И.Т. - uCozstudyfiles.do.am/files/book/trigonometricheskie_uravnenija_i_neravens... · 9. cos42x + 6cos22x=lJL jq. 2 tgx—2ctgx = 3. 11. cos2x+sin2x-+sinx=0,25.,2-cos2x+sin4x=l

И.Т. БОРОДУЛЯ

Тригонометрическиеуравнения

и неравенства

Книга для учителя

МОСКВА «ПРОСВЕЩЕНИЕ» 1989

ББК 74.262Б83

Рецензенты:

доктор физико-математических наук, профессорВ. В. Рыжков; методист Севастопольского РУНОМосквы М. В. Троицкий; инспектор-методист MHOРСФСР К. И. Шалимова

Бородуля И. Т.Б83 Тригонометрические уравнения и неравенства: Кн. для

учителя.— М.: Просвещение, 1989.— 239 с: ил.

ISBN 5-09-000613-Х

Книга представляет собой сборник задач, составленный на основе многолетнего опыта

работы автора в школе В начале каждой главы или параграфа дается небольшой

теоретический материал, рассматриваются различные способы решения основных видов задач. Далеепредлагается система упражнений, расположенных в порядке нарастания трудности Вторуючасть книги составляют ответы, указания или решения задач

Обширный набор упражнений и задач дает возможность учители составлять

Индивидуальные задания для учащихся с учетом их возможностей Предполагается, что упражнения могутбыть использованы для обобщения и повторения материвла иа завершающей стадии изучения

той или иной частн раздела, иа факультативных занятиях н при подготовке к экзаменам

в «зобоюооо^ 1м_м ББК ?4 262103(03) — 89

ISBN 5-09-000613-Х © Издательство сПросвещенне», 1989

Глава I. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ

К определению тригонометрического уравнения различныеавторы учебных пособий подходят по-разному. Мы назовем

тригонометрическим уравнением равенство тригонометрических выражений,содержащих неизвестное (переменную) только под знаком

тригонометрических функций. Уравнения cos3x = sinx; tg( ——Их) —

— tgf — л — 5х\ =0; sin3x-fsin 5jc=sin Ах и т.д. суть

тригонометрические уравнения. Уравнения sin *=-=-*; cos2jc=—«г*+ Т'

tg2x=x и т.д. не являются тригонометрическими, они относятся

к типу трансцендентных уравнений и, как правило, решаютсяприближенно или графически. Может случиться так, что уравнениене является тригонометрическим согласно определению, однако оно

может быть сведено к тригонометрическому. Например, 2(х—6)cos2x== х—6. Мы видим, что х — 6 не содержится под знаком

тригонометрических функций, однако оно решается аналитически: (х — 6)ХX(2cos2x— 1)=0, откуда х = б или cos2jc=_!_, х=± —+лл, где

/ieZ. Решить тригонометрическое уравнение — значит найти все

его корни — все значения неизвестного, удовлетворяющиеуравнению. При решении тригонометрических уравнений мы будемпользоваться известными тригонометрическими формулами.Простейшими тригонометрическими уравнениями являются: sinx = u и

cosJt = o, где |а|<11; igx~a и ctgx = a, где аеД. Для решенияразличных видов тригонометрических уравнений необходимо уметьрешать простейшие тригонометрические уравнения. Перейдем к

рассмотрению решения тригонометрических уравнений различныхвидов.

f 1. УРАВНЕНИЕ ВИДА sin x=a

Уравнение sinjc = a может иметь решение только при |а|<11.Известно, что решение этого уравнения находят по обобщенной

формуле: х=(—1)" arcsin о-f-/гл (1), где /ieZ и —JL <I arcsin a<!

2

3

Примеры. Решите уравнения.

а) sin-H.jc=_L.' 3 2

Решение. .!*=(— l)"arcsini.+nn, jLx=(— 1)"JI + пя, х=

=(—1)пЛ.+±пп, nc=Z. Ответ: je=(-l)"Jl + -|ля, nezZ.

б) sin2jL = ^.'х 2

Решение. ^-=(—IfiL -f-пя, х= §. neZ. Ответ:

х 'а 4п+(-1)"

х = §, n<=Z.

4п+(-1Г

Если — 1<а<0, то формула (1) примет вид: х=

=(— l)n+l arcsin \a\ +nn. nezZ.Полезно знать, что arcsin (—а)——arcsin а.


a) sin-^ = -^.У* 2

Решение. -Зз-=(— 1)"+' arcsin &+пл, ^=(- l)n+1 * +пл,у* 2 V« 3

-l=(_l)n+1±-f-n, Vx= ^ или ^= §-, х =

л£ 3 (_,)"+•._L+n 3n+(-ir+l

= ^, neJV. Ответ: х= ^

, nezN.(Зп+(-1Г+,Р (3n + (-l)"+')2

'х* 2

Решение. 3f-=(—l)"+1 arcsin±+пл, ^ = (-1)"+1 il+"л,

-3_=(-1)"+'.±+л, *2 = 2. x2 = £—-, jc=

= ±3л/ ~rr. ne=#. Ответ: x=±3~\V 6n+(-ir+ V6п+(-1Г+'' """

V бп+(-1Г+'

Частные случаи.1. Если sinx=l, то x=JL +2/m, n^Z.

2. Если sinx= — 1, то x= —— +2nn, n<=Z.

3. Если sinjc=0, то x==nn, n&Z.

Решите уравнения.

1. sm4-x = ^. 2. sinî = — 1. 3. sin^=l.4 2 * 2 xs

4. sin^L= —1. 5. sinV— =0. 6. sin(3 — 2x) = — &

7. sin2je=JL. 8. sinx=Jl. 9. sin *=-у/ 1,01.4 3 V

§ 2. УРАВНЕНИЕ ВИДА cosx=c

Уравнение cosjc=a может иметь решение только при |а|^1.Известно, что решение данного уравнения находят по

обобщенной формуле: х= ±arccosa-(-2nn, где neZ и Oârccosa^n.Полезно знать, что ajxcos( — а)=л — arccosa


а) cosiLjc = ^.6 2

Решение. JLx~ ±arccos^-f 2пл, -!Ljc= -I- Л 4-2лл, х=6 2 6

~~

6^

= ±* + —пл, neZ. Ответ: х=± Л +1?пл, neZ.5 5 5 5

3/1б) cos (2 — Зх)

l=3L-_ Зле — 2= -l-arcr.ns 3L.Решение. cos(3x—2) = ^, Зх — 2= iarccos^ +2лл, Зх —

— 2=±Л+2лл, х=_2_±Л + — пл, neZ. Ответ: х=Л±4 3 12 3 3

i

± Л + Лпл, reZ.12 з

В) СОБЛ\/х =—"~ ■

Решение. nV*= ±arccosf — -*-) +2пл, л^* = ± — л + 2лл,

V*=±-5r+2'1- !) V*=-+2«, neJV», где Na = 0, 1, 2, .... х =

о 6

=(|+2п)2; 2) -fi=-^+2k, *е*- Х=(_Т+2*)2- 0твет:

*=(.-».+2л)". (-|_ + 2fe)2. „eft, ftetf.

г) cos(l— 2х)= — Д

Решение. cos(2x—1)=— ^-, 2х—l = ±arccos( —^-1 -|-2лл,

2х— 1 = ±(л— arccos^) +2пп, 2х= 1 ±(л— л) +2пл, 2х=1±

±Ал+2пл, x=_L± Ал4-пл, neZ. Ответ: х=1±1л + пл,4 2 8^ 28

Частные случаи.

1. Если cosx = 0, то х=—+пп или лс=(2л+1)" neZ.

2. Если cosjc= —1, то х=л-|-2ил или х=(2л+1)л, neZ.


1. cos2x= —_!_. 2. cosi.x=-L. 3. cos^l = ^.2 3 2 х 2

4. cos 22-= — ^. 5. С052я=ц/2. 6. cos-v/iL=0.*' 2 ^ 2 ■ V ,

7. cos(2 — 3x)=— &. 8. cosx=JL. 9. cos^SJL=0.'2 4 3

10. cos3x=V^T-

f 3. УРАВНЕНИЕ ВИДА tgx=a, ГДЕ se«

Известно, что решение данного уравнения находят по

обобщенной формуле: x = arctga + nn, где neZ. Полезно помнить, что

arctg(—а)= — arctga.Примеры.Решите уравнения.а) tg2x=V3~.Решение. 2x=arctgV3 + mi, 2x= JL-f пл, 2х=(Зп+1) —, х =

О О

= (Зл+1)-£, neZ. Ответ: х=(Зл+1) —, neZ.6 6

б) tgf = -l.Зх

Решение. — =arctg(—1) + пл, — = — arctg 1 + пп, — =

Зх Зх Зх^-=arctg(— 1) + пл, -|-=—arctgl+лл, -£■Зх Зх Зх

Ответ: х = 5, n^Z.

(4л — 1)3л


1. tgJL = V3. 2. tg3x=-V3.

4. tg-з-= -:>(?. 5. tg-a- = i.

3. tg JL = ^.x 3

e. tg Yf=7. tg(l-jt)=-2. 8. tg(2-3x) = 0. 9. tgx=0, (6).

10. tg2x=ctgJL.•J

i 4. УРАВНЕНИЕ ВИДА ctgx=a, аеЯ

Известно, что решение данного уравнения находят по формулеx=arcctga-f-/m, (5), где п^.2 и 0<arcctga<n.

Полезно помнить, что arcctg(—а)=я—arcctgaПримеры.Решите уравнения.

а) ctg|.x=5.Решение. -5-x = arcctg5 + nn, х= Aarcctg5 + Апл, n^Z.

■ь 3 3

Ответ: -|-arcctg 5 + — лл, neZ.

б) ctg3x=-^.Решение. 3x=arcctg(—3—\ -\-пп, Зх=л—arcctg^+пл,

Зх=я — JL+пл, Зх=Ая + пя, 3x=(3/i + 2)JL, x=(Sn+2)JL,

nenZ. Ответ: (3n + 2)JL, nezZ.


I. ctg3x=V3. 2. ctgA = -V3. 3. ctg2u=j£.л. Ах о

4- ctg-2---^. 5. ctg(x-n)=-l. в. ctg(|n-*)=-l.7. ctg2x=— 0, (3). 8. ctg(3—4x)=0. 9. ctg* = tgJL.10. ctgx = n.

{ 5. УРАВНЕНИЯ, СВОДИМЫЕ К АЛГЕБРАИЧЕСКИМ

Это уравнения, сводимые к одной и той же функцииотносительно одного и того же неизвестного выражения, входящего только

под знак функции.Тригонометрические уравнения asin2x-f-bsin jc-fc=0, acos3x +

+ 6cosx-fc=0; atg43x-ffctg23x-fc = 0, a ctg2 2x + fc ctg 2x-f c=0уже сведены к алгебраическим. Действительно, положив в них

соответственно sin*=i/, cosx=z, tg3x=f, ctg2x=w, получималгебраические уравнения: ay2+by+c=0, az3-\-bz-{-c=0, at* +-\-bt2+c=Q и аи2 + Ьы + с=0. Решив каждое из них, найдем sin x,cos ж, tg3x и ctg2x.

Уравнения asin2x+6cosx+c=0, acos2x+bs'mx+c=0,atgje + 6ctgjc=0 не являются по виду алгебраическими, но их

можно свести к алгебраическим: a cos2* — fecosx—(a+c)=0,asin2* —ftsinx—(a-f-c)=0 и atgx-f--r—=0.

7

Примеры.Решите уравнения.а) 2sin2x—7cosjc—5=0.Решение 2(1— cos2x)—7cosx—5=0, 2cos2*-f-7cosjc+3=0,

cosx=y, 2у2 + 7у+3=0, yi = — 3, i/2= — i-. 1) cosx=— 3<-l,

x=0;2) cosx= — JL,x= ± —Ji+2kn, k&Z. Ответ: х=±Ая +

+ 2Ы fee=Z.б) cos2*+3sinx=2.Решение. I—2sin2x+3sinx=2, 2sin2jc—3sinx+1=0,

sinjc=y. 2y2-3y+\=0, yi = i-, «/2=1. 1) sinx=^_, x = (-l)"X

X —+пл, neZ; 2)sinx=l, х=Л + 2*л, 4eZ.6 2

Ответ: x=(— 1)"-^ +nn, -J+2/гл, я, AeZ.

в) 2cos23jt+sin3x—1=0.Ре ш е н и е. 2(1 —sin2 3x)+sin Зх — 1 =0, 2 sin2 Зх—sin Зх— 1 =0,

sin3*=y, 2y2 — y—1=0, i/i,2= —4—• 1) sin3x=l, 3x= у+2Ая,

3x=y(4*-fl), x=(4fe+l)y, fceZ; 2)sin3x=-y, x=

=(-l)r+1iL + niL, neZ. Ответ: jt=(4ft + l)-H, jc=(— l)n+IJL +18 3 6 18

+ nJL, ft, ne=Z.3

При решении уравнений этого параграфа необходимо знать

формулы:I) sin2x+cos2*=l; 2) tga = -§^; 3) ctga = -2£S-;

cos a sin a

4) ctgo = -L; 5) |+tg2a=—V-;6) l+ctg2a=-l-;tg a cos a sin a

7) 1+cos 2a = 2 cos2 a; 8) 1—cos 2a=2 sin2 a;

9) tg2a= 2t«a ; 10) sin2a= 2tgg ;' e

i-tg2^''

l+tg2»II) cos 2a = 1"~tg'g ; 12) sin 2a = 2sinacosa;

l+tg!a13) cos2a=cos2a—sin2a, или cos2a=2cosi!a—1, или

cos 2a= 1 —2 sin2a; 14) Формулы приведения;15) Формулы из § 1—4.


1. 4sin2x+cosx—3_L=0. 2. 2cos2Jt+2^sinx—3=0.3. 3sin22x + 7cos2*—3=0. 4. cos 2*—5sinjc—3=0.5. 2cos2л:+5sinjc—4=0. 6. 2tg43x—3tg23x+ 1 =0.7. 25 sin2*+100 cos*=89. 8. cos 2*+3 sin*=2.

9. cos42x + 6cos22x=lJL jq. 2 tgx—2ctgx = 3.

11. cos2x+sin2x-+sinx=0,25. ,2- cos2x+sin4x=l.13. 5sin_L—cosJL + l = —2. 14. tg2x —2tgx=3.

6 3Б Б

15. 2 sin2 jc — 7cosx — 5=0. 16. 2 cos2 3x + sin 3x +1 = 0.

17. l+2cos2x + 2V2sinx + 18. 1 —5sin x + 2cos2x = 0.

+ cos2x=0.19. 2cos2x—4cosx=l. 20. 4—5cosx—2sin2x=0.21. tgx+ctgx=2. 22. 8sinx+5=2cos2x.

23. cos2x=2sin x— _L. 24. 3cos22x + 7sin2x—3=0.2

25. 3+2sin2x=tgx + ctgx. 26. sin 3x —3cos6x=2.

27. —& 25tgx=0. 28. cos2x+3sin2x=2.cos*x

29. 2(sin2x—cos2x)= — 1. 30. tg2x §—+7=0.cos*

31. cos2x=2sin2x. 32. sin2x — cos2x+2sinx++ 1=0.

33. 2cos2x—sinx—1=0, 34. cos2x=l — 3cosx,8<x<40. l<x<50.

35. l- 1 !— = IE. 36. 6sin2x+5cosx—7=0.1 +cos2 x sin2 x • I

37. 29 —36 sin2 (at —2)— 38. cos 2x+ 767 sin x + 383 = 0.— 36 cos (x—2)=0.

39. sin4iL — cos4-L=J_. 40. (cos 2x — sin 2xf = sin Ax.2 2 2

v '

41. JLcos2x+sinx=l. 42. sin2*—cos2x+2sinx=0.

43. l+sin2x = 24sin2x — 44. 3sin22x + sin2x=(sin x —

— 24 sin4 x. — cos x)2.45. 3cosx+5sinJL + l=0. 46. 2sin2x+5sin(JLn—x) =

2 =2.V 2 /

47. tg2x—2sin2x=0 на 48. ctgxH Ш£—=2.1+cos*

49.2 cos x—cos 2x—cos2 2x=0. 50. s in 5x =— cos2 5x.

51. 8sin22x-2cos2x=5. 3

52. cos-22L±i.Cos-2a±2^= — JLtg(2arctg 1,5).3 6 48

53. ±arctgl-3cosx+cos2x= д»(я-«)я ctg2*+tg(*+-£-)

54. sin x—cos x—2(1 + cos 2x)sin x=4 sin3(7n—x).

55. . ctg( 3n+JC)_tg2JC=(cos2x-l)—L^ £ ' cos

л

2 П-». i O-T. П-!^яЛО - «ЛО -^ l-nn8-tg-4

2n.

56. tg2 jc—374 tg jc—374=2 sin 70° cos 20° —sin 50°.

57. 1 f--!--cos(jc-il)= '-С*Е*.

l+ctg* ^ V 47 2fl+ctg*)

58. ( cos —

— sin JLJ • ( —- h tg jc) = sin Л -cos x.\ 4 6/ \ cos*

Б/ 4

59. tgjc—sin25jc=cos25JC. 60. sin4*—cos4jc=cosjc.О^лга^л;

61. eln(».+*)-eln(-.-x)-jf(tg^+ctg*).62. l+cosjc=ctg2L. 63. 2(jc—6)cosjc=jc—6.

64. cos4jc+ 10tg* =3, — ±n^x<JL.tg*x+\ 4 2

65. (tg2x— 1)-' = 1+cos2jc.66. V* —cosjc=sinjc, л^*^3л.

67. 4 sin Л+ 6 sin2 iL = ( sin Л —cos iL) +3, — JL<jc<2 2 V 4 4/

^3

68. (sin 3jc+cos 3jc)2 = 1 + cos 2jc.

69. 2sin2x+2cos2jc—\^cosjt —2cosx+V2 = 0.

70. V* sin2 210° +ctg4 JL = 10.

71. tg4(2jc— JLn)-tg3-^- = 16sin2JL.

72. -\ sm2(x—ln) =JL. 73. 2cos2(x+270°)—7cos(jk +V \ 2 / 2 +90°)=4.74. ctg(Ал-jc)—ctg2;c+ '+cos2* =arccosl.

^2 / sin2 x

75. V8 cos jc — 1 = (V2 — *a^)Vcos jc.

76.(sin|-cos|)2==tg|-tg(| + |).77. 2tgJLn—6sinjccosjr= 1—tg22^

ь4 1+1^2*

78. sinjc+cosjc=tgiLnH—2tK* .^ B4 i+tg2*

79. 2cosjc+tgJLn = —!—.4 cosx

80. cos2jc + sin2jc+sinx=4-(V2-l)(^+l + -b+4-+-)-81. -J_-3tg*=4-+ 2 +

*+ ... .

cos ж 3 9 27

10

82.

83.

84.85.86.

1

sin2x -ctg2*=l + ^(ctgx-l).л/Т—cosx=sinx, 2я^х^2_л.

(1—sinx)ctgx=cos x. _i4З+2 cos 2x 7.4I+COS2.* 42 =0.

л/sin jc=sin jc.

88. V1 —cos2x= —л/2 cosx, 0<x<JLn

87. tgxH ^^5i-=2.l+sin x

89. л/1 —cosx=—sinx, O^x^n.90. л/Г—cosx=—sin x, 0^х<2л.

91. л/1- cos 2x=л/2 cos*, 0<x<JLn.92. л/1 — s'n *= — cos*t 0<;х<2л.93. 4arctg(x2—3x—3)—л=0.94. sin(arcsin{x2 — 6*+8,5))=sin 4.95. (-\^>sin2x—cosx):sin4x=0.96. V3 + 2tgjc-tg2x = -L

97. 3 + 2 sin x—3cos2x = 0.

98. 2sinx+3cos2x—3 = 0. 99. 2cos2x —3cosx+2 = 0.

100. sin3 x cos л — sin jc cos x=

4-fi101, л/3—cos(n —2x)—sin-2ai§£. =sin 7x.ctg4"•4 "

102. l+cos(n + 2jc)—cos

cos2x+4sin3x=l.1 —2sin53jc=cos6jc.

-&=&.= cos.» л-tg.bi.103.104.

106.

108.

110.U2.

114.

115.

117.119.

(1 —cos jc):sin JL =2.4 '2

cos2x __q1-tg*

105. 1 — 2л/2 cos3 3x+cos 6x=0-

107. sin*= 2-ctgx.

1+COSJC

109. SlcJi— =o.cos 3x cos x

(л/3sin2x—cosx):sinx=0. HI. л/3—л/Зсо8Х+л/3 8тх=0.

л/1 — ^sinx + 2cosx=0. 113. sin2x=(cosx—sinx)2.

sin(2x+i-n) — 3cos(-Lji — x) =l+2sinx.

2sin2x+5cosx+l=0. 116. 2cos23x+sin3x+1=0.cos4x+6=7cos2x. 118. 7sinx=3cos2x—3.7sinx=3cos2x. 120. 5(1 +cosx)=3 + cos*x—

— sin*x.

11

121. tg4x + tg2x + ctg4jt — ctg2Jt=-!^.122. tg4jt + tg2x + ctg4jc + ctg2x = 4.

123. ctg* — -^3tgx-\-l=-y[3.124. 4 cos 4x + 6 sin2 2x + 5 cos 2x = 0.

125. 1— 5sinx + 2cos2x = 0, Ап<х<Ал.2 2

§ 6. ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Уравнения a sin x-\-b cos jc = 0; а sin2 jc-f-ft sinxcos x-|-ccos2je = 0;osin jc+ft sin2xcosx + csinxcos2x + dcos3x=0 и т.д. называют

однородными относительно sinjc и cosx. Сумма показателейстепеней при sinx и cosx у всех членов такого уравнения одинакова.Эта сумма называется степенью однородного уравнения.Рассмотренные уравнения имеют соответственно первую, вторую и третьюстепень. Делением на cos*x, где k — степень однородногоуравнения, уравнение приводится к алгебраическому относительно

функции tgx.Рассмотрим уравнение as'm2x-\-b sinxcosx+ccos2x = 0 (1).

Разделим уравнение (1) на cos2x, получим: atg2x + ft tgx+c = 0 (2).При афО (1) и (2) равносильны, так как cosx=^=0. Если же cosx=0,то из уравнения (1) видно, что и sinx = 0, что невозможно, так как

теряет смысл тождество sin2x-|-cos2x= 1 (sin* и cosx при одноми том же значении х в нуль не обращаются). Из уравнения (2)определяем значения tgx, а затем находим соответствующиезначения х. Очевидно, что при ft2 — 4ac<0 значения tgx не существуютна множестве R, а потому уравнение (2), а значит, и уравнение (1)решений не имеют.

Уравнение asin2x-\-b sin xcosx-|-ccos2x=d (3) в таком видене является однородным, но его можно привести к однородному,умножив его правую часть на sin2x+cos2x= 1: asin2x-f--\-b sin xcosx4-ccos2x=J(sin2x+cos2x); т.е. asm* x-\-b sin Jtcosx-j-4-ccos2x = dsin2x+dcosx или (a — d)tg2x-\-b tgx-(-(c — d)=0 (4).При афй уравнения (3) и (4) равносильны. Из уравнения (4)находим tgx, а затем соответствующие значения х.

Примеры. Решите уравнения.а) 2sinx—3cosx=0, cosxÔ.Решение. Разделим обе части уравнения на cos х: 2 tg x— 3=0

и tgx= A, x = arctg A. +kn, AeZ. Ответ: x = arctg_|. +kn, fteZ.

б) sin2x + cos2x=0, cos 2x^0.Решение. Разделим обе части уравнения на cos2x: tg2x +

+ 1=0, tg2x= —1, 2х=-Л + /гл, 2x = (4*-l)" x = (4*-l)"4 4 8

teZ. Ответ: x = (4k—l)JL, IteZ.

12

в) cos2x + sinjccosjc=0.Решение. В условии не указано, что cosjcÔ, а потому

делить уравнение на cos2jc нельзя. Но можно утверждать, что

sinjcÔ, так как в противном случае cosjc=0, что невозможно

одновременно. Разделим обе части уравнения на sin2*, получим:

ctg2x+ctgjc=0; ctgjc(ctgjc+l)=0. 1) ctgjc=0, x = JL+nn или

2) ctgjc= — 1, х=Лл+*я, k, neZ. Ответ: x=JL + nn, x=4 2

= JLn+kn, n, ieZ.4

r) 4sin2jc+2sinjccosjc=3.Решение. Умножим правую часть уравнения на sin2jc+cos2jc.

Получим: 4sin2x-|-2sinjccosjc=3sin2jc-|-3cos2jc, sin2jc++ 2 sin jccosjc —3cos2jc=0. Очевидно, что cosjcÔ. Разделим на

cos2*, получим: tg2jc+2tgjc—3=0, tgx=— 3 и tgjc=l, x=

= — arctg3 + /m и x=JL+nn, k, nmZ. Ответ: jc= — arctg3 +4

+ kn, Л+ия, k, neZ.4

Решите уравнения.1. 3cos2x—5sin2jc—sin2jc=0.2. 6sin2jc— A sin 2л:—5cos2x=2.

23. sinjc —cosjc=0. 4. sinx + cosjc=0.5. 5sinjc+6cosjc=0. 6. 4sin2 jc+sin2x = 3.

7. sin2jc LSjnjtcosjt=_L.л/3 2

8. 6sin2jc+JLsin2jc—cos2*=2.2

9. sin2*—sin2jc=3cos2jc. 10. 2sin4jc—3sin22jc=l.

11. cos2jr+3sin2;«r+V3~sin2jc=l. 12. ctg2jc—tg2jc=—!—.cos2x

13. sin4jc—3cos4jc=8sin22jt.14. 3sin2jr—2sin2jc+5cos2jc=2.15. 2sin2jc+cos2jc+3sinjccosjc=3.16. cos2jc—3sin jccosx+2sin2jc=2.17. 2sin2jc — cos( A + jc) sin(JLn + jc) — sin2(i-n + jc) =

= 4arccos 1."

18. sin2jc+sinjcsin( In-x\ — cos2jc=1.

19. 13sin2ж+84sin2jc— 13cos2x+l = ?sin l8°cos 18°

cos 54°

20. sin2*—79sin2jc-|-l53cos2JC+2sin5jccos3jc=2sin3*cos5jc.21. sinjc+cosjc— l=ctg2L(cosjc— 1). 22. —'—=ctg*-|-3.2 sin2 x

23. (l+tg2*Xl+sin2x)=l. 24. 2cos jc=V2+sin2x.25. 3 cos2 x=4 sin jccosjc—sin2jc.

13

26. sin2(x+180°) + 3cos2(x + 270°)=l, SL<x< Ал.

27. V1 — cos2x=-v/2cosjc.28. 2sin2x—4sinxcosx+l =0.

29. 4cos2x + _Lsin2x+3sin2x = 3.2

30. cos2x — 3sin2x+3 = arccos( — А) — Ал.31. sin2x = c'os*x—sin*x.32. sin2*—cos2x = 2 — 2sin2x.33. cos2 jt + -\/3sinxcos x= 1.

34. 1 +Asin2x+cos2x=0.2

35. (V3 — 1)cos2 x+(l + V3)sin xcosx+ 1 =0.

36. 4sin2( Ал— x\ + 3sinxsin( Ал—x\ + 5 sin2 x — 15 X

Xarcsin _!_=0.2

37. 4 sin 2x-\- 10cos2x-|-cos2x= Aarcsin 1.

. sin2(x —л)—cos3(n-|-Ax)+tg2x = -2 cos 2*38.

... ... ... ... .

1 + cos Ax39. (3 — ctg2x)sin2x=2(l+cos2x).40. llsin27x—Asin l4x-|-5cos27x = a—6. Указать, при каких

целых значениях а уравнение может иметь решения.

41. sin2x+cos2x=2cos2x-|-sin2x, — -£-<*<-£-.2^ ^ 2

42. sin2x + cos2x=—1-—. 43. —! 6cos3x=4sin Зх.sin 2х cos Зх

44. 4cosx+2sinx=—4. 45. 4 sin 2x—3cos2x=3.

46. 6sin2*—Asin2x—cos2x = 3.2 ,

47. 2 sin2 x-|-14 cos2 x—7sinxcosx = 2.48. 2 cos (x — 270°)—5 cos (x 4-180°)=0.49. 4sin2x—4sin2x+10cos2x=3.50. 5sin2x—2 sin x cos x-|-cos2 x = 4.51. 3sin2x—2-\/3sinxcosx+5cos2x=2.52. 3sin2x—2y3sinxcosx-f-cos2x=0.53. 5 sin2 x +-3 cos2 x=4 sin 2x.54. cos2x + cos2x=6(cos2x—sin2x).55. sin23x=3cos23x.

56. sinx + cosx =—'—.cos л:

57. sin(x—90°) + sin(x— 180°)=0,5.

f 7. УРАВНЕНИЯ, РЕШАЕМЫЕ РАЗЛОЖЕНИЕМ НА МНОЖИТЕЛИ

При решении уравнений этого параграфа нужно пользоваться

всеми известными способами разложения на множители

алгебраических выражений. Это вынесение за скобки общего множителя,

группировка, применение формул'сокращенного умножения и

деления и искусственные приемы. Необходимо также знать формулы,данные в § 5, и формулы:

1) tg(ct±P)= ^а±*кР, 2) sin 3a = 3 sin а — 4 sin3 а,

3) cos За = 4 cos3 а — 3cosos.

Решите уравнения.I. sin2*—sinx = 0. 2. ctg2* — 4ctg*=0. 3. tg2x—2 tgx=0.

4. tg3x=tgx. 5. cosxtg3jc=0. 6. -!£^-=0.sin 3jc

7. sin2x=cos4-£. — sin4 JL. 8. (1+cos4x)sin2x=cos22x.2 2

vi/

9. ctg( 3 „+*) _tg2x=(cos2x-l)—1-.10. 2ctg2xcoszx + 4cos2x—ctg2x—2 = 0.

. 11. 2tg?x — 2tg2x+3tgx—3 = 0.

12. cos2x=-\/2(cosjc—sinx).13. tg(f +*)-ctg2*+-^r(l+cos2*)=0.14. 2sin3*—cos2л:—sinx=0 15. (cos6x—l)ctg3x=sin 3x.

16. cos2x=^-±^(cosx + sinx).2

v ;

17. 3(1—sin/)+sin*/=1+cos*/.18. tg23x—2sin23x=0. 19. 1 — sin 2x=cosx—sinx.20. cos2x + sin 2x-\-cosx—sinx=l.21. sin3* = asin *. 22. tgJL+cosx=l.23. sin2x+cos2*=l. 24. sin2_L — cos Л = 1.

2 2

25. cos*i_+sin2JL = l. 26. 1—sin* x—JL cos* x=0.5 5 3

27. cos2x=cosx—sin*. 28. 1+cosx + sinx=0.

29. cos2 JL + 2 sin3 ± = 1. 30. ctg2x—tg2x=8cos2x.О О

31. 2cos2 :l+sinx=0. 32. cosx + sinx=cos2x.

33. ctg2x —tg2x=4^ctg2x. 34. ctg2x—tg2 x = 4cos2jc.

35. cos2A+sin4iL = l. 36. cos2 Л+2 sin3 Л = 1.3 3 5 5

37. V3sinx — cosx— 1=0. 38. фsin JL + 1 =cosx.

39. sin4x—cos2x = 0. 40. -bfcl&i=(sinAT+cosx)2.

(5

41.43.44.45.

46.

47.

48.

49.

50.

sin x-\- V3cosx + V3 = 0. 42. 1 — cos 6x = tg 3x.2sinJx + cos22x=sin x.

2 sin 2Jt(V3sin x+cos x)=3 sin2 x—cos2x.sin 6x + cos 6x = 1 — 2 sin 3x.

4 sinx — 3cosx = 8sin2 JL.2

tg^tg-J^^- + fcos-^=^)_ =2, — Л.<х<2л.B2 4 V 4/ 2

cosxtgf ii — x\ + sin x tg x = sin x + cos x.

2 —tg(-ln + 2x) + 2cos4x=0.

±arctg 1—tgx=1018cos2j:.

51. ctg2^-in—x) - |-sin x= 1.

i+tfj-52.

54.56.58.

60.

62.

64.

66.

sin*x —3sin3x + 3sinx—1=0. 53. ctg*+' =(sinx + cosx)2.ctgx— 1

cos2x=cos3x—sin3x. 55. tg2x=(l + cos3x):(l +sin3x).8cos*x— cos4x=l. 57. 2sinx—cosx=l—sin 2x.cosx —cos2x= 1. 59. 1 + smx-|-cosx-|-tgx=0.

tgx—sinx = 2sin2A. 61. 1 — cos(n —2x)-fsin( JL -\-x\ =0.

sinx= — -\/2 sin x cos x. 63. 4(1 -fcosjt)=3sin2AcosA.v vi/22

sin2x = cos4J5_—sin4ii. 65. sin 2x4-cos2x= 1.2 2

sin4x= 1 — cos2x. 67. sin 4x=cos4x — sin4x.

68.

70.

72.

74.

76.

78.79.

80.

81.

83.

85.87.88.

1 — cos 2х = т/3 sinx. 69. cosx—-v/2sin2L = l.r-

22cos2x = -v/6(cosx—sinx). 71. 5 sin 2x—2sinx=0.

3cosx + 2sin2x=0.

2 cos JL — cos —= 1.

4 2

73. 2sinji+cosx=l.2

75. 1 — 2sinA=cos-L.6 3

sinA+cos_£. = 1. 77. 2cosiL — l=cosJL.4 4 6 3

(1 + cos 4x) sin 2x=cos2 2x.sinx + cosx=(cos2x):(l — sin2x).sin3 x cosx—sinx cos3 x=-

'

sin2x —ctgx=0.2я—x

4-^82. 1—cos6x = tg3x.84. cos2x=-v/2(cosx — sinx)tg-l=3ctg

4sin 2x + cos4x= 1. 86. sin2x+3sinx=0.sin 2х+л/3 — 2 cosx — ~\f3s'm x=0.sin3 x( 1 — ctg x) + cos3 x( 1 — tg x) = 1,5 cos 2x.

16

89. 2sin52f — sin3 2/ — 6sin22* + 3 = 0.

90. sinxtgx+l=sinx+tgx. 91. sin2x-|- JLsin2x=l.92. sinx+cosx—sin2x=l. 93. sinx+sin3x+4sin3x=0.94. sinx-|-sin2x=cosx+2cos2x. 95. 1 + sin 2x=sinx+cosx.96. tg2x=-b^°siL. 97. ctg2j«r=-L±aiLL.

1—sin x 1+cosjc

98. sin3x—cos3x=sinx—cosx. 99. 1~tR^- = 2cos2x., 1+tg2*

100. cos3x=cos x.

101. 4sin2x(l-f-cos2x)= 1—cos2x. Найти решения уравнения,удовлетворяющие неравенству х2<4.

2tg4102. tg(iL-x) ^_=2sin22L

'+VJ103. 3(cos3x+cos3(-Hn4-x)) =2(sinx+sin(!Zn+x)).104. 2(l-sin(|n-Jc))=V3tg^.105. ctg*x=sin3x+l. Найти хотя бы один корень уравнения.

106. 1— cos(ji-I-jc)—sin-3ai£=o. 2

cos2x107. _L__tg2* + ctg(jL+*)cos x \ г / cos' x

108. 2(x—5)sinx=x—5.Ю9. —sin2x =0.

cos x cos 3x

110. sin(An+2x) =1— 3sinx.

111. sin3x(l+ctgx)+cos3x(l+tgx)=cos2x.112. sinil — cosA=cosx.

2 2113. tg3x=sin6x.114. cos(x+90o)+ctg(360° —jc)=0.115. cos2x=-^-i^(cosx—sinx). 116. ctgasinx= 1 —cosx.

117. tgacosx= 1 — sinx. 118. sin3xcosx —cos3xsinx= _L.

119. sin* =sinA. 120. tg2x—2sin2x=0, — Ал<х<2л.1+cosx 2

&4

121. cos(|-n+2x)=2V3sin.£.sin(jL + il).122. V3-tgx=tg(i.n-x).123. sinx+cosx— l = fctg-Lj(cosx— 1).

f 8. УРАВНЕНИЯ. РЕШАЕМЫЕ С ПОМОЩЬЮ УСЛОВИЯ РАВЕНСТВА

ОДНОИМЕННЫХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

Многие тригонометрические уравнения могут быть приведенык равенству одноименных тригонометрических функций. Такие

уравнения решаются на основании условий равенстваодноименных тригонометрических функций, т. е. тех условий, которымдолжны удовлетворять два угла: аир, если a) sinct = sinp, б) cosa =

= cosP, в) tgct = tgp.Выведем эти условия.Теорема I. Для того чтобы синусы двух углов были равны,

необходимо и достаточно выполнение одного из следующихусловий: разность этих углов должна равняться л, умноженному на

четное число, или сумма этих углов должна равняться л,

умноженному на нечетное число.

Доказательство необходимости.Дано: sin a = sin p.Доказать: а — р=2лл или а+р=(2и+1)л, »eZ.

Из условия следует: sin a—sin 0=0, 2sin°~ cos^ =0,—

это выполнимо, если 1) sin g~P =0. a~P =гал, ct — B=2rm, beZ,

или 2) cos-£±£=0( -S±£. ==-5.(211+1), а + р=л(2п+1).Доказательство достаточности.Дано: а — р=2пл или а + 0 = л(2и+1), weZ.Доказать: sin a = sin p.Из условия следует: 1) a = 2/m+p, тогда sin a = sin(2rm+p),

т.е. sina = sinp, или 2) 0=л(2л+1)— а, тогда sin p = sin (л(2я ++ 1)—a), sin p = sin(2wn + (n — a)), sin p = sin (л —a), т.е. sin p== sin a.

Примеры.а) sin3,8ji=sin 1,2л, так как 3,8л+ 1,2л = 5л.

б) sin 5,3л =—sin 2,7л, sin 5,3л=sin ( — 2,7л), так как 5,3л —

— ( — 2,7л)=8л.в) sin 880° = sin 380°, так как 880°+ 380°= 1260° = 7-180°.

г) sin 3,2л ф sin 0,8л, так как не выполнено ни одно из условийравенства синусов.

Теорема II. Для того чтобы косинусы двух углов были равны,необходимо и достаточно выполнение одного из следующих условий:разность этих углов должна равняться произведению л на четное

число.

Сумма этих углов должна равняться произведению числа л

на четное число.

Доказательство необходимости.Дано: cos a = cos р.Доказать: а — р = 2лл или <х + р = 2пл, n^Z.

Из условия следует: cos a — cos 0 = 0, —2sin g~~P sin g + P =

18

= 0,— это выполнимо, если 1) sin——&■ =0, ——В-=ил, а —В ='

2 2м

= 2пл, или 2) sin-iiS-=0, -0±£_=nil> а +р = 2лп.

Доказательство достаточности.Дано: а —р=2/гл или а + р = 2/гл, AeZ,Доказать: cos a = cos p.Из условия следует: а = 2Ал + Р, cosa = cos(2£n + p)=cos p,

или а = 2/гл —р, cos a = cos (2/гл — P)=cos( — P)=cos p.Примеры.а) cos4,7л = cos3,3л, так как 4,7л + 3,3л = 8л.

б) cos 15л = cos 11л, так как 15л—11л = 4л.

в) cos 17,3л=cos 11,3л, так как 17,3я—11,3л = 6л.г) cos 5,3л фcos 3,7л, так как 5.3л — 3,7л = 1,6л ф2/гл и 5,3л+

+ 3,7л = 9лф2/гл, т.е. не выполняется ни одно из условийравенства косинусов.

Теорема III. Для того чтобы тангенсы двух углов были равны,необходимо и достаточно одновременное выполнение двух условий:тангенс каждого из данных углов существует и разность этих

углов равна числу л, умноженному на целое число.

Доказательство необходимости.

Дано: tga = tgp, <х^(2/г+1)-11 и p^(2*+l)JI, fceZ.

Доказать: а — р = /гл.

Из условия следует: tea — tgP = 0; S1"fg—P) =ot Ho из усло-cos a cos p

вия следует, что cosa=jt0 и cosp=^=0, а потому sin (а — Р) = 0;откуда a — Р = /гл, fee?.

Доказательство достаточности.

Дано: а—р=/гл, аФ(2к+ 1)Л. и Р=?Ц2/г + 1)—. *eZ.

Доказать: tga = tgp.Из условия следует: a = p + fcn, тогда tga = tg(P + fen). Период

тангенса равен л, а потому tga = tgp.Примеры.а) tg9,7n = tg 1,7л, так как тангенс каждого угла существует и

9,7л—1,7л=8л.б) tg8,7n=— tg 1,3л, tg 8,7л=tg(—1,3л), так как тангенс

каждого угла существует и 8,7л—(—1,3л)=10л.в) Нельзя утверждать, что tgAn = tg Ал, так как не

выполнено первое условие (тангенсы этих углов не существуют), хотя

выполнено второе условие: Ал—Ал = л.

г) tg4,3n=^=tg( — 2,5л), так как не выполнены оба условия:4,3л — (2,5л)=6,8лФкп, где fteZ, и tg2,5n не существует.

Используем доказанные теоремы при решениитригонометрических уравнений, которые либо представляют собой равенствотригонометрических функций, либо могут быть к такому равенствуприведены.

19

Решите уравненияa) sin 3x = sin 5х.

Решение. На основании условий равенства двух синусовимеем: 1) 5х —Зх=2Агл, 2x = 2fcn, x = kn, fceZ, или 2) Зх+5х =

={2k + \)n, x={2k+\)IL, *eZ. Ответ: x = kn, x = {2k+l)JL,k(=Z.

6) sin 5x— —sin x.

Решение. Заменим уравнение равносильным: sin5x=sin(— х).На основании условий равенства двух синусов имеем: 1) 5х—

— ( — x)=2kn, 6x=2kn, x = kJL, kt=Z, или 2) 5x+( — x) = (2k+ \)n,

x = (2k+l)^, k(=Z. Ответ: kJL, (2fe + l)JL, JeZ.

b) sin(8x—JLJ =cosjc.

Решение. Заменим уравнение равносильным: sin(8x——) =

= sinfiL— x\. 1) 8л:— JL — JL+x = 2kn, 9x=JLn + 2kn, x =

\ 2 ) '6 2 3

^

= in(3HI), *eZ, или 2) 8a:- Л + J±.-x=(2k+ 1)я, х=

= Ал(ЗЛ+1), *eZ. Ответ: (3ft+l)ln, (3A:+l)2.n, *eZ.

r) cos 3x = cos 5x.

Решение. Воспользуемся равенством косинусов двух углов:1) 5х — 3x = 2kn, 2х = 2А:л, x^kn, k<=Z, или 2) 5x + 3x = 2kn, 8x=

= 2kn, x=kJL, k^Z.4

Решение данного уравнения может быть записано в виде:

x = kJL, так как каждый из корней совокупности x=kn входит4

в совокупность x=k— при k, кратном 4. Ответ: kJL, k^Z.

д) cos3x=sin x.

Решение. cos3x=cos( JL— xj . Воспользуемся равенством

косинусов двух углов: 1) Зх— (J1— х\ =2пп, 4х=(4п+1)"

x=(4n+l)^, n^Z, или 2) Зх+JL— х=2пп, 2x={4n—l)JL, x=О & *

=(4п—1)^1, neZ. Ответ: х=(4п+ l)JL, x=[An—\)JL, nt=Z.

е) tg3xtg(5x+-?l)=l.Решение. Делим обе части уравнения на tg Зх. Это допустимо,

так как в данных условиях tg Зх не может равняться нулю:

20

tg^ + fbliW- tg(5x+Jl)=ctg3x, или tg(5x+f) =

==tg( — —3x1. На основании условия равенства тангенсов двух

углов имеем: 5х+-5- — JL + 3x=wi; 8х = Л + лл, х=(6л+1)*о £ О то

neZ. При каждом значении х из этой совокупности каждая из

частей уравнения tg(5x+J!LJ = tg(_^. — 3xJ существует. Ответ:

(6n+l)i. neZ.

Решите уравнения.1. sin2x=sin5x. 2. sin3x=cosx. 3. cos4x=cos6x.

4. cos3x=sinx. 5. tg2x=tgx. 6. tg(5x+-jl) ctg3x= 1.

7. sin/2—sin/=0.8. tg(x+l)ctg(2x+3)=l. 9. tg(**-l)ctg2=l.10. sin5x=cos7x—cos—л.

2

12. Vcos (x+ l)=Vcos *. 0<х<2л.

13. Vcosx=Vsin(x+2), 0<х<2л.

14. ysin0 —*)=Vcos *• 0^х^2л.15. sin7x=cos3x.

16. (1— sin3x)cos 16л = ( sinJL — cosiLj .

17. 1 + sin 2x=(cos 3x + sin Sxf.18. ctg± = ctgJLx. 19. sin3x=cos2x.

2 4

20. tg(|--llx) -tg(|.n-5x) =0.

21. sin2x+cos2x=^/2sin3x. 22. tg(x+n)=tg( JL—x)23. sin(n-\/8cosx)=cos(nV8sinx). 24. sinx2=sin8x.25. cos(lgx)=sin(lgV*)-26. tg(_J+JjL)_tg_£=o.27. tg (я ctg x)=ctg (л tg x).28. 2sin2x(V3sinx+cosx)=3sin2x—cos'x.29. V!+Vsin2x+Vl - Vsin2x=д/1+л/соГх+VT^/cosx.30. Vl +Vcos2x +V' — Vcos2x=Vl +Vcosx+ -yjl—^fcosx.31. sin (л tg x)=cos (л tg x).32. -\/2cos 13x=cos5x+sin5x.

21

f 9. УРАВНЕНИЯ, РЕШАЕМЫЕ С ПОМОЩЬЮ ФОРМУЛ СЛОЖЕНИЯТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

Формулы преобразования суммы тригонометрических функцийв произведение:

si л а + sin В=2 sin-S^^6-cos-£=£-;г2 2

sin а — sin В=2 sin -&=2- cos -^±£-;к2 2

cos а + cos В=2 cos -£±J- COs -£=£-;1 K2 2

cos a—cosB=2sin-9L±^-sin-fi=S- при 6>a;

cosa—cosB=—2sin-gL^-sin g~P при В<а;

tga±tgB=-^fe*&-;cos a cos p

ctga + ctgB=4lia4^-; sin a sin P

ctga —ctgB = «'n(p-a).

sin a sin PВ некоторых примерах придется применять формулы:sin (a ± В)=sin acosB±cosasinB;cos(a±B)=cosacosB=Fsinasin В.

Решите уравнения.I. sinx+sin3x = 4cos3x. 2. tgx + tg2x—tg3x = 0.3. sin(15°+x)+sin(45° —x)=\.4. sin2x+sin(n—8x)=V2cos3x.5. 0,5(cos5x+cos7x)—cos23x + sin23x=0.6. 2(cos 4x—sin x cos 3x)=sin Ax+sin 2x.7. cos9x—cos7x + cos3x — cosx=0.8. sin x + sin 7x — cos 5x -f- cos (Зх — 2л)=О.

9. sin3x—cos3x=-\/A.10. -\/3sin2x+cos5x—cos9x=0.II. sin3x=2cos(iL — x).12. l+cosf + cos2< + cos3< = 0. 13. sin9x = 2sin3x.14. sin2x + cos2x=Y2sin3x.15. sin2x—sin3x+sin8x=cos(.|.n+7xJ.16. cos7x+sin8x=cos3x—sin2x.17. cos5x-j-cos7x=cos(n + 6x).18. sin3x+sin5x=sin4x.19. sinx + sin2x + sin3x=cosx + cos2x + cos3x.

20. sin(150 + x)+cos(45° + x)+^- = 0.

21. sin(i5-+3x) —sin(n—5x)=-y/3(cos5x—sin3jc)-

22

22. sinx— sin Зле — sin 5x + sin 7x = 0.

23. sin3x — sin7x=-\/3sin2x.24. sin3x + sinx=4sin3x. 25. sin 6x + sin2x = -Ltg2x.26. sinx + sin3x=sin2x. 27. cosx-|-cos2x-bcos3x + cos 4x=0.28. cos9x + cos6x+cos3x=0. 29. sin3x —sin 7x=-\/3sin2x.30. cos 7x+sin2 2x=cos2 2x—cosx. 31. —! 1 !_ =2л/2.

sin x cos x

32. sin3x + sin2x + sinx = 0. 33. sinx + sin 3x + 2cosx=0.34. cos2x —cos8x+cos6x=l. 35. sin3x+sin5x = sin4x.36. sinx + sin3x = 0.

37. 6tgx + 5ctgx==tg2x, —

*

<x<-jl.38. cos5x —sinf 3x—iM =V2cos(4x + 3n).

39. sin6x —cos(4x+-ia) =V2sin(5x~JLV40. cos 7x+cos x = cos2 2x — sin2 2(n — x).41. -tg(n-x)+ctg2(|.n-x)=tg3x.42. cos 10x + cos8x + 3cos4x + 3cos2x=0.

43. cos7x-f-cos22x = sin22x — cosx. Найти все решения,удовлетворяющие неравенству х2<16.

44. sin 3x=cosx—sinx. 45. cos7x^-cosx = 4cos4x.

46. tg^.x + ctg('^.-Ex)=0. 47. ctgl5x+ctg3x = 0.5 4 2 5/

4R sin x + sin 2x__

i

sin 3*

49. tg( Лл — x) +tg(jL — x) =2sin2x.

50. cos x + cos 2x + cos 3x + cos 4x+cos 5x = 0.51. sin(x-|-7)+sin(3x—l)==cos(x—4).52 cos 2x+cos6x n 53 sin x—sin 3x

_ q3 cos 2x 2 sin3 x

54. cosx — cos3x=sin2x.X X

55. sinfjl+x) — sinfil — x) =tgT-ctgT

2л/256. sin x+sin 2x — sin (Зх + л)=cos 2x+cos x — cos (Зх + л).57. sin(5x+n)+cos( Ал + Зх} =cos4x.

58. 1 + sinx + cosx + sin 2x + cos 2x = 0.

59. cosx—cos2x —sin-1=0.2

60. cos 3x — 2 cos 2x + cos x = 0.61. tg(120o + 3x)+tg(40° + x)=2sin(80° + 2x).62. cos x + cos 2x = sin 3x.

23

63. cosx + cosf x+arctg( tg—nj\ +cos(x+-?_n) =0.

64. s'n*+sin3*+sin5x | 2tgx=0.cos x+cos Зх+cos 5x

65. sin x+sin 2x+sin Зх+sin 4x+sin 5x=0.66. 1 +cosx+cos2x+cos3x-|-cos4x=sinx+sin2x + sin3x+

+ sin4x+sin5x.67. cos2x+2sin2x= 2^+l

. 68. 2tg3x—3ctg3x = tgx.

69. tgx —tg3x+tg5x=0. 70. ctg(x+Jl) +ctg(x— JLJ =^3.71. 2ctg2x—3ctg3x==tgx. 72. sin7x=sinx + sin3x.

73. cosx+cos3x = sin4x. 74. tg(2x + J^ + ctg(5x — il) =0.

75. tg8x+tg2x=0.76. sin (5x+n) + cos ( — я + 3xj = cos 4x.

77. sin5x+4sin 3x+sinx=0.78. sinx—sin 2x+sin3x=0.79. cosx—cos2x-f-cos3x=0.80. cosx—sinx=^. 81. sinx+cosx=l.

2

82. cosx-fsinx = ^-. 83. cosx+cos2x + cos3x=0.

84. cosx —sinx = 1.

85. cos3x+sinf x+-Lnj =-\/3cos( x—JLj .

86. (sinx + sin3x):cosx=0.87. tgl—tgx=tg(l-x). 88. tg7x+tg3x=0.89. tg(|.n-x) + tg(jl-x) =2sin2x.

90. sin(3x+5)— sin(x+ l)=2sin(x+2).91. cosx+cos2x=sinx+sin2x.92. sinfx— JU — sin(x-f .1л) =cos(x+J^.93. sin(x+-) +sin(x+Jl) =sin(x+JLV94. cos (x — л) — cosfx — JU = sin(x — JlV

95. sin(x— —n\ -j-cos(x+Jl) — cosfx—JlV

96. ctg(x+|) + Ctg(x-Jl) =V3.97. sinx + cos4x=cos2x—sin5x.98. sin3x=3sinx.

99. cos ( — + 5x) + sin x=2 cos 3x.

100. -\/3sin2x+cos5x—cos9x=0.101. sin 7x+cos2 2x=sin2 2x+sinx, — Jl<x<JL.

4 4

24

§ 10. УРАВНЕНИЯ, РЕШАЕМЫЕ С ПОМОЩЬЮ ФОРМУЛ

СЛОЖЕНИЯ УГЛОВ И РАЗЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВЕДЕНИЯТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ В СУММУ

Формулы сложения углов и разложения произведениятригонометрических функций в сумму:

sin(a±0)=sinacos0±cosasinP;cos (a± P)=cos a cos p^Fsin a sin P;

tg(a±P)~ .itgatgVsin a cos p = -i(sin (a + P)+sin (a — p));

cos a cos p = .1 (cos (a + P)+cos (a — p));

sin a sin p = i- (cos (a — P)—cos (a -+- P)).Примеры.Решите уравнения.а) sin(2a+3x)—sin 2a cos 3x=cos 2a, a — некоторое число.

Решение. sin 2a cos Зх+cos 2a sin 3x—sin 2a cos 3x=cos 2a,cos 2a sin 3x—cos 2a = 0, cos2a(sin3x— 1)=0. I) cos 2a=0, тогда

xel?, или 2) sin Зх—1=0, sin3x=l, Зх=Л + 2лл, x=(4n+l)JL,2 6

«eZ. Ответ: R, если a=(2fc + l)JL, или (4n-fl)JL, если аФ(2к +

+ 1)" feeZ.4

б) cos3xcos2x=sin3xsin2x.Решение. * cos3xcos2x—sin3xsin2x=0, cos(3x+2x)=0,

cos5x=0, 5х=(2л+1)" х=(2л + 1)Л, neZ. Ответ: (2n+l)JL,«geZ.

в) cos (3a+2x) cos (3a—2x)+0,75=cos2 3a.

Решение. -L(cos 6a -+- cos 4x)+ 0,75=cos2 3a, a — некотороечисло." cos 6a-j-cos 4x+1,5=2 cos23a, cos6a+cos4x+ 1,5=1 +

+cos6a, cos4x=— ' 4х=±—п + 2пл, 4x=(3n±l)—л, x=А О О

= (3n±l)JL, neZ. Ответ: (3n±l)i, ле=2.6 6

г) sin3xsin(iL — 3x)sin(jL+3x) = -L

Решение. sin Зх _L( cos 6x—cosJin) =_L, sin3x(cos6x +

_L, 2sin3xcos6x+sin 3x=_L; sin9x—sin3x+sin3x=_L,4 2

^2

sin9x=_L, 9x=(— l)"JL + rm, x=(— \)n3. + nJL, n^Z. Ответ:2

v 'б v '549

(— IfJL + nJL, nt=Z.'54 9

25

+4)

д) 2-^2 cos (45° — xXl+sinx)=l— cos2x.

Решение. 2V2(cos 45° cos x+sin 45° sin xXl + sin x)= 1 —cos 2x,2(cos x + sin xXl +sin x)=2 sin2 x, (cos x+sin xXl +sin x)=sin2 x;

cos x+sin xcos x+sin x+sin2 x=sin2 x, sin x+cos x+sin xcos x=

= 0._

(1)sinx+cosx=#, 1+2sinxcosx=i/2, sinxcosx=—^—. Урав-

нение (1) примет вид: y+ -

~

=0, y*+2y—1=0, yu 2= — 1±л/2-1) y\ = — 1— л/2, sin x+cos x<—2, а потому решений нет; 2) y-t=

= д/2— 1, тогда sin x+cos x=V2—l, ^2sin(^x+^j =^f2—l,

sin(x+Jl)=^^- = l-^, x+^.=(-l)narcsin(l-^)+n4,x=(— l)"arcsin(l— ^) +nn- JL, «eZ. Ответ: х=(—1)"Х

Xarcsinfl—^)+(4n—1)JL, nc=Z.


1. sin(a+x)—sin a cos x=cos a.

2. cos (a + x) cos (a—x)+0,75=cos2 a.

3. cos 2x cos x=sin 2x sin x.

4. sin2xcosx = cos2xsinx. -5. cos2xcos3x=cos5x.6. cos3xcos4x=cos7x. 7. tg(a + x)tg(a—x)=m.8. sinxsin(60°—x)sin(60° + x)=^-.9. 8cosxcos(iL—x)cos(i+x)+1=0.10. sin( "+2x)ctg3x + sin(n + 2x)—V2cos5x=0.11. sinxcos2x+cosxcos4x=sin( J! + 2xjsin( JL — 3xJ .

12. tg2xcos3x+sin3x+V^sin5x=0.13. cos -Lcos Ax—sin x sin 3x—sin 2x sin 3x=0.

2 214. sinxsin3x + sin4xsin8x=0.

15. cosxcos2x=sin( JL+xjsin(-IL+4xJ +sin( Ал+4х] X

Xcos(2ji—5xj.16. sin x cos x cos 2x cos 4x cos 8x == — sin 2x.

.J617. sin 2x sin 6x—cos 2x cos 6x=-y/2 sin 3x cos 8x.18. sin3xcos3x=sin2x.

19. tg(x-15°)ctg(x+15°)=|.26

20. sin-Lcos— !-sjn2f = sin — cosJl2 2 V3 2 2

21. sin(iI-f5x)cos(jl + 2x) = sin( JL+x) sin( Л-6х) .

22. 4sinxcosf JL — xj + 4sin(n + x)cosx-|-2sin( Ал —x) X

Xcos(n + x)=l.23. 2sinxcos(An + x) — 3sin(a —x)cosx-|-sin( Л+ x) cosx = 0

24. cos(2*- 18°)tg50° + sin(2f—18°)= 1

2 cos 130°

25. sin Ax cos Ax + siniicos Ax + sin2xcos7x = 0.2 2 2 2

26. sin2xsin6x=cosxcos3x.

27. cos 3x cos 6x=cos 4x cos 7x.

28. cos4xcos(a + 2x)—sin2xcosf JL — 4xJ =^sin4x.29. cos(x+l)sin2(x+l)=cos3(x+l)sin4(x+l).30. cos x cos 2x cos 4x cos 8x = J_.

1631. cos x cos 2x sin 3x=0,25 sin 2x.

32. _Lsin4xsinx + sin2xsinx = 2cos2x.

33. 4sin2xsin5xsin7x—sin4x=0.

34. tgxtg(x+|)tg(x+An) =V3-

35. J- sin 3x — _L cos 3x = cos 7x.2 2

36. cos3xcos2x—sin xsin6x=cos7x.

37. sinx + cosxctg JL = —V^-38. sin5x—sinxcos4x=0.

39. cos — cos Ax — sin x sin 3x — sin 2x sin 3x = 0.2 2

40. 2sinxsin3x+(3y2—l)cos2x = 3.

41. cosx + 3sinx=l+2cos Axcos JL.2 2

42. sinx + cosx=-\/2sin5x.43. cos( An + x) sin (л — 7x)=sin3xsin5x.44. 2sin3xsinx + (3V2— l)cos2x=l.45. 2sin2x-|-3cosx= l+2cos Axcosil.

2 2

46. 2cos(x+Л.) =cos3x—3V3sin3x.47. cos2x—sin 7x cos 6x + cos 7x sin 6x=0.

48. sin( x+ Л) = — (cos x—sin x).4 4' V2

27

49. cosx + sin3x — 2 cos Ax cos JL =—*K 22°30'2 2 1—tga22°30/

50. 4sin3x—2 + (3 —sinx)cos2x = 2tgiL + 2tg^ + 2tgE? +8 8 8

7л+ 2tgg

51. tgf^ + xW sin2x + Igarccos(--L)=0.BV 4 / l+cos2x1

л \ 2/

52. cos2(Л — x)sin4(.*-+x} = ^sinSx.

53. sin3xsinxsin( Л —x) = Acosf Ал + 4х} .

2tKi54. cos x cos 3x = (cos 3x cos 4x—sin 3x sin 4x) cos 5x +1-tg2-

-1. 8

55. sinxsin3x=_L.2

56. sin Ax sin-£(1 — cosx') + cos AxcosA(l+cosx)=-l-.57. tgx + ctg(An — 2x) = tg3x + 3arccos 1.

58. cos 7x sin x+ '"'K^'sin 2x=cos( 5(x+ ?*)) .

l+tg22x V V 5//

59. tg(2x+JLn)=2ctg2x+-i-ctg^n.60. tglln= 2ctK*+3

.

6 *(-+*)61. V2sin2x — V2cos2x=l.62. sin2x+V3cos2x=V2-63. sin3x=iEarctglsinx-!^sl^-.

n&

1+tg2*

64. 4sin(x — 2n)cos2xcos3x = sin6x- S.S-J1+tf-f

65. 1 — cos3xctgx=sin3x.66. 2sin5xcos6x + sinx=sin 7xcos4x.67. 81<sin 2x— ')«*3x g(sin x—cosx)3=0_

68. sin7x+cos22x = sin22x + sinx, — Л<х<Л.3 3

69. sinx + cosxctgjl = —-y/3.70. 2 cos 5x cos 8x — cos 13x = 0.

71. sin(x— Jl) — sin(x+ Ал) = cos(x+Jl).28

72. sin 7x cos 13x = sin x cos 19x.

73. sin!4xsin2x+ 1—tK 2*-sin4x=JLsin8x.l+te*2* 2

74. 7 cos x+2 sin 3xcos2x—sin5x=5.

75. sin x sin 2xsin3x=_Lcos( An — 4x) .

76. sin3xcos (-£- — Л +sin-£- =— •

77. sin3x=4sinxcos2x.

78. cos 3xcos 4x-f-sin 2xsin 5x= _L(cos2x+cos 4x).

79. 4sinxsin(*—x) =1. 80. 4cosxcos(x + -5.) =-Д81. 2sinx = sin(45° — x). 82. 5т(л + x\ = Acosfil — xY83. sin6x=sinxcos5x. 84. V3sin3x — 2 cos 7x = cos 3x.

85. 2 sin 5x sin Ax=cos-f.. 86. 2 sin 7x sin Ax=cosJL.2 2 2 2

87. sinxsin(x+JU sinf x+Ал) =-L.

88. (sin x + cos x)2 = tg( x + JlV

89. sin^-^cos^ + A^tg^-tg-^)-'.90. -b^£i.=2cos2x.

4-tgJf

91. sin(jL + Ax) =2sin(An+2L), — Л<х<л.

92. — sin5(x+iL) —2 2tS* cos3x= A— Aarccosf — 1).V 5/ 1+tg2* 2 яv '

93. V3-tgx=tg(|.-x).94. sin 4x sin 6x=2(sin x -+- sin 5x).95. V3sinx—cosx=-"-.

r-2

96. 2y2cos(450 + xXl+sinx)=l+cos2x.97. sin(c+x)—sin (a — x)=cos(fc-j-x)+cos(& — x).98. tg(| + x)tg(|.-x)=H-cos2x.

i П. УРАВНЕНИЯ, РЕШАЕМЫЕ С ПОМОЩЬЮ ФОРМУЛ

ПОНИЖЕНИЯ СТЕПЕНИ

Формулы понижения степени:

sin2f= i-cos2/ cos2/= '+cos2<2 2

Примеры.Решите уравнения,а) 2sin2^x+cos4x=0.

29

Решение. 1 — cos2x + cos4x=0, 1 + cos 4x—cos 2х=0.

2cos22x—cos2x=0, cos 2x(2 cos 2x— 1)=0. 1) cos2x=0, 2x= JI(2/i+

+ 1), x=(2n+l)JL, ne=Z, или 2) 2 cos 2x—1=0, cos2x=JL, 2x=4 2

= ±Л + 2Ля, x=±JL + kn, ke=Z. Ответ: х=(2л+1)" x=3 6 4

=(6Л±1)Л, п, fteZ.

б) 2cos22x+cosl0x —1=0.Решение. 1 +cos4x+cos Юх — 1 =0, cos4x+cos 10x=0,

2cos7xcos3x=0; 1) cos3x=0, 3x = (2/i + 1 )-£, x=(2n+l) * nsZ,2 6

или 2) cos7x=0, 7x=(2ft+l)" х=(2*+1)Л, ke=Z. Ответ:

х=(2л+1)" x=(2k+l)" n, ke=Z.О 14

в) sin4 f-j)+cos4 (л —

у j=sinx.Решение. sin4y+cos4y =sin x, (s'n2y+cos2"5") —

— 2 sin2 у cos2 у= sin x, 1—r"sin2x=sinx, 2—sin2x=2sinx;

sin2 x+2sin x—2=0, sin x= — 1 ±V3. 0 sin x=V3—1, x=(—I)"XXarcsin(V3— l)+nn, n(=Z, и 2) sin x= — (1 +л/3)< — 1, x=0.

Ответ: x=(—l)"arcsin(V3—1) + /ш, n&Z.

f) sin2x —sin22x+sin23x =

y.. Решение. 2sin2x—2sin22x+2sin23x=l, 1—cos2x—1 +

+cos4x+l—cos6x=l, cos4x—cos2x—cos6x=0, cos4x—

—(cos 2x-f cos 6x)=0, cos 4x—2 cos 4xcos 2x=0, cos 4x(l —2 cos 2x)=0.

1) cos 4x=0, 4x=(2n+l)y,x=(2n + l)y, n«=Z, 2) 1—2cos2x=0,

cos2x=y, 2х=±у+2Ля; x=±-£+kn, k(=Z. Ответ: x=

= ±-§-+/гя, x=(2n + l)y, k, n<=Z.


1. sin2-|x = -|-. 2. cos2|-x=y.3. sin2 2x+sin2 Зх+sin2 4x+sin2 5x=2.4. 6sin2x+2sin22x=5. 5. 4sin2x+sin22x=3.

О

6. cos23x-f-cos24x+cos25x=y.79 x . 9 Зх . о 5x . о 7х л

. COS у +COS у —Sin'у —Sin''у =0

8. cos2x+cos22x+cos23x+cos24x=2.9. cos2 x+cos2 2x—cos2 3x—cos2 4x=0.10. sin23x+sin24x=sin25x+sin26x.

30

11. 5sin22jc+sin2x — 1.

12. (16sin7°sx+6-4S'n

4 -4=0.13. 3cos2x — 3sin2x-f-cos2x=0.14. 2sin2y+cos2x=0.15. sin8* —cos8x=-jj-cos22jc—^-совгдг.16. cos8* —sin8Jt=cos22x+y cos2x.

17. cos6*—sin6*=-5-cos2 2*.о

18. sin4 x+sin4 Cj — xj=sin2AT.,9. cos2 (f-*)-cos2 (-£+*) =4.20. sin4-|x + cos4|-A: = a.

21. sin4 jc+cos4 jc—2sin2jt + sin22x=0.

22. sin4x+sin4 (*+-j)=-i 23. sin4y+ cos4y =-|.24. sin4x+cos4x=cos4JC. 25. 2 cos2*+cos 5*— 1 =0.26. sin2x-f sin22jr=sin23x+sin24x.27. ctgx —sin Jt=2sin2y.28. sin2Jt+sin22x-|-sin23ji;+sin24jt=2.29. sin4 Jt-j-cos4 *=sin 2x—0,5.30. sin2*—sin22x+sin23*=0,5.31. 4cos2Jt+2cos 2xcos3x—cos5x=3.

32. Sin4x + sin4(-j -f.x\_f-sin4 (jc—-^)=0,5.33. cos6(-J+A-) + cos6(jc-i)=0,5.34. cos2Jc+cos22jc=cos23Af+cos24je.35. sin2jc-f-sin22A:+sin23jr+sin24je+sin25je=2,5.36. 8cos6*=3cos4x+cos2jc+4.37. sin4-|- +sin4(y + y)=sin-g-n, — у<*<2л.

7 I38. 81П4ДГ + С084Д:=-5 5- COS X COS 3JC.

О £

39. sin2T+sin2|-JC=l.40. (cos 5л:+cos 7xf+(s in x -+- sin 7jc)2=0.41. sin4jc+sin4 (* + -£-] +cos4* —

у sin2 2*.

42. 2cos2x+cos22x=3. 43. sin22jt+sin2j<:=y.44. sin2jc-t-sin22je+sin23jc=l,5.45. sin25x=cos22;<:—2 sin22л— 1.

31

46. 2 2^Д,+Х\ +2ctg2(|n+x)=3'^.47. 5tg22x+2cos22x=3. 48. 2sin2x+tg2x=2.49. sin7x+sin9x=2(cos2(-J— x) —cos2(-^+2x)).50. 0,5{cos 5x+cos 7x)—cos2 2x+s in2 3x=0.51. 2(sin22x+sin2x)=l+2sin(2x—30°).И. sin2 (,+i) -cos2(x-^) - (arccos( -f))M.53. 4cos2(f +x) +4sin»(i-x) =5.

54. 4sin2x + tg2x=6.55. sin 2xsin x+cos2 x=sin 5xsin 4x+cos24x.56. cos2-! + cos2^= cos21^.57. Sin2lx+sin2^=4- + sin2^.о о l о

58. 2cos2x—cos23x=l.59. sin Зх+sin 5x=2(cos2 2x—sin2 3x).60. sin M(я—I) +sin9(n—x)=2 (cos2 (-J- —x) — sin2(-£.

2x).61. sin2x—cos xcos 3x=0,25.62. 12cos2y =9 — 4 cos у cos у x.

63. 2 sin2 x=-=- + sin x sin 3x.

64. sinTsiny=0,25-cos2T.65. sin8x+cos8x=g2.66. —2sin2x+l+sin4x=4cos2x.

1 2ctgT67. 6sin2x=ctg2-£- Л ; = cosx.s 2 ^ sin2x sinx

68. sin2x + -3-sjnz3x=sinxsin3x.69. cos4x+sin4x=2cos(x+-£-)cos(x— -|Л.70. 16sin6x+ **f *-****) _3c0s4x

M

71. sin6|-x+Cos6y=fl.72. 8sin8x-f-8cos8x=— cos4x.73. cos25x+cos2x(l -sin27x+sin4 7x)=0.74. sin2x+sin25x=l.75. 2sin3x+cos22x=sinx.

§ 12. УРАВНЕНИЯ ВИДА a sin * + fc cos* = c

В уравнении a sin л:+6 cos х=с а, Ь и с — любые

действительные числа. Если о=Ь = 0, а с=И=0, то уравнение теряет смысл;если же а=6 = с=0, то х — любое действительное число, т.е.

уравнение обращается в тождество. Простейшие уравнения этого

вида нам уже встречались в решениях уравнений § 5, 7, 9, 10.

При этом их решение не требовало новизны подхода. Например,-^/3sinx+cos х= 1. Разделив обе части уравнения на 2, получим:

^sinx + -i-cosx=^-, т.е. sin (x+-|) =i- или cos(x—^)=\Уравнение sin jc+cosjc=1 можно решать по крайней мере

четырьмя способами. Например, разделив обе части уравнения на -\/2,получим: — sinje+ — cosx=—, sin (х+-^Л =—и т.д.

Рассмотрим уравнение asinx+b cosjc=c, у которогопроизвольные коэффициенты. Такие уравнения решаются разнымиспособами.

1-й способ решения уравнения asinx-f-bcosx=c —

введение вспомогательного угла.Мы знаем, что если а2 + 62=1, то существует такой угол <р,

что a=cos<p, b=sincp или наоборот. Для решения уравненияosinx + b cosx=c вынесем за скобки множителем выражение

-Ja24-b2. Получим: -Jn2-i-h2( "sin х-! —^z^cos х) =с. По-

скольку ( °-) -\- ( —) =1, то первое число

чУа2+62/ v -Ja2+b2' V"!+*2b

можно принять за косинус некоторого угла q>, а второе

за синус того же угла ф, т.е. — =costp, — = sin ср. ВУа2+*>2 Vfl2+*2

таком случае уравнение примет вид: -\/a24-b2(cos9sinx+sincpXXcosx)=c или -\/a2+b2sin(x+9)=c (1), откуда sin(x+cp)== —-=■. Это уравнение имеет решение, если а2-|-62^с2, тогда

ЛК+*2

*+Ф=(— 1)" arcs in—-1_ +пп, х=(— 1)" arcsin—-f__ +nn — w,

«gZ. Угол ф находится из равенства tgф=-^-^- = —, откуда

Ф=аг^ —. Ответ: х=(—If arcsin ^___ -\-пп — arctg —, /»=Z


a) 3sin jc+4cosjc=2.Решение. а=3, 6=4, с=2, а2 + Ь2=25, с2=4, а2 + 62>с2;

следовательно, уравнение имеет решение.

33

Применим формулу (1): -\/32+-42(cos <psin x + sin (pcos x)=2,о

5sin(x+9)=2, sin(x-|-(p)=-g-, откуда получим: x+q>=(—1)"X2 2 4

Xarcsin-g-+nn, x=( — l)"arcsin-^-—ля—q>, n^Z, <p=arctg-jr-. По

2четырехзначной математической таблице найдем: arcsm-=- —

= arcsin 0,4 « 23°35'; <р=arctg -i = arctg 1,3333 « 53°08', x—

=(— 1У23о35'+180°л—53°08', n<=Z. Ответ: *=(— 1)"23035'++ 180°л — 53°08', neZ.

6) sinx—^2cosx=-^j3, Vl +2 sin(x—(p)=-\& sin(x—cp)=l, x—

— ,p=.iL-±_2mi, х=у+ф+2лл, 9=arctgV2«54°30', x=90° ++ 54°30' + 360°л, х=144°30' + 360°л, «eZ. Ответ: x=144°30' ++360°л, neZ.

Рассмотренный способ часто применяется при нахождении

максимума и минимума функций $/=asinx-r-bcosx-|-c.Пример.Найти максимум и минимум функции y=5sinx+ 12 cos x—7.

Решение. у= -\/52+l22sin(x+(p)—7=l3sin(x-f-q>)—7, ф=12

= arctg-g-. Максимум будет при sin(x+(p)=l, т.е. «/тах= 13-1 —

—7=6. Легко видеть, что ymin = —13 —7= —20. Ответ: утах=Ь,Упш=— 20.

Рассмотренный способ решения уравнения asinx+Acosx=cявляется универсальным. Он применяется также в физике присложении гармонических колебаний.

2-й способ решения уравнения asinx+bcosx=c—метод рационализации.

Известно, что если афл(2п-{-1), n&Z, то sin a, cos а и tga

2tgfвыражаются рационально через tg-_—, т.е. sin a

l+tg-f1-tg'y 2tgf

cosa = и tga = .

Метод рационализации заключается в следующем: вводитсявспомогательное неизвестное так, чтобы после подстановкиполучилось рациональное уравнение относительно этого

вспомогательного неизвестного. Рассмотрим уравнение asinx-r-fecosx=c (1),

2tg£ '-tfyкоторое можно переписать так: a \-b =с. Поло-

l+tg2y H-Vfy 2/1 t2

жим tg-7-=/, тогда получим: a-—т + Ь-г~г=с. Это уравне-* 1 -f-t 1 +t

34

иие — рациональное относительно /. Умножим обе части уравненияна 1+/2^=0 при t(=R, получим: (6 + с)*2 —2а/+(с —6)=0 (2),_£_ = а2 —(с—6)(с-|-6)=а2-|-62 — с2. Полагаем, что Ь + сфО или

сф — b, тогда /i.2 =

jt^ (3)- Значения / —

действительные, если a2+62^sc2.Если в уравнении (2) с=—6, то оно обратится в уравнение

первой степени: —2а/—26=0, t= , т.е. tg-5- =. х=

=—2 arctg \-2nn. Выражение для вспомогательного

неизвестного /=tg4- теряет смысл при у=у +пл, т.е. х=(2п+1)п.Решения уравнения (1) вида х=(2/г+1)л (если такие решениясуществуют) могут быть потеряны. Подставив х=(2п + 1)л в уравнение (1),mwiy4HM:asin(2n-|-l)n-|-bcos(2n + l)ji = c; a-0 + 6(—1)=с; с= — Ь.В этом случае уравнение (1) имеет множество решений вида

х=(2п-И)п, ne=Z.

1. Если а2 + 62<с2, то уравнение (1) не имеет решений, так

как уравнение (2) не имеет действительных корней.2. Если с?-\-Ь2^с2 и сФ—Ь, то из уравнения (3) найдем:

jc=2 arctg т^ |-2пп, neZ.

3. Если с=—Ь, то уравнение (1) имеет два множества решений:лг=(2/г+1)я и х= — 2arctg— +2/ш, neZ.

Примеры.Решите уравнения.

а) 3sin jc+4cosjc=3.Решение. а=3, 6 = 4, с=3, а2+62 = 9+16=25, с2=9, а2 +

+ 62>с2 — уравнение имеет решение. 3—%~ +4 1—/- =3, 1 +

+ 12Ф0 при f«=lf, 6f+4-4/2=3+3r2, 7/2-6/-l=0, /,.,= 1*1.

1)/. = 1. -l = Jl+mi, *=-|+2mt, neZ: 2) *„=-.}.. tgJL =

= —-L, JL = — arctg-L+fcji, jc=—2arctg_L + 2ftn, fteZ. Ответ:

x=JL+2nn, x=—2arctg-L+2*n, n, fteZ.

б) 3sinx—4cosjc=5.

Решение. a = 3, 6=— 4, c=5, 32+42=52, т.е. a2+62=c2 —

Уравнение имеет решение. 3—2^ 4 1--■ =5, 1+/2^£=0при /el?,l+t2 l+t*

6/-4+4/2=5+5/2, /2-6/+9=0, (/-3)2=0, /=3, т.е. tg-L=3,

35

г

или

JL=arctg3 + nn, x=2arctg3 + 2«n, neZ. Ответ: x=2arctg3 ++ 2лл, /i€=Z.

в) 5 sinx—4cosx=4.Решение. a=5, b= —4, c = 4, т. е. с=—Ь,— уравнение имеет

два множества решений. ■ |0<- —Ф--'2) =4, 10/ —4+4/2 = 44-4<21-М 1-Мг

10/=8. / = ±, tg-L=±, x=2arctg0,8-f-2rtn. neZ, и так как

с= — ft, то существует еще одна серия решений: x=(2ft + 1)л, fteZ.Заметим, что уравнение 5 sinx— 4cosx=4 можно преобразоватьтак: 5sin х=4(1 +cosх); 10sinJLcos.£.=8cos2-L;2cos-l( 5sin JL~

2 2 2 2 V 2

— 4cos-f.)=0. 1) cos .1=0, x=(2k+l)JL, x=(2k+l)n, ke=Z,

2) 5sinJL —4 cos Л=0—однородное уравнение, а потому 5tgJL —

*• i 2

— 4=0; jc=2arctg0,8+2nn, «eZ. Ответ: x=(2ft+l)_!L, x=

=2arctg0,8 + 2wn, k, n<=Z.3-й способ решения уравнения asin x+ftcosx=c.Можно возвести обе части уравнения в квадрат и привести его

к однородному. Этот способ неприемлем, так как получатсяпосторонние корни.

4-й способ решения уравнения asin x-|-ftcosx = c.

Запишем уравнение в виде:

2asin-lcoS-!L-f-bl cos2 JL — sin2 JL) =c( sin2JL+cos2 JL), т. е. имеем2 2 V 2 2/ \ 2 2/

однородное уравнение: (с + ft) sin2 JL — 2a sin JL cos JL+(c—ft) cos2 JL =

= 0 и т. д.Решите уравнения, применяя наиболее рациональные методы.I. 5 sinx—12 cosх= 13. 2. 4 sin x+5cosx=6.3. 5 sinx—cosx=5. 4. -\/3sinx-f-cosx=-\/2-5. sinx—-yf7cosx=^ff. 6. y3sinx—2cosjc=1.7. cos3x—-\/3sin3x=I. 8. 3sinx+5cosx=4.9. sin4x-J-cos4x=4. 10. cosx+sinx=-\/2-II. cosx—sinx=l. 12. sinx+-\/3cosx=— -y/3.13. 2cosx+2sinx=-\/6. 14. 2cosx+sinx=V2.15. cosx—sinx= 1,5. 16. sinJL+cosJL = — 1.' 2^217. sin2x+cos2x=V2sin3x.18. cosx—sinx=^. 19. cosx+sinx=^.

2'

2

20. sinx + cosx=V2sin5x. 21. sin2x—cos2x= —.

22. sin2x+V3cos2x=T/2. 23. V^sinx—cosx= JL.

24. sin2x—cos2x+l=0. 25. sinx—д/5cosх=у5.36

§ 13. УРАВНЕНИЯ СМЕШАННОГО ТИПА

Решите уравнения.1. sinx-j-cosx=2,5+5sinxcosx.2. sinx —cosx+5sinxcosx= 1.

3. sin3x-j-cos3Jt = I. 4. sin3x—cos3x=l.

5. 2sin9xsin-Z-jc=cos-|.x6. 5(sin x+cos x)+sin 3x—cos 3x=2-^2(2 -J-sin 2x).

7. 2 — 2sin(An—x) =^tg-^=^-.8. I — sin 2x-f-sinx + cosx=0. 9. I -f-sin 2f = cos/ — sin t

10. 2sin(3x+^.) =V^+8sin2xcos22A".11. tgx-}-ctgx=V2(sinx + cosx).12. 2 sin -Lcos2 x—2 sin JL sin2 x=cos2 x — sin2 x.

2 2

13. sin -Icos 2x+sin2 x cos .£. =cos2 xcos JL.2 2 2

14. sinx—cosx+5sin jccosjc=2,5.15.' arctg(2x—l)=_Larccosx.16. 1— cos(!gx)=V2sin(lgV417. 2sin(2x—13)=3sin(2x—15).18. arctg(x + 2) — arctg(x+l)=Jl. 19. 2 arctgi. — arctgx= 2L.

4 2 4

20. arcsin arcsin Vl — x = arcsin _L.z-fi 3

21. arctg "— arctg-£^ = arctgx.

о a-\-b

22._arcsin3x=arccos4x. 23. 2 arcsin x=arcsin —x.13

24. (sinx-J-cosx)(tgx-J-ctgx)=l.25. cosx+cos x-J-arctg Hg-g-njl+cos (х + ^п) =0-

26. Найдите действительные значения а, при которых уравнениеcos4x—-(a—2)cos2x—3(a+])=0 имеет решения

27. |cos2x|= |sin2x —у |. 28. ^sin Юх+sin 2x=cos 2x.

29. sinx+cos2x + 2sin xcos2x = 0, -1л<д;<п.30. Найдите действительные значения Ь, при которых уравнение

sin 2х — 26-\/2(sin x -f- cos х) ■+■ 1 — 662=0 имеет действительныерешения.

31. j~JK* =1—sin2x. 32. tg3x—tgxtg(il-fx) =0.

№ 15, 18—23, 25 решать при изучении § 16.

37

33. l-+tg*+ctK* StSJ< = 1.

~гт-+{2* —+ tg2*—ctg2xsin x cos x

34. asin2x+2(sinx+cosx)=l. При каких значениях а решениевозможно?

35. 4sinf x+Jljcosfx—ij =a2+-\/3sin2x—cos2x. При каких

значениях а решение возможно?36. sin3jc-T-sin32x+sin33x=(sinx+sin2x+sin3x)3.37. 8cosjc=-^-H !—. 38. 8sinjc=^-H l—.

sin x cos x cos x sin x

39. tg(n + x)tg3x= — 0,4.

40. 2 sin2 ( iLcos2 x) = 1 — cos (я sin 2x).

41. j£i£±«!i=3. 42. ctg2x-tg2x=-ltg4x.tg(*+12°)

s 6 3Б

43. sin3jc+cos2x=l. 44. g*R(*+30*) =л/з.ctg(x+15°)

45. cos(x-15°) =2 + л/3. 46. cos(*-5°) =2 +л/3.cos(105°-x) cos (95° -x)

47. sin(x+20°) _ л/3-lcos(50°+x) 2

48. tg-22^--cos2jC=2V3cos2(A:+iL).49. sin(2x-*) + cos(2x-_*) =V3cos(2x+-^-) .

50. V2sin2x+3(sinx-bcosx)=4V2.51. tg(*+29°j = _j_

tg(*-l°) 3

52. л/2 sin 2x-f-2sin x=0. Найдите положительные корниуравнения.

53. -\/T-|-4sin xcos x~sin x = cos x.

54. sin 3x+4sin3x+4cosx=5.55. l + sin3x+cos3x= _Lsin2x.

256. tg3x=3(tg4jc—tg3x).57. l + sin2x-f 2-v^cos3xsin(x+Jl) = 2sinx-f 2cos 3x+cos2x.

58. cos3x—3cosx—cos2x + 3 = 0.59. sin3x+3sinx-|-cos2x + 5=0.60. л/2 sin 2x—2 sin x=0. Найдите положительные корни

уравнения.

61. sin3(x+Ji) =-yf2sinx.62. sin23jc—V3sin5xcos(-2.-х) + —cos5xsin3x — 2cos(-Ii —

—xj sinSx+^sinSxsinSjt — cosf Л — xj cos5x=0.

38

63. Asin6xcos2x—-i.sin6xsin3x+J-sin6xsin2x+sin2xXXsin2x — 3sin2x cos2 x—sin2 2x=0.

64. sin2xcos3x—3 cos 3x cos2 x+6 cos2 x sin (1я+х) +

+ 2sin 2xsin ( JLrt+xj— 2sin2xsin f Ал + х} — sin2xcos3x=0.

65. sin 3x cos 2x+л/2 sin 2x+-\/2 sinx sin 3x—2sinxcos2x——л/2 sin 3xcosx—2л/2 sin2x=0.

66. 2cos4xsin2x+sin 5x cos x+л/З sinx sin 5x—л/3 cos 4x sinx—— cos4xcosx—2sin5xsin2x=0.

67. tg(120°+3x)+tg(40° + x) = 2sin(80° + 2x).68. 5sin2x '2(sin3x-coS3x) +i2 = o.

l+ysin2x69. 4sin3x—2+(3 — sinx)cos2x=2tg4+2tg3f-*) +

+ 2tg5(|)+2tg7(il)+..70. 4sin3x+-i cos3x=3.

71. 2(cos4x —sinxcos3x)=sin 4x+sin 2x.

72. cos6x=2sin(yn + 2xV73. 5sinxctgx—sinx—5ctgx+l =0.74. 1 — sinxcosx+sin x—cosx = 0.75. sin (л—х)—sin(3x—n)=sin2x(l +cos2x)76. cos2x-|-sin 2x=cosx+sinx.77. ^cosx+sinxf+l=2sin'2xctg2x.78. tgx+2tg2x+3ctg3x+4ctg4x=0.79. (l-tgxXl+sin2x)=l+tgx.80. 2sin5xsin|-x=cosy, 0<x<-£--81. sin x+cos2x+2sinxcos2x=0, —-j-s^x^ji.82. -5-VI +cos 2x= -ycos2 x—cosx—cosx.

83. -д/3—5cosx—7sin2x + cosx=0.

84. 2sinx — cosy^Y—x)— sin2x = cos2x.85. (sin x+cos x)(2—sin2 2x)=2(l —tg8x)cos7x.86. 2(sin x+cos x)2 =tg (45°+x).87. cos(cosx)+sin2x=2+ l+c*2x

.

88. ctg2 x - tg2 x = 16 cos 2x.89. sin 2x + cos2x +sin x + cos x+1 =0. 90. sin4x+3sin2x=tgx.91. tg

Зл~4х

-cos2x=2^cos2(x + ^-).sin I-;—l-jr) t/x ,

n\v4 T / 1 C0S4"2" + T7

92. l+2,ejl=3-4 êmx 93.-g-+16 ,nx=6:16

39

Найдите все пары чисел хну, которые удовлетворяютуравнению.

94. cosjic+cos</—cos x cosy-J-sin ж sin «/=1,5.95. (sin2x+-^-)2+ (cos2* + —^)2 = 12 + 4-sin«/.V sin'' x / \ cos2 x / 2

96. tg4 x+tg4 у+2 ctg2 x ctg2 и=3+sin2 (x+y).97. sin2* — 2sinJtsiny—3cos2t/+cos4i/-j-2=0.Решите уравнения.98. 4sinx-|-2cosjc=2 + 3tgx.99. |cos2x| = |sin2x—a\ для x^R, причем 0^х^2л.100. 1 + 2(sin2 2x — 2a cos 2x + a) tg2 x — cos 4x=0.

101. sin (-j- + yjtj = 2sin (-j-л + у Y — л^х^л.

102. 3cos2x-(4.3sin2'-9)=l.103. sin4x-l-sin3xcosx+sin2xcos2x+sinxcos3x=—:1 ' ' sin x cos ж

—cos4 x.

104. 32 sin6 x—cos 6x+32cos 2x—8cos 2xsin22x= 1.

105. sin4(x+n)—3cos2 f-^- +xj=tg(x-|-/m)-|-arccos(tgxctgx).106. 6cos2(-=-+3x)-cosl3(n + jfx)=4.107. i+sin5(|-x) + cos(-|n + x) = 4LlL-V2—^.108 85'п'*+35'п2*+1 —tgx

- I

^2-1

8cos2x+3sin2x+l109. 8sin (x—-=-)cos3(12n —x)—8cos (x—y)sin3(lln+x)—

-6sin (2л:— у)=л/3-110. sin2(x—л)—cos(3n+2x)+tg2x =

2cos2jc

1+cos 4jc

111.1 +cos 2x+cos2 x log^(tg2 x)+3sin x=2 sin x log, (tg3 дг).T

112. ctg2x-f3tg3x=2tgx-'2

sin 4jt

113. tg2x + 8cos2xctg2x=cte'!x.114. 4ctg32x—12ctg2x+ctgrx + tg2x=14.115. sin 14 (л— y)+sin9(n—x)=2 (cos2 (|--x) — sin2 (-J-+

+2x)).lie.tg(±+x)+ctg(±n-x)={2-^)(l+-L + ± + ^ +

117. 4 + cos2x+3cos4x=8cos6x.118. 4tg-J+2tg^ + 8ctgx=tg^-tg-|-.

40

119. (1 +sin2xXcosjc—sin ас) =1 —sin22jc.

120. 2 sin2 (yCOs2x) = 1 —cos (лsin 2x).121. sin 2x+tg At = 2.

122. sin23x—-\/3sin5jccos (^—*) + yCQsSxsin 3x —

— 2 cos (y — x Jsin Зх-f-—sin 3* sin 5x — cos (y — x Jcos5x=0.123. cos 4x cos at+ 2 sin2 xcosx — 2 cos 4x cos 3x—-^/3cos4xsin x —

— 2-\/3sin3x — 4sin2xcos 3лс=0.124. 5 sin x—sin 5*=0.

5 x125. 2sin 7xsiny*=cos---.126. sin2Jt-|-sin 2jcsin 4x + sin 3jcsin9x+sin4xsin'16x + ...+

-|-sin(nx)sin(n2Jt)= 1.127. sin x-|-sin2 x-f-sin3x + sin4 x=cos x+cos2x+cos3 x+cos4x.128. tgjttg22jctg23x = tgjc.+tg22x—tg23x.

2 23129. cos2x+у cos at + 4 cos Зле— 8 cos x cos 2x + — =0.

130. 2cosx — cos-ix=l. 131. 2 + cosx = 2tg*

132. cos6( *+-£.) + Cos6(-5--x) = »+«"2*.133. cos3jc + cos33x=(cosx + cos3jc)3.134. 6 sin x-2 cos3 л; =

3»in4xcos*_

2 cos 2x

,35_ 2(со»+|Ьч)+1-см2х =-yf3 + smx.2(l+sin*)

v '

136. sin 2x-f-cosx+2sin x= — 1, 0<x<5.

137. sin x cos 3x + 2 cos2( JL—X\= tg2 2!!я.

138. 3sin;t—cos(2x—л)= —-H-log^J^J.139. 169 cos 2x +54 cos л; — 4sin4xsin3x — 2cos7x = —99.140. 304 cos4 x—376 sin 1 lxsin 9x— 188cos20x = 113.

• 4 **"i 4 %

sln ТГ +COS* —

, ,

141. ? 2--tg2xsinx= 1+s,nj:+tg2x.1—sin* Б 2

■ ь

142. 2cos4(-iL — x\ — 119(tg3x — tg x) cos 3x cos x = 119.

143. tgx + sin2x + cosx:(l+sinx)=l+2sin2(x+il) .

144. (-\/3 + cosx)cos x— 1 = cos2x:(l —sin 2x)—(-\/3-|-sinx)sinx.145. (cos x — sin x) ( 1 -|- J_sin2x} + sin x = 2 cos2 x.

146. 64cos22x = sin_4x, i^jf^ln. Сколько различных

корней имеет уравнение?147. 1— cos(4x+2)=3[l — sin(2x+l)], 0s^x<2jt. Сколько

различных корней имеет уравнение?41

148. cos 2x cos 4x cos 6x = -Lcos4x, -5-^х^л.. Сколько

различных корней имеет уравнение?149. 5tg22x + 2cos22x = 3, О^х^:-jLjt. Сколько различных

корней имеет уравнение?150. -у/2 sin xsin 2x=-\/5cosx + 4sin 2х.

151. sin3(x — -1 л) =V2sin(x + 24n).

cost —5-л)152. l+tg* + tg2* + tg3*+-= }i_L' .

VI -tg2*153. 8tg24=-tg4^+—!--tg(x-n)tg(l3x-x).2 4 cos x ■ \ 2 /

154. 22tg~2~+sin(^~ =(36'°e<*5+ 101-1»*—З1"»»»)^-'.4 t —

155. tg(40° + *)ctg(5°-i)= i- ^-.3

'---T156. sin 5x + 2 sin 4*4-sin 3x + 2 sin2 ± = 2.

.

2157. sin x — sin 2x = 4cos2x—2cosx.

158. i-(sin( JL4-3*) + cos7x) — cos22x-+-sin23jt== a,ctg(,„E!((i+1,(-L_4.+ _^_| + _^_...))).

159. ctg (90° — x)+tg 50° + tg 70° = (sin 2x): (1 + cos 2x) tg 50° XXtg70°

160. (sin2x ^-Ц :(sin2x-4cos2ji) =tg2A.i-t^-g-

161. (1— sin x +sin2* — sin3 л; + sin4 л; — ...)_l — l+sin2(^-— x\ =

162. 6sin2xtg3x — 4V3 sin xcos x — 3V2tg3x+V6 = 0,

18 8

163. tg2jc—tgx = —* sinf x— JL) . Найдите решения, удовлет-cos x ^ 4/

воряющие неравенству У*4-л.<3.164. (cosx):(x4-—) = |cosx|.165. sin2.it —sin x = 2 sin х —4 cos x.

166. —* 1 ! = 4sin(x+An}sin*

'. / 3 \ \ 4 /

sin \x— -yiij42

167. 2sin(x+^)+2cos(_l + ^)=3sin(^+Jl) +

+V3cos(A + -f).68. I sin x| =sin x-|-2cosx.69. l+sin27x — 3sin7xcos7x + 5cos27x = a—6

70. 2sin6x=tg2x—2sin2x. 171. 2sin2 (x—-j- )=2sin2x—tgx.72. sinx |2со5д:-11 .sm2x=

2 cos x— 1= sin2x.

73. cos 'U cos x- -)=74. 2-f cos4x = 5cos2x + 8cos6x.

75_ sm x+sin 3* =sin2x + cos2x.V2|cos*|

76. sin x -\- 2 cos x + 2 sin x cos x = 0.

77. sin(5n-x) + tg(ji + *) = (му-иЦ, -_|.п<х<я.^ SID ДГ о

78. cos4x+2sin2x = 0, — 1<х<1.79. sin |x| = |sinx|.80. (1 + sin2xYcosx—sinx) = 1 —2sin2x.81. cos6x + tg x+cos6xtg2x= 1.

82. 5-f sinx + cos3*+s.n3*\ =cos2x + 3, £<Ân.V ^1+2 sin 2* / 3 3

83. 8cosx + 6sinx —cos2x —7 = 0, 0<х<2л.84. sin 3x + 3 sin 7x-\- 3 sin bx -\- sin 9x = 8 cos3 x sin 6x.

85. 2sin5xsin.±x = cosjL, 0<x<iL2 2 4

86. sinx+sin (x-\- — л ]= 1 — 0,5sin 2x, — 2л<х<:л.

87. sin x+V^ sin (3,5л —x)+tgx = V3, —л<х<Ал.88. V25 — 4x2 ■ (3 sin 2лх + 8 sin лх) = 0.

89- ctg(|-n—Jf)+ctg2jf = 2.

90. cos2x—sin2x + (g2x=-|-.91. УГ-2 sinx — Cos2x = ctg2630°.92. 3 cosJ( Зх- Ал) = -^54 cos 300°.

93. ytg23x+tg2(3x--g -2 = ctg23,5n.94. [sin-J +sin(y —

у л)]3+ 2 cos 300° =0.

95. -\Jsm22x+ | cos(2x—Ал)| +i=cos|n.96. (4 sin x — 49 cos xXcos3 x — sin3 x)~' — 28(2 + sin 2x)"' = 0,

43

197. cos(ji + *)-s'n (ул —3xj —cos (yn4-^)sin(3n —3x) =

6= sin4x, — Л<х<-Н-л.

3 7

198. 2cos3(-^-Wsin2(^-) =1. 199. cos23x—_Lcos6x = sinx.

200. 3(1 -sin ax) =2cos2x — 7, — л<х<л.sin x — cos 2x

201. sin 2xsinx4-cos2x = sin 5xsin 4x + cos24x.

202. sin xcosxcos2xcos8x =— sin 4x.

203. sin 2xsin 6x — cos2xcos6x=V3sin3xcos8x.204. cos 6x + cos 1 Ox = 1 4-cos 4x.

205. V1 + cos 2x—Vl — cos 2x = 1

206. V2cos(3x——) = cos 3xctg3x(ctg3x4-1).207. cos 5x cos 4x 4- cos 4x cos 3x — cos2 2x cos x = 0.

208. cos 2x — 6sin xcosx4-3 = arccos( —_!_) —_ л.\ 2/ 3

209. -i cos2 A( 1 — Vsin x) = л/2 cos x — Vsin 2x.

210. 16sin6x + 24(cos6x —sin6x):(4 —sin22x)—3cos4x=A^.4

211.(l4-tg|)(l-2sin2|):((l-tg|)(14-cosx))=ctg2x.212. 2cos 13x + 3cos3x + 3cos5x = 8cosxcos34x.

213. 4tg(^4-x):(l4-tg2(^4->:))4-2ctg2(|n4-x)=3"«35x /3 \

214. 2 *"* +S,^2""_Jr;=:(36i<«65_|_101-lE2_3log93^.6-l215. -!fc=24-tg2x. 216. ctg(x + ±n) =ctgx-l.

cos 2x \ 4 /

217. Vco<rx+72sin* = 0.

218. sinxcos — 4-cosx-sin —= _L, -1л<х<л.

8 8 2 2

219. cosxcos — 4-sin xsin Jl = ^-, —-i^^-K^n.

5 5 z. I

220. 14-2cos3xcosx —cos2x = 0, —-|л<х<2л.221. sin2x4-cos2x=l+V6sinx.222. tgxtg22xtg23x = tgx + tg22x-tg23x.

223. 2cos2(2x——) 4-cos4x + sin4x = cos2x +

224. ctg2f-£_n — x) h\inx = 0.

2ctg(-§-n-2jt)l+tg22*

1-tg2 2

44

^225. 2(cosjc) 2—cos2jc=l+-5i!1^--(l—Vcosx).

л/3226. tg2xctg22*ctg3x=tg2x—ctg22x4-ctg3x.227. .11 cos x| .sjnx=4sin2xcosA:.

1 —cos x

228. V2cosx+ lsin*-'l .sin2x=0.sinx—1

229. —3- l'~C0SJ[l .sinx=sinx —2sin2jc.1 —COS X

230. V3~sinx— l1+cos^l.sin2x = sin2x:.1 -4-cosx

231. V5sin x + cos2x+2cosx=0.232. 2sin(x+-j)+2cos(| + -g==3sin(jL+JL) +

+1/5co.(i+«).233.V2sin(^-^)-V6sin(^+^)=2sin(^-^)-

234. 2cos($+«) -2cos(^-^) -V5co.(i-») +

28e.^co.(*.-^-V5.in(^-^-2,in(^. + 4«)-

236. |sinx|=sinx + 2cosx. 237. |tgx|=tgx —.

cosx

238. |cosx|=cosx — 2sinx. 239. Ictgxl =ctgx + -J—.

.3 x,

. ,

/ о \ Sill— JtCOS — + SlllXCOs7jr240. siir5x( sin 7x cos x—sinJL cos-£-.*)=: £ 4

.

V 2 2/ l+ctg25*241. 4sin22x—2cos22x=cos8x.242. 2(sin22x+l)=sin8x+6cos22x.243. sin 12x + 9 sin2 3x — 3 cos2 3x=3.244. cos 12x—5 cos2 3x+sin2 3x + 1 = 0.245. |sinje+cosx| = l+2sin2jc.246. x2 = 5 —cos4x.

Itgjr+ctgjcl247. |cosx—sinx| = l-f-2sin2x.248. 2 —V3cos2x + sin2x=4cos23x. Найдите решения,

удовлетворяющие неравенству cost 2x—JLJ ^0.

45

§ 14. ПРОВЕРКА РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЙ

Нужна ли проверка решения тригонометрического уравнения?На этот вопрос утвердительно отвечать нельзя. Еслитригонометрическое уравнение представляет собой целый многочлен относительно

синуса и косинуса и если грамотно решать уравнение, то проверкаможет понадобиться только для самоконтроля — для уверенностив правильности решения. Проверка, как правило, не нужна. Еслиследить в процессе решения уравнения за эквивалентностью

перехода, то проверку решения можно не делать. Если же решатьуравнение без учета эквивалентности перехода, то проверкаобязательно нужна, особенно когда уравнение содержит тангенс,котангенс, дробные члены или тригонометрические функции от

неизвестного, входящие под знак радикала. Не сделав в этом случаепроверку, приходят к грубым ошибкам, к посторонним решениям. Прирешении уравнений, содержащих дробные члены, нужно следитьза сокращением дробей, ссылаясь на основное свойство дроби.В этом случае мы избегаем посторонних корней и избавляем себяот проверки найденных решений.

Пример.1. Решите уравнение 2sin3x+cos22x=sinx.Решение. cos22x=sinx—2sin3x, cos22x=sinx(l — 2sin2x),

cos22x=sinxcos2x, cos 2x(cos 2x—sinx)=0. 1) cos2x=0, 2x=

=(2n+l)JL, x = (2n+\)JL, ne=Z, или 2) cos2x — sinx=0, 1 —

— 2 sin2* — sinx = 0, 2sin2x+sinx—1 =0: a) sinx= — 1, x= —— -\-

+ 2kn, k(=Z и б) sinx=_L; x=(— If Л + mn, m<=Z.2 6

Найденное решение удовлетворяют данному уравнению. Для

самоконтроля можно положить л = 0 и проверить корень x=JL;

при k = 0 x-= — JL; при m=0 •*=-£•Можно ввести понятие «период уравнения» и делать проверку

на отрезке, равном периоду, но это вызовет кропотливую работув случае большого периода. Условимся называть периодомуравнения период функции f(x), где f(x) — левая часть уравнения,получаемая из данного уравнения перенесением всех членов уравненияв левую часть. Известно, что период функций sin nx и cos nx ра-

При меры.а.) Найдите период уравнения sin Зх — sin7x=-\/3sin2x.Решение. sin3x — sin 7дс—-\/3sin 2x=0. Обозначим периоды

функций sin Зх, sin 7x, sin 2х соответственно через Т\, Гг и 7"з, тогда

7"i = —, 7"2=— и Тэ=л. Наименьшее общее кратное всех перио-

дов — 2л, т. е. период уравнения Г=2л. После решения этого

уравнения проверку можно провести на отрезке [0; 2л].46

б) Решите уравнение cos7x + sin 8x = cos3x—sin 2x.Решение. sin8jc-l-sin2x = cos3x — cos7x, 2sin5xcos3x=

s=2sin5xsin2jc, 2sin5jc(cos3x—sin2x)=0. I)sin5jt = 0, 5x=nn,

x=n- —, n^Z; 2) cos3jir=sin2x, cos3x=cosf Jl — 2x\ : a) 3x—

-Jl + 2x = 2kn, 5x=^.+2fcji, x=(4fe+l)JL; 6) Зх+JL — 2x=2ln,

x=-^ + 2ln, ieZ. Ответ: x=nJl, *=(4ft+l)Jl, x=(4l-l)-±,n, k, lf=Z.

Сделаем проверку найденных корней. Для этого определим

период уравнения f(x)=cos7jt + sin8x — cos Зх + sin 2x, 7"i = —,

72=—, 7"э = -=^, Tt = n. Чтобы найти общий период, надо при-4 3

вести все периоды к наименьшему общему знаменателю (НОЗ),а затем найти наименьшее общее кратное (НОК) всех числителей,после чего, разделив НОК на НОЗ, получим общий период: 2л.

Выпишем решения уравнения: п—, (4Л+1)-^и (4/— 1)" п, k, l^Z.

Мы видим, что проверку корней уравнения на [0; 2л] проводить

будет утомительно, так как для проверки корня (4fc+I)Jl нужно

давать значения ft от 0 до 14, что, естественно, затруднительно.Если же период небольшой, то можно себе позволить проверкуправильности найденных решений.

в) Решите уравнение sin 3xctgjt = 0.

Решение (3sin.nc—4 sin3 л) cos л: __n sin х[Ъ — 4 sin2 x) cos x __qsin x

'

sin x

sinjt=?fc0, хфкп, feeZ, в противном случае ctgx не существует:(3-4sin2x)cosx=0. 1) 3—4sin2*=0, 3—2(1 —cos2ж)=0, 1 +

+2cos 2*=0, cos2x= — _L, 2x= ±-2-л-\-2kn, x= ± Л +Ал, fteZ;2, о о

2) cosx=0, x={2n+l)JL, nzEZ. Ответ. x=(3ft±l)4, x=(2n +

+ l)£, MeZ.Мы гарантируем правильность ответов, так как не было

нарушено соотношение эквивалентности. Заметим, что приравниватькаждый множитель исходного уравнения к нулю, а потом находить

общее решение нецелесообразно.

f 15. ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ.СОДЕРЖАЩИХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

В курсе высшей математики довольно подробно изложены

способы приближенных решений трансцендентных уравнений. Мырассмотрим графическое решение трансцендентных уравнений вида:

sinx=/(x), cosx=/(x), igx=f(x) и ctgx=f(x), где f(x) — какая-либо

47

-я -frH*-? -f-Hьаз г j и б

Рис 1

простейшая функция. Графический способ решения уравненийтакого вида заключается в отыскании приближенных значенийабсцисс точек пересечения графиков функций y=sinx, y = cosx,y=tgx и y = ctgx с графиком функции у=/(х) в одной и той же

системе координат. Заметим, что графический способ не

отличается высокой точностью. Полученные приближенные результатыуточняются с помощью более совершенных вычислительных

методов.

Примеры.Решите уравнения.

a) sin =_!_*.'2

Решение. Построим графики функций y = sinx и y=J_x.

y = s\nx и у=-^.х— функции нечетные, а потому |jci | == | лгг I (рис. 1).

— Ал<х2< —

— и JL<jti<-?-n, xi» 2-я, и х2« ——п.3 2 2 3 12 12

У

sin x

1

0

0

0

л

6

0,50

0.26

л

4

0,71

0.39

л

3

0,87

0.59

X

л

2

1

0,78

2

зл

0,87

1.04

3

4Л

0,71

1.17

5

6Л

0,50

1,29

л

0

1,57

Ответ: *1»_л, хг«— — л и *з = 0.12 12

б) cos2x=x—1.Решение. Построим графики функций y=cos2x и у=х—I

(рис. 2). Точки пересечения y = cos2x с осью Ox: y = 0, cos 2x = 0,2x = (2n+l)Jl, лс = (2л + 1)Л, iizeZ. При х<с0, у< — 1, т.е. слева

от начала координат х— 1 <cos 2x, поэтому точек пересечения слева

от оси Оу нет.

48

У

cos2.it

х-\

л

~~2

— 1

— 2.57

л

— 0,50

-2 02

л

0

— 1,78

X

0

1

— 1

л

т

0

— 0.22

л

3

-0.50

0.02

л

т

— 1

0.57

Рис. 2

Приближенное значение решения уравнения х находится на

отрезке [VA] (ОА = ОВ=1), а точнее, принадлежит промежутку

(-J.; l). Возьмем jta ±(jL + l)«J_. 1,78=0,89. Ответ: хж0,89.

в) tgx=i-xРешение. Построим графики функций y=tgx в

промежутках —— -\-kn<.x<, — +kn, fteZ и у=—х (рис. 3). Оба графика

^ хг Г-7Т -Ц,

Рис. 3

49

пересекаются в начале координат. Число х=0 является точные

корнем этого уравнения. Кроме того, уравнение tgx=— x имеет

бесконечное множество решений в интервалах

/i«=Z.( 2

"'2 -)•

У

tg-r

1

3

— 1

0.59

л

0

0,78

X

9

0,4

0.88

5

1

0.98

4

1,73

1.02

17

22"

3.73

1.11

Из графика видно, что —n<.xi<.—n, —-5_л<хг<——л.8 4 4 8

9 5-0-П+-Т-П

Можно принять jt|«s — 2— 19л

16, Х2!

-тл-= — —Л И

16

вообще х=±—л-f-foi, fceZ. Уравнение имеет бесконечное мно-16

жество решений. Ответ: х=±— л + йл, *eZ.

г) ctgx=—.1.*

iРешение. Построим графики функций y = ctgjc и у= —

_

(рис. 4). Оба графика будут пересекаться в бесконечном множестве

точек. Найдем хотя бы пару приближенных решений. Функция

Рис. 4

50

„ss— _L нечетная, а потому точки пересечения с графиком функцииУ х

ussdgx будут симметричны в промежутках (0; л) и ( — л; 0).

У

ctg*

X

X

2

0.58

0.47

л_

2

0

0.6

л

т

1

— 1.27

л

0

—0,6

2

-0,58

—0,47

Из графика видно, что SL<Zxi<. — n и — -|-л<Х2< —

~. Можно

л 2

■** — — = _я и хг«— —п. Уравнение имеет бесконеч-2 12 12

гВЗЯТЬ Х\:

ное множество решений: х=±-1.л + пл; neZ. Ответ: х=

Решите графически уравнения1. sinx=x. 2. tgx=x.

0.4

3. cos2x=0,4x.

4. sinx= 5. sinx = x— —n.

S 16. УРАВНЕНИЯ. СОДЕРЖАЩИЕ ОБРАТНЫЕ

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

При решении уравнений этого параграфа необходимо знать, что:

arcsinx+arccosx== —; arctgx-j-arcctgx=-"-;— -n-<arcsinx<-n-; — Л <arctg *<-"-;

2 2 2 Б 2

Oârccosx^n; 0 < arcctg x < л;sin (arcsin x)=x и cos(arccosx)=x, если |x|^l;tg(arctgx)=x и ctg (arcctg x)=x, если хеЛ.Решите уравнения.а) 4arctg(x2—Зх—3)—л=0.Решение. arctg(x2—Зх — 3)=Л. Так как значение арктан-

генса находится в промежутке ( —Л; Л), то в этом случае из

равенства углов следует равенство функций. Пользуясьсделанными замечаниями, получим: х2 —Зх—3=1; х2 —Зх—4=0, откуда*i = — 1 и х2=4. Ответ: х= —1, х=4.

б) 6 arcsin (х2—6х+8,5)=я.51

т. е.

Решение, arcsinfx2 — 6х-|-8,5)=" х2 — 6x4-8,5=0,5, х2^б

—6x-f-8=0, откуда х\=2 и х2=4. Ответ: х=2, х=4.

в) arcsin—- arcsin Vl — *=arcsin — (1).Зу/х 3

Решение. Уравнение имеет смысл, если 0<х<1. Рассмотри^два способа решения.

1-й способ. 1) Обозначим arcsin—— = a, sina=——

cos2a=l ——, cos2a = -9j^^-. Так как —— ^а^.—, то cosa>0

9х 9* 2 2

cosa= — ~л1 9дг~4. 2) Обозначим arcsin V — * = Р. sin p =

= -у/1 — х, cosр=-у/1 — 1 -\-х=-фс. 3) a —p = arcsin_L, sin(a —P)==

= _L, sin a cos p —cos a sin p = 4-, —--^~ 4-"\/"*~4 'V* — *—3 з 3vx J v *

= 1, \ = -J*&=*..-JTZ^% i=j£=l.(i_x)> >:=9x-9x2-4 + 4xj3 V x jt

Эх2—12х+4=0; (3x—2^=0, 3x—2=0, *=-§-■ Ответ: x=i-,2-й способ. Воспользуемся равенствами sin (arcsin x)=x,

cos (arcsin x)=-y/l — sin2 (arcsin x) = -y/l — x2. Следовательно, взяв

синус от обеих частей уравнения (1), получим: —— л/1—(-у/1 — х)2 —

3VJr

(см. 1-й способ).1) Решите уравнение arcsin 2x +a rctg-^-^- = -£■.Решение. |2х|^1, |х|^—. Обозначим arcsin2x=a, sina =

= 2х, — JL<a<Jl. Обозначим arctg-!-=£• =р, tgP = -bii,2 2 2х 2х

— JL<p<;iL, хФО. а + р=Л, sin(a + P)=l, sin a cos p +cos a X,

Xsinp=l, cos2a = l—4X2, но — JL<a< "а потому coso =

= л/1-4х2, тогда 2xcosp+Vl-4x2sinp=l (1), l + tg2P = —!—,cos' p

l + /J=i\2e_J^, Jd=2thL L_, cos2p -^. Так

^V 2x ) cos2p Ax2 cos2p 5^-2x+l

как — JL<p<;—, то msp = —-2x Так как cosp>0, то

2 2 V5x*-2x+i|x|=x. sin2p=l-cos2p=l -** = ^-2x+i = {x-lf

H HSx'-^+l 5x*-2jr+l e^-ar+l

52

sinp = -—Ь^ (^J(\-Xf =ll-x\ = l-x, так как lx|<±).15ji?-2x+\

V

Выражение (1) примет вид: 2х•—===—=■ + v' — 4*2 XЛ1Ьх3~2х+1

l— x =1, бх2 —2х+1>0 при лёЛ, а потому 4x2 +V5jc^2x+1

_j-(l — x)-\l — 4х2 = -у5х2 — 2x+l. (2) Обе части уравнения (2)

положительные, так как |x|^-L, а потому, возводя в квадрат обе

части уравнения (2), получим равносильное уравнение: 16дс4-+-±(\-х)2(1-4х2) + 8х2(\-х)л1\-4х2 = Ьх2 — 2х+1, 16х4+(1-2х++ х2Х1-4х2) + 8Л1-х)УГ-*47 = 5х2-2х+1, 16х4 + 1-2х+х2-_4х2+8х3 — 4x4 + 8x2(t — х)У1-4х2 = 5х2-2х+1, 12х4 + 8х2(1-— x)V' — 4х2 + 8х3 — 8^ = 0. Из условия видно, что хфО, а потому,разделив обе части уравнений на х2, получим: 12х2 + 8(1—х)ХxV1— 4х2 + 8х — 8=0; — Зх2 —2х + 2 = 2(1 — х)У 1 —4х2. Нетрудно

проверить, что при |х|<_ левая и правая части уравнения —

положительные величины, а потому (— Зх2 — 2х + 2)2 = 4(1—2х-\-+х'2Х1—4х2), 9х4Н-4х2Н-4 + 12х3—12х2—8х = 4—8Х + 4Х2—16х2 ++ 32х3— 16х\ 25х4 —20х3 + 4х2 = 0, х2(25х2 — 20х + 4) = 0, х=0 или

25Х2 — 20х + 4 = 0, (5х — 2)2 = 0; 5х — 2 = 0; х= —, но из условия5

9 9х=^0, а потому х=_. Ответ: х= —

О О


1. arcsin(2x—3)= — . 2. arccos(x2 —2) = л.

3. arcsin (х+1 )=-£. 4. arccos(x2 —5x + 7) = 0.6

5. 4 arctg(4x2—12x+10)=n. 6. arcsin 3x = arccos4x.

7. 2 arcsin x=arcsin-^-. 8. 2 arete-L—arctcx=JL.13 e 2 B

4

9. arctg(x+2)—arctg(x+l)=JL.

10. arctgCx2 — 4x + 3 + V3)=—.. 11. 6arcctg(x2 —8x+15-fV3)=Ji.

12. 4arcctg(V —9х+15Ьгл = 0.13. arcsin x = arccos-\/T—x. 14. 2 arcsin x = arcsin 2x.15. arcsin 6x = arccos8x. 16. arcsin x = arcctgx.17. 2 arcsin 3x=arcsin 2x.

18. 2arccos-yi — 16x2 = arccos^/l — 12X2.19. 2 arccos-yl — x2 = arcsin 2x.

53

20. 2 arccos -д/l — iL = arcsin -Ц-.V О t)

21. arctg(x—l)+arctgx+arctg(x+l)=arctg3;t.22. arccos x=arctg;c. 23. arcsin x-\- arcsin JL. = JL.

24. sin(/i arctgx)=0, neiV. 25. arcsin 2jc+arcsin x= —.

О

26. 2 arcsin x-\- arccos (I— x)=0. 27. (arcsin je)2+(arctgx)2=n2.28. (arcsinxf + (arccosxf=n3. 29. arcsin2jt— arcsinx=—.

30. arcsin jf—arcsin-i. = arcsin-^—.31. arcsin(x-\/3) — arcsinx=—.

32. a resin л: — a resin — = —.

2 3

33. arcsin-1+2arcsin—— =—.•2 6д/2 3

34. a rccos 2x—arccos (2^3дг) = -5..

35. 2 arccos(3-^jc)—arccos(3V3x)= -£.36. arccos 4x-\- arccos 2jc=JI.

37. arctg^-— arctg^ =±.

38. arctg(x— l)+arctg(2 — x)=JL.

39. arctg(4 —x)+arctg(x—3)=^.40. 2(arcsinx)2 — 3 arcsin x + l =0.41. 2(arccosxf—3arccosx—2 = 0.42. 8(arctgxf—2arctgx—1=0.

Глава II. СИСТЕМЫ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

В курсе алгебры и начал анализа предусмотрено решение систем

уравнений. Системой тригонометрических уравнений условилисьназывать совокупность уравнений, составленных либо только из

тригонометрических уравнений, либо из тригонометрических и

алгебраических уравнений.Примерами систем тригонометрических уравнений могут служить

следующие:

sinx+cosy = 0,

sin2x+cos2 у=—;

sin x cos y = 0,25,

sin у cos х=0,75;

У-

cos2iut—sin2 пх-

§ 1. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ, В КОТОРЫХ ОДНО УРАВНЕНИЕ

АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ, А ДРУГОЕ — СУММА ИЛИ РАЗНОСТЬ

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЯ

Примеры. Решите системы,

а)

sinx — sin y=-1(2).Решение. Преобразуем уравнение (2): 2 sin x y -cos *т"У —

(2'). Из (1) и (2') следует: sin Л cos ^ = -L. cos^ = !.

12 2 4

л/2 л/3 \/2 Г

4 sin12

л ■ п

4S'"T24sin JL =4sin( JL _ Л =4f^-^-^.-L) =ф-^2,

12 V 4 6/ \ 2 2 2 2/ v v

==_^_=^+л^ получим: cos-^=^/l, x + y=V6-V2 4

'2 4

= ±2arccos ^ *—\-4nn, n^Z (3). Решим совместно систему

Уравнений (1) и (3):^+{/=±2arccos^=b^+4fm, ne=Z,

4

х — y=JL; складывая и вычитая эти уравнения, получим:6

55

* = ± arccos ^Ь£ + 2ПЛ +"

,

4 12

t/=±arccos^b^-+2nn--ii, n<=Z.

Ответ: х= rfcarccos* ~j *—\-2nn-\-JL, у=±12'

arccosУё+т/2

+ 2пл--^, n^Z.

б)х+у = ±п (1),

tg*-Hgj/ = 2V3(2).

Решение. Из (2) следует: sm(*+■¥) = 2-v/3, из (1) следует:COS X COS I/

.2

sin-^-п 2 =2а/3, откуда cosxcosu= —, cos(x + t/)+cos(x—y) = -L,cos x cos i/ 4 2

cos-=-л-|-cos (x—(/)= —

, cos(jt—j/)= 1, x—y=2kn, teZ.

Имеем систему:

* + У =

-з-л,

x—y = 2kn, (ieZ; складывая и вычитая эти

уравнения, получим:x=±+kn.

y = JL-kn, k(=Z.

Ответ: х = Л + Лгл, у=Л—кя, k(=Z.3

' а 3

в)*-»=-=-(О.

cosx+cosi/=-|. (2).

Решение. Из (2) следует: 2cos *+tf cosх У = —; из (1)

следует: 2 cos *"^у -cos-^. _J, cosJLtiL=:|, x+y=±^+4nn.

x + y=db^-\-4nn, n^Z,

х — у =

3"'

х=±± + 2пп + ±,

у=±"+2пп-±, n<=Z.о о

Ответ: х= ±" +2пп + ±, у=±*+2пя-* n<=Z.bubo

г)х + у=±я(1),

cos2 x+cos2 у = -L (2).

56

решение. Преобразуем уравнение (2): 1 +cos 2x-\-1 -|-cos 2y=cos 2x+cos 2у = — -£,

О

2 cos (х+у) cos (x—(/)= — -i,

V3~ncos(x—y)=-T, cos(x-y)=^-, x—y=±"+2kn.2 cos -g

*e=Z (3).

x_y==± "+2*л, teZ;

,= ±JL+*,i + JLn,

у==Р^-*л + ^л. ft*12

Ответ: дс=±^+*п + ^п, у= =р IL-kn + ±n, ki

Д)*-0=-J(l).sin2*—sin2 у =-1(2).

Решение. Преобразуем уравнение (2): 1 —cos 2x— 1 +cos 2y=

=y, cos2i/—cos2x=y, 2sin(y+x)sin(x— «/)=у, 2sin(*+

+y)siny=|-, V3sin(x + f/)=J-, sin(x+t/)=—, *+{/=

=(-1)"^ + пя, «eZ.

x + y=(-lT±+nn, ne=Z,

сложив эти уравнения, получим: 2jc=(— l)"-^.+/m+^- или jc=О О

=(— l)"^. + n— + — - Вычитая из уравнения (3) уравнение (1),6 2 6

получим: 24/=(-1)п-^ + пл--^или y=(-l)n^ +n± --£.Ответ: *=(- !)"-=■ + "y + -J. if=-( —1Г-=- +"т~ТГ "е2"

е) х-{/=|(1).ctgx-ctg{/=—^3(2).

Решение. Преобразуем уравнение (2):sin jr sin у

s'n x sin j/'

sin x sin j/:л/3, VI =л/з, sinxsint/=-L (3).

2 sin x sin у 2

Преобразуем уравнение (3): cos(x—у)—cos(x+i/)=lf cos-jL —

«5

~cos(x+f/)=l, cos (*+{/)=-' х+0=±-§л + 2ля, neZ (4).

57

Решим совместно уравнение (1) и (4):х+у= ± -1л+2пл, пе

откуда

Ответ: х= ±-£ + пл + -5., у = ± -£- + пл — 4- п<3 Ь о о

Решите системы.

1. cosx+cost/=cos-5-О

3.

4.

8.

9.

11.

13.

15.

17.

2.

5(sin 2x-f-sin 2t/)=2(l +cos2(x — у)).

x+y=-jn,2 cos x-\- 4 cos {/=3.

*-"—T-COS ЛХ- -sin2nx=-—.

2

cos x—cos у=sin (x+y),

4

cos2 x+cos2 у—0,25,

sinx+sinf/=l.2 a:sin x cos y-\-s\n — siny=cos -i- sin y.

2x—«/= "з

2

*+i/=i-n,4

*g*~ tgy=2.

*+0=f.sinx + sin «/=

X+f/=T2n'tg*+tgy=l+V3-*-{/=-£.

tg*+tgy=

Х + {/=-|я,tgJf + tgy = 2V3.

10.

12.

14.

16.

18.

х+У=~-п,cos 6x+cos 6y=2.

s3

ctgx —ctgj/=—V§.

sin(x—y)=-J_,2x—3y=4.

sin x — cos у =—,

sin x + siny = V2

58

Найдите все действительные корни системы уравнении.

l+tgn*19-

20.

21.

22.

tgny-- l-tgiw'

2^ + ^=4.2 + sin(n(x-y))+V3cos(n(x-y))=0,

tg(JIj/)=3+V5tsW|x2-x+r/2 + -=°-1 я i

72

sin (n(x+y))+cos(ji(x+y))+^=0.х2 + У2=А.1 *

16

12. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ. В КОТОРЫХ ОДНО УРАВНЕНИЕ

АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ, А ДРУГОЕ — ПРОИЗВЕДЕНИЕТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

Это системы уравнений вида:

х±у=а,sin х sin y = b;

х±у = а,sin xcos y=b;

x±y=a,cos x cos y=b.

Примеры.Решите системы уравнений.

а)а

3

COS X COS t/= .

Решение. Преобразуем второе уравнение:

cos(x + y)+cos(x—y)=l, cos(x + t/)+cos JI = 1, cos(x + t/)=-i,JC-f-

х + у=± — + 2лл, n^Z,

Ответ: x=(6n±l)-£ + 2L, y=(6n± 1)-=--|-, neZ.

6) x+y=-^n,sin jtsiny= —*

4

Решение. cos(x—y)—cos(x+y)= A, cos(x—«/)—cos-in= A,

cos(x-j/)+-^ = -|, cos(x-y)=l.

59

i 4х + у=_л,

x —у = 2пл, n^Z;

х= —л-\-пл,3

'

2 -гу= — л,— пл, n^Z."

3

Ответ: х=(2 + Зп)Л, у=(2 — Зп)Л, neZ.

в)х —у=-. w

6

cos х sin u= _L.174

Решение. sin (jc+y)+sin (y —x) = —

, sin (x-j-y)—siny =

=' sin(x + y)=l, х+у=-£ + 2пл.

x + y= Л+2пл, neZ,

x-y = JI;

x=JL +iui,3

i/=-g-+nn, neZ. Ответ: x=(3n+l)Ji. j/ = (6n+l>j1 ne^Z

r)w

3

ctgxctgy=i-.

Решение. y = x—IL, tgxtgy = 3, tgx tg( x— JIj =3,

tgx-(tgx—tg-^)l+tg лг tg

= 3, tg2x-V3tgx=3 + 3V3tgx, tg2x-4V3tgx-

-3 = 0, tgx=2V3±Vl5. x=arctg(2V3"±Vl5)+"". y=arctg(2^±±тД5) + пл —

— ■ Ответ: x=arctg(2V3±Vl5)+n"; i/=»=arctg(2^}±

±лД5) + Пл— — • neZ.

Решите системы уравнений.

7.

x + y= A.w3

sin xsin u= _!_.y4

. 7* + У =

J2 л-

tgxctgy=^.x + y=—n,*

12

cos x cos у = ^j-

*3

sin xcosy = J_"2

х—У =

12'

tg*tgy=^.х-У=^.sin xsin у

_V6

x + y = _Lji,»12

tg*tgy=^,x+y=»

4

tg*tgy=-L.х + У=-Ьл-

sinxcosu=_. w4

60

10.

13.

16.

x—y=JL. II.»2

tg*Ctgi/= — i..

sin jccosu= Л.w4

x + t/=iL, 17.2

tg*ctgy=l.

x + y = n,

ctgjtctgy= —.

x —y =

COS Jt COS U= —i>2

sin jc sin y —_L.»2

12.

15.

y6

CtgXCtg(/=l.

tgxtgy = 3.

sin jcsin y =I

{ 3. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ, В КОТОРЫХ ОДНО УРАВНЕНИЕ —

АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ, А ДРУГОЕ — ОТНОШЕНИЕТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

Это системы уравнений вида:

х±у — а.

sin* _fe;sin у

х±У = а,

cos ж _fe.COSJ/

х±у = а.

sin х ,

= о;COS1/

*±у = а.

COS* L

sin у

*±у=о.*Е * l

-r—=b;<E0 CfRiy

Примеры. Решите системы уравнений.

а) х + у-

ыпу

.л,

Решение. Ко второму уравнению применим производную

пропорцию Л±Ь_ —Л±А.-а—Ь c—d

s.n* + sinU_

g-i-i2 sin Ц^ cos ^

sinjr—%\ny 2—1

х + У

х4-и . х—у2cos—jr^ sin——2-

= 3;

^■^^=3; tg^.ctg^=3; ctg^=V3;X~y =

3

x+y=i*>x~y=^ + 2kn;

6) x — y=—,

sin jf о

cosy

x =

y=

2

iL —An, AeZ.6

61

Решение. у=х—* sinx=2cos(x— Jl) , sinx=2cosx)<

XcosiL4-2sinxsinil, sin x=V3cos x + sinx, cosx=0,6 6

x=-£ 4- nix,

u= — 4-rrn, n^.Z." 3

в) *+«/=-=-.

JO.=3.tg<y

Решение sin*cos° 3 sinxcosi/4-cosxsin и — _j.t sin(x+^ _2cos x sin у

'

sin x cos i/—cos x sin i/ 2'

sin (x—y)я

sln-2sin(x—y)

= 2, sin(x—y)= '

Х + У=£,x-y=(-l)"*+nn;

о

г) х + у=.|л,ctgx

^ J_ctgi/ 3"

Решение. fosxsin_«.=cos у sin x

y=Jl + (_ir'-!I-nJI.

— I. sin и cos x+cos i/ sin x 2 . sin (v+x)3' sin 1/cos x—cos 1/ sin x —4' s\n(y—x)

. 5. sin -=■ лI

.о

2*

sin(«/—x)5

Х + у=-т-Л,

= ——; sin (у — x)= — 1; y—x= — -%- + 2nn;

l-x=-±±2nn\

x= — n—nn,

t/=-5.4-nn, n<=Z.

Решите системы уравнений.* + У=у.

sm у=V5.

з

sin x

cos у

7. х + у='|л. 8.

*-У=Г2'J™-*-=J2.

sin у•7

X+U= —Л,»12

6.

9.

Х + У=Т2Л'sin x л/ь

cos у 2'

J&JL =3.

cos у V3'

Х — У= —

—,

cosx_ Уг+л/З

008 » Vi^VS62

10.

13.

16.

х + у = п.

COS* I

sin у

x+y=jLn,sin x о

sin у

x + y=—n,12

tfifjc+tei/

11.

14.

л/3+l2+Va'

*+у=йл-sin x л/2sin (y 2

* — У=—.12

sin x _, / 3

cost/ V 1

12.

15.

sin x 1_л/2'sin у

f 4. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ, СОДЕРЖАЩИХТОЛЬКО ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

Примеры. Решите системы уравнений.а) sinx-|-cosy = 0, (I)

sin2x + cos2y=^. (2)Решение. Из уравнения (1) имеем: cost/= — sinx, тогда

уравнение (2) примет вид: sin2x-j-sin2x— _L, 2sin2x=_L, l —

—cos2x=_L, cos2x=_L, 2x=± —+ 2пл, x=dt — + nn, n^Z.2 2 3 6

Подставим найденное значение х в уравнение (2), получим:sin2( ± A-j-nnJ -|-cos2 у = JL. Рассмотрим уравнение при п = 0:

sin '(±±)+cos>y=± sin2 JL 4- cos2 u —

—.,6

*2

-L + cos2 y= _

4*

2

-i+2cos2y=l, _L + l + cos2y=l, cos2y= —_L, 2y=±—л + 2йл,

У=±^- + кп. Ответ: х=±±+пп, y=±JL+kn, n, *e=Z.■> 6 3

6) 92tgJr+cOS(,_3i (I)gcoS9_81(gJrJ;2. (2)

Решение. Перепишем систему уравнений в следующем виде:

34 18х + 2со5»=3, (Г)32сЮ4,_з+1в^=2. (2')

Из уравнения (I') имеем: 4tgx-|-2cosy = 1, откуда 2cosy =

= 1—4 tg ж (3). Подставим (3) в уравнение (2'), получим: З1-*1^*—— 3*'е*=2, —$ З^е^г. Обозначим 341в*=/ (4), тогда А —

34,е*'

I~~* = 2, f2+2/— 3=0, /| = —3—не удовлетворяет условию, а

потому /2=1. Из уравнения (4) имеем: 34tex=l, 4tgx = 0, х=ил,n^Z. Подставим найденное значение х в уравнение (3), получим:

63

2cosy= 1 — 4tg/m, 2cosy=l, cosy=_!_, y=±JL-\-2kn, fee^

// = ± Л + 2*л, n, *eZ. Ответ: x = /m, y=± — + 2kn, n, k^z

в)sin xcos t/ = 0,25. (I)sin i/cosjc=0,75. (2)

Решение. Сложим уравнения (1) и (2), получим: sinxcosi/+-f-cosxsiny= I, sin(x+y)= 1, x+y= — + 2nn (3). Вычтем из

уравнения (2) уравнение (1), получим: sin (у—х)=—, у—х—(— 1)*—+2 6

+ йл, fteZ (4). Решим систему из уравнений (3) и (4):

х+у=^ + 2пп,

y-x=(-\f±+kn, n, AeZ.

Складывая и вычитая уравнения, получим: х=(—1)*+,Л +

+ (4n-2A+l)^. y=(-lf!L + (4n + 2k+l)±. Ответ: х=

=(-l?+,± + (4n-2k+l)JL,y=(-lfJL^4n + 2k+l)J!L,n,k<=Z.

_\ I -\/2sin x=siny, (I)' J ^cosx=V3cosy. (2)Решение. Возведем каждое из уравнений системы в квадрат

и сложим, получим: 2=sin2 у+ 3 cos21/, 2=l+2cos2y, 1 = 1 +

+ cos2y, cos2y=0, 2y=JL(2n+l), у = Л(2п+1), neZ. Вычтем

из квадрата уравнения (2) квадрат уравнения (I): 2(cos2jc—sin2x)== 3cos у — sin2y, 2cos2jt=2cos2y + cos2y, 2cos2jc= 1 +2cos 2y,

но cos2y=0, а потому cos2*= —, 2jc=-± — -\-2kn, х=±-5.+*л,*<=Z.

Легко проверить, что из найденных значений хну удовлетворяют

данной системе уравнений только х=— -\-kn и y = JI(2rt+ 1).

n, AeZ. Ответ: х = -~ +Лл, у = -^-(2п + 1), n, fteZ.

Д) tg^-+tg|=2, (1)ctgx+ctgy=-l,8. (2)

Решение. Из уравнения (2) имеем: — +

2tg^

l-tg .: У

2tg-

= — 1,8 (3). Из уравнения (1) имеем: tgJL=2—tgA (4).

64

Подставим уравнение (4) в (3), получим

2tg^ .(«-«.*)= -1,8. (5)

1-f2Положим tg-l=/ (6), тогда (5) примет вид.

1-в-»2_=

2(2-<)= — 1,8, /^0, хф2кп, *eZ, /=?fc2, x=?t2arctg2 + 2/iji, neZ,M_-/2)(2 —/)+/(-3 + 4/ —/2)=—3,6(2/—/2), 2 — /~2/2 + /a — 3/ ++4/2 — P + 7,2t—3,6/2=0, — l,6/2 + 3,2/ + 2=0. Умножим

уравнение на (—5), получим: 8/2—16/—10 = 0, 4/2—8/—5=0, /|=2,5и /2 =—0,5. Подставим значения /| и /г в равенство (6), получим:

tg .1=2.5, x, = 2arctg2,5 + 2nn, n<=Z, tg-i- = —ОД хг =

2 *>

= —2arctg0,5 + 2fcrc, teZ. Из равенства (4) найдем: a) tgX =

=2—2,5=—0,5, yt = — 2arctg0,5+2n,n. rti<=Z; 6)tgJL=2 +

+ 0,5 = 2.5, y2 = 2arctg2,5 + 2*,n, *,<=Z.

n Jt, = 2arctg2,5 + 2mi, | x2 = — 2 arctg 0,5 + 2ftn,T

yi = _2arctg0.5 + 2«,ji, j y2 = 2arctg2,5 + 2ft,n,

Решите системы уравнений

1.

2.

4.

6.

10.

12.

2 sin2 (x+у)—2 sin (jc+y) — 1 = 0.cos2 (jc—y)-f 2 cos (x—у)—2 = 0.

sin (*+$/)= .1,tg(*-y)=l.sin x sin y =

cos jc cos w=

1

4'

3

sin jc-

COSJC-

¥ 4

sin jc

I

sin x sin у =

= sin y,

= cost/.

1

4д/2~'tg*tg(/=-L.

tg* + tgf/=2,2 cos x cos у = 1.

sin x cos у = 0,36,sin jc sin у=0,36.

3.

II.

13.

sin(jc+y)=sin(4jc+f/),cos (jc+2y)=cos (8jc+Ay).

sin xsiny=—,

tg*tgy = 3.

sinx + siny=-i,■ Уз

COS ЛГ + COS у = —

.

Узsinxsiny=—-,

cos xcosys

cos(x+y) _ \^cos(x—y) 9

'

sin jcsin u= _L."3

3ctgx=tg3y.cosx=sin2j/.

65

14.

16.

B 2^ B

2 V5tgJf+tgf/=2V3.

siir'x + ctgj/—I _-

Vcos (t~x)cos2jc+Ttgy—1=0.

15.

17.

tgx + ctgx = 2sin(y — ~nj,tgy+ctgy=2sin( *+-£-)

3cos2x—6c<gy+2

18.

20.

sinJx+ctg(/+0.25= 0, 19.

Vcos (£-*)4 cos2 x+tg y— I =0.

(2 sin x sin у+cos jc=0,11 -r-sinycosjt=2cos2t/sin x.

Vsin (т-*)=0.

18sin2jc—2tgy—3=0.7

cos1**—ctgiy —

12= 0,

У*"1 (f "f)3sin2Jf—4tgy—39=0.

21. fsinycosx-j-sin jc=0,12 cos2 у -4- sin у sin jc=cos 2ycos x.

22. 2 cos jcsin y-f-sin jc=0,

-5—sin2ycosx=sinxcosy+cos jc.

23. fsin Jtcosy + cos jc=0,12 sin2 у—cos у cos x=cos2ysin x.

Определите, при каких целых значениях k система имеет

решения и найдите .эти решения.

24.

25.

(arctg xf+(arccos yf=kn2,arctg x-\- arccos у=-,-.

arccos *+(arcsin y) —Л-^-,4

(arcsin yf arccos x=^-.26. (arccos xf-\- (arctg y)2 -j- (arccos x)- (arctg y)=ftn2,

arccos дг — arctg у =

у.27. [(arcsin x)3+(arccos у)3=(Л + 1)п3,

l arcsin jc+arccos y=л.28. Найдите пары значений {х\ у), являющиеся решением системы

sin x-\

sin х

I

COS I/

_J _зCOS I/

0<дс<л.

:2V14.

196—2и удовлетворяющие условиям:

-Т<У<-о"-

66

29. Найдите лары значений (х; у), являющиеся решением системы

tgjc- ",,— и удовлетворяющие условиям:

tgx_J_ = -^-51в лcos у

Y

—

-J <-х^ 2 '

-f<y<T.30. Найдите пары значений (jc; у), являющиеся решением системы

со* *+щу =2^20,w

3 (и удовлетворяющие условиям:

cosjc- = V202-3л

~2'

sin у

0<У<Л.31. Найдите пары значений (лг; у), являющиеся решением системы

tgx-

tgx

I9 /ZT

,s,n*/,1 и удовлетворяющие условиям: I n<SX'S1 =\f\\* fi |0<у<л.sin i/

Решите системы уравнений.32. 3 tg у +6 sin jc=2 sin (y—jc),

tg-~- — 2sinx=6sin(y+jc).33. rsin2x+sin xcosy=cos2y,

I cos 2x+sin 2y=sin2y + 3sin xcosy.

34. 10 sin у | cos у | —-5cosJt=cos(JC+y),

2 sin у I cos у J +cos jf=—5cos(jc—y).35. f2sin2y+sin2y=cos(x-|-y), ^

I cos2 x + 2 sin 2y + sin2 у=cos {x—y).36. fcos2jc+siny=2cos230°,

I cos 2x—sin y=sin 54°.37. 3tg3y+2cosjt=2tg60°,

2 tg 3y—3cos x= — — cos 30°.

38. f2sinjc+ctg2y=l-tctg30°.bin jc—3ctg 2у=(л/3—6) sin 30°.

39. /3tg4jc+ctgy=2tg60°,I tg 4jc—3 ctg у = — 8ctg 60°.

67

40.

41.

cos2x=tg(y + -j-),cos2y=tg(x + ^-).cos x — sin jc= 1 +cos у — sin y,

з3sin 2x — 2 sin 2y =

-^-.

2sin 2x-|-sin 2y=l.42. [sin Jt-|-cos* = 2 + sin y-j-cosy,

43. cos2 Jc-|-cos2y+cos2z = 1,cos x-j-cosy + cos z= I,x+y+z=n.

44. Найдите решения системы уравненийtg2(*-y)-4-tg(*-y)+L=0, V3 удовлетворяющие условиям:sin х — ~,

— л<у<0.

45. Найдите решения системы уравненийsin2(y-*)+V2coS(y-*)=l,5, удовлетворяющие условиям:

*gy=tg|-,I —л^х^Сл,10<у<2л.

46. Найдите решения системы уравненийctg2 (х ~ у)—(1 + л/3) ctg (л:—у)+V3=0,

л/з удовлетворяющие услови-cosy = —

ям:0<х<л,0^у^2л.

47. Найдите решения системы уравненийcos2 (x+y) + 2 sin (x+y)= 1,75

tgy=tg-^.удовлетворяющие условиям:

/0<а:<2л,10< у^л.

Решите системы уравнений

48. sin2 (_2*)+(3-V2)tg (5y)= ^|-!tg2(5y)+(3-V2)sin(-2x) = 4(3V2-l).

66

49. cos'(4*)+^tg(-2y)=^bltg2(_2,)_^zlcos(4jc)=^=l.

50. sin2(3x)+(4-V3)ctg(-7t/) = 2V3-0,75,ctg2(-7y) + (4-V3)sin(3A:)=2V3-0,75.

51. cos2(6x) + (V5-l)ctg(-9y)=|(2V5-l),ctg2(-9y)+(V5-i)cos(6A:)=|(2V5-i).

52. x-\-s\n(x + y)=[,5, 53. | tg(x + y)-5x= -9.

3*-sin(*+y)=2,5.'5tg(, + y)+^7.

54. (cos{x-y) — 2y=-l,5, 55. <2y-clg(x—y)=3,\3cos{x-y) + y=2,5. \3y + 2ctg(x-y)=8.

56.

58.

60.

62.

х+У x—y 1cos—— cos—y~ =

y>I

cos x cos y= —.

xy=\,arcsin x+arccos y =

-^-

arctg x-}-arctgy = -^-. 59. / s'n (2*+sin2 y)=0,xy=—2. U—3sin2y= —2.

tg(3y— 5cos2x)=l, 61. rcos(2x+sin2y)=l,3y-10cos2x = -£-l. l3*-3sin2y=-10.

4„2ctg(2y—cos2*)=l,

46y— 15 cos2 x= — n— 1.

Глава III. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА

Два тригонометрических выражения, соединенных между собойзнаками «>» или «<», называются тригонометрическиминеравенствами. Тригонометрическое неравенство может бытьтождественным (безусловным) и условным.

Тождественные неравенства доказываются, а условные —

решаются. Тригонометрическое неравенство называется тождественным,или безусловным, если оно справедливо при всех допустимыхзначениях неизвестных, входящих в неравенство.

Например:1) tg2jc^0 при всех xelf, кроме х=у(2/г + 1), n^Z;

2) |sinjc|<;i при всех *е/?;ov sin x+cos х _ /— Г_ л , п 1 •*

3) £ ^Vsln xcosх< *е \2пл; у+2ил I, heZ.

Тригонометрическое неравенство называется условным, если

оно справедливо не при всех значениях неизвестных, входящихв неравенство.

Например:

l)sinx^:y, что выполняется только на отрезках -|г+2Дгя;-g-n+2fot , feeZ;

2) cosjcÔ, что выполняется только на отрезках -^--|-2/гя;-~-я + 2пя , neZ;

3) ctgjc<—-\/3, что выполняется в интервале ( —-?- -\-пп; ля),neZ.

Решить тригонометрическое неравенство — это значит найтимножество значений неизвестных, входящих в неравенство, прикоторых неравенство выполняется. Мы знаем, что

тригонометрические функции sin х и cos х имеют наименьший положительныйпериод 2я, a tgjc и ctgjt имеют наименьший положительныйпериод я. При решении неравенств с тригонометрическими функциямиследует использовать периодичность этих функций, их

монотонность иа соответствующих промежутках.

70

Для того чтобы решить неравенство, содержащее только sin x

или только cos х, достаточно решить это неравенство на каком-

либо отрезке длины 2л. Множество всех решений получим,

прибавив к каждому из найденных на этом отрезке решений числа вида

2пл, где /igZ. Для неравенств, содержащих только tgJt и ctg*,решения находятся на промежутке длиной л, а множество всех

решений получим, прибавив к каждому из найденных на этом

отрезке решений числа вида ял, где neZ. Тригонометрическиенеравенства можно решать, прибегая к графикам функций y = s'mx,y=zcosx, y=lgx и y=ctgx. Мы будем решать неравенства,пользуясь окружностью единичного радиуса. При решениитригонометрических неравенств мы в конечном итоге будем приходить к не-

> >равенствам sin х^а, cosх^а, sin х-^-а, cosxâ, tgxâ, ctgjciga,

tgjtâ, ctgJtâ. Естественно, надо научиться решать их.

Примеры. Решите неравенства.

1. sin x> у.Решение. Проводим два взаимно перпендикулярных

диаметра, совпадающих с осями ОХ и ОУ, строим окружность /? = 1с центром в точке пересечения диаметров (рис. 5). Проводим

прямую у =

-^-- Все значения у на промежутке NM больше -~-.

NM стягивает дугу АВ с началом в точке А (-^, у) и с концом

в точке В (—л, -=-1. Следовательно, решением неравенства будут

все значения на Mr; у л J с прибавлением 2ил, т.е. у + 2ил<

<*< — л+2ял, neZ. В дальнейшем все рисунки будемприводить без пояснений.

2. sin2*<y.Решение. /Warcsiny; у), В (— л — arcsiny, у] (рис. 6).

— л — arcsin у + 2«л ^2х^ arcsin у + 2лл, — arcsin у -+-(2п —

— l)n^2jtârcsin^- +2пл. —-=-arcsin^- + (2я — l)-jj- s^x^

^у arcsin у -+- ял, n^Z.

3. sinyjts^ g-.

Решение. А ( —

у;— у). в( —Тя; "~"2~)^рис- 7)' ~Т11"*"

+ 2пл^-=-л:^—£-+2тт, —s-л + Зял <! х <С—s-л + Зпл, (8« —

о 4 с о

~~3)—-n^Lx^.(8n — 1)"б-л. neZ.

71

V)

у,,

0

-*~ 1^А,

)/ "ж

L &У~ 2

Рис. 5

4. ]sin2Ar|<^.Рис. 6 Рис. 7

г. V3 .„ V3Решение. — -^-^sin2je^-y.

Для более точного построения дуг можно предварительно найтил/3

дуги (углы), синусы которых равны ±-у-- Такими дугами будут

±-д-, которые легко построить с помощью циркуля и линейки,

отложив эти дуги от точки Р0 (рис. 8). На дуге АВ\ — ~ +2£л<О

<2л;<^-+2Лк (I), на дуге CD: -|л + 2£л<2*<4-л + 2*:л,

-~+(2Л+1)п<2х<|-+(2А+1)яг fteZ (2). Из неравенств (1)

и (2) следует: --=- + лл<2х<у + mt (3). (Зл- 1)у <2*<(3л +

+ 1)у, (3n-l)-J<>:<(3n + l)-^. neZ.

Замечание. Если дуги симметричны относительно осейкоординат, то ответ можно писать на любой дуге, уменьшив периодв 2 раза.

5. |sinx|>y.Решение. Из условия следует, что sin х> -=- или sin x<z —

-д-

Это иногда пишут так:

sin х> 2 '

sinx<— _.

, Дуги симметричны

относительно осей координат (рис. 9), следовательно, достаточно написать

ответ на одной из дуг, например на дуге АВ: А(~^ш, у). ^("Гл''у)- -|-+ля<д:<-р-л + ил или (6п + 1)у <л:<(6/г+5)-у, neZ.

6. COSJt> 3-

72

в/fIc4

yl

0

^ 1

\HV/Ar-i

Рис. 8 Рис. 9 Рис. 10

Решение. МРо стягивает дугу АВ (рис. 10), на которойвыполняется неравенство — arccos-r- + 2nn<x<arccos^- +2ия, neZ.

13 3

7. cosx<y.Решение, Л/у; -£Л, ^fy; Тл) MN стягивает ДУУ Л#В

(рис. 11), на которой выполняется неравенство -^- -\-2пп<.х<С-тЯ-\-

+2пл, {6п+\)~ <*<(6й + 5)т, n«=Z.

8. |cos*|<V*

Решение. — y-<cos*<y-. Дуги АВ и CD симметричны

относительно осей координат (рис. 12), поэтому достаточнонаписать ответ на одной из дуг, например на дуге АВ. Но период

необходимо уменьшить в 2 раза: -^-+*п<х<-|-л+*л, fceZ. А

именно: если дуги симметричны относительно осей координат, то ответ

можно взять на дуге, более удобной, уменьшив в этом случаепериод в 2 раза. Действительно, при n=2k получим неравенство (1),а при n=2k—\ получим неравенство (2), т.е. остается в силе

замечание, сделанное в примере 4.

9. | cos>:|>y.

Решение.cos*>y.cos х < —s-

I Учитывая замечание, сделанное в

примере 4, напишем ответ: —

у -\-пп<.х<~ -\-пл. n^Z (рис. 13)."10. tgjc>2.Решение. Из рисунка 14 видно, что arctg 2+ пл <*<-£-+ля.

лег.11. tg*<l.

73

1 X

Рис 11 Рис. 12 Рис. 13

Решение Из рисунка 15 видно: —у -)-яя<л:<-^- -\-пп, n<=Z.

12. |tg*|<V§.„ г

Решение. Дуга (угол), тангенс которой (которого) равен уз,

будет -^- (рис. 16). Так как тангенс имеет период, равный я, то

решение неравенства будет: —j+ля<х<у-|-лл, neZ.

13. |tgx|>l.Решение. Из условия следует: L|*<-J.j ,рис |7\

j+nn<x<y+пли -у+пя<д;<-^+пл, neZ.

14. ctgx<—v/3.г~ 5

Решение. Угол, котангенс которого равен — уЗ, будет -g-л

(или —-?-) (рис. 18). Так как период котангенса равен л, то решение

неравенства будет: —-jj- -т-пжСжГля, neZ-

15. |ctgx|<l.

Рис. 15 Рис. 16

74

I

...

-f

.^^1

/*\/ * '

\-^y\w

-1

%

4 и

ось

*

ось котангенсов

/р\

4^

р'

/7Г\


Решение. Из условия следует: — l<ctg*<Cl (рис. 19).Решением неравенства будет интервал: -£- -у-пжСЖ-т-я + пя, n^Z.

Решение неравенств часто осуществляется с использованием

основных свойств функций. При исследовании более сложных

функций и построении их графиков возникает потребность в

предварительном решении неравенств. Умение решатьтригонометрические неравенства бывает необходимо при изучении пределов, в

приближенных вычислениях, в линейном программировании и

других вопросах. Заметим, что неумение решать простейшиенеравенства, рассмотренные в данных примерах, не позволяет правильнорешать и другие более сложные неравенства. Рассмотрим решениетаких неравенств.

Примеры. Решите неравенства.1. sin Jt-f-cos2jt> l.Решение, sinх> 1 — cos2x, sin x> 2 sin2*, 2sin2x—sin x<0,

sinx(2sin.K—1)<;0. Обозначим sinx=y, тогда y(2y—1)<0. yi=0,У2 = у(рис. 20). Следовательно, 0<у< у, 0-<sin х< у. Решением

неравенства (рис. 21) будут интервалы 2/гя<х<;-|г- -\-2kn или

-^-л+2/гп<:лс<:л + 2йп, k, n^Z.

Можно ответ записать и в таком

виде: (2kn; -J+2Arn)|JU \-^п + 2пл; л+2пп\, k, n^Z.

I i2. -i/sin**—sin*+-£-<-2 .

Рис 20 Рис 21

75

Рис. 22 Рис 23

Решение. ~у (sin х—у) <у, |sinx—y|<iy. —

у ^

s^sinx — у^у. O^sinx^l, 2/гя<!х<1у +2/ея, feeZ. (Сделатьрисунок.)

3. 2cos2(x + y)-3sin(y-x) + l>0.

Решение. 2cos2 (х + |Л — 3cos (y-y + *) + 1 >0,

2cos2 (x + ^} — 3cos (* + Tf) + 1 >°- Обозначим cos (* + -£-) =y,

тогда 2«/2 —Зу+1>0, 2(у — \){.У~ 1)>0 (рис. 22). Следовательно,

у<у или у> 1.

а) cos (je+-g-)<"2_. у + 2*я<у+х<уя + 2*я, у—

у -f-

+ 2Агя<х< у я —у+2£я, — у+2/гя<х<уя + 26я (см.

рис. 11). Можно ответ записать и в таком виде: хе (— у -\-2kn.

-|я+2А:я), *eZ.

б) Неравенство cos(x-f-y)>l не имеет решения, так как

значение косинуса не может быть больше единицы.4. cos 2х—cos8x+cos6x<; 1.Решение, cos 2x+cos6x<: 1 +cos 8x, 2 cos 4x cos 2x<2cos24x,

cos 4x(cos4x —cos 2x)>0, (2cos22x— l)(2cos22x— 1 —cos 2x)>0.Пусть cos2x = y, тогда неравенство будет: (2if—l)(2y2 — у— 1)>0

(И-±) (^-|^1)>о, {у+±)(у-±Ж1,^-±-~i>°- (»+^)(»-i)((»-i)*-a)>o. (»+#(»--^)(*Ч+1)(*Ч-!)>»• (*+i)(^)(*H)><Х(У—1)>0 (рис. 23), у<-^-или —у<у<у^или у>1.

л/2 3 5 3a) cos2x<I—5", -т-я+2йя<;2х<;-т-11+2*л;. уя + /гя<;х<1

<уя + *я, feeZ (сделать рисунок).

76

б) —

у <cos2*<y-, у+2лл<2х<-|-л + 2лл, у + лл<х<

^Л--\-пл или —-^-+пл<;д:<;—~ -4-пл, «eZ (сделать рисунок).в) cos2x>l, x=0.

5. Найдите область определения функции y = -\J4cos2x — 3.решение. 4cos2jc—3^0, 2(1 +cos2x)—3>0, 2cos2jc^1,

cos2x>Y' -у+2лл^2ж<у+2/гл, neZ, -£+лл<*<<;— +ял, heZ (сделать рисунок).~~ б

решите неравенства.

I. -Jcos2 x~cosx + -T-^т- 2- (siny — c°sy) <sin*-

3. sinx+-\/3cosx>l. 4. 3cos2jc—sin2jc>sin2jc.5. cos2jk+cos6x> l+cos8x 6. sin Jtsin7x>sin3jcsin5jc.7. sinjOcos2*.8. sin 9jcsin2je<sin3jcsin4x, если 0<x<y.9.

4sm"x-1>0 10 COSJC_sjnA-_cos2jc>0.

уЗ—(sin jt+cosx)

II. sin(*+i)<i-. 12. Sin(2x-l)^-^.13. cosy>0. 14. cos4x<0. 15. cos (jk— £)>y ■

Найдите области определения функций.16. у=ф—4sin2*. 17. у= Vl— 2 sin2*. 18. y=^jl—2cos2x.Решите неравенства.

19. cos3jesin3jt+sin3jecos3jc>-5-.О

20. cos3jccos3x+sin3Jcsin3jc<-5-.О

21. tg(* + -£-)^sI. 22. sinzJC+V3sinJC—3>023. cos 2*+5 cos *+3^0. 24. tg2jt+(2—V3)tgje—2V3<0.25. sinx<cosJC. 26. sin3jt<sin*.27. ctg2x+ctg*>0. 28. log2(cos2* —yCOS*W —I.

29. 2(V2 —l)sinjt—2cos2x+2 —V2<0.30. sin x sin 3jc> sin 5x sin 7x.

31. cos njc + sin (nx— y]>0.32. arcs in *<-£-. 33. arccos *<-£--34. arcsin (x2 — ~ к— 1,б)< — -i. 35. arcsin2Jt<arccos2*.

77

у X \

36. lg (sin x)<0. 37. sin4 -j +cos4 -3- > у ■

38. sin6x+cos6x>|-. 39. 8sin6x-cos6x>0.0

40. tgx-tg3x< — 1. 41- 3 sin 2x— 1 >sin x+cos x.

42. |sinx|>cos2x. • 43. -yj5 — 2sin x^6sin x— 1.t

44. 1—cosx<tgx —sinx.

45. Найдите область определения функций: у= ~\jsm^[x, y =

= -\/cosx2, târcsin-j-^, y = arccos(2sinx).Решите неравенства.46. sin5x>16sin5x. 47. tg3x+tg2x> 1+tgx.48. 2sirii3x + sini6x<2. 49. tg2x+ctg2x>2.50. ^fs'm x-\--\fcos x> 1. 51. sin 4x+cos 4x-ctg2x> I.52. 2cosx(cosx—-v/8tgx)<5. 53. sin x — V3cos x>-\/2, если

0<х<2л.54. tgx>cosx при O^x^y. 55. |sin x| >ctgx при 0<х<2л

56. cos(sinx)>0. 57. sin(cosx)<0.58. 2 sin xsin 3x> 1. 59. sin-^->-r-. 60. cos zu[x>-^.61. tg2x> \-col?.. 62. sinx-sin (±—x)<l.Б 1—sin x \3 J

63. 4 cos x cos (x + -j)>V3. 64. sinx>VT^ sin 2x.

65. sin 9x —sin 5x+2sin2x<2sin 2x+ 1 — cos 2x.

66. sinx-sin (x+ у jsin (x — y)<~g~-

69. cosx>sin2x—cos2x. 70. 2sin22x>sin2x + —

71. tg3x—ctg3x<7,875. 72. sin4x—6sin2x+4>0.73. tgx+tg2x+tg3x>0. 74. 5+2cos 2x<3|2sin x—11.

75. |3,вшс-3'-,елх|^2. 76. _^_<4tgx.sin x

77. 2 + tg2x+ctg2x<0. 78.aln*~2

>2.

/ sin д \2

.V I —cos -r

'

4 Sin X— I

2 cos2 r—6

79. 2<2>,_COSJr <8. 80. 32cos '-' >3 '-2cos2jr

81. 0,2cos2x-25-cos,r<4-(125)-°-6.82. sin 2xsin 3x—cos 2xcos 3x>sin 10.

83. 24«*'*+2«2-""*х<2Я. 84. 2sin2x-sinx + sin3x<l.85. ctgx—tgx — 2tg2x—4tg4x>8V3~.86. sin 3x<sin x. 87. log2 (cos2x—^собх)^ — I.

78

88. 4sin2x+sin22x<3. 89. sin4 4 -fcos44 <-§-.90. cos x<sin2 x—cos2 x. 91. 4 sin jcsin 3x< 1.

92. log2B,3<loglf,,(3tg2*).93. log2in,2<31ogsinKsiriA- + 2logsin,2.

94. *;; X+COS X)- *> | tg 20° tg 40° tg 60° tg 80°.

2-\/2 — sin x—cos* J

95. 6tg^ >sin(lln—<)—sin (J-л — *) + -^tg20° tg40°tg80°

„„ .„x sin (x+ 12л) —2 cos (x— 14л)

9b. tgy>sin (13л-*) + 4 cos (-£- -y )cos (y +-i)

97. Найдите область определения функции у= ~\ s'mx—^-++ log3(25-^).

98. Найдите решения неравенства -y/sin 2jc<;cos л:—sin л:,

удовлетворяющие условию |л:| <я.99. Найдите решения неравенства -у/3 cos 2x<V2cos x,

удовлетворяющие неравенству |лг|<л.100. Найдите решения неравенства -y/Ssin 2x<sin x+cosx,

удовлетворяющие неравенству | х| ■< л.^___

101. Найдите решения неравенства -\/cos 2д?<д/2 sin x,

удовлетворяющие неравенству |аг|<л.102. Найдите х на отрезке 0^д:^л, удовлетворяющие

неравенству sin 2х — cos x-\—\J2s'\n х^ —-.

103. Найдите х из промежутка ^- <х<;4|-, удовлетворяющие

неравенству cos 2х — sin 2x+cos x + sin х^ 1.104. Найдите х из отрезка О^х^л, удовлетворяющие

неравенству sin 2x-|-sin x—^/2cosx< —.

105. Найдите х из промежутка ^- <х<;у, удовлетворяющие

неравенству cos 2x-|-sin 2x+cosx— sin x^ 1.

. Глава IV. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ,ПРИВОДЯЩИЕ К РЕШЕНИЮ

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

При решении задач этой главы необходимо знать следующийтеоретический материал, являющийся основным:

1) соотношения между сторонами и углами в прямоугольноми косоугольном треугольниках;

2) теоремы синусов и косинусов;3) формулы вычисления площадей плоских фигур;4) выражения сторон правильных вписанных и описанных

многоугольников через радиус соответствующих окружностей(a„=2Rsin — и b„=2rtg —

, где а„ и Ьп — соответственно стороны

вписанного и описанного правильных многоугольников);5) принципы построения линейного угла двугранного угла;6) теорему о перпендикулярности прямой и плоскости;

7) теорему о трех перпендикулярах;8) формулы вычисления площадей поверхностей и объемов

многогранников и круглых тел — тел вращения.

Задачи.1. Хорда сегмента равна 20 см, а его высота равна 8 см

Какой угол вмещает данный сегмент?Решение. По условию CD=8 см, АВ=20 см, OD±AB

(рис. 24), а потому АС = СВ= 10 см и w AD=<^>DB. Пусть£АОВ=х, тогда ^СОВ =

у и sin-y=§§=^. АСОВ. ОВг =

= CB2 + OCz; R*=\02+(R-8f, /?2=164 +

40 ж .40 - . 40=

тр y=arcsinjj- или jc=2arcsm —»

«2 arcsin0,9756»2-77°19' = 154°38'. Ответ:154°38'.

2. Найдите углы параллелограмма, зная,что его меньшая сторона равна 18 см, а

высота, опущенная на большую сторону, равнаРис. 24 12 см.

80

решение. Пусть Z. А=х (рис. 25), тогда Z. АВС = п — х.

Попустим, что ЛВ = 18 см — меньшая сторона, тогда AD — боль-BE 12 2

Шая сторона и высота ВЕ=12 см. д ЛЕВ. sin x=-^ =-rg =-3".

x=arcsin J-«4I°48', тогда /1 ЛВС=л—arcsinj- =180°—41°48' =

^138° 12'. Ответ: /L A = /L C«41°48'; /1 D=jL у4ВС=138°12'.3. Сторона ромба равна 48 см, меньшая диагональ равна 20 см

Найдите углы ромба.решение. Из условия следует: BDJ-AC, BO=OD = 10 см

и ЛВ=48 см (рис. 26). Пусть Z. BAD=x, тогда Z. АВС=я—х.

И_з свойств ромба следует: /L BAO = Z. OAD = -~

■ A BOA.

. х ВО 10 5 х .5 г. ■ 5

8,ПТ=ЛВ =48=24' У=аГС8,П24- * = 2arcS.n^««2arcsin0,2083«2-12o0r=24°02'. Ответ: Z.BAD=/LBCD== 24°02', /- ABC = Z. ADC =155°58'.

4. Биссектриса угла при основании равнобедренноготреугольника делит противоположную сторону в отношении 3:7, считая

от основания. Найдите углы треугольника.СЕ 3

Решение. По условию -г= = -=■ (рис. 27), откуда следует:

C£=3jc, ВЕ=7х, тогда ВС=АВ=10х. По теореме о биссектрисеАС СЕ 3 АС 3

внутреннего угла треугольника получим: — =—= —

-{г-=у»

AC=j-x, тогда AD=X-~x. д ABD. Пусть Z. BAD = q>, тогда

COS(P=;4lf = 7?ToT=A' <P = arccos£. Итак, ^ВЛС = ^1ВСЛ =

= arccos^«77°37', a Z. ЛВС=л—2arccos^«24°46'. Ответ:

I. ВАС= Z. ВСА=77°37', Zy4BC=24°46'.

5. Найдите углы трапеции ABCD (BC\\AD\ если AB.BC.CD:./10=2:3:4:7.

Решение. ЛВ=2х, BC=3x, CD=Ax и AD=7x (рис. 28).Так как ЛВ-|-ВС + С£>:>/41>, то такая трапеция существует.Проведем СЕ\\АВ, тогда СЕ = АВ — 2х, ED=AD—AE=AD — BC =

= 7х — Зх = 4х. Мы видим, что ED = CD = 4x, т. е. д CD£—равнобедренный. Проведем DFA.EC, тогда EF = FC = x. Пусть Л CDE=

А Е D A D A D С


81

В Jx

1с

As.А Зх Е <tx D

Рис 28

да l.EDF = ^. &EFD.

/ fcvА Е F В

Рис. 29

. tf EF л 1

SlnT —

ED~

4х—

4'

2=ф,

= arcsin-£-, (p=2arcsin 0,25 = 2-14°29' = 28°58'. Итак, Z. CDE=>

=28°58', тогда /L DEF=Z. FCD=90° —14°29' = 75°31', но

Z. BAD = Z. FED=75°31', Z. АВС= 180°- Z. BAD = 180°-75?ЗГ =

= I04°29', /. BCD = Z. ВС£+ г. FCD = /. BAD + Z. FCD=75°31' ++ 75°ЗГ = 15Г02'. Ответ: A BAD = 75°3\', Z. АВС= 104°29'^ BCD = I51°02', Z,4DC = 28058'.

6. Зная углы треугольника, определите угол между медианойи высотой, проведенными из вершины какого-нибудь угла.

EFРешение. Пусть £С=Л, a Z. ECF=x, тогда tgх = -г-(рис. 29).

Выразим ££ через А. д АСЕ. AE=hctga. A ECB. B£=/zctgp.По условию AF = FB, AE + EF = BE—EF, 2EF = BE — AE; 2EF =

= BE—AE\ 2£F = /zctgP — /zctg a = /z(ctg p — ctga),sin (a — P)«

ff=yXX sin a sin (5

. Мы не знаем, какой угол больше: а или р, а длина

отрезка выражается положительным числом. Поэтому EF- X

X|sin(a — р)|

sin a sin р/|sin(n-p)|\

Ответ: arete (-=—. r—~ )6 \2sin к sin p /

EFНайдем: tg*=-7-

Isin(a-p)!v2sin ce sin p ,

Isin (ce —P)|2 sin a sin p

/|sm(a-p)|\.

x = arete I ^—. ^-r-1b \2sin asm p /

7. В правильной л-угольной пирамиде двугранный угол прибоковом ребре равен 2а. Определите двугранный угол при ребреоснования.

Решение. Так как многоугольник в основании пирамидыправильный, то АСАДОВ, кроме того, ACA-SO, а потому AC-L{SBO)(рис. 30). В плоскости (SBO) проведем DEJlSB и через две

пересекающиеся прямые АС и DE проведем плоскость, котораяпересечет две боковые грани по АЕ и СЕ. В этой плоскости DE есть

проекция наклонной СЕ к плоскости (SBO) и по теореме о трехперпендикулярах CEA-SB. Итак, SBA-DE по построению и SBA.CE

82

п0 доказанному, а потому SB±(AEC) и SB±AE. Следовательно,^/1£С — линейный для двугранного угла (BS). А ЛЕС —

равнобедренный, в нем ED — медиана и биссектриса, причем Z. DEC =

= Z. DEA=a, так как линейный угол АЕС=2а. Д DEC. Z. EDC =

^90°; cosa = |£-. a BOM. sin-^ = ^-. a SMO: Z.SMO=xbo

soлинейный угол двугранного угла (ВС), а потому sinx=^ri SAT

д SOB со Д BED:so

OB

ED

BE '££=.££; SO =OB ED

BE

ASMBeo&BEC: 4^- =C£BE

SM =

(1)BM-CE

BE (2)

Разделим равенство (1) на (2), получим

ED ВМSO OB-ED

SM~~

BM-CEn cos a

~yr^- .-pro- =cosa:sm —=

CE OB n nsin —

n

cos asin jt=

лsin —

n

откуда x=arcsin/-^-^-Y Так как S.O<iSM, то 0<sin а<1 приVsinX/

всех я^З. Ответ: x=arcsin /-^-^Л.VsinT/

8. Площадь боковой поверхности конуса втрое большеплощади основания. Найдите угол между образующей и плоскостью

основания.

Решение. Конус задан плоскостью осевого сечения (рис. 31).По условию S6oK=3SKB, т.е. nRb=3nR2, /=ЗЯ; у =у, cosx=y,

*=arccosy ж70°71'. Ответ: 70°7Г.

83

Задачи.

1. Стороны треугольника соответственно равны 7 см, 7 см, 12 см.Найдите углы треугольника.

2. Окружность вписана в ромб. Сторона ромба равна 22 см.

Радиус окружности равен 5 см. Найдите углы ромба.3. Найдите углы равнобокой трапеции, основания которой равны

33 см и 15 см, а боковая сторона равна 40 см.

4. В прямоугольном треугольнике биссектриса прямого угладелит гипотенузу в отношении 3:4. Определите углы треугольника.

5. В прямоугольном треугольнике биссектриса острого угладелит противоположный катет в отношении 5:6. Определите этот

угол.6. В равнобокой трапеции боковые стороны равны меньшему

основанию, а высота вдвое меньше большего основания.

Определите углы этой трапеции.7. Три окружности с радиусами, равными 8 см, 12 см и 15 см,

попарно внешне касаются. Найдите углы между линиями центровокружностей.

8. Найдите углы параллелограмма, зная, что его диагонали

равны 48 см и 24 см, а сторона равна 20 см.

9. Стороны треугольника равны 12 см, 15 см и 18 см. Найдитеугол между медианой и биссектрисой, проведенными к большей

стороне.10. Основания трапеции равны 18 см и 14 см, а боковые стороны

равны 7 см и 10 см. Найдите углы трапеции.11. Стороны параллелограмма равны 32 см и 10 см. Один из

углов параллелограмма равен 120°. Найдите стороны и

наибольший угол треугольника, вершинами которого служат вершинатупого угла параллелограмма и середины противолежащих этойвершине сторон.

12. В круг вписан четырехугольник ABCD со сторонами АВ =

= 4 см, ВС = 5 см, CD = 8 см, AD=\5 см. Найдите углычетырехугольника.

13. В прямоугольном треугольнике проекция одного из катетов

на гипотенузу вдвое больше второго катета. Найдите углытреугольника.

14. Сумма двух равных высот равнобедренного треугольникаравна третьей высоте. Найдите углы треугольника.

15. Синусы углов прямоугольного треугольника составляют

геометрическую прогрессию. Найдите углы треугольника.16. В прямоугольном треугольнике высота, опущенная на

гипотенузу, равна разности проекций катетов на гипотенузу. Найдитеуглы треугольника.

17. Тангенсы половинных углов прямоугольного треугольникасоставляют арифметическую прогрессию. Найдите углытреугольника.

18. Найдите острый угол ромба, сторона которого есть среднеепропорциональное между его диагоналями.

84

19. В равнобедренном треугольнике проекция одной боковой

стороны на другую боковую сторону составляет -~- основания.

Найдите углы треугольника.20. Найдите углы ромба, если отношение Р:т его периметра

к сумме диагоналей ромба равно 3:2.21. Определите углы прямоугольного треугольника, зная, что

радиус описанной около него окружности относится к радиусувписанной окружности как 5:2.

22. Найдите углы прямоугольного треугольника, зная острыйугол ф между медианами, проведенными из вершин острых углов.

23. В параллелограмм со сторонами а и b (a<Lb) и острым

углом а вписан ромб, две его вершины совпадают с серединамибольших сторон параллелограмма, две другие лежат на меньших

сторонах (или на их продолжениях). Найдите углы ромба.24. В параллелограмме со сторонами а и Ь и острым углом а

найдите углы, образованные большей диагональю с его сторонами.25. В прямоугольник ABCD (AB\\CD) вписан треугольник AEF.

Точка £ лежит на стороне ВС, точка F — на стороне CD. Найдите уголряс и

Ав —М- — £L — ьtAt-, есливс

—

рс—

F£)—r.

26. Гипотенуза прямоугольного треугольника делится точкойкасания вписанной в него окружности на отрезки, отношение

которых равно k. Найдите углы треугольника.27. Отношение боковых сторон трапеции равно отношению ее

периметра к длине вписанной окружности и равно к. Найдите углытрапеции и допустимые значения k.

28. Угол при вершине А трапеции ABCD равен а. Боковаясторона АВ вдвое больше меньшего основания ВС. Найдите уголВАС.

29. Стороны параллелограмма относятся как т:п, а

диагонали — как p:q. Найдите углы параллелограмма.30. Отношение периметра ромба к сумме его диагоналей равно к.

Найдите углы ромба и допустимые значения к.31. Сторона треугольника равна а, разность углов,

прилежащих к данной стороне, равна -^-. Найдите углы треугольника, если

его площадь равна S.32. Тангенс острого угла между медианами прямоугольного

треугольника, проведенными к его катетам, равен к. Найдите углытреугольника и допустимые значения к.

33. Через вершину равностороннего треугольника проведенапрямая, делящая основание в отношении 2:1. Какие углы она

образует с боковыми сторонами треугольника?34. Даны две стороны а и Ь треугольника и биссектриса / угла

между ними. Найдите этот угол.35. Отношение радиуса окружности, вписанной в

равнобедренный треугольник, к радиусу окружности, описанной около него.Равно т. Найдите углы треугольника и допустимые значения т.

85

36. В параллелограмме даны две стороны а и Ь (а>Ь) и высота ftпроведенная к большей стороне. Найдите острый угол междудиагоналями параллелограмма.

37. Отношение радиуса окружности, описанной около трапеции,к радиусу окружности, вписанной в нее, равно k. Найдите углытрапеции и допустимые значения к.

38. В прямоугольном треугольнике через его гипотенузупроведена плоскость, составляющая с плоскостью треугольника угол а,а с одним из катетов угол р. Найдите углы между этой плоскостыли катетами треугольника.

39. В прямоугольном треугольнике с острым углом а черезнаименьшую медиану проведена плоскость, составляющая с

плоскостью треугольника угол р. Найдите углы между этой плоскостьюи катетами треугольника.

40. Боковое ребро правильной треугольной призмы равностороне основания. Найдите угол между стороной основания и не

пересекающей ее диагональю боковой грани.41. Диагонали боковых граней прямоугольного параллелепипеда

составляют с плоскостью основания углы, соответственно равныеаир Найдите угол между диагональю параллелепипеда и

плоскостью основания.

42. Найдите угол между пересекающимися диагоналями двухсмежных боковых граней правильной четырехугольной призмы, если

плоскость, в которой они лежат, составляет с плоскостью основания

угол, равный а.

43. В грани двугранного угла, равного а, проведена прямая,составляющая угол р с ребром двугранного угла. Найдите уголмежду этой прямой и другой гранью.

44. Через сторону нижнего основания куба проведена плоскость,делящая объем куба в отношении т:п (считая от нижнего

основания). Найдите угол между этой плоскостью и плоскостью

основания, если т<п.45. В основании прямой призмы лежит ромб с острым углом а.

Отношение высоты призмы к стороне основания равно к. Черезсторону основания и середину противоположного бокового ребрапроведена плоскость. Найдите угол между этой плоскостью и

плоскостью основания.

46. Через сторону ромба проведена плоскость, образующаяс диагоналями ромба углы, соответственно равные а и 2а. Найдитеострый угол ромба.

47. Основанием призмы служит прямоугольник. Боковое ребросоставляет прямые углы со сторонами основания и наклонено

к плоскости основания под углом а. Найдите угол между боковым

ребром и стороной основания.

48. Основанием прямой призмы служит прямоугольныйтреугольник, у которого один из острых углов равен а. Наибольшаяпо площади боковая грань призмы — квадрат.

Найдите угол между пересекающимися диагоналями двух другихбоковых граней.

86

49. В правильной четырехугольной призме ABCDA'B'C'D', яд'||ВВ'||СС||DD') через середину двух смежных сторон

основания DC и AD и вершину В' верхнего основания проведена

плоскость. Найдите угол между этой плоскостью и плоскостью

основания, если периметр сечения в три раза больше диагонали основания.

50. Непересекающиеся диагонали двух смежных боковых

граней прямоугольного параллелепипеда наклонены к плоскости его

основания под углами аир. Найдите угол между этими

диагоналями.51. Три ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из

одной вершины, относятся между собой как 3:4:5. Найдите углымежду диагональю параллелепипеда и тремя его ребрами,выходящими из одной вершины.

52. Найдите угол между прямой, соединяющей вершину кубас центром противоположной грани, и ребром, перпендикулярнымк этой грани.

53. Найдите угол между апофемой и диагональю основания

правильной четырехугольной пирамиды, все ребра которой равны.54. В правильной треугольной пирамиде сторона основания

равна 6 см, а боковое ребро равно 7 см. Найдите угол междумедианами двух боковых граней, выходящими из вершины основания.

55. Боковое ребро правильной треугольной пирамиды образуетсо стороной основания угол а. Найдите угол между боковым реброми высотой пирамиды. При каком значении угла а задача имеет

решение?56. Плоский угол при вершине правильной я-угольной

пирамиды равен а. Найдите угол между апофемами двух смежных

боковых ее граней.57. Один из катетов равнобедренного прямоугольного

треугольника лежит в плоскости (л), а другой катет образует с нею угол а

Найдите угол, который образует с плоскостью (л) гипотенузатреугольника.

58. Боковое ребро правильной треугольной пирамиды наклонено

к плоскости основания под углом а. Найдите угол между высотойпирамиды и плоскостью, проходящей через сторону основанияи середину противоположного ей бокового ребра.

59. Равносторонний треугольник со стороной а спроектированна плоскость: две вершины находятся на расстоянии а от плоскости

проекции, третья — на расстоянии Ь, Ь>а. Найдите угол междуплоскостью треугольника и плоскостью проекций.

60. В одной из граней двугранного угла, равного а, дана

прямая, образующая угол р с ребром двугранного угла. Найдите уголмежду этой прямой и другой гранью.

61. В правильной четырехугольной пирамиде боковая граньсоставляет с плоскостью основания угол а. Найдите плоский уголпри вершине пирамиды.

62. Равнобедренный прямоугольный треугольник повернутвокруг своего катета на угол а. Найдите угол, описанный при этом

гипотенузой.

87

63- В правильной четырехугольной пирамиде сторона основанииравна а, а площадь боковой грани равна S. Найдите угол межд\]боковой гранью и основанием.

'

64. В трехгранном угле два плоских угла равны между собойи каждый равен а. Двугранный угол между ними прямой. Найдитетретий плоский угол.

65. Боковые ребра правильной треугольной пирамиды попарновзаимно перпендикулярны. Найдите угол между боковой граньюи плоскостью основания.

66. Отношение" стороны основания АВ треугольной пирамидыSABC к каждому из остальных пяти ее ребер равно к. Найдитедвугранный угол между двумя равными боковыми гранямипирамиды и допустимые значения k.

67. Все боковые ребра треугольной пирамиды составляютс плоскостью основания один и тот же угол, равный одному из

острых углов прямоугольного треугольника, лежащего в основании

пирамиды. Найдите этот угол, если гипотенуза этого треугольникаравна с, а объем пирамиды равен V.

68. Отношение площади боковой поверхности правильнойтреугольной пирамиды к площади ее основания равно к. Найдитеугол между боковым ребром и высотой пирамиды.

69. Основанием пирамиды служит правильный треугольник.Две боковые грани перпендикулярны к плоскости основания. Суммадвух неравных между собой плоских углов при вершине равна -£-.Найдите эти углы.

70. Основанием пирамиды является прямоугольник ABCD(AB\\CD). Боковое ребро ОА перпендикулярно основанию. РебраОВ и ОС составляют с основанием углы, соответственно равные а

и В. Найдите угол между ребром OD и основанием пирамиды.71. В правильной треугольной пирамиде проведена плоскость

через боковое ребро и высоту. Отношение площади сечения к

площади полной поверхности пирамиды равно к. Найдите двугранныйугол при основании.

72. Основанием пирамиды служит равнобедренный треугольник,у которого острый угол между равными сторонами равен а. Всебоковые ребра составляют с плоскостью основания угол В. Черезсторону основания, противолежащую данному углу, и серединувысоты пирамиды проведена плоскость. Найдите угол между этойплоскостью и плоскостью основания.

73. Все боковые грани пирамиды образуют с плоскостью

основания один и тот же угол. Найдите этот угол, если отношение

площади полной поверхности пирамиды к площади основания

равно к. При каком значении к задача имеет решение?74. Отношение площади полной поверхности правильной

л-угольной пирамиды к площади основания равно /. Найдитеугол между боковым ребром и плоскостью основания.

75. Найдите угол между апофемой боковой грани правильнойтреугольной пирамиды и плоскостью ее основания, зная, что

разве

ность между этим углом и углом, который составляет боковое

лебро пирамиды с плоскостью основания, равна а.

76. Основанием пирамиды служит равнобедренный треугольник,v которого площадь равна S, а угол между боковыми сторонамиравен а. Все боковые ребра пирамиды составляют с плоскостью

основания один и тот же угол. Найдите этот угол, если объем

пирамиды равен V.77. Расстояние от стороны основания правильной треугольной

пирамиды до непересекающего ее ребра в два раза меньше

стороны основания. Найдите угол между боковой гранью и плоскостью

основания пирамиды.78. В правильной треугольной пирамиде сумма углов,

образованных апофемой пирамиды с плоскостью основания и боковым

ребром с той же плоскостью, равна -j-. Найдите эти углы.

79. Основанием пирамиды служит прямоугольный треугольник,у которого один из острых углов равен а. Все боковые ребраодинаково наклонены к плоскости основания. Найдите двугранныеуглы при основании, если высота пирамиды равна гипотенузетреугольника, лежащего в основании.

80. В правильной четырехугольной пирамиде боковое ребронаклонено к плоскости основания под углом а. Определитедвугранный угол при боковом ребре.

81. В правильной треугольной пирамиде двугранный угол приосновании равен а. Определите угол наклона бокового ребрак плоскости основания.

82. В правильной и-угольной пирамиде двугранный угол прибоковом ребре равен 2а. Определите угол наклона бокового ребрак плоскости основания.

83. В правильной я-угольной пирамиде угол между боковымребром и смежным ребром основания равен а. Определите уголнаклона боковой грани пирамиды к плоскости основания.

84. В правильной n-угольной пирамиде высота вдвое меньше

стороны основания. Определите двугранный угол при ребреоснования.

85. Дан правильный тетраэдр. Определите угол между двумясмежными гранями и угол наклона ребра к плоскости

противоположной грани.86. В усеченной правильной четырехугольной пирамиде стороны

оснований относятся, как т'.п (т>п); боковые ребра наклоненык плоскости основания под углом а. В этой пирамиде проведенаплоскость через сторону большего основания и противолежащуюей сторону меньшего основания. Какой угол образует эта плоскостьс большим основанием пирамиды?

87. Площадь основания цилиндра относится к площади его

осевого сечения как т:п. Найдите острый угол междудиагоналями осевого сечения.

88. В равностороннем цилиндре точка А\ окружности верхнегооснования соединена с точкой В окружности нижнего основания.

89

Угол между радиусами, проведенными в эти точки, равен а. Определите угол между прямой AiB и осью цилиндра. (Цилиндрназывают равносторонним, если диаметр основания равен образующей.)

89. Найдите острый угол ромба, зная, что объемы тел,полученных от вращения ромба вокруг его большей диагонали и вокругего стороны, относятся соответственно, как 1:2д/5.

90. В конус вписана треугольная пирамида, у которой боковыеребра попарно взаимно перпендикулярны. Найдите угол междуобразующей конуса и его высотой.

91. Около шара описан усеченный конус, у которого площадьодного основания в 4 раза больше площади другого основания.

Найдите угол между образующей конуса и плоскостью его

основания.

92. В усеченный конус вписан шар. Сумма диаметров верхнегои нижнего оснований конуса в 5 раз больше радиуса шара. Найдитеугол между образующей конуса и плоскостью основания.

93. Отношение объема шара, вписанного в конус, к объемуописанного шара равно к. Найдите угол между образующейконуса и плоскостью основания и допустимые значения к

94. Отношение объема конуса к объему вписанного в него шараравно к. Найдите угол между образующей и плоскостью основания

конуса и допустимые значения к.95. Около шара описана прямая призма, основанием которой

служит ромб. Большая диагональ призмы составляет с плоскостью

основания угол, равный а. Найдите острый угол ромба.96. Найдите угол между образующей конуса и плоскостью

основания, если боковая поверхность конуса равна сумме площадейоснования и осевого сечения.

97. Отношение площади полной поверхности конуса к площадиего осевого сечения равно k. Найдите угол между высотой и

образующей конуса и допустимые значения к.98. В конус вписан куб (одна из граней куба лежит в плоскости

основания конуса). Отношение высоты конуса к ребру куба равно k.Найдите угол между образующей и высотой конуса.

99. В конус вписан цилиндр, высота которого равна диаметруоснования конуса. Площадь полной поверхности цилиндра равнаплощади основания конуса. Найдите угол между образующейконуса и плоскостью его основания.

100. В усеченный конус вписан шар, объем которого в два

раза меньше объема конуса. Найдите угол между образующейконуса и плоскостью его основания.

101. В конус вписан шар. Окружность касания шаровой и

конической поверхностей делит поверхность шара в отношении 1:4.Найдите угол между образующей конуса и плоскостью основания.

102. Радиус шара, описанного около правильной треугольнойпирамиды, равен апофеме пирамиды. Найдите угол междуапофемой и плоскостью основания пирамиды.

103. В пирамиде, у которой все боковые грани одинаковонаклонены к плоскости основания, проведена плоскость через центр

90

вписанного шара параллельно основанию. Отношение площади

сечения пирамиды этой плоскостью к площади основания равно к.

Найдите двугранный угол при основании пирамиды.104. Вершина конуса находится в центре шара, а основание

конуса касается поверхности шара. Площадь полной поверхности

конуса равна площади поверхности шара. Найдите угол между

образующей и высотой конуса.105. Площадь полной поверхности прямого кругового конуса

в п раз больше площади поверхности вписанного в него шара.Под каким углом образующие этого конуса наклонены к плоскости

его основания?106. В конус вписан шар. Площадь поверхности шара

относится к площади основания конуса как 4:3. Найдите угол привершине конуса.

107. Конус и цилиндр имеют общие основания, а вершинаконуса находится в центре другого основания цилиндра. Чемуравен угол между осью конуса и его образующей, если площадь

полной поверхности цилиндра относится к площади полнойповерхности конуса как 7:4?

108. В конус вписана полусфера, большой круг которой лежит

на основании конуса. Определите угол при вершине конуса, если

площадь полной поверхности конуса относится к площади боковой

поверхности полусферы как 18:5.109. В конус вписан цилиндр, высота которого равна радиусу

основания конуса. Найдите угол между осью конуса и его

образующей, если площадь полной поверхности цилиндра относится

к площади основания конуса как 3:2.ПО. Определите угол при вершине осевого сечения конуса,

если шаровая поверхность, с центром в его вершине, касающаяся

основания, делит объем конуса в отношении 1:2 (считая от

вершины).111. Плоскость, проведенная через центр шара, вписанного

в конус параллельно плоскости основания конуса, делит объем

конуса пополам. Найдите угол в осевом сеченни конуса.112. Найдите угол между образующей и высотой конуса, у

которого площадь боковой поверхности есть среднеепропорциональное между площадью основания и площадью полной поверхности.

113. Отношение площади поверхности шара, вписанного в конус,к площади основания конуса равно k. Найдите косинус угла междуобразующей конуса и плоскостью его основания и допустимыезначения k.

ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ

Глава I

§ 1.

1. ,=(_1у-1л + -1„л, «eZ. 2. *=(-1)Д2|+6п, пеЖ.

Л.х=±-&=., nt=N0. 4. x=-^w, n<=N. 5. *=-£-,У4я+1 (4n—lr я я

Âf. 6. x=(-iff+k± +-§-. *eZ. 7. x=(-ir-g-arcsinf +

+iy, «eZ. 8. *=0. 9. *=0.

§2.

>. *=±f +kn, *eZ. 2. *=±у+3лл, «<=Z. 3. x= ^ ,

5- *=-fi^F' *eiV- 6' *=/

'

iv' *еЛГ°*

7. дг= ±-2- —

yrtn + y. neZ. 8. A:=±arccos-|- +2kn, fteZ.

9. *=i-(2n + l), neZ. 10. x=0.

§3.

1. *=-§-л + 2Ал, *eZ. 2. *=.*-+ *-?-, *<=Z. 3. Jf=-g^jT.neZ. 4.x=±^J^-,n^N.

4-nn+l, oeZ. 8. дг=«у+у, «eZ. 9. x=arctg-g- +ил, neZ.

10. *=(1+6/1)^. «eZ.

92

§4-1. х=(6л+1)^. «eZ. 2. д:=(6л + 5)у, neZ. 3. х^-—^,

rte=Z. 4. х=± -у 2+Зп' n*=N°- 5- ^=-j-(4« + 3), «eZ. 6. *=

^(I2n+H)-^, «eZ. 7. x=-yarctg3 + ny, neZ. 8. *=

=(2«+l)y + -5-. n^Z. 9. x=-g-(6n-f-l), «eZ. 10. *=arcctgn-frtn,

§ 5.

1. x=± (л — arccos — )-|-2лл; x=±~+2nfe, n, AeZ. 2. * =

«(-irf+nn. neZ. 3. (2n+ !)-=-. neZ. 4. x=(-\f+i^+nn,ne=Z. 5. *=( — I)"-jr + nn, ne=Z.

6. x=±yarctg-^+ny; x=(4A±i)-^, n, kc=Z. 7. *=

= ±arccosу+2ш1, neZ. 8. *=(—1)"|--f-лл; х=у+2*л,n, fte=Z. 9. x=(3fe±l)-g-. fteZ. 10. *=—arctgy+ лл, keZ или

Jt=arcctg2 + nn, keZ. II. >:=(—I)"+'-£-р-лл, aeZ. 12. x=kn;

x= — у+2лл; x^=^ -\-2mn,-k, n, m^Z.

13. *=(— 1у+'л + 6лл, heZ. Указание. 5sin-|-+(l —

-cos^-)4-2=0; 5 sin-J+2sin2у+2=0 и т. д. 14. х=(4п-1)-±;

*=arctg3 + foi, n, ke=Z. 15. *= J-n(3ft±l), feeZ. 16. х=(4л —

-•)-§■. «eZ. 17. x=(—iy + l-j +nn, ne=Z. 18. x=(-lf^-+nn,n^Z.

19. д:==|-(3«±1)л, nEZ. Указание. 2(2cos2*— 1)—4cosx=lи т.д. 20. x=(6n±l)y, aeZ. 21. x=(4n + l>J-, ne=Z. 22. x=

=(-l)"+,-J+/m, keZ. 23. x=(— 1)"+||-+яп. neZ.

Указание. 1—2sin2x=2sin*—у, 4sin2Jt+4sin x —3=0 и т. д.

24. х=я|-, «eeZ.

93

25. x=( — \Y-fL + n±, nf=Z. Указание. 3+2sin2>:^

= sin2x+cos2x 3 + 2sin2x=—V, sin 2x^0, 2лг^=Ал, *=*= %sin x cos x sin 2x 2 •

ftsZ, тогда 3sin 2x+2sin22>:=2 и т.д.

26. x=(4«—I)-J, *=(— l)*yarcsin|-+Ay, я. *eZ.

Указание. sin3x—3(1—2sin23x)=2, 6sin23x+sin 3x—5 = 0 и т.д.

27. * = (— lyyarcsinH+ny, heZ. Указание. cosxÔ,

x^(2n + l)y, тогда 12—25sin xcosx=0, 24 —25sin2x=0 и т. д

28. x=(2n+l>J-. neZ. 29. (6n±l)y, i«=Z. 30. x=±y +

-f2nn; x=±arccosy + 2kn, n, AeeZ. 31. x= ±y -fnn, neZ.

32. x=kn; x= — у+2ил, ft, neiZ. 33. x*= — у+2ял, л=2, .... 6,

x=( — lf-±+kn, /г = 3, .... 12. 34. х=у+2лл, n = 0 6, x=

= -y+2ftn, ft=l 8. 35. x=0. 36. х=±у+2£л, x^

— ±arccosу -\-2nn, ft, n^.Z.

37. x=± (n —arccos-g-) + 2nn + 2. neZ. 38. *=(_ ly+'-jl +

+пл, «eZ. 39. х=±|-л + 2лл, «eZ. 40. x=( — lf^ + Лу,

n(=Z. 41. x=(- ly-jj- +ИЛ, x=y -f 2ftn, rt. *eZ.

42. x=(—l)"arcsiny+ли. Указание. sin2x—(1 —2sin2x)-f+ 2sinx=0, 3sin2x + 2sinx—1=0 и x= —

у +2Ал; fteZ.

43. x = (-ir+,|arcsin|+«Y. x=(-l)*+,^+fty, л. fceZ.

Указание. 1 -f-sin 2x = 24sin2x(l — sin2x), 1 +sin 2x = 24sin2xXXcos2x, 1 +sin 2x=6-4sin2xcos2x, 1 +sin 2x=6sin22x, 6sin22x——sin2x—1=0 и т.д. •

44. *=-y +nn; jc=(—l)*Yarcsiny + *y. я. feeZ.

Указание. 3sin22x-f sin2x=l — sin 2x, 3sin22x+2sin 2x— 1 =0и т. д.

45. лг=(-1)"+,у 4-яя. neZ. 46. х=(2я + 1>у. neZ. 47. х=ял

при я = 0.1; x = -J-(2* + l) при ft= — 1; 0; 1; 2; 3.

94

, , \л л i 1 \r cos x , sin x n

48. x=(-l)nT+nn, ne=Z. Указание. — + -^-^—=2,^f±,in«x+cWx =

l+cosx cosx^-l. а потому—^STx(H-cos x) sin лг(1 +cos x)> -r- • j

_J =2 и т. д.sin*

49. x=2kn; x=fl2n+l), k, nt=Z. 50. x^(-lfg +nf, nt=Z.

51. x= ± (л — arccos-2-J + 2nn, x= ±-g-+ftn, и, teZ.

Указание. 8(1—cos22x)—2cos2x=5, 8cos22*+2cos2x—3=0 и т.д.

52. x=(-l)"+,-^ +J-"*, «e=Z. 53. дг=у(2л + 1), neZ. 54. x=

= — arcctg 3 + nn, n^Z. 55. л:=£л, x =

-j +nn, k, ne.Z. 56. *=

= — ^-\-nn, A-=arctg375+£n, n, AeZ.

57. *=f (4я-1), iieZ. Решение, -ppi—- ^"^ +1 / n\ 2—1+ctgx , л12 / n\ n 1+ctgx .

+ jjcos(x-T)=0> 2(l+Vx) +:2-cos(x-T)=0, 2(1+Cfgx) +

+ ^cos(x—-J) = 0, ctgx=^ — 1, l-f-v/2cos(x—y)=°. cos (x—-t) = —^> x=^ ±Tn + 2nn. а) х=~-+тл + 2пл = л+2лл

(при найденном значении х ctg(n+2nn) не существует, а потомунайденное значение не является решением данного уравнения).

б)х=-£—|л+2«л =

-у +2пя =

у (4я-1).

58. х=(-1у,-^+'ш, neZ. Указание. Vg^J,. l+sinx=

v ' 4 ' 2 cosx

= ^-cosjc, cosatÔ, (V2—lX'+sinJt)=^cos2jc, (V2—iXl+sin x)=

=V2(1— sin2л:), (I4-stnJcXV2—1—д/2(1—sinx))=0. a) sinjt= — 1,

x=~Y+2nn — не является решением, так как cos (—?- +

+2пл)=0. что не удовлетворяет уравнению.

59. *=-?-. Решение, tg x=cos25x+sin25x, tgx=l, x = -^--\-+ лл, 0<4+"л<л. —4-<"<-т-. Так как neZ. то я=0 и

^4 4 4

4*

60. х=(2л+1)л, x=(2fe+0y. ". *eZ. Указание. (sin2x++cos2 jc)(sin2jc—cos2 jt)=cos x, sin2 x—cos2x=cos x, — cos 2л:=—cos x, cos 2jc+cos x=0 и т. д.

95

61. аг=-^(2я + 1). ne=Z. Решение. 2cos-^sinx=^-*sin'A +cos2y в

X =j j=-. -s^sinx=^-.-i5;;T, sinxÔ, хфкп, 2sin2x=iSHI у COS у

1—2sin2x=0, cos2*=0, 2x=(2n+l}f, лг=(2я + 1)-^ (при

найденном значении х sinxÔ и tgy и ctg у существуют).

62. х=(2п + \)я, jf=(4HI)f.«.*eZ. Решение. 2cos2y =

Xcos Т / \

= —' sinT ^0' cos у (2 cos у sin у— 1J=0. a) cosy=0,

sin у

x=(2n-f 1)л (при найденном значении х ctgy=0 и siny=?fcO).б) sin х—1=0, sinx=l, x=(4fe-|-Oy (при найденном значении

х ctg у существует и sin у =jfc 0).

63. х=6, лг=±у 4-2яя. «eZ. 64. *=у! — ^я, х=^л. 65. jc=

= ±у+лл. neZ.

66. д:=2л, х=2ул. Решение. 1—cosje=sin2je, 1—cosa:=

= 1— cos2*, (1— cosx)(l— cosx— 1)=0. a) 1—cosx=0, cosx=l,

x=2kn, тогда л^2£л<13л, у ^£^1у. Так как neZ, то k = l

и Xi=2n. б) cosx=0, х=(2л + 1)у. Чтобы sin*^0, нужно в

полученном выражении для х положить n=2k, тогда -*=у -\-2kn,

feeZ. Тогда л<у+2*л<3л, 1-у<2*<3-у, i-<ft<l-£-.Так как fteZ, то k=l и х2 = 2уя.

67. *=у, лг=1ул. Указание. 4siny -f 6sin2y =sin2-j- +

-f-cos2-^- — 2sinycos4- +3, 4siny+6sin2y=4—siny и т.д-

68. х=(4л + 1)у£, xr=(4*+l)y, n, ks=Z. 69. x= ±-J + 2пя,

2£л, л, *eZ.

70. л:=±-|-+2яя, «eZ. Указание, д/4sin2(180°4-30° +

+ctg4y = 10, V4sin230°+ctg4y=10, l+ctg4y = 10, ctg4у =9,

96

,2 •*

(ctg2-§-+3)(ctg2T-3) = 0- ctg2|+3^0 в R, ctg*y=3,x I . x

, л/3102твТ'^т = ±:гит-д-

71. л:=(6и±1)-^.иег. Указание, tg4 (-|n-2*)-tg3 (Ъл +

+ i) = 16sin2^. ctg42x-tg3^ = 16-(J-)2, etg«2x-l=8.

ctg4 2*=9 и т. д.

72. х=±у+«я, «gZ. Указание. ~v/sin2 fy л—* )=у.-vtos2T=Y> cos2x= —, 2cos2x=y, l+cos2*=y, cos2x=—уи т.д.

73. *=(— 1)"4г+/гл, neZ. 74. лс=—2- -fm, «eZ.

Указание. tgA:-ctg2>;-f-^p^=0,tgJf+ctg2A:=0,tg3x=-l,tg2A;=?tOи т. д.

75. x= rfc-т-+2лл, nî Указание. ^Jcosx=y, yÔ, тогда

уравнение примет вид: ^jSy2— 1 =(тД—-*/2)//, -\f8y2—(^2—\/2)y —

— 1=0 и т.д.

76. х=0. 77. д:=(-1Г-^+«у. x = ±+kn, n, *eZ.

Указание. 2tg (2л + у) — 6sin jccosjf=cos4x, 2tg-j- — 3sin2д:= 1 —

—2sin22x, 2 — 3sin2x=l— 2sin22x, 2sin22*—3sin 2x+1 =0 и т.д.

78. x= — -^ +nn, x—(— 1У-7- -f-Лл—£-, n, fteZ. Указание.4 4 4

sinx+cos;t=tg (2n + -^)-fsin2jr, (-—^-=sin 2a), sin* +

+cosx=tg-^- +sin2*. sinx-f-cosx=l -f-2sinxcosx, sin x-f-cosx=

—(sinx-f-cosx)2, (sinjr-f-cosx)(sin x-f-eosx—1) = 0 н т.д.

79. х=(2л + 1)л, (6*±l)y, п, fteZ. Указание. 2cosx+

+tg f2n + -^) = ——, 2cos*+tg-£ =——, 2cosx+l = —L-,eV '4 ) cos x

' 1 б 4 cos x' '

cos x'

cos^r^to и т.д.

80. А:=(-|у + 1!- + /гл, /i€=Z. Указание. V2+l+j|+y +

+ ..— бесконечная убывающая геометрическая прогрессия, у которой

°1=У2; q=—, и тогда S = —л = —

. Правая часть урав-V2 1 — л/2—1

л/2Нения будет —(л/2 — 1)*-: = -г- Уравнение примет вид: cos2x-f

97

+sin2x+sin x=~, 1—2sin2x+sin2x+sinx= —, sin2л:—sinx-^■3 n

—T =0 и т.д.4

81. *=2ил, x=2arctg 3 + 2£л, п, feeZ. Указание. —-[2 4

+ — -\---\-...— бесконечная убывающая геометрическая прогрес-

_Lсия, у которой fci = -g-; 9| =

у. и тогда S = — = —-2~~\.1-Т

Уравнение примет вид: 3tef л:= 1, cos*=5t0, 1—3sinx=г- г-cos х t>

=cosx, 1 — cos x=3sin x, 2sin2y —6siny cosy =0, sinyX

(siny — 3cosyj=0 и т.д.

182. x=—^-Л-пл, x=^-+knt n, AeZ. Указание. .

„6 ' *4 sin 2x

cos 2x i i л/3/ x ,ч 1—cos2x i , л/3 / 1 , \ i

sin 2x

= i + "3rf7~^' ^*^0' *^felt' 3tg2x=3tgAr+V3-V3tgxи т. д.

83. x=2n, л:=2ул. Решение. 1—cosjt=sin2x при условии

что sin xÔ, т.е. 2Ал<;л:^л-|-2£л, 1 — cos x= I — cos2*, (I —

5—cosjc)(1 +cos х—1)=0. a) cosx=l, л:=2Ал, 2л^26л^2-£-л,

IÂÎt^. Так как AeZ, то k—l и Х1=2л. б) cosjc=0, x=

=(2л + 1)у, тогда 2л<(2л + 1)у<2-|л, 4<2л + 1<5|-,2 11 I

3<2«^4у, 1у <;я<;2у. Так как neZ, то и=2; тогда х2 = 2ул.

84. a) x=(_iy-5.+nn, б) y(2n + l), neZ. 85. х=±-|-+пяneZ.

86. х=лл, x~Y+2kn, n, fteZ. Указание. Необходимс

найти х такие, что sinxÔ. Решение очевидное, а именно sin x=

= sin2x и т. д.

с- .л , „ г* \т sin х . cos х i)87. х=±-5-+2лл, neZ. Указание. h , ,-.

= *•

3 COS X' 1 -f-Sln X

sin x-f-sin2 x+cos2 x „ sinx+1 ~, , -.,,.

м ■- ч =2, . .

, ,. =2, sinx^fc —1; тогда полуcosx(l+smx) ' cosxfsm x-fl)

-т- • «

чим: —— = 2, cosx=y и т.д.

98

5 3 л

88. x=-j-n, х=-г-л. Решение. cosjcÔ, т.е. у-|-2лл^^д;^ —п+2лл, neZ. Обе части уравнения возведем в квадрат:

l—cos2je=2cos2.*:, 2 sin2 л:=2 cos2*, sin2x=cos2x, cosJtr=^0,

tg2*=l. tgx=±l. x=±~-\-nn. Найденные значения х будут

удовлетворять уравнению только при п=2*4-1; тогда х=±-т- +

1_(2/г+1)п и при этих значениях х cosx<[0. Найдем значения х

на [О; }я]. a) *=-J-+(2ft + lK тогда 0<^ + (2*+1)л<|-л,__i-<2*4-l<|-> —-f<2*<T' ""Т^^^Т- Так как *gZ'

то £=0 и *=-т- 4-л = -т-л^ул. т" е' входит в промежуток.

Следовательно, дг, = |-л. б) х=—J+(2*+l)n; 0<—-J-+(2ft+l)"<<ТЛ' т<2А + 1^Т' ~т<2*<Т' _Т^*^Т- Так как

fceZ, то k=0 и дг= — -^-+л = -4"я<у п> т-е- входит в

промежуток. Следовательно, Х2 = —п.

89. #=0. Решение. I — cos x=sin2x, 1—cosjc=1—cos2*,(1—cos лг)(1+cosx—1)=0. a) cosjf=l, x=2kn, 0<Г2£л<л,

0<;Л<у.Таккак *eZ, то£=0и *i=0. 6)cosx=0, х=(2я+1)у.Такие значения х будут удовлетворять уравнению только при

n=2k+l, т.е. x=(4ft-f3)-£-, но эти х не входят в промежуток

[0; л] ни при каких значениях k.

90.лт=0,x=Yn>*=2л. Решение.sinxsgTO.T.е. —л-т-2*л^л:^<2£л. 1—cos x=sin2 л:, I—cosjf=l—cos2 jc, f 1—cos x)(l +cos x—

—1)=0. a) cosjc=1, л:=2*л, 0<2£л<2л, 0<*<I, k=0, *,=0,

*—1, Jf2 = 2n. 6) cosx=0. #=у +kn. Эти значения х

удовлетворяют уравнению при k = 2n + l, т.е. л:=у(4и + 3), 0<(4л + 3)у <

^2л, 0<4n-f3<4, —3<4/i<l, —-|-<га<Т- Так как пе2'

топ=0и *, = -§-я.91. х=~. 92. *=у. *=л. Решение. cosjc<0, т.е. -у +

+2пл^х^^л+2«л, 1 — sinjtr=cos2x, 1 — sin x=l — sin2*,0 —sin jt)(l +sin jc— 1)=0. a) sin*=l, х=у+2лл, 0<у+

99

+ 2лл<2л, 0<у + 2и<2, —

-j <«<--. Так как n<=Z, то «=>;(

и Xi =

у. б) sin х=0, х=ил. Эти значения х удовлетворяют ура вне-

нию только при n = 2k-\-\, т.е. х=л(2£-|-1); тогда 0^(2^ + 1^0<2йЧ-1<2, —у <ft<y, т.е. k=0 и х2=л.

93. х= — 1, х=4. 94. х=2, х=4. Указание, sin(arcsin(х2-.

—6х+8,5))=sin-J, x2—6x4-8,5=0,5, х2—6х 4-8=0 и т.д.

95. х=±х+2пл' n^Z. Указание. sinxÔ, тогда

V2sin2x —cosx=0, .-yj2—\f2cos2x — cosx=0, -y/2cos2x-l-cosx-—л/2=0 и т.д.

96. x=y 4-«л, neZ. Указание. tgx>—„-, тогда 3-f

4-2tgx-tg2x=1+6tg;+9tg2\ l2+8tgx-4tg2x=l+6tgx-f+9tg2x и т. д.

97. x=kn, х=(—iy+l arcsin у 4-ил, k, n^Z.

98. х=/гл, х=( — lyarcsin-j- +nn, k, n^Z. Указание

2sinx + 3(l— 2sin2x)~3=0 и т.д.

99. x=(2n+l)y. x=±arccos-| + 2kn, n, k(=Z.

100. x=(-ir + l^-l-ra-J, «eZ. 101. x=±{4n-\), «eZ.

102. х=/гл, х=(— 1)п+|-£-+пл, k, n<=Z. Указание. 1-

—cos2x—cos (ул-xJ=cos4-2-n- Г—tg-^-V 1— cos 2x4-sinx=

= —1-cos-j. 2sin2x+sinx=0, sinx(2sinx4-l)=0 и т.д.

103. x=kn, x=( — If-j+nn, k, n<=Z. 104. x=fcJ-„ x=(4n-

-l)y, k. n<=Z. 105. x=(2k+\)~, x = (8n±l)^, k, ns=Z.

2 sin2 ~

106. х=(4п+1)л, n(=Z. Решение. 7~=2' sinI^0,sinY

x=t=2kn. тогда siny = l, x=(4n + l)n, 2*л=^л(4п+1), 2/г^4п + 1

верно, а потому х=(4л4-1)л есть решение данного уравнения-

2sinTcosY107. x=2arctg(2±y3)+2rm, n*=Z. Указание. --*

2cos2-2"100

Xsin —

j

^2-ctg*. cosy =^0, r=2-ctgx, tgy =2--j— и т.д.

cosy108. x=—j-\-nn, n^.Z. 109. x=kn, AeZ. Решение.

£sjn_££211=0. cosjcÔ, тогдаsin*

=0. cos 3x^=0. тогда sinx=0,■^slicosx cos3x ^

x=fen (при найденных значениях x, cos/mÔ и cos 3/bx^0)./To i

110. x= ±arccos - \-2nn, n^.Z. Указание. sinxTÔ,2V3

тогда -\/3sin2Jc—cosx=0 и т.д.

111. x= —£- +2kn, x= — arccos —+ 2пя, k, n^Z. Решение.■* уз

-\^Г—-\/3cosx= — -\/3sin x, sinxÔ, тогда можно возвести обе

части данного уравнения в квадрат: 3—-\/3cosx=3sin2x, 3 —

—V3cosjc=3 —3cos2x, 3cos2x—V3cosx=0, -y5cosx(-y5cosx—1)==0. a) cosx=0, x=(2n-\-l)-~-- Эти значения х будут удовлетворять

уравнению только при и = 2/г— 1, т. е. х— —

у- 42/гл. б)-^/З cos х = 1,

cosx = —, х = ±arccos — -\-2nn. Условию удовлетворяют толькоуз уз

х= — arccos — +2ил.V3

3 5112. х = ±-т-я + 2kn, х = -^-л + 2кл, n, /zeZ. Решение.

cosxÔ,

sinx<y-;у 4-2/гя < х< -| я + 2/гл.

-|я42*я<х<-^ 42/гя.

Vl— -\/2sin x= — 2cosx, I —-\/2sin x=4cos2x, 1 —V2sin x=4(l—

—sin2x), 4sin2x—-\/2sinx — 3 = 0. a) sinx = -|— >1, x=0.

6) sinx=—^-, x=(—1)"+'-^-4«я. Эти значения х будут удовлет-з

ворять уравнению только при n=2k—I, т.е. х=—— л. Так как

cos( — cc)=coscc, то х=± —я4-2*я. Кроме того, при n = 2k— 1

получим: х— — л.4

113. х=(-1)л-^4пу. яег. 114. х=кл, х=(-1)"-^ +пл,

л- *eZ. Указание, sin (2х42уя) — 3cos (Зуя—*) = 1 4

+2sinx, sin (y42x)—Зсов^ул—x) = 142sinx, cos2x4+3sin x=l 42sin x. I —2sin2x=l —sinx, 2sin2x—sin x=0.s'n*(2sinx — 0=0 и т..д.

101

115. x=±|-n+2/m, fceZ. 116. (4n — !)-£-.117. x=kn, fceZ. Указание. 2cos22x— 1+6 = 7 cos 2x и т.д118. х=пл, n^Z. 119. x=(— If arcsin-g- +пл, «eZ.

120. х=±-|-л+2/гл, fceZ. Указание. 5(1+cosx)=3-f.+(cos2x+sin2x)(cos2 x—sin2 x), 5(1 +cosx)=3+cos2jc. 5(1 -|-cosx)=s=3+2 cos2 x— 1 и т. д.

121. x=rt=drctg д/^е"" +гая, x=±|-+fen, га, feeZ. Ука-

за ни е. tg4Jt+ctg4*+tg2Jt-ctg2Jt = ~, (tg2x-ctg2x)2+2 +

+(tg2x-ctg2x) = -!f-( tg2x-ctg2x=i/, ^+i/-|=0 и т.д.

122.x=±-j-+'"i, neZ.123. x=— ^-+nn,x=i+foi, n, fceZ.

Указание. J_-V3tgx+l=V3, tgxÔ, 1 — V^tg2x+Ig X

+tgx=V3tgx, ^tg2x+(V3 — l)tgx—1=0 и т.д.

124. х=±~+гал, rae=Z. Указание. 4(2cos22x—1)+6(1-—cos22x)+5cos2x=0, 2cos22x + 5cos2x+2=0 и т.д.

125. x=2-i-n. b

§6.*

1. x= — j+пл, x=arctg-r- +kn, n, feeZ. Указание.

3cos2x—5sin2x—2sinxcosx=0— однородное уравнение, а

потому cosx^tO. Разделив обе части на cos2x, получим: 5tg2x++ 2tgx—3=0 и т.д.

2. x=(4n + l)-^, x=— arctg^- + ftn, n, feeZ. Указание.

Умножим правую часть уравнения на sin2x+cos2x, получим'о

6sin2x + y -2sinxcosx —5cos2x=2(sin2x+cos2x), после

преобразований получим: 4sin2x+3sinxcosx—7cos2x=0, cos2x^:0, a

разделив на cos2x, получим: 4tg2x+3tgx—7=0 и т.д.

3. х=у+*л, fceZ. Указание. cosxÔ, разделим на cos*,

получим tgx=l и т.д.л

т

—— arctg3 + /sn, *=-j- +яя, k, n^Z.

7. x=—-^-+гал, x=j +kn, n, fteZ. Указание. 2-\/3sin2x—— 2sinxcosx=^J, 2-^sin2x—2sinxcosx=V5sin2x+-^cos2X.cosXtÔ, делим на cosx, получим: -^tg2x—2tgx—-yjZ=0 и т.Д

102

4. x=—-j-+nn. raeZ. 5. x= — arctg-=- +ил, raeZ. 6. х=

я. Ч

8. х=—г+ял. х = arctg-т-+ Лл, п, fceZ. Указание.

gsjn2x+sin xcosx—cos2x=2(sin2x+cos2x) и т.д.

9. x— — -j+kn' *=arctg3+nn, k, n^Z.

10. x=Yarccig2-\-nY' ne^. Указание. 4sin2xcos2x—

__3sin22x=l, 4sin2xcos2x—3sin22x=sin22x-|-cos22x, 4sin22x—__4sin2xcos2x-f-cos22x=0, (2 sin 2x—cos 2xf=0, 2sin2x——cos 2x=0, sin 2x^=0, разделим на sin 2x, получим: ctg 2x=2 и т. д.

11. x=kn, x= —-5--}-пл, A:, /<eiZ. 12. x= ± i-arctg2+wi,neZ. 13. x=0.

14. x=j- + nn, x=arctg3 + fcn, n, AeZ. Указание. 3sin2x —

—4sinxcosx+5cos2x=2(sin2x+cos2x), sin2x—4sinxcosx-|-+3cos2x=0, cosxÔ, tg2x—4tgx+3=0 и т.д.

15. x=(4n + l)-^-, x=arctg2-|-£n, n, *eZ. Указание.

2sin2x+cos2x+3sinxcosx=3(sin2x4-cos2x), sin2x—3sinxcosx++2cos2x=0, cosxÔ, tg2x—3tgx+2=0 и т.д.

16. x=(2n+l)?,x= — arcctg3 + /bi, и, fceZ. 17. x=(4n+l)y,x= — arcctg2-j-*n, n, /jeeZ. 18. x=(4n— 1)-^-, x=arcctg2 + foi.

n, /ieZ. 19. x=arcctg 13-|-«л, x= — arcctg 13 + /гл, я, fce=Z.

20. x=j- +nn, x = arctg 153° + пл.

21. x=2arctg2-|-2nji, »eZ. Указание. sinx-|-cosx—1 =

= — ctgy(l — cosx). sin x+cosx—1 = — 2ctg-^- -sin2-|-, sinx+

+cosx—1 = — 2sin y» s'n"5" =7^0, x=^=kn, sinx+cosx—1 = —sinx,

2sinx—(1—cosx)=0, 4sinYCOSY—2sin2|-=0 и т.д.

22. x= f+nn, n, k<=Z; х=45°+180°/г, п, *eZ.

23. x=kn, x=—arctg2 + nn, k, n^Z. Указание. —r—Xcos' x

X(i+sin2x)=l, cosxÔ, хф^ + кл' 1+sin 2x=cos2x, 1 —

—cos2x+sin2x=0. sin2x+2sinxcosx=0 и т.д.

24. x=-i-arctg2+2*m, fce=Z. Решение. cosxÔ. —

y +

+2лл<х< —+2пл, 4cos2x=2+sin2x. 2(1+cos2x)=2+sin2x,2c°s2x=sin2x, cos2x=5^0, tg2x=2, 2x=arctg2 + rm, x=

—'

n

~~Y arctg 2-|- n-g-. Найденные значения х удовлетворяют условию

103

cosxÔ, а следовательно, и уравнению только при п=4Л, т.е.

jc = i-arctg2 + 2fcn, fteZ.

25. х = -^-+пя. x = arctg3 + fcn, n, ieZ.

26. x= —л, x = —л. 27. х=±-£-+2£л, fceZ. Решениео b 4

cosx^sO, — y+2foi<x<y +2кл, 1 — cos2x=2cos2x, 2sin2x=s= 2cos2 л:, sin2x=cos2x, cos2x—sin2x=0, cos2x=0, 2x =

у + nn,

x = —+и— Найденные значения x могут удовлетворять условию

cosxÔ, а следовательно, и уравнению только при и=4Л, т.е.

*=±Х +2kn, k<=Z.

28. * = -т" -\-kn, x = arctg3 + nn, fe, «eZ. Указание. 2sin2x—— 4 sin xcos x + sin2 x+cos2 x=0, 3sin2 x—4 sin x cos x+cos2 x=0

и т. д.

29. *=(2*+l>f, —J + лл, /г, «el

30. * = — + Лл, x=arctg2 + nn, k, n^.Z. Указание, cos 2x—

—6sin xcosx + 3 = -^-n—-л, cos2x—sin2x—6sinxcosx+3(sin2x-|-+ cos2x)=0, 2sin2x—6sinxcosx-f 4cos2x=0, sin2x—3sin xcos x-f-|-2cos2x=0 и т. д.

31. х=(4и+ 1)-^-, n^Z. Указание, sin 2x=(cos2x—sin2x)XX(cos2x-|-sin2x), sin2x=cos2x, cos 2x^0, tg2x=l и т.д.

32. x=(2n + l)y, x=arctg-| +kn, n, *eZ. Указание.

sin2 x—(cos2 x—sin2 x)=2(sin2 x-f-cos2 x)—4 sin xcos x, 2 sin2 x—

—cos2 x = 2 sin2 x-|-2 cos2 x—4 sin xcos x, 3cos2 x—4 sin xcos x=0,cos x(3 cos x—4 sin x)=0 и т. д.

33. х = кл, х = -^--|-пл, k, n^Z.

34. х= — у+ия, х= — arctg2-|-/m, и, fteZ. Указание.

1 +3sin xcos x-|-cos2x=0, sin2 x+cos2 x+3 sin xcos x+cos2x==0,sin2x.-|-3sin xcos x+2 cos2 x=0 и т.д.

35. x=—^--\-kn, x= —у+пл, k. n^Z.

З6- х=7+м, x=arcctg2 + fax, n, ieZ Указание. 4cos*x+

+ 3sinx-( —cosx)+5sin2x-^ --g-=0, 4cos2x—3 sin xcos x++ 5sin2x—3=0, 4cos2x — 3 sin xcos x + 5sin2 x—3(sin2 x+cos2 x)== 0, 2sin x — 3sin xcos x+cos2x=0 и т.д.

104

37. x= — -£-+ил, x=arctg5 + ftn, n, fteZ. Указание.

gsinxcosx+ 10cos2x+cos2x —sin2x=l, 8 sin x cos x-\-I1 cos2x —

-_sin2x=sin2x-|-cos2x, 2sin2x —8sin xcosx—10cos2x=0, sin2* —

__4 sin xcosx—5cos2x=0 и т.д.

38. x=kn, x—(2n + \)~, ft, n^Z. Указа ние. — sin(2n — 2x) —

-cos(Зя + 2x)+tg 2x = Icos22* , cos2x=^0, sin 2x—cos(n + 2x)+2 cos 1x \ i / i

4-tg2x= =—, sin 2x-|-cos2x+tp2x=—X-—-, sin 2xcos2x-|-• R cos 2x ' ' &cos 2x '

-|_cos22x+sin 2x= 1, sin 2xcos2x+sin 2x=l — cos22x, sin2x(l-f-+cos 2x)=(l —cos 2x)(1 + cos2x), (1 +cos 2x)(sin 2x— 1 + cos 2x)=0

и т. д.

39. x=(2n+l}y, x=(4ft + l}j, х=—arcctg3 + mji, n, ft, meZ

, 3± ^4as+U2a-739 3^/540. x=yarctg 2(17-a)

' keEZ при l4 2~~~<a<о ТЕ

<14 + —|— и a=ll. Указание. 11 sin27x—3sin 7xcos 7x-|-

+5cos27x=(a—6)(s/n27x-f cos27x), (I I — a-\-6)sin27x—3sin 7л"ХXcos7x+(5 —a + 6)cos27x=0, cos27x^=0, (17 —a)tg2 7x—3tg ++(11— a)=0, D=9 —4(17 —aXll—a)=9—4(187 —17a—lla+oF)==9+112a —4a2 —748=—4a2+112a—739. Уравнение имеет

решение, если D>0, т.е. — 4a2+ 112a — 739>0, 4a2 — 112a + 739<0,d*-28a + ?f-^0, (a-14-f-l96 + — <0, (a-Mf^ll^,

. ..

_ 3V§ Зд/5 ^ , д _ Зд/5 , „ 3-^5 _ ^,,.

,

|a-4|<-|-, Г"<°— 14<-^-, 14 ^-<a<14 +

+ ^г~. Наименьшее целое число будет -a=ll. tg7x=3± л/—4с2+112а-739

= И Т. Д.2(17-а)

и

41. х=— 90°, х=—26°34', х=90°. Решение. sin2x+cos2 к—

~sin2x=2cos2x-|-2sinxcosx, cos2x+2sin xcosx=0, sinxÔ,разделим на sin2x, получим: ctg2x + 2ctgx=0, ctgx(ctgx-|-2)=0.a) ctgx=0, x = y+лл, —^-<-|-+пя<-^' —1<«<0. Так как

n^Z, то n= — 1; 0 и х\ = —-— я=— ~, x2 = -2L+0-n =

Y-

6)ctgx=-2>tgx=-y,x=-26o34/+180°n; —90°<-26°34' ++ 180°n<90°; — 63°26'<180°и<116°34', а потому n=0, тогдаx3= — 26°34' + 180°-0= — 26°34'.

42. x=(2rt+l)-j-. x=(4ft-|-1)-^-, n, fteZ. Указание. sin2x-|-

+cos2x= .'■ , sin 2x^=0, sin22x+sin 2xcos 2x= 1, sin 2xcos2x=sin 2x '

= 1—sin22x, sin 2xcos2x=cos22x и т.д.

105

43. х=(4га—1)^, x=-jarctg5 + -i-A:n. га, fteZ. Указание.

cos3x^=0. x=H=(2n+I)-g-, 1—6cos23x=4sin3xcos3x, sin23x-f.4-cos2 3x—6 cos2 3x=4sin 3xcos x, sin2 3x—4sin 3xcos 3x—5cos2 3x==0 и т. д.

44. х=(2£-|-1)л, х= — 2arctg2-|-2/m, k, n^Z. Указание.4 (cos2-^— sin2y)+4sinYCOSy-|-4(sin2Y+cos2Y)=0.

О X . о JC . - JC X , • о X t 9 X л л 9 X t

cos-'y — sm y + sin у cos Y+siniiY4-cosi!Y=0, 2cos''y +

+ sinYCOs -у =0, cos-|-(2cos-у +8т-^)=0 и т.д.

45. jc=(2n +1 )-Y, x=arctg-r- +kn, ra, AeZ. Указание.

4 sin 2x=3(l 4-cos 2x), 8sin xcos x=6cos2x, 3cos2x—4 sin xcos x=0и т.д.

46. x=(4n-l)-|-, x=arctgT+^. ra. *eZ. 47. х=(2п+1)-|.12

x=arctgy-f-foi, га, *eZ.

48. 68°12'+180on, heZ. У каза ние. 2cos(270° — x)+5cosx==0, — 2sinx-|-5cosx=0, cosxÔ, 2tgx=5 и т.д.

49. x=45° + [80°n, x=81°524-180°*, n, *eZ. 50. x=-45° +

+ 180°*. x=71°34/ + l80°n. k, ns=Z. 51. x = -J + ran, nsZ. 52. x=

= -|г+ил, neZ. Указание. (V3sinx—cosx)2=0, -\/3sinx——cosx=0 и т. д.

53. x=30°58'+ 180°n. x=45°+180°ft. n, fee=Z. Указание.5sin2x—8sinxcosx-|-3cos2x=0 и т.д.

54. x=±arctg^-+rm. raeZ. 55. x=(3n±l)-£-, n^Z.

56. x=kn, x=-^--J-rm, k, ne.Z. Указание. cosxÔ,sin xcos x4-cos2x=l, sinxcosx=l—cos2x, sin xcos x=sin2 x,

tg2x—tgx = 0 и т.д.

57. x=(-ir + 1arcsin^+nn--J-, n^Z.

§7.1. x=kn, x=y +2пл, п, fceZ.

2. х=(2га-|-1)-^-. x=arctg44-ftn, n, feeZ. Указание.

ctgx(ctgx—4)=0 и т.д.

3. х=Дгл, x=arctg2-|-rm, k, n^.Z. Указание. tgx(tgx——2)=0 и т. д.

4. х=Лгл. х=±у+пл, k, n^Z. Указание. tgx(tg2x—— 1)=0 и т. д.

106

5. x=fty, fteZ. Указание. cosx=0, x=(2n + l)-j. но

tg3((2«+l)y)=tg(2n+I)-g-n не существует, а потому cosxÔ.

Следовательно, tg3x=0 и т. д.

6. х=0. Решение. tgx=0, x=ftn, но sin3ftK=0, а потомууравнение не имеет решения.

7. x=(2n + l)|-, *=-f( — lf+kn, n, k€=Z. 8. x=(2rt + l)-J,х=(—l/^+^y. я, fteZ. 9. х=Лл, х = -т--|-пл, neZ.

10. x=(2n + l)-J, neZ. Указание. 2cos2x(ctg2x+2)—-(ctg2x+2)=0, (ctg2x+2)(2cos2x-l)=0 и т.д.

11. x=(4n + l)-J. n<=Z. Указание. 2tg2x(tgx—l)+3(tgx——1)=0 и т.д.

12. x=(4n + l)-j-, jc=(8* + 1)-j-, n, feeZ. Указание. cos2x—

—sin2x=~v/2(cosx—sinx), (cosx—sinx)(cosx+sinx—-\/2)=0 и т.д.

13. x=(2ft + l)y, x=(4n + l)|-. ft, neZ.

14. x=(4ft —l)y, x=(2n + l)-j-, ft, n<=Z. Указание. 2sin3x—

—(1—2sin2x)—sinx=0, sinx(2sin2x—l)-|-(2sin2x—1)=0, (2sin2x—— l)(sinx+l)=0 и т. д.

15. x=(3rt±I)-5-rt, neZ. Указание. — (1 — cos6x)ctg3x —

—sin3x=0, —2sin23xctg3x—sin3x=0, sin3x(2sin 3xctg3x+l)==0 и т. д.

16. x=(4n — l)f, x=(6k— l)j, x=(12m— \)f, n, ft, ms=Z.

Указание, cos2 x~ sin2 x %~ (cosx+sin x)=0, (cosx+sjnx)X

X (cosx—sin x—-g— 2 )=0 и т" д*

17. /=y+2nn, /=(— lfjr+kn, n, fte=Z. Указание. 3(1 —

—sin/)=l+cos4/ — sin4/, 3(1— sin /)=1 + (cos2/ — sin2/)(cos2/ ++ sin2/), 3(1— sin/) =1+ cos 2/, 3(1 —sin /)=2 cos2/, 3(1— sin/)==2(1—sin2/) и т.д.

18. *=fty, x=(2n+l)-j|, ft, nc=Z. Указание. tg23x(l —

~2cos23x)=0 и т.д.

19. x=(4n + l)-J, x=±-J+(8ft-l)-j-, n, fte=Z. Указание.

sin x+cos2x—2sinxcosx=cosx — sinx, (cosx—sinx)2—(cosx——sinx)=0, (cosx—sinx)(cosx—sinx—1)=0 и т.д.

20. x=-=-+ftn, x=(-lY+l±+nn, ft. neZ.

107

21. x=kn, x=±yarccos-2y-i-+nn, *• иег ПРИ — !<aO.Решение. 3sinx—4sin3x—asinx=0, sinx(3—4sin2x—a)=0.a) sinx=0, x=kn. 6) 3—2(1— cos2x)—a=0, 1 — a= — 2cos2x,cos2x=a~ . Это уравнение имеет решение, если |

а~

| ^ 1, т. е.2

|a—1|<2, —2<a—1<2, — l<a<3. 2х= ±arccos-^=-!-+2nn.х= ±yarccos— |-/гл.

22. х=2£л, *=у +2пл, fc, reZ. Указание. tg-|- =1— cosx,

tg|=2sin2-|-. tg|(l-2sin^-cosy)=0HT.fl.23. x=kn, х=(4/г-Н)^-. *, neZ. Указание. sin2x=l —

—cos2x, 2sinxcosx=2sin2x, sinx(cosx—sinx)=0 и т.д.

24. x=(2n-flK х=(2Дг+1)2л, п, fceZ. Указание. —cos-|- =

= 1—sin2y, cos2^ 4-cosy =0, cosyfcosy+ 1 Wo и т.д.

25. x=-z-nn, n^Z. Указание, cos44r = 1 — sin24-. cos44r —

2 о о о

-cos2y=0, eos2-g-(cos2y-l)=0, cos2f (l-cos2y)=0,■ 2 X 9 X _ . 52Jt _ . 2x -.

sin^cosy =0, sHr-g-=0, sin-g-=0 и т.д.

26. х=(2/г + 1)т. x=(6k±l)-j, n, ks=Z. Указание. (1-

—sin2 x)(l -|-sin2 x)= -|-cos4 x, cos2 x (l + sin2 x—-jcos2 x J =0 и т. д.

27. х=(4и + 1)^. *=±-j--K8* + 1)-j-. "' feeZ' Указание-

cos2 x—sin2 x=cos x—sin x и т. д.

28. x=±-§-n+(8n+l>J-. ne=Z.

29. х=3*л, х=(— 1Уу +3лл, *, ne=Z. Указание. 2sin3-J =

= l-cos2y, 2sin3y-sin2y=0, sin2y(2siny-l )=0 и т.д.

30. х=(2п + 1)±. х = (2*+1)-£-. п, ks=Z. Указание. ^^4JL _

v ' '4 v '8 surx

sin2x 0 r, cos* х—sin4 x Q 0 cos2 x—sin2 x 0 0s— =8cos2x, —n 5—=8cos2x, —— 5—=8cos2x.

=8cos2x, cos2x^-r-j- 2)=0 и т.д.\ sin' 2x /

4cos2x

sin2 2x

31. х=(2л + 1)л, x=Y(4ft— I), n, *gZ. 32. x=(4n — 1)-J.x=2foi; x= — -2. +mn, n, fc, m^Z.

108

33. x=(2n + l)-=-, *=(—1)*|-+*-£-, n, *<=Z. Указание.

cos2*sin2* =4^ctg2x. cos x—sin x

sin2 xcos2 x-4^ctg2jc=0,

4 cos 1x

sin22x-

-4V2ctg2x=0, f[f- -^ctg2x=0, ctg 2x (^f- _^) =0

„т.д. 34. *=(2n+I>=.1 neZ.

35. x=3nn, х = ул(2и+1), neZ. Указание. cos2-g-=l —

-sin4-!-. cos2f =cos2|-(l+sin2f ), cos2|-(l+sin2|--l)=0и т.д.

36. x=5kn, x=(~ 1)"|-л + 5пл, /г, neZ.

37. х=(2и + 1)л, *=(6fe + l)-^-. «. ^Z. Указание, ^sin jc—

—(I+cosx)=0, 2-\^sin-|-cosy — 2cos2-|-=0, cosy("\^s'—cos yj=0 и т. д.

яп-

38. х=2кл, *=( — 1)"+14я + 2пл, /г.

isin-~-+ I — cosx = 0.

Указание,

л

V3sin-J +2sin2y=0, siny(V3 +

2-t-Vcos*= — -^, sinV3

2

V3si

+ 2 sin y) = 0 и т. д.

39. *=(2*+1)-=-, л:=(-1Г^+Пу, *, neZ. 40. х=-^ +

+пя, х=/гя, /г, fceZ.

41. х=(— 1)"+14р +ил—£-, neZ. Указание. — sinx +

(Д:+Т)=-:2^ИТД-42. х=/2у, x = (4n+l)-^, ft, neZ. Указание. 2sin23x—

— tg3x=0, tg3x(2sin3jtcos3Jt:—I)=0 и т.д.

43. *=(2n + l)-J-, х=(41е—1>§-. x=(-lff +mn, n, k, m<=Z.

Указание. 2sin3x — sin jc+cos22jc=0, sin jt-2sin2x—sinx-}-+cos22jc=0, sinx(l —cos2jc)—sin x-|-cos22a:=0, — sin л:cos2л:-|-^-cos22л:=0, cos2x(cos2x—sin jc)=0. cos 2jc(1 — 2 sin2*—sin jc)=0,cos2jc(2sin2JC + sinx—1)=0 и т.д.

44. x=(\2k-l)~, x=(6n —l)-jj-. x=(12m + 7)^, k, n, m<=Z.

Указание. 2 sin 2x(-\^sin jt+cosjt)=(-^sin x+cosx)(-\/3sinx—-—cosx), (-\^sin x+cosjt)(2sin 2jc—-\/3sin jc+cosjc)=0 и т.д.

45. x=k^ , x—(— 1)"-^ + л-£ + 7^. k, n^Z. Указание.12 12'

,2sin3xcos3JC=l — cos6x — 2 sin 3x, 2 sin 3jtcos3x=2sin23jc—2 sin 3x.sin 3jc(sin 3x—cos3x — I) = 0 и т.д.

109

46. x =

y + 2лл, A = 2arctg0,6 + 2fcn;, я, ieZ. Указание4sinx — 3cos a=4(I —cos a). 4sin a+cos a—4 = 0, 8sinyCOS ~ -\.

+cos2y -sin2f -4 (sin2 f + cos2y) = 0, 5sin2y -8sin-f- X

Xcosy +3cos2y=0 и т.д.

47. a=0. а=2л. Решение, tg у -tg t~ —f )Н ТЦ 7Т =

cos4t-t)=2. сое (i--£-) *0. tg|.sin(^)cos(^-f)+1==

= 2cos» (i-i).i-tBi»in(f-f ) + ! = ! + cos (f-i).ytgy-cosу =siny, siny =0, x=2kn, k^Z. —

у <2*л<2л,

— 4-<*<l Так как *^Z. то * = 0; I, тогда A|=0, а2=2л

(при найденных значениях a cos (-^- —-^- )^=0).48. х= ±-т--г-"11' n^Z.

49. А=(2л + 1)у, JC=(-1)*+1^+ft-J. n. *e=Z. Указание.

■2+ctg2A + 2cos4A=0, 2(1 +cos 4A)+ctg2x=0, 4cos22A+ctg2A =

=0, ctg2x(4cos2Asin2A +1)=0 и т.д.

50. x=kn, k<=Z. 51. a=(4*+1)-^, fteZ.

52. A=(2*+l)y, A=(-I)"arcsin-^y^-+nn, n, fce=Z.

Указание. 3sinx(l—sin2A)—(I—sin4 a)=0, 3sin a-cos2 x—cos2 a(1 ++ sin2A)=0 и т. д.

л53. а=——-\-kn, k^Z.

54. лг = у+лл, а-=(— lf-^+тл —

-j, n, meZ. Указание.

cos2 a —sin2 a=cos3 л:—sin3 a, (cos л:—sin x)(cos A+sin a-)=(cos a—

— sin a)(1 +sin л:cos x), (cos a—sin a)(cos A+sin x— I —sin a:cosx)==0 и т. д.

55. а=(2* + 1)л, A=(4n + 1)-J, A = y±arccos^~2 +2mit, k,

n, m^Z.

56. х=±у+*л, *<=Z. Указание. 2(2 cos2 a)2 = 1 + cos 4a,

2( I +cos 2a)2 = 2 cos2 2a и т. д.

57. а=(2*+1)л, а=(— 1)лу4-лл, п, k(=Z. Указание.

2 sin A+sin 2a=I +cos a, 2sin A + 2sin acos a= I + cos a, 2sinx(l ++ cos a)=I + cos x, (i -f-cos A)(2sin a— I)=0 и т. д.

no

58. лг=(2я-Н)у, Jt=("6A±l)y, я, AeZ. Указание. cosjc=

з-l— COSJC, tgJC(l — COSJc)=l — COSJC. (1 — COSJc)(tg.K— 1) = 0 И Т.Д.

59. а:=(4л —0-j-. JC=(2fe + l)n. я, *eZ. Указание. l+tgjc+

+cosjc(i+tgjc)=0, (I+tgA;)(l+cosx)=0 и т.д.

60. *=-j-+ftn, л:=2ял, ft, reZ. Указание, tgx—sinjc =

= 1—cosjc, tgx(l — cosjc)= 1 — cosjc, (I—cosjt)(tgjr—1)=0 и т. д.

61. х=(2я + 1)у, x=(3ft±I)^, л, teZ. Указание. 1 +

-fcos2jf+cosjc=0, 2cos2jt-t-cosjc=0, cosjc(2cosx+1)=0 и т.д.

62. x—kn, x=±-r-n + 2nn, ft, n^Z.

63. x=(2n+\)n, Jc=±2arccos-r-+4ftn, л, £е2. Указание.

cos2y — 3sin2YCOs-|- =0 и т. д.

64. д:=(2я + 1)у. дг=(— lf^+kn, л, fte=Z. 65. jc=ftn, дг=

=(4л+1)^-, ft, n<=Z. 66. jt=ftn, *eZ. 67. х=(2л + 1)-£, х=

=(-lf±+kf, я, k<=Z.

68. а-=Ал, лг=(—1У-|+лл, л, fteZ.

69. jc=2ftn, д:=(—1У+,у+2лл, ft, n<=Z. Указание.

~-\^sin-|-= 1—cosjt, 2sin2-|-+-\^siny=0, siny^2siny +

+V5)=0 и т.д.

70. х = |-+пл, x=±|-+(8ft + l)-J. л, feeZ. Указание.

2(cos2 x—sin2 x)=-\/e(cos jc—sin jc), (cos x—sin *)(2(cos x-f-sin x)——\/б)=0 и т. д.

71. дс=йл, Jc=±arccos0,2-H2fln, ft.'HsZ.

72. лг=(2я + 1)у, а:=(— l)*+,arcsin|-+ftn, я, fceZ.

73. *=2ft:ri, л:=(4я-|-1)я, ft, яе=2. Указание. 2sin-|-=I —

—cosjc, 2sin-|-=2sin2-|- и т.д.

74. л=2(2я + 1)я, x=Skn, n, fte=Z. Указание. 2cos-|-=l +

+cos у, 2cos-|- =2 cos2-j-, cos -j- (cos -^- — I J =0 и т. д.

75. л:=6Ал, дг=(4я + 1)3л, я, fte=Z. Указание. 1— cos у—

—2sin-g-=0, 2sin2-£- — 2sin-g-=0, sin-g-(sin-g- — iWo и т.д.

ill

76. а=4£л, а=(4/2 + 1)2л, n, fte=Z. 77. а=(2*+1)Зл, -х=12пп,ft, ne=Z. 78. A=(2n+I)-^, x=(-lf-^ + ftf, n, fte=Z.

79. а=(4я — 1)-J-. A=±-J+(8ft — l)-j, л, ft«=Z. Указание.,

. cos 2* r. . . (cos x—sin x)(cos jr+sinjr)cosA+siriA— ■:—%-. =0, cosA+smA—s ; "-:—rr U1 1—2sin jccosa;

'(cos x — sin xf

=0, cosa^shia, cosx+sinx :I—.— =0, (cosA+sin x)y^ ' cos x—sm xx ' /хч

X (\ — Wo и т.д.,N V cos x—sin x /

80. a=( — 1)"+ЧГ15' + 45°л, /2(=Z. Указание, sinxcosAX

X(cos2a—sin2A)= l—, 2 sin a cos a cos 2x= ■=, sin 2a cos 2a=K

4-v<2 2л/2

-, sin 4x== — и т. д.2V2

'

V28!. А=(2л + 1)у, A=(2ft+1)-J, л, *eZ. 82. A=ft-J, x=(4n +

+ 1)^, ft, neJV.

83. x=4kn, а=±-§-л+4ял, ft, n<=Z. Указание. tgy =

2tB4B 4

X( Ц--З) = 0н т.д.

84. x=^+nn, x =

y +2kn, я, feeZ- Указание, cos2*—— sin2 a= V^(cos x—sin a:), (cos a:—sin a)(cos A+sin a)=V2(cos a —

—sin a), (cos a—sin a)(cos x+sin x—-y/2)=0 и т. д.

85. x=k~, х=(—1у~+п^, k, n<=Z. Указание, sin 2a=

= 1 — cos 4a, sin 2x=2sin22A, sin 2A(2sin 2a— 1)=0 и т.д.

86. а = *л, fte=Z.

87. x=±+2kn, а=±-£-+2ял, ft, ле2.

88. a=(2/1 + 1)-^-, rceZ. Указание. sin2A(sinx—cosx)++cos2 a(cos a—sin x)=l,5cos2x, — sin2A(cosx—sin a)+cos2x(cosx—

— sin a)= 1,5 cos 2a, (cos a—sin a)(cos2 a—sin2 a)= 1,5 cos 2a, (cos a—

— sinA)cos2A=l,5cos2A, cos2a(cosa—sin*— 1,5)=0 и т.д.

89. а=(2я+1)-|-, n<=Z. Указание, sin32/(2sin22t— 1)—

—3(2sin22f— 1)=0, (2sin22/— I)(sin32f — 3)=0 и т.д.

112

90. x = -j-+kn, fteZ. Указание, sinx(tgjt— 1)—(tgjc—1)=0,

ltgx-l)(s<nx—1)=0 и т.д.

91. х = (2я + 1)у. x=(4ft+ l)-j, n, 4eZ. Указание. ysin2jc =

3=1— sin2*, sin a:cos;c=cos2 a\ cos x(sin a:—cosa:)=0 и т.д.

92. x={4n — l}j, x = (-\f^+(4k-i)±, k, n<=Z.

Указание, sinx+cos jc= 1 -f-sin2jc, sin jc + cos Jt=sin2JC-|-cos2jc + 2sin jcXvcosx, (sin x4-cos л:)2—(sinx+cos a:)=0, (sinjc+cos x)(sin jc+cos x—

__1)=0 и т. д. -

93. х=£л, k^Z. Указание, sin x + 3 sin x — 4 sin3 jc+4sin3x==0, sin x=0 и т. д.

94. x=-j- +пл, х=±ул+2Ь, п, fteZ. Указание, sinx —

—cos x+2sin xcos x—2cos2a:=0, sin x—cos a:+2cos jc(sin x—cos x)==0, (sin x — cos jc)(1 +2 cos jc)=0 и т.д.

95. x={4k — I>J-. *=±-|-+(8ii+1)-J, ft, neZ.

_„ „. n , . -ж \т sin2* I—cos x96. jc=2foi, х = —4-пл, k, n^Z. Указание. —r- = -

:—,4 ' cos2* 1—sin x

1— cos''л: 1— cos x „ 1— cos л: / 1 +cos x ,\ „

5 i = =0, "J : [-ГГ- l )=0 И Т- Д"I —sin2 x 1—sin* I—sin* \l-fsinx /

97. * ="г +*Л- X~~Y +2ил, k, n^Z. 98. * = -r- +nn, x = fty,

n, teZ.

99. *=-?- +пл, a:= — arctg2 + foi, ". fteZ. Указание.

(I—tg a:) cos2 a:=2 cos 2a:, cosjcÔ, в противном случае tgA: не

существует, а потому разделим обе части уравнения на cos* x,

получим: I— tgA-=2(I — tg2x) и т.д.

100. А-=(2л + 1)у, x=kn, n, fteZ. 101. x=±-j, х=0.

102. х=—^ -\-2kn, х = ^--\-пп, k, n^Z. Указание. ctgA- —

—sin x= I — cos x, ctg A-4-cos x= 1 +sin x, ctgjc(l+sin a:)=(1 ++sinA-)(l4-sinA:)(ctgA:—1)=0 и т.д.

103. A-=-45° + 180°n, *=(—1)*20°54'+90°*, n, fteZ.Указание. 3(cos A-+sin a:)(1 — sin jccos a:)—2(sin x + cos a:)=0, (sinjc++cosa:)(3 —3sinxcosA:—2)=0 и т.д.

104. х=(2п+1)л, a- = (— If-j+kn, n, k<E=Z. Указание.

2(l+cosx)=V3tg(|--y), 4cos2|-=V3ctg^, ctg-f-XX (4 cos у sin y— V5)=0 и т.д.

из

105. х=— 4+2*л, fte=Z. Указание. -£î- = l+sin3vZ cm* v

" * *.

(I— sin2*)2 1,-3 (I — sinx)2(l -4-sin xf ,. . . WJ

+sin2*), ('+sinx)((|-s^+sinf) -(l-sinx+sin^))=OH4106. х=(2л + 1)я. х=(3*±1)-|-л, я, fteZ. Указание. l_|_

+cos*+cosy =0, 2cos2y+cos-|-=0, cos-|-(2cos-J + I)=0и т.д.

J07. x = kn, x=(4n+l)±, k, n<=Z. 108. *=5, x=(- \T-j-\-+ пл, n^Z.

109. x=kn, fte=Z. Решение.2sin*cos*

=Qcos3xcosjc ' Û|

sm x

_q^ тогда sinjc=of jc=A;n (при этих значениях х cosjc^CCOS dX

и cos3je=H=0).ПО. Jt=(— lfj+пя, reZ. Указание. — cos 2jc= 1 — 3sinx,

—(1— 2sin2x)=l — 3sinx, 2sin2^+3sinx—2=0 и т.д.

111. x=-±+nn, x=±-j +(8k-l)-±,n, *eZ. 112. *=y +

+ 2nn, *=±-|л + (8*+1)у, n, ke=Z.

113. jt=fty, x=(2n+l)j£, k, n^Z. Указание. tg3x==2sin 3xcos Зх, tg3*—2sin 3jccos 3*=0, tg3*(l — 2cos23*)=0 и т. д.

114. x=±arccos—&-+2nji, ne=Z. 115. jt=-J +nn, *=y +

+2kn, х=-?-+2тл, п, k, m^Z.

116. x=2kn, x=(2n-\-l)n—2a, k, n^Z. Решение. cosasinx—=sin a—sin acosx, cosasin дг+sin a cos x=sina, sin(*+a)=sina.a)x+a — a=2kn,x=2kn.6)x+a + a=n{2n+l),x={2n + \)n—2a

117. x = {4n + l)^--2a, * = (4*+l)-~, n, k<=Z.

118. x=(4n — l)y, neZ. Указание. —sinjtcos*(cos2x--—sin2Jt)=-j-, —s in2jc-cos2.it=-5-. sin4x= — 1 и т.д.

2 sin-£-cos-£-119. x=2kn, x=4nn, k, n^Z. Указание. ""

2cos*-|-X

sin —sin —

=siny, cosjÔ, y -sin \ =0, sin-^-(l-cosy)=0 и т.Д-

COSy114

120. *=0, я, —

-j, ^-. -4-"' Тп> Тл- Решение' tg2Jt(l —

_2cos2x)=0, tg2x(l —1—cos2*)=0, tg2x.cos 2лг=0. a) tgx=0,3 3

х=1гя, —^n<:kn<2n, — -j-<fc<2. Так как k^Z, то k=0; 1

MJC|=0, х2=л. б) cos 2*=0, *=(2л+1)^. --|л<(2я-Ь 1)-=- <2л,

__3<2n+l<8, —4<2п<7, — 2<л<3у. Так как neZ, то

f П I Гь О Л П 3 5 7й=

— 1. О, I, 2, 3 И Х3= 1-, *4 = —

, Х5=-^-Я, Хб^-^-Л, ДГ7 = -^ГЛ-

121. д:=£я, х = ±-jr +2пл, п, AseZ. Указание, sin2аг=

=s2-v/3sin -5-cos у, 2sin*cos Jt=-y/3sin л:, sin jc(2cosx — д/3)=0 и т. д.

122. лг=у+пл, х=*л, п, *<=Z. 123. x=2arctg2 + 2mi, neZ.

§8.I. *=|-Ля, x=(2ft+l)y, fte=Z. 2. x={4k+l}f, x=(4k+l)±,

fteZ. 3. дг=Лл, x=-jkn. fteZ.

4. at==(4A + I)^, jc=(4ft —1)-~, k<=Z. Указание. cos3jc=

=cos (~—x\ и т. д.

5. x~kn, *eZ. 6. x=(3k — l)y, feeZ. Указание, tg (5* +

+lf)=tg3x и т.д.

_ 1±УГ+в^ -l±Vl+(tt + i)4« Ьс~ я „. <,7. f= , / =

, fteyVo- о. х=яя—2,

feeZ.

9. *=±У*л~+3, teiVo. 10. лг=(4*+1)§, дг=(4Л—1}J, teZ.

Решение. sin5*=cos 7x—0, cos 7x=cos (y — 5*Y a) 7x—y-++5*=2fen. 12x=(4* + l)y, дг~£(4*+1). 6) 7x + y-5*=2toi,2*=(4*-l)y, X=(4ft-1)-J.. П. *=тл/2. 12. x=bî,fteZ.13. „ — 5я-4 9я-4 ,4 7n I ,. ,.,л

*«« + l)f. neZ.

•6. дс=лл, x=(2n + l)-^, neZ. Указание. (1 — sin3x). 1 =

888 sinу + cos2 у—sin x, l—s'm3x=l—s'mx, sin3x=sinx и т.д.

115

17. *=лу, х=(2я + 1)т> ne=Z. 18. х=0. 19. *=(4n + i)i

x=(4rt + I)T,/2e=Z.20. х=п^, n=£6k, fteZ. Решение, ctg 1 ljt=ctg5jc, tg 11*^

=tg5Jt, llx—5x=nn, A:=-g-/m будет решением при пфбк, kî

21. дг=(8л+1)-^-, лг=(8п+3)^, nc=Z. Решение. ysin2x.f+ —cos2x=sin3.ic, sin (2jt + -^-)=sin Злг. а) Зх —2х—^ =2«л,

л=(2л+1)-^. 6)3x+2x+-J =(2л + 1)л, 5х=2ял + |-л, 5x=(8n +

+ 3)-J,*=(8n+3)£.22. x=(2n+l)±, n<=Z. 23. x=(-lfarcsin^^-+nn—~

nt=Z. k=~2\ —1; 0: I.

24. *=4±Vl6+2ib", *=—2, — 1; 0, I, 2, 3 ... и х= — 4±

±V'6+(2ft+l)n, fe=—3, —2, —1, 0, 1, 2, 3 ... . Указани,

а) x2 —8дг=2*л. *,.2=4±л/16+2Ы *=—2, —I, 0, I, 2, 3..

б) л:2 + 8л:=(2*+1)л и т.д.

25. x=I0+

3, а:=10(4*_,)я, *eZ. Решение. cos(lgx)=

=cos(-J—i-lg*). a) igx-^ + ±lgx=2kn, 31gx=(4fe + l>i

\gx=(4k+\)±, *=10 3. 6) lgJt+|-i|gx=2b, lgx=={4k— 1)я, д:=10(4*-,)л.

26. x=(2ft-l)£. *e=Z. Решение. tg(f+-f^)=tgT> •§ +

4—p—y=ftn, 6x=fcn —

у , дг=(2£ —1)^.27. x=(-I)*i-arcsinT^r + Yftn, *<=]-«>; -3]U[2; oo

teZ. Решение, хфт^ — условие существования tgjc и ctg-*

tg(nctgx)=tg(y—ntgx). a) nctgjc—y +ntgx=kn, 2ctgx+■ о * ol i i i i i 2ft + l cos2x+sin2x 2Й+1 2 __

+ 2tg* = 2ft+l, ctg* + tg* f-. sinxcosx =-2-.^x~= 2*±i, 8т2х=^т, *e=]-oo; -3]U[2; oo[. 2*=(-I)*X

Xarcsin^-j-H-ftn, x=(—l^yarcsiny^^-H-Ary.П6

28. x=(6n-l)-£-, *=(l2fc—l)i, ^=(12Л + 7)у|, и, AeZ. Ука-

за н и е. 2 sin 2x(V3sin лг + cos x)=(V3sin x+cos x)(V3sin x—cos x),l 3sinx4-c°sx)(2sin2x—(-y/5sinjc—cosдс))=0 и т.д.

29. A:=(4fc+l)f, *=(4*+1)-|, fteZ. 30. 2ял±-|л+4лл,. *-п-\-4пл, n^Z. 31. x=arctg(ft+-M-fnn, ft, «eZ.

32. x=(8ft — 1)^, x=(8ft+l)^, fteZ. Решение, cos 13jc=

:=J-cos5jf+— sin bx, cos I3x=cos (bx — -jj. a) I3jc —5* + -^ =

«2fen, 8jc=(8*—1)-=-. 6) \3x+5x—j=2kn, 18x=(8ft +1)-^,jr«(8*+l)£.

I 9.

1. *=(2rt+l)y, x=(4ft+l)-J, n, fte=Z. Указание. 2sin2*X

Xcos *—4cos3jt=0, 4 sin xcos2*—4 cos3 at=0, cos2x(sin x—cosx)==0. a)cos2xa=0, cos*=0, x=(2n + l)-j- 6) sin x—cosx=0, tg*=Iи т.д.

о ■ п , ~ n sin Зх- sin 3x _

2.* = *-^-, fteZ. Решение. ~ s— =0,3 COS X COS 2x COS AX

sin 3x(cos3x—cos xcos 2x) n . „ cos (2x+x)—cos xcos 2x „ . , _

'

COS3XCOS2XCOSX ~0' ^ 3*Cos2xcosx

=°- a> ^3а' =

=0, X=kf, n*=Z. 6) cos2xcosx-sin2xsin2x-cos2xcosx =Q tg2jc><

Xtgx=0: i) tgjt=0, х=пя, ne=Z; 2) tg2x=0, лг=«~, «eZ.

Значение д-=л-5. при n = 2ft-f-l не удовлетворяет уравнению, так

Как tgy(2n + l)... не существует.

3. *=(24л + 1)^, neZ. Решение. 2sin30°cos{x~ 15°)= 1.

cos (x_JL) = i, jc—^ =2«л. ^=(24/2+1)^, neZ.

4. x=(2n + l)JL, x==(_i)pi+fc.£., „, teZ. Указание,sin 2x+sin 8x=V2cos 3jc, 2sin 5*cos 3*=-\/2cos За: и т. д.

5. x=(2n+l)^, Jt=2ftji, я, fteZ. Указание. 0,5-2cos6xXXcos x—(cos2 Здг—sin2 3д:)=0, cos 6xcos x—cos 6jc=0, cos 6x(cos x—

~~0=0 и т. д.

117

6. *=(4n + l)yg. neZ. 7. x=(2n + l)~, x = kn,x = k-j ,n, k^2

8. x=k±. x={4n + l)±, x={4n-l)f, ft, n<=Z. 9. x=(—I)fi +

+(4и+1)Ц. «eZ. 10. x=^-, x^-lf+^+nf, ft, пег

II. х=кл, х= ±-jr +ял, ft, «eZ,

12. *=(2л+1)|-, *=(2ft+l)-|, x=n(2m+l), n, ft, m^Z.

Указание. l+cos2/+cosf+cos3/=0, 2 cos2 / + 2 cos 2/ cos /=0 и т.д.

13. jt = fcy, дс=(6п±1)т|, ft, neZ. Указание. sin9*—

—sin3jt=sin3jc, 2sin3jtcos6jt—sin3x=0, sin 3*(2cos6x — 1)=oи т.д.

14. jc=(8ft+l)-J, x=(8k + 3)±, fte=Z. Указание. -^sin2x++ —cos2jt=sin3*\ sin3x=sin (2*+-^-J и т.д.

15. jr=fty, x=2nn, ft, n^Z. 16. x=ft-^-, x=(4n+l}~r, x—

=(4я-1)у, ft. n<=Z. 17. x={2n + l)^, *=(3ft±l)-|n, n, fte=Z

18. x=ft-j-, *=±-j +2nn' k< n^z-

19. *=(3л±1)-з-я, ^=(4ft+l)-g-, n, fteZ. Указание.

2 sin 2xcosx+sin2x=2cos 2xcos Jt+cos 2x, sin2x(2cos д:+1)='=cos2a:(2cosx+1) и т. д.

20. *=±120°+15°(24п+1), (ieZ. Указание. sin(15°+*)+

+ sin(45° —x)+y=0. 2sin30°cos(*>-15°)=— -~, cos(jc—15°)== —

у и Т-Д-

21. x=(12ft — 1)-^, x=(4ft+l)^, *eZ. Указание. cos3x-

—sin 5x=V3cos 5x—V3sin 3x, cos Здс+^sin 3x=V3cos 5x+sin5x,

ycos Злг + ^-sin 3x = ^-cos5* + ysin 5*, cos (3x—|M=cos \5x—— ■g-}a) 5x — ±-3x + f=2kn и т.д. или б) 5х—{[- + 3x-y =

=2*я и т.д. 22. x=ft-J. лг=Лл, fteZ. 23. *=*--, л-=(12л±5)|}.ft, neZ. 24. jc=ftn, лг=(2п+1)-^-, ft, beZ.

25. x=ft-^-. x=±4+en, ft, neZ. Указание. 2sin4JcX

Xcos2*=ytg2x, 8sin2jccos22.*:—tg2x=0, tg2x(8cos32jtr—1)=°и т. д.

118

26. x=k-j> *=±у+2лл, ft, n^Z.

27. *=(2я + 1)у; x=(2k+l)-j, n, fteZ. Указание. cosx+

lcos3a:+cos2x+cos4x=0; 2cos2jccos x+2cos 3xcos x=0 и т.д.

28. *=(2я + 1)у|; x=(3k±\)2-n, n, fteZ. Указание. cos9x+

4.cos3^+cos6x=0, 2cos6jccos3x+cos6jt=0, cos 6jt(2 cos 3jc -+-^.1)=0 и т.д.

29. x=k-—' х=±-г+тял, ft, neZ. Указание. —2cos5*X

Xsin2*—V3sin2x и т.д.

30. * = (2n + l)-g-; x=(6ft±I)-£-, n, fteZ. Указание. cos7jc +

.j-cos *=cos22jc—sins2x, 2cos 4xcos 3jc=cos4x, cos4x(2cos3* —

_1)=0 и т.д.

31. x=*-^ +2пл, *=-т- +-3-kn, ft, n^Z. Решение, хфк-^-,fceZ, cos Ar+sinjt=2V2sin xcosx, — cosx+ — sin x=sin2jc,

sinrj+*J=sin2jc. a) 2x—t ~*=2mi, х=-^-+2ял. Допустим,

что -^-+2/m = fey, тогда получим: 8n+l=2ft, что невозможно.

Поэтому -^-+2ял=^£* т е ^._|_2пп—решение уравнения.

б) 2x+-j +х={2к + 1)л, Злг=2Лл + -^-л, *=|-ftn+-J-.(Аналогично доказывается, что ^.nn+-j =И=*у-)

32. x=ft-£-; jc=(6ft±l)-g-n, fteZ. Указание, sin 3.*:+sin.x:-г•-^-sin2Jc=0, 2sin2jtcosjt+sin2jt=0, sin2x(2cosjc-|-l)=0 и т.д.

33. *=(2n + I)y; *=(4ft-l)-J. n, ft«=Z. 34. x=(2n+l)-|;x~kj~; x=mn, n, ft, m(=Z. 35. x = k^\ Jt=(6n±I)y, ft, яе2.

36. * = ft-f; X=(2n+1)-J. ft. «eZ.

37. ±42o23' + 180°n,ne=Z. Указание. 5tg* + 5ctgx=tg2* —

_j 5.(sinax-fcos2x) sinx 10 sin xr^k—

sin * cos x cos x cos 2x * sin 2.x cos x cos 2* * 2 '

•0 cos 2*=2 sin2 x, 10cos2x=I— cos2x, llcos2x=I, cos2x=-jj"т.д.

38. x=-5-+n-S-, x=±—n+2ftji, n, k(=Z. Указание.о 4 4

cos 5*4-cos 3x— —\/2cos 4x, 2 cos 4* cos x+V2cos 4x=0, cos 4*XX2cosat + V2)=0 и т. д.

119

39. *=(2n+l)—, x = {— 1)*+1-2. + /гп. п, k(=Z.10 4

40. jt=(2n+l)-2-, Jt=(6fe-tl)-S., n, ieZ.8 9

41. x=n-=-. ne/.з

42. x= (2/i+l)-=-; x=(2m+l)-|-, л, meZ. Указание2cos9jccosjc+6cos3jccosx=0, 2cosjc(cos9jc+3cos3jc)=0 и т. д.

43. jc=(2n + l)i; х=(3/г±1)|-я, n, fteZ.

44. jc = (2"+0f; *=(- 1)"^ +nf, n<=Z.

45. дг=(2/г + 1)-^-, neZ. Указание. 2 cos 4jc cos 3x—

—4cos4x=0; cos4x(cos3x—2)=0 и т. д.

46. x=-%-kn, AgeZ. 47. x=-^-kn, кф18 п, ne=Z.38 18

48. л:=0. Решение. sin*+2sin*cos*=1> sin ,(1+2 cos*) =[3sin jc—4sin3jc sin jc (3—4 sin2 x)

sinjcÔ. xgfcfai. тогда '+2cos*=1 l+2cos* =lf l+2cos* = |3—4 sin2* 3—4(1— cos2x) 4 cos2*— 1

'+2c°»x =1. l+2cosx=jfcO,Torfla l- =1, cosx^fc-k(2cosjt+l)(2cosjt—1) 2cosx-l 2

тогда 1 =2cosjc— 1, cosx = 1; x = 2kn, но sin2fcit = 0 и sin(3-2ftn,)== sin6£n=0, а потому уравнение не имеет решения.

49. jc=*-=-; х=±-2-+пл, k, n^Z. Решение.

sinfr-2^ =2sin2x, ^^ -=2sin2x. (В зна-

cos^-^-я—xj cos(-^ — xj cos(n—2x) + cos-^-менателе разложили произведение косинусов в сумму по формуле

_!2

sin 2*= sin 9v cin 9v Z' 2

cos a cos P = — (cos(a + P)-|-cos(a — P)), рассмотренной в § 10.)

sin 2x; sin 2x (-—^—- lUo. a) sin2x=0, 2x = kn,1 \l — 2 cos 2* /

-=— cos 2x

x=k-Z- (1). 6) ^ =i Cos2x=?fc-L, тогда 2=1—2cos2x,2 w

1-2cos2jc 2

cos2x= -, 2jc=±— n+2nn, x=±—+«я (2). При найденных

значениях jc в равенствах (1) и (2) значения cosf -fr^—x) и

cosf-S-—jcj не обращаются в нуль и, значит, tgf-f-ji—х) и

tgf-2- — jcj существуют.

120

50. * = -Г + "Нг. *=±^г + 2/гл, х=±-£-я + 2тя, п, k, mezZ.и о о 5

решение. cosx+cos5x+cos2x+cos4x+cos3x=0, 2cos3xX^cos 2х+2 cos Зя-cos x+cos 3x=0, cos 3x(2 cos 2x+2 cos x+1)=0.

-» cos3x=0.3x=-^+/m,x=-£-+n-?-.6) 2cos2x+2cosx+l =0,8/ 2 6 3

2(2cos2x—l)+2cosx+l=0, 4cos2x+2cosx— 1 =0, cosx=

_^1±£, i) cosx=^b^, cosx»sin-S-, cosx=-^, x=±-^+■""4 4 10 5 5

2kn и 2) cosx= — Jix-« — cos-2-, cosx—cos-^-n; х=±-|-л +

.f 2тя.

51. x=(2rz+l)|-+4, x=(-l)*-i- + ft|—1,5. n. AeZ.

Указание. 2sin(2x+3)cos(x—4)—cos(x—4)=0, cos(x—4)(2sin(2x ++3)—1)=0 и т. д.

52. x=(2n+l)-=-, neZ. Решение. ^~^=0. cos2x^=0.

x^t-2-(2ft+l), тогда cos4x=0, x = -f-(2n+l). Покажем, что4 в

-2-(2л+1)=^—(2lfc + l), т. е. 2п+1ф2(2к + \), что очевидно, так како 4

нечетное число равно четному.

53. x = (2n+l)-S-, ne=Z. Решен не. -^и^мЬ^ sinx=^0,4 2 sin-2 *

х^/гп, тогда ■£25-^=0, cos 2x = 0, х=(2и+1)—. Допустим, чтоsin jc 4

(2n+1)—= /гя, тогда 2п+1=4/г, что невозможно. Значит, х=4

=(2/i+ 1)-^ решение уравнения.

54. х=/г-5-; х=(—1)"-5-+пя, /г, ne=Z.2 6

55. x=±arccos-^-*—\-2nn,n^Z. У к а з а н и е. 2cos— sinx=

sln "5—cos о= - -•

—, V2~sinx= -cosjc^ sinxÔ, тогда 2sin2x+2sinycoSy ^ V2sinx

+ cosx=0, 2coszx — cosx —2 = 0 и т.д.

56. х=(3/г±1)—я, х=(4/г+1)-2-, /г, neZ.3 О

57. x=(2n+l)-=-, х=(—1)*+|-£-+/гя, n, *eZ.

58. х=(4/г— 1)-=-, х=(Зп±1)-§-я, /г, neZ. Указание.

•+cos2x+sin2x+sin x+cos х=0, 2cos2x+2sinxcosx+sinx+ч

cosx=0, 2cosx(cosx+sinx)+(cosx+sinx)=0, (cosx+sinx)XX(2cosx+l)=0 и т. д.

121

59. x=2kn, x=(— lf-±+-%-nn, k, n^Z.У о

60. jc=(2n+l)-S-; x=2kn, n, ke=Z.

61. x=60°fc-40°, teZ. Решение. tg3(x+40°)+tg(x++ 40°)=2sin 2(x + 40°), хф 180°n + 50°, neZ. Обозначим: 40°+*=,=У, tg3y + tg//-2sin2y, ™*Ч = 2sin2f/, 2sinУcos.?»= 2sin2»о -> о ^ ^

cos g^ c()s у^

C(JS 3^ C()s ^3,

sin2o( cos2V A =0. a) sin2«=0, 2y=kn, y=k-%-. Эти\ cos 3y cos у / 2

значения удовлетворяют уравнению только при £ = 2п, т. е. у=пп,тогда х+40°=180°п, х=180°л-40°. б) cos2l/ 1=0

COS 3l/ COS I/'

cos2v-cos3ffcosv=0> cos3uô и coswÔ, тогда cos2u-cos 3y cos j/

—cos 3y cosy=0. Разложим произведение косинусов в сумму по

формуле cosacosP = -£-(cos(a + P)-r-cos(a — Р)), рассмотренной в

§ 10, получим: 2cos2y—(cos4i/+cos2j/)=0, cos2y—cos4j/ = 0,

cos Ay = cos 2y. a) 4y—2y = 2kn, y=kn при всех fceZ удовлетворяет

уравнению, тогда 40°+*= 180°/г, *=180°Л-40°. б) 4«/+2у== 2кл, y=—kn при всех &eZ удовлетворяет уравнению, тогда

О

40° + x=60°ft, x=60°fe-40°

62. x=(2n+l)-f-, х=(4Л+1)-=-, Jt=(4m+l)-s-. п, /г, ffleZ.о 4 л

63. х=-2-+"п. neZ.

64. х = пл, х=±—-arccos-jr+ftn, n, fceZ. Указание.

sin3x(2cos2*+l) | pt _Q>sin 3*(2cos2x+l) | otgj|._0>

2cos3jtcos2jr+cos3jt'

cos 3x(2cos2jr+l)

cos 2*=*—^-, tg3*+2tg*=0, tg3*+tg*+tg*=0, ^"tos* +

_i_ ilDJL =o. cos3x#=0, cosJK=?fc0, тогда sin 4x+sin jkcos 3x=0.1

cos x

Разложим произведение функций в сумму по формуле sin a cos р =

= y(sin(a + p)+sin(a—p)), рассмотренной в § 10, и получим:

2 sin 4.x+sin 4x—sin2x=0, 3sin4x—sin2x=0, 6 sin 2* cos2.it—

— sin2x=0, sin2x(6cos2x—1)=0. a) sin2x=0, 2x — kn, x=kjудовлетворяют уравнению только при k=2n, т. е. ж=лл. б) 6 cos 2х=

= 1, cos 2х= 1 и т. д.6

122

65. х = А" *=±2?+2лл, x=±^- + 2jvz. A. /if=Z. У к а-

з а н и е. (sin x+sin 5x)+(sin 2x+sin 4x)+sin 3x=0,2 sin 3xcos2x+^,2 sin 3x cos x+sin 3x=0, sin 3x (2 cos 2x+2 cos x+1 )=0.

а) sin3x=0, *=*-— 6) 2cos2x+2cosx+l=0 и т. д.

66. х=1л(5п±1), x=2-n{5n±2), x^(4m+l)£., x=(4m +

_j_l)-s-, ". *. meZ. Решение. (1 +cos4x)+(cosx+cos3x)+

^.Cos2x=(sinx+sin5x)+(sin2x+sin 4x)+sin3x, 2cos22x+4- 2 cos 2x cos x+cos 2x=2 sin 3x cos 2x + 2 sin 3x cos x+sin 3x,cos2x(2cos2x + 2cosx+l)=sin3x (2cos2x+2cosx+l),(2cos2x +^-2cosx+l)(cos2x—sin3x) = 0. a) 2cos2x+2cosx+l =0 и т. д.

б) cos2x—sin3x=0, sin3x=cos2x, sin3x=sin( JL—2xJ . 1) 3x—

-_Л+2х=2тл, 5x=(4m+l)JL, x=(4m+l)i или 2) 3x+-jL —

-2x=n(2m+ 1), x= -J(4m+ 1).

67. x=arctg(5V3—8) + /ш, x=-i+foi, n. *eZ.

68. x=(2«+l)-2-, x=±-i-arc0s(^^ +kn,n, k<=Z.

Решение. 2tg3x-2ctg3x = ctg3* + tgX, 2(sin23*-cos23x) =s Б е -г в •

cos3xsin3x

__cos 3.» cos x+sin 3*. sin x — 2 cos 6x cos 2x cos 2x ■

sin 3x cos x'

(4 cos3 x—3 cos x) sin 3* sin 3x cos x' sin 3x cos x

+ 2cps<* = 0 !_^/coe2x+I2£-fi^)=.o.cos x (4 cos2 x—3)sin3x cosxsm3x\ '4cos"*—3/

_1

cos x sin 3*j =И=0, cos2x(4cos2x —3)+2cos3-(2x)=0," cos2x(4cos2x-

~3)+2(4cos32x—3cos2x)=0, 4cos22x+8cos22x—9=0. a) cos2x=

=0, x=(2n+l)-j- и т. д.

69. x=k-*-, k(=Z. Решение. sin6* SHL3*l=0,3 cos x cos 5x cos 3x

sin3x( 2cos3* L_) =o. a) sin3x=0, x=kJL. При этих\ cos x cos 5x cos 3x/ 3

значениях х и при AeZ tgA-j-, tgfcn и tg-=-/fJi определены,

a потому x=A -5—решение, б) 2cos3jc J—= 0,3 cos* cos 5x cos3x

isps*3x-cosxcos5x=0 со$хф0 Cos3x^=0, cos5x=?fc0. а потомуcosxcosSxcosSx

*cos23x — cos5xcosx = 0, l+cos6x L(cos6x + cos4x)=0, 2 ++ 2cos6x—cos6x—cos4x=0, cos6x—cos4x+2=0, cos3-(2x)—-cos2(2x)+2 = 0, 4cos32x—3cos2x—2 cos2 2x+1+2=0.

123

4cos32x — 2cos22x — 3cos2x+3 = 0, 4 cos32x + 4cos22x—6cos22*..— 6 cos 2x + 3 cos 2x+3=0, 4 cos2 2x (cos 2x+ 1)—6 cos 2x (cos 2*a.+ l) + 3(cos2x+l) = 0, (cos2x+l)(4cos22x —6cos2x+3) = 0.

1) cos2x=-l, 2x=(2n+l)n, x = (2n+\)f, но tg (2я + 1)-i He

существует, а потому эти значения х не являются решение)

уравнения. 2) 4 cos2 2х—6 cos 2х + 3 = 0,— =9—12=— 3<0, х=й. я

4

70. л-=— yarctg^- + ny. neZ. Указание.

Sin-2* = A/3f sin2*= ЛД

5'п(т+Л) "п(*~т) -cos(t~*) 5'п(т-*)ЦИИ* = ^ _2sin^=_^3 t 2х=_^ „ т

—|„(JL-2x) COS2* 2

71. х=0. Решение. 2ctg2x — 2ctg3x=ctg3x+tgx,2 sin лг cos Здг cos л: + sin 3x sin x 2 sin лг cos 2x

sin 2* sin Злг sin 3* cos x'

2 sin лг cos x sin 3* sin Злг cos x'

sinx=jfc0, хфкп, а потому —- = ^— , отсюда следуе!COS X 51П (jX Sill AX COS X

l=cos2x, 2x = 2kn, x=kn, но хфкъ, а потому уравнение не имеет

решения.

72. x = kf, jc=(6n±l)-g, k, ne=Z.

73. x = (2n+l)-*-, x=(2k+l)-±-, x=(—l)m^- + mn, n, k, mz=Z

74. x = n —

, n^Z.3

75. x = n —

, n^Z.10

76. х = (2и+1)-3-, х=(—l)fc+1-^-+nfe, и, fte=Z. Указание8 6

— sin 5x + sin 3x=cos4x, sin 5x — sin 3x4-cos4x=0, 2 sin jccos4x++ cos4x = 0, cos4jc(2sinx+1) = 0 и т. д.

77. x = k^-, k<=Z. 78. x = k-±, х=±-2- + 2ип, ft, ne=Z

79. х = (2я+1)-^-, x = (6fe±l)-2-, я, (eZ.

80. x=(-l)n+1-|-+(4n+l)-=-, neZ. Указание. sin(-2——

xj — sin*=^-. 2cos ysin f-^-—x} = ^-, sin (-^- — x) =

"2~' s'n Vх"л \ I

-т).= -тит-д-81. x= ±-j-+(8«+1)-t-> «g=Z. Ука.зание. ^-sinx+

+ -^-cosх=^, sin fx + -^-) = -^- или cos (-j--JC)=2 и т' Я'

124

82. x=±-S-+(8"+l)-f-. neZ. Указание. V2cos(x —

^з\ =4г ит. д.'

83. *=-3-(2и+1); x=±-|-Il + 2fel1. ". fteZ Решение.

cosx-T-cos3x-f-cos2x=0. 2 cos 2x cos х + cos 2х = О и т. д.

84. *=±-7- + -т-(8я-1), neZ. 85. х=кл, x=(-l)n+1-3- +4 4 О

-j-rt —, ft. neZ. Указание. cos3x-f-sinf -^-л+х) = V3cos(-^——x), cos 3x — cos x = УЗ sin x, —2sin 2xsin x = V3sin x, sinx(y3 +

4-2sin2x) = 0 и т. д.

86. x=ftn, fteZ. Решение. 2sin2*coss=0| cosxô, хфcos*

gfc(2n+l)-?-, sin 2x=0, 2x=nn, x=n-^-. Эти значения х

удовлетворяют уравнению только при rc = 2ft, т. е. x = ftji, причем

1тф{2п+1)—; 2кф2п-\-\, что очевидно.

87. x=l+feii, х = яп, ft, /igeZ

88. x = n-^j, n=j£5l2f+l), (eZ. Решение, tg 7x=tg( —Зх),

7x+3x = mi, x=n^ при /i=^5(2f+I), где /eZ.

89. x=fc-£-, x=±-2- + nn, ft, /jgeZ.

90. x = ftn — 2, x=nn- 1,5, ft, «geZ.

91. x=(2n+l)n, x=(4ft+L)-3-, и, fteZ. Указание, cosx —

-sinx+cos2x — sin2x = 0, cos(x+-=-) +cos(2x+»-^) = 0,

2cos( —x+ —) -cos—=0 и т. д.\ 2

л4/ 2

92. x=(4n+1)-^-, «geZ. Указание. — 2 sin -v- n cos (x-f-

+ -J-) = cos (x+-*-). cos(* + -=-)( 1+2 sin-|-ji)=0, 1 +

+ 2sin— n=jfc0, а потому cos(x+—J =0 и т. д.

93. x = (4ft-l)-2-, fteZ. 94. x = (4fc+l)-=-, fteZ.4 4

95. x=(8ft + 3)-jL feez. Указание, sinfx f-л) + sin(-2—8 \ 3 / \ 3

~~XJ =cosf x jA , 2 sin -g- cos (x— у J, cosfx —j.cosfx-^-f-) =cos(x--5-) и т. д.

125

96. х=^.-\-пп, х =—arctg^ + ftn, n, feeZ. Указанц,sin 2л: /о 2 sin 2х /о 4 sin 2x

= л/3, 2sin2x= пд 4sm2x ^^

. / ,п\ . / п\

vп _

vl-2cos2x Vd

sinl *+-д-) sml j:—^-1 cos-=—cos2.it

cos2x=^-L, 4sin2x=V3 —2-\/3cos2x, 4sin2x+2V3cos2x=-$cosxÔ, _У^_+2^(1-^х)=^ 8tgx+2V3-2^tg2x=^++ V3tgzx, 3V3tg2x-8tgx—V3=0 и т. д.

97. x=k~, x = (4n + l)-^-, x = (4n — \)~, k, n^Z. Решение,sin x +sin 5x + cos4x —cos2x=0, 2sin3xcos2x —2 sin3xsinx=o,2sin3x(cos2x —sinx)=0. a) sin3x=0, x=fcy. 6) cos2x-

— sinx=0, cos2x=cos(il—xV 1) 2x — -£+x=2rm, 3x=2L + 2nn,

3x=(4n + 1)*

x=(4/z+1)-£ или 2) 2x+ * —х=2ил, x=(4n — \)JL.98. x=kn, AeZ. Указание. sin 3x—sinx=2 sin x,

2sinxcos2x—2sinx=0 и т. д.

99. х=(2л-Н)Л, х=(4/г— 1)Л, n, ke=Z.6 4

100. x=fei, x = (-l)n+,iL4-ny, k, ne=Z.

101. х=-Л, х=-Л, x=JL.18 8 8

10.

1. x=—+2kn, если аф 1 + пл, xe/f, если а=-5.+ил,«, AgZ. Решение, sin а cos x+cos а sin x—sin а cos x=cos «,

cos а (sin х—1)=0. a) cosa=0, тогда х — любое действительное

число, б) cosa=jfc0, тогда sinx=l, х= ~-\-2кл.

2. х=± — + пл, n^Z. Указание. -l(cos2a + cos2x)+О ^

+ 0,75 = cos2 a, cos 2a -f- cos 2x+1,5=2 cos2 a, cos2a + cos2x++ 1,5= 1 +cos2a и т. д.

3. х = (2л + 1) —, neZ. Указание. cos2xcosx—sin2xsinx=

= 0, cos3x=0 и т. д.4. x=kn, fteZ. Решение. sin2xcosx—cos2xsinx=0, sinx=

=0, x=kn.

5. x = k —, х = я" k, n^Z. Указание. cos2xcos3x=

2 3

=cos (2x-+-3x), cos 2x ■ cos 3x=cos 2x cos 3x—sin 3x sin 2x,sin3xsin2x=0 и т. д.

126

о 4

7. х= zfc у arccos ("j"^ cos 2a j +/m, *eZ.

8. x=(—l)"^+«y. «eZ. Указание, sinx- -I(cos2x—

^cosl20°)=4-. sinx(cos2x+JL) =' 2sinxcos2x+sinx=-l,

о \ 2 / 4 2

sin3x—sin*+sinx=-i, sin3x=-i- и т. д.

9. х=(3л±1)|-л, neZ.

10. x=»(2n+l)JL, x=(-l)*^ + fei, n, teZ. Указание.

cos2xctg3x-sin2x = V2cos5x, cos 2x cos 3*- sin 2x= ф cos 5x.

co^cos 3*-sin 2x sin 3*= ^CQS ^ «St.^jj, C0S5x(-L- -

sin 3* sin 3* V sin 3x

-V2) =0 и т. д.

11. x=(4n — 1)—, reZ. Указание. -I(sin3x—sinx)+

+ -L(cos5x+cos3x)= -l(cos 5x—cosf -£-—xj), sin 3x —sin x +

-|-cos5x-f-cos3x=cos5x—sinx, sin3x+cos3x=0, cos3x=^=0,

tg3x+l=0, tg3x= —1 и т. д.

12. x=ft" х = (8л±3)" k, n<=Z. Решение.5 8

sin 2xcos Зх+sin 3xcos 2x+ ^sjn 5x = 0. Лй1£.+ ^sin 5x = 0,

cos 2x cos 2*

5x( — НЛ^) =0 и т- Д-V cos 2x i

Sin> cos 2x

13. x=(2n+l)-jl, x=(2ft+l)ji, n, fce=Z.

14. x = k —, x=k~, &e=Z. Решение. Умножим обе части

5 7

Уравнения на два и разложим произведения в сумму: cos2x——cos4x+cos4x—cos 12x=0, cos2x —cosl2x=0, cos 12x=cos2x.

a) I2x — 2x = 2kn,x=k± или б) 12х + 2х=2Ал, х = /г"5 7

15. x=A|.,x=(2fe+l)i,feeZ.16. x=k-±, x=(2fe+l)

* fte=Z. Решение.' 6 s in x cos x cos 2x cos 4x - cos 8x=sin 2x, 8 sin 2x cos 2x cos 4x cos 8x=** sin 2x, 4 sin 4x cos 4x cos 8x=sin 2x, 2 sin 8x cos 8x=sin 2x,

s"nl6x=sin2x. a) 16x—2х=2*л, x=kJL, или б) 16х+2х=

^(2* + 1)л;х=(2* + 1)^. 18

127

17. x = (2n+l>^,x = (-l)*+l^+A!-J. MeZ.

18. x=ftJL, x=(6n±l)^. ft, neZ. Указание, втбх^=2sin2x, sin 6x—sin2x=sin2x, 2sin2xcos4x=sin2x и т. д.

19. x=-± + nsi, /ze=Z. 20. / = ftn, t=±JLn + 2rui, ft, n^z

Указание, sin у cos у—sin у cos у——sin2/=0, sinfy— у)—-sin2f=0, —sin/ -sin2f = 0, sin/+-y^sin/cos<=:0

V2 _ -№sin t(l +V2cosO=0 и т. д.

21. х=/гЛ, х=(2«+1)_, ft, n^Z. Решение _(sin(iL +

+ 7х) +sin3xj =-i-(cos7x—cosf-5.—5xjj , cos7x+sin3x=

cos7x—sin5x, sin5x=sin(—3x). a) 5x—(—3x)=2ftn, x=kJL4

и б) 5х-3х=(2п+1)л, x=(2n+l)JL.

22. x=-£-+rm, x=arcctg3 + ftn, n, teZ.

23. x=arcctg2+/in,x=-5. + fcji, n, fteZ. Указание. 2sin2x—— 3sinxcosx-[-cos2x=0, cosxÔ, 2tg2x—3tgx+l =0 и т. д.

24. x=±60°+180°л+29°, ne=Z. Указание. cos(2f-iqo4 , ,no ,

• lnf IQ04 1 cos (2<-18°) cos 40°-18 )ctg40 + sm(2/-18 )____, _, +

, u^-ir)*,*__ ± os(2,_18o_40o)=_

if cos(2^sin 40° -2sin 40° v ' 2

— 58°)= — JL. 2t — 58°=±l.Ji + 2nn и т. д.

25. x=k±, x=(2ft+l)|-, ft«=Z. 26. x=(2n+l)^, x=

=(2ft+l)|-,n, teZ. 27. x=ftn, x=^,JkeZ. 28. x=(2n + l)-£,

29. x=AJl-l, x=(2ft+l)-i-l, fteZ. Решение.

-l(sin(3x+3)+sin(x+l))= -l(sin(7x + 7)+sin(x+l)), sin(3x+3)++ sin(x+l)=sin(7x+7)+sin(x+l), sin(7x+7)=sin(3x+3)-a) 7x+7 — 3x—3=2ftn, 4x=2ftn—4, x=ftJL—1 или б) 7x + 7+

+ 3x + 3=(2ft+l)n, 10x=(2ft+l)n—10, x=(2ft+1) JI —1.

30. x=-lftn, x=(2ft+l)-£, fte=Z. Решение. sinxÔ.15 I'

тогда, умножив обе части уравнения на sinx, получим:128

sinXCOSxcos2xcos4xcos8x=TgSinx, sin 2xcos2xcos4xcos8x=

^.J-sinx, sin4xcos4xcos8x=-7-sin x, cos8xsin8x=-=-sinx,2

sjn i6x=sinx. a) I6x—х=2Ая, х=т^/гл или б) 16х+х=(2/?+1)л,

31. x=|-(2n + l), x=k^, n, fceZ.

32. x=(2n+1).^., neZ. Решени-е. y2sin 2xcos2xsin x-\-

_4_sin2xsinx=2cos2x, sin2xsinx(cos2x+ l)=2cos2x, sin2xsinxX

X2cos2x = 2cos2x, cos2x(sin2xsinx—1)=0. a) cos2x = 0, cosx=

«О, х=(2п+1)^, или б) sin2xsinx=l, {^^П;''„ л,

Но -£- + nn Ф*

+ 2/гл, 1 + An Ф 2(4* +1); следовательно,

х=-|1 + 2йл. 4 *

уравнение sin2xsinx=l не имеет решения.

33. *=*-£. х=(2п+\)±, k, n^Z.

34. x=(3n—I)-^. ne^Z- Указание.

=УЗ. Рассмотрим числитель: sinxXCOSXCOsf X+-^-J COsf Jt+-5-n)

Xy (cos-j—cos(2x+n)J =sinx--2- Гу+cos2x) =-^-(sinx++2 sin xcos 2x)=-^-(sinx+sin3x—sinx)=-^-sin x. Рассмотрим

знаменатель: cosx--i| cos(2x + n)+cos-i = -A-cosx (у — cos2x) =

= —(cosx —2cos2xcosx)= — -Lcos3x. Уравнение примет вид:4 4

-^*-=_УЗ, tg3x=-V3 и т. д.cos3*

35. х=(3/г+1)" х=(3л—1)" /г, neZ. Решение.15 6

s'n3xcos —— cos3xsinJL=cos7x, sin(3x— -jM =cos7x, cosfil —

-3x+ ") =cos7x. cos7x=cos(i-n—Зх). а) 7х— -|.л+3х=^2kn, 10х = -§-л + 2*л, 5х=4 + Ал, х=(ЗЛ+1)" или б) 7х +

3 3 1Ь

+ 4-"—Зх = 2/Ьг, 4х = 2Агл —i-л, 2х=*Лл— * x=(3n-l)-i» 3 3 о

129

36. x = kJL, x=*kJL, feeZ.3 4' x

cos —

37. x=(6n— l)~, n^Z. Решение, sinx+cosx — = —-уЛз x v ■

sin —

XX Xsin x-sin — H-cosxcos-;r- cos-jr-2 2 __^f L=_y3t Ctgf = -V3HT. д.

sin — sin-g-

38. x=kJL, x=(2k+\)^., k<=Z. 39. jf=(2n+l)-J,JC=(2fe+lXn, *eZ. 40. лг=±-£ + лл, neZ. 41. x=( — lf4 + nn, ne=Z

8 6

42. x=(8rt+l)" A:=(8n + 3)il, raeZ. Решение, -^sinjt-fH—-cos x=sin 5*, sin( x+ —) =sin5x. a) 5x—x— — = 2пл, 4*=

-v/2 \ 4/ 4

= (8л+1)" x=(8n+l)" или б) 5лг+х+^=(2и+1)л, *=4 16 4

= (8n + 3)£.43. x = nJL, n^Z. 44. x=(2n+l)-^, n(=Z. Указание.

i—

cos 2x—cos 4х-Ь(Зу2 — 1)-cos 2x = 1. cos 2x(l -f ЗУ2 — 1)= 1 + cos4x.

3V2cos2x = 2cos22x и т. д.

45. x=(2/i + i)y, * = 2fcn, х= — 2arctg2+2mji, и, Л, meZ.

Решение. 2Sin2x-f3cosjt=l -fcos2jc+cosx, 2sin2jt+2cosx== 2cos2x, 2 sin* cos *-|-cos*—cos2x=0, cosx(2sinjf+ 1 — cosx)==0, cosx(4sin-lcos^--f2sin2-i)=0. a) cosx=0, x=(2/i-f 1)-J,

или б) 2sinA(2cosiL + sinil) =0 и т. д.2 2 I 2 /

46. jc=-i-f nn, jc=— arctg^-f fcrc, x=nn, n, fceZ. Решение.

2 cos x cos у— 2 sin* sin у =cos3x—(-fesinxf, cosx—-v/3sinx=

= (cosx — -^sinx)(cos2x-f V3sinxcosx4-3sin2.x:). a) cosjc—

— V3sinjc=0, cosxÔ, tgx = — и т. д. 6) cos2x+V3sinxcos*+л/3

-f 3sin2x=0 и т. д.

47. x=(4fe-fl)y. x=(4fe—l)y, fteZ. Указание. cos2x-

— (sin 7jccos6x—cos7xsin6jc)=0, cos 2x—sin x=0, cos 2*=

cosf-^. —x).= 0. a) 2x— iL-fx = 2fen и т. д. или б) 2*+-i—x^= 2kn и т. д.

48. x=kn, fteZ. Указание. sin( х+ —j =— cosx -sin<-

130

в!я(*+т) = cos(*+t)- *»{*+$) *0. tg(x + 2L) = l и т. д.

49. х=( — IfJL+nn, лг=±4 + *л« "• b<^Z. Решение.6 з

coSJt+sin3x —cos2x —cosx=-i-tg45°, 3sinx—4 sin3x—(1—

_2sin2x)= —, 8sin3*—4 sin2*—6sinx+3=0, 4 sin2x(2sinx—_1)—3(2sin jc— 1)=0, (2sinx—l)(4sin2x—3)=0 и т. д.

50. x= — + 2ил, x= ±-larccos-H--)-An, n, feeZ. 51. x=2 2 о

==_ J+fen, rteZ. 52. x=fox, x=(2fe+l)g , *eZ.

53. x = (4/i + 1)^-, x=k±, n, k<=Z. Указание.

sin3xsin xcosx=-j-cos fy л + 4х). 2sin 3xsinxcosx = -I-sin4x,

sin3x'Sin2x= —sin4x, sin 3xsin2x=sin 2xcos2x, sin2x(sin3x—— cos2x)=0 и т. д.

54. x=*2L, k^Z. 55. x=(2n-f !)-£. *=(6А±1)-£, л, feeZ.

56. х=±4 + 2ил, пег. 57. x = fc " feeZ- 58- *=(2« +!)■£.х=(4л+1)Л, «eZ. 59. х=40о11' + 90ол. х= —26°51,+90оА>,п, fceZ. 60. х = 68°42'+180°А:, х= — 34°06' + 180°п, fe, «eZ.

61. х=(— 1)"Л + (4я+1)А, neZ. Указание, ^sin 2x—

л/2 о 1—-|-cos2x=-i- и т. д.

62. х=(-1)"4 + (Зл-1) " «eZ.И О

63. x=fcrc, x=±— + ял, fe, «geZ. Указание. sin3x=б

=—•-?!sin xcos 2x, sin3x=4sinxcos2x, sin3x = 2(sin Зх—sin x),п 4

sin3x—2sinx=0, sin3x —sin x—sin x=0, 2sinxcos2x — sinx = 0ит. д.

64. x = kn, х=(6л±1)-£., k, n^Z. 65. x=(4fc+l)" x=9 о

=(4jfe — |)i, n, fe«=Z.

66. x=ft " x=(2fc+l)"

, fec=Z.4 14

67. х=-^+6л. x=^-(3n±l). Указание. д|*»«*'-и««а* =

«g^n *-«* tf 2în 2л,_ ,^cos 3jc= , _sjn 2jCj 2în 2x_ ^cos 3jf ++ sin2x—1=0, (sin2x—l)(2cos3x+l)=0 и т. д.

131

со 5.

л л л,-, . _

68. х~ —

-^л, x=—jg, x=— —

, *=-g-. Решение. sin7jt-_

— sin x+cos22x—sin22x=0, 2sin3jtcos4x+cos4jf=0, cos4*xX(2sin3x+1)=0. a) cos4*=0, jc=(2n-f 1) "

— Л<:(2п+1)Л<.

<т- -i<2rt+1<i- -4-l<2«<4 -Uî"Так как n e Z, то я=0, — 1, тогда *i = — -£., *2 = 4r, или

о о

6) sin3*=--^. 1) 3*=-iL + 2ftn, x=(l2k-l)lL, -JL<

<(12fc-I)JJ<JL, -6<I2*-1<6, -5<12fe<7, -^<fe<^.Так как feeZ, то fe = 0, x3= — JL, и 2) 3x= — -jj-n+2fai, x^

18 О

= (12*-5)JL, -|-<(I2*-5)JJ<^, -6<12*-5<6, -1<

<12Л<11, — ^ <*<■{§• Так как AeZ, то fc = 0 и лг4=—^л69. х«=(6л —1)4. «e=Z. 70. х=(2я+1)4, neZ. 71.*=

=(4/i+l)-"-,/ie=Z. 72. x=fc-5.,jc=(2fc-f-l)" JfeeZ. Указание.

Разложите произведения в сумму.

73. * = *-£, x —л-l, A, neZ.

74. jc=2arcctg2 + 2ferc, х= — 2arcctg3 + 2/m, k, n<=Z.

Указание. 7cosx+sin5jc+sinJC—sin5x=5, 7cosx4-sinJc=5,я/ | *»»2 ^*

| О *^

— — + — = 5, l+tg22L^0 при x<=R, 7-7tg2A +i + tg'y \+tf-j

2

+2tg£=5 + 5tg2y. i2tg2-|--2tgy-2=0 и т. д.

75. x~(2n+\)-£, x=k~, n, fceZ. Указание. y(cosx—— cos3x)-sin 3jc = -t-cos (y — Axj, sin 3xcos jc — sin 3xcos3x=

= ysin4jt, 2 sin Зх cos x — sin6x=sin4x, sin4x-|-sin2x—sin 6x=

=sin4x, sin6x=sin2x... и т. д.

76. х=(2л+1)* x=(6ft±l)4. я. feeZ.4 b

77. x=fen, x=± —-|-ил, n, *eZ. Указание. sinSx^6

=2(sin3x —sinx), sin3x—2sinx=0, sin3x—sinx—sinx=".2sinxcos2x —s»nx=0, sinx(2cos2x—1)=0 и т. д.

78. х=(2л+1)" х=2*л, x=±kn, n, feeZ.2 5

132

79. x=-l + kn,ke~Z. Указа н и е. 2(cos(2x— Jl) —cos-jl) =

^1,2 cos(2x— -g-) — 1 = 1. 2cos(2x— Jl) =2, cos(2x- -j) = 1

и т. д.

80. x=(3k+l)JL, kf=Z. Указание. , 2 (cos (2х+|Л +

+cos£)=V§. 2cos(2x + ^.)+V3=V3, cos(2x+|.)=0 и т. д.

81. x=arctgy(2^J2 — l)+nn, n^Z. Решение. 2sinjc=

^^cosx—^|sinx. sin x^2+ ^ ) = ^cosx, cosx=j£0, (2 +

+ f)tg*=f' ^^^^. ^=arctg|(2V2-l) + nn. «eZ.

82. x=(4k— l)JLy feeZ. 83. Jt=*iL, *=(2n+l)* k, ne=Z.

84. x=(3* + 1)^, x=(3k— l)JL, AeZ. У к а з а н и е. V3 sin 3jc—

— cosx=2cos7x, ^sin3x— JLcos3x=cos7x, cos( JI + 3xj +

+ cos7je=0 и т. д.

85. x=(2/i+l)JL, jc=(6*±1)-, n, fee=Z.

86. x = (2n+l)JL, x={6k±l)", n, k(=Z.У IS

87. x=(4rt+l)JL, «eZ. 88. x=-A + /bi, x=nn, k, ne=Z.

1 \ l-cos(-£-+2*)Решение. l-f-sin2jt=tg( —+x), l+sin2x= ^

-, 1 +V 4 ' sin(|+2x)+ sin2x=±±2%2*, (I+sin2x/t *—) =0. a) l+sir\2x=0,

cos 2x '\ cos 2x/

sin2jc=l, x= — JL+kn, или б) 1 x— =0, cos2jtr=l, 2x=2nn,4 cos2x

x=/m. (При этих значениях л: знаменатель дроби не обращаетсяв ноль и не теряет смысла.)

89. x = (-lf^+nn~^., n<=Z.

90. Jc=2L + fen, jc=arctg(V3±2)+rtn, k, n<=Z. Решение.

-l^££ =2-i^. (l_tg,)(—' 2-bbi£i)=0.a) l-tg* = 0,1+tg* l+tg*x

B 'Vl+tg* 1+tg2*/ ' S

tgJC=l, *=_!i + ftjl ИЛИ б) »+tR2*-2tl+tgxf = 0i4 (l+tgxXI+t^x)

^nlT'Tn^J2/^^0' tg2x + 4tgx+l=0. tgx=-2±V§.*=arctg( —2±-\}3)+пл. (При этих значениях jc знаменатель

Дроби не обращается в нуль и не теряет смысла.)133

01. x=JL, x=" *=J- Решение. sjn (j+i-jA

-*"(4я + т)=вЧтя+т)- 25,п(т-т)С05(л + т) =

= ein(* + *—*). -2ein(*.-i)einx—eln(*.-i).sin(-L__j)(2sin*-l)=0. a) sin(i-^)=0. ±- i-fei,

x=(4Jfe+l)JL, - »<(4fc+l) "<д, -l<4*+l<2, -2<4fe^l,— _!_<£<.!. Так как fteZ, то Л = 0 и jci = JL. б) 2sinjc=l,

sinx=-L. 1) х=Л + 2ля, - "<4 + 2"л<". — 4--4-<2

у6 26 2 6^

<2п<1 —-1, — А<2л<-5., — _L<n<JL. Так как neZ,^•^6 36 312

то п = 0 и Х2=—. 2) х=-5.я+2лл, -£<1л+2лп<л,6 6 2 6

— _!_— _1<2/г<1 — А, —А<л<±. Так как neZ, то л=02 6 6 3 12

и хз=— п.6

92. х=( — 1)"+|-£ + ля, neZ. Указание. — sin(5x+n)—— 2sin 2xcos3x=-l — 2, sin 5x—(sin5x—sinx) = — _L, sinx=

2ч ' 2

= -

уи т. д-

93. x= — + kn, х=лл, к, n^Z. Указание. ^j3 — tgx=

l+^tgx '\ 1+V3tgx'

94. x = A:JL, x=(2*+l)iL, fee=Z. Решение.

2 sin 4x sin 3x cos 3x=4 sin 3jc cos 2x, 4 sin 2x cos 2x sin 3x cos 3x=

=4sin3xcos2x, sin 3x cos 2x (sin 2x cos 3x—1)=0. 1) sin3x=0.

х=/г"

или 2) cos2x=0, x = (2k+l)JL, или 3) sin2xcos3x=l-

Это может быть, если | **Г о* _.'. ]2x=JL + 2kn,

Зх=2тл;

x={4k+l)JL,4 JL(4fe+l)=i-mn, 3(4fe+l)=8m, что невозможно

х=-1тл. 4 3

3

при любых целых значениях т и k, т. е. x=(4fe + 1)-^-и х=_тл не

являются решениями уравнения.

134

95. x = (— l)"arcsinJL + (6rt+l)Jl, n^Z.4 6

96. x = 2kn, дс = — —-\-2tm, ft, n^Z. Указание.

2-^/2 (cos 45° cos л: — sin 45° sin дг)(1 + 8тл;) = l+cos2x-, 2 (cos л:—

^-sinA-)(l + втл:)= 1 + cos 2л:, 2cosx + 2sin л: cos л; — 2 sin л: —

_-2sin2x = 2cos2A\ cos x -\- sin x cos л;—sin x-=sin2Ar + cos2 x> (cos л:—

_ l)-f-sinx(cosx—1)=0, (cosл:—1)(1 +sinx)=0 и т. д.

97. x = arctg(-£^-f ил, neZ, аф^- + кл, teZ.V cos а/ *

98. A-=±i-arccos-^^ + nn, beZ.

§ П.

I. х=(Зп±1)-£-. neiZ. 2. х=*=(3п±1)-1я. "eZ-* 9

3. лг=(2п + 1)" *=(2ft+l)" x = (2m+l)" n, ft, meZ.14 4 2

Указание. 1 —cos 4л;-}- 1 —cos 6л; + 1 —cos 8x-|- 1 —cos l(k = 4,(cos 4л; + cos 1 Од;)+(cos 6л; + cos 8л;) = 0, 2 cos 7x cos 3x-\-2 cos 7x X

Xcosx=0, cos 7jc(cos3a;+cos x)=0 и т. д.

4. x=(2n+l)JL, n^Z. Указание. 3(1 —соз2л;) + 2(1 —

-cos2 2лт)=5, 5 — 3 cos 2л: — 2cos2 2л: = 5, cos 2л:(2 cos 2л:+3)=0 и т. д.

5. x=(2n + l)j-, n^Z. 6. x=(2n + l)^,*=(3*±l)i, п, fceiZ.

7. *=(2ft + l)-jj-. x = (2n+l)JL, x=(2m + l)Jl, ft. n, wigeZ.

8. x=fcJL, x=(2n+l)Jl, ft, «geZ.

9. x=k —

, x=nJL, ft, «geZ. Решение. 1 -f-cos2x -f 1 +5 2

+cos4x— 1 —cos6x— 1 —cos 8x=0, cos 2x + cos 4x— cos 6л; —

— cos8x = 0, cos 2л: —cos 8л: + cos 4x — cos 6л: = 0, 2 sin 5л: sin 3x ++2 sin 5xsinx=0, sin 5xsin 3x + sin 5xsinx=0 и т. д.

10. x = k —

, x=ti—, ft, «geZ. Решение. 1— cos6x+l —

2 9~cos8x= 1 —cos 10x-|- 1—cos 12л:, cos 6л;—cos 12x + cos8a- —

— cos 10л: = 0, 2sin9xsin3x-|-2sin9xsin д; = 0 и т. д.

П. х=90° + 180°п, x=±12°55'-|-180°fc, n, AeZ.

12. x=fty, ftGEZ. 13. x = (2n+l)-J-. «geZ. 14. x={2n+l)-j.*=(6ft±l)JL, n, ftGEZ.

15. x = fcil, fteiZ. Решение. —(cos4 x-|-sin4 л;) (cos2 л:—

~~sin2x)(cos2x--|-sin2x-)=-i-cos22x-—-Lcos2x", — cos 2x-(cos4 x+

135

+ sin4 x)=-i-cos 2x(cos 2x— 1), 2 cos 2x((cos2 x+sin2 x)2 —2 sin2 x><Xcos2 x)=cos 2x(l —cos 2x), 2 cos 2x(l —2 sin2 xcos2 x)=2 sin2 xXXcos2x, cos2x(l — 2sin2xcos2x—sin2x)=0, cos2x(cos2x—— 2sin2xcos2x)=0, cos2x'COS2x(l —2sin2x)=0, cos2xcos2x(l —

— l+cos2x)=0, cos22x>cos2x=0. a) cos22x=0, cos2x=0, x=

=(2n+l)f (I), или б) cos2x=0, cosx=0, x=(2m+l)-£ (2). Из

(2) следует: x=(2m + \)f-2 (3). Из (1) и (З) следует, что x=fei.

16. jc=(2n + l)IL, neZ. 17. x=(2n + l)-=-, х=(6£±1)£,n, feeZ. Указание. (cos2x—sin2jc)(cos4x+sin2xcos2x++sin4 x) = i^ cos2 2x, cos 2x((cos2 x+sin2 x)2 — sin2 x cos2 x)=-^cos22x,

cos2x(l— sin2xcos2x—^cos2x)=0. a) cos2x=0, x=(2n+l)-£-или б) 8—2sin22x—I3cos2x=0, 8 — 2(1 — cos22x)— 13cos2x=0,2cos22x—13cos2x+6=0 и т. д.

18. x=(— 1)п23°33'+90°/г, /ieZ. Указание. sin4x+cos4x==sin2x, (sin2x+cos2x)2—2sin2xcos2x=sin2x, 1—-^-sin22x== sin2x, sin22x+2sin2x—2=0 и т. д.

19. x=(—l)"-jL.f л-g-, nEZ. 20. x=±|-arccos(4a—3) + |-/ui,ieZ, у<а<1. Решение. (sjn2-|-x+cos2|-x) —

— 2sin2|-xcos2-|-x=a, 1—-i-sin2-|-x=a, 2—sin2 ~x=2a,

l-cos-§-x2 2"^— =2a, 3+cos|-x=4a, cos-§-x=4a-3, —К

<4a— 3<1, 2<4a<4, -|-<a<l, -§-x= ±arccos(4a—3)+2nn,*= ± -§- arccos (4a—3)+-|- /m.

21. x=( —1)п17°56'+90°/г, ne=Z.

22. х=(-1)п+1|- + (4п + 1)|-, neZ. Указание.

(Iz^L)2 + (1-COS(^+T))2=|> 1_2cos2jt+cos22x+l +

+2 sin 2x+sin2 2x= 1, 1 —2 cos 2x+2 sin 2x-f cos2 2x+sin2 2x=0,

2—2cos2x+2sin2x=0. sin 2x—ces 2x+1 =0, V2sin (2x— -£-) =

= —1, sin(2x-^) = -^H т. д.

136

23. x=(3/i±l)JL, neZ. 24. x = kJL, feeZ. 25. x = (2k+l)±,

x=(2n + l)~, k, nsZ.

26. x = fe" x = nJL, k, n^Z Решение. 1— cos2x+l —

2 5__cos4x = 1 — cos 6x+ 1 —cos8x, cos 4x —cos6x+cos2x —cos 8x===0, 2sin 5xsinx + 2 sin 5xsin 3x=0, 2 sin 5x2 sin 2xcosx=0.

a) sin5x = 0, 5х = лл, х=« —, или б) sin2x = 0, 2х = &л, x=fe —(1),5 2

или в) cosx = 0, x = (2m + 1) — (2). Решения (1) и (2) можно

объединить в одно: x = k—.

27. х= — —-\-2kn, х= — + пп, k, n^Z. Указание, ctgx —

— sin x== I —cosx, ctg x + cosx= 1 + sin x, ctgx(l + sin x)= 1 + sinx,(l + sinx)(l —ctgx)=0 и т. д.

28. x=(2fe+l)—. х=(2и+1)—, k, n^Z. Решение. 1 —

4 2— cos2x + 1 —cos4x +1 — cos6x+ I — cos8x'=4, cos2x+cos8x ++cos4x+cos 6x=0, 2cos 5x cos 3x + 2cos 5xeos x=0, cos5xX

X(cos 3x + cos x) = 0, 2cos 5xcos 2xcos x=0... и т. д. Заметим,что ответ можно записать так: т-—, meZ, так как (2п-\-1)—=

= 2(2n + l)-J-29. х=-^+лл, nesZ. 30. x = (2n + l) J , x=(6ft±l) jj , n, feeZ.

31. x = (2*+l)ji, x=dz(n — arccos-l)+2/m, ft, keZ.

32. ж=£л, teZ. 33. x=± + arccosi- + /fe-i,' AeZ. 34. x=

= *y, *=«-£. *. »eZ. 35. x=(2n+l)Jl, x=(3fe±l)-i, x=

=(2m+l)£,„,fe>meZ.

36. x = (2n+l)JL, x = ftn, n, fceZ. Указание. (2cos2x)3 =

= 3(2cos2 2x— l)+cos2x + 4, (1 +cos 2x)3 = 6cos2 2x — 3 + cos2x + 4,1 +3 cos 2x + 3 cos2 2x + cos3 2x —6 cos2 2x —cos 2x— 1 =0, cos3 2x—

—3cos22x+2cos2x=0, cos 2x(cos22x—3cos2x + 2)=0 и т. д.

37. x= —

—, x=i, х=Ал. Решение, sin4 -L + cos4 JL =

2 2 2 2 2

= sin JL, ( sin2 Л + cos2 aV —2 sin2 Acos2 —= _L, 2 —4 sin2 JLv6 V 2 2/ 2 2 2 2Л

Xcos2A = l, 1— sin2x = 0, cos2x = 0, cosx=0, х=(2/г+1)Л,

137

— Л<(2л+1)Л<2л, — 1<2и+1<4, — 1<и<1±. Так как

neZ, то п= — 1, 0, 1, х= — JL, JL, Ал.2 2 2

38. х--2

arccosR

1±л/41 , _у—5-* (-«л, neZ.

39. x=(2n+\)JL, x=^(2ft-f l)^, n, fteZ

40. x=(2n+\)JL, x = (2k+l)JL, и, feeZ.

41. *=0 Решение. sin4x- + cos4jc — 2 sin2 х- cos2 x -j-

+ sin4(*+il) =o, (cos2*—sin2x)2-f sin4(x+-g =0, cos22* +

■ 4 / i n \ r> * cos 2л: = 0,sin (A- + -S- 1=0. что может быть, если

'

V 8У sin(*+JL)=0;2x = (2fe+l)Ji.

О

*=(2fc+l)-J..* = (8n-l)Ji.

Выберем равные значения:

—(2fe + 1)= —(8л — 1), 2(2fe+l)=8n—1, что невозможно ни при

каких действительных k и и; следовательно, уравнение не имеет

решения.

42. x=kn, fceZ. 43. x=(2n+l)JL, *=(3ft±l)" «, *eZ.4 3

44. л-=(2л+1)Л, л-=(3/г±1)Л, п, k<=Z. Указание.

2sin2x--|-2sin22A-4-2sin23x=3, 1 —cos2jc+ 1— cos 4*+ 1 — cos 6*== 3, cos 2л:-|-cos 6л:+cos 4л:=0, 21 cos 4* cos 2x -f- cos 4x = 0,

cos 4*(2cos2*4-1) = 0 и т. д.

45. л-=10тл, m^Z. Решение. sin2 5л:-\-2 sin2 2x -f- 1 —

— cos22x-=0, sin25x-+2sin22x- + sin22x- = 0, sin2 5л: + 3 sin2 2л: = 0,

_ f sin 5x=0,что может быть, если | . „ г..

X = tlJ^,5 (1) Системе (1) удов^

летворяют только значения Ют при п = 2т; k = 5m, т. е. л:=10тл —

решение уравнения.

46. х=±— + #ui, neZ. 47. x=±14°08'30"+90°n, neZ.

Указание. ML^££L*£J _(_i+ cos 4л-=3, cos4x^= —1, 5(1— cos4*-)+l+cos 4x

+ 0+cos 4л:)2 = 3(1+cos 4л:), 5 — 5 cos 4дг+ 1 + 2cos4x + cos2 4л" =

= 3 + 3 cos Ax, cos 4л:—6cos4x + 3 = 0 и т. д.

138

48. x = {2k+l)JL, fteZ. Указание 1 —cos 2x+'~cos2*=2,4 l+cos2x

cos2x^= —1, 1 — cos22x+l — cos2x=2 + 2cos2x, cos22x-f3cos2x=^0, cos2xfcos2x + 3)=0 и т. д.

49. x={2n + l)±, x=-g-/m, H«+l)jf- n, teZ.

50. x — (2n-\-l)JL, x=2ftn, x=—kn, n, teZ. Указание.

cos5x + cos7x—2cos22x4-2sin23x = 0, 2cos6xcosx — 1 — cos4x+-\-1—cos6x=0, 2cos6xcosx—(cos 4x-|-cos6x)=0, 2cos6atcosx—

— 2 cos 5xcos x=0, cosx(cos6x—cos5x)=0 и т. д.

51. * = *-£. x=(-l)"Jl + n21, k, n^Z.

52. x=±53°24'+180°/i, neZ. Решение. 1 — cos(2x -f JL\ —

-l-cos(2x--jl) = ^-(n-arccos^), - (cos(2x+i) +

+ cos(2*-JiY) =M.(„_"). -2cos2xcosA = -6_.E?,'V 6//n\ 6 / 6 10n6'

-V^cos2x=-i, cos2x= — ^«—0,2887. 2x = ±(I80° — 73°I2')-f

+360°и, х=±53°24' + 180ол.

53. x = {— l)n+1 -Larcsin & + n JL, neZ. 54. x= ± 4 + ^л, fee=Z.

55. *=*-£, x—2nn, x=(2n+l).ij., k, ne=Z.

56. х=(2я+1)-|-п> x=±|-arccos —^--\-bkn, n, feeZ.

Указание. l+cos^ + 2cos2^=l+cos^, cos?i-f 2cos2^ =

5 5 5 5 5

=cos3(^V cos^ + 2cos2^=4cos3J—3cos^, 4cos3^--2cos2?£—4cos?£=0, 2 cos ^( 2 cos2 ^— cos?f—2) =0 и т. д.

5 5 5\ 5 5 /

57. х = (2л+1)Ал, * = (6ft±l)ygii, л, fceZ.

t /л t

58. x=kn, xîyarccos^ \-пп, n, teZ. Указание. 1 +

4-cos2x—cos23x=l, cos 2x +cos x

_Q( 2 cos 2л:—1—cos6x=

= 0, 2 cos 2x— 1 — cos 3- (2x)=0, 2 cos 2x— 1 —(4 cos3 2x — 3 cos 2x) =

= 0, 4cos32x — 5cos2x+l=0, 4 cos32x — 4 cos 2x — cos2x+ 1 =0,4cos2x(cos2x — l)(cos 2jc+1)—(cos2x— 1)=0, (cos2x — 1)XX(4cos22x + 4cos2x—1)=0 и т. д.

59. x = (2n+l)JL, x = (4ft+l)Jlf x = (4fc- 1)-J. n, feZ.

139

60. x = kn, ж = (2п+1) JL, Jt=(2m+l)iL, k, n, m<=Z. У к a.L l о

3 а н и е. sin (14л — 7jc)+sin(9n — 9x) = 1 +cosf -5.+ 4xJ ,— sin7jc-f

4-sin9x = sin2x—sin4x, sin9x — sin7x4-sin4x—sin2x=0, 2cos8xXXsinjc + 2cos3xsin jc = 0, sin jc(cos8jc + cos3x)=0 и т. д.

61. x=±~+kn, ke=Z. 62. х=-(--5. + 2пл, n<=Z.

63. х=±у + пл, neZ. 64. x=±y+2пл, nt=Z. Указание.

4 sin _isin —= 1 — 4 cos2 JL, 2(cosx —cos2x)= 1 —2(1 +cosjt),4cosjt —2cos2x+l=0, 4cosx — 2(2 cos2x — 1)+ 1 =0, 4cos2x-

— 4cosx— 3 = 0 и т. д.

65. jt = (2n+l)JL, n<=Z. Решение, (cos4 x — sin4 x)24-2sin4xXО

Xcos4x =—, (cos2x — sin2x)2(cos2jc+sin2jc)2 + -L (2 sin x cos x)4 = U32

v 8v ' 32'

cos22x4-J_sin42x= II, 32(1— sin22x)+4 sin4 2x= 17, 4sin42x—

-32 sin2 2x +15 = 0 и т. д.

66. х = (2я+1)Л, n<=Z. 67. х = (2п+1)Л, ne=Z.4 4

68. х = /гл, x=± —-\-пл, k, neZ. Указание. 4sin2x+4-sin23x = 4sinxsin3x, 2(1—cos2x)+ '~cos6j:=2(cos2x — cos4x),

4 — 4 cos 2x + 1 — cos 6x = 4 cos 2x — 4 cos 4x, cos 6x -f- 8 cos 2x —

— 4cos4x —5 = 0, cos3(2x)+8cos2x — 4(2 сод2 2x — 1) — 5=0.

4cos32x — 3 cos 2x4-8 cos 2x — 8 cos2 2x4-4 — 5 = 0, 4cos32x —

— 8 cos2 2x 4-5 cos 2x— 1 =0, 4 cos3 2x —4 cos2 2x —4 cos2 2x4"4-4 cos 2x4-cos 2x— 1 =0, 4cos22x(cos 2x— 1)—4cos2x(cos2x— 1)4-4-cos2x—1=0, (cos2x—l)(4cos22x —4cos2x4-l) = 0 и т. д.

69. x=(2n+l)JL, n<=Z. 70. x=±J± + nn, nt=Z. Решение.4 6

16sinfix 3cog1x I 24(cos2j:~sin22*)(cos4.t + sin2.ECOs2.E + sin4j:)^ K^4—4 sin2 x cos2 x 4

2(2 sin2 x)3-3(2 cos2 2x- 1)4-6cos 2x«cos2 *+sin'"?-*"*xcos'*>= i?,

1—sin2* cos2* 4

2(l-cos2x)3-6cos22x4-34-6c°sM'~sin2j:COS'J:)=-^, l-sin2xX1 — sin2 jccos2jc 4

Xcos2x^=0, 4 —sin22x=^=0, sin22x=^=4, 2(1 —3cos2x4-3cos22x —

—cos32x) — 6 cos2 2x4-3 4-6 cos 2x=i2, 5 —6 cos 2x4-6 cos2 2x —

4

— 2cos32x —6cos22x4-6cos2x=^, 2cos32x=5 — 4-|-, 2cos32x =

= \, cos32x =

y, cos2x =

y, 2jc=±y + 2im, *=±-£ + пя.

140

71. x=-±-|-arccos-ea=£+ inn, neZ, _L<c<l. Решение.8 3 4 4

,sin2|-x+cos2J-x) (sin4у x—sin2-|-jtcos2-|-x-Kos4y x) =q.

sin* l-x+cos'-g-jc—suT-g-xcosj!-g-x=a, (s'n у x+cosy xj —

_-3sin2-~xco$2|-x=a, l--f-sin2i-x=a, 4-3sin2-|-x =

31 1 —cos-r-1 „ B

^4^ 4 i 3-^- = 4a, 8—3+3cos^=8a, 3cos^=8a —5,

^8x^-80=^ _i^|fi^5^li _3^8a-5<3, 2<8a<8, -L<5 3 3 4

<a<l. ^ = ±arccos^5 + 2nn, x=±^-arccos^^ + i- nn.3 о О о 4

neZ.72. х=(2л+1) JL, neZ. Указание. cos8x+sin8x=

= — J_cos 4x, (cos4x—sin4x)2+2 sin4xcos4x= — -i-cos4x- (cos2*—8 8

-sin2x)2(cos2x + sin2x)2+-Lsin42x= 1 cos4x, cos22x+О О

+ i-sin42x= — -Lcos4x, 8cos22x+sin42x + 2cos22x—1=0,

I0cos22x + sin42x-I=0, sin42x+10(1—sin22x)—l =0, sin42x--10sin22x+9 = 0 и т. д.

73. x = (2k+l)~, *eZ. Решение. Преобразуем выражение

в скобках: 1—sin27x+sin47x=(sin27x—J_\ -f-— >0 при всех

xelf. Данное уравнение примет вид: cos25x+cos2x- ((sin27x—— у) + -|А=0, что может быть только при (£°| 5fj^0' Эта

система выполняется при х=(2А+ I) _£L.

74. x=(2ft+l) *х=(2л+1)

* k, n<=Z. Решение. sin2x=12 8

i25x, sin2x=cos25x, -i-(l — cos2x)= —

2 ч '2cos2x=l+cos Юх, cos 10x= — cos2x, cos 10x=cos(n — 2x)

1—sin25x, sin2x=cos25x, -i-(l —cos2x)=-i-(l+cos Юх), 1 —

а) Юх—л + 2х=2/ш, 12x=(2*+1)л, x=(2*-f-1)J| или б) Юх+л-л

-2х = 2пл, 8х=(2п —1)л, х=(2п—1)^-75. х*=(2Л+1) *

х=(4п-1)*

* = (-1Г4 + /пя. k. n, meZ.vУказание. sinx(2sin2x— l)-f-cos22x=0, sinx(l —cos2jc—l)-f+ cos22xj=0, — sinxcos2x + cos22x=0, cos2x(cos2x—sinx)=0

и т.д.

141

§ 12.

1. x = 2arctg5 + 2ftn, feeZ. Решение. JOL_ 12C-p=l3/=tgjL, 1 + /V0 при t<=R, 1W—12+12/*= 13+13/*, /2-10/ +

+25=0, (t — 5)2=-0, f=5, tg-l=5, Jt=2arctg5+2/m.

2. jt=2arctg^/5-f-2feji, fceZ. 3. x=|.+2fen, jc=2arctg 1,5+

2лл, ft, neZ.

4. *=(— 1)"—+ пл —

—, ne=Z. Решение. V3+Tsin(jc+^) =

4 6

=72, 2sin(x + ?)=V2. sin(x + «p) = ^|, х+ф=(-1)п-=.+ пл, x =

5. х=(2я+1)л, x=2arctgV7+2ftn, n, teZ. Указание.

sinx= V7(l+cosx), 2sin JLcos-l=2-v/7cos2^-, cos-l(sin-l—— 77cos_l)=0. a) cosiL=0, JL=(2n+l)JL, х=(2п+1)л, или

6) sin ——^7 cos .1=0 — однородное уравнение, а потому

tg-1-77 = 0, tg_l=77 и т.д.

6. x = (-l)"arcsin^ + rtn + arctg-?A neZ. 7. x={-\)nSL +7 3 18

+ /iJL+JL, neZ. 8. x = 2arctg-b^ + 2bi, fteZ.3 18 3

9. x=0. Решение, -^sin (х+ф)=4, sin (х+ф)=2-у/2> I;следовательно, уравнение не имеет решения.

10. х= J}-+2nn, n^Z. 11. х=( — 1)я_5.+/т+-5., neZ.

12. х= — Лл+2А:л, fc«=Z. Указание. sinx= — л/3(1 +

+ cosx), 2 sin -J cos у +2V3 cos2 у =0,2 cosy (sin-| + л/3 c°sf) =

= 0 и т. д.

13. х=(-1Гу + пл—J-, *<=Z. 14. jc=2arctgi|^-+2*n.*<=Z. 15. jc=0.

16. х=(~ l)n+l JL + 2/m — JL, «eZ.v '2 2

17. jc=(8*+1)JL, x=(8*+3)JL, keZ. Решение.

725Н1(2х + ф)=72 8тЗх, 5т(2х + ф)=8тЗх, tgф=l, т. е. Ф=-^--142

sin(2x+-j-) = sin3x. a) 3x — 2x — Л = 2kn, х=(8/г+1)Л или

б) Зх+2х+^-=(2*+1)л. х="(8* + 3)^.18. *=(— 1)п+|Л+пп — Л, iieZ. 19. x=(— I)" "+пл-JL,

6 4 6 4

rteZ. 20. x=(8ft+l)^. *=(8*+3)JI, AeZ 21. лг=(-1Г-£ +

+ (4n+l)-!L, neZ. 22. *=(— l)"-jL+rt|.— JL, neZ. 23. x =

=(—l)"arcsinJL+(6n+l) * ne=Z. 24. x=*ji, x = (4n—1)JL,ft, n&Z. 25. jt=(2rz+l)ji, x=2arctgV5 + 2fen, n, kezZ.

§ 13.

1. x=(4k—l)JL, x=( — l)narcsin^+(4n-l)JL, A, neZ.4 5 4

Указание. sin x + cosx=y, sin2x+cos2x-f-2sinxcosx=f/2,sinxcosx = ^-î. Данное уравнение примет вид: y=Y+"9"(i'2—*)»2i/=5 + 5y2 —5, 5у2 — 2^=0, у{5у—2)=0. а) у=0, sinx+cos х=0,

tgx= — 1 и т. д., или б) sinjc+cos*=-?-. sin( JC+-5.) =^- и т. д.5 V 4 / 5

2. х=(-1)*-?- + (4*+1)'" *eZ"4 4

3. x = 2kn, x=(4n+ l)~, п, fteZ. Решение. sin3x + cos3x =

= sin2x+cos2x, sin2*—sin3*+cos2*—cos3*=0, sin2 jc(1 — sin x)++cos2x(l—cosx)=0, (1—cos2x)(l—sinx)+(l — sin2x)(l —cosx)==0, (1 — cosx)(l +cosjc)(1 — sinx)+(l —sinx)(I + sin x)( 1 — cosx) =

=0, (1—sin x)(l—cosjt)(sinx-t-cosx + 2)=0. a) 1— sinx=0,

x=(4n-\- 1) —, или б) 1 — cosx = 0, x=2kn, или в) sin jc+cosx= — 2,

x=0.

4. x=(2n+ 1)л, x=(4* + l)JL, k, m=Z.

5. x = {2n+l)JL, x=(6*±l)*

n, AeZ. Решение, cos-^—-cos-^ = cos^, cos-Ui = cos-^. + cos3£, cos-^=2cos7xX2 2 2 2 2 2

XcosJ|^, cos-U^-—2cos7xcos-^-=0, cos-^-(l — 2cos7x)=0.

a) cos^ = 0. —=(2п+1)-5.,л:==(2я+1)Л,илиб) 1—2cos7x=

= 0, 2cos7x=l, cos7x=-i- и т. д.

в. х = -^-+2пп, n^Z. Решение. 5(sinx+cosJc)+3sinх —

4— 4 sin3* — (4cos3Jt—3cosx)=4V2(l -+- sinxcosx), 5(sinx+cosA:)+

143

+ 3(sinx + cosx) — 4(sin3 x + cos3 ac)=4-\/2(l 4. sin x cos x), 8(sin jc-^-+ cosx)—4 (sin x + cosx)(l —sin xcosx) = 4-\/2(l + sinxcosx), sinx-J-

+ cosx=y, 1 + 2sinxcosx = iA sinxcosx= —-—. Уравнение при-

■

мет вид: 8у-*у ( 1 -^f1) =4л/2(1 + ji=1) . 2y-y2=£=V§XX-^L. 4у-уР-у*)=т/2(\ + у2),4у-3у + у3=^2 + л/2у\ у3-

-V2«/2 + y-V2 = 0, у2(у_л/2) + (у-л/2) = 0, (у-л/2)(1/2+1) = о

а) у=л/2. sin x-f-cosx=-\/2, sin(x + iM = 1 и т. д., или б) y2+\=Qв R не существует.

7. х = (2л+1)л, х=(—1)*—+ /гл, n, fteZ. Решение. 2 +

+ 2cosx=V3tg(-=--J-), 2 + 2cosA: = V3ctg^-, 2(l+cosx)=

= V3ctg^-, 4cos2-l-V3ctg^.=0. ctg^(4sin^cos-l--V3) =0,

ctgf(2sin*-V3) = o:a) ctgi=0. ^. = (2n + l)i, x=(2/i + l)n,

или б) sinx = ^, x = ( — lf±+kn.8. x = (-l)n+'-+'wi-il,/2<=Z.9. t = ± 4+(8n- 1)

", n eZ.

4 4 4 4

10. х=-^- + 2*л, *eZ. Решение. 4 sinz(3x + ±.) = i -f

+ 8sin2xcos22x, 2( 1 — cos(6x + ±Y) = 1 +8 sin 2xcos2 2x, 2(1 +

-+■ sin 6x) = \ + 8 sin 2x cos2 2x, 1 +2 sin 6x = 4 sin4xcos2x, 1 +

-|-2sin6x = 2(sin6x + sin2x), l=2sin2x, sin2x= — (при этих

значениях синуса подкоренное выражение положительное), 2х =

= (— \)"—-\-пп, х = (— \)п—-\-п Л (при этих значениях х левая

часть уравнения будет положительная только при л = 4/г), х =

к '12

Г12

11. х=Л+2пл, ne=Z. Решение. -*£!£+.£a£=JS(sinх +4 cos х sin x

г.'.

4-cosx), smx+cos *= ^(sjnx + cosx), sinxÔ, cosxÔ, хфкЛ,

sin jc cos jc 21 = л/2(sin x-f-cosx)sin xcosx, sinx+cosx=y и т. д. (см. пример 1,

§ 13). I+2sinxcosx=y2, sin xcosx=-*£=-!, \ = ^2у.1^=Л, д/2==У3—У. У3—У — л/2 = 0. Легко заметить, что корнем этого

уравнения является д/2, после чего можно выделить множитель у—л/2или разделить многочлен (левую часть уравнения) на двучлену — л/2. Рассмотрим два способа. 1) у3 —у2лД+У2л/2 —2у+у —л/2 =

=0,у2(у-л12)+у^2(у-л12) + (у-л{2)=0,(у-л12)(у2+-у12у'+\)=0.144

2) _У- У -л/2 I Ц-л/2У'-л/гу2 У* + л12у+1

J2y2-y_

1/ -л/1t/ -л/2

О

Уравнение (у — д/2)(у2 + л/2у+1)=0 имеет только один корень

ц=л/2> так как многочлен у2 + -у/2у+1 не обращается в нуль

(D = 2 — 4<0). sinx4-cosjc = ^,V2sin(jc+.iL) =л/2, sin(x+iL) =

-1, x+JL=JL + '2nn, x=JL + 2nzi. ±Л-2ппфк JL, так как'

4 2 4 4^

2

I _|_ 8n =?£= 2k — очевидно.

12. x=(2n-f-l)—, *=(-!)*—+2*л, n, *€=Z. 13. x=(2n+l)JL,

х=(4*+1)у, n, AeZ. 14. х=|-+*л, jc=(— lfarcsin^ +'/m+

-f i, *. neZ.

15. x = ^. Решение. 2arctg(2x— l) = arccosx, arctg(2x — 1) =

=a, tga = 2x—1, arccosx = p, 2a = p, cos2a = cosp, '—*R a=jc,L+tg2a

■blg£^ = x,^-^

-x=0, xf4-4*-4*^4-2)^. 1) Зна-l+P*-!)2 4^-4^+2 \ 4jc2-4*+2 '

чение х=0 не удовлетворяет исходному уравнению, так как левая

\-2х2_часть уравнения будет при этом —

—, а правая —. 2)4 4 <^-*+т)

=0, 1=2*? =0 2((х— ±) +±Wo при всех xt=R.

' —2х2 = 0, jc=d=^. х = ^—корень уравнения, х= — ^гляется корнем исходного уравнения.

. .. корень уравнения, х=—*- не яв-

16. х=102*", х=10 2, A, /i«=Z. Решение. 1 —

"~cos(lgJt)=^sin(_Llgjc), lgx = f, 1— cos/=д/2 sin ±,2 sin2 1 =

^VSsin.L, V2sini.(V2sinJ_—l) =0. a) sin-L=0, t = 2kn,

'в*=2*я, jc=102*n, или б) sin-L = ^, i=(-lf "+пл t =

*(-I)"± + 2пл, lgx=(-l)n± + 2nn, x=W(~lf*+2n"145

17. x=±arctg(5tgl) + nJI+7, ne=Z.

18. x=—2, x= — 1. Решение. arctg(x+2) = a, tga=x+2arctg(x+l)=P, tgP=JC+l. a-p = 4, tg(a-P)=l,-^^zzt&£.==

"

4 1+tgatgp '

+ 2=0, Xi = — 1, x2=—2— корни уравнения.19. x=' 20. x =

* Решение. 0<ж<1. arcsin-2~=a' 3 з-£ '

sina = ^, arcsinVl-x = p, sinp = Vl-x, arcsini- = v, sinv= '3V* 3 ^-i

a — p=v. sin(cc — P) = sinv, sin a cos P —cos a sin 6 = ±. -£-y3 3^*

Xcosp-Vl^^-cosa=^., cos2a=l-sin2a = ^-4. Так как

—-|-<а<у, то cosa>0, т. е. cos a=-i--W9;c~4, cos2p=l-

—sin2p=l+x— l=x. sinp>0 и 0<р<у, то cos p>0, т. е.

cosp = V*- Получим: ^-. ф—L -yJ^L.^fJZIx-=^.t la=

= -\J^±--J\-x, x=(9x-4)(l-x), x=.9x-9x2-4+4x, Эх2-

— 12x+4=0, (3x—2)2=0, x=y— корень уравнения.

21. x=l. 22. x= —

. Решение. arcsin3x=a, sina=3jc,arccos4x=p, cosp = 4x, a = p, sina = sinp, 3x==sinP. Так как

0<arccosx<n, то sinp>0, тогда sinp= УТ— 16x2, 3x=

= л/1 —16x2. 9x2=1 — 16X2, 25x2=l, x=±±. x=-L— кореньi

5 5

уравнения. x=—— не является корнем исходного уравнения.

так как sin р=3-Г — —) =~-г<0-

24. х = ( — I)" arcsin-^-^ \-пл —

-j-, neZ. Указание, (sin x+

+ COSx)-Si"^ + COs2j,:=l, Si"X+C0SJ:=l. SUlXÔ, COSXÔ. X4t*|sin ^ cos x sin к cos x ^

sinx+cosx = sinxcosx и т. д.

25. х=у+пл, n^Z. Указание, tg — ji=tg2-I^ = tg-g-

arctg(tg-=-) =-=., cosx+cos(x+-j) +cos(x+^) =0, cosx+

+2cos( x+ —\ cos^.=0. cosx—-\/3sinx=0, cosxÔ, tgx^-g"и т. д.

146

26. x = ± -^-arccos(2c-f l) + kn, deZ, —1 <a<0. Решение.

c0s2x-y. «/2-(a-2)y-3(a+l)=0, D = (a~2f+ I2(a+ l) = a2-_4a+4+12a+12 = a2 + 8a+16=(a + 4)2, л/Д = а + 2, y,= -l,

,,, = a+la) cos2x= — 1, x= 0, или б) cos2x=G-f-l, 1+cos2x=J:2a+2, cos2x = 2a-|-l, — l<2a+l<I, — 2<2a<0, — l<a<0,

тогда 2x=±arccos(2a+1)+2пл, x= ± — arccos(2a+ 1) + 2пл.

27. x=±—-\-kn, x= ±— arccos— -fnn, ft, neZ. Решение.

|cos2x| = |'~c2°s2j:-^ |,4|cos2x| = |2-2cos2x-I|,4|cos2x| =

==11—20052x1, 4|cos2x| = |2cos2x—1|. a) 4cos2x = 2cos2x—1,

2cos2x= — 1, cos2x= —_L, 2x= ±-^л + 2/гл, x=±~-\-kn, или

6) 4cos2x= 1 —2cos2x, 6cos2x —1, cos2x=_L, 2x= ± arccos _L+

-f/m, x= ± -Larccos _!_+пл.

28. x = (8fc+l)iL, x = (8* + 3)JL, teZ. 29. x = 90°, x= — 17°.

30. x=(—\)n arcsmb+ пп — Л, n^Z, |fc|<—, x=( — l)n+1X4 3

Xarcsin b + nn—*

neZ, |ft|<l. Указание. sinx + cosx = y,

\ + s\r\2x = y2, sin2x = y2—1, y2— 1 — 2b^j2y — 6fc2+ 1 =0, y2 —

-2b^2y — 6b2=0, yi.2 = b-yj2±2^J2b. a) sin x + cos x = 3b-fi,

V2sin(x + y)=3&V2, sin (x+-j)=3fc, -1<3&<1, -y<&<<-!, х+Л=(—iy,arcsin(36) + nn, x=(—l)"arcsin(3b)+«n —

3 4—

— или 6) sinx+cosx= —fc-y/2 и т- д-

31. x= —+kn, x=nn, k, neZ.4

32. x = kzi, дг=-1 + тл, x—arctg(2—л/3) + лл, k, m, neZ.

Решение. Воспользуемся формулой tg3a= 3tga—tg адля ре_

3tg —+ tgx

шения уравнения. Получим: 3*К*~"{Е х— tgx- = 0,

L-3tg2* ^tgytgj:tgy/ 3-tg2A: . V3+tgA:\_0 tgA:(V3 + tgA:) / т/5-tg x jXq

Vl-3tg2x l-V3tgJ/'

1-VStgJC Vl + V3tgJ: /

a) tgx = 0, x = kn, или б) V3+tg-t =0< tgJf^tJ.| Y3 + tgx = 0,• — V3 tg j: V3

tgx=_A/3, х=-Л + тЛ, или в) -JbliiL _ 1 = о, tgx^=--^,3 l + V3tgjc л/3

^-tgx-l-V3tgx = 0, V3-l=(V3+l)tgx, tgx=J^=iL. л/3+l147

tg*=(-v? l/, tgx=2-V3, x = arctg(2-V3)+nn. НайденНызначения x удовлетворяют данному уравнению и не обращают зна.менатель в нуль.

33. х=0.

34. jc=(-iy,arcsin^*+0+'-1+rm-^., ne=Z, as=R.вд/2 4

35. х=± — arccos(^l — \\ +nn, n<=Z, —2<а<2. Реще.

ни е. 2(sin(2x-f-5.) + sin Jl) =o2 + V3sin2x — cos2x, 2sin^2x-f+ JL\ + 2 = a2 + V3sin2x-cos2x, sin(2x+il) +l = £l++ ^sin2x--Uos2x, sin(2x+Jl) +1 = ^.+ sinf 2x-iL)t* 2 \ 6 / 2\6/

sin(2x+Jl)—sin(2x— ") =fl— I, 2a>s2xsin Jl=5l— 1, cos2x-

= £l-l,| *—l\ <I, —1<£—1<1, -2<a2-2<2,0<a2<4

|a|<2, x=±-Larccos(fl—Л +nn.

36. jc=i-fcri, х = (2/г+1)л, х=-*-лл, х = п*

ft, ne.Z. Реше-

ние.'

sinx = a, sin2x = b, sin3x = c, a3 + b3-\-c3 = (a + b+cf.{a + b + cf-a3 = b3 + c3, (& + с)((а + & + с)2 + а(а + Ь + с)-|-а2)==(b + c)(b2-bc + c2), (Ь + с){а2 + Ь2 + с*-[-2аЬ + 2ас + 2Ьс-\-а*++ ab4-oc + a2)=(ft-f-c)(&2—&c + c2), (fe-|-c)(3a2+3a&4-3ac+36c)== 0. 1) b + c = 0, sin2x-f-sin3x=0, sin 3x=sin( — 2x). a) 3x-

— (—2x)-=2/m, х=1.кл, или б) Зх—2а=(2*+1)л, x=(2*+l)i2) 3(d* + ab + ac + bc)=0, a(a+b)-\-c(a+b)=0, (a+b)(a+c)=0.a) a-\-b=0,sin x+sin 2х=0и т.д., или б) а+с=0,sin x+sin 3x=0и т. д.

37. x=(6ft + l)^. x=(3ft+l)|-, *eZ. Решение, sin х#=0.

cosxÔ, x^fcfty, 8sin xcos2 x = -\/3cos x+sin x, 4sin2xcosx=

= -\/3cosx + sinx, 2sin3x+2sinx = V3cosx + sinx, 2sin3*=

= -\/3cosx— sinx, sin3x = —cosx —— sirix, sin 3x=sin (y — xj-

a) Зх—-£-+х = 2/гл. x=(6*+l)" или б) 3x + *-x=(2*+ D*

2х=2/гл + -|л, x=(3*+l) *

38. x=(6n+l)il, x = (6n-l)J«, лег

239. x= ±arctg2 + fm, neZ. Решение. tgx-tg3x = —

if

148

X03JÛ=- » t^(3-y.)=_ 2 tgx^±j|. 15tg2x--*1— 3tr* 5 1— 3tgz* 5 3 '

^5tg4JC=-2 + 6tg2x, 5tg4x-9tg2x-2=0. a) tg2x=-±,f==0, или б) tg2x=2, tgJc=±V2, x=zfcarctgV2+-nn.

40. x = arctg — -\-nn, x= — arctg-i- + mn. ", rne.Z. Решение.

I—cos (Л cos2 x) = 1 — cos (л sin 2x), cos (л cos2 л)=cos (n sin 2jc).a) я cos * —л sin 2x=2ftn, cos2 x — sin 2x=2ft, cos2 x— 2 sin x cos x =

3=2* (sin2 x + cos2 x), 2ftsin2x+2sinxcosx-f(2ft — l)Cos2x=0,cOSx¥=0, 2fttg2*+2tgx+2ft-l=0, f-=l-2(2ft-I)ft = -4ft2 +

+2fe-t-l, -£>0, 4ft2-2ft-l<0. ft2-i-ft^±<0, (k-lY-

'№ 4 Ûl V 4^16-4 4^*^4+~' ~<

<Й<-Ц-^, '-2-236^/;^ 1+2,236 _o,309<ft<0,809. Так как4 4 4

JeZ, to fe=0, т. e. tgx=-i- и т. д. 6) лсо82х4-л sin2x=2rm,

cos2 x+2 sin x cos x = 2n(sin2 x + cos2 x), 2« sin2 x — 2 sin x cos x +

+ (2n— l)cos2x=0, cosx=?t0, 2ntg2x —2tgx+2n —1=0, -5=4

= \-2n(2n~l)=l-4n2 + 2n^0, 4«2 —2n—1<0, n2— _Ln—-L<2 4

<0, (" —т)2^Ш и т- д- — 0,309 <n< 0,809. Так как fc<=Z,4

то

п=0, т. е. tgx= — 1 и т. д.

41. x=18°+180°n, n^Z. 42. x = (3n±l)i, ne=Z. 43. x=kn,П о I

*=— у+2лл, х=(—l)"1 arcsin—^ f-тл, n, ft, m^Z. 44. х =

=(-l)n+137°36, + 90on-22°30', neZ. 45. х = 30°+180°/z, neZ.

46. х=20°+180°я, n^Z. 47. x=arctg(2+V3)+180°л—80°,"eZ.

48. x = (4ft+l)^., x=(6n+l)^, ft, «eZ. Указание.

lg(Ал — 2x) — cos2x = V3( 1 +cos(2x+ Л.)) , ctg2x—cos2x =

^V^l— sin2x), ctg2x(l— sin2x) = V3(l— sin 2x), (1—sin2x)X^(^гх— V3) = 0 и т. д.

49. x=10°22' + 90°n, n<=Z. Решение. sin(2x— —) +

+cos(^^2x). = V3cos(2x+^).sin (2x-^)+sin (Ая + 2х) =

149

= V5 cos( 2x+ Jl) , 2 sin(2x+Jl\ cos JL= ф(cos 2xcos JL„

— sin.2xsinil), V2sin(2x+Jl) = V3(^cos2x— -i-sin2jA .

-v/2 sin 2x-cos JL + -v/2 cos 2xsin JL= i-cos 2x— ^sin 2x, ^sin 2* 4.v6 62 2 2 ^

+ ^cos 2x= -icos 2л:—^sin 2x, ^sin 2x(V2 +1)= i-cos 2*хX(3 — л/2), V3sin2x-(V2+l)=cos2x(3 —V2)._ cos2x=H=0. tg2jr== JLzJLt tg2x=V-^^-^ , tg2x=4-^^«0,3787, at*

л/6 + л/З 3 d

=20°44' + 180°/г, х=10°22'+90°/г.50. x=JL+2kn, ke=Z. 51. x= — 59° + 180°n, neZ.

4

52. х=пп, х=2/гп — An, n^N0, *eZ. У казан и е. V2 sin 2x =

4

= — 2 sin д:, д/sin 2x= — -y/2 sin x, sin x<J0, — n + 2£n^x<T2fai,sin 2x = 2sin2x, 2sinxcosx=2sin2x, 2sinx(sinx—cosx)=0 и т. л.

53. x=2/m,х=(4л+1) JL.neZ. Ре шеи и е. д/1 + 4sinxcosх=

= sinx+cosx, 1+4sinxcosx=l+2sinxcosx, 2sinxcosx=0,

sin2x=0, x=kJL. Эти значения будут удовлетворять уравнении

только при k = An или 6=4/г+1, т. е. х=2ип или х=(4п +1)-2--54. х=y + 2kn — arctgy , AeZ. Р е ш е н и е. 3 sin x—4 sin3 x+

+4sin3x+4cosx=5, 3sinx + 4cosx=5, V9+16-sin(x+<p)=5,sin(x+9)=l, x+<p=^.+2kn, х=у+ 2Ап—ф, q>=arctgy.

v '4

T4

56. х=лл, neZ. Решение. 3x^=(2ft+l)A, jc^(2A+l)i.

4хчЦ2*+1)« x¥=(2*+l)" tg3x = 3(tg4x-tg3x), 8ЛЦ^^ О COS o-*

__3 sin x 3sinx—4 sin3* 3 sin x q sinxX

cos 4x cos 3x'

cos 3x cos 4x cos 3x

x(3-4sin'x)cos4x-3=0 j} sinjc = 0 х==пПг или 2) (3-2(1-cos 3x cos 4x

— cos2x))(2cos22x— 1)—3=0, 2cos22x— 1+4 cos3 2x—2cos2x-— 3=0, 4cos32x—4 + 2cos22x—2cos2x=0, 4(cos2x—l)(cos22x++ cos2x+l)+2cos2x(cos2x—1)=0, (cos 2x— 1) (4cos22x++ 6cos2x + 4)=0. a) cos2x=l, 2х=2/гл, x=kn. 6) 4cos22x++ 6cos2x+4=0, 2cos22x+3cos2x+2 = 0, D=9—16<0. x=0-

Заметим, что nn^(2k+l)JL, 6n^2k+l. Аналогично пп^

Ф{2к+1)* 8л=^2А+1.8

150

57. x=(4k + 3)± . x=(4ft + l)-J-. x=(- ly-J- +nn—J-, ft, neZ.

58. JC=2ftn, fteZ. 59. x= — ~+2nn, n^Z. Указание.

sjn3x+3sinx+l — 2sin2x+5=0, sin3x—2sin2x+3sin x + 6=

#0. sinx=y, y3-2y2+3y+6=0. у3+у2-3«/2-3«/+б1/+6=0,/((/+ l)-3i/(t/+ I)+6(j/+ l)=0, (y+ 1){у2-3у+6)=0 и т. д.

60. х=£л, x=-£-+2ftn. k^No- Указание. ^4sinxcosх =

=2 sin x, Vs'n * cos x =sin x, sin xÔ, 2Лп<х<л + 2£п, sinxcosx=s=sin2x, sin x(sinx—cosx)=0 и т. д.

61. х= — + пл. neZ. Решение. fsinxcos-^- + cosxsin-j- J =

s-^sinx, (*£-) (sinx+cosx)3 = -v/^sinx, -^-(sinx + cosx)J=^sinx.(sinx+cosx)3=4sinx, sin3x+cos3x+3sinxcosx(sinx+cosx)——4sinx=0, sin3x—sin x+cos3x+3sinxcosx(sinx+cosx)——3sin x=±0, —sin x(l —sin2 x)+cos3x+3sin x(sin xcosx+cos2x—_1)=0, —sinxcos2x+cos3x+3sinx(sinxcosx—sin2x)—0,—sinxcos2x+cos3x+3sin2x(cosx—sinx)=0, cos2x(cosx—sinx)+-|-3sin2 x(cos x—sin x)=0, (cos x—sin x)(cos2 x+3 sin2 x)=0.

a) cosx—sinx—0, cosxÔ, tgx=l, x=-j + «n, или б) cos2x+

+3sin2x=0, cosxÔ. tg2x=— -y<0, x=0.

62. x=(6k±l)-^, x=(l2n-l)±, х=(12л + 5)^, n, k<=Z.

63. x=(4ft-l)^, x = arctg3+/m, x=(6n±l)^, x=m-j,k, n, m^Z. 64. x=(4k — l)±, x=arctg3 + /m, x=(2m+l)|-, x=

=(3p±l)y. k, n, m. peZ.65. x=d=-~+kn, x=nn, Jt=±j + mn, k, n, m^Z.

66. x=(12ft+l)f ,x=(12A+5)^,x=(4n + l)^,x=(4n + l)f.". *eZ. Решение, cos 4x(2sin 2x — -\/3sin x—cos x)—sin 5xXX(2sin2x— -\/3sinx — cosx) = 0, (2sin 2x —д/3 sinx—cos x) (cos 4x —

—sin5x)=0. 1) 2sin2x=V3sinx + cosx, sin 2x = ^-sinx+ yCosx,

sin2x=sin(x + -^). a) 2x-x-f=2kn, x=(12ft+l)|-, или

6)2x+x+-5-=(2ft + l)n,3*=2ftn + |-n,x=(12ife+5)yg.2)cos4x--sin5x=0, sin5x=sin (j— 4xY a) 5x——+4х=2лл, 9х=

=(4n + l)-J, x=(4n + l)-j|, или б) 5х+-|-4х = (2п + 1)л, х=

*2«4-f ,*=(4/i + l)f.151

67. х=60°т — 40°. х=90°А: — 40°, т, k<=Z. РешенИеtg3(40° + *) + tg(40° + *) = 2 sin 2(40°+*), 40°-r-x=y, tg3«/+tgy^

= 2sin2y, Щ^- 2sin2y=0, J*in 2y0 2 sin 2y^s cos iy cos, у" cos3i/cos2i/ w U

sin2yf ^-^ 1 Wo l)sin2f/ = 0, 2y=kn, y = k^-, 40°+*^э\ cos 3y cos j/ / ' s ' w w 2 r*^

= 90°*. * = 90°A-40° (1), ИЛИ 2) cos2y cos 2y-cos 3ycosyv ' ' cos 3y cos i/ cos 3j/ cos i/

"~-

cos (3i/ — i/) — cos3i/cosi/ cos 3i/cos i/4-sin 3i/sin i/ — cos3i/cosi/= 0, 5 = 0, 5 =fl

cos лу cos у cos 3i/ cos i/ "i

tg3ytgy = 0. a) tgj/=0. у=180°п, лг+40° = 180°п, x=180°n_—40° (2), или б) tg3y=0, Зу=180°п, y=60°m — 40° (3). Перепишем

(2) в виде *=90°-2п— 40° (4). Из (1) и (4) следует, что х=90°А_—40° (1').

68. х={ — 1)"-5.-|-ил +-^, heZ. Указание. 5sin2*—

II2(sin x —cos x) (l -\-— sin 2x)

12 = 0, I+-£-sin2jc=^0, sin2*=jfc-2J ' ' ' 21 -Ь-ySin 2jc

при xe#f. 5 sin 2x — 12(sinjr—cos x)-\- 12=0, sin x—cos x=i/, 1 —

—sin 2x=y2 и т. д.

69. x=kn, x=( — 1)" arcsin—g |-nn, ft, n^Z. Указание

Правая часть уравнения 2 (tgy+tg3-^- +tg5 у+tg7-g- + ...jnpeflставляет собой геометрическую прогрессию. 0<tg-^-<l, щ =

п. 'Вт 2tB"SL8 8 '-* i-tg»f i-tg2-|

8

= tg-^- = l. Уравнение примет вид: 4sin3x+3cos 2x — sin xcos2x—— 3=0, 4sin3x + 3(l — 2sin2x) — sinx(l — 2sin2x)—3 = 0, 6sin3x-—6sin2x— sinx=0, sinx(6sin2x—6sinx—1)=0 и т. д.

70. x=( — 1)"4-arcsin-|= + n-^-— -^-arctg^, n(=Z. Решение— arcsin-= + 11-^—ârctg^, n<3 Vi45 '33 "12

I2sin3x+cos3x=9, Vl45sin (Зх + ф)=9, sin (Зх + ф)=-^, «f=-y 145

= arctg-^,Зх + ф = (-1)" arcsin-^r+пл, x={-lf-jarcsin^=F +

,л 1 .1

+ "¥-yarctg!2-71. х=(4л + 1)Л, iieZ.

72. x = (2n+l)-^, x=(3ft±l)y, „, ftGz. Указание. cos 6a =

= —2 cos 2x, cos 6x-|-cos 2x + cos 2x=0, 2 cos 4x cos 2x + cos 2x="-cos 2x(2cos4x+1)=0 и т.д.

152

73. * = £-+2лл. x=arcctgO,2 + A>n, n, *eZ. Указание.

-ctgx(sinjc—1) —(sinjc—1)=0, (sin*— l)(5ctgx— 1)=0 и т. д.

74. x=(-iy+lJl+nn+JL, n<=Z.4 4

75. x=kJL x=2mn,k, m^Z. У к а з а н и е. sin x+sin (л—Зж)=-ssin2x(l+cos2jc), sinjt+sin3x=sin2x(l+cos2jc), 2sin2xcosx:—

^sin2x(l-j-cos2jc)=0, sin2x(2cosJC— (1 -|-cos2jc))=0 и т. д.

76. je=2*n, x=(4n + l) * Л, ne=Z.6

77. x= —

-j- + tin, n^Z. Решение. 1 +2 sin xcos x+1 =

-2 cos2*, 2(1— cos2 x)+2 sin xcos x=0, sin2 х+sin jccos x=0,sin x(sin x + cos x)=0. a) sin x=0, х=лл, или б) sin x+cos x=0,

jgjt— — l, ^=_^--{-пл. Значения х=/гл не удовлетворяют

уравнению, так как ctgftn не существует.

78. x=±arctgV6^6+nn, n<=Z. Решение. *е*+4узГ++2tg2x+ ——=0. Воспользуемся формулой tg За =

3 tgа~*£ адля

решения уравнения. Получим: tgxH—^-^—g-^- + 2tg2x+3tgx — tg3x

j 2(l-tga2x)_0 3tg2*-tg<x + 3-9tg2x |2tg22x + 2-2tg22x

__ Q>tg2x

'

3tgx—tg3x tg2x3-6tg2x-tg«x ! 2_ = 0 3-6tg2x-tg4x , l-tg2x_0 tgx=^0

tgx(3-tg2x) tg2x'

tgx(3-tg2*) tgx

x^nn,3-6te2x-tg,JC+3-3tg^-tg8jc+tg,JC=0,6-10tg2jc=0, tgx*=3—tg2Jf

*

3—tg2jr^±Л& 6—10tg2x=0, tg2x=0,6, tgx=±-^ *=±arctgV0,6+mi.

79. x= —Л+Лл, jc=nn, ft, neZ.4

80. x=*

x=—. Решение, cos —x— cosi3x=cosJL,9 7 2 2 2

cos—x=cos I3. x + cos JL, cos-Z-x = 2cos.lxcos3x, cos-Lx(l —

2 2 2 2 2 2Ч

-2cos3x)=0. a) cosZx=0, Lx=(2k + l)JL, x = (2* + l)JLr

0<(2ft+l)i<-=., 0<2£+l<_L, -l<ft<i.. Так как JfeeZ.

T° fc=0 и Xi = JL, или б) 2cos3x=l, cos3x=_L, Зх= ± —+2А;л.

*=(6*±1)|-. l)0<(6Vfc + lV^<-J, 0<6*+l<|-. -1<6*<|-,—g- <ft<^. Так как feeZ, то k=0 и x2=f . 2) 0<(6£— 1)|- <i,°^6ft —l<i-, l<6*<^, -g-<*<^. Так как *eZ, то k=0.

153

о, л 1781. х=т,х=-

— л.

82. х=(2я+1)у, neZ. Решение. у V^"*?*^= ^/cos2x—cos л: —cos x, -g-lcos л:I -j-cos jc=-\/cosx(cos x^]~~

а) cosx<S^0, —— eos x+cos x= д/cos x(cos x— 1), cos x 11 —~ V

= ^cos x(cos x—1) (1). Равенство (1) не имеет смысла, так как

cosx(l — 3-\ <0. б) 0<cosx<;l, тогда cosx(cosx—1)<0, т. е

х=0. в) cosx = 0, x=(2n-\-l) —. г) cosx=I, тогда левая часть

данного уравнения не равна правой части.

83. x=±i-n + 2ftn, fteZ.

84. x= — + 4kn, x=±-5. + 2rcn+-"-, ft, ne;Z. Решение

2sinx —cos—/x——j =sin2x + cos2x, 2 sin x —cos -|/x— —J =]_

x-|-=y, x=±+y, 2 sin(-"-+«/)-cos Ay=l, 2cosy-cos3-»

x(-iy)=l, 2 cos y-(4 cos3 ^— 3cos-^) =1, 2(2cos2 |--l)--4cos3|-+3cos|- = l, 4 cos3 Х-4cos2-|--3cos-|_ + 3=0,

4cos2-|-(cos-|—l) _3(cos-|—l) =0, (cos-|— l)(4cos2-|-— 3) =0. a) cos-^-=l, cos-^-=2ftn, y=4ftn, x=—-\-4kn, или

б) 4cos2i!- — 3 = 0, 2(l+cosy)—3 = 0, 2cosy=l, cosy=-L, y =

= ±у+2ип. л:=±-^+2пл + у.

85. x= — —-\-kn, x=nn, ft, n^Z. Указание, (sin x + cosx)X

X(2 —4sin2xcos2x) = 2(l+tg4x)(l+tg2x)(l-tg2x)cos7x, (sinx+-fcosx)(l— 2sin2xcos2x)=(l+tg4x) — -(1 — tg2x)-cos7x, (sinx+

COS2 X 2-2

-fcosx) ((sin2x + cos2x)2-2sin2xcos2x)=(l+tg4x)- cos X-Sln X-X

5 , .,

. , . 4 4 . cos4 x + sin4 x . 2 „

Xcos x, (sinx+cosx) (sin4 x + cos4 x)= -(cos x—4/4

cos x

— sin2x)-cos3x, sin4x + cos4x=?t0 при x^R, (sinx + cosx)X

( 1- cosx-sinx\ =0 и Т. Д.\ COS X /

86. x= — ±+kn, *=±Л + пп, ft, neZ. Решение. 2(1 +4 6

+ sin2x)= '-c°s(90°+2x) 2(l+sin2x)= '+""^, (l+sin2x)(2-sin(90" + 2x)

^ cos2x'v 'V

154

L-Wo. a) sin2x= — 1, 2x= — Л + 2Лл, x= — JL+kn, илиi 2x / 2 4

1

'J^sl

=2, cos2x=-^-, 2х=±-^- + 2ил, x=±-^+nn.6) £os 2x

87. x=-"- + rai, n<=Z.

88. x=(2*+l)-"-,x=(6n±l)-£,*, aeZ. Указание (ctgx—4 12

_tg*)(ctg* + tg*)=16cos2x, cos8x-sin8x. cos'x+sin'jc = 16cos 2x,& /x

sin x cos x sinxcosjr

2cosJ*.._-2_ = i6cos2x, cos2x(—l- 4\ =0 и т. д.sin 2x sin 2x \ sin* 2x /

89. x= — -Y+kn, х=±-2-л+2лл, k, n^Z. Указание.

sin2x + cos2x + 2sin xcosx+cos2x —sin2x+sinx+cosx=0, (sinx-|--fcosx)2 + (cosx+sinx)(cosx —sinx)+(cosx+sin x)=0, (sinx+4-cos x) (sin x-^ cos x+cos x—sinx+l)=0, (sinx-b-cosx)(2cosx++ 1)=0 и т. д.

90. x—kn, x=±~ + nn, k, n^Z. Указание. 2sin2xcos2x+

4-3sin2x= '-cos2*, x¥=kJL, 2sin22xcos2x+3sin22x=l— cos2x,sin 2x 2

2(1 —cos22x)cos2x + 3(l—cos22x)—(1—cos2x)=0, (1—cos2x)XX(2(l+cos2x)cos2x + 3(l+cos2x)— 1)=0 и т. д.

91. х=(4л+1)Л, x = (6ft+l)Ji, n, k<=Z. Указание.

tg(-|n—2x) — cos2x = V3(l+cos(2x+JL)) , ctg2x —cos2x=

= V3(1 — sin2x), ctg2x(l— sin2x)=V3(l — sin 2x), (1 —sin2x)XX(ctg2x—V3)=0 и т. д.

>(т-)sin

92. х= — -\-пп, neZ. Решение.4 V§COSJ

я л . .

SHI —COSX — COS— Sinx . . J Ltcje^- — _4 4

_

cos x—sin x__ _1_ JLtgx 3-42 2tB*_

V2"cosx 2cosx 2 2

^3.2.2-1е* = -£-, 1 + 21е* = -£-, 21е* = г/, l+y=±, y>0,2tgjr

• '

2tgJt у

у2+у-б = 0, у, = -3иу2 = 2. а) 2'в* = -3<0, х=0. б) 2'в*=2,

4

93.- х=(—l)*+l-£+toi, x=nn, k, ne=Z.

94. х=(6*+1)4- «/=(6/i+l)JL; x=(6A-1)-=l, y=(6n-l)4.

". *6Z. Решение. *Н 2—i 22i «Z. 4.

155

4tgytg|(i+tg^Xi+tg2!) 222

примет вид:

,2\/i i ..2

1-ц° ■ \-v* (l-0(l-*2) . 4uv

l+u2'

\+v2 (l+n2)(l+i»2)'

(l+Ofl+o2) 2' ('-

u2)(l+v2) + (\-v2){\ + u2)-(l-u2)(\-v2) + 4uv = |(1 +u2)(i2

.2..2\+ i>2), l+u2 + t>2-3uV + 4uw=-|(l+u2 + i>2 + uV), 2 + 2u2++ 2u2-6uV + 8uw = 3 + 3u2 + 3w2 + 3uV, 9uV-8uw + u2-t-i,2++ 1=0, 9uV — 6uv+l+u2 + v2 — 2uv = 0, (3uv— l)2+(u — u)2=o,

3uu=l и u = t», т. e. 3tg-ltgi!-=l и tgA=tgJ^-, Stg2-!^]

x=(6k + l):±,

y=(6n + l)f.*=(6A —!)-§-.j/ = (6n-l)-£.

95. * = (2n+l).£, i/ = (4A+l)JL, n, Jfee=Z. 96. * = (2"+l)- +

+ AJ1, y = (2n+l)2I-ft.ilp n, AgZ.

97. х=(26+1)л, у = пл; x=(2k — n + l)n, y = nn, n, feeZ.

98. х = 2Ал, x=—2arcctg2 + 2rm, *=2 arctg(2±V3)+2mn,ft, n, m^Z.

B2 3

a) e2 3

e 2 3 '

B 2 3 ■

tgA=_3§;R2 3

99. jc = -5-arccos(2a—1), x=±-5-arccos(2a—1)+n, x=

= —-=-arccos (2a—l) + 2n, 0<a^l; *=-r-arccos—=-^-, x=

l l—2a . n 1—20=

у arccos—5 |-л, x=2n— arccos—;—

2" —

з

1<а<2.

Решение. |cos2x| = J-j — yCos2x — a | , |cos2x| = |ycos2x+a-— y|. 1) cos2x = yCOs2a + a —y, cos2x = 2a—1, — l<[2a — Is*

< 1, 0<a< 1, 2x= ±arccos (2a— 1)-|-2пл, x= ±y arccos (2a — 0+

+лп. а) 0^ у arccos (2a—1) + пл^2л. Значениями п могут быть

0 и 1, поэтому *i =

y arccos (2а — 1), *2 =

у arccos (2а — 1) + л, илИ

б) 0^—^-arccos (2а—1) + пл^2л. Значениями п могут быть 1 и *■

156

„оэтому х3= —

у arccos (2a — 1) + л, лг4= —

у arccos (2а — 1)+2л.

.j\ cos2x= — yCOs2x—a + y, 3cos2x=l—2a, cos2x = *~|° ,

_K-^~-<l, —3<1—2a<3, — 4<—2a<2, —l<o<2,

2,r— ±arccos~ °

+2kn, x — ±уarccos■

~ °

+kn. a) 0<

./--arccos—5 |-foi=SC2n. Значениями к могут быть 0 и 1,

поэтому х5 =

у arccos—^—, х6 =

у arccos—- 1-л, или б) 0^

^—— arccos—5 |-Лл^2л. Значениями k могут быть 1 и 2,1 I—2а 0 I—2а

поэтому Х7 = л —

yarccos—g—, х8=2л —arccos—-—

100. x=kn, х = ± —arccos-^—--|-/7л, п, fteZ, a<0 или а>4.* 2(а—I)

4П1 л л 5101. *=у, * =

"б". ЛГ = ТЛ'

102. x=(2rt + l)y,nc=Z. Решение. 4.3c°s2*+sir2' — 9-3cos2jt —

-1=0, 4-3cos2x-3.32cos2jt-l=0, 3cos2jt=y, 4y-3y2-l=0,3^-40+1=0, yi =

y, Jfe=l. a) 3cos2x=3-1, cos!*=-l<0.

x=0, или б) 3й"** = 1. cos2x = 0, cosx=0, *=(2* + l)y.103. {x}=0. Решение. sin4x + cos',x + sin3xcos x + sin xX

Xcos3x-}-sin2xcos2x = -

, (sin2x+cos2x)2 — 2 sin2 x cos2 x 4-'Sin X COS X \ l / I

l2* + COS2#«) + "!"2-— 2 '

,2„ ,• I

+sinxcosx(sin2x-|-cos2x) + sin2xcos2x= —

, 1—sin2xX'

'sin x cos л;

^

Xcos2x+sinxcosx = —

, 1sin л; cos л; sin x cos x

sin xcos x— I

-sinxcosxX

X(sin xcosx—1) = 0,sinxcosx

sin xcos x(sin x cos x— 1)=0,sin x cos x v

(sinxcosx— 1) (—. sinxcosx )=0. a) sin xcosx=l, sin 2x ='

\sin xcos x /

=2;>1, x=0, или б) хФк~, sin2xcos2x=l,sin2 2x=4> 1,

x=0.

104. x=(2/i + l)y, х=±у(л — arccos-M+/m.105. x= ±-£--f/m, neZ. Указание, sin (4х+4л)—3cos (-5- +

"г2xJ =tg(/m+x)+arccos 1, sin 4x+3sin 2x = tgx, 2sin 2xcos 2x +

+3sin2x—tgx=0, 2sin2xcos2x+3sin2x— ,

*'" 2*=0, sin2xXь ' I+cos2x

X (2cos2x + 3— , ,

' )=0 и т. д.\ ' I+cos2x/

157

106. лг=(ЗЛ±1)у, *e=Z.

107. x=k~, x=(2*+l)-jj-, ke=Z. Решение. Упрости„(J2-i)hJ¥+-fi+i) /s *m m, *r

правую часть уравнения: — - - V2—V2 = V2+V2-L

+ 1—^2—у2=1. Уравнение примет вид: l+sin(2n—5jc)_j.+sinx=l, —sin5x+sinx=0, sin5x=sinx. a) 5x—x=2kn,x=k^-

или б) 5x+x=(2k+l)n, x=(2k+l)-?r.108. x=-j+kn, fteZ. 109. x=(-iy+1|-+(3n-l)-|, ne2.

110. x=n-j. x=(—l)m^+{4m + l)-j, n, me=Z. Указание.

—sin (2л — 2x)—cos (л+2x)= |^,^ —tg 2*, sin 2x+cos 2jc=

I sin 2x •о i n I—sin2x

„ 0 . Л . ,„. . ,ч п:, sin2x+cos2x= , cos2jf=?fc0, x=5fc(2*+l)-icos2x cos2x' ' cos2x ' ^ ' v ' '4

sin 2xcos2x+cos22.*=l — sin 2*, sin2xcos2x=! —cos22x—sin2x,sin2xcos2;t=sin22.*—sin2x, sin 2* cos2.it—sin2 2x+sin2x=0,sin2x(cos2jc—sin2x + l)=0 и т. д.

111. x=(6m+l)-J, me=Z.

112. *=±JLfr-arccosO,25)-|-fcjx. Jfee=Z. Решение. S2i|i_2 v 'sin 2x

2 h3tg3x-2tgx=0, cos'2a:-i +3tg3x-2tgx=0,2 sin 2* cos 2*

^ Б Бsin2xcos2x

' Б &

-sin22x+ 3tg3*-2tg*=0, sin2*^0, хфт±, -££+

+ 3tg3x —2tgx=0, — tg2x+3tg3x—2tgx=0, tg3x—tg2x++2(tg3*-tg*)=0, SHL5 + 2- s'"2* =0, *'mx■ +x e B

cos 3x cos 2x cos 3x cos x cos 3x cos 2x

+4si"*cos* =0, cosx=*0, хф^ + кл, sinx +_и»1х_=0-cos 3x cos x 2 cos 3x cos 2x cos 3x

sin x ■(— 1-4) =0. a) sinjt=0, х=пп. Эти значения х не удов-cos 3x \ cos 2x / '

летворяют уравнению, б) —' \-4 = 0, cos2x= —-L, 2х=cos 2x 4

= ±(n —arccos-L)_|_2/bi, x=±-^- (я—arccos-M + Ля.

113. х=(2Л+1)Л, х=(4/!+1)* Л, beZ. Решение.4 8

tg2x—ctg2x+8cos2xctg2x=0,-5l4i !^£- + 8cos2xctg2*=0.cos x sin2 x

sin4x—cos4x ■ 8cos2x cos2x =Q (sin2x+cos*x) (sin2x—cos-1 x) _ _j.sin2 x cos x sin 2x

158

,8 cos 2*-^=0, ~4™2x+8cos2xS<*%L=o, 4ctg2*XT° sin 2* sin* 2x - sin2x Б

^/-^r^ + 2cos2^)=0. a) ctg2x=0,2x=± + kn,x=*(2k+I)JL.

A> 2cos2* ^=0, 2 sin 2* cos 2*= 1, sin4*=l, 4x=(4n + 1)JL,01 sin 2x \ ■ /2

'

,=(4«+l)^-.114. Jc=(4fe + 3)4, *=(6л±1)" Л, ne=Z. 115. лг=/гл, дг=

о 12

^(2/i+l)-£, *=(2л-1)-=., *, «eZ.

116. *=arctg(2±V3)+/m, neZ. Решение. В правой части

уравнения выражение в скобках 1 + — + —+-^—К» представляет,к л/5 2 2V§собой геометрическую прогрессию, в которой b\ = l, q = —

, S =

V2=s—!— = —-—. Правая часть уравнения примет вид: л/2{л/2— 1)Х

Х-^- = 2. Получим: tg( JL + x) + tg*=2, * + tg*=2,-./2—! V 4 / .*_«..л/2-I l-tg-j-tg* 4

7Z^+*B*=2, tgx*=l, хф^+пл, l+tg*+tg*-tg2A:=2-

-2tg*. tg2x-4tg*+l=0, tg*=2±V3, *=arctg(2±^)+/m.117. *= 180°*, *=±70°16'+180°/i, х= ±46°1(Г+180°*,, A,

л, feieZ.

118. *=(2я + ])|я,яег. Решение. tg-l+2tgA+4tgi +

efl-tg2-^)+ »r-=tgiL. tgA+2tg-L+4tgji + -i ^- = tg:i, tg-l+tg* Б

12 Б 8Б

4г Б

2 „, л6

12Б

8

2tgT

+ 2tgJL + 4tg.l+-V _2A=tg_L, tg-L+2tgJl +

tgT

, 4tg2-1+4-41^4 4(l-tg'4)+ - ? l_2_ = tgjL, tgA-f2tgji + - !_lZ = tgji,tg-i. *12' ё 8^ K4^ 2tg^ ё12'

♦ r 2tg24+2-2tg24 гО-!^-!-)t*4+-Lj ^—tg* tg4+l e;=tg-tg4 +

tgT 2tg-g-159

1 8 _f~ X1

tx tgT2'

«*_£.. cos JL_sln^sin -1 cos A

sin

tg'-J + l-

X

8 —0

V

sir

8 -tgi.

5

COS24X

'-8-COST2

ctg —= tg —,

0, cosA* = 0, j».^24 24

= (2и+ 1) —

,x = (2n-\- 1)_п. Допустим, что sinj!L=0, тогда ~=kn

2 5 8 8

*=8Лл. Но {2п+1)1-^ф8кл, так как 3(2л-|-l)=jt lOJfe — очевидно

Аналогично проверяется, что и cos-^=^=0 при х=(2п-\- 1)_п.

119. *= —JL + Лл, x=JL+nn, *=(-l)m+1.iL + mn + JL. k4 4 4 4'

120. x = arcctg2-|-nn, x=(2m-|-1)Л, п, m^Z. Указание

1 —cos (и cos2 x)= I —cos (n sin 2x), cos(ncos2x)=ros(n sin 2*).а) я cos2*—nsin-2x:=2ftn, cos2x— sin 2x=2A, cos2x—2 sin *cosjc=

= 2A;(sin2x + cos2*), 2Jfe tg2 л:-h 2 tg л:-h 2fe — 1 = 0 (1), _^ = 1-4/г2+

+ 2*>0. 4Jfe2-2Jfe-l<0, *2-i-*—i<0, (*~t) ""^"T^V 4/16 ' 4 ' 4 4 4 4 4

^

^fc^—jl—. Так как teZ, то ft = 0, тогда _ = 1. Уравнение (1)

примет вид: 2tgx=l, tgд: = _L, x=arctg — -j-пл. 6) ncos2x +2 > 2

-|-л sin 2х=2тл и т. д.

121. *=Л+Ал, fceZ. 122. x<=kn, x=(6n±l) —

,*=

4 6

= (12m-l)" *=(l2m + 5)-£, k, n, mf=Z. 123. *=(2ft +!)-£.48 i* *

*=(6n±l) —, x=(6m+l)JL, x=(6m-l)-£ , k, n, m^Z.

124. x = kn, AeZ. Решение. 4sinx+sinx—sin 5x = 0, 4 sin ж—— 2cos 3*sin 2x = 0, 2sinjt— cos3*2 sin *cos *=0, sin*(l~

— cosxcos 3лг)=0. a) sinjc=0, x = kn, или б) cosSxcosx^'1 -4-5

cos 4x+cos 2x = 2, 2 cos2 2x + cos 2л:—3=0, cos 2*=^-*'4

cos 2*= — 1-L<: —1, дг= 0 или cos 2jc= 1, 2* = 2Лл, x = kn.

125. *=(2*+l)JL, х=(6п±1)^, k, ne=Z.

160

126. х = -—i-^-л, fteZ, neN. Решение. 2 sin x + 2sin2xXл(л+1)

vsin 4x + 2 sin 3x sin 9x-|-2 sin 4x sin 16x +...+2 sin nx sin n2x = 2,

2sin2x =1— cos2x,2 sin 2x sin 4x = cos 2x — cos 6x,

jl. 2 sin 3x s jn 9x = cos 6x — cos 12x,2 sin 4x sin 16дг= cos 12* —cos 20x,

2 sin nx sin n2x = cos {nx — n2x) — cos (nx + n2x)2 = I — cos (nx -f- n2x)

со8я(1+п)дс= —1, n(n+1)дг=(2*+1)я, rteAT, feZ, x=(f |''я.127. x=(ik+\)±, x=(-l)"+l^ + (4n-l)^, ft, «eZ.

Решение, (sin л:—cosx)+(sinx—cosx) (sinx-|-cosx)-|-(sinx—cosx)XX(sin2 x + sin x cos x+cos2 x) -|- (sin x — cos x) (sin x+cos x) (sin2 x-j--fcos2x)=0, (sinx—cosjc)(1 + (sinx-fcosx) + (1 -fsinxcosx)+

-f(sinx+cosx))=0. a) sinx—cosx=0, cosxÔ, tgx= 1, *=-j- +

-\-kn, или б) 1-|-sinx-|-cosx-|-l+sinx+cosx + sinxcosx= 0,2+-|-2sinx+2cosx + sinxcosx=0. 3+4(sinx+cosx)4-1 + 2sinxXXcosx = 0, 3 + 4(sinx + cosx)+(sinx + cosx)2 = 0, y2 + 4y + 3=0,

e/i = — I. sinx + cosx = — I, sinf *+-£-) ——

-уи т- д-

128. x = kn, x=(4n-f l)il, ft, n^Z. Указание. tgx(tg22xXXtg23x-l)=tg22x-tg23x, tgx(tg2xtg3x+I) (tg2xtg3x-l) =

=(tg2x-tg3x)(tg2x + tg3x), tgx sin2xsin3*+cos2*cos3* xCOS £X COS ол

v sin 2xsin 3x —cos2xcos3x__

— sin xi

sin 5x cos2jc=^0cos 2x cos 3x cos 2x cos 3x cos 2x cos 3x

' *

cos3x=^=0, tgxcos(3x—2x)( —cos(2x + 3x))= — sinxsin5x, tgxXX cos x cos 5x=sinx sin 5x, sin x cos 5x = sin x sin 5x, sinx(cos5x——sin5x)=0 и т. д.

129. \x}= 0. Указание, cos2 x +-|-cos x + 4 cos Зх — 4(cos3x +

+ cos x)+ ^=0, cos2x + JLcos x + 4 cos 3x —4 cos 3x —4 cos x +i 24+ ~=0, 9cos2x + 6cosx —36cosx + 23 = 0, 9cos2x —30cosx+

+23 = 0 и т. д.

130. x=4ftn, х=± —+2пп, ft, n<=Z. 131. x=|+2Jdn, ft<=Z.

132. x=|-+ftn.x=(-ir+'yaresiny+ny,ft,/ic=Z. 133. х=

**Vk+l)%, дг = (2п + 1>^1 x=(2n + l)|-. ft, „eZ.

161

c=arctg-y^.134. x=arctg-w -L-\-nn, n^Z. Указание. 6sinx—гсов3*-.6 sin 2xcos 2xcos x ^^cOv_tn сг;„„ о __сз „ с-:„.,„ ?=

, coszxû, о sin x—z cos x=osinxcos r2 cos 2x *■

3sin x—cos3x=3sinxcos2x, 3sinx(I—cos2x)—cos3x=0, 3sin3jc—— cos3x = 0, cosx^=0, 3tg3x=l и т. д.

135. x= — JL+2rzn, n<=Z. 136. х=я, x=i-n. Решение6 6

2sinxcosx-f-2sinx+cosx+ 1=0, 2sinx(l-|-cosx)-|-(l-f-cosx)=o,(l+cosx)(2sinx+l)=0. a) cosx= —1, х=(2и-|-1)я, 0<С(2л++ 1)я<5, — 1<2л<-1_1, — '<n<A- ' Так как ne=Z

л 2 2л 2 '

тол = 0их=я. б) sinx=—-i. I)x= — 4 + 2ftn, 0< — ±+2kn<2 6 6

<5, _^<А< J- + .L. Так как fteZ, то ft=0. 2) x=^-n+2ftn,0<In+2fcn<5, -i.<2ft<i._ 7

_ 7<fe< 5 7TaR

6 6 я 6 12 2л 12

как fteZ, то А = 0 и х = — п.6

137. х=Ая, x=(2/i+l)JI,x=(3m±I)iL, ft, л, meZ.Z о

138. х=( — 1)*JL+An. х=±+2пл. A, neZ. Указание

log2^(_y=*, ^=(2Т)',2-* = 23', /=-3. 3sinx-cos(n-— 2х)=2, 3sinx+cos2x=2, 3sinx4-l— 2sin2x=2, 2sin2x-— 3sinx+l=0 и т. д.

139. х=±(я—arccosl-j+2Ая, x = ±arccos Л + 2яя, А, яе/-

140. x=±7o36' + 180°ft, х=±60° + 180°л, ft, neZ. 141. х=

= (2А+1)-£, Ae=Z. 142. x=--*-+An, A«=Z.

143. х=±—+2лл, neZ. Решение, tgx+sin 2x+-^-==3 I-|-Sin*

= l + l-cos(|-+2x), tgx+sin2x+-^7=2+sin2x, ^ +

cos x__9 sinjc+sin2x+cos'x ...о sinx+l _o< sjnjc_£— 1

l+sinx cosx(l-bsinx) cos x(l +sin x)-J- = 2, cosx=±, х=±-£+2ля.cos x 2 3

144. х^-Л+ля, x=(-l)*+1arcsin^f + An+ *n, k&1

4 6 4

145. jc=JL(2« + I); neZ.

146. x=4,0311, x=2,2519, x=±n, *=-§-n- РешеНйе

64cos22x — =0, f 8 cos 2x4 —) • (в cos 2x ^^=0.sin4* V sin2*/ V sin*-* /

162

n8cos2*+-—Ц-=0, cos2jc=jM, 8cos2x — 8cos2 2x + 2=0," 1— cos 2x

■ '

gcos22x —8cos2x—2 = 0, 4 cos2 2x—4 cos 2x— 1 =0, (2 cos 2л:—

—1)2=2, 2cos2x-l = ±^/2. С052х=Щ^-. a) cos2jc=!±£> 1,

x=0; 6) cos2jc= ^—, 2*=±(n—arccos^^-) + 2/bi, x=

= ±}X (я — arccos^^+fen. *=y(n—arccos^J-)+«J-(n— arccos 0,2071)+А:лда ' (л— 1,3622) + fen, Л<_!_(п —

_l,3622) + ftn<-|л, 0<—0,6811 + Лл<л, 0,6811<ftn<n+

+ 0,6811, M§<fe<i_|_M8. так как *eZ, то k=l и x, = _L(n-

Ля;

л 2

-l,3622)+n=±-l,7793+3,l415«4,0311. x = -±(л — 1,3622)+

+ /Ы, -J<— 4"(n- 1.3622)+ Ая< -In, я<0,68П+Лл<2я, я-

-0,6811<*я<2л-0,6811, i_M§ii<A<2-5^^. Так какл л

ke=Z, то *=1 и дг2=--1(я-1,3622) + я=--1-. 1,7793 + 3,1415»

«2,2519. 2) 8cos2x = 0, cos 2x^=1, 8cos 2x—8cos22x —

1 —cos 2x

-2 = 0, 4cos22x —4cos2x+l=0, (2 cos 2x — 1 )2 = 0, cos2x=_L,

х=±-£ + лл. а) х=-л-+пя, I<I+m<in, ^.-^.<n<< ——-L, _L<n<l_L. Так как n^Z, то п=\ и х3=-л- + я=

2 6 3 3 6

6 ' 6^ 2 6 ^2 2^62^

+-г, -1<л<1—. Так как neZ, то я=1 и х4 = — 4г+я = -|-я-«33 66

147. х = 2=2, х=^=1, х = &*=*, х=25л^6> х=5л^64

'

4'

12 12 12'

_17л—6

~~

12 '

148. x=-|n. x=Ln, х= 1,7856, х = 2,9266.

149. х= 1,8088, jc = 3,3796, х= 1,3326. х=2,9034. х=4.4741,*^ 0,2381.

150. x=(2*+l)il, лг=(12Дг— 1)Л, AeZ. Решение.

^ S'H jc sin 2ж=5 cos х + 4 sin 2x, 4 sin2 ж cos x—5 cos х — 8 sin x cos x=

^О. cosx(4sfn2x—8sinx — 5) = 0. 1) cosjc=0, x=(2n+l)JI, или

163

2) 4 sin2*—8 sin x — 5=0. a) sin *=2-i->0, x=0, или б) sin^^

= — -1, *=( —1)"+1 — -\-nn; эти значения х будут удовлетворяв

уравнению только при n = 2k, т. е. х=(—1)2*+|-^--|-2Ля или я-^

= —JL + 2*n.6 ^

151. х=^ + 2пп, х=^+(2л+1)я, neZ.4 4

152. х= — arctg0,6-|-nn, neZ. Решение. 1+tg x + tg2 *-f+ tg3■*+•-- — бесконечная последовательность. Так как |tgx|<[

то имеем бесконечно убывающую прогрессию, в которой fti = i'i i cos(2n-y) 1

g=tgx и S = -.—-—. Получим: -;—-— = — -—-— —

лCOS -5- ,

=■

3. l-tgx=2Vl-tg2A:,(l-tgx)2=4(l-tgx)(l-(-tg4

Vl-tg2*(I-tgjt)(l-tgx-4-4tgjt)=0. a) l-tgx=0, но tgjt=jM, x=0.

6) — 5tgjt — 3=0, tgjt= — .1, x= —arctg0,6+nn, ne=Z.5

153. jc=±arccos^p + 2nn, neZ.

2t(f -—cos x-

* 2

= (36'ogJb25_| 10 эй**). J_ 22lg2 c°s"=(25 + 5-6).!

154. x = (— l)"2i + (4n — l)il, beZ. Указание. 24 4

[36 log* 2!

22tE2""C°S* = 22, 2tg^-cosx = 2, 2(1~COSJC)-cosx=2, sinxÔ,2 sin*

2 — 2 cos* — sin x cos x=2 sin x, 2 — 2(sin x+cosx)—sin x cos x=0,

sinx + cosx=i/, l+2sin xcosx=i/\ sinxcosx=- , 2 — 2y—О 4

—

~

=0, f/2 + 4y—5=0, t/i = — 5 и 1/2=1. a) sin x+cosx= — 5,

x=0, или б) sinx-|-cosx= 1 и т. д.

155. x=(-l)"+lyarcsin:)§-+90on-I7o30', «eZ. 156. x=

= (2л+1)л, x = (-lj* Л + fcil+fe JL. n, teZ. 157. x=—arctg2+

+ *n, x=± JL+2nn, ft, ne=Z.

158. x=(2n+l)JL, x=2kn, x=JLkn, n, k<=Z Указание

ф 2 2л/2 4 4^ I+-J— V2+1 V2+'V2

164

sslog2l=0, 2сов5хсоз2х — 1 — cos4x + 1 — cos6x = 0, 2cos5xX^ cos 2x — (cos 4x+cos 6x)=0, 2 cos 5x cos 2x — 2 cos 5x cos x=0,

2 cos 5x(cos 2x—cosx)=0 и т. д.

I59. x-i + пя. neZ. Решение. tgx+ Jgj^?QO =

__ j sin x cos * cos 20° cos 40° fgJC ■ cos 30°— tgx cos20°cos40°

*"

2cos2* sin 20° sin 40°*

sin 20° sin40° sin 20° sin 40°

tg x sin 20° sin 40°+cos 30°=tg x cos 20° cos 40°, (cos 20° cos 40° —

- sin 20° sin 40°) tgx=cos 30°, cos 60° tgx=sin 60°, tgx=tg 60°, x—

-60° = 180°n, х=60°+180°л или х= JL+tm.

160. x=(2n+l)JL, neZ.

161. x=kn, х±^- + 2лл, k, n^Z. Указание. |sinx|<l, 1 —

—sinx+sin2x—sin3x-|-sin4x—...— бесконечно убывающаягеометрическая прогрессия, в которой 6i = l, д=—sinx, S= . . Получим:

I— cos(-*- — 2x) I— cos(-£-+2x) / ч+ ^ - ^ '-=0, 2sinx+l—cos( Л —2x) -

2 2 '44/

-l+cos(il + 2x) =0, 2sinx + cos(il + 2x) -cos(-J-2x) =0,

2sinx —2sin Ys'n 2x=0, 2sinx—-\/2-2sin xcosx=0, 2sinx(l —

—V2cosx)=0 и т. д.

162. jc=-in, x=JLn, x = JL, x=JL, x = J-n.18 8 18 8 18

163. x= —i-n, x = JL, x=JLn. Решение. т/х+ЖЗ,4 4 4

Л/2( sin jccos—J0<х+я<9, -л<х<9-л. (1) tg2x-tgx= K

cosx

\'2 (cos x sin — )4 4 / , 2 i sinx—cosx

,„ . j .

, tg-'x —tgx= , cosx^=0, tgzX —tgx =

COS X " & COS X & &

-tg*—1, tg2X-2tgx+l=0, (tgx-l)2=0, tgx=l, X = -J-+rm,х=(4л-|-1)—. Подставим найденное значение х в неравенство (I):

-n<(4n+l)|-<9—л, — 4<4п + 1<^~ — 4, -5<4п<^—5,~~Т<л< —

— 4-- Так как «eZ, то п= — 1. 0. 1 и Xi = ——л,4 л 4 4

ДГ2== л„ 5 _

т,хз-тл.1G5

164. х=у(2n+l), jc=— 2у, *=—у- Указание. ц3

уравнения видно, что cosxÔ, а потому —cOS* . =cos jc, cos^y

(*+f)2

165. Jf=arctg2-f-/m, яе2. 166. x= — 1+пл, x=( — 1)"+1Л-|.4 8

+ nJL, neZ.

167. x=~Ln + 4nn, х=±-1л+4-*л— *«, AeZ. P e ш e-

о 9 3 18

ние. 2sin(x+^)+2sin(^-|)=2V3(fsin(-l + -i)) +

+ TCOS(t + 1) ' sin(*+f ) + 5Кт~т) =V3sin(| +

+ T+*)' 2sKt + H") Чт*+й)-тМт+Яя) =0.

8,п(т+яя)(2см(т*+я)-^-0- a> «"(-!■+£«)-o,T+^=nn' ^=-|n + 4«n. 6) cos(4x+^=^, |x+

24 6 9^3 18

168. x=JL+2kn. x=-Л+2лл, к, n<=Z.

169. x=0. Решение. I+sin27jt—3sin 7xcos7x+5cos27x==(a—6) (sin2 7x+cos2 7x), 1 — 1 + (sin2 7x+cos2 7x) + sin2 7x -

—3 sin 7x cos 7x+5 cos2 7x=(a—6) (sin2 7x + cos2 7x), (8—a) sin2 7x++(12—a)cos*7x—3sin 7xcos 7x=0, cos7x=^0, (8—a)tg27x-

— 3tg7x+(l2 —a)=0, D = 9—4(8—a)(12-a)=9—384+80a-—4a2 = — 4a2 + 80a — 375. Уравнение будет иметь решение в R, если

-4a2 + 8a-375>0, 4a2-8a + 375<0, a2-2a+ 5Z5<0, (a-1)2-4

- 1 + 375<0, (a-1)2< -375

<0, X-0.

170. *=*y. x=±JL + nn, k, ns=Z. Решение. 2sin3(2x)== tg2x —2sin2*, 2(3sin2x —4sin32x) + 2sin2x—tg2x=0.8sin2x—8sin32;t—tg2x=0, sin 2x( 8—8 sin2 2* x—\ =0.

" V cos 2* /

a) sin2x=0, 2x=kn, х=*Л. 6) cos2x=?fc0, 8cos22jc Цг-0'2 cos 4.x

8cos32x= 1, cos32x= _L, cos2x = -L, 2x= ± Л + 2/m, x= ± -g-+nJI-171. x=(2fc-|-I)JL, х=(-1)яЛ+Л(4п-1), k, n<=Z.

4 8 8

166

172. x=kn, x=-£+ 2кл, *eZ. P e ш е н и е. sinf 1 __|2го5*-Дхб V 2cosx—1

vsinx—sinx) =0. a) sinx=0, x=kn. 6) 1—sinjcf l2cosJC~'l +74 / \ 2cos*— 1

_{.Л=0. 1) cosjO-L, 1— 2sinjt=0, sinx=-L, х=Л+2*я.

9}cosjt<-L, 1+ 2cos*~-sinx—sinx=0, I + sin x—sinjt=0,' 2 2 cos x— 1

ЛТ=0-173. лг=(2п+1)я, neZ. Решение. 1 — cos2 ( Л cos л: — An) =

s=0, 1— cos2(2n+-?-n— JLcosx) =0, sin2(i-n—Jlcosx) =0,

("-(!+TCOS*))=°' -n(^+fcOs,)=0. J±(l +. 9

sin

-|-cosx)=kn, cosx=3£—-1. Это может быть только при 0^Л^._.

Так как AeZ, то Л=0, cosx= —I, дс=(2п+1)п.174. л:=(2л+1)-|-; ne=Z. 175. х = ±arctg(V2+ 1)+2кл, х =

= — -i-arctg(^— 1)+(2л + 1)у,Л, ne=Z. 176. х= —-J + пя, ne=Z.4 2 2

177. л: = — —я, д:=—л, х= — -—я. Р е ш е н и е. sinjt-|-tg.jc=3 3 3 ' Б

='-"*'*

, sinx + tgx =sin'*

, sin*=^0, sinx+tgx=:-^^,2sin л:cos л:e

2 sin xcos x&

2 cos*

sinx-f-tgA:=i- tgx, 2sinx + tgx=0, cosxÔ, tgjt(2cos;t+ l)=0.

a) tgx=0, х=Ал, но sinjc=jt0, т. е. хфкл. б) 2cosx= — l, cosjc=

=

—§-. *=(3*±1)-|«- 1)х=(ЗЛ+1)|-я, -Ая<(ЗЛ+1)|.я<я.-4^3*+1<4' —"6"^fe<"6- Так как *eZ*то *——1« °и

xi = -4-". *2=-§-*- 2) x=(3ft—1)4«. -A"<(3*-1)4"<".<3 о 3 3 3

-|<Й-1<|, — -1<*<А. Так как teZ, то k = 0 и дг3 =

-4"-178. *=**=-**=*

4 6 6

179. x=kn, x=±{2n-\-\)JL, n = 2m, k, n, m^Z. Решение.

а) Isinjcl = sinx, если sin х^О, тогда sin jc=sin |дг|. 1) jc—\x\=2knили 2) \x\ -\-х = {2к-\-\)л. Если х>0, то имеет смысл только

равенство 2), т. е. х=(2п-\-1)—, где п = 2т (так как sinjcÔ). Если

*<0, то имеет смысл только равенство 1), т. е. х— (—x) = 2kn,x=kn.

167

6) Isinxl = —sinx=sin(—x), если sinx<0, тогда sin( — x)=sin \X\1) |x| — ( — х)=2*л или 2) |x|+( —х)=(2£+1)л. Если x>0, To

имеет смысл только равенство 1), т. е. х-|-х=2Ля, x=kn. Если х<ото имеет смысл только равенство 2\ т. е. —х—х=(2п-\-1)п, х^= —(2л+1)Л , где n = 2m (так как sinx<0).

180. х = ^+пп, х = (-1)*-£-+Лл--^, п, fceZ:

181. х=пя, x=(2n-|-l)—, neZ. Решение. cos6x(l + tg2x)-fi *_2 1 cos6jt(sin2 x+cos2 jc) . sin2* i ,n с i • 2+ tg'4x=l, » —^ +

"= 1. cosx=?£0, cos6x + sm2x =

COS JC COS X

=cos2x, cos6x=cos2x—sin2x, cos6x=cos2x. a) 6x—2х=2Ал.x=ftil. Эти значения х будут решением уравнения только приА = 2л, т. е. х=яя. б) 6х+2х=2Ал, х=Лг-^-. Эти значения х будут

решением уравнения только при Л = 2я+1, т. е. при х=(2л + 1)-^182. х= Л, х= А я. 183. х = 0, дс==2п, *=-£■• ^=|n184. x=ft-JL, fteZ. 185. х=Л. x=JL. 186. x= —-!л, x=

6 7 9 2

= —я, х=Л. 187. х=я, х= Л, х= —Ал.2 3 3

188. х= —2, х = — 1, х = 0, х= 1, х = 2. Решение. 25 —4х2^>0, х2<—, |х|<А, — А<х<А. 6sin nxcosnx-[-8sin лх=0,—

4* '

2 222 sin ях(Зсобях+4)=0. a) sinnx=0, лх = &л, x=k, fteZ, —А<

<Л<А.Таккак*€=г,тоА= — 2, —1,0, 1,2их=—2. —1.0, 1,2.4

б) 3COS ЛХ + 4=0, С05ЯХ = —

у < — I, Х=0.

189. х=(—iyi + яу. n«=Z.

190. *=±-у+Лл, x=±yarccos-~ + nn, ft, «eZ. Реше-

_ , , о 5 п . 1 —cos 2л: 5 о / Iни е. cos2x+tg'!x=1g-, cos2x + 1+cos2jc =-g • cos2x^= —'•

cos 2*+cos2 2x+1 -cos 2x= j^ 6cos'2x+6 = 5 + 5 cos 2x, 6cos22x-1 -J-cos 2x 6

-5cos2x+l=0, cos2x=î-. a) cos2x=y, 2x=±y + 2fcn.

x=±— + ftn. 6) cos2x=-L, x= ± J-arccos JL-f-нл.6

'3 2 3

191. x=kn, AeZ. Решение. -\J 1 — cos2 x—2 sin x =ctg2 (3X

Xl80° + 90°), Vsin2jc—2sinx = ctg90°, în x(sin x—27=°-Выражение под радикалом имеет смысл только при sinx = 0, x=Ît-

168

192. x=Jl+ Алл, neZ. Решение 3cos3(An — 3x) =

^— -^54 cos (360^— 60°), — 3 sin3 3x = — -^54cos 60°, 3sin33x=

^ШТ, sin33x=l, 3x=JL + 2nn, x=JL+2.nn.v2 6 3

193. x=±-^ + nn, nsZ. 194. x=( — l)"+i—+2nn — JL, n<=Z.

195. x = feJL.feeZ. Решение.2

-Jsin22x + | cos(An — 2x)| + A=cosAn,

-Jsin22x+ |sin2x| + _!_ = cos(2n — JlV

д/ |sin2x|2+ |sin 2x1+1 =cos-J, Y(|sin2x|+-2-)2=T'|sin2x| + A= A, |sin2x| =0, sin2x = 0, 2х = *л, x = ft-£.

A A £,2 2

196. x = 74°03', x = 254°03'. Решение.

28_ 0. 4 sin x — 49 cos x

4 sin jc—49 cos x

cos3 x—sin3 x

28 ,o.2 + sin2x

*

(cos*—sinx) (1-fsin xcosx) 2(1+sin xcosx)4sinx-49cosx-14cosx+l4sinx =0 СОБХфБтХ, l+sinxcosx^0

(cos x — sin x)(\ -(-sin xcosx)

при xelf, 18 sin x — 63cosx = 0, 2 sin x — 7cosx = 0, tgx = 3,5,x=arctg3.5 + nn«74°03'+180°n, — 90°<74°03'+180°n<270°.Так как neZ, та n = 0, 1 и x,=74°03', x2 = 254°03'.

197. x= —An, х=Л, х=Ал, х=Ал, *=Нл.16' 16 16 16 16

198. x = (2ft+l)An, х = (6л±1)Ал, ft, nsZ. Решение.

2cos3JL = l-sin2iL, 2cos3A_cos2JL = 0, cos2 M 2 cos А- Л =0.5 5 5 5 5\ 5 /

a) cos.f- = 0, *=(2fe+l)JL.5 5 2

"g- = ± -j- + 2лл, х = (6л±1)ул.x=(2ft+i;|n. 6) COS-f- = A,'

5 2'

199. х=(-\)"^- + пл, n<=Z. 200. х=-Ал, x=--£.201. * = ftf-, х=2ил, x=(2n + l)~, n, fte=Z.

202. x = n^-, n^Z. Решение. Asin 2xcos 2xcos8x=y sin 4x,

sin4xcos8x = sin4x, sin4x(cos8x—1)=0. a) sin4x = 0, 4х = Лл,

*=*-?-. 6) cos8x=l. x = nJL.4 4

203. x=(2n + \)±,x=(-\f+,± + kf, n, fteZ-

204. x = (2n+l)-^, x = k^, * = fty, n, fte=Z.

169

205. x=~ + 2kn, x= -^ + 2kn, x=~n + 2kn, х=^+(2к+\)п*gZ. Решение, д/2 cos2 x — У 2 sin2 x = I, y2(|cosx|_

— |sinx|)=l, |cosx| — |sinx| =y-. 1) cosx>0 и sinxX), тогда

2fen^x< y+2ftn (I), cosx —sinx = —, sin (y — x J —sin x = iii

2cosfsin(^-x) = f ^n(±-X) = f. sin^-x)^,sin(x-T)=-i^-T="(-,r+,f + "-. *=(-i)"+'f +

4-ПЛ + -7-- Эти значения х удовлетворяют неравенству (I) только

при n = 2k, ke=Z, тогда x = {—\fk+,^ + 2kn + ^, x=—~-\.

+ 2kn + ^-' x = ^-\-2kn. 2) cosxlSsO и sinx<0, тогда —

y +

+ 2Лл<1х<:2Лл (2), cosx+sin x= —, sin (y —x )-|-sin x = —

2sinT-(T-) = #.cos(^-x) =

T, cos(x-^) = ±.

x-^ = ±T+2ftn, x=± T+2ftn + -^. a) x=-y + 2fen +

-\-~r= —To + 2Ал. Эти значения х удовлетворяют неравенству (2)

при feeZ. б) х=у-|-2An + -^-, х= —n-f-2fen. Эти значения х

не удовлетворяют неравенству (2). 3) cosxÔ и sinxÔ, тогда

у + 2ftn^x^n + 2feii(3), — cos х —sin ^ =-9". sinx + cosx= —у-'

/ n \ 1 л,210, .2.тогда cos tx —

-г- J =

2". * —

-4-= ±-3-^ + 2*11, x= ±ул +

+ 2fen + -^-. a) x=—-л + 2Лл-|--^-, x = —n-f-2ftn. Эти значения х

удовлетворяют неравенству (3) при k^Z б) х= —л-|-2&л++ _4~. *=— у2л + 2Лл. Эти значения х не удовлетворяют нера

венству (3). 4) cosxÔ и sinxÔ, тогда л+26л<1х:^ул +

v2 \/2 г- / л \_--|-2&л (4). —cosx-|-sinx =

-2-, sin х—cosx =

y-, y2sin I х— ~г )"

-|-пл+ —. Эти значения х удовлетворяют неравенству (4) только

при л = 2Л+1, feeZ, тогда х= --*-+ (2ft + I )л +-^, х = ^ +

+(2fe+l)n.206. х=(4и + 3)^, *=(2fe + l)£, и, fteZ.

207. x=(2ft + I)y, x= d=~ arccos'

g

7+ n|, и, teZ.

170

208. х = ~ -\-пл, Jc = arctg"2 + An, n, ki Решение.

cos 2* — 3sin2*+3 = J-n — -|л, cos 2x—3sin 2х+3 = 0, | |g;* —

_-^Ч- + 3=0, l-tg2x-6tgx+3+3tg2x=0, 2tg2x-6tgx +

+4 = 0, tg2x — 3tgx+2=0, tgx=l и tgx = 2. x =

-j + nn и

x=arctg2 + fen.

209. лс=Л + 2*я, x = -l + 2nn, k, n^Z. Решение.2 з

' '

jL(l + cosx)(l — ^/sinx)=V2cosx — д/2 sin x cos x, -?-(l +cosx)X3 3

X(l —Vs'n Jf)=V2c°sJt(l — Vs'n *)• (1 — Vs'n x) (л/2cosx — -=—

— ycos *)=0. a) -\în jc = 1, sinx=l. x = ^-+2kn, или

б) Зд/2 cos x~ 2 cos x—2=0, Зд/2 cos x = 2( 1 + cos x). Обе части

уравнения больше нуля. 18cosx = 4+8cosx-|-4 cos2x, 2cos2x—— 5cosx+2=0. a) cosx=2> 1, x= 0. 6) cosx = -1, x= ± у +

+ 2лл. Условию удовлетворяют только значения х=-5- + 2лл.

210. х=± — + пл, neZ. 211. х= —— + 2/гл, х= —+ лл.

6 2 4

ft, n^Z.

212. х=/гл, х=п —, k, n^Z. 213. х= ±-£ + Пл' "ег- Указа-12 о

ни е. гБтС^ + гх') + 2tg2x = 5, 2cos2x+2('~coso2x)=5, cos2x=?fc

Ф— 1, 2cos2x+2cos22x + 2 — 2 cos 2x = 5-f 5 cos 2x, 2cos22x—— 5cos2x— 3 = 0 и т.д.

214. х=у+2пл, neZ.

215. x=arctg-5- +пл, neZ. Решение. cos2Xt^0, x=^

¥=(2n + l)y, ctgx=2cos2x+sin2x, -p-^-=2cos2x+siri 2x,

—*~^-=2cos2x + sin2x, sin 2x^=0, x = k-j, 1+cos 2x=2sin 2xX

Xcos2x+sin22x, 1 — sin22x + cos2x=2sin 2xcos2x, cos22x-f+cos2x —2sin2xcos2x=0, cos 2x(cos2x+1 —2sin2x)=0, cos2x=?£=¥=0, а потому cos2x+l—2sin2x = 0, 2cos2x—4sinxcosx=0,cosx(cosx — 2sinx)=0, cosxÔ, так как в противном случаеуравнение теряет смысл, cosx—2sinx=0, tgx = — x = arctg-2" + 'm-

216. x = -j-\-nn, n^Z. 217. x= —

-j- + 2/m, neZ. Решение.

VcbsT=-^sinx, {cons"x§0. ТоГда -f+ 2/гл<х<2/гл.

171

cosx=-^/2sin2x, cosx=-\/2(l — cos2x), V2cos2x+cosx— ^/2=qcosx= ——. a) cosx= — -у/2< — 1, x=0. 6) cosx=^-, л=а:

= ±-^-+2/1л. Условию удовлетворяют только значения ^

= -2-+2ЛЯ.218. *=^. х=—^я, х=^л. Решение, sin (х+-£-) = 1

а> *+т=Т+2пп> *=(48л + 1)^, -|л<(48п + 1)^<Л)— 36<48л + 1 <24, —5<«<f|. Так как neZ, то л = 0 и х,=-0.

б) *+т = Тл+2'"1- * = Йп + 2пп' *=(48л+17)£, —§-п^<(48п + 17)^<л, — 36<48л + 17<24, -53<48л<7, -1^^"^48" ^8К КЭК "е^' Т0 "= — 1' О И Х2= —24Л, Х3 = 2ТЯ.

219. х^я. X=JL. 220. х=-|я, х=—Ln, х=—1.

X =

-j-. * = -4"л' JC = "4_Jt' ^^Т11" ^'* х = *л' JC=(~l)"y+'IIl++ -^-, /г, «gZ.

222. х = /гл, x=(8m+l)^ , fce=Z. Решение. tgx(tg22xtg23x-i\ /*_<■»„ i*o\/io io\ * sinJ2jrsin23x—cos2 2л-cos2 Эх

-I)=(tg2x+tg3x)(tg2x-tg3x), tgx cos*2xcos*3x=

sin 5л: sin (—x)—

,„ 2o , cos 2x^0, cos3xt&0, —tgxcos5xcosx=cos2 2x cos2 Зх а

= —sin5xsinx, sinxcos5x=sinxsin5x, cosx=jfc0, sinx(cos5x——sin5x)=0. a) sinx=0, x=kn. 6) cos5x—sin5x=0, cos5x#0.

tg5x=l, 5х=^-+/гл,x=(4/i + l)^. Эти значения х удовлетворяют

данному уравнению только при п = 2т, т. е. x=(8m-f-1)^.'20

<>т т о *- = /Ят-1_Г,'20

223. х = (2л+1)-^, x=(-l)*arcsin^ + n|---|, n, k<=Z-

224. х=/гл, fteZ. 225. х=2/гя, x= —

у +2тл. k, me=Z.

Решение. 2cos2x-vtosx =1 +cos2x+-^=^(l —-\/cosx), 2cos2x^Jcosx =

=2cos2x+^(l —VcbI7), 2cos2x(l-Vcos-x")+^(l-Vc^^)=0-(1—Vcosx) (2cos2x+-5^JL)=0. a) l-V«>sx=0, cosX='-

х=2£я. б) 2V3cos2x+sinx=0. 2д/3—2V3sin2x+sinx=°-172

2-y3sin2x—sinx—2-\/3=0. 1) sinx = -^r>l, x=0. 2) sinx =

л/3_ — —-' x=(— •)"+1"т+пл- Эти значения х удовлетворяют урав-

нению только при л=2т, т. е. х=(—О'+^-^+гтя, х=

^--J+2/пл.226. х=(2/i + l)-g-, х=-^-+/гя, п, feeZ. Указание.

ctg 3x(tg x-ctg 2x-1) (tg xctg 2x+ l)=(tg x+ctg 2x)(tg x-ctg 2x),_ sin x cos 2x—cos x sin 2x sin л cos 2x+cos x sin 2*

сь cos .jrsin 2.* cosjtsin2jr

sin jrsin 2at+cos jccos 2x sin *rsin 2x —cos xcos 2дг . n . „ ,_

—, Sin2x=^0, COSX=jtO,cos x sin 2x cos * sin 2x

sin (—x)sin 3x cos x{—cos 3x) .

ctgox j—r-sr;—=• -,—r-r-—.— sin xcos3x== — cosxeos3x,6 cos* x snr 2x cos2 x sinJ 2x

cos3x(sinx—cosx)=0 и т. д.

227. х=(2т + 1)л, х=( — If^ + /iy, m, neZ. Решение.

cosx<l, sinx=4sin2xcosx, sin x(4sinxcosx—1)=0. a) sinx=0,х=/гя. Эти значения х удовлетворяют уравнению только при

k=2m+\, т. е. х=(2т+1)я. б) 2sin2x=l, sin2x=y, x=

=(-ir^+«f.228. х=(4Л+3)у,х=(-1У-|-+пл, /г, neZ. 229. х=(2п + 1)я,

ft«=Z. 230. х=2/гл, х=(— 1)"у + лл, /г, ne=Z.

231. х = -|-л + 2*л, fteZ. Решение. V5sinx+cos2x =

= —2cosx. cosx<0, у+2Ая<х<-|л+2Ы 5sinx+l —

-2sin2x=4cos2x, 5sinx+l—2sin2x=4—4sin2x, 2sin2x++5sinx—3=0. a) sinx=— 3< — 1, x=0. 6) sinx =

y,x=( — 1)"-^.-{_пл. Эти значения х удовлетворяют уравнению только

при n=2k+[, т. е. х=-|-+(2/г+1)я, х=^ + 2*л.

232. х=— ~л+4пл, х=±|-л + -|/гя —^. л, fce=Z.

Указание. 2 sin (*+f ) +2cos (| 4- i )= 2V§ (£ sin (J + -=. ) +

Н«*(т + т))' sin(x+^)+sin(f-f)=^(cos^- X

*Мт+т)+^Т«»(т + т))- 2sin(^ + ^)cos(f +

173

+ £) = V3sin(A + | + ^), sin(^n)(2cos(H + JL^-ф^=0 и т. д.

233. х=(3п+2)у, х = ( —1)*0.3л+1,2/гя, п. fceZ.

234. х=--|л+12лл, х=(-1)*+'|-л+4/гл—£, п, ks~Z.с: с: ос:

235. х = (4л + 1)ул, х=±|-л + 5/гл —|^л, п. fteZ.

236. x = Y+2kn, х=—-^+2лл, k, n<=Z. Решение,a) sinxÔ, 2/гл^х^л+2/гл (1), sin x=sin x+2cosx, cosx=zO,х = -^--|-лл. Эти значения х удовлетворяют неравенству (1) только

при n = 2k, т. е. х=у + 2/гл. б) sinx<0, —л + 2тл^х^2тл (2),— sinx=sinx+2cosx, sinx+cosx=0, cosx=?tO, tgx= — 1, x=

= —т-+тл. Эти значения х удовлетворяют неравенству (2) только

при т = 2п, т. е. х=——+2лл.

237. х = -|л+2/гл, fceZ. 238. х = 2/гл, х=-|л + 2/гл, fteZ.

239. х=-|-л + 2/гл, fteZ.

240. х=л| при пфЬт, х = п^- при пф2т, x = -^(2n+l), neZ

Решение. sin5x(sin7xcosx — sin-^-cos-5-xj = sin25x(sin-^-xcos-^- +

+ sin x cos 7xV sin25x (sin 7xcosx—sinxcos7x—sin-^-cosyX—3 x \

—sin-^-xcos—J==0. a) sin 5x^0, так как при этом правая часть

уравнения не имеет смысла, б) sin 6х—sin2x=0, sin 6x=sin 2x.

1) 6х —2х=2лл, * = лу при пф2т. 2) 6х+2х=(2л + 1)л,

*=(2n + l)f.241. х=(6/г±1)^, *eZ. 242. x=(2n + l)~, n<=Z.

243. х=(2л + 1)^, neZ. 244. x=(3rt±l)-|, neZ.

Указание, cos 12x—4cos23x — (cos23x—sin23x)+l =0, 2cos26x— 1 —

— 2(l+cos6x)—cos6x+l=0, 2cos26x —3cos6x —2=0 и т. д.

245. x = ny, n^Z. 246. х=*±-^ + А:л, fceZ. Указание.l2|sinxcosx|

= 5_cos4jc l2|sinxcosx| =5-cos4x, 6|sin2x|-|sinz v-t-cos-* x\=5 — cos4x.

а) sin2x;>0, 2/гл<2х<(2/г+1)л, £л<х<(2/? +1)-£, 6sin2x =

,,5—(1—2 sin2 2x), 2sin22x — 6sin2x + 4 = 0, sin22x — 3sin 2x +

^2=0, sin2x=2>l, x=0 и sin2x=l, 2x=JL + 2/m, x=

"

4

б) sin2x<0, — п + 2/гл<2х<2/т, — ± + kn<x<kn, —6sin2x=

= 5 —(1—2sin22x), 2sin22x+6sin2x + 4 = 0 и т. д.

247. *=*-J, *eZ.

§ 15-

1. x = 0. 2. Указание. Положительные корни заключены в

интервалах ( л, —л) , ( 2л, —л] ( kn, --^л) . Наименьший

положительный корень близок к числу 4,5. Отрицательные корни

заключены в интервалах(-2£±! л, kn\. 3. х«0,6, хж0,9, хж —1.9.

4. Бесконечное множество решений. 5. х«2,6.

§ 16.

1. х=2. Решение. По определению имеем: 2х — 3=1, х = 2.2. х = — 1, х=1. Решение, х2 — 2 = — 1, х2=1, х = ± 1.

3. х= —-1-. Решение, sin (arcsin (х + 1)) =-хч *+' =-о->

2

4. х=2, х=3. 5. х=1, 5. 6. х=0, 2. 7. х=0, х=±||.8. х=±-. 9. х= —2, х= —1. 10. х=1, х=3. 11. х=3, х = 5.

12. х = 2, х=7.

13. х = 0. х=1. Решение. arcsinx = a, sina = x,arccosi/J— * = Р, cosp = Vl—x. Так как 0<р<л, то sinp>0, a

потому sinp= V1-(V^-^f=V1 — 1+х=л/х, а = р, sinct=sin р.*=V*. x^sO, х2 = х, Xi=0, x2=l.

14. х = 0. 15. х=0, 1. Р е ш е н и е. sin (arcsin 6x)=sin (arccos8x),6х=л/1 —64x2 (1). |6х|<1, -±<х<±, |8х|<1, -±<x<_L,

т- е. область определения уравнения будет |х| ^—-, но из уравне-8

"ия (1) имеем: х^О. Получим: 0<x<-L З6х2=1—64х2, 100х2=1,О

■*

^ттдс- *i =— —- не удовлетворяет уравнению.

175

16. *-У53. "■ *—-^. *=*£•x=018. x=0. Решение, arccos -\J 1 — 1 бх2 = a, cos a = -yl — HJ?

16x2<l, |x|<±, -±<х<±(1), arccosлД — 12х2 = р, cose*.4 4 4

= Vl-12x2, I2x2<l, 1— <x<~ (2). Из (1) и (2) следует:2"уЗ 2-уЗ

— _L<x<~ (3). 2ct = P, cos2ct = cosp, 2cos2cc— 1 =cosfi4 4

r'

2(l-16x*)—l = Vl —12л2. 1-32х2=-дД^>2аг2, 32x2<1, |x| ^

<-*-, L^x^_!_ (4). Из(3)и(4) следует: !~^х<^_1__4V2 4V2 4V§ 4-^ 4-vg'

Vl-12x2=y^0, x2 = ±=^, l_32-b^- = y, 8y2-3y-5=0,

y. = -|-<0, y2=l. V1-12*2 =1. l-12x*=l, x=0

19. x=0. 20. x=0.

21. x=0, x=± —. Решение. arctg(x—l)=a, tgo=x—1,

aTctg(x + l)=P, tgP=x + l, tg(в + P)*= ffi+ДР^ ^, a + p =

= arctg—£—. Уравнение примет вид: arctg—^-+arctgx=arctg3x,arctg-^- = a. tga = -^-, arctgx=p, tgP=x, cc + P = arctg3x.

2 —JT 2-х2

a + p=^Jl, arctg3x^-J, тогда tg(ot + P) = tg(arctg3x),2x

tg«+tgp =3x> W+* =3x, 2x+2x-^ = 3 ,(_Л=*!__3) =01-tgatgp 2X8 г-^-Йх2 ^ 2-Зх2 /

12-х2

a) x,=0. 6) 4-x'-6+9xi==0. ^±Îi тогда 4_Х2_6 + 9ЛГ2=

=0, 8x2 = 2, x2 = —, x=±-L. Найденные корни удовлетворяют

4 2

данному уравнению.

22. х=д/Е1. 23. *=-^(5-2л/2).24. x=tgAn, пф2к,пе.Ы. fteZ. Решение. narctgjc=fe't-

heZ, feeZ. arctgx=—л, x = tg—л, но пф2к.

25. x=J-. Решение. arcsin2x=a, sino=2x, arcsinx=P-

sinp=x, тогда о + Р=-Н-л, sinacosp+cososinp^^, 2xcosP+

176

1, *=±-L.4 2

л/3j-xcosa = y- (1). Так как — -jLârcsinjc< —, то cosp>0 и

cosa>0, а потому cos p = -\J 1 — x2 и cosa=-у 1 — 4X2 .

Уравнение (1) примет вид: 2x-\J I — x2 +x~\J\— 4x2 =^. Из этого

уравнения следует, что 0<х^ —. Решим это уравнение: дг~\/1 —4JC2 =

^-2x^1-х2, х2-4х4=А + 4х2-4х4-2л/Э*У1-х2,2УЭ*Х

><-/l-x2=3x2 + i-, 2xV»-^2=V3^ + —, 4x2-4x4 = 3x4 +

+ Д+|х2, 7х4-|х2 + 4=0, 2x4-10x2 + | = 0, ^ = 25-

-28|- = 25-21=4,-д/^ = 2. *2 = -^-. a) x2^

но x>0, а потому x=-L. б) x2=A, jc=±—"\/—. но x>0,j2 28 2 V 7

а потому x=—~\l —. Но найденное х не удовлетворяет уравнению,

что подтверждает проверка.26. х=0. 27. х=0. Решение. Рассмотрим очевидные не-

Osârcsin х< —,

равенства:2 Возведем в квадрат каждое из

0<arctgx<-^данных неравенств и сложим, получим: 0=^(arcsinx)2 + (arctgx)2<

2

<-—. Следовательно, данное уравнение не имеет решения.

28. х=0. 29. x=-L. 30. х= — 1, х = 0, х=\. 31. л:= -1-.

32. х=1. 33. х = 6. 34. x=JL. 35. x=-L 36. x=-L.4 6 4

37. х= —1, х = 3. 38. х=1, х = 2. 39. х=3, х=4.40. x=sinl, x=sin0,5. Решение. arcsinx=«/, тогда 2J/2—

-3j/+l=0, J/i = -i и £/2=1- a) arcsinx=-i, y<y. a потому

*=sin_L. б) arcsinx=l, 1 < —, а потому x=sinl.

41. x = cos0,5. 42. х=—tg-L, x = tg0,5.4

Глава II$ I.

>• *=±у+2*л + у, t/= + y-2fen + y, fteZ. Решение.

cos it4 cos ^=4 = cos-2-, 2cos-=- cos±=± = cos■£, cos-î£=-±-,2 2 8 8 2 8' 22

~^-= ±-^-+2fen, x — y=±— л + 4£л. Получим:

177

х—у=±-1л + 4А:л;О

x=±^+2kn+^.

2. *=( — 1)пЛ+пл, у=1.л—(—1)" — «л, neZ.о «5

3. x=±±+kn+ * у=т*_/гя+* fteZ- РешениеО 12 О 1Z .

5-2sin(x+#)cos(jc—у)=2(\ -\-cos2(х~у)), 5sin-£cos(jc—y)=l-L.6

+cos2(x—у), cos2(x—у)—JLcos(x—y)-f-l =0, 2cos2(x—y)——5cos(x—y)+2 = 0. a) cos(x—y)=2> 1, x=0, y=0.

6) cos(jc—y)= —, x—y=-± — -\-2kn. Получим:

x—y=± JL-f-2/гл;

4. x=± —+ *, f/=±-L+* + _L, /ieZ. Решение. cos2nx=6 6 3

= ^t 2лх=±^ + 2Ы x=T-L + /s, j/=±^.+*+-i-.5. х=±"+/гл+5я>у==т «_b+5„,AeZ.72 12 12 12

6. x=±—, «=± —. Решение. —2sin *+tf sin *■ v =

8 8 2 2

==2sin^±itCOsi±it> siniiit/cosiiit+sin^^Wo.2 2 2 V 2

'2 /

a) sin^-=0, х+#=2Ля.

решение только при k—0, тогда

x+y=2kn,\x\ + \y\=f-

x+y=0.

Эта система имеет

„ У=—х, 2|дс|=Т'\х\ + \у\=±.

i i л

1*1 =т-

б) COS*+У f-sin^=0. cos^+cos-=±pL=0, 2cos(f+

l*l + l«/l=-J-

/in.

|/=у+2пя.У=-о- + 2ля.

Эта система не имеет решения

при neZ. 2)cos(-|—J.)=0, ± =

Т + пп- х=Т + 2пл-

178

[*| + |0|=т •

Эта система не имеет смысла.

lf-1+w-f-7. x=± + 2kn, y=^ — 2kn, ke=Z. 8. x=~—kn. j/=y—2/гя,

keZ. 9. x=f+(-ir+,^-nf, i,=(_i)ri+„|. + i. neZ.

10. jt=-f+ у/гя, «/=-|-уАя, *e=Z. П. х=-£+2Ля, у =

*|—2Ля, х =

у + 2*я, y=y-2ftn, *eZ. 12. *=±-f+ /гя +

+ |-. у=±-| + *я-£, *e=Z. 13. x = f + kzi, y=±-kn, x =

"

_|_/гя, y=^- — kn, fce=Z. 14. jc=n—4+6/гп, 1/=-|я—4+4*я,x=— я—4+6/гя, f/=—з"я—4+4/гя, £eZ. 15. x=

=(-1Гуагс51П^+п|- + 4-ф+^, f/=(-l)"i-arcsin^ +

+nf + -5-Ф-И- Ф=агс^Т- neZ> ,6- И-Tf + "* +

feeZ. 18. x =

-j + 2kn, y=-j— 2kn, /ee=Z.

»9. x=-^, У=~Т- Решение, tgny=tg (j+ядс).y-jc=/H--L, (1)

2дг2+уг =

у. (2) Из уравнения (1) выразим у через х и,

подставив в уравнение (2), получим: 2х2-\- (x+k + -j} =-»■• 2л2+

+х2 + 2х(А + |)+ (ft + i-)2 = |, з** + 2 (* + -{-)*+ (fc +

Н)2-4=о,|=(,+|)2-з(Л+|)2+1=4-2(Л+|)2.

<-§"• — 1<*<у. Так как ke=Z, то *= —1, 0. a) fc=0, -£=1,З^+у*—^=0,48x2+8x-5=0,jci.2=^^-,Jc1 = -A,x2 = |.»H—l,|.0,x,,,= 3W =

'не удовлетворяет исходному уравнению, так как знаменатель пра-7* 179

7". Найденное значение

вой части уравнения 1 — tg-j = 0. Корень х= ——. Из уравнения (J

получим: f/=—A + T=—-g-

20. *=-А, у=* 21. ж=

'«/= —

- 22. ж=0, «/= —3 .

12

х=~т. у=0.

12 12

Ь2.

1- *=£■•+Ля, £/=-£-—ял, feeZ. Решение. cos(x—y)~

—cos(дс4^=4". cos(x—у)—cos-| =

y, cos(x~y)=l.

*+У=Т>x—y=2kn;

jc=-g- + fen,

У=1Г — kjl-

2. x=(~ir\arcs\n2-^-+n±+f, y=(-ir|arcsinÎ++ni—" , neZ. 4. x=-l + fen, y=Ji —кл; х=Ал + /гл, у=4

л

T= —

-j-— fen, feeZ. 5. х = -£- + /гя, у=-£ + /гл; jc= —-^+/гл, y=6 ' "■"• "

6

= —£. + fen, feeZ. 6. x=-jr±-s-arccos-"ijr--4-/»i, У=Т"^Т'><'

X arccosю

' -/m, neZ. 7. x =

-j- + foi, j/ = -^-— fen; x=y-|- fen,

y=~-—kn, feeZ. 8. х=у + пя, «/=-^-+пл; х=— -j+пя, y—

= —j+nn, n^Z. 9. х=-г-я + /гл, !/=-£-—лл, fteZ. 10. x=

=(-1Г+,й+"т+т^ у=(-1У+,т|+п1-т- "eZ>

11. х = -д-я + пл, у = у—лл; х = у+лл, у = ^-л— пл, «eZ

12. jr—J+nf. y=-=- + «f, ^2. 13. *=-=- + *л. *=-=-+**feeZ. 14. х=у + пл, у=пл, х=пл, у= —

у + лл. 15. х=

= ±у (я— arccos (у c°sl| )) + "*. «/= ± у(я—arccos (j X

Xcos^^+пл, neZ. 16. х=-^- + лл. f/=T~"f' neZ' ,7' *^

= j+kn, y=~-kn, fee=Z. 18. х=-^+«л. y=~- — kn, keZ-

180

§3.l.x=4+«».!/=7-™.«sZ. Решение.

**" *=V3siny,

sin x=-\/3sin (у—*), sin x=-\/3cosx, cosjcÔ, tgx=V3, JC=='T +л л л

-f-rtJt, 4/=^— -3-— «Л. #=^г-— ПЛ.

2. л:=-^- + лл, У=-т" — пл» neZ.

3. х=-£--|-лл, У = -т-— лл, n^Z. 4. x=-£--J-/m, у=лл—^-л,

3 4 4 О

a£Z. 5. jc=-"--f-mt, У=т"—Пл; х=— -j--\-kn, у=-^п—kn,я, fteZ. 6. X~Y ~^~пл' У =

1Г + ПЛ' neZ. 7. л:=у-|-лл, у= —л —

-пл, neZ. 8. jc=—^--|-пл, у =—-g- + nn, neZ. 9. х=у|-|-лл,4i=Y+nn' neZ. 10. х= — -р+лл, #=-j-n —лл, neZ. 11. х=

= -^-+пл, У=-т-—лл, n^Z. 12. *=-?- — ftn, {/=-^-+Лл; jc=

=

—j-— пл, у = -д-л+лл, fe, neZ. 13. х=у-|-лл, y=-?-—пл,

neZ. 14. л:=у + пл,у = -^-+пя, neZ. 15. jc=|--(-nn1i/=-j—пл,neZ. 16. лг=-^- + йл, У=-т~— kn; к=^--\-кл, У=-т—*л, fteZ.

§4.

1. ^=±yarccos(V3-l)+(-l)n + l

у arcsin^-+(n+2ft)!-,1 /5—1 1

{/=(—iy+,yarcsin^-__qr-i.arccos(V3—l)+(n—2ft)y, n, fc€=Z.

Решение. Решим первое уравнение относительно sin(^-|-y):i±V5 i + л/з

sin(x+y)=—-—. a) sin (*+#)=—g—>Ь *=0. l/=0-/o" 1 /q 1

6) sin(x+y)= 5—, x-\-y=(— iy+l arcsin—= Мл. Решим

второе уравнение относительно cos (x—у): cos(x—у)= — 1±л/3-а) cos(jc-y)=-(l + V3)<-l, х=0, у=0. б) cos(x-y) =

= л/3— 1, a-—y=±arccos(V3—1)+2йл.л/3—1

jc+y=(—iy+'arcsin-^ |-лл,

*—у= rfcarccos (л/3 — 1)+2Лл.181

Сложим эти уравнения, а затем вычтем из первого уравнения второе — получим:

x=dzYarccos(V3-I)+(-I)" + 1Yarcsin^^-+(/i + 2ft)|-.y=(-iy + 'i-arcsin^-Tyarccos (VS-l)+(«-2A)|-.

2. x=(-iyJL+ £+(« + ft)JL, 4/=(—1Г# ~f +(«-*)f.12' 8

л, ke.Z. Решение* + !/ = (-!)"£ + «*.

x—у=-£-Ил;

*=(-!)" ■£ + -£+(" + *)-=-.

3. *=-§-**■ У = (Зя-7*)-=.; *=■§-**• j,=(n-3*)JL; *=--£++(я-*)я. у= 7n + (7ft_5n) я. r=(3ft_n+l)

»у = (10п-

— 18fe — 9)Л. Решение, а) 4х+у—(лг+у)=2Лп. 3x=2ftn, х=

= -|*л (1). б). 4дг+у+Аг+у=(2А + 1)л, 5x+2y=(2k+\)n (2)

в) 8х+4у —(л:+2у)=2лл, 7* + 2у = 2лл (3). г) 8х+4у + *+2у=2лл,9* + 6у = 2ил (.4).

1) Решим систему уравнений (I) и (3):x= — kn,

7х-\-2у = 2пя;

о 7 тт

7- —йл + 2у=2лл, у=лл —

-=- *л, у = (3л — 7fcW.

2) Решим систему уравнений (1) и (4):

лг=_£&л.

y=(n-3ft)^.3) Решим систему уравнений (2) и (3):

x=-JL+(n-k)n,

j,= -J.ji + (7*-5n)JL.182

X=—kn,

j,=(3„-7*)Ji.

x= —kn,3

9дг+6у = 2лл;

5л:+2у=(2Л+1)л,7jc-j-2y = 2nn;

4) Решим систему уравнений (2) и (4): 5jt+2y=(2*+l)n,9х-\-6у=2пп;

х=_£+(3*-П)|.,у=- Зя+(5п-9Л)".

4 О

4. х=± JL+л(л + Л), y=±JL+(n — *)п, л, fteZ.6 6

5. x=±±+(k+n)n. y=dt-?.+(k — n)n, n. ke=Z.О О

6. Jc=(2n + 1)JL, у= — _3_л+(л — 4*)JL. л, ke=Z. Решение.4 4 2

sin2 х— 1

sin х

cos2*— 1

= siny.

COSJt

,2 „j_„„c2

= cosy;

cos2xsin x

sin2xcosx

=

— sin

— COS

У.

«/;

cos Jt= — sin x sin y.

sin x= — cos jc cos y.

sin2jc+cos2a:= — (sin Jtsin y+cosjccosy), l = — cos(jc—y), jc—y==

=(2Л+1)л, y=x—(2ft-f-I)n. Подставим найденное значение у во

второе уравнение системы: cosjc !_ = cos(jc—я(2Л-|-1)), cos*—COSJt

— = cos(2fai-|-n—jc), cos*=?fcO, cosx L = Cos(n—x), cosjc—cosx

L_=_COsx:.2cos2x:=l, 1+cos2x= l,cos2je = 0, 2x=(2* + 1)Дcosx 2

*=(2*+l) » j/=(2n+l) »-(2Л+1)я. у=--1л+(„_4*) я.4 ч 4 2

7. jt=|-+2(*-f-mK y=-^+2(*-m)n; *=-^+2(ft + m)n, y =

= JL + 2(ft —m)n, m, teZ

8. лг=±Л±±. arccos^+(* + n)n, y==F -|L±I-arccos^++(л — £)я, л, AeZ. Решение. Запишем второе уравнение в виде:

_smxsiny _J_ од3 первого и второго уравнений системы имеем:cosx cos у 3

! =—, 4V2cosxcosy = 3, cosjccosy = ——.

4\/2 cosx cos i/ 3 4-^/21

Sin X Sin у = •

4-j2"'

cosjtcos y=——. Сложим эти уравнения и вычтем из второго

первое, получим: cos(jc—у)=-^,

cos(x+y)=2-^;x-y=±± + 2kn,

4

х -f- у = ± arccos *- _|_ 2п л;4

183

х= ± ± ± ± arccos Щ+ (ft + п)п,l л/2

У = =F -j ± у arccos—-I- (л — ft)n.9. x=JL±JL+(U+n)%, y=±^^+{n-2k)^, n, k^Z10. x=-j+(k+n)n, y=-j+(k—n)n, ft, ne=Z. 11. *^

= ± 4"arccos 4*4"arccos yg +(" + *K У=т{ arccos -| ±

± у arccos-^+(л — k)n, n, ke=Z. 12. *=(—l)',+laгcsiпO,36V2-^-+лл, y = -J+(2ft+l>i, ft, nEZ.

13. х=|+лл, «/=y-|-ftn; x=—-^+л,л, y=—y + ft,n,л, ft, iii, ftieZ. Решение. Второе уравнение запишем в виде:

2iey ... „

cos jc= „ (1). Разделим первое уравнение системы на второе

3 tg2«(l+tc2i/)уравнение, получим: -—= — ^—^— (2)- Возведем в квадрат

уравнение (1): cos2jc=-—ег . (3). Из уравнения (2) выразим sinx:

sinx== г 2-, sin2x =4 , (4). Сложим уравнения (3)иtg2^(i+tg2!/) tg4i/(l+tg2i/)2 Jr w

(4), получим: 1 = ^±^ + ^_, tg4y(l+tg2y)2=4tg°y++36. tg4y(l+2tg2i,+tg4y-4tg2y)=36, tg4y(tg2y-I)2=36.tg2y(tg2«/-l)=±6.a) tg4y-tg2y+6=O.Z)<O,y=0.6) tg4i/--tg2i/-6=0, tg2y=-2<0, y=0 или tg2y=3, tgy=±V5.

xi=~ + nn,

I 2)tgi/=-V5. ctgy=-V5,У| = -о- + *л.

О tgy=V3, ctgjr=V5.

. 1tg x= —.

*2=—-g- + H,n,

У2=—-r + ftin.

14. jc=2arctg 1+fI1° + 2ft|it, y=2arctg-—р^- + 2л,л; *=

\3 y3

=2arctg-l^L+2ft2Jl, y=2arctg+±^-+2n2n; x=±+2k3n,

у=у+2л3л, nIf fceZ, /=1, 2. 3.

15. x=-J+2mi, y=-j+kn, n, kf=Z. Решение. Запишем

второе уравнение в виде: tgy+т—=2 sin (* + х)- Так как м°ДУлЬ

184

суммы обратных величин не меньше 2, то tgy + т— ^2, причем

знак равенства будет только при tgt/=l или tgy =— 1 Так как

правая часть второго уравнения удовлетворяет условию 2 sin (х-\--[--—) ^2, то второе уравнение может выполняться только в двух

случаях:

(3)а)

б)

sin (* + -=-) = !. (I)tgj/=l;

Xi = — +2nn,

У1 = -^+*л;sin(-J+Ar) = -l, (2)tg !/=-!;

x2= — -^-л+2п,я, (4)

У2=— -j + hn.

Легко проверить, что решения (3) удовлетворяют первому уравнению

данной системы при k и п = 2т-\-1. Действительно, tg (~ -\-2nn J 4-

+ctg(-J + 2w)=2sin(f+(2m+l)n-4«). tg^+ctg-J =

=2sin (~+2тя\, 2 = 2siny, 2 = 2.

Проверим, будут ли решения (4) удовлетворять первому уравнению

данной системы: tg(2nm—-л)+ctg (2л[Л—^-nj = 2sin(—^-+3 \ з 3

+ к[П—тп)' ~tg-rn—ctg —ii=2sin(&[n—л), 1 + 1 =2 sin (ft[—— l)n, 2 = 2-0 — ложное равенство. Следовательно, решения (4)

не удовлетворяют данной системе уравнений.

16. х=-^--|-2тл, y = arctg2-|-mi, m, n^Z. Решение.

cos(^-jc)>0, cos(jc--J)>0. -у+2Лл<х--^<|- + 2Лл,

— -^-+2Лл<дг<-г-л-|-2Лл (1). Из второго уравнения системы

~tgy=l—coszjc, sinzjc= —tgy. Из первого уравнения системы

sin2*+etgy=I. Ttgy+

-2f = 0, tgy = 2, sin2*=|.2,1=0, tg2y-4tgy+4 = 0, (tgy-

• 2 1Sin X =

y.2sin2 x=\,tgy=2;

cos2jc=0,y = arctg2-j-nn;

x=(2k+l)^-,t о i x = -r-\-k-7r. Эти значения х

у = arctg 2-\-nn. 4 < 2

будут удовлетворять данной системе и неравенству (1) только при

k=4m, т. е. х=^--\-2mzi, m^Z.

185

17. х= — ^+2тп, y=arctg3 + Jbt, m, k(=Z. 18. x=£-+2kn,у= — arctg2+nn, ft, «eZ. 19. х=±у+2/гя, y=—arctg 3 + fen,n, ke=Z.

20. л:=|-+2пя, y=(-lf+l-| + mn; х=-|л + 2лл, y=

=(— 1Гу + ""». m,n&Z. P e ш е н и е. sin x^=0, sin y = — ^^ (1).Запишем второе уравнение системы в виде: 1 +sinycosjt=2(l —

—sin2y)sinjc (2). Из (2) и (1) имеем: 1 — ^"n* =2sinx—2х„ , COS2 X . . COS2 X 0

. COS2 ЛГ

X . . , -sin x, 1 —„_;_:. =2 sin x[

'4 sin"* 2sinx

х1 = -г+2пя, Jc2 = -g-n+2nn. a) sin у

„ . , 2sinjc=l, sinjt=-^2 sm x t п \ 2 '

cos (-g-+2nn 1

sin y=

2T

= —cos-g-, sin у

6) sin y-

+ mn.

-T

*i=-g-+2mt,

i/.=(-ir+,f+"m., siny=—cos-jr«, siny=Y- #2 =

=(-1Гт + отя-

X2 = -c-n-\-2nn,

21. лг=-^-+лл, y= —у + 2Ля; х=-|-я+лл, y=y+2mn,Л, ff!£Z.

22. jc=-J+2nn, у=(-1)т+,у+/пя; *=у + 2ял, у =

=(—l)m"5"^"m,l, m" ne^' 23. x=^-\-nn, у=л+2тл; jt=—л+

-|-пл, у=2тл, л, m^Z.

24. *=tg(f-cos(f (I+V7))), y=cos(-j(l+V7)). Pe-

ш е н и е. Запишем первое уравнение системы в виде: (arctg х+-J-arccosy)2 — 2arctgJt-arccosy=ftn2 (1). Из второго уравнения

• 2 „

системы и уравнения (1) имеем: ——2 arctg лг-arccos у=Лп ,

2 2

arctg jf-arccos У = т—k 2 '

arctg x-\- arccos у=у,2 2

arctg X' arccos у = -g—fty; tf = arccos y.

|--/ = arctg*, <*_-J* + =l(i_4*)=0. 0 = £_£(|_4ft)=n2

= — (8k—l). Это выражение имеет смысл при k=l, 2. 3, ... a) /i =

186

^^.(l + Veft—1), 0<*,^л. 0<-^(1+л/8Л — 1)<я, 0<1 +

J\--yj8k — 1 ^4, —1 ^^8k— 1 ^3. Это неравенство имеет смысл при

/к*1, т. е. /,=^(1 + V7), arccosy, = -£(H-V7), y. = cos(-j-(l +

+ V7)). arctgx, = |~cos(-J-(l+V?)). x,=tg(|—coe(-f(l +

+ л/7)))- fe = -J(I —ч^*1^"), 0</2<л, 0<|(1-^Т)<я,— I ^ — д/8Л — 1 <; 3, — 3<;-\/8fc— l '^1. Это неравенство не имеет

смысла при kе#. 25. х=0, у=0. 26. х= — sin-2p(— -у/З + лД^)»v 4V3

y=tg^( —л/3-r-VbS)- 27. *=0, у=-1.

28. *,, у,; ЛГ| — t/i; л—ж,, — yIt где лг( =arcsin (л/Н —л/5). «Л =

1= arccos .

VM + V229. ж,, ух; ДГ|, л—j/i; л + х,, yt; п+хх, л—у,, где xf =arctgS/41 —

-^5, у,= arccos (Щ + ф)-1.30. jf|, yi; — xt, yr, xt, л—уи —Xi, л—у,, где jci = arccos-д/20—

-л/3, yi = arcsin(^0 + V3)-'.31. xu y,; xu n—yr, я+х,, уй л + xi, л—yi, где Ar, = arctg(-^4T—

-л1б), У1 = агат(-фй+л1б)-1.32. х=лл, y=2kn; х=( — lf+l arcsin-^+pn+ arctg 3-\/3,

у=|-я+2тл; jc=(—l/arcsin ^-|-/л —arctg3^, y=—-д-я +

+2тя, n, Л, р, т, /eZ. Решение. Умножим второе уравнение

на 3 и перемножим с первым уравнением, получим: 9tg2-~—

—36 sin2 x=36 sin (у—х)&т (у+х), tg2-^— 4 sin2 jc=4 sin (у—х)Х

Xsin (y + x), tg2| -2(1 -cos 2*)=2(cos 2*-cos 2y), \~™yy = 2-

-2cos2*+2cos2*-2cos2y, -b^- = 2(l-cos2y), ~^gf =

=4sin2y,1-cosу

=4(1_ 2 ) (1-cosy) f-г-г-! 4(1 +" \+cosy v !7Л ч vl \l+cos(/ ч '

+cosy))=0.a) 1— cosy=0, cosy=l, yt=2kn (1). Подставим значение у из

(1) во второе уравнение системы: tgkn—2sinJt=6sin(2ftn+Ar),0—2sinx=6sin x, sinx=0, xl=nn, 6) . , cos 4(l+cosy)=0,

*

cosy^fc — 1, l-4(l+cosy)2 = 0, (l+cosy)2=Y' l+cosy=±y.187

cosy= — y< — \,x=0. cosy= —

у, №.з=±ул + 2тл. 1) y2==2

= -5- n -|- 2mn. Подставим найденное значение у во второе

уравнение систгмы: tg(y-j-mn)—2sin x=6sin \2тп-\--^ л + *),tg-^- — 2 sin x=6sin Г-r-n + xJ, tgy—2sinx=6- (y-cos x~

—s-sinxj, V5—2 sin x=3-\/3cos x—3 sin x, sin x—3V3cos x=

= —V3, V1 + 27 sin (*—ф)= — л/3, ф=ап^Зл/3, sin(x—ф)=A, x2=(-iy+,arcsin^+pn + arctg3V3. 2) y3 =

2д/7 2V72

= ——п-\-2тя. Подставим найденное значение у во второе урав-О

нение системы: tg (—^-|-тл)—2 sin х=6 sin f2mn—^-л-|-х),— tgy — 2 sin x=6sin (x—-j V — -\/3 — 2 sin x=6 ( — sinx-y —

/3 \—cos xr-у J, —-\/3 — 2 sin x=—3 sin x—3^3 cos x, sin x-\-

+3V3cosx=V3, л^8»т(х+ф)=л/3, ф = arctgЗVЗ, sin (х+ф)== ^-, x3=(-l)'arcsin^- + /n-arctg3^.

33. x=nn, y=—=-+**; *=(_!)■+'.=.+„„, y=_^+ftn;x=(— l)"1-^- -|-шп, У=— -T-+*ni x=(— I)"arcsin—+пл, y=

= ±arccos ~- + 2ftn; x=(—1)*+'arcsin-=—\-kn, у=±(л —

— arccos —=— ) -+-2/nxi, n, k, m^Z. Решение. Умножим первое

уравнение на 2 и сложим со вторым уравнением: 2sinzx-|-cos2x++2 sin x cos у + sin 2y=2cos 2y4-sin2y + 3sin xcosy, 2sin2x-|-l —

—2sin2x-|-sin 2y = 2(cos2y —sin y)+sin2y-|-sinxcosy, 1 +sin 2y==2cos2у—sin2у + sin xcosy, 1 -j-sin 2y=3cos2y — 1 + sin xcosy,

„ . 2 + 2sin ucos u — 3cos2 у . 2 „ .

cosy^fcO, sinx= —

, sinx= —+2siny —3cosy

(1), sin2x = —^- + 4 sin2 у+9 cos2 у 4--^-^ — 12—12 sin у cos у,' cos2у 'cosy

v

sin2x=—=—(-5cos2y—8-\ 12sinycosy (2). Подставимcos2y^ v '

cos 1/v v \ 1

значения sin x и sin2x из (1) и (2) в первое уравнение системы,4 , г 2 i 8 Sin U , г, ■ о , / 2 i

получим: = у 5 cos у Н 12 sin у cos у — 8+ I \гJ cos2 у' v

cosyv v 1 \cosy

+2 sin у — 3 cos yj cos у = 2 cos^ y— 1, -^ |-5cos/y+ cosy--12 sin у cosy — 8 + 2+ 2 sin у cosy — 3cos2y — 2cos2x-|-l =0, —?- +

188

+ 8^7_108|пУСО5У-5 = 0- -^-(l+2sinycosy)-5(l +

-|-2sinycosy)=0,(l-|-2sinycosy)(-î 5) =0. 1) sin2y= — 1.

yl = —

-f + kn. Подставим значение yt в первое уравнение системы:

sm2x+s\nxcos(kn — ^-)=cos(2fere — у), sin2jt±ÛinJt=0,sinx(sinx±^) = 0. a) sinjc=0, лг|=лл. б) sinx=— ~&, x2 =

==(-1)"+,т+"л- B) *™*=T' Хз={-1Г±+тл. 2) -4-=5.cos' у

cos2y =T, cosy=±4-. a) cosy = -^=, y2 = ±arccos-^+2/b,

л/о -у/5 У5

sin2A:+—sinx=2cos2y— 1, sin2jc-j--^sin дг=-|- —1, sin2x+

sinx=—, лч=(— iy-arcsin^+rtn. 6)cosy= — -jL, у3=±(л—— arccos—)+2#лл, sin2x—-|^sin дг—-|=0, sinJC=-^±-^.

sin* = -^>l, x=0. sinjc= —-^. *=(— l)*+,arcsin-^ + *n.V5 V5 Vs

34. x=-j +kn.y = nn;x=(— lf+1 arcsin^ + mn + q;, у=-|л +

+2лл; *=(— l)m+l a resin ^ + т л—<p, y=—д-л-|-2ял, <p=

л/5= arctg^-, k, n, me.Z. Решение. Умножим второе уравнение

системы на 5 и перемножим с первым уравнением, получим:100 sin2 у cos2-|-— 25cos2 х= — 25 cos (x—у) cos (х+у), 4 sin2 yX

Xcos2-|- — cos2 x= —cos (л:—y)cos (x+y), 4 sin2 у (1 +cos у)——2 cos2 x= —cos 2jc—cos 2u, 4 sin2 у (1 -fcos y)— I —cos 2y== — cos2x—cos2y, 4sirry(l+cosy)—2sin2y=0, 2sin2y(2 ++ 2cosy—1)=0. a) siny=0, yt=nn. Подставим значение ух в

первое уравнение: lOsinnn- |cosy—5cosx=cos(nn+Af),—5 cos x= ±cos x, 5cosjc±cosa:=0, cosx=0, X\=-£-\-kn.

12 26) 1 -|-2cosy=0, cosy= —

y> y=dt-zn+2nn. 1) у2 = уя + 2/т.

Подставим значение у2 во второе уравнение: 2sinf-=-n+

+2пя\ |cos (у + ил)| +cosx= — 5cos (x—з"Л—2пл\189

2 sin у я j cos y cos nn—sin -y sin пл | +cosx=— 5cos(2nn +

+ Ynr~*)• 2sin-g-n- Jcosycosnn | -|-cosJf=—5cos Гул—Д2 1 2 2 -v3

2sin-g-n-Y+c°sJf= —5cos-g-ncosx—5sin-g-nsin x, • X-_^.

-|-cosjc=yCosjc—=- V5 sin x, -\^J+2cos jt=5cosjc—5-\jSs\t\x,5-\/3sinx—3cosjc+V3=0. 5sinx—-\/3cosjc= —I, -\/28sin(x—<p)=

= — 1, sin(x —ф)= —, x=(— lf + l arcsin^-т-тл + ф, ф=

= arctg^=-. 2) y3 =—g-n + 2nn. Подставим значение y3 во второе

уравнение: 2sin f—-g-n-|-2nnj- cos (пл—j J | -|-cosa:=

= — 5cos (jc-|--g-n—2ллЛ, —2sin-g-n« |cos-ycosnn | -|-cosx=

= —5cos (x + yJiV _-^3".__j_COsa:=—5( —ycosx—^sinxV—-^3-|-2cosJt=5cosjt-r-5-\/5sin *> 5^3 sin jc+3cos jc=— -у/3,5sinx+y3cosx= —1, -y/28sin(x+(jp)= — 1, 8т(х+ф)= —,

2y7л/7

дг=( — 1/"+' arcsin^-f-mn—<p.35. x = Tn+(2ft + rz)n, y=—-£-+лл; x=-|-n+(2ft — Зя + 1)л,

y=— у+пл, Л, /ieeZ. 36. (±yarccos-|+ftn; (—iy arcsinT +

+ял),*,яег. 37. (±|-+2/1л;т!+Нг), *•nGEZ- 38- *==(- 1)"т +

+лл, л^-f+ft-J, л, teZ. 39. x=(6ft + l)^, у=(6л + 1)-£,ft-, aeZ. 40. jc=—-^- +mn, y =—2--|-лл; х=л,л, у = т(я, т, я,

т,,п,е=г. 41. jc=(—l)*+'arcsin^+ftn-|--J,y=(—iyarcsin^ +

+ лл + -£-, ft, «eZ. 42. jc=(-l)"arcsin^ + nn--J, x =

=(_!)*+> arcsin^ + ftn--J, л, fteZ. 43. x = T+ftin, y = f +

+л,л, г = 2/П|л; х=у+*2Я, у=2я2л, z—^--\-m2n; дг=2*3л, у—

= -£-+2я3л, -г=у+2т3л, ft/, rti, miSZ, i=I, 2, 3.

Решение. Умножим первое уравнение системы на 2 и к

первым двум слагаемым применим формулу понижения степени: I +-f-cos2x + I -r-cos2y+2cos22=2, cos2x+cos2y+2cos22=0,2 cos (x+y)cos (x—y)+2 cos2 2=0, cos (x+y)cos (x—y)+cos2 z=

=0 (1). Из третьего уравнения системы следует: х-|-у=я—2.

190

cos(x+y)=~cosz. Уравнение (1) примет вид: — coszcos(x—y) +

cos2z=0, cosz(cosz—cos(x—y)=0, 2coszsin*+*+*/sin*~j(~2: =

„ « . (z+Jc)—У . x—(y+z) _ ,,

s=0, 2cosz-sin2

Sln 5 =0. Но из третьего уравнения

системы г+х=п—у, y+z=n—x, тогда 2 cos z sin"

gy

X

Xsin—jp^-=0, cosz-sin (y — #)sin (x—~)=0. cosxcos^X

Xcosz=0 (2). Из второго и третьего уравнений системы и

уравнения (2) получим следующие системы:

а)

б)

в)

cosx=0,cos у=0,COS Z = 1,x+y+z=n;

cos x=0,COSI/=l,COS 2 = 0,

COSJt=l,cosi/=0,cosz=0,x-T-y-T-z = n;

x,=y +kn,

#| =

у + ил,

Zi =2тя.

*2 =

у + *2Л,

£/2=2п2л,гг =

у + т2я

х3=2Л3л,

Уз =

у + 2л3л.

z3 =

y +2т3л.

44. x=-g-, у= —

-g-; л:=-б-. У=0; *=-g-, {/ = — л. Решение.

Из первого уравнения системы имеем: tg(x—£/)=-\/3 и tg(x—#)== ^-. Из второго уравнения системы имеем: х=-^-, что

удовлетворяет условию.x—y= — +kn,

y=x—^—kn, y=—-£- — kn.х=

6 '

Эти значения у удовлетворяют условиям только при 6=0, т. е.

У=~К-

X~y — -jr-\-nil.х=-

y = x—-fr — nn, у-- -пп. Эти

значения у удовлетворяют условиям только при л=0 и п=\. Имеем:0=0, у=— п.

45. *=-£-, У=у". *=Т« у=0; *=Т' У=2л- 46' Х=Т*л 5 л «_ л *-» л 2

J/=-g-; *=f2". y="6"- 7' X=T' y=s0; X=T' y~Tn-191

48. *=(_ir + -JL+„-£L, y = _Larctg^f+*^, ft, легРешение. Вычтем из первого уравнения второе, получим-sin2( — 2*)—tg25y+(3 — V2)(tg5y—sin (-2^))=0. siп22x-tg25i/-f^-(3— V2) (tg 5y + sin 2x)=0, (sin 2*+tg by) ((sin 2x—tg 5x) + 3-— д/2)=0. a) sin 2* =—tg by. Подставим значение sin 2x во второе

уравнение, получим: tg25t/ + (3—д/2) tg 5t/ — ^~ =0, 2tg25y-f-2(3 —

-^)tg5y-(3^-I)=0, ^ = (3-Л/2)2+2(3Л/2-1)=9, tg5y=

= =f и tg5y = ^--3. sin2x = 3-^f>l, jc=0. sin2*=-^.tg5y = f,

• о л/2sm 2x = —

-y;

by = arctg ^—j- ftn,ь 2 '/|\п + |л. ii

2х=(-1Г + ,т+Пя-8 2

= \ arctg ^ + ft -J. 6) sin2x—tg5y=— (3 — л/2). sin2x=tg5y-—(3—л/2)- Подставим значение sin 2* во второе уравнение, по-

лучим: tg25y-(3-V2)(tg5f/-(3-y2))=-E^-, 2tg25y-

-2(3-V2)tg5f/+2(3-A^)2-3V2 + l=0, ^=(3-л/2)2-4(3-— л/2)2 + 6л/2 — 2=— 35 + 24л/2<0. Поэтому действительныхкорней нет.

49. х=^г + fe-|, y= —yarctgy-f n-|, ft, n«=Z. 50. x=

=(-1Ут+ "f. y=-yarctg^+ft~,n, ft«=Z. 51.*=±£ +

+ n-=-. y=-yarctg2 + fty, n, ft«=Z. 52. дс= 1, y=(-\y± +

-\-nn—I, neZ. Решение. Сложим уравнения системы,

получим: 4*=4, *=1. Подставим найденное значение х в первое3 1

уравнение, получим: I -J-sin (1 -|-у)=-—. sin (1 -\-у)= —, \-\-у =

= (-1Г±+пл, y=(-iy±+nn-l.

53. х = 2, y = ^+kn — 2, ft«=Z. 54. лс= i-jj-+2Лл+1, y=L

ft«=Z. 55. *=-i + nn+2, y=2, neZ. 56. x= ±-^ + 2ftn, у= ±-^ +

+2пл, ft, n«=Z. 57. x=lt y = l. 58. *=^Ь^, y = tz^l- x=

3—Vl7 3+-Л7 __ 2 + 3n 1 2n—1 ,=

2, y= 2■ 59. x=— i±2«, f/=±Tarccos^ И"-

*=—^-, y= ±y (л —arccos-^-J+"1Л. n> "ieZ. 60. x=±-j-(n —

192

-arccos-^-J-fnn, У = ^-' -x:=±Yarccos-2^4-nin, y=-^n +

4-—, ni, neZ.

3n-4

yarccos -g + пл; *=—2,5, y =61. x Jttio. y=±

:±у (л — arccos у )-f-тл, n, m^Z. 62. x — ±у(л —arccos-g-J +

Зл+I ,1 2л —5

-^пл. у =

—24 ' * = ± у arccos—g—■ l&r+i _

fnn, y =

—yj—, neZ.

Гл а в a III

1. [-у + 2*л; у+2*л], fceZ. 2. (-^ + 2*л; -|л + 2*л),teZ. 3. (_|- + 2Ы у + 2А:л), fc«=Z. 4. ( —arctg3-ffen; -J +

+ *л), fceZ.

5. ^y-j-ftin; -g-n + *inJU (ул + П|л; -у л + щл) |J ( —-g-+ &2л;

й>л) U ("гл; |" + п2л), ft/, n,eZ, i=l, 2. Решение. 2cos4a:X

Xcos 2л:> 2 cos2 4л:, cos2 4л:—cos 4л: cos 2л:<0, cos 4x(cos 4л:——cos2jc)<0, (2cos22jc — 1)(2cos2jc —cos 2л:— 1)<0. cos2a:=#,

(2y2-i)(2y2-i/-i)<o, (y+±) (y-qt) (у+т)1у-Ч<°--^<у<-у или ^<у<1 (рис. 32). a) _^<Cos2^<-T

2 3 5 4(рис. 33), -д-я + 2*!1Л<2л:<;-£-л4-2£|Л или -^-л + 2п|Л<2л:<-д-л +

+2л|л; у-)-*1л<л:<улЧ-й|Л илиg л-\-П1л<.х<.-о-л + п\л;

Гу-ffein; -g-n + *injU Г-ул + П|л; -ул + АМл). б) ^<со52л:<1,2пя<2л:<-^--)-2пл или —£--)-2ftn<2jt<;2ftn; пл<.х<.^г+пл4 4 о

или — у-1-£л<л:<£л; ( — ^+к2л; к2лj (J Гп2л; y + n2nj.6. (-^--Ьлл; -|-л-)-пл), neZ. 7. (arcsin^-^1 \-2кл\

л —arcsin V ~

-)-2£л) , fteZ. Решение

sin^ + sin х— 1 >0, ■*sin л:> 1—sin2x

sin*=y, у*+у_1>0, ^_,_^y_^>0i

Рис 32 Рис. 33

193

Рис .14 lJni 3ft

(»+±)'>4- |»+||>f .) »+i>f »>^.arcsirW5~' + 2&л<л:<л —arcsin^~' -f 2fen (рис. 34), или б) у-\-

+!<-#• *<-^ < —1, но sinx>— I, jc=0.

"■(*тМт*т)-9. (-^- + kn; ул+ь), fteZ. Решение. sin x-fees*=

= -\/2sin (x-\-^ J^ ^2; следовательно, данное неравенство

равносильно следующему: 4 sin2 x— 1 >0, 2(1 —cos 2л:)— 1 >0, cos 2х<

<у (рис. 35), -|+2*л<2х<-|л + 2*л, -J + ftn<JC<-|л + *л.

10. (-2arctg(l+V2)+2nn; 2nn)U (2arctg(V2 — 1)+2пл; -у +

+ 2лл), reZ.

11. [-{|л + 2*л; -^+2*л], AeZ. Решение. --^-л +

-f2ftn^x-f-^<-£+2*л (рис. 36), -^л + 2Ап<^-^ +

+2* л.

12. [-i-i+ftn; у + -|я + Ал]. AeZ. Решение. --J- +

+ 2*л<2х — |<|л+2Ал (рис. 37), 1 — -J- + 2£л<2*^1 +

+ -^-л + 2*л, у —-^•-ffenÂr^y-f-g-n + fen.

13. (-|л(6*-1); -§-л(6А + 1)). *eZ.

15. Г—-^--f 2пл; у + 2мл], n<=Z. Решение. —-^+2пл^^х—^-^-^- + 2пл (рис. 38), —||- + 2пл^х^у+2лл.194

Рис. 36 Рис. 37 Рис. 38

16. ( — у+£л; ^+kn\ ks=Z. Указание. 3—4sin2x^0,

l+2cos2x:>0, cos 2*^—у (рис. 39).

20. (~г-\-пп; -^л + пл), neZ. Указание, cos 3*c6"s.x:X

Xcos2*-}-sin 3*sin *sin2x-< —. Преобразовав неравенство, полу-o

чим: cos2a:<-2- (рис. 40).

21. Гил; -j-Ч-лл), neZ. Решение. -^- + пл^л:+-^-<у +

+пл (рис. 41), пл^х<-^- + пл.

22. (-| + 2лл; -|л+2лл), n«=Z.

Рис 39 Рис. 40 Рис 41

195

23. Г—-|л+2лл; -|л + 2лл], neiZ. Решение. 2cos2jc+

+5cos* + 2^0, cos*=y, 2у2 + 5у + 2^0, у, = -2, у2=-у

2(у + 2)(у + у)>0 (рис. 42). у<-2, т. е. cos*<-2, х = 0;

I 12 2

у>—g-, cosjc> —

у, —д- л + 2пл^л:^-д- л-)-2пл.

24. ( —arctg2-)-6n; у + 6л\ ieZ. Указание. tgx=i/,

^ + (2-V3)y-2V3<0, (y+2)(y-V3)<0 (рис. 43).

25. ( — -|л + 2пл; -^+2лл), neZ.

26. (_-^+2*л; 2fen) U (л + 2£,л; -^-л + 2А:,л ) U (j +2пл\

— л-|-2пл), k, k\, n^Z. Решение. 3 sin x—4 sin3 *< sin*,

4sin3jt—2sin*;>0, sin *(2sin2.x:—1)>0, s'mx=y, y(2y2—1)>0-

y(y+^)(y-i-)>0 (рис- 44>- -f<y<° или y>f-/о __ 5 i

a) —^-<sinx<0, —т- + 26л<л:<2&л или n-\-2nn<Cx<Z-^ л +

+ 2£л (рис. 45). б) sin*>y-, у + 2шг<л:<-^+2лл <риС- 45)'

27. (*л; у+*я)и (--^+£л; £л), fc«=Z. Решение. ctg*X

X(ctgx+l)>0,ctg*=y, //(у+1)>0 (рис. 46). a) ctgx>0, kn^

<л-<у+£л (рис. 47). б) ctg*< —1.

196

28. (--£+2лл; -f+2mt) U (j +2kn;

^л+2Ь)и(-}л + 2тл; -|-+2тл),„t k, m^Z. Решение, cos x = y, logî/2 —

-}f/)<-l. 0<y2-±y<Y> °<(у-

<у<1, y<cosx<1, —j- + 2im<*<

<% +2пп (рис. 48). б) |<-(y_-j-)<

-y<cosx<0, -гр+2пл<*<|-л+2т1 И

--|л+2Лл^х<—Y+2fen.29. ( — -J +2пл; i +2/m) U (|- л+2/ел;

|я + 2Ал), п ke=Z. Решение. 2(л/2 —

- l)sin x—2(1 -2sin2x)+2—л/2<0,2(л/2—-ijsinx—2+4sin2x+2—лД<0, 4sin2jt++2(V2— l)sinx—л/2<0, sinx=y, 4y2 +

+2(л/2- l)y-^<0, | =(V2- 1)2 + 4лГ2=

=(л/2+1)2,-\/|=л/2+!,</, = -# "У?=

=

y. (у + :г)(у-т)<° (Рис- 49>.

л/2 I л/2 1 n ,

—2"<у<у. —g-<sinx<Y. —-4- +

+ 2пл<лг<-|+2пл,|-л+2/гл<х<-|-л++2Лл (рис. 50).

30. (^ (4fi+l); «.(4n+3)). neZ.

31. (2* — -J-; 2* + -J). fteZ. 32. [-1;-J-)-38.(4-: I]. 34. [,;ii^)u(i^;

■+]• »[<*$

Рис. 51

-jX4

0

*J ^•jt—***^ 4


36. (2kn: y+2foi)u (у+2*л; л + 2*л), *eZ.

3 337. х — любое действительное число, кроме х = -г л-f-y &л, fteZ.

38. (-(4n-l); £(4п + 1)), neZ.

39. fyarccos-jr + ftn; —

у arccos-^- +(fe+ 1)л), fteZ.

40. (-^ + fen, -j- + *n), ieZ. Указание.

Преобразовав неравенство, получим:

(рис. 51)• 2V2 , оЯ ГГЧIП 1 1- Jn -IT

sin x sin Злг

cos x cos 3x

cos 2x

■<-l.

<0

41. f arcsin—^—+2nn—";

2(cos 2x + I) (cos 2x — — \

л-arcsin^-) U ((2/г-1)п;(4k — I)y), ". fceZ. Решение. siruc-|-cos;t = i/, 1 +sin 2x=yi.

sin 2*=jf- 1. 3(y2- 1)- 1 >y, 3y2-y-4>0, 3(y + 1) (y-| )>0.{/< —1. a) sin x+cosx:>-g-, -y^sin (* + -^)>"з"-i/>y ИЛИ

sin (*+x) 2V23

U3 4

arcsin2л/2 , о ^ i л

^■ 2V2 j_-|—\-2nn<£x+-j-<Cn — arcsin-^— +

-f-2nn, arcsin -| ^-+2пя<д:<у л — arcsin-^- + 2пл. 6) sin*+

+cosa:<-1, V2sin(x+-^)<-l, sin (x+-^) <-^ (рис. 52).

— |-л + 2£л<х+^< —

Y + 2*n. -л+2*л<а;<—у+2*л.(2*-1)л<л:<(4*-1)у.

и(—-^^198

arcsin^ |-2&л; — arcsin ^~— -(2ft+l)ji)(Jarcsin ""'g

'

-f(4fe—l)y; — arcsin^g

'

-f2fai), fteZ.

Рис 54 Рис 55

43. I — arcsin-g-+ 2Ал; -^-+2А;л Ш [у я+2п л; arcsiny +

-\-(2п-\-l)n , k, neZ. Указание, а) Если sinx^y, то 5 —

-2sinx>36;sin2x—12sinx+l, 18 А/ + у) (у—у Wo (рис.53).

Имеем: y^Tsinxsgly (рис. 54).

44. (j-+kn; у+*л), AeZ. Решение. 1 —cosx<tgx(l —

—cos ж), (1— cosx)(l — tgx)<;0.

а)

б)

I — cosx<0.l-tgx>0;

1 — cosx>0,I— tgx<0;

cos x > 1,tgx<l; x=0.

cosx<l,

tgx>l; -5.+*л<х<у+А:л (рис. 55).

45. а) [4л2л2; (2л + 1)2л2], [д/-|+2*л; д/у+2*л ]ии[~Уу+2Лл; -д/-у+2*л ], [у, 1], [—=. + /*. £ + /я].«еЛ^о, 6, /еЛЛ Решение, a) sinV*^0, 2пд<-\^^л + 2пл'

4/zV<x<(2n + l)V, п=0. 1, 2, ... б) cosjc2220, — у+26я<

^-^<у + 2Ал, *«=#, У~у +2*л < |х| < -д/у +2*л ; 1) х^

>0, д/-у+2А:л<х< д/у+2/m; 2) х<0, - -д/у + 2/гя<

^х<_ д/у + 2*л. в) -K-^-î, _i<2(* + 1)—2

1,

199

Рис 56 Рис. 57

<1. —у<х<1. г) — ls^2sinx<l, —y<sinx<y. — JL +

+/л<х<-£-+/я.46. (—±n+2kn; -|- + 2*л) U (2лл; -J + 2nn) U (-fn+2nji;

n+2nn), n, fceZ. Решение. Упростим левую часть

неравенства: sin 5x=sin(2x-j-3x)=sin 2xcos Зх+cos 2xsin 3x==2 sin xcos x(4 cos3x—3 cos x)-|-(l — 2sin2 x)(3sin x—4sin3x)==2sinxcos2x(4cos2x—3)-4-3sinx—4sin3x—6sin3x+8sin5x==2sinx(l—sin2x)(4—4sin2x—3)+3sinx—I0surjx-f8sin5x==(2 sin x—2sin3 x)(l —4 sin2 x)+3 sin x—10 sin3 x+8 sin5 x=

=2sinx—8sin3x—2sin3x-f 8sin5x+3sinx— 10sin3x-f 8sin5x==5sinx—20 sin3 x+16 sin5 x. 16 sin5 x—20sin3x-f5sinx>>I6sin5x, sinx(4sin2x—l)<0. sinx(2sinx+l)(2sinx—1)<0(рис. 56). a) sinx< — |, — -|- л+2£л<х< — -£■ +2kn

I л 56) 0<sinx<Y, 2nn<x<-g- -\-2пл и -^-л + 2нл<х<л + 2пп.

47. (-£+ля;т+ пя), neZ.

48. ^(4n-l)i; (4n + l)j|). n(=Z. Решение. l-cos6x+

+ 1—cos26x<2, cos6x(l-f.cos6x)>0 (рис. 57). a) cos6x> —1,

x=0. 6) cos6x>0, — у+2пл<6х<-|Ч-2пл, (4п —1)^<х<<(4n+l)i.

49. (i-ftn; ^ + уЛл)и (~f+ «-§■ J «J ). *. «eZ. 50. (2*л;|+2Ал), AeZ. 61. (/ii;(4n + l)|),neZ. 52. (--^+2*я;-|л+2Ал), *eZ. 53. gB; |§л). 54. (arcsin ^-; f)-55. (arccos^^-; я) U (2я — arccos ^J_; 2л).

56. (jre* и *=0; 1; 2; 3; ...)(*etf„). Решение. _|-+2*л^<sinx<-|-+2foi при £=0, 1, 2, 3, ...

57. xe=lf, k=0; I; 2; 3; ... (kc=N0). Решение. _л + 2*л<£<cosx<2£n при k=0, I, 2, 3, ...

200

Рис. 58

58. (J+Ал; ^-+Ал)и (—£ + ««; —jr+ял), Л, «eZ.

р е ш е н и е. cos 2х—cos 4х> 1, cos 2x> 1 -f-cos Ax, cos 2x>2 cos22x,2cos22x—cos2x<0,

"

2cos2x(cos2x—у ) <0 (рис. 58), 0<

<cos2x<y. а) у+2*л<2х<у+2*л, ^+kn<x<-j+kn(рис. 59). б) -± + 2пл<2х<.-^ + 2пл, —J- +лл<*< —§■ +

-f/m (см. рис. 59).

59- (уй; л/йт)и (~ т5тг; - Ve/fe-)' fcGE*°-

60. [(J; -i-)u ((2A-y)2; (2Л + у)2), *eJV0. 61. ( —\л+2пл;— |- + 2пя)и ( —-|+2ял; 2пл)и (2«я; ^- + 2лл), n(=Z.

62. х— любое действительное число, кроме х=~-\-тл, m^Z.

63. (—j+nn; ~-\-nnj, n^Z.

64. (.£ + 2лл; у + 2лл)ц (arctg2 + 2f»i; у + 2пл), n&Z.

Решение, -\js~m2x-J-cos2x—2sin xcos x<sinx, -\/(sin x—cosxf <<sinx, |sinx—cosxl <sinx, sinx;>0. a) sinx—cosx>0, sinx—

-cosx<sinx, cosx>0, {cS*>o°SX' tg*>l (Рис.60), -J- +

-\-кл<.х<С^-\-кл. На дуге АВ cosx<0 и sinx<0, поэтому

неравенство будет удовлетворять условию только при k=2n, т. е.

Рис. 59 Рис. 60 Рис. 61

201

Рис. 62 Рис 63

i + 2n*<*<f + 2пп. б) sinx-cosx<0, {-|!^+с0°^<^дг.I sinх>i-cos*.jsinjoO; l>yctgx, ctgx<2; кроме того, из sinx-

— cosxÔ следует: ctgx!>l. Получим: l<ctgx<2 (рис. 61).

arctg2-f-2nn<x<-^ -\-пп.

66. (12л—1)-^; (12я + 7)^. neZ.

68. (_arctg^-+/m; -J-+ пл) U (arctg-£±L+nn; f +

+ пл), neZ. Указание. Преобразовав неравенство, получим:

,

g *~

_

>0(1); tg2x-f-tgx-f-l;>0 при всех х, кроме х = у+лл,поэтому неравенство (1) равносильно следующему:—,^*~ >0,

tg x—tgx—it — [

tgJf=/, /t_f_t>0 (рис. 62).

69. ( —arccos(v2—1) + 2пл; arccos(V2 —l) + 2mt), weZ.

70. (^-i-fcn^n + fcn), fceZ.

71. (-у+пл; — arctgy-f-zm) 1Д£л. arctg2-ffcn), n, feeZ.

Решение. 4д3х-^<7.875. tg3x=(/, y-L = 1\, JL=L=

_63 f-\ 63^П 8У'-63У-8 %-»)(у+|)=

¥•— T<0- Ту <°- Vy <0' -°°<

<y<-j- или 0<«/<8 (рис. 63). a) tg3x<-y, tgx<—§"—

у + пл<х< — arctgy-f/m. 0<tg,sx<8, 0<tgx<2, kn<x<

<arctg2 + foi.

72. (i-arccos(2V5—5)+y(2fe — 1); — ± arccos (2^/5—5)+

+f(2fc+l)), feeZ.

202


73. (—21+*я; _^+fejlju (_arctg^ + „n, -~+пя)иу (тл; -£ + тл)и (arctg^+Zn; ^- + /л) U (f+рл. f+рл).

ft, n, m, I, p^Z.74. [—|.л + 2ял; --^ + 2лл]и (-J +2*л), n, fceZ.

75. (у+*; у+*)и( —

у"; ")- k< ne=z- Решение.

З'в^з'-'^^г или 3'gIur-3'-'en*<-2. а) З'вшг-^г>2,

*•--„. „-i>2. ^=^0, (у-3)(у+1)>0 (рис. 64).

1) -1<у<0, -1<3,влх<0, х=0. 2)у>3, 3lg">3, tgjtf>l,

-^ + А:л<лх<|- + *л, Y + fe<*<T + fc" б) у_7<-2'*^±<0, to+»>f-'><0 (рис. 65). 1) 3""*<:-3, х-0.

2) 0<3,вях<1, tgnjr<0, —у + пл<лх<пл, —y+«<jc</2,neZ.

76. (j+kn; Y+kl1)' feeZ-

77. ((2#t-l)-J-f nj), яег.

78. ( — -jj- + 2to;2ftn)u(" + 2fa: -J- л + 2/гл) U (arcsin -g- + 2rui;

-g- + 2mtl (J (-тгл + 2£л; — arcsin -g + n-{-2kn J, fe. neZ. Pe

sin x—2—8sin2x+2ш е н и е._ 8 sin2* —sin*

nsin *ft sin *— I)

4 sin2*— 1^"' 4sin2x—1 """'

(2sin *+ IX2sin *- I)

<0 (рис. 66). a) — -g-<sinjt:<0, _-^-\-2kn<x<2tui и л + 2£л<

<х<-^-л+2Ал (рис. 67), б) -g-<sinJf<4"' arcsin-^-+2пл<х<<-g-+2/m и -|- л + 2£л<*<— arcsin -|-+л+2*л (рис. 68).

Рис. 66

203


79. (у + 2*л; i + 2*n)u(—y+2nn; -у+2лл), k, neZ.

Указание. 1< (.smx

) <3. Преобразовав неравенство, по-\1 —COS X /

лучим: 1< |ctgy | <т!3прихф2кп.г) Kctg-J<V3 (рисбЭ.с),

б) -l>ctg-|->-V3 (рис. 69, б).

80. (-j-1-лл; -т-n + nnj, n^Z. Указание.2 cos8 х—6 .

2 cos2*— l

cos х

1 — 2 cos2*

ось котангенсов 1

Преобразовав неравенство, получим: (cosx+2)X

Рис. 70

*?шш Ш£££

7Г

Рис 71

204

><(cos>:--|)<0 (рис. 70), -^<cos*<^ (рис. 71).

81. f —

у + пл; -^4-пл], neZ.

82. ((4ft—1) ^; (12Л-1)£)и((4л + 1)£;(12л + 7)£).*.л.gZ. Указание, —cos 5x>sin Юх, cos 5x(2sin5x+l)<:0.

a) cos5x-<0,l

6) cos5x<0,

sin5x>—-s- (рис. 73).sin5x>-g- (рис. 72).

83. (у + 2/гл; i-л + 2^л) U (--| n+2nn; _Jl+2nn),k, ne.Z. Указание. 4cos2x-f-2(V2 — 1)cosx<V2, cosx=y,

4(у-т)(у+^-)<:0 (Рис.74).V2-#«/<ф L<cosJf<-5- (рис. 75).

а) у+2Лл<х<|-л-|-2/гл. б) — -| л + 2лл<х< --|- + 2лл.

84. (--£-+2*л; |-+2/гл)и (-|л+2лл;-5-л+2лл)и (-£-+2тл;уЛ + 2/лл)и(-£-+2пл; _|_n + 2mV Л, л, me=Z. Указание. 1 —

-cos2x + sin3x—sinx<l, (sinx — ^f\ (sinx + ^) (sin x—M>

Рис. 72 -22

f

Рис. 74

Рис. 75

*?

-ф

ЪХШХ

0ША

Г J

рис. 73

_£_

205

у

$s

0

^Xf

—"^ ч

ось котангенсов

Рис 77 Рис 78

>0 (рис. 76). a) -^<sinjc<i- (рис. 77). б) cos.v^>^ и т. д.

85. (fe-5-; ^ (6/г + 1)). Указание. Преобразовав неравенство,

получим: ctg8x>yJ3 (рис. 78).

86. (2/гл; £+2/гл) U (-£-+2/гл- л + 2/гл), teZ.

87. (—£+2fcn: -^+2/гл)и(у+2лд, |л + 2пл) U ( -|л +

+ 2/гл; —

у + 2/гл), /г, neZ. Указание. Преобразовав нера-

г ^^r- a) -jt<cosj(:^1 и т. д.4 1 4 'Л

COSXвеиство, получим: —

б) — y^cosjc<0 (рис. 79) и т. д.

88. ( — -£+/гл; у + /гл), fteZ.

89' (т + "1*л; n+-f-fejl). feeZ- Указание. Преобразовав4 1

неравенство, получим: zo%-^x<i-^ (рис. 80).

90. (--^+2/гл; -J+2/гл), feeZ.

(/гл;-^+/гл) (J (^л + лл; -|- л + лл) , fe, neZ. Указание91.

Преобразовав неравенство, получим:

a) cos 2*; V5—Iи т. д. б) cos 2х<С 1-У5

cos 2х г >Т'4 ' '

cos2*< — sin-JQ-.Зл

cos2a:<cos-^- (рис. 81) и т. д.

92. (-£ + лл; -f+лл) U (*я; arctg-i- + ftn) U (пп; -J-+"")'л, *gZ.

93. (2Ал;-£-+2Лл]и[-§-л + 2*л; л + 2*л), fceZ. Указание.

206


0<sinx<l, log2sinx=i/, тогда имеем: 3 (у —

-^ j (y+1)>0

(рис. 82) и т. д.

94. (arcsin|-n + (8ft-l)y; -arcsin-f-4-(8* + 3)-J-), teZ.

Указание. Упростим правую часть неравенства, данное

неравенство примет вид: 3(^"x+cosx>~..~v >\; заменим последнее рав-г

2у2 — (sin х + cos х)

носильным неравенством 4(sin x-J-cos х)>ЗУ2, откуда sin (* + -j-) >

>-J- (рис. 83).

95.(arcsin^ + (8fe-l)f; -arcsin^+(8fe+3)-f) U (2ft- 1)л;

(4k-\)~Y fteZ. Решение. -j= tg 20° tg 40° tg 80° = 16tg*

i+tg'*>

2tg*>sin(n — x)-f-cos x-f 1, 3

, , °, ;>sinx + cosx+l, 3sin2x>l+tgгх

>sin v+cosx-f-1, sin x-f-cos x = i/, 1+sin 2x = «/2, sin 2x=y2 — 1.

Неравенство примет вид: 3(y2 —4)>f/-f 1; 3(«/+ 1)(«/—1)—(«/+1)>0,(У+1)(Зу—4)>0 (рис. 84). t/>4 или «/< — !. a) sinx+cosx;>-g-.

Рис 82

Рис 84 Рис 83

207

Рис. 85

V2~sin(x+-j)>-i, sm(x+±)>2-f. arcsin ^+2fen<x+-f- -j- < л — arcsin -*-^ + 2fen, arcsin ^ + (8fe~l)-J<*<< — arcsin^f-+(8k+3)~. 6) sin jf+cosx< — 1, V2sin (*+-J-) <

<-l, sin (* + -£■)<-£, -±n + 2kn<x+±<-±+2kn,

—n+2kn<:x<:—j-+2kn.96. (2 arctg -^±L + 2kn, (2* +1) я) U ( -2 arctg ^=± + 2nn;

(4n+ 1)y J, *, n^Z. Указание. Упростив неравенство, получим:

tgi>—f 7 . tg-5-^У. /_„_, >°- Так KaK f/2+f/+trf-tgf-i

-+-1 >0 при #eJ?, то имеем:у-1 >0,

J/-1

V5+l>

>0 (рис. 85). v J /v ^ '

•ЧМ-М-*-*»)-Решение. sinx>Y'

25—Jt2;>0;у+2ип< x<-g-n-f 2лл,

—5<jc<5.

а) При п = 0 имеем:

б) При п= — 1 имеем:

т<дг<тя,— 5<x<5.

л .. 5

т<х<тя.

--^л<*<-^л.-5>—x*-

—5<дс<5.

а потому — 5<x<—y^n. При н^О и пф — 1 система не

имеет решений.

98-(°:i!)u(-i^;-i)-208

Решение, cos x—sin х=у, l—s\n2x=y2, 1 — y2 = s'm 2x,

-/Г-у* <y-

\-у*<у\У>0;

2«/2>l.f -КУ<1,

2 'у:

У>0;

+2/гл<л:-}--^<|-+21гл (рис. 86). 2/гл<*<^ + 2/гл. Условию

удовлетворяют только значения х при fe=0, т. е. 0^х<тя.

б) --=-+2*л<* + ^<-^+ 2*л, -^n + 2kn<x<-± +

+2Ал (см. рис. 86). Условию удовлетворяет только значение х

при fe = 0,"T. е. — -^ji<.xs£L—5".cos 2лг^0,cos x>О,3cos 2x<2 cos2 х.

12

"■(f:T)u(-f: "Т )■ У ка 3 а ние

/2 /3пая систему, получим: ^-s^ cos jc < ^т- (рис. 87).

100. (О; -^ ) (J (у2 л; у ) ■ У к а з а н и е. sin jc+cos лс=у, тогда

Решая систему, получим: ls^sinx-j-

+cos*<^, £<Sm (*+-=-) <^| (рис. 88).

, т гч'

ч чsinjc>0,

'01- т;т U тп;1" ■ Указание. cos 2x^0,V6 • 4 |UL4 б J cos2*<2sin2*.

имеем:«/>0,У2-1>0.3(jf-l)<jA

5^=г

\ °

^JШ ^V

f\


209

iy/f*

я

0

—->^ я

f\


I л/2Решая систему, получим: y<sinA:^ ~ (рис. 89).

102. Л^-; — л) (J (-g-n; у *Ч ■ Указание. Преобразуя

неравенство, получим: (-y/2cosx-|-l)(2sin x— 1)^0.

a) /V2cosx+l>0, б)12 sin х-I >0 (рис. 90).

COS JCSS^ —

-у ,

!

sinxs^y (рис. 91).

,оз-а=т)и(-т=-т)-104. (О; -—

j U (— л; -г11)- У к а 3 а н и е. Преобразуя

неравенство, получим: (2cosx+l) (sinдг — у-)<0.а) cosx> —у.

-V2б)

sinx<;-y- (рис. 92).

">5-(-f: -т)"(т>т)-

COSX< —

у,

sinjf>^ (рис. 93).

Рис 92

210

Рис 93

Глава IV

1. arccos

. 5

л—arcsin-j-j-,_9_40'

arccos- я- -2 arccos у. arcsinjr-, arcsin

я —arcsinyy. 3. arccos —

, arccos 7x40 40Я- -arccos

_5_11

J_40'

n —arccos

4. ccârctg-g-, p = arctgT Решение. По теореме о биссек-

АС \D 3трисе внутреннего угла треугольника получим: —

=дБ =~г

(рис. 94), AC=3x, CB = 4x, tg<x = J£ = £ '4

АС Зх 3* а- = arctgT,

sin

5. arccos 4-- 6. 65°42', 65°42', 114° 18', 114° 18'. Решение.

Пусть АВ = ВС=CD=y, a Z. ВАВ\ =х (рис. 95), тогда АВ\=уcosxи ЛО = 2ЛВ,+В]С|=2усо5л:+у=у(2со5лг+1) (1). BB,=ysinx,тогда из условия следует: AD = 2ysinx (2). Из (1) и (2) следует:i/(2 cos jc+ l)=2ysin х, уфО, 2 cos х+1 =2 sin x, 2 sin jc — 2 cos jc= 1,

x —cosx =

y, д/^sin (* —y)=T' sin (x~t)= 4' X =

T +

+ arcsin^»45° + 20°42' = 65°42'. Из условия следует, что 0<jc<

<90°, а потому х = 65°42'; Z. B4D = Z СШ=65°42', Z АВС== Z DCB = 114°18'.

5 5 143 f7. arccos

go , arccos у, arccos ^. Решение. 0\Оъ=27 см,

0,O2 = 23 см, О2О3 = 20 см (рис. 96). Найдем угол против большей

стороны по теореме косинусов: 272 = 232 + 202 — 2 - 23-20-cos х,

2-23-20cosjc = 232 —272 + 202, 2-23-20cos*= —4-50 + 20-20. 2Х

Х23-2 cos x=— 20+20-2, 23cosx= —5 + 10, cosjc=23, x=

Рис 9Ь

211

Рис. 97

= arccos^ (треугольник остроугольный). Дальше можно было бы

найти sin* и по теореме синусов найти остальные углы. Но мы

найдем угол по теореме косинусов: 232 = 272-f-202— 2 ■ 27 • 20 cos у,5 5

27-40 cos у=40(5+ 10), 27cosy=15, cosy=—, y = arccos-H-. z =

= л— (arccos^+arccos-Q- J. Можно было и z найти по теореме

косинусов: 2-27-23 cos z = 272 —202+232, 2-27-23cos z =858,27 • 23 cos z =429, cosz = ;

2-27-23 cos z = 272-202+232,143

207-

8. 42°03', 137°57'. Указание. По теореме о сумме квадратовдиагоналей найдем сторону параллелограмма BC=AD=4-y[65(рис. 97). По теореме косинусов найдите углы параллелограмма.

Решение х = Z. FBE — /L FBD =9. arctgM arctg^-l

У. FE AE-AF

z> tgy=«r =

AC — AF

(рис. 98). По условию АС =

BF BF BF= 18, ЛВ=12 и ДС=15. По формуле Герона найдем площадь

45 _9_ 2]_ 15

2'

2'

2"

2

2 135 ь

135 я .. 25, _4__=^4/7i BF=1-}^J7. AF2 = AB*-BF'2-

ААВС:

1 AJ Л А* П

^=-iV3-152-9-3^7 =^--3-15-Зл/7 =

4/7, hb =

АС

122225-7

16

9(162 —25-7)=1|-81, AF--

16 16

27:

4FE = AE-AF-

По теореме„ 27 9 . 9 15д/7 Зд/7 . 3-^7

/ID Лио биссектрисе внутреннего угла треугольника имеем: ■Кг=1'вс'

J8^=l| _18-«4 18 9ы==ш ^=18-10 = 8, F^ =

к 15 к 5 к 5

лплго27 5. FD Ь 15 /= 1 V7=i4D-^=8—г =

т. tgz=I? = T:TV7 =

3-^= |r, z =

\/74

.3^= arctg^j-, x = arctg^--arctg-21 .

10.33°07', 146°53', 51°19', 128°4Г. У каз а н ие. СЕ\\АВ (рис.99)Из д ECD по теореме косинусов найдите cosjc и cosy.

212

11. 19, 14, V889, 128°40'.Указание. По теореме косинусов из

д ВЕР найдите BF (рис. 100).Аналогично найдите стороны BEи EF. Зная все стороны д BEFпо теореме косинусов найдитеугол BEF.

12. л—arccosjjg, л —

arccos^g.19 31

arccoSgjr, arccos^r. P е ш е н и е. Так как четырехугольник вписан

в окружность, то сумма противоположных углов равна 180°. Пусть^ В=х, тогда £D=l80°—x (рис. 101). A ABC. AC2=AB2 ++ ВС2 — 2ЛВ-ВС cos х= 16+25 — 2-4-5cosx=41-40cosx (I).Д ADC. AC2=AD2 + CD2-2AD-CD-cos(№°—x)=225 + 64 —

—2-15-8(—cos at)=289+ 240cos л: (2). Из (1) и (2) имеем: 41 —

—40 cos x=289 + 240 cos x, 41 — 289=280 cos x, cos x= — |g= —^.х=л — arccosM тогда Z. D=n—jf = arccosî. Аналогично на-

35 оо

ходятся Z. С и Z. Л из треугольников BCD и ВЛ/Х

13. y,arcsin(V2 — IXу — arcsin(V2— 1). Указание, д BCD.

— =cos* (рис. 102). Д АСВ. — =tgjc. По условию cosx=2tgJt.14. 75°ЗГ, 75°ЗГ, 28°58'. Указание. ha+hc=hb, jfe +^ =

= -А, Z. ЕАС=х (рис. 103). sin x+sinx =

^j^-, 2sinx =

y tgx.«_ т/5— 1 я • л/5—1 л15. arcsm-*-y—, у

— arcsin-^—, у.

16. arctg^y^, y-arctg^y^, у. Указание. Из метри-2

ческих соотношений в прямоугольном треугольнике а' = —, Ь' =

= Ь1, hc = f (рис. 104), тогда f .±= (тУ" (т)'- sirMX

Xsin B=sin2 Л — sin2 В и т. д.

Рис. 101

Рис. 104

A D С А

Рис 106

D

Рис. 107

17. 26°36', 63°24', 90°.

18. -|г, -g-n, -у, -g-л. Указание. a = ^j2AO-20D (рис. 105),

a2=4AO-OD, 1=4 , 1 =4cosxsin * и т. д.ЕС19. 70°32', 70°32', 38°56'. Указание. cosC=|^ (рис. 106)./1С»

Из подобия д АЕС и д BDC: т£ = £?. Пусть ЕС=у, АС=х,

утогда — = -

х+у-, 6у2+7ху-3х2=0, у=4гх, cosC=-i—=4-.

20. arcsin-„-, л—arcsin —. Решение. Пусть Z. BAD=x,

тогда Z. ЛВС=л—х. Обозначим BD=d\, AC=d2, AB = ^-4(рис. 107), тогда по условию:

т

т

т х

= -§-. 2m=3(d,+d2), £ =

d\ . di d, m . x di „, x m ,

:=Y'^Y• Y~TsmT' Y= TcosY' где ^—сторона ромба.

m m x , m x . x , x 4 . 9 x , 2*13-

= Tsin-2-+Tcos-g-, smY+cosT=T' sirrT+cosy +

+ sinx=-^, sin *=-£-, x=arcsin-£-. Z. BAD=Z. BCD = arcsin-„-,

Z. ABC= Z. ADC=n—arcsin -

Рис. 108

214

4 3 л21. arccos-r, arcsin-jr-, у или arccos-g-, arcsin-g-, y

Решение. Так как треугольник прямоугольный, то # = -£-.г = -

а+Ь- (рис. 108). Тогда Л = ±:^±=£-а + Ь—с'

sina+cosa=-g-. Так как Z. aа+Ь—с

__

2 2-.L.— I =.

с 5'

с"•"

с

острый, то sin сс>0и cosa>0H sin a = У1—cos2a, У1—cos2 a =

= -£-— cos a, 1 —cos2 a = ^—^cos a + cos2 a, 2cos2 a—г cos a +

+ | = 0, cos2a-

25

|cosa + g = 0, Л = ———

25'

25~

25

5*5. 4 4 - 3 ,,,cos a = 5 .a) cos cc = -=-,ai=arccos-=-,sin a=-=-. 0) cos a =

= -r. a2=arccos3 4

sin a = -=-.о

Указа-22. i- arcsin (| tg Ф), |. - i- arcsin (i- tg <p), -|ние. DF||BC (рис. 109). Пусть А. CAB=x. Найдите медианц

т0ит4по формулам та = уд/2(Ь2+с2) — а2 , т6 = уУ2(а2+с2)—Ь2.Применив к д /10/7 теорему косинусов найдите угол х.

23'2агс^ЫЫ' n-arctg(Ti^). Указание. B.D.IHB(рис. ПО). Проведем ЛШ||Л|С|, ЛШ=Л,С|. Л AMD. MD = b sin a

^=4^ = 1 sin а. 0Dl = T^. = !. <ey = ^ = ^-_. , / а sin а \ . / Ь sin а \ v n24. arctg (г-; 1, arctg (—г-г ) Указание. Продол-&\b + acosaJ *> \a + b cos a/ r

жим стороны ЛО и АВ и из С на продолжение сторон проведем

СС2±АС2 и CCJ-ЛС, (рис. 111). AACC2tgx-. ее,

ССгд ACQ.

Рис ПО Рис 111

215

Рис 112 Рис 113 Рис 114

25. arctg (*'+*[tl). Решение. Пусть ZВАЕ=а, a Z FAD =

= Р (рис. 112), Z. EAF—(p, тогда ф =

у —(а+ р), откуда tg<p=

^ctg(a + P)='~lg+atggpP(l). tga = ff (2), tgP=g (3). ПустьBC=x, ЕС=у, FD = z, тогда ЛЛ=/гл:, BE=ky и CF=kz. Из (2)имеем: tga=T^ = —, но ВЕ-{-ЕС=ВС, т. е. Ау+у=х, #(Л+1)=х,

k+ р т. е. tga =

*+lCF + FD = CD, CF+FD=AB. kz+z=

= kx, z(k+l)=kx, -=k

k+\Из (З) имеем: tgP=^, так как

г kAD = BC, tgP = —=

гху. Подставим найденные значения tg a и

l —

l

tg Р в равенство (1): tg<p=k+i 'k+\

__k*+k+i

-мт?тУ

4>=

oc n ,- ■ /2(1-*) л . V2(l-*) л v „ /ID26. — + arcsm —-——, -—arcs in JL- -.-^.Указание.^2(1+*) 2(1+*) '2 DB

__ *=-^- (рис. 113). DB = x, AD = kx, AB = (k+l)x, AC=ABcosy, BC=

ÂBs\n<p. OD = r, r=ADtgf = ftxtg-^, но r = BC+cArBA и т. д.

27. arcs in2(*+П

пк1л —arcs in

2(*+lЛ*2

— arcs in2(*+D v о

CD Pabcd—г . Указание. -—-= "Dt--U

kn ' AB Cr

2(*+I)arcsm ,. я —

kn

= k (рис. 114). CG=»

=2r=CD sin jc, COKp =2лл=л CDsinjc. По теореме об описанном

четырехугольнике: CD+AB = BC4-AD. Ж°+Ав'> =k и т. д1л - CD-sin х

28. arctg (2+'"0°а )• Решение. Пусть ВС=а, тогда ИВ=2о.

Z. АВС=п— а (рис. 115). По теореме косинусов получим:АС2 = АВ2 + ВС2—2АВ-ВС cos {л —а) = 4а'2 + а2 + 2а- 2а cos а =

216

Рис. 115 Рис 116

=5а2+4а2 cos а, ВС* = АС2 + АВ2—2А С ■ А В - cos х. а2=5а2 ++ 4а2 cos а + 4а2 —2а-д/5 + 4 cos а -2а cos х, 4 \/5 + 4 cos а cos x =

i ~. п .2 + cosa

= 8+4 cos а, y5 + 4cos а cos jt = 2 + cos а, cosx = -

sin2 x= 1 —cos x= 1 4+4 cos n + cos' a 1 — cos2 a

5 + 4 cos а

-\/5+4 cos a

si"2°o<

'5+4 cos а 5 + 4 cos а"

л • sin а

<х<а<-5>, a потому sinx=-r=2 V5+4 cos a

, тогда tg x=sin лг

COS X

sin a . / sin a \

^*=-2+!о7Т' *=arctg (2+cosa J'29. arccos

(тг+«г)(^-р2)2тп(р2 + 92)

, л—arccos(тг+Пг)(9г-рг)

2тп(рг + 92)

Указание. Jg = -J-, ЛВ = т*. AD = nx; j£ =

y. BD=py, AC=qy

(рис. 116). По свойству суммы квадратов диагоналейпараллелограмма: 2(AB*+AD2) = BD2 + AC2, 2{m2x2 + n1x2)=p2y2 + q2y2.По теореме косинусов: BD2=AB2+AD2 — 2AB-ADcos у, р2у* =

= т2х2+п2х2 — 2mnx2costp и т. д.

30. arcsin4-*г

, л—arcsin .—, -\/2<:ft<2.«< . 4S л . 1 . 4S31. л —arctg —, T + Tarctg-j,

л , 4S__arctg-. Решение.

Из условия задачи следует, что Z. В = р>-£ (рис. 117), причем

„ л „ л , г, a sin в sin у . _

Р—Y = -o-. тогда р=т+у. S = T- . ,. , \ , smp=cosY'2 ' г' 2 sin(p+Y)

sin(p + v)=sin(y + 2Y)=cos2Y. S =

y

X-^-,45 = a2tg2V, tg2V = g, Vcos 2y

2

cos у-sin уcos 2v

*

1 , 45=

y arctg-^ P=f +

+ |arctgg, ^ = T-arctg^.32. у arcsin -|- ft, -"- —

-j arcsin у ft.

oo • W7 л . Зл/733. arcsin—*—, -3-— arcsin—*—.

34. 2 arccos2ab

217

35. arccos1±VI— 2m

л —2 arccosl±-\/l— 2m

0</и^у. Решение. По условию — =t

ПустьZ. OAD = ±,

R— «•

Z BAC = x (рис. 118), тогда

/1 ABC=n—2x, AC== 2R sin (л — 2x) = 2R sin 2x, 4D=tf sin 2x (I).A OAD.AD=rctg±(2).Из (1) и (2) следует:

r ctg -|- =Л sin 2x, -ц=

sin 2x

. xctg у

m=s'm2x-tg-^, /w=sin2*X

v. 1—cos* ~ 1—cosx , n

X—: , m=2sin xcosx—гпгт—. sinx=?fcO,sin*

'""

sin x

—2 cos2*, 2 cos2*—2 cos a; 4-m=0, D = l— 2ш>0, О

l±Vl-2m

m=2 cos x—

1:m<-

cos x-

36. arctg2ah

37.arcsi„(ivî±«i). л—arcsin (IV l+V'+4fe2 )•A>V2.

38. arcsin Vein (a -f- p) sin (a — p). Решение, д АСВ

прямоугольный, Z ACB =

y (рис. 119). Проведем СО±у и CD±AB,

тогда ODJ-AB (теорема о трех перпендикулярах). Следовательно,Z. CDO=a — линейный угол двугранного угла (АВ). Z. САО и

Z. СВО образованы наклонными с их соответствующимипроекциями на плоскость у. Допустим, что Z. СЛО=р. Найдем Z. СВО=х.Пусть CO=h, тогда из прямоугольных треугольников COD и СОА

найдем: CD = ~^v\ АС=-^-г. Из д CAD, в котором Z CDA=^,найдем 4D: /1D2=/1C2 — CD2 = -

51П'

-sin2p)= „'„• sin2 a sin2cos 2p — cos 2a

1 —cos 2a 1 —cos 20/ sin2 a.

sin2 a sin2 pA2

(sin2 a —

Xsin' a sin2 p

2 2 / sin2 a sin2 P

sin (a + p) • sin (a — P), AD =

X

sin a sin pX

XVsin(« + P)sin(a —P)- Заметим, что 0<а+р<л, а потому

sin(a + p)>0; кроме того, OD<zAO, а потому CD<CA и,

следовательно, а>р, а потому sin (о — Р)>0. Из метрических соотношений

218

в прямоугольном треугольнике получим: AC2=AD'AB, . 2=

= -r-JL-r—.^(a + p)sm(a-p)'AB,AB== _ h^™ ^.sin a sin p v v r/ \ r> sinpVsin(o+P)sin(o—P)

По теореме Пифагора найдем ВС из прямоугольного Д ABC:

ВС2=АВ2-АС2 =ft2 sin2 a

sin2 р sin (а+Р) sin (а—Р) siir* p sur pX

Xsin2 а —sin (а + Р) sin (а —Р) 2 sin2 а—2 sin (а+Р) sin (а — р)

sin (а + Р) sin (а — р) 2 sin (а + р) sin (а—р)ft2 1 —cos 2а—cos 2p + cos 2а Л2 1— cos 2р

2sin(a + p)sin(a —P)sin2 p= 77П-ГХ

Р 2 sin (а+р) sin (а —р) sin2 p

X2 sin2 p

2 sin (а + Р) sin (а—р) sin (а + Р) sin (а —Р)ВС =

Из прямоугольного А ВОС найдем: sin x=-^=h

Vsin(a + P)sin(a —P)

h

вс ""Vsin(a + p")sTn(a^P)СО

=-y/sin (a + p) sin (a —p).39. arcsin (sin a sin p), arcsin (cos a sin p). Указание. См.

рис. 120. CD — наименьшая медиана прямоугольного треугольникаABC, SA±ABC и AE±CD по построению. SE±CD по теоремео трех перпендикулярах, поэтому Z. SEA — искомый линейный

/2угол двугранного угла с ребром CD. 40. arccos^. Решение.

АС и ВС\ — скрещивающиеся прямые (рис. 121). Требуетсянаитие (AC, Bd)=x. AidWAC, а потому Z. (/1C,BC,)=Z ВС,Л,=

=а\ д Л|ВС| равнобедренный, BE-LAtCi, ECl = EAi = -^. Д ВС\С.

ЕС,ВСх = аф. A EBCt. cosx = ^- =

.л/2 A==arccos-V. 4ЯС, 2ov^ 4

41. arcctg -\4:tg2£t-r-cfg2 /3. Указание. См. рис. 122.42. 2 arctg (cos а). Решение. д A\DC\ равнобедренный(рис. 123), AiO = OC\, а потому DOJ_i4,Ci, кроме того, DtO±_L/4|C| (диагонали квадрата). Z. DODt = a — линейный угол

двугранного угла (А,С,). Z. i4iDCi=x. Пусть CD = a, тогда ODt =

Рис. 119

Рис. 124 Рис. 125

2 v cos a 2 cos а" & 2 OD 2а-\/2

=cos a, x=2 arctg (cos a).43. arcsin (sin a sin p). Указание. См. рис. 124.

44. arctg ———. Решение. Пусть длина ребра куба равна х,

тогда DD2=xtg<p (рис. 125). Объем призмы с основаниями

DD2C, АА-гВ и высотой AD будет- V,= у CD-DD2-AD =

=

у х{х tg ф)х = -х3 tg ф. Тогда объем второй призмы будет:1

— •-а L^tV-1 = Кк,6а - V, =*3 —^tglf, ^ =

171'

x3(2-tg<p)

2

2m

лг4к<р

2-tg«T _

. n_ 2 n + m .__

• m' tg<p m' °^ m+n <p=arctg

2m

m* tg<p "' m' tg<p m '*&"•' m+n f "'"8 /i+m'

45. arctg (2s*a )■ Указание. См. рис. 126. DM±AB, а

потому ЕМА-АВ. Z. EMD — искомый линейный угол двугранного

220

А, Pi

Рис. 128

угла (АВ). 46. 2arcctg(2cosa). Решение. Через AD проведенаплоскость AB\C\D, которую обозначим буквой л, (рис. 127).Проведем ВВ\Л.п и CCi-Ln, тогда углы, образованные диагональю

ромба с плоскостью л, будут: Z. САС\ = а и Z. BDB\=2a. Из

прямоугольных треугольников САС\ и BDB\ получим: АС=™

иsin a

BD =т

, где CC|=BBi=m. Из прямоугольного треугольника

ВОС (диагонали ромба взаимно перпендикулярны) имеем: ОС =

sin 2a

~

2 ЛЬ—2sina 2 2 sin 2a

. дг ОС sin 2asin a

= 2 cos a, Jc=2arcctg(2cosa).

47. arccos P^-cos a J. Указание. См. рис. 1 28.

48. arccos -. Решение. Так как наибольшая по

-yj 8 + sin2 2a

площади боковая грань — квадрат, то сторона его равна*гипотенузе треугольника, лежащего в основании призмы. АВ = с.

221

Рис 131 Рис. 132

Л АСВ. АС = с cos а, ВС = с&'т а (рис. 129). Из прямоугольныхтреугольников А\АС и В [ВС найдем длины диагоналей: А\С2==/4C2+/4i4?=c2cos2a + c2=<:2(cos2a + l). B,C2=BC2 + fiBjf =

=c2sin2a + c2=c2(sin2a+l). По теореме косинусов А\В\=А\С2-\-+ fi;C2-2i4,C-B|Ccosx, c2=c2(l+cos2a)+c2(l+sin2a)-2c2XX V' +cos2a • V1 +sin2a cos x, 1 = 1 +cos2a+l +sin2a—2xX sj(l +cos2aXi +sin2a)cos x, 2-\/l +sin2 a+cos2 a-fsin2 a cos2 a X

Xcosx=2, -д/2 + sin2 a cos2 a cos x= 1, -I--\/8-T-sin22acosjr=l,cos*=

д/8 + вт22а, x=arccos

V8 + sin22a

49. arccos -j-. Указание. См. рис. 130. Площадь проекции

равна площади проектируемой фигуры, умноженной на косинусугла между ними. 50. arccos ^sin a sin 0). У к а з а н и е. См. рис. 131.

51. arccos -т—, arccos -rt-, -т-. Решение. Из условия еле-О 1 v 4

дует, что CD=3k, AD=4k и DDi=5k (рис. 132). Параллелепипедпрямоугольный, а потому d2=/4D2 + CD2+DD! = 16fc2+9fc2 +

+25£2=50Ar2, d=b^2k. Треугольники BtAD, BXCD и B[D,D/Ш 46 2-y2

5V2*~~

5прямоугольные (докажите), а потому cosjc=-t-=-

2Л^ CP_ 3k 3V2 Зд/2-j^-, i/ = arccos-r*p cos 2 =

£>£>i 5k V2 _n5^k 2 ' 4

•

52. arctg3^. 53. arccos^-. Указание. Проведем EF\\AC

(рис. 133). Z. SF£— искомый угол между SF и AC. 54. 2 arcsin ту-Решение. DE—средняя линия д SAC (рис. 134), а потому

222

ru^C A 4?-— —

DE=-ÂC=^. Из условия следует, что BD=BE. Проведем

BF±DE, тогда Z. FBE= Z. FBD=x и A DBE=2x. Из прямо-

угольного треугольника FBf получим: sin *=я£ =

яр- Найдем BE.

BE — медиана д SBC, в котором известны все стороны, а потому

по формуле m6 = i-V2(a2+c2)—Ь2 получим: ВЕ=у VsB2+2BC2,так как SC=SB. В£'=-|-Л/49 + 72=-|-Л/12Г = -^. тогда sin лг=

3 6 • 6 о о -6==тт=тт> л:=arcsin-ту, 2дг = 2 arcsin-ry.

У

55. arcsin ^V3cosaV -g-<a<y. Решение. Пустьсторона основания пирамиды равна a, SD—апофема (рис. 135),а потому DC=^. Д SDC. SC =

осZ. OSC=x, тогда sinx=p7; =

2. cos a

а 2 cos a 2 cos a

SC тДв V3

OC = R = ~. ПустьУЗ

= ^--\/3cosa, 0<

<sinx<l, 0<|-V5cosa<l, (Xcosok;^, 'g"<a<^- Так как

sin x=y-\/3cosa, то x = arcsin (jr-\f3cosa).56. 2 arcsin (cos — tgy )• Указание. См. рис. 136.

57. arcsin (* s™a V Решение. AOJ-л по построению

(рис. 137). Z. АСО=а — угол, образованный наклонной АС и

ее проекцией СО на плоскость л. Если ЛС = СВ = а, то АО=

=asina, АВ=ау2. Пусть Z. АВО=х, тогда

a sin a

АОsmx =

M=

sin a_

- /т/2 since—=- = —P~, x=arcsm I-5*—=—

аф V2 \ 2

223

58. arctg (2 ctg а). У к а з а н и е. См. рис. 138. 59. aresin -^~—2l_Решение. Z. BDE—x—искомый угол (рис. 139), где DE\\DiBiи DE±BBt, BE=BBl-EBl=b-a, BD±^fi. д BDE. sinx=

BE (Ь-а)2 . 2(6-a)=

on=

;=—. x = arcsin——-.

60. arcsin (sin a sin 6). Указание. См. рис. 140.61. 2 arctg (cos а). Решение. Пусть ВС=а, тогда ВЕ=ОЕ~

A BSE. tg-J=§! ==

у (рис. 141). д SOE. SE--2 cos a

'

Т:2сюа =cos a' -f = arctg (cos a), x=2 arctg (cos a).

62. arccos (cos2 у V Указание. См. рис. 142. 63. arccos—.

Рис. 136 Рис 137

Рис. 139

224

Рис 140

Рис 141 Рис 142 Рис 143

Рис 144 Рис. 145 Рис. 146

64. arccos (cos2 а). Решение. Допустим, что Z. ASC=x —

искомый, a Z. ASB = ^ CSB = a (рис. 143). Кроме того, BC±SBи BA±SB и Z. АВС=90°. Пусть SB=a. Д ASB. AB=SB tga =

=atga. Д SBC. BC=atga. SC=-^—. SA = -^-, AC2=AB2-\-° a cos a cos а г

+ CB2 = 2a2tg2a (1). AC2 = AS2 + SC2-2AS-SC cos x = —tcos2 a

--^-■cosx (2). Из (1) и (2) получим: 2a2tg2a = -^ Ц- Xcos2 a

\ / \ / j о cos2 a c0g2 a

.9 1 1 COS X 1 .2 COS X ,

Xcosx, tg-£a = —1 —cosx, —j—= —; tg2a, —j— =1,cos a cos a cos a cos a cos a

cos * = cos2 a, x=arccos (cos2 a).65. arccosэ/jL. Указание. См. рис. 144. 66. arcsin^,

0<£<УЗ. Указание. См. рис. 145.

67. arcsin ( — -\/3l7c). Решение. Так как боковые ребра

пирамиды составляют с плоскостью основания равные углы, то,

проведя SO-L(ABC), получим равные прямоугольные треугольникиASO, BSO, CSO по катету SO и острому углу х; следовательно,

АО = ВО = СО (рис. 146). SO = ytg*. AC = ccosx, CB = cs\nx,

225

—ti-г^^с %i-4-

Рис. 149

V=-3-S0CH -SO —

-J- у с2 sin x cos Jf-ytgjf= ^c3sin2x. sin2x=-^,sin jc=|-V3Vc. jf=arcsin(-?--^VrcJ. 0<sinjr<l. 0<—-v'3VV<l.

0<V3TV<T,0<V<^.68. arcctg (~-\/k2~\ \ k>l. Указание. См рис. 147.

69. arcsin (д/З— 1), у— arcsin bfi— 1). У каза ни е. См. рис. 148.

70. arcctg (——Ц——. Vsin(a + 6)sin(a —8) V Решение.°\ sin a sin p v x ■ r/ v / r/

/

Z. OBA = a и Z. OCA = 6, как углы между наклонными и

соответствующими их проекциями (рис. 149). Пусть OA=h, тогда

AB=hctga, /4C=ftctgp. Д/4CD. ЛР2=ЛС*— CD2=h2 ctg2 B-

-/i2ctg2a=A2(ctg26-ctg2a). ctg*=££= д/ctg2 B-ctg2 a.

__ /sin (a+ P)sin (a —6) 1 r.--; .——7 г

ctgx= V l ,p , ; — = -.—!—;-în(a + 6)sin a — 6), x=& * sin2 a sin2 p sin a sin p v v ' H/ v tv'

= arcctg f— r-s- Vs'i(a + P)si"(o —P) ) •

&\ sin cc sin 0 v v v r/

/

71.2 arctg(2V3fc). У к а з а н и е. См. рис. 150. 72. arctg (2*^ )■Указание. См. рис. 151.

73. arccos-^-p. *>2. Решение. АВ=а„=а, ODA.AB, AD =

= DB = ± (рис. 152). Л OAD. OD=/1D-ctg-^=-Jctg-^..

180°

Пусть Z.ODS=x, тогда SZ) = -^- = —= —, S^ =4"«ХCOS X 2 COS .

180°

w

°Ctgя но» ni 180° „ с _

„а2 . 180°w

Xcosx=—ctg—, 5nn= Scok+Soch =

4cosx ctg——h—X

XcÔ+cos^c.g^-*. i±^=*._L-=*_,,cosx=-r—p. *—l>"l, *>2, x=arccos-r—r-ft— 1 ft— I

74. arctg (У/2 —2/cos-M, t>2.

75. arctgy<ctga± yctg2a—8 ). Решение. По условию

x—y=a, y=x—a. Пусть SO=h (рис. 153), тогда ОС=

227

\V

Рис. 156

-A-t~--V'А

\Jб)

Рис. 157

=hctgy и OE=h ctgx. 0C=20E, поэтому 2UE=hctgyили 2/ictgx=ftctgy, 2ctgx=ctg£/ или tgx=2tgf/, tgx=

=2tg(x-o). tg^=^tXg~tt|°), tg*+tg2*tga=2tg*-2tga,tgatg2x-tgx+2tga=0, D = l-8tg2a>0, tgâ^-i, ctg2a>>8, |ctga|>2V2, но 0<a<y, а потому ctga>2-^.

l± Vl-8tg'Ttgx= 2tga (1). Запишем равенство (1) в виде: tgx=

= ctga±^2Ctg2a-8-. x = arctg|(ctga±Vctg2a-8).76. arctg (——- \/2 sin a cos у J. Указание. См. рис. 154.

77. arctg-\/2. Указание. См. рис. 155.

-о л 1 - л/2 п . 1'

. -Лж T_Tarcsm 6 • T + Tarcs,n 6

•

79. arcctg (— sin a J, arcctg (y cos a J.80. 2 arcctg (sin a). 81. arctg(ytga).82. arcsin (ctg^-ctga), 0<a<y.83. arccos(ctg-^-ctga), 0<a<-|.84. —. 85. arccos-5-, arccos^-.

Я а о

86. arctg (^{тГп)-tg a). 87. 2 arctg ±1 Решение. ^-=ь \ m + n \ь / & ял 2RI

m_ я/? m_ _/?_ m_ . _x_~

я' 2/

—

n' 21

~

nn' g 2 OOj ' g 2

—

I~

21~

ялx=

t 4m , 4m'= arctg-, * = arctg-.

228

Указание. См. рис. 157 (а, б).90. arcsinV- Указание. См. рис. 158. 91. arccos —

, я —

— arccos-^-. Указание. См. рис. 159.

92. arcsin-|. 93. arccos-y(l ± -yj l— 2^[k), 0<ft<T.Указание См. рис. 160.

94. 2arctgV^^2*.*>2.95. 2arcsin(tga), 0<a<-^-.96. 2arcctgn«35°16'. 97. 2arctg|^-. *>л.

98. arcctg(fc — 1)V2\ *> 1- Указание. См. рис. 161.

99. arctg-|(4 + n/6)- Указание. См. рис 162.о

100. arctg2. 101. arccos-г-- Указание. См. рис. 163.

Рис 161 Рис 162 Рис 163

229

I М, 0 N. В

Рис 164

Рис 166

Рис 168Рис 169

102. arcsin^——. Указание. См. рис. 164.о

103. arccos —. Указание. См. рис. 165. 104. arcsin —

.

V* 5

Указание. См. рис. 166.

105. arccos -.—г-, , п Z&1 Шо. bU .

4п+ 1

107. 2arcctg3. Указание. См. рис. 167. 108. 2 arcs in ~.

2 arcsin —.о

109. arcctg2. ПО. 2 arccos '+^17 . 111. 2 arcsin (У2 — 1).Указание. См. рис. 168.

112. arcsin *~

. Указание. См. рис. 169 113. arccos *~L .

£ 4-f-ft0<Л< 1. Указание. См. рис. 170.

Приложение

Таблица I. СИНУСЫ.

А

0"1°2°3°4°

5°6°7°8°9°

10°11°

12°13°14°

15°16°17°18°19°

20°21°22°23°24°

25°26°27°28°29°

30°31°32°33°34°

0'

0,00000175034905230698

0,08721045121913921564

0,17361908207922502419

0.25882756292430903256

0,34203584374639074067

0,42264384454046954848

0,50005150529954465592

60'

6'

00170192036605410715

08891063123614091582

17541925209622672436

26052773294031073272

34373600376239234083

42424399455547104863

50155165531454615606

54'

12'

00350209038405580732

09061080125314261599

17711942211322842453

26222790295731233289

34533616377839394099

42584415457147264879

50305180532954765621

48'

18'

00520227040105760750

09241097127114441616

17881959213023002470

26392807297431403305

34693633379539554115

42744431458647414894

50455195534454905635

42'

24'

00700244041905930767

09411115128814611633

18051977214723172487

26562823299031563322

34863649381139714131

42894446460247564909

50605210535855055650

36'

30'

00870262043606100785

09581132130514781650

18221994216423342504

26722840300731733338

35023665382739874147

43054462461747724924

50755225537355195664

30'

36'

01050279045406280802

09761149132314951668

18402011218123512521

26892857302431903355

35183681384340034163

43214478463347874939

50905240538855345678

24'

42'

01220297047106450819

09931167134015131685

18572028219823682538

27062874304032063371

35353697385940194179

43374493464848024955

51055255540255485693

18'

48'

01400314048806630837

10111184135715301702

18742045221523852554

27232890305732233387

35513714387540354195

43524509466448184970

51205270541755635707

12'

54'

01570332050606800854

10281201137415471719

18912062223324022571

27402907307432393404

35673730389140514210

43684524467948334985

51355284543255775721

6'

60'

0,00000175034905230698

0,0872

1045121913921564

0,1736

1908207922502419

0,2588

2756292430903256

0,3420

3584374639074067

0,4226

4384454046954848

0.5000

5150529954465592

0,5736

0'

90°89°88°87°86°85°

84°83°82°81°80°

79°78°77°76°75°

74е73°72°71°70°

69°68°67°66°65°

64°63°62°61°60°

59°58°57°56°55°

А

1'

33333

33333

33333

33333

333

3

33333

32222

Г

2'

66666

66666

66666

66665

55555

55555

55555

2'

3'

99999

99999

99988

88888

88888

88888

87777

3'

КОСИНУСЫ.

232


А

35°36°37°38°39°

40°41°42°43°44°

45°46°47°48°49°

50°51°52°53°54°

55°56°57°58°59°

60°61°62°63°64°

65е66°67°68°69°

0'

0,57365878601861576293

0,64286561669168206947

0.70717193731474317547

0.76607771788079868090

0,81928290838784808572

0,86608746882989108988

0,90639135920592729336

60'

6'

57505892603261706307

64416574670468336959

70837206732574437559

76727782789179978100

82028300839684908581

86698755883889188996

90709143921292789342

54'

12'

57645906604661846320

64556587671768456972

70967218733774557570

76837793790280078111

82118310840684998590

86788763884689269003

90789150921992859348

48'

18'

57795920606061986334

64686600673068586984

71087230734974667581

76947804791280188121

82218320841585088599

86868771885489349011

90859157922592919354

42'

24'

57935934607462116347

64816613674368716997

71207242736174787593

77057815792380288131

82318329842585178607

86958780886289429018

90929164923292989361

36'

30'

58075948608862256361

64946626675668847009

71337254737374907604

77167826793480398141

82418339843485268616

87048788887089499026

91009171923993049367

30'

36'

58215962610162396374

65086639676968967022

71457266738575017615

77277837794480498151

82518348844385368625

87128796887889579033

91079178924593119373

24'

42'

58355976611562526388

65216652678269097034

71577278739675137627

77387848795580598161

82618358845385458634

87218805888689659041

91149184925293179379

18'

48'

58505990612962666401

65346665679469217046

71697290740875247638

77497859796580708171

82718368846285548643

87298813889489739048

91219191925993239385

12'

54'

58646004614362806414

65476678680769347059

71817302742075367649

77607869797680808181

82818377847185638652

87388821890289809056

91289198926593309391

6'

60'

0,5878601861576293

0,6428

6561669168206947

0,7071

7193731474317547

0,7660

7771788079868090

0,8192

8290838784808572

0.8660

8746882989108988

0,9063

9135920592729336

0,9397

0'

54°53°52°51°50°

49°48°47°46°45°

44»43°42°4Г40°

39°38°37°36°35*

34°33°32°31°30°

29°28°27°26°25°

24°23°22°21°20°

А

V

22222

22222

22222

22222

22221

11111

11111

V

2'

55554

44444

44444

44433

33333

33333

2222г

2'

3'

77777

77666

66666

65555

55554

44444

43333

3'

КОСИНУСЫ.

233


А

70°71°72°73°74°

75°76°77°78°79°

80°81°82°83°84'

85°86°87°88°89°90°

0'

0,93979455951195639613

0,96599703974497819816

0,98489877990399259945

0,99629976998699949998

1,0000

60'

6'

94039461951695689617

96649707974897859820

98519880990599289947

99639977998799959999

54'

12'

94099466952195739622

96689711975197899823

98549882990799309949

99659978998899959999

48'

18'

94159472952795789627

96739715975597929826

98579885991099329951

99669979998999969999

42'

24'

94219478953295839632

96779720975997969829

98609888991299349952

99689980999099969999

36'

30'

94269483953795889636

96819724976397999833

98639890991499369954

99699981999099970000

30'

36'

94329489954295939641

96869728976798039836

98669893991799389956

99719982999199970000

24'

42'

94389494954895989646

96909732977098069839

98699895991999409957

99729983999299970000

18'

48'

94449500955396039650

96949736977498109842

98719898992199429959

99739984999399980000

12'

54'

94499505955896089655

96999740977898139845

98749900992399439960

99749985999399980000

6'

60'

0.9455951195639613

0,9659

9703974497819816

0,9848

98779903992599459962

997699869994

0,99981,0000

0'

19°18°17°16°15°

14°13°12°| | О

10°

9°8°7°6°5°

4°3°2°1°

0°

А

Г

/////

/////

00000

00000

| Г

2'

22222

11111

11111

00000

2'

3'

33322

22222

10000

3'

КОСИНУСЫ.

Таблица II. ТАНГЕНСЫ.

А

0°1°2°3°4°

5°6°7°8°9°

10°11°12°13°14°

15°16°17°18°19°

20°21°22°23°24°

25°26°27°28°29°

30°31°32°33°34°

35°36°37°38°39'

0'

0.00000175034905240699

0.08751051122814051584

0,17631944212623092493

0,26792867305732493443

0,36403839404042454452

0,46634877509553175543

0.57746009624964946745

0,70027265753678138098

60'

6'

00170192036705420717

08921069124614231602

17811962214423272512

26982886307632693463

36593859406142654473

46844899511753405566

57976032627365196771

70287292756378418127

54'

12'

00350209038405590734

09101086126314411620

17991980216223452530

27172905309632883482

36793879408142864494

47064921513953625589

58206056629765446796

70547319759078698156

48'

18'

00520227040205770752

09281104128114591638

18171998218023642549

27362924311533073502

36993899410143074515

47274942516153845612

58446080632265696822

70807346761878988185

42'

24'

00700244041905940769

09451122129914771655

18352016219923822568

27542943313433273522

37193919412243274536

47484964518454075635

58676104634665946847

71077373764679268214

36'

30'

00870262043706120787

09631139131714951673

18532035221724012586

27732962315333463541

37393939414243484557

47704986520654305658

58906128637166196873

71337400767379548243

30'

36'

01050279045406290805

09811157133415121691

18712053223524192605

27922981317233653561

37593959416343694578

47915008522854525681

59146152639566446899

71597427770179838273

24'

42'

01220297047206470822

09981175135215301709

18902071225424382623

28113000319133853581

37793979418343904599

48135029525054755704

59386176642066696924

71867454772980128302

18'

48'

01400314048906640840

10161192137015481727

19082089227224562642

28303019321134043600

37994000420444114621

48345051527254985727

59616200644566946950

72127481775780408332

12'

54'

01570332050706820857

10331210138815661745

19262107229024752661

28493038323034243620

38194020422444314642

48565073529555205750

59856224646967206976

72397508778580698361

6'

60'

0,00000175034905240699

0,0875

1051122814051584

0,1763

1944212623092493

0,2679

2867305732493443

0,3640

3839404042454452

0,4663

4877509553175543

0,5774

6009624964946745

0,7002

7265753678138098

0,8391

0'

90°89°88°87°86"85°

84°83°82°81°80°

79°78°77°76°75°

74°73°72°71°70°

69°68°67°66°65°

64г63°62°61°60°

59°58°57°56°55°

54°5352°51°50°

А■

Г

33333

33333

33333

33333

33334

44444

44444

45555

Г

2'

66666

66666

66666

66667

Т7777

77788

88889

899910

2'

3'

99999

99999

99999

99101010

10101010и

1111111112

1212121313

1314141415

3'

КОТАНГЕНСЫ.

235

Таблица II. ТАНГЕНСЫ.

А

40°41°42°43°44°

45°46°47°48°49°

50°51°52°53°54°

55°56°57°58°59°

60°61°62°63°64°

65°66°67°68°69°

70°71°72°73°

74°

75°

0'

0.83918693900493259657

1,00000355072411061504

1.19182349279932703764

1.42814826539960036643

1,7321,8041.8811.9632.050

2,1452,2462,3562,4752.605

2.7472.9043,0783,271

3.487

3,732

60'

6'

84218724903693589691

00350392076111451544

19602393284633193814

43354882545860666709

1,7391,8111,8891,9712,059

2,1542,2572,3672,4882.619

2,7622,9213,0963,291

3,511

3,758

54'

12'

84518754906793919725

00700428079911841585

20022437289233673865

43884938551761286775

1,7461.8191,8971,9802.069

2,1642,2672.3792.5002,633

2,7782.9373,1153,312

3.534

3,785

48'

18'

84818785909994249759

01050464083712241626

20452482293834163916

44424994557761916842

1,7531,8271,905Г.9882,078

2,1742,2782,3912,5132,646

2,7932,9543,1333.333

3,558

3,812

42'

24'

85118816913194579793

01410501087512631667

20882527298534653968

44965051563762556909

1,7601,8341,9131,9972,087

2,1842,2892,4022,5262,660

2,8082,9713,1523.354

3,582

3,839

36'

30'

85418847916394909827

01760538091313031708

21312572303235144019

45505108569763196977

1,7671.8421,9212,0062,097

2.1942,3002,4142,5392,675

2,8242.9893,1723,376

3.606

3,867

30'

36'

85718878919595239861

02120575095113431750

21742617307935644071

46055166575763837045

1,7751,8491,9292,0142,106

2,2042.3112,4262.5522.689

2,8403,0063,191

3,398

з;бзо

3.895

24'

42'

86018910922895569896

02470612099013831792

22182662312736134124

46595224581864477113

1,7821,8571,9372,0232,116

2,2152,3222.4382.5652,703

2,8563.0243,211

3.420

3,655

3.923

18'

48'

86328941926095909930

02830649102814231833

22612708317536634176

47155282588065127182

1,7891,8651.9462,0322,125

2,2252,3332,4502,5782,718

2,8723,0423,230

3,442

3,681

3,952

12'

54'

86628972929396239965

03190686106714631875

23052753322237134229

47705340594165777251

1,7971,8731.9542,0412,135

2,2362,3442,4632,5922.733

2.8883.0603,251

3,465

3,706

3,981

6'

60'

0,869390049325

0,96571,0000

0355072411061504

1.1918

2349279932703764

1,4281

4826539960036643

1,7321

1,8041,8811,9632,0502,145

2,2462,3562,4752,6052,747

2,9043,0783.271

3,487

3,732

4,011

0'

49°48°47°46°45°

44°43°42°41°40°

39°38°37°36°35°

34°33°32°31°30°

29°28°27°26°25°

24°23°22°21°20°

19°18°17°

16°

15°

14°

А

Г

55666

66677

78889

910101111

11112

22222

333344445

Г

2'

1010111111

1212131314

1415161617

1819202123

23333

34445

56677889

10

2'

3'

1516161717

1818192021

2223242526

2729303234

44445

55667

89

10101112131314

3'

КОТАНГЕНСЫ.

236

Таблица III. ТАНГЕНСЫ УГЛОВ, БЛИЗКИХ К 90°.

А

76°00'10'20'30'40'50'

77°00'10'20'30'40'50'

78°00'10'20'30'40'50'

79°00'10'20'30'40'50'

80°00'10'20'30'40'50'

81°00'10'20'30'40'50'

82°00'10'20'30'40'50'

0'

4,0114,0614,1134,1654,2194,275

4,3314,3904,4494,5114,5744.638

4,7054,7734,8434,9154.9895,066

5,1455,2265,3095,3965,4855,576

5,6715,7695,8715,9766,0846,197

6.3146,4356,5616,6916,8276,968

7,1157,2697,4297,5697,7707,953

10'

1'

4,0164.0664,1184.1714,2254.280

4,3374,3964,4554,5174,5804,645

4,7114,7804,8504,9224.9975,074

5,1535,2345,3185.4045,4945,586

5,6815,7795,8815,9866.0966.209

6,3266,4476,5736.7046.8416,983

7,1307,2847,4457,6137,7887,972

9'

2'

4.0214,0714,1234,1764,2304,286

4,3434,4024,4624,5234,5864,651

4,7184,7874,8574,9305.0055,081

5.1615,2425,3265,4135,5035,595

5,6915,7895.8925,9976,1076.220

6,3386,4606,5866.7186.8556,997

7,1467,3007,4627,6307,8067,991

8'

3'

4.0264,0764.1284.1814.2364,292

4,3494,4074.4684,5294,5934,658

4,7254.7944,8644,9375.0125,089

5.1695.2505,3355,4225,5125,605

5,7005,7995.9026,0086,1186,232

6,3506,4726,5996,7316,8697,012

7,1617,3167,4787.6477,8248,009

7'

4'

4,0314,0824.1344,1874,2414,297

4.3554,4134,4744,5364,5994,665

4,7324,8014,8724,9455,0205,097

,5,1775,2595.3435,4315,5215,614

5,7105,8105,9126,0196.1296,243

6,3626,4856,6126,7456,8837,026

7,1767,3327.4957,6657,8428.028

6'

5'

4,0364,0874,1394,1924,2474,303

4,3604.4194,4804,5424,6064,671

4,7394.8084.8794,9525,0275,105

5,1855,2675,3525,4405,5305.623

5,7205,8205,9236,0306.1406.255

6,3746.4976,6256,7586,8977,041

7,1917,3487.5117,6827,8618,048

5'

6'

4.0414,0924.1444.1984,2524,309

4,3664,4254,4864,5484,6124,678

4,7454.8154,8864,9595,0355,113

5,1935,2765,3615,4495,5395,633

5,7305,8305,9336,0416.1526.267

6.3866,5106,6386.7726,9117,056

7,2077.3637,5287.7007,8798.067

4'

7'

4,0464,0974,1494,2034,2584,314

4,3724.4314,4924,5554.6194,685

4,7524,8224,8934.9675.0435,121

5,2015,2845.3695,4585,5495,642

5,7405,8405,9446,0516,1636.278

6,3986,5226.6516.7866.9257,071

7,2227,3807,5457,7177.8978,086

3'

8'

4,0514,1024.1554.2084,2644,320

4,3784,4374,4984,5614,6254.691

4,7594,8294,9014,9745,0505,129

5,2095,2925,3785,4665,5585.652

5,7495,8505,9546.0626,1746,290

6,4106,5356,6656,7996,9407,085

7,2387,3967,5627,7357.9168.106

2'

9'

4,0564,1074.1604,2144,2694,326

4,3844,4434,5054,5674.6324.698

4.7664,8364,9084,9825,0585,137

5,2175,3015,3875,4755,5675.662

5,7595,8615,9656,0736,1866,302

6,4236,5486,6786.8136,9547,100

7,2537.4127,5797.7537.9348,125

Г

10'

4.0614,1134.1654,2194,2754,331

4,3904,4494,5114,5744,6384.705

4,7734,8434,9154,9895,0665,145

5,2265,3095,3965,4855,5765,671

5.7695,8715,9766.0846,1976,314

6,4356.5616,6916,8276.9687,115

7,2697,4297,5967.7707,9538.144

0'

50'40'30'20'10'

13°00'

50'40'30'20'10'

12°00'

50'40'30'20'10'

11°00'

50'40'30'20'10'

10°00'

50'40'30'20'10'

9°00'

50'40'30'20'10'

8°00'

50'40'30'20'10'

7°00'

А

КОТАНГЕНСЫ МАЛЫХ УГЛОВ.

237

Таблица 111. ТАНГЕНСЫ УГЛОВ. БЛИЗКИХ К 90°

А

83°00'10'20'30'40'50'

84"00'10'20'30'40'50'

85°00'10'

20'30'40'50'

86°00'10'20'30'40'50'

87°О0'10'20'30'40'50'

88°00'10'

20'30'40'50'

89°00'10'20'30'40'50'

0'

8,1448.3458,5568,7779,0109,255

9,5149,78810,0810,3910,7111,06

11,4311,8312,2512,7113,2013.73

14,3014,9215,6016,3517,1718.07

19,0820,2121,4722,9024,5426,43

28,6431,2434,3738,1942,9649,10

57.2968,7585,94114.6171.9343,8

10'

1'

8,1648.3668.5778,8009,0349,281

9,5419,81610,1110,4210,7511,10

11,4711,8712,2912,7513,2513,78

14,3614,9915,6816,4317,2618,17

19,1920,3321,6123,0624,7226,64

28,8831,5334,7238.6243,5149,82

58,2670,1588,14118,5180,9382.0

9'

2'

8,1848.3868.5998,8239,0589,306

9.5689,84510,1410,4510,7811.13

11,5111,9112,3412,8013.3013,84

14.4215,0615,7516,5117,3418.27

19,3020,4521,7423,2124,9026,84

29,1231,8235,0739.0644.0750.55

59,2771,6290.46122.8191.0429,7

8'

3'

8,2048,4078.6218,8469,0829,332

9,5959,87310,1710,4810,8111,17

11,5511,9512,3812,8513,3513,89

14,4815,1215,8216,5917,4318,37

19,4120,5721,8823,3725,0827,06

29,3732,1235,4339,5144,6451,30

60,3173,1492.91127,3202,2491,1

7'

4'

8,2238,4288,6438,8699,1069.357

9.6229.90210,2010,5110,8511,20

11,5911,9912,4312,9013,4013,95

14,5415,1915,89■ 6,6717,5218,46

19,5220,6922,0223,5325,2627,27

29,6232,4235,8039,9745,2352,08

61,3874,7395.49132,2214,9573,0

6'

5'

8,2438,4498,6658,8929,1319,383

9,6499,93110,2310,5510,8811,24

11,6212.0312,4712.9513,4614,01

14,6115,2615,9716,7517,6118.56

19,6320,8222,1623,6925,4527.49

29,8832,7336,1840,4445,8352.88

62,5076,3998,22137.5229,2687,5

5'

6'

8.2648.4708.6878,9159,1569,409

9,6779.96010,2610,5810,9211,28

11,6612,0812,5213,0013.5114,07

14,6715,3316,0416,8317,7018,67

19,7420,9522,3123,8625,6427,71

30,1433,0536,5640,9246,4553,71

63,6678,13101,1143,2245,6859,4

4'

V

8,2848.4918.7098.9399,1809.435

9,7049,98910.2910,6110,9511,32

11,7012,1212,5713,0513,5614,12

14,7315,3916,1216,9217,7918,77

19,8521,0722,4524,0325,8327.94

30,4133,3736,9641,4147,0954,56

64,8679,94104.2149,5264,41146

3'

8'

8,3048,5138,7328,9629,2059,461

9,73210,0210.3210,6410,9911,35

11,7412,1612.6113,1013,6214,18

14.8015.4616,2017,0017,8918,87

19,9721,2022,6024,2026,0328,17

30,6833,6937,3641,9247,7455,44

66,1181,85107,4156.3

286,51719

2'

9'

8,3248.5348,7458.9869,2309,488

9,76010,0510,3510,6811,0211,39

11.7912.2112,6613,1513,6714,24

14,8615,5316,2717,0817,9818.98

20,0921,3422,7524,3726,2328.40

30,9634,0337,7742,4348,4156,35

67,4083,84110.9163,7312,53438

Г

10'

8,3458,5568,7779,0109,2559,514

9,78810,0810.3910.7111,0611,43

11.8312,2512,7113,2013,7314,30

14,9215,6016,3517,1718,0719,08

20,2121,4722,9024,5426,4328,64

31.2434,3738,1942,9649,1057,29

68,7585,94114.6171.9343.8

0'

50'40'30'20'10'

6°00'

50'40'30'20'10'

5°00'

50'40'30'20'10'

4°00'

50'40'30'20'10'

3°00'

50'40'30'20'10'

2°00'

50'40'30'20'10'

1°00'

50'40'30'20'10'

0°00'

А

КОТАНГЕНСЫ МАЛЫХ УГЛОВ.

238

ОГЛАВЛЕНИЕ

Глава I. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ 3

§ I. Уравнения вида sinx=a .—

§ 2. Уравнения вида cosjr=a . 5§ 3. Уравнения вида tgjr=a . 6§ 4. Уравнения вида ctgx=a . . 7§ 5 Уравнения, сводимые к алгебраическим .

—

§ 6 Однородные уравнения ... .... 12§ 7 Уравнения, решаемые разложением на множители . ... 15§ 8 Уравнения, решаемые с помощью условия равенства

одноименных тригонометрических функций 18§ 9. Уравнения, решаемые с помощью формул сложения

тригонометрических функций .... 22§ 10. Уравнения, решаемые с помощью формул сложения углов

и разложения произведения тригонометрических функцийв сумму .... ... 25

§ 11. Уравнения, решаемые с помощью формул понижения степени . 29§ 12. Уравнения вида asin x-\-b cos x=c . 33§ 13. Уравнения смешанного типа . . 37§ 14. Проверка решений уравнений ... ... 46§ 15. Приближенные решения трансцендентных уравнений,

содержащих тригонометрические функции 47§ 16. Уравнения, содержащие обратные тригонометрические

функции ... 51Глава II. СИСТЕМЫ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИИ 55

§ I. Системы уравнений, в которых одно уравнение —

алгебраическое, а другое — сумма или разность тригонометрическихфункций ... ....

—

§ 2. Системы уравнений, в которых одно уравнение —

алгебраическое, а другое — произведение тригонометрических функций . 59§ 3. Системы уравнений, в которых одно уравнение —

алгебраическое, а другое — отношение тригонометрических функций ... 61§ 4 Системы уравнений, содержащих только тригонометрические

функции ...... 63

Глава III. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА

Глава IV. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ, ПРИВОДЯЩИЕ К РЕШЕНИЮТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ 80

ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ

Глава 1 Тригонометрические уравнения 92Глава II Системы тригонометрических уравнений 177Глава 111 Тригонометрические неравенства .... ... 193Глава IV Геометрические задачи, приводящие к решению

тригонометрических уравнений ... 211

ПРИЛОЖЕНИЕ 232

239

Учебное издание

Бородуля Иван Тимофеевич

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯИ НЕРАВЕНСТВА

Зав редакцией Р. А. Хабиб. Редактор Т Ю. Акимова. Младшие редакторыО. В. Агапова, Е. А. Сафронова. Художники Тачков А. Е., Титков Е. ПХудожественный редактор Е. Р. Дашук. Технические редакторы Н. А. Биркина, Н Н. Ма-

хова. Корректоры О. И Кузовлева, Г. И. Мосякина.

ИБ № 10961

Сдано в набор 05.08.87 Подписано к печати 23.12.88. Формат 60X90'/i«- Бум. офсетная J* 2. Гарннт.лнтерат Печать офсетная. Усл. печ. л. 15 + 0,25 форз Усл. кр -отт 15,69. Уч-нзд. л 16,62 + 0.42 форэ.

Тираж 100 000 экэ Заказ 1587 Цена 65 к

Ордена Трудового Красного Знамени издательство «Просвещение» Государственного комитета РСФСРпо делам издательств, полиграфии н книжной торговли 129846. Москва, 3-й проезд Марьиной рошн, 41

Смоленский полкграфкомбинат Госкомиздата РСФСР 214020. Смоленск, ул Смольяникова, I

Documents

И.Т. - uCozstudyfiles.do.am/files/book/trigonometricheskie_uravnenija_i_neravens... · 9. cos42x + 6cos22x=lJL jq. 2 tgx—2ctgx = 3. 11. cos2x+sin2x-+sinx=0,25.,2-cos2x+sin4x=l