СУЧАСНІ МЕТОДИ СТВОРЕННЯ ГЕНЕРАТОРІВ РІВНОМІРНО РОЗПОДІЛЕНИХ ВИПАДКОВИХ ЧИСЕЛ

Серія прикладна математика, випуск 6 (15), 2009

Й.В. Джунь, О.О. Валецький, 2009 С. XX–XX

УДК 517.51:519.622.1:681.142.2

Джунь Й.В., Валецький О.О.

СУЧАСНІ МЕТОДИ СТВОРЕННЯ ГЕНЕРАТОРІВ РІВНОМІРНО

РОЗПОДІЛЕНИХ ВИПАДКОВИХ ЧИСЕЛ

В роботі висвітлена класифікація існуючих методів створення послідов-

ностей рівномірно розподілених випадкових чисел і їх застосування. Та-

кож значна увага приділена невідомій раніше властивості числа π – вико-

ристання його як генератора рівномірно розподілених випадкових чисел.

В роботі розглянуті методи обчислення трансцендентного числа π ,

статистичні критерії для аналізу результатів , і перевірка найбільш ві-

домих таблиць випадкових чисел.

Вступ. Рівномірно розподіленими випадковими цифрами є такі , що

отримані в результаті повторного незалежного відбору із сукупності

0,1,2,…,9 з імовірністю вибору будь-якої цифри , що дорівнює 1/10 .

Така схема еквівалентна розміщенню 10 кульок , пронумерованих циф-

рами від 0 до 9 , в скриньку , і витяганню з неї кожен раз одної із кульок

з наступним поверненням їх назад після кожного відбору . Отримана

множина чисел і утворює групу рівномірно розподілених випадкових

цифр .

Існує дуже багато таблиць рівномірно розподілених випадкових

чисел , наприклад – таблиці Пірсона-Хартлі [5] , Абрамовіца-Стіган [2].

Але не завжди використання цих таблиць є зручним . Тому користувачі

ЕОМ створювали ці числа детермінованим чином .

Числа створені таким чином називаються псевдовипадковими .

Якість псевдовипадкових чисел визначається їх перевіркою за допомо-

гою статистичних критеріїв . Мета перевірки - виявлення властивостей

псевдовипадкових чисел , відмінних від властивостей випадкових чисел.

Метою нашого дослідження був розгляд існуючих методів отри-

мання псевдовипадкових чисел.

Волинський математичний вісник

4

Сучасні методи генерації випадкових чисел. Спочатку розглянемо

найбільш поширені методи обчислення випадкових чисел . Багатолітня

практика показала , що для утворення псевдовипадкових чисел в ЕОМ

найбільш зручним є конгруентний метод . Суть його полягає в наступ-

ному : нехай { xn } , де n=0,1,2,… - послідовність псевдовипадкових

чисел . Конгруентний метод створення псевдовипадкових чисел визна-

чається відношенням

Xn+1 = a Xn + b (mod T) (1)

де b i T – взаємно прості числа .

Нагадаємо , що взаємно простими є цілі числа , які не мають загальних

дільників . Наприклад , пара 8,9 , або пара 5,7 . Вибір Т визначається

можливостями ПК і прийнятою системою числення ; a i b вибирають з

урахуванням таких умов : отримана послідовність { xn } мусить мати

бажані статистичні властивості випадкових чисел ; період послідовності

повинен бути по можливості найбільш довгим.

Тепер розглянемо яким чином вибирають параметри моделі (1) .

По-перше , величини a і b потрібно вибирати таким чином , щоб кореля-

ція між ними наближалась до нуля . Кореляція між числами xn і xn+s в

послідовності

Xn+s = as xn + bs (mod T) (2)

може бути виражена наступним чином :

s

ss

sa

T

b

T

b

p

161

(3)

де as=as(mod T) ,bs=(1+a+a

2+…+a

n-1) b (mod T) ,

T

as .

Коли a T , кореляція T

p1

1 .

Послідовність , створена мультиплікативним конгруентним мето-

дом , буде мати повний період T чисел , якщо 1) b і T взаємно прості ; 2)


5

a=1 (mod p) , якщо p є простим множником T ; 3) a=1 (mod φ) , якщо φ є

множником Т .

Отже , якщо Т=2q , то b має бути непарним і a=1 (mod φ) .

Якщо Т=10q , то b не повинно ділитися ні на 2 , ні на 5 і a=1 (mod

20). Найбільш зручно прийняти 10s+1=a ( для ЕОМ з десятковою сис-

темою числення ) , або 2s+1=a ( для машин з двійковою системою чис-

лення ) .

З точки зору швидкості утворення випадкових чисел названа схе-

ма вимагає лише операцію зсуву і дві операції додавання . Для утворен-

ня послідовності випадкових чисел в якості початкової точки можна

взяти будь-яке число .

Зробимо невеликий огляд різноманітних конгруентних схем і їх

властивості .

В табл.1 ми подаємо сучасні конгруентні схеми утворення випад-

кових чисел ( Xn+1 = a Xn + b (mod T) , Т і а взаємно прості ).

Таблиця 1

№

п

/

п

a b T Період X0 Випадки , в яких

отримані числа ,

перевірені за

допомогою стати-

стичних критеріїв

1 1+t2 н

е

п

а

р.

T=tq tq Tx 00

Т=235 , х0=0 , а=27

+ 1 , b=1

Т=247 , а=29 + 1 ,

b=2974109625847

х0=762939453125

2 2sr

1

r-непар.

2s

0 T=tq tq-s Взаємно просте

з Т

Т=240 , 243 ,х0=1,

а=517 (s=2)

Т=235 , х0=1

Т=239 , х0=1-2-39


6

а=513 (s=2) ,

Т=235, х0=1 , а=516

(s=2)

3

- // -

T=1035 +1 ,

х0=10,987,654,321

a=23 , період 106

T=108 +1 ,

х0=47,594,118,321

a=23 , період

5,8106 106

4 74s + 1 T=1010 , х0=1, а=7

T=1011 , х0=1,

а=713

Розглянуті методи є поширеними і зрозумілими і , так би мовити ,

«традиційними» [3]. Таким чином , як показав проведений нами аналіз ,

названі схеми генераторів рівномірно розподілених випадкових чисел є

досить простими , штучними , навіть дещо примітивними, і завжди ви-

магають детальної перевірки в кожному конкретному випадку .

Необхідні відомості про число π . Одним із перспективних на-

прямків створення генераторів рівномірно росподілених випадкових

чисел є використання з цією метою трансцендентних чисел з певними

властивостями. Одним з таких чисел є стала π , саме таємниче трансцен-

дентне число - відношення довжини кола до його радіусу . Достеменно

відомо , що воно є нескінченним – вчені знайшли алгоритм (так званий

spigot algorithm , без використання попередніх цифр) знаходження дові-

льної двійкової цифри в запису числа – так звана «BBP-type formulae»,

розроблена у 1995 році Девідом Х. Бейлі, Пітером Боруейном и Саймо-

ном Плуффом [4]. Закордонними вченими на надпотужних обчислюва-

льних комплексах було обчислено більше 1 трільйона знаків після коми

числа π . Вивченням його властивостей займались такі видатні вчені , як

Лейбніц і Ейлер (намагались віднайти коректні і точні формули для


7

знаходження значення), Ламберт і Лежандр (довели ірраціональність

числа) , Ліндеман і Клейн (довели трансцендентність) . Англійський

математик Август де Морган назвав π «загадковим числом , яке вламу-

ється до нас звідусіль» , адже воно використовується у багатьох задачах,

які відношення до кола не мають . «Загадковому числу π» присвячено

чимало наукових праць , окрім згаданих вище науковців , багато мате-

матиків , починаючи з Архімеда і закінчуючи роботами сучасних вче-

них. Тому , здавалось би , про π відомо все . Але недарма в числі π «схо-

ваний весь світ» ...

Нами була здійснена спроба дослідження можливостей викорис-

тання трансцендентних чисел як генераторів рівномірно розподілених

випадкових чисел . Звісно , в першу чергу увага була приділена саме

«загадковому числу π» . Для такого дослідження необхідно обчислювати

число π з дуже великою кількістю цифр після коми , тому спочатку роз-

глянемо основні оцінки і методи обчислення числа π .

Оцінки числа π в різні часи :

3 (древні вавилоняни , 3-2 тис. р. до н.е.)

8

13 (римський архітектор Вітрувій , 1 ст. до н.е.)

7

22 (видатний давньогрецький математик , механік , інженер

Архімед, 3 ст. до н.е.),

120

377 (індійський мислитель і астроном Арьябхати, 5 ст. до н.е.)

113

355 (давньокитайський астроному Цзу Чунчжи).


8

Методи обчислення числа π. Метод Монте-Карло . Досить простий і

легкий в реалізації метод. Суть його полягає в наступному : розглянемо

довільний квадрат з центром на початку координат і вписаний в нього

круг. Розглядатимемо тільки першу координатну чверть. У ній будемо

випадковим чином вибирати точки , і рахувати, скільки потрапили в

четверть круга (мал.1) . Завдяки теорії вірогідності ми знаємо, що від-

ношення попадань в чверть круга до попадань поза ним рівне відношен-

ню площ - π/4. Це , власне, і весь алгоритм. Чим більше узятих навмання

точок ми перевіримо, тим точніше буде відношення площ , а , відповід-

но , і значення числа π .

Недоліки цього методу полягають в його невисокій ефективності

(для знаходження тільки перших цифр після коми числа π потрібна зна-

чна кількість ітерацій) та у тому , що при реалізації алгоритму на деякій

мові програмування використовується вбудований генератор випадко-

вих чисел .

Низьку ефективність даного методу доводять результати обчис-

лень тестовою програмою – 10 000 000 ітерацій головного циклу про-

грами знаходять лише 3 цифри після коми числа π.

Ряд Лейбніца. Ряд Лейбніца – це знакозмінний ряд , який має

наступний вигляд :

...2

11...

9

1

7

1

5

1

3

11

4

nn

або такий ( після множення лівої та правої частин на 4 ) :

...

2

11...

9

1

7

1

5

1

3

114

nn

Ефективність даного методу дещо вища – 100 000 ітерацій голов-

ного циклу програми знаходять 4 цифри після коми числа π.


9

Обчислення за формулами. Відомі наступні формули для обчис-

лення числа π :

3

1

2

1

4arctgarctg

- ф-ла Хаттона (Hutton) №1 ; (1)

7

1

2

12

4arctgarctg

- ф-ла Хаттона №2 ; (2)

239

1

5

14

4arctgarctg

- ф-ла Мечіна (Machin); (3)

239

15

57

18

18

112

4arctgarctgarctg

- ф-ла Гауса (Gauß); (4)

12943

124

682

112

239

17

57

144

4arctgarctgarctgarctg

-

ф-ла Стормера (Størmer) . (5)

Якщо врахувати , що для кожної формули arctg(x) можна вирази-

ти через степеневий ряд наступного вигляду :

...12

)1(...753

)(12

1753

n

xxxxxxarctg

nn

, (6)

то ми побачимо досить реальний шлях обчислення числа π за вказаними

формулами . Слід зазначити , що ряд (6) був відкритий шотландським

математиком Джеймсом Грегорі (Gregory ) в 1670 році і є узагальненням

ряду Лейбніца (перетворюється в нього при х=1). Що цікаво , сам вина-

хідник тоді не помітив, що даний ряд має відношення до числа π.

Проаналізуємо ефективність формул за допомогою міри Лехмера

( Lehmer’s Measure ) , яка являє собою суму величин , обернених до де-

сяткових логарифмів з основою , яка рівна знаменнику арктангенса у

формулі . Наприклад, з формулою Мечіна (3) :


10

852,1239lg

1

5lg

1E .

Враховуємо той факт , що чим менше значення даної міри , тим

більше формула ефективна.

Таблиця 2

Формула Хаттона

№1

Хаттона

№2

Мечіна Гауса Стормера

Міра Лех-

мера

5,418 3,280 1,852 1,786 1,586

З табл. 2 видно , що найефективнішою є формула Стормера (5).

Її ми і використали в наших дослідженнях . По наведеному вище алго-

ритму була написана програма для обчислення значення числа з довіль-

ною точністю [5],[6],[7],[8],[9].

В табл.3 ви маєте змогу побачити результати обчислення та ро-

зподілу цифр числа π , обчисленого відповідно до n1=1000 , n2=5000 ,

n3=10000 , n4=50000 , n5=100000 , n6=500000 знаків після коми .

Таблиця 3 Ц

И

Ф

Р

И

n=1000 n=5000 n=10000 n=50000 n=100000 n=500000

in τ

in Τ

in τ

in τ

in τ

in τ

0 93 0,49 466 2,31 968 1,02 5032 0,20 10000 0,00 50166 0,55

1 116 2,56 532 2,05 1026 0,68 5055 0,60 10138 1,90 49938 0,08

2 103 0,09 495 0,05 1021 0,44 4868 3,48 9908 0,85 49920 0,13

3 102 0,04 459 3,36 975 0,62 4947 0,56 10025 0,06 49882 0,28

4 94 0,36 507 0,10 1012 0,14 5011 0,02 9969 0,10 49754 1,21

5 97 0,09 526 1,35 1045 2,02 5052 0,54 10026 0,07 50362 2,62

6 95 0,25 514 0,39 1023 0,53 5017 0,06 10028 0,08 49899 0,20

7 95 0,25 487 0,34 969 0,96 4978 0,10 10026 0,07 50084 0,14

8 100 0,00 492 0,13 947 2,81 5030 0,18 9978 0,05 49903 0,19

9 105 0,25 522 0,97 1014 0,20 5010 0,02 9902 0,96 50092 0,17

χ2 4,38 11,05 9,43 5,78 4,13 5,57


11

Примітка : τ=

10

10

2

n

nni

Через ni позначені емпіричні частоти , через ni’ – теоретичні .

Значення статистики φ2 обчислено за формулою :

χ2 =

'

)'( 2

i

is

n

nn

Підсумкова табл.4 дає імовірність того , що вказані вибірки об-

сягом n1 , n2 , n3 , n4 , n5 є вибірками із рівномірно розподіленої генера-

льної сукупності . При цьому критичну точку для критерію χ2 ми виби-

рали із таблиць при умові χ2= χ

2кр.

Число ступенів вільності χ2

кр. r=10-3=7.

Таблиця 4

№

перевірки

nj χ2

Pj

1 1000 4,38 73,3

2 5000 11,05 13,9

3 10000 9,43 22,5

4 50000 5,78 56,3

5 100000 4,13 76,8

6 500000 5,57 58,7


12

Отже , ми бачимо , що при даному визначенні середня імовір-

ність %25.502 x

P

Врахуємо те , що аналогічним способом було здійснено переві-

рку існуючих таблиць рівномірно розподілених випадкових чисел , в

результаті яких було отримано наступне :

1) Пірсона – Хартлі [1]: χ2 = 12.12 ; Pj = 9.6942 .

2) Абрамовіца – Стіган [2] : χ2 = 7,06 ; Pj = 40.7174 .

Висновок. Отримані нами імовірності досить високі , якщо ви-

ходити з того факту, що аналогічні імовірності, знайдені для нормально-

го розподілу становлять в середньому 3-10% і в той же час нормальний

розподіл має всезагальне застосування як теоретичний розподіл похибок

спостережень . Тому ми маємо всі обґрунтування істинності твердження

про можливість використання трансцендентних чисел, а саме числа π як

генератора випадкових чисел.

Таким чином , можна вважати , що відкрита нова , невідома досі

властивість числа π , а саме : підтверджено факт , що це число є ідеаль-

ним генератором рівномірно розподілених випадкових чисел , набагато

кращим , ніж всесвітньо відомі таблиці Пірсона – Хартлі [1] чи таблиці

Абрамовіца – Стіган [2] .

Витрачено дуже багато зусиль на створення штучних генерато-

рів випадкових чисел , написано тисячі наукових статей , сотні книг ,

захищено сотні дисертацій . Як виявляється , цих речей можна було б не

робити , якби вчасно була відома знайдена нами особливість числа π .


13

1. 1.Большев Л.Н. , Смирнов Н.В. Таблицы математической статистики //

М.: ВЦ АН СССР , 1968 , с. 206 .

2. Abramovitz Ed. M. and Stegun I. Handbook of Mathematical Functions //

National Bureau of Standarts applied mathematics Series-55 . Issued June

1964 – 832 p.

3. Hull T.E. , Dobell A.R. Random number generators // Soc. Ind. Appl. Math ,

1962 , №4 , p. 230-254.

4. Bailey D.H. and Crandall, R.E.Random Generators and Normal Numbers //

Expert Math.11, 527-546, 2002.

5. Корера А., Фрейзер С., Маклин С. и др. Visual Studio .NET . Пособие для

разработчиков С++ // М. : Лори, 2003.

6. Тойстернсон П., Оберг Р. Архитектура .NET и программирование на

Visual C++ // М./СПб/К. : Вильямс, 2002.

7. Либерти Дж. Программирование на C# (O’Reilly – Second Edition) // М.:

Символ-Плюс.

8. Рихтер Дж. Программирование на платформе .NET Framework (изд.

второе, дополненное) // М. : Русская редакція, 2003.

9. Microsoft Developer Network Library for Microsoft Visual Studio

(http://msdn.microsft.com).

Джунь Й.В., Валецкий О.О. СОВРЕМЕННЫЕ МЕТОДЫ СОЗДАНИЯ

ГЕНЕРАТОРОВ РАВНОМЕРНО РАСПРЕДЕЛЕННХ СЛУЧАЙНЫХ ЧИСЕЛ //

В работе отражена классификация существующих методов создания последо-

вательностей равномерно распределенных случайных чисел и их применение.

Также значительное внимание обращено на неизвестное ранее свойство числа

π - использование его как генератора равномерно распределенных случайных

чисел. В работе рассмотрены методы вычисления трансцендентного числа π,

статистические критерии для анализа результатов, и проверка наиболее

известных таблиц случайных чисел.

Dzhun Y.V., Valetsky O.O. MODERN METHODS FOR CREATION OF

GENERATORS OF EQUIDISTRIBUTED RANDOM DIGITS // It is in-process

reflected classification of existent methods of creation of sequences of equipartition

random numbers and their application. Also much attention is devoted to unknown

property of number of π – its use as generator of equipartition random numbers. In-

process there are considered methods of calculation of π, and statistical criteria for

the analysis of results, and verification of the most known tables of random numbers.

Documents

СУЧАСНІ МЕТОДИ СТВОРЕННЯ ГЕНЕРАТОРІВ РІВНОМІРНО РОЗПОДІЛЕНИХ ВИПАДКОВИХ ЧИСЕЛ