МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ, МОЛОДІ ТА СПОРТУ УКРАЇНИУПРАВЛІННЯ ОСВІТИ І НАУКИ

ХМЕЛЬНИЦЬКОЇ ОБЛАСНОЇ ДЕРЖАВНОЇ АДМІНІСТРАЦІЇХМЕЛЬНИЦЬКИЙ ОБЛАСНИЙ ІНСТИТУТ ПІСЛЯДИПЛОМНОЇ ПЕДАГОГІЧНОЇ ОСВІТИ

Другий етап Всеукраїнської олімпіади юних математиків 2012–2013 н. р.

Відповіді та вказівки

8 клас

8.1. Відповідь. . Вказівка. Після скорочення врахуйте, що .

8.2. Відповідь. Так, існує. Вказівка. При одержуємо: .

8.3. Відповідь. . Вказівка. Розіб’ємо усі 900 трицифрові числа на вісімки послідовних трицифрових чисел: , , … . В кожній вісімці лише одне (а саме останнє) число при діленні на 8 дає остачу 3. Оскільки , то є 112 таких вісімок і одна “неповна вісімка”, в якій потрібного числа немає.

8.4. Вказівка. Так як , то – серединний перпендикуляр до сторони . Звідси випливає, що і , тобто трикутник – рівносторонній.

8.5. Відповідь. . Вказівка. Число потомків дорівнює кількості ребер в графі – родовідному дереві царя Гвидона: .