Մաթեմատիկա 6 ANTARESantares.am/wp-content/uploads/2020/02/ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱ-6-2020.pdf · ա) 12 մ 15 դմ, բ) 18 կգ 540 գ, գ) 490 սմ 35 դմ, դ) 450 կգ 2

Ա. Մ. Նիկոլսկի, Մ. Կ. Պոտապով, Ն. Ն. Ռեշետնիկով, Ա. Վ. Շևկին

Մաթեմատիկա

6ՀԱՆՐԱԿՐԹԱԿԱՆ ԴՊՐՈՑԻ

ԴԱՍԱԳԻՐՔ

Երևան2020

Թարգմանված հրատարակությունը լույս է տեսել «Պրոսվեշչենիե» հրատարակ չու թյան

լիցենզիայի համաձայն

ANTARES

Նիկոլսկի Ա. Մ. և ուրիշ. Մաթեմատիկա Հան րա կր թա կան դպ րո ցի 6-րդ դա սա րա նի դա-

սա գիրք. մաս 1 (վերահրատարակություն) / Ա. Մ. Նիկոլսկի, Մ. Կ. Պո տա-պով, Ն. Ն. Ռեշետնիկով, Ա. Վ. Շևկին. − Եր.։ Ան տա րես, 2020- եսիմքանի էջ։

© Նիկոլսկի Ա. Մ. և ուրիշ., 2020© «Պրոսվեշչենիե», 2005, 2020 © «Ան տա րե ս», 2020 © Դասագրքերի և տեղեկատվական հաղորդակցման

տեխնոլոգիաների շրջանառու հիմնադրամ (տպաքանակի սեփականության իրավունքով), 2019

Բոլոր իրավունքները պաշտպանված են

ՀՏԴ 373.167.1։511.1 (075)ԳՄԴ 22.130ց72

ISBN 978-9939-76

Պայ մա նա կան նշա ներ՝

14. - բա նա վոր պա տաս խա նով ա ռա ջադ րանք ներ

23. - ա ռա վել դժ վար ա ռա ջադ րանք ներ

* - ոչ պար տա դիր նյութ։

Դասագիրքը հաստատված է ՀՀ կրթության և գիտության նախարարության կողմից

Վերամշակող խմբագիր՝ Գագիկ Աղեկյան

Սույն դասագիրքը նախատեսված է տարածել Հայաստանի Հանրապետությունում և Սփյուռքում:

Սույն հրատարակությունը համապատասխանում է ՀՀ ԿԳՆ առարկայական չափորոշչին և ամբողջովին մշակվել, խմբագրվել ու կատարելագործվել է:

ANTARES

1.1. Թվերի եվ մեծուԹյունների հարաբերուԹյուններ

0-ից տարբեր a և b թվերի քանորդն անվանում են նաև a և b թվերի հարաբերություն: a և b թվերն անվանում են հարաբերության անդամներ:

Օրինակ`

8 ։ 2-ը կամ 82 -ը 8 թվի հարաբերությունն է 2 թվին,

13 ։ 15 -ը 1

3 -ի հարբերությունն է 1

5 -ին։

Քանորդի հիմնական հատկությունից հետևում է հարաբերության հետևյալ հատկությունը:

Հարաբերությունը չի փոխվում, եթե նրա անդամները բազմապատկենք կամ բաժանենք զրոյից տարբեր միևնույն թվին։

a : b = (a · c) : (b · c) կամ aզ

= a · bb · c

(c ≠ 0):

Երկու մեծությունների քանորդն անվանում են նաև այդ մե ծու թյուն-նե րի հարաբերություն: Իրենք` մեծությունները, կոչվում են հարա բերու թյան անդամներ:

Նույն անվանումն ունեցող մեծությունների (օրինակ՝ չափման նույն միա վոր ներով արտահայտված երկարությունների, արագությունների, գների և այլն) հարաբերությունը թիվ է: Օրինակ`

ա) 5 կմ3 կմ

= 5·1 կմ3·1 կմ

= 53 , կարճ՝ 5 կմ

3 կմ = 5

3

բ) 2 դմ1 սմ

= 2·10 սմ1 կմ

= 20,

ՀԱՐԱԲԵՐՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐ, ՀԱՄԵՄԱՏՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐ, ՀԱՄԵՄԱՏԱԿԱՆՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐ, ՏՈԿՈՍՆԵՐ

ANTARES

ԳԼՈՒԽ 1 ՀԱՐԱԲԵՐՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐ, ՀԱՄԵՄԱՏՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐ...4

Այդպիսի մեծություններն անվանում են համասեռ մեծություններ:Տարբեր անվանում ունեցող մեծությունների (երկարության և

ժամանակի, ապրանքի արժեքի և նրա քանակության, մարմնի զանգվածի և նրա ծավալի և այլն) հարաբերությունը նոր մեծություն է:

Օրինակներ.1) (5 կմ) ճանապարհի հարաբերությունը (3 ժ) ժամանակին նոր մե-

ծու թյուն է` արագություն, որն արտահայտված է արագության �կմժ� միա-

վո րով`5 կմ3 ժ

= 53· 1կմ

ժ = 5

3կմժ

,

2) մարմնի (520 կգ) զանգվածի հարաբերությունը նրա (2 մ3) ծավալին նոր մեծություն է` նյութի խտություն, որն արտահայտված է խտության

�կգմ3�միավորով`

520 կգ2 մ3 = 260 · 1 կգ

մ3 = 260 կգմ3 ,

3) համանման ձևով` տրված նյութի զանգվածի (օրինակ` (12 կգ) աղի) հարաբերությունը այդ նյութը պարունակող լուծույթի (3 մ3) ծավալին նոր մեծություն է` լուծույթի թանձրություն (կոնցենտրացիա), որը

չափվում է թանձրության �կգմ3�միավորով`

12 կգ3 մ3 = 4 · 1 կգ

մ3 = 4 կգմ3 ։

Անգամ մեզ լավ ծանոթ մի մեծություն` գինը, տրված ապրանքի արժեքի հարաբերությունն է նրա զանգվածին կամ թվաքանակին և ուրեմն նոր մեծություն է: Այսպես, եթե 2 կգ ապրանքի դիմաց վճարել են 3000 դրամ, ապա ապրանքի գինը կլինի

3000 դ2 կգ

= 1500դկգ

,

իսկ եթե նույն գրքի 30 օրինակին վճարել են 24000 դրամ, ապա մեկ գրքի գինը կլինի

24000 դ30 հատ

= 800դ

հատ։

Սովորաբար գնի միավորի հայտարարը չեն գրում, այլ գրում և կարդում են` «1 կգ ապրանքի գինը 1500 դրամ է», «գրքի մեկ օրինակի գինը 800 դրամ է»:

Արագության կմժ

, մր, մվ

միավորները և այլ մեծությունների միավորները

հաճախ գրում են թեք գծիկով` կմ/ժ, մ/ր, մ/վ, ... :

ANTARES

1.1. ԹՎԵՐԻ ԵՎ ՄԵԾՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐԻ ՀԱՐԱԲԵՐՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐ 5

1. Ի՞նչն են անվանում.

ա) a թվի հարաբերություն b-ին, բ) հարաբերության անդամներ:

Բերե՛ք օրինակներ:

2. Ի՞նչ է ա) նույն անվանումն ունեցող, բ) տարբեր անվանումներ ունեցող մեծությունների հարաբերությունը: Բերե՛ք օրինակներ:

3. Օգտագործելով «հարաբերություն» բառը` կարդացե՛ք գրառումը.

ա) 7 ։ 2, բ) 35, գ) 1 ։ 5, դ) 1

64. Գրե՛ք հարաբերությունը, նշե՛ք նրա անդամները.

ա) 7-ը 3-ին, բ) 5-ը 9-ին, գ) 12-ը 4-ին, դ) 10-ը 1000-ին:

5. Գտե՛ք հարաբերությունը.

ա) 3-ը 12-ին, բ) 5-ը 10

13 -ին, գ) 7

8 -ը 21

32 -ին, դ) 12

17 -ը 48

51 -ին:

6. Կարդացե՛ք հարաբերությունը, նշե՛ք նրա անդամները, հա րա բե-րու թյան հատկության օգնությամբ պարզեցրե՛ք այն.

ա) 40 ։ 50 = 4 : 5։

բ) 99 : 18, գ) 450 : 250, դ) 720 : 81:

7. Հարաբերությունը գրե՛ք կոտորակի տեսքով (որտեղ հնարավոր է, պարզեցրե՛ք այն).

ա) 3 : 5, բ) 49 : 28, գ) 35 : 700,

դ) 5 : 7, ե) 520 : 460, զ) 27 : 81:

8. Կարելի՞ է արդյոք տրված հարաբերությունն արտահայտել բնական թվով.

ա) 40 : 20, բ) 30 : 60, գ) 1000 : 100,

դ) 600 : 30, ե) 20 : 40, զ) 100 : 1000:

9. Կոտորակային թվերի հարաբերությունը փոխարինե՛ք բնական թվերի հարաբերությունով` ելնելով բերված նմուշային օրինակից.

12 ։ 13 ։ I եղանակ 1

2 ։ 13

= 1 · 32 · 1

= 32 ։

II եղանակ հարաբերության անդամներից յուրաքանչյուրը

բազմապատկենք 6-ով12 ։ 13

= 62 ։ 63

= 3 ։ 2։

ա) 14 ։ 15 բ) 3

7 ։ 45 գ) 2

5 ։ 37

ANTARES


դ) 1217

։ 1 12 ե) 1 1

2 ։ 38 զ) 2 1

2 ։ 12

3

Պարզեցրե՛ք մեծությունների հարաբերությունը (10, 11).

10. ա) 35 մ28 մ

, բ) 45 կգ36 կգ

, գ) 420 կգ720 կմ

,

դ) 450 տ540 տ

, ե) 320 ժ48 ժ

, զ) 480 ր840 ր

։

11. ա) 12 մ15 դմ

, բ) 18 կգ540 գ

, գ) 490 սմ35 դմ

,

դ) 450 կգ2 տ

, ե) 3500 սմ3

21 դմ3 , զ) 9900 դմ3

18 մ3 ։

12. Օգտվելով նմուշային օրինակից̀ պարզեցրե՛ք հա րա բե րու թյու նը.

ա) 350 կմ5 ժ

= 3505

· կմժ

= 70 կմ/ժ։

բ) 720 կմ8 ժ

, գ) 360 մ3 ր

, դ) 420 կմ4 մ3 ,

ե) 2250 կգ3 մ3

, զ) 720 մ20 վ

, է) 450 գ 5 սմ3

։

13. Գտե՛ք անցած S ճանապարհը, եթե հայտնի են հավասարաչափ շարժման v արագությունը և t ժամանակը.

ա) v = 2մ/վ, t = 3 վ բ) v = 2մ/վ, t = 120

ր

14. Գտե՛ք հավասարաչափ շարժման v արագությունը, եթե հայտնի են անցած S ճանապարհը և շարժման t ժամանակը.

ա) S = 6 մ, t = 3 վ բ) S = 6 մ, t = 120

ժ

15. Հետիոտնի արագությունը 5 15 կմ/ժ է: Գտե՛ք նրա անցած

ճանապարհը

ա) 2 ժամում, բ) 1 12 ժամում,

գ) 45 րոպեում, դ) 125 րոպեում։

16. 1 12 կմ հեռավորությունը հետիոտնն անցավ 20 րոպեում: Գտե՛ք

նրա արագությունը: Պատասխանը գրե՛ք հետևյալ միավորներով.

ա) կմ/ժ, բ) կմ/ր , գ) մ/ժ , դ) մ/ր , ե) մ/վ :

17. Մարդատար մեքենայի արագությունը 72 կմ/ժ է: Ի՞նչ ճանապարհ այն կանցնի.

ա) 23 ժամում, բ) 45 րոպեում, գ) 50 րոպեում, դ) 165 րոպեում:

18. Մարդատար մեքենայի արագությունը 1200 մ/ր է: Քանի՞ ժամում մեքենան կանցնի.

ANTARES

1.2. ՄԱՍՇՏԱԲ 7

ա) 144 կմ, բ) 36 կմ, գ) 8 կմ, դ) 54 կմ:

19. Գտե՛ք մեքենայի արագությունը, եթե 80 կմ ճանապարհն այն անցնում է.

ա) 1 ժ-ում, բ) 45 ժ-ում, գ) 4

3 ժ-ում, դ) 8

7 ժ-ում:

ե) 150ր-ում, զ) 65 ր-ում, է) 90 ր-ում, ը) 54 կմ:

20. Երկու չմշկորդ միաժամանակ մեկնարկեցին 400 մ շրջագիծ ունեցող շրջանաձև սահքուղու նույն կետից` 20 կմ/ժ և 21 կմ/ժ արագություններով: Երկրորդ չմշկորդը, անցնելով 10000 մ, առաջինից մեկ պտույտից ավելի արած կլինի՞։ Իսկ երկո՞ւ պտույտից ավելի:

1.2. մասՇտաբ

Թղթի վրա տարբեր առարկաներ նկարելիս հաճախ նկարի չափերը չեն համընկնում այդ ռարկաների իրական չափերին: Հարմար է լինում մեծ առարկաները պատկերել փոքրացրած տեսքով, իսկ փոքրերը՝ մե-ծաց րած:

Բայց նկարը, գծագիրը կամ հատակագիծը պետք է պատկերացում տա առար կայի իրական չափերի մասին: Այդ նպատակով գծագրերի և հա տակագծերի վրա հատուկ գրառում են անում՝ նշելով գծագրի մի որևէ հատվածի երկարության հարաբերությունը նրա իրական երկա-րու թյանը:

Օրինակ, եթե տան հատակագծի վրա 1 սմ երկարությամբ հատվածն իրականում ունի 2 մ երկարություն, ապա գրում են.

1 սմ-ում 2 մ, կամ 1 սմ : 200 սմ, կամ 1 : 200:

Հատակագծի որևէ գծի երկարության հարաբերությունը համապատասխան իրական գծի երկարությունը կոչվում է մասշտաբ։

Եթե առարկայի և հատակագծում նրա պատկերի չափերն արտա հայտ-ված են չափման նույն միավորներով, ապա մասշտաբն արտահայտվում է թվերի հարաբերությամբ:

Վերը բերված օրինակում մասշտաբը 1 : 200 է:Թվերի հարաբերությամբ արտահայտված մասշտաբն անվանում են

թվային մասշտաբ:Աշխարհագրական քարտեզներում թվային մասշտաբն արտահայտում

են կոտորակով (նկար 1): Այդ կոտորակի համարիչը 1 է, իսկ հայտարարը՝ այն թիվը, որ ցույց է տալիս, թե քարտեզում վերցրած ցանկացած հեռավորություն քանի անգամ է փոքր տեղանքի համապատասխան հեռավորությունից:

ANTARES


Օրինակ՝ 120000

կամ 1 : 20000 գրառումը նշանակում է, որ քարտեզում

վերցրած 1 սմ-ը համապատասխանում է տեղանքի 20000 սմ-ին:

Նկար 1

Տեղանքում սովորաբար չափումները կատարվում են մետրերով կամ կիլոմետրերով: Հարմարության համար հաճախ քարտեզի վրա պատկերում են մի հատված և մետրերով կամ կիլոմետրերով նշում նրան համապատասխանող հեռավորությունը տեղանքում:

21. Ի՞նչ է ցույց տալիս հետևյալ թվային մասշտաբը.

ա) 1 : 100, բ) 1 : 1000, գ) 1 : 20000:

22. Գտե՛ք թվային մասշտաբը, եթե հայտնի է, որ հատակագծի (կամ աշխարհագրական քարտեզի) 1 սմ-ը պատկերում է.

ա) 10 սմ, բ) 50 սմ, գ) 6 դմ, դ) 10 մ,

ե) 100 մ, զ) 1 կմ, է) 6 կմ, ը) 10 կմ

երկարության հատված տեղանքում:

23. Երկու քաղաքների հեռավորությունը 200 կմ է: Գտե՛ք այդ քաղաքների պատկերների հեռավորությունը քարտեզում, եթե թվային մասշտաբը հավասար է.

ա) 1 : 1 000 000, բ) 1 : 200 000,

ANTARES

1.2. ՄԱՍՇՏԱԲ 9

բ) 15 000 000

գ) 120 000 000

24. Քարտեզում թվային մասշտաբը 150 000

է: Տեղանքում գտե՛ք այն

հեռավորությունը, որը քարտեզի վրա հավասար է.

ա) 1 սմ, բ) 5 սմ, գ) 22 սմ,

դ) 37 մմ, ե) 1 15 դմ, զ) 146 մմ:

25. Սենյակի հատակագիծն ունի ուղղանկյան տեսք, որի կողմերն են 40 մմ և 31 մմ: Գտե՛ք սենյակի երկարությունն ու լայնությունը, եթե հատակագծի թվային մասշտաբը 1 : 200 է:

26. Բանջարանոցն ունի 340 մ երակությամբ և 220 մ լայնությամբ ուղղանկյան տեսք: Ի՞նչ չափեր կունենա այդ բանջարանոցի պատկերը 1 : 500 մասշտաբով հատակագծում:

27. 72 սմ և 36 սմ կողմերով ուղղանկյունը հատակագծում ներ կա յաց-նում է վարսակով ցանված դաշտ: Գտե՛ք հատակագծի մասշտաբը, եթե դաշտի մեծ կողմը 360 մ է: Գտե՛ք դաշտի փոքր կողմը:

28. Օգտվելով տեղանքի հատակագծից (նկար 2)՝ գտե՛ք.

ա) A-ից B հեռավորությունը,

բ) A-ից ու B-ից մինչև կամուրջ եղած հեռավորությունները,

29. Քանի՞ ժամում զրոսաշրջիկները A-ից կհասնեն B (նկար 3), եթե շարժվեն.

ա) 5 կմ/ժ, բ) 4 կմ/ժ արագությամբ:

30. Գծե՛ք ձեր դասարանի հատակագիծը 1 : 100 թվային մասշտաբով:

31. Գծե՛ք ձեր սենյակի հատակագիծը 1 : 50 թվային մասշտաբով:

Նկար 2 Նկար 3

32. Գծե՛ք ձեր դպրոցի շենքի հատակագիծը 1:250 թվային մասշ տա-բով:

ANTARES


33. Կարելի՞ է արդյոք 50 մ երկարությամբ և 20 մ լայնությամբ ուղղան կ յան տեսք ունե ցող հիմքով շենքի հատակագիծը 1:50 մասշ տա բով գծել տետրի էջում: Ի՞նչ մասշտաբ է հարմար ընտրել, որ պես զի հա տա կագիծը տեղավորվի տետ րի էջում:

34. Նկար 4-ում մոծակը պատկերված է 4:1 մաս շ տաբով: Հաշվե՛ք մո ծա կի թևի իրա-կան երկարությունը:

35. Գտե՛ք՝ մեծացրած է, թե փոքրացրած առար կան, եթե այն պատ կեր ված է

ա) 1:100, բ) 10:1, գ) 1:20, դ) 4:1 մաս շ տա բով:Նկար 4

1.3. Թվի բաԺանումը տրված հարաբերուԹյամբ

Թիվը տրված հարաբերությամբ մասերի բաժանելը դիտարկենք օրինակով:

Ենթադրենք պահանջվում է 60 կոնֆետը 2 : 3 հարաբերությամբ բա-ժա նել երկու ընկերների միջև:

Եթե համարենք, որ 60 կոնֆետը 2 + 3 = 5 մաս է, ապա 1 մասին կհամապատասխանի 60 : 5 = 12 կոնֆետ: Բայց այդ ժամանակ 2 մասին կհամապատասխանի 12 · 2 = 24, իսկ 3 մասին՝ 12 · 2 = 36 կոնֆետ: Ուրեմն, առաջինը պիտի ստանա 24, իսկ երկրորդը՝ 36 կոնֆետ:

Լուծումը գրենք հետևյալ տեսքով.

1) 602 + 3

· 2 = 24 2) 602 + 3

· 3 = 36

Այսպիսով՝ 60 թիվը 2 : 3 հարաբերությամբ բաժանելու համար կարելի է 60-ը բաժանել հարաբերության անդամների 2 + 3 գումարին և արդ-յուն քը բազմապատկել հարաբերության յուրաքանչյուր անդամով:

Այս կանոնով ցանկացած թիվ կարելի է բաժանել տրված հա րա բե-րու թյամբ մասերի: Օրինակ, c թիվը բաժանենք a:b հարաբերությամբ մա սե րի, երբ

a≠0, b≠0, c≠0: Կստանանք c · aa + b

և c · ba +b

:

Խնդիր 1: Բաժնեթղթեր գնելու համար երկու եղբայր իրենց փողերը միացրին: Մեծ եղբայրը ներդրեց 50 000, իսկ փոքրը՝ 30 000 դրամ: Որոշ

ANTARES

1.3. ԹՎԻ ԲԱԺԱՆՈՒՄԸ ՏՐՎԱԾ ՀԱՐԱԲԵՐՈՒԹՅԱՄԲ 11

ժամանակից հետո նրանք բաժնեթղթերը վաճառեցին 100 000 դրամով: Ինչպե՞ս պետք է նրանք այդ գումարը բաժանեն միմյանց միջև:

Լուծում: Բնականաբար, 100 000 դրամը պետք է բաժանել այն հարաբերությամբ, որով որ նրանք կատարել են ներդրումը, այսինքն՝ 50 000 : 30 000 կամ 5 : 3: Ուրեմն՝

1. Մեծ եղբորը կհասնի 100 0005 + 3

· 5 = 62 500 (դրամ)

2. Փոքր եղբորը կհասնի 100 0005 + 3

· 3 = 37 500 (դրամ)

Պատասխան՝ մեծ եղբորը 62 500 դրամ, փոքրին՝ 37 500 դրամ:

Խնդիր 2: Երեք հոգի ցանկանում են 2 600 000 դրամ արժողությամբ մի տուն գնել, որն ունի 13 միատեսակ (հավասար արժողությամբ) սենյակ: Առաջինը ցանկանում էր ունենալ 6 սենյակ, երկրորդը՝ 4, երրորդը՝ 3: Որքա՞ն դրամ պետք է ներդնի յուրաքանչյուրը:

Լուծում: Բնական է, որ ամեն մեկը պետք է ներդնի իր ձեռք բերելիք սենյակների քանակին համապատասխան գումար:

Առաջինի ներդրած գումարը պետք է լինի 6 մաս, երկրորդինը՝ 4, երրորդինը՝ 3: Այսպիսի 2 600 000 դրամը պետք է բաժանել 6 : 4 : 3 հարաբերությամբ: Ուրեմն՝

1. առաջինը պետք է վճարի 2 600 0006 + 4 + 3

·6 = 1 200 000 (դրամ)

2. երկրորդը պետք է վճարի 2 600 0006 + 4 + 3

·4 = 800 000 (դրամ)

3. երրորդը պետք է վճարի 2 600 0006 + 4 + 3

·3 = 600 000 (դրամ)

Պատասխան՝ առաջինը՝ 1 200 000 դրամ, երկրորդը՝ 800 000 դրամ, երորդը՝ 600 000 դրամ:

Նկատենք, որ երրորդի գումարը կարելի էր հաշվել հանման միջոցով։

Խնդիր 3: Առաջին մեքենագրուհին 90 էջը կարող է մեքենագրել 10, իսկ երկրորդը՝ 15 ժամում: Ինչպե՞ս նրանց մեջ բաժանել 90 էջը, որպեսզի նրանք այն մեքենագրեն կարճագույն ժամանակում:

Լուծում:1) Քանի՞ էջ է մեքենագրում 1 ժամում առաջին մեքենագրուհին. 90 : 10 = 9 (էջ):2) Քանի՞ էջ է մեքենագրում 1 ժամում երկրորդ մեքենագրուհին. 90 : 15 = 6 (էջ):

ANTARES


90 էջը բաժանենք 9 : 6 = 3 : 2 հարաբերությամբ: Դա հնարավոր կդարձնի միաժամանակ սկսել և միաժամանակ ավարտել աշխատանքը: Այդ դեպքում, բնականաբար, աշխատանքը կավարտվի կարճագույն ժամանակում:

3) Քանի՞ էջ պետք է տալ առաջին մեքենագրուհուն.

90·33 + 2

= 54 (էջ)։

4) Քանի՞ էջ պետք է տալ երկրորդ մեքենագրուհուն.90 − 54 = 36 (էջ):

Պատասխան՝ առաջին մեքենագրուհուն 54 էջ, երկրորդին՝ 36:

36. 90 000 դրամը բաժանե՛ք ա) 5 : 4, բ) 2 : 3 հարաբերությամբ:

37. Նշված թիվը բաժանե՛ք տրված հարաբերությամբ.

ա) 12, 1։3; բ) 15, 2։3;

գ) 48, 3։5; դ) 100, 12 ։ 1

3;

ե) 96, 13 ։ 1

5; զ) 90, 1

4 ։ 1

5։

38. Բացատրե՛ք, թե ինչպես 24 թիվը բաժանել 1 : 2 : 3 հարաբերությամբ:

39. Առաջին մեքենագրուհին տպագրում է ժամում 10 էջ, երկրորդը՝ 8: Ինչպե՞ս բաժանել նրանց միջև 90 էջանոց ձեռագիրը, որպեսզի հնարավոր լինի միաժամանակ սկսել և միաժամանակ վերջացնել աշխատանքը:

40. Հին խնդիր: Ապակի պատրաստելու համար վերցնում են 10 մաս պոտաշ, 31 մաս ավազ և 2 մաս կավիճ: Ինչքա՞ն է պետք այդ նյութերից 86 փութ ապակի ստանալու համար:

41. Հեծանվորդի արագությունը 5 անգամ մեծ է հետիոտնի արա գու-թյու ն շարժվեցին երկու վայ րե րից: Հանդիպման պահին ինչքա՞ն ճանապարհ էր անցել հեծա ն վոր դը, որոնց հեռավորությունը 30 կմ էր:

42. Մոտոցիկլավարը երկու վայրի միջև եղած 60 կմ հեռավորությունն անցնում է 2, իսկ հեծանվորդը՝ 6 ժամում: Մի անգամ նրանք միաժամանակ միմյանց ընդառաջ դուրս եկան այդ վայրերից: Հանդիպման պահին քանի՞ կմ ճանապարհ էր անցել նրանցից յուրաքանչյուրը: Խնդիրը լուծե՛ք երկու եղանակով:

43. Առաջադրանքը կատարելու համար 3 օր աշխատեց 5 հյուսնից բաղկացած առաջին բրիգադը, և 4 օր էլ աշխատեց երկրորդ բրիգադը, որը բաղկացած էր 4 հյուսնից: Ամբողջ աշխատանքի համար վճարեցին 390 000 դրամ: Քանի՞ դրամ կստանա առաջին բրիգադը, եթե բոլոր հյուսներն աշխատել են միևնույն արտադրողականությամբ:

ANTARES

1.4. ՀԱՄԵՄԱՏՈՒԹՅՈՒՆ 13

44 ա) 84 թիվը բաժանե՛ք 7 : 5 : 2 հարաբերությամբ: բ) 125 -ը բաժանե՛ք այնպիսի 4 մասի, որ I մասը հարաբերի II -ին ինչպես 2 : 3, II -ը III -ին՝ ինչպես 3 : 5, իսկ III -ը IV -ին՝ ինչպես 5 : 6:գ) 125 -ը բաժանե՛ք 4 այնպիսի մասի, որ I մասը հարաբերի II -ին, ինչպես 2 : 3, II -ը III -ին` ինչպես 4 : 5, իսկ III -ը IV -ին` ինչպես 6 : 11: դ) Մի առևտրային գործարք վարելու համար երեք վաճառական ընկերություն հիմնեց: Այդ նպատակով առաջին վաճառականը ներդրեց 1 500 000, երկրորդը՝ 1 000 000, իսկ երրորդը՝ 1 250 000 դրամ: Առևտրական գործարքի ավարտին նրանք ստացան 750 000 դրամ ընդհանուր շահույթ: Քանի՞ դրամ կստանա այդ շահույթից յուրաքանչյուր վաճառականը:ե) Երկաթուղային շինարարությունում աշխատում էին բան վոր նե րի 3 բրիգադ՝ բաղկացած համապատասնաբար 27, 32 և 15 բան վոր նե-րից: I բրիգադն աշխատեց 20 օր, II-ը՝ 18, իսկ III-ը՝ 16: Ամբողջ աշ-խա տանքի համար 3 բրիգադը միասին ստացավ 4 068 000 դրամ: Քանի՞ դրամ ստացավ յուրաքանչյուր բրիգադը, եթե բոլոր բան-վոր ները հավասարազոր աշխատողներ են:

1.4. համեմատուԹյուն

Երբեմն երկու հարաբերություններ կարող են հավասար լինել:

Օրինակ՝ 20 : 4 և 13 ։ 1

15 հարաբերությունները հավասար են: Գրում են՝

20 : 4 = 13 ։ 115

:

Երկու հարաբերությունների հավասարությունն անվանում է համեմատություն։

a : b = c : d, կամ ab ։ c

d համեմատությունը կարդում են հետևյալ ձևով՝

«a-ի հարաբերությունը b-ին հավասար է c-ի հարաբերությանը d-ին», կամ «a-ն հարաբերում է b-ին, ինչպես c-ն հարաբերում է d-ին»:

a և d թվերն անվանում են համեմատության եզրային անդամներ,իսկ b և c թվերը՝ համեմատության միջին անդամներ.

միջին անդամներ

a : b = c : d

եզրային անդամներԱյս անվանումները պայմանական են. բավական է համեմատությունը

գրել հակառակ կարգով (աջից ձախ), և եզրային անդամները կդառնան միջին, իսկ միջին անդամները՝ եզրային:

ANTARES


Համեմատության հիմնական հատկությունն այն է, որ

համեմատության եզրային անդամների արտադրյալը հավասար է նրա միջին անդամների արտադրյալին

եթե ab

= cd

, ապա a · d=b · c

Իրոք, ab

= cd

հավասարությունը բազմապատկելով b·d-ով, կստանաք

a·b·db

= c·b·dd

, կամ a · d=b · c

Ճիշտ է նաև հակառակ պնդումը: Դիցուք a -ն, b -ն, c -ն և d -ն ոչ զրո

թվեր են: Այդ դեպքում, եթե a · d=b · c ապա ab

= cd

,Իրոք, եթե a · d=b · c հավասարությունը բաժանենք b · d-ի, ապա

կստանանք`

a·db·d

= b·cb·d

, կամ ab

= cd

Նկատենք, որ ab

= cd

համեմատությունից հետևում է ba

= dc

համեմատությունը, որովհետև, եթե կոտորակները հավասար են, ապա նրանց հակադարձ կոտորակներն էլ են հավասար:

Եթե համեմատության չորս անդամներից մեկն անհայտ է, և պետք է այն գտնել, ապա ասում են, թե պետք է լուծել համեմատությունը:

Օրինակ: Լուծենք 30x

= 58

համեմատությունը։

Լուծում: Համեմատության հիմնական հատկության համաձայն՝ նրա եզրային անդամների արտադրյալը հավասար է միջին անդամների արտադրյալին՝

x · 5 = 30 · 8

որտեղից x=30 · 85

, x= 48

45 Ի՞նչն են անվանում համեմատություն: Բերե՛ք համեմատության օրինակ, նշե՛ք եզրային և միջին անդամները: Ձևակերպե՛ք համեմատության հիմնական օրենքը:

46. Գրե՛ք համեմատության տեսքով.

ա) 2-ը հարաբերում 3-ին, ինչպես 10-ը հարաբերում է 15-ին,

ANTARES

1.4. ՀԱՄԵՄԱՏՈՒԹՅՈՒՆ 15

բ) 13 հարաբերում է 6-ին, ինչպես 1-ը հարաբերում է 18 -ին,

գ) 3-ը այնքան անգամ է մեծ 2-ից, որքան անգամ 6-ը մեծ է 4-ից,

դ) 7-ը այնքան անգամ է մեծ 3 12, որքան անգամ 9-ը մեծ է 9

2-ից։

47. Կարելի՞ է համեմատություն կազմել հետևյալ հարաբերություններից.

ա) 6 : 3 և 24 : 12, բ) 1 : 5 և 17 : 85,

գ) 2 : 5 և 10 : 4, դ) 20 : 8 և 35 : 14:

Ճի՞շտ է արդյոք հավասարությունը (4850).

48. ա) 34

= 1520

, բ) 7 ։ 5 = 7755

, գ) 1218

= 14 ։ 21

49. ա) 23 ։ 45

= 10 ։ 12, բ) 37 ։ 49

= 27 ։ 28,

գ) 411

։ 56

= 48 ։ 110, դ) 12 ։ 23

= 4 ։ 3։

50. ա) 17 ։ 34

= 114

։ 38, բ) 2

3 ։ 45

= 13 ։ 25,

գ) 1 12

։ 5 = 3 ։ 10, դ)1 45

։ 2 = 10 ։ 9։

51. Հավասարությունը փոխարինե՛ք համեմատությունով.

ա) 12 · 2 = 6 · 4 բ) 15 · 6 = 9 · 10

գ) 42 · 4 = 84 · 2 դ) 24 · 10 = 2 · 120

52. Տրված համեմատությունից ստացեք նորը՝ փոխելով եզրային անդամների (միջին անդամների) տեղերը.

ա) 2513

=5026

, բ) 28 ։ 25 = 84 ։ 75

Լուծե՛ք համեմատությունը (5358).

53. ա) x2

= 37, բ) x

3= 2

5, գ) x

12= 7

10, դ) x

16= 9

32։

54. ա) 78

= x6, բ) 13

15= x10

, գ) 1221

= x14

, դ) 4851

= x34

։

55. ա) 15x

= 58, բ) 24

x= 8

7, գ) 12

x= 4

5, դ) 25

x= 5

7:

56. ա) 35

=7x, բ) 8

7= 15

x, գ) 1

7= 12

x, դ) 8

1= 3

x:

57. ա) x : 12

= 3 ։ 5, բ) x : 23

= 3 ։ 4, գ) x : 5 = 7 ։ 12 , դ) x : 6 = 1

3 ։ 8։

58. ա) 14 : 15 = 3 ։ x, բ) 12 : 29 = 158

։ x,

ANTARES


գ) 12 : 25 = 715

։ x, դ) 144 : 125 = 1 12 ։ x։

59. Ապացուցե՛ք, որ եթե ab

= cd, ապա.

ա) db

= ca, բ) d

c= b

a, գ) a + c

b + d= c

d, դ) a

b= a + cb + d

,

Լուծե՛ք համեմատությունը (60, 61).

60. ա) 2 ⋅ x3

= 49, բ) 3 ⋅ x

35= 9

10, գ) 8

15=6 ⋅ x

9, գ) 12

13= 18 ⋅ x

39,

61. ա) 15

= 2 : (3 ⋅ x),

1.5. ուղիղ եվ հակաԴարՁ համեմատականուԹյուններ

Ենթադրենք գրքի մեկ օրինակը արժե 300 դրամ: Այդ դեպքում նույն գրքի երկու, երեք և այլ քանակով օրինակների արժեքը հեշտությամբ կարող ենք հաշվել.

Գրքերի քանակը (հատ) 1 2 3 4 5 6Գրքերի արժեքը (դրամ) 300 600 900 1200 1500 1800

Գրքերի քանակը մի քանի անգամ մեծացնելիս նրանց գինը մեծանում է նույնքան անգամ:

Երկու մեծություն կոչվում են ուղիղ համեմատական, եթե մեծություններից մեկը մի քանի անգամ մեծացնելիս

մյուսը մեծանում է նույնքան անգամ։

Դիտարկված օրինակում գրքերի արժեքը ուղիղ համեմատական է նրանց քանակին:

Բերենք մի այլ օրինակ:Հավասարաչափ շարժման դեպքում ծախսած ժամանակն ու այդ

ընթացքում անցած ճանապարհը ուղիղ համեմատական մեծություններ են: Եթե մեքենան 2 ժամում անցնում է 120 կմ, ապա 3 անգամ մեծ ժամանակում կանցնի 3 անգամ մեծ ճանապարհ՝ 360 կմ։ Նկատեք, որ ուղիղ համեմատական մեծությունների համապատասխան արժեքների հարաբերությունը հաստատուն է։

Ենթադրենք ունենք 1200 դրամ և ցանկանում ենք գնել այս կամ այն գրքի մի քանի օրինակ: 1200 դրամով գնված գրքերի քանակը՝ կախված մեկ գրքի գնից, կարելի է տալ հետևյալ աղյուսակով.

ANTARES

1.5. ՈՒՂԻՂ ԵՎ ՀԱԿԱԴԱՐՁ ՀԱՄԵՄԱՏԱԿԱՆՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐ 17

Գրքի մեկ օրինակի արժեքը (դրամ) 100 200 300 400 600 1200

Գրքերի քանակը (հատ) 12 6 4 3 2 1

Այս համեմատականության դեպքում գրքի գինը մի քանի անգամ մեծացնելիս գրքերի այն քանակը, որ կարելի է գնել 1200 դրամով, նույնքան անգամ փոքրանում է:

Երկու մեծությունների համեմատականությունն անվանում են հակադարձ համեմատականություն, եթե մեծություններից մեկը մի քանի անգամ մեծացնելիս, մյուսը նույնքան անգամ փոքրանում է։

Դիտարկված օրինակում գնված գրքերի քանակը հակադարձ համեմատական է մեկ գրքի արժեքին:

Հավասարաչափ շարժման արագությունն ու ժամանակը ճանապարհի տվյալ տեղամասում հակադարձ համեմատական մեծություններ են: Եթե մեքենան 50 կմ/ժ արագությամբ մի ճանապարհահատված անցնում է 4 ժամում, ապա 25 կմ/ժ արագությամբ նույն ճանապարհահատվածը կանցնի 8 ժամում (քանի որ արագությունը փոքրացել է 2 անգամ, ուրեմն ժամանակը կմեծանա 2 անգամ):

Նկատեք, որ հակադարձ համեմատական մեծությունների հա մա պա-տա սխան արժեքների արտադրյալը հաստատուն է։

Խնդիր 1: Շարժվելով հաստատուն արագությամբ (այսինքն՝ հավասարաչափ)՝ գնացքը 2 վայրկյանում անցավ 60 մետր: Ի՞նչ ճանապարհ կանցնի գնացքը 15 վայրկյանում:

Լուծում: Հաստատուն արագության դեպքում ճանապարհն ուղիղ համեմատական է շարժման ժամանակին: Համարելով, որ գնացքը 15 վ-ում անցել է x մ՝ խնդրի պայմանը հակիրճ կգրվի այսպես.

60 մ — 2 վ x մ — 15 վ

Համուղղված սլաքներով ցույց է տրվում, որ մեծությունները ուղիղ

համեմատական են: Ժամանակը մեծացել է 152

անգամ, իսկ ճանապարհը՝

x60

անգամ։ Քանի որ մեծություններն ուղիղ համեմատական են, ապա 152

և

x60

հարաբերությունները հավասար են.

152

= x60

Լուծելով ստացված համեմատությունը՝ կստանանք

ANTARES


2x = 15 ⋅ 60, x= 15 · 602

, x = 450

Պատասխան՝ 450 մ:

Խնդիր 2: 45 կմ/ժ արագություն ունեցող գնացքը մի ճանա պա ր-հա հատ ված անցնելու համար ծախսեց 4 ժ: Ինչքա՞ն ժամանակ կծախսի ապրանքատար գնացքը նույն ճանապարհը 40 կմ/ժ արագությամբ անցնելու դեպքում:

Լուծում: Նույն ճանապարհի դեպքում արագությունը և շարժման ժամանակը հակադարձ համեմատական մեծություններ են: Համարելով, որ ապրանքատարն այդ ճանապարհն անցել է x ժամում՝ խնդրի պայմանը կարճ կգրվի՝

45 կմ/ժ — 4 ժ 40 կմ/ժ — x ժ

Հակուղղված սլաքներով ցույց է տրվում, որ մեծությունները հակադարձ համեմատական են:

Ինչպես նշվել է հակադարձ համեմատական մեծությունների հա-մա պա տաս խան արժեքների արտադրյալը հաստատուն է։ Ուրեմն, 40x = 45 ⋅ 4։ Որտեղից՝

x= 45 · 440

, x = 4 12

Պատասխան՝ 4 12

ժ։

62. Ո՞ր մեծություններն են անվանում.

ա) ուղիղ համեմատական,

բ) հակադարձ համեմատական,

Բերե՛ք համապատասխան օրինակներ:

63. Որոշ քանակությամբ մատիտների համար վճարել են 800 դրամ: Ինչքա՞ն պետք է վճարել նույն տեսակի մատիտների համար, եթե նրանց քանակը.

ա) 2 անգամ մեծ է, բ) 2 անգամ փոքր է:

64. Որոշ քանակությամբ մատիտների համար վճարել են 800 դրամ: Ինչքա՞ն պետք է վճարել նույն քանակությամբ մատիտների համար, որոնցից ամեն մեկը.

ANTARES

1.5. ՈՒՂԻՂ ԵՎ ՀԱԿԱԴԱՐՁ ՀԱՄԵՄԱՏԱԿԱՆՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐ 19

ա) 2 անգամ թանկ է, բ) 2 անգամ էժան է:

65. Ունեցած գումարով կարելի է գնել 30 մատիտ:ա) Քանի՞ տետր կարելի է գնել նույն գումարով, եթե տետրը մատիտից 2 անգամ էժան է:բ) Քանի՞ գրիչ կարելի է գնել նույն գումարով, եթե գրիչը մատիտից 10 անգամ թանկ է:

66. Հեծանվորդը մի քանի ժամում անցավ 36 կմ:ա) Քանի՞ կիլոմետր կանցնի նույն ժամանակամիջոցում հետիոտնը, որի արագությունը հեծանվորդի արագությունից 3 անգամ փոքր է: բ) Քանի՞ կիլոմետր կանցնի նույն ժամանակամիջոցում մոտոցիկլավարը, որի արագությունը հեծանվորդի արագությունից 5 անգամ մեծ է:

67. Գյուղից մինչև քաղաք հեռավորությունը հեծանվորդն անցավ 3 ժամում:ա) Քանի՞ ժամում կանցնի նույն հեռավորությունը հետիոտնը, որի արագությունը 3 անգամ փոքր է հեծանվորդի արագությունից:բ) Քանի՞ ժամում կանցնի նույն հեռավորությունը մոտոցիկլավարը, որի արագությունը 5 անգամ մեծ է հեծանվորդի արագությունից:

Գտե՛ք նշված մեծությունների համեմատականության բնույթը (ուղիղ, հակադարձ) (6870).

68. ա) Մատիտի գնի և մի քանի այդպիսի մատիտների արժեքի՝ նրանց հաստատուն քանակի դեպքում:բ) Միատեսակ մատիտների քանակի և այդ քանակության արժեքի՝ մատիտի հաստատուն գնի դեպքում:գ) Տրված հաստատուն գումարով գնած միատեսակ մատիտների քանակի և մատիտի գնի:

69. ա) Հավասարաչափ շարժման արագության և հաստատուն ժա մա-նա կա մի ջոցում անցած ճանապարհի:բ) Ծախսած ժամանակի և անցած ճանապարհի՝ շարժման հաս տա-տուն արագության դեպքում:գ) Հավասարաչափ շարժման ժամանակի և արագության՝ հաս տա-տուն ճանապարհի դեպքում:

70. ա) Միատեսակ տրակտորների քանակի և այն մակերեսի, որ նրանք կհերկեն մեկ օրում:բ) Տրակտորի աշխատած օրերի և այն մակերեսի, որ նա կհերկի այդ ընթացքում:գ) Միատեսակ տրակտորների քանակի և այն օրերի քանակի, որոնց ընթացքում նրանք կհերկեն տրված դաշտը:

71. ա) Դպրոցի համար գնում են միատեսակ տետրեր: Ի՞նչ կախվա-ծություն կա գնված տետրերի քանակի և այդ քանակության արժեքի միջև:

ANTARES


բ) Մեկը ցանկանում է հաստատուն արագությամբ անցնել երկու քաղաքների միջև եղած հեռավորությունը: Ինչպիսի՞ն է շարժման արագության և ժամանակի միջև կախվածությունը:

72. Գնացքը հաստատուն արագությամբ 6 ժամում անցավ 480 կմ: Քանի՞ կմ էր անցել գնացքն առաջին 2 ժամում:

73. Բալի մուրաբա եփելու համար 6 կգ մրգի հետ վերցնում են 4 կգ շաքարավազ: Քանի՞ կգ շաքարավազ պետք է վերցնել 12 կգ մրգի դեպքում:

74. Բալի մուրաբա եփելու համար 6 կգ մրգի հետ վերցնում են 4 կգ շաքարավազ: Քանի՞ կգ միրգ պետք է վերցնել 12 կգ շաքարավազի դեպքում:

75. ա) 100 գ լուծույթը պարունակում է 4 գ աղ: Որքա՞ն աղ է պարունակում 300 գ այդպիսի լուծույթը:բ) 4000 գ լուծույթը պարունակում է 80 գ աղ: Որքա՞ն աղ է պարունակվում այդ լուծույթի 200 գրամում:

76. Երկու քաղաքների հեռավորությունն առաջին գնացքն անցավ 3 ժամում՝ 80 կմ/ժ արագությամբ: Քանի՞ ժամում երկրորդ գնացքը կանցնի նույն հեռավորությունը 60 կմ/ժ արագությամբ:

77. 5 ներկարար կարող է ցանկապատը ներկել 8 օրում: Քանի՞ օրում նույն ցանկապատը կարող է ներկել. ա) 10 ներկարարը, բ) 1 ներկարարը, եթե բոլոր ներկարարները հավասարազոր աշխատողներ են:

78. 8 մ մահուդն արժե այնքան, որքան 63 մ չիթը: Քանի՞ մետր չիթ կարելի է գնել 14 մ մահուդի փոխարեն:

79. Հին խնդիր: Մի շոգ օր 6 հնձվորով 8 ժամում խմեցին մի տակառիկ թան: Պետք է իմանալ, թե քանի՞ հնձվորով 3 ժամում կխմեն մեկ նույնպիսի տակառիկ թանը:

80. Հին խնդիր: 8 արշին մահուդն արժե 30 ռուբլի: Ի՞նչ արժե 15 արշին մահուդը:

81. Ապրանքատար գնացքը 80 կմ/ժ արագությամբ անցավ 720 կմ: Նույն ժամանակամիջոցում ի՞նչ հեռավորություն կանցնի մարդատար գնացքը, որի արագությունը 60 կմ/ժ է:

82. ա) Բեռնատարը քաղաքների միջև հեռավորությունը 60 կմ/ժ արա-գու թյամբ անցավ 8 ժամում: Քանի՞ ժամում նույն հե ռա վո րությունը կանց նի մարդատարը 80 կմ/ժ արագությամբ:բ) 4 հոգանոց բրիգադը առաջադրանքը կարող է կատարել 10 օրում: Քա նի՞ օրում կկատարի նույն առաջադրանքը 5 հոգանոց մի այլ բրի գադ, եթե բոլոր 9 հոգին էլ հավասարապես լավ են աշխատում:

83. Մեկ կիլոգրամ մետաղի ջարդոնը կարող է փոխարինել 212 կիլոգրամ

երկա թով հարստացված հանքաքարին: Որքա՞ն հանքաքարի կփո-խա րի նի 4 տոննա ջարդոնը:

ANTARES

1.5. ՈՒՂԻՂ ԵՎ ՀԱԿԱԴԱՐՁ ՀԱՄԵՄԱՏԱԿԱՆՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐ 2184. ա) Վարորդը նկատեց, որ 60 կմ/ժ արագությամբ նա կամուրջն ան-

ցավ 40 վայրկյանում: Վերադառնալիս նա նույն կամուրջն ան ցավ 30 վայրկյանում: Ի՞նչ արագություն ուներ ավտոմեքենան վե րա-դառ նա լիս:բ) 60 կմ/ժ արագությամբ մեքենան թունելն անցում է 1 րոպեում: Քանի՞ րոպեում նա կանցնի այդ թունելը 50 կմ/ժ արագությամբ:

85. Երկու ատամնանիվ շղթայակցված են: Առաջինը, որն ունի 60 ատամ, 1 րոպեում 50 պտույտ է կատարում: Րոպեում քանի՞ պտույտ է կատարում երկրորդ ատամնանիվը, եթե այն ունի 40 ատամ:

86. Այն ժամանակամիջոցում, երբ խառատը պատրաստում է 6 մանրակ, նրա աշակերտը պատրաստում է ընդամենը 4 մանրակ:ա) Քանի՞ մանրակ կպատրաստի աշակերտն այն ժա մա նա կա հատ-վա ծում, որի ընթացքում խառատը պատրաստում է 27 մանրակ:բ) Որքա՞ն ժամանակ կծախսի աշակերտն այն առաջադրանքի հա-մար, որը խառատը կարող է կատարել 1 ժամում:

87. Միևնույն ժամանակում հետիոտնն անցավ 6 կմ, իսկ հեծանվորդը` 18 կմ:ա) Քանի՞ կմ կանցնի հեծանվորդն այն ժամանակամիջոցում, որի ընթացքում հետիոտնն անցնում է 10 կմ:բ) Որքա՞ն ժամանակ կծախսի հեծանվորդն այն ճանապարհն անցնելու համար, որը հետիոտնն անցնում է 2 ժամում:

88. 6 մարդ մի աշխատանք կատարում են 18 օրում: Քանի՞ օրում կկա-տա րեն այդ աշխատանքը 9 մարդ, եթե բոլոր 15-ը հավասարազոր աշ խա տողներ են:

89. ա) 6 ներկարար աշխատանքը կկատարեն 5 օրում: Նույն ար տա դրո-ղա կա նու թյունն ունեցող քանի՞ ներկարար ևս պետք է հրավիրել, որ պես զի բոլորով միասին այդ նույն աշխատանքը կատարեն 3 օրում: բ) Երկու աշխատող կարող էին առաջադրանքը կատարել 10 օրում: Քանի՞ նույնպիսի աշխատող ևս պետք է հրավիրել առաջադրանքը 4 օրում անելու համար:

90. Լ. Փ. Մագնիցկիի «Թվաբանություն» գրքից: Ոմն պարոն կանչեց ատաղ ձա գործին և պատվիրեց պալատ կառուցել: Տվեց նրան քսան աշ խատող և հարցրեց, թե քանի օրում նրանք կպատ-րաս տեն իր պալատը: Ատաղձագործը պատասխանեց՝ երեսուն օրում: Այն ինչ պարոնին անհրաժեշտ էր հինգ օրում կառուցել, և նա հարց րեց ատաղձագործին.

– Քանի՞ աշխատող է քեզ պետք ունենալ, որ նրանց հետ պալատը կառուցես հինգ օրում:

Եվ ատաղձագործը, շվարելով, հարցնում է քեզ, մաթեմատիկոս՝ քանի՞ աշ խա տող է պետք իրեն, որ այդ պալատը կառուցի հինգ օրում:

ANTARES


1.6. ԳաղաՓար տոկոսի մասին

Թվի (մեծության) մեկ հարյուրերորդ մասն անվանում են այդ թվի (մեծության) մեկ տոկոս։

Գտնել թվի (մեծության) 1 տոկոսը նշանակում է գտնել այդ թվի

(մեծության) 1100

մասը, ինչը կարելի է անել՝ թիվը (մեծությունը) 1100

-ով

բազմապատկելով կամ հարյուրի բաժանելով:

Օրինակ՝ 300 կգ-ի 1 տոկոսը 3 կգ է, որովհետև 300 : 100 = 3, կամ

300 ⋅ 1100

= 3։ 10 կմ-ի 1 տոկոսը 100 մ է, որովհետև

10 կմ ⋅ 1100

= 10 000 մ ⋅ 1100

= 100 մ։

«Տոկոս» բառի փոխարեն մաթեմատիկայում օգտագործում են «%» նշանը: Այսպես, «15 տոկոս» բառերի փոխարեն գրում են «15%»:

Այսպիսով, եթե a-ն որևէ մեծություն է կամ թիվ, ապա a-ի 1%

նշանակում է a ⋅ 1100

, a-ի 39% նշանակում է a-ի 39100

մաս և հավասար է a ⋅39100

Ինքը՝ a-ն, իր 1100

մասերից պարունակում է ճիշտ 100-ը, ուրեմն ինքն

իր 100%-ն է՝ a = 100 ⋅ � 1100

⋅ a�:

Առավել հաճախ դիտարկում են տոկոսի հետևյալ երեք տեսակ խնդիրները.

1) տրված թվի տրված տոկոսի որոշումը,2) այն անհայտ թվի որոշումը, որի որոշակի տոկոսը հայտնի է,3) որոշումը, թե տրված թվերից մեկի որ տոկոսն է հավասար մյուսին: Այսպիսի խնդիրները լուծելու համար բավական է իմանալ, որ 1%

նշանակում է 1100

մաս:

Խնդիր 1: Գտե՛ք 600 մ-ի 1%-ը:

Լուծում: 600 մ-ի 1%-ը հավասար է 600 մ-ի 1100

մասին՝

600 ⋅ 1100

= 6 (մ)։Պատասխան՝ 6 մ:

Խնդիր 2: Գտե՛ք 36 մ-ի 25%-ը:

Լուծում: 36 մ-ի 25%-ը հավասար է 36 մ-ի 25100

մասին՝

ANTARES

ararat

Pencil

ararat

Pencil

1.6. ԳԱՂԱՓԱՐ ՏՈԿՈՍԻ ՄԱՍԻՆ 23

36 ⋅ 25100

= 36 ⋅ 14

= 364

= 9 (մ)։

Պատասխան՝ 9 մ:Խնդիր 3: Գտե՛ք այն թիվը, որի 1%-ը 5 է:Լուծում: Քանի որ թվի 1%-ը 5 է, ուրեմն թիվն ինքը 100 անգամ մեծ է՝

5 ⋅ 100 = 500Պատասխան՝ 500:

Խնդիր 4: Գտե՛ք այն թիվը, որի 30%-ը 60 է:

Լուծում: Քանի որ թվի 30%-ը 60 է, ապա 1%-ը 6030

է, իսկ ինքը՝ թիվը, 100 անգամ մեծ է՝

100 ⋅ 6030

= 100 ⋅ 2 = 200 Պատասխան՝ 200:

Խնդիր 5: Դասարանի 30 աշակերտից 12-ն ընդգրկված է տարբեր խմբակներում: Աշակերտների ո՞ր տոկոսն է ընդգրկված խմբակներում:

Լուծում: Խմբակներում ընդգրկված է դասարանի աշակերտների 1230

մասը։ Խնդիրն այն է, որ 1230

-ն արտահայտվի տոկոսներով, այսինքն

որոշվի, թե 1230

-ը քանի 1100

է։

1230

= 12 ⋅ 10030

⋅ 1100

= 12 ⋅ 10030

% = 40%:

Պատասխան՝ 40% :

Որոշելու համար, թե առաջին թիվը երկրորդ թվի որ տոկոսն է, կարելի է առաջին թիվը բաժանել երկրորդին և արդյունքը

բազմապատկել 100ով։

Խնդիր 6: Գտե՛ք, թե 125 թիվը 200-ի որ տոկոսն է:Լուծում: 125-ը բաժանենք 200-ի և արդյունքը բազմապատկենք

100-ով.125200

⋅ 100% = 6212%:

Պատասխան՝ 62 12%:

«1% = 1100

մաս» կարճ գրությունը նշանակում է, որ որևէ թվի (մեծության)

1%-ը այդ թվի (մեծության) 1100

մասն է: «p% = p100

մաս» կարճ գրությունը

նշանակում է, որ որևէ թվի (մեծության) p%-ն այդ թվի (մեծության) p100

ANTARES


մասն է։ Դրա համար էլ հաճախ ասում են, որ տոկոսը կարելի է գրել մասի տեսքով, իսկ մասը` տոկոսի: Օրինակ` գրում են.

13% = 13100

մաս, 99100

մաս = 99%

91. Ի՞նչ է տոկոսը:

92. Ինչպե՞ս գտնել տրված թվի տոկոսը:

93. Տրված տոկոսները գրե՛ք մասի տեսքով.1% , 5% , 70% , 100% , 120% , 150% , 200% , 1020% :

94. Կարդացեք նախադասությունը: Վերաձևակերպե՛ք այն՝ տոկոսը փոխարինելով կոտորակով (մասով): Կարդացե՛ք ստացված նախադասությունը:ա) 25 թիվը 100-ի 25%-ն է:բ) 20 թիվը 40-ի 50%-ն է:գ) 200-ի 10%-ը 20 է:դ) 500 թիվը մեծացրին 10%-ով և ստացան 550:

95. Արտահայտե՛ք տոկոսներով.

ա) 1100

, 3100

, 5100

, 10100

, 110

, 120

բ) 150

, 15, 1

2, 1

4, 2, 1 15

10096. XX դարի սկզբում Ռուսաստանում տնտեսության մեջ

ներգրավված յուրաքանչյուր 100 մարդուց 9-ը աշխատում էր արդյունաբերությունում, 75-ը՝ գյուղատնտեսությունում, 9-ը զբաղվում էր առևտրով: Տնտեսության մեջ ներգրավված մարդկանց ո՞ր տոկոսն է ընդգրկված արդյունաբերությունում, ո՞րը՝ գյուղատնտեսությունում և որը՝ առևտրի ոլորտում:

97. Գտե՛ք հետևյալ մեծության 1%-ը.ա) 1 մետր, բ) 1 ցենտներ, գ) 1 կիլոգրամ:

98. Գտե՛ք հետևյալ մեծության 5%-ը, 17%-ը, 23%-ը.ա) 1 մետր, բ) 1 ցենտներ, գ) 1 կիլոգրամ:

99. Գտե՛քա) 100-ի 1%-ը, բ) 300-ի 1%-ը, գ) 40-ի 5%-ը,դ) 200-ի 7%-ը, ե) 15-ի 20%-ը, զ) 48-ի 25%-ը,է) 49-ի 100%-ը, ը) 250-ի 120%-ը, թ) 300-ի 200%-ը:

100. Ծառայողն իր ձեռնարկությունից գնեց 50 000 դրամի բաժնետոմս և ստացավ 20% շահույթ: Քանի՞ դրամ շահույթ նա ստացավ:

101. Թվի ո՞ր մասն է նրա.

ANTARES

1.6. ԳԱՂԱՓԱՐ ՏՈԿՈՍԻ ՄԱՍԻՆ 25

ա) 1%-ը, բ) 5%-ը, գ) 10%-ը, դ) 20%-ը,ե) 25%-ը, զ) 50%-ը, է) 75%-ը, ը) 100%-ը:

102. Հաշվե՛ք. ա) 400-ի 50%-ը, բ) 20-ի 10%-ըգ) 16-ի 25%-ը դ) 8-ի 75%-ը

103. Շաքարի ճակնդեղից ստանում են շաքար, որի զանգվածը ճակն-դե ղի զանգվածի 18%-ն է: Որքա՞ն շաքար կստացվի ա) 40 տ, բ) 30 տ, գ) 500 տ ճակնդեղի մշակումից:

104. Երկաթահանքը պարունակում է 70% մաքուր երկաթ: Քանի՞ տոննա մաքուր երկաթ է պարունակում 13 տ երկաթահանքը:

105. Ձուլվածքը պարունակում է 62% անագ և 38% կապար: Քանի՞ գրամ անագ և քանի՞ գրամ կապար է պարունակում 400 գ ձուլվածքը:

106. Հայրիկս իր 20 000 դրամ մրցանակը ծախսել է մայրիկիս և մեզ՝ երեխաներիս, նվերներ գնելու համար: Մայրիկիս նվերի համար նա ծախսել է այդ գումարի 40%-ը, իսկ իմ և քրոջս նվերների հա մար՝ 30-ական տոկոս: Ամբո՞ղջ գումարն է ծախսել արդյոք հայ րը: Չկա՞ն արդյոք խնդրում ավելորդ տվյալներ:

107. ա) Դասարանի աշակերտների 25%-ը մրցակցում էր բարձրացատկի մար զա ձևում, ևս 75%-ը՝ հեռացատկի: Դասարանի բոլո՞ր աշա-կերտ ներն են արդյոք մասնակցում մրցումներում:բ) Զբոսաշրջիկները նախատեսած երթուղու 80%-ն անցան գնաց-քով, իսկ 15%-ը՝ ավտոբուսով: Արդյոք ամբո՞ղջ երթուղին անցան: գ) Մարինեն իր ունեցած գումարի 70%-ը ծախսեց գրքեր, իսկ 30%-ը՝ տետրեր գնելու համար: Ամբո՞ղջ գումարը ծախսեց Մարինեն:

108. Ուսուցչուհին հայտարարեց. «Ստուգողական աշխատանքը ճիշտ է կատարել մեր դասարանի աշակերտների 100%-ը»։ Ինչպե՞ս դա հասկանալ

109. ա) Գումարի 80%-ը ծախսել են: Գումարի քանի՞ տոկոսն է մնացել: բ) Տղամարդիկ գործարանի բոլոր աշխատակիցների 75%-ն են: Աշխատակիցների ո՞ր տոկոսն են կանայք:գ) Աղջիկները դասարանի 40%-ն են: Դասարանի ո՞ր տոկոսն են տղաները:

110. ա) Գտե՛ք 36 թվի 15% -ը:բ) Գտե՛ք այն թիվը, որի 15% -ը 36 է:

111. Գտե՛ք այն թիվը, որի. ա) 1% -ը 3 է, բ) 10% -ը 40 է, գ) 15% -ը 30 է, դ) 50% -ը 250 է:

112. Կոտորակն արտահայտե՛ք տոկոսով.

ա) 35

= 3 ⋅ 205 ⋅ 20

= 60100

= 60%:

ANTARES


բ) 53

= 53

⋅ 100% = 5003

% = 166 23%։

գ) 45, դ) 5

4 , ե) 3

4 , զ) 13

25 , է) 17

20 , ը) 4

3։

113. ա) Խանութը ստացավ էլեկտրական լամպեր: Նրանց մեջ հայտ-նա բեր վեց 16 ջարդված լամպ, որն ամբողջ թվաքանակի 2%-ն էր: Քանի՞ լամպ էր ստացել խանութը:բ) Ցանել էին սիսեռի սերմեր: Նրանցից 270-ը ծլեցին: Դա ցա նած սերմերի ամբողջ քանակի 90%-ն է: Քանի՞ սերմ էին ցանել:

114. 16 կգ թարմ տանձից ստացել են 4 կգ չիր: Թարմ տանձի զանգվածի ո՞ր մասն է տանձի չրի զանգվածը: Այդ մասն արտահայտե՛ք տո կո-սով: Զանգվածի ո՞ր տոկոսն է կորչում չորացման ընթացքում:

115. 50-ի ո՞ր տոկոսն է 40: 40-ի ո՞ր տոկոսն է 50:

116. ա) Ցանել են 50 սերմ: Նրանցից 47-ը ծլել են: Գտե՛ք սերմերի ծլունակության տոկոսը:բ) Դպրոցում 400 աշակերտ կա, որից 12-ը գերազանցիկ են: Աշակերտների ո՞ր տոկոսն է գերազանցիկ:

117. Նարինեն գրքից կարդաց 120 էջ, և նրան մնաց կարդալու ևս 130 էջ: ա) Բոլոր էջերի ո՞ր տոկոսը կարդաց Նարինեն:բ) Բոլոր էջերի ո՞ր տոկոսը մնաց կարդալու:

118. Հունիսին եղել է 12 արևոտ և 18 ամպամած օր: Ո՞ր տոկոսն են. ա) արևոտ օրերը, բ) ամպամած օրերը:

119. Մեկ կիլոգրամ պանիրը պարունակում է 200 գ սպիտակուց: Քանի՞ տոկոս սպիտակուց է պարունակվում պանրում:

1.7. ԽնԴիրներ տոկոսի վերաբերյալ

Նախորդ կետում դիտարկվեցին տոկոսի վերաբերյալ պարզ խնդիրներ: Քանի որ տոկոսի վերաբերյալ խնդիրները փաստորեն կոտորակին վերաբերող խնդիրներ են, ուրեմն դրանք կարելի է նաև լուծել սովորական կոտորակների բազմապատկման և բաժանման միջոցով:

Խնդիր 1: Քաղաքում կա 64 հազար ընտրող: Նրանց 85% -ը մասնակցել են ընտրություններին: Քանի՞ ընտրող է մասնակցել ընտրություններին:

Լուծում: Գտնել 64 000-ի 85%-ը, նույն է, ինչ գտնել նրա 85100

մասը

64000 ⋅ 85100

= 54400 (ընտրող)Պատասխան՝ 54 400 ընտրող:

ANTARES

1.7. ԽՆԴԻՐՆԵՐ ՏՈԿՈՍԻ ՎԵՐԱԲԵՐՅԱԼ 27

Խնդիր 2: Մրցումներում հաղթեց 9 մարզիկ կամ մրցույթի բոլոր մասնակիցների 18% -ը: Որքա՞ն էին մրցույթի մասնակիցները:

Լուծում: 9 թիվը որոնելի թվի 18%-ն է, կամ որ նույնն է՝ 18100

մասը։

Ուրեմն որոնելի թիվը կարելի է գտնել՝ 9-ը բաժանելով 18100

-ի

9 ։ 18100

= 50 (մասնակից)Պատասխան՝ 50 մասնակից:

Նկատենք, որ նախորդ կետում տոկոսի մասին նշած երեք խնդիրն էլ կարելի է լուծել միևնույն հնարքով՝ որպես ուղիղ համեմատականության մասին խնդիր:

Օրինակ 1: Գտնենք 35-ի 8%-ը:Լուծում: Ենթադրենք որոնելի թիվը x է, ապա.

35 — 100% x — 8%

35x

= 1008

, x = 35 ⋅ 8100

= 145

=245

Պատասխան՝ 245։

Օրինակ 2: Գտնենք այն թիվը, որի 12% -ը 3 է:Լուծում: Ենթադրենք x -ը որոնելի թիվն է, այդ դեպքում.

x — 100% 3 — 12%

x3

= 10012

, x = 3 ⋅ 10012

= 25Պատասխան՝ 25:

Օրինակ 3. Գտնենք թե 8-ը 40-ի որ տոկոսն է: Լուծում: Ենթադրենք 8-ը 40-ի x%-ն է, այդ դեպքում.

40 — 100% 8 — x%

408

= 100x

, x = 8 ⋅ 10040

= 20

Պատասխան՝ 20%:

ANTARES


120. ա) Խանութ առաքեցին 2500 կգ լոլիկ: Առաջին օրը վաճառեցին այդ ամբողջ ապրանքի 30%-ը: Քանի՞ կգ լոլիկ մնաց վաճառելու:բ) Դպրոցում 400 աշակերտ է սովորում, որի 52%-ը աղջիկներն են: Գտե՛ք տղաների քանակը:

121. Տանձի չրի զանգվածը թարմ տանձի զանգվածի 20%-ն է: Քանի՞ կգ չիր կստացվի 100 կգ, 350 կգ, 25 կգ թարմ տանձից: Քանի՞ տոկոս զանգված է կորչում թարմ տանձի չորացման ընթացքում:

122. Խաղողը չորացնելիս կորցնում է իր զանգվածի 70%-ը: Ինչքա՞ն չամիչ (չորացրած խաղող) կստացվի 100 կգ, 250 կգ, 80 կգ թարմ խաղողից:

123. Համաձուլվածքի 40%-ը անագ է, 2%-ը՝ ոսկի, իսկ մնացած մա սը կապար: Քանի՞ գրամ անագ, ոսկի և կապար կա այդ հա մա ձուլ-վածքի 300 գ-ում:

124. Խառատը մինչև ընդմիջում տաշեց 24 մանրակ, ինչը հերթափոխային պլանի 60%-ն է: Քանի՞ մանրակ է տաշում խառատը մեկ հերթափոխում:

125. Զբոսաշրջիկները անցան երթուղու 75%-ը, և նրանց մնում էր անցնել ևս 5 կմ: Ինչքա՞ն է երթուղու երկարությունը:

126. Ո՞րն է մեծ.ա) 40-ի 30%-ը, թե՞ 30-ի 40%-ը, բ) 60-ի 80%-ը, թե՞ 70-ի 60%-ը:

127. Առանց հաշվարկների որոշե՛ք՝ որն է մեծ.ա) 34-ի 12%-ը, թե՞ 34-ի 13%-ը,բ) 49-ի 12%-ը, թե՞ 50-ի 12%-ը:

128. Ապրանքն արժեր 5000 դրամ: Նրա գինը բարձրացավ 20%-ով: Քանի՞ դրամով բարձրացավ գինը:

129. Գագիկն ունի 80 փոստանիշ, Դավիթը՝ Գագիկից 20%-ով ավելի, իսկ Գեղամը Գագիկից 25%-ով պակաս: Քանի՞ փոստանիշ ունի Դավիթը և քանի՝ Գեղամը:

130. Մեծացրե՛ք.ա) 60-ը 10%-ով, բ) 80-ը 25%-ով,գ) 40-ը 50%-ով, դ) 425-ը 4%-ով:

131. Փոքրացրե՛ք.ա) 60-ը 10%-ով, բ) 80-ը 25%-ով,գ) 90-ը 50%-ով, դ) 125-ը 20%-ով:

132. ա) 80 թիվը մեծացրե՛ք. 25%-ով, 30%-ով, 65%-ով, 80%-ով:բ) 60 թիվը փոքրացրե՛ք. 15%-ով, 20%-ով, 25%-ով, 75%-ով:

133. Միսը եփելիս կորցնում է իր զանգվածի 40%-ը: ա) Ինչքա՞ն եփած միս կստացվի 6 կգ թարմ մսից:բ) Ինչքա՞ն թարմ միս պետք է եփել, որ ստացվի 6 կգ եփած միս:

ANTARES

1.8. ՍՅՈՒՆԱԿԱՅԻՆ ԵՎ ՇՐՋԱՆԱՅԻՆ ԴԻԱԳՐԱՄՆԵՐ 29

134. Ակցիայի արդյունքում ապրանքների գներն իջել են 20%-ով: Ինչքա՞ն պետք է վճարել վերնաշապիկի համար, եթե նրա սկզբնական գինը 8000 դրամ էր:

135. Ծրագրավորողի աշխատավարձը բարձրացել է 15%-ով: Ինչքա՞ն է նոր աշխատավարձը, եթե մինչև բարձրացումը 300 000 դրամ էր:

136. 4 տաբատը 8%-ով էժան է մեկ վերակուից: Քանի՞ տոկոսով է թանկ 5 տա բա տը մեկ վերակուից:

137. 3 կգ խնձորը թանկ է 1 կգ անանասից 11%-ով: Քանի տոկոսով է 4 կգ խնձո րը թանկ 1 կգ անանասից:

138. Գրքի էջերի քանակի 1%-ը 4 է: Դավիթը կարդացել է այդ գրքի 30%-ը: Քանի՞ էջ է մնացել կարդալու Դավիթին:

139. Մեկը իր ունեցած գումարից 4000 դրամ նվիրաբերց մանուկների ֆոն դին: Ինչքա՞ն գումար ուներ այդ մարդը, եթե նվիրել է իր ունե-ցա ծի 2%-ը:

140. Գտեք այն թիվը, որի 25%-ը հավասար է 640-ի 45%-ին:

141. Նորածնի քաշը 3 կգ էր: Մեկ ամիս հետո նա կշռում էր 4 կգ 200գ: Քա նի՞ տոկոսով է ավելացել նրա քաշը:

142. Բարձրագույն կրթություն ունեցողների միջին աշխատավարձը 225 000 դրամ է, չունեցողներինը՝ 150 000 դրամ: Քանի՞ տոկոսով է բարձ րա գույն կրթություն ունեցողների միջին աշխատավարձը ավելի բարձրագույն կրթություն չունեցողների միջին աշխա տա-վար ձից:

143. Տունը վերանորոգելու համար գնել են 360 000 դրամի շինանյութ, որը վե րա նո րոգման գումարի 30 տոկոսն է: Ինչքա՞ն գումար է ծախս վել տան վերանորոգման համար:

1.8. սյունակային եվ Շրջանային ԴիաԳրամներ

Հաճախ համեմատականություններ ուսումնասիրելիս օգտագործում են սյունակային դիագրամներ: Դրանք հարմար են չափումների, սո-ցիա լական հարցումների և այլ ճանապարհներով ստացված տվյալների հա մե մա տության միջոցով ցույց տալու, թե ժամանակից կախված ինչ-պես են փոփոխվում մեզ հետաքրքրող երևույթները:

Օրինակ: Ստորև բերված սյունակային դիագրամում ցույց է տրված, թե գյուղի այգիներում քանի տոննա միրգ է հավաքվել ամառվա ամիսների ընթացքում: Ելնելով դիագրամի տվյալներից՝ կարող ենք հեշտությամբ գտնել մեզ հետաքրքրող շատ հարցերի պատասխանները, ինչպես, օրինակ, քանի՞ տոննա միրգ է հավաքվել օգոստոսին, որքա՞ն բալ է հավաքվել ողջ ամառվա ընթացքում, ընդամենը որքա՞ն միրգ է հավաքվել ամռանը, ո՞ր ամսին է ամենաշատ միրգը հավաքվել և այլն:

ANTARES


Ամբողջի և նրա մասերի հարաբերություններն ակնառու են դառ-նում, երբ օգտվում են շրջանային դիագրամներից: Օրինակ, եթե հայտ-նի է, որ 5-րդ դասարանում սովորում են 18 աղջիկ և 18 տղա, ապա դա սա րանի բոլոր աշակերտներին կարելի է հա մա պա տաս-խանեցնել ամբողջ շրջանը, իսկ տղա նե րին և աղջիկներին՝ այդ շրջանի կեսերը (նկար 5): Ամեն մի տղայի և ամեն աղջկա դիա գրա մում կհամապատասխանի՝ շրջանի կենտ րո նը որպես գագաթ ունեցող անկյուն (կենտ րո նա կան անկյուն), որի մեծությունը կլինի 180˚ : 18 = 10 ,̊ իսկ դասարանի բոլոր աշա կերտ նե րին՝ 360˚-ի լրիվ անկյունը (նկար 6):


Շրջանային դիագրամի միջոցով ցույց տանք մաթեմատիկայի ստուգողական աշխատանքի արդյունքները 6-րդ դասարանում.

Դասարանի 30 աշակերտներից «5» ստացել է 4 հոգի, «4»՝ 14 հոգի, «3»՝ 12 հոգի: Բոլոր 30 աշակերտներին համապատասխանեցնելով 360º-ի

18 տղա 18 աղջիկ

Նկար 5ANTARES


մեծությամբ լրիվ անկյունը՝ ամեն մի աշակերտի համար կստանանք 360˚ ։ 30 = 12˚-ի կենտրոնական անկյուն, «5» ստացողներին կհա մա-պա տաս խանի 4 ⋅ 12˚ = 48˚-ի կենտրոնական անկյուն, «4» ստա ցող նե-րին՝ 14 ⋅ 12˚ = 168˚-ի, «3» ստացողներին՝ 12 · 12˚ = 144˚-ի կենտ րո նա կան անկյուն (նկար 7)։

Երբեմն շրջանային դիագրամում նշում են ոչ թե մեծությունների արժեքները, այլ թե դրանք ամբողջի որ տոկոսն են: Օրինակ՝ նկար 10-ի դիագրամում ներկայացված է N քաղաքի բնակիչների մասնակցությունը քաղաքապետի ընտրություններին. ընտրելու իրավունք ունեցողների 80%-ը մասնակցել է ընտրություններին, 20%-ը՝ ոչ: Դիագրամը կազմելու համար հարկավոր է որոշել ընտրողների 20%-ին համապատասխանող կենտրոնական անկյունը.

360˚ : 100 ⋅ 20 = 72 ։̊

144. Աղյուսակում ներկայացված են 2016 թվական մաթեմատիկայի միջազգային օլիմպիադայի արդյունքները:

Երկիր/մեդալ Ոսկի Արծաթ Բրոնզ

Հայաստան - 1 4

Ադրբեջան - - 1

Վրաստան - - 1

Իրան - 3 3

Թուրքիա - 2 4

Ռուսաստան 4 1 1

Կազմեք այդ աղյուսակին համապատասխանող սյունակային դիագրամ:

145. Սյունակային դիագրամում (նկար 8) ներկայացված է լայնաշերտ ինտերնետ հասանելությամբ բաժանորդների քանակը 2008-2015 թվականներին: Օգտվելով այդ դիագրամից պատասխանեք հետևյալ հարցերին.ա) Քանի՞ բաժանորդ էր օգտվում լայնաշերտ ինտերնետից 2010 թվականին:բ) Քանի՞ բաժանորդով է աճել լայնաշերտ ինտերնետից օգտ վող-նե րի քանակը 2008-2011 թվականների ընթացքում:գ) Նախորդ տարվա հետ համեմատած ո՞ր թվականին է եղել լայ-նա շերտ ինտերնետից օգտվող բաժանորդների ամենամեծ աճը:

ANTARES


13799

225950

443320

9581731070727

1166342

1293467

1520756

0

200000

400000

600000

800000

1000000

1200000

1400000

1600000

2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015

Նկար 8

146. Սյունակային դիագրամում (նկար 9) ներկայացված է 2018-2019 ուսումնական տարվա առարկայական օլիմպիադաների մարզային փուլերի մասնակիցների քանակը ըստ մարզերի: Օգտվելով այդ դիագրամից պատասխանեք հետևյալ հարցերին.ա) Քիմիայի օլիմպիադայի Լոռու մարզի մասնակիցները ինչքանո՞վ են ավելի ֆիզիկայի օլիմպիադայի նույն մարզի մասնակիցներից:բ) Քանի՞ աշակերտ է մասնակցել Շիրակի մարզից մաթեմատիկայի, ֆիզիկայի և քիմիայի օլիմպիադաներին միասին:գ) Ամենաշատը ո՞ր մարզից և քանի՞ հոգի են մասնակցել ֆիզիկայի օլիմպիադայի հանրապետական փուլին:

0

5

10

15

20

25

30

Նկար 9

ANTARES


147. Քանի՞ աստիճան է փռված անկյունը: Քանի՞ աստիճան է լրիվ անկյունը:



148. Օգտվելով նկար 11-ի դիագրամից՝ ասացե՛ք, քանի՞ մեկ, քանի՞ երկու և քանի՞ երեքսենյականոց բնակարան կա շենքում:

149. Նկար 12-ի շրջանային դիագրամում տրված է N քաղաքի բնակ չու-թյան տոկոսային կազմությունը: Քանի՞ տղամարդ, քանի՞ կին և քանի՞ երեխա է ապրում այդ քաղաքում, եթե ընդամենը այն տեղ ապ րում է 48 հազար մարդ:

150. Նկար 13-ի շրջանային դիագրամը ցույց է տալիս մետաղների տո-կո սային պարունակությունը մի ձուլվածքում: Քանի՞ գրամ անագ, քանի՞ գրամ կապար և քանի՞ գրամ այլ մետաղներ է պարունակում 200 գ այդպիսի ձուլվածքը:

151. Կառուցե՛ք 30-հոգանոց դասարանի հայոց լեզվից ստուգողական աշխատանքի արդյունքներն արտացոլող շրջանային դիագրամ, եթե 3 հոգի ստացել են «5», 12-ը՝ «4», 15-ը՝ «3»:

152. Կառուցե՛ք «Իմ օրվա ռեժիմը» շրջանային դիագրամը:

ANTARES


1.9. տրված Պայմաններին բավարարող իրավիՃակների ելՔերի Քանակի հաՇվում

Դիտարկենք խնդիրներ, որոնցում անհրաժեշտ է լինում հատ-հատ դի տար կել բոլոր հնարավոր տարբերակները կամ հաշվել նրանց քա-նակը:

Խնդիր 1: Գրե՛ք բոլոր եռանիշ թվերը, որոնց գրելաձևում օգ տա գործ-վում են 1, 2, 3 թվանշաններն առանց կրկնության:

Լուծում: Խնդրին բավարարող բոլոր թվերը գրենք աճման կարգով.

123, 132, 213, 231, 312, 321:Խնդիր 2: Քանի՞ երկնիշ թիվ կարելի է գրել՝

օգտագործելով միայն 1, 2, 3 թվանշանները:Լուծում: Ի տարբերություն նախորդ խնդրի՝

այստեղ կարելի է թվանշանները կրկնել: Հարցին պատասխանելու համար կարելի է բոլոր երկնիշ թվերի ցուցակից դուրս գրել խնդրի պայմաններին բավարարողները և հաշվել դրանց քանակը:

Սակայն խնդիրը կարելի է լուծել նաև հետևյալ դատողություններով. երկնիշ թվի առաջին թվանշանը կարող է լինել երեք թվանշաններից մեկը՝ 1, 2 կամ 3:

Հնարավոր երեք դեպքից յուրաքանչյուրում երկրորդ թվանշանը կարող է լինել 1, 2, 3 թվանշաններից որևէ մեկը: Ուրեմն, առաջին թվանշանի երեք դեպքից ամեն մեկը ունի երեք ելք (տարբերակ, շարունակություն) երկրորդ թվանշանի համար: Այսպիսով՝ 1, 2, 3 թվանշաններով կարելի է գրել 3 · 3 = 9 երկնիշ թիվ:

Պատասխան՝ 9:

Նման եղանակով համոզվենք, որ խնդիր 1-ում կարելի է կազմել միայն 6 թիվ: Հիշենք որ պետք է գրել եռա նիշ թվեր և դրանցից յուրաքանչյուրում ար գել վում է կրկնել թվանշանները: Պարզ է, որ եռա-նիշ թվի առաջին թվանշանը կարող է լինել 1, 2, 3 թվանշաններից ցան-կա ցա ծը (3 հնարավորություն): Այդ 3 դեպքերից ամեն մեկում երկ րորդ թվանշանը կարող է լինել մյուս երկու թվանշաններից որևէ մեկը (2 հնա րա վորություն): Այդ 3 · 2 = 6 դեպքերից ամեն մեկում երրորդ թվա-նշանի համար մնում է 1 հնարավորություն՝ չօգտագործված վերջին թվա նշանը: Ուրեմն, հնարավոր է գրել միայն 6 եռանիշ թիվ (տես նկար 14):

Նկար 14

Նկար 15

ANTARES

1.9. ՏՐՎԱԾ ՊԱՅՄԱՆՆԵՐԻՆ ԲԱՎԱՐԱՐՈՂ ԻՐԱՎԻՃԱԿՆԵՐԻ ԵԼՔԵՐԻ ՔԱՆԱԿԻ ՀԱՇՎՈՒՄ 35

Խնդիր 3: Շրջանագծի վրա նշված են իրարից տարբեր 5 կետ՝ A, B, C, D, E: Դրանցից ամեն մեկը միացրած է մնացածներից յուրաքանչյուրի հետ: Քանի՞ հատված է ստացվել:

Լուծում: Նկար 15-ում հատվածներն ուղղակի կարելի է հաշվել՝ 10-ն են: Բայց կետերի մեծ քանակության դեպքում այդ եղանակով հաշվելը դժվար կլինի:

Խնդիրը լուծենք այլ եղանակով, որը հարմար է նաև շատ կետերի դեպքում: A կետից դուրս է գալիս 4 հատված՝ AB, AC, AD, AE: B կետից նույնպես 4 հատված է դուրս գալիս՝ BA, BC, BD, BE:

Եվ այդպես, յուրաքանչյուր կետից դուրս է գալիս 4 հատված: Բայց եթե բազմապատկենք կետերի քանակը նրանցից դուրս եկող հատվածների քանակով՝ 4 · 5, ապա կստանանք իրական քանակից 2 անգամ շատ, քանի որ այդ քանակի մեջ յուրաքանչյուր հատված հաշվված է 2 անգամ

(օրինակ AB-ն հաշվված է և՛ A կետից դուրս եկածների, և՛ B-ից դուրս

եկածների մեջ): Ուրեմն, հատվածները 4 ⋅ 52

= 10 հատ են:

Լուծման ուրիշ մի տարբերակ էլ կարելի է առաջարկել: A կետից դուրս է գալիս 4 հատված՝ AB, AC, AD, AE: B կետից նույնպես 4 հատված է դուրս գալիս՝ BA, BC, BD, BE, բայց դրանցից BA-ն նույն AB-ն է: Ուրեմն, նոր հատվածները 3 են: C-ից դուրս եկող 4 հատվածներից միայան 2 են նոր, մյուս երկուսը արդեն կան A-ից ու B-ից դուրս եկողների մեջ: Վերջապես, D-ից դուրս եկող 4 հատվածներից միայան 1 է նոր: Ուրեմն, հատվածների քանակը 4 + 3 + 2 + 1 = 10 է:

Պատասխան՝ 10 հատված:

153. Գրե՛ք բոլոր երկնիշ թվերը, որոնք գրվում են. ա) 1, 3, 9 թվանշաններով, առանց նիշերը կրկնելու, բ) 1, 3, 9 թվանշաններով, եթե նիշերը կարելի է կրկնել,գ) 2, 4, 6 թվանշաններով, առանց նիշերը կրկնելու, դ) 2, 4, 6 թվանշաններով, եթե նիշերը կարելի է կրկնել։

154. Գրե՛ք բոլոր երկնիշ թվերը, որոնք գրվում են 0, 1, 5 թվանշաններով, եթե.ա) նիշերը չի կարելի կրկնել, բ) նիշերը կարելի է կրկնել:

155. Քանի՞ երկնիշ թիվ կարելի է գրել 9, 8, 7 թվանշաններով, եթե.

ա) նիշերը չի կարելի կրկնել, բ) նիշերը կարելի է կրկնել:

156. Քանի՞ երկնիշ թիվ կարելի է գրել 0, 2, 4, 6 թվանշաններով, եթե.

ա) նիշերը չի կարելի կրկնել, բ) նիշերը կարելի է կրկնել:

ANTARES


157. Չորս ընկերուհի կինոյի չորս տոմս գնեց: Քանի՞ տարբեր եղա նակ-նե րով կարող են նրանք զբաղեցնել իրենց տեղերը կինոսրահում:

158. Քանի՞ երկնիշ, քանի՞ եռանիշ, քանի՞ քառանիշ թիվ կարելի է գրել 1, 2, 3, 4, 5 թվանշաններով, եթե նիշերը չի կարելի կրկնել:

159. Քանի՞ երկնիշ, քանի՞ եռանիշ, քանի՞ քառանիշ թիվ կարելի է գրել 1, 2, 3, 4, 5 թվանշաններով, եթե նիշերը կարելի է կրկնել:

160. ա) Բոլոր քառանիշ թվերը, որ կարելի է կազմել 1, 2, 3, 4 թվա նշան-նե րով, չկրկնելով նիշերը՝ համարակալել են աճ ման կարգով: Ո՞ր համարն է 4 312 թվը:բ) Բոլոր հնգանիշ թվերը, որ կարելի է կազ մել 1, 2, 3, 4, 5 թվա-նշան նե րով, չկրկնելով նի շե րը՝ համարակալել են աճման կարգով: Ո՞ր հա մարն է 54 312 թվը:գ) Բոլոր հնգանիշ թվերը, որ կարելի է կազմել 1, 2, 3, 4, 5 թվա-նշան ներով, չկրկնելով նիշերը՝ դուրս են գրել աճման կարգով: Քա-նի՞ թիվ կա այդ ցու ցա կում: Ո՞րերորդը կլինի այդ ցուցակում 54 321 թի վը:

161. Կլոր սեղանի շուրջը դրված է 4 աթոռ: Քա նի՞ եղանակով կարելի է նստեցնել այդ աթոռ նե րին. ա) չորս երեխայի, բ) երեք երեխայի, գ) երկու երեխայի:

162. Մի տղայի և երկու աղջկա պետք է նստեցնել կլոր սեղանի շուրջը դրված չորս աթոռներին այնպես, որպեսզի աղջիկները չհայտնվեն կողք կողքի: Քանի՞ եղանակով դա կարելի է անել:

163. Երկու տղայի և երկու աղջկա պետք է նստեցնել կլոր սեղանի շուրջը դրված չորս աթոռներին այնպես, որ աղջիկները չհայտնվեն կողք կողքի: Քանի՞ եղանակով դա կարելի է անել:

164. Նետեցին երկու զառ: Առաջին զառի արդյուն-քը 3 էր, երկրորդինը՝ 6 (նկար 16): Քանի՞ տար բեր հնարավորություն կա, որոնցում զառ երի արդյունքների գումարը 9 է: Գտեք նաև երկու զառը նետելիս արդ յունք նե րի գու մարը 11, 12 ստացվելու տարբեր հնա րա-վո րու թյուն նե րի քանակները:

165. ա) Շրջանագծի վրա նշել են 6 կետ (նկար 17): Քանի՞ հատված կստաց վի, եթե ամեն կետ միացվի մնացածներից յուրաքանչյուրի հետ: բ) Հանդիպեցին 6 ընկեր (նկար 18): Բոլորը ձեռքով բարևեցին միմ-յանց: Քանի՞ ձեռքսեղմում կատարվեց:

166. Ութ ընկեր որոշեցին շախմատի մրցում անցկացնել այնպես, որ ամեն մեկը մեկ պարտիա խաղա մնացածներից յուրաքանչյուրի հետ: Քանի՞ պարտիա կխաղացվի:

ÜÏ³ñ 14Նկար 16

ANTARES

1.10. ՊԱՏԱՀՈՒՅԹԻ ՀԱՎԱՆԱԿԱՆՈՒԹՅՈՒՆ 37


1.10. ՊատահույԹի հավանականուԹյուն

Առօրյա խոսակցությունների և զրույցների ժամանակ հաճախ ենք լսում. «դա միանգամայն հավանական է», կամ «դա քիչ է հավանական», կամ «դա անհավանական է»: Այս և այլ արտահայտություններում հանդիպում է «հավանական» բառը: Ի՞նչ է նշանակում հավանականություն:

Օրինակ 1: Ենթադրենք սեղանին մետաղադրամ են նետում: Արդյունքում հանդես կգա նկար 19-ում ցույց տրված պատահույթներից մեկնումեկը:

Պետք է ենթադրել, որ մետաղադրամը կատարյալ է՝ ունի միանգամայն կանոնական ձև, պատ րաստված է համասեռ մետաղից: Այդ դեպ-քում Թ (թիվ) և Զ (զինանշան) պատահույթները հա վա սա րա հնարավոր կլինեն, և նրանցից մեկը ան պայ մա նո րեն կկայանա: Ընդունված է ասել, որ Թ պա տահույթին մեկ ելք է նպաստում, Զ պա տա-հույթին նույնպես մեկ ելք է նպաստում, իսկ հնա րա-վոր ելքերը երկուսն են: Թ պատահույթի հա վա նա-կա նու թյունը որոշվում է որպես Թ պատահույթին նպաս տող ելքերի քանակի հարաբերություն բոլոր հա վա սարահնարավոր ելքերի քանակին, որոնցից մեկն ան պայ մա նորեն կկայանա:

Ասյսպիսով` Թ պատահույթի հավանականությունը 12

է:Ակնհայտ է, որ օրինակ 1-ում Զ պատահույթի հավանականությունը

նույնպես 12

է:«Մետաղադրամը կանգնել է կողքի վրա» դեպքը համարվում է

անհնարին և հաշվի չի առնվում:

Նկար 19

ANTARES


Ընդհանրապես

A պատահույթին նպաստող ելքերի քանակի հարաբերությունը բոլոր հավասարահնարավոր ելքերի քանակին, որոնցից մեկն

անպայմանորեն կկայանա, անվանում են A պատահույթի հավանականություն։

Օրինակ 2: Ենթադրենք սեղանին զառ են նետում (որն ունի խորա նար-դի ձև): Համարենք, որ զառը կատարյալ է, այսինքն՝ մեծ թվով նետումների արդյունքում ոչ մի թիվ մյուսներից հաճախ չէ հանդես գալիս: Մեկ նետ-ման արդյունքում հնարավոր է 6 ելք՝ համապատասխանորեն 1-ի, 2-ի, 3-ի, 4-ի, 5-ի, 6-ի հանդես գալը: Այդ ելքերը հավասարահնարավոր են, և յուրաքանչյուր նետման արդյունքում նրանցից մեկը անպայմանորեն կկայանա:

Մեկ նետման արդյունքում զույգ թիվ ստացվելու պատահույթը նշանակենք C, իսկ 3 -ի բազմապատիկ հանդես գալու պատահույթը՝ B: C պատահույթին նպաստում էին երեք ելք՝ 2-ը, 4-ը և 6-ը, B պատահույթին՝ երկու ելք՝ 3-ը և 6-ը: C պատահույթի հավանականությունը հավասար է նրան նպաստող ելքերի քանակի (3-ի) հարաբերությանը բոլոր հավասարահնարավոր ելքերի քանակին (6-ին): Այսպիսով՝ C

պատահույթի հավանականությունը 36

= 12

է։ Նման ձևով կստանանք, որ

B պատահույթի հավանականությունը 26

= 12

է։

Օրինակ 3: Երկու ընկեր մեկ զույգ զառ են նետում: Նետման ար-դյուն քում ստացված թվերի գումարը 8 լինելու դեպքում առաջին ըն-կերը ստանում է 1 բալ, 9-ը լինելու դեպքում՝ 1 բալ տրվում է երկրորդին: Բալ ստանալու շանսերը հավասա՞ր են։

Լուծում: Դիտարկենք գումարում 8 տվող բոլոր հնարավոր ելքերը և գումարում 9 տվող բոլոր հնարավոր ելքերը։

ÜÏ³ñ 18

A å³ï³ÑáõÛÃ

B å³ï³ÑáõÛÃ

Նկար 20

ANTARES

1.10. ՊԱՏԱՀՈՒՅԹԻ ՀԱՎԱՆԱԿԱՆՈՒԹՅՈՒՆ 39

Նկար 18-ի A և B պատահույթներից յուրաքանչյուրի համար հաշվենք նպաստող ելքերի քանակը: A պատահույթն ունի 5 նպաստող ելք, B-ն՝ 4: A-ի և B-ի հավանա կա նու թյուն ները հաշվելու համար մնում է գտնել զույգ զառի նետման բոլոր հա վա սա րա հնա րա վոր ելքերի քանակը, որոնցից մեկն անպայմանորեն կկա յանա: Առաջին զառի վրա հանդես կգա 6 թվերից մեկը: Դրանցից ամեն մեկի դեպքում երկրորդ զառի վրա հանդես կգա 6 թվերից մեկը, և բոլոր ելքերի քանակը կլինի 6 ⋅ 6 = 36։

A պատահույթի հավանականությունը կլինի 536

, B-ինը՝ 436

։ Քանի որ

536

> 436

, ուրեմն A-ի և B-ի հավանականություններնը հավասար չեն, և քաղն

անարդար է։

167. Նետում են զառ: Հաշվե՛ք պատահույթի հավանականությունը. ա) «հանդես կգա 5 թիվը»,բ) «հանդես կգա զույգ թիվ»,գ) «հանդես կգա կենտ թիվ»,դ) «հանդես կգա 3 -ի բաժանվող թիվ»:

168. Դալամբերի խնդիրներից: ա) Մետաղադրամը նետել են երկու անգամ: Ինչի՞ է հավասար հավանականությունը, որ գոնե մեկ անգամ կընկնի (հանդես կգա) զինանշան:բ) Մետաղադրամը նետել են երեք անգամ: Որքա՞ն է հա վա նա կա-նու թյունը, որ առնվազն մեկ անգամ թիվ կընկնի:

169. 2 սև և 5 սպիտակ գնդակ պարունակող արկղից պատահականորեն հանվել է 1 գնդակ: Ինչի՞ է հավասար հավանականությունը, որ հան վել է. ա) սև գնդակ, բ) սպիտակ գնդակ:

170. Մետաղադրամը նետեք 50 անգամ՝ ամեն անգամ գրանցելով արդյունքը: Քանի՞ անգամ զինանշան ընկավ:

171. Արտաքնապես միմյանցից չտարբերվող երկու քարտերից մեկի վրա գրել են «ո» տառը, մյուսի վրա՝ «չ»: Այնուհետև այդ քարտերը իրար կողքի պատահական դասավորությամբ դրել են սեղանին՝ տառերը դեպի ներքև (նկար 21, ա): Ինչի՞ է հավասար հավանականությունը, որ քարտերն իրենց տեղերում շրջելուց հետո կստացվի «ոչ» բառը (նկար 21, բ):

ա) Նկար 19 բ)

ANTARES


172. Երեք քարտերի վրա գրել են «յ», «ա», «ո» տառերը (ամեն քարտի վրա մեկ տառ): Այնուհետև այդ քարտերը իրար կողքի պատահական դասավորությամբ շարել են սեղանին՝ տառերը ներքև: Որքա՞ն է հավանականությունը, որ քարտերը շրջելուց հետո կստացվի «այո» բառը:

173. Չորս քարտերի վրա գրել են «ե», «ա», «Վ», «հ» տառերը: Այնուհետև այդ քարտերը պատահական դասավորությամբ կողք կողքի շարել են սեղանին՝ տառերը դեպի ներքև: Որքա՞ն է հավանականությունը, որ քարտերը շրջելուց հետո կստացվի «Վահե» բառը:

174. Չորս քարտերի վրա գրեցին «ա», «թ», «ա», «գ» տառերը և քարտերը պատահական հերթականությամբ շարեցին սեղանին: Որքա՞ն է հավանականությունը, որ քարտերը շրջելուց հետո կստացվի «գաթա» բառը:

175. Օդերևութաբանները եկող շաբաթվա համար գուշակել են 2 արևոտ և 5 ամպամած օր: Ո՞ր պատահույթն է հավանական. «կիրակին կլինի արևոտ օր», թե՞ «կիրակին կլինի ամպամած օր»:

176. Դոմինոյի 28 քարերից պատահականորեն վերցնում են մեկը (նկար 22-ում պատկերված է քարերից մեկը, որի միավորների գումարը 11 է): Որքա՞ն է հավանականությունը, որ վերցված քարի միավորների գումարը լինի. ա) 0, բ) 2, գ) 6, դ) 10:

177. Նետում են երկու զառ: Որքա՞ն է հետևյալ պատահույթի հավանականությունը. ա) «միավորների գումարը 2 է», բ) «միավորների գումարը 10 է», գ) «միավորների գումարը 12 է», դ) «միավորների գումարը 13 է»:

178. Ավտոբուսի առաջին շարքում միայն երեք տեղ կա: Այդ տեղերը զբաղեցրին երկու տղամարդ և մեկ կին: Որքա՞ն է հավանականությունը, որ տղամարդիկ նստած լինեն կողք կողքի:

179. Նետում են երկու մետաղադրամ (նկար 19-ում ցույց է տրված մեկ մետաղադրամի նետման երկու (Թ և Զ) արդյունքները: Եթե երկուսն էլ Զ ստացվեն, ապա հաղթում է առաջին մասնակիցը, իսկ եթե մեկը Թ լինի, մյուսը՝ Զ, ապա հաղթում է երկրորդը: Որի՞ հաղթելու հավանականությունն է մեծ։

180. Նետում են երկու զառ: Եթե միավորների գումարը 11 է, հաղթում է առաջին մասնակիցը, եթե 12 է՝ հաղթում է երկրորդը: Որի՞ հաղթելու հավանականությունն է մեծ։

181. Հնարե՛ք արդարացի և անարդար խաղ.ա) երկու զառով, բ) երկու մետաղադրամով:

182. Արտաշեսը մի թիվ է մտապահել, որը գրվում է 1, 2, 3, 4, 5 թվա նշան-ների միջոցով՝ առանց կրկնության: Որքա՞ն է հավանականությունը, որ Գրիգորը առաջին անգամից կկռահի այդ թիվը, եթե նա գիտի, որ այն.

Նկար 22

ANTARES

1.11. ՊԱՏՄԱԿԱՆ ԱԿՆԱՐԿ 41

ա) երկնիշ է, բ) եռանիշ է, գ) քառանիշ է:

183. Դավիթը մի թիվ է մտապահել, որը գրվում է առանց 0 թվանշանի և առանց թվանշանների կրկնության: Արամը ձգտում է կռահել այդ թիվը: Որքա՞ն է հավանականությունը, որ Արամը առաջին անգամից կկռահի, եթե նա գիտի, որ այդ թիվը. ա) երկնիշ է, բ) եռանիշ է, գ) քառանիշ է:

1.11. Պատմական ակնարկ Զանազան գործնական խնդիրներ լուծելիս հաճախ հարկ է լինում

համասեռ մեծությունները համեմատել միմյանց հետ, հաշվել նրանց հարաբերությունը: Երկար ժամանակ թիվ ասելով հասկացվում էր միայն բնական թիվ (միավորների հավաքածու), որ ստացվում է հաշվելու (համրելու) արդյունքում: Հարաբերությունը, որպես մի թվի բաժանման արդյունք մի այլ թվի վրա, թիվ չէր համարվում: Թվի նկատմամբ նոր մոտեցումն առաջին անգամ հանդիպում ենք անգլիացի գիտնական Իսահակ Նյուտոնի (1643-1727) «Համընդհանուր թվաբանություն» աշխատությունում: Նյուտոնը գրել է. «Թիվ ասելով մենք հասկանում ենք ոչ այնքան միավորների բազմություն (հավաքածու), որքան ինչ-որ մեծության վերացական հարաբերություն նրա հետ համասեռ որոշակի մեծությանը, որը մենք ընդունում ենք որպես միավոր»:

«Համեմատություն» բառը առաջացել է լատիներեն «proportio» բառից, որը նշանակում է համամասնություն, որոշակի հարաբերակցություն մասերի միջև:

Անցյալում համեմատությունների մասին ուսմունքը շատ հարգի էր պյութագորասականների մոտ: Համեմատությունների հետ նրանք կապում էին բնության կարգի ու գեղեցկության, երաժշտության համահունչ ակորդների և տիեզերքի հարմոնիայի մասին մտքերը: Էվկլիդեսի (մ.թ.ա. III դար) հռչակավոր «Սկզբունքների» VII գրքում շարադրված է հարաբերությունների և համեմատությունների տեսությունը:

Ժամանակակից գրառումով a : b = c : d տեսքով գրվող համեմատու-թյունից Էվկլիդեսն արտածում է ածանցյալ համեմատություններ (երբ a ≠ b, c ≠ d).

b : a = d : c, (a + b) : b = (c + d ) : d,a : c = b : d, (a − b) : b = (c − d ) : d,

և ապացուցում համեմատության հիմնական հատկությունը:

ANTARES


Ի. Նյուտոն Ա. Ն. Կոլմոգորով Պ. Լ. Չեբիշև

Համեմատությունը գրելու մեզ հայտնի եղանակը երևան է եկել ոչ միանգամից: Դեռևս XVII դարում ֆրանսիացի գիտնական Ռ. Դեկարտը (1596 − 1650) 7 ։ 12 = 84 : 144 համեմատությունը գրում էր այսպես` | 7 | 12 | 84 | 144 |:

Բաժանման և հավասարման նշանների միջոցով համեմատության ժամանակակից գրառումը մտցրել է գերմանացի գիտնական Գ. Վ. Լայբնիցը (1646 − 1716) 1693 թվականին:

Դեռ հին ժամանակներում ընդունված էր պարտքով գումար տալը: Ժամանակը լրանալուց հետո պարտքը վերադարձվում էր: Բացի դրանից՝ ուրիշի դրամական միջոցները օգտագործելու դիմաց պարտապանը վերցրած յուրաքանչյուր 100 դրամական միավորի համար վճարում էր նախապես պայմանավորված գումար: Այդ գումարը լատիներենում կոչվում էր «pro cento», այսինքն մաս հարյուրից: Այդպես առաջացել է «պրոցենտ» (տոկոս) տերմինը: Ժամանակի ընթացքում փոխառության հաշվարկների վերաբերյալ խնդիրներն այնքան կարևորացան, որ դրանք սկսեցին մտցնել թվաբանության դասագրքերի մեջ. cento բառն էլ գրում էին այսպես` cto։ Ասում են՝ իբր մի անգամ տպարանի գրաշարը այդ նշանի փոխարեն սխալմամբ հավաքել էր % նշանը, որն այժմ օգտագործվում է լայնորեն:

Պ. Ֆերմայի (1601-1665), Բ. Պասկալի (1623-1662) և XVII դարի ուրիշ մաթեմատիկոսների աշխատանքները հիմք դարձան մի նոր մաթեմատիկական տեսության, որն անվանվեց հավանականությունների տեսություն: XIX դարի երկրորդ կեսում հավանականությունների տեսության մեջ հիմնարար ներդրում մտցրին ռուս գիտնականներ Պ. Լ. Չեբիշևը (1821-1894), Ա. Ա. Մարկովը (1856-1922) և ուրիշներ: Ներկայումս Ռուսաստանում ձևավորվել է հավանականությունների տեսության ուժեղ դպրոց: Նրա խոշորագույն ներկայացուցիչ է Ա. Ն. Կոլմոգորովը (1903-1987), որը մեծ ներդրում է ունեցել մաթեմատիկայի շատ բաժիններում և նրա կիրառություններում:

ANTARES

1.12. ՀԵՏԱՔՐՔՐԱՇԱՐԺ ԽՆԴԻՐՆԵՐ 43

1.12. հետաՔրՔրաՇարԺ ԽնԴիրներ

184. Լճակն աստիճանաբար ծածկվում է ջրաշուշաններով, ընդ որում ջրաշուշաններով զբաղված մակերեսը յուրաքանչյուր շաբաթում կրկնապատկվում է: Քանի՞ շաբաթում է լճակի կեսը ծածկվել ջրաշուշաններով, եթե ամբողջ լճակը 8 շաբաթում է ծածկվել:

185. Մանրէների մի տեսակ բազմանում է բաժանվելով. ամեն մի մանրէ յուրաքանչյուր րոպեում վեր է ածվում երկու մանրէի: Բոլոր մանրէներն ունեն նույն չափերը: Երբ դատարկ բաժակի մեջ դնում ենք 1 մանրէ, ապա 1 ժամում բաժակը լցվում է մանրէներով: Որքա՞ն ժամանակում բաժակը կլցվի, եթե նրա մեջ սկզբում 2 մանրէ դնենք:

186. 3 հավը 3 օրում 3 ձու է ածում: 12 հավը 12 օրում քանի՞ ձու կածի:

187. 100 երաշտահավը 100 օրում ուտում է 100 կգ հացահատիկ: 10 երաշտահավը 10 օրում քանի՞ կգ հացահատիկ կուտի:

188. 3 ներկարարը 5 օրում կարող է 60 պատուհան ներկել:ա) Քանի՞ պատուհան կներկի 5 ներկարարը 4 օրում:բ) Քանի՞ օրում երկու ներկարարը կներկի 48 պատուհան:

189. Հին խնդիր: 2 հողափոր 2 ժամում փորում է 2 մ առու: Քանի՞ հողափոր 5 ժամում կփորի 5 մ առու:

190. Ի. Նյուտոնի «Համընդհանուր թվաբանությունից»: Եթե գրագիրը 8 օրում կարող է գրել 15 թերթ, ապա քանի՞ գրագիր կպահանջվի 405 թերթը 9 օրում գրելու համար:

191. Հին խնդիր: Արտագրողը 4 օրվա ընթացքում կարող է արտագրել 40 թերթ՝ յուրաքանչյուր օր աշխատելով 9 ժամ: Քանի՞ օրում նա կարտագրի 60 թերթ՝ աշխատելով օրական 12 ժամ:

192. Հին խնդիր: Մի տնտեսուհու հարցրին. «Ձեր հավերը շա՞տ ձու են ածում»: «Դո՛ւք հաշվեք,– եղավ պատասխանը, − մեկուկես հավը մեկուկես օրում մեկուկես ձու է ածում, իսկ ես ընդամենը 12 հավ ունեմ»: Օրական քանի՞ ձու են ածում հավերը:

193. 100 պայմանական միավոր աշխատավարձը բարձրացավ 10% -ով, ապա նորից 10% -ով: Քանի՞ տոկոսով ավելացավ աշխատավարձը երկու բարձրացումների արդյունքում:

194. 100 պայմանական միավոր ապրանքի գինն իջեցվեց 10%-ով, ապա նորից 10%-ով: Քանի՞ տոկոսով իջավ ապրանքի գինը երկու փոփոխությունների արդյունքում:

195. 100 պայմանական միավոր ապրանքի գինը սկզբում իջեցվեց 10%-ով, ապա բարձրացվեց 10%-ով: Արդյունքում ապրանքի գինն իջա՞վ, թե՞ բարձրացավ: Քանի՞ տոկոսով:

196. 100 պայմանական միավոր ապրանքի գինը նախ բարձրացրին 10%-ով, ապա իջեցրին 10%-ով: Արդյունքում բարձրացա՞վ, թե՞ իջավ ապրանքի գինը: Քանի՞ տոկոսով:

ANTARES


197. Հիշելով, որ հավասար պատկերներն ունեն հավասար մակերեսներ և պատկերի մակերեսը հավասար է իր բաղկացուցիչ մասերի մակերեսների գումարին, հաշվե՛ք մակերեսը (նկար 23): ա) ABCD ուղղանկյան, բ) ABC եռանկյան, գ) ADC եռանկյան:


198. Նկար 24-ում պատկերված բազմանկյան կողմերը տրված են սանտիմետրերով: Գտե՛ք նրա մակերեսը:

199. Երկու հավասար պատկերներ վրադրել են մեկը մյուսին ինչպես նկար 25-ում: Ապացուցե՛ք, որ ներկած պատկերների մակերեսները հավասար են:

Նկար 25

200. Հաշվե՛ք եռանկյան մակերեսը (նկար 26). ա) ADB, բ) BDC, գ) ABC:

Նկար 26

ANTARES


201. Այն քառանկյունը, որի հանդիպակաց կողմերը զույգ առ զույգ զուգահեռ են, անվանում են զուգահեռագիծ: Հաշվե՛ք նկար 27-ի զուգահեռագծի մակերեսը, եթե AD = 3 սմ, BK = 2 սմ:


202. Նկար 28-ում պատկերված է սեղան (քառանկյուն, որի երկու կողմեր զուգահեռ են, իսկ մյուս երկուսը՝ ոչ): Հաշվե՛ք նրա մակերեսը, եթե AD = 5 սմ, BC = 2 սմ, BK = 2 սմ:

ANTARES

Հիշենք, որ այն թվերը, որոնք օգտագործվում են առարկաների քանակ հաշվելիս, անվանում են բնական թվեր: Զրոն բնական թիվ չէ: Զրոն և բնական թվերը, գրված աճման կարգով և առանց բացթողումների, կազմում են ոչ բացասական ամբողջ թվերի շարքը.

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, . . . :

Այս գլխում ներմուծվելու են նոր թվեր՝ բացասական ամբողջ թվերը:

2.1. բացասական ամբողջ Թվեր

Նկար 27-ում ջերմաչափը ցույց է տալիս 7˚ տա քու թյուն: Եթե ջերմաստիճանն իջնի, 4˚-ով, ապա ջերմաչափը ցույց կտա 3˚ տաքություն: Ջերմաստիճանի իջեցմանը հա մա պա տաս խանում է հանման գործողություն.

7 − 4 = 3:Եթե ջերմաստիճանն իջնի 7˚-ով, ապա ջերմաչափը

ցույց կտա 0 .̊7 − 7 = 0:

Իսկ եթե ջերմաստիճանն իջնում է 8˚-ով, ապա ջերմաչափը ցույց է տալիս «-1̊ » (1̊ ցուրտ): Ինչպես տեսնում ենք, ջերմաստիճանի իջեցման արդյունքն այս անգամ էլ ունի իրական իմաստ (1̊ ցուրտ) սակայն այն հնարավոր չէ գրել բնական թվերի և 0-ի միջոցով:

ԱՄԲՈՂՋ ԹՎԵՐ

Նկար 29

ANTARES

2.1. ԲԱՑԱՍԱԿԱՆ ԱՄԲՈՂՋ ԹՎԵՐ 47

Ոչ բացասական ամբողջ թվերի շարքի օգնությամբ լուսաբանենք հանման գործողությունը:

1) 7 թվից ձախ հաշվելով 4 թիվ՝ կհասնենք 3-ին.0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, ... :

– 4

7 – 4 = 3:

2) 7 թվից ձախ հաշվելով 7 թիվ՝ կհանգենք 0-ին.0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, ... :

– 7

7 – 7 = 0:Պարզ է, որ ոչ բացասական ամբողջ թվերի շարքում անհնար է 7

թվից ձախ հաշվել 8 թիվ: 7 – 8 գործողությունն իրագործելի դարձնելու նպատակով ոչ բացասական ամբողջ թվերի շարքը ընդլայնենք նոր թվերով: Դրա համար ոչ բացասական ամբողջ թվերի շարքին 0 թվից ձախ (աջից ձախ ուղղությամբ) հերթականությամբ կցագրենք բոլոր բնական թվերը, ամեն մեկի դիմաց դնելով «−» նշանը, որը ցույց է տալիս, որ այդ թիվը գրված է 0-ից ձախ:

– 1, –2, – 3, ... գրառումները կարդում են «մինուս 1», «մինուս 2», «մինուս 3», ... ձևով: Ստացված շարքը կգրվի հետևյալ կերպ՝

. . . , – 5, – 4, – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, . . . :

Այս շարքն անվանում են ամբողջ թվերի շարք: Բերված գրառման մեջ ձախ և աջ մասերում դրված երեքական կետերը խորհրդանշում են, որ շարքը ձախից և աջից անսահմանափակ շարունակվում է:

Ամբողջ թվերի շարքում 0-ից աջ տեղադրված թվերն անվանում են բնական թվեր կամ դրական ամբողջ թվեր: 0-ից ձախ տեղադրված թվերն անվանում են բացասական ամբողջ թվեր: 0-ն ոչ դրական և ոչ էլ բացասական թիվ է: Այն բաժանում է բացասական թվերը դրականներից: Փաստորեն ամբողջ թվերի շարքը բաղկացած է բնական թվերից, բացասական ամբողջ թվերից և 0-ից:

Հարկ եղած դեպքում a բնական թվի փոխարեն գրում են նաև «+ a», կարդում են՝ «պլյուս a»: Այս դեպքում ամբողջ թվերի շարքը կգրվի հետևյալ տեսքով.

. . . , − 5, − 4 , − 3, − 2, − 1, 0, + 1, + 2, + 3, + 4, + 5, . . . :

ANTARES

ԳԼՈՒԽ 2 ԱՄԲՈՂՋ ԹՎԵՐ48

203. Կարելի՞ է արդյոք ոչ բացասական թվերի շարքում իրագործել հանումը. ա) 7 − 4, բ) 7 − 7, գ) 7 − 8:

204. Ինչպե՞ս են ստանում ամբողջ թվերի շարքը:

205. Ինչպե՞ս են անվանում այն թվերը, որոնք ամբողջ թվերի շարքու. ա) 0-ից աջ են, բ) 0-ից ձախ են:

206. 0-ն. ա) դրակա՞ն է, բ) բացասակա՞ն է:

207. Կարդացե՛ք թվերը. + 2, – 3, 0, + 7, – 9:ա) Այդ թվերից որո՞նք են ամբողջ թվերի շարքում 0-ից աջ, որոնք` 0-ից ձախ:բ) Այդ թվերից որո՞նք են դրական, որոնք՝ բացասական:

208. Կարդացե՛ք գրառումները և բացատրե՛ք նրանց իմաստը.Լոռու մարզ ... - 2º, Գեղարքունիքի մարզ ... - 8º, Տավուշի մարզ ... +3º

209. Օգտագործելով «+» և «–» նշանները՝ գրե՛քա) 3º տաքություն բ) 40º տապ գ) 6º զրոյից բարձրդ) 20º սառնամանիք ե) 5º զրոյից ցածր զ) 1º ցուրտ

2.2. Թվի հակաԴիր: Թվի բացարՁակ արԺեՔ

Համարում են, որ եթե ամբողջ թվից առաջ դրվի «+» նշան, ապա դրանից թիվը չի փոխվի:

Օրինակ՝ 5 թիվը կարելի է գրել նաև + 5 ձևով, − 5 թիվը՝ + (– 5) ձևով.5 = + 5, -5 = + (-5)

Ուստի ամբողջ թվերի շարքը կարելի է գրել նաև այսպես.

. . . , − 5, − 4, − 3, − 2, − 1, 0, + 1, + 2, + 3, + 4, + 5, . . . :

Այն թվերը, որոնք միայն նշանով են տարբերվում, անվանում են հակադիր թվեր։

Օրինակ՝ + 1 և − 1, − 5 և + 5, + 10 և − 10 թվերը հակադիր են:Եթե ամբողջ թվից առաջ դրվի «–» նշան, ապա արդյունքում կստացվի

այդ թվի հակադիրը:Օրինակ՝ − (+ 1) = - 1, − (− 2) = + 2Ընդունվում է, որ - 0= 0 = + 0 ուրեմն 0-ն ինքն իր հակադիրն է:a ամբողջ թվի հակադիրը – a-ն է: Նկատենք, որ – a թիվը կարող

է լինել դրական, բացասական կամ զրո: Օրինակ, եթե a = + 2, ապա -a = - 2 (քանի որ -(+2) = -2), եթե a = -3 ապա − a = − (- 3) = + 3, եթե a = 0, ապա −a = − 0 = 0:

Ներմուծենք թվի մոդուլի կամ բացարձակ արժեքի հասկացությունը:

ANTARES

2.2. ԹՎԻ ՀԱԿԱԴԻՐ: ԹՎԻ ԲԱՑԱՐՁԱԿ ԱՐԺԵՔ 49

Դրական թվի մոդուլ անվանում են հենց այդ թիվը։

Օրինակ՝ + 3 թվի մոդուլը + 3-ն է, գրում են. |+ 3| = + 3

Բացասական թվի մոդուլ անվանում են նրա հակադիր (դրական) թիվվը։

Օրինակ՝ – 4 թվի մոդուլը + 4-ն է, գրում են. |− 4| = + 4

Այսպիսով՝

զրոյից տարբեր ամբողջ թվի մոդուլը դրական թիվ է։ Հակադիր թվերն ունեն նույն մոդուլը։

|a| = |- a|, |+ 3| = |- 3| = + 3, |- 5| = |+ 5| = + 50-ի մոդուլ 0-ն է, գրում են.

|0| = 0

210 Ո՞ր թվերն են անվանում հակադիր: Բերե՛ք հակադիր թվերի օրինակներ:

211. Ո՞ր թիվն է 0 թվի հակադիրը:

212. Ի՞նչ կստացվի, եթե ամբողջ թվից առաջ դրվի. ա) «+» նշան, բ) «–» նշան:

213. Ի՞նչն են անվանում հետևյալ թվերի մոդուլ.ա) դրական ամբողջ թվի, բ) բացասական ամբողջ թվի, գ) զրո թվի:

214. Ո՞ր թվերն ունեն նույն մոդուլը: Բերե՛ք օրինակներ:

215. Որո՞նք են այն թվերը, որոնց բացարձակ արժեքը և հակադիրը նույնն են:

216. Նմուշային օրինակին համապատասխան՝ պարզեցրե՛ք արտա հայ-տու թյունը.

ա) + (+ 2) = + 2: բ) − (- 2) = +2:

գ) + (– 2), դ) + (– 3), ե) − (+ 3),զ) − (– 3), է) − (+ 8), ը) − (– 10):

217. Ի՞նչ թվեր կստացվեն, եթե − 1, 3, 0, − 6, 7 թվերից յուրաքանչյուրի առաջ դրվի.ա) «+» նշան, բ) «–» նշան:

218. − 5, 6, 8, − 10, 0, + 4, − 0 թվերից որո՞նք են.ա) դրական, բ) բացասական:

ANTARES


219. Լրացրե՛ք բացթողումը, կարդացե՛ք ստացված գրառումը. ա) |+ 1| = ... , բ) |− 6| = ... , գ) |0| = ... ,դ) |− 3| = ... , ե) |+ 7| = ... , զ) |− 8| = ... ։

220. Գտե՛ք տվյալ թվի մոդուլը.+ 2, − 2, + 5, − 5, + 8, − 10, + 100, + 0, − 3:

221. Նշե՛ք երկու տարբեր թվեր, որոնց մոդուլները հավասար լինեն:

222. 2, 5, − 3, 10, − 17 թվերից յուրաքանչյուրի համար նշե՛ք նույն մոդուլն ունեցող մեկ այլ թիվ:

223. Նշե՛ք երկու թիվ, որոնց մոդուլը լինի. ա) 2, բ) 7, գ) 9, դ) 8:

224. Կատարե՛ք գործողությունը.ա) |+ 6| + |+ 7|, բ) |− 9| + |− 8|, գ) |− 6| + |+ 7|, դ) |+ 8| + |+ 9|։

225. Հաշվե՛ք.ա) |− 9| − |− 6|, բ) |− 5| − |+ 3|, գ) |− 20| − |− 6|, դ) |− 17| − |− 8|։

226. Հաշվե՛ք գումարը.ա) |− 7| + |+ 5| + |+ 8| + |− 10|, բ) |+ 12| + |− 2| − |+ 10| + |− 9|,գ) |+ 18| + |− 2| − |− 5| − |− 15|, դ) |− 10| + |− 2| − |− 8| + |− 5|։

227. Գտե՛ք թիվ, որի մոդուլը լինի.ա) + 5, բ) + 8, գ) + 1, դ) 0:Քանի՞ այդպիսի թիվ կարելի է գտնել:

228. Եթե ամբողջ թիվը նշանակված է a տառով, ապա նրա հակադիրը գրվում է − a տեսքով: Լրացրե՛ք աղյուսակը.

a 5 - 3 - 7 - 9

-a - 2 6 - 8

216. Մի՞շտ է արդյոք թվի բացարձակ արժեքը հավասար իրեն՝ թվին, այսինքն՝ |a| = a։ Ո՞ր թվերի համար է դա ճիշտ:

217. Մի՞շտ է արդյոք թվի բացարձակ արժեքը հավասար այդ թվի հակադիրին՝ |a| = - a: Ո՞ր թվերի համար է դա ճիշտ:

218. Ո՞ր թվի համար են միաժամանակ բավարարվում |a| = a և |a| = - a հավասարությունները:

219. Ճի՞շտ է, որ բոլոր ամբողջ թվերի համար |- a| = |a|

220. Աշխենը թյուրիմացաբար կարծում է, թե (– a) -ն բացասական թվի գրառումն է: Նշե՛ք այնպիսի a թիվ, որ (– a) -ն լինի.ա) դրական թիվ, բ) բացասական թիվ, գ) զրո թիվը:

ANTARES

2.3. ԱՄԲՈՂՋ ԹՎԵՐԻ ՀԱՄԵՄԱՏՈՒՄԸ 51

2.3. ամբողջ Թվերի համեմատումը

Երկու ամբողջ թվերից մեծ է այն թիվը, որն ամբողջ թվերի շարքում մյուսից աջ է։

Եթե a-ն b-ից մեծ է, ապա նաև ասում են b-ն a-ից փոքր է: Գրում են. a > b կամ b < a:

Օրինակ՝ 1 > − 1, − 2 > − 6, 0 > − 5, − 10 < 2, որովհետև . . . , − 5, − 4, − 3, − 2, − 1, 0, + 1, + 2, + 3, + 4, + 5, + 6, . . . ամբողջ թվերի շարքում 1-ը − 1-ից աջ է, − 2-ը − 6-ից աջ է և այլն:Ամբողջ թվերի համեմատման կանոնից հետևում է, որ

ցանկացած դրական թիվ մեծ է 0ից, ցանկացած բացասական թիվ փոքր է 0ից։ Ցանկացած դրական թիվ

մեծ է ցանկացած բացասական թվից։

Հարմար է բացասական թվերը միմյանց հետ համեմատել իրենց բացարձակ արժեքների միջոցով: Քանի որ ամբողջ թվերի շարքում մեծ մոդուլով բացասական թիվը փոքր մոդուլով բացասական թվից ձախ է տեղադրված, ապա

Երկու բացասական թվերից մեծ է այն, որի մոդուլը փոքր է

Օրինակ՝ քանի որ |- 2| < |-6|, ապա - 2 > - 6։Եթե a և b թվերը նույնը չեն, ապա գրում են՝ a ≠ b:

234. Համեմատե՛ք բնական թվերը.ա) 425 և 452, բ) 999 և 1000, գ) 579 և 957,դ) 12 456 և 12 459, ե) 1 300 և 1 297, զ) 13 547 և 1 354:

235. Ինչպե՞ս են համեմատում ամբողջ թվերը:

236. Ո՞ր թվերն են.ա) մեծ զրոյից, բ) փոքր զրոյից:

237. Ո՞ր թիվն է մեծ՝ դրակա՞նը, թե՞ բացասականը:

238. Ձևակերպե՛ք համեմատության կանոնը.ա) ամբողջ թիվը զրոյի հետ,բ) դրական թիվը բացասականի հետ, գ) բացասական թիվը բացասականի հետ:

239. Գոյություն ունի՞ արդյոք.ա) ամենամեծ բնական թիվ, բ) ամենափոքր բնական թիվ, գ) ամենամեծ բացասական ամբողջ թիվ, դ) ամենափոքր բացասական ամբողջ թիվ,ե) ամենամեծ ամբողջ թիվ, զ) ամենափոքր ամբողջ թիվ:

ANTARES


Համեմատե՛ք թվերը (240242).240. ա) 5 և 0, բ) − 5 և 0, գ) 7 և 0,

դ) –7 և 0, ե) 8 և − 7, զ) − 3 և 100:

241. ա) − 9 և − 6, բ) − 3 և − 20, գ) − 7 և –15,դ) − 25 և –1, ե) − 20 և 0, զ) 0 և − 40,է) – 8 և 13, ը) 128 և − 300, թ) – 5 և − 6:

242. ա) 728 և 800, բ) − 296 և 1, գ) − 999 և 2,դ) 0 և − 500, ե) 725 և 0, զ) − 600 և − 5,է) – 856 և –100, ը) – 51 և − 510, թ) 326 և 32:

243 Թվերը գրե՛ք աճման կարգով.ա) 400, – 400, 0, 236, − 528, բ) 752, 0, − 35, − 257, 432:

244. Թվերը գրե՛ք նվազման կարգով.ա) – 250, 367, 0, – 8, 12, – 400, բ) − 790, 790, 0, − 9, − 12, 425:

245. Գտե՛ք տարբերությունը.ա) |+ 5| − |− 5|, բ) |− 5| − |+ 5|, գ) |+ 3| − |− 3|, դ) |− 3| − |+ 3|։

246. Ո՞ր թվերի համար է ճիշտ «եթե a>b, ապա |a| > |b|» պնդումը: Բերե՛ք օրինակներ:

247. Ո՞ր թվերի համար է ճիշտ «եթե a>b, ապա |a| < |b|» պնդումը: Բերե՛ք օրինակներ:

248. Կարո՞ղ է լինել այնպես, որ a ≠ b, բայց |a| = |b|։ Բերե՛ք օրինակներ: Ինչպե՞ս են անվանում այդպիսի a և b թվերը:

2.4. ամբողջ Թվերի Գումարումը

a և b (b ≠ 0) ամբողջ թվերի գումարը մի c ամբողջ թիվ է, որն ամբողջ թվերի շարքում a-ից |b| թվով աջ է, եթե b > 0 և նույն թվով ձախ է, եթե b < 0:

Ընդ որում, a և b թվերն անվանում են գումարելիներ և գրում են. c = a + b

Դիտողություն: Այս սահմանմանը մենք հանդիպել ենք a > 0, b > 0 դեպքում, երբ ուսումնասիրում էինք բնական թվերի գումարումը:

Օրինակ 1: Գտնենք (+3) + (+6) գումարը:Լուծում: Քանի որ + 6 > 0 և ապա ամբողջ թվերի շարքում + 3 թվից աջ

կհաշվենք 6 թիվ և կանգ կառնենք + 9 թվի վրա.. . . , − 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, . . .

+ 6 Այսպիսով՝ (+ 3) + (+ 6) = + 9Օրինակ 2: Գտնենք (− 3) + (− 8) գումարը:

ANTARES

2.4. ԱՄԲՈՂՋ ԹՎԵՐԻ ԳՈՒՄԱՐՈՒՄԸ 53

Լուծում: Քանի որ − 8 < 0 և |− 8| = 8 ապա ամբողջ թվերի շարքում − 3-ից դեպի ձախ կհաշվենք 8 թիվ և կանգ կառնենք (− 11) թվի վրա.

..., - 11, - 10, - 9, - 8, - 7, - 6, - 5, - 4, - 3, - 2, - 1, 0, + 1, . . .

- 8Այսպիսով՝ (− 3) + (− 8) = − 11Դիտարկված օրինակները հաստատում են հետևյալ կանոնի

ճշտությունը.

նույն նշանի երկու թվեր գումարելու համար կարելի է գումարել նրանց մոդուլները և ստացված գումարի առաջ դնել գումարելիների

նշանը։

Ընդգծենք նաև, որ

դրական թվերի գումարը դրական թիվ է, իսկ բացասական թվերի գումարը՝ բացասական։

Այս կանոնի հիման վրա կունենանք.(+ 7) + (+ 9) = + (7 + 9) = + 16 = 16, (− 2) + (− 3) = − (2 + 3) = − 5:Օրինակ 3: Հաշվենք (− 3) + (+ 8) գումարը:Լուծում: Քանի որ + 8 > 0 և ապա ամբողջ թվերի շարքում − 3-ից աջ

կհաշվենք 8 թիվ և կանգ կառնենք + 5 թվի վրա...., - 4, - 3, - 2, - 1, 0, + 1, + 2, + 3, + 4, + 5, + 6, + 7, + 8, . . .,

+ 8

Այսպիսով՝ (− 3) + (+ 8) = + 5:Նկատենք, որ այստեղ դրական գումարելիի մոդուլը մեծ է

բացասական գումարելիի մոդուլից, իսկ գումարը |+ 8| − |− 3|-ին հավասար դրական թիվ է:

Օրինակ 4: Հաշվենք (+ 3) + (− 8) գումարը:Լուծում: Քանի որ − 8 < 0 և ապա ամբողջ թվերի շարքում + 3-ից դեպի

ձախ կհաշվենք 8 թիվ և կանգ կառնենք (− 5) թվի վրա. . . ., - 7, - 6, - 5, - 4, - 3, - 2, - 1, 0, + 1, + 2, + 3, + 4, + 5, . . .,

- 8

Այսպիսով՝ (+ 3) + (− 8) = − 5:Այստեղ բացասական գումարելիի մոդուլը մեծ է դրական գումարելիի

մոդուլից, իսկ գումարը − (|− 8| − |+ 3|)-ին հավասար բացասական թիվ է:Դիտարկված օրինակները հաստատում են հետևյալ կանոնի

ճշտությունը.

տարբեր նշաններ և տարբեր մոդուլներ ունեցող երկու թվերի գումարը հաշվելու համար կարելի է մեծ մոդուլից հանել փոքր

ANTARES


մոդուլը և այդ տարբերության առաջ դնել մեծ մոդուլ ունեցող գումարելիի նշանը։

Այս կանոնի հիման վրա կունենանք.(+ 17) + (− 20) = − (20 − 17) = − 3, քանի որ |- 20| > |+ 17|,(- 2) + (+ 1) = − (2 − 1) = − 1, քանի որ |− 2| > |+ 1|։

Օրինակ 5: Հաշվենք (+ 5) + (− 5) գումարը:Լուծում: Քանի որ (− 5) < 0, և |-5| = 5, ապա ամբողջ թվերի շարքում

(+ 5)-ից դեպի ձախ կհաշվենք 5 թիվ և կանգ կառնենք 0 թվի վրա. . . ., - 3, - 2, - 1, 0, + 1, + 2, + 3, + 4, + 5, + 6, . . .,

- 5

Այսպիսով՝ (+ 5) + (− 5) = 0:Այս օրինակը հաստատում է հետևյալ կանոնի ճշտությունը.

հակադիր թվերի գումարը հավասար է զրոյի։

Այս կանոնի հիման վրա կունենանք.(+ 3) + (− 3) = 0, (− 7) + (+ 7) = 0, a + (−a) = 0:

Ցանկացած a ամբողջ թվի համար.a + 0 = a, 0 + a = a:

Օրինակ՝ 0 + (− 3) = − 3, (+ 5) + 0 = + 5, 0 + 0 = 0:

Երկուսից ավելի գումարելիների գումարը գտնելու համար պետք է գտնել առաջին երկուսի գումարը և դրան երրորդ գումարելին և

այդպես շարունակ, մինչև վերջին գումարելին։

Օրինակ՝ − 3, + 7, − 5 և 0 թվերի գումարը ((− 3 + (+ 7)) + (− 5)) + 2 թիվն է.((− 3 + (+ 7)) + (− 5)) + 2 = (+ 4 + (− 5)) + 2 = − 1 + 2 = + 1:

249. Ամբողջ թվերի շարքի միջոցով գտե՛ք գումարը.ա) (+ 3) + (+ 2), բ) (+ 3) + (− 2), գ) (− 3) + (+ 2), դ) (− 3) + (− 2):

250 Ինչպե՞ս են գումարվում երկու թվերը, որոնք. ա) նույն նշանի են, բ) տարբեր նշանի են:

251. Ինչի՞ է հավասար հակադիր թվերի գումարը:

252. Ինչի՞ է հավասար ամբողջ թվի և զրոյի գումարը:

253. Օգտագործելով գումարման կանոնները՝ հաշվե՛ք.

ա) + 7 + (+ 9) = + (7 + 9) ...: բ) - 4 + (- 6) = − (6 + 4) = ... :

գ) − 5 + (– 6), դ) − 5 + (– 9), ե) − 6 + (– 1), զ) + 1 + (+ 6):

ANTARES

2.4. ԱՄԲՈՂՋ ԹՎԵՐԻ ԳՈՒՄԱՐՈՒՄԸ 55

Հաշվե՛ք (254, 255).254. ա) − 1 + (– 2), բ) − 2 + (– 1), գ) − 2 + (– 4),

դ) − 5 + (– 1), ե) − 3 + (– 8), զ) − 4 + (– 11):255. ա) − 9 + (– 2), բ) − 7 + (– 3), գ) − 13 + (– 8),

դ) + 12 + (+ 23), ե) − 25 + (– 7), զ) + 18 + (+ 42):

256. Օգտվելով գումարման կանոններից՝ հաշվե՛ք.

ա) +7 + (-6) = + (7 − 6) = +1, որովհետև |+7|>|-6|բ) -18 + (+12) = -(18 − 12) = -6, որովհետև |- 18| > |+ 12|

գ) − 8 + (+ 9), դ) + 8 + (– 9), ե) + 12 + (– 15),զ) − 13 + (+ 18), է) − 2 + (+ 18), ը) + 25 + (– 32):

257. Գտե՛ք գումարը.ա) − 1 + (+ 2), բ) + 5 + (– 2), գ) − 4 + (+ 1),դ) − 8 + (+ 2), ե) + 7 + (– 9), զ) − 10 + (+ 4):

Դիտողություն: Գումարի գրառումը պարզեցնելու նպատակով դրական գումարելիների «+» նշանը և փակագծերը սովորաբար բաց են թողնվում (չեն գրվում): Օրինակ՝ + 3 + (+ 8)-ի փոխարեն գրվում է 3 + 8,– 5 + (+ 9)-ի փոխարեն՝ − 5 + 9:

258. Պարզեցրե՛ք գումարի գրառումը. բ) − 8 + (+ 9), գ) − 9 + (+ 7), դ) + 3 + (+ 7),ե) + 8 + (– 13), զ) + 9 + (– 17), է) + 13 + (+ 24):

259. Նշե՛ք գումարի յուրաքանչյուր գումարելու նշանը.ա) – 5 + 8, բ) 5 + 7,գ) – 13 + (– 9), դ) − 91 + 26,ե) − 95 + (– 13), զ) − 56 + (– 102),է) 5 + (– 13), ը) 92 + (– 100):

Հաշվե՛ք բերված նմուշային օրինակի ձևով (247-251).

- 755 + (−983) = − (755 + 983) = − 1738

755+

9831738

260. ա) − 102 + (– 98), բ) − 33 + (– 167), գ) − 128 + (– 12),դ) 688 + 957, ե) − 172 + (– 118), զ) 694 + 738:

261. ա) − 354 + (– 293), բ) − 293 + (– 354), գ) 784 + 951,դ) – 728 + (– 256), ե) 487 + 954, զ) (– 259) + (– 728):

262. ա) − 7825 + (– 3517), բ) 7903 + 484,գ) − 35 + (– 8094), դ) − 1113 + (– 4570):

ANTARES


263. ա) 359 + (– 483), բ) − 703 + 117, գ) − 14 + 864,դ) 151 + (– 87), ե) 17 + (– 256), զ) 476 + (– 253):

264. ա) − 170 + (– 250), բ) − 350 + 480, գ) 7805 + (– 454),դ) 1306 + (– 2514), ե) − 8576 + (– 1720), զ) − 6060 + 3903:

265. Հաշվե՛ք բերված նմուշային օրինակների եղանակով.

ա) − 5 +(- 3) + 2 = − (5 + 3) + 2 = -8 + 2 =բ) 3 + (- 7) + (- 8) + 6 = -4 + (- 8) + 6 = - 12 + 6 = - 6

գ) − 8 + 3 + (– 1), դ) − 7 + (– 2) + (– 10),ե) 8 + (– 9) + (– 7), զ) − 3 + (– 4) + (– 5) + (– 6),է) − 4 + 8 + (– 9) + 3, ը) 8 + (– 10) + (– 12) + 3:

2.5. ամբողջ Թվերի Գումարման ՕրենՔները

Ցանկացած a և b երկու ամբողջ թվերի համար ճիշտ է գումարմանտեղափոխական (կոմուտատիվ) օրենքը.

գումարելիների տեղերը փոխելիս գումարը չի փոխվում։

a + b = b + a:

Օրինակ՝ − 3 + (– 5) = − 5 + (– 3) :Ցանկացած a, b և c երեք ամբողջ թվերի համար ճիշտ է գումարման

զուգորդական օրենքը.

Երկու ամբողջ թվերի գումարին երրորդ ամբողջ թիվը գումարելու համար կարելի է առաջին թվին գումարել երկրորդ և երրորդ

թվերի գումարը։

(a + b) + c = a + (b + c):

Օրինակ՝ (2 + 5) + (– 3) = 2 + (5 + (– 3) ) :Ամբողջ թվերի գումարման տեղափոխական և զուգորդական

օրենքների իրավացիությունը կարելի է ցույց տալ՝ օգտագործելով ամբողջ թվերի գումարման կանոնները և այդ օրենքների ճշմարտացիությունը ոչ բացասական ամբողջ թվերի համար:

Օրինակ՝ ապացուցելու համար, որ − 3 + (– 5) և − 5 + (– 3) գումարները հավասար են, նկատենք, որ այդ գումարներից յուրաքանչյուրը բացասական է, և նրանցից ամեն մեկի մոդուլը որոշվում է գումարելիների մոդուլները գումարելով՝ 3 + 5 և 5 + 3: Իսկ բնական

ANTARES

2.5. ԱՄԲՈՂՋ ԹՎԵՐԻ ԳՈՒՄԱՐՄԱՆ ՕՐԵՆՔՆԵՐԸ 57

թվերի գումարման տեղափոխական հատկության համաձայն 3 + 5 և 5 + 3 գումարները հավասար են:

Այդ օրենքների իրավացիության մեջ կարելի է համոզվել նաև ամբողջ թվերի շարքի միջոցով (անմիջական ստուգմամբ):

Գումարման տեղափոխական և զուգորդական օրենքների միջոցով կարելի է ցույց տալ, որ մի քանի ամբողջ թվերի գումարի գրառման մեջ կարելի է.

1) փակագծեր չօգտագործել,2) գումարելիների տեղերը միմյանց հետ փոխել,3) որոշ գումարելիներ վերցնել փակագծերի մեջ:

Օրինակ՝ a + b + c + k = (c + k) + (a + b), իրոք.

a + b + c + k = (a + b + c) + k = k + (a + b + c) = k + ((a + b) + c) == k + (c + (a + b)) = (k + c) + (a + b) = (c + k) + (a + b):

Վերևում բերված կանոնները կիրառվում են հաշվարկները պարզեց-նե լու համար:

Օրինակ՝ 3 + (– 6) + (– 4) + 6 + (– 5) + 4 = (3 + (– 5)) + ((– 6) + 6) + (4 + (– 4)) =

= –2 + 0 + 0 = –2

266. a և b ամբողջ թվերի համար գրե՛ք գումարման տեղափոխական օրեն քը և ձևակերպե՛ք այն:

267. a, b և c ամբողջ թվերի համար գրե՛ք գումարման զուգորդական օրեն քը և ձևակերպե՛ք այն:

268. Կիրառելով գումարման օրենքները՝ հաշվե՛ք.ա) 5 + 798 + 35, բ) (723 + 59) + 17,գ) 357 + 48 + 13, դ) 488 + (596 + 12):

269. Կատարե՛ք գումարումները և համեմատե՛ք արդյունքները.ա) − 15 + (– 23) և − 23 + (– 15),բ) 48 + (– 36) և (– 36) + 48,գ) − 25 + 16 և 16 + (– 25),դ) − 8 + (18 + (– 7)) և (– 8 + 18) + (– 7), ե) 13 + (– 6 + (– 7)) և (13 + (– 6)) + (– 7):

270. Կիրառե՛ք գումարման տեղափոխական օրենքը.

ա) 45 + (- 10) = − 10 + (- 45):

բ) 8 + (– 35), գ) − 13 + 49, դ) − 17 + (– 23):

271. Կիրառե՛ք գումարման զուգորդական օրենքը.

ANTARES


ա) 42 + (-3 + 7) = (42 + (-3)) + 7:

բ) 56 + (– 16 + 7), գ) (– 52 + 17) + (– 9), դ) − 13 + (– 8 + 25):

272. Լրացրե՛ք բացթողումները.ա) 3 + 5 + (– 8) = 3 + (– 8) + . . . ,բ) 6 + . . . + (– 1) = (– 1) + (6 + (– 2)),գ) − 4 + . . . + ( − 7) = 2 + (. . . + (– 4)),դ) − 1 + . . . + 3 = (3 + (– 7)) + . . . :

273. Հաշվե՛ք՝ կիրառելով գումարման օրենքները.ա) 49 + ((– 49) + 22), բ) − 12 + (12 + (– 29)),գ) (47 + (– 58)) + (– 47), դ) (124 + 59) + (– 24),ե) − 56 + 17 + (– 27), զ) 49 + (– 72) + 62,է) 36 + (–51) + 14, ը) − 48 + (– 19) + 28:

274. Հաշվե՛ք նմուշային օրինակի եղանակով.

ա) − 1 + 2 + (-3) + 5 = (2 + 5) + ((-1) + (- 3)) = 7 + (-4) = ... ։

բ) − 2 + (– 4) + 2 + 5 + (– 3) + 1 + (– 3),գ) 20 + (– 8) + 2 + 5 + (– 10) + (– 1) + (– 3),դ) − 4 + (– 1) + 3 + (– 2) + (– 3) + 9, ե) − 17 + 17 + (– 8) + 6 + (– 2) + 8,զ) 4 + (– 6) + (– 1) + (– 4) + 6 + (– 3) + 1:

Հաշվե՛ք կիրառելով գումարման օրենքները (275, 276).275. ա) (– 1) + (– 2) + (– 3) + (– 4) + 4 + 3 + 2 + 1,

բ) (– 7) + (– 5) + (– 3) + (– 1) + 1 + 3 + 5 + 7,գ) (– 10) + (– 9) + (– 8) + (– 7) + . . . + 7 + 8 + 9 + 10,դ) (– 100) + (– 99) + (– 98) + . . . + 98 + 99 + 100:

276. ա) 1 + (– 2) + 3 + (– 4) + . . . + 9 + (– 10),բ) 1 + (– 2) + 3 + (– 4) + . . . + 99 + (– 100),գ) (– 1) + 2 + (– 3) + 4 + . . . + (– 9) + 10,դ) (– 1) + 2 + (– 3) + 4 + . . . + (– 99) + 100:

277. Տրված են 9, − 11, 10 թվերը: Համոզվե՛ք, որ ցանկացած երկու հարևան թվերի գումարը բացասական է, իսկ բոլոր երեք թվերի գումարը դրական է: Մեկ շարքով գրե՛ք երեք թիվ այնպես, որ ցանկացած երկու հարևան թվերի գումարը լինի դրական, իսկ բոլոր երեք թվերի գումարը լինի բացասական:

278. Համոզվե՛ք, որ 5, − 4, − 2, 5, − 4, − 2, 5 թվերի համար ցանկացած երեք հարևան թվերի գումարը բացասական է, իսկ բոլոր թվերի գումարը դրական է: Մեկ շարքով գրե՛ք յոթ ամբողջ թիվ այնպես,

ANTARES

2.6. ԱՄԲՈՂՋ ԹՎԵՐԻ ՀԱՆՈՒՄԸ 59

որ ցանկացած երեք հարևան թվերի գումարը լինի դրական, իսկ բոլոր թվերի գումարը՝ բացասական:

266. Գրե՛ք և հաշվե՛ք. ա) 17-ի և 23-ի գումարը, բ) − 20-ի և 4-ի գումարը,գ) − 13-ի հակադիր թվի և (− 225)-ի գումարը,դ) − 26 թվի և − 12-ի հակադիր թվի գումարը:

267. a թվին ավելացրե՛ք b թվի հակադիրը, եթե. ա) a = 12, b = − 7, բ) a = 13, b = 16,գ) a = 15, b = 7, դ) a = 24, b = 13,ե) a = − 14, b = 7, զ) a = − 29, b = 40,է) a = − 24, b = − 13, ը) a = − 16, b = − 18:

268. Արտագրե՛ք՝ x-ը փոխարինելով այնպիսի թվով, որ ստացվի ճիշտ հավասարություն. ա) (– 6) + (– 7) = x, բ) − 8 + x = − 10, գ) − 8 + x = − 3,դ) − 8 + x = 0, ե) − 8 + x = − 8, զ) x + 5 = 10,է) x + 5 = 0, ը) x + 5 = − 3, թ) x + 5 = − 8:

2.6. ամբողջ Թվերի հանումը

Երկու ամբողջ թվերի տարբերություն անվանում են այն ամբողջ թիվը, որը գումարելով հանելիին, ստացվի նվազելին։

a և b ամբողջ թվերի տարբերությունը նշանակում են a − b: Ցույց տանք, որ

a − b տարբերությունը a թվի և bի հակադիր թվի գումարն է։

a − b = a + (−b):

Այս ապացուցելու համար հաշվենք a+(−b) և b թվերի գումարը: Կիրառելով ամբողջ թվերի գումարման զուգորդական օրենքը՝ կստանանք.

(a + (– b)) + b = a + ((– b) + b) = a + 0 = a :Այսպիսով՝

Մի թվից մի այլ թիվ հանելու համար կարելի է նվազելիին գումարել հանելիի հակադիրը։

Օրինակ՝– 3 − (– 5) = − 3 + 5 = 2, 2 − 7 = 2 + (– 7) = − 5,0 − 5 = 0 + (– 5) = − 5, – 7 − 2 = − 7 + (– 2) = − 9,0 − 0 = 0 + (– 0) = 0 + 0 = 0:

ANTARES


Մի քանի ամբողջ թվերի գումարը հաճախ գրում են առանց փակագծերի: Օրինակ՝

(+ 3) + (– 7) + (– 4) + (+3) = 3 − 7 − 4 + 3:

Նկատենք, որ բնական թվերի բազմությունում հնարավոր չէր փոքր թվից հանել մեծ թիվ: Ամբողջ թվերի բազմությունում դա հնարավոր է: Օրինակ՝

2 − 7 = 2 + (– 7) = − (7 − 2) = − 5:

Տարբերության գրառումը պարզեցնելու համար դրական նվազելիի ու դրական հանելիի փակագծերը և «+» նշանը բաց են թողնվում (չեն գրվում):

Օրինակ՝ + 9 − (+ 3) = 9 − 3, − 9 − (+ 3) = − 9 − 3, + 9 − (– 3) = 9 − (– 3):

282. Ո՞ր թիվն են անվանում a և b թվերի տարբերություն:

283. Ո՞ր գումարին է հավասար a − b տարբերությունը:

284. Ելնելով տարբերության սահմանումից՝ ստուգե՛ք, թե ճի՞շտ է հավասարությունը. ա) + 28 − (+ 9) = 14, բ) + 7 − (+ 12) = − 5,գ) − 2 − (– 3) = 1, դ) − 12 − (+ 1) = − 11:

285. Նշե՛ք նվազելին, հանելին և հանելիի հակադիր թիվը.ա) + 45 − (+ 63), բ) + 27 − (– 52), գ) − 4 − (+ 19),դ) − 41 − (+ 95), ե) − 59 − (– 11), զ) + 32 − (– 16):

286. Տարբերությունը փոխարինե՛ք նվազելիի և հանելիի հակադիր թվի գումարով.

ա) + 25 − (-6) = + 25 +(+ 6) = 25 + 6։բ) (- 9) − (+ 45) = (- 9) + (- 45)։

գ) + 47 − (+ 58), դ) (– 36) − (+ 12),ե) + 13 − (– 27), զ) (– 45) − (– 59):

287. Տարբերությունը փոխարինե՛ք գումարով.

ա)− 5 − (+ 2) = − 5 + (- 2), բ) 12 − (- 7) = 12 + 7

գ) − 6 − (– 3), դ) 9 − (+ 13), ե) 17 − (+ 24),զ) − 13 − (– 19), է) 13 − (– 27), ը) − 15 − (+ 10):

Հաշվե՛ք համապատասխան նմուշօրինակների եղանակներով (275, 276).

288. ա) 9 − 10 = 9 + (– 10) = − (10 − 9) = − 1:բ) 6 − 8, գ) 4 − 10, դ) 5 − 20,

ANTARES

2.6. ԱՄԲՈՂՋ ԹՎԵՐԻ ՀԱՆՈՒՄԸ 61

ե) 6 − 11, զ) 8 − 13, է) 8 − 24,ը) 24 − 48, թ) 35 − 47, ժ) 64 − 71,ի) 91 − 119, լ) 62 − 89, խ) 67 − 105:

289. ա) − 3 − 7 = − 3 + (– 7) = − (3 + 7) = − 10:

բ) − 4 − 8, գ) − 5 − 2, դ) − 8 − 14,ե) − 10 − 10, զ) − 20 − 60, է) − 11– 23,ը) − 28 − 17, թ) − 5 − 91, ժ) − 92 − 18,ի) − 240 − 14, լ) − 50 − 105, խ) − 200 − 400:

290. Հաշվե՛ք.ա) − 5 − 2, բ) − 1 − 3, գ) − 15 − 12,դ) − 6 − 14, ե) − 100 − 200, զ) − 30 − 600:

Հաշվե՛ք համապատասխան նմուշօրինակների եղանակներով (291, 292).

291. ա) –1 − (– 4) = − 1 + 4 = 3:

բ) − 2 − (– 2), գ) − 3 − (– 4), դ) − 5 − (– 2), ե) − 8 − (– 6), զ) 10 − (– 5), է) 0 − (– 9):

292.

ա) − 794 − (– 581) = − 794 + 581 = − (794 − 581) = -213,794

−58 1213

բ) − 824 − (– 642), գ) − 498 − (– 402), դ) − 864 − (– 164), ե) − 1240 − (– 200), զ) − 1000 − (– 2500), է) 80 − (– 1800):

293. Նմուշային օրինակի եղանակով գումարը գրե՛ք առանց փակագծերի.

ա) (– 25) + (– 42) = − 25 − 42:

բ) (– 45) + (– 12), գ) (– 28) + (– 49), դ) 13 + (– 45):

294. Հաշվե՛ք գումարը՝ա) 49 + (– 23), բ) 56 + (– 63), գ) (– 66) + (– 28):

295. Հաշվե՛ք.ա) (– 5 + 8) + 9, բ) (14 − 18) − 7, գ) 96 − (– 72 + 13),դ) − 75 − (– 75 + 8), ե) 79 + (48 − 79), զ) 14 − (15 − 94):

296. ա) Բնական թվերի գումարը բնակա՞ն թիվ է,բ) Բնական թվերի տարբերությունը բնակա՞ն թիվ է:

297. Կարելի՞ է պնդել, որ ամբողջ թվերիա) գումարն ամբողջ թիվ է, բ) տարբերությունն ամբողջ թիվ է:

ANTARES


Հաշվե՛ք առավել պարզ եղանակով (298, 299).298. ա) − 1 − 2 − 3 − 4 − 5 − 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1,

բ) − 8 − 7 − 5 − 3 − 1 + 0 + 1 + 3 + 5 + 7 + 8 + 9:

299. ա) − 9 − 8 − 7 − . . . − 1 + 0 + 1 + . . . + 7 + 8 + 9 + 10,բ) − 101 − 100 − 99 − 98 − . . . + 98 + 99 + 100,գ) 1– 2 + 3 − 4 + . . . + 9 − 10 + 11,դ) 1 − 2 + 3 − 4 + . . . + 99 − 100,ե) − 1 + 2 − 3 + 4 − . . . − 9 + 10 − 11 + 12,զ) − 1 + 2 − 3 + 4 − . . . − 199 + 200:

Ո՞ր x-ի համար է ճիշտ հավասարությունը (287, 288).

300. ա) x + 13 = 7, x = 7 − 13 = − (13 − 7) = − 6, Պատասխան՝ -6:

բ) x + 8 = − 7, գ) − 7 + x = 9, դ) x − (– 8) = 13, ե) − 15 − x = 7:

301. ա) − 498 − x = − 175 x = − 498 − (– 175) = − 498 + 175= − (498 − 175),

498−

175323Պատասխան՝ − 323:

բ) 79 + x = − 356, գ) x − 57 = − 493,դ) 167 − x = 39, ե) − 542 + x = 542:

302. Գտե՛ք մի քանի հավասար գումարելիների գումարը.ա) (- 5) + (- 5) + ... + (- 5)

6 հատ

բ) (- 7) + (- 7) + ... + (- 7)8 հատ

ա) (- 10) + (- 10) + ... + (- 10)

9 հատ

բ) (- 6) + (- 6) + ... + (- 6)11 հատ

2.7. ամբողջ Թվերի արտաԴրյալը

Զրո յից տար բեր երկու ամ բողջ թվե րի ար տադր յալ ան վա նում են այդ թվե րի մո դուլ նե րի ար տադր յա լը` վերց րած «+» նշա նով, եթե թվե րը

նույն նշա նի են և «–» նշա նով, եթե նրանք տար բեր նշա նի են:

Օրինակ՝ 6 ⋅ 8 = + (|6| ⋅ |8|) = + (6 ⋅ 8) = + 48 (− 5) ⋅ (- 10) = + (|− 5| ⋅ |− 10|) = + (5 ⋅ 10) = + 50, 7 ⋅ (− 3) = − (|7| ⋅ |− 3|) = − ( 7 ⋅ 3) = − 21, (− 5) ⋅ 10 = − (|− 5| ⋅ |10|) = − (5 ⋅ 10) = 50:

ANTARES

2.7. ԱՄԲՈՂՋ ԹՎԵՐԻ ԱՐՏԱԴՐՅԱԼԸ 63

Ցանկացած a ամբողջ թվի և 0ի արտադրյալը 0 է.

a ⋅ 0 = 0, 0 ⋅ a = 0:Օրինակ՝ (+ 7) ⋅ 0 = 0 ⋅ (+ 7) = 0, (- 10) ⋅ 0 = 0 ⋅ (- 10) = 0, 0 ⋅ 0 = 0:Կամայական ամբողջ թվերի համար ճիշտ են բազմապատկման տե-

ղա փո խա կան և զուգորդական օրենքները.

a ⋅b = b ⋅a:

(a ⋅ b) ⋅ c = a ⋅ (b ⋅ c):

Այս հավասարությունների ճշտությունը հետևում է ամ բողջ թվերի արտադրյալի սահմանումից և այն փաստից, որ այդ օրենք նե րը ճիշտ են ոչ բացասական ամբողջ թվերի համար:

Օրինակ` (- 5) ⋅ (- 6) = + (5 ⋅ 6) = + (6 ⋅ 5) = (- 6) ⋅ (- 5), ((+ 5) ⋅ (- 3)) ⋅ (- 4) = (- (5 ⋅ 3)) ⋅ (- 4) = + ((5 ⋅ 3) ⋅ 4) =

= + (5 - (3 - 4)) = (+ 5) ⋅ ((- 3) ⋅ (- 4)):Նկատենք, որ կամայական a ամբողջ թիվը (– 1) -ով բազմապատկելու

դեպում փոխվում է միայն a-ի նշանը, այսինքն՝ ստացվում է նրա հակադիր թիվը՝

(- 1) ⋅ a = - a:Հիմնավորենք այս հավասարությունը օրինակների միջոցով. (- 1) ⋅ (+ 5) = − (|- 1| ⋅ |+ 5|)= − (1 ⋅ 5)=- 5,

(- 1) ⋅ (- 5) = + (|- 1| ⋅ |- 5|)=+ (1 ⋅ 5) = 5, (- 1) ⋅ 0 = 0 = - 0:

Երեք և ավելի ամբողջ թվերի արտադրյալը գտնելու համար պետք է գտնել դրանցից առաջին երկուսի արտադրյալը, այն բազմապատկել

երրորդով, ստացված արտադրյալը չորրորդով և այլն:

Օրինակ՝ (- 3) ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ (- 11) = ((- 3) ⋅ 5 ⋅ 4) ⋅ (- 11) =(((- 3) ⋅ 5) ⋅ 4) ⋅ (- 11) = ((- 15) ⋅ 4) ⋅ (- 11) = (- 60) ⋅ (- 11) =+ (60 ⋅ 11) = 660:

Ամբողջ թվերի բնական ցուցիչով աստիճանը սահմանվում է ինչպես բնական թվերի բնական ցուցիչով աստիճանը:

a ամբողջ թվի n բնական ցուցիչով աստիճան անվանում են n արտադրիչների արտադրյալը, որոնցից ամեն մեկը հավասար է aի.

an = a ⋅ a ⋅ ... ⋅ a (n > 1): n հատ

Օրինակ, (-2)3 = (-2) ⋅(-2) ⋅(-2):

Ցանկացած թվի առաջին աստիճանը հավասար է այդ թվին.

ANTARES


a1 = a:

303. ա) Ո՞ր թիվն են անվանում զրոյից տարբեր երկու ամբողջ թվերի արտադրյալը:բ) Ո՞ր թիվն է ցանկացած ամբողջ թվի և զրոյի արտադրյալը:գ) Ինչպե՞ս են հաշվում մի քանի ամբողջ թվերի արտադրյալը:

304. Ճի՞շտ են արդյոք տեղափոխական ու զուգորդական օրենքներն ամբողջ թվերի բազմապատկման համար: Ձևակերպե՛ք այդ օրենքները:

305. Ի՞նչ թիվ կստացվի, եթե տրված ամբողջ թիվը բազմապատկենք (– 1)-ով:

306. Արտադրյալը հաշվե՛ք սյունակով բազմապատկման եղանակով: ա) 123 ⋅9 բ) 357 ⋅8 գ) 256 ⋅32դ) 457 ⋅48 ե) 521 ⋅32 զ) 439 ⋅528

Հաշվե՛ք հարմար եղանակով (307, 308).

307. ա) 24 ⋅2 ⋅5, բ) 47 ⋅4 ⋅25, գ) 53 ⋅8 ⋅ 125:

308. ա) 2 ⋅37 ⋅5, բ) 25 ⋅57 ⋅4, գ) 8 ⋅39 ⋅ 125:

309. Գտե՛ք արտադրյալի նշանը: Կատարե՛ք բազմապատկումը.ա) (- 2) ⋅ (+ 3), բ) (+ 8) ⋅ (- 3), գ) (+ 6) ⋅ (- 5),դ) (- 7) ⋅ (+ 4), ե) (- 2) ⋅ (- 1), զ) (- 8) ⋅ (- 8),է) (- 7) ⋅ (- 9), ը) (+ 9) ⋅ (+ 8), թ) (- 10) ⋅ (+ 77)

310. Կատարե՛ք բազմապատկումը. ա) 0 ⋅ (- 5), բ) (+ 3) ⋅0, գ) (- 6) ⋅0,դ) (+ 49) ⋅0, ե) 0 ⋅ (- 54), զ) 0 ⋅ (+ 48):

311. Բազմապատկումը կատարե՛ք բերված նմուշային օրինակի եղանակով.

ա) (- 56) ⋅ (- 13) = + (56 ⋅ 13) = ... 56

×13...Պատասխան՝ ...

ա) (+ 45) ⋅ (- 13), բ) (+ 230) ⋅ (- 48), գ) (- 505) ⋅ (- 8), դ) (- 358) ⋅ (- 5), ե) (- 24) ⋅ (- 35), զ) (- 125) ⋅ (- 160),է) (- 405) ⋅ (+ 28), ը) (- 72) ⋅ ( + 101), թ) (+ 15) ⋅ (+ 16):

Դիտողություն: Արտադրյալի գրառումը պարզեցնելու համար նրա դրական արտադրիչների «+» նշանները և փակագծերը կարելի է չգրել, բայց արտադրյալի նշանը որոշելիս այդ նշանները պետք է հաշվի առնել:312. Նախորդ առաջադրանքում պարզեցրե՛ք արտադրյալի գրելաձևը:

ANTARES

2.7. ԱՄԲՈՂՋ ԹՎԵՐԻ ԱՐՏԱԴՐՅԱԼԸ 65

Օրինակ՝ (- 3) ⋅ (+ 17) = (- 3) ⋅ 7 = − (3 ⋅ 17), (+ 2) ⋅ (- 48) = 2 ⋅ (- 48) =- (2 ⋅ 48):313. Գտե՛ք արտադրյալի նշանը.

ա) (- 1) ⋅ (- 1), բ) (- 1) ⋅ (- 1) ⋅ (- 1), գ) (- 1) ⋅ (- 1) ⋅ (- 1) ⋅ (- 1),դ) (- 1) ⋅ (- 1) ⋅ (- 1) ⋅ (- 1) ⋅ (- 1) ⋅ (- 1) ⋅ (- 1):

314. Գտե՛ք արտադրյալի նշանը և հաշվե՛ք արտադրյալը.ա) (- 3) ⋅ (- 2) ⋅ (- 1) ⋅4, բ) (- 2) ⋅3 ⋅ (- 4) ⋅ (- 6):

315. Քանի՞ բացասական բազմապատկիչ կարող է ունենալ արտադրյալը, եթե այն. ա) դրական է, բ) բացասական է:

316. Օգտագործելով բազմապատկման օրենքները՝ հաշվե՛ք նմուշային օրինակի եղանակով.

(- 16) ⋅ (- 7) ⋅ (- 25) = − (16 ⋅ 25 ⋅ 7) = − (4 ⋅ 4 ⋅ 25 ⋅ 7) == − (100 ⋅ 4 ⋅ 7) = − (100 ⋅ 28) = − 2800:

ա) 2 ⋅ (- 3) ⋅ (- 10), բ) (- 4) ⋅ 17 ⋅25, գ) 8 ⋅ (- 25) ⋅ (- 3), դ) (- 6) ⋅ (- 5) ⋅ (- 7), ե) 8 ⋅ (- 17) - 125, զ) (- 3) ⋅ 16 ⋅ (- 125):

317. a և b ամբողջ թվերի համար ճի՞շտ է, որ.ա) եթե a > 0 և b > 0, ապա a ⋅b > 0,բ) եթե a < 0 և b < 0, ապա a ⋅b < 0,գ) եթե a ⋅b > 0, ապա a > 0 և b > 0,դ) եթե a ⋅b < 0, ապա a > 0 և b < 0:

318. Երեք թվերի արտադրյալը դրական է: Կարելի՞ է պնդել, թե երեք թվերն էլ դրական են: Բերե՛ք օրինակներ:

319. Երեք թվերի արտադրյալը դրական է: Կարելի՞ է պնդել, թե այդ թվերից գոնե մեկը դրական է:

320. Երեք թվերի արտադրյալը բացասական է: Կարելի՞ է պնդել, թե երեք թվերն էլ բացասական են: Բերե՛ք օրինակներ:

321. Երկու թվերի արտադրյալը զրո է: Ապացուցե՛ք, որ այդ թվերից գոնե մեկը զրո է:

322. Երեք թվերի արտադրյալը զրո է: Ապացուցե՛ք, որ այդ թվերից գոնե մեկը զրո է:

323. Հաշվեք.ա) (- 1)2, բ) (- 1)3, գ) (- 2)2:դ) (- 5)2, ե) (- 3)3, զ) (- 2)4:

324. Հաշվե՛ք.ա) 48 − 12 ⋅ (- 5), բ) 69 − (- 12) ⋅ (- 5), գ) 129 − 15 ⋅9,դ) 456 − 45 ⋅ (- 6), ե) 158 − 45 ⋅7, զ) 258 − 13 ⋅ (- 7):

325. Ո՞ր թիվն է մեծ.ա) 3 ⋅3 ⋅3, թե՞ (- 3) ⋅ (- 3) ⋅ (- 3),

ANTARES


բ) − 5 ⋅5, թե՞ (-5) ⋅ (-5)գ) (- 7) ⋅ (- 7), թե՞ 7 ⋅ ( − 7),դ) − 2 ⋅2 ⋅2 ⋅2, թե՞ (- 2) ⋅ (- 2) ⋅ (- 2) ⋅ (- 2):

326. Գրե՛ք բացասական թվի աստիճանի տեսքով.ա) (- 8) ⋅ (- 8) ⋅ (- 8), բ) (- 6) ⋅ (- 6) ⋅ (- 6), գ) (- 5) ⋅ (- 5) ⋅ (- 5) ⋅ (- 5),դ) (- 5) ⋅ (- 5) ⋅ (- 5), ե) (- 7) ⋅ (- 7) ⋅ (- 7), զ) (- 18) ⋅ (- 18):

327. Ո՞ր թիվն է մեծ. ա) − 2 ⋅2, թե՞ (- 2) ⋅ (- 2) բ) − 3 ⋅3, թե՞ (- 2) ⋅2 ⋅2գ) (- 3) ⋅ (- 3), թե՞ (- 2) ⋅ (- 2) ⋅ (- 2) դ) (- 4) ⋅ (- 4) ⋅ (- 4), թե՞ (- 3) ⋅3 ⋅3 ⋅3:

328. Գրե՛ք.ա) (– 7) և 7 թվերի գումարը, բ) (– 4) և 7 թվերի արտադրյալը,գ) (– 4) և (– 12) թվերի տարբերությունը:

329. Հաշվե՛ք.ա) 3 ⋅ (- 2) ⋅ (- 2) ⋅ (- 2), բ) (- 4) ⋅ (- 3) ⋅ (- 3), գ) − (- 3) ⋅ (- 3) ⋅ (- 3),դ) − (- 2) ⋅ (- 2) ⋅ (- 2), ե) − (- 5) ⋅ (- 5), զ) (- 4) ⋅ (- 3) ⋅3:

330. Գտե՛ք գումարելիների քանակը.ա) (- 2) + (- 2) + ... + ( − 2) =- 12, բ) (- 8) + (- 8) +... + (- 8) =- 80, գ) (- 4) + (- 4) + ... + ( − 4) =- 20:

331. Գտե՛ք գումարելիներից մեկը, եթե նրանք հավասար են:ա) (...) + (...) + (...) + (...) + (...) = − 25,բ) (...) + (...) + (...) + (...) =- 40,գ) (...) + (...) + (...) + (...) + (...) +(...) =- 36:

332. Հաշվեք՝ նախապես նշելով գործողությունների հերթականությունը:ա) 3 ⋅ (- 2)2, բ) − 4 ⋅ (- 3)2, գ) − 2 ⋅ (- 3)4,դ) - 3 ⋅ (- 2)3, ե) 2 ⋅ (- 5)2, զ) - 4 ⋅ (- 3)2:

2.8. ամբողջ Թվերի ՔանորԴը

Եթե aն և bն զրոյից տարբեր ամբողջ թվեր են, և |a|ն առանց մնացորդի բաժանվում է |b|ին, ապա a և b թվերի քանորդը

հավասար է նրանց մոդուլների քանորդին՝ վերցրած «+» նշանով, եթե այդ թվերր նույն նշանի են և «» նշանով,

եթե նրանք հակառակ նշանի են:

Օրինակ՝ (- 20) : (- 5) = + (20 : 5) = 4, 40 : 5 = 8, 8 : (- 2) = − (8:2) = − 4, (- 12): 3 = − (12:3) = − 4:

0ի և ցանկացած a ≠ 0 ամբողջ թվի քանորդ 0 է.

ANTARES

2.8. ԱՄԲՈՂՋ ԹՎԵՐԻ ՔԱՆՈՐԴԸ 67

0 : a = (a ≠ 0):Օրինակ՝ 0 : (– 5) = 0, 0 : 3 = 0:

Ամբողջ թիվը 0ի բաժանել հնարավոր չէ:

Դիտողություն: Ինչպես բնական թվերի դեպքում, ամբողջ թվերի համար նույնպես զրոյից տարբեր թվերի առանց մնացորդի բաժանումը ոչ միշտ է իրագործվում, այսինքն՝ ոչ միշտ է գտնվում այնպիսի ամբողջ թիվ, որ բաժանարարով բազմապատկելիս ստացվի բաժանելին: Գլուխ 3 -ում կդիտարկվեն նոր՝ ռացիոնալ թվեր, և այդ ժամանակ զրոյից տարբեր ցանկացած ամբողջ թվերի քանորդը կլինի ռացիոնալ թիվ:

333. Ի՞նչ է նշանակում զրոյից տարբեր a և b ամբողջ թվերի քանորդ, եթե |a|-ն առանց մնացորդի բաժանվում է |b|-ին։

334. Ի՞նչ քանորդ է ստացվում, երբ 0-ն բաժանում են 0-ից տարբեր որևէ ամբողջ թվի:

335. Հնարավո՞ր է ամբողջ թիվը բաժանել 0-ի:

336. Կատարե՛ք բաժանումը. ա) 234 : 6, բ) 744 : 8, գ) 1794 : 23,դ) 2997 : 37, ե) 9268 : 331, զ) 21333 : 547:

337. Հաշվե՛ք.ա) 576 ⋅23 − 766 ⋅35, բ) 849 ⋅ 18 − 783 ⋅28,գ) 136 ⋅ 13 − (8416 + 1234), դ) 4736 : 4 -1245 ⋅5

338. Գտե՛ք x թվի նշանը, եթե.ա) x ⋅ (- 8) = 400, բ) (- 10) ⋅x = − 420, գ) x ⋅5 = − 60,դ) 12 ⋅x = 144, ե) (- x) ⋅ 15 = 300, զ) (- x) ⋅ (- 6) = 96:

339. Գտե՛ք քանորդի նշանը.ա) 400 : (– 8), բ) (– 420) : (– 10), գ) (– 60) : 15, դ) 144 : 12:

Կատարե՛ք բաժանումը (326, 327).340. ա) (+ 60) : (- 10) = − (60 : 10) = − 6:

բ) (– 20) : 5, գ) (– 50) : 10, դ) (– 80) : (– 20),ե) (– 100) : (– 25), զ) 30 : (– 15), է) 64 : (– 8):

341. ա) 200 : (– 40), բ) (– 500) : 100, գ) 720 : (– 90),դ) (– 810) : (– 9), ե) (– 560) : (– 70), զ) (– 480) : 60:

342. Կատարե՛ք բաժանումը բերված նմուշային օրինակի եղանակով.

7227 : (- 9) = − (7227 : 9),7227 9

...

ANTARES


ա) (– 711) : 9, բ) 1332 : (– 3), գ) (– 2316) : (– 12),դ) (– 1302) : 42, ե) (– 2205) : (– 7), զ) 3208 : (– 8):

343. Գտե՛ք այն x թիվը, որի համար ճիշտ է հավասարությունը.ա) x ⋅ (- 12) = 36, բ) (- 13) ⋅x =- 143,գ) x ⋅ (- 15) = 465, դ) 14 ⋅x = − 294,ե) x : 8 = 7, զ) x : 6 = − 42 ,է) x : (- 7) = − 9, ը) x : (- 11) =- 352,թ) 48 : x = 6, ժ) 56 : x = − 8,ի) (- 64) : x = 8, լ) (- 68) : x =- 4:

344. Կատարե՛ք գործողությունները հետևյալ նմուշօրինակի ձևով.

ա) 13 ⋅ 25 − 28 ⋅ 251) 56

×1365

+13195

2) 28×

25140

+56700

3) 700−

195505

Պատասխան՝ -505։

բ) 679 ⋅ 13 − 846 ⋅ 15, գ) 849 ⋅ 18 − 684 : 19, դ) 4074 : 42 − 12 ⋅59, ե) 3612 : 12 − 8445 : 15:

345. Հաշվե՛քա) 43 212 : 78 − 407 ⋅720 + 350 − 509, բ) 164 ⋅756 +148 916 − 564 ⋅702 +48 762 : 86, գ) (24 968 + 11 648) : (768 − 1564), դ) 37 115 : 65 − 72 675 : 85:

2.9. բաՇԽական ՕրենՔը

Կամայական a, b, c ամբողջ թվերի համար ճիշտ է բաշխական օրենքը.

(a + b) ⋅ c = a ⋅ c + b ⋅ c:

Ապացույցը հանգում է նույն օրենքի ճշտությանը ոչ բացասական ամբողջ թվերի համար: Օրինակ՝ ապացուցենք հավասարությունը.

((- 3) + (- 2)) ⋅ (- 7) = (- 3) ⋅ (- 7) + (- 2) ⋅ (- 7):Իրոք, ((- 3) + (- 2)) ⋅ (- 7) = (- (3 + 2) ⋅ (- 7) = (3 + 2) ⋅ 7 =

= 3 ⋅ 7 + 2 ⋅ 7 = (- 3) ⋅ (- 7) + (- 2) ⋅ (- 7):

ANTARES

2.9. ԲԱՇԽԱԿԱՆ ՕՐԵՆՔԸ 69

Բաշխական օրենքը ճիշտ է նաև մի քանի գումարելիների համար: Օրինակ՝

(3 + 5 + (- 7)) ⋅ (- 2) = 3 ⋅ (- 2) + 5 ⋅ (- 2) + (- 7) ⋅ (- 2):

a ⋅ c + b ⋅ c գումարից c ⋅ (a + b) արտադրյալին անցումն անվանում են ընդհանուր արտադրիչի դուրսբերում փակագծից:

Օրինակ 1: Ընդհանուր արտադրիչը դուրս բերենք փակագծից.

3 ⋅ 35 + 3 ⋅ (- 65):

3 ⋅ 35 + 3 ⋅ (- 65) = 3 ⋅ (35 + (- 65)) = 3 ⋅ (35 − 65): Պատասխան՝ 3 ⋅ (35 − 65):

Օրինակ 2: Հաշվենք (− 49) ⋅ (− 96) + 86 ⋅ (− 49) արտահայտության արժեքը:

Նկատենք, որ յուրաքանչյուր գումարելին ունի (− 49) արտադրիչը: Դուրս բերենք այն փակագծից.

(- 49) ⋅ (- 96) + 86 ⋅ (- 49) = (- 49) ⋅ ((- 96) + 86) = (- 49) ⋅ ( − 10) = 490:Այս օրինակը ցույց է տալիս, որ ընդհանուր արտադրիչը փակագծից

դուրս բերելը որոշ դեպքերում թույլ է տալիս խուսափել մեծածավալ հաշվարկներից:

346. Արտադրյալը գրառե՛ք գումարի (տարբերության) տեսքով.

ա) 5 ⋅ (38 + 17) = 5 ⋅ 38 + 5 ⋅ 17:

բ) 17 ⋅ (31 + 16), գ) (28 + 37) ⋅56, դ) (72 + 98) ⋅ 12, ե) (49 -17) ⋅ 12,զ) 8 ⋅ (57 − 38), է) 17 ⋅ (28+31):

347. Ընդհանուր արտադրիչը դո՛ւրս բերեք փակագծից.

ա) 15 ⋅ 12 + 15 ⋅49 = 15 ⋅ (12 + 49)

բ) 57 ⋅39 + 57 ⋅64, գ) 39 ⋅42 + 28 ⋅42,դ) 73 ⋅57 + 79 ⋅57, ե) 13 ⋅ 195 − 13 ⋅41,զ) 27 ⋅48 -19 ⋅48, է) 54 ⋅88 − 54 ⋅87:

348. Հաշվե՛ք հարմար եղանակով.ա) 350 ⋅46 + 250 ⋅46, բ) 728 ⋅49 − 528 ⋅49,գ) 52 ⋅ 100 − 52 ⋅99, դ) 99 ⋅48 + 1 ⋅48,ե) 4300 − 43 ⋅99, զ) 999 ⋅ 156 + 156,

ANTARES


է) 128 ⋅32 + 872 ⋅32 − 1000 ⋅31,ը) 728 ⋅359 − 628 ⋅359 + 641 ⋅ 1000,թ) 999 ⋅999 − 999 ⋅989 − 9990:

349. a, b, c ամբողջ թվերի համար գրե՛ք բաշխական օրենքը, ապա ձևակերպե՛ք այն:

350. Ինչպե՞ս են անվանում a ⋅c + b ⋅c գումարից c ⋅ (a + b) արտադրյալին անցումը:

351. Նշված a, b, c թվերի համար ստուգե՛ք բաշխական օրենքի ճշտությունը.ա) a = − 5, b = 3, c = 10 բ) a = − 5, b = − 3, c = 6:

352. Բերված նմուշային օրինակի եղանակով արտադրյալը գրե՛ք գումարի տեսքով.

ա) (- 5) ⋅ (- 12 + 16) = (- 5) ⋅ (- 12) + (- 5) ⋅ 16:

բ) 6 ⋅ (8 + (- 17)), գ) (- 7) ⋅ ((- 15) + (- 12)),դ) 16 ⋅ (8 -17), ե) (- 17) ⋅ (- 15 − 12),զ) (25 + 16) ⋅ (- 9), է) (45 − 17) ⋅ (- 11),ը) (- 15 − 42) ⋅ 13, թ) (- 28 − 37) ⋅ (- 3):

353. Ճի՞շտ է կիրառված բաշխական օրենքը.ա) (- 2) ⋅ (5 + 7) = − 10 − 14, բ) (7 − 8) ⋅ (-3) = − 21 − 24, գ) 6 ⋅ ((- 4) + ( − 12)) = − 24 − 72, դ) (- 7 + 5 − 8) ⋅ (- 2) = 14-10 + 16:

354. «∗» նշանի փոխարեն տեղադրե՛ք «+» կամ «–» նշան, որպեսզի հավասարությունը ճիշտ լինի. ա) 3 ⋅ (2 − 7) = ∗ 3 ⋅2 ∗ 3 ⋅7,բ) (- 5) ⋅ (- 6 − 7) = ∗ 5 ⋅6 ∗ 5 ⋅7,գ) (- 2) ⋅ (6 + 9) = ∗ 2 ⋅6 ∗ 2 ⋅9,դ) (- 2) ⋅ (6 − 9) = ∗ 2 ⋅6 ∗ 2 ⋅9:

Պարզեցրե՛ք թվային արտահայտությունը (341343).

355. ա) (- 8) ⋅ (- 7 + 5) − 5 ⋅ (- 8), բ) 3 ⋅ (- 98 + 2) + 3 ⋅98,գ) (- 8) ⋅ (- 47 + 125) − 47 ⋅8, դ) (- 25) ⋅ (45 -100) + 25 ⋅45,ե) 83 ⋅ (- 98 − 1) + 98 ⋅83, զ) (- 15) ⋅ (- 7 + 15) − 7 45:

356. ա) (12 − 27) ⋅ (- 1), բ) (- 1) ⋅ (35 − 88),գ) (- 1) ⋅ (56 -74), դ) (- 1) ⋅ (- 28 -112):

357. ա) 4 ⋅ (- 25 + 76 + 24), բ) (25 − 62 -38) ⋅ (- 4),գ) (7 - 125 + 13) ⋅ (- 8), դ) 8 ⋅ (- 8 + 100 − 22 + 25):

358. Բերված նմուշային օրինակի եղանակով ընդհանուր արտադրիչը դո՛ւրս բերեք փակագծից.

ա) 45 ⋅ 13 -45 ⋅ 81 = 45 ⋅ (13 − 81):

ANTARES

2.10. ՓԱԿԱԳԾԵՐԻ ԲԱՑՈՒՄԸ ԵՎ ՆԵՐԱՌՈՒՄԸ ՓԱԿԱԳԾԵՐԻ ՄԵՋ 71

բ) 49 ⋅57 − 49 ⋅570, գ) 58 ⋅64 − 99 ⋅64,դ) (- 53) ⋅48 − (- 53) ⋅59, ե) (- 45)-12 + 95 ⋅ (- 45),զ) − 53 ⋅48 − 57 ⋅48, է) − 45-13 − 45 ⋅27:

359. Ընդհանուր արտադրիչը փակագծից դո՛ւրս բերեք «+» նշանով.

ա) 4 ⋅ 52 − 4 ⋅ (- 95) = 4 ⋅ (52 − (- 95)) = 4 ⋅ (52 + 95):

բ) − 16 ⋅ 17 − 16 ⋅ 18, գ) 49 ⋅ 19 -19 ⋅91,դ) − 88 ⋅35 − 77 ⋅35, ե) 73 ⋅37 − 73 ⋅73,զ) − 57 ⋅33 + 48 ⋅33, է) 99 ⋅98 + 99 ⋅ 100:

360. Ընդհանուր արտադրիչը փակագծից դո՛ւրս բերեք «–» նշանով.

ա) 4 ⋅ 52 − 4 ⋅ (- 95) = (- 4) ⋅ (- 52 − 95):

361. Հաշվե՛ք.ա) 59 ⋅64 + 59 ⋅36, բ) 72-128 − 72 ⋅228,գ) 63 ⋅356 − 556 ⋅63, դ) − 99-12 − 99 ⋅88,ե) − 67 ⋅85 − 67-115, զ) 41 ⋅91 -91 ⋅51:

362. Ցո՛ւյց տվեք, որ տրված արտահայտությունը բաժանվում է նշված թվին.ա) 43 ⋅ 15 − 55 ⋅ 15 + 34 ⋅ 15, 22բ) 12 ⋅ 17 − 16 ⋅ 17 + 13 ⋅ 17, 9գ) 99 ⋅51 − 99 ⋅91 + 69 ⋅99, 29դ) 63 ⋅23 − 32 ⋅63 + 22 ⋅63, 13:

363. Հաշվե՛ք.ա) 42 ⋅53 − 32 ⋅53 − 42 ⋅63 + 32 ⋅63, բ) 79 ⋅45 + 79 ⋅55 − 89 ⋅45 − 89 ⋅55, գ) 88 ⋅75 -12 ⋅45 +12 ⋅75 − 88 ⋅45, դ) 392 ⋅23 − 492 ⋅23 + 392 ⋅77 − 492 ⋅ 77։

2.10. ՓակաԳծերի բացումը եվ ներաՌումը ՓակաԳծերի մեջ

Այնպիսի արտահայտությունը, ինչպես (− 3 +6 − 1)-ը, հաճախ անվանում են գումար, որովհետև այն կարելի է նաև գրել (– 3) + (+ 6) + (– 1) գումարի տեսքով:

Ելնելով+a = (+ 1) ⋅a

հավասարությունից, որը ճիշտ է ցանկացած a ամբողջ թվի համար, կարող ենք ստանալ հետևյալ հավասարությունները.

ANTARES


+ 5 = 5, + (- 5) =- 5, + (3 + 5) = 3 + 5, + (5 − 2) = 5 -2,+ (- 3 + 6 -1) = − 3 + 6 − 1:

Ստանանք դրանցից մեկը. + (- 3 + 6 -1) = ( + 1) ⋅ (- 3 + 6 -1) =

= (+ 1) ⋅ (- 3) + (+ 1) ⋅ 6 + (+ 1) ⋅ (- 1) =- 3 + 6 -1:Այսպիսով՝ + (- 3 + 6 -1) = − 3 + 6 -1 հավասարությունր ճիշտ է:

Ասում են, որ հավասարման ձախ մասում գումարը ներառված է (վերցված է) փակագծերի մեջ, իսկ աջում՝ փակագծերը բացված են:

Եթե ունենք փակագծի մեջ ներառված գումար, և փակագծից առաջ «+» նշան է դրված, ապա փակագծերը բացելիս գումարելիների

նշանները նույնն են մնում:

Օրինակ՝ + (- 7 + 3 − 4) = − 7 + 3 − 4:

Եթե ունենք մի քանի թվերի գումար, ապա կարելի է այն ամբողջությամբ ներառել փակագծերի մեջ և ստացված

արտահայտության առջև «+» նշան դնել:

Օրինակ՝ − 3 + 8 − 7 = + (- 3 + 8 − 7):

Ելնելով − a = (- 1) ⋅ a հավասարությունից և կիրառելով բաշխական օրենքը՝ կարելի է բացել նաև այնպիսի փակագծերը, որոնցից առաջ դրված է «–» նշան:

Օրինակ՝- (2 − 5) = (- 1) ⋅ (2 − 5) = (- 1) ⋅ 2 + (- 1) ⋅ (- 5) =- 2 + 5,- (6 − 4) = (- 1) ⋅ (6 − 4) = (- 1) ⋅ 6 − (- 1) ⋅ 4 =- 6 + 4:

Եթե ունենք փակագծի մեջ ներառված գումար, և փակագծից առաջ «» նշան է դրված, ապա փակագծերը բացելիս գումարելիների

նշանները փոխվում են՝ պլյուսը դառնում է մինուս, մինուսը՝ պլյուս:

Օրինակ՝ − (- 8 + 3 -11) = + 8 − 3 +11:

Եթե ունենք մի քանի թվերի գումար, ապա կարելի է փոխելով բոլոր գումարելիների նշանները' այն ներառել փակագծերի մեջ և ստացված

արտահայտության առջև «» նշան դնել:

Օրինակ՝ 9 -17 +18 − 4 = -(- 9 +17 -18 + 4):

364. Ձևակերպե՛ք փակագծերի բացման կանոնը, եթե փակագծերից առաջ դրված է. ա) «+» նշան, բ) «–» նշան:

ANTARES

2.10. ՓԱԿԱԳԾԵՐԻ ԲԱՑՈՒՄԸ ԵՎ ՆԵՐԱՌՈՒՄԸ ՓԱԿԱԳԾԵՐԻ ՄԵՋ 73

365. Ի՞նչ կանոնով պետք է տրված գումարը ներառեն այն փակագծի մեջ, որից առաջ ցանկանում են դնել.ա) «+» նշան, բ) «–» նշան:

Բացե՛ք փակագծերը՝ բացատրելով կատարվող գործողությունները (366368).

366. ա) + (5 + 7), բ) + (3 − 8 + 7),գ) + (- 3 + 8 + 7), դ) + (- 10 − 12 + 1),

367. ա) − (5 + 7), բ) − (3 − 8 + 7), գ) − (- 3 + 8 + 7), դ) − (- 10 -12 +1):

368. ա) + (a − b − c), բ) − (a − b − c),գ) + (- a + b + c), դ) − (- a + b + c):որտեղ a-ն, b-ն և c-ն ամբողջ թվեր են:

Բացե՛ք փակագծերը (369372).369. ա) + (56 + 42), բ) + (7 ⋅ 8 + 42),

370. ա) − (45 − 35), բ) − (45 − 7 ⋅ 5),գ) − (45 − 53), դ) − (9 ⋅ 5 − 53)։

371. ա) + (48 -93) -8, բ) − (96 − 35) -6,գ) − (7 ⋅ 8 − 20) + 7 ⋅ 8, դ) + (99 − 5 + 8) -17:

372. ա) − (2 ⋅ 5 + 48) + 23, բ) − (32 − 74) − 74, գ) + (- 120 − 9 ⋅ 9) − 81, դ) + (120 -92) + 81:

373. Բացե՛ք փակագծերը և հաշվե՛ք գումարը.

ա) − (-72 + 39) + 39 = 72 − 39 + 39 = 72:

բ) + (398 − 700) + 700, գ) − (754 − 1200) − 1200,դ) + (-32 − 491) + 32, ե) − (-129 + 59) -129:

Դիտողություն: Փակագծերից առաջ «+» նշանը հաճախ չեն գրում, բայց փակագծերը բացելիս այն հաշվի են առնում:

Հաշվե՛ք (374, 375).374. ա) (456 − 75) − 25, բ) − (728 − 49) + 51,

գ) (− 238 + 742) − 42, դ) − (- 356 + 145) − 56:

375. ա) (7 ⋅ 95 − 900) − 7 ⋅ 95, բ) − (795 − 9 ⋅ 99) − 99 ⋅ 9,գ) (- 48 + 101 − 29) − 101 + 29, դ) − (-79 − 39 + 81) + 81 − 39:

376. Արտագրե՛ք՝ լրացնելով բացթողումները.

ա) 45 − 36 = + (...), 45 − 36 = + (45 − 36):

բ) 45 − 36 = − (...), գ) − 79 + 11 = + (...),դ) − 79 + 11 = − (...), ե) 38 + 59 = + (...),զ) -17 -81 = − (...), է) 39 − 70 = − (...):

ANTARES


377. Առաջին երկու գումարելին ներառե՛ք փակագծերի մեջ՝ փակագծերից առաջ դնելով «+» նշան.

45 − 64 − 12 + 99 = + (45 − 64) − 12 + 99:

ա) 79 − 48 + 15 − 8, բ) − 56 + 38 − 12 + 100,գ) 43 + 59 − 35 − 11, դ) − 43 − 59 + 35 + 11,ե) 42 − 79 + 13 − 1, զ) − 57 + 48 − 17 + 23:

378. Առաջին երկու գումարելին ներառե՛ք փակագծերի մեջ՝ փակագծերից առաջ դնելով «–» նշան. ա) 79 − 48 + 15 − 8, բ) − 56 + 38 -12 + 100,գ) 43 + 59 − 35 − 11, դ) − 43 − 59 + 35 + 11,ե) 42 − 79 + 13 − 1, զ) − 57 + 48 − 17 + 23:

2.11. ԳործողուԹյուններ մի Քանի Գումարելիներ ունեցող Գումարների հետ

Նախորդ կետում բերվեցին այնպիսի փակագծերի բացման կանոնները, որոնցից առաջ «+» կամ «–» նշան էր դրված: Բայց հանդիպում են նաև այնպիսի գումարներ, որոնցում փակագծերից առաջ տեղադրված «+» և «–» նշաններն արտահայտում են գումարման և հանման գործողություններ: Պարզվում է, որ ուսումնասիրված կանոններն այս դեպքում նույնպես կիրառելի են.

a + (b − c) = a + b − c, a − (b − c) = a − b + c,որտեղ a -ն, b -ն ու c -ն ամբողջ թվեր են:Օրինակ' 9 + (8 − 3) = 9 + 8 − 3, 9 − (7 − 3) = 9 − 7 + 3:Մի քանի գումարելիների գումարը հաշվելիս օգտագործվում են

փակագծերի բացման, փակագծերի մեջ ներառման կանոնները և գումարման օրենքները: Երբեմն սկզբից գումարում են դրական, ապա բացասական գումարելիները և գտնում են ստացված տարբեր նշանի թվերի գումարը՝ կիրառելով դրան համապատասխանող կանոնը:

Օրինակ'78 − 89 + 32-11 = (78 + 32) + (- 89 -11) = 110 + (- 100) = 110 − 100 = 10:Բայց կարելի է այլ կերպ էլ հաշվել.78 − 89 + 32-11 = (78 − 89) + (32 -11) = ( − 11) + 21 = 10:

379. Ի՞նչ կանոններով են բացում փակագծերը, եթե նրանց առջև դրված նշանը գումարման կամ հանման գործողություն է ցույց տալիս:

ANTARES

2.11. ԳՈՐԾՈՂՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐ ՄԻ ՔԱՆԻ ԳՈՒՄԱՐԵԼԻՆԵՐ ՈՒՆԵՑՈՂ ԳՈՒՄԱՐՆԵՐԻ ՀԵՏ 75

380. Մի քանի գումարելիների գումարը հաշվելու համար ի՞նչ կանոններ ու օրենքներ են կիրառվում:

381. Բացե՛ք փակագծերը.ա) 49 − (38 − 5), բ) − 32 + (78 − 9),գ) 72 + (- 32 + 9), դ) − 63 − (- 63 + 1),ե) (79 − 39) − (79 − 48), զ) (37 − 49) − (87 − 59),է) − (45 − 64) + (38 − 24), ը) − (-35 + 2) + (- 35 − 8)

382. Բացե՛ք փակագծերը և հաշվե՛ք.ա) 108 − (108 − 5), բ) − 49 − (- 49 + 2), գ) − 56 + (- 98 + 56), դ) 100 − (- 5 + 100), ե) (79 − 81) − (39 − 81), զ) (- 78 + 23) + (27 + 78),է) (- 39 + 15) − (5 − 39), ը) (105 − 48) − (62 + 105):

383. Հաշվե՛ք` փակագծերը բացելով միայն այն դեպքում, երբ դա դյուրացնում է հաշվարկները. ա) 79 − (63 + 7), բ) 43 + (23 + 77),գ) 79 − (79 − 7), դ) 43 + (77 − 43),ե) 102 − (56 + 44), զ) 102 − (102 − 5),է) 93 − (68 + 93), ը) − 72 − (99 + 1), թ) 48 − (11 + 19), ժ) 48 − (18 + 19),ի) − 56 + (96 + 9), լ) 59 + (96 + 4),խ) 52 − (32 − 41), ծ) 73 − (68 − 8),կ) − 25 − (- 45 + 19), հ) − 49 − (11 − 68):

384. Վերջին երկու գումարելիները ներառե՛ք փակագծերի մեջ երկու եղանակով՝ փակագծերից առաջ մի անգամ դնելով «+» նշան, մյուս անգամ՝ «–»:ա) 37+12+13, բ) 45 − 2 -12,գ) 5 − 28 + 22, դ) 76 + 38 -52:

385. Հաշվե՛ք երկու եղանակով՝ մի անգամ կիրառելով փակագծերը բացելու կամ փակագծերի մեջ ներառելու կանոնը, մյուս անգամ՝ առանց այդ կանոնները կիրառելու. ա) 48 -19-1, բ) 93 -17-13,գ) 48 − (28 − 43), դ) 88 − (18 − 30):

386. Հաշվեք` ընտրելով հարմար եղանակ. ա) 84 − (44 + 28), բ) 94 − (44 + 26), գ) 826 − (231 + 269), դ) 728 − (328 -179),ե) 83 − 23 − 29, զ) 83 − 21 -29, է) 236-136 -92, ը) 236 -108 − 92:

387. Հաշվե՛ք.ա) − (98 + 49) − (102 − 49), բ) (123 -254) − (23 − 354), գ) (149 + 237) − (137 + 49), դ) − (95 + 105) − (398 − 98)ե) (49 + 35) − (49-35), զ) (48 + 15) − (48 -15),

ANTARES


է) (76 + 28) − (76 − 28), ը) (72 + 29) − (72 − 29):

2.12. ամբողջ Թվերի Պատկերումը կոորԴինատային աՌանցՔի վրա

Մենք արդեն գիտենք, թե բնական թվերն ու 0-ն ինչպես են պատ-կերվում կոորդինատային ճառագայթի վրա: Ամբողջ թվերը նույնպես կարելի է հարմար ձևով երկրաչափորեն պատկերել: Վերցնենք մի ուղիղ, նրա վրա նշենք մի Օ կետ, որը համարենք 0 թվի համապատասխանը: Այդ կետն անվանում են սկզբնակետ կամ հաշվարկման սկիզբ: Ինչպես գիտենք, ուղիղն Օ կետով տրոհվում է հակադիր ուղղություններով երկու ճառագայթների: Ընտրենք այդ ուղղություններից մեկը՝ նշելով սլաքով և անվանելով դրական ուղղություն: Ընտրենք միավոր հատված:

Ուղիղը, որի համար ընտրված են հաշվարկման սկիզբ, հաշվարկման (դրական) ուղղություն և միավոր հատված, կոչվում է

կոորդինատային առանցք:

Սովորաբար կոորդինատային առանցքը պատկերում են հորիզոնական ուղղի տեսքով՝ որպես դրական վերցնելով դեպի աջ ուղղությունը:

Օ սկզբնակետով երկու ճառագայթներից մեկը, որը զրոյից աջ է, (նկար 31), անվանում են դրական կոորդինատային կիսաառանցք (ճառագայթ), մյուսը՝ նկար 30-ում զրոյից ձախն անվանում են բացասական կոորդինատային կիսաառանցք (ճառագայթ):

Նկար 30

Կոորդինատային առանցքի օգնությամբ ամբողջ թվերը պատկերվում են կետերով: Օ կետը, որով պատկերվում է զրո թիվը, անվանում են նաև զրո կետ կամ զրո կոորդինատով կետ և գրում են այս կերպ՝ Օ (0):

Կամայական n (n ≠ 0) ամբողջ թիվր կոորդինատային առանցքի վրա պատկերում են այն կետով, որի հեռավորությունը զրո կետից |n| է, և որը գտնվում է դրական կիսաառանցքի վրա, եթե n-ը դրական է (ո > 0), և բացասական կիսաառանցքի վրա, եթե n-ը բացասական է (n < 0): Այդ կետն անվանում են n կետ, կամ n կոորդինատով կետ, իսկ n թիվն անվանում են այդ կետի կոորդինատ:

Օրինակ՝ նկար 31-ում պատկերված են 4 կոորդինատով A կետը և -2 կոորդինատով B կետր, գրում են' A (4), B (- 2):

ANTARES

2.12. ԱՄԲՈՂՋ ԹՎԵՐԻ ՊԱՏԿԵՐՈՒՄԸ ԿՈՈՐԴԻՆԱՏԱՅԻՆ ԱՌԱՆՑՔԻ ՎՐԱ 77

Նկար 31

Եթե m-ը և n-ը ամբողջ թվեր են ու m > n, ապա1) m կետը կոորդինատական առանցքի վրա ավելի աջ է, քան n-ը,2) m և n կետերի հեռավորությունը m − n է:Օրինակ՝ նկար 32-ում կոորդինատական առանցքի վրա նշված են A

(7) և B (– 4) կետերը: Քանի որ 7 > − 4, ապա A կետը կոորդինատային առանցքի վրա B-ից աջ է և

AB = 7 − (- 4) = 7 + 4 = 11, BO = 0 − ( − 4) = 0 + 4 = 4

Նկար 32

Եթե տրված երկու կետերի կոորդինատները հակադիր թվեր են, ապա այդ կետերը զրո կետից ունեն հավասար հեռավորություններ, բայց տարբեր կիսաառանցքների վրա են (օրինակ՝ B և C կետերը նկար 32-ում):

388. Ի՞նչն են անվանում.ա) կոորդինատային առանցք, բ) դրական կոորդինատային կիսաառանցք,գ) բացասական կոորդինատային կիսաառանցք:

389. Ի՞նչ են անվանում զրո թիվը պատկերող կետը:

390. Ինչպե՞ս է որոշվում կոորդինատային առանցքի m և n կետերի հեռավորությունը, եթե ա) m > n, բ) m < n:

391. Ո՞ր կետերն են, որ 0 կետից նույն հեռավորություններն ունեն, բայց տարբեր կիսաառանցքների վրա են:

392. Նկար 33-ում կոորդինատային առանցքի որոշ կետեր նշանակված են A, B, C, D և E տառերով: Նշե՛ք նրանց կոորդինատները:

Նկար 33

393. Գտե՛ք հատվածի երկարությունը (նկար 33).ա) OA, բ) OB, գ) OC, դ) OD, ե) AC, զ) AE, է) OE, ը) CB, թ) DA:

ANTARES


394. Գծե՛ք 1 սմ միավոր հատվածով կոորդինատային առանցք: Նշե՛ք A(– 5), B(7), C(4), D(– 4) կետերը: Հաշվե՛ք հետևյալ հատվածի երկարությունը. ա) OA, բ) OB, գ) BC, դ) BD, ե) AD:Արդյունքը ստուգե՛ք սանտիմետրային քանոնով:

395. Գծե՛ք կոորդինատային առանցք՝ որպես միավոր վերցնելով տետրի մեկ վանդակը: Նշե՛ք O(0), A(5), B(– 8), C(9), D(– 2) կետերը: Հաշվե՛ք նշված հատվածի երկարությունը. ա) OA, բ) OB, գ) AB, դ) AC, ե) DC:

396. Հաշվե՛ք կոորդինատային առանցքի m և n կետերի հեռավորությունը, եթե.ա) m = 7, n = – 3 բ) m = 3, n = – 7գ) m = – 8, n = 0 դ) m = – 8, n = 8:

397. Կոորդինատային առանցքի վրա նշանակված են 0 և 3 կետերը: Կարկինի օգնությամբ նշե՛ք – 3, 6, – 6, 9 և – 9 կետերը:

2.13. կոորԴինատային հարԹուԹյուն: ԳրաՖիկներ

Առօրյա կյանքում հաճախ հարկ է լինում թվերի միջոցով գտնել տարբեր առարկաների տեղերը: Օրինակ՝ դահլիճում նստատեղերը որոշում են երկու թվով. շարքի համարով և այդ շարքում աթոռի համարով, իսկ որոշակի փողոցում ապրող մարդու հասցեն որոշում են շենքի համարով և այդ շենքում բնակարանի համարով:

Այժմ ծանոթանանք, թե ինչպես են կոորդինատներ վերագրում հարթության կետերին: Այդ նպատակով հարթության վրա վերցնենք նույն O սկզբնակետն ու միավորն ունեցող երկու փոխուղղահայաց կոորդինատային առանցքներ, ինչպես նկար 34 ա)-ում: Հորիզոնական առանցքն անվանենք աբսցիսների առանցք կամ x-երի առանցք, իսկ ուղղաձիգ առանցքը՝ օրդինատների առանցք կամ y-ների առանցք: Ընդունված է աբսցիսների առանցքի աջ կիսաառանցքը վերցնել որպես դրական կիսաառանցք, իսկ օրդինատնե րի առանցքի վրա որպես դրական վերցնել վերևի կիսաառանցքը:

ա) բ)Նկար 34

ANTARES

2.13. ԿՈՈՐԴԻՆԱՏԱՅԻՆ ՀԱՐԹՈՒԹՅՈՒՆ: ԳՐԱՖԻԿՆԵՐ 79

Հարթության վրա այսպես կառուցված կոորդինատային առանցքների փոխուղղահայաց զույգն անվանում են ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգ, իսկ հարթությունն այդ համակարգի հետ՝ կոորդինատային հարթություն:

Այժմ ենթադրենք ունենք կոորդինատային հարթության որևէ A կետ: Ենթադրենք A կետից աբսցիսների առանցքին տարած ուղղահայաց ուղիղն այդ առանցքը հատում է E(4) կետում, իսկ օրդինատների առանցքին տարած ուղղահայաց ուղիղն օրդինատների առանցքը հատում է F(2) կետում: E կետի կոորդինատը՝ 4-ը, անվանենք A կետի աբսցիս, իսկ F-ի կոորդինատը՝ 2-ը, A կետի օրդինատ և գրենք՝ A(4; 2): 4-ը և 2-ը միասին՝ անվանենք A կետի կոորդինատներ (նկար 34 ա):

Այսպիսով՝ A կետին համապատասխանեցրինք (4; 2) թվազույգը:Իմանալով կետի կոորդինատները՝ կարող ենք գտնել նրա դիր քը հար-

թու թյան վրա: Օրինակ, ենթադրենք B կետն ունի (–3; 4) կոոր դի նատ նե-րը: Աբսցիսների առանցքի – 3 կետում տանենք այդ առանցքին ուղղա-հա յաց ուղիղ, իսկ օրդինատների առանցքի 4 կետում՝ օրդինատների առանց քին ուղղահայաց ուղիղ (նկար 34 բ): Հեշտ է ստուգել, որ այդ եր-կու ուղիղ ների հատման B կետի աբսցիսը կլինի − 3, իսկ օրդինատը՝ 4:

Մի օրինակով ցույց տանք, թե ինչպես կարելի է կոորդինատային հարթության վրա գրաֆիկի միջոցով ներկայացնել երկու մեծության միջև առկա կապը:

Ստորև բերված նկարում գրաֆիկի միջոցով ներկայացված է հիվանդի ջերմաստիճանի փոփոխությունը՝ հիվանդության տարբեր օրերին: Հիվանդության յուրաքանչյուր օրվա սկզբում չափել են հիվանդի ջերմաստիճանը և արդյունքը կետով նշել ուղղաձիգ առանցքի ուղղությամբ: Այնուհետև ստացված կետերը միացնելով սահուն կորով՝ ստացել են գրաֆիկ:

Գրաֆիկին նայելով՝ կարելի է ասել, որ մինչև երրորդ օրը հիվանդի ջերմաստիճանը բարձրացել է, երրորդ օրը եղել է ամենաբարձրը՝ 39 1

2աստիճան, այնուհետև այն նվազել է մինչև իններորդ օրը, երբ հիվանդն ապաքինվել է:

398. Կոորդինատների ի՞նչ օրինակներ գիտեք առօրյա կյանքից:

399. Ինչպե՞ս են կոչվում հարթության կոորդինատային առանցքները: Ի՞նչ է կոորդինատային հարթությունը:

400. Քանի՞ կոորդինատով է որոշվում կոորդինատային հարթության կետը: Ինչպե՞ս են անվանում այդ կոորդինատները:

ANTARES


401. ա) Ինչպե՞ս են որոշում կոորդինատային հարթության տրված կետի կոորդինատները:բ) Ինչպե՞ս են որոշում կոորդինատային հարթության կետը, եթե տրված են նրա աբսցիսը և օրդինատը:

402. Կոորդինատային ուղղանկյուն համակարգում նշե՛ք հետևյալ կետերը. ա) (2; 5), (6; − 4), (– 2; 2), (– 1; − 3), (– 4; 0)բ) (7; 3), (– 2; 2), (– 3; − 4), (2; − 3), (0; − 2):

403. Կոորդինատային հարթության վրա նշե՛ք հետևյալ կետերը. A (4; − 1), B (0; 3), C (– 2; 4), D (– 1; − 1), E (– 3; 0):

404. Կոորդինատային հարթության վրա որտե՞ղ են դասավորված այն բոլոր կետերը, որոնց.ա) աբսցիսները 4 են, բ) օրդինատները – 3 են:

405. Կոորդինատային հարթության վրա կառուցե՛ք A (– 6; 2), B (– 2; 2) և C (– 2; 4) գագաթներով եռանկյունը:

406. Կոորդինատային հարթության վրա պատկերե՛ք A (–2; –2), B (– 1; – 1), C (0; 0), D (1; 1), E (2; 2) կետերը: Քանոնով ստուգե՛ք՝ այդ կետերը գտնվում են արդյոք մի ուղղի վրա: Իսկ F (– 5; 5) կետը գտնվո՞ւմ է այդ ուղղի վրա:

407. ա) Կոորդինատային հարթության վրա պատկերե՛ք A (5; 3), B (–2; 3), C (– 2; – 2), D (5; – 2) գագաթներով ABCD ուղղանկյունը: Հաշվե՛ք այդ ուղղանկյան պարագիծն ու մակերեսը:բ) Կոորդինատային հարթության վրա նշե՛ք A (– 8; 3), B (1; 3), C (1; – 2) կետերը: Կառուցե՛ք D կետն այնպես, որ ստացվի ABCD ուղղանկյուն: Հաշվե՛ք այդ ուղղանկյան պարագիծն ու մակերեսը:

2.14. համաՉաՓուԹյուն

1 և – 1 թվերը տվյալ կոորդինատային առանցքի կետերով պատկերելու համար հարկավոր է այդ առանցքի վրա նրա սկզբնակետից հավասարահեռ երկու կետ նշել (նկար 35): Այդպիսի կետերի մասին ասում են, որ նրանք համաչափ (սիմետրիկ) են Օ կետի նկատմամբ:

Նկար 35

Ընդհանրապես A և B կետերը կոչվում են համաչափ Օ կետի նկատմամբ, եթե այդ երեք կետերը մի ուղղի վրա են, և Օ-ն AB հատվածը բաժանում է երկու հավասար հատվածների: Այդ դեպքում ասում են, որ Oն AB հատվածի միջնակետն է:

ANTARES

2.14. ՀԱՄԱՉԱՓՈՒԹՅՈՒՆ 81

Նկար 36

Նկար 36-ում շրջանագծի Օ կենտրոնով անցնող ուղիղը շրջանագիծը հատում է A և B կետերում: AO և OB հատվածները հավասար են, ուրեմն A և B կետերը համաչափ են Օ կետի նկատմամբ:

Նկատենք, որ եթե նկար 36-ի A կետը պտտենք O կետի շուրջը, ապա այն կհամատեղվի B կետի հետ:

Դիցուք հարթության վրա ունենք F1 և F2 պատ-կեր ներն ու Օ կետը: Եթե Օ կետի շուրջը 180˚ պտույ տի դեպքում պատկերներից մեկը հա մա-տեղ վում է մյուսին, ապա այդ պի սի պատ կեր նե-

րը կոչվում են Օ կետի նկատմամբ համաչափ պատ կեր ներ: Այդ պիսի համաչափությունն անվանում են կենտրոնային հա մա չա փու թյուն:Եթե F1 և F2 պատկերները կենտրոնային համաչափ են, ապա նրանք վրա

դնելիս կարող են համընկնել, ուրեմն նաև հավասար են՝ F1 = F2:

Կենտրոնային համաչափ կամայական պատկերները հավասար են:

Նկար 37-ում և 38-ում բերված են կենտրոնային համաչափ F1 և F2 պատկերների օրինակներ. երկու դեպքում էլ F1 = F2:

Խնդիր 1: Տրված են AB հատվածը և նրան չպատկանող Օ կետը (նկար 39): Կառուցենք Օ կետի նկատմամբ AB հատվածին համաչափ A1B1 հատվածը:

Լուծում: Տանենք AO ճառագայթը և նրա վրա կարկինով անջատենք OA–ին հավասար OA1 հատվածը: A1–ը կլինի A–ի համաչափն Օ կետի նկատմամբ: Նման ձևով կառուցենք B կետին Օ–ի նկատմամբ համաչափ B1 կետը (նկար 40): Միացնելով A1 և B1 կետերը՝

կստանանք Օ-ի նկատմամբ AB-ին համաչափ A1B1 հատվածը (նկար 41):


Նկար 38

Նկար 37

ANTARES



Խնդիր 2: Տրված են ABC եռանկյունն ու նրանից դուրս գտնվող Օ կետը (նկար 42): Կառուցենք Օ կետի նկատմամբ ABC եռանկյանը համաչափ A1B1C1 եռանկյունը:

Խնդիրը լուծելու համար բավական է նախորդ խնդրի լուծման եղանակով կառուցել Օ կետի նկատմամբ A, B, C կետերին համաչափ A1, B1, C1 կետերը: Ստացված A1B1C1 եռանկյունը կլինի որոնելին (նկար 43):

Հարթության այն պատկերը, որը տրված Օ կետի շուրջը պտտելու դեպքում համ-ընկնում է ինքն իր հետ, անվանում են Օ կետի նկատմամբ համաչափ պատ կեր: Ասում են նաև, որ այդ պատկերն ունի հա մա չա փու թյան կենտրոն (տվյալ դեպ-քում՝ O-ն): Համարվում է, որ հա մա չա-փության կենտրոնն ինքն իրեն հա մա-չափ է (իր նկատմամբ):

Նկար 44 Նկար 45 Նկար 46

Օրինակ՝ AB հատվածը համաչափ է իր միջնակետի նկատմամբ (նկար 44), ABCD ուղղանկյունը համաչափ է իր անկյունագծերի հատման կետի նկատմամբ (նկար 45), Օ կենտրոնով շրջանագիծը համաչափ է իր կենտրոնի նկատմամբ (նկար 46): Ուղիղը համաչափ է իր

ցանկացած կետի նկատմամբ:

Նկար 43

Նկար 47

ANTARES


Հարթության պատկերների համար բացի կենտ րո նա-յին համաչափությունից գո յու թյուն ունի նաև հա մա-չափության մի այլ տե սակ՝ հա մա չա փու թյուն ուղ ղի նկատ մամբ (առանցքային հա մա չա փու թյուն): Նկար 47-ում տրված են F1 և F2 պատկերներն ու a

ուղիղը: Եթե նկարի հարթությունը ծալենք a ուղղով, ապա F1 և F2 պատկերները կհամատեղվեն: Այդպիսի

պատկերներն անվանում են ուղղի նկատմամբ համաչափ պատկերներ:Նկար 48-ում դիտարկվում է նույն F1 պատկերն ու b ուղիղը: Եթե

նկարի հարթությունը ծալենք b ուղղով, ապա F1 պատկերի մի մասը կհամատեղվի նրա մյուս մասի հետ: Այդպիսի պատկերն անվանում են

համաչափ b ուղղի նկատմամբ, b ուղիղն անվանում են համաչափության առանցք, իսկ համաչափության այդ տեսակը՝ առանցքային համաչափություն:

Համաչափությունը հաճախ հանդիպում է բնության մեջ՝ ծառերի տերևներին, թիթեռնիկների թևե րին, ձյան փաթիլներին հաղորդելով հատուկ գե ղեց կու-թյուն: Պատահական չէ, որ Հին Հայաս տա նում «հա-մաչափություն» բառն օգտագործվում էր ամբող ջում նրա մասերի տեղաբաշխման «գե ղեց կու թյան», «հա-մա կող մանիության», «համանմանության» իմաստ-նե րով: Նկար 49-ում և նկար 50-ում պատ կեր ված են թխկենու տերև և թիթեռ:

Առանցքային համաչափությունը հաճախ օգտագործվում է զինանշանների և խորհրդանիշերի ստեղծման ժամանակ: 51 և 52 նկար ներում պատկերված են Ռուսաստանի Դաշնության զինանշանը և Խնայ բանկի խորհրդանիշը, որոնցից յուրաքանչյուրը համաչափության առանցք ունի:

Հայաստանում հնուց ի վեր համաչափությունը լայնորեն կիրառվել է ճարտարապետությունում,

Նկար 49

Նկար 50

Նկար 51

Նկար 52Նկար 53 Նկար 54

Նկար 48

ANTARES


գորգագործությունում, ման րա նկար չու թյու նում, ասեղ նա գոր ծու թյու-նում և այլ ասպարեզներում:

Առանցքային համաչափությունը հատուկ է երկրաչափական շատ պատկերների: Օրինակ՝ նկար 53-ում պատկերված է BD ուղղի նկատմամբ համաչափ ABC հավասարասրուն եռանկյունը:

Կան և այնպիսի պատկերներ, որոնք ունեն համաչափության մի քանի առանցքներ: Օրինակ՝ ուղղանկյունն ունի երկու, քառակուսին՝ չորս, իսկ շրջանագիծը՝ անվերջ շատ համաչափության առանցք (նկար 51): Շրջանագծի կենտրոնով անցնող յուրաքանչյուր ուղիղ նրա համար համաչափության առանցք է:

Խնդիր 3: Տրված են a ուղիղը և նրա վրա չգտնվող M կետը (նկար 55 ա): Կառուցենք M կետին a ուղղի նկատմամբ համաչափ N կետը:

Լուծում: Անկյունային քանոնի միջոցով M կետով տանենք a ուղղին ուղղահայաց b ուղիղը: a և b ուղիղների հատման կետը նշանակենք K -ով (նկար 55 բ): MK ճառագայթի վրա կարկինով անջատենք MK-ին հավասար KN հատվածը: Ստացված N կետը կլինի M-ի համաչափը a ուղղի նկատմամբ (նկար 55 գ):

Նկար 55

Եթե տրված են ABC եռանկյունը և այդ եռանկյան հարթության a ուղիղը, ապա այդ ուղղի նկատմամբ A, B, C կետերին համաչափ կետերը նշանակելով A1 , B1 , C1 , կստանանք ABC եռանկյանն a ուղղի նկատմամբ համաչափ A1 B1 C1 եռանկյունը:

408. Կոորդինատային առանցքի ո՞ր կետն է ա) 5 -ի, բ) − 7 -ի, գ) 0 -ի համաչափը սկզբնակետի նկատմամբ:

409. Բացատրե՛ք` ո՞ր երկու կետերն են համարվում համաչափ տրված Օ կետի նկատմամբ:

410. Ըստ նկար 56-ի որոշե՛ք, թե որ կետն է Օ կետի նկատմամբ համաչափ հետևյալ կետին. ա) A, բ) B, գ) C, դ) D, ե) M, զ) N, է) O:

ANTARES


411. Ըստ նկար 56-ի որոշե՛ք, թե որ հատվածն է Օ կետի նկատմամբ համաչափ հետևյալ հատ վա ծին.

Նկար 56

ա) AB, բ) AD, գ) BC, դ) AO,ե) BO, զ) OC, է) BD, ը) MN:

412. Ըստ նկար 56-ի որոշե՛ք, թե տրված պատկերն Օ կետի նկատմամբ որ պատկերին է համաչափ.ա) BCO եռանկյունը, բ) ADC եռանկյունը,գ) CNO եռանկյունը, դ) ABCD ուղղանկյունը,ե) DCNM քառանկյունը:

413. Վանդակավոր թղթի վրա պատկերված է 3x4 չափերով ուղղանկյուն (նկար 57): Գտե՛ք այդ ուղղանկյունը երկու հավասար պատկերների տրոհելու 5 եղանակ այնպես, որ կտրտման գծերն անցնեն վանդակավոր թղթի գծերով:

414. Վանդակավոր թղթի վրա գծագրե՛ք 3x5 չափերով ուղղանկյուն, որից հեռացված է կենտրոնական քառակուսին (նկար 58): Գտե՛ք ստացված պատկերը երկու հավասար մասերի բաժանելու 5 եղանակ այնպես, որ կտրտման գծերը անցնեն վանդակավոր թղթի գծերով:


415. Վանդակավոր թղթի վրա պատկերված է 6x6 չափերով քառակուսի: Գտե՛ք այդ քառակուսին երկու հավասար մասերի բաժանելու 6 եղանակ, որ կտրտման գծերը անցնեն վանդակների գծերով:

416. Կարելի՞ է արդյոք վանդակավոր թղթի վրա պատկերված 5x5 չափերով քառակուսին վանդակների գծերով կտրելով բաժանել երկու հավասար մասերի:

417. Ապացուցե՛ք, որ ուղղանկյան համաչափության կենտրոնով անցնող կամայական ուղիղ ուղղանկյունը տրոհում է երկու հավասար պատկերների:

418. Ապացուցե՛ք, որ տրված պատկերի համաչափության կենտրոնով անցնող կամայական ուղիղ պատկերը տրոհում է երկու հավասար մասերի:

419. Կառուցե՛ք Օ կենտրոնով շրջանագիծ: Նշե՛ք նրա վրա մի M կետ: Կառուցե՛ք M-ին Օ կետի նկատմամբ համաչափ N կետը: Ճի՞շտ է

ANTARES


արդյոք, որ շրջանագծի կենտրոնը նրա համար համաչափության կենտրոն է:

420. Կառուցե՛ք Օ կենտրոնով շրջանագիծ: Շրջանագծի կետերն իր ներքին կետերի հետ միասին անվանում են շրջան: Ճի՞շտ է արդյոք, որ Օ-ն շրջանի համար համաչափության կենտրոն է:

421. Տրված են AB հատվածն ու նրանից դուրս Օ կետը: Կառուցե՛ք Օ կետի նկատմամբ A-ին համաչափ A1 և B-ին համաչափ B1 կետերը: Միացրե՛ք A1 ու B1, A ու A1, B ու B1 կետերը: Նշե՛ք Օ կետի նկատմամբ համաչափ հատվածների բոլոր զույգերը: Ստացված հատվածներից որո՞նք են իրենք իրենց համաչափ Օ կետի նկատմամբ:

422. Տրված է ABC եռանկյունը: Կառուցե՛ք A կետի նկատմամբ ABC եռանկյանը համաչափ եռանկյունը:

423. Տրված են ABC եռանկյունն ու նրա AB կողմի վրա գտնվող Օ կետը: Կառուցե՛ք Օ կետի նկատմամբ ABC եռանկյանը համաչափ եռանկյունը:

424. Ուղղանկյունից անջատել են քառակուսի, ինչպես ցույց է տրված նկար 59-ում: Տարե՛ք ուղիղ, որով ներկված պատկերը տրոհվի երկու հավասար մակերեսներով մասերի:


425. Մի անգամ Աստված Ագռավին մի կտոր պանիր ուղարկեց: Ենթադրենք, ի տարբերություն հայտնի առակի հերոսի, մեր Ագռավը ցանկացավ պանիրը կիսել Աղվեսի հետ: Ինչպե՞ս պետք է նա պանիրը կտրի ուղիղ գծով, եթե այն ունի կլոր անցքով ուղղանկյան տեսք (նկար 60): (Պանրի կտորի հաստությունը բոլոր մասերում միևնույնն է):

426. Ո՞ր երկու պատկերներն են համարվում համաչափ տրված a ուղղի նկատմամբ:

427. Ըստ նկար 61-ի որոշե՛ք, թե որ կետն է a ուղղի նկատմամբ համաչափ հետևյալ կետին. ա) A, բ) B, գ) C, դ) D, ե) M:

428. Ըստ նկար 61-ի որոշե՛ք, թե որ հատվածն է a ուղղի նկատմամբ համաչափ հետևյալ հատվածին. ա) AB, բ) BM, գ) BC, դ) CD,

Նկար 61

ANTARES


ե) AN, զ) ND, է) AD:

429. Ըստ նկար 61-ի որոշե՛ք, թե որ պատկերն է a ուղղի նկատմամբ համաչափ հետևյալ ուղղանկյանը.ա) ABMN, բ) MCDN, գ) ABCD:

430. Ո՞ր պատկերն են համարում տրված a ուղղի նկատմամբ համաչափ պատկեր:

431. Վանդակավոր թղթի վրա կառուցե՛ք 4x6 չափսերով ուղղանկյուն և նրա բոլոր համաչափության առանցքները: Քանի՞ համաչափության առանցք ունի ուղղանկյունը:

432. Վանդակավոր թղթի վրա կառուցե՛ք քառակուսի և նրա բոլոր հա-մա չափության առանցքները: Քանի՞ համաչափության առանցք ունի քառակուսին:

433. Կառուցե՛ք Օ կենտրոնով շրջանագիծ և նրա համաչափության որևէ երեք առանցք: Որքա՞ն համաչափության առանցքներ ունի շրջա-նա գիծը:

434. Տետրում արտանկարե՛ք այբուբենի այն տառերը, որոնք ունեն հա-մա չա փության առանցք: Նրանցից յուրաքանչյուրի համար նշեք համա չա փության առանցքների քանակը:

Ա Բ Գ Դ Ե Զ Է Ը Թ Ժ Ի Հ Խ

Ծ Կ Հ Ձ Ղ Ճ Մ Յ Ն Շ Ո Չ Պ

Ջ Ռ Ս Վ Տ Ր Ց Ու Փ Ք Եվ Օ Ֆ435. Տետրում գծե՛ք պատկեր, որն ունի.

ա) մեկ համաչափության առանցք,բ) երկու համաչափության առանցք:

436. Թղթի թերթը երկտակ ծալե՛ք ուղիղ գծով, մկրատով կտրե՛ք առանցքային համաչափությամբ օժտված մի պատկեր:

437. Տրված են AB հատվածը և այդ հատվածը չհատող b ուղիղը: Կառուցե՛ք b ուղղի նկատմամբ AB հատվածին համաչափ MN հատվածը:

438. Տրված են b ուղիղն ու այն հատող AB հատվածը: Կառուցե՛ք b ուղղի նկատմամբ AB-ին համաչափ MN հատվածը:

439. Տրված են ABC եռանկյունը և այդ եռանկյունը չհատող b ուղիղը: Կառուցե՛ք b ուղղի նկատմամբ ABC եռանկյանը համաչափ եռանկյունը:

440. Տրված են ABC եռանկյունը և նրա երկու կողմերը հատող b ուղիղը: Կառուցե՛ք b ուղղի նկատմամբ ABC եռանկյանը համաչափ եռանկյունը:

441. Տրված են b ուղիղ և այն հատող շրջանագիծ: Կառուցե՛ք b ուղղի նկատմամբ այդ շրջա նա գծին համաչափ շրջանագիծը:

ANTARES


2.15. Պատմական ակնարկ Բացասական թվերի մեզ հայտնի առաջին հիշատակումը հանդի պում

է «Մաթեմատիկան ինը գրքերում» (Ջան Ցան, III դար մ.թ.ա., Չինաս տան) գրքերից մեկում: Բացասական թիվն այդ ժամանակ հասկացվում էր որ-պես պարտք, իսկ դրականը՝ ունեցվածք: Բացասական թվերի գումա-րումն ու հանումը իրագործվում էր պարտքի մասին դատողություն-ներով: Օրինակ՝ բացասական թվերի գումարման կանոնը ձևա կերպ վում էր հետևյալ կերպ. «Եթե մի պարտքին ավելացնենք մի այլ պարտք, ապա կստանանք պարտք, ո՛չ թե՝ ունեցվածք»: «Մինուս» նշան այն ժամանակ չի եղել, իսկ դրական և բացասակն թվերը տարբե րելու համար Ջան Ցանը դրանք գրել է տարբեր գույնի թանաքներով:

Հին հույն գիտնական Դիոֆանտը (III դար) ազատորեն գոր-ծողություններ էր կատարում բացասական թվերով: Դրանք ան ընդհատ հանդիպում են նրա «Թվաբանություն» գրքի շատ խնդիր ների լուծ-ման միջանկյալ հաշվարկներում: Օրինակ՝ բացասական թվե րով բազ-մապատկման գործողությունները Դիոֆանտը մեկնա բանում էր այս-պես. «Հանվողը հանվողով բազմապատկելիս ստացվում է ավե լաց վող, իսկ հանվողը ավելացվողով բազմապատկելիս ստացվում է հանվող»:

Մեր թվարկության VI − VII դարերում հնդիկ մաթեմատիկոսներն էլ էին արդեն օգտվում բացասական թվերից, բայց դեռևս դրանք հասկանալով որպես պարտք: Առաջին անգամ բացասական թվերով բոլոր չորս թվաբանական գործողությունները բերված են հնդիկ մաթեմատիկոս և աստղագետ Բրամահուպտայի (598-660) կողմից: Օրինակ՝ բաժանման կանոնը նա ձևակերպում էր այսպես. «Դրականը բաժանած դրականի, կամ բացասականը բաժանած բացասականի՝ դառնում է դրական: Բայց դրականը բաժանած բացասականի կամ բացասականը բաժանած դրականի՝ մնում է բացասական»:

Հնդիկներից անկախ, որպես դրական թվերի հակադրություններ, բացասական թվերին է հանգել իտալացի մաթեմատիկոս Լեոնարդո Պիզանսկին (Ֆիբոնաչի) (XIII դար): Առաջինը գերմանացի մաթեմատիկոս Շտիֆելն է, որ բացասական թվերը դիտել է որպես զրոյից փոքր թվեր («փոքր, քան ոչինչը»):

Սակայն XVI-XVII դարերում անգամ եվրոպական շատ մաթե մա տի-կոս ներ չէին ընդունում բացասական թվերը. հաշվարկներում այդ պիսի թվեր հանդիպելիս անվանում էին դրանք կեղծ, անհնարին:

Բացասական թվերի ժամանակակից մեկնաբանությունը, հիմնված կոոր դինատային առանցքի վրա զրոյից ձախ հատվածներ տեղադրելու վրա, տրված է հոլանդացի մաթեմատիկոս Ա. Ժիրարի (1595-1632) և ֆրան սիացի մաթեմատիկոս ու փիլիսոփա Ռ. Դեկարտի (1596-1650) աշխա տանքներում:

ANTARES


Այսպիսով՝ բացասական թվերի ժամանակակից մեկնաբանմանը հանգելու համար բազմաթիվ գիտնականների դեգերումներն ու ջանքերն են պահանջվել Ջան Ցանից մինչև Դեկարտն ընկած 18 երկարաձիգ դարերի ընթացքում:

2.16. հետաՔրՔրաՇարԺ ԽնԴիրներ 442. Մեկ տողով կողք կողքի գրե՛ք 5 թիվ այնպես, որ յուրաքանչյուր

երկու հարևան թվերի գումարը լինի դրական, իսկ բոլոր թվերի գումարը՝ բացասական:

443. Կարելի՞ է մեկ տողով կողք կողքի գրել 6 այնպիսի թիվ, որ յուրաքանչյուր երկու հարևան թվերի գումարը լինի բացասական, իսկ բոլոր թվերի գումարը՝ դրական:

444. Կարելի՞ է մեկ տողով կողք կողքի գրել 7 այնպիսի թիվ, որ յուրաքանչյուր երկու հարևան թվերի գումարը լինի դրական, իսկ բոլոր թվերի գումարը՝ բացասական:

445. Կարելի՞ է մեկ տողով կողք կողքի գրել 9 այնպիսի թիվ, որ յուրաքանչյուր երեք հարևան թվերի գումարը լինի դրական, իսկ բոլոր թվերի գումարը՝ բացասական:

446. Կարելի՞ է 3 տողից և 4 սյունից բաղկացած աղյուսակի վանդակներում գրել այնպիսի ամբողջ թվեր, որ թվերի գումարը. ա) յուրաքանչյուր տողում լինի –20, իսկ յուրաքանչյուր սյունում՝ –15,բ) յուրաքաչյուր տողում լինի –20, իսկ յուրաքանչյուր սյունում՝ –16, գ) յուրաքաչյուր տողում լինի դրական, իսկ յուրաքանչյուր սյունում՝ բացասական:

447. Մեկ տողով կողք կողքի գրված են մի քանի թիվ այնպես, որ յուրաքանչյուր երեք հարևան թվերի գումարը դրական է: Կարելի՞ է պնդել, թե բոլոր թվերի գումարը դրական է, եթե այդ թվերի ընդհանուր քանակը.ա) 18 է, բ) 19 է, գ) 20 է:

448. Ոչ թափանցիկ պարկում 10 սպիտակ և 5 սև գունդ է դրված: Առանց նայելու ամենաքիչը քանի՞ գունդ է պետք հանել, որ նրանց մեջ լինի երկու.ա) սպիտակ, բ) սև, գ) տարբեր գույնի, դ) նույն գույնի գունդ:

449. Ոչ թափանցիկ պարկում դրված է 679 սպիտակ և 679 սև գունդ: Առանց նայելու ամենաքիչը քանի՞ գունդ է պետք հանել, որ նրանց մեջ լինի երկու. ա) սպիտակ, բ) սև, գ) տարբեր գույնի, դ) նույն գույնի գունդ:

450. Ունենք տարբեր փականներով երեք սենյակ իրենց մեկական բանալիներով: Ամենաքիչը քանի՞ փորձով կարելի է պարզել, թե որ բանալին որ սենյակինն է:

ANTARES


451. Նարինեն բնական թիվը բազմապատկեց ինքն իրենով և ստացավ 2 թվանշանով վերջացող մի թիվ: Չի՞ սխալվել արդյոք նա:

452. Հեռուստախաղի վարողը հարցրեց խաղացողին.– Հավատո՞ւմ եք Դուք, որ ես վերջին 20 օրերում չեմ ծխել:– Հավատում եմ,– պատասխանեց խաղացողը:– Ահա և սխալ է, ես չեմ ծխում արդեն 24 օր:Ճի՞շտ գնահատեց արդյոք վարողը խաղացողի պատասխանը:

453. Հանդիպեցին երեք դասընկերուհի՝ Կանաչյանը, Կապուտիկյանը և Սևոյանը: Նրանցից մեկը հագել էր սև շրջազգեստ, մյուսը՝ կապույտ, իսկ երրորդը՝ կանաչ: Կանաչյանը դիմեց Սևոյանին. «Եթե ես ու դու փոխենք մեր զգեստները, ապա երեքիս զգեստների գույները կհամապատասխանեն մեր ազգանուններին»: Ով ո՞ր զգեստով էր:

454. Գոհարը, Լուսինեն, Լիլիթն ու Տիգրանը մրցումներում զբաղեցրին առաջին չորս տեղերը: Այն հարցին, թե ով որ տեղն է զբաղեցրել, նրանցից երեքը պատասխանեցին. 1) Գոհարը ոչ առաջինն է, ոչ՝ չորրորդը, 2) Լուսինեն երկրորդն է, 3) Լիլիթը չորրորդը չէ:Ո՞ր տեղն էր զբաղեցրել ամեն մեկը:

455. Ունենք մետաղադրամներով լի երեք քսակ: Նրանցից մեկում 9 գրամանոց կեղծ մետաղադրամներ են: Մնացած քսակներում 10 գրամանոց իսկական մետաղադրամներ են: Ունենք կշեռք, որով կարելի է պարզել քսակներից ընտրած մետաղադրամների ցանկացած հավաքածուի ընդհանուր կշիռը: Ինչպե՞ս մեկ կշռումով որոշել, թե որ քսակում են կեղծ մետաղադրամները:

456. Լուծե՛ք նախորդ խնդիրը.ա) չորս, բ) հինգ, գ) տասը քսակների համար, եթե մեկ քսակում՝ կեղծ, իսկ մնացածում իսկական մետաղադրամներ են:

457. Աշակերտներն արկղում դրեցին երեք գլխարկ՝ մեկը կապույտ, երկուսը կարմիր: Ուսուցիչը գրատախտակի մոտ կանչեց նրանցից երկուսին, որոնք կանգնեցին դեմքով դեպի դասարանը և փակեցին իրենց աչքերը: Ուսուցիչը յուրաքանչյուրի գլխին մի գլխարկ դրեց, իսկ մյուս գլխարկը թաքցրեց արկղում: Աշակերտները բացեցին աչքերը, և նրանցից յուրաքանչյուրը կարող էր տեսնել մյուսի գլխարկը, բայց չէր տեսնի իրենը: Կարո՞ղ է նրանցից որևէ մեկը որոշել իր գլխարկի գույնը, եթե արկղում թաքցրած գլխարկը.ա) կարմիր էր, բ) կապույտ էր:

458. Լուծե՛ք նախորդ խնդիրը երկու կապույտ ու 3 կարմիր գլխարկի և երեք աշակերտի համար: Ի՞նչ դեպքեր է պետք դիտարկել:

459. Քաղաք ժամանելուն պես Խոջա Նասրեդինը թակեց առաջին իսկ պատահած տան դուռը և ապաստան խնդրեց: Նասրեդինը փող չուներ, բայց ուներ 7 օղակով ոսկյա շղթա: Տանտերը համաձայնեց 7 օրով տեղավորել Նասրեդինին՝ այսպիսի պայմաններով.

ANTARES


1) մեկ օրվա համար Նասրեդինը պետք է վճարի շղթայի մեկ օղակ,

2) յուրաքանչյուր օրվա վարձը պետք է վճարվի այդ օրվա սկզբում,

3) կարելի է սղոցել մեկից ոչ ավելի օղակ:

Կհաջողվի՞ Նասրեդինին կատարել այդ պայմանները:

460. Մի տուփում դրված են երկու սպիտակ, մյուսում՝ երկու կարմիր, երրորդում՝ մեկ սպիտակ և մեկ կարմիր գնդակ: Յուրաքանչյուր արկղին պիտակ է փակցված, սակայն այն սխալ է արտահայտում այդ տուփի պարունակությունը (նկար 62): Ո՞ր տուփից առանց նայելու պետք է մի գնդակ հանել, որպեսզի հնարավոր լինի որոշել բոլոր տուփերի ճիշտ պարունակությունը:

Նկար 62

461. Դիանան, Էդգարն ու Անահիտը բակում խաղում էին և նրանցից մեկը անզգուշաբար գնդակով կոտրեց պատուհանի ապակին: Դիանան ասաց. «Այդ ես չեմ կոտրել ապակին»: Էդգարն ասաց. «Այդ Անահիտն է կոտրել ապակին»: Հետագայում պարզվեց, որ այդ երկու պնդումներից մեկը ճիշտ է, մյուսը՝ սխալ: Երեխաներից ո՞վ է կոտրել ապակին:

462. Ս.Ա. Ռաչինսկիի խնդիրներից: ա) Որոշել եմ՝ 1892 թվին Պետերբուրգում անցկացնել այնքան րոպե, որքան ժամ որ կանցկացնեմ գյուղում: Այդ տարում այլևս ոչ մի տեղ չեմ լինի: Ինչքա՞ն ժամանակ ես կանցկացնեմ Պետերբուրգում: (Մի տեղից մի այլ տեղ փոխադրվելու ժամանակը հաշվի չի առնվում):բ) Ես իմ երկու դուստրերից ու երեք ուստրերից ամեն մեկին նույն քանակությամբ բլիթներ տվեցի: Երբ տղաները իրենց բաժիններից 5-ական բլիթներ կերան, նրանք միասին ունեցան այնքան բլիթ, որքան աղջիկները միասին: Ընդամենը քանի՞ բլիթ էի բաժանել երեխաներին:գ) Մոսկվայից Տամբով 450 վերստ է: Միաժամանակ միմյանց ընդառաջ շարժվեցին Մոսկվայից՝ փոստատար, իսկ Տամբովից՝ ապրանքատար գնացքները: Երկրորդն ամբողջ ճանապարհը կարող է անցնել 18 ժամում, իսկ առաջինը՝ երկու անգամ շուտ: Քանի՞ ժամ հետո նրանք կհանդիպեն:դ) Դուստրը գործում է օրական 3 արշին: 4 օր միայնակ գործելուց հետո նրան միացավ նաև մայրը, որը գործում էր օրը 5 արշին: Երբ նրանց գործվածքները հավասարվեցին, նրանք դադարեցրին աշխատանքը: Ընդամենը քանի՞ արշին գործեցին:

ANTARES

3.1. բացասական կոտորակներ

Ավելի վաղ ուսումնասիրել ենք սովորական կոտորակները. նրանք նաև կոչվում են դրական կոտորակներ:

Օրինակ՝ 12, 2

3, 3

4, 8

7, 6

6, 7

1 թվերը դրական կոտորակներ են:

Երբեմն դրական կոտորակի առջև «+» նշան են դնում՝ համարելով, որ դրանից թիվը չի փոխվում, այսինքն՝

+ 12 = 1

2, + 8

7 = 8

7, + 7

1 = 7

1։

Դրական կոտորակի առջև «–» նշան դնելով՝ համարվում է, որ ստացվում է նոր թիվ. այն անվանում են բացասական կոտորակային թիվ կամ բացասական կոտորակ:

Օրինակ՝ 12, 8

7, − 7

1 թվերը բացասական կոտորակներ են:

Ինչպես գիտեք, միայն նշանով տարբերվող թվերն անվանում են հակադիր թվեր:

Օրինակ՝ �+ 12�, և � 1

2�, թվերը հակադիր են:

Հակադիր թվերից մեկը դրական է, մյուսը՝ բացասական: Բացառություն է 0 թիվը՝ 0-ն հակադիր է ինքն իրեն.

0 = + 0n = – 0

n, որտեղ n-ը ցանկացած բնական թիվ է:

Հիշենք, որ 0-ն ո՛չ դրական է, ո՛չ էլ՝ բացասական:Եթե ցանկացած նշանի կոտորակի առջև «+» նշան դնենք, ապա

կստանանք նույն թիվը, եթե «–» նշան դնենք, ապա կստանանք այդ կոտորակին հակադիր թիվը: Օրինակ՝

+�− 34�=− 3

4 −�+ 3

4�=− 3

4

Մտցնենք կոտորակի բացարձակ արժեքի կամ մոդուլի գաղափարը:

ՌԱՑԻՈՆԱԼ ԹՎԵՐ

ANTARES

3.1. ԲԱՑԱՍԱԿԱՆ ԿՈՏՈՐԱԿՆԵՐ 93

Դրական կոտորակի մոդուլ անվանում են այդ կոտորակն ինքը։

Օրինակ՝ 58 կոտորակի մոդուլը 5

8 է, ինչը գրում են այսպես. �5

8� = 5

8

Բացասական կոտորակի մոդուլ անվանում են նրան հակադիր (դրական) կոտորակը

Օրինակ՝ 58 կոտորակի մոդուլը 5

8 է, ինչը գրում են այսպես.

�− 58� = 5

8

Զրոյի մոդուլը զրո է։

|0| = 0

Հակադիր թվերի մոդուլները նույնն են։

Օրինակ՝ �58� = �− 5

8�= 5

8Կոտորակի «–» նշանը նրա առջև դնելու փոխարեն կարելի է գրել

նրա համարիչում կամ հայտարարում: Օրինակ՝ ճիշտ են հետևյալ հավասարությունները.

− 12

= − 12

= 1- 2

, − 57

= − 57

= 5- 7

,

− 1316

= − 1316

= 13- 16

, − 02

= − 02

= 5- 2

= 0։

463. Գրե՛ք երեք բացասական կոտորակ:

464. Ո՞ր թվերն են անվանում հակադիր: Բերե՛ք օրինակներ:

465. Ո՞ր թիվն է հակադիր.ա) զրոյին,բ) տրված դրական կոտորակին,գ) տրված բացասական կոտորակին:

466. Ինչ՞ն են անվանում.ա) դրական կոտորակի մոդուլ,բ) բացասական կոտորակի մոդուլ,գ) զրոյի մոդուլ:

467. Ո՞ր կոտորակներն են դրական, որոնք` բացասական.16, 1

3, 0

4, 2

7, 3

1, 0

2

468. Նշե՛ք 12, 2

9, − 1

3, 3

7, − 4

11, կոտորակներին հակադիր կոտորակները:

469. Ո՞ր թիվն է ինքն իր հակադիրը:

ANTARES

ԳԼՈՒԽ 3 ՌԱՑԻՈՆԱԼ ԹՎԵՐ94

Օգտվելով բերված նմուշային օրինակներից՝ պարզեցրե՛ք գրառումը (470, 471).

470. ա) 8 = 8 բ) − 7 = 7 գ) � 19� = 1

9, դ) �− 2

3� = 2

3:

ե) 2, զ) − 3, է) 0, ը) � 14� թ) �− 1

5� ժ) �2

7�։

471. ա) � − 14�, բ) �− 2

9�, գ) � − 1

8�, դ) �− 8

15�։

ե) �− 38�, զ) �− 8

9�, է) − �− 1

2�, ը) − �− 1

5�:

472. Համեմատե՛ք թվերը.

ա) �23� և �− 2

3�, բ) 5 և �− 1

2�, գ) �− 1

5� և � 1

4�։

473. Ըստ բերված նմուշօրինակի գրե՛ք կոտորակն այնպես, որ «−» նշանը լինի կոտորակի համարիչում.

ա)− 34

= − 34

:

բ)− 57, գ)− 7

3, դ)− 4

9, ե)− 1

9, զ)− 13

12,

474. Նմուշային օրինակից օգտվելով՝ կոտորակը գրե՛ք այնպես, որ «−» նշանը լինի կոտորակի հայտարարում.

ա)− 34

= 3- 4

:

բ)− 65, գ)− 7

8, դ)− 8

9, ե)− 17

18, զ)− 18

17։

475. Գրե՛ք − 27

, − 611

, − 213

, 5− 7

, 4− 9

, 12− 7

կոտորակներն այնպես, որ «−»

նշանները լինեն կոտորակների առջևում:

476. Հավասա՞ր են արդյոք կոտորակները.

ա)− 23 և − 2

3 , բ) − 5

8 և − 5

8, գ) 4

9 և − 4

9 , դ)− 5

7 և 5

7։

477. Գտե՛ք թվի մոդուլը.

ա)− 12, բ) - 2

3, գ) 3

4, դ) 5

− 9, ե) 0, զ)− 5

4։

478. Հաշվե՛ք.

ANTARES

3.2. ՌԱՑԻՈՆԱԼ ԹՎԵՐ 95

ա) �− 12� + � 1

2�, բ) �− 11

3� − �− 8

3�,

գ) �− 103� ⋅ �− 12

5�, դ) �23

5� : �− 26

5�։

3.2. Ռացիոնալ Թվեր

Այն թիվը, որը կարելի է գրել ab տեսքով, որտեղ aն ու bն ամբողջ

թվեր են, և bն 0 չէ, անվանում են կոտորակ (ռացիոնալ կոտորակ) կամ ռացիոնալ թիվ:

Օրինակ՝ 23

, − 65

, 8− 11

և − 7− 7

թվերը ռացիոնալ թվեր են:

a թիվն անվանում են ab

կոտորակի համարիչ, իսկ b թիվը' հայտարար:

Կոտորակների հավասարությունը որոշում են կոտորակի հիմնական հատկության միջոցով.

եթե կոտորակի համարիչն ու հայտարարը բազմապատկենք զրոյից տարբեր միևնույն ամբողջ թվով, ապա կստանանք

սկզբնականին հավասար կոտորակ.

ab

= a ⋅ nb ⋅ n

: (1)

որտեղ a-ն, b-ն, n-ը ամբողջ թվեր են,

Օրինակներ. 1) 34

= 3 ⋅ (-2)4 ⋅ (-2)

= − 6− 8

2) − 52

= (-5) ⋅ 32 ⋅ 3

= − 156

3) 2- 3

= 2 ⋅ (-1)(-3) ⋅ (-1)

= − 23

(1) հավասարության միջոցով ab

կոտորակից a ⋅ nb ⋅ n

կոտորակին անցումը

անվանում են կոտորակի բերում նոր հայտարարի, իսկ հետադարձ անցումը՝ կոտորակի կրճատում.

a ⋅ nb ⋅ n

= ab: (2)

(2) հավասարությունը նշանակում է, որ եթե կոտորակի համարիչն ու հայտարարն ունեն զրոյից տարբեր ընդհանուր n ամբողջ արտադրիչ,

ANTARES


ապա կոտորակը կարելի է կրճատել n-ով (համարիչն ու հայտարարը բաժանել n-ի): Այդ դեպքում ստացվում է սկզբնականին հավասար կոտորակ:

Օրինակներ. 1) − 1214

= (-6) ⋅ 27 ⋅ 2

= − 67

2) − 15− 9

= (-3) ⋅ 5(-3) ⋅ 3

= 53

Ընդգծենք, որ երկու կոտորակներ հավասար են այն և միայն այն դեպքում, եթե նրանցից մեկը կրճատելով կարելի է ստանալ մյուսը:

Կարելի է նաև ասել. երկու կոտորակներ հավասար են այն և միայն այն դեպքում, եթե նրանցից մեկի համարիչն ու հայտարարը զրոյից տարբեր թվով բազմապատկելով կարելի է ստանալ մյուսը:

ab ռացիոնալ թիվը.

ա) դրական կոտորակ է, եթե a-ն ու b-ն նույն նշանի են,բ) բացասական կոտորակ է, եթե a-ն ու b-ն տարբեր նշանի են,գ) զրո թիվն է, եթե a = 0, b ≠ 0:Բերենք դրանք հաստատող օրինակներ.

1) 35

-ը դրական կոտորակ է,

− 7− 8

= (-7) ⋅ (-1)(-8) ⋅ (-1)

= 78

, այսինքն − 7− 8

-ը դրական կոտորակ է։

2) − 35

= − 35

, այսինքն − 35

-ը բացասական կոտորակ է,

3− 8

= − 38

, այսինքն 3− 8

-ը բացասական կոտորակ է:

3) 03

= 0, 0− 5

= 0 ⋅ (-1)(-5) ⋅ (-1)

= 05

այսինքն 03

= 0, 0− 5

= 0:

Ցանկացած a ամբողջ թվի համար ճիշտ է հավասարությունը.

a1

= a:

Դա ցույց է տալիս, որ

ցանկացած ամբողջ թիվ ռացիոնալ թիվ է:

Օրինակ՝ − 3 = − 31

= − 31

:

Օգտվելով կոտորակի հիմնական հատկությունից՝ կարելի է ցանկացած կոտորակ բերել դրական հայտարարի:

Օրինակներ. 5− 3

= 5 ⋅ (−1)(−3) ⋅ (−1)

= − 53

,

ANTARES

3.2. ՌԱՑԻՈՆԱԼ ԹՎԵՐ 97

− 6− 7

= (−6) ⋅ (−1)(−7) ⋅ (−1)

= 67

:

Այսպիսով.

ցանկացած ռացիոնալ թիվ կարելի է գրել ab տեսքով,

որտեղ bն բնական, իսկ aն ամբողջ թիվ է:

479. Ո՞ր թիվն են անվանում ռացիոնալ: Նշե՛ք մի քանի ռացիոնալ թիվ:

480 Բնական թիվը ռացիոնա՞լ է:

481. Ամբողջ թիվը ռացիոնա՞լ է:

482. Դրական կոտորակը ռացիոնա՞լ թիվ է:

483. Ձևակերպե՛ք կոտորակի հիմնական հատկությունը: Բերե՛ք կո-տո րա կը նոր հայտարարի բերելու համար կոտորակի հիմնական հատ կու թյունն օգտագործելու օրինակ:

484. Ո՞ր դեպքում կարելի է կոտորակը կրճատել: Ո՞ր հատկության հի-ման վրա են կրճատում կոտորակը: Բերե՛ք օրինակներ:

485. Ո՞ր դեպքում է կոտորակը դրական, որ դեպքում՝ բացասական: Բե-րե՛ք օրինակներ:

486. Ամե՞ն կոտորակ կարելի է գրել դրական հայտարարով:

487. Կրճատե՛ք կոտորակները.

820

, 3556

, 4248

, 764828

, 792891

։

488. Բերե՛ք 48 հայտարարի.

12

, 23

, 34

, 56

, 78

, 1112

, 1516

, 2324

։

489. Բերե՛ք դրական հայտարարի.

ա) 1− 2

, բ) 1− 3

, գ) − 2− 3

, դ) − 2− 5

, ե) 7− 4

, զ) 1− 3

։

490. − 12

, և − 14

բացասական կոտորակներից յուրաքանչյուրը բերե՛ք

հետևյալ հայտարարի. ա) 8, բ) 28, գ) 36:

491. Բերե՛ք 60 հայտարարի.

ա) − 12, բ) − 2

3, գ) − 4

5, դ) − 11

12, ե) 13

− 15, զ) 19

− 20։

492. Պարզեցրե՛ք գրելաձևը.

ա) − 1- 2

, բ) −3- 4

, գ) −4956

, դ) 72- 67

,

ANTARES


ե) − 81- 72

, զ) − 96- 143

է) − − 1542

, ը) − 55- 75

,

թ) − − 125625

, ժ) 100- 8

ի) 32− 512

, լ) − 32- 128

։

493. Կրճատե՛ք կոտորակը: Արդյունքը գրե՛ք դրական հայտարարով կոտորակի տեսքով.

ա) −8- 12

, բ) −3521

գ) 36− 45

, դ) 45- 63

,

ե) − 3577

, զ) − 96− 128

է) − 124− 196

, ը) 252- 444

։

494. Գտե՛ք այն x թիվը, որի համար ճիշտ է հավասարությունը.

ա) − 13

= x3, բ) −4

5= x

20, գ) − 2

3= x

9,

դ) − 13

= x30

, ե) − 45

= −20x

, զ) − x3

= − 1218

։ Պարզեցրե՛ք գրելաձևը (495, 496).

495. ա) − −57

, բ) − 4− 3

, գ) − − 37

, դ) − 9− 10

։

496. ա) − �− 79�= − − 7

9 = − (− 7)

9= 7

9,

բ) − �− 49�, գ) − �− - 1

3�, դ) − �− 2

−13�, ե) − �− − 1

− 2�։

497. Հավասա՞ր են արդյոք հետևյալ ռացիոնալ թվերը.

ա) 14 և − 8

- 32 , բ) − 75

100 և 3

− 4,

գ) 24− 40

և − 2745

, դ) − 77−78

և 6372

։

498. Կոտորակը գրե՛ք ամբողջ թվի տեսքով.

ա) 21, բ) − 13

1 , գ) 0

2, դ) − 14

7, ե) − 32

- 4, զ) 44

- 11։

499. − 179

, 37− 48

, − 15− 5

, 0− 7

, - 17− 1

, 16− 8

, − − 4623

, − 20− 30

ռացիոնալ թվերից դո՛ւրս

գրեք նրանք, որոնք. ա) բնական են, բ) ամբողջ են:

500. Հետևյալ ռացիոնալ թվերից գտե՛ք միմյանց հավասարները:

- 39, − 5

− 10, 4

− 8, − 25

50, 0

100, 17

34, 0

− 72, 100

− 300։

501. Գրե՛ք դրական հայտարարով և տրված թվին հավասար 3 կոտորակ. ա) 5, բ) − 2, գ) − 28, դ) 0:

ANTARES

3.3. ՌԱՑԻՈՆԱԼ ԹՎԵՐԻ ՀԱՄԵՄԱՏՈՒՄԸ 99

502. Դրակա՞ն է, բացասակա՞ն է արդյոք տրված կոտորակը.

ա) 35, բ) − 5

9 , գ) 4

− 3, դ) 0

− 1, ե) − 6

− 8,

զ) − − 13

, է) − 79 , ը) 0

− 4, թ) − 9

17, ժ) − 31

− 4։

503. Գրե՛ք տրվածին հակադիր կոտորակը.

ա) − 15, բ) − 1

3 , գ) 4

7, դ) − 5

6, ե) − 7

8, զ) − 1

− 3։

504. Նո՞ւյն, թե՞ տարբեր նշանի են m ու n թվերը (m ⋅ n ≠ 0) եթե ճիշտ է հավասարությունը.

ա)�mn�= m

n, բ) �m

n�= − m

n։

3.3. Ռացիոնալ Թվերի համեմատումը

Կամայական երկու կոտորակ կարելի է բերել ընդհանուր դրական հայտարարի:

Օրինակ՝ 2− 7

և − 35 կոտորակները բերենք ընդհանուր դրական

հայտարարի.2

− 7= 2 ⋅ (− 5)

(− 7) ⋅ (− 5)= − 10

35, − 3

5= − (− 3) ⋅ 7

5 ⋅ 7= − 21

35:

Փաստորեն երկու ռացիոնալ թիվ բերել դրական ընդհանուր

հայտարարի` նշանակում է նրանք ներկայացնել ab և c

b տեսքերով,

որտեղ b-ն` բնական, իսկ a-ն ու c-ն ամբողջ թվեր են:

Ընդհանուր դրական հայտարարով երկու կոտորակներ հավասար են, եթե հավասար են նրանց համարիչները:

Ընդհանուր դրական հայտարարով երկու կոտորակներից մեծ է այն, որի համարիչը մեծ է:

Այսպիսով՝ ընդհանուր դրական հայտարարով կոտորակների հա մե-մա տումը հանգում է ամբողջ թվերի՝ այդ կոտորակների համարիչների, հա մե մատմանը:

Օրինակ 1. Համեմատենք − 67

և − 57

կոտորակները:

Քանի որ − 6 < − 5, ապա − 67

< − 57

։

Տարբեր հայտարարներով երկու կոտորակներ համեմատելու համար կարելի է դրանք բերել ընդհանուր դրական հայտարարի

և համեմատել ստացված կոտորակները:

ANTARES


Օրինակ 2. Համեմատենք 5− 8

և − 34 կոտորակները:

5− 8

= − 58

, − 34

= −34

= (−3) ⋅ 24 ⋅ 2

= −68

։

Քանի որ − 5 > − 6, ապա − 58

> −68

, ուրեմն 5− 8

> − 34։

Նշենք, որ կոտորակների համեմատման կանոնից հետևում է.1) ցանկացած դրական կոտորակ մեծ է զրոյից, 2) ցանկացած բացասական կոտորակ փոքր է զրոյից, 3) ցանկացած դրական կոտորակ մեծ է բացասականից,4) երկու կոտորակ հավասար են այն և միայն այն դեպքում, եթե ընդ-

հա նուր դրական հայտարարի բերելուց հետո, հավասար են նրանց հա-մա րիչ ները:

505. Ինչպե՞ս են համեմատումա) ընդհանուր դրական հայտարարով կոտորակները, բ) տարբեր հայտարարներով կոտորակները:

506. Ձևակերպե՛ք ա) դրական կոտորակի և զրոյի, բ) բացասական կոտորակի և զրոյի, գ) դրական կոտորակի և բացասական կոտորակի համեմատության կանոնը:

Համեմատե՛ք թվերը (507512).507. ա) 15 և − 45, բ) 79 և 0, գ) − 81 և 0,

դ) 48 և − 1000, ե) − 999 և − 1, զ) 46 և − 46:

508. ա) 37 և 4

7, բ) 49

50 և 4

5, գ) 11

20 և 17

30։

509. ա) 37452

և 207388

, բ) 456729

և 895891

, գ) 9991000

և 10001001

։

510. ա) 67 և 8

7, բ) 1 և 7

8, գ) 1 և 9

8, դ) 1

2 և 1

3։

511. ա) − 1 և − 2, բ) −12 և − 7, գ) − 12 և 0, դ) 0 և - 3

4։

512. ա) − 12 և 1

2, բ) −4

5 և − 3

5, գ) − 1

7 և − 3

7, դ) − 3

8 և 5

- 8։

513. Թվերը գրե՛ք աճման կարգով.

− 18, −5

8, −6

8, − 2

8, −9

8, − 1, −3

8, −4

8:

514. Թվերը գրե՛ք նվազման կարգով.

− 74, − 1

4, − 15

4, − 3

4, −2։

ANTARES

3.3. ՌԱՑԻՈՆԱԼ ԹՎԵՐԻ ՀԱՄԵՄԱՏՈՒՄԸ 101

515. Գտե՛ք մի կոտորակ, որը մեծ լինի տրված երկու կոտորակներից մեկից և փոքր՝ մյուսից.

ա) − 15 և − 4

5, բ) − 9

10 և − 3

10, գ) − 12

13 և 4

− 13,

դ) - 811

և − 511

, ե) − 18 և − 7

8, զ) − 3

7 և - 5

7։


ա) − 12 և − 4

3, բ) − 1

5 և − 1

2, գ) − 1

6 և − 4

11,

դ) − 12 և − 3

4, ե) −3

5 և − 7

10, զ) − 5

9 և - 2

3,

է) − 1224

և − 12, ը) − 5

28 և − 1

7, թ) 25

32 և − 5

8,

ժ) − 910

և − 1415

, ի) − 14 և − 7

8, լ) − 13

24 և − 17

36։

517. − 12, − 2

3, − 3

4կոտորակները գրե՛ք աճման կարգով:

518. − 12, −5

6, − 1

3կոտորակները գրե՛ք նվազման կարգով:

519. Ճի՞շտ է, որ եթե pq

> mn

և mn

> rk, ապա p

q> r

k

520. Գոյություն ունե՞ն արդյոք ab տեսքի կոտորակներ, որոնց համար

ճիշտ լինի −25 < a

b < − 1

5 անհավասարությունը: Եթե այո, ապա գտե՛ք

երեք այդպիսի կոտորակ:521. Կարելի՞ է նշել 10 կոտորակ, որոնցից յուրաքանչյուրը մեծ լինի

տրված երկու կոտորակներից մեկից և փոքր՝ մյուսից.

ա) − 3940

և − 140

, բ) −34 և − 1

4,

522. Գտե՛ք կոտորակ, որը մեծ լինի տրված երկու կոտորակներից մեկից և փոքր՝ մյուսից.

ա) − 15 և − 1

3, բ) − 5

6 և −2

3, գ) − 3

8 և −3

4,

դ) − 320

և − 730

, ե) − 37 և −2

9, զ) − 10

11 և - 19

20։


ա) − 12 և − 1, բ) − 8

8 և − 1, գ) − 9

8 և − 1, դ) − 498

497 և − 1։

524. Առանց ընդհանուր դրական հայտարարի բերելու՝ ինչպե՞ս համեմատել միևնույն դրական համարիչներով կոտորակները:

ANTARES


3.4. կոտորակների Գումարումն ու հանումը

Ընդհանուր դրական հայտարար ունեցող կոտորակների գումարը նույն հայտարարով մի կոտորակ է, որի համարիչը տրված

կոտորակների համարիչների գումարն է:

Օրինակներ. 1) - 211

+ - 311

= − 2 + (− 3)8

= − 511

= − 511

,

2) - 27

+ 37

= − 2 + 37

= 17:

Նշենք, որ հակադիր կոտորակների գումարը 0 է:

Օրինակ՝ 35

+ �− 35�= 3

5 + − 3

5= 3 + (- 3)

7= 0

5= 0:

Երկու կոտորակների տարբերություն անվանում են այն կոտորակը, որը հանելիին գումարելով ստանում են նվազելին:

Օրինակ՝ 35

− �− 15�= 4

5, որովհետև 4

5 + �− 1

5�= 3

5,

− 35

− 15

= − 45, որովհետև -4

5 + 1

5= − 4

5 + 1

5= -4 + 1

5= - 3

5= − 3

5:

Ընդհանուր դրական հայտարարով երկու կոտորակների տարբերությունը նույն հայտարարով կոտորակ է, որի համարիչը

նվազելիի և հանելիի համարիչների տարբերությունն է:


− 45

= 3 −45

= − 15

= − 15,

4) - 35

− − 45

= - 3 − (-4)5

= - 3 + 45

= 15:

Տարբեր հայտարարներով երկու կոտորակները գումարելու կամ հանելու համար կարելի է նախապես նրանք բերել ընդհանուր դրական հայտարարի:

Նշենք, որ հաշվումներն ավելի պարզ կլինեն, եթե որպես ընդհանուր դրական հայտարար վերցվի տրված կոտորակների հայտարարների ամենափոքր ընդհանուր դրական բազմապատիկը:


− 1115

= 915

− 1115

= 9 − 1115

= − 215

= − 215

,

6) - 130

− -245

= − 390

− - 490

= -3 − (- 4)90

= − 3 + 490

= 190

,

7) - 35

+ 2- 7

= − 35

+ -27

= -2135

+ -1035

= - 3135

= − 3135

:

ANTARES

3.4. ԿՈՏՈՐԱԿՆԵՐԻ ԳՈՒՄԱՐՈՒՄՆ ՈՒ ՀԱՆՈՒՄԸ 103

Բոլոր դեպքերում ab և c

d տեսքի ցանկացած նշանի կոտորակները

կարելի է գումարել ու հանել հետևյալ բանաձևերով.

ab

+ cd

= a ⋅ d + b ⋅ c b ⋅ d

,

ab

− cd

= a ⋅ d − b ⋅ c b ⋅ d

:

Օրինակ՝ 35

− 1115

= 3 ⋅ 15 − 5 ⋅ 115 ⋅ 15

= 45 − 5575

= − 1075

= − 215

= − 215

:

a և b կոտորակների տարբերությունը հավասար է նվազելիի և հանելիին հակադիր թվի գումարին:

a − b = a + (− b):

Այս կանոնը թույլ է տալիս պարզեցնել հաշվարկները:

Օրինակ՝ − 916

− �− 116�= − 9

16 + 1

16= - 8

16= − 1

2։

Կոտորակների գումարման օրենքներից հետևում է, որ նրանք կարելի է գումարել ամբողջ թվերի գումարման այն օրենքներով, երբ սկզբում որոշում են գումարի նշանը, ապա գործողությունները կատարում են մոդուլների նկատմամբ: Սա նույնպես կարող է պարզեցնել հաշվարկները: Օրինակ՝

− 211

+ �− 311�= − � 2

11 + 3

11� = − 5

11,

− 27

+ 57

= + �57

− 27� = 3

7,

− 311

+ �− 711�= − � 7

11 − 3

11� = − 4

11,

525. Ձևակերպե՛ք ընդհանուր դրական հայտարարով կոտորակների գումարման և հանման կանոնները:

526. Ինչի՞ է հավասար հակադիր կոտորակների գումարը:

527. Ինչպե՞ս կարելի հաշվել տարբեր հայտարարներով կոտորակների գումարը կամ տարբերությունը:

Կատարե՛ք գործողությունը (528, 529).

528. ա) 89

+ 59, բ) 17

25 − 8

25, գ) 31

32 + 63

64,

դ) 2368

− 517

, ե) 5049

+ 1556

, զ) 7178

+ 1791

։

ANTARES


529. ա) (– 56) + 17, բ) 42 + (– 29), գ) (– 39) + (– 57),դ) (– 48) + 81, ե) 37 + (– 82), զ) (– 68) + (– 51):

530. Ի՞նչ բանաձևերով կարելի է գումարել և հանել կոտորակները:

Հաշվե՛ք (531542).

531. ա) - 12

+ - 12

, բ) − 13

+ - 13

, գ) − 110

+ − 110

,

դ) − 23

+ − 13

, ե) − 27

+ − 57

, զ) − 712

+ − 112

։

532. ա) - 13

+ 23, բ) − 1

4 + 3

4, գ) 1

5 + − 3

5,

դ) 37

+ − 47

, ե) 813

+ − 1213

, զ) 1925

+ − 2425

։

533. ա) 12

+ - 12

, բ) −56

+ 56, գ) −2

3 + 2

3:

534. ա) 13

− 23, բ) 1

4 − 3

4, գ) 2

7 − 5

7,

դ) 712

− 1112

, ե) − 811

− 311

, զ) − 517

− 1017

։

535. ա) − 27

− − 57

, բ) − 49

− − 89

, գ) − 27

− 57,

դ) − 1219

− 719

, ե) − 45

− −35

, զ) − 124

− 1124

։

536. ա) − 12

+ − 14

, բ) − 13

+ 16, գ) − 1

2 + 1

6,

դ) 18

+ −14

, ե) 310

+ − 7100

, զ) − 21100

+ 110

։

537. ա) − 35

− 910

, բ) − 1524

− 38, գ) − 2

3 − 5

6,

դ) −76

− 524

, ե) 25

− 1350

, զ) − 50160

− 916

։

538. ա) − 16

+ 19, բ) 3

10 − 2

15, գ) − 2

10 − 6

15,

դ) 38

− 29, ե) − 5

12 + 4

15, զ) 2

16 − − 3

39։

539. ա) 58

+ �− 98�, բ) − 3

13 + �− 8

13�, գ) −2

5 + 4

5,

դ) 38

+ �− 34�, ե) − 7

15 + �− 2

3�, զ) −7

8 − 15

16,

է) 13

+ �− 12�, ը) − 1

4 + 1

3, թ) − 2

21 + 3

14։

540. ա) − 9180

− 7120

, բ) − 4210

+ 5140

, գ) − 7480

+ 8180

:

ANTARES

3.5. ԿՈՏՈՐԱԿՆԵՐԻ ԲԱԶՄԱՊԱՏԿՈՒՄՆ ՈՒ ԲԱԺԱՆՈՒՄԸ 105

541. ա) − 715

+ 25

− 15, բ) − 1

6 − 5

12 − 7

24,

գ) − 313

− 513

+ 326

, դ) 928

− 47

− 14:

542. ա) − 15

+ 310

− 720

, բ) − 320

− 730

+ 240

,

գ) − 1160

− 2330

− 1720

, դ) − 740

− − 1170

− - 1330

:

543. Գտե՛ք այն x թիվը, որի համար ճիշտ է հավասարությունը.

ա) x + 18

= − 58, բ) 1

7 + x = − 3

7, գ) x − 1

4= − 1

2,

դ) x − 16

= 13, ե) 2

3 − x = − 1

7, զ) 1

6 − x = − 4

9։

544. Գտե՛ք այն թիվը, որը.

ա) 12-ով մեծ է − 1

2-ից, բ) 1

4-ով փոքր է 1

6-ից։

545. Կոտորակների տարբերությունը գրե՛ք կոտորակների գումարի տեսքով.

ա) 13

− 43, բ) − 1

5 − 1

5, գ) − 4

7 − − 8

7։

546. Կոտորակների տարբերությունն արտահայտելով գումարով` հաշվե՛ք նրա արժեքը.

ա) 12

− �− 13�, բ) 4

9 − �− 7

9�, գ) − 9

16 − �− 4

5�,

դ) − 12

− �− 38�, ե) − 9

10 − �− 15

16�, զ) 25

26 − �− 11

13�։

3.5. կոտորակների բաԶմաՊատկումն ու բաԺանումը

Կամայական նշանի կոտորակները բազմապատկում ու բաժանում են նույն կանոններով, ինչ դրական կոտորակները.

ab

⋅ cd

= a ⋅ cb ⋅ d

, ab

: cd

= a ⋅ db ⋅ c

, որտեղ c ≠ 0

Օրինակներ. 1) - 32

⋅ 4- 5

= (- 3) ⋅ 42 ⋅ (- 5)

= (- 1) ⋅ 3 ⋅ 4(- 1) ⋅ 2 ⋅ 5

= 3 ⋅ 42 ⋅ 5

= 65,

2) (- 5) ⋅ 2- 3

= - 51

⋅ 2- 3

= (- 5) ⋅ 21 ⋅ (- 3)

= (- 1) ⋅ 5 ⋅ 2(- 1) ⋅ 3

= 103

,

3) - 32

: 45

= (- 3) ⋅ 5 2 ⋅ 4

= − 158

= − 158

,

ANTARES


4) 7- 8

: (- 3) = 7-8

: -31

= 7 ⋅ 1(- 8) ⋅ (- 3)

= 724

:

Բաժանման կանոնից ստացվում է

a : b = ab,

հավասարությունը, որտեղ a-ն ու b-ն ամբողջ թվեր են, b ≠ 0:

Իրոք, a : b = a1

: a1

= a ⋅ 11 ⋅ b

= ab

:

Այսպիսով՝

ab

կոտորակը կարելի է դիտել որպես նրա համարիչը հայտարարին բաժանելուց ստացած քանորդ:

Օրինակ՝ 23

= 2 : 3, − 2 : 3 = − 25

:

ab գրառումը կարդում են «ա բեերորդ» կամ ելնելով վերջին կանոնից՝

«ան բաժանած բեի» ձևով:

Կոտորակն ամբողջ թվով բազմապատկելու համար կարելի է համարիչը բազմապատկել այդ թվով:

Իրոք, ab

⋅ c = ab

⋅ c1

= a ⋅ cb ⋅ 1

= a ⋅ cb

:


⋅ 3 = 25

⋅ 31

= 65,

6) (- 7) ⋅ 14

= − 71

⋅ 14 = (- 7) ⋅ 1

4= - 7

4:

Այս հաշվարկները սովորաբար ավելի կարճ են գրում.

25

⋅ 3 = 2 ⋅ 35

= 65, (- 7) ⋅ 1

4= (- 7) ⋅ 1

4= - 7

4:

Կոտորակը զրոյից տարբեր ամբողջ թվի բաժանելու համար կարելի է նրա հայտարարը բազմապատկել այդ թվով:

Իրոք, ab

: c = ab

: c1

= a ⋅ 1b ⋅ c

= ab ⋅ c

:

Օրինակ՝ - 74

: 3 = − 74

: 31

= (- 7) ⋅ 14 ⋅ 3

= - 712

, կամ կարճ՝ - 74

: 3 = − 74 ⋅ 3

= - 712

:

ANTARES


Եթե a և b թվերը զրո չեն, ապա ab

և bc

թվերն անվանում են

փոխադարձ հակադարձ (կամ փոխհակադարձ) թվեր: ab

կոտորակն

անվանում են bc կոտորակին հակադարձ:

Օրինակ՝ 23 ու 3

2, - 7

8 ու 8

- 7, 1

- 5 ու - 5

1կոտորակները փոխադարձ

հակադարձ թվեր են:

Փոխադարձ հակադարձ թվերի արտադրյալը 1 է:

Իրոք, ab

⋅ ba

= a ⋅ bb ⋅ a

= 11

= 1:

Մի կոտորակը զրոյից տարբեր մյուս կոտորակին բաժանելու համար կարելի է բաժանելին բազմապատկել

բաժանարարին հակադարձ կոտորակով։

Օրինակ՝ 57

: - 23

= 57

⋅ 3- 2

:

Ցանկացած a = pq կոտորակի համար ճիշտ է (- 1) ⋅ a = - a հա վա սա րու-

թյու նը:

Իրոք, (- 1) ⋅ a = (- 1) ⋅ pq

= (- 1) ⋅ pq

= - pq

= − pq

= - a

Կամայական նշանի կոտորակների բազմապատկման և բաժանման կանոններից հետևում է, որ նախ կարելի է որոշել արտադրյալի կամ քանորդի նշանը, ապա գործողությունները կատարել մոդուլների նկատմամբ՝ ինչպես դա արվում էր ամբողջ թվերի համար: Օրինակ՝

−38

⋅ �− 25�= + 3 ⋅ 2

8 ⋅ 5= 3

20, 8

9: �− 4

27�= − 8 ⋅ 27

9 ⋅ 4= − 6

1 = − 6:

Նշենք, որ բնական ցուցիչով աստիճանի սահմանումից կարելի է օգտվել նաև կամայական նշանի կոտորակների դեպքում:

Օրինակներ. 7) �−23�² = − 2

3⋅ �− 2

3� = + 2 ⋅ 2

3 ⋅ 3= 4

9։

8) �−54�

1= − 5

4։

547. Ի՞նչ կանոններով են բազմապատկում ու բաժանում կամայական նշանի կոտորակները:

548. Ինչպե՞ս են կոտորակը բազմապատկում ամբողջ թվով:

ANTARES


549. Ինչպե՞ս են կոտորակը բաժանում զրոյից տարբեր ամբողջ թվի:

550. Ո՞ր թվերն են անվանում փոխադարձ հակադարձ:Կատարե՛ք գործողությունը (551553).

551. ա) 75 ⋅ (−64), բ) (−57) ⋅ (−129), գ) (−144) ⋅ 55,դ) 912 : (−48), ե) (−1596) : 57, զ)(−2701) : (−37):

552. ա) 161 784 : (−321), բ) − 2 164 320 : 432,գ) − 4 101 630 : (−507), դ) − 1 936 980 : (− 918):

553. ա) 3435

: 5155

, բ) 3738

⋅ 57148

, գ) 54125

⋅ 35,

դ) 115116

: 62, ե) 351625

⋅ 250182

, զ) 99 : 143120

։

Կրճատե՛ք կոտորակը (554556).

554. ա) 36 ⋅ (- 112)126 ⋅ (- 63)

, բ) 184 ⋅ (- 49)84 ⋅ (- 69)

, գ) (-315) ⋅ 57114 ⋅ (- 108)

,

դ) (- 105) ⋅ 84196 ⋅ 125

, ե) (- 111) ⋅ (- 9)78 ⋅ 74

, զ) (-888) ⋅ 5577 ⋅ 999

։

555. ա) (- 1) ⋅ 36 ⋅ (- 4)

, բ) (- 3) ⋅ 46 ⋅ (- 5)

, գ) (-4) ⋅ 10(- 30) ⋅ 14

,

դ) (- 8) ⋅ 18(- 28) ⋅ 6

, ե) (- 12) ⋅ (- 5)(- 21) ⋅ 10

, զ) (-75) ⋅ (- 24)(- 32) ⋅ (- 100)

։

556. ա) - 3 ⋅ 8 ⋅ (- 6)18 ⋅ (- 4)

, բ) - 7 ⋅ 16- 14 ⋅ (- 2) ⋅ (- 10)

, գ) - 2 ⋅ (- 3) ⋅ (- 6)- 3 ⋅ (- 8) ⋅ (- 10)

,

դ) - 96 ⋅ (- 125)- 75 ⋅ (- 128)

, ե) 56 ⋅ (- 77)- 121 ⋅ (- 49)

, զ) -128 ⋅ (- 92)- 256 ⋅ (- 48)

։

557. Հաշվե՛ք արտադրյալը բերված նմուշային օրինակի ձևով.

�− 12� ⋅ 2

3 = - 1

2⋅ 23

= - 13

= - 13

:

ա) - 37

⋅ 59, բ) − 3

8⋅ − 4

5, գ) − 9

10⋅ − 1

− 2,

դ) - 72

⋅ 4- 35

, ե) − 56

⋅ 310

, զ) − 732

⋅ 4− 21

,

է) − 25

⋅ �− 752�, ը) 4

3⋅ �− 9

16�, թ) - 18

5⋅ �− 4

81�։

Հաշվե՛ք (558, 559).

558. ա) − 12

⋅ 23, բ) 3

4⋅ �− 2

9�, գ) - 4

5⋅ �− 10

3�,

դ) − 17

⋅ �− 34�, ե) 2

5⋅ �− 3

4�, զ) - 3

8⋅ 45։

ANTARES


559. ա) − 13

⋅ 2, բ) 7 ⋅ �− 12�, գ) - 4 ⋅ �− 1

6�,

դ) 34

⋅ (− 8), ե) 2528

⋅ �− 14�, զ) - 12 ⋅�− 1314�։

560. Քանորդը գրե՛ք դրական հայտարարով կոտորակի տեսքով և կրճատե՛ք այն. ա) − 2 : 6 , բ) − 5 : 15, գ) − 10 : (– 20) , դ) − 4 : (– 16) :

561. Փոխադարձ հակադա՞րձ են թվերը.

ա) − 12

և − 42, բ) 2

− 3 և 3

2, գ) − 1

4 և − 4,

դ) − 56 և 6

-5, ե) −2 և 1

2, զ) − 1 և 1։

562. Նշե՛ք բաժանելին և բաժանարարը, գտե՛ք բաժանարարին հակադարձ կոտորակը: Բաժանումը փոխարինեք բաժանարարին հակադարձ կոտորակով բազմապատկումով.

ա) 35

: 23, բ) −4

5: 38, գ) −4 : -2

3 դ) − 3

7: (-9)։

Հաշվե՛ք (563568).

563. ա) − 35

: 5- 9

, բ) 16− 25

: 8− 15

, գ) 9− 10

: 12, դ) 2

3: 6

− 7,

564. ա) − 37

: 56, բ) 16

-25: �− 8

15�, գ) - 9

20: �− 18

25�,

դ) 2863

: �− 97�, ե) − 15

16: �− 10

24�, զ) - 15

17: 2534։

565. ա) 3275

: �− 4825�, բ) − 38

75: �− 19

100�, գ) - 32

77: �− 64

55�,

դ) − 125196

: 5052

, ե) 228245

: �− 57125

�, զ) - 1321000

: �− 1431000

�։

566. ա) − 12

: 2, բ) − 13

: 2, գ) - 25

: (− 3), դ) 37

: (− 9), ե) - 4 : 12,

զ) − (- 3) : �− 12�, է) 5 : �− 3

10�, ը) -8 : 4

5, թ) −8

9: (− 4):

567. ա) 48 : �− 12�, բ) − 55 : �− 2

5�, գ) - 72 : 36

37։

դ) �− 1635

� : 64, ե) − 1213

: 24, զ) - 1532

: (− 20)։

568. ա) - 35

⋅ �− 25�, բ) 2

3⋅ �− 5

7�, գ) - 3

7: �− 4

5�,

դ) - 35

⋅ �− 23�, ե) − 15

16⋅ �− 48

25�, զ) - 5

3: 25

27,

ANTARES


է) - 34

⋅ �− 45�, ը) − 2

3⋅ �− 4

5�, թ) 7

8⋅ �− 8

9�։

569. Գտե՛ք x թիվը, եթե այն բավարարում է հավասարմանը.

ա) x ⋅ 35

= − 415

, բ) − 23

⋅ x = 47,

գ) x : 12

= − 14, դ) 2

7: x = - 22

21,


ա) �−23�

3, բ)� 3

− 4�², գ)� 1

− 10�

3, դ)�−5

6�², ե)�− 6

7�²,

զ) �− 34�

3, է)�− 3

10�

4, ը)�− 1

2�

5, թ)�− 1

3�

3։

571. Դրակա՞ն, թե՞ բացասական թիվ է բացասական կոտորակի

աստիճանը, եթե. ա) ցուցիչը զույգ է, բ) ցուցիչը կենտ է:

Գտե՛ք գործողությունների կատարման հերթականությունը և հաշվե՛ք արտահայտության արժեքը (572574).

572. ա) �− 12� ⋅ �− 1

2� − 1

2, բ) 1

3 − �− 1

3� ⋅ �− 1

3�,

գ) �− 13� ⋅ �− 1

3�⋅ �− 1

3� − 1

9, դ) - 1

2 −�− 1

2� ⋅ �− 1

2�⋅ �− 1

2�։

573. ա) 12

⋅ �− 23� + �− 1

2�⋅ �− 1

2� բ) −3

4⋅ 12

7 − �− 1

7�⋅ �− 1

7�,

գ) − 13

⋅ 65

− 56

⋅ 325, դ) 3

10⋅ �− 5

6� + 2

3⋅ �− 3

8�։

574. ա) −59

⋅ �− 1825� − 14

27⋅ �− 18

35�, բ) −27

20⋅ �− 5

9� − 5

24⋅ �− 22

5�,

գ) 2120

⋅ �− 821�+ 7

72⋅ �− 36

5�, դ) − 36

60⋅ �− 5

18� − �− 21

36�⋅ �− 1

3�։

3.6. Գումարման եվ բաԶմաՊատկման ՕրենՔները

Ցանկացած a, b, c ռացիոնալ թվերի համար ճշմարիտ են թվաբանական գործողությունների հետևյալ օրենքները.

1) գումարման տեղափոխական օրենքը՝ a + b = b + a,2) գումարման զուգորդական օրենքը՝ (a + b) + c = a + (b + c),3) բազմապատկման տեղափոխական օրենքը՝ a ⋅ b = b ⋅ a,4) բազմապատկման զուգորդական օրենքը՝ (a ⋅ b) ⋅ c = a ⋅ (b ⋅ c),

ANTARES

3.6. ԳՈՒՄԱՐՄԱՆ ԵՎ ԲԱԶՄԱՊԱՏԿՄԱՆ ՕՐԵՆՔՆԵՐԸ 111

5) բաշխական օրենքը՝ c ⋅ (a + b) = a ⋅ c + b ⋅ c:Այս օրենքներից յուրաքանչյուրը կարելի է ապացուցել հենվելով

ամբողջ թվերի համապատասխան օրենքների վրա:Թվաբանական գործողությունների բերված օրենքներից հետևում է,

որ հաշվարկների բոլոր կանոնները, որոնք ձևակերպված էին ամբողջ թվերի համար, ճշմարիտ են նաև ռացիոնալ թվերի համար (փակագծերի մեջ ներառման, փակագծերի բացման, արտադրյալի և քանորդի նշանների որոշման և այլ կանոններ):

Գումարման և բազմապատկման օրենքների կիրառումը երբեմն հեշտացնում է հաշվարկները:

Օրինակ՝

1) 815

− � 713

+ 815�= 8

15 − 7

13 − 8

15= − 7

13 + � 8

15 − 8

15� = − 7

13,

2) 311

⋅ �− 49� + 3

11⋅�− 5

9� = 3

11⋅�− 4

9− 5

9� = 3

11⋅ (− 1) = − 3

11։

575. a, b, c ռացիոնալ թվերի համար գրե՛ք և ձևակերպե՛ք.ա) գումարման տեղափոխական օրենքը, բ) գումարման զուգորդական օրենքը, գ) բազմապատկման տեղափոխական օրենքը, դ) բազմապատկման զուգորդական օրենքը, ե) բաշխական օրենքը:

Հաշվե՛ք՝ կիրառելով գումարման և բազմապատկման օրենքները (576578)։

576. ա) 80 ⋅ 359 ⋅ (- 125), բ) 457 + 985 − 57,

գ) 45 ⋅ (− 39) + 55 ⋅ (- 39), դ) 76 ⋅ 45 − 26 ⋅ 45,

ե) 157 ⋅ (- 13) − 17 ⋅ (- 13), զ) (- 124) ⋅ 35 + 24 ⋅ 35։

577. ա) 415

+ 536

+ 1115

+ 3136

, բ) 725

+ 3233

− 725,

գ) 3940

⋅ 124125

: 124125

, դ) 435

⋅ 1718

+ 1718⋅ 31

35,

ե) 4546

⋅ 4951

− 4546⋅ 3

51, զ) 72

73⋅ 3465

+ 7273

⋅ 3965

։

578. ա) 23 ⋅ 35 + 38 ⋅ 3517 ⋅ 61 + 18 ⋅ 61

, բ) 49 ⋅ 99 + 28 ⋅ 9912 ⋅ 154 + 21 ⋅ 154

,

գ) 75 ⋅ 27 + 75 ⋅ 37137 ⋅ 48 − 12 ⋅ 48

, դ) 679 ⋅ 846 + 679 ⋅ 54679 ⋅ 846 − 679 ⋅ 46

:

ANTARES


Հաշվե՛ք (579583).

579. ա) - 725

− 1125

− 225, բ) - 1

72 − 17

72 − 18

72,

գ) − 1955

− 1855

+ 455, դ) 25

64 − 17

64 − 15

64:

580. ա) - 15

+ 625

− 825, բ) - 1

7 + 2

21 − 3

7,

գ) − 849

− 57

− 949, դ) 7

10 − 4

15 − 11

30։

581. ա) − 3380

+ � 316

− 3940�, բ) 2

45 + �− 3

45 + 7

9�,

գ) 715

− � 415

− 15�, դ) − 5

16 −� 1

16 − 7

8�,

ե) − 127

+ �79

− 23� զ) �− 2

15 − 4

5� + 3

10,

է) �− 215

+ 45�− 3

10, ը) −�5

8 − 5

12� + 1

24։

582. ա) 38

− 27

+ 58

− 57

, բ) 1114

− 710

− 21100

− 1314

,

գ) − 1219

− 1526

+ 319

+ 919, դ) 2

17 − 5

9 − 4

9 − 4

7,

583. ա) − 2 ⋅ � 14

− 192�, բ) �1

9 − 1

3�⋅ (− 3),

գ) − 12

⋅ �23

− 25�, դ) �3

4 − 3

5� ⋅ �− 1

3�:

584. Գտե՛ք արտադրյալի նշանը.

ա) (− 1) ⋅ �− 23�⋅�− 7

13�, բ) �− 1

3� ⋅ 1

2⋅ (− 1) ⋅ �− 7

− 9�,

գ) �− − 79� ⋅ �− 5

− 9�⋅�− 1

5�, դ) �− − 1

− 5� ⋅ �− 1

4� ⋅ 1

5⋅ �- 8

7�։


ա) �− 23� ⋅ �− 1

2�⋅ 3

4, բ) �−4

5� ⋅ �− 3

4� ⋅ �- 1

2�:

586. Քանի՞ բացասական արտադրիչ կարող է պարունակել ար տա-դրյալը, որպեսզի այն լինի. ա) դրական, բ) բացասական:

ANTARES

3.7. ԿԱՄԱՅԱԿԱՆ ՆՇԱՆԻ ԽԱՌԸ ԹՎԵՐ 113

587. ա) Հինգ արտադրիչի արտադրյալը դրական է: Կարելի՞ է պնդել, որ բոլոր արտադրիչները դրական են:բ) Չորս արտադրիչի արտադրյալը դրական է: Կարելի՞ է պնդել, որ բոլոր արտադրիչները դրական են:

Հաշվե՛ք (588590).

588. ա) − − 79

: 56

+ 1516

⋅ 25 -1 : 1

9,

բ) 2 : �− 35� + 3

5: 2 − 3

2: 6 + 6 : 3

2,

գ) − 114

: �32

− 25� + �3

4 + 5

6� : �− 25

8�,

դ) � 215

+ 1912�⋅ 30

103− �1 : 9

4� ⋅ �− 9

16�։

589. ա) 89

⋅ 724

− 89

⋅ 524, դ) 3

25⋅ �− 5

49� + 22

25⋅ �− 5

49�:

590. ա) − 12

⋅ �− 23�⋅ �− 3

4� ⋅ �− 4

5�,

բ) − 1011

⋅ �− 1112�⋅ �− 12

13�⋅ �− 13

14� ⋅ �− 14

15�։

3.7. կամայական նՇանի ԽաՌը Թվեր

Հիշենք, որ դրական անկանոն կոտորակները գրվում են նաև խառը թվերի տեսքով:

Օրինակ՝ 136

= 2 16, 14

3= 4 2

3Եթե դրական խառը թվի առջև դնենք «+» նշան, ապա կստացվի

նույն թիվը, որովհետև դրանից այդ խառը թվին հավասար անկանոն կոտորակը չէր փոխվի:

Օրինակ՝ + 2 12

= 2 12։

Դրական խառը թվի առջև «−» նշան դնելով համարվում է, որ ստացվում է նրան հակադիր բացասական խառը թիվ, որը տրված խառը թվին հավասար անկանոն կոտորակի հակադիրն է:

Օրինակ՝ �− 2 12� և 2 1

2 խառը թվերը հակադիր թվեր են:

Դրական խառը թիվը բնական թվի և կանոնավոր կոտորակի գումար է, այդ պատճառով նրա առջև «−» նշան դնելով, այդ նշանը դնում ենք երկու թվի գումարի առջև:

ANTARES


Գրելաձևի պարզության համար −�2 12� տեսքի արտահայտու թյուն նե րում

փակագծերը չեն դրվում, այսինքն՝ −�2 12�-ի փոխարեն գրում են −2 1

2։

Դիտարկենք կամայական նշանի խառը թվերով գործողությունների օրինակներ.

1) − 2 14

+ �− 114� = −�21

4 + 11

4�= − �3 + 2

4� = − 3 1

2,

2) 5 13

− 723

= −�723

− 513�= − �21

3� = − 2 1

3,

3) 1 12

− 5 13

= −�513

− 112�= − �5 2

6 − 13

6� = − �4 2

6 − 3

6� =

= − �3 + 86

− 36�= − �3 + 5

6�= − 3 5

6,

4) 1 15

⋅ �− 3 34� = −�6

5⋅ 15

4�= − 6 ⋅ 15

5 ⋅ 4= − 9

2= − 4 1

2,

5) − 3 12

: 5 14

= −�72

: 214�= − 7 ⋅ 4

2 ⋅ 21= − 2

3,

6) �− 1 12�

3

= �−32�

3

= �− 32� ⋅ �− 3

2�⋅ �− 3

2� = − 27

8= − 33

8:

591. Բացասական անկանոն կոտորակը գրե՛ք բացասական խառը թվի տեսքով.

ա) −43, բ) − 13

5, գ) −41

15, դ) −45

16։

592. Քանորդը գրե՛ք սովորական կոտորակի կամ խառը թվի տեսքով. ա) − 17 : (– 18), բ) 13 : (– 25), գ) − 19 : (– 5), դ) 29 : (– 15):


ա) − 12 և − 1 1

2, բ) −3

2 և − 1 1

4,

գ) − 1 12 և − 1 1

6, դ) − 12

11 և − 1 1

13։

Հաշվե՛ք (594598).

594. ա) − 325

+ �− 1 15�, բ) − 7 1

3 + �− 1 2

3�,

գ) − 12 57

+ �− 4 47�, դ) − 3 8

19 + �− 1 11

19�,

ANTARES


ե) − 423

+ �− 1 13�, զ) �− 82

3� + �− 9 2

3�։

595. ա) 1859

+ �− 22 29�, բ) 253

4 + �− 51 1

4�, գ) − 6 2

9 + 1 2

3,

դ) 7 112

+ �− 8 34�, ե) 185

6 + �− 7 1

2�, զ) 2 1

5 + �− 4

15�։

596. ա) −3 − 2 15, բ) −8 + 2

13, գ)− 7 1

3− 4, դ) 4

17 − 15։

597. ա) − 1 13

− 3 23, բ) 72

5 − �− 1 1

5�, գ) − 6 3

7 + 1 2

7,

դ) 7 29

− 9 89, ե) 4 1

2− 8 1

3, զ) 6 9

10− 12 1

100։

է) − 425

− 1 12, ը) − 5 1

3− 8 2

9, թ) − 2 1

5− 14 1

10։

598. ա) 12

− 13

+ 17

− 2 13, բ) 7

9 − 2

3 − 3 1

6 − 1։

599. Հաշվե՛ք բերված նմուշային օրինակի ձևով.

ա) − 4 12

+ 5 37

+ 47

= - 4 12

+ �537

+ 47�= − 4 1

2 + 6 = 6 − 4 1

2= 1 1

2:

բ) − 1 13

+ 8 12

+ 13, գ) 3 2

5 − 7 1

2 + 2 3

5,

դ) - 59

+ 2 13

+ 1 23, ե) 7

15 − 2 - 1

5։

600. Պարզեցրե՛ք արտահայտությունը՝ փակագծերը բացելով բերված նմուշային օրինակների ձևով.

ա) 7 12

+ �3 23

− 2 12� = 7 1

2 + 3 2

3 − 21

2= 5 + 32

3= 8 2

3:

բ) 8 35

− �7 13

− 11 25� = 8 3

5 − 7 1

3 + 11 2

5= 20 − 7 1

3= 12 2

3:

գ) 512

+ �1 12

− 512�, դ) 2 − �2

5 − 7 1

2�,

ե) 4 27

− �7 12

+ 4 27� զ) 9 7

9 − �2 1

2 − 2

9�։

Հաշվե՛ք (601604).

601. ա) 2 12

⋅ 2− 75

, բ) 1 13

⋅ − 916, գ) 3 1

3⋅ − 2

− 100,

ANTARES


դ) - 59

⋅ 4 12, ե) − 3

5⋅ 1 1

4, զ) 3 1

4⋅ �−24

39�,

է) − 34

⋅ 2 15, ը) 2 1

7⋅ �− 14

15�, թ) 3 1

7⋅ �− 3

11�։

602. ա) − 13

⋅ (− 1), բ) − 1 ⋅ 35, գ) − 1 ⋅ �-11

2�,

դ) − 3 15

⋅ (−1), ե) − 2 ⋅ 34, զ) −1 1

2⋅ (− 4),

է) − 5 ⋅ − 310, ը) − 9 ⋅ �− 1 1

6�, թ) − 8 ⋅ �− 1 1

4�։

603. ա) �− 1 13�⋅ 9

10, բ) �− 2

7�⋅ 3 1

2,

գ) �− 5 12� ⋅ �− 32

22�, դ) 4 1

6⋅ �− 24

25�։

604. ա) (− 5) ⋅ 23, բ) 7 ⋅ �− 1 1

2�, գ) (− 3) ⋅ �-11

4�,

դ) �− 2 34� ⋅ �− 1 1

7�, ե) �− 1 1

3�⋅ 2 2

5, զ) 4 1

2⋅ �− 5 1

3�։

605. Հաշվե՛ք` նախապես նշելով գործողությունների կատարման հեր-թա կա նու թյունը.

ա) �− 25� ⋅ 2 1

2⋅�− 1 1

3 ⋅ 12 �, բ) �− 2

7�⋅ �5 1

3� ⋅ �− 3

4��⋅ 7

9,

գ) 29

⋅ �92

⋅� − 1 15��⋅ (− 2), դ) �3 1

3⋅ 2 1

4� ⋅ ��− 1

2�⋅ 4

5�։


ա) 2 13

⋅ �− 79�⋅ 9

7, բ) �− 8

9�⋅ 2 4

17⋅ �− 9

8�,

գ) 2 14

⋅ �− 23�⋅� −1 1

2�, դ) �− 4

5�⋅ �2 1

2⋅ �− 1 1

3��,

ե) 5 79

⋅ �− 89�⋅�− 2 1

4�, զ) 4 1

5⋅ �3 1

2⋅ �− 5

7��։

607. Ապացուցե՛ք.

ա) �- 17� ⋅ 8

9⋅ 13

4 > 2

- 3⋅ 2 1

4⋅ 1

6,

բ) � 712

− 78� ⋅ �− 6

7�< �-25

36�: 5

-12⋅ - 1

11:

608. Առանց հաշվումներ անելու՝ արդյունքը համեմատե՛ք զրոյի հետ և ապա հաշվե՛ք.

ա) 5 12

⋅ �− 14�, բ) �- 2

7�⋅ 2 1

3,

ANTARES


գ) �− 79�⋅�-8

5�, դ) - 8

- 9⋅ - 1- 2

⋅ - 7- 8,

ե) �− 12�: (− 7) : (− 3), զ) �− 4

5�

2։

609. Առանց հաշվումներ անելու որոշե՛ք՝ ո՞ր արտահայտության արժեքն է մեծ.

ա) 4 12

⋅ �− 75�⋅� 3

19�,թե՞ 57

9: �− 4

17� : 8

13,

գ) �- 12� ⋅ �− 1

3�⋅� − 1

4�,թե՞ �− 1

4�: �- 1

2� : 1

3,

ե) �- 1 13� ⋅ �− 2 2

7�⋅�− 3 3

5�,թե՞ �− 1

2�⋅ �- 1

10�⋅ �− 1

100�։

610. Հաշվե՛ք աստիճանը՝ նախապես նշելով նրա հիմքը և ցուցիչը.

ա) �− 12�

2

, բ) �− 12�

3

, գ) �− 13�

2

, դ) �− 13�

3

։

611. Համեմատե՛ք զրոյի հետ, իսկ ապա՝ հաշվե՛ք.

ա) �− 34�

3

, բ) �− 12�

5

, գ) �− 23�

4

, դ) �− 45�

3

։

Հաշվե՛ք (612615).

612. ա) 3 23

: - 1112, բ) 8

15 : 16

-25, գ) - 7

9: 21

3,

դ) - 9- 16

: 1 1332, ե) − 1 1

3: 23, զ) 7

8: �− 1 5

8�,

է) - 2- 3

: �−1 15�, ը) − 4

3 : �−15

6�, թ) 4 : �−1 1

3�,

ժ) �− 2 25�: 10, ի) − 6 : 3 3

5, լ) −2 5

7: (− 38)։

613. ա) 1 12

: �− 1 16�, բ) − 21

3:�− 1 5

6�,

գ) − 1 13

: 2 78, դ) −2 1

8: �−3 1

16�։

614. ա) 7 29

⋅ 8 23

− 7 29

⋅ 6 23, բ) 12 35

44⋅ 4 1

10 − 8 35

44⋅ 4 1

10,

գ) 7 13

⋅ 2 15

+ 7 13

⋅ 145, դ) �− 3 1

9�⋅ 7 4

7 + �− 3 1

9�⋅�− 2 3

7�,

ե) 2 67

⋅ 4 25

− 2 67

⋅4, զ) � − 2 37�⋅ (-5) + 2 3

7⋅ �− 2 2

3�։

615. ա) 7 12

⋅ �− 15� + �− 1 2

3�⋅�− 9

10� − 1429

30,

բ) �−2 1325�: �− 2 7

10� − 17 25

47:�−1725

47� − 4 3

5։

ANTARES


3.8. Ռացիոնալ Թվերի Պատկերումը կոորԴինատային աՌանցՔի վրա: կոորԴինատային հարԹուԹյուն

Կոորդինատային առանցքի վրա կարելի է պատկերել ոչ միայն

ամբողջ, այլև ռացիոնալ թվերը: Օրինակ՝ ինչպես գիտենք 12

թվին համապատասխանում է դրական կոորդինատային կիսաառանցքի այն կետը, որը Օ կետից հեռացված է միավոր հատվածի կեսի չափով:

Ելնելով այս օրինակից՝ − 12 թվին համապատասխանեցնենք բացասական

կոորդինատային կիսաառանցքի այն կետը, որը Օ կետից հեռացված է միավոր հատվածի կեսի չափով (նկար 63):

12

12

0 1

Նկար 63

Ընդհանրապես, յուրաքանչյուր аb բացասական կոտորակի հա մա-

պա տաս խանեցնենք բացասական կոորդինատային կիսաառանցքի այն

կետը, որը Օ կետից հեռացված է - ab հեռավորության չափով: Այսպիսով՝

ab

≠ 0 ռացիոնալ թվին համապատասխանում է կոորդինատային

առանց քի այն A կետը, որը Օ սկզբնակետից հեռացված է ab չափով և

ab > 0 դեպքում գտնվում է դրական, իսկ a

b < 0 դեպքում՝ բացասական

կիսաառանցքի վրա։ 0 ռացիոնալ թվին համապատասխանում է

O սկզբնակետը։

Այդ A կետն անվանում են ab կետ կամ a

b կոորդինատով կետ: Գրում

են՝ A �ab�։

Օրինակ 1: Կոորդինատային առանցքի վրա պատկերենք − 25 թիվը:

Քանի որ − 25

< 0 և − 25

= 25

ուրեմն − 25 կոորդինատով կետը գտնվում

է բացասական կիսաառանցքի վրա և Օ կետից հեռացված է միավոր

հատվածի 25 մասի չափով (նկար 64):

25

0−1

Նկար 64

ANTARES

1193.8. ՌԱՑԻՈՆԱԼ ԹՎԵՐԻ ՊԱՏԿԵՐՈՒՄԸ ԿՈՈՐԴԻՆԱՏԱՅԻՆ ԱՌԱՆՑՔԻ ՎՐԱ:

Օրինակ 2: Կոորդինատային առանցքի վրա պատկերենք 52 կամ որ

նույնն է՝ 2 12 թիվը:

Քանի որ 52

> 0 և 52

= 52, ուրեմն 5

2 կոորդինատով կետը գտնվում է

դրական կիսաառանցքի վրա և Օ կետից հեռացված է 52 միավոր չափով

(նկար 65):

12

12

12

32

52

0 1 2

Նկար 65

Օրինակ 3: Կոորդինատային առանցքի վրա պատկերենք − 54 կամ որ

նույնն է՝ − 1 14 թիվը:

Քանի որ − 54

< 0 և − 54

= 54

ուրեմն − 54 կոորդինատով կետը գտնվում

է բացասական կիսաառանցքի վրա և Օ կետից հեռացված է 54 միավոր

չափով (նկար 66):

54

0− 1 1

Նկար 66

Կոորդինատային առանցքի այն կետերը, որոնք ռացիոնալ թվեր են պատկերում, կոչվում են ռացիոնալ կետեր կամ ռացիոնալ կոորդինատներով կետեր:

Եթե a-ն ու b-ն ռացիոնալ կետեր են և a < b, ապա.1) b կետը կոորդինատային առանցքի վրա գտնվում է a-ից աջ, 2) a ու b կետերի հեռավորությունը b − a է,

3) a + b2

կետն a ու b կետերը միացնող հատվածի միջնակետն է (նկար 67):

a + b2

Α C Β

a b

Նկար 67

ANTARES


Իրոք, AB հատվածի C միջնակետի կոորդինատը որոշելու համար կարելի է a թվին ավելացնել AB հատվածի երկարության կեսը՝

a + b − a2

= 2 ⋅ a2

+ b − a2

= 2 ⋅ a + b − a2

= a + b2

:

Օրինակ՝ ենթադրենք տրված են A �− 25� և B �4

5� կետերը: Այդ դեպքում.

1) − 25

< 45 նշանակում է, որ B կետը կոորդինատային առանցքի վրա

A-ից աջ է,

2) AB = 45

− �− 25� = 4

5 + 2

5= 4 + 2

5= 6

5= 1 1

5:

3) AB հատվածի միջնակետի կոորդինատը կլինի՝

− 25

+ 45

2 = �− 25

+ 45� : 2 = 2

5: 2 = 2

5 ⋅ 2= 1

5

Քանի որ ցանկացած a ու b ռացիոնալ թվերի համար a + b2

նույնպես

ռացիոնալ թիվ է, ապա առանցքի ցանկացած երկու ռացիոնալ կետերի միջև գոյություն ունի գոնե ևս մեկ ռացիոնալ կետ:

a + b2

թիվն անվանում են a ու b թվերի միջին թվաբանական:

Օրինակ՝ − 5 ու 7 թվերի միջին թվաբանականը - 5 + 72

= 1 թիվն է:

Մի քանի թվերի միջին թվաբանական անվանում են այդ թվերի գումարի և նրանց քանակի քանորդը։

Օրինակ՝ 1, 3, 7 թվերի միջին թվաբանականը կլինի

1 + 3 + 73

= 113

= 3 23,

իսկ − 3, 5, − 7, 9 թվերինը՝

− 3 + 5 − 7 + 94

= 44

= 1:

616. Կոորդինատային առանցքի ո՞ր մասում են գտնվում այն կետերը, որոնցով պատկերվում են. ա) դրական կոտորակները, բ) բացասական կոտորակները:

617. Եթե a-ն ու b-ն ռացիոնալ թվեր են և a < b, ապա.ա) կոորդանատային առանցքի վրա ինչպե՞ս են փոխդասավորված a ու b կետերը, բ) ինչպե՞ս են հաշվում կոորդինատային առանցքի a ու b կետերի հեռավորությունը,

ANTARES

121

գ) ինչպե՞ս են հաշվում կոորդինատային առանցքի a ու b կետերը միացնող հատվածի միջնակետի կոորդինատը:

618. Ի՞նչն են անվանում մի քանի թվի միջին թվաբանական: Բերե՛ք օրի-նակ ներ:

619. 8 սմ երկարությամբ հատվածը որպես միավոր վերցված

կոորդինատային առանցքի վրա պատկերե՛ք 0, 18, 2

8, 3

8, 4

8, 5

8, 6

8,

78, 8

8, 10

8, 11

8, 12

8 կետերը:

620. Կոորդինատային առանցքի վրա 0, 16, 2

6, 3

6, 4

6, 5

6, 6

6, 7

6, 8

6, 10

6, 11

6կետերը պատկերելու համար ի՞նչ երկարությամբ հատված է

հարմար վերցնել որպես միավոր:621. Ընտրե՛ք հարմար միավոր հատված և կոորդինատային առանցքի

վրա պատկերեք հետևյալ կետերը.

ա) 0, 1, 2, 3, 12, 1 1

2, բ) 0, 1

4, 1

2, 3

4, 2, 2 1

4, 2 3

4։

622. Կոորդինատային առանցքի վրա պատկերե՛ք A � 12�, B (2), C �23

4�

կետերը: Հաշվե՛ք AB, BC, AC հատվածների երկարությունները:

623. 4 սմ երկարությամբ հատվածն ընդունելով որպես միավոր հատված՝ կոորդինատային առանցքի վրա պատկերե՛ք հետևյալ կետերը.

ա) 0, 12, 1

4, 2

4, 3

4, 4

4, 1 1

4, 1

8, 5

8,

բ) − 1, - 12, - 2

2, - 1

4, - 2

4, - 3

4, - 4

4։

624. Ընտրե՛ք հարմար միավոր հատված և կոորդինատային առանցքի վրա պատկերե՛ք հետևյալ կետերը.

ա) - 1 12, -21

2, -3 1

2, -41

2,

բ) - 13, - 2

3, -1 1

3, -1 2

3, -2 1

3, -2 2

3։

625. Կոորդինատային առանցքի վրա պատկերե՛ք հետևյալ կետը.

ա) A �− 1 12�, բ) B �− 1 1

5�, գ) C �− 3 1

2�, դ) D �− 4 1

2�,

626. Գտե՛ք տրված կետերը միացնող հատվածի միջնակետի կոոր դի-նատը.

ա) 12ու 1

3, բ) 3

5ու4

7, գ) 2 1

4ու5

8, դ) 3 1

2ու3 1

4։

627. Տրված են A (2) և B �2 12� կետերը: Գտե՛ք AB հատվածի C միջնակետի,

CB հատ վածի D միջնակետի, CD հատվածի E միջնակետի


ANTARES


կոոր դինատները: Պատկերե՛ք այդ կետերը կոորդինատային առանց քի վրա:

628. Տրված են A կետի և AB հատվածի C միջնակետի կոորդինատները: Գտե՛ք B կետի կոորդինատը, եթե.

ա) A (2), B (5) բ) A � 12�,C (3) գ) A � 1

4�,C � 2

3�:

629. Գտե՛ք այն կետերի կոորդինատները, որոնք AB հատվածը բաժանում են երեք հավասար մասերի, եթե.

ա) A (5),B �9 12� բ) A � 1

3�,B � 2

9� գ) A � 1

2�,B �3 1

6�:

630. Գտե՛ք տրված կետերի հեռավորությունը.

ա) A �− 3 12�ևB (2) բ) A (− 4)ևB �− 2 1

2�,

գ) A �− 3 14�ևB�− 4 1

8�, դ) A �− 4 7

8�ևB�− 6 1

2�։

Գտե՛ք տրված թվերի միջին թվաբանականը (631633).

631. ա) 4 և 6, բ) 12 և 3, գ) 1

2 և 1 1

8 դ) 2 1

4 և 2

3։

632. ա) 13 և - 1

5, բ) 1

4 և − 3

5, գ) - 16 և − 8 դ) -16 և 8։

633. ա) 1, 3, 4, բ) − 5, 8, 13,գ) 10, 12, 14, 16, դ) − 19, − 9, 1, 11:

634. Գտե՛ք AB հատվածի միջնակետի կոորդինատը, եթե. ա) A (- 4), B (- 1), բ) A (− 8), B (3)

գ) A �− 710�,B�− 1

10�, դ) A �− 1

3�,B� 1

6�։

635. C-ն AB հատվածի միջնակետն է: Գտե՛ք B կետի կոորդինատը, եթե. ա) A (−2), C (1), բ) A (− 5), C (-1),

գ) A �− 310�,C� 9

10�, դ) A (0),C �12

13�։

636. Կոորդինատային ճառագայթի վրա թվեր են պատկերված: Կարկինի միջոցով այդ ճառագայթի վրա պատկերեք հետևյալ թիվը. ա) a + 2 (նկար 68 ա), բ) a + 4 (նկար 68բ):

ա)

a0 1

բ)

a0 4

Նկար 68

ANTARES

123

637. a ու b թվերի համար բավարարվում է 5 − a = b հավասարությունը: Կարկինի միջոցով կոորդինատային ճառագայթի վրա նշե՛ք a + b թիվը (նկար 69):

0 1

Նկար 69

638. a ու b թվերի համար բավարարվում է a − 3 = b հավասարությունը: Կարկինի օգնությամբ կոորդինատային ճառագայթի վրա նշե՛ք aթիվը (նկար 70):

0 1 b

Նկար 70

639. Կոորդինատային առանցքի վրա նշված են 0, 1, b կոորդինատ ներով կետերը (նկար 71): Կարկինի օգնությամբ կառուցե՛ք − 1, − b, b + 1, b − 1, 1 − b, − b − 1 կոորդինատներով կետերը:

0 1 b

Նկար 71

640. Կոորդինատային առանցքի վրա նշված են 0, a, b կոոր դի նատ նե րով կետերը: Կարկինի օգնությամբ կառուցե՛ք − a, − b, a + b, a − b, b − a,– a − b կոորդինատներով կետերը (նկար 72):

0 a b

Նկար 72

641. Նկար 73-ում նշված են A և B կետերի կոորդինատները: Գտե՛ք C կետի կոորդինատը:ա) բ)

CA

a b

B BA

a a+b2

C

գ) դ)AC

ba+b2

B BA

a

C

b

Նկար 73


ANTARES


642. Գտե՛ք այն կետերի կոորդինատները, որոնք AB հատվածը տրոհում են չորս հավասար մասի, եթե.

ա) A �228�,B (4) բ)A �–5

7�,B � 1

7�:

643. ա) 413 և a թվերի միջին թվաբանականը 2 1

2 է։ Գտե՛ք a թիվը:

բ) a և – 13 թվերի միջին թվաբանականը 5

6 է։ Գտե՛ք a թիվը:

644. Կոորդինատային առանցքի 0 և 1 կետերը միացնող հատվածը կիսել են, ստացել են երկու հատված: Աջ հատվածը կիսել են, ստացել են ևս երկու հատված: Այդ երկուսից այն, որն ավելի աջ է, կիսել են, ստացել են երկու հատված և այլն: Գտե՛ք այդ ձևով ստացված առաջին հինգ կետերի կոորդինատները: Առանց հաշվումներ կատարելու՝ կռահե՛ք հաջորդ հինգ այդպիսի կետերի կոորդինատները:

645. Հետևյալ կետերը պատկերե՛ք կոորդինատային հարթության վրա.

A �212; 3�, B �–3

2; –11

2�, C �–24

5; 4�,

D �3; –315�, E �0; 9

2�, F �–1 1

10; 0�,

3.9. հավասարումներ

Եթե հայտնի է, որ x տառով նշանակված թվի և 5-ի գումարը 8 է և պահանջվում է որոշել, թե որ թիվն է նշանակված x տառով, ապա ասում են, որ պետք է լուծել x + 5 = 8 հավասարումը:

Հավասարման արմատ անվանում են այն թիվը, որը x-ի փոխարեն տեղադրելով հավասարման մեջ, ստանում են ճշմարիտ թվային հավասարություն:

Լուծել հավասարումը՝ նշանակում է գտնել նրա բոլոր արմատները: Օրինակ 1: Լուծենք x + 5 = 8 հավասարումը: Լուծում: Հավասարման ձախ մասում գրված է x + 5 թիվը, իսկ աջ

մասում՝ նրան հավասար 8 թիվը: Հավասարությունը չի փոխվի, եթե նրա ձախ և աջ մասերը փոքրացնենք 5 -ով՝

x + 5 = 8, x = 8 − 5, x = 3 :

Պատասխան՝ 3 :Սովորաբար այսպիսի դեպքում ասում են, որ 5 թիվը տեղափոխել

են հավասարման աջ մաս՝ հակառակ նշանով: Հաճախ ավելի կարճ են ասում՝ թիվը տեղափոխել են հավասարման աջ (կամ ձախ) մաս:

ANTARES

3.9. ՀԱՎԱՍԱՐՈՒՄՆԵՐ 125

Օրինակ 2: Լուծենք x − 2 = 5 հավասարումը:Լուծում: (– 2) թիվը տեղափոխենք հավասարման աջ մաս՝

x − 2 = 5, x = 5 + 2, x = 7:Պատասխան՝ 7:

Այսուհետև բազմապատկման նշանը կգրենք միայն թվերի բազ մա-պատկ ման դեպքում, օրինակ՝ 6 ⋅ 7, բայց կգրենք 8x, ab, (12 − 5)x և այլն։

Օրինակ 3: Լուծենք 3x = 4 հավասարումը:Լուծում: 3 և x թվերի արտադրյալը 4 է: Հավասարումը չի փոխվի, եթե

նրա ձախ և աջ մասերը բաժանենք 3-ի՝

3x = 4, x = 4 : 3, x = 1 13:

Պատասխան՝ 1 13:

Սովորաբար այսպիսի դեպքում ասում են, որ հավասարման ձախ և

աջ մասերը բաժանել են 3-ի (կամ բազմապատկել 13-ով):

Օրինակ 4: Լուծենք 3 − 12x = 5 հավասարումը:

Լուծում: 1) 3 թիվը տեղափոխենք հավասարման աջ մաս՝

3 – 12x = 5, – 1

2x = 5 − 3, – 1

2x = 2:

2) Ստացված հավասարման ձախ և աջ մասերը բաժանենք − 12

թվին:

– 12

x = 2, x = 2 : �− 12�,x = − 4:

Պատասխան՝ − 4:

Օրինակ 5: Լուծենք 5x = 3x − 6 հավասարումը:Լուծում: 5x ու 3x − 6 թվերի հավասարությունը չի խախտվի, եթե

հավասարման երկու մասից էլ հանենք 3x`5x = 3x − 6, 5x − 3x = − 6:

Կիրառելով բաշխական օրենքը՝ կստանանք. 5x − 3x = − 6, (5 − 3)x = − 6, 2x = − 6:

Ստացված հավասարման երկու մասերը բաժանելով 2-ի՝ կգտնենք անհայտ x թիվը.

2x = − 6, x = − 6 : 2, x = − 3 :Պատասխան՝ − 3:

646. Արդյո՞ք 2 թիվը տրված հավասարման արմատ է. ա) x − 2 = 0, բ) x + 4 = 0, գ) 2x = 4,դ) 3x − 4 = x, ե) x + 3 = 2x + 1, զ) 3x + 4 = 6x − 2:

Լուծե՛ք հավասարումը (647 − 657).

ANTARES


647. ա) x − 2 = 0, բ) x + 4 = 0, գ) 100 + x = 0,դ) x − 5 = 6, ե) x + 2 = 5, զ) x − 11 = − 7,է) 12 + x = 17, ը) x + 7 = 7, թ) x − 6 = 6 :

648. ա) 5 + x = 3, բ) − 7 + x = − 2, գ) x + 3 = − 6,դ) 12 + x = − 8, ե) x + 18 = 18, զ) − 13 + x = − 5,

է) x− 15

=2, ը) x− 2= 12, թ) x− 4= 1 1

3 ։

649. ա) x − 12

= 12, բ) x − 1

3= 1

4, գ) x − 1

18= 1

12,

դ) x− 1 = -13, ե) 1

7 + x = 11, զ) 1 1

5 + x = 1,

է) x –613

= –323, ը) 7

9+ x = 21

2, թ) x− 21

2= -13

5650. ա) 2x = 4, բ) 6x = 24, գ) 7x = − 14,

դ) –5x = 100, ե) –2x = − 8, զ) 12x = − 36 :

651. ա) 3x = 2, բ) 6x = − 7, գ) − 2x = − 13,դ) 2x = 0, ե) –5x = 0, զ) − x = 2,է) − x = 0, ը) − x = − 5, թ) − x = 1 :

652. ա) 2x = 12, բ) 3x = –1

4, գ) -2x = 1

4

դ) 12x =3, ե) 3

4x =1, զ) -1

3x = –3,

է) –27x =0, ը) -4x = 8

25թ) 2x =1 1

3 ։

653. ա) 2x − 6 = 0, բ) 12 + 3x = 0,գ) –x + 7 = 0, դ) 15 − 3x = 0,ե) 3x + 1 = 7, զ) 5 − 2x = 1,է) 5x − 2 = 1, ը) –5x − 2 = – 12:

654. ա) 3x + 2x = 10, բ) 5x + x = 6,գ) 4x + 2x − 7 = 5, դ) 7x + x + 3 = 19,ե) 5 = 4x − 3x, զ) 8 = 3x − x,է) 3x − 1 = 2x, ը) 3x − 6 = x :

655. ա) x + 3 = 3x − 7, բ) 3 − x = 1 + x,գ) 7x + 2 = 3x − 10, դ) 5x − 8 = 3x − 8,

ե) 12

x − 3 = 2-13

x, զ) 5x− 214

= 12

x,

է) 25

x − 1 = 34

x-6, ը) 2x − 35

= 34

x − 12

։

656. ա) 2 (x − 5) = 9, բ) 12 + 3 (x − 1) = 0,գ) − (x + 8) = 3, դ) 1 − 5 (2 − 3x) = 6,

ANTARES

3.10. ԽՆԴԻՐՆԵՐԻ ԼՈՒԾՈՒՄ ՀԱՎԱՍԱՐՈՒՄՆԵՐԻ ՄԻՋՈՑՈՎ 127

ե) 7 − 3 (x + 1) = 6, զ) 5 − 2 (3 − x) = 11,է) 2x − (7 + x) = 2, ը) − 3 − 3 (3 − 2x) = 1:

657. ա) 3 (x + 2) − x = 10, բ) 8 = 3 (x − 4) − x,գ) 4x + 3 (x − 7) = 5, դ) 3 (x − 1) + x = 2x,ե) 5 − x = 4 (x − 3), զ) 5 (x + 4) + x = 6,է) 7 − (2x + 3) = 9, ը) 3 (x − 7) − 6x = − x,

թ) 12 (x − 4) + 3x = 5, ժ) 2�x + –3

2� −x = 31

5,

ի) 5x − � 12

x + 9� = 18, լ) -2� 13

x + 7� = -21։

3.10. ԽնԴիրների լուծում հավասարումների միջոցով

Հավասարումների միջոցով կարելի է լուծել շատ խնդիրներ։ Դրա համար պետք է.

1) անհայտ մեծությունը նշանակել տառով, 2) խնդրի պայմաններն օգտագործելով՝ կազմել հավասարում, 3) ստացած հավասարումը լուծել, 4) պատասխանել խնդրի հարցին (կամ պահանջին):

Խնդիր 1: Աշակերտը մի թիվ մտապահեց, ապա այն մեծացրեց եր-կու անգամ, արդյունքին ավելացրեց 3 և ստացավ 7: Ի՞նչ թիվ էր մտա-պա հել:

Լուծում: Ենթադրենք աշակերտը մտապահել էր x թիվը, մեծացրել էր եր կու անգամ և ստացել 2x, այնուհետև ավելացրել էր 3 և ստացել 2x + 3, որն ըստ պայմանի 7 է։ Կազմենք հավասարում և լուծենք այն.

2 x + 3 = 7, 2 x = 7 − 3, 2 x = 4 , x = 4 : 2 , x = 2:Պատասխան՝ աշակերտը մտապահել էր 2 թիվը:Խնդիր 2: Դասարանում կա 37 աշակերտ: Տղաները 5-ով շատ են

աղջիկներից: Քանի՞ աղջիկ կա դասարանում:Լուծում: Ենթադրենք աղջիկների քանակը x է, այդ դեպքում տղաների

քանակը կլինի (x + 5): Ընդամենը դասարանում կլինի x + (x + 5) աշակերտ, որը հավասար է 37-ի: Գրենք հավասարումը և լուծենք այն.

x + (x + 5) = 37, 2 x + 5 = 37, 2 x = 37 − 5, 2 x = 32, x = 16:Պատասխան՝ դասարանում կա 16 աղջիկ:Խնդիր 3: Քույր ու եղբայր հավասար դրամ ունեին: Տղան 3 միա-

տե սակ գրիչ գնեց, և նրա մոտ մնաց 300 դրամ: Քույրը գնեց այդպիսի 2 գրիչ, և նրա մոտ մնաց 450 դրամ: Ի՞նչ արժեր գրիչը:

ANTARES


Լուծում: Ենթադրենք գրիչն արժեր x դրամ: Ուրեմն, եղբայրն ուներ (3 x + 300), իսկ քույրը՝ (2 x + 450) դրամ: Ըստ խնդրի պայմանի՝ նրանք ունեին հավասար դրամ: Կազմենք հավասարում և լուծենք այն.

3 x + 300 = 2 x + 450, 3 x − 2 x = 450 − 300, x = 150: Պատասխան՝ գրիչն արժեր 150 դրամ:

Խնդիր 4: Գտեք այն թիվը, որի 4 5-ը 12 է:

Լուծում: Անհայտ թիվը նշանակենք x-ով: Նրա 4 5-ը կլինի 4

5x, որը

խնդրի պայմանի համաձայն 12 է: Կազմենք հավասարում և լուծենք այն.4 5x = 12, x = 12 : 4

5, x = 12 · 4

5, x = 3 · 5, x = 15:

Պատասխան՝ անհայտ թիվը 15-ն է:

Խնդրի պահանջից տարբեր որևէ անհայտ մեծությունը նշանակելով x-ով՝ խնդրի պահանջն արտահայտե՛ք x-ով (658661).658. ա) Երբ Մանեն կարդաց գրքի մի մասը, պարզվեց, որ նրան

կարդալու համար 40 էջ ավելի է մնացել, քան արդեն կարդացել է: Քանի՞ էջ ունի գիրքը:բ) Որոշ ճանապարհ անցնելուց հետո պարզվեց, որ 10 կմ-ով ավելի պակաս է մնացել անցնելու, քան արդեն անցել են: Որքա՞ն ճանապարհ պետք է անցնեին:գ) Բարձրահարկ շենքում երկսենյականոց բնակարանները մեկ-սենյականոց բնակարաններից 3 անգամ շատ են: Գտե՛ք երկսեն-յականոց ու մեկսենյականոց բնակարանների ընդհանուր քանակը:դ) Մի բնակավայրում կան միայն մեկհարկանի ու երկհարկանի տներ: Ընդ որում, երկհարկանի տները 10 անգամ քիչ են, քան մեկ-հար կա նի նե րը: Ընդամենը քանի՞ տուն կա այդ բնակավայրում:

659. Սեղանին 15 խնձոր էր դրված: Սյուզանան հավասար թվով խնձորներ հյուրասիրեց Լևոնին, Ջեմային և Անդրանիկին: Քանի՞ խնձոր մնաց սեղանին:

660. ա) Հայրը 3 անգամ մեծ է որդուց: Քանի՞ տարով է որդին փոքր հորից:բ) Աղջիկը 4 անգամ փոքր է մորից: Քանի՞ տարով է մայրը մեծ աղջկանից:գ) Հայրը 28 տարով մեծ է որդուց: Քանի՞ անգամ է նա մեծ որդուց:դ) Մայրը 24 տարով մեծ է աղջկանից: Քանի՞ անգամ է աղջիկը փոքր մորից:

661. ա) Պայծառը մտապահեց մի թիվ, մեծացրեց այն 3 անգամ և արդյունքը փոքրացրեց 5-ով: Ի՞նչ թիվ ստացավ նա:

ANTARES

3.10. ԽՆԴԻՐՆԵՐԻ ԼՈՒԾՈՒՄ ՀԱՎԱՍԱՐՈՒՄՆԵՐԻ ՄԻՋՈՑՈՎ 129

բ) Սուրենը մտապահեց մի թիվ, փոքրացրեց այն 3-ով և արդյունքը մեծացրեց 5 անգամ: Ի՞նչ թիվ ստացավ նա:

662. Մտապահված թիվը նշանակե՛ք x-ով և կազմե՛ք հավասարում ըստ հետևյալ խնդրի. ա) Մտապահել են մի թիվ, ավերացրել են 8 և ստացել 33:բ) Մտապահել են մի թիվ, բազմապատկել են այն 4-ով և ստացել 52:գ) Մտապահել են մի թիվ, բազմապատկել են այն 7-ով, արդյունքին ավելացրել են 12 և ստացել 26:դ) Մտապահել են մի թիվ, հանել են նրանից 4, արդյունքը բազ մա-պատ կել են 5-ով և ստացել 35:

663. Մի թիվ 6-ով մեծ է մյուսից, իսկ նրանց գումարը 18 է: Ըստ խնդրի պայմանի կազմե՛ք հավասարում՝ նշանակելով տառով. ա) փոքր թիվը, բ) մեծ թիվը:

664. Մի թիվ 4-ով փոքր է մյուսից, իսկ նրանց գումարը 22 է: Ըստ խնդրի պայ մանի կազմե՛ք հավասարում՝ նշանակելով տառով. ա) փոքր թիվը, բ) մեծ թիվը:Խնդրի անհայտ մեծություններից մեկը նշանակելով տառով՝ ըստ խնդրի պայմանի կազմե՛ք հավասարում և լուծե՛ք այն (665680).

665. ա) Մի թիվ 5 անգամ մեծ է մյուսից, իսկ նրանց գումարը 42 է: բ) Մի թիվ 3 անգամ փոքր է մյուսից, իսկ նրանց գումարը 28 է:գ) Մի թիվ 4 անգամ մեծ է մյուսից, իսկ նրանց տարբերությունը 39 է:դ) Մի թիվ 7 անգամ փոքր է մյուսից, իսկ նրանց տարբերությունը 54 է:

666. ա) Եղբայրը գտավ 3 անգամ շատ սունկ, քան քույրը: Միասին նրանք գտել են 24 սունկ: Քանի՞ սունկ է գտել եղբայրը, քանիսը՝ քույրը:բ) Երկու դարակում ընդամենը 63 գիրք կա, ընդ որում մեկում 2 անգամ քիչ գիրք կա, քան մյուսում: Քանի՞ գիրք կա ամեն դարակում:

667. ա) Գիրքն ունի 60 էջ: Կարդացել են 2 անգամ ավելի շատ էջ, քան մնացել էր կարդալու: Քանի՞ էջ էր մնում կարդալու:բ) Հավաքակայանում 72 մեքենա կա: Մարդատար մեքենաները 7 անգամ շատ են բեռնատարներից: Քանի՞ բեռնատար մեքենա կա հավաքակայանում:

668. ա) Հավերն ու ճուտերը միասին 20 հատ են: Հավերը 4 անգամ շատ են ճուտերից: Քանի՞ ճուտ կա:բ) Բադերն ու բադիկները միասին 16 հատ են: Բադերը 3 անգամ քիչ են բադիկներից: Քանի՞ բադիկ կա:

ANTARES


669. ա) 124 մետր քաթանը պետք է բաժանել երկու մասի այնպես, որ մի կտորը մյուսից 12 մետրով երկար լինի: Քանի՞ մետր երկարություն կունենա յուրաքանչյուր կտորը:բ) 16 մետր երկարություն ունեցող թելը պետք է երկու մասի բաժանել այնպես, որ մեկը մյուսից 1 մետրով երկար լինի: Քանի՞ մետր կլինի յուրաքանչյուր մասը:

670. ա) Դպրոցի սեղաններն ու աթոռները միասին 690 հատ են։ Աթոռ-ները 230-ով շատ են սեղաններից։ Քանի՞ սեղան և քանի՞ աթոռ կա դպրոցում։բ) Դահուկավազքի մրցումներին մասնակցում էին 53 մարզիկ: Աղ-ջիկ ները 17-ով քիչ էին տղաներից: Քանի՞ աղջիկ և քանի՞ տղա էին մասնակցում մրցումներին:

671. Երկու հոգի 15 000 դրամը պետք է բաժանեին այնպես, որ մե կին մյուսից 4 անգամ շատ հասներ: Քանի՞ դրամ կհասնի յու րա քանչ-յու րին:

672. ա) Կոնֆետի համար վճարել են 3 անգամ ավելի, կամ 600 դրամով ավե լի, քան թխվածքի համար: Որքա՞ն են վճարել թխվածքի հա-մար:բ) Տետրերի համար վճարել են 4 անգամ ավելի, կամ 720 դրամով ավելի, քան քանոնի համար: Որքա՞ն են վճարել քանոնի համար:

673. ա) Հայրը 8 անգամ մեծ է աղջկանից, իսկ աղջիկը 28 տարով փոքր է հորից: Քանի՞ տարեկան է հայրը:բ) Մայրը 6 անգամ մեծ է որդուց, իսկ որդին 25 տարով փոքր է մորից: Քանի՞ տարեկան է մայրը:

674. Արևի տակ տաքանում էր մի քանի կատու: Նրանք միասին 10 թաթ ավելի ունեին, քան ականջ: Քանի՞ կատու էր տաքանում արևի տակ:

675. Ընդհանուր քանակով 10 շուն ու կատու կերակրեցին 56 պաքսիմատով: Ամեն շանը հասավ 6, իսկ ամեն կատվին՝ 5 պաքսիմատ: Քանի՞ շուն ու քանի՞ կատու կերակրեցին:

676. Քանի՞ հավ ու քանի՞ ոչխար կար տնտեսությունում, եթե հայտնի է, որ բոլոր հավերն ու ոչխարները միասին ունեին.ա) 19 գլուխ և 46 ոտք, բ) 30 գլուխ և 74 ոտք:

677. Ընդհանուր քանակով 15 եռանկյուն ու քառանկյուն միասին ունեն 53 անկյուն: Քանի՞ եռանկյուն և քանի՞ քառանկյուն կար:

678. ա) 7400 դրամը վճարեցին 19 մետաղադրամներով՝ օգտագործելով միայն 200 և 500 դրամանոցներ: Քանի՞ 200 դրամանոց մետաղադրամ օգտագործեցին:բ) 27 000 դրամը մանրել են 100 և 200 դրամանոցներով: Ստացվել է 170 մետաղադրամ: Դրանցից քանի՞սն են 100, քանիսը՝ 200 դրամանոց:

679. Լ.Ֆ. Մագնիցկիի «Թվաբանությունից»: Մի մարդ հարցրեց ուսուցչին.

ANTARES

3.11. ՏԱՌԱՅԻՆ ԱՐՏԱՀԱՅՏՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐ 131

– Քեզ մոտ սովորող քանի՞ աշակերտ ունես:Ուսուցիչն էլ պատասխանեց. – Եթե իմ մոտ գան էլի այնքան, որքան ես ունեմ, ու էլի դրա կեսը, ու էլի չորրորդ մասը և նաև քո որդին, ապա ես կունենամ 100 աշակերտ:Քանի՞ աշակերտ ուներ ուսուցիչը:

680. Հին խնդիր (Հունաստան):– Ասա ինձ, մեծահռչակ Պյութագորաս, քանի՞ աշակերտ է հաճախում քո դպրոցը և լսում քո զրույցները:– Ահա որքան,– պատասխանեց փիլիսոփան,– նրանց կեսը մաթե-մա տի կա է ուսումնասիրում, քառորդը՝ երաժշտություն, յոթերորդ մա սը ազատ ունկնդիր է, և բացի դրանցից երեք կին էլ կա: Քանի՞ մարդ էր հաճախում Պյութագորասի դպրոցը։

3.11. տաՌային արտահայտուԹյուններ

Եթե թվային արտահայտության մեջ որոշ թվեր (կամ բոլորը) փոխարինենք տառերով (տարբեր թվերը՝ տարբեր տառերով), ապա կստացվի տառային արտահայտություն:

Օրինակ, եթե 2 + 3 թվային արտահայտությունում 2 թիվը փոխարինենք a տառով, իսկ 3-ը՝ b տառով, ապա կստանանք a + b տառային արտահայտությունը:

Մենք արդեն օգտվել ենք տառային արտահայտություններից: Օրինակ՝ կամայական բնական թվերը նշանակել ենք a, b, ... տառերով,

կամայական ռացիոնալ թիվը գրել ենք ab տեսքով, որտեղ a-ն ու b-ն

ամբողջ թվեր են (b ≠ 0):Եթե 3a − 7 տառային արտահայտության մեջ a-ի փոխարեն տե ղա-

դրենք թիվ, օրինակ 3, ապա կստանանք տառային արտահայ տությունը, որը հավասար է 2-ի: Այդ թիվն անվանում են տառային արտա հայտության արժեք, a = 3 դեպքում:

Օրինակ 1: Գտնենք թվային արտահայտության արժեքը, երբ x = – 2:

7 ⋅ (− 2) + 2 ⋅ (− 2) = − 14 − 4 = − 18:Տառային արտահայտությունները կիրառում են բանաձևեր գրելիս:

Բանաձևը մաթեմատիկական և այլ օրենքների գրառումն է տառային արտահայտությունների միջոցով:

Որոշ բանաձևերից մենք արդեն օգտվել ենք: Օրինակ՝ 1) p = 2(a + b)-ն a և b կողմերով ուղղանկյան պարագծի բանաձևն է, 2) s = ab-ն a և b կողմերով ուղղանկյան մակերեսի բանաձևն է,

ANTARES


3) v = abc-ն a, b, c չափումներն ունեցող ուղղանկյունանիստի ծավալի բանաձևն է,

4) s = vt-ն հավասարաչափ շարժման դեպքում անցած ճանապարհի բանաձևն է, որտեղ v-ն շարժման արագությունն է, իսկ t-ն՝ ժամանակը,

5) p = 4a-ն a կողմով քառակուսու պարագծի բանաձևն է, 6) s = a2-ն a կողմով քառակուսու մակերեսի բանաձևն է:

681. Տրված թվային արտահայտությունում 5 թիվը փոխարինե՛ք a տառով: Գրե՛ք ստացված տառային արտահայտությունը. ա) 7 − 5 − 1, բ) 2 − 5 − 5:3:

682. Բերե՛ք. տառային արտահայտությունների օրինակներ:

683. a + 3 տառային արտահայտության մեջ a տառի փոխարեն տեղադրե՛ք հետևյալ թիվը. ա) 5, բ) 3, գ) 1, դ) 0, ե) − 1, զ) − 3:

684. Գտե՛ք 7 + x տառային արտահայտության արժեքը, երբ x-ը հավասար է. ա) 0, բ) 3, գ) − 1, դ) − 4, ե) − 7, զ) − 10:

685. a + 2 արտահայտությունը a-ի և 2-ի գումարն է, 3 − x արտա հայ տու-թյու նը 3-ի և x-ի տարբերությունն է: Դրանց օրինակով կար դա-ցե՛ք արտահատությունը. ա) 5 + a, բ) 7 − a, գ) 4 − x, դ) a + 12,ե) 2a, զ) 7b, է) − 3a, ը) a + (– 3):

686. Օգտվելով բերված նմուշօրինակից՝ հաշվե՛ք տրված տառային արտահայտության արժեքը.

ա) 10 − 4x, երբ x = − 5Երբ x = −5 10 − 4x = 10 − 4(−5) = 10 + 20 = 30

բ) 2x + 1, երբ x = 5 գ) 6 + 8x, երբ x = − 1 դ) 5 − 4a, երբ a = 2 ե) 3 − 7b, երբ b = − 2:

Գտե՛ք տառային արտահայտության արժեքը (687, 688).

687. ա) a + b, երբ a = 1, b = 3 բ) a − b, երբ a = − 2, b = 4 գ) 2x − y, երբ x = 5, y = 6 դ) 3x − 2y, երբ x = − 1, y = − 4:

688. ա) ab, երբ a = 3 4, b = 13

5

բ) 2(a + b), երբ a = 3 10

b = 1 1 2

ANTARES


գ) abc, երբ a = 1 3, b = 1 1

2, c = 2:

Գտե՛ք յուրաքանչյուր տառային արտահայտության արժեքը x-ի նշված արժեքների դեպքում (689, 690).689.

x 1 3 0 − 1 − 5 1 3

x − 1

2x + 1

3 − 3x

1 + 1 2x

690. x 1 2 5 0 -2 -4

2x

x2

691. Ուղղանկյան կողմերը a ու b են: Գրե՛ք ուղղանկյան պարագծի բանաձևը: Հաշվե՛ք պարագիծը, երբ.

ա) a = 2 սմ, b = 3 սմ բ) a = 7 սմ, b = 9 սմ

գ) a = 1 1 5 սմ, b = 3 4

5 սմ դ) a = 2 1

2 սմ, b = 3 1

4 սմ:

692. Ուղղանկյան կողմերը a ու b են: Գրե՛ք ուղղանկյան մակերեսի բանաձևը: Հաշվե՛ք մակերեսը, երբ. ա) a = 2 սմ, b = 7 սմ բ) a = 4 սմ, b = 5 սմ

գ) a = 3 1 2 սմ, b = 2 2

5 սմ դ) a = 31

5 սմ, b = 1 1

5 սմ:

693. Քառակուսու կողմը a է: Գրե՛ք քառակուսու պարագծի և մակերեսի բանաձևերը: Հաշվե՛ք քառակուսու պարագծը և մակերեսը, երբ.

ա) a = 3 սմ, բ) a = 8 սմ, գ) a = 10 սմ,

դ) a = 1 2 դմ ե) a = 3 1

2 սմ, զ) a = 2 3

4 սմ:

694. Ուղղանկյունանիստի երկարությունը, լայնությունը և բարձրու թյու-նը համապատասխանաբար a, b և c են: Գրե՛ք ուղղանկյունանիս տի ծավալի բանաձևը: Հաշվե՛ք ծավալը, երբ.

ա) a = 2 սմ, b = 3 սմ, c = 5 սմ

ANTARES


բ) a = 2 5 սմ, b = 4 սմ, c = 5 սմ:

695. Խորանարդի կողը a է: Գրե՛ք խորանարդի ծավալի բանաձևը: Հաշվե՛ք ծավալը, երբ. ա) a = 4 սմ, բ) a = 5 սմ, գ) a = 10 սմ:

696. Տրված պատկերի S մակերեսը հաշվելու համար կազմե՛ք տառային արտահայտություն (նկար 74).

ա) բ) գ)

դ) ե) զ)

Նկար 74

Լուծե՛ք խնդիրը՝ կազմելով համապատասխան թվային արտահայտու-թյուն (697699).

697. ա) Գնեցին 50 դրամանոց 7 տետր և 300 դրամանոց 2 գրիչ: Որքա՞ն վճարեցին:բ) Գնեցին 40 դրամանոց 4 քանոն և 80 դրամանոց 3 անկյունաքանոն ու վճարեցին 500 դրամ: Որքա՞ն մանր ստացան:

698. ա) Զբոսաշրջիկը 2 ժամ գնաց 60 կմ/ժ արագությամբ և 3 ժամ` 5 կմ/ժ արա գու-թյամբ: Ի՞նչ հեռավորություն հաղթահարեց զբո սա շրջիկը 5 ժամում:բ) Զբոսաշրջիկը 65 կմ/ժ արագությամբ գնաց 4 ժամը, ապա 60 կմ/ժ արագությամբ՝ 2 ժամ: Որքա՞ն ժամանակում նա կանցնի երթուղու մնացած մասը՝ քայլելով 5 կմ/ժ արագությամբ, եթե երթուղու երկարությունը 400 կմ է:

699. ա) Բրիգադում կա 8 ներկարար, որոնցից յուրաքանչյուրը 2 ժամում ներկում է 1 պատուհան: Որքա՞ն ժամանակում բրիգադը կներկի 24 պատուհան:

ANTARES


բ) Բրիգադը, որում կա 8 ներկարար, պետք է ներկեր 40 պատուհան: Ամեն ներկարար մեկ պատուհանը ներկում է 2 ժամում: Քանի՞ պատուհան կմնա ներկելու բրիգադի 8 ժամյա աշխատանքից հետո:

Կազմելով տառային արտահայտություն՝ լուծե՛ք խնդիրը (700, 701).700. ա) Գիրքն արժե x դրամ: Ի՞նչ արժե 8 այդպիսի գիրքը:

բ) Գնել են x դրամ արժողության 10 տետր և 30 դրամ արժողության 3 գրիչ: Որքա՞ն են վճարել:գ) Գնել են 40 դրամ արժողության x քանոն և 50 դրամ արժողության 4 տետր: Վճարել են 500 դրամ: Որքա՞ն մանր ստացան:

701. ա) Զբոսաշրջիկը x ժամ գնաց 50 կմ/ժ արագությամբ և 2 ժամ՝ 4 կմ/ժ արագությամբ: Ի՞նչ հեռավորություն անցավ նա այդ ամբողջ ժամանակում:բ) Զբոսաշրջիկը x կմ/ժ արագությամբ գնաց 4 ժամ, ապա 70 կմ/ժ արագությամբ՝ 3 ժամ: Որքա՞ն ժամանակում նա կանցնի երթուղու մնացած մասը՝ քայլելով 4 կմ/ժ արագությամբ, եթե երթուղու երկարությունը 400 կմ է:

702. Մի խողովակով ավազանը կարելի է լցնել a րոպեում, իսկ մյուսով՝ b: Քա նի՞ րոպեում ավազանը կլցվի երկու խողովակներով: Պա-տաս խանը ստանալու համար կազմեք տառային արտա հայ տու-թյուն: Հաշվե՛ք նրա արժեքը, երբ. ա) a = 30, b = 20 բ) a = 70, b = 30 գ) a = 60, b = 90:

Կազմելով տառային արտահայտություն՝ լուծեք խնդիրը (703, 704). 703. Քույրը գտավ x սունկ, իսկ եղբայրը՝ 2 անգամ ավելի: Քանի՞ սունկ

գտավ եղբայրը: Քանի՞ սունկ գտան միասին:

704. ա) Վարժությունները լուծելու համար Վարուժանը ծախսեց x րոպե, իսկ խնդիրը լուծելու համար՝ 10 րոպեով ավելի: Քանի՞ րոպե ծախսեց Վարուժանը ամբողջ առաջադրանքը կատարելու համար:բ) Դասարանում աղջիկները x հոգի են, իսկ տղաները՝ 4-ով պակաս: Քանի՞ աշակերտ կա դասարանում:

705. Ապացուցե՛ք, որ եթե I և II թվերի գումարից հանենք I և II թվերի տարբերությունը, ապա կստանանք II թվի կրկնապատիկը: Այսինքն, ցանկացած a և b ռացիոնալ թվերի համար ճիշտ է (a + b) − (a − b) = 2b հավասարությունը:

706. Ապացուցե՛ք, որ ցանկացած a և b ռացիոնալ թվերի համար ճիշտ է (a + b) + (a − b) = 2a հավասարությունը:Երկու թվերի գումարի և տարբերության այս հատկությունը ձևակերպե՛ք կանոնի տեսքով:

ANTARES


707. Հնում խնդիրներ լուծելու համար օգտվում էին հետևյալ կանոններից. I և II թվերի գումարի և տարբերության միջոցով I թիվը գտնելու համար կարելի է I և II թվերի կիսագումարին ավելացնել նրանց կիսատարբերությունը, իսկ II թիվը գտնելու համար կարելի է I և II թվերի կիսագումարից հանել նրանց կիսատարբերությունը: Ապացուցե՛ք այդ հավասարությունները.

ա) a + b 2

+ a − b 2

= a բ) a + b 2

− a − b 2

= b

708. ա) Երկու թվերի գումարը 37 է, իսկ տարբերությունը՝ 13: Գտե՛ք այդ թվերը:բ) Երկու թվերի գումարը 48 է, իսկ տարբերությունը՝ 12: Գտե՛ք այդ թվերը:

709. Գտե՛ք այն թվերը, որոնց գումարն ու տարբերությունը համա պա-տաս խա նաբար հավասար են. ա) 49 և 17, բ) 48 և 72, գ) 57 և 39, դ) 38 և 2:

710. ա) Երկու թվերի գումարը 304 է: Նրանցից մեկը մյուսից մեծ է 50-ով: Գտե՛ք այդ թվերը:բ) Երկու թվերից մեկը մյուսից փոքր է 98-ով, իսկ նրանց գումարը 760 է: Գտե՛ք այդ թվերը:

711. Եթե նավակի սեփական արագությունը x կմ/ժ է, իսկ հոսանքի արա-գությունը y կմ/ժ, ապա ի՞նչը կարող ենք գտնել, հաշվելով ա) x + y-ը, բ) x − y-ը:

712. Եթե հոսանքի ուղղությամբ նավակի արագությունը x կմ/ժ է, իսկ հոսանքի արագությունը՝ y կմ/ժ, ապա ի՞նչ արագություններ են ցույց տալիս x−y-ը և x − 2y-ը:

713. Եթե հոսանքի հակառակ ուղղությամբ նավակի արագությունը xկմ/ժ է, իսկ հոսանքի արագությունը՝ y կմ/ժ, ապա ի՞նչ արա գու-թյուն ներ են ցույց տալիս x + y-ը և x + 2y-ը:

3.12. ՃՇմարիտ և կեղծ ասույԹներ

Մենք մեր մտքերն արտահայտում ենք նախադասություններով, որոնց մի մասը դատողություն կամ տեղեկատվություն են առարկաների ու երևույթների մասին, մյուս մասը՝ ցանկություն են, երրորդները՝ վերաբերմունք կամ հարցում և այլն: Օրինակ՝

ա) «Հակադիր թվերի գումարը զրո է:» բ) «Երևանը Հայաստանի Հանրապետության մայրաքաղաքն է:» գ) «0-ն բնական թիվ է:» դ) «Երանի տղա լինել:»

ANTARES

3.12. ՃՇՄԱՐԻՏ և ԿԵՂԾ ԱՍՈՒՅԹՆԵՐ 137

ե) «Տունը կառուցված է սարի գագաթին:»Այս նախադասություններից ա)-ն, բ)-ն և գ)-ն արտահայտում են

որոշակի պնդում: Նրանցից ա)-ն ու բ)-ն միանշանակ ճիշտ են, իսկ գ)-ն միանշանակ սխալ: դ) նախադասության համար վերանում է ճիշտ կամ սխալ լինելու հարցը, քանի որ այն որոշակի պնդում չի արտահայտում: ե) նախադասությունը արտահայտում է մի պնդում, որի մասին չի կարելի միանշանակ ասել՝ ճիշտ է այն, թե սխալ (մի տան դեպքում այդ պնդումը ճիշտ է, մի ուրիշի դեպքում՝ ոչ):

Ցանկացած պնդում, որի մասին կարելի է միանշանակ ասել ճշմարիտ է այն, թե կեղծ, անվանում են ասույթ:

Այսպիսով, վերևում բերված նախադասություններից ա)-ն ու բ)-ն ճշմարիտ ասույթներ են, գ)-ն կեղծ ասույթ է, իսկ դ)-ն ու ե)-ն ասույթ չեն:

Արդյո՞ք հավասարումն ասույթ է: Այդ հարցին պատասխանելու համար դիտարկենք 2x − 7 = 0 հավասարումը: Նրա ճշմարիտ կամ կեղծ լինելը կախված է x փոփոխականի արժեքից: Եթե x-ի փոխարեն

տեղադրենք 7 2, ապա հավասարումը կվերածվի ճշմարիտ ասույթի, իսկ

օրինակ x = 0 դեպքում հավասարումը կդառնա կեղծ ասույթ: Ուրեմն, եթե x փոփոխականի արժեքը հայտնի չէ, հավասարումը ասույթ չէ, քանի որ հնարավոր չէ միանշանակ ասել ճշմարիտ է այն, թե կեղծ:

714. Ո՞ր նախադասությունն են անվանում. ա) ասույթ, բ) ճշմարիտ ասույթ, գ) կեղծ ասույթ: Բերե՛ք օրինակներ: Բերե՛ք նախադասության օրինակ, որը ասույթ չլինի:

715. Ճշմարի՞տ է, թե՞ կեղծ հետևյալ ասույթը. ա) 4 < 0, բ) 11 + 3 = 18, գ) 3 + 9 < 100, դ) 5 ⋅ 7 = 35,ե) 6 ⋅ 8 ≠ 48, զ) 59 8765 412-ը առանց մնացորդի բաժանվում է 4 -ի,է) 1 111 111-ը առանց մնացորդի բաժանվում է 3-ի:

716. Ճշմարի՞տ, թե՞ կեղծ ասույթ կդառնա x + 1 = 3 − 5x հավասարումը, եթե x -ի փոխարեն տեղադրենք.

ա) 2, բ) − 1, գ) 1 3 դ) − 1

2 զ) 0:

717. Ճշմարի՞տ, թե՞ կեղծ ասույթ է «14 + 5 = 20 հավասարությունն ասույթ է» նախադասությունը:

ANTARES


3.13. Պատմական ակնարկ

Լատիներեն ratio բառը նշանակում է նաև երկու թվերի հարաբերություն: Այդ պատճառով է, որ ամբողջ թվերի հարաբերությամբ ներկայացվող թվին անվանում են ռացիոնալ թիվ:

Ինչպես հայտնի է, մաթեմատիկոսները դեռ շատ վաղուց են հանգել դրա կան կոտորակը որպես բնական թվերի հարաբերություն հաս-կանալու գաղափարին: Իսկ բացասական կոտորակները որպես թիվ ընդու նելու համար երկար ժամանակ է պահանջվել:

Զրոն, որ երկար ժամանակ ընդամենը նշանակել է թվի բա ցա կա-յություն, միայն բացասական թվերի ներմուծումից հետո է սկսել դի-տարկ վել որպես թիվ: Ինչպես արդեն նշվել է «Ամբողջ թվեր» գլխում, ռացիո նալ թվերի ժամանակակից մեկնաբանությունը, որն հիմնված է կոոր դինատային առանցքի սկզբնակետից աջ ու ձախ հատվածներ տեղադրելու վրա, տրվել է ընդամենը XVII դարում:

Բոլոր ռացիոնալ թվերի բազմությունն օժտված է հետևյալ հիանալի հատ կությամբ. ցանկացած թվաբանական գործողության (գումարման, հանման, բազմապատկման, ոչ զրո թվի վրա բաժանման) արդյունքը դուրս չի գալիս այդ բազմությանից: Այլ խոսքերով ասած, երկու ռացիո-նալ թվերի նկատմամբ ցանկացած այդպիսի գործողության ար դյուն քը նույնպես ռացիոնալ թիվ է: Այդպիսի դեպքերում ասում են, որ բազ մու-թյունը փակ է այդ գործողությունների նկատմամբ:

Ուշադրություն դարձնենք, որ ավելի վաղ դիտարկված թվային բազ-մու թյուններից ոչ մեկը (բնական, ամբողջ, դրական ռացիոնալ թվերի) չուներ այդ հատկությունը:

Տրված գործողությունների նկատմամբ փակ բազմությունների հատ-կու թյունների ուսումնասիրությունը հանգեցրել է «Խմբերի տեսություն» անու նը կրող մաթեմատիկական մի նոր բնագավառի ստեղծմանը: Այդ տեսությունը կիրառվում է գիտության տարբեր բաժիններում. բյու րե-ղագիտությունում, երկրաչափությունում, ֆիզիկայում, մեխանիկայում և այլն:


718. ա) Ձուկը կշռում է 5 կգ և էլի կես ձուկ: Որքա՞ն է կշռում ձուկը:բ) Գիրքն արժե 3000 դրամ և էլի կես գիրք: Ի՞նչ արժե գիրքը:

719. Մի ավտոսիրող պատմում է. «Ես մեկնեցի ճանապարհորդության «Մոսկվիչով»՝ ունենալով մեկ պահեստային անիվ: Ժամանակ առ ժամանակ ես փոխում էի անիվները, և պարզվեց, որ I անիվը անցել է 1000 կմ, II-ը՝ 900 կմ, III-ը՝ 800 կմ, IV-ը՝ 700 կմ և V-ը՝ 600 կմ»:

ANTARES


Քանի՞ կիլոմետր էր անցել ավտոմեքենան: Կարո՞ղ է վարորդն այնպես փոխել անիվները, որ I անիվն անցնի 1400 կմ, II-ը՝ 1200 կմ, III-ը՝ 1000 կմ, IV-ը՝ 800 կմ և V-ը՝ 600 կմ:

720. Մաթեմատիկոսներից յուրաքանչյուր յոթերորդը նաև փիլիսոփա է, իսկ փիլիսոփաներից յուրաքանչյուր իներորդը նաև մաթեմատիկոս է: Մաթեմատիկոսնե՞րն են շատ, թե՞ փիլիսոփաները:

721. 8 ընկերուհի որոշեցին փոխանակել իրենց լուսանկարներն այն պես, որ յուրաքանչյուրն ունենա մյուս ընկերուհիների լուսա նկար ները: Ամենաքիչը քանի՞ նկար է անհրաժեշտ այդ բանը անելու համար:

722. Մեր դասարանում յուրաքանչյուր աղջիկ ընկերություն է անում ճիշտ 3 տղայի հետ, իսկ յուրաքանչյուր տղա ընկերություն է անում ճիշտ երկու աղջկա հետ: Քանի՞ աշակերտ կա մեր դասարանում, եթե տղաները 5-ով ավելի են աղջիկներից:

723. Ֆուտբոլի առաջնությունում 8 թիմ է մասնակցում: Ամեն թիմ մնացածներից յուրաքանչյուրի հետ խաղում է միայն մեկ անգամ: Հաղթանակի համար թիմն ստանում է 2 միավոր, ոչ-ոքիի համար՝ 1 միավոր, իսկ պարտության համար՝ 0 միավոր: Ի՞նչ ամենամեծ և ի՞նչ ամենափոքր տարբերություն կարող է լինել առաջին և վերջին տեղերն զբաղեցնողների միավորների միջև, եթե հայտնի է, որ առաջին տեղն զբաղեցրել է մեկ թիմ և վերջին տեղն զբաղեցրել է մեկ թիմ:

724. Կոնֆետների մեծ տուփը երկու անգամ թանկ է փոքրից: Ցանկանում են գնել 3 մեծ և 2 փոքր տուփ, բայց եթե գնեն 2 մեծ և 3 փոքր տուփ, ապա գնումը 1500 դրամով էժան կլինի: Որքա՞ն արժե մեծ տուփը:

725. Առաջին հողափոր մեքենան կարող է խրամատը փորել 30, իսկ երկրորդը՝ 20 ժամում: Սկզբում առաջինը մենակ աշխատեց 9 ժամ, այնուհետև մնացած աշխատանքը արեց միայն երկրորդը: Քանի՞ ժամում արվեց աշխատանքը:

726. Անանիա Շիրակացու խնդիրներից (VII դար): Մի վաճառական անցավ երեք քաղաքներով: Առաջին քաղաքում նրանից տուրք բռնագանձեցին ունեցածի կեսն ու երրորդ մասը, երկրորդ քա-ղաքում հաշվեցին ինչ որ ուներ, գանձեցին այդքանի կեսն ու երրորդ մասը, իսկ երրորդ քաղաքում դարձյալ հաշվեցին ինչ ուներ և գանձեցին այդքանի կեսն ու երրորդը: Իսկ երբ այդ մարդը տուն հասավ, նրա մոտ մնացել էր 11 դահեկան: Արդ՝ իմացի՛ր, թե ընդամենը քանի՞ դահեկան ուներ սկզբում:

727. Անանիա Շիրակացու խնդիրներից (VII դար): Ես կամսարականների ոստանում էի: Գնալով Ախուրյան կոչվող գետի ափը, գետում ձկների վտառ տեսա, ուռկան գցել տվեցի, բռնեցի այդ ձկների կեսը, քառորդը և յոթերորդ մասը, իսկ որը ուռկանից ազատվեց՝ ընկավ թարփի մեջ, որում գտա 45 հատ: Արդ՝ իմացի՛ր, թե վտառի մեջ քանի՞ ձուկ կար:

ANTARES


728. Անանիա Շիրակացու խնդիրներից (VII դար): Իմ աշակերտներից մեկը ընտիր խնձորներ է գնում և ցանկանում է ինձ ընծա բերել: Ճանապարհին նրան հանդիպում է կատակողների երեք խումբ: Առաջին խումբը վերցնում է խնձորների կեսն ու չորրորդը, երկրորդ խումբը՝ մնացածի կեսն ու չորրորդը, երրորդ խումբը՝ նույնպես մնացածի կեսն ու չորրորդը, իսկ մնացած խնձորները՝ 5 հատ, բերում հասցնում է ինձ: Արդ՝ իմացի՛ր, թե ընդամենը քանի՞ խնձոր է եղել:

729. Անանիա Շիրակացու խնդիրներից (VII դար): Մի մարդ երեք եկեղեցի մտավ: Առաջին եկեղեցում աստծուց խնդրեց. «Տուր ինձ այնքան, որքան ես ունեմ, և ես քեզ կտամ 25 դահեկան»: Այդպես խնդրեց նաև երկրորդում և 25 դահեկան տվեց և նույնը արեց նաև երրորդում, և նրա մոտ ոչինչ չմնաց: Արդ՝ իմացի՛ր, թե սկզբում քանի՞ դահեկան ուներ:

730. 250 հայելի տեղափոխելու համար վարձվեց բեռնակիր, որի հետ պայմանավորվեցին վճարել 15 դրամ յուրաքանչյուր անվնաս տեղափոխված հայելու համար և գանձել 50 դրամ յուրաքանչյուր կոտրված հայելու դիմաց: Քանի՞ անվնաս հայելի է տեղափոխել բեռնակիրը, եթե նրան վճարել են ընդամենը 3100 դրամ:

731. Առաջին վարպետը 1 մուշտակը կարում է 5, իսկ երկրորդ վարպետը՝ 3 օրում: Ինչպե՞ս բաժանել նրանց մեջ 9 մուշտակ կարելու պատվերը, որպեսզի յուրաքանչյուրը կարի ամբողջ թվով մուշտակ, և պատվերը կատարվի կարճագույն ժամկետում:

732. Ալիսա աղվեսը, Բազիլիո կատուն ու Բուրատինոն Հրաշքների Դաշտում հողում թաղված ոսկով լի սափոր գտան: Ալիսա աղվեսը ցանկանում էր իրեն վերցնել բոլոր ոսկիների երրորդ մասը և մնացածի կեսը տալ Բազիլիո կատվին: Բազիլիո կատուն ցանկանում էր իրեն վերցնել ոսկու կեսը և մնացածի երրորդ մասը տալ Ալիսա աղվեսին: Բուրատինոն չի հիշում, որ տարբերակով բաժանեցին, բայց նա հաստատ հիշում է, որ իրեն 5 ոսկի է հասել: Քանի՞ ոսկի է եղել սափորում:

733. Ձկնորսը շարժիչավոր նավակով մեկ բաք վառելիքով կարող է 20 կմ ընթանալ գետի հոսանքի հակառակ ուղղությամբ կամ 30 կմ` հոսանքի ուղղությամբ: Ի՞նչ ամենամեծ երկարությամբ նա կարող է հեռանալ գետով` պայմանով, որ վառելիքը բավականացնի նաև վերադառնալու համար:

734. Ազատը 4 նոր անիվ գնեց իր մեքենայի համար: Նա գիտի, որ մեքենայի առջևի անիվները մաշվում են 12 հազար կմ վազքի, իսկ հետևինները՝ 8 հազար կմ վազքի դեպքում: Ի՞նչ ամենաերկար ճանապարհ կարող է անցնել նա (մինչև անիվների մաշվելը), եթե ճիշտ որոշի պահն ու փոխանակի հետևի անիվները առաջինների հետ:

ANTARES

4.1. Դրական տասնորԴական կոտորակի հասկացուԹյունը

Այն դրական կոտորակը, որի հայտարարը 10-ի որևէ բնական աստիճան է, հաճախ գրում են ավելի պարզ ձևով. հայտարարը չեն գրում, իսկ ամբողջ և կոտորակային մասերն իրարից անջատում են ստորակետով (ընդ որում, կանոնավոր կոտորակի ամբողջ մասը համարում են 0):

Օրինակ՝ 27 10

= 2 2 10

= 2,7, 717 100

= 7 17 100

= 7,17, 111 1000

= 0,111

Սովորական կոտորակները, գրված այս նոր ձևով, անվանում են

տասնորդական կոտորակներ, այսինքն՝ 2 2 10

-ը և 2,7-ը նույն թիվը

գրելու տարբեր ձևերն են. առաջինը խառը կոտորակի տեսքով, իսկ երկրորդը՝ տասնորդական կոտորակի:

Հիշեցնենք, որ հաշվարկի տասական համակարգում յուրաքանչյուր թվանշանի նշանակությունը կախված է այն կարգից (դիրքից), որտեղ այդ թվանշանը գրված է: Ընդ որում, հարևան կարգերի միավորները իրարից տարբերվում են 10 անգամ: Օրինակ՝ մեկ տասնյակը 10 անգամ փոքր է մեկ հարյուրակից, մեկ միավորը 10 անգամ փոքր է մեկ տասնյակից:

Տասնորդական կոտորակում ստորակետից հետո առաջին կարգը անվանում են տասնորդականների կարգ: Օրինակ՝ 2,7-ը բաղկացած է 2 ամբողջից և 7 տասնորդականից, կարդում են՝ «երկու ամբողջ, յոթ տասնորդական»:

Ստորակետից հետո երկրորդ կարգը անվանում են հարյուր երոր դա-կան ների կարգ: Օրինակ՝ 0,35 տեսքի տասնորդական կո տո րա կը կար դում

ՏԱՍՆՈՐԴԱԿԱՆ ԿՈՏՈՐԱԿՆԵՐ

ANTARES

ԳԼՈՒԽ 4 ՏԱՍՆՈՐԴԱԿԱՆ ԿՈՏՈՐԱԿՆԵՐ142

են «զրո ամբողջ երեսունհինգ հարյուրերորդական»: 0,35 թիվը բաղ-կացած է 0 ամբողջից, 3 տասնորդականից և 5 հարյուրերորդականից:

Որպեսզի ավելի լավ հասկանալ տասնորդական կոտորակների գրա ռ ման և ընթերցման կանոնները, դիտարկենք կարգերի աղյուսակը և թվե րի գրառման հետ կապված նրանում բերված օրինակները.

Սովորական կոտորակ

(խառը թիվ)

Տասնորդական կոտորակ

Ամբողջ մաս , Կոտորակային մաս

...

Հա

րյու

րյա

կ

Տասն

յակ

Միա

վոր

Տասն

որդ

ակա

ն

Հա

րյու

րերոր

դա

կան

Հա

զա

րերոր

դա

կան

Տասհա

զա

ր-

երոր

դա

կան

Հա

րյու

րհա

զա

ր-

երոր

դա

կան

Միլ

իոն

երոր

դա

կան

...

2 7 10

2 , 7

200 35 100

2 0 0 , 3 5

19 1000

0 , 0 1 9

16 700 10000

1 6 , 0 7 0 1

19 1000

թիվը տասնորդական կոտորակի տեսքով գրելու համար պետք

է հաշվի առնել, որ

19 1000

= 10 + 9 1000

= 10 1000

+ 9 1000

= 0 10

+ 1 100

+ 9 1000

,

այսինքն՝ այդ թիվը պարունակում է 0 տասնորդական 1 հարյուրերորդական, 9 հազարերորդական: Այսպիսով՝

19 1000

= 0,019

Ինչպես տեսնում ենք տասնորդական կոտորակի գրելաձևում ստորակետից հետո ստացվում է այնքան թվանշան, որքան 0 է պարունակում այդ կոտորակին համապատասխանող սովորական կոտորակի հայտարարը: Օրինակ՝

ANTARES

4.1. ԴՐԱԿԱՆ ՏԱՍՆՈՐԴԱԿԱՆ ԿՈՏՈՐԱԿԻ ՀԱՍԿԱՑՈՒԹՅՈՒՆԸ 143

13 1�00 = 0,�13, 12

7 10�00 = 12, 0�07

135 100�00 = 0,01�35։

2 զրո 2 թվանշան 3 զրո 3 թվանշան 4 զրո 4 թվանշան

735. Սովորական և խառը կոտորակները գրե՛ք տասնորդական կոտորակների տեսքով և կարդացե՛ք ստացված գրառումները.

ա) 3 1 10

, 2 9 10

, 15 4 10

, 3 10

, 5 10

բ) 5 12 100

, 7 20 100

, 6 91 100

, 13 100

, 85 100

գ) 5 135 1000

, 17 399 1000

, 8 999 1000

, 777 1000

, 123 1000

դ) 4 8899 10000

, 1 5678 10000

, 1234 10000

, 6969 10000

։

736. Կարդացե՛ք կոտորակները, գրե՛ք նրանք սովորական կամ խառը կոտորակների տեսքով. ա) 3,2 , 7,3 , 3,5 , 0,1 , 0,9բ) 7,12 , 9,23 , 10,34 , 0,45 , 0,56գ) 12,333 , 16,596 , 0,887 , 0,379 , 0,111 դ) 2,1111 , 5,1995 , 4,1996 , 0,1997 , 0,1998:

737. Սովորական և խառը կոտորակները գրե՛ք տասնորդական կոտորակների տեսքով և կադացե՛ք ստացված գրառումները.

ա) 4 1 100

, 215 3 100

, 9 100

, 2 100

,

բ) 3 1 1000

, 7 12 1000

, 8 1000

, 81 1000

գ) 6 5 10000

, 2 13 10000

, 356 10000

, 679 10000

դ) 7 7 100000

, 100 46 100000

, 627 100000

, 1111 100000

։

738. Գրե՛ք անկանոն կոտորակի տեսքով. ա) 12,3 բ) 1,23 գ) 10,123դ) 987,6 ե) 98,76 զ) 9,876է) 2,2222 ը) 22,222 թ) 222,22:

739. Կարդացե՛ք կոտորակները. ա) 5,05 , 7,01 , 12,07 , 0,01 , 0,09բ) 19,004 , 6,016 , 8,008 , 0,001 , 0,022գ) 13,0007 , 2,0089 , 16,0999 , 0,0001 , 0,0022դ) 31,00009 , 7,00099 , 0,00001 , 0,00666:

ANTARES


740. Կարդացե՛ք կոտորակները, նշե՛ք նրանց ամբողջ մասերը, նշե՛ք տասնորդական, հարյուրերորդական և այլն կարգերի թվանշանները. ա) 16,789, 0,1234, 100,56789բ) 0,023, 7,00526, 0,00017:

741. Բերված նմուշային օրինակի ձևով սովորական կոտորակը գրե՛ք տասնորդական կոտորակի տեսքով.

ա) 1830

= 3 ⋅ 63 ⋅ 10

= 610

= 0,6

բ) 27 90

, 24 120

, 24 40

, 48 60

, գ) 15 500

, 160 4000

, 30 900

, 140 700

,

դ) 11 11000

, 81 3000

, 144 4000

, 8888 400000

։

742. Նմուշային օրինակի ձևով սովորական կոտորակը գրե՛ք տասնորդական կոտորակի տեսքով.

ա) 14

= 1 ⋅ 254 ⋅ 25

= 25100

= 0,25

բ) 1 2, 1

5, 2

5, 3

5,

4 5, գ) 3

4, 1

25, 3

25, 24

25,

7 25

,

դ) 1 20

, 1 50

, 21 50

, 3 40

, 9

200, ե) 16

10, 324

100, 99

10, 1234

1000,

զ) 168 40

, 328 80

, 9999 900

, 1648 160

, է) 3 2, 6

5, 17

4 39

25,

ը) 13 20

, 14 20

, 14 700

, 35 500

, 36 500

։

743. Արտահայտե՛ք մետրերով ու դեցիմետրերով ինչպես նմուշային օրինակում.

ա) 3,2 մ = 3 մ 2 դմ

բ) 4,9 մ, գ) 6,1 մ, դ) 0,7 մ:

744. Արտահայտե՛ք մետրերով ու սանտիմետրերով.ա) 3,12 մ, բ) 8,54 մ, գ) 6,02 մ, դ) 6,2 մ:

ANTARES

4.2. ԴՐԱԿԱՆ ՏԱՍՆՈՐԴԱԿԱՆ ԿՈՏՈՐԱԿՆԵՐԻ ՀԱՄԵՄԱՏՈՒՄԸ 145

745. Արտահայտե՛ք դրամով ու լումայով ինչպես նմուշօրինակում.

ա) 3,45 դրամ = 3 դրամ 45 լումա

բ) 3,56 դրամ, գ) 5,6 դրամ, դ) 6,05 դրամ, ե) 6,1 դրամ, զ) 0,25 դրամ:

746. Արտահայտե՛ք կիլոգրամներով ու գրամներով.ա) 8,537 կգ, բ) 8,037 կգ, գ) 8,007 կգ,դ) 8,530 կգ, ե) 8,500 կգ, զ) 8,03 կգ:

747. Արտահայտե՛ք տոննաներով ու կիլոգրամներով.ա) 0,435 տ, բ) 4,350 տ, գ) 5,024 տ,դ) 6,030 տ, ե) 7,008 տ, զ) 7,800 տ:

748. Տրված մեծությունը գրե՛ք տասնորդական կոտորակի միջոցով, ինչպես ցույց է տրված նմուշային օրինակում.

ա) 23 սմ 2 մմ = 23 2 10

սմ = 23,2

բ) 5 մ 6 դմ, գ) 7 մ 54 սմ, դ) 8 մ 4 սմ, ե) 11 ց 52 կգ, զ) 11 ց 50 կգ, է) 11 ց 5 կգ,ը) 5 դրամ 48 լումա, թ) 5 դրամ 50 լումա, ժ) 3 դրամ 5 լումա:

749. Կատարե՛ք գործողությունը. ա) 8,23 մ + 3,56 մ, բ) 7,39 դր. − 6,27 դր., գ) 0,3 դմ ⋅ 0,2 դմ, դ) 1,3 մ ⋅ 0,02 մ, ե) 4,62 կմ : 2 վ, զ) 0,2 մ ⋅ 0,2 մ ⋅ 0,2 մ:

4.2. Դրական տասնորԴական կոտորակների համեմատումը

Եթե տասնորդական կոտորակի կոտորակային մասին աջից կցագրենք զրո, ապա կստանանք սկզբնականին հավասար

տասնորդական կոտորակ:

Օրինակ՝ 0,2 = 0,20 = 0,200 = ..., որովհետև

0,2 = 2 10

= 20 100

= 200 1000

= ...։

Եթե տասնորդական կոտորակի կոտորակային մասի վերջին թվանշանր զրո է, ապա այն վերացնելով կստանանք սկզբնականին

հավասար տասնորդական կոտորակ:

Օրինակ՝ 8,3600 = 8,36, որովհետև

8,3600 = 8 3600 10000

= 8 36 100

= 8,36։

ANTARES


Բնական թիվը կարելի է գրել իրեն հավասար տասնորդական կոտորակի տեսքով:

Օրինակ՝ 7 = 7,0 = 7,00 = 7,000 = . . . , որովհետև

7 = 7 0 10

= 7 0 100

= 7 0 1000

= . . . ։

Նշենք, որ 0 = 0,0 = 0,00 = 0,000 = . . . :Տասնորդական կոտորակով գրված թվի վերջում եղած զրոները

պահպանում են այն դեպքերում, երբ պետք է ընդգծել չափման ճշգրտությունը:

Օրինակ՝ եթե հատվածի երկարության չափման արդյունքում սանտիմետրի ճշտությամբ ստացել են 3 մ 0 սմ, ապա գրում են 3,00 մ:

Երկու դրական տասնորդական կոտորակներից մեծ է այն, որի ամբողջ մասը մեծ է։ Ամբողջ մասերի հավասարության դեպքում մեծ է այն կոտորակը, որի տասնորդականների կարգի թվանշանը մեծ է։ Ամբողջ մասերի հավասարության և տասնորդականների կարգի

թվանշանների հավասարության դեպքում մեծ է այն կոտորակը, որի հարյուրերորդական կարգի թվանշանը մեծ է, և այլն:

Օրինակներ: 3,5 > 2,5, որովհետև առաջին կոտորակի ամբողջ մասը մեծ է երկրորդի ամբողջ մասից: 0,5 > 0,38, որովհետև այդ կոտորակների ամբողջ մասերը հավասար են, բայց առաջին կոտորակի տասնորդականների կարգի թվանշանը մեծ է երկրորդ կոտորակի տասնորդականների կարգի թվանշանից:

750. Ի՞նչ կստացվի, եթե տասնորդական կոտորակի կոտորակային մա-սին աջից կցագրենք զրոներ: Բերե՛ք օրինակներ:

751. Ի՞նչ կստացվի, եթե տասնորդական կոտորակի կոտորակային մա-սում աջի զրոները վերացվեն: Բերե՛ք օրինակներ:

752. Երկու դրական տասնորդական կոտորակներից ո՞րն է մեծ: Բերե՛ք օրինակներ:

753. Տրված կոտորակներում ստորակետից հետո եղած թվա նշան ների քանակները հավասարեցրե՛ք.ա) 1,2 և 3,51, բ) 0,23 և 0,123,գ) 0,6 և 3,02, դ) 7,125 և 0,48007,ե) 6,23 և 7,5, զ) 8,2001 և 9,00007:

754. Քանի՞ տասնորդական, հարյուրերորդական, հազարերորդական կա կոտորակային մասի համապատասխան կարգերում. ա) 1,235 բ) 1,27 գ) 3,51 դ) 0,5:

755. Ո՞ր կոտորակն է մեծ. ա) 6,35 թե 5,19, բ) 7,48 թե 7,51,

ANTARES

4.2. ԴՐԱԿԱՆ ՏԱՍՆՈՐԴԱԿԱՆ ԿՈՏՈՐԱԿՆԵՐԻ ՀԱՄԵՄԱՏՈՒՄԸ 147

գ) 2,52 թե 2,53, գ) 17,49 թե 17,5:

756. «=» և «≠» նշանների միջոցով համեմատեք կոտորակները. ա) 7,5 և 7,50, բ) 8,5 և 9,1, գ) 0,48 և 0,4,դ) 0,25 և 0,2500, ե) 7,48 և 7,481, զ) 3,1 և 2,99:

> և < նշանների միջոցով համեմատեք կոտորակները (757759).757. ա) 3,59 և 7,1, բ) 6,28 և 6,9,

գ) 0,4 և 0,51, դ) 72,7 և 7,27,ե) 4,1234 և 4,1231, զ) 12,39 և 1,2399:

758. ա) 2,078 և 2,780, բ) 3,205 և 3,025, գ) 7,250 և 7,205, դ) 4,290 և 4,295,ե) 12,4 և 12,41, զ) 15,129 և 15,1:

759. ա) 6,92 և 6,9, բ) 1,2 և 1,999,գ) 72,39 և 7,239, դ) 0,48 և 0,4711։

Նշեք մի թիվ, որ մեծ լինի տրված երկու թվերից մեկից, բայց փոքր՝ մյուսից (760762).

760. ա) 4000 և 5000, բ) 4200 և 4500,գ)4250 և 4260, դ) 4290 և 4300:

761. ա) 0,600 և 0,700, բ) 0,650 և 0,660,գ) 0,650 և 0,655, դ) 0,655 և 0,660:

762. ա) 0,6 և 0,7, բ) 0,48 և 0,49,գ) 0,65 և 0,66, դ) 0,325 և 0,326:

763. Կոտորակները դասավորեք աճման կարգով.ա) 0,8, 1,17, 0,789, 1,7, բ) 3,5, 0,35, 3,35, 0,335:

764. Կոտորակները դասավորեք նվազման կարգով.ա) 7,4, 6,98, 7,199, 6,899, բ) 0,449, 0,49, 0,5, 0,499:

765. Հետևյալ թվերը պատկերեք կոորդինատային ուղղի վրա.ա) 0,1, 0,2, 0,3, 0,4, 0,5, 0,6, 0,7, 0,8, 0,9, 1,0,բ) 0,2, 0,4, 0,6, 0,8, 1,0, 1,2, 1,4, 1,6, 1,8, 2,0:

766. Կոորդինատային ուղղի վրա ձախից աջ ի՞նչ կարգով են դասավորված կետերը.ա) A (1,2), B (0,2), C (1,13), բ) M (7,48), N (4,78), K (7,8):

767. Տրված մեծությունները գրեք տասնորդական կոտորակների միջոցով և համեմատեք.ա) 7 կգ 485 գ և 6 կգ 90 գ, բ) 5 մ 48 սմ և 5 մ 40 սմ,գ) 7 կմ 740 մ և 7 կմ 74 մ, դ) 8 տ 5 կգ և 8 տ 500 կգ:

768. Գրեք մետրերով և սանտիմետրերով. ա) 6,79 մ, 12,48 մ, 16,06 մ, 16,60 մ, բ) 19,01 մ, 7,40 մ, 7,4 մ, 8,1 մ:

769. Գրեք տոննաներով և կիլոգրամներով.

ANTARES


ա) 3,569 տ, 6,760 տ, 6,700 տ, 6,070 տ, բ) 6,007 տ, 4,480 տ, 4,48 տ, 9,4 տ:

4.3. Դրական տասնորԴական կոտորակների Գումարումն ու հանումը

Դրա կան տաս նոր դա կան կո տո րակ նե րի գու մա րու մը կա տար վում է այն պես, ինչ պես բնա կան թվե րի գու մա րու մը: Աս վա ծը պար զա բա նենք օրի նակ նե րով:

Օրինակ 1: Գումարենք 2,35 և 7,561 թվերը:

2,35 + 7,561 = 2,350 + 7,561 =

= 2350 1000

+ 7561 1000

= 9911 1000

= 9 + 911 1000

= 9,911։

Ինչ պես տես նում ենք դրա կան տաս նոր դա կան թվե րի գու մա րու մը հան գում է բնա կան թվե րի գու մար մա նը: Դրա հա մար տր ված թվե րը գու մա րենք սյու նա կով՝ հա մա պա տաս խան կար գեր ու նե ցող թվան շան-նե րը գրե լով մե կը մյու սի տակ (տես նկարը) և տրա մա բա նե լով հետևյալ կերպ:

0 հա զա րե րոր դա կան պլ յուս 1 հա զա րե րոր դա կան կս տաց վի 1 հա-զա րե րոր դա կան: Հա զա րե րոր դա կան նե րի կար գում գծի կի տակ գրենք 1 թվա նշա նը:

5 հար յու րե րոր դա կան պլ յուս 6 հար յու րե րոր դա կան կա նի 11 հար-յու րե րոր դա կան կամ 1 տաս նոր դա կան պլ յուս 1 հար յու րե րոր դա կան: Հար յու րե րոր դա կան նե րի կար գում գրենք 1 թվան շա նը և մտա պա հենք 1 տաս նոր դա կա նը:

3 տաս նոր դա կան պլ յուս 5 տաս նոր դա կան պլ յուս մտա պահ ված 1 տաս նոր դա կա նը կա նի 9 տաս նոր դա կան: Տաս նոր դա կան նե րի կար-գում գծի կի տակ գրենք 9:

2 մի ա վոր պլ յուս 7 մի ա վոր կս տա նանք 9 մի ա վոր: Մի ա վոր նե րի կար-գում գծի կի տակ գրենք 9: Կս տա նանք պա տաս խա նը՝ 9,911:

Տաս նոր դա կան կո տո րակ նե րի հա նու մը նույն պես կա տար վում է ինչ-պես բնա կան թվե րի հա մար: Առայժմ մենք դի տար կում ենք մեծ դրա կան թվից փոք րի հա նու մը:

Օրինակ 2: Հաշվենք 3,51 − 2,387 տարբերությունը:Հաշվի առնելով, որ 3,51 − 2,387 =

3,510 − 2,387, հանումը կատարենք սյունակով,

ANTARES

4.3. ԴՐԱԿԱՆ ՏԱՍՆՈՐԴԱԿԱՆ ԿՈՏՈՐԱԿՆԵՐԻ ԳՈՒՄԱՐՈՒՄՆ ՈՒ ՀԱՆՈՒՄԸ 149

համապատասխան կարգերի թվանշանները գրելով մեկը մյուսի տակ և տրամաբանելով հետևյալ կերպ:

0 հա զա րե րոր դա կանից հանել 7 հա զա րե րոր դա կան (և ստանալ ոչ բացասական թիվ) հնարավոր չէ: Այդ պատճառով նվազելիի հար-յու րե րոր դա կանների կարգից փոխ առնենք 1 հար յու րե րոր դա կան և վերածենք այն 10 հա զա րե րոր դա կանի: Այդ դեպքում 10 հա զա րե րոր-դա կան մինուս 7 հա զա րե րոր դա կան կանի 3 հա զա րե րոր դա կան: Հա-զա րե րոր դա կանների կար գում գծի կի տակ գրենք 3:

Նվազելիի հար յու րե րոր դա կան նե րի կար գում մնացած 0 հար յու րե-րոր դա կանից հանել 8 հար յու րե րոր դա կան (և ստանալ ոչ բացասական թիվ) հնարավոր չէ: Նվազելիի տաս նոր դա կանների կարգից փոխ առնենք 1 տաս նոր դա կան, որը կվերածվի 10 հար յու րե րոր դա կանի: 10 հար յու րե րոր դա կան մինուս 8 հար յու րե րոր դա կան կանի 2 հար յու րե-րոր դա կան: Հար յու րե րոր դա կանների կար գում գծի կի տակ գրենք 2:

4 տաս նոր դա կան մինուս 3 տաս նոր դա կան կստանանք 1 տաս նոր-դա կա ն: Տաս նոր դա կան նե րի կար գում գրենք 1:

3 մի ա վոր մի նուս 2 մի ա վոր կս տաց վի 1 մի ա վոր: Մի ա վոր նե րի կար-գում գրենք 1: Պա տաս խա նը կլի նի 1,123:

Կամայական դրա կան տաս նոր դա կան կո տո րակ նե րի գու մար ման և հան ման դեպ քում վար վում են նույն կերպ, ինչ 1 և 2 օրի նակ նե րում: Նախ հա վա սա րեց նում են կո տո րակ նե րի կո տո րա կա յին մա սե րի թվան-շան նե րի քա նակ նե րը, ապա սյու նա կով գու մա րում կամ հա նում են ինչ-պես բնա կան թվերը: Պա տաս խա նում ստո րա կե տը դնում են նվազելիի և հանելիի ստո րա կետ նե րի ուղ ղու թյամբ:

Տաս նոր դա կան թվե րի հա մար գու մար ման տե ղա փո խա կան և զու-գոր դա կան օրենք նե րը բա վա րա րվում են, որով հետև այդ օրենք նե րը բա վա րար վում են նրանց հա վա սար սո վո րա կան կո տո րակ նե րի հա մար: Դա թույ լատ րում է մի քա նի գու մա րե լի նե րի գու մա րի մեջ տե ղա փո խել գու մա րե լի նե րը, ցան կա ցած ձևով նե րա ռում կատարել փա կագ ծե րի մեջ և փա կագ ծե րը բա ցել նույն կա նոն նե րով, ինչ որ սո վո րա կան կո տո-րակ նե րի հա մար:

Հաշվե՛ք (770772.770. ա) 1,5 + 2,3, բ) 3,7 + 1,4, գ) 12,3 + 1,23,

դ) 7,84 + 8,9, ե) 125,34 + 12,534, զ) 7,53 + 8,624:

771. ա) 6,48 − 2,35, բ) 7,26 − 3,19, գ) 2,528 − 1,9, դ) 7,2 − 3,148, ե) 6,98 − 3,99, զ) 7,25 − 3,261:

772. ա) 38 + 0,56, բ) 7,39 + 11, գ) 0,736 + 25,դ) 8,248 − 6, ե) 7,2 − 1,899, զ) 5 − 3,78:

ANTARES


Հաշ վե՛ք` կի րա ռե լով գու մար ման օրենք նե րը և փա կագ ծե րի բաց ման կա նոն նե րը (773, 774).

773. ա) 7,48 + 3,19 + 1,12 + 6,81, բ) 6,2 + 7,49 + 1,8 + 1,29, գ) 16,28 + 5,395 − 1,18 − 4,305, դ) 7,358 + 8,24 − 6,458 − 2,84:

774. ա) 5,236 + (4,664 − 2,6), բ) 4,756 − (2,395 − 1,244):

775. Տասնորդական կոտորակը փոխարինելով սովորականով՝ հաշվե՛ք.

ա) 2,5 + 3 1 2, բ) 7 3

4− 2,25, գ) 0,2 ⋅ 3,

դ) 4,8 : 4, ե) 6 : 0,6, զ) 12 : 0,3:

776. Սովորական կոտորակը փոխարինելով տասնորդականով՝ հաշվե՛ք.

ա) 1 10

+ 2,5, բ) 7 3 100

− 2,15, գ) 4,12 − 1 1 5,

դ) 9,1 + 3 1 2, ե) 17,3 − 9 1

4, զ) 6,09 + 2 1

25:

777. Հաշվե՛ք ուղղանկյան պարագիծը, եթե.ա) նրա լայնությունը 2,3 սմ է, իսկ երկարությունը՝ 1,9 սմ-ով մեծ,բ) նրա լայնությունը 2,48 դմ է, իսկ երկարությունը՝ 1,6 դմ-ով մեծ, գ) նրա երկարությունը 12,1 սմ է, իսկ լայնությունը՝ 4,8 սմ-ով փոքր,դ) նրա երկարությունը 18 դմ է, իսկ լայնությունը՝ 4,7 դմ-ով փոքր:

778. Հաշվե՛ք ինչպես նմուշային օրինակում.

ա) 1,2 դմ + 1,2 սմ = 1,2 դմ + 0,12 դմ = 1,32 դմ:

բ) 16 սմ + 4,35 դմ, գ) 7,35 մ + 4,9 դմ,դ) 2 ⋅ 4,8 դմ, ե) 4,8 դմ : 2,զ) 12,3 դմ − 42 սմ, է) 34 դմ − 34 սմ:

779. Հաշվե՛ք հետևյալ կողմերով եռանկյան պարագիծը. ա) 490 մմ, 48 սմ, 4,7 դմ,բ) 23 մմ, 3,4 սմ, 0,48 դմ,գ) 3,5 սմ, 0,38 դմ, 0,041 մ:

780. Մի սենյակի մակերեսը 16,3 մ2 է, իսկ մյուսինը՝ 1,9 մ2-ով փոքր: Որքա՞ն է երկու սենյակների ընդհանուր մակերեսը:

781. Բնա կա րանն ու նի 44,8 մ2 ընդ հա նուր մա կեր սով 3 սեն յակ: Մի սեն-յա կի մա կե րե սը 11,3 մ2 է, երկրորդի նը՝ 3,5 մ2-ով ավե լի: Գտե՛ք եր րորդ սեն յա կի մա կե րե սը:

782. Շան ձագը կշռում է 2,5 կգ, իսկ կատվինը՝ 2,1 կգ-ով պակաս: Որքա՞ն են կշռում շան ու կատվի ձագերը միասին:

783. Զբոսաշրջիկը ավտոբուսով անցավ 48,4 կմ: Դա 25,8 կմ-ով ավելի է, քան նա ան ցել էր ոտ քով: Ըն դա մե նը ի՞նչ հե ռա վո րու թյուն ան-ցավ զբո սաշր ջիկը:

ANTARES

4.4. ՍՏՈՐԱԿԵՏԻ ՏԵՂԱՇԱՐԺԸ ԴՐԱԿԱՆ ՏԱՍՆՈՐԴԱԿԱՆ ԿՈՏՈՐԱԿՈՒՄ 151

784. Անդ րա նի կը հա վա քեց 12,6 կգ տանձ: Դա 2,8 կգ-ով ավե լի էր, քան հա վա քել էր Ալեք սանդ րը և 1,4 կգ-ով պա կաս՝ հայ րի կի հա վա-քա ծից: Քա նի՞ կգ տանձ էին հա վա քել երե քը մի ա սին:

785. Դրա մարկ ղում կար որոշ ա կի գու մար: Դրա մարկղ մուտ քագր վեց 480,5 հա զար դրամ, ապա դուրս գր վեց 538,1 հա զար դրամ, որից հե տո դրա մարկ ղում մնաց 930,8 հա զար դրամ: Քա նի՞ հա զար դրամ կար սկզբում դրամարկղում:

786. Գե տի հո սան քի արա գու թյու նը 4,2 կմ/ժ է, իսկ նա վա կի սե փա կան արա գու թյու նը՝ 7,5 կմ/ժ: Գտե՛ք նա վա կի արա գու թյու նը հո սան քի ուղ ղու թյամբ և հո սան քին հա կա ռակ:

787. Նա վա կի արա գու թյու նը հո սան քի ուղ ղու թյամբ 22,5 կմ/ժ է, իսկ հո սան քին հա կա ռակ՝ 18,5 կմ/ժ: Գտե՛ք նա վա կի սեփական արա-գու թյու նը:

4.4. ստորակետի տեղաՇարԺը Դրական տասնորԴական կոտորակում

Դրական տասնորդական կոտորակր 10, 100, 1000 և այլն անգամ մեծացնելր նույնն է, ինչ նրա գրառման մեջ ստորակետր 1, 2, 3 և

այլն թվանշան դեպի աջ տեղաշարժելր անհրաժեշտության դեպքում աջից զրոներ ավելացնելով:

Օրինակներ: 1) 35,783 կոտորակը 10 անգամ մեծացնելով կստանանք 357,83, որովհետև

35,783 ⋅ 10 = 35783 1000

⋅ 10 = 35783 100

= 357,83

Այս պի սով, կո տո րա կը 10 ան գամ մե ծաց նե լը հան գեց նրան, որ նրա գրառ ման մեջ ստո րա կե տը դե պի աջ տե ղաշ արժ վի 1 թվան շան:

2) 35,783 կո տո րա կում ստո րա կե տը 2 թվան շան դե պի աջ տե ղաշ ար-ժե լով կս տա նանք 3578,3, որը 100 ան գամ մեծ կլի նի 35,783 սկզբ նա կան կո տո րա կից: Իրոք.

3578,3 = 35783 10

= 35783 1000

⋅ 100 = 35,783 ⋅ 100։

3) Հաշ վի առ նե լով, որ 35,783 = 35,78300, ապա 35,783-ում ստո րա կե-տը դե պի աջ տե ղաշ ար ժե լով 5 թվան շան կս տա նանք սկզբ նա կան կո-տո րա կից 105 = 100000 ան գամ մեծ 3578300 թի վը:

Այսպիսով, տասնորդական կոտորակի ստորակետը 1, 2, 3 և այլն թվանշան դեպի աջ տեղաշարժելիս կոտորակը մեծանում է 10, 100, 1000 և այլն անգամ:

ANTARES


Դրական տասնորդական կոտորակը 10, 100, 1000 և այլն անգամ փոքրացնելը նույնն է, ինչ նրա գրառման մեջ ստորակետը 1, 2, 3 և այլն թվանշան դեպի ձախ տեղաշարժելը' անհրաժեշտության

դեպքում ձախից կցագրելով զրոներ:

Օրի նակ ներ: 1) 3,5783 կո տո րա կը 10 ան գամ փոքր է 35,783 կո տո րա-կից, և առա ջին կո տո րա կը երկ րոր դից ստաց վում է ստո րա կե տը դե պի ձախ 1 թվան շան տե ղա փո խե լով:

2) Եթե տր ված 35,783 կո տո րա կում ստո րա կե տը 3 թվան շան տե ղա-շար ժենք ձախ, ապա կս տա նանք 0,035783 կո տո րա կը, որը 103 = 1000 ան գամ փոքր է տր վա ծից:

788. Ո՞ր կողմ և քա նի թվան շան պետք է տե ղաշ ար ժել ստո րա կե տը, որ-պես զի տաս նոր դա կան կո տո րա կը մե ծաց վի. ա) 10 ան գամ, բ) 100 ան գամ, գ) 1000 ան գամ:

789. Ո՞ր կողմ և քա նի թվան շան պետք է տե ղաշ ար ժել ստո րա կե տը, որ-պես զի տաս նոր դա կան կո տո րա կը փոքրաց վի. ա) 100 ան գամ, բ) 1000 ան գամ, գ) 10000 ան գամ:

790. Ինչպե՞ս կփոխվի կոտորակը, եթե նրա տասնորդական գրառման մեջ ստորակետը տեղափոխվի 3 թվանշան աջ, 3 թվանշան ձախ: Ինչպե՞ս կփոխվի կոտորակը, եթե նրա տասնորդական գրառման մեջ ստորակետը տեղաշարժվի.ա) նախ 2 թվանշան աջ, ապա 3 թվանշան ձախ,բ) նախ 3 թվանշան ձախ, ապա 2 թվանշան աջ:

791. Ինչ պե՞ս կփոխ վի ստո րա կե տի դիր քը տաս նոր դա կան կո տո րա կի գրառ ման մեջ, եթե այդ կո տո րա կը. ա) նախ մեծացվի 10 անգամ, ապա ևս 100 անգամ, բ) նախ մեծացվի 10 անգամ, ապա փոքրացվի 100 անգամ, գ) նախ փոքրացվի 10 անգամ, ապա ևս 100 անգամ, դ) նախ փոքրացվի 10 անգամ, ապա մեծացվի 100 անգամ:

792. Ո՞ր թիվն է մեծ և քանի անգամ.ա) 32,549 թե 325,49, բ) 2,7543 թե 2754,3,գ) 47,58 թե 4,758, դ) 123,45 թե 1,2345:

793. Ո՞ր թիվն է փոքր և քանի՞ անգամ.ա) 0,4853 թե 4853, բ) 0,296 թե 0,00296,գ) 480 թե 0,48, դ) 200 թե 0,02:

794. Հետևյալ կոտորակը մեծացրե՛ք 10, 100, 1000 անգամ. ա) 7,3459, բ) 8,279, գ) 9,13, դ) 7,2:

795. Արտահայտե՛ք սանտիմետրերով՝ ըստ նմուշօրինակի.

ա) 4,25 դմ = 42,5 սմ: բ) 4,2 մմ = 0,42 սմ:

ANTARES

4.5. ԴՐԱԿԱՆ ՏԱՍՆՈՐԴԱԿԱՆ ԿՈՏՈՐԱԿՆԵՐԻ ԲԱԶՄԱՊԱՏԿՈՒՄԸ 153

գ) 5,21 դմ, դ) 3,2 դմ, ե) 13,2 մմ, զ) 2,1 մմ:

796. Արտահայտե՛ք դեցիմետրերով. ա) 4,84 մ, բ) 3,5 մ, գ) 396,7 սմ, դ) 2,5 սմ:

797. Արտահայտե՛ք մետրերով. ա) 15,6 դմ, բ) 3,4 դմ, գ) 0,5265 կմ, դ) 1,4356 կմ:

798. Արտահայտե՛ք կիլոգրամներով.ա) 1,246 ց, բ) 12,46 ց, գ) 124,6 ց,դ) 15 ց, ե) 1,5245 տ, զ) 15,245 տ, է) 152,45 տ, ը) 0,0485 տ, թ) 7548 գ,ժ) 238 գ, ի) 45 գ, լ) 5 գ:

799. Արտահայտե՛ք քառակուսի կիլոմետրերով (կմ2).ա) 1245 հա, բ) 125 հա, գ) 1256 հա, դ) 145 հա:

800. Արտահայտե՛ք քառակուսի սանտիմետրերով (սմ2).ա) 3,548 դմ2, բ) 3,9 դմ2, գ) 635 մմ2, դ) 23 մմ2:

801. Արտահայտե՛ք խորանարդ մետրերով (մ3).ա) 4754 դմ3, բ) 723 դմ3, գ) 35 դմ3, դ) 7 դմ3:

802. Արտահայտե՛ք խորանարդ միլիմետրերով (մմ3).ա) 0,3574 սմ3, բ) 2,3915 սմ3, գ) 7,29 սմ3, դ) 4,325 սմ3:

4.5. Դրական տասնորԴական կոտորակների բաԶմաՊատկումը

Կո տո րակ նե րի գրառ ման տաս նոր դա կան ձևը գործ նա կա նում թույ-լատ րում է նրանք բազ մա պատ կել նույն կա նոն նե րով, ինչ բնա կան թվե-րը: Տար բե րու թյունն այն է, որ ստաց ված ար տադր յա լում անհ րա ժեշտ է որոշ ել ստո րա կե տի տե ղը: Պար զա բա նենք աս վա ծը:

Օրի նակ 1: Հաշ վենք 2,5 ⋅ 1,02 ար տադր յա լը:Առա ջին կո տո րա կում ստո րա կե տը դե պի աջ տե ղաշ ար ժենք 1 թվան-

շան, իսկ երկ րոր դում՝ 2 թվան շան: Դրա նով առա ջին ար տադ րի չը կմե-ծա նա 10 ան գամ, երկ րոր դը՝ 100 ան գամ, իսկ ար տադր յալը` 10 ⋅ 100 =1000 անգամ:

Հաշ վենք 25 և 102 բնա կան թվե րի ար տադր յա լը. 25 ⋅ 102 = 2550:

Ստաց ված թի վը 1000 ան գամ մեծ է, քան պա հանջ վող ար տադր յա լը: Այդ պատ ճա ռով անհ րա ժեշտ է 2550 թի վը փոք րաց նել 1000 = 103 ան-գամ, այ սինքն՝ ստո րա կետն այդ թվում տե ղաշ ար ժել 3 թվան շան դե պի ձախ: Այս պի սով՝

2,5 ⋅ 1,02 = 2,550 = 2,55:

ANTARES


Նույն արդ յուն քին կհան գենք՝ կի րա ռե լով սո վո րա կան կո տո րակ նե րի բազ մա պատկ ման կա նոն նե րը.

2,5 ⋅ 1,02 = 25 10

⋅ 102 100

= 25 ⋅ 102 1000

= 2550 1000

= 2,550 = 2,55։

Երկու դրական տասնորդական կոտորակներ բազմապատկելու համար բավական է այդ թվերր բազմապատկել որպես բնական

թվեր' անտեսելով նրանց ստորակետները, իսկ ստացված արտադրյալում ստորակետով աջից անջատել այնքան թվանշան, որքան ստորակետներից հետո թվանշաններ

կային երկու արտադրիչներում միասին:

Տասնորդական կոտորակների համար ճշմարիտ են բազմապատկման տեղափոխական և զուգորդական օրենքները, ինչպես նաև բաշխական օրենքը, որովհետև այդ օրենքները ճիշտ են այդ կոտորակներին հավասար սովորական կոտորակների համար: Նշված օրենքներն օգտագործվում են հաշվարկները պարզեցնելու համար:

Օրինակ՝0,9 ⋅ 0,2 + 0,2 ⋅ 1,1 − 8,1 ⋅ 0,12 + 7,1 ⋅ 0,12 =

= 0,2 ⋅ (0,9 + 1,1) − 0,12 ⋅ (8,1 − 7,1) == 0,2 ⋅ 2 − 0,12 ⋅ 1 = 0,4 − 0,12 = 0,28:

803. Ձևակեր պե՛ք եր կու դրա կան տաս նոր դա կան կո տո րակ նե րի բազ-մա պատկ ման կա նո նը:

Հաշվե՛ք արտադրյալը (804809).804. ա) 0,02 ⋅ 10, բ) 3,2 ⋅ 100, գ) 0,3 ⋅ 1000,

դ) 2,39 ⋅ 1000, ե) 0,041 ⋅ 100, զ) 0,0005 ⋅ 1000:

805. ա) 2,4 ⋅ 2, բ) 3,1 ⋅ 3, գ) 0,5 ⋅ 2,դ) 2,5 ⋅ 4, ե) 1,25 ⋅ 8, զ) 0,72 ⋅ 2,է) 5,2 ⋅ 0,4, ը) 7,1 ⋅ 0,9, թ) 0,08 ⋅ 0,13:

806. ա) 6,5 ⋅ 0,004, բ) 0,09 ⋅ 0,18, գ) 7,6 ⋅ 0,005,դ) 0,048 ⋅ 0,09, ե) 0,7 ⋅ 0,0085, զ) 0,009 ⋅ 0,78,է) 80,8 ⋅ 0,7, ը) 0,09 ⋅ 5,007, թ) 0,6 ⋅ 3,054:

807. ա) 3,59 ⋅ 0,1, բ) 2,3 ⋅ 0,1, գ) 0,0235 ⋅ 0,1,դ) 63,2 ⋅ 0,01, ե) 3,5 ⋅ 0,01, զ) 2,32 ⋅ 0,01,է) 723,1 ⋅ 0,001, ը) 79,4 ⋅ 0,001, թ) 3,8 ⋅ 0,001:

808. ա) 4,381 ⋅ 0,2, բ) 7,713 ⋅ 0,8, գ) 0,0762 ⋅ 0,4,դ) 0,2569 ⋅ 0,6, ե) 0,3 ⋅ 2,451, զ) 67,19 ⋅ 0,05,է) 42,25 ⋅ 0,4, ը) 362,5 ⋅ 0,8, թ) 512,5 ⋅ 0,08:

ANTARES

4.5. ԴՐԱԿԱՆ ՏԱՍՆՈՐԴԱԿԱՆ ԿՈՏՈՐԱԿՆԵՐԻ ԲԱԶՄԱՊԱՏԿՈՒՄԸ 155

809. ա) 2,3⋅1,1, բ) 4,3⋅1,2, գ) 0,22⋅3,3,դ) 53 ⋅ 0,31, ե) 0,6 ⋅ 861, զ) 0,72 ⋅ 0,015,է) 4,35 ⋅ 2,2, ը) 3,2 ⋅ 0,25, թ) 0,084 ⋅ 0,55:

810. Հաշվե՛ք՝ կիրառելով բազմապատկման օրենքները. ա) 0,25 ⋅ 0,34, բ) 0,2 ⋅ 0,13 ⋅ 50, գ) 0,8 ⋅ 0,11 ⋅ 1,25,դ) 0,125 ⋅ 3 ⋅ 0,8, ե) 0,5 ⋅ 7,3 ⋅ 2,2, զ) 0,25 ⋅ 1,7 ⋅ 1,6:

Հաշվե՛ք (811815).

811. ա) 2,4 ⋅ 4,8 + 2,6⋅4,8, բ) 30,5 ⋅ 20,3 − 30,5 ⋅ 0,3, գ) 5,1 ⋅ 1,8 − 1,8, դ) 4,9 ⋅ 6,2 + 6,2:

812. ա) 0,1 ⋅ 0,1, բ) 0,2 ⋅ 0,2 ⋅ 0,2,գ) 0,3 ⋅ 0,3 ⋅ 0,3 ⋅ 0,3, դ) 0,05 ⋅ 0,05,ե) 0,6 ⋅ 0,6 ⋅ 0,6, զ) 0,08 ⋅ 0,08,է) (0,5 + 0,2)2, ը) (0,7 + 0,3)3,թ) (0,9 -0,4)3, ժ) 0,8 + (1,1)2,ի) 1,22 − 1,2 , լ) 1,52 − 0,25։

813. ա) 9,51 ⋅ 18, բ) 66,3 ⋅ 26 , գ) 8,47 ⋅ 0,64,դ) 7,3 ⋅ 5,42, ե) 0,85 ⋅ 2,06, զ) 8,07 ⋅ 0,016:

814. ա) 3,32 ⋅ 0,101, բ) 3,02 ⋅ 6,48, գ) 3,21 ⋅ 0,562, դ) 95,5 ⋅ 3,17,ե) 0,861 ⋅ 0,242, զ) 0,999 ⋅ 0,732:

815. ա) 7,668 ⋅ 24 − 9,68, բ) 35,22 + 45,83 ⋅ 2,6,գ) 5,306 ⋅ 42 + 5,36 ⋅ 82, դ) 1,654 ⋅ 3,4 + 6,4 ⋅ 9,5,ե) 2,4 ⋅ 98 + 4,8, զ) 35,4 ⋅ 1,99 + 35,4,է) 3,2 ⋅ 103 − 9,6, ը) 1,22 ⋅ 97 + 3,66:

816. Հաշվե՛ք՝ օգտագործելով 8 ⋅ 125 = 1000 հավասարությունը. ա) 8 ⋅ 12,5, բ) 0,08 ⋅ 125, գ) 0,8 ⋅ 12,5,դ) 8 ⋅ 0,125, ե) 0,8 ⋅ 1,25, ե) 0,08 ⋅ 12,5:

817. Հետիոտնը գնում է 4,4 կմ/ժ արագությամբ: Քանի՞ կիլոմետր նա կանցնի. ա) 2 ժամում, բ) 0,5 ժամում, գ) 1,5 ժամում:

818. Շարժիչավոր նավակի սեփական արագությունը 12,6 կմ/ժ է, իսկ գետի հոսանքի արագությունը՝ 1,8 կմ/ժ: Ի՞նչ հեռավորություն կանցնի նավակը 3 ժամում, 2,5 ժամում, 0,5 ժամում.ա) գետի հոսանքի ուղղությամբ,բ) գետի հոսանքի հակառակ ուղղությամբ:

819. Հաշվե՛ք a ու b կողմերով ուղղանկյան մակերեսը, եթե. ա) a = 3,6 սմ, b = 4 սմ, բ) a = 5 դմ, b = 3,13 դմ,գ) a = 3,12 դմ, b = 3,5 դմ, դ) a = 6,25 մ, b = 1,6 մ:

ANTARES


820. Հաշվե՛ք a, b, c երեք չափումներն ունեցող ուղղանկյունանիստի ծավալը, եթե. ա) a = 4,5 սմ, b = 2,3 սմ, c = 10 սմ,բ) a = 3,2 դմ, b = 1,5 դմ, c = 2,5 դմ,գ) a = 12 սմ, b = 2,5 դմ, c = 10 սմ:

821. 1 մ3 օդի զանգվածը 1,29 կգ է: Գտե՛ք ձեր դասարանի օդի զանգվածը:

822. 1 սմ3 ալյումինի զանգվածը 2,7 գ է, իսկ 1 սմ3 կապարինը՝ 11,3 գ: 3 սմ կող ունեցող ալյումինե՞ խորանարդիկն է ծանր, թե՞ 2 սմ կող ունեցող կապարե խորանարդիկը:

823. Թղթի 1 տոննա թափոնից կարելի է ստանալ 0,7 տոննա մաքուր թուղթ, դրանով իսկ խնայելով 4,4 մ3 փայտանյութ: Որքա՞ն մաքուր թուղթ կստացվի թղթի 7,5 տոննա թափոնից: Որքա՞ն փայտանյութ կխնայվի դրա շնորհիվ:

4.6. Դրական տասնորԴական կոտորակների բաԺանումը

Երկու դրական տասնորդական կոտորակների քանորդի հաշվումը կարելի է հանգեցնել այդ կոտորակներին հավասար սովորական կոտորակների քանորդի հաշվմանը: Պարզաբանենք դա օրինակներով:

Օրինակ 1: Գտնենք 0,4 : 0,3 քանորդը:Կիրառելով սովորական կոտորակների բաժանման կանոնները՝

կունենանք.

0,4 : 0,3 = 4 10

։ 3 10

= 4 ⋅ 10 10 ⋅ 3

= 4 3։

Օրինակ 2: Գտնենք 0,072 : 0,4 քանորդը:

0,072 : 0,4 = 72 1000

։ 4 10

= 72 ⋅ 10 1000 ⋅ 4

= 18 100

= 9 50

։

Այսպիսով՝ երկու դրական տասնորդական կոտորակների քանորդը միշտ կարելի է գրել սովորական կոտորակի տեսքով: Նկատենք, որ օրինակ 2-ում քանորդը կարելի է նաև գրել 0,18 տասնորդական կոտորակի տեսքով: Սակայն տասնորդական կոտորակների քանորդը միշտ չէ, որ կարելի գրել տասնորդական կոտորակի տեսքով:

Այս գլխում տասնորդական կոտորակների բաժանումը դիտարկվելու է միայն այն դեպքերում, երբ նրանց քանորդը բնական թիվ է կամ այն կարելի է գրել տասնորդական կոտորակների տեսքով: Մյուս դեպքերը կդիտարկվեն հաջորդ գլխում:

Տասնորդական կոտորակների բաժանումը կատարելու ենք անկյունով բաժանման եղանակով՝ գործնականում նույն կանոններով, ինչ բնական թվերի համար: Նախ դիտարկենք տասնորդական կոտորակի բաժանումը բնական թվի:

ANTARES

4.6. ԴՐԱԿԱՆ ՏԱՍՆՈՐԴԱԿԱՆ ԿՈՏՈՐԱԿՆԵՐԻ ԲԱԺԱՆՈՒՄԸ 157

Օրինակ 3: Գտնենք 47,8 : 2 քանորդը: 47,8-ը բաժանենք 2-ի՝ դատելով հետևյալ կերպ

(տե՛ս նկարը): Սկզբում 4 տասնյակը բաժանենք 2-ի, կստանանք 2 տասնյակ: Ապա 2-ի բաժանենք 7 միավորը, կստանանք 3 միավոր և 1 մնացորդ: Ամբողջ մասի բաժանումը վերջացած է՝ քանորդում ստորակետ դնենք: Այժմ 1 միավոր մնացորդը վերածենք 10 տասնորդականի, իջեցնենք նաև բաժանելիի 8 տասնորդականը և ստացված 18 տասնորդականը բաժանենք 2-ի՝ կստացվի 9 տասնորդական: Քանի որ մնացորդը զրո է, ուրեմն բաժանումն ավարտված է: Եվ այսպես, պատասխանը կլինի.

47,8 : 2 = 23,9:Այս օրինակը հաստատում է հետևյալ կանոնի ճշտությունը.

տասնորդական կոտորակի բաժանումը բնական թվի կատարվում է այնպես, ինչպես բնական թվերի բաժանումը, միայն թե ամբողջ

մասի բաժանման ավարտից հետո քանորդում ստորակետ է դրվում:

Այժմ դիտարկենք տասնորդական կոտորակի բաժանումը տասնոր-դա կան կոտորակի:

Օրինակ 4: Հաշվենք 4,42 : 0,2 քանորդը:Քանի որ բաժանարարում ստորակետից հետո միայն մեկ թվանշան է,

ապա բաժանելիում և բաժանարարում ստորակետները տեղաշարժենք մեկական թվանշան դեպի աջ: Դրանով բաժանելին ու բաժանարը 10 -ական անգամ կմեծանան, որից քանորդը չի փոխվի, իսկ բաժանարարը կդառնա բնական թիվ: Եվ այսպես.

4,42 : 0,2 = 44,2 : 2:Նույնը կարող ենք ստանալ նաև կիրառելով թվաբանական

գործողությունների կանոնները.

4,42 : 0,2 = 4,42 0,2

= 0,42 ⋅ 10 0,2 ⋅ 10

= 44,2 2

Այնուհետև բաժանումը կշարունակենք անկյունով բաժանման եղանակով՝ տասնորդական կոտորակը ամբողջ թվի բաժանելու կանոնով:

Բերենք ևս մեկ օրինակ:Օրինակ 5: Հաշվենք 3,15 : 0,25 քանորդը:Քանի որ բաժանարարում ստորակետից հետո երկու թվանշան է,

ապա բաժանելիում ու բաժանարարում ստորակետը երկու թվանշան դեպի աջ տեղաշարժենք, այսինքն՝ բաժանելին ու բաժանարարը բազմապատկենք 100-ով.

3,15 : 0,25 = 315 : 25:

ANTARES


Բաժանումը կատարենք անկյունով բաժանման եղանակով: Երբ ավարտվի ամբողջ մասի բաժանումը, և մնա 15 մնացորդ (նկար 75, ա), բաժանելիում և քանորդում ստորակետ դնենք (նկար 75, բ), բաժանելիում կցագրենք 0 տասնորդական, իջեցնենք այն և շարունակենք բաժանումը:

Այս օրինակները հաստատում են հետևյալ կանոնի ճշտությունը.

տասնորդական կոտորակը տասնորդական կոտորակի բաժանելու համար պետք է բաժանարարում և բաժանելիում ստորակետը

դեպի աջ տեղափոխել այնքան թվանշան, որքան բաժանարարում ստորակետից հետո թվանշան կա, ապա կիրառել տասնորդական

կոտորակը բնական թվի բաժանելու կանոնը:

Նկար 75

824. Քանորդը ներկայացրե՛ք սովորական կոտորակի տեսքով.ա) 3 : 0,7, բ) 3,5 : 1,2, գ) 1,25 : 1,4:

825. Ի՞նչ կանոնով են բաժանում տասնորդական կոտորակը բնական թվի:

826. Ի՞նչ կանոնով են բաժանում տասնորդական կոտորակը տասնոր-դա կան կոտորակի:

827. Տասնորդական կոտորակների բաժանման քանորդը մի՞շտ է կարելի ներկայացնել տասնորդական կոտորակի տեսքով:

Հաշվե՛ք (828831).828. ա) 12,5 : 10, բ) 72,6 : 100, գ) 173,56 : 100,

դ) 0,3 : 100, ե) 0,73 : 1000, զ) 1,664 : 10 000:

829. ա) 783 : 10, բ) 988 : 100, գ) 54 000 : 10 000,դ) 7800 : 1000, ե) 3 : 1000, զ) 5 : 100 000:

830. ա) 3,6 : 3, բ) 75,5 : 5, գ) 1,24 : 4,դ) 2,53 : 11, ե) 7,81 : 11, զ) 13,2 : 24:

831. ա) 0,48 : 8, բ) 0,84 : 21, գ) 0,001 : 5,

ANTARES

4.6. ԴՐԱԿԱՆ ՏԱՍՆՈՐԴԱԿԱՆ ԿՈՏՈՐԱԿՆԵՐԻ ԲԱԺԱՆՈՒՄԸ 159

դ) 0,002 : 4, ե) 0,125 : 25, զ) 0,0625 : 25:

832. Կատարե՛ք բաժանումը և արդյունքը ստուգե՛ք.ա) 3,1 : 0,1, բ) 7,21 : 0,01, գ) 6,3571 : 0,01,դ) 4,729 : 0,001, ե) 4,29 : 0,1, զ) 7,1 : 0,001:

Հաշվե՛ք (833, 834).833. ա) 6 : 0,1, բ) 7 : 0,001, գ) 8 : 0,001,

դ) 35 : 0,1, ե) 49 : 0,01, զ) 56 : 0,001:

834. ա) 1 : 0,2, բ) 1 : 0,25, գ) 1 : 0,125,դ) 1 : 0,4, ե) 1 : 0,8, զ) 1 : 0,5:

835. Ինչպե՞ս կփոխվի քանորդը, եթե. ա) բաժանելին մեծացնենք 5 անգամ,բ) բաժանարարը մեծացնենք 3 անգամ,գ) բաժանելին ու բաժանարարը մեծացնենք միևնույն անգամ:

Հաշվե՛ք (836, 837).836. ա) 48 : 4,8, բ) 536 : 5,36, գ) 921 : 92,1,

դ) 39 : 0,39, ե) 4 : 0,4, զ) 999 : 99,9:

837. ա) 53,6 : 5,36, բ) 5,36 : 0,01, գ) 72,34 : 7,234,դ) 7,234 : 0,01, ե) 372,9 : 3,729, զ) 3,729 : 0,1:

Կատարե՛ք բաժանումը և ստուգե՛ք արդյունքը (838, 839).838. ա) 4 : 0,5, բ) 3 : 0,2, գ) 2 : 0,02,

դ) 14 : 0,07, ե) 12 : 0,004, զ) 10 : 0,005:

839. ա) 7,6 : 0,2, բ) 6,3 : 0,3, գ) 0,64 : 3,2,դ) 0,49 : 0,7, ե) 0,01 : 0,05, զ) 0,004 : 0,8:

Հաշվե՛ք (840843).840. ա) 0,21 : 0,84, բ) 0,19 : 0,095, գ) 3,76 : 0,4 ,

դ) 7,05 : 1,5, ե) 3,5 : 0,4, զ) 25,9 : 3,7:

841. ա) 1,75 : 1,4, բ) 18,4 : 7,36, գ) 16,92 : 4,23 ,դ) 86,1 : 2,46, ե) 21,875 : 3,125, զ) 183,96 : 5,256:

842. ա) 0,25 : 4 + 15,3 : 5 + 12,4 : 8 + 0,15 : 3,բ) 96,7 : 10 + 0,045 : 5 + 140,4 : 12 + 1,53 : 15:

843. ա) 4,912 : 16 + (18,305 : 7 + 0,0368 : 4),բ) 72,492 : 12 + 78,156 : 36 − 120,03 : 15,գ) 1,35 : 2,7 + 6,02 − 5,9 + 0,4 : 2,5 ⋅ (4,2 − 0,075),դ) 4,3 − 3,5 + 1,44 : 3,6 + 3,6 : 1,44 ⋅ (0,1 − 0,02):

844. Գտե՛ք հարյուրերորդականների կարգի թվանշանը.

ա) 3 4, բ) 2

5, գ) 1

2, դ) 7

20, ե) 7

25։

845. Առանց հաշվումներ կատարելու՝ համեմատե՛ք.ա) 19,95 ⋅ 199,6 և 1,995 ⋅ 1996,

ANTARES


բ) 19,96 ⋅ 1,997 և 199,6 ⋅ 19,97,գ) 199,7 ⋅ 199,8 և 1,997 ⋅ 1,998,դ) 1,998 ⋅ 199,9 և 1,998 ⋅ 1999:


ա) 12,3 ⋅ 3,21 1,23 ⋅ 32,1

բ) 0,123 ⋅ 321 1,23 ⋅ 3,21

գ) 12,3 ⋅ 3,21 1,23 ⋅ 3,21

դ) 0,123 ⋅ 0,321 1,23 ⋅ 3,21

847. 1 կմ երկարություն ունեցող ուղղագիծ հատվածում երկաթգիծը կա ռու ցած է 12,5 մետրանոց ռելսերով (երկու շարքով): Ընդա-մե նը քանի՞ ռելս է օգտագործած:

848. Փիղը 0,7 տոննայով ծանր է գետաձիուց: Իսկ նրանց ընդհանուր քա շը 8,3 տոննա է: Որքա՞ն է յուրաքանչյուրի քաշը:

849. Հաշվե՛ք հետիոտնի շարժման արագությունը, եթե նա. ա) 2,4 ժամում անցել է 10,8 կմ բ) 1,8 ժամում անցել է 9,9 կմ:

850. 1 տ թղթի արտադրության ժամանակ ծախսվում է 250 տ ջուր: Դա 12,5 անգամ շատ է, քան ծախսվում է 1 տ պողպատի արտադրության ժա մանակ և 6 անգամ քիչ է, քան ծախսվում է 1 տ ամոնիակի ար-տա դրության ժամանակ: Քանի՞ տոննա ջուր է ծախսվում 1 տ պող-պատի և քանի՞ տոննա՝ 1 տ ամոնիակի արտադրության ժամանակ:

851. Առաջին սենյակի մակերեսը 5,2 մ2-ով մեծ է երկրորդ սենյակի մակերեսից, իսկ նրանց մակերեսների գումարը 34,8 մ2 է: Գտե՛ք յուրաքանչյուր սենյակի մակերեսը:

852. Հետիոտնը պետք է անցներ 14,4 կմ: Կեսօրին նա արդեն անցել էր 2 անգամ ավելի, քան մնում էր անցնելու: Քանի՞ կմ էր անցել հետիոտնը:

853. 66,5 հազար դրամով գնեցին 4 աթոռ և 3 բազկաթոռ: Ամեն մի բազկաթոռը 5 անգամ թանկ է յուրաքանչյուր աթոռից: Քանի՞ հազար դրամ արժե մեկ բազկաթոռը:

Հաշվե՛ք (854858).854. ա) 13,7 ⋅ 2,2 − 5,9 ⋅ 2,2 − 7,82,

բ) 2,62 ⋅ 13,58 + 3,8 ⋅ 13,58 +6,422

855. ա) 1,476 + 2,08 ⋅ 4,0549,938 : 24,36 − 0,25

բ) 4,58 + 6,275 : 1,2549,533 : 16,5 − 2,522

։

856. ա) 1 2

+ 0,5, բ) 1 4

+ 0,3, գ) 2 5

− 0,4,

դ) 3 4

− 0,25, ե) 7 25

+ 0,13, զ) 6 25

− 0,02։

857. ա) 1 1 2

− 3 1 4

⋅ 0,2, բ) 11 5

: 1,6 − 4 5

⋅ 0,125,

գ) 4 1 2

⋅ 0,4 : 0,15 ⋅ 1 2 3

դ) 3 1 3

⋅ 0,3 + 19 : 0,5 ⋅ 1 4։

ANTARES

4.7. ՏԱՍՆՈՐԴԱԿԱՆ ԿՈՏՈՐԱԿՆԵՐԸ ԵՎ ՏՈԿՈՍՆԵՐԸ 161

858. ա) �1 3 8

+ 1 3 4

− 0,411� : 0,59, բ) �6 7 15

− 1,4� : �2 4 5

+ 1,2�,

գ) 12,8 ⋅ 1 4

: �3 4

− 0,125�, դ) 1 17 18

⋅ �3 1 4

− 2,95�։ 3,5։

859. Լուծե՛ք հավասարումը.

ա) x − 3 1 2

= 6,1, բ) 2,5x + 6,3 = 7 1 3,

գ) 2 2 3x − 5,1 = 3,7, դ) 1,5x + 2 1

3= 2,5։

860. Լուծե՛ք համեմատությունը.

ա) x 4,9

= 1,5 2,1

, բ) 1,8 x

= 0,36 3,2

, գ) 2,7 25

= x 1,25

,

դ) x : 4,2 = 3 2

: 6,3, ե) x : 3,8 = 4 5

: 1,9,

զ) 2,5 : x = 3 1 3

: 1,2, է) 2 1 3

: x = 3,5 : 1,5:

4.7. տասնորԴական կոտորակները եվ տոկոսները

Ինչպես նշված է 1.6.-ում, տոկոսի հետ կապված հիմնական խնդիրները երեքն են.

1) տրված թվի տրված տոկոսի որոշումը, 2) այն անհայտ թվի որոշումը, որի որոշակի տոկոսը հայտնի է, 3) որոշումը, թե տրված երկու թվերից մեկի որ տոկոսն է մյուսը:Այս խնդիրները կարելի է լուծել նաև տասնորդական կոտորակների

բազմապատկման և բաժանման կիրառությամբ:Խնդիր 1: Գտնել 60 մ-ի 13%-ը:

Լուծում: 60 մ-ի 13% նշանակում է 60 մ-ի 13 100

մասը կամ, որ նույնն է՝ 60 մ-ի 0,13 մասը.

60 ⋅ 0,13 = 7,8 (մ):Պատասխան՝ 7,8 մ:Խնդիր 2: Գտնել այն թիվը, որի 35%-ը 700 է:

Լուծում: 700-ը անհայտ թվի 35%-ն է, այսինքն՝ նրա 35 100

մասը կամ 0,35 մասը: Գտնենք այդ թիվը.

700 : 0,35 = 2000:Պատասխան՝ 2000:Խնդիր 3: 40 ցանված սերմերից ծլել են 37-ը: Գտնել սերմերի ծլու-

նա կու թյան տոկոսը:

ANTARES


Լուծում: Ծլել են բոլոր սերմերի 37 40

-ը կամ 37 ⋅ 100 40

⋅ 1 100

= 92,5 ⋅ 1 100

այսինքն 92,5%-ը:Նույն բանը կարելի էր ստանալ՝ հիշելով «մաս»-ի և «%»-ի կապը՝

37 40

մաս = 37 40

⋅ 100% = 92,5%:

Պատասխան՝ 92,5%:Խնդիր 4: 3 թիվը 7 թվի ո՞ր տոկոսն է:Լուծում: 3-ը 7-ի մասն է, ուրեմն 3 7

մաս = 3 7

⋅ 100% = 300 7

% = 426 7%:

Պատասխան՝ 42 6 7%:

861. Գտե՛ք տրված թվի 27%-ը.ա) 200, բ) 290, գ) 45, դ) 38:

862. Գտե՛ք այն թիվը, որի 27%-ը տրված թիվն է.ա) 540, բ) 300, գ) 243, դ) 2727:

863. 350-ի ո՞ր տոկոսն է տրված թիվը. ա) 35, բ) 385, գ) 315, դ) 679:

864. Խնձորի չրի զանգվածը թարմ խնձորի զանգվածի 25%-ն է: Որքա՞ն խնձորի չիր կստացվի 200 կգ, 360 կգ, 4,5 տ թարմ խնձորից: Թարմ խնձորի զանգվածի ո՞ր տոկոսն է կորչում խնձորը չորացնելիս:

865. Խաղողը չորացնելիս կորցնում է իր զանգվածի 65%-ը: Որքա՞ն չամիչ (խաղողի չիր, չորացած խաղող) կստացվի 400 կգ, 350 կգ, 1,8 տ խաղողը չորացնելիս:

866. Կանաչ խոտը չորացնելիս կորցնում է իր զանգվածի 85%-ը: ա) Որքա՞ն չոր խոտ կստացվի 600 կգ, 1500 կգ, 11,8 տ կանաչ խոտից:բ) Որքա՞ն կանաչ խոտից կստացվի 1500 կգ, 3300 կգ, 3,6 տ չոր խոտ:

867. Ո՞րն է մեծ. ա) 72-ի 45%-ը, թե 45-ի 72%-ը,բ) 80-ի 38%-ը, թե 45-ի 60%-ը:

868. Ապրանքն արժեր 15000 դրամ: Նրա գինը բարձրացրին 12%-ով: Որքա՞ն արժե ապրանքն այժմ:

869. Տրված թիվը մեծացրե՛ք նշված տոկոսով. ա) 80, 20%, բ) 480, 25%գ) 50, 10%, դ) 25, 100%:

870. Տրված թիվը փոքրացրե՛ք նշված տոկոսով. ա) 60, 10%, բ) 500, 28%,

ANTARES

4.8. ԿԱՄԱՅԱԿԱՆ ՆՇԱՆԻ ՏԱՍՆՈՐԴԱԿԱՆ ԿՈՏՈՐԱԿՆԵՐ 163

գ) 90, 50%, դ) 125, 40%:

871. ա) Հնարավո՞ր է ապրանքի գինն իջեցնել 200%-ով: բ) Հնարավո՞ր է ապրանքի գինը բարձրացնել 101%-ով:

4.8. կամայական նՇանի տասնորԴական կոտորակներ

Հիշեցնենք, որ տասնորդական կոտորակը սովորական կոտորակի մի այլ գրելաձևն է:

Սովորական կոտորակների ցանկացած հատկություն փոխանցվում է տասնորդական կոտորակներին:

Մասնավորապես, եթե տրված տասնորդական կոտորակի առջև «+» նշան դրվի, ապա դրանից այն չի փոխվի, որովհետև չի փոխվի տրվածին հավասար սովորական կոտորակը, երբ նրա առջև «+» նշան դրվի:

Օրինակ՝ 2,78 = + 2,78, 3,99 = + 3,99:Եթե տրված դրական տասնորդական կոտորակի առջև «–» նշան

դրվի, ապա կստացվի այլ կոտորակ՝ նրան հակադիր կոտորակը:

Օրինակ՝ − 0,9 = − 9 10

, − 2,71 = -2 71 100

: Կամայական նշանի տասնորդական կոտորակների հետ յուրաքանչ-

յուր թվաբանական գործողություն կարելի է կատարել ինչպես ամբողջ թվերի համար. սկզբում որոշել գործողության արդյունքի նշանը, այնուհետև գործողությունը կատարել այդ կոտորակների մոդուլների` դրական տասնորդական կոտորակների հետ:

Օրինակ՝3,2 + (− 3,4) = − (3,4 − 3,2) = − 0,2,

5,8 − 8,9 = − (8,9 − 5,8) = − 3,1,7,8 ⋅ (− 0,5) = − (7,8 ⋅ 0,5) = − 3,9,

(− 4,2) : (− 0,6) = + (4,2 : 0,6) = 42 : 6 = 7:

Հաշվե՛ք (872878).872. ա) 2,1 + (– 3,5), բ) (– 4,9) + (– 1,3), գ) 4,8 − 9,9,

դ) 6,2 − (– 1,7), ե) − 7,9 − (– 1,8), զ) − 1,2 − 3,5:

873. ա) 1,56 + (– 8,28), բ) − 7,53 − 6,48, գ) − 13,75 − 5, դ) 12,51 − 17,23, ե) 12,285 − 13,999, զ) 13,4 − 17,48:

874. ա) (– 1,2) ⋅ 5 , բ) (– 4,9) : 7, գ) (– 6,4) : (– 0,8) ,դ) 72 : (– 0,6) , ե) (– 4,8) : 0,16, զ) (– 1,28) : (– 6,4):

875. ա) 4,16 − 5,1 ⋅ 3,2, բ) 7,39 − 1,21 : 1,1,

ANTARES


գ) (– 44,44) : 11 + 1,1, դ) (– 6,25) : 2,5 + 2,5,ե) 0,48 : 1,6 − 4,8, զ) 12,5 ⋅ (– 4) : (– 2):

876. ա) 44 : (– 2,5) − 6 ⋅ (4,3 ⋅ 0,8 − 3,7),բ) (– 11,2 : (– 2,8) − 3,6 + 2,4) : (– 0,4),գ) − 3,6 ⋅ (– 0,5) − (– 3,2 + 0,8) ⋅ 1,05:

877. ա) (4,28 + 3,6 ⋅ (– 0,85)) : (– 0,4),բ) 7,68– 6,4 : (– 1,2 − 0,4),գ) (4,7 + 2,3)(– 3,5) − 8,7 + 0,3:

878. ա) (0,05 − 2,2 + 0,53) : 1,8 + 0,4 ,բ) 0,2 ⋅ (0,4 − 1,08 + 0,15) + 0,2 ,գ) (0,4 ⋅ 0,01 − 0,01) : 0,25 − 0,231 ,դ) − 0,8 + 4,2 ⋅ (0,002 : 0,04 − 4,1):

879. Լուծե՛ք հավասարումը. ա) 0,4x = 3 , բ) 2x = 1,8 , գ) 0,3x = − 2,7 ,դ) 1,5x = − 10,5 , ե) − 0,002x = 25, զ) − 1,4x = 2,842:

Հաշվե՛ք (880882).880. ա) (– 654,84 : 32,1 − 35,568 : (– 3,42)) : 2,5,

բ) (– 3,17 − 25,9632 : 4,32) : (– 74,358 : 24,3),գ) (2763,36 : (– 30,4) − 70,7) : (714,07 : 7,07):

881. ա) �2,75 : 3 2 3

− 2 1 3

: 1,75� ⋅ 3 2 21

,

բ) �3,24 : 9 7

− 3 1 5

: 1 1 3� : (− 0,9),

գ) (− 4,5 ) − 5 1 3

+ (− 5,5) ⋅ 5 1 3,

դ) 3 1 7

⋅ 7,425 + (− 6,425 ) ⋅ 3 1 7:

882. ա) − 0,125 · 5

�12863

− 1723� · 7 7

8

�2140

− 1924� · 0,7 + 0,04

0,675 ⋅ 3,4 − 2,02

գ)�13,25 − 2

527 − 10 5

6� · 230,04 + 46,75

�137

+ 3 13� ։ �12 1

3 − 14 2

7�

:

ANTARES

4.9. ՏԱՍՆՈՐԴԱԿԱՆ ԿՈՏՈՐԱԿՆԵՐԻ ՄՈՏԱՐԿՈՒՄԸ 165

4.9. տասնորԴական կոտորակների մոտարկումը

Եթե a1 թիվը քիչ է տարբերվում a թվից, ապա գրում ենa ≈ a1

և կարդում են «a թիվը մոտավորապես հավասար է a1 թվին» կամ «a1-ը a -ի մոտարկումն է»: «≈» նշանը մոտավոր հավասարության նշանն է:

Եթե a ≈ a1 և a1 < a ապա a1-ն անվանում են aի մոտարկում պակասորդով (կամ մոտարկում ներքևից): Իսկ եթե a ≈ a1 և a1 > a ապա a1-ն անվանում են aի մոտարկում հավելուրդով (կամ մոտարկում վերևից): Եթե a1 = a ապա a1-ը կարելի է a-ի մոտարկում համարել ինչպես ներքևից, այնպես էլ՝ վերևից:

Ստորակետից հետո մեծ թվով նիշեր ունեցող տասնորդական կոտորակները մոտարկում են ստորակետից հետո ավելի քիչ նիշեր ունեցող տասնորդական կոտորակներով: Տասնորդական կոտորակի կառուցվածքն ինքն է հուշում՝ ինչպես ընտրել այդ մոտարկումները:

Դիտարկենք օրինակներ: Ենթադրենք` a = 2,32825:Այս կոտորակն ընդհատելով ստորակետից հետո երկրորդ

կարգի թվանշանի վրա՝ կստանանք a-ից փոքր 2,32 թիվը: Եթե 2,32-ի հարյուրերորդականների թվանշանն ավելացնենք 1-ով, ապա կստանանք a-ից մեծ 2,33 թիվը:

Այսպիսով, 2,32 < a < 2,33 , ուրեմն 2,32-ը a-ի մոտարկումն է ներքևից, իսկ 2,33-ը՝ վերևից: Գրում են՝

a ≈ 2,32, a ≈ 2,33և կարդում են. «2,32 -ը a թվի մոտարկումն է մեկ հարյուրերորդականի

ճշտությամբ պակասորդով (ներքևից), 2,33-ը a թվի մոտարկումն է մեկ հարյուրերորդականի ճշտությամբ հավելուրդով (վերևից)»:

«Մեկ հարյուրերորդականի ճշտությամբ» բառերի փոխարեն նաև ասում են «ստորակետից հետո երկրորդ կարգի միավորի ճշտությամբ»:

Քանի որ a թվի գրելաձևում ստորակետից հետո երրորդ թվանշանը մեծ է 5 -ից, ապա a -ն ավելի մոտ է 2,33 -ին, քան 2,32 -ին: Այդ պատճառով ասում են, որ 2,33-ը a-ի մոտարկումն է մեկ հարյուրերորդականի ճշտությամբ՝ կլորացումով:

Նույն կերպ դատելով՝ կստանանք, որ2,328 < a < 2,329,

a ≈ 2,328, a ≈ 2,329որտեղ 2,328-ը a-ի մոտարկումն է մեկ հազարերորդականի

ճշտությամբ ներքևից և միևնույն ժամանակ՝ կլորացումով: Դա հետևում է նրանից, որ a թվի գրելաձևում ստորակետից հետո չորրորդ կարգի

ANTARES


թվանշանը 5-ից փոքր է, այդ պատճառով a-ն 2,328-ին ավելի է մոտ, քան 2,329-ին:

2,329-ը a-ի մոտարկումն է 0,001 ճշտությամբ վերևից:Նույն ձևով 2,3282 < a < 2,3283: Այժմ a-ն վերևից և ներքևից

մոտարկումների ճշիտ մեջտեղում է: Այսպիսի դեպքում 2,3283-ն է ընդունվում որպես a թվի մոտարկում 0,0001 ճշտությամբ՝ կլորացումով:

Նման եղանակով b = − 2,32829-ի համար ճիշտ են − 2,33 < b < − 2,32 անհավասարությունները, որտեղից, b ≈ − 2,33, b ≈ − 2,32 ընդ որում − 2,33-ը b թվի մոտարկումն է 0,01 ճշտությամբ ներքևից և միաժամանակ՝ կլորացումով: Իսկ – 2,32-ը b թվի մոտարկումն է 0,01 ճշտությամբ վերևից:

Մտցնենք տասնորդական կոտորակի նշանակալից թվանշանի գաղափարը:

Տասնորդական կոտորակի նշանակալից թվանշան են անվանում նրա (ձախից աջ) առաջին զրոյից տարբեր թվանշանը, ինչպես նաև

հաջորդ բոլոր թվանշաններից յուրաքանչյուրը:

Օրինակներ՝235 000 թվի բոլոր թվանշանները նշանակալից են, 0,302 թվի գրառման մեջ նշանակալից են ստորակետից հետո գրված

բոլոր թվանշանները, 0,003004 թվում նշանակալից են 3 թվանշանից սկսած բոլորը:Կլորացնել թիվը, օրինակ, մինչև երրորդ նշանակալից թվանշանի

ճշտությամբ՝ նշանակում է կլորացնել այն մինչև այն կարգը, որում գտնվում է այդ թվանշանը, հաջորդ թվանշանները փոխարինելով զրոներով: Ստորև բերված կլորացումները կատարված են մինչև երրորդ նշանակալից թվանշանը.

3,7523 ≈ 3,7500 = 3,75 ,- 0,010278 ≈ − 0,010300 ≈ − 0,0103 ,0,035021 ≈ 0,035000 = 0,0350 ,

- 0,02339 ≈ − 0,0234,2 365 780 ≈ 2 370 000 = 2,37 ⋅ 106,

2 35 000 ≈ 235 000 = 2,35 ⋅ 105:

883. Ի՞նչ է նշանակում ≈ նշանը: Ինչպե՞ս են կարդում a ≈ a1 գրությունը:

884. Ո՞րն է 0,2638 թվի մոտարկումը.ա) մեկ տասնորդականի ճշտությամբ պակասորդով, բ) մեկ հարյուրերորդականի ճշտությամբ հավելուրդով, գ) մեկ հազարերորդականի ճշտությամբ կլորացումով:

ANTARES

4.10. ԵՐԿՈՒ ԹՎԵՐԻ ԳՈՒՄԱՐԻ, ՏԱՐԲԵՐՈՒԹՅԱՆ, ԱՐՏԱԴՐՅԱԼԻ ԵՎ ՔԱՆՈՐԴԻ ՄՈՏԱՐԿՈՒՄԸ 167

885. Թվի տասնորդական տեսքով գրառման մեջ ո՞ր թվանշաններն են անվանում նշանակալից:

886. Ի՞նչ է նշանակում թիվը կլորացնել մինչև երկրորդ նշանակալից թվանշանի ճշտությամբ:

887. Գտե՛ք a թվի մոտարկումը պակասորդով՝ ստորակետից հետո երկրորդ կարգի 1 միավորի ճշտությամբ, եթե. ա) a = 0,3456 , բ) a = 0,76543 ,գ) a = 0,02325 , դ) a = − 0,34354 :

888. Գտե՛ք a թվի մոտարկումը հավելուրդով՝ ստորակետից հետո երկրորդ կարգի 1 միավորի ճշտությամբ, եթե. ա) a = 1,2345, բ) a = 3,56789, գ) a = 2,577, դ) a = 2,555:

889. a թիվը կլորացրե՛ք 0,01 ճշտությամբ, եթե. ա) a = 1,24851, բ) a = 1,24158 ,գ) a = − 7,02303, դ) a = 0,12528 :

890. a թիվը կլորացրե՛ք 0,001 ճշտությամբ, եթե. ա) a = 8,91011..., բ) a = − 8,91011...,գ) a = 0,2626, դ) a = 0,6265:

891. Ընդգծե՛ք տրված թվի նշանակալից թվանշանները.ա) 3,52, բ) 0,352, գ) 0,03520, դ) 7,405,ե) 4,203, զ) 0,005, է) 0,0420, ը) 7,0003,թ) 10,0050, ժ) 6,700, ի) 0,00067, լ) 0,0100:

892. 1995,1996 թիվը կլորացրե՛ք մինչև.ա) մեկ տասնորդական, բ) մեկ հարյուրերորդական, գ) մեկ հազարերորդական, դ) մեկ միավոր, ե) մեկ տասնյակ, զ) մեկ հարյուրյակ:

893. 1039,9301 թիվը կլորացրե՛ք մինչև յոթերորդ, վեցերորդ, հինգերորդ, չորրորդ, երրորդ նշանակալից թվանշանը:

4.10. երկու Թվերի Գումարի, տարբերուԹյան, արտաԴրյալի եվ ՔանորԴի մոտարկումը

Երկու թվերի գումարը (կամ տարբերությունը) մոտավորապես հաշվելու համար այդ թվերը կլորացնում են միևնույն ճշտությամբ,

օրինակ մեկ հարյուրերորդականի, ապա գումարում են (կամ հանում) ստացված մոտավորությունները:

Օրինակ 1: a = 23,1834567 և b = − 4,2375 թվերը նախապես կլո րաց նե-լով մեկ հարյուրերորդականի ճշտությամբ՝ մոտավորրապես հաշվենք նրանց գումարն ու տարբերությունը:

ANTARES


Կլորացնելով այդ թվերը մեկ հարյուրերորդականի ճշտությամբ՝ կստանանք, որ a ≈ 23,18, b ≈ −4,24 Այստեղից էլ կգտնենք պատասխանը.

a + b ≈ 18,94, a − b ≈ 27,42:Համանման ձևով են վարվում նաև այն դեպքերում, երբ հանման

և գումարման գործողությունները պետք է կատարել, կլորացնելով մինչև մեկ տասնորդական, մինչև մեկ հազարերորդական, մինչև մեկ տասնյակ, մինչև մեկ հազար և այլն ճշտությամբ:

Ստորև կձևակերպենք մինչև տրված նշանակալից թվանշանի ճշտությամբ կլորացումով մոտավոր բազմապատկման ու բաժանման կանոնը:

Թվերի արտադրյալը (կամ երկու թվերի քանորդը) մոտավոր հաշվելու համար նախ պետք է այդ թվերը կլորացնել մինչև միևնույն

նշանակալից թվանշանի (օրինակ' մինչև երրորդ նշանակալից թվանշանի) ճշտությամբ, բազմապատկել (կամ բաժանել) ստացված

մոտավորությունները և արդյունքը կլորացնել մինչև այդ նույն (երրորդ) նշանակալից թվանշանը:

Օրինակ 2: Ենթադրենք a = 135,78665, b = 0,0068751:Կլորացնելով մինչև երրորդ նշանակալից թվանշանը` մոտավորապես

հաշվենք a ⋅ b-ն, ab-ն,

ba-ն:

Կլորացնելով մինչև երրորդ նշանակալից թվանշանը՝ կունենանք.a ≈ 136, b ≈ 0,00688:

Այդ դեպքում. a ⋅ b ≈ 136 ⋅ 0,00688 = 0,93568 ≈ 0,936,

ab

= 136 0,00688

= 13600000 688

= 19767,4... ≈ 19800

ba

= 0,00688 136

= 0,00005058... ≈ 0,0000506:

Պատասխան՝ a ⋅ b ≈ 0,936, ab

≈ 19800, ba

≈ 0,0000506:

Դիտողություն: Մեծ ճշտութունը պահանջում է մեծ քանակությամբ թվանշանների օգտագործում, փոքր ճշտության համար բավական են նաև քիչ քանակությամբ թվանշանները:

Որքան մեծ թվով թվանշաններով վերցնենք երկու թվերի մոտարկումները, այնքան մոտարկումների գումարը (տարբերությունը, արտադրյալը, քանորդը) մոտ կլինի այդ երկու թվերի գումարին (տարբերությանը, արտադրյալին, քանորդին):

Օրինակ՝ ենթադրենք տրված է a = 1,445 թիվը և պահանջվում է հաշվել նրա քառակուսին: Եթե նախ այդ թիվը, ապա նաև նրա

ANTARES

4.10. ԵՐԿՈՒ ԹՎԵՐԻ ԳՈՒՄԱՐԻ, ՏԱՐԲԵՐՈՒԹՅԱՆ, ԱՐՏԱԴՐՅԱԼԻ ԵՎ ՔԱՆՈՐԴԻ ՄՈՏԱՐԿՈՒՄԸ 169

մոտարկման քառակուսին կլորացնենք մինչև առաջին նշանակալից թվանշանի ճշտությամբ, կստանանք a2 ≈ 1 ⋅ 1 = 1, որը ճշգրիտ արդյունքից տարբերվում է 2,088025 − 1 = 1,088025 թվով:

Եթե a թիվն ու նրա մոտարկման քառակուսին կլորացնենք մինչև երկրորդ նշանակալից թվանշանի ճշտությամբ, ապա կստանանք a2 ≈ 1,4 ⋅ 1,4 = 1,96 ≈ 2,0, որը ճշգրիտ արդյունքից տարբերվում է

2,088025 − 2 = 0,088025 թվով: Իսկ եթե a թիվն ու նրա մոտարկման քառակուսին կլորացնենք մինչև

երրորդ նշանակալից թվանշանի ճշտությամբ, ապա կստացվի a2 ≈ 1,45 ⋅ 1,45 = 2,1025 ≈ 2,10, որը ճշգրիտ արդյունքից կտարբերվի

ընդամենը 2,088025 − 2,10 = 0,0120-ով։

894. Ձևակերպե՛ք տասնորդական կոտորակների տեսքով տրված երկու թվե րի մոտավոր գումարման կանոնը մինչև մեկ հազար երոր դա-կանի ճշտությամբ կլորացման համար:

895. Ձևակերպե՛ք տասնորդական կոտորակների տեսքով տրված երկու թվերի մոտավոր հանման կանոնը մինչև մեկ տասնորդականի ճշտու թյամբ կլորացման համար:

896. Ձևակերպե՛ք տասնորդական կոտորակների տեսքով տրված եր-կու թվերի մոտավոր բազմապատկման կանոնը մինչև երրորդ նշանակալից թվանշանի ճշտությամբ կլորացման համար:

897. Ձևակերպե՛ք տասնորդական կոտորակների տեսքով տրված երկու թվերի մոտավոր բաժանման կանոնը մինչև չորրորդ նշանակալից թվանշանի ճշտությամբ կլորացման համար:

898. Մինչև 0,1 ճշտությամբ կլորացրե՛ք a ու b թվերը և հաշվե՛ք նրանց մոտավոր գումարն ու մոտավոր տարբերությունը, եթե. ա) a = 3,28 , b = 0,11 , բ) a = − 1,256 , b = 2,555 ,գ) a = 0,010010 , b = 0,2 , դ) a = 2,7235 , b = − 3,42426 ,ե) a = − 7,17 , b = − 0,33:

899. Մինչև 0,01 ճշտությամբ կլորացրե՛ք a ու b թվերը և հաշվե՛ք նրանց մոտավոր գումարն ու տարբերությունը, եթե. ա) a = 1,4545, b = − 1,203, բ) a = 2,1264, b = − 3,1145,գ) a = − 5,777, b = 2,536, դ) a = 0,5642, b = − 3,573,ե) a = − 12,454, b = − 10,111:

900. Մինչև երրորդ նշանակալից թվանշանի ճշտությամբ կլորացնելով a ու b թվերը` մոտավոր հաշվե՛ք նրանց a ⋅ b արտադրյալը և a : b քանորդը, եթե.ա) a = − 2,435 , b = 1,923 , բ) a = 2,1456 , b = 0,78788 ,գ) a = − 2,131 , b = − 0,009293 , դ) a = 0,03531 , b = 357,693:

ANTARES


896. Մոտավոր հաշվե՛ք a ⋅ b արտադրյալը և a : b քանորդը մինչև երկրորդ նշանակալից թվանշանի ճշտությամբ կլորացումով, եթե.ա) a = 0,253, b = 0,75, բ) a = 3,5781, b = − 0,00494,գ) a = − 0,045, b = − 0,593, դ) a = 382,231, b = 0,002434:

4. 11. Պատմական ակնարկ

Ավելի վաղ արդեն խոսվել է կոտորակներն առանց հայտարարի գրելու բաբելոնյան եղանակի մասին: Օրինակ` 15012՛36՛՛54՛՛՛ գրառումը

հա մա պատասխանում է 15 + 1260

+ 36602 + 54

603 գումարին: Այսպիսի գրառումը

թույլ է տալիս կոտորակների հետ գործողությունները կատարել բա վա-կա նա չափ արագ: Օրինակ`

�5 + 3860

+ 543600

� + �6 + 1260

+ 143600

�

գումարի հաշվումը բաբելոնյան եղանակով արվի կարճ.

5038՛54՛՛+601 2՛14՛՛

1105 1՛08՛՛

Ավելի ուշ այսպես սկսեցին գրել նաև 10, 100, 1000, ... հայտարարներով կոտորակները.

2 110

= 2 + 110

= 201՛, 5 1231000

= 5 + 110

+ 2100

+ 3100

= 501՛2՛՛3՛՛՛։

Հետագայում գրառումը պարզեցրին` ամբողջ և կոտորակային մասերը վերևից փոքր կլորակով անջատելու փոխարեն սկսեցին ներքևից ան ջա-տել ստորակետով, իսկ տասնորդականների, հարյուր երոր դա կան ների, հա զարերորդականների և այլն թվանշանները սկսեցին գրել միա ձույլ՝ առանց վերևից նշաններով անջատելու̀ 501՛2՛՛3՛՛՛ = 5,123:

1427 թվականին սամարղանդցի մաթեմատիկոս և աստղագետ Ջամշիդ ալ-Կա շին մանրամասն նկարագրել է տասնորդական կոտորակների հա մա կարգը և նրանցով կատարվող գործողությունները: Եվրոպայում տաս նոր դա կան կոտորակները հայտնի դարձան դրանից 100-ից ավելի տա րի հետո` գլխավորապես շնորհիվ բելգիացի ինժեներ և գիտնական Սի մոն Ստևինի (1548 − 1620) աշխատությունների:

Գրելաձևի պարզության և ամբողջ թվերին համահունչ գոր ծո ղու-թյուն ների կատարման` կանոնների շնորհիվ տասնորդական կոտո րակ-նե րը լայն տարածում են ստացել գործնական հաշվարկներում:

ANTARES


Նշենք, որ մեր ժամանակներում որոշ երկրներում, օրինակ, ԱՄՆ-ում, տասնորդական կոտորակների ամբողջ և կոտորակային մասերը ան-ջա տում են ոչ թե ստորակետով, այլ կետով: Այսպես,

1,2, 35,48, 2,008թվերի փոխարեն գրում են.

1.2, 35.48, 2.008:Ամբողջ և կոտորակային մասերը կետով են անջատվում նաև միկրո-

հաշ վիչ ներում և համակարգիչներում:


902. 20 կգ կշիռ ունեցող ձմերուկի 99% -ը ջուր է: Մի քանի օրվա ըն թաց-քում ձմերուկը որոշ չափով չորացավ, և ջրի պարունակությունն իջավ մինչև 98%: Որքա՞ն է ձմերուկի նոր կշիռը:

Լուծում: Քանի որ ջրի պարունակության տոկոսը քիչ էփոխվել, ապա առաջին հայացքից թվում է, թե

ձմերուկի կշիռը քիչ է փոխվել, բայց դա միայն առաջին հայացքից: Իրականում, «չոր նյութը» կլինի ձմերուկի 100 − 99 = 1 (%)-ը կամ 20 ⋅ 0,01 = 0,2 կգ: Չորանալուց հետո «չոր նյութը» կլինի ձմերուկի նոր կշռի 100 − 98 = 2 (%)-ը: Ձմերուկի նոր կշիռը կլինի'

0,2 : 0,02 = 10 (կգ):Պատասխան՝ 10 կգ:

903. Մի անտառարդյունաբերական տնտեսություն որոշեց հատել սո-ճիների անտառը, բայց էկոլոգները բողոքեցին: Այդ ժամանակ տնտե սու թյան տնօրենը բոլորին հանգստացրեց` ասելով. «Մեր անտա ռում սոճիները 99%-ն են: Նրանցից կկտրենք այնքանը, որ մնա ցած սոճիները լինեն բոլոր ծառերի 98%-ը»: Անտառի ո՞ր մասը պետք է հատվի ըստ տնօրենի:

904. Վերմիշելի տուփի վրա գրված է. «Զուտ զանգվածը (այսինքն` առանց տարայի) 500գ` 13% խոնավության դեպքում»: Որքա՞ն է վեր միշելի զանգվածը, եթե այն պահվում է 25% խոնավությամբ մի ջա վայ րում:

905. Ունենք աղաջուր, որի կշռի 13-ն աղն է: Աղաջրի կշռի ո՞ր տոկոսը

կլինի աղը, եթե ջրի կշիռը կրկնապատկենք:

ANTARES


906. Աշխատանքի արտադրողականությունը բարձրացրին 25%-ով: Քանի՞ տոկոսով կկրճատվի առաջադրանքի կատարման ժա-մա նակը:

907. Հայր և որդի նավարկում էին գետի հոսանքին հակառակ: Մի ինչ-որ պահի հոր գլխարկը գետն ընկավ: Միայն 25 րոպե հետո հայրը նկատեց կորուստը և նավակը հետ շրջեց: Շրջվելու պահից քանի՞ րոպե հետո նավակը կհասնի գլխարկին:

908. Հայրն իր համար պայուսակ էր գնել, որն ուներ ծած կա գրով երկու փական: Ամեն մի փականի վրա երեք թվանշանանոց ծածկագիր (կոդ) է դրվում (0-ից մինչև 9 թվանշաններով, նկար 76): Թվա-նշանների կրկնությունը թույլատրվում է: Պայու-սակը փակում են և նրա փականների վրա հավա-քում են պատահական թվեր: Փականը բացվում է միայն, եթե նրա վրա հավաքում են իր կոդը:ա) Արմանը յուրաքանչյուր փականի վրա նոր կոդ հավաքեց, բայց մոռացավ այդ մասին հայտնել հայրիկին ու գնաց դպրոց: Վատագույն դեպքում ինչքա՞ն ժամանակ կծախսի հայրը փականները բացելու համար, հերթով ստուգելով բոլոր տար բե-րակ ները երկու փականի վրա, եթե մեկ տարբերակի ստուգումը մեկ փականի վրա տևում է մեկ վայրկյան:բ) Որքա՞ն է մեկ փորձով մեկ փականը բացելու հավանականությունը, որքան՝ երկու փականը բացելու հավանականությունը:գ) Արմանը յուրաքանչյուր փականի վրա նոր կոդ հավաքեց և որոշ ժամանակից հետո մոռացավ, թե 1, 2 ու 3 թվանշանները փա կան-ներից որում ինչ հերթականությամբ է դրել: Վատագույն դեպքում քանի՞ ստուգում է պետք երկու փականը բացելու համար:դ) Արմանը յուրաքանչյուր փականի վրա նոր կոդ հավաքեց և որոշ ժամանակից հետո մոռացավ դրանք: Նա միայն հիշում է, որ յու-րա քանչյուր ծածկագրի մեջ մասնակցում են 1 և 2 թվանշաններն ու դրանցից տարբեր մի երրորդ թվանշան: Նա անգամ չի հիշում, թե երրորդ թվանշանը երկու փականի համար նույնն էր, թե ոչ: Վա-տա գույն դեպքում քանի՞ փորձից կբացի Արմանը մեկ փականը և քանի փորձից` երկուսը:

909. Դպրոցում 20 դասարան կա: Դպրոցի մոտի շենքում ապրում է այդ դպրոցի 23 աշակերտ: Կարելի՞ է պնդել, թե նրանց մեջ ան պայ ման կգտնվի գոնե երկու համադասարանցի:

910. Դպրոցում սովորում է 370 աշակերտ: Ապացուցե՛ք, որ բոլոր աշա-կերտ ներից կգտնվեն գոնե երկուսը, որ իրենց ծննդյան տարեդարձը տոնում են նույն օրը:

Նկար 76

ANTARES


911. Արամը հաշվեց, որ նախաճաշին, ճաշին և ընթրիքին ինքը ընդհա-նուր հաշվով 10 կոնֆետ է կերել: Ապացուցե՛ք, որ այդ անգամներից գո նե մեկում նա կերել է ոչ պակաս, քան 4 կոնֆետ:

912. Դասարանում կա 37 աշակերտ: Ապացուցե՛ք, որ նրանցից կգտնվեն առնվազն 4 հոգի, որոնք ծնվել են նույն ամսում:

913. Հավաքածուում կա 10, 50, 100 և 200 դրամ արժողությամբ 25 մե-տա ղադրամ: Կա՞ արդյոք նրանց մեջ նույն արժողության 7 մե տա-ղա դրամ:

914. Ուսուցչուհին հայտարարեց թելադրության արդյունքները: Բոլորից շատ սխալ արել էր Սեդրակը` 13: Ապացուցե՛ք, որ սխալներ թույլ տված 28 աշակերտից կգտնվի 3 հոգի, որոնք արել են նույն թվով սխալ:

915. 3 տարում Հեղինեի տարիքն աճեց 25% -ով: Քանի՞ տարեկան է այժմ Հեղինեն:

916. ա) Հասմիկն այժմ 20%-ով մեծ է, քան 2 տարի առաջ: Քանի՞ տարե-կան է այժմ Հասմիկը:բ) 2 տարի առաջ Ստեփանը 20%-ով փոքր էր, քան այժմ: Քանի՞ տա րե կան է այժմ Ստեփանը:

ANTARES

5.1. Դրական սովորական կոտորակի վերլուծումը վերջավոր տասնորԴական կոտորակի

Նախորդ գլխում մենք դիտարկեցինք այնպիսի տասնորդական կոտո-րակ ներ, որոնք ստորակետից հետո ունեին վերջավոր քանակությամբ թվա նշան ներ: Այդպիսի տասնորդական կոտորակներն անվանում են վերջավոր:

Վերջավոր տասնորդական կոտորակը միշտ կարելի է գրել սովո րա-կան կոտորակի տեսքով:

Օրինակ`

0,375 = 375 1000

= 3 8, 6,72 = 672

100 =

168 25

, 0,065 = 65 1000

= 13

200,

Նկատենք, որ կոտորակների կրճատումներից հետո ստացվեցին հետևյալ հայտարարները.

8 = 23, 25 = 52, 200 = 23 ⋅ 52:Այս օրինակներից երևում է, որ

եթե վերջավոր տասնորդական կոտորակր գրենք a b անկրճատելի

սովորական կոտորակի տեսքով, ապա նրա b հայտարարը 2ից և 5ից բացի այլ պարզ բաժանարարներ չի ունենա:

Այս պնդումը ճիշտ է ոչ միայն դիտարկված օրինակների համար այլ ընդհանուր դեպքում և այն կարելի է ապացուցել։

Ճիշտ է նաև հակառակ պնդումը.

ՍՈՎՈՐԱԿԱՆ ԵՎ ՏԱՍՆՈՐԴԱԿԱՆ ԿՈՏՈՐԱԿՆԵՐ

ANTARES

5.1. ԴՐԱԿԱՆ ՍՈՎՈՐԱԿԱՆ ԿՈՏՈՐԱԿԻ ՎԵՐԼՈՒԾՈՒՄԸ ՎԵՐՋԱՎՈՐ ՏԱՍՆՈՐԴԱԿԱՆ ԿՈՏՈՐԱԿԻ 175

եթե անկրճատելի ab կոտորակի q հայտարարը 5ից և 2ից բացի

այլ պարզ բաժանարարներ չունի, ապա այդ կոտորակը կարելի է

ներկայացնել վերջավոր տասնորդական կոտորակի տեսքով:

Օրինակ` 4 5

= 4 ⋅ 2 5 ⋅ 2

= 8 10

= 0,8։

Այս օրինակում կոտորակի հայտարարում 10 ստանալու համար նրա համարիչն ու հայտարարը բազմապատկել ենք 2-ով:

Համապատասխան կերպ կվարվենք նաև հետևյալ օրինակներում.

201 200

= 201 ⋅ 5 200 ⋅ 5

= 1005 1000

= 1,005, 3 4

= 3 ⋅ 254 ⋅ 25

= 75 100

= 0,75:

Նկար 77

Եթե անկրճատելի սովորական կոտորակի հայ տա րա րը 2-ից և 5-ից բացի այլ պարզ ար-տա դրիչ ներ չունի, ապա այդ կոտորակը վեր-ջավոր տաս նոր դական կոտորակ դարձ նե լու եր կու եղա նակ կա:

Այդ եղանակներից մեկը մենք արդեն դի-

տար կել ենք: Այն հանգում է ab կոտորակի հա-

մա րիչն ու հայ տա րարը 2-ի կամ 5-ի այնպիսի աստի ճանով բազմապատկելուն, որ հայ տա-րա րում ստացվի 10-ի որևէ աս տի ճան:

Մյուս եղանակը կոտորակի համարիչը հայ-տա րա րին անկյունով բաժանելու եղանակն է:

Օրինակ` 3 4 սովորական կոտորակն այս եղա-

նակ ով դարձնենք տասնորդական (նկար 77

ա): Նույն հաշվարկները երբեմն այլ կերպ են գրում (նկար 77 բ):

Հետևապես` 3 4

= 0,75:

917. Վերջավոր տասնորդական կոտորակը գրել են անկրճատելի սո-վորական կոտորակի տեսքով: Կարո՞ղ է այդ կոտորակի հայ տա-րա րը 2-ից և 5-ից բացի այլ պարզ բաժանարարներ ունենալ:

918. Ի՞նչ պարզ բաժանարարներ պետք է ունենա անկրճատելի սո վո րա-կան կոտորակի հայտարարը, որպեսզի այդ կոտորակը հնարավոր

ANTARES

ԳԼՈՒԽ 5 ՍՈՎՈՐԱԿԱՆ ԵՎ ՏԱՍՆՈՐԴԱԿԱՆ ԿՈՏՈՐԱԿՆԵՐ176

լինի ներկայացնել վերջավոր տասնորդական կոտորակի տեսքով: Բերե՛ք օրինակներ:

919. Սովորական կոտորակն ի՞նչ եղանակներով է կարելի բերել տասնորդական կոտորակի տեսքի: Բերե՛ք օրինակներ:

920. Ի՞նչ պարզ արտադրիչներ է պարունակում հետևյալ կոտորակի հայտարարը.

ա) 1 64

, բ) 1 48

, գ) 1 56

, դ) 1 24

,

ե) 1 128

, զ) 1 78

, է) 1 256

, ը) 1 625

,

թ) 1 10

, ժ) 1 100

, ի) 1 1000

, լ) 1 10000

։

921. Կրճատե՛ք կոտորակը.

ա) 24 60

, բ) 15 20

, գ) 65 100

, դ) 94 100

,

ե) 21 30

, զ) 16 400

, է) 8 100

, ը) 8 1000

։

922. Գրե՛ք անկրճատելի սովորական կոտորակի տեսքով.ա) 0,4, բ) 0,12, գ) 0,125, դ) 1,2,ե) 0,45, զ) 0,04, է) 1,008, ը) 0,0018:

923. Կոտորակը բերե՛ք 10, 100 կամ 1000 հայտարարի.

ա) 1 2, բ) 1

4, գ) 3

5, դ) 1

25,

ե) 11 20

, զ) 9 8, է) 3

8, ը) 7

40։

924. Երկու եղանակով բերե՛ք տասնորդական կոտորակի տեսքի.

ա) 1 4, բ) 4

5, գ) 24

15, դ) 15

24։

Անկյունով բաժանման եղանակով սովորական կոտորակը բերե՛ք տասնորդական տեսքի (925927).

925. ա) 7 5, բ) 3

16, գ) 48

15, դ) 3

2000,

ե) 17 40

, զ) 28 140

, է) 3 12

, ը) 7 56

։

926. ա) 6 24

, բ) 7 14

, գ) 3 12

, դ) 9 5,

ե) 3 25

, զ) 12 75

, է) 17 200

, ը) 123 20

։

ANTARES

5.2.* ԱՆՎԵՐՋ ՊԱՐԲԵՐԱԿԱՆ ՏԱՍՆՈՐԴԱԿԱՆ ԿՈՏՈՐԱԿՆԵՐ 177

927. ա) 783 40

, բ) 324 25

, գ) 625 125

, դ) 860 400

,

ե) 33 60

, զ) 1024 256

, է) 804 400

, ը) 624 120

։

928. Տրված սովորական կոտորակը կարելի՞ է բերել վերջավոր տասնոր-դա կան կոտորակի տեսքի (պատասխանը հիմնավորե՛ք):

ա) 1 7, բ) 6

48, գ) 7

352, դ) 12

56,

ե) 120 38

, զ) 12 96

, է) 21 75

, ը) 7 300

։

5.2.* անվերջ Պարբերական տասնորԴական կոտորակներ

Նախորդ կետի շարադրանքից հետևում է, որ եթե անկրճատելի ab

կո տո րակի հայտարարը 2ից և 5ից տարբեր պարզ արտադրիչ ունի,

ապա այդ կոտորակը չի վերլուծվում վերջավոր տասնորդական կոտորակի: Ուրեմն այդ կո տո րակի համարիչը հայտարարին անկյունով բաժանելու միջո ցով չի կարող վերջավոր տասնորդական կոտորակ ստացվել:

Օրինակ 1: 7 9

թիվը վերլուծենք տասնոր-

դա կան կոտորակի: Դա անկրճատելի կոտորակ է, որի հա յ-

տա րարն ունի 2-ից ու 5-ից տարբեր՝ 3 պարզ

ար տա դրիչը: Այդ պատճառով 7 9 թիվը նա-

խա հայ տորեն չի վերլուծվի վերջավոր տաս-նոր դա կան կոտորակի: Այնուամենայնիվ, այդ կո տո րակի համարիչն անկյունով բաժանենք հայ տա րա րին (նկար 78 ա, այդ բաժանման մի այլ գրում ցույց է տրված նկար 78 բ-ում):

Բաժանման յուրաքանչյուր փուլում ստաց-վում է միևնույն 7 մնացորդը, իսկ քանորդում` միև նույն 7 թվանշանը: Այդ գործընթացը ան-վերջ է (վերջ չունի): Այն հանգեցնում է 0,777... ար տա հայ տությանը, որտեղ դրված կետերը նշա նա կում են, որ 7 թվանշանը կրկնվում է ան վերջ անգամ:

0,777... արտահայտությունն անվանում են ան վերջ պարբերական տասնոր դական կո տո րակ կամ պարզապես՝ պարբերական կոտո րակ:

Նկար 78

ANTARES


Այն գրառում են նաև 0,(7) ձևով և կարդում են՝ «զրո ամբողջ, 7-ը պար-բե րու թյան մեջ»: 7 թիվն անվանում են 0,(7) կոտորակի պարբերություն:

Ասում են, որ 7 9-ը գրառված է 0,(7) պարբերական կոտորակի տեսքով

կամ որ 0,(7)-ը 7 9 թվի տասնորդական վերլուծությունն է: Գրում են՝

7 9

= 0,777... = 0,(7)

Պետք է նկատի ունենալ, որ 7 9-ը և 0,(7)-ը միևնույն թվի տարբեր

գրելաձևերն են` 7 9 սովորական կոտորակի տեսքով և 0,(7) անվերջ

պարբերական տասնորդական կոտորակի տեսքով:

Օրինակ 2: 2 99

թիվը վերլուծենք տասնորդական կոտորակի:

2 99

կոտորակն անկրճատելի է, և նրա հայտարարը 2-ից ու 5-ից տարբեր պարզ բաժանարար ունի: Այդ պատճառով այն չի կարող վերլուծվել վերջավոր տասնորդական կոտորակի: Այդ կոտորակի համարիչն անկյունով բաժանենք նրա հայտարարին.

2,00001, 98

200

2...

1 98

−

−

990,0202...

Համարիչը հայտարարին անկյունով բաժանելու գործընթացն այստեղ անվերջ է, այն հանգեցնում է 0,0202... պարբերական կոտորակին: Թվանշանների (02) խումբը 0,0202... կոտորակի պարբերությունն է: Այս պարբերական կոտորակը գրում են այսպես` 0,(02) և կարդում են` «զրո ամբողջ, զրո երկուսը պարբերության մեջ»:

Ասում են, որ 2 99

-ը գրված է 0,(02) պարբերական կոտորակի տեսքով

կամ որ 0,(02) պարբերական կոտորակը 2 99

թվի տասնորդական վեր լու-

ծու թյունն է: Գրում են.

2 99

= 0,0202... = 0,(02):

Օրինակ 3: 143 45

թիվը վերլուծենք տասնորդական կոտորակի:143 45

կոտորակի համարիչն անկյունով բաժանելով նրա հայտարարին`

կստանանք143 45

= 3,1777... = 3,1(7):

ANTARES

5.2.* ԱՆՎԵՐՋ ՊԱՐԲԵՐԱԿԱՆ ՏԱՍՆՈՐԴԱԿԱՆ ԿՈՏՈՐԱԿՆԵՐ 179

Այս հավասարության աջ մասը կարդացվում է հետևյալ կերպ` «երեք ամբողջ մեկ տասնորդական և յոթը պարբերության մեջ»:

Ընդհանրապես, եթե դրական անկրճատելի կոտորակի համարիչն անկյու նով բաժանենք նրա հայտարարին, ապա քանորդում կստաց վի այդ կոտորակի տասնորդական վերլուծությունը` վերջավոր տաս նոր-դա կան կոտորակի կամ պարբերական կոտորակի տեսքով:

Դրական պարբերական կոտորակի առջև «–» նշան դնելով կստա-

նանք բացասական պարբերական կոտորակ: Օրինակ` − 0,(7) = − 7 9: − 0,(7)

պար բերական կոտորակը կլինի − 7 9 թվի տասնորդական վեր լու ծու թյու-

նը:Վերջավոր տասնորդական կոտորակին աջից անվերջ թվով 0-ներ

կցագրելով կամ ամբողջ թվին աջից ստորակետ ու ապա անվերջ թվով 0-ներ կցագրելով ստանում ենք (0) պարբերությամբ անվերջ տասնորդական կոտորակ, որը համարվում է սկզբնական թվի գրառումը պարբերական կոտորակի տեսքով:

Օրինակ` 27 = 27,000... = 27,(0),0,354 = 0,354000... = 0,354 (0),− 3,1 = − 3,1000... = − 3,1 (0),0 = 0,000... = 0,(0):

Հետևապես` ցանկացած ամբողջ թիվ և ցանկացած վերջավոր տաս-նորդական կոտորակ կարելի է համարել (0) պարբերությամբ պար բե-րա կան կոտորակ:

Եվ այսպես` ցանկացած ab ռացիոնալ թիվ վերլուծվում է պար բե

րա կան կոտորակի: Կարելի է նաև ցույց տալ, որ ցանկացած պար բերական կոտորակ ինչոր ռացիոնալ թվի տասնորդական վերլու ծությունն է:

929. Անկրճատելի սովորական կոտորակը ո՞ր դեպքում չի վերլուծվում վերջավոր տասնորդական կոտորակի:

930. Ո՞ր եղանակով է կարելի ցանկացած սովորական կոտորակը վեր-լու ծել տասնորդականի:

931. Ինչպիսի՞ տասնորդական կոտորակներ կարող ենք ստանալ սո վո-րա կան կոտորակի համարիչը նրա հայտարարին անկյունով բա-ժան ման արդյունքում:

932. Ինչպե՞ս իմանալ, թե սովորական կոտորակն ինչ տասնորդական կոտորակի կվերլուծվի` վերջավոր թե անվերջ: Բերե՛ք հա մա պա-տաս խան օրինակներ:

ANTARES


933. Վերջավոր տասնորդական կոտորակը կամ ամբողջ թիվը ինչ պե՞ս է կարելի գրել պարբերական կոտորակի տեսքով: Բերե՛ք օրի նակ-ներ:

934. Տրված թիվը գրառե՛ք պարբերական կոտորակի տեսքով, նշե՛ք պար բե րու թյունը:

ա) 1 3, բ) 2

9, գ) 12

5,

դ) 12, ե) 24 30

, զ) 36 48

,

է) 4 7, ը) 45

63, թ) 1

6,

ժ) 2 6, ի) 3

6, լ) 4

6,

խ) 20 41

, ծ) 15 37

, կ) 5 21

։

935. Տրված սովորական կոտորակը վերլուծե՛ք պարբերականի` հա մա-րիչը հայտարարին անկյունով բաժանելու եղանակով.

ա) 1 9, բ) 2

9, գ) 3

9, դ) 3

9։

936. Սովորական կոտորակը վերլուծե՛ք պարբերականի.

ա) 5 9, բ) 6

9, գ) 7

9, դ) 8

9։

937. Սովորական կոտորակը վերլուծե՛ք պարբերականի և նշե՛ք նրա պար բե րու թյունը.

ա) 12 99

, բ) 23 99

, գ) 34 99

, դ) 45 99

։

938. Սովորական կոտորակը վերլուծե՛ք պարբերականի.

ա) 56 99

, բ) 67 99

, գ) 78 99

, դ) 89 99

։

939. Օգտվելով նախորդ առաջադրանքներից` պարբերական կոտորակը գրառե՛ք սովորական կոտորակի տեսքով.ա) 0,(1) բ) 0,(3) գ) 0,(5) դ) 0,(7)ե) 0,(25) զ) 0,(37) է) 0,(10) ը) 0,(05):

5.3.* ոՉ Պարբերական անվերջ տասնորԴական կոտորակներ

Դիտարկենք0,10110111011110...

ANTARES

5.3.* ՈՉ ՊԱՐԲԵՐԱԿԱՆ ԱՆՎԵՐՋ ՏԱՍՆՈՐԴԱԿԱՆ ԿՈՏՈՐԱԿՆԵՐ 181

դրական անվերջ տասնորդական կոտորակը, որում ստորակետից հետո գրված են` 1 և 0, երկու հատ 1 և 0, երեք հատ 1 և 0 ու այդպես շա րու նակ` միմ յանց հաջորդող ամեն երկու 0-ների արանքում ներառելով մե կով ավե լի 1-եր, քան` նախորդ արանքում: Թվանշանների ոչ մի խումբ այս կո տո րակի համար չի կարող լինել պարբերություն: Այս կոտորակը ոչ պար բե րական է և հետևապես չի կարող լինել որևիցե ռացիոնալ թվի տաս նոր դական վերլուծությունը:

Ահա դրական ոչ պարբերական անվերջ տասնորդական կոտո րա կ-նե րի ևս երկու օրինակ.

0,01001000100001... , 17,123456789101112... :Առաջին կոտորակում ստորակետից հետո գրված է` 0 և 1, երկու հատ

0 և 1, երեք հատ 0 և 1 ու այդպես շարունակ: Երկրորդում` ստորակետից հետո աճման կարգով գրված են բոլոր բնական թվերը:

Դրական կոտորակի առջև «–» նշան դնելով ստանում ենք բացասական կոտորակ: Օրինակ`

– 0,01001000100001... , − 17,123456789101112...կոտորակները բացասական անվերջ ոչ պարբերական տասնորդական

կոտորակներ են:Անվերջ տասնորդական կոտորակներն անվանում են թվեր:

Թիվը, որ կարելի է ոչ պարբերական անվերջ տասնորդական կոտորակի տեսքով, անվանում են իռացիոնալ (ոչ ռացիոնալ) թիվ:

Եթե իռացիոնալ թիվը նշանակվում է տառով, օրինակ`a = 0,01001000100001... ,

ապա ասում են, որ այդ հավասարության աջ մասը a թվի տասնորդական վերլուծությունն է:

Ռացիոնալ և իռացիոնալ թվերը միասին անվանում են իրական թվեր:

Յուրաքանչյուր իրական թիվ ներկայացվում է անվերջ տասնորդական կոտորակի տեսքով: Եթե թիվը ռացիոնալ է, ապա այդ կոտորակը պարբերական է, եթե թիվն իռացիոնալ է, ապա կոտորակը ոչ պարբերական է:

940. Ո՞ր թիվն են անվանում.ա) ռացիոնալ, բ) իռացիոնալ, գ) իրական:

941. Ամե՞ն մի ռացիոնալ թիվ իրական թիվ է:

942. Գոյություն ունի՞ ռացիոնալ թիվ, որը հավասար լինի անվերջ ոչ պարբերական կոտորակի:

ANTARES


943. Ռացիոնա՞լ, թե՞ իռացիոնալ է հետևյալ թիվը.ա) 0,275 բ) 0,(2)գ) 1,32323232... դ) 1,15 (45)ե) 3,10110111011110... դ) 0,123456789101112... :

944. Գրե՛ք չորս թիվ, որոնք լինեն.ա) բնական, բ) դրական,գ) բացասական, դ) ամբողջ,ե) ռացիոնալ, զ) իռացիոնալ,է) զույգ, ը) կենտ,թ) պարզ, ժ) բաղադրյալ,ի) 3-ի բազմապատիկ, լ) 2-ի և 5-ի բազմապատիկ:

945. Գրե՛ք երկու թիվ, որոնք լինեն.ա) ռացիոնալ և բացասական,բ) ամբողջ և 5-ի բազմապատիկ,գ) ամբողջ և դրական,դ) պարզ և 30-ից մեծ,ե) բաղադրյալ և զույգ, զ) կենտ և 7-ի բազմապատիկ:

5.4.* հատվածի երկարուԹյուն

Դիտարկենք հատվածի երկարության չափման մի քանի օրինակ: Որպես միավոր հատված (երկարության միավոր) վերցնենք 1 դմ-ը (նկար 79: Այս կետում բոլոր նկարները կատարված են 1 : 2 մասշտաբով:

Նկար 79

Օրինակ 1: Նկար 80-ում պատկերված AB հատվածն ունի 2 դմ երկարություն, այսինքն՝ AB հատվածում տեղավորվում է ճիշտ 2 դմ: Գրում են՝ AB = 2 դմ:

Նկար 80

Օրինակ 2: Նկար 81-ում պատկերված AB հատվածում 2 դմ-ը ազատ տեղավորվում է, ու բացի դրանից մնում է 1 դմ-ից փոքր մի հատված: Այս դեպքում ասում են, որ AB հատվածի երկարությունը մոտավորապես 2 դմ է մինչև 1 դմ ճշտությամբ՝ պակասորդով: Գրում են՝ AB ≈ 2 դմ:

ANTARES

5.4.* ՀԱՏՎԱԾԻ ԵՐԿԱՐՈՒԹՅՈՒՆ 183

Նկար 81

Օրինակ 3: Նկար 82 -ում պատկերված AB հատվածում տեղավորվում է 2 դմ և բացի դրանից մնում է 1 դմ-ից փոքր մի հատված, որում տեղավորվում է ճիշտ 3 սմ: Այս դեպքում գրում են՝ AB = 2,3 դմ:

Նկար 82

Օրինակ 4: Նկար 83-ում պատկերված AB հատվածում տեղավորվում է 2 դմ և մնում է 1 դմ-ից փոքր հատված, որում տեղավորվում է 3 սմ և մնում է 1 սմ-ից փոքր հատված: Այս դեպքում AB հատվածի երկարությունը մոտավորապես 2,3 դմ է մինչև 0,1 դմ ճշտությամբ՝ պակասորդով: Գրում են՝ AB ≈ 2,3 դմ:

Նկար 83

Օրինակ 5: Եթե օրինակ 4-ում՝ վերջում մնացած 1 սմ-ից փոքր հատվածում տեղավորվում է ճիշտ 4 մմ, ապա գրում են՝ AB = 2,34 դմ:

Օրինակ 6: Եթե օրինակ 4-ում` վերջում մնացած 1 սմ-ից փոքր հատվածում 4 մմ տեղավորելուց հետո մնում է ևս 1 մմ-ից փոքր հատված, ապա ասում են, որ AB հատվածի երկարությունը մոտավորապես 2,34 դմ է մինչև 0,01 դմ ճշտությամբ՝ պակասորդով: Գրում են՝ AB ≈ 2,34 դմ:

1-6 օրինակներում նկարագրված եղանակով հատվածների երկա-րու թյուն ները կարելի է չափել նաև երկարության ցանկացած այլ միա-վորով. 1 սմ, 1 մ, 1 կմ, ... :

Օրինակ 7: Եթե երկարության տրված միավորով AB հատվածի երկա-րության չափման արդյունքում ստացվել է 0,2305, ապա դա նշանակում է, որ այդ եր կարությունը փոքր է միավոր հատվածի (երկարության միա վորի) երկարությունից, AB հատվածում տեղավորվում է 0,2 միավոր, մնացած հատվածում տեղավորվում է 0,03 միավոր և մնում է մի հատված, որում տեղավորվում է ճիշտ 0,0005 միավոր:

ANTARES


Եթե ընտրված միավորով տրված AB հատվածի երկարության չափման ընթացքում նրա տասնորդական, հարյուրերորդական, հազարերորդական և այլն բաժիններն ստանալուց հետո դեռևս ավելորդ հատված է մնում, ապա AB հատվածի երկարությունը վերջավոր տասնորդական կոտորակով միայն մոտավորապես կարտահայտվի: Իսկ ճշգրիտ՝ AB հատվածի երկարությունն այս դեպքում կարտահայտվի անվերջ տասնորդական կոտորակով`

AB = a0,a1a2a3a4a5a6 ... :Այստեղ a0-ն AB-ի մոտավոր երկարությունն է մինչև 1 միավոր ճշտու-

թյամբ՝ պակասորդով: a0,a1-ն AB-ի մոտավոր երկարությունն է մինչև 0,1 ճշտությամբ՝ պակասորդով: a0,a1a2-ն AB-ի մոտավոր եր կա րու թյունն է մինչև 0,01 ճշտությամբ՝ պակասորդով:

Օրինակ 8: Եթե AB = 3,(07) = 3,070707 ... , ապա AB հատվածի մոտավոր երկարությունը հավասար է.

3 մինչև 1 ճշտությամբ՝ պակասորդով, 3,0 մինչև 0,1 ճշտությամբ՝ պակասորդով, 3,07 մինչև 0,01 ճշտությամբ՝ պակասորդով, 3,070 մինչև 0,001 ճշտությամբ՝ պակասորդով և այդպես շարունակ:Քանի որ

3,(07) = 3 7 99

ապա 3,(07) թիվն այն հատվածի երկարությունն է, որում տեղավորվում

է 3 միավոր (3 միավոր հատված) և ևս 7 99

միավոր:

Սակայն, սովորական չափիչ սարքերը հարմարեցված են հաշվարկի տասական համակարգին՝ երկարության միավորը բաժանվում է 10, 100, 1000, ...հավասար մասերի: Դրա համար էլ տրված երկարության հատվածը, օրինակ, քանոնի միջոցով գծելու համար օգտվում են նրա՝ տասնորդական կոտորակով արտահայտված մոտավոր երկարությունից: Այսպես, օրինակ 8-ի դեպքում կարելի էր վերցնել AB ≈ 3,07:

Դիտողություն. Ավելի վաղ արդեն մտցվել էր հատվածի երկա-րու թյան գաղափարը, բայց միայն այն դեպքում, երբ այդ երկարությունն արտա հայտ վում է ռացիոնալ թվով: Այս կետում տրվեց կամայական հատ վածի երկարության գաղափարը. այդ երկարությունը կարող է ար-տա հայտ վել ինչպես ռացիոնալ, այնպես էլ՝ իռացիոնալ թվով: Ամփո-փե լով արդյունքները, կարելի է ասել, որ կամայական AB հատված ունի երկա րու թյուն՝ արտահայտված որևէ դրական a թվով: Ճշմարիտ է նաև հակառակ պնդումը. յուրաքանչյուր a դրական թվի համար կարելի է նշել AB հատված, որի երկարությունը a է:

ANTARES

5.4.* ՀԱՏՎԱԾԻ ԵՐԿԱՐՈՒԹՅՈՒՆ 185

946. Նկար 84-ում պատկերված են BC, AD, KP հատվածները: Աչքա չա-փով որոշե՛ք յուրաքանչյուր հատվածի երկարությունը սան տի-մետ րե րով: Քանոնի օգնությամբ ստուգե՛ք ձեր աչքաչափը:

Նկար 84

947. Տետրում գծե՛ք երեք կամայական հատված և կատարե՛ք նախորդ առաջադրանքի պահանջները:

948. Տետրում գծե՛ք 3,5 սմ, 5 սմ և 6,5 սմ երկարություններով երեք հատ-ված: Յուրաքանչյուր հատվածն աչքաչափով բաժանե՛ք երեք հա-վա սար մասերի: Քանոնի օգնությամբ ստուգե՛ք ձեր աչքաչափը:

949. Կառուցե՛ք 8,5 սմ երկարությամբ հատված: Աչքաչափով տրոհե՛ք այդ հատվածը 5 հավասար մասի, 6 հավասար մասի:

950. Նկար 85-ում պատկերված են AB և CD հատվածները: Որպես չափ-ման միավոր ընդունելով CD հատվածը՝ աչքաչափով մինչև 1 ճշտու թյամբ պակասորդով որոշե՛ք AB հատվածի երկարությունը: Ստու գե՛ք ձեր աչքաչափը կարկինի օգնությամբ:

Նկար 85

951. AB հատվածի երկարությունն արտահայտվում է 5,375 թվով: Գրե՛ք AB հատվածի մոտավոր երկարությունը պակասորդով մինչև 1, մինչև 0,1, մինչև 0,01 ճշտությամբ:

952. AB հատվածի երկարությունը հավասար է.

ա) 3 1 8, բ) 2 5

16, գ) 3 61

99, դ) 4 14

27։

AB հատվածի երկարությունն արտահայտե՛ք տասնորդական կոտո-րա կով մինչև 1, մինչև 0,1, մինչև 0,01 ճշտությամբ՝ պակասորդով:

953. AB հատվածի երկարությունը 3 19 99

, է: Պակասորդով արտահայտեք այդ երկարությունը տասնորդական կոտորակով նշված ճշտու-թյամբ. ա) 0,1, բ) 0,01, գ) 0,001, դ) 0,0001:

ANTARES


5.5.* կոորԴինատային աՌանցՔ

Կոորդինատային առանցքի կետերով կարելի է պատկերել ոչ միայն ռացիոնալ, այլև իրական թվերը:

Ուղիղը, որի վրա րնտրված է սկզբնակետ, դրական ուղղություն և միավոր հատված, կոչվում է կոորդինատային ուղիղ:

Նկար 86-ում կոորդինատային ուղիղը նկարված է հորիզոնական՝ Օ սկզբնակետից դեպի աջ գնացող դրական ուղղությունով: Իսկ, ընդհանրապես ասած, կոորդինատային առանքը կարող է ուղղված լինել ուղղաձիգ կամ մեկ այլ ուղղությամբ, և դրական ուղղությունն էլ կարող է ընտրված լինել այնպես, ինչպես դա հարմար կթվա:

Նկար 86

Կոորդինատային առանցքն Օ սկզբնակետով բաժանվում է երկու ճառագայթների: Օ կետից դրական ուղղությամբ գնացողը կոչվում է դրական կիսաառանցք (ճառագայթ), մյուսը՝ բացասական:

Կոորդինատային առանցքի յուրաքանչյուր կետի համա պա տաս խա-նու թյան մեջ դնենք x իրական թիվ՝ հետևյալ կանոնով.

Օ սկզբնակետին համապատասխանեցնենք զրո թիվը: Դրական ճա-ռա գայթի A կետին համապատասխանեցնենք այն x թիվը, որը հավասար է ՕA հատվածի երկարությանը՝ x = OA: Բացասական ճառագայթի վրա գտնվող A կետին համապատասխանեցնենք այն x բացասական թիվը, որը հավասար է OA հատվածի երկարությանը, վերցրած «–» նշանով՝ x = − OA:

Այս ձևով որոշված կոորդինատային առանցքն անվանում են x-երի կոորդինատային առանցք, կամ կարճ՝ x-երի առանցք:

Կոորդինատային առանցքի կամայական A կետին նշված կանոնով համապատասխանեցրած թիվն անվանում են այդ A կետի կոորդինատ: Գրում են՝ A (x):

Այս անվանումներում x տառը կարող է փոխարինվել ցանկացած ուրիշ տառով, օրինակ, y, z, t, ... , տառերից յուրաքանչյուրով, և այդ ժամանակ կխոսվի y-ների, z-երի և այլ առանցքների մասին:

Նկարագրված կանոնի համաձայն. 1. x-երի առանցքի յուրաքանչյուր կետի իրական թիվ է հա մա պա-

տաս խա նում՝ այդ կետի կոորդինատը:2. x-երի առանցքի A և B տարբեր կետերն ունեն x1 և x2 տարբեր կոոր-

դինատներ:

ANTARES

5.5.* ԿՈՈՐԴԻՆԱՏԱՅԻՆ ԱՌԱՆՑՔ 187

3. Յուրաքանչյուր իրական թիվ x-երի առանցքի ինչ-որ կետի կոոր-դինատ է:

Այլ կերպ ասած, x-երի առանցքի կետերի և իրական թվերի միջև փոխմիարժեք համապատասխանություն է ստեղծված:

Կարճության համար x կոորդինատ ունեցող կետն անվանում են xկետ:

Դիտողություն: Ավելի վաղ մենք մտցրել ենք կոորդինատային առանցքի գաղափարը (տե՛ս 3.8.): Այնտեղ միայն դիտարկել էինք ռացիոնալ կետերը, այսինքն ռացիոնալ կոորդինատ ունեցող կետերը, և առանցքն այնտեղ «անցքերով» էր՝ առանց իռացիոնալ կետերի: Այս կետում կոորդինատային առանցքի կամայական կետի x կոորդինատը, ընդհանրապես ասած, իրական թիվ է, այսինքն՝ այն կարող է լինել ռացիոնալ կամ իռացիոնալ: Հենց այդ հարցն էլ պարզաբանվեց 5.4.-ում հատվածի երկարության ընդհանուր գաղափարի հենքի վրա: Այժմ կոորդինատային ուղիղը «անցքեր» չունի, նրա յուրաքանչյուր կետի իրական թիվ է համապատասխանում:

954. Ի՞նչ է կոորդինատային առանցքը:

955. Ի՞նչն են անվանում կոորդինատային առանցքի կետի կոորդինատ:

956. Կոորդինատային առանցքի ո՞ր կետերն են անվանում.ա) ռացիոնալ, բ) իռացիոնալ:

957. Ինչպե՞ս պետք է հասկանալ «կոորդինատային առանցքի բոլոր կե-տե րի բազմությունը փոխմիարժեք համապատասխանության մեջ է բոլոր իրական թվերի բազմության հետ» պնդումը:

958. Կոորդինատային առանցքը նախ տեղադրե՛ք հորիզոնական, ապա ուղղա ձիգ ուղղությամբ: Յուրաքանչյուր դեպքում նրա վրա նշեք հետևյալ կետերը. ա) 2, 3, 4, 5, բ) − 1, − 2, − 3, − 4:

959. Կոորդինատային առանցքի վրա նշե՛ք կետերը. ա) 0, 1, − 1, 2, − 2, 3, − 3, 4, − 4, 5, − 5բ) 0, 1, − 2, 3, − 4, 5, − 6, 7, − 8, 9, − 10:

960. Վանդակավոր տետրում գծե՛ք 5 սմ միավոր հատվածով կոոր դի նա-տային առանցք: Ցույց տվե՛ք այդ առանցքի վրա հետևյալ կետերը. ա) 0,1, 0,2, 0,3, 0,4, 0,5, 0,6 , 0,7 , 0,8 , 0,9 բ) − 0,1, − 0,2, − 0,3, − 0,4, − 0,5, − 0,6, − 0,7, − 0,8 , − 0,9:

ANTARES


961. Ընտրելով հարմար միավոր հատված և սկզբնակետի հարմար դիրք՝ գծե՛ք կոորդինատային առանցք և հետևյալ թվերը նշե՛ք նրա վրա.

ա) 1 4, − 1

4,

1 2, − 1

2,

3 4,

4 4,

5 4,

6 4,

7 4, − 3

4,

բ) 1 5, − 1

5,

2 5, −2

5,

3 5, − 3

5, −5

4, - 1, − 1

1 5, 1 2

5,

գ) − 1 3,

1 3,

2 3,

4 3,

5 3, 2,

7 3,

8 3, 3,

10 3

, 11 3

, 4,

դ) 0,5, − 0,5, − 1, 1,5, − 1,5, − 2, − 2,5, − 3, − 3,5:

962. x-երի առանցքի վրա ցույց տվեք այն թվերը, որոնք. ա) 3-ից մեծ են, բ) – 2-ից փոքր են, գ) 1,5-ից մեծ են,դ) 7,2-ից փոքր են, ե) 4-ից մեծ են, զ) – 3-ից փոքր են,է) – 1-ից մեծ, բայց 0-ից փոքր են, ը) – 2-ից մեծ, բայց 5-ից փոքր են, թ) 0-ից մեծ, բայց 2-ից փոքր են:

5.6.* Դեկարտյան կոորԴինատային համակարԳը հարԹուԹյան վրա

Կոորդինատային հարթության գաղափարը մտցվել է դեռևս 2.13.-ում: Այնտեղ ամբողջ թվերի կամայական (a; b) թվազույգի հա մա պա տաս-խանեցրել ենք կոորդինատային հարթության մեկ որո շա կի կետ:

Հարթության վրա վերցնենք երկու կոոր-դի նա տային առանցք՝ ասենք x-երի և y-ների, որոն ցից յուրաքանչյուրի վրա փոխմիարժեք հա մապատասխանություն է ստեղծած առանց-քի բոլոր կետերի և բոլոր իրական թվերի բազ մությունների միջև, ինչպես 5.5.-ում: Այդ առանցք ները միմյանց նկատմամբ տեղա-դրենք ուղիղ անկյան տակ այնպես, որ նրանք ունե նան նույն Օ սկզբնակետը: Առանցքների միա վոր հատվ ածները վերցնենք միմյանց հա-վա սար:

Ասում են, որ դրանով հարթության վրա որոշ վում է xOy ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգ: Այն ան-վանում են նաև դեկարտյան կոորդինատային համակարգ՝ ի պատիվ ֆրանսիացի մաթեմատիկոս և փիլիսոփա Ռենե Դեկարտի (1596-1650), որն առաջինն է լայնորեն օգտագործել այդ կարևոր հասկացությունը:

ANTARES

5.6.* ԴԵԿԱՐՏՅԱՆ ԿՈՈՐԴԻՆԱՏԱՅԻՆ ՀԱՄԱԿԱՐԳԸ ՀԱՐԹՈՒԹՅԱՆ ՎՐԱ 189

Սովորաբար աբսցիսների (x-երի) առանցքը տեղադրում են հորի զո-նական՝ դեպի աջ ուղղված դրական ուղղությունով, իսկ օրդինատներինը՝ ուղղաձիգ՝ դեպի վեր ուղղված դրական ուղղությունով (նկար 87):


Վերցնենք կոորդինատային հարթության կամայական A կետ: Ենթա-դրենք այդ կետից աբսցիսների և օրդինատների առանցքներին ուղղա-հայաց տարված ուղղիները հատում են այդ առանցքները համա պա-տաս խանաբար A1(x) և A2(y) կետերում (նկար 88): A1 կետի x կոորդինատը ան վա նում են A կետի աբսցիս, իսկ A2 կետի y կոորդինատը՝ A կետի օրդի նատ: A կետի x աբսցիսն ու y օրդինատն անվանում են A կետի կոոր դինատներ. գրում են A (x; y), ընդ որում, առաջին տեղում գրվում է աբս ցիսը, իսկ երկրորդ տեղում՝ օրդինատը:

Օրինակ՝ նկար 89-ում պատկերված A կետն ունի x = 4 աբսցիսն ու y = 3 օրդինատը, դրա համար էլ գրում են A (4; 3):

Նկար 89

xOy ուղղանկյուն կոորդինատային հա-մա կարգը հարթությունը տրոհում է չորս անկյունների, որոնք կոչվում են կոոր դի-նատային անկյուններ կամ կոոր դի-նատային քառորդներ: Դրանք նշա նակ-վում են հռոմեական թվա նշան ներով՝ I, II, III, IV (նկար 89):

Եթե բացառենք կոորդինատային առանցքների վրա գտնվող կետերը, ապա կարելի է ասել, որ քառորդների (x; y) կետերը որոշվում են նշված պայմաններով.

ա) I քառորդ, x > 0, y > 0

ANTARES


բ) II քառորդ, x < 0, y > 0գ) III քառորդ, x < 0, y < 0դ) IV քառորդ, x > 0, y < 0:Հեշտ է տեսնել, որ կոորդինատային հարթության կետի աբսցիսը զրո

է այն և միայն այն դեպքում, երբ կետը գտնվում է y-ների առանցքի վրա: Նման ձևով` կետի օրդինատը զրո է այն և միայն այն դեպքում, երբ կետը գտնվում է x-երի առանցքի վրա:

Օրինակ՝ նկար 88-ում A2 կետը գտնվում է y-ների առանցքի վրա և ունի x = 0 աբսցիս, A1 կետը x-երի առանցքի վրա է և ունի y = 0 օրդինատ, իսկ Օ կետը երկու առանցքի վրա էլ գտնվում է և ունի x = 0 աբսցիս և y = 0 օրդինատ՝ Օ (0; 0):

Կարևոր է նշել, որ եթե հարթության վրա տրված է կոորդինատների ուղղ ան կյուն համակարգ, ապա հարթության յուրաքանչյուր կետի հա մա պատասխանում է իրական թվերի (x; y) թվազույգ՝ A կետի կոորդինատների զույգը: Միաժամանակ իրական թվերի կամայական (x; y) թվազույգ հարթության մի ինչ-որ կետի կոորդինատների զույգն է:

Պետք է նկատի ունենալ նաև, որ եթե զույգը բաղկացած է տար բեր թվերից, ապա փոխելով այդ թվերի տեղերը, կստանանք այլ թվա զույգ, որը կորոշի հարթության այլ կետ: Այդ պատճառով A կետի կոոր դի-նատ ների (x; y) զույգն անվանում են կարգավորված զույգ:

Այսպիսով, եթե հարթության վրա տրված է կոորդինատների xOy ուղղան կյուն համակարգ, ապա.

1) հարթության կամայական կետի համապատասխանության մեջ է դրված թվերի կարգավորված զույգ (կետի կոորդինատները),

2) հարթության տարբեր կետերին համապատասխանում են տարբեր կարգավորված զույգեր,

3) թվերի յուրաքանչյուր կարգավորված զույգ հարթության ինչ-որ (համաձայն 2)-ի՝ միակ) կետին համապատասխանող կարգավորված թվազույգն է:

Այլ կերպ ասած, հարթության կետերի և կարգավորված թվազույգերի միջև ստեղծված է փոխմիարժեք համապատասխանություն:

Դիտողություն: (x; y) թվազույգերը, եթե x-ն ու y-ը ռացիոնալ են, անվանում են կոորդինատային հարթության ռացիոնալ կետեր:

Միայն ռացիոնալ կետերով հարթությունը չի սպառվում, չէ որ հարթության մեջ իռացիոնալ կոորդինատ ունեցող կետեր էլ կան:

963. Նկար 90-ում պատկերված են A (2; 3), B (0; 4), C (3; 0), D (– 4; – 2) կետերը: Նշե՛ք յուրաքանչյուր կետի աբս ցիսն ու օրդինատը: Գրե՛ք M, N, K, L կետերի կոորդինատները: Ո՞ր կոոր դինա տային

ANTARES

5.6.* ԴԵԿԱՐՏՅԱՆ ԿՈՈՐԴԻՆԱՏԱՅԻՆ ՀԱՄԱԿԱՐԳԸ ՀԱՐԹՈՒԹՅԱՆ ՎՐԱ 191

անկյուններում են գտնվում A, D, L, K կետերը:

964. Ի՞նչ հատկությամբ են օժտված տր ված քառորդի կետերը. ա) I, բ) II, գ) III, դ) IV:

965. Կոորդինատային ո՞ր քառորդ նե-րում են գտնվում դրական աբս ցիս ունե ցող կետերը:

966. Կոորդինատային ո՞ր քառորդ նե-րում են գտնվում դրական օր դի-նատ ունեցող կետերը:

967. Ինչպե՞ս պետք է հասկանալ «կոոր դինատային հարթության կետերի և իրական թվերի կար գա-վոր ված զույգերի միջև ստեղծված է փոխմիարժեք հա մա պա տաս-խանություն» պնդումը:

968. Կոորդինատային համակարգում կառուցե՛ք (2; 1), (2; 5), (6; 5), (5; 4), (6; 3), (2; 3) կետերը: Հատվածներով միացրե՛ք առաջին կետը երկրորդի հետ, երկրորդը՝ երրորդի, երրորդը՝ չորրորդի և այլն: Ի՞նչ պատկեր ստացվեց:

969. Կոորդինատային համակարգի տրված կետերը միացնելով ինչպես նախորդ խնդրում՝ կառուցե՛ք համապատասխան պատկերը. ա) (0; 4), (– 2; – 2), (3; 2), (– 3; 2), (2; – 2), (0; 4)բ) (2; 3), (– 2; 3), (– 2; 5), (3; 5), (5; 3), (2; 3), (2; – 5), (0; − 5), (0; 3)գ) (0; − 4), (0; 0), (3; 3), (6; 0), (6; – 4), (0; – 4), (6; 0), (0; 0), (6; – 4):

970. Հետևյալ կետերով կառուցե՛ք կենդանու պատկեր. (4; − 3), (2; − 3), (2; − 2), (4; − 2), (4; − 1), (3; 1), (2; 1), (1; 2), (0; 0), (– 3; 2), (– 4; 5), (0; 8), (2; 7), (6; 7), (8; 8), (10; 6), (10; 2), (7; 0), (6; 2), (6; − 2), (5; − 3), (4; − 3), (4; − 5), (3; − 9), (0; − 8), (1; − 5), (1; − 4), (0; − 4), (0; − 9), (– 3; − 9), (– 3; − 3), (– 7; − 3), (–7; − 7), (– 8; − 7), (– 8; − 8), (– 11; − 8), (– 10; − 4), (– 11; − 1), (– 14; − 3), (– 12; − 1), (– 11; 2), (– 8; 4), (– 4; 5):Առանձին կառուցե՛ք (2; 4) և (6; 4) կետերը՝ դրանք կենդանու աչքերն են:

971. Տրված են A (– 3; 4), B (2; − 1), C (– 2; 0), D (4; 3) կետերը: Գտե՛ք AB և CD հատվածների հատման կետի կոորդինատները:

972. Տրված են A (– 1; 1), B (1; 2), C (– 3; 0), D (2; 1) կետերը: Գտե՛ք AB և CD ուղիղների հատման կետի կոորդինատները:

Նկար 90

ANTARES


5.7. սյունակային ԴիաԳրամներ եվ ԳրաՖիկներ

Սյունակային դիագրամներին ծանոթ ենք դեռևս 1.8.-ից: Քանի որ այն ժամանակ մենք դեռ չէինք ուսումնասիրել բացասական թվերը, ապա նորից ենք անդրադառնում սյունակային դիագրամներին:

Տարբեր մեծությունների միջև առկա կախվածության ուսումնա սիր-ման համար հաճախ են օգտագործվում դիագրամները: Նրանց միջոցով մե ծու թյունների կախվածությունն ավելի ակնառու է դառնում:

Դիցուք 6-րդ դասարանում մաթեմատիկայի ստուգողական աշ խա-տանք ների արդյունքներն ամփոփված են հետևյալ աղյուսակով:

Գնահատականը «5» «4» «3» «2»

Աշակերտների քանակը 3 8 11 2

«5» ստացած, «4» ստացած, «3» ստացած, «2» ստացած աշակերտների քանակ ները պատկերենք համապատասխանաբար 3, 8, 11, 2 միավոր բարձ րու թյուններ ունեցող սյունակներով (նկար 91): Կստանանք ստու-գո ղական աշխատանքների արդյունքները լուսաբանող դիագրամ:

Դիագրամի միջոցով կարելի է ակնառու ձևով ցուցադրել մի մեծության փոփոխությունը՝ կախված մյուս մեծության փոփոխությունից:

Ենթադրենք մի ծաղկաբույսի երկարության չափման արդյունքները (յուրա քանչյուր շաբաթվա վերջում) տրվում են հետևյալ աղյուսակով.

Ժամանակը, շաբաթներով 1 2 3 4 5

Ծաղիկի երկարությունը, սմ-ներով 1 3 5 6 7


ANTARES

5.7. ՍՅՈՒՆԱԿԱՅԻՆ ԴԻԱԳՐԱՄՆԵՐ ԵՎ ԳՐԱՖԻԿՆԵՐ 193

Ծաղկի երկարության փոփոխությունը ցուցադրված է սյունա կային դիագրամով (նկար 92): Սյունակները կարելի է փո խա րինել հատ ված-ներով (նկար 93): Եթե ծաղկի երկարության չա փում ներն ավելի հաճախ արվեին, ապա կոորդինատային հարթու թյու նում կա ռուցած կետերը (հատվածների վերին ծայրակետերը) բավա կա նա չափ շատ կլինեին և գրեթե կվերածվեին կորի՝ ծաղկի աճի գրաֆիկին (նկար 94):


Հաջորդ աղյուսակում ցույց է տրված օդի ջերմաստիճանի փո փո խու-թյունը մեկ օրվա ընթացքում:

ժամանակը (t), ժամերով 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24

Ջերմաստիճանը (T), ºC -1 0 1 2 3 5 7 6 4 3 0 -2 -3

tOT կոորդինատային համակարգում նշված են (t; T) կետերը, ապա նրանք միացված են: Ստացվել է չընդհատվող գիծ՝ օրվա ըն թաց քում օդի ջերմաստիճանի փոփոխության գրաֆիկը (նկար 95):

Նկար 95

ANTARES


Գրաֆիկից օգտվելով կարելի է օրվա ցանկացած t պահին որո շել ջերմաստիճանի մոտավոր արժեքը: Օրինակ՝ t = 11 դեպքում դա անե լու համար բավական է t-երի առանցքի t = 11 կետում այդ առանցքին տանել ուղղահայաց մինչև գրաֆիկի հետ հատվելը և հաշվել գրաֆիկի այդ կետին համապատասխանող T արժեքը: Կստանանք T ≈ 6,5ºC:

Ջերմաստիճանի փոփոխության գրաֆիկի ստանալու համար օդերևու թաբանական կայաններում հաճախ օգտվում են մի սարքից, որը կոչ վում է թերմոգրաֆ: Թերմոգրաֆը բաղկացած է ժամացույցի մե խա նիզմի միջոցով իր առանցքի շուրջը պտտվող թմբկագլանից, կորաց ված տուփից (ջերմաստիճանի փոփոխության նկատմամբ զգա-յուն) և գրող մեխանիզմից: Ջերմաստիճանի բարձրացման դեպքում տու փը ուղղվում է, իսկ նրան ամրացված գրիչը բարձրանում է վերև: Ջեր մաս տի ճանի ցածրացման ժամանակ գրիչն իջնում է: Արդյունքում թղթե շարժվող ժապավենի վրա գրիչը գծում է չընդհատվող գիծ՝ օդի ջեր մաստիճանի փոփոխության գրաֆիկը, կախված ժամանակից:

Դիտարկենք ևս մի օրինակ: Գնացքը ժամը զրոյին շարժվեց A կետից: Նրա շարժման մասին տվյալները բերված են հետևյալ աղյուսակում:

ժամանակը (t), ժամերով 0 1 2 3 4 5 6 7

Գնացքի հե ռա վո րու-թյու նը A կետից (s), կմ-երով

0 100 200 300 300 400 500 600

Համարենք, որ tОs կոորդինատային հարթությունում երկարության միավորը t-երի առանցքի վրա համապատասխանում է 1 ժամին, իսկ s-երի առանցքի վրա՝ 100 կմ-ին (նկար 96):


tOs համակարգում կառուցենք t = 1, 2, ..., 7 արժեքներին համապատասխանող (t; s) կետերը և միացնենք դրանք հատվածներով: Ստացված բեկյալը (հատվածներից բաղկացած գիծ) գնացքի շարժման

ANTARES

5.7. ՍՅՈՒՆԱԿԱՅԻՆ ԴԻԱԳՐԱՄՆԵՐ ԵՎ ԳՐԱՖԻԿՆԵՐ 195

գրաֆիկն է: Նրա միջոցով կարելի է մոտավորապես որոշել, թե որտեղ էր գտնվում գնացքը ժամանակի տարբեր պահերին. t = 0,5 ժ, 1,5 ժ, 2,5 ժ, 3,5 ժ, 4,5 ժ և այլն:

Այսպես, t = 0,5 ժ պահին գնացքը գտնվել է A կետից 50 կմ հե ռա վո-րու թյան վրա, որովհետև գրաֆիկի այն կետը, որի աբսցիսը t = 0,5 է, ունի s = 50 օրդինատը:

973. Օգտվելով նկար 97-ի սյունակային դիագրամից՝ որոշե՛ք.ա) քանի՞ աղջիկ և քանի՞ տղա կա 6ա դասարանում, բ) քանի՞ աղջիկ և քանի՞ տղա կա 6բ դասարանում, գ) քանի՞ տղա կա այդ երկու դասարաններում, դ) քանի՞ աղջիկ կա այդ երկու դասարաններում, ե) ընդամենը քանի՞ աշակերտ կա այդ երկու դասարաններում:

974. Աղյուսակում բերված են մաթեմատիկայի ստուգողական աշխա-տանք ների արդյունքները: Կառուցե՛ք այդ արդյունք ներն արտա-ցո լող սյունակային դիագրամ:

Գնահատականը «5» «4» «3» «2»

Աշակերտների քանակը 4 10 12 2

975. Նկար 98-ում պատկերված է թեյնիկում ջրի T ջերմաստիճանի (ըստ Ցելսիուսի սանդղակի) փոփոխության գրաֆիկը՝ կախված հո սան-քի միացման պահից անցած t ժամանակից: Ինչքա՞ն է եղել ջրի ջեր մաս տի ճանը հոսանքի աղբյուրին միացնելուց 3 րոպե, 5 րոպե, 7 րո պե հետո: Ո՞ր պահին են թեյնիկն անջատել: Քանի՞ րոպե է այն եռաց նել:

Նկար 98

ANTARES


976. Առավոտյան ժամը 6-ին հայր և որդի ավանից ոտքով գնացին 5 կմ հեռավորության վրա գտնվող լիճը` ձկնորսության: Որսից հետո նրանք ավան վերադարձան մեքենայով: Նկար 99-ում պատկերված է նրանց շարժման գրաֆիկը: Գրաֆիկի օգնությամբ որոշե՛ք. ա) Ժամը քանիսի՞ն ձկնորսները հասան լիճ: բ) Ի՞նչ էին անում նրանք ժամը 7-ից մինչև 8-անց 45 րոպեն:գ) Որքա՞ն ժամանակ տևեց վերադառնալը: դ) Ի՞նչ արագությամբ էին նրանք քայլում ոտքով:ե) Ի՞նչ արագությամբ էր ընթանում մեքենան:

Նկար 99

977. Նկար 100-ում բերված է օրվա ընթացքում օդի ջերմաստիճանի փոփոխության գրաֆիկը: Չափումները արվել են 2 ժամը մեկ:ա) Ի՞նչ ջերմաստիճան է եղել ժամը 4-ին, 8-ին, 12-ին, 21-ին, 23-ին:բ) Ո՞ր ժամերին է ջերմաստիճանը 0º-ից բարձր եղել:գ) Ո՞ր ժամերին է ջերմաստիճանը 0º-ից ցածր եղել:

Նկար 100

978. Նկար 101-ում պատկերված է A և B կետերից միմյանց ընդառաջ գնացող դուրս եկած հետիոտների շարժ ման գրաֆիկը:

ANTARES

5.8. ՊԱՏՄԱԿԱՆ ԱԿՆԱՐԿ 197

ա) Առաջին հետիոտնի A-ից դուրս գալուց քանի՞ ժամ հետո է երկ րորդ հետիոտնը դուրս եկել B-ից:բ) Առաջինի շարժվելուց քանի՞ ժամ հետո են նրանք հանդիպել: գ) Ի՞նչ արագությամբ էր շարժվում առաջին հետիոտնը:

5.8. Պատմական ակնարկ

Դեռևս մեր թվարկությունից շատ առաջ բնական թվերից օգտվել են

առար կա ներ հաշվելու և կոպիտ չափումների հա մար: Առավել ճշգրիտ չափումների ան հրա ժեշ տությունը հան գեց րել է կո տո րա կային թվերի հայտնաբերմանը:

Դեռևս հին հույները թիվը դիտում էին որպես հատվածի երկարություն, նրանք գիտեին, որ հատվածը կարող է ունենալ ռացիոնալ երկարություն: Բայց, զբաղվելով երկրաչափությունով, նրանք հայտնաբերեցին հատվածներ, որոնց երկարությունները չէին արտահայտվում ռացիոնալ թվերով: Օրինակ՝ քառակուսու անկյունագծի երկարությունը հնարավոր չէր արտահայտել ռացիոնալ թվով, եթե այդ քառակուսու կողմի երկարությունը արտահայտվում է 1 թվով (այդ մասին մանրամասն կասվի հանրահաշվի դասընթացում):

Այսպիսով, մաթեմատիկական խնդիրներ լուծելու ընթացքում սկսե-ցին ի հայտ գալ իռացիոնալ (ոչ ռացիոնալ) թվեր: Իռացիոնալ են, օրի-նակ, այն թվերը, որոնց քառակուսիները համապատասխանաբար 2, 3 և 17 են: Այդպիսի թվերի օրինակներ գիտեր և գուցե առաջինն էլ դրանք հայտնաբերել էր հույն մաթեմատիկոս Պյութագորասը (VI դար մ.թ.ա.):

Բավական վաղ ժամանակաշրջանի մաթեմատիկոսների հետա զո-տու թյուններում ծագած առանձին իռացիոնալ թվերի ցուցակը կարելի է շարունակել: Սակայն, իրական թվի ընդհանուր գաղափարին, որ պես կամայական հատվածի երկարություն, մաթեմատիկոսները հա մե մա-տա բար ուշ են հանգել՝ մոտավորապես հարյուր տարի առաջ:

Այդ գաղափարը մեր գրքում մտցվում է տասնորդական կոտորակների մի ջոցով: Հատվածի երկարությունն այստեղ արտահայտվում է, ընդ-հան րա պես ասած, անվերջ տասնորդական կոտորակով: Եվ հակառակը՝ յուրա քանչյուր դրական տասնորդական կոտորակ ինչ-որ հատվածի եր կարություն է:

Նկար 101

ANTARES


Հատվածի երկարությունը սերտորեն կապված է կոորդինատային առանցքի գաղափարի հետ:

Գիտության մեջ թվի գաղափարը կարևորագույններից մեկն է: Առաջին թվերից, որ հին մարդիկ օգտագործել են առարկաների քանակ հաշվելիս, մինչև սովորական և տասնորդական կոտորակների ներմուծումը՝ անցել են հազարավոր տարիներ: Միայն իրական թվերի ներմուծման շնորհիվ մարդկությունը հզոր միջոց ստացավ մեզ շրջապատող աշխարհն ուսումնասիրելու և գիտության ու տեխնիկայի զարգացման համար:


979. Գնել են կոնֆետ և թխվածքաբլիթ: 1 կգ կոնֆետը 1 կգ թխվածքաբլիթից 50%-ով թանկ է, բայց կոնֆետ գնել են 50% -ով քիչ, քան՝ թխվածքաբլիթ: Որի՞ն են ավելի շատ վճարել:

Լուծում: Դիցուք գնել են x կգ թխվածքաբլիթ՝ 1 կգ-ը y դրամով, վճարելով ընդամենը xy դրամ: Այդ դեպքում կոնֆետ գնել են 0,5x կգ՝ 1 мկգ-ը 1,5y դրամով, ընդամենը վճարելով 0,5x ⋅ 1,5y = 0,75xy (դրամ): Քանի որ xy > 0,75xy, ապա թխվածքաբլիթին ավելի շատ են վճարել, քան կոնֆետին:

980. Մայրիկը չի վստահում բանկերին և խնայողությունները տանն է պահում: Խոշոր դրամական մրցանակը ձմեռվանից մինչև ամառ դրված էր տանը: Այդ ընթացքում խանութում գներն աճեցին 25%-ով: Քանի՞ տոկոսով իջավ այդ գումարի գնողունակությունը:

Լուծում: Դիցուք ձմռանն ապրանքի 1 միավորը կարելի էր գնել a դրամով: Ամռանն այդ ապրանքն արդեն կարժենար a + 0,25a = 1,25a (դրամ): Ուրեմն ամռանն այդ նույն a դրամով կարելի էր գնել a : (1,25a) = 0,8 միավոր (նույն ապրանքից): Դա 1 − 0,8 = 0,2 միավորով կամ 20%-ով պակաս է, քան կարելի էր գնել ձմռանդ: Պատասխան՝ 20%-ով:

981. Մի մարդ ձմռանը որոշակի գումար ներդրեց արժեթղթեր գնելու համար: Յուրաքանչյուր արժեթղթի համար նա վճարեց 6000 դրամ: Ամռանն այդ արժեթղթերի գները բարձրացան հատը 2000 դրամով, և միաժամանակ շուկայում ապրանքների գներն աճեցին 20%-ով: Քանի՞ տոկոսով ավելացավ այդ մարդու ներդրած գումարի գնողունակությունն այդ ընթացքում:

ANTARES


982. Դպրոցի բոլոր աշակերտների 45%-ը տղաներ են: Հայտնի է, որ տղաների 30%-ը, իսկ աղջիկների 40%-ը սովորում են առանց «3»-ների: Աշակերտների ո՞ր տոկոսն է սովորում առանց «3»-ների:

983. Շարքային Մարտիրոսյանը 4 ժամում կլպեց մեկ բաք կարտոֆիլ, ընդ որում, ամբողջ կարտոֆիլի 20%-ը կլեպ ստացվեց: Քանի՞ ժամում նա կկլպի այնքան կարտոֆիլ, որ ստացվի մեկ այդպիսի բաք մաքրած կարտոֆիլ:

984. Երբ բոլոր քվեաթերթերի կեսով ամփոփեցին քվեարկության արդ-յունք ները, ապա պարզվեց, որ «Անտարես Հոլդինգ»-ը ստա-ցել է բոլոր ընտրողների ձայների 10%-ը: Բոլոր քվեա թեր թերի հաշվարկման արդյունքում ընտրողների ձայների ի՞նչ ամե նա-մեծ և ի՞նչ ամենափոքր տոկոսներ կարող է վաստակել «Ան տա-րես Հոլդինգ»-ն ընտրություններում:

985. Հեծանվորդն A վայրից մեկնեց B և հետ վերադարձավ միևնույն արագությամբ: Հետիոտնը A-ից B ճանապարհն անցավ հեծա-նվորդից 2 անգամ փոքր արագությամբ, բայց հետ վերա դար-ձավ ավտոբուսով՝ հեծանվորդի արագությունից 4 անգամ մեծ արա գությամբ: Որքա՞ն ժամանակ ծախսեց նրանցից յու րա-քանչ յուրը գնալու և վերդառնալու վրա միասին, եթե նրանցից մեկը մյուսից 0,5 ժամ ավելի է ծախսել:

986. Ալ-Կաշիի խնդիրը: Աշխատողի վճարը 30-օրյա աշխատանքի համար 10 դինար է և մեկ համազգեստ: Նա աշխատեց 3 օր և վաստակեց համազգեստ: Քանի՞ դինար արժե համազգեստը:

987. Կ. Ռուդոլֆի (XVI դար) «Հանրահաշիվ» գրքից: Մեկը համաձայնեց աշխատել այն պայմանով, որ տարեվերջին կստանա 10 ֆլորին և մի ձեռք հագուստ: Սակայն 7 ամիս հետո դադարեցրեց աշխատանքը և վերջնահաշվարկի արդյունքում ստացավ 2 ֆլորին ու խոստացած հագուստը: Որքա՞ն էր գնահատվել հագուստը:

988. Լ.Ֆ. Մագնիցկիի «Թվաբանություն»-ից: Մի մարդ մի տարով աշխատող վարձեց և խոստացավ նրան տալ 12 ռուբլի և կապա: Սակայն վերջինս 7 ամիս աշխատաելուց հետո ցանկացավ հեռանալ և խնդրեց արժանի վճար ու խոստացած կապան: Գործատերը տվեց նրան 5 ռուբլի և կապան: Ի՞նչ արժեր կապան:

989. Հին խնդիր: Մի քանի աշխատող միասին ստացան 120 ռուբլի: Եթե նրանց քանակը 4-ով պակաս լիներ, ապա յուրաքանչյուրը կստանար 3 անգամ շատ: Քանի՞ աշխատող կար:

990. Հին խնդիր: Մի արաբ մահից առաջ երեք որդիներին կտակեց 17 ուղտ, պայմանով, որ ավագը ստանա բոլոր ուղտերի կեսը, միջնեկը՝ մեկ երրորդը, փոքրը՝ բոլոր ուղտերի մեկ իններորդ մասը: Հոր մահից հետո որդիներին ոչ մի կերպ չէր հաջողվում ուղտերն ըստ կտակի բաժանել, և նրանք կանչեցին ցեղի

ANTARES


գլխավորին: Վերջինս ժամանեց սեփական ուղտի վրա նստած և իմանալով, թե ինչումն է բանը, առաջարկեց նրանց ուղտերին միացնել իր ուղտը և դրանք բաժանել ըստ կտակի: Եղբայրներն ուրախացան այդ առաջարկից: Բայց ինչպիսին եղավ նրանց զարմանքը, երբ պարզվեց, որ ճշգրտորեն բաժանելով հոր կտակի համաձայն՝ իրականում ստացան ոչ թե 18, այլ 17 ուղտ: Դրա պատճառով նրանք հարկադրված էին ցեղի գլխավորին վերադարձնել նրա ուղտը: Ինչո՞ւ այդպես ստացվեց:

991. Հին խնդիր: Երեք ճամփորդ էին անցնում ծանր բեռներով: – Եթե ինչ-որ մեկը հիմա մեզ ջորի վաճառեր, ապա ես կվճարեի նրա արժեքի կեսը,– ասաց առաջին ճամփորդը:– Իսկ ես կավելացնեի այդ արժեքի երրորդ մասը,– ասաց երկրորդը:– Ես էլ կավելացնեի չորրորդ մասը,– արտահայտվեց երրորդը: Հանկարծ նրանց առջև մի ջորեպան հայտնվեց, որը համաձայնեց ջորի վաճառել 13 մանեթով: Քանի որ 13-ը չի բաժանվում ոչ 2-ի, ոչ 3-ի, ոչ էլ 4-ի՝ ճամփորդները երկար վիճեցին, թե ով քանի մանեթ պետք է վճարի: Այդ ժամանակ ջորեպանն ասաց. – Ես համաձայն եմ, որ ձեզանից ամեն մեկը վճարի իր կողմից խոստացած մասը ոչ թե 13՝ այլ 12 մանեթից:Ճամփորդներից ամեն մեկը հասկանալով, որ ավելի քիչ կվճարի, քան խոստացել է, համաձայնեց: Քանի՞ մանեթ ստացավ ջորեպանը:

ԱՌԱՋԱԴՐԱՆՔՆԵՐ ԴԱՍԸՆԹԱՑԻ ԿՐԿՆՈՒԹՅԱՆ ՀԱՄԱՐ

Գտե՛ք թվային արտահայտության արժեքը (992 998).992. ա) 14 957 − (2586 + 4298), բ) 59899 : 299,

գ) 758 ⋅ 809 − 180 492 : 356, դ) 682 − 480 : (123 + 37):

993. ա) 795 ⋅ 848 : 848, բ) 456 ⋅ 759 : 759,գ) 6111 : 679 ⋅ 679, դ) 6768 : 846 ⋅ 846:

994. ա) 48 − 48 : (17 − 9) + 40, բ) 54 − (48 − 39) ⋅ 5 − 5,գ) 67 − (62 − 38) : 6 − 4, դ) 48 : (31 − 19) : 2 + 2:

995. ա) (7529 + 4356) + (644 + 1901), գ) 753 + (2747 + 3998) + 1002,բ) (8935 + 6639) + (7361 + 125), դ) 4957 + (8243 + 495) + 7205:

996. ա) 468 − 396 : (42 − 42 : 7) + 8, բ) 324 − 297 : (36 − 36 : 4) + 5,գ) 4221 − 294 : (98 : 14 − 5), դ) 5864 − 79 : (72 : 9 − 7) + 1001:

997. ա) (756 ⋅ 242 + 326 ⋅ 9) ⋅ 0, բ) 14 304 : 596 ⋅ (777 : 7 − 888 : 8):

ANTARES

ԱՌԱՋԱԴՐԱՆՔՆԵՐ ԴԱՍԸՆԹԱՑԻ ԿՐԿՆՈՒԹՅԱՆ ՀԱՄԱՐ 201

998. ա) 248 : 2 − 124 + 963 : 3 − 321 + 4,բ) 808 : 8 − 909 : 9 + 424 : 2 − 636 : 3 + 5:

Հաշվե՛ք՝ կիրառելով թվաբանական գործողությունների օրենքները (999, 1000)

999. ա) 239 ⋅ 324 − 156 ⋅ 315 + 156 ⋅ 315,բ) 31 905 : 45 + 571 ⋅ 33 − 33 ⋅ 571,գ) 22 796 : 41 + 505 ⋅ 707 − 22 796 : 41,դ) 896 ⋅ 127 + 9702 : 77 − 127 ⋅ 896:

1000. ա) 35 + 33 + 31 + 29 + 27 + 25,բ) 36 ⋅ 35 − 35 ⋅ 34 + 34 ⋅ 33 − 33 ⋅ 32 + 32 ⋅ 31 − 31 ⋅ 30 + 30 ⋅ 29 − 29 ⋅ 28 + + 28 ⋅ 27 − 27 ⋅ 26 + 26 ⋅ 25 − 25 ⋅ 24:

1001. ա) Հաշվե՛ք.7 ⋅ 11, 24 ⋅ 101, 378 ⋅ 1001, 7 ⋅ 22 − 2 ⋅ 77, 24 ⋅ 1313 − 13 ⋅ 2424: բ) Ոչ բոլոր հաշվումները կատարելով ապացուցե՛ք, որ. 275 ⋅ 346346 − 346 ⋅ 275275 = 0,1996 ⋅ 19 971 997 − 1997 ⋅ 19 961 996 = 0:

1002. Նախապես ստուգելով 102 + 112 + 122 = 132 + 142 և 33 + 43 + 53 = 63 հա-վա սա րու թյուն ների ճշտությունը՝ հաշվե՛ք արտահայտության արժեքը. ա) (102 + 112 + 122 + 132 + 142) : 365, բ) (33 + 43 + 53 + 63) : 54:

1003. Ստուգե՛ք հավասարությունների ճշտությունը.13 + 63 + 83 = 93, 113 + 123 + 133 + 143 = 203,1082 +1092 +1102 =1332 +1342:Օգտագործելով այդ հավասարությունները՝ հաշվե՛ք. ա) (13 + 63 + 83 + 93) : 27, բ) (113 + 123 + 133 + 143 + 203) : 1000,

Գտե՛ք թվային արտահայտության արժեքը (10041006).1004. ա) − 640 : (– 80) − 560 : 7 + 490 : 7,

բ) − 540 : 9 + (– 450) : 5 + 160,գ) 720 : (– 36) − 840 : (– 42) − 753, դ) − 860 : 20 − 625 : 25 + 75:

1005. ա) 222 : (– 3996 : 54) + 333, բ) 256 ⋅ (37 ⋅ (– 9) + 33) : (– 1200),գ) − 2376 : (– 625 : 25 + 49),դ) 5100 : (– 2279 : 53 + 26) ⋅ (– 17):

1006. ա) 49 ⋅ 68 + 51 ⋅ 68 + 49 ⋅ 12 + 51 ⋅ 12,բ) 87 ⋅ 52 − 17 ⋅ 52 + 87 ⋅ 38 − 17 ⋅ 38,գ) 77 ⋅ 99 + 23 ⋅ 99 − 77 ⋅ 29 − 23 ⋅ 29,դ) 108 ⋅ 86 − 86 ⋅ 18 − 108 ⋅ 56 + 18 ⋅ 56,

ANTARES


ե) 428 ⋅ 356 + 72 ⋅ 356 + 144 ⋅ 428 + 72 ⋅ 144:

1007. Տասանիշ թիվ ստանալու համար երկու աշակերտ հերթով թվա-

նշան ներ են գրում:ա) Կարո՞ղ է արդյոք երկրորդ աշակերտը հասնել այն բանին, որ ստացված թիվը բաժանվի 3-ի, եթե առաջին աշակերտը ձգտում է նրան խանգարել:բ) Կարո՞ղ է արդյոք առաջին աշակերտը հասնել այն բանին, որ ստացված թիվը բաժանվի 9-ի, եթե երկրորդը ձգտում է նրան խանգարել:

1008. 12345678910111213 ... 979899 թիվը բաժանվո՞ւմ է արդյոք 3-ի, 9-ի:1009. Ապացուցե՛ք, որ եթե եռանիշ թվի երկրորդ թվանշանը հավասար

է առաջինի ու երրորդի գումարին, ապա այդ թիվը 11-ի բազմապատիկ է:

1010. Իմանալու համար՝ պարզ թիվ է արդյոք 2503 թիվը, այն սկսեցին հերթով բաժանել 2, 3, 5, 7, 11, 13 ... պարզ թվերին: Ո՞ր պարզ թվին բաժանելուց հետո կարելի է դադարեցնել փորձարկումը:

1011. «A-ն բաժանվում է 2-ի», «A-ն բաժանվում է 4-ի», «A-ն բաժանվում է 8-ի», «A-ն բաժանվում է 16-ի» պնդումներից 3-ը ճշմարիտ ասույթ են, իսկ մեկը՝ կեղծ ասույթ: Ո՞ր պնդումն է կեղծ ասույթ: Բացատրե՛ք պատասխանը:

1012. Երկու կենտ թվերի տարբերությունն 8 է: Ապացուցե՛ք, որ այդ թվերը փոխադարձաբար պարզ են:

1013. 1-ից 100 բնական թվերից քանի՞սն են, որ ոչ 2-ի են բաժանվում, ոչ՝ 3-ի:

1014. Առանց ընդհանուր հայտարարի բերելու՝ համեմատե՛ք 12 13

և 16 17

,կոտորակները:

1015. Համեմատե՛ք կոտորակները.

ա) 2323 6464

և 23 46

, բ) 71 98

և 7171 9898

։

Գտե՛ք թվային արտահայտության արժեքը (10161023).

1016. ա) 11 15

⋅ �4 1 2

− 3 2 5 ։

17 20

� + 1 11 20

բ) 54 7 ։ 1

5 21

− �5 2 15

⋅ 3 22

+ 114 15�,

գ) 72 3

+ 4 1 6

⋅ �6 2 7

− 35 7�,

դ) 42 7 ։ 1

5 21

+ �4 3 13

⋅ 14 15

− 31 3�։

1017. ա) 33 7

⋅ 3 1 2

: �1 1 11

− 27 55�, բ) �2 1

2 ։ 10 + 10 ։ 2

1 2

− 2 1 6� ⋅ 36

125,

ANTARES


գ) 3 1 8 ։ ��4 5

12 − 3 13

24�⋅ 4

7 + �3 1

18 −2

7 12� ⋅ 110

17�։

1018. ա) �7 8

+ 1 6

+ 23 24�⋅ 177 ։ 118, բ) 129 ⋅ �7

9 + 5

6 + 7

18 + 5�։86,

ա) �1 2

+ 1 3

+ 1 6

+ 3�⋅ 119 ։ 68, բ) 3456 : �2 3

+ 4 5

+ 8 15

+ 7�։16։

1019. ա) �1 2

+ 11 12

+ 3 4

+ 5 6�⋅ (−5) + (-756) ։ (-36),

բ) � 19 20

+ 1 2

+ 4 5

+ 3 4�⋅ (− 123) − (-5092) ։ 76։

1020. ա) 17 : 10 − 7 : 5, բ) 14 : 3 + 17 : 6,գ) 256 : 48 − 156 : 36, դ) 399 : 49 + 664 : 56,ե) 816 : 88 − 819 : 99, զ) 460 : 52 + 123 : 39,

է) 48 ։ 7 − 45 ։ 14 45 ։ 7 − 48 ։ 14

, ը) 56 ։ 13 + 100 ։ 26 100 ։ 13 + 56 ։ 26

։

1021. 323

+ 1 47

323

− 1 47

: 13 1

3 − 3 1

13

1313 + 3 1

13

: 5

12

+ 138

5 12

− 138

։

1022. ա) 334

: 1 12

+ 1 12

: 334

⋅ 2 12

2 : 3 15

+ 3 14

: 13 : 23

, բ) 15 : 5

18 : 33

8 ⋅ � 1

16 + 11

36 + 5

48 + 5

18�

�11 511

− 8 2122

�: 123

,

1023. ա) 20 : 2

215 + 25

57

: 2 235

20 79

: 425

− 59

, բ) 634

: 9 + 24 : 67

− 19

: 421

53 23

− 22 1415

: 223

Կրճատե՛ք կոտորակը (1024, 1025).

1024. ա) 36 ⋅ 25 50 ⋅ 24

, բ) 38 ⋅ 17 34 ⋅ 21

, գ) 64 ⋅ 48 56 ⋅ 72

, դ) 38 ⋅ 45 60 ⋅ 95

,

ե) 25 − 12 12 ⋅ 13

, զ) 26 + 13 13 ⋅ 26

, է) 7 + 28 7 ⋅ 28

, ը) 45 + 5 5 ⋅ 45

։

1025. ա) (17 − 12) ⋅ 8 15 ⋅ 16

, բ) (25 − 9) ⋅ 25 75 ⋅ (38 − 22)

, գ) (41 − 5) ⋅ 19 (23 − 4) ⋅ 36

,

դ) 17 ⋅ 8 − 12 ⋅ 8 80

, ե) 25 ⋅ 25 − 9 ⋅ 25 3 ⋅ 50

, զ) 16 ⋅ 23 + 9 ⋅ 23 17 ⋅ 25 + 6 ⋅ 25

,

ANTARES



ա) 45 ⋅ 56 + 45 ⋅ 14 70 ⋅ 72

, բ) 38 ⋅ 53 − 38 ⋅ 25 19 ⋅ 42

,

գ) 395 ⋅ 43 + 5 ⋅ 43 695 ⋅ 86 + 86 ⋅ 105

, դ) 359 ⋅ 23 − 59 ⋅ 23 758 ⋅ 69 − 158 ⋅ 69

։

1024. Հաշվե՛ք նմուշօրինակի ձևով.

ա) 742 ⋅ 16 : 371 ⋅ 5 : 80 =742 ⋅ 16 ⋅ 5 371 ⋅ 80 = 2 ⋅ 5

5= 2:

բ) 954 ⋅ 35 : 7429, գ) 5292 : 63 : 28 ⋅ 999,դ) 4189 : 71 ⋅ 26 : 118, ե) 1125 ⋅ 808 : 375 ⋅ 33 : 1111:

1025. Ստուգե՛ք հավասարությունը.

ա) 1

3 + 12

= 2 7, բ)

1

2 + 1

3 + 14

= 13 30

։


ա) 1

1 + 1

2 + 13

, բ) 1

2 + 1

2 + 12

, գ) 1

3 + 1

3 + 13

։

1027. Տրված է հավասարումը. 1

x + 1

y + 1z

= 7 30

։

ա) Գտե՛ք այնպիսի x, y, z բնական թվեր, որոնց դեպքում տրված հավասարումը կդառնա ճշմարիտ ասույթ:բ) Գտե՛ք այնպիսի x, y, z ամբողջ թվեր, որոնց դեպքում տրված հավասարումը կդառնա ճշմարիտ ասույթ:

1028. Հաշվե՛ք.ա) 4,35 ⋅ 3,08 − 16,119 : 4,05 + 0,95 ⋅ 40,բ) (454,5 : 5 − 0,3636 : 0,09) : 4,343:

ANTARES


Հաշվե՛ք հնարավորինս (որքան հնարավոր է) պարզ եղանակով (1032 − 1034).

1032. ա) 5759 + 43,25 + 6,75 , բ) 42,3 + 7,29 + 57,7 + 0,51 ,գ) 3,17 ⋅ 125 ⋅ 8, դ) 1,25 ⋅ 13 ⋅ 4 ⋅ 8 ⋅ 2,5:

1033. ա) 27 9

⋅ 2 3

⋅ 1 1 2, բ) 2

5⋅ �21

3⋅ 5,4�, գ) 765 ⋅ 59 + 235 ⋅ 59,

դ) 42 ⋅ 43,8 − 42 ⋅ 3,8 ե) 4 1 2

⋅ 72 3

+ 4 1 2

⋅ 2 1 3 զ) �3 1

3 − 1 1

4� ⋅ 12:

1034. ա) 4,8 ⋅ 2,12 ⋅ 0,25 10,6 ⋅ 0,96 ⋅ 2,5

, բ) 3,2 ⋅ 0,72 ⋅ 5,05 3,6 ⋅ 6,4 ⋅ 4,04

,

գ) 6,25 ⋅ 0,49 ⋅ 0,88 7,7 ⋅ 3,5 ⋅ 0,125

, դ) 18,18 ⋅ 6,8 ⋅ 4,3 0,86 ⋅ 0,34 ⋅ 9,09

։


ա) (– 24,3) : (4,5 − 4,5 ⋅ (– 0,8)) : 0,5 ,բ) 12,5 ⋅ (– 3,6 + 3,6 ⋅ (– 1,5)) ⋅ (– 0,8):

Հաշվե՛ք հնարավորինս պարզ եղանակով (1036, 1037).1036. ա) 751 − 387 − 551 + 387 − 600,

բ) (4,7 − 4,9) + (4,9 − 5,1) − (– 5,1 − 5,3):

1037. ա) 4,6 ⋅ 7,3 + 5,4 ⋅ 8,5 + 4,6 ⋅ 8,5 + 5,4 ⋅ 7,3,բ) 9,8 ⋅ 17,42 + 9,8 ⋅ 5,58 − 1,8 ⋅ 17,42 − 1,8 ⋅ 5,58,գ) 15,37 ⋅ 7,88 − 9,37 ⋅ 7,88 + 15,37 ⋅ 2,12 − 9,37 ⋅ 2,12,դ) 4,54 ⋅ 77,7 − 4,54 ⋅ 7,7 + 7,46 ⋅ 77,7 − 7,46 ⋅ 7,7,ե) 75,9 ⋅ 42,3 − 65,9 ⋅ 42,3 + 628 ⋅ 1,77 − 528 ⋅ 1,77:

Հաշվե՛ք (10381042).

1038. ա) 1 4

+ 2,7, բ) 4,1 ⋅ 2 5, գ) 2,9 − 13

4, դ) 4,5 : 21

2,

ե) 32 3

− 0,25, զ) 2 1 7

⋅ 0,7, է) 1 2

: 0,3, ը) 2 1 2

: 4,5։

1039. ա) (1,545 : 1,5 -1) ⋅ 2 2 3

+ 0,5 ⋅ 4 15

բ) (2,678 : 1,3 -2) ⋅ 3 1 3

+ 0,3 ⋅ 7 15

։

1040. ա) 2 7 : 8 + 5 : 0,7 − 3

4: 21,

բ) 3 : 4 1 5

+ 5,4 : 7,2 − 2 7

: 0,8,

գ) 4,5 ⋅ 2 3

− 15 7 : 1,2 + 3 1

5⋅ 3 1

8,

դ) 6,25 : 5 3 -2,5 : 1,5 + 71

2-8 2

3։

ANTARES


1041. ա) �8 1

4 − 3,51� : 2,37

15

⋅ 3,17− 2,205 : 3 12

, բ) �3 1

3 − 2,5� ⋅ 6,6

15,717 ։ 3,1 − 17

⋅ 0,49։

1042. ա) 33 4 : 0,03 − 4,52 ⋅ 8 1

2, բ) 33

8 − �71

2 − 4,25� ։ 9

20,

գ) 32 5 : 5,1 − 42

3 ։ 6,3, դ) - 33

5 ։ 2,7 + 2,7 ։ 33

5։

1043. Հաշվե՛ք ամենապարզ եղանակով.

ա) 4,526 + 12 1 5

− �42 3

⋅ 1,8 + 4,526�

բ) 3 1 3 ։ 2,4 + 9,888 − � 1

18+ 7,888�,

գ) 4,51 ⋅ 3 1 2

− 72 3

− �- 5,49 ⋅ 3 1 2

+ 10 1 3�,

դ) 4,573 + 22 7

⋅ 3 18

− �2,073 − 15 7

⋅ 3 1 8�։

1044 Հաշվե՛ք.

ա) �15 : 3,75 + 10,5 : 1,5 ⋅ 3 14� : �133

52 − 1 1

4�,

բ) (10 : 2,5 + 7,5 : 10) ⋅ � 3 40

+ 7 12

− 158 360

�։

Լուծե՛ք համեմատությունը (1045, 1046).1045. ա) x : 7 = 5 : 8, բ) x : 3 = 4 : 5, գ) 2 : x = 3 : 4, դ) 1 : x = 7 : 8:

1046. ա) x9

= 5 7, բ)

5 x

= 0,2 3

, գ) 6x5

= 18 7

,

դ) 7,5 : (2x) = 3 : 0,8, ե) x − 3

x= 4

7, զ)

x + 1 3

= x − 1 2

:

Պարզեցրե՛ք արտահայտությունը (10471048).1047. ա) 4x − 5 + 1,5 + 2,

բ) 8x − (3x + 5) + (2x − 9),գ) 5(x − 0,4) − 7(2x + 1,5),դ) 2,3x − (2,3x + 0,5) − 0,2 (5x − 3):

1048. ա) 3(x − 8) + 2(x + 3) + 24,բ) 3,2(2x + 1) + 1,6(4x + 2) + 1,7,գ) 2(x − 1) − 3(x − 2) + x,դ) 7,5(x − 4) − 2,5 (3x − 12) + 5:

ANTARES


1049. ա) 2,4x + 15 7

− 22 3x − 5, բ) 7,1x + (3,5 − x) − (5,9x − 1),

գ) − 3x − 2(x − 9) + 3�2x + 2 3�։

1050. ա) 3(x − 5) + 5(x + 1) + 10,բ) 1,2(2x − 1) + 3,5(x − 2) + 10,2,գ) 5(x − 1) − 2(x + 3) − 3x,դ) 2,5(x − 0,2) − 5(2x − 0,4) + 0,5x:

Գտե՛ք արտահայտության արժեքը տրված x-ի դեպքում (10511053).1051. ա) 5x − 39, x = 10, 0, 3, բ) − 3,5x + 6, x = 2, − 3, 0,4:

գ) x − 1 3, x = 5, 2 1

2, - 0,5, դ)

1 2

− 2 3x, x = 0,5, − 6,4:

1052. ա) 25x − 50 + 44x − 88, x = 2,բ) 13x + 39 + 21x + 63, x = − 3,գ) 128 − 4x + 356 − 8x, x = 7,դ) 121 − 11x + 456 − 10x, x = 11:

1053. ա) 4,2x − 84 + 2,3x − 46 + x, x = 20,բ) 2,1x + 6,3 − 2,4x − 6,2 − 5, x = − 3,գ) 3,2(x − 3,2) + 5,5(x − 2,2), x = 3,2,դ) 6,3(x + 2,4) − 9,1(x + 1,4), x = − 1,4:

Լուծե՛ք հավասարումը (10541058).

1054. ա) 4 1 2x = 9,9, բ) 5,5x = – 66,

գ) - 3,6x = 142 5, դ) – 2,2x = – 4,84:

1055. ա) 3x = 5, բ) 0,7x = − 2, գ) − 2,1x = 3,6,դ) 6x − 7 = 0,2, ե) 0,6x + 0,5 = 3, զ) − 5x + 1,2 = – 5,1:

1056. ա) 5 x − 9 = 2,3 x + 1, բ) 7,3x − 1 3

= 1,2x + 3,

գ) 6 (x − 3) + 2 (x + 2) = 1, դ) 5 (x − 1) − 4 (x − 2) = 10,

ե) 3 (x − 9) + 5 (x − 4) = 1, զ) 7 (x − 9) − (3x + 1) = 9:

1057. ա) 4,5 (x − 1) − 2,3 (x + 2) = 2,1 x , բ) 2 5

(x − 5) + 1 1 3 (x + 1) = 9,

գ) x + 1 2x + 1

3x = 33 դ) x + x + 1

2x + 1

4x + 1 = 100:

1058. ա) 2(2x − 1) − 3(x − 2) = 6 + 4(3 − 2x),բ) 2(x + 2) − 3(x − 2) = 5 − 4(3x − 1):

ANTARES


1059. 1000 լիտրանոց բաքից ցերեկվա ընթացքում ծախսում են 600 լիտր ջուր, իսկ գիշերն ավելացնում են այն քանակության կեսի չափով, որքան ջուր կար բաքում առավոտյան: Կբավականացնի՞ արդյոք բաքի ջուրը մինչև չորեքշաբթի երեկո, եթե երկուշաբթի առավոտյան այն լիքն է եղել:

1060. Հացի խանութն ստացավ ընդհանուր կշռով 654 կգ սև և սպիտակ հաց: Երբ վաճառեցին 215 կգ սև և 287 կգ սպիտակ հաց` յուրաքանչյուր տեսակից մնաց նույն կշռով հաց: Քանի՞ կգ սև և քանի՞ կգ սպիտակ հաց էր ստացել խանութը:

1061. Երկու խանութում միասին կար 452 սառնարան: Երբ այդ խանութները հավասար քանակությամբ սառնարաններ վաճառեցին` մի խանութում մնաց 72, իսկ մյուսում` 84 սառնարան: Սկզբում քանի՞ սառնարան կար յուրաքանչյուր խանութում:

1062. Երկաթբետոնե արտադրանքների 1-ին արտադրամասը օրական 25 տ ցեմենտ է օգտագործում: Օրական ինչքա՞ն ցեմենտ է օգտագործում 2-րդ արտադրամասը, եթե երկու արտադրամասի 15-օրյա համատեղ աշխատանքի համար անհրաժեշտ է 870 տ ցեմենտ:

1063. Գործարանն ըստ պլանի 24 օրում պետք է 7920 սարքավորում արտադրեր: Քանի՞ օրում այդ առաջադրանքը կկատարի գործարանը, եթե օրական 30 սարքավորում ավելի արտադրի, քան նախատեսված էր պլանով:

1064. Խառատը պետք է 6 ժամում 96 մանրակ տաշեր: Օգտագործելով կատարելագործված հատիչ, նա կարող է ժամում 8 մանրակ ավելի տաշել, քան նախատեսված էր: Որքա՞ն ժամանակ կտնտեսի խառատը, եթե առաջադրանքը կատարի կատարելագործված հատիչով:

1065. Հին խնդիր: Պետք է թելադրության 360 աշխատանք ստուգել: Առաջին ուսուցիչը կարող է ստուգել 15, երկրորդը` 10, երրորդը` 6 ժամում: Որքա՞ն ժամանակում կստուգեն աշխատանքները երեքով միասին:

1066. Հին խնդիր: A-ն, B-ն և C-ն խաղացին 3 պարտիա (յուրաքանչյուր պարտիան խաղում են երեքով, պարտվում է մեկը): Պարտվողը պարտավոր էր կրկնապատկել մյուս երկուսի՝ այդ պարտիայի սկզբում ունեցած գումարները: Հերթականությամբ պարտվեցին A-ն, B-ն, ապա C-ն, և արդյունքում պարզվեց, որ յուրաքանչյուրի մոտ 48 ռուբլի կա: Ինչքա՞ն գումար ուներ յուրաքանչյուրն սկզբում:

1067. Հին խնդիր: A-ն, B-ն, C-ն և D-ն խաղացին 4 պարտիա (յուրաքանչյուր պարտիան խաղում են չորսով, պարտվում է մեկը): Պարտվողը պարտավոր էր կրկնապատկել մյուս երեքի՝ այդ պարտիայի սկզբում ունեցած գումարները: Հերթականությամբ պարտվեցին A-ն, B-ն, C-ն, ապա D-ն, և արդյունքում պարզվեց, որ յուրաքանչյուրն ունի 48 ռուբլի: Ինչքա՞ն գումար ուներ յուրաքանչյուրն սկզբում:

ANTARES


1068. ա) Գյուղացին ուներ մի քանի խոճկոր (գոճի, խոզի ձագ) և մի քանի գառ: Երեք խոճկորն ու երկու գառը միասին կշռում են 23 կգ, իսկ երկու խոճկորն ու երեք գառը՝ 22 կգ: Ինչքա՞ն են կշռում մեկ խոճկորն ու մեկ գառն առանձին-առանձին, եթե բոլոր խոճկորներն ունեն նույն կշիռը և բոլոր գառներն ունեն նույն կշիռը:բ) Երեք փոքր և չորս մեծ տուփերում միասին 150 գունավոր մատիտ կա, իսկ չորս փոքր և երեք մեծ տուփերում` 144: Քանի՞ գունավոր մատիտ կա մեծ տուփում:

1069. ա) Գետի հոսանքի արագությունը 2 կմ/ժ է: Նավակի արագությունը գետի հոսանքի ուղղությամբ քանի՞ կիլոմետր ժամով է ավելի հոսանքին հակառակ նրա ունեցած արագությունից: Պատասխանը կախվա՞ծ է արդյոք նավակի սեփական արագությունից: բ) Նավակի արագությունը գետի հոսանքի ուղղությամբ 6 կմ/ժ-ով ավելի է հոսանքին հակառակ նրա ունեցած արագությունից: Որքա՞ն է գետի հոսանքի արագությունը:

1070. Երկու վայրերի միջև եղած 3,6 կմ հեռավորությունը նավը գետի հոսանքի ուղղությամբ անցնում է 30 և հետ վերադառնում 40 րոպեում: Գտե՛ք գետի հոսանքի արագությունը: Որքա՞ն ժամանակում այդ նույն հեռավորությունը կանցնի լաստը:

1071. Մետրոյի ուղևորը կանգնելով 150 մ երկարություն ունեցող շարժասանդուղքի աստիճանին` վերև է բարձրանում 3 րոպեում: Քանի՞ րոպեում վերև կբարձրանա մյուս ուղևորը, եթե նույն շարժասանդուղքի աստիճաններով դեպի վեր քայլի 25 մ/րոպե արագությամբ:

1072. Անշարժ կանգնելով մետրոյի շարժասանդուղքի աստիճանին` մարդը վերև է բարձրանում 1 րոպեում: Նույն մարդը վազելով անշարժ շարժասանդուղքի աստիճաններով` վերև է բարձրանում 40 վայրկյանում: Որքա՞ն ժամանակում այդ մարդը վազելով վերև կհասնի վերընթաց շարժասանդուղքով:

1073. Հովեկն իր ամառանոցից կայարան հասավ ճիշտ գնացքի շարժման պահին: Եթե նա յուրաքանչյուր կիլոմետրն անցնելու համար ծախսեր 3 րոպե քիչ ժամանակ, ապա կայարան կհասներ 12 րոպե շուտ: Որքա՞ն էր ամառանոցից մինչև կայարան հեռավորությունը:

1074. ա) Երեխաներ տեղափոխող ավտոբուսների 1 կմ երկարությամբ շարասյունը 50 կմ/ժ արագությամբ շարժվում էր ճանապարհով: Ավտոտեսուչին, որի մեքենան եզրափակում էր շարասյունը, հարկ եղավ մոտենալ շարասյան առջևից գնացող ավտոբուսին և նորից հետ վերադառնալ: Քանի՞ րոպե կպահանջվի դրա համար, եթե նա մեքենայով ընթանա 70 կմ/ժ արագությամբ:

ANTARES


բ) Զինվորների շարասյունը շարժվում է 4,5 կմ/ժ արագությամբ: Ընդամենը քանի՞ րոպե կծախսի սերժանտ Մարտիրոսյանը շարասյան վերջնամասից 5,5 կմ/ժ արագությամբ նրա առաջնամասը գնալու և վերադառնալու համար, եթե շարասյան երկարությունը 250 մ է:

1075. ա) 520 կմ հեռավորության վրա գտնվող երկու կայարաններից միաժամանակ միմյանց ընդառաջ շարժվեց երկու գնացք: Որքա՞ն ժամանակից հետո նրանց հեռավորությունը կլինի 65 կմ, եթե արագությունները 60 կմ/ժ և 70 կմ/ժ են:բ) 685 կմ հեռավորության վրա գտնվող երկու գնացք միաժամանակ շարժվեցին միմյանց ընդառաջ: Որքա՞ն ժամանակից հետո նրանց հեռավորությունը կդառնա 95 կմ, եթե արագությունները 55 կմ/ժ և 45 կմ/ժ են:

1076. Չորս լվացքից հետո օճառից մնաց նրա մեկ երրորդը: Քանի՞ լվացքի կհերիքի մնացած մասը:

1077. Երկու աշակերտի հանձնարարված է սոսնձել գրադարանի գրքերը: Երբ նրանք ավարտեցին աշխատանքը, առաջինն ասաց, որ ինքը

սոսնձել է բոլոր գրքերի 3 5-ը, իսկ երկրորդն ասաց, որ բոլոր գրքերի

2 3-ն է սոսնձել: Նրանց ընկերը նկատեց, որ տղաները սխալվել են

հաշվարկներում: Ինչպե՞ս էր նա հասկացել:

1078. Ինստիտուտի ուսանողների 3 4-ը անգլերեն է ուսումնասիրում, 1

3-ը`

ֆրանսերեն, ընդ որում, յուրաքանչյուր ուսանող այդ լեզուներից գոնե մեկն ուսումնասիրում է: Ուսանողների որ՞ մասն է երկու լեզուն էլ ուսումնասիրում:

1079. Աղի ամենամեծ քանակության զանգվածը, որ կարելի է լուծել ջրի

մեջ, ջրի զանգվածի 9 25

մասին է հավասար: Քանի՞ կիլոգրամ աղ

կլուծվի դույլ ջրի մեջ, եթե դույլը տեղավորում է 12 կգ ջուր:

1080. Լ. Ն. Տոլստոյի «Թվաբանություն»-ից: Ամուսինները փող վերցրին նույն սնդուկից, և այնտեղ ոչինչ չմնաց: Կինը վերցրել էր ամբողջ

փողի 7 10

մասը, իսկ ամուսինը` 690 ռուբլի: Սկզբում որքա՞ն փող

կար սնդուկում:

1081. Հին խնդիր: Կոմոդը գնելով 36 ռուբլով, այնուհետև հարկադրված

եղա այն վաճառել այդ գնի 7 12

-ով: Քանի՞ ռուբլի կորցրեցի այդ

գործարքի պատճառով:

1082. Հին խնդիր: Վարպետը, հալեցրեց արծաթի երեք կտոր` 1 4, 1

6 և 1

8գրվանքա կշիռներով, գդալներ պատրաստեց և վաճառեց դրանք:

ANTARES


Ինչքա՞ն փող ստացավ նա, եթե 1 գրվանքա արծաթը գնահատեց 24 ռուբլի և աշխատանքի համար էլ 8 ռուբլի վերցրեց:

1083. Առաջին ծորակով 2,5 րոպեում լցվում է այնքան ջուր, որքան երկրորդով` 3 րոպեում: Քանի՞ րոպեում այդ երկու ծորակով կարելի է լցնել 66 լիտր ծավալով բաքը, եթե երկրորդ ծորակով րոպեում 15 լիտր ջուր է լցվում:

1084. Մի բրիգադը մեկ օրում անում է առաջադրանքի 1 6-ը, իսկ մյուսը`

1 12

մասը: Քանի՞ օրում բրիգադները կանեն առաջադրանքը`

աշխատելով համատեղ:

1085. Մեկ րոպեում մի խողովակով ավազանի 1 50

-ն է լցվում, իսկ մյուսով` 1

75-ը: Քանի՞ րոպեում ավազանը կլցվի երկու խողովակներով

միասին:

1086. ա) Նախապատրաստված կերը կովին կբավականացնի 60 օր, իսկ ոչխարներին` 90: Քանի՞ օր կբավականացնի այդ կերը կովին ու ոչխարներին միասին:բ) Գյուղացին հաշվեց, որ նախապատրաստած խոտը միայն կովին կբավականացնի 80 օր, իսկ միայն ոչխարներին` 120: Քանի՞ օր կբավականացնի այդ խոտը կովին ու ոչխարներին միասին:

1087. Գյուղից դեպի քաղաք շարժվեց հետիոտնը: Միաժամանակ քա ղա-քից դեպի գյուղ մեկնեց հեծանվորդը: Հետիոտնը քաղաք հասավ 6, իսկ հեծանվորդը գյուղ̀ 3 ժամում: Շարժման սկզբից քանի՞ ժամ հե տո են նրանք հանդիպել:

1088. A կետից գետով դեպի B կետ ուղարկեցին լաստը: Միաժամանակ B-ից A շարժվեց նավակը, որը A ժամանեց 5 ժ հետո: Քանի՞ ժամ հետո էր նավակը հանդիպել լաստին, եթե լաստը B հասավ շարժման սկզբից 20 ժ հետո:

1089. Հմուտ խառատը առաջադրանքը կկատարի 1 ժ 20 րոպեում, իսկ նրա աշակերտը` 4 ժամում: Քանի՞ րոպեում նրանք կկատարեն առաջադրանքը` աշխատելով համատեղ:

1090. Երկու քաղաքների միջև հեռավորությունը մի զբոսաշրջիկը կարող է անցնել 4, իսկ մյուսը` 6 ժամում: Մի անգամ նրանք այդ քա ղաք-ներից միաժամանակ շարժվեցին միմյանց ընդառաջ: Կբա վա-կանացնի՞ արդյոք 2,5 ժամը, որ նրանք հանդիպեն:

1091. I բրիգադն առաջադրանքը կարող է անել 5, իսկ II-ը` 3 շա բա թում: Կբա վա կանացնի՞ արդյոք երկու շաբաթն առաջադրանքն ավար-տե լու համար, եթե բրիգադներն աշխատեն համատեղ:

1092. Յա. Ի. Պերելմանի խնդիրը: Զեկուցման տեքստի մեքենագրումը հանձ նա րարված էր երկու մեքենագրուհիների: Նրանցից մեկը, որ ավե լի փորձառու է, կարող է այդ անել 2, իսկ մյուսը` 3 ժամում:

ANTARES


Որքա՞ն ժամանակում նրանք կմեքենագրեն տեքստը, եթե աշ խա-տեն համատեղ:

1093. Ունեցած փողը կբավականացնի 24 ուսումնական օր դպրոցական նախաճաշերի կամ 12 օր` ճաշերի համար: Քանի՞ օր այդ փողը կբավականացնի դպրոցում նախաճաշելու և ճաշելու համար:

1094. Մայր ու աղջիկ միասին սենյակը կարող են հավաքել 30 ր-ում: Միայն մայրը կհավաքեր այն 50 ր-ում: Քանի՞ րոպեում սենյակը կհավաքի աղջիկը:

1095. Մետրոդորի խնդիրը: Առաջին խողովակով ավազանը լցվում է 1, երկրորդով` 1, երրորդով` 3, չորրորդով` 4 օրում: Որքա՞ն ժա մա նա-կում կլցվի ավազանը չորս խողովակն էլ բացեն:

1096. A և B քաղաքներից միաժամանակ իրար ընդառաջ եկան երկու մե-քե նա և հանդիպեցին 3 ժ հետո: Եվս 2 ժ հետո մարդատարը հասավ B քաղաք: Քանի՞ ժամում բեռնատարը B քաղաքից հասավ A:

1097. Կարտոֆիլ ցանել են 3 անգամ ավելի մակերեսով, քան կաղամբ: Կաղամբ ցանել են 36 հա-ով պակաս է, քան կարտոֆիլ: Ինչքա՞ն հա կարտոֆիլ են ցանել:

1098. Գրքի առաջին գլուխը 3 անգամ քիչ էջ է պարունակում, քան հաջորդ երկուսը` միասին վերցրած: Երեք գլուխը միասին պարունակում են 276 էջ է: Քանի՞ էջ ունի առաջին գլուխը:

1099. 324 մ երկարություն ունեցող կամուրջը բաղկացած է չորս կամր ջա-մա սերից, որոնցից երկուսը երկու անգամ կարճ են մյուս երկուսից յու րա քանչյուրից: Գտե՛ք կամրջամասերի երկա րու թյունները:

1100. Ագեվազը (կենգուրու) 4 անգամ ավելի մեծ, կամ 9 մ-ով ավելի մեծ երկարություն է ցատկում, քան բարձրություն: Քանի՞ մետր երկարություն է ցատկում ագեվազը:

1101. Փիղը 5 անգամ ծանր է սպիտակ արջից: Սպիտակ արջը 3,6 տ-ով թեթև է փղից: Ինչքա՞ն է կշռում յուրաքանչյուրը:

1102. Էստաֆետին մասնակցելու համար երեխաները բաժանվեցին երկու թիմի: Որպեսզի թիմերում էստաֆետի մասնակիցների քանակները հավասարվեն, ուսուցիչը 3 հոգու մի թիմից տեղափոխեց մյուս թիմը: Սկզբում մի թիմը քանի՞ հոգով էր ավելի մյուսից:

1103. Սուրենն ու Մարգոն միասին ունեին 160 նամականիշ: Երբ Սուրենը Մար գոյին 15 նամականիշ տվեց, իսկ Մարգոն Սուրենին տվեց 19 նա մա կանիշ` նրանց նամականիշերի քանակները հավասարվեցին: Քանի՞ նամականիշ ուներ նրանցից յուրաքանչյուրն սկզբում:

1104. Մետրոյի գանձապահի մոտ 250 ժետոն կար, որոնք տեղավորված էին երկու արկղերում: Եթե մի արկղից մյուսը տեղափոխվի 25 ժե-տոն, ապա ժետոնների քանակներն արկղերում կհավասարվեն: Քանի՞ ժետոն կար յուրաքանչյուր արկղում:

ANTARES


1105. ա) Կոտորակի համարիչի ու հայտարարի գումարը 32 է: Համարիչը 2-ով փոքր է հայտարարից: Գտե՛ք այդ կոտորակը:բ) Համարիչը հայտարարից 8-ով մեծ է, իսկ նրանց գումարը 34 է: Գտե՛ք այդ կոտորակը:

1106. A և B քաղաքների հեռավորությունը 331 կմ է: A -ից B ճանապարհին մի C քաղաք կա, որի հեռավորությունն A քաղաքից 17 կմ -ով մեծ է, քան` B քաղաքից: Գտե՛ք A-ից C և B-ից C հեռավորությունները:

1107. ա) Գիրքը կազմի հետ արժե 500 դրամ: Գիրքը կազմից 400 դրամով թանկ է: Որքա՞ն արժե կազմը:բ) Ձեթը շշի հետ միասին արժե 1000 դրամ: Ձեթը շշից թանկ է 900 դրամով: Որքա՞ն արժե ձեթը:

1108. Ավտոգործարանի կոնվեյերից մեկուկես րոպեն մեկ մի ավտոմեքենա է իջնում: Քանի՞ ավտոմեքենա է թողարկում գործարանը մեկ ժամում:

1109. Մի ինչ-որ տեղամասում 8 մետրանոց հին ռելսերը փոխարինել են 12 մետրանոց նոր ռելսերով:ա) Քանի՞ նոր ռելս կպահանջվի, եթե 240 հին ռելս են հանել:բ) Քանի՞ հին ռելս են հանել, եթե տեղադրել են 240 նոր ռելս:

1110. 1,5 մ շրջագիծ ունեցող անիվը որոշ հեռավորության վրա 96 պտույտ կատարեց: Նույն հեռավորության վրա քանի՞ պտույտ կկատարի 2,4 մ շրջագծով անիվը:

1111. Անասնագոմի հատակը չոր պահելու համար չոր ծղոտ են փռում: 16 գլուխ անասունների զբաղեցրած տարածքի համար 36 օրում այդ նպատակով 1,92 տ չոր ծղոտ է օգտագործվել: Քանի՞ տոննա չոր ծղոտ կպահանջվի 20 գլուխ անասունների համար 40 օրում:

1112. A-ից դեպի B 4,8 կմ/ժ արագությամբ դուրս եկավ հետիոտնը: Միաժամանակ B-ից դեպի A շարժվեց հեծանվորդը 10 կմ/ժ արագությամբ: Հեծանվորդը հասավ A, հետ շրջվեց և ընթացավ նույն արագությամբ: Կհասնի՞ արդյոք հեծանվորդը հետիոտնին մինչև վերջինիս B ժամանելը:

1113. ա) Ներկարարների բրիգադը 1 ժամում ներկեց տան պատի կեսը: Պատի մնացած մասը մեկ ներկարարը ներկեց 4 ժամում: Քանի՞ ներկարար կար բրիգադում:

բ) Բրիգադը կես օրում արեց առաջադրանքի 3 4-ը: Առա ջա դրան-

քի մնացած մասը բրիգադի անդամներից մեկը արեց կես օրում: Քանի՞ հոգի կար բրիգադում:

գ) Հյուսների բրիգադը առաջադրանքի 3 5-ը արեց կես օրում:

Առաջադրանքի մնացած մասը արեց մեկ հյուսնը մեկ օրում: Քանի՞ հյուսն կար բրիգադում:

ANTARES


դ) Լ.Ն. Տոլստոյի խնդիրը: Դաշտ դուրս եկավ հնձվորների մի խումբ: Խումբը պետք է հնձեր 2 մարգագետին, որոնցից մեկը 2 անգամ մեծ էր մյուսից: Մինչև կեսօր ամբողջ խումբը հնձում էր մեծ մարգագետինը: Կեսօրին խումբը կիսվեց՝ կեսը մնաց մեծ մարգագետնի հունձն ավարտելու համար, իսկ մյուս կեսը սկսեց հնձել փոքր մարգագետինը: Օրվա վերջում մեծ մարգագետինն արդեն հնձված էր, իսկ փոքրից մնացել էր մի մաս, որն հնձեց մեկ հնձվոր՝ աշխատելով ամբողջ հաջորդ օրը: Քանի՞ հնձվոր կար խմբում:

1114. Հին խնդիր: 10 հողմաղաց 200 քառորդակ (1 քառորդակը 200 լիտր է) ցորենն աղացին 12 օրում` օրական աշխատելով 14 ժամ: Օրական քանի՞ ժամ պետք է աշխատեն 8 այդպիսի հողմաղացը, որպեսզի 21 օրում աղան 300 քառորդակ ցորեն:

1115. ա) Կարտոֆիլում կա 20% օսլա: Քանի՞ կգ կարտոֆիլ է պետք վերց-նել 200 կգ օսլա ստանալու համար: բ) Տարեկանն աղալիս ստացվում է 75% ալյուր: Քանի՞ կիլոգրամ տարեկան է պետք աղալ 200 կգ ալյուր ստանալու համար:գ) Ցորենն աղալիս ստացվում է 80% ալյուր: Քանի՞ կիլոգրամ ցորեն է պետք աղալ 200 կգ այլուր ստանալու համար:

1116. ա) Գտե՛ք այն թիվը, որի 20%-ը հավասար է 200-ի 50%-ին:բ) Գտե՛ք այն թիվը, որի 10%-ը հավասար է 300-ի 60%-ին:

1117. 800 գ ջրում լուծեցին 200 գ աղ: Գտե՛ք աղի պարունակության տո-կոսն ստացված լուծույթում:

1118. ա) Վերնաշապիկն արժեր 15000 դրամ: Գնի իջեցումից հետո այն արժե 12000 դրամ: Քանի՞ տոկոսով էին իջեցրել վերնաշապիկի գինը:բ) Ապրանքն արժեր 69 000 դրամ: Գնի իջեցումից հետո այն արժե 62 100 դրամ: Քանի՞ տոկոսով էին իջեցրել ապրանքի գինը:

1119. Գյուղատնտեսը հաշվեց, որ ունեցած պարարտանյութը 80%-ն է այն-քանի, որ անհրաժեշտ է ընթացիկ տարվա համար: Քանի՞ տո կոսով պետք է ավելացվի եղած պարարտանյութը, որպեսզի լիովին ապահովվի տնտեսության այդ տարվա պահանջները:

1120. Երկու տղա միասին հավաքեցին 420 նամականիշ: Նրանցից մեկը մյուսից 10%-ով շատ նամականիշ էր հավաքել: Քանի՞ նամականիշ էր հավաքել մյուսը:

1121. Գործարանի բոլոր աշխատակիցների 35%-ը կանայք են, իսկ մնացածը` տղամարդիկ, որոնք 504-ով ավելի են, քան կանայք: Ընդամենը քանի՞ աշխատակից կա գործարանում:

1122. ա) Երկու թվերի տարբերությունը 20 է: Նրանցից մեկը մյուսից 40%-ով մեծ է: Գտե՛ք փոքր թիվը:

ANTARES


բ) Երկու թվերի տարբերությունը 20 է: Նրանցից մեկը փոքր է մյուսից 40%-ով: Գտե՛ք փոքր թիվը:

1123. Հավաքածուում ընդհանուր քանակով 12 բզեզ ու սարդ կա: Նրանց բոլորի ոտքերը միասին 80 հատ են: Քանի՞ բզեզ և քանի սարդ կար հավաքածուում: (Գիտե՞ք, որ բզեզն ունի 6, իսկ սարդը` 8 ոտք):

1124. Դ. Պոյայի խնդիրը: Վաճառողը երկու տեսակ ընկույզ է վաճառում. մի տեսակի կիլոգրամը 90 ցենտով, մյուսինը` 60: Նա ցանկանում է 50 կգ ընդհանուր կշռով այնպիսի խառնորդ ստանալ, որի մեկ կիլոգրամն արժենա 72 ցենտ: Յուրաքանչյուր տեսակից որքա՞ն ընկույզ պետք է վերցնի այդ նպատակով:

1125. Հետիոտնը երկու գյուղերի միջակա հեռավորությունն անցավ 4 կմ/ժ արագությամբ: Եթե նա յուրաքանչյուր ժամում 1 կմ -ով ավելի անցներ, ապա նույն ճանապարհն անցնելու համար 1 ժամով պակաս ժամանակ պետք կլիներ: Քանի՞ ժամ քայլեց հետիոտնը և ինչքա՞ն ճանապարհ անցավ:

1126. Երկու քաղաքների միջև եղած հեռավորությունը գնացքն անցավ 80 կմ/ժ արագությամբ: Եթե նրա արագությունը 20 կմ/ժ-ով պակաս լիներ, ապա այդ ուղևորության համար կպահանջվեր 1 ժամով ավելի ժամանակ: Գտե՛ք քաղաքների հեռավորությունը:

1127. Հանձնարարությունը ժամանակին անելու համար արտա դրա-մասը պետք է օրական պատրաստեր 30 սարք: Բարձ րաց նելով աշխատանքի արտադրողականությունը` արտադրամասի աշխա-տակիցներն օրական պատրաստեցին 34 սարք և առա ջա դրանքը կատարեցին ժամանակից 2 օր շուտ: Քանի՞ սարք էր նախատեսված պատրաստել և քանի՞ օրում:

1129. Գործարանը որոշակի ժամկետում որոշակի քանակությամբ մեքենաներ պատրաստելու պատվեր ստացավ: Եթե գործարանն օրական պատրաստի 250 մեքենա, ապա պայմանավորված ժամկետում կթողարկի պատվերից 1000-ով պակաս մեքենա: Իսկ եթե օրական 320 մեքենա պատրաստի, ապա ժամկետում կթողարկի 400 մեքենայով ավելի, քան պատվիրված է: Օրական քանի՞ մեքենա պետք է արտադրի գործարանը, որպեսզի ժամանակին կատարի պատվերը:

1130. Եթե աշակերտներին բաժանեն մեկական տետր, ապա 36 տետր կավելանա, իսկ եթե բաժանեն երեքական տետր, ապա 12 տետր կպակասի: Քանի՞ աշակերտ էին և քանի՞ տետր կար:

1130. Հին խնդիր: Աշակերտները պատրաստվում էին թերթ (լրագիր) բաժանորդագրվել: Եթե նրանք հավաքեին 15-ական կոպեկ, ապա չէր բավականացնի 2 ռուբլի, իսկ եթե յուրաքանչյուրը ներդներ 25 կոպեկ, ապա 2 ռուբլի կավելանար: Քանի՞ աշակերտ էին: Ի՞նչ արժեր թերթի բաժանորդագրությունը:

ANTARES


1131. Հին խնդիր: (Չինաստան, I դար): Միասին իր են գնում: Եթե յուրաքանչյուրը ներդնի 8 դրամական միավոր, ապա 3 միավոր ավելցուկ կստացվի: Եթե ամեն մարդ ներդնի 7 միավոր, ապա 4 միավոր կպակասի: Հարց է առաջանում. քանի՞ հոգի էին, և ի՞նչ արժեր իրը:

1132. Հին խնդիր: (Չինաստան, II դար): Միասին հավ են գնում: Եթե ամեն մարդ ներդնի 9 դրամական միավոր, ապա 11 միավոր կավելանա, եթե ամեն մարդ 6 միավոր ներդնի, ապա կպակասի 16 միավոր: Գտե՛ք մարդկանց քանակը և հավի գինը:

1133. Դաշտը հերկեցին 5 օրում: Եթե օրական 2,5 հա ավելի հերկեին, ապա հերկը կավարտվեր 4 օրում: Քանի՞ հեկտար է դաշտը:

1134. Յա.Ի.Պերելմանի խնդիրը: Երկուսով 400 կարտոֆիլ մաքրեցին. առաջինը րոպեում մաքրում էր 3, իսկ երկրորդը` 2 կարտոֆիլ: Երկրորդն առաջինից 25 րոպե շատ աշխատեց: Որքա՞ն ժամանակ աշխատեց յուրաքանչյուրը:

1135. Փիղն արջից 25 կմ/ժ-ով մեծ արագությամբ կարող է վազել: Արջի

արագությունը փղի արագության 2 7 մասն է: Ի՞նչ արագությամբ

կարող է վազել յուրաքանչյուր կենդանին:

1136. Առաջին բրիգադն առաջադրանքը կարող է անել 56, իսկ երկրորդը` 112 ժամում: Աշղեկը որոշեց, որ աշխատանքը պետք է կազմակերպել այնպես, որ սկզբում ինչ-որ թվով օրեր աշխատի առաջին բրիգադը, ապա` երկրորդը: Ընդ որում, առաջադրանքը պետք է ավարտվի 8 օրում` օրական աշխատելով 8 ժամ: Քանի՞ օր պետք է աշխատի բրիգադներից յուրաքանչյուրը:

1137. Դպրոցամերձ հողամասում մի դասարանը փորեց ծառերի 7 20

մասի

շուրջը, երկրորդը` մնացածի մասի շուրջը, իսկ երրորդը` մնացած 52 ծառի շուրջը: Քանի՞ ծառ կար դպրոցամերձ հողամասում:

1138. Ծառայողն աշխատավարձի 2 35

-ը ծախսեց բնակվարձի համար,

իսկ մնացածի 5 22

-ը` գնումների: Դրա նից հետո նրա մոտ մնաց

32000 դրամով ավելի, քան ծախսել էր: Որ քա՞ն է ծառայողի աշխատավարձը:

1139. Երկու խանութ հավասար կշիռներով խնձոր բերեցին: Առաջին

խանութում վաճառեցին իրենց ամբողջ խնձորի 1 3-ը ու էլի 30 կգ,

երկրորդում՝ իրենց խնձորի 1 4-ը և ևս 40 կգ: Դրանից հետո

պարզվեց, որ երկու խանութն էլ նույն չափով են խնձոր վաճառել: Որքա՞ն խնձոր էին բերել յուրաքանչյուր խանութ:

1140. Մեր դասարանում հավասար թվով տղաներ ու աղջիկներ կան: Դասարանի երեկոյին եկել էին բոլոր տղաների կեսը և էլի 3

ANTARES


տղա, աղջիկների 1 3-ը և էլի 6 աղջիկ: Պարզվեց, որ դասարանի

երեկոյին հավասար թվով տղա ու աղջիկ էին եկել: Ընդամենը քանի՞ աշակերտ կա մեր դասարանում:

1141. Հին խնդիր: «Ժամը քանի՞սն է» հարցին պատասխանեցին.

«Կեսգիշերից մինչև այս պահն անցած ժամանակի 2 5-ը հավասար

է այս պահից մինչև կեսօր մնացած ժամանակի 2 3-ին»: Ժամը

քանի՞սն էր այդ պահին:

1142. 28 մ երկարությամբ պարանը պետք է բաժանել երեք մասի այնպես, որ երկրորդ մասը լինի 3,5 անգամ, իսկ երրորդը` 2,5 անգամ մեծ առաջինից: Գտե՛ք յուրաքանչյուր մասի երկարությունը:

1143. Մի մարդ հարցրեց ծանոթին.– Քանի՞ տարեկան է քո տղան:– Եթե իմ տղայի տարիքին ավելացնենք ճիշտ այդքան և էլի այդքանի կեսը, ապա կստանանք 10 տարի: Քանի՞ տարեկան է տղան:

1144. Մի մարդու հարցրին. «Քանի՞ տարեկան եք»: Մարդը պատասխանեց. «Երբ ես էլի ապրեմ իմ այժմյան տարիքի կեսի, ապա երրորդի և ապա չորրորդի չափ` ես կդառնամ 100 տարեկան»:Քանի՞ տարեկան է մարդը:

1145. Հին խնդիր: Թռչում էր սագերի երամը, իսկ նրանց ընդառաջ թռչում է մի ուրիշ սագ և ասում.– Բարև ձեզ, հարյուր սագ:– Ո՛չ, մենք հարյուր չենք, − պատասխանում է երամի առաջնորդը, − այ, եթե մենք լինենք այնքան, որքան կանք և դարձյալ այդքան, դարձյալ այդքանի կեսը, դարձյալ այդքանի քառորդը և մեկ էլ դու, ապա կլինենք հարյուր: Քանի՞ սագ կար երամում:

1146. Հավաքածուում կար 210 հայրենական և 65 արտասահմանյան նամականիշ: Երբ նվիրեցին ևս 25 նամականիշ, հայրենական նամականիշերը դարձան 3 անգամ շատ արտասահմանյանից: Քանի՞ հայրենական նամականիշ էին նվիրել:

1147. Հայրը 32 տարեկան է, որդին` 8: Քանի՞ տարի հետո հայրը կլինի.ա) 3 անգամ մեծ որդուց, բ) 5 անգամ մեծ որդուց:

1148. Եղբայրը 12 տարեկան է, նա երեք անգամ մեծ է քրոջից: Քանի՞ տարի հետո եղբայրը 2 անգամ մեծ կլինի քրոջից:

1149. ա) Այժմ մայրն 8 անգամ մեծ է աղջկանից, իսկ 4 տարի հետո նա 4 անգամ մեծ կլինի աղջկանից: Քանի՞ տարեկան է այժմ աղջիկը:բ) Եղբայրն այժմ 3 անգամ մեծ է քրոջից, իսկ 5 տարի հետո` 2 անգամ մեծ կլինի: Քանի՞ տարեկան է այժմ յուրաքանչյուրը:

ANTARES


1150. Հայրը որդուց մեծ է 24 տարով, իսկ որդին հորից փոքր է 3 անգամ: Քանի՞ տարի հետո հայրը որդուց մեծ կլինի.ա) 2 անգամ, բ) 5 անգամ:

1151. Երկու տարաներում միասին 70 լ կաթ կար: Երբ յուրաքանչյուր տա-րա յից վաճառեցին 20 լ, մի տարայում 2 անգամ ավելի քիչ կաթ մնաց, քան մյուսում: Որքա՞ն կաթ կար յուրաքանչյուր տարայում սկզբում:

1152. Երկու հոգի սալոր ունեին: ՄԵկն ասաց մյուսին. «Տուր ինձ քո սա-լո րներից երկուսը, և ես քեզնից 2 անգամ շատ սալոր կունենամ»: Մյուսը պատասխանեց նրան. «Ո՛չ, ավելի լավ է դու ինձ երկու սալոր տուր, և մենք հավասար թվով սալոր կունենանք»: Քանի՞ սա լոր ուներ յուրաքանչյուրը:

1153. Հին խնդիր (Հունաստան): Էշին ու ջորուն բարձեցին պարկերը որմնց կշիռները հավասար էին: Էշը դժգոհեց բեռի ծանրությունից: «Ի՞նչ ես նվնվում,− ասաց ջորին,− եթե դու քո պարկերից մեկն ինձ տաս, ապա իմ բեռը 2 անգամ ծանր կդառնա քոնից, իսկ եթե ես քեզ մի պարկ փոխանցեմ` նոր-նոր մեր բեռները կհավասարվեն»: Քանի՞ պարկ բեռ ուներ յուրաքանչյուրը:

1154. Բհասկարայի խնդիրը: Մեկն ասաց ընկերոջը. «Տուր ինձ 100 ռուփի, և ես քեզանից 2 անգամ հարուստ կլինեմ»: Ընկերը պատասխանեց. «Տուր դու ինձ միայն 10 ռուփի, և ես քեզնից 6 անգամ հարուստ կլինեմ»: Քանի՞ ռուփի ուներ յուրաքանչյուրը:

1155. Լ. Էյլերի խնդիրը: Ջորին ու էշը բեռ էին տեղափոխում: Էշը, դժգոհելով իր բախտից, ասաց ջորուն. «Եթե քո բեռից ինձ տաս 100 միավոր, իմը քոնից կրկնակի ծանր դառնա»: Դրան ջորին պատասխանեց. «Այո, բայց եթե դու քո բեռից 100 միավոր ինձ տաս, ապա ես քեզանից եռակի շատ բեռնված կլինեմ»: Քանի՞ միավոր էր էշի բեռը և քանի՞ միավոր` ջորունը:

1156. Հիմա ես 2 անգամ մեծ եմ, քան այն ժամանակ, երբ եղբայրս այժմյան տարիքիս էր: Իսկ երբ լինեմ այն տարիքին, որ այժ եղբայրս է, երկուսիս տարիքները միասին կլինի 98: Քանի՞ տարեկան եմ հիմա:

1157. Ծղրիդն ուղղի երկայնքով կարող է թռչկոտել 12 սմ կամ 7 սմ երկարությամբ ոստյուններով: Կարո՞ղ է արդյոք ծղրիդն ուղղի A կետից թռչկոտելով հայտնվել այդ ուղղի B կետում, եթե AB = 3 սմ:

1158. Ծղրիդը հարթության վրա կարող է թռչկոտել ցանկացած ուղղությամբ` 12 սմ երկարությամբ ոստյուններով: Կարո՞ղ է արդյոք ծղրիդը հարթության A կետից թռչկոտելով հասնել այդ հարթության B կետը, եթե AB = 10 սմ:

1159. Ուղղանկյունն ուղիղ գծով կտրե՛ք այնպես, որ ստացված երկու մասերից հնարավոր լինի կառուցել եռանկյուն: Գտե՛ք խնդրի երկու տարբեր լուծում:

ANTARES


1160. ա) 3 մ լայնությամբ և 60 մ երկարությամբ ուղղանկյան տեսք ունեցող մայթը սալարկում են բետոնե սալաքարերով, որոնցից յուրաքանչյուրը 50 սմ կողմ ունեցող քառակուսու տեսք ունի: Քանի՞ սալաքար է հարկավոր:բ) 1 մ 80 սմ և 1 մ 50 սմ չափերով ուղղանկյան տեսք ունեցող լողասենյակի հատակը պետք է սալիկապատել 12 սմ կողմ ունեցող քառակուսի սալիկներով: Բացի այդ, պետք է նաև լողասենյակի պատերին` հատակին կից մասերում նույնպես կես սալիկ բարձրությամբ շերտ է շարել, որն անելու համար սալիկները կարող են կտրվել: Քանի՞ արկղ սալիկ է պետք, եթե 1 արկղում կա 48 սալիկ:

1161. ա) Ուղղանկյունանիստի ձև ունեցող տուփի երկարությունը 28 սմ է, լայնությունը երկարության 0,5 մասն է, իսկ բարձրությունը`

լայնության 1 7 մասը: Գտե՛ք տուփի ծավալը:

բ) Շինարարական աղյուսի երկարությունը 25 սմ է, լայնությունը երկարության 0,48, իսկ բարձրությունը` 0,26 մասն է: Աղյուսի ծավալն արտահայտե՛ք խորանարդ դեցիմետրերով:

1162. ա) Շաքարի 1 կգ-անոց տուփում կա 180 կտոր շաքար: Որքա՞ն է յուրաքանչյուր կտորի զանգվածը:բ) 5,5 սմ, 11,5 սմ, 17,5 սմ չափերով ուղղանկյունանիստի տեսք ունեցող տուփի ծավալն արտահայտե՛ք խորանարդ դեցիմետրերով: Պատասխանը կլորացրեք մինչև մեկ հարյուրերորդականի ճշտությամբ:

1163. ա) Կարելի՞ է գրել 45 տարբեր երկնիշ թիվ, որ նրանցից ոչ մի զույգի գումարը 100 չլինի:բ) Կարելի՞ է գրել 55 տարբեր երկնիշ թիվ, որ ոչ մի զույգի գումարը 100 չլինի:

1164. ա) Տուփում 5 կարմիր և 5 կանաչ մատիտ է դրված: Առանց նայելու ամենաքիչը քանի՞ մատիտ պետք է հանել տուփից, որ նրանց մեջ լինի նույն գույնի գոնե երկու մատիտ և ամենաքիչը քանի՞, որ նրանց մեջ լինի տարբեր գույնի երկու մատիտ:բ) Տուփում 5 կարմիր, 5 կանաչ և 5 սպիտակ մատիտ է դրված: Առանց նայելու ամենաքիչը քանի՞ մատիտ պետք է հանել տուփից, որ նրանց մեջ լինի նույն գույնի գոնե երկու մատիտ և ամենաքիչը քանի՞, որ նրանց մեջ լինի տարբեր գույնի երկու մատիտ:

1165. Ուսանողն ուսման 5 տարիների ընթացքում 31 քննություն է հանձնել: Յուրաքանչյուր հաջորդ տարում նա ավելի շատ քննություն է հանձնել, քան նախորդում: Հինգերորդ կուրսում 3 անգամ ավելի քննություն է հանձնել, քան առաջինում: Քանի՞ քննություն է հանձնել չորրորդ կուրսում:

ANTARES


1166. Ավանդությունը պատմում է` Հիերոն կայսրը հանձնարարեց վարպետին թագ պատրաստել և հրամայեց նրան տալ 8 կգ ոսկի ու 2 կգ արծաթ: Պատրաստի թագը կշռում էր այնքան, որքան վարպետին տրված ոսկին ու արծաթը միասին` 10 կգ: Սակայն տիրակալին տեղեկացրին, որ վարպետը թաքցրել է ոսկու մի մասը` փոխարինելով այն արծաթով: Հիերոնը կանչեց Արքիմեդին և առաջարկեց որոշել որքան ոսկի ու արծաթ է պարունակում թագը: Արքիմեդը խնդիրը լուծեց` ելնելով նրանից, որ մաքուր ոսկին ջրում կորցնում է իր քաշի մեկ քսաներորդը, իսկ արծաթը` մեկ տասներորդը: Գտե՛ք, թե ինչքան ոսկի էր թաքցրել վարպետը,

եթե թագը ջրում կշռում էր 9 1 4 կգ:

ANTARES

ՊԱՏԱՍԽԱՆՆԵՐ 221

Պատասխաններ

10. ա) 54 բ) 5

4 գ) 7

12 27. 1 : 500, 180 մ 36. ա) 50 000 և 40 000

դրամ բ) 36 000 և 54 000 դրամ 39. 50 և 40 էջ 42. 45 և 15 կմ 43.

150 000 դրամ 53. ա) 67 բ) 11

5 գ) 8 2

5 դ) 4 1

2 57. ա) 3

10 բ) 1

2 գ)

70 12 դ) 1

4 74. 18 կգ 77. ա) 4 օրում բ) 40 օրում 78. 110 1

4 79.

16 հնձվոր 81. 540 կմ 82 ա) 6 ժամում բ) 8 օրում 103 ա) 7 15տ

բ) 5 25

տ գ) 90 տ 104 9 110

տ 105. 248 գ անագ, 152 գ կապար 113 ա)

800 լամպ բ) 300 սերմ 115. 80%, 125% 117. ա) 48% բ) 52% 120

բ) 192 տղա 124. 40 մանրակ 125. 20 կմ 153. ա) 13, 19, 31, 39, 91,

93 բ) 11, 13, 19, 31, 33, 39, 91, 93, 99 154. ա) 10, 15, 50, 51 բ)

10, 11, 15, 50, 51, 55 157. 24 եղանակով 160. գ) 120, 118 161 ա)

24 եղանակով բ) 24 եղանակով գ) 12 եղանակով 162. 8 եղանակով

163. 8 եղանակով 166. 28 պարտիա 167. ա) 16 բ) 1

2 գ) 1

2 դ) 1

3

169 ա) 27 բ) 5

7 171. 1

2 172. 1

6 173. 1

24 176 ա) 1

28 բ) 1

14

գ) 17 դ) 1

14 177 ա) 1

36 բ) 1

12 գ) 1

36 դ) 0 178. 2

3 179. ոչ,

ԶԶ, ԶԹ, ԹԶ, ԹԹ չորս հնարավոր դեպքերից մեկը նպաստավոր է

առաջին խաղացողի, երկուսը՝ երկրորդ խաղացողի համար 182 ա) 120

բ) 160

գ) 1120

184. 7 շաբաթում 186. 48 ձու 187. 1 կգ 188. ա) 80 պատուհան բ) 6 օրում 193. 21%-ով 194. 19%-ով 195. իջավ, 1%-ով 196. իջավ, 1%-ով 224. ա) 13 բ) 17 գ) 13 դ) 17 243. ա) – 528, – 400, 0, 236, 400 244. ա) 367, 12, 0, – 8, – 250, – 400 257. ա) 1 բ) 3 գ) − 3 260. ա) − 200 բ) − 200 գ) − 140 դ)1645 ե) − 290 զ) 1432 275. գ) 0 276. բ) − 50 280. ա) 19 բ) − 3 288. բ) − 2 գ) − 6 դ) − 15 289. բ) − 12 գ) − 7 դ) − 22 299. ա) 10 բ) − 101 գ) 6 դ) − 50 302. ա) − 30 բ) − 56 311. ա) − 585 բ) − 11 040 գ) 4040 320. ա) 1 բ) − 1 գ) 256 դ) − 1 324. ա) 108 բ) 9 329. ա) − 24 բ) − 36 գ) 27 դ) 8 ե) − 25 զ) 36 330. ա) 6 բ)10 գ) 5 341. ա) − 5 բ) − 5 գ) − 8 դ) 90 ե) 8 զ) − 8 344. բ) − 3863 գ) 15 246 դ) − 611 ե) – 262 345. ա) − 114 336 348. ա)27 600 բ) 9800 355. ա) 56 բ) 6 գ) − 1000 դ) 2500 ե) − 83 զ) − 225 363. ա) − 100 բ) − 1000 գ) 3000 դ) − 10 000 374. ա) 356 բ) − 628 383. ա) 9 բ) 143 գ) 7 դ) 77 387. ա) − 200 բ) 200 գ)200 դ) − 500 407. ա) 24, 35 բ) D (– 8; − 2), 28, 45 442. օրինակ՝

ANTARES

ՊԱՏԱՍԽԱՆՆԵՐ222

–10, 11, − 10, 11, − 10 448. ա) 7 բ) 12 գ) 11 դ) 3 452. ոչ 462. ա)

6 օր բ) 75 բլիթ գ) 6 ժամում դ) 60 արշին 492. ա) 12գ) − 1

6 լ) 1

4

494. ա) − 1 բ) − 16 գ) − 6 517. - 34, - 2

3, - 1

6 520. այո, օրինակ, - 11

50, - 6

25,

- 310

528. ա) 49բ) 9

25 գ) 1 61

64 դ) 3

68 ե) 1 113

392զ) 395

546 534. ա) - 1

3 բ)

- 12 գ) - 3

7 դ) - 1

3 ե) -1 զ) - 15

17 541. ա) − 8

15 բ) - 7

8 գ) - 1

2 դ) - 1

2

554. ա) 3263

բ) 1 59 գ) 1 11

24 դ) - 9

25 ե) 9

52 զ) - 40

63 563. ա) 27

25 բ)

1 59 գ) -1 4

5 դ) −7

9 578. ա) 1 բ) 1 1

2 գ) 4 դ) 1 1

8 582. բ) -1 37

700

գ) - 1526

588. ա) -9 2140

բ) 4360

գ) -3 1150

դ) 34

595. ա) -3 23

բ)

-25 12

գ) -4 59

դ) -1 23

ե) 11 13

զ) 1 1415

615 ա) -17 2830

բ) -2 23

626.

ա) 512

բ) 4170

628. ա) 8 բ) 5 12

գ) 1 112

630. ա) 5 12

բ) 1 12

գ) 78

631. գ) 1316

դ) 1 1124

633 ա) 2 23

բ) 5 13

գ) 13 դ) − 4 652.

ա) 14

բ) - 112

գ) − 18

դ) 6 ե) 1 13

զ) 9 է) 0 ը) - 225

թ) 23

655. ե) 6 զ) 12

է) 14 27

ը) 225

657. ա) 2 բ) 10 գ) 3 57

դ)

1 12

ե) 3 25

զ) − 2 13

է) -2 12

ը) -10 12

663. ա) x + 6 + x = 18 բ) x − 6 + x

= 18 666. ա) 18 և 6 սունկ բ) 21 և 42 գիրք 668. ա) 16 ճուտ բ) 12

բադիկ 669. ա) 56 և 68 մ բ) 7 12 և 8 1

2մ 674. 5 կատու 675. 6 շուն

և 4 կատու 679. 36 աշակերտ 680. 28 աշակերտ 686. բ) 11 գ) − 2

դ) − 3 ե) 17 687. ա) 4 բ) − 6 գ) 4 դ) 5 688. ա) 1 15

բ) 3 35

գ) 1 691. P = 2 (a + b) ա) 10 սմ գ) 10 սմ 694. V = abc ա) 30 սմ3

բ) 8 սմ3 696. ա) a2 բ) ab գ) ad + bc ե) cd − ab զ) ab + ad − cd

698. ա) 135 կմ բ) 4 ժամ 699. ա) 6 ժամ բ) 8 պատուհան 701.

ա) (50x + 8) կմ բ) 190 − 4x4

ժամ 702. aba + b

րոպե ա) 12 րոպե բ) 21

րոպե գ) 36 րոպե 704. ա) (2x + 10) րոպե բ) (2x − 4) աշակերտ

708. ա) 25 և 12 բ) 30 և 18 717. ճշմարիտ ասույթ է 719. 1000 կմ, չի կարող 720. փիլիսոփաները շատ են 722. 25 աշակերտ 724.3000 դրամ 725. 23 ժամում 726. 2376 դահեկան 727. 420 ձուկ

ANTARES

ՊԱՏԱՍԽԱՆՆԵՐ 223

728. 320 խնձոր 729. 21 78

դահեկան 732. 15 ոսկի 733. Ցուցում.Նախապես որոշեք, թե գետով 1 կմ հեռավորություն գնալու և վերադառնալու համար վառելիքի ամբողջ պաշարի որ մասը կծախսվի: 734. 9600 կմ 749. ա) 11,79 բ) 1,12 գ) 0,06 դ) 0,026 ե) 2,31 զ) 23,1 762. ա) 0,61 բ) 0,482 գ) 0,653 767. ա) 7,485 կգ > 6,09 կգ բ) 5,48 մ > 5,4 մ գ) 7,74 կմ > 7,074 կմ դ) 8,005 տ < 8,5 տ 775. ա) 6 բ) 5,5 գ) 0,6 դ) 1,2 ե) 10 զ) 40 776. ա) 2,6 բ) 4,88 գ) 2,92 դ) 12,6 ե) 8,05 զ) 8,13 777. ա) 13 սմ 779. ա) 144 սմ բ)10,5 սմ գ) 1,14 սմ 780. 30,7 մ2 785. 988,4 հազար դրամ 787. 20,5 կմ/ժ 796. ա) 48,4 դմ բ) 35 դմ գ) 39,67 դմ դ) 0,25 դմ 813. ա) 171,18 բ) 1723,8 գ) 5,4208 831. ա) 0,06 բ) 0,04 գ) 0,0002 դ) 0,0005 ե) 0,005 զ) 0,0025 842. ա) 4,7225 բ) 21,481 847. 160 ռելս 848. 3,8 և 4,5 տ 851. 14,8 և 20 մ2 853. 17,5 հազար դրամ 855. ա) 5,5 բ) 20 857. ա) 0,85 բ) 0,65 գ) 20 դ) 10,5 864.50 կգ, 90 կգ, 1,125 տ, 75% 865. 140 կգ, 122,5 կգ, 0,63 տ 868. 16 800 դրամ 871. ոչ 875. ա) − 12,16 բ) 6,29 գ) − 2,94 դ) 0 ե) − 4,5 զ)25 878. ա) − 0,5 բ) 0,094 գ) − 0,255 դ) − 17,81 880. ա) − 4 բ)

3 գ) − 1,6 881. ա) -1 2936

բ) - 215

գ) -53 13

դ) 3 17

882. ա) − 0,125

բ) - 815

գ) − 41 887. ա) 0,345 բ) 0,765 գ) 0,023 դ) − 0,343 888.

ա) 1,24 բ) 3,57 գ) 2,58 դ) 2,56 889. ա) 1,25 բ) 1,24 գ) − 7,02

դ) 0,13 898. ա) a + b ≈ 3,4 a − b≈3,2 բ) a + b≈1,3 a − b≈3,9 գ)a + b≈0,2 a − b≈– 0,2 900. ա) ab ≈ − 4,68 a : b≈ − 1,27 բ) ab≈1,69 a : b≈2,73 գ) ab≈0,0198 a : b ≈ 229 907. 25 րոպեում 908. ա)յուրաքանչյուր փական ունի 1000 կոդ (000-ից մինչև 999), այսինքն վատագույն դեպքում կծախսվի 2000 վայրկյան կամ 33 րոպե 20

վայրկյան բ) 11000

, 1106 գ) 12 կոդ (յուրաքանչյուր փականի համար 6

կոդ) դ) 48 կոդ, 96 կոդ 915. 15 տարեկան 916. ա) 12 տարեկան բ) 10 տարեկան 920. ա) 2 բ) 2 և 3 գ) 2 և 7 դ) 2 և 3 927. ա)19,575 բ) 12,96 գ) 5 դ) 2,15 ե) 0,55 զ) 4 է) 2,01 ը) 5,2 952. ա) 3 3,1 3,12 բ) 2 2,3 2,31 գ) 3 3,6 3,61 953. ա) 3,1 3,19

3,191 3,1919 971. (0; 1) 972. (– 3; 0) 981. 11 19%-ով 982. 35,5%

983. 5 ժամ 985. 4 և 4,5 ժամ 986. 1 19

988. 4 ռուբլի 80

կոպեկ 991. 13 մանեթ 992. բ) 198 գ) 612 715 դ) 679 996. ա) 465 բ) 318 998. ա) 4 բ) 5 999. ա) 77 436 բ) 709 գ) 357

ANTARES

ՊԱՏԱՍԽԱՆՆԵՐ224

035 դ) 126 1004. ա) − 2 բ) 10 գ) − 753 դ) 7 1005. ա) 330

բ) − 99 գ) 64 դ) 5100 1016. ա) 1 1112

բ) 1 1315

գ) 18 821

դ) 4 113

1017. ա) 20 բ) 0,6 գ) 2,5 1020. ա) 0,3 բ) 7,5 գ) 1 դ) 20 ե) 1

զ) 12 1021. 2,4 1022. ա) 3,5 բ) 8 1023. ա) 5 14

բ) 58

1026.

ա) 58

բ) 1 13

գ) 14

դ) 16

1027. բ) 405 գ) 2997 դ) 13 ե) 72

1030. ա) x = 4, y = 3, z = 2 1031. ա) 47,418 բ) 20 1033. ա) 2 79

բ) 5,4 գ) 59 000 դ) 1680 ե) 45 զ) 25 1035. ա) − 6 բ) 90

1039. ա) 1675

բ) 0,34 1040. ա) 7 17

բ) 1 328

գ) 11 47

դ) 1,25

1041. ա) 500 բ) 1,1 1042. ա) 86,58 բ) − 3 6172

գ) - 227

դ) - 712

1043. ա) 3,8 բ) 3 13

գ) 17 դ) 15 1044. ա) 14,3 բ) 1 118

1059.

չի բավականացնի 1060. 291 և 363 կգ 1061. 220 և 232 1062. 33

տ 1063. 22 օր 1064. 2 ժամ 1066. 78, 42 և 24 ռուբլի 1067. 99, 51, 27 և 15 ռուբլի 1068. ա) 1 խոճկորը կշռում էր 5 կգ, 1 գառը՝ 4 կգ 1072. 24 վայրկյանում 1074. ա) 3,5 րոպե բ) 16,5 րոպե 1075. ա)3,5 ժամում և 4,5 ժամում 1079. 3,6 կգ 1083. 2 րոպեում 1086. ա)36 օր 1090. կբավականացնի 1091. չի բավականացնի 1092. 1 ժամ 12 րոպեում 1093. 8 օր 1094. 1 ժամ 15 րոպեում 1098. 69 էջ

1105. ա) 1517

բ) 2113

1107. ա) 50 դրամ բ) 950 դրամ 1111. 2 23

1112.

կհասնի 1113. 8 հնձվոր 1114. օրը 15 ժամ 1122. ա) 50 բ) 30

1123. 8 բզեզ, 4 սարդ 1124. 20 և 30 կգ 1127. 510 սարք, 17 օրում 1128. 300 մեքենա 1137. 200 ծառ 1138. 70 000 դրամ 1140. 36 աշակերտ 1152. 10 և 14 սալոր 1156. 28 տարեկան 1161. ա) 784 սմ2 բ) 1,95 դմ3 1165. 8 քննություն 1166. վարպետը 3 կգ ոսկի էր թաքցրել:

ANTARES

225

Բովանդակություն

ԳԼՈՒԽ 1 ՀԱՐԱԲԵՐՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐ, ՀԱՄԵՄԱՏՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐ,

1.1. ԹՎԵՐԻ ԵՎ ՄԵԾՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐԻ ՀԱՐԱԲԵՐՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐ ...........................31.2. ՄԱՍՇՏԱԲ ....................................................................................71.3. ԹՎԻ ԲԱԺԱՆՈՒՄԸ ՏՐՎԱԾ ՀԱՐԱԲԵՐՈՒԹՅԱՄԲ ......................................101.4. ՀԱՄԵՄԱՏՈՒԹՅՈՒՆ ........................................................................131.5. ՈՒՂԻՂ ԵՎ ՀԱԿԱԴԱՐՁ ՀԱՄԵՄԱՏԱԿԱՆՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐ ...............................161.6. ԳԱՂԱՓԱՐ ՏՈԿՈՍԻ ՄԱՍԻՆ ...............................................................221.7. ԽՆԴԻՐՆԵՐ ՏՈԿՈՍԻ ՎԵՐԱԲԵՐՅԱԼ ....................................................261.8. ՍՅՈՒՆԱԿԱՅԻՆ և ՇՐՋԱՆԱՅԻՆ ԴԻԱԳՐԱՄՆԵՐ ......................................291.9. ՏՐՎԱԾ ՊԱՅՄԱՆՆԵՐԻՆ ԲԱՎԱՐԱՐՈՂ ԻՐԱՎԻՃԱԿՆԵՐԻ ԵԼՔԵՐԻ ՔԱՆԱԿԻ ՀԱՇՎՈՒՄ

341.10. ՊԱՏԱՀՈՒՅԹԻ ՀԱՎԱՆԱԿԱՆՈՒԹՅՈՒՆ ................................................371.11. ՊԱՏՄԱԿԱՆ ԱԿՆԱՐԿ .....................................................................411.12. ՀԵՏԱՔՐՔՐԱՇԱՐԺ ԽՆԴԻՐՆԵՐ .........................................................43

ԳԼՈՒԽ 2. ԱՄԲՈՂՋ ԹՎԵՐ

2.1. ԲԱՑԱՍԱԿԱՆ ԱՄԲՈՂՋ ԹՎԵՐ ............................................................462.2. ԹՎԻ ՀԱԿԱԴԻՐ: ԹՎԻ ԲԱՑԱՐՁԱԿ ԱՐԺԵՔ ...........................................482.3. ԱՄԲՈՂՋ ԹՎԵՐԻ ՀԱՄԵՄԱՏՈՒՄԸ ......................................................512.4. ԱՄԲՈՂՋ ԹՎԵՐԻ ԳՈՒՄԱՐՈՒՄԸ ........................................................522.5. ԱՄԲՈՂՋ ԹՎԵՐԻ ԳՈՒՄԱՐՄԱՆ ՕՐԵՆՔՆԵՐԸ ........................................562.6. ԱՄԲՈՂՋ ԹՎԵՐԻ ՀԱՆՈՒՄԸ .............................................................592.7. ԱՄԲՈՂՋ ԹՎԵՐԻ ԱՐՏԱԴՐՅԱԼԸ .........................................................622.8. ԱՄԲՈՂՋ ԹՎԵՐԻ ՔԱՆՈՐԴԸ .............................................................662.9. ԲԱՇԽԱԿԱՆ ՕՐԵՆՔԸ ......................................................................682.10. ՓԱԿԱԳԾԵՐԻ ԲԱՑՈՒՄԸ ԵՎ ՆԵՐԱՌՈՒՄԸ ՓԱԿԱԳԾԵՐԻ ՄԵՋ ....................712.11. ԳՈՐԾՈՂՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐ ՄԻ ՔԱՆԻ ԳՈՒՄԱՐԵԼԻՆԵՐ

ՈՒՆԵՑՈՂ ԳՈՒՄԱՐՆԵՐԻ ՀԵՏ .............................................................742.12. ԱՄԲՈՂՋ ԹՎԵՐԻ ՊԱՏԿԵՐՈՒՄԸ ԿՈՈՐԴԻՆԱՏԱՅԻՆ ԱՌԱՆՑՔԻ ՎՐԱ ...........762.13. ԿՈՈՐԴԻՆԱՏԱՅԻՆ ՀԱՐԹՈՒԹՅՈՒՆ: ԳՐԱՖԻԿՆԵՐ .................................782.14. ՀԱՄԱՉԱՓՈՒԹՅՈՒՆ ......................................................................802.15. ՊԱՏՄԱԿԱՆ ԱԿՆԱՐԿ ....................................................................882.16. ՀԵՏԱՔՐՔՐԱՇԱՐԺ ԽՆԴԻՐՆԵՐ ........................................................89

ANTARES

ԲՈՎԱՆԴԱԿՈՒԹՅՈՒՆ226

ԳԼՈՒԽ 3. ՌԱՑԻՈՆԱԼ ԹՎԵՐ

3.1. ԲԱՑԱՍԱԿԱՆ ԿՈՏՈՐԱԿՆԵՐ ...............................................................923.2. ՌԱՑԻՈՆԱԼ ԹՎԵՐ ........................................................................953.3. ՌԱՑԻՈՆԱԼ ԹՎԵՐԻ ՀԱՄԵՄԱՏՈՒՄԸ ...................................................993.4. ԿՈՏՈՐԱԿՆԵՐԻ ԳՈՒՄԱՐՈՒՄՆ ՈՒ ՀԱՆՈՒՄԸ .........................................1023.5. ԿՈՏՈՐԱԿՆԵՐԻ ԲԱԶՄԱՊԱՏԿՈՒՄՆ ՈՒ ԲԱԺԱՆՈՒՄԸ ................................1053.6. ԳՈՒՄԱՐՄԱՆ ԵՎ ԲԱԶՄԱՊԱՏԿՄԱՆ ՕՐԵՆՔՆԵՐԸ ...................................1103.7. ԿԱՄԱՅԱԿԱՆ ՆՇԱՆԻ ԽԱՌԸ ԹՎԵՐ ....................................................1133.8. ՌԱՑԻՈՆԱԼ ԹՎԵՐԻ ՊԱՏԿԵՐՈՒՄԸ ԿՈՈՐԴԻՆԱՏԱՅԻՆ ԱՌԱՆՑՔԻ ՎՐԱ:

ԿՈՈՐԴԻՆԱՏԱՅԻՆ ՀԱՐԹՈՒԹՅՈՒՆ ......................................................1183.9. ՀԱՎԱՍԱՐՈՒՄՆԵՐ .........................................................................1243.10. ԽՆԴԻՐՆԵՐԻ ԼՈՒԾՈՒՄ ՀԱՎԱՍԱՐՈՒՄՆԵՐԻ ՄԻՋՈՑՈՎ ..........................1273.11. ՏԱՌԱՅԻՆ ԱՐՏԱՀԱՅՏՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐ ....................................................1313.12. ՃՇՄԱՐԻՏ ԵՎ ԿԵՂԾ ԱՍՈՒՅԹՆԵՐ .....................................................1363.13. ՊԱՏՄԱԿԱՆ ԱԿՆԱՐԿ .....................................................................1383.14. ՀԵՏԱՔՐՔՐԱՇԱՐԺ ԽՆԴԻՐՆԵՐ .........................................................138

ԳԼՈՒԽ 4. ՏԱՍՆՈՐԴԱԿԱՆ ԿՈՏՈՐԱԿՆԵՐ

4.1. ԴՐԱԿԱՆ ՏԱՍՆՈՐԴԱԿԱՆ ԿՈՏՈՐԱԿԻ ՀԱՍԿԱՑՈՒԹՅՈՒՆԸ ..........................1414.2. ԴՐԱԿԱՆ ՏԱՍՆՈՐԴԱԿԱՆ ԿՈՏՈՐԱԿՆԵՐԻ ՀԱՄԵՄԱՏՈՒՄԸ ................1454.3. ԴՐԱԿԱՆ ՏԱՍՆՈՐԴԱԿԱՆ ԿՈՏՈՐԱԿՆԵՐԻ ԳՈՒՄԱՐՈՒՄՆ ՈՒ ՀԱՆՈՒՄԸ .........1484.4. ՍՏՈՐԱԿԵՏԻ ՏԵՂԱՇԱՐԺԸ ԴՐԱԿԱՆ ՏԱՍՆՈՐԴԱԿԱՆ ԿՈՏՈՐԱԿՈՒՄ ...............1514.5. ԴՐԱԿԱՆ ՏԱՍՆՈՐԴԱԿԱՆ ԿՈՏՈՐԱԿՆԵՐԻ ԲԱԶՄԱՊԱՏԿՈՒՄԸ ......................1534.6. ԴՐԱԿԱՆ ՏԱՍՆՈՐԴԱԿԱՆ ԿՈՏՈՐԱԿՆԵՐԻ ԲԱԺԱՆՈՒՄԸ.............................1564.7. ՏԱՍՆՈՐԴԱԿԱՆ ԿՈՏՈՐԱԿՆԵՐԸ ԵՎ ՏՈԿՈՍՆԵՐԸ ....................................1614.8. ԿԱՄԱՅԱԿԱՆ ՆՇԱՆԻ ՏԱՍՆՈՐԴԱԿԱՆ ԿՈՏՈՐԱԿՆԵՐ ................................1634.9. ՏԱՍՆՈՐԴԱԿԱՆ ԿՈՏՈՐԱԿՆԵՐԻ ՄՈՏԱՐԿՈՒՄԸ .......................................1654.10. ԵՐԿՈՒ ԹՎԵՐԻ ԳՈՒՄԱՐԻ, ՏԱՐԲԵՐՈՒԹՅԱՆ, ԱՐՏԱԴՐՅԱԼԻ ԵՎ ՔԱՆՈՐԴԻ

ՄՈՏԱՐԿՈՒՄԸ .................................................................................1674. 11. ՊԱՏՄԱԿԱՆ ԱԿՆԱՐԿ ....................................................................1704.12. ՀԵՏԱՔՐՔՐԱՇԱՐԺ ԽՆԴԻՐՆԵՐ .........................................................171

ANTARES

ԲՈՎԱՆԴԱԿՈՒԹՅՈՒՆ 227

ԳԼՈՒԽ 5. ՍՈՎՈՐԱԿԱՆ ԵՎ ՏԱՍՆՈՐԴԱԿԱՆ ..........................................ԿՈՏՈՐԱԿՆԵՐ

5.1. ԴՐԱԿԱՆ ՍՈՎՈՐԱԿԱՆ ԿՈՏՈՐԱԿԻ ՎԵՐԼՈՒԾՈՒՄԸ ՎԵՐՋԱՎՈՐ ՏԱՍՆՈՐԴԱԿԱՆ ԿՈՏՈՐԱԿԻ ..................................................174

5.2.* ԱՆՎԵՐՋ ՊԱՐԲԵՐԱԿԱՆ ՏԱՍՆՈՐԴԱԿԱՆ ԿՈՏՈՐԱԿՆԵՐ ...........................1775.3.* ՈՉ ՊԱՐԲԵՐԱԿԱՆ ԱՆՎԵՐՋ ՏԱՍՆՈՐԴԱԿԱՆ ԿՈՏՈՐԱԿՆԵՐ .......................1805.4.* ՀԱՏՎԱԾԻ ԵՐԿԱՐՈՒԹՅՈՒՆ .............................................................1825.5.* ԿՈՈՐԴԻՆԱՏԱՅԻՆ ԱՌԱՆՑՔ ............................................................1865.6.* ԴԵԿԱՐՏՅԱՆ ԿՈՈՐԴԻՆԱՏԱՅԻՆ ՀԱՄԱԿԱՐԳԸ ՀԱՐԹՈՒԹՅԱՆ ՎՐԱ .............1885.7. ՍՅՈՒՆԱԿԱՅԻՆ ԴԻԱԳՐԱՄՆԵՐ ԵՎ ԳՐԱՖԻԿՆԵՐ .....................................1925.8. ՊԱՏՄԱԿԱՆ ԱԿՆԱՐԿ ......................................................................1975.9. ՀԵՏԱՔՐՔՐԱՇԱՐԺ ԽՆԴԻՐՆԵՐ ..........................................................198

ԱՌԱՋԱԴՐԱՆՔՆԵՐ ԴԱՍԸՆԹԱՑԻ ԿՐԿՆՈՒԹՅԱՆ ՀԱՄԱՐ .................................200

ՊԱՏԱՍԽԱՆՆԵՐ ...................................................................................221

ANTARES

Ա. Մ. ՆԻԿՈԼՍԿԻ, Մ. Կ. ՊՈՏԱՊՈՎ, Ն. Ն. ՌԵՇԵՏՆԻԿՈՎ, Ա. Վ. ՇԵՎԿԻՆ

Մաթեմատիկա6

ՀԱՆՐԱԿՐԹԱԿԱՆ ԴՊՐՈՑԻԴԱՍԱԳԻՐՔ

Տեխնիկական խմբագիր՝Էջադրող՝

Կազմի ձևավորումը՝

Արարատ ԹովմասյանԱրմինե Պապանյան«Անտարես» մեդիա հոլդինգի

«Անտարես» հրատարակչատունՀՀ, Երևան-0009, Մաշտոցի պող. 50ա/1

Հեռ.՝ (+374 10) 58 10 59, 58 76 [email protected]

www.antares.am

Հանձն ված է տպագ րու թյան ...... թ.: Չափ սը` 70x100 1/16: Տա ռա տե սա կը` GHEA Hayk School: Տպագ րու թյու նը` օֆ սեթ:

......տպ. մա մուլ: Առաջին խմբաքա նա կը` .... օ րի նակ: Պատ վեր` N ....: Տ պագր ված է «Ան տա րես Նա նո պրինտ» տպա րա նում,

Արտաշիսյան 94/4:

ANTARES

Documents

Մաթեմատիկա 6 ANTARESantares.am/wp-content/uploads/2020/02/ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱ-6-2020.pdf · ա) 12 մ 15 դմ, բ) 18 կգ 540 գ, գ) 490 սմ 35 դմ, դ) 450 կգ 2