Αλγεβρικες ∆οµες Ι Εκπαιδευτικο Υλικο Μαθηµατοςusers.uoi.gr/abeligia/AlgebraicStructuresI/ASI2012/ASI... · 2013-09-26 · ΄Ασκηση

Αλγεβρικες ∆οµες Ι

Εκπαιδευτικο Υλικο Μαθηµατος

Ακαδηµαϊκο Ετος

2012 - 2013

∆ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης

Ιστοσελιδα Μαθηµατος :http://users.uoi.gr/abeligia/AlgebraicStructuresI/ASI.html

22 Ιανουαριου 2013

2

Περιεχόµενα

Μέρος 1. Ασκήσεις Προς Λύση 4

Μέρος 2. Προτεινόµενες Ασκήσεις Προς Λύση 33

Μέρος 3. Επίλυση Επιλεγµένων Ασκήσεων 59

Μέρος 4. Θεωρητικά Θέµατα 202

Ι. Θεωρία Οµάδων 2021. Σχέσεις Ισοδυναµίας, ∆ιαµερίσεις, και Πράξεις 2021.1. Σχέσεις ισοδυναµίας 2021.2. ∆ιαµερίσεις 2031.3. ∆ιαµερίσεις και Σχέσεις Ισοδυναµίας 2041.4. Απεικονίσεις και Σχέσεις Ισοδυναµίας 2051.5. Πράξεις 2071.6. Πράξεις συµβιβαστές µε σχέσεις ισοδυναµίας 2072. Υποοµάδες και το Θεώρηµα του Lagrange 2102.1. Βασικές ιδιότητες υποοµάδων 2112.2. Οµάδες προερχόµενες από την οµάδα Z των ακεραίων 2122.3. Υποοµάδες και Σχέσεις Ισοδυναµίας 2132.4. Το Θεώρηµα του Lagrange 2162.5. Οι Υποοµάδες της S3 2172.6. Το αντίστροφο του Θεωρήµατος του Lagrange και η Εναλλάσσουσα Οµάδα A4 2172.7. Εφαρµογές του Θεωρήµατος Lagrange (I) 2193. Τάξη στοιχείων και Οµάδων - Κυκλικές (Υπο-)Οµάδες 2223.1. ∆ύναµη Στοιχείου 2223.2. Κυκλικές Οµάδες 2243.3. Τάξη στοιχείου 2253.4. Τάξη Γινοµένου Στοιχείων µιας Οµάδας 2283.5. Εφαρµογές του Θεωρήµατος Lagrange (II) 2304. Χαρακτηρισµοί Πεπερασµένων Κυκλικών Οµάδων 2335. Ταξινόµηση Κυκλικών Οµάδων και των Υποοµάδων τους 2365.1. Υποοµάδες και Γεννήτορες ΄Απειρων Κυκλικών Οµάδων 2365.2. Υποοµάδες και Γεννήτορες Πεπερασµένων Κυκλικών Οµάδων 2395.3. Η Οµάδα των n-οστών ϱιζών της µονάδας 2425.4. Κυκλικές Οµάδες - Ευθέα Γινόµενα 2435.5. Ταξινόµηση Κυκλικών Οµάδων 2446. Οι Οµάδες τάξης pq, p, q: πρώτοι αριθµοί 2466.1. Οµάδες τάξης 2p 2466.2. Οµάδες τάξης pq 2487. Οµάδες µεταθέσεων (µετατάξεων) 2507.1. Οι πρώτες έννοιες 2507.2. Τροχιές και ανάλυση σε κύκλους 2537.3. Εκτιµώντας τις τάξεις των µεταθέσεων (µετατάξεων) της (Sn, ◦). ∆ιαµερίσεις του n 2637.4. ΄Αρτιες και περιττές µεταθέσεις (µετατάξεις) 2658. ∆ιεδρικές Οµάδες και Οµάδες Συµµετρίας* 270

3

9. Οµάδες Παραγόµενες από Υποσύνολα και ∆ιαγράµµατα Hasse* 27110. Κανονικές (Ορθόθετες) Υποοµάδες 27210.1. Κανονικές Υποοµάδες 27210.2. Κανονικές Υποοµάδες και Σχέσεις Ισοδυναµίας 27510.3. Παραδείγµατα Κανονικών Υποοµάδων 27611. Τρία Χαρακτηριστικά (Αντι-)Παραδείγµατα 28111.1. Οµάδες Hamilton 28111.2. Μεταβατική ιδιότητα κανονικότητας υποοµάδων 28212. Οµάδες-πηλίκα 28413. Οµοµορφισµοί Οµάδων 28713.1. Βασικές ιδιότητες και Παραδείγµατα 28713.2. Οµοµορφισµοί και Υποοµάδες 29013.3. ∆οµικές Ιδιότητες Οµάδων - Κριτήρια (Μη)-Ισοµορφίας 29413.4. Οµοµορφισµοί και Κανονικές Υποοµάδες 29613.5. Το Θεώρηµα του Cayley 29714. Ταξινόµηση Κυκλικών Οµάδων και Οµάδες Αυτοµορφισµών 30214.1. Ταξινόµηση ΄Απειρων Κυκλικών Οµάδων 30214.2. Ταξινόµηση Πεπερασµένων Κυκλικών Οµάδων 30314.3. Κριτήριο Ισοµορφίας Κυκλικών Οµάδων 30414.4. Οµάδες Οµοµορφισµών Κυκλικών Οµάδων 30414.5. Οµάδες Αυτοµορφισµών Κυκλικών Οµάδων 31215. Τα Θεωρήµατα Ισοµορφισµών και οι Εφαρµογές τους 31516. Ευθέα Γινόµενα και Πεπερασµένες Αβελιανές Οµάδες 31617. Απλές Οµάδες 31718. Οµάδες Μικρής Τάξης 318

ΙΙ. Θεωρία ∆ακτυλίων 31919. Βιβλιογραφία 320

4

Μέρος 1. Ασκήσεις Προς Λύση

Ασκησεις - Φυλλαδιο 1∆ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης

Ιστοσελιδα Μαθηµατος :

http://users.uoi.gr/abeligia/AlgebraicStructuresI/ASI.html

Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012

΄Ασκηση 1. Στο σύνολο των πραγµατικών αριθµών R ορίζουµε µια σχέση R ⊆ R× R ως εξής :x ∼R y ⇐⇒ x− y ∈ Q

Να δείξετε ότι η R είναι µια σχέση ισοδυναµίας στο R, και να περιγράψετε το σύνολο πηλίκο R/R.

΄Ασκηση 2. Στο σύνολο των ϱητών αριθµών Q ορίζουµε µια σχέση R ⊆ Q×Q ως εξής :x ∼R y ⇐⇒ x− y ∈ Z

Να δείξετε ότι η R είναι µια σχέση ισοδυναµίας στο Q, και υπάρχει µια 1-1 και επί επεικόνισηf : Q/R −→ Q ∩ [0, 1)

΄Ασκηση 3. Θεωρούµε το υποσύνολο S ={z ∈ C | |z| = 1

}του συνόλου C∗ των µη-µηδενικών µιγαδικών

αριθµών. Στο C∗ ορίζουµε µια σχέση R ως εξής :z ∼R w ⇐⇒ zw−1 ∈ S

1. Να δείξετε ότι η R είναι µια σχέση ισοδυναµίας στο C∗, και ακολούθως να περιγραφεί το σύνολο-πηλίκο C∗/R.

2. Είναι το υποσύνολο S κλειστό ως προς την πράξη πολλαπλασιασµού · στο σύνολο C∗;3. Είναι η πράξη πολλαπλασιασµού · στο σύνολο C∗ συµβιβαστή µε την σχέση ισοδυναµίας R;

΄Ασκηση 4. Να εξεταστεί, ποια από τα ακόλουθα υποσύνολα τού καρτεσιανού γινοµένου Z × Z ορίζουνµια σχέση ισοδυναµίας φ επί του συνόλου των ακεραίων αριθµών Z και για κάθε φ να προσδιοριστούν οιαντίστοιχες κλάσεις ισοδυναµίας καθώς και η προκύπτουσα διαµέριση του συνόλου Z:

(1) g1 = {(z, z) | z ∈ Z},(2) g2 = {(z, z + 1) | z ∈ Z},(3) g3 = {(z + 1, z) | z ∈ Z},(4) g4 = g1 ∪ g2,(5) g5 = g1 ∪ g2 ∪ g3(6) g6 = {(1, 2), (2, 3), (1, 3)},(7) g7 = {(1, 2), (2, 3), (1, 3), (2, 1), (3, 2), (3, 1)},(8) g8 = g1 ∪ g7,(9) g9 = g1 ∪ g7 ∪ {(7, 8), (8, 7)},

(10) g10 = g1 ∪ g7 ∪ {(3, 4), (4, 3)}.

5

΄Ασκηση 5. ΄Εστω X ένα µη-κενό σύνολο και {Ri}i∈I µια οικογένεια σχέσεων ισοδυναµίας επί του X.1. Να δείξετε ότι η τοµή R =

⋂i∈I Ri είναι µια σχέση ισοδυναµίας επί του X.

2. Να εξετάσετε αν η ένωση R′

=⋃i∈I Ri είναι σχέση ισοδυναµίας επί του X.

΄Ασκηση 6. Θεωρούµε το σύνολο X ={

1, 2, 3, 4}.1. ΄Εστω η σχέση

R ={

(1, 1), (2, 1), (3, 1), (2, 4), (4, 2), (3, 3), (4, 1), (2, 3)}⊆ X ×X

Να ϐρεθεί η µικρότερη σχέση ισοδυναµίας R επί του X η οποία περιέχει τη σχέση R.2. ΄Εστω η σχέση

R ={

(1, 1), (2, 3), (4, 1)}⊆ X ×X

Να ϐρεθεί η µικρότερη σχέση ισοδυναµίας R επί του X η οποία περιέχει τη σχέση R.

΄Ασκηση 7. Να περιγραφούν όλες οι πιθανές σχέσεις ισοδυναµίας επί ενός συνόλου X µε 1, 2, 3, και 4στοιχεία.

΄Ασκηση 8. 1. Στο σύνολο N× N, όπου N ={

0, 1, 2, 3, · · ·}, ορίζουµε την ακόλουθη σχέση R:

∀(a, b), (c, d) ∈ N× N : (a, b) ∼R (c, d) ⇐⇒ a+ d = b+ c∆είξτε ότι η R είναι µια σχέση ισοδυναµίας στο N×N και περιγράψτε το σύνολο πηλίκο (N×N)/R.

2. Στο σύνολο Z× Z∗ ορίζουµε την ακόλουθη σχέση S:∀(x, y), (a, b) ∈ Z× Z∗ : (x, y) ∼R (a, b) ⇐⇒ xb = ya

∆είξτε ότι η S είναι µια σχέση ισοδυναµίας στο Z×Z∗ και περιγράψτε το σύνολο πηλίκο (Z×Z∗)/S.

΄Ασκηση 9. Εξετάστε στις παρακάτω περιπτώσεις αν η διµελής πράξη ? επί του συνόλου G είναι προσεται-ϱιστική, µεταθετική, υπάρχει ουδέτερο στοιχείο, και αν κάθε στοιχείο έχει αντίστροφο.

(1) G = Z και a ? b = ab.(2) G = Z και a ? b = a− b.(3) G = R+ και a ? b = ab.(4) G = Q και a ? b = ab.(5) G = R∗ και a ? b = ab.(6) G = Z+ και a ? b = 2ab.(7) G = Z+ και a ? b = ab.(8) G = C και a ? b = a+ b.

΄Ασκηση 10. ΄Εστω G = R \ {−1} (δηλαδή G είναι το σύνολο όλων των πραγµατικών αριθµών εκτός απότο −1), και ορίζουµε

∀x, y ∈ G : x ? y = x+ y + xyΝα δείξετε ότι η παραπάνω απεικόνιση είναι µια πράξη επί του G. Να εξετασθεί αν η πράξη ? είναιπροσεταιριστική ή µεταθετική. Να εξετασθεί αν υπάρχει στοιχείο e ∈ G έτσι ώστε : x ? e = x = e ? x,∀x ∈ G. Αν ένα τέτοιο στοιχείο υπάρχει, είναι µοναδικό ; Σ΄ αυτή την περίπτωση να εξετασθεί αν για κάθεx ∈ G, υπάρχει y ∈ G έτσι ώστε : x ? y = e = y ? x. Τέλος να εξετασθεί αν η εξίσωση:

a ? x = b

έχει (µοναδική) λύση στο σύνολο G.

6

΄Ασκηση 11. ΄Εστω ότιK συµβολίζει ένα από τα ακόλουθα σώµαταQ, R, C, και έστωMm×n(K) το σύνολοτων m × n πινάκων µε στοιχεία από το K. Υπενθυµίζουµε ότι δύο πίνακες A,B ∈ Mm×n(K) καλούνταιισοδύναµοι αν υπάρχει αντιστρέψιµος n× n πίνακας P και αντιστρέψιµος m×m πίνακας Q έτσι ώστε :

Q ·A · P = B∆είξτε ότι ορίζοντας :

A ∼ B ⇐⇒ ο πίνακας A είναι ισοδύναµος µε τον Bαποκτούµε µια σχέση ισοδυναµίας στο σύνολο Mm×n(K). Είναι η πρόσθεση, και ο πολλαπλασιασµόςπινάκων (όταν m = n), συµβιβαστή πράξη µε την σχέση ισοδυναµίας πινάκων ;

7





΄Ασκηση 12. ΄Εστω (G, ?) µια οµάδα και υποθέτουµε ότι : a ? b ? c = e για κάποια a, b, c ∈ G, όπου eείναι το ουδέτερο στοιχείο της οµάδας. Να δείξετε ότι :

b ? c ? a = e

΄Ασκηση 13. ΄Εστω (G, ?) µια οµάδα µε ταυτοτικό στοιχείο e. Αν το σύνολοG έχει άρτιο πλήθος στοιχείων,να δείξετε ότι υπάρχει ένα στοιχείο a 6= e στην G τέτοιο ώστε a ? a = e.

΄Ασκηση 14. ΄Εστω R∗ το σύνολο των µη-µηδενικών πραγµατικών αριθµών. Ορίζουµε διµελή πράξη ? στοR∗, ως εξής :

a ? b = |a|b(1) ∆είξτε ότι η ? είναι µια προσεταιριστική διµελής πράξη.(2) ∆είξτε ότι υπάρχει ένα αριστερό ταυτοτικό στοιχείο και ένα δεξιό αντίστροφο στοιχείο για την πράξη

?.(3) Είναι το Ϲεύγος (R∗, ?) οµάδα ;(4) Ποιά είναι η σηµασία της άσκησης ;

΄Ασκηση 15. ΄Εστω (G, ?) µια οµάδα µε ταυτοτικό στοιχείο e. Αν ισχύει

x ? x = e, ∀x ∈ Gδείξτε ότι η G είναι αβελιανή.

΄Ασκηση 16. Να δείξετε ότι το ανοιχτό διάστηµα (−1, 1) :={x ∈ R | − 1 < x < 1

}αποτελεί οµάδα µε

πράξη :

x ? y =x+ y

1 + xy

΄Ασκηση 17. ΄Εστω (G, ?) µια οµάδα µε ταυτοτικό στοιχείο e. Αν το σύνολο G έχει πεπερασµένο πλήθοςστοιχείων, να δείξετε ότι για κάθε a ∈ G, υπάρχει ακέραιος n ∈ Z+, ο οποίος γενικά εξαρτάται από το a,έτσι ώστε : an := a ? a ? · · · ? a = e (το a εµφανίζεται σαν παράγοντας n ϕορές).

Επιπλέον να δείξετε ότι υπάρχει N ∈ Z+: aN = e, ∀a ∈ G.

΄Ασκηση 18. ΄Εστω (G, ?) µια οµάδα και a, b ∈ G. Να δείξετε ότι (a ? b)′ = a′ ? b′ αν και µόνον ανa ? b = b ? a. Να συµπεράνετε ότι η G είναι αβελιανή αν και µόνον αν (a ? b)′ = a′ ? b′, ∀a, b ∈ G.

8

΄Ασκηση 19. ∆είξτε µε ένα παράδειγµα, ότι είναι δυνατόν η εξίσωση x ? x = e να έχει περισσότερες απόδυο λύσεις, σε κάποια οµάδα (G, ?) µε ταυτοτικό στοιχείο e.

΄Ασκηση 20. Θεωρούµε τους ακόλουθους αντιστρέψιµους πίνακες πραγµατικών αριθµών:

A =

0 0 1 00 0 0 11 0 0 00 1 0 0

, B =

0 0 0 10 0 1 01 0 0 00 1 0 0

∈ GLn(R)και έστω

G ={An ∈ GLn(R) | n ∈ Z

}και G′ =

{Bn ∈ GLn(R) | n ∈ Z

}Να δείξετε ότι τα Ϲεύγη (G, ·) και (G′, ·), όπου · είναι ο πολλαπλασιασµός πινάκων, είναι αβελιανές οµάδες.Πόσα στοιχεία έχουν οι οµάδες G και G′;

΄Ασκηση 21. Μελετήστε τη δοµή της οµάδας (Z6,+), και συµπληρώστε το παρακάτω πίνακα+ [0] [1] [2] [3] [4] [5][0][1][2][3][4][5]

΄Ασκηση 22. Θεωρούµε το σύνολο απεικονίσεων

G ={α0, α1, α2, β1, β2, β3 : Q \ {0, 1} −→ Q \ {0, 1}

}όπου :

α0(x) = x, α1(x) =1

1− x, α2(x) =

x− 1x

β1(x) =1

x, β2(x) = 1− x, β3(x) =

x

x− 1Να δείξετε ότι το Ϲεύγος (G, ◦), όπου ◦ είναι πράξη της σύνθεσης απεικονίσεων, αποτελεί µια µη-αβελιανήοµάδα. Να συµπληρώσετε τον αντίστοιχο πίνακα της οµάδας G.

΄Ασκηση 23. ΄Εστω ? µια προσεταιριστική πράξη επί του µη-κενού συνόλου G. Υποθέτουµε ότι :

(1) Υπάρχει ένα στοιχείο e ∈ G: e ? x = x, ∀x ∈ G.(2) Για κάθε x ∈ G, υπάρχει ένα στοιχείο x′ ∈ G: x′ ? x = e.

Να δείξετε ότι το Ϲεύγος (G, ?) είνα οµάδα.

΄Ασκηση 24. Γνωρίζουµε ότι αν (G, ?) είναι µια οµάδα, τότε οι εξισώσεις

a ? x = b και x ? a = b

έχουν (µοναδική) λύση για κάθε a, b ∈ G.Αντίστροφα: να δείξετε ότι αν ? είναι µια προσεταιριστική πράξη επί του µη-κενού συνόλου G και οι

παραπάνω εξισώσεις έχουν λύση για κάθε a, b ∈ G, τότε υπάρχει ταυτοτικό στοιχείο e ∈ G για την πράξη? και το Ϲεύγος (G, ?) είναι µια οµάδα.

9

΄Ασκηση 25. 1. Στο σύνολο G = R∗ × R ορίζουµε µια πράξη ? ως εξής :? : G×G −→ G, (a, b) ? (c, d) = (ac, ad+ b)

Να δείξετε ότι το Ϲεύγος (G, ?) είναι οµάδα.2. Να δείξετε ότι το σύνολο

G′ ={f : R −→ R | f(x) = ax+ b, a, b ∈ R, a 6= 0

}εφοδιασµένο µε την πράξη της σύνθεσης απεικονίσεων είναι οµάδα.

3. Παρατηρείτε κάποια σχέση µεταξύ των οµάδων, G και G′;

10



Παρασκευή 26 Οκτωβρίου 2012

΄Ασκηση 26. (1) Ας είναι E το σύνολο των µιγαδικών αριθµών µε µέτρο ίσο µε 1, δηλαδή E = {z ∈C | |z| = 1}. Να δειχθεί ότι το E αποτελεί υποοµάδα τής οµάδας (C?, ·).

(2) Ας είναι EN το σύνολο των µιγαδικών αριθµών z µε zn = 1, για κάποιο n ∈ N, δηλαδή EN = {z ∈C | ∃n ∈ N, τέτοιο ώστε zn = 1}. Να δειχθεί ότι το EN αποτελεί υποοµάδα τής (E, ·).

(3) Ας είναι En το σύνολο των µιγαδικών αριθµών z µε zn = 1, για κάποιο πάγιο ϕυσικό αριθµό n ∈ N,δηλαδή En = {z ∈ C | όπου n ∈ N, είναι ένας πάγιος αριθµός µε zn = 1}. Να δειχθεί ότι το Enαποτελεί υποοµάδα τής (EN, ·).

΄Ασκηση 27. (1) ∆είξτε ότι αν H και K είναι δύο υποοµάδες µιας αβελιανής οµάδας (G, ?), τότε τοσύνολο

HK = {hk ∈ G | h ∈ H, k ∈ K}είναι µια υποοµάδα της G.

(2) Να αποδείξετε µε τη ϐοήθεια ενός αντιπαραδείγµατος ότι αυτό δεν αληθεύει όταν η οµάδα (G, ?)δεν είναι αβελιανή.

΄Ασκηση 28. ΄Εστω (G, ?) µια αβελιανή οµάδα µε ταυτοτικό στοιχείο e. Ας είναι n ∈ N ένας πάγιος1ϕυσικός αριθµός. Να δειχθεί ότι το υποσύνολο H της G που αποτελείται από τα στοιχεία g ∈ G µε gn = eείναι µια υποοµάδα της G.

΄Ασκηση 29. Σηµειώστε αν είναι σωστό ή λάθος.

(1) Ο προσεταιριστικός νόµος ισχύει σε κάθε οµάδα.(2) Είναι δυνατόν να υπάρξει οµάδα στην οποία να µην ισχύει ο νόµος της διαγραφής.(3) Κάθε οµάδα είναι υποοµάδα του εαυτού της.(4) Κάθε οµάδα έχει ακριβώς δυο µη γνήσιες υποοµάδες.(5) Στο µάθηµα, δεν έχουµε δώσει ακόµα παράδειγµα οµάδας που να µην είναι αβελιανή.(6) Κάθε σύνολο αριθµών που είναι οµάδα µε πράξη την πρόσθεση είναι και οµάδα µε πράξη τον

πολλαπλασιασµό.(7) Μπορούµε να ορίσουµε την υποοµάδα ως «υποσύνολο µιας οµάδας».(8) Κάθε υποσύνολο οποιασδήποτε οµάδας είναι υποοµάδα µε την επαγόµενη πράξη.

΄Ασκηση 30. Θεωρούµε τα ακόλουθα στοιχεία της (S6, ◦):

σ =

(1 2 3 4 5 63 1 4 5 6 2

), τ =

(1 2 3 4 5 62 4 1 3 6 5

), µ =

(1 2 3 4 5 65 2 4 3 1 6

).

1σταθερά δοσµένος

11

(1) Να υπολογιστούν τα :(α΄) τ ◦ σ(ϐ΄) τ2 ◦ σ(γ΄) µ ◦ σ2(δ΄) σ−2 ◦ τ(ε΄) σ−1 ◦ τ ◦ σ

(2) Επίσης να υπολογιστούν :(α΄) η τάξη της 〈σ〉.(ϐ΄) η τάξη της 〈τ2〉.(γ΄) η δύναµη σ100

(δ΄) η δύναµη µ100

(3) Να επιλυθούν ως προς x οι εξισώσεις :(α΄) τ2 ◦ x ◦ µ = σ100(ϐ΄) µ ◦ x ◦ τ2 = µ100(γ΄) τ2 ◦ x = µ ◦ x

΄Ασκηση 31. ΄Εστω ότι (G1, ?1) και (G2, ?2) είναι δύο οµάδες. Να δειχθεί ότι το καρτεσιανό γινόµενοG1 ×G2 εφοδιασµένο µε την πράξη

? : (G1 ×G2)× (G1 ×G2)→ G1 ×G2, ((a1, a2), (b1, b2)) 7→ (a1 ?1 b1, a2 ?2 b2)αποτελεί µια οµάδα.(Η συγκεκριµένη οµάδα ονοµάζεται το ευθύ γινόµενο των οµάδων G1 και G2.)

΄Ασκηση 32. Θεωρούµε την οµάδα (Z2,+) και το ευθύ γινόµενο Z2 × Z2 της Z2 µε τον εαυτό της. Νασχηµατιστεί ο πίνακας πράξης της Z2 × Z2 και να αποδειχτεί ότι δεν πρόκειται για κυκλική οµάδα.

΄Ασκηση 33. Θεωρούµε τις οµάδες (Z2,+), (Z3,+) και το ευθύ γινόµενό τους Z2 × Z3. Να σχηµατιστεί οπίνακας πράξης της Z2 × Z3 και να αποδειχτεί ότι πρόκειται για κυκλική οµάδα.Ακολούθως να εξετάσετε, αν ο ισχυρισµός

«Σε κάθε κυκλική οµάδα, κάθε στοιχείο είναι γεννήτορας»είναι αληθής ή όχι.

΄Ασκηση 34. Να προσδιοριστεί η τάξη κάθε στοιχείου της κυκλικής οµάδας (Z10,+) και ακολούθως ναπροσδιοριστούν όλοι οι γεννήτορες.

΄Ασκηση 35. Αποδείξτε ότι κάθε κυκλική οµάδα είναι αβελιανή.

΄Ασκηση 36. ∆είξτε ότι µια οµάδα που δεν έχει γνήσιες µη τετριµµένες υποοµάδες είναι κυκλική.

΄Ασκηση 37. ΄Εστω ότι (G, ?) είναι µια οµάδα και ότι H,K είναι δύο υποοµάδες της. Να δειχθεί ότι ηένωση H ∪K είναι µια υποοµάδα τής (G, ?), αν και µόνο αν, είτε H ⊆ K είτε K ⊆ H.

12




Τρίτη 6 Νοεµβρίου 2012

΄Ασκηση 38. Θεωρούµε τα ακόλουθα στοιχεία της (S6, ◦):

σ =

(1 2 3 4 5 63 1 4 5 6 2

), τ =

(1 2 3 4 5 62 4 1 3 6 5

), µ =

(1 2 3 4 5 65 2 4 3 1 6

).

(1) Να προσδιοριστούν οιχ–τροχιές στις οποίες διαµερίζεται το σύνολο {1, 2, 3, 4, 5, 6}, ότανχ = σ, τ, µ.(2) Να προσδιοριστούν οι τάξεις ◦(σ), ◦(τ), ◦(µ).(3) Να προσδιοριστεί η ανάλυση σε αποσυνδετούς (ξένους) κύκλους των σ, σ2, σ3, σ4, σ5, σ6 (Τι παρα-

τηρείτε;).(4) Να υπολογιστούν τα :

σ ◦ τ ◦ σ−1, σ−1 ◦ τ ◦ σ, τ ◦ σ ◦ τ−1, µ ◦ τ ◦ µ−1, µ3 ◦ τ7 ◦ µ3.(5) Να επιλυθεί ως προς x η εξίσωση: x ◦ σ ◦ x−1 = (1 2 3 4 5 6).(6) Να δειχθεί ότι η ως προς x εξίσωση: x ◦ σ ◦ x−1 = τ δεν διαθέτει λύση.

΄Ασκηση 39. (1) Να υπολογιστεί ο πίνακας πράξης της εναλλάσσουσας υποοµάδας A4 της (S4, ◦).(2) Να δειχθεί ότι ∀n, n ≥ 4, η εναλλάσσουσα υποοµάδα An της (Sn, ◦) δεν είναι αβελιανή (µεταθετι-

κή).

΄Ασκηση 40. Ποια µπορεί να είναι η µέγιστη τάξη ενός στοιχείου της εναλλάσσουσας υποοµάδας An της(Sn, ◦), όταν n = 2, 3, 4, 5, 6, 7;

΄Ασκηση 41. Να δειχθεί ότι το πλήθος των άρτιων µεταθέσεων (µετατάξεων) µιας υποοµάδαςH της (Sn, ◦)ισούται ή µε ◦(H) ή µε ◦(H)/2.

΄Ασκηση 42. Να δειχθεί ότι το πρόσηµο �(σ) µιας µετάθεσης (µετάταξης ) σ της (Sn, ◦) ισούται πάντοτε µετο πρόσηµο της �(σ−1) της σ−1.

΄Ασκηση 43. ΄Εστω ότι σ και τ είναι δύο στοιχεία της (Sn, ◦), n ≥ 2. Να δειχθεί ότι(1) το στοιχείο στσ−1τ−1 είναι πάντοτε στοιχείο της εναλλάσσουσας υποοµάδας An,(2) το στοιχείο στσ−1 ανήκει στην An, αν και µόνο αν, το στοιχείο τ ανήκει στην An.

΄Ασκηση 44. (1) Να δειχθεί ότι κάθε στοιχείο της (Sn, ◦), n ≥ 2 είναι γινόµενο αντιµεταθέσεων τηςµορφής (1i).

(2) Να δειχθεί ότι κάθε στοιχείο της εναλλάσσουσας υποοµάδας An, n ≥ 3 είναι γινόµενο κύκλωνµήκους 3.

13

΄Ασκηση 45. Να δειχθεί ότι κάθε στοιχείο της (Sn, ◦) µε τάξη 2 είναι γινόµενο αντιµεταθέσεων ανά δύοαποσυνδετών (ξένων).

΄Ασκηση 46. Να υπολογιστεί η οµάδα συµµετριών του ϱόµβου:

1

2

3

4

14




Τετάρτη 14 Νοεµβρίου 2012

΄Ασκηση 47. (1) Να ευρεθούν οι πλευρικές κλάσεις (τα σύµπλοκα) της υποοµάδας 〈5〉 στην οµάδα(Z,+).

(2) Να ευρεθούν οι πλευρικές κλάσεις (τα σύµπλοκα) της υποοµάδας 〈9〉 στην οµάδα (Z,+) και της〈9〉 στην (υπο)οµάδα 〈3〉 της (Z,+).

(3) Να ευρεθούν οι πλευρικές κλάσεις (τα σύµπλοκα) της υποοµάδας 〈[6]〉 στην οµάδα (Z12,+) καιτης 〈[6]〉 στην (υπο)οµάδα 〈[2]〉 της (Z12,+).

΄Ασκηση 48. Θεωρούµε τη διεδρική οµάδα (D4, ◦) και ας είναι τ οποιαδήποτε στερεά κίνηση που προκύπτειαπό ανάκλαση ως προς άξονα συµµετρίας που κείται επί του επιπέδου του τετραγώνου. Να υπολογιστούνοι αριστερές πλευρικές κλάσεις (τα αριστερά σύµπλοκα) της 〈τ〉 στην D4.

΄Ασκηση 49. ΄Εστω ότι (G, ?) είναι µια οµάδα και ότι H ≤ G είναι µια υποοµάδα της. Για κάθε a ∈ Gϑεωρούµε το σύνολο Ha = {h ? a | h ∈ H}. Κάθε σύνολο της µορφής Ha ονοµάζεται δεξιό σύµπλοκο(δεξιά πλευρική κλάση) της H στην G.

(1) Να δειχθεί ότι το πλήθος των αριστερών συµπλόκων τηςH στηνG ισούται µε το πλήθος των δεξιώνσυµπλόκων της H στην G.

(2) Να δοθεί παράδειγµα οµάδας (G, ?) και υποοµάδας της H , όπου υπάρχει a ∈ G µε aH 6= Ha.(3) Να δειχθεί ότι αν µια οµάδα (G, ?) είναι αβελιανή, τότε για κάθε a ∈ G ισχύει : aH = Ha.

΄Ασκηση 50. Να σχηµατιστεί το διάγραµµα Hasse των υποοµάδων της διεδρικής οµάδας (D5, ◦).

΄Ασκηση 51. Θεωρούµε την οµάδα (U20, ·)2 των αντιστρέψιµων κλάσεων ισοδυναµίας των ακεραίων Zκατά µόδιο (mod) 20 µε πράξη τον πολλαπλασιασµό των κλάσεων κατά µόδιο (mod) 20.

(1) Να δειχθεί ότιU20 =

{[1], [3], [7], [9], [11], [13], [17], [19]

}(2) Να δειχθεί ότι για κάθε στοιχείο u ∈ U20 ισχύει u8 = [1].(3) Να λυθεί ως προς x εξίσωση [17](−108) · x · [7]333 = [3](−1).

΄Ασκηση 52. Αν (G, ?) είναι µια οµάδα µε τάξη ◦(G) < 300, η οποία έχει δύο υποοµάδες H,K µε τάξειςαντιστοίχως ◦(H) = 24 και ◦(K) = 54, τότε ποια είναι η ◦(G);.

2Η οµάδα U20 συµβολίζεται και ως U(Zn)

15

΄Ασκηση 53. ΄Εστω ότι (G, ?) είναι µια οµάδα και ότι a, b είναι δύο στοιχεία της µε a ? b = b ? a. Αν οιτάξεις ◦(a), ◦(b) είναι πεπερασµένες και Μ.Κ.∆.(◦(a), ◦(b)) = 1, τότε η τάξη του στοιχείου a ? b ισούται µε◦(a) · ◦(b).

΄Ασκηση 54. (1) ΄Εστω ότι (G, ?) είναι µια οµάδα µε τάξη pq, όπου οι p, q είναι πρώτοι αριθµοί. Ναδειχθεί ότι κάθε γνήσια υποοµάδα H της G είναι κυκλική.

(2) ΄Εστω ότι (G, ?) είναι µια αβελιανή οµάδα µε τάξη pq και ότι οι p, q είναι πρώτοι αριθµοί µε p 6= q.Να δειχθεί ότι η G είναι µια κυκλική οµάδα.

(3) Να δειχθεί ότι υπάρχουν αβελιανές οµάδες τάξης p2, όπου ο p είναι πρώτος αριθµός, οι οποίες δενείναι κυκλικές.

΄Ασκηση 55. Να δειχθεί ότι µια οµάδα που δεν διαθέτει άλλες υποοµάδες παρά µόνο τις τετριµµένες είναικυκλική τάξης 1 ή p, όπου ο p είναι πρώτος αριθµός.

΄Ασκηση 56. ΄Εστω ότι (G, ?) είναι µια οµάδα και ότιH ≤ G,K ≤ G είναι δύο υποοµάδες της. Θεωρούµετο υποσύνολο R ⊆ G×G που ορίζεται ως

(a, b) ∈ R ⇐⇒ a = h ? b ? k, h ∈ H, k ∈ K.Να δειχθεί ότι το υποσύνολο R ορίζει µια σχέση ισοδυναµίας επί της G και ακολούθως να περιγραφούν οικλάσεις ισοδυναµίας.

16



Παρασκευή 16 Νοεµβρίου 2012

΄Ασκηση 57. ΄Εστω G µια οµάδα.

(1) ∀x, a ∈ G: o(x−1ax) = o(a) = o(xax−1).(2) ∀a, b ∈ G: o(ab) = o(ba).(3) Αν H είναι µια υποοµάδα της G, τότε ∀x ∈ G, το σύνολο x−1Hx είναι µια υποοµάδα της G µε

τάξη o(x−1Hx) = o(H).

΄Ασκηση 58. Βρείτε το πλήθος των γεννητόρων µιας κυκλικής οµάδας µε τάξη :(α΄) 5, (ϐ΄) 8, (γ΄) 12, (δ΄) 60

΄Ασκηση 59. Οι γεννήτορες της κυκλικής πολλαπλασιαστικής οµάδας Un όλων των n-στών ϱιζών τηςµονάδας στο C καλούνται πρωταρχικές n-οστές ϱίζες της µονάδας. Βρείτε τις πρωταρχικές n-οστέςϱίζες της µονάδας για n = 4.

΄Ασκηση 60. (1) Βρείτε το πλήθος των στοιχείων της κυκλικής υποοµάδας 〈[25]30〉 της οµάδας (Z30,+).(2) Βρείτε το πλήθος των στοιχείων της κυκλικής υποοµάδας 〈[30]42〉 της οµάδας (Z42,+).(3) Βρείτε το πλήθος των στοιχείων της κυκλικής υποοµάδας 〈i〉 της οµάδας C∗ των µη µηδενικών

µιγαδικών αριθµών µε πράξη τον πολλαπλασιασµό.(4) Βρείτε το πλήθος των στοιχείων της κυκλικής υποοµάδας 〈1 + i〉 της οµάδας C∗ των µη µηδενικών

µιγαδικών αριθµών µε πράξη τον πολλαπλασιασµό.

΄Ασκηση 61. Ποιες είναι οι δυνατές τάξεις για τις υποοµάδες των επόµενων κυκλικών οµάδων;(α΄) (Z6,+), (ϐ΄) (Z8,+), (γ΄) (Z12,+), (δ΄) (Z60,+), (ε΄) (Z17,+)

΄Ασκηση 62. Βρείτε όλες τις υποοµάδες των παρακάτω οµάδων και σχεδιάστε το διάγραµµα Hasse απότις υποοµάδες τους.(α΄) (Z12,+), (ϐ΄) (Z36,+), (γ΄) (Z8,+)

΄Ασκηση 63. ΄Εστω (G, ?) µια πεπερασµένη οµάδα η οποία ικανοποιεί τη συνθήκη:3

Αν H,K είναι οποιεσδήποτε υποοµάδες της G, τότε : είτε H ⊆ K ή K ⊆ HΝα δειχθεί ότι η G είναι κυκλική οµάδα που η τάξη της ισούται µε τη δύναµη ενός πρώτου αριθµού.

3µια τέτοια οµάδα καλείται µονοσειριακή (uniserial)

17

΄Ασκηση 64. Θεωρούµε την οµάδα (U(Z20), ·) των αντιστρέψιµων κλάσεων ισοδυναµίας των ακεραίων Zκατά µόδιο (mod) 20 µε πράξη τον πολλαπλασιασµό των κλάσεων κατά µόδιο (mod) 20.

(1) Να δειχθεί ότιU(Z20) =

{[1], [3], [7], [9], [11], [13], [17], [19]

}(2) Να δειχθεί ότι για κάθε στοιχείο u ∈ U(Z20) ισχύει u8 = [1].(3) Να λυθεί ως προς x εξίσωση [17](−108) · x · [7]333 = [3](−1).

΄Ασκηση 65. (1) Να δειχθεί ότι µια οµάδα που δεν διαθέτει άλλες υποοµάδες παρά µόνο τις τετριµ-µένες είναι κυκλική µε τάξη 1 ή p, όπου ο p είναι πρώτος αριθµός.

(2) Να δειχθεί ότι κάθε οµάδα µε τάξη έναν πρώτο αριθµό είναι κυκλική.

΄Ασκηση 66. ΄Εστω ότι G είναι µια οµάδα και ότι a, b είναι δύο στοιχεία της µε ab = ba. Αν οι τάξειςo(a), o(b) είναι πεπερασµένες και (o(a), o(b)) = 1, τότε η τάξη του στοιχείου ab ισούται µε o(a) · o(b).

΄Ασκηση 67. ΄Εστω G ={g1 = e, g2, · · · , gn

}µια πεπερασµένη αβελιανή οµάδα.

(1) (g1g2 · · · gn)2 = e.(2) Τι συµβαίνει αν η τάξη της G είναι περιττός αριθµός ;

΄Ασκηση 68. ΄Εστω G µια κυκλική οµάδα τάξης n. Για κάθε διαιρέτη m | n, να προσδιορισθεί το πλήθοςτων στοιχείων της G µε τάξη m.

΄Ασκηση 69. (1) ΄Εστω ότι G είναι µια οµάδα µε τάξη pq, όπου οι p, q είναι πρώτοι αριθµοί. Να δειχθείότι κάθε γνήσια υποοµάδα H της G είναι κυκλική.

(2) ΄Εστω ότι G είναι µια αβελιανή οµάδα µε τάξη pq και ότι οι p, q είναι πρώτοι αριθµοί µε p 6= q. Ναδειχθεί ότι η G είναι µια κυκλική οµάδα.

(3) Να δειχθεί ότι υπάρχουν αβελιανές οµάδες τάξης p2, όπου ο p είναι πρώτος αριθµός, οι οποίες δενείναι κυκλικές.

΄Ασκηση 70. (1) ΄Εστω p και q πρώτοι αριθµοί. Βρείτε το πλήθος των γεννητόρων της κυκλικής οµάδαςZpq καθώς και το διάγραµµα Hasse των υποοµάδων της.

(2) ΄Εστω p ένας πρώτος αριθµός. Βρείτε το πλήθος των γεννητόρων της κυκλικής οµάδας Zpr , όπουr ≥ 1, καθώς και το διάγραµµα Hasse των υποοµάδων της.

΄Ασκηση 71. (1) Να δειχθεί ότι ότι η οµάδα (Q,+) των ϱητών αριθµών µε πράξη την συνήθη πρόσθεσηδεν είναι κυκλική οµάδα.

(2) Να δειχθεί ότι η οµάδα των πραγµατικών αριθµών (R,+) µε πράξη την συνήθη πρόσθεση δεν είναικυκλική οµάδα.

΄Ασκηση 72. Σηµειώστε αν είναι σωστό ή λάθος.

(1) Κάθε κυκλική οµάδα είναι αβελιανή.(2) Κάθε αβελιανή οµάδα είναι κυκλική(3) Κάθε στοιχείο µιας κυκλικής οµάδας παράγει την οµάδα.

18

(4) Για κάθε n ∈ N, υπάρχει τουλάχιστον µια αβελιανή οµάδα µε τάξη n.(5) Κάθε οµάδα τάξης ≤ 4 είναι κυκλική.(6) Για κάθε στοιχείο [a]20 της Z20 που είναι γεννήτορας, υπάρχει ένα στοιχείο b ∈ [a]20, το οποίο είναι

πρώτος αριθµός.(7) Η S3 είναι κυκλική οµάδα.(8) Η A3 είναι κυκλική οµάδα.(9) Κάθε κυκλική οµάδα τάξης > 2 έχει τουλάχιστον δυο διαφορετικούς γεννήτορες.

΄Ασκηση 73. Στις παρακάτω προτάσεις, δώστε παράδειγµα οµάδας µε την ιδιότητα που περιγράφεται ήεξηγήστε γιατί δεν υπάρχει τέτοιο παράδειγµα.

(1) Μια πεπερασµένη οµάδα που δεν είναι κυκλική.(2) Μια άπειρη οµάδα που δεν είναι κυκλική.(3) Μια κυκλική οµάδα που έχει µόνο έναν γεννήτορα.(4) Μια άπειρη κυκλική οµάδα που έχει τέσσερις γεννήτορες.(5) Μια πεπερασµένη κυκλική οµάδα που έχει τέσσερις γεννήτορες.

΄Ασκηση 74. (1) ∆είξτε ότι µια οµάδα που έχει πεπερασµένο µόνο πλήθος υποοµάδων πρέπει να είναιπεπερασµένη οµάδα.

(2) ∆είξτε ότι δεν µπορεί µια οµάδα να γραφεί ως ένωση δύο γνήσιων υποοµάδων της.(3) Μπορεί µια οµάδα να γραφεί ως ένωση τριών γνησίων υποοµάδων της ;

΄Ασκηση 75. ΄Εστω ότι (G, ?) είναι µια οµάδα και ότιH ≤ G,K ≤ G είναι δύο υποοµάδες της. Θεωρούµετο υποσύνολο R ⊆ G×G που ορίζεται ως

(a, b) ∈ R ⇐⇒ a = h ? b ? k, h ∈ H, k ∈ K.Να δειχθεί ότι το υποσύνολο R ορίζει µια σχέση ισοδυναµίας επί της G και ακολούθως να περιγραφούν οικλάσεις ισοδυναµίας.

19




Τρίτη 4 ∆εκεµβρίου 2012

΄Ασκηση 76. Βρείτε όλα τα σύµπλοκα ( πλευρικές κλάσεις) της υποοµάδας H ≤ G της οµάδας G καιπεριγράψτε την οµάδα πηλίκο στις ακόλουθες περιπτώσεις :

(1) H = 4Z ≤ Z.(2) H = 4Z ≤ 2Z.(3) H = 〈[18]36〉 ≤ Z36.

΄Ασκηση 77. ΄Εστω η διεδρική οµάδα D4 τάξης 8, την οποία ϑεωρούµε ως υποοµάδα της S4:

D4 ={

Id4, ρ, ρ2, ρ3, σ, σρ, σρ2, σρ3, }, όπου ρ =

(1 2 3 4

)και σ =

(2 4

)και έστω η υποοµάδα H =

{Id4, σρ

}της D4.

(1) Βρείτε όλα τα αριστερά σύµπλοκα (αριστερές πλευρικές κλάσεις) της υποοµάδας H στην D4.(2) Βρείτε όλα τα δεξιά σύµπλοκα (δεξιές πλευρικές κλάσεις) της υποοµάδας H στην D4.(3) Είναι H κανονική (ορθόθετη) υποοµάδα της D4;

΄Ασκηση 78. Να ϐρεθεί ο δείκτης της υποοµάδας H στην οµάδα G στις ακόλουθες περιπτώσεις :

(1) H = 〈[3]24〉 ≤ Z24.(2) H = 〈(23)〉 ≤ S3.(3) H = 〈(13)〉 ≤ D4.

Σε ποιές από τις παραπάνω περιπτώσεις η υποοµάδα H είναι κανονική (ορθόθετη) υποοµάδα της G;

΄Ασκηση 79. Θεωρούµε την πολλαπλασιαστική οµάδα GL2(R) των αντιστρέψιµων πινάκων µε στοιχείαπραγµατικούς αριθµούς.

(1) Να δείξετε ότι το υποσύνολο

G ={(

a b0 d

)∈ M2×2(R) | ad 6= 0

}είναι υποοµάδα της GL2(R).

(2) Να δείξετε ότι το υποσύνολο

H ={(

1 b0 1

)∈ M2×2(R) | b ∈ R

}είναι κανονική (ορθόθετη) υποοµάδα της G.

(3) Να δειχθεί ότι η οµάδα–πηλίκο G/H είναι αβελιανή.

20

΄Ασκηση 80. Θεωρούµε το σύνολο απεικονίσεων

G ={τa,b : R −→ R | τa,b(x) = ax+ b, a, b ∈ R, a 6= 0

}το οποίο είναι οµάδα µε πράξη την σύνθεση απεικονίσεων.

(1) Να δείξετε ότι το υποσύνολοH =

{τ1,b ∈ G | b ∈ R

}είναι κανονική (ορθόθετη) υποοµάδα της G.

(2) Να προσδιορίσετε την οµάδα–πηλίκο G/H.

΄Ασκηση 81. ΄Εστω η πολλαπλασιαστική οµάδα C∗ των µη-µηδενικών µιγαδικών αριθµών.(1) Αν U = {z ∈ C | |z| = 1} ≤ C∗, να δειχθεί ότι η οµάδα-πηλίκο C∗/U είναι ισόµορφη µε την

πολλαπλασιαστική οµάδα R+ των ϑετικών πραγµατικών αριθµών.(2) Να δείξετε ότι το σύνολο

G ={(

a b−b a

)∈ M2×2(R) | (a, b) 6= (0, 0)

}εφοδιασµένο µε την πράξη πολλαπλασιασµού πινάκων είναι οµάδα και υπάρχει ισοµορφισµός :

G∼=−→ C∗

΄Ασκηση 82. (1) Πόσοι οµοµορφισµοί οµάδων Z−→Z υπάρχουν ;(2) Πόσοι µονοµορφισµοί οµάδων Z−→Z υπάρχουν ;(3) Πόσοι επιµορφισµοί οµάδων Z−→Z υπάρχουν ;(4) Πόσοι οµοµορφισµοί οµάδων Z−→Z2 υπάρχουν ;(5) Πόσοι οµοµορφισµοί οµάδων Z2−→Z υπάρχουν ;

΄Ασκηση 83. ∆ώστε παράδειγµα µη-τετριµµένου οµοµορφισµού, η δικαιολογήστε γιατί δεν υπάρχει µη-τετριµµένος οµοµορφισµός, f : G−→H , όπου :

(1) f : Z12−→Z5.(2) f : Z12−→Z4.(3) f : Z2 × Z4−→Z2 × Z5.(4) f : Z3−→Z.(5) f : Z3−→S3.(6) f : Z−→S3.

(7) f : Z× Z−→ 2Z.(8) f : 2Z−→Z× Z.(9) f : D4−→S3.

(10) f : S3−→S4.(11) f : S4−→S3.

΄Ασκηση 84. Να δείξετε ότι :

(1) Υπάρχουν µονοµορφισµοί οµάδων f : G−→G οι οποίοι δεν είναι ισοµορφισµοί.(2) Υπάρχουν επιµορφισµοί οµάδων f : G−→G οι οποίοι δεν είναι ισοµορφισµοί.

΄Ασκηση 85. Θεωρούµε την κανονική (ορθόθετη) υποοµάδα Z της προσθετικής οµάδας R. Να ϐρεθούνόλα τα στοιχεία πεπερασµένης τάξης της οµάδας–πηλίκο R/Z.

΄Ασκηση 86. ΄Εστω η προσθετική οµάδα Z των ακεραίων την οποία ϑεωρούµε ως υποοµάδα της προσθε-τικής οµάδας R των πραγµατικών αριθµών, και έστω U =

{z ∈ C | |z| = 1

}η (πολλαπλασιαστική) οµάδα

του κύκλου.

21

(1) Να δείξετε ότι υπάρχει ένας ισοµορφισµός

R/Z∼=−→ U

(2) ∆είξτε ότι οι οµάδες U = {z ∈ C | |z| = 1} και R δεν είναι ισόµορφες.

΄Ασκηση 87. ΄Εστω G µια άπειρη οµάδα. Τότε τα ακόλουθα είναι ισοδύναµα:

(1) Η G είναι κυκλική.(2) Κάθε υποοµάδα H 6= {e} της G είναι ισόµορφη µε την G.

΄Ασκηση 88. ΄Εστω G µια οµάδα. Τότε τα ακόλουθα είναι ισοδύναµα:

(1) Η G είναι αβελιανή.(2) Η απεικόνιση f : G −→ G, f(x) = x−1 είναι οµοµορφισµός.(3) Η απεικόνιση g : G −→ G, f(x) = x2 είναι οµοµορφισµός.(4) Η απεικόνιση h : G × G −→ G, h(x, y) = xy είναι οµοµορφισµός.

΄Ασκηση 89. ΄Εστω G µια πεπερασµένη οµάδα και H µια υποοµάδα της G µε την ιδιότητα ότι η H είναι ηµοναδική υποοµάδα της G µε τάξη o(H). Να δείξετε ότι η G είναι κανονική (ορθόθετη).

΄Ασκηση 90. ΄Εστω G µια πεπερασµένη οµάδα και H µια κανονική υποοµάδα της G. Αν([G : H], o(H)

)= 1

τότε να δείξετε ότι :∀x ∈ G : xo(H) = e =⇒ x ∈ H

22




Τετάρτη 12 ∆εκεµβρίου 2012

΄Ασκηση 91. Βρείτε την τάξη της δοθείσας οµάδας πηλίκου :

(1) Z6/〈[3]6〉

(2) (Z4 × Z12)/

(〈[2]4〉 × 〈[2]12〉)(3) (Z4 × Z2)

/〈([2]4, [1]2)〉

(4) (Z3 × Z5)/

({0} × Z5)(5) (Z2 × S3)

/〈([1]2, (123))〉

΄Ασκηση 92. Βρείτε την τάξη του στοιχείου :

(1) [5]12 + 〈[4]12〉 στην οµάδα πηλίκο Z12/〈[4]12〉

(2) [26]60 + 〈[12]60〉 στην οµάδα πηλίκο Z60/〈[12]60〉

(3) ([2]3, [1]6) + 〈([1]3, [1]6)〉 στην οµάδα πηλίκο (Z3 × Z6)/〈([1]3, [1]6)〉

(4) ([2]6, [0]8) + 〈([4]6, [4]8)〉 στην οµάδα πηλίκο (Z6 × Z8)/〈(4, 4)〉

΄Ασκηση 93. Αποδείξτε τους παρακάτω ισοµορφισµούς :

(1) (Z2 × Z4)/〈([0]2, [1]4)〉 ∼= Z2(2) (Z2 × Z4)/〈([0]2, [2]4)〉 ∼= Z2 × Z2(3) (Z2 × Z4)/〈([1]2, [2]4)〉 ∼= Z4(4) (Z× Z× Z8)/〈(0, 4, [0]8)〉 ∼= Z× Z4 × Z8(5) (Z× Z)/〈(2, 2)〉 ∼= Z× Z2

΄Ασκηση 94. Θεωρούµε την πολλαπλασιαστική οµάδα GL2(R) των αντιστρέψιµων 2 × 2 πινάκων µεστοιχεία πραγµατικούς αριθµούς, και την υποοµάδα της

G ={(

a b0 d

)∈ M2×2(R) | ad 6= 0

}(1) Να κατασκευάσετε έναν ισοµορφισµό

G/H ∼= R∗ × R∗

όπουH =

{(1 b0 1

)∈ M2×2(R) | b ∈ R

}(2) Να κατασκευάσετε έναν ισοµορφισµό

H ∼= R

΄Ασκηση 95. Να εξετασθεί αν η οµάδα ευθύ γινόµενο G1 × G2 δύο κυκλικών οµάδων G1 και G2 είναιεπίσης κυκλική.

23

΄Ασκηση 96. (1) ∆είξτε ότι το σύνολο Aut(G) όλων των αυτοµορφισµών µιας οµάδας G είναι οµάδαµε πράξη τη σύνθεση απεικονίσεων.

(2) Να προσδιορισθεί η οµάδα αυτοµορφισµών Aut(G), όταν :(α΄) G είναι µια άπειρη κυκλική οµάδα.(ϐ΄) G είναι µια πεπερασµένη κυκλική οµάδα.

΄Ασκηση 97. Να ϐρεθεί η αριστερή κανονική αναπαράσταση της οµάδας του Klein.

΄Ασκηση 98. ΄Εστω GLn(R) η οµάδα των αντιστρεψίµων n × n πινάκων πραγµατικών αριθµών. ΑνSLn(R) =

{A ∈ GLn(R) | det(A) = 1

}, να δείξετε ότι το σύνολο SLn(R) είναι µια κανονική υποοµάδα της

GLn(R), και ακολούθως να περιγράψετε την οµάδα πηλίκο :

GLn(R)/SLn(R)

΄Ασκηση 99. ΄Εστω f : G −→ G′ ένας οµοµορφισµός οµάδων.(1) Αν H είναι µια κανονική υποοµάδα της G, να δείξετε ότι η f(H) είναι µια κανονική υποοµάδα της

Im(f) = f(G).(2) Αν K είναι µια κανονική υποοµάδα της G′, να δείξετε ότι η f−1(K) είναι κανονική υποοµάδα της

G.

΄Ασκηση 100. (∆ευτερο Θεωρηµα Ισοµορφισµων) ΄Εστω G µια οµάδα, H ≤ G µια υποοµάδα της G, καιN E G µια κανονική υποοµάδα της G. Να δείξετε ότι :

(1) Το υποσύνολο HN = {hn ∈ G | h ∈ H & n ∈ N} είναι µια υποοµάδα της G και N E HN .(2) H ∩N E H.(3) Υπάρχει ένας ισοµορφισµός οµάδων:

HN/N ∼= H

/(H ∩N)

Αν η οµάδα G είναι προσθετική, τότε ο παραπάνω ισοµορφισµός έχει την ακόλουθη µορφή:

H +N/N ∼= H

/(H ∩N)

Ως εφαρµογή να δείξετε ότι, αν G = Z, H = 3Z, N = 4Z, τότε υπάρχει ισοµορφσιµός :

3Z/

12Z ∼= Z4

΄Ασκηση 101. (1) ΄Εστω G µια οµάδα και g ∈ G. Να δείξετε ότι η απεικόνιση

ig : G −→ G, x 7−→ ig(x) = gxg−1

είναι αυτοµορφισµός, ο οποίος καλείται ο εσωτερικός αυτοµορφισµός της G µέσω του g.(2) Υπολογίστε τις υποοµάδες i(123)(H) και i(23)(K) για τις υποοµάδες H = 〈(12)〉 και K = 〈(132)〉

της οµάδας S3.

΄Ασκηση 102. ΄Εστω G µια πολλαπλασιαστική οµάδα και ∅ 6= S ⊆ G ένα µη-κενό υποσύνολο της G.

24

(1) Το υποσύνολο〈S〉 =

⋂{H ≤ G | S ⊆ H

}είναι η µικρότερη υποοµάδα της G η οποία περιέχει το S.

Η υποοµάδα 〈S〉 καλείται η υποοµάδα της G η οποία παράγεται από το S.(2) Να δείξετε ότι :

〈S〉 ={sa11 s

a22 · · · s

ann ∈ G | n ≥ 0, ai ∈ Z, si ∈ S

}Αν η οµάδα G είναι προσθετική, τότε η παραπάνω ισότητα έχει την ακόλουθη µορφή:

〈S〉 ={a1s1 + a2s2 + · · ·+ ansn ∈ G | n ≥ 0, ai ∈ Z, si ∈ S

}΄Ασκηση 103. (1) ΄Εστω S ένα πεπερασµένο σύνολο στοιχείων της προσθετικής αβελιανής οµάδας

Q. Να δείξετε ότι η υποοµάδα 〈S〉 η οποία παράγεται από το S είναι άπειρη κυκλική.(2) ΄Εστω S ένα πεπερασµένο σύνολο στοιχείων της προσθετικής αβελιανής οµάδας Q/Z. Να δείξετε

ότι η υποοµάδα 〈S〉 η οποία παράγεται από το S είναι πεπερασµένη κυκλική.

΄Ασκηση 104. Να δοθούν παραδείγµατα :

(1) ΄Απειρης οµάδας G, όλα τα στοιχεία της οποίας έχουν πεπερασµένη τάξη.(2) Οµάδας G η οποία να µην έχει στοιχεία πεπερασµένης τάξης > 1 αλλά να έχει µια οµάδα-πηλίκο

G/H , της οποίας όλα τα στοιχεία να έχουν πεπερασµένη τάξη.(3) ΄Απειρης οµάδας G η οποία να έχει µια κανονική υποοµάδα H όλα τα στοιχεία της οποίας έχουν

πεπερασµένη τάξη, και η οµάδα πηλίκο G/H να µην έχει στοιχεία πεπερασµένης τάξης.

25




Παρασκευή 21 ∆εκεµβρίου 2012

΄Ασκηση 105. ΄Εστω (R,+, ·) µια τριάδα η οποία ικανοποιεί όλα τα αξιώµατα του ορισµού δακτυλίουµε µονάδα, εκτός από την µεταθετικότητα της πρόσθεσης. Να δείξετε οτι ισχύει η µεταθετικότητα τηςπρόσθεσης και η τριάδα (R,+, ·) είναι ένας δακτύλιος.

΄Ασκηση 106. Ποια από τα επόµενα σύνολα µαζί µε τις αναφερόµενες πράξεις αποτελούν δακτύλιους;

(1) R = {a+ b√

3 | a, b ∈ Z} µαζί µε τις συνήθεις πράξεις πρόσθεσης και πολλαπλασιασµού πραγµα-τικών αριθµών

(2) R = {a+ bi | a, b ∈ Q}, όπου i2 = −1, µαζί µε τις συνήθεις πράξεις πρόσθεσης και πολλαπλασια-σµού µιγαδικών αριθµών

(3) R ={(

a b0 a

)| a, b ∈ R

}µαζί µε τις συνήθεις πράξεις πρόσθεσης και πολλαπλασιασµού πινάκων

(4) R ={(

a b−b a

)| a, b ∈ R

}µαζί µε τις συνήθεις πράξεις πρόσθεσης και πολλαπλασιασµού πι-

νάκων(5) R = {A ∈ M2×2(R) | detA = 0} µαζί µε τις συνήθεις πράξεις πρόσθεσης και πολλαπλασιασµού

πινάκων(6) R = {m/n ∈ Q | n περιττός } µαζί µε τις συνήθεις πράξεις πρόσθεσης και πολλαπλασιασµού

ϱητών αριθµών(7) R = {ri | r ∈ R}, όπου i2 = −1, µαζί µε τις συνήθεις πράξεις πρόσθεσης και πολλαπλασιασµού

µιγαδικών αριθµών

΄Ασκηση 107. Να δειχθεί ότι το σύνολο H ={(

u v−v u

)| u, v ∈ C

}⊂ M2×2(C) µαζί µε τις συνήθεις

πράξεις πρόσθεσης και πολλαπλασιασµού πινάκων αποτελεί έναν δακτύλιο διαίρεσης.Ο δακτύλιος H καλείται δακτύλιος διαίρεσης των τετρανίων του Hamilton.

΄Ασκηση 108. ΄Εστω ότι (R,+, ·) είναι ένας δακτύλιος και ότι Z(R) είναι το υποσύνολο {r ∈ R | r · x =x · r, ∀x ∈ R}. Να δειχθεί ότι το Z(R) αποτελεί έναν υποδακτύλιο του R.

Ο υποδακτύλιος Z(R) καλείται κέντρο του δακτυλίου R.

΄Ασκηση 109. Να υπολογιστεί το κέντρο Z(H) του δακτυλίου των τετρανίων του Hamilton.

΄Ασκηση 110. Να προσδιοριστούν όλοι οι διαιρέτες του µηδενός των επόµενων δακτυλίων :(1). Z4, (2). Z8, (3). Z11, (4). Z2 × Z2.

26

΄Ασκηση 111. (1) Αν R είναι ένας δακτύλιος µε µονάδα και για κάθε r ∈ R ισχύει r2 = r, να δείξετεότι ο R είναι µεταθετικός. (΄Ενας δακτύλιος για τον οποίο ισχύει r2 = r για κάθε r ∈ R, καλείταιδακτύλιος του Boole)

(2) Αν R είναι ένας δακτύλιος µε µονάδα και για κάθε r ∈ R ισχύει r3 = r, να δείξετε ότι ο R είναιµεταθετικός.

΄Ασκηση 112. ΄Εστω (R,+, ·) ένας δακτύλιος µε τουλάχιστον δύο στοιχεία και ο οποίος ικανοποιεί τηνεπιπλέον ιδιότητα ότι για κάθε a ∈ R, a 6= 0, υπάρχει ένα µοναδικό στοιχείο b ∈ R έτσι ώστε aba = a. Ναδειχθεί ότι :

(1) ο R δεν διαθέτει διαιρέτες του µηδενός.(2) bab = b.(3) ο R διαθέτει µοναδιαίο στοιχείο.(4) ο R είναι δακτύλιος διαίρεσης.

΄Ασκηση 113. Να προσδιοριστούν τα αντιστρέψιµα στοιχεία των επόµενων δακτυλίων:(1). Z10, (2). Z2 × Z4, (3). Z[i], όπου i2 = −1, (4). Z× Z, (5). H.

΄Ασκηση 114. Ποιοι από τους επόµενους δακτύλιους είναι σώµατα;(1). Z[i], (2). Q×Q, (3.) Z13.

΄Ασκηση 115. Ποια είναι η χαρακτηριστική των επόµενων δακτυλίων;(1). Z10 × Z8, (2). C, (3.) Z× Z, (4). H, (5). Z2 × Z× Z3.

΄Ασκηση 116. Να προσδιοριστούν όλοι οι οµοµορφισµοί δακτυλίων φ : R1 −→ R2, όπου:(1). R1 = Z, R2 = Z3, (2). R1 = 3Z, R2 = Z, (3). R1 = Z4, R2 = Z6, (4.) R1 = Z6, R2 = Z10,(5.) R1 = Z12, R2 = Z6, (6.) R1 = Q, R2 = Q.

΄Ασκηση 117. ΄Εστω R ένας δακτύλιος, όχι απαραίτητα µε µονάδα. Να δείξετε ότι το σύνολο

Z×R ={

(n, r) | n ∈ Z & r ∈ R}

εφοδιασµένο µε τις πράξεις :

(n, r) + (m, s) = (n+m, r + s) και (n, r) · (m, s) = (nm, ns+ rm+ rs)είναι ένας δακτύλιος µε µονάδα και η απεικόνιση

f : R −→ Z×R, f(r) = (0, r)είναι ένας µονοµορφισµός δακτυλίων.

΄Ασκηση 118. Θεωρούµε τον δακτύλιο πινάκων M2(Z2).(1) Βρείτε το πλήθος των στοιχείων του δακτυλίου M2(Z2).(2) Βρείτε όλα τα αντιστρέψιµα στοιχεία του δακτυλίου M2(Z2).(3) Να ϐρεθεί η χαρακτηριστική του δακτυλίου M2(Z2).

27

΄Ασκηση 119. ΄Εστω R ένας πεπερασµένος δακτύλιος µε µονάδα. Να δείξετε ότι ο R είναι δακτύλιοςδιαίρεσης αν και µόνον ο R δεν έχει διαιρέτες του µηδενός.

΄Ασκηση 120. ΄ΕστωR ένας δακτύλιος µε µονάδα. Αν ένα στοιχείο a ∈ R έχει περισσότερα από ένα δεξιάαντίστροφα στοιχεία (δηλαδή στοιχεία a′ ∈ R έτσι ώστε aa′ = 1R) τότε να δείξετε ότι το a έχει άπειρα δεξιάαντίστροφα στοιχεία.

΄Ασκηση 121. ΄Εστω R µια ακέραια περιοχή και υποθέτουµε ότι : nr = 0, για κάποιο r ∈ R, r 6= 0 καικάποιο n ∈ Z+, n 6= 0. Να δείξετε ότι : char(R) = p για κάποιον πρώτο διαιρέτη p του n.

΄Ασκηση 122. ΄Εστω R ένας δακτύλιος µε περισσότερα από ένα στοιχεία. Υποθέτουµε ότι η εξίσωσηax = b έχει λύση για κάθε 0 6= a ∈ R και για κάθε b ∈ R. Να δείξετε ότι ο δακτύλιος R είναι δακτύλιοςδιαίρεσης.

28




Παρασκευή 11 Ιανουαρίου 2013

΄Ασκηση 123. Να δώσετε παράδειγµα οµοµορφισµού δακτυλίων f : R−→S, όπουR και S είναι δακτύλιοιµε µονάδα, έτσι ώστε :

(1) f(1R) 6= 1S .(2) ο δακτύλιος R να περιέχει αντιστρέψιµο στοιχείο x και το στοιχείο f(x) ∈ S να µην είναι αντι-

στρέψιµο.

΄Ασκηση 124. ΄ΕστωR και S δακτύλιοι µε µονάδα και έστω f : R−→S ένας µη-µηδενικός οµοµορφισµόςδακτυλίων. Να δείξετε ότι f(1R) = 1S , σε κάθε µια από τις ακόλουθες περιπτώσεις :

(1) Ο οµοµορφισµός f είναι επιµορφισµός.(2) Ο δακτύλιος S είναι δακτύλιος διαίρεσης.(3) Ο δακτύλιος S δεν έχει διαιρέτες του µηδενός.

Αν ισχύει f(1R) = 1S , τότε να δείξετε ότι : (α) για κάθε αντιστρέψιµο στοιχείο x ∈ R, το στοιχείο f(x) ∈ Sείναι αντιστρέψιµο και f(x)−1 = f(x−1), και (β) ο οµοµορφισµός δακτυλίων f : R−→S επάγει ένανοµοµορφισµό οµάδων f : U(R)−→U(S) µεταξύ των (πολλαπλασιαστικών) οµάδων των δακτυλίων R καιS αντίστοιχα.

΄Ασκηση 125. (1) Να δοθεί παράδειγµα µη-µεταθετικού δακτυλίου R, ο οποίος περιέχει ένα ιδεώδεςI έτσι ώστε ο δακτύλιος πηλίκο R/I να είναι µεταθετικός.

(2) Να δοθεί παράδειγµα δακτυλίου R χωρίς µονάδα, ο οποίος περιέχει ένα ιδεώδες I έτσι ώστε οδακτύλιος πηλίκο R/I να έχει µονάδα.

(3) Να δοθεί παράδειγµα δακτυλίου R µε διαιρέτες του µηδενός, ο οποίος περιέχει ένα ιδεώδες I έτσιώστε ο δακτύλιος πηλίκο R/I να µη έχει διαιρέτες του µηδενός.

(4) Να δοθεί παράδειγµα δακτυλίου R χωρίς διαιρέτες του µηδενός, ο οποίος περιέχει ένα ιδεώδες Iέτσι ώστε ο δακτύλιος πηλίκο R/I να έχει διαιρέτες του µηδενός.

(5) Βρείτε έναν υποδακτύλιο του του δακτυλίου Z× Z, ο οποίος να µην είναι ιδεώδες του Z× Z.

΄Ασκηση 126. ΄Εστω ο δακτύλιος πολυωνύµων R[t] υπεράνω του R. ΄Εστω τα κύρια ιδεώδη του R[t]

I = (t2 + 1) και J = (t2 − 4)

τα οποία παράγονται από τα πολυώνυµα t2 + 1 και t2 − 4. Να περιγραφούν οι δακτύλιοι πηλίκα R[t]/Iκαι R[t]/J . Τι παρατηρείτε ;

29

΄Ασκηση 127. (1) ∆είξτε ότι η απεικόνιση

f : C −→ M2(R), f(a+ bi) =(a b−b a

)είναι µονοµορφισµός δακτυλίων.

(2) Θεωρούµε τον υποδακτύλιο

Q[√

5] ={a+ b

√5 ∈ R | a, b ∈ Q

}του σώµατος R. Να δείξετε ότι το υποσύνολο Q[

√5] είναι σώµα και η απεικόνιση

f : Q[√

5] −→ Q[√

5], f(a+ b√

5) = a− b√

5

είναι ισοµορφισµός δακτυλίων.

΄Ασκηση 128. Να ϐρεθούν όλα τα ιδεώδη του υποδακτυλίου

R ={(

a b0 c

)∈M2(R) | a, b, c ∈ R

}⊆ M2(R)

΄Ασκηση 129. ΄Εστω K ένα σώµα. Να δείξετε ότι τα µόνα ιδεώδη του δακτυλίου πινάκων M2(K) είναι τοµηδενικό ιδεώδες και ο ίδιος ο δακτύλιος. Εξετάστε αν αυτός ο ισχυρισµός ισχύει όταν n > 2.

΄Ασκηση 130. ΄Εστω R ένας δακτύλιος µε µονάδα. Να δείξετε ότι ένα υποσύνολο A του δακτυλίουπινάκων Mn(R) είναι ιδεώδες του Mn(R) αν και µόνον αν υπάρχει ιδεώδες I του R έτσι ώστε :

A = In :={A = (aij) ∈ Mn(R) | aij ∈ I, 1 ≤ i, j ≤ n

}και η απεικόνιση

Φ :{ιδεώδη I του R

}−→

{ιδεώδη A του Mn(R)

}, Φ(I) = In

είναι 1-1 και επί.

΄Ασκηση 131. ΄Εστω f : R−→S ένας επιµορφισµός δακτυλίων και έστω N = Ker(f). Να δειχθεί ότι ηαπεικόνιση

Φ :{ιδεώδη I του R έτσι ώστε : N ⊆ I

}−→

{ιδεώδη K του S

}, Φ(I) = f(I)

είναι 1-1 και επί, και επιπλέον : I1 ⊆ I2 αν και µόνον αν Φ(I1) ⊆ Φ(I2).

΄Ασκηση 132. ΄Εστω N ένα ιδεώδες του δακτυλίου R. Τότε τα ιδεώδη του δακτυλίου πηλίκο R/N είναιτης µορφής :

I/N ={x+N ∈ R/N | x ∈ I

}όπου I είναι ένα ιδεώδες του R έτσι ώστε N ⊆ I.

΄Ασκηση 133. (1) Βρείτε όλα τα ιδεώδη N του δακτυλίου Z12. Σε κάθε περίπτωση να περιγράψετετον δακτύλιο πηλίκο Z12/N , δηλαδή ϐρείτε γνωστό δακτύλιο µε τον οποίο είναι ισόµορφος οδακτύλιος-πηλίκο Z12/N .

(2) Να δείξετε ότι το υποσύνολο 8Z είναι ιδεώδες του δακτυλίου 2Z, και να συµπληρώσετε τους πίνακεςπρόσθεσης και πολλαπλασιασµού του δακτύλιου πηλίκο 2Z/8Z. Είναι οι δακτύλιοι 2Z/8Z και Z4ισόµορφοι ;

30

΄Ασκηση 134. (∆εύτερο Θεώρηµα Ισοµορφισµών ∆ακτυλίων ) ΄Εστω I και J δύο ιδεώδη του δακτυλίου R.

(1) Να δειχθεί ότι το σύνολο I+J ={x+y ∈ R | x ∈ I & y ∈ J

}είναι ιδεώδες του R, και το υποσύλο

J είναι ένα ιδεώδες του υποδακτυλίου I + J .(2) Να δειχθεί οτι το συνολο I∩J =

{z ∈ R | z ∈ I & z ∈ J

}είναι ιδεώδες τουR και του υποδακτυλίου

I.(3) Να δειχθεί ότι οι δακτύλιοι πηλίκα (I + J)/J και I/I ∩ J είναι ισόµορφοι :

(I + J)/J ∼= I/I ∩ J

΄Ασκηση 135. ΄Εστω I1, I2, · · · , In ιδεώδη ενός δακτυλίου R, και υποθέτουµε ότι :Ii + Ij = R, 1 ≤ i 6= j ≤ n

Να δείξετε ότι υπάρχει ένας ισοµορφισµός δακτυλίων

R/ n⋂k=1

Ik∼=−→ R/I1 ×R/I2 × · · · ×R/In

΄Ασκηση 136. (Κινέζικο Θεώρηµα Υπολοίπων για ∆ακτυλίους) ΄Εστω R ένας δακτύλιος µε µονάδα καιI1, I2, · · · , In ιδεώδη του R, έτσι ώστε :

Ii + Ij = R, 1 ≤ i 6= j ≤ nΝα δείξετε ότι αν x1, x2, · · · , xn ∈ R, τότε υπάρχει ένα στοιχείο x ∈ R έτσι ώστε :

x− xk ∈ Ik, 1 ≤ k ≤ nΝα συνάγετε το Κινέζικο Θεώρηµα Υπολοίπων της Θεωρίας Αριθµών: ΄Εστω m1,m2, · · · ,mn ϑετικοίακέραιοι έτσι ώστε (mi,mj) = 1, 1 ≤ i 6= j ≤ n. ΄Εστω a1, a2, · · · , an τυχόντες ακέραιοι. Τότε τοσύστηµα ισοτιµιών

x ≡ ai mod(mi) 1 ≤ i ≤ nέχει λύση, και δύο τυχούσες λύσεις του συστήµατος είναι ισότιµες modulo m1m2 · · ·mn.

΄Ασκηση 137. ΄Εστω n = pa11 pa22 · · · p

akk η πρωτογενής ανάλυση του ϕυσικού αριθµού n ≥ 1 σε γινόµενο

δυνάµεων διακεκριµµένων πρώτων αριθµών p1, p2, · · · , pk.Να δείξετε ότι υπάρχει ένας ισοµορφισµός δακτυλίων

Zn∼=−→ Zpa11 × Zpa22 × · · · × Zpakk

31




Τετάρτη 16 Ιανουαρίου 2013

΄Ασκηση 138. (1) Βρείτε όλα τα πρώτα ιδεώδη και όλα τα µέγιστα ιδεώδη του δακτυλίου Z12.(2) Βρείτε όλα τα πρώτα ιδεώδη και όλα τα µέγιστα ιδεώδη του δακτυλίου Z2 × Z2.(3) Βρείτε ένα µέγιστο ιδεώδες του δακτυλίου Z× Z.(4) Βρείτε ένα πρώτο ιδεώδες του δακτυλίου Z× Z το οποίο να µην είναι µέγιστο.(5) Βρείτε ένα πρώτο ιδεώδες του δακτυλίου Z[t] το οποίο να µην είναι µέγιστο.(6) Βρείτε ένα µη τετριµµένο γνήσιο ιδεώδες του δακτυλίου Z× Z το οποίο να µην είναι πρώτο.

΄Ασκηση 139. Να ϐρεθούν όλα τα πρώτα (µέγιστα) ιδεώδη του δακτυλίου Zn.

΄Ασκηση 140. Να δείξετε ότι κάθε ακέραια περιοχή µε πεπερασµένο πλήθος (κύριων) ιδεωδών είναι σώµα.

΄Ασκηση 141. ΄Εστω R ένας µεταθετικός δακτύλιος µε µονάδα. ∆είξτε ότι κάθε πρώτο ιδεώδες του R είναιµέγιστο ιδεώδες, αν ισχύει µια από τις ακόλουθες συνθήκες :

(1) Ο δακτύλιος R έχει πεπερασµένο πλήθος στοιχείων.(2) Ο δακτύλιος R έχει πεπερασµένο πλήθος ιδεωδών.

΄Ασκηση 142. ∆είξτε ότι το N είναι µέγιστο ιδεώδες ενός δακτυλίου R αν και µόνο αν ο R/N είναι απλόςδακτύλιος, δηλαδή δεν έχει γνήσια µη τετριµµένα ιδεώδη.

΄Ασκηση 143. ΄Εστω R ένας µεταθετικός δακτύλιος µε µονάδα, και υποθέτουµε ότι κάθε ιδεώδες του Rείναι πρώτο ιδέωδες. Να δείξετε ότι ο R είναι σώµα.

΄Ασκηση 144. Να ϐρεθούν όλα τα πρώτα και όλα τα µέγιστα ιδεώδη του δακτυλίου

R ={(

a b0 c

)∈ M2(R) | a, b, c ∈ R

}

΄Ασκηση 145. ΄Εστω R ένας δακτύλιος του Boole, και έστω P ένα γνήσιο ιδεώδες του R. Αποδείξτε ότι ταακόλουθα είναι ισοδύναµα:

(1) Το ιδεώδες P είναι πρώτο.(2) ∀x, y ∈ R: είτε x ∈ P ή y ∈ P ή x+ y ∈ P .(3) Το ιδεώδες P είναι µέγιστο.

32

(4) Ο δακτύλιος πηλίκο R/P είναι ισόµορφος µε το σώµα Z2.

΄Ασκηση 146. ΄Εστω R ένας µεταθετικός δακτύλιος µε µονάδα, και P ένα πρώτο ιδεώδες του R. Υπο-ϑέτουµε ότι το P δεν περιέχει διαιρέτες του µηδενός. Να δείξετε οτι ο δακτύλιος R είναι ακέραια περιοχή.

΄Ασκηση 147. ΄Εστω f : R−→S ένας οµοµορφισµός µεταξύ µεταθετικών δακτυλίων µε µονάδα.(1) Να δείξετε ότι για κάθε πρώτο ιδεώδες J του S, το ιδεώδες f−1(J) είναι ένα πρώτο ιδεώδες του R.(2) Να δείξετε ότι αν η f είναι επιµορφισµός, τότε για κάθε µέγιστο ιδεώδες J του S, το ιδεώδες f−1(J)

είναι ένα µέγιστο ιδεώδες του R.(3) Να δείξετε µε ένα παράδειγµα ότι αν η f δεν είναι επιµορφισµός, τότε ο ισχυρισµός στο (2) δεν είναι

αληθής.

΄Ασκηση 148. ΄Εστω R ένας µεταθετικός δακτύλιος µε µονάδα. Υποθέτουµε ότι :

∀x ∈ R, ∃ n ≥ 2 : xn = xΝα δείξετε ότι κάθε πρώτο ιδεώδες του R είναι µέγιστο.

΄Ασκηση 149. ΄Εστω R µια ακέραια περιοχή, και υποθέτουµε ότι κάθε ιδεώδες του R είναι κύριο. Ναδείξετε οτι κάθε µη-µηδενικό πρώτο ιδεώδες του R είναι µέγιστο.

΄Ασκηση 150. (1) Να δείξετε ότι το κύριο ιδεώδες (t) το οποίο παράγεται από το πολυώνυµο t τουδακτυλίου πολυωνύµων F[t], F είναι σώµα, είναι µέγιστο.

(2) Να δείξετε ότι το κύριο ιδεώδες (t) το οποίο παράγεται από το πολυώνυµο t του δακτυλίου πολυω-νύµων Z[t], είναι πρώτο αλλά όχι µέγιστο.

(3) Να δείξετε ότι το ιδεώδες

(2, t) :={

2P (t) + tQ(t) ∈ Z[t] | P (t), Q(t) ∈ Z[t]}

του δακτυλίου Z[t] είναι µέγιστο.

΄Ασκηση 151. 4 ΄Εστω C([0, 1]) ο δακτύλιος των συνεχών συναρτήσεων f : [0, 1]−→R. Για ένα υποσύνο-λο M ⊆ C([0, 1]), να δείξετε ότι τα ακόλουθα είναι ισοδύναµα:

(1) Το M είναι µέγιστο ιδεώδες του δακτυλίου C([0, 1]).(2) Υπάρχει r ∈ [0, 1]: M = Mr :=

{f ∈ C([0, 1]) | f(r) = 0

}.

Επιπλέον να δείξετε ότι η απεικόνιση

[0, 1] −→{µέγιστα ιδεώδη του C([0, 1])

}, r 7−→ Mr


4΄Ασκηση αυξηµένης δυσκολίας

33

Μέρος 2. Προτεινόµενες Ασκήσεις Προς Λύση

Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 1∆ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης




΄Ασκηση 152. Να εξεταστεί ποια από τα επόµενα σύνολα ορίζουν σχέση ισοδυναµίας και στην περίπτωσηπου η απάντηση είναι καταφατική να προσδιοριστούν οι κλάσεις ισοδυναµίας :

(1) f1 = {(n,m) ∈ Z× Z | nm > 0} ⊆ Z× Z,(2) f2 = {(x, y) ∈ R× R‖ x ≥ y} ⊆ R× R,(3) f3 = {(x, y) ∈ R× R | x = y} ⊆ R× R,(4) f4 = {(n,m) ∈ N× N | 2/n−m} ⊆ N× N.

΄Ασκηση 153. Στο σύνολο των µιγαδικών αριθµών C ορίζουµε δύο σχέσεις R και S ως εξής :

z ∼R w ⇐⇒ z − w ∈ R

z ∼S w ⇐⇒ z − w ∈ C \ RΝα εξετάσετε αν οι σχέσεις R και S είναι σχέσεις ισοδυναµίας στο C, και, στην περίπτωση κατά την οποίαείναι σχέσεις ισοδυναµίας, να περιγράψετε τα σύνολα πηλίκα C/R και C/S.

΄Ασκηση 154. ΄Εστω X ={

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} και έστω η σχέση

R ={

(1, 1), (1, 2), (5, 8), (7, 4),}⊆ X ×X

Να ϐρεθεί η µικρότερη σχέση ισοδυναµίας R επί του X η οποία περιέχει τη σχέση R.

΄Ασκηση 155. ΄Εστω ότι K συµβολίζει ένα από τα ακόλυθα σώµατα Q, R, C, και έστω Mn(K) το σύνολοτων n×n πινάκων µε στοιχεία από τοK. Υπενθυµίζουµε ότι δύο πίνακες A,B ∈ Mn(K) καλούνται όµοιοιαν υπάρχει αντιστρέψιµος πίνακας P έτσι ώστε :

P−1 ·A · P = B

∆είξτε ότι ορίζοντας :A ∼ B ⇐⇒ ο πίνακας A είναι όµοιος µε τον B

αποκτούµε µια σχέση ισοδυναµίας στο σύνολο Mn(K). Είναι η πρόσθεση και ο πολλαπλασιασµός πινάκωνσυµβατή πράξη µε την σχέση οµοιότητας ;

34

΄Ασκηση 156. ΄Εστω X ένα µη-κενό σύνολο και R µια σχέση επί του X, δηλαδή ένα υποσύνολο τουX ×X. Να δείξετε ότι η σχέση

R =⋂{

S ⊆ X ×X∣∣ S είναι σχέση ισοδυναµίας επί του X και R ⊆ S}

είναι η µικρότερη σχέση ισοδυναµίας επί του X η οποία περιέχει τη σχέση R. Επιπλέον να δείξετεότι :

∀a, b ∈ X : a ∼R b ⇐⇒ ∃n ≥ 0 και x1, x2, · · · , xn+1 ∈ X : a = x1 & b = xn+1, και : (xi, xi+1) ∈ R, 1 ≤ i ≤ nή(xi+1, xi) ∈ R, 1 ≤ i ≤ n

΄Ασκηση 157. Πόσες σχέσεις ισοδυναµίας ορίζονται επί ενός συνόλου X µε 5 στοιχεία ;

΄Ασκηση 158. ΄Εστω το σύνολο A = {0, 1} ⊆ Z. Να εξεταστεί, αν η αντιστοιχία+ : A×A −→ A, (a, b) 7−→ a+ b (η πρόσθεση των ακεραίων)

ορίζει πράξη επί του A.

΄Ασκηση 159. ΄Εστω το σύνολο Q∗ = Q \ {0}. Να εξεταστεί, αν η αντιστοιχία

? : Q∗ ×Q∗ −→ Q∗, (a, b) 7−→ a ? b = ab

ορίζει πράξη επί του Q∗, και να εξεταστεί, αν πρόκειται για προσεταιριστική ή µεταθετική πράξη.

΄Ασκηση 160. ΄Εστω X ένα συνόλο και P(X) το σύνολο όλων των υποσυνόλων του. Υπενθυµίζουµε ότι,αν A,B είναι δύο υποσύνολα του X, δηλαδή A,B ∈ P(X), τότε η συµµετρική διαφορά τους A∆Bορίζεται να είναι το ακόλουθο υποσύνολο

A∆B := (A \B)⋃

(B \A)

του X. Να εξετάσετε αν το σύνολο P(X) εφοδιασµένο µε την πράξη της συµµετρικής διαφοράς

∆ : P(X)× P(X) −→ P(X), (A,B) 7−→ A∆Bικανοποιέι τις παρακάτω ιδιότητες :

(1) Προσεταιριστικότητα.(2) Μεταθετικότητα.(3) Υπάρχει στοιχείο E ∈ P(X) έτσι ώστε : E∆A = A = A∆E; Αν υπάρχει τέτοιο στοιχείο E είναι

µοναδικό ;(4) Υπάρχει, για κάθε στοιχείο A ∈ P(X), ένα στοιχείο A′ ∈ P(X) έτσι ώστε : A∆A′ = E = A′∆A;

Αν υπάρχει τέτοιο στοιχείο A′, είναι µοναδικό ;(5) Ορίζουµε στο P(X) µια σχέση ισοδυναµίας R ως εξής :

∀A,B ∈ (X) : A ∼R B ⇐⇒ |A| = |B|δηλαδή τα υποσύνολα A,B έχουν το ίδιο πλήθος στοιχείων. Είναι η πράξη ∆ συµβιβαστή µε τηνσχέση ισοδυναµίας R;

(6) Να εξετασθεί αν η εξίσωσηA∆X = B

έχει µοναδική λύση στο P(X).

35

΄Ασκηση 161. ΄Εστω A ={f : N −→ C | f τυχούσα απεικόνιση

}. Να δείξετε ότι ορίζοντας

∀f, g ∈ A : (f ? g)(n) =∑ab=n

f(a)g(b)

(δηλαδή αθροίζουµε όλα τα δυνατά γινόµενα f(a)g(b), όπου οι ϕυσικοί αριθµοί a, b ικανοποιούν τη σχέση :ab = n), αποκτούµε µια διµελή πράξη ? : A×A −→ A.

(1) Να δείξετε ότι η πράξη ? είναι προσεταιριστική.(2) Να δείξετε ότι η πράξη ? είναι µεταθετική.(3) Να δείξετε ότι υπάρχει µοναδική απεικόνιση ε ∈ A έτσι ώστε :

ε ? f = f = f ? ε

36

Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 2∆ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης



΄Ασκηση 162. Να εξετάσετε αν το σύνολο

G ={ab∈ Q | το b είναι περιττός

}εφοδιασµένο µε την συνήθη πρόσθεση ϱητών αριθµών αποτελεί οµάδα.

΄Ασκηση 163. Να δείξετε ότι αν σε µια οµάδα (G, ?) ισχύει x = x′, ∀x ∈ G, τότε η G είναι αβελιανή.

΄Ασκηση 164. ΄Εστω (G, ?) µια οµάδα και έστω a ∈ G. Να δείξετε ότι οι απεικονίσειςfa : G −→ G, fa(x) = a ? xga : G −→ G, ga(x) = x ? a


΄Ασκηση 165. Να ϐρεθεί µια διµελής πράξη ? στο ανοιχτο διάστηµα (0, 1) ={x ∈ R | 0 < x < 1

}µε την

οποία το σύνολο (0, 1) να αποτελεί οµάδα έτσι ώστε το αντίστροφο του x να είναι το 1− x.

΄Ασκηση 166. ΄ΕστωX ένα µη-κενό σύνολο και έστωP(X) το σύνολο όλων των υποσυνόλων τουX (δυνα-µοσύνολο του X ). Να δείξετε ότι το P(X) αποτελεί οµάδα µε πράξη την συµµετρική διαφορά υποσυνόλωντου X:

A∆B := (A−B) ∪ (B −A), ∀A,B ∈ P(X)όπου A−B := {x ∈ A |x /∈ B}. Πότε η οµάδα (P(X),∆) είναι πεπερασµένη ; Πόσα στοιχεία έχει ; Είναιη οµάδα (P(X),∆) αβελιανή ;

Σχηµατίστε τον πίνακα της οµάδας (P(X),∆) όταν το σύνολο X έχει τρία στοιχεία.

΄Ασκηση 167. ΄Εστω S το σύνολο των σηµείων στο µιγαδικό επίπεδο τα οποία απέχουν απόσταση ίση µε 1από την αρχή των αξόνων. Με άλλα λόγια :

S ={z ∈ C | |z| = 1

}Να δείξετε ότι το S αποτελεί αβελιανή οµάδα µε πράξη τον πολλαπλασιασµό µιγαδικών αριθµών.

΄Ασκηση 168. ΄Εστω S ένα σύνολο και

◦ : S × S −→ S, (a, b) 7−→ a ◦ bµια διµελής πράξη επί του S. Υποθέτουµε ότι :

37

(1) Υπάρχει ένα στοιχείο ε ∈ S τέτοι�

Documents

Αλγεβρικες ∆οµες Ι Εκπαιδευτικο Υλικο Μαθηµατοςusers.uoi.gr/abeligia/AlgebraicStructuresI/ASI2012/ASI... · 2013-09-26 · ΄Ασκηση