值與估計值的誤差來源被

認為是由測量或觀察所造成的而此誤差項在模糊線性迴歸模型中是因

模糊系統中參數的模糊性所產生的即誤差是反應模糊線性函數的模糊現

象因此以模糊線性函數來表示迴歸方程式而迴歸參數則是以模糊集合

來表示

Tanaka et al(1982)在估計模糊迴歸參數時是利用線性規劃技巧

(linearprogramming method)來尋求一組能將實數值樣本或模糊數樣本全部

包含的區間最後求得一組對稱三角形模糊數之迴歸參數

自Tanaka等人(1982)的文章發表之後後續的學者大多以此為基礎陸

續題出各種相關的模式與求解方法如Peters (1994)將Tanaka的線性規劃法

24

求解推廣為模糊線性規劃法求解讓資料對模糊迴歸模式的適應性更加提

升YenGhoshray 與Roig (1999)提出由於非對稱迴歸係數導因於大多數的

資料為離群值使得對稱三角迴歸係數不再適用因此將Tanaka et al的模

式推廣為非對稱三角迴歸係數Moskowitz 與Kim (1993)探討不同水準值下

模糊迴歸模式的求解與模式配適程度Redden 與Woodall (1996)探討模糊

迴歸分析預測未來值的結果Sakawa 與Yano (1992)將Tanaka的方法擴展到

依變數及自變數皆是模糊集合的情況並將之稱為多目標線性迴歸法

(multiobjective linear regression model)Koumlrner 與Naumlther (1998)討論解釋變

數與反應變數兩者皆為模糊數值的情況Kacprzyk 與Fedrizzi (1992)則蒐集

了各種不同迴歸模式的求解方法Redden 與Woodall (1994)說明Tanaka後

續提出的求解模式當中所具備的性質以及與傳統迴歸方法的差異比較

但是在此模式下求解之迴歸係數本身亦為一對稱的三角模糊數值

而且求解結果很容易受到資料尺度(scale)的影響使得反應變數估計值之展

度會變得更為寬廣後來Tanaka (1987)根據1982年的文獻發展為更完整的

可能性線性系統使模糊迴歸的結構更趨適應性Tanaka 與Watada (1988)

闡明可能性線性模式的概念推演建構成可能性線性迴歸模式Tanaka et

al(1989)應用模糊資料於可能性迴歸系統中並建構最小化最大化及混合

式三種線性規劃模式又對先前所提出的模式加以修正但就如Redden 與

Woodall (1994)所指出Tanaka 類型的模式對於離群值(outlier)的反應非常

敏感甚至在觀察值的個數增加時求解結果可能會產生無限多解因

此在Tsaur 與Wang (1999)提出的文獻對於在模糊迴歸分析中的離群值進行

一系列探討

2 模糊最小平方法

模糊最小平方法(fuzzy least squares)乃擴展傳統之最小平方法的觀念

最早由Diamond (1988)所提出利用傳統最小平方法的觀念求出一個模糊

迴歸模式以估算(approximate)反應變數的觀察值並非如區間迴歸中的包含

觀察值在其模式中利用反應變數的觀察值與估計值的模糊數值之最小

值最可能值與最大值定義兩者之間的距離以衡量迴歸模式與模糊資

料之間的最佳配適度的情形在使得所有觀察值與估計值的模糊數值之間

的距離平方總和為最小時可以導出類似傳統迴歸分析中的正規方程式

(normal equation)以求解迴歸係數

25

其後Chang 與Lee (1996)則將Diamond (1988)的方法加以擴充將迴

歸係數的最可能值與展度分別估計該方法的特點在於可將極端值(outlier)

加以處理並降低其影響程度Ma等人(1997)則將此類方法發展於適合非

三角模糊數值的場合Diamond 與Koumlrner (1997)則在此類方法中定義一

個判定係數的計算方法以比較不同模式的適合性Wu與Tseng (2002)提出

改善模糊迴歸模式之最小平方法其模式主要觀念是利用最小平方法將所

有樣本的左端點及右端點各配置一條迴歸線然後在將其左右迴歸線統合

成一條迴歸線

而在Kim 與Bishu (1998)的研究中是利用各個具有三角模糊數值的反

應變數之最小值最可能值與最大值以最小平方法分別計算出模糊迴歸

係數所得到的係數不一定為對稱的三角模糊數在此種求解方式下雖

然可以得到比較小的估計誤差但其缺點是無法處理解釋變數為模糊數的

情形另外Kim 與Bishu(1998)還提出了評估模糊迴歸模式的準則利用觀

察值與估計值歸屬函數之間面積的差異做為迴歸模式的估計誤差但其評

估準則的問題是無法比較不同模式在觀察值與估計值歸屬函數之間不具有

交集時的誤差情況在此情況下求算估計誤差時無法準確評估其總誤差而

導致評估失真而其他學者如Yang與Ko (1997)Yang 與Lin (2002)等則

是提出以最小平方法為基礎的模糊聚類分析求解方式

3 模糊隨機變數估計法

為了建構一個同時具有隨機和模糊特性的系統Kwakernaak (1978)首

先提出模糊隨機變數(fuzzy random variables)的概念認為傳統的隨機變數

U Ωrarr R為實數可測函數而模糊隨機變數則將一般隨機變數的概念廣義

化模糊隨機變數可表示為X ΩrarrS設ω isinΩ而ω 所對應到的不再是實

數值U(ω)而是模糊集合X (ω)S 代表模糊集合且Kwakernaak (1978)擴

充原來Zadeh 提出模糊集合之架構認為有時供作參考的資訊不齊全在

對某些述句進行評斷時我們無法判斷其絕對為真或絕對為假此時我

們考慮將原有的二元邏輯思維方式推廣暫且不作肯定的判決而僅是表

達出對錯的程度換句話說真值可以是介於單位區間[01] 內的任何值

如此思維方式稱之為多值邏輯(multivalued value)並將模糊集合視為一組

述句(statement)的集合且每個述句均對應一真值程度以符合人類的思維與

想法Stein 與Talati (1981)利用模糊數值的隸屬函數提出模糊隨機變數

26

的期望值之計算方式Kruse 與Meyer (1987)藉助集合表徵的概念建立了

一套模糊隨機變數的定義而為了讓模糊隨機變數能實際應用並將討論

的範圍界定在一模糊集合族上Koumlrner (1997)及Naumlther (1997)利用該方法以

求算模糊隨機變數的期望值與變異數並應用於線性模糊迴歸模式的求解

等另外在曾能芳(民 91)的博士論文研究中指出在Tanaka et al (1982)

的模糊迴歸模式中並不具備誤差項因此模式無法呈現樣本與期望值之間

的關係而無法討論線性規劃估計程序所具備的統計性質所以在曾能芳

(民 91)提出的迴歸模式中採用模糊樣本是由依變數之模糊期望值加上測量

誤差所組成並提出測量誤差存在於中點的模糊迴歸模式以及測量誤差

同時存在於中點和半徑的模糊迴歸模式

4 兩階段求解方法

以兩階段方法(two stage method)求解模糊迴歸模式的想法是在於結合

最小平方法與區間迴歸的觀念試圖降低反應變數估計值的模糊度如Savic

與Pedrycz (1991)對模糊迴歸模式的求解分為兩個步驟進行第一步以

反應變數的模糊數值之最可能數值為基礎將模糊數值視為簡化的明確數

值以傳統最小平方法求解迴歸係數的中心值第二步利用區間迴歸的

方式在使得迴歸係數的模糊度為最小的情形下以決定迴歸係數的三角

模糊數值Kao 與Chyu (2002)提出另一種模糊迴歸模式的兩階段求解方

法在第一階段先利用解模糊(defuzzification)方法將模糊觀察值轉換成為一

組明確數值之後利用該組明確數值以傳統的最小平方法求解迴歸係

數第二階段則是以Kim 與Bishu 所提之評估準則為目標式決定一個誤

差項估計值的模糊數以使得在Kim 與Bishu (1998)評估準則下的總誤差量

為最小該方法的特別之處在於求解的迴歸係數為明確數值而誤差項估計

值為模糊數值雖然此種求解方式可以得到很小的估計誤差但因其所著

眼的仍是Kim 與Bishu 評估準則下的面積估計誤差使得當觀察值與估計

值歸屬函數之間不具有交集時所衡量出的估計誤差較真實誤差為小且其

求解方法比較適合於觀察值為三角或梯形的模糊數值欲應用於其他型式

的模糊數值求解上則較為困難而在邱清爐(民 91)的博士論文中則是將

其兩階段求解方法對各種不同的模糊迴歸模式進行建構與評估並將其求

解方法應用於工作滿意度實例

5 其他求解方法與相關研究

27

Tanaka 等人(1995)後來提出另外一種模糊迴歸模式的求解方法將傳

統的估計誤差當作是存在解釋變數與反應變數之間的關係之可能性

(possibility)故模糊觀察值的展度可以直接轉換成迴歸係數的指數可能性

分配(exponentialpossibility distribution)而可以使用與傳統迴歸非常類似的

方式加以求解Tanaka與 Lee (1999)再利用辨識方法(identification method)

求解迴歸模式在其研究中利用辨識方法以決定模糊線性系統(fuzzy linear

system)中迴歸係數的可能性分配並認為由此方法所求解的迴歸係數會

有比較小範圍的可能性分配近年來有愈來愈多的學者將模糊迴歸分析

應用於其他傳統的決策方法及不同領域上如 Dunyak 與 Wunsch(2000)使

用 α 截集的端點以類神經網路(neuralnetworks)進行模糊迴歸分析Lee

與 Chen(2001)則將模糊迴歸模式使用於人力預測的問題上Tseng 等人

(2001)將由模糊迴歸模式建立之 ARIMA 模式用以預測匯率Tseng 與

Tzeng(2002)則利用模糊迴歸模式的求解方法以建構具有季節變動的

ARIMA 模式Kim 與 Bishu(1996)應用於人力可靠度分析的操作反應時間

上Wu 與 Tseng(2002)將其模糊迴歸模式應用在景氣對策信號上的分析

王景男(民 89)將模糊迴歸分析應用於籃球比賽攻防技術策略上曹勝雄

曾國雄江勁毅(民 85)以國人赴港旅客需求之預測為例說明傳統迴歸

模糊迴歸類神經網路之差別張良斌陳育民(民 86)將模糊目標迴歸法

應用在垃圾衛生掩埋場沼氣回收設備的成本估算謝邦昌林燦隆呂理

添(民 85)將模糊迴歸運用在甘蔗產量的預測對於上列有關模糊迴歸分析

的研究中絕大部份的文章均侷限於線性模式的分析鮮有文章討論非線

性模糊迴歸模式的求解最近雖然有少數學者開始討論非線性模糊迴歸模

式的解法如 Xu(1997)Buckley 與 Feuring(2000)的研究等但使用的方

法所求解的迴歸係數仍然為模糊數值其造成反應變數估計值的展度會

隨著解釋變數之數值增加而擴大的問題仍無法避免

28

第三章 研究方法

本章介紹本文將運用於數值分析中的預測研究方法利用本章建構的

方法可清楚了解如何利用混沌理論基於相空間重構的方式及模糊迴歸方

法於預測中

31 混沌時間序列建立預測方法

時間序列的模型建構和預測是資料處理研究領域中的重要方向其中

預測方法主要有線性和非線性預測方法兩種預測就是對未來作出估計和

推斷而通常要對研究對象或資料進行假設這一過程稱為建模利用建

模的方式獲得資料的科學表示就稱為模型混沌時間序列雖然看似隨機

但它卻是由確定系統產生的因此我們可以對混沌時間序列作出短期預測

同時由於混沌對初始條件微小差異的高度敏感性我們無法對混沌時間序

列作出長期預測每一步預測帶來的微小偏差都會使得下一步預測的偏差

擴大最終導致預測序列與原始序列完全不同

311李亞普諾夫指數判定資料混沌特性

進行預測前需根據 212節中提及的李亞普諾夫指數來判定資料是否

具有混沌特性最大李亞普諾夫指數是判斷和描述非線性時間序列是否為

混沌系統的重要參數因此是一個重要的混沌不變數

混沌系統中的李雅普諾夫指數可用來判斷系統是收斂的還是混沌的當系

統的李雅普諾夫指數中至少有一個為正時系統是混沌的 當系統的李雅

普諾夫指數均為負數時系統是收斂的 對於系統是否存在動力學混沌可以直觀的判斷最大李亞普諾夫指數是否

大於零一個正的李亞普諾夫指數代表著在系統相空間中無論初始兩

條軌跡的間距多小兩條軌跡的差別都會隨著時間的演化而成指數率的增

加而導致無法預測這就是混沌現象

312重建相空間

傳統的建模和預測方法己廣泛地應用社會科學中但大部分都是基於

線性系統混沌時間序列並不適用於非線性的混沌時間序列於是在判斷

時間序列性質後若判定序列以隨機性為主應採用從 AR 或 ARIMA 等隨

機模型來預測如果判定以混沌為主則應採用非線性確定性的方法進行

29

預測非線性時間序列的預報是經過相空間重構後對相空間中的動力軌

跡進行預報由於混沌系統具有被稱為「蝴蝶效應」的初始值敏感性所

以混沌時間序列是不能長期預測的但對於短時間內混沌系統的軌道在

相空間中具有一定的規律它們的預測性是可獲得的並比一般的基於統

計方法的預測能力要來得好

時間序列資料是時間離散後的樣本值用 表示將它「嵌入」到

一個 m維(mgt0)的空間中進行相空間重構後得到嵌入向量

(31)

由嵌入向量 可擴張成一嵌入空間 E由 Taken嵌入定理可知存

在映射面 滿足

(32)

上式表是出在拓樸的意義中可完全預測吸引子的特徵所以上式也可

表示為

(33)

其中函數 為 的一個估計值由式 (33)可得之我們可用

來預測

313相空間維度相關維度

在實作的研究上有許多方法可以用來估計混沌吸引子的維度本研

究選用較為常見的相關維度方法相關維度需先計算相關和將相空間中

所有樣本點皆計算其各別半徑收斂後之趨近值相關方程式（Correlation

Function）定義如下

(34)

其中

當 rrarr0時

兩邊同取對數可得

(35)

定義相關維度為 與 之曲線斜率為

(36)

在實際應用中經常給定一組維度 值選取適當的 r繪出

30

曲線求曲線當中直線段的斜率 如果系統存在這樣一個 值達到此

值後相應的關聯維數不再隨 的增長而變化也就是趨於飽和這表明

該序列為混沌系統其吸引子是存在的此時 值即為重構相空間的最佳

嵌入維數否則則表明該序列為隨機系統不具有混沌性

314 時間遞移數

利用 2123節中介紹的概念及 2124 中介紹的自相關函數求解出時

間遞移數的結果自相關函數公式如下

1

1

1( )( )

1( )

n k

t t k

tk n

t

t

x x x xn k

r

x xn

(37)

n為原資料樣本數k為時間遞移後的樣本點

將自相關係數計算的結果與每一筆遲延時間距離數值繪製成圖表可

由圖表中可分析辨別時間序列數據的初步基本特徵圖表繪製的結果顯示

自相關係數跟隨遲延時間距離數值的增加而顯示收歛且具有震盪循環之跡

象則表示數據具有一種規則屬於一混沌時間序列

32 複線性迴歸

確立資料為混沌後運用自我相關係數計算出時間遞移數及相空間維

度後將加入複線性迴歸運算複線性迴歸中常用的預測方法分為兩種

1 全域法

全域法就是利用相空間軌跡中的全部向量點做為擬合對象找出其

規律由此進行短期預測也就是說利用收集的大量的歷史資料利用

複線性迴歸訓練出迴歸參數再將未放進訓練迴歸參數的資料使用訓練

出的迴歸參數計算出預測值的資料型態本文還將原本的歷史資料分析

出資料的季節性後先去除季節性的影響最後再加回季節性討論預測結

果

2 局域法

局域法的基本原理是僅利用有限個鄰近點的資訊而不是利用全部的

樣本點來擬合 局域法預測是把相空間軌跡中的最後一點作為待測點對

離待測點鄰近的若干個相空間點的關係作出擬合再對預測相空間點的未

來演化規律進行預測本文使用零階局域法零階局域法是直接將鄰近樣

31

本點應用於預測根據鄰近樣本點預測 的最簡單的方法就是尋找相

空間中距離 最近的點假設距離最近的點是 那麼它的下一個樣本

點為 即可做為 的預測值

因數值資料在每日重複發生變動所以本研究又加入計算季節性指數

對趨勢線做季節性調整也就是對時間序列做季節性調整

33 模糊迴歸分析

運用模糊的概念帶進迴歸模式中處理具模糊性的資料問題此稱為模

糊迴歸分析本文利用的模糊迴歸模式主要有兩個方向一個是Tanaka et al

(1982)提出的模糊線性迴歸另一個是由Chang 與Lee (1994)所提出修正型

迴歸模式Tanaka 起初所提出的線性規劃模型

0 1

[ ( )]p n

j ij

j i

Min C X

st 0 0

(1 ) (1 )p p

j ij j ij ii

j j

X H c X y H e

(38)

0 0

(1 ) (1 )p p

j ij j ij ii

j j

X H c X y H e

0jc j R 0 1iX 0 1H 123i n 012j p

Tanaka 所提出的模糊模型未考慮到散度為負值的條件所以模糊上下

界會不斷的擴張而越來越寬大由 Chang 與 Lee (1994)所提出修正型迴歸

模式即將模糊的散度可為負值使上下界的模糊區間為遞減的情形遞

減的情形由圖 31表示

圖 31 模糊區間隨自變數越大而越窄

0

2

4

6

8

10

上界 中心線 下界

32

假設圖表中計算出的模糊迴歸函數為 0 0 1 1 Y c c X 模糊上界為

0 0 1 1UY c c X 模糊下界為 0 0 1 1LY c c X

33

第四章 數值分析

本章資料來源1台灣區車輛工業同業公會

2台北市交通局

本章所使用的數據資料為台北市交通局提供的公開的車流量資料數

值分析所使用的方法已在第三章論述利用第三章的方法分析數值預測的

準確性並結合模糊迴歸常見的兩種方法幫助決定預測的可接受範圍本

章介紹本文所利用的數學模型及方法在複線性迴歸的模型中分成混沌全

域法去季節性後的混沌全域法以及混沌局域法預測出的結果加以討論預

測的準確性再將預測值去季節性觀察準確程度最後再帶入模糊迴歸

利用 05H 加以討論如何將模糊迴歸中的散度用以選擇預測值的範圍第

一節針對傳統複線性迴歸方法並結合全域法觀念訓練資料迴歸係數討

論預測結果第二節針對傳統複線性迴歸方法並結合局域法觀念訓練資

料迴歸係數討論預測結果第三節針對預測資料去除季節性後再利用

傳統複線性迴歸方法討論預測結果第四節針對模糊迴歸的兩種方法選

擇出預測的範圍

利用第三章論述的時間遞移及相關維度的做法將本文利用具混沌性

的資料加以分析將資料先利用 212 節中介紹的李雅普諾夫指數 判定是

否具混沌性具有混沌性的資料才能利用混沌理論重構相空間若李雅

普諾夫指數 介在 0跟 1之間則表示資料具有混沌性質本文資料利用程

式計算出李雅普諾夫指數 運用自我相關係數判斷出時間遞移

數 相關維度計算出維度 我相關係數判斷時間遞移數與相關維

度的圖形以及原始資料時間遞移後的資料圖如圖 41圖 42圖 43

34

圖 41相空間維度及 lnC與 ln r斜率關係圖

圖 42相空間維度及 lnC與 ln r斜率關係圖

0

1

2

3

4

5

6

7

0 5 10 15 20

相空間維度

斜

率

d

-02

0

02

04

06

08

1

12

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33

時間遞移數

自我相關函數

35

圖 43 原始資料時間序列圖

41 複線性迴歸混沌全域法

本文所使用的資料為 10日的車流量資料利用前 9日的資料訓練出迴

歸參數將迴歸參數代入複線性數學模型中計算出的迴歸方程式為

1 2 3 4

5 6 7 8 9

10 11 12 13 14

435363 00819 00338 01777 00070

01116 01999 00299 02716 00349

01399 00056 01113 00738 02038

y x x x x

x x x x x

x x x x x

(41)

解出迴歸參數計算出複線性迴歸方程式後再將最後一日 144筆的車

流資料代入方程式中計算出預測值利用複線性迴歸混沌域法預測出的結

果如圖 44

圖 44 複線性迴歸分析預測與原始資料比較圖-全域法

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

1 53

10

5

157

209

26

1 31

3

365

41

7

469

52

1 57

3

625

67

7

729

78

1 83

3

885

93

7

989

10

41

1093

11

45

1197

12

49

1301

13

53

1405

原始資料點

原始資料點

-50

0

50

100

150

200

1

7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

103

109

115

121

127

133

139

實際值

預測值

36

由圖表的狀況可觀察出運用複線性迴歸模型預測的結果不盡理想本

研究認為運用複線性迴歸預測的結果不佳的原因有二

1 利用全域法預測是將較大量的歷史資料加入考慮訓練出迴歸參數這

樣的結果造成削弱了原本的奇異點(相較於同時段資料差異性較大的點)

的影響力

2 嵌入維度 太高對於混沌時間序列隨著嵌入維度增高歷史

對未來的影響是呈指數衰減的所以全域法所利用的資訊歷史就越長

預測的精準度就會迅速下降因此本研究將加入局域法討論預測的準

確性

42 複線性迴歸混沌局域法

局域法的做法為尋找相空間重構後的點對待測點尋找鄰近的 k個相

空間點對離待測點鄰近的若 k個相空間點的關係作出擬合並分析出複

迴歸方程式的迴歸參數本文嘗試選取 k=50~250的結果以下只列舉 k=200

的圖解釋預測結果

圖 45 複線性迴歸分析預測與原始資料比較圖-局域法(k=200)

圖 44與圖 45比較後可看出區域法預測的準確性比全域法更好某

些預測出來的結果的點與原始資料的點差異性大有明顯的偏移本研究

認為利用局域法預測的結果不佳的原因如下由圖 45可看出預測結果與

原始資料間差異性較大的點位為數列的右側 而數列尾端的資料為凌晨或

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

1

7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

103

109

115

121

127

133

139

實際值

估計值

37

是深夜的車流量因每日凌晨或是深夜的車流量變化量較少(例如某日的凌

晨十二點十分可能為 0台車或是小於 10台車經過)所以資料的差異性

較大造成頭尾的資料預測上較為不準確

因為同時段的資料可能會影響資料預測出的結果所以我們下節就以

加入季節性的考慮來加以討論預測結果

43 複線性迴歸去除季節性後混沌全域法

本文使用的車流量資料為每日 24時換算成 1440分鐘每 10分鐘記

錄一點於是本研究依資料的記錄時間點來劃分季節性將季節分成 144

個季分別求出季節性指數求取季節性指數後將每個資料點先去除季

節性利用全域法訓練出去季節性後的迴歸係數再利用複線性求出預測

值最後將去除的季節指數乘回預測點結果如下

圖 46考慮季節性複線性迴歸分析預測與原始資料比較圖-全域法

此考慮季節性因子的複線性迴歸分析預測與原始資料的比較是用全

域法去訓練迴歸參數的而由圖 44我們可以得知一開始未考慮季節因

子使用全域法的複線性迴歸預測是不準確的本研究認為原本的歷史資

料隨著季節性因子的變化該系統原本呈現複雜的動態特性實際上由於

車流量的變動有許多外在因素的影響例如氣候假期hellip等影響會使

資料的變化過程發生不同程度的偏離而對於季節性事件來說其事件發

生的過程主要受季節性參數週期性變化的影響 因此影響因素的具體形

式可以近似地表示為單一函數本文考慮季節因素對車流量的影響意即

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

1

7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

10

3

10

9

11

5

12

1

12

7

13

3

13

9 實際值

預測值

38

經過季節性分析後的得到的預測分析結果很準確如圖 46所示此結果

表示季節性影響樣本資料的情形大也代表著在季節因素影響下系統中

事件的動態變化情況是隨著季節影響參數的變化而造成系統呈現各種

各樣複雜的動態特性如週期解混沌情形hellip等

44 模糊迴歸

441Tanaka模糊迴歸

μ及 H 值之選定原則為當不確定性愈大時其 μ及 H 值愈接近 0

反之當資料不確定性愈小時μ及 H 值取愈接近 1 之值Bardossy 等人

建議其值在 05~07間為適宜根據 Tanaka在 1982年所提到的方法我們

可以求得一模糊迴歸函數並可得知其中心線與其上界及下界假定在 H =

05的情況下利用 Tanaka模糊迴歸模式算出迴歸函數為

(42)

中心線與上下界的簡單迴歸方程式為

中心線 (43)

上界 (44)

下界 (45)

繪製出的圖形如圖 47所示

圖 47 Tanaka 模糊迴歸

0

50

100

150

200

250

300

1

7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

103

109

115

121

127

133

139

下界

中心線

上界

39

圖 48 Tanaka 模糊迴歸中心線與預測值之結合

從圖 48可看出預測值與模糊迴歸的中心線 有明顯的時間差異但由

圖可以觀察出模糊迴歸的中心線 的預測趨勢與實際值是相近的雖然利

用模糊迴歸預測的時間點比實際時間快但是相對來說也是可以用來預

測之後將發生的趨勢本研究認為若模糊迴歸可用於預測中則可用模糊

的散度 c當做預測行為中選取的可接受的變動範圍如圖 49最後將 Tanaka

模糊迴歸中心線上下界與實際值之結合如圖 410所示

圖 49 Tanaka 模糊迴歸中心線上下界與實際值之結合

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

1

8

15

22

29

36

43

50

57

64

71

78

85

92

99

106

113

120

127

134

141

實際值

中心線

0

50

100

150

200

250

300

1

7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

103

109

115

121

127

133

139

實際值

下界

上界

預測

值

預測值

40

圖 410 Tanaka 模糊迴歸中心線上下界與實際值之結合

442修正型 Tanaka模糊迴歸

因為我們要將模糊迴歸應用於預測中所以本研究將複線性迴歸的趨

勢線視為模糊迴歸的中心線再利用修正型 Tanaka模糊迴歸模式算出迴歸

函數為

(46)

中心線與上下界的簡單迴歸方程式為

中心線

上界

下界

繪製出圖形如圖 411

0

50

100

150

200

250

300

1 7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

103

109

115

121

127

133

139

實際值

預測值

下界

上界

41

圖 411 修正型模糊迴歸中心線上下界與實際值之結合

本研究使用的修正型模糊迴歸中心線與傳統的迴歸方程式相同所以

可用來處理或分析模糊資料與明確資料同時修正型模糊迴歸的上下界

與 Tanaka 模糊迴歸相較也變窄了此兩種現象就是修正型迴歸的特色因

為中心線與傳統的迴歸方程式也相同這種修正型迴歸散度可選擇為負值

的特色本研究認為可以應用在預測上因為上下界與中心線間的散度變

窄使得前文所敘述到的利用散度來選取預測範圍便可更為嚴格也可

使預測的結果更為可靠如圖 412所示

圖 412 Tanaka 上下界與修正型模糊迴歸上下界的寬度差別

0

50

100

150

200

250

1 7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

103

109

115

121

127

133

139

下界

中心線

上界

0

50

100

150

200

250

300

1 8 15

22

29

36

43

50

57

64

71

78

85

92

99

106

113

120

127

134

141

Tanaka下界

Tanaka上界

Tanaka修正型下界

Tanaka修正型上界

42

第五章 結論及未來研究方向

51 結論

根據前文的討論傳統迴歸和模糊迴歸建立在不同的理論基礎上傳

統迴歸是以機率為基礎而模糊迴歸則是以可能性為基礎傳統迴歸因變

數的估計值與觀測值之間的差異為因變數的隨機性而模糊迴歸因變數的

估計值則產生於觀測值之模糊度惟兩者最大不同處在於模糊迴歸式的

迴歸係數與預測值皆為模糊數（區間值）不同於傳統迴歸係數與預測值

均為明確的數值此外傳統迴歸侷限於對明確資料的分析可能性模糊

迴歸僅適用於分析具模糊性的資料而複合的模糊迴歸則可同時適用於分

析模糊與明確的資料此為此模式最大的特點

模糊迴歸應用於預測中大多的結果是不佳的但是我們透過結合混

沌與模糊迴歸的概念將混沌的預測單點概念拓展成一個可接受的預測

範圍

PT Chang 與ES Lee 使用修正型模糊迴歸重新定義散度做出新的

模糊上下界均為改善模糊迴歸模式Tanaka之研究本研究將模糊迴歸與

混沌理論之建立時間序列的預測情形加以結合討論發現模糊迴歸在預測

的行為中是可行的但可惜的是即使預測的趨勢相近但預測值出時間

的點卻有差別這樣的結果我們可以看出若能找到解決加強模糊與複線性

迴歸關係之間時間的關聯性就能利用模糊的不確定性來討論預測問題

52 未來之研究方向

本研究將模糊迴歸與混沌理論之建立時間序列的預測情形加以結合討

論發現模糊迴歸在預測的行為中是可行的但可惜的是即使預測的趨

勢相近但預測值出時間的點卻有差別這樣的結果我們可以看出若能找

到解決加強模糊與附線性迴歸關係之間時間的關聯性就能利用模糊的不

確定性來討論預測問題

為了符合現今社會多元的狀況模糊迴歸與傳統迴歸之觀念勢必加以

混合應用也為了解決此等問題混合式迴歸（Hybrid Regression）在近年

來被提起也因此參數的估計模糊迴歸與傳統迴歸的混合應用將成

為往後繼續研究探討之目標

建議未來可用模糊加權修正模糊迴歸使模糊迴歸在預測上更能直接

43

將對事物多個構面評估的意見與其影響事物狀況的重要程度作加權的運

算

44

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6

歐氏幾何學無法解釋的自然現象舉凡不規則形狀的自然物體都無法用歐

式幾何學解釋如雪花雲朵流水樹木hellip等所以碎形幾何理論是

用來解釋具有自我相似性及非整數維度的特徵

因此所謂碎形指的是一個幾何物件其外型不像直線弧線這些古

典歐幾里德幾何（Euclidian geometry）的表面那麼平滑而是相當破碎

不規則且無論巨觀或微觀都不是連續的這些不規則的碎形和我們習以

為常的觀念有所不同且基本上大多數的現象並不是如歐幾里德幾何所描

述的那樣

舉例來說一顆籃球對於向來熟悉阿基里德空間的我們來說直覺性

的會認為這是三度空間中的一個球體其維度為三但當把距離拉遠看

似一個圓形維度成為二若把距離縮近成為一公釐則可以發現籃球上

有凹下的線條有防滑的凸點顆粒這種情況下維度又該如何界定而曼

德布洛特在分析英國科學家李查(Lewis F Richardson)遺稿當中的一篇論文

時察覺任何國家的邊界在某種定義下都是無限長其重點在於測量時所

使用的基準長度一般要測量海岸線長度時測量員會架起兩腳器並預設

成一個長度沿著海岸線進行測量之後將兩腳器的尺度縮小重頭再量一

次海岸線長而所量到的這兩種尺寸後者一定較前者為長也較逼近真

實的邊界長度同理將兩腳器的兩腳距無限的縮小則所量到的邊界就

成為無限長

1967年代數學家 Benoit Mandelbrot發表了一篇名為「英國海岸線有

多長」的論文文中提到新的維度觀念也就是碎形維度碎形維度具

有四種特性(1)自相似性(2)自我模仿性(3)碎形維度為有限區域的無限

結構(4)碎形是非動力過程的結果混沌現象具有特殊的碎形維度(Fractals)

混沌狀態出現時運動軌跡不穩定它們隨機但緊密的逐漸收斂到一個整體

縮小但局部分離的區域此區域就稱為奇異吸引子（strange attractor）

Hayles(1990)指出混沌是強調存在於雜亂現象之內潛藏的規律秩序結構

因為雜亂現象之內隱含有「奇異吸子」(strangeattractors)進而啟動運作「混

沌系統」Griffths Hart amp Blair(1991)認為混沌理論應用在教育行政中

也具有奇異吸子的特徵奇異吸引子不同於的穩定的整數維吸引子（即不動

點極限環和環面）它具有的是奇特的非整數的空間維度這種空間被

稱作豪斯道夫（Hausdorff）空間因此混沌奇異吸子是一個整體穩定但是

7

局部不穩定的運動空間

212李亞普諾夫(Lyapunov)指數

混沌系統的初始值非常敏感使得初始時刻靠得很相近兩條相軌跡隨

著時間的增長而逐漸遠離如果能夠定量描繪出此種鄰近軌跡的發散性

便可建立出混沌變動情形的一種數值判斷方法李亞普諾夫指數就是用來

表示相空間內鄰近軌跡的平均指數發散率的數值特徵m 維相空間中的某

一時刻兩條鄰近軌跡之間的距離可以分解在 n 個不同的方向這 n 個不

同方向上的距離增長率是不相同的而每一個增長率就是一個李亞普諾夫

指數

最大李亞普諾夫指數是判斷和描述非線性時間序列是否為混沌系統的

重要參數因此是一個重要的混沌不變數對於混沌系統來說發散是一種

整體性的穩定因素動力系統一方面作為發散系統最終要收縮到相空間的

有限區域也就是吸引子上另一方面系統在相體積收縮的同時運動軌

跡是不穩定的要沿某些方向進行指數分離

對於 m 維的動力系統中 中初始兩點迭代後會互相分離

或是靠近取決於

的值若

則迭代使兩點分離若

則迭代使兩點靠近在不斷迭代過程中

也會隨之改變呈現出時而接

近時而分離的情形為了表示從整體上觀察得到的情況必須對時間(或反

覆運算次數)取平均設平均每次反覆運算所引起的指數分離指數為 於

是原來相距 的兩點經過 n次迭代後距離變為

(21)

若取極限 則式(21)變為

(22)

(22)式可簡化為

(23)

上式中的 與初始值的選取無關稱為原動力系統的李亞普諾夫指數

它表示系統在多次反覆運算中平均每次反覆運算所引起的指數分離中的

8

指數若 則表示相鄰點最終會靠近合併成一點若 則表示

相鄰點最終會發散而對應於軌道的局部不穩定若軌道還存有整體的穩

定因素(如整體有界發散存在捕捉區域等)系統則需在有限的幾何物件

上無窮次折疊以實現指數分離系統在此作用下反覆折疊並形成混沌吸

引子故 可做為判斷混沌情形的準則

混沌系統中的李雅普諾夫指數可用來判斷系統是收斂的還是混沌的

當系統的李雅普諾夫指數中至少有一個為正時 系統是混沌的 當系統的

李雅普諾夫指數均為負數時 系統是收斂的

對於一般 m維的動力系統定義李亞普諾夫指數如下設 F為

上的 m維映射假設一個 m維離散動力系統 將系統的初

始條件假設為一個無窮小的 m維小球由於演化過程中的自然變形圓球

將變成橢圓球將橢圓球上的所有主軸依其長度排列則第 i 個李亞普諾

夫指數根據第 i個主軸的長度 的增加速率定義為

(24)

李亞普諾夫指數與相空間的軌道收縮或擴張性質是有關連性的在李

亞普諾夫指數小於零的方向上軌道收縮運動穩定對於初始值不敏感

而在李亞普諾夫指數為正的方向上軌道迅速分離對初始值敏感李亞

普諾夫指數的前 j個指數的和是由前 j個主軸定義的 j維立體指數增加的長

期平均速率確定如橢球長度按 增加由前兩個主軸定義的區域面積依

增加由前三個主軸定義的區域面積依 增加以此類推在

李亞普諾夫指數譜中最小的李亞普諾夫指數決定軌道收縮的快慢最大

的李亞普諾夫指數則決定軌到發散也就是覆蓋整個混沌吸引子的快慢

而所有李亞普諾夫指數之和 可以大致表示為軌道的平均發散速度

李亞普諾夫指數是衡量系統動力學特性的一個重要定量指標它代表

了系統在相空間中相鄰軌道間收斂或發散的平均指數率對於系統是否存

在動力學混沌可以直觀的判斷最大李亞普諾夫指數是否大於零一個正

的李亞普諾夫指數代表著在系統相空間中無論初始兩條軌跡的間距多

小兩條軌跡的差別都會隨著時間的演化而成指數率的增加而導致無法

預測這就是混沌現象

213 混沌系統之時間序列

9

2131 相空間局部近似法

Farmer and Sidorowich(1987)在其混沌預測方法之研究提出所謂的相

空間局部近似法(phase space local approximation method)對系統之演變行為

進行預測這種奠基於時間延遲法(time delay method)所構成之重建相空間

(reconstructed phase space)的預測方式能夠適應吸引子(attractor)的局部行

為經後續進一步研究發現其具有相當良好之預測能力因此採 Farmer and

Sidorowich(1987)之相空間局部近似法構建交通量預測模式期能增加預測

準確度

2132 時間序列與相空間重構

相空間的概念就是把運行方程式所獲得的數字或數據轉換成為圖形

並將系統中隨時間改變的重要的資訊(無論是機械或是流體)抽取出來把各

式各樣可能的狀況註明在圖上利用延遲時間的概念模擬出類似原始系統

之相空間當重建一個空間使得此空間可以具體的包含吸引子特徵則此

空間之維度我們稱為嵌入維度Takens等人(1981)提出嵌入定理對於無

限長無雜訊的 d維混沌吸引子的標量時間序列x(n)可以在拓撲不變的

意義上找到一個 m維的嵌入相空間只有維數 m gt2d+ 1才可保有原始吸

引子的特徵Takens 定理保證了我們可以從一維混沌時間序列中重構一個

與原動力系統在拓撲意義下等價的相空間混沌時間序列的判定分析與

預測是在這個重構的相空間中進行的因此相空間的重構是混沌時間序列

研究的關鍵將收集的一維歷史資料例如現有歷史資料為 9筆13579

10131115間遞移的結果為1711391351015在此我們將利用此

時間遞移建立的時間序列觀念x(t) x(t minusτ ) x(t minus 2τ )hellip來重建相空間

2133 延遲時間 τ的決定

時間延遲如果 τ太小則相空間向量 x(i) = x(t) x(t minusτ ) x(t minus 2τ )hellip

中的任意兩個分量 x(t)和 x(t minusτ )在數值上非常接近以至於無法相互區分

從而無法提供兩個獨立的座標分量但如果時間延遲 τ 太大的話則兩座

標在統計意義上又是完全獨立的混沌吸引子的軌跡在兩個方向上的投影

毫無相關性可言因此需要用一定的方法來確定一個合適的 τ 值本文確

定 τ的主要方法為相關維度法

2134 自相關函數

自相關係數是利用時間序列裡每一筆數據與其前的數據根據不同遲延

10

時間距離的數值進行相關係數計算而成如遲延時間距離為 1表示將每

一筆數據與緊接其前的一筆數據進行相關係數計算如遲延時間距離為 2

表示將每一筆數據與其前第二筆數據進行相關係數計算如遲延時間距離

為 3表示將每一筆數據與其前第三筆數據列進行相關係數計算如此類

推自相關係數 之計算公式如下

1

1

1( )( )

1( )

n k

t t k

tk n

t

t

x x x xn k

r

x xn

(25)

式中 n為資料數k為時間遞移後的點t為時間點

將自相關係數計算的結果與每一筆遲延時間距離數值繪製成圖表可

由圖表中可分析辨別時間序列數據的初步基本特徵如圖表繪製的結果顯

示自相關係數沒有跟隨遲延時間距離數值的增加而顯示收歛之跡象也就

是說繪製線不斷於 X軸零座標線做不規律的上下擺動表示數據為隨機時

間序列即每一數據都視為個別獨立的事件且與過去某一筆遲延時間距離

數值的事件無關係反之若圖表繪製的結果顯示自相關係數跟隨遲延時

間距離數值的增加而顯示收歛且具有震盪循環之跡象則表示數據具有一

種規則屬於一混沌時間序列

2135 季節趨勢

季節趨勢預測法是根據事物每年重覆出現的週期性季節變動指數預

測其季節性變動趨勢

季節指數的概念即是利用簡單平均法計算週期內各時期模型季節性影響的

相對數季節指數反映了該季與總平均值間的穩定關係若季節指數大於

1則表示該季的值常會高於平均值若季節指數小於 1則表示該季的值

常會低於平均值若序列的季節指數都近似於 1則表示該序列沒有明顯

的季節效應季節指數的計算方式如下

計算週期內各期平均數

k=12hellipm (26)

計算總平均

(27)

計算季節指數

11

k=12hellipm (28)

其中 n為期數m為季節數

22 複線性迴歸分析

迴歸分析的目的主要是建立變數之間的關係進而應用於預測分析中

內政部營建署(1997)就曾利用迴歸分析來探討反彈數及現場鑽心試體之間

的抗壓強度關係進而建構出一迴歸方程式做為混凝土試體的抗壓強度

預測而在土木工程領域中也已有許多學者利用迴歸分析來進行研究

例如潘南飛與黃冠智(2005)利用迴歸分析來預測橋面版劣化狀況且考慮

以交通量及降雨量作為迴歸模式中的自變數最後得一配適佳的迴歸式

凌偉峻(2006)利用複線性迴歸分析建立模式及混沌系統的相空間鄰近點相

似特性來建立車流量預測模式Cheung et al (2008)使用氣候值持續值

颱風強度Julian Date記日本地時間七級風暴風半徑及颱風中心速度共

7個預報參數進行多變量的複線性迴歸(multiple linear regression)分析並以

20個傳統雨量站進行測試各新增變量中以颱風強度七級風暴風半徑及

中心速度對預報之改善較顯著其受改善之時數及相關係數之增加幅度皆

較其它變量為多顯示颱風結構參數在颱風降雨預報中比簡單的季節性因

素或日夜對流差異來得重要

敘述自變數( 1 kx x x x 2 3 )依變數 y 和誤差項 i 之間關係的方程式

稱為複線性迴歸模式複迴歸其主要目的有二

1 可以降低隨機誤差此與迴歸之變異數分析有關增加解釋變數之個數

可以使迴歸分析可解釋變動的部分增加相對的誤差就會減少

2 可以避免反應變數中影響重大的解釋變數有所遺漏而無法具體描述實

際資料的狀況估計複迴歸方程式或估計多元迴歸方程式(Estimated

multiple regression equation)大部分情況下複迴歸模式中的迴歸參數

皆不知其實際數值僅可以利用樣本數值估算分別以樣

本統計值 作為迴歸參數 的點估計值本研究

利用全域法訓練迴歸參數 即是利用前九日的歷史資料

複線性迴訓練出迴歸係數預測出第十日的資料型態複迴歸分析是將

簡單迴歸分析其自變數由一個增加至數個研究一群自變數和一個反應

變數之間的關係複線性迴歸模式定義如下

12

(29)

其中 為常態 n 隨機變數期望值 E(ε)=0且彼此互相獨立若有 n

組樣本觀測值(ngtp)組我們就可將方程式寫成

(210)

其中 i=123hellipn

若將複線性迴歸寫成矩陣可得下式

(211)

也可將式(211)寫成矩陣形式

(212)

其中 為觀察值向量 為參數向量 為自變數矩陣 為獨立之常態

隨機變數向量且滿足 向量 Y的期望值表示如下

(213)

複線性迴歸之最小平方標準方程式矩陣表示為

(214)

其中

為最佳模式之參數矩陣因此可求得最小平方估計式矩陣

表示為

(215)

其中 為 之轉置矩陣 為 之反矩陣只要利用式(215)

即可獲得複線性迴歸方程式

23 模糊理論

模糊理論是由美國加州大學伯克利分校電氣工程系的L A Zadeh在

1965年首次提出Zadeh在1965年發表了一篇傳統科學皆以排除具模糊性的

研究為主而模糊理論則以包含模糊性的研究為主現今科學發達所要

探討的議題越來越多由於人類的知識與研究會因本身主觀的意識因應

不同的人事時地物而具模糊性使得無法清楚呈現研究的本質為何要

13

在日常生活中精確地描述一個現象必定忽略其中的些微變化然而此描

述又無法真實描述現實因此模糊理論(Fuzzy Theory)正好能被廣泛應用在

研究上

模糊概念是指這個概念的外延具有不確定性或者說它的外延是不清

清楚的是模糊的例如好的壞的好壞的概念我們非常清楚但是

它的外延也就是究竟事件發生的條件到底是要如何才會是好的跟壞的

每個人的回答都會是不同的這就是一個模糊的概念所以當我們在接

觸模糊時是允許主觀意識的因為每個人對模糊的概念不盡相同儘管

如此當我們利用模糊統計方法進行分析時對於好與壞之間的界限又有

一定的概念

其次模糊性與精確性是相對立的但卻不能將模糊性理解成較差的

結果因為實際上我們在處理客觀事物時經常藉助於模糊性例如

若我們要在路上找一位「年輕的漂亮女孩」「年輕」及「漂亮」都是模

糊的概念但對我們而言這在路上不難找到因為我們的大腦會分析什麼

是「年輕」及「漂亮」於是我們就可以判斷出我們要找的人然而若我

們要求必須用電腦查詢「年輕的漂亮女孩」我們就必須將「年輕」及「漂

亮」這兩個模糊的條件利用具體的數據輸入電腦分析才能找到符合我們

要求的人

最後人們對模糊性的認知常與隨機性混淆其實它們之間有著很大

的不同隨機性是本身具有明確意義只是因為發生的條件不充分使得

在條件與事件之間不能產生確定的因果關係所以事件的出現與否表現出

一種不確定性而事物的模糊性是指我們要處理的事物的概念本身就是模

糊的即一個對象難以確定是否符合這個概念也就是由於概念外延模糊

而帶來的不確定性

231模糊的發展

模糊理論是在美國加州大學伯克利分校電氣工程系的 LAzadeh 教授

於 1965年創立的模糊集合理論的數學基礎上發展起來的主要包括模糊集

合理論模糊邏輯模糊推理和模糊控制等方面的內容

早在 20世紀 20年代著名的哲學家和數學家 B Russell就寫出了有關

「模糊性」的論文他認為所有的自然語言均是模糊的比如「紅的」和

「老的」等概念沒有明確的內涵和外延因而是不明確的和模糊的可是

14

在特定的環境中人們用這些概念來描述某個具體對象時卻又能心領神會

很少引起誤解和歧義

美國加州大學的 L A Zadeh 教授在 1965 年發表了著名的論文文中

首次提出表達事物模糊性的重要概念隸屬函數從而突破了 19世紀末勒

內middot笛卡爾（Rene Descartes）的經典集合理論奠定模糊理論的基礎1966

年P N Marinos發表模糊邏輯的研究報告1974年L A Zadeh 發表模

糊推理的研究報告從此模糊理論成了一個熱門的課題1974 年英國

的 E H Mamdani 首次用模糊邏輯和模糊推理實現了世界上第一個實驗性

的蒸汽機控制並取得了比傳統的直接數字控制演算法更好的效果從而

宣告模糊控制的誕生1980年丹麥的 LPHolmblad 和 Ostergard 在水泥窯

爐採用模糊控制並取得了成功這是第一個商業化的有實際意義的模糊控

制器

事實上模糊理論應用最有效最廣泛的領域就是模糊控制模糊控

制在各種領域出人意料的解決了傳統控制理論無法解決的或難以解決的問

題並取得了一些令人信服的成效

模糊控制的基本思想把人類專家對特定的被控對象或過程的控制策略總

結成一系列以ldquoIF THENrdquo形式表示的控制規則通過模糊推理得到控製作用

集作用於被控對象或過程控製作用集為一組條件語句狀態語句和控

製作用均為一組被量化了的模糊語言集如「正大」「負大」「正小」

「負小」零等

模糊控制的幾個研究方向

1 模糊控制的穩定性研究

2 模糊模型及辯識

3 模糊最優控制

4 模糊自組織控制

5 模糊自適應控制

6 多模態模糊控制

模糊控制的主要缺陷

信息簡單的模糊處理將導致系統的控制精度降低和動態品質變差若

要提高精度則必然增加量化級數從而導致規則搜索範圍擴大降低決策

15

速度甚至不能實時控制模糊控制的設計尚缺乏系統性無法定義控制

目標控制規則的選擇論域的選擇模糊集的定義量化因數的選取多

採用試湊發這對複雜系統的控制是難以奏效的

232模糊至今應用的範圍

模糊理論發展至今已接近三十餘年應用的範圍非常廣泛從工程科

技到社會人文科學都可以發現模糊理論研究的蹤跡與成果我們分別由工

程科技與社會人文科學的角度瞭解模糊理論應用的範疇

1 工程科技方面

(1) 型樣識別文字識別指紋識別手寫字體辨識影像辨識語音

辨識

(2) 控制工程機器人控制汽車控制家電控制工業儀錶控制電

力控制

(3) 信號及資訊處理影像處理語音處理資料整理資料庫管理

(4) 人工智慧及專家系統故障診斷自然語言處理自動翻譯地震

預測工業設計

(5) 環保廢水處理凈水處理廠工程空氣污染檢驗空氣品質監控

(6) 其他建築結構分析化工製程控制

2 教育社會及人文科學方面

(1) 教育教學成果評量心理測驗性向測驗電腦輔助教學

(2) 心理學心理分析性向測驗

(3) 決策決定決策支援決策分析多目標評價綜合評價風險分

析

233模糊集合

過去傳統數學上集合的基本定義是以二值邏輯(Binary Logic)為基礎的

方式來描述事物為屬於或不屬於此集合也就是元素 x和集合 A的關係

只能是isinA或notinA明確的判斷對象為所屬集合也就是明確集合(Crisp Set)

如果要描述適當的模糊事物時須將所屬集合的概念模糊化使之無明確

判對象所屬的集合模糊集合是指在界限或邊界不分明且具有特定事物的

集合以建立隸屬函數(Membership Function)來表示模糊集合承認論域

(Universe of Discourse)上存在既非完全屬於集合A又非完全不屬於集合A

16

使傳統集合的絕對屬於的概念改變為相對屬於的概念以數學式表示論域

U 上的模糊集合 A可表示為元素 x與它的歸屬函數集合

(216)

其中 A為一模糊集合 為歸屬函數x稱作元素U為論域一

般情況下歸屬度會界定在 0跟 1之間

(1) =0表示元素 x不屬於

(2) =1表示元素 x完全屬於

(3) 趨近 0表示元素 x極不可能屬於

(4) 趨近 1表示元素 x極有可能屬於

這個表示式的完整解釋為當 x 在 U 的範圍內會對應到一個介於 0

到 1之間的數值 所有這種 x所成的集合就是一個模糊集合模糊集

合可表示為

1 當論域Ｕ為有限離散(discrete)集合的情形下模糊集合 可表示成

(217)

2 當論域Ｕ為實數論域所組成之在連續(continuous)集合的情形下模糊

集合 可表示成

isin (218)

其中 並非積分符號而是單純的連結符號

234 模糊數(Fuzzy Number)

1 模糊數(triangular fuzzy number)

假設 是模糊集合或模糊數(FN)在實線 2R 上則以三角形隸屬函數

(triangular membership function）表示為 1 2 3( )a a a 2 x R to A 則

1

1 2 1 1 2

3 3 2 2 3

3

0

( ) ( ) ( )

( ) ( )

0

x a

x a a a a x aA x

a x a a a x a

x a

(217)

17

1

其隸屬函數圖形如圖 21

圖 21 三角模糊數

2 梯形模糊數(trapezoidal fuzzy number)

梯形模糊數可表示為 如圖 22其隸屬度函數定義為

(218)

其隸屬度函數如圖 22

圖 22梯形模糊數

a b c d

1

18

在一信賴區間 α水準α 01 我們定義 A

( )A x A x (218)

三角形隸屬度函數以 α-cut表示為

( ) ( )

1 3 1 1 2 3 2 3[ ] [ ( ) ( )]A a a a a a a a a

(219)

( )

1a 與 ( )

3a 個別代表 A的下界及上界

根據模糊算術方法Zadehrsquos sup-min 方法表示如下

( )( ) sup min( ( ) ( ))x y z

A B z A x B y

(220)

其中 sup表任何模糊算式Mizumoto and Tanaka（1976）使用相同方

法在 α 截集模糊數和區間算術Chang（2003）和 Chang et al （2006）和

Chang and Hung（2006）整理使用 α 截集模糊算術方法的文獻α截集模

糊算術中模糊數基本運算公式（加法減法乘法除法）可以計算的

更快在每一個 α-level 區間中使用區間算術（Kaufmann and Gupta

1988）

1 模糊數加法

令A和 B分別為兩模糊數 A和 B在一信賴區間 α水準 ( ) ( )

1 2[ ]A a a

( ) ( )

1 2[ ]B b b αisin 01 forall A B sub 2R 表示如下

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 2 1 2 1 1 2 2[ ] [ ] [ ]A B a a b b a b a b

forallαisin 01 (221)

2 模糊數減法

在一信賴區間 α水準forall A B sub 2R αisin 01

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 2 1 2 1 2 2 1[ ] [ ] [ ]A B a a b b a b a b

(222)

3 模糊數乘法

在一信賴區間 α水準forall A B sub 2R αisin 01

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 2 1 2 1 1 1 2 2 1 2 2

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 1 1 2 2 1 2 2

[ ] [ ] [min(

max( )]

A B a a b b a b a b a b a b

a b a b a b a b

(223)

4 模糊數除法

在一信賴區間 α水準forall A B sub 2R αisin 01

19

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 1 1 2 2

1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 2 1 2 1 2 1 2

[ ] [ ] [min( )max( )]a a a a a a a a

A B a a b bb b b b b b b b

式中 ( )

1b ( )

2b gt0forallαisin[01] (224)

235模糊運算

根據 Zadeh（1965）的擴展原理（Extension Principle）可以廣義的使

用一般基準 T取代原來的最小值模糊數的數學運算表示如下

1 加法

( )( ) sup ( ( ) ( ))x y z

A B z T A x B y

(225)

2 減法

( )( ) sup ( ( ) ( ))x y z

A B z T A x B y

(226)

3 乘法

( )( ) sup ( ( ) ( ))x y z

A B z T A x B y

(227)

4 除法

( )( ) sup ( ( ) ( ))x y z

A B z T A x B y

(228)

24 模糊迴歸

在科學研究過程中許多研究者常使用迴歸來描述自變數 x和應變數 Y

之間的關係傳統的迴歸分析均假設觀察值由實際應變數影響加上隨機誤

差而產生也就是說應變數是一種帶有不確定性的隨機變數不過在很

多的實務應用上往往無法滿足這樣的假設例如有些應變數 Y 的觀察值

並不是以單一數值的型式存在而是帶有多重隸屬的特性這些觀察值雖

然帶有不確定性但這種不確定的特性是來自於模糊現象而非隨機現象

若由模糊觀點套用迴歸分析來處理模糊資料問題就稱為模糊迴歸分析

模糊迴歸分析最早是由 Tanaka et al (1980) 提出一般模糊迴歸能夠處理的

樣本型式有兩種一種是實數值樣本 其中 為實數向量 為觀測

到的實數值另一種是模糊數樣本( 其中 為觀測到的模糊數不論

是實數值樣本或是模糊數樣本想要估計模糊迴歸參數估計方法大都是

20

利用線性規劃的技巧來尋求一組能將實數值樣本 或模糊數樣本(

包含在內的區間再將三角形隸屬函數（triangular membership function）套

用

在此區間上如此便求得一組模糊迴歸估計式要得到正確的估計結

果最好是收集具有代表性的隸屬函數樣本所謂具有代表性的隸屬函數

樣本應該是以模糊數的形式存在所以本文就樣本模糊數 進行討論

線性模糊迴歸模式常表示成

0 1 1 2 2( ) i i i p piY x A A x A x A x (229)

其中 1 2 3(1 ) i i i i p ix x x x x 為自變數向量 ( )iY x 為模糊應變數

為模糊參數利用樣本模糊數 估計參數 時通

常假設 與 的隸屬函數為對稱三角型式 與 的隸屬函數表達如下

( ) max 1 0 i

i

Y

i

t yt t

r

(230)

其中 為三角隸屬函數的中點 為三角隸屬函數的分布半徑可令

( ) max 1 0 m

m

A

m

t ct t

s

(231)

其中 為三角形的中點 是三角形的分布半徑 與 間的關係

如圖 23所示

圖 23模糊數的中心值與散佈值

1

0

21

再令 則前述的模糊迴歸方程式可改寫成

0 1 1 2 20 1 2( ) i i ipi p pY x x xC S xC S C S C S (232)

因此模糊應變數 ( )iY x 的隸屬函數也屬於三角型式可表示成

( )

0

0

( ) max 1 0 Y xi

p

m m

m

p

m mi

m

t c x

t t

S x

(233)

其中 因此只要估計出三角形的中點 及半徑 便可得到

隸屬函數的估計值模糊迴歸分析是在要求每一個觀測值 隸屬於模糊

迴歸區間的隸屬程度至少 的情況之下尋求最小的模糊迴歸預測區間如

(234)式表示

forall ( 234)

在利用 對未知的模糊參數 進行估計前一般先定

義模糊樣本 和模糊應變數 的 h截集其定義如下

令 為一組模糊樣本 ( )iY x 為模糊應變數若 與

分

別為 及 的 h截集(h-cut)則

(235)

(236)

因具代表性的樣本 其 h 截集 應要盡量接近模糊應變數 的 h

截集 意即

其中容許

不完全落在 之

內的情形發生根據以上觀點王景南(2002)認為樣本的左端點

和右端點 隸屬於 的程度會有一定的水準於是設立此水準

為 H因此假設 隸屬於 的隸屬度會盡量的接近 H其間的關係

為

( 與

( (237)

所謂的盡量接近 H是可允許隸屬度大於 H或小於 H而不是均大於

22

H

根據以上的對樣本的解釋運用最小平方法以所有樣本的左端點

配置一迴歸直線稱之為左端直線估計式

(238)

其中 為迴歸係數再以所有右端點 配置右端

直線估計式

(239)

其中 為迴歸係數

前文已假設樣本的左右端點隸屬於 的隸屬度會盡量的接近 H所

以將這兩條直線函式來估計 之 H截集的左右邊界即

(240)

如此可推導出 的隸屬函數為

(241)

其中 且

(242)

意即

(243)

其中

為三角形底邊中點是

分布半徑如此便可得一組估

計的模糊迴歸模式

(244)

仍需注意的是當樣本為對稱型態時左右迴歸函數式其配適的結果式

相同的只有常數項不同當對稱情形發生時可以考慮利用各別對應相

之權重除以常數項的分布半徑做為個別對應項之分布半徑意即

分布半徑

除此之外Celmins及Diamond Celmins也分別提出最小平方法之模糊迴

23

歸模式以便求解資料間距離最小的模糊迴歸方程

模糊迴歸應用上比統計迴歸更具彈性統計迴歸通常需要大量資料以

支持其假設而模糊迴歸卻無此需求因此當資料量不足或隨機性難以驗

證時模糊迴歸是較強健的(Robust)同時當所蒐集之資料的不確定性乃

來自於人類之主觀判斷時模糊迴歸較具適用性

因此模糊迴歸模式逐漸受到重視在1990年代的研究包括Sakawa及

Yano針對投入變數與輸出變數皆為模糊資料的問題建構出一個多目標的模

糊迴歸模式此外Chang和Lee則認為模糊迴歸中心線的趨勢與模糊迴歸散

佈值的趨勢可以存在不一致性為了分析統計迴歸與模糊迴歸的差異Kim

Moskowitz 及Koksalan 利用模擬分析比較統計迴歸與模糊迴歸的結果認

為由機率論所得的統計迴歸模式在大樣本時其預測績效遠比可能性理論

(Possibility theory)推演而得的模糊迴歸模式為佳然而當資料量遞減或所構

建的模式適合性變差時(即變數間存在模糊關係)則模糊迴歸模式的預測績

效將優於統計迴歸模式由於模糊迴歸模式在解決資料量少及系統關係模

糊不清的問題上具有較佳之績效而存在其正面之價值當變數間存在模

糊關係時

從早期到目前已發展出多種模糊迴歸模式求解方式以下根據薛展青

(2004)所整理的模糊迴歸分析整裡敘述如下

1 區間迴歸法

區間迴歸法(interval regression)其模型架構主要是由Tanaka et al(1982)

所提出的模糊線性迴歸(fuzzy linear regression)模型Tanaka et al(1982)所發

表的論文中表示傳統的迴歸模型中造成實際值與估計值的誤差來源被

認為是由測量或觀察所造成的而此誤差項在模糊線性迴歸模型中是因

模糊系統中參數的模糊性所產生的即誤差是反應模糊線性函數的模糊現

象因此以模糊線性函數來表示迴歸方程式而迴歸參數則是以模糊集合

來表示

Tanaka et al(1982)在估計模糊迴歸參數時是利用線性規劃技巧

(linearprogramming method)來尋求一組能將實數值樣本或模糊數樣本全部

包含的區間最後求得一組對稱三角形模糊數之迴歸參數

自Tanaka等人(1982)的文章發表之後後續的學者大多以此為基礎陸

續題出各種相關的模式與求解方法如Peters (1994)將Tanaka的線性規劃法

24

求解推廣為模糊線性規劃法求解讓資料對模糊迴歸模式的適應性更加提

升YenGhoshray 與Roig (1999)提出由於非對稱迴歸係數導因於大多數的

資料為離群值使得對稱三角迴歸係數不再適用因此將Tanaka et al的模

式推廣為非對稱三角迴歸係數Moskowitz 與Kim (1993)探討不同水準值下

模糊迴歸模式的求解與模式配適程度Redden 與Woodall (1996)探討模糊

迴歸分析預測未來值的結果Sakawa 與Yano (1992)將Tanaka的方法擴展到

依變數及自變數皆是模糊集合的情況並將之稱為多目標線性迴歸法

(multiobjective linear regression model)Koumlrner 與Naumlther (1998)討論解釋變

數與反應變數兩者皆為模糊數值的情況Kacprzyk 與Fedrizzi (1992)則蒐集

了各種不同迴歸模式的求解方法Redden 與Woodall (1994)說明Tanaka後

續提出的求解模式當中所具備的性質以及與傳統迴歸方法的差異比較

但是在此模式下求解之迴歸係數本身亦為一對稱的三角模糊數值

而且求解結果很容易受到資料尺度(scale)的影響使得反應變數估計值之展

度會變得更為寬廣後來Tanaka (1987)根據1982年的文獻發展為更完整的

可能性線性系統使模糊迴歸的結構更趨適應性Tanaka 與Watada (1988)

闡明可能性線性模式的概念推演建構成可能性線性迴歸模式Tanaka et

al(1989)應用模糊資料於可能性迴歸系統中並建構最小化最大化及混合

式三種線性規劃模式又對先前所提出的模式加以修正但就如Redden 與

Woodall (1994)所指出Tanaka 類型的模式對於離群值(outlier)的反應非常

敏感甚至在觀察值的個數增加時求解結果可能會產生無限多解因

此在Tsaur 與Wang (1999)提出的文獻對於在模糊迴歸分析中的離群值進行

一系列探討

2 模糊最小平方法

模糊最小平方法(fuzzy least squares)乃擴展傳統之最小平方法的觀念

最早由Diamond (1988)所提出利用傳統最小平方法的觀念求出一個模糊

迴歸模式以估算(approximate)反應變數的觀察值並非如區間迴歸中的包含

觀察值在其模式中利用反應變數的觀察值與估計值的模糊數值之最小

值最可能值與最大值定義兩者之間的距離以衡量迴歸模式與模糊資

料之間的最佳配適度的情形在使得所有觀察值與估計值的模糊數值之間

的距離平方總和為最小時可以導出類似傳統迴歸分析中的正規方程式

(normal equation)以求解迴歸係數

25

其後Chang 與Lee (1996)則將Diamond (1988)的方法加以擴充將迴

歸係數的最可能值與展度分別估計該方法的特點在於可將極端值(outlier)

加以處理並降低其影響程度Ma等人(1997)則將此類方法發展於適合非

三角模糊數值的場合Diamond 與Koumlrner (1997)則在此類方法中定義一

個判定係數的計算方法以比較不同模式的適合性Wu與Tseng (2002)提出

改善模糊迴歸模式之最小平方法其模式主要觀念是利用最小平方法將所

有樣本的左端點及右端點各配置一條迴歸線然後在將其左右迴歸線統合

成一條迴歸線

而在Kim 與Bishu (1998)的研究中是利用各個具有三角模糊數值的反

應變數之最小值最可能值與最大值以最小平方法分別計算出模糊迴歸

係數所得到的係數不一定為對稱的三角模糊數在此種求解方式下雖

然可以得到比較小的估計誤差但其缺點是無法處理解釋變數為模糊數的

情形另外Kim 與Bishu(1998)還提出了評估模糊迴歸模式的準則利用觀

察值與估計值歸屬函數之間面積的差異做為迴歸模式的估計誤差但其評

估準則的問題是無法比較不同模式在觀察值與估計值歸屬函數之間不具有

交集時的誤差情況在此情況下求算估計誤差時無法準確評估其總誤差而

導致評估失真而其他學者如Yang與Ko (1997)Yang 與Lin (2002)等則

是提出以最小平方法為基礎的模糊聚類分析求解方式

3 模糊隨機變數估計法

為了建構一個同時具有隨機和模糊特性的系統Kwakernaak (1978)首

先提出模糊隨機變數(fuzzy random variables)的概念認為傳統的隨機變數

U Ωrarr R為實數可測函數而模糊隨機變數則將一般隨機變數的概念廣義

化模糊隨機變數可表示為X ΩrarrS設ω isinΩ而ω 所對應到的不再是實

數值U(ω)而是模糊集合X (ω)S 代表模糊集合且Kwakernaak (1978)擴

充原來Zadeh 提出模糊集合之架構認為有時供作參考的資訊不齊全在

對某些述句進行評斷時我們無法判斷其絕對為真或絕對為假此時我

們考慮將原有的二元邏輯思維方式推廣暫且不作肯定的判決而僅是表

達出對錯的程度換句話說真值可以是介於單位區間[01] 內的任何值

如此思維方式稱之為多值邏輯(multivalued value)並將模糊集合視為一組

述句(statement)的集合且每個述句均對應一真值程度以符合人類的思維與

想法Stein 與Talati (1981)利用模糊數值的隸屬函數提出模糊隨機變數

26

的期望值之計算方式Kruse 與Meyer (1987)藉助集合表徵的概念建立了

一套模糊隨機變數的定義而為了讓模糊隨機變數能實際應用並將討論

的範圍界定在一模糊集合族上Koumlrner (1997)及Naumlther (1997)利用該方法以

求算模糊隨機變數的期望值與變異數並應用於線性模糊迴歸模式的求解

等另外在曾能芳(民 91)的博士論文研究中指出在Tanaka et al (1982)

的模糊迴歸模式中並不具備誤差項因此模式無法呈現樣本與期望值之間

的關係而無法討論線性規劃估計程序所具備的統計性質所以在曾能芳

(民 91)提出的迴歸模式中採用模糊樣本是由依變數之模糊期望值加上測量

誤差所組成並提出測量誤差存在於中點的模糊迴歸模式以及測量誤差

同時存在於中點和半徑的模糊迴歸模式

4 兩階段求解方法

以兩階段方法(two stage method)求解模糊迴歸模式的想法是在於結合

最小平方法與區間迴歸的觀念試圖降低反應變數估計值的模糊度如Savic

與Pedrycz (1991)對模糊迴歸模式的求解分為兩個步驟進行第一步以

反應變數的模糊數值之最可能數值為基礎將模糊數值視為簡化的明確數

值以傳統最小平方法求解迴歸係數的中心值第二步利用區間迴歸的

方式在使得迴歸係數的模糊度為最小的情形下以決定迴歸係數的三角

模糊數值Kao 與Chyu (2002)提出另一種模糊迴歸模式的兩階段求解方

法在第一階段先利用解模糊(defuzzification)方法將模糊觀察值轉換成為一

組明確數值之後利用該組明確數值以傳統的最小平方法求解迴歸係

數第二階段則是以Kim 與Bishu 所提之評估準則為目標式決定一個誤

差項估計值的模糊數以使得在Kim 與Bishu (1998)評估準則下的總誤差量

為最小該方法的特別之處在於求解的迴歸係數為明確數值而誤差項估計

值為模糊數值雖然此種求解方式可以得到很小的估計誤差但因其所著

眼的仍是Kim 與Bishu 評估準則下的面積估計誤差使得當觀察值與估計

值歸屬函數之間不具有交集時所衡量出的估計誤差較真實誤差為小且其

求解方法比較適合於觀察值為三角或梯形的模糊數值欲應用於其他型式

的模糊數值求解上則較為困難而在邱清爐(民 91)的博士論文中則是將

其兩階段求解方法對各種不同的模糊迴歸模式進行建構與評估並將其求

解方法應用於工作滿意度實例

5 其他求解方法與相關研究

27

Tanaka 等人(1995)後來提出另外一種模糊迴歸模式的求解方法將傳

統的估計誤差當作是存在解釋變數與反應變數之間的關係之可能性

(possibility)故模糊觀察值的展度可以直接轉換成迴歸係數的指數可能性

分配(exponentialpossibility distribution)而可以使用與傳統迴歸非常類似的

方式加以求解Tanaka與 Lee (1999)再利用辨識方法(identification method)

求解迴歸模式在其研究中利用辨識方法以決定模糊線性系統(fuzzy linear

system)中迴歸係數的可能性分配並認為由此方法所求解的迴歸係數會

有比較小範圍的可能性分配近年來有愈來愈多的學者將模糊迴歸分析

應用於其他傳統的決策方法及不同領域上如 Dunyak 與 Wunsch(2000)使

用 α 截集的端點以類神經網路(neuralnetworks)進行模糊迴歸分析Lee

與 Chen(2001)則將模糊迴歸模式使用於人力預測的問題上Tseng 等人

(2001)將由模糊迴歸模式建立之 ARIMA 模式用以預測匯率Tseng 與

Tzeng(2002)則利用模糊迴歸模式的求解方法以建構具有季節變動的

ARIMA 模式Kim 與 Bishu(1996)應用於人力可靠度分析的操作反應時間

上Wu 與 Tseng(2002)將其模糊迴歸模式應用在景氣對策信號上的分析

王景男(民 89)將模糊迴歸分析應用於籃球比賽攻防技術策略上曹勝雄

曾國雄江勁毅(民 85)以國人赴港旅客需求之預測為例說明傳統迴歸

模糊迴歸類神經網路之差別張良斌陳育民(民 86)將模糊目標迴歸法

應用在垃圾衛生掩埋場沼氣回收設備的成本估算謝邦昌林燦隆呂理

添(民 85)將模糊迴歸運用在甘蔗產量的預測對於上列有關模糊迴歸分析

的研究中絕大部份的文章均侷限於線性模式的分析鮮有文章討論非線

性模糊迴歸模式的求解最近雖然有少數學者開始討論非線性模糊迴歸模

式的解法如 Xu(1997)Buckley 與 Feuring(2000)的研究等但使用的方

法所求解的迴歸係數仍然為模糊數值其造成反應變數估計值的展度會

隨著解釋變數之數值增加而擴大的問題仍無法避免

28

第三章 研究方法

本章介紹本文將運用於數值分析中的預測研究方法利用本章建構的

方法可清楚了解如何利用混沌理論基於相空間重構的方式及模糊迴歸方

法於預測中

31 混沌時間序列建立預測方法

時間序列的模型建構和預測是資料處理研究領域中的重要方向其中

預測方法主要有線性和非線性預測方法兩種預測就是對未來作出估計和

推斷而通常要對研究對象或資料進行假設這一過程稱為建模利用建

模的方式獲得資料的科學表示就稱為模型混沌時間序列雖然看似隨機

但它卻是由確定系統產生的因此我們可以對混沌時間序列作出短期預測

同時由於混沌對初始條件微小差異的高度敏感性我們無法對混沌時間序

列作出長期預測每一步預測帶來的微小偏差都會使得下一步預測的偏差

擴大最終導致預測序列與原始序列完全不同

311李亞普諾夫指數判定資料混沌特性

進行預測前需根據 212節中提及的李亞普諾夫指數來判定資料是否

具有混沌特性最大李亞普諾夫指數是判斷和描述非線性時間序列是否為

混沌系統的重要參數因此是一個重要的混沌不變數

混沌系統中的李雅普諾夫指數可用來判斷系統是收斂的還是混沌的當系

統的李雅普諾夫指數中至少有一個為正時系統是混沌的 當系統的李雅

普諾夫指數均為負數時系統是收斂的 對於系統是否存在動力學混沌可以直觀的判斷最大李亞普諾夫指數是否

大於零一個正的李亞普諾夫指數代表著在系統相空間中無論初始兩

條軌跡的間距多小兩條軌跡的差別都會隨著時間的演化而成指數率的增

加而導致無法預測這就是混沌現象

312重建相空間

傳統的建模和預測方法己廣泛地應用社會科學中但大部分都是基於

線性系統混沌時間序列並不適用於非線性的混沌時間序列於是在判斷

時間序列性質後若判定序列以隨機性為主應採用從 AR 或 ARIMA 等隨

機模型來預測如果判定以混沌為主則應採用非線性確定性的方法進行

29

預測非線性時間序列的預報是經過相空間重構後對相空間中的動力軌

跡進行預報由於混沌系統具有被稱為「蝴蝶效應」的初始值敏感性所

以混沌時間序列是不能長期預測的但對於短時間內混沌系統的軌道在

相空間中具有一定的規律它們的預測性是可獲得的並比一般的基於統

計方法的預測能力要來得好

時間序列資料是時間離散後的樣本值用 表示將它「嵌入」到

一個 m維(mgt0)的空間中進行相空間重構後得到嵌入向量

(31)

由嵌入向量 可擴張成一嵌入空間 E由 Taken嵌入定理可知存

在映射面 滿足

(32)

上式表是出在拓樸的意義中可完全預測吸引子的特徵所以上式也可

表示為

(33)

其中函數 為 的一個估計值由式 (33)可得之我們可用

來預測

313相空間維度相關維度

在實作的研究上有許多方法可以用來估計混沌吸引子的維度本研

究選用較為常見的相關維度方法相關維度需先計算相關和將相空間中

所有樣本點皆計算其各別半徑收斂後之趨近值相關方程式（Correlation

Function）定義如下

(34)

其中

當 rrarr0時

兩邊同取對數可得

(35)

定義相關維度為 與 之曲線斜率為

(36)

在實際應用中經常給定一組維度 值選取適當的 r繪出

30

曲線求曲線當中直線段的斜率 如果系統存在這樣一個 值達到此

值後相應的關聯維數不再隨 的增長而變化也就是趨於飽和這表明

該序列為混沌系統其吸引子是存在的此時 值即為重構相空間的最佳

嵌入維數否則則表明該序列為隨機系統不具有混沌性

314 時間遞移數

利用 2123節中介紹的概念及 2124 中介紹的自相關函數求解出時

間遞移數的結果自相關函數公式如下

1

1

1( )( )

1( )

n k

t t k

tk n

t

t

x x x xn k

r

x xn

(37)

n為原資料樣本數k為時間遞移後的樣本點

將自相關係數計算的結果與每一筆遲延時間距離數值繪製成圖表可

由圖表中可分析辨別時間序列數據的初步基本特徵圖表繪製的結果顯示

自相關係數跟隨遲延時間距離數值的增加而顯示收歛且具有震盪循環之跡

象則表示數據具有一種規則屬於一混沌時間序列

32 複線性迴歸

確立資料為混沌後運用自我相關係數計算出時間遞移數及相空間維

度後將加入複線性迴歸運算複線性迴歸中常用的預測方法分為兩種

1 全域法

全域法就是利用相空間軌跡中的全部向量點做為擬合對象找出其

規律由此進行短期預測也就是說利用收集的大量的歷史資料利用

複線性迴歸訓練出迴歸參數再將未放進訓練迴歸參數的資料使用訓練

出的迴歸參數計算出預測值的資料型態本文還將原本的歷史資料分析

出資料的季節性後先去除季節性的影響最後再加回季節性討論預測結

果

2 局域法

局域法的基本原理是僅利用有限個鄰近點的資訊而不是利用全部的

樣本點來擬合 局域法預測是把相空間軌跡中的最後一點作為待測點對

離待測點鄰近的若干個相空間點的關係作出擬合再對預測相空間點的未

來演化規律進行預測本文使用零階局域法零階局域法是直接將鄰近樣

31

本點應用於預測根據鄰近樣本點預測 的最簡單的方法就是尋找相

空間中距離 最近的點假設距離最近的點是 那麼它的下一個樣本

點為 即可做為 的預測值

因數值資料在每日重複發生變動所以本研究又加入計算季節性指數

對趨勢線做季節性調整也就是對時間序列做季節性調整

33 模糊迴歸分析

運用模糊的概念帶進迴歸模式中處理具模糊性的資料問題此稱為模

糊迴歸分析本文利用的模糊迴歸模式主要有兩個方向一個是Tanaka et al

(1982)提出的模糊線性迴歸另一個是由Chang 與Lee (1994)所提出修正型

迴歸模式Tanaka 起初所提出的線性規劃模型

0 1

[ ( )]p n

j ij

j i

Min C X

st 0 0

(1 ) (1 )p p

j ij j ij ii

j j

X H c X y H e

(38)

0 0

(1 ) (1 )p p

j ij j ij ii

j j

X H c X y H e

0jc j R 0 1iX 0 1H 123i n 012j p

Tanaka 所提出的模糊模型未考慮到散度為負值的條件所以模糊上下

界會不斷的擴張而越來越寬大由 Chang 與 Lee (1994)所提出修正型迴歸

模式即將模糊的散度可為負值使上下界的模糊區間為遞減的情形遞

減的情形由圖 31表示

圖 31 模糊區間隨自變數越大而越窄

0

2

4

6

8

10

上界 中心線 下界

32

假設圖表中計算出的模糊迴歸函數為 0 0 1 1 Y c c X 模糊上界為

0 0 1 1UY c c X 模糊下界為 0 0 1 1LY c c X

33

第四章 數值分析

本章資料來源1台灣區車輛工業同業公會

2台北市交通局

本章所使用的數據資料為台北市交通局提供的公開的車流量資料數

值分析所使用的方法已在第三章論述利用第三章的方法分析數值預測的

準確性並結合模糊迴歸常見的兩種方法幫助決定預測的可接受範圍本

章介紹本文所利用的數學模型及方法在複線性迴歸的模型中分成混沌全

域法去季節性後的混沌全域法以及混沌局域法預測出的結果加以討論預

測的準確性再將預測值去季節性觀察準確程度最後再帶入模糊迴歸

利用 05H 加以討論如何將模糊迴歸中的散度用以選擇預測值的範圍第

一節針對傳統複線性迴歸方法並結合全域法觀念訓練資料迴歸係數討

論預測結果第二節針對傳統複線性迴歸方法並結合局域法觀念訓練資

料迴歸係數討論預測結果第三節針對預測資料去除季節性後再利用

傳統複線性迴歸方法討論預測結果第四節針對模糊迴歸的兩種方法選

擇出預測的範圍

利用第三章論述的時間遞移及相關維度的做法將本文利用具混沌性

的資料加以分析將資料先利用 212 節中介紹的李雅普諾夫指數 判定是

否具混沌性具有混沌性的資料才能利用混沌理論重構相空間若李雅

普諾夫指數 介在 0跟 1之間則表示資料具有混沌性質本文資料利用程

式計算出李雅普諾夫指數 運用自我相關係數判斷出時間遞移

數 相關維度計算出維度 我相關係數判斷時間遞移數與相關維

度的圖形以及原始資料時間遞移後的資料圖如圖 41圖 42圖 43

34

圖 41相空間維度及 lnC與 ln r斜率關係圖

圖 42相空間維度及 lnC與 ln r斜率關係圖

0

1

2

3

4

5

6

7

0 5 10 15 20

相空間維度

斜

率

d

-02

0

02

04

06

08

1

12

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33

時間遞移數

自我相關函數

35

圖 43 原始資料時間序列圖

41 複線性迴歸混沌全域法

本文所使用的資料為 10日的車流量資料利用前 9日的資料訓練出迴

歸參數將迴歸參數代入複線性數學模型中計算出的迴歸方程式為

1 2 3 4

5 6 7 8 9

10 11 12 13 14

435363 00819 00338 01777 00070

01116 01999 00299 02716 00349

01399 00056 01113 00738 02038

y x x x x

x x x x x

x x x x x

(41)

解出迴歸參數計算出複線性迴歸方程式後再將最後一日 144筆的車

流資料代入方程式中計算出預測值利用複線性迴歸混沌域法預測出的結

果如圖 44

圖 44 複線性迴歸分析預測與原始資料比較圖-全域法

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

1 53

10

5

157

209

26

1 31

3

365

41

7

469

52

1 57

3

625

67

7

729

78

1 83

3

885

93

7

989

10

41

1093

11

45

1197

12

49

1301

13

53

1405

原始資料點

原始資料點

-50

0

50

100

150

200

1

7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

103

109

115

121

127

133

139

實際值

預測值

36

由圖表的狀況可觀察出運用複線性迴歸模型預測的結果不盡理想本

研究認為運用複線性迴歸預測的結果不佳的原因有二

1 利用全域法預測是將較大量的歷史資料加入考慮訓練出迴歸參數這

樣的結果造成削弱了原本的奇異點(相較於同時段資料差異性較大的點)

的影響力

2 嵌入維度 太高對於混沌時間序列隨著嵌入維度增高歷史

對未來的影響是呈指數衰減的所以全域法所利用的資訊歷史就越長

預測的精準度就會迅速下降因此本研究將加入局域法討論預測的準

確性

42 複線性迴歸混沌局域法

局域法的做法為尋找相空間重構後的點對待測點尋找鄰近的 k個相

空間點對離待測點鄰近的若 k個相空間點的關係作出擬合並分析出複

迴歸方程式的迴歸參數本文嘗試選取 k=50~250的結果以下只列舉 k=200

的圖解釋預測結果

圖 45 複線性迴歸分析預測與原始資料比較圖-局域法(k=200)

圖 44與圖 45比較後可看出區域法預測的準確性比全域法更好某

些預測出來的結果的點與原始資料的點差異性大有明顯的偏移本研究

認為利用局域法預測的結果不佳的原因如下由圖 45可看出預測結果與

原始資料間差異性較大的點位為數列的右側 而數列尾端的資料為凌晨或

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

1

7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

103

109

115

121

127

133

139

實際值

估計值

37

是深夜的車流量因每日凌晨或是深夜的車流量變化量較少(例如某日的凌

晨十二點十分可能為 0台車或是小於 10台車經過)所以資料的差異性

較大造成頭尾的資料預測上較為不準確

因為同時段的資料可能會影響資料預測出的結果所以我們下節就以

加入季節性的考慮來加以討論預測結果

43 複線性迴歸去除季節性後混沌全域法

本文使用的車流量資料為每日 24時換算成 1440分鐘每 10分鐘記

錄一點於是本研究依資料的記錄時間點來劃分季節性將季節分成 144

個季分別求出季節性指數求取季節性指數後將每個資料點先去除季

節性利用全域法訓練出去季節性後的迴歸係數再利用複線性求出預測

值最後將去除的季節指數乘回預測點結果如下

圖 46考慮季節性複線性迴歸分析預測與原始資料比較圖-全域法

此考慮季節性因子的複線性迴歸分析預測與原始資料的比較是用全

域法去訓練迴歸參數的而由圖 44我們可以得知一開始未考慮季節因

子使用全域法的複線性迴歸預測是不準確的本研究認為原本的歷史資

料隨著季節性因子的變化該系統原本呈現複雜的動態特性實際上由於

車流量的變動有許多外在因素的影響例如氣候假期hellip等影響會使

資料的變化過程發生不同程度的偏離而對於季節性事件來說其事件發

生的過程主要受季節性參數週期性變化的影響 因此影響因素的具體形

式可以近似地表示為單一函數本文考慮季節因素對車流量的影響意即

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

1

7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

10

3

10

9

11

5

12

1

12

7

13

3

13

9 實際值

預測值

38

經過季節性分析後的得到的預測分析結果很準確如圖 46所示此結果

表示季節性影響樣本資料的情形大也代表著在季節因素影響下系統中

事件的動態變化情況是隨著季節影響參數的變化而造成系統呈現各種

各樣複雜的動態特性如週期解混沌情形hellip等

44 模糊迴歸

441Tanaka模糊迴歸

μ及 H 值之選定原則為當不確定性愈大時其 μ及 H 值愈接近 0

反之當資料不確定性愈小時μ及 H 值取愈接近 1 之值Bardossy 等人

建議其值在 05~07間為適宜根據 Tanaka在 1982年所提到的方法我們

可以求得一模糊迴歸函數並可得知其中心線與其上界及下界假定在 H =

05的情況下利用 Tanaka模糊迴歸模式算出迴歸函數為

(42)

中心線與上下界的簡單迴歸方程式為

中心線 (43)

上界 (44)

下界 (45)

繪製出的圖形如圖 47所示

圖 47 Tanaka 模糊迴歸

0

50

100

150

200

250

300

1

7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

103

109

115

121

127

133

139

下界

中心線

上界

39

圖 48 Tanaka 模糊迴歸中心線與預測值之結合

從圖 48可看出預測值與模糊迴歸的中心線 有明顯的時間差異但由

圖可以觀察出模糊迴歸的中心線 的預測趨勢與實際值是相近的雖然利

用模糊迴歸預測的時間點比實際時間快但是相對來說也是可以用來預

測之後將發生的趨勢本研究認為若模糊迴歸可用於預測中則可用模糊

的散度 c當做預測行為中選取的可接受的變動範圍如圖 49最後將 Tanaka

模糊迴歸中心線上下界與實際值之結合如圖 410所示

圖 49 Tanaka 模糊迴歸中心線上下界與實際值之結合

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

1

8

15

22

29

36

43

50

57

64

71

78

85

92

99

106

113

120

127

134

141

實際值

中心線

0

50

100

150

200

250

300

1

7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

103

109

115

121

127

133

139

實際值

下界

上界

預測

值

預測值

40

圖 410 Tanaka 模糊迴歸中心線上下界與實際值之結合

442修正型 Tanaka模糊迴歸

因為我們要將模糊迴歸應用於預測中所以本研究將複線性迴歸的趨

勢線視為模糊迴歸的中心線再利用修正型 Tanaka模糊迴歸模式算出迴歸

函數為

(46)

中心線與上下界的簡單迴歸方程式為

中心線

上界

下界

繪製出圖形如圖 411

0

50

100

150

200

250

300

1 7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

103

109

115

121

127

133

139

實際值

預測值

下界

上界

41

圖 411 修正型模糊迴歸中心線上下界與實際值之結合

本研究使用的修正型模糊迴歸中心線與傳統的迴歸方程式相同所以

可用來處理或分析模糊資料與明確資料同時修正型模糊迴歸的上下界

與 Tanaka 模糊迴歸相較也變窄了此兩種現象就是修正型迴歸的特色因

為中心線與傳統的迴歸方程式也相同這種修正型迴歸散度可選擇為負值

的特色本研究認為可以應用在預測上因為上下界與中心線間的散度變

窄使得前文所敘述到的利用散度來選取預測範圍便可更為嚴格也可

使預測的結果更為可靠如圖 412所示

圖 412 Tanaka 上下界與修正型模糊迴歸上下界的寬度差別

0

50

100

150

200

250

1 7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

103

109

115

121

127

133

139

下界

中心線

上界

0

50

100

150

200

250

300

1 8 15

22

29

36

43

50

57

64

71

78

85

92

99

106

113

120

127

134

141

Tanaka下界

Tanaka上界

Tanaka修正型下界

Tanaka修正型上界

42

第五章 結論及未來研究方向

51 結論

根據前文的討論傳統迴歸和模糊迴歸建立在不同的理論基礎上傳

統迴歸是以機率為基礎而模糊迴歸則是以可能性為基礎傳統迴歸因變

數的估計值與觀測值之間的差異為因變數的隨機性而模糊迴歸因變數的

估計值則產生於觀測值之模糊度惟兩者最大不同處在於模糊迴歸式的

迴歸係數與預測值皆為模糊數（區間值）不同於傳統迴歸係數與預測值

均為明確的數值此外傳統迴歸侷限於對明確資料的分析可能性模糊

迴歸僅適用於分析具模糊性的資料而複合的模糊迴歸則可同時適用於分

析模糊與明確的資料此為此模式最大的特點

模糊迴歸應用於預測中大多的結果是不佳的但是我們透過結合混

沌與模糊迴歸的概念將混沌的預測單點概念拓展成一個可接受的預測

範圍

PT Chang 與ES Lee 使用修正型模糊迴歸重新定義散度做出新的

模糊上下界均為改善模糊迴歸模式Tanaka之研究本研究將模糊迴歸與

混沌理論之建立時間序列的預測情形加以結合討論發現模糊迴歸在預測

的行為中是可行的但可惜的是即使預測的趨勢相近但預測值出時間

的點卻有差別這樣的結果我們可以看出若能找到解決加強模糊與複線性

迴歸關係之間時間的關聯性就能利用模糊的不確定性來討論預測問題

52 未來之研究方向

本研究將模糊迴歸與混沌理論之建立時間序列的預測情形加以結合討

論發現模糊迴歸在預測的行為中是可行的但可惜的是即使預測的趨

勢相近但預測值出時間的點卻有差別這樣的結果我們可以看出若能找

到解決加強模糊與附線性迴歸關係之間時間的關聯性就能利用模糊的不

確定性來討論預測問題

為了符合現今社會多元的狀況模糊迴歸與傳統迴歸之觀念勢必加以

混合應用也為了解決此等問題混合式迴歸（Hybrid Regression）在近年

來被提起也因此參數的估計模糊迴歸與傳統迴歸的混合應用將成

為往後繼續研究探討之目標

建議未來可用模糊加權修正模糊迴歸使模糊迴歸在預測上更能直接

43

將對事物多個構面評估的意見與其影響事物狀況的重要程度作加權的運

算

44

參考文獻

[1] 九章出版社編輯部(民 89)模糊數學入門台北市九章出版社

[2] 台北市交通局網站httpwwwdottaipeigovtw

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7

局部不穩定的運動空間

212李亞普諾夫(Lyapunov)指數

混沌系統的初始值非常敏感使得初始時刻靠得很相近兩條相軌跡隨

著時間的增長而逐漸遠離如果能夠定量描繪出此種鄰近軌跡的發散性

便可建立出混沌變動情形的一種數值判斷方法李亞普諾夫指數就是用來

表示相空間內鄰近軌跡的平均指數發散率的數值特徵m 維相空間中的某

一時刻兩條鄰近軌跡之間的距離可以分解在 n 個不同的方向這 n 個不

同方向上的距離增長率是不相同的而每一個增長率就是一個李亞普諾夫

指數

最大李亞普諾夫指數是判斷和描述非線性時間序列是否為混沌系統的

重要參數因此是一個重要的混沌不變數對於混沌系統來說發散是一種

整體性的穩定因素動力系統一方面作為發散系統最終要收縮到相空間的

有限區域也就是吸引子上另一方面系統在相體積收縮的同時運動軌

跡是不穩定的要沿某些方向進行指數分離

對於 m 維的動力系統中 中初始兩點迭代後會互相分離

或是靠近取決於

的值若

則迭代使兩點分離若

則迭代使兩點靠近在不斷迭代過程中

也會隨之改變呈現出時而接

近時而分離的情形為了表示從整體上觀察得到的情況必須對時間(或反

覆運算次數)取平均設平均每次反覆運算所引起的指數分離指數為 於

是原來相距 的兩點經過 n次迭代後距離變為

(21)

若取極限 則式(21)變為

(22)

(22)式可簡化為

(23)

上式中的 與初始值的選取無關稱為原動力系統的李亞普諾夫指數

它表示系統在多次反覆運算中平均每次反覆運算所引起的指數分離中的

8

指數若 則表示相鄰點最終會靠近合併成一點若 則表示

相鄰點最終會發散而對應於軌道的局部不穩定若軌道還存有整體的穩

定因素(如整體有界發散存在捕捉區域等)系統則需在有限的幾何物件

上無窮次折疊以實現指數分離系統在此作用下反覆折疊並形成混沌吸

引子故 可做為判斷混沌情形的準則

混沌系統中的李雅普諾夫指數可用來判斷系統是收斂的還是混沌的

當系統的李雅普諾夫指數中至少有一個為正時 系統是混沌的 當系統的

李雅普諾夫指數均為負數時 系統是收斂的

對於一般 m維的動力系統定義李亞普諾夫指數如下設 F為

上的 m維映射假設一個 m維離散動力系統 將系統的初

始條件假設為一個無窮小的 m維小球由於演化過程中的自然變形圓球

將變成橢圓球將橢圓球上的所有主軸依其長度排列則第 i 個李亞普諾

夫指數根據第 i個主軸的長度 的增加速率定義為

(24)

李亞普諾夫指數與相空間的軌道收縮或擴張性質是有關連性的在李

亞普諾夫指數小於零的方向上軌道收縮運動穩定對於初始值不敏感

而在李亞普諾夫指數為正的方向上軌道迅速分離對初始值敏感李亞

普諾夫指數的前 j個指數的和是由前 j個主軸定義的 j維立體指數增加的長

期平均速率確定如橢球長度按 增加由前兩個主軸定義的區域面積依

增加由前三個主軸定義的區域面積依 增加以此類推在

李亞普諾夫指數譜中最小的李亞普諾夫指數決定軌道收縮的快慢最大

的李亞普諾夫指數則決定軌到發散也就是覆蓋整個混沌吸引子的快慢

而所有李亞普諾夫指數之和 可以大致表示為軌道的平均發散速度

李亞普諾夫指數是衡量系統動力學特性的一個重要定量指標它代表

了系統在相空間中相鄰軌道間收斂或發散的平均指數率對於系統是否存

在動力學混沌可以直觀的判斷最大李亞普諾夫指數是否大於零一個正

的李亞普諾夫指數代表著在系統相空間中無論初始兩條軌跡的間距多

小兩條軌跡的差別都會隨著時間的演化而成指數率的增加而導致無法

預測這就是混沌現象

213 混沌系統之時間序列

9

2131 相空間局部近似法

Farmer and Sidorowich(1987)在其混沌預測方法之研究提出所謂的相

空間局部近似法(phase space local approximation method)對系統之演變行為

進行預測這種奠基於時間延遲法(time delay method)所構成之重建相空間

(reconstructed phase space)的預測方式能夠適應吸引子(attractor)的局部行

為經後續進一步研究發現其具有相當良好之預測能力因此採 Farmer and

Sidorowich(1987)之相空間局部近似法構建交通量預測模式期能增加預測

準確度

2132 時間序列與相空間重構

相空間的概念就是把運行方程式所獲得的數字或數據轉換成為圖形

並將系統中隨時間改變的重要的資訊(無論是機械或是流體)抽取出來把各

式各樣可能的狀況註明在圖上利用延遲時間的概念模擬出類似原始系統

之相空間當重建一個空間使得此空間可以具體的包含吸引子特徵則此

空間之維度我們稱為嵌入維度Takens等人(1981)提出嵌入定理對於無

限長無雜訊的 d維混沌吸引子的標量時間序列x(n)可以在拓撲不變的

意義上找到一個 m維的嵌入相空間只有維數 m gt2d+ 1才可保有原始吸

引子的特徵Takens 定理保證了我們可以從一維混沌時間序列中重構一個

與原動力系統在拓撲意義下等價的相空間混沌時間序列的判定分析與

預測是在這個重構的相空間中進行的因此相空間的重構是混沌時間序列

研究的關鍵將收集的一維歷史資料例如現有歷史資料為 9筆13579

10131115間遞移的結果為1711391351015在此我們將利用此

時間遞移建立的時間序列觀念x(t) x(t minusτ ) x(t minus 2τ )hellip來重建相空間

2133 延遲時間 τ的決定

時間延遲如果 τ太小則相空間向量 x(i) = x(t) x(t minusτ ) x(t minus 2τ )hellip

中的任意兩個分量 x(t)和 x(t minusτ )在數值上非常接近以至於無法相互區分

從而無法提供兩個獨立的座標分量但如果時間延遲 τ 太大的話則兩座

標在統計意義上又是完全獨立的混沌吸引子的軌跡在兩個方向上的投影

毫無相關性可言因此需要用一定的方法來確定一個合適的 τ 值本文確

定 τ的主要方法為相關維度法

2134 自相關函數

自相關係數是利用時間序列裡每一筆數據與其前的數據根據不同遲延

10

時間距離的數值進行相關係數計算而成如遲延時間距離為 1表示將每

一筆數據與緊接其前的一筆數據進行相關係數計算如遲延時間距離為 2

表示將每一筆數據與其前第二筆數據進行相關係數計算如遲延時間距離

為 3表示將每一筆數據與其前第三筆數據列進行相關係數計算如此類

推自相關係數 之計算公式如下

1

1

1( )( )

1( )

n k

t t k

tk n

t

t

x x x xn k

r

x xn

(25)

式中 n為資料數k為時間遞移後的點t為時間點

將自相關係數計算的結果與每一筆遲延時間距離數值繪製成圖表可

由圖表中可分析辨別時間序列數據的初步基本特徵如圖表繪製的結果顯

示自相關係數沒有跟隨遲延時間距離數值的增加而顯示收歛之跡象也就

是說繪製線不斷於 X軸零座標線做不規律的上下擺動表示數據為隨機時

間序列即每一數據都視為個別獨立的事件且與過去某一筆遲延時間距離

數值的事件無關係反之若圖表繪製的結果顯示自相關係數跟隨遲延時

間距離數值的增加而顯示收歛且具有震盪循環之跡象則表示數據具有一

種規則屬於一混沌時間序列

2135 季節趨勢

季節趨勢預測法是根據事物每年重覆出現的週期性季節變動指數預

測其季節性變動趨勢

季節指數的概念即是利用簡單平均法計算週期內各時期模型季節性影響的

相對數季節指數反映了該季與總平均值間的穩定關係若季節指數大於

1則表示該季的值常會高於平均值若季節指數小於 1則表示該季的值

常會低於平均值若序列的季節指數都近似於 1則表示該序列沒有明顯

的季節效應季節指數的計算方式如下

計算週期內各期平均數

k=12hellipm (26)

計算總平均

(27)

計算季節指數

11

k=12hellipm (28)

其中 n為期數m為季節數

22 複線性迴歸分析

迴歸分析的目的主要是建立變數之間的關係進而應用於預測分析中

內政部營建署(1997)就曾利用迴歸分析來探討反彈數及現場鑽心試體之間

的抗壓強度關係進而建構出一迴歸方程式做為混凝土試體的抗壓強度

預測而在土木工程領域中也已有許多學者利用迴歸分析來進行研究

例如潘南飛與黃冠智(2005)利用迴歸分析來預測橋面版劣化狀況且考慮

以交通量及降雨量作為迴歸模式中的自變數最後得一配適佳的迴歸式

凌偉峻(2006)利用複線性迴歸分析建立模式及混沌系統的相空間鄰近點相

似特性來建立車流量預測模式Cheung et al (2008)使用氣候值持續值

颱風強度Julian Date記日本地時間七級風暴風半徑及颱風中心速度共

7個預報參數進行多變量的複線性迴歸(multiple linear regression)分析並以

20個傳統雨量站進行測試各新增變量中以颱風強度七級風暴風半徑及

中心速度對預報之改善較顯著其受改善之時數及相關係數之增加幅度皆

較其它變量為多顯示颱風結構參數在颱風降雨預報中比簡單的季節性因

素或日夜對流差異來得重要

敘述自變數( 1 kx x x x 2 3 )依變數 y 和誤差項 i 之間關係的方程式

稱為複線性迴歸模式複迴歸其主要目的有二

1 可以降低隨機誤差此與迴歸之變異數分析有關增加解釋變數之個數

可以使迴歸分析可解釋變動的部分增加相對的誤差就會減少

2 可以避免反應變數中影響重大的解釋變數有所遺漏而無法具體描述實

際資料的狀況估計複迴歸方程式或估計多元迴歸方程式(Estimated

multiple regression equation)大部分情況下複迴歸模式中的迴歸參數

皆不知其實際數值僅可以利用樣本數值估算分別以樣

本統計值 作為迴歸參數 的點估計值本研究

利用全域法訓練迴歸參數 即是利用前九日的歷史資料

複線性迴訓練出迴歸係數預測出第十日的資料型態複迴歸分析是將

簡單迴歸分析其自變數由一個增加至數個研究一群自變數和一個反應

變數之間的關係複線性迴歸模式定義如下

12

(29)

其中 為常態 n 隨機變數期望值 E(ε)=0且彼此互相獨立若有 n

組樣本觀測值(ngtp)組我們就可將方程式寫成

(210)

其中 i=123hellipn

若將複線性迴歸寫成矩陣可得下式

(211)

也可將式(211)寫成矩陣形式

(212)

其中 為觀察值向量 為參數向量 為自變數矩陣 為獨立之常態

隨機變數向量且滿足 向量 Y的期望值表示如下

(213)

複線性迴歸之最小平方標準方程式矩陣表示為

(214)

其中

為最佳模式之參數矩陣因此可求得最小平方估計式矩陣

表示為

(215)

其中 為 之轉置矩陣 為 之反矩陣只要利用式(215)

即可獲得複線性迴歸方程式

23 模糊理論

模糊理論是由美國加州大學伯克利分校電氣工程系的L A Zadeh在

1965年首次提出Zadeh在1965年發表了一篇傳統科學皆以排除具模糊性的

研究為主而模糊理論則以包含模糊性的研究為主現今科學發達所要

探討的議題越來越多由於人類的知識與研究會因本身主觀的意識因應

不同的人事時地物而具模糊性使得無法清楚呈現研究的本質為何要

13

在日常生活中精確地描述一個現象必定忽略其中的些微變化然而此描

述又無法真實描述現實因此模糊理論(Fuzzy Theory)正好能被廣泛應用在

研究上

模糊概念是指這個概念的外延具有不確定性或者說它的外延是不清

清楚的是模糊的例如好的壞的好壞的概念我們非常清楚但是

它的外延也就是究竟事件發生的條件到底是要如何才會是好的跟壞的

每個人的回答都會是不同的這就是一個模糊的概念所以當我們在接

觸模糊時是允許主觀意識的因為每個人對模糊的概念不盡相同儘管

如此當我們利用模糊統計方法進行分析時對於好與壞之間的界限又有

一定的概念

其次模糊性與精確性是相對立的但卻不能將模糊性理解成較差的

結果因為實際上我們在處理客觀事物時經常藉助於模糊性例如

若我們要在路上找一位「年輕的漂亮女孩」「年輕」及「漂亮」都是模

糊的概念但對我們而言這在路上不難找到因為我們的大腦會分析什麼

是「年輕」及「漂亮」於是我們就可以判斷出我們要找的人然而若我

們要求必須用電腦查詢「年輕的漂亮女孩」我們就必須將「年輕」及「漂

亮」這兩個模糊的條件利用具體的數據輸入電腦分析才能找到符合我們

要求的人

最後人們對模糊性的認知常與隨機性混淆其實它們之間有著很大

的不同隨機性是本身具有明確意義只是因為發生的條件不充分使得

在條件與事件之間不能產生確定的因果關係所以事件的出現與否表現出

一種不確定性而事物的模糊性是指我們要處理的事物的概念本身就是模

糊的即一個對象難以確定是否符合這個概念也就是由於概念外延模糊

而帶來的不確定性

231模糊的發展

模糊理論是在美國加州大學伯克利分校電氣工程系的 LAzadeh 教授

於 1965年創立的模糊集合理論的數學基礎上發展起來的主要包括模糊集

合理論模糊邏輯模糊推理和模糊控制等方面的內容

早在 20世紀 20年代著名的哲學家和數學家 B Russell就寫出了有關

「模糊性」的論文他認為所有的自然語言均是模糊的比如「紅的」和

「老的」等概念沒有明確的內涵和外延因而是不明確的和模糊的可是

14

在特定的環境中人們用這些概念來描述某個具體對象時卻又能心領神會

很少引起誤解和歧義

美國加州大學的 L A Zadeh 教授在 1965 年發表了著名的論文文中

首次提出表達事物模糊性的重要概念隸屬函數從而突破了 19世紀末勒

內middot笛卡爾（Rene Descartes）的經典集合理論奠定模糊理論的基礎1966

年P N Marinos發表模糊邏輯的研究報告1974年L A Zadeh 發表模

糊推理的研究報告從此模糊理論成了一個熱門的課題1974 年英國

的 E H Mamdani 首次用模糊邏輯和模糊推理實現了世界上第一個實驗性

的蒸汽機控制並取得了比傳統的直接數字控制演算法更好的效果從而

宣告模糊控制的誕生1980年丹麥的 LPHolmblad 和 Ostergard 在水泥窯

爐採用模糊控制並取得了成功這是第一個商業化的有實際意義的模糊控

制器

事實上模糊理論應用最有效最廣泛的領域就是模糊控制模糊控

制在各種領域出人意料的解決了傳統控制理論無法解決的或難以解決的問

題並取得了一些令人信服的成效

模糊控制的基本思想把人類專家對特定的被控對象或過程的控制策略總

結成一系列以ldquoIF THENrdquo形式表示的控制規則通過模糊推理得到控製作用

集作用於被控對象或過程控製作用集為一組條件語句狀態語句和控

製作用均為一組被量化了的模糊語言集如「正大」「負大」「正小」

「負小」零等

模糊控制的幾個研究方向

1 模糊控制的穩定性研究

2 模糊模型及辯識

3 模糊最優控制

4 模糊自組織控制

5 模糊自適應控制

6 多模態模糊控制

模糊控制的主要缺陷

信息簡單的模糊處理將導致系統的控制精度降低和動態品質變差若

要提高精度則必然增加量化級數從而導致規則搜索範圍擴大降低決策

15

速度甚至不能實時控制模糊控制的設計尚缺乏系統性無法定義控制

目標控制規則的選擇論域的選擇模糊集的定義量化因數的選取多

採用試湊發這對複雜系統的控制是難以奏效的

232模糊至今應用的範圍

模糊理論發展至今已接近三十餘年應用的範圍非常廣泛從工程科

技到社會人文科學都可以發現模糊理論研究的蹤跡與成果我們分別由工

程科技與社會人文科學的角度瞭解模糊理論應用的範疇

1 工程科技方面

(1) 型樣識別文字識別指紋識別手寫字體辨識影像辨識語音

辨識

(2) 控制工程機器人控制汽車控制家電控制工業儀錶控制電

力控制

(3) 信號及資訊處理影像處理語音處理資料整理資料庫管理

(4) 人工智慧及專家系統故障診斷自然語言處理自動翻譯地震

預測工業設計

(5) 環保廢水處理凈水處理廠工程空氣污染檢驗空氣品質監控

(6) 其他建築結構分析化工製程控制

2 教育社會及人文科學方面

(1) 教育教學成果評量心理測驗性向測驗電腦輔助教學

(2) 心理學心理分析性向測驗

(3) 決策決定決策支援決策分析多目標評價綜合評價風險分

析

233模糊集合

過去傳統數學上集合的基本定義是以二值邏輯(Binary Logic)為基礎的

方式來描述事物為屬於或不屬於此集合也就是元素 x和集合 A的關係

只能是isinA或notinA明確的判斷對象為所屬集合也就是明確集合(Crisp Set)

如果要描述適當的模糊事物時須將所屬集合的概念模糊化使之無明確

判對象所屬的集合模糊集合是指在界限或邊界不分明且具有特定事物的

集合以建立隸屬函數(Membership Function)來表示模糊集合承認論域

(Universe of Discourse)上存在既非完全屬於集合A又非完全不屬於集合A

16

使傳統集合的絕對屬於的概念改變為相對屬於的概念以數學式表示論域

U 上的模糊集合 A可表示為元素 x與它的歸屬函數集合

(216)

其中 A為一模糊集合 為歸屬函數x稱作元素U為論域一

般情況下歸屬度會界定在 0跟 1之間

(1) =0表示元素 x不屬於

(2) =1表示元素 x完全屬於

(3) 趨近 0表示元素 x極不可能屬於

(4) 趨近 1表示元素 x極有可能屬於

這個表示式的完整解釋為當 x 在 U 的範圍內會對應到一個介於 0

到 1之間的數值 所有這種 x所成的集合就是一個模糊集合模糊集

合可表示為

1 當論域Ｕ為有限離散(discrete)集合的情形下模糊集合 可表示成

(217)

2 當論域Ｕ為實數論域所組成之在連續(continuous)集合的情形下模糊

集合 可表示成

isin (218)

其中 並非積分符號而是單純的連結符號

234 模糊數(Fuzzy Number)

1 模糊數(triangular fuzzy number)

假設 是模糊集合或模糊數(FN)在實線 2R 上則以三角形隸屬函數

(triangular membership function）表示為 1 2 3( )a a a 2 x R to A 則

1

1 2 1 1 2

3 3 2 2 3

3

0

( ) ( ) ( )

( ) ( )

0

x a

x a a a a x aA x

a x a a a x a

x a

(217)

17

1

其隸屬函數圖形如圖 21

圖 21 三角模糊數

2 梯形模糊數(trapezoidal fuzzy number)

梯形模糊數可表示為 如圖 22其隸屬度函數定義為

(218)

其隸屬度函數如圖 22

圖 22梯形模糊數

a b c d

1

18

在一信賴區間 α水準α 01 我們定義 A

( )A x A x (218)

三角形隸屬度函數以 α-cut表示為

( ) ( )

1 3 1 1 2 3 2 3[ ] [ ( ) ( )]A a a a a a a a a

(219)

( )

1a 與 ( )

3a 個別代表 A的下界及上界

根據模糊算術方法Zadehrsquos sup-min 方法表示如下

( )( ) sup min( ( ) ( ))x y z

A B z A x B y

(220)

其中 sup表任何模糊算式Mizumoto and Tanaka（1976）使用相同方

法在 α 截集模糊數和區間算術Chang（2003）和 Chang et al （2006）和

Chang and Hung（2006）整理使用 α 截集模糊算術方法的文獻α截集模

糊算術中模糊數基本運算公式（加法減法乘法除法）可以計算的

更快在每一個 α-level 區間中使用區間算術（Kaufmann and Gupta

1988）

1 模糊數加法

令A和 B分別為兩模糊數 A和 B在一信賴區間 α水準 ( ) ( )

1 2[ ]A a a

( ) ( )

1 2[ ]B b b αisin 01 forall A B sub 2R 表示如下

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 2 1 2 1 1 2 2[ ] [ ] [ ]A B a a b b a b a b

forallαisin 01 (221)

2 模糊數減法

在一信賴區間 α水準forall A B sub 2R αisin 01

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 2 1 2 1 2 2 1[ ] [ ] [ ]A B a a b b a b a b

(222)

3 模糊數乘法

在一信賴區間 α水準forall A B sub 2R αisin 01

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 2 1 2 1 1 1 2 2 1 2 2

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 1 1 2 2 1 2 2

[ ] [ ] [min(

max( )]

A B a a b b a b a b a b a b

a b a b a b a b

(223)

4 模糊數除法

在一信賴區間 α水準forall A B sub 2R αisin 01

19

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 1 1 2 2

1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 2 1 2 1 2 1 2

[ ] [ ] [min( )max( )]a a a a a a a a

A B a a b bb b b b b b b b

式中 ( )

1b ( )

2b gt0forallαisin[01] (224)

235模糊運算

根據 Zadeh（1965）的擴展原理（Extension Principle）可以廣義的使

用一般基準 T取代原來的最小值模糊數的數學運算表示如下

1 加法

( )( ) sup ( ( ) ( ))x y z

A B z T A x B y

(225)

2 減法

( )( ) sup ( ( ) ( ))x y z

A B z T A x B y

(226)

3 乘法

( )( ) sup ( ( ) ( ))x y z

A B z T A x B y

(227)

4 除法

( )( ) sup ( ( ) ( ))x y z

A B z T A x B y

(228)

24 模糊迴歸

在科學研究過程中許多研究者常使用迴歸來描述自變數 x和應變數 Y

之間的關係傳統的迴歸分析均假設觀察值由實際應變數影響加上隨機誤

差而產生也就是說應變數是一種帶有不確定性的隨機變數不過在很

多的實務應用上往往無法滿足這樣的假設例如有些應變數 Y 的觀察值

並不是以單一數值的型式存在而是帶有多重隸屬的特性這些觀察值雖

然帶有不確定性但這種不確定的特性是來自於模糊現象而非隨機現象

若由模糊觀點套用迴歸分析來處理模糊資料問題就稱為模糊迴歸分析

模糊迴歸分析最早是由 Tanaka et al (1980) 提出一般模糊迴歸能夠處理的

樣本型式有兩種一種是實數值樣本 其中 為實數向量 為觀測

到的實數值另一種是模糊數樣本( 其中 為觀測到的模糊數不論

是實數值樣本或是模糊數樣本想要估計模糊迴歸參數估計方法大都是

20

利用線性規劃的技巧來尋求一組能將實數值樣本 或模糊數樣本(

包含在內的區間再將三角形隸屬函數（triangular membership function）套

用

在此區間上如此便求得一組模糊迴歸估計式要得到正確的估計結

果最好是收集具有代表性的隸屬函數樣本所謂具有代表性的隸屬函數

樣本應該是以模糊數的形式存在所以本文就樣本模糊數 進行討論

線性模糊迴歸模式常表示成

0 1 1 2 2( ) i i i p piY x A A x A x A x (229)

其中 1 2 3(1 ) i i i i p ix x x x x 為自變數向量 ( )iY x 為模糊應變數

為模糊參數利用樣本模糊數 估計參數 時通

常假設 與 的隸屬函數為對稱三角型式 與 的隸屬函數表達如下

( ) max 1 0 i

i

Y

i

t yt t

r

(230)

其中 為三角隸屬函數的中點 為三角隸屬函數的分布半徑可令

( ) max 1 0 m

m

A

m

t ct t

s

(231)

其中 為三角形的中點 是三角形的分布半徑 與 間的關係

如圖 23所示

圖 23模糊數的中心值與散佈值

1

0

21

再令 則前述的模糊迴歸方程式可改寫成

0 1 1 2 20 1 2( ) i i ipi p pY x x xC S xC S C S C S (232)

因此模糊應變數 ( )iY x 的隸屬函數也屬於三角型式可表示成

( )

0

0

( ) max 1 0 Y xi

p

m m

m

p

m mi

m

t c x

t t

S x

(233)

其中 因此只要估計出三角形的中點 及半徑 便可得到

隸屬函數的估計值模糊迴歸分析是在要求每一個觀測值 隸屬於模糊

迴歸區間的隸屬程度至少 的情況之下尋求最小的模糊迴歸預測區間如

(234)式表示

forall ( 234)

在利用 對未知的模糊參數 進行估計前一般先定

義模糊樣本 和模糊應變數 的 h截集其定義如下

令 為一組模糊樣本 ( )iY x 為模糊應變數若 與

分

別為 及 的 h截集(h-cut)則

(235)

(236)

因具代表性的樣本 其 h 截集 應要盡量接近模糊應變數 的 h

截集 意即

其中容許

不完全落在 之

內的情形發生根據以上觀點王景南(2002)認為樣本的左端點

和右端點 隸屬於 的程度會有一定的水準於是設立此水準

為 H因此假設 隸屬於 的隸屬度會盡量的接近 H其間的關係

為

( 與

( (237)

所謂的盡量接近 H是可允許隸屬度大於 H或小於 H而不是均大於

22

H

根據以上的對樣本的解釋運用最小平方法以所有樣本的左端點

配置一迴歸直線稱之為左端直線估計式

(238)

其中 為迴歸係數再以所有右端點 配置右端

直線估計式

(239)

其中 為迴歸係數

前文已假設樣本的左右端點隸屬於 的隸屬度會盡量的接近 H所

以將這兩條直線函式來估計 之 H截集的左右邊界即

(240)

如此可推導出 的隸屬函數為

(241)

其中 且

(242)

意即

(243)

其中

為三角形底邊中點是

分布半徑如此便可得一組估

計的模糊迴歸模式

(244)

仍需注意的是當樣本為對稱型態時左右迴歸函數式其配適的結果式

相同的只有常數項不同當對稱情形發生時可以考慮利用各別對應相

之權重除以常數項的分布半徑做為個別對應項之分布半徑意即

分布半徑

除此之外Celmins及Diamond Celmins也分別提出最小平方法之模糊迴

23

歸模式以便求解資料間距離最小的模糊迴歸方程

模糊迴歸應用上比統計迴歸更具彈性統計迴歸通常需要大量資料以

支持其假設而模糊迴歸卻無此需求因此當資料量不足或隨機性難以驗

證時模糊迴歸是較強健的(Robust)同時當所蒐集之資料的不確定性乃

來自於人類之主觀判斷時模糊迴歸較具適用性

因此模糊迴歸模式逐漸受到重視在1990年代的研究包括Sakawa及

Yano針對投入變數與輸出變數皆為模糊資料的問題建構出一個多目標的模

糊迴歸模式此外Chang和Lee則認為模糊迴歸中心線的趨勢與模糊迴歸散

佈值的趨勢可以存在不一致性為了分析統計迴歸與模糊迴歸的差異Kim

Moskowitz 及Koksalan 利用模擬分析比較統計迴歸與模糊迴歸的結果認

為由機率論所得的統計迴歸模式在大樣本時其預測績效遠比可能性理論

(Possibility theory)推演而得的模糊迴歸模式為佳然而當資料量遞減或所構

建的模式適合性變差時(即變數間存在模糊關係)則模糊迴歸模式的預測績

效將優於統計迴歸模式由於模糊迴歸模式在解決資料量少及系統關係模

糊不清的問題上具有較佳之績效而存在其正面之價值當變數間存在模

糊關係時

從早期到目前已發展出多種模糊迴歸模式求解方式以下根據薛展青

(2004)所整理的模糊迴歸分析整裡敘述如下

1 區間迴歸法

區間迴歸法(interval regression)其模型架構主要是由Tanaka et al(1982)

所提出的模糊線性迴歸(fuzzy linear regression)模型Tanaka et al(1982)所發

表的論文中表示傳統的迴歸模型中造成實際值與估計值的誤差來源被

認為是由測量或觀察所造成的而此誤差項在模糊線性迴歸模型中是因

模糊系統中參數的模糊性所產生的即誤差是反應模糊線性函數的模糊現

象因此以模糊線性函數來表示迴歸方程式而迴歸參數則是以模糊集合

來表示

Tanaka et al(1982)在估計模糊迴歸參數時是利用線性規劃技巧

(linearprogramming method)來尋求一組能將實數值樣本或模糊數樣本全部

包含的區間最後求得一組對稱三角形模糊數之迴歸參數

自Tanaka等人(1982)的文章發表之後後續的學者大多以此為基礎陸

續題出各種相關的模式與求解方法如Peters (1994)將Tanaka的線性規劃法

24

求解推廣為模糊線性規劃法求解讓資料對模糊迴歸模式的適應性更加提

升YenGhoshray 與Roig (1999)提出由於非對稱迴歸係數導因於大多數的

資料為離群值使得對稱三角迴歸係數不再適用因此將Tanaka et al的模

式推廣為非對稱三角迴歸係數Moskowitz 與Kim (1993)探討不同水準值下

模糊迴歸模式的求解與模式配適程度Redden 與Woodall (1996)探討模糊

迴歸分析預測未來值的結果Sakawa 與Yano (1992)將Tanaka的方法擴展到

依變數及自變數皆是模糊集合的情況並將之稱為多目標線性迴歸法

(multiobjective linear regression model)Koumlrner 與Naumlther (1998)討論解釋變

數與反應變數兩者皆為模糊數值的情況Kacprzyk 與Fedrizzi (1992)則蒐集

了各種不同迴歸模式的求解方法Redden 與Woodall (1994)說明Tanaka後

續提出的求解模式當中所具備的性質以及與傳統迴歸方法的差異比較

但是在此模式下求解之迴歸係數本身亦為一對稱的三角模糊數值

而且求解結果很容易受到資料尺度(scale)的影響使得反應變數估計值之展

度會變得更為寬廣後來Tanaka (1987)根據1982年的文獻發展為更完整的

可能性線性系統使模糊迴歸的結構更趨適應性Tanaka 與Watada (1988)

闡明可能性線性模式的概念推演建構成可能性線性迴歸模式Tanaka et

al(1989)應用模糊資料於可能性迴歸系統中並建構最小化最大化及混合

式三種線性規劃模式又對先前所提出的模式加以修正但就如Redden 與

Woodall (1994)所指出Tanaka 類型的模式對於離群值(outlier)的反應非常

敏感甚至在觀察值的個數增加時求解結果可能會產生無限多解因

此在Tsaur 與Wang (1999)提出的文獻對於在模糊迴歸分析中的離群值進行

一系列探討

2 模糊最小平方法

模糊最小平方法(fuzzy least squares)乃擴展傳統之最小平方法的觀念

最早由Diamond (1988)所提出利用傳統最小平方法的觀念求出一個模糊

迴歸模式以估算(approximate)反應變數的觀察值並非如區間迴歸中的包含

觀察值在其模式中利用反應變數的觀察值與估計值的模糊數值之最小

值最可能值與最大值定義兩者之間的距離以衡量迴歸模式與模糊資

料之間的最佳配適度的情形在使得所有觀察值與估計值的模糊數值之間

的距離平方總和為最小時可以導出類似傳統迴歸分析中的正規方程式

(normal equation)以求解迴歸係數

25

其後Chang 與Lee (1996)則將Diamond (1988)的方法加以擴充將迴

歸係數的最可能值與展度分別估計該方法的特點在於可將極端值(outlier)

加以處理並降低其影響程度Ma等人(1997)則將此類方法發展於適合非

三角模糊數值的場合Diamond 與Koumlrner (1997)則在此類方法中定義一

個判定係數的計算方法以比較不同模式的適合性Wu與Tseng (2002)提出

改善模糊迴歸模式之最小平方法其模式主要觀念是利用最小平方法將所

有樣本的左端點及右端點各配置一條迴歸線然後在將其左右迴歸線統合

成一條迴歸線

而在Kim 與Bishu (1998)的研究中是利用各個具有三角模糊數值的反

應變數之最小值最可能值與最大值以最小平方法分別計算出模糊迴歸

係數所得到的係數不一定為對稱的三角模糊數在此種求解方式下雖

然可以得到比較小的估計誤差但其缺點是無法處理解釋變數為模糊數的

情形另外Kim 與Bishu(1998)還提出了評估模糊迴歸模式的準則利用觀

察值與估計值歸屬函數之間面積的差異做為迴歸模式的估計誤差但其評

估準則的問題是無法比較不同模式在觀察值與估計值歸屬函數之間不具有

交集時的誤差情況在此情況下求算估計誤差時無法準確評估其總誤差而

導致評估失真而其他學者如Yang與Ko (1997)Yang 與Lin (2002)等則

是提出以最小平方法為基礎的模糊聚類分析求解方式

3 模糊隨機變數估計法

為了建構一個同時具有隨機和模糊特性的系統Kwakernaak (1978)首

先提出模糊隨機變數(fuzzy random variables)的概念認為傳統的隨機變數

U Ωrarr R為實數可測函數而模糊隨機變數則將一般隨機變數的概念廣義

化模糊隨機變數可表示為X ΩrarrS設ω isinΩ而ω 所對應到的不再是實

數值U(ω)而是模糊集合X (ω)S 代表模糊集合且Kwakernaak (1978)擴

充原來Zadeh 提出模糊集合之架構認為有時供作參考的資訊不齊全在

對某些述句進行評斷時我們無法判斷其絕對為真或絕對為假此時我

們考慮將原有的二元邏輯思維方式推廣暫且不作肯定的判決而僅是表

達出對錯的程度換句話說真值可以是介於單位區間[01] 內的任何值

如此思維方式稱之為多值邏輯(multivalued value)並將模糊集合視為一組

述句(statement)的集合且每個述句均對應一真值程度以符合人類的思維與

想法Stein 與Talati (1981)利用模糊數值的隸屬函數提出模糊隨機變數

26

的期望值之計算方式Kruse 與Meyer (1987)藉助集合表徵的概念建立了

一套模糊隨機變數的定義而為了讓模糊隨機變數能實際應用並將討論

的範圍界定在一模糊集合族上Koumlrner (1997)及Naumlther (1997)利用該方法以

求算模糊隨機變數的期望值與變異數並應用於線性模糊迴歸模式的求解

等另外在曾能芳(民 91)的博士論文研究中指出在Tanaka et al (1982)

的模糊迴歸模式中並不具備誤差項因此模式無法呈現樣本與期望值之間

的關係而無法討論線性規劃估計程序所具備的統計性質所以在曾能芳

(民 91)提出的迴歸模式中採用模糊樣本是由依變數之模糊期望值加上測量

誤差所組成並提出測量誤差存在於中點的模糊迴歸模式以及測量誤差

同時存在於中點和半徑的模糊迴歸模式

4 兩階段求解方法

以兩階段方法(two stage method)求解模糊迴歸模式的想法是在於結合

最小平方法與區間迴歸的觀念試圖降低反應變數估計值的模糊度如Savic

與Pedrycz (1991)對模糊迴歸模式的求解分為兩個步驟進行第一步以

反應變數的模糊數值之最可能數值為基礎將模糊數值視為簡化的明確數

值以傳統最小平方法求解迴歸係數的中心值第二步利用區間迴歸的

方式在使得迴歸係數的模糊度為最小的情形下以決定迴歸係數的三角

模糊數值Kao 與Chyu (2002)提出另一種模糊迴歸模式的兩階段求解方

法在第一階段先利用解模糊(defuzzification)方法將模糊觀察值轉換成為一

組明確數值之後利用該組明確數值以傳統的最小平方法求解迴歸係

數第二階段則是以Kim 與Bishu 所提之評估準則為目標式決定一個誤

差項估計值的模糊數以使得在Kim 與Bishu (1998)評估準則下的總誤差量

為最小該方法的特別之處在於求解的迴歸係數為明確數值而誤差項估計

值為模糊數值雖然此種求解方式可以得到很小的估計誤差但因其所著

眼的仍是Kim 與Bishu 評估準則下的面積估計誤差使得當觀察值與估計

值歸屬函數之間不具有交集時所衡量出的估計誤差較真實誤差為小且其

求解方法比較適合於觀察值為三角或梯形的模糊數值欲應用於其他型式

的模糊數值求解上則較為困難而在邱清爐(民 91)的博士論文中則是將

其兩階段求解方法對各種不同的模糊迴歸模式進行建構與評估並將其求

解方法應用於工作滿意度實例

5 其他求解方法與相關研究

27

Tanaka 等人(1995)後來提出另外一種模糊迴歸模式的求解方法將傳

統的估計誤差當作是存在解釋變數與反應變數之間的關係之可能性

(possibility)故模糊觀察值的展度可以直接轉換成迴歸係數的指數可能性

分配(exponentialpossibility distribution)而可以使用與傳統迴歸非常類似的

方式加以求解Tanaka與 Lee (1999)再利用辨識方法(identification method)

求解迴歸模式在其研究中利用辨識方法以決定模糊線性系統(fuzzy linear

system)中迴歸係數的可能性分配並認為由此方法所求解的迴歸係數會

有比較小範圍的可能性分配近年來有愈來愈多的學者將模糊迴歸分析

應用於其他傳統的決策方法及不同領域上如 Dunyak 與 Wunsch(2000)使

用 α 截集的端點以類神經網路(neuralnetworks)進行模糊迴歸分析Lee

與 Chen(2001)則將模糊迴歸模式使用於人力預測的問題上Tseng 等人

(2001)將由模糊迴歸模式建立之 ARIMA 模式用以預測匯率Tseng 與

Tzeng(2002)則利用模糊迴歸模式的求解方法以建構具有季節變動的

ARIMA 模式Kim 與 Bishu(1996)應用於人力可靠度分析的操作反應時間

上Wu 與 Tseng(2002)將其模糊迴歸模式應用在景氣對策信號上的分析

王景男(民 89)將模糊迴歸分析應用於籃球比賽攻防技術策略上曹勝雄

曾國雄江勁毅(民 85)以國人赴港旅客需求之預測為例說明傳統迴歸

模糊迴歸類神經網路之差別張良斌陳育民(民 86)將模糊目標迴歸法

應用在垃圾衛生掩埋場沼氣回收設備的成本估算謝邦昌林燦隆呂理

添(民 85)將模糊迴歸運用在甘蔗產量的預測對於上列有關模糊迴歸分析

的研究中絕大部份的文章均侷限於線性模式的分析鮮有文章討論非線

性模糊迴歸模式的求解最近雖然有少數學者開始討論非線性模糊迴歸模

式的解法如 Xu(1997)Buckley 與 Feuring(2000)的研究等但使用的方

法所求解的迴歸係數仍然為模糊數值其造成反應變數估計值的展度會

隨著解釋變數之數值增加而擴大的問題仍無法避免

28

第三章 研究方法

本章介紹本文將運用於數值分析中的預測研究方法利用本章建構的

方法可清楚了解如何利用混沌理論基於相空間重構的方式及模糊迴歸方

法於預測中

31 混沌時間序列建立預測方法

時間序列的模型建構和預測是資料處理研究領域中的重要方向其中

預測方法主要有線性和非線性預測方法兩種預測就是對未來作出估計和

推斷而通常要對研究對象或資料進行假設這一過程稱為建模利用建

模的方式獲得資料的科學表示就稱為模型混沌時間序列雖然看似隨機

但它卻是由確定系統產生的因此我們可以對混沌時間序列作出短期預測

同時由於混沌對初始條件微小差異的高度敏感性我們無法對混沌時間序

列作出長期預測每一步預測帶來的微小偏差都會使得下一步預測的偏差

擴大最終導致預測序列與原始序列完全不同

311李亞普諾夫指數判定資料混沌特性

進行預測前需根據 212節中提及的李亞普諾夫指數來判定資料是否

具有混沌特性最大李亞普諾夫指數是判斷和描述非線性時間序列是否為

混沌系統的重要參數因此是一個重要的混沌不變數

混沌系統中的李雅普諾夫指數可用來判斷系統是收斂的還是混沌的當系

統的李雅普諾夫指數中至少有一個為正時系統是混沌的 當系統的李雅

普諾夫指數均為負數時系統是收斂的 對於系統是否存在動力學混沌可以直觀的判斷最大李亞普諾夫指數是否

大於零一個正的李亞普諾夫指數代表著在系統相空間中無論初始兩

條軌跡的間距多小兩條軌跡的差別都會隨著時間的演化而成指數率的增

加而導致無法預測這就是混沌現象

312重建相空間

傳統的建模和預測方法己廣泛地應用社會科學中但大部分都是基於

線性系統混沌時間序列並不適用於非線性的混沌時間序列於是在判斷

時間序列性質後若判定序列以隨機性為主應採用從 AR 或 ARIMA 等隨

機模型來預測如果判定以混沌為主則應採用非線性確定性的方法進行

29

預測非線性時間序列的預報是經過相空間重構後對相空間中的動力軌

跡進行預報由於混沌系統具有被稱為「蝴蝶效應」的初始值敏感性所

以混沌時間序列是不能長期預測的但對於短時間內混沌系統的軌道在

相空間中具有一定的規律它們的預測性是可獲得的並比一般的基於統

計方法的預測能力要來得好

時間序列資料是時間離散後的樣本值用 表示將它「嵌入」到

一個 m維(mgt0)的空間中進行相空間重構後得到嵌入向量

(31)

由嵌入向量 可擴張成一嵌入空間 E由 Taken嵌入定理可知存

在映射面 滿足

(32)

上式表是出在拓樸的意義中可完全預測吸引子的特徵所以上式也可

表示為

(33)

其中函數 為 的一個估計值由式 (33)可得之我們可用

來預測

313相空間維度相關維度

在實作的研究上有許多方法可以用來估計混沌吸引子的維度本研

究選用較為常見的相關維度方法相關維度需先計算相關和將相空間中

所有樣本點皆計算其各別半徑收斂後之趨近值相關方程式（Correlation

Function）定義如下

(34)

其中

當 rrarr0時

兩邊同取對數可得

(35)

定義相關維度為 與 之曲線斜率為

(36)

在實際應用中經常給定一組維度 值選取適當的 r繪出

30

曲線求曲線當中直線段的斜率 如果系統存在這樣一個 值達到此

值後相應的關聯維數不再隨 的增長而變化也就是趨於飽和這表明

該序列為混沌系統其吸引子是存在的此時 值即為重構相空間的最佳

嵌入維數否則則表明該序列為隨機系統不具有混沌性

314 時間遞移數

利用 2123節中介紹的概念及 2124 中介紹的自相關函數求解出時

間遞移數的結果自相關函數公式如下

1

1

1( )( )

1( )

n k

t t k

tk n

t

t

x x x xn k

r

x xn

(37)

n為原資料樣本數k為時間遞移後的樣本點

將自相關係數計算的結果與每一筆遲延時間距離數值繪製成圖表可

由圖表中可分析辨別時間序列數據的初步基本特徵圖表繪製的結果顯示

自相關係數跟隨遲延時間距離數值的增加而顯示收歛且具有震盪循環之跡

象則表示數據具有一種規則屬於一混沌時間序列

32 複線性迴歸

確立資料為混沌後運用自我相關係數計算出時間遞移數及相空間維

度後將加入複線性迴歸運算複線性迴歸中常用的預測方法分為兩種

1 全域法

全域法就是利用相空間軌跡中的全部向量點做為擬合對象找出其

規律由此進行短期預測也就是說利用收集的大量的歷史資料利用

複線性迴歸訓練出迴歸參數再將未放進訓練迴歸參數的資料使用訓練

出的迴歸參數計算出預測值的資料型態本文還將原本的歷史資料分析

出資料的季節性後先去除季節性的影響最後再加回季節性討論預測結

果

2 局域法

局域法的基本原理是僅利用有限個鄰近點的資訊而不是利用全部的

樣本點來擬合 局域法預測是把相空間軌跡中的最後一點作為待測點對

離待測點鄰近的若干個相空間點的關係作出擬合再對預測相空間點的未

來演化規律進行預測本文使用零階局域法零階局域法是直接將鄰近樣

31

本點應用於預測根據鄰近樣本點預測 的最簡單的方法就是尋找相

空間中距離 最近的點假設距離最近的點是 那麼它的下一個樣本

點為 即可做為 的預測值

因數值資料在每日重複發生變動所以本研究又加入計算季節性指數

對趨勢線做季節性調整也就是對時間序列做季節性調整

33 模糊迴歸分析

運用模糊的概念帶進迴歸模式中處理具模糊性的資料問題此稱為模

糊迴歸分析本文利用的模糊迴歸模式主要有兩個方向一個是Tanaka et al

(1982)提出的模糊線性迴歸另一個是由Chang 與Lee (1994)所提出修正型

迴歸模式Tanaka 起初所提出的線性規劃模型

0 1

[ ( )]p n

j ij

j i

Min C X

st 0 0

(1 ) (1 )p p

j ij j ij ii

j j

X H c X y H e

(38)

0 0

(1 ) (1 )p p

j ij j ij ii

j j

X H c X y H e

0jc j R 0 1iX 0 1H 123i n 012j p

Tanaka 所提出的模糊模型未考慮到散度為負值的條件所以模糊上下

界會不斷的擴張而越來越寬大由 Chang 與 Lee (1994)所提出修正型迴歸

模式即將模糊的散度可為負值使上下界的模糊區間為遞減的情形遞

減的情形由圖 31表示

圖 31 模糊區間隨自變數越大而越窄

0

2

4

6

8

10

上界 中心線 下界

32

假設圖表中計算出的模糊迴歸函數為 0 0 1 1 Y c c X 模糊上界為

0 0 1 1UY c c X 模糊下界為 0 0 1 1LY c c X

33

第四章 數值分析

本章資料來源1台灣區車輛工業同業公會

2台北市交通局

本章所使用的數據資料為台北市交通局提供的公開的車流量資料數

值分析所使用的方法已在第三章論述利用第三章的方法分析數值預測的

準確性並結合模糊迴歸常見的兩種方法幫助決定預測的可接受範圍本

章介紹本文所利用的數學模型及方法在複線性迴歸的模型中分成混沌全

域法去季節性後的混沌全域法以及混沌局域法預測出的結果加以討論預

測的準確性再將預測值去季節性觀察準確程度最後再帶入模糊迴歸

利用 05H 加以討論如何將模糊迴歸中的散度用以選擇預測值的範圍第

一節針對傳統複線性迴歸方法並結合全域法觀念訓練資料迴歸係數討

論預測結果第二節針對傳統複線性迴歸方法並結合局域法觀念訓練資

料迴歸係數討論預測結果第三節針對預測資料去除季節性後再利用

傳統複線性迴歸方法討論預測結果第四節針對模糊迴歸的兩種方法選

擇出預測的範圍

利用第三章論述的時間遞移及相關維度的做法將本文利用具混沌性

的資料加以分析將資料先利用 212 節中介紹的李雅普諾夫指數 判定是

否具混沌性具有混沌性的資料才能利用混沌理論重構相空間若李雅

普諾夫指數 介在 0跟 1之間則表示資料具有混沌性質本文資料利用程

式計算出李雅普諾夫指數 運用自我相關係數判斷出時間遞移

數 相關維度計算出維度 我相關係數判斷時間遞移數與相關維

度的圖形以及原始資料時間遞移後的資料圖如圖 41圖 42圖 43

34

圖 41相空間維度及 lnC與 ln r斜率關係圖

圖 42相空間維度及 lnC與 ln r斜率關係圖

0

1

2

3

4

5

6

7

0 5 10 15 20

相空間維度

斜

率

d

-02

0

02

04

06

08

1

12

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33

時間遞移數

自我相關函數

35

圖 43 原始資料時間序列圖

41 複線性迴歸混沌全域法

本文所使用的資料為 10日的車流量資料利用前 9日的資料訓練出迴

歸參數將迴歸參數代入複線性數學模型中計算出的迴歸方程式為

1 2 3 4

5 6 7 8 9

10 11 12 13 14

435363 00819 00338 01777 00070

01116 01999 00299 02716 00349

01399 00056 01113 00738 02038

y x x x x

x x x x x

x x x x x

(41)

解出迴歸參數計算出複線性迴歸方程式後再將最後一日 144筆的車

流資料代入方程式中計算出預測值利用複線性迴歸混沌域法預測出的結

果如圖 44

圖 44 複線性迴歸分析預測與原始資料比較圖-全域法

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

1 53

10

5

157

209

26

1 31

3

365

41

7

469

52

1 57

3

625

67

7

729

78

1 83

3

885

93

7

989

10

41

1093

11

45

1197

12

49

1301

13

53

1405

原始資料點

原始資料點

-50

0

50

100

150

200

1

7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

103

109

115

121

127

133

139

實際值

預測值

36

由圖表的狀況可觀察出運用複線性迴歸模型預測的結果不盡理想本

研究認為運用複線性迴歸預測的結果不佳的原因有二

1 利用全域法預測是將較大量的歷史資料加入考慮訓練出迴歸參數這

樣的結果造成削弱了原本的奇異點(相較於同時段資料差異性較大的點)

的影響力

2 嵌入維度 太高對於混沌時間序列隨著嵌入維度增高歷史

對未來的影響是呈指數衰減的所以全域法所利用的資訊歷史就越長

預測的精準度就會迅速下降因此本研究將加入局域法討論預測的準

確性

42 複線性迴歸混沌局域法

局域法的做法為尋找相空間重構後的點對待測點尋找鄰近的 k個相

空間點對離待測點鄰近的若 k個相空間點的關係作出擬合並分析出複

迴歸方程式的迴歸參數本文嘗試選取 k=50~250的結果以下只列舉 k=200

的圖解釋預測結果

圖 45 複線性迴歸分析預測與原始資料比較圖-局域法(k=200)

圖 44與圖 45比較後可看出區域法預測的準確性比全域法更好某

些預測出來的結果的點與原始資料的點差異性大有明顯的偏移本研究

認為利用局域法預測的結果不佳的原因如下由圖 45可看出預測結果與

原始資料間差異性較大的點位為數列的右側 而數列尾端的資料為凌晨或

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

1

7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

103

109

115

121

127

133

139

實際值

估計值

37

是深夜的車流量因每日凌晨或是深夜的車流量變化量較少(例如某日的凌

晨十二點十分可能為 0台車或是小於 10台車經過)所以資料的差異性

較大造成頭尾的資料預測上較為不準確

因為同時段的資料可能會影響資料預測出的結果所以我們下節就以

加入季節性的考慮來加以討論預測結果

43 複線性迴歸去除季節性後混沌全域法

本文使用的車流量資料為每日 24時換算成 1440分鐘每 10分鐘記

錄一點於是本研究依資料的記錄時間點來劃分季節性將季節分成 144

個季分別求出季節性指數求取季節性指數後將每個資料點先去除季

節性利用全域法訓練出去季節性後的迴歸係數再利用複線性求出預測

值最後將去除的季節指數乘回預測點結果如下

圖 46考慮季節性複線性迴歸分析預測與原始資料比較圖-全域法

此考慮季節性因子的複線性迴歸分析預測與原始資料的比較是用全

域法去訓練迴歸參數的而由圖 44我們可以得知一開始未考慮季節因

子使用全域法的複線性迴歸預測是不準確的本研究認為原本的歷史資

料隨著季節性因子的變化該系統原本呈現複雜的動態特性實際上由於

車流量的變動有許多外在因素的影響例如氣候假期hellip等影響會使

資料的變化過程發生不同程度的偏離而對於季節性事件來說其事件發

生的過程主要受季節性參數週期性變化的影響 因此影響因素的具體形

式可以近似地表示為單一函數本文考慮季節因素對車流量的影響意即

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

1

7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

10

3

10

9

11

5

12

1

12

7

13

3

13

9 實際值

預測值

38

經過季節性分析後的得到的預測分析結果很準確如圖 46所示此結果

表示季節性影響樣本資料的情形大也代表著在季節因素影響下系統中

事件的動態變化情況是隨著季節影響參數的變化而造成系統呈現各種

各樣複雜的動態特性如週期解混沌情形hellip等

44 模糊迴歸

441Tanaka模糊迴歸

μ及 H 值之選定原則為當不確定性愈大時其 μ及 H 值愈接近 0

反之當資料不確定性愈小時μ及 H 值取愈接近 1 之值Bardossy 等人

建議其值在 05~07間為適宜根據 Tanaka在 1982年所提到的方法我們

可以求得一模糊迴歸函數並可得知其中心線與其上界及下界假定在 H =

05的情況下利用 Tanaka模糊迴歸模式算出迴歸函數為

(42)

中心線與上下界的簡單迴歸方程式為

中心線 (43)

上界 (44)

下界 (45)

繪製出的圖形如圖 47所示

圖 47 Tanaka 模糊迴歸

0

50

100

150

200

250

300

1

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13

19

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31

37

43

49

55

61

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79

85

91

97

103

109

115

121

127

133

139

下界

中心線

上界

39

圖 48 Tanaka 模糊迴歸中心線與預測值之結合

從圖 48可看出預測值與模糊迴歸的中心線 有明顯的時間差異但由

圖可以觀察出模糊迴歸的中心線 的預測趨勢與實際值是相近的雖然利

用模糊迴歸預測的時間點比實際時間快但是相對來說也是可以用來預

測之後將發生的趨勢本研究認為若模糊迴歸可用於預測中則可用模糊

的散度 c當做預測行為中選取的可接受的變動範圍如圖 49最後將 Tanaka

模糊迴歸中心線上下界與實際值之結合如圖 410所示

圖 49 Tanaka 模糊迴歸中心線上下界與實際值之結合

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

1

8

15

22

29

36

43

50

57

64

71

78

85

92

99

106

113

120

127

134

141

實際值

中心線

0

50

100

150

200

250

300

1

7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

103

109

115

121

127

133

139

實際值

下界

上界

預測

值

預測值

40

圖 410 Tanaka 模糊迴歸中心線上下界與實際值之結合

442修正型 Tanaka模糊迴歸

因為我們要將模糊迴歸應用於預測中所以本研究將複線性迴歸的趨

勢線視為模糊迴歸的中心線再利用修正型 Tanaka模糊迴歸模式算出迴歸

函數為

(46)

中心線與上下界的簡單迴歸方程式為

中心線

上界

下界

繪製出圖形如圖 411

0

50

100

150

200

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103

109

115

121

127

133

139

實際值

預測值

下界

上界

41

圖 411 修正型模糊迴歸中心線上下界與實際值之結合

本研究使用的修正型模糊迴歸中心線與傳統的迴歸方程式相同所以

可用來處理或分析模糊資料與明確資料同時修正型模糊迴歸的上下界

與 Tanaka 模糊迴歸相較也變窄了此兩種現象就是修正型迴歸的特色因

為中心線與傳統的迴歸方程式也相同這種修正型迴歸散度可選擇為負值

的特色本研究認為可以應用在預測上因為上下界與中心線間的散度變

窄使得前文所敘述到的利用散度來選取預測範圍便可更為嚴格也可

使預測的結果更為可靠如圖 412所示

圖 412 Tanaka 上下界與修正型模糊迴歸上下界的寬度差別

0

50

100

150

200

250

1 7

13

19

25

31

37

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49

55

61

67

73

79

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91

97

103

109

115

121

127

133

139

下界

中心線

上界

0

50

100

150

200

250

300

1 8 15

22

29

36

43

50

57

64

71

78

85

92

99

106

113

120

127

134

141

Tanaka下界

Tanaka上界

Tanaka修正型下界

Tanaka修正型上界

42

第五章 結論及未來研究方向

51 結論

根據前文的討論傳統迴歸和模糊迴歸建立在不同的理論基礎上傳

統迴歸是以機率為基礎而模糊迴歸則是以可能性為基礎傳統迴歸因變

數的估計值與觀測值之間的差異為因變數的隨機性而模糊迴歸因變數的

估計值則產生於觀測值之模糊度惟兩者最大不同處在於模糊迴歸式的

迴歸係數與預測值皆為模糊數（區間值）不同於傳統迴歸係數與預測值

均為明確的數值此外傳統迴歸侷限於對明確資料的分析可能性模糊

迴歸僅適用於分析具模糊性的資料而複合的模糊迴歸則可同時適用於分

析模糊與明確的資料此為此模式最大的特點

模糊迴歸應用於預測中大多的結果是不佳的但是我們透過結合混

沌與模糊迴歸的概念將混沌的預測單點概念拓展成一個可接受的預測

範圍

PT Chang 與ES Lee 使用修正型模糊迴歸重新定義散度做出新的

模糊上下界均為改善模糊迴歸模式Tanaka之研究本研究將模糊迴歸與

混沌理論之建立時間序列的預測情形加以結合討論發現模糊迴歸在預測

的行為中是可行的但可惜的是即使預測的趨勢相近但預測值出時間

的點卻有差別這樣的結果我們可以看出若能找到解決加強模糊與複線性

迴歸關係之間時間的關聯性就能利用模糊的不確定性來討論預測問題

52 未來之研究方向

本研究將模糊迴歸與混沌理論之建立時間序列的預測情形加以結合討

論發現模糊迴歸在預測的行為中是可行的但可惜的是即使預測的趨

勢相近但預測值出時間的點卻有差別這樣的結果我們可以看出若能找

到解決加強模糊與附線性迴歸關係之間時間的關聯性就能利用模糊的不

確定性來討論預測問題

為了符合現今社會多元的狀況模糊迴歸與傳統迴歸之觀念勢必加以

混合應用也為了解決此等問題混合式迴歸（Hybrid Regression）在近年

來被提起也因此參數的估計模糊迴歸與傳統迴歸的混合應用將成

為往後繼續研究探討之目標

建議未來可用模糊加權修正模糊迴歸使模糊迴歸在預測上更能直接

43

將對事物多個構面評估的意見與其影響事物狀況的重要程度作加權的運

算

44

參考文獻

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8

指數若 則表示相鄰點最終會靠近合併成一點若 則表示

相鄰點最終會發散而對應於軌道的局部不穩定若軌道還存有整體的穩

定因素(如整體有界發散存在捕捉區域等)系統則需在有限的幾何物件

上無窮次折疊以實現指數分離系統在此作用下反覆折疊並形成混沌吸

引子故 可做為判斷混沌情形的準則

混沌系統中的李雅普諾夫指數可用來判斷系統是收斂的還是混沌的

當系統的李雅普諾夫指數中至少有一個為正時 系統是混沌的 當系統的

李雅普諾夫指數均為負數時 系統是收斂的

對於一般 m維的動力系統定義李亞普諾夫指數如下設 F為

上的 m維映射假設一個 m維離散動力系統 將系統的初

始條件假設為一個無窮小的 m維小球由於演化過程中的自然變形圓球

將變成橢圓球將橢圓球上的所有主軸依其長度排列則第 i 個李亞普諾

夫指數根據第 i個主軸的長度 的增加速率定義為

(24)

李亞普諾夫指數與相空間的軌道收縮或擴張性質是有關連性的在李

亞普諾夫指數小於零的方向上軌道收縮運動穩定對於初始值不敏感

而在李亞普諾夫指數為正的方向上軌道迅速分離對初始值敏感李亞

普諾夫指數的前 j個指數的和是由前 j個主軸定義的 j維立體指數增加的長

期平均速率確定如橢球長度按 增加由前兩個主軸定義的區域面積依

增加由前三個主軸定義的區域面積依 增加以此類推在

李亞普諾夫指數譜中最小的李亞普諾夫指數決定軌道收縮的快慢最大

的李亞普諾夫指數則決定軌到發散也就是覆蓋整個混沌吸引子的快慢

而所有李亞普諾夫指數之和 可以大致表示為軌道的平均發散速度

李亞普諾夫指數是衡量系統動力學特性的一個重要定量指標它代表

了系統在相空間中相鄰軌道間收斂或發散的平均指數率對於系統是否存

在動力學混沌可以直觀的判斷最大李亞普諾夫指數是否大於零一個正

的李亞普諾夫指數代表著在系統相空間中無論初始兩條軌跡的間距多

小兩條軌跡的差別都會隨著時間的演化而成指數率的增加而導致無法

預測這就是混沌現象

213 混沌系統之時間序列

9

2131 相空間局部近似法

Farmer and Sidorowich(1987)在其混沌預測方法之研究提出所謂的相

空間局部近似法(phase space local approximation method)對系統之演變行為

進行預測這種奠基於時間延遲法(time delay method)所構成之重建相空間

(reconstructed phase space)的預測方式能夠適應吸引子(attractor)的局部行

為經後續進一步研究發現其具有相當良好之預測能力因此採 Farmer and

Sidorowich(1987)之相空間局部近似法構建交通量預測模式期能增加預測

準確度

2132 時間序列與相空間重構

相空間的概念就是把運行方程式所獲得的數字或數據轉換成為圖形

並將系統中隨時間改變的重要的資訊(無論是機械或是流體)抽取出來把各

式各樣可能的狀況註明在圖上利用延遲時間的概念模擬出類似原始系統

之相空間當重建一個空間使得此空間可以具體的包含吸引子特徵則此

空間之維度我們稱為嵌入維度Takens等人(1981)提出嵌入定理對於無

限長無雜訊的 d維混沌吸引子的標量時間序列x(n)可以在拓撲不變的

意義上找到一個 m維的嵌入相空間只有維數 m gt2d+ 1才可保有原始吸

引子的特徵Takens 定理保證了我們可以從一維混沌時間序列中重構一個

與原動力系統在拓撲意義下等價的相空間混沌時間序列的判定分析與

預測是在這個重構的相空間中進行的因此相空間的重構是混沌時間序列

研究的關鍵將收集的一維歷史資料例如現有歷史資料為 9筆13579

10131115間遞移的結果為1711391351015在此我們將利用此

時間遞移建立的時間序列觀念x(t) x(t minusτ ) x(t minus 2τ )hellip來重建相空間

2133 延遲時間 τ的決定

時間延遲如果 τ太小則相空間向量 x(i) = x(t) x(t minusτ ) x(t minus 2τ )hellip

中的任意兩個分量 x(t)和 x(t minusτ )在數值上非常接近以至於無法相互區分

從而無法提供兩個獨立的座標分量但如果時間延遲 τ 太大的話則兩座

標在統計意義上又是完全獨立的混沌吸引子的軌跡在兩個方向上的投影

毫無相關性可言因此需要用一定的方法來確定一個合適的 τ 值本文確

定 τ的主要方法為相關維度法

2134 自相關函數

自相關係數是利用時間序列裡每一筆數據與其前的數據根據不同遲延

10

時間距離的數值進行相關係數計算而成如遲延時間距離為 1表示將每

一筆數據與緊接其前的一筆數據進行相關係數計算如遲延時間距離為 2

表示將每一筆數據與其前第二筆數據進行相關係數計算如遲延時間距離

為 3表示將每一筆數據與其前第三筆數據列進行相關係數計算如此類

推自相關係數 之計算公式如下

1

1

1( )( )

1( )

n k

t t k

tk n

t

t

x x x xn k

r

x xn

(25)

式中 n為資料數k為時間遞移後的點t為時間點

將自相關係數計算的結果與每一筆遲延時間距離數值繪製成圖表可

由圖表中可分析辨別時間序列數據的初步基本特徵如圖表繪製的結果顯

示自相關係數沒有跟隨遲延時間距離數值的增加而顯示收歛之跡象也就

是說繪製線不斷於 X軸零座標線做不規律的上下擺動表示數據為隨機時

間序列即每一數據都視為個別獨立的事件且與過去某一筆遲延時間距離

數值的事件無關係反之若圖表繪製的結果顯示自相關係數跟隨遲延時

間距離數值的增加而顯示收歛且具有震盪循環之跡象則表示數據具有一

種規則屬於一混沌時間序列

2135 季節趨勢

季節趨勢預測法是根據事物每年重覆出現的週期性季節變動指數預

測其季節性變動趨勢

季節指數的概念即是利用簡單平均法計算週期內各時期模型季節性影響的

相對數季節指數反映了該季與總平均值間的穩定關係若季節指數大於

1則表示該季的值常會高於平均值若季節指數小於 1則表示該季的值

常會低於平均值若序列的季節指數都近似於 1則表示該序列沒有明顯

的季節效應季節指數的計算方式如下

計算週期內各期平均數

k=12hellipm (26)

計算總平均

(27)

計算季節指數

11

k=12hellipm (28)

其中 n為期數m為季節數

22 複線性迴歸分析

迴歸分析的目的主要是建立變數之間的關係進而應用於預測分析中

內政部營建署(1997)就曾利用迴歸分析來探討反彈數及現場鑽心試體之間

的抗壓強度關係進而建構出一迴歸方程式做為混凝土試體的抗壓強度

預測而在土木工程領域中也已有許多學者利用迴歸分析來進行研究

例如潘南飛與黃冠智(2005)利用迴歸分析來預測橋面版劣化狀況且考慮

以交通量及降雨量作為迴歸模式中的自變數最後得一配適佳的迴歸式

凌偉峻(2006)利用複線性迴歸分析建立模式及混沌系統的相空間鄰近點相

似特性來建立車流量預測模式Cheung et al (2008)使用氣候值持續值

颱風強度Julian Date記日本地時間七級風暴風半徑及颱風中心速度共

7個預報參數進行多變量的複線性迴歸(multiple linear regression)分析並以

20個傳統雨量站進行測試各新增變量中以颱風強度七級風暴風半徑及

中心速度對預報之改善較顯著其受改善之時數及相關係數之增加幅度皆

較其它變量為多顯示颱風結構參數在颱風降雨預報中比簡單的季節性因

素或日夜對流差異來得重要

敘述自變數( 1 kx x x x 2 3 )依變數 y 和誤差項 i 之間關係的方程式

稱為複線性迴歸模式複迴歸其主要目的有二

1 可以降低隨機誤差此與迴歸之變異數分析有關增加解釋變數之個數

可以使迴歸分析可解釋變動的部分增加相對的誤差就會減少

2 可以避免反應變數中影響重大的解釋變數有所遺漏而無法具體描述實

際資料的狀況估計複迴歸方程式或估計多元迴歸方程式(Estimated

multiple regression equation)大部分情況下複迴歸模式中的迴歸參數

皆不知其實際數值僅可以利用樣本數值估算分別以樣

本統計值 作為迴歸參數 的點估計值本研究

利用全域法訓練迴歸參數 即是利用前九日的歷史資料

複線性迴訓練出迴歸係數預測出第十日的資料型態複迴歸分析是將

簡單迴歸分析其自變數由一個增加至數個研究一群自變數和一個反應

變數之間的關係複線性迴歸模式定義如下

12

(29)

其中 為常態 n 隨機變數期望值 E(ε)=0且彼此互相獨立若有 n

組樣本觀測值(ngtp)組我們就可將方程式寫成

(210)

其中 i=123hellipn

若將複線性迴歸寫成矩陣可得下式

(211)

也可將式(211)寫成矩陣形式

(212)

其中 為觀察值向量 為參數向量 為自變數矩陣 為獨立之常態

隨機變數向量且滿足 向量 Y的期望值表示如下

(213)

複線性迴歸之最小平方標準方程式矩陣表示為

(214)

其中

為最佳模式之參數矩陣因此可求得最小平方估計式矩陣

表示為

(215)

其中 為 之轉置矩陣 為 之反矩陣只要利用式(215)

即可獲得複線性迴歸方程式

23 模糊理論

模糊理論是由美國加州大學伯克利分校電氣工程系的L A Zadeh在

1965年首次提出Zadeh在1965年發表了一篇傳統科學皆以排除具模糊性的

研究為主而模糊理論則以包含模糊性的研究為主現今科學發達所要

探討的議題越來越多由於人類的知識與研究會因本身主觀的意識因應

不同的人事時地物而具模糊性使得無法清楚呈現研究的本質為何要

13

在日常生活中精確地描述一個現象必定忽略其中的些微變化然而此描

述又無法真實描述現實因此模糊理論(Fuzzy Theory)正好能被廣泛應用在

研究上

模糊概念是指這個概念的外延具有不確定性或者說它的外延是不清

清楚的是模糊的例如好的壞的好壞的概念我們非常清楚但是

它的外延也就是究竟事件發生的條件到底是要如何才會是好的跟壞的

每個人的回答都會是不同的這就是一個模糊的概念所以當我們在接

觸模糊時是允許主觀意識的因為每個人對模糊的概念不盡相同儘管

如此當我們利用模糊統計方法進行分析時對於好與壞之間的界限又有

一定的概念

其次模糊性與精確性是相對立的但卻不能將模糊性理解成較差的

結果因為實際上我們在處理客觀事物時經常藉助於模糊性例如

若我們要在路上找一位「年輕的漂亮女孩」「年輕」及「漂亮」都是模

糊的概念但對我們而言這在路上不難找到因為我們的大腦會分析什麼

是「年輕」及「漂亮」於是我們就可以判斷出我們要找的人然而若我

們要求必須用電腦查詢「年輕的漂亮女孩」我們就必須將「年輕」及「漂

亮」這兩個模糊的條件利用具體的數據輸入電腦分析才能找到符合我們

要求的人

最後人們對模糊性的認知常與隨機性混淆其實它們之間有著很大

的不同隨機性是本身具有明確意義只是因為發生的條件不充分使得

在條件與事件之間不能產生確定的因果關係所以事件的出現與否表現出

一種不確定性而事物的模糊性是指我們要處理的事物的概念本身就是模

糊的即一個對象難以確定是否符合這個概念也就是由於概念外延模糊

而帶來的不確定性

231模糊的發展

模糊理論是在美國加州大學伯克利分校電氣工程系的 LAzadeh 教授

於 1965年創立的模糊集合理論的數學基礎上發展起來的主要包括模糊集

合理論模糊邏輯模糊推理和模糊控制等方面的內容

早在 20世紀 20年代著名的哲學家和數學家 B Russell就寫出了有關

「模糊性」的論文他認為所有的自然語言均是模糊的比如「紅的」和

「老的」等概念沒有明確的內涵和外延因而是不明確的和模糊的可是

14

在特定的環境中人們用這些概念來描述某個具體對象時卻又能心領神會

很少引起誤解和歧義

美國加州大學的 L A Zadeh 教授在 1965 年發表了著名的論文文中

首次提出表達事物模糊性的重要概念隸屬函數從而突破了 19世紀末勒

內middot笛卡爾（Rene Descartes）的經典集合理論奠定模糊理論的基礎1966

年P N Marinos發表模糊邏輯的研究報告1974年L A Zadeh 發表模

糊推理的研究報告從此模糊理論成了一個熱門的課題1974 年英國

的 E H Mamdani 首次用模糊邏輯和模糊推理實現了世界上第一個實驗性

的蒸汽機控制並取得了比傳統的直接數字控制演算法更好的效果從而

宣告模糊控制的誕生1980年丹麥的 LPHolmblad 和 Ostergard 在水泥窯

爐採用模糊控制並取得了成功這是第一個商業化的有實際意義的模糊控

制器

事實上模糊理論應用最有效最廣泛的領域就是模糊控制模糊控

制在各種領域出人意料的解決了傳統控制理論無法解決的或難以解決的問

題並取得了一些令人信服的成效

模糊控制的基本思想把人類專家對特定的被控對象或過程的控制策略總

結成一系列以ldquoIF THENrdquo形式表示的控制規則通過模糊推理得到控製作用

集作用於被控對象或過程控製作用集為一組條件語句狀態語句和控

製作用均為一組被量化了的模糊語言集如「正大」「負大」「正小」

「負小」零等

模糊控制的幾個研究方向

1 模糊控制的穩定性研究

2 模糊模型及辯識

3 模糊最優控制

4 模糊自組織控制

5 模糊自適應控制

6 多模態模糊控制

模糊控制的主要缺陷

信息簡單的模糊處理將導致系統的控制精度降低和動態品質變差若

要提高精度則必然增加量化級數從而導致規則搜索範圍擴大降低決策

15

速度甚至不能實時控制模糊控制的設計尚缺乏系統性無法定義控制

目標控制規則的選擇論域的選擇模糊集的定義量化因數的選取多

採用試湊發這對複雜系統的控制是難以奏效的

232模糊至今應用的範圍

模糊理論發展至今已接近三十餘年應用的範圍非常廣泛從工程科

技到社會人文科學都可以發現模糊理論研究的蹤跡與成果我們分別由工

程科技與社會人文科學的角度瞭解模糊理論應用的範疇

1 工程科技方面

(1) 型樣識別文字識別指紋識別手寫字體辨識影像辨識語音

辨識

(2) 控制工程機器人控制汽車控制家電控制工業儀錶控制電

力控制

(3) 信號及資訊處理影像處理語音處理資料整理資料庫管理

(4) 人工智慧及專家系統故障診斷自然語言處理自動翻譯地震

預測工業設計

(5) 環保廢水處理凈水處理廠工程空氣污染檢驗空氣品質監控

(6) 其他建築結構分析化工製程控制

2 教育社會及人文科學方面

(1) 教育教學成果評量心理測驗性向測驗電腦輔助教學

(2) 心理學心理分析性向測驗

(3) 決策決定決策支援決策分析多目標評價綜合評價風險分

析

233模糊集合

過去傳統數學上集合的基本定義是以二值邏輯(Binary Logic)為基礎的

方式來描述事物為屬於或不屬於此集合也就是元素 x和集合 A的關係

只能是isinA或notinA明確的判斷對象為所屬集合也就是明確集合(Crisp Set)

如果要描述適當的模糊事物時須將所屬集合的概念模糊化使之無明確

判對象所屬的集合模糊集合是指在界限或邊界不分明且具有特定事物的

集合以建立隸屬函數(Membership Function)來表示模糊集合承認論域

(Universe of Discourse)上存在既非完全屬於集合A又非完全不屬於集合A

16

使傳統集合的絕對屬於的概念改變為相對屬於的概念以數學式表示論域

U 上的模糊集合 A可表示為元素 x與它的歸屬函數集合

(216)

其中 A為一模糊集合 為歸屬函數x稱作元素U為論域一

般情況下歸屬度會界定在 0跟 1之間

(1) =0表示元素 x不屬於

(2) =1表示元素 x完全屬於

(3) 趨近 0表示元素 x極不可能屬於

(4) 趨近 1表示元素 x極有可能屬於

這個表示式的完整解釋為當 x 在 U 的範圍內會對應到一個介於 0

到 1之間的數值 所有這種 x所成的集合就是一個模糊集合模糊集

合可表示為

1 當論域Ｕ為有限離散(discrete)集合的情形下模糊集合 可表示成

(217)

2 當論域Ｕ為實數論域所組成之在連續(continuous)集合的情形下模糊

集合 可表示成

isin (218)

其中 並非積分符號而是單純的連結符號

234 模糊數(Fuzzy Number)

1 模糊數(triangular fuzzy number)

假設 是模糊集合或模糊數(FN)在實線 2R 上則以三角形隸屬函數

(triangular membership function）表示為 1 2 3( )a a a 2 x R to A 則

1

1 2 1 1 2

3 3 2 2 3

3

0

( ) ( ) ( )

( ) ( )

0

x a

x a a a a x aA x

a x a a a x a

x a

(217)

17

1

其隸屬函數圖形如圖 21

圖 21 三角模糊數

2 梯形模糊數(trapezoidal fuzzy number)

梯形模糊數可表示為 如圖 22其隸屬度函數定義為

(218)

其隸屬度函數如圖 22

圖 22梯形模糊數

a b c d

1

18

在一信賴區間 α水準α 01 我們定義 A

( )A x A x (218)

三角形隸屬度函數以 α-cut表示為

( ) ( )

1 3 1 1 2 3 2 3[ ] [ ( ) ( )]A a a a a a a a a

(219)

( )

1a 與 ( )

3a 個別代表 A的下界及上界

根據模糊算術方法Zadehrsquos sup-min 方法表示如下

( )( ) sup min( ( ) ( ))x y z

A B z A x B y

(220)

其中 sup表任何模糊算式Mizumoto and Tanaka（1976）使用相同方

法在 α 截集模糊數和區間算術Chang（2003）和 Chang et al （2006）和

Chang and Hung（2006）整理使用 α 截集模糊算術方法的文獻α截集模

糊算術中模糊數基本運算公式（加法減法乘法除法）可以計算的

更快在每一個 α-level 區間中使用區間算術（Kaufmann and Gupta

1988）

1 模糊數加法

令A和 B分別為兩模糊數 A和 B在一信賴區間 α水準 ( ) ( )

1 2[ ]A a a

( ) ( )

1 2[ ]B b b αisin 01 forall A B sub 2R 表示如下

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 2 1 2 1 1 2 2[ ] [ ] [ ]A B a a b b a b a b

forallαisin 01 (221)

2 模糊數減法

在一信賴區間 α水準forall A B sub 2R αisin 01

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 2 1 2 1 2 2 1[ ] [ ] [ ]A B a a b b a b a b

(222)

3 模糊數乘法

在一信賴區間 α水準forall A B sub 2R αisin 01

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 2 1 2 1 1 1 2 2 1 2 2

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 1 1 2 2 1 2 2

[ ] [ ] [min(

max( )]

A B a a b b a b a b a b a b

a b a b a b a b

(223)

4 模糊數除法

在一信賴區間 α水準forall A B sub 2R αisin 01

19

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 1 1 2 2

1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 2 1 2 1 2 1 2

[ ] [ ] [min( )max( )]a a a a a a a a

A B a a b bb b b b b b b b

式中 ( )

1b ( )

2b gt0forallαisin[01] (224)

235模糊運算

根據 Zadeh（1965）的擴展原理（Extension Principle）可以廣義的使

用一般基準 T取代原來的最小值模糊數的數學運算表示如下

1 加法

( )( ) sup ( ( ) ( ))x y z

A B z T A x B y

(225)

2 減法

( )( ) sup ( ( ) ( ))x y z

A B z T A x B y

(226)

3 乘法

( )( ) sup ( ( ) ( ))x y z

A B z T A x B y

(227)

4 除法

( )( ) sup ( ( ) ( ))x y z

A B z T A x B y

(228)

24 模糊迴歸

在科學研究過程中許多研究者常使用迴歸來描述自變數 x和應變數 Y

之間的關係傳統的迴歸分析均假設觀察值由實際應變數影響加上隨機誤

差而產生也就是說應變數是一種帶有不確定性的隨機變數不過在很

多的實務應用上往往無法滿足這樣的假設例如有些應變數 Y 的觀察值

並不是以單一數值的型式存在而是帶有多重隸屬的特性這些觀察值雖

然帶有不確定性但這種不確定的特性是來自於模糊現象而非隨機現象

若由模糊觀點套用迴歸分析來處理模糊資料問題就稱為模糊迴歸分析

模糊迴歸分析最早是由 Tanaka et al (1980) 提出一般模糊迴歸能夠處理的

樣本型式有兩種一種是實數值樣本 其中 為實數向量 為觀測

到的實數值另一種是模糊數樣本( 其中 為觀測到的模糊數不論

是實數值樣本或是模糊數樣本想要估計模糊迴歸參數估計方法大都是

20

利用線性規劃的技巧來尋求一組能將實數值樣本 或模糊數樣本(

包含在內的區間再將三角形隸屬函數（triangular membership function）套

用

在此區間上如此便求得一組模糊迴歸估計式要得到正確的估計結

果最好是收集具有代表性的隸屬函數樣本所謂具有代表性的隸屬函數

樣本應該是以模糊數的形式存在所以本文就樣本模糊數 進行討論

線性模糊迴歸模式常表示成

0 1 1 2 2( ) i i i p piY x A A x A x A x (229)

其中 1 2 3(1 ) i i i i p ix x x x x 為自變數向量 ( )iY x 為模糊應變數

為模糊參數利用樣本模糊數 估計參數 時通

常假設 與 的隸屬函數為對稱三角型式 與 的隸屬函數表達如下

( ) max 1 0 i

i

Y

i

t yt t

r

(230)

其中 為三角隸屬函數的中點 為三角隸屬函數的分布半徑可令

( ) max 1 0 m

m

A

m

t ct t

s

(231)

其中 為三角形的中點 是三角形的分布半徑 與 間的關係

如圖 23所示

圖 23模糊數的中心值與散佈值

1

0

21

再令 則前述的模糊迴歸方程式可改寫成

0 1 1 2 20 1 2( ) i i ipi p pY x x xC S xC S C S C S (232)

因此模糊應變數 ( )iY x 的隸屬函數也屬於三角型式可表示成

( )

0

0

( ) max 1 0 Y xi

p

m m

m

p

m mi

m

t c x

t t

S x

(233)

其中 因此只要估計出三角形的中點 及半徑 便可得到

隸屬函數的估計值模糊迴歸分析是在要求每一個觀測值 隸屬於模糊

迴歸區間的隸屬程度至少 的情況之下尋求最小的模糊迴歸預測區間如

(234)式表示

forall ( 234)

在利用 對未知的模糊參數 進行估計前一般先定

義模糊樣本 和模糊應變數 的 h截集其定義如下

令 為一組模糊樣本 ( )iY x 為模糊應變數若 與

分

別為 及 的 h截集(h-cut)則

(235)

(236)

因具代表性的樣本 其 h 截集 應要盡量接近模糊應變數 的 h

截集 意即

其中容許

不完全落在 之

內的情形發生根據以上觀點王景南(2002)認為樣本的左端點

和右端點 隸屬於 的程度會有一定的水準於是設立此水準

為 H因此假設 隸屬於 的隸屬度會盡量的接近 H其間的關係

為

( 與

( (237)

所謂的盡量接近 H是可允許隸屬度大於 H或小於 H而不是均大於

22

H

根據以上的對樣本的解釋運用最小平方法以所有樣本的左端點

配置一迴歸直線稱之為左端直線估計式

(238)

其中 為迴歸係數再以所有右端點 配置右端

直線估計式

(239)

其中 為迴歸係數

前文已假設樣本的左右端點隸屬於 的隸屬度會盡量的接近 H所

以將這兩條直線函式來估計 之 H截集的左右邊界即

(240)

如此可推導出 的隸屬函數為

(241)

其中 且

(242)

意即

(243)

其中

為三角形底邊中點是

分布半徑如此便可得一組估

計的模糊迴歸模式

(244)

仍需注意的是當樣本為對稱型態時左右迴歸函數式其配適的結果式

相同的只有常數項不同當對稱情形發生時可以考慮利用各別對應相

之權重除以常數項的分布半徑做為個別對應項之分布半徑意即

分布半徑

除此之外Celmins及Diamond Celmins也分別提出最小平方法之模糊迴

23

歸模式以便求解資料間距離最小的模糊迴歸方程

模糊迴歸應用上比統計迴歸更具彈性統計迴歸通常需要大量資料以

支持其假設而模糊迴歸卻無此需求因此當資料量不足或隨機性難以驗

證時模糊迴歸是較強健的(Robust)同時當所蒐集之資料的不確定性乃

來自於人類之主觀判斷時模糊迴歸較具適用性

因此模糊迴歸模式逐漸受到重視在1990年代的研究包括Sakawa及

Yano針對投入變數與輸出變數皆為模糊資料的問題建構出一個多目標的模

糊迴歸模式此外Chang和Lee則認為模糊迴歸中心線的趨勢與模糊迴歸散

佈值的趨勢可以存在不一致性為了分析統計迴歸與模糊迴歸的差異Kim

Moskowitz 及Koksalan 利用模擬分析比較統計迴歸與模糊迴歸的結果認

為由機率論所得的統計迴歸模式在大樣本時其預測績效遠比可能性理論

(Possibility theory)推演而得的模糊迴歸模式為佳然而當資料量遞減或所構

建的模式適合性變差時(即變數間存在模糊關係)則模糊迴歸模式的預測績

效將優於統計迴歸模式由於模糊迴歸模式在解決資料量少及系統關係模

糊不清的問題上具有較佳之績效而存在其正面之價值當變數間存在模

糊關係時

從早期到目前已發展出多種模糊迴歸模式求解方式以下根據薛展青

(2004)所整理的模糊迴歸分析整裡敘述如下

1 區間迴歸法

區間迴歸法(interval regression)其模型架構主要是由Tanaka et al(1982)

所提出的模糊線性迴歸(fuzzy linear regression)模型Tanaka et al(1982)所發

表的論文中表示傳統的迴歸模型中造成實際值與估計值的誤差來源被

認為是由測量或觀察所造成的而此誤差項在模糊線性迴歸模型中是因

模糊系統中參數的模糊性所產生的即誤差是反應模糊線性函數的模糊現

象因此以模糊線性函數來表示迴歸方程式而迴歸參數則是以模糊集合

來表示

Tanaka et al(1982)在估計模糊迴歸參數時是利用線性規劃技巧

(linearprogramming method)來尋求一組能將實數值樣本或模糊數樣本全部

包含的區間最後求得一組對稱三角形模糊數之迴歸參數

自Tanaka等人(1982)的文章發表之後後續的學者大多以此為基礎陸

續題出各種相關的模式與求解方法如Peters (1994)將Tanaka的線性規劃法

24

求解推廣為模糊線性規劃法求解讓資料對模糊迴歸模式的適應性更加提

升YenGhoshray 與Roig (1999)提出由於非對稱迴歸係數導因於大多數的

資料為離群值使得對稱三角迴歸係數不再適用因此將Tanaka et al的模

式推廣為非對稱三角迴歸係數Moskowitz 與Kim (1993)探討不同水準值下

模糊迴歸模式的求解與模式配適程度Redden 與Woodall (1996)探討模糊

迴歸分析預測未來值的結果Sakawa 與Yano (1992)將Tanaka的方法擴展到

依變數及自變數皆是模糊集合的情況並將之稱為多目標線性迴歸法

(multiobjective linear regression model)Koumlrner 與Naumlther (1998)討論解釋變

數與反應變數兩者皆為模糊數值的情況Kacprzyk 與Fedrizzi (1992)則蒐集

了各種不同迴歸模式的求解方法Redden 與Woodall (1994)說明Tanaka後

續提出的求解模式當中所具備的性質以及與傳統迴歸方法的差異比較

但是在此模式下求解之迴歸係數本身亦為一對稱的三角模糊數值

而且求解結果很容易受到資料尺度(scale)的影響使得反應變數估計值之展

度會變得更為寬廣後來Tanaka (1987)根據1982年的文獻發展為更完整的

可能性線性系統使模糊迴歸的結構更趨適應性Tanaka 與Watada (1988)

闡明可能性線性模式的概念推演建構成可能性線性迴歸模式Tanaka et

al(1989)應用模糊資料於可能性迴歸系統中並建構最小化最大化及混合

式三種線性規劃模式又對先前所提出的模式加以修正但就如Redden 與

Woodall (1994)所指出Tanaka 類型的模式對於離群值(outlier)的反應非常

敏感甚至在觀察值的個數增加時求解結果可能會產生無限多解因

此在Tsaur 與Wang (1999)提出的文獻對於在模糊迴歸分析中的離群值進行

一系列探討

2 模糊最小平方法

模糊最小平方法(fuzzy least squares)乃擴展傳統之最小平方法的觀念

最早由Diamond (1988)所提出利用傳統最小平方法的觀念求出一個模糊

迴歸模式以估算(approximate)反應變數的觀察值並非如區間迴歸中的包含

觀察值在其模式中利用反應變數的觀察值與估計值的模糊數值之最小

值最可能值與最大值定義兩者之間的距離以衡量迴歸模式與模糊資

料之間的最佳配適度的情形在使得所有觀察值與估計值的模糊數值之間

的距離平方總和為最小時可以導出類似傳統迴歸分析中的正規方程式

(normal equation)以求解迴歸係數

25

其後Chang 與Lee (1996)則將Diamond (1988)的方法加以擴充將迴

歸係數的最可能值與展度分別估計該方法的特點在於可將極端值(outlier)

加以處理並降低其影響程度Ma等人(1997)則將此類方法發展於適合非

三角模糊數值的場合Diamond 與Koumlrner (1997)則在此類方法中定義一

個判定係數的計算方法以比較不同模式的適合性Wu與Tseng (2002)提出

改善模糊迴歸模式之最小平方法其模式主要觀念是利用最小平方法將所

有樣本的左端點及右端點各配置一條迴歸線然後在將其左右迴歸線統合

成一條迴歸線

而在Kim 與Bishu (1998)的研究中是利用各個具有三角模糊數值的反

應變數之最小值最可能值與最大值以最小平方法分別計算出模糊迴歸

係數所得到的係數不一定為對稱的三角模糊數在此種求解方式下雖

然可以得到比較小的估計誤差但其缺點是無法處理解釋變數為模糊數的

情形另外Kim 與Bishu(1998)還提出了評估模糊迴歸模式的準則利用觀

察值與估計值歸屬函數之間面積的差異做為迴歸模式的估計誤差但其評

估準則的問題是無法比較不同模式在觀察值與估計值歸屬函數之間不具有

交集時的誤差情況在此情況下求算估計誤差時無法準確評估其總誤差而

導致評估失真而其他學者如Yang與Ko (1997)Yang 與Lin (2002)等則

是提出以最小平方法為基礎的模糊聚類分析求解方式

3 模糊隨機變數估計法

為了建構一個同時具有隨機和模糊特性的系統Kwakernaak (1978)首

先提出模糊隨機變數(fuzzy random variables)的概念認為傳統的隨機變數

U Ωrarr R為實數可測函數而模糊隨機變數則將一般隨機變數的概念廣義

化模糊隨機變數可表示為X ΩrarrS設ω isinΩ而ω 所對應到的不再是實

數值U(ω)而是模糊集合X (ω)S 代表模糊集合且Kwakernaak (1978)擴

充原來Zadeh 提出模糊集合之架構認為有時供作參考的資訊不齊全在

對某些述句進行評斷時我們無法判斷其絕對為真或絕對為假此時我

們考慮將原有的二元邏輯思維方式推廣暫且不作肯定的判決而僅是表

達出對錯的程度換句話說真值可以是介於單位區間[01] 內的任何值

如此思維方式稱之為多值邏輯(multivalued value)並將模糊集合視為一組

述句(statement)的集合且每個述句均對應一真值程度以符合人類的思維與

想法Stein 與Talati (1981)利用模糊數值的隸屬函數提出模糊隨機變數

26

的期望值之計算方式Kruse 與Meyer (1987)藉助集合表徵的概念建立了

一套模糊隨機變數的定義而為了讓模糊隨機變數能實際應用並將討論

的範圍界定在一模糊集合族上Koumlrner (1997)及Naumlther (1997)利用該方法以

求算模糊隨機變數的期望值與變異數並應用於線性模糊迴歸模式的求解

等另外在曾能芳(民 91)的博士論文研究中指出在Tanaka et al (1982)

的模糊迴歸模式中並不具備誤差項因此模式無法呈現樣本與期望值之間

的關係而無法討論線性規劃估計程序所具備的統計性質所以在曾能芳

(民 91)提出的迴歸模式中採用模糊樣本是由依變數之模糊期望值加上測量

誤差所組成並提出測量誤差存在於中點的模糊迴歸模式以及測量誤差

同時存在於中點和半徑的模糊迴歸模式

4 兩階段求解方法

以兩階段方法(two stage method)求解模糊迴歸模式的想法是在於結合

最小平方法與區間迴歸的觀念試圖降低反應變數估計值的模糊度如Savic

與Pedrycz (1991)對模糊迴歸模式的求解分為兩個步驟進行第一步以

反應變數的模糊數值之最可能數值為基礎將模糊數值視為簡化的明確數

值以傳統最小平方法求解迴歸係數的中心值第二步利用區間迴歸的

方式在使得迴歸係數的模糊度為最小的情形下以決定迴歸係數的三角

模糊數值Kao 與Chyu (2002)提出另一種模糊迴歸模式的兩階段求解方

法在第一階段先利用解模糊(defuzzification)方法將模糊觀察值轉換成為一

組明確數值之後利用該組明確數值以傳統的最小平方法求解迴歸係

數第二階段則是以Kim 與Bishu 所提之評估準則為目標式決定一個誤

差項估計值的模糊數以使得在Kim 與Bishu (1998)評估準則下的總誤差量

為最小該方法的特別之處在於求解的迴歸係數為明確數值而誤差項估計

值為模糊數值雖然此種求解方式可以得到很小的估計誤差但因其所著

眼的仍是Kim 與Bishu 評估準則下的面積估計誤差使得當觀察值與估計

值歸屬函數之間不具有交集時所衡量出的估計誤差較真實誤差為小且其

求解方法比較適合於觀察值為三角或梯形的模糊數值欲應用於其他型式

的模糊數值求解上則較為困難而在邱清爐(民 91)的博士論文中則是將

其兩階段求解方法對各種不同的模糊迴歸模式進行建構與評估並將其求

解方法應用於工作滿意度實例

5 其他求解方法與相關研究

27

Tanaka 等人(1995)後來提出另外一種模糊迴歸模式的求解方法將傳

統的估計誤差當作是存在解釋變數與反應變數之間的關係之可能性

(possibility)故模糊觀察值的展度可以直接轉換成迴歸係數的指數可能性

分配(exponentialpossibility distribution)而可以使用與傳統迴歸非常類似的

方式加以求解Tanaka與 Lee (1999)再利用辨識方法(identification method)

求解迴歸模式在其研究中利用辨識方法以決定模糊線性系統(fuzzy linear

system)中迴歸係數的可能性分配並認為由此方法所求解的迴歸係數會

有比較小範圍的可能性分配近年來有愈來愈多的學者將模糊迴歸分析

應用於其他傳統的決策方法及不同領域上如 Dunyak 與 Wunsch(2000)使

用 α 截集的端點以類神經網路(neuralnetworks)進行模糊迴歸分析Lee

與 Chen(2001)則將模糊迴歸模式使用於人力預測的問題上Tseng 等人

(2001)將由模糊迴歸模式建立之 ARIMA 模式用以預測匯率Tseng 與

Tzeng(2002)則利用模糊迴歸模式的求解方法以建構具有季節變動的

ARIMA 模式Kim 與 Bishu(1996)應用於人力可靠度分析的操作反應時間

上Wu 與 Tseng(2002)將其模糊迴歸模式應用在景氣對策信號上的分析

王景男(民 89)將模糊迴歸分析應用於籃球比賽攻防技術策略上曹勝雄

曾國雄江勁毅(民 85)以國人赴港旅客需求之預測為例說明傳統迴歸

模糊迴歸類神經網路之差別張良斌陳育民(民 86)將模糊目標迴歸法

應用在垃圾衛生掩埋場沼氣回收設備的成本估算謝邦昌林燦隆呂理

添(民 85)將模糊迴歸運用在甘蔗產量的預測對於上列有關模糊迴歸分析

的研究中絕大部份的文章均侷限於線性模式的分析鮮有文章討論非線

性模糊迴歸模式的求解最近雖然有少數學者開始討論非線性模糊迴歸模

式的解法如 Xu(1997)Buckley 與 Feuring(2000)的研究等但使用的方

法所求解的迴歸係數仍然為模糊數值其造成反應變數估計值的展度會

隨著解釋變數之數值增加而擴大的問題仍無法避免

28

第三章 研究方法

本章介紹本文將運用於數值分析中的預測研究方法利用本章建構的

方法可清楚了解如何利用混沌理論基於相空間重構的方式及模糊迴歸方

法於預測中

31 混沌時間序列建立預測方法

時間序列的模型建構和預測是資料處理研究領域中的重要方向其中

預測方法主要有線性和非線性預測方法兩種預測就是對未來作出估計和

推斷而通常要對研究對象或資料進行假設這一過程稱為建模利用建

模的方式獲得資料的科學表示就稱為模型混沌時間序列雖然看似隨機

但它卻是由確定系統產生的因此我們可以對混沌時間序列作出短期預測

同時由於混沌對初始條件微小差異的高度敏感性我們無法對混沌時間序

列作出長期預測每一步預測帶來的微小偏差都會使得下一步預測的偏差

擴大最終導致預測序列與原始序列完全不同

311李亞普諾夫指數判定資料混沌特性

進行預測前需根據 212節中提及的李亞普諾夫指數來判定資料是否

具有混沌特性最大李亞普諾夫指數是判斷和描述非線性時間序列是否為

混沌系統的重要參數因此是一個重要的混沌不變數

混沌系統中的李雅普諾夫指數可用來判斷系統是收斂的還是混沌的當系

統的李雅普諾夫指數中至少有一個為正時系統是混沌的 當系統的李雅

普諾夫指數均為負數時系統是收斂的 對於系統是否存在動力學混沌可以直觀的判斷最大李亞普諾夫指數是否

大於零一個正的李亞普諾夫指數代表著在系統相空間中無論初始兩

條軌跡的間距多小兩條軌跡的差別都會隨著時間的演化而成指數率的增

加而導致無法預測這就是混沌現象

312重建相空間

傳統的建模和預測方法己廣泛地應用社會科學中但大部分都是基於

線性系統混沌時間序列並不適用於非線性的混沌時間序列於是在判斷

時間序列性質後若判定序列以隨機性為主應採用從 AR 或 ARIMA 等隨

機模型來預測如果判定以混沌為主則應採用非線性確定性的方法進行

29

預測非線性時間序列的預報是經過相空間重構後對相空間中的動力軌

跡進行預報由於混沌系統具有被稱為「蝴蝶效應」的初始值敏感性所

以混沌時間序列是不能長期預測的但對於短時間內混沌系統的軌道在

相空間中具有一定的規律它們的預測性是可獲得的並比一般的基於統

計方法的預測能力要來得好

時間序列資料是時間離散後的樣本值用 表示將它「嵌入」到

一個 m維(mgt0)的空間中進行相空間重構後得到嵌入向量

(31)

由嵌入向量 可擴張成一嵌入空間 E由 Taken嵌入定理可知存

在映射面 滿足

(32)

上式表是出在拓樸的意義中可完全預測吸引子的特徵所以上式也可

表示為

(33)

其中函數 為 的一個估計值由式 (33)可得之我們可用

來預測

313相空間維度相關維度

在實作的研究上有許多方法可以用來估計混沌吸引子的維度本研

究選用較為常見的相關維度方法相關維度需先計算相關和將相空間中

所有樣本點皆計算其各別半徑收斂後之趨近值相關方程式（Correlation

Function）定義如下

(34)

其中

當 rrarr0時

兩邊同取對數可得

(35)

定義相關維度為 與 之曲線斜率為

(36)

在實際應用中經常給定一組維度 值選取適當的 r繪出

30

曲線求曲線當中直線段的斜率 如果系統存在這樣一個 值達到此

值後相應的關聯維數不再隨 的增長而變化也就是趨於飽和這表明

該序列為混沌系統其吸引子是存在的此時 值即為重構相空間的最佳

嵌入維數否則則表明該序列為隨機系統不具有混沌性

314 時間遞移數

利用 2123節中介紹的概念及 2124 中介紹的自相關函數求解出時

間遞移數的結果自相關函數公式如下

1

1

1( )( )

1( )

n k

t t k

tk n

t

t

x x x xn k

r

x xn

(37)

n為原資料樣本數k為時間遞移後的樣本點

將自相關係數計算的結果與每一筆遲延時間距離數值繪製成圖表可

由圖表中可分析辨別時間序列數據的初步基本特徵圖表繪製的結果顯示

自相關係數跟隨遲延時間距離數值的增加而顯示收歛且具有震盪循環之跡

象則表示數據具有一種規則屬於一混沌時間序列

32 複線性迴歸

確立資料為混沌後運用自我相關係數計算出時間遞移數及相空間維

度後將加入複線性迴歸運算複線性迴歸中常用的預測方法分為兩種

1 全域法

全域法就是利用相空間軌跡中的全部向量點做為擬合對象找出其

規律由此進行短期預測也就是說利用收集的大量的歷史資料利用

複線性迴歸訓練出迴歸參數再將未放進訓練迴歸參數的資料使用訓練

出的迴歸參數計算出預測值的資料型態本文還將原本的歷史資料分析

出資料的季節性後先去除季節性的影響最後再加回季節性討論預測結

果

2 局域法

局域法的基本原理是僅利用有限個鄰近點的資訊而不是利用全部的

樣本點來擬合 局域法預測是把相空間軌跡中的最後一點作為待測點對

離待測點鄰近的若干個相空間點的關係作出擬合再對預測相空間點的未

來演化規律進行預測本文使用零階局域法零階局域法是直接將鄰近樣

31

本點應用於預測根據鄰近樣本點預測 的最簡單的方法就是尋找相

空間中距離 最近的點假設距離最近的點是 那麼它的下一個樣本

點為 即可做為 的預測值

因數值資料在每日重複發生變動所以本研究又加入計算季節性指數

對趨勢線做季節性調整也就是對時間序列做季節性調整

33 模糊迴歸分析

運用模糊的概念帶進迴歸模式中處理具模糊性的資料問題此稱為模

糊迴歸分析本文利用的模糊迴歸模式主要有兩個方向一個是Tanaka et al

(1982)提出的模糊線性迴歸另一個是由Chang 與Lee (1994)所提出修正型

迴歸模式Tanaka 起初所提出的線性規劃模型

0 1

[ ( )]p n

j ij

j i

Min C X

st 0 0

(1 ) (1 )p p

j ij j ij ii

j j

X H c X y H e

(38)

0 0

(1 ) (1 )p p

j ij j ij ii

j j

X H c X y H e

0jc j R 0 1iX 0 1H 123i n 012j p

Tanaka 所提出的模糊模型未考慮到散度為負值的條件所以模糊上下

界會不斷的擴張而越來越寬大由 Chang 與 Lee (1994)所提出修正型迴歸

模式即將模糊的散度可為負值使上下界的模糊區間為遞減的情形遞

減的情形由圖 31表示

圖 31 模糊區間隨自變數越大而越窄

0

2

4

6

8

10

上界 中心線 下界

32

假設圖表中計算出的模糊迴歸函數為 0 0 1 1 Y c c X 模糊上界為

0 0 1 1UY c c X 模糊下界為 0 0 1 1LY c c X

33

第四章 數值分析

本章資料來源1台灣區車輛工業同業公會

2台北市交通局

本章所使用的數據資料為台北市交通局提供的公開的車流量資料數

值分析所使用的方法已在第三章論述利用第三章的方法分析數值預測的

準確性並結合模糊迴歸常見的兩種方法幫助決定預測的可接受範圍本

章介紹本文所利用的數學模型及方法在複線性迴歸的模型中分成混沌全

域法去季節性後的混沌全域法以及混沌局域法預測出的結果加以討論預

測的準確性再將預測值去季節性觀察準確程度最後再帶入模糊迴歸

利用 05H 加以討論如何將模糊迴歸中的散度用以選擇預測值的範圍第

一節針對傳統複線性迴歸方法並結合全域法觀念訓練資料迴歸係數討

論預測結果第二節針對傳統複線性迴歸方法並結合局域法觀念訓練資

料迴歸係數討論預測結果第三節針對預測資料去除季節性後再利用

傳統複線性迴歸方法討論預測結果第四節針對模糊迴歸的兩種方法選

擇出預測的範圍

利用第三章論述的時間遞移及相關維度的做法將本文利用具混沌性

的資料加以分析將資料先利用 212 節中介紹的李雅普諾夫指數 判定是

否具混沌性具有混沌性的資料才能利用混沌理論重構相空間若李雅

普諾夫指數 介在 0跟 1之間則表示資料具有混沌性質本文資料利用程

式計算出李雅普諾夫指數 運用自我相關係數判斷出時間遞移

數 相關維度計算出維度 我相關係數判斷時間遞移數與相關維

度的圖形以及原始資料時間遞移後的資料圖如圖 41圖 42圖 43

34

圖 41相空間維度及 lnC與 ln r斜率關係圖

圖 42相空間維度及 lnC與 ln r斜率關係圖

0

1

2

3

4

5

6

7

0 5 10 15 20

相空間維度

斜

率

d

-02

0

02

04

06

08

1

12

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33

時間遞移數

自我相關函數

35

圖 43 原始資料時間序列圖

41 複線性迴歸混沌全域法

本文所使用的資料為 10日的車流量資料利用前 9日的資料訓練出迴

歸參數將迴歸參數代入複線性數學模型中計算出的迴歸方程式為

1 2 3 4

5 6 7 8 9

10 11 12 13 14

435363 00819 00338 01777 00070

01116 01999 00299 02716 00349

01399 00056 01113 00738 02038

y x x x x

x x x x x

x x x x x

(41)

解出迴歸參數計算出複線性迴歸方程式後再將最後一日 144筆的車

流資料代入方程式中計算出預測值利用複線性迴歸混沌域法預測出的結

果如圖 44

圖 44 複線性迴歸分析預測與原始資料比較圖-全域法

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

1 53

10

5

157

209

26

1 31

3

365

41

7

469

52

1 57

3

625

67

7

729

78

1 83

3

885

93

7

989

10

41

1093

11

45

1197

12

49

1301

13

53

1405

原始資料點

原始資料點

-50

0

50

100

150

200

1

7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

103

109

115

121

127

133

139

實際值

預測值

36

由圖表的狀況可觀察出運用複線性迴歸模型預測的結果不盡理想本

研究認為運用複線性迴歸預測的結果不佳的原因有二

1 利用全域法預測是將較大量的歷史資料加入考慮訓練出迴歸參數這

樣的結果造成削弱了原本的奇異點(相較於同時段資料差異性較大的點)

的影響力

2 嵌入維度 太高對於混沌時間序列隨著嵌入維度增高歷史

對未來的影響是呈指數衰減的所以全域法所利用的資訊歷史就越長

預測的精準度就會迅速下降因此本研究將加入局域法討論預測的準

確性

42 複線性迴歸混沌局域法

局域法的做法為尋找相空間重構後的點對待測點尋找鄰近的 k個相

空間點對離待測點鄰近的若 k個相空間點的關係作出擬合並分析出複

迴歸方程式的迴歸參數本文嘗試選取 k=50~250的結果以下只列舉 k=200

的圖解釋預測結果

圖 45 複線性迴歸分析預測與原始資料比較圖-局域法(k=200)

圖 44與圖 45比較後可看出區域法預測的準確性比全域法更好某

些預測出來的結果的點與原始資料的點差異性大有明顯的偏移本研究

認為利用局域法預測的結果不佳的原因如下由圖 45可看出預測結果與

原始資料間差異性較大的點位為數列的右側 而數列尾端的資料為凌晨或

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

1

7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

103

109

115

121

127

133

139

實際值

估計值

37

是深夜的車流量因每日凌晨或是深夜的車流量變化量較少(例如某日的凌

晨十二點十分可能為 0台車或是小於 10台車經過)所以資料的差異性

較大造成頭尾的資料預測上較為不準確

因為同時段的資料可能會影響資料預測出的結果所以我們下節就以

加入季節性的考慮來加以討論預測結果

43 複線性迴歸去除季節性後混沌全域法

本文使用的車流量資料為每日 24時換算成 1440分鐘每 10分鐘記

錄一點於是本研究依資料的記錄時間點來劃分季節性將季節分成 144

個季分別求出季節性指數求取季節性指數後將每個資料點先去除季

節性利用全域法訓練出去季節性後的迴歸係數再利用複線性求出預測

值最後將去除的季節指數乘回預測點結果如下

圖 46考慮季節性複線性迴歸分析預測與原始資料比較圖-全域法

此考慮季節性因子的複線性迴歸分析預測與原始資料的比較是用全

域法去訓練迴歸參數的而由圖 44我們可以得知一開始未考慮季節因

子使用全域法的複線性迴歸預測是不準確的本研究認為原本的歷史資

料隨著季節性因子的變化該系統原本呈現複雜的動態特性實際上由於

車流量的變動有許多外在因素的影響例如氣候假期hellip等影響會使

資料的變化過程發生不同程度的偏離而對於季節性事件來說其事件發

生的過程主要受季節性參數週期性變化的影響 因此影響因素的具體形

式可以近似地表示為單一函數本文考慮季節因素對車流量的影響意即

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

1

7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

10

3

10

9

11

5

12

1

12

7

13

3

13

9 實際值

預測值

38

經過季節性分析後的得到的預測分析結果很準確如圖 46所示此結果

表示季節性影響樣本資料的情形大也代表著在季節因素影響下系統中

事件的動態變化情況是隨著季節影響參數的變化而造成系統呈現各種

各樣複雜的動態特性如週期解混沌情形hellip等

44 模糊迴歸

441Tanaka模糊迴歸

μ及 H 值之選定原則為當不確定性愈大時其 μ及 H 值愈接近 0

反之當資料不確定性愈小時μ及 H 值取愈接近 1 之值Bardossy 等人

建議其值在 05~07間為適宜根據 Tanaka在 1982年所提到的方法我們

可以求得一模糊迴歸函數並可得知其中心線與其上界及下界假定在 H =

05的情況下利用 Tanaka模糊迴歸模式算出迴歸函數為

(42)

中心線與上下界的簡單迴歸方程式為

中心線 (43)

上界 (44)

下界 (45)

繪製出的圖形如圖 47所示

圖 47 Tanaka 模糊迴歸

0

50

100

150

200

250

300

1

7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

103

109

115

121

127

133

139

下界

中心線

上界

39

圖 48 Tanaka 模糊迴歸中心線與預測值之結合

從圖 48可看出預測值與模糊迴歸的中心線 有明顯的時間差異但由

圖可以觀察出模糊迴歸的中心線 的預測趨勢與實際值是相近的雖然利

用模糊迴歸預測的時間點比實際時間快但是相對來說也是可以用來預

測之後將發生的趨勢本研究認為若模糊迴歸可用於預測中則可用模糊

的散度 c當做預測行為中選取的可接受的變動範圍如圖 49最後將 Tanaka

模糊迴歸中心線上下界與實際值之結合如圖 410所示

圖 49 Tanaka 模糊迴歸中心線上下界與實際值之結合

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

1

8

15

22

29

36

43

50

57

64

71

78

85

92

99

106

113

120

127

134

141

實際值

中心線

0

50

100

150

200

250

300

1

7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

103

109

115

121

127

133

139

實際值

下界

上界

預測

值

預測值

40

圖 410 Tanaka 模糊迴歸中心線上下界與實際值之結合

442修正型 Tanaka模糊迴歸

因為我們要將模糊迴歸應用於預測中所以本研究將複線性迴歸的趨

勢線視為模糊迴歸的中心線再利用修正型 Tanaka模糊迴歸模式算出迴歸

函數為

(46)

中心線與上下界的簡單迴歸方程式為

中心線

上界

下界

繪製出圖形如圖 411

0

50

100

150

200

250

300

1 7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

103

109

115

121

127

133

139

實際值

預測值

下界

上界

41

圖 411 修正型模糊迴歸中心線上下界與實際值之結合

本研究使用的修正型模糊迴歸中心線與傳統的迴歸方程式相同所以

可用來處理或分析模糊資料與明確資料同時修正型模糊迴歸的上下界

與 Tanaka 模糊迴歸相較也變窄了此兩種現象就是修正型迴歸的特色因

為中心線與傳統的迴歸方程式也相同這種修正型迴歸散度可選擇為負值

的特色本研究認為可以應用在預測上因為上下界與中心線間的散度變

窄使得前文所敘述到的利用散度來選取預測範圍便可更為嚴格也可

使預測的結果更為可靠如圖 412所示

圖 412 Tanaka 上下界與修正型模糊迴歸上下界的寬度差別

0

50

100

150

200

250

1 7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

103

109

115

121

127

133

139

下界

中心線

上界

0

50

100

150

200

250

300

1 8 15

22

29

36

43

50

57

64

71

78

85

92

99

106

113

120

127

134

141

Tanaka下界

Tanaka上界

Tanaka修正型下界

Tanaka修正型上界

42

第五章 結論及未來研究方向

51 結論

根據前文的討論傳統迴歸和模糊迴歸建立在不同的理論基礎上傳

統迴歸是以機率為基礎而模糊迴歸則是以可能性為基礎傳統迴歸因變

數的估計值與觀測值之間的差異為因變數的隨機性而模糊迴歸因變數的

估計值則產生於觀測值之模糊度惟兩者最大不同處在於模糊迴歸式的

迴歸係數與預測值皆為模糊數（區間值）不同於傳統迴歸係數與預測值

均為明確的數值此外傳統迴歸侷限於對明確資料的分析可能性模糊

迴歸僅適用於分析具模糊性的資料而複合的模糊迴歸則可同時適用於分

析模糊與明確的資料此為此模式最大的特點

模糊迴歸應用於預測中大多的結果是不佳的但是我們透過結合混

沌與模糊迴歸的概念將混沌的預測單點概念拓展成一個可接受的預測

範圍

PT Chang 與ES Lee 使用修正型模糊迴歸重新定義散度做出新的

模糊上下界均為改善模糊迴歸模式Tanaka之研究本研究將模糊迴歸與

混沌理論之建立時間序列的預測情形加以結合討論發現模糊迴歸在預測

的行為中是可行的但可惜的是即使預測的趨勢相近但預測值出時間

的點卻有差別這樣的結果我們可以看出若能找到解決加強模糊與複線性

迴歸關係之間時間的關聯性就能利用模糊的不確定性來討論預測問題

52 未來之研究方向

本研究將模糊迴歸與混沌理論之建立時間序列的預測情形加以結合討

論發現模糊迴歸在預測的行為中是可行的但可惜的是即使預測的趨

勢相近但預測值出時間的點卻有差別這樣的結果我們可以看出若能找

到解決加強模糊與附線性迴歸關係之間時間的關聯性就能利用模糊的不

確定性來討論預測問題

為了符合現今社會多元的狀況模糊迴歸與傳統迴歸之觀念勢必加以

混合應用也為了解決此等問題混合式迴歸（Hybrid Regression）在近年

來被提起也因此參數的估計模糊迴歸與傳統迴歸的混合應用將成

為往後繼續研究探討之目標

建議未來可用模糊加權修正模糊迴歸使模糊迴歸在預測上更能直接

43

將對事物多個構面評估的意見與其影響事物狀況的重要程度作加權的運

算

44

參考文獻

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學研究所碩士論文台南市

[13] 陳鍾基(1979)迴歸分析入門台北市萬人出版社

[14] 陳靜怡(2004)以建構具有模糊資料下的整合性存貨模式之需求南台科技大學工

業管理研究所碩士論文台南市

[15] 張益欽(2006)模糊要素價格下要素配置問題之求解與其應用南台科技大學工業

管理研究所碩士論文台南市

[16] 蔡明君(2009)模糊環境下專案趕工問題之分析探討國立中正大學企業管理研究

所碩士論文嘉義市

[17] 劉錦輝(2002)結合模糊迴歸分析與品質機能展開於工程設計之最佳化朝陽科技

大學工業工程與管理所碩士論文台中市

[18] 薛展青(2004)求解模糊迴歸之參數估計成功大學工業與資訊管理學系碩士論文

台南市

[19] 闕頌廉(民 81)應用模糊數學台北市科技圖書股份有限公司

[20] 謝逸婷(2005)模糊排序法於資料包絡分析模式之應用南台科技大學工業管理研

9

2131 相空間局部近似法

Farmer and Sidorowich(1987)在其混沌預測方法之研究提出所謂的相

空間局部近似法(phase space local approximation method)對系統之演變行為

進行預測這種奠基於時間延遲法(time delay method)所構成之重建相空間

(reconstructed phase space)的預測方式能夠適應吸引子(attractor)的局部行

為經後續進一步研究發現其具有相當良好之預測能力因此採 Farmer and

Sidorowich(1987)之相空間局部近似法構建交通量預測模式期能增加預測

準確度

2132 時間序列與相空間重構

相空間的概念就是把運行方程式所獲得的數字或數據轉換成為圖形

並將系統中隨時間改變的重要的資訊(無論是機械或是流體)抽取出來把各

式各樣可能的狀況註明在圖上利用延遲時間的概念模擬出類似原始系統

之相空間當重建一個空間使得此空間可以具體的包含吸引子特徵則此

空間之維度我們稱為嵌入維度Takens等人(1981)提出嵌入定理對於無

限長無雜訊的 d維混沌吸引子的標量時間序列x(n)可以在拓撲不變的

意義上找到一個 m維的嵌入相空間只有維數 m gt2d+ 1才可保有原始吸

引子的特徵Takens 定理保證了我們可以從一維混沌時間序列中重構一個

與原動力系統在拓撲意義下等價的相空間混沌時間序列的判定分析與

預測是在這個重構的相空間中進行的因此相空間的重構是混沌時間序列

研究的關鍵將收集的一維歷史資料例如現有歷史資料為 9筆13579

10131115間遞移的結果為1711391351015在此我們將利用此

時間遞移建立的時間序列觀念x(t) x(t minusτ ) x(t minus 2τ )hellip來重建相空間

2133 延遲時間 τ的決定

時間延遲如果 τ太小則相空間向量 x(i) = x(t) x(t minusτ ) x(t minus 2τ )hellip

中的任意兩個分量 x(t)和 x(t minusτ )在數值上非常接近以至於無法相互區分

從而無法提供兩個獨立的座標分量但如果時間延遲 τ 太大的話則兩座

標在統計意義上又是完全獨立的混沌吸引子的軌跡在兩個方向上的投影

毫無相關性可言因此需要用一定的方法來確定一個合適的 τ 值本文確

定 τ的主要方法為相關維度法

2134 自相關函數

自相關係數是利用時間序列裡每一筆數據與其前的數據根據不同遲延

10

時間距離的數值進行相關係數計算而成如遲延時間距離為 1表示將每

一筆數據與緊接其前的一筆數據進行相關係數計算如遲延時間距離為 2

表示將每一筆數據與其前第二筆數據進行相關係數計算如遲延時間距離

為 3表示將每一筆數據與其前第三筆數據列進行相關係數計算如此類

推自相關係數 之計算公式如下

1

1

1( )( )

1( )

n k

t t k

tk n

t

t

x x x xn k

r

x xn

(25)

式中 n為資料數k為時間遞移後的點t為時間點

將自相關係數計算的結果與每一筆遲延時間距離數值繪製成圖表可

由圖表中可分析辨別時間序列數據的初步基本特徵如圖表繪製的結果顯

示自相關係數沒有跟隨遲延時間距離數值的增加而顯示收歛之跡象也就

是說繪製線不斷於 X軸零座標線做不規律的上下擺動表示數據為隨機時

間序列即每一數據都視為個別獨立的事件且與過去某一筆遲延時間距離

數值的事件無關係反之若圖表繪製的結果顯示自相關係數跟隨遲延時

間距離數值的增加而顯示收歛且具有震盪循環之跡象則表示數據具有一

種規則屬於一混沌時間序列

2135 季節趨勢

季節趨勢預測法是根據事物每年重覆出現的週期性季節變動指數預

測其季節性變動趨勢

季節指數的概念即是利用簡單平均法計算週期內各時期模型季節性影響的

相對數季節指數反映了該季與總平均值間的穩定關係若季節指數大於

1則表示該季的值常會高於平均值若季節指數小於 1則表示該季的值

常會低於平均值若序列的季節指數都近似於 1則表示該序列沒有明顯

的季節效應季節指數的計算方式如下

計算週期內各期平均數

k=12hellipm (26)

計算總平均

(27)

計算季節指數

11

k=12hellipm (28)

其中 n為期數m為季節數

22 複線性迴歸分析

迴歸分析的目的主要是建立變數之間的關係進而應用於預測分析中

內政部營建署(1997)就曾利用迴歸分析來探討反彈數及現場鑽心試體之間

的抗壓強度關係進而建構出一迴歸方程式做為混凝土試體的抗壓強度

預測而在土木工程領域中也已有許多學者利用迴歸分析來進行研究

例如潘南飛與黃冠智(2005)利用迴歸分析來預測橋面版劣化狀況且考慮

以交通量及降雨量作為迴歸模式中的自變數最後得一配適佳的迴歸式

凌偉峻(2006)利用複線性迴歸分析建立模式及混沌系統的相空間鄰近點相

似特性來建立車流量預測模式Cheung et al (2008)使用氣候值持續值

颱風強度Julian Date記日本地時間七級風暴風半徑及颱風中心速度共

7個預報參數進行多變量的複線性迴歸(multiple linear regression)分析並以

20個傳統雨量站進行測試各新增變量中以颱風強度七級風暴風半徑及

中心速度對預報之改善較顯著其受改善之時數及相關係數之增加幅度皆

較其它變量為多顯示颱風結構參數在颱風降雨預報中比簡單的季節性因

素或日夜對流差異來得重要

敘述自變數( 1 kx x x x 2 3 )依變數 y 和誤差項 i 之間關係的方程式

稱為複線性迴歸模式複迴歸其主要目的有二

1 可以降低隨機誤差此與迴歸之變異數分析有關增加解釋變數之個數

可以使迴歸分析可解釋變動的部分增加相對的誤差就會減少

2 可以避免反應變數中影響重大的解釋變數有所遺漏而無法具體描述實

際資料的狀況估計複迴歸方程式或估計多元迴歸方程式(Estimated

multiple regression equation)大部分情況下複迴歸模式中的迴歸參數

皆不知其實際數值僅可以利用樣本數值估算分別以樣

本統計值 作為迴歸參數 的點估計值本研究

利用全域法訓練迴歸參數 即是利用前九日的歷史資料

複線性迴訓練出迴歸係數預測出第十日的資料型態複迴歸分析是將

簡單迴歸分析其自變數由一個增加至數個研究一群自變數和一個反應

變數之間的關係複線性迴歸模式定義如下

12

(29)

其中 為常態 n 隨機變數期望值 E(ε)=0且彼此互相獨立若有 n

組樣本觀測值(ngtp)組我們就可將方程式寫成

(210)

其中 i=123hellipn

若將複線性迴歸寫成矩陣可得下式

(211)

也可將式(211)寫成矩陣形式

(212)

其中 為觀察值向量 為參數向量 為自變數矩陣 為獨立之常態

隨機變數向量且滿足 向量 Y的期望值表示如下

(213)

複線性迴歸之最小平方標準方程式矩陣表示為

(214)

其中

為最佳模式之參數矩陣因此可求得最小平方估計式矩陣

表示為

(215)

其中 為 之轉置矩陣 為 之反矩陣只要利用式(215)

即可獲得複線性迴歸方程式

23 模糊理論

模糊理論是由美國加州大學伯克利分校電氣工程系的L A Zadeh在

1965年首次提出Zadeh在1965年發表了一篇傳統科學皆以排除具模糊性的

研究為主而模糊理論則以包含模糊性的研究為主現今科學發達所要

探討的議題越來越多由於人類的知識與研究會因本身主觀的意識因應

不同的人事時地物而具模糊性使得無法清楚呈現研究的本質為何要

13

在日常生活中精確地描述一個現象必定忽略其中的些微變化然而此描

述又無法真實描述現實因此模糊理論(Fuzzy Theory)正好能被廣泛應用在

研究上

模糊概念是指這個概念的外延具有不確定性或者說它的外延是不清

清楚的是模糊的例如好的壞的好壞的概念我們非常清楚但是

它的外延也就是究竟事件發生的條件到底是要如何才會是好的跟壞的

每個人的回答都會是不同的這就是一個模糊的概念所以當我們在接

觸模糊時是允許主觀意識的因為每個人對模糊的概念不盡相同儘管

如此當我們利用模糊統計方法進行分析時對於好與壞之間的界限又有

一定的概念

其次模糊性與精確性是相對立的但卻不能將模糊性理解成較差的

結果因為實際上我們在處理客觀事物時經常藉助於模糊性例如

若我們要在路上找一位「年輕的漂亮女孩」「年輕」及「漂亮」都是模

糊的概念但對我們而言這在路上不難找到因為我們的大腦會分析什麼

是「年輕」及「漂亮」於是我們就可以判斷出我們要找的人然而若我

們要求必須用電腦查詢「年輕的漂亮女孩」我們就必須將「年輕」及「漂

亮」這兩個模糊的條件利用具體的數據輸入電腦分析才能找到符合我們

要求的人

最後人們對模糊性的認知常與隨機性混淆其實它們之間有著很大

的不同隨機性是本身具有明確意義只是因為發生的條件不充分使得

在條件與事件之間不能產生確定的因果關係所以事件的出現與否表現出

一種不確定性而事物的模糊性是指我們要處理的事物的概念本身就是模

糊的即一個對象難以確定是否符合這個概念也就是由於概念外延模糊

而帶來的不確定性

231模糊的發展

模糊理論是在美國加州大學伯克利分校電氣工程系的 LAzadeh 教授

於 1965年創立的模糊集合理論的數學基礎上發展起來的主要包括模糊集

合理論模糊邏輯模糊推理和模糊控制等方面的內容

早在 20世紀 20年代著名的哲學家和數學家 B Russell就寫出了有關

「模糊性」的論文他認為所有的自然語言均是模糊的比如「紅的」和

「老的」等概念沒有明確的內涵和外延因而是不明確的和模糊的可是

14

在特定的環境中人們用這些概念來描述某個具體對象時卻又能心領神會

很少引起誤解和歧義

美國加州大學的 L A Zadeh 教授在 1965 年發表了著名的論文文中

首次提出表達事物模糊性的重要概念隸屬函數從而突破了 19世紀末勒

內middot笛卡爾（Rene Descartes）的經典集合理論奠定模糊理論的基礎1966

年P N Marinos發表模糊邏輯的研究報告1974年L A Zadeh 發表模

糊推理的研究報告從此模糊理論成了一個熱門的課題1974 年英國

的 E H Mamdani 首次用模糊邏輯和模糊推理實現了世界上第一個實驗性

的蒸汽機控制並取得了比傳統的直接數字控制演算法更好的效果從而

宣告模糊控制的誕生1980年丹麥的 LPHolmblad 和 Ostergard 在水泥窯

爐採用模糊控制並取得了成功這是第一個商業化的有實際意義的模糊控

制器

事實上模糊理論應用最有效最廣泛的領域就是模糊控制模糊控

制在各種領域出人意料的解決了傳統控制理論無法解決的或難以解決的問

題並取得了一些令人信服的成效

模糊控制的基本思想把人類專家對特定的被控對象或過程的控制策略總

結成一系列以ldquoIF THENrdquo形式表示的控制規則通過模糊推理得到控製作用

集作用於被控對象或過程控製作用集為一組條件語句狀態語句和控

製作用均為一組被量化了的模糊語言集如「正大」「負大」「正小」

「負小」零等

模糊控制的幾個研究方向

1 模糊控制的穩定性研究

2 模糊模型及辯識

3 模糊最優控制

4 模糊自組織控制

5 模糊自適應控制

6 多模態模糊控制

模糊控制的主要缺陷

信息簡單的模糊處理將導致系統的控制精度降低和動態品質變差若

要提高精度則必然增加量化級數從而導致規則搜索範圍擴大降低決策

15

速度甚至不能實時控制模糊控制的設計尚缺乏系統性無法定義控制

目標控制規則的選擇論域的選擇模糊集的定義量化因數的選取多

採用試湊發這對複雜系統的控制是難以奏效的

232模糊至今應用的範圍

模糊理論發展至今已接近三十餘年應用的範圍非常廣泛從工程科

技到社會人文科學都可以發現模糊理論研究的蹤跡與成果我們分別由工

程科技與社會人文科學的角度瞭解模糊理論應用的範疇

1 工程科技方面

(1) 型樣識別文字識別指紋識別手寫字體辨識影像辨識語音

辨識

(2) 控制工程機器人控制汽車控制家電控制工業儀錶控制電

力控制

(3) 信號及資訊處理影像處理語音處理資料整理資料庫管理

(4) 人工智慧及專家系統故障診斷自然語言處理自動翻譯地震

預測工業設計

(5) 環保廢水處理凈水處理廠工程空氣污染檢驗空氣品質監控

(6) 其他建築結構分析化工製程控制

2 教育社會及人文科學方面

(1) 教育教學成果評量心理測驗性向測驗電腦輔助教學

(2) 心理學心理分析性向測驗

(3) 決策決定決策支援決策分析多目標評價綜合評價風險分

析

233模糊集合

過去傳統數學上集合的基本定義是以二值邏輯(Binary Logic)為基礎的

方式來描述事物為屬於或不屬於此集合也就是元素 x和集合 A的關係

只能是isinA或notinA明確的判斷對象為所屬集合也就是明確集合(Crisp Set)

如果要描述適當的模糊事物時須將所屬集合的概念模糊化使之無明確

判對象所屬的集合模糊集合是指在界限或邊界不分明且具有特定事物的

集合以建立隸屬函數(Membership Function)來表示模糊集合承認論域

(Universe of Discourse)上存在既非完全屬於集合A又非完全不屬於集合A

16

使傳統集合的絕對屬於的概念改變為相對屬於的概念以數學式表示論域

U 上的模糊集合 A可表示為元素 x與它的歸屬函數集合

(216)

其中 A為一模糊集合 為歸屬函數x稱作元素U為論域一

般情況下歸屬度會界定在 0跟 1之間

(1) =0表示元素 x不屬於

(2) =1表示元素 x完全屬於

(3) 趨近 0表示元素 x極不可能屬於

(4) 趨近 1表示元素 x極有可能屬於

這個表示式的完整解釋為當 x 在 U 的範圍內會對應到一個介於 0

到 1之間的數值 所有這種 x所成的集合就是一個模糊集合模糊集

合可表示為

1 當論域Ｕ為有限離散(discrete)集合的情形下模糊集合 可表示成

(217)

2 當論域Ｕ為實數論域所組成之在連續(continuous)集合的情形下模糊

集合 可表示成

isin (218)

其中 並非積分符號而是單純的連結符號

234 模糊數(Fuzzy Number)

1 模糊數(triangular fuzzy number)

假設 是模糊集合或模糊數(FN)在實線 2R 上則以三角形隸屬函數

(triangular membership function）表示為 1 2 3( )a a a 2 x R to A 則

1

1 2 1 1 2

3 3 2 2 3

3

0

( ) ( ) ( )

( ) ( )

0

x a

x a a a a x aA x

a x a a a x a

x a

(217)

17

1

其隸屬函數圖形如圖 21

圖 21 三角模糊數

2 梯形模糊數(trapezoidal fuzzy number)

梯形模糊數可表示為 如圖 22其隸屬度函數定義為

(218)

其隸屬度函數如圖 22

圖 22梯形模糊數

a b c d

1

18

在一信賴區間 α水準α 01 我們定義 A

( )A x A x (218)

三角形隸屬度函數以 α-cut表示為

( ) ( )

1 3 1 1 2 3 2 3[ ] [ ( ) ( )]A a a a a a a a a

(219)

( )

1a 與 ( )

3a 個別代表 A的下界及上界

根據模糊算術方法Zadehrsquos sup-min 方法表示如下

( )( ) sup min( ( ) ( ))x y z

A B z A x B y

(220)

其中 sup表任何模糊算式Mizumoto and Tanaka（1976）使用相同方

法在 α 截集模糊數和區間算術Chang（2003）和 Chang et al （2006）和

Chang and Hung（2006）整理使用 α 截集模糊算術方法的文獻α截集模

糊算術中模糊數基本運算公式（加法減法乘法除法）可以計算的

更快在每一個 α-level 區間中使用區間算術（Kaufmann and Gupta

1988）

1 模糊數加法

令A和 B分別為兩模糊數 A和 B在一信賴區間 α水準 ( ) ( )

1 2[ ]A a a

( ) ( )

1 2[ ]B b b αisin 01 forall A B sub 2R 表示如下

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 2 1 2 1 1 2 2[ ] [ ] [ ]A B a a b b a b a b

forallαisin 01 (221)

2 模糊數減法

在一信賴區間 α水準forall A B sub 2R αisin 01

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 2 1 2 1 2 2 1[ ] [ ] [ ]A B a a b b a b a b

(222)

3 模糊數乘法

在一信賴區間 α水準forall A B sub 2R αisin 01

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 2 1 2 1 1 1 2 2 1 2 2

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 1 1 2 2 1 2 2

[ ] [ ] [min(

max( )]

A B a a b b a b a b a b a b

a b a b a b a b

(223)

4 模糊數除法

在一信賴區間 α水準forall A B sub 2R αisin 01

19

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 1 1 2 2

1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 2 1 2 1 2 1 2

[ ] [ ] [min( )max( )]a a a a a a a a

A B a a b bb b b b b b b b

式中 ( )

1b ( )

2b gt0forallαisin[01] (224)

235模糊運算

根據 Zadeh（1965）的擴展原理（Extension Principle）可以廣義的使

用一般基準 T取代原來的最小值模糊數的數學運算表示如下

1 加法

( )( ) sup ( ( ) ( ))x y z

A B z T A x B y

(225)

2 減法

( )( ) sup ( ( ) ( ))x y z

A B z T A x B y

(226)

3 乘法

( )( ) sup ( ( ) ( ))x y z

A B z T A x B y

(227)

4 除法

( )( ) sup ( ( ) ( ))x y z

A B z T A x B y

(228)

24 模糊迴歸

在科學研究過程中許多研究者常使用迴歸來描述自變數 x和應變數 Y

之間的關係傳統的迴歸分析均假設觀察值由實際應變數影響加上隨機誤

差而產生也就是說應變數是一種帶有不確定性的隨機變數不過在很

多的實務應用上往往無法滿足這樣的假設例如有些應變數 Y 的觀察值

並不是以單一數值的型式存在而是帶有多重隸屬的特性這些觀察值雖

然帶有不確定性但這種不確定的特性是來自於模糊現象而非隨機現象

若由模糊觀點套用迴歸分析來處理模糊資料問題就稱為模糊迴歸分析

模糊迴歸分析最早是由 Tanaka et al (1980) 提出一般模糊迴歸能夠處理的

樣本型式有兩種一種是實數值樣本 其中 為實數向量 為觀測

到的實數值另一種是模糊數樣本( 其中 為觀測到的模糊數不論

是實數值樣本或是模糊數樣本想要估計模糊迴歸參數估計方法大都是

20

利用線性規劃的技巧來尋求一組能將實數值樣本 或模糊數樣本(

包含在內的區間再將三角形隸屬函數（triangular membership function）套

用

在此區間上如此便求得一組模糊迴歸估計式要得到正確的估計結

果最好是收集具有代表性的隸屬函數樣本所謂具有代表性的隸屬函數

樣本應該是以模糊數的形式存在所以本文就樣本模糊數 進行討論

線性模糊迴歸模式常表示成

0 1 1 2 2( ) i i i p piY x A A x A x A x (229)

其中 1 2 3(1 ) i i i i p ix x x x x 為自變數向量 ( )iY x 為模糊應變數

為模糊參數利用樣本模糊數 估計參數 時通

常假設 與 的隸屬函數為對稱三角型式 與 的隸屬函數表達如下

( ) max 1 0 i

i

Y

i

t yt t

r

(230)

其中 為三角隸屬函數的中點 為三角隸屬函數的分布半徑可令

( ) max 1 0 m

m

A

m

t ct t

s

(231)

其中 為三角形的中點 是三角形的分布半徑 與 間的關係

如圖 23所示

圖 23模糊數的中心值與散佈值

1

0

21

再令 則前述的模糊迴歸方程式可改寫成

0 1 1 2 20 1 2( ) i i ipi p pY x x xC S xC S C S C S (232)

因此模糊應變數 ( )iY x 的隸屬函數也屬於三角型式可表示成

( )

0

0

( ) max 1 0 Y xi

p

m m

m

p

m mi

m

t c x

t t

S x

(233)

其中 因此只要估計出三角形的中點 及半徑 便可得到

隸屬函數的估計值模糊迴歸分析是在要求每一個觀測值 隸屬於模糊

迴歸區間的隸屬程度至少 的情況之下尋求最小的模糊迴歸預測區間如

(234)式表示

forall ( 234)

在利用 對未知的模糊參數 進行估計前一般先定

義模糊樣本 和模糊應變數 的 h截集其定義如下

令 為一組模糊樣本 ( )iY x 為模糊應變數若 與

分

別為 及 的 h截集(h-cut)則

(235)

(236)

因具代表性的樣本 其 h 截集 應要盡量接近模糊應變數 的 h

截集 意即

其中容許

不完全落在 之

內的情形發生根據以上觀點王景南(2002)認為樣本的左端點

和右端點 隸屬於 的程度會有一定的水準於是設立此水準

為 H因此假設 隸屬於 的隸屬度會盡量的接近 H其間的關係

為

( 與

( (237)

所謂的盡量接近 H是可允許隸屬度大於 H或小於 H而不是均大於

22

H

根據以上的對樣本的解釋運用最小平方法以所有樣本的左端點

配置一迴歸直線稱之為左端直線估計式

(238)

其中 為迴歸係數再以所有右端點 配置右端

直線估計式

(239)

其中 為迴歸係數

前文已假設樣本的左右端點隸屬於 的隸屬度會盡量的接近 H所

以將這兩條直線函式來估計 之 H截集的左右邊界即

(240)

如此可推導出 的隸屬函數為

(241)

其中 且

(242)

意即

(243)

其中

為三角形底邊中點是

分布半徑如此便可得一組估

計的模糊迴歸模式

(244)

仍需注意的是當樣本為對稱型態時左右迴歸函數式其配適的結果式

相同的只有常數項不同當對稱情形發生時可以考慮利用各別對應相

之權重除以常數項的分布半徑做為個別對應項之分布半徑意即

分布半徑

除此之外Celmins及Diamond Celmins也分別提出最小平方法之模糊迴

23

歸模式以便求解資料間距離最小的模糊迴歸方程

模糊迴歸應用上比統計迴歸更具彈性統計迴歸通常需要大量資料以

支持其假設而模糊迴歸卻無此需求因此當資料量不足或隨機性難以驗

證時模糊迴歸是較強健的(Robust)同時當所蒐集之資料的不確定性乃

來自於人類之主觀判斷時模糊迴歸較具適用性

因此模糊迴歸模式逐漸受到重視在1990年代的研究包括Sakawa及

Yano針對投入變數與輸出變數皆為模糊資料的問題建構出一個多目標的模

糊迴歸模式此外Chang和Lee則認為模糊迴歸中心線的趨勢與模糊迴歸散

佈值的趨勢可以存在不一致性為了分析統計迴歸與模糊迴歸的差異Kim

Moskowitz 及Koksalan 利用模擬分析比較統計迴歸與模糊迴歸的結果認

為由機率論所得的統計迴歸模式在大樣本時其預測績效遠比可能性理論

(Possibility theory)推演而得的模糊迴歸模式為佳然而當資料量遞減或所構

建的模式適合性變差時(即變數間存在模糊關係)則模糊迴歸模式的預測績

效將優於統計迴歸模式由於模糊迴歸模式在解決資料量少及系統關係模

糊不清的問題上具有較佳之績效而存在其正面之價值當變數間存在模

糊關係時

從早期到目前已發展出多種模糊迴歸模式求解方式以下根據薛展青

(2004)所整理的模糊迴歸分析整裡敘述如下

1 區間迴歸法

區間迴歸法(interval regression)其模型架構主要是由Tanaka et al(1982)

所提出的模糊線性迴歸(fuzzy linear regression)模型Tanaka et al(1982)所發

表的論文中表示傳統的迴歸模型中造成實際值與估計值的誤差來源被

認為是由測量或觀察所造成的而此誤差項在模糊線性迴歸模型中是因

模糊系統中參數的模糊性所產生的即誤差是反應模糊線性函數的模糊現

象因此以模糊線性函數來表示迴歸方程式而迴歸參數則是以模糊集合

來表示

Tanaka et al(1982)在估計模糊迴歸參數時是利用線性規劃技巧

(linearprogramming method)來尋求一組能將實數值樣本或模糊數樣本全部

包含的區間最後求得一組對稱三角形模糊數之迴歸參數

自Tanaka等人(1982)的文章發表之後後續的學者大多以此為基礎陸

續題出各種相關的模式與求解方法如Peters (1994)將Tanaka的線性規劃法

24

求解推廣為模糊線性規劃法求解讓資料對模糊迴歸模式的適應性更加提

升YenGhoshray 與Roig (1999)提出由於非對稱迴歸係數導因於大多數的

資料為離群值使得對稱三角迴歸係數不再適用因此將Tanaka et al的模

式推廣為非對稱三角迴歸係數Moskowitz 與Kim (1993)探討不同水準值下

模糊迴歸模式的求解與模式配適程度Redden 與Woodall (1996)探討模糊

迴歸分析預測未來值的結果Sakawa 與Yano (1992)將Tanaka的方法擴展到

依變數及自變數皆是模糊集合的情況並將之稱為多目標線性迴歸法

(multiobjective linear regression model)Koumlrner 與Naumlther (1998)討論解釋變

數與反應變數兩者皆為模糊數值的情況Kacprzyk 與Fedrizzi (1992)則蒐集

了各種不同迴歸模式的求解方法Redden 與Woodall (1994)說明Tanaka後

續提出的求解模式當中所具備的性質以及與傳統迴歸方法的差異比較

但是在此模式下求解之迴歸係數本身亦為一對稱的三角模糊數值

而且求解結果很容易受到資料尺度(scale)的影響使得反應變數估計值之展

度會變得更為寬廣後來Tanaka (1987)根據1982年的文獻發展為更完整的

可能性線性系統使模糊迴歸的結構更趨適應性Tanaka 與Watada (1988)

闡明可能性線性模式的概念推演建構成可能性線性迴歸模式Tanaka et

al(1989)應用模糊資料於可能性迴歸系統中並建構最小化最大化及混合

式三種線性規劃模式又對先前所提出的模式加以修正但就如Redden 與

Woodall (1994)所指出Tanaka 類型的模式對於離群值(outlier)的反應非常

敏感甚至在觀察值的個數增加時求解結果可能會產生無限多解因

此在Tsaur 與Wang (1999)提出的文獻對於在模糊迴歸分析中的離群值進行

一系列探討

2 模糊最小平方法

模糊最小平方法(fuzzy least squares)乃擴展傳統之最小平方法的觀念

最早由Diamond (1988)所提出利用傳統最小平方法的觀念求出一個模糊

迴歸模式以估算(approximate)反應變數的觀察值並非如區間迴歸中的包含

觀察值在其模式中利用反應變數的觀察值與估計值的模糊數值之最小

值最可能值與最大值定義兩者之間的距離以衡量迴歸模式與模糊資

料之間的最佳配適度的情形在使得所有觀察值與估計值的模糊數值之間

的距離平方總和為最小時可以導出類似傳統迴歸分析中的正規方程式

(normal equation)以求解迴歸係數

25

其後Chang 與Lee (1996)則將Diamond (1988)的方法加以擴充將迴

歸係數的最可能值與展度分別估計該方法的特點在於可將極端值(outlier)

加以處理並降低其影響程度Ma等人(1997)則將此類方法發展於適合非

三角模糊數值的場合Diamond 與Koumlrner (1997)則在此類方法中定義一

個判定係數的計算方法以比較不同模式的適合性Wu與Tseng (2002)提出

改善模糊迴歸模式之最小平方法其模式主要觀念是利用最小平方法將所

有樣本的左端點及右端點各配置一條迴歸線然後在將其左右迴歸線統合

成一條迴歸線

而在Kim 與Bishu (1998)的研究中是利用各個具有三角模糊數值的反

應變數之最小值最可能值與最大值以最小平方法分別計算出模糊迴歸

係數所得到的係數不一定為對稱的三角模糊數在此種求解方式下雖

然可以得到比較小的估計誤差但其缺點是無法處理解釋變數為模糊數的

情形另外Kim 與Bishu(1998)還提出了評估模糊迴歸模式的準則利用觀

察值與估計值歸屬函數之間面積的差異做為迴歸模式的估計誤差但其評

估準則的問題是無法比較不同模式在觀察值與估計值歸屬函數之間不具有

交集時的誤差情況在此情況下求算估計誤差時無法準確評估其總誤差而

導致評估失真而其他學者如Yang與Ko (1997)Yang 與Lin (2002)等則

是提出以最小平方法為基礎的模糊聚類分析求解方式

3 模糊隨機變數估計法

為了建構一個同時具有隨機和模糊特性的系統Kwakernaak (1978)首

先提出模糊隨機變數(fuzzy random variables)的概念認為傳統的隨機變數

U Ωrarr R為實數可測函數而模糊隨機變數則將一般隨機變數的概念廣義

化模糊隨機變數可表示為X ΩrarrS設ω isinΩ而ω 所對應到的不再是實

數值U(ω)而是模糊集合X (ω)S 代表模糊集合且Kwakernaak (1978)擴

充原來Zadeh 提出模糊集合之架構認為有時供作參考的資訊不齊全在

對某些述句進行評斷時我們無法判斷其絕對為真或絕對為假此時我

們考慮將原有的二元邏輯思維方式推廣暫且不作肯定的判決而僅是表

達出對錯的程度換句話說真值可以是介於單位區間[01] 內的任何值

如此思維方式稱之為多值邏輯(multivalued value)並將模糊集合視為一組

述句(statement)的集合且每個述句均對應一真值程度以符合人類的思維與

想法Stein 與Talati (1981)利用模糊數值的隸屬函數提出模糊隨機變數

26

的期望值之計算方式Kruse 與Meyer (1987)藉助集合表徵的概念建立了

一套模糊隨機變數的定義而為了讓模糊隨機變數能實際應用並將討論

的範圍界定在一模糊集合族上Koumlrner (1997)及Naumlther (1997)利用該方法以

求算模糊隨機變數的期望值與變異數並應用於線性模糊迴歸模式的求解

等另外在曾能芳(民 91)的博士論文研究中指出在Tanaka et al (1982)

的模糊迴歸模式中並不具備誤差項因此模式無法呈現樣本與期望值之間

的關係而無法討論線性規劃估計程序所具備的統計性質所以在曾能芳

(民 91)提出的迴歸模式中採用模糊樣本是由依變數之模糊期望值加上測量

誤差所組成並提出測量誤差存在於中點的模糊迴歸模式以及測量誤差

同時存在於中點和半徑的模糊迴歸模式

4 兩階段求解方法

以兩階段方法(two stage method)求解模糊迴歸模式的想法是在於結合

最小平方法與區間迴歸的觀念試圖降低反應變數估計值的模糊度如Savic

與Pedrycz (1991)對模糊迴歸模式的求解分為兩個步驟進行第一步以

反應變數的模糊數值之最可能數值為基礎將模糊數值視為簡化的明確數

值以傳統最小平方法求解迴歸係數的中心值第二步利用區間迴歸的

方式在使得迴歸係數的模糊度為最小的情形下以決定迴歸係數的三角

模糊數值Kao 與Chyu (2002)提出另一種模糊迴歸模式的兩階段求解方

法在第一階段先利用解模糊(defuzzification)方法將模糊觀察值轉換成為一

組明確數值之後利用該組明確數值以傳統的最小平方法求解迴歸係

數第二階段則是以Kim 與Bishu 所提之評估準則為目標式決定一個誤

差項估計值的模糊數以使得在Kim 與Bishu (1998)評估準則下的總誤差量

為最小該方法的特別之處在於求解的迴歸係數為明確數值而誤差項估計

值為模糊數值雖然此種求解方式可以得到很小的估計誤差但因其所著

眼的仍是Kim 與Bishu 評估準則下的面積估計誤差使得當觀察值與估計

值歸屬函數之間不具有交集時所衡量出的估計誤差較真實誤差為小且其

求解方法比較適合於觀察值為三角或梯形的模糊數值欲應用於其他型式

的模糊數值求解上則較為困難而在邱清爐(民 91)的博士論文中則是將

其兩階段求解方法對各種不同的模糊迴歸模式進行建構與評估並將其求

解方法應用於工作滿意度實例

5 其他求解方法與相關研究

27

Tanaka 等人(1995)後來提出另外一種模糊迴歸模式的求解方法將傳

統的估計誤差當作是存在解釋變數與反應變數之間的關係之可能性

(possibility)故模糊觀察值的展度可以直接轉換成迴歸係數的指數可能性

分配(exponentialpossibility distribution)而可以使用與傳統迴歸非常類似的

方式加以求解Tanaka與 Lee (1999)再利用辨識方法(identification method)

求解迴歸模式在其研究中利用辨識方法以決定模糊線性系統(fuzzy linear

system)中迴歸係數的可能性分配並認為由此方法所求解的迴歸係數會

有比較小範圍的可能性分配近年來有愈來愈多的學者將模糊迴歸分析

應用於其他傳統的決策方法及不同領域上如 Dunyak 與 Wunsch(2000)使

用 α 截集的端點以類神經網路(neuralnetworks)進行模糊迴歸分析Lee

與 Chen(2001)則將模糊迴歸模式使用於人力預測的問題上Tseng 等人

(2001)將由模糊迴歸模式建立之 ARIMA 模式用以預測匯率Tseng 與

Tzeng(2002)則利用模糊迴歸模式的求解方法以建構具有季節變動的

ARIMA 模式Kim 與 Bishu(1996)應用於人力可靠度分析的操作反應時間

上Wu 與 Tseng(2002)將其模糊迴歸模式應用在景氣對策信號上的分析

王景男(民 89)將模糊迴歸分析應用於籃球比賽攻防技術策略上曹勝雄

曾國雄江勁毅(民 85)以國人赴港旅客需求之預測為例說明傳統迴歸

模糊迴歸類神經網路之差別張良斌陳育民(民 86)將模糊目標迴歸法

應用在垃圾衛生掩埋場沼氣回收設備的成本估算謝邦昌林燦隆呂理

添(民 85)將模糊迴歸運用在甘蔗產量的預測對於上列有關模糊迴歸分析

的研究中絕大部份的文章均侷限於線性模式的分析鮮有文章討論非線

性模糊迴歸模式的求解最近雖然有少數學者開始討論非線性模糊迴歸模

式的解法如 Xu(1997)Buckley 與 Feuring(2000)的研究等但使用的方

法所求解的迴歸係數仍然為模糊數值其造成反應變數估計值的展度會

隨著解釋變數之數值增加而擴大的問題仍無法避免

28

第三章 研究方法

本章介紹本文將運用於數值分析中的預測研究方法利用本章建構的

方法可清楚了解如何利用混沌理論基於相空間重構的方式及模糊迴歸方

法於預測中

31 混沌時間序列建立預測方法

時間序列的模型建構和預測是資料處理研究領域中的重要方向其中

預測方法主要有線性和非線性預測方法兩種預測就是對未來作出估計和

推斷而通常要對研究對象或資料進行假設這一過程稱為建模利用建

模的方式獲得資料的科學表示就稱為模型混沌時間序列雖然看似隨機

但它卻是由確定系統產生的因此我們可以對混沌時間序列作出短期預測

同時由於混沌對初始條件微小差異的高度敏感性我們無法對混沌時間序

列作出長期預測每一步預測帶來的微小偏差都會使得下一步預測的偏差

擴大最終導致預測序列與原始序列完全不同

311李亞普諾夫指數判定資料混沌特性

進行預測前需根據 212節中提及的李亞普諾夫指數來判定資料是否

具有混沌特性最大李亞普諾夫指數是判斷和描述非線性時間序列是否為

混沌系統的重要參數因此是一個重要的混沌不變數

混沌系統中的李雅普諾夫指數可用來判斷系統是收斂的還是混沌的當系

統的李雅普諾夫指數中至少有一個為正時系統是混沌的 當系統的李雅

普諾夫指數均為負數時系統是收斂的 對於系統是否存在動力學混沌可以直觀的判斷最大李亞普諾夫指數是否

大於零一個正的李亞普諾夫指數代表著在系統相空間中無論初始兩

條軌跡的間距多小兩條軌跡的差別都會隨著時間的演化而成指數率的增

加而導致無法預測這就是混沌現象

312重建相空間

傳統的建模和預測方法己廣泛地應用社會科學中但大部分都是基於

線性系統混沌時間序列並不適用於非線性的混沌時間序列於是在判斷

時間序列性質後若判定序列以隨機性為主應採用從 AR 或 ARIMA 等隨

機模型來預測如果判定以混沌為主則應採用非線性確定性的方法進行

29

預測非線性時間序列的預報是經過相空間重構後對相空間中的動力軌

跡進行預報由於混沌系統具有被稱為「蝴蝶效應」的初始值敏感性所

以混沌時間序列是不能長期預測的但對於短時間內混沌系統的軌道在

相空間中具有一定的規律它們的預測性是可獲得的並比一般的基於統

計方法的預測能力要來得好

時間序列資料是時間離散後的樣本值用 表示將它「嵌入」到

一個 m維(mgt0)的空間中進行相空間重構後得到嵌入向量

(31)

由嵌入向量 可擴張成一嵌入空間 E由 Taken嵌入定理可知存

在映射面 滿足

(32)

上式表是出在拓樸的意義中可完全預測吸引子的特徵所以上式也可

表示為

(33)

其中函數 為 的一個估計值由式 (33)可得之我們可用

來預測

313相空間維度相關維度

在實作的研究上有許多方法可以用來估計混沌吸引子的維度本研

究選用較為常見的相關維度方法相關維度需先計算相關和將相空間中

所有樣本點皆計算其各別半徑收斂後之趨近值相關方程式（Correlation

Function）定義如下

(34)

其中

當 rrarr0時

兩邊同取對數可得

(35)

定義相關維度為 與 之曲線斜率為

(36)

在實際應用中經常給定一組維度 值選取適當的 r繪出

30

曲線求曲線當中直線段的斜率 如果系統存在這樣一個 值達到此

值後相應的關聯維數不再隨 的增長而變化也就是趨於飽和這表明

該序列為混沌系統其吸引子是存在的此時 值即為重構相空間的最佳

嵌入維數否則則表明該序列為隨機系統不具有混沌性

314 時間遞移數

利用 2123節中介紹的概念及 2124 中介紹的自相關函數求解出時

間遞移數的結果自相關函數公式如下

1

1

1( )( )

1( )

n k

t t k

tk n

t

t

x x x xn k

r

x xn

(37)

n為原資料樣本數k為時間遞移後的樣本點

將自相關係數計算的結果與每一筆遲延時間距離數值繪製成圖表可

由圖表中可分析辨別時間序列數據的初步基本特徵圖表繪製的結果顯示

自相關係數跟隨遲延時間距離數值的增加而顯示收歛且具有震盪循環之跡

象則表示數據具有一種規則屬於一混沌時間序列

32 複線性迴歸

確立資料為混沌後運用自我相關係數計算出時間遞移數及相空間維

度後將加入複線性迴歸運算複線性迴歸中常用的預測方法分為兩種

1 全域法

全域法就是利用相空間軌跡中的全部向量點做為擬合對象找出其

規律由此進行短期預測也就是說利用收集的大量的歷史資料利用

複線性迴歸訓練出迴歸參數再將未放進訓練迴歸參數的資料使用訓練

出的迴歸參數計算出預測值的資料型態本文還將原本的歷史資料分析

出資料的季節性後先去除季節性的影響最後再加回季節性討論預測結

果

2 局域法

局域法的基本原理是僅利用有限個鄰近點的資訊而不是利用全部的

樣本點來擬合 局域法預測是把相空間軌跡中的最後一點作為待測點對

離待測點鄰近的若干個相空間點的關係作出擬合再對預測相空間點的未

來演化規律進行預測本文使用零階局域法零階局域法是直接將鄰近樣

31

本點應用於預測根據鄰近樣本點預測 的最簡單的方法就是尋找相

空間中距離 最近的點假設距離最近的點是 那麼它的下一個樣本

點為 即可做為 的預測值

因數值資料在每日重複發生變動所以本研究又加入計算季節性指數

對趨勢線做季節性調整也就是對時間序列做季節性調整

33 模糊迴歸分析

運用模糊的概念帶進迴歸模式中處理具模糊性的資料問題此稱為模

糊迴歸分析本文利用的模糊迴歸模式主要有兩個方向一個是Tanaka et al

(1982)提出的模糊線性迴歸另一個是由Chang 與Lee (1994)所提出修正型

迴歸模式Tanaka 起初所提出的線性規劃模型

0 1

[ ( )]p n

j ij

j i

Min C X

st 0 0

(1 ) (1 )p p

j ij j ij ii

j j

X H c X y H e

(38)

0 0

(1 ) (1 )p p

j ij j ij ii

j j

X H c X y H e

0jc j R 0 1iX 0 1H 123i n 012j p

Tanaka 所提出的模糊模型未考慮到散度為負值的條件所以模糊上下

界會不斷的擴張而越來越寬大由 Chang 與 Lee (1994)所提出修正型迴歸

模式即將模糊的散度可為負值使上下界的模糊區間為遞減的情形遞

減的情形由圖 31表示

圖 31 模糊區間隨自變數越大而越窄

0

2

4

6

8

10

上界 中心線 下界

32

假設圖表中計算出的模糊迴歸函數為 0 0 1 1 Y c c X 模糊上界為

0 0 1 1UY c c X 模糊下界為 0 0 1 1LY c c X

33

第四章 數值分析

本章資料來源1台灣區車輛工業同業公會

2台北市交通局

本章所使用的數據資料為台北市交通局提供的公開的車流量資料數

值分析所使用的方法已在第三章論述利用第三章的方法分析數值預測的

準確性並結合模糊迴歸常見的兩種方法幫助決定預測的可接受範圍本

章介紹本文所利用的數學模型及方法在複線性迴歸的模型中分成混沌全

域法去季節性後的混沌全域法以及混沌局域法預測出的結果加以討論預

測的準確性再將預測值去季節性觀察準確程度最後再帶入模糊迴歸

利用 05H 加以討論如何將模糊迴歸中的散度用以選擇預測值的範圍第

一節針對傳統複線性迴歸方法並結合全域法觀念訓練資料迴歸係數討

論預測結果第二節針對傳統複線性迴歸方法並結合局域法觀念訓練資

料迴歸係數討論預測結果第三節針對預測資料去除季節性後再利用

傳統複線性迴歸方法討論預測結果第四節針對模糊迴歸的兩種方法選

擇出預測的範圍

利用第三章論述的時間遞移及相關維度的做法將本文利用具混沌性

的資料加以分析將資料先利用 212 節中介紹的李雅普諾夫指數 判定是

否具混沌性具有混沌性的資料才能利用混沌理論重構相空間若李雅

普諾夫指數 介在 0跟 1之間則表示資料具有混沌性質本文資料利用程

式計算出李雅普諾夫指數 運用自我相關係數判斷出時間遞移

數 相關維度計算出維度 我相關係數判斷時間遞移數與相關維

度的圖形以及原始資料時間遞移後的資料圖如圖 41圖 42圖 43

34

圖 41相空間維度及 lnC與 ln r斜率關係圖

圖 42相空間維度及 lnC與 ln r斜率關係圖

0

1

2

3

4

5

6

7

0 5 10 15 20

相空間維度

斜

率

d

-02

0

02

04

06

08

1

12

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33

時間遞移數

自我相關函數

35

圖 43 原始資料時間序列圖

41 複線性迴歸混沌全域法

本文所使用的資料為 10日的車流量資料利用前 9日的資料訓練出迴

歸參數將迴歸參數代入複線性數學模型中計算出的迴歸方程式為

1 2 3 4

5 6 7 8 9

10 11 12 13 14

435363 00819 00338 01777 00070

01116 01999 00299 02716 00349

01399 00056 01113 00738 02038

y x x x x

x x x x x

x x x x x

(41)

解出迴歸參數計算出複線性迴歸方程式後再將最後一日 144筆的車

流資料代入方程式中計算出預測值利用複線性迴歸混沌域法預測出的結

果如圖 44

圖 44 複線性迴歸分析預測與原始資料比較圖-全域法

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

1 53

10

5

157

209

26

1 31

3

365

41

7

469

52

1 57

3

625

67

7

729

78

1 83

3

885

93

7

989

10

41

1093

11

45

1197

12

49

1301

13

53

1405

原始資料點

原始資料點

-50

0

50

100

150

200

1

7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

103

109

115

121

127

133

139

實際值

預測值

36

由圖表的狀況可觀察出運用複線性迴歸模型預測的結果不盡理想本

研究認為運用複線性迴歸預測的結果不佳的原因有二

1 利用全域法預測是將較大量的歷史資料加入考慮訓練出迴歸參數這

樣的結果造成削弱了原本的奇異點(相較於同時段資料差異性較大的點)

的影響力

2 嵌入維度 太高對於混沌時間序列隨著嵌入維度增高歷史

對未來的影響是呈指數衰減的所以全域法所利用的資訊歷史就越長

預測的精準度就會迅速下降因此本研究將加入局域法討論預測的準

確性

42 複線性迴歸混沌局域法

局域法的做法為尋找相空間重構後的點對待測點尋找鄰近的 k個相

空間點對離待測點鄰近的若 k個相空間點的關係作出擬合並分析出複

迴歸方程式的迴歸參數本文嘗試選取 k=50~250的結果以下只列舉 k=200

的圖解釋預測結果

圖 45 複線性迴歸分析預測與原始資料比較圖-局域法(k=200)

圖 44與圖 45比較後可看出區域法預測的準確性比全域法更好某

些預測出來的結果的點與原始資料的點差異性大有明顯的偏移本研究

認為利用局域法預測的結果不佳的原因如下由圖 45可看出預測結果與

原始資料間差異性較大的點位為數列的右側 而數列尾端的資料為凌晨或

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

1

7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

103

109

115

121

127

133

139

實際值

估計值

37

是深夜的車流量因每日凌晨或是深夜的車流量變化量較少(例如某日的凌

晨十二點十分可能為 0台車或是小於 10台車經過)所以資料的差異性

較大造成頭尾的資料預測上較為不準確

因為同時段的資料可能會影響資料預測出的結果所以我們下節就以

加入季節性的考慮來加以討論預測結果

43 複線性迴歸去除季節性後混沌全域法

本文使用的車流量資料為每日 24時換算成 1440分鐘每 10分鐘記

錄一點於是本研究依資料的記錄時間點來劃分季節性將季節分成 144

個季分別求出季節性指數求取季節性指數後將每個資料點先去除季

節性利用全域法訓練出去季節性後的迴歸係數再利用複線性求出預測

值最後將去除的季節指數乘回預測點結果如下

圖 46考慮季節性複線性迴歸分析預測與原始資料比較圖-全域法

此考慮季節性因子的複線性迴歸分析預測與原始資料的比較是用全

域法去訓練迴歸參數的而由圖 44我們可以得知一開始未考慮季節因

子使用全域法的複線性迴歸預測是不準確的本研究認為原本的歷史資

料隨著季節性因子的變化該系統原本呈現複雜的動態特性實際上由於

車流量的變動有許多外在因素的影響例如氣候假期hellip等影響會使

資料的變化過程發生不同程度的偏離而對於季節性事件來說其事件發

生的過程主要受季節性參數週期性變化的影響 因此影響因素的具體形

式可以近似地表示為單一函數本文考慮季節因素對車流量的影響意即

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

1

7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

10

3

10

9

11

5

12

1

12

7

13

3

13

9 實際值

預測值

38

經過季節性分析後的得到的預測分析結果很準確如圖 46所示此結果

表示季節性影響樣本資料的情形大也代表著在季節因素影響下系統中

事件的動態變化情況是隨著季節影響參數的變化而造成系統呈現各種

各樣複雜的動態特性如週期解混沌情形hellip等

44 模糊迴歸

441Tanaka模糊迴歸

μ及 H 值之選定原則為當不確定性愈大時其 μ及 H 值愈接近 0

反之當資料不確定性愈小時μ及 H 值取愈接近 1 之值Bardossy 等人

建議其值在 05~07間為適宜根據 Tanaka在 1982年所提到的方法我們

可以求得一模糊迴歸函數並可得知其中心線與其上界及下界假定在 H =

05的情況下利用 Tanaka模糊迴歸模式算出迴歸函數為

(42)

中心線與上下界的簡單迴歸方程式為

中心線 (43)

上界 (44)

下界 (45)

繪製出的圖形如圖 47所示

圖 47 Tanaka 模糊迴歸

0

50

100

150

200

250

300

1

7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

103

109

115

121

127

133

139

下界

中心線

上界

39

圖 48 Tanaka 模糊迴歸中心線與預測值之結合

從圖 48可看出預測值與模糊迴歸的中心線 有明顯的時間差異但由

圖可以觀察出模糊迴歸的中心線 的預測趨勢與實際值是相近的雖然利

用模糊迴歸預測的時間點比實際時間快但是相對來說也是可以用來預

測之後將發生的趨勢本研究認為若模糊迴歸可用於預測中則可用模糊

的散度 c當做預測行為中選取的可接受的變動範圍如圖 49最後將 Tanaka

模糊迴歸中心線上下界與實際值之結合如圖 410所示

圖 49 Tanaka 模糊迴歸中心線上下界與實際值之結合

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

1

8

15

22

29

36

43

50

57

64

71

78

85

92

99

106

113

120

127

134

141

實際值

中心線

0

50

100

150

200

250

300

1

7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

103

109

115

121

127

133

139

實際值

下界

上界

預測

值

預測值

40

圖 410 Tanaka 模糊迴歸中心線上下界與實際值之結合

442修正型 Tanaka模糊迴歸

因為我們要將模糊迴歸應用於預測中所以本研究將複線性迴歸的趨

勢線視為模糊迴歸的中心線再利用修正型 Tanaka模糊迴歸模式算出迴歸

函數為

(46)

中心線與上下界的簡單迴歸方程式為

中心線

上界

下界

繪製出圖形如圖 411

0

50

100

150

200

250

300

1 7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

103

109

115

121

127

133

139

實際值

預測值

下界

上界

41

圖 411 修正型模糊迴歸中心線上下界與實際值之結合

本研究使用的修正型模糊迴歸中心線與傳統的迴歸方程式相同所以

可用來處理或分析模糊資料與明確資料同時修正型模糊迴歸的上下界

與 Tanaka 模糊迴歸相較也變窄了此兩種現象就是修正型迴歸的特色因

為中心線與傳統的迴歸方程式也相同這種修正型迴歸散度可選擇為負值

的特色本研究認為可以應用在預測上因為上下界與中心線間的散度變

窄使得前文所敘述到的利用散度來選取預測範圍便可更為嚴格也可

使預測的結果更為可靠如圖 412所示

圖 412 Tanaka 上下界與修正型模糊迴歸上下界的寬度差別

0

50

100

150

200

250

1 7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

103

109

115

121

127

133

139

下界

中心線

上界

0

50

100

150

200

250

300

1 8 15

22

29

36

43

50

57

64

71

78

85

92

99

106

113

120

127

134

141

Tanaka下界

Tanaka上界

Tanaka修正型下界

Tanaka修正型上界

42

第五章 結論及未來研究方向

51 結論

根據前文的討論傳統迴歸和模糊迴歸建立在不同的理論基礎上傳

統迴歸是以機率為基礎而模糊迴歸則是以可能性為基礎傳統迴歸因變

數的估計值與觀測值之間的差異為因變數的隨機性而模糊迴歸因變數的

估計值則產生於觀測值之模糊度惟兩者最大不同處在於模糊迴歸式的

迴歸係數與預測值皆為模糊數（區間值）不同於傳統迴歸係數與預測值

均為明確的數值此外傳統迴歸侷限於對明確資料的分析可能性模糊

迴歸僅適用於分析具模糊性的資料而複合的模糊迴歸則可同時適用於分

析模糊與明確的資料此為此模式最大的特點

模糊迴歸應用於預測中大多的結果是不佳的但是我們透過結合混

沌與模糊迴歸的概念將混沌的預測單點概念拓展成一個可接受的預測

範圍

PT Chang 與ES Lee 使用修正型模糊迴歸重新定義散度做出新的

模糊上下界均為改善模糊迴歸模式Tanaka之研究本研究將模糊迴歸與

混沌理論之建立時間序列的預測情形加以結合討論發現模糊迴歸在預測

的行為中是可行的但可惜的是即使預測的趨勢相近但預測值出時間

的點卻有差別這樣的結果我們可以看出若能找到解決加強模糊與複線性

迴歸關係之間時間的關聯性就能利用模糊的不確定性來討論預測問題

52 未來之研究方向

本研究將模糊迴歸與混沌理論之建立時間序列的預測情形加以結合討

論發現模糊迴歸在預測的行為中是可行的但可惜的是即使預測的趨

勢相近但預測值出時間的點卻有差別這樣的結果我們可以看出若能找

到解決加強模糊與附線性迴歸關係之間時間的關聯性就能利用模糊的不

確定性來討論預測問題

為了符合現今社會多元的狀況模糊迴歸與傳統迴歸之觀念勢必加以

混合應用也為了解決此等問題混合式迴歸（Hybrid Regression）在近年

來被提起也因此參數的估計模糊迴歸與傳統迴歸的混合應用將成

為往後繼續研究探討之目標

建議未來可用模糊加權修正模糊迴歸使模糊迴歸在預測上更能直接

43

將對事物多個構面評估的意見與其影響事物狀況的重要程度作加權的運

算

44

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10

時間距離的數值進行相關係數計算而成如遲延時間距離為 1表示將每

一筆數據與緊接其前的一筆數據進行相關係數計算如遲延時間距離為 2

表示將每一筆數據與其前第二筆數據進行相關係數計算如遲延時間距離

為 3表示將每一筆數據與其前第三筆數據列進行相關係數計算如此類

推自相關係數 之計算公式如下

1

1

1( )( )

1( )

n k

t t k

tk n

t

t

x x x xn k

r

x xn

(25)

式中 n為資料數k為時間遞移後的點t為時間點

將自相關係數計算的結果與每一筆遲延時間距離數值繪製成圖表可

由圖表中可分析辨別時間序列數據的初步基本特徵如圖表繪製的結果顯

示自相關係數沒有跟隨遲延時間距離數值的增加而顯示收歛之跡象也就

是說繪製線不斷於 X軸零座標線做不規律的上下擺動表示數據為隨機時

間序列即每一數據都視為個別獨立的事件且與過去某一筆遲延時間距離

數值的事件無關係反之若圖表繪製的結果顯示自相關係數跟隨遲延時

間距離數值的增加而顯示收歛且具有震盪循環之跡象則表示數據具有一

種規則屬於一混沌時間序列

2135 季節趨勢

季節趨勢預測法是根據事物每年重覆出現的週期性季節變動指數預

測其季節性變動趨勢

季節指數的概念即是利用簡單平均法計算週期內各時期模型季節性影響的

相對數季節指數反映了該季與總平均值間的穩定關係若季節指數大於

1則表示該季的值常會高於平均值若季節指數小於 1則表示該季的值

常會低於平均值若序列的季節指數都近似於 1則表示該序列沒有明顯

的季節效應季節指數的計算方式如下

計算週期內各期平均數

k=12hellipm (26)

計算總平均

(27)

計算季節指數

11

k=12hellipm (28)

其中 n為期數m為季節數

22 複線性迴歸分析

迴歸分析的目的主要是建立變數之間的關係進而應用於預測分析中

內政部營建署(1997)就曾利用迴歸分析來探討反彈數及現場鑽心試體之間

的抗壓強度關係進而建構出一迴歸方程式做為混凝土試體的抗壓強度

預測而在土木工程領域中也已有許多學者利用迴歸分析來進行研究

例如潘南飛與黃冠智(2005)利用迴歸分析來預測橋面版劣化狀況且考慮

以交通量及降雨量作為迴歸模式中的自變數最後得一配適佳的迴歸式

凌偉峻(2006)利用複線性迴歸分析建立模式及混沌系統的相空間鄰近點相

似特性來建立車流量預測模式Cheung et al (2008)使用氣候值持續值

颱風強度Julian Date記日本地時間七級風暴風半徑及颱風中心速度共

7個預報參數進行多變量的複線性迴歸(multiple linear regression)分析並以

20個傳統雨量站進行測試各新增變量中以颱風強度七級風暴風半徑及

中心速度對預報之改善較顯著其受改善之時數及相關係數之增加幅度皆

較其它變量為多顯示颱風結構參數在颱風降雨預報中比簡單的季節性因

素或日夜對流差異來得重要

敘述自變數( 1 kx x x x 2 3 )依變數 y 和誤差項 i 之間關係的方程式

稱為複線性迴歸模式複迴歸其主要目的有二

1 可以降低隨機誤差此與迴歸之變異數分析有關增加解釋變數之個數

可以使迴歸分析可解釋變動的部分增加相對的誤差就會減少

2 可以避免反應變數中影響重大的解釋變數有所遺漏而無法具體描述實

際資料的狀況估計複迴歸方程式或估計多元迴歸方程式(Estimated

multiple regression equation)大部分情況下複迴歸模式中的迴歸參數

皆不知其實際數值僅可以利用樣本數值估算分別以樣

本統計值 作為迴歸參數 的點估計值本研究

利用全域法訓練迴歸參數 即是利用前九日的歷史資料

複線性迴訓練出迴歸係數預測出第十日的資料型態複迴歸分析是將

簡單迴歸分析其自變數由一個增加至數個研究一群自變數和一個反應

變數之間的關係複線性迴歸模式定義如下

12

(29)

其中 為常態 n 隨機變數期望值 E(ε)=0且彼此互相獨立若有 n

組樣本觀測值(ngtp)組我們就可將方程式寫成

(210)

其中 i=123hellipn

若將複線性迴歸寫成矩陣可得下式

(211)

也可將式(211)寫成矩陣形式

(212)

其中 為觀察值向量 為參數向量 為自變數矩陣 為獨立之常態

隨機變數向量且滿足 向量 Y的期望值表示如下

(213)

複線性迴歸之最小平方標準方程式矩陣表示為

(214)

其中

為最佳模式之參數矩陣因此可求得最小平方估計式矩陣

表示為

(215)

其中 為 之轉置矩陣 為 之反矩陣只要利用式(215)

即可獲得複線性迴歸方程式

23 模糊理論

模糊理論是由美國加州大學伯克利分校電氣工程系的L A Zadeh在

1965年首次提出Zadeh在1965年發表了一篇傳統科學皆以排除具模糊性的

研究為主而模糊理論則以包含模糊性的研究為主現今科學發達所要

探討的議題越來越多由於人類的知識與研究會因本身主觀的意識因應

不同的人事時地物而具模糊性使得無法清楚呈現研究的本質為何要

13

在日常生活中精確地描述一個現象必定忽略其中的些微變化然而此描

述又無法真實描述現實因此模糊理論(Fuzzy Theory)正好能被廣泛應用在

研究上

模糊概念是指這個概念的外延具有不確定性或者說它的外延是不清

清楚的是模糊的例如好的壞的好壞的概念我們非常清楚但是

它的外延也就是究竟事件發生的條件到底是要如何才會是好的跟壞的

每個人的回答都會是不同的這就是一個模糊的概念所以當我們在接

觸模糊時是允許主觀意識的因為每個人對模糊的概念不盡相同儘管

如此當我們利用模糊統計方法進行分析時對於好與壞之間的界限又有

一定的概念

其次模糊性與精確性是相對立的但卻不能將模糊性理解成較差的

結果因為實際上我們在處理客觀事物時經常藉助於模糊性例如

若我們要在路上找一位「年輕的漂亮女孩」「年輕」及「漂亮」都是模

糊的概念但對我們而言這在路上不難找到因為我們的大腦會分析什麼

是「年輕」及「漂亮」於是我們就可以判斷出我們要找的人然而若我

們要求必須用電腦查詢「年輕的漂亮女孩」我們就必須將「年輕」及「漂

亮」這兩個模糊的條件利用具體的數據輸入電腦分析才能找到符合我們

要求的人

最後人們對模糊性的認知常與隨機性混淆其實它們之間有著很大

的不同隨機性是本身具有明確意義只是因為發生的條件不充分使得

在條件與事件之間不能產生確定的因果關係所以事件的出現與否表現出

一種不確定性而事物的模糊性是指我們要處理的事物的概念本身就是模

糊的即一個對象難以確定是否符合這個概念也就是由於概念外延模糊

而帶來的不確定性

231模糊的發展

模糊理論是在美國加州大學伯克利分校電氣工程系的 LAzadeh 教授

於 1965年創立的模糊集合理論的數學基礎上發展起來的主要包括模糊集

合理論模糊邏輯模糊推理和模糊控制等方面的內容

早在 20世紀 20年代著名的哲學家和數學家 B Russell就寫出了有關

「模糊性」的論文他認為所有的自然語言均是模糊的比如「紅的」和

「老的」等概念沒有明確的內涵和外延因而是不明確的和模糊的可是

14

在特定的環境中人們用這些概念來描述某個具體對象時卻又能心領神會

很少引起誤解和歧義

美國加州大學的 L A Zadeh 教授在 1965 年發表了著名的論文文中

首次提出表達事物模糊性的重要概念隸屬函數從而突破了 19世紀末勒

內middot笛卡爾（Rene Descartes）的經典集合理論奠定模糊理論的基礎1966

年P N Marinos發表模糊邏輯的研究報告1974年L A Zadeh 發表模

糊推理的研究報告從此模糊理論成了一個熱門的課題1974 年英國

的 E H Mamdani 首次用模糊邏輯和模糊推理實現了世界上第一個實驗性

的蒸汽機控制並取得了比傳統的直接數字控制演算法更好的效果從而

宣告模糊控制的誕生1980年丹麥的 LPHolmblad 和 Ostergard 在水泥窯

爐採用模糊控制並取得了成功這是第一個商業化的有實際意義的模糊控

制器

事實上模糊理論應用最有效最廣泛的領域就是模糊控制模糊控

制在各種領域出人意料的解決了傳統控制理論無法解決的或難以解決的問

題並取得了一些令人信服的成效

模糊控制的基本思想把人類專家對特定的被控對象或過程的控制策略總

結成一系列以ldquoIF THENrdquo形式表示的控制規則通過模糊推理得到控製作用

集作用於被控對象或過程控製作用集為一組條件語句狀態語句和控

製作用均為一組被量化了的模糊語言集如「正大」「負大」「正小」

「負小」零等

模糊控制的幾個研究方向

1 模糊控制的穩定性研究

2 模糊模型及辯識

3 模糊最優控制

4 模糊自組織控制

5 模糊自適應控制

6 多模態模糊控制

模糊控制的主要缺陷

信息簡單的模糊處理將導致系統的控制精度降低和動態品質變差若

要提高精度則必然增加量化級數從而導致規則搜索範圍擴大降低決策

15

速度甚至不能實時控制模糊控制的設計尚缺乏系統性無法定義控制

目標控制規則的選擇論域的選擇模糊集的定義量化因數的選取多

採用試湊發這對複雜系統的控制是難以奏效的

232模糊至今應用的範圍

模糊理論發展至今已接近三十餘年應用的範圍非常廣泛從工程科

技到社會人文科學都可以發現模糊理論研究的蹤跡與成果我們分別由工

程科技與社會人文科學的角度瞭解模糊理論應用的範疇

1 工程科技方面

(1) 型樣識別文字識別指紋識別手寫字體辨識影像辨識語音

辨識

(2) 控制工程機器人控制汽車控制家電控制工業儀錶控制電

力控制

(3) 信號及資訊處理影像處理語音處理資料整理資料庫管理

(4) 人工智慧及專家系統故障診斷自然語言處理自動翻譯地震

預測工業設計

(5) 環保廢水處理凈水處理廠工程空氣污染檢驗空氣品質監控

(6) 其他建築結構分析化工製程控制

2 教育社會及人文科學方面

(1) 教育教學成果評量心理測驗性向測驗電腦輔助教學

(2) 心理學心理分析性向測驗

(3) 決策決定決策支援決策分析多目標評價綜合評價風險分

析

233模糊集合

過去傳統數學上集合的基本定義是以二值邏輯(Binary Logic)為基礎的

方式來描述事物為屬於或不屬於此集合也就是元素 x和集合 A的關係

只能是isinA或notinA明確的判斷對象為所屬集合也就是明確集合(Crisp Set)

如果要描述適當的模糊事物時須將所屬集合的概念模糊化使之無明確

判對象所屬的集合模糊集合是指在界限或邊界不分明且具有特定事物的

集合以建立隸屬函數(Membership Function)來表示模糊集合承認論域

(Universe of Discourse)上存在既非完全屬於集合A又非完全不屬於集合A

16

使傳統集合的絕對屬於的概念改變為相對屬於的概念以數學式表示論域

U 上的模糊集合 A可表示為元素 x與它的歸屬函數集合

(216)

其中 A為一模糊集合 為歸屬函數x稱作元素U為論域一

般情況下歸屬度會界定在 0跟 1之間

(1) =0表示元素 x不屬於

(2) =1表示元素 x完全屬於

(3) 趨近 0表示元素 x極不可能屬於

(4) 趨近 1表示元素 x極有可能屬於

這個表示式的完整解釋為當 x 在 U 的範圍內會對應到一個介於 0

到 1之間的數值 所有這種 x所成的集合就是一個模糊集合模糊集

合可表示為

1 當論域Ｕ為有限離散(discrete)集合的情形下模糊集合 可表示成

(217)

2 當論域Ｕ為實數論域所組成之在連續(continuous)集合的情形下模糊

集合 可表示成

isin (218)

其中 並非積分符號而是單純的連結符號

234 模糊數(Fuzzy Number)

1 模糊數(triangular fuzzy number)

假設 是模糊集合或模糊數(FN)在實線 2R 上則以三角形隸屬函數

(triangular membership function）表示為 1 2 3( )a a a 2 x R to A 則

1

1 2 1 1 2

3 3 2 2 3

3

0

( ) ( ) ( )

( ) ( )

0

x a

x a a a a x aA x

a x a a a x a

x a

(217)

17

1

其隸屬函數圖形如圖 21

圖 21 三角模糊數

2 梯形模糊數(trapezoidal fuzzy number)

梯形模糊數可表示為 如圖 22其隸屬度函數定義為

(218)

其隸屬度函數如圖 22

圖 22梯形模糊數

a b c d

1

18

在一信賴區間 α水準α 01 我們定義 A

( )A x A x (218)

三角形隸屬度函數以 α-cut表示為

( ) ( )

1 3 1 1 2 3 2 3[ ] [ ( ) ( )]A a a a a a a a a

(219)

( )

1a 與 ( )

3a 個別代表 A的下界及上界

根據模糊算術方法Zadehrsquos sup-min 方法表示如下

( )( ) sup min( ( ) ( ))x y z

A B z A x B y

(220)

其中 sup表任何模糊算式Mizumoto and Tanaka（1976）使用相同方

法在 α 截集模糊數和區間算術Chang（2003）和 Chang et al （2006）和

Chang and Hung（2006）整理使用 α 截集模糊算術方法的文獻α截集模

糊算術中模糊數基本運算公式（加法減法乘法除法）可以計算的

更快在每一個 α-level 區間中使用區間算術（Kaufmann and Gupta

1988）

1 模糊數加法

令A和 B分別為兩模糊數 A和 B在一信賴區間 α水準 ( ) ( )

1 2[ ]A a a

( ) ( )

1 2[ ]B b b αisin 01 forall A B sub 2R 表示如下

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 2 1 2 1 1 2 2[ ] [ ] [ ]A B a a b b a b a b

forallαisin 01 (221)

2 模糊數減法

在一信賴區間 α水準forall A B sub 2R αisin 01

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 2 1 2 1 2 2 1[ ] [ ] [ ]A B a a b b a b a b

(222)

3 模糊數乘法

在一信賴區間 α水準forall A B sub 2R αisin 01

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 2 1 2 1 1 1 2 2 1 2 2

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 1 1 2 2 1 2 2

[ ] [ ] [min(

max( )]

A B a a b b a b a b a b a b

a b a b a b a b

(223)

4 模糊數除法

在一信賴區間 α水準forall A B sub 2R αisin 01

19

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 1 1 2 2

1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 2 1 2 1 2 1 2

[ ] [ ] [min( )max( )]a a a a a a a a

A B a a b bb b b b b b b b

式中 ( )

1b ( )

2b gt0forallαisin[01] (224)

235模糊運算

根據 Zadeh（1965）的擴展原理（Extension Principle）可以廣義的使

用一般基準 T取代原來的最小值模糊數的數學運算表示如下

1 加法

( )( ) sup ( ( ) ( ))x y z

A B z T A x B y

(225)

2 減法

( )( ) sup ( ( ) ( ))x y z

A B z T A x B y

(226)

3 乘法

( )( ) sup ( ( ) ( ))x y z

A B z T A x B y

(227)

4 除法

( )( ) sup ( ( ) ( ))x y z

A B z T A x B y

(228)

24 模糊迴歸

在科學研究過程中許多研究者常使用迴歸來描述自變數 x和應變數 Y

之間的關係傳統的迴歸分析均假設觀察值由實際應變數影響加上隨機誤

差而產生也就是說應變數是一種帶有不確定性的隨機變數不過在很

多的實務應用上往往無法滿足這樣的假設例如有些應變數 Y 的觀察值

並不是以單一數值的型式存在而是帶有多重隸屬的特性這些觀察值雖

然帶有不確定性但這種不確定的特性是來自於模糊現象而非隨機現象

若由模糊觀點套用迴歸分析來處理模糊資料問題就稱為模糊迴歸分析

模糊迴歸分析最早是由 Tanaka et al (1980) 提出一般模糊迴歸能夠處理的

樣本型式有兩種一種是實數值樣本 其中 為實數向量 為觀測

到的實數值另一種是模糊數樣本( 其中 為觀測到的模糊數不論

是實數值樣本或是模糊數樣本想要估計模糊迴歸參數估計方法大都是

20

利用線性規劃的技巧來尋求一組能將實數值樣本 或模糊數樣本(

包含在內的區間再將三角形隸屬函數（triangular membership function）套

用

在此區間上如此便求得一組模糊迴歸估計式要得到正確的估計結

果最好是收集具有代表性的隸屬函數樣本所謂具有代表性的隸屬函數

樣本應該是以模糊數的形式存在所以本文就樣本模糊數 進行討論

線性模糊迴歸模式常表示成

0 1 1 2 2( ) i i i p piY x A A x A x A x (229)

其中 1 2 3(1 ) i i i i p ix x x x x 為自變數向量 ( )iY x 為模糊應變數

為模糊參數利用樣本模糊數 估計參數 時通

常假設 與 的隸屬函數為對稱三角型式 與 的隸屬函數表達如下

( ) max 1 0 i

i

Y

i

t yt t

r

(230)

其中 為三角隸屬函數的中點 為三角隸屬函數的分布半徑可令

( ) max 1 0 m

m

A

m

t ct t

s

(231)

其中 為三角形的中點 是三角形的分布半徑 與 間的關係

如圖 23所示

圖 23模糊數的中心值與散佈值

1

0

21

再令 則前述的模糊迴歸方程式可改寫成

0 1 1 2 20 1 2( ) i i ipi p pY x x xC S xC S C S C S (232)

因此模糊應變數 ( )iY x 的隸屬函數也屬於三角型式可表示成

( )

0

0

( ) max 1 0 Y xi

p

m m

m

p

m mi

m

t c x

t t

S x

(233)

其中 因此只要估計出三角形的中點 及半徑 便可得到

隸屬函數的估計值模糊迴歸分析是在要求每一個觀測值 隸屬於模糊

迴歸區間的隸屬程度至少 的情況之下尋求最小的模糊迴歸預測區間如

(234)式表示

forall ( 234)

在利用 對未知的模糊參數 進行估計前一般先定

義模糊樣本 和模糊應變數 的 h截集其定義如下

令 為一組模糊樣本 ( )iY x 為模糊應變數若 與

分

別為 及 的 h截集(h-cut)則

(235)

(236)

因具代表性的樣本 其 h 截集 應要盡量接近模糊應變數 的 h

截集 意即

其中容許

不完全落在 之

內的情形發生根據以上觀點王景南(2002)認為樣本的左端點

和右端點 隸屬於 的程度會有一定的水準於是設立此水準

為 H因此假設 隸屬於 的隸屬度會盡量的接近 H其間的關係

為

( 與

( (237)

所謂的盡量接近 H是可允許隸屬度大於 H或小於 H而不是均大於

22

H

根據以上的對樣本的解釋運用最小平方法以所有樣本的左端點

配置一迴歸直線稱之為左端直線估計式

(238)

其中 為迴歸係數再以所有右端點 配置右端

直線估計式

(239)

其中 為迴歸係數

前文已假設樣本的左右端點隸屬於 的隸屬度會盡量的接近 H所

以將這兩條直線函式來估計 之 H截集的左右邊界即

(240)

如此可推導出 的隸屬函數為

(241)

其中 且

(242)

意即

(243)

其中

為三角形底邊中點是

分布半徑如此便可得一組估

計的模糊迴歸模式

(244)

仍需注意的是當樣本為對稱型態時左右迴歸函數式其配適的結果式

相同的只有常數項不同當對稱情形發生時可以考慮利用各別對應相

之權重除以常數項的分布半徑做為個別對應項之分布半徑意即

分布半徑

除此之外Celmins及Diamond Celmins也分別提出最小平方法之模糊迴

23

歸模式以便求解資料間距離最小的模糊迴歸方程

模糊迴歸應用上比統計迴歸更具彈性統計迴歸通常需要大量資料以

支持其假設而模糊迴歸卻無此需求因此當資料量不足或隨機性難以驗

證時模糊迴歸是較強健的(Robust)同時當所蒐集之資料的不確定性乃

來自於人類之主觀判斷時模糊迴歸較具適用性

因此模糊迴歸模式逐漸受到重視在1990年代的研究包括Sakawa及

Yano針對投入變數與輸出變數皆為模糊資料的問題建構出一個多目標的模

糊迴歸模式此外Chang和Lee則認為模糊迴歸中心線的趨勢與模糊迴歸散

佈值的趨勢可以存在不一致性為了分析統計迴歸與模糊迴歸的差異Kim

Moskowitz 及Koksalan 利用模擬分析比較統計迴歸與模糊迴歸的結果認

為由機率論所得的統計迴歸模式在大樣本時其預測績效遠比可能性理論

(Possibility theory)推演而得的模糊迴歸模式為佳然而當資料量遞減或所構

建的模式適合性變差時(即變數間存在模糊關係)則模糊迴歸模式的預測績

效將優於統計迴歸模式由於模糊迴歸模式在解決資料量少及系統關係模

糊不清的問題上具有較佳之績效而存在其正面之價值當變數間存在模

糊關係時

從早期到目前已發展出多種模糊迴歸模式求解方式以下根據薛展青

(2004)所整理的模糊迴歸分析整裡敘述如下

1 區間迴歸法

區間迴歸法(interval regression)其模型架構主要是由Tanaka et al(1982)

所提出的模糊線性迴歸(fuzzy linear regression)模型Tanaka et al(1982)所發

表的論文中表示傳統的迴歸模型中造成實際值與估計值的誤差來源被

認為是由測量或觀察所造成的而此誤差項在模糊線性迴歸模型中是因

模糊系統中參數的模糊性所產生的即誤差是反應模糊線性函數的模糊現

象因此以模糊線性函數來表示迴歸方程式而迴歸參數則是以模糊集合

來表示

Tanaka et al(1982)在估計模糊迴歸參數時是利用線性規劃技巧

(linearprogramming method)來尋求一組能將實數值樣本或模糊數樣本全部

包含的區間最後求得一組對稱三角形模糊數之迴歸參數

自Tanaka等人(1982)的文章發表之後後續的學者大多以此為基礎陸

續題出各種相關的模式與求解方法如Peters (1994)將Tanaka的線性規劃法

24

求解推廣為模糊線性規劃法求解讓資料對模糊迴歸模式的適應性更加提

升YenGhoshray 與Roig (1999)提出由於非對稱迴歸係數導因於大多數的

資料為離群值使得對稱三角迴歸係數不再適用因此將Tanaka et al的模

式推廣為非對稱三角迴歸係數Moskowitz 與Kim (1993)探討不同水準值下

模糊迴歸模式的求解與模式配適程度Redden 與Woodall (1996)探討模糊

迴歸分析預測未來值的結果Sakawa 與Yano (1992)將Tanaka的方法擴展到

依變數及自變數皆是模糊集合的情況並將之稱為多目標線性迴歸法

(multiobjective linear regression model)Koumlrner 與Naumlther (1998)討論解釋變

數與反應變數兩者皆為模糊數值的情況Kacprzyk 與Fedrizzi (1992)則蒐集

了各種不同迴歸模式的求解方法Redden 與Woodall (1994)說明Tanaka後

續提出的求解模式當中所具備的性質以及與傳統迴歸方法的差異比較

但是在此模式下求解之迴歸係數本身亦為一對稱的三角模糊數值

而且求解結果很容易受到資料尺度(scale)的影響使得反應變數估計值之展

度會變得更為寬廣後來Tanaka (1987)根據1982年的文獻發展為更完整的

可能性線性系統使模糊迴歸的結構更趨適應性Tanaka 與Watada (1988)

闡明可能性線性模式的概念推演建構成可能性線性迴歸模式Tanaka et

al(1989)應用模糊資料於可能性迴歸系統中並建構最小化最大化及混合

式三種線性規劃模式又對先前所提出的模式加以修正但就如Redden 與

Woodall (1994)所指出Tanaka 類型的模式對於離群值(outlier)的反應非常

敏感甚至在觀察值的個數增加時求解結果可能會產生無限多解因

此在Tsaur 與Wang (1999)提出的文獻對於在模糊迴歸分析中的離群值進行

一系列探討

2 模糊最小平方法

模糊最小平方法(fuzzy least squares)乃擴展傳統之最小平方法的觀念

最早由Diamond (1988)所提出利用傳統最小平方法的觀念求出一個模糊

迴歸模式以估算(approximate)反應變數的觀察值並非如區間迴歸中的包含

觀察值在其模式中利用反應變數的觀察值與估計值的模糊數值之最小

值最可能值與最大值定義兩者之間的距離以衡量迴歸模式與模糊資

料之間的最佳配適度的情形在使得所有觀察值與估計值的模糊數值之間

的距離平方總和為最小時可以導出類似傳統迴歸分析中的正規方程式

(normal equation)以求解迴歸係數

25

其後Chang 與Lee (1996)則將Diamond (1988)的方法加以擴充將迴

歸係數的最可能值與展度分別估計該方法的特點在於可將極端值(outlier)

加以處理並降低其影響程度Ma等人(1997)則將此類方法發展於適合非

三角模糊數值的場合Diamond 與Koumlrner (1997)則在此類方法中定義一

個判定係數的計算方法以比較不同模式的適合性Wu與Tseng (2002)提出

改善模糊迴歸模式之最小平方法其模式主要觀念是利用最小平方法將所

有樣本的左端點及右端點各配置一條迴歸線然後在將其左右迴歸線統合

成一條迴歸線

而在Kim 與Bishu (1998)的研究中是利用各個具有三角模糊數值的反

應變數之最小值最可能值與最大值以最小平方法分別計算出模糊迴歸

係數所得到的係數不一定為對稱的三角模糊數在此種求解方式下雖

然可以得到比較小的估計誤差但其缺點是無法處理解釋變數為模糊數的

情形另外Kim 與Bishu(1998)還提出了評估模糊迴歸模式的準則利用觀

察值與估計值歸屬函數之間面積的差異做為迴歸模式的估計誤差但其評

估準則的問題是無法比較不同模式在觀察值與估計值歸屬函數之間不具有

交集時的誤差情況在此情況下求算估計誤差時無法準確評估其總誤差而

導致評估失真而其他學者如Yang與Ko (1997)Yang 與Lin (2002)等則

是提出以最小平方法為基礎的模糊聚類分析求解方式

3 模糊隨機變數估計法

為了建構一個同時具有隨機和模糊特性的系統Kwakernaak (1978)首

先提出模糊隨機變數(fuzzy random variables)的概念認為傳統的隨機變數

U Ωrarr R為實數可測函數而模糊隨機變數則將一般隨機變數的概念廣義

化模糊隨機變數可表示為X ΩrarrS設ω isinΩ而ω 所對應到的不再是實

數值U(ω)而是模糊集合X (ω)S 代表模糊集合且Kwakernaak (1978)擴

充原來Zadeh 提出模糊集合之架構認為有時供作參考的資訊不齊全在

對某些述句進行評斷時我們無法判斷其絕對為真或絕對為假此時我

們考慮將原有的二元邏輯思維方式推廣暫且不作肯定的判決而僅是表

達出對錯的程度換句話說真值可以是介於單位區間[01] 內的任何值

如此思維方式稱之為多值邏輯(multivalued value)並將模糊集合視為一組

述句(statement)的集合且每個述句均對應一真值程度以符合人類的思維與

想法Stein 與Talati (1981)利用模糊數值的隸屬函數提出模糊隨機變數

26

的期望值之計算方式Kruse 與Meyer (1987)藉助集合表徵的概念建立了

一套模糊隨機變數的定義而為了讓模糊隨機變數能實際應用並將討論

的範圍界定在一模糊集合族上Koumlrner (1997)及Naumlther (1997)利用該方法以

求算模糊隨機變數的期望值與變異數並應用於線性模糊迴歸模式的求解

等另外在曾能芳(民 91)的博士論文研究中指出在Tanaka et al (1982)

的模糊迴歸模式中並不具備誤差項因此模式無法呈現樣本與期望值之間

的關係而無法討論線性規劃估計程序所具備的統計性質所以在曾能芳

(民 91)提出的迴歸模式中採用模糊樣本是由依變數之模糊期望值加上測量

誤差所組成並提出測量誤差存在於中點的模糊迴歸模式以及測量誤差

同時存在於中點和半徑的模糊迴歸模式

4 兩階段求解方法

以兩階段方法(two stage method)求解模糊迴歸模式的想法是在於結合

最小平方法與區間迴歸的觀念試圖降低反應變數估計值的模糊度如Savic

與Pedrycz (1991)對模糊迴歸模式的求解分為兩個步驟進行第一步以

反應變數的模糊數值之最可能數值為基礎將模糊數值視為簡化的明確數

值以傳統最小平方法求解迴歸係數的中心值第二步利用區間迴歸的

方式在使得迴歸係數的模糊度為最小的情形下以決定迴歸係數的三角

模糊數值Kao 與Chyu (2002)提出另一種模糊迴歸模式的兩階段求解方

法在第一階段先利用解模糊(defuzzification)方法將模糊觀察值轉換成為一

組明確數值之後利用該組明確數值以傳統的最小平方法求解迴歸係

數第二階段則是以Kim 與Bishu 所提之評估準則為目標式決定一個誤

差項估計值的模糊數以使得在Kim 與Bishu (1998)評估準則下的總誤差量

為最小該方法的特別之處在於求解的迴歸係數為明確數值而誤差項估計

值為模糊數值雖然此種求解方式可以得到很小的估計誤差但因其所著

眼的仍是Kim 與Bishu 評估準則下的面積估計誤差使得當觀察值與估計

值歸屬函數之間不具有交集時所衡量出的估計誤差較真實誤差為小且其

求解方法比較適合於觀察值為三角或梯形的模糊數值欲應用於其他型式

的模糊數值求解上則較為困難而在邱清爐(民 91)的博士論文中則是將

其兩階段求解方法對各種不同的模糊迴歸模式進行建構與評估並將其求

解方法應用於工作滿意度實例

5 其他求解方法與相關研究

27

Tanaka 等人(1995)後來提出另外一種模糊迴歸模式的求解方法將傳

統的估計誤差當作是存在解釋變數與反應變數之間的關係之可能性

(possibility)故模糊觀察值的展度可以直接轉換成迴歸係數的指數可能性

分配(exponentialpossibility distribution)而可以使用與傳統迴歸非常類似的

方式加以求解Tanaka與 Lee (1999)再利用辨識方法(identification method)

求解迴歸模式在其研究中利用辨識方法以決定模糊線性系統(fuzzy linear

system)中迴歸係數的可能性分配並認為由此方法所求解的迴歸係數會

有比較小範圍的可能性分配近年來有愈來愈多的學者將模糊迴歸分析

應用於其他傳統的決策方法及不同領域上如 Dunyak 與 Wunsch(2000)使

用 α 截集的端點以類神經網路(neuralnetworks)進行模糊迴歸分析Lee

與 Chen(2001)則將模糊迴歸模式使用於人力預測的問題上Tseng 等人

(2001)將由模糊迴歸模式建立之 ARIMA 模式用以預測匯率Tseng 與

Tzeng(2002)則利用模糊迴歸模式的求解方法以建構具有季節變動的

ARIMA 模式Kim 與 Bishu(1996)應用於人力可靠度分析的操作反應時間

上Wu 與 Tseng(2002)將其模糊迴歸模式應用在景氣對策信號上的分析

王景男(民 89)將模糊迴歸分析應用於籃球比賽攻防技術策略上曹勝雄

曾國雄江勁毅(民 85)以國人赴港旅客需求之預測為例說明傳統迴歸

模糊迴歸類神經網路之差別張良斌陳育民(民 86)將模糊目標迴歸法

應用在垃圾衛生掩埋場沼氣回收設備的成本估算謝邦昌林燦隆呂理

添(民 85)將模糊迴歸運用在甘蔗產量的預測對於上列有關模糊迴歸分析

的研究中絕大部份的文章均侷限於線性模式的分析鮮有文章討論非線

性模糊迴歸模式的求解最近雖然有少數學者開始討論非線性模糊迴歸模

式的解法如 Xu(1997)Buckley 與 Feuring(2000)的研究等但使用的方

法所求解的迴歸係數仍然為模糊數值其造成反應變數估計值的展度會

隨著解釋變數之數值增加而擴大的問題仍無法避免

28

第三章 研究方法

本章介紹本文將運用於數值分析中的預測研究方法利用本章建構的

方法可清楚了解如何利用混沌理論基於相空間重構的方式及模糊迴歸方

法於預測中

31 混沌時間序列建立預測方法

時間序列的模型建構和預測是資料處理研究領域中的重要方向其中

預測方法主要有線性和非線性預測方法兩種預測就是對未來作出估計和

推斷而通常要對研究對象或資料進行假設這一過程稱為建模利用建

模的方式獲得資料的科學表示就稱為模型混沌時間序列雖然看似隨機

但它卻是由確定系統產生的因此我們可以對混沌時間序列作出短期預測

同時由於混沌對初始條件微小差異的高度敏感性我們無法對混沌時間序

列作出長期預測每一步預測帶來的微小偏差都會使得下一步預測的偏差

擴大最終導致預測序列與原始序列完全不同

311李亞普諾夫指數判定資料混沌特性

進行預測前需根據 212節中提及的李亞普諾夫指數來判定資料是否

具有混沌特性最大李亞普諾夫指數是判斷和描述非線性時間序列是否為

混沌系統的重要參數因此是一個重要的混沌不變數

混沌系統中的李雅普諾夫指數可用來判斷系統是收斂的還是混沌的當系

統的李雅普諾夫指數中至少有一個為正時系統是混沌的 當系統的李雅

普諾夫指數均為負數時系統是收斂的 對於系統是否存在動力學混沌可以直觀的判斷最大李亞普諾夫指數是否

大於零一個正的李亞普諾夫指數代表著在系統相空間中無論初始兩

條軌跡的間距多小兩條軌跡的差別都會隨著時間的演化而成指數率的增

加而導致無法預測這就是混沌現象

312重建相空間

傳統的建模和預測方法己廣泛地應用社會科學中但大部分都是基於

線性系統混沌時間序列並不適用於非線性的混沌時間序列於是在判斷

時間序列性質後若判定序列以隨機性為主應採用從 AR 或 ARIMA 等隨

機模型來預測如果判定以混沌為主則應採用非線性確定性的方法進行

29

預測非線性時間序列的預報是經過相空間重構後對相空間中的動力軌

跡進行預報由於混沌系統具有被稱為「蝴蝶效應」的初始值敏感性所

以混沌時間序列是不能長期預測的但對於短時間內混沌系統的軌道在

相空間中具有一定的規律它們的預測性是可獲得的並比一般的基於統

計方法的預測能力要來得好

時間序列資料是時間離散後的樣本值用 表示將它「嵌入」到

一個 m維(mgt0)的空間中進行相空間重構後得到嵌入向量

(31)

由嵌入向量 可擴張成一嵌入空間 E由 Taken嵌入定理可知存

在映射面 滿足

(32)

上式表是出在拓樸的意義中可完全預測吸引子的特徵所以上式也可

表示為

(33)

其中函數 為 的一個估計值由式 (33)可得之我們可用

來預測

313相空間維度相關維度

在實作的研究上有許多方法可以用來估計混沌吸引子的維度本研

究選用較為常見的相關維度方法相關維度需先計算相關和將相空間中

所有樣本點皆計算其各別半徑收斂後之趨近值相關方程式（Correlation

Function）定義如下

(34)

其中

當 rrarr0時

兩邊同取對數可得

(35)

定義相關維度為 與 之曲線斜率為

(36)

在實際應用中經常給定一組維度 值選取適當的 r繪出

30

曲線求曲線當中直線段的斜率 如果系統存在這樣一個 值達到此

值後相應的關聯維數不再隨 的增長而變化也就是趨於飽和這表明

該序列為混沌系統其吸引子是存在的此時 值即為重構相空間的最佳

嵌入維數否則則表明該序列為隨機系統不具有混沌性

314 時間遞移數

利用 2123節中介紹的概念及 2124 中介紹的自相關函數求解出時

間遞移數的結果自相關函數公式如下

1

1

1( )( )

1( )

n k

t t k

tk n

t

t

x x x xn k

r

x xn

(37)

n為原資料樣本數k為時間遞移後的樣本點

將自相關係數計算的結果與每一筆遲延時間距離數值繪製成圖表可

由圖表中可分析辨別時間序列數據的初步基本特徵圖表繪製的結果顯示

自相關係數跟隨遲延時間距離數值的增加而顯示收歛且具有震盪循環之跡

象則表示數據具有一種規則屬於一混沌時間序列

32 複線性迴歸

確立資料為混沌後運用自我相關係數計算出時間遞移數及相空間維

度後將加入複線性迴歸運算複線性迴歸中常用的預測方法分為兩種

1 全域法

全域法就是利用相空間軌跡中的全部向量點做為擬合對象找出其

規律由此進行短期預測也就是說利用收集的大量的歷史資料利用

複線性迴歸訓練出迴歸參數再將未放進訓練迴歸參數的資料使用訓練

出的迴歸參數計算出預測值的資料型態本文還將原本的歷史資料分析

出資料的季節性後先去除季節性的影響最後再加回季節性討論預測結

果

2 局域法

局域法的基本原理是僅利用有限個鄰近點的資訊而不是利用全部的

樣本點來擬合 局域法預測是把相空間軌跡中的最後一點作為待測點對

離待測點鄰近的若干個相空間點的關係作出擬合再對預測相空間點的未

來演化規律進行預測本文使用零階局域法零階局域法是直接將鄰近樣

31

本點應用於預測根據鄰近樣本點預測 的最簡單的方法就是尋找相

空間中距離 最近的點假設距離最近的點是 那麼它的下一個樣本

點為 即可做為 的預測值

因數值資料在每日重複發生變動所以本研究又加入計算季節性指數

對趨勢線做季節性調整也就是對時間序列做季節性調整

33 模糊迴歸分析

運用模糊的概念帶進迴歸模式中處理具模糊性的資料問題此稱為模

糊迴歸分析本文利用的模糊迴歸模式主要有兩個方向一個是Tanaka et al

(1982)提出的模糊線性迴歸另一個是由Chang 與Lee (1994)所提出修正型

迴歸模式Tanaka 起初所提出的線性規劃模型

0 1

[ ( )]p n

j ij

j i

Min C X

st 0 0

(1 ) (1 )p p

j ij j ij ii

j j

X H c X y H e

(38)

0 0

(1 ) (1 )p p

j ij j ij ii

j j

X H c X y H e

0jc j R 0 1iX 0 1H 123i n 012j p

Tanaka 所提出的模糊模型未考慮到散度為負值的條件所以模糊上下

界會不斷的擴張而越來越寬大由 Chang 與 Lee (1994)所提出修正型迴歸

模式即將模糊的散度可為負值使上下界的模糊區間為遞減的情形遞

減的情形由圖 31表示

圖 31 模糊區間隨自變數越大而越窄

0

2

4

6

8

10

上界 中心線 下界

32

假設圖表中計算出的模糊迴歸函數為 0 0 1 1 Y c c X 模糊上界為

0 0 1 1UY c c X 模糊下界為 0 0 1 1LY c c X

33

第四章 數值分析

本章資料來源1台灣區車輛工業同業公會

2台北市交通局

本章所使用的數據資料為台北市交通局提供的公開的車流量資料數

值分析所使用的方法已在第三章論述利用第三章的方法分析數值預測的

準確性並結合模糊迴歸常見的兩種方法幫助決定預測的可接受範圍本

章介紹本文所利用的數學模型及方法在複線性迴歸的模型中分成混沌全

域法去季節性後的混沌全域法以及混沌局域法預測出的結果加以討論預

測的準確性再將預測值去季節性觀察準確程度最後再帶入模糊迴歸

利用 05H 加以討論如何將模糊迴歸中的散度用以選擇預測值的範圍第

一節針對傳統複線性迴歸方法並結合全域法觀念訓練資料迴歸係數討

論預測結果第二節針對傳統複線性迴歸方法並結合局域法觀念訓練資

料迴歸係數討論預測結果第三節針對預測資料去除季節性後再利用

傳統複線性迴歸方法討論預測結果第四節針對模糊迴歸的兩種方法選

擇出預測的範圍

利用第三章論述的時間遞移及相關維度的做法將本文利用具混沌性

的資料加以分析將資料先利用 212 節中介紹的李雅普諾夫指數 判定是

否具混沌性具有混沌性的資料才能利用混沌理論重構相空間若李雅

普諾夫指數 介在 0跟 1之間則表示資料具有混沌性質本文資料利用程

式計算出李雅普諾夫指數 運用自我相關係數判斷出時間遞移

數 相關維度計算出維度 我相關係數判斷時間遞移數與相關維

度的圖形以及原始資料時間遞移後的資料圖如圖 41圖 42圖 43

34

圖 41相空間維度及 lnC與 ln r斜率關係圖

圖 42相空間維度及 lnC與 ln r斜率關係圖

0

1

2

3

4

5

6

7

0 5 10 15 20

相空間維度

斜

率

d

-02

0

02

04

06

08

1

12

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33

時間遞移數

自我相關函數

35

圖 43 原始資料時間序列圖

41 複線性迴歸混沌全域法

本文所使用的資料為 10日的車流量資料利用前 9日的資料訓練出迴

歸參數將迴歸參數代入複線性數學模型中計算出的迴歸方程式為

1 2 3 4

5 6 7 8 9

10 11 12 13 14

435363 00819 00338 01777 00070

01116 01999 00299 02716 00349

01399 00056 01113 00738 02038

y x x x x

x x x x x

x x x x x

(41)

解出迴歸參數計算出複線性迴歸方程式後再將最後一日 144筆的車

流資料代入方程式中計算出預測值利用複線性迴歸混沌域法預測出的結

果如圖 44

圖 44 複線性迴歸分析預測與原始資料比較圖-全域法

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

1 53

10

5

157

209

26

1 31

3

365

41

7

469

52

1 57

3

625

67

7

729

78

1 83

3

885

93

7

989

10

41

1093

11

45

1197

12

49

1301

13

53

1405

原始資料點

原始資料點

-50

0

50

100

150

200

1

7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

103

109

115

121

127

133

139

實際值

預測值

36

由圖表的狀況可觀察出運用複線性迴歸模型預測的結果不盡理想本

研究認為運用複線性迴歸預測的結果不佳的原因有二

1 利用全域法預測是將較大量的歷史資料加入考慮訓練出迴歸參數這

樣的結果造成削弱了原本的奇異點(相較於同時段資料差異性較大的點)

的影響力

2 嵌入維度 太高對於混沌時間序列隨著嵌入維度增高歷史

對未來的影響是呈指數衰減的所以全域法所利用的資訊歷史就越長

預測的精準度就會迅速下降因此本研究將加入局域法討論預測的準

確性

42 複線性迴歸混沌局域法

局域法的做法為尋找相空間重構後的點對待測點尋找鄰近的 k個相

空間點對離待測點鄰近的若 k個相空間點的關係作出擬合並分析出複

迴歸方程式的迴歸參數本文嘗試選取 k=50~250的結果以下只列舉 k=200

的圖解釋預測結果

圖 45 複線性迴歸分析預測與原始資料比較圖-局域法(k=200)

圖 44與圖 45比較後可看出區域法預測的準確性比全域法更好某

些預測出來的結果的點與原始資料的點差異性大有明顯的偏移本研究

認為利用局域法預測的結果不佳的原因如下由圖 45可看出預測結果與

原始資料間差異性較大的點位為數列的右側 而數列尾端的資料為凌晨或

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

1

7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

103

109

115

121

127

133

139

實際值

估計值

37

是深夜的車流量因每日凌晨或是深夜的車流量變化量較少(例如某日的凌

晨十二點十分可能為 0台車或是小於 10台車經過)所以資料的差異性

較大造成頭尾的資料預測上較為不準確

因為同時段的資料可能會影響資料預測出的結果所以我們下節就以

加入季節性的考慮來加以討論預測結果

43 複線性迴歸去除季節性後混沌全域法

本文使用的車流量資料為每日 24時換算成 1440分鐘每 10分鐘記

錄一點於是本研究依資料的記錄時間點來劃分季節性將季節分成 144

個季分別求出季節性指數求取季節性指數後將每個資料點先去除季

節性利用全域法訓練出去季節性後的迴歸係數再利用複線性求出預測

值最後將去除的季節指數乘回預測點結果如下

圖 46考慮季節性複線性迴歸分析預測與原始資料比較圖-全域法

此考慮季節性因子的複線性迴歸分析預測與原始資料的比較是用全

域法去訓練迴歸參數的而由圖 44我們可以得知一開始未考慮季節因

子使用全域法的複線性迴歸預測是不準確的本研究認為原本的歷史資

料隨著季節性因子的變化該系統原本呈現複雜的動態特性實際上由於

車流量的變動有許多外在因素的影響例如氣候假期hellip等影響會使

資料的變化過程發生不同程度的偏離而對於季節性事件來說其事件發

生的過程主要受季節性參數週期性變化的影響 因此影響因素的具體形

式可以近似地表示為單一函數本文考慮季節因素對車流量的影響意即

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

1

7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

10

3

10

9

11

5

12

1

12

7

13

3

13

9 實際值

預測值

38

經過季節性分析後的得到的預測分析結果很準確如圖 46所示此結果

表示季節性影響樣本資料的情形大也代表著在季節因素影響下系統中

事件的動態變化情況是隨著季節影響參數的變化而造成系統呈現各種

各樣複雜的動態特性如週期解混沌情形hellip等

44 模糊迴歸

441Tanaka模糊迴歸

μ及 H 值之選定原則為當不確定性愈大時其 μ及 H 值愈接近 0

反之當資料不確定性愈小時μ及 H 值取愈接近 1 之值Bardossy 等人

建議其值在 05~07間為適宜根據 Tanaka在 1982年所提到的方法我們

可以求得一模糊迴歸函數並可得知其中心線與其上界及下界假定在 H =

05的情況下利用 Tanaka模糊迴歸模式算出迴歸函數為

(42)

中心線與上下界的簡單迴歸方程式為

中心線 (43)

上界 (44)

下界 (45)

繪製出的圖形如圖 47所示

圖 47 Tanaka 模糊迴歸

0

50

100

150

200

250

300

1

7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

103

109

115

121

127

133

139

下界

中心線

上界

39

圖 48 Tanaka 模糊迴歸中心線與預測值之結合

從圖 48可看出預測值與模糊迴歸的中心線 有明顯的時間差異但由

圖可以觀察出模糊迴歸的中心線 的預測趨勢與實際值是相近的雖然利

用模糊迴歸預測的時間點比實際時間快但是相對來說也是可以用來預

測之後將發生的趨勢本研究認為若模糊迴歸可用於預測中則可用模糊

的散度 c當做預測行為中選取的可接受的變動範圍如圖 49最後將 Tanaka

模糊迴歸中心線上下界與實際值之結合如圖 410所示

圖 49 Tanaka 模糊迴歸中心線上下界與實際值之結合

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

1

8

15

22

29

36

43

50

57

64

71

78

85

92

99

106

113

120

127

134

141

實際值

中心線

0

50

100

150

200

250

300

1

7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

103

109

115

121

127

133

139

實際值

下界

上界

預測

值

預測值

40

圖 410 Tanaka 模糊迴歸中心線上下界與實際值之結合

442修正型 Tanaka模糊迴歸

因為我們要將模糊迴歸應用於預測中所以本研究將複線性迴歸的趨

勢線視為模糊迴歸的中心線再利用修正型 Tanaka模糊迴歸模式算出迴歸

函數為

(46)

中心線與上下界的簡單迴歸方程式為

中心線

上界

下界

繪製出圖形如圖 411

0

50

100

150

200

250

300

1 7

13

19

25

31

37

43

49

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61

67

73

79

85

91

97

103

109

115

121

127

133

139

實際值

預測值

下界

上界

41

圖 411 修正型模糊迴歸中心線上下界與實際值之結合

本研究使用的修正型模糊迴歸中心線與傳統的迴歸方程式相同所以

可用來處理或分析模糊資料與明確資料同時修正型模糊迴歸的上下界

與 Tanaka 模糊迴歸相較也變窄了此兩種現象就是修正型迴歸的特色因

為中心線與傳統的迴歸方程式也相同這種修正型迴歸散度可選擇為負值

的特色本研究認為可以應用在預測上因為上下界與中心線間的散度變

窄使得前文所敘述到的利用散度來選取預測範圍便可更為嚴格也可

使預測的結果更為可靠如圖 412所示

圖 412 Tanaka 上下界與修正型模糊迴歸上下界的寬度差別

0

50

100

150

200

250

1 7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

103

109

115

121

127

133

139

下界

中心線

上界

0

50

100

150

200

250

300

1 8 15

22

29

36

43

50

57

64

71

78

85

92

99

106

113

120

127

134

141

Tanaka下界

Tanaka上界

Tanaka修正型下界

Tanaka修正型上界

42

第五章 結論及未來研究方向

51 結論

根據前文的討論傳統迴歸和模糊迴歸建立在不同的理論基礎上傳

統迴歸是以機率為基礎而模糊迴歸則是以可能性為基礎傳統迴歸因變

數的估計值與觀測值之間的差異為因變數的隨機性而模糊迴歸因變數的

估計值則產生於觀測值之模糊度惟兩者最大不同處在於模糊迴歸式的

迴歸係數與預測值皆為模糊數（區間值）不同於傳統迴歸係數與預測值

均為明確的數值此外傳統迴歸侷限於對明確資料的分析可能性模糊

迴歸僅適用於分析具模糊性的資料而複合的模糊迴歸則可同時適用於分

析模糊與明確的資料此為此模式最大的特點

模糊迴歸應用於預測中大多的結果是不佳的但是我們透過結合混

沌與模糊迴歸的概念將混沌的預測單點概念拓展成一個可接受的預測

範圍

PT Chang 與ES Lee 使用修正型模糊迴歸重新定義散度做出新的

模糊上下界均為改善模糊迴歸模式Tanaka之研究本研究將模糊迴歸與

混沌理論之建立時間序列的預測情形加以結合討論發現模糊迴歸在預測

的行為中是可行的但可惜的是即使預測的趨勢相近但預測值出時間

的點卻有差別這樣的結果我們可以看出若能找到解決加強模糊與複線性

迴歸關係之間時間的關聯性就能利用模糊的不確定性來討論預測問題

52 未來之研究方向

本研究將模糊迴歸與混沌理論之建立時間序列的預測情形加以結合討

論發現模糊迴歸在預測的行為中是可行的但可惜的是即使預測的趨

勢相近但預測值出時間的點卻有差別這樣的結果我們可以看出若能找

到解決加強模糊與附線性迴歸關係之間時間的關聯性就能利用模糊的不

確定性來討論預測問題

為了符合現今社會多元的狀況模糊迴歸與傳統迴歸之觀念勢必加以

混合應用也為了解決此等問題混合式迴歸（Hybrid Regression）在近年

來被提起也因此參數的估計模糊迴歸與傳統迴歸的混合應用將成

為往後繼續研究探討之目標

建議未來可用模糊加權修正模糊迴歸使模糊迴歸在預測上更能直接

43

將對事物多個構面評估的意見與其影響事物狀況的重要程度作加權的運

算

44

參考文獻

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11

k=12hellipm (28)

其中 n為期數m為季節數

22 複線性迴歸分析

迴歸分析的目的主要是建立變數之間的關係進而應用於預測分析中

內政部營建署(1997)就曾利用迴歸分析來探討反彈數及現場鑽心試體之間

的抗壓強度關係進而建構出一迴歸方程式做為混凝土試體的抗壓強度

預測而在土木工程領域中也已有許多學者利用迴歸分析來進行研究

例如潘南飛與黃冠智(2005)利用迴歸分析來預測橋面版劣化狀況且考慮

以交通量及降雨量作為迴歸模式中的自變數最後得一配適佳的迴歸式

凌偉峻(2006)利用複線性迴歸分析建立模式及混沌系統的相空間鄰近點相

似特性來建立車流量預測模式Cheung et al (2008)使用氣候值持續值

颱風強度Julian Date記日本地時間七級風暴風半徑及颱風中心速度共

7個預報參數進行多變量的複線性迴歸(multiple linear regression)分析並以

20個傳統雨量站進行測試各新增變量中以颱風強度七級風暴風半徑及

中心速度對預報之改善較顯著其受改善之時數及相關係數之增加幅度皆

較其它變量為多顯示颱風結構參數在颱風降雨預報中比簡單的季節性因

素或日夜對流差異來得重要

敘述自變數( 1 kx x x x 2 3 )依變數 y 和誤差項 i 之間關係的方程式

稱為複線性迴歸模式複迴歸其主要目的有二

1 可以降低隨機誤差此與迴歸之變異數分析有關增加解釋變數之個數

可以使迴歸分析可解釋變動的部分增加相對的誤差就會減少

2 可以避免反應變數中影響重大的解釋變數有所遺漏而無法具體描述實

際資料的狀況估計複迴歸方程式或估計多元迴歸方程式(Estimated

multiple regression equation)大部分情況下複迴歸模式中的迴歸參數

皆不知其實際數值僅可以利用樣本數值估算分別以樣

本統計值 作為迴歸參數 的點估計值本研究

利用全域法訓練迴歸參數 即是利用前九日的歷史資料

複線性迴訓練出迴歸係數預測出第十日的資料型態複迴歸分析是將

簡單迴歸分析其自變數由一個增加至數個研究一群自變數和一個反應

變數之間的關係複線性迴歸模式定義如下

12

(29)

其中 為常態 n 隨機變數期望值 E(ε)=0且彼此互相獨立若有 n

組樣本觀測值(ngtp)組我們就可將方程式寫成

(210)

其中 i=123hellipn

若將複線性迴歸寫成矩陣可得下式

(211)

也可將式(211)寫成矩陣形式

(212)

其中 為觀察值向量 為參數向量 為自變數矩陣 為獨立之常態

隨機變數向量且滿足 向量 Y的期望值表示如下

(213)

複線性迴歸之最小平方標準方程式矩陣表示為

(214)

其中

為最佳模式之參數矩陣因此可求得最小平方估計式矩陣

表示為

(215)

其中 為 之轉置矩陣 為 之反矩陣只要利用式(215)

即可獲得複線性迴歸方程式

23 模糊理論

模糊理論是由美國加州大學伯克利分校電氣工程系的L A Zadeh在

1965年首次提出Zadeh在1965年發表了一篇傳統科學皆以排除具模糊性的

研究為主而模糊理論則以包含模糊性的研究為主現今科學發達所要

探討的議題越來越多由於人類的知識與研究會因本身主觀的意識因應

不同的人事時地物而具模糊性使得無法清楚呈現研究的本質為何要

13

在日常生活中精確地描述一個現象必定忽略其中的些微變化然而此描

述又無法真實描述現實因此模糊理論(Fuzzy Theory)正好能被廣泛應用在

研究上

模糊概念是指這個概念的外延具有不確定性或者說它的外延是不清

清楚的是模糊的例如好的壞的好壞的概念我們非常清楚但是

它的外延也就是究竟事件發生的條件到底是要如何才會是好的跟壞的

每個人的回答都會是不同的這就是一個模糊的概念所以當我們在接

觸模糊時是允許主觀意識的因為每個人對模糊的概念不盡相同儘管

如此當我們利用模糊統計方法進行分析時對於好與壞之間的界限又有

一定的概念

其次模糊性與精確性是相對立的但卻不能將模糊性理解成較差的

結果因為實際上我們在處理客觀事物時經常藉助於模糊性例如

若我們要在路上找一位「年輕的漂亮女孩」「年輕」及「漂亮」都是模

糊的概念但對我們而言這在路上不難找到因為我們的大腦會分析什麼

是「年輕」及「漂亮」於是我們就可以判斷出我們要找的人然而若我

們要求必須用電腦查詢「年輕的漂亮女孩」我們就必須將「年輕」及「漂

亮」這兩個模糊的條件利用具體的數據輸入電腦分析才能找到符合我們

要求的人

最後人們對模糊性的認知常與隨機性混淆其實它們之間有著很大

的不同隨機性是本身具有明確意義只是因為發生的條件不充分使得

在條件與事件之間不能產生確定的因果關係所以事件的出現與否表現出

一種不確定性而事物的模糊性是指我們要處理的事物的概念本身就是模

糊的即一個對象難以確定是否符合這個概念也就是由於概念外延模糊

而帶來的不確定性

231模糊的發展

模糊理論是在美國加州大學伯克利分校電氣工程系的 LAzadeh 教授

於 1965年創立的模糊集合理論的數學基礎上發展起來的主要包括模糊集

合理論模糊邏輯模糊推理和模糊控制等方面的內容

早在 20世紀 20年代著名的哲學家和數學家 B Russell就寫出了有關

「模糊性」的論文他認為所有的自然語言均是模糊的比如「紅的」和

「老的」等概念沒有明確的內涵和外延因而是不明確的和模糊的可是

14

在特定的環境中人們用這些概念來描述某個具體對象時卻又能心領神會

很少引起誤解和歧義

美國加州大學的 L A Zadeh 教授在 1965 年發表了著名的論文文中

首次提出表達事物模糊性的重要概念隸屬函數從而突破了 19世紀末勒

內middot笛卡爾（Rene Descartes）的經典集合理論奠定模糊理論的基礎1966

年P N Marinos發表模糊邏輯的研究報告1974年L A Zadeh 發表模

糊推理的研究報告從此模糊理論成了一個熱門的課題1974 年英國

的 E H Mamdani 首次用模糊邏輯和模糊推理實現了世界上第一個實驗性

的蒸汽機控制並取得了比傳統的直接數字控制演算法更好的效果從而

宣告模糊控制的誕生1980年丹麥的 LPHolmblad 和 Ostergard 在水泥窯

爐採用模糊控制並取得了成功這是第一個商業化的有實際意義的模糊控

制器

事實上模糊理論應用最有效最廣泛的領域就是模糊控制模糊控

制在各種領域出人意料的解決了傳統控制理論無法解決的或難以解決的問

題並取得了一些令人信服的成效

模糊控制的基本思想把人類專家對特定的被控對象或過程的控制策略總

結成一系列以ldquoIF THENrdquo形式表示的控制規則通過模糊推理得到控製作用

集作用於被控對象或過程控製作用集為一組條件語句狀態語句和控

製作用均為一組被量化了的模糊語言集如「正大」「負大」「正小」

「負小」零等

模糊控制的幾個研究方向

1 模糊控制的穩定性研究

2 模糊模型及辯識

3 模糊最優控制

4 模糊自組織控制

5 模糊自適應控制

6 多模態模糊控制

模糊控制的主要缺陷

信息簡單的模糊處理將導致系統的控制精度降低和動態品質變差若

要提高精度則必然增加量化級數從而導致規則搜索範圍擴大降低決策

15

速度甚至不能實時控制模糊控制的設計尚缺乏系統性無法定義控制

目標控制規則的選擇論域的選擇模糊集的定義量化因數的選取多

採用試湊發這對複雜系統的控制是難以奏效的

232模糊至今應用的範圍

模糊理論發展至今已接近三十餘年應用的範圍非常廣泛從工程科

技到社會人文科學都可以發現模糊理論研究的蹤跡與成果我們分別由工

程科技與社會人文科學的角度瞭解模糊理論應用的範疇

1 工程科技方面

(1) 型樣識別文字識別指紋識別手寫字體辨識影像辨識語音

辨識

(2) 控制工程機器人控制汽車控制家電控制工業儀錶控制電

力控制

(3) 信號及資訊處理影像處理語音處理資料整理資料庫管理

(4) 人工智慧及專家系統故障診斷自然語言處理自動翻譯地震

預測工業設計

(5) 環保廢水處理凈水處理廠工程空氣污染檢驗空氣品質監控

(6) 其他建築結構分析化工製程控制

2 教育社會及人文科學方面

(1) 教育教學成果評量心理測驗性向測驗電腦輔助教學

(2) 心理學心理分析性向測驗

(3) 決策決定決策支援決策分析多目標評價綜合評價風險分

析

233模糊集合

過去傳統數學上集合的基本定義是以二值邏輯(Binary Logic)為基礎的

方式來描述事物為屬於或不屬於此集合也就是元素 x和集合 A的關係

只能是isinA或notinA明確的判斷對象為所屬集合也就是明確集合(Crisp Set)

如果要描述適當的模糊事物時須將所屬集合的概念模糊化使之無明確

判對象所屬的集合模糊集合是指在界限或邊界不分明且具有特定事物的

集合以建立隸屬函數(Membership Function)來表示模糊集合承認論域

(Universe of Discourse)上存在既非完全屬於集合A又非完全不屬於集合A

16

使傳統集合的絕對屬於的概念改變為相對屬於的概念以數學式表示論域

U 上的模糊集合 A可表示為元素 x與它的歸屬函數集合

(216)

其中 A為一模糊集合 為歸屬函數x稱作元素U為論域一

般情況下歸屬度會界定在 0跟 1之間

(1) =0表示元素 x不屬於

(2) =1表示元素 x完全屬於

(3) 趨近 0表示元素 x極不可能屬於

(4) 趨近 1表示元素 x極有可能屬於

這個表示式的完整解釋為當 x 在 U 的範圍內會對應到一個介於 0

到 1之間的數值 所有這種 x所成的集合就是一個模糊集合模糊集

合可表示為

1 當論域Ｕ為有限離散(discrete)集合的情形下模糊集合 可表示成

(217)

2 當論域Ｕ為實數論域所組成之在連續(continuous)集合的情形下模糊

集合 可表示成

isin (218)

其中 並非積分符號而是單純的連結符號

234 模糊數(Fuzzy Number)

1 模糊數(triangular fuzzy number)

假設 是模糊集合或模糊數(FN)在實線 2R 上則以三角形隸屬函數

(triangular membership function）表示為 1 2 3( )a a a 2 x R to A 則

1

1 2 1 1 2

3 3 2 2 3

3

0

( ) ( ) ( )

( ) ( )

0

x a

x a a a a x aA x

a x a a a x a

x a

(217)

17

1

其隸屬函數圖形如圖 21

圖 21 三角模糊數

2 梯形模糊數(trapezoidal fuzzy number)

梯形模糊數可表示為 如圖 22其隸屬度函數定義為

(218)

其隸屬度函數如圖 22

圖 22梯形模糊數

a b c d

1

18

在一信賴區間 α水準α 01 我們定義 A

( )A x A x (218)

三角形隸屬度函數以 α-cut表示為

( ) ( )

1 3 1 1 2 3 2 3[ ] [ ( ) ( )]A a a a a a a a a

(219)

( )

1a 與 ( )

3a 個別代表 A的下界及上界

根據模糊算術方法Zadehrsquos sup-min 方法表示如下

( )( ) sup min( ( ) ( ))x y z

A B z A x B y

(220)

其中 sup表任何模糊算式Mizumoto and Tanaka（1976）使用相同方

法在 α 截集模糊數和區間算術Chang（2003）和 Chang et al （2006）和

Chang and Hung（2006）整理使用 α 截集模糊算術方法的文獻α截集模

糊算術中模糊數基本運算公式（加法減法乘法除法）可以計算的

更快在每一個 α-level 區間中使用區間算術（Kaufmann and Gupta

1988）

1 模糊數加法

令A和 B分別為兩模糊數 A和 B在一信賴區間 α水準 ( ) ( )

1 2[ ]A a a

( ) ( )

1 2[ ]B b b αisin 01 forall A B sub 2R 表示如下

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 2 1 2 1 1 2 2[ ] [ ] [ ]A B a a b b a b a b

forallαisin 01 (221)

2 模糊數減法

在一信賴區間 α水準forall A B sub 2R αisin 01

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 2 1 2 1 2 2 1[ ] [ ] [ ]A B a a b b a b a b

(222)

3 模糊數乘法

在一信賴區間 α水準forall A B sub 2R αisin 01

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 2 1 2 1 1 1 2 2 1 2 2

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 1 1 2 2 1 2 2

[ ] [ ] [min(

max( )]

A B a a b b a b a b a b a b

a b a b a b a b

(223)

4 模糊數除法

在一信賴區間 α水準forall A B sub 2R αisin 01

19

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 1 1 2 2

1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 2 1 2 1 2 1 2

[ ] [ ] [min( )max( )]a a a a a a a a

A B a a b bb b b b b b b b

式中 ( )

1b ( )

2b gt0forallαisin[01] (224)

235模糊運算

根據 Zadeh（1965）的擴展原理（Extension Principle）可以廣義的使

用一般基準 T取代原來的最小值模糊數的數學運算表示如下

1 加法

( )( ) sup ( ( ) ( ))x y z

A B z T A x B y

(225)

2 減法

( )( ) sup ( ( ) ( ))x y z

A B z T A x B y

(226)

3 乘法

( )( ) sup ( ( ) ( ))x y z

A B z T A x B y

(227)

4 除法

( )( ) sup ( ( ) ( ))x y z

A B z T A x B y

(228)

24 模糊迴歸

在科學研究過程中許多研究者常使用迴歸來描述自變數 x和應變數 Y

之間的關係傳統的迴歸分析均假設觀察值由實際應變數影響加上隨機誤

差而產生也就是說應變數是一種帶有不確定性的隨機變數不過在很

多的實務應用上往往無法滿足這樣的假設例如有些應變數 Y 的觀察值

並不是以單一數值的型式存在而是帶有多重隸屬的特性這些觀察值雖

然帶有不確定性但這種不確定的特性是來自於模糊現象而非隨機現象

若由模糊觀點套用迴歸分析來處理模糊資料問題就稱為模糊迴歸分析

模糊迴歸分析最早是由 Tanaka et al (1980) 提出一般模糊迴歸能夠處理的

樣本型式有兩種一種是實數值樣本 其中 為實數向量 為觀測

到的實數值另一種是模糊數樣本( 其中 為觀測到的模糊數不論

是實數值樣本或是模糊數樣本想要估計模糊迴歸參數估計方法大都是

20

利用線性規劃的技巧來尋求一組能將實數值樣本 或模糊數樣本(

包含在內的區間再將三角形隸屬函數（triangular membership function）套

用

在此區間上如此便求得一組模糊迴歸估計式要得到正確的估計結

果最好是收集具有代表性的隸屬函數樣本所謂具有代表性的隸屬函數

樣本應該是以模糊數的形式存在所以本文就樣本模糊數 進行討論

線性模糊迴歸模式常表示成

0 1 1 2 2( ) i i i p piY x A A x A x A x (229)

其中 1 2 3(1 ) i i i i p ix x x x x 為自變數向量 ( )iY x 為模糊應變數

為模糊參數利用樣本模糊數 估計參數 時通

常假設 與 的隸屬函數為對稱三角型式 與 的隸屬函數表達如下

( ) max 1 0 i

i

Y

i

t yt t

r

(230)

其中 為三角隸屬函數的中點 為三角隸屬函數的分布半徑可令

( ) max 1 0 m

m

A

m

t ct t

s

(231)

其中 為三角形的中點 是三角形的分布半徑 與 間的關係

如圖 23所示

圖 23模糊數的中心值與散佈值

1

0

21

再令 則前述的模糊迴歸方程式可改寫成

0 1 1 2 20 1 2( ) i i ipi p pY x x xC S xC S C S C S (232)

因此模糊應變數 ( )iY x 的隸屬函數也屬於三角型式可表示成

( )

0

0

( ) max 1 0 Y xi

p

m m

m

p

m mi

m

t c x

t t

S x

(233)

其中 因此只要估計出三角形的中點 及半徑 便可得到

隸屬函數的估計值模糊迴歸分析是在要求每一個觀測值 隸屬於模糊

迴歸區間的隸屬程度至少 的情況之下尋求最小的模糊迴歸預測區間如

(234)式表示

forall ( 234)

在利用 對未知的模糊參數 進行估計前一般先定

義模糊樣本 和模糊應變數 的 h截集其定義如下

令 為一組模糊樣本 ( )iY x 為模糊應變數若 與

分

別為 及 的 h截集(h-cut)則

(235)

(236)

因具代表性的樣本 其 h 截集 應要盡量接近模糊應變數 的 h

截集 意即

其中容許

不完全落在 之

內的情形發生根據以上觀點王景南(2002)認為樣本的左端點

和右端點 隸屬於 的程度會有一定的水準於是設立此水準

為 H因此假設 隸屬於 的隸屬度會盡量的接近 H其間的關係

為

( 與

( (237)

所謂的盡量接近 H是可允許隸屬度大於 H或小於 H而不是均大於

22

H

根據以上的對樣本的解釋運用最小平方法以所有樣本的左端點

配置一迴歸直線稱之為左端直線估計式

(238)

其中 為迴歸係數再以所有右端點 配置右端

直線估計式

(239)

其中 為迴歸係數

前文已假設樣本的左右端點隸屬於 的隸屬度會盡量的接近 H所

以將這兩條直線函式來估計 之 H截集的左右邊界即

(240)

如此可推導出 的隸屬函數為

(241)

其中 且

(242)

意即

(243)

其中

為三角形底邊中點是

分布半徑如此便可得一組估

計的模糊迴歸模式

(244)

仍需注意的是當樣本為對稱型態時左右迴歸函數式其配適的結果式

相同的只有常數項不同當對稱情形發生時可以考慮利用各別對應相

之權重除以常數項的分布半徑做為個別對應項之分布半徑意即

分布半徑

除此之外Celmins及Diamond Celmins也分別提出最小平方法之模糊迴

23

歸模式以便求解資料間距離最小的模糊迴歸方程

模糊迴歸應用上比統計迴歸更具彈性統計迴歸通常需要大量資料以

支持其假設而模糊迴歸卻無此需求因此當資料量不足或隨機性難以驗

證時模糊迴歸是較強健的(Robust)同時當所蒐集之資料的不確定性乃

來自於人類之主觀判斷時模糊迴歸較具適用性

因此模糊迴歸模式逐漸受到重視在1990年代的研究包括Sakawa及

Yano針對投入變數與輸出變數皆為模糊資料的問題建構出一個多目標的模

糊迴歸模式此外Chang和Lee則認為模糊迴歸中心線的趨勢與模糊迴歸散

佈值的趨勢可以存在不一致性為了分析統計迴歸與模糊迴歸的差異Kim

Moskowitz 及Koksalan 利用模擬分析比較統計迴歸與模糊迴歸的結果認

為由機率論所得的統計迴歸模式在大樣本時其預測績效遠比可能性理論

(Possibility theory)推演而得的模糊迴歸模式為佳然而當資料量遞減或所構

建的模式適合性變差時(即變數間存在模糊關係)則模糊迴歸模式的預測績

效將優於統計迴歸模式由於模糊迴歸模式在解決資料量少及系統關係模

糊不清的問題上具有較佳之績效而存在其正面之價值當變數間存在模

糊關係時

從早期到目前已發展出多種模糊迴歸模式求解方式以下根據薛展青

(2004)所整理的模糊迴歸分析整裡敘述如下

1 區間迴歸法

區間迴歸法(interval regression)其模型架構主要是由Tanaka et al(1982)

所提出的模糊線性迴歸(fuzzy linear regression)模型Tanaka et al(1982)所發

表的論文中表示傳統的迴歸模型中造成實際值與估計值的誤差來源被

認為是由測量或觀察所造成的而此誤差項在模糊線性迴歸模型中是因

模糊系統中參數的模糊性所產生的即誤差是反應模糊線性函數的模糊現

象因此以模糊線性函數來表示迴歸方程式而迴歸參數則是以模糊集合

來表示

Tanaka et al(1982)在估計模糊迴歸參數時是利用線性規劃技巧

(linearprogramming method)來尋求一組能將實數值樣本或模糊數樣本全部

包含的區間最後求得一組對稱三角形模糊數之迴歸參數

自Tanaka等人(1982)的文章發表之後後續的學者大多以此為基礎陸

續題出各種相關的模式與求解方法如Peters (1994)將Tanaka的線性規劃法

24

求解推廣為模糊線性規劃法求解讓資料對模糊迴歸模式的適應性更加提

升YenGhoshray 與Roig (1999)提出由於非對稱迴歸係數導因於大多數的

資料為離群值使得對稱三角迴歸係數不再適用因此將Tanaka et al的模

式推廣為非對稱三角迴歸係數Moskowitz 與Kim (1993)探討不同水準值下

模糊迴歸模式的求解與模式配適程度Redden 與Woodall (1996)探討模糊

迴歸分析預測未來值的結果Sakawa 與Yano (1992)將Tanaka的方法擴展到

依變數及自變數皆是模糊集合的情況並將之稱為多目標線性迴歸法

(multiobjective linear regression model)Koumlrner 與Naumlther (1998)討論解釋變

數與反應變數兩者皆為模糊數值的情況Kacprzyk 與Fedrizzi (1992)則蒐集

了各種不同迴歸模式的求解方法Redden 與Woodall (1994)說明Tanaka後

續提出的求解模式當中所具備的性質以及與傳統迴歸方法的差異比較

但是在此模式下求解之迴歸係數本身亦為一對稱的三角模糊數值

而且求解結果很容易受到資料尺度(scale)的影響使得反應變數估計值之展

度會變得更為寬廣後來Tanaka (1987)根據1982年的文獻發展為更完整的

可能性線性系統使模糊迴歸的結構更趨適應性Tanaka 與Watada (1988)

闡明可能性線性模式的概念推演建構成可能性線性迴歸模式Tanaka et

al(1989)應用模糊資料於可能性迴歸系統中並建構最小化最大化及混合

式三種線性規劃模式又對先前所提出的模式加以修正但就如Redden 與

Woodall (1994)所指出Tanaka 類型的模式對於離群值(outlier)的反應非常

敏感甚至在觀察值的個數增加時求解結果可能會產生無限多解因

此在Tsaur 與Wang (1999)提出的文獻對於在模糊迴歸分析中的離群值進行

一系列探討

2 模糊最小平方法

模糊最小平方法(fuzzy least squares)乃擴展傳統之最小平方法的觀念

最早由Diamond (1988)所提出利用傳統最小平方法的觀念求出一個模糊

迴歸模式以估算(approximate)反應變數的觀察值並非如區間迴歸中的包含

觀察值在其模式中利用反應變數的觀察值與估計值的模糊數值之最小

值最可能值與最大值定義兩者之間的距離以衡量迴歸模式與模糊資

料之間的最佳配適度的情形在使得所有觀察值與估計值的模糊數值之間

的距離平方總和為最小時可以導出類似傳統迴歸分析中的正規方程式

(normal equation)以求解迴歸係數

25

其後Chang 與Lee (1996)則將Diamond (1988)的方法加以擴充將迴

歸係數的最可能值與展度分別估計該方法的特點在於可將極端值(outlier)

加以處理並降低其影響程度Ma等人(1997)則將此類方法發展於適合非

三角模糊數值的場合Diamond 與Koumlrner (1997)則在此類方法中定義一

個判定係數的計算方法以比較不同模式的適合性Wu與Tseng (2002)提出

改善模糊迴歸模式之最小平方法其模式主要觀念是利用最小平方法將所

有樣本的左端點及右端點各配置一條迴歸線然後在將其左右迴歸線統合

成一條迴歸線

而在Kim 與Bishu (1998)的研究中是利用各個具有三角模糊數值的反

應變數之最小值最可能值與最大值以最小平方法分別計算出模糊迴歸

係數所得到的係數不一定為對稱的三角模糊數在此種求解方式下雖

然可以得到比較小的估計誤差但其缺點是無法處理解釋變數為模糊數的

情形另外Kim 與Bishu(1998)還提出了評估模糊迴歸模式的準則利用觀

察值與估計值歸屬函數之間面積的差異做為迴歸模式的估計誤差但其評

估準則的問題是無法比較不同模式在觀察值與估計值歸屬函數之間不具有

交集時的誤差情況在此情況下求算估計誤差時無法準確評估其總誤差而

導致評估失真而其他學者如Yang與Ko (1997)Yang 與Lin (2002)等則

是提出以最小平方法為基礎的模糊聚類分析求解方式

3 模糊隨機變數估計法

為了建構一個同時具有隨機和模糊特性的系統Kwakernaak (1978)首

先提出模糊隨機變數(fuzzy random variables)的概念認為傳統的隨機變數

U Ωrarr R為實數可測函數而模糊隨機變數則將一般隨機變數的概念廣義

化模糊隨機變數可表示為X ΩrarrS設ω isinΩ而ω 所對應到的不再是實

數值U(ω)而是模糊集合X (ω)S 代表模糊集合且Kwakernaak (1978)擴

充原來Zadeh 提出模糊集合之架構認為有時供作參考的資訊不齊全在

對某些述句進行評斷時我們無法判斷其絕對為真或絕對為假此時我

們考慮將原有的二元邏輯思維方式推廣暫且不作肯定的判決而僅是表

達出對錯的程度換句話說真值可以是介於單位區間[01] 內的任何值

如此思維方式稱之為多值邏輯(multivalued value)並將模糊集合視為一組

述句(statement)的集合且每個述句均對應一真值程度以符合人類的思維與

想法Stein 與Talati (1981)利用模糊數值的隸屬函數提出模糊隨機變數

26

的期望值之計算方式Kruse 與Meyer (1987)藉助集合表徵的概念建立了

一套模糊隨機變數的定義而為了讓模糊隨機變數能實際應用並將討論

的範圍界定在一模糊集合族上Koumlrner (1997)及Naumlther (1997)利用該方法以

求算模糊隨機變數的期望值與變異數並應用於線性模糊迴歸模式的求解

等另外在曾能芳(民 91)的博士論文研究中指出在Tanaka et al (1982)

的模糊迴歸模式中並不具備誤差項因此模式無法呈現樣本與期望值之間

的關係而無法討論線性規劃估計程序所具備的統計性質所以在曾能芳

(民 91)提出的迴歸模式中採用模糊樣本是由依變數之模糊期望值加上測量

誤差所組成並提出測量誤差存在於中點的模糊迴歸模式以及測量誤差

同時存在於中點和半徑的模糊迴歸模式

4 兩階段求解方法

以兩階段方法(two stage method)求解模糊迴歸模式的想法是在於結合

最小平方法與區間迴歸的觀念試圖降低反應變數估計值的模糊度如Savic

與Pedrycz (1991)對模糊迴歸模式的求解分為兩個步驟進行第一步以

反應變數的模糊數值之最可能數值為基礎將模糊數值視為簡化的明確數

值以傳統最小平方法求解迴歸係數的中心值第二步利用區間迴歸的

方式在使得迴歸係數的模糊度為最小的情形下以決定迴歸係數的三角

模糊數值Kao 與Chyu (2002)提出另一種模糊迴歸模式的兩階段求解方

法在第一階段先利用解模糊(defuzzification)方法將模糊觀察值轉換成為一

組明確數值之後利用該組明確數值以傳統的最小平方法求解迴歸係

數第二階段則是以Kim 與Bishu 所提之評估準則為目標式決定一個誤

差項估計值的模糊數以使得在Kim 與Bishu (1998)評估準則下的總誤差量

為最小該方法的特別之處在於求解的迴歸係數為明確數值而誤差項估計

值為模糊數值雖然此種求解方式可以得到很小的估計誤差但因其所著

眼的仍是Kim 與Bishu 評估準則下的面積估計誤差使得當觀察值與估計

值歸屬函數之間不具有交集時所衡量出的估計誤差較真實誤差為小且其

求解方法比較適合於觀察值為三角或梯形的模糊數值欲應用於其他型式

的模糊數值求解上則較為困難而在邱清爐(民 91)的博士論文中則是將

其兩階段求解方法對各種不同的模糊迴歸模式進行建構與評估並將其求

解方法應用於工作滿意度實例

5 其他求解方法與相關研究

27

Tanaka 等人(1995)後來提出另外一種模糊迴歸模式的求解方法將傳

統的估計誤差當作是存在解釋變數與反應變數之間的關係之可能性

(possibility)故模糊觀察值的展度可以直接轉換成迴歸係數的指數可能性

分配(exponentialpossibility distribution)而可以使用與傳統迴歸非常類似的

方式加以求解Tanaka與 Lee (1999)再利用辨識方法(identification method)

求解迴歸模式在其研究中利用辨識方法以決定模糊線性系統(fuzzy linear

system)中迴歸係數的可能性分配並認為由此方法所求解的迴歸係數會

有比較小範圍的可能性分配近年來有愈來愈多的學者將模糊迴歸分析

應用於其他傳統的決策方法及不同領域上如 Dunyak 與 Wunsch(2000)使

用 α 截集的端點以類神經網路(neuralnetworks)進行模糊迴歸分析Lee

與 Chen(2001)則將模糊迴歸模式使用於人力預測的問題上Tseng 等人

(2001)將由模糊迴歸模式建立之 ARIMA 模式用以預測匯率Tseng 與

Tzeng(2002)則利用模糊迴歸模式的求解方法以建構具有季節變動的

ARIMA 模式Kim 與 Bishu(1996)應用於人力可靠度分析的操作反應時間

上Wu 與 Tseng(2002)將其模糊迴歸模式應用在景氣對策信號上的分析

王景男(民 89)將模糊迴歸分析應用於籃球比賽攻防技術策略上曹勝雄

曾國雄江勁毅(民 85)以國人赴港旅客需求之預測為例說明傳統迴歸

模糊迴歸類神經網路之差別張良斌陳育民(民 86)將模糊目標迴歸法

應用在垃圾衛生掩埋場沼氣回收設備的成本估算謝邦昌林燦隆呂理

添(民 85)將模糊迴歸運用在甘蔗產量的預測對於上列有關模糊迴歸分析

的研究中絕大部份的文章均侷限於線性模式的分析鮮有文章討論非線

性模糊迴歸模式的求解最近雖然有少數學者開始討論非線性模糊迴歸模

式的解法如 Xu(1997)Buckley 與 Feuring(2000)的研究等但使用的方

法所求解的迴歸係數仍然為模糊數值其造成反應變數估計值的展度會

隨著解釋變數之數值增加而擴大的問題仍無法避免

28

第三章 研究方法

本章介紹本文將運用於數值分析中的預測研究方法利用本章建構的

方法可清楚了解如何利用混沌理論基於相空間重構的方式及模糊迴歸方

法於預測中

31 混沌時間序列建立預測方法

時間序列的模型建構和預測是資料處理研究領域中的重要方向其中

預測方法主要有線性和非線性預測方法兩種預測就是對未來作出估計和

推斷而通常要對研究對象或資料進行假設這一過程稱為建模利用建

模的方式獲得資料的科學表示就稱為模型混沌時間序列雖然看似隨機

但它卻是由確定系統產生的因此我們可以對混沌時間序列作出短期預測

同時由於混沌對初始條件微小差異的高度敏感性我們無法對混沌時間序

列作出長期預測每一步預測帶來的微小偏差都會使得下一步預測的偏差

擴大最終導致預測序列與原始序列完全不同

311李亞普諾夫指數判定資料混沌特性

進行預測前需根據 212節中提及的李亞普諾夫指數來判定資料是否

具有混沌特性最大李亞普諾夫指數是判斷和描述非線性時間序列是否為

混沌系統的重要參數因此是一個重要的混沌不變數

混沌系統中的李雅普諾夫指數可用來判斷系統是收斂的還是混沌的當系

統的李雅普諾夫指數中至少有一個為正時系統是混沌的 當系統的李雅

普諾夫指數均為負數時系統是收斂的 對於系統是否存在動力學混沌可以直觀的判斷最大李亞普諾夫指數是否

大於零一個正的李亞普諾夫指數代表著在系統相空間中無論初始兩

條軌跡的間距多小兩條軌跡的差別都會隨著時間的演化而成指數率的增

加而導致無法預測這就是混沌現象

312重建相空間

傳統的建模和預測方法己廣泛地應用社會科學中但大部分都是基於

線性系統混沌時間序列並不適用於非線性的混沌時間序列於是在判斷

時間序列性質後若判定序列以隨機性為主應採用從 AR 或 ARIMA 等隨

機模型來預測如果判定以混沌為主則應採用非線性確定性的方法進行

29

預測非線性時間序列的預報是經過相空間重構後對相空間中的動力軌

跡進行預報由於混沌系統具有被稱為「蝴蝶效應」的初始值敏感性所

以混沌時間序列是不能長期預測的但對於短時間內混沌系統的軌道在

相空間中具有一定的規律它們的預測性是可獲得的並比一般的基於統

計方法的預測能力要來得好

時間序列資料是時間離散後的樣本值用 表示將它「嵌入」到

一個 m維(mgt0)的空間中進行相空間重構後得到嵌入向量

(31)

由嵌入向量 可擴張成一嵌入空間 E由 Taken嵌入定理可知存

在映射面 滿足

(32)

上式表是出在拓樸的意義中可完全預測吸引子的特徵所以上式也可

表示為

(33)

其中函數 為 的一個估計值由式 (33)可得之我們可用

來預測

313相空間維度相關維度

在實作的研究上有許多方法可以用來估計混沌吸引子的維度本研

究選用較為常見的相關維度方法相關維度需先計算相關和將相空間中

所有樣本點皆計算其各別半徑收斂後之趨近值相關方程式（Correlation

Function）定義如下

(34)

其中

當 rrarr0時

兩邊同取對數可得

(35)

定義相關維度為 與 之曲線斜率為

(36)

在實際應用中經常給定一組維度 值選取適當的 r繪出

30

曲線求曲線當中直線段的斜率 如果系統存在這樣一個 值達到此

值後相應的關聯維數不再隨 的增長而變化也就是趨於飽和這表明

該序列為混沌系統其吸引子是存在的此時 值即為重構相空間的最佳

嵌入維數否則則表明該序列為隨機系統不具有混沌性

314 時間遞移數

利用 2123節中介紹的概念及 2124 中介紹的自相關函數求解出時

間遞移數的結果自相關函數公式如下

1

1

1( )( )

1( )

n k

t t k

tk n

t

t

x x x xn k

r

x xn

(37)

n為原資料樣本數k為時間遞移後的樣本點

將自相關係數計算的結果與每一筆遲延時間距離數值繪製成圖表可

由圖表中可分析辨別時間序列數據的初步基本特徵圖表繪製的結果顯示

自相關係數跟隨遲延時間距離數值的增加而顯示收歛且具有震盪循環之跡

象則表示數據具有一種規則屬於一混沌時間序列

32 複線性迴歸

確立資料為混沌後運用自我相關係數計算出時間遞移數及相空間維

度後將加入複線性迴歸運算複線性迴歸中常用的預測方法分為兩種

1 全域法

全域法就是利用相空間軌跡中的全部向量點做為擬合對象找出其

規律由此進行短期預測也就是說利用收集的大量的歷史資料利用

複線性迴歸訓練出迴歸參數再將未放進訓練迴歸參數的資料使用訓練

出的迴歸參數計算出預測值的資料型態本文還將原本的歷史資料分析

出資料的季節性後先去除季節性的影響最後再加回季節性討論預測結

果

2 局域法

局域法的基本原理是僅利用有限個鄰近點的資訊而不是利用全部的

樣本點來擬合 局域法預測是把相空間軌跡中的最後一點作為待測點對

離待測點鄰近的若干個相空間點的關係作出擬合再對預測相空間點的未

來演化規律進行預測本文使用零階局域法零階局域法是直接將鄰近樣

31

本點應用於預測根據鄰近樣本點預測 的最簡單的方法就是尋找相

空間中距離 最近的點假設距離最近的點是 那麼它的下一個樣本

點為 即可做為 的預測值

因數值資料在每日重複發生變動所以本研究又加入計算季節性指數

對趨勢線做季節性調整也就是對時間序列做季節性調整

33 模糊迴歸分析

運用模糊的概念帶進迴歸模式中處理具模糊性的資料問題此稱為模

糊迴歸分析本文利用的模糊迴歸模式主要有兩個方向一個是Tanaka et al

(1982)提出的模糊線性迴歸另一個是由Chang 與Lee (1994)所提出修正型

迴歸模式Tanaka 起初所提出的線性規劃模型

0 1

[ ( )]p n

j ij

j i

Min C X

st 0 0

(1 ) (1 )p p

j ij j ij ii

j j

X H c X y H e

(38)

0 0

(1 ) (1 )p p

j ij j ij ii

j j

X H c X y H e

0jc j R 0 1iX 0 1H 123i n 012j p

Tanaka 所提出的模糊模型未考慮到散度為負值的條件所以模糊上下

界會不斷的擴張而越來越寬大由 Chang 與 Lee (1994)所提出修正型迴歸

模式即將模糊的散度可為負值使上下界的模糊區間為遞減的情形遞

減的情形由圖 31表示

圖 31 模糊區間隨自變數越大而越窄

0

2

4

6

8

10

上界 中心線 下界

32

假設圖表中計算出的模糊迴歸函數為 0 0 1 1 Y c c X 模糊上界為

0 0 1 1UY c c X 模糊下界為 0 0 1 1LY c c X

33

第四章 數值分析

本章資料來源1台灣區車輛工業同業公會

2台北市交通局

本章所使用的數據資料為台北市交通局提供的公開的車流量資料數

值分析所使用的方法已在第三章論述利用第三章的方法分析數值預測的

準確性並結合模糊迴歸常見的兩種方法幫助決定預測的可接受範圍本

章介紹本文所利用的數學模型及方法在複線性迴歸的模型中分成混沌全

域法去季節性後的混沌全域法以及混沌局域法預測出的結果加以討論預

測的準確性再將預測值去季節性觀察準確程度最後再帶入模糊迴歸

利用 05H 加以討論如何將模糊迴歸中的散度用以選擇預測值的範圍第

一節針對傳統複線性迴歸方法並結合全域法觀念訓練資料迴歸係數討

論預測結果第二節針對傳統複線性迴歸方法並結合局域法觀念訓練資

料迴歸係數討論預測結果第三節針對預測資料去除季節性後再利用

傳統複線性迴歸方法討論預測結果第四節針對模糊迴歸的兩種方法選

擇出預測的範圍

利用第三章論述的時間遞移及相關維度的做法將本文利用具混沌性

的資料加以分析將資料先利用 212 節中介紹的李雅普諾夫指數 判定是

否具混沌性具有混沌性的資料才能利用混沌理論重構相空間若李雅

普諾夫指數 介在 0跟 1之間則表示資料具有混沌性質本文資料利用程

式計算出李雅普諾夫指數 運用自我相關係數判斷出時間遞移

數 相關維度計算出維度 我相關係數判斷時間遞移數與相關維

度的圖形以及原始資料時間遞移後的資料圖如圖 41圖 42圖 43

34

圖 41相空間維度及 lnC與 ln r斜率關係圖

圖 42相空間維度及 lnC與 ln r斜率關係圖

0

1

2

3

4

5

6

7

0 5 10 15 20

相空間維度

斜

率

d

-02

0

02

04

06

08

1

12

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33

時間遞移數

自我相關函數

35

圖 43 原始資料時間序列圖

41 複線性迴歸混沌全域法

本文所使用的資料為 10日的車流量資料利用前 9日的資料訓練出迴

歸參數將迴歸參數代入複線性數學模型中計算出的迴歸方程式為

1 2 3 4

5 6 7 8 9

10 11 12 13 14

435363 00819 00338 01777 00070

01116 01999 00299 02716 00349

01399 00056 01113 00738 02038

y x x x x

x x x x x

x x x x x

(41)

解出迴歸參數計算出複線性迴歸方程式後再將最後一日 144筆的車

流資料代入方程式中計算出預測值利用複線性迴歸混沌域法預測出的結

果如圖 44

圖 44 複線性迴歸分析預測與原始資料比較圖-全域法

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

1 53

10

5

157

209

26

1 31

3

365

41

7

469

52

1 57

3

625

67

7

729

78

1 83

3

885

93

7

989

10

41

1093

11

45

1197

12

49

1301

13

53

1405

原始資料點

原始資料點

-50

0

50

100

150

200

1

7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

103

109

115

121

127

133

139

實際值

預測值

36

由圖表的狀況可觀察出運用複線性迴歸模型預測的結果不盡理想本

研究認為運用複線性迴歸預測的結果不佳的原因有二

1 利用全域法預測是將較大量的歷史資料加入考慮訓練出迴歸參數這

樣的結果造成削弱了原本的奇異點(相較於同時段資料差異性較大的點)

的影響力

2 嵌入維度 太高對於混沌時間序列隨著嵌入維度增高歷史

對未來的影響是呈指數衰減的所以全域法所利用的資訊歷史就越長

預測的精準度就會迅速下降因此本研究將加入局域法討論預測的準

確性

42 複線性迴歸混沌局域法

局域法的做法為尋找相空間重構後的點對待測點尋找鄰近的 k個相

空間點對離待測點鄰近的若 k個相空間點的關係作出擬合並分析出複

迴歸方程式的迴歸參數本文嘗試選取 k=50~250的結果以下只列舉 k=200

的圖解釋預測結果

圖 45 複線性迴歸分析預測與原始資料比較圖-局域法(k=200)

圖 44與圖 45比較後可看出區域法預測的準確性比全域法更好某

些預測出來的結果的點與原始資料的點差異性大有明顯的偏移本研究

認為利用局域法預測的結果不佳的原因如下由圖 45可看出預測結果與

原始資料間差異性較大的點位為數列的右側 而數列尾端的資料為凌晨或

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

1

7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

103

109

115

121

127

133

139

實際值

估計值

37

是深夜的車流量因每日凌晨或是深夜的車流量變化量較少(例如某日的凌

晨十二點十分可能為 0台車或是小於 10台車經過)所以資料的差異性

較大造成頭尾的資料預測上較為不準確

因為同時段的資料可能會影響資料預測出的結果所以我們下節就以

加入季節性的考慮來加以討論預測結果

43 複線性迴歸去除季節性後混沌全域法

本文使用的車流量資料為每日 24時換算成 1440分鐘每 10分鐘記

錄一點於是本研究依資料的記錄時間點來劃分季節性將季節分成 144

個季分別求出季節性指數求取季節性指數後將每個資料點先去除季

節性利用全域法訓練出去季節性後的迴歸係數再利用複線性求出預測

值最後將去除的季節指數乘回預測點結果如下

圖 46考慮季節性複線性迴歸分析預測與原始資料比較圖-全域法

此考慮季節性因子的複線性迴歸分析預測與原始資料的比較是用全

域法去訓練迴歸參數的而由圖 44我們可以得知一開始未考慮季節因

子使用全域法的複線性迴歸預測是不準確的本研究認為原本的歷史資

料隨著季節性因子的變化該系統原本呈現複雜的動態特性實際上由於

車流量的變動有許多外在因素的影響例如氣候假期hellip等影響會使

資料的變化過程發生不同程度的偏離而對於季節性事件來說其事件發

生的過程主要受季節性參數週期性變化的影響 因此影響因素的具體形

式可以近似地表示為單一函數本文考慮季節因素對車流量的影響意即

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

1

7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

10

3

10

9

11

5

12

1

12

7

13

3

13

9 實際值

預測值

38

經過季節性分析後的得到的預測分析結果很準確如圖 46所示此結果

表示季節性影響樣本資料的情形大也代表著在季節因素影響下系統中

事件的動態變化情況是隨著季節影響參數的變化而造成系統呈現各種

各樣複雜的動態特性如週期解混沌情形hellip等

44 模糊迴歸

441Tanaka模糊迴歸

μ及 H 值之選定原則為當不確定性愈大時其 μ及 H 值愈接近 0

反之當資料不確定性愈小時μ及 H 值取愈接近 1 之值Bardossy 等人

建議其值在 05~07間為適宜根據 Tanaka在 1982年所提到的方法我們

可以求得一模糊迴歸函數並可得知其中心線與其上界及下界假定在 H =

05的情況下利用 Tanaka模糊迴歸模式算出迴歸函數為

(42)

中心線與上下界的簡單迴歸方程式為

中心線 (43)

上界 (44)

下界 (45)

繪製出的圖形如圖 47所示

圖 47 Tanaka 模糊迴歸

0

50

100

150

200

250

300

1

7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

103

109

115

121

127

133

139

下界

中心線

上界

39

圖 48 Tanaka 模糊迴歸中心線與預測值之結合

從圖 48可看出預測值與模糊迴歸的中心線 有明顯的時間差異但由

圖可以觀察出模糊迴歸的中心線 的預測趨勢與實際值是相近的雖然利

用模糊迴歸預測的時間點比實際時間快但是相對來說也是可以用來預

測之後將發生的趨勢本研究認為若模糊迴歸可用於預測中則可用模糊

的散度 c當做預測行為中選取的可接受的變動範圍如圖 49最後將 Tanaka

模糊迴歸中心線上下界與實際值之結合如圖 410所示

圖 49 Tanaka 模糊迴歸中心線上下界與實際值之結合

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

1

8

15

22

29

36

43

50

57

64

71

78

85

92

99

106

113

120

127

134

141

實際值

中心線

0

50

100

150

200

250

300

1

7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

103

109

115

121

127

133

139

實際值

下界

上界

預測

值

預測值

40

圖 410 Tanaka 模糊迴歸中心線上下界與實際值之結合

442修正型 Tanaka模糊迴歸

因為我們要將模糊迴歸應用於預測中所以本研究將複線性迴歸的趨

勢線視為模糊迴歸的中心線再利用修正型 Tanaka模糊迴歸模式算出迴歸

函數為

(46)

中心線與上下界的簡單迴歸方程式為

中心線

上界

下界

繪製出圖形如圖 411

0

50

100

150

200

250

300

1 7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

103

109

115

121

127

133

139

實際值

預測值

下界

上界

41

圖 411 修正型模糊迴歸中心線上下界與實際值之結合

本研究使用的修正型模糊迴歸中心線與傳統的迴歸方程式相同所以

可用來處理或分析模糊資料與明確資料同時修正型模糊迴歸的上下界

與 Tanaka 模糊迴歸相較也變窄了此兩種現象就是修正型迴歸的特色因

為中心線與傳統的迴歸方程式也相同這種修正型迴歸散度可選擇為負值

的特色本研究認為可以應用在預測上因為上下界與中心線間的散度變

窄使得前文所敘述到的利用散度來選取預測範圍便可更為嚴格也可

使預測的結果更為可靠如圖 412所示

圖 412 Tanaka 上下界與修正型模糊迴歸上下界的寬度差別

0

50

100

150

200

250

1 7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

103

109

115

121

127

133

139

下界

中心線

上界

0

50

100

150

200

250

300

1 8 15

22

29

36

43

50

57

64

71

78

85

92

99

106

113

120

127

134

141

Tanaka下界

Tanaka上界

Tanaka修正型下界

Tanaka修正型上界

42

第五章 結論及未來研究方向

51 結論

根據前文的討論傳統迴歸和模糊迴歸建立在不同的理論基礎上傳

統迴歸是以機率為基礎而模糊迴歸則是以可能性為基礎傳統迴歸因變

數的估計值與觀測值之間的差異為因變數的隨機性而模糊迴歸因變數的

估計值則產生於觀測值之模糊度惟兩者最大不同處在於模糊迴歸式的

迴歸係數與預測值皆為模糊數（區間值）不同於傳統迴歸係數與預測值

均為明確的數值此外傳統迴歸侷限於對明確資料的分析可能性模糊

迴歸僅適用於分析具模糊性的資料而複合的模糊迴歸則可同時適用於分

析模糊與明確的資料此為此模式最大的特點

模糊迴歸應用於預測中大多的結果是不佳的但是我們透過結合混

沌與模糊迴歸的概念將混沌的預測單點概念拓展成一個可接受的預測

範圍

PT Chang 與ES Lee 使用修正型模糊迴歸重新定義散度做出新的

模糊上下界均為改善模糊迴歸模式Tanaka之研究本研究將模糊迴歸與

混沌理論之建立時間序列的預測情形加以結合討論發現模糊迴歸在預測

的行為中是可行的但可惜的是即使預測的趨勢相近但預測值出時間

的點卻有差別這樣的結果我們可以看出若能找到解決加強模糊與複線性

迴歸關係之間時間的關聯性就能利用模糊的不確定性來討論預測問題

52 未來之研究方向

本研究將模糊迴歸與混沌理論之建立時間序列的預測情形加以結合討

論發現模糊迴歸在預測的行為中是可行的但可惜的是即使預測的趨

勢相近但預測值出時間的點卻有差別這樣的結果我們可以看出若能找

到解決加強模糊與附線性迴歸關係之間時間的關聯性就能利用模糊的不

確定性來討論預測問題

為了符合現今社會多元的狀況模糊迴歸與傳統迴歸之觀念勢必加以

混合應用也為了解決此等問題混合式迴歸（Hybrid Regression）在近年

來被提起也因此參數的估計模糊迴歸與傳統迴歸的混合應用將成

為往後繼續研究探討之目標

建議未來可用模糊加權修正模糊迴歸使模糊迴歸在預測上更能直接

43

將對事物多個構面評估的意見與其影響事物狀況的重要程度作加權的運

算

44

參考文獻

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12

(29)

其中 為常態 n 隨機變數期望值 E(ε)=0且彼此互相獨立若有 n

組樣本觀測值(ngtp)組我們就可將方程式寫成

(210)

其中 i=123hellipn

若將複線性迴歸寫成矩陣可得下式

(211)

也可將式(211)寫成矩陣形式

(212)

其中 為觀察值向量 為參數向量 為自變數矩陣 為獨立之常態

隨機變數向量且滿足 向量 Y的期望值表示如下

(213)

複線性迴歸之最小平方標準方程式矩陣表示為

(214)

其中

為最佳模式之參數矩陣因此可求得最小平方估計式矩陣

表示為

(215)

其中 為 之轉置矩陣 為 之反矩陣只要利用式(215)

即可獲得複線性迴歸方程式

23 模糊理論

模糊理論是由美國加州大學伯克利分校電氣工程系的L A Zadeh在

1965年首次提出Zadeh在1965年發表了一篇傳統科學皆以排除具模糊性的

研究為主而模糊理論則以包含模糊性的研究為主現今科學發達所要

探討的議題越來越多由於人類的知識與研究會因本身主觀的意識因應

不同的人事時地物而具模糊性使得無法清楚呈現研究的本質為何要

13

在日常生活中精確地描述一個現象必定忽略其中的些微變化然而此描

述又無法真實描述現實因此模糊理論(Fuzzy Theory)正好能被廣泛應用在

研究上

模糊概念是指這個概念的外延具有不確定性或者說它的外延是不清

清楚的是模糊的例如好的壞的好壞的概念我們非常清楚但是

它的外延也就是究竟事件發生的條件到底是要如何才會是好的跟壞的

每個人的回答都會是不同的這就是一個模糊的概念所以當我們在接

觸模糊時是允許主觀意識的因為每個人對模糊的概念不盡相同儘管

如此當我們利用模糊統計方法進行分析時對於好與壞之間的界限又有

一定的概念

其次模糊性與精確性是相對立的但卻不能將模糊性理解成較差的

結果因為實際上我們在處理客觀事物時經常藉助於模糊性例如

若我們要在路上找一位「年輕的漂亮女孩」「年輕」及「漂亮」都是模

糊的概念但對我們而言這在路上不難找到因為我們的大腦會分析什麼

是「年輕」及「漂亮」於是我們就可以判斷出我們要找的人然而若我

們要求必須用電腦查詢「年輕的漂亮女孩」我們就必須將「年輕」及「漂

亮」這兩個模糊的條件利用具體的數據輸入電腦分析才能找到符合我們

要求的人

最後人們對模糊性的認知常與隨機性混淆其實它們之間有著很大

的不同隨機性是本身具有明確意義只是因為發生的條件不充分使得

在條件與事件之間不能產生確定的因果關係所以事件的出現與否表現出

一種不確定性而事物的模糊性是指我們要處理的事物的概念本身就是模

糊的即一個對象難以確定是否符合這個概念也就是由於概念外延模糊

而帶來的不確定性

231模糊的發展

模糊理論是在美國加州大學伯克利分校電氣工程系的 LAzadeh 教授

於 1965年創立的模糊集合理論的數學基礎上發展起來的主要包括模糊集

合理論模糊邏輯模糊推理和模糊控制等方面的內容

早在 20世紀 20年代著名的哲學家和數學家 B Russell就寫出了有關

「模糊性」的論文他認為所有的自然語言均是模糊的比如「紅的」和

「老的」等概念沒有明確的內涵和外延因而是不明確的和模糊的可是

14

在特定的環境中人們用這些概念來描述某個具體對象時卻又能心領神會

很少引起誤解和歧義

美國加州大學的 L A Zadeh 教授在 1965 年發表了著名的論文文中

首次提出表達事物模糊性的重要概念隸屬函數從而突破了 19世紀末勒

內middot笛卡爾（Rene Descartes）的經典集合理論奠定模糊理論的基礎1966

年P N Marinos發表模糊邏輯的研究報告1974年L A Zadeh 發表模

糊推理的研究報告從此模糊理論成了一個熱門的課題1974 年英國

的 E H Mamdani 首次用模糊邏輯和模糊推理實現了世界上第一個實驗性

的蒸汽機控制並取得了比傳統的直接數字控制演算法更好的效果從而

宣告模糊控制的誕生1980年丹麥的 LPHolmblad 和 Ostergard 在水泥窯

爐採用模糊控制並取得了成功這是第一個商業化的有實際意義的模糊控

制器

事實上模糊理論應用最有效最廣泛的領域就是模糊控制模糊控

制在各種領域出人意料的解決了傳統控制理論無法解決的或難以解決的問

題並取得了一些令人信服的成效

模糊控制的基本思想把人類專家對特定的被控對象或過程的控制策略總

結成一系列以ldquoIF THENrdquo形式表示的控制規則通過模糊推理得到控製作用

集作用於被控對象或過程控製作用集為一組條件語句狀態語句和控

製作用均為一組被量化了的模糊語言集如「正大」「負大」「正小」

「負小」零等

模糊控制的幾個研究方向

1 模糊控制的穩定性研究

2 模糊模型及辯識

3 模糊最優控制

4 模糊自組織控制

5 模糊自適應控制

6 多模態模糊控制

模糊控制的主要缺陷

信息簡單的模糊處理將導致系統的控制精度降低和動態品質變差若

要提高精度則必然增加量化級數從而導致規則搜索範圍擴大降低決策

15

速度甚至不能實時控制模糊控制的設計尚缺乏系統性無法定義控制

目標控制規則的選擇論域的選擇模糊集的定義量化因數的選取多

採用試湊發這對複雜系統的控制是難以奏效的

232模糊至今應用的範圍

模糊理論發展至今已接近三十餘年應用的範圍非常廣泛從工程科

技到社會人文科學都可以發現模糊理論研究的蹤跡與成果我們分別由工

程科技與社會人文科學的角度瞭解模糊理論應用的範疇

1 工程科技方面

(1) 型樣識別文字識別指紋識別手寫字體辨識影像辨識語音

辨識

(2) 控制工程機器人控制汽車控制家電控制工業儀錶控制電

力控制

(3) 信號及資訊處理影像處理語音處理資料整理資料庫管理

(4) 人工智慧及專家系統故障診斷自然語言處理自動翻譯地震

預測工業設計

(5) 環保廢水處理凈水處理廠工程空氣污染檢驗空氣品質監控

(6) 其他建築結構分析化工製程控制

2 教育社會及人文科學方面

(1) 教育教學成果評量心理測驗性向測驗電腦輔助教學

(2) 心理學心理分析性向測驗

(3) 決策決定決策支援決策分析多目標評價綜合評價風險分

析

233模糊集合

過去傳統數學上集合的基本定義是以二值邏輯(Binary Logic)為基礎的

方式來描述事物為屬於或不屬於此集合也就是元素 x和集合 A的關係

只能是isinA或notinA明確的判斷對象為所屬集合也就是明確集合(Crisp Set)

如果要描述適當的模糊事物時須將所屬集合的概念模糊化使之無明確

判對象所屬的集合模糊集合是指在界限或邊界不分明且具有特定事物的

集合以建立隸屬函數(Membership Function)來表示模糊集合承認論域

(Universe of Discourse)上存在既非完全屬於集合A又非完全不屬於集合A

16

使傳統集合的絕對屬於的概念改變為相對屬於的概念以數學式表示論域

U 上的模糊集合 A可表示為元素 x與它的歸屬函數集合

(216)

其中 A為一模糊集合 為歸屬函數x稱作元素U為論域一

般情況下歸屬度會界定在 0跟 1之間

(1) =0表示元素 x不屬於

(2) =1表示元素 x完全屬於

(3) 趨近 0表示元素 x極不可能屬於

(4) 趨近 1表示元素 x極有可能屬於

這個表示式的完整解釋為當 x 在 U 的範圍內會對應到一個介於 0

到 1之間的數值 所有這種 x所成的集合就是一個模糊集合模糊集

合可表示為

1 當論域Ｕ為有限離散(discrete)集合的情形下模糊集合 可表示成

(217)

2 當論域Ｕ為實數論域所組成之在連續(continuous)集合的情形下模糊

集合 可表示成

isin (218)

其中 並非積分符號而是單純的連結符號

234 模糊數(Fuzzy Number)

1 模糊數(triangular fuzzy number)

假設 是模糊集合或模糊數(FN)在實線 2R 上則以三角形隸屬函數

(triangular membership function）表示為 1 2 3( )a a a 2 x R to A 則

1

1 2 1 1 2

3 3 2 2 3

3

0

( ) ( ) ( )

( ) ( )

0

x a

x a a a a x aA x

a x a a a x a

x a

(217)

17

1

其隸屬函數圖形如圖 21

圖 21 三角模糊數

2 梯形模糊數(trapezoidal fuzzy number)

梯形模糊數可表示為 如圖 22其隸屬度函數定義為

(218)

其隸屬度函數如圖 22

圖 22梯形模糊數

a b c d

1

18

在一信賴區間 α水準α 01 我們定義 A

( )A x A x (218)

三角形隸屬度函數以 α-cut表示為

( ) ( )

1 3 1 1 2 3 2 3[ ] [ ( ) ( )]A a a a a a a a a

(219)

( )

1a 與 ( )

3a 個別代表 A的下界及上界

根據模糊算術方法Zadehrsquos sup-min 方法表示如下

( )( ) sup min( ( ) ( ))x y z

A B z A x B y

(220)

其中 sup表任何模糊算式Mizumoto and Tanaka（1976）使用相同方

法在 α 截集模糊數和區間算術Chang（2003）和 Chang et al （2006）和

Chang and Hung（2006）整理使用 α 截集模糊算術方法的文獻α截集模

糊算術中模糊數基本運算公式（加法減法乘法除法）可以計算的

更快在每一個 α-level 區間中使用區間算術（Kaufmann and Gupta

1988）

1 模糊數加法

令A和 B分別為兩模糊數 A和 B在一信賴區間 α水準 ( ) ( )

1 2[ ]A a a

( ) ( )

1 2[ ]B b b αisin 01 forall A B sub 2R 表示如下

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 2 1 2 1 1 2 2[ ] [ ] [ ]A B a a b b a b a b

forallαisin 01 (221)

2 模糊數減法

在一信賴區間 α水準forall A B sub 2R αisin 01

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 2 1 2 1 2 2 1[ ] [ ] [ ]A B a a b b a b a b

(222)

3 模糊數乘法

在一信賴區間 α水準forall A B sub 2R αisin 01

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 2 1 2 1 1 1 2 2 1 2 2

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 1 1 2 2 1 2 2

[ ] [ ] [min(

max( )]

A B a a b b a b a b a b a b

a b a b a b a b

(223)

4 模糊數除法

在一信賴區間 α水準forall A B sub 2R αisin 01

19

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 1 1 2 2

1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 2 1 2 1 2 1 2

[ ] [ ] [min( )max( )]a a a a a a a a

A B a a b bb b b b b b b b

式中 ( )

1b ( )

2b gt0forallαisin[01] (224)

235模糊運算

根據 Zadeh（1965）的擴展原理（Extension Principle）可以廣義的使

用一般基準 T取代原來的最小值模糊數的數學運算表示如下

1 加法

( )( ) sup ( ( ) ( ))x y z

A B z T A x B y

(225)

2 減法

( )( ) sup ( ( ) ( ))x y z

A B z T A x B y

(226)

3 乘法

( )( ) sup ( ( ) ( ))x y z

A B z T A x B y

(227)

4 除法

( )( ) sup ( ( ) ( ))x y z

A B z T A x B y

(228)

24 模糊迴歸

在科學研究過程中許多研究者常使用迴歸來描述自變數 x和應變數 Y

之間的關係傳統的迴歸分析均假設觀察值由實際應變數影響加上隨機誤

差而產生也就是說應變數是一種帶有不確定性的隨機變數不過在很

多的實務應用上往往無法滿足這樣的假設例如有些應變數 Y 的觀察值

並不是以單一數值的型式存在而是帶有多重隸屬的特性這些觀察值雖

然帶有不確定性但這種不確定的特性是來自於模糊現象而非隨機現象

若由模糊觀點套用迴歸分析來處理模糊資料問題就稱為模糊迴歸分析

模糊迴歸分析最早是由 Tanaka et al (1980) 提出一般模糊迴歸能夠處理的

樣本型式有兩種一種是實數值樣本 其中 為實數向量 為觀測

到的實數值另一種是模糊數樣本( 其中 為觀測到的模糊數不論

是實數值樣本或是模糊數樣本想要估計模糊迴歸參數估計方法大都是

20

利用線性規劃的技巧來尋求一組能將實數值樣本 或模糊數樣本(

包含在內的區間再將三角形隸屬函數（triangular membership function）套

用

在此區間上如此便求得一組模糊迴歸估計式要得到正確的估計結

果最好是收集具有代表性的隸屬函數樣本所謂具有代表性的隸屬函數

樣本應該是以模糊數的形式存在所以本文就樣本模糊數 進行討論

線性模糊迴歸模式常表示成

0 1 1 2 2( ) i i i p piY x A A x A x A x (229)

其中 1 2 3(1 ) i i i i p ix x x x x 為自變數向量 ( )iY x 為模糊應變數

為模糊參數利用樣本模糊數 估計參數 時通

常假設 與 的隸屬函數為對稱三角型式 與 的隸屬函數表達如下

( ) max 1 0 i

i

Y

i

t yt t

r

(230)

其中 為三角隸屬函數的中點 為三角隸屬函數的分布半徑可令

( ) max 1 0 m

m

A

m

t ct t

s

(231)

其中 為三角形的中點 是三角形的分布半徑 與 間的關係

如圖 23所示

圖 23模糊數的中心值與散佈值

1

0

21

再令 則前述的模糊迴歸方程式可改寫成

0 1 1 2 20 1 2( ) i i ipi p pY x x xC S xC S C S C S (232)

因此模糊應變數 ( )iY x 的隸屬函數也屬於三角型式可表示成

( )

0

0

( ) max 1 0 Y xi

p

m m

m

p

m mi

m

t c x

t t

S x

(233)

其中 因此只要估計出三角形的中點 及半徑 便可得到

隸屬函數的估計值模糊迴歸分析是在要求每一個觀測值 隸屬於模糊

迴歸區間的隸屬程度至少 的情況之下尋求最小的模糊迴歸預測區間如

(234)式表示

forall ( 234)

在利用 對未知的模糊參數 進行估計前一般先定

義模糊樣本 和模糊應變數 的 h截集其定義如下

令 為一組模糊樣本 ( )iY x 為模糊應變數若 與

分

別為 及 的 h截集(h-cut)則

(235)

(236)

因具代表性的樣本 其 h 截集 應要盡量接近模糊應變數 的 h

截集 意即

其中容許

不完全落在 之

內的情形發生根據以上觀點王景南(2002)認為樣本的左端點

和右端點 隸屬於 的程度會有一定的水準於是設立此水準

為 H因此假設 隸屬於 的隸屬度會盡量的接近 H其間的關係

為

( 與

( (237)

所謂的盡量接近 H是可允許隸屬度大於 H或小於 H而不是均大於

22

H

根據以上的對樣本的解釋運用最小平方法以所有樣本的左端點

配置一迴歸直線稱之為左端直線估計式

(238)

其中 為迴歸係數再以所有右端點 配置右端

直線估計式

(239)

其中 為迴歸係數

前文已假設樣本的左右端點隸屬於 的隸屬度會盡量的接近 H所

以將這兩條直線函式來估計 之 H截集的左右邊界即

(240)

如此可推導出 的隸屬函數為

(241)

其中 且

(242)

意即

(243)

其中

為三角形底邊中點是

分布半徑如此便可得一組估

計的模糊迴歸模式

(244)

仍需注意的是當樣本為對稱型態時左右迴歸函數式其配適的結果式

相同的只有常數項不同當對稱情形發生時可以考慮利用各別對應相

之權重除以常數項的分布半徑做為個別對應項之分布半徑意即

分布半徑

除此之外Celmins及Diamond Celmins也分別提出最小平方法之模糊迴

23

歸模式以便求解資料間距離最小的模糊迴歸方程

模糊迴歸應用上比統計迴歸更具彈性統計迴歸通常需要大量資料以

支持其假設而模糊迴歸卻無此需求因此當資料量不足或隨機性難以驗

證時模糊迴歸是較強健的(Robust)同時當所蒐集之資料的不確定性乃

來自於人類之主觀判斷時模糊迴歸較具適用性

因此模糊迴歸模式逐漸受到重視在1990年代的研究包括Sakawa及

Yano針對投入變數與輸出變數皆為模糊資料的問題建構出一個多目標的模

糊迴歸模式此外Chang和Lee則認為模糊迴歸中心線的趨勢與模糊迴歸散

佈值的趨勢可以存在不一致性為了分析統計迴歸與模糊迴歸的差異Kim

Moskowitz 及Koksalan 利用模擬分析比較統計迴歸與模糊迴歸的結果認

為由機率論所得的統計迴歸模式在大樣本時其預測績效遠比可能性理論

(Possibility theory)推演而得的模糊迴歸模式為佳然而當資料量遞減或所構

建的模式適合性變差時(即變數間存在模糊關係)則模糊迴歸模式的預測績

效將優於統計迴歸模式由於模糊迴歸模式在解決資料量少及系統關係模

糊不清的問題上具有較佳之績效而存在其正面之價值當變數間存在模

糊關係時

從早期到目前已發展出多種模糊迴歸模式求解方式以下根據薛展青

(2004)所整理的模糊迴歸分析整裡敘述如下

1 區間迴歸法

區間迴歸法(interval regression)其模型架構主要是由Tanaka et al(1982)

所提出的模糊線性迴歸(fuzzy linear regression)模型Tanaka et al(1982)所發

表的論文中表示傳統的迴歸模型中造成實際值與估計值的誤差來源被

認為是由測量或觀察所造成的而此誤差項在模糊線性迴歸模型中是因

模糊系統中參數的模糊性所產生的即誤差是反應模糊線性函數的模糊現

象因此以模糊線性函數來表示迴歸方程式而迴歸參數則是以模糊集合

來表示

Tanaka et al(1982)在估計模糊迴歸參數時是利用線性規劃技巧

(linearprogramming method)來尋求一組能將實數值樣本或模糊數樣本全部

包含的區間最後求得一組對稱三角形模糊數之迴歸參數

自Tanaka等人(1982)的文章發表之後後續的學者大多以此為基礎陸

續題出各種相關的模式與求解方法如Peters (1994)將Tanaka的線性規劃法

24

求解推廣為模糊線性規劃法求解讓資料對模糊迴歸模式的適應性更加提

升YenGhoshray 與Roig (1999)提出由於非對稱迴歸係數導因於大多數的

資料為離群值使得對稱三角迴歸係數不再適用因此將Tanaka et al的模

式推廣為非對稱三角迴歸係數Moskowitz 與Kim (1993)探討不同水準值下

模糊迴歸模式的求解與模式配適程度Redden 與Woodall (1996)探討模糊

迴歸分析預測未來值的結果Sakawa 與Yano (1992)將Tanaka的方法擴展到

依變數及自變數皆是模糊集合的情況並將之稱為多目標線性迴歸法

(multiobjective linear regression model)Koumlrner 與Naumlther (1998)討論解釋變

數與反應變數兩者皆為模糊數值的情況Kacprzyk 與Fedrizzi (1992)則蒐集

了各種不同迴歸模式的求解方法Redden 與Woodall (1994)說明Tanaka後

續提出的求解模式當中所具備的性質以及與傳統迴歸方法的差異比較

但是在此模式下求解之迴歸係數本身亦為一對稱的三角模糊數值

而且求解結果很容易受到資料尺度(scale)的影響使得反應變數估計值之展

度會變得更為寬廣後來Tanaka (1987)根據1982年的文獻發展為更完整的

可能性線性系統使模糊迴歸的結構更趨適應性Tanaka 與Watada (1988)

闡明可能性線性模式的概念推演建構成可能性線性迴歸模式Tanaka et

al(1989)應用模糊資料於可能性迴歸系統中並建構最小化最大化及混合

式三種線性規劃模式又對先前所提出的模式加以修正但就如Redden 與

Woodall (1994)所指出Tanaka 類型的模式對於離群值(outlier)的反應非常

敏感甚至在觀察值的個數增加時求解結果可能會產生無限多解因

此在Tsaur 與Wang (1999)提出的文獻對於在模糊迴歸分析中的離群值進行

一系列探討

2 模糊最小平方法

模糊最小平方法(fuzzy least squares)乃擴展傳統之最小平方法的觀念

最早由Diamond (1988)所提出利用傳統最小平方法的觀念求出一個模糊

迴歸模式以估算(approximate)反應變數的觀察值並非如區間迴歸中的包含

觀察值在其模式中利用反應變數的觀察值與估計值的模糊數值之最小

值最可能值與最大值定義兩者之間的距離以衡量迴歸模式與模糊資

料之間的最佳配適度的情形在使得所有觀察值與估計值的模糊數值之間

的距離平方總和為最小時可以導出類似傳統迴歸分析中的正規方程式

(normal equation)以求解迴歸係數

25

其後Chang 與Lee (1996)則將Diamond (1988)的方法加以擴充將迴

歸係數的最可能值與展度分別估計該方法的特點在於可將極端值(outlier)

加以處理並降低其影響程度Ma等人(1997)則將此類方法發展於適合非

三角模糊數值的場合Diamond 與Koumlrner (1997)則在此類方法中定義一

個判定係數的計算方法以比較不同模式的適合性Wu與Tseng (2002)提出

改善模糊迴歸模式之最小平方法其模式主要觀念是利用最小平方法將所

有樣本的左端點及右端點各配置一條迴歸線然後在將其左右迴歸線統合

成一條迴歸線

而在Kim 與Bishu (1998)的研究中是利用各個具有三角模糊數值的反

應變數之最小值最可能值與最大值以最小平方法分別計算出模糊迴歸

係數所得到的係數不一定為對稱的三角模糊數在此種求解方式下雖

然可以得到比較小的估計誤差但其缺點是無法處理解釋變數為模糊數的

情形另外Kim 與Bishu(1998)還提出了評估模糊迴歸模式的準則利用觀

察值與估計值歸屬函數之間面積的差異做為迴歸模式的估計誤差但其評

估準則的問題是無法比較不同模式在觀察值與估計值歸屬函數之間不具有

交集時的誤差情況在此情況下求算估計誤差時無法準確評估其總誤差而

導致評估失真而其他學者如Yang與Ko (1997)Yang 與Lin (2002)等則

是提出以最小平方法為基礎的模糊聚類分析求解方式

3 模糊隨機變數估計法

為了建構一個同時具有隨機和模糊特性的系統Kwakernaak (1978)首

先提出模糊隨機變數(fuzzy random variables)的概念認為傳統的隨機變數

U Ωrarr R為實數可測函數而模糊隨機變數則將一般隨機變數的概念廣義

化模糊隨機變數可表示為X ΩrarrS設ω isinΩ而ω 所對應到的不再是實

數值U(ω)而是模糊集合X (ω)S 代表模糊集合且Kwakernaak (1978)擴

充原來Zadeh 提出模糊集合之架構認為有時供作參考的資訊不齊全在

對某些述句進行評斷時我們無法判斷其絕對為真或絕對為假此時我

們考慮將原有的二元邏輯思維方式推廣暫且不作肯定的判決而僅是表

達出對錯的程度換句話說真值可以是介於單位區間[01] 內的任何值

如此思維方式稱之為多值邏輯(multivalued value)並將模糊集合視為一組

述句(statement)的集合且每個述句均對應一真值程度以符合人類的思維與

想法Stein 與Talati (1981)利用模糊數值的隸屬函數提出模糊隨機變數

26

的期望值之計算方式Kruse 與Meyer (1987)藉助集合表徵的概念建立了

一套模糊隨機變數的定義而為了讓模糊隨機變數能實際應用並將討論

的範圍界定在一模糊集合族上Koumlrner (1997)及Naumlther (1997)利用該方法以

求算模糊隨機變數的期望值與變異數並應用於線性模糊迴歸模式的求解

等另外在曾能芳(民 91)的博士論文研究中指出在Tanaka et al (1982)

的模糊迴歸模式中並不具備誤差項因此模式無法呈現樣本與期望值之間

的關係而無法討論線性規劃估計程序所具備的統計性質所以在曾能芳

(民 91)提出的迴歸模式中採用模糊樣本是由依變數之模糊期望值加上測量

誤差所組成並提出測量誤差存在於中點的模糊迴歸模式以及測量誤差

同時存在於中點和半徑的模糊迴歸模式

4 兩階段求解方法

以兩階段方法(two stage method)求解模糊迴歸模式的想法是在於結合

最小平方法與區間迴歸的觀念試圖降低反應變數估計值的模糊度如Savic

與Pedrycz (1991)對模糊迴歸模式的求解分為兩個步驟進行第一步以

反應變數的模糊數值之最可能數值為基礎將模糊數值視為簡化的明確數

值以傳統最小平方法求解迴歸係數的中心值第二步利用區間迴歸的

方式在使得迴歸係數的模糊度為最小的情形下以決定迴歸係數的三角

模糊數值Kao 與Chyu (2002)提出另一種模糊迴歸模式的兩階段求解方

法在第一階段先利用解模糊(defuzzification)方法將模糊觀察值轉換成為一

組明確數值之後利用該組明確數值以傳統的最小平方法求解迴歸係

數第二階段則是以Kim 與Bishu 所提之評估準則為目標式決定一個誤

差項估計值的模糊數以使得在Kim 與Bishu (1998)評估準則下的總誤差量

為最小該方法的特別之處在於求解的迴歸係數為明確數值而誤差項估計

值為模糊數值雖然此種求解方式可以得到很小的估計誤差但因其所著

眼的仍是Kim 與Bishu 評估準則下的面積估計誤差使得當觀察值與估計

值歸屬函數之間不具有交集時所衡量出的估計誤差較真實誤差為小且其

求解方法比較適合於觀察值為三角或梯形的模糊數值欲應用於其他型式

的模糊數值求解上則較為困難而在邱清爐(民 91)的博士論文中則是將

其兩階段求解方法對各種不同的模糊迴歸模式進行建構與評估並將其求

解方法應用於工作滿意度實例

5 其他求解方法與相關研究

27

Tanaka 等人(1995)後來提出另外一種模糊迴歸模式的求解方法將傳

統的估計誤差當作是存在解釋變數與反應變數之間的關係之可能性

(possibility)故模糊觀察值的展度可以直接轉換成迴歸係數的指數可能性

分配(exponentialpossibility distribution)而可以使用與傳統迴歸非常類似的

方式加以求解Tanaka與 Lee (1999)再利用辨識方法(identification method)

求解迴歸模式在其研究中利用辨識方法以決定模糊線性系統(fuzzy linear

system)中迴歸係數的可能性分配並認為由此方法所求解的迴歸係數會

有比較小範圍的可能性分配近年來有愈來愈多的學者將模糊迴歸分析

應用於其他傳統的決策方法及不同領域上如 Dunyak 與 Wunsch(2000)使

用 α 截集的端點以類神經網路(neuralnetworks)進行模糊迴歸分析Lee

與 Chen(2001)則將模糊迴歸模式使用於人力預測的問題上Tseng 等人

(2001)將由模糊迴歸模式建立之 ARIMA 模式用以預測匯率Tseng 與

Tzeng(2002)則利用模糊迴歸模式的求解方法以建構具有季節變動的

ARIMA 模式Kim 與 Bishu(1996)應用於人力可靠度分析的操作反應時間

上Wu 與 Tseng(2002)將其模糊迴歸模式應用在景氣對策信號上的分析

王景男(民 89)將模糊迴歸分析應用於籃球比賽攻防技術策略上曹勝雄

曾國雄江勁毅(民 85)以國人赴港旅客需求之預測為例說明傳統迴歸

模糊迴歸類神經網路之差別張良斌陳育民(民 86)將模糊目標迴歸法

應用在垃圾衛生掩埋場沼氣回收設備的成本估算謝邦昌林燦隆呂理

添(民 85)將模糊迴歸運用在甘蔗產量的預測對於上列有關模糊迴歸分析

的研究中絕大部份的文章均侷限於線性模式的分析鮮有文章討論非線

性模糊迴歸模式的求解最近雖然有少數學者開始討論非線性模糊迴歸模

式的解法如 Xu(1997)Buckley 與 Feuring(2000)的研究等但使用的方

法所求解的迴歸係數仍然為模糊數值其造成反應變數估計值的展度會

隨著解釋變數之數值增加而擴大的問題仍無法避免

28

第三章 研究方法

本章介紹本文將運用於數值分析中的預測研究方法利用本章建構的

方法可清楚了解如何利用混沌理論基於相空間重構的方式及模糊迴歸方

法於預測中

31 混沌時間序列建立預測方法

時間序列的模型建構和預測是資料處理研究領域中的重要方向其中

預測方法主要有線性和非線性預測方法兩種預測就是對未來作出估計和

推斷而通常要對研究對象或資料進行假設這一過程稱為建模利用建

模的方式獲得資料的科學表示就稱為模型混沌時間序列雖然看似隨機

但它卻是由確定系統產生的因此我們可以對混沌時間序列作出短期預測

同時由於混沌對初始條件微小差異的高度敏感性我們無法對混沌時間序

列作出長期預測每一步預測帶來的微小偏差都會使得下一步預測的偏差

擴大最終導致預測序列與原始序列完全不同

311李亞普諾夫指數判定資料混沌特性

進行預測前需根據 212節中提及的李亞普諾夫指數來判定資料是否

具有混沌特性最大李亞普諾夫指數是判斷和描述非線性時間序列是否為

混沌系統的重要參數因此是一個重要的混沌不變數

混沌系統中的李雅普諾夫指數可用來判斷系統是收斂的還是混沌的當系

統的李雅普諾夫指數中至少有一個為正時系統是混沌的 當系統的李雅

普諾夫指數均為負數時系統是收斂的 對於系統是否存在動力學混沌可以直觀的判斷最大李亞普諾夫指數是否

大於零一個正的李亞普諾夫指數代表著在系統相空間中無論初始兩

條軌跡的間距多小兩條軌跡的差別都會隨著時間的演化而成指數率的增

加而導致無法預測這就是混沌現象

312重建相空間

傳統的建模和預測方法己廣泛地應用社會科學中但大部分都是基於

線性系統混沌時間序列並不適用於非線性的混沌時間序列於是在判斷

時間序列性質後若判定序列以隨機性為主應採用從 AR 或 ARIMA 等隨

機模型來預測如果判定以混沌為主則應採用非線性確定性的方法進行

29

預測非線性時間序列的預報是經過相空間重構後對相空間中的動力軌

跡進行預報由於混沌系統具有被稱為「蝴蝶效應」的初始值敏感性所

以混沌時間序列是不能長期預測的但對於短時間內混沌系統的軌道在

相空間中具有一定的規律它們的預測性是可獲得的並比一般的基於統

計方法的預測能力要來得好

時間序列資料是時間離散後的樣本值用 表示將它「嵌入」到

一個 m維(mgt0)的空間中進行相空間重構後得到嵌入向量

(31)

由嵌入向量 可擴張成一嵌入空間 E由 Taken嵌入定理可知存

在映射面 滿足

(32)

上式表是出在拓樸的意義中可完全預測吸引子的特徵所以上式也可

表示為

(33)

其中函數 為 的一個估計值由式 (33)可得之我們可用

來預測

313相空間維度相關維度

在實作的研究上有許多方法可以用來估計混沌吸引子的維度本研

究選用較為常見的相關維度方法相關維度需先計算相關和將相空間中

所有樣本點皆計算其各別半徑收斂後之趨近值相關方程式（Correlation

Function）定義如下

(34)

其中

當 rrarr0時

兩邊同取對數可得

(35)

定義相關維度為 與 之曲線斜率為

(36)

在實際應用中經常給定一組維度 值選取適當的 r繪出

30

曲線求曲線當中直線段的斜率 如果系統存在這樣一個 值達到此

值後相應的關聯維數不再隨 的增長而變化也就是趨於飽和這表明

該序列為混沌系統其吸引子是存在的此時 值即為重構相空間的最佳

嵌入維數否則則表明該序列為隨機系統不具有混沌性

314 時間遞移數

利用 2123節中介紹的概念及 2124 中介紹的自相關函數求解出時

間遞移數的結果自相關函數公式如下

1

1

1( )( )

1( )

n k

t t k

tk n

t

t

x x x xn k

r

x xn

(37)

n為原資料樣本數k為時間遞移後的樣本點

將自相關係數計算的結果與每一筆遲延時間距離數值繪製成圖表可

由圖表中可分析辨別時間序列數據的初步基本特徵圖表繪製的結果顯示

自相關係數跟隨遲延時間距離數值的增加而顯示收歛且具有震盪循環之跡

象則表示數據具有一種規則屬於一混沌時間序列

32 複線性迴歸

確立資料為混沌後運用自我相關係數計算出時間遞移數及相空間維

度後將加入複線性迴歸運算複線性迴歸中常用的預測方法分為兩種

1 全域法

全域法就是利用相空間軌跡中的全部向量點做為擬合對象找出其

規律由此進行短期預測也就是說利用收集的大量的歷史資料利用

複線性迴歸訓練出迴歸參數再將未放進訓練迴歸參數的資料使用訓練

出的迴歸參數計算出預測值的資料型態本文還將原本的歷史資料分析

出資料的季節性後先去除季節性的影響最後再加回季節性討論預測結

果

2 局域法

局域法的基本原理是僅利用有限個鄰近點的資訊而不是利用全部的

樣本點來擬合 局域法預測是把相空間軌跡中的最後一點作為待測點對

離待測點鄰近的若干個相空間點的關係作出擬合再對預測相空間點的未

來演化規律進行預測本文使用零階局域法零階局域法是直接將鄰近樣

31

本點應用於預測根據鄰近樣本點預測 的最簡單的方法就是尋找相

空間中距離 最近的點假設距離最近的點是 那麼它的下一個樣本

點為 即可做為 的預測值

因數值資料在每日重複發生變動所以本研究又加入計算季節性指數

對趨勢線做季節性調整也就是對時間序列做季節性調整

33 模糊迴歸分析

運用模糊的概念帶進迴歸模式中處理具模糊性的資料問題此稱為模

糊迴歸分析本文利用的模糊迴歸模式主要有兩個方向一個是Tanaka et al

(1982)提出的模糊線性迴歸另一個是由Chang 與Lee (1994)所提出修正型

迴歸模式Tanaka 起初所提出的線性規劃模型

0 1

[ ( )]p n

j ij

j i

Min C X

st 0 0

(1 ) (1 )p p

j ij j ij ii

j j

X H c X y H e

(38)

0 0

(1 ) (1 )p p

j ij j ij ii

j j

X H c X y H e

0jc j R 0 1iX 0 1H 123i n 012j p

Tanaka 所提出的模糊模型未考慮到散度為負值的條件所以模糊上下

界會不斷的擴張而越來越寬大由 Chang 與 Lee (1994)所提出修正型迴歸

模式即將模糊的散度可為負值使上下界的模糊區間為遞減的情形遞

減的情形由圖 31表示

圖 31 模糊區間隨自變數越大而越窄

0

2

4

6

8

10

上界 中心線 下界

32

假設圖表中計算出的模糊迴歸函數為 0 0 1 1 Y c c X 模糊上界為

0 0 1 1UY c c X 模糊下界為 0 0 1 1LY c c X

33

第四章 數值分析

本章資料來源1台灣區車輛工業同業公會

2台北市交通局

本章所使用的數據資料為台北市交通局提供的公開的車流量資料數

值分析所使用的方法已在第三章論述利用第三章的方法分析數值預測的

準確性並結合模糊迴歸常見的兩種方法幫助決定預測的可接受範圍本

章介紹本文所利用的數學模型及方法在複線性迴歸的模型中分成混沌全

域法去季節性後的混沌全域法以及混沌局域法預測出的結果加以討論預

測的準確性再將預測值去季節性觀察準確程度最後再帶入模糊迴歸

利用 05H 加以討論如何將模糊迴歸中的散度用以選擇預測值的範圍第

一節針對傳統複線性迴歸方法並結合全域法觀念訓練資料迴歸係數討

論預測結果第二節針對傳統複線性迴歸方法並結合局域法觀念訓練資

料迴歸係數討論預測結果第三節針對預測資料去除季節性後再利用

傳統複線性迴歸方法討論預測結果第四節針對模糊迴歸的兩種方法選

擇出預測的範圍

利用第三章論述的時間遞移及相關維度的做法將本文利用具混沌性

的資料加以分析將資料先利用 212 節中介紹的李雅普諾夫指數 判定是

否具混沌性具有混沌性的資料才能利用混沌理論重構相空間若李雅

普諾夫指數 介在 0跟 1之間則表示資料具有混沌性質本文資料利用程

式計算出李雅普諾夫指數 運用自我相關係數判斷出時間遞移

數 相關維度計算出維度 我相關係數判斷時間遞移數與相關維

度的圖形以及原始資料時間遞移後的資料圖如圖 41圖 42圖 43

34

圖 41相空間維度及 lnC與 ln r斜率關係圖

圖 42相空間維度及 lnC與 ln r斜率關係圖

0

1

2

3

4

5

6

7

0 5 10 15 20

相空間維度

斜

率

d

-02

0

02

04

06

08

1

12

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33

時間遞移數

自我相關函數

35

圖 43 原始資料時間序列圖

41 複線性迴歸混沌全域法

本文所使用的資料為 10日的車流量資料利用前 9日的資料訓練出迴

歸參數將迴歸參數代入複線性數學模型中計算出的迴歸方程式為

1 2 3 4

5 6 7 8 9

10 11 12 13 14

435363 00819 00338 01777 00070

01116 01999 00299 02716 00349

01399 00056 01113 00738 02038

y x x x x

x x x x x

x x x x x

(41)

解出迴歸參數計算出複線性迴歸方程式後再將最後一日 144筆的車

流資料代入方程式中計算出預測值利用複線性迴歸混沌域法預測出的結

果如圖 44

圖 44 複線性迴歸分析預測與原始資料比較圖-全域法

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

1 53

10

5

157

209

26

1 31

3

365

41

7

469

52

1 57

3

625

67

7

729

78

1 83

3

885

93

7

989

10

41

1093

11

45

1197

12

49

1301

13

53

1405

原始資料點

原始資料點

-50

0

50

100

150

200

1

7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

103

109

115

121

127

133

139

實際值

預測值

36

由圖表的狀況可觀察出運用複線性迴歸模型預測的結果不盡理想本

研究認為運用複線性迴歸預測的結果不佳的原因有二

1 利用全域法預測是將較大量的歷史資料加入考慮訓練出迴歸參數這

樣的結果造成削弱了原本的奇異點(相較於同時段資料差異性較大的點)

的影響力

2 嵌入維度 太高對於混沌時間序列隨著嵌入維度增高歷史

對未來的影響是呈指數衰減的所以全域法所利用的資訊歷史就越長

預測的精準度就會迅速下降因此本研究將加入局域法討論預測的準

確性

42 複線性迴歸混沌局域法

局域法的做法為尋找相空間重構後的點對待測點尋找鄰近的 k個相

空間點對離待測點鄰近的若 k個相空間點的關係作出擬合並分析出複

迴歸方程式的迴歸參數本文嘗試選取 k=50~250的結果以下只列舉 k=200

的圖解釋預測結果

圖 45 複線性迴歸分析預測與原始資料比較圖-局域法(k=200)

圖 44與圖 45比較後可看出區域法預測的準確性比全域法更好某

些預測出來的結果的點與原始資料的點差異性大有明顯的偏移本研究

認為利用局域法預測的結果不佳的原因如下由圖 45可看出預測結果與

原始資料間差異性較大的點位為數列的右側 而數列尾端的資料為凌晨或

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

1

7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

103

109

115

121

127

133

139

實際值

估計值

37

是深夜的車流量因每日凌晨或是深夜的車流量變化量較少(例如某日的凌

晨十二點十分可能為 0台車或是小於 10台車經過)所以資料的差異性

較大造成頭尾的資料預測上較為不準確

因為同時段的資料可能會影響資料預測出的結果所以我們下節就以

加入季節性的考慮來加以討論預測結果

43 複線性迴歸去除季節性後混沌全域法

本文使用的車流量資料為每日 24時換算成 1440分鐘每 10分鐘記

錄一點於是本研究依資料的記錄時間點來劃分季節性將季節分成 144

個季分別求出季節性指數求取季節性指數後將每個資料點先去除季

節性利用全域法訓練出去季節性後的迴歸係數再利用複線性求出預測

值最後將去除的季節指數乘回預測點結果如下

圖 46考慮季節性複線性迴歸分析預測與原始資料比較圖-全域法

此考慮季節性因子的複線性迴歸分析預測與原始資料的比較是用全

域法去訓練迴歸參數的而由圖 44我們可以得知一開始未考慮季節因

子使用全域法的複線性迴歸預測是不準確的本研究認為原本的歷史資

料隨著季節性因子的變化該系統原本呈現複雜的動態特性實際上由於

車流量的變動有許多外在因素的影響例如氣候假期hellip等影響會使

資料的變化過程發生不同程度的偏離而對於季節性事件來說其事件發

生的過程主要受季節性參數週期性變化的影響 因此影響因素的具體形

式可以近似地表示為單一函數本文考慮季節因素對車流量的影響意即

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

1

7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

10

3

10

9

11

5

12

1

12

7

13

3

13

9 實際值

預測值

38

經過季節性分析後的得到的預測分析結果很準確如圖 46所示此結果

表示季節性影響樣本資料的情形大也代表著在季節因素影響下系統中

事件的動態變化情況是隨著季節影響參數的變化而造成系統呈現各種

各樣複雜的動態特性如週期解混沌情形hellip等

44 模糊迴歸

441Tanaka模糊迴歸

μ及 H 值之選定原則為當不確定性愈大時其 μ及 H 值愈接近 0

反之當資料不確定性愈小時μ及 H 值取愈接近 1 之值Bardossy 等人

建議其值在 05~07間為適宜根據 Tanaka在 1982年所提到的方法我們

可以求得一模糊迴歸函數並可得知其中心線與其上界及下界假定在 H =

05的情況下利用 Tanaka模糊迴歸模式算出迴歸函數為

(42)

中心線與上下界的簡單迴歸方程式為

中心線 (43)

上界 (44)

下界 (45)

繪製出的圖形如圖 47所示

圖 47 Tanaka 模糊迴歸

0

50

100

150

200

250

300

1

7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

103

109

115

121

127

133

139

下界

中心線

上界

39

圖 48 Tanaka 模糊迴歸中心線與預測值之結合

從圖 48可看出預測值與模糊迴歸的中心線 有明顯的時間差異但由

圖可以觀察出模糊迴歸的中心線 的預測趨勢與實際值是相近的雖然利

用模糊迴歸預測的時間點比實際時間快但是相對來說也是可以用來預

測之後將發生的趨勢本研究認為若模糊迴歸可用於預測中則可用模糊

的散度 c當做預測行為中選取的可接受的變動範圍如圖 49最後將 Tanaka

模糊迴歸中心線上下界與實際值之結合如圖 410所示

圖 49 Tanaka 模糊迴歸中心線上下界與實際值之結合

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

1

8

15

22

29

36

43

50

57

64

71

78

85

92

99

106

113

120

127

134

141

實際值

中心線

0

50

100

150

200

250

300

1

7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

103

109

115

121

127

133

139

實際值

下界

上界

預測

值

預測值

40

圖 410 Tanaka 模糊迴歸中心線上下界與實際值之結合

442修正型 Tanaka模糊迴歸

因為我們要將模糊迴歸應用於預測中所以本研究將複線性迴歸的趨

勢線視為模糊迴歸的中心線再利用修正型 Tanaka模糊迴歸模式算出迴歸

函數為

(46)

中心線與上下界的簡單迴歸方程式為

中心線

上界

下界

繪製出圖形如圖 411

0

50

100

150

200

250

300

1 7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

103

109

115

121

127

133

139

實際值

預測值

下界

上界

41

圖 411 修正型模糊迴歸中心線上下界與實際值之結合

本研究使用的修正型模糊迴歸中心線與傳統的迴歸方程式相同所以

可用來處理或分析模糊資料與明確資料同時修正型模糊迴歸的上下界

與 Tanaka 模糊迴歸相較也變窄了此兩種現象就是修正型迴歸的特色因

為中心線與傳統的迴歸方程式也相同這種修正型迴歸散度可選擇為負值

的特色本研究認為可以應用在預測上因為上下界與中心線間的散度變

窄使得前文所敘述到的利用散度來選取預測範圍便可更為嚴格也可

使預測的結果更為可靠如圖 412所示

圖 412 Tanaka 上下界與修正型模糊迴歸上下界的寬度差別

0

50

100

150

200

250

1 7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

103

109

115

121

127

133

139

下界

中心線

上界

0

50

100

150

200

250

300

1 8 15

22

29

36

43

50

57

64

71

78

85

92

99

106

113

120

127

134

141

Tanaka下界

Tanaka上界

Tanaka修正型下界

Tanaka修正型上界

42

第五章 結論及未來研究方向

51 結論

根據前文的討論傳統迴歸和模糊迴歸建立在不同的理論基礎上傳

統迴歸是以機率為基礎而模糊迴歸則是以可能性為基礎傳統迴歸因變

數的估計值與觀測值之間的差異為因變數的隨機性而模糊迴歸因變數的

估計值則產生於觀測值之模糊度惟兩者最大不同處在於模糊迴歸式的

迴歸係數與預測值皆為模糊數（區間值）不同於傳統迴歸係數與預測值

均為明確的數值此外傳統迴歸侷限於對明確資料的分析可能性模糊

迴歸僅適用於分析具模糊性的資料而複合的模糊迴歸則可同時適用於分

析模糊與明確的資料此為此模式最大的特點

模糊迴歸應用於預測中大多的結果是不佳的但是我們透過結合混

沌與模糊迴歸的概念將混沌的預測單點概念拓展成一個可接受的預測

範圍

PT Chang 與ES Lee 使用修正型模糊迴歸重新定義散度做出新的

模糊上下界均為改善模糊迴歸模式Tanaka之研究本研究將模糊迴歸與

混沌理論之建立時間序列的預測情形加以結合討論發現模糊迴歸在預測

的行為中是可行的但可惜的是即使預測的趨勢相近但預測值出時間

的點卻有差別這樣的結果我們可以看出若能找到解決加強模糊與複線性

迴歸關係之間時間的關聯性就能利用模糊的不確定性來討論預測問題

52 未來之研究方向

本研究將模糊迴歸與混沌理論之建立時間序列的預測情形加以結合討

論發現模糊迴歸在預測的行為中是可行的但可惜的是即使預測的趨

勢相近但預測值出時間的點卻有差別這樣的結果我們可以看出若能找

到解決加強模糊與附線性迴歸關係之間時間的關聯性就能利用模糊的不

確定性來討論預測問題

為了符合現今社會多元的狀況模糊迴歸與傳統迴歸之觀念勢必加以

混合應用也為了解決此等問題混合式迴歸（Hybrid Regression）在近年

來被提起也因此參數的估計模糊迴歸與傳統迴歸的混合應用將成

為往後繼續研究探討之目標

建議未來可用模糊加權修正模糊迴歸使模糊迴歸在預測上更能直接

43

將對事物多個構面評估的意見與其影響事物狀況的重要程度作加權的運

算

44

參考文獻

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[20] 謝逸婷(2005)模糊排序法於資料包絡分析模式之應用南台科技大學工業管理研

13

在日常生活中精確地描述一個現象必定忽略其中的些微變化然而此描

述又無法真實描述現實因此模糊理論(Fuzzy Theory)正好能被廣泛應用在

研究上

模糊概念是指這個概念的外延具有不確定性或者說它的外延是不清

清楚的是模糊的例如好的壞的好壞的概念我們非常清楚但是

它的外延也就是究竟事件發生的條件到底是要如何才會是好的跟壞的

每個人的回答都會是不同的這就是一個模糊的概念所以當我們在接

觸模糊時是允許主觀意識的因為每個人對模糊的概念不盡相同儘管

如此當我們利用模糊統計方法進行分析時對於好與壞之間的界限又有

一定的概念

其次模糊性與精確性是相對立的但卻不能將模糊性理解成較差的

結果因為實際上我們在處理客觀事物時經常藉助於模糊性例如

若我們要在路上找一位「年輕的漂亮女孩」「年輕」及「漂亮」都是模

糊的概念但對我們而言這在路上不難找到因為我們的大腦會分析什麼

是「年輕」及「漂亮」於是我們就可以判斷出我們要找的人然而若我

們要求必須用電腦查詢「年輕的漂亮女孩」我們就必須將「年輕」及「漂

亮」這兩個模糊的條件利用具體的數據輸入電腦分析才能找到符合我們

要求的人

最後人們對模糊性的認知常與隨機性混淆其實它們之間有著很大

的不同隨機性是本身具有明確意義只是因為發生的條件不充分使得

在條件與事件之間不能產生確定的因果關係所以事件的出現與否表現出

一種不確定性而事物的模糊性是指我們要處理的事物的概念本身就是模

糊的即一個對象難以確定是否符合這個概念也就是由於概念外延模糊

而帶來的不確定性

231模糊的發展

模糊理論是在美國加州大學伯克利分校電氣工程系的 LAzadeh 教授

於 1965年創立的模糊集合理論的數學基礎上發展起來的主要包括模糊集

合理論模糊邏輯模糊推理和模糊控制等方面的內容

早在 20世紀 20年代著名的哲學家和數學家 B Russell就寫出了有關

「模糊性」的論文他認為所有的自然語言均是模糊的比如「紅的」和

「老的」等概念沒有明確的內涵和外延因而是不明確的和模糊的可是

14

在特定的環境中人們用這些概念來描述某個具體對象時卻又能心領神會

很少引起誤解和歧義

美國加州大學的 L A Zadeh 教授在 1965 年發表了著名的論文文中

首次提出表達事物模糊性的重要概念隸屬函數從而突破了 19世紀末勒

內middot笛卡爾（Rene Descartes）的經典集合理論奠定模糊理論的基礎1966

年P N Marinos發表模糊邏輯的研究報告1974年L A Zadeh 發表模

糊推理的研究報告從此模糊理論成了一個熱門的課題1974 年英國

的 E H Mamdani 首次用模糊邏輯和模糊推理實現了世界上第一個實驗性

的蒸汽機控制並取得了比傳統的直接數字控制演算法更好的效果從而

宣告模糊控制的誕生1980年丹麥的 LPHolmblad 和 Ostergard 在水泥窯

爐採用模糊控制並取得了成功這是第一個商業化的有實際意義的模糊控

制器

事實上模糊理論應用最有效最廣泛的領域就是模糊控制模糊控

制在各種領域出人意料的解決了傳統控制理論無法解決的或難以解決的問

題並取得了一些令人信服的成效

模糊控制的基本思想把人類專家對特定的被控對象或過程的控制策略總

結成一系列以ldquoIF THENrdquo形式表示的控制規則通過模糊推理得到控製作用

集作用於被控對象或過程控製作用集為一組條件語句狀態語句和控

製作用均為一組被量化了的模糊語言集如「正大」「負大」「正小」

「負小」零等

模糊控制的幾個研究方向

1 模糊控制的穩定性研究

2 模糊模型及辯識

3 模糊最優控制

4 模糊自組織控制

5 模糊自適應控制

6 多模態模糊控制

模糊控制的主要缺陷

信息簡單的模糊處理將導致系統的控制精度降低和動態品質變差若

要提高精度則必然增加量化級數從而導致規則搜索範圍擴大降低決策

15

速度甚至不能實時控制模糊控制的設計尚缺乏系統性無法定義控制

目標控制規則的選擇論域的選擇模糊集的定義量化因數的選取多

採用試湊發這對複雜系統的控制是難以奏效的

232模糊至今應用的範圍

模糊理論發展至今已接近三十餘年應用的範圍非常廣泛從工程科

技到社會人文科學都可以發現模糊理論研究的蹤跡與成果我們分別由工

程科技與社會人文科學的角度瞭解模糊理論應用的範疇

1 工程科技方面

(1) 型樣識別文字識別指紋識別手寫字體辨識影像辨識語音

辨識

(2) 控制工程機器人控制汽車控制家電控制工業儀錶控制電

力控制

(3) 信號及資訊處理影像處理語音處理資料整理資料庫管理

(4) 人工智慧及專家系統故障診斷自然語言處理自動翻譯地震

預測工業設計

(5) 環保廢水處理凈水處理廠工程空氣污染檢驗空氣品質監控

(6) 其他建築結構分析化工製程控制

2 教育社會及人文科學方面

(1) 教育教學成果評量心理測驗性向測驗電腦輔助教學

(2) 心理學心理分析性向測驗

(3) 決策決定決策支援決策分析多目標評價綜合評價風險分

析

233模糊集合

過去傳統數學上集合的基本定義是以二值邏輯(Binary Logic)為基礎的

方式來描述事物為屬於或不屬於此集合也就是元素 x和集合 A的關係

只能是isinA或notinA明確的判斷對象為所屬集合也就是明確集合(Crisp Set)

如果要描述適當的模糊事物時須將所屬集合的概念模糊化使之無明確

判對象所屬的集合模糊集合是指在界限或邊界不分明且具有特定事物的

集合以建立隸屬函數(Membership Function)來表示模糊集合承認論域

(Universe of Discourse)上存在既非完全屬於集合A又非完全不屬於集合A

16

使傳統集合的絕對屬於的概念改變為相對屬於的概念以數學式表示論域

U 上的模糊集合 A可表示為元素 x與它的歸屬函數集合

(216)

其中 A為一模糊集合 為歸屬函數x稱作元素U為論域一

般情況下歸屬度會界定在 0跟 1之間

(1) =0表示元素 x不屬於

(2) =1表示元素 x完全屬於

(3) 趨近 0表示元素 x極不可能屬於

(4) 趨近 1表示元素 x極有可能屬於

這個表示式的完整解釋為當 x 在 U 的範圍內會對應到一個介於 0

到 1之間的數值 所有這種 x所成的集合就是一個模糊集合模糊集

合可表示為

1 當論域Ｕ為有限離散(discrete)集合的情形下模糊集合 可表示成

(217)

2 當論域Ｕ為實數論域所組成之在連續(continuous)集合的情形下模糊

集合 可表示成

isin (218)

其中 並非積分符號而是單純的連結符號

234 模糊數(Fuzzy Number)

1 模糊數(triangular fuzzy number)

假設 是模糊集合或模糊數(FN)在實線 2R 上則以三角形隸屬函數

(triangular membership function）表示為 1 2 3( )a a a 2 x R to A 則

1

1 2 1 1 2

3 3 2 2 3

3

0

( ) ( ) ( )

( ) ( )

0

x a

x a a a a x aA x

a x a a a x a

x a

(217)

17

1

其隸屬函數圖形如圖 21

圖 21 三角模糊數

2 梯形模糊數(trapezoidal fuzzy number)

梯形模糊數可表示為 如圖 22其隸屬度函數定義為

(218)

其隸屬度函數如圖 22

圖 22梯形模糊數

a b c d

1

18

在一信賴區間 α水準α 01 我們定義 A

( )A x A x (218)

三角形隸屬度函數以 α-cut表示為

( ) ( )

1 3 1 1 2 3 2 3[ ] [ ( ) ( )]A a a a a a a a a

(219)

( )

1a 與 ( )

3a 個別代表 A的下界及上界

根據模糊算術方法Zadehrsquos sup-min 方法表示如下

( )( ) sup min( ( ) ( ))x y z

A B z A x B y

(220)

其中 sup表任何模糊算式Mizumoto and Tanaka（1976）使用相同方

法在 α 截集模糊數和區間算術Chang（2003）和 Chang et al （2006）和

Chang and Hung（2006）整理使用 α 截集模糊算術方法的文獻α截集模

糊算術中模糊數基本運算公式（加法減法乘法除法）可以計算的

更快在每一個 α-level 區間中使用區間算術（Kaufmann and Gupta

1988）

1 模糊數加法

令A和 B分別為兩模糊數 A和 B在一信賴區間 α水準 ( ) ( )

1 2[ ]A a a

( ) ( )

1 2[ ]B b b αisin 01 forall A B sub 2R 表示如下

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 2 1 2 1 1 2 2[ ] [ ] [ ]A B a a b b a b a b

forallαisin 01 (221)

2 模糊數減法

在一信賴區間 α水準forall A B sub 2R αisin 01

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 2 1 2 1 2 2 1[ ] [ ] [ ]A B a a b b a b a b

(222)

3 模糊數乘法

在一信賴區間 α水準forall A B sub 2R αisin 01

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 2 1 2 1 1 1 2 2 1 2 2

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 1 1 2 2 1 2 2

[ ] [ ] [min(

max( )]

A B a a b b a b a b a b a b

a b a b a b a b

(223)

4 模糊數除法

在一信賴區間 α水準forall A B sub 2R αisin 01

19

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 1 1 2 2

1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 2 1 2 1 2 1 2

[ ] [ ] [min( )max( )]a a a a a a a a

A B a a b bb b b b b b b b

式中 ( )

1b ( )

2b gt0forallαisin[01] (224)

235模糊運算

根據 Zadeh（1965）的擴展原理（Extension Principle）可以廣義的使

用一般基準 T取代原來的最小值模糊數的數學運算表示如下

1 加法

( )( ) sup ( ( ) ( ))x y z

A B z T A x B y

(225)

2 減法

( )( ) sup ( ( ) ( ))x y z

A B z T A x B y

(226)

3 乘法

( )( ) sup ( ( ) ( ))x y z

A B z T A x B y

(227)

4 除法

( )( ) sup ( ( ) ( ))x y z

A B z T A x B y

(228)

24 模糊迴歸

在科學研究過程中許多研究者常使用迴歸來描述自變數 x和應變數 Y

之間的關係傳統的迴歸分析均假設觀察值由實際應變數影響加上隨機誤

差而產生也就是說應變數是一種帶有不確定性的隨機變數不過在很

多的實務應用上往往無法滿足這樣的假設例如有些應變數 Y 的觀察值

並不是以單一數值的型式存在而是帶有多重隸屬的特性這些觀察值雖

然帶有不確定性但這種不確定的特性是來自於模糊現象而非隨機現象

若由模糊觀點套用迴歸分析來處理模糊資料問題就稱為模糊迴歸分析

模糊迴歸分析最早是由 Tanaka et al (1980) 提出一般模糊迴歸能夠處理的

樣本型式有兩種一種是實數值樣本 其中 為實數向量 為觀測

到的實數值另一種是模糊數樣本( 其中 為觀測到的模糊數不論

是實數值樣本或是模糊數樣本想要估計模糊迴歸參數估計方法大都是

20

利用線性規劃的技巧來尋求一組能將實數值樣本 或模糊數樣本(

包含在內的區間再將三角形隸屬函數（triangular membership function）套

用

在此區間上如此便求得一組模糊迴歸估計式要得到正確的估計結

果最好是收集具有代表性的隸屬函數樣本所謂具有代表性的隸屬函數

樣本應該是以模糊數的形式存在所以本文就樣本模糊數 進行討論

線性模糊迴歸模式常表示成

0 1 1 2 2( ) i i i p piY x A A x A x A x (229)

其中 1 2 3(1 ) i i i i p ix x x x x 為自變數向量 ( )iY x 為模糊應變數

為模糊參數利用樣本模糊數 估計參數 時通

常假設 與 的隸屬函數為對稱三角型式 與 的隸屬函數表達如下

( ) max 1 0 i

i

Y

i

t yt t

r

(230)

其中 為三角隸屬函數的中點 為三角隸屬函數的分布半徑可令

( ) max 1 0 m

m

A

m

t ct t

s

(231)

其中 為三角形的中點 是三角形的分布半徑 與 間的關係

如圖 23所示

圖 23模糊數的中心值與散佈值

1

0

21

再令 則前述的模糊迴歸方程式可改寫成

0 1 1 2 20 1 2( ) i i ipi p pY x x xC S xC S C S C S (232)

因此模糊應變數 ( )iY x 的隸屬函數也屬於三角型式可表示成

( )

0

0

( ) max 1 0 Y xi

p

m m

m

p

m mi

m

t c x

t t

S x

(233)

其中 因此只要估計出三角形的中點 及半徑 便可得到

隸屬函數的估計值模糊迴歸分析是在要求每一個觀測值 隸屬於模糊

迴歸區間的隸屬程度至少 的情況之下尋求最小的模糊迴歸預測區間如

(234)式表示

forall ( 234)

在利用 對未知的模糊參數 進行估計前一般先定

義模糊樣本 和模糊應變數 的 h截集其定義如下

令 為一組模糊樣本 ( )iY x 為模糊應變數若 與

分

別為 及 的 h截集(h-cut)則

(235)

(236)

因具代表性的樣本 其 h 截集 應要盡量接近模糊應變數 的 h

截集 意即

其中容許

不完全落在 之

內的情形發生根據以上觀點王景南(2002)認為樣本的左端點

和右端點 隸屬於 的程度會有一定的水準於是設立此水準

為 H因此假設 隸屬於 的隸屬度會盡量的接近 H其間的關係

為

( 與

( (237)

所謂的盡量接近 H是可允許隸屬度大於 H或小於 H而不是均大於

22

H

根據以上的對樣本的解釋運用最小平方法以所有樣本的左端點

配置一迴歸直線稱之為左端直線估計式

(238)

其中 為迴歸係數再以所有右端點 配置右端

直線估計式

(239)

其中 為迴歸係數

前文已假設樣本的左右端點隸屬於 的隸屬度會盡量的接近 H所

以將這兩條直線函式來估計 之 H截集的左右邊界即

(240)

如此可推導出 的隸屬函數為

(241)

其中 且

(242)

意即

(243)

其中

為三角形底邊中點是

分布半徑如此便可得一組估

計的模糊迴歸模式

(244)

仍需注意的是當樣本為對稱型態時左右迴歸函數式其配適的結果式

相同的只有常數項不同當對稱情形發生時可以考慮利用各別對應相

之權重除以常數項的分布半徑做為個別對應項之分布半徑意即

分布半徑

除此之外Celmins及Diamond Celmins也分別提出最小平方法之模糊迴

23

歸模式以便求解資料間距離最小的模糊迴歸方程

模糊迴歸應用上比統計迴歸更具彈性統計迴歸通常需要大量資料以

支持其假設而模糊迴歸卻無此需求因此當資料量不足或隨機性難以驗

證時模糊迴歸是較強健的(Robust)同時當所蒐集之資料的不確定性乃

來自於人類之主觀判斷時模糊迴歸較具適用性

因此模糊迴歸模式逐漸受到重視在1990年代的研究包括Sakawa及

Yano針對投入變數與輸出變數皆為模糊資料的問題建構出一個多目標的模

糊迴歸模式此外Chang和Lee則認為模糊迴歸中心線的趨勢與模糊迴歸散

佈值的趨勢可以存在不一致性為了分析統計迴歸與模糊迴歸的差異Kim

Moskowitz 及Koksalan 利用模擬分析比較統計迴歸與模糊迴歸的結果認

為由機率論所得的統計迴歸模式在大樣本時其預測績效遠比可能性理論

(Possibility theory)推演而得的模糊迴歸模式為佳然而當資料量遞減或所構

建的模式適合性變差時(即變數間存在模糊關係)則模糊迴歸模式的預測績

效將優於統計迴歸模式由於模糊迴歸模式在解決資料量少及系統關係模

糊不清的問題上具有較佳之績效而存在其正面之價值當變數間存在模

糊關係時

從早期到目前已發展出多種模糊迴歸模式求解方式以下根據薛展青

(2004)所整理的模糊迴歸分析整裡敘述如下

1 區間迴歸法

區間迴歸法(interval regression)其模型架構主要是由Tanaka et al(1982)

所提出的模糊線性迴歸(fuzzy linear regression)模型Tanaka et al(1982)所發

表的論文中表示傳統的迴歸模型中造成實際值與估計值的誤差來源被

認為是由測量或觀察所造成的而此誤差項在模糊線性迴歸模型中是因

模糊系統中參數的模糊性所產生的即誤差是反應模糊線性函數的模糊現

象因此以模糊線性函數來表示迴歸方程式而迴歸參數則是以模糊集合

來表示

Tanaka et al(1982)在估計模糊迴歸參數時是利用線性規劃技巧

(linearprogramming method)來尋求一組能將實數值樣本或模糊數樣本全部

包含的區間最後求得一組對稱三角形模糊數之迴歸參數

自Tanaka等人(1982)的文章發表之後後續的學者大多以此為基礎陸

續題出各種相關的模式與求解方法如Peters (1994)將Tanaka的線性規劃法

24

求解推廣為模糊線性規劃法求解讓資料對模糊迴歸模式的適應性更加提

升YenGhoshray 與Roig (1999)提出由於非對稱迴歸係數導因於大多數的

資料為離群值使得對稱三角迴歸係數不再適用因此將Tanaka et al的模

式推廣為非對稱三角迴歸係數Moskowitz 與Kim (1993)探討不同水準值下

模糊迴歸模式的求解與模式配適程度Redden 與Woodall (1996)探討模糊

迴歸分析預測未來值的結果Sakawa 與Yano (1992)將Tanaka的方法擴展到

依變數及自變數皆是模糊集合的情況並將之稱為多目標線性迴歸法

(multiobjective linear regression model)Koumlrner 與Naumlther (1998)討論解釋變

數與反應變數兩者皆為模糊數值的情況Kacprzyk 與Fedrizzi (1992)則蒐集

了各種不同迴歸模式的求解方法Redden 與Woodall (1994)說明Tanaka後

續提出的求解模式當中所具備的性質以及與傳統迴歸方法的差異比較

但是在此模式下求解之迴歸係數本身亦為一對稱的三角模糊數值

而且求解結果很容易受到資料尺度(scale)的影響使得反應變數估計值之展

度會變得更為寬廣後來Tanaka (1987)根據1982年的文獻發展為更完整的

可能性線性系統使模糊迴歸的結構更趨適應性Tanaka 與Watada (1988)

闡明可能性線性模式的概念推演建構成可能性線性迴歸模式Tanaka et

al(1989)應用模糊資料於可能性迴歸系統中並建構最小化最大化及混合

式三種線性規劃模式又對先前所提出的模式加以修正但就如Redden 與

Woodall (1994)所指出Tanaka 類型的模式對於離群值(outlier)的反應非常

敏感甚至在觀察值的個數增加時求解結果可能會產生無限多解因

此在Tsaur 與Wang (1999)提出的文獻對於在模糊迴歸分析中的離群值進行

一系列探討

2 模糊最小平方法

模糊最小平方法(fuzzy least squares)乃擴展傳統之最小平方法的觀念

最早由Diamond (1988)所提出利用傳統最小平方法的觀念求出一個模糊

迴歸模式以估算(approximate)反應變數的觀察值並非如區間迴歸中的包含

觀察值在其模式中利用反應變數的觀察值與估計值的模糊數值之最小

值最可能值與最大值定義兩者之間的距離以衡量迴歸模式與模糊資

料之間的最佳配適度的情形在使得所有觀察值與估計值的模糊數值之間

的距離平方總和為最小時可以導出類似傳統迴歸分析中的正規方程式

(normal equation)以求解迴歸係數

25

其後Chang 與Lee (1996)則將Diamond (1988)的方法加以擴充將迴

歸係數的最可能值與展度分別估計該方法的特點在於可將極端值(outlier)

加以處理並降低其影響程度Ma等人(1997)則將此類方法發展於適合非

三角模糊數值的場合Diamond 與Koumlrner (1997)則在此類方法中定義一

個判定係數的計算方法以比較不同模式的適合性Wu與Tseng (2002)提出

改善模糊迴歸模式之最小平方法其模式主要觀念是利用最小平方法將所

有樣本的左端點及右端點各配置一條迴歸線然後在將其左右迴歸線統合

成一條迴歸線

而在Kim 與Bishu (1998)的研究中是利用各個具有三角模糊數值的反

應變數之最小值最可能值與最大值以最小平方法分別計算出模糊迴歸

係數所得到的係數不一定為對稱的三角模糊數在此種求解方式下雖

然可以得到比較小的估計誤差但其缺點是無法處理解釋變數為模糊數的

情形另外Kim 與Bishu(1998)還提出了評估模糊迴歸模式的準則利用觀

察值與估計值歸屬函數之間面積的差異做為迴歸模式的估計誤差但其評

估準則的問題是無法比較不同模式在觀察值與估計值歸屬函數之間不具有

交集時的誤差情況在此情況下求算估計誤差時無法準確評估其總誤差而

導致評估失真而其他學者如Yang與Ko (1997)Yang 與Lin (2002)等則

是提出以最小平方法為基礎的模糊聚類分析求解方式

3 模糊隨機變數估計法

為了建構一個同時具有隨機和模糊特性的系統Kwakernaak (1978)首

先提出模糊隨機變數(fuzzy random variables)的概念認為傳統的隨機變數

U Ωrarr R為實數可測函數而模糊隨機變數則將一般隨機變數的概念廣義

化模糊隨機變數可表示為X ΩrarrS設ω isinΩ而ω 所對應到的不再是實

數值U(ω)而是模糊集合X (ω)S 代表模糊集合且Kwakernaak (1978)擴

充原來Zadeh 提出模糊集合之架構認為有時供作參考的資訊不齊全在

對某些述句進行評斷時我們無法判斷其絕對為真或絕對為假此時我

們考慮將原有的二元邏輯思維方式推廣暫且不作肯定的判決而僅是表

達出對錯的程度換句話說真值可以是介於單位區間[01] 內的任何值

如此思維方式稱之為多值邏輯(multivalued value)並將模糊集合視為一組

述句(statement)的集合且每個述句均對應一真值程度以符合人類的思維與

想法Stein 與Talati (1981)利用模糊數值的隸屬函數提出模糊隨機變數

26

的期望值之計算方式Kruse 與Meyer (1987)藉助集合表徵的概念建立了

一套模糊隨機變數的定義而為了讓模糊隨機變數能實際應用並將討論

的範圍界定在一模糊集合族上Koumlrner (1997)及Naumlther (1997)利用該方法以

求算模糊隨機變數的期望值與變異數並應用於線性模糊迴歸模式的求解

等另外在曾能芳(民 91)的博士論文研究中指出在Tanaka et al (1982)

的模糊迴歸模式中並不具備誤差項因此模式無法呈現樣本與期望值之間

的關係而無法討論線性規劃估計程序所具備的統計性質所以在曾能芳

(民 91)提出的迴歸模式中採用模糊樣本是由依變數之模糊期望值加上測量

誤差所組成並提出測量誤差存在於中點的模糊迴歸模式以及測量誤差

同時存在於中點和半徑的模糊迴歸模式

4 兩階段求解方法

以兩階段方法(two stage method)求解模糊迴歸模式的想法是在於結合

最小平方法與區間迴歸的觀念試圖降低反應變數估計值的模糊度如Savic

與Pedrycz (1991)對模糊迴歸模式的求解分為兩個步驟進行第一步以

反應變數的模糊數值之最可能數值為基礎將模糊數值視為簡化的明確數

值以傳統最小平方法求解迴歸係數的中心值第二步利用區間迴歸的

方式在使得迴歸係數的模糊度為最小的情形下以決定迴歸係數的三角

模糊數值Kao 與Chyu (2002)提出另一種模糊迴歸模式的兩階段求解方

法在第一階段先利用解模糊(defuzzification)方法將模糊觀察值轉換成為一

組明確數值之後利用該組明確數值以傳統的最小平方法求解迴歸係

數第二階段則是以Kim 與Bishu 所提之評估準則為目標式決定一個誤

差項估計值的模糊數以使得在Kim 與Bishu (1998)評估準則下的總誤差量

為最小該方法的特別之處在於求解的迴歸係數為明確數值而誤差項估計

值為模糊數值雖然此種求解方式可以得到很小的估計誤差但因其所著

眼的仍是Kim 與Bishu 評估準則下的面積估計誤差使得當觀察值與估計

值歸屬函數之間不具有交集時所衡量出的估計誤差較真實誤差為小且其

求解方法比較適合於觀察值為三角或梯形的模糊數值欲應用於其他型式

的模糊數值求解上則較為困難而在邱清爐(民 91)的博士論文中則是將

其兩階段求解方法對各種不同的模糊迴歸模式進行建構與評估並將其求

解方法應用於工作滿意度實例

5 其他求解方法與相關研究

27

Tanaka 等人(1995)後來提出另外一種模糊迴歸模式的求解方法將傳

統的估計誤差當作是存在解釋變數與反應變數之間的關係之可能性

(possibility)故模糊觀察值的展度可以直接轉換成迴歸係數的指數可能性

分配(exponentialpossibility distribution)而可以使用與傳統迴歸非常類似的

方式加以求解Tanaka與 Lee (1999)再利用辨識方法(identification method)

求解迴歸模式在其研究中利用辨識方法以決定模糊線性系統(fuzzy linear

system)中迴歸係數的可能性分配並認為由此方法所求解的迴歸係數會

有比較小範圍的可能性分配近年來有愈來愈多的學者將模糊迴歸分析

應用於其他傳統的決策方法及不同領域上如 Dunyak 與 Wunsch(2000)使

用 α 截集的端點以類神經網路(neuralnetworks)進行模糊迴歸分析Lee

與 Chen(2001)則將模糊迴歸模式使用於人力預測的問題上Tseng 等人

(2001)將由模糊迴歸模式建立之 ARIMA 模式用以預測匯率Tseng 與

Tzeng(2002)則利用模糊迴歸模式的求解方法以建構具有季節變動的

ARIMA 模式Kim 與 Bishu(1996)應用於人力可靠度分析的操作反應時間

上Wu 與 Tseng(2002)將其模糊迴歸模式應用在景氣對策信號上的分析

王景男(民 89)將模糊迴歸分析應用於籃球比賽攻防技術策略上曹勝雄

曾國雄江勁毅(民 85)以國人赴港旅客需求之預測為例說明傳統迴歸

模糊迴歸類神經網路之差別張良斌陳育民(民 86)將模糊目標迴歸法

應用在垃圾衛生掩埋場沼氣回收設備的成本估算謝邦昌林燦隆呂理

添(民 85)將模糊迴歸運用在甘蔗產量的預測對於上列有關模糊迴歸分析

的研究中絕大部份的文章均侷限於線性模式的分析鮮有文章討論非線

性模糊迴歸模式的求解最近雖然有少數學者開始討論非線性模糊迴歸模

式的解法如 Xu(1997)Buckley 與 Feuring(2000)的研究等但使用的方

法所求解的迴歸係數仍然為模糊數值其造成反應變數估計值的展度會

隨著解釋變數之數值增加而擴大的問題仍無法避免

28

第三章 研究方法

本章介紹本文將運用於數值分析中的預測研究方法利用本章建構的

方法可清楚了解如何利用混沌理論基於相空間重構的方式及模糊迴歸方

法於預測中

31 混沌時間序列建立預測方法

時間序列的模型建構和預測是資料處理研究領域中的重要方向其中

預測方法主要有線性和非線性預測方法兩種預測就是對未來作出估計和

推斷而通常要對研究對象或資料進行假設這一過程稱為建模利用建

模的方式獲得資料的科學表示就稱為模型混沌時間序列雖然看似隨機

但它卻是由確定系統產生的因此我們可以對混沌時間序列作出短期預測

同時由於混沌對初始條件微小差異的高度敏感性我們無法對混沌時間序

列作出長期預測每一步預測帶來的微小偏差都會使得下一步預測的偏差

擴大最終導致預測序列與原始序列完全不同

311李亞普諾夫指數判定資料混沌特性

進行預測前需根據 212節中提及的李亞普諾夫指數來判定資料是否

具有混沌特性最大李亞普諾夫指數是判斷和描述非線性時間序列是否為

混沌系統的重要參數因此是一個重要的混沌不變數

混沌系統中的李雅普諾夫指數可用來判斷系統是收斂的還是混沌的當系

統的李雅普諾夫指數中至少有一個為正時系統是混沌的 當系統的李雅

普諾夫指數均為負數時系統是收斂的 對於系統是否存在動力學混沌可以直觀的判斷最大李亞普諾夫指數是否

大於零一個正的李亞普諾夫指數代表著在系統相空間中無論初始兩

條軌跡的間距多小兩條軌跡的差別都會隨著時間的演化而成指數率的增

加而導致無法預測這就是混沌現象

312重建相空間

傳統的建模和預測方法己廣泛地應用社會科學中但大部分都是基於

線性系統混沌時間序列並不適用於非線性的混沌時間序列於是在判斷

時間序列性質後若判定序列以隨機性為主應採用從 AR 或 ARIMA 等隨

機模型來預測如果判定以混沌為主則應採用非線性確定性的方法進行

29

預測非線性時間序列的預報是經過相空間重構後對相空間中的動力軌

跡進行預報由於混沌系統具有被稱為「蝴蝶效應」的初始值敏感性所

以混沌時間序列是不能長期預測的但對於短時間內混沌系統的軌道在

相空間中具有一定的規律它們的預測性是可獲得的並比一般的基於統

計方法的預測能力要來得好

時間序列資料是時間離散後的樣本值用 表示將它「嵌入」到

一個 m維(mgt0)的空間中進行相空間重構後得到嵌入向量

(31)

由嵌入向量 可擴張成一嵌入空間 E由 Taken嵌入定理可知存

在映射面 滿足

(32)

上式表是出在拓樸的意義中可完全預測吸引子的特徵所以上式也可

表示為

(33)

其中函數 為 的一個估計值由式 (33)可得之我們可用

來預測

313相空間維度相關維度

在實作的研究上有許多方法可以用來估計混沌吸引子的維度本研

究選用較為常見的相關維度方法相關維度需先計算相關和將相空間中

所有樣本點皆計算其各別半徑收斂後之趨近值相關方程式（Correlation

Function）定義如下

(34)

其中

當 rrarr0時

兩邊同取對數可得

(35)

定義相關維度為 與 之曲線斜率為

(36)

在實際應用中經常給定一組維度 值選取適當的 r繪出

30

曲線求曲線當中直線段的斜率 如果系統存在這樣一個 值達到此

值後相應的關聯維數不再隨 的增長而變化也就是趨於飽和這表明

該序列為混沌系統其吸引子是存在的此時 值即為重構相空間的最佳

嵌入維數否則則表明該序列為隨機系統不具有混沌性

314 時間遞移數

利用 2123節中介紹的概念及 2124 中介紹的自相關函數求解出時

間遞移數的結果自相關函數公式如下

1

1

1( )( )

1( )

n k

t t k

tk n

t

t

x x x xn k

r

x xn

(37)

n為原資料樣本數k為時間遞移後的樣本點

將自相關係數計算的結果與每一筆遲延時間距離數值繪製成圖表可

由圖表中可分析辨別時間序列數據的初步基本特徵圖表繪製的結果顯示

自相關係數跟隨遲延時間距離數值的增加而顯示收歛且具有震盪循環之跡

象則表示數據具有一種規則屬於一混沌時間序列

32 複線性迴歸

確立資料為混沌後運用自我相關係數計算出時間遞移數及相空間維

度後將加入複線性迴歸運算複線性迴歸中常用的預測方法分為兩種

1 全域法

全域法就是利用相空間軌跡中的全部向量點做為擬合對象找出其

規律由此進行短期預測也就是說利用收集的大量的歷史資料利用

複線性迴歸訓練出迴歸參數再將未放進訓練迴歸參數的資料使用訓練

出的迴歸參數計算出預測值的資料型態本文還將原本的歷史資料分析

出資料的季節性後先去除季節性的影響最後再加回季節性討論預測結

果

2 局域法

局域法的基本原理是僅利用有限個鄰近點的資訊而不是利用全部的

樣本點來擬合 局域法預測是把相空間軌跡中的最後一點作為待測點對

離待測點鄰近的若干個相空間點的關係作出擬合再對預測相空間點的未

來演化規律進行預測本文使用零階局域法零階局域法是直接將鄰近樣

31

本點應用於預測根據鄰近樣本點預測 的最簡單的方法就是尋找相

空間中距離 最近的點假設距離最近的點是 那麼它的下一個樣本

點為 即可做為 的預測值

因數值資料在每日重複發生變動所以本研究又加入計算季節性指數

對趨勢線做季節性調整也就是對時間序列做季節性調整

33 模糊迴歸分析

運用模糊的概念帶進迴歸模式中處理具模糊性的資料問題此稱為模

糊迴歸分析本文利用的模糊迴歸模式主要有兩個方向一個是Tanaka et al

(1982)提出的模糊線性迴歸另一個是由Chang 與Lee (1994)所提出修正型

迴歸模式Tanaka 起初所提出的線性規劃模型

0 1

[ ( )]p n

j ij

j i

Min C X

st 0 0

(1 ) (1 )p p

j ij j ij ii

j j

X H c X y H e

(38)

0 0

(1 ) (1 )p p

j ij j ij ii

j j

X H c X y H e

0jc j R 0 1iX 0 1H 123i n 012j p

Tanaka 所提出的模糊模型未考慮到散度為負值的條件所以模糊上下

界會不斷的擴張而越來越寬大由 Chang 與 Lee (1994)所提出修正型迴歸

模式即將模糊的散度可為負值使上下界的模糊區間為遞減的情形遞

減的情形由圖 31表示

圖 31 模糊區間隨自變數越大而越窄

0

2

4

6

8

10

上界 中心線 下界

32

假設圖表中計算出的模糊迴歸函數為 0 0 1 1 Y c c X 模糊上界為

0 0 1 1UY c c X 模糊下界為 0 0 1 1LY c c X

33

第四章 數值分析

本章資料來源1台灣區車輛工業同業公會

2台北市交通局

本章所使用的數據資料為台北市交通局提供的公開的車流量資料數

值分析所使用的方法已在第三章論述利用第三章的方法分析數值預測的

準確性並結合模糊迴歸常見的兩種方法幫助決定預測的可接受範圍本

章介紹本文所利用的數學模型及方法在複線性迴歸的模型中分成混沌全

域法去季節性後的混沌全域法以及混沌局域法預測出的結果加以討論預

測的準確性再將預測值去季節性觀察準確程度最後再帶入模糊迴歸

利用 05H 加以討論如何將模糊迴歸中的散度用以選擇預測值的範圍第

一節針對傳統複線性迴歸方法並結合全域法觀念訓練資料迴歸係數討

論預測結果第二節針對傳統複線性迴歸方法並結合局域法觀念訓練資

料迴歸係數討論預測結果第三節針對預測資料去除季節性後再利用

傳統複線性迴歸方法討論預測結果第四節針對模糊迴歸的兩種方法選

擇出預測的範圍

利用第三章論述的時間遞移及相關維度的做法將本文利用具混沌性

的資料加以分析將資料先利用 212 節中介紹的李雅普諾夫指數 判定是

否具混沌性具有混沌性的資料才能利用混沌理論重構相空間若李雅

普諾夫指數 介在 0跟 1之間則表示資料具有混沌性質本文資料利用程

式計算出李雅普諾夫指數 運用自我相關係數判斷出時間遞移

數 相關維度計算出維度 我相關係數判斷時間遞移數與相關維

度的圖形以及原始資料時間遞移後的資料圖如圖 41圖 42圖 43

34

圖 41相空間維度及 lnC與 ln r斜率關係圖

圖 42相空間維度及 lnC與 ln r斜率關係圖

0

1

2

3

4

5

6

7

0 5 10 15 20

相空間維度

斜

率

d

-02

0

02

04

06

08

1

12

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33

時間遞移數

自我相關函數

35

圖 43 原始資料時間序列圖

41 複線性迴歸混沌全域法

本文所使用的資料為 10日的車流量資料利用前 9日的資料訓練出迴

歸參數將迴歸參數代入複線性數學模型中計算出的迴歸方程式為

1 2 3 4

5 6 7 8 9

10 11 12 13 14

435363 00819 00338 01777 00070

01116 01999 00299 02716 00349

01399 00056 01113 00738 02038

y x x x x

x x x x x

x x x x x

(41)

解出迴歸參數計算出複線性迴歸方程式後再將最後一日 144筆的車

流資料代入方程式中計算出預測值利用複線性迴歸混沌域法預測出的結

果如圖 44

圖 44 複線性迴歸分析預測與原始資料比較圖-全域法

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

1 53

10

5

157

209

26

1 31

3

365

41

7

469

52

1 57

3

625

67

7

729

78

1 83

3

885

93

7

989

10

41

1093

11

45

1197

12

49

1301

13

53

1405

原始資料點

原始資料點

-50

0

50

100

150

200

1

7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

103

109

115

121

127

133

139

實際值

預測值

36

由圖表的狀況可觀察出運用複線性迴歸模型預測的結果不盡理想本

研究認為運用複線性迴歸預測的結果不佳的原因有二

1 利用全域法預測是將較大量的歷史資料加入考慮訓練出迴歸參數這

樣的結果造成削弱了原本的奇異點(相較於同時段資料差異性較大的點)

的影響力

2 嵌入維度 太高對於混沌時間序列隨著嵌入維度增高歷史

對未來的影響是呈指數衰減的所以全域法所利用的資訊歷史就越長

預測的精準度就會迅速下降因此本研究將加入局域法討論預測的準

確性

42 複線性迴歸混沌局域法

局域法的做法為尋找相空間重構後的點對待測點尋找鄰近的 k個相

空間點對離待測點鄰近的若 k個相空間點的關係作出擬合並分析出複

迴歸方程式的迴歸參數本文嘗試選取 k=50~250的結果以下只列舉 k=200

的圖解釋預測結果

圖 45 複線性迴歸分析預測與原始資料比較圖-局域法(k=200)

圖 44與圖 45比較後可看出區域法預測的準確性比全域法更好某

些預測出來的結果的點與原始資料的點差異性大有明顯的偏移本研究

認為利用局域法預測的結果不佳的原因如下由圖 45可看出預測結果與

原始資料間差異性較大的點位為數列的右側 而數列尾端的資料為凌晨或

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

1

7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

103

109

115

121

127

133

139

實際值

估計值

37

是深夜的車流量因每日凌晨或是深夜的車流量變化量較少(例如某日的凌

晨十二點十分可能為 0台車或是小於 10台車經過)所以資料的差異性

較大造成頭尾的資料預測上較為不準確

因為同時段的資料可能會影響資料預測出的結果所以我們下節就以

加入季節性的考慮來加以討論預測結果

43 複線性迴歸去除季節性後混沌全域法

本文使用的車流量資料為每日 24時換算成 1440分鐘每 10分鐘記

錄一點於是本研究依資料的記錄時間點來劃分季節性將季節分成 144

個季分別求出季節性指數求取季節性指數後將每個資料點先去除季

節性利用全域法訓練出去季節性後的迴歸係數再利用複線性求出預測

值最後將去除的季節指數乘回預測點結果如下

圖 46考慮季節性複線性迴歸分析預測與原始資料比較圖-全域法

此考慮季節性因子的複線性迴歸分析預測與原始資料的比較是用全

域法去訓練迴歸參數的而由圖 44我們可以得知一開始未考慮季節因

子使用全域法的複線性迴歸預測是不準確的本研究認為原本的歷史資

料隨著季節性因子的變化該系統原本呈現複雜的動態特性實際上由於

車流量的變動有許多外在因素的影響例如氣候假期hellip等影響會使

資料的變化過程發生不同程度的偏離而對於季節性事件來說其事件發

生的過程主要受季節性參數週期性變化的影響 因此影響因素的具體形

式可以近似地表示為單一函數本文考慮季節因素對車流量的影響意即

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

1

7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

10

3

10

9

11

5

12

1

12

7

13

3

13

9 實際值

預測值

38

經過季節性分析後的得到的預測分析結果很準確如圖 46所示此結果

表示季節性影響樣本資料的情形大也代表著在季節因素影響下系統中

事件的動態變化情況是隨著季節影響參數的變化而造成系統呈現各種

各樣複雜的動態特性如週期解混沌情形hellip等

44 模糊迴歸

441Tanaka模糊迴歸

μ及 H 值之選定原則為當不確定性愈大時其 μ及 H 值愈接近 0

反之當資料不確定性愈小時μ及 H 值取愈接近 1 之值Bardossy 等人

建議其值在 05~07間為適宜根據 Tanaka在 1982年所提到的方法我們

可以求得一模糊迴歸函數並可得知其中心線與其上界及下界假定在 H =

05的情況下利用 Tanaka模糊迴歸模式算出迴歸函數為

(42)

中心線與上下界的簡單迴歸方程式為

中心線 (43)

上界 (44)

下界 (45)

繪製出的圖形如圖 47所示

圖 47 Tanaka 模糊迴歸

0

50

100

150

200

250

300

1

7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

103

109

115

121

127

133

139

下界

中心線

上界

39

圖 48 Tanaka 模糊迴歸中心線與預測值之結合

從圖 48可看出預測值與模糊迴歸的中心線 有明顯的時間差異但由

圖可以觀察出模糊迴歸的中心線 的預測趨勢與實際值是相近的雖然利

用模糊迴歸預測的時間點比實際時間快但是相對來說也是可以用來預

測之後將發生的趨勢本研究認為若模糊迴歸可用於預測中則可用模糊

的散度 c當做預測行為中選取的可接受的變動範圍如圖 49最後將 Tanaka

模糊迴歸中心線上下界與實際值之結合如圖 410所示

圖 49 Tanaka 模糊迴歸中心線上下界與實際值之結合

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

1

8

15

22

29

36

43

50

57

64

71

78

85

92

99

106

113

120

127

134

141

實際值

中心線

0

50

100

150

200

250

300

1

7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

103

109

115

121

127

133

139

實際值

下界

上界

預測

值

預測值

40

圖 410 Tanaka 模糊迴歸中心線上下界與實際值之結合

442修正型 Tanaka模糊迴歸

因為我們要將模糊迴歸應用於預測中所以本研究將複線性迴歸的趨

勢線視為模糊迴歸的中心線再利用修正型 Tanaka模糊迴歸模式算出迴歸

函數為

(46)

中心線與上下界的簡單迴歸方程式為

中心線

上界

下界

繪製出圖形如圖 411

0

50

100

150

200

250

300

1 7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

103

109

115

121

127

133

139

實際值

預測值

下界

上界

41

圖 411 修正型模糊迴歸中心線上下界與實際值之結合

本研究使用的修正型模糊迴歸中心線與傳統的迴歸方程式相同所以

可用來處理或分析模糊資料與明確資料同時修正型模糊迴歸的上下界

與 Tanaka 模糊迴歸相較也變窄了此兩種現象就是修正型迴歸的特色因

為中心線與傳統的迴歸方程式也相同這種修正型迴歸散度可選擇為負值

的特色本研究認為可以應用在預測上因為上下界與中心線間的散度變

窄使得前文所敘述到的利用散度來選取預測範圍便可更為嚴格也可

使預測的結果更為可靠如圖 412所示

圖 412 Tanaka 上下界與修正型模糊迴歸上下界的寬度差別

0

50

100

150

200

250

1 7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

103

109

115

121

127

133

139

下界

中心線

上界

0

50

100

150

200

250

300

1 8 15

22

29

36

43

50

57

64

71

78

85

92

99

106

113

120

127

134

141

Tanaka下界

Tanaka上界

Tanaka修正型下界

Tanaka修正型上界

42

第五章 結論及未來研究方向

51 結論

根據前文的討論傳統迴歸和模糊迴歸建立在不同的理論基礎上傳

統迴歸是以機率為基礎而模糊迴歸則是以可能性為基礎傳統迴歸因變

數的估計值與觀測值之間的差異為因變數的隨機性而模糊迴歸因變數的

估計值則產生於觀測值之模糊度惟兩者最大不同處在於模糊迴歸式的

迴歸係數與預測值皆為模糊數（區間值）不同於傳統迴歸係數與預測值

均為明確的數值此外傳統迴歸侷限於對明確資料的分析可能性模糊

迴歸僅適用於分析具模糊性的資料而複合的模糊迴歸則可同時適用於分

析模糊與明確的資料此為此模式最大的特點

模糊迴歸應用於預測中大多的結果是不佳的但是我們透過結合混

沌與模糊迴歸的概念將混沌的預測單點概念拓展成一個可接受的預測

範圍

PT Chang 與ES Lee 使用修正型模糊迴歸重新定義散度做出新的

模糊上下界均為改善模糊迴歸模式Tanaka之研究本研究將模糊迴歸與

混沌理論之建立時間序列的預測情形加以結合討論發現模糊迴歸在預測

的行為中是可行的但可惜的是即使預測的趨勢相近但預測值出時間

的點卻有差別這樣的結果我們可以看出若能找到解決加強模糊與複線性

迴歸關係之間時間的關聯性就能利用模糊的不確定性來討論預測問題

52 未來之研究方向

本研究將模糊迴歸與混沌理論之建立時間序列的預測情形加以結合討

論發現模糊迴歸在預測的行為中是可行的但可惜的是即使預測的趨

勢相近但預測值出時間的點卻有差別這樣的結果我們可以看出若能找

到解決加強模糊與附線性迴歸關係之間時間的關聯性就能利用模糊的不

確定性來討論預測問題

為了符合現今社會多元的狀況模糊迴歸與傳統迴歸之觀念勢必加以

混合應用也為了解決此等問題混合式迴歸（Hybrid Regression）在近年

來被提起也因此參數的估計模糊迴歸與傳統迴歸的混合應用將成

為往後繼續研究探討之目標

建議未來可用模糊加權修正模糊迴歸使模糊迴歸在預測上更能直接

43

將對事物多個構面評估的意見與其影響事物狀況的重要程度作加權的運

算

44

參考文獻

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學研究所碩士論文台南市

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[14] 陳靜怡(2004)以建構具有模糊資料下的整合性存貨模式之需求南台科技大學工

業管理研究所碩士論文台南市

[15] 張益欽(2006)模糊要素價格下要素配置問題之求解與其應用南台科技大學工業

管理研究所碩士論文台南市

[16] 蔡明君(2009)模糊環境下專案趕工問題之分析探討國立中正大學企業管理研究

所碩士論文嘉義市

[17] 劉錦輝(2002)結合模糊迴歸分析與品質機能展開於工程設計之最佳化朝陽科技

大學工業工程與管理所碩士論文台中市

[18] 薛展青(2004)求解模糊迴歸之參數估計成功大學工業與資訊管理學系碩士論文

台南市

[19] 闕頌廉(民 81)應用模糊數學台北市科技圖書股份有限公司

[20] 謝逸婷(2005)模糊排序法於資料包絡分析模式之應用南台科技大學工業管理研

14

在特定的環境中人們用這些概念來描述某個具體對象時卻又能心領神會

很少引起誤解和歧義

美國加州大學的 L A Zadeh 教授在 1965 年發表了著名的論文文中

首次提出表達事物模糊性的重要概念隸屬函數從而突破了 19世紀末勒

內middot笛卡爾（Rene Descartes）的經典集合理論奠定模糊理論的基礎1966

年P N Marinos發表模糊邏輯的研究報告1974年L A Zadeh 發表模

糊推理的研究報告從此模糊理論成了一個熱門的課題1974 年英國

的 E H Mamdani 首次用模糊邏輯和模糊推理實現了世界上第一個實驗性

的蒸汽機控制並取得了比傳統的直接數字控制演算法更好的效果從而

宣告模糊控制的誕生1980年丹麥的 LPHolmblad 和 Ostergard 在水泥窯

爐採用模糊控制並取得了成功這是第一個商業化的有實際意義的模糊控

制器

事實上模糊理論應用最有效最廣泛的領域就是模糊控制模糊控

制在各種領域出人意料的解決了傳統控制理論無法解決的或難以解決的問

題並取得了一些令人信服的成效

模糊控制的基本思想把人類專家對特定的被控對象或過程的控制策略總

結成一系列以ldquoIF THENrdquo形式表示的控制規則通過模糊推理得到控製作用

集作用於被控對象或過程控製作用集為一組條件語句狀態語句和控

製作用均為一組被量化了的模糊語言集如「正大」「負大」「正小」

「負小」零等

模糊控制的幾個研究方向

1 模糊控制的穩定性研究

2 模糊模型及辯識

3 模糊最優控制

4 模糊自組織控制

5 模糊自適應控制

6 多模態模糊控制

模糊控制的主要缺陷

信息簡單的模糊處理將導致系統的控制精度降低和動態品質變差若

要提高精度則必然增加量化級數從而導致規則搜索範圍擴大降低決策

15

速度甚至不能實時控制模糊控制的設計尚缺乏系統性無法定義控制

目標控制規則的選擇論域的選擇模糊集的定義量化因數的選取多

採用試湊發這對複雜系統的控制是難以奏效的

232模糊至今應用的範圍

模糊理論發展至今已接近三十餘年應用的範圍非常廣泛從工程科

技到社會人文科學都可以發現模糊理論研究的蹤跡與成果我們分別由工

程科技與社會人文科學的角度瞭解模糊理論應用的範疇

1 工程科技方面

(1) 型樣識別文字識別指紋識別手寫字體辨識影像辨識語音

辨識

(2) 控制工程機器人控制汽車控制家電控制工業儀錶控制電

力控制

(3) 信號及資訊處理影像處理語音處理資料整理資料庫管理

(4) 人工智慧及專家系統故障診斷自然語言處理自動翻譯地震

預測工業設計

(5) 環保廢水處理凈水處理廠工程空氣污染檢驗空氣品質監控

(6) 其他建築結構分析化工製程控制

2 教育社會及人文科學方面

(1) 教育教學成果評量心理測驗性向測驗電腦輔助教學

(2) 心理學心理分析性向測驗

(3) 決策決定決策支援決策分析多目標評價綜合評價風險分

析

233模糊集合

過去傳統數學上集合的基本定義是以二值邏輯(Binary Logic)為基礎的

方式來描述事物為屬於或不屬於此集合也就是元素 x和集合 A的關係

只能是isinA或notinA明確的判斷對象為所屬集合也就是明確集合(Crisp Set)

如果要描述適當的模糊事物時須將所屬集合的概念模糊化使之無明確

判對象所屬的集合模糊集合是指在界限或邊界不分明且具有特定事物的

集合以建立隸屬函數(Membership Function)來表示模糊集合承認論域

(Universe of Discourse)上存在既非完全屬於集合A又非完全不屬於集合A

16

使傳統集合的絕對屬於的概念改變為相對屬於的概念以數學式表示論域

U 上的模糊集合 A可表示為元素 x與它的歸屬函數集合

(216)

其中 A為一模糊集合 為歸屬函數x稱作元素U為論域一

般情況下歸屬度會界定在 0跟 1之間

(1) =0表示元素 x不屬於

(2) =1表示元素 x完全屬於

(3) 趨近 0表示元素 x極不可能屬於

(4) 趨近 1表示元素 x極有可能屬於

這個表示式的完整解釋為當 x 在 U 的範圍內會對應到一個介於 0

到 1之間的數值 所有這種 x所成的集合就是一個模糊集合模糊集

合可表示為

1 當論域Ｕ為有限離散(discrete)集合的情形下模糊集合 可表示成

(217)

2 當論域Ｕ為實數論域所組成之在連續(continuous)集合的情形下模糊

集合 可表示成

isin (218)

其中 並非積分符號而是單純的連結符號

234 模糊數(Fuzzy Number)

1 模糊數(triangular fuzzy number)

假設 是模糊集合或模糊數(FN)在實線 2R 上則以三角形隸屬函數

(triangular membership function）表示為 1 2 3( )a a a 2 x R to A 則

1

1 2 1 1 2

3 3 2 2 3

3

0

( ) ( ) ( )

( ) ( )

0

x a

x a a a a x aA x

a x a a a x a

x a

(217)

17

1

其隸屬函數圖形如圖 21

圖 21 三角模糊數

2 梯形模糊數(trapezoidal fuzzy number)

梯形模糊數可表示為 如圖 22其隸屬度函數定義為

(218)

其隸屬度函數如圖 22

圖 22梯形模糊數

a b c d

1

18

在一信賴區間 α水準α 01 我們定義 A

( )A x A x (218)

三角形隸屬度函數以 α-cut表示為

( ) ( )

1 3 1 1 2 3 2 3[ ] [ ( ) ( )]A a a a a a a a a

(219)

( )

1a 與 ( )

3a 個別代表 A的下界及上界

根據模糊算術方法Zadehrsquos sup-min 方法表示如下

( )( ) sup min( ( ) ( ))x y z

A B z A x B y

(220)

其中 sup表任何模糊算式Mizumoto and Tanaka（1976）使用相同方

法在 α 截集模糊數和區間算術Chang（2003）和 Chang et al （2006）和

Chang and Hung（2006）整理使用 α 截集模糊算術方法的文獻α截集模

糊算術中模糊數基本運算公式（加法減法乘法除法）可以計算的

更快在每一個 α-level 區間中使用區間算術（Kaufmann and Gupta

1988）

1 模糊數加法

令A和 B分別為兩模糊數 A和 B在一信賴區間 α水準 ( ) ( )

1 2[ ]A a a

( ) ( )

1 2[ ]B b b αisin 01 forall A B sub 2R 表示如下

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 2 1 2 1 1 2 2[ ] [ ] [ ]A B a a b b a b a b

forallαisin 01 (221)

2 模糊數減法

在一信賴區間 α水準forall A B sub 2R αisin 01

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 2 1 2 1 2 2 1[ ] [ ] [ ]A B a a b b a b a b

(222)

3 模糊數乘法

在一信賴區間 α水準forall A B sub 2R αisin 01

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 2 1 2 1 1 1 2 2 1 2 2

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 1 1 2 2 1 2 2

[ ] [ ] [min(

max( )]

A B a a b b a b a b a b a b

a b a b a b a b

(223)

4 模糊數除法

在一信賴區間 α水準forall A B sub 2R αisin 01

19

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 1 1 2 2

1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 2 1 2 1 2 1 2

[ ] [ ] [min( )max( )]a a a a a a a a

A B a a b bb b b b b b b b

式中 ( )

1b ( )

2b gt0forallαisin[01] (224)

235模糊運算

根據 Zadeh（1965）的擴展原理（Extension Principle）可以廣義的使

用一般基準 T取代原來的最小值模糊數的數學運算表示如下

1 加法

( )( ) sup ( ( ) ( ))x y z

A B z T A x B y

(225)

2 減法

( )( ) sup ( ( ) ( ))x y z

A B z T A x B y

(226)

3 乘法

( )( ) sup ( ( ) ( ))x y z

A B z T A x B y

(227)

4 除法

( )( ) sup ( ( ) ( ))x y z

A B z T A x B y

(228)

24 模糊迴歸

在科學研究過程中許多研究者常使用迴歸來描述自變數 x和應變數 Y

之間的關係傳統的迴歸分析均假設觀察值由實際應變數影響加上隨機誤

差而產生也就是說應變數是一種帶有不確定性的隨機變數不過在很

多的實務應用上往往無法滿足這樣的假設例如有些應變數 Y 的觀察值

並不是以單一數值的型式存在而是帶有多重隸屬的特性這些觀察值雖

然帶有不確定性但這種不確定的特性是來自於模糊現象而非隨機現象

若由模糊觀點套用迴歸分析來處理模糊資料問題就稱為模糊迴歸分析

模糊迴歸分析最早是由 Tanaka et al (1980) 提出一般模糊迴歸能夠處理的

樣本型式有兩種一種是實數值樣本 其中 為實數向量 為觀測

到的實數值另一種是模糊數樣本( 其中 為觀測到的模糊數不論

是實數值樣本或是模糊數樣本想要估計模糊迴歸參數估計方法大都是

20

利用線性規劃的技巧來尋求一組能將實數值樣本 或模糊數樣本(

包含在內的區間再將三角形隸屬函數（triangular membership function）套

用

在此區間上如此便求得一組模糊迴歸估計式要得到正確的估計結

果最好是收集具有代表性的隸屬函數樣本所謂具有代表性的隸屬函數

樣本應該是以模糊數的形式存在所以本文就樣本模糊數 進行討論

線性模糊迴歸模式常表示成

0 1 1 2 2( ) i i i p piY x A A x A x A x (229)

其中 1 2 3(1 ) i i i i p ix x x x x 為自變數向量 ( )iY x 為模糊應變數

為模糊參數利用樣本模糊數 估計參數 時通

常假設 與 的隸屬函數為對稱三角型式 與 的隸屬函數表達如下

( ) max 1 0 i

i

Y

i

t yt t

r

(230)

其中 為三角隸屬函數的中點 為三角隸屬函數的分布半徑可令

( ) max 1 0 m

m

A

m

t ct t

s

(231)

其中 為三角形的中點 是三角形的分布半徑 與 間的關係

如圖 23所示

圖 23模糊數的中心值與散佈值

1

0

21

再令 則前述的模糊迴歸方程式可改寫成

0 1 1 2 20 1 2( ) i i ipi p pY x x xC S xC S C S C S (232)

因此模糊應變數 ( )iY x 的隸屬函數也屬於三角型式可表示成

( )

0

0

( ) max 1 0 Y xi

p

m m

m

p

m mi

m

t c x

t t

S x

(233)

其中 因此只要估計出三角形的中點 及半徑 便可得到

隸屬函數的估計值模糊迴歸分析是在要求每一個觀測值 隸屬於模糊

迴歸區間的隸屬程度至少 的情況之下尋求最小的模糊迴歸預測區間如

(234)式表示

forall ( 234)

在利用 對未知的模糊參數 進行估計前一般先定

義模糊樣本 和模糊應變數 的 h截集其定義如下

令 為一組模糊樣本 ( )iY x 為模糊應變數若 與

分

別為 及 的 h截集(h-cut)則

(235)

(236)

因具代表性的樣本 其 h 截集 應要盡量接近模糊應變數 的 h

截集 意即

其中容許

不完全落在 之

內的情形發生根據以上觀點王景南(2002)認為樣本的左端點

和右端點 隸屬於 的程度會有一定的水準於是設立此水準

為 H因此假設 隸屬於 的隸屬度會盡量的接近 H其間的關係

為

( 與

( (237)

所謂的盡量接近 H是可允許隸屬度大於 H或小於 H而不是均大於

22

H

根據以上的對樣本的解釋運用最小平方法以所有樣本的左端點

配置一迴歸直線稱之為左端直線估計式

(238)

其中 為迴歸係數再以所有右端點 配置右端

直線估計式

(239)

其中 為迴歸係數

前文已假設樣本的左右端點隸屬於 的隸屬度會盡量的接近 H所

以將這兩條直線函式來估計 之 H截集的左右邊界即

(240)

如此可推導出 的隸屬函數為

(241)

其中 且

(242)

意即

(243)

其中

為三角形底邊中點是

分布半徑如此便可得一組估

計的模糊迴歸模式

(244)

仍需注意的是當樣本為對稱型態時左右迴歸函數式其配適的結果式

相同的只有常數項不同當對稱情形發生時可以考慮利用各別對應相

之權重除以常數項的分布半徑做為個別對應項之分布半徑意即

分布半徑

除此之外Celmins及Diamond Celmins也分別提出最小平方法之模糊迴

23

歸模式以便求解資料間距離最小的模糊迴歸方程

模糊迴歸應用上比統計迴歸更具彈性統計迴歸通常需要大量資料以

支持其假設而模糊迴歸卻無此需求因此當資料量不足或隨機性難以驗

證時模糊迴歸是較強健的(Robust)同時當所蒐集之資料的不確定性乃

來自於人類之主觀判斷時模糊迴歸較具適用性

因此模糊迴歸模式逐漸受到重視在1990年代的研究包括Sakawa及

Yano針對投入變數與輸出變數皆為模糊資料的問題建構出一個多目標的模

糊迴歸模式此外Chang和Lee則認為模糊迴歸中心線的趨勢與模糊迴歸散

佈值的趨勢可以存在不一致性為了分析統計迴歸與模糊迴歸的差異Kim

Moskowitz 及Koksalan 利用模擬分析比較統計迴歸與模糊迴歸的結果認

為由機率論所得的統計迴歸模式在大樣本時其預測績效遠比可能性理論

(Possibility theory)推演而得的模糊迴歸模式為佳然而當資料量遞減或所構

建的模式適合性變差時(即變數間存在模糊關係)則模糊迴歸模式的預測績

效將優於統計迴歸模式由於模糊迴歸模式在解決資料量少及系統關係模

糊不清的問題上具有較佳之績效而存在其正面之價值當變數間存在模

糊關係時

從早期到目前已發展出多種模糊迴歸模式求解方式以下根據薛展青

(2004)所整理的模糊迴歸分析整裡敘述如下

1 區間迴歸法

區間迴歸法(interval regression)其模型架構主要是由Tanaka et al(1982)

所提出的模糊線性迴歸(fuzzy linear regression)模型Tanaka et al(1982)所發

表的論文中表示傳統的迴歸模型中造成實際值與估計值的誤差來源被

認為是由測量或觀察所造成的而此誤差項在模糊線性迴歸模型中是因

模糊系統中參數的模糊性所產生的即誤差是反應模糊線性函數的模糊現

象因此以模糊線性函數來表示迴歸方程式而迴歸參數則是以模糊集合

來表示

Tanaka et al(1982)在估計模糊迴歸參數時是利用線性規劃技巧

(linearprogramming method)來尋求一組能將實數值樣本或模糊數樣本全部

包含的區間最後求得一組對稱三角形模糊數之迴歸參數

自Tanaka等人(1982)的文章發表之後後續的學者大多以此為基礎陸

續題出各種相關的模式與求解方法如Peters (1994)將Tanaka的線性規劃法

24

求解推廣為模糊線性規劃法求解讓資料對模糊迴歸模式的適應性更加提

升YenGhoshray 與Roig (1999)提出由於非對稱迴歸係數導因於大多數的

資料為離群值使得對稱三角迴歸係數不再適用因此將Tanaka et al的模

式推廣為非對稱三角迴歸係數Moskowitz 與Kim (1993)探討不同水準值下

模糊迴歸模式的求解與模式配適程度Redden 與Woodall (1996)探討模糊

迴歸分析預測未來值的結果Sakawa 與Yano (1992)將Tanaka的方法擴展到

依變數及自變數皆是模糊集合的情況並將之稱為多目標線性迴歸法

(multiobjective linear regression model)Koumlrner 與Naumlther (1998)討論解釋變

數與反應變數兩者皆為模糊數值的情況Kacprzyk 與Fedrizzi (1992)則蒐集

了各種不同迴歸模式的求解方法Redden 與Woodall (1994)說明Tanaka後

續提出的求解模式當中所具備的性質以及與傳統迴歸方法的差異比較

但是在此模式下求解之迴歸係數本身亦為一對稱的三角模糊數值

而且求解結果很容易受到資料尺度(scale)的影響使得反應變數估計值之展

度會變得更為寬廣後來Tanaka (1987)根據1982年的文獻發展為更完整的

可能性線性系統使模糊迴歸的結構更趨適應性Tanaka 與Watada (1988)

闡明可能性線性模式的概念推演建構成可能性線性迴歸模式Tanaka et

al(1989)應用模糊資料於可能性迴歸系統中並建構最小化最大化及混合

式三種線性規劃模式又對先前所提出的模式加以修正但就如Redden 與

Woodall (1994)所指出Tanaka 類型的模式對於離群值(outlier)的反應非常

敏感甚至在觀察值的個數增加時求解結果可能會產生無限多解因

此在Tsaur 與Wang (1999)提出的文獻對於在模糊迴歸分析中的離群值進行

一系列探討

2 模糊最小平方法

模糊最小平方法(fuzzy least squares)乃擴展傳統之最小平方法的觀念

最早由Diamond (1988)所提出利用傳統最小平方法的觀念求出一個模糊

迴歸模式以估算(approximate)反應變數的觀察值並非如區間迴歸中的包含

觀察值在其模式中利用反應變數的觀察值與估計值的模糊數值之最小

值最可能值與最大值定義兩者之間的距離以衡量迴歸模式與模糊資

料之間的最佳配適度的情形在使得所有觀察值與估計值的模糊數值之間

的距離平方總和為最小時可以導出類似傳統迴歸分析中的正規方程式

(normal equation)以求解迴歸係數

25

其後Chang 與Lee (1996)則將Diamond (1988)的方法加以擴充將迴

歸係數的最可能值與展度分別估計該方法的特點在於可將極端值(outlier)

加以處理並降低其影響程度Ma等人(1997)則將此類方法發展於適合非

三角模糊數值的場合Diamond 與Koumlrner (1997)則在此類方法中定義一

個判定係數的計算方法以比較不同模式的適合性Wu與Tseng (2002)提出

改善模糊迴歸模式之最小平方法其模式主要觀念是利用最小平方法將所

有樣本的左端點及右端點各配置一條迴歸線然後在將其左右迴歸線統合

成一條迴歸線

而在Kim 與Bishu (1998)的研究中是利用各個具有三角模糊數值的反

應變數之最小值最可能值與最大值以最小平方法分別計算出模糊迴歸

係數所得到的係數不一定為對稱的三角模糊數在此種求解方式下雖

然可以得到比較小的估計誤差但其缺點是無法處理解釋變數為模糊數的

情形另外Kim 與Bishu(1998)還提出了評估模糊迴歸模式的準則利用觀

察值與估計值歸屬函數之間面積的差異做為迴歸模式的估計誤差但其評

估準則的問題是無法比較不同模式在觀察值與估計值歸屬函數之間不具有

交集時的誤差情況在此情況下求算估計誤差時無法準確評估其總誤差而

導致評估失真而其他學者如Yang與Ko (1997)Yang 與Lin (2002)等則

是提出以最小平方法為基礎的模糊聚類分析求解方式

3 模糊隨機變數估計法

為了建構一個同時具有隨機和模糊特性的系統Kwakernaak (1978)首

先提出模糊隨機變數(fuzzy random variables)的概念認為傳統的隨機變數

U Ωrarr R為實數可測函數而模糊隨機變數則將一般隨機變數的概念廣義

化模糊隨機變數可表示為X ΩrarrS設ω isinΩ而ω 所對應到的不再是實

數值U(ω)而是模糊集合X (ω)S 代表模糊集合且Kwakernaak (1978)擴

充原來Zadeh 提出模糊集合之架構認為有時供作參考的資訊不齊全在

對某些述句進行評斷時我們無法判斷其絕對為真或絕對為假此時我

們考慮將原有的二元邏輯思維方式推廣暫且不作肯定的判決而僅是表

達出對錯的程度換句話說真值可以是介於單位區間[01] 內的任何值

如此思維方式稱之為多值邏輯(multivalued value)並將模糊集合視為一組

述句(statement)的集合且每個述句均對應一真值程度以符合人類的思維與

想法Stein 與Talati (1981)利用模糊數值的隸屬函數提出模糊隨機變數

26

的期望值之計算方式Kruse 與Meyer (1987)藉助集合表徵的概念建立了

一套模糊隨機變數的定義而為了讓模糊隨機變數能實際應用並將討論

的範圍界定在一模糊集合族上Koumlrner (1997)及Naumlther (1997)利用該方法以

求算模糊隨機變數的期望值與變異數並應用於線性模糊迴歸模式的求解

等另外在曾能芳(民 91)的博士論文研究中指出在Tanaka et al (1982)

的模糊迴歸模式中並不具備誤差項因此模式無法呈現樣本與期望值之間

的關係而無法討論線性規劃估計程序所具備的統計性質所以在曾能芳

(民 91)提出的迴歸模式中採用模糊樣本是由依變數之模糊期望值加上測量

誤差所組成並提出測量誤差存在於中點的模糊迴歸模式以及測量誤差

同時存在於中點和半徑的模糊迴歸模式

4 兩階段求解方法

以兩階段方法(two stage method)求解模糊迴歸模式的想法是在於結合

最小平方法與區間迴歸的觀念試圖降低反應變數估計值的模糊度如Savic

與Pedrycz (1991)對模糊迴歸模式的求解分為兩個步驟進行第一步以

反應變數的模糊數值之最可能數值為基礎將模糊數值視為簡化的明確數

值以傳統最小平方法求解迴歸係數的中心值第二步利用區間迴歸的

方式在使得迴歸係數的模糊度為最小的情形下以決定迴歸係數的三角

模糊數值Kao 與Chyu (2002)提出另一種模糊迴歸模式的兩階段求解方

法在第一階段先利用解模糊(defuzzification)方法將模糊觀察值轉換成為一

組明確數值之後利用該組明確數值以傳統的最小平方法求解迴歸係

數第二階段則是以Kim 與Bishu 所提之評估準則為目標式決定一個誤

差項估計值的模糊數以使得在Kim 與Bishu (1998)評估準則下的總誤差量

為最小該方法的特別之處在於求解的迴歸係數為明確數值而誤差項估計

值為模糊數值雖然此種求解方式可以得到很小的估計誤差但因其所著

眼的仍是Kim 與Bishu 評估準則下的面積估計誤差使得當觀察值與估計

值歸屬函數之間不具有交集時所衡量出的估計誤差較真實誤差為小且其

求解方法比較適合於觀察值為三角或梯形的模糊數值欲應用於其他型式

的模糊數值求解上則較為困難而在邱清爐(民 91)的博士論文中則是將

其兩階段求解方法對各種不同的模糊迴歸模式進行建構與評估並將其求

解方法應用於工作滿意度實例

5 其他求解方法與相關研究

27

Tanaka 等人(1995)後來提出另外一種模糊迴歸模式的求解方法將傳

統的估計誤差當作是存在解釋變數與反應變數之間的關係之可能性

(possibility)故模糊觀察值的展度可以直接轉換成迴歸係數的指數可能性

分配(exponentialpossibility distribution)而可以使用與傳統迴歸非常類似的

方式加以求解Tanaka與 Lee (1999)再利用辨識方法(identification method)

求解迴歸模式在其研究中利用辨識方法以決定模糊線性系統(fuzzy linear

system)中迴歸係數的可能性分配並認為由此方法所求解的迴歸係數會

有比較小範圍的可能性分配近年來有愈來愈多的學者將模糊迴歸分析

應用於其他傳統的決策方法及不同領域上如 Dunyak 與 Wunsch(2000)使

用 α 截集的端點以類神經網路(neuralnetworks)進行模糊迴歸分析Lee

與 Chen(2001)則將模糊迴歸模式使用於人力預測的問題上Tseng 等人

(2001)將由模糊迴歸模式建立之 ARIMA 模式用以預測匯率Tseng 與

Tzeng(2002)則利用模糊迴歸模式的求解方法以建構具有季節變動的

ARIMA 模式Kim 與 Bishu(1996)應用於人力可靠度分析的操作反應時間

上Wu 與 Tseng(2002)將其模糊迴歸模式應用在景氣對策信號上的分析

王景男(民 89)將模糊迴歸分析應用於籃球比賽攻防技術策略上曹勝雄

曾國雄江勁毅(民 85)以國人赴港旅客需求之預測為例說明傳統迴歸

模糊迴歸類神經網路之差別張良斌陳育民(民 86)將模糊目標迴歸法

應用在垃圾衛生掩埋場沼氣回收設備的成本估算謝邦昌林燦隆呂理

添(民 85)將模糊迴歸運用在甘蔗產量的預測對於上列有關模糊迴歸分析

的研究中絕大部份的文章均侷限於線性模式的分析鮮有文章討論非線

性模糊迴歸模式的求解最近雖然有少數學者開始討論非線性模糊迴歸模

式的解法如 Xu(1997)Buckley 與 Feuring(2000)的研究等但使用的方

法所求解的迴歸係數仍然為模糊數值其造成反應變數估計值的展度會

隨著解釋變數之數值增加而擴大的問題仍無法避免

28

第三章 研究方法

本章介紹本文將運用於數值分析中的預測研究方法利用本章建構的

方法可清楚了解如何利用混沌理論基於相空間重構的方式及模糊迴歸方

法於預測中

31 混沌時間序列建立預測方法

時間序列的模型建構和預測是資料處理研究領域中的重要方向其中

預測方法主要有線性和非線性預測方法兩種預測就是對未來作出估計和

推斷而通常要對研究對象或資料進行假設這一過程稱為建模利用建

模的方式獲得資料的科學表示就稱為模型混沌時間序列雖然看似隨機

但它卻是由確定系統產生的因此我們可以對混沌時間序列作出短期預測

同時由於混沌對初始條件微小差異的高度敏感性我們無法對混沌時間序

列作出長期預測每一步預測帶來的微小偏差都會使得下一步預測的偏差

擴大最終導致預測序列與原始序列完全不同

311李亞普諾夫指數判定資料混沌特性

進行預測前需根據 212節中提及的李亞普諾夫指數來判定資料是否

具有混沌特性最大李亞普諾夫指數是判斷和描述非線性時間序列是否為

混沌系統的重要參數因此是一個重要的混沌不變數

混沌系統中的李雅普諾夫指數可用來判斷系統是收斂的還是混沌的當系

統的李雅普諾夫指數中至少有一個為正時系統是混沌的 當系統的李雅

普諾夫指數均為負數時系統是收斂的 對於系統是否存在動力學混沌可以直觀的判斷最大李亞普諾夫指數是否

大於零一個正的李亞普諾夫指數代表著在系統相空間中無論初始兩

條軌跡的間距多小兩條軌跡的差別都會隨著時間的演化而成指數率的增

加而導致無法預測這就是混沌現象

312重建相空間

傳統的建模和預測方法己廣泛地應用社會科學中但大部分都是基於

線性系統混沌時間序列並不適用於非線性的混沌時間序列於是在判斷

時間序列性質後若判定序列以隨機性為主應採用從 AR 或 ARIMA 等隨

機模型來預測如果判定以混沌為主則應採用非線性確定性的方法進行

29

預測非線性時間序列的預報是經過相空間重構後對相空間中的動力軌

跡進行預報由於混沌系統具有被稱為「蝴蝶效應」的初始值敏感性所

以混沌時間序列是不能長期預測的但對於短時間內混沌系統的軌道在

相空間中具有一定的規律它們的預測性是可獲得的並比一般的基於統

計方法的預測能力要來得好

時間序列資料是時間離散後的樣本值用 表示將它「嵌入」到

一個 m維(mgt0)的空間中進行相空間重構後得到嵌入向量

(31)

由嵌入向量 可擴張成一嵌入空間 E由 Taken嵌入定理可知存

在映射面 滿足

(32)

上式表是出在拓樸的意義中可完全預測吸引子的特徵所以上式也可

表示為

(33)

其中函數 為 的一個估計值由式 (33)可得之我們可用

來預測

313相空間維度相關維度

在實作的研究上有許多方法可以用來估計混沌吸引子的維度本研

究選用較為常見的相關維度方法相關維度需先計算相關和將相空間中

所有樣本點皆計算其各別半徑收斂後之趨近值相關方程式（Correlation

Function）定義如下

(34)

其中

當 rrarr0時

兩邊同取對數可得

(35)

定義相關維度為 與 之曲線斜率為

(36)

在實際應用中經常給定一組維度 值選取適當的 r繪出

30

曲線求曲線當中直線段的斜率 如果系統存在這樣一個 值達到此

值後相應的關聯維數不再隨 的增長而變化也就是趨於飽和這表明

該序列為混沌系統其吸引子是存在的此時 值即為重構相空間的最佳

嵌入維數否則則表明該序列為隨機系統不具有混沌性

314 時間遞移數

利用 2123節中介紹的概念及 2124 中介紹的自相關函數求解出時

間遞移數的結果自相關函數公式如下

1

1

1( )( )

1( )

n k

t t k

tk n

t

t

x x x xn k

r

x xn

(37)

n為原資料樣本數k為時間遞移後的樣本點

將自相關係數計算的結果與每一筆遲延時間距離數值繪製成圖表可

由圖表中可分析辨別時間序列數據的初步基本特徵圖表繪製的結果顯示

自相關係數跟隨遲延時間距離數值的增加而顯示收歛且具有震盪循環之跡

象則表示數據具有一種規則屬於一混沌時間序列

32 複線性迴歸

確立資料為混沌後運用自我相關係數計算出時間遞移數及相空間維

度後將加入複線性迴歸運算複線性迴歸中常用的預測方法分為兩種

1 全域法

全域法就是利用相空間軌跡中的全部向量點做為擬合對象找出其

規律由此進行短期預測也就是說利用收集的大量的歷史資料利用

複線性迴歸訓練出迴歸參數再將未放進訓練迴歸參數的資料使用訓練

出的迴歸參數計算出預測值的資料型態本文還將原本的歷史資料分析

出資料的季節性後先去除季節性的影響最後再加回季節性討論預測結

果

2 局域法

局域法的基本原理是僅利用有限個鄰近點的資訊而不是利用全部的

樣本點來擬合 局域法預測是把相空間軌跡中的最後一點作為待測點對

離待測點鄰近的若干個相空間點的關係作出擬合再對預測相空間點的未

來演化規律進行預測本文使用零階局域法零階局域法是直接將鄰近樣

31

本點應用於預測根據鄰近樣本點預測 的最簡單的方法就是尋找相

空間中距離 最近的點假設距離最近的點是 那麼它的下一個樣本

點為 即可做為 的預測值

因數值資料在每日重複發生變動所以本研究又加入計算季節性指數

對趨勢線做季節性調整也就是對時間序列做季節性調整

33 模糊迴歸分析

運用模糊的概念帶進迴歸模式中處理具模糊性的資料問題此稱為模

糊迴歸分析本文利用的模糊迴歸模式主要有兩個方向一個是Tanaka et al

(1982)提出的模糊線性迴歸另一個是由Chang 與Lee (1994)所提出修正型

迴歸模式Tanaka 起初所提出的線性規劃模型

0 1

[ ( )]p n

j ij

j i

Min C X

st 0 0

(1 ) (1 )p p

j ij j ij ii

j j

X H c X y H e

(38)

0 0

(1 ) (1 )p p

j ij j ij ii

j j

X H c X y H e

0jc j R 0 1iX 0 1H 123i n 012j p

Tanaka 所提出的模糊模型未考慮到散度為負值的條件所以模糊上下

界會不斷的擴張而越來越寬大由 Chang 與 Lee (1994)所提出修正型迴歸

模式即將模糊的散度可為負值使上下界的模糊區間為遞減的情形遞

減的情形由圖 31表示

圖 31 模糊區間隨自變數越大而越窄

0

2

4

6

8

10

上界 中心線 下界

32

假設圖表中計算出的模糊迴歸函數為 0 0 1 1 Y c c X 模糊上界為

0 0 1 1UY c c X 模糊下界為 0 0 1 1LY c c X

33

第四章 數值分析

本章資料來源1台灣區車輛工業同業公會

2台北市交通局

本章所使用的數據資料為台北市交通局提供的公開的車流量資料數

值分析所使用的方法已在第三章論述利用第三章的方法分析數值預測的

準確性並結合模糊迴歸常見的兩種方法幫助決定預測的可接受範圍本

章介紹本文所利用的數學模型及方法在複線性迴歸的模型中分成混沌全

域法去季節性後的混沌全域法以及混沌局域法預測出的結果加以討論預

測的準確性再將預測值去季節性觀察準確程度最後再帶入模糊迴歸

利用 05H 加以討論如何將模糊迴歸中的散度用以選擇預測值的範圍第

一節針對傳統複線性迴歸方法並結合全域法觀念訓練資料迴歸係數討

論預測結果第二節針對傳統複線性迴歸方法並結合局域法觀念訓練資

料迴歸係數討論預測結果第三節針對預測資料去除季節性後再利用

傳統複線性迴歸方法討論預測結果第四節針對模糊迴歸的兩種方法選

擇出預測的範圍

利用第三章論述的時間遞移及相關維度的做法將本文利用具混沌性

的資料加以分析將資料先利用 212 節中介紹的李雅普諾夫指數 判定是

否具混沌性具有混沌性的資料才能利用混沌理論重構相空間若李雅

普諾夫指數 介在 0跟 1之間則表示資料具有混沌性質本文資料利用程

式計算出李雅普諾夫指數 運用自我相關係數判斷出時間遞移

數 相關維度計算出維度 我相關係數判斷時間遞移數與相關維

度的圖形以及原始資料時間遞移後的資料圖如圖 41圖 42圖 43

34

圖 41相空間維度及 lnC與 ln r斜率關係圖

圖 42相空間維度及 lnC與 ln r斜率關係圖

0

1

2

3

4

5

6

7

0 5 10 15 20

相空間維度

斜

率

d

-02

0

02

04

06

08

1

12

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33

時間遞移數

自我相關函數

35

圖 43 原始資料時間序列圖

41 複線性迴歸混沌全域法

本文所使用的資料為 10日的車流量資料利用前 9日的資料訓練出迴

歸參數將迴歸參數代入複線性數學模型中計算出的迴歸方程式為

1 2 3 4

5 6 7 8 9

10 11 12 13 14

435363 00819 00338 01777 00070

01116 01999 00299 02716 00349

01399 00056 01113 00738 02038

y x x x x

x x x x x

x x x x x

(41)

解出迴歸參數計算出複線性迴歸方程式後再將最後一日 144筆的車

流資料代入方程式中計算出預測值利用複線性迴歸混沌域法預測出的結

果如圖 44

圖 44 複線性迴歸分析預測與原始資料比較圖-全域法

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

1 53

10

5

157

209

26

1 31

3

365

41

7

469

52

1 57

3

625

67

7

729

78

1 83

3

885

93

7

989

10

41

1093

11

45

1197

12

49

1301

13

53

1405

原始資料點

原始資料點

-50

0

50

100

150

200

1

7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

103

109

115

121

127

133

139

實際值

預測值

36

由圖表的狀況可觀察出運用複線性迴歸模型預測的結果不盡理想本

研究認為運用複線性迴歸預測的結果不佳的原因有二

1 利用全域法預測是將較大量的歷史資料加入考慮訓練出迴歸參數這

樣的結果造成削弱了原本的奇異點(相較於同時段資料差異性較大的點)

的影響力

2 嵌入維度 太高對於混沌時間序列隨著嵌入維度增高歷史

對未來的影響是呈指數衰減的所以全域法所利用的資訊歷史就越長

預測的精準度就會迅速下降因此本研究將加入局域法討論預測的準

確性

42 複線性迴歸混沌局域法

局域法的做法為尋找相空間重構後的點對待測點尋找鄰近的 k個相

空間點對離待測點鄰近的若 k個相空間點的關係作出擬合並分析出複

迴歸方程式的迴歸參數本文嘗試選取 k=50~250的結果以下只列舉 k=200

的圖解釋預測結果

圖 45 複線性迴歸分析預測與原始資料比較圖-局域法(k=200)

圖 44與圖 45比較後可看出區域法預測的準確性比全域法更好某

些預測出來的結果的點與原始資料的點差異性大有明顯的偏移本研究

認為利用局域法預測的結果不佳的原因如下由圖 45可看出預測結果與

原始資料間差異性較大的點位為數列的右側 而數列尾端的資料為凌晨或

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

1

7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

103

109

115

121

127

133

139

實際值

估計值

37

是深夜的車流量因每日凌晨或是深夜的車流量變化量較少(例如某日的凌

晨十二點十分可能為 0台車或是小於 10台車經過)所以資料的差異性

較大造成頭尾的資料預測上較為不準確

因為同時段的資料可能會影響資料預測出的結果所以我們下節就以

加入季節性的考慮來加以討論預測結果

43 複線性迴歸去除季節性後混沌全域法

本文使用的車流量資料為每日 24時換算成 1440分鐘每 10分鐘記

錄一點於是本研究依資料的記錄時間點來劃分季節性將季節分成 144

個季分別求出季節性指數求取季節性指數後將每個資料點先去除季

節性利用全域法訓練出去季節性後的迴歸係數再利用複線性求出預測

值最後將去除的季節指數乘回預測點結果如下

圖 46考慮季節性複線性迴歸分析預測與原始資料比較圖-全域法

此考慮季節性因子的複線性迴歸分析預測與原始資料的比較是用全

域法去訓練迴歸參數的而由圖 44我們可以得知一開始未考慮季節因

子使用全域法的複線性迴歸預測是不準確的本研究認為原本的歷史資

料隨著季節性因子的變化該系統原本呈現複雜的動態特性實際上由於

車流量的變動有許多外在因素的影響例如氣候假期hellip等影響會使

資料的變化過程發生不同程度的偏離而對於季節性事件來說其事件發

生的過程主要受季節性參數週期性變化的影響 因此影響因素的具體形

式可以近似地表示為單一函數本文考慮季節因素對車流量的影響意即

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

1

7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

10

3

10

9

11

5

12

1

12

7

13

3

13

9 實際值

預測值

38

經過季節性分析後的得到的預測分析結果很準確如圖 46所示此結果

表示季節性影響樣本資料的情形大也代表著在季節因素影響下系統中

事件的動態變化情況是隨著季節影響參數的變化而造成系統呈現各種

各樣複雜的動態特性如週期解混沌情形hellip等

44 模糊迴歸

441Tanaka模糊迴歸

μ及 H 值之選定原則為當不確定性愈大時其 μ及 H 值愈接近 0

反之當資料不確定性愈小時μ及 H 值取愈接近 1 之值Bardossy 等人

建議其值在 05~07間為適宜根據 Tanaka在 1982年所提到的方法我們

可以求得一模糊迴歸函數並可得知其中心線與其上界及下界假定在 H =

05的情況下利用 Tanaka模糊迴歸模式算出迴歸函數為

(42)

中心線與上下界的簡單迴歸方程式為

中心線 (43)

上界 (44)

下界 (45)

繪製出的圖形如圖 47所示

圖 47 Tanaka 模糊迴歸

0

50

100

150

200

250

300

1

7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

103

109

115

121

127

133

139

下界

中心線

上界

39

圖 48 Tanaka 模糊迴歸中心線與預測值之結合

從圖 48可看出預測值與模糊迴歸的中心線 有明顯的時間差異但由

圖可以觀察出模糊迴歸的中心線 的預測趨勢與實際值是相近的雖然利

用模糊迴歸預測的時間點比實際時間快但是相對來說也是可以用來預

測之後將發生的趨勢本研究認為若模糊迴歸可用於預測中則可用模糊

的散度 c當做預測行為中選取的可接受的變動範圍如圖 49最後將 Tanaka

模糊迴歸中心線上下界與實際值之結合如圖 410所示

圖 49 Tanaka 模糊迴歸中心線上下界與實際值之結合

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

1

8

15

22

29

36

43

50

57

64

71

78

85

92

99

106

113

120

127

134

141

實際值

中心線

0

50

100

150

200

250

300

1

7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

103

109

115

121

127

133

139

實際值

下界

上界

預測

值

預測值

40

圖 410 Tanaka 模糊迴歸中心線上下界與實際值之結合

442修正型 Tanaka模糊迴歸

因為我們要將模糊迴歸應用於預測中所以本研究將複線性迴歸的趨

勢線視為模糊迴歸的中心線再利用修正型 Tanaka模糊迴歸模式算出迴歸

函數為

(46)

中心線與上下界的簡單迴歸方程式為

中心線

上界

下界

繪製出圖形如圖 411

0

50

100

150

200

250

300

1 7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

103

109

115

121

127

133

139

實際值

預測值

下界

上界

41

圖 411 修正型模糊迴歸中心線上下界與實際值之結合

本研究使用的修正型模糊迴歸中心線與傳統的迴歸方程式相同所以

可用來處理或分析模糊資料與明確資料同時修正型模糊迴歸的上下界

與 Tanaka 模糊迴歸相較也變窄了此兩種現象就是修正型迴歸的特色因

為中心線與傳統的迴歸方程式也相同這種修正型迴歸散度可選擇為負值

的特色本研究認為可以應用在預測上因為上下界與中心線間的散度變

窄使得前文所敘述到的利用散度來選取預測範圍便可更為嚴格也可

使預測的結果更為可靠如圖 412所示

圖 412 Tanaka 上下界與修正型模糊迴歸上下界的寬度差別

0

50

100

150

200

250

1 7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

103

109

115

121

127

133

139

下界

中心線

上界

0

50

100

150

200

250

300

1 8 15

22

29

36

43

50

57

64

71

78

85

92

99

106

113

120

127

134

141

Tanaka下界

Tanaka上界

Tanaka修正型下界

Tanaka修正型上界

42

第五章 結論及未來研究方向

51 結論

根據前文的討論傳統迴歸和模糊迴歸建立在不同的理論基礎上傳

統迴歸是以機率為基礎而模糊迴歸則是以可能性為基礎傳統迴歸因變

數的估計值與觀測值之間的差異為因變數的隨機性而模糊迴歸因變數的

估計值則產生於觀測值之模糊度惟兩者最大不同處在於模糊迴歸式的

迴歸係數與預測值皆為模糊數（區間值）不同於傳統迴歸係數與預測值

均為明確的數值此外傳統迴歸侷限於對明確資料的分析可能性模糊

迴歸僅適用於分析具模糊性的資料而複合的模糊迴歸則可同時適用於分

析模糊與明確的資料此為此模式最大的特點

模糊迴歸應用於預測中大多的結果是不佳的但是我們透過結合混

沌與模糊迴歸的概念將混沌的預測單點概念拓展成一個可接受的預測

範圍

PT Chang 與ES Lee 使用修正型模糊迴歸重新定義散度做出新的

模糊上下界均為改善模糊迴歸模式Tanaka之研究本研究將模糊迴歸與

混沌理論之建立時間序列的預測情形加以結合討論發現模糊迴歸在預測

的行為中是可行的但可惜的是即使預測的趨勢相近但預測值出時間

的點卻有差別這樣的結果我們可以看出若能找到解決加強模糊與複線性

迴歸關係之間時間的關聯性就能利用模糊的不確定性來討論預測問題

52 未來之研究方向

本研究將模糊迴歸與混沌理論之建立時間序列的預測情形加以結合討

論發現模糊迴歸在預測的行為中是可行的但可惜的是即使預測的趨

勢相近但預測值出時間的點卻有差別這樣的結果我們可以看出若能找

到解決加強模糊與附線性迴歸關係之間時間的關聯性就能利用模糊的不

確定性來討論預測問題

為了符合現今社會多元的狀況模糊迴歸與傳統迴歸之觀念勢必加以

混合應用也為了解決此等問題混合式迴歸（Hybrid Regression）在近年

來被提起也因此參數的估計模糊迴歸與傳統迴歸的混合應用將成

為往後繼續研究探討之目標

建議未來可用模糊加權修正模糊迴歸使模糊迴歸在預測上更能直接

43

將對事物多個構面評估的意見與其影響事物狀況的重要程度作加權的運

算

44

參考文獻

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業管理研究所碩士論文台南市

[15] 張益欽(2006)模糊要素價格下要素配置問題之求解與其應用南台科技大學工業

管理研究所碩士論文台南市

[16] 蔡明君(2009)模糊環境下專案趕工問題之分析探討國立中正大學企業管理研究

所碩士論文嘉義市

[17] 劉錦輝(2002)結合模糊迴歸分析與品質機能展開於工程設計之最佳化朝陽科技

大學工業工程與管理所碩士論文台中市

[18] 薛展青(2004)求解模糊迴歸之參數估計成功大學工業與資訊管理學系碩士論文

台南市

[19] 闕頌廉(民 81)應用模糊數學台北市科技圖書股份有限公司

[20] 謝逸婷(2005)模糊排序法於資料包絡分析模式之應用南台科技大學工業管理研

15

速度甚至不能實時控制模糊控制的設計尚缺乏系統性無法定義控制

目標控制規則的選擇論域的選擇模糊集的定義量化因數的選取多

採用試湊發這對複雜系統的控制是難以奏效的

232模糊至今應用的範圍

模糊理論發展至今已接近三十餘年應用的範圍非常廣泛從工程科

技到社會人文科學都可以發現模糊理論研究的蹤跡與成果我們分別由工

程科技與社會人文科學的角度瞭解模糊理論應用的範疇

1 工程科技方面

(1) 型樣識別文字識別指紋識別手寫字體辨識影像辨識語音

辨識

(2) 控制工程機器人控制汽車控制家電控制工業儀錶控制電

力控制

(3) 信號及資訊處理影像處理語音處理資料整理資料庫管理

(4) 人工智慧及專家系統故障診斷自然語言處理自動翻譯地震

預測工業設計

(5) 環保廢水處理凈水處理廠工程空氣污染檢驗空氣品質監控

(6) 其他建築結構分析化工製程控制

2 教育社會及人文科學方面

(1) 教育教學成果評量心理測驗性向測驗電腦輔助教學

(2) 心理學心理分析性向測驗

(3) 決策決定決策支援決策分析多目標評價綜合評價風險分

析

233模糊集合

過去傳統數學上集合的基本定義是以二值邏輯(Binary Logic)為基礎的

方式來描述事物為屬於或不屬於此集合也就是元素 x和集合 A的關係

只能是isinA或notinA明確的判斷對象為所屬集合也就是明確集合(Crisp Set)

如果要描述適當的模糊事物時須將所屬集合的概念模糊化使之無明確

判對象所屬的集合模糊集合是指在界限或邊界不分明且具有特定事物的

集合以建立隸屬函數(Membership Function)來表示模糊集合承認論域

(Universe of Discourse)上存在既非完全屬於集合A又非完全不屬於集合A

16

使傳統集合的絕對屬於的概念改變為相對屬於的概念以數學式表示論域

U 上的模糊集合 A可表示為元素 x與它的歸屬函數集合

(216)

其中 A為一模糊集合 為歸屬函數x稱作元素U為論域一

般情況下歸屬度會界定在 0跟 1之間

(1) =0表示元素 x不屬於

(2) =1表示元素 x完全屬於

(3) 趨近 0表示元素 x極不可能屬於

(4) 趨近 1表示元素 x極有可能屬於

這個表示式的完整解釋為當 x 在 U 的範圍內會對應到一個介於 0

到 1之間的數值 所有這種 x所成的集合就是一個模糊集合模糊集

合可表示為

1 當論域Ｕ為有限離散(discrete)集合的情形下模糊集合 可表示成

(217)

2 當論域Ｕ為實數論域所組成之在連續(continuous)集合的情形下模糊

集合 可表示成

isin (218)

其中 並非積分符號而是單純的連結符號

234 模糊數(Fuzzy Number)

1 模糊數(triangular fuzzy number)

假設 是模糊集合或模糊數(FN)在實線 2R 上則以三角形隸屬函數

(triangular membership function）表示為 1 2 3( )a a a 2 x R to A 則

1

1 2 1 1 2

3 3 2 2 3

3

0

( ) ( ) ( )

( ) ( )

0

x a

x a a a a x aA x

a x a a a x a

x a

(217)

17

1

其隸屬函數圖形如圖 21

圖 21 三角模糊數

2 梯形模糊數(trapezoidal fuzzy number)

梯形模糊數可表示為 如圖 22其隸屬度函數定義為

(218)

其隸屬度函數如圖 22

圖 22梯形模糊數

a b c d

1

18

在一信賴區間 α水準α 01 我們定義 A

( )A x A x (218)

三角形隸屬度函數以 α-cut表示為

( ) ( )

1 3 1 1 2 3 2 3[ ] [ ( ) ( )]A a a a a a a a a

(219)

( )

1a 與 ( )

3a 個別代表 A的下界及上界

根據模糊算術方法Zadehrsquos sup-min 方法表示如下

( )( ) sup min( ( ) ( ))x y z

A B z A x B y

(220)

其中 sup表任何模糊算式Mizumoto and Tanaka（1976）使用相同方

法在 α 截集模糊數和區間算術Chang（2003）和 Chang et al （2006）和

Chang and Hung（2006）整理使用 α 截集模糊算術方法的文獻α截集模

糊算術中模糊數基本運算公式（加法減法乘法除法）可以計算的

更快在每一個 α-level 區間中使用區間算術（Kaufmann and Gupta

1988）

1 模糊數加法

令A和 B分別為兩模糊數 A和 B在一信賴區間 α水準 ( ) ( )

1 2[ ]A a a

( ) ( )

1 2[ ]B b b αisin 01 forall A B sub 2R 表示如下

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 2 1 2 1 1 2 2[ ] [ ] [ ]A B a a b b a b a b

forallαisin 01 (221)

2 模糊數減法

在一信賴區間 α水準forall A B sub 2R αisin 01

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 2 1 2 1 2 2 1[ ] [ ] [ ]A B a a b b a b a b

(222)

3 模糊數乘法

在一信賴區間 α水準forall A B sub 2R αisin 01

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 2 1 2 1 1 1 2 2 1 2 2

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 1 1 2 2 1 2 2

[ ] [ ] [min(

max( )]

A B a a b b a b a b a b a b

a b a b a b a b

(223)

4 模糊數除法

在一信賴區間 α水準forall A B sub 2R αisin 01

19

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 1 1 2 2

1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 2 1 2 1 2 1 2

[ ] [ ] [min( )max( )]a a a a a a a a

A B a a b bb b b b b b b b

式中 ( )

1b ( )

2b gt0forallαisin[01] (224)

235模糊運算

根據 Zadeh（1965）的擴展原理（Extension Principle）可以廣義的使

用一般基準 T取代原來的最小值模糊數的數學運算表示如下

1 加法

( )( ) sup ( ( ) ( ))x y z

A B z T A x B y

(225)

2 減法

( )( ) sup ( ( ) ( ))x y z

A B z T A x B y

(226)

3 乘法

( )( ) sup ( ( ) ( ))x y z

A B z T A x B y

(227)

4 除法

( )( ) sup ( ( ) ( ))x y z

A B z T A x B y

(228)

24 模糊迴歸

在科學研究過程中許多研究者常使用迴歸來描述自變數 x和應變數 Y

之間的關係傳統的迴歸分析均假設觀察值由實際應變數影響加上隨機誤

差而產生也就是說應變數是一種帶有不確定性的隨機變數不過在很

多的實務應用上往往無法滿足這樣的假設例如有些應變數 Y 的觀察值

並不是以單一數值的型式存在而是帶有多重隸屬的特性這些觀察值雖

然帶有不確定性但這種不確定的特性是來自於模糊現象而非隨機現象

若由模糊觀點套用迴歸分析來處理模糊資料問題就稱為模糊迴歸分析

模糊迴歸分析最早是由 Tanaka et al (1980) 提出一般模糊迴歸能夠處理的

樣本型式有兩種一種是實數值樣本 其中 為實數向量 為觀測

到的實數值另一種是模糊數樣本( 其中 為觀測到的模糊數不論

是實數值樣本或是模糊數樣本想要估計模糊迴歸參數估計方法大都是

20

利用線性規劃的技巧來尋求一組能將實數值樣本 或模糊數樣本(

包含在內的區間再將三角形隸屬函數（triangular membership function）套

用

在此區間上如此便求得一組模糊迴歸估計式要得到正確的估計結

果最好是收集具有代表性的隸屬函數樣本所謂具有代表性的隸屬函數

樣本應該是以模糊數的形式存在所以本文就樣本模糊數 進行討論

線性模糊迴歸模式常表示成

0 1 1 2 2( ) i i i p piY x A A x A x A x (229)

其中 1 2 3(1 ) i i i i p ix x x x x 為自變數向量 ( )iY x 為模糊應變數

為模糊參數利用樣本模糊數 估計參數 時通

常假設 與 的隸屬函數為對稱三角型式 與 的隸屬函數表達如下

( ) max 1 0 i

i

Y

i

t yt t

r

(230)

其中 為三角隸屬函數的中點 為三角隸屬函數的分布半徑可令

( ) max 1 0 m

m

A

m

t ct t

s

(231)

其中 為三角形的中點 是三角形的分布半徑 與 間的關係

如圖 23所示

圖 23模糊數的中心值與散佈值

1

0

21

再令 則前述的模糊迴歸方程式可改寫成

0 1 1 2 20 1 2( ) i i ipi p pY x x xC S xC S C S C S (232)

因此模糊應變數 ( )iY x 的隸屬函數也屬於三角型式可表示成

( )

0

0

( ) max 1 0 Y xi

p

m m

m

p

m mi

m

t c x

t t

S x

(233)

其中 因此只要估計出三角形的中點 及半徑 便可得到

隸屬函數的估計值模糊迴歸分析是在要求每一個觀測值 隸屬於模糊

迴歸區間的隸屬程度至少 的情況之下尋求最小的模糊迴歸預測區間如

(234)式表示

forall ( 234)

在利用 對未知的模糊參數 進行估計前一般先定

義模糊樣本 和模糊應變數 的 h截集其定義如下

令 為一組模糊樣本 ( )iY x 為模糊應變數若 與

分

別為 及 的 h截集(h-cut)則

(235)

(236)

因具代表性的樣本 其 h 截集 應要盡量接近模糊應變數 的 h

截集 意即

其中容許

不完全落在 之

內的情形發生根據以上觀點王景南(2002)認為樣本的左端點

和右端點 隸屬於 的程度會有一定的水準於是設立此水準

為 H因此假設 隸屬於 的隸屬度會盡量的接近 H其間的關係

為

( 與

( (237)

所謂的盡量接近 H是可允許隸屬度大於 H或小於 H而不是均大於

22

H

根據以上的對樣本的解釋運用最小平方法以所有樣本的左端點

配置一迴歸直線稱之為左端直線估計式

(238)

其中 為迴歸係數再以所有右端點 配置右端

直線估計式

(239)

其中 為迴歸係數

前文已假設樣本的左右端點隸屬於 的隸屬度會盡量的接近 H所

以將這兩條直線函式來估計 之 H截集的左右邊界即

(240)

如此可推導出 的隸屬函數為

(241)

其中 且

(242)

意即

(243)

其中

為三角形底邊中點是

分布半徑如此便可得一組估

計的模糊迴歸模式

(244)

仍需注意的是當樣本為對稱型態時左右迴歸函數式其配適的結果式

相同的只有常數項不同當對稱情形發生時可以考慮利用各別對應相

之權重除以常數項的分布半徑做為個別對應項之分布半徑意即

分布半徑

除此之外Celmins及Diamond Celmins也分別提出最小平方法之模糊迴

23

歸模式以便求解資料間距離最小的模糊迴歸方程

模糊迴歸應用上比統計迴歸更具彈性統計迴歸通常需要大量資料以

支持其假設而模糊迴歸卻無此需求因此當資料量不足或隨機性難以驗

證時模糊迴歸是較強健的(Robust)同時當所蒐集之資料的不確定性乃

來自於人類之主觀判斷時模糊迴歸較具適用性

因此模糊迴歸模式逐漸受到重視在1990年代的研究包括Sakawa及

Yano針對投入變數與輸出變數皆為模糊資料的問題建構出一個多目標的模

糊迴歸模式此外Chang和Lee則認為模糊迴歸中心線的趨勢與模糊迴歸散

佈值的趨勢可以存在不一致性為了分析統計迴歸與模糊迴歸的差異Kim

Moskowitz 及Koksalan 利用模擬分析比較統計迴歸與模糊迴歸的結果認

為由機率論所得的統計迴歸模式在大樣本時其預測績效遠比可能性理論

(Possibility theory)推演而得的模糊迴歸模式為佳然而當資料量遞減或所構

建的模式適合性變差時(即變數間存在模糊關係)則模糊迴歸模式的預測績

效將優於統計迴歸模式由於模糊迴歸模式在解決資料量少及系統關係模

糊不清的問題上具有較佳之績效而存在其正面之價值當變數間存在模

糊關係時

從早期到目前已發展出多種模糊迴歸模式求解方式以下根據薛展青

(2004)所整理的模糊迴歸分析整裡敘述如下

1 區間迴歸法

區間迴歸法(interval regression)其模型架構主要是由Tanaka et al(1982)

所提出的模糊線性迴歸(fuzzy linear regression)模型Tanaka et al(1982)所發

表的論文中表示傳統的迴歸模型中造成實際值與估計值的誤差來源被

認為是由測量或觀察所造成的而此誤差項在模糊線性迴歸模型中是因

模糊系統中參數的模糊性所產生的即誤差是反應模糊線性函數的模糊現

象因此以模糊線性函數來表示迴歸方程式而迴歸參數則是以模糊集合

來表示

Tanaka et al(1982)在估計模糊迴歸參數時是利用線性規劃技巧

(linearprogramming method)來尋求一組能將實數值樣本或模糊數樣本全部

包含的區間最後求得一組對稱三角形模糊數之迴歸參數

自Tanaka等人(1982)的文章發表之後後續的學者大多以此為基礎陸

續題出各種相關的模式與求解方法如Peters (1994)將Tanaka的線性規劃法

24

求解推廣為模糊線性規劃法求解讓資料對模糊迴歸模式的適應性更加提

升YenGhoshray 與Roig (1999)提出由於非對稱迴歸係數導因於大多數的

資料為離群值使得對稱三角迴歸係數不再適用因此將Tanaka et al的模

式推廣為非對稱三角迴歸係數Moskowitz 與Kim (1993)探討不同水準值下

模糊迴歸模式的求解與模式配適程度Redden 與Woodall (1996)探討模糊

迴歸分析預測未來值的結果Sakawa 與Yano (1992)將Tanaka的方法擴展到

依變數及自變數皆是模糊集合的情況並將之稱為多目標線性迴歸法

(multiobjective linear regression model)Koumlrner 與Naumlther (1998)討論解釋變

數與反應變數兩者皆為模糊數值的情況Kacprzyk 與Fedrizzi (1992)則蒐集

了各種不同迴歸模式的求解方法Redden 與Woodall (1994)說明Tanaka後

續提出的求解模式當中所具備的性質以及與傳統迴歸方法的差異比較

但是在此模式下求解之迴歸係數本身亦為一對稱的三角模糊數值

而且求解結果很容易受到資料尺度(scale)的影響使得反應變數估計值之展

度會變得更為寬廣後來Tanaka (1987)根據1982年的文獻發展為更完整的

可能性線性系統使模糊迴歸的結構更趨適應性Tanaka 與Watada (1988)

闡明可能性線性模式的概念推演建構成可能性線性迴歸模式Tanaka et

al(1989)應用模糊資料於可能性迴歸系統中並建構最小化最大化及混合

式三種線性規劃模式又對先前所提出的模式加以修正但就如Redden 與

Woodall (1994)所指出Tanaka 類型的模式對於離群值(outlier)的反應非常

敏感甚至在觀察值的個數增加時求解結果可能會產生無限多解因

此在Tsaur 與Wang (1999)提出的文獻對於在模糊迴歸分析中的離群值進行

一系列探討

2 模糊最小平方法

模糊最小平方法(fuzzy least squares)乃擴展傳統之最小平方法的觀念

最早由Diamond (1988)所提出利用傳統最小平方法的觀念求出一個模糊

迴歸模式以估算(approximate)反應變數的觀察值並非如區間迴歸中的包含

觀察值在其模式中利用反應變數的觀察值與估計值的模糊數值之最小

值最可能值與最大值定義兩者之間的距離以衡量迴歸模式與模糊資

料之間的最佳配適度的情形在使得所有觀察值與估計值的模糊數值之間

的距離平方總和為最小時可以導出類似傳統迴歸分析中的正規方程式

(normal equation)以求解迴歸係數

25

其後Chang 與Lee (1996)則將Diamond (1988)的方法加以擴充將迴

歸係數的最可能值與展度分別估計該方法的特點在於可將極端值(outlier)

加以處理並降低其影響程度Ma等人(1997)則將此類方法發展於適合非

三角模糊數值的場合Diamond 與Koumlrner (1997)則在此類方法中定義一

個判定係數的計算方法以比較不同模式的適合性Wu與Tseng (2002)提出

改善模糊迴歸模式之最小平方法其模式主要觀念是利用最小平方法將所

有樣本的左端點及右端點各配置一條迴歸線然後在將其左右迴歸線統合

成一條迴歸線

而在Kim 與Bishu (1998)的研究中是利用各個具有三角模糊數值的反

應變數之最小值最可能值與最大值以最小平方法分別計算出模糊迴歸

係數所得到的係數不一定為對稱的三角模糊數在此種求解方式下雖

然可以得到比較小的估計誤差但其缺點是無法處理解釋變數為模糊數的

情形另外Kim 與Bishu(1998)還提出了評估模糊迴歸模式的準則利用觀

察值與估計值歸屬函數之間面積的差異做為迴歸模式的估計誤差但其評

估準則的問題是無法比較不同模式在觀察值與估計值歸屬函數之間不具有

交集時的誤差情況在此情況下求算估計誤差時無法準確評估其總誤差而

導致評估失真而其他學者如Yang與Ko (1997)Yang 與Lin (2002)等則

是提出以最小平方法為基礎的模糊聚類分析求解方式

3 模糊隨機變數估計法

為了建構一個同時具有隨機和模糊特性的系統Kwakernaak (1978)首

先提出模糊隨機變數(fuzzy random variables)的概念認為傳統的隨機變數

U Ωrarr R為實數可測函數而模糊隨機變數則將一般隨機變數的概念廣義

化模糊隨機變數可表示為X ΩrarrS設ω isinΩ而ω 所對應到的不再是實

數值U(ω)而是模糊集合X (ω)S 代表模糊集合且Kwakernaak (1978)擴

充原來Zadeh 提出模糊集合之架構認為有時供作參考的資訊不齊全在

對某些述句進行評斷時我們無法判斷其絕對為真或絕對為假此時我

們考慮將原有的二元邏輯思維方式推廣暫且不作肯定的判決而僅是表

達出對錯的程度換句話說真值可以是介於單位區間[01] 內的任何值

如此思維方式稱之為多值邏輯(multivalued value)並將模糊集合視為一組

述句(statement)的集合且每個述句均對應一真值程度以符合人類的思維與

想法Stein 與Talati (1981)利用模糊數值的隸屬函數提出模糊隨機變數

26

的期望值之計算方式Kruse 與Meyer (1987)藉助集合表徵的概念建立了

一套模糊隨機變數的定義而為了讓模糊隨機變數能實際應用並將討論

的範圍界定在一模糊集合族上Koumlrner (1997)及Naumlther (1997)利用該方法以

求算模糊隨機變數的期望值與變異數並應用於線性模糊迴歸模式的求解

等另外在曾能芳(民 91)的博士論文研究中指出在Tanaka et al (1982)

的模糊迴歸模式中並不具備誤差項因此模式無法呈現樣本與期望值之間

的關係而無法討論線性規劃估計程序所具備的統計性質所以在曾能芳

(民 91)提出的迴歸模式中採用模糊樣本是由依變數之模糊期望值加上測量

誤差所組成並提出測量誤差存在於中點的模糊迴歸模式以及測量誤差

同時存在於中點和半徑的模糊迴歸模式

4 兩階段求解方法

以兩階段方法(two stage method)求解模糊迴歸模式的想法是在於結合

最小平方法與區間迴歸的觀念試圖降低反應變數估計值的模糊度如Savic

與Pedrycz (1991)對模糊迴歸模式的求解分為兩個步驟進行第一步以

反應變數的模糊數值之最可能數值為基礎將模糊數值視為簡化的明確數

值以傳統最小平方法求解迴歸係數的中心值第二步利用區間迴歸的

方式在使得迴歸係數的模糊度為最小的情形下以決定迴歸係數的三角

模糊數值Kao 與Chyu (2002)提出另一種模糊迴歸模式的兩階段求解方

法在第一階段先利用解模糊(defuzzification)方法將模糊觀察值轉換成為一

組明確數值之後利用該組明確數值以傳統的最小平方法求解迴歸係

數第二階段則是以Kim 與Bishu 所提之評估準則為目標式決定一個誤

差項估計值的模糊數以使得在Kim 與Bishu (1998)評估準則下的總誤差量

為最小該方法的特別之處在於求解的迴歸係數為明確數值而誤差項估計

值為模糊數值雖然此種求解方式可以得到很小的估計誤差但因其所著

眼的仍是Kim 與Bishu 評估準則下的面積估計誤差使得當觀察值與估計

值歸屬函數之間不具有交集時所衡量出的估計誤差較真實誤差為小且其

求解方法比較適合於觀察值為三角或梯形的模糊數值欲應用於其他型式

的模糊數值求解上則較為困難而在邱清爐(民 91)的博士論文中則是將

其兩階段求解方法對各種不同的模糊迴歸模式進行建構與評估並將其求

解方法應用於工作滿意度實例

5 其他求解方法與相關研究

27

Tanaka 等人(1995)後來提出另外一種模糊迴歸模式的求解方法將傳

統的估計誤差當作是存在解釋變數與反應變數之間的關係之可能性

(possibility)故模糊觀察值的展度可以直接轉換成迴歸係數的指數可能性

分配(exponentialpossibility distribution)而可以使用與傳統迴歸非常類似的

方式加以求解Tanaka與 Lee (1999)再利用辨識方法(identification method)

求解迴歸模式在其研究中利用辨識方法以決定模糊線性系統(fuzzy linear

system)中迴歸係數的可能性分配並認為由此方法所求解的迴歸係數會

有比較小範圍的可能性分配近年來有愈來愈多的學者將模糊迴歸分析

應用於其他傳統的決策方法及不同領域上如 Dunyak 與 Wunsch(2000)使

用 α 截集的端點以類神經網路(neuralnetworks)進行模糊迴歸分析Lee

與 Chen(2001)則將模糊迴歸模式使用於人力預測的問題上Tseng 等人

(2001)將由模糊迴歸模式建立之 ARIMA 模式用以預測匯率Tseng 與

Tzeng(2002)則利用模糊迴歸模式的求解方法以建構具有季節變動的

ARIMA 模式Kim 與 Bishu(1996)應用於人力可靠度分析的操作反應時間

上Wu 與 Tseng(2002)將其模糊迴歸模式應用在景氣對策信號上的分析

王景男(民 89)將模糊迴歸分析應用於籃球比賽攻防技術策略上曹勝雄

曾國雄江勁毅(民 85)以國人赴港旅客需求之預測為例說明傳統迴歸

模糊迴歸類神經網路之差別張良斌陳育民(民 86)將模糊目標迴歸法

應用在垃圾衛生掩埋場沼氣回收設備的成本估算謝邦昌林燦隆呂理

添(民 85)將模糊迴歸運用在甘蔗產量的預測對於上列有關模糊迴歸分析

的研究中絕大部份的文章均侷限於線性模式的分析鮮有文章討論非線

性模糊迴歸模式的求解最近雖然有少數學者開始討論非線性模糊迴歸模

式的解法如 Xu(1997)Buckley 與 Feuring(2000)的研究等但使用的方

法所求解的迴歸係數仍然為模糊數值其造成反應變數估計值的展度會

隨著解釋變數之數值增加而擴大的問題仍無法避免

28

第三章 研究方法

本章介紹本文將運用於數值分析中的預測研究方法利用本章建構的

方法可清楚了解如何利用混沌理論基於相空間重構的方式及模糊迴歸方

法於預測中

31 混沌時間序列建立預測方法

時間序列的模型建構和預測是資料處理研究領域中的重要方向其中

預測方法主要有線性和非線性預測方法兩種預測就是對未來作出估計和

推斷而通常要對研究對象或資料進行假設這一過程稱為建模利用建

模的方式獲得資料的科學表示就稱為模型混沌時間序列雖然看似隨機

但它卻是由確定系統產生的因此我們可以對混沌時間序列作出短期預測

同時由於混沌對初始條件微小差異的高度敏感性我們無法對混沌時間序

列作出長期預測每一步預測帶來的微小偏差都會使得下一步預測的偏差

擴大最終導致預測序列與原始序列完全不同

311李亞普諾夫指數判定資料混沌特性

進行預測前需根據 212節中提及的李亞普諾夫指數來判定資料是否

具有混沌特性最大李亞普諾夫指數是判斷和描述非線性時間序列是否為

混沌系統的重要參數因此是一個重要的混沌不變數

混沌系統中的李雅普諾夫指數可用來判斷系統是收斂的還是混沌的當系

統的李雅普諾夫指數中至少有一個為正時系統是混沌的 當系統的李雅

普諾夫指數均為負數時系統是收斂的 對於系統是否存在動力學混沌可以直觀的判斷最大李亞普諾夫指數是否

大於零一個正的李亞普諾夫指數代表著在系統相空間中無論初始兩

條軌跡的間距多小兩條軌跡的差別都會隨著時間的演化而成指數率的增

加而導致無法預測這就是混沌現象

312重建相空間

傳統的建模和預測方法己廣泛地應用社會科學中但大部分都是基於

線性系統混沌時間序列並不適用於非線性的混沌時間序列於是在判斷

時間序列性質後若判定序列以隨機性為主應採用從 AR 或 ARIMA 等隨

機模型來預測如果判定以混沌為主則應採用非線性確定性的方法進行

29

預測非線性時間序列的預報是經過相空間重構後對相空間中的動力軌

跡進行預報由於混沌系統具有被稱為「蝴蝶效應」的初始值敏感性所

以混沌時間序列是不能長期預測的但對於短時間內混沌系統的軌道在

相空間中具有一定的規律它們的預測性是可獲得的並比一般的基於統

計方法的預測能力要來得好

時間序列資料是時間離散後的樣本值用 表示將它「嵌入」到

一個 m維(mgt0)的空間中進行相空間重構後得到嵌入向量

(31)

由嵌入向量 可擴張成一嵌入空間 E由 Taken嵌入定理可知存

在映射面 滿足

(32)

上式表是出在拓樸的意義中可完全預測吸引子的特徵所以上式也可

表示為

(33)

其中函數 為 的一個估計值由式 (33)可得之我們可用

來預測

313相空間維度相關維度

在實作的研究上有許多方法可以用來估計混沌吸引子的維度本研

究選用較為常見的相關維度方法相關維度需先計算相關和將相空間中

所有樣本點皆計算其各別半徑收斂後之趨近值相關方程式（Correlation

Function）定義如下

(34)

其中

當 rrarr0時

兩邊同取對數可得

(35)

定義相關維度為 與 之曲線斜率為

(36)

在實際應用中經常給定一組維度 值選取適當的 r繪出

30

曲線求曲線當中直線段的斜率 如果系統存在這樣一個 值達到此

值後相應的關聯維數不再隨 的增長而變化也就是趨於飽和這表明

該序列為混沌系統其吸引子是存在的此時 值即為重構相空間的最佳

嵌入維數否則則表明該序列為隨機系統不具有混沌性

314 時間遞移數

利用 2123節中介紹的概念及 2124 中介紹的自相關函數求解出時

間遞移數的結果自相關函數公式如下

1

1

1( )( )

1( )

n k

t t k

tk n

t

t

x x x xn k

r

x xn

(37)

n為原資料樣本數k為時間遞移後的樣本點

將自相關係數計算的結果與每一筆遲延時間距離數值繪製成圖表可

由圖表中可分析辨別時間序列數據的初步基本特徵圖表繪製的結果顯示

自相關係數跟隨遲延時間距離數值的增加而顯示收歛且具有震盪循環之跡

象則表示數據具有一種規則屬於一混沌時間序列

32 複線性迴歸

確立資料為混沌後運用自我相關係數計算出時間遞移數及相空間維

度後將加入複線性迴歸運算複線性迴歸中常用的預測方法分為兩種

1 全域法

全域法就是利用相空間軌跡中的全部向量點做為擬合對象找出其

規律由此進行短期預測也就是說利用收集的大量的歷史資料利用

複線性迴歸訓練出迴歸參數再將未放進訓練迴歸參數的資料使用訓練

出的迴歸參數計算出預測值的資料型態本文還將原本的歷史資料分析

出資料的季節性後先去除季節性的影響最後再加回季節性討論預測結

果

2 局域法

局域法的基本原理是僅利用有限個鄰近點的資訊而不是利用全部的

樣本點來擬合 局域法預測是把相空間軌跡中的最後一點作為待測點對

離待測點鄰近的若干個相空間點的關係作出擬合再對預測相空間點的未

來演化規律進行預測本文使用零階局域法零階局域法是直接將鄰近樣

31

本點應用於預測根據鄰近樣本點預測 的最簡單的方法就是尋找相

空間中距離 最近的點假設距離最近的點是 那麼它的下一個樣本

點為 即可做為 的預測值

因數值資料在每日重複發生變動所以本研究又加入計算季節性指數

對趨勢線做季節性調整也就是對時間序列做季節性調整

33 模糊迴歸分析

運用模糊的概念帶進迴歸模式中處理具模糊性的資料問題此稱為模

糊迴歸分析本文利用的模糊迴歸模式主要有兩個方向一個是Tanaka et al

(1982)提出的模糊線性迴歸另一個是由Chang 與Lee (1994)所提出修正型

迴歸模式Tanaka 起初所提出的線性規劃模型

0 1

[ ( )]p n

j ij

j i

Min C X

st 0 0

(1 ) (1 )p p

j ij j ij ii

j j

X H c X y H e

(38)

0 0

(1 ) (1 )p p

j ij j ij ii

j j

X H c X y H e

0jc j R 0 1iX 0 1H 123i n 012j p

Tanaka 所提出的模糊模型未考慮到散度為負值的條件所以模糊上下

界會不斷的擴張而越來越寬大由 Chang 與 Lee (1994)所提出修正型迴歸

模式即將模糊的散度可為負值使上下界的模糊區間為遞減的情形遞

減的情形由圖 31表示

圖 31 模糊區間隨自變數越大而越窄

0

2

4

6

8

10

上界 中心線 下界

32

假設圖表中計算出的模糊迴歸函數為 0 0 1 1 Y c c X 模糊上界為

0 0 1 1UY c c X 模糊下界為 0 0 1 1LY c c X

33

第四章 數值分析

本章資料來源1台灣區車輛工業同業公會

2台北市交通局

本章所使用的數據資料為台北市交通局提供的公開的車流量資料數

值分析所使用的方法已在第三章論述利用第三章的方法分析數值預測的

準確性並結合模糊迴歸常見的兩種方法幫助決定預測的可接受範圍本

章介紹本文所利用的數學模型及方法在複線性迴歸的模型中分成混沌全

域法去季節性後的混沌全域法以及混沌局域法預測出的結果加以討論預

測的準確性再將預測值去季節性觀察準確程度最後再帶入模糊迴歸

利用 05H 加以討論如何將模糊迴歸中的散度用以選擇預測值的範圍第

一節針對傳統複線性迴歸方法並結合全域法觀念訓練資料迴歸係數討

論預測結果第二節針對傳統複線性迴歸方法並結合局域法觀念訓練資

料迴歸係數討論預測結果第三節針對預測資料去除季節性後再利用

傳統複線性迴歸方法討論預測結果第四節針對模糊迴歸的兩種方法選

擇出預測的範圍

利用第三章論述的時間遞移及相關維度的做法將本文利用具混沌性

的資料加以分析將資料先利用 212 節中介紹的李雅普諾夫指數 判定是

否具混沌性具有混沌性的資料才能利用混沌理論重構相空間若李雅

普諾夫指數 介在 0跟 1之間則表示資料具有混沌性質本文資料利用程

式計算出李雅普諾夫指數 運用自我相關係數判斷出時間遞移

數 相關維度計算出維度 我相關係數判斷時間遞移數與相關維

度的圖形以及原始資料時間遞移後的資料圖如圖 41圖 42圖 43

34

圖 41相空間維度及 lnC與 ln r斜率關係圖

圖 42相空間維度及 lnC與 ln r斜率關係圖

0

1

2

3

4

5

6

7

0 5 10 15 20

相空間維度

斜

率

d

-02

0

02

04

06

08

1

12

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33

時間遞移數

自我相關函數

35

圖 43 原始資料時間序列圖

41 複線性迴歸混沌全域法

本文所使用的資料為 10日的車流量資料利用前 9日的資料訓練出迴

歸參數將迴歸參數代入複線性數學模型中計算出的迴歸方程式為

1 2 3 4

5 6 7 8 9

10 11 12 13 14

435363 00819 00338 01777 00070

01116 01999 00299 02716 00349

01399 00056 01113 00738 02038

y x x x x

x x x x x

x x x x x

(41)

解出迴歸參數計算出複線性迴歸方程式後再將最後一日 144筆的車

流資料代入方程式中計算出預測值利用複線性迴歸混沌域法預測出的結

果如圖 44

圖 44 複線性迴歸分析預測與原始資料比較圖-全域法

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

1 53

10

5

157

209

26

1 31

3

365

41

7

469

52

1 57

3

625

67

7

729

78

1 83

3

885

93

7

989

10

41

1093

11

45

1197

12

49

1301

13

53

1405

原始資料點

原始資料點

-50

0

50

100

150

200

1

7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

103

109

115

121

127

133

139

實際值

預測值

36

由圖表的狀況可觀察出運用複線性迴歸模型預測的結果不盡理想本

研究認為運用複線性迴歸預測的結果不佳的原因有二

1 利用全域法預測是將較大量的歷史資料加入考慮訓練出迴歸參數這

樣的結果造成削弱了原本的奇異點(相較於同時段資料差異性較大的點)

的影響力

2 嵌入維度 太高對於混沌時間序列隨著嵌入維度增高歷史

對未來的影響是呈指數衰減的所以全域法所利用的資訊歷史就越長

預測的精準度就會迅速下降因此本研究將加入局域法討論預測的準

確性

42 複線性迴歸混沌局域法

局域法的做法為尋找相空間重構後的點對待測點尋找鄰近的 k個相

空間點對離待測點鄰近的若 k個相空間點的關係作出擬合並分析出複

迴歸方程式的迴歸參數本文嘗試選取 k=50~250的結果以下只列舉 k=200

的圖解釋預測結果

圖 45 複線性迴歸分析預測與原始資料比較圖-局域法(k=200)

圖 44與圖 45比較後可看出區域法預測的準確性比全域法更好某

些預測出來的結果的點與原始資料的點差異性大有明顯的偏移本研究

認為利用局域法預測的結果不佳的原因如下由圖 45可看出預測結果與

原始資料間差異性較大的點位為數列的右側 而數列尾端的資料為凌晨或

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

1

7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

103

109

115

121

127

133

139

實際值

估計值

37

是深夜的車流量因每日凌晨或是深夜的車流量變化量較少(例如某日的凌

晨十二點十分可能為 0台車或是小於 10台車經過)所以資料的差異性

較大造成頭尾的資料預測上較為不準確

因為同時段的資料可能會影響資料預測出的結果所以我們下節就以

加入季節性的考慮來加以討論預測結果

43 複線性迴歸去除季節性後混沌全域法

本文使用的車流量資料為每日 24時換算成 1440分鐘每 10分鐘記

錄一點於是本研究依資料的記錄時間點來劃分季節性將季節分成 144

個季分別求出季節性指數求取季節性指數後將每個資料點先去除季

節性利用全域法訓練出去季節性後的迴歸係數再利用複線性求出預測

值最後將去除的季節指數乘回預測點結果如下

圖 46考慮季節性複線性迴歸分析預測與原始資料比較圖-全域法

此考慮季節性因子的複線性迴歸分析預測與原始資料的比較是用全

域法去訓練迴歸參數的而由圖 44我們可以得知一開始未考慮季節因

子使用全域法的複線性迴歸預測是不準確的本研究認為原本的歷史資

料隨著季節性因子的變化該系統原本呈現複雜的動態特性實際上由於

車流量的變動有許多外在因素的影響例如氣候假期hellip等影響會使

資料的變化過程發生不同程度的偏離而對於季節性事件來說其事件發

生的過程主要受季節性參數週期性變化的影響 因此影響因素的具體形

式可以近似地表示為單一函數本文考慮季節因素對車流量的影響意即

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

1

7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

10

3

10

9

11

5

12

1

12

7

13

3

13

9 實際值

預測值

38

經過季節性分析後的得到的預測分析結果很準確如圖 46所示此結果

表示季節性影響樣本資料的情形大也代表著在季節因素影響下系統中

事件的動態變化情況是隨著季節影響參數的變化而造成系統呈現各種

各樣複雜的動態特性如週期解混沌情形hellip等

44 模糊迴歸

441Tanaka模糊迴歸

μ及 H 值之選定原則為當不確定性愈大時其 μ及 H 值愈接近 0

反之當資料不確定性愈小時μ及 H 值取愈接近 1 之值Bardossy 等人

建議其值在 05~07間為適宜根據 Tanaka在 1982年所提到的方法我們

可以求得一模糊迴歸函數並可得知其中心線與其上界及下界假定在 H =

05的情況下利用 Tanaka模糊迴歸模式算出迴歸函數為

(42)

中心線與上下界的簡單迴歸方程式為

中心線 (43)

上界 (44)

下界 (45)

繪製出的圖形如圖 47所示

圖 47 Tanaka 模糊迴歸

0

50

100

150

200

250

300

1

7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

103

109

115

121

127

133

139

下界

中心線

上界

39

圖 48 Tanaka 模糊迴歸中心線與預測值之結合

從圖 48可看出預測值與模糊迴歸的中心線 有明顯的時間差異但由

圖可以觀察出模糊迴歸的中心線 的預測趨勢與實際值是相近的雖然利

用模糊迴歸預測的時間點比實際時間快但是相對來說也是可以用來預

測之後將發生的趨勢本研究認為若模糊迴歸可用於預測中則可用模糊

的散度 c當做預測行為中選取的可接受的變動範圍如圖 49最後將 Tanaka

模糊迴歸中心線上下界與實際值之結合如圖 410所示

圖 49 Tanaka 模糊迴歸中心線上下界與實際值之結合

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

1

8

15

22

29

36

43

50

57

64

71

78

85

92

99

106

113

120

127

134

141

實際值

中心線

0

50

100

150

200

250

300

1

7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

103

109

115

121

127

133

139

實際值

下界

上界

預測

值

預測值

40

圖 410 Tanaka 模糊迴歸中心線上下界與實際值之結合

442修正型 Tanaka模糊迴歸

因為我們要將模糊迴歸應用於預測中所以本研究將複線性迴歸的趨

勢線視為模糊迴歸的中心線再利用修正型 Tanaka模糊迴歸模式算出迴歸

函數為

(46)

中心線與上下界的簡單迴歸方程式為

中心線

上界

下界

繪製出圖形如圖 411

0

50

100

150

200

250

300

1 7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

103

109

115

121

127

133

139

實際值

預測值

下界

上界

41

圖 411 修正型模糊迴歸中心線上下界與實際值之結合

本研究使用的修正型模糊迴歸中心線與傳統的迴歸方程式相同所以

可用來處理或分析模糊資料與明確資料同時修正型模糊迴歸的上下界

與 Tanaka 模糊迴歸相較也變窄了此兩種現象就是修正型迴歸的特色因

為中心線與傳統的迴歸方程式也相同這種修正型迴歸散度可選擇為負值

的特色本研究認為可以應用在預測上因為上下界與中心線間的散度變

窄使得前文所敘述到的利用散度來選取預測範圍便可更為嚴格也可

使預測的結果更為可靠如圖 412所示

圖 412 Tanaka 上下界與修正型模糊迴歸上下界的寬度差別

0

50

100

150

200

250

1 7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

103

109

115

121

127

133

139

下界

中心線

上界

0

50

100

150

200

250

300

1 8 15

22

29

36

43

50

57

64

71

78

85

92

99

106

113

120

127

134

141

Tanaka下界

Tanaka上界

Tanaka修正型下界

Tanaka修正型上界

42

第五章 結論及未來研究方向

51 結論

根據前文的討論傳統迴歸和模糊迴歸建立在不同的理論基礎上傳

統迴歸是以機率為基礎而模糊迴歸則是以可能性為基礎傳統迴歸因變

數的估計值與觀測值之間的差異為因變數的隨機性而模糊迴歸因變數的

估計值則產生於觀測值之模糊度惟兩者最大不同處在於模糊迴歸式的

迴歸係數與預測值皆為模糊數（區間值）不同於傳統迴歸係數與預測值

均為明確的數值此外傳統迴歸侷限於對明確資料的分析可能性模糊

迴歸僅適用於分析具模糊性的資料而複合的模糊迴歸則可同時適用於分

析模糊與明確的資料此為此模式最大的特點

模糊迴歸應用於預測中大多的結果是不佳的但是我們透過結合混

沌與模糊迴歸的概念將混沌的預測單點概念拓展成一個可接受的預測

範圍

PT Chang 與ES Lee 使用修正型模糊迴歸重新定義散度做出新的

模糊上下界均為改善模糊迴歸模式Tanaka之研究本研究將模糊迴歸與

混沌理論之建立時間序列的預測情形加以結合討論發現模糊迴歸在預測

的行為中是可行的但可惜的是即使預測的趨勢相近但預測值出時間

的點卻有差別這樣的結果我們可以看出若能找到解決加強模糊與複線性

迴歸關係之間時間的關聯性就能利用模糊的不確定性來討論預測問題

52 未來之研究方向

本研究將模糊迴歸與混沌理論之建立時間序列的預測情形加以結合討

論發現模糊迴歸在預測的行為中是可行的但可惜的是即使預測的趨

勢相近但預測值出時間的點卻有差別這樣的結果我們可以看出若能找

到解決加強模糊與附線性迴歸關係之間時間的關聯性就能利用模糊的不

確定性來討論預測問題

為了符合現今社會多元的狀況模糊迴歸與傳統迴歸之觀念勢必加以

混合應用也為了解決此等問題混合式迴歸（Hybrid Regression）在近年

來被提起也因此參數的估計模糊迴歸與傳統迴歸的混合應用將成

為往後繼續研究探討之目標

建議未來可用模糊加權修正模糊迴歸使模糊迴歸在預測上更能直接

43

將對事物多個構面評估的意見與其影響事物狀況的重要程度作加權的運

算

44

參考文獻

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16

使傳統集合的絕對屬於的概念改變為相對屬於的概念以數學式表示論域

U 上的模糊集合 A可表示為元素 x與它的歸屬函數集合

(216)

其中 A為一模糊集合 為歸屬函數x稱作元素U為論域一

般情況下歸屬度會界定在 0跟 1之間

(1) =0表示元素 x不屬於

(2) =1表示元素 x完全屬於

(3) 趨近 0表示元素 x極不可能屬於

(4) 趨近 1表示元素 x極有可能屬於

這個表示式的完整解釋為當 x 在 U 的範圍內會對應到一個介於 0

到 1之間的數值 所有這種 x所成的集合就是一個模糊集合模糊集

合可表示為

1 當論域Ｕ為有限離散(discrete)集合的情形下模糊集合 可表示成

(217)

2 當論域Ｕ為實數論域所組成之在連續(continuous)集合的情形下模糊

集合 可表示成

isin (218)

其中 並非積分符號而是單純的連結符號

234 模糊數(Fuzzy Number)

1 模糊數(triangular fuzzy number)

假設 是模糊集合或模糊數(FN)在實線 2R 上則以三角形隸屬函數

(triangular membership function）表示為 1 2 3( )a a a 2 x R to A 則

1

1 2 1 1 2

3 3 2 2 3

3

0

( ) ( ) ( )

( ) ( )

0

x a

x a a a a x aA x

a x a a a x a

x a

(217)

17

1

其隸屬函數圖形如圖 21

圖 21 三角模糊數

2 梯形模糊數(trapezoidal fuzzy number)

梯形模糊數可表示為 如圖 22其隸屬度函數定義為

(218)

其隸屬度函數如圖 22

圖 22梯形模糊數

a b c d

1

18

在一信賴區間 α水準α 01 我們定義 A

( )A x A x (218)

三角形隸屬度函數以 α-cut表示為

( ) ( )

1 3 1 1 2 3 2 3[ ] [ ( ) ( )]A a a a a a a a a

(219)

( )

1a 與 ( )

3a 個別代表 A的下界及上界

根據模糊算術方法Zadehrsquos sup-min 方法表示如下

( )( ) sup min( ( ) ( ))x y z

A B z A x B y

(220)

其中 sup表任何模糊算式Mizumoto and Tanaka（1976）使用相同方

法在 α 截集模糊數和區間算術Chang（2003）和 Chang et al （2006）和

Chang and Hung（2006）整理使用 α 截集模糊算術方法的文獻α截集模

糊算術中模糊數基本運算公式（加法減法乘法除法）可以計算的

更快在每一個 α-level 區間中使用區間算術（Kaufmann and Gupta

1988）

1 模糊數加法

令A和 B分別為兩模糊數 A和 B在一信賴區間 α水準 ( ) ( )

1 2[ ]A a a

( ) ( )

1 2[ ]B b b αisin 01 forall A B sub 2R 表示如下

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 2 1 2 1 1 2 2[ ] [ ] [ ]A B a a b b a b a b

forallαisin 01 (221)

2 模糊數減法

在一信賴區間 α水準forall A B sub 2R αisin 01

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 2 1 2 1 2 2 1[ ] [ ] [ ]A B a a b b a b a b

(222)

3 模糊數乘法

在一信賴區間 α水準forall A B sub 2R αisin 01

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 2 1 2 1 1 1 2 2 1 2 2

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 1 1 2 2 1 2 2

[ ] [ ] [min(

max( )]

A B a a b b a b a b a b a b

a b a b a b a b

(223)

4 模糊數除法

在一信賴區間 α水準forall A B sub 2R αisin 01

19

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 1 1 2 2

1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 2 1 2 1 2 1 2

[ ] [ ] [min( )max( )]a a a a a a a a

A B a a b bb b b b b b b b

式中 ( )

1b ( )

2b gt0forallαisin[01] (224)

235模糊運算

根據 Zadeh（1965）的擴展原理（Extension Principle）可以廣義的使

用一般基準 T取代原來的最小值模糊數的數學運算表示如下

1 加法

( )( ) sup ( ( ) ( ))x y z

A B z T A x B y

(225)

2 減法

( )( ) sup ( ( ) ( ))x y z

A B z T A x B y

(226)

3 乘法

( )( ) sup ( ( ) ( ))x y z

A B z T A x B y

(227)

4 除法

( )( ) sup ( ( ) ( ))x y z

A B z T A x B y

(228)

24 模糊迴歸

在科學研究過程中許多研究者常使用迴歸來描述自變數 x和應變數 Y

之間的關係傳統的迴歸分析均假設觀察值由實際應變數影響加上隨機誤

差而產生也就是說應變數是一種帶有不確定性的隨機變數不過在很

多的實務應用上往往無法滿足這樣的假設例如有些應變數 Y 的觀察值

並不是以單一數值的型式存在而是帶有多重隸屬的特性這些觀察值雖

然帶有不確定性但這種不確定的特性是來自於模糊現象而非隨機現象

若由模糊觀點套用迴歸分析來處理模糊資料問題就稱為模糊迴歸分析

模糊迴歸分析最早是由 Tanaka et al (1980) 提出一般模糊迴歸能夠處理的

樣本型式有兩種一種是實數值樣本 其中 為實數向量 為觀測

到的實數值另一種是模糊數樣本( 其中 為觀測到的模糊數不論

是實數值樣本或是模糊數樣本想要估計模糊迴歸參數估計方法大都是

20

利用線性規劃的技巧來尋求一組能將實數值樣本 或模糊數樣本(

包含在內的區間再將三角形隸屬函數（triangular membership function）套

用

在此區間上如此便求得一組模糊迴歸估計式要得到正確的估計結

果最好是收集具有代表性的隸屬函數樣本所謂具有代表性的隸屬函數

樣本應該是以模糊數的形式存在所以本文就樣本模糊數 進行討論

線性模糊迴歸模式常表示成

0 1 1 2 2( ) i i i p piY x A A x A x A x (229)

其中 1 2 3(1 ) i i i i p ix x x x x 為自變數向量 ( )iY x 為模糊應變數

為模糊參數利用樣本模糊數 估計參數 時通

常假設 與 的隸屬函數為對稱三角型式 與 的隸屬函數表達如下

( ) max 1 0 i

i

Y

i

t yt t

r

(230)

其中 為三角隸屬函數的中點 為三角隸屬函數的分布半徑可令

( ) max 1 0 m

m

A

m

t ct t

s

(231)

其中 為三角形的中點 是三角形的分布半徑 與 間的關係

如圖 23所示

圖 23模糊數的中心值與散佈值

1

0

21

再令 則前述的模糊迴歸方程式可改寫成

0 1 1 2 20 1 2( ) i i ipi p pY x x xC S xC S C S C S (232)

因此模糊應變數 ( )iY x 的隸屬函數也屬於三角型式可表示成

( )

0

0

( ) max 1 0 Y xi

p

m m

m

p

m mi

m

t c x

t t

S x

(233)

其中 因此只要估計出三角形的中點 及半徑 便可得到

隸屬函數的估計值模糊迴歸分析是在要求每一個觀測值 隸屬於模糊

迴歸區間的隸屬程度至少 的情況之下尋求最小的模糊迴歸預測區間如

(234)式表示

forall ( 234)

在利用 對未知的模糊參數 進行估計前一般先定

義模糊樣本 和模糊應變數 的 h截集其定義如下

令 為一組模糊樣本 ( )iY x 為模糊應變數若 與

分

別為 及 的 h截集(h-cut)則

(235)

(236)

因具代表性的樣本 其 h 截集 應要盡量接近模糊應變數 的 h

截集 意即

其中容許

不完全落在 之

內的情形發生根據以上觀點王景南(2002)認為樣本的左端點

和右端點 隸屬於 的程度會有一定的水準於是設立此水準

為 H因此假設 隸屬於 的隸屬度會盡量的接近 H其間的關係

為

( 與

( (237)

所謂的盡量接近 H是可允許隸屬度大於 H或小於 H而不是均大於

22

H

根據以上的對樣本的解釋運用最小平方法以所有樣本的左端點

配置一迴歸直線稱之為左端直線估計式

(238)

其中 為迴歸係數再以所有右端點 配置右端

直線估計式

(239)

其中 為迴歸係數

前文已假設樣本的左右端點隸屬於 的隸屬度會盡量的接近 H所

以將這兩條直線函式來估計 之 H截集的左右邊界即

(240)

如此可推導出 的隸屬函數為

(241)

其中 且

(242)

意即

(243)

其中

為三角形底邊中點是

分布半徑如此便可得一組估

計的模糊迴歸模式

(244)

仍需注意的是當樣本為對稱型態時左右迴歸函數式其配適的結果式

相同的只有常數項不同當對稱情形發生時可以考慮利用各別對應相

之權重除以常數項的分布半徑做為個別對應項之分布半徑意即

分布半徑

除此之外Celmins及Diamond Celmins也分別提出最小平方法之模糊迴

23

歸模式以便求解資料間距離最小的模糊迴歸方程

模糊迴歸應用上比統計迴歸更具彈性統計迴歸通常需要大量資料以

支持其假設而模糊迴歸卻無此需求因此當資料量不足或隨機性難以驗

證時模糊迴歸是較強健的(Robust)同時當所蒐集之資料的不確定性乃

來自於人類之主觀判斷時模糊迴歸較具適用性

因此模糊迴歸模式逐漸受到重視在1990年代的研究包括Sakawa及

Yano針對投入變數與輸出變數皆為模糊資料的問題建構出一個多目標的模

糊迴歸模式此外Chang和Lee則認為模糊迴歸中心線的趨勢與模糊迴歸散

佈值的趨勢可以存在不一致性為了分析統計迴歸與模糊迴歸的差異Kim

Moskowitz 及Koksalan 利用模擬分析比較統計迴歸與模糊迴歸的結果認

為由機率論所得的統計迴歸模式在大樣本時其預測績效遠比可能性理論

(Possibility theory)推演而得的模糊迴歸模式為佳然而當資料量遞減或所構

建的模式適合性變差時(即變數間存在模糊關係)則模糊迴歸模式的預測績

效將優於統計迴歸模式由於模糊迴歸模式在解決資料量少及系統關係模

糊不清的問題上具有較佳之績效而存在其正面之價值當變數間存在模

糊關係時

從早期到目前已發展出多種模糊迴歸模式求解方式以下根據薛展青

(2004)所整理的模糊迴歸分析整裡敘述如下

1 區間迴歸法

區間迴歸法(interval regression)其模型架構主要是由Tanaka et al(1982)

所提出的模糊線性迴歸(fuzzy linear regression)模型Tanaka et al(1982)所發

表的論文中表示傳統的迴歸模型中造成實際值與估計值的誤差來源被

認為是由測量或觀察所造成的而此誤差項在模糊線性迴歸模型中是因

模糊系統中參數的模糊性所產生的即誤差是反應模糊線性函數的模糊現

象因此以模糊線性函數來表示迴歸方程式而迴歸參數則是以模糊集合

來表示

Tanaka et al(1982)在估計模糊迴歸參數時是利用線性規劃技巧

(linearprogramming method)來尋求一組能將實數值樣本或模糊數樣本全部

包含的區間最後求得一組對稱三角形模糊數之迴歸參數

自Tanaka等人(1982)的文章發表之後後續的學者大多以此為基礎陸

續題出各種相關的模式與求解方法如Peters (1994)將Tanaka的線性規劃法

24

求解推廣為模糊線性規劃法求解讓資料對模糊迴歸模式的適應性更加提

升YenGhoshray 與Roig (1999)提出由於非對稱迴歸係數導因於大多數的

資料為離群值使得對稱三角迴歸係數不再適用因此將Tanaka et al的模

式推廣為非對稱三角迴歸係數Moskowitz 與Kim (1993)探討不同水準值下

模糊迴歸模式的求解與模式配適程度Redden 與Woodall (1996)探討模糊

迴歸分析預測未來值的結果Sakawa 與Yano (1992)將Tanaka的方法擴展到

依變數及自變數皆是模糊集合的情況並將之稱為多目標線性迴歸法

(multiobjective linear regression model)Koumlrner 與Naumlther (1998)討論解釋變

數與反應變數兩者皆為模糊數值的情況Kacprzyk 與Fedrizzi (1992)則蒐集

了各種不同迴歸模式的求解方法Redden 與Woodall (1994)說明Tanaka後

續提出的求解模式當中所具備的性質以及與傳統迴歸方法的差異比較

但是在此模式下求解之迴歸係數本身亦為一對稱的三角模糊數值

而且求解結果很容易受到資料尺度(scale)的影響使得反應變數估計值之展

度會變得更為寬廣後來Tanaka (1987)根據1982年的文獻發展為更完整的

可能性線性系統使模糊迴歸的結構更趨適應性Tanaka 與Watada (1988)

闡明可能性線性模式的概念推演建構成可能性線性迴歸模式Tanaka et

al(1989)應用模糊資料於可能性迴歸系統中並建構最小化最大化及混合

式三種線性規劃模式又對先前所提出的模式加以修正但就如Redden 與

Woodall (1994)所指出Tanaka 類型的模式對於離群值(outlier)的反應非常

敏感甚至在觀察值的個數增加時求解結果可能會產生無限多解因

此在Tsaur 與Wang (1999)提出的文獻對於在模糊迴歸分析中的離群值進行

一系列探討

2 模糊最小平方法

模糊最小平方法(fuzzy least squares)乃擴展傳統之最小平方法的觀念

最早由Diamond (1988)所提出利用傳統最小平方法的觀念求出一個模糊

迴歸模式以估算(approximate)反應變數的觀察值並非如區間迴歸中的包含

觀察值在其模式中利用反應變數的觀察值與估計值的模糊數值之最小

值最可能值與最大值定義兩者之間的距離以衡量迴歸模式與模糊資

料之間的最佳配適度的情形在使得所有觀察值與估計值的模糊數值之間

的距離平方總和為最小時可以導出類似傳統迴歸分析中的正規方程式

(normal equation)以求解迴歸係數

25

其後Chang 與Lee (1996)則將Diamond (1988)的方法加以擴充將迴

歸係數的最可能值與展度分別估計該方法的特點在於可將極端值(outlier)

加以處理並降低其影響程度Ma等人(1997)則將此類方法發展於適合非

三角模糊數值的場合Diamond 與Koumlrner (1997)則在此類方法中定義一

個判定係數的計算方法以比較不同模式的適合性Wu與Tseng (2002)提出

改善模糊迴歸模式之最小平方法其模式主要觀念是利用最小平方法將所

有樣本的左端點及右端點各配置一條迴歸線然後在將其左右迴歸線統合

成一條迴歸線

而在Kim 與Bishu (1998)的研究中是利用各個具有三角模糊數值的反

應變數之最小值最可能值與最大值以最小平方法分別計算出模糊迴歸

係數所得到的係數不一定為對稱的三角模糊數在此種求解方式下雖

然可以得到比較小的估計誤差但其缺點是無法處理解釋變數為模糊數的

情形另外Kim 與Bishu(1998)還提出了評估模糊迴歸模式的準則利用觀

察值與估計值歸屬函數之間面積的差異做為迴歸模式的估計誤差但其評

估準則的問題是無法比較不同模式在觀察值與估計值歸屬函數之間不具有

交集時的誤差情況在此情況下求算估計誤差時無法準確評估其總誤差而

導致評估失真而其他學者如Yang與Ko (1997)Yang 與Lin (2002)等則

是提出以最小平方法為基礎的模糊聚類分析求解方式

3 模糊隨機變數估計法

為了建構一個同時具有隨機和模糊特性的系統Kwakernaak (1978)首

先提出模糊隨機變數(fuzzy random variables)的概念認為傳統的隨機變數

U Ωrarr R為實數可測函數而模糊隨機變數則將一般隨機變數的概念廣義

化模糊隨機變數可表示為X ΩrarrS設ω isinΩ而ω 所對應到的不再是實

數值U(ω)而是模糊集合X (ω)S 代表模糊集合且Kwakernaak (1978)擴

充原來Zadeh 提出模糊集合之架構認為有時供作參考的資訊不齊全在

對某些述句進行評斷時我們無法判斷其絕對為真或絕對為假此時我

們考慮將原有的二元邏輯思維方式推廣暫且不作肯定的判決而僅是表

達出對錯的程度換句話說真值可以是介於單位區間[01] 內的任何值

如此思維方式稱之為多值邏輯(multivalued value)並將模糊集合視為一組

述句(statement)的集合且每個述句均對應一真值程度以符合人類的思維與

想法Stein 與Talati (1981)利用模糊數值的隸屬函數提出模糊隨機變數

26

的期望值之計算方式Kruse 與Meyer (1987)藉助集合表徵的概念建立了

一套模糊隨機變數的定義而為了讓模糊隨機變數能實際應用並將討論

的範圍界定在一模糊集合族上Koumlrner (1997)及Naumlther (1997)利用該方法以

求算模糊隨機變數的期望值與變異數並應用於線性模糊迴歸模式的求解

等另外在曾能芳(民 91)的博士論文研究中指出在Tanaka et al (1982)

的模糊迴歸模式中並不具備誤差項因此模式無法呈現樣本與期望值之間

的關係而無法討論線性規劃估計程序所具備的統計性質所以在曾能芳

(民 91)提出的迴歸模式中採用模糊樣本是由依變數之模糊期望值加上測量

誤差所組成並提出測量誤差存在於中點的模糊迴歸模式以及測量誤差

同時存在於中點和半徑的模糊迴歸模式

4 兩階段求解方法

以兩階段方法(two stage method)求解模糊迴歸模式的想法是在於結合

最小平方法與區間迴歸的觀念試圖降低反應變數估計值的模糊度如Savic

與Pedrycz (1991)對模糊迴歸模式的求解分為兩個步驟進行第一步以

反應變數的模糊數值之最可能數值為基礎將模糊數值視為簡化的明確數

值以傳統最小平方法求解迴歸係數的中心值第二步利用區間迴歸的

方式在使得迴歸係數的模糊度為最小的情形下以決定迴歸係數的三角

模糊數值Kao 與Chyu (2002)提出另一種模糊迴歸模式的兩階段求解方

法在第一階段先利用解模糊(defuzzification)方法將模糊觀察值轉換成為一

組明確數值之後利用該組明確數值以傳統的最小平方法求解迴歸係

數第二階段則是以Kim 與Bishu 所提之評估準則為目標式決定一個誤

差項估計值的模糊數以使得在Kim 與Bishu (1998)評估準則下的總誤差量

為最小該方法的特別之處在於求解的迴歸係數為明確數值而誤差項估計

值為模糊數值雖然此種求解方式可以得到很小的估計誤差但因其所著

眼的仍是Kim 與Bishu 評估準則下的面積估計誤差使得當觀察值與估計

值歸屬函數之間不具有交集時所衡量出的估計誤差較真實誤差為小且其

求解方法比較適合於觀察值為三角或梯形的模糊數值欲應用於其他型式

的模糊數值求解上則較為困難而在邱清爐(民 91)的博士論文中則是將

其兩階段求解方法對各種不同的模糊迴歸模式進行建構與評估並將其求

解方法應用於工作滿意度實例

5 其他求解方法與相關研究

27

Tanaka 等人(1995)後來提出另外一種模糊迴歸模式的求解方法將傳

統的估計誤差當作是存在解釋變數與反應變數之間的關係之可能性

(possibility)故模糊觀察值的展度可以直接轉換成迴歸係數的指數可能性

分配(exponentialpossibility distribution)而可以使用與傳統迴歸非常類似的

方式加以求解Tanaka與 Lee (1999)再利用辨識方法(identification method)

求解迴歸模式在其研究中利用辨識方法以決定模糊線性系統(fuzzy linear

system)中迴歸係數的可能性分配並認為由此方法所求解的迴歸係數會

有比較小範圍的可能性分配近年來有愈來愈多的學者將模糊迴歸分析

應用於其他傳統的決策方法及不同領域上如 Dunyak 與 Wunsch(2000)使

用 α 截集的端點以類神經網路(neuralnetworks)進行模糊迴歸分析Lee

與 Chen(2001)則將模糊迴歸模式使用於人力預測的問題上Tseng 等人

(2001)將由模糊迴歸模式建立之 ARIMA 模式用以預測匯率Tseng 與

Tzeng(2002)則利用模糊迴歸模式的求解方法以建構具有季節變動的

ARIMA 模式Kim 與 Bishu(1996)應用於人力可靠度分析的操作反應時間

上Wu 與 Tseng(2002)將其模糊迴歸模式應用在景氣對策信號上的分析

王景男(民 89)將模糊迴歸分析應用於籃球比賽攻防技術策略上曹勝雄

曾國雄江勁毅(民 85)以國人赴港旅客需求之預測為例說明傳統迴歸

模糊迴歸類神經網路之差別張良斌陳育民(民 86)將模糊目標迴歸法

應用在垃圾衛生掩埋場沼氣回收設備的成本估算謝邦昌林燦隆呂理

添(民 85)將模糊迴歸運用在甘蔗產量的預測對於上列有關模糊迴歸分析

的研究中絕大部份的文章均侷限於線性模式的分析鮮有文章討論非線

性模糊迴歸模式的求解最近雖然有少數學者開始討論非線性模糊迴歸模

式的解法如 Xu(1997)Buckley 與 Feuring(2000)的研究等但使用的方

法所求解的迴歸係數仍然為模糊數值其造成反應變數估計值的展度會

隨著解釋變數之數值增加而擴大的問題仍無法避免

28

第三章 研究方法

本章介紹本文將運用於數值分析中的預測研究方法利用本章建構的

方法可清楚了解如何利用混沌理論基於相空間重構的方式及模糊迴歸方

法於預測中

31 混沌時間序列建立預測方法

時間序列的模型建構和預測是資料處理研究領域中的重要方向其中

預測方法主要有線性和非線性預測方法兩種預測就是對未來作出估計和

推斷而通常要對研究對象或資料進行假設這一過程稱為建模利用建

模的方式獲得資料的科學表示就稱為模型混沌時間序列雖然看似隨機

但它卻是由確定系統產生的因此我們可以對混沌時間序列作出短期預測

同時由於混沌對初始條件微小差異的高度敏感性我們無法對混沌時間序

列作出長期預測每一步預測帶來的微小偏差都會使得下一步預測的偏差

擴大最終導致預測序列與原始序列完全不同

311李亞普諾夫指數判定資料混沌特性

進行預測前需根據 212節中提及的李亞普諾夫指數來判定資料是否

具有混沌特性最大李亞普諾夫指數是判斷和描述非線性時間序列是否為

混沌系統的重要參數因此是一個重要的混沌不變數

混沌系統中的李雅普諾夫指數可用來判斷系統是收斂的還是混沌的當系

統的李雅普諾夫指數中至少有一個為正時系統是混沌的 當系統的李雅

普諾夫指數均為負數時系統是收斂的 對於系統是否存在動力學混沌可以直觀的判斷最大李亞普諾夫指數是否

大於零一個正的李亞普諾夫指數代表著在系統相空間中無論初始兩

條軌跡的間距多小兩條軌跡的差別都會隨著時間的演化而成指數率的增

加而導致無法預測這就是混沌現象

312重建相空間

傳統的建模和預測方法己廣泛地應用社會科學中但大部分都是基於

線性系統混沌時間序列並不適用於非線性的混沌時間序列於是在判斷

時間序列性質後若判定序列以隨機性為主應採用從 AR 或 ARIMA 等隨

機模型來預測如果判定以混沌為主則應採用非線性確定性的方法進行

29

預測非線性時間序列的預報是經過相空間重構後對相空間中的動力軌

跡進行預報由於混沌系統具有被稱為「蝴蝶效應」的初始值敏感性所

以混沌時間序列是不能長期預測的但對於短時間內混沌系統的軌道在

相空間中具有一定的規律它們的預測性是可獲得的並比一般的基於統

計方法的預測能力要來得好

時間序列資料是時間離散後的樣本值用 表示將它「嵌入」到

一個 m維(mgt0)的空間中進行相空間重構後得到嵌入向量

(31)

由嵌入向量 可擴張成一嵌入空間 E由 Taken嵌入定理可知存

在映射面 滿足

(32)

上式表是出在拓樸的意義中可完全預測吸引子的特徵所以上式也可

表示為

(33)

其中函數 為 的一個估計值由式 (33)可得之我們可用

來預測

313相空間維度相關維度

在實作的研究上有許多方法可以用來估計混沌吸引子的維度本研

究選用較為常見的相關維度方法相關維度需先計算相關和將相空間中

所有樣本點皆計算其各別半徑收斂後之趨近值相關方程式（Correlation

Function）定義如下

(34)

其中

當 rrarr0時

兩邊同取對數可得

(35)

定義相關維度為 與 之曲線斜率為

(36)

在實際應用中經常給定一組維度 值選取適當的 r繪出

30

曲線求曲線當中直線段的斜率 如果系統存在這樣一個 值達到此

值後相應的關聯維數不再隨 的增長而變化也就是趨於飽和這表明

該序列為混沌系統其吸引子是存在的此時 值即為重構相空間的最佳

嵌入維數否則則表明該序列為隨機系統不具有混沌性

314 時間遞移數

利用 2123節中介紹的概念及 2124 中介紹的自相關函數求解出時

間遞移數的結果自相關函數公式如下

1

1

1( )( )

1( )

n k

t t k

tk n

t

t

x x x xn k

r

x xn

(37)

n為原資料樣本數k為時間遞移後的樣本點

將自相關係數計算的結果與每一筆遲延時間距離數值繪製成圖表可

由圖表中可分析辨別時間序列數據的初步基本特徵圖表繪製的結果顯示

自相關係數跟隨遲延時間距離數值的增加而顯示收歛且具有震盪循環之跡

象則表示數據具有一種規則屬於一混沌時間序列

32 複線性迴歸

確立資料為混沌後運用自我相關係數計算出時間遞移數及相空間維

度後將加入複線性迴歸運算複線性迴歸中常用的預測方法分為兩種

1 全域法

全域法就是利用相空間軌跡中的全部向量點做為擬合對象找出其

規律由此進行短期預測也就是說利用收集的大量的歷史資料利用

複線性迴歸訓練出迴歸參數再將未放進訓練迴歸參數的資料使用訓練

出的迴歸參數計算出預測值的資料型態本文還將原本的歷史資料分析

出資料的季節性後先去除季節性的影響最後再加回季節性討論預測結

果

2 局域法

局域法的基本原理是僅利用有限個鄰近點的資訊而不是利用全部的

樣本點來擬合 局域法預測是把相空間軌跡中的最後一點作為待測點對

離待測點鄰近的若干個相空間點的關係作出擬合再對預測相空間點的未

來演化規律進行預測本文使用零階局域法零階局域法是直接將鄰近樣

31

本點應用於預測根據鄰近樣本點預測 的最簡單的方法就是尋找相

空間中距離 最近的點假設距離最近的點是 那麼它的下一個樣本

點為 即可做為 的預測值

因數值資料在每日重複發生變動所以本研究又加入計算季節性指數

對趨勢線做季節性調整也就是對時間序列做季節性調整

33 模糊迴歸分析

運用模糊的概念帶進迴歸模式中處理具模糊性的資料問題此稱為模

糊迴歸分析本文利用的模糊迴歸模式主要有兩個方向一個是Tanaka et al

(1982)提出的模糊線性迴歸另一個是由Chang 與Lee (1994)所提出修正型

迴歸模式Tanaka 起初所提出的線性規劃模型

0 1

[ ( )]p n

j ij

j i

Min C X

st 0 0

(1 ) (1 )p p

j ij j ij ii

j j

X H c X y H e

(38)

0 0

(1 ) (1 )p p

j ij j ij ii

j j

X H c X y H e

0jc j R 0 1iX 0 1H 123i n 012j p

Tanaka 所提出的模糊模型未考慮到散度為負值的條件所以模糊上下

界會不斷的擴張而越來越寬大由 Chang 與 Lee (1994)所提出修正型迴歸

模式即將模糊的散度可為負值使上下界的模糊區間為遞減的情形遞

減的情形由圖 31表示

圖 31 模糊區間隨自變數越大而越窄

0

2

4

6

8

10

上界 中心線 下界

32

假設圖表中計算出的模糊迴歸函數為 0 0 1 1 Y c c X 模糊上界為

0 0 1 1UY c c X 模糊下界為 0 0 1 1LY c c X

33

第四章 數值分析

本章資料來源1台灣區車輛工業同業公會

2台北市交通局

本章所使用的數據資料為台北市交通局提供的公開的車流量資料數

值分析所使用的方法已在第三章論述利用第三章的方法分析數值預測的

準確性並結合模糊迴歸常見的兩種方法幫助決定預測的可接受範圍本

章介紹本文所利用的數學模型及方法在複線性迴歸的模型中分成混沌全

域法去季節性後的混沌全域法以及混沌局域法預測出的結果加以討論預

測的準確性再將預測值去季節性觀察準確程度最後再帶入模糊迴歸

利用 05H 加以討論如何將模糊迴歸中的散度用以選擇預測值的範圍第

一節針對傳統複線性迴歸方法並結合全域法觀念訓練資料迴歸係數討

論預測結果第二節針對傳統複線性迴歸方法並結合局域法觀念訓練資

料迴歸係數討論預測結果第三節針對預測資料去除季節性後再利用

傳統複線性迴歸方法討論預測結果第四節針對模糊迴歸的兩種方法選

擇出預測的範圍

利用第三章論述的時間遞移及相關維度的做法將本文利用具混沌性

的資料加以分析將資料先利用 212 節中介紹的李雅普諾夫指數 判定是

否具混沌性具有混沌性的資料才能利用混沌理論重構相空間若李雅

普諾夫指數 介在 0跟 1之間則表示資料具有混沌性質本文資料利用程

式計算出李雅普諾夫指數 運用自我相關係數判斷出時間遞移

數 相關維度計算出維度 我相關係數判斷時間遞移數與相關維

度的圖形以及原始資料時間遞移後的資料圖如圖 41圖 42圖 43

34

圖 41相空間維度及 lnC與 ln r斜率關係圖

圖 42相空間維度及 lnC與 ln r斜率關係圖

0

1

2

3

4

5

6

7

0 5 10 15 20

相空間維度

斜

率

d

-02

0

02

04

06

08

1

12

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33

時間遞移數

自我相關函數

35

圖 43 原始資料時間序列圖

41 複線性迴歸混沌全域法

本文所使用的資料為 10日的車流量資料利用前 9日的資料訓練出迴

歸參數將迴歸參數代入複線性數學模型中計算出的迴歸方程式為

1 2 3 4

5 6 7 8 9

10 11 12 13 14

435363 00819 00338 01777 00070

01116 01999 00299 02716 00349

01399 00056 01113 00738 02038

y x x x x

x x x x x

x x x x x

(41)

解出迴歸參數計算出複線性迴歸方程式後再將最後一日 144筆的車

流資料代入方程式中計算出預測值利用複線性迴歸混沌域法預測出的結

果如圖 44

圖 44 複線性迴歸分析預測與原始資料比較圖-全域法

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

1 53

10

5

157

209

26

1 31

3

365

41

7

469

52

1 57

3

625

67

7

729

78

1 83

3

885

93

7

989

10

41

1093

11

45

1197

12

49

1301

13

53

1405

原始資料點

原始資料點

-50

0

50

100

150

200

1

7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

103

109

115

121

127

133

139

實際值

預測值

36

由圖表的狀況可觀察出運用複線性迴歸模型預測的結果不盡理想本

研究認為運用複線性迴歸預測的結果不佳的原因有二

1 利用全域法預測是將較大量的歷史資料加入考慮訓練出迴歸參數這

樣的結果造成削弱了原本的奇異點(相較於同時段資料差異性較大的點)

的影響力

2 嵌入維度 太高對於混沌時間序列隨著嵌入維度增高歷史

對未來的影響是呈指數衰減的所以全域法所利用的資訊歷史就越長

預測的精準度就會迅速下降因此本研究將加入局域法討論預測的準

確性

42 複線性迴歸混沌局域法

局域法的做法為尋找相空間重構後的點對待測點尋找鄰近的 k個相

空間點對離待測點鄰近的若 k個相空間點的關係作出擬合並分析出複

迴歸方程式的迴歸參數本文嘗試選取 k=50~250的結果以下只列舉 k=200

的圖解釋預測結果

圖 45 複線性迴歸分析預測與原始資料比較圖-局域法(k=200)

圖 44與圖 45比較後可看出區域法預測的準確性比全域法更好某

些預測出來的結果的點與原始資料的點差異性大有明顯的偏移本研究

認為利用局域法預測的結果不佳的原因如下由圖 45可看出預測結果與

原始資料間差異性較大的點位為數列的右側 而數列尾端的資料為凌晨或

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

1

7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

103

109

115

121

127

133

139

實際值

估計值

37

是深夜的車流量因每日凌晨或是深夜的車流量變化量較少(例如某日的凌

晨十二點十分可能為 0台車或是小於 10台車經過)所以資料的差異性

較大造成頭尾的資料預測上較為不準確

因為同時段的資料可能會影響資料預測出的結果所以我們下節就以

加入季節性的考慮來加以討論預測結果

43 複線性迴歸去除季節性後混沌全域法

本文使用的車流量資料為每日 24時換算成 1440分鐘每 10分鐘記

錄一點於是本研究依資料的記錄時間點來劃分季節性將季節分成 144

個季分別求出季節性指數求取季節性指數後將每個資料點先去除季

節性利用全域法訓練出去季節性後的迴歸係數再利用複線性求出預測

值最後將去除的季節指數乘回預測點結果如下

圖 46考慮季節性複線性迴歸分析預測與原始資料比較圖-全域法

此考慮季節性因子的複線性迴歸分析預測與原始資料的比較是用全

域法去訓練迴歸參數的而由圖 44我們可以得知一開始未考慮季節因

子使用全域法的複線性迴歸預測是不準確的本研究認為原本的歷史資

料隨著季節性因子的變化該系統原本呈現複雜的動態特性實際上由於

車流量的變動有許多外在因素的影響例如氣候假期hellip等影響會使

資料的變化過程發生不同程度的偏離而對於季節性事件來說其事件發

生的過程主要受季節性參數週期性變化的影響 因此影響因素的具體形

式可以近似地表示為單一函數本文考慮季節因素對車流量的影響意即

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

1

7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

10

3

10

9

11

5

12

1

12

7

13

3

13

9 實際值

預測值

38

經過季節性分析後的得到的預測分析結果很準確如圖 46所示此結果

表示季節性影響樣本資料的情形大也代表著在季節因素影響下系統中

事件的動態變化情況是隨著季節影響參數的變化而造成系統呈現各種

各樣複雜的動態特性如週期解混沌情形hellip等

44 模糊迴歸

441Tanaka模糊迴歸

μ及 H 值之選定原則為當不確定性愈大時其 μ及 H 值愈接近 0

反之當資料不確定性愈小時μ及 H 值取愈接近 1 之值Bardossy 等人

建議其值在 05~07間為適宜根據 Tanaka在 1982年所提到的方法我們

可以求得一模糊迴歸函數並可得知其中心線與其上界及下界假定在 H =

05的情況下利用 Tanaka模糊迴歸模式算出迴歸函數為

(42)

中心線與上下界的簡單迴歸方程式為

中心線 (43)

上界 (44)

下界 (45)

繪製出的圖形如圖 47所示

圖 47 Tanaka 模糊迴歸

0

50

100

150

200

250

300

1

7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

103

109

115

121

127

133

139

下界

中心線

上界

39

圖 48 Tanaka 模糊迴歸中心線與預測值之結合

從圖 48可看出預測值與模糊迴歸的中心線 有明顯的時間差異但由

圖可以觀察出模糊迴歸的中心線 的預測趨勢與實際值是相近的雖然利

用模糊迴歸預測的時間點比實際時間快但是相對來說也是可以用來預

測之後將發生的趨勢本研究認為若模糊迴歸可用於預測中則可用模糊

的散度 c當做預測行為中選取的可接受的變動範圍如圖 49最後將 Tanaka

模糊迴歸中心線上下界與實際值之結合如圖 410所示

圖 49 Tanaka 模糊迴歸中心線上下界與實際值之結合

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

1

8

15

22

29

36

43

50

57

64

71

78

85

92

99

106

113

120

127

134

141

實際值

中心線

0

50

100

150

200

250

300

1

7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

103

109

115

121

127

133

139

實際值

下界

上界

預測

值

預測值

40

圖 410 Tanaka 模糊迴歸中心線上下界與實際值之結合

442修正型 Tanaka模糊迴歸

因為我們要將模糊迴歸應用於預測中所以本研究將複線性迴歸的趨

勢線視為模糊迴歸的中心線再利用修正型 Tanaka模糊迴歸模式算出迴歸

函數為

(46)

中心線與上下界的簡單迴歸方程式為

中心線

上界

下界

繪製出圖形如圖 411

0

50

100

150

200

250

300

1 7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

103

109

115

121

127

133

139

實際值

預測值

下界

上界

41

圖 411 修正型模糊迴歸中心線上下界與實際值之結合

本研究使用的修正型模糊迴歸中心線與傳統的迴歸方程式相同所以

可用來處理或分析模糊資料與明確資料同時修正型模糊迴歸的上下界

與 Tanaka 模糊迴歸相較也變窄了此兩種現象就是修正型迴歸的特色因

為中心線與傳統的迴歸方程式也相同這種修正型迴歸散度可選擇為負值

的特色本研究認為可以應用在預測上因為上下界與中心線間的散度變

窄使得前文所敘述到的利用散度來選取預測範圍便可更為嚴格也可

使預測的結果更為可靠如圖 412所示

圖 412 Tanaka 上下界與修正型模糊迴歸上下界的寬度差別

0

50

100

150

200

250

1 7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

103

109

115

121

127

133

139

下界

中心線

上界

0

50

100

150

200

250

300

1 8 15

22

29

36

43

50

57

64

71

78

85

92

99

106

113

120

127

134

141

Tanaka下界

Tanaka上界

Tanaka修正型下界

Tanaka修正型上界

42

第五章 結論及未來研究方向

51 結論

根據前文的討論傳統迴歸和模糊迴歸建立在不同的理論基礎上傳

統迴歸是以機率為基礎而模糊迴歸則是以可能性為基礎傳統迴歸因變

數的估計值與觀測值之間的差異為因變數的隨機性而模糊迴歸因變數的

估計值則產生於觀測值之模糊度惟兩者最大不同處在於模糊迴歸式的

迴歸係數與預測值皆為模糊數（區間值）不同於傳統迴歸係數與預測值

均為明確的數值此外傳統迴歸侷限於對明確資料的分析可能性模糊

迴歸僅適用於分析具模糊性的資料而複合的模糊迴歸則可同時適用於分

析模糊與明確的資料此為此模式最大的特點

模糊迴歸應用於預測中大多的結果是不佳的但是我們透過結合混

沌與模糊迴歸的概念將混沌的預測單點概念拓展成一個可接受的預測

範圍

PT Chang 與ES Lee 使用修正型模糊迴歸重新定義散度做出新的

模糊上下界均為改善模糊迴歸模式Tanaka之研究本研究將模糊迴歸與

混沌理論之建立時間序列的預測情形加以結合討論發現模糊迴歸在預測

的行為中是可行的但可惜的是即使預測的趨勢相近但預測值出時間

的點卻有差別這樣的結果我們可以看出若能找到解決加強模糊與複線性

迴歸關係之間時間的關聯性就能利用模糊的不確定性來討論預測問題

52 未來之研究方向

本研究將模糊迴歸與混沌理論之建立時間序列的預測情形加以結合討

論發現模糊迴歸在預測的行為中是可行的但可惜的是即使預測的趨

勢相近但預測值出時間的點卻有差別這樣的結果我們可以看出若能找

到解決加強模糊與附線性迴歸關係之間時間的關聯性就能利用模糊的不

確定性來討論預測問題

為了符合現今社會多元的狀況模糊迴歸與傳統迴歸之觀念勢必加以

混合應用也為了解決此等問題混合式迴歸（Hybrid Regression）在近年

來被提起也因此參數的估計模糊迴歸與傳統迴歸的混合應用將成

為往後繼續研究探討之目標

建議未來可用模糊加權修正模糊迴歸使模糊迴歸在預測上更能直接

43

將對事物多個構面評估的意見與其影響事物狀況的重要程度作加權的運

算

44

參考文獻

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17

1

其隸屬函數圖形如圖 21

圖 21 三角模糊數

2 梯形模糊數(trapezoidal fuzzy number)

梯形模糊數可表示為 如圖 22其隸屬度函數定義為

(218)

其隸屬度函數如圖 22

圖 22梯形模糊數

a b c d

1

18

在一信賴區間 α水準α 01 我們定義 A

( )A x A x (218)

三角形隸屬度函數以 α-cut表示為

( ) ( )

1 3 1 1 2 3 2 3[ ] [ ( ) ( )]A a a a a a a a a

(219)

( )

1a 與 ( )

3a 個別代表 A的下界及上界

根據模糊算術方法Zadehrsquos sup-min 方法表示如下

( )( ) sup min( ( ) ( ))x y z

A B z A x B y

(220)

其中 sup表任何模糊算式Mizumoto and Tanaka（1976）使用相同方

法在 α 截集模糊數和區間算術Chang（2003）和 Chang et al （2006）和

Chang and Hung（2006）整理使用 α 截集模糊算術方法的文獻α截集模

糊算術中模糊數基本運算公式（加法減法乘法除法）可以計算的

更快在每一個 α-level 區間中使用區間算術（Kaufmann and Gupta

1988）

1 模糊數加法

令A和 B分別為兩模糊數 A和 B在一信賴區間 α水準 ( ) ( )

1 2[ ]A a a

( ) ( )

1 2[ ]B b b αisin 01 forall A B sub 2R 表示如下

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 2 1 2 1 1 2 2[ ] [ ] [ ]A B a a b b a b a b

forallαisin 01 (221)

2 模糊數減法

在一信賴區間 α水準forall A B sub 2R αisin 01

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 2 1 2 1 2 2 1[ ] [ ] [ ]A B a a b b a b a b

(222)

3 模糊數乘法

在一信賴區間 α水準forall A B sub 2R αisin 01

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 2 1 2 1 1 1 2 2 1 2 2

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 1 1 2 2 1 2 2

[ ] [ ] [min(

max( )]

A B a a b b a b a b a b a b

a b a b a b a b

(223)

4 模糊數除法

在一信賴區間 α水準forall A B sub 2R αisin 01

19

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 1 1 2 2

1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 2 1 2 1 2 1 2

[ ] [ ] [min( )max( )]a a a a a a a a

A B a a b bb b b b b b b b

式中 ( )

1b ( )

2b gt0forallαisin[01] (224)

235模糊運算

根據 Zadeh（1965）的擴展原理（Extension Principle）可以廣義的使

用一般基準 T取代原來的最小值模糊數的數學運算表示如下

1 加法

( )( ) sup ( ( ) ( ))x y z

A B z T A x B y

(225)

2 減法

( )( ) sup ( ( ) ( ))x y z

A B z T A x B y

(226)

3 乘法

( )( ) sup ( ( ) ( ))x y z

A B z T A x B y

(227)

4 除法

( )( ) sup ( ( ) ( ))x y z

A B z T A x B y

(228)

24 模糊迴歸

在科學研究過程中許多研究者常使用迴歸來描述自變數 x和應變數 Y

之間的關係傳統的迴歸分析均假設觀察值由實際應變數影響加上隨機誤

差而產生也就是說應變數是一種帶有不確定性的隨機變數不過在很

多的實務應用上往往無法滿足這樣的假設例如有些應變數 Y 的觀察值

並不是以單一數值的型式存在而是帶有多重隸屬的特性這些觀察值雖

然帶有不確定性但這種不確定的特性是來自於模糊現象而非隨機現象

若由模糊觀點套用迴歸分析來處理模糊資料問題就稱為模糊迴歸分析

模糊迴歸分析最早是由 Tanaka et al (1980) 提出一般模糊迴歸能夠處理的

樣本型式有兩種一種是實數值樣本 其中 為實數向量 為觀測

到的實數值另一種是模糊數樣本( 其中 為觀測到的模糊數不論

是實數值樣本或是模糊數樣本想要估計模糊迴歸參數估計方法大都是

20

利用線性規劃的技巧來尋求一組能將實數值樣本 或模糊數樣本(

包含在內的區間再將三角形隸屬函數（triangular membership function）套

用

在此區間上如此便求得一組模糊迴歸估計式要得到正確的估計結

果最好是收集具有代表性的隸屬函數樣本所謂具有代表性的隸屬函數

樣本應該是以模糊數的形式存在所以本文就樣本模糊數 進行討論

線性模糊迴歸模式常表示成

0 1 1 2 2( ) i i i p piY x A A x A x A x (229)

其中 1 2 3(1 ) i i i i p ix x x x x 為自變數向量 ( )iY x 為模糊應變數

為模糊參數利用樣本模糊數 估計參數 時通

常假設 與 的隸屬函數為對稱三角型式 與 的隸屬函數表達如下

( ) max 1 0 i

i

Y

i

t yt t

r

(230)

其中 為三角隸屬函數的中點 為三角隸屬函數的分布半徑可令

( ) max 1 0 m

m

A

m

t ct t

s

(231)

其中 為三角形的中點 是三角形的分布半徑 與 間的關係

如圖 23所示

圖 23模糊數的中心值與散佈值

1

0

21

再令 則前述的模糊迴歸方程式可改寫成

0 1 1 2 20 1 2( ) i i ipi p pY x x xC S xC S C S C S (232)

因此模糊應變數 ( )iY x 的隸屬函數也屬於三角型式可表示成

( )

0

0

( ) max 1 0 Y xi

p

m m

m

p

m mi

m

t c x

t t

S x

(233)

其中 因此只要估計出三角形的中點 及半徑 便可得到

隸屬函數的估計值模糊迴歸分析是在要求每一個觀測值 隸屬於模糊

迴歸區間的隸屬程度至少 的情況之下尋求最小的模糊迴歸預測區間如

(234)式表示

forall ( 234)

在利用 對未知的模糊參數 進行估計前一般先定

義模糊樣本 和模糊應變數 的 h截集其定義如下

令 為一組模糊樣本 ( )iY x 為模糊應變數若 與

分

別為 及 的 h截集(h-cut)則

(235)

(236)

因具代表性的樣本 其 h 截集 應要盡量接近模糊應變數 的 h

截集 意即

其中容許

不完全落在 之

內的情形發生根據以上觀點王景南(2002)認為樣本的左端點

和右端點 隸屬於 的程度會有一定的水準於是設立此水準

為 H因此假設 隸屬於 的隸屬度會盡量的接近 H其間的關係

為

( 與

( (237)

所謂的盡量接近 H是可允許隸屬度大於 H或小於 H而不是均大於

22

H

根據以上的對樣本的解釋運用最小平方法以所有樣本的左端點

配置一迴歸直線稱之為左端直線估計式

(238)

其中 為迴歸係數再以所有右端點 配置右端

直線估計式

(239)

其中 為迴歸係數

前文已假設樣本的左右端點隸屬於 的隸屬度會盡量的接近 H所

以將這兩條直線函式來估計 之 H截集的左右邊界即

(240)

如此可推導出 的隸屬函數為

(241)

其中 且

(242)

意即

(243)

其中

為三角形底邊中點是

分布半徑如此便可得一組估

計的模糊迴歸模式

(244)

仍需注意的是當樣本為對稱型態時左右迴歸函數式其配適的結果式

相同的只有常數項不同當對稱情形發生時可以考慮利用各別對應相

之權重除以常數項的分布半徑做為個別對應項之分布半徑意即

分布半徑

除此之外Celmins及Diamond Celmins也分別提出最小平方法之模糊迴

23

歸模式以便求解資料間距離最小的模糊迴歸方程

模糊迴歸應用上比統計迴歸更具彈性統計迴歸通常需要大量資料以

支持其假設而模糊迴歸卻無此需求因此當資料量不足或隨機性難以驗

證時模糊迴歸是較強健的(Robust)同時當所蒐集之資料的不確定性乃

來自於人類之主觀判斷時模糊迴歸較具適用性

因此模糊迴歸模式逐漸受到重視在1990年代的研究包括Sakawa及

Yano針對投入變數與輸出變數皆為模糊資料的問題建構出一個多目標的模

糊迴歸模式此外Chang和Lee則認為模糊迴歸中心線的趨勢與模糊迴歸散

佈值的趨勢可以存在不一致性為了分析統計迴歸與模糊迴歸的差異Kim

Moskowitz 及Koksalan 利用模擬分析比較統計迴歸與模糊迴歸的結果認

為由機率論所得的統計迴歸模式在大樣本時其預測績效遠比可能性理論

(Possibility theory)推演而得的模糊迴歸模式為佳然而當資料量遞減或所構

建的模式適合性變差時(即變數間存在模糊關係)則模糊迴歸模式的預測績

效將優於統計迴歸模式由於模糊迴歸模式在解決資料量少及系統關係模

糊不清的問題上具有較佳之績效而存在其正面之價值當變數間存在模

糊關係時

從早期到目前已發展出多種模糊迴歸模式求解方式以下根據薛展青

(2004)所整理的模糊迴歸分析整裡敘述如下

1 區間迴歸法

區間迴歸法(interval regression)其模型架構主要是由Tanaka et al(1982)

所提出的模糊線性迴歸(fuzzy linear regression)模型Tanaka et al(1982)所發

表的論文中表示傳統的迴歸模型中造成實際值與估計值的誤差來源被

認為是由測量或觀察所造成的而此誤差項在模糊線性迴歸模型中是因

模糊系統中參數的模糊性所產生的即誤差是反應模糊線性函數的模糊現

象因此以模糊線性函數來表示迴歸方程式而迴歸參數則是以模糊集合

來表示

Tanaka et al(1982)在估計模糊迴歸參數時是利用線性規劃技巧

(linearprogramming method)來尋求一組能將實數值樣本或模糊數樣本全部

包含的區間最後求得一組對稱三角形模糊數之迴歸參數

自Tanaka等人(1982)的文章發表之後後續的學者大多以此為基礎陸

續題出各種相關的模式與求解方法如Peters (1994)將Tanaka的線性規劃法

24

求解推廣為模糊線性規劃法求解讓資料對模糊迴歸模式的適應性更加提

升YenGhoshray 與Roig (1999)提出由於非對稱迴歸係數導因於大多數的

資料為離群值使得對稱三角迴歸係數不再適用因此將Tanaka et al的模

式推廣為非對稱三角迴歸係數Moskowitz 與Kim (1993)探討不同水準值下

模糊迴歸模式的求解與模式配適程度Redden 與Woodall (1996)探討模糊

迴歸分析預測未來值的結果Sakawa 與Yano (1992)將Tanaka的方法擴展到

依變數及自變數皆是模糊集合的情況並將之稱為多目標線性迴歸法

(multiobjective linear regression model)Koumlrner 與Naumlther (1998)討論解釋變

數與反應變數兩者皆為模糊數值的情況Kacprzyk 與Fedrizzi (1992)則蒐集

了各種不同迴歸模式的求解方法Redden 與Woodall (1994)說明Tanaka後

續提出的求解模式當中所具備的性質以及與傳統迴歸方法的差異比較

但是在此模式下求解之迴歸係數本身亦為一對稱的三角模糊數值

而且求解結果很容易受到資料尺度(scale)的影響使得反應變數估計值之展

度會變得更為寬廣後來Tanaka (1987)根據1982年的文獻發展為更完整的

可能性線性系統使模糊迴歸的結構更趨適應性Tanaka 與Watada (1988)

闡明可能性線性模式的概念推演建構成可能性線性迴歸模式Tanaka et

al(1989)應用模糊資料於可能性迴歸系統中並建構最小化最大化及混合

式三種線性規劃模式又對先前所提出的模式加以修正但就如Redden 與

Woodall (1994)所指出Tanaka 類型的模式對於離群值(outlier)的反應非常

敏感甚至在觀察值的個數增加時求解結果可能會產生無限多解因

此在Tsaur 與Wang (1999)提出的文獻對於在模糊迴歸分析中的離群值進行

一系列探討

2 模糊最小平方法

模糊最小平方法(fuzzy least squares)乃擴展傳統之最小平方法的觀念

最早由Diamond (1988)所提出利用傳統最小平方法的觀念求出一個模糊

迴歸模式以估算(approximate)反應變數的觀察值並非如區間迴歸中的包含

觀察值在其模式中利用反應變數的觀察值與估計值的模糊數值之最小

值最可能值與最大值定義兩者之間的距離以衡量迴歸模式與模糊資

料之間的最佳配適度的情形在使得所有觀察值與估計值的模糊數值之間

的距離平方總和為最小時可以導出類似傳統迴歸分析中的正規方程式

(normal equation)以求解迴歸係數

25

其後Chang 與Lee (1996)則將Diamond (1988)的方法加以擴充將迴

歸係數的最可能值與展度分別估計該方法的特點在於可將極端值(outlier)

加以處理並降低其影響程度Ma等人(1997)則將此類方法發展於適合非

三角模糊數值的場合Diamond 與Koumlrner (1997)則在此類方法中定義一

個判定係數的計算方法以比較不同模式的適合性Wu與Tseng (2002)提出

改善模糊迴歸模式之最小平方法其模式主要觀念是利用最小平方法將所

有樣本的左端點及右端點各配置一條迴歸線然後在將其左右迴歸線統合

成一條迴歸線

而在Kim 與Bishu (1998)的研究中是利用各個具有三角模糊數值的反

應變數之最小值最可能值與最大值以最小平方法分別計算出模糊迴歸

係數所得到的係數不一定為對稱的三角模糊數在此種求解方式下雖

然可以得到比較小的估計誤差但其缺點是無法處理解釋變數為模糊數的

情形另外Kim 與Bishu(1998)還提出了評估模糊迴歸模式的準則利用觀

察值與估計值歸屬函數之間面積的差異做為迴歸模式的估計誤差但其評

估準則的問題是無法比較不同模式在觀察值與估計值歸屬函數之間不具有

交集時的誤差情況在此情況下求算估計誤差時無法準確評估其總誤差而

導致評估失真而其他學者如Yang與Ko (1997)Yang 與Lin (2002)等則

是提出以最小平方法為基礎的模糊聚類分析求解方式

3 模糊隨機變數估計法

為了建構一個同時具有隨機和模糊特性的系統Kwakernaak (1978)首

先提出模糊隨機變數(fuzzy random variables)的概念認為傳統的隨機變數

U Ωrarr R為實數可測函數而模糊隨機變數則將一般隨機變數的概念廣義

化模糊隨機變數可表示為X ΩrarrS設ω isinΩ而ω 所對應到的不再是實

數值U(ω)而是模糊集合X (ω)S 代表模糊集合且Kwakernaak (1978)擴

充原來Zadeh 提出模糊集合之架構認為有時供作參考的資訊不齊全在

對某些述句進行評斷時我們無法判斷其絕對為真或絕對為假此時我

們考慮將原有的二元邏輯思維方式推廣暫且不作肯定的判決而僅是表

達出對錯的程度換句話說真值可以是介於單位區間[01] 內的任何值

如此思維方式稱之為多值邏輯(multivalued value)並將模糊集合視為一組

述句(statement)的集合且每個述句均對應一真值程度以符合人類的思維與

想法Stein 與Talati (1981)利用模糊數值的隸屬函數提出模糊隨機變數

26

的期望值之計算方式Kruse 與Meyer (1987)藉助集合表徵的概念建立了

一套模糊隨機變數的定義而為了讓模糊隨機變數能實際應用並將討論

的範圍界定在一模糊集合族上Koumlrner (1997)及Naumlther (1997)利用該方法以

求算模糊隨機變數的期望值與變異數並應用於線性模糊迴歸模式的求解

等另外在曾能芳(民 91)的博士論文研究中指出在Tanaka et al (1982)

的模糊迴歸模式中並不具備誤差項因此模式無法呈現樣本與期望值之間

的關係而無法討論線性規劃估計程序所具備的統計性質所以在曾能芳

(民 91)提出的迴歸模式中採用模糊樣本是由依變數之模糊期望值加上測量

誤差所組成並提出測量誤差存在於中點的模糊迴歸模式以及測量誤差

同時存在於中點和半徑的模糊迴歸模式

4 兩階段求解方法

以兩階段方法(two stage method)求解模糊迴歸模式的想法是在於結合

最小平方法與區間迴歸的觀念試圖降低反應變數估計值的模糊度如Savic

與Pedrycz (1991)對模糊迴歸模式的求解分為兩個步驟進行第一步以

反應變數的模糊數值之最可能數值為基礎將模糊數值視為簡化的明確數

值以傳統最小平方法求解迴歸係數的中心值第二步利用區間迴歸的

方式在使得迴歸係數的模糊度為最小的情形下以決定迴歸係數的三角

模糊數值Kao 與Chyu (2002)提出另一種模糊迴歸模式的兩階段求解方

法在第一階段先利用解模糊(defuzzification)方法將模糊觀察值轉換成為一

組明確數值之後利用該組明確數值以傳統的最小平方法求解迴歸係

數第二階段則是以Kim 與Bishu 所提之評估準則為目標式決定一個誤

差項估計值的模糊數以使得在Kim 與Bishu (1998)評估準則下的總誤差量

為最小該方法的特別之處在於求解的迴歸係數為明確數值而誤差項估計

值為模糊數值雖然此種求解方式可以得到很小的估計誤差但因其所著

眼的仍是Kim 與Bishu 評估準則下的面積估計誤差使得當觀察值與估計

值歸屬函數之間不具有交集時所衡量出的估計誤差較真實誤差為小且其

求解方法比較適合於觀察值為三角或梯形的模糊數值欲應用於其他型式

的模糊數值求解上則較為困難而在邱清爐(民 91)的博士論文中則是將

其兩階段求解方法對各種不同的模糊迴歸模式進行建構與評估並將其求

解方法應用於工作滿意度實例

5 其他求解方法與相關研究

27

Tanaka 等人(1995)後來提出另外一種模糊迴歸模式的求解方法將傳

統的估計誤差當作是存在解釋變數與反應變數之間的關係之可能性

(possibility)故模糊觀察值的展度可以直接轉換成迴歸係數的指數可能性

分配(exponentialpossibility distribution)而可以使用與傳統迴歸非常類似的

方式加以求解Tanaka與 Lee (1999)再利用辨識方法(identification method)

求解迴歸模式在其研究中利用辨識方法以決定模糊線性系統(fuzzy linear

system)中迴歸係數的可能性分配並認為由此方法所求解的迴歸係數會

有比較小範圍的可能性分配近年來有愈來愈多的學者將模糊迴歸分析

應用於其他傳統的決策方法及不同領域上如 Dunyak 與 Wunsch(2000)使

用 α 截集的端點以類神經網路(neuralnetworks)進行模糊迴歸分析Lee

與 Chen(2001)則將模糊迴歸模式使用於人力預測的問題上Tseng 等人

(2001)將由模糊迴歸模式建立之 ARIMA 模式用以預測匯率Tseng 與

Tzeng(2002)則利用模糊迴歸模式的求解方法以建構具有季節變動的

ARIMA 模式Kim 與 Bishu(1996)應用於人力可靠度分析的操作反應時間

上Wu 與 Tseng(2002)將其模糊迴歸模式應用在景氣對策信號上的分析

王景男(民 89)將模糊迴歸分析應用於籃球比賽攻防技術策略上曹勝雄

曾國雄江勁毅(民 85)以國人赴港旅客需求之預測為例說明傳統迴歸

模糊迴歸類神經網路之差別張良斌陳育民(民 86)將模糊目標迴歸法

應用在垃圾衛生掩埋場沼氣回收設備的成本估算謝邦昌林燦隆呂理

添(民 85)將模糊迴歸運用在甘蔗產量的預測對於上列有關模糊迴歸分析

的研究中絕大部份的文章均侷限於線性模式的分析鮮有文章討論非線

性模糊迴歸模式的求解最近雖然有少數學者開始討論非線性模糊迴歸模

式的解法如 Xu(1997)Buckley 與 Feuring(2000)的研究等但使用的方

法所求解的迴歸係數仍然為模糊數值其造成反應變數估計值的展度會

隨著解釋變數之數值增加而擴大的問題仍無法避免

28

第三章 研究方法

本章介紹本文將運用於數值分析中的預測研究方法利用本章建構的

方法可清楚了解如何利用混沌理論基於相空間重構的方式及模糊迴歸方

法於預測中

31 混沌時間序列建立預測方法

時間序列的模型建構和預測是資料處理研究領域中的重要方向其中

預測方法主要有線性和非線性預測方法兩種預測就是對未來作出估計和

推斷而通常要對研究對象或資料進行假設這一過程稱為建模利用建

模的方式獲得資料的科學表示就稱為模型混沌時間序列雖然看似隨機

但它卻是由確定系統產生的因此我們可以對混沌時間序列作出短期預測

同時由於混沌對初始條件微小差異的高度敏感性我們無法對混沌時間序

列作出長期預測每一步預測帶來的微小偏差都會使得下一步預測的偏差

擴大最終導致預測序列與原始序列完全不同

311李亞普諾夫指數判定資料混沌特性

進行預測前需根據 212節中提及的李亞普諾夫指數來判定資料是否

具有混沌特性最大李亞普諾夫指數是判斷和描述非線性時間序列是否為

混沌系統的重要參數因此是一個重要的混沌不變數

混沌系統中的李雅普諾夫指數可用來判斷系統是收斂的還是混沌的當系

統的李雅普諾夫指數中至少有一個為正時系統是混沌的 當系統的李雅

普諾夫指數均為負數時系統是收斂的 對於系統是否存在動力學混沌可以直觀的判斷最大李亞普諾夫指數是否

大於零一個正的李亞普諾夫指數代表著在系統相空間中無論初始兩

條軌跡的間距多小兩條軌跡的差別都會隨著時間的演化而成指數率的增

加而導致無法預測這就是混沌現象

312重建相空間

傳統的建模和預測方法己廣泛地應用社會科學中但大部分都是基於

線性系統混沌時間序列並不適用於非線性的混沌時間序列於是在判斷

時間序列性質後若判定序列以隨機性為主應採用從 AR 或 ARIMA 等隨

機模型來預測如果判定以混沌為主則應採用非線性確定性的方法進行

29

預測非線性時間序列的預報是經過相空間重構後對相空間中的動力軌

跡進行預報由於混沌系統具有被稱為「蝴蝶效應」的初始值敏感性所

以混沌時間序列是不能長期預測的但對於短時間內混沌系統的軌道在

相空間中具有一定的規律它們的預測性是可獲得的並比一般的基於統

計方法的預測能力要來得好

時間序列資料是時間離散後的樣本值用 表示將它「嵌入」到

一個 m維(mgt0)的空間中進行相空間重構後得到嵌入向量

(31)

由嵌入向量 可擴張成一嵌入空間 E由 Taken嵌入定理可知存

在映射面 滿足

(32)

上式表是出在拓樸的意義中可完全預測吸引子的特徵所以上式也可

表示為

(33)

其中函數 為 的一個估計值由式 (33)可得之我們可用

來預測

313相空間維度相關維度

在實作的研究上有許多方法可以用來估計混沌吸引子的維度本研

究選用較為常見的相關維度方法相關維度需先計算相關和將相空間中

所有樣本點皆計算其各別半徑收斂後之趨近值相關方程式（Correlation

Function）定義如下

(34)

其中

當 rrarr0時

兩邊同取對數可得

(35)

定義相關維度為 與 之曲線斜率為

(36)

在實際應用中經常給定一組維度 值選取適當的 r繪出

30

曲線求曲線當中直線段的斜率 如果系統存在這樣一個 值達到此

值後相應的關聯維數不再隨 的增長而變化也就是趨於飽和這表明

該序列為混沌系統其吸引子是存在的此時 值即為重構相空間的最佳

嵌入維數否則則表明該序列為隨機系統不具有混沌性

314 時間遞移數

利用 2123節中介紹的概念及 2124 中介紹的自相關函數求解出時

間遞移數的結果自相關函數公式如下

1

1

1( )( )

1( )

n k

t t k

tk n

t

t

x x x xn k

r

x xn

(37)

n為原資料樣本數k為時間遞移後的樣本點

將自相關係數計算的結果與每一筆遲延時間距離數值繪製成圖表可

由圖表中可分析辨別時間序列數據的初步基本特徵圖表繪製的結果顯示

自相關係數跟隨遲延時間距離數值的增加而顯示收歛且具有震盪循環之跡

象則表示數據具有一種規則屬於一混沌時間序列

32 複線性迴歸

確立資料為混沌後運用自我相關係數計算出時間遞移數及相空間維

度後將加入複線性迴歸運算複線性迴歸中常用的預測方法分為兩種

1 全域法

全域法就是利用相空間軌跡中的全部向量點做為擬合對象找出其

規律由此進行短期預測也就是說利用收集的大量的歷史資料利用

複線性迴歸訓練出迴歸參數再將未放進訓練迴歸參數的資料使用訓練

出的迴歸參數計算出預測值的資料型態本文還將原本的歷史資料分析

出資料的季節性後先去除季節性的影響最後再加回季節性討論預測結

果

2 局域法

局域法的基本原理是僅利用有限個鄰近點的資訊而不是利用全部的

樣本點來擬合 局域法預測是把相空間軌跡中的最後一點作為待測點對

離待測點鄰近的若干個相空間點的關係作出擬合再對預測相空間點的未

來演化規律進行預測本文使用零階局域法零階局域法是直接將鄰近樣

31

本點應用於預測根據鄰近樣本點預測 的最簡單的方法就是尋找相

空間中距離 最近的點假設距離最近的點是 那麼它的下一個樣本

點為 即可做為 的預測值

因數值資料在每日重複發生變動所以本研究又加入計算季節性指數

對趨勢線做季節性調整也就是對時間序列做季節性調整

33 模糊迴歸分析

運用模糊的概念帶進迴歸模式中處理具模糊性的資料問題此稱為模

糊迴歸分析本文利用的模糊迴歸模式主要有兩個方向一個是Tanaka et al

(1982)提出的模糊線性迴歸另一個是由Chang 與Lee (1994)所提出修正型

迴歸模式Tanaka 起初所提出的線性規劃模型

0 1

[ ( )]p n

j ij

j i

Min C X

st 0 0

(1 ) (1 )p p

j ij j ij ii

j j

X H c X y H e

(38)

0 0

(1 ) (1 )p p

j ij j ij ii

j j

X H c X y H e

0jc j R 0 1iX 0 1H 123i n 012j p

Tanaka 所提出的模糊模型未考慮到散度為負值的條件所以模糊上下

界會不斷的擴張而越來越寬大由 Chang 與 Lee (1994)所提出修正型迴歸

模式即將模糊的散度可為負值使上下界的模糊區間為遞減的情形遞

減的情形由圖 31表示

圖 31 模糊區間隨自變數越大而越窄

0

2

4

6

8

10

上界 中心線 下界

32

假設圖表中計算出的模糊迴歸函數為 0 0 1 1 Y c c X 模糊上界為

0 0 1 1UY c c X 模糊下界為 0 0 1 1LY c c X

33

第四章 數值分析

本章資料來源1台灣區車輛工業同業公會

2台北市交通局

本章所使用的數據資料為台北市交通局提供的公開的車流量資料數

值分析所使用的方法已在第三章論述利用第三章的方法分析數值預測的

準確性並結合模糊迴歸常見的兩種方法幫助決定預測的可接受範圍本

章介紹本文所利用的數學模型及方法在複線性迴歸的模型中分成混沌全

域法去季節性後的混沌全域法以及混沌局域法預測出的結果加以討論預

測的準確性再將預測值去季節性觀察準確程度最後再帶入模糊迴歸

利用 05H 加以討論如何將模糊迴歸中的散度用以選擇預測值的範圍第

一節針對傳統複線性迴歸方法並結合全域法觀念訓練資料迴歸係數討

論預測結果第二節針對傳統複線性迴歸方法並結合局域法觀念訓練資

料迴歸係數討論預測結果第三節針對預測資料去除季節性後再利用

傳統複線性迴歸方法討論預測結果第四節針對模糊迴歸的兩種方法選

擇出預測的範圍

利用第三章論述的時間遞移及相關維度的做法將本文利用具混沌性

的資料加以分析將資料先利用 212 節中介紹的李雅普諾夫指數 判定是

否具混沌性具有混沌性的資料才能利用混沌理論重構相空間若李雅

普諾夫指數 介在 0跟 1之間則表示資料具有混沌性質本文資料利用程

式計算出李雅普諾夫指數 運用自我相關係數判斷出時間遞移

數 相關維度計算出維度 我相關係數判斷時間遞移數與相關維

度的圖形以及原始資料時間遞移後的資料圖如圖 41圖 42圖 43

34

圖 41相空間維度及 lnC與 ln r斜率關係圖

圖 42相空間維度及 lnC與 ln r斜率關係圖

0

1

2

3

4

5

6

7

0 5 10 15 20

相空間維度

斜

率

d

-02

0

02

04

06

08

1

12

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33

時間遞移數

自我相關函數

35

圖 43 原始資料時間序列圖

41 複線性迴歸混沌全域法

本文所使用的資料為 10日的車流量資料利用前 9日的資料訓練出迴

歸參數將迴歸參數代入複線性數學模型中計算出的迴歸方程式為

1 2 3 4

5 6 7 8 9

10 11 12 13 14

435363 00819 00338 01777 00070

01116 01999 00299 02716 00349

01399 00056 01113 00738 02038

y x x x x

x x x x x

x x x x x

(41)

解出迴歸參數計算出複線性迴歸方程式後再將最後一日 144筆的車

流資料代入方程式中計算出預測值利用複線性迴歸混沌域法預測出的結

果如圖 44

圖 44 複線性迴歸分析預測與原始資料比較圖-全域法

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

1 53

10

5

157

209

26

1 31

3

365

41

7

469

52

1 57

3

625

67

7

729

78

1 83

3

885

93

7

989

10

41

1093

11

45

1197

12

49

1301

13

53

1405

原始資料點

原始資料點

-50

0

50

100

150

200

1

7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

103

109

115

121

127

133

139

實際值

預測值

36

由圖表的狀況可觀察出運用複線性迴歸模型預測的結果不盡理想本

研究認為運用複線性迴歸預測的結果不佳的原因有二

1 利用全域法預測是將較大量的歷史資料加入考慮訓練出迴歸參數這

樣的結果造成削弱了原本的奇異點(相較於同時段資料差異性較大的點)

的影響力

2 嵌入維度 太高對於混沌時間序列隨著嵌入維度增高歷史

對未來的影響是呈指數衰減的所以全域法所利用的資訊歷史就越長

預測的精準度就會迅速下降因此本研究將加入局域法討論預測的準

確性

42 複線性迴歸混沌局域法

局域法的做法為尋找相空間重構後的點對待測點尋找鄰近的 k個相

空間點對離待測點鄰近的若 k個相空間點的關係作出擬合並分析出複

迴歸方程式的迴歸參數本文嘗試選取 k=50~250的結果以下只列舉 k=200

的圖解釋預測結果

圖 45 複線性迴歸分析預測與原始資料比較圖-局域法(k=200)

圖 44與圖 45比較後可看出區域法預測的準確性比全域法更好某

些預測出來的結果的點與原始資料的點差異性大有明顯的偏移本研究

認為利用局域法預測的結果不佳的原因如下由圖 45可看出預測結果與

原始資料間差異性較大的點位為數列的右側 而數列尾端的資料為凌晨或

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

1

7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

103

109

115

121

127

133

139

實際值

估計值

37

是深夜的車流量因每日凌晨或是深夜的車流量變化量較少(例如某日的凌

晨十二點十分可能為 0台車或是小於 10台車經過)所以資料的差異性

較大造成頭尾的資料預測上較為不準確

因為同時段的資料可能會影響資料預測出的結果所以我們下節就以

加入季節性的考慮來加以討論預測結果

43 複線性迴歸去除季節性後混沌全域法

本文使用的車流量資料為每日 24時換算成 1440分鐘每 10分鐘記

錄一點於是本研究依資料的記錄時間點來劃分季節性將季節分成 144

個季分別求出季節性指數求取季節性指數後將每個資料點先去除季

節性利用全域法訓練出去季節性後的迴歸係數再利用複線性求出預測

值最後將去除的季節指數乘回預測點結果如下

圖 46考慮季節性複線性迴歸分析預測與原始資料比較圖-全域法

此考慮季節性因子的複線性迴歸分析預測與原始資料的比較是用全

域法去訓練迴歸參數的而由圖 44我們可以得知一開始未考慮季節因

子使用全域法的複線性迴歸預測是不準確的本研究認為原本的歷史資

料隨著季節性因子的變化該系統原本呈現複雜的動態特性實際上由於

車流量的變動有許多外在因素的影響例如氣候假期hellip等影響會使

資料的變化過程發生不同程度的偏離而對於季節性事件來說其事件發

生的過程主要受季節性參數週期性變化的影響 因此影響因素的具體形

式可以近似地表示為單一函數本文考慮季節因素對車流量的影響意即

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

1

7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

10

3

10

9

11

5

12

1

12

7

13

3

13

9 實際值

預測值

38

經過季節性分析後的得到的預測分析結果很準確如圖 46所示此結果

表示季節性影響樣本資料的情形大也代表著在季節因素影響下系統中

事件的動態變化情況是隨著季節影響參數的變化而造成系統呈現各種

各樣複雜的動態特性如週期解混沌情形hellip等

44 模糊迴歸

441Tanaka模糊迴歸

μ及 H 值之選定原則為當不確定性愈大時其 μ及 H 值愈接近 0

反之當資料不確定性愈小時μ及 H 值取愈接近 1 之值Bardossy 等人

建議其值在 05~07間為適宜根據 Tanaka在 1982年所提到的方法我們

可以求得一模糊迴歸函數並可得知其中心線與其上界及下界假定在 H =

05的情況下利用 Tanaka模糊迴歸模式算出迴歸函數為

(42)

中心線與上下界的簡單迴歸方程式為

中心線 (43)

上界 (44)

下界 (45)

繪製出的圖形如圖 47所示

圖 47 Tanaka 模糊迴歸

0

50

100

150

200

250

300

1

7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

103

109

115

121

127

133

139

下界

中心線

上界

39

圖 48 Tanaka 模糊迴歸中心線與預測值之結合

從圖 48可看出預測值與模糊迴歸的中心線 有明顯的時間差異但由

圖可以觀察出模糊迴歸的中心線 的預測趨勢與實際值是相近的雖然利

用模糊迴歸預測的時間點比實際時間快但是相對來說也是可以用來預

測之後將發生的趨勢本研究認為若模糊迴歸可用於預測中則可用模糊

的散度 c當做預測行為中選取的可接受的變動範圍如圖 49最後將 Tanaka

模糊迴歸中心線上下界與實際值之結合如圖 410所示

圖 49 Tanaka 模糊迴歸中心線上下界與實際值之結合

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

1

8

15

22

29

36

43

50

57

64

71

78

85

92

99

106

113

120

127

134

141

實際值

中心線

0

50

100

150

200

250

300

1

7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

103

109

115

121

127

133

139

實際值

下界

上界

預測

值

預測值

40

圖 410 Tanaka 模糊迴歸中心線上下界與實際值之結合

442修正型 Tanaka模糊迴歸

因為我們要將模糊迴歸應用於預測中所以本研究將複線性迴歸的趨

勢線視為模糊迴歸的中心線再利用修正型 Tanaka模糊迴歸模式算出迴歸

函數為

(46)

中心線與上下界的簡單迴歸方程式為

中心線

上界

下界

繪製出圖形如圖 411

0

50

100

150

200

250

300

1 7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

103

109

115

121

127

133

139

實際值

預測值

下界

上界

41

圖 411 修正型模糊迴歸中心線上下界與實際值之結合

本研究使用的修正型模糊迴歸中心線與傳統的迴歸方程式相同所以

可用來處理或分析模糊資料與明確資料同時修正型模糊迴歸的上下界

與 Tanaka 模糊迴歸相較也變窄了此兩種現象就是修正型迴歸的特色因

為中心線與傳統的迴歸方程式也相同這種修正型迴歸散度可選擇為負值

的特色本研究認為可以應用在預測上因為上下界與中心線間的散度變

窄使得前文所敘述到的利用散度來選取預測範圍便可更為嚴格也可

使預測的結果更為可靠如圖 412所示

圖 412 Tanaka 上下界與修正型模糊迴歸上下界的寬度差別

0

50

100

150

200

250

1 7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

103

109

115

121

127

133

139

下界

中心線

上界

0

50

100

150

200

250

300

1 8 15

22

29

36

43

50

57

64

71

78

85

92

99

106

113

120

127

134

141

Tanaka下界

Tanaka上界

Tanaka修正型下界

Tanaka修正型上界

42

第五章 結論及未來研究方向

51 結論

根據前文的討論傳統迴歸和模糊迴歸建立在不同的理論基礎上傳

統迴歸是以機率為基礎而模糊迴歸則是以可能性為基礎傳統迴歸因變

數的估計值與觀測值之間的差異為因變數的隨機性而模糊迴歸因變數的

估計值則產生於觀測值之模糊度惟兩者最大不同處在於模糊迴歸式的

迴歸係數與預測值皆為模糊數（區間值）不同於傳統迴歸係數與預測值

均為明確的數值此外傳統迴歸侷限於對明確資料的分析可能性模糊

迴歸僅適用於分析具模糊性的資料而複合的模糊迴歸則可同時適用於分

析模糊與明確的資料此為此模式最大的特點

模糊迴歸應用於預測中大多的結果是不佳的但是我們透過結合混

沌與模糊迴歸的概念將混沌的預測單點概念拓展成一個可接受的預測

範圍

PT Chang 與ES Lee 使用修正型模糊迴歸重新定義散度做出新的

模糊上下界均為改善模糊迴歸模式Tanaka之研究本研究將模糊迴歸與

混沌理論之建立時間序列的預測情形加以結合討論發現模糊迴歸在預測

的行為中是可行的但可惜的是即使預測的趨勢相近但預測值出時間

的點卻有差別這樣的結果我們可以看出若能找到解決加強模糊與複線性

迴歸關係之間時間的關聯性就能利用模糊的不確定性來討論預測問題

52 未來之研究方向

本研究將模糊迴歸與混沌理論之建立時間序列的預測情形加以結合討

論發現模糊迴歸在預測的行為中是可行的但可惜的是即使預測的趨

勢相近但預測值出時間的點卻有差別這樣的結果我們可以看出若能找

到解決加強模糊與附線性迴歸關係之間時間的關聯性就能利用模糊的不

確定性來討論預測問題

為了符合現今社會多元的狀況模糊迴歸與傳統迴歸之觀念勢必加以

混合應用也為了解決此等問題混合式迴歸（Hybrid Regression）在近年

來被提起也因此參數的估計模糊迴歸與傳統迴歸的混合應用將成

為往後繼續研究探討之目標

建議未來可用模糊加權修正模糊迴歸使模糊迴歸在預測上更能直接

43

將對事物多個構面評估的意見與其影響事物狀況的重要程度作加權的運

算

44

參考文獻

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18

在一信賴區間 α水準α 01 我們定義 A

( )A x A x (218)

三角形隸屬度函數以 α-cut表示為

( ) ( )

1 3 1 1 2 3 2 3[ ] [ ( ) ( )]A a a a a a a a a

(219)

( )

1a 與 ( )

3a 個別代表 A的下界及上界

根據模糊算術方法Zadehrsquos sup-min 方法表示如下

( )( ) sup min( ( ) ( ))x y z

A B z A x B y

(220)

其中 sup表任何模糊算式Mizumoto and Tanaka（1976）使用相同方

法在 α 截集模糊數和區間算術Chang（2003）和 Chang et al （2006）和

Chang and Hung（2006）整理使用 α 截集模糊算術方法的文獻α截集模

糊算術中模糊數基本運算公式（加法減法乘法除法）可以計算的

更快在每一個 α-level 區間中使用區間算術（Kaufmann and Gupta

1988）

1 模糊數加法

令A和 B分別為兩模糊數 A和 B在一信賴區間 α水準 ( ) ( )

1 2[ ]A a a

( ) ( )

1 2[ ]B b b αisin 01 forall A B sub 2R 表示如下

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 2 1 2 1 1 2 2[ ] [ ] [ ]A B a a b b a b a b

forallαisin 01 (221)

2 模糊數減法

在一信賴區間 α水準forall A B sub 2R αisin 01

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 2 1 2 1 2 2 1[ ] [ ] [ ]A B a a b b a b a b

(222)

3 模糊數乘法

在一信賴區間 α水準forall A B sub 2R αisin 01

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 2 1 2 1 1 1 2 2 1 2 2

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 1 1 2 2 1 2 2

[ ] [ ] [min(

max( )]

A B a a b b a b a b a b a b

a b a b a b a b

(223)

4 模糊數除法

在一信賴區間 α水準forall A B sub 2R αisin 01

19

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 1 1 2 2

1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 2 1 2 1 2 1 2

[ ] [ ] [min( )max( )]a a a a a a a a

A B a a b bb b b b b b b b

式中 ( )

1b ( )

2b gt0forallαisin[01] (224)

235模糊運算

根據 Zadeh（1965）的擴展原理（Extension Principle）可以廣義的使

用一般基準 T取代原來的最小值模糊數的數學運算表示如下

1 加法

( )( ) sup ( ( ) ( ))x y z

A B z T A x B y

(225)

2 減法

( )( ) sup ( ( ) ( ))x y z

A B z T A x B y

(226)

3 乘法

( )( ) sup ( ( ) ( ))x y z

A B z T A x B y

(227)

4 除法

( )( ) sup ( ( ) ( ))x y z

A B z T A x B y

(228)

24 模糊迴歸

在科學研究過程中許多研究者常使用迴歸來描述自變數 x和應變數 Y

之間的關係傳統的迴歸分析均假設觀察值由實際應變數影響加上隨機誤

差而產生也就是說應變數是一種帶有不確定性的隨機變數不過在很

多的實務應用上往往無法滿足這樣的假設例如有些應變數 Y 的觀察值

並不是以單一數值的型式存在而是帶有多重隸屬的特性這些觀察值雖

然帶有不確定性但這種不確定的特性是來自於模糊現象而非隨機現象

若由模糊觀點套用迴歸分析來處理模糊資料問題就稱為模糊迴歸分析

模糊迴歸分析最早是由 Tanaka et al (1980) 提出一般模糊迴歸能夠處理的

樣本型式有兩種一種是實數值樣本 其中 為實數向量 為觀測

到的實數值另一種是模糊數樣本( 其中 為觀測到的模糊數不論

是實數值樣本或是模糊數樣本想要估計模糊迴歸參數估計方法大都是

20

利用線性規劃的技巧來尋求一組能將實數值樣本 或模糊數樣本(

包含在內的區間再將三角形隸屬函數（triangular membership function）套

用

在此區間上如此便求得一組模糊迴歸估計式要得到正確的估計結

果最好是收集具有代表性的隸屬函數樣本所謂具有代表性的隸屬函數

樣本應該是以模糊數的形式存在所以本文就樣本模糊數 進行討論

線性模糊迴歸模式常表示成

0 1 1 2 2( ) i i i p piY x A A x A x A x (229)

其中 1 2 3(1 ) i i i i p ix x x x x 為自變數向量 ( )iY x 為模糊應變數

為模糊參數利用樣本模糊數 估計參數 時通

常假設 與 的隸屬函數為對稱三角型式 與 的隸屬函數表達如下

( ) max 1 0 i

i

Y

i

t yt t

r

(230)

其中 為三角隸屬函數的中點 為三角隸屬函數的分布半徑可令

( ) max 1 0 m

m

A

m

t ct t

s

(231)

其中 為三角形的中點 是三角形的分布半徑 與 間的關係

如圖 23所示

圖 23模糊數的中心值與散佈值

1

0

21

再令 則前述的模糊迴歸方程式可改寫成

0 1 1 2 20 1 2( ) i i ipi p pY x x xC S xC S C S C S (232)

因此模糊應變數 ( )iY x 的隸屬函數也屬於三角型式可表示成

( )

0

0

( ) max 1 0 Y xi

p

m m

m

p

m mi

m

t c x

t t

S x

(233)

其中 因此只要估計出三角形的中點 及半徑 便可得到

隸屬函數的估計值模糊迴歸分析是在要求每一個觀測值 隸屬於模糊

迴歸區間的隸屬程度至少 的情況之下尋求最小的模糊迴歸預測區間如

(234)式表示

forall ( 234)

在利用 對未知的模糊參數 進行估計前一般先定

義模糊樣本 和模糊應變數 的 h截集其定義如下

令 為一組模糊樣本 ( )iY x 為模糊應變數若 與

分

別為 及 的 h截集(h-cut)則

(235)

(236)

因具代表性的樣本 其 h 截集 應要盡量接近模糊應變數 的 h

截集 意即

其中容許

不完全落在 之

內的情形發生根據以上觀點王景南(2002)認為樣本的左端點

和右端點 隸屬於 的程度會有一定的水準於是設立此水準

為 H因此假設 隸屬於 的隸屬度會盡量的接近 H其間的關係

為

( 與

( (237)

所謂的盡量接近 H是可允許隸屬度大於 H或小於 H而不是均大於

22

H

根據以上的對樣本的解釋運用最小平方法以所有樣本的左端點

配置一迴歸直線稱之為左端直線估計式

(238)

其中 為迴歸係數再以所有右端點 配置右端

直線估計式

(239)

其中 為迴歸係數

前文已假設樣本的左右端點隸屬於 的隸屬度會盡量的接近 H所

以將這兩條直線函式來估計 之 H截集的左右邊界即

(240)

如此可推導出 的隸屬函數為

(241)

其中 且

(242)

意即

(243)

其中

為三角形底邊中點是

分布半徑如此便可得一組估

計的模糊迴歸模式

(244)

仍需注意的是當樣本為對稱型態時左右迴歸函數式其配適的結果式

相同的只有常數項不同當對稱情形發生時可以考慮利用各別對應相

之權重除以常數項的分布半徑做為個別對應項之分布半徑意即

分布半徑

除此之外Celmins及Diamond Celmins也分別提出最小平方法之模糊迴

23

歸模式以便求解資料間距離最小的模糊迴歸方程

模糊迴歸應用上比統計迴歸更具彈性統計迴歸通常需要大量資料以

支持其假設而模糊迴歸卻無此需求因此當資料量不足或隨機性難以驗

證時模糊迴歸是較強健的(Robust)同時當所蒐集之資料的不確定性乃

來自於人類之主觀判斷時模糊迴歸較具適用性

因此模糊迴歸模式逐漸受到重視在1990年代的研究包括Sakawa及

Yano針對投入變數與輸出變數皆為模糊資料的問題建構出一個多目標的模

糊迴歸模式此外Chang和Lee則認為模糊迴歸中心線的趨勢與模糊迴歸散

佈值的趨勢可以存在不一致性為了分析統計迴歸與模糊迴歸的差異Kim

Moskowitz 及Koksalan 利用模擬分析比較統計迴歸與模糊迴歸的結果認

為由機率論所得的統計迴歸模式在大樣本時其預測績效遠比可能性理論

(Possibility theory)推演而得的模糊迴歸模式為佳然而當資料量遞減或所構

建的模式適合性變差時(即變數間存在模糊關係)則模糊迴歸模式的預測績

效將優於統計迴歸模式由於模糊迴歸模式在解決資料量少及系統關係模

糊不清的問題上具有較佳之績效而存在其正面之價值當變數間存在模

糊關係時

從早期到目前已發展出多種模糊迴歸模式求解方式以下根據薛展青

(2004)所整理的模糊迴歸分析整裡敘述如下

1 區間迴歸法

區間迴歸法(interval regression)其模型架構主要是由Tanaka et al(1982)

所提出的模糊線性迴歸(fuzzy linear regression)模型Tanaka et al(1982)所發

表的論文中表示傳統的迴歸模型中造成實際值與估計值的誤差來源被

認為是由測量或觀察所造成的而此誤差項在模糊線性迴歸模型中是因

模糊系統中參數的模糊性所產生的即誤差是反應模糊線性函數的模糊現

象因此以模糊線性函數來表示迴歸方程式而迴歸參數則是以模糊集合

來表示

Tanaka et al(1982)在估計模糊迴歸參數時是利用線性規劃技巧

(linearprogramming method)來尋求一組能將實數值樣本或模糊數樣本全部

包含的區間最後求得一組對稱三角形模糊數之迴歸參數

自Tanaka等人(1982)的文章發表之後後續的學者大多以此為基礎陸

續題出各種相關的模式與求解方法如Peters (1994)將Tanaka的線性規劃法

24

求解推廣為模糊線性規劃法求解讓資料對模糊迴歸模式的適應性更加提

升YenGhoshray 與Roig (1999)提出由於非對稱迴歸係數導因於大多數的

資料為離群值使得對稱三角迴歸係數不再適用因此將Tanaka et al的模

式推廣為非對稱三角迴歸係數Moskowitz 與Kim (1993)探討不同水準值下

模糊迴歸模式的求解與模式配適程度Redden 與Woodall (1996)探討模糊

迴歸分析預測未來值的結果Sakawa 與Yano (1992)將Tanaka的方法擴展到

依變數及自變數皆是模糊集合的情況並將之稱為多目標線性迴歸法

(multiobjective linear regression model)Koumlrner 與Naumlther (1998)討論解釋變

數與反應變數兩者皆為模糊數值的情況Kacprzyk 與Fedrizzi (1992)則蒐集

了各種不同迴歸模式的求解方法Redden 與Woodall (1994)說明Tanaka後

續提出的求解模式當中所具備的性質以及與傳統迴歸方法的差異比較

但是在此模式下求解之迴歸係數本身亦為一對稱的三角模糊數值

而且求解結果很容易受到資料尺度(scale)的影響使得反應變數估計值之展

度會變得更為寬廣後來Tanaka (1987)根據1982年的文獻發展為更完整的

可能性線性系統使模糊迴歸的結構更趨適應性Tanaka 與Watada (1988)

闡明可能性線性模式的概念推演建構成可能性線性迴歸模式Tanaka et

al(1989)應用模糊資料於可能性迴歸系統中並建構最小化最大化及混合

式三種線性規劃模式又對先前所提出的模式加以修正但就如Redden 與

Woodall (1994)所指出Tanaka 類型的模式對於離群值(outlier)的反應非常

敏感甚至在觀察值的個數增加時求解結果可能會產生無限多解因

此在Tsaur 與Wang (1999)提出的文獻對於在模糊迴歸分析中的離群值進行

一系列探討

2 模糊最小平方法

模糊最小平方法(fuzzy least squares)乃擴展傳統之最小平方法的觀念

最早由Diamond (1988)所提出利用傳統最小平方法的觀念求出一個模糊

迴歸模式以估算(approximate)反應變數的觀察值並非如區間迴歸中的包含

觀察值在其模式中利用反應變數的觀察值與估計值的模糊數值之最小

值最可能值與最大值定義兩者之間的距離以衡量迴歸模式與模糊資

料之間的最佳配適度的情形在使得所有觀察值與估計值的模糊數值之間

的距離平方總和為最小時可以導出類似傳統迴歸分析中的正規方程式

(normal equation)以求解迴歸係數

25

其後Chang 與Lee (1996)則將Diamond (1988)的方法加以擴充將迴

歸係數的最可能值與展度分別估計該方法的特點在於可將極端值(outlier)

加以處理並降低其影響程度Ma等人(1997)則將此類方法發展於適合非

三角模糊數值的場合Diamond 與Koumlrner (1997)則在此類方法中定義一

個判定係數的計算方法以比較不同模式的適合性Wu與Tseng (2002)提出

改善模糊迴歸模式之最小平方法其模式主要觀念是利用最小平方法將所

有樣本的左端點及右端點各配置一條迴歸線然後在將其左右迴歸線統合

成一條迴歸線

而在Kim 與Bishu (1998)的研究中是利用各個具有三角模糊數值的反

應變數之最小值最可能值與最大值以最小平方法分別計算出模糊迴歸

係數所得到的係數不一定為對稱的三角模糊數在此種求解方式下雖

然可以得到比較小的估計誤差但其缺點是無法處理解釋變數為模糊數的

情形另外Kim 與Bishu(1998)還提出了評估模糊迴歸模式的準則利用觀

察值與估計值歸屬函數之間面積的差異做為迴歸模式的估計誤差但其評

估準則的問題是無法比較不同模式在觀察值與估計值歸屬函數之間不具有

交集時的誤差情況在此情況下求算估計誤差時無法準確評估其總誤差而

導致評估失真而其他學者如Yang與Ko (1997)Yang 與Lin (2002)等則

是提出以最小平方法為基礎的模糊聚類分析求解方式

3 模糊隨機變數估計法

為了建構一個同時具有隨機和模糊特性的系統Kwakernaak (1978)首

先提出模糊隨機變數(fuzzy random variables)的概念認為傳統的隨機變數

U Ωrarr R為實數可測函數而模糊隨機變數則將一般隨機變數的概念廣義

化模糊隨機變數可表示為X ΩrarrS設ω isinΩ而ω 所對應到的不再是實

數值U(ω)而是模糊集合X (ω)S 代表模糊集合且Kwakernaak (1978)擴

充原來Zadeh 提出模糊集合之架構認為有時供作參考的資訊不齊全在

對某些述句進行評斷時我們無法判斷其絕對為真或絕對為假此時我

們考慮將原有的二元邏輯思維方式推廣暫且不作肯定的判決而僅是表

達出對錯的程度換句話說真值可以是介於單位區間[01] 內的任何值

如此思維方式稱之為多值邏輯(multivalued value)並將模糊集合視為一組

述句(statement)的集合且每個述句均對應一真值程度以符合人類的思維與

想法Stein 與Talati (1981)利用模糊數值的隸屬函數提出模糊隨機變數

26

的期望值之計算方式Kruse 與Meyer (1987)藉助集合表徵的概念建立了

一套模糊隨機變數的定義而為了讓模糊隨機變數能實際應用並將討論

的範圍界定在一模糊集合族上Koumlrner (1997)及Naumlther (1997)利用該方法以

求算模糊隨機變數的期望值與變異數並應用於線性模糊迴歸模式的求解

等另外在曾能芳(民 91)的博士論文研究中指出在Tanaka et al (1982)

的模糊迴歸模式中並不具備誤差項因此模式無法呈現樣本與期望值之間

的關係而無法討論線性規劃估計程序所具備的統計性質所以在曾能芳

(民 91)提出的迴歸模式中採用模糊樣本是由依變數之模糊期望值加上測量

誤差所組成並提出測量誤差存在於中點的模糊迴歸模式以及測量誤差

同時存在於中點和半徑的模糊迴歸模式

4 兩階段求解方法

以兩階段方法(two stage method)求解模糊迴歸模式的想法是在於結合

最小平方法與區間迴歸的觀念試圖降低反應變數估計值的模糊度如Savic

與Pedrycz (1991)對模糊迴歸模式的求解分為兩個步驟進行第一步以

反應變數的模糊數值之最可能數值為基礎將模糊數值視為簡化的明確數

值以傳統最小平方法求解迴歸係數的中心值第二步利用區間迴歸的

方式在使得迴歸係數的模糊度為最小的情形下以決定迴歸係數的三角

模糊數值Kao 與Chyu (2002)提出另一種模糊迴歸模式的兩階段求解方

法在第一階段先利用解模糊(defuzzification)方法將模糊觀察值轉換成為一

組明確數值之後利用該組明確數值以傳統的最小平方法求解迴歸係

數第二階段則是以Kim 與Bishu 所提之評估準則為目標式決定一個誤

差項估計值的模糊數以使得在Kim 與Bishu (1998)評估準則下的總誤差量

為最小該方法的特別之處在於求解的迴歸係數為明確數值而誤差項估計

值為模糊數值雖然此種求解方式可以得到很小的估計誤差但因其所著

眼的仍是Kim 與Bishu 評估準則下的面積估計誤差使得當觀察值與估計

值歸屬函數之間不具有交集時所衡量出的估計誤差較真實誤差為小且其

求解方法比較適合於觀察值為三角或梯形的模糊數值欲應用於其他型式

的模糊數值求解上則較為困難而在邱清爐(民 91)的博士論文中則是將

其兩階段求解方法對各種不同的模糊迴歸模式進行建構與評估並將其求

解方法應用於工作滿意度實例

5 其他求解方法與相關研究

27

Tanaka 等人(1995)後來提出另外一種模糊迴歸模式的求解方法將傳

統的估計誤差當作是存在解釋變數與反應變數之間的關係之可能性

(possibility)故模糊觀察值的展度可以直接轉換成迴歸係數的指數可能性

分配(exponentialpossibility distribution)而可以使用與傳統迴歸非常類似的

方式加以求解Tanaka與 Lee (1999)再利用辨識方法(identification method)

求解迴歸模式在其研究中利用辨識方法以決定模糊線性系統(fuzzy linear

system)中迴歸係數的可能性分配並認為由此方法所求解的迴歸係數會

有比較小範圍的可能性分配近年來有愈來愈多的學者將模糊迴歸分析

應用於其他傳統的決策方法及不同領域上如 Dunyak 與 Wunsch(2000)使

用 α 截集的端點以類神經網路(neuralnetworks)進行模糊迴歸分析Lee

與 Chen(2001)則將模糊迴歸模式使用於人力預測的問題上Tseng 等人

(2001)將由模糊迴歸模式建立之 ARIMA 模式用以預測匯率Tseng 與

Tzeng(2002)則利用模糊迴歸模式的求解方法以建構具有季節變動的

ARIMA 模式Kim 與 Bishu(1996)應用於人力可靠度分析的操作反應時間

上Wu 與 Tseng(2002)將其模糊迴歸模式應用在景氣對策信號上的分析

王景男(民 89)將模糊迴歸分析應用於籃球比賽攻防技術策略上曹勝雄

曾國雄江勁毅(民 85)以國人赴港旅客需求之預測為例說明傳統迴歸

模糊迴歸類神經網路之差別張良斌陳育民(民 86)將模糊目標迴歸法

應用在垃圾衛生掩埋場沼氣回收設備的成本估算謝邦昌林燦隆呂理

添(民 85)將模糊迴歸運用在甘蔗產量的預測對於上列有關模糊迴歸分析

的研究中絕大部份的文章均侷限於線性模式的分析鮮有文章討論非線

性模糊迴歸模式的求解最近雖然有少數學者開始討論非線性模糊迴歸模

式的解法如 Xu(1997)Buckley 與 Feuring(2000)的研究等但使用的方

法所求解的迴歸係數仍然為模糊數值其造成反應變數估計值的展度會

隨著解釋變數之數值增加而擴大的問題仍無法避免

28

第三章 研究方法

本章介紹本文將運用於數值分析中的預測研究方法利用本章建構的

方法可清楚了解如何利用混沌理論基於相空間重構的方式及模糊迴歸方

法於預測中

31 混沌時間序列建立預測方法

時間序列的模型建構和預測是資料處理研究領域中的重要方向其中

預測方法主要有線性和非線性預測方法兩種預測就是對未來作出估計和

推斷而通常要對研究對象或資料進行假設這一過程稱為建模利用建

模的方式獲得資料的科學表示就稱為模型混沌時間序列雖然看似隨機

但它卻是由確定系統產生的因此我們可以對混沌時間序列作出短期預測

同時由於混沌對初始條件微小差異的高度敏感性我們無法對混沌時間序

列作出長期預測每一步預測帶來的微小偏差都會使得下一步預測的偏差

擴大最終導致預測序列與原始序列完全不同

311李亞普諾夫指數判定資料混沌特性

進行預測前需根據 212節中提及的李亞普諾夫指數來判定資料是否

具有混沌特性最大李亞普諾夫指數是判斷和描述非線性時間序列是否為

混沌系統的重要參數因此是一個重要的混沌不變數

混沌系統中的李雅普諾夫指數可用來判斷系統是收斂的還是混沌的當系

統的李雅普諾夫指數中至少有一個為正時系統是混沌的 當系統的李雅

普諾夫指數均為負數時系統是收斂的 對於系統是否存在動力學混沌可以直觀的判斷最大李亞普諾夫指數是否

大於零一個正的李亞普諾夫指數代表著在系統相空間中無論初始兩

條軌跡的間距多小兩條軌跡的差別都會隨著時間的演化而成指數率的增

加而導致無法預測這就是混沌現象

312重建相空間

傳統的建模和預測方法己廣泛地應用社會科學中但大部分都是基於

線性系統混沌時間序列並不適用於非線性的混沌時間序列於是在判斷

時間序列性質後若判定序列以隨機性為主應採用從 AR 或 ARIMA 等隨

機模型來預測如果判定以混沌為主則應採用非線性確定性的方法進行

29

預測非線性時間序列的預報是經過相空間重構後對相空間中的動力軌

跡進行預報由於混沌系統具有被稱為「蝴蝶效應」的初始值敏感性所

以混沌時間序列是不能長期預測的但對於短時間內混沌系統的軌道在

相空間中具有一定的規律它們的預測性是可獲得的並比一般的基於統

計方法的預測能力要來得好

時間序列資料是時間離散後的樣本值用 表示將它「嵌入」到

一個 m維(mgt0)的空間中進行相空間重構後得到嵌入向量

(31)

由嵌入向量 可擴張成一嵌入空間 E由 Taken嵌入定理可知存

在映射面 滿足

(32)

上式表是出在拓樸的意義中可完全預測吸引子的特徵所以上式也可

表示為

(33)

其中函數 為 的一個估計值由式 (33)可得之我們可用

來預測

313相空間維度相關維度

在實作的研究上有許多方法可以用來估計混沌吸引子的維度本研

究選用較為常見的相關維度方法相關維度需先計算相關和將相空間中

所有樣本點皆計算其各別半徑收斂後之趨近值相關方程式（Correlation

Function）定義如下

(34)

其中

當 rrarr0時

兩邊同取對數可得

(35)

定義相關維度為 與 之曲線斜率為

(36)

在實際應用中經常給定一組維度 值選取適當的 r繪出

30

曲線求曲線當中直線段的斜率 如果系統存在這樣一個 值達到此

值後相應的關聯維數不再隨 的增長而變化也就是趨於飽和這表明

該序列為混沌系統其吸引子是存在的此時 值即為重構相空間的最佳

嵌入維數否則則表明該序列為隨機系統不具有混沌性

314 時間遞移數

利用 2123節中介紹的概念及 2124 中介紹的自相關函數求解出時

間遞移數的結果自相關函數公式如下

1

1

1( )( )

1( )

n k

t t k

tk n

t

t

x x x xn k

r

x xn

(37)

n為原資料樣本數k為時間遞移後的樣本點

將自相關係數計算的結果與每一筆遲延時間距離數值繪製成圖表可

由圖表中可分析辨別時間序列數據的初步基本特徵圖表繪製的結果顯示

自相關係數跟隨遲延時間距離數值的增加而顯示收歛且具有震盪循環之跡

象則表示數據具有一種規則屬於一混沌時間序列

32 複線性迴歸

確立資料為混沌後運用自我相關係數計算出時間遞移數及相空間維

度後將加入複線性迴歸運算複線性迴歸中常用的預測方法分為兩種

1 全域法

全域法就是利用相空間軌跡中的全部向量點做為擬合對象找出其

規律由此進行短期預測也就是說利用收集的大量的歷史資料利用

複線性迴歸訓練出迴歸參數再將未放進訓練迴歸參數的資料使用訓練

出的迴歸參數計算出預測值的資料型態本文還將原本的歷史資料分析

出資料的季節性後先去除季節性的影響最後再加回季節性討論預測結

果

2 局域法

局域法的基本原理是僅利用有限個鄰近點的資訊而不是利用全部的

樣本點來擬合 局域法預測是把相空間軌跡中的最後一點作為待測點對

離待測點鄰近的若干個相空間點的關係作出擬合再對預測相空間點的未

來演化規律進行預測本文使用零階局域法零階局域法是直接將鄰近樣

31

本點應用於預測根據鄰近樣本點預測 的最簡單的方法就是尋找相

空間中距離 最近的點假設距離最近的點是 那麼它的下一個樣本

點為 即可做為 的預測值

因數值資料在每日重複發生變動所以本研究又加入計算季節性指數

對趨勢線做季節性調整也就是對時間序列做季節性調整

33 模糊迴歸分析

運用模糊的概念帶進迴歸模式中處理具模糊性的資料問題此稱為模

糊迴歸分析本文利用的模糊迴歸模式主要有兩個方向一個是Tanaka et al

(1982)提出的模糊線性迴歸另一個是由Chang 與Lee (1994)所提出修正型

迴歸模式Tanaka 起初所提出的線性規劃模型

0 1

[ ( )]p n

j ij

j i

Min C X

st 0 0

(1 ) (1 )p p

j ij j ij ii

j j

X H c X y H e

(38)

0 0

(1 ) (1 )p p

j ij j ij ii

j j

X H c X y H e

0jc j R 0 1iX 0 1H 123i n 012j p

Tanaka 所提出的模糊模型未考慮到散度為負值的條件所以模糊上下

界會不斷的擴張而越來越寬大由 Chang 與 Lee (1994)所提出修正型迴歸

模式即將模糊的散度可為負值使上下界的模糊區間為遞減的情形遞

減的情形由圖 31表示

圖 31 模糊區間隨自變數越大而越窄

0

2

4

6

8

10

上界 中心線 下界

32

假設圖表中計算出的模糊迴歸函數為 0 0 1 1 Y c c X 模糊上界為

0 0 1 1UY c c X 模糊下界為 0 0 1 1LY c c X

33

第四章 數值分析

本章資料來源1台灣區車輛工業同業公會

2台北市交通局

本章所使用的數據資料為台北市交通局提供的公開的車流量資料數

值分析所使用的方法已在第三章論述利用第三章的方法分析數值預測的

準確性並結合模糊迴歸常見的兩種方法幫助決定預測的可接受範圍本

章介紹本文所利用的數學模型及方法在複線性迴歸的模型中分成混沌全

域法去季節性後的混沌全域法以及混沌局域法預測出的結果加以討論預

測的準確性再將預測值去季節性觀察準確程度最後再帶入模糊迴歸

利用 05H 加以討論如何將模糊迴歸中的散度用以選擇預測值的範圍第

一節針對傳統複線性迴歸方法並結合全域法觀念訓練資料迴歸係數討

論預測結果第二節針對傳統複線性迴歸方法並結合局域法觀念訓練資

料迴歸係數討論預測結果第三節針對預測資料去除季節性後再利用

傳統複線性迴歸方法討論預測結果第四節針對模糊迴歸的兩種方法選

擇出預測的範圍

利用第三章論述的時間遞移及相關維度的做法將本文利用具混沌性

的資料加以分析將資料先利用 212 節中介紹的李雅普諾夫指數 判定是

否具混沌性具有混沌性的資料才能利用混沌理論重構相空間若李雅

普諾夫指數 介在 0跟 1之間則表示資料具有混沌性質本文資料利用程

式計算出李雅普諾夫指數 運用自我相關係數判斷出時間遞移

數 相關維度計算出維度 我相關係數判斷時間遞移數與相關維

度的圖形以及原始資料時間遞移後的資料圖如圖 41圖 42圖 43

34

圖 41相空間維度及 lnC與 ln r斜率關係圖

圖 42相空間維度及 lnC與 ln r斜率關係圖

0

1

2

3

4

5

6

7

0 5 10 15 20

相空間維度

斜

率

d

-02

0

02

04

06

08

1

12

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33

時間遞移數

自我相關函數

35

圖 43 原始資料時間序列圖

41 複線性迴歸混沌全域法

本文所使用的資料為 10日的車流量資料利用前 9日的資料訓練出迴

歸參數將迴歸參數代入複線性數學模型中計算出的迴歸方程式為

1 2 3 4

5 6 7 8 9

10 11 12 13 14

435363 00819 00338 01777 00070

01116 01999 00299 02716 00349

01399 00056 01113 00738 02038

y x x x x

x x x x x

x x x x x

(41)

解出迴歸參數計算出複線性迴歸方程式後再將最後一日 144筆的車

流資料代入方程式中計算出預測值利用複線性迴歸混沌域法預測出的結

果如圖 44

圖 44 複線性迴歸分析預測與原始資料比較圖-全域法

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

1 53

10

5

157

209

26

1 31

3

365

41

7

469

52

1 57

3

625

67

7

729

78

1 83

3

885

93

7

989

10

41

1093

11

45

1197

12

49

1301

13

53

1405

原始資料點

原始資料點

-50

0

50

100

150

200

1

7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

103

109

115

121

127

133

139

實際值

預測值

36

由圖表的狀況可觀察出運用複線性迴歸模型預測的結果不盡理想本

研究認為運用複線性迴歸預測的結果不佳的原因有二

1 利用全域法預測是將較大量的歷史資料加入考慮訓練出迴歸參數這

樣的結果造成削弱了原本的奇異點(相較於同時段資料差異性較大的點)

的影響力

2 嵌入維度 太高對於混沌時間序列隨著嵌入維度增高歷史

對未來的影響是呈指數衰減的所以全域法所利用的資訊歷史就越長

預測的精準度就會迅速下降因此本研究將加入局域法討論預測的準

確性

42 複線性迴歸混沌局域法

局域法的做法為尋找相空間重構後的點對待測點尋找鄰近的 k個相

空間點對離待測點鄰近的若 k個相空間點的關係作出擬合並分析出複

迴歸方程式的迴歸參數本文嘗試選取 k=50~250的結果以下只列舉 k=200

的圖解釋預測結果

圖 45 複線性迴歸分析預測與原始資料比較圖-局域法(k=200)

圖 44與圖 45比較後可看出區域法預測的準確性比全域法更好某

些預測出來的結果的點與原始資料的點差異性大有明顯的偏移本研究

認為利用局域法預測的結果不佳的原因如下由圖 45可看出預測結果與

原始資料間差異性較大的點位為數列的右側 而數列尾端的資料為凌晨或

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

1

7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

103

109

115

121

127

133

139

實際值

估計值

37

是深夜的車流量因每日凌晨或是深夜的車流量變化量較少(例如某日的凌

晨十二點十分可能為 0台車或是小於 10台車經過)所以資料的差異性

較大造成頭尾的資料預測上較為不準確

因為同時段的資料可能會影響資料預測出的結果所以我們下節就以

加入季節性的考慮來加以討論預測結果

43 複線性迴歸去除季節性後混沌全域法

本文使用的車流量資料為每日 24時換算成 1440分鐘每 10分鐘記

錄一點於是本研究依資料的記錄時間點來劃分季節性將季節分成 144

個季分別求出季節性指數求取季節性指數後將每個資料點先去除季

節性利用全域法訓練出去季節性後的迴歸係數再利用複線性求出預測

值最後將去除的季節指數乘回預測點結果如下

圖 46考慮季節性複線性迴歸分析預測與原始資料比較圖-全域法

此考慮季節性因子的複線性迴歸分析預測與原始資料的比較是用全

域法去訓練迴歸參數的而由圖 44我們可以得知一開始未考慮季節因

子使用全域法的複線性迴歸預測是不準確的本研究認為原本的歷史資

料隨著季節性因子的變化該系統原本呈現複雜的動態特性實際上由於

車流量的變動有許多外在因素的影響例如氣候假期hellip等影響會使

資料的變化過程發生不同程度的偏離而對於季節性事件來說其事件發

生的過程主要受季節性參數週期性變化的影響 因此影響因素的具體形

式可以近似地表示為單一函數本文考慮季節因素對車流量的影響意即

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

1

7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

10

3

10

9

11

5

12

1

12

7

13

3

13

9 實際值

預測值

38

經過季節性分析後的得到的預測分析結果很準確如圖 46所示此結果

表示季節性影響樣本資料的情形大也代表著在季節因素影響下系統中

事件的動態變化情況是隨著季節影響參數的變化而造成系統呈現各種

各樣複雜的動態特性如週期解混沌情形hellip等

44 模糊迴歸

441Tanaka模糊迴歸

μ及 H 值之選定原則為當不確定性愈大時其 μ及 H 值愈接近 0

反之當資料不確定性愈小時μ及 H 值取愈接近 1 之值Bardossy 等人

建議其值在 05~07間為適宜根據 Tanaka在 1982年所提到的方法我們

可以求得一模糊迴歸函數並可得知其中心線與其上界及下界假定在 H =

05的情況下利用 Tanaka模糊迴歸模式算出迴歸函數為

(42)

中心線與上下界的簡單迴歸方程式為

中心線 (43)

上界 (44)

下界 (45)

繪製出的圖形如圖 47所示

圖 47 Tanaka 模糊迴歸

0

50

100

150

200

250

300

1

7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

103

109

115

121

127

133

139

下界

中心線

上界

39

圖 48 Tanaka 模糊迴歸中心線與預測值之結合

從圖 48可看出預測值與模糊迴歸的中心線 有明顯的時間差異但由

圖可以觀察出模糊迴歸的中心線 的預測趨勢與實際值是相近的雖然利

用模糊迴歸預測的時間點比實際時間快但是相對來說也是可以用來預

測之後將發生的趨勢本研究認為若模糊迴歸可用於預測中則可用模糊

的散度 c當做預測行為中選取的可接受的變動範圍如圖 49最後將 Tanaka

模糊迴歸中心線上下界與實際值之結合如圖 410所示

圖 49 Tanaka 模糊迴歸中心線上下界與實際值之結合

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

1

8

15

22

29

36

43

50

57

64

71

78

85

92

99

106

113

120

127

134

141

實際值

中心線

0

50

100

150

200

250

300

1

7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

103

109

115

121

127

133

139

實際值

下界

上界

預測

值

預測值

40

圖 410 Tanaka 模糊迴歸中心線上下界與實際值之結合

442修正型 Tanaka模糊迴歸

因為我們要將模糊迴歸應用於預測中所以本研究將複線性迴歸的趨

勢線視為模糊迴歸的中心線再利用修正型 Tanaka模糊迴歸模式算出迴歸

函數為

(46)

中心線與上下界的簡單迴歸方程式為

中心線

上界

下界

繪製出圖形如圖 411

0

50

100

150

200

250

300

1 7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

103

109

115

121

127

133

139

實際值

預測值

下界

上界

41

圖 411 修正型模糊迴歸中心線上下界與實際值之結合

本研究使用的修正型模糊迴歸中心線與傳統的迴歸方程式相同所以

可用來處理或分析模糊資料與明確資料同時修正型模糊迴歸的上下界

與 Tanaka 模糊迴歸相較也變窄了此兩種現象就是修正型迴歸的特色因

為中心線與傳統的迴歸方程式也相同這種修正型迴歸散度可選擇為負值

的特色本研究認為可以應用在預測上因為上下界與中心線間的散度變

窄使得前文所敘述到的利用散度來選取預測範圍便可更為嚴格也可

使預測的結果更為可靠如圖 412所示

圖 412 Tanaka 上下界與修正型模糊迴歸上下界的寬度差別

0

50

100

150

200

250

1 7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

103

109

115

121

127

133

139

下界

中心線

上界

0

50

100

150

200

250

300

1 8 15

22

29

36

43

50

57

64

71

78

85

92

99

106

113

120

127

134

141

Tanaka下界

Tanaka上界

Tanaka修正型下界

Tanaka修正型上界

42

第五章 結論及未來研究方向

51 結論

根據前文的討論傳統迴歸和模糊迴歸建立在不同的理論基礎上傳

統迴歸是以機率為基礎而模糊迴歸則是以可能性為基礎傳統迴歸因變

數的估計值與觀測值之間的差異為因變數的隨機性而模糊迴歸因變數的

估計值則產生於觀測值之模糊度惟兩者最大不同處在於模糊迴歸式的

迴歸係數與預測值皆為模糊數（區間值）不同於傳統迴歸係數與預測值

均為明確的數值此外傳統迴歸侷限於對明確資料的分析可能性模糊

迴歸僅適用於分析具模糊性的資料而複合的模糊迴歸則可同時適用於分

析模糊與明確的資料此為此模式最大的特點

模糊迴歸應用於預測中大多的結果是不佳的但是我們透過結合混

沌與模糊迴歸的概念將混沌的預測單點概念拓展成一個可接受的預測

範圍

PT Chang 與ES Lee 使用修正型模糊迴歸重新定義散度做出新的

模糊上下界均為改善模糊迴歸模式Tanaka之研究本研究將模糊迴歸與

混沌理論之建立時間序列的預測情形加以結合討論發現模糊迴歸在預測

的行為中是可行的但可惜的是即使預測的趨勢相近但預測值出時間

的點卻有差別這樣的結果我們可以看出若能找到解決加強模糊與複線性

迴歸關係之間時間的關聯性就能利用模糊的不確定性來討論預測問題

52 未來之研究方向

本研究將模糊迴歸與混沌理論之建立時間序列的預測情形加以結合討

論發現模糊迴歸在預測的行為中是可行的但可惜的是即使預測的趨

勢相近但預測值出時間的點卻有差別這樣的結果我們可以看出若能找

到解決加強模糊與附線性迴歸關係之間時間的關聯性就能利用模糊的不

確定性來討論預測問題

為了符合現今社會多元的狀況模糊迴歸與傳統迴歸之觀念勢必加以

混合應用也為了解決此等問題混合式迴歸（Hybrid Regression）在近年

來被提起也因此參數的估計模糊迴歸與傳統迴歸的混合應用將成

為往後繼續研究探討之目標

建議未來可用模糊加權修正模糊迴歸使模糊迴歸在預測上更能直接

43

將對事物多個構面評估的意見與其影響事物狀況的重要程度作加權的運

算

44

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19

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 1 1 2 2

1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 2 1 2 1 2 1 2

[ ] [ ] [min( )max( )]a a a a a a a a

A B a a b bb b b b b b b b

式中 ( )

1b ( )

2b gt0forallαisin[01] (224)

235模糊運算

根據 Zadeh（1965）的擴展原理（Extension Principle）可以廣義的使

用一般基準 T取代原來的最小值模糊數的數學運算表示如下

1 加法

( )( ) sup ( ( ) ( ))x y z

A B z T A x B y

(225)

2 減法

( )( ) sup ( ( ) ( ))x y z

A B z T A x B y

(226)

3 乘法

( )( ) sup ( ( ) ( ))x y z

A B z T A x B y

(227)

4 除法

( )( ) sup ( ( ) ( ))x y z

A B z T A x B y

(228)

24 模糊迴歸

在科學研究過程中許多研究者常使用迴歸來描述自變數 x和應變數 Y

之間的關係傳統的迴歸分析均假設觀察值由實際應變數影響加上隨機誤

差而產生也就是說應變數是一種帶有不確定性的隨機變數不過在很

多的實務應用上往往無法滿足這樣的假設例如有些應變數 Y 的觀察值

並不是以單一數值的型式存在而是帶有多重隸屬的特性這些觀察值雖

然帶有不確定性但這種不確定的特性是來自於模糊現象而非隨機現象

若由模糊觀點套用迴歸分析來處理模糊資料問題就稱為模糊迴歸分析

模糊迴歸分析最早是由 Tanaka et al (1980) 提出一般模糊迴歸能夠處理的

樣本型式有兩種一種是實數值樣本 其中 為實數向量 為觀測

到的實數值另一種是模糊數樣本( 其中 為觀測到的模糊數不論

是實數值樣本或是模糊數樣本想要估計模糊迴歸參數估計方法大都是

20

利用線性規劃的技巧來尋求一組能將實數值樣本 或模糊數樣本(

包含在內的區間再將三角形隸屬函數（triangular membership function）套

用

在此區間上如此便求得一組模糊迴歸估計式要得到正確的估計結

果最好是收集具有代表性的隸屬函數樣本所謂具有代表性的隸屬函數

樣本應該是以模糊數的形式存在所以本文就樣本模糊數 進行討論

線性模糊迴歸模式常表示成

0 1 1 2 2( ) i i i p piY x A A x A x A x (229)

其中 1 2 3(1 ) i i i i p ix x x x x 為自變數向量 ( )iY x 為模糊應變數

為模糊參數利用樣本模糊數 估計參數 時通

常假設 與 的隸屬函數為對稱三角型式 與 的隸屬函數表達如下

( ) max 1 0 i

i

Y

i

t yt t

r

(230)

其中 為三角隸屬函數的中點 為三角隸屬函數的分布半徑可令

( ) max 1 0 m

m

A

m

t ct t

s

(231)

其中 為三角形的中點 是三角形的分布半徑 與 間的關係

如圖 23所示

圖 23模糊數的中心值與散佈值

1

0

21

再令 則前述的模糊迴歸方程式可改寫成

0 1 1 2 20 1 2( ) i i ipi p pY x x xC S xC S C S C S (232)

因此模糊應變數 ( )iY x 的隸屬函數也屬於三角型式可表示成

( )

0

0

( ) max 1 0 Y xi

p

m m

m

p

m mi

m

t c x

t t

S x

(233)

其中 因此只要估計出三角形的中點 及半徑 便可得到

隸屬函數的估計值模糊迴歸分析是在要求每一個觀測值 隸屬於模糊

迴歸區間的隸屬程度至少 的情況之下尋求最小的模糊迴歸預測區間如

(234)式表示

forall ( 234)

在利用 對未知的模糊參數 進行估計前一般先定

義模糊樣本 和模糊應變數 的 h截集其定義如下

令 為一組模糊樣本 ( )iY x 為模糊應變數若 與

分

別為 及 的 h截集(h-cut)則

(235)

(236)

因具代表性的樣本 其 h 截集 應要盡量接近模糊應變數 的 h

截集 意即

其中容許

不完全落在 之

內的情形發生根據以上觀點王景南(2002)認為樣本的左端點

和右端點 隸屬於 的程度會有一定的水準於是設立此水準

為 H因此假設 隸屬於 的隸屬度會盡量的接近 H其間的關係

為

( 與

( (237)

所謂的盡量接近 H是可允許隸屬度大於 H或小於 H而不是均大於

22

H

根據以上的對樣本的解釋運用最小平方法以所有樣本的左端點

配置一迴歸直線稱之為左端直線估計式

(238)

其中 為迴歸係數再以所有右端點 配置右端

直線估計式

(239)

其中 為迴歸係數

前文已假設樣本的左右端點隸屬於 的隸屬度會盡量的接近 H所

以將這兩條直線函式來估計 之 H截集的左右邊界即

(240)

如此可推導出 的隸屬函數為

(241)

其中 且

(242)

意即

(243)

其中

為三角形底邊中點是

分布半徑如此便可得一組估

計的模糊迴歸模式

(244)

仍需注意的是當樣本為對稱型態時左右迴歸函數式其配適的結果式

相同的只有常數項不同當對稱情形發生時可以考慮利用各別對應相

之權重除以常數項的分布半徑做為個別對應項之分布半徑意即

分布半徑

除此之外Celmins及Diamond Celmins也分別提出最小平方法之模糊迴

23

歸模式以便求解資料間距離最小的模糊迴歸方程

模糊迴歸應用上比統計迴歸更具彈性統計迴歸通常需要大量資料以

支持其假設而模糊迴歸卻無此需求因此當資料量不足或隨機性難以驗

證時模糊迴歸是較強健的(Robust)同時當所蒐集之資料的不確定性乃

來自於人類之主觀判斷時模糊迴歸較具適用性

因此模糊迴歸模式逐漸受到重視在1990年代的研究包括Sakawa及

Yano針對投入變數與輸出變數皆為模糊資料的問題建構出一個多目標的模

糊迴歸模式此外Chang和Lee則認為模糊迴歸中心線的趨勢與模糊迴歸散

佈值的趨勢可以存在不一致性為了分析統計迴歸與模糊迴歸的差異Kim

Moskowitz 及Koksalan 利用模擬分析比較統計迴歸與模糊迴歸的結果認

為由機率論所得的統計迴歸模式在大樣本時其預測績效遠比可能性理論

(Possibility theory)推演而得的模糊迴歸模式為佳然而當資料量遞減或所構

建的模式適合性變差時(即變數間存在模糊關係)則模糊迴歸模式的預測績

效將優於統計迴歸模式由於模糊迴歸模式在解決資料量少及系統關係模

糊不清的問題上具有較佳之績效而存在其正面之價值當變數間存在模

糊關係時

從早期到目前已發展出多種模糊迴歸模式求解方式以下根據薛展青

(2004)所整理的模糊迴歸分析整裡敘述如下

1 區間迴歸法

區間迴歸法(interval regression)其模型架構主要是由Tanaka et al(1982)

所提出的模糊線性迴歸(fuzzy linear regression)模型Tanaka et al(1982)所發

表的論文中表示傳統的迴歸模型中造成實際值與估計值的誤差來源被

認為是由測量或觀察所造成的而此誤差項在模糊線性迴歸模型中是因

模糊系統中參數的模糊性所產生的即誤差是反應模糊線性函數的模糊現

象因此以模糊線性函數來表示迴歸方程式而迴歸參數則是以模糊集合

來表示

Tanaka et al(1982)在估計模糊迴歸參數時是利用線性規劃技巧

(linearprogramming method)來尋求一組能將實數值樣本或模糊數樣本全部

包含的區間最後求得一組對稱三角形模糊數之迴歸參數

自Tanaka等人(1982)的文章發表之後後續的學者大多以此為基礎陸

續題出各種相關的模式與求解方法如Peters (1994)將Tanaka的線性規劃法

24

求解推廣為模糊線性規劃法求解讓資料對模糊迴歸模式的適應性更加提

升YenGhoshray 與Roig (1999)提出由於非對稱迴歸係數導因於大多數的

資料為離群值使得對稱三角迴歸係數不再適用因此將Tanaka et al的模

式推廣為非對稱三角迴歸係數Moskowitz 與Kim (1993)探討不同水準值下

模糊迴歸模式的求解與模式配適程度Redden 與Woodall (1996)探討模糊

迴歸分析預測未來值的結果Sakawa 與Yano (1992)將Tanaka的方法擴展到

依變數及自變數皆是模糊集合的情況並將之稱為多目標線性迴歸法

(multiobjective linear regression model)Koumlrner 與Naumlther (1998)討論解釋變

數與反應變數兩者皆為模糊數值的情況Kacprzyk 與Fedrizzi (1992)則蒐集

了各種不同迴歸模式的求解方法Redden 與Woodall (1994)說明Tanaka後

續提出的求解模式當中所具備的性質以及與傳統迴歸方法的差異比較

但是在此模式下求解之迴歸係數本身亦為一對稱的三角模糊數值

而且求解結果很容易受到資料尺度(scale)的影響使得反應變數估計值之展

度會變得更為寬廣後來Tanaka (1987)根據1982年的文獻發展為更完整的

可能性線性系統使模糊迴歸的結構更趨適應性Tanaka 與Watada (1988)

闡明可能性線性模式的概念推演建構成可能性線性迴歸模式Tanaka et

al(1989)應用模糊資料於可能性迴歸系統中並建構最小化最大化及混合

式三種線性規劃模式又對先前所提出的模式加以修正但就如Redden 與

Woodall (1994)所指出Tanaka 類型的模式對於離群值(outlier)的反應非常

敏感甚至在觀察值的個數增加時求解結果可能會產生無限多解因

此在Tsaur 與Wang (1999)提出的文獻對於在模糊迴歸分析中的離群值進行

一系列探討

2 模糊最小平方法

模糊最小平方法(fuzzy least squares)乃擴展傳統之最小平方法的觀念

最早由Diamond (1988)所提出利用傳統最小平方法的觀念求出一個模糊

迴歸模式以估算(approximate)反應變數的觀察值並非如區間迴歸中的包含

觀察值在其模式中利用反應變數的觀察值與估計值的模糊數值之最小

值最可能值與最大值定義兩者之間的距離以衡量迴歸模式與模糊資

料之間的最佳配適度的情形在使得所有觀察值與估計值的模糊數值之間

的距離平方總和為最小時可以導出類似傳統迴歸分析中的正規方程式

(normal equation)以求解迴歸係數

25

其後Chang 與Lee (1996)則將Diamond (1988)的方法加以擴充將迴

歸係數的最可能值與展度分別估計該方法的特點在於可將極端值(outlier)

加以處理並降低其影響程度Ma等人(1997)則將此類方法發展於適合非

三角模糊數值的場合Diamond 與Koumlrner (1997)則在此類方法中定義一

個判定係數的計算方法以比較不同模式的適合性Wu與Tseng (2002)提出

改善模糊迴歸模式之最小平方法其模式主要觀念是利用最小平方法將所

有樣本的左端點及右端點各配置一條迴歸線然後在將其左右迴歸線統合

成一條迴歸線

而在Kim 與Bishu (1998)的研究中是利用各個具有三角模糊數值的反

應變數之最小值最可能值與最大值以最小平方法分別計算出模糊迴歸

係數所得到的係數不一定為對稱的三角模糊數在此種求解方式下雖

然可以得到比較小的估計誤差但其缺點是無法處理解釋變數為模糊數的

情形另外Kim 與Bishu(1998)還提出了評估模糊迴歸模式的準則利用觀

察值與估計值歸屬函數之間面積的差異做為迴歸模式的估計誤差但其評

估準則的問題是無法比較不同模式在觀察值與估計值歸屬函數之間不具有

交集時的誤差情況在此情況下求算估計誤差時無法準確評估其總誤差而

導致評估失真而其他學者如Yang與Ko (1997)Yang 與Lin (2002)等則

是提出以最小平方法為基礎的模糊聚類分析求解方式

3 模糊隨機變數估計法

為了建構一個同時具有隨機和模糊特性的系統Kwakernaak (1978)首

先提出模糊隨機變數(fuzzy random variables)的概念認為傳統的隨機變數

U Ωrarr R為實數可測函數而模糊隨機變數則將一般隨機變數的概念廣義

化模糊隨機變數可表示為X ΩrarrS設ω isinΩ而ω 所對應到的不再是實

數值U(ω)而是模糊集合X (ω)S 代表模糊集合且Kwakernaak (1978)擴

充原來Zadeh 提出模糊集合之架構認為有時供作參考的資訊不齊全在

對某些述句進行評斷時我們無法判斷其絕對為真或絕對為假此時我

們考慮將原有的二元邏輯思維方式推廣暫且不作肯定的判決而僅是表

達出對錯的程度換句話說真值可以是介於單位區間[01] 內的任何值

如此思維方式稱之為多值邏輯(multivalued value)並將模糊集合視為一組

述句(statement)的集合且每個述句均對應一真值程度以符合人類的思維與

想法Stein 與Talati (1981)利用模糊數值的隸屬函數提出模糊隨機變數

26

的期望值之計算方式Kruse 與Meyer (1987)藉助集合表徵的概念建立了

一套模糊隨機變數的定義而為了讓模糊隨機變數能實際應用並將討論

的範圍界定在一模糊集合族上Koumlrner (1997)及Naumlther (1997)利用該方法以

求算模糊隨機變數的期望值與變異數並應用於線性模糊迴歸模式的求解

等另外在曾能芳(民 91)的博士論文研究中指出在Tanaka et al (1982)

的模糊迴歸模式中並不具備誤差項因此模式無法呈現樣本與期望值之間

的關係而無法討論線性規劃估計程序所具備的統計性質所以在曾能芳

(民 91)提出的迴歸模式中採用模糊樣本是由依變數之模糊期望值加上測量

誤差所組成並提出測量誤差存在於中點的模糊迴歸模式以及測量誤差

同時存在於中點和半徑的模糊迴歸模式

4 兩階段求解方法

以兩階段方法(two stage method)求解模糊迴歸模式的想法是在於結合

最小平方法與區間迴歸的觀念試圖降低反應變數估計值的模糊度如Savic

與Pedrycz (1991)對模糊迴歸模式的求解分為兩個步驟進行第一步以

反應變數的模糊數值之最可能數值為基礎將模糊數值視為簡化的明確數

值以傳統最小平方法求解迴歸係數的中心值第二步利用區間迴歸的

方式在使得迴歸係數的模糊度為最小的情形下以決定迴歸係數的三角

模糊數值Kao 與Chyu (2002)提出另一種模糊迴歸模式的兩階段求解方

法在第一階段先利用解模糊(defuzzification)方法將模糊觀察值轉換成為一

組明確數值之後利用該組明確數值以傳統的最小平方法求解迴歸係

數第二階段則是以Kim 與Bishu 所提之評估準則為目標式決定一個誤

差項估計值的模糊數以使得在Kim 與Bishu (1998)評估準則下的總誤差量

為最小該方法的特別之處在於求解的迴歸係數為明確數值而誤差項估計

值為模糊數值雖然此種求解方式可以得到很小的估計誤差但因其所著

眼的仍是Kim 與Bishu 評估準則下的面積估計誤差使得當觀察值與估計

值歸屬函數之間不具有交集時所衡量出的估計誤差較真實誤差為小且其

求解方法比較適合於觀察值為三角或梯形的模糊數值欲應用於其他型式

的模糊數值求解上則較為困難而在邱清爐(民 91)的博士論文中則是將

其兩階段求解方法對各種不同的模糊迴歸模式進行建構與評估並將其求

解方法應用於工作滿意度實例

5 其他求解方法與相關研究

27

Tanaka 等人(1995)後來提出另外一種模糊迴歸模式的求解方法將傳

統的估計誤差當作是存在解釋變數與反應變數之間的關係之可能性

(possibility)故模糊觀察值的展度可以直接轉換成迴歸係數的指數可能性

分配(exponentialpossibility distribution)而可以使用與傳統迴歸非常類似的

方式加以求解Tanaka與 Lee (1999)再利用辨識方法(identification method)

求解迴歸模式在其研究中利用辨識方法以決定模糊線性系統(fuzzy linear

system)中迴歸係數的可能性分配並認為由此方法所求解的迴歸係數會

有比較小範圍的可能性分配近年來有愈來愈多的學者將模糊迴歸分析

應用於其他傳統的決策方法及不同領域上如 Dunyak 與 Wunsch(2000)使

用 α 截集的端點以類神經網路(neuralnetworks)進行模糊迴歸分析Lee

與 Chen(2001)則將模糊迴歸模式使用於人力預測的問題上Tseng 等人

(2001)將由模糊迴歸模式建立之 ARIMA 模式用以預測匯率Tseng 與

Tzeng(2002)則利用模糊迴歸模式的求解方法以建構具有季節變動的

ARIMA 模式Kim 與 Bishu(1996)應用於人力可靠度分析的操作反應時間

上Wu 與 Tseng(2002)將其模糊迴歸模式應用在景氣對策信號上的分析

王景男(民 89)將模糊迴歸分析應用於籃球比賽攻防技術策略上曹勝雄

曾國雄江勁毅(民 85)以國人赴港旅客需求之預測為例說明傳統迴歸

模糊迴歸類神經網路之差別張良斌陳育民(民 86)將模糊目標迴歸法

應用在垃圾衛生掩埋場沼氣回收設備的成本估算謝邦昌林燦隆呂理

添(民 85)將模糊迴歸運用在甘蔗產量的預測對於上列有關模糊迴歸分析

的研究中絕大部份的文章均侷限於線性模式的分析鮮有文章討論非線

性模糊迴歸模式的求解最近雖然有少數學者開始討論非線性模糊迴歸模

式的解法如 Xu(1997)Buckley 與 Feuring(2000)的研究等但使用的方

法所求解的迴歸係數仍然為模糊數值其造成反應變數估計值的展度會

隨著解釋變數之數值增加而擴大的問題仍無法避免

28

第三章 研究方法

本章介紹本文將運用於數值分析中的預測研究方法利用本章建構的

方法可清楚了解如何利用混沌理論基於相空間重構的方式及模糊迴歸方

法於預測中

31 混沌時間序列建立預測方法

時間序列的模型建構和預測是資料處理研究領域中的重要方向其中

預測方法主要有線性和非線性預測方法兩種預測就是對未來作出估計和

推斷而通常要對研究對象或資料進行假設這一過程稱為建模利用建

模的方式獲得資料的科學表示就稱為模型混沌時間序列雖然看似隨機

但它卻是由確定系統產生的因此我們可以對混沌時間序列作出短期預測

同時由於混沌對初始條件微小差異的高度敏感性我們無法對混沌時間序

列作出長期預測每一步預測帶來的微小偏差都會使得下一步預測的偏差

擴大最終導致預測序列與原始序列完全不同

311李亞普諾夫指數判定資料混沌特性

進行預測前需根據 212節中提及的李亞普諾夫指數來判定資料是否

具有混沌特性最大李亞普諾夫指數是判斷和描述非線性時間序列是否為

混沌系統的重要參數因此是一個重要的混沌不變數

混沌系統中的李雅普諾夫指數可用來判斷系統是收斂的還是混沌的當系

統的李雅普諾夫指數中至少有一個為正時系統是混沌的 當系統的李雅

普諾夫指數均為負數時系統是收斂的 對於系統是否存在動力學混沌可以直觀的判斷最大李亞普諾夫指數是否

大於零一個正的李亞普諾夫指數代表著在系統相空間中無論初始兩

條軌跡的間距多小兩條軌跡的差別都會隨著時間的演化而成指數率的增

加而導致無法預測這就是混沌現象

312重建相空間

傳統的建模和預測方法己廣泛地應用社會科學中但大部分都是基於

線性系統混沌時間序列並不適用於非線性的混沌時間序列於是在判斷

時間序列性質後若判定序列以隨機性為主應採用從 AR 或 ARIMA 等隨

機模型來預測如果判定以混沌為主則應採用非線性確定性的方法進行

29

預測非線性時間序列的預報是經過相空間重構後對相空間中的動力軌

跡進行預報由於混沌系統具有被稱為「蝴蝶效應」的初始值敏感性所

以混沌時間序列是不能長期預測的但對於短時間內混沌系統的軌道在

相空間中具有一定的規律它們的預測性是可獲得的並比一般的基於統

計方法的預測能力要來得好

時間序列資料是時間離散後的樣本值用 表示將它「嵌入」到

一個 m維(mgt0)的空間中進行相空間重構後得到嵌入向量

(31)

由嵌入向量 可擴張成一嵌入空間 E由 Taken嵌入定理可知存

在映射面 滿足

(32)

上式表是出在拓樸的意義中可完全預測吸引子的特徵所以上式也可

表示為

(33)

其中函數 為 的一個估計值由式 (33)可得之我們可用

來預測

313相空間維度相關維度

在實作的研究上有許多方法可以用來估計混沌吸引子的維度本研

究選用較為常見的相關維度方法相關維度需先計算相關和將相空間中

所有樣本點皆計算其各別半徑收斂後之趨近值相關方程式（Correlation

Function）定義如下

(34)

其中

當 rrarr0時

兩邊同取對數可得

(35)

定義相關維度為 與 之曲線斜率為

(36)

在實際應用中經常給定一組維度 值選取適當的 r繪出

30

曲線求曲線當中直線段的斜率 如果系統存在這樣一個 值達到此

值後相應的關聯維數不再隨 的增長而變化也就是趨於飽和這表明

該序列為混沌系統其吸引子是存在的此時 值即為重構相空間的最佳

嵌入維數否則則表明該序列為隨機系統不具有混沌性

314 時間遞移數

利用 2123節中介紹的概念及 2124 中介紹的自相關函數求解出時

間遞移數的結果自相關函數公式如下

1

1

1( )( )

1( )

n k

t t k

tk n

t

t

x x x xn k

r

x xn

(37)

n為原資料樣本數k為時間遞移後的樣本點

將自相關係數計算的結果與每一筆遲延時間距離數值繪製成圖表可

由圖表中可分析辨別時間序列數據的初步基本特徵圖表繪製的結果顯示

自相關係數跟隨遲延時間距離數值的增加而顯示收歛且具有震盪循環之跡

象則表示數據具有一種規則屬於一混沌時間序列

32 複線性迴歸

確立資料為混沌後運用自我相關係數計算出時間遞移數及相空間維

度後將加入複線性迴歸運算複線性迴歸中常用的預測方法分為兩種

1 全域法

全域法就是利用相空間軌跡中的全部向量點做為擬合對象找出其

規律由此進行短期預測也就是說利用收集的大量的歷史資料利用

複線性迴歸訓練出迴歸參數再將未放進訓練迴歸參數的資料使用訓練

出的迴歸參數計算出預測值的資料型態本文還將原本的歷史資料分析

出資料的季節性後先去除季節性的影響最後再加回季節性討論預測結

果

2 局域法

局域法的基本原理是僅利用有限個鄰近點的資訊而不是利用全部的

樣本點來擬合 局域法預測是把相空間軌跡中的最後一點作為待測點對

離待測點鄰近的若干個相空間點的關係作出擬合再對預測相空間點的未

來演化規律進行預測本文使用零階局域法零階局域法是直接將鄰近樣

31

本點應用於預測根據鄰近樣本點預測 的最簡單的方法就是尋找相

空間中距離 最近的點假設距離最近的點是 那麼它的下一個樣本

點為 即可做為 的預測值

因數值資料在每日重複發生變動所以本研究又加入計算季節性指數

對趨勢線做季節性調整也就是對時間序列做季節性調整

33 模糊迴歸分析

運用模糊的概念帶進迴歸模式中處理具模糊性的資料問題此稱為模

糊迴歸分析本文利用的模糊迴歸模式主要有兩個方向一個是Tanaka et al

(1982)提出的模糊線性迴歸另一個是由Chang 與Lee (1994)所提出修正型

迴歸模式Tanaka 起初所提出的線性規劃模型

0 1

[ ( )]p n

j ij

j i

Min C X

st 0 0

(1 ) (1 )p p

j ij j ij ii

j j

X H c X y H e

(38)

0 0

(1 ) (1 )p p

j ij j ij ii

j j

X H c X y H e

0jc j R 0 1iX 0 1H 123i n 012j p

Tanaka 所提出的模糊模型未考慮到散度為負值的條件所以模糊上下

界會不斷的擴張而越來越寬大由 Chang 與 Lee (1994)所提出修正型迴歸

模式即將模糊的散度可為負值使上下界的模糊區間為遞減的情形遞

減的情形由圖 31表示

圖 31 模糊區間隨自變數越大而越窄

0

2

4

6

8

10

上界 中心線 下界

32

假設圖表中計算出的模糊迴歸函數為 0 0 1 1 Y c c X 模糊上界為

0 0 1 1UY c c X 模糊下界為 0 0 1 1LY c c X

33

第四章 數值分析

本章資料來源1台灣區車輛工業同業公會

2台北市交通局

本章所使用的數據資料為台北市交通局提供的公開的車流量資料數

值分析所使用的方法已在第三章論述利用第三章的方法分析數值預測的

準確性並結合模糊迴歸常見的兩種方法幫助決定預測的可接受範圍本

章介紹本文所利用的數學模型及方法在複線性迴歸的模型中分成混沌全

域法去季節性後的混沌全域法以及混沌局域法預測出的結果加以討論預

測的準確性再將預測值去季節性觀察準確程度最後再帶入模糊迴歸

利用 05H 加以討論如何將模糊迴歸中的散度用以選擇預測值的範圍第

一節針對傳統複線性迴歸方法並結合全域法觀念訓練資料迴歸係數討

論預測結果第二節針對傳統複線性迴歸方法並結合局域法觀念訓練資

料迴歸係數討論預測結果第三節針對預測資料去除季節性後再利用

傳統複線性迴歸方法討論預測結果第四節針對模糊迴歸的兩種方法選

擇出預測的範圍

利用第三章論述的時間遞移及相關維度的做法將本文利用具混沌性

的資料加以分析將資料先利用 212 節中介紹的李雅普諾夫指數 判定是

否具混沌性具有混沌性的資料才能利用混沌理論重構相空間若李雅

普諾夫指數 介在 0跟 1之間則表示資料具有混沌性質本文資料利用程

式計算出李雅普諾夫指數 運用自我相關係數判斷出時間遞移

數 相關維度計算出維度 我相關係數判斷時間遞移數與相關維

度的圖形以及原始資料時間遞移後的資料圖如圖 41圖 42圖 43

34

圖 41相空間維度及 lnC與 ln r斜率關係圖

圖 42相空間維度及 lnC與 ln r斜率關係圖

0

1

2

3

4

5

6

7

0 5 10 15 20

相空間維度

斜

率

d

-02

0

02

04

06

08

1

12

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33

時間遞移數

自我相關函數

35

圖 43 原始資料時間序列圖

41 複線性迴歸混沌全域法

本文所使用的資料為 10日的車流量資料利用前 9日的資料訓練出迴

歸參數將迴歸參數代入複線性數學模型中計算出的迴歸方程式為

1 2 3 4

5 6 7 8 9

10 11 12 13 14

435363 00819 00338 01777 00070

01116 01999 00299 02716 00349

01399 00056 01113 00738 02038

y x x x x

x x x x x

x x x x x

(41)

解出迴歸參數計算出複線性迴歸方程式後再將最後一日 144筆的車

流資料代入方程式中計算出預測值利用複線性迴歸混沌域法預測出的結

果如圖 44

圖 44 複線性迴歸分析預測與原始資料比較圖-全域法

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

1 53

10

5

157

209

26

1 31

3

365

41

7

469

52

1 57

3

625

67

7

729

78

1 83

3

885

93

7

989

10

41

1093

11

45

1197

12

49

1301

13

53

1405

原始資料點

原始資料點

-50

0

50

100

150

200

1

7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

103

109

115

121

127

133

139

實際值

預測值

36

由圖表的狀況可觀察出運用複線性迴歸模型預測的結果不盡理想本

研究認為運用複線性迴歸預測的結果不佳的原因有二

1 利用全域法預測是將較大量的歷史資料加入考慮訓練出迴歸參數這

樣的結果造成削弱了原本的奇異點(相較於同時段資料差異性較大的點)

的影響力

2 嵌入維度 太高對於混沌時間序列隨著嵌入維度增高歷史

對未來的影響是呈指數衰減的所以全域法所利用的資訊歷史就越長

預測的精準度就會迅速下降因此本研究將加入局域法討論預測的準

確性

42 複線性迴歸混沌局域法

局域法的做法為尋找相空間重構後的點對待測點尋找鄰近的 k個相

空間點對離待測點鄰近的若 k個相空間點的關係作出擬合並分析出複

迴歸方程式的迴歸參數本文嘗試選取 k=50~250的結果以下只列舉 k=200

的圖解釋預測結果

圖 45 複線性迴歸分析預測與原始資料比較圖-局域法(k=200)

圖 44與圖 45比較後可看出區域法預測的準確性比全域法更好某

些預測出來的結果的點與原始資料的點差異性大有明顯的偏移本研究

認為利用局域法預測的結果不佳的原因如下由圖 45可看出預測結果與

原始資料間差異性較大的點位為數列的右側 而數列尾端的資料為凌晨或

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

1

7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

103

109

115

121

127

133

139

實際值

估計值

37

是深夜的車流量因每日凌晨或是深夜的車流量變化量較少(例如某日的凌

晨十二點十分可能為 0台車或是小於 10台車經過)所以資料的差異性

較大造成頭尾的資料預測上較為不準確

因為同時段的資料可能會影響資料預測出的結果所以我們下節就以

加入季節性的考慮來加以討論預測結果

43 複線性迴歸去除季節性後混沌全域法

本文使用的車流量資料為每日 24時換算成 1440分鐘每 10分鐘記

錄一點於是本研究依資料的記錄時間點來劃分季節性將季節分成 144

個季分別求出季節性指數求取季節性指數後將每個資料點先去除季

節性利用全域法訓練出去季節性後的迴歸係數再利用複線性求出預測

值最後將去除的季節指數乘回預測點結果如下

圖 46考慮季節性複線性迴歸分析預測與原始資料比較圖-全域法

此考慮季節性因子的複線性迴歸分析預測與原始資料的比較是用全

域法去訓練迴歸參數的而由圖 44我們可以得知一開始未考慮季節因

子使用全域法的複線性迴歸預測是不準確的本研究認為原本的歷史資

料隨著季節性因子的變化該系統原本呈現複雜的動態特性實際上由於

車流量的變動有許多外在因素的影響例如氣候假期hellip等影響會使

資料的變化過程發生不同程度的偏離而對於季節性事件來說其事件發

生的過程主要受季節性參數週期性變化的影響 因此影響因素的具體形

式可以近似地表示為單一函數本文考慮季節因素對車流量的影響意即

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

1

7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

10

3

10

9

11

5

12

1

12

7

13

3

13

9 實際值

預測值

38

經過季節性分析後的得到的預測分析結果很準確如圖 46所示此結果

表示季節性影響樣本資料的情形大也代表著在季節因素影響下系統中

事件的動態變化情況是隨著季節影響參數的變化而造成系統呈現各種

各樣複雜的動態特性如週期解混沌情形hellip等

44 模糊迴歸

441Tanaka模糊迴歸

μ及 H 值之選定原則為當不確定性愈大時其 μ及 H 值愈接近 0

反之當資料不確定性愈小時μ及 H 值取愈接近 1 之值Bardossy 等人

建議其值在 05~07間為適宜根據 Tanaka在 1982年所提到的方法我們

可以求得一模糊迴歸函數並可得知其中心線與其上界及下界假定在 H =

05的情況下利用 Tanaka模糊迴歸模式算出迴歸函數為

(42)

中心線與上下界的簡單迴歸方程式為

中心線 (43)

上界 (44)

下界 (45)

繪製出的圖形如圖 47所示

圖 47 Tanaka 模糊迴歸

0

50

100

150

200

250

300

1

7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

103

109

115

121

127

133

139

下界

中心線

上界

39

圖 48 Tanaka 模糊迴歸中心線與預測值之結合

從圖 48可看出預測值與模糊迴歸的中心線 有明顯的時間差異但由

圖可以觀察出模糊迴歸的中心線 的預測趨勢與實際值是相近的雖然利

用模糊迴歸預測的時間點比實際時間快但是相對來說也是可以用來預

測之後將發生的趨勢本研究認為若模糊迴歸可用於預測中則可用模糊

的散度 c當做預測行為中選取的可接受的變動範圍如圖 49最後將 Tanaka

模糊迴歸中心線上下界與實際值之結合如圖 410所示

圖 49 Tanaka 模糊迴歸中心線上下界與實際值之結合

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

1

8

15

22

29

36

43

50

57

64

71

78

85

92

99

106

113

120

127

134

141

實際值

中心線

0

50

100

150

200

250

300

1

7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

103

109

115

121

127

133

139

實際值

下界

上界

預測

值

預測值

40

圖 410 Tanaka 模糊迴歸中心線上下界與實際值之結合

442修正型 Tanaka模糊迴歸

因為我們要將模糊迴歸應用於預測中所以本研究將複線性迴歸的趨

勢線視為模糊迴歸的中心線再利用修正型 Tanaka模糊迴歸模式算出迴歸

函數為

(46)

中心線與上下界的簡單迴歸方程式為

中心線

上界

下界

繪製出圖形如圖 411

0

50

100

150

200

250

300

1 7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

103

109

115

121

127

133

139

實際值

預測值

下界

上界

41

圖 411 修正型模糊迴歸中心線上下界與實際值之結合

本研究使用的修正型模糊迴歸中心線與傳統的迴歸方程式相同所以

可用來處理或分析模糊資料與明確資料同時修正型模糊迴歸的上下界

與 Tanaka 模糊迴歸相較也變窄了此兩種現象就是修正型迴歸的特色因

為中心線與傳統的迴歸方程式也相同這種修正型迴歸散度可選擇為負值

的特色本研究認為可以應用在預測上因為上下界與中心線間的散度變

窄使得前文所敘述到的利用散度來選取預測範圍便可更為嚴格也可

使預測的結果更為可靠如圖 412所示

圖 412 Tanaka 上下界與修正型模糊迴歸上下界的寬度差別

0

50

100

150

200

250

1 7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

103

109

115

121

127

133

139

下界

中心線

上界

0

50

100

150

200

250

300

1 8 15

22

29

36

43

50

57

64

71

78

85

92

99

106

113

120

127

134

141

Tanaka下界

Tanaka上界

Tanaka修正型下界

Tanaka修正型上界

42

第五章 結論及未來研究方向

51 結論

根據前文的討論傳統迴歸和模糊迴歸建立在不同的理論基礎上傳

統迴歸是以機率為基礎而模糊迴歸則是以可能性為基礎傳統迴歸因變

數的估計值與觀測值之間的差異為因變數的隨機性而模糊迴歸因變數的

估計值則產生於觀測值之模糊度惟兩者最大不同處在於模糊迴歸式的

迴歸係數與預測值皆為模糊數（區間值）不同於傳統迴歸係數與預測值

均為明確的數值此外傳統迴歸侷限於對明確資料的分析可能性模糊

迴歸僅適用於分析具模糊性的資料而複合的模糊迴歸則可同時適用於分

析模糊與明確的資料此為此模式最大的特點

模糊迴歸應用於預測中大多的結果是不佳的但是我們透過結合混

沌與模糊迴歸的概念將混沌的預測單點概念拓展成一個可接受的預測

範圍

PT Chang 與ES Lee 使用修正型模糊迴歸重新定義散度做出新的

模糊上下界均為改善模糊迴歸模式Tanaka之研究本研究將模糊迴歸與

混沌理論之建立時間序列的預測情形加以結合討論發現模糊迴歸在預測

的行為中是可行的但可惜的是即使預測的趨勢相近但預測值出時間

的點卻有差別這樣的結果我們可以看出若能找到解決加強模糊與複線性

迴歸關係之間時間的關聯性就能利用模糊的不確定性來討論預測問題

52 未來之研究方向

本研究將模糊迴歸與混沌理論之建立時間序列的預測情形加以結合討

論發現模糊迴歸在預測的行為中是可行的但可惜的是即使預測的趨

勢相近但預測值出時間的點卻有差別這樣的結果我們可以看出若能找

到解決加強模糊與附線性迴歸關係之間時間的關聯性就能利用模糊的不

確定性來討論預測問題

為了符合現今社會多元的狀況模糊迴歸與傳統迴歸之觀念勢必加以

混合應用也為了解決此等問題混合式迴歸（Hybrid Regression）在近年

來被提起也因此參數的估計模糊迴歸與傳統迴歸的混合應用將成

為往後繼續研究探討之目標

建議未來可用模糊加權修正模糊迴歸使模糊迴歸在預測上更能直接

43

將對事物多個構面評估的意見與其影響事物狀況的重要程度作加權的運

算

44

參考文獻

[1] 九章出版社編輯部(民 89)模糊數學入門台北市九章出版社

[2] 台北市交通局網站httpwwwdottaipeigovtw

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20

利用線性規劃的技巧來尋求一組能將實數值樣本 或模糊數樣本(

包含在內的區間再將三角形隸屬函數（triangular membership function）套

用

在此區間上如此便求得一組模糊迴歸估計式要得到正確的估計結

果最好是收集具有代表性的隸屬函數樣本所謂具有代表性的隸屬函數

樣本應該是以模糊數的形式存在所以本文就樣本模糊數 進行討論

線性模糊迴歸模式常表示成

0 1 1 2 2( ) i i i p piY x A A x A x A x (229)

其中 1 2 3(1 ) i i i i p ix x x x x 為自變數向量 ( )iY x 為模糊應變數

為模糊參數利用樣本模糊數 估計參數 時通

常假設 與 的隸屬函數為對稱三角型式 與 的隸屬函數表達如下

( ) max 1 0 i

i

Y

i

t yt t

r

(230)

其中 為三角隸屬函數的中點 為三角隸屬函數的分布半徑可令

( ) max 1 0 m

m

A

m

t ct t

s

(231)

其中 為三角形的中點 是三角形的分布半徑 與 間的關係

如圖 23所示

圖 23模糊數的中心值與散佈值

1

0

21

再令 則前述的模糊迴歸方程式可改寫成

0 1 1 2 20 1 2( ) i i ipi p pY x x xC S xC S C S C S (232)

因此模糊應變數 ( )iY x 的隸屬函數也屬於三角型式可表示成

( )

0

0

( ) max 1 0 Y xi

p

m m

m

p

m mi

m

t c x

t t

S x

(233)

其中 因此只要估計出三角形的中點 及半徑 便可得到

隸屬函數的估計值模糊迴歸分析是在要求每一個觀測值 隸屬於模糊

迴歸區間的隸屬程度至少 的情況之下尋求最小的模糊迴歸預測區間如

(234)式表示

forall ( 234)

在利用 對未知的模糊參數 進行估計前一般先定

義模糊樣本 和模糊應變數 的 h截集其定義如下

令 為一組模糊樣本 ( )iY x 為模糊應變數若 與

分

別為 及 的 h截集(h-cut)則

(235)

(236)

因具代表性的樣本 其 h 截集 應要盡量接近模糊應變數 的 h

截集 意即

其中容許

不完全落在 之

內的情形發生根據以上觀點王景南(2002)認為樣本的左端點

和右端點 隸屬於 的程度會有一定的水準於是設立此水準

為 H因此假設 隸屬於 的隸屬度會盡量的接近 H其間的關係

為

( 與

( (237)

所謂的盡量接近 H是可允許隸屬度大於 H或小於 H而不是均大於

22

H

根據以上的對樣本的解釋運用最小平方法以所有樣本的左端點

配置一迴歸直線稱之為左端直線估計式

(238)

其中 為迴歸係數再以所有右端點 配置右端

直線估計式

(239)

其中 為迴歸係數

前文已假設樣本的左右端點隸屬於 的隸屬度會盡量的接近 H所

以將這兩條直線函式來估計 之 H截集的左右邊界即

(240)

如此可推導出 的隸屬函數為

(241)

其中 且

(242)

意即

(243)

其中

為三角形底邊中點是

分布半徑如此便可得一組估

計的模糊迴歸模式

(244)

仍需注意的是當樣本為對稱型態時左右迴歸函數式其配適的結果式

相同的只有常數項不同當對稱情形發生時可以考慮利用各別對應相

之權重除以常數項的分布半徑做為個別對應項之分布半徑意即

分布半徑

除此之外Celmins及Diamond Celmins也分別提出最小平方法之模糊迴

23

歸模式以便求解資料間距離最小的模糊迴歸方程

模糊迴歸應用上比統計迴歸更具彈性統計迴歸通常需要大量資料以

支持其假設而模糊迴歸卻無此需求因此當資料量不足或隨機性難以驗

證時模糊迴歸是較強健的(Robust)同時當所蒐集之資料的不確定性乃

來自於人類之主觀判斷時模糊迴歸較具適用性

因此模糊迴歸模式逐漸受到重視在1990年代的研究包括Sakawa及

Yano針對投入變數與輸出變數皆為模糊資料的問題建構出一個多目標的模

糊迴歸模式此外Chang和Lee則認為模糊迴歸中心線的趨勢與模糊迴歸散

佈值的趨勢可以存在不一致性為了分析統計迴歸與模糊迴歸的差異Kim

Moskowitz 及Koksalan 利用模擬分析比較統計迴歸與模糊迴歸的結果認

為由機率論所得的統計迴歸模式在大樣本時其預測績效遠比可能性理論

(Possibility theory)推演而得的模糊迴歸模式為佳然而當資料量遞減或所構

建的模式適合性變差時(即變數間存在模糊關係)則模糊迴歸模式的預測績

效將優於統計迴歸模式由於模糊迴歸模式在解決資料量少及系統關係模

糊不清的問題上具有較佳之績效而存在其正面之價值當變數間存在模

糊關係時

從早期到目前已發展出多種模糊迴歸模式求解方式以下根據薛展青

(2004)所整理的模糊迴歸分析整裡敘述如下

1 區間迴歸法

區間迴歸法(interval regression)其模型架構主要是由Tanaka et al(1982)

所提出的模糊線性迴歸(fuzzy linear regression)模型Tanaka et al(1982)所發

表的論文中表示傳統的迴歸模型中造成實際值與估計值的誤差來源被

認為是由測量或觀察所造成的而此誤差項在模糊線性迴歸模型中是因

模糊系統中參數的模糊性所產生的即誤差是反應模糊線性函數的模糊現

象因此以模糊線性函數來表示迴歸方程式而迴歸參數則是以模糊集合

來表示

Tanaka et al(1982)在估計模糊迴歸參數時是利用線性規劃技巧

(linearprogramming method)來尋求一組能將實數值樣本或模糊數樣本全部

包含的區間最後求得一組對稱三角形模糊數之迴歸參數

自Tanaka等人(1982)的文章發表之後後續的學者大多以此為基礎陸

續題出各種相關的模式與求解方法如Peters (1994)將Tanaka的線性規劃法

24

求解推廣為模糊線性規劃法求解讓資料對模糊迴歸模式的適應性更加提

升YenGhoshray 與Roig (1999)提出由於非對稱迴歸係數導因於大多數的

資料為離群值使得對稱三角迴歸係數不再適用因此將Tanaka et al的模

式推廣為非對稱三角迴歸係數Moskowitz 與Kim (1993)探討不同水準值下

模糊迴歸模式的求解與模式配適程度Redden 與Woodall (1996)探討模糊

迴歸分析預測未來值的結果Sakawa 與Yano (1992)將Tanaka的方法擴展到

依變數及自變數皆是模糊集合的情況並將之稱為多目標線性迴歸法

(multiobjective linear regression model)Koumlrner 與Naumlther (1998)討論解釋變

數與反應變數兩者皆為模糊數值的情況Kacprzyk 與Fedrizzi (1992)則蒐集

了各種不同迴歸模式的求解方法Redden 與Woodall (1994)說明Tanaka後

續提出的求解模式當中所具備的性質以及與傳統迴歸方法的差異比較

但是在此模式下求解之迴歸係數本身亦為一對稱的三角模糊數值

而且求解結果很容易受到資料尺度(scale)的影響使得反應變數估計值之展

度會變得更為寬廣後來Tanaka (1987)根據1982年的文獻發展為更完整的

可能性線性系統使模糊迴歸的結構更趨適應性Tanaka 與Watada (1988)

闡明可能性線性模式的概念推演建構成可能性線性迴歸模式Tanaka et

al(1989)應用模糊資料於可能性迴歸系統中並建構最小化最大化及混合

式三種線性規劃模式又對先前所提出的模式加以修正但就如Redden 與

Woodall (1994)所指出Tanaka 類型的模式對於離群值(outlier)的反應非常

敏感甚至在觀察值的個數增加時求解結果可能會產生無限多解因

此在Tsaur 與Wang (1999)提出的文獻對於在模糊迴歸分析中的離群值進行

一系列探討

2 模糊最小平方法

模糊最小平方法(fuzzy least squares)乃擴展傳統之最小平方法的觀念

最早由Diamond (1988)所提出利用傳統最小平方法的觀念求出一個模糊

迴歸模式以估算(approximate)反應變數的觀察值並非如區間迴歸中的包含

觀察值在其模式中利用反應變數的觀察值與估計值的模糊數值之最小

值最可能值與最大值定義兩者之間的距離以衡量迴歸模式與模糊資

料之間的最佳配適度的情形在使得所有觀察值與估計值的模糊數值之間

的距離平方總和為最小時可以導出類似傳統迴歸分析中的正規方程式

(normal equation)以求解迴歸係數

25

其後Chang 與Lee (1996)則將Diamond (1988)的方法加以擴充將迴

歸係數的最可能值與展度分別估計該方法的特點在於可將極端值(outlier)

加以處理並降低其影響程度Ma等人(1997)則將此類方法發展於適合非

三角模糊數值的場合Diamond 與Koumlrner (1997)則在此類方法中定義一

個判定係數的計算方法以比較不同模式的適合性Wu與Tseng (2002)提出

改善模糊迴歸模式之最小平方法其模式主要觀念是利用最小平方法將所

有樣本的左端點及右端點各配置一條迴歸線然後在將其左右迴歸線統合

成一條迴歸線

而在Kim 與Bishu (1998)的研究中是利用各個具有三角模糊數值的反

應變數之最小值最可能值與最大值以最小平方法分別計算出模糊迴歸

係數所得到的係數不一定為對稱的三角模糊數在此種求解方式下雖

然可以得到比較小的估計誤差但其缺點是無法處理解釋變數為模糊數的

情形另外Kim 與Bishu(1998)還提出了評估模糊迴歸模式的準則利用觀

察值與估計值歸屬函數之間面積的差異做為迴歸模式的估計誤差但其評

估準則的問題是無法比較不同模式在觀察值與估計值歸屬函數之間不具有

交集時的誤差情況在此情況下求算估計誤差時無法準確評估其總誤差而

導致評估失真而其他學者如Yang與Ko (1997)Yang 與Lin (2002)等則

是提出以最小平方法為基礎的模糊聚類分析求解方式

3 模糊隨機變數估計法

為了建構一個同時具有隨機和模糊特性的系統Kwakernaak (1978)首

先提出模糊隨機變數(fuzzy random variables)的概念認為傳統的隨機變數

U Ωrarr R為實數可測函數而模糊隨機變數則將一般隨機變數的概念廣義

化模糊隨機變數可表示為X ΩrarrS設ω isinΩ而ω 所對應到的不再是實

數值U(ω)而是模糊集合X (ω)S 代表模糊集合且Kwakernaak (1978)擴

充原來Zadeh 提出模糊集合之架構認為有時供作參考的資訊不齊全在

對某些述句進行評斷時我們無法判斷其絕對為真或絕對為假此時我

們考慮將原有的二元邏輯思維方式推廣暫且不作肯定的判決而僅是表

達出對錯的程度換句話說真值可以是介於單位區間[01] 內的任何值

如此思維方式稱之為多值邏輯(multivalued value)並將模糊集合視為一組

述句(statement)的集合且每個述句均對應一真值程度以符合人類的思維與

想法Stein 與Talati (1981)利用模糊數值的隸屬函數提出模糊隨機變數

26

的期望值之計算方式Kruse 與Meyer (1987)藉助集合表徵的概念建立了

一套模糊隨機變數的定義而為了讓模糊隨機變數能實際應用並將討論

的範圍界定在一模糊集合族上Koumlrner (1997)及Naumlther (1997)利用該方法以

求算模糊隨機變數的期望值與變異數並應用於線性模糊迴歸模式的求解

等另外在曾能芳(民 91)的博士論文研究中指出在Tanaka et al (1982)

的模糊迴歸模式中並不具備誤差項因此模式無法呈現樣本與期望值之間

的關係而無法討論線性規劃估計程序所具備的統計性質所以在曾能芳

(民 91)提出的迴歸模式中採用模糊樣本是由依變數之模糊期望值加上測量

誤差所組成並提出測量誤差存在於中點的模糊迴歸模式以及測量誤差

同時存在於中點和半徑的模糊迴歸模式

4 兩階段求解方法

以兩階段方法(two stage method)求解模糊迴歸模式的想法是在於結合

最小平方法與區間迴歸的觀念試圖降低反應變數估計值的模糊度如Savic

與Pedrycz (1991)對模糊迴歸模式的求解分為兩個步驟進行第一步以

反應變數的模糊數值之最可能數值為基礎將模糊數值視為簡化的明確數

值以傳統最小平方法求解迴歸係數的中心值第二步利用區間迴歸的

方式在使得迴歸係數的模糊度為最小的情形下以決定迴歸係數的三角

模糊數值Kao 與Chyu (2002)提出另一種模糊迴歸模式的兩階段求解方

法在第一階段先利用解模糊(defuzzification)方法將模糊觀察值轉換成為一

組明確數值之後利用該組明確數值以傳統的最小平方法求解迴歸係

數第二階段則是以Kim 與Bishu 所提之評估準則為目標式決定一個誤

差項估計值的模糊數以使得在Kim 與Bishu (1998)評估準則下的總誤差量

為最小該方法的特別之處在於求解的迴歸係數為明確數值而誤差項估計

值為模糊數值雖然此種求解方式可以得到很小的估計誤差但因其所著

眼的仍是Kim 與Bishu 評估準則下的面積估計誤差使得當觀察值與估計

值歸屬函數之間不具有交集時所衡量出的估計誤差較真實誤差為小且其

求解方法比較適合於觀察值為三角或梯形的模糊數值欲應用於其他型式

的模糊數值求解上則較為困難而在邱清爐(民 91)的博士論文中則是將

其兩階段求解方法對各種不同的模糊迴歸模式進行建構與評估並將其求

解方法應用於工作滿意度實例

5 其他求解方法與相關研究

27

Tanaka 等人(1995)後來提出另外一種模糊迴歸模式的求解方法將傳

統的估計誤差當作是存在解釋變數與反應變數之間的關係之可能性

(possibility)故模糊觀察值的展度可以直接轉換成迴歸係數的指數可能性

分配(exponentialpossibility distribution)而可以使用與傳統迴歸非常類似的

方式加以求解Tanaka與 Lee (1999)再利用辨識方法(identification method)

求解迴歸模式在其研究中利用辨識方法以決定模糊線性系統(fuzzy linear

system)中迴歸係數的可能性分配並認為由此方法所求解的迴歸係數會

有比較小範圍的可能性分配近年來有愈來愈多的學者將模糊迴歸分析

應用於其他傳統的決策方法及不同領域上如 Dunyak 與 Wunsch(2000)使

用 α 截集的端點以類神經網路(neuralnetworks)進行模糊迴歸分析Lee

與 Chen(2001)則將模糊迴歸模式使用於人力預測的問題上Tseng 等人

(2001)將由模糊迴歸模式建立之 ARIMA 模式用以預測匯率Tseng 與

Tzeng(2002)則利用模糊迴歸模式的求解方法以建構具有季節變動的

ARIMA 模式Kim 與 Bishu(1996)應用於人力可靠度分析的操作反應時間

上Wu 與 Tseng(2002)將其模糊迴歸模式應用在景氣對策信號上的分析

王景男(民 89)將模糊迴歸分析應用於籃球比賽攻防技術策略上曹勝雄

曾國雄江勁毅(民 85)以國人赴港旅客需求之預測為例說明傳統迴歸

模糊迴歸類神經網路之差別張良斌陳育民(民 86)將模糊目標迴歸法

應用在垃圾衛生掩埋場沼氣回收設備的成本估算謝邦昌林燦隆呂理

添(民 85)將模糊迴歸運用在甘蔗產量的預測對於上列有關模糊迴歸分析

的研究中絕大部份的文章均侷限於線性模式的分析鮮有文章討論非線

性模糊迴歸模式的求解最近雖然有少數學者開始討論非線性模糊迴歸模

式的解法如 Xu(1997)Buckley 與 Feuring(2000)的研究等但使用的方

法所求解的迴歸係數仍然為模糊數值其造成反應變數估計值的展度會

隨著解釋變數之數值增加而擴大的問題仍無法避免

28

第三章 研究方法

本章介紹本文將運用於數值分析中的預測研究方法利用本章建構的

方法可清楚了解如何利用混沌理論基於相空間重構的方式及模糊迴歸方

法於預測中

31 混沌時間序列建立預測方法

時間序列的模型建構和預測是資料處理研究領域中的重要方向其中

預測方法主要有線性和非線性預測方法兩種預測就是對未來作出估計和

推斷而通常要對研究對象或資料進行假設這一過程稱為建模利用建

模的方式獲得資料的科學表示就稱為模型混沌時間序列雖然看似隨機

但它卻是由確定系統產生的因此我們可以對混沌時間序列作出短期預測

同時由於混沌對初始條件微小差異的高度敏感性我們無法對混沌時間序

列作出長期預測每一步預測帶來的微小偏差都會使得下一步預測的偏差

擴大最終導致預測序列與原始序列完全不同

311李亞普諾夫指數判定資料混沌特性

進行預測前需根據 212節中提及的李亞普諾夫指數來判定資料是否

具有混沌特性最大李亞普諾夫指數是判斷和描述非線性時間序列是否為

混沌系統的重要參數因此是一個重要的混沌不變數

混沌系統中的李雅普諾夫指數可用來判斷系統是收斂的還是混沌的當系

統的李雅普諾夫指數中至少有一個為正時系統是混沌的 當系統的李雅

普諾夫指數均為負數時系統是收斂的 對於系統是否存在動力學混沌可以直觀的判斷最大李亞普諾夫指數是否

大於零一個正的李亞普諾夫指數代表著在系統相空間中無論初始兩

條軌跡的間距多小兩條軌跡的差別都會隨著時間的演化而成指數率的增

加而導致無法預測這就是混沌現象

312重建相空間

傳統的建模和預測方法己廣泛地應用社會科學中但大部分都是基於

線性系統混沌時間序列並不適用於非線性的混沌時間序列於是在判斷

時間序列性質後若判定序列以隨機性為主應採用從 AR 或 ARIMA 等隨

機模型來預測如果判定以混沌為主則應採用非線性確定性的方法進行

29

預測非線性時間序列的預報是經過相空間重構後對相空間中的動力軌

跡進行預報由於混沌系統具有被稱為「蝴蝶效應」的初始值敏感性所

以混沌時間序列是不能長期預測的但對於短時間內混沌系統的軌道在

相空間中具有一定的規律它們的預測性是可獲得的並比一般的基於統

計方法的預測能力要來得好

時間序列資料是時間離散後的樣本值用 表示將它「嵌入」到

一個 m維(mgt0)的空間中進行相空間重構後得到嵌入向量

(31)

由嵌入向量 可擴張成一嵌入空間 E由 Taken嵌入定理可知存

在映射面 滿足

(32)

上式表是出在拓樸的意義中可完全預測吸引子的特徵所以上式也可

表示為

(33)

其中函數 為 的一個估計值由式 (33)可得之我們可用

來預測

313相空間維度相關維度

在實作的研究上有許多方法可以用來估計混沌吸引子的維度本研

究選用較為常見的相關維度方法相關維度需先計算相關和將相空間中

所有樣本點皆計算其各別半徑收斂後之趨近值相關方程式（Correlation

Function）定義如下

(34)

其中

當 rrarr0時

兩邊同取對數可得

(35)

定義相關維度為 與 之曲線斜率為

(36)

在實際應用中經常給定一組維度 值選取適當的 r繪出

30

曲線求曲線當中直線段的斜率 如果系統存在這樣一個 值達到此

值後相應的關聯維數不再隨 的增長而變化也就是趨於飽和這表明

該序列為混沌系統其吸引子是存在的此時 值即為重構相空間的最佳

嵌入維數否則則表明該序列為隨機系統不具有混沌性

314 時間遞移數

利用 2123節中介紹的概念及 2124 中介紹的自相關函數求解出時

間遞移數的結果自相關函數公式如下

1

1

1( )( )

1( )

n k

t t k

tk n

t

t

x x x xn k

r

x xn

(37)

n為原資料樣本數k為時間遞移後的樣本點

將自相關係數計算的結果與每一筆遲延時間距離數值繪製成圖表可

由圖表中可分析辨別時間序列數據的初步基本特徵圖表繪製的結果顯示

自相關係數跟隨遲延時間距離數值的增加而顯示收歛且具有震盪循環之跡

象則表示數據具有一種規則屬於一混沌時間序列

32 複線性迴歸

確立資料為混沌後運用自我相關係數計算出時間遞移數及相空間維

度後將加入複線性迴歸運算複線性迴歸中常用的預測方法分為兩種

1 全域法

全域法就是利用相空間軌跡中的全部向量點做為擬合對象找出其

規律由此進行短期預測也就是說利用收集的大量的歷史資料利用

複線性迴歸訓練出迴歸參數再將未放進訓練迴歸參數的資料使用訓練

出的迴歸參數計算出預測值的資料型態本文還將原本的歷史資料分析

出資料的季節性後先去除季節性的影響最後再加回季節性討論預測結

果

2 局域法

局域法的基本原理是僅利用有限個鄰近點的資訊而不是利用全部的

樣本點來擬合 局域法預測是把相空間軌跡中的最後一點作為待測點對

離待測點鄰近的若干個相空間點的關係作出擬合再對預測相空間點的未

來演化規律進行預測本文使用零階局域法零階局域法是直接將鄰近樣

31

本點應用於預測根據鄰近樣本點預測 的最簡單的方法就是尋找相

空間中距離 最近的點假設距離最近的點是 那麼它的下一個樣本

點為 即可做為 的預測值

因數值資料在每日重複發生變動所以本研究又加入計算季節性指數

對趨勢線做季節性調整也就是對時間序列做季節性調整

33 模糊迴歸分析

運用模糊的概念帶進迴歸模式中處理具模糊性的資料問題此稱為模

糊迴歸分析本文利用的模糊迴歸模式主要有兩個方向一個是Tanaka et al

(1982)提出的模糊線性迴歸另一個是由Chang 與Lee (1994)所提出修正型

迴歸模式Tanaka 起初所提出的線性規劃模型

0 1

[ ( )]p n

j ij

j i

Min C X

st 0 0

(1 ) (1 )p p

j ij j ij ii

j j

X H c X y H e

(38)

0 0

(1 ) (1 )p p

j ij j ij ii

j j

X H c X y H e

0jc j R 0 1iX 0 1H 123i n 012j p

Tanaka 所提出的模糊模型未考慮到散度為負值的條件所以模糊上下

界會不斷的擴張而越來越寬大由 Chang 與 Lee (1994)所提出修正型迴歸

模式即將模糊的散度可為負值使上下界的模糊區間為遞減的情形遞

減的情形由圖 31表示

圖 31 模糊區間隨自變數越大而越窄

0

2

4

6

8

10

上界 中心線 下界

32

假設圖表中計算出的模糊迴歸函數為 0 0 1 1 Y c c X 模糊上界為

0 0 1 1UY c c X 模糊下界為 0 0 1 1LY c c X

33

第四章 數值分析

本章資料來源1台灣區車輛工業同業公會

2台北市交通局

本章所使用的數據資料為台北市交通局提供的公開的車流量資料數

值分析所使用的方法已在第三章論述利用第三章的方法分析數值預測的

準確性並結合模糊迴歸常見的兩種方法幫助決定預測的可接受範圍本

章介紹本文所利用的數學模型及方法在複線性迴歸的模型中分成混沌全

域法去季節性後的混沌全域法以及混沌局域法預測出的結果加以討論預

測的準確性再將預測值去季節性觀察準確程度最後再帶入模糊迴歸

利用 05H 加以討論如何將模糊迴歸中的散度用以選擇預測值的範圍第

一節針對傳統複線性迴歸方法並結合全域法觀念訓練資料迴歸係數討

論預測結果第二節針對傳統複線性迴歸方法並結合局域法觀念訓練資

料迴歸係數討論預測結果第三節針對預測資料去除季節性後再利用

傳統複線性迴歸方法討論預測結果第四節針對模糊迴歸的兩種方法選

擇出預測的範圍

利用第三章論述的時間遞移及相關維度的做法將本文利用具混沌性

的資料加以分析將資料先利用 212 節中介紹的李雅普諾夫指數 判定是

否具混沌性具有混沌性的資料才能利用混沌理論重構相空間若李雅

普諾夫指數 介在 0跟 1之間則表示資料具有混沌性質本文資料利用程

式計算出李雅普諾夫指數 運用自我相關係數判斷出時間遞移

數 相關維度計算出維度 我相關係數判斷時間遞移數與相關維

度的圖形以及原始資料時間遞移後的資料圖如圖 41圖 42圖 43

34

圖 41相空間維度及 lnC與 ln r斜率關係圖

圖 42相空間維度及 lnC與 ln r斜率關係圖

0

1

2

3

4

5

6

7

0 5 10 15 20

相空間維度

斜

率

d

-02

0

02

04

06

08

1

12

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33

時間遞移數

自我相關函數

35

圖 43 原始資料時間序列圖

41 複線性迴歸混沌全域法

本文所使用的資料為 10日的車流量資料利用前 9日的資料訓練出迴

歸參數將迴歸參數代入複線性數學模型中計算出的迴歸方程式為

1 2 3 4

5 6 7 8 9

10 11 12 13 14

435363 00819 00338 01777 00070

01116 01999 00299 02716 00349

01399 00056 01113 00738 02038

y x x x x

x x x x x

x x x x x

(41)

解出迴歸參數計算出複線性迴歸方程式後再將最後一日 144筆的車

流資料代入方程式中計算出預測值利用複線性迴歸混沌域法預測出的結

果如圖 44

圖 44 複線性迴歸分析預測與原始資料比較圖-全域法

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

1 53

10

5

157

209

26

1 31

3

365

41

7

469

52

1 57

3

625

67

7

729

78

1 83

3

885

93

7

989

10

41

1093

11

45

1197

12

49

1301

13

53

1405

原始資料點

原始資料點

-50

0

50

100

150

200

1

7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

103

109

115

121

127

133

139

實際值

預測值

36

由圖表的狀況可觀察出運用複線性迴歸模型預測的結果不盡理想本

研究認為運用複線性迴歸預測的結果不佳的原因有二

1 利用全域法預測是將較大量的歷史資料加入考慮訓練出迴歸參數這

樣的結果造成削弱了原本的奇異點(相較於同時段資料差異性較大的點)

的影響力

2 嵌入維度 太高對於混沌時間序列隨著嵌入維度增高歷史

對未來的影響是呈指數衰減的所以全域法所利用的資訊歷史就越長

預測的精準度就會迅速下降因此本研究將加入局域法討論預測的準

確性

42 複線性迴歸混沌局域法

局域法的做法為尋找相空間重構後的點對待測點尋找鄰近的 k個相

空間點對離待測點鄰近的若 k個相空間點的關係作出擬合並分析出複

迴歸方程式的迴歸參數本文嘗試選取 k=50~250的結果以下只列舉 k=200

的圖解釋預測結果

圖 45 複線性迴歸分析預測與原始資料比較圖-局域法(k=200)

圖 44與圖 45比較後可看出區域法預測的準確性比全域法更好某

些預測出來的結果的點與原始資料的點差異性大有明顯的偏移本研究

認為利用局域法預測的結果不佳的原因如下由圖 45可看出預測結果與

原始資料間差異性較大的點位為數列的右側 而數列尾端的資料為凌晨或

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

1

7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

103

109

115

121

127

133

139

實際值

估計值

37

是深夜的車流量因每日凌晨或是深夜的車流量變化量較少(例如某日的凌

晨十二點十分可能為 0台車或是小於 10台車經過)所以資料的差異性

較大造成頭尾的資料預測上較為不準確

因為同時段的資料可能會影響資料預測出的結果所以我們下節就以

加入季節性的考慮來加以討論預測結果

43 複線性迴歸去除季節性後混沌全域法

本文使用的車流量資料為每日 24時換算成 1440分鐘每 10分鐘記

錄一點於是本研究依資料的記錄時間點來劃分季節性將季節分成 144

個季分別求出季節性指數求取季節性指數後將每個資料點先去除季

節性利用全域法訓練出去季節性後的迴歸係數再利用複線性求出預測

值最後將去除的季節指數乘回預測點結果如下

圖 46考慮季節性複線性迴歸分析預測與原始資料比較圖-全域法

此考慮季節性因子的複線性迴歸分析預測與原始資料的比較是用全

域法去訓練迴歸參數的而由圖 44我們可以得知一開始未考慮季節因

子使用全域法的複線性迴歸預測是不準確的本研究認為原本的歷史資

料隨著季節性因子的變化該系統原本呈現複雜的動態特性實際上由於

車流量的變動有許多外在因素的影響例如氣候假期hellip等影響會使

資料的變化過程發生不同程度的偏離而對於季節性事件來說其事件發

生的過程主要受季節性參數週期性變化的影響 因此影響因素的具體形

式可以近似地表示為單一函數本文考慮季節因素對車流量的影響意即

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

1

7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

10

3

10

9

11

5

12

1

12

7

13

3

13

9 實際值

預測值

38

經過季節性分析後的得到的預測分析結果很準確如圖 46所示此結果

表示季節性影響樣本資料的情形大也代表著在季節因素影響下系統中

事件的動態變化情況是隨著季節影響參數的變化而造成系統呈現各種

各樣複雜的動態特性如週期解混沌情形hellip等

44 模糊迴歸

441Tanaka模糊迴歸

μ及 H 值之選定原則為當不確定性愈大時其 μ及 H 值愈接近 0

反之當資料不確定性愈小時μ及 H 值取愈接近 1 之值Bardossy 等人

建議其值在 05~07間為適宜根據 Tanaka在 1982年所提到的方法我們

可以求得一模糊迴歸函數並可得知其中心線與其上界及下界假定在 H =

05的情況下利用 Tanaka模糊迴歸模式算出迴歸函數為

(42)

中心線與上下界的簡單迴歸方程式為

中心線 (43)

上界 (44)

下界 (45)

繪製出的圖形如圖 47所示

圖 47 Tanaka 模糊迴歸

0

50

100

150

200

250

300

1

7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

103

109

115

121

127

133

139

下界

中心線

上界

39

圖 48 Tanaka 模糊迴歸中心線與預測值之結合

從圖 48可看出預測值與模糊迴歸的中心線 有明顯的時間差異但由

圖可以觀察出模糊迴歸的中心線 的預測趨勢與實際值是相近的雖然利

用模糊迴歸預測的時間點比實際時間快但是相對來說也是可以用來預

測之後將發生的趨勢本研究認為若模糊迴歸可用於預測中則可用模糊

的散度 c當做預測行為中選取的可接受的變動範圍如圖 49最後將 Tanaka

模糊迴歸中心線上下界與實際值之結合如圖 410所示

圖 49 Tanaka 模糊迴歸中心線上下界與實際值之結合

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

1

8

15

22

29

36

43

50

57

64

71

78

85

92

99

106

113

120

127

134

141

實際值

中心線

0

50

100

150

200

250

300

1

7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

103

109

115

121

127

133

139

實際值

下界

上界

預測

值

預測值

40

圖 410 Tanaka 模糊迴歸中心線上下界與實際值之結合

442修正型 Tanaka模糊迴歸

因為我們要將模糊迴歸應用於預測中所以本研究將複線性迴歸的趨

勢線視為模糊迴歸的中心線再利用修正型 Tanaka模糊迴歸模式算出迴歸

函數為

(46)

中心線與上下界的簡單迴歸方程式為

中心線

上界

下界

繪製出圖形如圖 411

0

50

100

150

200

250

300

1 7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

103

109

115

121

127

133

139

實際值

預測值

下界

上界

41

圖 411 修正型模糊迴歸中心線上下界與實際值之結合

本研究使用的修正型模糊迴歸中心線與傳統的迴歸方程式相同所以

可用來處理或分析模糊資料與明確資料同時修正型模糊迴歸的上下界

與 Tanaka 模糊迴歸相較也變窄了此兩種現象就是修正型迴歸的特色因

為中心線與傳統的迴歸方程式也相同這種修正型迴歸散度可選擇為負值

的特色本研究認為可以應用在預測上因為上下界與中心線間的散度變

窄使得前文所敘述到的利用散度來選取預測範圍便可更為嚴格也可

使預測的結果更為可靠如圖 412所示

圖 412 Tanaka 上下界與修正型模糊迴歸上下界的寬度差別

0

50

100

150

200

250

1 7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

103

109

115

121

127

133

139

下界

中心線

上界

0

50

100

150

200

250

300

1 8 15

22

29

36

43

50

57

64

71

78

85

92

99

106

113

120

127

134

141

Tanaka下界

Tanaka上界

Tanaka修正型下界

Tanaka修正型上界

42

第五章 結論及未來研究方向

51 結論

根據前文的討論傳統迴歸和模糊迴歸建立在不同的理論基礎上傳

統迴歸是以機率為基礎而模糊迴歸則是以可能性為基礎傳統迴歸因變

數的估計值與觀測值之間的差異為因變數的隨機性而模糊迴歸因變數的

估計值則產生於觀測值之模糊度惟兩者最大不同處在於模糊迴歸式的

迴歸係數與預測值皆為模糊數（區間值）不同於傳統迴歸係數與預測值

均為明確的數值此外傳統迴歸侷限於對明確資料的分析可能性模糊

迴歸僅適用於分析具模糊性的資料而複合的模糊迴歸則可同時適用於分

析模糊與明確的資料此為此模式最大的特點

模糊迴歸應用於預測中大多的結果是不佳的但是我們透過結合混

沌與模糊迴歸的概念將混沌的預測單點概念拓展成一個可接受的預測

範圍

PT Chang 與ES Lee 使用修正型模糊迴歸重新定義散度做出新的

模糊上下界均為改善模糊迴歸模式Tanaka之研究本研究將模糊迴歸與

混沌理論之建立時間序列的預測情形加以結合討論發現模糊迴歸在預測

的行為中是可行的但可惜的是即使預測的趨勢相近但預測值出時間

的點卻有差別這樣的結果我們可以看出若能找到解決加強模糊與複線性

迴歸關係之間時間的關聯性就能利用模糊的不確定性來討論預測問題

52 未來之研究方向

本研究將模糊迴歸與混沌理論之建立時間序列的預測情形加以結合討

論發現模糊迴歸在預測的行為中是可行的但可惜的是即使預測的趨

勢相近但預測值出時間的點卻有差別這樣的結果我們可以看出若能找

到解決加強模糊與附線性迴歸關係之間時間的關聯性就能利用模糊的不

確定性來討論預測問題

為了符合現今社會多元的狀況模糊迴歸與傳統迴歸之觀念勢必加以

混合應用也為了解決此等問題混合式迴歸（Hybrid Regression）在近年

來被提起也因此參數的估計模糊迴歸與傳統迴歸的混合應用將成

為往後繼續研究探討之目標

建議未來可用模糊加權修正模糊迴歸使模糊迴歸在預測上更能直接

43

將對事物多個構面評估的意見與其影響事物狀況的重要程度作加權的運

算

44

參考文獻

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21

再令 則前述的模糊迴歸方程式可改寫成

0 1 1 2 20 1 2( ) i i ipi p pY x x xC S xC S C S C S (232)

因此模糊應變數 ( )iY x 的隸屬函數也屬於三角型式可表示成

( )

0

0

( ) max 1 0 Y xi

p

m m

m

p

m mi

m

t c x

t t

S x

(233)

其中 因此只要估計出三角形的中點 及半徑 便可得到

隸屬函數的估計值模糊迴歸分析是在要求每一個觀測值 隸屬於模糊

迴歸區間的隸屬程度至少 的情況之下尋求最小的模糊迴歸預測區間如

(234)式表示

forall ( 234)

在利用 對未知的模糊參數 進行估計前一般先定

義模糊樣本 和模糊應變數 的 h截集其定義如下

令 為一組模糊樣本 ( )iY x 為模糊應變數若 與

分

別為 及 的 h截集(h-cut)則

(235)

(236)

因具代表性的樣本 其 h 截集 應要盡量接近模糊應變數 的 h

截集 意即

其中容許

不完全落在 之

內的情形發生根據以上觀點王景南(2002)認為樣本的左端點

和右端點 隸屬於 的程度會有一定的水準於是設立此水準

為 H因此假設 隸屬於 的隸屬度會盡量的接近 H其間的關係

為

( 與

( (237)

所謂的盡量接近 H是可允許隸屬度大於 H或小於 H而不是均大於

22

H

根據以上的對樣本的解釋運用最小平方法以所有樣本的左端點

配置一迴歸直線稱之為左端直線估計式

(238)

其中 為迴歸係數再以所有右端點 配置右端

直線估計式

(239)

其中 為迴歸係數

前文已假設樣本的左右端點隸屬於 的隸屬度會盡量的接近 H所

以將這兩條直線函式來估計 之 H截集的左右邊界即

(240)

如此可推導出 的隸屬函數為

(241)

其中 且

(242)

意即

(243)

其中

為三角形底邊中點是

分布半徑如此便可得一組估

計的模糊迴歸模式

(244)

仍需注意的是當樣本為對稱型態時左右迴歸函數式其配適的結果式

相同的只有常數項不同當對稱情形發生時可以考慮利用各別對應相

之權重除以常數項的分布半徑做為個別對應項之分布半徑意即

分布半徑

除此之外Celmins及Diamond Celmins也分別提出最小平方法之模糊迴

23

歸模式以便求解資料間距離最小的模糊迴歸方程

模糊迴歸應用上比統計迴歸更具彈性統計迴歸通常需要大量資料以

支持其假設而模糊迴歸卻無此需求因此當資料量不足或隨機性難以驗

證時模糊迴歸是較強健的(Robust)同時當所蒐集之資料的不確定性乃

來自於人類之主觀判斷時模糊迴歸較具適用性

因此模糊迴歸模式逐漸受到重視在1990年代的研究包括Sakawa及

Yano針對投入變數與輸出變數皆為模糊資料的問題建構出一個多目標的模

糊迴歸模式此外Chang和Lee則認為模糊迴歸中心線的趨勢與模糊迴歸散

佈值的趨勢可以存在不一致性為了分析統計迴歸與模糊迴歸的差異Kim

Moskowitz 及Koksalan 利用模擬分析比較統計迴歸與模糊迴歸的結果認

為由機率論所得的統計迴歸模式在大樣本時其預測績效遠比可能性理論

(Possibility theory)推演而得的模糊迴歸模式為佳然而當資料量遞減或所構

建的模式適合性變差時(即變數間存在模糊關係)則模糊迴歸模式的預測績

效將優於統計迴歸模式由於模糊迴歸模式在解決資料量少及系統關係模

糊不清的問題上具有較佳之績效而存在其正面之價值當變數間存在模

糊關係時

從早期到目前已發展出多種模糊迴歸模式求解方式以下根據薛展青

(2004)所整理的模糊迴歸分析整裡敘述如下

1 區間迴歸法

區間迴歸法(interval regression)其模型架構主要是由Tanaka et al(1982)

所提出的模糊線性迴歸(fuzzy linear regression)模型Tanaka et al(1982)所發

表的論文中表示傳統的迴歸模型中造成實際值與估計值的誤差來源被

認為是由測量或觀察所造成的而此誤差項在模糊線性迴歸模型中是因

模糊系統中參數的模糊性所產生的即誤差是反應模糊線性函數的模糊現

象因此以模糊線性函數來表示迴歸方程式而迴歸參數則是以模糊集合

來表示

Tanaka et al(1982)在估計模糊迴歸參數時是利用線性規劃技巧

(linearprogramming method)來尋求一組能將實數值樣本或模糊數樣本全部

包含的區間最後求得一組對稱三角形模糊數之迴歸參數

自Tanaka等人(1982)的文章發表之後後續的學者大多以此為基礎陸

續題出各種相關的模式與求解方法如Peters (1994)將Tanaka的線性規劃法

24

求解推廣為模糊線性規劃法求解讓資料對模糊迴歸模式的適應性更加提

升YenGhoshray 與Roig (1999)提出由於非對稱迴歸係數導因於大多數的

資料為離群值使得對稱三角迴歸係數不再適用因此將Tanaka et al的模

式推廣為非對稱三角迴歸係數Moskowitz 與Kim (1993)探討不同水準值下

模糊迴歸模式的求解與模式配適程度Redden 與Woodall (1996)探討模糊

迴歸分析預測未來值的結果Sakawa 與Yano (1992)將Tanaka的方法擴展到

依變數及自變數皆是模糊集合的情況並將之稱為多目標線性迴歸法

(multiobjective linear regression model)Koumlrner 與Naumlther (1998)討論解釋變

數與反應變數兩者皆為模糊數值的情況Kacprzyk 與Fedrizzi (1992)則蒐集

了各種不同迴歸模式的求解方法Redden 與Woodall (1994)說明Tanaka後

續提出的求解模式當中所具備的性質以及與傳統迴歸方法的差異比較

但是在此模式下求解之迴歸係數本身亦為一對稱的三角模糊數值

而且求解結果很容易受到資料尺度(scale)的影響使得反應變數估計值之展

度會變得更為寬廣後來Tanaka (1987)根據1982年的文獻發展為更完整的

可能性線性系統使模糊迴歸的結構更趨適應性Tanaka 與Watada (1988)

闡明可能性線性模式的概念推演建構成可能性線性迴歸模式Tanaka et

al(1989)應用模糊資料於可能性迴歸系統中並建構最小化最大化及混合

式三種線性規劃模式又對先前所提出的模式加以修正但就如Redden 與

Woodall (1994)所指出Tanaka 類型的模式對於離群值(outlier)的反應非常

敏感甚至在觀察值的個數增加時求解結果可能會產生無限多解因

此在Tsaur 與Wang (1999)提出的文獻對於在模糊迴歸分析中的離群值進行

一系列探討

2 模糊最小平方法

模糊最小平方法(fuzzy least squares)乃擴展傳統之最小平方法的觀念

最早由Diamond (1988)所提出利用傳統最小平方法的觀念求出一個模糊

迴歸模式以估算(approximate)反應變數的觀察值並非如區間迴歸中的包含

觀察值在其模式中利用反應變數的觀察值與估計值的模糊數值之最小

值最可能值與最大值定義兩者之間的距離以衡量迴歸模式與模糊資

料之間的最佳配適度的情形在使得所有觀察值與估計值的模糊數值之間

的距離平方總和為最小時可以導出類似傳統迴歸分析中的正規方程式

(normal equation)以求解迴歸係數

25

其後Chang 與Lee (1996)則將Diamond (1988)的方法加以擴充將迴

歸係數的最可能值與展度分別估計該方法的特點在於可將極端值(outlier)

加以處理並降低其影響程度Ma等人(1997)則將此類方法發展於適合非

三角模糊數值的場合Diamond 與Koumlrner (1997)則在此類方法中定義一

個判定係數的計算方法以比較不同模式的適合性Wu與Tseng (2002)提出

改善模糊迴歸模式之最小平方法其模式主要觀念是利用最小平方法將所

有樣本的左端點及右端點各配置一條迴歸線然後在將其左右迴歸線統合

成一條迴歸線

而在Kim 與Bishu (1998)的研究中是利用各個具有三角模糊數值的反

應變數之最小值最可能值與最大值以最小平方法分別計算出模糊迴歸

係數所得到的係數不一定為對稱的三角模糊數在此種求解方式下雖

然可以得到比較小的估計誤差但其缺點是無法處理解釋變數為模糊數的

情形另外Kim 與Bishu(1998)還提出了評估模糊迴歸模式的準則利用觀

察值與估計值歸屬函數之間面積的差異做為迴歸模式的估計誤差但其評

估準則的問題是無法比較不同模式在觀察值與估計值歸屬函數之間不具有

交集時的誤差情況在此情況下求算估計誤差時無法準確評估其總誤差而

導致評估失真而其他學者如Yang與Ko (1997)Yang 與Lin (2002)等則

是提出以最小平方法為基礎的模糊聚類分析求解方式

3 模糊隨機變數估計法

為了建構一個同時具有隨機和模糊特性的系統Kwakernaak (1978)首

先提出模糊隨機變數(fuzzy random variables)的概念認為傳統的隨機變數

U Ωrarr R為實數可測函數而模糊隨機變數則將一般隨機變數的概念廣義

化模糊隨機變數可表示為X ΩrarrS設ω isinΩ而ω 所對應到的不再是實

數值U(ω)而是模糊集合X (ω)S 代表模糊集合且Kwakernaak (1978)擴

充原來Zadeh 提出模糊集合之架構認為有時供作參考的資訊不齊全在

對某些述句進行評斷時我們無法判斷其絕對為真或絕對為假此時我

們考慮將原有的二元邏輯思維方式推廣暫且不作肯定的判決而僅是表

達出對錯的程度換句話說真值可以是介於單位區間[01] 內的任何值

如此思維方式稱之為多值邏輯(multivalued value)並將模糊集合視為一組

述句(statement)的集合且每個述句均對應一真值程度以符合人類的思維與

想法Stein 與Talati (1981)利用模糊數值的隸屬函數提出模糊隨機變數

26

的期望值之計算方式Kruse 與Meyer (1987)藉助集合表徵的概念建立了

一套模糊隨機變數的定義而為了讓模糊隨機變數能實際應用並將討論

的範圍界定在一模糊集合族上Koumlrner (1997)及Naumlther (1997)利用該方法以

求算模糊隨機變數的期望值與變異數並應用於線性模糊迴歸模式的求解

等另外在曾能芳(民 91)的博士論文研究中指出在Tanaka et al (1982)

的模糊迴歸模式中並不具備誤差項因此模式無法呈現樣本與期望值之間

的關係而無法討論線性規劃估計程序所具備的統計性質所以在曾能芳

(民 91)提出的迴歸模式中採用模糊樣本是由依變數之模糊期望值加上測量

誤差所組成並提出測量誤差存在於中點的模糊迴歸模式以及測量誤差

同時存在於中點和半徑的模糊迴歸模式

4 兩階段求解方法

以兩階段方法(two stage method)求解模糊迴歸模式的想法是在於結合

最小平方法與區間迴歸的觀念試圖降低反應變數估計值的模糊度如Savic

與Pedrycz (1991)對模糊迴歸模式的求解分為兩個步驟進行第一步以

反應變數的模糊數值之最可能數值為基礎將模糊數值視為簡化的明確數

值以傳統最小平方法求解迴歸係數的中心值第二步利用區間迴歸的

方式在使得迴歸係數的模糊度為最小的情形下以決定迴歸係數的三角

模糊數值Kao 與Chyu (2002)提出另一種模糊迴歸模式的兩階段求解方

法在第一階段先利用解模糊(defuzzification)方法將模糊觀察值轉換成為一

組明確數值之後利用該組明確數值以傳統的最小平方法求解迴歸係

數第二階段則是以Kim 與Bishu 所提之評估準則為目標式決定一個誤

差項估計值的模糊數以使得在Kim 與Bishu (1998)評估準則下的總誤差量

為最小該方法的特別之處在於求解的迴歸係數為明確數值而誤差項估計

值為模糊數值雖然此種求解方式可以得到很小的估計誤差但因其所著

眼的仍是Kim 與Bishu 評估準則下的面積估計誤差使得當觀察值與估計

值歸屬函數之間不具有交集時所衡量出的估計誤差較真實誤差為小且其

求解方法比較適合於觀察值為三角或梯形的模糊數值欲應用於其他型式

的模糊數值求解上則較為困難而在邱清爐(民 91)的博士論文中則是將

其兩階段求解方法對各種不同的模糊迴歸模式進行建構與評估並將其求

解方法應用於工作滿意度實例

5 其他求解方法與相關研究

27

Tanaka 等人(1995)後來提出另外一種模糊迴歸模式的求解方法將傳

統的估計誤差當作是存在解釋變數與反應變數之間的關係之可能性

(possibility)故模糊觀察值的展度可以直接轉換成迴歸係數的指數可能性

分配(exponentialpossibility distribution)而可以使用與傳統迴歸非常類似的

方式加以求解Tanaka與 Lee (1999)再利用辨識方法(identification method)

求解迴歸模式在其研究中利用辨識方法以決定模糊線性系統(fuzzy linear

system)中迴歸係數的可能性分配並認為由此方法所求解的迴歸係數會

有比較小範圍的可能性分配近年來有愈來愈多的學者將模糊迴歸分析

應用於其他傳統的決策方法及不同領域上如 Dunyak 與 Wunsch(2000)使

用 α 截集的端點以類神經網路(neuralnetworks)進行模糊迴歸分析Lee

與 Chen(2001)則將模糊迴歸模式使用於人力預測的問題上Tseng 等人

(2001)將由模糊迴歸模式建立之 ARIMA 模式用以預測匯率Tseng 與

Tzeng(2002)則利用模糊迴歸模式的求解方法以建構具有季節變動的

ARIMA 模式Kim 與 Bishu(1996)應用於人力可靠度分析的操作反應時間

上Wu 與 Tseng(2002)將其模糊迴歸模式應用在景氣對策信號上的分析

王景男(民 89)將模糊迴歸分析應用於籃球比賽攻防技術策略上曹勝雄

曾國雄江勁毅(民 85)以國人赴港旅客需求之預測為例說明傳統迴歸

模糊迴歸類神經網路之差別張良斌陳育民(民 86)將模糊目標迴歸法

應用在垃圾衛生掩埋場沼氣回收設備的成本估算謝邦昌林燦隆呂理

添(民 85)將模糊迴歸運用在甘蔗產量的預測對於上列有關模糊迴歸分析

的研究中絕大部份的文章均侷限於線性模式的分析鮮有文章討論非線

性模糊迴歸模式的求解最近雖然有少數學者開始討論非線性模糊迴歸模

式的解法如 Xu(1997)Buckley 與 Feuring(2000)的研究等但使用的方

法所求解的迴歸係數仍然為模糊數值其造成反應變數估計值的展度會

隨著解釋變數之數值增加而擴大的問題仍無法避免

28

第三章 研究方法

本章介紹本文將運用於數值分析中的預測研究方法利用本章建構的

方法可清楚了解如何利用混沌理論基於相空間重構的方式及模糊迴歸方

法於預測中

31 混沌時間序列建立預測方法

時間序列的模型建構和預測是資料處理研究領域中的重要方向其中

預測方法主要有線性和非線性預測方法兩種預測就是對未來作出估計和

推斷而通常要對研究對象或資料進行假設這一過程稱為建模利用建

模的方式獲得資料的科學表示就稱為模型混沌時間序列雖然看似隨機

但它卻是由確定系統產生的因此我們可以對混沌時間序列作出短期預測

同時由於混沌對初始條件微小差異的高度敏感性我們無法對混沌時間序

列作出長期預測每一步預測帶來的微小偏差都會使得下一步預測的偏差

擴大最終導致預測序列與原始序列完全不同

311李亞普諾夫指數判定資料混沌特性

進行預測前需根據 212節中提及的李亞普諾夫指數來判定資料是否

具有混沌特性最大李亞普諾夫指數是判斷和描述非線性時間序列是否為

混沌系統的重要參數因此是一個重要的混沌不變數

混沌系統中的李雅普諾夫指數可用來判斷系統是收斂的還是混沌的當系

統的李雅普諾夫指數中至少有一個為正時系統是混沌的 當系統的李雅

普諾夫指數均為負數時系統是收斂的 對於系統是否存在動力學混沌可以直觀的判斷最大李亞普諾夫指數是否

大於零一個正的李亞普諾夫指數代表著在系統相空間中無論初始兩

條軌跡的間距多小兩條軌跡的差別都會隨著時間的演化而成指數率的增

加而導致無法預測這就是混沌現象

312重建相空間

傳統的建模和預測方法己廣泛地應用社會科學中但大部分都是基於

線性系統混沌時間序列並不適用於非線性的混沌時間序列於是在判斷

時間序列性質後若判定序列以隨機性為主應採用從 AR 或 ARIMA 等隨

機模型來預測如果判定以混沌為主則應採用非線性確定性的方法進行

29

預測非線性時間序列的預報是經過相空間重構後對相空間中的動力軌

跡進行預報由於混沌系統具有被稱為「蝴蝶效應」的初始值敏感性所

以混沌時間序列是不能長期預測的但對於短時間內混沌系統的軌道在

相空間中具有一定的規律它們的預測性是可獲得的並比一般的基於統

計方法的預測能力要來得好

時間序列資料是時間離散後的樣本值用 表示將它「嵌入」到

一個 m維(mgt0)的空間中進行相空間重構後得到嵌入向量

(31)

由嵌入向量 可擴張成一嵌入空間 E由 Taken嵌入定理可知存

在映射面 滿足

(32)

上式表是出在拓樸的意義中可完全預測吸引子的特徵所以上式也可

表示為

(33)

其中函數 為 的一個估計值由式 (33)可得之我們可用

來預測

313相空間維度相關維度

在實作的研究上有許多方法可以用來估計混沌吸引子的維度本研

究選用較為常見的相關維度方法相關維度需先計算相關和將相空間中

所有樣本點皆計算其各別半徑收斂後之趨近值相關方程式（Correlation

Function）定義如下

(34)

其中

當 rrarr0時

兩邊同取對數可得

(35)

定義相關維度為 與 之曲線斜率為

(36)

在實際應用中經常給定一組維度 值選取適當的 r繪出

30

曲線求曲線當中直線段的斜率 如果系統存在這樣一個 值達到此

值後相應的關聯維數不再隨 的增長而變化也就是趨於飽和這表明

該序列為混沌系統其吸引子是存在的此時 值即為重構相空間的最佳

嵌入維數否則則表明該序列為隨機系統不具有混沌性

314 時間遞移數

利用 2123節中介紹的概念及 2124 中介紹的自相關函數求解出時

間遞移數的結果自相關函數公式如下

1

1

1( )( )

1( )

n k

t t k

tk n

t

t

x x x xn k

r

x xn

(37)

n為原資料樣本數k為時間遞移後的樣本點

將自相關係數計算的結果與每一筆遲延時間距離數值繪製成圖表可

由圖表中可分析辨別時間序列數據的初步基本特徵圖表繪製的結果顯示

自相關係數跟隨遲延時間距離數值的增加而顯示收歛且具有震盪循環之跡

象則表示數據具有一種規則屬於一混沌時間序列

32 複線性迴歸

確立資料為混沌後運用自我相關係數計算出時間遞移數及相空間維

度後將加入複線性迴歸運算複線性迴歸中常用的預測方法分為兩種

1 全域法

全域法就是利用相空間軌跡中的全部向量點做為擬合對象找出其

規律由此進行短期預測也就是說利用收集的大量的歷史資料利用

複線性迴歸訓練出迴歸參數再將未放進訓練迴歸參數的資料使用訓練

出的迴歸參數計算出預測值的資料型態本文還將原本的歷史資料分析

出資料的季節性後先去除季節性的影響最後再加回季節性討論預測結

果

2 局域法

局域法的基本原理是僅利用有限個鄰近點的資訊而不是利用全部的

樣本點來擬合 局域法預測是把相空間軌跡中的最後一點作為待測點對

離待測點鄰近的若干個相空間點的關係作出擬合再對預測相空間點的未

來演化規律進行預測本文使用零階局域法零階局域法是直接將鄰近樣

31

本點應用於預測根據鄰近樣本點預測 的最簡單的方法就是尋找相

空間中距離 最近的點假設距離最近的點是 那麼它的下一個樣本

點為 即可做為 的預測值

因數值資料在每日重複發生變動所以本研究又加入計算季節性指數

對趨勢線做季節性調整也就是對時間序列做季節性調整

33 模糊迴歸分析

運用模糊的概念帶進迴歸模式中處理具模糊性的資料問題此稱為模

糊迴歸分析本文利用的模糊迴歸模式主要有兩個方向一個是Tanaka et al

(1982)提出的模糊線性迴歸另一個是由Chang 與Lee (1994)所提出修正型

迴歸模式Tanaka 起初所提出的線性規劃模型

0 1

[ ( )]p n

j ij

j i

Min C X

st 0 0

(1 ) (1 )p p

j ij j ij ii

j j

X H c X y H e

(38)

0 0

(1 ) (1 )p p

j ij j ij ii

j j

X H c X y H e

0jc j R 0 1iX 0 1H 123i n 012j p

Tanaka 所提出的模糊模型未考慮到散度為負值的條件所以模糊上下

界會不斷的擴張而越來越寬大由 Chang 與 Lee (1994)所提出修正型迴歸

模式即將模糊的散度可為負值使上下界的模糊區間為遞減的情形遞

減的情形由圖 31表示

圖 31 模糊區間隨自變數越大而越窄

0

2

4

6

8

10

上界 中心線 下界

32

假設圖表中計算出的模糊迴歸函數為 0 0 1 1 Y c c X 模糊上界為

0 0 1 1UY c c X 模糊下界為 0 0 1 1LY c c X

33

第四章 數值分析

本章資料來源1台灣區車輛工業同業公會

2台北市交通局

本章所使用的數據資料為台北市交通局提供的公開的車流量資料數

值分析所使用的方法已在第三章論述利用第三章的方法分析數值預測的

準確性並結合模糊迴歸常見的兩種方法幫助決定預測的可接受範圍本

章介紹本文所利用的數學模型及方法在複線性迴歸的模型中分成混沌全

域法去季節性後的混沌全域法以及混沌局域法預測出的結果加以討論預

測的準確性再將預測值去季節性觀察準確程度最後再帶入模糊迴歸

利用 05H 加以討論如何將模糊迴歸中的散度用以選擇預測值的範圍第

一節針對傳統複線性迴歸方法並結合全域法觀念訓練資料迴歸係數討

論預測結果第二節針對傳統複線性迴歸方法並結合局域法觀念訓練資

料迴歸係數討論預測結果第三節針對預測資料去除季節性後再利用

傳統複線性迴歸方法討論預測結果第四節針對模糊迴歸的兩種方法選

擇出預測的範圍

利用第三章論述的時間遞移及相關維度的做法將本文利用具混沌性

的資料加以分析將資料先利用 212 節中介紹的李雅普諾夫指數 判定是

否具混沌性具有混沌性的資料才能利用混沌理論重構相空間若李雅

普諾夫指數 介在 0跟 1之間則表示資料具有混沌性質本文資料利用程

式計算出李雅普諾夫指數 運用自我相關係數判斷出時間遞移

數 相關維度計算出維度 我相關係數判斷時間遞移數與相關維

度的圖形以及原始資料時間遞移後的資料圖如圖 41圖 42圖 43

34

圖 41相空間維度及 lnC與 ln r斜率關係圖

圖 42相空間維度及 lnC與 ln r斜率關係圖

0

1

2

3

4

5

6

7

0 5 10 15 20

相空間維度

斜

率

d

-02

0

02

04

06

08

1

12

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33

時間遞移數

自我相關函數

35

圖 43 原始資料時間序列圖

41 複線性迴歸混沌全域法

本文所使用的資料為 10日的車流量資料利用前 9日的資料訓練出迴

歸參數將迴歸參數代入複線性數學模型中計算出的迴歸方程式為

1 2 3 4

5 6 7 8 9

10 11 12 13 14

435363 00819 00338 01777 00070

01116 01999 00299 02716 00349

01399 00056 01113 00738 02038

y x x x x

x x x x x

x x x x x

(41)

解出迴歸參數計算出複線性迴歸方程式後再將最後一日 144筆的車

流資料代入方程式中計算出預測值利用複線性迴歸混沌域法預測出的結

果如圖 44

圖 44 複線性迴歸分析預測與原始資料比較圖-全域法

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

1 53

10

5

157

209

26

1 31

3

365

41

7

469

52

1 57

3

625

67

7

729

78

1 83

3

885

93

7

989

10

41

1093

11

45

1197

12

49

1301

13

53

1405

原始資料點

原始資料點

-50

0

50

100

150

200

1

7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

103

109

115

121

127

133

139

實際值

預測值

36

由圖表的狀況可觀察出運用複線性迴歸模型預測的結果不盡理想本

研究認為運用複線性迴歸預測的結果不佳的原因有二

1 利用全域法預測是將較大量的歷史資料加入考慮訓練出迴歸參數這

樣的結果造成削弱了原本的奇異點(相較於同時段資料差異性較大的點)

的影響力

2 嵌入維度 太高對於混沌時間序列隨著嵌入維度增高歷史

對未來的影響是呈指數衰減的所以全域法所利用的資訊歷史就越長

預測的精準度就會迅速下降因此本研究將加入局域法討論預測的準

確性

42 複線性迴歸混沌局域法

局域法的做法為尋找相空間重構後的點對待測點尋找鄰近的 k個相

空間點對離待測點鄰近的若 k個相空間點的關係作出擬合並分析出複

迴歸方程式的迴歸參數本文嘗試選取 k=50~250的結果以下只列舉 k=200

的圖解釋預測結果

圖 45 複線性迴歸分析預測與原始資料比較圖-局域法(k=200)

圖 44與圖 45比較後可看出區域法預測的準確性比全域法更好某

些預測出來的結果的點與原始資料的點差異性大有明顯的偏移本研究

認為利用局域法預測的結果不佳的原因如下由圖 45可看出預測結果與

原始資料間差異性較大的點位為數列的右側 而數列尾端的資料為凌晨或

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

1

7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

103

109

115

121

127

133

139

實際值

估計值

37

是深夜的車流量因每日凌晨或是深夜的車流量變化量較少(例如某日的凌

晨十二點十分可能為 0台車或是小於 10台車經過)所以資料的差異性

較大造成頭尾的資料預測上較為不準確

因為同時段的資料可能會影響資料預測出的結果所以我們下節就以

加入季節性的考慮來加以討論預測結果

43 複線性迴歸去除季節性後混沌全域法

本文使用的車流量資料為每日 24時換算成 1440分鐘每 10分鐘記

錄一點於是本研究依資料的記錄時間點來劃分季節性將季節分成 144

個季分別求出季節性指數求取季節性指數後將每個資料點先去除季

節性利用全域法訓練出去季節性後的迴歸係數再利用複線性求出預測

值最後將去除的季節指數乘回預測點結果如下

圖 46考慮季節性複線性迴歸分析預測與原始資料比較圖-全域法

此考慮季節性因子的複線性迴歸分析預測與原始資料的比較是用全

域法去訓練迴歸參數的而由圖 44我們可以得知一開始未考慮季節因

子使用全域法的複線性迴歸預測是不準確的本研究認為原本的歷史資

料隨著季節性因子的變化該系統原本呈現複雜的動態特性實際上由於

車流量的變動有許多外在因素的影響例如氣候假期hellip等影響會使

資料的變化過程發生不同程度的偏離而對於季節性事件來說其事件發

生的過程主要受季節性參數週期性變化的影響 因此影響因素的具體形

式可以近似地表示為單一函數本文考慮季節因素對車流量的影響意即

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

1

7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

10

3

10

9

11

5

12

1

12

7

13

3

13

9 實際值

預測值

38

經過季節性分析後的得到的預測分析結果很準確如圖 46所示此結果

表示季節性影響樣本資料的情形大也代表著在季節因素影響下系統中

事件的動態變化情況是隨著季節影響參數的變化而造成系統呈現各種

各樣複雜的動態特性如週期解混沌情形hellip等

44 模糊迴歸

441Tanaka模糊迴歸

μ及 H 值之選定原則為當不確定性愈大時其 μ及 H 值愈接近 0

反之當資料不確定性愈小時μ及 H 值取愈接近 1 之值Bardossy 等人

建議其值在 05~07間為適宜根據 Tanaka在 1982年所提到的方法我們

可以求得一模糊迴歸函數並可得知其中心線與其上界及下界假定在 H =

05的情況下利用 Tanaka模糊迴歸模式算出迴歸函數為

(42)

中心線與上下界的簡單迴歸方程式為

中心線 (43)

上界 (44)

下界 (45)

繪製出的圖形如圖 47所示

圖 47 Tanaka 模糊迴歸

0

50

100

150

200

250

300

1

7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

103

109

115

121

127

133

139

下界

中心線

上界

39

圖 48 Tanaka 模糊迴歸中心線與預測值之結合

從圖 48可看出預測值與模糊迴歸的中心線 有明顯的時間差異但由

圖可以觀察出模糊迴歸的中心線 的預測趨勢與實際值是相近的雖然利

用模糊迴歸預測的時間點比實際時間快但是相對來說也是可以用來預

測之後將發生的趨勢本研究認為若模糊迴歸可用於預測中則可用模糊

的散度 c當做預測行為中選取的可接受的變動範圍如圖 49最後將 Tanaka

模糊迴歸中心線上下界與實際值之結合如圖 410所示

圖 49 Tanaka 模糊迴歸中心線上下界與實際值之結合

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

1

8

15

22

29

36

43

50

57

64

71

78

85

92

99

106

113

120

127

134

141

實際值

中心線

0

50

100

150

200

250

300

1

7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

103

109

115

121

127

133

139

實際值

下界

上界

預測

值

預測值

40

圖 410 Tanaka 模糊迴歸中心線上下界與實際值之結合

442修正型 Tanaka模糊迴歸

因為我們要將模糊迴歸應用於預測中所以本研究將複線性迴歸的趨

勢線視為模糊迴歸的中心線再利用修正型 Tanaka模糊迴歸模式算出迴歸

函數為

(46)

中心線與上下界的簡單迴歸方程式為

中心線

上界

下界

繪製出圖形如圖 411

0

50

100

150

200

250

300

1 7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

103

109

115

121

127

133

139

實際值

預測值

下界

上界

41

圖 411 修正型模糊迴歸中心線上下界與實際值之結合

本研究使用的修正型模糊迴歸中心線與傳統的迴歸方程式相同所以

可用來處理或分析模糊資料與明確資料同時修正型模糊迴歸的上下界

與 Tanaka 模糊迴歸相較也變窄了此兩種現象就是修正型迴歸的特色因

為中心線與傳統的迴歸方程式也相同這種修正型迴歸散度可選擇為負值

的特色本研究認為可以應用在預測上因為上下界與中心線間的散度變

窄使得前文所敘述到的利用散度來選取預測範圍便可更為嚴格也可

使預測的結果更為可靠如圖 412所示

圖 412 Tanaka 上下界與修正型模糊迴歸上下界的寬度差別

0

50

100

150

200

250

1 7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

103

109

115

121

127

133

139

下界

中心線

上界

0

50

100

150

200

250

300

1 8 15

22

29

36

43

50

57

64

71

78

85

92

99

106

113

120

127

134

141

Tanaka下界

Tanaka上界

Tanaka修正型下界

Tanaka修正型上界

42

第五章 結論及未來研究方向

51 結論

根據前文的討論傳統迴歸和模糊迴歸建立在不同的理論基礎上傳

統迴歸是以機率為基礎而模糊迴歸則是以可能性為基礎傳統迴歸因變

數的估計值與觀測值之間的差異為因變數的隨機性而模糊迴歸因變數的

估計值則產生於觀測值之模糊度惟兩者最大不同處在於模糊迴歸式的

迴歸係數與預測值皆為模糊數（區間值）不同於傳統迴歸係數與預測值

均為明確的數值此外傳統迴歸侷限於對明確資料的分析可能性模糊

迴歸僅適用於分析具模糊性的資料而複合的模糊迴歸則可同時適用於分

析模糊與明確的資料此為此模式最大的特點

模糊迴歸應用於預測中大多的結果是不佳的但是我們透過結合混

沌與模糊迴歸的概念將混沌的預測單點概念拓展成一個可接受的預測

範圍

PT Chang 與ES Lee 使用修正型模糊迴歸重新定義散度做出新的

模糊上下界均為改善模糊迴歸模式Tanaka之研究本研究將模糊迴歸與

混沌理論之建立時間序列的預測情形加以結合討論發現模糊迴歸在預測

的行為中是可行的但可惜的是即使預測的趨勢相近但預測值出時間

的點卻有差別這樣的結果我們可以看出若能找到解決加強模糊與複線性

迴歸關係之間時間的關聯性就能利用模糊的不確定性來討論預測問題

52 未來之研究方向

本研究將模糊迴歸與混沌理論之建立時間序列的預測情形加以結合討

論發現模糊迴歸在預測的行為中是可行的但可惜的是即使預測的趨

勢相近但預測值出時間的點卻有差別這樣的結果我們可以看出若能找

到解決加強模糊與附線性迴歸關係之間時間的關聯性就能利用模糊的不

確定性來討論預測問題

為了符合現今社會多元的狀況模糊迴歸與傳統迴歸之觀念勢必加以

混合應用也為了解決此等問題混合式迴歸（Hybrid Regression）在近年

來被提起也因此參數的估計模糊迴歸與傳統迴歸的混合應用將成

為往後繼續研究探討之目標

建議未來可用模糊加權修正模糊迴歸使模糊迴歸在預測上更能直接

43

將對事物多個構面評估的意見與其影響事物狀況的重要程度作加權的運

算

44

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22

H

根據以上的對樣本的解釋運用最小平方法以所有樣本的左端點

配置一迴歸直線稱之為左端直線估計式

(238)

其中 為迴歸係數再以所有右端點 配置右端

直線估計式

(239)

其中 為迴歸係數

前文已假設樣本的左右端點隸屬於 的隸屬度會盡量的接近 H所

以將這兩條直線函式來估計 之 H截集的左右邊界即

(240)

如此可推導出 的隸屬函數為

(241)

其中 且

(242)

意即

(243)

其中

為三角形底邊中點是

分布半徑如此便可得一組估

計的模糊迴歸模式

(244)

仍需注意的是當樣本為對稱型態時左右迴歸函數式其配適的結果式

相同的只有常數項不同當對稱情形發生時可以考慮利用各別對應相

之權重除以常數項的分布半徑做為個別對應項之分布半徑意即

分布半徑

除此之外Celmins及Diamond Celmins也分別提出最小平方法之模糊迴

23

歸模式以便求解資料間距離最小的模糊迴歸方程

模糊迴歸應用上比統計迴歸更具彈性統計迴歸通常需要大量資料以

支持其假設而模糊迴歸卻無此需求因此當資料量不足或隨機性難以驗

證時模糊迴歸是較強健的(Robust)同時當所蒐集之資料的不確定性乃

來自於人類之主觀判斷時模糊迴歸較具適用性

因此模糊迴歸模式逐漸受到重視在1990年代的研究包括Sakawa及

Yano針對投入變數與輸出變數皆為模糊資料的問題建構出一個多目標的模

糊迴歸模式此外Chang和Lee則認為模糊迴歸中心線的趨勢與模糊迴歸散

佈值的趨勢可以存在不一致性為了分析統計迴歸與模糊迴歸的差異Kim

Moskowitz 及Koksalan 利用模擬分析比較統計迴歸與模糊迴歸的結果認

為由機率論所得的統計迴歸模式在大樣本時其預測績效遠比可能性理論

(Possibility theory)推演而得的模糊迴歸模式為佳然而當資料量遞減或所構

建的模式適合性變差時(即變數間存在模糊關係)則模糊迴歸模式的預測績

效將優於統計迴歸模式由於模糊迴歸模式在解決資料量少及系統關係模

糊不清的問題上具有較佳之績效而存在其正面之價值當變數間存在模

糊關係時

從早期到目前已發展出多種模糊迴歸模式求解方式以下根據薛展青

(2004)所整理的模糊迴歸分析整裡敘述如下

1 區間迴歸法

區間迴歸法(interval regression)其模型架構主要是由Tanaka et al(1982)

所提出的模糊線性迴歸(fuzzy linear regression)模型Tanaka et al(1982)所發

表的論文中表示傳統的迴歸模型中造成實際值與估計值的誤差來源被

認為是由測量或觀察所造成的而此誤差項在模糊線性迴歸模型中是因

模糊系統中參數的模糊性所產生的即誤差是反應模糊線性函數的模糊現

象因此以模糊線性函數來表示迴歸方程式而迴歸參數則是以模糊集合

來表示

Tanaka et al(1982)在估計模糊迴歸參數時是利用線性規劃技巧

(linearprogramming method)來尋求一組能將實數值樣本或模糊數樣本全部

包含的區間最後求得一組對稱三角形模糊數之迴歸參數

自Tanaka等人(1982)的文章發表之後後續的學者大多以此為基礎陸

續題出各種相關的模式與求解方法如Peters (1994)將Tanaka的線性規劃法

24

求解推廣為模糊線性規劃法求解讓資料對模糊迴歸模式的適應性更加提

升YenGhoshray 與Roig (1999)提出由於非對稱迴歸係數導因於大多數的

資料為離群值使得對稱三角迴歸係數不再適用因此將Tanaka et al的模

式推廣為非對稱三角迴歸係數Moskowitz 與Kim (1993)探討不同水準值下

模糊迴歸模式的求解與模式配適程度Redden 與Woodall (1996)探討模糊

迴歸分析預測未來值的結果Sakawa 與Yano (1992)將Tanaka的方法擴展到

依變數及自變數皆是模糊集合的情況並將之稱為多目標線性迴歸法

(multiobjective linear regression model)Koumlrner 與Naumlther (1998)討論解釋變

數與反應變數兩者皆為模糊數值的情況Kacprzyk 與Fedrizzi (1992)則蒐集

了各種不同迴歸模式的求解方法Redden 與Woodall (1994)說明Tanaka後

續提出的求解模式當中所具備的性質以及與傳統迴歸方法的差異比較

但是在此模式下求解之迴歸係數本身亦為一對稱的三角模糊數值

而且求解結果很容易受到資料尺度(scale)的影響使得反應變數估計值之展

度會變得更為寬廣後來Tanaka (1987)根據1982年的文獻發展為更完整的

可能性線性系統使模糊迴歸的結構更趨適應性Tanaka 與Watada (1988)

闡明可能性線性模式的概念推演建構成可能性線性迴歸模式Tanaka et

al(1989)應用模糊資料於可能性迴歸系統中並建構最小化最大化及混合

式三種線性規劃模式又對先前所提出的模式加以修正但就如Redden 與

Woodall (1994)所指出Tanaka 類型的模式對於離群值(outlier)的反應非常

敏感甚至在觀察值的個數增加時求解結果可能會產生無限多解因

此在Tsaur 與Wang (1999)提出的文獻對於在模糊迴歸分析中的離群值進行

一系列探討

2 模糊最小平方法

模糊最小平方法(fuzzy least squares)乃擴展傳統之最小平方法的觀念

最早由Diamond (1988)所提出利用傳統最小平方法的觀念求出一個模糊

迴歸模式以估算(approximate)反應變數的觀察值並非如區間迴歸中的包含

觀察值在其模式中利用反應變數的觀察值與估計值的模糊數值之最小

值最可能值與最大值定義兩者之間的距離以衡量迴歸模式與模糊資

料之間的最佳配適度的情形在使得所有觀察值與估計值的模糊數值之間

的距離平方總和為最小時可以導出類似傳統迴歸分析中的正規方程式

(normal equation)以求解迴歸係數

25

其後Chang 與Lee (1996)則將Diamond (1988)的方法加以擴充將迴

歸係數的最可能值與展度分別估計該方法的特點在於可將極端值(outlier)

加以處理並降低其影響程度Ma等人(1997)則將此類方法發展於適合非

三角模糊數值的場合Diamond 與Koumlrner (1997)則在此類方法中定義一

個判定係數的計算方法以比較不同模式的適合性Wu與Tseng (2002)提出

改善模糊迴歸模式之最小平方法其模式主要觀念是利用最小平方法將所

有樣本的左端點及右端點各配置一條迴歸線然後在將其左右迴歸線統合

成一條迴歸線

而在Kim 與Bishu (1998)的研究中是利用各個具有三角模糊數值的反

應變數之最小值最可能值與最大值以最小平方法分別計算出模糊迴歸

係數所得到的係數不一定為對稱的三角模糊數在此種求解方式下雖

然可以得到比較小的估計誤差但其缺點是無法處理解釋變數為模糊數的

情形另外Kim 與Bishu(1998)還提出了評估模糊迴歸模式的準則利用觀

察值與估計值歸屬函數之間面積的差異做為迴歸模式的估計誤差但其評

估準則的問題是無法比較不同模式在觀察值與估計值歸屬函數之間不具有

交集時的誤差情況在此情況下求算估計誤差時無法準確評估其總誤差而

導致評估失真而其他學者如Yang與Ko (1997)Yang 與Lin (2002)等則

是提出以最小平方法為基礎的模糊聚類分析求解方式

3 模糊隨機變數估計法

為了建構一個同時具有隨機和模糊特性的系統Kwakernaak (1978)首

先提出模糊隨機變數(fuzzy random variables)的概念認為傳統的隨機變數

U Ωrarr R為實數可測函數而模糊隨機變數則將一般隨機變數的概念廣義

化模糊隨機變數可表示為X ΩrarrS設ω isinΩ而ω 所對應到的不再是實

數值U(ω)而是模糊集合X (ω)S 代表模糊集合且Kwakernaak (1978)擴

充原來Zadeh 提出模糊集合之架構認為有時供作參考的資訊不齊全在

對某些述句進行評斷時我們無法判斷其絕對為真或絕對為假此時我

們考慮將原有的二元邏輯思維方式推廣暫且不作肯定的判決而僅是表

達出對錯的程度換句話說真值可以是介於單位區間[01] 內的任何值

如此思維方式稱之為多值邏輯(multivalued value)並將模糊集合視為一組

述句(statement)的集合且每個述句均對應一真值程度以符合人類的思維與

想法Stein 與Talati (1981)利用模糊數值的隸屬函數提出模糊隨機變數

26

的期望值之計算方式Kruse 與Meyer (1987)藉助集合表徵的概念建立了

一套模糊隨機變數的定義而為了讓模糊隨機變數能實際應用並將討論

的範圍界定在一模糊集合族上Koumlrner (1997)及Naumlther (1997)利用該方法以

求算模糊隨機變數的期望值與變異數並應用於線性模糊迴歸模式的求解

等另外在曾能芳(民 91)的博士論文研究中指出在Tanaka et al (1982)

的模糊迴歸模式中並不具備誤差項因此模式無法呈現樣本與期望值之間

的關係而無法討論線性規劃估計程序所具備的統計性質所以在曾能芳

(民 91)提出的迴歸模式中採用模糊樣本是由依變數之模糊期望值加上測量

誤差所組成並提出測量誤差存在於中點的模糊迴歸模式以及測量誤差

同時存在於中點和半徑的模糊迴歸模式

4 兩階段求解方法

以兩階段方法(two stage method)求解模糊迴歸模式的想法是在於結合

最小平方法與區間迴歸的觀念試圖降低反應變數估計值的模糊度如Savic

與Pedrycz (1991)對模糊迴歸模式的求解分為兩個步驟進行第一步以

反應變數的模糊數值之最可能數值為基礎將模糊數值視為簡化的明確數

值以傳統最小平方法求解迴歸係數的中心值第二步利用區間迴歸的

方式在使得迴歸係數的模糊度為最小的情形下以決定迴歸係數的三角

模糊數值Kao 與Chyu (2002)提出另一種模糊迴歸模式的兩階段求解方

法在第一階段先利用解模糊(defuzzification)方法將模糊觀察值轉換成為一

組明確數值之後利用該組明確數值以傳統的最小平方法求解迴歸係

數第二階段則是以Kim 與Bishu 所提之評估準則為目標式決定一個誤

差項估計值的模糊數以使得在Kim 與Bishu (1998)評估準則下的總誤差量

為最小該方法的特別之處在於求解的迴歸係數為明確數值而誤差項估計

值為模糊數值雖然此種求解方式可以得到很小的估計誤差但因其所著

眼的仍是Kim 與Bishu 評估準則下的面積估計誤差使得當觀察值與估計

值歸屬函數之間不具有交集時所衡量出的估計誤差較真實誤差為小且其

求解方法比較適合於觀察值為三角或梯形的模糊數值欲應用於其他型式

的模糊數值求解上則較為困難而在邱清爐(民 91)的博士論文中則是將

其兩階段求解方法對各種不同的模糊迴歸模式進行建構與評估並將其求

解方法應用於工作滿意度實例

5 其他求解方法與相關研究

27

Tanaka 等人(1995)後來提出另外一種模糊迴歸模式的求解方法將傳

統的估計誤差當作是存在解釋變數與反應變數之間的關係之可能性

(possibility)故模糊觀察值的展度可以直接轉換成迴歸係數的指數可能性

分配(exponentialpossibility distribution)而可以使用與傳統迴歸非常類似的

方式加以求解Tanaka與 Lee (1999)再利用辨識方法(identification method)

求解迴歸模式在其研究中利用辨識方法以決定模糊線性系統(fuzzy linear

system)中迴歸係數的可能性分配並認為由此方法所求解的迴歸係數會

有比較小範圍的可能性分配近年來有愈來愈多的學者將模糊迴歸分析

應用於其他傳統的決策方法及不同領域上如 Dunyak 與 Wunsch(2000)使

用 α 截集的端點以類神經網路(neuralnetworks)進行模糊迴歸分析Lee

與 Chen(2001)則將模糊迴歸模式使用於人力預測的問題上Tseng 等人

(2001)將由模糊迴歸模式建立之 ARIMA 模式用以預測匯率Tseng 與

Tzeng(2002)則利用模糊迴歸模式的求解方法以建構具有季節變動的

ARIMA 模式Kim 與 Bishu(1996)應用於人力可靠度分析的操作反應時間

上Wu 與 Tseng(2002)將其模糊迴歸模式應用在景氣對策信號上的分析

王景男(民 89)將模糊迴歸分析應用於籃球比賽攻防技術策略上曹勝雄

曾國雄江勁毅(民 85)以國人赴港旅客需求之預測為例說明傳統迴歸

模糊迴歸類神經網路之差別張良斌陳育民(民 86)將模糊目標迴歸法

應用在垃圾衛生掩埋場沼氣回收設備的成本估算謝邦昌林燦隆呂理

添(民 85)將模糊迴歸運用在甘蔗產量的預測對於上列有關模糊迴歸分析

的研究中絕大部份的文章均侷限於線性模式的分析鮮有文章討論非線

性模糊迴歸模式的求解最近雖然有少數學者開始討論非線性模糊迴歸模

式的解法如 Xu(1997)Buckley 與 Feuring(2000)的研究等但使用的方

法所求解的迴歸係數仍然為模糊數值其造成反應變數估計值的展度會

隨著解釋變數之數值增加而擴大的問題仍無法避免

28

第三章 研究方法

本章介紹本文將運用於數值分析中的預測研究方法利用本章建構的

方法可清楚了解如何利用混沌理論基於相空間重構的方式及模糊迴歸方

法於預測中

31 混沌時間序列建立預測方法

時間序列的模型建構和預測是資料處理研究領域中的重要方向其中

預測方法主要有線性和非線性預測方法兩種預測就是對未來作出估計和

推斷而通常要對研究對象或資料進行假設這一過程稱為建模利用建

模的方式獲得資料的科學表示就稱為模型混沌時間序列雖然看似隨機

但它卻是由確定系統產生的因此我們可以對混沌時間序列作出短期預測

同時由於混沌對初始條件微小差異的高度敏感性我們無法對混沌時間序

列作出長期預測每一步預測帶來的微小偏差都會使得下一步預測的偏差

擴大最終導致預測序列與原始序列完全不同

311李亞普諾夫指數判定資料混沌特性

進行預測前需根據 212節中提及的李亞普諾夫指數來判定資料是否

具有混沌特性最大李亞普諾夫指數是判斷和描述非線性時間序列是否為

混沌系統的重要參數因此是一個重要的混沌不變數

混沌系統中的李雅普諾夫指數可用來判斷系統是收斂的還是混沌的當系

統的李雅普諾夫指數中至少有一個為正時系統是混沌的 當系統的李雅

普諾夫指數均為負數時系統是收斂的 對於系統是否存在動力學混沌可以直觀的判斷最大李亞普諾夫指數是否

大於零一個正的李亞普諾夫指數代表著在系統相空間中無論初始兩

條軌跡的間距多小兩條軌跡的差別都會隨著時間的演化而成指數率的增

加而導致無法預測這就是混沌現象

312重建相空間

傳統的建模和預測方法己廣泛地應用社會科學中但大部分都是基於

線性系統混沌時間序列並不適用於非線性的混沌時間序列於是在判斷

時間序列性質後若判定序列以隨機性為主應採用從 AR 或 ARIMA 等隨

機模型來預測如果判定以混沌為主則應採用非線性確定性的方法進行

29

預測非線性時間序列的預報是經過相空間重構後對相空間中的動力軌

跡進行預報由於混沌系統具有被稱為「蝴蝶效應」的初始值敏感性所

以混沌時間序列是不能長期預測的但對於短時間內混沌系統的軌道在

相空間中具有一定的規律它們的預測性是可獲得的並比一般的基於統

計方法的預測能力要來得好

時間序列資料是時間離散後的樣本值用 表示將它「嵌入」到

一個 m維(mgt0)的空間中進行相空間重構後得到嵌入向量

(31)

由嵌入向量 可擴張成一嵌入空間 E由 Taken嵌入定理可知存

在映射面 滿足

(32)

上式表是出在拓樸的意義中可完全預測吸引子的特徵所以上式也可

表示為

(33)

其中函數 為 的一個估計值由式 (33)可得之我們可用

來預測

313相空間維度相關維度

在實作的研究上有許多方法可以用來估計混沌吸引子的維度本研

究選用較為常見的相關維度方法相關維度需先計算相關和將相空間中

所有樣本點皆計算其各別半徑收斂後之趨近值相關方程式（Correlation

Function）定義如下

(34)

其中

當 rrarr0時

兩邊同取對數可得

(35)

定義相關維度為 與 之曲線斜率為

(36)

在實際應用中經常給定一組維度 值選取適當的 r繪出

30

曲線求曲線當中直線段的斜率 如果系統存在這樣一個 值達到此

值後相應的關聯維數不再隨 的增長而變化也就是趨於飽和這表明

該序列為混沌系統其吸引子是存在的此時 值即為重構相空間的最佳

嵌入維數否則則表明該序列為隨機系統不具有混沌性

314 時間遞移數

利用 2123節中介紹的概念及 2124 中介紹的自相關函數求解出時

間遞移數的結果自相關函數公式如下

1

1

1( )( )

1( )

n k

t t k

tk n

t

t

x x x xn k

r

x xn

(37)

n為原資料樣本數k為時間遞移後的樣本點

將自相關係數計算的結果與每一筆遲延時間距離數值繪製成圖表可

由圖表中可分析辨別時間序列數據的初步基本特徵圖表繪製的結果顯示

自相關係數跟隨遲延時間距離數值的增加而顯示收歛且具有震盪循環之跡

象則表示數據具有一種規則屬於一混沌時間序列

32 複線性迴歸

確立資料為混沌後運用自我相關係數計算出時間遞移數及相空間維

度後將加入複線性迴歸運算複線性迴歸中常用的預測方法分為兩種

1 全域法

全域法就是利用相空間軌跡中的全部向量點做為擬合對象找出其

規律由此進行短期預測也就是說利用收集的大量的歷史資料利用

複線性迴歸訓練出迴歸參數再將未放進訓練迴歸參數的資料使用訓練

出的迴歸參數計算出預測值的資料型態本文還將原本的歷史資料分析

出資料的季節性後先去除季節性的影響最後再加回季節性討論預測結

果

2 局域法

局域法的基本原理是僅利用有限個鄰近點的資訊而不是利用全部的

樣本點來擬合 局域法預測是把相空間軌跡中的最後一點作為待測點對

離待測點鄰近的若干個相空間點的關係作出擬合再對預測相空間點的未

來演化規律進行預測本文使用零階局域法零階局域法是直接將鄰近樣

31

本點應用於預測根據鄰近樣本點預測 的最簡單的方法就是尋找相

空間中距離 最近的點假設距離最近的點是 那麼它的下一個樣本

點為 即可做為 的預測值

因數值資料在每日重複發生變動所以本研究又加入計算季節性指數

對趨勢線做季節性調整也就是對時間序列做季節性調整

33 模糊迴歸分析

運用模糊的概念帶進迴歸模式中處理具模糊性的資料問題此稱為模

糊迴歸分析本文利用的模糊迴歸模式主要有兩個方向一個是Tanaka et al

(1982)提出的模糊線性迴歸另一個是由Chang 與Lee (1994)所提出修正型

迴歸模式Tanaka 起初所提出的線性規劃模型

0 1

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Min C X

st 0 0

(1 ) (1 )p p

j ij j ij ii

j j

X H c X y H e

(38)

0 0

(1 ) (1 )p p

j ij j ij ii

j j

X H c X y H e

0jc j R 0 1iX 0 1H 123i n 012j p

Tanaka 所提出的模糊模型未考慮到散度為負值的條件所以模糊上下

界會不斷的擴張而越來越寬大由 Chang 與 Lee (1994)所提出修正型迴歸

模式即將模糊的散度可為負值使上下界的模糊區間為遞減的情形遞

減的情形由圖 31表示

圖 31 模糊區間隨自變數越大而越窄

0

2

4

6

8

10

上界 中心線 下界

32

假設圖表中計算出的模糊迴歸函數為 0 0 1 1 Y c c X 模糊上界為

0 0 1 1UY c c X 模糊下界為 0 0 1 1LY c c X

33

第四章 數值分析

本章資料來源1台灣區車輛工業同業公會

2台北市交通局

本章所使用的數據資料為台北市交通局提供的公開的車流量資料數

值分析所使用的方法已在第三章論述利用第三章的方法分析數值預測的

準確性並結合模糊迴歸常見的兩種方法幫助決定預測的可接受範圍本

章介紹本文所利用的數學模型及方法在複線性迴歸的模型中分成混沌全

域法去季節性後的混沌全域法以及混沌局域法預測出的結果加以討論預

測的準確性再將預測值去季節性觀察準確程度最後再帶入模糊迴歸

利用 05H 加以討論如何將模糊迴歸中的散度用以選擇預測值的範圍第

一節針對傳統複線性迴歸方法並結合全域法觀念訓練資料迴歸係數討

論預測結果第二節針對傳統複線性迴歸方法並結合局域法觀念訓練資

料迴歸係數討論預測結果第三節針對預測資料去除季節性後再利用

傳統複線性迴歸方法討論預測結果第四節針對模糊迴歸的兩種方法選

擇出預測的範圍

利用第三章論述的時間遞移及相關維度的做法將本文利用具混沌性

的資料加以分析將資料先利用 212 節中介紹的李雅普諾夫指數 判定是

否具混沌性具有混沌性的資料才能利用混沌理論重構相空間若李雅

普諾夫指數 介在 0跟 1之間則表示資料具有混沌性質本文資料利用程

式計算出李雅普諾夫指數 運用自我相關係數判斷出時間遞移

數 相關維度計算出維度 我相關係數判斷時間遞移數與相關維

度的圖形以及原始資料時間遞移後的資料圖如圖 41圖 42圖 43

34

圖 41相空間維度及 lnC與 ln r斜率關係圖

圖 42相空間維度及 lnC與 ln r斜率關係圖

0

1

2

3

4

5

6

7

0 5 10 15 20

相空間維度

斜

率

d

-02

0

02

04

06

08

1

12

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33

時間遞移數

自我相關函數

35

圖 43 原始資料時間序列圖

41 複線性迴歸混沌全域法

本文所使用的資料為 10日的車流量資料利用前 9日的資料訓練出迴

歸參數將迴歸參數代入複線性數學模型中計算出的迴歸方程式為

1 2 3 4

5 6 7 8 9

10 11 12 13 14

435363 00819 00338 01777 00070

01116 01999 00299 02716 00349

01399 00056 01113 00738 02038

y x x x x

x x x x x

x x x x x

(41)

解出迴歸參數計算出複線性迴歸方程式後再將最後一日 144筆的車

流資料代入方程式中計算出預測值利用複線性迴歸混沌域法預測出的結

果如圖 44

圖 44 複線性迴歸分析預測與原始資料比較圖-全域法

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

1 53

10

5

157

209

26

1 31

3

365

41

7

469

52

1 57

3

625

67

7

729

78

1 83

3

885

93

7

989

10

41

1093

11

45

1197

12

49

1301

13

53

1405

原始資料點

原始資料點

-50

0

50

100

150

200

1

7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

103

109

115

121

127

133

139

實際值

預測值

36

由圖表的狀況可觀察出運用複線性迴歸模型預測的結果不盡理想本

研究認為運用複線性迴歸預測的結果不佳的原因有二

1 利用全域法預測是將較大量的歷史資料加入考慮訓練出迴歸參數這

樣的結果造成削弱了原本的奇異點(相較於同時段資料差異性較大的點)

的影響力

2 嵌入維度 太高對於混沌時間序列隨著嵌入維度增高歷史

對未來的影響是呈指數衰減的所以全域法所利用的資訊歷史就越長

預測的精準度就會迅速下降因此本研究將加入局域法討論預測的準

確性

42 複線性迴歸混沌局域法

局域法的做法為尋找相空間重構後的點對待測點尋找鄰近的 k個相

空間點對離待測點鄰近的若 k個相空間點的關係作出擬合並分析出複

迴歸方程式的迴歸參數本文嘗試選取 k=50~250的結果以下只列舉 k=200

的圖解釋預測結果

圖 45 複線性迴歸分析預測與原始資料比較圖-局域法(k=200)

圖 44與圖 45比較後可看出區域法預測的準確性比全域法更好某

些預測出來的結果的點與原始資料的點差異性大有明顯的偏移本研究

認為利用局域法預測的結果不佳的原因如下由圖 45可看出預測結果與

原始資料間差異性較大的點位為數列的右側 而數列尾端的資料為凌晨或

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

1

7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

103

109

115

121

127

133

139

實際值

估計值

37

是深夜的車流量因每日凌晨或是深夜的車流量變化量較少(例如某日的凌

晨十二點十分可能為 0台車或是小於 10台車經過)所以資料的差異性

較大造成頭尾的資料預測上較為不準確

因為同時段的資料可能會影響資料預測出的結果所以我們下節就以

加入季節性的考慮來加以討論預測結果

43 複線性迴歸去除季節性後混沌全域法

本文使用的車流量資料為每日 24時換算成 1440分鐘每 10分鐘記

錄一點於是本研究依資料的記錄時間點來劃分季節性將季節分成 144

個季分別求出季節性指數求取季節性指數後將每個資料點先去除季

節性利用全域法訓練出去季節性後的迴歸係數再利用複線性求出預測

值最後將去除的季節指數乘回預測點結果如下

圖 46考慮季節性複線性迴歸分析預測與原始資料比較圖-全域法

此考慮季節性因子的複線性迴歸分析預測與原始資料的比較是用全

域法去訓練迴歸參數的而由圖 44我們可以得知一開始未考慮季節因

子使用全域法的複線性迴歸預測是不準確的本研究認為原本的歷史資

料隨著季節性因子的變化該系統原本呈現複雜的動態特性實際上由於

車流量的變動有許多外在因素的影響例如氣候假期hellip等影響會使

資料的變化過程發生不同程度的偏離而對於季節性事件來說其事件發

生的過程主要受季節性參數週期性變化的影響 因此影響因素的具體形

式可以近似地表示為單一函數本文考慮季節因素對車流量的影響意即

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

1

7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

10

3

10

9

11

5

12

1

12

7

13

3

13

9 實際值

預測值

38

經過季節性分析後的得到的預測分析結果很準確如圖 46所示此結果

表示季節性影響樣本資料的情形大也代表著在季節因素影響下系統中

事件的動態變化情況是隨著季節影響參數的變化而造成系統呈現各種

各樣複雜的動態特性如週期解混沌情形hellip等

44 模糊迴歸

441Tanaka模糊迴歸

μ及 H 值之選定原則為當不確定性愈大時其 μ及 H 值愈接近 0

反之當資料不確定性愈小時μ及 H 值取愈接近 1 之值Bardossy 等人

建議其值在 05~07間為適宜根據 Tanaka在 1982年所提到的方法我們

可以求得一模糊迴歸函數並可得知其中心線與其上界及下界假定在 H =

05的情況下利用 Tanaka模糊迴歸模式算出迴歸函數為

(42)

中心線與上下界的簡單迴歸方程式為

中心線 (43)

上界 (44)

下界 (45)

繪製出的圖形如圖 47所示

圖 47 Tanaka 模糊迴歸

0

50

100

150

200

250

300

1

7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

103

109

115

121

127

133

139

下界

中心線

上界

39

圖 48 Tanaka 模糊迴歸中心線與預測值之結合

從圖 48可看出預測值與模糊迴歸的中心線 有明顯的時間差異但由

圖可以觀察出模糊迴歸的中心線 的預測趨勢與實際值是相近的雖然利

用模糊迴歸預測的時間點比實際時間快但是相對來說也是可以用來預

測之後將發生的趨勢本研究認為若模糊迴歸可用於預測中則可用模糊

的散度 c當做預測行為中選取的可接受的變動範圍如圖 49最後將 Tanaka

模糊迴歸中心線上下界與實際值之結合如圖 410所示

圖 49 Tanaka 模糊迴歸中心線上下界與實際值之結合

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

1

8

15

22

29

36

43

50

57

64

71

78

85

92

99

106

113

120

127

134

141

實際值

中心線

0

50

100

150

200

250

300

1

7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

103

109

115

121

127

133

139

實際值

下界

上界

預測

值

預測值

40

圖 410 Tanaka 模糊迴歸中心線上下界與實際值之結合

442修正型 Tanaka模糊迴歸

因為我們要將模糊迴歸應用於預測中所以本研究將複線性迴歸的趨

勢線視為模糊迴歸的中心線再利用修正型 Tanaka模糊迴歸模式算出迴歸

函數為

(46)

中心線與上下界的簡單迴歸方程式為

中心線

上界

下界

繪製出圖形如圖 411

0

50

100

150

200

250

300

1 7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

103

109

115

121

127

133

139

實際值

預測值

下界

上界

41

圖 411 修正型模糊迴歸中心線上下界與實際值之結合

本研究使用的修正型模糊迴歸中心線與傳統的迴歸方程式相同所以

可用來處理或分析模糊資料與明確資料同時修正型模糊迴歸的上下界

與 Tanaka 模糊迴歸相較也變窄了此兩種現象就是修正型迴歸的特色因

為中心線與傳統的迴歸方程式也相同這種修正型迴歸散度可選擇為負值

的特色本研究認為可以應用在預測上因為上下界與中心線間的散度變

窄使得前文所敘述到的利用散度來選取預測範圍便可更為嚴格也可

使預測的結果更為可靠如圖 412所示

圖 412 Tanaka 上下界與修正型模糊迴歸上下界的寬度差別

0

50

100

150

200

250

1 7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

103

109

115

121

127

133

139

下界

中心線

上界

0

50

100

150

200

250

300

1 8 15

22

29

36

43

50

57

64

71

78

85

92

99

106

113

120

127

134

141

Tanaka下界

Tanaka上界

Tanaka修正型下界

Tanaka修正型上界

42

第五章 結論及未來研究方向

51 結論

根據前文的討論傳統迴歸和模糊迴歸建立在不同的理論基礎上傳

統迴歸是以機率為基礎而模糊迴歸則是以可能性為基礎傳統迴歸因變

數的估計值與觀測值之間的差異為因變數的隨機性而模糊迴歸因變數的

估計值則產生於觀測值之模糊度惟兩者最大不同處在於模糊迴歸式的

迴歸係數與預測值皆為模糊數（區間值）不同於傳統迴歸係數與預測值

均為明確的數值此外傳統迴歸侷限於對明確資料的分析可能性模糊

迴歸僅適用於分析具模糊性的資料而複合的模糊迴歸則可同時適用於分

析模糊與明確的資料此為此模式最大的特點

模糊迴歸應用於預測中大多的結果是不佳的但是我們透過結合混

沌與模糊迴歸的概念將混沌的預測單點概念拓展成一個可接受的預測

範圍

PT Chang 與ES Lee 使用修正型模糊迴歸重新定義散度做出新的

模糊上下界均為改善模糊迴歸模式Tanaka之研究本研究將模糊迴歸與

混沌理論之建立時間序列的預測情形加以結合討論發現模糊迴歸在預測

的行為中是可行的但可惜的是即使預測的趨勢相近但預測值出時間

的點卻有差別這樣的結果我們可以看出若能找到解決加強模糊與複線性

迴歸關係之間時間的關聯性就能利用模糊的不確定性來討論預測問題

52 未來之研究方向

本研究將模糊迴歸與混沌理論之建立時間序列的預測情形加以結合討

論發現模糊迴歸在預測的行為中是可行的但可惜的是即使預測的趨

勢相近但預測值出時間的點卻有差別這樣的結果我們可以看出若能找

到解決加強模糊與附線性迴歸關係之間時間的關聯性就能利用模糊的不

確定性來討論預測問題

為了符合現今社會多元的狀況模糊迴歸與傳統迴歸之觀念勢必加以

混合應用也為了解決此等問題混合式迴歸（Hybrid Regression）在近年

來被提起也因此參數的估計模糊迴歸與傳統迴歸的混合應用將成

為往後繼續研究探討之目標

建議未來可用模糊加權修正模糊迴歸使模糊迴歸在預測上更能直接

43

將對事物多個構面評估的意見與其影響事物狀況的重要程度作加權的運

算

44

參考文獻

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23

歸模式以便求解資料間距離最小的模糊迴歸方程

模糊迴歸應用上比統計迴歸更具彈性統計迴歸通常需要大量資料以

支持其假設而模糊迴歸卻無此需求因此當資料量不足或隨機性難以驗

證時模糊迴歸是較強健的(Robust)同時當所蒐集之資料的不確定性乃

來自於人類之主觀判斷時模糊迴歸較具適用性

因此模糊迴歸模式逐漸受到重視在1990年代的研究包括Sakawa及

Yano針對投入變數與輸出變數皆為模糊資料的問題建構出一個多目標的模

糊迴歸模式此外Chang和Lee則認為模糊迴歸中心線的趨勢與模糊迴歸散

佈值的趨勢可以存在不一致性為了分析統計迴歸與模糊迴歸的差異Kim

Moskowitz 及Koksalan 利用模擬分析比較統計迴歸與模糊迴歸的結果認

為由機率論所得的統計迴歸模式在大樣本時其預測績效遠比可能性理論

(Possibility theory)推演而得的模糊迴歸模式為佳然而當資料量遞減或所構

建的模式適合性變差時(即變數間存在模糊關係)則模糊迴歸模式的預測績

效將優於統計迴歸模式由於模糊迴歸模式在解決資料量少及系統關係模

糊不清的問題上具有較佳之績效而存在其正面之價值當變數間存在模

糊關係時

從早期到目前已發展出多種模糊迴歸模式求解方式以下根據薛展青

(2004)所整理的模糊迴歸分析整裡敘述如下

1 區間迴歸法

區間迴歸法(interval regression)其模型架構主要是由Tanaka et al(1982)

所提出的模糊線性迴歸(fuzzy linear regression)模型Tanaka et al(1982)所發

表的論文中表示傳統的迴歸模型中造成實際值與估計值的誤差來源被

認為是由測量或觀察所造成的而此誤差項在模糊線性迴歸模型中是因

模糊系統中參數的模糊性所產生的即誤差是反應模糊線性函數的模糊現

象因此以模糊線性函數來表示迴歸方程式而迴歸參數則是以模糊集合

來表示

Tanaka et al(1982)在估計模糊迴歸參數時是利用線性規劃技巧

(linearprogramming method)來尋求一組能將實數值樣本或模糊數樣本全部

包含的區間最後求得一組對稱三角形模糊數之迴歸參數

自Tanaka等人(1982)的文章發表之後後續的學者大多以此為基礎陸

續題出各種相關的模式與求解方法如Peters (1994)將Tanaka的線性規劃法

24

求解推廣為模糊線性規劃法求解讓資料對模糊迴歸模式的適應性更加提

升YenGhoshray 與Roig (1999)提出由於非對稱迴歸係數導因於大多數的

資料為離群值使得對稱三角迴歸係數不再適用因此將Tanaka et al的模

式推廣為非對稱三角迴歸係數Moskowitz 與Kim (1993)探討不同水準值下

模糊迴歸模式的求解與模式配適程度Redden 與Woodall (1996)探討模糊

迴歸分析預測未來值的結果Sakawa 與Yano (1992)將Tanaka的方法擴展到

依變數及自變數皆是模糊集合的情況並將之稱為多目標線性迴歸法

(multiobjective linear regression model)Koumlrner 與Naumlther (1998)討論解釋變

數與反應變數兩者皆為模糊數值的情況Kacprzyk 與Fedrizzi (1992)則蒐集

了各種不同迴歸模式的求解方法Redden 與Woodall (1994)說明Tanaka後

續提出的求解模式當中所具備的性質以及與傳統迴歸方法的差異比較

但是在此模式下求解之迴歸係數本身亦為一對稱的三角模糊數值

而且求解結果很容易受到資料尺度(scale)的影響使得反應變數估計值之展

度會變得更為寬廣後來Tanaka (1987)根據1982年的文獻發展為更完整的

可能性線性系統使模糊迴歸的結構更趨適應性Tanaka 與Watada (1988)

闡明可能性線性模式的概念推演建構成可能性線性迴歸模式Tanaka et

al(1989)應用模糊資料於可能性迴歸系統中並建構最小化最大化及混合

式三種線性規劃模式又對先前所提出的模式加以修正但就如Redden 與

Woodall (1994)所指出Tanaka 類型的模式對於離群值(outlier)的反應非常

敏感甚至在觀察值的個數增加時求解結果可能會產生無限多解因

此在Tsaur 與Wang (1999)提出的文獻對於在模糊迴歸分析中的離群值進行

一系列探討

2 模糊最小平方法

模糊最小平方法(fuzzy least squares)乃擴展傳統之最小平方法的觀念

最早由Diamond (1988)所提出利用傳統最小平方法的觀念求出一個模糊

迴歸模式以估算(approximate)反應變數的觀察值並非如區間迴歸中的包含

觀察值在其模式中利用反應變數的觀察值與估計值的模糊數值之最小

值最可能值與最大值定義兩者之間的距離以衡量迴歸模式與模糊資

料之間的最佳配適度的情形在使得所有觀察值與估計值的模糊數值之間

的距離平方總和為最小時可以導出類似傳統迴歸分析中的正規方程式

(normal equation)以求解迴歸係數

25

其後Chang 與Lee (1996)則將Diamond (1988)的方法加以擴充將迴

歸係數的最可能值與展度分別估計該方法的特點在於可將極端值(outlier)

加以處理並降低其影響程度Ma等人(1997)則將此類方法發展於適合非

三角模糊數值的場合Diamond 與Koumlrner (1997)則在此類方法中定義一

個判定係數的計算方法以比較不同模式的適合性Wu與Tseng (2002)提出

改善模糊迴歸模式之最小平方法其模式主要觀念是利用最小平方法將所

有樣本的左端點及右端點各配置一條迴歸線然後在將其左右迴歸線統合

成一條迴歸線

而在Kim 與Bishu (1998)的研究中是利用各個具有三角模糊數值的反

應變數之最小值最可能值與最大值以最小平方法分別計算出模糊迴歸

係數所得到的係數不一定為對稱的三角模糊數在此種求解方式下雖

然可以得到比較小的估計誤差但其缺點是無法處理解釋變數為模糊數的

情形另外Kim 與Bishu(1998)還提出了評估模糊迴歸模式的準則利用觀

察值與估計值歸屬函數之間面積的差異做為迴歸模式的估計誤差但其評

估準則的問題是無法比較不同模式在觀察值與估計值歸屬函數之間不具有

交集時的誤差情況在此情況下求算估計誤差時無法準確評估其總誤差而

導致評估失真而其他學者如Yang與Ko (1997)Yang 與Lin (2002)等則

是提出以最小平方法為基礎的模糊聚類分析求解方式

3 模糊隨機變數估計法

為了建構一個同時具有隨機和模糊特性的系統Kwakernaak (1978)首

先提出模糊隨機變數(fuzzy random variables)的概念認為傳統的隨機變數

U Ωrarr R為實數可測函數而模糊隨機變數則將一般隨機變數的概念廣義

化模糊隨機變數可表示為X ΩrarrS設ω isinΩ而ω 所對應到的不再是實

數值U(ω)而是模糊集合X (ω)S 代表模糊集合且Kwakernaak (1978)擴

充原來Zadeh 提出模糊集合之架構認為有時供作參考的資訊不齊全在

對某些述句進行評斷時我們無法判斷其絕對為真或絕對為假此時我

們考慮將原有的二元邏輯思維方式推廣暫且不作肯定的判決而僅是表

達出對錯的程度換句話說真值可以是介於單位區間[01] 內的任何值

如此思維方式稱之為多值邏輯(multivalued value)並將模糊集合視為一組

述句(statement)的集合且每個述句均對應一真值程度以符合人類的思維與

想法Stein 與Talati (1981)利用模糊數值的隸屬函數提出模糊隨機變數

26

的期望值之計算方式Kruse 與Meyer (1987)藉助集合表徵的概念建立了

一套模糊隨機變數的定義而為了讓模糊隨機變數能實際應用並將討論

的範圍界定在一模糊集合族上Koumlrner (1997)及Naumlther (1997)利用該方法以

求算模糊隨機變數的期望值與變異數並應用於線性模糊迴歸模式的求解

等另外在曾能芳(民 91)的博士論文研究中指出在Tanaka et al (1982)

的模糊迴歸模式中並不具備誤差項因此模式無法呈現樣本與期望值之間

的關係而無法討論線性規劃估計程序所具備的統計性質所以在曾能芳

(民 91)提出的迴歸模式中採用模糊樣本是由依變數之模糊期望值加上測量

誤差所組成並提出測量誤差存在於中點的模糊迴歸模式以及測量誤差

同時存在於中點和半徑的模糊迴歸模式

4 兩階段求解方法

以兩階段方法(two stage method)求解模糊迴歸模式的想法是在於結合

最小平方法與區間迴歸的觀念試圖降低反應變數估計值的模糊度如Savic

與Pedrycz (1991)對模糊迴歸模式的求解分為兩個步驟進行第一步以

反應變數的模糊數值之最可能數值為基礎將模糊數值視為簡化的明確數

值以傳統最小平方法求解迴歸係數的中心值第二步利用區間迴歸的

方式在使得迴歸係數的模糊度為最小的情形下以決定迴歸係數的三角

模糊數值Kao 與Chyu (2002)提出另一種模糊迴歸模式的兩階段求解方

法在第一階段先利用解模糊(defuzzification)方法將模糊觀察值轉換成為一

組明確數值之後利用該組明確數值以傳統的最小平方法求解迴歸係

數第二階段則是以Kim 與Bishu 所提之評估準則為目標式決定一個誤

差項估計值的模糊數以使得在Kim 與Bishu (1998)評估準則下的總誤差量

為最小該方法的特別之處在於求解的迴歸係數為明確數值而誤差項估計

值為模糊數值雖然此種求解方式可以得到很小的估計誤差但因其所著

眼的仍是Kim 與Bishu 評估準則下的面積估計誤差使得當觀察值與估計

值歸屬函數之間不具有交集時所衡量出的估計誤差較真實誤差為小且其

求解方法比較適合於觀察值為三角或梯形的模糊數值欲應用於其他型式

的模糊數值求解上則較為困難而在邱清爐(民 91)的博士論文中則是將

其兩階段求解方法對各種不同的模糊迴歸模式進行建構與評估並將其求

解方法應用於工作滿意度實例

5 其他求解方法與相關研究

27

Tanaka 等人(1995)後來提出另外一種模糊迴歸模式的求解方法將傳

統的估計誤差當作是存在解釋變數與反應變數之間的關係之可能性

(possibility)故模糊觀察值的展度可以直接轉換成迴歸係數的指數可能性

分配(exponentialpossibility distribution)而可以使用與傳統迴歸非常類似的

方式加以求解Tanaka與 Lee (1999)再利用辨識方法(identification method)

求解迴歸模式在其研究中利用辨識方法以決定模糊線性系統(fuzzy linear

system)中迴歸係數的可能性分配並認為由此方法所求解的迴歸係數會

有比較小範圍的可能性分配近年來有愈來愈多的學者將模糊迴歸分析

應用於其他傳統的決策方法及不同領域上如 Dunyak 與 Wunsch(2000)使

用 α 截集的端點以類神經網路(neuralnetworks)進行模糊迴歸分析Lee

與 Chen(2001)則將模糊迴歸模式使用於人力預測的問題上Tseng 等人

(2001)將由模糊迴歸模式建立之 ARIMA 模式用以預測匯率Tseng 與

Tzeng(2002)則利用模糊迴歸模式的求解方法以建構具有季節變動的

ARIMA 模式Kim 與 Bishu(1996)應用於人力可靠度分析的操作反應時間

上Wu 與 Tseng(2002)將其模糊迴歸模式應用在景氣對策信號上的分析

王景男(民 89)將模糊迴歸分析應用於籃球比賽攻防技術策略上曹勝雄

曾國雄江勁毅(民 85)以國人赴港旅客需求之預測為例說明傳統迴歸

模糊迴歸類神經網路之差別張良斌陳育民(民 86)將模糊目標迴歸法

應用在垃圾衛生掩埋場沼氣回收設備的成本估算謝邦昌林燦隆呂理

添(民 85)將模糊迴歸運用在甘蔗產量的預測對於上列有關模糊迴歸分析

的研究中絕大部份的文章均侷限於線性模式的分析鮮有文章討論非線

性模糊迴歸模式的求解最近雖然有少數學者開始討論非線性模糊迴歸模

式的解法如 Xu(1997)Buckley 與 Feuring(2000)的研究等但使用的方

法所求解的迴歸係數仍然為模糊數值其造成反應變數估計值的展度會

隨著解釋變數之數值增加而擴大的問題仍無法避免

28

第三章 研究方法

本章介紹本文將運用於數值分析中的預測研究方法利用本章建構的

方法可清楚了解如何利用混沌理論基於相空間重構的方式及模糊迴歸方

法於預測中

31 混沌時間序列建立預測方法

時間序列的模型建構和預測是資料處理研究領域中的重要方向其中

預測方法主要有線性和非線性預測方法兩種預測就是對未來作出估計和

推斷而通常要對研究對象或資料進行假設這一過程稱為建模利用建

模的方式獲得資料的科學表示就稱為模型混沌時間序列雖然看似隨機

但它卻是由確定系統產生的因此我們可以對混沌時間序列作出短期預測

同時由於混沌對初始條件微小差異的高度敏感性我們無法對混沌時間序

列作出長期預測每一步預測帶來的微小偏差都會使得下一步預測的偏差

擴大最終導致預測序列與原始序列完全不同

311李亞普諾夫指數判定資料混沌特性

進行預測前需根據 212節中提及的李亞普諾夫指數來判定資料是否

具有混沌特性最大李亞普諾夫指數是判斷和描述非線性時間序列是否為

混沌系統的重要參數因此是一個重要的混沌不變數

混沌系統中的李雅普諾夫指數可用來判斷系統是收斂的還是混沌的當系

統的李雅普諾夫指數中至少有一個為正時系統是混沌的 當系統的李雅

普諾夫指數均為負數時系統是收斂的 對於系統是否存在動力學混沌可以直觀的判斷最大李亞普諾夫指數是否

大於零一個正的李亞普諾夫指數代表著在系統相空間中無論初始兩

條軌跡的間距多小兩條軌跡的差別都會隨著時間的演化而成指數率的增

加而導致無法預測這就是混沌現象

312重建相空間

傳統的建模和預測方法己廣泛地應用社會科學中但大部分都是基於

線性系統混沌時間序列並不適用於非線性的混沌時間序列於是在判斷

時間序列性質後若判定序列以隨機性為主應採用從 AR 或 ARIMA 等隨

機模型來預測如果判定以混沌為主則應採用非線性確定性的方法進行

29

預測非線性時間序列的預報是經過相空間重構後對相空間中的動力軌

跡進行預報由於混沌系統具有被稱為「蝴蝶效應」的初始值敏感性所

以混沌時間序列是不能長期預測的但對於短時間內混沌系統的軌道在

相空間中具有一定的規律它們的預測性是可獲得的並比一般的基於統

計方法的預測能力要來得好

時間序列資料是時間離散後的樣本值用 表示將它「嵌入」到

一個 m維(mgt0)的空間中進行相空間重構後得到嵌入向量

(31)

由嵌入向量 可擴張成一嵌入空間 E由 Taken嵌入定理可知存

在映射面 滿足

(32)

上式表是出在拓樸的意義中可完全預測吸引子的特徵所以上式也可

表示為

(33)

其中函數 為 的一個估計值由式 (33)可得之我們可用

來預測

313相空間維度相關維度

在實作的研究上有許多方法可以用來估計混沌吸引子的維度本研

究選用較為常見的相關維度方法相關維度需先計算相關和將相空間中

所有樣本點皆計算其各別半徑收斂後之趨近值相關方程式（Correlation

Function）定義如下

(34)

其中

當 rrarr0時

兩邊同取對數可得

(35)

定義相關維度為 與 之曲線斜率為

(36)

在實際應用中經常給定一組維度 值選取適當的 r繪出

30

曲線求曲線當中直線段的斜率 如果系統存在這樣一個 值達到此

值後相應的關聯維數不再隨 的增長而變化也就是趨於飽和這表明

該序列為混沌系統其吸引子是存在的此時 值即為重構相空間的最佳

嵌入維數否則則表明該序列為隨機系統不具有混沌性

314 時間遞移數

利用 2123節中介紹的概念及 2124 中介紹的自相關函數求解出時

間遞移數的結果自相關函數公式如下

1

1

1( )( )

1( )

n k

t t k

tk n

t

t

x x x xn k

r

x xn

(37)

n為原資料樣本數k為時間遞移後的樣本點

將自相關係數計算的結果與每一筆遲延時間距離數值繪製成圖表可

由圖表中可分析辨別時間序列數據的初步基本特徵圖表繪製的結果顯示

自相關係數跟隨遲延時間距離數值的增加而顯示收歛且具有震盪循環之跡

象則表示數據具有一種規則屬於一混沌時間序列

32 複線性迴歸

確立資料為混沌後運用自我相關係數計算出時間遞移數及相空間維

度後將加入複線性迴歸運算複線性迴歸中常用的預測方法分為兩種

1 全域法

全域法就是利用相空間軌跡中的全部向量點做為擬合對象找出其

規律由此進行短期預測也就是說利用收集的大量的歷史資料利用

複線性迴歸訓練出迴歸參數再將未放進訓練迴歸參數的資料使用訓練

出的迴歸參數計算出預測值的資料型態本文還將原本的歷史資料分析

出資料的季節性後先去除季節性的影響最後再加回季節性討論預測結

果

2 局域法

局域法的基本原理是僅利用有限個鄰近點的資訊而不是利用全部的

樣本點來擬合 局域法預測是把相空間軌跡中的最後一點作為待測點對

離待測點鄰近的若干個相空間點的關係作出擬合再對預測相空間點的未

來演化規律進行預測本文使用零階局域法零階局域法是直接將鄰近樣

31

本點應用於預測根據鄰近樣本點預測 的最簡單的方法就是尋找相

空間中距離 最近的點假設距離最近的點是 那麼它的下一個樣本

點為 即可做為 的預測值

因數值資料在每日重複發生變動所以本研究又加入計算季節性指數

對趨勢線做季節性調整也就是對時間序列做季節性調整

33 模糊迴歸分析

運用模糊的概念帶進迴歸模式中處理具模糊性的資料問題此稱為模

糊迴歸分析本文利用的模糊迴歸模式主要有兩個方向一個是Tanaka et al

(1982)提出的模糊線性迴歸另一個是由Chang 與Lee (1994)所提出修正型

迴歸模式Tanaka 起初所提出的線性規劃模型

0 1

[ ( )]p n

j ij

j i

Min C X

st 0 0

(1 ) (1 )p p

j ij j ij ii

j j

X H c X y H e

(38)

0 0

(1 ) (1 )p p

j ij j ij ii

j j

X H c X y H e

0jc j R 0 1iX 0 1H 123i n 012j p

Tanaka 所提出的模糊模型未考慮到散度為負值的條件所以模糊上下

界會不斷的擴張而越來越寬大由 Chang 與 Lee (1994)所提出修正型迴歸

模式即將模糊的散度可為負值使上下界的模糊區間為遞減的情形遞

減的情形由圖 31表示

圖 31 模糊區間隨自變數越大而越窄

0

2

4

6

8

10

上界 中心線 下界

32

假設圖表中計算出的模糊迴歸函數為 0 0 1 1 Y c c X 模糊上界為

0 0 1 1UY c c X 模糊下界為 0 0 1 1LY c c X

33

第四章 數值分析

本章資料來源1台灣區車輛工業同業公會

2台北市交通局

本章所使用的數據資料為台北市交通局提供的公開的車流量資料數

值分析所使用的方法已在第三章論述利用第三章的方法分析數值預測的

準確性並結合模糊迴歸常見的兩種方法幫助決定預測的可接受範圍本

章介紹本文所利用的數學模型及方法在複線性迴歸的模型中分成混沌全

域法去季節性後的混沌全域法以及混沌局域法預測出的結果加以討論預

測的準確性再將預測值去季節性觀察準確程度最後再帶入模糊迴歸

利用 05H 加以討論如何將模糊迴歸中的散度用以選擇預測值的範圍第

一節針對傳統複線性迴歸方法並結合全域法觀念訓練資料迴歸係數討

論預測結果第二節針對傳統複線性迴歸方法並結合局域法觀念訓練資

料迴歸係數討論預測結果第三節針對預測資料去除季節性後再利用

傳統複線性迴歸方法討論預測結果第四節針對模糊迴歸的兩種方法選

擇出預測的範圍

利用第三章論述的時間遞移及相關維度的做法將本文利用具混沌性

的資料加以分析將資料先利用 212 節中介紹的李雅普諾夫指數 判定是

否具混沌性具有混沌性的資料才能利用混沌理論重構相空間若李雅

普諾夫指數 介在 0跟 1之間則表示資料具有混沌性質本文資料利用程

式計算出李雅普諾夫指數 運用自我相關係數判斷出時間遞移

數 相關維度計算出維度 我相關係數判斷時間遞移數與相關維

度的圖形以及原始資料時間遞移後的資料圖如圖 41圖 42圖 43

34

圖 41相空間維度及 lnC與 ln r斜率關係圖

圖 42相空間維度及 lnC與 ln r斜率關係圖

0

1

2

3

4

5

6

7

0 5 10 15 20

相空間維度

斜

率

d

-02

0

02

04

06

08

1

12

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33

時間遞移數

自我相關函數

35

圖 43 原始資料時間序列圖

41 複線性迴歸混沌全域法

本文所使用的資料為 10日的車流量資料利用前 9日的資料訓練出迴

歸參數將迴歸參數代入複線性數學模型中計算出的迴歸方程式為

1 2 3 4

5 6 7 8 9

10 11 12 13 14

435363 00819 00338 01777 00070

01116 01999 00299 02716 00349

01399 00056 01113 00738 02038

y x x x x

x x x x x

x x x x x

(41)

解出迴歸參數計算出複線性迴歸方程式後再將最後一日 144筆的車

流資料代入方程式中計算出預測值利用複線性迴歸混沌域法預測出的結

果如圖 44

圖 44 複線性迴歸分析預測與原始資料比較圖-全域法

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

1 53

10

5

157

209

26

1 31

3

365

41

7

469

52

1 57

3

625

67

7

729

78

1 83

3

885

93

7

989

10

41

1093

11

45

1197

12

49

1301

13

53

1405

原始資料點

原始資料點

-50

0

50

100

150

200

1

7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

103

109

115

121

127

133

139

實際值

預測值

36

由圖表的狀況可觀察出運用複線性迴歸模型預測的結果不盡理想本

研究認為運用複線性迴歸預測的結果不佳的原因有二

1 利用全域法預測是將較大量的歷史資料加入考慮訓練出迴歸參數這

樣的結果造成削弱了原本的奇異點(相較於同時段資料差異性較大的點)

的影響力

2 嵌入維度 太高對於混沌時間序列隨著嵌入維度增高歷史

對未來的影響是呈指數衰減的所以全域法所利用的資訊歷史就越長

預測的精準度就會迅速下降因此本研究將加入局域法討論預測的準

確性

42 複線性迴歸混沌局域法

局域法的做法為尋找相空間重構後的點對待測點尋找鄰近的 k個相

空間點對離待測點鄰近的若 k個相空間點的關係作出擬合並分析出複

迴歸方程式的迴歸參數本文嘗試選取 k=50~250的結果以下只列舉 k=200

的圖解釋預測結果

圖 45 複線性迴歸分析預測與原始資料比較圖-局域法(k=200)

圖 44與圖 45比較後可看出區域法預測的準確性比全域法更好某

些預測出來的結果的點與原始資料的點差異性大有明顯的偏移本研究

認為利用局域法預測的結果不佳的原因如下由圖 45可看出預測結果與

原始資料間差異性較大的點位為數列的右側 而數列尾端的資料為凌晨或

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

1

7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

103

109

115

121

127

133

139

實際值

估計值

37

是深夜的車流量因每日凌晨或是深夜的車流量變化量較少(例如某日的凌

晨十二點十分可能為 0台車或是小於 10台車經過)所以資料的差異性

較大造成頭尾的資料預測上較為不準確

因為同時段的資料可能會影響資料預測出的結果所以我們下節就以

加入季節性的考慮來加以討論預測結果

43 複線性迴歸去除季節性後混沌全域法

本文使用的車流量資料為每日 24時換算成 1440分鐘每 10分鐘記

錄一點於是本研究依資料的記錄時間點來劃分季節性將季節分成 144

個季分別求出季節性指數求取季節性指數後將每個資料點先去除季

節性利用全域法訓練出去季節性後的迴歸係數再利用複線性求出預測

值最後將去除的季節指數乘回預測點結果如下

圖 46考慮季節性複線性迴歸分析預測與原始資料比較圖-全域法

此考慮季節性因子的複線性迴歸分析預測與原始資料的比較是用全

域法去訓練迴歸參數的而由圖 44我們可以得知一開始未考慮季節因

子使用全域法的複線性迴歸預測是不準確的本研究認為原本的歷史資

料隨著季節性因子的變化該系統原本呈現複雜的動態特性實際上由於

車流量的變動有許多外在因素的影響例如氣候假期hellip等影響會使

資料的變化過程發生不同程度的偏離而對於季節性事件來說其事件發

生的過程主要受季節性參數週期性變化的影響 因此影響因素的具體形

式可以近似地表示為單一函數本文考慮季節因素對車流量的影響意即

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

1

7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

10

3

10

9

11

5

12

1

12

7

13

3

13

9 實際值

預測值

38

經過季節性分析後的得到的預測分析結果很準確如圖 46所示此結果

表示季節性影響樣本資料的情形大也代表著在季節因素影響下系統中

事件的動態變化情況是隨著季節影響參數的變化而造成系統呈現各種

各樣複雜的動態特性如週期解混沌情形hellip等

44 模糊迴歸

441Tanaka模糊迴歸

μ及 H 值之選定原則為當不確定性愈大時其 μ及 H 值愈接近 0

反之當資料不確定性愈小時μ及 H 值取愈接近 1 之值Bardossy 等人

建議其值在 05~07間為適宜根據 Tanaka在 1982年所提到的方法我們

可以求得一模糊迴歸函數並可得知其中心線與其上界及下界假定在 H =

05的情況下利用 Tanaka模糊迴歸模式算出迴歸函數為

(42)

中心線與上下界的簡單迴歸方程式為

中心線 (43)

上界 (44)

下界 (45)

繪製出的圖形如圖 47所示

圖 47 Tanaka 模糊迴歸

0

50

100

150

200

250

300

1

7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

103

109

115

121

127

133

139

下界

中心線

上界

39

圖 48 Tanaka 模糊迴歸中心線與預測值之結合

從圖 48可看出預測值與模糊迴歸的中心線 有明顯的時間差異但由

圖可以觀察出模糊迴歸的中心線 的預測趨勢與實際值是相近的雖然利

用模糊迴歸預測的時間點比實際時間快但是相對來說也是可以用來預

測之後將發生的趨勢本研究認為若模糊迴歸可用於預測中則可用模糊

的散度 c當做預測行為中選取的可接受的變動範圍如圖 49最後將 Tanaka

模糊迴歸中心線上下界與實際值之結合如圖 410所示

圖 49 Tanaka 模糊迴歸中心線上下界與實際值之結合

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

1

8

15

22

29

36

43

50

57

64

71

78

85

92

99

106

113

120

127

134

141

實際值

中心線

0

50

100

150

200

250

300

1

7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

103

109

115

121

127

133

139

實際值

下界

上界

預測

值

預測值

40

圖 410 Tanaka 模糊迴歸中心線上下界與實際值之結合

442修正型 Tanaka模糊迴歸

因為我們要將模糊迴歸應用於預測中所以本研究將複線性迴歸的趨

勢線視為模糊迴歸的中心線再利用修正型 Tanaka模糊迴歸模式算出迴歸

函數為

(46)

中心線與上下界的簡單迴歸方程式為

中心線

上界

下界

繪製出圖形如圖 411

0

50

100

150

200

250

300

1 7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

103

109

115

121

127

133

139

實際值

預測值

下界

上界

41

圖 411 修正型模糊迴歸中心線上下界與實際值之結合

本研究使用的修正型模糊迴歸中心線與傳統的迴歸方程式相同所以

可用來處理或分析模糊資料與明確資料同時修正型模糊迴歸的上下界

與 Tanaka 模糊迴歸相較也變窄了此兩種現象就是修正型迴歸的特色因

為中心線與傳統的迴歸方程式也相同這種修正型迴歸散度可選擇為負值

的特色本研究認為可以應用在預測上因為上下界與中心線間的散度變

窄使得前文所敘述到的利用散度來選取預測範圍便可更為嚴格也可

使預測的結果更為可靠如圖 412所示

圖 412 Tanaka 上下界與修正型模糊迴歸上下界的寬度差別

0

50

100

150

200

250

1 7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

103

109

115

121

127

133

139

下界

中心線

上界

0

50

100

150

200

250

300

1 8 15

22

29

36

43

50

57

64

71

78

85

92

99

106

113

120

127

134

141

Tanaka下界

Tanaka上界

Tanaka修正型下界

Tanaka修正型上界

42

第五章 結論及未來研究方向

51 結論

根據前文的討論傳統迴歸和模糊迴歸建立在不同的理論基礎上傳

統迴歸是以機率為基礎而模糊迴歸則是以可能性為基礎傳統迴歸因變

數的估計值與觀測值之間的差異為因變數的隨機性而模糊迴歸因變數的

估計值則產生於觀測值之模糊度惟兩者最大不同處在於模糊迴歸式的

迴歸係數與預測值皆為模糊數（區間值）不同於傳統迴歸係數與預測值

均為明確的數值此外傳統迴歸侷限於對明確資料的分析可能性模糊

迴歸僅適用於分析具模糊性的資料而複合的模糊迴歸則可同時適用於分

析模糊與明確的資料此為此模式最大的特點

模糊迴歸應用於預測中大多的結果是不佳的但是我們透過結合混

沌與模糊迴歸的概念將混沌的預測單點概念拓展成一個可接受的預測

範圍

PT Chang 與ES Lee 使用修正型模糊迴歸重新定義散度做出新的

模糊上下界均為改善模糊迴歸模式Tanaka之研究本研究將模糊迴歸與

混沌理論之建立時間序列的預測情形加以結合討論發現模糊迴歸在預測

的行為中是可行的但可惜的是即使預測的趨勢相近但預測值出時間

的點卻有差別這樣的結果我們可以看出若能找到解決加強模糊與複線性

迴歸關係之間時間的關聯性就能利用模糊的不確定性來討論預測問題

52 未來之研究方向

本研究將模糊迴歸與混沌理論之建立時間序列的預測情形加以結合討

論發現模糊迴歸在預測的行為中是可行的但可惜的是即使預測的趨

勢相近但預測值出時間的點卻有差別這樣的結果我們可以看出若能找

到解決加強模糊與附線性迴歸關係之間時間的關聯性就能利用模糊的不

確定性來討論預測問題

為了符合現今社會多元的狀況模糊迴歸與傳統迴歸之觀念勢必加以

混合應用也為了解決此等問題混合式迴歸（Hybrid Regression）在近年

來被提起也因此參數的估計模糊迴歸與傳統迴歸的混合應用將成

為往後繼續研究探討之目標

建議未來可用模糊加權修正模糊迴歸使模糊迴歸在預測上更能直接

43

將對事物多個構面評估的意見與其影響事物狀況的重要程度作加權的運

算

44

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24

求解推廣為模糊線性規劃法求解讓資料對模糊迴歸模式的適應性更加提

升YenGhoshray 與Roig (1999)提出由於非對稱迴歸係數導因於大多數的

資料為離群值使得對稱三角迴歸係數不再適用因此將Tanaka et al的模

式推廣為非對稱三角迴歸係數Moskowitz 與Kim (1993)探討不同水準值下

模糊迴歸模式的求解與模式配適程度Redden 與Woodall (1996)探討模糊

迴歸分析預測未來值的結果Sakawa 與Yano (1992)將Tanaka的方法擴展到

依變數及自變數皆是模糊集合的情況並將之稱為多目標線性迴歸法

(multiobjective linear regression model)Koumlrner 與Naumlther (1998)討論解釋變

數與反應變數兩者皆為模糊數值的情況Kacprzyk 與Fedrizzi (1992)則蒐集

了各種不同迴歸模式的求解方法Redden 與Woodall (1994)說明Tanaka後

續提出的求解模式當中所具備的性質以及與傳統迴歸方法的差異比較

但是在此模式下求解之迴歸係數本身亦為一對稱的三角模糊數值

而且求解結果很容易受到資料尺度(scale)的影響使得反應變數估計值之展

度會變得更為寬廣後來Tanaka (1987)根據1982年的文獻發展為更完整的

可能性線性系統使模糊迴歸的結構更趨適應性Tanaka 與Watada (1988)

闡明可能性線性模式的概念推演建構成可能性線性迴歸模式Tanaka et

al(1989)應用模糊資料於可能性迴歸系統中並建構最小化最大化及混合

式三種線性規劃模式又對先前所提出的模式加以修正但就如Redden 與

Woodall (1994)所指出Tanaka 類型的模式對於離群值(outlier)的反應非常

敏感甚至在觀察值的個數增加時求解結果可能會產生無限多解因

此在Tsaur 與Wang (1999)提出的文獻對於在模糊迴歸分析中的離群值進行

一系列探討

2 模糊最小平方法

模糊最小平方法(fuzzy least squares)乃擴展傳統之最小平方法的觀念

最早由Diamond (1988)所提出利用傳統最小平方法的觀念求出一個模糊

迴歸模式以估算(approximate)反應變數的觀察值並非如區間迴歸中的包含

觀察值在其模式中利用反應變數的觀察值與估計值的模糊數值之最小

值最可能值與最大值定義兩者之間的距離以衡量迴歸模式與模糊資

料之間的最佳配適度的情形在使得所有觀察值與估計值的模糊數值之間

的距離平方總和為最小時可以導出類似傳統迴歸分析中的正規方程式

(normal equation)以求解迴歸係數

25

其後Chang 與Lee (1996)則將Diamond (1988)的方法加以擴充將迴

歸係數的最可能值與展度分別估計該方法的特點在於可將極端值(outlier)

加以處理並降低其影響程度Ma等人(1997)則將此類方法發展於適合非

三角模糊數值的場合Diamond 與Koumlrner (1997)則在此類方法中定義一

個判定係數的計算方法以比較不同模式的適合性Wu與Tseng (2002)提出

改善模糊迴歸模式之最小平方法其模式主要觀念是利用最小平方法將所

有樣本的左端點及右端點各配置一條迴歸線然後在將其左右迴歸線統合

成一條迴歸線

而在Kim 與Bishu (1998)的研究中是利用各個具有三角模糊數值的反

應變數之最小值最可能值與最大值以最小平方法分別計算出模糊迴歸

係數所得到的係數不一定為對稱的三角模糊數在此種求解方式下雖

然可以得到比較小的估計誤差但其缺點是無法處理解釋變數為模糊數的

情形另外Kim 與Bishu(1998)還提出了評估模糊迴歸模式的準則利用觀

察值與估計值歸屬函數之間面積的差異做為迴歸模式的估計誤差但其評

估準則的問題是無法比較不同模式在觀察值與估計值歸屬函數之間不具有

交集時的誤差情況在此情況下求算估計誤差時無法準確評估其總誤差而

導致評估失真而其他學者如Yang與Ko (1997)Yang 與Lin (2002)等則

是提出以最小平方法為基礎的模糊聚類分析求解方式

3 模糊隨機變數估計法

為了建構一個同時具有隨機和模糊特性的系統Kwakernaak (1978)首

先提出模糊隨機變數(fuzzy random variables)的概念認為傳統的隨機變數

U Ωrarr R為實數可測函數而模糊隨機變數則將一般隨機變數的概念廣義

化模糊隨機變數可表示為X ΩrarrS設ω isinΩ而ω 所對應到的不再是實

數值U(ω)而是模糊集合X (ω)S 代表模糊集合且Kwakernaak (1978)擴

充原來Zadeh 提出模糊集合之架構認為有時供作參考的資訊不齊全在

對某些述句進行評斷時我們無法判斷其絕對為真或絕對為假此時我

們考慮將原有的二元邏輯思維方式推廣暫且不作肯定的判決而僅是表

達出對錯的程度換句話說真值可以是介於單位區間[01] 內的任何值

如此思維方式稱之為多值邏輯(multivalued value)並將模糊集合視為一組

述句(statement)的集合且每個述句均對應一真值程度以符合人類的思維與

想法Stein 與Talati (1981)利用模糊數值的隸屬函數提出模糊隨機變數

26

的期望值之計算方式Kruse 與Meyer (1987)藉助集合表徵的概念建立了

一套模糊隨機變數的定義而為了讓模糊隨機變數能實際應用並將討論

的範圍界定在一模糊集合族上Koumlrner (1997)及Naumlther (1997)利用該方法以

求算模糊隨機變數的期望值與變異數並應用於線性模糊迴歸模式的求解

等另外在曾能芳(民 91)的博士論文研究中指出在Tanaka et al (1982)

的模糊迴歸模式中並不具備誤差項因此模式無法呈現樣本與期望值之間

的關係而無法討論線性規劃估計程序所具備的統計性質所以在曾能芳

(民 91)提出的迴歸模式中採用模糊樣本是由依變數之模糊期望值加上測量

誤差所組成並提出測量誤差存在於中點的模糊迴歸模式以及測量誤差

同時存在於中點和半徑的模糊迴歸模式

4 兩階段求解方法

以兩階段方法(two stage method)求解模糊迴歸模式的想法是在於結合

最小平方法與區間迴歸的觀念試圖降低反應變數估計值的模糊度如Savic

與Pedrycz (1991)對模糊迴歸模式的求解分為兩個步驟進行第一步以

反應變數的模糊數值之最可能數值為基礎將模糊數值視為簡化的明確數

值以傳統最小平方法求解迴歸係數的中心值第二步利用區間迴歸的

方式在使得迴歸係數的模糊度為最小的情形下以決定迴歸係數的三角

模糊數值Kao 與Chyu (2002)提出另一種模糊迴歸模式的兩階段求解方

法在第一階段先利用解模糊(defuzzification)方法將模糊觀察值轉換成為一

組明確數值之後利用該組明確數值以傳統的最小平方法求解迴歸係

數第二階段則是以Kim 與Bishu 所提之評估準則為目標式決定一個誤

差項估計值的模糊數以使得在Kim 與Bishu (1998)評估準則下的總誤差量

為最小該方法的特別之處在於求解的迴歸係數為明確數值而誤差項估計

值為模糊數值雖然此種求解方式可以得到很小的估計誤差但因其所著

眼的仍是Kim 與Bishu 評估準則下的面積估計誤差使得當觀察值與估計

值歸屬函數之間不具有交集時所衡量出的估計誤差較真實誤差為小且其

求解方法比較適合於觀察值為三角或梯形的模糊數值欲應用於其他型式

的模糊數值求解上則較為困難而在邱清爐(民 91)的博士論文中則是將

其兩階段求解方法對各種不同的模糊迴歸模式進行建構與評估並將其求

解方法應用於工作滿意度實例

5 其他求解方法與相關研究

27

Tanaka 等人(1995)後來提出另外一種模糊迴歸模式的求解方法將傳

統的估計誤差當作是存在解釋變數與反應變數之間的關係之可能性

(possibility)故模糊觀察值的展度可以直接轉換成迴歸係數的指數可能性

分配(exponentialpossibility distribution)而可以使用與傳統迴歸非常類似的

方式加以求解Tanaka與 Lee (1999)再利用辨識方法(identification method)

求解迴歸模式在其研究中利用辨識方法以決定模糊線性系統(fuzzy linear

system)中迴歸係數的可能性分配並認為由此方法所求解的迴歸係數會

有比較小範圍的可能性分配近年來有愈來愈多的學者將模糊迴歸分析

應用於其他傳統的決策方法及不同領域上如 Dunyak 與 Wunsch(2000)使

用 α 截集的端點以類神經網路(neuralnetworks)進行模糊迴歸分析Lee

與 Chen(2001)則將模糊迴歸模式使用於人力預測的問題上Tseng 等人

(2001)將由模糊迴歸模式建立之 ARIMA 模式用以預測匯率Tseng 與

Tzeng(2002)則利用模糊迴歸模式的求解方法以建構具有季節變動的

ARIMA 模式Kim 與 Bishu(1996)應用於人力可靠度分析的操作反應時間

上Wu 與 Tseng(2002)將其模糊迴歸模式應用在景氣對策信號上的分析

王景男(民 89)將模糊迴歸分析應用於籃球比賽攻防技術策略上曹勝雄

曾國雄江勁毅(民 85)以國人赴港旅客需求之預測為例說明傳統迴歸

模糊迴歸類神經網路之差別張良斌陳育民(民 86)將模糊目標迴歸法

應用在垃圾衛生掩埋場沼氣回收設備的成本估算謝邦昌林燦隆呂理

添(民 85)將模糊迴歸運用在甘蔗產量的預測對於上列有關模糊迴歸分析

的研究中絕大部份的文章均侷限於線性模式的分析鮮有文章討論非線

性模糊迴歸模式的求解最近雖然有少數學者開始討論非線性模糊迴歸模

式的解法如 Xu(1997)Buckley 與 Feuring(2000)的研究等但使用的方

法所求解的迴歸係數仍然為模糊數值其造成反應變數估計值的展度會

隨著解釋變數之數值增加而擴大的問題仍無法避免

28

第三章 研究方法

本章介紹本文將運用於數值分析中的預測研究方法利用本章建構的

方法可清楚了解如何利用混沌理論基於相空間重構的方式及模糊迴歸方

法於預測中

31 混沌時間序列建立預測方法

時間序列的模型建構和預測是資料處理研究領域中的重要方向其中

預測方法主要有線性和非線性預測方法兩種預測就是對未來作出估計和

推斷而通常要對研究對象或資料進行假設這一過程稱為建模利用建

模的方式獲得資料的科學表示就稱為模型混沌時間序列雖然看似隨機

但它卻是由確定系統產生的因此我們可以對混沌時間序列作出短期預測

同時由於混沌對初始條件微小差異的高度敏感性我們無法對混沌時間序

列作出長期預測每一步預測帶來的微小偏差都會使得下一步預測的偏差

擴大最終導致預測序列與原始序列完全不同

311李亞普諾夫指數判定資料混沌特性

進行預測前需根據 212節中提及的李亞普諾夫指數來判定資料是否

具有混沌特性最大李亞普諾夫指數是判斷和描述非線性時間序列是否為

混沌系統的重要參數因此是一個重要的混沌不變數

混沌系統中的李雅普諾夫指數可用來判斷系統是收斂的還是混沌的當系

統的李雅普諾夫指數中至少有一個為正時系統是混沌的 當系統的李雅

普諾夫指數均為負數時系統是收斂的 對於系統是否存在動力學混沌可以直觀的判斷最大李亞普諾夫指數是否

大於零一個正的李亞普諾夫指數代表著在系統相空間中無論初始兩

條軌跡的間距多小兩條軌跡的差別都會隨著時間的演化而成指數率的增

加而導致無法預測這就是混沌現象

312重建相空間

傳統的建模和預測方法己廣泛地應用社會科學中但大部分都是基於

線性系統混沌時間序列並不適用於非線性的混沌時間序列於是在判斷

時間序列性質後若判定序列以隨機性為主應採用從 AR 或 ARIMA 等隨

機模型來預測如果判定以混沌為主則應採用非線性確定性的方法進行

29

預測非線性時間序列的預報是經過相空間重構後對相空間中的動力軌

跡進行預報由於混沌系統具有被稱為「蝴蝶效應」的初始值敏感性所

以混沌時間序列是不能長期預測的但對於短時間內混沌系統的軌道在

相空間中具有一定的規律它們的預測性是可獲得的並比一般的基於統

計方法的預測能力要來得好

時間序列資料是時間離散後的樣本值用 表示將它「嵌入」到

一個 m維(mgt0)的空間中進行相空間重構後得到嵌入向量

(31)

由嵌入向量 可擴張成一嵌入空間 E由 Taken嵌入定理可知存

在映射面 滿足

(32)

上式表是出在拓樸的意義中可完全預測吸引子的特徵所以上式也可

表示為

(33)

其中函數 為 的一個估計值由式 (33)可得之我們可用

來預測

313相空間維度相關維度

在實作的研究上有許多方法可以用來估計混沌吸引子的維度本研

究選用較為常見的相關維度方法相關維度需先計算相關和將相空間中

所有樣本點皆計算其各別半徑收斂後之趨近值相關方程式（Correlation

Function）定義如下

(34)

其中

當 rrarr0時

兩邊同取對數可得

(35)

定義相關維度為 與 之曲線斜率為

(36)

在實際應用中經常給定一組維度 值選取適當的 r繪出

30

曲線求曲線當中直線段的斜率 如果系統存在這樣一個 值達到此

值後相應的關聯維數不再隨 的增長而變化也就是趨於飽和這表明

該序列為混沌系統其吸引子是存在的此時 值即為重構相空間的最佳

嵌入維數否則則表明該序列為隨機系統不具有混沌性

314 時間遞移數

利用 2123節中介紹的概念及 2124 中介紹的自相關函數求解出時

間遞移數的結果自相關函數公式如下

1

1

1( )( )

1( )

n k

t t k

tk n

t

t

x x x xn k

r

x xn

(37)

n為原資料樣本數k為時間遞移後的樣本點

將自相關係數計算的結果與每一筆遲延時間距離數值繪製成圖表可

由圖表中可分析辨別時間序列數據的初步基本特徵圖表繪製的結果顯示

自相關係數跟隨遲延時間距離數值的增加而顯示收歛且具有震盪循環之跡

象則表示數據具有一種規則屬於一混沌時間序列

32 複線性迴歸

確立資料為混沌後運用自我相關係數計算出時間遞移數及相空間維

度後將加入複線性迴歸運算複線性迴歸中常用的預測方法分為兩種

1 全域法

全域法就是利用相空間軌跡中的全部向量點做為擬合對象找出其

規律由此進行短期預測也就是說利用收集的大量的歷史資料利用

複線性迴歸訓練出迴歸參數再將未放進訓練迴歸參數的資料使用訓練

出的迴歸參數計算出預測值的資料型態本文還將原本的歷史資料分析

出資料的季節性後先去除季節性的影響最後再加回季節性討論預測結

果

2 局域法

局域法的基本原理是僅利用有限個鄰近點的資訊而不是利用全部的

樣本點來擬合 局域法預測是把相空間軌跡中的最後一點作為待測點對

離待測點鄰近的若干個相空間點的關係作出擬合再對預測相空間點的未

來演化規律進行預測本文使用零階局域法零階局域法是直接將鄰近樣

31

本點應用於預測根據鄰近樣本點預測 的最簡單的方法就是尋找相

空間中距離 最近的點假設距離最近的點是 那麼它的下一個樣本

點為 即可做為 的預測值

因數值資料在每日重複發生變動所以本研究又加入計算季節性指數

對趨勢線做季節性調整也就是對時間序列做季節性調整

33 模糊迴歸分析

運用模糊的概念帶進迴歸模式中處理具模糊性的資料問題此稱為模

糊迴歸分析本文利用的模糊迴歸模式主要有兩個方向一個是Tanaka et al

(1982)提出的模糊線性迴歸另一個是由Chang 與Lee (1994)所提出修正型

迴歸模式Tanaka 起初所提出的線性規劃模型

0 1

[ ( )]p n

j ij

j i

Min C X

st 0 0

(1 ) (1 )p p

j ij j ij ii

j j

X H c X y H e

(38)

0 0

(1 ) (1 )p p

j ij j ij ii

j j

X H c X y H e

0jc j R 0 1iX 0 1H 123i n 012j p

Tanaka 所提出的模糊模型未考慮到散度為負值的條件所以模糊上下

界會不斷的擴張而越來越寬大由 Chang 與 Lee (1994)所提出修正型迴歸

模式即將模糊的散度可為負值使上下界的模糊區間為遞減的情形遞

減的情形由圖 31表示

圖 31 模糊區間隨自變數越大而越窄

0

2

4

6

8

10

上界 中心線 下界

32

假設圖表中計算出的模糊迴歸函數為 0 0 1 1 Y c c X 模糊上界為

0 0 1 1UY c c X 模糊下界為 0 0 1 1LY c c X

33

第四章 數值分析

本章資料來源1台灣區車輛工業同業公會

2台北市交通局

本章所使用的數據資料為台北市交通局提供的公開的車流量資料數

值分析所使用的方法已在第三章論述利用第三章的方法分析數值預測的

準確性並結合模糊迴歸常見的兩種方法幫助決定預測的可接受範圍本

章介紹本文所利用的數學模型及方法在複線性迴歸的模型中分成混沌全

域法去季節性後的混沌全域法以及混沌局域法預測出的結果加以討論預

測的準確性再將預測值去季節性觀察準確程度最後再帶入模糊迴歸

利用 05H 加以討論如何將模糊迴歸中的散度用以選擇預測值的範圍第

一節針對傳統複線性迴歸方法並結合全域法觀念訓練資料迴歸係數討

論預測結果第二節針對傳統複線性迴歸方法並結合局域法觀念訓練資

料迴歸係數討論預測結果第三節針對預測資料去除季節性後再利用

傳統複線性迴歸方法討論預測結果第四節針對模糊迴歸的兩種方法選

擇出預測的範圍

利用第三章論述的時間遞移及相關維度的做法將本文利用具混沌性

的資料加以分析將資料先利用 212 節中介紹的李雅普諾夫指數 判定是

否具混沌性具有混沌性的資料才能利用混沌理論重構相空間若李雅

普諾夫指數 介在 0跟 1之間則表示資料具有混沌性質本文資料利用程

式計算出李雅普諾夫指數 運用自我相關係數判斷出時間遞移

數 相關維度計算出維度 我相關係數判斷時間遞移數與相關維

度的圖形以及原始資料時間遞移後的資料圖如圖 41圖 42圖 43

34

圖 41相空間維度及 lnC與 ln r斜率關係圖

圖 42相空間維度及 lnC與 ln r斜率關係圖

0

1

2

3

4

5

6

7

0 5 10 15 20

相空間維度

斜

率

d

-02

0

02

04

06

08

1

12

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33

時間遞移數

自我相關函數

35

圖 43 原始資料時間序列圖

41 複線性迴歸混沌全域法

本文所使用的資料為 10日的車流量資料利用前 9日的資料訓練出迴

歸參數將迴歸參數代入複線性數學模型中計算出的迴歸方程式為

1 2 3 4

5 6 7 8 9

10 11 12 13 14

435363 00819 00338 01777 00070

01116 01999 00299 02716 00349

01399 00056 01113 00738 02038

y x x x x

x x x x x

x x x x x

(41)

解出迴歸參數計算出複線性迴歸方程式後再將最後一日 144筆的車

流資料代入方程式中計算出預測值利用複線性迴歸混沌域法預測出的結

果如圖 44

圖 44 複線性迴歸分析預測與原始資料比較圖-全域法

0

20

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1 53

10

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209

26

1 31

3

365

41

7

469

52

1 57

3

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67

7

729

78

1 83

3

885

93

7

989

10

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1093

11

45

1197

12

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13

53

1405

原始資料點

原始資料點

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0

50

100

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103

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115

121

127

133

139

實際值

預測值

36

由圖表的狀況可觀察出運用複線性迴歸模型預測的結果不盡理想本

研究認為運用複線性迴歸預測的結果不佳的原因有二

1 利用全域法預測是將較大量的歷史資料加入考慮訓練出迴歸參數這

樣的結果造成削弱了原本的奇異點(相較於同時段資料差異性較大的點)

的影響力

2 嵌入維度 太高對於混沌時間序列隨著嵌入維度增高歷史

對未來的影響是呈指數衰減的所以全域法所利用的資訊歷史就越長

預測的精準度就會迅速下降因此本研究將加入局域法討論預測的準

確性

42 複線性迴歸混沌局域法

局域法的做法為尋找相空間重構後的點對待測點尋找鄰近的 k個相

空間點對離待測點鄰近的若 k個相空間點的關係作出擬合並分析出複

迴歸方程式的迴歸參數本文嘗試選取 k=50~250的結果以下只列舉 k=200

的圖解釋預測結果

圖 45 複線性迴歸分析預測與原始資料比較圖-局域法(k=200)

圖 44與圖 45比較後可看出區域法預測的準確性比全域法更好某

些預測出來的結果的點與原始資料的點差異性大有明顯的偏移本研究

認為利用局域法預測的結果不佳的原因如下由圖 45可看出預測結果與

原始資料間差異性較大的點位為數列的右側 而數列尾端的資料為凌晨或

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115

121

127

133

139

實際值

估計值

37

是深夜的車流量因每日凌晨或是深夜的車流量變化量較少(例如某日的凌

晨十二點十分可能為 0台車或是小於 10台車經過)所以資料的差異性

較大造成頭尾的資料預測上較為不準確

因為同時段的資料可能會影響資料預測出的結果所以我們下節就以

加入季節性的考慮來加以討論預測結果

43 複線性迴歸去除季節性後混沌全域法

本文使用的車流量資料為每日 24時換算成 1440分鐘每 10分鐘記

錄一點於是本研究依資料的記錄時間點來劃分季節性將季節分成 144

個季分別求出季節性指數求取季節性指數後將每個資料點先去除季

節性利用全域法訓練出去季節性後的迴歸係數再利用複線性求出預測

值最後將去除的季節指數乘回預測點結果如下

圖 46考慮季節性複線性迴歸分析預測與原始資料比較圖-全域法

此考慮季節性因子的複線性迴歸分析預測與原始資料的比較是用全

域法去訓練迴歸參數的而由圖 44我們可以得知一開始未考慮季節因

子使用全域法的複線性迴歸預測是不準確的本研究認為原本的歷史資

料隨著季節性因子的變化該系統原本呈現複雜的動態特性實際上由於

車流量的變動有許多外在因素的影響例如氣候假期hellip等影響會使

資料的變化過程發生不同程度的偏離而對於季節性事件來說其事件發

生的過程主要受季節性參數週期性變化的影響 因此影響因素的具體形

式可以近似地表示為單一函數本文考慮季節因素對車流量的影響意即

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3

10

9

11

5

12

1

12

7

13

3

13

9 實際值

預測值

38

經過季節性分析後的得到的預測分析結果很準確如圖 46所示此結果

表示季節性影響樣本資料的情形大也代表著在季節因素影響下系統中

事件的動態變化情況是隨著季節影響參數的變化而造成系統呈現各種

各樣複雜的動態特性如週期解混沌情形hellip等

44 模糊迴歸

441Tanaka模糊迴歸

μ及 H 值之選定原則為當不確定性愈大時其 μ及 H 值愈接近 0

反之當資料不確定性愈小時μ及 H 值取愈接近 1 之值Bardossy 等人

建議其值在 05~07間為適宜根據 Tanaka在 1982年所提到的方法我們

可以求得一模糊迴歸函數並可得知其中心線與其上界及下界假定在 H =

05的情況下利用 Tanaka模糊迴歸模式算出迴歸函數為

(42)

中心線與上下界的簡單迴歸方程式為

中心線 (43)

上界 (44)

下界 (45)

繪製出的圖形如圖 47所示

圖 47 Tanaka 模糊迴歸

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133

139

下界

中心線

上界

39

圖 48 Tanaka 模糊迴歸中心線與預測值之結合

從圖 48可看出預測值與模糊迴歸的中心線 有明顯的時間差異但由

圖可以觀察出模糊迴歸的中心線 的預測趨勢與實際值是相近的雖然利

用模糊迴歸預測的時間點比實際時間快但是相對來說也是可以用來預

測之後將發生的趨勢本研究認為若模糊迴歸可用於預測中則可用模糊

的散度 c當做預測行為中選取的可接受的變動範圍如圖 49最後將 Tanaka

模糊迴歸中心線上下界與實際值之結合如圖 410所示

圖 49 Tanaka 模糊迴歸中心線上下界與實際值之結合

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實際值

中心線

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127

133

139

實際值

下界

上界

預測

值

預測值

40

圖 410 Tanaka 模糊迴歸中心線上下界與實際值之結合

442修正型 Tanaka模糊迴歸

因為我們要將模糊迴歸應用於預測中所以本研究將複線性迴歸的趨

勢線視為模糊迴歸的中心線再利用修正型 Tanaka模糊迴歸模式算出迴歸

函數為

(46)

中心線與上下界的簡單迴歸方程式為

中心線

上界

下界

繪製出圖形如圖 411

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實際值

預測值

下界

上界

41

圖 411 修正型模糊迴歸中心線上下界與實際值之結合

本研究使用的修正型模糊迴歸中心線與傳統的迴歸方程式相同所以

可用來處理或分析模糊資料與明確資料同時修正型模糊迴歸的上下界

與 Tanaka 模糊迴歸相較也變窄了此兩種現象就是修正型迴歸的特色因

為中心線與傳統的迴歸方程式也相同這種修正型迴歸散度可選擇為負值

的特色本研究認為可以應用在預測上因為上下界與中心線間的散度變

窄使得前文所敘述到的利用散度來選取預測範圍便可更為嚴格也可

使預測的結果更為可靠如圖 412所示

圖 412 Tanaka 上下界與修正型模糊迴歸上下界的寬度差別

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下界

中心線

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92

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113

120

127

134

141

Tanaka下界

Tanaka上界

Tanaka修正型下界

Tanaka修正型上界

42

第五章 結論及未來研究方向

51 結論

根據前文的討論傳統迴歸和模糊迴歸建立在不同的理論基礎上傳

統迴歸是以機率為基礎而模糊迴歸則是以可能性為基礎傳統迴歸因變

數的估計值與觀測值之間的差異為因變數的隨機性而模糊迴歸因變數的

估計值則產生於觀測值之模糊度惟兩者最大不同處在於模糊迴歸式的

迴歸係數與預測值皆為模糊數（區間值）不同於傳統迴歸係數與預測值

均為明確的數值此外傳統迴歸侷限於對明確資料的分析可能性模糊

迴歸僅適用於分析具模糊性的資料而複合的模糊迴歸則可同時適用於分

析模糊與明確的資料此為此模式最大的特點

模糊迴歸應用於預測中大多的結果是不佳的但是我們透過結合混

沌與模糊迴歸的概念將混沌的預測單點概念拓展成一個可接受的預測

範圍

PT Chang 與ES Lee 使用修正型模糊迴歸重新定義散度做出新的

模糊上下界均為改善模糊迴歸模式Tanaka之研究本研究將模糊迴歸與

混沌理論之建立時間序列的預測情形加以結合討論發現模糊迴歸在預測

的行為中是可行的但可惜的是即使預測的趨勢相近但預測值出時間

的點卻有差別這樣的結果我們可以看出若能找到解決加強模糊與複線性

迴歸關係之間時間的關聯性就能利用模糊的不確定性來討論預測問題

52 未來之研究方向

本研究將模糊迴歸與混沌理論之建立時間序列的預測情形加以結合討

論發現模糊迴歸在預測的行為中是可行的但可惜的是即使預測的趨

勢相近但預測值出時間的點卻有差別這樣的結果我們可以看出若能找

到解決加強模糊與附線性迴歸關係之間時間的關聯性就能利用模糊的不

確定性來討論預測問題

為了符合現今社會多元的狀況模糊迴歸與傳統迴歸之觀念勢必加以

混合應用也為了解決此等問題混合式迴歸（Hybrid Regression）在近年

來被提起也因此參數的估計模糊迴歸與傳統迴歸的混合應用將成

為往後繼續研究探討之目標

建議未來可用模糊加權修正模糊迴歸使模糊迴歸在預測上更能直接

43

將對事物多個構面評估的意見與其影響事物狀況的重要程度作加權的運

算

44

參考文獻

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25

其後Chang 與Lee (1996)則將Diamond (1988)的方法加以擴充將迴

歸係數的最可能值與展度分別估計該方法的特點在於可將極端值(outlier)

加以處理並降低其影響程度Ma等人(1997)則將此類方法發展於適合非

三角模糊數值的場合Diamond 與Koumlrner (1997)則在此類方法中定義一

個判定係數的計算方法以比較不同模式的適合性Wu與Tseng (2002)提出

改善模糊迴歸模式之最小平方法其模式主要觀念是利用最小平方法將所

有樣本的左端點及右端點各配置一條迴歸線然後在將其左右迴歸線統合

成一條迴歸線

而在Kim 與Bishu (1998)的研究中是利用各個具有三角模糊數值的反

應變數之最小值最可能值與最大值以最小平方法分別計算出模糊迴歸

係數所得到的係數不一定為對稱的三角模糊數在此種求解方式下雖

然可以得到比較小的估計誤差但其缺點是無法處理解釋變數為模糊數的

情形另外Kim 與Bishu(1998)還提出了評估模糊迴歸模式的準則利用觀

察值與估計值歸屬函數之間面積的差異做為迴歸模式的估計誤差但其評

估準則的問題是無法比較不同模式在觀察值與估計值歸屬函數之間不具有

交集時的誤差情況在此情況下求算估計誤差時無法準確評估其總誤差而

導致評估失真而其他學者如Yang與Ko (1997)Yang 與Lin (2002)等則

是提出以最小平方法為基礎的模糊聚類分析求解方式

3 模糊隨機變數估計法

為了建構一個同時具有隨機和模糊特性的系統Kwakernaak (1978)首

先提出模糊隨機變數(fuzzy random variables)的概念認為傳統的隨機變數

U Ωrarr R為實數可測函數而模糊隨機變數則將一般隨機變數的概念廣義

化模糊隨機變數可表示為X ΩrarrS設ω isinΩ而ω 所對應到的不再是實

數值U(ω)而是模糊集合X (ω)S 代表模糊集合且Kwakernaak (1978)擴

充原來Zadeh 提出模糊集合之架構認為有時供作參考的資訊不齊全在

對某些述句進行評斷時我們無法判斷其絕對為真或絕對為假此時我

們考慮將原有的二元邏輯思維方式推廣暫且不作肯定的判決而僅是表

達出對錯的程度換句話說真值可以是介於單位區間[01] 內的任何值

如此思維方式稱之為多值邏輯(multivalued value)並將模糊集合視為一組

述句(statement)的集合且每個述句均對應一真值程度以符合人類的思維與

想法Stein 與Talati (1981)利用模糊數值的隸屬函數提出模糊隨機變數

26

的期望值之計算方式Kruse 與Meyer (1987)藉助集合表徵的概念建立了

一套模糊隨機變數的定義而為了讓模糊隨機變數能實際應用並將討論

的範圍界定在一模糊集合族上Koumlrner (1997)及Naumlther (1997)利用該方法以

求算模糊隨機變數的期望值與變異數並應用於線性模糊迴歸模式的求解

等另外在曾能芳(民 91)的博士論文研究中指出在Tanaka et al (1982)

的模糊迴歸模式中並不具備誤差項因此模式無法呈現樣本與期望值之間

的關係而無法討論線性規劃估計程序所具備的統計性質所以在曾能芳

(民 91)提出的迴歸模式中採用模糊樣本是由依變數之模糊期望值加上測量

誤差所組成並提出測量誤差存在於中點的模糊迴歸模式以及測量誤差

同時存在於中點和半徑的模糊迴歸模式

4 兩階段求解方法

以兩階段方法(two stage method)求解模糊迴歸模式的想法是在於結合

最小平方法與區間迴歸的觀念試圖降低反應變數估計值的模糊度如Savic

與Pedrycz (1991)對模糊迴歸模式的求解分為兩個步驟進行第一步以

反應變數的模糊數值之最可能數值為基礎將模糊數值視為簡化的明確數

值以傳統最小平方法求解迴歸係數的中心值第二步利用區間迴歸的

方式在使得迴歸係數的模糊度為最小的情形下以決定迴歸係數的三角

模糊數值Kao 與Chyu (2002)提出另一種模糊迴歸模式的兩階段求解方

法在第一階段先利用解模糊(defuzzification)方法將模糊觀察值轉換成為一

組明確數值之後利用該組明確數值以傳統的最小平方法求解迴歸係

數第二階段則是以Kim 與Bishu 所提之評估準則為目標式決定一個誤

差項估計值的模糊數以使得在Kim 與Bishu (1998)評估準則下的總誤差量

為最小該方法的特別之處在於求解的迴歸係數為明確數值而誤差項估計

值為模糊數值雖然此種求解方式可以得到很小的估計誤差但因其所著

眼的仍是Kim 與Bishu 評估準則下的面積估計誤差使得當觀察值與估計

值歸屬函數之間不具有交集時所衡量出的估計誤差較真實誤差為小且其

求解方法比較適合於觀察值為三角或梯形的模糊數值欲應用於其他型式

的模糊數值求解上則較為困難而在邱清爐(民 91)的博士論文中則是將

其兩階段求解方法對各種不同的模糊迴歸模式進行建構與評估並將其求

解方法應用於工作滿意度實例

5 其他求解方法與相關研究

27

Tanaka 等人(1995)後來提出另外一種模糊迴歸模式的求解方法將傳

統的估計誤差當作是存在解釋變數與反應變數之間的關係之可能性

(possibility)故模糊觀察值的展度可以直接轉換成迴歸係數的指數可能性

分配(exponentialpossibility distribution)而可以使用與傳統迴歸非常類似的

方式加以求解Tanaka與 Lee (1999)再利用辨識方法(identification method)

求解迴歸模式在其研究中利用辨識方法以決定模糊線性系統(fuzzy linear

system)中迴歸係數的可能性分配並認為由此方法所求解的迴歸係數會

有比較小範圍的可能性分配近年來有愈來愈多的學者將模糊迴歸分析

應用於其他傳統的決策方法及不同領域上如 Dunyak 與 Wunsch(2000)使

用 α 截集的端點以類神經網路(neuralnetworks)進行模糊迴歸分析Lee

與 Chen(2001)則將模糊迴歸模式使用於人力預測的問題上Tseng 等人

(2001)將由模糊迴歸模式建立之 ARIMA 模式用以預測匯率Tseng 與

Tzeng(2002)則利用模糊迴歸模式的求解方法以建構具有季節變動的

ARIMA 模式Kim 與 Bishu(1996)應用於人力可靠度分析的操作反應時間

上Wu 與 Tseng(2002)將其模糊迴歸模式應用在景氣對策信號上的分析

王景男(民 89)將模糊迴歸分析應用於籃球比賽攻防技術策略上曹勝雄

曾國雄江勁毅(民 85)以國人赴港旅客需求之預測為例說明傳統迴歸

模糊迴歸類神經網路之差別張良斌陳育民(民 86)將模糊目標迴歸法

應用在垃圾衛生掩埋場沼氣回收設備的成本估算謝邦昌林燦隆呂理

添(民 85)將模糊迴歸運用在甘蔗產量的預測對於上列有關模糊迴歸分析

的研究中絕大部份的文章均侷限於線性模式的分析鮮有文章討論非線

性模糊迴歸模式的求解最近雖然有少數學者開始討論非線性模糊迴歸模

式的解法如 Xu(1997)Buckley 與 Feuring(2000)的研究等但使用的方

法所求解的迴歸係數仍然為模糊數值其造成反應變數估計值的展度會

隨著解釋變數之數值增加而擴大的問題仍無法避免

28

第三章 研究方法

本章介紹本文將運用於數值分析中的預測研究方法利用本章建構的

方法可清楚了解如何利用混沌理論基於相空間重構的方式及模糊迴歸方

法於預測中

31 混沌時間序列建立預測方法

時間序列的模型建構和預測是資料處理研究領域中的重要方向其中

預測方法主要有線性和非線性預測方法兩種預測就是對未來作出估計和

推斷而通常要對研究對象或資料進行假設這一過程稱為建模利用建

模的方式獲得資料的科學表示就稱為模型混沌時間序列雖然看似隨機

但它卻是由確定系統產生的因此我們可以對混沌時間序列作出短期預測

同時由於混沌對初始條件微小差異的高度敏感性我們無法對混沌時間序

列作出長期預測每一步預測帶來的微小偏差都會使得下一步預測的偏差

擴大最終導致預測序列與原始序列完全不同

311李亞普諾夫指數判定資料混沌特性

進行預測前需根據 212節中提及的李亞普諾夫指數來判定資料是否

具有混沌特性最大李亞普諾夫指數是判斷和描述非線性時間序列是否為

混沌系統的重要參數因此是一個重要的混沌不變數

混沌系統中的李雅普諾夫指數可用來判斷系統是收斂的還是混沌的當系

統的李雅普諾夫指數中至少有一個為正時系統是混沌的 當系統的李雅

普諾夫指數均為負數時系統是收斂的 對於系統是否存在動力學混沌可以直觀的判斷最大李亞普諾夫指數是否

大於零一個正的李亞普諾夫指數代表著在系統相空間中無論初始兩

條軌跡的間距多小兩條軌跡的差別都會隨著時間的演化而成指數率的增

加而導致無法預測這就是混沌現象

312重建相空間

傳統的建模和預測方法己廣泛地應用社會科學中但大部分都是基於

線性系統混沌時間序列並不適用於非線性的混沌時間序列於是在判斷

時間序列性質後若判定序列以隨機性為主應採用從 AR 或 ARIMA 等隨

機模型來預測如果判定以混沌為主則應採用非線性確定性的方法進行

29

預測非線性時間序列的預報是經過相空間重構後對相空間中的動力軌

跡進行預報由於混沌系統具有被稱為「蝴蝶效應」的初始值敏感性所

以混沌時間序列是不能長期預測的但對於短時間內混沌系統的軌道在

相空間中具有一定的規律它們的預測性是可獲得的並比一般的基於統

計方法的預測能力要來得好

時間序列資料是時間離散後的樣本值用 表示將它「嵌入」到

一個 m維(mgt0)的空間中進行相空間重構後得到嵌入向量

(31)

由嵌入向量 可擴張成一嵌入空間 E由 Taken嵌入定理可知存

在映射面 滿足

(32)

上式表是出在拓樸的意義中可完全預測吸引子的特徵所以上式也可

表示為

(33)

其中函數 為 的一個估計值由式 (33)可得之我們可用

來預測

313相空間維度相關維度

在實作的研究上有許多方法可以用來估計混沌吸引子的維度本研

究選用較為常見的相關維度方法相關維度需先計算相關和將相空間中

所有樣本點皆計算其各別半徑收斂後之趨近值相關方程式（Correlation

Function）定義如下

(34)

其中

當 rrarr0時

兩邊同取對數可得

(35)

定義相關維度為 與 之曲線斜率為

(36)

在實際應用中經常給定一組維度 值選取適當的 r繪出

30

曲線求曲線當中直線段的斜率 如果系統存在這樣一個 值達到此

值後相應的關聯維數不再隨 的增長而變化也就是趨於飽和這表明

該序列為混沌系統其吸引子是存在的此時 值即為重構相空間的最佳

嵌入維數否則則表明該序列為隨機系統不具有混沌性

314 時間遞移數

利用 2123節中介紹的概念及 2124 中介紹的自相關函數求解出時

間遞移數的結果自相關函數公式如下

1

1

1( )( )

1( )

n k

t t k

tk n

t

t

x x x xn k

r

x xn

(37)

n為原資料樣本數k為時間遞移後的樣本點

將自相關係數計算的結果與每一筆遲延時間距離數值繪製成圖表可

由圖表中可分析辨別時間序列數據的初步基本特徵圖表繪製的結果顯示

自相關係數跟隨遲延時間距離數值的增加而顯示收歛且具有震盪循環之跡

象則表示數據具有一種規則屬於一混沌時間序列

32 複線性迴歸

確立資料為混沌後運用自我相關係數計算出時間遞移數及相空間維

度後將加入複線性迴歸運算複線性迴歸中常用的預測方法分為兩種

1 全域法

全域法就是利用相空間軌跡中的全部向量點做為擬合對象找出其

規律由此進行短期預測也就是說利用收集的大量的歷史資料利用

複線性迴歸訓練出迴歸參數再將未放進訓練迴歸參數的資料使用訓練

出的迴歸參數計算出預測值的資料型態本文還將原本的歷史資料分析

出資料的季節性後先去除季節性的影響最後再加回季節性討論預測結

果

2 局域法

局域法的基本原理是僅利用有限個鄰近點的資訊而不是利用全部的

樣本點來擬合 局域法預測是把相空間軌跡中的最後一點作為待測點對

離待測點鄰近的若干個相空間點的關係作出擬合再對預測相空間點的未

來演化規律進行預測本文使用零階局域法零階局域法是直接將鄰近樣

31

本點應用於預測根據鄰近樣本點預測 的最簡單的方法就是尋找相

空間中距離 最近的點假設距離最近的點是 那麼它的下一個樣本

點為 即可做為 的預測值

因數值資料在每日重複發生變動所以本研究又加入計算季節性指數

對趨勢線做季節性調整也就是對時間序列做季節性調整

33 模糊迴歸分析

運用模糊的概念帶進迴歸模式中處理具模糊性的資料問題此稱為模

糊迴歸分析本文利用的模糊迴歸模式主要有兩個方向一個是Tanaka et al

(1982)提出的模糊線性迴歸另一個是由Chang 與Lee (1994)所提出修正型

迴歸模式Tanaka 起初所提出的線性規劃模型

0 1

[ ( )]p n

j ij

j i

Min C X

st 0 0

(1 ) (1 )p p

j ij j ij ii

j j

X H c X y H e

(38)

0 0

(1 ) (1 )p p

j ij j ij ii

j j

X H c X y H e

0jc j R 0 1iX 0 1H 123i n 012j p

Tanaka 所提出的模糊模型未考慮到散度為負值的條件所以模糊上下

界會不斷的擴張而越來越寬大由 Chang 與 Lee (1994)所提出修正型迴歸

模式即將模糊的散度可為負值使上下界的模糊區間為遞減的情形遞

減的情形由圖 31表示

圖 31 模糊區間隨自變數越大而越窄

0

2

4

6

8

10

上界 中心線 下界

32

假設圖表中計算出的模糊迴歸函數為 0 0 1 1 Y c c X 模糊上界為

0 0 1 1UY c c X 模糊下界為 0 0 1 1LY c c X

33

第四章 數值分析

本章資料來源1台灣區車輛工業同業公會

2台北市交通局

本章所使用的數據資料為台北市交通局提供的公開的車流量資料數

值分析所使用的方法已在第三章論述利用第三章的方法分析數值預測的

準確性並結合模糊迴歸常見的兩種方法幫助決定預測的可接受範圍本

章介紹本文所利用的數學模型及方法在複線性迴歸的模型中分成混沌全

域法去季節性後的混沌全域法以及混沌局域法預測出的結果加以討論預

測的準確性再將預測值去季節性觀察準確程度最後再帶入模糊迴歸

利用 05H 加以討論如何將模糊迴歸中的散度用以選擇預測值的範圍第

一節針對傳統複線性迴歸方法並結合全域法觀念訓練資料迴歸係數討

論預測結果第二節針對傳統複線性迴歸方法並結合局域法觀念訓練資

料迴歸係數討論預測結果第三節針對預測資料去除季節性後再利用

傳統複線性迴歸方法討論預測結果第四節針對模糊迴歸的兩種方法選

擇出預測的範圍

利用第三章論述的時間遞移及相關維度的做法將本文利用具混沌性

的資料加以分析將資料先利用 212 節中介紹的李雅普諾夫指數 判定是

否具混沌性具有混沌性的資料才能利用混沌理論重構相空間若李雅

普諾夫指數 介在 0跟 1之間則表示資料具有混沌性質本文資料利用程

式計算出李雅普諾夫指數 運用自我相關係數判斷出時間遞移

數 相關維度計算出維度 我相關係數判斷時間遞移數與相關維

度的圖形以及原始資料時間遞移後的資料圖如圖 41圖 42圖 43

34

圖 41相空間維度及 lnC與 ln r斜率關係圖

圖 42相空間維度及 lnC與 ln r斜率關係圖

0

1

2

3

4

5

6

7

0 5 10 15 20

相空間維度

斜

率

d

-02

0

02

04

06

08

1

12

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33

時間遞移數

自我相關函數

35

圖 43 原始資料時間序列圖

41 複線性迴歸混沌全域法

本文所使用的資料為 10日的車流量資料利用前 9日的資料訓練出迴

歸參數將迴歸參數代入複線性數學模型中計算出的迴歸方程式為

1 2 3 4

5 6 7 8 9

10 11 12 13 14

435363 00819 00338 01777 00070

01116 01999 00299 02716 00349

01399 00056 01113 00738 02038

y x x x x

x x x x x

x x x x x

(41)

解出迴歸參數計算出複線性迴歸方程式後再將最後一日 144筆的車

流資料代入方程式中計算出預測值利用複線性迴歸混沌域法預測出的結

果如圖 44

圖 44 複線性迴歸分析預測與原始資料比較圖-全域法

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

1 53

10

5

157

209

26

1 31

3

365

41

7

469

52

1 57

3

625

67

7

729

78

1 83

3

885

93

7

989

10

41

1093

11

45

1197

12

49

1301

13

53

1405

原始資料點

原始資料點

-50

0

50

100

150

200

1

7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

103

109

115

121

127

133

139

實際值

預測值

36

由圖表的狀況可觀察出運用複線性迴歸模型預測的結果不盡理想本

研究認為運用複線性迴歸預測的結果不佳的原因有二

1 利用全域法預測是將較大量的歷史資料加入考慮訓練出迴歸參數這

樣的結果造成削弱了原本的奇異點(相較於同時段資料差異性較大的點)

的影響力

2 嵌入維度 太高對於混沌時間序列隨著嵌入維度增高歷史

對未來的影響是呈指數衰減的所以全域法所利用的資訊歷史就越長

預測的精準度就會迅速下降因此本研究將加入局域法討論預測的準

確性

42 複線性迴歸混沌局域法

局域法的做法為尋找相空間重構後的點對待測點尋找鄰近的 k個相

空間點對離待測點鄰近的若 k個相空間點的關係作出擬合並分析出複

迴歸方程式的迴歸參數本文嘗試選取 k=50~250的結果以下只列舉 k=200

的圖解釋預測結果

圖 45 複線性迴歸分析預測與原始資料比較圖-局域法(k=200)

圖 44與圖 45比較後可看出區域法預測的準確性比全域法更好某

些預測出來的結果的點與原始資料的點差異性大有明顯的偏移本研究

認為利用局域法預測的結果不佳的原因如下由圖 45可看出預測結果與

原始資料間差異性較大的點位為數列的右側 而數列尾端的資料為凌晨或

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

1

7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

103

109

115

121

127

133

139

實際值

估計值

37

是深夜的車流量因每日凌晨或是深夜的車流量變化量較少(例如某日的凌

晨十二點十分可能為 0台車或是小於 10台車經過)所以資料的差異性

較大造成頭尾的資料預測上較為不準確

因為同時段的資料可能會影響資料預測出的結果所以我們下節就以

加入季節性的考慮來加以討論預測結果

43 複線性迴歸去除季節性後混沌全域法

本文使用的車流量資料為每日 24時換算成 1440分鐘每 10分鐘記

錄一點於是本研究依資料的記錄時間點來劃分季節性將季節分成 144

個季分別求出季節性指數求取季節性指數後將每個資料點先去除季

節性利用全域法訓練出去季節性後的迴歸係數再利用複線性求出預測

值最後將去除的季節指數乘回預測點結果如下

圖 46考慮季節性複線性迴歸分析預測與原始資料比較圖-全域法

此考慮季節性因子的複線性迴歸分析預測與原始資料的比較是用全

域法去訓練迴歸參數的而由圖 44我們可以得知一開始未考慮季節因

子使用全域法的複線性迴歸預測是不準確的本研究認為原本的歷史資

料隨著季節性因子的變化該系統原本呈現複雜的動態特性實際上由於

車流量的變動有許多外在因素的影響例如氣候假期hellip等影響會使

資料的變化過程發生不同程度的偏離而對於季節性事件來說其事件發

生的過程主要受季節性參數週期性變化的影響 因此影響因素的具體形

式可以近似地表示為單一函數本文考慮季節因素對車流量的影響意即

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

1

7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

10

3

10

9

11

5

12

1

12

7

13

3

13

9 實際值

預測值

38

經過季節性分析後的得到的預測分析結果很準確如圖 46所示此結果

表示季節性影響樣本資料的情形大也代表著在季節因素影響下系統中

事件的動態變化情況是隨著季節影響參數的變化而造成系統呈現各種

各樣複雜的動態特性如週期解混沌情形hellip等

44 模糊迴歸

441Tanaka模糊迴歸

μ及 H 值之選定原則為當不確定性愈大時其 μ及 H 值愈接近 0

反之當資料不確定性愈小時μ及 H 值取愈接近 1 之值Bardossy 等人

建議其值在 05~07間為適宜根據 Tanaka在 1982年所提到的方法我們

可以求得一模糊迴歸函數並可得知其中心線與其上界及下界假定在 H =

05的情況下利用 Tanaka模糊迴歸模式算出迴歸函數為

(42)

中心線與上下界的簡單迴歸方程式為

中心線 (43)

上界 (44)

下界 (45)

繪製出的圖形如圖 47所示

圖 47 Tanaka 模糊迴歸

0

50

100

150

200

250

300

1

7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

103

109

115

121

127

133

139

下界

中心線

上界

39

圖 48 Tanaka 模糊迴歸中心線與預測值之結合

從圖 48可看出預測值與模糊迴歸的中心線 有明顯的時間差異但由

圖可以觀察出模糊迴歸的中心線 的預測趨勢與實際值是相近的雖然利

用模糊迴歸預測的時間點比實際時間快但是相對來說也是可以用來預

測之後將發生的趨勢本研究認為若模糊迴歸可用於預測中則可用模糊

的散度 c當做預測行為中選取的可接受的變動範圍如圖 49最後將 Tanaka

模糊迴歸中心線上下界與實際值之結合如圖 410所示

圖 49 Tanaka 模糊迴歸中心線上下界與實際值之結合

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

1

8

15

22

29

36

43

50

57

64

71

78

85

92

99

106

113

120

127

134

141

實際值

中心線

0

50

100

150

200

250

300

1

7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

103

109

115

121

127

133

139

實際值

下界

上界

預測

值

預測值

40

圖 410 Tanaka 模糊迴歸中心線上下界與實際值之結合

442修正型 Tanaka模糊迴歸

因為我們要將模糊迴歸應用於預測中所以本研究將複線性迴歸的趨

勢線視為模糊迴歸的中心線再利用修正型 Tanaka模糊迴歸模式算出迴歸

函數為

(46)

中心線與上下界的簡單迴歸方程式為

中心線

上界

下界

繪製出圖形如圖 411

0

50

100

150

200

250

300

1 7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

103

109

115

121

127

133

139

實際值

預測值

下界

上界

41

圖 411 修正型模糊迴歸中心線上下界與實際值之結合

本研究使用的修正型模糊迴歸中心線與傳統的迴歸方程式相同所以

可用來處理或分析模糊資料與明確資料同時修正型模糊迴歸的上下界

與 Tanaka 模糊迴歸相較也變窄了此兩種現象就是修正型迴歸的特色因

為中心線與傳統的迴歸方程式也相同這種修正型迴歸散度可選擇為負值

的特色本研究認為可以應用在預測上因為上下界與中心線間的散度變

窄使得前文所敘述到的利用散度來選取預測範圍便可更為嚴格也可

使預測的結果更為可靠如圖 412所示

圖 412 Tanaka 上下界與修正型模糊迴歸上下界的寬度差別

0

50

100

150

200

250

1 7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

103

109

115

121

127

133

139

下界

中心線

上界

0

50

100

150

200

250

300

1 8 15

22

29

36

43

50

57

64

71

78

85

92

99

106

113

120

127

134

141

Tanaka下界

Tanaka上界

Tanaka修正型下界

Tanaka修正型上界

42

第五章 結論及未來研究方向

51 結論

根據前文的討論傳統迴歸和模糊迴歸建立在不同的理論基礎上傳

統迴歸是以機率為基礎而模糊迴歸則是以可能性為基礎傳統迴歸因變

數的估計值與觀測值之間的差異為因變數的隨機性而模糊迴歸因變數的

估計值則產生於觀測值之模糊度惟兩者最大不同處在於模糊迴歸式的

迴歸係數與預測值皆為模糊數（區間值）不同於傳統迴歸係數與預測值

均為明確的數值此外傳統迴歸侷限於對明確資料的分析可能性模糊

迴歸僅適用於分析具模糊性的資料而複合的模糊迴歸則可同時適用於分

析模糊與明確的資料此為此模式最大的特點

模糊迴歸應用於預測中大多的結果是不佳的但是我們透過結合混

沌與模糊迴歸的概念將混沌的預測單點概念拓展成一個可接受的預測

範圍

PT Chang 與ES Lee 使用修正型模糊迴歸重新定義散度做出新的

模糊上下界均為改善模糊迴歸模式Tanaka之研究本研究將模糊迴歸與

混沌理論之建立時間序列的預測情形加以結合討論發現模糊迴歸在預測

的行為中是可行的但可惜的是即使預測的趨勢相近但預測值出時間

的點卻有差別這樣的結果我們可以看出若能找到解決加強模糊與複線性

迴歸關係之間時間的關聯性就能利用模糊的不確定性來討論預測問題

52 未來之研究方向

本研究將模糊迴歸與混沌理論之建立時間序列的預測情形加以結合討

論發現模糊迴歸在預測的行為中是可行的但可惜的是即使預測的趨

勢相近但預測值出時間的點卻有差別這樣的結果我們可以看出若能找

到解決加強模糊與附線性迴歸關係之間時間的關聯性就能利用模糊的不

確定性來討論預測問題

為了符合現今社會多元的狀況模糊迴歸與傳統迴歸之觀念勢必加以

混合應用也為了解決此等問題混合式迴歸（Hybrid Regression）在近年

來被提起也因此參數的估計模糊迴歸與傳統迴歸的混合應用將成

為往後繼續研究探討之目標

建議未來可用模糊加權修正模糊迴歸使模糊迴歸在預測上更能直接

43

將對事物多個構面評估的意見與其影響事物狀況的重要程度作加權的運

算

44

參考文獻

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26

的期望值之計算方式Kruse 與Meyer (1987)藉助集合表徵的概念建立了

一套模糊隨機變數的定義而為了讓模糊隨機變數能實際應用並將討論

的範圍界定在一模糊集合族上Koumlrner (1997)及Naumlther (1997)利用該方法以

求算模糊隨機變數的期望值與變異數並應用於線性模糊迴歸模式的求解

等另外在曾能芳(民 91)的博士論文研究中指出在Tanaka et al (1982)

的模糊迴歸模式中並不具備誤差項因此模式無法呈現樣本與期望值之間

的關係而無法討論線性規劃估計程序所具備的統計性質所以在曾能芳

(民 91)提出的迴歸模式中採用模糊樣本是由依變數之模糊期望值加上測量

誤差所組成並提出測量誤差存在於中點的模糊迴歸模式以及測量誤差

同時存在於中點和半徑的模糊迴歸模式

4 兩階段求解方法

以兩階段方法(two stage method)求解模糊迴歸模式的想法是在於結合

最小平方法與區間迴歸的觀念試圖降低反應變數估計值的模糊度如Savic

與Pedrycz (1991)對模糊迴歸模式的求解分為兩個步驟進行第一步以

反應變數的模糊數值之最可能數值為基礎將模糊數值視為簡化的明確數

值以傳統最小平方法求解迴歸係數的中心值第二步利用區間迴歸的

方式在使得迴歸係數的模糊度為最小的情形下以決定迴歸係數的三角

模糊數值Kao 與Chyu (2002)提出另一種模糊迴歸模式的兩階段求解方

法在第一階段先利用解模糊(defuzzification)方法將模糊觀察值轉換成為一

組明確數值之後利用該組明確數值以傳統的最小平方法求解迴歸係

數第二階段則是以Kim 與Bishu 所提之評估準則為目標式決定一個誤

差項估計值的模糊數以使得在Kim 與Bishu (1998)評估準則下的總誤差量

為最小該方法的特別之處在於求解的迴歸係數為明確數值而誤差項估計

值為模糊數值雖然此種求解方式可以得到很小的估計誤差但因其所著

眼的仍是Kim 與Bishu 評估準則下的面積估計誤差使得當觀察值與估計

值歸屬函數之間不具有交集時所衡量出的估計誤差較真實誤差為小且其

求解方法比較適合於觀察值為三角或梯形的模糊數值欲應用於其他型式

的模糊數值求解上則較為困難而在邱清爐(民 91)的博士論文中則是將

其兩階段求解方法對各種不同的模糊迴歸模式進行建構與評估並將其求

解方法應用於工作滿意度實例

5 其他求解方法與相關研究

27

Tanaka 等人(1995)後來提出另外一種模糊迴歸模式的求解方法將傳

統的估計誤差當作是存在解釋變數與反應變數之間的關係之可能性

(possibility)故模糊觀察值的展度可以直接轉換成迴歸係數的指數可能性

分配(exponentialpossibility distribution)而可以使用與傳統迴歸非常類似的

方式加以求解Tanaka與 Lee (1999)再利用辨識方法(identification method)

求解迴歸模式在其研究中利用辨識方法以決定模糊線性系統(fuzzy linear

system)中迴歸係數的可能性分配並認為由此方法所求解的迴歸係數會

有比較小範圍的可能性分配近年來有愈來愈多的學者將模糊迴歸分析

應用於其他傳統的決策方法及不同領域上如 Dunyak 與 Wunsch(2000)使

用 α 截集的端點以類神經網路(neuralnetworks)進行模糊迴歸分析Lee

與 Chen(2001)則將模糊迴歸模式使用於人力預測的問題上Tseng 等人

(2001)將由模糊迴歸模式建立之 ARIMA 模式用以預測匯率Tseng 與

Tzeng(2002)則利用模糊迴歸模式的求解方法以建構具有季節變動的

ARIMA 模式Kim 與 Bishu(1996)應用於人力可靠度分析的操作反應時間

上Wu 與 Tseng(2002)將其模糊迴歸模式應用在景氣對策信號上的分析

王景男(民 89)將模糊迴歸分析應用於籃球比賽攻防技術策略上曹勝雄

曾國雄江勁毅(民 85)以國人赴港旅客需求之預測為例說明傳統迴歸

模糊迴歸類神經網路之差別張良斌陳育民(民 86)將模糊目標迴歸法

應用在垃圾衛生掩埋場沼氣回收設備的成本估算謝邦昌林燦隆呂理

添(民 85)將模糊迴歸運用在甘蔗產量的預測對於上列有關模糊迴歸分析

的研究中絕大部份的文章均侷限於線性模式的分析鮮有文章討論非線

性模糊迴歸模式的求解最近雖然有少數學者開始討論非線性模糊迴歸模

式的解法如 Xu(1997)Buckley 與 Feuring(2000)的研究等但使用的方

法所求解的迴歸係數仍然為模糊數值其造成反應變數估計值的展度會

隨著解釋變數之數值增加而擴大的問題仍無法避免

28

第三章 研究方法

本章介紹本文將運用於數值分析中的預測研究方法利用本章建構的

方法可清楚了解如何利用混沌理論基於相空間重構的方式及模糊迴歸方

法於預測中

31 混沌時間序列建立預測方法

時間序列的模型建構和預測是資料處理研究領域中的重要方向其中

預測方法主要有線性和非線性預測方法兩種預測就是對未來作出估計和

推斷而通常要對研究對象或資料進行假設這一過程稱為建模利用建

模的方式獲得資料的科學表示就稱為模型混沌時間序列雖然看似隨機

但它卻是由確定系統產生的因此我們可以對混沌時間序列作出短期預測

同時由於混沌對初始條件微小差異的高度敏感性我們無法對混沌時間序

列作出長期預測每一步預測帶來的微小偏差都會使得下一步預測的偏差

擴大最終導致預測序列與原始序列完全不同

311李亞普諾夫指數判定資料混沌特性

進行預測前需根據 212節中提及的李亞普諾夫指數來判定資料是否

具有混沌特性最大李亞普諾夫指數是判斷和描述非線性時間序列是否為

混沌系統的重要參數因此是一個重要的混沌不變數

混沌系統中的李雅普諾夫指數可用來判斷系統是收斂的還是混沌的當系

統的李雅普諾夫指數中至少有一個為正時系統是混沌的 當系統的李雅

普諾夫指數均為負數時系統是收斂的 對於系統是否存在動力學混沌可以直觀的判斷最大李亞普諾夫指數是否

大於零一個正的李亞普諾夫指數代表著在系統相空間中無論初始兩

條軌跡的間距多小兩條軌跡的差別都會隨著時間的演化而成指數率的增

加而導致無法預測這就是混沌現象

312重建相空間

傳統的建模和預測方法己廣泛地應用社會科學中但大部分都是基於

線性系統混沌時間序列並不適用於非線性的混沌時間序列於是在判斷

時間序列性質後若判定序列以隨機性為主應採用從 AR 或 ARIMA 等隨

機模型來預測如果判定以混沌為主則應採用非線性確定性的方法進行

29

預測非線性時間序列的預報是經過相空間重構後對相空間中的動力軌

跡進行預報由於混沌系統具有被稱為「蝴蝶效應」的初始值敏感性所

以混沌時間序列是不能長期預測的但對於短時間內混沌系統的軌道在

相空間中具有一定的規律它們的預測性是可獲得的並比一般的基於統

計方法的預測能力要來得好

時間序列資料是時間離散後的樣本值用 表示將它「嵌入」到

一個 m維(mgt0)的空間中進行相空間重構後得到嵌入向量

(31)

由嵌入向量 可擴張成一嵌入空間 E由 Taken嵌入定理可知存

在映射面 滿足

(32)

上式表是出在拓樸的意義中可完全預測吸引子的特徵所以上式也可

表示為

(33)

其中函數 為 的一個估計值由式 (33)可得之我們可用

來預測

313相空間維度相關維度

在實作的研究上有許多方法可以用來估計混沌吸引子的維度本研

究選用較為常見的相關維度方法相關維度需先計算相關和將相空間中

所有樣本點皆計算其各別半徑收斂後之趨近值相關方程式（Correlation

Function）定義如下

(34)

其中

當 rrarr0時

兩邊同取對數可得

(35)

定義相關維度為 與 之曲線斜率為

(36)

在實際應用中經常給定一組維度 值選取適當的 r繪出

30

曲線求曲線當中直線段的斜率 如果系統存在這樣一個 值達到此

值後相應的關聯維數不再隨 的增長而變化也就是趨於飽和這表明

該序列為混沌系統其吸引子是存在的此時 值即為重構相空間的最佳

嵌入維數否則則表明該序列為隨機系統不具有混沌性

314 時間遞移數

利用 2123節中介紹的概念及 2124 中介紹的自相關函數求解出時

間遞移數的結果自相關函數公式如下

1

1

1( )( )

1( )

n k

t t k

tk n

t

t

x x x xn k

r

x xn

(37)

n為原資料樣本數k為時間遞移後的樣本點

將自相關係數計算的結果與每一筆遲延時間距離數值繪製成圖表可

由圖表中可分析辨別時間序列數據的初步基本特徵圖表繪製的結果顯示

自相關係數跟隨遲延時間距離數值的增加而顯示收歛且具有震盪循環之跡

象則表示數據具有一種規則屬於一混沌時間序列

32 複線性迴歸

確立資料為混沌後運用自我相關係數計算出時間遞移數及相空間維

度後將加入複線性迴歸運算複線性迴歸中常用的預測方法分為兩種

1 全域法

全域法就是利用相空間軌跡中的全部向量點做為擬合對象找出其

規律由此進行短期預測也就是說利用收集的大量的歷史資料利用

複線性迴歸訓練出迴歸參數再將未放進訓練迴歸參數的資料使用訓練

出的迴歸參數計算出預測值的資料型態本文還將原本的歷史資料分析

出資料的季節性後先去除季節性的影響最後再加回季節性討論預測結

果

2 局域法

局域法的基本原理是僅利用有限個鄰近點的資訊而不是利用全部的

樣本點來擬合 局域法預測是把相空間軌跡中的最後一點作為待測點對

離待測點鄰近的若干個相空間點的關係作出擬合再對預測相空間點的未

來演化規律進行預測本文使用零階局域法零階局域法是直接將鄰近樣

31

本點應用於預測根據鄰近樣本點預測 的最簡單的方法就是尋找相

空間中距離 最近的點假設距離最近的點是 那麼它的下一個樣本

點為 即可做為 的預測值

因數值資料在每日重複發生變動所以本研究又加入計算季節性指數

對趨勢線做季節性調整也就是對時間序列做季節性調整

33 模糊迴歸分析

運用模糊的概念帶進迴歸模式中處理具模糊性的資料問題此稱為模

糊迴歸分析本文利用的模糊迴歸模式主要有兩個方向一個是Tanaka et al

(1982)提出的模糊線性迴歸另一個是由Chang 與Lee (1994)所提出修正型

迴歸模式Tanaka 起初所提出的線性規劃模型

0 1

[ ( )]p n

j ij

j i

Min C X

st 0 0

(1 ) (1 )p p

j ij j ij ii

j j

X H c X y H e

(38)

0 0

(1 ) (1 )p p

j ij j ij ii

j j

X H c X y H e

0jc j R 0 1iX 0 1H 123i n 012j p

Tanaka 所提出的模糊模型未考慮到散度為負值的條件所以模糊上下

界會不斷的擴張而越來越寬大由 Chang 與 Lee (1994)所提出修正型迴歸

模式即將模糊的散度可為負值使上下界的模糊區間為遞減的情形遞

減的情形由圖 31表示

圖 31 模糊區間隨自變數越大而越窄

0

2

4

6

8

10

上界 中心線 下界

32

假設圖表中計算出的模糊迴歸函數為 0 0 1 1 Y c c X 模糊上界為

0 0 1 1UY c c X 模糊下界為 0 0 1 1LY c c X

33

第四章 數值分析

本章資料來源1台灣區車輛工業同業公會

2台北市交通局

本章所使用的數據資料為台北市交通局提供的公開的車流量資料數

值分析所使用的方法已在第三章論述利用第三章的方法分析數值預測的

準確性並結合模糊迴歸常見的兩種方法幫助決定預測的可接受範圍本

章介紹本文所利用的數學模型及方法在複線性迴歸的模型中分成混沌全

域法去季節性後的混沌全域法以及混沌局域法預測出的結果加以討論預

測的準確性再將預測值去季節性觀察準確程度最後再帶入模糊迴歸

利用 05H 加以討論如何將模糊迴歸中的散度用以選擇預測值的範圍第

一節針對傳統複線性迴歸方法並結合全域法觀念訓練資料迴歸係數討

論預測結果第二節針對傳統複線性迴歸方法並結合局域法觀念訓練資

料迴歸係數討論預測結果第三節針對預測資料去除季節性後再利用

傳統複線性迴歸方法討論預測結果第四節針對模糊迴歸的兩種方法選

擇出預測的範圍

利用第三章論述的時間遞移及相關維度的做法將本文利用具混沌性

的資料加以分析將資料先利用 212 節中介紹的李雅普諾夫指數 判定是

否具混沌性具有混沌性的資料才能利用混沌理論重構相空間若李雅

普諾夫指數 介在 0跟 1之間則表示資料具有混沌性質本文資料利用程

式計算出李雅普諾夫指數 運用自我相關係數判斷出時間遞移

數 相關維度計算出維度 我相關係數判斷時間遞移數與相關維

度的圖形以及原始資料時間遞移後的資料圖如圖 41圖 42圖 43

34

圖 41相空間維度及 lnC與 ln r斜率關係圖

圖 42相空間維度及 lnC與 ln r斜率關係圖

0

1

2

3

4

5

6

7

0 5 10 15 20

相空間維度

斜

率

d

-02

0

02

04

06

08

1

12

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33

時間遞移數

自我相關函數

35

圖 43 原始資料時間序列圖

41 複線性迴歸混沌全域法

本文所使用的資料為 10日的車流量資料利用前 9日的資料訓練出迴

歸參數將迴歸參數代入複線性數學模型中計算出的迴歸方程式為

1 2 3 4

5 6 7 8 9

10 11 12 13 14

435363 00819 00338 01777 00070

01116 01999 00299 02716 00349

01399 00056 01113 00738 02038

y x x x x

x x x x x

x x x x x

(41)

解出迴歸參數計算出複線性迴歸方程式後再將最後一日 144筆的車

流資料代入方程式中計算出預測值利用複線性迴歸混沌域法預測出的結

果如圖 44

圖 44 複線性迴歸分析預測與原始資料比較圖-全域法

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

1 53

10

5

157

209

26

1 31

3

365

41

7

469

52

1 57

3

625

67

7

729

78

1 83

3

885

93

7

989

10

41

1093

11

45

1197

12

49

1301

13

53

1405

原始資料點

原始資料點

-50

0

50

100

150

200

1

7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

103

109

115

121

127

133

139

實際值

預測值

36

由圖表的狀況可觀察出運用複線性迴歸模型預測的結果不盡理想本

研究認為運用複線性迴歸預測的結果不佳的原因有二

1 利用全域法預測是將較大量的歷史資料加入考慮訓練出迴歸參數這

樣的結果造成削弱了原本的奇異點(相較於同時段資料差異性較大的點)

的影響力

2 嵌入維度 太高對於混沌時間序列隨著嵌入維度增高歷史

對未來的影響是呈指數衰減的所以全域法所利用的資訊歷史就越長

預測的精準度就會迅速下降因此本研究將加入局域法討論預測的準

確性

42 複線性迴歸混沌局域法

局域法的做法為尋找相空間重構後的點對待測點尋找鄰近的 k個相

空間點對離待測點鄰近的若 k個相空間點的關係作出擬合並分析出複

迴歸方程式的迴歸參數本文嘗試選取 k=50~250的結果以下只列舉 k=200

的圖解釋預測結果

圖 45 複線性迴歸分析預測與原始資料比較圖-局域法(k=200)

圖 44與圖 45比較後可看出區域法預測的準確性比全域法更好某

些預測出來的結果的點與原始資料的點差異性大有明顯的偏移本研究

認為利用局域法預測的結果不佳的原因如下由圖 45可看出預測結果與

原始資料間差異性較大的點位為數列的右側 而數列尾端的資料為凌晨或

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

1

7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

103

109

115

121

127

133

139

實際值

估計值

37

是深夜的車流量因每日凌晨或是深夜的車流量變化量較少(例如某日的凌

晨十二點十分可能為 0台車或是小於 10台車經過)所以資料的差異性

較大造成頭尾的資料預測上較為不準確

因為同時段的資料可能會影響資料預測出的結果所以我們下節就以

加入季節性的考慮來加以討論預測結果

43 複線性迴歸去除季節性後混沌全域法

本文使用的車流量資料為每日 24時換算成 1440分鐘每 10分鐘記

錄一點於是本研究依資料的記錄時間點來劃分季節性將季節分成 144

個季分別求出季節性指數求取季節性指數後將每個資料點先去除季

節性利用全域法訓練出去季節性後的迴歸係數再利用複線性求出預測

值最後將去除的季節指數乘回預測點結果如下

圖 46考慮季節性複線性迴歸分析預測與原始資料比較圖-全域法

此考慮季節性因子的複線性迴歸分析預測與原始資料的比較是用全

域法去訓練迴歸參數的而由圖 44我們可以得知一開始未考慮季節因

子使用全域法的複線性迴歸預測是不準確的本研究認為原本的歷史資

料隨著季節性因子的變化該系統原本呈現複雜的動態特性實際上由於

車流量的變動有許多外在因素的影響例如氣候假期hellip等影響會使

資料的變化過程發生不同程度的偏離而對於季節性事件來說其事件發

生的過程主要受季節性參數週期性變化的影響 因此影響因素的具體形

式可以近似地表示為單一函數本文考慮季節因素對車流量的影響意即

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

1

7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

10

3

10

9

11

5

12

1

12

7

13

3

13

9 實際值

預測值

38

經過季節性分析後的得到的預測分析結果很準確如圖 46所示此結果

表示季節性影響樣本資料的情形大也代表著在季節因素影響下系統中

事件的動態變化情況是隨著季節影響參數的變化而造成系統呈現各種

各樣複雜的動態特性如週期解混沌情形hellip等

44 模糊迴歸

441Tanaka模糊迴歸

μ及 H 值之選定原則為當不確定性愈大時其 μ及 H 值愈接近 0

反之當資料不確定性愈小時μ及 H 值取愈接近 1 之值Bardossy 等人

建議其值在 05~07間為適宜根據 Tanaka在 1982年所提到的方法我們

可以求得一模糊迴歸函數並可得知其中心線與其上界及下界假定在 H =

05的情況下利用 Tanaka模糊迴歸模式算出迴歸函數為

(42)

中心線與上下界的簡單迴歸方程式為

中心線 (43)

上界 (44)

下界 (45)

繪製出的圖形如圖 47所示

圖 47 Tanaka 模糊迴歸

0

50

100

150

200

250

300

1

7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

103

109

115

121

127

133

139

下界

中心線

上界

39

圖 48 Tanaka 模糊迴歸中心線與預測值之結合

從圖 48可看出預測值與模糊迴歸的中心線 有明顯的時間差異但由

圖可以觀察出模糊迴歸的中心線 的預測趨勢與實際值是相近的雖然利

用模糊迴歸預測的時間點比實際時間快但是相對來說也是可以用來預

測之後將發生的趨勢本研究認為若模糊迴歸可用於預測中則可用模糊

的散度 c當做預測行為中選取的可接受的變動範圍如圖 49最後將 Tanaka

模糊迴歸中心線上下界與實際值之結合如圖 410所示

圖 49 Tanaka 模糊迴歸中心線上下界與實際值之結合

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

1

8

15

22

29

36

43

50

57

64

71

78

85

92

99

106

113

120

127

134

141

實際值

中心線

0

50

100

150

200

250

300

1

7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

103

109

115

121

127

133

139

實際值

下界

上界

預測

值

預測值

40

圖 410 Tanaka 模糊迴歸中心線上下界與實際值之結合

442修正型 Tanaka模糊迴歸

因為我們要將模糊迴歸應用於預測中所以本研究將複線性迴歸的趨

勢線視為模糊迴歸的中心線再利用修正型 Tanaka模糊迴歸模式算出迴歸

函數為

(46)

中心線與上下界的簡單迴歸方程式為

中心線

上界

下界

繪製出圖形如圖 411

0

50

100

150

200

250

300

1 7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

103

109

115

121

127

133

139

實際值

預測值

下界

上界

41

圖 411 修正型模糊迴歸中心線上下界與實際值之結合

本研究使用的修正型模糊迴歸中心線與傳統的迴歸方程式相同所以

可用來處理或分析模糊資料與明確資料同時修正型模糊迴歸的上下界

與 Tanaka 模糊迴歸相較也變窄了此兩種現象就是修正型迴歸的特色因

為中心線與傳統的迴歸方程式也相同這種修正型迴歸散度可選擇為負值

的特色本研究認為可以應用在預測上因為上下界與中心線間的散度變

窄使得前文所敘述到的利用散度來選取預測範圍便可更為嚴格也可

使預測的結果更為可靠如圖 412所示

圖 412 Tanaka 上下界與修正型模糊迴歸上下界的寬度差別

0

50

100

150

200

250

1 7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

103

109

115

121

127

133

139

下界

中心線

上界

0

50

100

150

200

250

300

1 8 15

22

29

36

43

50

57

64

71

78

85

92

99

106

113

120

127

134

141

Tanaka下界

Tanaka上界

Tanaka修正型下界

Tanaka修正型上界

42

第五章 結論及未來研究方向

51 結論

根據前文的討論傳統迴歸和模糊迴歸建立在不同的理論基礎上傳

統迴歸是以機率為基礎而模糊迴歸則是以可能性為基礎傳統迴歸因變

數的估計值與觀測值之間的差異為因變數的隨機性而模糊迴歸因變數的

估計值則產生於觀測值之模糊度惟兩者最大不同處在於模糊迴歸式的

迴歸係數與預測值皆為模糊數（區間值）不同於傳統迴歸係數與預測值

均為明確的數值此外傳統迴歸侷限於對明確資料的分析可能性模糊

迴歸僅適用於分析具模糊性的資料而複合的模糊迴歸則可同時適用於分

析模糊與明確的資料此為此模式最大的特點

模糊迴歸應用於預測中大多的結果是不佳的但是我們透過結合混

沌與模糊迴歸的概念將混沌的預測單點概念拓展成一個可接受的預測

範圍

PT Chang 與ES Lee 使用修正型模糊迴歸重新定義散度做出新的

模糊上下界均為改善模糊迴歸模式Tanaka之研究本研究將模糊迴歸與

混沌理論之建立時間序列的預測情形加以結合討論發現模糊迴歸在預測

的行為中是可行的但可惜的是即使預測的趨勢相近但預測值出時間

的點卻有差別這樣的結果我們可以看出若能找到解決加強模糊與複線性

迴歸關係之間時間的關聯性就能利用模糊的不確定性來討論預測問題

52 未來之研究方向

本研究將模糊迴歸與混沌理論之建立時間序列的預測情形加以結合討

論發現模糊迴歸在預測的行為中是可行的但可惜的是即使預測的趨

勢相近但預測值出時間的點卻有差別這樣的結果我們可以看出若能找

到解決加強模糊與附線性迴歸關係之間時間的關聯性就能利用模糊的不

確定性來討論預測問題

為了符合現今社會多元的狀況模糊迴歸與傳統迴歸之觀念勢必加以

混合應用也為了解決此等問題混合式迴歸（Hybrid Regression）在近年

來被提起也因此參數的估計模糊迴歸與傳統迴歸的混合應用將成

為往後繼續研究探討之目標

建議未來可用模糊加權修正模糊迴歸使模糊迴歸在預測上更能直接

43

將對事物多個構面評估的意見與其影響事物狀況的重要程度作加權的運

算

44

參考文獻

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27

Tanaka 等人(1995)後來提出另外一種模糊迴歸模式的求解方法將傳

統的估計誤差當作是存在解釋變數與反應變數之間的關係之可能性

(possibility)故模糊觀察值的展度可以直接轉換成迴歸係數的指數可能性

分配(exponentialpossibility distribution)而可以使用與傳統迴歸非常類似的

方式加以求解Tanaka與 Lee (1999)再利用辨識方法(identification method)

求解迴歸模式在其研究中利用辨識方法以決定模糊線性系統(fuzzy linear

system)中迴歸係數的可能性分配並認為由此方法所求解的迴歸係數會

有比較小範圍的可能性分配近年來有愈來愈多的學者將模糊迴歸分析

應用於其他傳統的決策方法及不同領域上如 Dunyak 與 Wunsch(2000)使

用 α 截集的端點以類神經網路(neuralnetworks)進行模糊迴歸分析Lee

與 Chen(2001)則將模糊迴歸模式使用於人力預測的問題上Tseng 等人

(2001)將由模糊迴歸模式建立之 ARIMA 模式用以預測匯率Tseng 與

Tzeng(2002)則利用模糊迴歸模式的求解方法以建構具有季節變動的

ARIMA 模式Kim 與 Bishu(1996)應用於人力可靠度分析的操作反應時間

上Wu 與 Tseng(2002)將其模糊迴歸模式應用在景氣對策信號上的分析

王景男(民 89)將模糊迴歸分析應用於籃球比賽攻防技術策略上曹勝雄

曾國雄江勁毅(民 85)以國人赴港旅客需求之預測為例說明傳統迴歸

模糊迴歸類神經網路之差別張良斌陳育民(民 86)將模糊目標迴歸法

應用在垃圾衛生掩埋場沼氣回收設備的成本估算謝邦昌林燦隆呂理

添(民 85)將模糊迴歸運用在甘蔗產量的預測對於上列有關模糊迴歸分析

的研究中絕大部份的文章均侷限於線性模式的分析鮮有文章討論非線

性模糊迴歸模式的求解最近雖然有少數學者開始討論非線性模糊迴歸模

式的解法如 Xu(1997)Buckley 與 Feuring(2000)的研究等但使用的方

法所求解的迴歸係數仍然為模糊數值其造成反應變數估計值的展度會

隨著解釋變數之數值增加而擴大的問題仍無法避免

28

第三章 研究方法

本章介紹本文將運用於數值分析中的預測研究方法利用本章建構的

方法可清楚了解如何利用混沌理論基於相空間重構的方式及模糊迴歸方

法於預測中

31 混沌時間序列建立預測方法

時間序列的模型建構和預測是資料處理研究領域中的重要方向其中

預測方法主要有線性和非線性預測方法兩種預測就是對未來作出估計和

推斷而通常要對研究對象或資料進行假設這一過程稱為建模利用建

模的方式獲得資料的科學表示就稱為模型混沌時間序列雖然看似隨機

但它卻是由確定系統產生的因此我們可以對混沌時間序列作出短期預測

同時由於混沌對初始條件微小差異的高度敏感性我們無法對混沌時間序

列作出長期預測每一步預測帶來的微小偏差都會使得下一步預測的偏差

擴大最終導致預測序列與原始序列完全不同

311李亞普諾夫指數判定資料混沌特性

進行預測前需根據 212節中提及的李亞普諾夫指數來判定資料是否

具有混沌特性最大李亞普諾夫指數是判斷和描述非線性時間序列是否為

混沌系統的重要參數因此是一個重要的混沌不變數

混沌系統中的李雅普諾夫指數可用來判斷系統是收斂的還是混沌的當系

統的李雅普諾夫指數中至少有一個為正時系統是混沌的 當系統的李雅

普諾夫指數均為負數時系統是收斂的 對於系統是否存在動力學混沌可以直觀的判斷最大李亞普諾夫指數是否

大於零一個正的李亞普諾夫指數代表著在系統相空間中無論初始兩

條軌跡的間距多小兩條軌跡的差別都會隨著時間的演化而成指數率的增

加而導致無法預測這就是混沌現象

312重建相空間

傳統的建模和預測方法己廣泛地應用社會科學中但大部分都是基於

線性系統混沌時間序列並不適用於非線性的混沌時間序列於是在判斷

時間序列性質後若判定序列以隨機性為主應採用從 AR 或 ARIMA 等隨

機模型來預測如果判定以混沌為主則應採用非線性確定性的方法進行

29

預測非線性時間序列的預報是經過相空間重構後對相空間中的動力軌

跡進行預報由於混沌系統具有被稱為「蝴蝶效應」的初始值敏感性所

以混沌時間序列是不能長期預測的但對於短時間內混沌系統的軌道在

相空間中具有一定的規律它們的預測性是可獲得的並比一般的基於統

計方法的預測能力要來得好

時間序列資料是時間離散後的樣本值用 表示將它「嵌入」到

一個 m維(mgt0)的空間中進行相空間重構後得到嵌入向量

(31)

由嵌入向量 可擴張成一嵌入空間 E由 Taken嵌入定理可知存

在映射面 滿足

(32)

上式表是出在拓樸的意義中可完全預測吸引子的特徵所以上式也可

表示為

(33)

其中函數 為 的一個估計值由式 (33)可得之我們可用

來預測

313相空間維度相關維度

在實作的研究上有許多方法可以用來估計混沌吸引子的維度本研

究選用較為常見的相關維度方法相關維度需先計算相關和將相空間中

所有樣本點皆計算其各別半徑收斂後之趨近值相關方程式（Correlation

Function）定義如下

(34)

其中

當 rrarr0時

兩邊同取對數可得

(35)

定義相關維度為 與 之曲線斜率為

(36)

在實際應用中經常給定一組維度 值選取適當的 r繪出

30

曲線求曲線當中直線段的斜率 如果系統存在這樣一個 值達到此

值後相應的關聯維數不再隨 的增長而變化也就是趨於飽和這表明

該序列為混沌系統其吸引子是存在的此時 值即為重構相空間的最佳

嵌入維數否則則表明該序列為隨機系統不具有混沌性

314 時間遞移數

利用 2123節中介紹的概念及 2124 中介紹的自相關函數求解出時

間遞移數的結果自相關函數公式如下

1

1

1( )( )

1( )

n k

t t k

tk n

t

t

x x x xn k

r

x xn

(37)

n為原資料樣本數k為時間遞移後的樣本點

將自相關係數計算的結果與每一筆遲延時間距離數值繪製成圖表可

由圖表中可分析辨別時間序列數據的初步基本特徵圖表繪製的結果顯示

自相關係數跟隨遲延時間距離數值的增加而顯示收歛且具有震盪循環之跡

象則表示數據具有一種規則屬於一混沌時間序列

32 複線性迴歸

確立資料為混沌後運用自我相關係數計算出時間遞移數及相空間維

度後將加入複線性迴歸運算複線性迴歸中常用的預測方法分為兩種

1 全域法

全域法就是利用相空間軌跡中的全部向量點做為擬合對象找出其

規律由此進行短期預測也就是說利用收集的大量的歷史資料利用

複線性迴歸訓練出迴歸參數再將未放進訓練迴歸參數的資料使用訓練

出的迴歸參數計算出預測值的資料型態本文還將原本的歷史資料分析

出資料的季節性後先去除季節性的影響最後再加回季節性討論預測結

果

2 局域法

局域法的基本原理是僅利用有限個鄰近點的資訊而不是利用全部的

樣本點來擬合 局域法預測是把相空間軌跡中的最後一點作為待測點對

離待測點鄰近的若干個相空間點的關係作出擬合再對預測相空間點的未

來演化規律進行預測本文使用零階局域法零階局域法是直接將鄰近樣

31

本點應用於預測根據鄰近樣本點預測 的最簡單的方法就是尋找相

空間中距離 最近的點假設距離最近的點是 那麼它的下一個樣本

點為 即可做為 的預測值

因數值資料在每日重複發生變動所以本研究又加入計算季節性指數

對趨勢線做季節性調整也就是對時間序列做季節性調整

33 模糊迴歸分析

運用模糊的概念帶進迴歸模式中處理具模糊性的資料問題此稱為模

糊迴歸分析本文利用的模糊迴歸模式主要有兩個方向一個是Tanaka et al

(1982)提出的模糊線性迴歸另一個是由Chang 與Lee (1994)所提出修正型

迴歸模式Tanaka 起初所提出的線性規劃模型

0 1

[ ( )]p n

j ij

j i

Min C X

st 0 0

(1 ) (1 )p p

j ij j ij ii

j j

X H c X y H e

(38)

0 0

(1 ) (1 )p p

j ij j ij ii

j j

X H c X y H e

0jc j R 0 1iX 0 1H 123i n 012j p

Tanaka 所提出的模糊模型未考慮到散度為負值的條件所以模糊上下

界會不斷的擴張而越來越寬大由 Chang 與 Lee (1994)所提出修正型迴歸

模式即將模糊的散度可為負值使上下界的模糊區間為遞減的情形遞

減的情形由圖 31表示

圖 31 模糊區間隨自變數越大而越窄

0

2

4

6

8

10

上界 中心線 下界

32

假設圖表中計算出的模糊迴歸函數為 0 0 1 1 Y c c X 模糊上界為

0 0 1 1UY c c X 模糊下界為 0 0 1 1LY c c X

33

第四章 數值分析

本章資料來源1台灣區車輛工業同業公會

2台北市交通局

本章所使用的數據資料為台北市交通局提供的公開的車流量資料數

值分析所使用的方法已在第三章論述利用第三章的方法分析數值預測的

準確性並結合模糊迴歸常見的兩種方法幫助決定預測的可接受範圍本

章介紹本文所利用的數學模型及方法在複線性迴歸的模型中分成混沌全

域法去季節性後的混沌全域法以及混沌局域法預測出的結果加以討論預

測的準確性再將預測值去季節性觀察準確程度最後再帶入模糊迴歸

利用 05H 加以討論如何將模糊迴歸中的散度用以選擇預測值的範圍第

一節針對傳統複線性迴歸方法並結合全域法觀念訓練資料迴歸係數討

論預測結果第二節針對傳統複線性迴歸方法並結合局域法觀念訓練資

料迴歸係數討論預測結果第三節針對預測資料去除季節性後再利用

傳統複線性迴歸方法討論預測結果第四節針對模糊迴歸的兩種方法選

擇出預測的範圍

利用第三章論述的時間遞移及相關維度的做法將本文利用具混沌性

的資料加以分析將資料先利用 212 節中介紹的李雅普諾夫指數 判定是

否具混沌性具有混沌性的資料才能利用混沌理論重構相空間若李雅

普諾夫指數 介在 0跟 1之間則表示資料具有混沌性質本文資料利用程

式計算出李雅普諾夫指數 運用自我相關係數判斷出時間遞移

數 相關維度計算出維度 我相關係數判斷時間遞移數與相關維

度的圖形以及原始資料時間遞移後的資料圖如圖 41圖 42圖 43

34

圖 41相空間維度及 lnC與 ln r斜率關係圖

圖 42相空間維度及 lnC與 ln r斜率關係圖

0

1

2

3

4

5

6

7

0 5 10 15 20

相空間維度

斜

率

d

-02

0

02

04

06

08

1

12

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33

時間遞移數

自我相關函數

35

圖 43 原始資料時間序列圖

41 複線性迴歸混沌全域法

本文所使用的資料為 10日的車流量資料利用前 9日的資料訓練出迴

歸參數將迴歸參數代入複線性數學模型中計算出的迴歸方程式為

1 2 3 4

5 6 7 8 9

10 11 12 13 14

435363 00819 00338 01777 00070

01116 01999 00299 02716 00349

01399 00056 01113 00738 02038

y x x x x

x x x x x

x x x x x

(41)

解出迴歸參數計算出複線性迴歸方程式後再將最後一日 144筆的車

流資料代入方程式中計算出預測值利用複線性迴歸混沌域法預測出的結

果如圖 44

圖 44 複線性迴歸分析預測與原始資料比較圖-全域法

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

1 53

10

5

157

209

26

1 31

3

365

41

7

469

52

1 57

3

625

67

7

729

78

1 83

3

885

93

7

989

10

41

1093

11

45

1197

12

49

1301

13

53

1405

原始資料點

原始資料點

-50

0

50

100

150

200

1

7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

103

109

115

121

127

133

139

實際值

預測值

36

由圖表的狀況可觀察出運用複線性迴歸模型預測的結果不盡理想本

研究認為運用複線性迴歸預測的結果不佳的原因有二

1 利用全域法預測是將較大量的歷史資料加入考慮訓練出迴歸參數這

樣的結果造成削弱了原本的奇異點(相較於同時段資料差異性較大的點)

的影響力

2 嵌入維度 太高對於混沌時間序列隨著嵌入維度增高歷史

對未來的影響是呈指數衰減的所以全域法所利用的資訊歷史就越長

預測的精準度就會迅速下降因此本研究將加入局域法討論預測的準

確性

42 複線性迴歸混沌局域法

局域法的做法為尋找相空間重構後的點對待測點尋找鄰近的 k個相

空間點對離待測點鄰近的若 k個相空間點的關係作出擬合並分析出複

迴歸方程式的迴歸參數本文嘗試選取 k=50~250的結果以下只列舉 k=200

的圖解釋預測結果

圖 45 複線性迴歸分析預測與原始資料比較圖-局域法(k=200)

圖 44與圖 45比較後可看出區域法預測的準確性比全域法更好某

些預測出來的結果的點與原始資料的點差異性大有明顯的偏移本研究

認為利用局域法預測的結果不佳的原因如下由圖 45可看出預測結果與

原始資料間差異性較大的點位為數列的右側 而數列尾端的資料為凌晨或

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

1

7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

103

109

115

121

127

133

139

實際值

估計值

37

是深夜的車流量因每日凌晨或是深夜的車流量變化量較少(例如某日的凌

晨十二點十分可能為 0台車或是小於 10台車經過)所以資料的差異性

較大造成頭尾的資料預測上較為不準確

因為同時段的資料可能會影響資料預測出的結果所以我們下節就以

加入季節性的考慮來加以討論預測結果

43 複線性迴歸去除季節性後混沌全域法

本文使用的車流量資料為每日 24時換算成 1440分鐘每 10分鐘記

錄一點於是本研究依資料的記錄時間點來劃分季節性將季節分成 144

個季分別求出季節性指數求取季節性指數後將每個資料點先去除季

節性利用全域法訓練出去季節性後的迴歸係數再利用複線性求出預測

值最後將去除的季節指數乘回預測點結果如下

圖 46考慮季節性複線性迴歸分析預測與原始資料比較圖-全域法

此考慮季節性因子的複線性迴歸分析預測與原始資料的比較是用全

域法去訓練迴歸參數的而由圖 44我們可以得知一開始未考慮季節因

子使用全域法的複線性迴歸預測是不準確的本研究認為原本的歷史資

料隨著季節性因子的變化該系統原本呈現複雜的動態特性實際上由於

車流量的變動有許多外在因素的影響例如氣候假期hellip等影響會使

資料的變化過程發生不同程度的偏離而對於季節性事件來說其事件發

生的過程主要受季節性參數週期性變化的影響 因此影響因素的具體形

式可以近似地表示為單一函數本文考慮季節因素對車流量的影響意即

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

1

7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

10

3

10

9

11

5

12

1

12

7

13

3

13

9 實際值

預測值

38

經過季節性分析後的得到的預測分析結果很準確如圖 46所示此結果

表示季節性影響樣本資料的情形大也代表著在季節因素影響下系統中

事件的動態變化情況是隨著季節影響參數的變化而造成系統呈現各種

各樣複雜的動態特性如週期解混沌情形hellip等

44 模糊迴歸

441Tanaka模糊迴歸

μ及 H 值之選定原則為當不確定性愈大時其 μ及 H 值愈接近 0

反之當資料不確定性愈小時μ及 H 值取愈接近 1 之值Bardossy 等人

建議其值在 05~07間為適宜根據 Tanaka在 1982年所提到的方法我們

可以求得一模糊迴歸函數並可得知其中心線與其上界及下界假定在 H =

05的情況下利用 Tanaka模糊迴歸模式算出迴歸函數為

(42)

中心線與上下界的簡單迴歸方程式為

中心線 (43)

上界 (44)

下界 (45)

繪製出的圖形如圖 47所示

圖 47 Tanaka 模糊迴歸

0

50

100

150

200

250

300

1

7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

103

109

115

121

127

133

139

下界

中心線

上界

39

圖 48 Tanaka 模糊迴歸中心線與預測值之結合

從圖 48可看出預測值與模糊迴歸的中心線 有明顯的時間差異但由

圖可以觀察出模糊迴歸的中心線 的預測趨勢與實際值是相近的雖然利

用模糊迴歸預測的時間點比實際時間快但是相對來說也是可以用來預

測之後將發生的趨勢本研究認為若模糊迴歸可用於預測中則可用模糊

的散度 c當做預測行為中選取的可接受的變動範圍如圖 49最後將 Tanaka

模糊迴歸中心線上下界與實際值之結合如圖 410所示

圖 49 Tanaka 模糊迴歸中心線上下界與實際值之結合

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

1

8

15

22

29

36

43

50

57

64

71

78

85

92

99

106

113

120

127

134

141

實際值

中心線

0

50

100

150

200

250

300

1

7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

103

109

115

121

127

133

139

實際值

下界

上界

預測

值

預測值

40

圖 410 Tanaka 模糊迴歸中心線上下界與實際值之結合

442修正型 Tanaka模糊迴歸

因為我們要將模糊迴歸應用於預測中所以本研究將複線性迴歸的趨

勢線視為模糊迴歸的中心線再利用修正型 Tanaka模糊迴歸模式算出迴歸

函數為

(46)

中心線與上下界的簡單迴歸方程式為

中心線

上界

下界

繪製出圖形如圖 411

0

50

100

150

200

250

300

1 7

13

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31

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61

67

73

79

85

91

97

103

109

115

121

127

133

139

實際值

預測值

下界

上界

41

圖 411 修正型模糊迴歸中心線上下界與實際值之結合

本研究使用的修正型模糊迴歸中心線與傳統的迴歸方程式相同所以

可用來處理或分析模糊資料與明確資料同時修正型模糊迴歸的上下界

與 Tanaka 模糊迴歸相較也變窄了此兩種現象就是修正型迴歸的特色因

為中心線與傳統的迴歸方程式也相同這種修正型迴歸散度可選擇為負值

的特色本研究認為可以應用在預測上因為上下界與中心線間的散度變

窄使得前文所敘述到的利用散度來選取預測範圍便可更為嚴格也可

使預測的結果更為可靠如圖 412所示

圖 412 Tanaka 上下界與修正型模糊迴歸上下界的寬度差別

0

50

100

150

200

250

1 7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

103

109

115

121

127

133

139

下界

中心線

上界

0

50

100

150

200

250

300

1 8 15

22

29

36

43

50

57

64

71

78

85

92

99

106

113

120

127

134

141

Tanaka下界

Tanaka上界

Tanaka修正型下界

Tanaka修正型上界

42

第五章 結論及未來研究方向

51 結論

根據前文的討論傳統迴歸和模糊迴歸建立在不同的理論基礎上傳

統迴歸是以機率為基礎而模糊迴歸則是以可能性為基礎傳統迴歸因變

數的估計值與觀測值之間的差異為因變數的隨機性而模糊迴歸因變數的

估計值則產生於觀測值之模糊度惟兩者最大不同處在於模糊迴歸式的

迴歸係數與預測值皆為模糊數（區間值）不同於傳統迴歸係數與預測值

均為明確的數值此外傳統迴歸侷限於對明確資料的分析可能性模糊

迴歸僅適用於分析具模糊性的資料而複合的模糊迴歸則可同時適用於分

析模糊與明確的資料此為此模式最大的特點

模糊迴歸應用於預測中大多的結果是不佳的但是我們透過結合混

沌與模糊迴歸的概念將混沌的預測單點概念拓展成一個可接受的預測

範圍

PT Chang 與ES Lee 使用修正型模糊迴歸重新定義散度做出新的

模糊上下界均為改善模糊迴歸模式Tanaka之研究本研究將模糊迴歸與

混沌理論之建立時間序列的預測情形加以結合討論發現模糊迴歸在預測

的行為中是可行的但可惜的是即使預測的趨勢相近但預測值出時間

的點卻有差別這樣的結果我們可以看出若能找到解決加強模糊與複線性

迴歸關係之間時間的關聯性就能利用模糊的不確定性來討論預測問題

52 未來之研究方向

本研究將模糊迴歸與混沌理論之建立時間序列的預測情形加以結合討

論發現模糊迴歸在預測的行為中是可行的但可惜的是即使預測的趨

勢相近但預測值出時間的點卻有差別這樣的結果我們可以看出若能找

到解決加強模糊與附線性迴歸關係之間時間的關聯性就能利用模糊的不

確定性來討論預測問題

為了符合現今社會多元的狀況模糊迴歸與傳統迴歸之觀念勢必加以

混合應用也為了解決此等問題混合式迴歸（Hybrid Regression）在近年

來被提起也因此參數的估計模糊迴歸與傳統迴歸的混合應用將成

為往後繼續研究探討之目標

建議未來可用模糊加權修正模糊迴歸使模糊迴歸在預測上更能直接

43

將對事物多個構面評估的意見與其影響事物狀況的重要程度作加權的運

算

44

參考文獻

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28

第三章 研究方法

本章介紹本文將運用於數值分析中的預測研究方法利用本章建構的

方法可清楚了解如何利用混沌理論基於相空間重構的方式及模糊迴歸方

法於預測中

31 混沌時間序列建立預測方法

時間序列的模型建構和預測是資料處理研究領域中的重要方向其中

預測方法主要有線性和非線性預測方法兩種預測就是對未來作出估計和

推斷而通常要對研究對象或資料進行假設這一過程稱為建模利用建

模的方式獲得資料的科學表示就稱為模型混沌時間序列雖然看似隨機

但它卻是由確定系統產生的因此我們可以對混沌時間序列作出短期預測

同時由於混沌對初始條件微小差異的高度敏感性我們無法對混沌時間序

列作出長期預測每一步預測帶來的微小偏差都會使得下一步預測的偏差

擴大最終導致預測序列與原始序列完全不同

311李亞普諾夫指數判定資料混沌特性

進行預測前需根據 212節中提及的李亞普諾夫指數來判定資料是否

具有混沌特性最大李亞普諾夫指數是判斷和描述非線性時間序列是否為

混沌系統的重要參數因此是一個重要的混沌不變數

混沌系統中的李雅普諾夫指數可用來判斷系統是收斂的還是混沌的當系

統的李雅普諾夫指數中至少有一個為正時系統是混沌的 當系統的李雅

普諾夫指數均為負數時系統是收斂的 對於系統是否存在動力學混沌可以直觀的判斷最大李亞普諾夫指數是否

大於零一個正的李亞普諾夫指數代表著在系統相空間中無論初始兩

條軌跡的間距多小兩條軌跡的差別都會隨著時間的演化而成指數率的增

加而導致無法預測這就是混沌現象

312重建相空間

傳統的建模和預測方法己廣泛地應用社會科學中但大部分都是基於

線性系統混沌時間序列並不適用於非線性的混沌時間序列於是在判斷

時間序列性質後若判定序列以隨機性為主應採用從 AR 或 ARIMA 等隨

機模型來預測如果判定以混沌為主則應採用非線性確定性的方法進行

29

預測非線性時間序列的預報是經過相空間重構後對相空間中的動力軌

跡進行預報由於混沌系統具有被稱為「蝴蝶效應」的初始值敏感性所

以混沌時間序列是不能長期預測的但對於短時間內混沌系統的軌道在

相空間中具有一定的規律它們的預測性是可獲得的並比一般的基於統

計方法的預測能力要來得好

時間序列資料是時間離散後的樣本值用 表示將它「嵌入」到

一個 m維(mgt0)的空間中進行相空間重構後得到嵌入向量

(31)

由嵌入向量 可擴張成一嵌入空間 E由 Taken嵌入定理可知存

在映射面 滿足

(32)

上式表是出在拓樸的意義中可完全預測吸引子的特徵所以上式也可

表示為

(33)

其中函數 為 的一個估計值由式 (33)可得之我們可用

來預測

313相空間維度相關維度

在實作的研究上有許多方法可以用來估計混沌吸引子的維度本研

究選用較為常見的相關維度方法相關維度需先計算相關和將相空間中

所有樣本點皆計算其各別半徑收斂後之趨近值相關方程式（Correlation

Function）定義如下

(34)

其中

當 rrarr0時

兩邊同取對數可得

(35)

定義相關維度為 與 之曲線斜率為

(36)

在實際應用中經常給定一組維度 值選取適當的 r繪出

30

曲線求曲線當中直線段的斜率 如果系統存在這樣一個 值達到此

值後相應的關聯維數不再隨 的增長而變化也就是趨於飽和這表明

該序列為混沌系統其吸引子是存在的此時 值即為重構相空間的最佳

嵌入維數否則則表明該序列為隨機系統不具有混沌性

314 時間遞移數

利用 2123節中介紹的概念及 2124 中介紹的自相關函數求解出時

間遞移數的結果自相關函數公式如下

1

1

1( )( )

1( )

n k

t t k

tk n

t

t

x x x xn k

r

x xn

(37)

n為原資料樣本數k為時間遞移後的樣本點

將自相關係數計算的結果與每一筆遲延時間距離數值繪製成圖表可

由圖表中可分析辨別時間序列數據的初步基本特徵圖表繪製的結果顯示

自相關係數跟隨遲延時間距離數值的增加而顯示收歛且具有震盪循環之跡

象則表示數據具有一種規則屬於一混沌時間序列

32 複線性迴歸

確立資料為混沌後運用自我相關係數計算出時間遞移數及相空間維

度後將加入複線性迴歸運算複線性迴歸中常用的預測方法分為兩種

1 全域法

全域法就是利用相空間軌跡中的全部向量點做為擬合對象找出其

規律由此進行短期預測也就是說利用收集的大量的歷史資料利用

複線性迴歸訓練出迴歸參數再將未放進訓練迴歸參數的資料使用訓練

出的迴歸參數計算出預測值的資料型態本文還將原本的歷史資料分析

出資料的季節性後先去除季節性的影響最後再加回季節性討論預測結

果

2 局域法

局域法的基本原理是僅利用有限個鄰近點的資訊而不是利用全部的

樣本點來擬合 局域法預測是把相空間軌跡中的最後一點作為待測點對

離待測點鄰近的若干個相空間點的關係作出擬合再對預測相空間點的未

來演化規律進行預測本文使用零階局域法零階局域法是直接將鄰近樣

31

本點應用於預測根據鄰近樣本點預測 的最簡單的方法就是尋找相

空間中距離 最近的點假設距離最近的點是 那麼它的下一個樣本

點為 即可做為 的預測值

因數值資料在每日重複發生變動所以本研究又加入計算季節性指數

對趨勢線做季節性調整也就是對時間序列做季節性調整

33 模糊迴歸分析

運用模糊的概念帶進迴歸模式中處理具模糊性的資料問題此稱為模

糊迴歸分析本文利用的模糊迴歸模式主要有兩個方向一個是Tanaka et al

(1982)提出的模糊線性迴歸另一個是由Chang 與Lee (1994)所提出修正型

迴歸模式Tanaka 起初所提出的線性規劃模型

0 1

[ ( )]p n

j ij

j i

Min C X

st 0 0

(1 ) (1 )p p

j ij j ij ii

j j

X H c X y H e

(38)

0 0

(1 ) (1 )p p

j ij j ij ii

j j

X H c X y H e

0jc j R 0 1iX 0 1H 123i n 012j p

Tanaka 所提出的模糊模型未考慮到散度為負值的條件所以模糊上下

界會不斷的擴張而越來越寬大由 Chang 與 Lee (1994)所提出修正型迴歸

模式即將模糊的散度可為負值使上下界的模糊區間為遞減的情形遞

減的情形由圖 31表示

圖 31 模糊區間隨自變數越大而越窄

0

2

4

6

8

10

上界 中心線 下界

32

假設圖表中計算出的模糊迴歸函數為 0 0 1 1 Y c c X 模糊上界為

0 0 1 1UY c c X 模糊下界為 0 0 1 1LY c c X

33

第四章 數值分析

本章資料來源1台灣區車輛工業同業公會

2台北市交通局

本章所使用的數據資料為台北市交通局提供的公開的車流量資料數

值分析所使用的方法已在第三章論述利用第三章的方法分析數值預測的

準確性並結合模糊迴歸常見的兩種方法幫助決定預測的可接受範圍本

章介紹本文所利用的數學模型及方法在複線性迴歸的模型中分成混沌全

域法去季節性後的混沌全域法以及混沌局域法預測出的結果加以討論預

測的準確性再將預測值去季節性觀察準確程度最後再帶入模糊迴歸

利用 05H 加以討論如何將模糊迴歸中的散度用以選擇預測值的範圍第

一節針對傳統複線性迴歸方法並結合全域法觀念訓練資料迴歸係數討

論預測結果第二節針對傳統複線性迴歸方法並結合局域法觀念訓練資

料迴歸係數討論預測結果第三節針對預測資料去除季節性後再利用

傳統複線性迴歸方法討論預測結果第四節針對模糊迴歸的兩種方法選

擇出預測的範圍

利用第三章論述的時間遞移及相關維度的做法將本文利用具混沌性

的資料加以分析將資料先利用 212 節中介紹的李雅普諾夫指數 判定是

否具混沌性具有混沌性的資料才能利用混沌理論重構相空間若李雅

普諾夫指數 介在 0跟 1之間則表示資料具有混沌性質本文資料利用程

式計算出李雅普諾夫指數 運用自我相關係數判斷出時間遞移

數 相關維度計算出維度 我相關係數判斷時間遞移數與相關維

度的圖形以及原始資料時間遞移後的資料圖如圖 41圖 42圖 43

34

圖 41相空間維度及 lnC與 ln r斜率關係圖

圖 42相空間維度及 lnC與 ln r斜率關係圖

0

1

2

3

4

5

6

7

0 5 10 15 20

相空間維度

斜

率

d

-02

0

02

04

06

08

1

12

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33

時間遞移數

自我相關函數

35

圖 43 原始資料時間序列圖

41 複線性迴歸混沌全域法

本文所使用的資料為 10日的車流量資料利用前 9日的資料訓練出迴

歸參數將迴歸參數代入複線性數學模型中計算出的迴歸方程式為

1 2 3 4

5 6 7 8 9

10 11 12 13 14

435363 00819 00338 01777 00070

01116 01999 00299 02716 00349

01399 00056 01113 00738 02038

y x x x x

x x x x x

x x x x x

(41)

解出迴歸參數計算出複線性迴歸方程式後再將最後一日 144筆的車

流資料代入方程式中計算出預測值利用複線性迴歸混沌域法預測出的結

果如圖 44

圖 44 複線性迴歸分析預測與原始資料比較圖-全域法

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

1 53

10

5

157

209

26

1 31

3

365

41

7

469

52

1 57

3

625

67

7

729

78

1 83

3

885

93

7

989

10

41

1093

11

45

1197

12

49

1301

13

53

1405

原始資料點

原始資料點

-50

0

50

100

150

200

1

7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

103

109

115

121

127

133

139

實際值

預測值

36

由圖表的狀況可觀察出運用複線性迴歸模型預測的結果不盡理想本

研究認為運用複線性迴歸預測的結果不佳的原因有二

1 利用全域法預測是將較大量的歷史資料加入考慮訓練出迴歸參數這

樣的結果造成削弱了原本的奇異點(相較於同時段資料差異性較大的點)

的影響力

2 嵌入維度 太高對於混沌時間序列隨著嵌入維度增高歷史

對未來的影響是呈指數衰減的所以全域法所利用的資訊歷史就越長

預測的精準度就會迅速下降因此本研究將加入局域法討論預測的準

確性

42 複線性迴歸混沌局域法

局域法的做法為尋找相空間重構後的點對待測點尋找鄰近的 k個相

空間點對離待測點鄰近的若 k個相空間點的關係作出擬合並分析出複

迴歸方程式的迴歸參數本文嘗試選取 k=50~250的結果以下只列舉 k=200

的圖解釋預測結果

圖 45 複線性迴歸分析預測與原始資料比較圖-局域法(k=200)

圖 44與圖 45比較後可看出區域法預測的準確性比全域法更好某

些預測出來的結果的點與原始資料的點差異性大有明顯的偏移本研究

認為利用局域法預測的結果不佳的原因如下由圖 45可看出預測結果與

原始資料間差異性較大的點位為數列的右側 而數列尾端的資料為凌晨或

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

1

7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

103

109

115

121

127

133

139

實際值

估計值

37

是深夜的車流量因每日凌晨或是深夜的車流量變化量較少(例如某日的凌

晨十二點十分可能為 0台車或是小於 10台車經過)所以資料的差異性

較大造成頭尾的資料預測上較為不準確

因為同時段的資料可能會影響資料預測出的結果所以我們下節就以

加入季節性的考慮來加以討論預測結果

43 複線性迴歸去除季節性後混沌全域法

本文使用的車流量資料為每日 24時換算成 1440分鐘每 10分鐘記

錄一點於是本研究依資料的記錄時間點來劃分季節性將季節分成 144

個季分別求出季節性指數求取季節性指數後將每個資料點先去除季

節性利用全域法訓練出去季節性後的迴歸係數再利用複線性求出預測

值最後將去除的季節指數乘回預測點結果如下

圖 46考慮季節性複線性迴歸分析預測與原始資料比較圖-全域法

此考慮季節性因子的複線性迴歸分析預測與原始資料的比較是用全

域法去訓練迴歸參數的而由圖 44我們可以得知一開始未考慮季節因

子使用全域法的複線性迴歸預測是不準確的本研究認為原本的歷史資

料隨著季節性因子的變化該系統原本呈現複雜的動態特性實際上由於

車流量的變動有許多外在因素的影響例如氣候假期hellip等影響會使

資料的變化過程發生不同程度的偏離而對於季節性事件來說其事件發

生的過程主要受季節性參數週期性變化的影響 因此影響因素的具體形

式可以近似地表示為單一函數本文考慮季節因素對車流量的影響意即

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

1

7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

10

3

10

9

11

5

12

1

12

7

13

3

13

9 實際值

預測值

38

經過季節性分析後的得到的預測分析結果很準確如圖 46所示此結果

表示季節性影響樣本資料的情形大也代表著在季節因素影響下系統中

事件的動態變化情況是隨著季節影響參數的變化而造成系統呈現各種

各樣複雜的動態特性如週期解混沌情形hellip等

44 模糊迴歸

441Tanaka模糊迴歸

μ及 H 值之選定原則為當不確定性愈大時其 μ及 H 值愈接近 0

反之當資料不確定性愈小時μ及 H 值取愈接近 1 之值Bardossy 等人

建議其值在 05~07間為適宜根據 Tanaka在 1982年所提到的方法我們

可以求得一模糊迴歸函數並可得知其中心線與其上界及下界假定在 H =

05的情況下利用 Tanaka模糊迴歸模式算出迴歸函數為

(42)

中心線與上下界的簡單迴歸方程式為

中心線 (43)

上界 (44)

下界 (45)

繪製出的圖形如圖 47所示

圖 47 Tanaka 模糊迴歸

0

50

100

150

200

250

300

1

7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

103

109

115

121

127

133

139

下界

中心線

上界

39

圖 48 Tanaka 模糊迴歸中心線與預測值之結合

從圖 48可看出預測值與模糊迴歸的中心線 有明顯的時間差異但由

圖可以觀察出模糊迴歸的中心線 的預測趨勢與實際值是相近的雖然利

用模糊迴歸預測的時間點比實際時間快但是相對來說也是可以用來預

測之後將發生的趨勢本研究認為若模糊迴歸可用於預測中則可用模糊

的散度 c當做預測行為中選取的可接受的變動範圍如圖 49最後將 Tanaka

模糊迴歸中心線上下界與實際值之結合如圖 410所示

圖 49 Tanaka 模糊迴歸中心線上下界與實際值之結合

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

1

8

15

22

29

36

43

50

57

64

71

78

85

92

99

106

113

120

127

134

141

實際值

中心線

0

50

100

150

200

250

300

1

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13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

103

109

115

121

127

133

139

實際值

下界

上界

預測

值

預測值

40

圖 410 Tanaka 模糊迴歸中心線上下界與實際值之結合

442修正型 Tanaka模糊迴歸

因為我們要將模糊迴歸應用於預測中所以本研究將複線性迴歸的趨

勢線視為模糊迴歸的中心線再利用修正型 Tanaka模糊迴歸模式算出迴歸

函數為

(46)

中心線與上下界的簡單迴歸方程式為

中心線

上界

下界

繪製出圖形如圖 411

0

50

100

150

200

250

300

1 7

13

19

25

31

37

43

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73

79

85

91

97

103

109

115

121

127

133

139

實際值

預測值

下界

上界

41

圖 411 修正型模糊迴歸中心線上下界與實際值之結合

本研究使用的修正型模糊迴歸中心線與傳統的迴歸方程式相同所以

可用來處理或分析模糊資料與明確資料同時修正型模糊迴歸的上下界

與 Tanaka 模糊迴歸相較也變窄了此兩種現象就是修正型迴歸的特色因

為中心線與傳統的迴歸方程式也相同這種修正型迴歸散度可選擇為負值

的特色本研究認為可以應用在預測上因為上下界與中心線間的散度變

窄使得前文所敘述到的利用散度來選取預測範圍便可更為嚴格也可

使預測的結果更為可靠如圖 412所示

圖 412 Tanaka 上下界與修正型模糊迴歸上下界的寬度差別

0

50

100

150

200

250

1 7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

103

109

115

121

127

133

139

下界

中心線

上界

0

50

100

150

200

250

300

1 8 15

22

29

36

43

50

57

64

71

78

85

92

99

106

113

120

127

134

141

Tanaka下界

Tanaka上界

Tanaka修正型下界

Tanaka修正型上界

42

第五章 結論及未來研究方向

51 結論

根據前文的討論傳統迴歸和模糊迴歸建立在不同的理論基礎上傳

統迴歸是以機率為基礎而模糊迴歸則是以可能性為基礎傳統迴歸因變

數的估計值與觀測值之間的差異為因變數的隨機性而模糊迴歸因變數的

估計值則產生於觀測值之模糊度惟兩者最大不同處在於模糊迴歸式的

迴歸係數與預測值皆為模糊數（區間值）不同於傳統迴歸係數與預測值

均為明確的數值此外傳統迴歸侷限於對明確資料的分析可能性模糊

迴歸僅適用於分析具模糊性的資料而複合的模糊迴歸則可同時適用於分

析模糊與明確的資料此為此模式最大的特點

模糊迴歸應用於預測中大多的結果是不佳的但是我們透過結合混

沌與模糊迴歸的概念將混沌的預測單點概念拓展成一個可接受的預測

範圍

PT Chang 與ES Lee 使用修正型模糊迴歸重新定義散度做出新的

模糊上下界均為改善模糊迴歸模式Tanaka之研究本研究將模糊迴歸與

混沌理論之建立時間序列的預測情形加以結合討論發現模糊迴歸在預測

的行為中是可行的但可惜的是即使預測的趨勢相近但預測值出時間

的點卻有差別這樣的結果我們可以看出若能找到解決加強模糊與複線性

迴歸關係之間時間的關聯性就能利用模糊的不確定性來討論預測問題

52 未來之研究方向

本研究將模糊迴歸與混沌理論之建立時間序列的預測情形加以結合討

論發現模糊迴歸在預測的行為中是可行的但可惜的是即使預測的趨

勢相近但預測值出時間的點卻有差別這樣的結果我們可以看出若能找

到解決加強模糊與附線性迴歸關係之間時間的關聯性就能利用模糊的不

確定性來討論預測問題

為了符合現今社會多元的狀況模糊迴歸與傳統迴歸之觀念勢必加以

混合應用也為了解決此等問題混合式迴歸（Hybrid Regression）在近年

來被提起也因此參數的估計模糊迴歸與傳統迴歸的混合應用將成

為往後繼續研究探討之目標

建議未來可用模糊加權修正模糊迴歸使模糊迴歸在預測上更能直接

43

將對事物多個構面評估的意見與其影響事物狀況的重要程度作加權的運

算

44

參考文獻

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[19] 闕頌廉(民 81)應用模糊數學台北市科技圖書股份有限公司

[20] 謝逸婷(2005)模糊排序法於資料包絡分析模式之應用南台科技大學工業管理研

29

預測非線性時間序列的預報是經過相空間重構後對相空間中的動力軌

跡進行預報由於混沌系統具有被稱為「蝴蝶效應」的初始值敏感性所

以混沌時間序列是不能長期預測的但對於短時間內混沌系統的軌道在

相空間中具有一定的規律它們的預測性是可獲得的並比一般的基於統

計方法的預測能力要來得好

時間序列資料是時間離散後的樣本值用 表示將它「嵌入」到

一個 m維(mgt0)的空間中進行相空間重構後得到嵌入向量

(31)

由嵌入向量 可擴張成一嵌入空間 E由 Taken嵌入定理可知存

在映射面 滿足

(32)

上式表是出在拓樸的意義中可完全預測吸引子的特徵所以上式也可

表示為

(33)

其中函數 為 的一個估計值由式 (33)可得之我們可用

來預測

313相空間維度相關維度

在實作的研究上有許多方法可以用來估計混沌吸引子的維度本研

究選用較為常見的相關維度方法相關維度需先計算相關和將相空間中

所有樣本點皆計算其各別半徑收斂後之趨近值相關方程式（Correlation

Function）定義如下

(34)

其中

當 rrarr0時

兩邊同取對數可得

(35)

定義相關維度為 與 之曲線斜率為

(36)

在實際應用中經常給定一組維度 值選取適當的 r繪出

30

曲線求曲線當中直線段的斜率 如果系統存在這樣一個 值達到此

值後相應的關聯維數不再隨 的增長而變化也就是趨於飽和這表明

該序列為混沌系統其吸引子是存在的此時 值即為重構相空間的最佳

嵌入維數否則則表明該序列為隨機系統不具有混沌性

314 時間遞移數

利用 2123節中介紹的概念及 2124 中介紹的自相關函數求解出時

間遞移數的結果自相關函數公式如下

1

1

1( )( )

1( )

n k

t t k

tk n

t

t

x x x xn k

r

x xn

(37)

n為原資料樣本數k為時間遞移後的樣本點

將自相關係數計算的結果與每一筆遲延時間距離數值繪製成圖表可

由圖表中可分析辨別時間序列數據的初步基本特徵圖表繪製的結果顯示

自相關係數跟隨遲延時間距離數值的增加而顯示收歛且具有震盪循環之跡

象則表示數據具有一種規則屬於一混沌時間序列

32 複線性迴歸

確立資料為混沌後運用自我相關係數計算出時間遞移數及相空間維

度後將加入複線性迴歸運算複線性迴歸中常用的預測方法分為兩種

1 全域法

全域法就是利用相空間軌跡中的全部向量點做為擬合對象找出其

規律由此進行短期預測也就是說利用收集的大量的歷史資料利用

複線性迴歸訓練出迴歸參數再將未放進訓練迴歸參數的資料使用訓練

出的迴歸參數計算出預測值的資料型態本文還將原本的歷史資料分析

出資料的季節性後先去除季節性的影響最後再加回季節性討論預測結

果

2 局域法

局域法的基本原理是僅利用有限個鄰近點的資訊而不是利用全部的

樣本點來擬合 局域法預測是把相空間軌跡中的最後一點作為待測點對

離待測點鄰近的若干個相空間點的關係作出擬合再對預測相空間點的未

來演化規律進行預測本文使用零階局域法零階局域法是直接將鄰近樣

31

本點應用於預測根據鄰近樣本點預測 的最簡單的方法就是尋找相

空間中距離 最近的點假設距離最近的點是 那麼它的下一個樣本

點為 即可做為 的預測值

因數值資料在每日重複發生變動所以本研究又加入計算季節性指數

對趨勢線做季節性調整也就是對時間序列做季節性調整

33 模糊迴歸分析

運用模糊的概念帶進迴歸模式中處理具模糊性的資料問題此稱為模

糊迴歸分析本文利用的模糊迴歸模式主要有兩個方向一個是Tanaka et al

(1982)提出的模糊線性迴歸另一個是由Chang 與Lee (1994)所提出修正型

迴歸模式Tanaka 起初所提出的線性規劃模型

0 1

[ ( )]p n

j ij

j i

Min C X

st 0 0

(1 ) (1 )p p

j ij j ij ii

j j

X H c X y H e

(38)

0 0

(1 ) (1 )p p

j ij j ij ii

j j

X H c X y H e

0jc j R 0 1iX 0 1H 123i n 012j p

Tanaka 所提出的模糊模型未考慮到散度為負值的條件所以模糊上下

界會不斷的擴張而越來越寬大由 Chang 與 Lee (1994)所提出修正型迴歸

模式即將模糊的散度可為負值使上下界的模糊區間為遞減的情形遞

減的情形由圖 31表示

圖 31 模糊區間隨自變數越大而越窄

0

2

4

6

8

10

上界 中心線 下界

32

假設圖表中計算出的模糊迴歸函數為 0 0 1 1 Y c c X 模糊上界為

0 0 1 1UY c c X 模糊下界為 0 0 1 1LY c c X

33

第四章 數值分析

本章資料來源1台灣區車輛工業同業公會

2台北市交通局

本章所使用的數據資料為台北市交通局提供的公開的車流量資料數

值分析所使用的方法已在第三章論述利用第三章的方法分析數值預測的

準確性並結合模糊迴歸常見的兩種方法幫助決定預測的可接受範圍本

章介紹本文所利用的數學模型及方法在複線性迴歸的模型中分成混沌全

域法去季節性後的混沌全域法以及混沌局域法預測出的結果加以討論預

測的準確性再將預測值去季節性觀察準確程度最後再帶入模糊迴歸

利用 05H 加以討論如何將模糊迴歸中的散度用以選擇預測值的範圍第

一節針對傳統複線性迴歸方法並結合全域法觀念訓練資料迴歸係數討

論預測結果第二節針對傳統複線性迴歸方法並結合局域法觀念訓練資

料迴歸係數討論預測結果第三節針對預測資料去除季節性後再利用

傳統複線性迴歸方法討論預測結果第四節針對模糊迴歸的兩種方法選

擇出預測的範圍

利用第三章論述的時間遞移及相關維度的做法將本文利用具混沌性

的資料加以分析將資料先利用 212 節中介紹的李雅普諾夫指數 判定是

否具混沌性具有混沌性的資料才能利用混沌理論重構相空間若李雅

普諾夫指數 介在 0跟 1之間則表示資料具有混沌性質本文資料利用程

式計算出李雅普諾夫指數 運用自我相關係數判斷出時間遞移

數 相關維度計算出維度 我相關係數判斷時間遞移數與相關維

度的圖形以及原始資料時間遞移後的資料圖如圖 41圖 42圖 43

34

圖 41相空間維度及 lnC與 ln r斜率關係圖

圖 42相空間維度及 lnC與 ln r斜率關係圖

0

1

2

3

4

5

6

7

0 5 10 15 20

相空間維度

斜

率

d

-02

0

02

04

06

08

1

12

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33

時間遞移數

自我相關函數

35

圖 43 原始資料時間序列圖

41 複線性迴歸混沌全域法

本文所使用的資料為 10日的車流量資料利用前 9日的資料訓練出迴

歸參數將迴歸參數代入複線性數學模型中計算出的迴歸方程式為

1 2 3 4

5 6 7 8 9

10 11 12 13 14

435363 00819 00338 01777 00070

01116 01999 00299 02716 00349

01399 00056 01113 00738 02038

y x x x x

x x x x x

x x x x x

(41)

解出迴歸參數計算出複線性迴歸方程式後再將最後一日 144筆的車

流資料代入方程式中計算出預測值利用複線性迴歸混沌域法預測出的結

果如圖 44

圖 44 複線性迴歸分析預測與原始資料比較圖-全域法

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

1 53

10

5

157

209

26

1 31

3

365

41

7

469

52

1 57

3

625

67

7

729

78

1 83

3

885

93

7

989

10

41

1093

11

45

1197

12

49

1301

13

53

1405

原始資料點

原始資料點

-50

0

50

100

150

200

1

7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

103

109

115

121

127

133

139

實際值

預測值

36

由圖表的狀況可觀察出運用複線性迴歸模型預測的結果不盡理想本

研究認為運用複線性迴歸預測的結果不佳的原因有二

1 利用全域法預測是將較大量的歷史資料加入考慮訓練出迴歸參數這

樣的結果造成削弱了原本的奇異點(相較於同時段資料差異性較大的點)

的影響力

2 嵌入維度 太高對於混沌時間序列隨著嵌入維度增高歷史

對未來的影響是呈指數衰減的所以全域法所利用的資訊歷史就越長

預測的精準度就會迅速下降因此本研究將加入局域法討論預測的準

確性

42 複線性迴歸混沌局域法

局域法的做法為尋找相空間重構後的點對待測點尋找鄰近的 k個相

空間點對離待測點鄰近的若 k個相空間點的關係作出擬合並分析出複

迴歸方程式的迴歸參數本文嘗試選取 k=50~250的結果以下只列舉 k=200

的圖解釋預測結果

圖 45 複線性迴歸分析預測與原始資料比較圖-局域法(k=200)

圖 44與圖 45比較後可看出區域法預測的準確性比全域法更好某

些預測出來的結果的點與原始資料的點差異性大有明顯的偏移本研究

認為利用局域法預測的結果不佳的原因如下由圖 45可看出預測結果與

原始資料間差異性較大的點位為數列的右側 而數列尾端的資料為凌晨或

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

1

7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

103

109

115

121

127

133

139

實際值

估計值

37

是深夜的車流量因每日凌晨或是深夜的車流量變化量較少(例如某日的凌

晨十二點十分可能為 0台車或是小於 10台車經過)所以資料的差異性

較大造成頭尾的資料預測上較為不準確

因為同時段的資料可能會影響資料預測出的結果所以我們下節就以

加入季節性的考慮來加以討論預測結果

43 複線性迴歸去除季節性後混沌全域法

本文使用的車流量資料為每日 24時換算成 1440分鐘每 10分鐘記

錄一點於是本研究依資料的記錄時間點來劃分季節性將季節分成 144

個季分別求出季節性指數求取季節性指數後將每個資料點先去除季

節性利用全域法訓練出去季節性後的迴歸係數再利用複線性求出預測

值最後將去除的季節指數乘回預測點結果如下

圖 46考慮季節性複線性迴歸分析預測與原始資料比較圖-全域法

此考慮季節性因子的複線性迴歸分析預測與原始資料的比較是用全

域法去訓練迴歸參數的而由圖 44我們可以得知一開始未考慮季節因

子使用全域法的複線性迴歸預測是不準確的本研究認為原本的歷史資

料隨著季節性因子的變化該系統原本呈現複雜的動態特性實際上由於

車流量的變動有許多外在因素的影響例如氣候假期hellip等影響會使

資料的變化過程發生不同程度的偏離而對於季節性事件來說其事件發

生的過程主要受季節性參數週期性變化的影響 因此影響因素的具體形

式可以近似地表示為單一函數本文考慮季節因素對車流量的影響意即

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

1

7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

10

3

10

9

11

5

12

1

12

7

13

3

13

9 實際值

預測值

38

經過季節性分析後的得到的預測分析結果很準確如圖 46所示此結果

表示季節性影響樣本資料的情形大也代表著在季節因素影響下系統中

事件的動態變化情況是隨著季節影響參數的變化而造成系統呈現各種

各樣複雜的動態特性如週期解混沌情形hellip等

44 模糊迴歸

441Tanaka模糊迴歸

μ及 H 值之選定原則為當不確定性愈大時其 μ及 H 值愈接近 0

反之當資料不確定性愈小時μ及 H 值取愈接近 1 之值Bardossy 等人

建議其值在 05~07間為適宜根據 Tanaka在 1982年所提到的方法我們

可以求得一模糊迴歸函數並可得知其中心線與其上界及下界假定在 H =

05的情況下利用 Tanaka模糊迴歸模式算出迴歸函數為

(42)

中心線與上下界的簡單迴歸方程式為

中心線 (43)

上界 (44)

下界 (45)

繪製出的圖形如圖 47所示

圖 47 Tanaka 模糊迴歸

0

50

100

150

200

250

300

1

7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

103

109

115

121

127

133

139

下界

中心線

上界

39

圖 48 Tanaka 模糊迴歸中心線與預測值之結合

從圖 48可看出預測值與模糊迴歸的中心線 有明顯的時間差異但由

圖可以觀察出模糊迴歸的中心線 的預測趨勢與實際值是相近的雖然利

用模糊迴歸預測的時間點比實際時間快但是相對來說也是可以用來預

測之後將發生的趨勢本研究認為若模糊迴歸可用於預測中則可用模糊

的散度 c當做預測行為中選取的可接受的變動範圍如圖 49最後將 Tanaka

模糊迴歸中心線上下界與實際值之結合如圖 410所示

圖 49 Tanaka 模糊迴歸中心線上下界與實際值之結合

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

1

8

15

22

29

36

43

50

57

64

71

78

85

92

99

106

113

120

127

134

141

實際值

中心線

0

50

100

150

200

250

300

1

7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

103

109

115

121

127

133

139

實際值

下界

上界

預測

值

預測值

40

圖 410 Tanaka 模糊迴歸中心線上下界與實際值之結合

442修正型 Tanaka模糊迴歸

因為我們要將模糊迴歸應用於預測中所以本研究將複線性迴歸的趨

勢線視為模糊迴歸的中心線再利用修正型 Tanaka模糊迴歸模式算出迴歸

函數為

(46)

中心線與上下界的簡單迴歸方程式為

中心線

上界

下界

繪製出圖形如圖 411

0

50

100

150

200

250

300

1 7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

103

109

115

121

127

133

139

實際值

預測值

下界

上界

41

圖 411 修正型模糊迴歸中心線上下界與實際值之結合

本研究使用的修正型模糊迴歸中心線與傳統的迴歸方程式相同所以

可用來處理或分析模糊資料與明確資料同時修正型模糊迴歸的上下界

與 Tanaka 模糊迴歸相較也變窄了此兩種現象就是修正型迴歸的特色因

為中心線與傳統的迴歸方程式也相同這種修正型迴歸散度可選擇為負值

的特色本研究認為可以應用在預測上因為上下界與中心線間的散度變

窄使得前文所敘述到的利用散度來選取預測範圍便可更為嚴格也可

使預測的結果更為可靠如圖 412所示

圖 412 Tanaka 上下界與修正型模糊迴歸上下界的寬度差別

0

50

100

150

200

250

1 7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

103

109

115

121

127

133

139

下界

中心線

上界

0

50

100

150

200

250

300

1 8 15

22

29

36

43

50

57

64

71

78

85

92

99

106

113

120

127

134

141

Tanaka下界

Tanaka上界

Tanaka修正型下界

Tanaka修正型上界

42

第五章 結論及未來研究方向

51 結論

根據前文的討論傳統迴歸和模糊迴歸建立在不同的理論基礎上傳

統迴歸是以機率為基礎而模糊迴歸則是以可能性為基礎傳統迴歸因變

數的估計值與觀測值之間的差異為因變數的隨機性而模糊迴歸因變數的

估計值則產生於觀測值之模糊度惟兩者最大不同處在於模糊迴歸式的

迴歸係數與預測值皆為模糊數（區間值）不同於傳統迴歸係數與預測值

均為明確的數值此外傳統迴歸侷限於對明確資料的分析可能性模糊

迴歸僅適用於分析具模糊性的資料而複合的模糊迴歸則可同時適用於分

析模糊與明確的資料此為此模式最大的特點

模糊迴歸應用於預測中大多的結果是不佳的但是我們透過結合混

沌與模糊迴歸的概念將混沌的預測單點概念拓展成一個可接受的預測

範圍

PT Chang 與ES Lee 使用修正型模糊迴歸重新定義散度做出新的

模糊上下界均為改善模糊迴歸模式Tanaka之研究本研究將模糊迴歸與

混沌理論之建立時間序列的預測情形加以結合討論發現模糊迴歸在預測

的行為中是可行的但可惜的是即使預測的趨勢相近但預測值出時間

的點卻有差別這樣的結果我們可以看出若能找到解決加強模糊與複線性

迴歸關係之間時間的關聯性就能利用模糊的不確定性來討論預測問題

52 未來之研究方向

本研究將模糊迴歸與混沌理論之建立時間序列的預測情形加以結合討

論發現模糊迴歸在預測的行為中是可行的但可惜的是即使預測的趨

勢相近但預測值出時間的點卻有差別這樣的結果我們可以看出若能找

到解決加強模糊與附線性迴歸關係之間時間的關聯性就能利用模糊的不

確定性來討論預測問題

為了符合現今社會多元的狀況模糊迴歸與傳統迴歸之觀念勢必加以

混合應用也為了解決此等問題混合式迴歸（Hybrid Regression）在近年

來被提起也因此參數的估計模糊迴歸與傳統迴歸的混合應用將成

為往後繼續研究探討之目標

建議未來可用模糊加權修正模糊迴歸使模糊迴歸在預測上更能直接

43

將對事物多個構面評估的意見與其影響事物狀況的重要程度作加權的運

算

44

參考文獻

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30

曲線求曲線當中直線段的斜率 如果系統存在這樣一個 值達到此

值後相應的關聯維數不再隨 的增長而變化也就是趨於飽和這表明

該序列為混沌系統其吸引子是存在的此時 值即為重構相空間的最佳

嵌入維數否則則表明該序列為隨機系統不具有混沌性

314 時間遞移數

利用 2123節中介紹的概念及 2124 中介紹的自相關函數求解出時

間遞移數的結果自相關函數公式如下

1

1

1( )( )

1( )

n k

t t k

tk n

t

t

x x x xn k

r

x xn

(37)

n為原資料樣本數k為時間遞移後的樣本點

將自相關係數計算的結果與每一筆遲延時間距離數值繪製成圖表可

由圖表中可分析辨別時間序列數據的初步基本特徵圖表繪製的結果顯示

自相關係數跟隨遲延時間距離數值的增加而顯示收歛且具有震盪循環之跡

象則表示數據具有一種規則屬於一混沌時間序列

32 複線性迴歸

確立資料為混沌後運用自我相關係數計算出時間遞移數及相空間維

度後將加入複線性迴歸運算複線性迴歸中常用的預測方法分為兩種

1 全域法

全域法就是利用相空間軌跡中的全部向量點做為擬合對象找出其

規律由此進行短期預測也就是說利用收集的大量的歷史資料利用

複線性迴歸訓練出迴歸參數再將未放進訓練迴歸參數的資料使用訓練

出的迴歸參數計算出預測值的資料型態本文還將原本的歷史資料分析

出資料的季節性後先去除季節性的影響最後再加回季節性討論預測結

果

2 局域法

局域法的基本原理是僅利用有限個鄰近點的資訊而不是利用全部的

樣本點來擬合 局域法預測是把相空間軌跡中的最後一點作為待測點對

離待測點鄰近的若干個相空間點的關係作出擬合再對預測相空間點的未

來演化規律進行預測本文使用零階局域法零階局域法是直接將鄰近樣

31

本點應用於預測根據鄰近樣本點預測 的最簡單的方法就是尋找相

空間中距離 最近的點假設距離最近的點是 那麼它的下一個樣本

點為 即可做為 的預測值

因數值資料在每日重複發生變動所以本研究又加入計算季節性指數

對趨勢線做季節性調整也就是對時間序列做季節性調整

33 模糊迴歸分析

運用模糊的概念帶進迴歸模式中處理具模糊性的資料問題此稱為模

糊迴歸分析本文利用的模糊迴歸模式主要有兩個方向一個是Tanaka et al

(1982)提出的模糊線性迴歸另一個是由Chang 與Lee (1994)所提出修正型

迴歸模式Tanaka 起初所提出的線性規劃模型

0 1

[ ( )]p n

j ij

j i

Min C X

st 0 0

(1 ) (1 )p p

j ij j ij ii

j j

X H c X y H e

(38)

0 0

(1 ) (1 )p p

j ij j ij ii

j j

X H c X y H e

0jc j R 0 1iX 0 1H 123i n 012j p

Tanaka 所提出的模糊模型未考慮到散度為負值的條件所以模糊上下

界會不斷的擴張而越來越寬大由 Chang 與 Lee (1994)所提出修正型迴歸

模式即將模糊的散度可為負值使上下界的模糊區間為遞減的情形遞

減的情形由圖 31表示

圖 31 模糊區間隨自變數越大而越窄

0

2

4

6

8

10

上界 中心線 下界

32

假設圖表中計算出的模糊迴歸函數為 0 0 1 1 Y c c X 模糊上界為

0 0 1 1UY c c X 模糊下界為 0 0 1 1LY c c X

33

第四章 數值分析

本章資料來源1台灣區車輛工業同業公會

2台北市交通局

本章所使用的數據資料為台北市交通局提供的公開的車流量資料數

值分析所使用的方法已在第三章論述利用第三章的方法分析數值預測的

準確性並結合模糊迴歸常見的兩種方法幫助決定預測的可接受範圍本

章介紹本文所利用的數學模型及方法在複線性迴歸的模型中分成混沌全

域法去季節性後的混沌全域法以及混沌局域法預測出的結果加以討論預

測的準確性再將預測值去季節性觀察準確程度最後再帶入模糊迴歸

利用 05H 加以討論如何將模糊迴歸中的散度用以選擇預測值的範圍第

一節針對傳統複線性迴歸方法並結合全域法觀念訓練資料迴歸係數討

論預測結果第二節針對傳統複線性迴歸方法並結合局域法觀念訓練資

料迴歸係數討論預測結果第三節針對預測資料去除季節性後再利用

傳統複線性迴歸方法討論預測結果第四節針對模糊迴歸的兩種方法選

擇出預測的範圍

利用第三章論述的時間遞移及相關維度的做法將本文利用具混沌性

的資料加以分析將資料先利用 212 節中介紹的李雅普諾夫指數 判定是

否具混沌性具有混沌性的資料才能利用混沌理論重構相空間若李雅

普諾夫指數 介在 0跟 1之間則表示資料具有混沌性質本文資料利用程

式計算出李雅普諾夫指數 運用自我相關係數判斷出時間遞移

數 相關維度計算出維度 我相關係數判斷時間遞移數與相關維

度的圖形以及原始資料時間遞移後的資料圖如圖 41圖 42圖 43

34

圖 41相空間維度及 lnC與 ln r斜率關係圖

圖 42相空間維度及 lnC與 ln r斜率關係圖

0

1

2

3

4

5

6

7

0 5 10 15 20

相空間維度

斜

率

d

-02

0

02

04

06

08

1

12

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33

時間遞移數

自我相關函數

35

圖 43 原始資料時間序列圖

41 複線性迴歸混沌全域法

本文所使用的資料為 10日的車流量資料利用前 9日的資料訓練出迴

歸參數將迴歸參數代入複線性數學模型中計算出的迴歸方程式為

1 2 3 4

5 6 7 8 9

10 11 12 13 14

435363 00819 00338 01777 00070

01116 01999 00299 02716 00349

01399 00056 01113 00738 02038

y x x x x

x x x x x

x x x x x

(41)

解出迴歸參數計算出複線性迴歸方程式後再將最後一日 144筆的車

流資料代入方程式中計算出預測值利用複線性迴歸混沌域法預測出的結

果如圖 44

圖 44 複線性迴歸分析預測與原始資料比較圖-全域法

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

1 53

10

5

157

209

26

1 31

3

365

41

7

469

52

1 57

3

625

67

7

729

78

1 83

3

885

93

7

989

10

41

1093

11

45

1197

12

49

1301

13

53

1405

原始資料點

原始資料點

-50

0

50

100

150

200

1

7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

103

109

115

121

127

133

139

實際值

預測值

36

由圖表的狀況可觀察出運用複線性迴歸模型預測的結果不盡理想本

研究認為運用複線性迴歸預測的結果不佳的原因有二

1 利用全域法預測是將較大量的歷史資料加入考慮訓練出迴歸參數這

樣的結果造成削弱了原本的奇異點(相較於同時段資料差異性較大的點)

的影響力

2 嵌入維度 太高對於混沌時間序列隨著嵌入維度增高歷史

對未來的影響是呈指數衰減的所以全域法所利用的資訊歷史就越長

預測的精準度就會迅速下降因此本研究將加入局域法討論預測的準

確性

42 複線性迴歸混沌局域法

局域法的做法為尋找相空間重構後的點對待測點尋找鄰近的 k個相

空間點對離待測點鄰近的若 k個相空間點的關係作出擬合並分析出複

迴歸方程式的迴歸參數本文嘗試選取 k=50~250的結果以下只列舉 k=200

的圖解釋預測結果

圖 45 複線性迴歸分析預測與原始資料比較圖-局域法(k=200)

圖 44與圖 45比較後可看出區域法預測的準確性比全域法更好某

些預測出來的結果的點與原始資料的點差異性大有明顯的偏移本研究

認為利用局域法預測的結果不佳的原因如下由圖 45可看出預測結果與

原始資料間差異性較大的點位為數列的右側 而數列尾端的資料為凌晨或

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

1

7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

103

109

115

121

127

133

139

實際值

估計值

37

是深夜的車流量因每日凌晨或是深夜的車流量變化量較少(例如某日的凌

晨十二點十分可能為 0台車或是小於 10台車經過)所以資料的差異性

較大造成頭尾的資料預測上較為不準確

因為同時段的資料可能會影響資料預測出的結果所以我們下節就以

加入季節性的考慮來加以討論預測結果

43 複線性迴歸去除季節性後混沌全域法

本文使用的車流量資料為每日 24時換算成 1440分鐘每 10分鐘記

錄一點於是本研究依資料的記錄時間點來劃分季節性將季節分成 144

個季分別求出季節性指數求取季節性指數後將每個資料點先去除季

節性利用全域法訓練出去季節性後的迴歸係數再利用複線性求出預測

值最後將去除的季節指數乘回預測點結果如下

圖 46考慮季節性複線性迴歸分析預測與原始資料比較圖-全域法

此考慮季節性因子的複線性迴歸分析預測與原始資料的比較是用全

域法去訓練迴歸參數的而由圖 44我們可以得知一開始未考慮季節因

子使用全域法的複線性迴歸預測是不準確的本研究認為原本的歷史資

料隨著季節性因子的變化該系統原本呈現複雜的動態特性實際上由於

車流量的變動有許多外在因素的影響例如氣候假期hellip等影響會使

資料的變化過程發生不同程度的偏離而對於季節性事件來說其事件發

生的過程主要受季節性參數週期性變化的影響 因此影響因素的具體形

式可以近似地表示為單一函數本文考慮季節因素對車流量的影響意即

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

1

7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

10

3

10

9

11

5

12

1

12

7

13

3

13

9 實際值

預測值

38

經過季節性分析後的得到的預測分析結果很準確如圖 46所示此結果

表示季節性影響樣本資料的情形大也代表著在季節因素影響下系統中

事件的動態變化情況是隨著季節影響參數的變化而造成系統呈現各種

各樣複雜的動態特性如週期解混沌情形hellip等

44 模糊迴歸

441Tanaka模糊迴歸

μ及 H 值之選定原則為當不確定性愈大時其 μ及 H 值愈接近 0

反之當資料不確定性愈小時μ及 H 值取愈接近 1 之值Bardossy 等人

建議其值在 05~07間為適宜根據 Tanaka在 1982年所提到的方法我們

可以求得一模糊迴歸函數並可得知其中心線與其上界及下界假定在 H =

05的情況下利用 Tanaka模糊迴歸模式算出迴歸函數為

(42)

中心線與上下界的簡單迴歸方程式為

中心線 (43)

上界 (44)

下界 (45)

繪製出的圖形如圖 47所示

圖 47 Tanaka 模糊迴歸

0

50

100

150

200

250

300

1

7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

103

109

115

121

127

133

139

下界

中心線

上界

39

圖 48 Tanaka 模糊迴歸中心線與預測值之結合

從圖 48可看出預測值與模糊迴歸的中心線 有明顯的時間差異但由

圖可以觀察出模糊迴歸的中心線 的預測趨勢與實際值是相近的雖然利

用模糊迴歸預測的時間點比實際時間快但是相對來說也是可以用來預

測之後將發生的趨勢本研究認為若模糊迴歸可用於預測中則可用模糊

的散度 c當做預測行為中選取的可接受的變動範圍如圖 49最後將 Tanaka

模糊迴歸中心線上下界與實際值之結合如圖 410所示

圖 49 Tanaka 模糊迴歸中心線上下界與實際值之結合

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

1

8

15

22

29

36

43

50

57

64

71

78

85

92

99

106

113

120

127

134

141

實際值

中心線

0

50

100

150

200

250

300

1

7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

103

109

115

121

127

133

139

實際值

下界

上界

預測

值

預測值

40

圖 410 Tanaka 模糊迴歸中心線上下界與實際值之結合

442修正型 Tanaka模糊迴歸

因為我們要將模糊迴歸應用於預測中所以本研究將複線性迴歸的趨

勢線視為模糊迴歸的中心線再利用修正型 Tanaka模糊迴歸模式算出迴歸

函數為

(46)

中心線與上下界的簡單迴歸方程式為

中心線

上界

下界

繪製出圖形如圖 411

0

50

100

150

200

250

300

1 7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

103

109

115

121

127

133

139

實際值

預測值

下界

上界

41

圖 411 修正型模糊迴歸中心線上下界與實際值之結合

本研究使用的修正型模糊迴歸中心線與傳統的迴歸方程式相同所以

可用來處理或分析模糊資料與明確資料同時修正型模糊迴歸的上下界

與 Tanaka 模糊迴歸相較也變窄了此兩種現象就是修正型迴歸的特色因

為中心線與傳統的迴歸方程式也相同這種修正型迴歸散度可選擇為負值

的特色本研究認為可以應用在預測上因為上下界與中心線間的散度變

窄使得前文所敘述到的利用散度來選取預測範圍便可更為嚴格也可

使預測的結果更為可靠如圖 412所示

圖 412 Tanaka 上下界與修正型模糊迴歸上下界的寬度差別

0

50

100

150

200

250

1 7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

103

109

115

121

127

133

139

下界

中心線

上界

0

50

100

150

200

250

300

1 8 15

22

29

36

43

50

57

64

71

78

85

92

99

106

113

120

127

134

141

Tanaka下界

Tanaka上界

Tanaka修正型下界

Tanaka修正型上界

42

第五章 結論及未來研究方向

51 結論

根據前文的討論傳統迴歸和模糊迴歸建立在不同的理論基礎上傳

統迴歸是以機率為基礎而模糊迴歸則是以可能性為基礎傳統迴歸因變

數的估計值與觀測值之間的差異為因變數的隨機性而模糊迴歸因變數的

估計值則產生於觀測值之模糊度惟兩者最大不同處在於模糊迴歸式的

迴歸係數與預測值皆為模糊數（區間值）不同於傳統迴歸係數與預測值

均為明確的數值此外傳統迴歸侷限於對明確資料的分析可能性模糊

迴歸僅適用於分析具模糊性的資料而複合的模糊迴歸則可同時適用於分

析模糊與明確的資料此為此模式最大的特點

模糊迴歸應用於預測中大多的結果是不佳的但是我們透過結合混

沌與模糊迴歸的概念將混沌的預測單點概念拓展成一個可接受的預測

範圍

PT Chang 與ES Lee 使用修正型模糊迴歸重新定義散度做出新的

模糊上下界均為改善模糊迴歸模式Tanaka之研究本研究將模糊迴歸與

混沌理論之建立時間序列的預測情形加以結合討論發現模糊迴歸在預測

的行為中是可行的但可惜的是即使預測的趨勢相近但預測值出時間

的點卻有差別這樣的結果我們可以看出若能找到解決加強模糊與複線性

迴歸關係之間時間的關聯性就能利用模糊的不確定性來討論預測問題

52 未來之研究方向

本研究將模糊迴歸與混沌理論之建立時間序列的預測情形加以結合討

論發現模糊迴歸在預測的行為中是可行的但可惜的是即使預測的趨

勢相近但預測值出時間的點卻有差別這樣的結果我們可以看出若能找

到解決加強模糊與附線性迴歸關係之間時間的關聯性就能利用模糊的不

確定性來討論預測問題

為了符合現今社會多元的狀況模糊迴歸與傳統迴歸之觀念勢必加以

混合應用也為了解決此等問題混合式迴歸（Hybrid Regression）在近年

來被提起也因此參數的估計模糊迴歸與傳統迴歸的混合應用將成

為往後繼續研究探討之目標

建議未來可用模糊加權修正模糊迴歸使模糊迴歸在預測上更能直接

43

將對事物多個構面評估的意見與其影響事物狀況的重要程度作加權的運

算

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參考文獻

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所碩士論文嘉義市

[17] 劉錦輝(2002)結合模糊迴歸分析與品質機能展開於工程設計之最佳化朝陽科技

大學工業工程與管理所碩士論文台中市

[18] 薛展青(2004)求解模糊迴歸之參數估計成功大學工業與資訊管理學系碩士論文

台南市

[19] 闕頌廉(民 81)應用模糊數學台北市科技圖書股份有限公司

[20] 謝逸婷(2005)模糊排序法於資料包絡分析模式之應用南台科技大學工業管理研

31

本點應用於預測根據鄰近樣本點預測 的最簡單的方法就是尋找相

空間中距離 最近的點假設距離最近的點是 那麼它的下一個樣本

點為 即可做為 的預測值

因數值資料在每日重複發生變動所以本研究又加入計算季節性指數

對趨勢線做季節性調整也就是對時間序列做季節性調整

33 模糊迴歸分析

運用模糊的概念帶進迴歸模式中處理具模糊性的資料問題此稱為模

糊迴歸分析本文利用的模糊迴歸模式主要有兩個方向一個是Tanaka et al

(1982)提出的模糊線性迴歸另一個是由Chang 與Lee (1994)所提出修正型

迴歸模式Tanaka 起初所提出的線性規劃模型

0 1

[ ( )]p n

j ij

j i

Min C X

st 0 0

(1 ) (1 )p p

j ij j ij ii

j j

X H c X y H e

(38)

0 0

(1 ) (1 )p p

j ij j ij ii

j j

X H c X y H e

0jc j R 0 1iX 0 1H 123i n 012j p

Tanaka 所提出的模糊模型未考慮到散度為負值的條件所以模糊上下

界會不斷的擴張而越來越寬大由 Chang 與 Lee (1994)所提出修正型迴歸

模式即將模糊的散度可為負值使上下界的模糊區間為遞減的情形遞

減的情形由圖 31表示

圖 31 模糊區間隨自變數越大而越窄

0

2

4

6

8

10

上界 中心線 下界

32

假設圖表中計算出的模糊迴歸函數為 0 0 1 1 Y c c X 模糊上界為

0 0 1 1UY c c X 模糊下界為 0 0 1 1LY c c X

33

第四章 數值分析

本章資料來源1台灣區車輛工業同業公會

2台北市交通局

本章所使用的數據資料為台北市交通局提供的公開的車流量資料數

值分析所使用的方法已在第三章論述利用第三章的方法分析數值預測的

準確性並結合模糊迴歸常見的兩種方法幫助決定預測的可接受範圍本

章介紹本文所利用的數學模型及方法在複線性迴歸的模型中分成混沌全

域法去季節性後的混沌全域法以及混沌局域法預測出的結果加以討論預

測的準確性再將預測值去季節性觀察準確程度最後再帶入模糊迴歸

利用 05H 加以討論如何將模糊迴歸中的散度用以選擇預測值的範圍第

一節針對傳統複線性迴歸方法並結合全域法觀念訓練資料迴歸係數討

論預測結果第二節針對傳統複線性迴歸方法並結合局域法觀念訓練資

料迴歸係數討論預測結果第三節針對預測資料去除季節性後再利用

傳統複線性迴歸方法討論預測結果第四節針對模糊迴歸的兩種方法選

擇出預測的範圍

利用第三章論述的時間遞移及相關維度的做法將本文利用具混沌性

的資料加以分析將資料先利用 212 節中介紹的李雅普諾夫指數 判定是

否具混沌性具有混沌性的資料才能利用混沌理論重構相空間若李雅

普諾夫指數 介在 0跟 1之間則表示資料具有混沌性質本文資料利用程

式計算出李雅普諾夫指數 運用自我相關係數判斷出時間遞移

數 相關維度計算出維度 我相關係數判斷時間遞移數與相關維

度的圖形以及原始資料時間遞移後的資料圖如圖 41圖 42圖 43

34

圖 41相空間維度及 lnC與 ln r斜率關係圖

圖 42相空間維度及 lnC與 ln r斜率關係圖

0

1

2

3

4

5

6

7

0 5 10 15 20

相空間維度

斜

率

d

-02

0

02

04

06

08

1

12

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33

時間遞移數

自我相關函數

35

圖 43 原始資料時間序列圖

41 複線性迴歸混沌全域法

本文所使用的資料為 10日的車流量資料利用前 9日的資料訓練出迴

歸參數將迴歸參數代入複線性數學模型中計算出的迴歸方程式為

1 2 3 4

5 6 7 8 9

10 11 12 13 14

435363 00819 00338 01777 00070

01116 01999 00299 02716 00349

01399 00056 01113 00738 02038

y x x x x

x x x x x

x x x x x

(41)

解出迴歸參數計算出複線性迴歸方程式後再將最後一日 144筆的車

流資料代入方程式中計算出預測值利用複線性迴歸混沌域法預測出的結

果如圖 44

圖 44 複線性迴歸分析預測與原始資料比較圖-全域法

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

1 53

10

5

157

209

26

1 31

3

365

41

7

469

52

1 57

3

625

67

7

729

78

1 83

3

885

93

7

989

10

41

1093

11

45

1197

12

49

1301

13

53

1405

原始資料點

原始資料點

-50

0

50

100

150

200

1

7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

103

109

115

121

127

133

139

實際值

預測值

36

由圖表的狀況可觀察出運用複線性迴歸模型預測的結果不盡理想本

研究認為運用複線性迴歸預測的結果不佳的原因有二

1 利用全域法預測是將較大量的歷史資料加入考慮訓練出迴歸參數這

樣的結果造成削弱了原本的奇異點(相較於同時段資料差異性較大的點)

的影響力

2 嵌入維度 太高對於混沌時間序列隨著嵌入維度增高歷史

對未來的影響是呈指數衰減的所以全域法所利用的資訊歷史就越長

預測的精準度就會迅速下降因此本研究將加入局域法討論預測的準

確性

42 複線性迴歸混沌局域法

局域法的做法為尋找相空間重構後的點對待測點尋找鄰近的 k個相

空間點對離待測點鄰近的若 k個相空間點的關係作出擬合並分析出複

迴歸方程式的迴歸參數本文嘗試選取 k=50~250的結果以下只列舉 k=200

的圖解釋預測結果

圖 45 複線性迴歸分析預測與原始資料比較圖-局域法(k=200)

圖 44與圖 45比較後可看出區域法預測的準確性比全域法更好某

些預測出來的結果的點與原始資料的點差異性大有明顯的偏移本研究

認為利用局域法預測的結果不佳的原因如下由圖 45可看出預測結果與

原始資料間差異性較大的點位為數列的右側 而數列尾端的資料為凌晨或

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

1

7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

103

109

115

121

127

133

139

實際值

估計值

37

是深夜的車流量因每日凌晨或是深夜的車流量變化量較少(例如某日的凌

晨十二點十分可能為 0台車或是小於 10台車經過)所以資料的差異性

較大造成頭尾的資料預測上較為不準確

因為同時段的資料可能會影響資料預測出的結果所以我們下節就以

加入季節性的考慮來加以討論預測結果

43 複線性迴歸去除季節性後混沌全域法

本文使用的車流量資料為每日 24時換算成 1440分鐘每 10分鐘記

錄一點於是本研究依資料的記錄時間點來劃分季節性將季節分成 144

個季分別求出季節性指數求取季節性指數後將每個資料點先去除季

節性利用全域法訓練出去季節性後的迴歸係數再利用複線性求出預測

值最後將去除的季節指數乘回預測點結果如下

圖 46考慮季節性複線性迴歸分析預測與原始資料比較圖-全域法

此考慮季節性因子的複線性迴歸分析預測與原始資料的比較是用全

域法去訓練迴歸參數的而由圖 44我們可以得知一開始未考慮季節因

子使用全域法的複線性迴歸預測是不準確的本研究認為原本的歷史資

料隨著季節性因子的變化該系統原本呈現複雜的動態特性實際上由於

車流量的變動有許多外在因素的影響例如氣候假期hellip等影響會使

資料的變化過程發生不同程度的偏離而對於季節性事件來說其事件發

生的過程主要受季節性參數週期性變化的影響 因此影響因素的具體形

式可以近似地表示為單一函數本文考慮季節因素對車流量的影響意即

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

1

7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

10

3

10

9

11

5

12

1

12

7

13

3

13

9 實際值

預測值

38

經過季節性分析後的得到的預測分析結果很準確如圖 46所示此結果

表示季節性影響樣本資料的情形大也代表著在季節因素影響下系統中

事件的動態變化情況是隨著季節影響參數的變化而造成系統呈現各種

各樣複雜的動態特性如週期解混沌情形hellip等

44 模糊迴歸

441Tanaka模糊迴歸

μ及 H 值之選定原則為當不確定性愈大時其 μ及 H 值愈接近 0

反之當資料不確定性愈小時μ及 H 值取愈接近 1 之值Bardossy 等人

建議其值在 05~07間為適宜根據 Tanaka在 1982年所提到的方法我們

可以求得一模糊迴歸函數並可得知其中心線與其上界及下界假定在 H =

05的情況下利用 Tanaka模糊迴歸模式算出迴歸函數為

(42)

中心線與上下界的簡單迴歸方程式為

中心線 (43)

上界 (44)

下界 (45)

繪製出的圖形如圖 47所示

圖 47 Tanaka 模糊迴歸

0

50

100

150

200

250

300

1

7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

103

109

115

121

127

133

139

下界

中心線

上界

39

圖 48 Tanaka 模糊迴歸中心線與預測值之結合

從圖 48可看出預測值與模糊迴歸的中心線 有明顯的時間差異但由

圖可以觀察出模糊迴歸的中心線 的預測趨勢與實際值是相近的雖然利

用模糊迴歸預測的時間點比實際時間快但是相對來說也是可以用來預

測之後將發生的趨勢本研究認為若模糊迴歸可用於預測中則可用模糊

的散度 c當做預測行為中選取的可接受的變動範圍如圖 49最後將 Tanaka

模糊迴歸中心線上下界與實際值之結合如圖 410所示

圖 49 Tanaka 模糊迴歸中心線上下界與實際值之結合

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

1

8

15

22

29

36

43

50

57

64

71

78

85

92

99

106

113

120

127

134

141

實際值

中心線

0

50

100

150

200

250

300

1

7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

103

109

115

121

127

133

139

實際值

下界

上界

預測

值

預測值

40

圖 410 Tanaka 模糊迴歸中心線上下界與實際值之結合

442修正型 Tanaka模糊迴歸

因為我們要將模糊迴歸應用於預測中所以本研究將複線性迴歸的趨

勢線視為模糊迴歸的中心線再利用修正型 Tanaka模糊迴歸模式算出迴歸

函數為

(46)

中心線與上下界的簡單迴歸方程式為

中心線

上界

下界

繪製出圖形如圖 411

0

50

100

150

200

250

300

1 7

13

19

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31

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49

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61

67

73

79

85

91

97

103

109

115

121

127

133

139

實際值

預測值

下界

上界

41

圖 411 修正型模糊迴歸中心線上下界與實際值之結合

本研究使用的修正型模糊迴歸中心線與傳統的迴歸方程式相同所以

可用來處理或分析模糊資料與明確資料同時修正型模糊迴歸的上下界

與 Tanaka 模糊迴歸相較也變窄了此兩種現象就是修正型迴歸的特色因

為中心線與傳統的迴歸方程式也相同這種修正型迴歸散度可選擇為負值

的特色本研究認為可以應用在預測上因為上下界與中心線間的散度變

窄使得前文所敘述到的利用散度來選取預測範圍便可更為嚴格也可

使預測的結果更為可靠如圖 412所示

圖 412 Tanaka 上下界與修正型模糊迴歸上下界的寬度差別

0

50

100

150

200

250

1 7

13

19

25

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37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

103

109

115

121

127

133

139

下界

中心線

上界

0

50

100

150

200

250

300

1 8 15

22

29

36

43

50

57

64

71

78

85

92

99

106

113

120

127

134

141

Tanaka下界

Tanaka上界

Tanaka修正型下界

Tanaka修正型上界

42

第五章 結論及未來研究方向

51 結論

根據前文的討論傳統迴歸和模糊迴歸建立在不同的理論基礎上傳

統迴歸是以機率為基礎而模糊迴歸則是以可能性為基礎傳統迴歸因變

數的估計值與觀測值之間的差異為因變數的隨機性而模糊迴歸因變數的

估計值則產生於觀測值之模糊度惟兩者最大不同處在於模糊迴歸式的

迴歸係數與預測值皆為模糊數（區間值）不同於傳統迴歸係數與預測值

均為明確的數值此外傳統迴歸侷限於對明確資料的分析可能性模糊

迴歸僅適用於分析具模糊性的資料而複合的模糊迴歸則可同時適用於分

析模糊與明確的資料此為此模式最大的特點

模糊迴歸應用於預測中大多的結果是不佳的但是我們透過結合混

沌與模糊迴歸的概念將混沌的預測單點概念拓展成一個可接受的預測

範圍

PT Chang 與ES Lee 使用修正型模糊迴歸重新定義散度做出新的

模糊上下界均為改善模糊迴歸模式Tanaka之研究本研究將模糊迴歸與

混沌理論之建立時間序列的預測情形加以結合討論發現模糊迴歸在預測

的行為中是可行的但可惜的是即使預測的趨勢相近但預測值出時間

的點卻有差別這樣的結果我們可以看出若能找到解決加強模糊與複線性

迴歸關係之間時間的關聯性就能利用模糊的不確定性來討論預測問題

52 未來之研究方向

本研究將模糊迴歸與混沌理論之建立時間序列的預測情形加以結合討

論發現模糊迴歸在預測的行為中是可行的但可惜的是即使預測的趨

勢相近但預測值出時間的點卻有差別這樣的結果我們可以看出若能找

到解決加強模糊與附線性迴歸關係之間時間的關聯性就能利用模糊的不

確定性來討論預測問題

為了符合現今社會多元的狀況模糊迴歸與傳統迴歸之觀念勢必加以

混合應用也為了解決此等問題混合式迴歸（Hybrid Regression）在近年

來被提起也因此參數的估計模糊迴歸與傳統迴歸的混合應用將成

為往後繼續研究探討之目標

建議未來可用模糊加權修正模糊迴歸使模糊迴歸在預測上更能直接

43

將對事物多個構面評估的意見與其影響事物狀況的重要程度作加權的運

算

44

參考文獻

[1] 九章出版社編輯部(民 89)模糊數學入門台北市九章出版社

[2] 台北市交通局網站httpwwwdottaipeigovtw

[3] 台灣區車輛工業同業公會網站httpwwwttvmaorgtw

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刊人文及社會科學10(3)287-298

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[6] 呂金虎陸君安陳士華(2002)混沌時間序列分析及其應用中國武漢武漢大

學出版社

[7] 邱清爐(2002)模糊迴歸分析中最小平方法之求解與應用國立成功大學工業管理

研究所博士論文台南市

[8] 李鴻毅(2005)傳統線性迴歸與模糊線性迴歸在預測應用方面的比較國立台灣科

技大學工業管理系碩士論文台北市

[9] 姜濤(1993)混沌理論與其發展簡介台北歐華學報(3)146-149

[10] 姜量議(2004)模糊需求下製造商-零售商系統利潤最佳化之研究南台科技大學工

業管理研究所碩士論文台南市

[11] 莊宗南(2002)模糊零工式排程之研究國立成功大學企業管理研究所博士論文

台南市

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學研究所碩士論文台南市

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[20] 謝逸婷(2005)模糊排序法於資料包絡分析模式之應用南台科技大學工業管理研

32

假設圖表中計算出的模糊迴歸函數為 0 0 1 1 Y c c X 模糊上界為

0 0 1 1UY c c X 模糊下界為 0 0 1 1LY c c X

33

第四章 數值分析

本章資料來源1台灣區車輛工業同業公會

2台北市交通局

本章所使用的數據資料為台北市交通局提供的公開的車流量資料數

值分析所使用的方法已在第三章論述利用第三章的方法分析數值預測的

準確性並結合模糊迴歸常見的兩種方法幫助決定預測的可接受範圍本

章介紹本文所利用的數學模型及方法在複線性迴歸的模型中分成混沌全

域法去季節性後的混沌全域法以及混沌局域法預測出的結果加以討論預

測的準確性再將預測值去季節性觀察準確程度最後再帶入模糊迴歸

利用 05H 加以討論如何將模糊迴歸中的散度用以選擇預測值的範圍第

一節針對傳統複線性迴歸方法並結合全域法觀念訓練資料迴歸係數討

論預測結果第二節針對傳統複線性迴歸方法並結合局域法觀念訓練資

料迴歸係數討論預測結果第三節針對預測資料去除季節性後再利用

傳統複線性迴歸方法討論預測結果第四節針對模糊迴歸的兩種方法選

擇出預測的範圍

利用第三章論述的時間遞移及相關維度的做法將本文利用具混沌性

的資料加以分析將資料先利用 212 節中介紹的李雅普諾夫指數 判定是

否具混沌性具有混沌性的資料才能利用混沌理論重構相空間若李雅

普諾夫指數 介在 0跟 1之間則表示資料具有混沌性質本文資料利用程

式計算出李雅普諾夫指數 運用自我相關係數判斷出時間遞移

數 相關維度計算出維度 我相關係數判斷時間遞移數與相關維

度的圖形以及原始資料時間遞移後的資料圖如圖 41圖 42圖 43

34

圖 41相空間維度及 lnC與 ln r斜率關係圖

圖 42相空間維度及 lnC與 ln r斜率關係圖

0

1

2

3

4

5

6

7

0 5 10 15 20

相空間維度

斜

率

d

-02

0

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04

06

08

1

12

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33

時間遞移數

自我相關函數

35

圖 43 原始資料時間序列圖

41 複線性迴歸混沌全域法

本文所使用的資料為 10日的車流量資料利用前 9日的資料訓練出迴

歸參數將迴歸參數代入複線性數學模型中計算出的迴歸方程式為

1 2 3 4

5 6 7 8 9

10 11 12 13 14

435363 00819 00338 01777 00070

01116 01999 00299 02716 00349

01399 00056 01113 00738 02038

y x x x x

x x x x x

x x x x x

(41)

解出迴歸參數計算出複線性迴歸方程式後再將最後一日 144筆的車

流資料代入方程式中計算出預測值利用複線性迴歸混沌域法預測出的結

果如圖 44

圖 44 複線性迴歸分析預測與原始資料比較圖-全域法

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原始資料點

原始資料點

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0

50

100

150

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1

7

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19

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43

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73

79

85

91

97

103

109

115

121

127

133

139

實際值

預測值

36

由圖表的狀況可觀察出運用複線性迴歸模型預測的結果不盡理想本

研究認為運用複線性迴歸預測的結果不佳的原因有二

1 利用全域法預測是將較大量的歷史資料加入考慮訓練出迴歸參數這

樣的結果造成削弱了原本的奇異點(相較於同時段資料差異性較大的點)

的影響力

2 嵌入維度 太高對於混沌時間序列隨著嵌入維度增高歷史

對未來的影響是呈指數衰減的所以全域法所利用的資訊歷史就越長

預測的精準度就會迅速下降因此本研究將加入局域法討論預測的準

確性

42 複線性迴歸混沌局域法

局域法的做法為尋找相空間重構後的點對待測點尋找鄰近的 k個相

空間點對離待測點鄰近的若 k個相空間點的關係作出擬合並分析出複

迴歸方程式的迴歸參數本文嘗試選取 k=50~250的結果以下只列舉 k=200

的圖解釋預測結果

圖 45 複線性迴歸分析預測與原始資料比較圖-局域法(k=200)

圖 44與圖 45比較後可看出區域法預測的準確性比全域法更好某

些預測出來的結果的點與原始資料的點差異性大有明顯的偏移本研究

認為利用局域法預測的結果不佳的原因如下由圖 45可看出預測結果與

原始資料間差異性較大的點位為數列的右側 而數列尾端的資料為凌晨或

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

1

7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

103

109

115

121

127

133

139

實際值

估計值

37

是深夜的車流量因每日凌晨或是深夜的車流量變化量較少(例如某日的凌

晨十二點十分可能為 0台車或是小於 10台車經過)所以資料的差異性

較大造成頭尾的資料預測上較為不準確

因為同時段的資料可能會影響資料預測出的結果所以我們下節就以

加入季節性的考慮來加以討論預測結果

43 複線性迴歸去除季節性後混沌全域法

本文使用的車流量資料為每日 24時換算成 1440分鐘每 10分鐘記

錄一點於是本研究依資料的記錄時間點來劃分季節性將季節分成 144

個季分別求出季節性指數求取季節性指數後將每個資料點先去除季

節性利用全域法訓練出去季節性後的迴歸係數再利用複線性求出預測

值最後將去除的季節指數乘回預測點結果如下

圖 46考慮季節性複線性迴歸分析預測與原始資料比較圖-全域法

此考慮季節性因子的複線性迴歸分析預測與原始資料的比較是用全

域法去訓練迴歸參數的而由圖 44我們可以得知一開始未考慮季節因

子使用全域法的複線性迴歸預測是不準確的本研究認為原本的歷史資

料隨著季節性因子的變化該系統原本呈現複雜的動態特性實際上由於

車流量的變動有許多外在因素的影響例如氣候假期hellip等影響會使

資料的變化過程發生不同程度的偏離而對於季節性事件來說其事件發

生的過程主要受季節性參數週期性變化的影響 因此影響因素的具體形

式可以近似地表示為單一函數本文考慮季節因素對車流量的影響意即

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

1

7

13

19

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31

37

43

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97

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3

10

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11

5

12

1

12

7

13

3

13

9 實際值

預測值

38

經過季節性分析後的得到的預測分析結果很準確如圖 46所示此結果

表示季節性影響樣本資料的情形大也代表著在季節因素影響下系統中

事件的動態變化情況是隨著季節影響參數的變化而造成系統呈現各種

各樣複雜的動態特性如週期解混沌情形hellip等

44 模糊迴歸

441Tanaka模糊迴歸

μ及 H 值之選定原則為當不確定性愈大時其 μ及 H 值愈接近 0

反之當資料不確定性愈小時μ及 H 值取愈接近 1 之值Bardossy 等人

建議其值在 05~07間為適宜根據 Tanaka在 1982年所提到的方法我們

可以求得一模糊迴歸函數並可得知其中心線與其上界及下界假定在 H =

05的情況下利用 Tanaka模糊迴歸模式算出迴歸函數為

(42)

中心線與上下界的簡單迴歸方程式為

中心線 (43)

上界 (44)

下界 (45)

繪製出的圖形如圖 47所示

圖 47 Tanaka 模糊迴歸

0

50

100

150

200

250

300

1

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13

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25

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103

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115

121

127

133

139

下界

中心線

上界

39

圖 48 Tanaka 模糊迴歸中心線與預測值之結合

從圖 48可看出預測值與模糊迴歸的中心線 有明顯的時間差異但由

圖可以觀察出模糊迴歸的中心線 的預測趨勢與實際值是相近的雖然利

用模糊迴歸預測的時間點比實際時間快但是相對來說也是可以用來預

測之後將發生的趨勢本研究認為若模糊迴歸可用於預測中則可用模糊

的散度 c當做預測行為中選取的可接受的變動範圍如圖 49最後將 Tanaka

模糊迴歸中心線上下界與實際值之結合如圖 410所示

圖 49 Tanaka 模糊迴歸中心線上下界與實際值之結合

0

20

40

60

80

100

120

140

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1

8

15

22

29

36

43

50

57

64

71

78

85

92

99

106

113

120

127

134

141

實際值

中心線

0

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1

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115

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實際值

下界

上界

預測

值

預測值

40

圖 410 Tanaka 模糊迴歸中心線上下界與實際值之結合

442修正型 Tanaka模糊迴歸

因為我們要將模糊迴歸應用於預測中所以本研究將複線性迴歸的趨

勢線視為模糊迴歸的中心線再利用修正型 Tanaka模糊迴歸模式算出迴歸

函數為

(46)

中心線與上下界的簡單迴歸方程式為

中心線

上界

下界

繪製出圖形如圖 411

0

50

100

150

200

250

300

1 7

13

19

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103

109

115

121

127

133

139

實際值

預測值

下界

上界

41

圖 411 修正型模糊迴歸中心線上下界與實際值之結合

本研究使用的修正型模糊迴歸中心線與傳統的迴歸方程式相同所以

可用來處理或分析模糊資料與明確資料同時修正型模糊迴歸的上下界

與 Tanaka 模糊迴歸相較也變窄了此兩種現象就是修正型迴歸的特色因

為中心線與傳統的迴歸方程式也相同這種修正型迴歸散度可選擇為負值

的特色本研究認為可以應用在預測上因為上下界與中心線間的散度變

窄使得前文所敘述到的利用散度來選取預測範圍便可更為嚴格也可

使預測的結果更為可靠如圖 412所示

圖 412 Tanaka 上下界與修正型模糊迴歸上下界的寬度差別

0

50

100

150

200

250

1 7

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下界

中心線

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0

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100

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1 8 15

22

29

36

43

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71

78

85

92

99

106

113

120

127

134

141

Tanaka下界

Tanaka上界

Tanaka修正型下界

Tanaka修正型上界

42

第五章 結論及未來研究方向

51 結論

根據前文的討論傳統迴歸和模糊迴歸建立在不同的理論基礎上傳

統迴歸是以機率為基礎而模糊迴歸則是以可能性為基礎傳統迴歸因變

數的估計值與觀測值之間的差異為因變數的隨機性而模糊迴歸因變數的

估計值則產生於觀測值之模糊度惟兩者最大不同處在於模糊迴歸式的

迴歸係數與預測值皆為模糊數（區間值）不同於傳統迴歸係數與預測值

均為明確的數值此外傳統迴歸侷限於對明確資料的分析可能性模糊

迴歸僅適用於分析具模糊性的資料而複合的模糊迴歸則可同時適用於分

析模糊與明確的資料此為此模式最大的特點

模糊迴歸應用於預測中大多的結果是不佳的但是我們透過結合混

沌與模糊迴歸的概念將混沌的預測單點概念拓展成一個可接受的預測

範圍

PT Chang 與ES Lee 使用修正型模糊迴歸重新定義散度做出新的

模糊上下界均為改善模糊迴歸模式Tanaka之研究本研究將模糊迴歸與

混沌理論之建立時間序列的預測情形加以結合討論發現模糊迴歸在預測

的行為中是可行的但可惜的是即使預測的趨勢相近但預測值出時間

的點卻有差別這樣的結果我們可以看出若能找到解決加強模糊與複線性

迴歸關係之間時間的關聯性就能利用模糊的不確定性來討論預測問題

52 未來之研究方向

本研究將模糊迴歸與混沌理論之建立時間序列的預測情形加以結合討

論發現模糊迴歸在預測的行為中是可行的但可惜的是即使預測的趨

勢相近但預測值出時間的點卻有差別這樣的結果我們可以看出若能找

到解決加強模糊與附線性迴歸關係之間時間的關聯性就能利用模糊的不

確定性來討論預測問題

為了符合現今社會多元的狀況模糊迴歸與傳統迴歸之觀念勢必加以

混合應用也為了解決此等問題混合式迴歸（Hybrid Regression）在近年

來被提起也因此參數的估計模糊迴歸與傳統迴歸的混合應用將成

為往後繼續研究探討之目標

建議未來可用模糊加權修正模糊迴歸使模糊迴歸在預測上更能直接

43

將對事物多個構面評估的意見與其影響事物狀況的重要程度作加權的運

算

44

參考文獻

[1] 九章出版社編輯部(民 89)模糊數學入門台北市九章出版社

[2] 台北市交通局網站httpwwwdottaipeigovtw

[3] 台灣區車輛工業同業公會網站httpwwwttvmaorgtw

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學出版社

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研究所博士論文台南市

[8] 李鴻毅(2005)傳統線性迴歸與模糊線性迴歸在預測應用方面的比較國立台灣科

技大學工業管理系碩士論文台北市

[9] 姜濤(1993)混沌理論與其發展簡介台北歐華學報(3)146-149

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業管理研究所碩士論文台南市

[11] 莊宗南(2002)模糊零工式排程之研究國立成功大學企業管理研究所博士論文

台南市

[12] 穎哲(2003)考慮模糊需求之耗損性商品存貨控制模式國立成功大學工業管理科

學研究所碩士論文台南市

[13] 陳鍾基(1979)迴歸分析入門台北市萬人出版社

[14] 陳靜怡(2004)以建構具有模糊資料下的整合性存貨模式之需求南台科技大學工

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[15] 張益欽(2006)模糊要素價格下要素配置問題之求解與其應用南台科技大學工業

管理研究所碩士論文台南市

[16] 蔡明君(2009)模糊環境下專案趕工問題之分析探討國立中正大學企業管理研究

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[17] 劉錦輝(2002)結合模糊迴歸分析與品質機能展開於工程設計之最佳化朝陽科技

大學工業工程與管理所碩士論文台中市

[18] 薛展青(2004)求解模糊迴歸之參數估計成功大學工業與資訊管理學系碩士論文

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[19] 闕頌廉(民 81)應用模糊數學台北市科技圖書股份有限公司

[20] 謝逸婷(2005)模糊排序法於資料包絡分析模式之應用南台科技大學工業管理研

33

第四章 數值分析

本章資料來源1台灣區車輛工業同業公會

2台北市交通局

本章所使用的數據資料為台北市交通局提供的公開的車流量資料數

值分析所使用的方法已在第三章論述利用第三章的方法分析數值預測的

準確性並結合模糊迴歸常見的兩種方法幫助決定預測的可接受範圍本

章介紹本文所利用的數學模型及方法在複線性迴歸的模型中分成混沌全

域法去季節性後的混沌全域法以及混沌局域法預測出的結果加以討論預

測的準確性再將預測值去季節性觀察準確程度最後再帶入模糊迴歸

利用 05H 加以討論如何將模糊迴歸中的散度用以選擇預測值的範圍第

一節針對傳統複線性迴歸方法並結合全域法觀念訓練資料迴歸係數討

論預測結果第二節針對傳統複線性迴歸方法並結合局域法觀念訓練資

料迴歸係數討論預測結果第三節針對預測資料去除季節性後再利用

傳統複線性迴歸方法討論預測結果第四節針對模糊迴歸的兩種方法選

擇出預測的範圍

利用第三章論述的時間遞移及相關維度的做法將本文利用具混沌性

的資料加以分析將資料先利用 212 節中介紹的李雅普諾夫指數 判定是

否具混沌性具有混沌性的資料才能利用混沌理論重構相空間若李雅

普諾夫指數 介在 0跟 1之間則表示資料具有混沌性質本文資料利用程

式計算出李雅普諾夫指數 運用自我相關係數判斷出時間遞移

數 相關維度計算出維度 我相關係數判斷時間遞移數與相關維

度的圖形以及原始資料時間遞移後的資料圖如圖 41圖 42圖 43

34

圖 41相空間維度及 lnC與 ln r斜率關係圖

圖 42相空間維度及 lnC與 ln r斜率關係圖

0

1

2

3

4

5

6

7

0 5 10 15 20

相空間維度

斜

率

d

-02

0

02

04

06

08

1

12

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33

時間遞移數

自我相關函數

35

圖 43 原始資料時間序列圖

41 複線性迴歸混沌全域法

本文所使用的資料為 10日的車流量資料利用前 9日的資料訓練出迴

歸參數將迴歸參數代入複線性數學模型中計算出的迴歸方程式為

1 2 3 4

5 6 7 8 9

10 11 12 13 14

435363 00819 00338 01777 00070

01116 01999 00299 02716 00349

01399 00056 01113 00738 02038

y x x x x

x x x x x

x x x x x

(41)

解出迴歸參數計算出複線性迴歸方程式後再將最後一日 144筆的車

流資料代入方程式中計算出預測值利用複線性迴歸混沌域法預測出的結

果如圖 44

圖 44 複線性迴歸分析預測與原始資料比較圖-全域法

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

1 53

10

5

157

209

26

1 31

3

365

41

7

469

52

1 57

3

625

67

7

729

78

1 83

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7

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10

41

1093

11

45

1197

12

49

1301

13

53

1405

原始資料點

原始資料點

-50

0

50

100

150

200

1

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103

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115

121

127

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139

實際值

預測值

36

由圖表的狀況可觀察出運用複線性迴歸模型預測的結果不盡理想本

研究認為運用複線性迴歸預測的結果不佳的原因有二

1 利用全域法預測是將較大量的歷史資料加入考慮訓練出迴歸參數這

樣的結果造成削弱了原本的奇異點(相較於同時段資料差異性較大的點)

的影響力

2 嵌入維度 太高對於混沌時間序列隨著嵌入維度增高歷史

對未來的影響是呈指數衰減的所以全域法所利用的資訊歷史就越長

預測的精準度就會迅速下降因此本研究將加入局域法討論預測的準

確性

42 複線性迴歸混沌局域法

局域法的做法為尋找相空間重構後的點對待測點尋找鄰近的 k個相

空間點對離待測點鄰近的若 k個相空間點的關係作出擬合並分析出複

迴歸方程式的迴歸參數本文嘗試選取 k=50~250的結果以下只列舉 k=200

的圖解釋預測結果

圖 45 複線性迴歸分析預測與原始資料比較圖-局域法(k=200)

圖 44與圖 45比較後可看出區域法預測的準確性比全域法更好某

些預測出來的結果的點與原始資料的點差異性大有明顯的偏移本研究

認為利用局域法預測的結果不佳的原因如下由圖 45可看出預測結果與

原始資料間差異性較大的點位為數列的右側 而數列尾端的資料為凌晨或

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實際值

估計值

37

是深夜的車流量因每日凌晨或是深夜的車流量變化量較少(例如某日的凌

晨十二點十分可能為 0台車或是小於 10台車經過)所以資料的差異性

較大造成頭尾的資料預測上較為不準確

因為同時段的資料可能會影響資料預測出的結果所以我們下節就以

加入季節性的考慮來加以討論預測結果

43 複線性迴歸去除季節性後混沌全域法

本文使用的車流量資料為每日 24時換算成 1440分鐘每 10分鐘記

錄一點於是本研究依資料的記錄時間點來劃分季節性將季節分成 144

個季分別求出季節性指數求取季節性指數後將每個資料點先去除季

節性利用全域法訓練出去季節性後的迴歸係數再利用複線性求出預測

值最後將去除的季節指數乘回預測點結果如下

圖 46考慮季節性複線性迴歸分析預測與原始資料比較圖-全域法

此考慮季節性因子的複線性迴歸分析預測與原始資料的比較是用全

域法去訓練迴歸參數的而由圖 44我們可以得知一開始未考慮季節因

子使用全域法的複線性迴歸預測是不準確的本研究認為原本的歷史資

料隨著季節性因子的變化該系統原本呈現複雜的動態特性實際上由於

車流量的變動有許多外在因素的影響例如氣候假期hellip等影響會使

資料的變化過程發生不同程度的偏離而對於季節性事件來說其事件發

生的過程主要受季節性參數週期性變化的影響 因此影響因素的具體形

式可以近似地表示為單一函數本文考慮季節因素對車流量的影響意即

0

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9 實際值

預測值

38

經過季節性分析後的得到的預測分析結果很準確如圖 46所示此結果

表示季節性影響樣本資料的情形大也代表著在季節因素影響下系統中

事件的動態變化情況是隨著季節影響參數的變化而造成系統呈現各種

各樣複雜的動態特性如週期解混沌情形hellip等

44 模糊迴歸

441Tanaka模糊迴歸

μ及 H 值之選定原則為當不確定性愈大時其 μ及 H 值愈接近 0

反之當資料不確定性愈小時μ及 H 值取愈接近 1 之值Bardossy 等人

建議其值在 05~07間為適宜根據 Tanaka在 1982年所提到的方法我們

可以求得一模糊迴歸函數並可得知其中心線與其上界及下界假定在 H =

05的情況下利用 Tanaka模糊迴歸模式算出迴歸函數為

(42)

中心線與上下界的簡單迴歸方程式為

中心線 (43)

上界 (44)

下界 (45)

繪製出的圖形如圖 47所示

圖 47 Tanaka 模糊迴歸

0

50

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下界

中心線

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圖 48 Tanaka 模糊迴歸中心線與預測值之結合

從圖 48可看出預測值與模糊迴歸的中心線 有明顯的時間差異但由

圖可以觀察出模糊迴歸的中心線 的預測趨勢與實際值是相近的雖然利

用模糊迴歸預測的時間點比實際時間快但是相對來說也是可以用來預

測之後將發生的趨勢本研究認為若模糊迴歸可用於預測中則可用模糊

的散度 c當做預測行為中選取的可接受的變動範圍如圖 49最後將 Tanaka

模糊迴歸中心線上下界與實際值之結合如圖 410所示

圖 49 Tanaka 模糊迴歸中心線上下界與實際值之結合

0

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64

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99

106

113

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127

134

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實際值

中心線

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100

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250

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25

31

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55

61

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73

79

85

91

97

103

109

115

121

127

133

139

實際值

下界

上界

預測

值

預測值

40

圖 410 Tanaka 模糊迴歸中心線上下界與實際值之結合

442修正型 Tanaka模糊迴歸

因為我們要將模糊迴歸應用於預測中所以本研究將複線性迴歸的趨

勢線視為模糊迴歸的中心線再利用修正型 Tanaka模糊迴歸模式算出迴歸

函數為

(46)

中心線與上下界的簡單迴歸方程式為

中心線

上界

下界

繪製出圖形如圖 411

0

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100

150

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55

61

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97

103

109

115

121

127

133

139

實際值

預測值

下界

上界

41

圖 411 修正型模糊迴歸中心線上下界與實際值之結合

本研究使用的修正型模糊迴歸中心線與傳統的迴歸方程式相同所以

可用來處理或分析模糊資料與明確資料同時修正型模糊迴歸的上下界

與 Tanaka 模糊迴歸相較也變窄了此兩種現象就是修正型迴歸的特色因

為中心線與傳統的迴歸方程式也相同這種修正型迴歸散度可選擇為負值

的特色本研究認為可以應用在預測上因為上下界與中心線間的散度變

窄使得前文所敘述到的利用散度來選取預測範圍便可更為嚴格也可

使預測的結果更為可靠如圖 412所示

圖 412 Tanaka 上下界與修正型模糊迴歸上下界的寬度差別

0

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100

150

200

250

1 7

13

19

25

31

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115

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127

133

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下界

中心線

上界

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100

150

200

250

300

1 8 15

22

29

36

43

50

57

64

71

78

85

92

99

106

113

120

127

134

141

Tanaka下界

Tanaka上界

Tanaka修正型下界

Tanaka修正型上界

42

第五章 結論及未來研究方向

51 結論

根據前文的討論傳統迴歸和模糊迴歸建立在不同的理論基礎上傳

統迴歸是以機率為基礎而模糊迴歸則是以可能性為基礎傳統迴歸因變

數的估計值與觀測值之間的差異為因變數的隨機性而模糊迴歸因變數的

估計值則產生於觀測值之模糊度惟兩者最大不同處在於模糊迴歸式的

迴歸係數與預測值皆為模糊數（區間值）不同於傳統迴歸係數與預測值

均為明確的數值此外傳統迴歸侷限於對明確資料的分析可能性模糊

迴歸僅適用於分析具模糊性的資料而複合的模糊迴歸則可同時適用於分

析模糊與明確的資料此為此模式最大的特點

模糊迴歸應用於預測中大多的結果是不佳的但是我們透過結合混

沌與模糊迴歸的概念將混沌的預測單點概念拓展成一個可接受的預測

範圍

PT Chang 與ES Lee 使用修正型模糊迴歸重新定義散度做出新的

模糊上下界均為改善模糊迴歸模式Tanaka之研究本研究將模糊迴歸與

混沌理論之建立時間序列的預測情形加以結合討論發現模糊迴歸在預測

的行為中是可行的但可惜的是即使預測的趨勢相近但預測值出時間

的點卻有差別這樣的結果我們可以看出若能找到解決加強模糊與複線性

迴歸關係之間時間的關聯性就能利用模糊的不確定性來討論預測問題

52 未來之研究方向

本研究將模糊迴歸與混沌理論之建立時間序列的預測情形加以結合討

論發現模糊迴歸在預測的行為中是可行的但可惜的是即使預測的趨

勢相近但預測值出時間的點卻有差別這樣的結果我們可以看出若能找

到解決加強模糊與附線性迴歸關係之間時間的關聯性就能利用模糊的不

確定性來討論預測問題

為了符合現今社會多元的狀況模糊迴歸與傳統迴歸之觀念勢必加以

混合應用也為了解決此等問題混合式迴歸（Hybrid Regression）在近年

來被提起也因此參數的估計模糊迴歸與傳統迴歸的混合應用將成

為往後繼續研究探討之目標

建議未來可用模糊加權修正模糊迴歸使模糊迴歸在預測上更能直接

43

將對事物多個構面評估的意見與其影響事物狀況的重要程度作加權的運

算

44

參考文獻

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34

圖 41相空間維度及 lnC與 ln r斜率關係圖

圖 42相空間維度及 lnC與 ln r斜率關係圖

0

1

2

3

4

5

6

7

0 5 10 15 20

相空間維度

斜

率

d

-02

0

02

04

06

08

1

12

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33

時間遞移數

自我相關函數

35

圖 43 原始資料時間序列圖

41 複線性迴歸混沌全域法

本文所使用的資料為 10日的車流量資料利用前 9日的資料訓練出迴

歸參數將迴歸參數代入複線性數學模型中計算出的迴歸方程式為

1 2 3 4

5 6 7 8 9

10 11 12 13 14

435363 00819 00338 01777 00070

01116 01999 00299 02716 00349

01399 00056 01113 00738 02038

y x x x x

x x x x x

x x x x x

(41)

解出迴歸參數計算出複線性迴歸方程式後再將最後一日 144筆的車

流資料代入方程式中計算出預測值利用複線性迴歸混沌域法預測出的結

果如圖 44

圖 44 複線性迴歸分析預測與原始資料比較圖-全域法

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26

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3

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41

7

469

52

1 57

3

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1 83

3

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10

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1093

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45

1197

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13

53

1405

原始資料點

原始資料點

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103

109

115

121

127

133

139

實際值

預測值

36

由圖表的狀況可觀察出運用複線性迴歸模型預測的結果不盡理想本

研究認為運用複線性迴歸預測的結果不佳的原因有二

1 利用全域法預測是將較大量的歷史資料加入考慮訓練出迴歸參數這

樣的結果造成削弱了原本的奇異點(相較於同時段資料差異性較大的點)

的影響力

2 嵌入維度 太高對於混沌時間序列隨著嵌入維度增高歷史

對未來的影響是呈指數衰減的所以全域法所利用的資訊歷史就越長

預測的精準度就會迅速下降因此本研究將加入局域法討論預測的準

確性

42 複線性迴歸混沌局域法

局域法的做法為尋找相空間重構後的點對待測點尋找鄰近的 k個相

空間點對離待測點鄰近的若 k個相空間點的關係作出擬合並分析出複

迴歸方程式的迴歸參數本文嘗試選取 k=50~250的結果以下只列舉 k=200

的圖解釋預測結果

圖 45 複線性迴歸分析預測與原始資料比較圖-局域法(k=200)

圖 44與圖 45比較後可看出區域法預測的準確性比全域法更好某

些預測出來的結果的點與原始資料的點差異性大有明顯的偏移本研究

認為利用局域法預測的結果不佳的原因如下由圖 45可看出預測結果與

原始資料間差異性較大的點位為數列的右側 而數列尾端的資料為凌晨或

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109

115

121

127

133

139

實際值

估計值

37

是深夜的車流量因每日凌晨或是深夜的車流量變化量較少(例如某日的凌

晨十二點十分可能為 0台車或是小於 10台車經過)所以資料的差異性

較大造成頭尾的資料預測上較為不準確

因為同時段的資料可能會影響資料預測出的結果所以我們下節就以

加入季節性的考慮來加以討論預測結果

43 複線性迴歸去除季節性後混沌全域法

本文使用的車流量資料為每日 24時換算成 1440分鐘每 10分鐘記

錄一點於是本研究依資料的記錄時間點來劃分季節性將季節分成 144

個季分別求出季節性指數求取季節性指數後將每個資料點先去除季

節性利用全域法訓練出去季節性後的迴歸係數再利用複線性求出預測

值最後將去除的季節指數乘回預測點結果如下

圖 46考慮季節性複線性迴歸分析預測與原始資料比較圖-全域法

此考慮季節性因子的複線性迴歸分析預測與原始資料的比較是用全

域法去訓練迴歸參數的而由圖 44我們可以得知一開始未考慮季節因

子使用全域法的複線性迴歸預測是不準確的本研究認為原本的歷史資

料隨著季節性因子的變化該系統原本呈現複雜的動態特性實際上由於

車流量的變動有許多外在因素的影響例如氣候假期hellip等影響會使

資料的變化過程發生不同程度的偏離而對於季節性事件來說其事件發

生的過程主要受季節性參數週期性變化的影響 因此影響因素的具體形

式可以近似地表示為單一函數本文考慮季節因素對車流量的影響意即

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3

10

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5

12

1

12

7

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3

13

9 實際值

預測值

38

經過季節性分析後的得到的預測分析結果很準確如圖 46所示此結果

表示季節性影響樣本資料的情形大也代表著在季節因素影響下系統中

事件的動態變化情況是隨著季節影響參數的變化而造成系統呈現各種

各樣複雜的動態特性如週期解混沌情形hellip等

44 模糊迴歸

441Tanaka模糊迴歸

μ及 H 值之選定原則為當不確定性愈大時其 μ及 H 值愈接近 0

反之當資料不確定性愈小時μ及 H 值取愈接近 1 之值Bardossy 等人

建議其值在 05~07間為適宜根據 Tanaka在 1982年所提到的方法我們

可以求得一模糊迴歸函數並可得知其中心線與其上界及下界假定在 H =

05的情況下利用 Tanaka模糊迴歸模式算出迴歸函數為

(42)

中心線與上下界的簡單迴歸方程式為

中心線 (43)

上界 (44)

下界 (45)

繪製出的圖形如圖 47所示

圖 47 Tanaka 模糊迴歸

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115

121

127

133

139

下界

中心線

上界

39

圖 48 Tanaka 模糊迴歸中心線與預測值之結合

從圖 48可看出預測值與模糊迴歸的中心線 有明顯的時間差異但由

圖可以觀察出模糊迴歸的中心線 的預測趨勢與實際值是相近的雖然利

用模糊迴歸預測的時間點比實際時間快但是相對來說也是可以用來預

測之後將發生的趨勢本研究認為若模糊迴歸可用於預測中則可用模糊

的散度 c當做預測行為中選取的可接受的變動範圍如圖 49最後將 Tanaka

模糊迴歸中心線上下界與實際值之結合如圖 410所示

圖 49 Tanaka 模糊迴歸中心線上下界與實際值之結合

0

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100

120

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1

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64

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實際值

中心線

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實際值

下界

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預測

值

預測值

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圖 410 Tanaka 模糊迴歸中心線上下界與實際值之結合

442修正型 Tanaka模糊迴歸

因為我們要將模糊迴歸應用於預測中所以本研究將複線性迴歸的趨

勢線視為模糊迴歸的中心線再利用修正型 Tanaka模糊迴歸模式算出迴歸

函數為

(46)

中心線與上下界的簡單迴歸方程式為

中心線

上界

下界

繪製出圖形如圖 411

0

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實際值

預測值

下界

上界

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圖 411 修正型模糊迴歸中心線上下界與實際值之結合

本研究使用的修正型模糊迴歸中心線與傳統的迴歸方程式相同所以

可用來處理或分析模糊資料與明確資料同時修正型模糊迴歸的上下界

與 Tanaka 模糊迴歸相較也變窄了此兩種現象就是修正型迴歸的特色因

為中心線與傳統的迴歸方程式也相同這種修正型迴歸散度可選擇為負值

的特色本研究認為可以應用在預測上因為上下界與中心線間的散度變

窄使得前文所敘述到的利用散度來選取預測範圍便可更為嚴格也可

使預測的結果更為可靠如圖 412所示

圖 412 Tanaka 上下界與修正型模糊迴歸上下界的寬度差別

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下界

中心線

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141

Tanaka下界

Tanaka上界

Tanaka修正型下界

Tanaka修正型上界

42

第五章 結論及未來研究方向

51 結論

根據前文的討論傳統迴歸和模糊迴歸建立在不同的理論基礎上傳

統迴歸是以機率為基礎而模糊迴歸則是以可能性為基礎傳統迴歸因變

數的估計值與觀測值之間的差異為因變數的隨機性而模糊迴歸因變數的

估計值則產生於觀測值之模糊度惟兩者最大不同處在於模糊迴歸式的

迴歸係數與預測值皆為模糊數（區間值）不同於傳統迴歸係數與預測值

均為明確的數值此外傳統迴歸侷限於對明確資料的分析可能性模糊

迴歸僅適用於分析具模糊性的資料而複合的模糊迴歸則可同時適用於分

析模糊與明確的資料此為此模式最大的特點

模糊迴歸應用於預測中大多的結果是不佳的但是我們透過結合混

沌與模糊迴歸的概念將混沌的預測單點概念拓展成一個可接受的預測

範圍

PT Chang 與ES Lee 使用修正型模糊迴歸重新定義散度做出新的

模糊上下界均為改善模糊迴歸模式Tanaka之研究本研究將模糊迴歸與

混沌理論之建立時間序列的預測情形加以結合討論發現模糊迴歸在預測

的行為中是可行的但可惜的是即使預測的趨勢相近但預測值出時間

的點卻有差別這樣的結果我們可以看出若能找到解決加強模糊與複線性

迴歸關係之間時間的關聯性就能利用模糊的不確定性來討論預測問題

52 未來之研究方向

本研究將模糊迴歸與混沌理論之建立時間序列的預測情形加以結合討

論發現模糊迴歸在預測的行為中是可行的但可惜的是即使預測的趨

勢相近但預測值出時間的點卻有差別這樣的結果我們可以看出若能找

到解決加強模糊與附線性迴歸關係之間時間的關聯性就能利用模糊的不

確定性來討論預測問題

為了符合現今社會多元的狀況模糊迴歸與傳統迴歸之觀念勢必加以

混合應用也為了解決此等問題混合式迴歸（Hybrid Regression）在近年

來被提起也因此參數的估計模糊迴歸與傳統迴歸的混合應用將成

為往後繼續研究探討之目標

建議未來可用模糊加權修正模糊迴歸使模糊迴歸在預測上更能直接

43

將對事物多個構面評估的意見與其影響事物狀況的重要程度作加權的運

算

44

參考文獻

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所碩士論文嘉義市

[17] 劉錦輝(2002)結合模糊迴歸分析與品質機能展開於工程設計之最佳化朝陽科技

大學工業工程與管理所碩士論文台中市

[18] 薛展青(2004)求解模糊迴歸之參數估計成功大學工業與資訊管理學系碩士論文

台南市

[19] 闕頌廉(民 81)應用模糊數學台北市科技圖書股份有限公司

[20] 謝逸婷(2005)模糊排序法於資料包絡分析模式之應用南台科技大學工業管理研

35

圖 43 原始資料時間序列圖

41 複線性迴歸混沌全域法

本文所使用的資料為 10日的車流量資料利用前 9日的資料訓練出迴

歸參數將迴歸參數代入複線性數學模型中計算出的迴歸方程式為

1 2 3 4

5 6 7 8 9

10 11 12 13 14

435363 00819 00338 01777 00070

01116 01999 00299 02716 00349

01399 00056 01113 00738 02038

y x x x x

x x x x x

x x x x x

(41)

解出迴歸參數計算出複線性迴歸方程式後再將最後一日 144筆的車

流資料代入方程式中計算出預測值利用複線性迴歸混沌域法預測出的結

果如圖 44

圖 44 複線性迴歸分析預測與原始資料比較圖-全域法

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

1 53

10

5

157

209

26

1 31

3

365

41

7

469

52

1 57

3

625

67

7

729

78

1 83

3

885

93

7

989

10

41

1093

11

45

1197

12

49

1301

13

53

1405

原始資料點

原始資料點

-50

0

50

100

150

200

1

7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

103

109

115

121

127

133

139

實際值

預測值

36

由圖表的狀況可觀察出運用複線性迴歸模型預測的結果不盡理想本

研究認為運用複線性迴歸預測的結果不佳的原因有二

1 利用全域法預測是將較大量的歷史資料加入考慮訓練出迴歸參數這

樣的結果造成削弱了原本的奇異點(相較於同時段資料差異性較大的點)

的影響力

2 嵌入維度 太高對於混沌時間序列隨著嵌入維度增高歷史

對未來的影響是呈指數衰減的所以全域法所利用的資訊歷史就越長

預測的精準度就會迅速下降因此本研究將加入局域法討論預測的準

確性

42 複線性迴歸混沌局域法

局域法的做法為尋找相空間重構後的點對待測點尋找鄰近的 k個相

空間點對離待測點鄰近的若 k個相空間點的關係作出擬合並分析出複

迴歸方程式的迴歸參數本文嘗試選取 k=50~250的結果以下只列舉 k=200

的圖解釋預測結果

圖 45 複線性迴歸分析預測與原始資料比較圖-局域法(k=200)

圖 44與圖 45比較後可看出區域法預測的準確性比全域法更好某

些預測出來的結果的點與原始資料的點差異性大有明顯的偏移本研究

認為利用局域法預測的結果不佳的原因如下由圖 45可看出預測結果與

原始資料間差異性較大的點位為數列的右側 而數列尾端的資料為凌晨或

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

1

7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

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91

97

103

109

115

121

127

133

139

實際值

估計值

37

是深夜的車流量因每日凌晨或是深夜的車流量變化量較少(例如某日的凌

晨十二點十分可能為 0台車或是小於 10台車經過)所以資料的差異性

較大造成頭尾的資料預測上較為不準確

因為同時段的資料可能會影響資料預測出的結果所以我們下節就以

加入季節性的考慮來加以討論預測結果

43 複線性迴歸去除季節性後混沌全域法

本文使用的車流量資料為每日 24時換算成 1440分鐘每 10分鐘記

錄一點於是本研究依資料的記錄時間點來劃分季節性將季節分成 144

個季分別求出季節性指數求取季節性指數後將每個資料點先去除季

節性利用全域法訓練出去季節性後的迴歸係數再利用複線性求出預測

值最後將去除的季節指數乘回預測點結果如下

圖 46考慮季節性複線性迴歸分析預測與原始資料比較圖-全域法

此考慮季節性因子的複線性迴歸分析預測與原始資料的比較是用全

域法去訓練迴歸參數的而由圖 44我們可以得知一開始未考慮季節因

子使用全域法的複線性迴歸預測是不準確的本研究認為原本的歷史資

料隨著季節性因子的變化該系統原本呈現複雜的動態特性實際上由於

車流量的變動有許多外在因素的影響例如氣候假期hellip等影響會使

資料的變化過程發生不同程度的偏離而對於季節性事件來說其事件發

生的過程主要受季節性參數週期性變化的影響 因此影響因素的具體形

式可以近似地表示為單一函數本文考慮季節因素對車流量的影響意即

0

20

40

60

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100

120

140

160

180

1

7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

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3

10

9

11

5

12

1

12

7

13

3

13

9 實際值

預測值

38

經過季節性分析後的得到的預測分析結果很準確如圖 46所示此結果

表示季節性影響樣本資料的情形大也代表著在季節因素影響下系統中

事件的動態變化情況是隨著季節影響參數的變化而造成系統呈現各種

各樣複雜的動態特性如週期解混沌情形hellip等

44 模糊迴歸

441Tanaka模糊迴歸

μ及 H 值之選定原則為當不確定性愈大時其 μ及 H 值愈接近 0

反之當資料不確定性愈小時μ及 H 值取愈接近 1 之值Bardossy 等人

建議其值在 05~07間為適宜根據 Tanaka在 1982年所提到的方法我們

可以求得一模糊迴歸函數並可得知其中心線與其上界及下界假定在 H =

05的情況下利用 Tanaka模糊迴歸模式算出迴歸函數為

(42)

中心線與上下界的簡單迴歸方程式為

中心線 (43)

上界 (44)

下界 (45)

繪製出的圖形如圖 47所示

圖 47 Tanaka 模糊迴歸

0

50

100

150

200

250

300

1

7

13

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31

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43

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61

67

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103

109

115

121

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133

139

下界

中心線

上界

39

圖 48 Tanaka 模糊迴歸中心線與預測值之結合

從圖 48可看出預測值與模糊迴歸的中心線 有明顯的時間差異但由

圖可以觀察出模糊迴歸的中心線 的預測趨勢與實際值是相近的雖然利

用模糊迴歸預測的時間點比實際時間快但是相對來說也是可以用來預

測之後將發生的趨勢本研究認為若模糊迴歸可用於預測中則可用模糊

的散度 c當做預測行為中選取的可接受的變動範圍如圖 49最後將 Tanaka

模糊迴歸中心線上下界與實際值之結合如圖 410所示

圖 49 Tanaka 模糊迴歸中心線上下界與實際值之結合

0

20

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160

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1

8

15

22

29

36

43

50

57

64

71

78

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92

99

106

113

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127

134

141

實際值

中心線

0

50

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300

1

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115

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133

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實際值

下界

上界

預測

值

預測值

40

圖 410 Tanaka 模糊迴歸中心線上下界與實際值之結合

442修正型 Tanaka模糊迴歸

因為我們要將模糊迴歸應用於預測中所以本研究將複線性迴歸的趨

勢線視為模糊迴歸的中心線再利用修正型 Tanaka模糊迴歸模式算出迴歸

函數為

(46)

中心線與上下界的簡單迴歸方程式為

中心線

上界

下界

繪製出圖形如圖 411

0

50

100

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200

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133

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實際值

預測值

下界

上界

41

圖 411 修正型模糊迴歸中心線上下界與實際值之結合

本研究使用的修正型模糊迴歸中心線與傳統的迴歸方程式相同所以

可用來處理或分析模糊資料與明確資料同時修正型模糊迴歸的上下界

與 Tanaka 模糊迴歸相較也變窄了此兩種現象就是修正型迴歸的特色因

為中心線與傳統的迴歸方程式也相同這種修正型迴歸散度可選擇為負值

的特色本研究認為可以應用在預測上因為上下界與中心線間的散度變

窄使得前文所敘述到的利用散度來選取預測範圍便可更為嚴格也可

使預測的結果更為可靠如圖 412所示

圖 412 Tanaka 上下界與修正型模糊迴歸上下界的寬度差別

0

50

100

150

200

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1 7

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下界

中心線

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113

120

127

134

141

Tanaka下界

Tanaka上界

Tanaka修正型下界

Tanaka修正型上界

42

第五章 結論及未來研究方向

51 結論

根據前文的討論傳統迴歸和模糊迴歸建立在不同的理論基礎上傳

統迴歸是以機率為基礎而模糊迴歸則是以可能性為基礎傳統迴歸因變

數的估計值與觀測值之間的差異為因變數的隨機性而模糊迴歸因變數的

估計值則產生於觀測值之模糊度惟兩者最大不同處在於模糊迴歸式的

迴歸係數與預測值皆為模糊數（區間值）不同於傳統迴歸係數與預測值

均為明確的數值此外傳統迴歸侷限於對明確資料的分析可能性模糊

迴歸僅適用於分析具模糊性的資料而複合的模糊迴歸則可同時適用於分

析模糊與明確的資料此為此模式最大的特點

模糊迴歸應用於預測中大多的結果是不佳的但是我們透過結合混

沌與模糊迴歸的概念將混沌的預測單點概念拓展成一個可接受的預測

範圍

PT Chang 與ES Lee 使用修正型模糊迴歸重新定義散度做出新的

模糊上下界均為改善模糊迴歸模式Tanaka之研究本研究將模糊迴歸與

混沌理論之建立時間序列的預測情形加以結合討論發現模糊迴歸在預測

的行為中是可行的但可惜的是即使預測的趨勢相近但預測值出時間

的點卻有差別這樣的結果我們可以看出若能找到解決加強模糊與複線性

迴歸關係之間時間的關聯性就能利用模糊的不確定性來討論預測問題

52 未來之研究方向

本研究將模糊迴歸與混沌理論之建立時間序列的預測情形加以結合討

論發現模糊迴歸在預測的行為中是可行的但可惜的是即使預測的趨

勢相近但預測值出時間的點卻有差別這樣的結果我們可以看出若能找

到解決加強模糊與附線性迴歸關係之間時間的關聯性就能利用模糊的不

確定性來討論預測問題

為了符合現今社會多元的狀況模糊迴歸與傳統迴歸之觀念勢必加以

混合應用也為了解決此等問題混合式迴歸（Hybrid Regression）在近年

來被提起也因此參數的估計模糊迴歸與傳統迴歸的混合應用將成

為往後繼續研究探討之目標

建議未來可用模糊加權修正模糊迴歸使模糊迴歸在預測上更能直接

43

將對事物多個構面評估的意見與其影響事物狀況的重要程度作加權的運

算

44

參考文獻

[1] 九章出版社編輯部(民 89)模糊數學入門台北市九章出版社

[2] 台北市交通局網站httpwwwdottaipeigovtw

[3] 台灣區車輛工業同業公會網站httpwwwttvmaorgtw

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刊人文及社會科學10(3)287-298

[5] 林真真鄒幼涵(1990)迴歸分析台北市華泰書局19-30101-114

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學出版社

[7] 邱清爐(2002)模糊迴歸分析中最小平方法之求解與應用國立成功大學工業管理

研究所博士論文台南市

[8] 李鴻毅(2005)傳統線性迴歸與模糊線性迴歸在預測應用方面的比較國立台灣科

技大學工業管理系碩士論文台北市

[9] 姜濤(1993)混沌理論與其發展簡介台北歐華學報(3)146-149

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業管理研究所碩士論文台南市

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學研究所碩士論文台南市

[13] 陳鍾基(1979)迴歸分析入門台北市萬人出版社

[14] 陳靜怡(2004)以建構具有模糊資料下的整合性存貨模式之需求南台科技大學工

業管理研究所碩士論文台南市

[15] 張益欽(2006)模糊要素價格下要素配置問題之求解與其應用南台科技大學工業

管理研究所碩士論文台南市

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[19] 闕頌廉(民 81)應用模糊數學台北市科技圖書股份有限公司

[20] 謝逸婷(2005)模糊排序法於資料包絡分析模式之應用南台科技大學工業管理研

36

由圖表的狀況可觀察出運用複線性迴歸模型預測的結果不盡理想本

研究認為運用複線性迴歸預測的結果不佳的原因有二

1 利用全域法預測是將較大量的歷史資料加入考慮訓練出迴歸參數這

樣的結果造成削弱了原本的奇異點(相較於同時段資料差異性較大的點)

的影響力

2 嵌入維度 太高對於混沌時間序列隨著嵌入維度增高歷史

對未來的影響是呈指數衰減的所以全域法所利用的資訊歷史就越長

預測的精準度就會迅速下降因此本研究將加入局域法討論預測的準

確性

42 複線性迴歸混沌局域法

局域法的做法為尋找相空間重構後的點對待測點尋找鄰近的 k個相

空間點對離待測點鄰近的若 k個相空間點的關係作出擬合並分析出複

迴歸方程式的迴歸參數本文嘗試選取 k=50~250的結果以下只列舉 k=200

的圖解釋預測結果

圖 45 複線性迴歸分析預測與原始資料比較圖-局域法(k=200)

圖 44與圖 45比較後可看出區域法預測的準確性比全域法更好某

些預測出來的結果的點與原始資料的點差異性大有明顯的偏移本研究

認為利用局域法預測的結果不佳的原因如下由圖 45可看出預測結果與

原始資料間差異性較大的點位為數列的右側 而數列尾端的資料為凌晨或

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實際值

估計值

37

是深夜的車流量因每日凌晨或是深夜的車流量變化量較少(例如某日的凌

晨十二點十分可能為 0台車或是小於 10台車經過)所以資料的差異性

較大造成頭尾的資料預測上較為不準確

因為同時段的資料可能會影響資料預測出的結果所以我們下節就以

加入季節性的考慮來加以討論預測結果

43 複線性迴歸去除季節性後混沌全域法

本文使用的車流量資料為每日 24時換算成 1440分鐘每 10分鐘記

錄一點於是本研究依資料的記錄時間點來劃分季節性將季節分成 144

個季分別求出季節性指數求取季節性指數後將每個資料點先去除季

節性利用全域法訓練出去季節性後的迴歸係數再利用複線性求出預測

值最後將去除的季節指數乘回預測點結果如下

圖 46考慮季節性複線性迴歸分析預測與原始資料比較圖-全域法

此考慮季節性因子的複線性迴歸分析預測與原始資料的比較是用全

域法去訓練迴歸參數的而由圖 44我們可以得知一開始未考慮季節因

子使用全域法的複線性迴歸預測是不準確的本研究認為原本的歷史資

料隨著季節性因子的變化該系統原本呈現複雜的動態特性實際上由於

車流量的變動有許多外在因素的影響例如氣候假期hellip等影響會使

資料的變化過程發生不同程度的偏離而對於季節性事件來說其事件發

生的過程主要受季節性參數週期性變化的影響 因此影響因素的具體形

式可以近似地表示為單一函數本文考慮季節因素對車流量的影響意即

0

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9 實際值

預測值

38

經過季節性分析後的得到的預測分析結果很準確如圖 46所示此結果

表示季節性影響樣本資料的情形大也代表著在季節因素影響下系統中

事件的動態變化情況是隨著季節影響參數的變化而造成系統呈現各種

各樣複雜的動態特性如週期解混沌情形hellip等

44 模糊迴歸

441Tanaka模糊迴歸

μ及 H 值之選定原則為當不確定性愈大時其 μ及 H 值愈接近 0

反之當資料不確定性愈小時μ及 H 值取愈接近 1 之值Bardossy 等人

建議其值在 05~07間為適宜根據 Tanaka在 1982年所提到的方法我們

可以求得一模糊迴歸函數並可得知其中心線與其上界及下界假定在 H =

05的情況下利用 Tanaka模糊迴歸模式算出迴歸函數為

(42)

中心線與上下界的簡單迴歸方程式為

中心線 (43)

上界 (44)

下界 (45)

繪製出的圖形如圖 47所示

圖 47 Tanaka 模糊迴歸

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下界

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圖 48 Tanaka 模糊迴歸中心線與預測值之結合

從圖 48可看出預測值與模糊迴歸的中心線 有明顯的時間差異但由

圖可以觀察出模糊迴歸的中心線 的預測趨勢與實際值是相近的雖然利

用模糊迴歸預測的時間點比實際時間快但是相對來說也是可以用來預

測之後將發生的趨勢本研究認為若模糊迴歸可用於預測中則可用模糊

的散度 c當做預測行為中選取的可接受的變動範圍如圖 49最後將 Tanaka

模糊迴歸中心線上下界與實際值之結合如圖 410所示

圖 49 Tanaka 模糊迴歸中心線上下界與實際值之結合

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實際值

中心線

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實際值

下界

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預測

值

預測值

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圖 410 Tanaka 模糊迴歸中心線上下界與實際值之結合

442修正型 Tanaka模糊迴歸

因為我們要將模糊迴歸應用於預測中所以本研究將複線性迴歸的趨

勢線視為模糊迴歸的中心線再利用修正型 Tanaka模糊迴歸模式算出迴歸

函數為

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中心線與上下界的簡單迴歸方程式為

中心線

上界

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繪製出圖形如圖 411

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實際值

預測值

下界

上界

41

圖 411 修正型模糊迴歸中心線上下界與實際值之結合

本研究使用的修正型模糊迴歸中心線與傳統的迴歸方程式相同所以

可用來處理或分析模糊資料與明確資料同時修正型模糊迴歸的上下界

與 Tanaka 模糊迴歸相較也變窄了此兩種現象就是修正型迴歸的特色因

為中心線與傳統的迴歸方程式也相同這種修正型迴歸散度可選擇為負值

的特色本研究認為可以應用在預測上因為上下界與中心線間的散度變

窄使得前文所敘述到的利用散度來選取預測範圍便可更為嚴格也可

使預測的結果更為可靠如圖 412所示

圖 412 Tanaka 上下界與修正型模糊迴歸上下界的寬度差別

0

50

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1 7

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85

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103

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115

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127

133

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下界

中心線

上界

0

50

100

150

200

250

300

1 8 15

22

29

36

43

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57

64

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78

85

92

99

106

113

120

127

134

141

Tanaka下界

Tanaka上界

Tanaka修正型下界

Tanaka修正型上界

42

第五章 結論及未來研究方向

51 結論

根據前文的討論傳統迴歸和模糊迴歸建立在不同的理論基礎上傳

統迴歸是以機率為基礎而模糊迴歸則是以可能性為基礎傳統迴歸因變

數的估計值與觀測值之間的差異為因變數的隨機性而模糊迴歸因變數的

估計值則產生於觀測值之模糊度惟兩者最大不同處在於模糊迴歸式的

迴歸係數與預測值皆為模糊數（區間值）不同於傳統迴歸係數與預測值

均為明確的數值此外傳統迴歸侷限於對明確資料的分析可能性模糊

迴歸僅適用於分析具模糊性的資料而複合的模糊迴歸則可同時適用於分

析模糊與明確的資料此為此模式最大的特點

模糊迴歸應用於預測中大多的結果是不佳的但是我們透過結合混

沌與模糊迴歸的概念將混沌的預測單點概念拓展成一個可接受的預測

範圍

PT Chang 與ES Lee 使用修正型模糊迴歸重新定義散度做出新的

模糊上下界均為改善模糊迴歸模式Tanaka之研究本研究將模糊迴歸與

混沌理論之建立時間序列的預測情形加以結合討論發現模糊迴歸在預測

的行為中是可行的但可惜的是即使預測的趨勢相近但預測值出時間

的點卻有差別這樣的結果我們可以看出若能找到解決加強模糊與複線性

迴歸關係之間時間的關聯性就能利用模糊的不確定性來討論預測問題

52 未來之研究方向

本研究將模糊迴歸與混沌理論之建立時間序列的預測情形加以結合討

論發現模糊迴歸在預測的行為中是可行的但可惜的是即使預測的趨

勢相近但預測值出時間的點卻有差別這樣的結果我們可以看出若能找

到解決加強模糊與附線性迴歸關係之間時間的關聯性就能利用模糊的不

確定性來討論預測問題

為了符合現今社會多元的狀況模糊迴歸與傳統迴歸之觀念勢必加以

混合應用也為了解決此等問題混合式迴歸（Hybrid Regression）在近年

來被提起也因此參數的估計模糊迴歸與傳統迴歸的混合應用將成

為往後繼續研究探討之目標

建議未來可用模糊加權修正模糊迴歸使模糊迴歸在預測上更能直接

43

將對事物多個構面評估的意見與其影響事物狀況的重要程度作加權的運

算

44

參考文獻

[1] 九章出版社編輯部(民 89)模糊數學入門台北市九章出版社

[2] 台北市交通局網站httpwwwdottaipeigovtw

[3] 台灣區車輛工業同業公會網站httpwwwttvmaorgtw

[4] 王景南(2000)模糊迴歸分析在籃球比賽攻防技術之應用國家科學委員會研究彙

刊人文及社會科學10(3)287-298

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[6] 呂金虎陸君安陳士華(2002)混沌時間序列分析及其應用中國武漢武漢大

學出版社

[7] 邱清爐(2002)模糊迴歸分析中最小平方法之求解與應用國立成功大學工業管理

研究所博士論文台南市

[8] 李鴻毅(2005)傳統線性迴歸與模糊線性迴歸在預測應用方面的比較國立台灣科

技大學工業管理系碩士論文台北市

[9] 姜濤(1993)混沌理論與其發展簡介台北歐華學報(3)146-149

[10] 姜量議(2004)模糊需求下製造商-零售商系統利潤最佳化之研究南台科技大學工

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[11] 莊宗南(2002)模糊零工式排程之研究國立成功大學企業管理研究所博士論文

台南市

[12] 穎哲(2003)考慮模糊需求之耗損性商品存貨控制模式國立成功大學工業管理科

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[13] 陳鍾基(1979)迴歸分析入門台北市萬人出版社

[14] 陳靜怡(2004)以建構具有模糊資料下的整合性存貨模式之需求南台科技大學工

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[15] 張益欽(2006)模糊要素價格下要素配置問題之求解與其應用南台科技大學工業

管理研究所碩士論文台南市

[16] 蔡明君(2009)模糊環境下專案趕工問題之分析探討國立中正大學企業管理研究

所碩士論文嘉義市

[17] 劉錦輝(2002)結合模糊迴歸分析與品質機能展開於工程設計之最佳化朝陽科技

大學工業工程與管理所碩士論文台中市

[18] 薛展青(2004)求解模糊迴歸之參數估計成功大學工業與資訊管理學系碩士論文

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[19] 闕頌廉(民 81)應用模糊數學台北市科技圖書股份有限公司

[20] 謝逸婷(2005)模糊排序法於資料包絡分析模式之應用南台科技大學工業管理研

37

是深夜的車流量因每日凌晨或是深夜的車流量變化量較少(例如某日的凌

晨十二點十分可能為 0台車或是小於 10台車經過)所以資料的差異性

較大造成頭尾的資料預測上較為不準確

因為同時段的資料可能會影響資料預測出的結果所以我們下節就以

加入季節性的考慮來加以討論預測結果

43 複線性迴歸去除季節性後混沌全域法

本文使用的車流量資料為每日 24時換算成 1440分鐘每 10分鐘記

錄一點於是本研究依資料的記錄時間點來劃分季節性將季節分成 144

個季分別求出季節性指數求取季節性指數後將每個資料點先去除季

節性利用全域法訓練出去季節性後的迴歸係數再利用複線性求出預測

值最後將去除的季節指數乘回預測點結果如下

圖 46考慮季節性複線性迴歸分析預測與原始資料比較圖-全域法

此考慮季節性因子的複線性迴歸分析預測與原始資料的比較是用全

域法去訓練迴歸參數的而由圖 44我們可以得知一開始未考慮季節因

子使用全域法的複線性迴歸預測是不準確的本研究認為原本的歷史資

料隨著季節性因子的變化該系統原本呈現複雜的動態特性實際上由於

車流量的變動有許多外在因素的影響例如氣候假期hellip等影響會使

資料的變化過程發生不同程度的偏離而對於季節性事件來說其事件發

生的過程主要受季節性參數週期性變化的影響 因此影響因素的具體形

式可以近似地表示為單一函數本文考慮季節因素對車流量的影響意即

0

20

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140

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1

12

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3

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9 實際值

預測值

38

經過季節性分析後的得到的預測分析結果很準確如圖 46所示此結果

表示季節性影響樣本資料的情形大也代表著在季節因素影響下系統中

事件的動態變化情況是隨著季節影響參數的變化而造成系統呈現各種

各樣複雜的動態特性如週期解混沌情形hellip等

44 模糊迴歸

441Tanaka模糊迴歸

μ及 H 值之選定原則為當不確定性愈大時其 μ及 H 值愈接近 0

反之當資料不確定性愈小時μ及 H 值取愈接近 1 之值Bardossy 等人

建議其值在 05~07間為適宜根據 Tanaka在 1982年所提到的方法我們

可以求得一模糊迴歸函數並可得知其中心線與其上界及下界假定在 H =

05的情況下利用 Tanaka模糊迴歸模式算出迴歸函數為

(42)

中心線與上下界的簡單迴歸方程式為

中心線 (43)

上界 (44)

下界 (45)

繪製出的圖形如圖 47所示

圖 47 Tanaka 模糊迴歸

0

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121

127

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下界

中心線

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圖 48 Tanaka 模糊迴歸中心線與預測值之結合

從圖 48可看出預測值與模糊迴歸的中心線 有明顯的時間差異但由

圖可以觀察出模糊迴歸的中心線 的預測趨勢與實際值是相近的雖然利

用模糊迴歸預測的時間點比實際時間快但是相對來說也是可以用來預

測之後將發生的趨勢本研究認為若模糊迴歸可用於預測中則可用模糊

的散度 c當做預測行為中選取的可接受的變動範圍如圖 49最後將 Tanaka

模糊迴歸中心線上下界與實際值之結合如圖 410所示

圖 49 Tanaka 模糊迴歸中心線上下界與實際值之結合

0

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實際值

中心線

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67

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實際值

下界

上界

預測

值

預測值

40

圖 410 Tanaka 模糊迴歸中心線上下界與實際值之結合

442修正型 Tanaka模糊迴歸

因為我們要將模糊迴歸應用於預測中所以本研究將複線性迴歸的趨

勢線視為模糊迴歸的中心線再利用修正型 Tanaka模糊迴歸模式算出迴歸

函數為

(46)

中心線與上下界的簡單迴歸方程式為

中心線

上界

下界

繪製出圖形如圖 411

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115

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133

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實際值

預測值

下界

上界

41

圖 411 修正型模糊迴歸中心線上下界與實際值之結合

本研究使用的修正型模糊迴歸中心線與傳統的迴歸方程式相同所以

可用來處理或分析模糊資料與明確資料同時修正型模糊迴歸的上下界

與 Tanaka 模糊迴歸相較也變窄了此兩種現象就是修正型迴歸的特色因

為中心線與傳統的迴歸方程式也相同這種修正型迴歸散度可選擇為負值

的特色本研究認為可以應用在預測上因為上下界與中心線間的散度變

窄使得前文所敘述到的利用散度來選取預測範圍便可更為嚴格也可

使預測的結果更為可靠如圖 412所示

圖 412 Tanaka 上下界與修正型模糊迴歸上下界的寬度差別

0

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200

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1 7

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下界

中心線

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1 8 15

22

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106

113

120

127

134

141

Tanaka下界

Tanaka上界

Tanaka修正型下界

Tanaka修正型上界

42

第五章 結論及未來研究方向

51 結論

根據前文的討論傳統迴歸和模糊迴歸建立在不同的理論基礎上傳

統迴歸是以機率為基礎而模糊迴歸則是以可能性為基礎傳統迴歸因變

數的估計值與觀測值之間的差異為因變數的隨機性而模糊迴歸因變數的

估計值則產生於觀測值之模糊度惟兩者最大不同處在於模糊迴歸式的

迴歸係數與預測值皆為模糊數（區間值）不同於傳統迴歸係數與預測值

均為明確的數值此外傳統迴歸侷限於對明確資料的分析可能性模糊

迴歸僅適用於分析具模糊性的資料而複合的模糊迴歸則可同時適用於分

析模糊與明確的資料此為此模式最大的特點

模糊迴歸應用於預測中大多的結果是不佳的但是我們透過結合混

沌與模糊迴歸的概念將混沌的預測單點概念拓展成一個可接受的預測

範圍

PT Chang 與ES Lee 使用修正型模糊迴歸重新定義散度做出新的

模糊上下界均為改善模糊迴歸模式Tanaka之研究本研究將模糊迴歸與

混沌理論之建立時間序列的預測情形加以結合討論發現模糊迴歸在預測

的行為中是可行的但可惜的是即使預測的趨勢相近但預測值出時間

的點卻有差別這樣的結果我們可以看出若能找到解決加強模糊與複線性

迴歸關係之間時間的關聯性就能利用模糊的不確定性來討論預測問題

52 未來之研究方向

本研究將模糊迴歸與混沌理論之建立時間序列的預測情形加以結合討

論發現模糊迴歸在預測的行為中是可行的但可惜的是即使預測的趨

勢相近但預測值出時間的點卻有差別這樣的結果我們可以看出若能找

到解決加強模糊與附線性迴歸關係之間時間的關聯性就能利用模糊的不

確定性來討論預測問題

為了符合現今社會多元的狀況模糊迴歸與傳統迴歸之觀念勢必加以

混合應用也為了解決此等問題混合式迴歸（Hybrid Regression）在近年

來被提起也因此參數的估計模糊迴歸與傳統迴歸的混合應用將成

為往後繼續研究探討之目標

建議未來可用模糊加權修正模糊迴歸使模糊迴歸在預測上更能直接

43

將對事物多個構面評估的意見與其影響事物狀況的重要程度作加權的運

算

44

參考文獻

[1] 九章出版社編輯部(民 89)模糊數學入門台北市九章出版社

[2] 台北市交通局網站httpwwwdottaipeigovtw

[3] 台灣區車輛工業同業公會網站httpwwwttvmaorgtw

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刊人文及社會科學10(3)287-298

[5] 林真真鄒幼涵(1990)迴歸分析台北市華泰書局19-30101-114

[6] 呂金虎陸君安陳士華(2002)混沌時間序列分析及其應用中國武漢武漢大

學出版社

[7] 邱清爐(2002)模糊迴歸分析中最小平方法之求解與應用國立成功大學工業管理

研究所博士論文台南市

[8] 李鴻毅(2005)傳統線性迴歸與模糊線性迴歸在預測應用方面的比較國立台灣科

技大學工業管理系碩士論文台北市

[9] 姜濤(1993)混沌理論與其發展簡介台北歐華學報(3)146-149

[10] 姜量議(2004)模糊需求下製造商-零售商系統利潤最佳化之研究南台科技大學工

業管理研究所碩士論文台南市

[11] 莊宗南(2002)模糊零工式排程之研究國立成功大學企業管理研究所博士論文

台南市

[12] 穎哲(2003)考慮模糊需求之耗損性商品存貨控制模式國立成功大學工業管理科

學研究所碩士論文台南市

[13] 陳鍾基(1979)迴歸分析入門台北市萬人出版社

[14] 陳靜怡(2004)以建構具有模糊資料下的整合性存貨模式之需求南台科技大學工

業管理研究所碩士論文台南市

[15] 張益欽(2006)模糊要素價格下要素配置問題之求解與其應用南台科技大學工業

管理研究所碩士論文台南市

[16] 蔡明君(2009)模糊環境下專案趕工問題之分析探討國立中正大學企業管理研究

所碩士論文嘉義市

[17] 劉錦輝(2002)結合模糊迴歸分析與品質機能展開於工程設計之最佳化朝陽科技

大學工業工程與管理所碩士論文台中市

[18] 薛展青(2004)求解模糊迴歸之參數估計成功大學工業與資訊管理學系碩士論文

台南市

[19] 闕頌廉(民 81)應用模糊數學台北市科技圖書股份有限公司

[20] 謝逸婷(2005)模糊排序法於資料包絡分析模式之應用南台科技大學工業管理研

38

經過季節性分析後的得到的預測分析結果很準確如圖 46所示此結果

表示季節性影響樣本資料的情形大也代表著在季節因素影響下系統中

事件的動態變化情況是隨著季節影響參數的變化而造成系統呈現各種

各樣複雜的動態特性如週期解混沌情形hellip等

44 模糊迴歸

441Tanaka模糊迴歸

μ及 H 值之選定原則為當不確定性愈大時其 μ及 H 值愈接近 0

反之當資料不確定性愈小時μ及 H 值取愈接近 1 之值Bardossy 等人

建議其值在 05~07間為適宜根據 Tanaka在 1982年所提到的方法我們

可以求得一模糊迴歸函數並可得知其中心線與其上界及下界假定在 H =

05的情況下利用 Tanaka模糊迴歸模式算出迴歸函數為

(42)

中心線與上下界的簡單迴歸方程式為

中心線 (43)

上界 (44)

下界 (45)

繪製出的圖形如圖 47所示

圖 47 Tanaka 模糊迴歸

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中心線

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圖 48 Tanaka 模糊迴歸中心線與預測值之結合

從圖 48可看出預測值與模糊迴歸的中心線 有明顯的時間差異但由

圖可以觀察出模糊迴歸的中心線 的預測趨勢與實際值是相近的雖然利

用模糊迴歸預測的時間點比實際時間快但是相對來說也是可以用來預

測之後將發生的趨勢本研究認為若模糊迴歸可用於預測中則可用模糊

的散度 c當做預測行為中選取的可接受的變動範圍如圖 49最後將 Tanaka

模糊迴歸中心線上下界與實際值之結合如圖 410所示

圖 49 Tanaka 模糊迴歸中心線上下界與實際值之結合

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實際值

中心線

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115

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實際值

下界

上界

預測

值

預測值

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圖 410 Tanaka 模糊迴歸中心線上下界與實際值之結合

442修正型 Tanaka模糊迴歸

因為我們要將模糊迴歸應用於預測中所以本研究將複線性迴歸的趨

勢線視為模糊迴歸的中心線再利用修正型 Tanaka模糊迴歸模式算出迴歸

函數為

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中心線與上下界的簡單迴歸方程式為

中心線

上界

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繪製出圖形如圖 411

0

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實際值

預測值

下界

上界

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圖 411 修正型模糊迴歸中心線上下界與實際值之結合

本研究使用的修正型模糊迴歸中心線與傳統的迴歸方程式相同所以

可用來處理或分析模糊資料與明確資料同時修正型模糊迴歸的上下界

與 Tanaka 模糊迴歸相較也變窄了此兩種現象就是修正型迴歸的特色因

為中心線與傳統的迴歸方程式也相同這種修正型迴歸散度可選擇為負值

的特色本研究認為可以應用在預測上因為上下界與中心線間的散度變

窄使得前文所敘述到的利用散度來選取預測範圍便可更為嚴格也可

使預測的結果更為可靠如圖 412所示

圖 412 Tanaka 上下界與修正型模糊迴歸上下界的寬度差別

0

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1 7

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下界

中心線

上界

0

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300

1 8 15

22

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141

Tanaka下界

Tanaka上界

Tanaka修正型下界

Tanaka修正型上界

42

第五章 結論及未來研究方向

51 結論

根據前文的討論傳統迴歸和模糊迴歸建立在不同的理論基礎上傳

統迴歸是以機率為基礎而模糊迴歸則是以可能性為基礎傳統迴歸因變

數的估計值與觀測值之間的差異為因變數的隨機性而模糊迴歸因變數的

估計值則產生於觀測值之模糊度惟兩者最大不同處在於模糊迴歸式的

迴歸係數與預測值皆為模糊數（區間值）不同於傳統迴歸係數與預測值

均為明確的數值此外傳統迴歸侷限於對明確資料的分析可能性模糊

迴歸僅適用於分析具模糊性的資料而複合的模糊迴歸則可同時適用於分

析模糊與明確的資料此為此模式最大的特點

模糊迴歸應用於預測中大多的結果是不佳的但是我們透過結合混

沌與模糊迴歸的概念將混沌的預測單點概念拓展成一個可接受的預測

範圍

PT Chang 與ES Lee 使用修正型模糊迴歸重新定義散度做出新的

模糊上下界均為改善模糊迴歸模式Tanaka之研究本研究將模糊迴歸與

混沌理論之建立時間序列的預測情形加以結合討論發現模糊迴歸在預測

的行為中是可行的但可惜的是即使預測的趨勢相近但預測值出時間

的點卻有差別這樣的結果我們可以看出若能找到解決加強模糊與複線性

迴歸關係之間時間的關聯性就能利用模糊的不確定性來討論預測問題

52 未來之研究方向

本研究將模糊迴歸與混沌理論之建立時間序列的預測情形加以結合討

論發現模糊迴歸在預測的行為中是可行的但可惜的是即使預測的趨

勢相近但預測值出時間的點卻有差別這樣的結果我們可以看出若能找

到解決加強模糊與附線性迴歸關係之間時間的關聯性就能利用模糊的不

確定性來討論預測問題

為了符合現今社會多元的狀況模糊迴歸與傳統迴歸之觀念勢必加以

混合應用也為了解決此等問題混合式迴歸（Hybrid Regression）在近年

來被提起也因此參數的估計模糊迴歸與傳統迴歸的混合應用將成

為往後繼續研究探討之目標

建議未來可用模糊加權修正模糊迴歸使模糊迴歸在預測上更能直接

43

將對事物多個構面評估的意見與其影響事物狀況的重要程度作加權的運

算

44

參考文獻

[1] 九章出版社編輯部(民 89)模糊數學入門台北市九章出版社

[2] 台北市交通局網站httpwwwdottaipeigovtw

[3] 台灣區車輛工業同業公會網站httpwwwttvmaorgtw

[4] 王景南(2000)模糊迴歸分析在籃球比賽攻防技術之應用國家科學委員會研究彙

刊人文及社會科學10(3)287-298

[5] 林真真鄒幼涵(1990)迴歸分析台北市華泰書局19-30101-114

[6] 呂金虎陸君安陳士華(2002)混沌時間序列分析及其應用中國武漢武漢大

學出版社

[7] 邱清爐(2002)模糊迴歸分析中最小平方法之求解與應用國立成功大學工業管理

研究所博士論文台南市

[8] 李鴻毅(2005)傳統線性迴歸與模糊線性迴歸在預測應用方面的比較國立台灣科

技大學工業管理系碩士論文台北市

[9] 姜濤(1993)混沌理論與其發展簡介台北歐華學報(3)146-149

[10] 姜量議(2004)模糊需求下製造商-零售商系統利潤最佳化之研究南台科技大學工

業管理研究所碩士論文台南市

[11] 莊宗南(2002)模糊零工式排程之研究國立成功大學企業管理研究所博士論文

台南市

[12] 穎哲(2003)考慮模糊需求之耗損性商品存貨控制模式國立成功大學工業管理科

學研究所碩士論文台南市

[13] 陳鍾基(1979)迴歸分析入門台北市萬人出版社

[14] 陳靜怡(2004)以建構具有模糊資料下的整合性存貨模式之需求南台科技大學工

業管理研究所碩士論文台南市

[15] 張益欽(2006)模糊要素價格下要素配置問題之求解與其應用南台科技大學工業

管理研究所碩士論文台南市

[16] 蔡明君(2009)模糊環境下專案趕工問題之分析探討國立中正大學企業管理研究

所碩士論文嘉義市

[17] 劉錦輝(2002)結合模糊迴歸分析與品質機能展開於工程設計之最佳化朝陽科技

大學工業工程與管理所碩士論文台中市

[18] 薛展青(2004)求解模糊迴歸之參數估計成功大學工業與資訊管理學系碩士論文

台南市

[19] 闕頌廉(民 81)應用模糊數學台北市科技圖書股份有限公司

[20] 謝逸婷(2005)模糊排序法於資料包絡分析模式之應用南台科技大學工業管理研

39

圖 48 Tanaka 模糊迴歸中心線與預測值之結合

從圖 48可看出預測值與模糊迴歸的中心線 有明顯的時間差異但由

圖可以觀察出模糊迴歸的中心線 的預測趨勢與實際值是相近的雖然利

用模糊迴歸預測的時間點比實際時間快但是相對來說也是可以用來預

測之後將發生的趨勢本研究認為若模糊迴歸可用於預測中則可用模糊

的散度 c當做預測行為中選取的可接受的變動範圍如圖 49最後將 Tanaka

模糊迴歸中心線上下界與實際值之結合如圖 410所示

圖 49 Tanaka 模糊迴歸中心線上下界與實際值之結合

0

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實際值

中心線

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實際值

下界

上界

預測

值

預測值

40

圖 410 Tanaka 模糊迴歸中心線上下界與實際值之結合

442修正型 Tanaka模糊迴歸

因為我們要將模糊迴歸應用於預測中所以本研究將複線性迴歸的趨

勢線視為模糊迴歸的中心線再利用修正型 Tanaka模糊迴歸模式算出迴歸

函數為

(46)

中心線與上下界的簡單迴歸方程式為

中心線

上界

下界

繪製出圖形如圖 411

0

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實際值

預測值

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圖 411 修正型模糊迴歸中心線上下界與實際值之結合

本研究使用的修正型模糊迴歸中心線與傳統的迴歸方程式相同所以

可用來處理或分析模糊資料與明確資料同時修正型模糊迴歸的上下界

與 Tanaka 模糊迴歸相較也變窄了此兩種現象就是修正型迴歸的特色因

為中心線與傳統的迴歸方程式也相同這種修正型迴歸散度可選擇為負值

的特色本研究認為可以應用在預測上因為上下界與中心線間的散度變

窄使得前文所敘述到的利用散度來選取預測範圍便可更為嚴格也可

使預測的結果更為可靠如圖 412所示

圖 412 Tanaka 上下界與修正型模糊迴歸上下界的寬度差別

0

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Tanaka下界

Tanaka上界

Tanaka修正型下界

Tanaka修正型上界

42

第五章 結論及未來研究方向

51 結論

根據前文的討論傳統迴歸和模糊迴歸建立在不同的理論基礎上傳

統迴歸是以機率為基礎而模糊迴歸則是以可能性為基礎傳統迴歸因變

數的估計值與觀測值之間的差異為因變數的隨機性而模糊迴歸因變數的

估計值則產生於觀測值之模糊度惟兩者最大不同處在於模糊迴歸式的

迴歸係數與預測值皆為模糊數（區間值）不同於傳統迴歸係數與預測值

均為明確的數值此外傳統迴歸侷限於對明確資料的分析可能性模糊

迴歸僅適用於分析具模糊性的資料而複合的模糊迴歸則可同時適用於分

析模糊與明確的資料此為此模式最大的特點

模糊迴歸應用於預測中大多的結果是不佳的但是我們透過結合混

沌與模糊迴歸的概念將混沌的預測單點概念拓展成一個可接受的預測

範圍

PT Chang 與ES Lee 使用修正型模糊迴歸重新定義散度做出新的

模糊上下界均為改善模糊迴歸模式Tanaka之研究本研究將模糊迴歸與

混沌理論之建立時間序列的預測情形加以結合討論發現模糊迴歸在預測

的行為中是可行的但可惜的是即使預測的趨勢相近但預測值出時間

的點卻有差別這樣的結果我們可以看出若能找到解決加強模糊與複線性

迴歸關係之間時間的關聯性就能利用模糊的不確定性來討論預測問題

52 未來之研究方向

本研究將模糊迴歸與混沌理論之建立時間序列的預測情形加以結合討

論發現模糊迴歸在預測的行為中是可行的但可惜的是即使預測的趨

勢相近但預測值出時間的點卻有差別這樣的結果我們可以看出若能找

到解決加強模糊與附線性迴歸關係之間時間的關聯性就能利用模糊的不

確定性來討論預測問題

為了符合現今社會多元的狀況模糊迴歸與傳統迴歸之觀念勢必加以

混合應用也為了解決此等問題混合式迴歸（Hybrid Regression）在近年

來被提起也因此參數的估計模糊迴歸與傳統迴歸的混合應用將成

為往後繼續研究探討之目標

建議未來可用模糊加權修正模糊迴歸使模糊迴歸在預測上更能直接

43

將對事物多個構面評估的意見與其影響事物狀況的重要程度作加權的運

算

44

參考文獻

[1] 九章出版社編輯部(民 89)模糊數學入門台北市九章出版社

[2] 台北市交通局網站httpwwwdottaipeigovtw

[3] 台灣區車輛工業同業公會網站httpwwwttvmaorgtw

[4] 王景南(2000)模糊迴歸分析在籃球比賽攻防技術之應用國家科學委員會研究彙

刊人文及社會科學10(3)287-298

[5] 林真真鄒幼涵(1990)迴歸分析台北市華泰書局19-30101-114

[6] 呂金虎陸君安陳士華(2002)混沌時間序列分析及其應用中國武漢武漢大

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[7] 邱清爐(2002)模糊迴歸分析中最小平方法之求解與應用國立成功大學工業管理

研究所博士論文台南市

[8] 李鴻毅(2005)傳統線性迴歸與模糊線性迴歸在預測應用方面的比較國立台灣科

技大學工業管理系碩士論文台北市

[9] 姜濤(1993)混沌理論與其發展簡介台北歐華學報(3)146-149

[10] 姜量議(2004)模糊需求下製造商-零售商系統利潤最佳化之研究南台科技大學工

業管理研究所碩士論文台南市

[11] 莊宗南(2002)模糊零工式排程之研究國立成功大學企業管理研究所博士論文

台南市

[12] 穎哲(2003)考慮模糊需求之耗損性商品存貨控制模式國立成功大學工業管理科

學研究所碩士論文台南市

[13] 陳鍾基(1979)迴歸分析入門台北市萬人出版社

[14] 陳靜怡(2004)以建構具有模糊資料下的整合性存貨模式之需求南台科技大學工

業管理研究所碩士論文台南市

[15] 張益欽(2006)模糊要素價格下要素配置問題之求解與其應用南台科技大學工業

管理研究所碩士論文台南市

[16] 蔡明君(2009)模糊環境下專案趕工問題之分析探討國立中正大學企業管理研究

所碩士論文嘉義市

[17] 劉錦輝(2002)結合模糊迴歸分析與品質機能展開於工程設計之最佳化朝陽科技

大學工業工程與管理所碩士論文台中市

[18] 薛展青(2004)求解模糊迴歸之參數估計成功大學工業與資訊管理學系碩士論文

台南市

[19] 闕頌廉(民 81)應用模糊數學台北市科技圖書股份有限公司

[20] 謝逸婷(2005)模糊排序法於資料包絡分析模式之應用南台科技大學工業管理研

40

圖 410 Tanaka 模糊迴歸中心線上下界與實際值之結合

442修正型 Tanaka模糊迴歸

因為我們要將模糊迴歸應用於預測中所以本研究將複線性迴歸的趨

勢線視為模糊迴歸的中心線再利用修正型 Tanaka模糊迴歸模式算出迴歸

函數為

(46)

中心線與上下界的簡單迴歸方程式為

中心線

上界

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繪製出圖形如圖 411

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實際值

預測值

下界

上界

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圖 411 修正型模糊迴歸中心線上下界與實際值之結合

本研究使用的修正型模糊迴歸中心線與傳統的迴歸方程式相同所以

可用來處理或分析模糊資料與明確資料同時修正型模糊迴歸的上下界

與 Tanaka 模糊迴歸相較也變窄了此兩種現象就是修正型迴歸的特色因

為中心線與傳統的迴歸方程式也相同這種修正型迴歸散度可選擇為負值

的特色本研究認為可以應用在預測上因為上下界與中心線間的散度變

窄使得前文所敘述到的利用散度來選取預測範圍便可更為嚴格也可

使預測的結果更為可靠如圖 412所示

圖 412 Tanaka 上下界與修正型模糊迴歸上下界的寬度差別

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下界

中心線

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141

Tanaka下界

Tanaka上界

Tanaka修正型下界

Tanaka修正型上界

42

第五章 結論及未來研究方向

51 結論

根據前文的討論傳統迴歸和模糊迴歸建立在不同的理論基礎上傳

統迴歸是以機率為基礎而模糊迴歸則是以可能性為基礎傳統迴歸因變

數的估計值與觀測值之間的差異為因變數的隨機性而模糊迴歸因變數的

估計值則產生於觀測值之模糊度惟兩者最大不同處在於模糊迴歸式的

迴歸係數與預測值皆為模糊數（區間值）不同於傳統迴歸係數與預測值

均為明確的數值此外傳統迴歸侷限於對明確資料的分析可能性模糊

迴歸僅適用於分析具模糊性的資料而複合的模糊迴歸則可同時適用於分

析模糊與明確的資料此為此模式最大的特點

模糊迴歸應用於預測中大多的結果是不佳的但是我們透過結合混

沌與模糊迴歸的概念將混沌的預測單點概念拓展成一個可接受的預測

範圍

PT Chang 與ES Lee 使用修正型模糊迴歸重新定義散度做出新的

模糊上下界均為改善模糊迴歸模式Tanaka之研究本研究將模糊迴歸與

混沌理論之建立時間序列的預測情形加以結合討論發現模糊迴歸在預測

的行為中是可行的但可惜的是即使預測的趨勢相近但預測值出時間

的點卻有差別這樣的結果我們可以看出若能找到解決加強模糊與複線性

迴歸關係之間時間的關聯性就能利用模糊的不確定性來討論預測問題

52 未來之研究方向

本研究將模糊迴歸與混沌理論之建立時間序列的預測情形加以結合討

論發現模糊迴歸在預測的行為中是可行的但可惜的是即使預測的趨

勢相近但預測值出時間的點卻有差別這樣的結果我們可以看出若能找

到解決加強模糊與附線性迴歸關係之間時間的關聯性就能利用模糊的不

確定性來討論預測問題

為了符合現今社會多元的狀況模糊迴歸與傳統迴歸之觀念勢必加以

混合應用也為了解決此等問題混合式迴歸（Hybrid Regression）在近年

來被提起也因此參數的估計模糊迴歸與傳統迴歸的混合應用將成

為往後繼續研究探討之目標

建議未來可用模糊加權修正模糊迴歸使模糊迴歸在預測上更能直接

43

將對事物多個構面評估的意見與其影響事物狀況的重要程度作加權的運

算

44

參考文獻

[1] 九章出版社編輯部(民 89)模糊數學入門台北市九章出版社

[2] 台北市交通局網站httpwwwdottaipeigovtw

[3] 台灣區車輛工業同業公會網站httpwwwttvmaorgtw

[4] 王景南(2000)模糊迴歸分析在籃球比賽攻防技術之應用國家科學委員會研究彙

刊人文及社會科學10(3)287-298

[5] 林真真鄒幼涵(1990)迴歸分析台北市華泰書局19-30101-114

[6] 呂金虎陸君安陳士華(2002)混沌時間序列分析及其應用中國武漢武漢大

學出版社

[7] 邱清爐(2002)模糊迴歸分析中最小平方法之求解與應用國立成功大學工業管理

研究所博士論文台南市

[8] 李鴻毅(2005)傳統線性迴歸與模糊線性迴歸在預測應用方面的比較國立台灣科

技大學工業管理系碩士論文台北市

[9] 姜濤(1993)混沌理論與其發展簡介台北歐華學報(3)146-149

[10] 姜量議(2004)模糊需求下製造商-零售商系統利潤最佳化之研究南台科技大學工

業管理研究所碩士論文台南市

[11] 莊宗南(2002)模糊零工式排程之研究國立成功大學企業管理研究所博士論文

台南市

[12] 穎哲(2003)考慮模糊需求之耗損性商品存貨控制模式國立成功大學工業管理科

學研究所碩士論文台南市

[13] 陳鍾基(1979)迴歸分析入門台北市萬人出版社

[14] 陳靜怡(2004)以建構具有模糊資料下的整合性存貨模式之需求南台科技大學工

業管理研究所碩士論文台南市

[15] 張益欽(2006)模糊要素價格下要素配置問題之求解與其應用南台科技大學工業

管理研究所碩士論文台南市

[16] 蔡明君(2009)模糊環境下專案趕工問題之分析探討國立中正大學企業管理研究

所碩士論文嘉義市

[17] 劉錦輝(2002)結合模糊迴歸分析與品質機能展開於工程設計之最佳化朝陽科技

大學工業工程與管理所碩士論文台中市

[18] 薛展青(2004)求解模糊迴歸之參數估計成功大學工業與資訊管理學系碩士論文

台南市

[19] 闕頌廉(民 81)應用模糊數學台北市科技圖書股份有限公司

[20] 謝逸婷(2005)模糊排序法於資料包絡分析模式之應用南台科技大學工業管理研

41

圖 411 修正型模糊迴歸中心線上下界與實際值之結合

本研究使用的修正型模糊迴歸中心線與傳統的迴歸方程式相同所以

可用來處理或分析模糊資料與明確資料同時修正型模糊迴歸的上下界

與 Tanaka 模糊迴歸相較也變窄了此兩種現象就是修正型迴歸的特色因

為中心線與傳統的迴歸方程式也相同這種修正型迴歸散度可選擇為負值

的特色本研究認為可以應用在預測上因為上下界與中心線間的散度變

窄使得前文所敘述到的利用散度來選取預測範圍便可更為嚴格也可

使預測的結果更為可靠如圖 412所示

圖 412 Tanaka 上下界與修正型模糊迴歸上下界的寬度差別

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中心線

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Tanaka下界

Tanaka上界

Tanaka修正型下界

Tanaka修正型上界

42

第五章 結論及未來研究方向

51 結論

根據前文的討論傳統迴歸和模糊迴歸建立在不同的理論基礎上傳

統迴歸是以機率為基礎而模糊迴歸則是以可能性為基礎傳統迴歸因變

數的估計值與觀測值之間的差異為因變數的隨機性而模糊迴歸因變數的

估計值則產生於觀測值之模糊度惟兩者最大不同處在於模糊迴歸式的

迴歸係數與預測值皆為模糊數（區間值）不同於傳統迴歸係數與預測值

均為明確的數值此外傳統迴歸侷限於對明確資料的分析可能性模糊

迴歸僅適用於分析具模糊性的資料而複合的模糊迴歸則可同時適用於分

析模糊與明確的資料此為此模式最大的特點

模糊迴歸應用於預測中大多的結果是不佳的但是我們透過結合混

沌與模糊迴歸的概念將混沌的預測單點概念拓展成一個可接受的預測

範圍

PT Chang 與ES Lee 使用修正型模糊迴歸重新定義散度做出新的

模糊上下界均為改善模糊迴歸模式Tanaka之研究本研究將模糊迴歸與

混沌理論之建立時間序列的預測情形加以結合討論發現模糊迴歸在預測

的行為中是可行的但可惜的是即使預測的趨勢相近但預測值出時間

的點卻有差別這樣的結果我們可以看出若能找到解決加強模糊與複線性

迴歸關係之間時間的關聯性就能利用模糊的不確定性來討論預測問題

52 未來之研究方向

本研究將模糊迴歸與混沌理論之建立時間序列的預測情形加以結合討

論發現模糊迴歸在預測的行為中是可行的但可惜的是即使預測的趨

勢相近但預測值出時間的點卻有差別這樣的結果我們可以看出若能找

到解決加強模糊與附線性迴歸關係之間時間的關聯性就能利用模糊的不

確定性來討論預測問題

為了符合現今社會多元的狀況模糊迴歸與傳統迴歸之觀念勢必加以

混合應用也為了解決此等問題混合式迴歸（Hybrid Regression）在近年

來被提起也因此參數的估計模糊迴歸與傳統迴歸的混合應用將成

為往後繼續研究探討之目標

建議未來可用模糊加權修正模糊迴歸使模糊迴歸在預測上更能直接

43

將對事物多個構面評估的意見與其影響事物狀況的重要程度作加權的運

算

44

參考文獻

[1] 九章出版社編輯部(民 89)模糊數學入門台北市九章出版社

[2] 台北市交通局網站httpwwwdottaipeigovtw

[3] 台灣區車輛工業同業公會網站httpwwwttvmaorgtw

[4] 王景南(2000)模糊迴歸分析在籃球比賽攻防技術之應用國家科學委員會研究彙

刊人文及社會科學10(3)287-298

[5] 林真真鄒幼涵(1990)迴歸分析台北市華泰書局19-30101-114

[6] 呂金虎陸君安陳士華(2002)混沌時間序列分析及其應用中國武漢武漢大

學出版社

[7] 邱清爐(2002)模糊迴歸分析中最小平方法之求解與應用國立成功大學工業管理

研究所博士論文台南市

[8] 李鴻毅(2005)傳統線性迴歸與模糊線性迴歸在預測應用方面的比較國立台灣科

技大學工業管理系碩士論文台北市

[9] 姜濤(1993)混沌理論與其發展簡介台北歐華學報(3)146-149

[10] 姜量議(2004)模糊需求下製造商-零售商系統利潤最佳化之研究南台科技大學工

業管理研究所碩士論文台南市

[11] 莊宗南(2002)模糊零工式排程之研究國立成功大學企業管理研究所博士論文

台南市

[12] 穎哲(2003)考慮模糊需求之耗損性商品存貨控制模式國立成功大學工業管理科

學研究所碩士論文台南市

[13] 陳鍾基(1979)迴歸分析入門台北市萬人出版社

[14] 陳靜怡(2004)以建構具有模糊資料下的整合性存貨模式之需求南台科技大學工

業管理研究所碩士論文台南市

[15] 張益欽(2006)模糊要素價格下要素配置問題之求解與其應用南台科技大學工業

管理研究所碩士論文台南市

[16] 蔡明君(2009)模糊環境下專案趕工問題之分析探討國立中正大學企業管理研究

所碩士論文嘉義市

[17] 劉錦輝(2002)結合模糊迴歸分析與品質機能展開於工程設計之最佳化朝陽科技

大學工業工程與管理所碩士論文台中市

[18] 薛展青(2004)求解模糊迴歸之參數估計成功大學工業與資訊管理學系碩士論文

台南市

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[20] 謝逸婷(2005)模糊排序法於資料包絡分析模式之應用南台科技大學工業管理研

42

第五章 結論及未來研究方向

51 結論

根據前文的討論傳統迴歸和模糊迴歸建立在不同的理論基礎上傳

統迴歸是以機率為基礎而模糊迴歸則是以可能性為基礎傳統迴歸因變

數的估計值與觀測值之間的差異為因變數的隨機性而模糊迴歸因變數的

估計值則產生於觀測值之模糊度惟兩者最大不同處在於模糊迴歸式的

迴歸係數與預測值皆為模糊數（區間值）不同於傳統迴歸係數與預測值

均為明確的數值此外傳統迴歸侷限於對明確資料的分析可能性模糊

迴歸僅適用於分析具模糊性的資料而複合的模糊迴歸則可同時適用於分

析模糊與明確的資料此為此模式最大的特點

模糊迴歸應用於預測中大多的結果是不佳的但是我們透過結合混

沌與模糊迴歸的概念將混沌的預測單點概念拓展成一個可接受的預測

範圍

PT Chang 與ES Lee 使用修正型模糊迴歸重新定義散度做出新的

模糊上下界均為改善模糊迴歸模式Tanaka之研究本研究將模糊迴歸與

混沌理論之建立時間序列的預測情形加以結合討論發現模糊迴歸在預測

的行為中是可行的但可惜的是即使預測的趨勢相近但預測值出時間

的點卻有差別這樣的結果我們可以看出若能找到解決加強模糊與複線性

迴歸關係之間時間的關聯性就能利用模糊的不確定性來討論預測問題

52 未來之研究方向

本研究將模糊迴歸與混沌理論之建立時間序列的預測情形加以結合討

論發現模糊迴歸在預測的行為中是可行的但可惜的是即使預測的趨

勢相近但預測值出時間的點卻有差別這樣的結果我們可以看出若能找

到解決加強模糊與附線性迴歸關係之間時間的關聯性就能利用模糊的不

確定性來討論預測問題

為了符合現今社會多元的狀況模糊迴歸與傳統迴歸之觀念勢必加以

混合應用也為了解決此等問題混合式迴歸（Hybrid Regression）在近年

來被提起也因此參數的估計模糊迴歸與傳統迴歸的混合應用將成

為往後繼續研究探討之目標

建議未來可用模糊加權修正模糊迴歸使模糊迴歸在預測上更能直接

43

將對事物多個構面評估的意見與其影響事物狀況的重要程度作加權的運

算

44

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