© Almudena de la Fuente, 2020

ÍNDICE

TEMA 1: INTERACCIÓN GRAVITATORIA

1. Campo gravitatorio. Intensidad del campo gravitatorio 3

2. Movimiento orbital de satélites y planetas 5

3. Estudio energético del campo gravitatorio 6

TEMA 2: INTERACCIÓN ELECTRICA

1. Campo eléctrico 17

2. Estudio energético del campo eléctrico 20

3. Movimiento de cargas en el campo eléctrico 22

4. Flujo eléctrico. Teorema de Gauss 25

5. Comparación entre los campos gravitatorio y eléctrico 26

TEMA 3: INTERACCIÓN MAGNÉTICA. ELECTROMAGNETISMO

1. Campo magnético. Fuerza magnética 32

2. Ley de Ampère. Campo magnético creado por corrientes eléctricas 35

3. Inducción electromagnética 38

TEMA 4: ONDAS

1. Concepto de onda. Clasificación y magnitudes que las caracterizan 51

2. Ecuación de las ondas armónicas unidimensionales 53

3. Fenómenos ondulatorios: reflexión, refracción, difracción e interferencias 57

4. Ondas sonoras 59

5. Ondas electromagnéticas 61

TEMA 5: ÓPTICA GEOMÉTRICA

1. Reflexión y refracción de la luz 71

2. Formación de imágenes en lentes 73

3. El ojo humano. Defectos visuales 77

4. Instrumentos ópticos 79

TEMA 6: FÍSICA DEL SIGLO XX

1. Física cuántica 88

2. Física nuclear 91

3. Física relativista 96

Constantes físicas utilizadas 106

P

M r

TEMA 1: INTERACCIÓN GRAVITATORIA

1. Campo gravitatorio. Intensidad del campo gravitatorio.

La ley de la Gravitación Universal, enunciada por Isaac Newton en 1666, afirma que "dos cuerpos cualesquiera del Universo se atraen mutuamente con una fuerza que es directamente proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que existe entre sus centros".

La fuerza gravitatoria es una fuerza central, es decir, tiene una dirección radial partiendo de un centro fijo y su valor solo depende de la distancia a ese centro.

Como consecuencia de la fuerza gravitatoria, todo cuerpo material produce una perturba-ción en el espacio que le rodea denominada campo gravitatorio. Se llama campo gravi-tatorio a la región del espacio que rodea a una masa en la que se manifiesta la atracción gravitatoria.

La intensidad del campo gravitatorio en un punto es la fuerza que se ejerce sobre la unidad de masa situada en dicho punto.

= (intensidad del) campo gravitatorio (N/kg)

o aceleración de la gravedad (m/s2)

M = masa que genera el campo gravitatorio (kg)

r = distancia del centro de M al punto P (m)

Vectorialmente:

g

ur

MGg

2

El campo gravitatorio se puede representar mediante líneas de fuerza que indican la trayectoria que segui-ría una partícula dejada en un punto del campo gravi-tatorio.

2

Mg G

r

2

21

2112 r

mmG=F=F

12F

fuerza que ejerce m1 sobre m2 (N)

21F

fuerza que ejerce m2 sobre m1 (N)

G = constante de gravitación universal = 6,67·10-11Nm2/kg2

m1, m2 = masas que se atraen (kg)

r = distancia del centro de m1 al centro de m2 (m)

m1

r

m2

siendo = vector unitario en el mismo sentido que

y r el vector de posición de P respecto al centro de M.

r

ru

r

Si r =(xP,yP

)-(xM,yM

)=(a,b)=ai+bj → u= ai+bj

√a2+b2

También puede determinarse el vector unitario a partir del ángulo α que forma con el semieje x positivo:

u= cos α i+ sen α j

g=F

m→

4

Ejemplo: Una masa puntual de 24 kg se encuentra situada en el punto (3,6) del plano XY, estando las coordenadas expresadas en m. Expresar vectorialmente el campo gra-vitatorio en el punto (15,15).

j0,6+i0,8=9+12

(12,9=u (12,9) = (3,6)-(15,15) =r

22

)

g = - 6,67·10-11

·24

(√122+9

2)2 (0,8i + 0,6j) = - 5,7·10

-12 i - 4,3·10-12 j (N/kg)

Si en una región del espacio hay varias masas, el campo gravitatorio resultante es la suma vectorial de los campos creados por cada una de las masas (principio de su-perposición).

Ejemplo: Dos masas puntuales de 5·106 kg y 6·106 kg se encuentran a 30 km y 50 km de distancia respectivamente de un punto P, como indica la figura. Calcular el vector campo gravitatorio en el punto P.

(N/kg)

(N/kg)

N/kg

La caída de los cuerpos y el movimiento orbital son dos manifestaciones de la existencia de campos gravitatorios. Si un cuerpo cae sin velocidad inicial, se produce un movi-miento vertical de caída libre con aceleración g; si parte con una velocidad horizontal, el movimiento será parabólico; si su velocidad inicial es suficientemente elevada la acele-ración de la gravedad actuará como aceleración centrípeta o normal dando lugar a un movimiento circular uniforme en torno a la masa que crea el campo. Relación entre fuerza gravitatoria y campo gravitatorio

Si en un punto del campo gravitatorio se sitúa una masa m, la fuerza ejercida por M sobre m vendrá dada por: La fuerza gravitatoria se identifica con el peso cuando un cuerpo está en la cercanía de la superficie de la Tierra u otro planeta. El peso aparente de un cuerpo es la fuerza que ejerce dicho cuerpo sobre la superficie de apoyo que coincide con el valor de la fuerza normal (fuerza que ejerce dicha superficie sobre el cuerpo que se apoya en ella). En un sistema no inercial (acelerado) el valor de la normal no coincide con el peso, por lo que el peso aparente será distinto del peso real (N – P = m·a). El fenómeno de ingravidez se experimenta cuando la aceleración del sistema es igual a g (caída libre), de forma que N = 0. Ejemplo: Un planeta esférico tiene una densidad media de 5·103 kg/m3 y un radio de 4000 km. Determinar la intensidad del campo gravitatorio en su superficie y el peso de una persona de 70 kg situada en la superficie de dicho planeta.

V = ·π·(4·106)3 =2,7·1020 m3; M= 5·103·2,7·1020 = 1,35·1024 kg

5,6 N/kg P = F = m·g = 70·5,6 = 392 N

)kg/N(j10·7,3)j·(30000

10·5·10·67,6g 13

2

611

1

i10·6,1)i·(50000

10·610·67,6g 13

2

611

2

j10·7,3i10·6,1ggg 131321

13213213 10·4)10·7,3()10·6,1(g

3

4

26

2411

)10·4(

10·35,110·67,6g

g·m=Fg

M1=5·106 kg

30 km

P M2=6·106 kg

50 km

5

Campo gravitatorio terrestre

Sabiendo que la masa de la Tierra es MT = 5,98·1024 kg y el radio terrestre es RT = 6370 km, puede determinarse el valor del campo gravitatorio (o aceleración de la gravedad) en la superficie de la Tierra.

g = G· 9,8 m/s2

Al aumentar la altura sobre la superficie terrestre, disminuye g. La aceleración de la gravedad a una altura h vendrá dada por:

g' = G·

Ejemplo: Determinar la relación entre la aceleración de la gravedad en la superficie terrestre y la aceleración de la gravedad a una altura igual al doble del radio terrestre.

2. Movimiento orbital de satélites y planetas

El movimiento orbital de un planeta o satélite puede ser circular uniforme o elíptico. En el caso de los movimientos circulares, el módulo de la velocidad no varía (aT = 0) y solo existe una aceleración normal o centrípeta (aN) que coincide con g. Si el movimiento es elíptico, el módulo de la velocidad aumenta cuando el planeta o satélite se acerca a la masa M que crea el campo (2ª ley de Kepler), por lo que la aceleración tendrá una componente tangencial (aT) y una componente normal (aN).

A partir de dichas ecuaciones también puede determinarse la masa M que genera el campo gravitatorio a partir de la velocidad orbital y el radio de la órbita. De este modo, al estudiar distintas galaxias se ha comprobado que la masa total de dichas galaxias calculada con los datos orbitales de las estrellas que giran en torno a su centro es muy superior a la que correspondería a la parte visible de dichas galaxias (cálculo de la masa a partir del brillo de la galaxia). Este hecho pone de manifiesto la existencia de una elevada proporción de materia oscura a la que correspondería esa diferencia de masa, pero que, al no interaccionar con la luz u otro tipo de radiaciones, no puede ser detec-tada. Del mismo modo, los datos rotacionales de la Vía Láctea y las señales electro-magnéticas procedentes de su centro indican la posible existencia de un agujero negro central que proporcionaría un intensísimo campo gravitatorio.

2

T

T

R

M

26

2411

)10·37,6(

10·98,510·67,6

2T

T

)hR(

M

9R

)R3(

)R2R(

MG

R

MG

'g

g2

T

2T

2TT

T

2

T

T

m

M r

Si m gira con MCU:

aN = ; o, como v = ω·r: aN = = ω2·r

Aplicando la 2ª ley de Newton, pueden determinarse v, ω, r, T...

ΣF = m·a G ; o bien: G m·ω2·r

(Recordar que ω = 2π

T y v =

2πr

T)

6

Ejemplo: Se ha calculado la velocidad teórica de una estrella a partir de la masa visible de su galaxia. Al medir experimentalmente la velocidad de dicha estrella se obtiene una velocidad tres veces superior. ¿Qué porcentaje de materia oscura hay en dicha galaxia?

v

v'=

√GM

r

√GMvisible

r

=√M

Mvisible=3 → M = 9Mvisible → %materia oscura =

M-Mvisible

M·100 = 88,9 %

Satélites de órbita terrestre

En función del radio de su órbita, los satélites artificiales que orbitan alrededor de la Tierra se clasifican en:

- Satélites geoestacionarios o GEO: giran con un periodo de 24 h, de forma que se encuentran siempre sobre el mismo punto de la superficie terrestre a una altura aproximada de 36.000 km. Se utilizan principalmente como satélites meteorológicos y de telecomunicaciones. Tienen una amplia cobertura, pero su elevada distancia a la superficie terrestre supone un coste considerable para su puesta en órbita, la necesidad de amplificar mucho las señales y un cierto retardo en la comunicación.

- Satélites LEO (Low Earth Orbit) o de órbita baja: giran a una altura inferior a 2000 km. Si la altura es muy baja, experimentan un rápido decaimiento debido al roza-miento con la atmósfera, por lo que no suelen situarse por debajo de 300 km. Sus principales ventajas son el menor coste de su puesta en órbita y la mayor intensidad y rapidez de las señales enviadas. Debido a la cercanía a la superficie terrestre se emplean mucho en telefonía móvil, estudios geológicos, como satélites espía, es-taciones espaciales, etc. Su principal desventaja es su bajo periodo de rotación (en-tre 1,5 y 2 horas) que obliga a situar un número muy elevado de satélites en una estrecha franja para poder contar con cobertura continua, con el consiguiente au-mento de basura espacial y riesgo de colisiones. Para frenar la proliferación de basura espacial, todos los satélites de órbita baja llevan combustible para no chocar con fragmentos y para que al final de su vida útil vayan descendiendo hasta la órbita terrestre y se desintegren.

- Satélites MEO (Medium Earth Orbit) o de órbita media: se encuentran en alturas comprendidas entre 10000 y 30000 km, para evitar la interacción con los cinturones de Van Allen (regiones con partículas de alta energía atrapadas por el campo mag-nético terrestre) situados por encima y por debajo de dicha franja. Se emplean sobre todo como satélites de posicionamiento, como GPS. Su coste es más bajo que el de los geoestacionarios y proporcionan mayor cobertura que los LEO.

Ejemplo: ¿A qué altura sobre la superficie terrestre debe situarse un satélite de comu-nicaciones, situado en una órbita ecuatorial, para ser geoestacionario?

T = 24 h = 86400 s; ω 7,27·10-5 rad/s

6,67·10-11·5,98·10

24

r2 = (7,27·10-5)2·r r = = 4,225·107 m

h = 4,225·107 - 6,37·106 =3,59·107 m

3. Estudio energético del campo gravitatorio

La fuerza gravitatoria es una fuerza conservativa, ya que la energía cinética que pierde

un cuerpo al desplazarse en sentido contrario a dicha fuerza, queda almacenada en el

cuerpo y vuelve a recuperarse cuando este regresa a la posición inicial. Por ello se dice

que el campo gravitatorio es un campo conservativo.

86400

π2

325

2411

)10·27,7(

10·98,510·67,6

7

Al ir de A a B, la fuerza gravitatoria va en contra del desplazamiento: WA→B < 0 → EcB – EcA < 0 (se pierde energía cinética) Al ir de B a A, la fuerza gravitatoria va en contra del desplazamiento: WB→A > 0 → EcA – EcB > 0 (se recupera la energía cinética perdida)

Por tanto, para la fuerza gravitatoria y el resto de las fuerzas conservativas se cumple que:

- El trabajo realizado a lo largo de una trayectoria cerrada es nulo:

WA→B→A = WA→B + WB→A = 0

- El trabajo realizado entre dos puntos es independiente de la trayectoria, solo depende de los puntos inicial y final:

WA→B (trayectoria 1) = − WB→A (trayectoria 2) → WA→B (trayectoria 1) = WA→B (trayectoria 2)

Todas las fuerzas centrales (elástica, eléctrica, gravitatoria, etc.) son conservativas. Por

el contrario, un ejemplo de fuerza no conservativa es la fuerza de rozamiento, ya que

tanto al ir de A a B como al volver de B a A el trabajo de la fuerza de rozamiento es

negativo (fuerza opuesta al desplazamiento), por lo que el cuerpo regresará al origen

con menor energía cinética que la que tenía al principio (WA→B→A = WA→B + WB→A < 0).

Energía potencial gravitatoria

La energía potencial es la energía almacenada en un cuerpo que puede recuperarse íntegramente como energía cinética cuando el cuerpo regresa a la posición inicial si las fuerzas que actúan a lo largo del desplazamiento son conservativas. Por tanto, es una energía asociada a la posición del cuerpo que puede definirse para toda fuerza conser-vativa. Matemáticamente, para toda fuerza conservativa se verifica que el trabajo reali-zado es opuesto a la variación de energía potencial:

Para calcular la energía potencial gravitatoria en una posición r, primero hay que calcular el trabajo realizado por la fuerza gravitatoria para ir de A a B. Como la fuerza gravitatoria varía a lo largo del desplazamiento, el trabajo se calcula mediante una integral:

WA→B =∫ F·dr =B

A∫ (-G

Mm

r2)

B

Adr = G

Mm

rB− G

Mm

rA = EpA – EpB

Por tanto: Ep =r

m·MG + c; si tomamos c = 0 →

La energía potencial depende del punto elegido como origen de energías potenciales (Ep = 0), ya que c puede tener cual-quier valor. Al tomar c = 0, el origen de energías potenciales estará en el infinito. Para cualquier valor real de r, la energía potencial gravitatoria será negativa.

La expresión Ep = mgh es válida para calcular la energía potencial gravitatoria terrestre cuando las variaciones de g pueden considerarse despreciables (h < RT/100 → g ≈ cte). En ese caso, el origen de energía potencial no está en el infinito, sino en la superficie terrestre (h = 0 → Ep = 0), por lo que el valor de la energía potencial en cada punto será distinto que el calculado con la expresión general, pero la variación de energía potencial no variará.

Ep =r

m·MG

Wcons = −ΔEp = EpA −EpB

1 2

8

Potencial gravitatorio

El potencial gravitatorio en un punto (Vg) es la energía potencial que adquiere la unidad de masa situada en dicho punto.

Por tanto, el potencial gravitatorio solo depende de la distancia al centro de la masa que crea el campo y todos los puntos que equidistan de dicho centro tienen el mismo potencial y forman superficies equipotenciales:

Las superficies esféricas 1, 2 y 3 son superficies equipoten-ciales y están formadas por todos los puntos que tienen un mismo potencial gravitatorio, siendo Vg1>Vg2>Vg3. Las líneas de fuerza del campo son siempre perpendicula-res a las superficies equipotenciales y su sentido coincide con la disminución del potencial. El trabajo realizado al desplazar un cuerpo a lo largo de una superficie equipotencial es siempre nulo, ya que, al no va-riar el potencial, la energía potencial tampoco varía.

Si en una región del espacio hay varias masas, el potencial gravitatorio resultante es la suma escalar de los potenciales creados por cada una de las masas.

Ejemplo: Sabiendo que el radio de la órbita lunar es r = 3,84·108 m, calcular el potencial gravitatorio en un punto situado entre la Tierra y la Luna (ML = 7,27·1022 kg) a una dis-tancia del centro de la Luna de r/4.

Vg= -6,67·10-11 5,98·10

24

3

4·3,84·10

8- 6,67·10

-11 7,27·1022

1

4·3,84·10

8= -1,38·106 – 5,05·104 = -1,43·106 J/kg

La energía potencial gravitatoria de una masa m puede expresarse en función del po-tencial gravitatorio:

Energía potencial gravitatoria:

Energía mecánica orbital

Cuando un satélite o planeta gira con MCU, su energía cinética es constante, ya que su velocidad depende del radio que también es constante. Por ello, su energía cinética puede expresarse en función del radio de la órbita:

Ec =

La energía mecánica (E) es la suma de las energías cinética y potencial:

E = Ec + Ep = =

Como el radio no varía, la energía mecánica permanece constante. Por tanto, se cumple el principio de conservación de la energía mecánica, que se verifica siempre que las fuerzas que actúan son conservativas. Principio de conservación de la energía mecánica

Cuando un cuerpo se desplaza de un punto A a un punto B sometido a la fuerza gravi-tatoria (fuerza conservativa) en ausencia de otras fuerzas (no conservativas) se verifica el principio de conservación de la energía:

r2

m·MG

r

MGm

2

1v·m

2

12

2

r

m·MG

r2

m·MG

r2

m·MG

Vg = Vg = Ep

m Vg = potencial gravitatorio en un punto. Unidad: J/kg

Ep = m·Vg

E= -G Mm

2r

9

EcA + EpA = EcB + EpB

Esta expresión solo puede aplicarse cuando a lo largo del movimiento solo actúa la fuerza gravitatoria. Si hay rozamiento o fuerzas exteriores, se producirá una variación de la energía mecánica por el trabajo realizado por dichas fuerzas.

Ejemplo: Se deja caer un cuerpo desde una altura de 400 km sobre la superficie terres-tre. Determinar, despreciando el rozamiento, la velocidad del cuerpo al llegar a la super-ficie terrestre.

v = 2720 m/s

Velocidad de escape

Se llama velocidad de escape a la velocidad mínima con la que debe ser lanzado un cuerpo para escapar de la atracción gravitatoria.

Para determinar la velocidad de escape se aplica el principio de conservación de la energía, teniendo en cuenta que cuando el cuerpo escapa de la atracción gravitatoria (en el infinito) su energía potencial se anula. Además, para alcanzar dicho punto su velocidad final debe ser como mínimo 0, por lo que se asigna a la posición final una energía cinética nula.

EcA + EpA = Ec + Ep EcA + EpA = 0 0 v =

Ejemplo: Determinar la velocidad de escape desde la superficie terrestre (Datos: g, RT).

ve = Como g = GMT

RT2 → GMT = gRT

2

Por tanto: ve = = = 1,12·104 m/s

Trabajo de fuerzas exteriores en el campo gravitatorio

Cuando un cuerpo se desplaza en el campo gravitatorio por efecto de una fuerza exte-rior, el trabajo realizado por dicha fuerza (o energía suministrada) es igual a la variación de la energía mecánica del cuerpo.

Wext = ΔE = EB – EA = (EcB + EpB) – (EcA + EpA)

Ejemplo: Un satélite de 500 kg de masa gira en órbita circular alrededor de la Tierra a una altura de 1000 km desde la superficie terrestre. Calcular: a) Energía necesaria para poner en órbita el satélite partiendo desde el reposo en la

superficie terrestre. b) Energía necesaria para cambiar a otra órbita circular a 2000 km de altura.

a) Inicialmente el satélite solo tiene energía potencial. Al situarse en la órbita tendrá energía cinética y potencial (energía mecánica orbital).

ΔE = EB – EpA = -6,67·10-11 + 6,67·10-11 =

= - 1,35·1010 + 3,13·1010 = 1,78·1010 J

b) Tanto en la órbita inicial como en la final, el satélite tendrá energía cinética y potencial.

56

2411

10·410·37,6

m·10·98,510·67,6

6

24112

10·37,6

m·10·98,510·67,6v·m

2

1

r

m·MGmv

2

1 2

r

GM2

T

T

R

GM2

TgR2 610·37,6·8,9·2

)10+10·37,6·(2

500·10·98,566

24

6

24

10·37,6

500·10·98,5

A

2

Ar

m·MGmv

2

1

B

2

Br

m·MGmv

2

1

10

ΔE = EB – EA = -6,67·10-11 + 6,67·10-11 =

= - 1,19·1010 + 1,35·1010 = 1,6·109 J

Caos determinista

Todos los movimientos orbitales estudiados hacen referencia a la interacción entre dos cuerpos (Sol-planeta, planeta-satélite...). Normalmente se considera que uno de los cuerpos tiene una masa muy elevada, M, y que solamente el otro cuerpo, de masa m, es móvil, de forma que se pueden estudiar las trayectorias con ecuaciones matemáticas conocidas (circunferencia, elipse, parábola e hipérbola).

El problema de tres cuerpos o más que interaccionan entre sí (estrella-planeta-satélite, dos estrellas y un planeta, asteroides…) no es resoluble en general por métodos mate-máticos, ya que se generan trayectorias muy complejas que solo pueden reproducirse mediante programas informáticos. En estos casos, una pequeña variación de las condi-ciones iniciales da lugar a un cambio muy significativo a largo plazo que hace que la evolución de estos sistemas sea en la práctica impredecible. Esta situación se conoce como caos determinista, lo que implica un comportamiento que, a pesar de estar basado en leyes matemáticas precisas, es demasiado complejo para poder predecirlo.

En el sistema solar, si se tiene en cuenta la pequeña influencia de unos planetas sobre otros, en el transcurso de un tiempo suficientemente grande estas interacciones se re-troalimentan y las órbitas empiezan a alejarse de las trayectorias previstas pudiendo llegar a chocar entre sí o a impactar con el Sol.

En la siguiente simulación pueden observarse las trayectorias descritas por distintos sistemas complejos:

http://phet.colorado.edu/sims/my-solar-system/my-solar-system_es.html

Se puede observar que, al alterar ligeramente las condiciones iniciales, las trayectorias de los distintos cuerpos acaban siendo aparentemente caóticas.

EJERCICIOS

1. Dos masas m1 = 10 kg y m2 = 20 kg cuelgan del techo y están separadas 1 m de distancia. Determinar:

a) La fuerza 12, que ejerce la masa m1 sobre la m2, y el peso 2 de la masa m2.

b) Explicar razonadamente por qué el módulo de 2, es mucho mayor que el módulo

de 12. Datos: G, MT, RT Solución: a) −1,33·10−8 𝑖 N; −196 𝑗 N

2. Dos masas iguales, M = 20 kg, ocupan posiciones

fijas separadas una distancia de 2 m, según indica la figura. Calcular el vector campo gravitatorio en el punto P equidistante de las dos masas anteriores y a una distancia de 1 m de la línea que las une. Dato: G

Solución: -9,43·10-10 (N/kg)

)10·2+10·37,6·(2

500·10·98,566

24

)10+10·37,6·(2

500·10·98,566

24

j

P

M M

11

3. Cuatro masas puntuales idénticas de 6 kg cada una están situadas en los vértices de un cuadrado de lado igual a 2 m. a) Representar vectorialmente los campos gravitatorios que crean las cuatro masas

en el centro de cada lado del cuadrado. b) Calcular el módulo del campo gravitatorio en uno de dichos puntos Dato: G Solución: 1,43·10-10 N/kg

4. Una masa puntual m1 = 5 kg está situada en el punto (4, 3) m.

a) Determinar la intensidad del campo gravitatorio creado por la masa m1 en el origen de coordenadas.

b) Situadas las masas m1 y m2 en las posiciones anteriores, ¿a qué distancia del origen de coordenadas, el campo gravitatorio resultante es nulo?

Dato: G Solución: a) 5,34·10-12 𝑖 + 4·10-12 𝑗 N/C; b) 1,2 m

5. La masa de un objeto en la superficie terrestre es de 50 kg. Determinar: a) La masa y el peso del objeto en la superficie de Mercurio. b) A qué altura sobre la superficie de Mercurio el peso del objeto se reduce a la

tercera parte. Datos: G, MMercurio = 3,30∙1023 kg, RMercurio = 2,44·106 m Solución: a) 184,85 N; b) 1,79·106 m

6. Un cuerpo de masa 100 kg está situado en la superficie de la Tierra.

a) Si se duplicara el radio de la Tierra, manteniendo constante la masa de esta, ¿cuál sería el peso del cuerpo?

b) Si se duplicara el radio de la Tierra, manteniendo constante su densidad media, ¿cuál sería en ese caso el peso del objeto?

Dato: g Solución: a) 245 N; b) 1960 N

7. a) A partir de la ley fundamental de la dinámica, deducir la expresión de la velocidad

orbital de un satélite que gira en una órbita circular de radio R alrededor de un planeta de masa M.

b) Si un satélite de 21 kg gira alrededor del planeta Marte, calcular el radio de la órbita circular si su periodo es igual al de rotación del planeta.

Datos: G, MMarte = 6,42·1023 kg; TMarte = 24,62 h Solución: b) 2, 04·107 m; 2,204·107 J

8. Una estrella gira alrededor de un objeto estelar con un periodo de 28 días terrestres siguiendo una órbita circular de radio 0,45·108 km. a) Determinar la masa del objeto estelar. b) Si el diámetro del objeto estelar es 200 km, ¿cuál será el valor de la gravedad

en su superficie? Dato: G Solución: a) 9,23·1030 kg; b) 6,16·1010 m/s2

9. Sea un sistema doble formado por una estrella y un planeta. El planeta gira alrededor

de la estrella siguiendo una órbita circular con un periodo de 210 días y posee una masa de 5·10- 6 M, donde M es la masa de la estrella. Determinar: a) El radio de la órbita del planeta. b) El vector campo gravitatorio total en un punto entre la estrella y el planeta que

dista 4,6·105 km del centro del planeta. Datos: G; Masa de la estrella = 1,3·1030 kg Solución: a) 8,97·1010 m; b) - 8,83·10-3 𝑖 N/kg

12

10. Un cuerpo esférico de densidad uniforme presenta una aceleración de la gravedad sobre su superficie de 125 m·s-2 y la longitud de su circunferencia ecuatorial mide 1,885·106 km. a) Determinar la masa de dicho cuerpo. b) Si un objeto describe una órbita circular concéntrica con el cuerpo esférico y un

periodo de 12 h, ¿cuál será el radio de dicha órbita? Dato: G Solución: a) 1,69·1029 kg; b) 8,11·108 m

11. Una reciente investigación ha descubierto un planeta similar a la Tierra orbitando

alrededor de la estrella Próxima Centauri, una enana roja cuya masa es un 12% de la masa del Sol y su radio es el 14% del radio solar. Mediante técnicas de desplaza-miento Doppler se ha medido el periodo del planeta alrededor de la estrella obte-niéndose un valor de 11,2 días. Determinar: a) La aceleración de la gravedad sobre la superficie de la estrella. b) El radio de la órbita del planeta suponiendo esta circular. Datos: G, MS = 1,99·1030 kg, RS = 7·108 m Solución: a) 1658 m/s2; b) 7,23·109 m

12. Un satélite sigue una órbita circular sincrónica (es decir, del mismo período que el de rotación del planeta) de radio 1,59·105 km en torno a un planeta de masa 1,90·1027 kg. Calcular: a) La velocidad del satélite en la órbita. b) El periodo de rotación del planeta sobre su eje. Dato: G Solución: a) 2,82·104 m/s; b) 3,54·104 s

13. La sonda espacial Mars Odissey describe una órbita circular en torno a Marte a una

altura sobre su superficie de 400 km. Sabiendo que un satélite de Marte describe órbitas circulares de 9390 km de radio y tarda en cada una de ellas 7,7 h, calcular. a) El tiempo que tardará la sonda espacial en dar una vuelta completa. b) La masa de Marte y la aceleración de la gravedad en su superficie. Datos: G, RM = 3390 km Solución: a) 1,97 h; b) 6,38·1023 kg; 3,7 m/s2

14. Sabiendo que el periodo de revolución lunar es de 27,32 días y que el radio de la órbita es r = 3,84·108 m. A partir de los datos del problema calcular: a) La constante de gravitación universal, G. b) Si un satélite se sitúa entre la Tierra y la Luna a una distancia de la Tierra de r/4,

¿Cuál es la relación entre los campos gravitatorios debidos a la Tierra y a la Luna?

Datos: MT, RT, ML = 7,35·1022 kg, RL = 1,74·106 m Solución: a) 6,7·10-11 N·m2/kg2; b) 732

15. Titania, satélite del planeta Urano, describe una órbita circular en torno al planeta. Las aceleraciones de la gravedad en las superficies de Urano y de Titania son gU = 8,69 m s-2 y gt = 0,37 m s-2, respectivamente. Un haz de luz emitido desde la superficie de Urano tarda 1,366 s en llegar a la superficie de Titania. Determinar: a) El radio de la órbita de Titania alrededor de Urano (distancia entre los centros de

ambos cuerpos). b) El tiempo que tarda Titania en dar una vuelta completa alrededor de Urano, ex-

presado en días terrestres. Datos: G, c, MU = 8,69·1025 kg, Mt = 3,53·1021kg Solución: a) 4,36·108 m; b) 8,71 días

13

16. Cuatro masas puntuales idénticas de 6 kg cada una están situadas en los vértices de un cuadrado de lado igual a 2 m. Calcular el potencial gravitatorio creado por las cuatro masas en el centro del cuadrado, tomando el infinito como origen de poten-ciales. Dato: G Solución: -1,135·10-9 J/kg

17. La masa del Sol es 333183 veces mayor que la de la Tierra y la distancia que separa sus centros es de 1,5·108 km. a) ¿Existe algún punto a lo largo de la línea que los une en el que se igualen los

potenciales gravitatorios debidos al Sol y a la Tierra? En caso afirmativo, calcular su distancia a la Tierra.

b) ¿Existe algún punto a lo largo de la línea que los une en el que se anule el po-tencial gravitatorio? En caso afirmativo, calcular su distancia a la Tierra.

Solución: a) 450,2 km

18. Dos partículas puntuales de masas m1 = 2 kg y m2 = 10 kg se encuentran situadas a lo largo del eje X. La masa m1 está en el origen, x1 = 0, y la masa m2 en el punto x2 = 5 m. a) Determinar el punto en el eje X en el que el campo gravitatorio debido a ambas

masas es nulo. b) ¿Cuál es el potencial gravitatorio debido a ambas masas en el punto para el que

el campo gravitatorio es cero? Dato: G Solución: a) 1,55 m; b) -2,79·10-10 J/kg

19. Una nave espacial de 800 kg de masa realiza una órbita circular de 6000 km de radio

alrededor de un planeta. Sabiendo que la energía mecánica de la nave es – 3,27· 108 J, determinar: a) La masa del planeta. b) La velocidad angular de la nave en su órbita. Dato: G Solución: a) 7,35·1022 kg; b) 1,5·10-4 rad/s

20. Un asteroide está situado en una órbita circular alrededor de una estrella y tiene una energía total de -1010 J. Determinar: a) La relación que existe entre las energías potencial y cinética del asteroide. b) Los valores de ambas energías potencial y cinética. Solución: a) -2; b) -2·1010 J; 1010 J

21. Un satélite artificial de 500 kg que describe una órbita circular alrededor de la Tierra se mueve con una velocidad de 6,5 km/s. Calcular: a) La energía mecánica del satélite. b) La altura sobre la superficie de la Tierra a la que se encuentra. Datos: G, MT, RT Solución: a) -1,06·1010 J; b) 3,07·106 m

22. Un satélite artificial describe una órbita circular alrededor de la Tierra. En esta órbita la energía mecánica del satélite es -4,5·109 J y su velocidad es 7610 m s-1. Calcular: a) La masa del satélite. b) El periodo de la órbita y la altura a la que se encuentra el satélite. Datos: G, MT, RT Solución: a) 155 kg b) 5686 s; 5,17·105 m

14

23. Un satélite artificial de 200 kg gira en una órbita circular a una altura h sobre la su-perficie de la Tierra. Sabiendo que a esa altura el valor de la aceleración de la gra-vedad es la mitad del valor que tiene en la superficie terrestre, averiguar: a) La velocidad del satélite. b) Su energía mecánica. Datos: G, MT, RT Solución: a) 6640 m/s; b) –4,43·109 J

24. Considerar un satélite de masa 103 kg que orbita alrededor de la Tierra en una órbita circular geoestacionaria. a) Determinar el radio que tendría que tener la órbita para que su periodo fuese

doble del anterior. b) ¿Cuál es la diferencia de energía del satélite entre la primera y la segunda órbita? Datos: G, MT Solución: a) 6,7·107 m; b) 1,75·109 J

25. Un proyectil se lanza verticalmente hacia arriba desde la superficie de la Tierra con

una velocidad inicial de 5000 m/s. Si se desprecia el rozamiento, calcular: a) Su velocidad cuando se encuentra a 500 km de altura. b) La altura máxima que alcanza. Datos: G, MT, RT Solución: a) 4·103 m/s; b) 1,6·106 m

26. Un cierto planeta esférico tiene una masa de 1,25·1023 kg y un radio R = 1,5·106 m.

Desde su superficie se lanza verticalmente hacia arriba un objeto, el cual alcanza una altura máxima de R/2. Despreciando rozamientos, determinar: a) La velocidad con que fue lanzado el objeto. b) La aceleración de la gravedad en el punto más alto alcanzado por el objeto. Dato: G Solución: a) 1,92·103 m/s; b) 1,65 m/s2

27. Un satélite de masa m gira alrededor de la Tierra describiendo una órbita circular a una altura de 2·104 km sobre su superficie.

a) Calcular la velocidad orbital del satélite alrededor de la Tierra. b) Suponer que la velocidad del satélite se anula repentina e instantáneamente y

éste empieza a caer sobre la Tierra. Calcular la velocidad con la que llegaría el satélite a la superficie de la misma.

Datos: G, MT, RT Solución: 3,89·103 m/s; b) 9,75·103 m/s

28. a) Aplicando el principio de conservación de la energía mecánica, obtener una ex-

presión para la velocidad de escape de un cuerpo desde la superficie de un pla-neta esférico de radio R y masa M.

b) Calcular la velocidad de escape desde la superficie de Mercurio sabiendo que

posee una masa de 3,30⋅1023 kg y una aceleración de la gravedad en su super-ficie de 3,70 m·s-2.

Dato: G Solución: b) 4247, 6 m/s

15

29. Unos astrónomos han descubierto un nuevo sistema solar, formado por una estrella de masa 6,0·1030 kg, que desempeña el papel del sol, y un planeta que gira en torno a ella en una órbita circular, tardando 3 años terrestres en dar una vuelta completa. a) Determinar la distancia a la que se encuentra el planeta del sol. b) Si en la superficie del planeta la aceleración de la gravedad es 15 m s-2 y la

velocidad de escape es de 11,2 km s-1, ¿cuánto valen la masa y el radio del planeta?

Dato: G Solución: a) 4,49·1011 m; b) 3,93·1024 kg; 4,18·106 m

30. Un asteroide de forma esférica y radio 3 km tiene una densidad de 3 g·cm-3. Deter-

minar: a) La velocidad de escape desde la superficie de dicho asteroide. b) La velocidad de un cuerpo a una altura de 1 km sobre la superficie del asteroide

si partió de su superficie a la velocidad de escape. Dato: G Solución: a) 3,88 m/s; b) 3,36 m/s

31. Una nave espacial transporta colonos en estado de hibernación a un planeta lejano. Por un error, la nave llega a su destino 10 años terrestres antes de lo previsto, por lo que el ordenador de a bordo decide situar la nave en una órbita circular a una distancia del centro del planeta r = 5000 km y orbitar en ella durante 10 años. a) ¿Cuántas vueltas da la nave en la órbita circular a lo largo de los 10 años? b) ¿Cuál es el valor de la velocidad de escape en la superficie del planeta? Datos: G, MP = 6,42·1023 kg; RP = 3397,5 km Solución: a) 2,94·104 vueltas; b) 5021 m/s

32. Se desea situar un satélite de 120 kg de masa en una órbita circular, alrededor de la Tierra, a 150 km de altura. a) Determinar la velocidad inicial mínima requerida para que alcance dicha altura. b) Una vez alcanzada dicha altura, calcular la energía adicional necesaria para que

orbite. Datos: RT; G; MT Solución: a) 1698 m/s; b) 3,66·109 J

33. Los satélites LAGEOS son una serie de satélites artificiales diseñados para propor-cionar órbitas de referencia para estudios geodinámicos de la Tierra. Consisten en un cuerpo esférico de masa m = 405 kg que se mueve en órbita circular alrededor de la Tierra a una altura de 5900 km sobre su superficie. Determinar: a) El periodo de este tipo de satélites. b) La energía requerida para que, desde la superficie de la Tierra, pasen a describir

dicha órbita. Datos: G, MT, RT Solución: a) 1,35·104 s; b) 1,88·1010 J

34. Un satélite artificial de masa 712 kg describe una órbita circular alrededor de la Tierra una altura de 694 km. Calcular: a) La velocidad y el periodo del satélite en la órbita. b) La energía necesaria para trasladarlo desde su órbita hasta otra órbita circular

situada a una altura de 1000 km sobre la superficie de la Tierra. Datos: G, MT, RT Solución: a) 7516,4 m/s; 5902 s; b) 8,46·108 J

16

35. Un satélite artificial de 400 kg describe una órbita circular de radio 5/2 RT alrededor de la Tierra. Determinar: a) El trabajo que hay que realizar para llevar al satélite desde la órbita circular de

radio 5/2 RT a otra órbita circular de radio 5RT y mantenerlo en dicha órbita. b) El periodo de rotación del satélite en la órbita de radio 5RT. Datos: G, MT, RT Solución: a) 2,5·109 J; b) 5,65·104 s

36. Una sonda espacial de masa m = 1000 kg se encuentra situada en una órbita circular alrededor de la Tierra de radio r = 2,26·RT, siendo RT el radio de la Tierra. a) Calcular la velocidad de la sonda en esa órbita. b) ¿Qué energía hay que comunicar a la sonda para alejarla desde dicha órbita

hasta el infinito? Datos: G, MT, RT Solución: a) 5,26·103 m/s; b) -2,77·1010 J; c) 1,38·1010 J

37. Una masa de valor M = 4 kg se encuentra en el punto (4, 0) del plano xy (coordena-

das expresadas en metros). Determinar: a) El vector campo gravitatorio creado por la masa en el punto P (0, 3). b) El trabajo necesario para llevar una masa m = 10 kg desde el origen de coorde-

nadas al punto P. Dato: G Solución: a) 8,54·10−12 𝑖 - 6,40·10−12 𝑗 N/kg; b) 1,33·10−10 J

38. Una masa puntual A, MA = 3 kg, se encuentra en el plano xy, en el origen de coor-denadas. Si se sitúa una masa puntual B, MB = 5 kg, en el punto (2, -2) m, determinar: a) La fuerza que ejerce la masa A sobre la masa B. b) El trabajo necesario para llevar la masa B del punto (2, -2) m al punto (2, 0) m

debido al campo gravitatorio creado por la masa A. Dato: G Solución: a) -8,84·10-11 𝑖 + 8,84·10-11 𝑗 N; b) 1,47·10-10 J

39. Dos masas iguales, M = 20 kg, ocupan posiciones fijas separadas una distancia de 2 m, según indica la figura. El punto A es equidistante de las dos masas anterio-res y está a una distancia de 1 m de la línea que las une (AB = 1 m). Calcular el trabajo necesario para trasladar una masa de 1 kg desde A hasta B. Dato: G Solución: -7,81·10-10 J

40. Considerar una masa M = 50 kg situada en el origen de coordenadas. Bajo la acción

del campo gravitatorio creado por dicha masa, determinar: a) El trabajo requerido para mover una masa m1 = 2 kg desde P1 = (1,0,0) m a P2 =

(3,4,0) m. b) La energía cinética de una partícula de masa m2 = 3 kg que, partiendo del reposo,

se mueve desde el punto P3 = (9/2,6,0) m al punto P2. Dato: G Solución: a) 5,34·10-9 J; b) 6,67·10-10 J

A

M B M

17

TEMA 2. INTERACCIÓN ELECTRICA

1. Campo eléctrico

Toda la materia está constituida por cargas eléctricas: positivas (en los protones) y ne-gativas (en los electrones), de forma que las cargas del mismo signo se repelen y las de distinto signo se atraen. La unidad de carga eléctrica en el sistema internacional es el culombio (C). Se dice que la carga está cuantizada, ya que la carga de cualquier cuerpo es un múltiplo de carga elemental, e = 1,6 10-19 C, siendo la carga del protón +e y la del electrón -e. Los fenómenos de electrización se deben a la pérdida o ganancia de elec-trones que altera el equilibrio entre cargas positivas y negativas.

La ley que rige la interacción entre cargas eléctricas o ley de Coulomb fue enunciada por el físico francés Charles Coulomb en 1785 y afirma que: "La fuerza de atracción o repulsión entre dos cargas eléctricas es directamente proporcional al producto de dichas cargas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa".

La fuerza eléctrica es una fuerza central, es decir, tiene una dirección radial partiendo de un centro fijo y su valor solo depende de la distancia a ese centro.

Como consecuencia de la fuerza eléctrica, cualquier carga produce una perturbación en el espacio que le rodea denominada campo eléctrico. Se llama campo eléctrico a la región del espacio que rodea a una o más cargas en la que se manifiestan atracciones o repul-siones eléctricas. Se representa mediante líneas de fuerza que indican la trayectoria de una carga positiva en cada punto del campo eléctrico.

q1

q2

q

1

q

2

+

_

+

_

+++++++

-------

Campo creado por una carga

negativa

Campo creado por dos cargas de signo opuesto (dipolo eléctrico)

Campo creado por dos láminas cargadas

de signo opuesto (condensador)

2

21

2112r

qqKFF

(N)q sobreq ejerce que fuerza=F 2 112

(N)q sobre q ejerce que fuerza=F 1221

q1, q2 =cargas que se atraen (C)

r = distancia de q1 a q2 (m)

K = cte. de Coulomb = 9·109 Nm2/C2 (en el aire o el vacío)

Se puede expresar como: oπε4

1=K

εo = cte. dieléctrica del vacío = 8,85·10-12 C2/Nm2

Cargas del mismo signo

Cargas de signo opuesto

Campo creado por una carga

positiva

18

La intensidad del campo eléctrico mide la fuerza por unidad de carga positiva en un punto.

Vectorialmente:

Si en una región del espacio hay varias cargas, el campo eléctrico resultante es la suma vectorial de los campos creados por cada una de las cargas (principio de superposi-ción).

Ejemplo: Dos cargas eléctricas de 3 μC y -4 μC, se encuentran situadas en los puntos (0,0) y (10,0) respectivamente, Determinar el vector campo eléctrico en el punto (5,5).

j71,0+i71,0=j45sen+i45cos=uoj71,0+i71,0=5+5

)0,0()5,5(=u 1221

_

j71,0+i71,0=j135sen+i135cos=uoj71,0+i71,0=5+5

)0,10()5,5(=u _

2_

222

_

)C/N(j383i383)j71,0i71,0·()50(

10·3·10·9E

2

69

1

)C/N(j511i511)j71,0i71,0·()50(

10·4·10·9E

2

69

2

j)511383(i)511383(EEE 21

= 894 i

-128 j

(N/C)

2r

qKE

ur

qKE

2

E

= (intensidad del) campo eléctrico en un punto P (N/C)

q = carga que genera el campo eléctrico (C)

r = distancia de q al punto P (m)

P

q -

-

-

+

P

q

r

ru

= vector unitario en el mismo sentido que r

r = vector de posición de P respecto a q

Si r = (xP,yP

)- (xq,yq

) = (a,b)= ai+bj → u=ai+bj

√a2+b2

También puede determinarse el vector unitario a partir del ángulo α que forma r con el semieje x positivo:

u= cos α i+ sen α j

q1 q2

1E

2E

19

Si en el punto P se sitúa una carga q', la fuerza ejercida por q sobre q' vendrá dada por:

Ejemplo: Se tienen dos cargas puntuales sobre el eje X, q1 = -2 μC en el punto (1,0) y q2 =+4 μC en el punto (-2,0). Si se coloca en el origen una carga q = 0,4 μC determinar la fuerza ejercida sobre ella por las cargas q1 y q2.

-69

1 2

-2·10E =9·10 · ·(- i) =18000 i (N/C)

(1);

-69

2 2

4·10E = 9·10 · · i = 9000 i (N/C)

(2)

ET = 18000 i + 9000i = 27000i N/C

F = 0,4·10−6· 27000i = 0,0108 i N

En la recta que une dos cargas puntuales siempre existe un punto en el que el campo eléctrico total es nulo. La posición de este punto depende del signo de dichas cargas y del valor absoluto de estas.

- Si las cargas son del mismo signo, el campo eléctrico se anulará en un punto situado

entre ambas cargas, más próximo a la carga que sea menor en valor absoluto.

- Si las cargas son del signo opuesto, el campo eléctrico se anulará en un punto situado

fuera del segmento que une ambas cargas, más próximo a la carga que sea menor

en valor absoluto.

Ejemplo: Dos cargas de 20 μC y -5 μC se encuentran en los puntos (-1,0) y (2,0) res-pectivamente. Determinar el punto donde el campo eléctrico es nulo.

21 EE

; 9·109 2_

69

2

6

)2x(

10·510·9=

)1+x(

10·20 ; 4(x−2)2 = (x+1)2; 2(x−2)= (x+1 )

1=x

5=x

2

1

El campo se anula en el punto (5,0)

q1 q2 P (lq1l > lq2l)

(x,0)

q1 (-1,0) q2 (2,0) P

E'·qF

F= fuerza ejercida sobre la carga situada en el punto P (N)

E= (intensidad del) campo eléctrico en el punto P (N/C)

q’ = carga situada en el punto P (C)

1E

q2 2E

q1

q1 P q2 (lq1l > lq2l)

21 E=E

r1 = (x,0) – (-1,0) = (x+1,0) r2 = (x,0) – (2,0) = (x-2,0)

20

1 2 3

2. Estudio energético del campo eléctrico

La fuerza eléctrica, como todas las fuerzas centrales, es una fuerza conservativa. Por tanto, cuando una carga se desplaza en sentido opuesto a la fuerza eléctrica, almacena energía en forma de energía potencial. Al tratarse de una fuerza conservativa, el trabajo realizado por la fuerza eléctrica para trasladar una carga de un punto a otro del campo eléctrico es opuesto a la variación de energía potencial eléctrica.

WA→B =∫ F·dr =B

A∫ (K

q1q2

r2)

B

Adr = -K

q1q2

rB+ K

q1q2

rA = EpA – EpB

Por tanto: Ep =r

q·qK

21 + c; si tomamos c = 0

Esto supone tomar el origen de energías potenciales eléctricas (Ep = 0) en el infinito.

Para cualquier valor real de r, si las cargas son del mismo signo, Ep0, y si son de signo

opuesto, Ep 0.

Potencial eléctrico

El potencial eléctrico en un punto (V) es la energía potencial que adquiere la unidad de carga positiva situada en dicho punto.

Por tanto, el potencial eléctrico solo depende de la carga que crea el campo y todos los puntos que equidistan de dicha carga tienen el mismo potencial y forman, al igual que en el campo gravitatorio, superficies equipotenciales:

El potencial en un punto del campo creado por varias cargas puntuales es la suma escalar de los potenciales debidos a cada una de las cargas en dicho punto.

Ep

Ep

r

r

Cargas del mismo signo

Cargas de signo opuesto

Si q' = 1 C Ep = V

(Unidad: voltio, V = J/C)

q1

r1 r2 P r3

q2

q3

r

q·qK=Ep

21

Las superficies esféricas 1, 2 y 3 son superficies equipotenciales y están formadas por todos los puntos que tienen un mismo po-tencial eléctrico, siendo V1>V2>V3.

Las líneas de fuerza del campo son siempre perpendiculares a las superficies equipotenciales y su sentido coincide con la dis-minución del potencial.

21

Ejemplo: Dos cargas eléctricas de 3 μC y -4 μC, se encuentran situadas en los puntos (0,0) y (10,0) respectivamente, Determinar el potencial eléctrico en el punto (5,5).

r1 = r2 = 22 55 7,07 m

V10·82,307,7

10·310·9V 3

69

1

; V10·09,507,7

10·410·9V 3

69

2

V = 3,82·103 V - 5,09·103 = -1,27·103 V

Como el potencial eléctrico representa la energía potencial por unidad de carga, la rela-ción entre la energía potencial eléctrica de una carga situada en un punto del campo eléctrico y el potencial en dicho punto viene dado por:

Ejemplo: Tres cargas puntuales q1 = -2 μC, q2 = 4 μC y q3 = 5 μC se encuentran situadas respectivamente en los puntos (0,0), (0,1) y (1,0). Calcular la energía potencial de q3.

V = 2

10·410·9+

1

10·2·10·9

69

6_9

--

= 7,46·103 V

Ep = 5·10-6 · 7.46.103 = 0,0373 J

Trabajo en el campo eléctrico

El trabajo necesario para desplazar una carga q' de un punto A a un punto B del campo eléctrico, sin alterar su velocidad, es igual a la variación de su energía potencial.

Wext = EpB - EpA = q'VB -q'VA;

Si el trabajo se realiza en contra del campo, W 0, y si es a favor del campo, W0.

El trabajo realizado por el campo eléctrico en dicho proceso es igual en valor absoluto pero con signo opuesto:

Ejemplo: Dos cargas eléctricas de 3 μC y -4 μC, se encuentran situadas en los puntos (0,0) y (10,0) respectivamente. Determinar el trabajo necesario para trasladar una carga de -1μC del punto A(5,5) al punto B(5,0).

r1A = r2A = 22 55 7,07 m

V10·82,307,7

10·310·9V 3

69

A1

; V10·09,507,7

10·410·9V 3

69

A2

VA = 3,82·103 V - 5,09·103 = -1,27·103 V

V10·4,55

10·310·9V 3

69

B2

; V10·2,75

10·410·9V 3

69

B2

VB = 5,4·103 V - 7,2·103 = -1,8·103 V

W = -1·10-6·(-1,8·103 + 1,27·103) = 5,3·10-4 J

Ep = q'·V

Wext = q' (VB - VA)

V = potencial en un punto del campo eléctrico (V) q' = carga situada en dicho punto (C)

Wint = q' (VA – VB)

22

Relación entre campo eléctrico y diferencia de potencial

El trabajo realizado por el campo eléctrico puede determinarse a partir de dicho campo por medio de una integral:

Wint = ∫ F·drB

A= ∫ q'·E·dr

B

A= q' ∫ E·dr

B

A

Por otro lado, si se conoce la diferencia de potencial, también puede calcularse el trabajo realizado por el campo:

Wint = - Wext = q’·(VA – VB)

Por tanto:

q’·(VA – VB) = q' ∫ E·drB

A VA – VB = ∫ E·dr

B

A

En los casos en los que el campo eléctrico es uniforme, es decir, su valor no depende de la posición (como el creado por una lámina cargada), el campo eléctrico sale fuera de la integral y la diferencia de potencial puede calcularse mediante un producto escalar:

Si E= cte

Si se conoce ángulo α que forma el campo con el desplazamiento:

Ejemplo: Una carga se desplaza entre dos puntos de un campo eléctrico uniforme de 600 N/C en el sentido positivo del eje y. Determinar la diferencia de potencial existente entre dichos puntos si: a) se desplaza 1 cm en el sentido negativo del eje y; b) se des-plaza del punto (-4,2) mm al punto (4,8) mm.

a) α = 180º → VA - VB = E·Δr·cos α = 600·0,01·cos 180 = - 6 V

b) ∆r = (4,8) - (-4,2) = (8,6) = 0,008 i + 0,006j; VA - VB = 600j·(0,008 i + 0,006j) = 3,6 V

3. Movimiento de cargas en el campo eléctrico

Toda carga situada en un campo eléctrico adquiere una aceleración cuyo sentido de-pende del signo de la carga. Para determinar la velocidad que adquiere una carga que se desplaza por efecto de un campo eléctrico, pueden seguirse dos métodos:

1º. Método dinámico: se aplica la 2ª ley de Newton para determinar la aceleración.

q·E= m·a

→a

=

q·E

m

- Si el campo eléctrico es uniforme y tiene la misma dirección que la velocidad inicial de la carga (o esta parte del reposo), se puede determinar su velocidad o su posición final mediante las ecuaciones del MRUA.

2oo

o

at2

1+tv+x=x

at+v=v

Los aceleradores lineales de partículas constan básicamente de dos láminas car-gadas de signo opuesto (cuya polaridad puede invertirse periódicamente) que gene-ran un campo eléctrico uniforme de muy elevada intensidad, de forma que las partí-culas aceleradas llegan a alcanzar grandes velocidades. Se utilizan principalmente

VA - VB = E·r·cos α

VA - VB = diferencia de potencial

E = vector campo eléctrico (uniforme)

∆r = vector desplazamiento de A a B

q+ v aumenta

v disminuye q+

VA - VB = E·∆r

v2 – vo2 = 2a (x ‒ xo)

23

q+

para producir reacciones nucleares o como etapa previa antes de introducir las par-tículas en un acelerador circular, que combina campos eléctricos y magnéticos.

Ejemplo: Un electrón atraviesa un campo eléctrico uniforme de 600 N/C de intensidad dirigido en el sentido positivo del eje X. Calcular la velocidad del electrón después de recorrer una distancia de 1 mm, si: a) Parte del reposo. b) Parte con una velocidad inicial de 106 m/s en el mismo sentido que el campo. c) Parte con una velocidad inicial de 106 m/s en sentido opuesto al campo.

Suponemos que el campo eléctrico tiene el sentido del eje x+.

q·E = m.a → -1,6·10-19 ·600 = 9,1·10-31·a; a = -1,05·1014 m/s2 (Sentido x-)

a) Debido a la aceleración negativa, el electrón se desplazará en el sentido negativo del eje x (xo = 0, x = -0,001 m).

v2 – vo2 = 2a (x ‒ xo) → v2 = 2·(-1,05·1014)·(-0,001); v = -4,58·105 m/s

b) El electrón se desplaza inicialmente en el sentido positivo de x (xo = 0, x = 0,001 m) y, debido a la aceleración negativa, irá frenando.

v2 – vo2 = 2a (x ‒ xo) → v2‒ (106)2 = 2·(-1,05·1014)·(0,001); v = 8,88·105 m/s

c) El electrón se desplaza inicialmente en el sentido negativo de x (xo = 0, x = -0,001 m) y, debido a la aceleración negativa, irá acelerando.

v2 – vo2 = 2a (x ‒ xo) → v2‒ (-106)2 = 2·(-1,05·1014)·(-0,001); v = -1,1·106 m/s

- Si el campo eléctrico es uniforme y es perpendicular a la velocidad inicial de la carga, se puede determinar su velocidad o su posición final mediante las ecuaciones del tiro horizontal.

Eje x: vx = vo; x = xo + vxt

Eje y: vy = at; y = yo + 1

2at2

Ejemplo: Un electrón que lleva una velocidad inicial de 106 m/s en el sentido positivo del eje x, atraviesa un campo eléctrico uniforme de 600 N/C de intensidad en el sentido positivo del eje y. Si el electrón recorre 1 mm horizontalmente, calcular su velocidad final y la distancia que recorre verticalmente.

q·E = m.a → -1,6·10-19 ·600 = 9,1·10-31·a; a = -1,05·1014 m/s2 (Sentido y-)

x = xo + vxt → 0,001 = 106 t; t= 10-9 s

vy = at → vy = -1,05·1014·10-9 = -1,05·105 m/s; v = √(106)2+(-1,05·10

5)2 =1,005·106 m/s

y = yo + 1

2at2 =

1

2 (-1,05·10

14).(10

-9)2= 5,25·10-5 m

2º. Método energético: Se aplica el principio de conservación de la energía.

EcA + EpA = EcB + EpB; Ec = -Ep →

O bien:

Ec = q (VA - VB)

Wint = q (VA - VB)

24

La velocidad final puede despejarse a partir del valor de la energía cinética. Este método puede aplicarse aunque el campo eléctrico no sea uniforme, calculando previamente la diferencia de potencial. Si E = cte, la diferencia de potencial se puede determinar a partir de su relación con el campo eléctrico (VA - VB = E·Δr·cos α).

Según esta relación, para acelerar (ΔEc > 0) una carga positiva (q > 0) se precisa una diferencia de potencial positiva (VA - VB > 0), mientras que para acelerar una carga ne-gativa (q < 0) se precisa una diferencia de potencial negativa (VA - VB < 0).

La relación entre energía cinética y diferencia de potencial permite definir una unidad de energía que se aplica muy frecuentemente a cálculos con átomos o partículas subató-micas: el electronvoltio (eV). Un electronvoltio es la energía que adquiere un electrón al ser sometido a una diferencia de potencial de un voltio. Por tanto:

1 eV = -q·ΔV = 1,6·10-19 ·1 = 1,6·10-19 J

Ejemplo: Un electrón atraviesa un campo eléctrico uniforme de 600 N/C de intensidad dirigido en el sentido positivo del eje X. Calcular (por el método energético) la velocidad del electrón después de recorrer una distancia de 1 mm, si: a) Parte del reposo. b) Parte con una velocidad inicial de 106 m/s en el mismo sentido que el campo. c) Parte con una velocidad inicial de 106 m/s en sentido opuesto al campo.

a) El electrón (carga -) se desplazará en el sentido opuesto al campo eléctrico (α = 180º)

VA - VB = E·Δr·cos α = -600·0,001·cos 180 = -0,6 V

EcB – EcA = q (VA - VB) → 231 v·10·1,92

1- 0 = -1,6·10-19·(-0,6) → v = 4,58·105 m/s

b) El electrón se desplaza en el mismo sentido que el campo eléctrico (α = 0º)

VA - VB = E·Δr·cos α = 600·0,001·cos 0 = 0,6 V

2

19,1·10-31·v2–

2

19,1·10-31·(106)2 = -1,6·10-19·0,6 → v = 8,88·105 m/s

c) El electrón se desplaza en sentido opuesto al campo eléctrico (α = 180º)

2

19,1·10-31·v2–

2

19,1·10-31·(106)2 = -1,6·10-19·(-0,6) → v = 1,1·106 m/s

Ejemplo: Dos partículas alfa (m = 6,8·10-27 kg; q = 3,2·10-19 C) se encuentran separadas 10 cm. Si se envía una de las partículas hacia la otra con una velocidad inicial de 10 m/s, determinar la velocidad de la partícula cuando se encuentren a 1 cm de distan-cia.

VA = 9·109·3,2·10

-19

0,1= 2,88·10-8 V; VB = 9·109·

3,2·10-19

0,01= 2,88·10-7 V

2

16,8·10-27·v2–

2

16,8·10-27·102 = 3,2·10-19·(2,88·10-8 – 2,88·10-7) → v = 8,69 m/s

25

Σqint = cargas en el interior de la superficie

4. Flujo eléctrico. Teorema de Gauss

Se denomina flujo eléctrico al número de líneas de fuerza del campo eléctrico que atra-viesan una superficie.

El flujo eléctrico (Φ) depende de: - La intensidad del campo eléctrico, ya que cuanto mayor sea, más juntas están las

líneas. - La superficie atravesada por el campo. - El ángulo que forman las líneas del campo con el vector superficie (vector perpendi-

cular a la superficie). El flujo es máximo cuando el campo atraviesa perpendicular-mente la superficie (α = 0 →cos α = 1→ Φ = E·S) y es nulo cuando el campo es paralelo a la superficie (α = 90º → cos α = 0 → Φ = 0).

Por tanto, para un campo eléctrico constante, el flujo eléctrico viene dado por:

Unidad: N·m2/C o V·m O bien:

Teorema de Gauss

El teorema de Gauss permite el cálculo directo del flujo eléctrico a través de superficies cerradas. Si aplicamos la definición al cálculo del flujo creado por una carga puntual a través de una superficie esférica cuyo centro coincide con la carga:

Si dentro de la superficie existen varias cargas, el flujo total es igual a la suma de los flujos individuales, por tanto:

Φ = Φ1 + Φ2 +... = 4πKq1 + 4πKq2 +...

Si se expresa en función de la constante dieléctrica (εo = )πK4

1:

Esta fórmula constituye el enunciado del teorema de Gauss: "El flujo total que atraviesa una superficie cerrada cualquiera es igual a la suma de las cargas eléctricas encerrada en su interior dividida por la constante dieléctrica".

S

Φ = E·S· cos α Φ S·E=

Φ = Kq

r2·4πr2 = 4πKq

Este resultado puede generalizarse a cualquier superficie cerrada S', ya que el número de líneas que la atraviesan es el mismo independientemente de su forma.

+ S' S

Φ = 4πKΣqint

Φ =∑qint

εo

26

Cálculo de creado por una esfera cargada

El teorema de Gauss permite el cálculo del campo eléctrico creado por distribuciones continuas de carga. Para ello hay que elegir una superficie en la cual el campo eléctrico tenga un valor constante.

Φ = E·S·cos0 = E·4πr2

Φ = 4πKΣqint = 4πKQ

E·4πr2 = 4πKQ

Si la esfera está hueca o es conductora, las cargas se distribuyen en su superficie. Apli-cando el teorema de Gauss se deduce que el campo eléctrico en su interior es nulo.

Φ = 4πKΣqint = 0 E·S = 0 E = 0

El efecto por el cual las cargas eléctricas se distribuyen siempre por la superficie de un conductor, de manera que el campo eléctrico en su interior es nulo, se conoce como jaula de Faraday. Debido a este efecto, el interior de conductor se encuentra protegido de las descargas eléctricas y aislado de radiaciones electromagnéticas. Esto explica que el interior de los aviones no se vea afectado por los rayos eléctricos, así como el mal funcionamiento de los dispositivos móviles en algunos edificios, ascensores, etc.

5. Comparación entre los campos gravitatorio y eléctrico

Campo gravitatorio Campo eléctrico

Son fuerzas centrales (dirigidas hacia el centro del cuerpo que genera el campo)

Son inversamente proporcionales al cuadrado de la distancia

Fuerzas de atracción Fuerzas de atracción y de repulsión

Afecta a todos los cuerpos Afecta solo a cuerpos cargados

Su constante es universal Su constante depende del medio

Debido al reducido valor de la

constante G, solo se manifiesta para

masas muy grandes

La constante K en el vacío es unas 1020

veces mayor que G, por lo que su in-

tensidad suele ser muy elevada

Las líneas del campo siempre van

hacia la masa que lo crea (sumidero).

Las líneas del campo salen de las

cargas positivas (fuentes) y entran en

las negativas (sumideros)

Son campos conservativos (el trabajo para desplazar una masa o carga no de-

pende del camino seguido), por lo que llevan asociada una energía potencial

La energía potencial siempre es

negativa (tomando el infinito como

origen de energías potenciales)

La energía potencial puede ser positiva

o negativa (tomando el infinito como

origen de energías potenciales)

E =K Q

r2

El campo creado en el exterior de una esfera cargada es igual que el de una carga puntual del mismo valor situada en el centro de la esfera. Este resultado es independiente de que la esfera sea hueca o maciza.

S

Φ =0 Esfera hueca o conductora

S Q

27

EJERCICIOS

1. Dos cargas puntuales de -3 μC y +3 μC se encuentran situadas en el plano XY, en

los puntos (-1,0) y (1,0) respectivamente. Determinar el vector campo eléctrico:

a) En el punto de coordenadas (10,0). b) En el punto de coordenadas (0,10). Dato: K

Solución: a) 110,2 i

N/C; b) -53,3 i

N/C

2. Dos esferas pequeñas tienen carga positiva. Cuando se encuentran separadas una

distancia de 10 cm, existe una fuerza repulsiva entre ellas de 0,20 N. Calcular la

carga de cada esfera y el campo eléctrico creado en el punto medio del segmento

que las une si:

a) Las cargas son iguales y positivas. b) Una esfera tiene cuatro veces más carga que la otra. Dato: K Solución: a) 4,71·10-7 C, 0; b) 2,36·10-7 C, 9,44·10-7 C; 2,55·106 N/C

3. Tres cargas puntuales de valores q1 = +3 nC, q2= -5 nC y q3 = +4 nC están situadas,

respectivamente, en los puntos de coordenadas (0,3), (4,3) y (4,0) del plano XY. Si

las coordenadas están expresadas en metros, determinar:

a) La intensidad de campo eléctrico resultante en el origen de coordenadas. b) La fuerza ejercida sobre una carga q = 1 nC que se sitúa en el punto (0,0). Dato: K

Solución: a) j92,1i81,0

(N/C); b) j10·92,1i10·1,8 910

(N)

4. Tres cargas Q1 = 2 C, Q2 = 2 C y Q3 están situadas en los vértices de un triángulo

cuyas coordenadas (expresadas en m) son: Q1:(1,0); Q2:(-1,0); Q3:(0,2). Sabiendo

que el campo eléctrico en el punto (0,1) es nulo, determinar el valor de Q3.

Dato: K Solución: 1,41·10-6 C

5. Dos cargas eléctricas positivas de 3·10-6 C están situadas en los puntos A(0,2) y

B(0,-2). Otras dos cargas iguales Q están localizadas en los puntos C(4,2) y D(4,-2).

Sabiendo que el campo eléctrico en el origen de coordenadas es E = 4·103 𝑖 N/C y

que todas las coordenadas estén expresadas en metros, determinar el valor numé-

rico y el signo de las cargas Q.

Dato: K Solución: -5·10-6 C

6. Considerar una carga q1 = 6 µC, situada en el origen de coordenadas, y una carga

q2 = 10 µC situada en el punto x = 10 m. Determinar el punto entre ambas cargas en

el que una carga q estaría en equilibrio.

Dato: K

Solución: 4,36 m

7. Dos cargas puntuales de 1C y -4 C se encuentran fijas en los puntos (-2,0) y (2,0)

respectivamente. Determinar el punto del eje X en el que el campo eléctrico es nulo.

Solución: (-6,0)

28

8. Tres cargas iguales, cada una de 1 µC, están situadas en los vértices de un triángulo

equilátero de 10 cm de lado. Calcular:

a) La energía potencial electrostática de cualquiera de las cargas. b) El potencial eléctrico en el punto medio de cualquier lado. Dato: K Solución: a) 0,18 J; b) 4,64·105 V

9. Se tienen cuatro cargas cuyo valor absoluto es |q| = 1·10-6 C, situadas en los vértices

de un cuadrado de lado a = 30 cm, que está en el plano xy. Dos de ellas son positivas

y están en los puntos (0,0) y (a,a). Las otras dos son negativas y están situadas en

los puntos (0,a) y (a,0). Calcular:

a) La fuerza que se ejerce sobre la carga +q situada en el punto (a,a) debida a las otras tres.

b) La energía potencial de la carga situada en el origen de coordenadas debida a las otras tres.

Dato: K Solución: a) -6,46·10-2 𝑖 - 6,46·10-2 𝑗 N; b) -0,0388 J

10. Dos cargas q1 = -4 nC y q2 = 4 nC están situadas en los puntos P1 (3, 4) y P2 (-3, 4), respectivamente, del plano xy (coordenadas expresadas en metros). Determinar: a) El vector campo eléctrico en el origen de coordenadas. b) El potencial electrostático en el origen de coordenadas. Dato: K Solución: a) 1,73 𝑖 N/C; b) 0 V

11. Tres cargas puntuales de valores q1 = +3 nC, q2= -5 nC y q3 = +4 nC están situadas,

respectivamente, en los puntos de coordenadas (0,3), (4,3) y (4,0) del plano XY. Si las coordenadas están expresadas en metros, determinar: a) El potencial eléctrico en el origen de coordenadas. b) La energía potencial de la carga q3. Dato: K

Solución: a) 9 V; b) -3,84·10-8 J

12. En el plano XY se sitúan tres cargas puntuales iguales de 2 μC en los puntos P1(1,-1) mm, P2(-1,-1) mm y P3(-1,1) mm. Determinar el valor que debe tener una carga situada en P4 (1,1) mm para que: a) El campo eléctrico se anule en el punto (0,0) mm. En esas condiciones, ¿cuál

será el potencial eléctrico en dicho punto? b) El potencial eléctrico se anule en el punto (0,0) mm. En esas condiciones, ¿cuál

será el vector de campo eléctrico en dicho punto? Dato: K

Solución: a) 2 μC; 5,1·107 V; b) -6 μC; 2,54·1010 i + 2,54·1010 j (N/C)

13. Dos cargas puntuales, con valores q1 = -4 nC y q2 = +2 nC respectivamente, están situadas en los puntos P1 (-5,0), y P2 (3,0) (coordenadas en centímetros). Determine: a) El campo eléctrico y el potencial eléctrico en el origen de coordenadas. b) En qué punto situado en el segmento que une las dos cargas el potencial eléc-

trico se anula. Dato: K Solución: a) 3,4·104 𝑖 N/C; -13,3 V; b) (1/3,0)

29

14. Se disponen dos cargas eléctricas sobre el eje X: una de valor Q1 en la posición (1,0), y otra de valor Q2 en (-1,0). Sabiendo que todas las distancias están expresa-das en metros, determinar en los dos casos siguientes: a) Los valores de las cargas Q1 y Q2 para que el campo eléctrico en el punto (0,1)

sea el vector = 2·105 𝑗(N/C). b) La relación entre las cargas Q1 y Q2 para que el potencial eléctrico en el punto

(2,0) sea cero. Dato: K Solución: a) 3,14·10-5 C; b) -1/3

15. Una carga puntual, q = 3 µC, se encuentra situada en el origen de coordenadas, tal y como se muestra en la figura. Una se-gunda carga q1 = 1 µC se encuentra inicialmente en el punto P1(1,0) m y, recorriendo la espiral de la figura, llega al punto P2(0,2) m. Determinar:

a) La diferencia de potencial entre los puntos P1 y P2.

b) El trabajo realizado para llevar la carga q1 del punto P1 al P2.

Dato: K

Solución: a) 13500 V; b) -0,0135 J

16. Dos cargas fijas Q1 = +12,5 nC y Q2 = -2,7 nC se encuentran situadas en los puntos del plano XY de coordenadas (2,0) y (-2,0) respectivamente. Si todas las coordena-das están expresadas en metros, calcular: a) El potencial eléctrico que crean estas cargas en el punto A (-2,3). b) El trabajo necesario para trasladar un ion de carga negativa igual a -2e del punto

A al punto B, siendo B (2,3), indicando si es a favor o en contra del campo. Dato: K, e Solución: a) 14,4 V; b) -5,84·10-18 J

17. Dos cargas puntuales iguales, de valor 2·10-6 C, están situadas respectivamente en los puntos (0,8) y (6,0). Si las coordenadas están expresadas en metros, determinar: a) La intensidad del campo eléctrico en el origen de coordenadas (0,0). b) El trabajo que es necesario realizar, para llevar una carga q = 3·10-6 C desde el

punto P (3,4), punto medio del segmento que une ambas cargas, hasta el origen de coordenadas.

Dato: K

Solución: a) j281,25i500

(N/C); b) -5,85·10-3 J

18. Dos cargas eléctricas, positivas e iguales, situadas en los puntos (2, 2) m y (-2, -2) m generan un campo eléctrico en el punto (1, 1) m de módulo E = 5·103 N·C−1; de-terminar: a) El valor de las cargas eléctricas y el vector campo eléctrico en el punto (-1, -1)

m. b) El trabajo necesario para traer una carga de 2 C desde el infinito hasta el punto

(-1, -1) m. Dato: K Solución: a) 1,25·10−6 C, −3,54·103 𝑖− 3,54·103 𝑗; b) 2,12·104 J

30

19. Una carga q1 = 10 μC está situada en el origen de coordenadas, mientras que otra carga q2 = 20 μC está situada en el punto (3,0) m. Calcular: a) El punto del espacio en el que el campo eléctrico total generado por ambas car-

gas es nulo. b) El trabajo que realiza el campo para transportar un electrón desde el punto (3,4)

m hasta el punto (2,0) m. Datos: e, K Solución: a) (1.24,0); b) 2,59·10-14 J

20. En el semiespacio definido por z ≥ 0 existe un campo eléctrico uniforme dado por

E= 5000 k N C-1. Determinar: a) La diferencia de potencial entre los puntos P1(1,2,3) m y P2(2,4,3) m. b) El trabajo requerido para llevar una carga q = 5 µC, desde el punto P2(2,4,3) m

al P3(1,1,1) m. Solución: a) 0; b) 0,05 J

21. Un electrón atraviesa un campo eléctrico uniforme de 2,0·104 N/C de intensidad, con

una velocidad inicial vo = 3,0·107 m/s paralela a las líneas del campo y de sentido contrario a éstas.

Determinar: a) Diferencia de potencial existente entre los puntos de entrada y salida del campo. b) Velocidad del electrón a la salida del campo. Datos: me, e Solución: a) -200 V; b) 3,115·107 m/s

22. Un electrón que se mueve con una velocidad = 2 · 106𝑖 m/s penetra en una región en la que existe un campo eléctrico uniforme. Debido a la acción del campo, la ve-locidad del electrón se anula cuando éste ha recorrido 90 cm. Calcular, despreciando los efectos de la fuerza gravitatoria: a) Módulo, dirección y sentido del campo eléctrico existente en dicha región. b) Trabajo realizado por el campo eléctrico en el proceso de frenado del electrón. Datos: me, e

Solución: a) 12,6 i

(N/C); b) -1,81·10-18 J

23. Un protón (mp=1,67·10-27 kg, qp=1,60·10-19 C) y una partícula alfa (m=4mp, q= 2qp) parten del reposo del mismo punto de un campo eléctrico uniforme E = 200 N/C y recorren una distancia de 4 cm. En esa posición: a) ¿Qué partícula tiene mayor energía cinética, y cuál es su valor? b) ¿Qué partícula se mueve con mayor velocidad, y cuál es su valor? Solución: a) 2,56·10-18 J; b) 3,9·104 m/s

24. Dos partículas iguales de carga Q = -3 nC se encuentran fijas en los puntos (0, 3) y

(0,-3) m del plano xy. a) Determine el campo eléctrico creado por ambas cargas en el punto (4, 0) m. b) Si se deja una partícula en reposo de carga q = 2 nC y masa m = 10 g en el

punto (4, 0), ¿cuál será su velocidad cuando pase por el origen de coordenadas? Dato: K Solución: a) -1,73 𝑖 N/C; b) 1,7·10-3 m/s

31

25. Una carga q1 = 10 μC está situada en el origen de coordenadas, mientras que otra carga q2 = 20 μC está situada en el punto (3,0) m. Calcular: a) El punto del espacio en el que el campo eléctrico total generado por ambas car-

gas es nulo. b) El trabajo que realiza el campo para transportar un electrón desde el punto

(3,4) m hasta el punto (2,0) m. Datos: e, K Solución: a) (1.24,0); b) 2,59·10-14 J

26. Un protón se encuentra situado en el origen de coordenadas del plano XY. Un elec-trón, inicialmente en reposo, está situado en el punto (2,0). Por efecto del campo eléctrico creado por el protón (supuesto inmóvil), el electrón se acelera. Estando

todas las coordenadas expresadas en m, calcular: a) El campo eléctrico y el potencial creado por el protón en el punto (2,0). b) La velocidad del electrón en la posición (1,0). Datos: K, me, e

Solución: a) 360 i

N/C; 7,2·10-4 V; b) 1,59·104 m/s

27. Una carga q = +1·10-6 C se encuentra en el vacío. a) Calcular el campo eléctrico y el potencial en un punto situado a 40 cm de q. b) Si se envía una partícula de masa m = 3·10-12 kg, con la misma carga +q y

velocidad inicial vo = 1·105 m s-1 dirigida hacia la primera carga desde una po-sición muy lejana, determinar la distancia a la que se parará dicha partícula.

Dato: K Solución: a) 56250 N/C; 22500 V; b) 60 cm

28. Una superficie esférica de radio R tiene una carga eléctrica Q distribuida uniforme-mente en ella. a) Deducir la expresión del módulo del vector campo eléctrico en un punto situado

en el exterior a dicha superficie haciendo uso del teorema de Gauss. b) ¿Cuál es la razón entre los módulos de los vectores campo eléctrico en dos pun-

tos situados a las distancias del centro de la esfera r1 = 2 R y r2= 3 R? Solución: b) 9/4

29. Considerar una carga puntual q = 5 nC situada en el centro de una esfera de radio R = 10 cm. Determinar: a) El flujo del campo eléctrico a través de la superficie de la esfera. b) El trabajo que es necesario realizar para traer una carga de 2 nC desde el infinito

hasta una distancia de 10 cm del centro de la esfera. Dato: K Solución: a) 564,97 V·m; b) 9·10-7 J

30. Una carga de +10 nC se distribuye homogéneamente en la región que delimitan dos esferas concéntricas de radios r1 = 2 cm y r2 = 4 cm. Utilizando el teorema de Gauss, calcular: a) El módulo del campo eléctrico en un punto situado a 6 cm del centro de las es-

feras. b) El módulo del campo eléctrico en un punto situado a 1 cm del centro de las es-

feras. Dato: εo Solución: a) 25000 N/C; b) 0

32

TEMA 3: INTERACCIÓN MAGNÉTICA. ELECTROMAGNETISMO

1. Campo magnético. Fuerza magnética

El magnetismo es la propiedad que poseen algunas sustancias de atraer metales como hierro, cobalto y níquel. Se llama imán a un objeto que posee magnetismo. Todo imán posee dos polos, Norte y Sur, por analogía con los polos magnéticos de la Tierra; los polos iguales se repelen y los polos distintos se atraen. Los polos de un imán no pueden separarse, no hay monopolos magnéticos, sino dipolos.

Se llama campo magnético a la región del espacio en la que aparecen fuerzas magné-ticas. Las líneas de fuerza de un imán son cerradas y salen del polo Norte y entran por el polo Sur.

En cada punto de un campo magnético se puede definir un vector campo magnético

o inducción magnética, B

, tangente a las líneas del campo. Su unidad es la Tesla (T).

En realidad, toda carga en movimiento y, por tanto, toda corriente eléctrica, genera un campo magnético a su alrededor. Cada electrón genera un débil campo magnético (spin), pero en la mayoría de las sustancias estos campos magnéticos se anulan mu-tuamente al estar orientados al azar; en un imán los campos magnéticos están orienta-dos en el mismo sentido.

Fuerza magnética sobre cargas en movimiento

La fuerza ejercida por un campo magnético B

sobre una carga q que se mueve con

velocidad v

viene dada por:

El sentido del producto vectorial puede determinarse

por la “regla del tornillo”, de modo que el vector Bv

es perpendicular al plano formado por Byv

y su sen-

tido es el del avance de un tornillo que gira de .Bhaciav

Si la carga es positiva, tiene el mismo

sentido que

Si la carga es negativa, tiene sentido

opuesto a

)B×v·(q=F

N S

33

El módulo de la fuerza magnética viene dado por:

El movimiento de la carga dependerá de la dirección de v

respecto a B

:

- Si v

es paralela a B

, la fuerza es nula, y la partícula se moverá con movimiento

rectilíneo uniforme.

- Si v

es perpendicular a B

, la fuerza magnética es perpendicular a la velocidad de la

carga y actúa como fuerza centrípeta, de forma que la carga describirá un movi-

miento circular uniforme en el plano formado por v

y F

.

- Si v

forma un ángulo cualquiera con B

, se producirá un movi-

miento helicoidal por la acción conjunta de la fuerza centrí-

peta y el avance de la partícula en la dirección del campo mag-

nético.

Ejemplo: Un electrón penetra en una región en la que existe un campo magnético

B

= -2 i

(T) con una velocidad de v

= -4·105 k

(m/s). Determinar la fuerza ejercida sobre

el electrón y el radio de su trayectoria. Representar su trayectoria.

F = q(v×B) = -1,6·10-19 |

i j k

0 0 -4·105

-2 0 0

| = −1,28·10-13

j (N)

r

)10·4(·10·1,91,28·10

253113-

r = 1,13·10-6 m

Las principales aplicaciones de la fuerza magnética son el ciclotrón y el espectrógrafo

de masas:

- El ciclotrón es un acelerador circular de partículas que

combina la acción de un campo eléctrico alterno con

un campo magnético uniforme. Consta dos cámaras

semicirculares o Ds que se encuentran en el interior

de un campo magnético perpendicular a ellas. El

campo magnético hace que las partículas describan

una semicircunferencia en el interior de cada D, de

donde pasan a una zona de campo eléctrico, que las

acelera hasta la otra D, en la cual, al tener mayor ve-

locidad, describirán una semicircunferencia de mayor

radio antes de volver a ser aceleradas por el campo

eléctrico, que habrá cambiado su polaridad.

r r

F = m·aN

r =

Bv

B

F

v

F q·v·B.sen

α = ángulo formado por Byv

34

Se llama frecuencia ciclotrónica a la frecuencia con la que oscila el campo eléctrico

cambiando su polaridad, que coincide con la frecuencia del movimiento circular de

las partículas; solo depende de la carga y la masa de las partículas y del valor del

campo magnético, por lo que permanece constante durante todo el proceso.

La principal ventaja del ciclotrón respecto a los aceleradores lineales de partículas es

que permite que las partículas alcancen grandes velocidades sin necesidad de utilizar

campos eléctricos muy intensos y con un tamaño mucho más reducido.

Ejemplo: En un ciclotrón, los protones describen una circunferencia de 0,4 m de radio

justo antes de emerger. La frecuencia ciclotrónica es de 107 Hz. Calcular el campo mag-

nético utilizado y la velocidad de los protones cuando salen del acelerador.

ω = 2πf = 2π107 = 6,28·107 rad/s

F = m·aN → qωrB = mω2r → B = 1,7·10

-27·6,28·10

7

1,6·10-19 = 0,667 T

v = ωr = 6,28·107·0,4 = 2,51·107 m/s

- El espectrógrafo de masas consiste en un tubo

en el que se introduce una muestra en estado

gaseoso del elemento a analizar. En su interior,

una fuerte descarga produce la ionización del

gas, y los iones formados son acelerados por un

campo eléctrico y desviados por un campo mag-

nético, haciendo que describan un arco de cir-

cunferencia. Esto permite separar los distintos

isótopos que forman el elemento, ya que los ra-

dios de sus trayectorias son directamente pro-

porcionales a sus masas.

Ejemplo: En un espectrógrafo de masas un ion con carga +e se acelera con una

diferencia de potencial de 3000 V y, a continuación, se somete a un campo magnético

de 0,2 T describiendo una trayectoria de 13´67 cm de radio. Calcular la masa del ion.

ΔEc = q (VA – VB) → 1

2mv2 = 1,6·10-19·3000 → v = √

9,6·10-16

m

lql·v·B = mv2

r → lql·B·r = m·v → 1,6·10-19·0,2·0,1367 = m √

9,6·10-16

m = 1,99·10-26 kg

La fuerza de Lorentz expresa la fuerza total que se ejerce sobre una carga en una

región donde hay campo eléctrico y magnético:

F = Fe+ Fm = qE + q(v×B)

En ocasiones, interesa que las fuerzas eléctrica y magnética se anulen mutuamente, de

forma que la partícula no se desvíe. En este caso, se cumple que:

=Fe

- mF

→ q =E

-q )B×v(

→ =E

- )B×v(

Ejemplo: Determinar el campo eléctrico que hay que aplicar a un electrón que penetra

en una región en la que existe un campo magnético B

= -2 i(T) con una velocidad de

v = -4·105 k

(m/s) para que no se desvíe.

=Fe

-

mF

→ q =E

-q )B×v(

→ =E

-(-4·105 ×)k

(-2 )i

= -8·105 j(N/C)

muestra descarga campo

eléctrico

Detector

campo magnético

35

Fuerza magnética sobre corrientes eléctricas

Una corriente eléctrica consiste en un flujo de electrones. Por tanto, si el conductor se encuentra en el interior de un campo magnético, cada uno de dichos electrones está sometido a una fuerza magnética. La resultante de dichas fuerzas, es la fuerza magné-tica que actúa sobre el conductor.

Sabiendo que la intensidad de corriente I = q/t y que el espacio recorrido por los elec-trones es la longitud del conductor l= v·t:

F = IqI·v·B·sen α = I·t·v·sen α = I·l·sen α

l representa el vector longitud, cuyo módulo coincide con la longitud del conductor, y cuyos sentido y dirección coinciden con los de la corriente.

Cuando un circuito se introduce en el seno de un campo magnético, se originan fuerzas de sentido opuesto en los lados paralelos del circuito, lo que produce su rotación (motor eléctrico).

Ejemplo: Un hilo conductor de 20 cm de longitud por el que circula una corriente de 4 A en el sentido positivo del eje Y, se encuentra en un campo de 5 T en el sentido negativo del eje Z. Determinar la fuerza magnética sobre el conductor.

F = I(l×B) = 4· |i j k

0 0,2 -0

0 0 -5

| = -4i (N)

2. Ley de Ampère. Campos magnéticos creados por corrientes eléctricas

Al estudiar los campos gravitatorio y eléctrico se vio que ambos campos son conserva-tivos, ya que el trabajo realizado por la fuerza (gravitatoria o electrostática) a lo largo de una trayectoria cerrada es nulo.

De forma más general, se puede afirmar que la condición necesaria y suficiente para que un campo sea conservativo es que su circulación a lo largo de una trayectoria cerrada sea nula. La circulación de un vector se define matemáticamente como su inte-gral respecto al desplazamiento a lo largo de una línea. Se puede comprobar que en los campos gravitatorio y eléctrico cumplen esta condición:

Para el campo gravitatorio: C = ∮ g·dr = ∮F

m·dr =

W

m= 0

Para el campo eléctrico: C = ∮ E·dr = ∮F

q·dr =

W

q= 0

Sin embargo, en el caso del campo magnético, la circulación del campo magnético a lo largo de una trayectoria cerrada no es nula, por lo que el campo magnético no es conservativo y no es posible definir una energía potencial magnética. Según la ley de Ampère, “la circulación del campo magnético a lo largo de una trayectoria cerrada es directamente proporcional a la intensidad de corriente que atraviesa el área encerrada por dicha línea”.

Para el campo magnético:

Si B es constante a lo largo de la línea y forma un ángulo nulo con el desplazamiento, se obtiene la siguiente expresión:

F = I·(lxB)

C = ∮ B·dr = μo·I

μo = 4π·10-7 T·m/A (permeabilidad magnética del vacío) I = intensidad de la corriente (A)

B·l = μo·I l = longitud de la línea a lo largo de la cual actúa B

36

Y

I X

= i

La ley de Ampére para el campo magnético es equivalente al teorema de Gauss para el campo eléctrico, ya que permite calcular el campo magnético creado por distintos ele-mentos de corriente eligiendo una línea cerrada a lo largo de la cual el valor del campo magnético sea constante.

Campos magnéticos creados por corrientes eléctricas

a) Corrientes rectilíneas: Una corriente rectilínea crea un campo magnético a su alrede-dor cuyas líneas de fuerza son circunferencias concéntricas con el conductor en el plano perpendicular a este. El sentido de dichas líneas viene dado por la "regla de la mano derecha": al coger el conductor con la mano derecha, si el dedo pulgar apunta en el sentido de la corriente, el resto de la mano rodeará al conductor en el sentido de las líneas del campo.

Aplicando la ley de Ampère a lo largo de una circunferencia de radio r:

B·2πr = μo·I →

Vectorialmente:

Ejemplo: Por un alambre rectilíneo situado a lo largo del eje Z circula una corriente de 4 A en el sentido negativo de dicho eje. Determinar el campo magnético en los puntos: a) (0,10,0) cm b) (8,6,0) cm

a)

El vector es tangente en cada punto a las líneas del campo.

To

urπ2

Iμ=B

donde Tu

= vector unitario tangente a la línea de campo ( rT uu

)

rπ2

Iμ=B

o

37

b)

Fuerzas entre corrientes paralelas

Si suponemos dos corrientes rectilíneas y paralelas, cada una de ellas genera en campo magnético en la región donde se encuentra la otra corriente, lo que da lugar a sendas fuerzas magnéticas de igual dirección, pero sentido opuesto.

Corrientes del mismo sentido Corrientes de sentido opuesto

Para un segmento de longitud l de cada conductor, ambas fuerzas tendrán el mismo

módulo:

F12 = F21 = I1·l·B2 = I1·l·μoI2

2πr=

μoI1I2

2πr·l

Por tanto, la fuerza por unidad de longitud entre dos corrientes paralelas viene dada por:

Esta ecuación permite definir el Amperio (A) como la intensidad de corriente que deben tener dos conductores paralelos situados en el vacío a un metro de distancia para pro-ducir una fuerza igual a 2·10-7 N por metro de longitud.

Ejemplo: Dos conductores rectilíneos paralelos al eje Z, cortan al eje Y en los puntos (0,0,0) y (0,3,0). Por el primer conductor circula una corriente de 10 A en el sentido positivo del eje Z y por el segundo conductor circula una corriente de 5 A en el sentido negativo del eje Z. Determinar el vector fuerza por unidad de longitud que ejerce el pri-mer conductor sobre el segundo.

F12 = 4𝜋·10−7·10·5

2𝜋·3 = 3,33·10-6 (N/m)

3,33·10-6 (N/m)

(T)j6,4·10i4,8·10=)j0,8i0,6(1,0·π2

4·10·π4=B

j0,8i0,6=u;j0,6+i0,8=6+8

j6+i8=u

667

T22r

__

_

__

_

Y

B

I X

I1 I2

B2 B1

F21 F12

I1 I2

F21 F12 B1

B2

F

l =

μoI1I2

2πr

38

La circulación a lo largo de la línea discontinua solo es distinta de cero en el segmento de longitud L que atraviesa el interior del solenoide; dicho rectángulo está atravesado N veces por la co-rriente I. Por tanto, aplicando la ley de Ampére, se obtiene:

B·L = μoNI →

b) Corrientes circulares: Una corriente circular (espira) crea un campo magnético en su

centro perpendicular al plano de la espira. El sentido del campo viene dado por la

"regla de la mano derecha": al seguir el sentido de la corriente con los dedos de la

mano derecha, el dedo pulgar apunta en el sentido del campo.

En este caso, al no ser contante el campo magnético a lo largo de ninguna posible línea

cerrada, no es posible aplicar la ley de Ampère para calcular su valor.

c) Corrientes helicoidales: Una corriente helicoidal (bobina o solenoide) crea un campo magnético en su centro perpendicular al plano de sus espiras. El sentido del campo viene dado por la "regla de la mano derecha": al seguir el sentido de la corriente con los dedos de la mano derecha, el dedo pulgar apunta en el sentido del campo.

Si se introduce en el núcleo del solenoide un material con una permeabilidad mag-nética elevada, como un cilindro de hierro, se obtiene un electroimán, que da lugar a un campo magnético muy intenso.

3. Inducción electromagnética

La inducción electromagnética es el fenómeno mediante el cual se produce una co-rriente eléctrica como consecuencia de la variación de un campo magnético. Fue des-cubierto por Michael Faraday en 1831, después de realizar diversas experiencias con imanes e hilos conductores.

Faraday observó que al acercar o alejar un imán a una espira se detectaba el paso de corriente eléctrica por esta, cambiando el sentido de la corriente al invertir el sentido del movimiento. También comprobó que se producía el mismo efecto si se sustituía el imán por una bobina por la que circulaba una corriente; por último, dejando fija la bobina y accionando un interruptor en esta, también detecto el paso de corriente en la espira. Por su parte, Joseph Henry observó un efecto análogo al desplazar un hilo conductor cerca de un imán. Mediante estas experiencias se estableció que las variaciones de los cam-pos magnéticos daban lugar a corrientes eléctricas, sentando las bases de la generación de corriente alterna. La intensidad de corriente obtenida depende de la variación de una magnitud denominada flujo magnético.

R

Se puede demostrar que el módulo del campo mag-nético en el centro de la espira viene dado por:

S N

L

S N

L

NIμ=B o

39

Flujo magnético

El flujo magnético es el número de líneas de fuerza que atraviesan una superficie. Ma-temáticamente, si el campo magnético es constante en toda la superficie, viene dado por el producto escalar del campo magnético por el vector superficie:

α·cosS·B=S·B=Φ

El flujo es máximo cuando el campo magnético es perpendicular a la superficie (el vector campo magnético forma un ángulo de 0º con el vector normal a la superficie) y es nulo cuando el campo es paralelo a la superficie (α = 90º).

Si el campo magnético atraviesa una bobina formada por N espiras, el flujo total será la suma de los flujos individuales en cada una de las espiras:

Unidad: weber (Wb)

Ejemplo: Una bobina de 200 vueltas y de sección circular de diámetro 8 cm está situado en un campo magnético uniforme de valor 0,5 T cuya dirección forma un ángulo de 60° con el eje de la bobina. Determinar el flujo magnético que atraviesa la bobina.

S = π·(0,04)2 = 5·10-3 m2; Φ = 200·0,5·5·10-3·cos 60 = 0,25 Wb

Leyes de Faraday y Lenz

Se puede demostrar que las corrientes inducidas se producen como consecuencia de una variación del flujo magnético (experiencias de Faraday y Henry). Las leyes de Fa-raday y Lenz permiten determinar el valor y el sentido de la corriente inducida.

- Ley de Faraday: "La fuerza electromotriz inducida es igual a la variación de flujo magnético por unidad de tiempo". Esto nos permite determinar la fuerza electromotriz media (en un intervalo de tiempo) e instantánea (en un instante determinado).

La fuerza electromotriz media es el cociente entre la variación de flujo y el tiempo transcurrido:

Unidad: voltio (V)

Si el flujo varía linealmente, la fuerza electromotriz se calcula siempre de este modo, ya que su valor es constante.

La intensidad de corriente se calcula aplicando la ley de Ohm:

Ejemplo: Un solenoide de 200 vueltas, 5 Ω de resistencia y sección circular de diámetro 8 cm está situado en un campo magnético uniforme de valor 0,5 T cuya dirección forma un ángulo de 60° con el eje del solenoide. Si en un tiempo de 100 ms disminuye el valor del campo magnético uniformemente a cero, determinar la fuerza electromotriz inducida en dicho solenoide.

S = π·(0,04)2 = 5·10-3 m2

Φo = 200·0,5·5·10-3·cos 60 = 0,25 Wb

Φf = 200·0·5·10-3·cos 60 = 0 Wb

Φ = N·B·S·cos α

εm = -tΔ

ΔΦ

ε = -tΔ

ΔΦ=

1,0

25,00_

-= 2,5 V

I =5

2,5

R

ε =0,5 A

R

εI

I = intensidad. Unidad: amperio (A) R = resistencia. Unidad: ohmio (Ω)

40

La fuerza electromotriz instantánea es el límite de la fuerza electromotriz media cuando el tiempo transcurrido tiende a cero. Por tanto, es igual a la derivada del flujo magnético respecto al tiempo.

Ejemplo: Una bobina circular de 200 vueltas,100 cm2 de superficie y 2 Ω de resistencia se coloca en un campo magnético perpendicular al plano de la bobina cuyo módulo varía con el tiempo según la expresión B = t3 + 3t2 -4t. Calcular la fuerza electromotriz inducida en la bobina y la intensidad para t = 1 s.

Φ = 200·0,01· (t3 + 3t2 -4t)·cos 0 = 2t3 + 6t2 -8t (Wb)

ε = -dt

Φd= -(6t2 +12t -8) = -6t2 -12t + 8 (V)

t = 1 s ε = -6 -12 + 8 = -10 V

Ejemplo: Sobre un hilo conductor se desliza una varilla MN en presencia de un campo magnético uniforme de 50 T, perpendicular al plano del circuito. La varilla se desplaza en la dirección del eje x+ de acuerdo con la expresión x = xo+ vt, siendo xo = 10 cm y v = 2 m/s. a) Calcular, en función del tiempo, el flujo magnético

que atraviesa el circuito. b) Calcular la fuerza electromotriz inducida en el circuito.

a) x = 0,1 + 2t); S = 0,02·( 0,1 + 2t)) = 0,002 + 0,04t

Φ = B·S = 50·(0,002 + 0,04t) = 0,1 + 2t (Wb)

b) ε = -dt

Φd= -2 V

- Ley de Lenz: "La corriente inducida genera un campo magnético cuyo sentido se

opone a la variación de flujo original". Es decir, si se produce un aumento de flujo, la corriente inducida genera un campo magnético con sentido opuesto al del campo magnético original. Sin embargo, si se produce una disminución de flujo, la corriente inducida genera un campo magnético cuyo sentido coincide con el del campo mag-nético original.

Ejemplo: Una espira circular está situada en un campo magnético uniforme con sentido hacia fuera del papel. Determinar el sentido de la corriente inducida si: a) El valor del campo magnético aumenta con el tiempo. b) El valor del campo magnético disminuye con el tiempo.

a) Si el campo magnético aumenta con el tiempo, se produce un aumento de flujo, por lo que la co-rriente inducida genera un campo magnético hacia dentro, opuesto al campo magnético original: Por tanto (aplicando la regla de la mano derecha) la corriente inducida tiene sentido horario.

ε = -dt

Φd

I =

A52

10

41

Corriente alterna

Suponemos una espira de superficie S girando con velocidad angular constante ω, en un campo magnético uniforme B.

El ángulo que forma el vector campo magnético con el vector normal a la superficie varía con el tiempo según la ecuación del M.C.U.:

φ = ω·t + φo

Por tanto el flujo magnético varía con el tiempo según la expresión:

Φ = B·S·cos α = B·S·cos (ω·t + φo)

La fuerza electromotriz instantánea se calcula mediante la derivada del flujo:

ε = -dt

Φd= - (B·S·(-sen (ω·t + φo))·ω) = B·S·ω· sen (ω·t + φo)

Se produce una corriente alterna que cambia de sentido cada medio ciclo:

Si tenemos una bobina de N espiras:

Φ = N·B·S·cos (ω·t + φo); ε = N·B·S·ω· sen (ω·t + φo) → εmáx = N·B·S·ω

b) Si el campo magnético disminuye con el tiempo, se

produce una disminución de flujo, por lo que la co-rriente inducida genera un campo magnético hacia fuera, con el mismo sentido que el campo magné-tico original: Por tanto, la corriente inducida tiene sentido antihorario.

ε BSω

t -BSω

Fuerza electromotriz máxima:

εmáx = B·S·ω

-BSω

42

Ejemplo: Una bobina circular de 200 vueltas y 100 cm2 de superficie se coloca en un campo magnético inicialmente perpendicular al plano de la bobina cuyo módulo es B = 5 T. La bobina comienza a girar con un periodo de 4 s. Calcular la fuerza electro-motriz inducida en la bobina para t = 1 s.

Φ = 200·5·0,01·cos (2

π·t + 0) = 10·cos (

2

π·t)

ε = -(10·(-sen (2

π·t))·

2

π = 10·

2

π· sen (

2

π·t); t = 1 s ε = 10·

2

π· sen

2

π = 15,7 V

EJERCICIOS 1. Un electrón que se mueve con velocidad v = 5·103 m/s en el sentido positivo del eje

X entra en una región del espacio donde hay un campo magnético uniforme

B = 10-2 T dirigido en el sentido positivo del eje Z.

a) Calcular la fuerza F

que actúa sobre el electrón.

b) Determinar el radio de la órbita circular que describirá el electrón.

Datos: e, me

Solución: a) 8·10-18 j

N/C; b) 2,85·10-6 m

2. En un instante determinado un electrón que se mueve con una velocidad v

= 4·104 i

m/ s penetra en una región en la que existe un campo magnético de

valor B

= -0,8 j

T. Determinar:

a) El módulo, la dirección y el sentido de la aceleración adquirida por el electrón en

ese instante, efectuando un esquema gráfico en la explicación.

b) La energía cinética del electrón y el radio de la trayectoria que describiría el elec-

trón al moverse en el campo, justificando la respuesta.

Datos: e, me

Solución: a) 5,63·1015 k

m/s2; b) 7,28·10-22 J; 2,84·10-7 m

3. Una partícula cargada se mueve en un campo magnético uniforme B

= -0,2 i

T, des-cribiendo una circunferencia en un plano perpendicular a la dirección del campo

magnético con periodo de 3,2·10-7 s, y velocidad de v

= 3,8·106 k

m/s. Determinar:

a) La relación carga/masa de la partícula.

b) Sabiendo que la partícula describe una circunferencia en sentido horario, dedu-

cir, utilizando un esquema, el signo de la carga.

Solución: a) 9,8·107 C/kg

4. Dos partículas idénticas A y B, de cargas 3,2·10-19 C y masas 6,4·10-27 kg, se mueven en una región donde existe un campo magnético uniforme de valor jiBo

(T). En

un instante dado, la partícula A se mueve con velocidad j10i10v 33

A

(m·s-1) y la

partícula B con velocidad j10-i10v 33

B

(m·s-1).

a) Calcular, en ese instante, la fuerza que actúa sobre cada partícula.

b) Una de ellas realiza un movimiento circular; calcular el radio de la trayectoria que describe y la velocidad angular del movimiento.

Solución: a) -6,4.10–16 k

(N); b) 2·10-5 m; 7,1·107 rad/s

43

5. Una partícula alfa (núcleo de helio) inicialmente en reposo se acelera a través de una diferencia de potencial de 5 kV, y entra en una región con un campo magnético de 0,3 T perpendicular a su velocidad, como muestra la figura. Determinar al penetrar en el campo magnético: a) La energía cinética adquirida por la partícula y el

módulo de su velocidad. b) La fuerza magnética que experimenta la partícula y

el radio de curvatura de la trayectoria. Datos: e, mα = 6,68·10−27 kg Solución: a) 1,6·10−15 J, 6,92·105 m/s; b) 6, 64 · 10−14 N, 0,048 m

6. Un electrón, situado inicialmente en el origen de coordenadas, se mueve con una

velocidad inicial, vo = 2i m s-1, en presencia de un campo magnético uniforme

B = 3k T y de un campo eléctrico uniforme E = -i N C-1. Determinar:

a) La fuerza total sobre el electrón debida a los campos B y E, en el instante inicial. b) La diferencia de potencial entre los puntos (0,0,0) y (2,0,0) m, indicando el punto

que está a mayor potencial. ¿Qué trabajo realiza la fuerza total que actúa sobre el electrón para desplazarlo desde el origen al punto (2,0,0) a lo largo del eje x?

Dato: e

Solución: a) 1,6·10-19 i + 9,6·10-19 j N; b) 2 V; 3,2·10-19 J

7. Un protón se desplaza con una velocidad v = 5 i m s-1 en el seno de un campo eléc-

trico definido por la expresión E = -100 j V m-1. Determinar: a) El campo magnético necesario, contenido en el plano YZ, para mantener al pro-

tón siguiendo un movimiento rectilíneo y uniforme. b) El radio de giro que tendría dicho protón en una región donde solamente existiera

el campo magnético del apartado anterior. Datos: mp, e

Solución: a) -20 k (T); b) 2,61·10-9 m

8. En una región del espacio hay un campo eléctrico j4·10E 3

(N·C-1) y otro magnético

i0,5B

(T). Si un protón penetra en esa región:

a) ¿Cuál debe ser su velocidad para que al atravesar esa región no se desvíe? b) Si se cancela el campo eléctrico ¿qué tipo de trayectoria describirá el protón?,

¿cuál será el radio de su trayectoria? Determinar el trabajo realizado por la fuerza que soporta el protón y la energía cinética con la describe esa trayectoria.

Datos: mp, e

Solución: a) -8·103k

(m/s); b) 1,67·10-4 m; 0; 5,34·10-20 J

9. En una región del espacio existe un campo eléctrico de 3·105 N·C-1 en el sentido

positivo del eje Z y un campo magnético de 0,6 T en el sentido positivo del eje X.

a) Un protón se mueve en el sentido positivo del eje Y. Dibujar un esquema de las

fuerzas que actúan sobre él y determinar qué velocidad deberá tener para que

no sea desviado de su trayectoria.

b) Si en la misma región del espacio un electrón se moviera en el sentido positivo

del eje Y con una velocidad de 103 m/s, ¿en qué sentido sería desviado?

Dato: e

Solución: a) 5 ·105 j m/s; b) Sentido negativo eje Z

44

10. Por un hilo conductor rectilíneo situado a lo largo del eje x que pasa por el punto (0,

0, 0), circula una corriente eléctrica de intensidad I = 10 A en el sentido negativo del

eje x (coordenadas expresadas en metros). a) Calcular el vector campo magnético debido al

hilo en el punto P (0, 5, 0).

b) Si una carga Q = 3 mC pasa por el punto P (0, 5, 0) con una velocidad = 4𝑖+ 4𝑗 m s−1, ¿cuál es el vector fuerza magnética que actúa sobre la carga?

Dato: µo

Solución: a) -4 · 10−7 T; b) -4,8·10−9𝑖 + 4,8·10−9𝑗 N

11. Por un hilo conductor rectilíneo e infinitamente largo, situado sobre el eje X, circula una corriente eléctrica en el sentido positivo del eje X. El valor del campo magnético producido por dicha corriente es de 3·10-5 T en el punto P (0, -dP, 0), y es de 4·10-5 T en el punto Q (0, +dQ, 0). Sabiendo que dP+dQ=7 cm, determinar: a) La intensidad que circula por el hilo conductor. b) Vector campo magnético producido por dicha corriente en el punto de coordena-

das (0, 6 cm, 0).

Dato: μo

Solución: a) 6 A; b) 2·10-5 k

(T)

12. Por dos conductores rectos, paralelos e indefinidos circulan corrientes de 12 A en sentido opuesto. La distancia entre ambos es de 50 cm. Determinar el campo mag-nético resultante en: a) Un punto P equidistante de ambos conductores y en su mismo plano. b) Un punto Q situado 50 cm a la derecha del segundo conductor.

Dato: μo Solución: a) 1,92·10-5 T; b) 2,4·10-6 T

13. Por dos hilos conductores rectos, paralelos y de gran longitud, separados una dis-tancia de 10 cm, circulan dos corrientes de intensidades 2 A y 4 A respectivamente en sentidos opuestos. En un punto P del plano que definen los conductores, equidis-tante de ambos, se introduce un electrón con una velocidad de 4·104 m/s paralela y del mismo sentido que la corriente de 2 A. Determinar: a) El campo magnético en el punto P. b) La fuerza magnética que se ejerce sobre el electrón situado en P.

Datos: μo, e Solución: a) 2,4·10-5 T; b) 1,5·10-19 N

14. Dos conductores rectilíneos paralelos al eje Z, cortan al eje X en los puntos (0,0,0) y (3,0,0). Por el primer conductor circula una corriente de 10 A en el sentido positivo del eje Z y por el segundo conductor circula una corriente de 5 A. Determinar el punto del eje X en el que el campo magnético se anula si: a) La corriente en el segundo conductor circula en el sentido positivo del eje Z. b) La corriente en el segundo conductor circula en el sentido negativo del eje Z. Solución: a) (2,0,0); b) (6,0,0)

45

15. Dos conductores rectilíneos, indefinidos y paralelos, perpendiculares al plano XY, pasan por los puntos A(80,0) y B(0,60), estando las coordenadas expresadas en centímetros. Las corrientes circulan por ambos con-ductores en el mismo sentido, siendo el valor de la co-

rriente I1 de 6 A. sabiendo que I2 I1 y que el valor del campo magnético en el punto P, punto medio de la recta que une ambos conductores, es de 12·10-7 T, determi-nar: a) El valor de la corriente I2. b) El vector campo magnético en el origen de coordenadas O.

Dato: μo

Solución: a) 9 A; b) 3·10-6 i

- 1,5·10-6 j

(T)

16. Dos corrientes eléctricas rectilíneas indefinidas, I1 e I2, dirigidas según el eje z cortan

el plano xy por los puntos (0,0) m y (8,0) m, respectivamente. La corriente I1 lleva

sentido negativo y tiene un valor de 3 A, mientras que la corriente I2 lleva sentido

positivo y tiene un valor de 5 A. Calcular:

a) El campo magnético en el punto (0,6) m. b) La fuerza magnética que experimentará un electrón que pase por el punto (0,6)

m con una velocidad v = 3·104 i m·s-1.

Datos: e, µo

Solución: a) 4·10-8 i - 8·10-8 j T; b) 3,84·10-22 k N

17. Dos conductores rectilíneos, paralelos y de longitud infinita, separados una distancia de 30 cm están recorridos por corrientes eléctricas de igual intensidad de 2 A. a) Determinar la intensidad del campo magnético generado por los dos conductores

en el punto medio de la línea que los une, en el caso de que las corrientes tengan sentidos contrarios.

b) Determinar el módulo de la fuerza por unidad de longitud que se ejercen entre si estos conductores.

Datos: μo Solución: 5'33·10-6 T; b 2,66 ·10-6 N/m

18. Dos hilos conductores rectilíneos, indefinidos y paralelos al eje z se encuentran si-tuados en el plano yz. Uno de los hilos pasa por el punto (0, -5, 0) cm y su corriente tiene una intensidad I1= 30 A y sentido z positivo. El otro conductor pasa por el punto (0, 5, 0) cm y su intensidad de corriente I2 tiene sentido z negativo. Sabiendo que el módulo del campo magnético en el punto (0,0,0) es B = 2,8·10−4 T, calcular: a) El valor de la intensidad I2 y el vector campo magnético en el punto (0,10,0) cm. b) La fuerza magnética por unidad de longitud que actúa sobre el conductor que

pasa por el punto (0, -5, 0) cm debida a la presencia del otro, indicando su direc-ción y sentido.

Dato: μo

Solución: a) 40 A, 1,2·10−4 i T; b) -2,4·10−3 j N/m

46

19. Se tienen dos hilos conductores rectilíneos, indefinidos y paralelos al eje z que cortan al plano xy en los puntos O (0,0,0) y A (2,2,0) cm. Por cada cable circula una corriente de 5 A en el sentido positivo del eje z. Calcular: a) El vector campo magnético en el punto P (0,2,0) cm y en el punto Q (1,1,0) cm. b) La fuerza magnética por unidad de longitud que actúa sobre el conductor que

pasa por el punto A (2,2,0) cm debida a la presencia del otro, indicando su direc-ción y sentido.

Dato: µo

Solución: a) 5·10-5 i + 5·10-5 j T; b) -1,25·10-4 i - 1,25·10-4 j N/m 20. Tres hilos conductores infinitos y paralelos pasan por los vértices de un cuadrado

de 50 cm de lado como se indica en la figura. Las tres corrientes I1, I2 e I3 circulan hacia dentro del papel. a) Si I1 = I2 = I3 = 10 mA, determinar el campo magnético en el

vértice A. b) Si I1 = 0, I2 = 5 mA e I3 = 10 mA, determinar la fuerza por unidad

de longitud entre los hilos recorridos por las corrientes.

Dato: o

Solución: a) 6·10-9 i- 6·10-9 j

T; b) 2·10-11 N/m

21. Un hilo conductor rectilíneo de longitud infinita está situado en el eje Z y transporta

una corriente de 20 A en el sentido positivo de dicho eje. Un segundo hilo conductor, también infinitamente largo y paralelo al anterior, corta al eje X en el punto de coor-denada x = 10 cm. Determinar: a) La intensidad y el sentido de la corriente en el segundo hilo, sabiendo que el

campo magnético resultante en el punto x = 2 cm es nulo. b) La fuerza por unidad de longitud que actúa sobre cada conductor, explicando

cuál es su dirección y sentido. Dato: μo

Solución: a) 80 A; b) 3,2·10-3 i(N); -3,2·10-3 i

(N)

22. Tres conductores rectilíneos, largos y paralelos, que transpor-

tan una corriente de 5 A cada uno de ellos, pasan a través de los vértices de un triángulo equilátero de 10 cm de lado, tal y como se muestra en la figura. Suponiendo que el origen de coordenadas se encuentra en el conductor 1, determinar: a) La fuerza por unidad de longitud sobre el conductor 3 de-

bida a los conductores 1 y 2. b) El campo magnético en el punto medio del segmento que

une los conductores 1 y 2. Dato: µo

Solución: a) -8,66·10-5 j (N/m); b) -1,15·10-5 i (T)

23. Una espira circular de 0,2 m de radio se sitúa en un campo magnético uniforme de 0,2 T con su eje paralelo a la dirección del campo. Determinar la fuerza electromotriz inducida en la espira si en 0,1 s y de manera uniforme: a) Se duplica el valor del campo. b) Se reduce el valor del campo a cero. c) Se invierte el sentido del campo. d) Se gira la espira un ángulo de 90º en torno a un eje diametral perpendicular a

la dirección del campo magnético. Solución: a) -0,25 V; b) 0,25 V; c) 0,5 V; d) 0,25 V

47

24. Un solenoide de 20 de resistencia está formado por 500 espiras circulares de 2,5 cm de diámetro. El solenoide está situado en un campo magnético uniforme de valor 0,3 T, siendo el eje del solenoide paralelo a la dirección del campo. Si el campo magnético disminuye uniformemente hasta anularse en 0,1 s, determinar: a) El flujo inicial que atraviesa el solenoide y la fuerza electromotriz inducida. b) La intensidad que recorre el solenoide y la carga transportada en ese intervalo

de tiempo. Solución: a) 0,0736 Wb; 0,736 V; b) 0,0368 A; 3,68·10-3 C

25. Una bobina circular de 30 vueltas y radio 4 cm se coloca en un campo magnético dirigido perpendicularmente al plano de la bobina. El módulo del campo magnético varía con el tiempo de acuerdo con la expresión B = 0,01 t + 0,04 t2. Calcular: a) El flujo magnético que atraviesa la bobina en función del tiempo. b) La fuerza electromotriz inducida en la bobina para t = 5 s. Solución: b) -0,0615 V

26. Un campo magnético uniforme y constante de 0,01 T está dirigido a lo largo del eje

Z. Una espira circular se encuentra situada en el plano XY, centrada en el origen, y tiene un radio que varía en el tiempo según la función: r = 0,1-10 t. Determinar: a) La expresión del flujo magnético a través de la espira. b) En qué instante de tiempo la fuerza electromotriz inducida es 0,01 V. Solución: b) 0,0084 s

27. Un campo magnético variable en el tiempo de módulo B = 2 cos (3πt-π

4) (T), forma

un ángulo de 30º con la normal al plano de una bobina formada por 10 espiras de radio r = 5 cm. La resistencia total de la bobina es R = 100 Ω. Determinar: a) El flujo del campo magnético a través de la bobina en función del tiempo. b) La fuerza electromotriz y la intensidad de corriente inducidas en la bobina en el

instante t = 2 s. Solución: b) -0,906 V; 9,06·10-3 A

28. Una bobina circular está formada por un hilo conductor de 25 cm de longitud que se

enrolla en 5 vueltas, y cuya resistencia total es de 10 Ω. La bobina está situada en

el plano xy con su centro en el origen de coordenadas cartesiano. En la región hay

un campo magnético variable en el tiempo = 𝑠𝑒𝑛(𝜋𝑡)𝑖 + cos(𝜋𝑡) mT. Calcular en

el instante t = 0,25 s:

a) El flujo magnético a través de la bobina. b) La fuerza electromotriz y la corriente eléctrica inducidas en la bobina. Solución: a) 7,04·10-7 Wb; b) -2,21·10-6 V; 2,21·10-7 A

29. Una varilla conductora puede deslizar sin rozamiento a lo largo de dos alambres conductores paralelos, separados una distancia de L = 5 cm, que cierran un circuito a través de una resistencia de R = 150 Ω. Este circuito forma una espira cerrada que se encuentra inmersa en un campo magnético uniforme, tal y como se muestra en la figura adjunta. Inicialmente la varilla se encuentra a una distancia d = 10 cm de la resistencia. Calcular para el instante t = 0,2 s el flujo magnético que atraviesa la espira y la corriente que circula por ella en los siguientes casos: a) El campo magnético es constante e igual a 20 mT y

la varilla se desplaza hacia la derecha con una velo-cidad de 4 m/s.

b) La varilla está inmóvil y el campo magnético varía con el tiempo de la forma B = 5t3 (B expresado en teslas y t en segundos).

Solución: a) 9·10-4 Wb, -2,67·10-5 A; b) 2·10-4 Wb, -2·10-5 A

48

30. Sea un campo magnético uniforme = −Bo, con Bo = 0,3 T. En el plano xy, hay una espira rectan-gular cuyos lados miden, inicialmente, a = 1 m y b = 0,5 m. La varilla de longitud b se puede desplazar en la dirección del eje x, tal y como se ilustra en la figura. Determinar, para t = 2 s, el flujo a través de la espira y la fuerza electromotriz inducida en la misma si: a) La varilla se desplaza con velocidad constante de 3 m s-1. b) Partiendo del reposo la varilla se desplaza con aceleración constante de 2 m s-2. Solución: a) 1,05 Wb, -0,45 V; b) 0,75 Wb, -0,60 V

31. Se tiene el circuito de la figura en forma de triángulo rectán-

gulo, formado por una barra conductora vertical que se des-liza horizontalmente hacia la derecha con velocidad cons-tante v = 2,3 m/s sobre dos barras conductoras fijas que for-man un ángulo α = 45º. Perpendicular al plano del circuito hay un campo magnético uniforme y constante B = 0,5 T cuyo sentido es entrante en el plano del papel. Si en el ins-tante inicial t = 0 la barra se encuentra en el vértice izquierdo del circuito: a) Calcular la fuerza electromotriz inducida en el circuito en el instante de tiempo

t = 15 s. b) Calcular la corriente eléctrica que circula por el circuito en el instante t = 15 s, si

la resistencia eléctrica total del circuito es 5 Ω. Solución: a) -39,7 V; b) 7,94 A

32. Considerar, tal y como se indica en la figura, una

espira circular, contenida en el plano XY, con centro en el origen de coordenadas. Un imán se mueve a lo largo del eje Z, tal y como también se ilustra en la figura. Justificar razonadamente el sentido que llevará la corriente inducida en la es-pira si: a) El imán se acerca a la espira, como se indica

en la parte a) de la figura. b) El imán se aleja de la espira, como se indica

en la parte b) de la figura. 33. Sea un campo magnético uniforme dirigido en el sentido positivo del eje Z. El campo

sólo es distinto de cero en una región cilíndrica de radio 10 cm cuyo eje es el eje Z y aumenta en los puntos de esta región a un ritmo de 10-3 T/s. Calcular la fuerza electromotriz inducida en una espira situada en el plano XY y efectuar un esquema gráfico indicando el sentido de la corriente inducida en los siguientes casos: a) Espira circular de 5 cm de radio centrada en el origen de coordenadas. b) Espira cuadrada de 30 cm de lado centrada en el origen de coordenadas. Solución: a) -7,85·10-6 V; b) -3,14·10-5 V

49

34. Una espira circular de radio r = 5 cm y resistencia 0,5 Ω se encuentra en reposo en

una región del espacio con campo magnético B= B0 k

, siendo B0 = 2 T. El eje normal

a la espira en su centro forma 0° con el eje Z. A partir de un instante t = 0 la espira comienza a girar con velocidad angular constante ω = π (rad/s) en torno a un eje diametral. Se pide:

a) La expresión del flujo magnético a través de la espira en función del tiempo t.

b) La expresión de la corriente inducida en la espira en función de t.

Solución: a) 0,0157·cos (π·t); b) 0,098·sen (π·t)

35. Una espira circular de 10 cm de radio, situada inicialmente en el plano XY, gira a

50 rpm en torno a uno de sus diámetros bajo la presencia de un campo magnético

k 0,3 B

T. Determinar:

a) El flujo magnético que atraviesa la espira en el instante t = 2 s. b) La expresión matemática de la fuerza electromotriz inducida en la espira en fun-

ción del tiempo.

Solución: a) -4,71·10-3 Wb; b) 0,049·sen t3

5π

36. Una espira circular de 4 cm de radio y 0,5 Ω de resistencia está situada en el plano XY. La espira se encuentra sometida a la acción de un campo magnético en el sen-tido positivo del eje Z. a) Si el campo magnético aumenta a razón de 0,6 T/s, determinar la fuerza electro-

motriz y la intensidad de la corriente inducida en la espira, indicando el sentido

de la misma.

b) Si el campo magnético se estabiliza en un valor constante de 0,8 T, y la espira

gira en torno a uno de sus diámetros con una velocidad angular de 10π rad/s,

determinar el valor máximo de la fuerza electromotriz.

Solución: a) -3·10-3 V; 6·10-3 A; b) 0,125 V

37. Una espira circular de 2 cm de radio se encuentra en el seno de un campo magnético

uniforme B = 3,6 T paralelo al eje Z. Inicialmente la espira se encuentra contenida en el plano XY. En el instante t = 0 la espira empieza a rotar en torno a un eje dia-metral con una velocidad angular constante ω = 6 rad·s-1. a) Si la resistencia total de la espira es de 3 Ω, determinar la máxima corriente eléc-

trica inducida en la espira e indicar para qué orientación de la espira se alcanza. b) Obtener el valor de la fuerza electromotriz inducida en la espira en el instante

t = 3 s. Solución: a) 0,009 A; π/2 rad; b) – 0,02 V

38. Una bobina circular de 20 cm de radio y 10 espiras se encuentra, en el instante

inicial, en el interior de un campo magnético uniforme de 0,04 T, que es perpendicu-

lar al plano de su superficie. Si la bobina comienza a girar alrededor de uno de sus

diámetros, determinar:

a) El flujo magnético máximo que atraviesa la bobina.

b) La fuerza electromotriz inducida (fem) en la bobina en el instante t = 0,1 s, si gira

con una velocidad angular constante de 120 rpm.

Solución: a) 0,05 Wb; b) 0,6 V

50

39. Se hace girar una espira conductora circular de 5 cm de radio respecto a uno de sus

diámetros en una región con un campo magnético uniforme de módulo B y dirección

perpendicular a dicho diámetro. La fuerza electromotriz inducida () en la espira de-

pende del tiempo (t) como se muestra en la figura. Teniendo en cuenta los datos de

esta figura, determinar:

a) La frecuencia de giro de la espira y el valor de B.

b) La expresión del flujo de campo magnético a tra-

vés de la espira en función del tiempo. Solución: a) 50 Hz; 0,2 T; b) 1,57·10-3·cos(100πt)

40. Una espira cuadrada de 1,5 Ω de resistencia está inmersa en un campo magnético

B = 0,03 T en el sentido positivo del eje X. La espira tiene 2 cm de lado y forma un ángulo α variable con el plano YZ. a) Si se hace girar la espira alrededor del eje Y con una fre-

cuencia de rotación de 60 Hz, siendo α= π/2 en el ins-tante t=0, obtener la expresión de la fuerza electromotriz inducida en la espira en función del tiempo.

b) ¿Cuál debe ser la velocidad angular de la espira para que la corriente máxima que circule por ella sea de 2 mA?

Solución: a) 4,5·10-3·sen(120πt + π/2); b) 250 rad/s

51

TEMA 4: ONDAS

1. Concepto de onda. Clasificación y magnitudes que las caracterizan

Una onda es la transmisión de energía que se produce por la propagación de una vibración o perturbación sin transporte de materia.

En toda onda hay una perturbación inicial que se produce en un punto llamado foco que, generalmente, vibra con un movimiento armónico simple (onda armónica). Esta perturbación se transmite a los puntos que rodean al foco alcanzando sucesivamente puntos más alejados que reciben la energía procedente del foco. Un ejemplo fácil de observar son las ondas producidas en la superficie del agua al dejar caer un objeto en ella.

Clasificación de las ondas

Según la dirección de vibración, las ondas pueden ser:

- Transversales, cuando la dirección de vibración es perpendicular a la dirección de propagación. Ejemplos: ondas producidas en la superficie del agua, ondas produci-das al agitar una cuerda, ondas luminosas...

- Longitudinales, cuando la dirección de vibración coincide con la dirección de pro-pagación. Ejemplos: ondas producidas en un muelle, ondas sonoras...

Según las dimensiones en las que se propagan, las ondas pueden ser:

- Unidimensionales, cuando se propagan en una sola dirección.

- Bidimensionales o planas, cuando se propagan en dos dimensiones.

- Tridimensionales o esféricas, cuando se propagan en las tres dimensiones.

Dependiendo de si precisan un medio material para propagarse, las ondas pueden ser:

- Mecánicas, cuando se producen por la propagación de la vibración de las partículas de un medio material elástico. Ejemplos: las ondas producidas en el agua o al agitar una cuerda, las ondas sonoras, las ondas sísmicas…

- Las ondas electromagnéticas (luz, ondas de radio, rayos X, microondas...) y las gravitacionales (predichas por Einstein y detectadas por primera vez en 2016 a partir de la colisión de dos agujeros negros) consisten en la propagación de campos de fuerzas, por lo que no requieren de un medio material y se pueden propagar en el vacío.

Se llaman ondas estacionarias a la que no se desplazan, sino que permanecen confi-nadas en una región del espacio, como las ondas producidas en una cuerda fija por sus extremos; surgen por la superposición de las ondas sucesivas que se producen en dicha región.

Magnitudes características de las ondas transversales

- Elongación (y): desplazamiento vertical de un punto de la onda respecto a la posi-

ción de equilibrio. Unidad: m

- Amplitud (A): elongación máxima de un punto. Unidad: m

- Longitud de onda (λ): distancia entre dos puntos consecutivos con el mismo estado

de vibración (unidad: m).

52

- Periodo (T): tiempo que tarda un punto en realizar una vibración; coincide con el

tiempo que tarda la onda en recorrer una distancia igual a su longitud de onda. Uni-

dad: s.

- Frecuencia (f): número de vibraciones realizadas por un punto en la unidad de tiempo. Unidad: s-1 o Hercios (Hz).

- Fase inicial (φo): ángulo que indica el estado de vibración del foco (x = 0) en el ins-

tante inicial (t = 0), teniendo en cuenta que una vibración completa equivale a 2π rad.

Para determinarla hay que conocer la elongación en un punto de la onda en un ins-

tante determinado y el sentido de la vibración. Unidad: rad.

- Frecuencia angular o pulsación (ω): número de vibraciones realizadas por un punto en un tiempo de 2π segundos. Unidad: rad/s;

En función del periodo:

En función de la frecuencia:

- Número de onda (k): número de longitudes de onda contenidas en una distancia de

2π metros. Unidad: rad/m.

- Velocidad de propagación (v): distancia recorrida por la onda por unidad de tiempo

al propagarse con movimiento rectilíneo uniforme (MRU). Es característica de cada

onda, variando sólo al cambiar el medio de propagación. No debe confundirse con la

velocidad de vibración de los puntos de la onda, que corresponde con un movimiento

armónico simple. Unidad: m/s

Al propagarse con MRU: x = v·t. Como en cada vibración, x = λ y t = T En función de la frecuencia :

Si se expresa en función de ω y k : v

ω2π

k2π

=

T

λv

λ

π2k

f = T

1

ω =T

2π

ω = 2πf

v = λ · f

k

ω=v

53

2. Ecuación de las ondas armónicas unidimensionales

La ecuación de una onda permite conocer en cada instante el estado de vibración de cada uno de los puntos de la onda. Para ello relaciona el estado de vibración o elon-gación, y, con la posición de cada punto en el eje de abscisas, x, y el tiempo, t.

Suponemos una cuerda, fija por un extremo, en la que se produce una onda.

El punto O describe un movimiento armónico simple: y = A sen (ωt + φo)

Un punto cualquiera de la cuerda (P), describe el mismo movimiento con un desfase respecto a O, ya que la onda tarda un tiempo to en alcanzar dicho punto:

y = A sen (ω(t - to) + φo) = A sen (ωt- ωto) + φo) ; siendo to =v

x=

kω

x=ω

x·k

Por tanto: y = A sen (ωt- ωω

x·k) + φo) (Sentido X+)

Si la onda se propagara de derecha a izquierda, el punto O tendría un desfase respecto a P; por tanto, se obtendría la ecuación:

(Sentido X-)

También es posible expresar la ecuación de una onda por medio de la función coseno, corrigiendo el valor de la fase inicial. Para ello, hay que tener en cuenta la relación entre ambas funciones, sen (α + π/2) = cos α.

φo’ = fase inicial corregida = φo - π

2

Las ondas armónicas tienen una doble periodicidad: temporal (en un punto dado, se repite el mismo movimiento cada T segundos) y espacial (en un tiempo dado, se repite el mismo movimiento cada λ metros). Si suponemos la ecuación y= A sen (ωt – kx):

O P

y = A sen (ωt - kx + φo)

y = A sen (ωt + kx + φo)

y = A cos (ωt kx + φo’)

y Para x = 0:

A t

0 T/4 T/2 3T/4 T

-A

y Para t = 0:

A x

0 λ/4 λ/2 3λ/4 λ

-A

54

Ejemplo: La expresión matemática de una onda armónica transversal que se propaga por una cuerda es: y = 0,2 sen (100πt - 200 πx), en unidades Sl. Determinar los valores del período, la amplitud, la longitud de onda y la velocidad de propagación de la onda.

T

π2s/radπ100ω T = 0,02 s; A = 0,2 m;

λ

π2m/radπ200k ; λ = 0,01 m

v =02,0

01,0=

T

λ= 0,5 m/s

Ejemplo: Una onda armónica transversal que se propaga en el sentido negativo del eje de las X, tiene una amplitud de 10 cm, una longitud de onda de 60 cm y una velocidad de propagación de 3 m/s. Sabiendo que en el instante inicial la elongación de la partícula en x = 0 es -10 cm, determinar la ecuación que representa la onda.

0,6

π2k 3,33 π rad/m; 3 =

T

6,0 T = 0,2 s; 10

0,2

π2ω π rad/s

Para t = 0 y x = 0: -0,1 = 0,1·sen (10 π·0 +3,33 π·0 + φo); sen φo= -1; φo = 3π/2 rad

Por tanto: y = 0,1·sen (10 πt +3,33 πx + 3π/2)

En función del coseno: y = 0,1·cos (10 πt +3,33 πx + π)

Velocidad y aceleración de vibración

El movimiento de vibración en una onda armónica es un M.A.S. Por tanto la velocidad y la aceleración de vibración se corresponden con las de dicho movimiento y se obtienen derivando las ecuaciones correspondientes.

Velocidad de vibración u oscilación: v = dt

dy→

Si suponemos una onda cuya velocidad es v = A·ω·cos (ω·t - kx), se obtienen las si-guientes gráficas: Por tanto, la velocidad máxima de vibración de un punto es, en valor absoluto:

Aceleración de vibración u oscilación: a = dt

dv →

Si suponemos una onda cuya aceleración es a = -A·ω2·cos (ω·t - kx), se obtienen las siguientes gráficas:

v Aω

t 0 T/4 T/2 3T/4 T

-Aω

v Aω

x 0 λ/4 λ/2 3λ/4 λ

-Aω

Para x = 0 Para t = 0

a Aω2

x 0 λ/4 λ/2 3λ/4 λ

-Aω2

Para x = 0 Para t = 0 a Aω2

t 0 T/4 T/2 3T/4 T

-Aω2

v = A·ω·cos (ω·t kx + φo)

ω·A=vmáx

= A·ω

a = - A·ω2·sen (ω·t kx + φo)

55

Por tanto, la aceleración máxima de vibración de un punto es, en valor absoluto:

Comparando la ecuación de la aceleración con la ecuación de la onda, se puede deducir que la aceleración está relacionada con la elongación mediante la ecuación:

Ejemplo: Una onda armónica transversal que se propaga en el sentido positivo del eje de las X, tiene una amplitud de 20 cm, una longitud de onda de 40 cm y un periodo de 2 s. Sabiendo que en el instante inicial la elongación del punto x = 0 es 20 cm, determinar la elongación, velocidad y aceleración del punto situado en x = 1 m para t = 1 s.

ω 2

π2π rad/s; k

4,0

π25π rad/m

0,2 = 0,2sen(π·0- 5π·0+ φo); sen φo= 1; φo = π/2 rad v = 0,2sen(π·1-5π·1+π/2) = 0,2 m

v = 0,2πcos (π·1- 5π·1+π/2) = 0; a = -0,2π2sen (π·1 -5π·1 +π/2) = -0,2π2 = -1,97 m/s2 Si la velocidad inicial en x = 0 no es nula, es necesario conocer su signo para determinar la fase inicial de la onda.

- Si v>0 → cos φo>0 → 0< φo<π/2 o 3π/2< φo<2π

- Si v<0 → cos φo<0 → π/2< φo<3π/2

Ejemplo: Una onda armónica transversal de amplitud 5 cm y longitud de onda 20 cm se propaga en una cuerda tensa, orientada en el sentido positivo del eje X, con una veloci-dad de 40 cm/s. En el instante t = 0, el punto situado en x = 0 tiene una elongación de 2,5 cm y velocidad de oscilación negativa. Determinar: a) La expresión matemática de la onda. b) La velocidad inicial del punto situado a 10 cm del origen.

a) k =2,0

2=

π10π rad/m; T =

4,0

2,0= 0,5 s; ω =

5,0

2=

π4π rad/s

0,025 = 0,05·sen (4π·0 - 10π·0 + φo); sen φo= 0,5 → φo1 = π/6 rad (v<0)

φo2 = π-π/6 = 5π/6 rad

y = 0,05·sen (4πt - 10πx + 5π/6)

b) v = 0,05·4π·cos (4π·0 - 5π·0,1 + 5π/6) = 0,314 m/s Relación entre velocidad de vibración y elongación

Comparando la ecuación de la velocidad con la ecuación de la onda y teniendo en cuenta que sen2α + cos2α = 1, se puede deducir que la velocidad de vibración está relacionada con la elongación mediante la ecuación:

Si se conocen la elongación y la velocidad de vibración de un punto en un instante dado, puede determinarse la amplitud de la onda mediante esta ecuación o por un sistema de ecuaciones. Ejemplo: Una onda armónica transversal se propaga en el sentido positivo del eje X con una frecuencia de 0,5 Hz. Si en el instante inicial la elongación en x = 0 es 10 cm y la velocidad de oscilación es -0,544 cm s-1, determinar la amplitud y la fase inicial de la onda.

2máx ω·A=a

= A·ω

v = ω√A2-y2

Si y = 0 → v = Aω = vmáx

Si y = A → v = 0

a = -ω2·y

56

0,1 = A senφo

-0,544 = Aπ cosφo

-0,577 = tgφo → φo1 = -π/6 rad (v<0); φo2 = -π/6 + π = 5π/6 rad

0,1 = A sen(5π/6) → A = 0,2 m

O bien: -0,544 = -π√A2-0,1

2 → A = 0,2 m

0,1 = 0,2 sen φo→ φo1 = π/6 rad (v<0); φo2 = π -π/6 = 5π/6 rad

Puntos en fase y en oposición de fase

Se dice que dos puntos están en fase cuando se encuentran en el mismo estado de vibración, es decir, cuando su elongación, velocidad y aceleración de vibración son igua-les en el mismo instante. La distancia entre dichos puntos es un número entero de lon-gitudes de onda.

Se dice que dos puntos están en oposición de fase cuando su elongación, velocidad y aceleración de vibración son opuestas en el mismo instante. La distancia entre dichos puntos es un número impar de semilongitudes de onda.

Diferencia de fase

El término (ωt - kx + φo) recibe el nombre de fase de la onda (φ) e informa del estado de vibración de cada punto de la onda en un instante determinado. Se mide en rad.

Para conocer la posición relativa de dos puntos en un instante determinado, se emplea la diferencia de fase espacial:

= (ωt – kx1 + φo)- (ωt – kx2 + φo)= k x1-x2 = k x

Cuando dos puntos están en fase, la diferencia de fase es un múltiplo entero de 2π; si están en oposición de fase, la diferencia de fase es un múltiplo impar de π.

Para conocer la posición relativa de un mismo punto en dos momentos distintos, se emplea la diferencia de fase temporal:

= (ωt1 – kx + φo)- (ωt2 – kx + φo)= ω t1-t2 = ω t

Ejemplo: Una onda armónica que se propaga por un medio unidimensional tiene una frecuencia 500 Hz y una velocidad de propagación de 350 m/s.

a) ¿Qué distancia mínima hay, en un cierto instante, entre dos puntos del medio que oscilan con una diferencia de fase de 60°?

b) ¿Cuál es la diferencia de fase de oscilación, en un cierto punto, para un intervalo de tiempo de 10-3 s?

a) 350 = λ·500; λ = 0,7 m; k = 2π

0,7= 2,86π m-1

60º 2πrad

360º= π

rad3

; π

3= 2,86π· x x = 0,117 m

b) ω = 2π·500 = 1000π rad/s; =1000π·10-3 = π rad

Los puntos A, B y C están en fase entre sí. Los puntos D y E se en-cuentran en oposición de fase respecto a A, B y C.

A λ B λ C λ/2 D λ/2 λ/2 E λ/2

57

3. Fenómenos ondulatorios: Reflexión, refracción, difracción e interferencias

La propagación de las ondas bidimensionales o tridimensionales puede explicarse me-diante el principio de Huygens (1678), según el cual, "todo punto de un frente de onda, es centro emisor de nuevas ondas elementales cuya envolvente es el nuevo frente de onda".

Las ondas bidimensionales dan lugar frentes de onda circulares, mientras que las tridi-mensionales forman frentes de onda esféricos. En puntos muy alejados del foco emisor, el frente de ondas de una onda tridimensional puede considerarse plano.

Al estudiar los fenómenos relacionados con la propagación de las ondas, los frentes de onda se suelen representar mediante líneas perpendiculares a dichos frentes que indi-can la dirección de propagación de la onda y que reciben el nombre de rayos.

Frente de onda circular o esférico Frente de onda plano

El principio de Huygens permite explicar los fenómenos de reflexión, refracción y difrac-ción de las ondas.

- Reflexión: Es el cambio en la dirección y el sentido de propagación que experimenta una onda al alcanzar la superficie de separación entre dos medios, siendo devuelta al primer medio.

Al no variar la velocidad de propagación, los puntos de la superficie de separación alcanzados por el frente de ondas se convierten en focos emisores de nuevas ondas, de forma que los rayos reflejados forman el mismo ángulo que los rayos incidentes respecto a la recta normal a dicha superficie.

A’

A B’ B O C C' D

D'

Los puntos A, B, C y D forman parte de un frente de onda (circunferencia o superficie esférica que contiene puntos que están en fase entre sí y con el foco emisor) y describen un M.A.S., con lo que se convierten en cen-tros emisores de nuevas ondas secundarias. Al cabo de un tiempo, todas estas ondas ha-brán recorrido una misma distancia, alcan-zando los puntos A', B', C' y D' respectiva-mente, que estarán en fase entre sí formando un nuevo frente de onda. La formación sucesiva de frentes de onda hace posible la propagación de las ondas.

rayo incidente rayo reflejado normal

superficie de separación

Leyes de la reflexión

1ª. El rayo incidente, el rayo refle-jado y la normal están en el mismo plano.

2ª. El ángulo de incidencia ( i ) es

igual al ángulo de reflexión ( r ).

rayos

rayos

58

- Refracción: Es el cambio en la dirección de propagación que experimenta una onda al traspasar la superficie de separación entre dos medios, y transmitirse en el segundo medio con dis-tinta velocidad de propagación.

Al variar la velocidad de propagación, los puntos de la superficie de separación que son alcanzados por el frente de onda comienzan a emitir nuevas ondas por el segundo medio que se retrasan o adelantan respecto las ondas incidentes, produciéndose un cambio en la dirección de los rayos.

- Difracción: es el fenómeno que se produce cuando un obs-táculo impide el avance de una parte del frente de onda. Los puntos del frente de onda que no están tapados por el obs-táculo, se convierten en focos emisores de nuevas ondas, permitiendo que la onda bordee el obstáculo y se propague detrás del mismo.

- Interferencias

Una interferencia es el fenómeno que se produce cuando dos ondas se superponen en un mismo punto.

Si dos ondas iguales interfieren en fase, tiene lugar una interferencia constructiva y la amplitud de la onda resultante es el doble de la amplitud de dichas ondas. Para ello es necesario que la diferencia entre las distancias recorridas por ambas ondas sea un múl-tiplo entero de la longitud de onda (Δx =nλ → A’ = 2A).

Si dos ondas iguales interfieren en oposición de fase, tiene lugar una interferencia des-tructiva y en dicho punto las ondas se anulan mutuamente. Para ello es necesario que la diferencia entre las distancias recorridas por ambas ondas sea un número impar de semilongitudes de onda (Δx =(2n-1)λ/2 → A’ = 0).

Si se produce la difracción de una onda a través de una doble rendija, al interferir las ondas que se generan al otro lado del obstáculo se origina una sucesión de zonas de interferencia constructiva y destructiva que puede recogerse en una pantalla y recibe el nombre de figura de difracción, permitiendo identificar un fenómeno ondulatorio. Por ejemplo, cuando un haz de electrones atraviesa una doble rendija se obtiene una figura de difracción que demuestra que, en determinadas circunstancias, los electrones pue-den comportarse como ondas.

rayo incidente

rayo refractado

normal

superficie de separación

Leyes de la refracción

1ª. El rayo incidente, el rayo reflejado y la normal están en el mismo plano.

2ª. El cociente entre los senos de los án-

gulos de incidencia ( i ) y refracción (

r ) es igual al cociente de las veloci-dades de propagación de la luz en ambos medios (ley de Snell).

2

1

v

v

rsen

isen

59

4. Ondas sonoras

Las ondas sonoras se producen por la vibración de un objeto y se propagan por sucesi-vas compresiones y descompresiones de un medio material elástico; también se deno-minan ondas de presión, ya que dicha magnitud es la que oscila cuando se produce un sonido.

Sus principales características son:

- Son ondas longitudinales, es decir, se propagan en la misma dirección en la que se

produce la vibración, de forma que cada partícula del medio transmite la vibración a

las partículas contiguas.

- Son ondas mecánicas, ya que precisan un medio material para propagarse y no

pueden propagarse en el vacío. La velocidad del sonido depende de las caracterís-

ticas del medio y, en general en los sólidos es mayor que en los líquidos y en éstos

mayor que en los gases. La velocidad del sonido en el aire a 20º C es de 340 m/s.

- Son ondas esféricas, debido a que la propagación se produce en todas las direccio-

nes del espacio dando lugar a frentes de onda esféricos.

El oído humano sólo puede percibir sonidos con frecuencias comprendidas entre 20 y 20000 Hz. Los sonidos cuya frecuencia es inferior a 20 Hz reciben el nombre de infra-sonidos; cuando la frecuencia es superior a 20000 Hz se llaman ultrasonidos.

La reflexión de un sonido o eco se puede percibir siempre que el obstáculo con el que choca se encuentre a más de 17 m de distancia, ya que el oído humano sólo distingue sonidos separados más de 0,1 s, y en ese tiempo el sonido recorre una distancia:

x = v·t = 340·0,1 = 34 m → Distancia mínima: d = 34

2 = 17 m (17 m de ida y 17 de vuelta).

Cuando la distancia es inferior a 17 m se percibe una ligera permanencia del sonido denominada reverberación. Midiendo el tiempo que tarda el sonido reflejado en volver al foco emisor, puede determinarse la distancia a un obstáculo.

La reflexión del sonido tiene importantes aplicaciones como:

- Ecografías: permiten la visualización del feto y de distintos órganos vitales mediante ultrasonidos que penetran a través de los tejidos sin exponerlos a radiaciones electro-magnéticas de elevada energía, como los rayos X. Las ondas reflejadas se registran en un monitor que forma una imagen del feto u órgano observado.

- Sonar: Los barcos suelen llevar un dispositivo que utiliza la técnica SONAR (Sound Navigation and Ranging) para detectar la distancia al fondo marino, a un banco de peces, etc., mediante la reflexión de ultrasonidos.

El sonido presenta tres cualidades que permite distinguir unos sonidos de otros:

- Intensidad: permite distinguir un sonido fuerte de uno débil.

La intensidad de una onda (sonora o de otro tipo) en un punto representa la energía

transmitida por unidad de tiempo a través de la unidad de superficie, es decir, la po-

tencia (P = E/t) transmitida por unidad de superficie.

S

P

S·t

EI

Para el sonido, al igual que para las demás ondas tridimensionales o esféricas, S = 4πr2; por tanto:

I 2πr4

P

I = intensidad de la onda (W/m2) P= potencia transmitida (W) r = distancia del punto al foco emisor (m)

60

Si no hay rozamiento, la energía, y por tanto la potencia, de una onda se conservan. Sin embargo, su intensidad disminuye al aumentar la distancia, ya que la potencia transmi-tida debe distribuirse en superficies esféricas cada vez mayores.

El umbral de audición para el oído humano (Io) se establece en 10-12 W/m2.

La sensación sonora que se percibe está relacionada con el nivel de intensidad so-nora, que utiliza una escala logarítmica en la que se asigna el nivel de 0 dB (decibelios) al umbral de audición.

β = nivel de intensidad sonora Unidad: decibelios (dB)

Por ejemplo, una conversación normal tiene un nivel de intensidad en torno a 50 dB, mientras que una discoteca puede superar los 100 dB. Los sonidos de más de 120 dB causan dolor en el oído, por lo que este valor se conoce como umbral de dolor. Por encima de 140 dB se puede romper el tímpano y producirse sordera permanente. La OMS (Organización Mundial de la Salud) establece 70 dB como el valor máximo de ruido ambiental admisible de forma prolongada; por encima de este nivel de intensidad se produce un empeoramiento significativo de la calidad de vida y se considera contami-nación acústica. Ejemplo: Una fuente sonora emite un sonido de 10-3 W de potencia. Determinar el nivel de intensidad sonora a 50 m de distancia.

I 2πr4

P= = 2

3

50·π4

10_

= 3,18·10-8 W/m2; β = 10 logoI

I=10 log

12

8

10

10·18,3

= 45 dB

Ejemplo: Una fuente sonora emite un sonido de 10-3 W de potencia. ¿A qué distancia el nivel de intensidad sonora será de 20 dB?

20 = 10 log1210

I

; 2 = log I + 12; log I = -10; I = 10-10 W/m2; 10-10 = 2

3

r·π4

10_

r = 892 m

Ejemplo: La diferencia entre los niveles intensidad de dos sonidos es de 40 dB. Deter-minar la relación entre sus intensidades.

I1 – I2 = 10 log I1

Io - 10 log

I2

Io = 40; 4 = log

I1

Io - log

I2

Io = log

I1

I2 →

I1

I2 = 104

- Tono: es la cualidad que permite distinguir un sonido grave de uno agudo. Depende de la frecuencia del sonido, cuanto mayor es la frecuencia, más agudo es el sonido.

β = 10 logoI

I

61

- Timbre: es la cualidad que permite distinguir dos sonidos de la misma intensidad y tono producidos por dos fuentes sonoras distintas. Depende de la forma de la onda, ya que la mayoría de los sonidos no son puros, formados por una onda sinusoidal, sino que son la consecuencia de la superposición de varias ondas sinusoidales, dando lugar a una onda más compleja cuya forma es característica de cada foco emisor.

Se denomina efecto Doppler al cambio de frecuencia que experimenta un sonido cuando el foco emisor se desplaza respecto al observador. Se debe a la variación que se produce en la velocidad relativa de las ondas sonoras, de forma que, si el foco se acerca al observador, dicha velocidad aumenta y, al ser directamente proporcional a la frecuencia, la frecuencia también aumenta y el sonido se vuelve más agudo. Del mismo modo, si el foco se aleja del observador, la velocidad disminuye y la frecuencia también, con lo que el sonido se vuelve más grave.

El efecto Doppler tiene importantes aplicaciones tecnológicas.

- El sonar de los barcos permite, por efecto Doppler, determinar la velocidad a la que se desplaza un objeto sumergido.

- Los radares utilizados en tráfico emiten ondas que se reflejan en los vehículos y per-miten medir la velocidad de estos.

- En el estudio del universo, la velocidad de acercamiento o alejamiento de las estrellas

puede determinarse midiendo la alteración de la frecuencia de la luz que emiten.

También permite detectar la presencia de exoplanetas, ya que al girar en torno a su

estrella producen un leve movimiento periódico en esta que da lugar a variaciones

en la frecuencia de la luz emitida. 6. Ondas electromagnéticas Las ondas electromagnéticas consisten en la propagación de un campo eléctrico y un campo magnético que varían periódicamente y son perpendiculares entre sí.

Toda carga acelerada emite energía en forma de ondas electromagnéticas. La carga produce un campo eléctrico variable que da lugar a su vez a un campo magnético cuyas oscilaciones provocan continuos cambios en el campo eléctrico, generándose dos on-das perpendiculares que propagan la energía de ambos campos a través del espacio.

Con un generador, un condensador y una bobina pueden fabricarse un circuito osci-lante que genera ondas electromagnéticas.

1º. Al conectar el generador al condensador, la corriente circula hasta que las placas del condensador se cargan y se crea un campo eléctrico entre ellas.

62

2º. Al cambiar la posición del conmutador, el condensador se va descargando con una corriente que va disminuyendo y genera un campo magnético variable. Para compensar la disminución de flujo, la bobina genera una fuerza electromotriz que vuelve a car-gar el condensador, pero invirtiendo el signo de las cargas en sus placas.

3º. El condensador vuelve a descargarse con una corriente en sen-tido inverso, iniciándose de nuevo el proceso. Si se separan las láminas del condensador, la energía se irradiará al exterior en forma de ondas electromagnéticas.

Las principales características de las ondas electromagnéticas son:

- Son ondas transversales, ya que la dirección de propagación es perpendicular a la

oscilación de ambos campos.

- No son ondas mecánicas, ya que no precisan de un medio material para propagarse.

- En el vacío todas las ondas electromagnéticas se propagan a la misma velocidad, c,

que viene determinada por la constante dieléctrica y la permeabilidad magnética del

vacío:

c = 1

√εoμo

= 3·108 m/s

- En los medios materiales la velocidad de las ondas electromagnéticas disminuye,

disminuyendo también su longitud de onda, mientras que su frecuencia permanece

constante (v = λ’ ·f < 3·108 m/s). Se llama índice de refracción de un medio al co-

ciente entre la velocidad de la luz en el vacío (c) y su velocidad en dicho medio.

La secuencia de todas las ondas electromagnéticas ordenadas según su frecuencia re-cibe el nombre de espectro electromagnético:

Tipo de onda Frecuencia Origen Aplicaciones

Ondas de radio

f 1010 Hz Dispositivos electrónicos y objetos astronómicos

Radiodifusión (radio y televisión)

Microondas 1010 Hz f 1012 Hz Vibraciones de moléculas Radares,

hornos eléctricos…

Infrarrojo 1012 Hz f 1014 Hz Vibraciones de átomos en

cuerpos calientes Fotografía infrarroja,

cocina vitrocerámica…

Luz visible 1014 Hz f 1015 Hz Saltos electrónicos en átomos y moléculas

Iluminación, fibra óptica…

Ultravioleta 1015 Hz f 1017 Hz Saltos electrónicos en átomos y moléculas

Esterilización, bronceado…

Rayos X 1017 Hz f 1019 Hz Oscilación de electrones

próximos al núcleo Radiografías,

cristalografía…

Rayos gamma f >1019 Hz Desintegraciones

nucleares Radioterapia,

diagnóstico médico…

Las radiaciones electromagnéticas, desde un punto de vista corpuscular (física cuán-tica), pueden considerarse formadas por partículas denominadas fotones, siendo la energía de cada fotón directamente proporcional a su frecuencia. La energía total de una radiación electromagnética es igual al número de fotones de la radiación multipli-cado por la energía de sus fotones.

n = índice de refracción del medio

c = velocidad de la luz en el vacío 3·108 m/s v = velocidad de la luz en el medio (m/s)

63

Los rayos gamma, los rayos X y las radiaciones ultravioleta de alta frecuencia son ra-diaciones ionizantes, ya que la energía de sus fotones es suficiente para arrancar electrones de los átomos produciendo su ionización, por lo causan graves daños en la salud (quemaduras, cáncer…) pudiendo llegar a provocar la muerte dependiendo de la frecuencia de la radiación y el tiempo de exposición.

El color de la luz visible depende de la frecuencia y la longitud de onda de la radiación correspondiente (frojo < fnaranja < famarillo < fverde < fazul < fañil < fvioleta). El color que observamos en un objeto que no tiene luz propia corresponde a la superposición de las radiaciones que refleja. Si un objeto refleja todas las radiaciones visibles se ve de color blanco, mientras que si absorbe todas las radiaciones se ve de color negro.

Las ondas electromagnéticas vibran habitualmente en todas las posibles direcciones perpendiculares a la dirección de propagación. Se dice que una onda electromagnética está polarizada cuando el campo eléctrico solo vibra en un plano perpendicular a la dirección de propagación denominado plano de polarización.

Efotón = energía de un fotón (J) h = constante de Planck = 6,63·10-34 J·s f = frecuencia de la onda luminosa (Hz) n = número de fotones

Eradiación = n·h·f

La polarización de la luz se realiza mediante filtros que fuerzan a las ondas a vibrar en un solo plano definido por la vibración del campo eléctrico. Los polarizadores permiten disminuir la intensi-dad de la luz y eliminar reflejos; se utilizan en gafas de sol, pa-rabrisas y diversos instrumentos ópticos. También se emplean en análisis químico para la separación de isómeros ópticos.

Efotón = h·f →

64

EJERCICIOS

1. Dada la expresión matemática de una onda armónica transversal que se propaga en una cuerda tensa de gran longitud: y = 0,03 sen (2πt − πx), donde x e y están expresados en metros y t en segundos. a) ¿Cuál es la velocidad de propagación de la onda? b) Para t = 0, ¿cuál es el valor del desplazamiento de los puntos de la cuerda

cuando x = 0,5 m y x = 1 m? c) Para x = 1 m, ¿cuál es el desplazamiento cuando t = 0,5 s? Solución: a) 2 m/s; b) -0,03 m, 0; c) 0

2. Una onda transversal se propaga en el sentido positivo del eje x. En las figuras se muestran: la variación de la elongación en un instante t = 0 a lo largo del eje x y la elongación del punto de coordenada x = 0 en función del tiempo. Determinar: a) La longitud de onda y la frecuencia. b) La expresión matemática de la onda. Solución: a) 8 m; 0,1 Hz; b) y = 2 sen (0,2πt − π/4 x + π/2)

3. Considerar una onda armónica transversal que se propaga en el sentido positivo del eje x. La figura 1 muestra la variación de la elongación en función de x en un instante t, mientras que en la figura 2, se representa la oscilación, en función del tiempo, de un punto situado en x = 1 m. Determinar: a) La longitud de onda, la amplitud, el pe-

riodo y la velocidad de propagación de la onda.

b) La expresión matemática de la onda. Solución: a) 2 m; 2,5 m; 9 s; 2/9 m/s;

b) y = 2,5 sen (2π/9 t − π x + π)

4. Una onda armónica transversal se propaga en el sentido de las x positivas. A partir

de la información contenida en las figuras y justificando las respuestas: a) Determinar el periodo, la frecuencia, el número de onda y la longitud de onda. b) Escribir la expresión de la función de onda.

Solución: b) y = 0,05 sen (πt - 20πx + π)

5. Una onda sinusoidal con una amplitud de 1,5 m y una frecuencia de 100 Hz viaja con

una velocidad de propagación v = 200 m/s en la dirección positiva del eje X y oscila en la dirección del eje Y. En el instante t = 0 la elongación es máxima y positiva en el punto x = +3 m. a) Calcular la longitud de onda, λ, y el número de onda, k, de la onda. b) Determinar la expresión matemática que representa la onda. Solución: a) 2 m; π rad/m; b) y = 1,5·sen (200πt – πx + 7π/2)

65

6. Una onda armónica unidimensional se propaga

a lo largo del sentido positivo del eje x con una velocidad de propagación de 1500 m·s-1, donde la gráfica adjunta muestra la elongación de la onda para el instante t = 0 s. a) Determinar el número de onda y la frecuen-

cia angular de dicha onda. b) Obtener la expresión matemática que repre-

sente dicha onda. Solución: a) 0,1π m-1; 150π rad/s; b) y(x,t) = 0,05·cos(150πt - 0,1πx + 7π/6)

7. En el extremo izquierdo de una cuerda tensa y horizontal se aplica un movimiento

armónico simple perpendicular a la cuerda, y como consecuencia, por la cuerda se propaga una onda transversal con la siguiente expresión: Y(x,t) = 0,01sen[π(100t - 2,5x)] en unidades del Sistema Internacional. Calcular: a) La velocidad de propagación, frecuencia, longitud de onda y número de onda. b) La aceleración y velocidad máximas de un punto cualquiera de la cuerda. Solución: a) 40 m/s, 50 Hz 0,8 m, 7,85 m-1; b) 987 m/s2, 3,14 m/s

8. Una onda armónica transversal de periodo T = 4 s, se propaga en el sentido positivo

del eje x por una cuerda de gran longitud. En el instante t = 0 la expresión matemática que proporciona la elongación de cualquier punto de la cuerda es Y(x,0) = 0,2

sen(−4πx + π

3), donde x e Y están expresadas en metros. Determinar:

a) La amplitud, la frecuencia, la longitud de onda y la velocidad de propagación de la onda.

b) La velocidad y la aceleración de oscilación de un punto de la cuerda de abscisa x = 0,40 m en el instante t = 8 s.

Solución: a) 0,2 m; 0,25 Hz; 0,5 m; 0,125 m/s; b) −0,21 m/s; −0,366 m/s2 9. Una onda armónica transversal de amplitud A = 0,2 m, longitud de onda λ = 0,1 m y

frecuencia f = 15 kHz se propaga en el sentido positivo del eje X. En el origen, x = 0, y en el instante inicial, t = 0, la velocidad de oscilación es máxima con sentido nega-tivo. Determinar: a) La expresión matemática de la onda. b) La velocidad de oscilación del punto x = 0,25 m en el instante t = 2 s. Solución: a) y = 0,2 sen (30000πt - 20πx + π); b) 1,88·104 m/s

10. Una onda armónica transversal se propaga por una cuerda tensa en el sentido ne-gativo del eje x. En un cierto instante, que se considera el origen de tiempos t = 0,

la elongación puede escribirse de la forma z(x,0) = 3 cos (π

2x + π), expresada en

unidades del sistema internacional. Si la velocidad de propagación de la onda es de 40 m s-1, determinar:

a) La expresión matemática de la onda. b) Los valores de la velocidad y aceleración del punto de la cuerda situado en x =

4 m en el instante t = 0,5 s.

Solución: z(x,t) = 3·cos(20πt + π

2x + π); b) 0; 1,18·104 m/s2

66

11. Una onda armónica transversal de amplitud 8 cm y longitud de onda 140 cm se pro-paga en una cuerda tensa, orientada en el sentido positivo del eje X, con una velo-cidad de 70 cm/s. El punto de la cuerda de coordenada x = 0 (origen de la perturba-ción) oscila en la dirección del eje Y y tiene en el instante t = 0 una elongación de 4 cm y una velocidad de oscilación positiva. Determinar: a) La expresión matemática de la onda.

b) La expresión matemática para la velocidad del punto situado a 70 cm del origen.

Solución: a) y=0,08sen

6

πx

7

10ππt ; b) v = 0,25cos

6

5ππt

12. Una onda transversal se propaga a lo largo de una cuerda tensa. En un cierto ins-tante se observa que la distancia entre dos máximos consecutivos es de 1 m. Ade-más, se comprueba que un punto de la cuerda pasa de una elongación máxima a nula en 0,125 s y que la velocidad máxima de un punto de la cuerda es de 0,24π m·s-1. Si la onda se desplaza en el sentido positivo del eje X, y en t = 0 la velocidad del punto x = 0 es máxima y positiva, determinar: a) La función de onda. b) La velocidad de propagación de la onda y la aceleración transversal máxima de

cualquier punto de la cuerda. Solución: a) y = 0,06 sen (4πt - 2πx + π/2); b) 2 m/s, 9,47 m/s2

13. Una onda elástica transversal de amplitud 3 cm se propaga en la dirección X, sen-tido negativo, a una velocidad de 5 cm s-1. La velocidad máxima de vibración es de 6,28 cm s-1 y se sabe que, en el origen y en el instante t = 0, la elongación es positiva y máxima. Determinar: a) La expresión de la función de onda. b) El tiempo mínimo requerido para que en el origen se vuelva a alcanzar la elon-

gación positiva máxima. Solución: y = 0,03 sen(2π/3 t + 40π/3 x + π/2); b) 3 s

14. Los puntos de una onda armónica transversal de 40 cm de longitud de onda vibran con un período de 1 s. Sabiendo que en el instante t = 0 la elongación del punto situado en x = 0 es 0,70 cm y su velocidad de oscilación es 4,39 cm/s, calcular: a) La amplitud y la fase inicial de la onda. b) La velocidad de oscilación inicial de la partícula situada en x = 20 cm. Solución: a) 0,989 cm; π/4 rad; b) -4,39 cm/s2.

15. Una onda armónica transversal de frecuencia angular 4π rad/s se propaga a lo largo de una cuerda con una velocidad de 40 cm/s, en la dirección positiva del eje X. En el instante inicial t = 0, en el extremo de la cuerda x = 0, su elongación es de 2,3 cm y su velocidad de oscilación es de 27 cm/s. Determinar: a) La expresión matemática que representa la onda. b) El primer instante en el que la elongación es máxima en x = 0. Solución: a) y = 0,0315·sen (4πt - 10πx + 0,82); b) 0,06 s

16. Una onda armónica transversal se desplaza en el sentido positivo del eje X con una

velocidad de 5 m s-1 y con una frecuencia angular de π/3 rad s-1. Si en el instante

inicial la elongación en el origen de coordenadas es 3/π cm y la velocidad de osci-

lación es -1 cm s-1, determinar:

a) La función de onda. b) La velocidad de oscilación en el instante inicial a una distancia del origen igual

a media longitud de onda.

Solución: y = 0,0135 sen (π

3t-

π

15+

3π

4); b) 0,01 m/s

67

17. Una onda armónica cuya frecuencia es de 50 Hz, se propaga en la dirección positiva del eje X. Sabiendo que la diferencia de fase, en un instante dado, para dos puntos separados 20 cm es de π/2 radianes, determinar: a) La velocidad de propagación de la onda b) En un punto dado ¿qué diferencia de fase existe entre los desplazamientos que

tienen lugar en dos instantes separados por un intervalo de 0,01 s? Solución: a) 40 m/s; b) π rad

18. La función matemática que representa una onda transversal que avanza por una cuerda es y = 0,3 sen (100πt - 0,4πx + φo), donde todas las magnitudes están ex-presadas en unidades del SI. Calcular: a) La separación entre dos puntos cuya diferencia de fase, en un determinado ins-

tante, es de π/5 radianes. b) La diferencia de fase entre dos vibraciones de un mismo punto del espacio se-

paradas por un intervalo de tiempo de 5 ms. Solución: a) 0,5 m; b) π/2 rad

19. Una onda armónica tranversal de frecuencia f = 0,25 Hz y longitud de onda = 2 m se propaga en el sentido positivo del eje x. Sabiendo que el punto situado en x = 0,5 m tiene, en el instante t = 2 s, elongación nula y velocidad de oscilación negativa, y en el instante t = 3 s, elongación y = -0,2 m, determinar:

a) La expresión matemática que representa dicha onda. b) La velocidad máxima de oscilación de cualquier punto alcanzado por la onda y

la diferencia de fase, en un mismo instante, entre dos puntos situados en el eje x que distan entre si 0,75 m.

Solución: a) 0,2·sen (π

2t - πx +

π

2); b) 0,314 m/s; 3π/4 rad

20. Un punto material oscila en la dirección del eje Y, según la expresión:

y = 5 sen 3

πt +

4

π (y en cm; t en s)

originando una onda armónica transversal que se propaga en el sentido positivo del eje X. Sabiendo que dos puntos materiales de dicho eje que oscilan con un desfase de π rad están separados una distancia mínima de 30 cm, determinar: a) La expresión matemática que representa la onda armónica. b) La expresión de la velocidad de oscilación en función del tiempo para el punto

x = 80 cm, y el valor de dicha velocidad en el instante t = 20 s.

Solución: a) y = 0,05 sen (3

πt -

3

10πx+

4

π; b) v = 0,052 cos

3

πt -

12

29π ); 0,037 m/s

21. Una onda armónica transversal, de periodo 2 s, se propaga con una velocidad de 60 cm/s en una cuerda tensa orientada según el eje X, y en sentido positivo. Sa-biendo que el punto de la cuerda de abscisa x = 30 cm oscila en la dirección del eje Y, de forma que en el instante t = 1 s la elongación es nula y la velocidad con la que oscila positiva y en el instante t = 1,5 s su elongación es 5 cm y su velocidad de oscilación nula, determinar: a) La expresión matemática de la onda armónica. b) La diferencia de fase de oscilación de dos puntos de la cuerda separados un

cuarto de longitud de onda.

Solución: a) y=0,05sen

2

3πx

3

5ππt ; b)

2

πrad

68

22. Para determinar la profundidad de una cueva se emite una onda sonora esférica de 10 W y se observa que al cabo de 3 s se escucha el eco. Admitiendo que la cueva es suficientemente amplia para despreciar las reflexiones en las paredes laterales, determinar, despreciando los efectos de la absorción: a) La profundidad de la cueva. b) La intensidad de la onda sonora al llegar al fondo de la cueva. Dato: Velocidad del sonido en el aire, v = 340 m s-1 Solución: a) 510 m; b) 3,06·10-6 W

23. Una fuente puntual de 3 µW emite una onda sonora. a) ¿Qué magnitud física “oscila” en una onda de sonido? ¿Es una onda longitudi-

nal o transversal? b) Calcular la intensidad sonora y el nivel de intensidad sonora a 5 m de la fuente.

Determinar a qué distancia del foco emisor se debe situar un observador para dejar de percibir dicho sonido.

Dato: Io Solución: b) 9,55·10−9 W/m2; 39,8 dB; 488,6 m

24. El nivel de intensidad sonora de la sirena de un barco es de 80 dB a 10 m de dis-

tancia. Suponiendo que la sirena es un foco emisor puntual, calcular: a) La potencia de la sirena y la intensidad de la onda sonora a 1 km de distancia. b) Las distancias, medidas desde la posición de la sirena, donde se alcanza un nivel

de intensidad sonora de 70 dB (considerado como límite de contaminación acús-tica) y donde el sonido deja de ser audible.

Dato: Io

Solución: a) 0,126 W; 10−8 W/m2; b) 31,67 m; 105 m

25. Un espectador que se encuentra a 20 m de un coro formado por 15 personas percibe el sonido con un nivel de intensidad sonora de 54 dB. a) Calcular el nivel de intensidad sonora con que percibiría a un solo miembro del

coro cantando a la misma distancia. b) Si el espectador sólo percibe sonidos por encima de 10 dB, calcular la distancia

a la que debe situarse del coro para no percibir a éste. Suponer que el coro emite ondas esféricas, como un foco puntual y todos los miem-bros del coro emiten con la misma intensidad. Dato: Io Solución: a) 42,2 dB; b) 3165 m

26. En dos de los vértices de un triángulo equilátero de perímetro 90 m se coloca, en

cada uno de ellos, un altavoz que emite con una potencia de 50 W. Determinar para un observador situado en el vértice libre: a) El nivel de intensidad sonora. b) El valor mínimo que debería tener el perímetro del triángulo para que no se oigan

los altavoces. Dato: Io

Solución: a) 99,5 dB; b) 8,46·106 m

27. Dos altavoces A y B emiten ondas sonoras con potencias PA y PB = 3PA, respecti-vamente. En un punto Q situado a una distancia d = 5 m, equidistante de ambos altavoces, el nivel de intensidad sonora es de 90 dB. Determinar: a) La intensidad sonora en Q. b) La potencia del altavoz A Dato: Io Solución: a) 10−3 W/m2; b) 0,078 W

69

28. Dos altavoces de 60 W y 40 W de potencia están situados, respectivamente, en los puntos (0,0,0) y (4, 0, 0) m. Determinar: a) El nivel de intensidad sonora en el punto (4, 3, 0) m debido a cada uno de los

altavoces. b) El nivel de intensidad sonora en el punto (4, 3, 0) m debido a ambos altavoces. Dato: Io Solución: a) 112,1 dB; 115,4 dB; b) 117,36 dB

29. Se realizan dos mediciones del nivel de intensidad sonora en las proximidades de

un foco sonoro puntual, siendo la primera de 100 dB a una distancia x del foco y la segunda de 80 dB al alejarse en la misma dirección 100 m más. a) Obtener las distancias al foco desde donde se efectúan las mediciones. b) Determinar la potencia sonora del foco. Dato: Io

Solución: a) 11,1 m; 111,1 m; b) 15,5 W

30. Un detector situado a cierta distancia de una fuente sonora puntual mide un nivel de intensidad sonora de 80 dB. Si se duplica la distancia entre la fuente y el detector, determine a esta distancia: a) La intensidad de la onda sonora. b) El nivel de intensidad sonora. Dato: Io Solución: a) 2,5·10-5 W/m2; b) 73,98 dB

31. Disponemos de n altavoces iguales que emiten como fuentes puntuales. Sabiendo que en un punto P, situado a una distancia r, el nivel de intensidad sonora total es 70 dB: a) Calcular el valor de n, si cada uno genera un nivel de intensidad sonora de 60

dB en dicho punto P. b) Determinar la potencia de cada altavoz en función de la potencia total. Solución: a) 10; b) PT/10

32. Dos fuentes sonoras puntuales, A y B, están separadas 120 metros. Sabemos que

la fuente A tiene una potencia de 3 µW y que una persona situada en el punto medio entre ambas fuentes detecta un nivel de intensidad sonora de 20 dB. Calcular: a) La potencia sonora de la fuente B. Si la persona encargada de medir la intensidad sonora se mueve de forma perpen-dicular a la línea que une las fuentes, calcular: b) La distancia que deberá desplazarse para dejar de oír la señal emitida por ambas

fuentes. Dato: Io

Solución: a) 1,52·10-6 W; b) 597 m

33. En un punto situado a igual distancia entre dos fábricas, que emiten como focos puntuales, se percibe un nivel de intensidad sonora de 40 dB proveniente de la pri-mera y de 60 dB de la segunda. Determinar: a) El valor del cociente entre las potencias de emisión de ambas fábricas. b) La distancia a la que habría que situarse respecto de la primera fábrica para que

su nivel de intensidad sonora fuese de 60 dB. Suponer en este caso que solo existe esta primera fábrica y que el nivel de intensidad sonora de 40 dB se percibe a una distancia de 100 m.

Solución: a) 100; b) 10 m

70

34. Un altavoz emite sonido como un foco puntual. A una distancia d, el sonido se per-

cibe con un nivel de intensidad sonora de 30 dB. Determinar: a) El factor en el que debe incrementarse la distancia al altavoz para que el sonido

se perciba con un nivel de intensidad sonora de 20 dB. b) El factor en el que debe incrementarse la potencia del altavoz para que a la dis-

tancia d el sonido se perciba con un nivel de intensidad sonora de 70 dB. Solución: a) 3,16; b) 10000

35. Discutir la veracidad o falsedad de las siguientes afirmaciones: a) Un fotón de luz roja tiene mayor longitud de onda que un fotón de luz azul. b) Un fotón de luz amarilla tiene mayor frecuencia que un fotón de luz azul. c) Un fotón de luz verde tiene menor velocidad de propagación en el vacío que un

fotón de luz amarilla. d) Un fotón de luz naranja es más energético que un fotón de luz roja.

36. En un medio de índice de refracción n1 = 1 se propaga un rayo luminoso de frecuen-

cia f1 = 6·1014 Hz. a) ¿Cuál es su longitud de onda? b) ¿Cuál sería la frecuencia y la longitud de onda de la radiación si el índice de

refracción del medio fuese n2 = 1,25 n1? Dato: c Solución: a) 5·10−7 m; b) 6·1014 Hz; 4·10−7 m

37. Una fuente luminosa emite luz monocromática de longitud de onda en el vacío

λ = 6·10-7 m (luz roja) que se propaga en el agua de índice de refracción n = 1,34. Determinar: a) La velocidad de propagación de la luz en el agua. b) La frecuencia y la longitud de onda de la luz en el agua. Dato: c Solución: a) 2,24·108 m/s; b) 5·1014 Hz; 4,48·10-7 m

38. Un electrón de un átomo salta de un nivel de energía de 5 eV a otro inferior de 3 eV, emitiéndose un fotón en el proceso. Calcular la frecuencia y la longitud de onda de la radiación emitida, si ésta se propaga en el agua. Datos: h, c, e, nagua = 1,33. Solución: 4,83·1014 Hz; 4,67·10-7 m

71

TEMA 5: ÓPTICA GEOMÉTRICA

1. Reflexión y refracción de la luz

La óptica es la parte de la física que estudia los fenómenos característicos de las ondas luminosas. La óptica geométrica es la parte de la óptica que se ocupa, a partir de repre-sentaciones geométricas, de los cambios de dirección que experimentan los rayos lumi-nosos en la reflexión y la refracción.

Al igual que el resto de las ondas, cuando un rayo de luz incide en la superficie de separación entre dos medios, se producen dos fenómenos:

- Reflexión: es el fenómeno por el cual el rayo lumi-noso es devuelto el primer medio, cambiando su dirección de propagación.

- Refracción: es el fenómeno por el cual el rayo lu-minoso pasa a propagarse en el segundo medio, cambiando su dirección de propagación debido a la diferencia entre la velocidad de propagación de la luz en ambos medios.

En el caso de la luz, la ley de Snell suele expresarse en función de los índices de refrac-ción de ambos medios:

1

2

2

1

2

1

n

n

nc

nc

v

v

rsen

isen

Ejemplo: Un rayo de luz monocromática incide desde el aire sobre el agua (n = 1,33) con un ángulo de incidencia de 30º. Calcular el ángulo de refracción.

1

33,1

rsen

30sen sen r = 0,375; r = 22º

Si el rayo de luz atraviesa una lámina de caras planas y paralelas, experimenta una doble refracción.

Ejemplo: Sobre una lámina de vidrio de caras planas y paralelas de índice de refracción 1,5, situada en el vacío, incide un rayo de luz monocromática con un ángulo de 30° normal a la cara. Calcular el ángulo que forma con la normal el rayo que emerge de la lámina.

1rsen

30sen=

1

5,1 1r = 19,5º = 2i

2rsen

5,19sen=

5,1

1 2r

= 30º

Dispersión de la luz

Es el fenómeno que se produce al refractarse un rayo de luz policromática. Debido a que la velocidad de propagación de cada radiación en un medio material varía ligera-mente en función de la frecuencia, cada una de las radiaciones que componen el rayo se refractará con distinto ángulo, produciéndose la descomposición del rayo luminoso. La dispersión de la luz se observa fácilmente a través de cuerpos transparentes de caras no paralelas (prisma óptico, gota de agua...), ya que cada rayo emerge con un ángulo distinto.

1

2

n

n

rsen

isen

n1 = índice de refracción del 1º medio = c

v1

n2 = índice de refracción del 2º medio = c

v2

72

Ejemplo: Un haz luminoso está constituido por dos rayos de luz: uno azul de índice de refracción nazul= 1,55 y otro rojo de índice de refracción nrojo = 1,40. Si este haz incide desde el aire sobre la superficie de un vidrio con un ángulo de 30º, calcular el ángulo que forman entre sí los rayos azul y rojo refractados.

azulrsen

30sen=

1

55,1 azulr = 18,8º;

rojorsen

30sen=

1

40,1 rojor = 20,9º

rojor - azulr =20,9 – 18,8 = 2,1º

Reflexión total

Cuando el índice de refracción del primer medio es mayor que el del segundo (n1n2),

el ángulo de refracción es mayor que el de incidencia (sen r sen i ; r i ); en este caso,

existe un ángulo de incidencia llamado ángulo límite o crítico ( L ) para el cual el ángulo de refracción vale 90º. Para ángulos de incidencia mayores que el ángulo límite no se produce refracción y aparece el fenómeno de reflexión total.

Ejemplo: Un buceador enciende una linterna debajo del agua (índice de refracción 1,33) y dirige el haz luminoso hacia arriba ¿Cuál es el ángulo de incidencia a partir del cual la luz no saldrá del agua?

33,1

1=

90sen

Lsen → sen L = 0,75 → L = 48,8º

La reflexión total permite la transmisión de la luz sin pérdidas de energía, ya que, a diferencia de lo que ocurre en la reflexión ordinaria, el rayo reflejado tiene la misma intensidad que el rayo incidente. Por ello, en muchos instrumentos ópticos se emplean prismas de reflexión total en vez de espejos. Del mismo modo, la fibra óptica, que consiste en un hilo muy fino de material transparente, se utiliza como medio de transmi-sión en telecomunicaciones gracias a que la señal se transforma en un haz de luz se propaga por el interior de la fibra con un ángulo de reflexión por encima del ángulo límite.

Ejemplo: Se tiene un prisma óptico de índice de refracción 1,5 inmerso en el aire. La sección del prisma es un triángulo rectángulo isósceles y un rayo luminoso incide per-pendicularmente sobre la cara vertical como muestra la figura. ¿Cuál será la dirección del rayo emergente?

sen =

= arcsen

En la cara vertical, el ángulo de incidencia es 0º, por lo que el rayo no se desvía. En la cara diagonal:

5,1

1=

rsen

45sen → sen r > 1 → Se produce reflexión total

El rayo se refleja con un ángulo de 45º. En la cara horizontal, el ángulo de incidencia es 0º, por lo que el rayo no se desvía y emerge verticalmente.

73

Prisma óptico

Cuando un rayo luminoso atraviesa una de las caras laterales de un prisma triangular (prisma óptico), el rayo experimenta una doble refracción.

1ª refracción: 1

1

rsen

isen=

1

2

n

n; 2ª refracción:

2

2

rsen

isen

2

1

n

n

Sabiendo que 21 ir +(180-) = 180º 21 ir =

Ejemplo: Sobre un prisma de índice de refracción 1,55 y ángulo en el vértice 45°, incide un rayo de luz con un ángulo de 30°. Determinar el ángulo de emergencia.

1rsen

30sen=

1

55,1 1r = 18,8º ; 2i = 45-18,8 =26,2º;

2rsen

2,26sen=

55,1

1 2i = 43,2º

2. Formación de imágenes en espejos y lentes

Un espejo es una superficie lisa y pulimentada capaz de reflejar los rayos luminosos. Dependiendo de su forma, pueden ser planos o esféricos.

a) Espejos planos

Para construir la imagen de un objeto en un espejo se suele representar el objeto me-diante una flecha situada a la izquierda del espejo sobre una línea perpendicular a este denominada eje óptico (normal). El punto de corte entre el espejo y el eje óptico recibe el nombre de centro óptico o vértice del espejo, y se toma como origen de coordena-das para medir las posiciones de objeto e imagen. Los rayos incidentes se trazan par-tiendo del extremo superior del objeto. La imagen se forma en el punto de corte de los rayos reflejados o de sus prolongaciones.

- Si el rayo incidente es paralelo al eje óptico

(i = 0º), el rayo reflejado no se desvía.

- Si el rayo incidente forma un ángulo i con el eje, el rayo reflejado forma el mismo ángulo.

Por semejanza de triángulos, se puede dedu-cir que:

y = tamaño del objeto y’ = tamaño de la imagen s = posición del objeto s’ = posición de la imagen

y = y’

s = -s’

1i

2r 1r

2i

1i = ángulo de incidencia

1r = ángulo de refracción en el prisma

2i = ángulo de incidencia en el prisma

2r = ángulo de emergencia

= ángulo en el vértice

74

La imagen formada por un espejo plano es siempre derecha, del mismo tamaño que el objeto y virtual (se forma a partir de las prolongaciones de los rayos reflejados, pero no tiene existencia real, por lo que no puede proyectarse sobre una pantalla).

b) Lentes

Una lente es un medio transparente limitado por dos caras, al menos una de las cuales es curva. Las lentes pueden ser de dos tipos:

- Convergentes: más gruesas en el centro que en los extremos (biconvexa, plano-convexa...). Al pasar los rayos a través de ellas, los rayos refractados se juntan (con-vergen) en un punto.

- Divergentes: más gruesas en los extremos que en el centro (bicóncava, plano-cón-cava...). Al pasar los rayos a través de ellas, los rayos refractados se separan (diver-gen).

Esquemáticamente, se representan por:

En toda lente pueden distinguirse los siguientes elementos:

- Foco objeto (F): punto por el que deben pasar los rayos incidentes (o sus prolonga-ciones) para que los rayos refractados sean paralelos al eje óptico (→ imagen formada en el infinito).

- Foco imagen (F’): punto por el que pasan los rayos refractados (o sus prolongacio-nes) cuando los rayos incidentes son paralelos al eje óptico (→ objeto en el infinito).

Las distancias focales objeto e imagen son siempre iguales en valor absoluto (f = -f’) y dependen de la curvatura de las caras de la lente, de modo que cuanto mayores son los radios de curvatura (caras más planas), mayor es la distancia focal.

F’

f’= distancia focal imagen

f’

F’

f’

F

f

f= distancia focal objeto

F

f

Lente convergente Lente divergente

75

- Centro óptico (O): cuando el rayo incidente pasa por el centro óptico, el rayo re-fractado sigue la misma trayectoria.

Las características de la imagen formada por una lente convergente dependen de la posición del objeto. Existen tres posibilidades:

a) Objeto situado entre - y 2F

b) Objeto situado entre 2F y F

c) Objeto situado entre F y O (lupa)

2F F O F’

Imagen virtual, derecha y mayor que el objeto

Imagen real, invertida y menor que el objeto

2F F O F’

F O F’

Imagen real, invertida y mayor que el objeto

O

76

La imagen formada por una lente divergente tiene siempre las mismas características independientemente de la posición del objeto:

Para determinar la posición de la imagen y el aumento producido por la lente, se utilizan las siguientes ecuaciones:

s = posición del objeto respecto a O (s 0)

s’ = posición de la imagen respecto a O

virtualimagen0's

realimagen0's

f = distancia focal objeto

divergentelente0f

econvergentlente0f

Se llama potencia de una lente a la inversa de su distancia focal imagen expresada en metros. Se mide en dioptrías (m-1)

Las lentes convergentes (P>0) se utilizan para corregir la hipermetropía y la presbicia y en todos los instrumentos ópticos de aumento (lupas, proyectores, cámaras fotográficas, microscopios, telescopios…). Las lentes divergentes (P<0) se utilizan en la corrección de la miopía.

Ejemplo: La potencia de una lente convergente es de 5 dioptrías. Calcular la posición y aumento de la imagen que produce dicha lente para un objeto que se encuentra delante de ella a las siguientes distancias:

a) 50 cm b) 15 cm

Realizar el trazado de rayos en ambos casos.

a) 5 ='f

1; f’ = 0,2 m = 20 cm; f = -20 cm

20

1

's

1

50

1

s’ = 33,3 cm;

3

2

50

3,33

y

'y

F’ O F

Imagen virtual, derecha y menor que el objeto

y = tamaño del objeto (y 0)

y’ = tamaño de la imagen

aumento lateral de la lente

P = 1

f'

P = potencia de la lente (m-1 o dioptrías)

f’ = distancia focal imagen (m)

f

1

's

1

s

1

77

b) 20

1

's

1

15

1

s’ = -60 cm; 4

15

60

y

y'

Ecuación del constructor de lentes: Relaciona las características de la lente (radios de curvatura de ambas caras e índice de refracción) con su distancia focal.

Ejemplo: Para una lente biconvexa los radios de curvatura son, en valor absoluto, de 15 cm y 10 cm respectivamente y el índice de refracción del material es 1,5. Determinar su distancia focal:

3. El ojo humano. Defectos visuales

Desde un punto de vista físico, el ojo humano está formado por una lente convergente de curvatura variable, el cristalino, y una membrana que recubre la superficie interna del globo ocular actuando como pantalla, la retina. Un objeto se ve con nitidez cuando su imagen se proyecta en la retina; si las imágenes se forman por detrás o por delante de la retina, los objetos se ven borrosos.

El ojo sano acomoda la curvatura del cristalino para lograr que las imágenes de todos los objetos se proyecten exactamente en la retina y puedan observarse con nitidez. Se considera que el punto remoto (punto más alejado del ojo que puede observarse con

nitidez) se sitúa en el infinito (s = -) y el punto próximo (punto más cercano al ojo que

O

O

C2 r2 r1 C1 cara 1 cara 2

1

f= (n - 1) (

1

r2 -

1

r1 )

C1, C2 = centros de las superficies que forman las caras (si la cara es plana, C está en el infinito)

f = distancia focal objeto n = índice refracción del material que forma la lente r1, r2 = radios de curvatura de las caras (si C está a la izquierda, r<0)

1

f= (1,5 - 1) (

1

-10 -

1

15) = 0,5 (-

1

6) = -

1

12; f = -12 cm

78

puede observarse con nitidez) se situaría a unos 25 cm (s= -0,25 m), aunque este es solo un valor que se toma como referencia, ya que varía con la edad.

Los principales defectos visuales son:

- Miopía: la visión lejana es defectuosa, debido a que la imagen de los objetos lejanos se forma por delante de la retina, de modo que el punto remoto se sitúa a una distancia finita. Se corrige mediante lentes divergentes que permiten que la imagen de los obje-tos lejanos se forme en la retina.

Con una lente divergente adecuada, la imagen de un objeto muy alejado (s = -) se

forma en el punto remoto del ojo miope (s’ = -dpunto remoto), de forma que puede verse

con nitidez al proyectarse exactamente en la retina.

- Hipermetropía: la visión cercana es defectuosa, debido a que la imagen de los objetos cercanos (con acomodación del cristalino) se forma por detrás la retina, de modo que el punto próximo se sitúa a mayor distancia de lo habitual. Se corrige mediante lentes convergentes que permiten que la imagen de los objetos cercanos se forme en la re-tina.

Con una lente convergente adecuada, se consigue que la imagen de un objeto muy cercano al ojo (s = -0,25 m) se forme en el punto próximo del ojo hipermétrope (s’ = -dpunto remoto), de forma que puede verse con nitidez al proyectarse exactamente en la retina.

Visión de objetos lejanos en un ojo normal Visión de objetos cercanos en un ojo normal

F’

Visión de objetos lejanos en un ojo miope

F’

Sin corrección Con corrección

Visión de objetos lejanos en un ojo hipermétrope

Sin corrección Con corrección

79

- Presbicia: la visión cercana es defectuosa, ya que la capacidad de acomodación del cristalino va disminuyendo con los años (“vista cansada”), por lo que la imagen de los objetos cercanos se forma por detrás la retina. Se considera que una persona padece presbicia cuando su punto próximo está a más de 25 cm. Al igual que en la hiperme-tropía, se corrige empleando para la visión cercana lentes convergentes que permiten que la imagen de los objetos cercanos se forme en la retina.

- Astigmatismo: la visión es borrosa, debido a diferencias en la curvatura de la córnea que hacen que la imagen de los objetos se forme en más de un punto. Se corrige mediante lentes que combinan diferentes curvaturas.

5. Instrumentos ópticos

Los instrumentos ópticos son una aplicación de los espejos y lentes a la formación de imágenes de las características deseadas.

Los principales instrumentos ópticos son:

- Lupa: consiste en una lente convergente que se emplea para formar una imagen au-mentada, virtual y derecha. Para ello, el objeto debe situarse entre el foco y la lente, aumentando el tamaño de la imagen a medida que el objeto se aproxima al foco. El máximo aumento de la lupa se percibe cuando el objeto se sitúa en el foco; en este caso, los rayos refractados salen paralelos (la imagen se formaría en el infinito) pero el cristalino del ojo, sin necesidad de acomodación, concentra esos rayos y proyecta la imagen en la retina.

- Cámara fotográfica: está constituida por una lente convergente u objetivo, alojada en una caja opaca a la luz, que forma una imagen real e invertida en la película sensible a la luz situada detrás de la lente. Su funcionamiento es análogo al del ojo humano, desempeñando el objetivo el papel del cristalino y la película el de la retina. En las cámaras digitales la película se sustituye por un sensor electrónico que captura la imagen y la almacena en una memoria digital.

- Microscopio: consiste en dos lentes convergentes; la que se sitúa cerca del objeto es el objetivo y la que se sitúa junto al ojo es el ocular. El objeto se sitúa ligeramente por detrás del foco del objetivo, que forma una imagen intermedia real, invertida y de mayor tamaño, ligeramente por delante del foco del ocular. El ocular actúa como una lupa dando lugar a una imagen final virtual, invertida y muy aumentada; si la imagen intermedia se sitúa en el foco del ocular, los rayos refractados salen paralelos y el ojo percibe la imagen con el mayor aumento posible.

F O F’ F O F’

Objeto situado por delante del foco Objeto situado en el foco

80

- Telescopio: permite observar objetos muy lejanos mediante un sistema óptico aná-

logo al del microscopio. Un telescopio refractor o anteojo astronómico está com-puesto por dos lentes convergentes: un objetivo con distancia focal muy elevada y un ocular. Los rayos procedentes del infinito atraviesan el objetivo, que forma una imagen intermedia real, invertida y aumentada sobre su foco imagen, muy próximo (o coinci-dente) al foco objeto del ocular; el ocular actúa como lupa dando lugar a una imagen final virtual, invertida y muy aumentada.

Para la observación de objetos astronómicos del exterior del sistema solar es necesa-rio captar una gran cantidad de luz, para lo que se precisa aumentar el diámetro del objetivo, pero las lentes muy grandes provocan distorsiones en las imágenes formadas (aberraciones), por lo que los telescopios refractores suelen emplearse solo para la observación planetaria y lunar. Para la observación de objetos astronómicos muy ale-jados se utilizan telescopios reflectores, en los que el objetivo es un espejo cóncavo muy grande que capta una gran cantidad de luz, consiguiendo imágenes muy precisas y aumentos muy elevados.

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EJERCICIOS

1. Un rayo de luz monocromática cuya longitud de onda en el vacío es 656,3 nm incide

desde el aire sobre un líquido de índice de refracción n =1,42 con un ángulo de inci-

dencia de 30º.

a) Determinar velocidad de propagación, longitud de onda y frecuencia de dicho rayo en el líquido.

b) Dibujar un esquema de los rayos incidente, reflejado y refractado y calcular el ángulo de refracción.

Dato: c Solución: a) 2,11·108 m/s; 4,62·10-7 m; 4,57·1014 Hz; b) 20,6 º

Objetivo Ocular

F1 F1’ F2 F2’ Objeto

Imagen intermedia

Imagen final

Objetivo

F1 F2 F1’ F2’

Imagen intermedia

Imagen final

Ocular

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2. Un haz de luz monocromática, cuya longitud de onda en el vacío es λo = 600 nm

incide, desde el aire, sobre la pared plana de vidrio de un acuario con un ángulo de

incidencia de 30º. Determinar:

a) El ángulo de refracción en el vidrio, sabiendo que su índice de refracción es n1 = 1,5.

b) La longitud de onda de dicho haz en el agua, sabiendo que su índice de refrac-ción es n2 = 1,33.

Solución: a) 19,5º; b) 451 nm

3. Dos rayos que parten del mismo punto inciden sobre la superficie de un lago con

ángulos de incidencia de 30º y 45º, respectivamente.

a) Determinar los ángulos de refracción de los rayos sabiendo que el índice de re-fracción del agua es 1,33.

b) Si la distancia entre los puntos de incidencia de los rayos sobre la superficie del lago es de 3 m, determinar la separación entre los rayos a 2 m de profundidad.

Solución: a) 22,1º, 32,1º; b) 3,44 m

4. Sobre una lámina de vidrio de caras planas y paralelas de 3 cm de espesor y situada

en el aire incide un rayo de luz monocromática con un ángulo de incidencia de 35º.

Sabiendo que la velocidad de propagación del rayo en la lámina es 2

3c:

a) Determinar el índice de refracción de la lámina. b) Determinar el ángulo con el que el rayo emergerá de la lámina. c) Calcular la distancia recorrida por el rayo dentro de la lámina. Solución: a) 1,5; b) 35º; c) 3,25 cm

5. Se tienen tres medios transparentes de índices de refracción n1, n2 y n3 separados

entre sí por superficies planas y paralelas. Un rayo de luz de frecuencia 6·1014 Hz

incide desde el primer medio (n1 = 1,5) sobre el segundo formando un ángulo de 30º

con la normal.

a) Sabiendo que el ángulo de refracción en el segundo medio es 23,5, ¿cuál será la longitud de onda de la luz en este segundo medio?

b) Si el índice de refracción del tercer medio es n3 = 1,3 ¿cuál será el ángulo de emergencia del rayo?

Dato: c Solución: a) 2,66·10-7 m; b) 35,6º

6. Un rayo de luz blanca incide desde el aire sobre una lámina de vidrio con un ángulo

de incidencia de 30º.

a) ¿Qué ángulo formarán entre sí en el interior del vidrio los rayos rojo y azul, com-ponentes de la luz blanca, si los valores de los índices de refracción del vidrio para estos colores son, respectivamente, nrojo=1,61 y nazul=1,67?

b) ¿Cuáles serán los valores de la frecuencia y de la longitud de onda correspon-dientes a cada una de estas radiaciones en el vidrio, si las longitudes de onda en el vacío son, respectivamente, λrojo = 656 nm y λazul = 486 nm?

Dato: c Solución: a) 0,7º; b) 407 nm, 291 nm

7. Un rayo de luz pasa de un medio de índice de refracción n1 a otro de índice de refracción n2. Determinar: a) La relación entre n1 y n2 para que el ángulo de refracción sea menor que el de

incidencia. b) La relación entre n1 y n2 para que pueda darse reflexión total.

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8. Un haz de luz incide desde un medio con índice de refracción n1 = 1,8 sobre la superficie plana de separación con otro medio de índice de refracción n2 = 1,5. Si la longitud de onda en el primer medio es de 500 nm:

a) Determinar la velocidad de propagación y la frecuencia del haz en ambos medios, así como la longitud de onda en el segundo.

b) ¿Cuál tendría que ser el ángulo de incidencia para que no hubiera refracción? Dato: c Solución: a) 1, 67·108 m/s, 2·108 m/s; 3, 33·1014 Hz; 6·10−7 m; b) 56,4º

9. Desde lo alto de un trampolín, Carlos es capaz de ver a Laura que está buceando

en el fondo de la piscina. Para ello tiene que mirar con un ángulo de 30º con res-pecto a la vertical. La altura de observación es de 4 m y la piscina tiene una profun-didad de 3 m. Si el índice de refracción del agua es nagua = 1,33, determinar:

a) La distancia respecto a la vertical del trampolín a la que se encuentra Laura. b) El ángulo límite entre ambos medios y realizar un esquema indicando la marcha

del rayo. Solución: a) 3,53 m; b) 48,75º

10. Un haz de luz de frecuencia 5,17·1014 Hz incide desde un medio A de índice de refracción nA = 1,8 hacia otro medio B de índice de refracción nB. Se observa refle-xión total a partir de un ángulo de incidencia de 46,24º. Determinar: a) El valor del índice de refracción y la velocidad de propagación del haz en el me-

dio B. b) Las longitudes de onda del haz en ambos medios. Dato: c Solución: a) 1,3; b) 2,31·108 m/s; b) 3,23·10-7 m; 4,47·10-7 m

11. Una lámina de vidrio (índice de refracción n = 1,52) de caras planas y paralelas y

se encuentra entre el aire y el agua. Un rayo de luz monocromática de frecuencia

5·1014 Hz incide desde el agua en la lámina. Determinar:

a) Las longitudes de onda del rayo en el agua y en el vidrio. b) El ángulo de incidencia en la primera cara de la lámina a partir del cual se pro-

duce reflexión total interna en la segunda cara. Datos: c, nagua = 1,33 Solución: a) 4,5·10-7 m; 3,95·10-7 m; b) 48,8º

12. Un rayo de luz monocromático que se propaga por el medio 1 de índice de refrac-

ción n1 = 1,6 con una longitud de onda 460 nm, incide sobre la superficie de sepa-

ración con el medio 2 de índice de refracción n2 = 1,4.

a) Calcular la frecuencia y la longitud de onda de la luz cuando se propaga en el segundo medio.

b) Tras este segundo medio, la luz llega a un tercer me-dio de índice de refracción n3 = 1,2 (ver figura). De-terminar el menor ángulo de incidencia del rayo en la superficie de separación entre los medios 1 y 2, para que, al llegar a la superficie de separación entre los medios 2 y 3, se inicie el fenómeno de la reflexión total. Explicar en qué consiste este fenómeno.

Dato: c Solución: a) 4,08·1014 Hz; 5,26·10-7 m; b) 48,6º

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13. Un rayo de luz se propaga según muestra el es-

quema de la figura. Primero incide con un ángulo i1

desde un medio de índice de refracción n1 = 1,6 so-

bre un medio de índice de refracción n2 = 1,3 de

manera que el rayo reflejado y el rayo refractado

forman entre sí un ángulo de 90º. El rayo refractado

incide con el ángulo crítico ic sobre otro medio de

índice de refracción n3 desconocido. Determinar:

a) Los ángulos de incidencia i1 e ic. b) El índice de refracción n3. Solución: a) 39,1º; 50,9º; b) 1,009

14. Una superficie plana separa dos medios transparentes de índices de refracción

n1 = 2 y n2 = 1,4 respectivamente. Un rayo luminoso incide desde el medio de índice de refracción n1 = 2 sobre la superficie de separación de los dos medios observán-dose que el rayo reflejado y el refractado son perpendiculares entre sí. Calcular: a) Los valores de los ángulos de incidencia y de refracción. b) Entre qué valores tiene que estar comprendido el ángulo de incidencia para que

se produzca rayo refractado.

Solución: a) 35º; 55º; b) i 44,4º

15. Un rayo de luz incide desde un medio A de índice de refracción nA a otro B de índice de refracción nB. Los índices de refracción de ambos medios cumplen la relación nA + nB = 3. Cuando el ángulo de incidencia desde el medio A hacia el medio B es superior o igual a 49,88º tiene lugar reflexión total. a) Calcular los valores de los índices de refracción nA y nB. b) Razonar en cuál de los dos medios la luz se propaga a mayor velocidad.

Solución: a) 1,7; 1,3 16. Una placa de vidrio de 4 cm de espesor y de índice de refracción 1,5 se encuentra

sumergida entre dos aceites de índices de refracción 1,4 y 1,2 respectivamente. Pro-veniente del aceite de índice 1,4 incide sobre el vidrio un haz de luz con un ángulo de incidencia de 30º. Calcular: a) La distancia, d, entre el rayo reflejado por la cara

superior del vidrio y el refractado después de re-flejarse en la cara inferior del vidrio.

b) El ángulo de incidencia mínimo en la cara supe-rior del vidrio necesario para que se produzca el fenómeno de reflexión total en la cara inferior de la placa de vidrio.

Solución: a) 13,13 cm; b) 59º

17. Sobre un bloque de material cuyo índice de refracción depende de la longitud de onda, incide desde el aire un haz de luz compuesto por longitudes de onda de 400 nm (violeta) y 750 nm (rojo). Los índices de refracción del material para estas longi-tudes de onda son 1,66 y 1,60, respectivamente. Si, como se muestra en la figura, el ángulo de incidencia es de 60º: a) ¿Cuáles son los ángulos de refracción y las lon-

gitudes de onda en el material? b) Determinar el ángulo límite para cada longitud

de onda en la frontera entre el material y el aire. Para α = 60º, ¿escapan los rayos desde el me-dio hacia el aire por la frontera inferior?

Solución: a) 31,4º, 32,8º; 241 nm, 469 nm; b) 37,0º, 38,7º; no

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18. Una fibra óptica de vidrio posee un núcleo con un índice de refracción de 1,55, ro-deado por un recubrimiento de índice de refracción de 1,45. Determinar: a) El ángulo mínimo β que debe tener un rayo que

viaja por la fibra óptica a partir del cual se pro-duce reflexión total interna entre el núcleo y el recubrimiento.

b) El ángulo máximo de entrada α a la fibra para que un rayo viaje confinado en la región del nú-cleo.

Solución: a) 69,2º; b) 33,3º

19. Se tiene un prisma rectangular de vidrio de índice de refracción 1,48. Del centro de su cara A se emite un rayo que forma un ángulo α con el eje vertical del prisma, como muestra la figura. La anchura del prisma es 20 cm y la altura 30 cm. a) Si el medio exterior es aire, ¿cuál es el máximo valor de α para

que el rayo no salga por la cara B? Justificar la respuesta. b) Si el medio exterior es agua, ¿cuál es el máximo valor de α

para que el rayo no salga por la cara B? Para este valor de α, ¿cuál es el ángulo con el que emerge de la cara C?

Dato: nagua = 1,33 Solución: a) 47,5º; b) 26 º; 29,2º

20. Sobre un material transparente limitado por dos superficies planas que forman un ángulo de 60º incide, desde el aire, un rayo de luz monocromática con un ángulo i = 45º tal y como se muestra en la figura. Si el índice de refracción del material para esa radiación monocromática es 1,5. Determinar: a) Los ángulos de refracción en cada una de las

superficies. b) El menor valor del ángulo de incidencia en la

primera superficie para que el rayo pueda emerger a través de la segunda superficie.

Solución: a) 28,1º; 52,4º; b) 27,9º 21. Un material transparente de índice de refracción n = 2 se

encuentra situado en el aire y limitado por dos superficies planas no paralelas que forman un ángulo α. Sabiendo que el rayo de luz monocromática que incide perpendicu-larmente sobre la primera superficie emerge por la se-gunda con un ángulo de 90º con respecto a la normal, como se muestra en la figura, determinar: a) El valor del ángulo límite para la incidencia material-

aire y el valor del ángulo α. b) El ángulo de incidencia de un rayo en la primera su-

perficie para que el ángulo de emergencia por la se-gunda sea igual que él.

Solución: a) 30º; 30º; b) 31,2º

22. Sea una lente convergente de distancia focal de 5 cm. a) Calcular la distancia entre la lente y la imagen formada para un objeto situado

en el infinito, y para un objeto situado a 20 cm de la lente. b) Determinar el tamaño de un objeto que está situado a 20 cm de la lente y forma

una imagen de 30 mm de altura, y realizar el diagrama de rayos correspondiente para la formación de la imagen.

Solución: a) 5 cm; 6,67 cm; b) 0,9 cm

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23. La lente de un proyector tiene una distancia focal de 0,5 cm. Se sitúa a una distancia

de 0,51 cm de la lente un objeto de 5 cm de altura. Calcular: a) La distancia a la que hay que situar la pantalla para observar nítida la imagen. b) El tamaño mínimo de la pantalla para que se proyecte entera la imagen. Solución: a) 25,5 cm; b) 250 cm

24. Un objeto está situado en una posición s1 a la izquierda de una lente convergente de

distancia focal 50 mm, de modo que forma una imagen real, invertida y de tamaño doble que el objeto. A continuación, el objeto se va moviendo hacia la lente hasta una posición s2 en la que la imagen es virtual, derecha y de tamaño doble que la del objeto. Calcular: a) La posición s1 inicial del objeto y la distancia inicial entre la imagen y la lente. b) La posición s2 final del objeto y la distancia final entre la imagen y la lente. Solución: 10 cm; -4 cm; b) -2,5 cm

25. Un objeto luminoso de 3 cm de altura está situado a 20 cm de una lente divergente de -10 dioptrías de potencia. Determinar: a) La posición y el tamaño de la imagen. b) La construcción geométrica de la imagen. Solución: a) -6,67 cm; 1 cm

26. Cierta lente delgada de distancia focal 6 cm genera, de un objeto real, una imagen

derecha y menor, de 1 cm de altura y situada 4 cm a la izquierda del centro óptico. Determinar: a) La posición y el tamaño del objeto. b) El tipo de lente (convergente/divergente) y realizar su diagrama de rayos.

Solución: a) -12 cm; 3 cm 27. Una lente delgada convergente de 10 cm de distancia focal se utiliza para obtener

una imagen de tamaño doble que el objeto. Determinar a qué distancia se encuentra el objeto y su imagen de la lente si: a) La imagen es derecha. b) La imagen es invertida. Realizar en cada caso el diagrama de rayos. Solución: a) -5 cm; -10 cm; b) -15 cm, 30 cm

28. Un objeto real está situado 20 cm delante de una lente delgada planoconvexa de 10

dioptrias de potencia e índice de refracción n = 1,6. a) Calcule el radio de curvatura de la cara esférica de la lente y la posición de la

imagen.

b) Si se utiliza la lente anterior como lupa, determine la posición en la que habría

que situar el objeto para que la imagen formada fuera virtual y dos veces mayor.

Solución: a) 6 cm; 20 cm; b) -5 cm 29. Determinar el tipo de imagen y el aumento lateral que se obtiene al situar un objeto

delante de una lente divergente en los siguientes casos: a) El objeto se sitúa a una distancia igual al doble de la distancia focal. b) El objeto se sitúa a una distancia igual a la mitad de la distancia focal. Solución: a) 1/3; b) 2/3

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30. Delante de una lente convergente de distancia focal f se coloca un objeto perpendi-

cularmente a su eje óptico. a) ¿A qué distancia de la lente debe colocarse para obtener una imagen de igual

tamaño que el objeto e invertida? ¿Cuál es la naturaleza de esta imagen? b) ¿A qué distancia de la lente debe colocarse para obtener una imagen de doble

tamaño y derecha? ¿Cuál es la naturaleza de esta imagen? Efectuar la construcción geométrica en ambos apartados. Solución: a) 2f; b) f/2

31. Un objeto luminoso de 2 cm de altura está situado a 4 m de distancia de una pantalla. Entre el objeto y la pantalla se coloca una lente esférica delgada, de distancia focal desconocida, que produce sobre la pantalla una imagen tres veces mayor que el objeto. Determinar: a) La posición del objeto respecto a la lente y la clase de lente necesaria. b) La distancia focal de la lente y efectuar la construcción geométrica de la imagen. Solución: a) –1 m; b) 0,75 m

32. Un objeto luminoso está situado a 6 m de una pantalla. Una lente, cuya distancia

focal es desconocida, forma sobre la pantalla una imagen real, invertida y cuatro veces mayor que el objeto. a) ¿Cuál es la naturaleza y la posición de la lente? ¿Cuál es el valor de la distancia

focal de la lente? b) Si se desplaza la lente de manera que se obtenga sobre la misma pantalla una

imagen nítida, pero de tamaño diferente al obtenido anteriormente ¿cuál es la nueva posición de la lente y el nuevo valor del aumento?

Solución: a) -1,2 m; 0,96 m; b) –4,8 m; -0,25

33. Una lente convergente forma de un objeto real una imagen real aumentada dos ve-ces. Al desplazar el objeto 20 cm hacia la lente, la imagen que se obtiene es virtual y con el mismo aumento en valor absoluto. a) Determinar la potencia y la distancia focal de la lente. b) Realizar el diagrama de rayos correspondiente. Solución: a) 20 cm; 5 dioptrías

34. a) Determinar a qué distancia debe colocarse un objeto delante de una lente con-

vergente de 0,30 m de distancia focal, para que se forme una imagen virtual,

derecha y dos veces mayor que el objeto.

b) El punto remoto de un ojo miope se encuentra 0,5 m delante de sus ojos. Deter-

mine la potencia de la lente que debe utilizar para ver nítido un objeto situado en

el infinito.

Solución: a) 15 cm; b) -2 dioptrías

35. a) Explicar en qué consiste la presbicia o vista cansada.

b) Determinar la potencia y la distancia focal de la lente que debe utilizar una per-

sona con presbicia si su punto próximo se encuentra situado a 1 m y quiere leer

a una distancia de 0,25 m.

Solución: b) 3 dioptrías; 0,33 m

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36. Un objeto de 1 cm de altura se sitúa 15 cm por delante de una lente convergente de 10 cm de distancia focal. a) Determinar la posición, naturaleza y tamaño de la imagen formada, efectuando

su construcción geométrica. b) ¿A qué distancia de la lente anterior habría que colocar una lente convergente

de 20 cm de distancia focal para que la imagen final se formara en el infinito? Solución: a) 30 cm; -2 cm; b) 50 cm

37. Un microscopio está formado por dos lentes convergentes, la primera de potencia 5 dioptrías y la segunda de 4 dioptrías, ambas están separadas 85 cm y tienen el mismo eje óptico. Se sitúa un objeto de tamaño 2 cm delante de la primera lente perpendicular al eje óptico, de manera que la imagen formada por ella es real, inver-tida y de doble tamaño que el objeto. a) Determinar la posición del objeto a la primera de las lentes. ¿Dónde se formará

la imagen final? b) Efectuar un esquema gráfico, indicando el trazado de los rayos.

Solución: a) -30 cm;

38. Un sistema óptico está formado por dos lentes convergentes de distancias focales f1´= 20 cm y f2´= 30 cm. La segunda lente, de distancia focal f2´, está situada a la derecha de la primera a 100 cm de distancia. Un objeto de 3 cm de altura se coloca 30 cm delante de la primera lente. a) Determinar la posición y la altura de la imagen del objeto formada por el sistema

óptico. b) Realizar el diagrama de rayos correspondiente. Solución: a) 1,2 m; 18 cm

39. Un sistema óptico está constituido por dos lentes situadas a 50 cm de distancia. La primera es de 10 dioptrías y la segunda de -10 dioptrías. Se sitúa un objeto de altura 10 cm a una distancia de 15 cm, a la izquierda de la primera lente. a) Determinar la posición y el tamaño de la imagen producida por la primera lente

y de la imagen final formada por el sistema. b) Realizar un diagrama de rayos de la formación de la imagen final. Solución: a) 30 cm; −20 cm; −6,7 cm; −6,7 cm

40. Un sistema óptico centrado está formado por dos lentes delgadas divergentes de igual distancia focal (f´ = -20 cm) separadas 5 cm. Un objeto luminoso perpendicular al eje óptico, de tamaño y = 2 cm, se sitúa a la izquierda de la primera lente a una distancia de 60 cm. Determinar: a) La posición de la imagen formada por la primera lente y realizar su construcción

geométrica mediante el trazado de rayos. b) La posición y el tamaño de la imagen final dada por el sistema formado por las

dos lentes. Solución: a) −15 cm; b) −10 cm; 0,25 cm

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TEMA 6: FÍSICA DEL SIGLO XX

A finales del siglo XIX se pensaba que la física había conseguido la explicación de todos los fenómenos naturales. Sin embargo, a principios del siglo XX se producen una serie de descubrimientos que ponen de manifiesto la insuficiencia de las leyes de la física clásica cuando se aplican al mundo de lo muy pequeño (el átomo) o de lo muy grande (el universo). Se comienzan a desarrollar la física cuántica, que se aplica fundamen-talmente al estudio de los átomos, y la física relativista, para el estudio de partículas

que se mueven a velocidades próximas a la de la luz (partículas relativistas, v 0,1·c). También empieza a desarrollarse la física nuclear, que explica los fenómenos relacio-nados con los núcleos atómicos.

1. Física cuántica

A principios del siglo XX surge la teoría cuántica, que permite interpretar una serie de fenómenos que no eran explicables por la física clásica:

- Radiación del cuerpo negro: Al calentar un cuerpo que absorbe todas las longitudes de onda (cuerpo ne-gro), la intensidad de la radiación emitida adquiere un valor máximo a una longitud de onda determinada, que depende de la temperatura. Por ejemplo, una ba-rra de hierro incandescente emite sobre todo luz roja, pero si se sigue elevando su temperatura la luz emi-tida se vuelve amarilla, blanca… Según la física clá-sica, la intensidad de la radiación a cualquier tempe-ratura debería tender a infinito cuando la longitud de onda tiende a cero, ya que es directamente proporcio-nal al cuadrado de la frecuencia.

- Efecto fotoeléctrico: Cuando se ilumina la superficie de un metal con una luz de frecuencia adecuada, el metal emite electrones; este fenómeno recibe el nombre de efecto fotoeléctrico. Según la física clásica el efecto fotoeléctrico debería producirse con luz de cualquier frecuencia siempre que fuera suficientemente intensa; sin em-bargo, sólo tiene lugar cuando la frecuencia de la radiación supera una frecuencia mínima, propia de cada metal, llamada frecuencia umbral.

- Espectros atómicos: Cuando a un elemento químico en estado gaseoso se le co-munica suficiente energía, este emite radiaciones de determinadas longitudes de onda que constituyen el espectro atómico de dicho elemento. Según la física clásica, la radiación debería ser continua, es decir, de todas las longitudes de onda.

La física cuántica proporciona una explicación adecuada a estos y otros fenómenos. Se basa fundamentalmente en la hipótesis de Planck, que lleva a reconocer la naturaleza dual de la luz, y el principio de De Broglie que reconoce la naturaleza dual de la materia.

Hipótesis de Planck

Según Planck la energía de las radiaciones luminosas no puede tomar cualquier valor, sino que está cuantizada; es decir, existe una unidad mínima de energía, el cuanto, cuyo valor depende de la frecuencia de la radiación. Cada radiación está constituida por un número entero de cuantos. Ecuanto= h·f

Eradiación = n·h·f

h = constante de Planck = 6,63·10-34 J·s

f = frecuencia de la radiación (Hz o s-1)

n = nº entero positivo (nº de cuantos emitidos)

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- Explicación de la radiación emitida por un cuerpo negro: la hipótesis de Planck explica que la intensidad de la radiación del cuerpo negro a bajas longitudes de onda (elevadas frecuencias) disminuya en vez de aumentar; este hecho se debe a que, cuando las longitudes de onda son muy bajas, se emiten cuantos con mucha energía, pero muy pocos átomos pueden alcanzar energías tan altas, por lo que, al disminuir el número de cuantos emitidos, disminuye la intensidad de la radiación.

- Explicación del efecto fotoeléctrico: Einstein se basó en la hipótesis de Planck para afirmar que la luz está formada por unos corpúsculos llamados fotones, de modo que a cada fotón le correspondería un cuanto de energía (Efotón = Ecuanto). Esto implica que la luz tiene naturaleza corpuscular, pero por otro lado manifiesta un comportamiento ondulatorio; por ello se dice que la luz tiene naturaleza dual. Se-gún Einstein, cuando un fotón incide en la superficie de un metal, le transmite toda su energía a un electrón del metal. Si la energía del fotón es suficiente para extraer el electrón del metal (ionización), éste sale del metal con una energía cinética igual a la diferencia entre la energía del fotón y el trabajo de extracción o función de tra-bajo del metal. Aumentando la intensidad de la luz, lo que aumenta es el número de fotones de la radiación y con ello el número de electrones emitidos.

La condición para que se produzca efecto fotoeléctrico es: Efotón › Wo f › fo

Se llama potencial de frenado a la diferencia de potencial que hay que aplicar para detener a los electrones emitidos a la salida del metal

q·(VA – VB) = ΔEc; -e·(VA – VB) = 0 – Ec → VA – VB =-e

Ec

Ejemplo: Un metal tiene una frecuencia umbral de 4,5·1014 Hz para el efecto foto-eléctrico. Si el metal se ilumina con una radiación de 4·10-7 m de longitud de onda, calcular: a) la velocidad de los electrones emitidos, b) el potencial de frenado que habrá que aplicar para detener a dichos electrones a la salida del metal.

a) Wo = h·fo = 6,63·10-34·4,5·1014 = 2,98·10-19 J

Efotón = h·f = h·c

λ = 6,63·10-34·

7

8

_

10·4

3·10 = 4,97·10-19 J

Efotón = Wo + Ec; 4,97·10-19 = 2,98·10-19 + ·2

19,1·10-31·v2; v = 6,61·105 m/s

b) Ec = 1

2 mv2 =

1

2·9,1·10-31·(6,61·105)2 = 1,99·10-19 J; VA – VB =

1,99·10-19

1,6·10-19 = 1,24 V

- Explicación de los espectros atómicos: Bohr aplicó la hipótesis de Planck a su modelo atómico para explicar los espectros atómicos y afirmó que, cuando un elec-trón salta de una órbita superior (estado excitado) a otra inferior, se emite un fotón cuya energía es igual a la diferencia de energía entre dichas órbitas (ΔE = Efotón).

Efotón = Wo + Ec Efotón = energía de un fotón (J)

Wo = trabajo de extracción (J)

Ec = energía cinética del electrón (J)

f = frecuencia de la radiación (Hz)

fo = frecuencia umbral (Hz)

m = masa del electrón = 9,1·10-31 kg

v = velocidad del electrón (m/s)

e-

fotón

Siendo:

Efotón = h·f

Wo = h·fo

Ec = ½·m·v2

90

Ejemplo: En un átomo, un electrón pasa de un nivel cuya energía es -4·10-18 J a otro nivel inferior cuya energía es -6·10-18 J. Determinar la frecuencia y la longitud de onda de la radiación emitida.

Efotón = -4·10-18 – (-6·10-18) = 2·10-18 J

Efotón = h·f → 2·10-18 = 6,63·10-34 · f; f = 3,02·1015 Hz

c = λ·f → 3·108 = λ · 3,02·1015 ; λ = 9,95·10-8 m

Hipótesis de De Broglie

De Broglie extendió el carácter dual de la luz a las partículas materiales. Según la hipó-tesis de De Broglie, cada partícula en movimiento lleva asociada una onda, cuya longitud de onda viene dada por:

Cuanto mayor es la masa de la partícula, menor es la longitud de onda. Por ello, fuera del mundo subatómico, la longitud de onda es tan pequeña que no se observa el com-portamiento ondulatorio de la materia. Sin embargo, las ondas asociadas a los electro-nes han podido detectarse experimentalmente comprobándose la validez de esta hipó-tesis. Además, el comportamiento ondulatorio de los electrones constituye uno de los puntos esenciales del modelo mecanocuántico del átomo. Ejemplo: Calcular la longitud de onda asociada a: a) un electrón cuya velocidad es 107 m/s; b) una bola de billar de 60 g de masa que se mueve con una velocidad de 1 m/s.

a) λ = h

mv =

731-

-34

10· 10·1,9

6,63·10= 4,33·10-9 m

b) λ = h

mv =

1· ,060

6,63·10 -34

= 1,1·10-32 m (no puede detectarse)

Principio de incertidumbre de Heisenberg

La doble naturaleza (ondulatoria y corpuscular) de la materia implica la imposibilidad de conocer con exactitud el estado de una partícula cuántica. Según el principio de incerti-dumbre o indeterminación, no se pueden determinar simultáneamente y con total exac-titud la posición y el momento lineal de una partícula. El producto de los errores cometi-dos viene dado por:

Este principio supone que la posición y la velocidad de una partícula solo se pueden determinar en términos probabilísticos. Aunque esto es aplicable a cualquier partícula, los errores en la posición y el momento lineal solo son significativos para partículas ele-mentales como el electrón. La aplicación de este principio al movimiento de los electro-nes en torno al núcleo implica la introducción del concepto de orbital como la región del átomo en la que la probabilidad de encontrar un electrón es máxima.

λ v·m

h=

λ = longitud de onda asociada a una partícula (m) h = constante de Planck m = masa de la partícula (kg) v = velocidad de la partícula (m/s)

x·p 4π

h

Δx = error en la determinación de la posición

Δp = error en la determinación del momento lineal = m·Δv

91

Aplicaciones de la física cuántica: el láser

La física cuántica tiene numerosas aplicaciones tecnológicas, entre las que destacan la célula fotoeléctrica (basada en el efecto fotoeléctrico) y el láser.

Un láser (Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation o amplificación de luz por emisión estimulada de radiación) es un dispositivo que produce un haz de luz muy intenso formado por ondas en fase de la misma frecuencia mediante emisión estimulada de fotones. Los principales elementos que lo constituyen son:

- Un medio activo formado por una sustancia (sólido, líquido o gas) cuyos átomos se puedan excitar con un mínimo de pérdidas energéticas. Dependiendo del medio uti-lizado (rubí, neodimio, gases nobles, CO2, semiconductores…) cambiará la longitud de onda de la luz emitida.

- Un sistema de bombeo óptico que utiliza una fuente externa de luz para excitar los átomos a un nivel energético superior y lograr que el número de átomos excitados supere al número de átomos sin excitar (inversión de población). Cuando uno de los átomos excitados emite un fotón, provoca una reacción en cadena en el resto de los átomos del medio, que emitirán fotones de la misma frecuencia generando un pulso láser.

- Una cavidad óptica resonante o cavidad láser con dos espejos en sus extremos para mantener la luz circulando a través del medio activo el mayor número de veces posible; la distancia entre los espejos debe ser un múltiplo entero de la semilongitud de onda para que, al reflejarse la luz, se forme una onda estacionaria. El espejo de salida debe ser translúcido para que parte de la luz pueda salir.

Las aplicaciones de la tecnología láser son innumerables: cirugía, industria, telecomu-nicaciones, holografías, reproductores de CDs y DVDs… 2. Física nuclear

Es la parte de la física que estudia el comportamiento de los núcleos atómicos.

Composición y estabilidad de los núcleos

En el núcleo atómico hay dos tipos de partículas o nucleones: los protones (p+) y los neutrones (n). El número de protones recibe el nombre de número atómico (Z) y el número total de nucleones se llama número másico (A).

Los nucleones están unidos entre sí por una fuerza de gran intensidad pero muy corto alcance llamada interacción nuclear fuerte.

La masa del núcleo es siempre inferior a la suma de la masa de los nucleones. La dife-

rencia recibe el nombre de defecto másico (m):

Este defecto de masa se transforma en energía (energía de enlace) según la ecuación de Einstein:

La energía de enlace por nucleón (E/A) mide la estabilidad del núcleo, de forma que cuanto mayor es esta más estable es el núcleo. Los núcleos inestables experimentan transformaciones mediante las cuales se obtienen núcleos más estables, es decir, con mayor energía de enlace por nucleón que los núcleos de partida.

E = m·c2

Δm = (Z·mp+ (A-Z)·mn) - mnúcleo

mp = masa del protón = 1,00728 u mn = masa del neutrón =1,00867 u (1 u = 1,66·10-27kg)

92

Radiactividad

Es el fenómeno, natural o artificial, mediante el cual algunos núcleos inestables se de-sintegran espontáneamente dando lugar a la emisión de partículas y/o radiaciones elec-tromagnéticas. Existen tres tipos de emisiones radiactivas:

- Radiación α (alfa), formada por núcleos de helio ( ,He42 partículas α). Su poder de

penetración es bajo y no pueden atravesar la piel. Cuando se emite una partícula α, se obtiene un núcleo cuyo número atómico es 2 unidades menor y cuyo número má-sico es 4 unidades menor.

YX 4A

2ZAZ He4

2

- Radiación β (beta), formada por electrones procedentes de la desintegración de los

neutrones ( e-10 , partículas β); dicha desintegración se debe a la acción de una fuerza

de repulsión denominada interacción nuclear débil. El poder de penetración de las partículas β es mayor que el de las partículas α, y pueden atravesar la piel. Cuando se emite una partícula β, se obtiene un núcleo cuyo número atómico es una unidad mayor y cuyo número másico no varía.

YX A1Z

AZ e0

1

- Radiación γ (gamma), formada por radiaciones electromagnéticas con frecuencias

muy elevadas emitidas cuando un núcleo excitado vuelve a su estado fundamental. Su poder de penetración es muy elevado y sólo son detenidas con planchas de plomo o muros de hormigón. Cuando se emite radiación gamma, la composición del núcleo no varía.

La radiactividad se produce de forma natural en materiales que forman parte de la cor-teza terrestre, como los minerales de uranio, en la atmósfera (especialmente por la pre-sencia de radón) y en todo el universo (rayos cósmicos). Los efectos de las radiaciones solo son perjudiciales para los seres vivos en dosis elevadas, pudiendo producir cáncer y mutaciones cromosómicas.

Algunos isótopos radiactivos se utilizan en el diagnóstico y tratamiento del cáncer (co-balto-60); también se usan en datación arqueológica (carbono-14), en control de plagas, esterilización, como marcadores biológicos y químicos, etc.

Ejemplo: En la desintegración del Ra22688 se emiten 4 partículas α y 2 partículas β. De-

ducir, escribiendo la ecuación correspondiente, el número atómico y el número másico del núcleo resultante.

Ra22688 X'A

'Z +4 α42 + 2 β0

1_ ; 226 = A’ + 4·4 A’ = 210; 88 = Z’ + 4·2 + 2·(-1) Z’ = 82

Estudio de la desintegración radiactiva

El número de núcleos radiactivos presentes en una muestra disminuye exponencial-mente según la ley de desintegración radiactiva:

Como el número de núcleos radiactivos es directamente proporcional a la masa de sus-tancia radiactiva, la ley de desintegración puede expresarse en función de las masas correspondientes:

N = No·e-λ·t

N = número de núcleos radiactivos en un instante t No = número inicial de núcleos radiactivos λ = constante de desintegración (s-1)

m = masa de sustancia radiactiva en un instante t mo = masa inicial de sustancia radiactiva

m = mo·e-λ·t

93

Se define el periodo de semidesintegración como el tiempo necesario para que el número de núcleos radiactivos se reduzca a la mitad. Si representamos el número de núcleos radiactivos respecto al tiempo se obtiene:

La vida media de una muestra radiactiva, , representa el tiempo que, por término me-dio, tarda un núcleo en desintegrarse y es la inversa de su constante de desintegración.

Se llama actividad (A) de una muestra radiactiva o velocidad de desintegración al nú-mero de desintegraciones que se producen por unidad de tiempo. Su unidad es el Bec-querel, Bq (1 Bq = 1 desintegración/s)

A =dt

dN= λ· No·e-λ·t

Como A y N son proporcionales, la variación de la actividad con el tiempo viene dada por: Ejemplo: Sabiendo que el período de semidesintegración del radio-226 es de 1600 años, determinar el tiempo que tiene que transcurrir para que una muestra de 3 mg de radio-226 se reduzca a 1 mg y las actividades inicial y final de la muestra.

0,003 g· =mol1

átomos10·022,6·

g226

Ramol1 23

8·1018 átomos

0,001 g· =mol1

átomos10·022,6·

g226

Ramol1 23

2,66·1018 átomos

1600 años·h1

s3600·

día1

h24·

año1

días365= 5,05·1010 s; λ =

1010·05,5

2Ln= 1,37·10-11 s-1

2,66·1018 = 8·1018 · e-1,37·10-11

·t; t = 8·1010 s = 2537 años

Ao = 1,37·10-11 ·8·1018 = 1,096·108 Bq

A = 1,37·10-11 ·2,66·1018 = 3,65·107 Bq

N No

No/2

T1/2 t

Si t = T1/2 N = No/2

= No·e

Ln = Ln(No·e )

-Ln 2 = -λ·T1/2

T1/2 =

T1/2 = periodo de semidesintegración.

Unidad: s

A = λ· N

A = Ao·e-λ·t

λ

1

vida media de una muestra radiactiva (s) λ = constante de desintegración (s-1)

A = actividad de la muestra (Bq) λ = constante de desintegración (s-1) N = número de núcleos radiactivos

A = actividad de la muestra en un instante t Ao = actividad inicial de la muestra

94

Reacciones nucleares

Las reacciones nucleares son todas aquellas es las que intervienen núcleos atómicos. Su utilidad reside en la gran cantidad de energía que se libera en dichos procesos a partir del defecto de masa, constituyendo el fundamento de las centrales nucleares.

Existen dos tipos de reacciones nucleares:

- Reacciones de fisión, consistentes en la división de un núcleo pesado en dos núcleos más ligeros y estables mediante el bombardeo con un neutrón. En el proceso se libera gran cantidad de energía junto con varios neutrones que hacen posible la fisión de nuevos núcleos iniciando una reacción en cadena. En las centrales nucleares se pro-duce la fisión controlada del uranio-235 según la siguiente reacción:

U + n → Ba + Kr + 3 n + energía01

3692

56141

01

92235

Para evitar que la reacción se produzca de forma explosiva, se introduce un material que absorbe el exceso de neutrones. Las reacciones de fisión tienen un elevado ren-dimiento energético, de forma que la energía producida por 1 kg de uranio equivale a la producida en la combustión de 2000 toneladas de petróleo. Sin embargo, se produ-cen residuos radiactivos que siguen activos durante mucho tiempo y, a pesar de las estrictas medidas de seguridad, existe siempre el riesgo de que puedan producirse accidentes nucleares cuyas consecuencias serían catastróficas.

- Reacciones de fusión, en las que se unen núcleos ligeros para formar núcleos más pesados y estables liberando gran cantidad de energía. En la bomba de hidrógeno se produce la fusión de dos isótopos del hidrógeno, el deuterio y el tritio, según la siguiente reacción:

H + H → He + n01

24

13

12 + energía

Para que se produzca una reacción de fusión hay que vencer las fuerzas eléctricas de repulsión entre los núcleos atómicos, lo que requiere temperaturas elevadísimas. Por ello, aunque la fusión nuclear constituiría una fuente de energía inagotable y lim-pia, actualmente los ensayos para producirla de forma controlada requieren propor-cionar más energía de la que se produce. En el interior de todas las estrellas, las elevadas presiones y temperaturas posibilitan continuas reacciones de fusión que dan lugar a la formación de los distintos elementos químicos.

Ejemplo: Determinar la energía liberada (en MeV) en la formación de un núcleo de helio (m = 4,0039 u) mediante la fusión de deuterio (m = 2,0147 u) y tritio (m = 3,0170 u), liberándose un neutrón (m = 1,0087 u).

Δm = 2,0147 + 3,0170 – (4,0039 + 1,0087) = 0,0191 u = 3,17·10-29 kg

E = Δm·c2 = 3,17·10-29 ·(3·108)2 = 2,85·10-12 J = 17,8 MeV Partículas elementales e interacciones fundamentales

Una partícula elemental es aquella que no puede dividirse en otras más simples. Según el modelo estándar de la física de partículas, la materia está constituida por dos tipos de partículas elementales: los leptones y los quarks.

- Leptones: partículas que interaccionan por medio de la interacción nuclear débil. Exis-ten seis tipos de leptones: electrón, muón, tauón y sus correspondientes neutrinos (sin carga ni masa).

95

- Quarks: partículas que interaccionan por medio de la interacción nuclear fuerte. Exis-ten seis tipos de quarks: up (u, con carga +2e/3), down (d, con carga -e/3), strange (s), charm (c), bottom (b) y top (t), que se combinan entre sí en grupos de dos o tres para formar hadrones. Los dos primeros quarks son los únicos presentes en la ma-teria ordinaria y forman los protones (2 u + 1 d) y los neutrones (1 u + 2 d). El resto solo se han detectado a partir de colisiones en los aceleradores de partículas.

Además, existen una serie de partículas mediadoras relacionadas con cada una de las interacciones fundamentales:

Interacción Intensidad

relativa Alcance Tipo

Partículas afectadas

Partículas me-diadoras

Nuclear fuerte 1 ~10-15 m Atracción Quarks Fotones

Electromagnética ~10-2 Infinito Atracción/Repulsión Con carga Gluones

Nuclear débil ~10-13 ~10-17 m Atracción/Repulsión Leptones Bosones W y Z

Gravitatoria ~10-39 Infinito Atracción Con masa ¿Gravitones?

Además de los leptones, los quarks y las partículas mediadoras existe una partícula, detectada recientemente, que se denomina bosón de Higgs y hace que las partículas elementales que interactúan con él adquieran masa. Por otro lado, el modelo estándar afirma que toda partícula tiene una antipartícula y, al chocar entre sí, ambas se aniqui-lan mutuamente. El conjunto de todas las antipartículas se denomina antimateria.

Se cree que las cuatro fuerzas fundamentales son manifestaciones de una interacción única que rige el comportamiento de todo el universo. Por ello, uno de los principales campos de investigación de la física teórica está encaminado a desarrollar una teoría de unificación que englobe las cuatro interacciones. Actualmente existen diversas teo-rías de unificación:

- Teoría de campo unificado: en los años 60 se propuso una teoría unificadora del electromagnetismo y la fuerza nuclear débil. En los años 80 se demostró experimen-talmente que ambos campos tienen una estructura idéntica, por lo que puede hablarse de una única fuerza electrodébil.

- Gran Teoría Unificada: el descubrimiento de los gluones en los años 70 llevó a pro-poner la primera gran teoría unificada que englobaría la fuerza electrodébil y la inter-acción nuclear fuerte. Según esta teoría, cuando las partículas afectadas se encuen-tran a energías suficientemente elevadas, las tres fuerzas (electromagnética, nuclear débil y fuerte) confluyen en una sola; sin embargo, las enormes energías que requieren las pruebas experimentales están fuera del alcance de los aceleradores de partículas actuales, por lo que todavía no ha sido demostrada experimentalmente.

- Teorías del todo: pretenden unificar la fuerza gravitatoria con las otras tres, aunque la fuerza gravitatoria tiene características que dificultan especialmente dicha unifica-ción. Dentro de este grupo, destacan dos teorías: la teoría M, que unifica las cinco teorías de supercuerdas en un universo con 11 dimensiones y la teoría cuántica de bucles, que trata de unificar la teoría cuántica con la relatividad.

Según la teoría del Big Bang, hace 13700 millones de años el universo estaba concen-trado en un punto de densidad infinita o singularidad espacio-temporal, en el que se concentraban la energía, el espacio y el tiempo. Tras la explosión, el universo se fue expandiendo y enfriando paulatinamente y las cuatro interacciones fueron separándose unas de otras. La evolución del universo suele resumirse en las siguientes eras:

96

Era de Planck (1032 K) Se rompe la singularidad espacio-temporal.

Era de la Gran Unificación

(1025 K)

La gravedad se separa de las otras fuerzas.

La interacción nuclear fuerte se separa de la fuerza electrodébil.

El universo se expande muy rápidamente.

Se forman partículas elementales de materia y antimateria.

Era electrodébil (1016 K)

La interacción nuclear débil se separa de la electromagnética.

Las partículas elementales adquieren masa (bosones de Higgs).

Era de las partículas (1013 K)

La materia predomina sobre la antimateria, que es aniquilada.

Se forman protones y neutrones al agruparse los quarks.

Era de la nucleosíntesis (1010 K)

Comienzan a formarse núcleos atómicos de H y He.

Era de los átomos (3000 K)

Los fotones pierden energía y se desligan de la materia.

Los electrones se unen a los núcleos formando átomos neutros.

Se forman las primeras estrellas, donde se sintetizan C, O, N, Fe...

Las explosiones estelares dan lugar a nuevos elementos.

Era de las galaxias (3 K)

Se agrupan materia oscura, estrellas y gas formando las galaxias.

Se forman los cúmulos de galaxias.

La teoría del Big Bang ha sido corroborada por evidencias experimentales como la cap-tación de la radiación de fondo (procedente del desligamiento de los fotones al co-mienzo de la era de los átomos) y el corrimiento hacia el rojo (por efecto Doppler) de la luz procedente de las galaxias, que pone de manifiesto la expansión del universo. 3. Física relativista

La teoría especial de la relatividad, enunciada por Einstein en 1905, se basa en la interpretación de un experimento realizado por Michelson y Morley en 1887.

Einstein, a partir de los resultados de este experimento, desecha la existencia del éter y enuncia dos postulados:

1º. Las leyes de la física son siempre las mismas en todos los sistemas de referencia inerciales (no acelerados).

2º. La velocidad de la luz es siempre la misma en todos los sistemas inerciales indepen-dientemente del movimiento del foco y el observador.

Einstein diseñó un experimento mental en el que aplicaba la constancia en la velocidad de la luz a un foco emisor desplazándose a una velocidad próxima a la de esta. De este modo, llegó a la conclusión de que una serie de magnitudes que se consideraban abso-lutas (tiempo, longitud, masa...) dependían del movimiento del observador.

Experimento de Michelson y Morley

Hasta finales del siglo XIX se pensaba que el espa-cio estaba ocupado por una sustancia, el éter, que permitía la propagación de la luz. Michelson y Mor-ley, con el fin de medir la velocidad de la Tierra a través del éter, construyeron un aparato (interferó-metro) formado por dos espejos perpendiculares en-tre sí y un espejo semiplateado, oblicuo respecto a ellos, que dejaba pasar parte de la luz. Esperaban que la diferencia entre las velocidades de los dos haces de luz perpendiculares (que daría lugar a in-terferencias en la luz observada por el telescopio) les permitiera calcular la velocidad de la Tierra res-pecto al éter. Sin embargo, observaron que el tiempo que tardaba la luz era siempre el mismo in-dependientemente de la posición de los espejos.

Luz del Sol (velocidad = c)

Espejo semiplateado

Espejo 1

Telescopio

Espejo 2

Interferómetro (velocidad = vTierra)

97

Dilatación relativista del tiempo

Suponemos un foco emisor de luz instalado en el techo de un vehículo que se desplaza a una velocidad próxima a la de la luz; en la parte inferior, un dispositivo detecta la llegada del rayo luminoso. Desde el punto de vista de un observador en el interior del vehículo la luz tiene una trayectoria vertical, mientras que, desde el punto de vista de un observador exterior, la luz describe una trayectoria oblicua.

d2 = x2 + y2 (c·t)2 = (v·t)2 + (c·t')2

El factor 2

2

c

v1 es menor que 1, por lo que t’ es siempre menor que t.

Por tanto, el tiempo transcurre más lentamente para el observador en movimiento o, dicho de otro modo, el tiempo se dilata respecto al tiempo propio. Para velocidades no

relativistas (v 0,1c), el valor de dicho factor se aproxima mucho a 1, por lo que t t'.

Ejemplo: Si el tiempo medido en reposo es 10 s ¿cuál será el tiempo medido por un observador que se desplaza a una velocidad de 1,8·108 m/s?

t' = 2

2

c

v1·t _ =

28

28

)10·3(

)10·8,1(1·10 = 8 s

y

Desde el punto de vista de un ob-servador interior, la luz tarda un tiempo t' en recorrer la distancia y. El tiempo transcurrido entre dos sucesos que ocurren en el mismo lugar recibe el nombre de tiempo propio.

Por tanto: y = c·t'.

Desde el punto de vista de un observador exterior, la luz tarda un tiempo t en re-correr la distancia d.

Por tanto: d = c·t.

Al mismo tiempo el vehículo se desplaza una distancia x.

Se cumple que: x = v·t

v

x d y

t' = t 2

2

c

v1· _

t = tiempo medido por un observador en reposo

t' = tiempo medido por un observador en movimiento (tiempo propio)

98

La dilatación relativista del tiempo lleva a una aparente paradoja conocida como “para-doja de los gemelos”. Se supone una pareja de gemelos en la que uno de ellos em-prende un viaje por el espacio a velocidades cercanas a la velocidad de la luz, mientras que el otro gemelo se queda en la Tierra; a su regreso, el gemelo viajero sería más joven que el gemelo terrestre. Sin embargo, desde la perspectiva del gemelo que va dentro de la nave, es su hermano el que se mueve respecto de él a velocidades cercanas a la de la luz, por lo que el gemelo terrestre sería el que envejecería menos. Para solucionar esta paradoja es necesario aplicar la teoría general de la relatividad, enunciada por Einstein en 1916, ya que el viaje espacial del gemelo es de ida y vuelta, por lo que se tratará de un movimiento acelerado (sistema no inercial) y la relatividad especial solo se puede aplicar a sistemas inerciales. Einstein demostró que la situación de ambos ge-melos no es simétrica y que sería el gemelo de la nave el que menos envejecería.

Contracción relativista de la longitud

Por consideraciones similares, Einstein dedujo que, para velocidades relativistas, las longitudes (medidas en la misma dirección del movimiento) se contraen para un obser-vador en movimiento respecto a un observador en reposo.

Ejemplo: ¿A qué velocidad debe moverse una varilla para que su longitud se reduzca a la tercera parte de la que tiene en reposo?

=l

l' 2

2

c

v1_ ;

2

22

c

v1

3

1

→ v = 0,942c = 2,83·108 m/s

Dilatación relativista de la masa

A partir del principio de conservación de la cantidad de movimiento, Einstein dedujo que la masa de un cuerpo aumenta al aumentar su velocidad según la ecuación:

Cuando la velocidad se aproxima mucho a la velocidad de la luz, la masa relativista tiende a infinito, por lo que la fuerza necesaria para acelerar el cuerpo también sería infinita. Esto implica que ningún cuerpo material puede alcanzar la velocidad de la luz. Ejemplo: Calcular la masa de un electrón que se desplaza al 99% de la velocidad de la luz.

m =

c

0,99c-1

10·1,9

2

2

31

4,57·10-29 kg

Equivalencia entre masa y energía

Einstein demostró que existe una energía asociada a la masa, esté o no el cuerpo en movimiento.

Energía en reposo:

l' = l 2

2

c

v1· _

2

2

o

c

v1

mm

Eo = mo·c2

l = longitud medida por un observador

en reposo (longitud propia)

l' = longitud medida por un observador

en movimiento l

l'

m = masa relativista

mo = masa en reposo

99

Si el cuerpo se desplaza con una velocidad v, tendrá una energía total relativista direc-tamente proporcional a su masa relativista, m:

La energía cinética relativista es la diferencia entre la energía total relativista y la energía en reposo.

Como ya se ha visto, la equivalencia entre masa y energía constituye el fundamento de la energía nuclear.

Ejemplo: Determinar la energía en reposo, la energía total relativista y la energía ciné-tica relativista del electrón considerado en el ejemplo anterior.

Eo = 9,1·10-31·(3·108)2 = 8,19·10-14 J

E = 4,57·10-29·(3·108)2 = 4,11·10-12 J

Ec = E - Eo = 4,11·10-12 - 8,19·10-14 = 4,03·10-12 J Comprobación experimental de la teoría especial de la relatividad

La teoría de la relatividad especial fue verificada por primera vez estudiando unas par-tículas elementales, los muones, que se forman en la alta atmósfera. Los muones tienen una vida media de 2 μs, por lo que no tendrían tiempo de atravesar toda la atmósfera sin desintegrarse. Sin embargo, se comprobó que, al atravesar la atmósfera a velocida-des próximas a la de la luz, la vida media de los muones se prolongaba hasta 20 μs, por lo que muchos de ellos llegaban a alcanzar la superficie terrestre. Actualmente, se pue-den comprobar los efectos relativistas en todos los experimentos realizados en los ace-leradores de partículas.

EJERCICIOS

1. a) Explicar, clara y brevemente, en qué consiste el efecto fotoeléctrico. b) Si el trabajo de extracción de un metal es de 2 eV, ¿con fotones de que frecuen-

cia habría que iluminar el metal para que los electrones extraídos tuvieran una velocidad máxima de 7·105 m s-1

Datos: h, e, me

Solución: b) 8,19·1014 Hz

2. La energía mínima necesaria para extraer un electrón del sodio es de 2,3 eV. Expli-car si se producirá el efecto fotoeléctrico cuando se ilumina una lámina de sodio con las siguientes radiaciones: a) Luz roja de longitud de onda 680 nm. b) Luz azul de longitud de onda 360 nm. Datos: h, c, e

3. Una radiación monocromática de longitud de onda de 600 nm incide sobre un metal

cuyo trabajo de extracción es de 2 eV. Determinar: a) La longitud de onda umbral para el efecto fotoeléctrico. b) La energía cinética máxima de los electrones emitidos expresada en eV. Datos: h, c, e Solución: a) 621,6 nm; b) 0,0719 eV

E = m·c2

Ec = E - Eo

100

4. Un láser emite luz de frecuencia 1,54·1015 Hz. a) Determinar la longitud de onda de la luz emitida por el láser. b) Si el haz de luz incide sobre una superficie de wolframio cuya longitud de onda

umbral es de 230 nm, ¿cuál es la energía cinética máxima de los electrones emitidos?

Datos: h, c Solución: a) 1,95·10−7 m; b) 1,56·10−19 J

5. Los fotoelectrones expulsados de la superficie de un metal por una luz de 400 nm de longitud de onda son frenados por una diferencia de potencial de 0,8 V. a) Determinar la función de trabajo del metal. b) ¿Qué diferencia de potencial se requiere para frenar los electrones expulsados

de dicho metal por una luz de 300 nm de longitud de onda? Datos: h, c, e Solución: a) 3,69·10-19 J; b) 1,84 V

6. Los electrones emitidos por una superficie metálica tienen una energía cinética má-xima de 2,5 eV para una radiación incidente de 350 nm de longitud de onda. Calcular: a) El trabajo de extracción de un mol de electrones en julios. b) La diferencia de potencial mínima (potencial de frenado) requerida para frenar

los electrones emitidos. Datos: h, c, e, NA Solución: a) 1,011·105 J; b) 2,5 V

7. Al iluminar un metal con luz de longitud de onda en el vacío de 700 nm, se observa que emite electrones con una energía cinética máxima de 0,45 eV. Se cambia la longitud de onda de la luz incidente y se mide de nuevo la energía cinética máxima, obteniéndose un valor de 1,49 eV. Calcular: a) La frecuencia de la luz utilizada en la segunda medida. b) A partir de qué frecuencia no se observará el efecto fotoeléctrico en el metal. Datos: e, c, h Solución: a) 6,79·1014 Hz; b) 3,2·1014 Hz

8. Sobre un metal, cuyo trabajo de extracción es de 1,6 eV, incide un rayo láser de

30 mW de potencia cuyos fotones tienen una longitud de onda de 633 nm. Determi-nar: a) La energía de los fotones incidentes y la energía cinética máxima de los electro-

nes emitidos en eV. b) El número de fotones que inciden sobre la muestra metálica por segundo.

Datos: h, c, e Solución: a) 1,96 eV; 0,36 eV; b) 9,55·1016 fotones/s

9. Un haz luminoso monocromático de 400 nm de longitud de onda incide sobre un material cuyo trabajo de extracción para el efecto fotoeléctrico es de 2,5 eV. Deter-minar: a) La energía cinética máxima de los electrones extraídos y su longitud de onda de

de Broglie. Si el haz incidente tiene una intensidad de 5·10-9 W·m-2, determinar: b) El número de fotones incidentes por unidad de tiempo y superficie y la energía

por unidad de tiempo y de superficie de los electrones emitidos suponiendo que todos ellos salen con la energía cinética máxima.

Datos: e, me, h, c Solución: a) 9,73·10-20 J; 1,58·10-9 m; b) 1,005·1010 fotones/m2·s; 9,78·10-10 W/m2

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10. Un metal es iluminado con luz de frecuencia 9·1014 Hz emitiendo electrones que pueden ser detenidos con un potencial de frenado de 0,6 V. Por otro lado, si dicho metal se ilumina con luz de longitud de onda λ = 2,38·10-7 m el potencial de frenado pasa a ser de 2,1 V. Calcular: a) El valor de la constante de Planck. b) La función de trabajo del metal. Datos: e, c Solución: a) 6,66·10-34 J·s b) 5,03·10−19 J

11. Para observar el efecto fotoeléctrico sobre un metal que posee una función de tra-bajo de 2,1 eV se utiliza una lámpara de Cd que emite en cuatro líneas espectrales de distinta longitud de onda: línea roja a 643,8 nm; línea verde a 538,2 nm; línea azul a 480,0 nm y línea violeta a 372,9 nm. a) ¿Qué líneas espectrales provocarán efecto fotoeléctrico en ese material? Justi-

ficar la respuesta. Calcular la energía cinética máxima de los fotoelectrones si se utiliza la línea espectral azul.

b) Determinar la longitud de onda de De Broglie asociada a los fotoelectrones con energía cinética máxima utilizando la línea azul. ¿Podrían ser considerados esos electrones como relativistas? Justificar la respuesta.

Datos: c, h, e, me Solución: a) 7,83·10−20 J; b) 1,76 ·10−9 m

12. Se hace incidir un haz de fotones de frecuencia variable sobre una lámina de material metálico, de manera que se emiten electrones cuya energía cinética máxima se mide, obteniendo la gráfica que se adjunta. Determinar: a) El trabajo de extracción del metal en eV. b) La longitud de onda de de Broglie asociada a los

electrones que se emiten con máxima energía cinética, cuando la frecuencia de los fotones in-cidentes es de 10·1014 Hz.

Datos: e, me, h Solución: a) 2,07 V; b) 8,69·10-10 m

13. Calcular en los dos casos siguientes la diferencia de potencial con que debe ser

acelerado un protón que parte del reposo para que después de atravesar dicho po-tencial: a) El momento lineal del protón sea 10-21 kg m s -1 b) La longitud de onda de De Broglie asociada al protón sea 5·10-13 m. Datos: mp, h, e Solución: a) 1836 V; b) 3232 V

14. Determinar la longitud de onda de De Broglie y la energía cinética, expresada en eV,

de: a) Un electrón cuya longitud de onda de De Broglie es igual a la longitud de onda

en el vacío de un fotón de energía 104 eV; b) Una piedra de masa 80 g que se mueve con una velocidad de 2 m/s. Datos: mp, h, c, e Solución: a) 1,24·10-10 m; 98,2 eV; b) 4,14·10-33 m; 1018 eV

102

15. Dos núcleos de deuterio (2H) y tritio (3H) reaccionan para producir un núcleo de helio (4He) y un neutrón, liberando 17,55 MeV durante el proceso. a) Suponiendo que el núcleo de helio se lleva en forma de energía cinética el 25%

de la energía liberada y que se comporta como una partícula no relativista, de-terminar su velocidad y su longitud de onda de De Broglie.

b) Determinar la longitud de onda de un fotón cuya energía fuese el 75% de la energía liberada en la reacción anterior.

Datos: Masa del núcleo de helio, mHe = 6,62·10-27 kg; c, e, h Solución: a) 1,46·107 m/s; 6,86·10-15 m; b) 9,44·10-14 m

16. Determinar: a) La velocidad a la que debe desplazarse un electrón para que su longitud de onda

asociada sea la misma que la de un fotón de 0,02 MeV de energía. b) La energía que tiene el electrón en eV y su momento lineal. Datos: h, e, me, c Solución: a) 1,17·107 m/s; b) 389,71 eV; 1,06·10−23 kg·m/s

17. a) ¿Qué energía cinética, expresada en keV, tiene que tener un protón para que la

longitud de onda asociada sea λ = 4·10-13 m?

b) ¿Cuál tendría que ser la longitud de onda de un fotón que en el vacío tuviera la misma energía que el protón?

Datos: h, e, mp, c Solución: 5,20 keV; b) 2,41·10−10 m

18. a) Calcular el defecto de masa y la energía total de enlace del isótopo 15

7N de masa

atómica 15,00011 u. b) Calcular la energía de enlace por nucleón. Datos: mp = 1,00728 u; mn = 1,00867 u; u = 1,66·10-27kg; c Solución: a) 1,994·10-28 kg; 1,795·10-11 J; b) 1,197·10-12 J

19. El tritio es un isótopo del hidrógeno de masa atómica igual a 3,016 u. Su núcleo está formado por un protón y dos neutrones. a) Definir el concepto de defecto de masa y calcúlelo para el núcleo de tritio. b) Definir el concepto de energía media de enlace por nucleón y calcularlo para el

caso del tritio, expresando el resultado en unidades de MeV. Datos: mp, mn, e, u, c Solución: a) 1,45·10-29 kg; b) 2,72 MeV

20. Se dispone de 20 g de una muestra radiactiva y transcurridos 2 días se han desinte-grado 15 g de la misma. Calcular: a) La constante de desintegración radiactiva de dicha muestra. b) El tiempo que debe transcurrir para que se desintegre el 90% de la muestra. Solución: a) 8,02·10-6 s-1; b) 3,32 días

21. La ley de desintegración de una sustancia radiactiva es N = N0 e-0,003t, donde N re-

presenta el número de núcleos presentes en la muestra en el instante t. Sabiendo que t está expresado en días, determinar: a) El periodo de semidesintegración de la sustancia, T1/2. b) La fracción de núcleos radiactivos sin desintegrar en el instante t = 5T1/2. Solución: a) 231 días; b) 0,03125

103

22. De los 120 g iniciales de una muestra radiactiva se han desintegrado, en 1 hora, el 10% de los núcleos. Determinar: a) La constante de desintegración radiactiva y el periodo de semidesintegración. b) La masa que quedará de la sustancia radiactiva transcurridas 5 horas. Solución: a) 2,93·10-5 s-1; 6,57 h; b) 70,86 g

23. Después de 191,11 años el contenido en 226Ra de una determinada muestra es un

92% del inicial.

a) Determinar el periodo de semidesintegración de este isótopo. b) ¿Cuántos núcleos de 226Ra quedarán, transcurridos 200 años desde el instante

inicial, si la masa inicial de 226Ra en la muestra era de 40 µg? Dato: NA Solución: a) 1588 años; b) 9,77·1016 núcleos

24. El periodo de semidesintegración de un isótopo radiactivo es de 1840 años. Si ini-cialmente se tiene una muestra de 30 g de material radiactivo: a) Determinar qué masa quedará sin desintegrar después de 500 años. b) ¿Cuánto tiempo ha de transcurrir para que queden sin desintegrar 3 g de muestra? Solución: a) 24,85 g; b) 6,1·103 años

25. El 14C tiene un periodo de semidesintegración de 5730 años. Si inicialmente se tiene una muestra de 2 mg, Determinar: a) El tiempo que tiene que transcurrir para que la muestra se reduzca a 0,5 mg. b) La actividad inicial de la muestra. Datos: NA, masa atómica del 14C = 14,00 u Solución: a)11460 años b) 3,3·108 Bq

26. Un isótopo radiactivo utilizado en medicina nuclear tiene una vida media de 6 h. Si se inyectara inicialmente a un paciente una cantidad de 1 mg de dicho isótopo: a) Calcular el periodo de semidesintegración del isótopo y la masa que queda en

el paciente alcabo de un día. b) Definir qué es un becquerel y obtener la actividad de la muestra a las 24 h. Datos: NA; Masa atómica del isótopo, M = 98,90 u Solución: a) 1,5·104 s; 1,83·10-5 g; b) 5,16·1012 Bq

27. Una muestra, de masa m = 30 g, está compuesta por un elemento radiactivo cuya masa molar es de 87 g·mol·1. En la actualidad la muestra posee una actividad de 2,85·1012 Bq. Calcular: a) El periodo de semidesintegración del elemento radiactivo. b) La masa de la muestra dentro de 6000 años. Dato: NA

Solución: a) 1604 años b) 2,25 g

28. Una muestra de un material radiactivo posee una actividad de 115 Bq inmediata-mente después de ser extraída del reactor donde se formó. Su actividad 2 horas después es de 85,2 Bq. a) Calcular el periodo de semidesintegración de la muestra. b) ¿Cuántos núcleos radiactivos existían inicialmente en la muestra? Solución: a) 1,66·104 s; b) 2,76·106 núcleos

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29. En una muestra de azúcar hay 2,1·1024 átomos de carbono. De éstos, uno de cada 1012 átomos corresponden al isótopo radiactivo 14C. Como consecuencia de la pre-sencia de dicho isótopo la actividad de la muestra de azúcar es de 8,1 Bq. a) Calcular el número de átomos radiactivos iniciales de la muestra y la constante

de desintegración radiactiva (λ) del 14C. b) ¿Cuántos años han de pasar para que la actividad sea inferior a 0,01Bq? Solución: a) 2,1·1012 átomos; 3,86·10-12 s-1; b) 55016 años

30. Un átomo de 238U se desintegra a través de una cascada radioactiva y da lugar a un átomo de 206Pb, siendo el periodo de semidesintegración del 238U de 4,47⋅109 años. Una muestra mineral de monacita contiene 2,74 mg de 238U y 1,12 mg de 206Pb pro-cedentes de la desintegración del uranio. a) Obtener el número de átomos iniciales de 238U en la muestra, a partir del cálculo

del número de átomos de uranio y de plomo existentes en ella. b) Calcular la antigüedad del mineral y Determinar la actividad actual de la muestra. Datos: MU = 238,05 u, MPb = 205,97 u, NA Solución: a) 1,02·1019 átomos; b) 2,49·109 años; 34 Bq

31. Se tienen dos fuentes radiactivas cuya actividad a día de hoy es la misma. Se sabe

que dentro de 10 años la actividad de la primera fuente será el doble que la de la segunda. Determinar: a) La diferencia, λ2 – λ1, que existe entre las constantes de desintegración de am-

bas fuentes. b) La relación entre las actividades de dichas fuentes dentro de 20 años. Solución: a) 2,2·10-9 s-1; b) 4

32. Cuando se encuentra fuera del núcleo atómico, el neutrón es una partícula inestable con una vida media de 885,7 s. Determinar: a) El periodo de semidesintegración del neutrón y su constante de desintegración. b) Una fuente de neutrones emite 1010 neutrones por segundo con una velocidad

constante de 100 km s-1. ¿Cuántos neutrones por segundo recorren una distan-cia de 3,7·105 km sin desintegrarse?

Solución: a) 613,9 s; 1,13·10-3 s-1; b) 1,53·108 neutrones/s

33. La vida media de un elemento radioactivo es de 25 años. Calcular: a) El tiempo que tiene que transcurrir para que una muestra del elemento radioac-

tivo reduzca su actividad al 70%. b) Los procesos de desintegración que se producen cada minuto en una muestra

que contiene 109 núcleos radioactivos. Solución: a) 8,97 años; b) 75,6 desinteg./min

34. Una muestra de un organismo vivo presenta en el momento de morir una actividad

radiactiva por cada gramo de carbono, de 0,25 Bq correspondiente al isótopo 14C. Sabiendo que su periodo de semidesintegración es de 5730 años, determinar: a) La constante radiactiva del isótopo 14C. b) La edad de una momia que en la actualidad presenta una actividad radiactiva

correspondiente al isótopo 14C de 0,163 Bq, por cada gramo de carbono. Solución: a) 3,84·10-12 s-1; b) 3538 años

35. a) Determinar la masa y la cantidad de movimiento de un protón cuando se mueve con una velocidad de 2,70·108 m·s-1.

b) Calcular el aumento de energía necesario para que el protón del apartado anterior cambie su velocidad de v1 = 2,70·108 m·s-1 a v2 = 2,85·108 m·s-1.

Datos: mp; c Solución: a) 3,83·10-27 kg; 1,03·10-18 kgm/s; b) 1,37·10-10 J

105

36. a) Calcular la longitud de onda de un fotón que posea la misma energía que un

electrón en reposo. b) Calcular la frecuencia de dicho fotón y, a la vista de la tabla, indicar a qué tipo de

radiación correspondería.

Ultravioleta Entre 7,5·1014 Hz y 3·1017 Hz

Rayos-X Entre 3·1017 Hz y 3·1019 Hz

Rayos gamma Más de 3·1019 Hz

Datos: me, h, c Solución: a) 2,42.10–12 m; b) 1,24.1020 Hz

37. Una partícula de 1 mg de masa en reposo es acelerada desde el reposo hasta que

alcanza una velocidad v = 0,6c. Determinar: a) La masa de la partícula cuando se mueve a la velocidad v. b) La energía que ha sido necesario suministrar a la partícula para que ésta alcance

dicha velocidad. Dato: c Solución: a) 1,25 mg; b) 2,25·1010 J

38. La energía en reposo de un electrón es 0,511 MeV. Si el electrón se mueve con una

velocidad v = 0,8 c, siendo c la velocidad de la luz en el vacío: a) ¿Cuál es la masa relativista del electrón para esta velocidad? b) ¿Cuál es la energía relativista total? Datos: e, c Solución: a) 1,51·10-30 kg; b) 0,85 MeV

39. a) Determinar la longitud de onda de De Broglie de un electrón que posee una ener-gía cinética de 40 eV.

b) Un electrón alcanza en un ciclotrón una energía cinética de 2 GeV. Calcular la relación entre la masa del electrón y su masa en reposo.

Datos: e, me, h, c Solución: a) 1,94·10-10 m b) 3915

40. Un electrón es acelerado hasta que su masa es 2 veces su masa en reposo. Deter-minar: a) La energía cinética alcanzada por el electrón. b) La velocidad a la que ha sido acelerado. Datos: me, c Solución: a) 8,2·10-14 J; b) 2,6·107 m/s

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Constantes físicas utilizadas

Umbral de intensidad sonora Io = 10-12 W/m2

Velocidad de la luz en el vacío c = 3·108 m/s

Constante de la gravitación universal G = 6,67·10-11 N·m2/kg2

Masa de la Tierra MT = 5,98·1024 kg

Radio medio de la Tierra RT = 6,37·106 m

Aceleración de la gravedad en la Tierra g = 9,8 m/s2

Constante de la ley de Coulomb en el vacío K = 9·109 N·m2/C2

Constante dieléctrica del vacío εo = 8,85·10-12 C2/N·m2

Permeabilidad magnética del vacío μo = 4π·10-7 T·m/A

Valor absoluto de la carga del electrón e = 1,6·10-19 C

Masa del electrón me = 9,1·10-31 kg

Masa del protón y del neutrón mp = mn = 1,67·10-27 kg

Constante de Planck h = 6,63·10-34 J·s

Número de Avogadro NA = 6,022·1023 mol-1