1

桁架的特点和组成结点法和截面法零杆判定两种方法的联合应用组合结构的计算

2

桁架是由梁演变而来的

§5.1 概述

3

↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ ↓↓↓↓ 桁架基本假定 :1. 结点都是光滑 的铰结点2. 各杆都是直杆且 通过铰 的中心3. 荷载和支座反力 都作用在结点上。

计算简图 各杆只受轴力 , 称其为理想桁架。

上弦

下弦

斜杆 竖杆

上下弦杆承受梁中的弯矩 ,

腹杆 ( 竖杆和斜杆 ) 承受梁中的剪力。由理想桁架计算得到内力是实际桁架的主内力。

FN FN

4

桁架的分类 : 按几何组成可分为以下三种1 、简单桁架 ——由基础或一个基本铰结三角形开始，依此增加 二元体所组成的桁架

2 、联合桁架——由简单桁架按 几何不变体系组成法则所组 成的桁架。

5

3 、复杂桁架 ------ 不属于以上两类桁架之外的其它桁架。其几何 不变性往往无法用两刚片及三刚片组成法则加 以分析，需用零荷载法等予以判别。

6

1 、结点法 取单结点为分离体，其受力图为一平面汇交力系。 它有两个独立的平衡方程。 为了避免解联立方程，应从未知力不超过两个的结点开始计算。 对于简单桁架，可按去除二元体的顺序截取结点，逐次用结点法求出全部内力。

对于简单桁架，可按去除二元体的顺序截取结点，逐次用结点法求出全部内力。

A

斜杆轴力与其分力的关系

L

Lx

Ly

FN

Fx

Fy

FN/L=Fx/Lx= Fy /Ly

A

§5.2 结点法、截面法

7

解： 1 、整体平衡求反力 ∑Fx=0 FH=0

∑ M8 ＝ 0

Fy1=80kN

∑ Fy=0

Fy8=100kN

FH =0

Fy 1=80kN

Fy 8=100kN2 、求内力

1

80kN

FN12

FN13Fy13

Fx13

∑ Fy =0 Fy 13 = － 80 ，

= － 80× 3 /4 = － 60kN = － 80× 5 /4 = － 100kN

FN12

FN13

= 60kN

Fx 13

∑ Fx =0

由比例关系得40kN

60kN

N24

FN23

100

－ ＋ ＋ －60

80

60 60

40

30

4050

结点 2

∑Fx=0 FN24=60kN∑ Fy =0 FN23=40kN

-60

-80 40

FN35

Fx34

Fy34 FN34

结点 3

∑ Fy=0 Fy34 =80-40=40kNFx34 =40×3/4=30kN FN34 = 40×5/4=50kN

∑Fx=0 FN35 = -60- Fx 34 = -90kN

依次考虑 5 、 4 、 6 、 7 的平衡求其它轴力，还余三个方程作校核用。熟练之后可以直接在结构上进行，不必列平衡方程。如图所示。

-90 -90

0

75

15

20 25 80

75

100

75125

例 试求桁架各杆内力

3m×4=12m

4m

1

2

3

4

5

6

7

8

40kN 60kN 80kN

校核 790

1575

8

10075

75100

8

α

A

B

CD

F

EF

G

H

例：求图示结构各杆内力。解：先找出零杆

由 B 点平衡可得α

FNBC

FNBA F∑Fy=0, F+FNBAsinα=0

FNBA= － F/sinα

∑Fx =0, FNBC+FNBAcos α =0

FNBC =Fctg α

（注意：这些特性仅用于桁架结点）

FN1=0

FN2=0

FN2=FN1

FN3=0

FN1

β β

FN1 FN2= － FN1

FN3 F N4

FN4=FN3

FN2

FN3

FN1=FN2

FN1=0

FN2=FF

特殊结点的力学特性

9

P1

P

对称性的利用一、对称荷载作用下内力呈对称分布。

对称性要求： N1=N2

由 D 点的竖向平衡要求 N1= －N2

所以 N1=N2=0

•对称轴上的 K 型结点无外力作用时， 其两斜杆轴力为零。

N N

1杆 1 受力反对称=0 =0

•与对称轴垂直贯穿的杆轴力为零1 2

P P

D

1

P

P/2P/2

P P P P

PP

（注意：该特性仅用于桁架结点）

二、反对称荷载作用下内力呈反对称分布。

•与对称轴重合的杆轴力为零。

10↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑

↑

↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑

qq

11

1 、桁架的基本假定： 1 ） . 结点都是光滑的铰结点； 2 ）各杆 都是直杆且通过铰 的中心； 3 ）荷载和支座反力都 用在结点上。2 、结点法：取单结点为分离体，得一平面汇交力系，有两个独 立的平衡方程。3 、截面法：取含两个或两个以上结点的部分为分离体，得一平 面任意力系，有三个独立的平衡方程。4 、特殊结点的力学特性 ：

FN1=0

FN2=0

FN2=FN1

FN3=0

FN1

β β

FN1 FN2= － FN1

FN3 FN4

FN4=FN3

FN2

FN3

FN1=FN2

FN1=0

FN2=FF

5 、对称结构在对称荷载作用下 对称轴上的 K 型结点无外力作用时， 其两斜杆轴力为零。

•与对称轴垂直贯穿的杆轴力为零

（注意： 4、 5、仅用于桁架结点）6 、对称结构在反对称荷载作用下内力

•与对称轴重合的杆轴力为零。

12

2 、截面法 取桁架中包含两个或两个以上结点的部分为分离体 , 其受力图为一平面任意力系 , 可建立三个独立的平衡方程。例：求指定三杆的内力解：取截面以左为分离体由 ∑ MD=2aF+FN1h=0 得 FN1= － 2Fa/h

由 ∑ MC=3aF － Fa － FN3h=0

得 FN3=2Fa/h由 ∑ Fy= Fy2+F － F=0得 Fy2=0 F∴ N2=0

F F

FN1

FN2

FN3D

C

h

2a a

截面法可用来求指定杆件的内力。对两未知力交点取矩、沿与两平行未知力垂直的方向投影列平衡方程，可使一个方程中只含一个未知力。

1

6a

h2

3

F F

A

C

D

F F

13

2m×6=12m

1m

2

m

F例 :

【解】：先找出零杆，将它们去掉

1

2

3

取

Ⅰ

Ⅰ

ⅠⅠ 截面以左为分离体

FN1

FN2

FN3

Fx2

Fy2

Fx3

Fy3

2m 1m

F/2

2m 4m

C

D

∑MD=0, 3FN1+F/2×6=0 得 N1= － F

∑MC=0, 2Fx3 － F/2×2=0 得 Fx3=F/2

　 FN3/4.12=Fx3/4, F∴ N3 =0.52F

∑Fx=0, FN1+Fx2+Fx3=0 ∴ Fx2=F/2, FN2/5=Fx2/4, F ∴ N2=5F/8

F

14

联合桁架先用截面法求出三个联系杆件内力，再用结点法求其它各杆轴力

如图示结构取ⅠⅠ以内为分离体， Ⅰ 　Ⅰ

FN1

FN2FN3

　对其中两个力的交点取矩可求出另一个力，在这里可得三力全为零。 　本题也直接可用力学概念判定三杆轴力为零。

　或由里面的小三角形为附属部分，不受外力。其内力为零。

　由三力平衡汇交定理知，该三力不相交而使物体平衡，它们必为零。

15

截面法中的特殊情况当所作截面截断三根以上的杆件 时：

　　如除了杆 1外，其余各杆均互相平行，则由投影方程可求出杆 1 轴力。

如除了杆 1 外，其余各杆均交于一点O则对 O 点列矩方程可求出杆 1 轴力

VA

1

1

FN1

O

16

a

Ⅰ Ⅰ

B

3d

3d

A

E

BC

Fya

Fxa

F3

5FyaFN a 2

5

3

2FFya

dFyadFM A 032

A

C

E

FFNaF F

17

单独使用结点法或截面法有时并不简洁。为了寻找有效的解题途径，必须综合应用结点法和截面法。那就是要注意： ① 选择合适的出发点，即从哪里计算最易达到计算目标； ②选择合适的截面，即巧取分离体，使出现的未知力较少。 ③选用合适的平衡方程，即巧取矩心和投影轴，并注意列方程的先后顺序，力求使每个方程中只含一个未知力。

§5.3 结点法和截面法的联合应用

18

例：求 a 、 b 杆轴力

N NN NNβ

Na

N D

EF

解： 1 、由内部 X 形结点知：位于同一斜线上的腹杆内力相等。 2 、由周边上的 K 形结点知各腹杆内力值相等，但正负号交替变化。所有右上斜杆同号（设为 N ），所有右下斜杆同号（设为－ N ）。

3 、取图示分离体：

P

2d 2d d

dd

a

b

EF

D

PNNPFx10

5,0cos5

4 、取 DEF 为分离体

PN

dNd

NM

a

aD

5

2

0cos2

5 、取分离体如图

PNNF abx5

20

Nb

Na

N

N

N

N

19

1 、弦杆

2F

1

2

45∑M2=FN1×6+ （ 2F － F/2 ） ×4=0

FN1= － F∑M5=FN4×6 － （ 2F － F/2 ） ×4=0 FN4= F

FN1= － F, FN4= F

F/2 F2P 2P

FN3

FN1

FN2

FN4

Ⅰ

Ⅰ

F/2 F/2FFF

4m 4m 4m 4m

3m3m

1

265

41

2 3

45

6

Ⅱ

Ⅱ

FN1

FN5

FN6

FN4

2 、斜杆∵结点 6 为 K型结点。 ∴FN6= － FN5

再由∑ Fy=0 得 Fy5 － Fy6+2F － F － F/2=0

∴ Fy6=F/4 , Fy6/3=FN6/5 F∴ N6=5F/12

F/2 F

12

6

5

2F

3 、竖杆取结点 7 为分离体。由对称性 :FN3=FN5

3

7

由∑ Fy =0 得：Fy5+ Fy3+ F+FN2=0∴FN2= － F/2

FFN7FN1

FN5 FN3FN2

2P 2P2P 2P2P 2P2F 2F

求指定杆的轴力。

先求出反力。

20

2F

ll

l2l 2ll

a

b

A B

求图示桁架指定杆轴力。 解：①整体平衡得：0,

3

1,

3

5 ABA HFYFY

5F/3 F/3

FNa

5F/3

x

5F/3

② 1-1 截面以上

3

5

02

2

3

5

2

2

N

N

FF

FFF

a

ax

得：

F/3

FNc

x

c

② 2-2 截面以下

30

2

2

32

2NN

FF

FFF ccx 得：

1

1

2

2

x

③ 3-3 截面以右FF

FFFFF bcbax NNNN 0

2

2)

3( 得：

F/3

FNa

FNb

FNc

3

3

21

P

a

b

A Bc

FP F

2F

ll

l2l 2ll

a

b

A Bc

F

a

b

A Bc

F

F

a

b

A Bc

F

F F

0 0

00

FNa= － F

F

x

0

0

D

FNa

FNb

FNc

FF

lFlFlFlFM

b

abD

N

NN 0223

0

0

N

NN

c

cbx

F

FFFF

22

P

a

b

A Bc

FP 2F/3

2F

ll

l2l 2ll

a

b

A Bc

F

a

b

A Bc

F

F

a

b

A Bc

F

F F

0 0

00

FNa=－ 2F/3

2F/3

x

3

02

2)

3

2(

N

NN

FF

FFFF

F

c

cax

对称情况下：0,, '

N'

N'

N cba FFFFF

2F/3 2F/3

反对称情况下：

0

D

FNa

0

FNc

3,0,

3

2 "N

"N

"N

FFF

FF cba

3

3

5

"'

"'

"'

FFFF

FFFF

FFFNF

NCNCNC

NbNbNb

Na aNa

23

求图示桁架指定杆轴力。 解： ①找出零杆如图示；

0

0 00

0

0

②由 D 点FF

FFFFF yyy

3

13

,,0

2N

22

1

1

③1-1 以左

4×4m

2×3m

5m

12

A C D BF FE

F

C F

FNCE

FF

FFM

CE

CEF

3

2

,046

N

N

22

FF CE 3

2N

F

FN1

④2-2 以下

FF

FF

FFF

x

xCEx

6

5

,3

2

,0

1N

1

1N

24

组合结构由链杆和梁式杆组成。常用于房屋中的屋架吊车梁桥梁的承重结构

下撑式五角形屋架

计算组合结构时应注意：① 注意区分链杆（只受轴力）和梁式杆（受轴力、剪力和弯矩）；②前面关于桁架结点的一些特性对有梁式杆的结点不再适用；③一般先计算反力和链杆的轴力，然后计算梁式杆的内力；④取分离体时，尽量不截断梁式杆。

角钢

钢筋混凝土

§5-4 组合结构的计算

25

链杆是两端是铰、中间不受力、也无连结的直杆。

梁式杆

FNAB= 3

22

F

FNCD = 0 （ ）

A

B

C

2F/3D

F

① FN1=FN2=0 ② FN1= － FN2

③ FN1≠FN2 ④ FN1=FN2≠0

F F

1 2

对称结构受对称荷载作用

×

√

×

A

C

26

②求链杆的内力

↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓q=1kN/m

A

D

F C

6kNFNDE

kNF

F

M

DE

DE

C

15

02.136166

0

N

N

③截面的剪力和轴力 : FS=Fycosα － 15sinα FN= － Fysinα － 15cosα 其中 Fy 为截面以左所有竖向力的合力。 Sinα=0.084 ， cosα=0.996

↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓q=1kN/m

3m 3m 3m 3m

f 1=0.

5mf 2=

0.7m f

=1.

2mA

D

F C

E6kN 6kN15

15

3.5 -3.515.4+

解：①求反力

15

15

3.5 15.4

3.515

2.5

④作出内力图

α

kN17.15996.015084.0 FN F+ )35.35.2(

kN74.1084.015996.0 FS F+ )35.35.2(

0.75

0.75M 图 (kN.

m)

1.241.74

1.75

1.25

+ －－+

FS 图 (kN)

－－

15.13 14.9715.17

14.92

FN 图 (kN)

27

讨论 : 影响屋架内力图的主要原因有两个 :

①高跨比 f /l高跨比越小轴力 FNDE=MC

0/ f 越大屋架轴力也越大。 f 1=

0.5m

f 2=0.

7m f =

1.2mA

D

F C

E

0.75

0.750.75

-15.08

15

-3.5

15.4

f1=0.5m ，f2=0.7m

D E

f =

1.2m

-6

-15

16.16

15

f1=0 ， f2=1.2m 4.5

D E

C

4.5

150

-15.88

f =

1.2mf1=1.2m ， f2=0

D

E

C

②f1 与 f2 的关系　当高度 f 确定后，内力状态随f1 与 f2 的比例不同而变。　弦杆轴力变化幅度不大，但上弦杆弯矩变化幅度很大。

28