第四章 杆件内力分析第四章 杆件内力分析

第一节 杆件内力与截面法 第一节 杆件内力与截面法 第二节 内力分量 第二节 内力分量 第三节 内力方程与内力图 第三节 内力方程与内力图 第四节 应力与应变的概念 第四节 应力与应变的概念 第五节 应力状态分析第五节 应力状态分析第六节 问题讨论与说明第六节 问题讨论与说明

第一节 杆件内力与截面法第一节 杆件内力与截面法 在构件能安全工作的条件下，以最经济的代价，为构件确定合理的形状和尺寸，选择适当的材料。保障构件具有足够的强度、刚度及稳定性。

一、基本假设：

（ 1 ） 均匀、连续假设：

构件内任意一点的材料力学性能与该点位置无关，且毫无空隙地充满构件所占据的空间。

（ 2 ） 各向同性假设：

构件材料的力学性能没有方向性。

（ 3 ） 小变形假设：

主要研究弹性范围内的小变形。小变形假设可使问题得到如下的简化：

a) 忽略构件变形对结构整体形状及荷载的影响；

b) 构件的复杂变形可处理为若干基本变形的叠加。

二、内力 ： 在外力作用下构件发生变形，构件内部相邻各质点间沿力作用方向的相对位置发生变化，同时构件各质点之间产生附加内力（简称内力），其作用是力图使各质点恢复其原始位置。

三、求内力的方法—— 截面法 ： 截面法是材料力学研究内力的一个基本方法，其步骤如下：

（ 1 ）截开： 在需求内力的截面处，将构件假想截分为两部分； （ 2 ）代替： 任取一部分为研究对象，弃去另一部分，并以内力代替弃去部分对留下部分的作用； （ 3 ）平衡： 对留下部分建立平衡方程，求出该截面的内力。

四、杆件变形基本形式： 杆件受外力作用后发生的变形是多种多样的，但最基本的变形是以下四种： 拉伸 ( 或压缩 ) 、剪切、扭转和弯曲 。其他一些复杂的变形都可以由以上四种变形组合而成。

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一、应用截面法求内力

11 、假想用一截面将构件截开；、假想用一截面将构件截开； 22 、取左右两部分任一部分（如图取左部、取左右两部分任一部分（如图取左部分）；用内力代替右部分对左部分的作用分）；用内力代替右部分对左部分的作用

3 、将分布力系向截面形心简化得主矢Q′ 、主矩 M0 ；

4 、将主矢、主矩沿过截面形心 O 点的坐标轴分解。

第二节 内力分量

二、六个内力分量：代 号 名 称 方向（或转向） 对应的变形

N 轴力 沿横截面法向方向 拉伸或压缩Qy 、 Qz 剪力 沿横截面切线方向 剪切

T 扭矩 矩矢沿轴线（ x)方向 扭转My 、 M

z

弯矩 矩矢在横截面内（ y 、 z 面） 弯曲

三、叠加原理 一个构件上同时作用着多个外力，这多个外力引起的内力等于每个外力引起的内力之和。

四、内力的正负规定

轴力 N ：拉伸时轴力（背离截面）为正，压缩时轴里（指 向截面）为负。

剪力 Q ：若简练对分离体内任一点的矩为顺时针时，其剪力为正；反之，剪力为负。

扭矩 T ：当扭矩矢量方向与横截面的外法线方向相同时，该扭矩为正，反之为负。

弯矩 M ：使微段发生“上凹下凸”的弯曲变形的弯矩为正，反之为负。

例 4-1 如图所示钻床，在力 F 的作用下，确定 m-n 截面的内力。

解： 1 ）应用截面发将构件截开，得轴力 N 、弯矩M; 2 ）由平衡方程可求得：

0

0

yF

F N

N F

( ) 0

0OM F

Fa M

M Fa

例 4-2 求如图所示的简支梁 m-n 截面上的内力，其上的载荷已知。

解：

1 2 3

1 2 3

( ) 0

( ) ( ) 0

( ) ( )

B

A

A

M F

R L F L a F b c F b

F L a F b c F bR

L

2 ）应用截面法求内力——剪力 Q 、弯矩 M

1 2 3

1 2 3

0

0

( ) ( )

y

A B

B

F

R R F F F

F a F L b c F L bR

L

1 ）求约束力

1

1

0

0

y

A

A

F

R F Q

Q R F

1

1

( ) 0

( ) 0

( )

O

A

A

M F

M F x a R x

M R x F x a

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第三节 内力方程与内力图第三节 内力方程与内力图

一、内力方程 以杆件轴线为自变量坐标轴 —— x 轴，各截面内力均为其位置坐标 x 轴的函数，这个内力与 x 间的函数关系式称为内力方程。

二、内力图 内力方程的图像表示，称为内力图。内力图可以直观地反映出内力与截面位置间的变化关系，从而确定出最大内力的数值及其所在的位置，即确定危险截面，为构件承载能力分析提供依据。

三、内力图分类

1 ）轴力图；

2 ）扭矩图；

3 ）剪力图、弯矩图。

下一节

轴力与轴力图轴力与轴力图 一、轴力

轴力： 垂直与横截面且过横截面形心的内力，常用符号 N 来表示。

轴力 = 截面一侧所有外力的代数和

外力正负规定： 与截面外法线方向相反的外里为正（即相对截面拉伸的外里为正）；反之为负。

正的外力产生正的轴力。

二、轴力图

用平行于杆轴线的坐标表示横截面的位置，用垂直于杆轴线的坐标表示横截面上轴力的数值，从而绘出表示轴力与横截面位置关系的图线，称为轴力图。

例 4-3 如图变截面圆钢管。已知 F1=10kN ， F2=35kN ， F3=20kN 。求各段横截面上的轴力，画轴力图。

解：

应用截面法在 1-1 、 2-2 、 3-3 截面处将杆截开，取右边部分，各截面轴力分别为 N1 、 N2 、 N3 都按正向规定设为拉力。

1 1

2 1 2

3 1 2 3

10(kN)

25(kN)

45(kN)

N F

N F F

N F F F

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扭矩及其扭矩图 扭矩及其扭矩图 一、扭矩

扭矩： 矢量方向与横截面法线相重合（即作用面沿横截面）的内力偶矩，常用符号 T 来表示。

扭矩 T （ T′ ） = 截面一侧（左或右）所有外力偶矩代数和

扭矩正负规定： 右手螺旋法则，扭矩的矢量方向与横截面外法线方向一致为正，反之为负。

外力偶矩正负规定： 右手螺旋法则，扭矩的矢量方向与横截面外法线方向相反为正，反之为负。

正的外力偶矩产生正的扭矩，负的外力偶矩产生负的扭矩。

外力偶矩的计算

其中：P —— 为转轴的功率单位为 kWn —— 为转轴的转速单位为 r/min

9549 (N m)P

mn

二、扭矩图 用平行于杆轴线的坐标表示横截面的位置，用垂直于杆轴线的坐标表示横截面上扭矩的数值，从而绘出表示扭矩与横截面位置关系的图线，称为扭矩图。

例 4-4 传动轴的转速 n=200r/min ，功率由 A 轮输入， B 、 C 两轮输出。已知， PA=40kW ， PB=25kW ， PC=15kW 。要求画扭矩图确定 Tmax 值。

解： （ 1 ）计算外力偶矩

409549 9549 1910(N m)

20025

9549 9549 1194(N m)20015

9549 9549 716(N m)200

AA

BB

CC

Pm

nP

mnP

mn

（ 2 ）画出轴的计算简图

（ 3 ）计算扭矩

轴 AB段各截面的扭矩 1 1910N mAT m

轴 BC段各截面的扭矩 2 716N mCT m

（ 4 ）画扭矩图

由扭矩图可见，轴 AB段各截面的扭矩最大 max 1 1910N mT T

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剪力、弯矩及其内力图剪力、弯矩及其内力图 一、剪力、弯矩

剪力： 沿截面分布且过截面形心的内力，常用符号 Q 表示；

弯矩： 作用面垂直与截面的内力偶矩，常用符号 M 表示。

剪力 Q （ Q′ ） = 截面一侧所有横向外力代数和

弯矩 M （ M′ ） = 截面一侧所有外力对截面形心力矩的代数和

二、剪力、弯矩的正负

剪力： 若剪力对分离体内任一点的矩为顺时针时，其剪力为正；反之，剪力为负。

弯矩： 使微段发生“上凹下凸”的弯曲变形的弯矩 M 为正，反之为负。

外力、外力矩与剪力、弯矩正负关系（注外力的上下、外力矩的顺逆是相对截面而言）：

外 力 剪 力 外力矩 弯 矩

左上右下（ +） Q （ +） 左顺右逆（ +） M（ +）左下右上（ -） Q （ -） 左逆右顺（ -） M（ -）

三、剪力方程与弯矩方程

表示沿梁轴线各截面上剪力和弯矩变化规律的函数，称为剪力方程与弯矩方程。

( )Q Q x ( )M M x

四、剪力图与弯矩图

用函数图像表示的剪力与弯矩随梁横截面变化的关系的图像，称为剪力图与弯矩图。

例 4-5 求如图所示梁的内力方程并画内力图。

解： 1 ）求约束力

( ) 0BM F 1

2AR qL

( ) 0AM F 1

2BR qL

2 ）分区间建立内力方程

1( )

2AQ x R qx qL qx

(0 )x L

2 21 1 1( )

2 2 2AM x R x qx qLx qx

(0 )x L

3 ）作内力图

4 ）内力最大值为

max

2max

1(0) ( )

21 1

( )2 8

Q Q Q L qL

M x M qL

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第四节 应力与应变的概念 第四节 应力与应变的概念 一、应力

1 、应力——是内力在截面上分布的集度

平均应力：

aa 截面 K 点应力：

将应力分解为： 一垂直截面的应力——正应力 σ 一沿截面的应力——剪应力 τ

m

Pp

A

0limA

Pp

A

说明：知道内力的大小，并不能判断构件受力的强弱程度。因为内力仅代表内力系的总和，而不能表明截面上各点受力的强弱程度。因此，需引入表示截面上某点受力强弱程度的量——应力。

2 、应力特征 1 ）应力是在受力物体的某一截面上某一点处定义的。因此，讨论应力必须明确是在哪一截面上的哪一点。

2 ）在某一截面上一点处的应力是矢量。规定离开截面的正应力即拉应力为正，指向截面的正应力即压应力为负；对截面内部（靠近截面）的一点产生顺时针转向力矩的剪应力为正，反之为负。

3 ）应力单位为帕： 1 Pa=1 N/m2

4 ）整个截面上各点处的应力与微面积 dA 之乘积的合成，即为该截面上的内力。

二、变形与应变

绝对变形：即总的伸长量或缩短量。△与△ d分别为轴向与横向变形

1l l l

应变（相对变形）：单位长度内的变形量。 ε与 ε1 分别为轴向与横向线应变

l

l

1

d

d

1d d d

当应力未超过某一限度时，横向线应变与轴向线应变之间成正比例关系，即

1

μ称为泊松系数或泊松比。

三、剪应变 线段 bb′ （或 cc′ ）为面 bc相对 ad面的滑移量，称为绝对剪切变形。而

bbtg

dx

称为相对剪切变形或剪应变。剪应变 γ是直角的改变量，又称为角应变。返回第四章目录

第五节 应力状态分析第五节 应力状态分析

( ) ( ) 0xy yxdydz dx dzdx dy

一、一点的应力状态 在受力构件内，通过其内部任意点的各个不同截面上在该点处的应力情况。也就是说“把通过受力构件内任意一点的各个不同截面上的应力情况的集合，称为一点的应力状态”

单元体——围绕所研究点截取一个正六面体，当各边边长充分小时，六面体便趋近于宏观上的点。这种六面体称为“微单元体”，简称“单元体”。

单元体的性质 1 、由于单元体三个方向的尺寸均为无穷小，所以认为单元体每个面上的应力是均匀分布的。 2 、单元体内相对平行面的同类应力大小是相等的，方向相反，但是，正负相同。

一点应力状态的表示（如右图）

二、剪应力互等定律 过一点的两个正交面上，如果有与相交棱边垂直的剪应力分量，则这两个面上的剪应力分量一定大小相等、方向则相对或相背离该棱边。

证明：上右图 单元体平衡，对 z 轴取矩有

( ) 0zM F

xy yx

四、应力状态的分类 围绕受力构件内任意一点，可截出无限多个不同方位的单元体。但通过受力构件内任一点可以找到三对相互正交截面，使截面上只有正应力而没有剪应力。这样的截面称为主平面，由主平面构成的单元体称为主单元体。主平面上的正应力称为主应力。主单元体由三个相互垂直的主平面组成，其上主应力分别为 σ

1 、 σ2 、 σ3 其关系为：

1 2 3

1 、三向应力状态 三个主应力都不为零。如沉没于水中的物体内一点，三向受压。

2 、二向应力状态或称平面应力状态 三个主应力只有两个不为零。

3 、单向应力状态 三个主应力中只有一个不为零。

五、二向应力状态分析——解析法

最大正应力、最小正应力：

最大剪应力、最小剪应力：

max minmax 2

2

max 2

min 2 2x y x y

xy

2

max 2

min 2x y

xy

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第六节 问题讨论与说明 第六节 问题讨论与说明

一、轴力与轴力图的讨论。

以外载荷作用截面作为分界线（讨论分界线之间无分布载荷的情况）

在分界线上左右两侧无限接近的截面上轴力发生突变；从左向右，外载荷方向向上，则轴力正突变，突变值等于集中载荷的大小（反应到轴力图上为向上突变），反之，相反；在分界线之间轴力不变（反应到轴力图上为水平线）。

二、扭矩与扭矩图的讨论。 以外载荷作用截面作为分界线（讨论分界线之间无分布载荷的情况）

在分界线上左右两侧无限接近的截面上扭矩发生突变；从左向右，外载荷方向向上，则扭矩正突变，突变值等于集中载荷的大小（反应到扭矩图上为向上突变），反之，相反；在分界线之间扭矩不变（反应到扭矩图上为水平线）。

三、剪力、弯矩及其内力图的讨论。 1 、集中载荷作用截面内力的特点

集中力作用的左右两侧无限接近的截面上的内力特点： C_截面（从左无限接近 C 的截面）与 C+截面（从右无限接近C 的截面）：

结论：集中力左右两侧无限接近的截面上，弯矩相同，剪力发生突变，突变值等于集中力的大小。在剪力、弯矩图反应出，从左向右，向上的集中力作用截面上，剪力图向上突变（正突变）；反之，相反。弯矩图在该截面发生转折。

集中力偶作用的左右两侧无限接近的截面上的内力特点：F_截面（从左无限接近 F的截面）与 F+截面（从右无限接近 F 的截面）：

结论：在集中力偶两侧无限接近的截面上，剪力相等，弯矩值发生突变，突变值等于集中力偶矩的大小。在剪力、弯矩图反应出，从左向右，顺时转向的力偶使弯矩图在该截面向上突变，突变值等于集中力偶矩值；反之，相反。而剪力图不发生变化。

CQ qa 2CM qa

0CQ 2CM qa

FQ qa 21

2FM qa

FQ qa 2FM qa

2 、分界线之间内力的特点 a 、分界线之间无分布载荷，即 q = 0 ：

剪力图为水平线，弯矩图为斜直线，如上图的 AC 、 CD 、 EF 、 FB段。剪力为正值时，对应段的弯矩图的斜率为正；反之，相反。

b 、分解线之间存在均布载荷，即 q = C ：

剪力图为斜直线，如上图的 DE 段。 q 为正值时，对应段的剪力图的斜率为正；反之，相反。

弯矩图为抛物线，如上图的 DE 段。 q 为正值时，对应段的弯矩图开口向上；反之，相反。当剪力图与 x 轴存在交点时，该点对应截面上的弯矩有极值。如上图 D 点对应的截面上的剪力、弯矩。

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