最优生产计划安排 ---- 报告人 : 齐海水

组号 :10 小组成员 : 刘坤鹏 齐海水 李坤鹏 小组分工 : 模型建立 齐海水 刘坤鹏 模型计算 刘坤鹏 版面设计 李坤鹏

最优生产计划安排关键词：

最优解 有效解 弱有效解 线性加权

摘要： 企业内部的生产计划有各种不同情况，从空间层次来看，在工厂级要根据外 部需求和内部设备，人力，原料，等条件，以最大利润为目标制定生产计划，在

车间级则要根据产品的生产计划，工艺流程，资源约束及费用参数等，以最小成本为目

标制定生产批量计划。从空间层次来看，若在短时间内认为外部需求和内部资源等随时

间变化，可以制定但阶段的生产计划，否则就要制定多阶段深产计划。本模型则仅考滤

设备，工艺流程以及费用参数的情况下，通过线性规划来为企提供最优待生产方案

3 3

加工。设该厂有两种规格的设备能完成 A 工序，他们以 A1 、A2 表示；有三种规格的设备能完成 B 工序，它们以 B1 、 B2 、B3 表示，产品

B 工序时只能在 B1 设备上加工；产品

设备上加工。已知各种机床设备的单件工时，原材料费，产品销售价格，各种设备有效台时以及满负荷操作时机床的设备费用，如下表所示，要求安排最优的生产计划，使厂利润最大。

I问题的提出：某厂生产三种产品

产品

每种产品要经过 A 、 B 两道工

可以在 A 、 B 任何一种规格设备上加工；可在任何一种规格的 A 设备上加工，但完成

只能在 A2 与 B2

设备 产品 设备有效台时

满负荷时设备费用

I. 1II. III.

A1 5 10 6000 300

A2 7 9 12 10000 321

B1 6 8 4000 250

B2 4 11 7000 783

B3 7 4000 200

原料费（元/ 件）

0.125

0.135

0.5

单价（元 /件 )

1.25 2.00 2.8

II 问题分析

这个问题的目标是获利最大，有两个方面的因素， 一是产品销售收入能否最大，二是设备费用能否 最小。 我们要做的决策是生产计划，决策受到的限制有：原材 料费，产品价格，各种设备有效台 ，时以及满负荷操作 时机床的设备费用。显然这是一个多目标线性规划问题。

III 问题假设：

1 不允许出现半成品，即每件产品都必须经过两道工序。

2 不考虑加工过程中的损失。

符号设定：

设 Z 为净利润， Z1 为产品销售纯收入， Z2 为设备费用， 为权植， （ i=1 ， 2 ） 且 设经过工序 A1 、 A2 、 B1 、 B2 、 B3 加工的 产品的数量依次为 Xi1 （ i=1--5 ） 设经过工序 A1 、 A2 、 B1 、 B2 、 B3 加工的 产品的数量依次为 Xi2 （ i=1--5 ）； 设经过工序 A1 、 A2 、 B1 、 B2 、 B3 加工的 产品的数量依次为 Xi3 （ i=1--5 ）。

i121

IV 模型建立：

xxxxxxxxxxxxxxx

535251

434241

333231

232221

131211

A= 变量矩阵

设备 A1 A2 B1 B2 B3

单位时间设备使用费（元 /时）

0.05 0.0321

0.625 0.1117

0.05

单位时间设备使用费如下表：

表 2

;3,2,1;51,0

40007

7000114

400086

100001297

600105

.

)7(05.0)114(1117.0

)86(625.0)1297(0321.0)105(05.02min

3.265.1)(1max

4323

322212

5141312111

51

4341

3231

232221

1211

514341

32312322211211

23322111

ji

st

Z

Z

xxxxxx

xxxxxx

xxxx

xxxxx

xxxxxxxxxx

xxxx

ij

具体模型数学描述：

V 模型计算这是一个多目标线性规划问题 , 由于计算较复杂 , 我们将问题转化为一个单目标线性规划问题 , 求在某种意义下的“最优解” ,“ 最优值” . 这里我们采用了评价函数法来求解 , 为了便于理解我们先熟悉一下相关概念和结论 .

Def 1: 设 如果 总有 则称 x* 为 (VP) 的绝对最

优解 . 其全体记为 .

Dx * Dx ][*][ xfxf

Rab

Def 2: 设 如果不存在 , 使得 ( 或 ), 则称 x* 是 (VP) 的有效解 ( 或弱有效解 ),

其全体记为

Dx * Dx *][][ xfxf *][][ xfxf

)( RR wppa或

DRRR wppaab结论 1:

评价函数法基本思想 :借助于几何或应用中的直观背景 ,构造所谓的评价函数 , 从而将多目标优化问题转化为单目标优化问题 , 然后用单目标优化问题的求解方法求出“ 最优解”，并把这种最优解当作多目标优化问题的最优解 , 转化后的解，必须是原问题的有效解（或弱有效解） .

Def 3: EEp 1

: Ezzp21

,

（ 1 ）  若 时 , 总有 , 则称为 z 的严格的

单增函数 ;

zz21 )()(

21

zz

（ 2）若 时 , 总有 , 则称为 z 的单增函数 ; zz21 )()(

21

zz

结论 :

设 又设 x* 是问题 的极小值点 , ;:1

EEp ,: ER

pnDf )}({min xf

Dx

那么

（ 1）若 为 z 的严格的单增函数 , 则 x* 是 的有效解 ; )}({min xfDx

（ 2）若 为 z 的单增函数 , 则 x* 是 的弱有效解 ; )}({min xfDx

构造评价函数 : 人们总希望对那些相对重要的指标 给予较大的权稀疏 , 基于这种现实 ,自然如下构造评价函数 .令

W={ }, 称 为权向量 ,W 为权向量集 .

:

pip

p

iii

T

,,1,10:11

),,( 且

pip

p

iii

T

,,1,10:11

),,( 且

若 则 , 即 严格的单增 , 由结论 , 此时求出的解为有效解 ,

pii

,,1,0 0)()(12 zz )(z

若 则 , 即 单增 ,

由结论 ,此时求出的解为弱有效解 ,

pii

,,1,0 0)()(12 zz )(z

所以这样定义的 在以上的定义下是合理的 . 现在回到原问题按以上理论进行求解 :

这里取， 利用线性加权法将多目规划转化为

如下单目标规划：

)3.0,7.0(T

xxxxx

xxxxxx

xxxx

xxxxx

st

zzz

4323

322212

5141312111

51

4341

3231

232221

1211

40007

7000114

400086

100001297

600105

.

23.017.0min

利用等式约束条件对目标函数进行简化

结果如下：

xxxxx

xxxxxx

xxxx

xxxxx

st

xxx

xxxxz

4323

322212

5141312111

51

4341

3231

232221

1211

40007

7000114

400086

100001297

600105

.

4102904.0316925.02312583.1

2207333.22153722.01201.21152.0min

利用 LINGO 求解，结果如下： z=-2173.947 Variable Value X12 0.000000 X21 232.000000 X22 500.000000 X23 323.000000 X31 0.000000 X41 861.000000 X51 571.000000 X32 500.000000 X43 323.000000 计算得卖出产品获得的利润 z1=2745.4, 设备使用费 z2=1853,故最终完成此次加工任务可获利 892 元

VI 结果分析

以下是用 LINGO 计算的结果， LINGO给出了结果的同时也对结果做出了分析，具体如下：min -0.52x11-2.01x12-0.53722x21-2.07333x22-1.12583x23-0.6925x31-0.02904x41ST 5x11+10x12<=6000 7x21+9x22+12x23<=10000 8x12+8x22+6x31<=4000 4x41+11x23<=7000 7x11+7x21-7x31-7x41<=4000 x11+x21-x31-x41-x51=0 x12+x22-x32=0 x23-x43=0endGIN 10

BJECTIVE VALUE = -2174.11060  SET X23 TO >= 324 AT 1, BND= 2174. TWIN= 2174. 15 SET LP OPTIMUM FOUND AT STEP 5 OX21 TO <= 230 AT 2, BND= 2174. TWIN= 2174. 24 

NEW INTEGER SOLUTION OF -2173.93994 AT BRANCH 2 PIVOT 24 BOUND ON OPTIMUM: -2173.968 DELETE X21 AT LEVEL 2 FLIP X23 TO <= 323 AT 1 WITH BND= 2173.9683 SET X12 TO <= 0 AT 2, BND= 2174. TWIN=-0.1000E+31 24 SET X23 TO >= 323 AT 3, BND= 2174. TWIN=-0.1000E+31 24 SET X31 TO <= 0 AT 4, BND= 2174. TWIN=-0.1000E+31 24 SET X41 TO <= 861 AT 5, BND= 2174. TWIN=-0.1000E+31 28  NEW INTEGER SOLUTION OF -2173.94653 AT BRANCH 3 PIVOT 28 BOUND ON OPTIMUM: -2173.947 DELETE X41 AT LEVEL 5 DELETE X31 AT LEVEL 4 DELETE X23 AT LEVEL 3 DELETE X12 AT LEVEL 2 DELETE X23 AT LEVEL 1 ENUMERATION COMPLETE. BRANCHES= 3 PIVOTS= 28  LAST INTEGER SOLUTION IS THE BEST FOUND RE-INSTALLING BEST SOLUTION...  OBJECTIVE FUNCTION VALUE 

THE GAME IS OVER !!!

THANKE YOU !