Embed Size (px)
Citation preview
2016مارس 15السنة العاشرة العدد مجلة الساتل
61
حـول دالـة جـامـا
The Gamma function (1-1)
z
21
1.2.1
nzzzz
znn
nLimz
21
!1
0z
حـــول دالـــة جـامــا
62
1 z0zz
0
1
z
z,2,1,0 z
1.2.1
11
1
n
n
nLim
1z z1
zzzz
nz
zn
nLim
nzzzz
znn
nLim
nz
zn
nzzzz
znn
nLim
nzzz
znn
nLimz
121
!
121
!
121
1!1
zzz 12
2016مارس 15السنة العاشرة العدد مجلة الساتل
63
!114321
21222123
111112
nnn
!13 nn
Nn
1.2.2
0
14 dtzttez
nn
t
nLimte
1
1.2.2
ndtzt
n
n
t
nLimz
0
115
n
ty10 y
1
0
11 dyn
zny
ny
nLimz
n
nzzz
znn
nLimz
1
!z > 0
1.2.1
1
2
1
حـــول دالـــة جـامــا
64
1.2.2
0
2
1
0
12
1
2
1
dttte
dttte
2xtdxxdt 2
0
22
2
1dxxe
0
2dxxeI
0 0
222 dydx
yxeI
2
00
2
2
1
2
0 0
22
dre
ddrrreI
42
12
1
2
I
22
2
1
2016مارس 15السنة العاشرة العدد مجلة الساتل
65
2
2
1
2
1
)1()(
)()1(
z
z
zz
zzz
2
2
1
)2
1(
)2
1(
2
1
)12
1(
)2
1(
3
0
3. dxxex
2)
3
1
(23
1
23
23
3
0
1)()(
yxyx
x
dydx
dxxdy
xyأننفرض
dtzttez
حـــول دالـــة جـامــا
66
0.2
1
3
1
0
3
2
6
1
3
1
3
2
3
..2
1
)0
3
1
(0
3.2
1
dyy
ey
dyy
ey
y
dyyeydxxex
3)
2
1(
3
13
.0
0
2
1
.3
1)
2
1(
3
1
2
1
2
11
0
1.)(
dxx
ex
dyyy
e
zzأننجد
dyzyy
ez
1.2.1
zzz
sin)1().(
)2()1...()3()2()1(
)1(!
)1(
1
)1()...()2()1(
!)(
znzzz
znn
nLimz
zzأننفرض
nzzzz
znn
nLimz
12
2016مارس 15السنة العاشرة العدد مجلة الساتل
67
)1)...(2)(1)(...()2()1(
)1(!.!
)1()(znzznzzzz
znnznn
nLimzz
2)!(
)1)(22...()223()222()221(
.2)!(
2)!(
1
)1)(22...()223()222()221(
.2)!(1
n
znznzzz
nn
n
nLim
z
znznzzz
nn
nLim
z
)2)(1...()2)3
(1()2)2
(1()2)1
(1(
11
1lim.
)2)(1...()2)3
(1()2)2
(1()2)1
(1(
11
)1)(2)(1...()2)3
(1()2)2
(1()2)1
(1(
.1
n
zzzznLim
z
zn
n
n
zzzznLim
z
znn
zzzz
n
nLim
z
zzz
n
znzzz
sin)1().(
2)(1
1
1
1)1().(
4
nnn )1()2
1()
2
1(
nzنضع
zzz
2
1
sin)1()(
حـــول دالـــة جـامــا
68
)2
1sin(
)2
1()
2
1(
)2
1sin(
))2
1(1((.
2
1)
nnn
nnى
yxyxyx sincoscossin)sin(
nn
nn
nn
)1()1(
)2
1()
2
1(
)1()2
1sin(
1.2.2
1)(
)(lim
nz
nzn
n
)...()2()1(
!)(
nzzzz
znn
nLimz
)...()2()1(
).(
nzzzz
znnn
nLim
zzznznzn
nznznn
nLim
)1...(11
)1(...)(
)...2)(1).()(1)...(1)((
)...2)(1(..).(
zzzznznz
zzznznn
nLim
)2)(1)...(1)((
.).(
zznznz
nznn
nLimz
)1(
.).()(
zn
nznn
nLimzz
2016مارس 15السنة العاشرة العدد مجلة الساتل
69
1)(
).(
1.)(
).(1
lim)(
).(1
)()(
).(.
zn
znn
nLim
zn
znn
nLim
zn
n
nzn
znn
nLim
znzn
znnn
nLim
1.2.3
Nn
)1)(3)...(32)(12(2
1)
2
1( nn
nn
)1()1()( xxx
)12(2
1)
2
1( nn
12
121
2
12
2
12
nnn
)1)(3)...(52)(32)(12(
2
1)
2
1(
)2
1()1)(3...(
2
52
2
32
2
12
5
52
2
52
2
32
2
12
2
32
2
32
2
12
2
12
2
12
2
1
nnnn
n
nnn
nnnn
nnn
nnn
1.2.4
حـــول دالـــة جـامــا
70
Nn
)1)(3)...(52)(32(12
1)
2
1(
nn
nn
)2
1( n
)1()12
1()
2
1( mnn
)2
1()
2
1(
)(
nn
mm
2
1
2
12
n
n
1.2.3
n
nnn
nn
n
2
1)1)(3)...(32)(12(
12
2
)2
1(
12
2)
2
1(
)1)(3)...(52)(32(12
1)
2
1(
nn
nn
5
Nn
)1)(3)...(32)(12)(12(12
1)
2
3(
nnn
nn
)2
3( n
)2
1(
2
12
)2
1()
2
1(
)(
)1()12
1()
2
3(
nn
nn
mm
mnn
1.2.3
2016مارس 15السنة العاشرة العدد مجلة الساتل
71
)1)(3)...(12)(12(12
1
2
1)1)(3)...(32)(12(
2
12)
2
3(
nnn
nnn
nn
6
)2
1()!(
22)!2( nn
nn
)2
1)(
2
3)(
2
5()
2
3)(
2
1.(123)...3)(2)(1(.
22
)2
1(2).1(2).
2
3(2).2(2).
2
5(2)...2(2).
2
3(2).1(2).
2
1(2).(2
12345)...32)(22)(12.(2)!2(
nnnnnnnn
nnnnn
nnnnn
)2
1().!.(
22)!2(
)2
1(
)2
1(!..22
)...2
5)(
2
3)(
2
1(
...2
5.
2
3.
2
1.
2
1.
2
3)...
2
3)(
2
1(!.22
nn
n
n
nnn
nnnn
7
(8) !
12345678!8
n28
حـــول دالـــة جـامــا
72
)2
9()!4.(
82)!42(
824
)2
1(!..
22)!2(
42
8
nn
nnn
n
n
3571234
42
)2
1(
42
13571234
42.42
)2
1(.
2
1.
2
3.
2
5.
2
7.1234.
82)!8(
!812345678
321234567
35712344
2
1.2.3
n
k
nkn
Lim
n
x
en
x
n
xex
x
1
ln1
11
16
0.577216
1.2.11.2.3
2016مارس 15السنة العاشرة العدد مجلة الساتل
73
k
xn
k
xn
nLimx
n
xxx
xnnLimx
n
nxxx
xnnLimx
xnn
nxxx
nLim
x
11
12
11
11
321
211
!
11
nxexn
ln
nxe
nLim
xe
nxe
nn
x
enLim
nx
enLim
n
x
e
x
ex
enLim
k
x
ek
ln
lnln
1
2
11
1
2
11
2
1
k
x
en
knLim
xexn
nLim
17
7
n
x
en
x
n
xex
k
xk
x
en
knLim
xex
k
xn
knLimk
x
en
knLim
xex
x
11
11
111
1
1.2.11.2.3
8
حـــول دالـــة جـامــا
74
22
21
1sin
n
x
nxx
xx
xx
sin
1.2.3
n
x
en
x
n
xex
x
1
1
1
2
21
1
2
111
21
n
x
nx
n
x
en
xn
x
en
x
nx
xx
xx
2
21
1ins
n
x
nxx
x
xx
xx
sin21
xx
xx
sin8
x
9
0
)(1222 zdtztte
2016مارس 15السنة العاشرة العدد مجلة الساتل
75
2trr0dttdr 2
)(0
1.
.2.0
222
.)2(2
0
22
0
1222
zdrzrre
dttztte
dttz
tte
dtztte
2
0
12sin.12cos2
)(
)().(
dyx
yx
yx
0
1222)( dtxttex
0
1212
0
)22(4)().(
0
1222)(
dtdsy
sxtst
eyx
dsy
ssey
حـــول دالـــة جـامــا
76
2
0
12sin12cos2
)(
)()(
2
0
)(12
sin.12cos2)().(
2
0
1)(2
0
22.
12sin12cos2
2
0
12sin.12cos.
0
1)(2.
24
2
0
.12
)sin.(
0
12)cos.()2sin22cos2(
4)().(
20,0/sin,cos(
0,0/),(
dyx
yx
yx
yxdyxyx
dryx
rredyx
ddryxyx
rre
drdry
rxrrr
eyx
rrr
or
stst
1.2.4
)2
1().(.122
)2(
zzz
z
10
2log2
)2
1(
)2
1(
)(
)(
)2(
)2(2
z
z
z
z
z
z
)2
1().(.122
)2(
zzz
z
2016مارس 15السنة العاشرة العدد مجلة الساتل
77
log)2
1(log)(log2log)12()2(log zzzz
z
2log2)
2
1(
)2
1(
)(
)(
)2(
)2(2
0)2
1(
)2
1(
1)(
)(
12log2)2(
)2(
2
z
z
z
z
z
z
zz
zz
zz
)2log2()2/1(
2log2
)2
1(
)2
1(
)(
)(
)2(
)2(2
z
z
z
z
z
z
Z=1/2
)2log2()2/1(
2log2)2/1(
2log2)2/1(
2log2)2/1(
)1(
2log2)1()2/1(
)1(2
2log2)1(
)1(
)2/1(
)2/1(
)1(
)1(2
11
)12...(5.3.1
2..)1()(
m
mmz
حـــول دالـــة جـامــا
78
))1()()(1)...(2)(1()(
)()1)...(3)(2)(1()(
mzmmzmmzmmzmzmz
zzmzmzmzmz
)...2)(1)()(1)...(2)(1(
)...1())(1)...(2)(1(
zzzzzmzm
mzmmzmmzmzmzm
)(.).1)...(3)(2)(1()(
)())(1)...(2)(1(
zzzmzmzmzmz
zzzzmzm
)).(1)...(2)(1(
)()(
zzmzmz
mzz
12
11,
2
1
2
1
mzmz
mz
)12...(5.3.1
.2.)1()(
2
)1(
2
1
)12)...(7)(5)(3)(1(2
1
)12(2
1)32(
2
1...
2
5
2
3
2
1
)2/1()(
m
mm
z
m
mm
mm
mmz
1.2.5
Nn
).
1(.
1
0mn
m
ndxm x
nxe
dxn
nxdyn
xy1
2016مارس 15السنة العاشرة العدد مجلة الساتل
79
dxmxnxedxm x
nxe
nyx
nnx
dydx
1
00
1
1
dynnmyy
en
dynmnyy
en
dyn
nymnyy
en
nnyn
dymnyy
e
0
111
.1
11
.
1
.
0
1
.)1(
1
.
0
.
1
.1
1)
1
(
.
1
)
1
.(
0
dynm
m
yy
en
11
.
0
1
)(z
)1
(1
)(1
1.
0
111
.
0
1
1
nm
m
nz
n
dyzyy
en
dynm
m
yy
en
nm
mz
12
dxxxe 3
0
2
حـــول دالـــة جـامــا
80
)1
(1
0nm
m
ndxm x
nxe
)3
2(
2
1)
6
4(
2
13
0
2
3,2
dxxxe
mn
13
!353417
0
)34
1(
dxxxe
)1
(1
0nm
m
ndxm x
nxe
!3534
)36(34)
2
1
18(34
)
34
17
18(34
)
)17()34
1(
117(
34
1
117
0
)34
1(
17,34
1
dxxxe
mn
14
!3984
1
0
8
1
dxxxe
2016مارس 15السنة العاشرة العدد مجلة الساتل
81
)1
(1
0nm
m
ndxm x
nxe
!398)40(8
)32()4
5(8)
32
14
5
(8
)
)4
1()
8
1(
14
1
(
8
1
14
1
0
8
1
4
1,
8
1
dxxxe
mn
15
)1
(
)1
(
0c
a
cb
c
a
dtcbteat
b,aa>-1
حـــول دالـــة جـامــا
82
cb
cbx
ct
c
a
b
c
a
xat
c
c
b
c
c
xct
cb
cxt
cbtx
1
1)1
(
1
1
)1(
)1(
1,1
1
dx
ccb
cx
dxctcb
dt
dtccbtdx
1
)1(
1
)1(
1
1
0 1
1
1
.0
00
dx
ccb
cx
c
a
b
xec
a
xdt
cbteat
xt
xt
dxxec
a
xc
a
cb
.
0
1)1
()1(
1
dtxttex 1
0
)(
2016مارس 15السنة العاشرة العدد مجلة الساتل
83
)1
(.)
1(
1
0
)1
(0
1)1
(
c
a
c
a
cb
dtcbteat
c
adx
xec
a
x
16
np
1)(log
!1
0
npe
ndtpnt
dt
te
entdtnt
tete
e
)(log
0
1
0
)(log)
)log(
1
a=n)(log,1 e
bc
1)(log
!
1)(log
)1(1
0
ne
n
ne
ndtpnt
31Digamma
x
xx
dx
dx
ln
,2,1,0 x
x
17
حـــول دالـــة جـامــا
84
0 1
1
n xnn
xx
1.2.3
n
x
en
x
n
xex
x
1
1
1
1
1lnlnln
n n
x
n
xxxx
n
x
n
x
n
xxx
1ln
1
lnln
x
1
111
n nxnxx
x
0 1
1
0
1
1
1
n xnn
x
n xnnx
18
n
nnn
sin!!
x
xx
nnnn
sin)1()(
!)()1(
x=n
2016مارس 15السنة العاشرة العدد مجلة الساتل
85
n
nnsin
)1()(
n
n
nnn
n
nnnn
sin)!(!
sin)1()(
2.1The beta function
1771
2.1.1
0,0 xy
1
0
111,9 dt
ytxtyx
y , x
1
0
11
1, dt
xt
ytxy
ut1dudt
duy
uxu
duxuy
uxy
1)1(
1
0
1
1
0
11)1(,
2.1.1
yx ,
xyyx ,,
2.1.1
1
0
111, dt
ytxtyx
2sint2
0
حـــول دالـــة جـامــا
86
ddt cossin2
0t01t2
dyxyx
2
0
12sin12cos2,
yx
yxd
yx
2
0
12sin12cos2
yx
yxyx
,10
19
0 1
1, dt
yxt
xtyx
0,0 xy
1
0
111, dt
ytxtyx
0,0 xy
u
ut
1
t
tu
1
t01u0
2
1 u
dudt
ut
1
11
2016مارس 15السنة العاشرة العدد مجلة الساتل
87
1
0
111, dt
ytxtyx
0 1
1
0 21
1
1
11
1,
duyx
u
xu
u
duy
u
x
u
uyx
0 1
1, dt
yxt
xtyx
2.1.1
pqحيث
dxqn x
px
nqnp
0)Re(,0)Re(
1)1(
1
0
11),(
,...2,1n
dxn
n
xn
dy
nyxy
nx
1
1
1
حـــول دالـــة جـامــا
88
dyq
ynp
yn
dynyq
ynnp
yn
n
n
nyn
dyqy
pnydxqn x
px
yx
yx
1)1(
1
0
1
1)1(
1
0
)1(
)(1
1)1(
1
0
1)(
1)1(
1
0
1
11
00
)(
)()(
),(1
)1(
1
0
11
qnp
qnp
qnpndxqn x
px
n
2.1.2
)2(
)1()1(1)()()(
nm
nmnmabdxb
a
nxbmax
bamn ,1,
)1()(
)(
)(
)(
)()(
tab
atabbab
dtabdx
atabx
tabax
2016مارس 15السنة العاشرة العدد مجلة الساتل
89
)2(
)1()1(.
1)(
)1,1(1)(
1
0
)1(1)(
)1(1
0
1)(
)()(
1
0
nm
nmnmab
nmnmab
dtntmtnmab
dtntmtnmab
b
a
dxnxbmax
ybx
yax
20
pp
pppp
.14
2
)2
1,
2
1().,(
2)2(2
2)
2
1(.
2)(
)12(
2)
2
1(
.)2(
2)(
)2
1,
2
1().,(
pp
pp
p
p
p
ppppp
ppp
p
pppp
.4
224
2.2
)2
1,
2
1().,(
21
)1,(),1(),( bababa
حـــول دالـــة جـامــا
90
)2(...),(
)()(
)()(
)1(
)1()()1,(
)1(...),(
)()(
)()(
)1(
)()1(),1(
baba
b
baba
bba
ba
baba
baba
a
baba
baa
ba
baba
12
),(),(
),(),()1,(),1(
baba
baba
baba
bba
ba
ababa
13(The Hypar Geometric series)
)11(....2
)1(!2.1
)1()1(.
!11
xx
0
....21
n
xxnx
1x
1x01x
11
)12(...)(
)(
)1)...(1()(
r
rr
rx
r rr
rrxF .
0 )(!
)()(),,,(
12
2016مارس 15السنة العاشرة العدد مجلة الساتل
91
21
),,,(12
),,,(12
xFxF
12 F
0 1)(!
1)(
1)(
1.
1 )()!1(
)()()),,,(12(
r rr
rr
rx
r rr
rrxFdx
d
),1,1,1(12
.
0 )1(!
)1()1()),,,(
12(
)1(
))...(1()(
)1(
1)(
xF
rx
r rr
rrxF
dx
d
r
rr
r
1)0,,(12
F
0
)),,,(12
(x
xFdx
d
dtxttxF
)1.(
1
0
1)1(
),(
1),,,(
12
x=1
),(),(
1
1
0
1)1(
),(
1)1,,,(12
dttF
حـــول دالـــة جـامــا
92
0,0
)().(
)()()1,,,(
12
F
23
Gauss's thaery
)()(
),()1,,,(
12
F
0,0
Kummar's thaery
)2
11()1(
)2
11()1(
)1,1,,(12
F
1 x=1
),,,(12
xF
22
),2
1,1,
2
1(
12xF
4
)3)(2)(1(!4
)3)(2)(1()3()2)(1(
3
)2)(1(!3
)3)(2)(1()2)(1(2
)1(!2
)1()1(
!11
.0 )(!
)()(),,,(12
x
xxx
rx
r rr
rrxF
2016مارس 15السنة العاشرة العدد مجلة الساتل
93
,,
4321
4
)32
1)(2
2
1)(1
2
1)(
2
1)(24(
)4)(3)(2)(1)(32
1)(2
2
1)(1
2
1)(
2
1(
3
)22
1)(1
2
1)(
2
1)(6(
)3)(2)(1)(22
1)(1
2
1)(
2
1(
2
)12
1)(
2
1)(2(
)2)(1)(12
1)(
2
1(
)2
1(
)1)(2
1(
1
xxxx
x
xxx
23
rr)1(
)1(
)2(...)(
)(
)1(
)(
)1)()...(2)(1()1(
)1(...)(
)(
)1(...)2)(1(1)(
rr
rrr
r
rr
rr)1(
)1(
حـــول دالـــة جـامــا
94
املراجع1- Bell W.W Special Functions For Scientist and Engiueers Nostr and
Company,1968.
2- Farrell and Ross, Solved Problems:Gamma and Beta Functions, 1963,New
Yark.
3- George,.E, Richard.A and Ranjan.R . Special Functions, 2004.
4- Snedon I.N Special Functions Of Mathematical Physics,London
Longman,1961.
5- Reichel A.M Special Functions Sedney Science Press,1966.
6- Richard Reals, Roderick Wong, Special Functions, A Graduare Text,
2010,Yale University.
7
2003
8 2006
