: موضوعی دایره ها فصل - 2هندسه

دوم

کتاب بزرگ طبیعت به زبان ریاضی نوشته شده است.

الفبا ی این زبان مثلث ها دایره ها و سایر اشکال هندسی است.

گالیله

o.r

M

دایره مکان هندسی نقطه ای از صفحه است که فاصله اش از نقطه ثابتی

واقع در آن صفحه مقدار ثابتی باشد. نقطه ثابت مرکز دایره و مقدار

ثابت اندازه شعاع دایره نامیده می شود. .

هم چنین میتوان گفت:دایره منحنی بسته ای است که فاصله تمام نقاط روی محیطش از نقطه ی ثابتی به نام مرکزبه یک فاصله است.

وبه oبه مرکز cدایره ی نام گذاری دایره ها:را به صرت زیر نام گذاری می rشعاع

C(o.r)کنیم:

تعاریف:فاصله هر نقطه ی روی محیط دایره تامرکز دایره را شعاع دایره شعاع:

(نشان میدهیم.R)مینامیم.با

وتری که از مرکز دایره گذشته و دایره را به دو قسمت برابر قطر:(نشان میدهیم.R2تقسیم میکند. با)

قسمتی از محیط یک دایره راکمان دایره مینامیم مثل کمان کمان:AB:AB

ABخطی که دو سر دایره بهم وصل میکن وتر دایره است مثل وتر وتر:

A B

O

حالتهای یک نقطه با دایره

دایره بیرون دایره نقطه روی دایره نقطه درون درون دایره Mاگر نقطه نقطه OM<Rباشد:آنگاه

. .O M

R

روی دایره Mاگر نقطه OM=Rباشدآنگاه

نقطه دایره Mاگر از خارج OM>Rباشدآنگاه

.O

.M

R

O.

M.

R

حالتهای یک خط با

دایره

-خط بر دایره مماس 1باشد)خط و دایره فقط یک

نقطه تماس داشته باشند(

-خط و دایره متقاطع 2باشند)خط و دایره دونقطه

تماس داشته باشند(

-خط ودایره نقطه 3تماس ندارند)خط دایره را

قطع نمیکند(

d

d

d

هاخط حالت این همان dدر ( که خطی المرکزین خط

دایره خط بر دایره ازمرکز. باشد ( می است شده عمود d=R

d<R

d>R

دایره در زوایا

مرکزی ی شعاع :زاویه ان اضالع و دایره مرکز آن راس که زاویه. است دایره های

است زاویه آن مقابل کمان با برابر مرکزی زاویه ^O=ᴖAB͡اندازه

: محاطی وتر زاویه دو واضالعش دایره روی راسش که ای زاویهمیباشد دایره

روبرویش کمان نصف برابر محاطی زاویه C^=͡اندازه

ظلی ان :زاویه اضالع از ویکی دایزه روی راسش که زاویه . روبرو کمان نصف برابر ضلی زاویه است مماس دایره =͡بر

^A

وتر دو بین :زاویه

A B

O

.O

A B

A

B

.O

C

زاویه محاطی B^ACفرض: اندازه زاویه محاطی نصف کمان روبرو است اثبات:حکم:است

BC 2وصل Cاز مرکز دایره به نقطه توضیح رسم:

متساوی الساقین است AOCمثلثمیکنیم. ^A=^CB^OC= ^A+^C زاویه خارجی مثلثAOC 2^A

B^OC دایره مرکزی زاویی = ͡͡BC⁄2 BC2

O.

A

C

B

زاویه ظلی است BTAفرض:اندازه هر زاویه ظلی نصف کمان مقابل است. اثبات: BAT=AB/2حکم::

درجه 90 محاطی به قطر برابر ABD وصل میکنیم زاویه BبهDمیگذرد را رسم واز Aتوضیح رسم:قطری که از است.

ADB+BAD=90

DAB+BAT=90 BAT=ADB

BAT=AB/2

A

B

T

D

O.

زاویه بین دو وتر

زاویه بین دو وتر که یکدیگر را در خارج ار دایره قطع کنند

زاویه بین دو وتر که یکدیگر را در داخل دایره قطع میکنند

A

B

D

C

M

A

B

D

C

M

M

_͡^

: طولی روابطاست- تر نزدیک مرکز به که وتری ان نابرابر وتر دو از

بالعکس و است بزرگترباهم- نقطه یک ازهر شده رسم های مماس طول

برابرند

'رسم شده AA' وBBداخل دایره دو وتر دلخواه mاز نقطه ی'MA.MA‘=BM.MB:.اند داریم

B

'B

A

A'

M

` MA=6وMB=3وMA=4اگر در شکل فوق`?BBباشد مطلوب است اندازه وتر

4.6=3 .MB`MB`=8

BB`=MB+MB`=8+3=11

مماس . 4- خط از قطعهای کنیم رسم دایره به نسبت قاطع ویک مماس یک نقطه ازیک اگراست قاطع قطعه دو هندسی ی واسطه تماس ونقطه نقطه آن بین محصور

M

A'

A

T MT²=AM.A‘M

اگر فوق شکل مطلوب A‘A=5وAM=4در باشد?MTاست MT²=4.9=36پاسخ:MT=6

هر گاه همه ی اضالعl یک چند ضلعی بر محیط دایره مماس باشد«شرط الزم و کافی برا انکه چهار ضلعی محیطی باشد 1نکته

آن است که مجموع اضالع مقابل دو به دو با هم برابر باشد

«هر مثلث میتواند بر دایره محیط شود این دایره دایره 2نکتهمحاطی مثلث نامیده میشود که مرکز دایره همان محل

همرسی نیمساز های داخلی مثلث است از رابطه ذیل بدست می ABCشعاع دایره محاطی مثلث

R=S/Pآید

«شرط الزم کافی برا انکه چهار ضلعی محاطی باشد آن است که زوایا مقابل دو به دو مکملباشد

«هر مثلث میتواند بر دایره محاط شود این دایره دایره 2نکتهمحیطی مثلث نامیده میشود که مرکز دایره همان محل

همرسی عمود منصف های اضالع مثلث است از رابطه ذیل بدست می ABCشعاع دایره محیطی مثلث

R=abc/4sآید

A

BC

A

B C

چندضلعی این رئوس تمام از که دارد وجود ای دایرهگذرد می

مکان هندسی وسط تمام وتر های مساوی C(O.R)در دایره دایره ای است هم مرکز با آن Iوبه طول مشخص

دایره و به شعاعی برابر فاصله وتر تا مرکز آن دایره یعنی:

C(O. -/4)

سانتی 6 وسط وتر های 5مثال در دایره ای به شعاع روی دایره ای به کدام شعاع با همین مرکز قرار دارد

(cardioid):واحد 1اگر دایره ای به شعاع دلگونواحد و حول آن بغلتد 1مماس بر دایره ای به شعاع

شکلی که یه نقطه از محیط دایره غلتان روی صفحه بوجود می آورد دلگون میگوییم

(Nephroid)واحد 1ای به شعاع ه اگر دایر:نفرویدواحد و حول آن بغلتد 2به شعاع مماس بر دایره ای

شکلی که یه نقطه از محیط دایره غلتان روی صفحه بوجود می آورد نفروید میگوییم

(Astroid):واحد 1اگر دایره ای به شعاع ستاره گونواحد و درون آن بغلتد 4مماس بر دایره ای به شعاع

شکلی که یه نقطه از محیط دایره غلتان روی صفحه بوجود می آورد ستاره گون میگوییم

(Deltoid):واحد 1گر دایره ای به شعاع ادلتا گونواحد و درون آن بغلتد 3مماس بر دایره ای به شعاع

شکلی که یه نقطه از محیط دایره غلتان روی صفحه بوجود می آورد دلتا گون میگوییم

خور در کمان

قضیه:•برابر • ای زاویه راس هندسی که aمکان است

گذرند،کمان می ثابت نقطه دو از ضلعهایشدو آن از که است مساوی دایره دو از هایی

رو به رو مرکزی زاویه و گذرند می ثابت نقطهبرابر ها آن مشترک وتر است .a2به

اثبات : مراحل

مانند- 3 ای نقطه دلتا خط ی pروی زاویه و گرفته نظر xphدراندازه به .aرا کنیم می جدا

ثابت- 1 نقطه دو در BوAابتدا صفحه یک در را. کنیم می وصل هم به و نظرمیگیریم

را ABوسط- 2 آن منصف عمود و کرده پیدا را

نامیم . می دلتا را آن و کرده رسم

( px ی زاویه با که باشد می خطی زاویه aنیم آن اسم که سازد باشد (. xphمی می

نقطه- 4 موازی Aاز رسم pxخطیی نقطه در را خط تا کنیم oمی

. کند مرکز- 5قطع شعاع oبه کنیم .OAو می رسم ای دایرهی- 6 نقطه از ً حتما دایره نقاط B این در را دلتا خط و گذشت خواهدEوF. کرد خواهد کمان *قطع XPH=AOH=a چرا؟...است a2برابر AEB اندازه

AOB=2a مرکزی

AEB=2a موازی خاصیت طبقمورب

نظر AFBکمان مورد هندسی مکانای زاویه راس هندسی مکان یعنی

aبرابرثابت نقطه دو از که باشد می BوAمی

گذرد.

نقطه- 7 موازی Bاز کنیم PXخطی می رسمنقطه در را دلتا خط کند' Oتا .قطع

مرکز- 8 شعاع' Oبه رسم O'Bو ای دایرهخط با را دایره این تقاطع محل و کنیم می

.’Fو’Eدلتاً نامیم میهندسی BF’Aکمان مکان همان

این روی نقطه هر اگر که میباشدبرابر شود انتخاب خواهد aکمان

شد.

هاي حالتمانند :مختلف اي روي Mاگرنقطه

قضيه AFBكمان باشد : زيرا است ثابت

نصف Mزاويه با است برابربرابر AEBكمان aو

است .M = AEB = a

2 مورد در قضيه نيز "Mو ' Mاين

يعني صدق كند :مي

M = M' =M"= a

مانند ديگري ي نقطه اگر Nحالباشد داشته مي ۲وجود اتفاق حالت

: افتد

هاي :مختلف حالت

: Nاگر 1) زاويه باشد دايره داخلمثلث خارجي مجموع NMBي برابر

نتيجه 1Bو Mزواياي در باشد ميقضيه aاز Nزاويه و شده تر بزرگ

كن مي نقض د.را

N = M + B1→ N > a

: Nاگر ( 2 باشد دايره خارجمثلث خارجي ي MNBزاويه

زواياي مجموع B1و Nبرابرزاويه نتيجه در باشد از Nمي

a را قضيه و شده تر كوچك. كند مي نقض

M = N + a → N < a

هاي :مختلف حالت

مانند ديگري ي نقطه اگر Nحالباشد داشته مي ۲وجود اتفاق حالت

: افتد

باتشکر از همکاری شما:نگار عبدی

یاسمن حریر چیانزهرا نصیر

پرند هندی آزادوبا سپاس فراوان از راهنمایی های بی دریغ دبیر ارجمند:خانم

عباسیو بنده حقیرکه طراحی و اجرا

ی پاور پونت را بر عهده داشتم:فاطمه مرزانی

پایه سوم ریاضیدبیرستان خواجه عبدالله

انصاری خدا نگه دار..........

92پاییز