Б.В.Гнеденко КУРС ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

(Изд. 6-е, перераб. и доп. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988) Дается систематическое изложение основ теории вероятностей,

проиллюстрированное большим числом подробно рассмотренных примеров, в том числе и прикладного содержания. Серьезное внимание уделено рассмотрению вопросов методологического характера.

Настоящее издание значительно отличается по содержанию от 5-го (1969 г.): введены дополнительные параграфы математического и прикладного характера, добавлен большой очерк истории теории вероятностей, содержащий результаты исследований самого последнего времени.

Для студентов математических специальностей университетов и педагогических институтов.

Содержание Предисловие к шестому изданию 7 Из предисловия ко второму изданию 9 Из предисловия к первому изданию 9 Введение 11 Глава 1. Случайные события и их вероятности 16 § 1. Интуитивные представления о случайных событиях 16 § 2. Поле событий. Классическое определение вероятности 20 § 3. Примеры 29 § 4. Геометрические вероятности 38 § 5. О статистической оценке неизвестной вероятности 45 § 6. Аксиоматическое построение теории вероятностей 49 § 7. Условная вероятность и простейшие основные формулы 54 § 8. Примеры 62 Упражнения 69 Глава 2. Последовательность независимых испытании 72 § 9. Вводные замечания 72 § 10. Локальная предельная теорема 77 § 11. Интегральная предельная теорема 85 § 12. Применения интегральной теоремы Муавра-Лапласа 92 § 13. Теорема Пуассона 97 § 14. Иллюстрация схемы независимых испытаний 103 Упражнения 106 Глава 3. Цепи Маркова 109 § 15. Определение цепи Маркова 109 § 16. Матрица перехода 110 § 17. Теорема о предельных вероятностях 112 Упражнения 115 Глава 4. Случайные величины и функции распределения 116 § 18. Основные свойства функций распределения 116

§ 19. Непрерывные и дискретные распределения 123 § 20. Многомерные функции распределения 127 § 21. функции от случайных величин 135 § 22. Интеграл Стильтьеса 148 Упражнения 153 Глава 5. Числовые характеристики случайных величин 158 § 23. Математическое ожидание 158 § 24. Дисперсия 164 § 25. Теоремы о математическом ожидании и дисперсии 169 § 26. Моменты 175 Упражнения 180 Глава 6. Закон больших чисел 184 § 27. Массовые явления и закон больших чисел 184 § 28. Закон больших чисел в форме Чебышева 187 § 29. Необходимое и достаточное условие для закона больших чисел 191 § 30. Усиленный закон больших чисел 195 § 31. Теорема В.И.Гливенко 201 Упражнения 207 Глава 7. Характеристические функции 209 § 32. Определение и простейшие свойства характеристических 209 § 33. Формула обращения и теорема единственности 214 § 34. Теоремы Хелли 219 § 35. Предельные теоремы для характеристических функций 224 § 36. Положительно определенные функции 228 § 37. Характеристические функции многомерных случайных 234 § 38. Преобразование Лапласа - Стильтьеса 238 Упражнения 244 Глава 8. Классическая предельная теорема 248 § 39. Постановка задачи 248 § 40. Теорема Линдеберга 251 § 41. Локальная предельная теорема 257 Упражнения 263 Глава 9. Теория безгранично делимых законов распределения 264 § 42. Безгранично делимые законы и их основные свойства 265 § 43. Каноническое представление безгранично делимых законов 267 § 44. Предельная теорема для безгранично делимых законов 272 § 45. Постановка задачи о предельных теоремах для сумм 276 § 46. Предельные теоремы дли сумм 277 § 47. Условия сходимости к законам нормальному и Пуассона 280 § 48. Суммирование независимых случайных величин в случайном 283 Упражнения 288 Глава 10. Теория стохастических процессов 290 § 49. Вводные замечания 290

§ 50. Процесс Пуассона 294 § 51. Процессы гибели и размножения 300 § 52. Условные функции распределения и формула Байеса 312 § 53. Обобщенное уравнение Маркова 316 § 54. Непрерывный случайный процесс. Уравнения Колмогорова 317 § 55. Чисто разрывный процесс. Уравнения Колмогорова - Феллера 326 § 56. Однородные случайные процессы с независимыми приращениями 333 § 57. Понятие стационарного случайного процесса. Теорема Хинчина о

корреляционной функции 338

§ 58. Понятие стохастического интеграла. Спектральное разложение стационарных процессов

344

§ 59. Эргодическая теорема Биркгофа-Хинчина 348 Глава 11. Элементы статистики 353 § 60. Основные задачи математической статистики 353 § 61. Классический метод определения параметров распределения 357 § 62. Исчерпывающие статистики 367 § 63. Доверительные границы и доверительные вероятности 369 § 64. Проверка статистических гипотез 377 Дополнение. Очерк истории теории вероятностей 386 Глава 1. Предыстория понятия вероятности и случайного события 386 § 1. Первые данные 386 § 2. Исследования Дж.Кардане и Н.Гарталья 388 § 3. Исследования Галилео Галилея 390 § 4. Вклад Б.Паскаля и П.Ферма в развитие теории 393 § 5. Работа X.Гюйгенса 397 § 6. О первых исследованиях по демографии 400 Глава 2. Период формирования основ теории вероятностей 402 § 7. Возникновение классического определения вероятности 402 § 8. О формировании понятия геометрической вероятности 405 § 9. Основные теоремы теории вероятностей 409 § 10. Задача о разорении игрока 412 § 11. Возникновение предельных теорем теории вероятностей 413 § 12. Контроль качества продукции 415 Глава 3. К истории формирования понятия случайной величины 418 § 13. Развитие теории ошибок наблюдений 418 § 14. формирование понятия случайной величины 420 § 15. Закон больших чисел 423 § 16. Центральная предельная теорема 425 § 17. Общие предельные распределения для сумм 429 § 18. Закон повторного логарифма 432 § 19. Формирование понятий математического ожидания и дисперсии 434 Глава 4. К истории теории случайных процессов 436 § 20. Общие представления 436

Таблица значений функции )2/exp()2/1()( 2xx −π=ϕ 441

Таблица значений функции ∫ −π=Φx

dzzx0

2 )2/exp()2/1()( 442

Таблица значений функции !/)( keaaP akk

−= 443

Таблица значений функции ∑=

−k

m

am mea0

!/ 445

Список литературы 447