Наведенные напряжения в параллельных и сходящихся воздушных

линий электропередачи с учетом проводимости земли

Мисриханов М.Ш., Токарский А.Ю. (Филиал ОАО «ФСК ЕЭС» - МЭС Центра)

Параллельные линии

Расчет при наличии обратного проводаи без учета проводимости земли

Однопроводные линии 1 и 2 параллельны. Участок линии 2 длиной l заземлен по концам, образуя контур 2. Между прямым проводом линии 1 и контуром 2 существует взаимная индуктивность М12. Током прямого

провода линии 1 в контуре 2 наводится ЭДС Е2.

E1 E2

1

2

ZН

М12

Обратный провод

a12

B

SФ

B

h1

h2

hпр

dSZ

X

Y

l

dx

I1

hпр

I1

I2

I2

1 . .r12r

Взаимная индуктивность между прямым проводом 1 и контуром 2

2212 1 1 . .0 0

12 221212 1 2

aln ln (1)

4 2a

пр О прh h rl lMrh h

Сопротивление взаимоиндукции между прямым проводом 1 и контуром 2

2212 10

12 12 2212 1 2

aln (2)

4 a

прh hlZ j M j

h h

ЭДС Е2, наведенная прямым током I1 в контуре 2

2212 10 1

2 12 1 2212 1 2

aln (3)

4 a

прh hI lE Z I j

h h

Расчет при отсутствии обратного проводас учетом проводимости земли через З

З - глубина проникновения электромагнитной волны в землю, т.е. глубина, проникнув на которую, электромагнитная волна затухает в е = 2,72 раза.

0

2 ЗЗ

При отсутствии обратного провода контур 2 не ограничен снизу и hпр , а значит и Е2 . Для решения задачи используется интеграл Карсона J(r,P + jQ, где r и - параметры интеграла:

/12 1 . .О прr r

2/ 212 12 1 2 ,r a h h

2212 12 1 2 .r a h h при

З

З

[ ] [ ]

[ ]1 0 [ ]

З = 1 / = 2 . м а гн и т н в я п о стоя н н а я Гн /м .-7

уд е л ь н о е со п р от и в л ен и е зе м л и О м .м ;уд е л ь н а я п р ов од и м о с ть зем л и С и м /м ;

у гл ов а я ч а стот а , ч а стот а Г ц ;f = 4

f

/ 012 ,

Ç

r r

12

1 2

,aarctgh h

1 прh h

/0 1 12

2 1212

ln ,2

I l rE j Fr

ЭДС, наведенная током линии 1 в заземленном по концам участке линии 2 длиной l :

где по Костенко В.М.:

12 2 , ,F jJ r

В результате разложения в ряд интеграла F12 получены расчетные выра-жения для значений параметра r :

/(6) 2 3 50 1 122 2 4

12

2 cos2 cos3 3cos5ln cos . (6)2

j j j jj I l rE e e e er r r r r

1 2

12 1220 0

12 cosh h

З

F e a dj

1 2(5) 0 12

12

2 2ln 1 0,0772 (5)2 4 3

З

З

h hj IE j jr

для r 0,25

для r ≥ 5

Если считать, что a12 >> h1+h2, то получим выражение для a12 в зависимости от r и З:

120

.Ça r

ЗОмм

1 5 10 50 100 500 1000

а12max(5) м 13 28 40 89 126 281 398

а12min(6) м 252 536 796 1800 2516 5627 7958

Максимальные значения a12max для выражения (5) и минимальные значения a12min для выражения (6)

При a12max(5) < a12 < a12min(6) “мертвая зона” для выражений (5) и (6), где они дают очень большую погрешность!

500 1000 1500 20000

200

400

550

100 a 1 2 , м

Е В E 2

(6 )

E 2(5 )

500 1000 1500 2000200

100

0

100

200

100

arg ( )Е эл .гр .

E 2(5 )

arg( )

a 1 2 , м

E 2(6)

arg ( )

Пример

Две параллельные линии, h1 = h2 = 19 м, участок линии 2 длиной 1000 м заземлен по концам, I1 = 4000 А, З = 50 Омм, a12max(5) = 89 м, a12min(6) = 1800 м, расстояние меж-ду линиями а12 изменяем от 100 до 2000 м (внутри мертвой зоны).

Кривые и ушли в зону большой погрешностиE2(5)

E2(6)

Расчет при отсутствии обратного провода с учетом проводимости земли через hЭКВ

1. Учет тока прямого провода линии 1

Для параметра Карсона r ≤ 0,2 применяют выражение для Z12:

-по Костенко В.М., где из постоянной Эйлера .

/ 1,781 /ln 0,5772

Из второго сомножителя в скобках:

hЭКВ - эквивалентная глубина расположения обратного провода линии 2, т.е. глубже в землю, чем на hЭКВ магнитное поле не распространяется.

/ /0 0

2 2 658,898 6602

З З З ЗЭКВ

e ehf f f

0 012 /

12 0

1 2ln2 8

Зj eZ

r

Магнитным потоком , создаваемым током работающей линии, в окружающем пространстве создается электрическое поле, напряженность которого, проинтегрированная по замкнутому контуру, определяет ЭДС , наводимую в этом контуре, и описывается уравнением:

Ô 1I

E

grad ,A Ôdl dl Udl Adl Et t t

E

где:

– вектор напряженности электрического поля, создаваемого потоком ,

– векторный потенциал магнитного поля, создаваемого током линии 1,

– скалярный потенциал электромагнитного поля, причем

E Ô

grad ,A Ut

E

A

U

grad 0.Udl

Тогда .dl Adl Et

E

Проинтегрируем по по замкнутому контуру 22-22ЭКВ-2ЭКВ2ЭКВ-2ЭКВ2. A

dl

2 2

X

Z

I 1

A 2 d l( )Z

d l( )xФ

l

l

h 2

h Э К В

2 Э К В

A 2 2 Э К В ( )x

П ов ерхн ость зем л и a 1 2

h 1

A 2 2 Э КВ ( )x

d l( )x

A 2 Э КВd l( )Z

2 Э К В

1 2 3 4

2 22 2 2222 22 2 2 2 2

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ÝÊÂ ÝÊÂ ÝÊÂ

ÝÊÂ ÝÊÂ ÝÊÂ ÝÊÂ

J J J J

Adl A dl z A x dl x A dl z A x dl x

1 2 2 222

( ) cos 0 ;J A dl z A l A l

2

2 22 2222

( ) ( ) ( ) ( ) cos 90 0;ÝÊÂ

ÝÊÂ ÝÊÂ

ÝÊÂ

h

h

J A x dl x A x dl x

3 2 2 22 2

( ) cos 180 ;ÝÊÂ ÝÊÂ ÝÊÂ

ÝÊÂ ÝÊÂ

J A dl z A l A l

2

4 22 222 2

( ) ( ) ( ) ( )cos 90 0.ÝÊÂ ÝÊÂ

ÝÊÂ ÝÊÂ

h

h

J A x dl x A x dl x

Разобьём интеграл на четыре частиAdl

Окончательно получим 2 2 .ÝÊÂ

Adl A l A l

2 22 2 .ÝÊÂ

ÝÊÂ

A Adl Adl A A l l l Et t t t

E Тогда:

Индукция магнитного поля связана с векторным магнитным

потенциалом выражениями:

B

A

rot , rot ,

rot , rot .

Z YX X

X Z Y XY Y Z Z

A AB A B Ay z

A A A AB A B Az x x y

0,X YA A ( , ),Z ZA A x y

rot , rot , rot 0,Z ZX Õ Y Y Z Z

A AA Â A Â A Ây x

.Z YA Â x C

Вектора совпадает по направлению с током , и осью OZ, тогда A

1I

Поскольку то,ZY

AÂx

.

10 1

1 1

0 1 112

1 1

22 21 12 1

, ,2

, ,2

.

Y

Y Y

h xI BBr B r

I h xh xB B B

r r

r a h x

h 1 h 2

h Э К В

X

YZ

a 1 2

r 1

12

I1

B

B y

B xx

r1 2

2 Э К В

D x ,a( )1 2

Найдём составляющую индукции МПYB

10 122

12 1

220 112 1

2

ln .4

Z Y

h xIA Â x Ñ x Ña h x

I a h x C

Тогда

Принимая, что при , получим выражение для посто-янной С:

0ÝÊÂ Zx h A A

220 112 1ln .

4 ÝÊÂI

C a h h

Полное уравнение для будет: A

2212 10 1

2212 1

ln .4

ÝÊÂà h hIA

à h õ

При , тогда:

2x h 2A A

dlE

1

2212 10 12

22212 1 2

ln .4

ÝÊÂI

à h hI lAdl l j E Et à h h

E

ЭДС , наведенная током линии 1 в заземленном контуре параллельной линии 2:

1 2IE

1

2212 10 1

2 2212 1 2

ln .4

ÝÊÂI

à h hI lE j

à h h

2212 10 1

2 2212 1 2

ln .4

ÝÊÂà h hIAà h h

Найдём :

Используя выражения (2) и (3) также с применением hЭКВ можно получить уравнение для определения ЭДС, наведенной током линии 1 в заземленном контуре линии 2 :

1 2IE - ЭДС, наведенная током I1 прямого провода линии 1 в контуре линии 2.

2. Учет плотности тока, наведенного в земле током прямого провода линии 1

1

2212 10 1

2 2212 1 2

ln . (7)4

ÝÊÂI

a h hI lE ja h h

Магнитное поле тока I1 наводит напряженность электрического поля Е1(х,у), создающего в земле ток с плотностью 1(x,y)=Е1(х,у)/З, который индуцирует магнитное поле с составляющей индуктивности By, поток, которой наводит

в контуре участка линии 2 ЭДС E2.

2210

1 1 221

E ( , ) ln ,4

ÝÊÂy h hx y j I

y h x

221 10 1

1 221

E ,, ln .

4ÝÊÂ

Ç Ç

x y y h hIx y j

y h x

1 x ,y )

d x

d y

y Y

x

X

r

d B

d B y

Y

X

D (X ,Y )

d I

y - y +

2 h эк в

I 112h 1 h 1

2эк в

a 1 2

h эк в

210

2 20

,, ,

2

ýêâhy

yy

x y X xB X Y dxdy

X x Y y

/1

221

22 22 210 1

2 2 220 12

ln

.8

ЭКВ экв

ЭКВh hy

З h y

y h hX x

y h xI lE dxdydXX x a y

3. Учет обратного тока линии 1, протекающего в земле

Протекающий в земле обратный ток Iот1 линии 1 равен прямому току I1.

E1

r

r

X

Y

Z

lкз

y- y+y

x

lот

dSЗ

1

Zв

1UЗ

dSЗ

от1

2 h1h1/

A B

D C

hэкв

2hэкв

z

a12

l

2

2

dIот1

Zн

I1dIот1

dIот12ЭКВ

2ЭКВ - напряжение между заземле- ниями в начале и конце линии 1:

2 22 2ОТ ОТl r l x y Элемент dIот1 обратного тока в канале сечением dSЗ:

2 2.

2З

ОТ З

З ОТ

UdI dSl x y

ЗU

12

2 20

.1

2

ЭКВЗ hy

y З ОТ

IU

dxdyl x y

Плотность обратного тока линии 1 в земле и составляющая индукции магнитного поля, создаваемая этим током: î ò

,yB X Y

ЭДС , наводимая потоком индукции в контуре линии 2:

Результирующая ЭДС, наведенная в контуре линии 2:

2 2( , ) .

2З

ОТ

З ОТ

Ux yl x y

( , )ОТ x y

20

2 20

,, .

2

экв

ОТ

hyОТ

yy

x y X xB X Y dxdy

X x Y y

2ОТE

/1

20

2 2 22 20 12

. (9)2 2

ЭКВ экв

ОТ

h hyЗ

h y З ОТ

U X xlE j dx dy dX

l x y X x a y

,ОТ yB X Y

1

(10)2 2 2 2. (10)

ОТIE E E E

Сравнение методов расчетаДве параллельные однопроводные линии 1 и 2 расположены на высоте h1 =

h2 = 19 м над землей с удельным сопротивлением З = 50 Ом.м. В линии 1

протяженностью 10 км (lот = 10000 м) протекает ток I1 = 4000 А частотой 50 Гц. Линия 2 отключена и ее участок длиной l = 1000 м заземлен по концам. Найдем ЭДС, наведенную током линии 1 на заземленном участке линии 2 при изменении расстояния а12 между ними от 10 до 50000 м.Расчет проведем с учетом проводимости земли, выраженную через глубину проникновения З по выражениям (5) и (6), а также через эквивалентную глубину hЭКВ по выражениям (7) - (10).

4000 2000 0 2000 40000

0.005

0.01

0.015

0.02

0,018

50005000 y, м

1 А/м2

х=0м

х=300мх=600м

х=660м

х=900мх=1200м

х=1320м

10 4от1

y, м

А/м2x

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

1,1

6000 2000 0 2000 6000 1000010000

х=0мх=300мх=900м х=600м

х=1200м

Распределение в земле плотностей токов 1 и от1.

lот = 10000 м, у+= -у- = 100000 м.

5 0 0 1 0 0 0 1 5 0 0 0 2 0 0 00

2 0 0

4 0 0

55 0

1 0 01 6 0

1 5 0

1 4 0

1 3 0

1 2 0

11 0

1 0 0

- ,1 0 8 0

- ,81 5 45 0 0 1 0 0 0 1 5 0 0 0 2 0 0 01 0 0

Е , В

ЕО Т2

Е 2

Е I 2 1

a 1 2 , м

5 1 6 ,3

4 6 ,2

4 8 4 ,1

1 5 9 ,8

6 ,7

Е 2 (1 0 )

a r g ( ) , эл .гр .Е 2 (10 )

a 1 2 , м

Изменение модулей ЭДС , , , и arg( ) при увеличении

а12 от 100 м до 2000 м

1 2

IE η2E (10)

2E(10)

2E2ОТ

E

И зм ен ен и е м од ул ей и а р гум ен тов ЭД С , , , п р и у в е л и ч ен и и от 1 0 0 м д о 2 0 0 0 ма 1 2

(5 )2E (6 )

2E

1 2

IE (1 0)2E

0

2 0 0

4 0 0

5 5 0

2 0 0

1 0 0

0

1 0 0

2 0 0

- 5 ,717

5 0 0 1 0 0 0 1 5 0 0 0 2 0 0 01 0 0 5 0 0 1 0 0 0 1 5 0 0 0 2 00 01 0 0

- ,154 6

46 2,17 ,1

E 2( )6

Е I 2 1

E 2(5 )

a r g ( )E 2

( )5

a 1 2 , м

ЕВ

E 2(6 )

a r g ( )

a r g ( )Е I12

a r g ( ) эл .гр .Е

Е 2 ( )10

a r g ( )Е 2 ( )10

a 1 2 , м

Изменение модулей ЭДС , , , и , а также аргументов

и при увеличении а12 от 10 м до 100 м

1 2

IE η2E (5)

2E (10)

2E

2 0 40 6 0 8 0 1 000

5 00

1 00 0

1 5 0 0

6 ,7

1 0

6 ,7

1 0 7 9 1 0 8 1

4 8 4 ,1

5 2 2 ,4

1 6 4 1 6 0

ЕВ

1 0 6 0

5 16 ,3

E 2( )5

Е I 2 1

ЕО Т 2 Е 2

Е 2 ( )10

a 1 2 , м11 5

11 0

1 0 5

1 0 0

9 5

- ,9 8 7

- 111

- 9 ,89

2 0 4 0 6 0 8 01 0 1 0 0

- 0 81

Еa rg ( ) эл .гр .

E 2(5 )

a r g ( )

a r g ( )Е 2 ( )1 0

a 1 2 , м

(5)2E (10)

2E

2ОТE

Изменение модулей ЭДС , , , и , а также аргументов и при увеличении а12 от 1500 м до 5000 м

1 2

IE η2E (6)

2E (10)

2E

(6)2E (10)

2E

2 0 0 0 3 0 0 0 4 0 0 0 5 0 0 00

2 0

4 0

6 0

8 0

6 5 3,

1 5 0 01 8 0

1 7 0

1 6 0

1 5 0

1 4 0- ,1 4 5 5

- ,11 7 6

3 0 ,2

5 8 ,2

2 3 ,4

2 ,3

9 ,94 ,5 2 ,7

12 ,4

2 0 0 0 3 0 0 0 4 0 0 0 5 0 0 01 5 0 0

- 6 7 ,01

- 5 ,21 7

- 5 3 ,01

- 5 8 ,11

a r g ( ) эл .г р .E 11

E 2( )6

a r g ( )

a r g ( ) Е 2

a r g ( )- Е 2 ЕО Т 2

ЕВ

Е 2 ( )10

Е 2

ЕО Т2

Е I 2 1

E 2( )6

(10)

(1 0)

a 1 2 , м a 1 2 , м

2ОТE

Векторные диаграммы ЭДС для а12 100 м, 1500 м и 5000 м(10)2E

Расчет ЭДС, наведенной в параллельных ВЛ, по выражениям с использованием hЭКВ более точен.

ReIm

Eот2E2

EI12

-108 о

E2(10)

ReIm

-153о

EI12

Eот2

E2(10)

E2

ReIm

-145о

EI12

Eот2

E2(10)

E2

а12 = 100 м, М 1 а12 = 1500 м, М 5 а12 = 5000 м, М 20

Сходящиеся линии

Расчет при отсутствии обратного проводас учетом проводимости земли через З

Наличие “мертвой зоны” по расстоянию а12 для уравнений (5) и (6) ограничивает их использование в расчетах ЭДС, наведенных в сходящихся

линиях. Однако в некоторых работах для таких ВЛ применяются выражения, полученные из уравнения (5). Рассмотрим однопроводную

линию 1 с током I1, расположенную на высоте h1 над землей и сходящуюся с

ней под углом линию l с высотой hl , участок l12 которой заземлен в точках

l1 и l2 .

Y

Z

ll2

l1

z 1 z 2

y 1

y 2

I1

y

d l

( )r 1 l

X

D

1 1z

lE D

сход я щ а я ся л и н и я l

л и н и я 1

п а р а л л . л и н и я l

l1 2

Используя выражение (5) запишем уравнение для удельного (на единицу длины) сопротивления взаимной индукции между параллельными линия-ми 1 и , расположенными друг от друга на расстоянии , гдеl 2 2

1 ( )lr h y D

1 :lh h hD

Н ап р я ж ен н о ст ь эл ек т р и ч еск о го п ол я , со зд а в а ем ого то к ом в точ ке , р а сп ол ож ен н о й н а р а сстоя н и и от п р ов од а л и н и и 1 , н а й д ем п о в ы р а ж е-н и ю :

E DD 1 Ir1 l

2

101 2

1

2 4ln 1 0,1544 .4 2 3

lЗl

l З

h hjZ j jr

2

1o o 01 1 1 2

1

2 4E ln 1 0,1544 .4 2 3

lÇD l

l Ç

h hjz Z I z I j jr

ЭД С , н а в оди м у ю то к ом п р овод а 1 в за зе м л е н н ом у ч а стке п р ов од а сход я -щ е й ся л и н и и , н а й де м п р о и н т егр и р ов а в п о с л ед н е е в ы р а ж е н и е п о от д о

:

2l1

l d l ll

1

2

2 2 2

1 1 1

01 11 1 cos .

l l l

l ll Dl l l

E E dl z Z I dl Z I dl

Учитывая, что получим:1 1 2 2sin y l y l y l

2 2(11) 0 1

2 1 2 12 2 2 22 1

12 12 1

cos 2 2ln ln 24 sin sin

sin sin 42 1 0,1544 . (11)sin 3 2

Ç Çl

l

Ç

j IE l l l lh l h l

h hl lh arctg arctg j j l lh h

D D

D D D

Расчет при отсутствии обратного провода с учетом проводимости земли через hЭКВ

1. Учет тока прямого провода линии 1Векторный магнитный потенциал A1, создаваемый в точке D током I1 провода

линии 1, расположенной на высоте h1 над поверхностью земли, с учетом того,

что A1 = 0 на глубине hЭКВ , определяется выражением:

2210 1

1 221

ln .4

ÝÊÂy h hIA

y h x

Элементарную ЭДС , создаваемую магнитным полем тока I1 в элементе dl прямолинейного провода l, расположенного на высоте х = hl над поверхностью

земли и повернутого относительно провода 1 на угол Θ определим по выражению:

1 1 1 cosI ldE j A dl j A dl

1I ldE

Полное значение ЭДС , наведенной в контуре заземленного в точках l1 и l2 провода l, будет:

1I lE

2 2

1

1 1

1 1cosl l

I ll l

E j A dl j A dl

Учитывая, что , получим:1 1 2 2sin y l y l y l

1

2 22 22 1 1 10 1

2 12 22 22 1 1 1

1 12 1 2

1 1 1

sin sincosln ln (12)

4 sin sin

2 2sin sin sinsin sin

ÝÊÂ ÝÊÂI l

l l

ÝÊÂ l

ÝÊÂ ÝÊÂ

l h h l h hIE j l l

l h h l h h

h h h hl l larctg arctg arctgh h h h h h

1

1

sin .l l

larctgh h

2. Учет плотности тока, наведенного в земле током прямого провода линии 1

Магнитным полем (МП) тока в земле наводится электрическое поле (ЭП) , напряженность которого определяется выражением:

1I 1E ,x y

221 10 1

1 1 221

,E , , ln .

4ÝÊÂA x y y h hIx y j A x y j

dt y h x

Рассматривая землю как изотропную среду, плотность тока в ней, создаваемого напряженностью ЭП, наведенного МП тока , найдем по

формуле:

1 ,x y 1E ,x y

1I

221 10 1

1 221

E ,, ln .

4ÝÊÂ

Ç Ç

x y y h hIx y jy h x

1 x,y)

dx

dy

y Y

x

Xr

dBX,Y)

dB y X,Y)

Y

X

D(X,Y)

dI

y- y+

2hэкв

I11

hlh1

hэкв

Z

Y

Z

X

Y1 Y2

l 1экв

Y1

Y2

Z1

Z2

dB y X,Y)

l1

l2

l1 l2 l

l

l

dB y X,Y)

Z

YY1 Y2

l12

l12

Y

l

l

линия lлиния 1

линия 1

линия l

l 2экв

1 x,y)

dx

dy

y Y

x

Xr

dBX,Y)

dB y X,Y)

Y

X

D(X,Y)

dI

y- y+

2hэкв

I11

hlh1

hэкв

Z

Y

Z

X

Y1 Y2

l 1экв

Y1

Y2

Z1

Z2

dB y X,Y)

l1

l2

l1 l2 l

l

l

dB y X,Y)

Z

YY1 Y2

l12

l12

Y

l

l

линия lлиния 1

линия 1

линия l

l 2экв

Составляющая по оси индук-ции МП, создаваемого током с плотностью , и ее составляю-щая, перпендикулярная плос-кости контура , находятся по выражениям:

Y

l l l l1 2 1 2ЭКВ ЭКВ

1

210

2 20

,, ,

2

ýêâhy

yy

x y X xB X Y dxdy

X x Y y

, , cos , sin ,y yB X Y B X Y Y l

210

2 20

,cos, .2 sin

ýêâhy

yy

x y X xB X l dxdy

X x l y

Элементарный поток ин-дукции через по-верхность dS = dl.dX :

,yB X l

dX

dl

By

T

ll12

dS

Полный магнитный поток:

ЭДС, наведенная в контура l l l l1 2 1 2ЭКВ ЭКВ:

Полное выражение для ЭДС :lE

, .l ydФ B X l dl dX

2

1

, .ЭКВ

l

l h

l yl h

Ф B X l dXdl

.ll l

dФE j Ф

dt

2

1

2 20 1

2

22 21

2 2 220 1

cos(13)

8

ln .sin

ÝÊÂ ýêâ

l

lÇ

l h hyÝÊÂ

l h y

IE

y h h X xdxdydXdl

y h x X x l y

С хем а р а с п ол ож ен и я л и н и й 1 и в к о о р д и н ат а х Х l О Т Y ZО Т О Т

О Т 1

О Т 1l1

l2

l

l

l1 2

I 1

I1 I1

О Т 11

1

О Т 1

Н ач а л о В Л 1 К он ец В Л 1BО Т yBО Т y

lО Т 1

I О Т 1

Z О Т

X О Т

Y 2 О ТY О ТY 1 О Т

Y О Т

IО Т 1 U З

3. Учет обратного тока линии 1, протекающего в земле

Обратный ток , протекающий в земле, равен прямому току I .1IОТ1

П л отн о с ть о б р ат н о го то к а в зем л е:

гд е:

1 1 2 21

( , ) .2

ЗОТ ОТ

З ОТ ОТ ОТ

Ux yl x y

С о с т а вл я ю щ а я и н д у к ц и и М П о б р ат н о го то к а л и н и и 1 , п ер п ен д и к ул я р н а я п л о ск о ст и к о н ту р а л и н и и :l1 2 2 1, , ,Э К В Э К Вl l l l

20 1 1

220 1

cos ,, .

2 sin

ОТ экв

ОТ

ОТ

y hОТ ОТ ОТ ОТ ОТ ОТ

y ОТ ОТ ОТy ОТ ОТ ОТ ОТ

x y X xB X l dx dy

X x l y

ЭДС, наведенная обратным током линии 1 в контуре линии l:

2

1

2 2210 1

220 1

2cos,

2 sin

(14)

ÝÊÂ Î Ò ýêâ

Î Ò

l Î Ò

Ç Î Ò Î Ò

yl h hÇ Î Ò Î Ò Î ÒÎ Ò

l Î Ò Î Ò Î Òl h y Î Ò Î Ò Î Ò Î Ò

U X x

l x yE j dx dy dX dl

X x l y

2

1 2 20 1

1 .2

Î Ò ÝÊÂ

Î Ò

y h

Ç Î Ò Î Òy Ç Î Ò Î Ò Î Ò

U I dx dyl x y

Сравнение методов расчетаРассмотрим прямолинейную однопроводную воздушную линию 1

протяженностью 50000 м, по которой протекает ток = 4000 А частотой 50 Гц. На расстоянии от линии 1 расположено начало l1 участка линии l

протяженностью = 1000 м. Линии l сходится с линией 1 под углом = 45. Высота расположения проводов обеих линий 19 м: = 19 м. Удельное

сопротивление земли, над которой расположены линии, составляет = 50 Омм. Поскольку ВЛ 1 прямолинейна, то = 50000 км и .

1I

1Y

12l1 lh h

З1ОТl 1 45ОТ

.

Учитывая , что , и l12 = l2 - l1 уравнение (11) по ин-тегралу Карсона и уравнения (12) – (14) примут вид:

1 1 sinl Y 2 1 12sinl Y l

2 2(11) 0 1

2 1 122 2 2 21 12 1

211 12 1

12

cos 2 2ln ln 24 sin

sin 42 1 0,1544 .sin 3 2

Ç Çl

l

Ç

j IE l l lh Y l h Y

h hY l Yh arctg arctg j j lh h

D D

D D D

Уравнение (11) по интегралу Карсона: Уравнение (11) по интегралу Карсона:

Уравнение (12) для : 1I lE

1

2 22 21 12 1 1 1 10 1

2 12 22 21 12 1 1 1

11 12 1 1 12

1 1 1

sin 2cos ln ln4 sinsin

2sin sinsin

ÝÊÂ ÝÊÂ ÝÊÂI l

l l

l

ÝÊÂ ÝÊÂ

Y l h h Y h h h hIE j l lY l h h Y h h

h hY l Y Y larctg arctg arctgh h h h h h

1

1

.l l

Yarctgh h

Уравнение (13) для : lE

1 12

1

22sin 22 210 1

2 2 22 2sin 0 1

cos ln8 sin

ÝÊÂ ýêâ

l

h hY l yÝÊÂ

lÇ Y h y

y h h X xIE dxdydXdly h x X x l y

Уравнение (14) для : Î ÒlE

1 12

1

2 22sin10 1

22sin 0 1

2cos2 sin

ÝÊÂ Î Ò ýêâ

Î Ò

l Î Ò

Ç Î Ò Î Ò

yh hY lÇ Î Ò Î Ò Î ÒÎ Ò

l Î Ò Î ÒY h y Î Ò Î Ò Î Ò Î Ò

U X x

l x yE j dx dy dXdl

X x l y

Полное значение ЭДС по выражениям (12) – (14):

(15)1 . (15)

Î Òl M l l lE E E E

Изменение модулей и аргументов ЭДС при увеличении Y1 от 10 м до 100 м

2 0 4 0 6 0 8 0 1 0 00

5 0

1 0 0

1 5 0

2 0 0

2 5 0

2 0 7 ,2

3 ,2 5 3

1 0 Y 1 , м

E l(11 )E l

El

E I l1E I l1 + El

EО Т l

Е , В

3 ,2 4 7

1 8 3 ,2

1 2 9 ,6

9 5 ,7 9 0 ,1

1 6 3 ,4

2 0 6 ,7

1 5 7 ,9

2 0 9 ,6

1 6 0 ,5

a rg( ) E I1 l = a rg ( )EО Т l

8 0 1 0 0

a rg ( )E I1 l + El

a rg ( )El

a rg ( ) E l

2 0 0

1 0 0

0

1 0 0

2 0 0

2 0 4 0 6 01 0

a rg ( ) эл . гр .E

Y 1 , м

1 8 0

-9 0

arg ( )E l(11 )

-1 2 9 ,1-1 4 3 ,1

-11 7 ,6 -1 2 4 ,8-1 2 4 ,1-11 7 ,2

(15 )

(1 5 )

Изменение модулей и аргументов ЭДС при увеличении Y1 от 100 м до 2000 м

5 0 0 1 0 0 0 1 5 0 0 2 0 000

5 0

1 0 0

1 5 0

2 0 0

2 5 0

3 0 0

2 5 3

1 0 0

3 ,2 4 7

Y 1 , м

1 2 9 ,6

9 0 ,1

1 6 3 ,41 5 7 ,9

Е В

EО Т lE l

1 6 0 ,5

7 ,2 5

5 0 0 1 0 0 0 1 5 00 2 0 0 02 0 0

1 0 0

0

1 0 0

2 0 0 18 0

1 0 0

arg ( )Elarg( ) E l

( )11

arg( ) E l-9 0

arg ( ) эл . гр .E

Y 1 , м

-1 5 6 ,6-12 4 ,8-12 4 ,1

1 2 1 ,1

-1 6 3 ,2-14 3 ,1

E l(11 )

E I l1 + El

E I l1

(1 5 )E l arg( )E I1 l + El

arg( ) E I1 l = arg ( )EО Т l

(15 )

Расчет ЭДС, наведенной в сходящихся ВЛ, по выражениям с использованием hЭКВ более точен.

СПАСИБО ЗА

ВНИМАНИЕ