គណិតវិទ្យា ថ្នាក់ទី១០ ជំពូកទី៩ វ៉ិចទ័រក្នុងប្លង់

សាស្ដ្សាា ចារ្យណែន ាំ ៖ អនុបណ្ឌិ ត‌‌ថៃ‌‌‌ហេង

គរុនសិ្សតិជំនានទ់ ១៥ ៖ ស ផល្ល ី មតុ សាំអលុ្ ជា សផុល្ ប្រាក ់ ទតិយ យុ ាំ វុ ៉ិច

1 1

2 2

ax by cd

a b

. . .

. . .

a b c a b a c

a b c a c b c

. . .cosa b a b

uO

v

អារម្ភកថា

កម្រងមរម ៀនសមងេប និងលំហាត ់ - ចមរលើយមលើមរម ៀន “វុ ៉ិចទ ័ កនុង ប្លង”់ ថ្នន ក់ទ១ី០ ភាគ២មនេះ ម្តូវបានម ៀបម ៀងមោយយកចតិតទកុោកប់ំផតុ មម្ោរោ ណែនំ បសម់ោកអនបុែឌិ ត ថៃ មេង ណែលជាសាស្រ្សាត ចា យគែិតវ ៉ិទាថនវ ៉ិទាសាា នជាតិអប ់។ំ ោ ម ៀបម ៀងមនេះមតត តសំខានម់ៅមលើ បូរនត ម្ទឹសតីបទម្គឹេះ និងោ អនវុតតខ្ លេះៗកនុងជីវភាពម្ប្ចាថំៃៃណែលវាស្សបមៅតារកម្រិត ថនោ សិកា បសសិ់សសមៅរធ្យរសិកា។ កនុងមសៀវមៅមនេះមានខ្ លរឹសា ែចូតមៅ ៖

មរម ៀនសមងេប វុ ៉ិចទ ័ និង ម្ប្មាែវ ៉ិធ្មីលើវុ ៉ិចទ ័ និង ែមំ េះស្សាយ នវូរាលលំ់ហាតនី់រួយៗ មៅកនុង មរម ៀនមនេះ ។ មរម ៀនសមងេប ោ អនវុតតន ៍ថន វុ ៉ិចទ ័ និង ែមំ េះស្សាយ នវូរាល ់លំហាតនី់រួយៗ កនុងមរម ៀនមនេះ ។

ម្ពរទងំ ែមំ េះស្សាយ នវូលំហាតជំ់ពកួ ណៃរមទៀតផង ។ ជាចងុបញ្ច បម់យើងខ្ ្ុនឹំងទទលួរាលរ់ត ិ ៉ិេះគន ់និង ណកលំអកនុងនយ័សាា បនមែើរប ី

ឲ្យមសៀវមៅមនេះោនត់តម្ប្មសើ ម ើងរួយក ំ ៉ិតមទៀតម្ពរទងំទទលួសាា លរ់ាលក់ងវេះខាតណែលម ើងមោយយថ្នមេត ុ ។

វ ៉ិទាសាា នជាតអិប ់,ំ ថៃៃទ ី០១ ណខ្ កកដោ ឆ្ន ២ំ០១០ ម ៀបម ៀង និង វាយអតាបទមោយ ៖

ស ~ ផលលី សរូអ គែុ !

បញ្ជអីត្ថបទ

ជំពួកទី៩ ៖ វុ៉ិចទ័រ កនងុ បលង់

១ . វ ៉ិចទ័រ ន៉ិង ប្រមាណវ៉ិធី លលើ វ ៉ិចទ័រ .....................................................................................១

២ . លំហាត់ ...................................................................................................................៥

៣ . ដំល ោះប្ាយលំហាត់ ............................................................................................... ៦

៤ . ការអន វតតន៍ នន វ ៉ិចទ័រ ................................................................................................១១

៥ . លំហាត់ ..................................................................................................................១៤

៦ . ដំល ោះប្ាយលំហាត់ ...............................................................................................១៦

៧ . លំហាត់ជំពួក ........................................................................................................២៣

៨ . ដំល ោះប្ាយលំហាត់ ..............................................................................................២៥

វិទ្យាស្ថា នជាតអិប់រ ំ ឯកទេស គណិតវេិា + ICT

វ ិចទ្យ័រ ក្ន ង ប្លង ់ Page 1

ជំពួកទី៩ : វ ៉ិចទ័រ កន ង បលង ់

មេមរៀនទី១ : វ ៉ិចទ័រ ន៉ិង ប្បមាណវ៉ិធី មលើ វ ៉ិចទ័រ

មេមរៀនសមងេប ១.១ អតាន័យននវ ិចទ្យ័រ និយមនយ័ : អងកតម់ានទសិដៅ ដែលមិនគតិពីទតី ាំង ដៅថា វុ ៉ិចទរ័ ។ វុ ៉ិចទរ័ AB គមឺានចាំនចុ Aជាគល ់និង ចាំនចុ B ជាចងុ ។ ក . វុ ៉ិចទរ័ដសមើគ្នា ជាទដូៅ : វុ ៉ិចទរ័ ពីរដសមើគ្នា លុុះរតដត _ វាមាន ររដវងដសមើគ្នា _ វាមាន ទសិដៅែចូគ្នា ខ . វុ ៉ិចទរ័ពីរផទុយគ្នា ជាទដូៅ : វុ ៉ិចទរ័ ពីរផទុយគ្នា លុុះរតដត _ វាមាន ររដវងដសមើគ្នា _ វាមាន ទសិដៅផទុយគ្នា សមាា ល ់: AB BA

វុ ៉ិចទរ័ 0a លុុះរតដត 0a ររមាណវ ៉ិធបូីកវុ ៉ិចទរ័

_ ចាបរ់តដីោណ ននវ ៉ិធបូីកវុ ៉ិចទរ័ ជាទដូៅ : ដបើដគមានវុ ៉ិចទរ័ពីរ AB និង BC ដ ុះផលបូករវាងវុ ៉ិចទរ័ AB និង BC គ ឺ AC ដែលកាំណតស់រដសរដោយ AB BC AC

B

C

A



_ចាបរ់រដលឡូរោម ននវ ៉ិធបូីកវុ ៉ីចទរ័ AB AC AD ឬ a b c ជាទដូៅ : ដបើដគមានវុ ៉ិចទរ័ AB និង AC ដែលមាន A ជាចងុរមួដ ុះ ផលបូករវាងវុ ៉ិចទរ័ AB និង AC ( តមអងកតរ់ទូង ររដលឡូរោម គ ឺ AD ) _ លកខណៈរគរៈ ននររមាណវ ៉ិធវីុ ៉ិចទរ័ (1) a b b a លកខណៈរតលប ់ (2) ( )a b c a b c លកខណៈផ្ុ ាំ \ _ លកខណៈរគរៈ ននវុ ៉ិចទរ័សនូយ

(1) 0 0a a a (2) ( ) 0a a

ររមាណវ ៉ិធែីក វុ ៉ិចទរ័

PQ OQ OP ចាំដ ុះរគបច់ាំណុច O ននរលង ់។ ររមាណវ ៉ិធគីណុ វុ ៉ិចទរ័ និង ចាំននួពិត

ជាទដូៅ : ដបើដគឲ្យវុ ៉ិចទរ័ a និង ចាំននួពិត m មួយ ដ ុះដយើងអាចកាំណត ់ ma ដែល m គណុនឹងវុ ៉ិចទរ័ a ែចូ វ ៉ិធខីាងដរោម ៖ _ ដបើ a មិនដសមើដៅនឹង 0 ដ ុះ ( 1 ) ដបើ 0m ដ ុះ maជា វុ ៉ិចទរ័ដែលមាន ទសិដៅែចូវុ ៉ិចទរ័ a ដ ើយមានររដវង m a

( 2 ) ដបើ 0m ដ ុះ maជា វុ ៉ិចទរ័ដែលមាន ទសិដៅផទុយពី a ដ ើយមានររដវង m a ។ ( 3 ) ដបើ m o ដ ុះ ma ជាវុ ៉ិចទរ័ 0 ។ _ ដបើ a ដសមើដៅនឹង 0 ដ ុះ maជាវុ ៉ិចទរ័ 0 ។

O

P Q



វុ ៉ិចទរ័កលីូដនដអ៊ែរ ន៉ិយេន័យ: វុ ៉ិចទរ័ a និង b ជាវុ ៉ិចទរ័កលីូដនដអ៊ែរ ោលណា a និង b មាន ទសិដៅែចូគ្នា ឬ ទសិផទុយគ្នា ដគកាំណតស់រដសរ a b ។ លកខណៈរគរៈ (1) ( ) ( )mn a m na លកខណៈផ្ុ ាំ (2) m n a ma na លកខណៈបាំបបក (3) m a b ma mb លកខណៈបាំបបក

វុ ៉ិចទរ័ឯកត

វុ ៉ិចទរ័ ដែលមាន ររដវងដសមើ ១ ដៅថា វុ ៉ិចទរ័ឯកត ។ វុ ៉ិចទរ័និងកអូរដោដន

ររដវង ននវុ ៉ិចទរ័ គ ឺ 2 2

1 2a a a

កអូរដោដនននវុ ៉ិចទរ័ _ វុ ៉ិចទរ័ 1 2a a i a j តងជាអនគុមន ៍នន វុ ៉ិចទរ័ឯកត _ វុ ៉ិចទរ័ 1 2( , )a a a តងកអូរដោដន នន វុ ៉ិចទរ័ 1 , 2a a a ដែល

1 2,a x x a y y ោរគណ វុ ៉ិចទរ័ដោយដររីកអូរដោដន

1 2 1 2 1 1 2 2

1 2 1 2 1 1 2 2

1 2 1 2

, , ,1

, , ,2

, ,3

a a b b a b a b

a a b b a b a b

m a a ma ma

ផលគណុស្កក ដល ជាទដូៅ : ដបើ ជាមុាំបែលដកើតដឡើងដោយវុ ៉ិចទរ័ a និង b ដគបាន . cosa b a b _ ចាំដ ុះ 0a ឬ 0b ដគបាន . 0a b ។ ផលគណុស្កក ដល នន ពីរ វុ ៉ិចទរ័ដកងគ្នា a b លុុះរតដត . 0a b កាុងករណីដនុះ មាននយ័ថា cos 0 ។ ដគសនមតថ់ា 0 ជាវុ ៉ីចទរ័ដកង ដៅនឹង វុ ៉ិចទរ័ មួយដទៀត ។ ោរគណ ផលគណុស្កក ដលតមកអូរដោដន



ដបើ 1 2( , )a a a និង 1 2,b b b ដគបាន 1 1 2 2.a b a b a b ករណី ពិដសស : a b លុុះរតដត

1 1 2 2 0a b a b ជាទដូៅ ដបើតងជាមុាំបែលដកើតដឡើងដោយ 1 2,a a a និង 1 2,b b b ដ ុះ

1 1 2 2

2 2 2 2

1 2 1 2

.cos

.

a b a ba b

a b a a b b

។

លកខណៈ ចាំដ ុះរគបវ់ុ ៉ិចទរ័ ,a b និង c :

. . .1

. . .2

. .3

. .4

a a b a cb c

c a c b ca b

b m a bma

a m a bmb



លាំហាត ់ 1. ដគដអាយវុ ៉ិចទរ័ u និង vែចូរបូខាងស្កដ ាំ គណ កដនោមខាងដរោម : ក. 6 5 4 2u v u v ខ. 7 42 2 3u v u v 2. រកចាំននួពិត k និង l ដែលដផទៀងផ្ទទ ត ់ c ka lb ដបើ ,2,3 1, 4a b និង 8 , 17c ។ 3. បង្ហា ញថាសមភាពខាងដរោម : ក.

2 2. 16 94 3 4 3a b a b a b

ខ. 2 2

4 .a ba b a b 4. រកមុាំ ដែលដកើតដឡើងដោយវុ ៉ិចទរ័ a និង b ចាំដ ុះករណីខាងដរោម : ក. 3 , 4 , .a ba b ខ. . 2a ba b 5. ដគដអាយវុ ៉ិចទរ័ 2,1a និង 1,2b ។ រកតនមលននចាំននួពិត x ដែលថាវុ ៉ិចទរ័ 4xa b និង 3xa b ដកងគ្នា ។ 6. បង្ហា ញថា ចាំដ ុះវុ ៉ិចទរ័ពីរ a និង b មិនដសមើ 0 ដ ើយដបើ a b a b ដ ុះ a b ។ 7. តង i ជាវុ ៉ិចទរ័ឯកត ដ ើយស្សបដៅនឹងប ទ ត ់ l ដែល l ោតត់មចាំនចុ O និងតង B ជាចាំនចុដែលប ទ តគ់សូដចញពី A ោតប់ ទ ត ់ l ដ ើយដកងគ្នា បង្ហា ញថា . OBOA i ។



ែាំដណាុះស្ស្កយលាំហាត ់ 1. គណ កដនោម

ក . 6 5 4 2u v u v ដគបាន 6 5 4 2u v u v = 6 4 5 2u u v v = 2 3u v

ែចូដនុះ 6 5 4 2u v u v = 2 3u v ខ . 7 2 4 2 3u v u v

ដគបាន 7 2 4 2 3u v u v = 7 14 8 12u v u v = 7 8 14 12u u v v = 26u v ែចូដនុះ 7 2 4 2 3u v u v = 26u v 2 . កាំណតច់ាំននួពិត k និង l ដែល c ka lb ដគមាន 2,3 , 1 , 4a b និង 8 , 17c ដគបាន 2,3 1, 4ka lb k l = 2 ,3 , 4k k l l = 2 , 3 4k l k l ដ ុះ 8, 17 2 ;3 4k l k l

8 2 1

17 3 4 2

k l

k l

តម 1 : 8 2l k

យក 8 2l k ជសួកាុង 2 : 17 3 4 8 2k k

O

u

v

v



17 3 32 8k k 0 15 5k

ាំដអាយ 153

5k

យក 3k ជសួកាុង 1 : 8 2 3 0l ែចូដនុះ 3k និង 2l 3 . បង្ហា ញថាសមភាព ក .

2

4 3 . 4 3 16 9a b a b a b ដគបាន 4 3 . 4 3 4 4 3 3 4 3a b a b a a b b a b 2

216 12 12 9a ab ba b 2 2

16 12 12 3a ab ab b 2 2

16 9a b : ពិត (ដរ ុះផលគណុស្កគ ដល មានលកខណៈរតលប ់ )

ែចូដនុះ 2

4 3 . 4 3 16 9a b a b a b ខ . 2 2

4 .a b a b a b ដគបាន

2 2

a b a b a b a b a b a b a a b b a b a a b b a b

2 2 2 2

2 2 2 2

. . . .

. . .

2 . 2 .

a b b a a b b aa b a b

a b b a a b baa b a b

a b b a

4 .a b


4a b a b ab

4 . រកមុាំ ដែលដកើតដឡើងដោយ a និង b ចាំដ ុះករណីៈ



ក . 3 , 4 , 6a b ab

ដគបាន 6 1cos

3.4 2

ាំដអាយ 60 ែចូដនុះ 60 ខ . 2abba

តមរបូមន ្ cos.

ab

a b

ដគបាន 2 1 2cos

22 . 2 2

ាំដអាយ 45 ែចូដនុះ 45 5 .រកតាំនមល ននចាំននួពិត x ដែលថាវុ ៉ិចទរ័ 4xa b និង 3xa b ដកងគ្នា ។ ដគមាន ,2,1 1,2a b ដគបាន . 04 3xa b xa b

22 2

22 2

2 22

4 . . 03 3

4 12 . . 3 0

4 . 12 . . 3 0

4 . 11 . 3 0

xa bxa b xa b

x xa b b xaa b

x a b xa ba b

x xa ba b

ដោយ

2 2

2 2

2 1 4 1 5

. . 2. 1.2 2 2 02,1 1,2 1

2 1 4 51

a

a b

b

ដគបាន

2 22

2 22

2

4 11 . 3 0

4 11 .0 3 05 5

4 3

x a ba b

x x

x o



ាំដអាយ 2 3

4x

ឬ 3 3

4 2x


2x

6 . បង្ហា ញ ចាំដ ុះវុ ៉ិចទរ័ ពីរ a និង b មិនដសមើ 0 ដ ើយ ដបើ a b a b ដ ុះ ដ ុះ a b ។

ដយើងមាន a b a b ដលើកអងគទ ាំងពីរជាោដរ ដគបាន 2 2

a b a b

2 2 2 2

2 2 2

. .

2 . 2 .

2 . 2 . 0

a b a b a b a b

a b a ba b a b

a b a ba b a

4 . 0a b ( a និង b ខសុពី 0 ) .a b o ដ ុះ a b ែចូដនុះ . 0a b ាំដអាយ a b

7 . បង្ហា ញថា OBOAi



តមរបូ . .OA i i OB ( ដរ ុះ i ស្សបនិងបនទត់l ដែល l ោតត់ម ចាំនចុ’O និង B l ដគបាន . .OA i i OB ាំដអាយ . .. . OAiOAi OB i i OB ដោយ iជាវុ ៉ិចទរ័ឯកត ដ ុះដគបាន 1i ដ ើយ OBOB ាំដអាយ . OBOAi ែចូដនុះ . OBOAi



ជំពួកទ៩ី : វ ៉ិចទ័រ កន ង បលង ់ មេមរៀនទី២: ការអន វត្តន៍នន វ ៉ិចទ័រ

សមងេបមេមរៀន 2.1 វ ិចទ្យរ័ទ្យតីងំ

_ វុ ៉ិចទរ័ទតី ាំងននចាំនចុ p គ ឺ p ដែលកាំណតដ់ោយ P p ។ _ វុ ៉ិចទរ័ AB ដសមើនឹង ផលែក រវាង វុ ៉ិចទរ័ទតី ាំង ននចាំនចុចងុ B និង វុ ៉ិចទរ័ទតី ាំងនន ចាំនចុគល ់ A ។ _ វុ ៉ិចទរ័ a និង bជាវុ ៉ិចទរ័ទតី ាំងននចាំនចុ A និង B ដរៀងគ្នា ។ ដគបាន AB b a វុ ៉ិចទរ័ទតី ាំងននចាំនចុដចកកាុង និង ដចកដរៅ ននអងកត ់ _ វុ ៉ិចទរ័ទតី ាំង c ននចាំនចុ C ដចកអងកត ់ AB ខាងកាុង តមផលដធៀប :m n គ ឺ :

mb mac

m n

ករណីពិដសស វុ ៉ិចទរ័ទតី ាំងននចាំនចុកណ្ាលរបសអ់ងកត់AB គ ឺ 2

a b



_ ករូអដោដនននចាំនចុ C ដែលដចកអងកត ់ AB ខាងកាុង 1 1,A x y និង 2 2,B x y តមផលដធៀប :m n គ ឺ 2 1 2 1,

mx nx my nyx y

m n m n

ប ទ ត ់ និង វុ ៉ិចទរ័ _ សមីោរវុ ៉ិចទរ័ននប ទ ត់ L ោតត់មចាំនចុនឹង 0 0

P p ដ ើយស្សបដៅនឹង វុ ៉ិចទរ័ u ដែល 0u គ ឺ

0 1p p tu

0p p tu សមីោរបា៉ា រ៉ា ដម៉ាតទរមង ់វុ ៉ិចទរ័

_ សមីោរបា៉ា រ៉ា ដម៉ាតននប ទ ត ់ ដែលោតត់មចាំនចុ 0 0,op x y និង មានវុ ៉ិចទរ័

រាបទ់សិ ,u a b គ ឺ 0

0

x x ta

y y ta

ដែល tជាបា៉ា រ៉ា ដម៉ាត 2

_ ដបើ 0a និង 0b ដគបាន 0 0

by y x x

a ជាសមីោរប ទ តោ់តត់មចាំនចុ

0 , ox y ដែលមានដមគណុរាបទ់សិ ដសមើ b

a។

_ សមីោរបា៉ា រ៉ា ដម៉ាតននប ទ តោ់តត់មពីរចាំនចុ A a និង B b គ ឺ : ( )L p a t b a ប ទ ត ់ និង វុ ៉ិចទរ័ណរមា៉ា ល ់

ដគមានប ទ ត់ , 0L n ដ ើយប ទ ត់ L ដកងដៅនឹងវុ ៉ិចទរ័ណរមា៉ា ល ់ n ។ តង P p ជាចាំនចុចលត័ដលើប ទ ត់ L _ សមីោរវុ ៉ិចទរ័ននប ទ ត់ L ោតត់មចាំនចុនឹង 0 0

P p ដ ើយដកងនឹងវុ ៉ិចទរ័ ណរមា៉ា ល ់ n គ ឺ

0: . 1L n op p

ដបើ 0 0 0, , ,, ,p P x y nx y a b សមីោរកអូរដោដនននប ទ ត ់គឺ 0 0: 0L a x x b y y ។



វុ ៉ិចទរ័ ,n a b ដៅថា វុ ៉ិចទរ័ណរមា៉ា ល ់ ននប ទ តដ់នុះ ។ ចមាា យរវាងចាំនចុ និង ប ទ ត ់

ចមាា យរវាងចាំនចុ 1 1,P x y និងប ទ ត់ :L ax by c o គឺ 1 1

2 2

ax by cd

a b

រងវង ់ និង វុ ៉ិចទរ័ សមីោរវុ ៉ិចទរ័ននរងវងប់ែលមានផចិតរតងច់ាំនចុ C c និងោាំ r rCP ាំឲ្យ rp xc ដបើតង ,p x y និង 0 0,c x y ដ ុះដគបានរងវងផ់ចិត 0 0,C x y និងោ ាំ rមាន សមីោរ

2 2 2

0 0x x y y r ។ _ សមីោររងវងផ់ចិត ,O o o និងោាំ rមានរង 2 2 2x y r ។



លាំហាត ់1. តង a និង b ជាវុ ៉ិចទរ័ទតី ាំងននពីរចាំនចុ A និង B ។បង្ហា ញថា វុ ៉ិចទរ័ននចាំនចុខាង ដរោមជាអនគុមនន៍ន a និង b : ក.ចាំនចុដចកអងកត ់ AB ខាងកាុងតមផលដធៀប 3:2 ។ ខ. ចាំនចុដចកអងកត ់ AB ខាងដរៅតមផលដធៀប 1:2 ។ គ.ចាំនចុសុីដមរទីដៅនឹង A ដធៀបដៅនឹង B ។ 2. a និង b ជាវុ ៉ិចទរ័មិនស្សបគ្នា ដ ើយវុ ៉ិចទរ័ទតី ាំង ,p q និង r ននបី ចាំនចុ ,P Q និង R ដរៀងគ្នា រតូវបានបង្ហា ញែចូខាងដរោម : 2 2 , 6 6 , 6p a b q a b r a ក.បង្ហា ញ PQ និង PR ជាអនគុមនន៍ន a និង b ។

ខ.ដតើទាំ កទ់ាំនងកាុងចាំដណាមបីចាំនចុ ,P Q និង R ជាទាំ កទ់ាំនងអវី ? 3. តង a និង b ជាវុ ៉ិចទរ័ទតី ាំងននពីរចាំនចុ A និង B ដែលចាំនចុ O ជាចាំនចុគល។់ ចរូរកសមីោរវុ ៉ិចទរ័ ននកនលុះប ទ តព់ុុះមុាំ AOB ចាំដ ុះ

ក. 1a b ខ. 2 , 3a b 4.

1L ជាប ទ តោ់តត់មចាំនចុ 1,1 ដែលមាន វុ ៉ិចទរ័រាបទ់សិ 1,2u ដ ើយ 2L ជាប ទ តោ់តត់មចាំនចុ 1,5 ដែលមានវុ ៉ិចទរ័រាបទ់សិ 3, 4u ក.រកសមីោរបា៉ា រ៉ា ដម៉ាតនន

1L និង 2L ជាអនគុមនប៍ា៉ា រ៉ា ដម៉ាត s និង t ។ ខ.រកករូដោននចាំនចុដែល

1L ររសពវ 2L ។ 5. ដតើររដភទចតដុោណ ABCD ជាចតដុោណអវី ដបើទាំ កទ់ាំនងខាងដរោមពិត ៖ ក. 2AC BD AD ខ. AD AC AB និង . 0AB AD AD CD 6. រកចមាា យរវាងប ទ ត ់ 3 4 5 0x y និង ចាំនចុខាងដរោម : ក. 2,1 ខ. 8,1 គ. 0,0 7. រកចមាា យរវាងចាំនចុ 5,3 និង ប ទ ត ់ 2 6x y ។ រកសមីោររងវងម់ានផចិត 5,3 និង ប ទ តប់៉ាុះ 2 6x y ។



8.ដបើដយើងបដងកើតរតីដោណពីរ LMN និង PQR ដោយភាា បច់ាំនចុកណាដ លនន ឆដោណ ែចូបង្ហា ញ កាុងរបូ ដ ុះរតីដោណទ ាំងពីរដនុះ មានបា៉ា រ ៉ីសង ់ដតមួយ ។ បង្ហា ញដោយដររីវុ ៉ិចទរ័ទតី ាំង នន កាំពលួឆដោណ ។



ែាំដណាុះស្ស្កយលាំហាត ់ 1. បង្ហា ញវុ ៉ិចទរ័ទតី ាំងននចាំនចុខាងដរោម ជាអនគុមនន៍ន a និង b ក. ចាំនចុដចកអងកត ់ AB ខាងកាុងតមផលដធៀប 3:2 ដគមាន a និង b ជាវុ ៉ិចទរ័ទតី ាំងនន ចាំនចុ A និង B

តមរបូមន ្ mb nac

m n

ដែល 3 , 2m n ាំដអាយ

3 2 3 2

3 2 5

mb na b a b a

m n

ែចូដនុះ វុ ៉ិចទរ័ទតី ាំង គ ឺ 3 2

5

b a ខ. ចាំនចុដចកអងកត ់ AB ខាងដរៅតមផលដធៀប 1:2 ដគមាន a និង b ជាវុ ៉ិចទរ័ទតី ាំងននចាំនចុ A និង B

តមរបូមនដ mb nac

m n

ដែល 1 , 2m n ាំដអាយ

22

1 2

mb na b aa b

m n

ែចូដនុះ វុ ៉ិចទរ័ទតី ាំង គ ឺ 2a b គ. ចាំនចុសុីដមរទីដៅនឹង A ដធៀបដៅនឹង B ដោយ: ចាំនចុសុីដមរទី ដៅនឹង A ដធៀបនិង B ដ ុះ វុ ៉ិចទរ័ទតី ាំងននចាំនចុ

កណាដ លរបសអ់ងកត ់ AB គ ឺ 2

a b

ែចូដនុះ ចាំនចុសុីដមរទីដៅនឹង A ដធៀបនិង B គ ឺ 2

a b 2. បង្ហា ញថា PQ និង PR ជាអនគុមនន៍ន a និង b ដគមានវុ ៉ិចទរ័ទតី ាំងនន ,P Q និង R កាំណតដ់ោយ

2 2 , 6 6p a b q a b និង 6r a ដរៀងគ្នា ដែល a និង b មិនស្សបគ្នា ដគបាន 6 6 2 2PQ ABa b a b

6 2 6 2

8 4

4 2

a a b b

a b

a b

6 2 2PR a a b



6 2 2

4 2

2 2

a a b

a b

a b

ែចូដនុះ 4 2PQ a b និង 2 2PR a b ខ. ទាំ កទ់នងរវាង ,P Q និង R

តមសាំនរួក ដគបាន 4 2PQ a b និង 2 2PR a b ដ ុះ 2PQ PR ាំដអាយ PQ និង PR ដៅដលើប ទ តប់តមួយ ែចូដនុះ ,P Q និង R រតរ់តងគ់្នា ដៅដលើ ប ទ តប់តមួយ 3. រកសមីោរវុ ៉ិចទរ័ននកនលុះប ទ តព់ុុះមុាំ AOB ចាំដ ុះ ក. 1a b សមីោរដែលោតត់មចាំនចុ 0,0P មានវុ ៉ិចទរ័រាបទ់សិ ,u a b កាំណតដ់ោយ 0P P tu t

0x x ta

y y tb

x ta

y tb

ដត 1a b a b ែចូដនុះ P t a b ខ. 2, 3a b សមីោរដែលោតត់មចាំនចុ 0 0,0P មានវុ ៉ិចទរ័រាបទ់សិ ,u a b

កាំណតដ់ោយ x atP t

y bt



1

2

1

3

x a t

y b t

ែចូដនុះ 1 1

2 3P t a b

4. ក. រកសមីោរបា៉ា រ៉ា ដម៉ារតនន 1L និង 2L ជាបា៉ា រ៉ា ដម៉ារតនន s និង t

សមីោរបា៉ា រ៉ា ដម៉ារតមានទរមង ់ 0

0

x x at

y y bt

ដោយ 1L ោតច់ាំនចុ 1,1 និង មានវុ ៉ិចទរ័រាបទ់សិ 1,2u ដ ើយ 2L ោតច់ាំនចុ 1,5

ដ ើយមានវុ ៉ិចទរ័រាបទ់សិ 3, 4u

ដគបាន 1

1:

1 2

x sL

y s

2

1 3:

5 4

x tL

y t


1:

1 2

x sL

y s

និង 2

1 3:

5 4

x tL

y t

ខ. រកចាំនចុររសពវនន

1L និង 2L

ដគបាន 1 2

1 1 3: , :

1 2 5 4

x s x tL L

y s y t

2L ររសពវ 1L ោលណា

1 1 3 1

1 2 5 4 2

s t

s t

3 1

2 4 4 2

3 1

2 2 2

s t

s t

s t

s t

ផទឹម 1 និង 2 : 3 2 2t t 5 2t ាំដអាយ 2

5t

យក 2

5t ជសួកាុង 1

2 6: 3

5 5s



យក 6

5s ឬ 2

5t ដៅជសួកាុង 1L ឬ 2L

ដគបាន 6 11

1 15 5

6 171 2 1 2

5 5

x s

y s

ែចូដនុះ 1L និង 2L ររសពវរតង ់ 11 17

,5 5

5. ដតើ ររដភទចតដុោណ ABCD ជាចតដុោណអវី ដបើទាំ កទ់ាំនងខាងដរោមពិត ក. 2AC BD AD ដោយ AC BD AB Bc AD AB BC AD ដត / /BC AD 2AD AD AD ែចូដនុះ ចតដុោណ ABCD ជា ររដលឡូរោម ខ. AD AC AB និង . 0AB AD AD CD

ដគបាន

1

. 0 2

AD AC AB

AB AD AD CD

តម 1 AC AD AB តម 2 . 0AB AD AD CD

. 0

. 0

. 0

. 0

. . 0

0 0 0

BA AD AD DC

BD AC

DB AC

DB AD AB

DB AD DB AB

( ដរ ុះ ,DB AD DB AB )



ែចូដនុះ ចតដុោណ ABCD ជាោដរ 6. រកចមាា យរវាងប ទ ត ់ 3 4 5 0x y និង ចាំនចុ : ក. 2,1 ចមាា យរវាងចាំនចុ និង ប ទ ត ់គ ឺ 1 1

2 2

ax by cd

a b

ដគបាន 1 13 , 4 , 5, 2 , 1a b c x y

ដ ុះ 2 2

3 2 4 1 5 6 4 5 15 153

59 16 253 4d

ែចូដនុះ ចមាា យ 3d ( ឯកតររដវង ) ខ. 8,1 ដគបាន 1 18 , 1x y

ដ ុះ 2 2

3 8 4 1 5 24 4 5 153

5253 4d

ែចូដនុះ 3d ( ឯកតររដវង ) គ. 0 , 0 ដគបាន

1 10 , 0x y ដ ុះ

2 2

3 0 4 0 5 5 51

5253 4d

ែចូដនុះ 1d (ឯកតររដវង ) 7 . +រកចមាា យរវាងចាំនចុ 5,3 និង ប ទ ត ់ 2 6x y តមរបូមន ្ 1 1

2 2

ax by cd

a b

ដគបាន 2 6 0x y ដ ុះ

2 2

1 5 2 3 6 5 6 6 55

1 4 51 2d

ែចូដនុះ ចមាា យ 5d ( ឯកតររដវង ) +រកសមីោររងវង ់មានផចិត 5 , 3 និង ប ទ ត ់ 2 6x y សមីោររងវងម់ានទរមង ់

2 2 2

0 0x x y y r ដែល 0 0,x y ជា ផចិត និង r ជាោាំ ដែល ជាចមាា យពីផចិត 5,3 ដៅប ទ តប់៉ាុះ 2 6x y ដគបាន 5r d



ដគបាន

22 2

2 2

5 3 5

5 3 5

x y

x y

ែចូដនុះ សមីោររងវងក់ាំណតដ់ោយ 2 2

5 3 5x y 8 . បង្ហា ញថារតីដោណ LMN និង PQR មានបា៉ា រ ៉ីសងរ់មួដោយដររីវុ ៉ិចទរ័ទតី ាំង ននកាំពលូឆដោណ តមរបូ : ដយើងភាា ប ់ L ដៅ Q ដគបាន ' / /LL LQ (ដរ ុះ , 'L L និង Q សថិតដៅដលើប ទ តប់តមួយ ) + ដយើងភាា ប ់ M ដៅ R ដគបាន ' / /MM MR ( ដរ ុះ , 'M M និង R សថិតដៅដលើប ទ តប់តមួយ ) + ដយើងភាា ប ់ N ដៅ P ដគបាន ( ដរ ុះ , 'N N និង P សថិតដៅដលើប ទ តប់តមួយ ) ដោយ R ក ' / /NN NP ណាដ ល ,AB N កណាដ ល BC , Q កណាដ ល EF និង L កណាដ ល FA ដ ុះ / /AB LM 'M កណាដ ល LM / /CD LM 'L កណាដ ល NM / /EF ML 'N កណាដ ល MN ដគបាន LMN ដែល ' , 'L M និង 'N ជាចាំនចុកណាដ លដរៀងគ្នា នន , ,MN LM និង ML ដយើងរតូវស្ស្កយ ABC និង ' ' 'L M N មានបា៉ា រ ៉ីសងរ់មួគ្នា គ ឺរតូវស្ស្កយថា : ' ' ' 0LL MM NN ដគបាន ' ' ' 'LN NL ML LM NL LN



' ' '

2 2 2

1

2 2

1 10

2 2̀

LN LM NL ML LM LN

NM LN LMML

LMLN NM LM

LM LM

ែចូដនុះ LMN និង PQR មានបា៉ា រ ៉ីសងរ់មួ



លាំហាតជ់ាំពកួទ៩ី 1. រកកអូរដោដនននចាំនចុ P និង Q ដែលដផទៀងផ្ទទ តល់កខខណឌ ខាងដរោម ដ ើយដគដអាយ ពីរ ចាំនចុ 3,4A និង 2, 1B និង O ជាគល ់: ក . PO AB ខ . 1

2AQ AB

2 . ដគដអាយ 2 , 3 , 6 6OA a OB b OC a b និង 6 4OD b a ។ បង្ហា ញថា ក . បីចាំនចុ ,A B និង C សថិតដៅដលើប ទ តប់តមួយ ខ . AB OD

3 . ដគដអាយ 3 , 2a b និង 1a b រក ក . .a b ខ . . 2a b a b 4 . ដគដអាយ 1, 1OP និង 1 3 , 1 3OQ ក . រកមុាំបែលដកើតដឡើងដោយ OP និង OQ ខ . រករកឡានផទ នន OPQ 5 . រកវុ ៉ិចទរ័ណរមា៉ា លន់នប ទ ត ់ 3 1 0x y និង 3 2 0x y ដ ើយ រកមុាំបែល ដកើតដឡើងដោយប ទ ត ់ ។ 6 . វុ ៉ិចទរ័ p និង q ចលត័ ដ ើយ . .p q p q ពិត ។ ដររីវ ៉ិសមភាពដនុះដែើមបបីង្ហា ញវ ៉ិសមភាព ខាងដរោម ដោយសនមតថ់ា : ,p a b និង

22 2 2 2 2, :q x y ax by a b x y 7 . ចាំនចុ P ផ្ទល សទ់ដីៅដលើរលង ់ ដែលមានវុ ៉ិចទរ័ដលបឿន 2, 5v ។ ដពល 0t ដ ើយ P សថិតដៅទតី ាំងរតងច់ាំនចុ 6, 2A ដ ើយឯកត នន រយៈដពល គ ឺ ១ វ ៉ិ ទ ី ។ ក . រកវុ ៉ិចទរ័ទតី ាំង p នន ចាំនចុ P ប ទ បពី់ t វ ៉ិ ទ ី ។ ខ . ដតើ ដពលណាដែល P ខតិដៅជិត ចាំនចុ 0, 2 ? 8 . ដៅកាុងររដលឡូរោម ABCD ដគតង E ជា ចាំនចុដចករជុង AB ខាងកាុងតមផលដធៀប 2:1 ដ ើយតង F ជា ចាំនចុដចកអងកតរ់ទូង BD ខាងកាុង តមផលដធៀប 1: 3 ។ ក . តង BA a និង BC b ។ បង្ហា ញថា CE និង CF ជាអនគុមន ៍នន a និង b ។ ខ . បង្ហា ញថា បីចាំនចុ ,C E និង F សថិតដៅដលើប ទ តប់តមួយ ។ 9 . ដៅកាុង ABC ដែលកាំពូលទ ាំងបី ,A a B b និង C c ដ ើយតង P p ជា ចាំនចុ ដចក AB ខាងកាុងតមផលដធៀប 1:2 និង Q q ជា ចាំនចុកណាដ ល AC ដ ើយ R r ជា ដចក BC ខាងដរៅតមផលដធៀប 2 :1 ។ បង្ហា ញថា 3 1

4 4q p r និងបង្ហា ញចាំនចុទ ាំង



បី ,P Q និង R សថិតដៅដលើប ទ ត ់ដតមួយ ។ 10 . តង s ជារកឡានផទររដលឡូរោម ដែលពីរវុ ៉ិចទរ័ a និង b មិនស្សបគ្នា ដែលដកើតដឡើងដោយ រជុងពីរ ។ បង្ហា ញថា

2 22 .s a b a b ។ ដ ើយបង្ហា ញផងដែរថា 1 2 2 1s a b a b ដោយតង

1 2,a a a និង 1 2,b b b ។ 11 . ដគដអាយ 0 , 2a b a ដ ើយវុ ៉ិចទរ័ a b និង 5 2a b ដកងគ្នា រកមុាំបែលដកើតដឡើង ដោយវុ ៉ិចទរ័ a និង b ។ 12 . O ជាចាំនចុ គល ់និង ពីរវុ ៉ិចទរ័ A a និង B b មិនសថិតដៅដលើប ទ តប់តមួយ ។ បង្ហា ញថា វុ ៉ិចទរ័ទតី ាំង c ននចាំនចុ C ដែលមិនសថិតដៅកាុង ABC គ ឺ , 0 0 , 1c ma nb m n m n ។ 13 . ដៅកាុង របូខាងដរោម ដគមានចតដុោណ ABDE និង ACFG ជាោដរ ។ តង M ជាចាំនចុ កណាដ ល ននអងកត ់ EG ។ បង្ហា ញថា ប ទ ត ់ MA ដកងដៅនឹងប ទ ត ់ BC ដោយដររីវុ ៉ិចទរ័ ។



ែាំដណាុះស្ស្កយលាំហាត ់ 1.រកកអូរដោដន នន P និង Q ដែលដផទៀងផ្ទទ តល់កខខណឌ :

ក. PO AB ដគបាន 3, 4 ; 2, 1A B តង 1 1,P x y ដគបាន 1 1 1 10 , 0 ,PO x y x y 2 3 , 1 4 5, 5AB

ដោយ PO AB ដ ុះ 1 1

1 1

5 5

5 5

x x

y y

ែចូដនុះ 5, 5P ខ. 1

2AQ AB

តង 2 2,Q x y ដគបាន 2 2 2 23 ; 4 3; 4AQ x y x y 5, 5AB

ដោយ . 1

2AQ AB ដ ុះ

2

2

2

2

13 5

2

14 5

2

5 13

2 2

5 34

2 2

x

y

x

y

ែចូដនុះ 1 3( , )

2 2Q

2 . ក. បង្ហា ញថា ,A B និង C សថិតដៅដលើប ទ តប់តមួយ ដគបាន 2 , 3 , 6 6OA a OB b OC a b ដោយ 0, 0O ដគបាន 2 ; 3 ;A a B b និង 6 6C a b ដ ុះ 3 2 ; 6 6 2AB b a AC a b a

4 6

2 3 2

a b

b a



ដោយ 1

2AB AC ាំដអាយ AB និង AC សថិតដៅដលើប ទ តប់តមួយ

ែចូដនុះ ,A B និង C សថិតដៅប ទ ត ់ដតមួយ ខ. / /AB OD

ដគមាន 6 4OD b a ដគបាន 3 2AB b a ដោយ 2OD AB ដ ុះ OD កលីួដនដអ៊ែរ AB ែចូដនុះ / /AB OD 3. ក. រក .a b ដគមាន 3 ; 2a b និង 1a b រតូវដររីឯកលកខណៈភាព

22 2 2a b a b ab ដគបាន

22 223 3 ; 2 4a b

221 1a b

ដគបាន 3 4 1 2 .a b ាំដអាយ 2 . 1 7a b 6

. 32

a b ែចូដនុះ . 3a b ខ. . 2a b a b ដគបាន . 2 . 2 . 2a b a b a a b b a b

2 2

2 2

2 2

2 . . 2

2 . . 2

. 2

a a b b a b

a a b a b b

a a b b

ដោយ 2 2

3 ; 4a b និង . 3a b ដ ុះ . 2 3 3 2 4 8a b a b ែចូដនុះ . 2 8a b a b 4 . ក. រកមុាំដកើតដឡើងដោយ OP និង OQ ដគមាន 1, 1OP និង 1 3 , 1 3OQ

តមរបូមនដ .cos

.

OP OQ

OP OQ



ដោយ 2 21 1 2OP

2 2

1 3 1 3 1 2 3 3 1 2 3 3 8 2 2OQ . 1 1 3 1 1 3 1 3 1 3 2OP OQ

ដគបាន 2 1cos

22 2 2

ាំដអាយ 60 ែចូដនុះ 60 ខ. រករកឡានផទនន OPQ តមរបូមនដ 1

sin2

OPQS OP OQ

ដគបាន 32 ; 2 2 ; sin

2OP OP OQ OQ

ដ ុះ 1 32 2 2 3

2 2OPQS

ែចូដនុះ 3OPQS ( ឯកត នផទ ) 5 . រកវុ ៉ិចទរ័ណរមា៉ា ល ់ននប ទ ត ់ 3 1 0x y និង 3 2 0x y ប ទ ត ់ 3 1 0x y និង 3 2 0x y មានវុ ៉ិចទរ័ណរមា៉ា លដ់រៀងគ្នា 1 3 , 1u និង 2 1, 3u រកមុាំបែលដកើតដឡើងដោយប ទ ត ់ 3 1 0x y និង 3 2 0x y ដគបាន 1 3 , 1u និង 2 3 , 1u ជាវុ ៉ិចទរ័ណរមា៉ា លន់នប ទ ត ់ 3 1 0x y និង 3 2 0x y ដរៀងគ្នា

តមរបូមនដ 1 2

1 2

.cos

.

u u

u u

ដោយ 1 2. 3 , 1 . 1, 3 3 1 1 3 2 3u u

2

2

1 3 1 3 1 4 2u

2

2

2 1 3 1 3 2u

ដ ុះ 2 3 3cos

2 2 2

ាំដអាយ 30 ែចូដនុះ 30



6 . បង្ហា ញថាវ ៉ិសមភាព 2 2 2 2 2ax by a b x y

សនមត ់ ,p a b និង , ;q x y p និង q ចលត័ ដគមាន . .p q p q ដគបាន 2 2 2

. .p q p q ដោយ . , . ,p q a b x y ax by សមមូល

2 2.p q ax by

2 2 2 2. .p q a b x y សមមូល 2 2 2 2.a b x y ែចូដនុះ

2 2 2 2 2ax by a b x y 7 . ក. រកវុ ៉ិចទរ័ទតី ាំង p ននចាំនចុ P តម h a t p

6, 2 2, 5

6, 2 2 , 5

6 2 , 2 5

t

t t

t t

ែចូដនុះ 6 2 , 2 5h t t ខ. រករយៈដពល t ដោយ 6 2 , 2 5h t t

2 2 26 2 2 5h t t

ដត 2P h ខតិដៅរក 0

2 2

2

6 2 2 5 0

29 64 52 0

32 48429 0

29 29

32

29

t t

t t

t

t

ែចូដនុះ 1,1t វ ៉ិ ទ ី 8 . ក. បង្ហា ញថា CE និង CF ជាអនគុមនន៍ន a និង b

ដោយ 2, ,

3

b aE BA a BC b

ែចូដនុះ 3 3,

3 4

a b a bCE CF



ខ. បង្ហា ញថាបី ចាំនចុ ,c E និង F សថិតដៅដលើប ទ តប់តមួយ

តមសាំនរួ ក:

31

3

32

4

a bCE

a bCF

យក

1

2ដគបាន 4

3

CE

CF

4 3CF CE ដ ុះ ដគបាន CE និង CF ជាវុ ៉ិចទរ័ ដតមួយ ែចូដនុះ ,C E និង F ដៅដលើប ទ តប់តមួយ 9 . បង្ហា ញថា 3 1

4 4q p r

ដោយ q ជា ចាំនចុ កណាដ លនន AC

2

2

2

3

a bq

r c b

b ap

ដគបាន 3 1

4 4p r

3 2 12

4 3 4

12 2

4

12 2

4 2

b ac b

b a c b

a ca c q




4 4q p r

បង្ហា ញថាចាំនចុ ,P Q និង R សថិតដៅដលើប ទ តប់តមួយ តមរបូ ដគដឃើញថា 2

3PR PQ ដ ុះ PR និង PQ ជាវុ ៉ិចទរ័ ដតមួយ

ែចូដនុះ ,P Q និង R សថិតដៅដលើប ទ តប់តមួយ 10. បង្ហា ញថា

2 22 . .S a b a b

ដោយរកឡានផទររដលឡូរោម . .sinS a b ដត 2sin 1 cos ាំដអាយ 2. . 1 cosS a b

2 2 2 22. . cosa b a b

ដត 2. . .cosa b a b

2 2 22. . .cosa b a b

ាំដអាយ 22 2

. .S a b a b ដ ុះ

2 22 . .S a b a b ពិត


2 . .S a b a b + បង្ហា ញថា

1 2 2 1. .S a b a b

តម 1 2

1 2 2 1

1 2

det( , ) . .a a

S a b a b a bb b

ែចូដនុះ 1 2 2 1. .S a b a b 11. រកមុាំបែលដកើតដឡើងដោយវុ ៉ិចទរ័ a និង b

ដយើងមាន វុ ៉ិចទរ័ 5 2

a b

a b

ដកងគ្នា

ដគបាន . 5 2 0a b a b



2 2

22

2 2

2

5 2 5 2 0

5 2 . 5 . 2 0

5 3 . 2 0

5 3 . 8 0

3 3 . 0

a a b b a b

a a b a b b

a a b a

a a b a

a a b

ដត . . .cosa b a b ដគបាន 2

3 . .cos 3a b a

2 2

2

3cos

3 . .2

1cos60

2.2

a a

a b a a

a

a

ែចូដនុះ 60 12. បង្ហា ញថា វុ ៉ិចទរ័ទតី ាំង C ននចាំនចុ C ដែលមិនសថិតដៅកាុង ABC គ ឺ C ma nb ដោយ 0 0 0. .C a t b a a b t a t 0 01 . . 1t a b t តង

0 01 ,m t t n ដែល 0 , 0m n ដ ើយ 1m n

0 01 ,t m t n តម 1 1 1 .C m a nb C ma nb ែចូដនុះ C ma nb 13 . បង្ហា ញថា ប ទ ត ់MA BC ដោយដររីវុ ៉ិចទរ័



រតូវស្ស្កយថា . 0MA BC ដគបាន . .MA BC EA EM BC

.2

.2

. .2

1 1. . .

2 2

1 10 . .

2

EGEA BC

EGEA BC AC

EGEA BA AC BA AC

EA BA EA AC EG BA EG AC

EA AC EG BA

.2

.2 2

. . . ..

2 2 2 2

EG AC

BA ACEA AC EA AG EA AG

BA EA BA AG AC EA AG ACEA AC

1 .. 0

2 2

1.

2

BA AGEA AC

EA AC BA AG

ដោយ .EA AC សថិតដៅដលើប ទ តប់តមួយ . . 1EA AC EA AC

.BA AG សថិតដៅដលើប ទ តប់តមួយ . . 2BA AG BA AG

តម 1 និង 2

.

.

EC EA AC

BG BA AG

ដត BG EC

10

2EC EC ពិត

ែចូដនុះ MA BC

Documents

គណិតវិទ្យា ថ្នាក់ទី១០ ជំពូកទី៩ វ៉ិចទ័រក្នុងប្លង់