ТЕХНИЧЕСКИ УНИВЕРСИТЕТ – СОФИЯ Факултет за германско инженерно обучение и

промишлен мениджмънт

Докторантско училище

Магдалина Василева Узунова

СРАВНИТЕЛЕН АНАЛИЗ НА ПЕРИОДИЧНИТЕ РЕШЕНИЯ НА

ЕВОЛЮЦИОННИ ИНТЕГРИРУЕМИ, ПОЛУИНТЕГРИРУЕМИ И

НЕИНТЕГРИРУЕМИ ЧАСТНИ НЕЛИНЕЙНИ ДИФЕРЕНЦИАЛНИ

УРАВНЕНИЯ

А В Т О Р Е Ф Е Р А Т на дисертация за придобиване на образователна и научна степен

"ДОКТОР"

Област: 4. Природни науки, математика и информатика

Професионално направление: 4.5 Математика

Научна специалност: Математическо моделиране и приложение

на математиката

Научен ръководител: доц. дмн Огнян Каменов

СОФИЯ, 2018 г.

2

Дисертационният труд е обсъден и насочен за защита от съвета на Докто-

рантското училище към Факултета за германско инженерно обучение и про-

мишлен мениджмънт на ТУ-София на редовно заседание, проведено на

04.10.2018 г.

Публичната защита на дисертационния труд ще се състои на 20.11.2018 г.

oт 13:00 часа в Конферентната зала на БИЦ на Технически университет –

София на открито заседание на научното жури, определено със заповед

ОЖ-4.5-06 / 18.10.2018 г. на Ректора на ТУ-София в състав:

1. Доц. д-р Анна Розева – председател

2. Доц. дмн Огнян Каменов – научен секретар

3. Проф. дн Даниел Данчев

4. Проф. д-р Цанко Дончев

5. Доц. д-р Петър Господинов

Рецензенти:

1. Проф. д-р Цанко Дончев

2. Доц. д-р Петър Господинов

Материалите по защитата са на разположение на интересуващите се в

канцеларията на Факултета за германско инженерно обучение и промишлен

мениджмънт на ТУ - София, блок 10, кабинет 10213.

Дисертантката е докторантка на самостоятелна подготовка на Докторант-

ското училище към Факултета за германско инженерно обучение и промиш-

лен мениджмънт на ТУ - София. Изследванията по дисертационната разра-

ботка са направени от автора.

Автор: Магдалина Василева Узунова Заглавие: Сравнителен анализ на периодичните решения на еволюционни

интегрируеми, полуинтегрируеми и неинтегрируеми частни нелинейни ди-

ференциални уравнения

Тираж: 30 броя

Отпечатано в ИПК на Технически университет – София

3

I. ОБЩА ХАРАКТЕРИСТИКА НА ДИСЕРТАЦИОННИЯ ТРУД

Актуалност на проблема

Намирането на точни решения на уравненията на математическата физика,

които моделират реални системи, е от първостепенно значение. То помага за

по-доброто разбиране на процесите в моделираните системи, за усъвършенс-

тването, както на самите модели, така и на използваните математически ме-

тоди. В научната литература отсъстват сравнителни анализи на периодичните

решения на нелинейни еволюционни и нееволюционни уравнения по отно-

шение на статуса им на интегрируемост, а също така и по отношение на

свойството на Пенлеве. Това предизвика извършването на настоящото изс-

ледване.

Цел на дисертационния труд, основни задачи и методи за изследване

Целта на дисертационния труд е определяне на общите характеристики и на

различията в точните периодични решения на еднопосочното моделно урав-

нение на конвективния флуид в неговата интегрируема, полуинтегрируема и

неинтегрируема форма и определяне на общите характеристики и на разли-

чията в точните периодични решения на двупосочното моделно уравнение на

конвективния флуид като резултат от изследването на структурата на реше-

нията в зависимост от интегрируемия статус на уравнението.

Постигането на тази цел изисква решаването на следните задачи:

1. Провеждане на сравнителен анализ на получените след прилагане на раз-

лични методи решения на всички форми (интегрируема, полуинтегрируема,

неинтегрируема) на еднопосочното уравнение на конвективния флуид

2. Провеждане на сравнителен анализ на получените като резултат от прост-

ранствената вариация на билинейно трансформационния метод и като резул-

тат от метода на изображението решения на двупосочното уравнение на кон-

вективния флуид

3. Определяне на зависимостта на решенията на еднопосочното уравнение на

конвективния флуид от интегрируемия статус на уравнението

4. Изследване на Лорановите развития на решенията на еволюционни урав-

нения с различен интегрируем статус в околност на подвижна особена точка

по отношение на свойството на Пенлеве. Установяване на различията в кое-

фициентите на тези развития във връзка с техните логаритмични и алгебрич-

ни разклонения. Изследване на влиянието на тези различия върху структура-

та на решенията

5. Компютърна визуализация на периодичните решения на всички форми на

еднопосочното уравнение на конвективния флуид за подходящи стойности

на параметрите

Научна новост

Резултатите, получени от автора и неговия научен ръководител доц. д.м.н.

Огнян Каменов, са нови и представляват интерес за всички изследователи на

нелинейни частни диференциални уравнения.

4

Апробация

Основните резултати са представени на международната научна конферен-

ция „The Digital Transformation: Challenges in Technological, Scientific and

Social Development” на Факултета за германско инженерно обучение и про-

мишлен мениджмънт към ТУ-София.

Публикации

Основните постижения и резултати от дисертационния труд са публикувани

в три статии, една от които самостоятелна.

Структура и обем на дисертационния труд

Дисертационният труд е в обем от 94 страници, написан е на немски език,

съдържа увод, 4 глави за решаване на формулираните основни задачи, зак-

лючение, списък на основните приноси, списък на публикациите по дисерта-

цията и използвана литература. Цитирани са общо 54 литературни източни-

ци, като 51 са на латиница и 3 на кирилица. Работата включва общо 10 фигу-

ри. Номерата на формулите и на фигурите в автореферата съответстват на

тези в дисертационния труд.

II. СЪДЪРЖАНИЕ НА ДИСЕРТАЦИОННИЯ ТРУД

Увод

Еволюционните уравнения са частни диференциални уравнения, които описват развитие-

то на физични величини с течение на времето. Те имат приложение във физиката, химия-

та, биологията, в инженерните и социалните науки. Търсенето на решения на нелинейни

частни диференциални уравнения винаги е било истинско предизвикателство за матема-

тици и физици. Повратна точка в теорията представлява публикацията на Gardner, Green,

Kruskal и Miura 18 през 1967 г. Те представят класическото уравнение на Кортевег-де

Вриз като условие за съвместимост на две линейни диференциални уравнения, едното от

които е едномерното уравнение на Шрьодингер. Точните му решения имат непознато до

тогава свойство: възможност за еластично взаимодействие с други решения от същия вид.

Авторите наричат тези решения солитони, а самият метод е известен като спектрален ме-

тод или обратна задача на разсейването. Значителен принос към аналитичните методи за

получаване на точни N-солитонни решения на някои моделни еволюционни уравнения

има Hirota 21 с откриването на директния метод на Hirota, който е прилаган за почти

всички интегрируеми моделни еволюционни уравнения. Публикуваната през 1976 г. ста-

тия от Hirota и Satsuma 20 поставя началото на аналитичен метод, който е наречен от

авторите билинейно трансформационен метод. Той е особено полезен при търсенето на

периодични решения на интегрируеми моделни уравнения и не е приложим за неинтегри-

руеми уравнения, каквито са повечето уравнения на математическата физика. След като

Каменов публикува през 2009 г. статии 23 , 24 , 25 , 26 съществува възможността за

намиране на периодични решения на неинтегрируеми уравнения с откритата от него прос-

транствена модификация на билинейно трансформационния метод.

Kano и Nakayama 27 представят за първи път през 1981 г. решенията на семейство от

еволюционни уравнения като функции на елиптичната функция на Вайерщрас. Това дава

началото на най-универсалния метод за намиране на точни решения от солитарно-вълнов

тип-метода на изображението. През годините той многократно е подобряван и модифици-

ран.

5

Глава 1. Основи и помощни средства

В глава 1 са разгледани важни характеристики на функциите на Вайерщрас и на тита-

функциите и на елиптичните функции на Якоби. Дадени са съществени съотношения

между тези функции. Кратко са описани операторите на Хирота и свързаните с тях тъж-

дества. Посочени са общите решения на две уравнения на Рикати в зависимост от коефи-

циентите на уравненията. Описан е методът на изображението.

Глава 2. Еднопосочно еволюционно уравнение на конвективния флуид

За сравнителния анализ на периодичните и солитарните вълнови решения на интегрируе-

ми, полуинтегрируеми и неинтегрируеми еволюционни уравнения е избрано уравнението

на конвективния флуид

𝑢𝑡 + 𝛼0𝑢𝑢𝑥 + 휀𝛼1 𝑢𝑢𝑥 𝑥 + 휀𝛼2𝑢𝑥𝑥 + 𝛼3𝑢𝑥𝑥𝑥 + 휀𝛼4𝑢𝑥𝑥𝑥𝑥 = 0 2.1

Параметрите 𝛼𝑖 , 𝑖 = 0 ÷ 4 са свързани с динамичните свойства на флуида:

𝛼0 =

3 10 + 𝑃𝑟. 𝐺𝑎

2𝑃𝑟. 𝐺𝑎 , 𝛼1 =

8

𝐺𝑎

𝛼2 =𝑅𝑎. 𝑃𝑟

15 , 𝛼3 = 𝑃𝑟 𝐺𝑎

1

6+

17

21𝑃𝑟

𝛼4 =𝑃𝑟

2079 682 𝑃𝑟 2𝐺𝑎 + 717

2.2

Във формули 2.2 𝑃𝑟 е числото на Прандтл, 𝐺𝑎 е числото на Галилей, 휀 е малък параметър

0 < 휀 ≪ 1 , такъв, че числото на Релей 𝑅𝑎 надвишава критичната си стойност с 휀2𝑅𝑎.

Билинейна редукция на уравнението

Издигането на свободната повърхност 𝑢 𝑡, 𝑥 е представено с помощта на трансформа-

цията на Hirota- Satsuma 20

𝑢 𝑡, 𝑥 = 𝑎 + 2𝜇 𝑙𝑛휁 𝑥𝑥 2.4

𝑎 и 𝜇 ≠ 0 са неизвестни параметри. Функцията 휁 = 휁 𝑡, 𝑥 е неизвестна функция от

пространството 𝑊1,6 𝛺 на всички непрекъснати функции (реални и комплексни), дефи-

нирани в ивицата 𝛺 = 𝑡, 𝑥 ∈ ℝ2 , 0 < 𝑡 < ∞, −∞ < 𝑥 < ∞ , които притежават непрекъс-

нати частни производни по 𝑡 до първи ред и непрекъснати частни производни по 𝑥 до

шести ред. След заместване на 2.4 в 2.1 се получава уравнението

1

2휁2 𝐷𝑡𝐷𝑥 + 𝑎𝛼0𝐷𝑥

2 + 𝛼3𝐷𝑥4 − 8𝐵 휁. 휁 + 𝜇𝛼0 − 6𝛼3

𝐷𝑥2휁휁

2휁2

2

+

+휀𝜕

𝜕𝑥 𝛼2 + 𝑎𝛼1

𝐷𝑥2휁휁

2휁2 + 𝛼4

𝐷𝑥4휁휁

2휁2 + 𝜇𝛼1 − 6𝛼4

𝐷𝑥2휁휁

2휁2

2

− 8𝐶

𝐵 =2𝐵0 − 𝛼0𝑎

2

16𝜇, 𝐶 = −

1

8 𝐶0 +

𝛼1𝑎2

4𝜇 , 𝐶0 = 𝐾𝑜𝑛𝑠𝑡. , 𝜇 = 6

𝛼3

𝛼0

= 0

Уравнение 2.5 може да се представи като система уравнения

𝐷𝑡𝐷𝑥 + 𝑎𝛼0𝐷𝑥2 + 𝛼3𝐷𝑥

4 − 8𝐵 휁. 휁 = 0 2.7

휀𝜕

𝜕𝑥

1

2휁4 𝛼2 + 𝑎𝛼1 휁

2𝐷𝑥2휁휁 + 𝛼4휁

2𝐷𝑥4휁휁 +

3

𝛼0

𝛼1𝛼3 − 𝛼0𝛼4 𝐷𝑥2휁휁 2 − 8𝐶 = 0 2.8

6

Ако нетривиалната функция 휁 𝑡, 𝑥 ∈ 𝑊1,6 𝛺 удовлетворява двете остатъчни уравнения

2.7 и 2.8, то 2.4 определя локализирано решение на уравнение 2.1.

2.1. Интегрируема форма на уравнението

Билинейната редукция свежда едно интегрируемо частно диференциално уравнение до

едно единствено уравнение. Това уравнение е билинейно по отношение на операторите 𝐷𝑡

und 𝐷𝑥 и има вида 𝐹 𝐷𝑡 , 𝐷𝑥 휁휁 = 0, където 𝐹 𝐷𝑡 , 𝐷𝑥 = 𝑎𝑚𝑛𝑠𝑚 ,𝑛=0 𝐷𝑡

𝑚𝐷𝑥𝑛 , 𝑎𝑚𝑛 ∈ ℝ,

𝑚 ∈ ℕ0, 𝑛 ∈ ℕ0

Уравнението на конвективния флуид 2.1 изпълнява това условие за 휀 = 0. Билинейната

редукция свежда в този случай 2.1 само до уравнение 2.7. Търсят се периодичните реше-

ния на 2.7. Това уравнение определя периодичните решения на изходното уравнение 2.1

за 휀 = 0 𝑢𝑡 + 𝛼0𝑢𝑢𝑥 + 𝛼3𝑢𝑥𝑥𝑥 = 0 2.9

Решение на остатъчното уравнение

В тази част се решава остатъчното уравнение 2.7

𝐷𝑡𝐷𝑥 + 𝑎𝛼0𝐷𝑥2 + 𝛼3𝐷𝑥

4 − 8𝐵 휁. 휁 = 0 2.7

Разглежда се функцията 휃3 𝜉, 𝑞 с фазова променлива 𝜉 = 𝑘𝑥 + 𝜔𝑡 + 𝛿 и с пертурбацио-

нен параметър 𝑞 = 𝑒𝑖𝜋𝜏 , 𝐼𝑚𝜏 > 0. 𝑘 е вълновото число, 𝜔 е фазовата честота, 𝜔

𝑘 е фазовата

скорост, 𝛿 е фазовото отместване.

Предположение: Функцията 휃3 𝜉, 𝑞 е решение на уравнение 2.7, което означава

휁 𝑡, 𝑥 = 휃3 𝜉, 𝑞 = 𝑞𝑛2𝑒2𝑖𝑛𝜉

∞

𝑛=−∞

, 0 < 𝑞 < 1

Фазовите параметри 𝑘, 𝜔 und 𝛿, в общия случай комплексни, са неизвестни. Двуперио-

дичната функция 휁 𝑡, 𝑥 е също комплексна. 휁 𝑡, 𝑥 се замества в 2.7. След прилагане на

принципа на индексния паритет се получава следната система уравнения за неизвестните

фазова честота 𝜔 и интеграционна константа 𝐵.

𝑘𝑞휃3

′ 𝜔 + 휃3𝐵 = 8𝛼3𝑘4𝑞 휃3

′ + 𝑞휃3″ − 𝛼0𝑘

2𝑎𝑞휃3′

𝑘𝑞휃2′ 𝜔 + 휃2𝐵 = 8𝛼3𝑘

4𝑞 휃2′ + 𝑞휃2

″ − 𝛼0𝑘2𝑎𝑞휃2

′ 2.12

с 휃𝑗 = 휃𝑗 0, 𝑞2 , 휃𝑗′ = 휃𝑗

′ 0, 𝑞2 , 휃𝑗″ = 휃𝑗

″ 0, 𝑞2 𝑗 = 2,3. В системата 2.12 𝑘, 𝑘 ≠ 0 ,

𝑞, 0 < 𝑞 < 1 и 𝑎 са структурни параметри, 𝛼0 , 𝛼3 са априорни параметри. Детерминан-

тата ∆ 𝑘, 𝑞 на системата 2.12 е ∆ 𝑘, 𝑞 = 𝑘𝑞 휃2휃3′ − 휃2

′ 휃3 = 𝑘𝑞𝑊 휃2 , 휃3 2.13

В 2.13 𝑊 휃2, 휃3 ≠ 0 е детерминантата на Вронски за линейно независимите функции

휃2 0, 𝑞2 и 휃3 0, 𝑞2 . Системата 2.12 има единствено решение, което е

𝜔 𝑘, 𝑞, 𝑎 = 8𝛼3𝑘3 1 + 𝑞

𝑊′ 휃2 , 휃3

𝑊 휃2 , 휃3 − 𝛼0𝑘𝑎 2.14

𝐵 𝑘, 𝑞 = −8𝛼3𝑘4𝑞2

𝑊 휃2′ , 휃3

′

𝑊 휃2 , 휃3 2.15

Означенията във формули 2.14 и 2.15 са следните

𝑊′ 휃2, 휃3 = 휃2휃3′ − 휃2

′ 휃3 ′ = 휃2휃3

″ − 휃2″ 휃3 , 𝑊 휃2

′ , 휃3′ = 휃2

′ 휃3″ − 휃2

″ 휃3′

Фазовата честота 𝜔 𝑘, 𝑞, 𝑎 е трипараметрично семейство от функции, 𝐵 𝑘, 𝑞 е двупа-

раметрично. За 𝑘 ≠ 0, 0 < 𝑞 < 1 е винаги изпълнено 𝐵 𝑘, 𝑞 ≠ 0. Изводите са:

1. Функцията 휁 𝑡, 𝑥 = 휃3 𝜉, 𝑞 с 𝜉 = 𝑘𝑥 + 𝜔𝑡 + 𝛿 и 𝑞 = 𝑒𝑖𝜋𝜏 , 𝐼𝑚𝜏 > 0 е решение на оста-

тъчното уравнение 2.7.

7

2. Предположение 2.4 за структурата на периодичното решение се оказа успешно. Точно-

то двупериодично мероморфно решение на интегрируемата форма на уравнението на кон-

вективния флуид 2.9 е:

𝑢 𝑡, 𝑥 = 𝑎 + 12𝑘2𝛼3

𝛼0

𝜕

𝜕𝜉 휃3 𝜉, 𝑞

휃3 𝜉, 𝑞 2.16

с 𝜔 𝑘, 𝑞, 𝑎 и 𝐵 𝑘, 𝑞 , както са получени във формули 2.14 и 2.15.

Условие за аналитичност, реални периодични решения

Полученото решение 2.16 има ограничено приложение заради двукратните си полюси

𝜉𝑚𝑛 = 𝜋 𝑚 +1

2 + 𝜏𝜋 𝑛 +

1

2 , 𝑚, 𝑛 ∈ ℤ. За тяхното избягване се прави реалното ограни-

чение 𝜏 = 𝑖𝛽, 𝛽 > 0 2.17. Тогава е в сила 𝑞 = 𝑒−𝛽𝜋 с 𝑞 ∈ 0; 1 . По този начин изменение-

то на фазовата променлива 𝜉 се ограничава в ивицата −𝜋𝛽 < 𝐼𝑚𝜉 < 𝜋𝛽 2.18. Неравенс-

тво 2.18 е условието за аналитичност на решението 2.16. При предположение 2.17 има

само две възможности за реални следствия от 2.16. Те се получават при стойности на въл-

новото число 𝑘 ≠ 0, които са реални или чисто имагинерни.

Когато 𝑘 е реално число,точното решение е трипараметрично семейство от функции.

𝑢 𝑡, 𝑥 = 𝑎 + 48𝑘2𝛼3

𝛼0 −1 𝑚𝑚𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐𝑕 𝑚𝜋𝛽 𝑐𝑜𝑠 2𝑚𝜉

∞

𝑚=−∞

2.19

Периодът на решението е 𝑇 =2𝜋

𝑘. По своя-

та структура то е наслагване (суперпози-

ция) на отместени на 𝜋

2 синусоиди с различ-

ни фази 2𝑚𝜉 и с различни амплитуди

𝑚𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐𝑕 𝑚𝜋𝛽 . Редът 2.19 представя

добре издигането на конвективния флуид в

области със слаба нелинейност 𝛽 → 0 или

𝑞 → 1.

Фигура 2.1: решение 2.19 за 𝛽 = 0,01

Когато 𝑘 е чисто имагинерно число, точното решение е трипараметрично семейство от

функции.

𝑢 𝑡, 𝑥 = 𝑎 + 12𝑘2𝛼3

𝛼0 𝑠𝑒𝑐𝑕2

∞

𝑚=−∞

𝜉 − 𝑚𝜋𝛽 2.20

Решението 2.20 е наслагване на регулярни 𝑠𝑒𝑐𝑕2-

профили с една и съща амплитуда и с едно и също

пространствено отклонение 𝑎. То описва добре из-

дигането на конвективния флуид в области със

силна нелинейност 𝛽 → ∞ или 𝑞 → 0.

Фигура 2.2: решение 2.20 за 𝛽 = 2

00.02

0.040.06

0.080.1

0

0.05

0.1-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

t

x

0

0.2

0.4

0.6

0

0.2

0.4

0.60

0.5

1

1.5

t

x

8

Периодичното решение 2.20 е свързано с едно забележително свойство на интегрируеми-

те еволюционни уравнения. Това е принципът на нелинейното наслагване. Toda 47 фор-

мулира този принцип през 1975 г. за класическото уравнение на Кортевег-де Вриз. Нели-

нейната периодична вълна може да се представи като безкрайна сума на повтарящи се

𝑠𝑒𝑐𝑕2-профили. През 1995 година Parker 40 уточнява формулировката. В действител-

ност няма наслагване на солитарни решения в буквален смисъл, а само на техните форми.

Кноидално решение

Кноидалното решение е получено от мероморфното решение 2.16.

𝑢 𝑡, 𝑥 = 𝑎 + 12𝑘2𝛼3

𝛼0

휃3″ 0, 𝑞

휃3 0, 𝑞 + 12𝑘2

𝛼3

𝛼0휃2

4 0, 𝑞 𝑐𝑛2 𝜉휃32 0, 𝑞 , 𝑟 2.22

Кноидалните вълни се различават от периодичните 2.19 и 2.20 , както по отношение на

пространствените отклонения, така и по отношение на амплитудите и фазовите скорости.

Пространствените им отклонения са равни, амплитудите им са пропорционални.

Солитарно и солитонно решение

Субституцията 𝑢 𝑡, 𝑥 = 𝑓 𝜉 , 𝜉 = 𝑘𝑥 + 𝜔𝑡 + 𝛿 свежда интегрируемото еволюционно

уравнение 2.9 до обикновено диференциално уравнение, от което след еднократно интег-

риране се получава уравнението

𝜔𝑓 +𝑘𝛼0

2𝑓2 + 𝑘3𝛼3𝑓

″ = 𝐸, 𝐸 = Konst. 2.23

Прилага се методът на изображението, като решението на 2.23 се търси във вида

𝑓 𝜉 = 𝐴0 + 𝐴1℘ 𝜉 , 𝐴1 ≠ 0. ℘ 𝜉 е елиптичната функция на Вайерщрас. Решението на

уравнение 2.9 има следния вид 𝑢 𝑡, 𝑥 = 𝑓 𝜉 = −12𝑘3 𝛼3

𝛼0℘ 𝜉 + 𝜆, λ≠ 0 е свободен па-

раметър, 𝜉 = 𝑘𝑥 − 𝜆𝑘𝛼0𝑡 + 𝛿, 𝑘 > 0.

Солитарното решение е

𝑢 𝑡, 𝑥 = 36𝑐𝑘2𝛼3

𝛼0𝑠𝑒𝑐𝑕2 𝜉 3𝑐 + 𝜆 − 12𝑘2𝑐

𝛼3

𝛼0 с 𝜉 = 𝑘𝑥 − 𝜆𝑘𝛼0𝑡, 𝑘 > 0, 𝑐 > 0 2.24

След това от него е изведено и солитонното решение

𝑢 𝑡, 𝑥 = 3𝑐. 𝑠𝑒𝑐𝑕2 1

2 𝑐

𝛼0

𝛼3

𝑥 − 𝑐𝑡 2.25

Фигура 2.3: решение 2.25

0

1

2

3

4

0

1

2

3

40

0.2

0.4

0.6

0.8

1

t

x

9

2.2. Полуинтегрируема форма на уравнението

Уравнението на конвективния флуид е полуинтегрируемо, когато е в сила равенството

𝛼0𝛼4 = 𝛼1𝛼3 2.27. Уравнение 2.1 има следния вид

𝑢𝑡 + 𝛼0𝑢𝑢𝑥 + 𝛼3𝑢𝑥𝑥𝑥 + 휀 𝛼0𝛼4

𝛼3

𝑢𝑢𝑥 𝑥 + 𝛼2𝑢𝑥𝑥 + 𝛼4𝑢𝑥𝑥𝑥𝑥 = 0 2.28

Прилага се трансформацията на Hirota-Satsuma 20 𝑢 𝑡, 𝑥 = 𝑎 + 12𝛼3

𝛼0 𝑙𝑛휁 𝑥𝑥 2.29.

Функцията 휁 = 휁 𝑡, 𝑥 е неизвестна функция от пространството 𝑊1,6 𝛺 . В този случай

остатъчните уравнения 2.7 und 2.8 имат следния вид:

𝐷𝑡𝐷𝑥 + 𝑎𝛼0𝐷𝑥2 + 𝛼3𝐷𝑥

4 − 8𝐵 휁. 휁 = 0 2.30

𝛼2 + 𝑎𝛼1 𝐷𝑥2 + 𝛼4𝐷𝑥

4 − 8𝐶 휁. 휁 = 0 2.31

Уравненията 2.30 и 2.31 имат билинейно полиномна структура по отношение на операто-

рите 𝐷𝑡 und 𝐷𝑥 .

Решения на остатъчните уравнения

Разглежда се функцията 휃3 𝜉, 𝑞 с фазова променлива 𝜉 = 𝑘𝑥 + 𝜔𝑡 + 𝛿 и с пертурбацио-

нен параметър 𝑞 = 𝑒𝑖𝜋𝜏 , 𝐼𝑚𝜏 > 0. 𝑘 е вълновото число, 𝜔 е фазовата честота, 𝜔

𝑘 е фазовата

скорост, 𝛿 е фазовото отместване.

Предположение: Функцията 휃3 𝜉, 𝑞 е решение на уравнения 2.30 и 2.31 или

휁 𝑡, 𝑥 = 휃3 𝜉, 𝑞 = 𝑞𝑛2𝑒2𝑖𝑛𝜉

∞

𝑛=−∞

, 0 < 𝑞 < 1

Фазовите параметри 𝑘, 𝜔 и 𝛿, в общия случай комплексни, са неизвестни. Двупериодич-

ната функция 휁 𝑡, 𝑥 е също комплексна. След заместване на 휁 𝑡, 𝑥 в уравнения 2.30 и

2.31 и след прилагане на принципа на индексния паритет се получават следните системи

уравнения:

𝑘𝑞휃3

′ 𝜔 + 휃3𝐵 = 8𝛼3𝑘4𝑞 휃3

′ + 𝑞휃3″ − 𝛼0𝑘

2𝑎𝑞휃3′

𝑘𝑞휃2′ 𝜔 + 휃2𝐵 = 8𝛼3𝑘

4𝑞 휃2′ + 𝑞휃2

″ − 𝛼0𝑘2𝑎𝑞휃2

′ 2.32

и

𝑘2𝑞 𝛼2 +𝑎𝛼0𝛼4

𝛼3 휃3

′ + 휃3𝐶 = 8𝛼4𝑞𝑘4 휃3′ + 𝑞휃3

″

𝑘2𝑞 𝛼2 +𝑎𝛼0𝛼4

𝛼3 휃2

′ + 휃2𝐶 = 8𝛼4𝑞𝑘4 휃2′ + 𝑞휃2

″

2.33

В система 2.32 неизвестните са фазовата честота 𝜔 и константата 𝐵 ≠ 0. В система 2.33

неизвестните са пространственото отклонение 𝑎 и константата 𝐶 ≠ 0. Пространственото

отклонение 𝑎 е параметър в система 2.32. Детерминантата на 2.32 е

∆1 𝑘, 𝑞 = 𝑘𝑞 휃2휃3′ − 휃2

′ 휃3 = 𝑘𝑞𝑊 휃2 , 휃3

За променливите 𝑦 = 𝛼2 +𝑎𝛼0𝛼4

𝛼3 и 𝐶 детерминантата на 2.33 е ∆2 𝑘, 𝑞 = 𝑘2𝑞𝑊 휃2 , 휃3 .

𝑊 휃2 , 휃3 ≠ 0 е детерминантата на Вронски за линейно независимите функции 휃2 0, 𝑞2 и

휃3 0, 𝑞2 . Всяка от системите има единствено решение. Решенията на системите са:

𝜔 𝑘 = 𝑘𝛼2𝛼3

𝛼4 2.34 𝑎 = −

𝛼2𝛼3

𝛼0𝛼4+ 8𝑘2

𝛼3

𝛼0 1 + 𝑞

𝑊′ 휃2, 휃3

𝑊 휃2, 휃3 2.35

10

𝐵 𝑘, 𝑞 = −8𝛼3𝑘4𝑞2

𝑊 휃2′ , 휃3

′

𝑊 휃2 , 휃3 2.36 𝐶 𝑘, 𝑞 = −8𝛼4𝑘

4𝑞2𝑊 휃2

′ , 휃3′

𝑊 휃2 , 휃3 2.37

Означенията са както в част 2.1.

Извод: Гладката двупериодична мероморфна функция

𝑢 𝑥, 𝑡 = −𝛼2𝛼3

𝛼0𝛼4+ 8𝑘2

𝛼3

𝛼0 1 + 𝑞

𝑊′ 휃2 , 휃3

𝑊 휃2 , 휃3 + 12𝑘2

𝛼3

𝛼0

𝜕

𝜕𝜉

휃3 𝜉, 𝑞

휃3 𝜉, 𝑞

с 𝜉 = 𝑘𝑥 + 𝑘𝛼2𝛼3

𝛼4𝑡 + 𝛿

2.38

е точно решение на полуинтегрируемото уравнение 2.28.

Условие за аналитичност, реални периодични решения

Търсят се реални следствия на мероморфната функция 2.38. За реални стойности на пер-

турбационния параметър 𝑞 = 𝑒−𝜋𝛽 , 𝛽 > 0 в ивицата −𝜋𝛽 < 𝐼𝑚𝜉 < 𝜋𝛽 2.39 няма полю-

си 𝜉𝑚𝑛 = 𝜋 𝑚 +1

2 + 𝜏𝜋 𝑛 +

1

2 , 𝑚 ∈ ℤ, 𝑛 ∈ ℤ на функцията 𝑢 𝑥, 𝑡 .

Това е и областта на аналитичност на мероморфното решение 2.38. Областите 2.18 и 2.39

формално съвпадат. Те се различават, обаче, съществено. В интегрируемия случай 2.9

фазовата честота 𝜔 се задава с формула 2.14, а в полуинтегрируемия случай 2.28 фазовата

честота 𝜔 се задава с формула 2.34. Има съществена разлика в груповите скорости.

За реално вълново число 𝑘 се получава реалното периодично решение 2.40, което е валид-

но за области със слаба нелинейност. 𝛽 → 0, 𝑞 → 1

𝑢 𝑡, 𝑥 =𝛼3

𝛼0 −

𝛼2

𝛼4+ 8𝑘2 1 + 𝑞

𝑊′ 휃2 , 휃3

𝑊 휃2 , 휃3 +

+48𝑘2 −1 𝑚𝑚𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐𝑕 𝑚𝜋𝛽 𝑐𝑜𝑠 2𝑚𝜉

∞

𝑚=−∞

2.40

Фигура 2.4: решение 2.40 за 𝛽 = 0,01

Когато вълновото число 𝑘 е чисто имагинерно, се получава периодичното решение 2.41,

което представя поведението на конвективния флуид в области със силна нелинейност

𝛽 → ∞, 𝑞 → 0 .

𝑢 𝑡, 𝑥 =𝛼3

𝛼0 −

𝛼2

𝛼4+ 8𝑘2 1 + 𝑞

𝑊′ 휃2 , 휃3

𝑊 휃2 , 휃3 + 12𝑘2 𝑠𝑒𝑐𝑕2

∞

𝑚=−∞

𝜉 − 𝑚𝜋𝛽 2.41

0

2

4

6

0

2

4

6

186.97

186.98

186.99

187

187.01

187.02

187.03

t

x

11

Фигура 2.5: решение 2.41 за 𝛽 = 2

Решенията 2.40 и 2.41 описват различни случаи. Въпреки това те са динамично еквива-

лентни. При 2.40 се забелязва тенденция към делокализиране, а при 2.41 тенденция към

локализиране.

Установени са прилики и съществени разлики в решенията на системи 2.12 и 2.32.

1. В интегрируемия случай 2.14 фазовата честота 𝜔 зависи от 𝑘, 𝑞, 𝑎 , докато в полуинтег-

рируемия случай 2.34 фазовата честота 𝜔 зависи само от вълновото число 𝑘.

2. Периодичната вълна (вълнови пакети 2.19 и 2.20), която съответства на фазовата често-

та 𝜔 от формула 2.14, е поради 𝜔″ 𝑘 ≠ 0 дисперсионна вълна. Периодичната вълна (въл-

нови пакети 2.40 и 2.41), която съответства на фазовата честота 𝜔 от формула 2.34, е по-

ради 𝜔″ 𝑘 = 0 недисперсионна вълна.

3. За интегрируемото уравнение пространственото отклонение 𝑎 е произволен реален па-

раметър. За полуинтегрируемото уравнение пространственото отклонение 𝑎 e според 2.35

функция на вълновото число 𝑘 и на пертурбационния параметър 𝑞 или 𝑎 = 𝑎 𝑘, 𝑞 .

4. Груповата скорост на периодичните вълни 𝑣𝐺 = 𝜔′ 𝑘 съществува. Тя е променлива

𝑣𝐺 = 𝑣𝐺 𝑘, 𝑎, 𝑞 за интегрируемото уравнение 2.9. За полуинтегрируемото уравнение 2.28

тя е постоянна 𝑣𝐺 =𝛼2𝛼3

𝛼4.

Кноидално решение

Разглежда се уравнението 2.28. След полагането 𝑢 𝑡, 𝑥 = 𝑓 𝜉 с 𝜉 = 𝑘 𝑥 + 𝑐𝑡 + 𝛿 и след

еднократно интегриране се получава обикновеното диференциално уравнени 2.42

𝑐𝑓 +1

2𝛼0𝑓

2 + 𝛼3𝑘2𝑓″ + 휀

𝛼0𝛼4

𝛼3𝑘𝑓𝑓′ + 𝛼2𝑘𝑓′ + 𝛼4𝑘

3𝑓‴ = 𝐴 2.42

𝐴 е интеграционна константа. Решението 𝑓 𝜉 на 2.42 се търси като функция на елиптич-

ната функция на Вайерщрас ℘ 𝜉 по метода на изображението

𝑓 𝜉 = 𝑎℘ 𝜉 + 𝑏 2.43

Пресметнатото по този метод точно решение на уравнение 2.28 е

𝑢 𝑡, 𝑥 = −𝛼2𝛼3

𝛼0𝛼4− 12𝑘2

𝛼3

𝛼0℘ 𝜉, 𝐴, 휂 с 𝜉 = 𝑘 𝑥 +

𝛼2𝛼3

𝛼4𝑡 + 𝛿 2.46

Във формула 2.46 първата инварианта на ℘ −функцията е 𝑔2 = 𝐴, а втората инварианта

на същата функция е 𝑔3 = 휂. Физичната приложимост на решение 2.46 е ограничена от

двукратните полюси на функцията ℘ 𝜉, 𝑔2 , 𝑔3 , които са 𝜉𝑚𝑛 = 2𝑚𝜔1 + 2𝑛𝜔2 , 𝑚 ∈ ℤ,

0

5

10

15

20

0

5

10

15

20

35

35.2

35.4

35.6

35.8

36

t

x

12

𝑛 ∈ ℤ, 𝑚2 + 𝑛2 ≠ 0. След избягване на полюсите се получава и следният вид за кноидал-

ното решение

𝑢 𝑡, 𝑥 = 12𝑘2𝛼3

𝛼0

𝑒2 − 𝑒3 𝑐𝑛2 𝑘 𝑒1 − 𝑒3 𝑥 +

𝛼2𝛼3

𝛼4𝑡 , 𝜇 −

𝛼3

𝛼0 12𝑘2𝑒2 +

𝛼2

𝛼4 2.47

То е трипараметрично семейство от периодични вълни. От формула 2.47 следват важни

изводи: За реални стойности на аргументите функцията 𝑐𝑛 𝑧, 𝜇 има реални стойности.

Поради тази причина вълновото число 𝑘 също трябва да бъде реално 𝑘 > 0 . Параметри-

те в 2.47 𝛼0, 𝛼2 , 𝛼3 , 𝛼4 са положителни. От дисперсионното съотношение 𝜔 𝑘 =𝛼2𝛼3

𝛼4𝑘

следва, че кноидалните вълни са еднопосочни. Те се разпространяват наляво с групова

скорост 𝑣𝐺 = 𝜔′ 𝑘 =𝛼2𝛼3

𝛼4. Поради 𝜔″ 𝑘 = 0 тези вълни не са дисперсионни.

Солитарно решение

От елиптичното решение 2.46 е получено солитарното решение

𝑢 𝑡, 𝑥 = −36𝐴𝑘2𝛼3

𝛼0𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐𝑕2 𝜉 3𝐴 −

𝛼3

𝛼0 12𝐴𝑘2 +

𝛼2

𝛼4

с 𝜉 = 𝑘 𝑥 +𝛼2𝛼3

𝛼4𝑡 , 𝑘 > 0, 𝐴 > 0

2.49

Заради отрицателната си амплитуда тази вълна се нарича antikink wave (Antiknickwelle).

Формата на такива вълни е като вдлъбнатини с остри падини и с широки застъпващи се

основи.

Фигура 2.6: решение 2.49

Рационално решение

Рационалното решение се получава от кноидалното. Неговият вид е:

𝑢 𝑡, 𝑥 =𝛼3

𝛼0 12𝐴𝑘2 −

𝛼2

𝛼4 − 36𝐴𝑘2

𝛼3

𝛼0

1

𝜉 3𝐴 − 𝑚𝜋 2

∞

𝑚=−∞

2.51

Физичната картина на тези вълни се обуславя от двукратните полюси в точките 𝑚𝜋

3𝐴, 𝑚 = 0, ±1 ± 2, … (подвижни особени точки)

Тези вълни имат остри върхове и са изключително нестабилни.

01

23

45

-5

0

5-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

t

x

13

2.3. Неинтегрируема форма на уравнението

Остатъчните уравнения на уравнението на конвективния флуид в общия случай са 2.7 и

2.8. Изведени са за 0 < 휀 ≪ 1, 𝛼0𝛼4 ≠ 𝛼1𝛼3 и с помощта на трансформацията на Hirota-

Satsuma 𝑢 𝑡, 𝑥 = 𝑎 + 6𝛼3

𝛼0 𝑙𝑛휁 𝑥𝑥 2.52. За 𝐶 = 0 уравнения 2.7 и 2.8 добиват вида

𝐷𝑡𝐷𝑥 + 𝑎𝛼0𝐷𝑥2 + 𝛼3𝐷𝑥

4 − 8𝐵 휁. 휁 = 0 2.53

𝛼2 + 𝑎𝛼1 휁2𝐷𝑥

2휁휁 + 𝛼4휁2𝐷𝑥

4휁휁 +3

𝛼0

𝛼1𝛼3 − 𝛼0𝛼4 𝐷𝑥2휁휁 2 = 0 2.54

Структурата на остатъчните уравнения показва, че в общия случай уравнението на кон-

вективния флуид е 2.1 неинтегрируемо. Уравнение 2.53 има полиномно билинейна

структура по отношение на операторите 𝐷𝑡 und 𝐷𝑥 . Уравнение 2.54 няма такава структура

заради членовете, които са пропорционални на 휁2𝐷𝑥2휁휁, 휁2𝐷𝑥

4휁휁, 𝐷𝑥2휁휁 2. В този случай

принципът на индексния паритет не е приложим. Това налага прилагането на пространст-

вената вариация на билинейно трансформационния метод.

Решения на остатъчните уравнения

Функцията 휁 𝑡, 𝑥 ∈ 𝑊1,6 𝛺 би била решение на общото уравнение на конвективния

флуид 2.1, ако удовлетворява двете остатъчни уравнения 2.53 и 2.54. Първо се търсят

периодични решения на еволюционното уравнение 2.1. Поради тази причина предполага-

емото решение 휁 𝑡, 𝑥 също е периодично. Разглежда се функцията 휃3 𝜉, 𝑞 с фазова про-

менлива 𝜉 = 𝑘𝑥 + 𝜔𝑡 + 𝛿 и с пертурбационен параметър 𝑞 = 𝑒𝑖𝜋𝜏 , 𝐼𝑚𝜏 > 0. 𝑘 е вълновото

число, 𝜔 е фазовата честота, 𝜔

𝑘 е фазовата скорост, 𝛿 е фазовото отместване.

Предположение: Функцията 휃3 𝜉, 𝑞 е решение на уравнения 2.53 и 2.54 или

휁 𝑡, 𝑥 = 휃3 𝜉, 𝑞 = 𝑞𝑛2𝑒2𝑖𝑛𝜉

∞

𝑛=−∞

, 0 < 𝑞 < 1

Фазовите параметри 𝑘, 𝜔 и 𝛿, в общия случай комплексни, са неизвестни. Двупериодична-

та функция 휁 𝑡, 𝑥 е също комплексна. Уравнение 2.53 съвпада с уравнение 2.7. То е ре-

шено и анализирано подробно в част 2.1. Основните резултати са следните:

Двупериодичната функция 휃3 𝜉, 𝑞 е решение на 2.53, когато фазовата 𝜔 честота и интег-

рационната константа 𝐵 имат следния вид :

𝜔 𝑘, 𝑞, 𝑎 = 8𝛼3𝑘3 1 + 𝑞

𝑊′ 휃2 , 휃3

𝑊 휃2 , 휃3 − 𝛼0𝑘𝑎 2.55

𝐵 𝑘, 𝑞 = −8𝛼3𝑘4𝑞2

𝑊 휃2′ , 휃3

′

𝑊 휃2 , 휃3 2.56

Параметрите 𝑘, 𝑘 ≠ 0, 𝑞, 0 < 𝑞 < 1, 𝑎 са свободни. Означенията са както в част 2.1.

За всяка стойност от дефиниционното множество на пертурбационния параметър 𝑞 изра-

зите 𝑊 휃2 , 휃3 , 𝑊′ 휃2 , 휃3 , 𝑊 휃2′ , 휃3

′ са различни от нула. Тогава и 𝐵 𝑘, 𝑞 е различно от

нула.

Уравнение 2.54 няма билинейно полиномна структура. Поради тази причина пространст-

веното отклонение 𝑎 в 2.52 е представено като ред

𝑎 = −𝛼2

𝛼1+ 4

𝑘2

𝛼1 𝑎𝑚 𝑞

∞

𝑚=−∞

2.57

За членовете 𝑎𝑚 𝑞 са получени формално следните изрази.

14

𝑎𝑚 𝑞 = 𝛼4 2𝑛 − 𝑚 4 + 3

𝛼1𝛼3

𝛼0− 𝛼4 𝑚2 2𝑛 − 3𝑚 2 𝑞2𝑛2+ 2𝑛−𝑚 2∞

𝑛=−∞

2𝑛 − 𝑚 2∞𝑛=−∞ 𝑞2 𝑛−𝑚 2+ 2𝑛−3𝑚 2

𝑚 = 0, ±1, ±2, …

2.58

След определянето на 𝑎𝑚 𝑞 е доказана сходимостта на реда 𝑎𝑚 𝑞 ∞𝑚=−∞ .

Теорема 1

Редът

∗ 𝑎𝑚 𝑞

∞

𝑚=−∞

с дефинирани като 2.58 елементи е абсолютно сходящ 0 < 𝑞 < 1.

Теорема 1 е доказана в дисертационния труд на стр. 50-52.

Извод: Комплексната мероморфна функция

𝑢 𝑡, 𝑥 = −𝛼2

𝛼1+ 4

𝑘2

𝛼1 𝑎𝑚 𝑞

∞

𝑚=−∞

+ 12𝑘2𝛼3

𝛼0

𝜕

𝜕𝜉

휃3 𝜉, 𝑞

휃3 𝜉, 𝑞 2.59

е точно двупериодично решение на общото уравнение на конвективния флуид 2.1 с пара-

метри 𝜔 𝑘, 𝑞, 𝑎 и 𝐵 𝑘, 𝑞 като в 2.55 и 2.56 , 𝑎 като в 2.57 и 2.58. Параметрите 𝑘, 𝑘 ≠ 0 и

𝑞, 0 < 𝑞 < 1 са свободни.

Условие за аналитичност, реални периодични решения

Двупараметричното множество от точни периодични решения 2.59 има ограничено прак-

тическо приложение заради двукратните си полюси 𝜉𝑚𝑛 = 𝜋 𝑚 +1

2 + 𝜏𝜋 𝑛 +

1

2 ,

𝑛 ∈ ℤ, 𝑚2 + 𝑛2 ≠ 0. За избягването им се прави реалното ограничение 2.17 𝜏 = 𝑖𝛽, 𝛽 > 0.

Тогава е в сила 𝑞 = 𝑒−𝛽𝜋 с 𝑞 ∈ 0; 1 . По този начин фазовата променлива 𝜉 е ограничена

в ивицата −𝜋𝛽 < 𝐼𝑚𝜉 < 𝜋𝛽 2.60. Неравенството 2.60 е условието решението 2.59 да

бъде аналитично. За трите форми на еволюционното уравнение 2.1 условията за анали-

тичност имат един и същи вид. В случая 𝑘 ∈ ℝ, 𝑘 > 0 е получено следното решение

𝑢 𝑡, 𝑥 = −𝛼2

𝛼1+ 4

𝑘2

𝛼1 𝑎𝑚 𝑞 + 12

𝛼1𝛼3

𝛼0

−1 𝑚𝑚𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐𝑕 𝑚𝜋𝛽 𝑐𝑜𝑠 2𝑚𝜉

∞

𝑚=−∞

2.61

Фигура 2.7: решение 2.61 за 𝛽 = 0,01

00.02

0.040.06

0.080.1

0

0.05

0.1

307.97

307.98

307.99

308

308.01

308.02

308.03

t

x

15

Всеки член на решение 2.61 има свое

пространствено отклонение 𝑎𝑚 𝑞 . На

фигура 2.8 е представено развитието с

течение на времето на един член на реда

2.61 с и без пространственото отклоне-

ние.

Фигура 2.8: член от решение 2.61 , синьо-без отклонение, зелено-с отклонение

Въпреки че решения 2.19, 2.40, 2.61

имат подобни формули, те проявяват

значителни различия. На фигура 2.9 са

показани развитията на съответни чле-

нове от решения 2.19 и 2.61 с течение

на времето.

Фигура 2.9: съответни членове от решения 2.19 и 2.61,

синьо- решение 2.19, зелено- решение 2.61

Когато 𝑘 е чисто имагинерно число с 𝐼𝑚 𝑘 > 0, реалното решение има следния вид

𝑢 𝑡, 𝑥 = −𝛼2

𝛼1+ 4

𝑘2

𝛼1 𝑎𝑚 𝑞 + 3

𝛼1𝛼3

𝛼0𝑠𝑒𝑐𝑕2 𝜉 − 𝑚𝜋𝛽

∞

𝑚=−∞

2.62

Фигура 2.решение 2.62 за 𝛽 = 2

0

1

2

3

0

1

2

3

44

44.2

44.4

44.6

44.8

45

t

x

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

50

60

t

u(1

,t)

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

50

60

t

u(1

,t)

16

Солитарно и рационално решение

Разглежда се еволюционното уравнение на конвективния флуид във вида 2.63

𝑢𝑡 + 𝛼0𝑢𝑢𝑥 + 𝛼1𝑢𝑥𝑥 + 𝛼2𝑢𝑥𝑥𝑥 + 𝛼3𝑢𝑥𝑥𝑥𝑥 + 𝛼4 𝑢𝑢𝑥 𝑥 = 0, 𝑢 = 𝑢 𝑡, 𝑥 2.63

Коефициентите са

𝛼0 =

3 10 + 𝑃𝑟. 𝐺𝑎

2𝑃𝑟. 𝐺𝑎 , 𝛼4 =

8휀

𝐺𝑎, 𝛼1 =

휀𝑅0𝑃𝑟

15,

𝛼2 = 𝑃𝑟 𝐺𝑎 1

6+

17

21𝑃𝑟 , 𝛼3 =

휀𝑃𝑟

2079 682 𝑃𝑟 2𝐺𝑎 + 717

Търси се локализирано нетривиално гладко решение от вида бягаща вълна 𝑢 𝑡, 𝑥 = 휁 𝜉

с 𝜉 = 𝑘 𝑥 + 𝜔𝑡 , 𝑘 ≠ 0 , 𝜔 ≠ 0 2.64 в областта 𝛺 = 𝑡, 𝑥 ∈ ℝ2 , 0 < 𝑡 < ∞, −∞ < 𝑥 < ∞ .

Функцията 휁 𝜉 е реална функция от класа 𝐶4 𝛺 . След заместване на 2.64 в 2.63 и след

еднократно интегриране се получава уравнението

𝜔휁 +𝛼0휁

2

2+ 𝛼1𝑘휁′ + 𝛼2𝑘

2휁″ + 𝛼3𝑘3휁‴ + 𝛼4𝑘휁휁′ = 𝐸, 𝐸 = Konst. 2.65

Решението му се търси по метода на изображението. Нека функцията 𝜑 = 𝜑 𝜉 е произ-

волно нетривиално решение на уравнението на Рикати 𝜑′ = 𝑐0𝜑2 + 𝑐1𝜑 + 𝑐2 2.66.

Полагаме 휁 = 𝐴𝜑2 + 𝐵𝜑 + 𝐶 2.67. В 2.66 и 2.67 𝐴 ≠ 0, 𝐵, 𝐶, 𝑐0 ≠ 0, 𝑐1 , 𝑐2 са неизвестни

параметри. Съществува следното интересно от физична гледна точка решение

𝐴 = −12

𝛼3

𝛼4𝑘2𝑐0

2, 𝐵 = 0, 𝐶 =1

25𝛼3𝛼42 𝛼2𝛼4 − 𝛼0𝛼3 4𝛼2𝛼4 + 9𝛼0𝛼3 − 15𝛼1𝛼3𝛼4

𝑐0 ∈ ℝ е свободен параметър, 𝑐1 =𝛼0𝛼3 − 𝛼2𝛼4

5𝛼3𝛼4𝑘, 𝑐2 =

5𝛼3𝑘2𝑐1

2 − 𝛼2𝑘𝑐1 − 𝛼1

20𝑘2𝑐0𝛼3

𝜔 =1

5𝛼3

2𝛼2𝛼4 − 7𝛼0𝛼3 𝐶 − 5𝛼3𝑘2𝑐1

2 − 𝛼2𝑘𝑐1 − 𝛼1 13𝛼0𝛼3 − 3𝛼2𝛼4 −

−2 𝛼0𝛼3 − 𝛼2𝛼4

25𝛼32𝛼4

2 5𝛼1 + 2𝛼2 𝛼0𝛼3 − 𝛼2𝛼4

𝐸 = 𝜔𝐶 +1

2𝛼0𝐶

2 −3

50𝛼4

𝛼2 + 3𝛼3𝑘𝑐1 5𝛼3𝑘2𝑐1

2 − 𝛼2𝑘𝑐1 − 𝛼1 2

𝑘 > 0 е свободен параметър

2.69

Решението 2.69 осигурява възможност за определяне на широк спектър от точни локали-

зирани решения на уравнение 2.63. Решенията са

1. случай 𝑐12 < 4𝑐0𝑐2 или 0 < 𝑘 <

5𝛼1𝛼3𝛼4

𝛼2 𝛼2𝛼4 − 𝛼0𝛼3

Решението е 𝑢 𝑡, 𝑥 = 3

𝛼3

𝛼4𝑘2 𝑐1

2 − 4𝑐0𝑐2 𝑡𝑎𝑛2 𝜉

2 4𝑐0𝑐2 − 𝑐1

2 +

+6𝑘2𝑐12 𝛼3

𝛼4 4𝑐0𝑐2 − 𝑐1

2 𝑡𝑎𝑛 𝜉

2 4𝑐0𝑐2 − 𝑐1

2 + 𝐶 − 3𝑘2𝑐12 𝛼3

𝛼4

2.70

2. случай 𝑐12 > 4𝑐0𝑐2 и −

1

2𝑐0 −𝑐1 − 𝑐1

2 − 4𝑐0𝑐2 < 𝜑 <1

2𝑐0 −𝑐1 + 𝑐1

2 − 4𝑐0𝑐2 ,

или 𝑘 > 𝑚𝑎𝑥 0,5𝛼1𝛼3𝛼4

𝛼2 𝛼2𝛼4 − 𝛼0𝛼3

17

Решението е 𝑢 𝑡, 𝑥 = 3𝛼3

𝛼4𝑘2 4𝑐0𝑐2 − 𝑐1

2 𝑡𝑎𝑛𝑕2 𝜉

2 𝑐1

2 − 4𝑐0𝑐2 −

−6𝑘2𝑐12𝛼3

𝛼4

𝑐12 − 4𝑐0𝑐2𝑡𝑎𝑛𝑕

𝜉

2 𝑐1

2 − 4𝑐0𝑐2 + 𝐶 − 3𝑘2𝑐12𝛼3

𝛼4

2.71

3. случай 𝑐12 > 4𝑐0𝑐2 и 𝜑 ∈ −∞; −

−𝑐1 − 𝑐12 − 4𝑐0𝑐2

2𝑐0

∪ −𝑐1 + 𝑐1

2 − 4𝑐0𝑐2

2𝑐0; +∞ ,

или 𝑘 > 𝑚𝑎𝑥 0,5𝛼1𝛼3𝛼4

𝛼2 𝛼2𝛼4 − 𝛼0𝛼3

Решението е 𝑢 𝑡, 𝑥 = 3𝛼3

𝛼4𝑘2 4𝑐0𝑐2 − 𝑐1

2 𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛𝑕2 𝜉

2 𝑐1

2 − 4𝑐0𝑐2 −

−6𝑘2𝑐12 𝛼3

𝛼4 𝑐1

2 − 4𝑐0𝑐2𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛𝑕 𝜉

2 𝑐1

2 − 4𝑐0𝑐2 + 𝐶 − 3𝑘2𝑐12 𝛼3

𝛼4

2.72

4. случай 𝑐12 = 4𝑐0𝑐2 или 𝑘 =

5𝛼1𝛼3𝛼4

𝛼2 𝛼2𝛼4 − 𝛼0𝛼3

Решението е 𝑢 𝑡, 𝑥 =𝛼2𝛼4 − 𝛼0𝛼3

10𝛼3𝛼4𝑘𝑐0−

1

𝑐0𝜉 2.73

Решенията 2.70, 2.71, 2.72 са солитарни ударни вълни. Те са двупараметрични семейства

от бягащи вълни със свободни параметри 𝑘 𝑘 > 0 и 𝑐0, 𝑐0 ≠ 0. Те съдържат два еднотип-

ни импулса с равни фази и различни амплитуди, пространствените им отклонения са рав-

ни и не зависят от свободните параметри. Вълните 2.70 имат най-стръмен фронт, те въз-

никват само в случая 𝛼2𝛼4 > 𝛼0𝛼3. Солитарните вълни 2.71 и 2.72 са алтернативни. Ре-

шението 2.73 е рационално. То зависи само от един параметър и съдържа изключително

нестабилни вълни, разпространяващи се надясно.

Кноидално решение

Кноидалното решение на 2.63 се търси във вида бягаща вълна 𝑢 𝑡, 𝑥 = 𝑓 휃 2.74. Фазата

휃 е 휃 = 𝑘 𝑥 + 𝛾𝑡 с 𝑘 > 0, 𝛾 ≠ 0. Функцията 𝑓 휃 ∈ 𝐶4 𝛺 е неизвестна реална функция.

След заместване на 2.74 в 2.63 и след еднократно интегриране се получава уравнението

𝛾𝑓 +𝛼0𝑓

2

2+ 𝛼1𝑘𝑓′ + 𝛼2𝑘

2𝑓″ + 𝛼3𝑘3𝑓‴ + 𝛼4𝑘𝑓𝑓 ′ = 𝐺, 𝐺 = Konst. 2.75

Решението на уравнение 2.75 се търси по метода на изображението. Разглежда се дифе-

ренциалното уравнение на Рикати 𝛹 ′ = −𝑚2𝛹4 + 2𝑚2 − 1 𝛹2 + 1 − 𝑚2 2.76.

Решението му за 0 ≤ 𝑚 ≤ 1 е втората елиптична функция на Якоби 𝛹 휃 = 𝑐𝑛 휃, 𝑚 .

Предполагаемото решение 𝑓 휃 се търси като функция на елиптичната функция на Якоби

във вида 𝑓 휃 = 𝑆𝛹2 휃 + 𝑇 2.77. 𝑆, 𝑆 ≠ 0 и 𝑇 са неизвестни параметри. Решение същес-

твува само, когато е изпълнено равенството 𝛼0𝛼3 = 𝛼2𝛼4 От това следва, че кноидалното

решение е винаги условно. Стойностите за неизвестните параметри са

𝑆 = 12𝑘2𝑚2𝛼3

𝛼4, 𝑇 = −

𝛼1 + 6𝛼3𝑘2 2𝑚2 − 1

𝛼4, 𝛾 =

𝛼0𝛼1

𝛼4

𝐺 = −𝛼0𝛼1

2

𝛼42 + 6

𝛼3𝑘2 4𝛼2𝛼4 1 − 𝑚2 − 𝛼3 2𝑚2 − 1

𝛼42 , 0 < 𝑚 ≤ 1, 𝑘 > 0

Локализираното кноидално решение има вида

𝑢 𝑡, 𝑥 = 12𝑚2𝑘2𝛼3

𝛼4𝑐𝑛2 휃; 𝑚 −

𝛼1 + 6𝛼3𝑘2 2𝑚2 − 1

𝛼4 2.80

18

ГЛАВА 3. Двупосочно уравнение на конвективния флуид

Разглежда се уравнението

𝑢𝑥𝑥 − 𝛼𝑢𝑡𝑡 − 휀2 𝛽𝑢𝑡𝑡𝑥𝑥 + 𝑢2 𝑥𝑥 + 휀3 𝛾𝑢𝑡𝑥𝑥 + 𝑢𝑡𝑥𝑥𝑥𝑥 + 𝑢2 𝑡𝑥𝑥 = 0 3.2

Участващите константи са както следва

𝛼 = 𝑏1

𝑎1𝑏0 , 𝛽 = 𝑎0

𝑎1

𝑏0𝑏1 , 𝛾 = 𝑅0

𝑏1

𝑎1𝑏0, 𝑎0 =

21 + 34𝑃𝑟

21𝑃𝑟2𝐺𝑎, 𝑎1 =

3

2+

15

𝑃𝑟𝐺𝑎, 𝑏0 =

𝐵

𝑃𝑟4𝐺𝑎2,

𝑏1 =8

𝑃𝑟𝐺𝑎, 𝐵 =

2798

2079 𝑃𝑟 + 𝐺𝑎𝑃𝑟2 − 1 , 𝑅0 =

2(𝑅𝑎 − 30)

15휀2𝑃𝑟 𝐺𝑎

В 3.2 𝑢 𝑡, 𝑥 ∈ 𝐶5 Ω е причиненото от двупосочните вълни издигане на конвективния

флуид. Означенията са следните: 𝑃𝑟 е числото на Прандтл, 𝐺𝑎 е числото на Галилей и 𝑅𝑎

е числото на Релей, 0 < 휀 ≪ 1.

Билинейна редукция на уравнението

За уравнение 3.2 се прилага субституцията на Hirota-Satsuma

𝑢 𝑡, 𝑥 = 𝑏 + 𝜇 𝑙𝑛휁 𝑥𝑥 3.3

Числата 𝑏, 𝜇, 𝜇 ≠ 0 са неизвестни параметри, функцията 휁 𝑡, 𝑥 е от класа 𝑊2,5 𝛺 . За

𝜇 = 6 след заместване на полагането 3.3 в уравнение 3.2 и след двукратно интегриране и

се получава

1

2휁2 𝐷𝑡

2 − 𝛼𝐷𝑥2 − 휀2𝛽𝐷𝑡

2𝐷𝑥2 − 8𝐵 휁휁 +

3휀2

휁2

𝐷𝑥2휁휁

2휁2 𝛽𝐷𝑡

2휁휁 − 𝐷𝑥2휁휁 −

2

3𝑏휁2 +

+휀3𝜕

𝜕𝑡

3

휁2 𝐷𝑥

4 + 𝛾 + 2𝑏 𝐷𝑥2 + 8𝑘2𝐶 휁휁 = 0

В последното равенство 𝐵 е интеграционна константа и 8𝑘2𝐶 е диференциална константа.

Остатъчните уравнения са

𝐷𝑡2 − 𝛼𝐷𝑥

2 − 휀2𝛽𝐷𝑡2𝐷𝑥

2 − 8𝐵 휁휁 = 0 3.4

2𝑏휁2 = 3𝛽𝐷𝑡2휁휁 − 3𝐷𝑥

2휁휁 3.5

𝐷𝑥4 + 𝛾 + 2𝑏 𝐷𝑥

2 + 8𝑘2𝐶 휁휁 = 0 3.6

Структурата на остатъчните уравнения показва, че двупосочното моделно уравнение на

конвективния флуид е неинтегрируемо. Ако съществува достатъчно гладка функция

휁 𝑡, 𝑥 , която удовлетворява остатъчните уравнения, то дефинираната с 3.3 функция

𝑢 𝑡, 𝑥 е локализирано решение на уравнение 3.2.

Решение на остатъчните уравнения

Първото остатъчно уравнение има билинейно полиномна структура по отношение на опе-

раторите на Hirota 𝐷𝑡 и 𝐷𝑥 . Разглежда се функцията 휃3 𝜉, 𝑞 с фазова променлива

𝜉 = 𝑘𝑥 + 𝜔𝑡 + 𝛿 и с пертурбационен параметър 𝑞 = 𝑒𝑖𝜋𝜏 , 𝐼𝑚𝜏 > 0. 𝑘 е вълновото число, 𝜔

е фазовата честота , 𝜔

𝑘 е фазовата скорост, 𝛿 е фазовото отместване.

Предположение: Функцията 휃3 𝜉, 𝑞 е решение на уравнение 3.4 или

휁 𝑡, 𝑥 = 휃3 𝜉, 𝑞 = 𝑞𝑛2𝑒2𝑖𝑛𝜉

∞

𝑛=−∞

, 0 < 𝑞 < 1

Фазовите параметри 𝑘, 𝜔 и 𝛿, в общия случай комплексни, са неизвестни. Двупериодична-

та функция 휁 𝑡, 𝑥 е също комплексна.След заместване на 휁 𝑡, 𝑥 в уравнение 3.4 се полу-

чава следната система уравнения

19

𝑞 휃3′ + 8휀2𝛽𝑘2 휃3

′ + 𝑞휃3″ 𝜔2 + 휃3𝐵 = 𝛼𝑘2𝑞휃3

′

𝑞 휃2′ + 8휀2𝛽𝑘2 휃2

′ + 𝑞휃2″ 𝜔2 + 휃2𝐵 = 𝛼𝑘2𝑞휃2

′

с 휃𝑗 = 휃𝑗 0, 𝑞2 , 휃𝑗′ = 휃𝑗

′ 0, 𝑞2 , 휃𝑗″ = 휃𝑗

″ 0, 𝑞2 𝑗 = 2,3. Неизвестните са фазовата честота

𝜔2 и интеграционната константа 𝐵. Детерминантата на системата е

∆= 𝑞 1 + 8휀2𝛽𝑘2 𝑊 휃2 , 휃3 + 8휀2𝛽𝑘2𝑊′ 휃2 , 휃3

с 𝑊 휃2 , 휃3 = 휃2휃3′ − 휃2

′ 휃3 , 𝑊 휃2′ , 휃3

′ = 휃2′ 휃3

″ − 휃2″ 휃3

′ , 𝑊′ 휃2, 휃3 = 휃2휃3″ − 휃2

″ 휃3. 𝑊 휃2 , 휃3

и 𝑊′ 휃2, 휃3 са детерминантите на Вронски за линейно независимите функции 휃2 0, 𝑞2 и

휃3 0, 𝑞2 . Следователно ∆ е различна от нула. Разглежданата система има единствено ре-

шение, което е

𝜔 𝑞, 𝑘 = ± 𝛼𝑘2

1 + 8휀2𝛽𝑘2𝑊0 휃2 , 휃3

𝐵 𝑘, 𝑞 =8휀2𝛼𝛽𝑞𝑊 휃2

′ , 휃3′

𝑊 휃2 , 휃3 1 + 8휀2𝛽𝑘2𝑊0 휃2, 휃3

3.7

с означението

𝑊0 휃2, 휃3 = 1 +𝑞𝑊′ 휃2 , 휃3

𝑊 휃2, 휃3 3.8

Ако 𝑘 ≠ 0 и 𝑞 ∈ 0; 1 ,то 𝐵 𝑘, 𝑞 ≠ 0. Вълните са двупосочни поради съществуването

на две стойности за фазовата честота 𝜔. Те се разпространяват в противоположни посоки.

Параметрите 𝑘 и 𝑞 в решението на двупосочното моделно уравнение 3.2 са свободни.

Третото остатъчно уравнение 3.6 също има билинейно полиномна структура. Функцията

휃3 𝜉, 𝑞 би удовлетворила 3.6 за подходящи стойности на неизвестните 𝑘 и 𝐶. След за-

местване на 휃3 𝜉, 𝑞 в 3.6 се получава следната система уравнения

8𝑞𝑘2 휃3′ + 𝑞휃3

″ + 휃3𝐶 = 𝑞 𝛾 + 2𝑏 휃3′

8𝑞𝑘2 휃2′ + 𝑞휃2

″ + 휃2𝐶 = 𝑞 𝛾 + 2𝑏 휃2′

Параметърът 𝑏 участва в третото остатъчно уравнение. Ето защо той играе роля на истин-

ски параметър в решението на горната система. Единственото решение на разглежданата

система е

𝑘 𝑞 =1

2

𝛾 + 2𝑏

2𝑊0 휃2, 휃3 𝐶 𝑞 =

𝑞 𝛾 + 2𝑏 𝑊 휃2′ , 휃3

′

𝑊 휃2 , 휃3 𝑊0 휃2, 휃3 3.9

В реалните периодични решения 2.61 и 2.62 на неинтегрируемата форма на еднопосоч-

ното уравнение 2.1 вълновото число 𝑘 е реално или чисто имагинерно число. За двупо-

сочното уравнение 3.2 вълновото число 𝑘 е функция на пертурбационния параметър 𝑞.

Уравнение 3.5 няма билинейно полиномна структура. За него се прилага пространствена-

та вариация на билинейно трансформационния метод. Пространственото отклонение се

представя като ред с неизвестни членове

𝑏 = 6 𝑘2 − 𝛽𝜔2 𝑏𝑚 𝑞

∞

𝑚=−∞

3.10

Вълновото число 𝑘 и фазовата честота 𝜔 са определени съответно с формули 3.9 и 3.7.

След заместване на 3.10 в уравнение 3.5 за 𝑏𝑚 𝑞 се получава

𝑏𝑚 𝑞 = 2𝑛 − 𝑚 2∞

𝑛=−∞ 𝑞 𝑛−𝑚 2+𝑛2

𝑞 𝑛−𝑚 2+ 𝑛−2𝑚 2∞𝑛=−∞

3.11

След определянето на 𝑏𝑚 𝑞 е доказана сходимостта на реда 𝑏𝑚 𝑞 ∞𝑚=−∞ .

20

Теорема 2

Редът

(∗∗) 𝑏𝑚 𝑞

∞

𝑚=−∞

с дефинирани с 3.11 членове е абсолютно сходящ за 0 < 𝑞 < 1.

Теорема 2 е доказана в дисертационния труд на стр. 65-67.

Извод: Комплексната мероморфна функция

𝑢 𝑡, 𝑥 = 6 𝑘2 − 𝛽𝜔2 𝑏𝑚 𝑞

∞

𝑚=−∞

+ 6𝑘2𝜕

𝜕𝜉

휃3 𝜉, 𝑞

휃3 𝜉, 𝑞 3.12

с определени с формули 3.9, 3.7, 3.11 параметри 𝑘 𝑞 , 𝜔 𝑞 , 𝑏𝑚 𝑞 е точно локализирано

двупериодично решение на двупосочното моделно уравнение на конвективния флуид 3.2.

Условие за аналитичност, реални периодични решения

Нека е изпълнено 𝜏 = 𝑖𝜎, 𝜎 > 0 3.13. При предположение 3.13 чрез ограничаване на фа-

зовата променлива 𝜉 в ивицата −𝜋𝜎 < 𝐼𝑚𝜉 < 𝜋𝜎 се избягват двукратните полюси

𝜉𝑚𝑛 = 𝜋 𝑚 +1

2 + 𝜏𝜋 𝑛 +

1

2 , 𝑚 ∈ ℤ, 𝑛 ∈ ℤ на комплексното мероморфно решение 3.12.

Това е и условието за аналитичност на локализираното решение 3.12. За реално вълново

число 𝑘, 𝑘 > 0 решението е

𝑢 𝑡, 𝑥 = 6 𝑘2 − 𝛽𝜔2 𝑏𝑚 𝑞 +2𝑘2

𝑘2 − 𝛽𝜔2 −1 𝑚𝑚𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐𝑕 𝑚𝜋𝜎 𝑐𝑜𝑠 2𝑚𝜉

∞

𝑚=−∞

3.15

Това периодично решение е наслагване на хармоники с различни амплитуди. Всяка хар-

моника има собствено пространствено отклонение.

При чисто имагинерно вълново число с положителна имагинерна част решението е

𝑢 𝑡, 𝑥 = 6 𝑘2 − 𝛽𝜔2 𝑏𝑚 𝑞 +𝑘2

𝑘2 − 𝛽𝜔2𝑠𝑒𝑐𝑕2 𝜉 − 𝑚𝜋𝜎

∞

𝑚=−∞

3.16

Реалното периодично решение 3.16 е сложно наслагване на солитарни вълни със 𝑠𝑒𝑐𝑕2-

профили. Всеки член на реда има свое пространствено отклонение 𝑏𝑚 𝑞 . Амплитудите са

свързани с груповите свойства на пространствените отклонения чрез равенство 3.14.

Кноидално решение

За неинтегрируемата форма на уравнението кноидалното решение е

𝑢 𝑡, 𝑥 = 𝑏 + 6𝑘2휃3

″ 0, 𝑞

휃3 0, 𝑞 + 6𝑘2휃2

4 0, 𝑞 𝑐𝑛2 𝜉휃32 0, 𝑞 , 𝑟 3.17

За параметрите 𝑘 и 𝜔 са в сила съответно формули 3.9 и 3.7. Пространствените отклоне-

ния в решение 3.17 не въздействат поотделно, а като група.

Солитарно решение

Решението на уравнение 3.2 се търси във вида 𝑢 𝑡, 𝑥 = 𝜑 𝜉 , където 𝜉 = 𝑘𝑥 + 𝜔𝑡 + 𝛿.

Функцията 𝜑 𝜉 , 𝜑 𝜉 ∈ 𝐶5 Ω е неизвестна, Ω = 𝑡, 𝑥 ∈ ℝ2: 0 < 𝑡 < ∞, −∞ < 𝑥 < ∞ .

Параметрите 𝑘, 𝑘 ≠ 0, 𝜔, 𝜔 ≠ 0, 𝛿 са комплексни и неизвестни. След заместване на субсти-

туцията и двукратно интегриране се получава обикновеното диференциално уравнение

𝜔2 − 𝛼𝑘2 𝜑 − 휀2𝑘2 𝛽𝜔2𝜑″ + 𝜑2 + 휀3𝑘2𝜔 𝛾𝜑′ + 𝑘2𝜑‴ + 2𝜑𝜑′ = 𝑆, 𝑆 = Konst. 3.18

21

Уравнение 3.18 се решава по метода на изображението. Решението се търси във вида

𝜑 𝜉 = 𝐴𝜓 𝜉 +𝐵𝜓′ 𝜉

𝜓 𝜉 − 𝐶+ 𝐸

𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐶 > 0, 𝐸 са неизвестни параметри. Функцията 𝜑 𝜉 изобразява решението 𝜓 𝜉 на

уравнението на Рикати

𝜓′ 𝜉 = 4𝜓3 − 12𝐶2𝜓 + 8𝐶3

в изходното уравнение 3.18. Решението на уравнението на Рикати е елиптичната функция

на Вайерщрас 𝜓 𝜉 = ℘ 𝜉, 12𝐶2, −8𝐶3 . Реалните ѝ инварианти са 𝑔2 = 12𝐶2, 𝑔3 = −8𝐶3

Получават се две интересни от физична гледна точка решения.

A) За 𝐵 ≠ 0 решението е

𝐴 = −6𝑘2

𝐵 = 3𝛽𝜔2 − 𝑘2

5휀𝜔

𝐸 = 𝛽𝜔2 − 𝑘2 𝛽𝜔2 + 24𝑘2

50휀2𝑘2𝜔2−

𝛾

2

𝐶 = 𝛽2 − 25 𝜔4 + 𝑘2 23𝛽 + 25𝛼 − 25𝛾휀2 𝜔2 − 24𝑘4

300휀2𝑘4𝜔2

𝑆 = 72휀3𝑘2𝜔𝐶2 𝑘2 3𝛾 + 4𝐸 + 2𝐵2 −

−2𝐵𝐶 𝜔2 − 𝛼2𝑘2 + 2휀2𝑘2 3𝐶 𝛽𝜔2 − 8𝑘2 + 𝐸

3.20

Уравнението за фазовата честота е

𝜆3 − 𝑘2 6

𝛽+ 𝛼 + 𝛽 − 𝛾휀2 𝜆2 + 𝑘4 𝛼 + 𝛾휀2 𝜆 − 6

𝑘2

𝛽= 0 с 𝜆 = 𝜔2 3.21

В този случай солитарно-вълновото решение на уравнение 3.2 е

𝑢 𝑡, 𝑥 = −18𝑘2𝐶𝑐𝑜𝑡𝑕2 𝜉 3𝐶 ±

3 3𝐶 𝛽𝜔2 − 𝑘2

5휀𝜔𝑐𝑜𝑡𝑕 𝜉 3𝐶 +

+ 𝛽𝜔2 − 𝑘2 𝛽𝜔2 + 24𝑘2

50휀2𝑘2𝜔2+

24𝐶𝑘2 − 𝛾

2

3.22

Полученото решение е наслагване на два импулса от вида 𝑐𝑜𝑡𝑕𝑟 𝜉 3𝐶 , 𝑟 = 1,2 с равни

фази и равни пространствени отклонения. Подобни вълни се наричат ударни вълни. Всич-

ки, участващи в 3.22 параметри, с изключение на вълновото число 𝑘, 𝑘 ≠ 0 и фазовото

отместване 𝛿 са определени еднозначно с формули 3.20. Решението е безусловно.

B) За 𝐵 = 0 решението е

𝐴 = −6𝑘2, 𝐵 = 0, 𝐸 = −𝛾

2, 𝜔 = ±

𝑘

𝛽

𝑆 =1

4휀2𝑘2 𝛾2 − 12𝑘4𝑔2 , 𝛾 =

𝛼𝛽 − 1

휀2

3.23

Параметрите 𝐶 , 𝑘 > 0, 𝑔2 , 𝑔3 са свободни. Решението на уравнение 3.2 в този случай

има вида и е възможно само при условие 𝛾 =𝛼𝛽 −1

휀2 .

𝑢 𝑡, 𝑥 = 18𝐶𝑘2𝑠𝑒𝑐𝑕2 𝜉 3𝐶 − 6𝑘2𝐶 +𝛾

2 3.25

В дисертационния труд е разгледана и полуинтегрируемата форма на двупосочното урав-

нение на конвективния флуид. Получени са реални периодични решения и кноидални ре-

шения.

22

ГЛАВА 4. Сравнителен анализ на интегрируеми, полуинтегрируеми и

неинтегрируеми еволюционни уравнения по отношение на свойството на

Пенлеве

В глава 4 са изследвани уравнението на Кортевег-де Вриз, регуляризираното уравнение на

дългите вълни и уравнението на Кортевег-де Вриз от пети ред по отношение на свойство-

то на Пенлеве. Анализът е направен по 𝛼-метода на Ковалевская във варианта на

Ablowitz, Ramani и Segur 2 .

Пенлеве-анализ на интегрируемото еволюционно уравнение на Корте-

вег-де Вриз (KdV)

Разглежда се уравнението 𝑢𝑡 + 6𝑢𝑢𝑥 = 𝑢𝑥𝑥𝑥 4.1

Субституцията е бягаща вълна 𝜉 = 𝑥 + 𝑐𝑡 и 𝑢 𝑡, 𝑥 = 휁 𝜉 . Параметърът 𝑐, 𝑐 ≠ 0 играе

ролята на фазовата честота. Функцията 휁 𝜉 е достатъчно гладка. След заместване и ед-

нократно интегриране се получава уравнението 𝑐휁 + 3휁2 = 휁″ − 𝐵, 𝐵 = Konst. 4.2

Първата стъпка на модифицирания 𝛼-метод е определянето на доминантното поведение

на решението. Нека 𝜉0 е произволна подвижна особена точка на решението 휁 𝜉 . Приема

се, че поведението на решението 휁 𝜉 , когато 𝜉 → 𝜉0 , е следното

휁 𝜉 =𝑎

𝜉 − 𝜉0 𝑛 с 𝑎 = 𝐾𝑜𝑛𝑠𝑡. , 𝑎 ≠ 0, 𝑛 ∈ ℕ 4.3

За уравнение 4.2 могат да се уравновесят само 휁2 и 휁″ . Доминантното уравнение е

3휁2 = 휁″ 4.4

След заместване на 4.3 в доминантното уравнение 4.4 се получават 𝑛 = 2, 𝑎 = 2. Уравне-

ние 4.2 има втора степен на сингулярност. Очакваното поведение на решението в окол-

ност на подвижна особена точка е

휁 𝜉 = 2 𝜉 − 𝜉0 −2

Втората стъпка на модифицирания 𝛼-метод е определянето на интеграционните констан-

ти. Уравнение 4.2 е от втори ред. Следователно в общото му решение 휁 𝜉 участват две

произволни интеграционни константи. Едната от тях е 𝜉0. Предстои определянето на дру-

гата. Разглежда се редът на Лоран на решението 휁 𝑧 във вида

휁 𝑧 = 2𝑧−2 + 휀𝑧−2+𝑟 с 𝑟 ∈ ℤ, 휀 = Konst. 4.5

За удобство е означено 𝑧 = 𝜉 − 𝜉0. След заместване на функцията 4.5 в доминантното

уравнение се получава уравнението 𝑟2 − 5𝑟 − 6 = 0 4.6

Решенията му са 𝑟1 = −1 и 𝑟2 = 6. Двете решения са цели числа, което означава, че ре-

шението на разглежданото уравнение няма алгебрични разклонения. Коренът 𝑟1 = −1

съответства на първата произволна константа 𝜉0. Коренът 𝑟2 = 6 съответства на втората

произволна константа. В този случай редът на Лоран за 휁 𝑧 има вида

휁 𝑧 = 2𝑧−2 + 𝑎−1𝑧−1 + 𝑎0 + 𝑎1𝑧 + 𝑎2𝑧

2 + 𝑎3𝑧3 + 𝑎4𝑧

4 с 𝑎4 ≠ 0 4.7

Константите 𝑎−1 , 𝑎0 , 𝑎1, 𝑎2 , 𝑎3 , 𝑎4 ≠ 0 са неизвестни. Техните стойности се получават

след заместване на 4.7 в 4.2 и са

𝑎−1 = 0, 𝑎0 = −𝑐

6 , 𝑎1 = 0, 𝑎2 = 0, 𝑎3 = 0, 𝑎4 ≠ 0 е произволна константа, 𝑐 = ±2 3𝐵

Решението няма логаритмични разклонения. За всяка фиксирана стойност на 𝐵 редът на

Лоран за решението в околност на подвижния полюс 𝜉 = 𝜉0 е

23

𝑢 𝑡, 𝑥 =2

𝜉 − 𝜉0 2 ∓

𝐵

3+ 𝑎4 𝜉 − 𝜉0

4 с 𝜉 = 𝑥 ± 2 3𝐵𝑡 4.8

Параметрите 𝜉0 и 𝑎4 в решение 4.8 играят ролята на двете произволни константи.

Пенлеве-анализ на регуляризираното уравнение на дългите вълни

Разглежда се регуляризираното уравнение на дългите вълни 𝑢𝑡 + 2𝑢𝑢𝑥 = 𝑢𝑡𝑥𝑥 4.9

То е полуинтегрируемо еволюционно уравнение. Субституцията е 𝜉 = 𝑥 + 𝑐𝑡, 𝑐 ≠ 0,

𝑢 𝑡, 𝑥 = 휁 𝜉 . След заместване в 4.9 и еднократно интегриране се получава обикновеното

диференциално уравнение 𝑐휁 + 휁2 = 𝑐휁″ − 𝐵, 𝐵 = Konst. 4.10

Доминантното уравнение за 4.10 е 휁2 = 𝑐휁″ 4.11.

Приема се, че решението 휁 𝜉 в околност на произволна подвижна особена точка 𝜉0 има

следния вид

휁 𝜉 = 𝑎 𝜉 − 𝜉0 −𝑛 с 𝑛 ∈ ℕ , 𝑎 ≠ 0

След заместване на решението в 4.11 се получават 𝑛 = 2, 𝑎 = 6𝑐. Степента на сингуляр-

ност е 𝑛 = 2 и за 휁 𝜉 е вярно представянето

휁 𝜉 = 6𝑐 𝜉 − 𝜉0 −2

Уравнение 4.10 е от втори ред и в общото му решение присъстват две произволни конс-

танти. Едната от тях е 𝜉0. Остава да се определи и втората. Редът на Лоран на решението

휁 𝑧 се представя във вида

휁 𝑧 = 6𝑐𝑧−2 + 휀𝑧−2+𝑟 с 𝑟 ∈ ℤ, 휀 = Konst. 4.12

За удобство е означено 𝑧 = 𝜉 − 𝜉0. След заместване на решение 4.12 в доминантното

уравнение 4.11 се получава уравнението 𝑟2 − 5𝑟 − 6 = 0 4.13

Решенията на 4.13 са 𝑟1 = −1 и 𝑟2 = 6. Те са цели числа, което означава, че решението

няма алгебрични разклонения. Решението 𝑟1 = −1 отговаря на първата произволна конс-

танта 𝜉0. Решението 𝑟2 = 6 съответства на втората произволна константа. Редът на Лоран

на 휁 𝑧 има следния вид

휁 𝑧 = 6𝑐𝑧−2 + 𝑎−1𝑧−1 + 𝑎0 + 𝑎1𝑧 + 𝑎2𝑧

2 + 𝑎3𝑧3 + 𝑎4𝑧

4 mit 𝑎4 ≠ 0 4.14

Константите 𝑐 ≠ 0, 𝑎−1 , 𝑎0, 𝑎1, 𝑎2 , 𝑎3 , 𝑎4 ≠ 0 са неизвестни.

След заместване на решението 4.14 в уравнение 4.10 се получават стойностите им

𝑎−1 = 0, 𝑎0 = −1

2𝑐, 𝑎1 = 0, 𝑎2 =

𝑐2 − 4𝐵

40𝑐, 𝑎3 = 0, 𝑎4 ≠ 0 е свободен параметър

Решението няма логаритмични разклонения. Редът на Лоран на решението 𝑢 𝑡, 𝑥 в окол-

ност на 𝜉0 има вида

𝑢 𝑡, 𝑥 =6𝑐

𝜉 − 𝜉0 2−

1

2𝑐 +

𝑐2 − 4𝐵

40𝑐 𝜉 − 𝜉0

2 + 𝑎4 𝜉 − 𝜉0 4 4.15

с 𝜉 = 𝑥 + 𝑐𝑡. За полуинтегрируемото уравнение 4.9 редът на Лоран на решението 𝑢 𝑡, 𝑥

съдържа три независими константи, които са 𝜉0, 𝑎4 и 𝑐 ≠ 0.

Пенлеве-анализ на неинтегрируемото еволюционно уравнение на Корте-

вег-де Вриз от пети ред (FKdV)

Разглежда се еволюционното уравнение на Кортевег-де Вриз от пети ред

𝑢𝑡 + 2𝑢𝑢𝑥 = 𝑢𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥 4.17

Субституцията е 𝜉 = 𝑥 + 𝑐𝑡, 𝑐 ≠ 0, 𝑢 𝑡, 𝑥 = 휁 𝜉 . След заместване в уравнение 4.18 и

след еднократно интегриране се стига до обикновеното диференциално уравнение

24

𝑐휁 + 휁2 = 휁𝐼𝑉 − 𝐵, 𝐵 = Konst. 4.18

Доминантното уравнение е 휁2 = 휁𝐼𝑉4.19. Приема се, че решението 휁 𝜉 на 4.19 в окол-

ност на произволна подвижна особена точка 𝜉0 има следния вид

휁 𝜉 = 𝑎 𝜉 − 𝜉0 −𝑛 , 𝑛 ∈ ℕ, 𝑎 ≠ 0

След заместване на 휁 𝜉 в 4.19 се получават 𝑛 = 4 и 𝑎 = 840. Уравнението има степен на

сингулярност 4. Функцията 휁 𝜉 има вида

휁 𝜉 = 840 𝜉 − 𝜉0 −4 4.20

За удобство е означено 𝑧 = 𝜉 − 𝜉0. Уравнение 4.18 е от четвърти ред. Общото му решение

съдържа четири произволни константи, едната от които е 𝜉0. Останалите три трябва да се

определят. Редът на Лоран на решението 휁 𝑧 се представя във вида

휁 𝑧 = 840𝑧−4 + 휀𝑧−4+𝑟 с 𝑟 ∈ ℤ, 휀 = Konst. 4.21

След заместване на 4.21 в доминантното уравнение 4.19 се получава уравнението

𝑟4 − 22𝑟3 + 179𝑟2 − 638𝑟 − 840 = 0 4.22

Решенията му са 𝑟1 = −1 , 𝑟2 = 1,45735 , 𝑟3,4 = 10,77133 ± 7,38806𝑖 .

Коренът 𝑟1 = −1 отговаря на първата произволна константа. Останалите корени не са

цели числа. Те са комплексно спрегнати. Това означава, че редът на Лоран има поне едно

логаритмично разклонение. Логаритмичните разклонения са характерни за неинтегрируе-

мите еволюционни уравнения. Първото логаритмично разклонение се появява в този член

на реда на Лоран, за който не съществува коефициент 𝑎𝑖 .

Заключение

А) От получените в глава 2 точни периодични и солитарни вълнови решения на интегри-

руемата, полуинтегрируемата и неинтегрируемата форма на еднопосочното уравнение на

конвективния флуид могат да се направят следните изводи:

1. За периодичните вълни в реалния случай 𝑞 = 𝑒−𝛽𝜋 2.19. ,2.20, 2.40, 2.41, 2.61, 2.62

има две възможности. Те могат да са както дисипиращи, така и недисипиращи. С диспер-

сионните съотношения 2.14, 2.34, 2.55 е пресметната зависимостта на фазовата честота от

вълновото число 𝑘, т.е. 𝜔 = 𝜔 𝑞, 𝑘 . Комплексната фазова честота поражда дисипиращи

вълни, докато реалната фазова честота поражда недисипиращи. Амплитудите на дисипи-

ращите вълни затихват нелинейно с времето.

2. Както за интегрируемата форма 2.14, така и за неинтегрируемата форма 2.55 вълните

са дисперсионни поради 𝜔″ 𝑘 ≠ 0. При полуинтегрируемата форма 2.34 вълните са не-

дисперсионни поради 𝜔″ 𝑘 = 0 .

3. При всяка от трите форми съществува груповата скорост 𝑣𝐺 = 𝜔′ 𝑘 , като само за полу-

интегрируемата форма 2.34 тя е постоянна 𝑣𝐺 =𝛼2𝛼3

𝛼4. В останалите случаи 2.14, 2.55 тя

зависи от фазовата честота и от вълновото число или 𝑣𝐺 = 𝑣𝐺 𝑘, 𝑞 .

4. За всяка от трите форми е възможно реалното наслагване (суперпозиция) на периодич-

ните вълни. Това се случва при приравняване на фазовата скорост на периодичните вълни

на скоростта на съответната солитарна вълна. Този процес протича по различни начини. В

интегрируемия случай равенството е възможно заради свободата при избора на простран-

ственото отклонение 2.26. Дори за 𝑎 = 0 равенството е изпълнено. В полуинтегрируемия

случай равенството зависи само от началните (априорните) параметри. Както за приодич-

ните вълни 2.40, 2.41, така и за солитарната вълна е в сила равенството 𝜔

𝑘=

𝛼2𝛼3

𝛼4. В неин-

25

тегрируемия случай равенството се постига малко по-сложно чрез съотношението между

вълновото число и пертурбационния параметър.

5. Пространствените отклонения на периодичните решения се характеризират със значи-

телни различия. При интегрируемата форма 2.9 пространственото отклонение е произвол-

но. Възможна е дори стойност 𝑎 = 0. Това означава, че пространствените отклонения не

са свързани с периодичната вълна. Без значение е дали тези вълни се разпространяват в

области със силна или със слаба нелинейност. При полуинтегрируемата форма 2.28 прос-

транственото отклонение е функция на вълновото числи и на пертурбационния параметър

или 𝑎 = 𝑎 𝑘, 𝑞 . За фиксирани стойности 𝑘 и 𝑞 = 𝑒−𝛽𝜋 отклоненията са едни и същи за

целия вълнов пакет 2.40, 2.41 с течение на времето 0 < 𝑡 < ∞. Както при интегрируемия,

така и при полуинтегрируемия случай е в сила принципът на нелинейното наслагване (су-

перпозиция) на Toda 47 , модифициран от Parker 40 . Периодичните решения 2.19, 2.20

und 2.40, 2.41 осъществяват не наслагване на синусоидални решения и на солитарно въл-

нови решения, а наслагване на синусоидални и солитарно вълнови профили. Причината за

това е следната: В интегрируемия случай скоростите на периодичната вълна и на солитар-

ната вълна са различни. Формата на солитарната вълна е точно копирана, за да се получат

периодични решения. Равните скорости в полуинтегрируемия случай 2.28 са по-скоро

изключение. За други полуинтегрируеми уравнения, като уравнението на Benjamin-Bona-

Mahony (регуляризирано уравнение на дългите вълни) 40 𝑢𝑡 + 𝑢𝑢𝑥 − 𝑢𝑡𝑥𝑥 = 0, скорости-

те не са равни. Пространствените отклонения при неинтегрируемата форма имат същест-

вено различно поведение. Точните периодични решения 2.61, 2.62 са резултат от по-

сложен механизъм. Всяка синусоидална или солитарно-вълнова хармоника има свое прос-

транствено отклонение. Това обстоятелство променя принципа на нелинейното наслагва-

не. Осъществява се суперпозиция не на еднакви, а на подобни синусоидални и солитарни

профили.

6. Солитарните и едно-солитонните решения са пресметнати по метода на изображението.

Той не е свързан със степента на интегрируемост на разглежданото уравнение, а със сте-

пента му на сингулярност. Интегрируемите уравнения, например 2.9, имат N-солитонни

решения и безбройно много закони за запазване. Полуинтегрируемото уравнение 2.28 има

солитарно вълново решение 2.49 с постоянна фазова скорост. То няма едно-солитонно

решение. Полуинтегрируемото уравнение има и рационално решение 2.51. Неинтегриру-

емото уравнение 2.1 има три двупараметрични семейства от солитарно вълнови решения

от вида ударна вълна 2.71, 2.72. Това уравнение има рационално решение.

7. Всички форми на еволюционното уравнение 2.1 притежават кноидално решение като

особено периодично решение. При интегрируемата форма е възможно за подходящи

стойности на свободния параметър 𝑎 това решение да няма пространствено отклонение.

При полуинтегрируемата форма това решение има пространствено отклонение 𝑎 = 𝑎 𝑘, 𝑞

2.47. При неинтегрируемата форма кноидалното решение има особена форма на прост-

ранствени отклонения-груповата форма. Отделните отклонения 𝑎𝑚 , 𝑚 = 0, ±1, ±2, … се

проявяват в своята цялост.

Извършеният в глава 2 анализ е свързан със свойствата на периодичните решения на три

различни форми на едно и също уравнение. От динамична и аналитична гледна точка ин-

тегрируемата и полуинтегрируемата форма на уравнение 2.1 показват сходно поведение.

Неинтегрируемата форма има съвсем различно поведение. Дори принципът на суперпози-

цията е формулиран по различен начин.

26

Б) Неинтегрируемото моделно уравнение на двупосочните вълни в конвективен флуид е

едно от двете възможни евристични разширения на системата на Boussinesq за дисипатив-

ни системи 12 .

В сравнение с еднопосочното уравнение солитарно-вълновите решения проявяват същес-

твени различия.

1. Възникват характеристични уравнения за определяне на фазовата честота, появяват се

условия за съгласуваност за някои параметри.

2. За двупосочното уравнение вълновото число 𝑘 не е свободен параметър както за едно-

посочното уравнение.

3. За двупосочната форма безусловното солитарно-вълново решение е наслагване на два

импулса от вида 𝑐𝑜𝑡𝑕𝑚 , 𝑚 = 1,2. За еднопосочната форма тези импулси са три.

Съществени различия се появяват и при периодичните решения.

4. За неинтегрируемата форма на двете уравнения периодичните вълни имат ясно изразе-

ни пространствени характеристики. Всяка самостоятелна хармоника има свое пространст-

вено отклонение. За еднопосочното уравнение това пространствено отклонение зависи

или само от пертурбационния параметър, или от пертурбационния параметър и от вълно-

вото число. За двупосочното уравнение пространственото отклонение зависи, както от

пертурбационния параметър, така и от вълновото число и от фазовата честота. Тази разли-

ка може да се обясни с присъствието на смесени частни производни в двупосочното урав-

нение. При субституцията бягаща вълна всяка смесена производна поражда в зависимост

от реда си спрямо времето множител от вида 𝜔, 𝜔2 , …. Това означава, че пространствените

отклонения на двупосочните вълни имат сложно поведение-те комбинират индивидуално-

то и груповото развитие.

5. При полуинтегрируемата форма на двете уравнения пространствените отклонения имат

групово поведение или за фиксирани стойности на вълновото число и на пертурбационния

параметър са постоянни.

6. При кноидалните решения на двете уравнения не се забелязват различия. По отношение

на структурата двете решения са динамично еквивалентни.

Идеята за сравнителен анализ на уравнения с различен интегрируем статус се оказа конст-

руктивна. Това е резултат от възможността за определяне на точни перодични решения и

на солитарно-вълнови решения на многобройни частни еволюционни и нееволюционни

уравнения. Степента на интегрируемост за дадено моделно уравнение има растящо въз-

действие върху пространствените отклонения на периодичните вълни. Най-голямо влия-

ние има неинтегрируемостта. Това се обяснява с реда на Лоран на решението в околност

на подвижна особена точка. Логаритмичните разклонения на коефициентите на реда са в

основата на преминаването на постоянното пространствено отклонение в наслагване на

безбройно много пространствени компоненти, които се свързват с развиващите се нели-

нейни хармоники.

НАУЧНО-ПРИЛОЖНИ ПРИНОСИ

1. Развит е билинейно трансформационният метод за интегрируемата, полуинтегрируема-

та и неинтегрируемата форма на еволюционното нелинейно моделно уравнение на кон-

вективния флуид, като са получени точните периодични решения за всяка форма. Анали-

зирани са зоните на слабите и зоните на силните нелинейни ефекти върху издигането на

повърхността на флуида.

27

2. Изследвана е пространствената модификация на билинейно трансформационния метод

за неинтегрируемата форма на еволюционното нелинейно моделно уравнение на конвек-

тивния флуид и са получени са аналитични изрази за променящите се с всяка хармоника

пространствени отклонения. Доказана е абсолютната им сходимост като членове на функ-

ционален ред.

3. Извършено е структурно сравнение на пространствените отклонения на получените в

трите версии периодични решения. В контекста на билинейно трансформационната про-

цедура са посочени приликите и съществените различия между форматите на пространст-

вените отклонения в различните случаи.

4. Извършено е проучване на локализираните решения за интегрируеми, полуинтегрируе-

ми и неинтегрируеми нелинейни диференциални уравнения по отношение на свойството

на Пенлеве, като са сравнени структурите на Лорановите развития на тези решения в

околност на подвижна особена точка. Пенлеве-анализът е приложен за интегрируемото

уравнение на Кортевег-де Вриз (KdV), за регуляризираното уравнение на дългите вълни

(RLWE) и за уравнението на Кортевег-де Вриз от пети ред (FKdV).

5. Представени са точните периодични и кноидални решения на обобщената версия на

еволюционното еднопосочно уравнение на конвективния флуид-нелинейното уравнение

на двупосочните вълни, като е приложена пространствената вариация на билинейно тран-

сформационния метод.

СПИСЪК НА ПУБЛИКАЦИИТЕ ПО ДИСЕРТАЦИОННИЯ ТРУД

1. О. Каменов, М. Узунова, Периодични и солитарно-вълнови решения за полуинтегруеми

еволюционни уравнения, Годишник на Технически университет-София, том 66, кн.2,

2016, стр. 45-54, ISSN 1311-0829

2. O. Kamenov, M. Uzunova, Bidirectional travelling surface waves in a convecting fluid, Ta-

gungsbände der FDIBA Konferenz, Volumen 1, Dezember 2017, pp.101-104, ISSN 2535-1338

3. M. Uzunova, Solitäre und knoidale Wellen in der Gleichung des Konvektionsfluids, Tagungs-

bände der FDIBA Konferenz, Volumen 1, Dezember 2017, pp.105-108, ISSN 2535-1338

Библиография

1 Ablowitz M. J., D. J. Kaup, A. C. Newell, H. Segur, Method for Solving the Sine-Gordon

Equation, Phys. Rev. Lett. Vol.30, 25, pp. 1262-1264, 1973

doi.org/10.1103/PhysRevLett.30.1262

2 Ablowitz M.J., A. Ramani, H. Segur, A Connection between Nonlinear Evolution Equations

and Ordinary Differential Equations of P-type I, J. Math. Phys., Vol. 21, pp. 715-721, 1980

doi.org/10.1063/1.524491

3 Ablowitz M.J., H. Segur, Solitons and the Inverse Scattering Transform, SIAM, 1981

doi.org/10.1137/1.9781611970883

4 Aspe H., M. C. Depassier , Evolution Equation of Surface Waves in a Convecting Fluid,

Phys. Review A, Vol. 41, 6, pp 3125-3128, 1990 DOI: 10.1103/PhysRevA.41.3125

5 Bateman H., A. Erdélyi, Higher Transcendental Functions, McGraw-Hill Book Company,

INC, 1955

6 Benguria R. D., M. C. Depassier, Oscillatory Instabilities in the Rayleigh–Bénard Problem

with a Free Surface, Physics of Fluids Vol. 30, 6, pp 1678-1682, 1987

doi.org/10.1063/1.866232

28

7 Benguria R. D., M. C. Depassier, On the Linear Stability Theory of Bénard–Marangoni Con-

vection, Physics of Fluids A Vol. 1, 7, pp 1123-1127, 1989 doi.org/10.1063/1.857336

8 Benney D. J., Long Waves on Liquid Films, Studies in Appl. Math., Vol. 45, 1-4, pp 150-

155, 1966, doi.org/10.1002/sapm1966451150

9 Boussinesq, J., Théorie de l'intumescence liquide appelée onde solitaire ou de translation, se

propageant dans un canal rectangulaire, C. R. Acad. Sci. Paris 72, pp. 755-759, 1871.

[10] Boyd J. P., Theta functions, Gaussian series, and spatially periodic solutions of the

Korteweg–de Vries equation, Journal of Mathematical Physics 23(3) · March 1982

DOI: 10.1063/1.525380

[11] Bullough, R.K.,P. Caudrey , Topics of the Current Physics: Solitons, Vol.17

ISBN 978-3-642-81450-1,Springer- Verlag Berlin Heidelberg, 1980

DOI 10.1007/978-3-642-81448-8

12 Christov C. I., M. G. Velarde, Evolution and Interactions of Solitary Waves (Solitons) in

NonIinear Dissipative Systems, Physica Scripta, Vol. T55, pp 101-106, 1994

doi.org/10.1088/0031-8949/1994/T55/017

13 Caudrey P. J. , J. D. Gibbon, J. C. Eilbeck, R. K. Bullough, Exact Multisoliton Solutions of

the Self-Induced Transparency and Sine-Gordon Equations

Phys. Rev. Lett. 30, 237,1973 doi.org/10.1103/PhysRevLett.30.237

14 Bullough R.K., F. Ahmad, Exact Solutions of the Self-Induced Transparency Equations,

Phys. Rev. Lett. 27, 330 – ,1971 doi.org/10.1103/PhysRevLett.27.330

15 Cohen B. I., J.A. Krommes, W.M. Tang, M. N. Rosenbluth, Non-linear Saturation of the

Dissipative Trapped-ion Mode by Mode Coupling, Nuclear Fusion Vol.16, 6, pp 971-992,

1976 doi.org/10.1088/0029-5515/16/6/009

16 Depassier M. C., Evolution Equation for Bidirectional Surface Waves in a Convecting Flu-

id, AIP Phys. Fluids, Vol. 18 107102, 2006 doi.org/10.1063/1.2362843

17 Fisher R. A., The Wave of Advance of Advantageous Genes, Ann. of Eug., 7, pp. 355-369,

1937, doi.org/10.1111/j.1469-1809.1937.tb02153.x

18 Gardner C. S., J. M. Greene, M. D. Kruskal, R. M. Miura, Method for Solving the Korte-

weg- de Vries Equation, Phys. Rev. Lett. Vol.19, 19, pp. 1095-1097, 1967

doi.org/10.1103/PhysRevLett.19.1095

19 Garazo A. N., M. G. Velarde, Dissipative Korteweg–de Vries Description of Marangoni–

Bénard Oscillatory Convection, Physics of Fluids A Vol. 3, 10, pp 2295-2300, 1991

doi.org/10.1063/1.857868

20 Hirota R., J. Satsuma, A Variety of Nonlinear Network Equations Generated from the

Bäcklund Transformation for the Toda Lattice, Prog. Theor. Phys. Suppl., Vol. 59, pp. 64-100,

1976 doi.org/10.1143/PTPS.59.64

21 Hirota R., Exact N-soliton Solutions of the Wave Equation of Long Waves in Shallow-

water and in Nonlinear Lattices, J. Math. Phys., Vol. 14, pp 810-814, 1973

doi.org/10.1063/1.1666400

22 Kadomtsev, B. B.; Petviashvili, V. I. On the Stability of Solitary Waves in Weakly Disper-

sive Media, Sov. Phys. Dokl. Vol.15, issue 6 pp. 539–541, 1970

23 Kamenov O. Y., Exact Periodic Solutions of the Sixth-order Generalized Boussinesq Equa-

tion, J. Phys. A: Math. Theor. 42, 375501 ,pp 1-11, 2009

DOI: 10.1088/1751-8113/42/37/375501

29

24 Kamenov O. Y., Periodic Solutions of the Non-integrable Convective Fluid Equation,

J.Math. Phys. 53, 063705, 2012 doi: 10.1063/1.4727870

25 Kamenov O. Y., New Periodic Exact Solutions of the Kuramoto-Sivashinsky Evolution

Equation, WSEAS Transactions on Mathematics, Vol. 13, pp 345-352, 2014

26 Kamenov O. Y., A. Angova, Exact Periodic Solutions of the Nonintegrable Kawahara Equ-

ation, ISRN Math. Phys., Vol. 2012, 185469, pp 1-11, 2012 dx.doi.org/10.5402/2012/185469

27 Kano K., T. Nakayama, An Exact Solution of the Wave Equation 𝑢𝑡 + 𝑢𝑢𝑥 − 𝑢5𝑥 = 0,

J. Phys. Soc. Japan, Vol. 51, 2, pp. 361-362, 1981, doi.org/10.1143/JPSJ.50.361

28 Kraenkel R. A., S. M. Kurcbart, J. G. Pereira, M. A. Manna, Dissipative Boussinesq System

of Equations in the Bénard–Marangoni Phenomenon, Phys. Rev. E, Vol. 49, 2,

pp 1759-1762, 1994 doi.org/10.1103/PhysRevE.49.1759

29 Kruskal M.D., R. M. Miura, C. S. Gardner, N. J. Zabusky, Korteweg‐deVries Equation and

Generalizations. V. Uniqueness and Nonexistence of Polynomial Conservation Laws Journal of

Mathematical Physics 11, 952 (1970), doi.org/10.1063/1.1665232

30 Kudryashov N. A., Nonlinear Differential Equations with Exact Solutions Expressed

via the Weierstrass Function, Z. Naturforsch. 59a, pp. 443 – 454, 2004

DOI: 10.1515/zna-2004-7-807

31 Kudryashov N. A., Simplest Equation Method to Look for Exact Solutions of Nonlinear

Differential Equations, Chaos, Solitons & Fractals, Elsevier, Vol.24, 5, pp 1217-1231, 2005

doi:10.1016.chaos.2004.09.109

32 Lax P. D., Integrals of Nonlinear Equations of Evolution and Solitary Waves, Comm. Pure

Appl. Math., 21, pp. 467-490, 1968 doi.org/10.1002/cpa.3160210503

33 Lawden D. F., Elliptic Functions and Applications, Springer, 1989

ISBN 3-540-96965-9 doi.org/10.1002/zamm.19910710708

34 Nakamura A., A Direct Method of Calculating Periodic Wave Solutions to Nonlinear Evo-

lution Equations. I. Exact Two-Periodic Wave Solution, J. Phys. Soc. Jpn. 47, pp. 1701-1705

(1979) https://doi.org/10.1143/JPSJ.47.1701

35 Nakamura A., A Direct Method of Calculating Periodic Wave Solutions to Nonlinear Evo-

lution Equations. II. Exact One- and Two-Periodic Wave Solution of the Coupled Bilinear Equa-

tions, J. Phys. Soc. Jpn., 1980 Vol. 48 Iss. 4 pp. 1365-1370 https://doi.org/10.1143/JPSJ.48.1365

36 Nepomnyashchy A. A., M. G. Velarde, A Three dimensional Description of Solitary Waves

and Their Interaction in Marangoni–Bénard Layers, Physics of Fluids, Vol. 6, 1,

pp 187-198, 1994 doi.org/10.1063/1.868081

37 Oberheittinger F., W.Magnus, Anwendung der elliptischen Funktionen in Physik und

Technik, Springer-Verlag Berlin-Göttingen-Heidelberg, 1949 ISBN 978-3-642-52793-7

38 Painlevé P, Sur les équations différentielles du second ordre et d'ordre supérieur dont

l'intégrale générale est uniforme. Acta Math. 25 (1902), 1--85. doi:10.1007/BF02419020.

https://projecteuclid.org/euclid.acta/1485882109

39 Parker A., On exact solutions of the regularized long-wave equation: A direct

approach to partially integrable equations. I. Solitary wave and solitons, Journal of Mathematical

Physics 36, 3498 (1995); doi: 10.1063/1.530976

40 Parker A., On exact solutions of the regularized long-wave equation: A direct approach to

partially integrable equations. II. Periodic solutions, J. Math. Phys., pp. 3506-3519, 1995

doi.org/10.1063/1.530977

30

SUMMARY

Comparative analysis of the periodic solutions of evolutionary integrable, semi-

integrable and nonintegrable partial nonlinear differential equations

Magdalina Vasileva Uzunova

In the introduction, a brief historical review of the methods for obtaining exact so-

lutions of partial nonlinear differential equations is made.

Chapter 1 discusses important features of Weierstrass functions and the theta-

functions and Jacobi's elliptical functions. There are significant correlations be-

tween these functions. The Hirota operators and their associated identities are

briefly described. The general solutions of two Riccati equations are given, de-

pending on the equation coefficients. The image method is described.

Chapter 2 discusses the unidirectional evolutionary equation of the convective

fluid in its integrable, semi-integrable and non-integrable form. For each of them

with the bilinear transformation method the exact meromorphic solution is calcu-

lated. A condition for analyticity of the solution is determined. As a result, the real

periodic and cnoidal solutions are presented. With the image method, solitary and

one-soliton solutions were found for each form of the equation. All solutions for

the integrable status of the equation are analyzed. The general characteristics and

the significant differences in the solutions have been identified. A computer visu-

alization of periodic solutions has been made.

Chapter 3 discusses the bidirectional equation of the convective fluid in its non-

integrable and semi-integrable form. With the spatial modification of the bilinear

transformation method, an exact meromorphic solution for each form of the equa-

tion is obtained. A condition for analyticity of the solution is determined. Real and

cnoidal solutions have been obtained. Solitary solutions are calculated with the im-

age method. All solutions are analyzed regarding the integrable status of the equa-

tion. The general characteristics and significant differences in the solutions have

been identified.

Chapter 4 explores the Korteweg-de Vries equation, the regularized long wave

equation, and Korteweg-de Vries's fifth-order equation in terms of Painlevé prop-

erty. Laurent series of solutions in the vicinity of a mobile singular point are ana-

lyzed. The solutions of the integrable and the semi-integrable equation are pre-

sented as the final order of Laurent series in the vicinity of a mobile singular point.

In the conclusion are presented the conclusions of the comparative analysis of the

periodic solutions of the unidirectional equation of the convective fluid regarding

its integrable status. The results of the comparative analysis of the periodic solu-

tions of the unidirectional and the bidirectional equation of convective fluid are

also presented.