ЛЕКЦИЯ 8. 8.1. Предел функции одной

переменной

Предел–фундаментальное понятие, на котором базируются

другие основные понятия математического анализа:

непрерывность, производная, интеграл.

8.1.1. Понятие предела, его единственность, связь

с односторонними пределами и с ограниченностью функции

Определение 1 . Число A называется пределом функции )(xf в точке 0x

(или при ,x стремящемся к ),0x если для любого сколь угодно малого числа

0 существует число 0)( такое, что для всех ,),( 0 XxUx т.е.

удовлетворяющих неравенству ,0 )(0 xx выполняется неравенство

.)( Axf

При этом обозначают предел функции символом ).(lim0

xfxx

Определение 2. Функция )(xf в точке 0x имеет бесконечный предел, т.е.

,)(lim0

xfxx

в таком случае функция )(xf называется бесконечно

большой (ББ) при .0xx

0 x0x

y

A

0x0 x

y

Рис. 8.1 Рис. 8.2

Теорема 8.1. О единственности конечного предела функции

Если функция )(xf имеет в точке 0x конечный предел, то он

единственный.

Доказательство. Предположим противное, т.е., что

),(lim)(lim00

xfBxfAxxxx

где ,A .B Тогда по определению 1

предела функции: AxfxxXx )(:)0,)(0)(0( 101

и ,)(:)0,)(0)(0( 202 BxfxxXx т. е. для любого

0 есть 21,min такое, что для всех ,Xx 00 xx

должны выполняться оба неравенства: Axf )( и Bxf )( , т.е.

значение )(xf должно находиться одновременно и в окрестности точки

A и в окрестности точки ,B что невозможно уже при радиусе

окрестности ),( меньшем полурасстояния между точками A и ,B т.е. при

.2

0AB

Это противоречие показывает, что сделанное предположение

BA неверно, т.е. .BA Теорема доказана.

Понятие односторонних пределов

функции

Определение. Значение П называется правосторонним (–левосторонним)

пределом функции )(( xf в точке ,0 x если для любой окрестности П)(U

)(U существует правосторонняя окрестность )0( 0 xU (левосторонняя

))0( 0 xU такая, что для всех XxUx )0( 0 XxUx )0( 0

выполняется условие )П()( Uxf .)()( Uxf При этом пишут:

)(lim)0(П0

00

xfxfxx

и )(lim)0(0

00

xfxfxx

.

Теорема 8.2. Функция )(xf , определенная на множестве , имеет в точке

х0, для которой XxU )( 0 , предел тогда и только тогда, когда в этой

точке существуют как правосторонний, так и левосторонний пределы, и

они равны, т.е.

.)(lim)(lim)(lim00 000

AxfxfAxfxxxxxx

Теорема 8.3. Если функция )(xf имеет конечный предел в точке х0, то она

ограничена в окрестности точки х0.

Доказательство. Так как

Axfxx

)(lim0

, то по определению

предела: .)(:)())()(0( 00 AxfXxUxxU

Но ,)()()()( MAxfAxfAxfAxf

т.е. для XxUx )( 0 выполняется условие )()( xfMxf –

ограничена в окрестности точки х0.

Теорема 8.4. Если при 0xx функция )(xf имеет предел, отличный

от нуля, то функция )(

1

xf ограничена в окрестности точки х0.

8.2.2. Теоремы о бесконечно малых

Теорема 8.5. Основная теорема о бесконечно малых

Для существования конечного предела

Axfxx

)(lim0

необходимо

и достаточно, чтобы функция Axfx )()( была бесконечно малой при

0xx .

Теорема 8.6. О связи бесконечно малых и бесконечно больших

Если при 0xx функция )(x является бесконечно малой, то

функция )(

1

xбесконечно большая при 0xx . Верно и обратное

утверждение.

Теорема 8.7. Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно

малых при ,0xx а также произведение бесконечно малой в точке 0x на

ограниченную функцию при 0xx являются бесконечно малыми

функциями при 0xx .

8.2.3. Теоремы о пределах

Теорема 8.8. Пусть функции )(xf и )(xg имеют в точке 0x пределы:

Axfxx

)(lim0

и .)(lim0

Bxgxx

Тогда функции ),()( xgxf )()( xgxf и

)(

)(

xg

xf (при )0B имеют в точке 0x пределы, равные соответственно ,BA

BA и .B

A

Теорема 8.9. Если в окрестности точки 0x определены функции ),(x ),(xf

),(xg связанные неравенством ),()()( xgxfx и существуют пределы

,)(lim)(lim00

Axgxxxxx

то существует и .)(lim0

Axfxx

Теорема 8.10. Если неотрицательная в окрестности точки 0x функция

)(xf имеет предел в точке ,0x то .0)(lim0

xfxx

Теорема 8.11. Если в окрестности точки 0x функции )(xf и )(x

связаны неравенством )()( xxf и существуют пределы: Axfxx

)(lim0

и

,)(lim0

Bxxx

то .BA

8.3. Непрерывность функции одной переменной

8.3.1. Понятие непрерывности

Функция )(xf называется непрерывной в точке ,0x если она определена в

этой точке и в некоторой ее окрестности и значение функции в точке 0x

совпадает со значением предела в этой точке, т.е. ).()(lim 00

xfxfxx

8.3.2. Свойства непрерывных функций

1. Если функция f(x) непрерывна в точке 0x , то .lim)(lim00

xfxf

xxxx

2. Если функции f(x) и g(x) непрерывны на отрезке [a; b], то и функции f(x)

g(x), )()( xgxf , )(

)(

xg

xf также непрерывны на [a; b] (последняя – всюду, где

0)( xg ).

3. Если функция )(xu непрерывна в точке 0x , а функция )(ufy

непрерывна в точке )( 00 xu , то сложная функция ))(( ufy –

непрерывна в точке 0xx .

4. Все элементарные функции непрерывны во внутренних точках своей

области определения.

5. Если функция f(x) непрерывна в точке 0x и 0)( 0 xf , то существует

окрестность )( 0xU такая, что для всех )( 0xUx функция f(x) имеет тот же

знак, что и f(x0).

6. Если непрерывная на отрезке ];[ ba функция )(xf имеет на концах отрезка

значения разных знаков ,0)()( bfaf то существует по крайней мере

одна точка ),;( bac в которой .0)( cf

7. Если функция )(xf непрерывна на отрезке ];[ ba и ,)()( BbfAaf

то для любого числа ,C заключенного между A и ,B найдется хотя бы одна

точка );( bac такая, что .)( Ccf

8. Если функция )(xf непрерывна на ],;[ ba то она ограниченная

на ].;[ ba

9. Функция ),(xf непрерывная на отрезке ],;[ ba достигает на ];[ ba своих

наибольшего M и наименьшего m значений хотя бы один раз и принимает

на ];[ ba любое промежуточное значение, лежащее между m и .M

10. Если функция )(xf определена, строго монотонна и непрерывна на

некотором промежутке X и промежуток Y множество ее значений, то на

промежутке Y обратная функция )(1 yf однозначна, монотонна и

непрерывна.

8.3.3.Признаки непрерывности.

).(.5

;)(lim0)(существует4.

;)(lim0)-(существует3.

);U(при)(существует.2

;)(существует.1

0

00

0-0

0

0

0

0

xfП

xfxfП

xfxf

xxxf

xf

xx

xx

Классификация точек разрыва

1. Разрыв в точке 0x называют устранимым разрывом 1-го рода, если

),(П 0xf причем П, (см. рис. 8.3).

2. В точке 0x разрыв будет неустранимый 1-го рода, если П, но

П, (см. рис. 8.4).

3. Если хотя бы один из односторонних пределов П),( равен

бесконечности или вообще не существует, то разрыв в точке 0x называется

разрывом 2-го рода (см. рис. 8.5).

В случае разрыва разность -П называется скачком функции

)(xf в точке .0x

x0

Л=П

f(x)

x0

Л=П

f(x)

x0

x0x0

Л

f(x)П

x0 x0

Л

f(x)

Рис. 8.3 Рис. 8.4 Рис. 8.5