数値シミュレーションを用いた魚群のダイナミクス

京都大学大学院　人間・環境学研究科相関環境学専攻　阪上研究室 M ２

金山　太知

1

もくじ

・研究の動機

・魚と群れの性質

2

・魚のモデル

・シミュレーション結果

・まとめ

・魚群の回転曲線

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研究の動機

群れの形状や行動をどこまで予測できるか生物の群れに物理学はどこまで迫れるか

魚群には様々なサイズや状態が存在する

魚を運動方程式により記述し、群れの振る舞いを再現できるか

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魚と群れの性質 ( 魚の速度 )

T. Y. Wu. Introduction to the scaling of aquatic animal locomotion. In J. T.Pedley, editor, Scale Effects in Animal Locomotion, pp. 203-232. Academic Press,1977.

Time to fatigue(min)

Sw

imm

ing s

peed(B

L/se

c)

normal speed

burst

定常遊泳速度： 1~2 BL/sec

(BL = body length )

捕食者等の外部刺激に対して加速

最高速度 (burst) ： 10 BL/sec

魚の遊泳速度

数秒～数十秒持続可能

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魚のモデル (Boid model)Reynolds (1987)

魚 : self propelled particle(spp)

３つのルール

1. 衝突回避 　　　 ( 反発領域 )

2. 整列　　　　　　 ( 整列領域 )

3. 吸引作用　　　 ( 吸引領域 )

1. 衝突回避のため　逆方向に逃げる

2. 整列領域内にいる個体の　平均速度に合わせる

𝑅𝑟

𝑅𝑜

𝑅𝑎

3. 吸引領域内にいる個体の重心に向かう

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魚のモデル (Boid model の結果 )

IAIN D. Couzin. (2002) Collective Memory and Spatial Sorting in Animal Groups. J. theor. Biol. 218, 1-11.

: 重心の速さ : 全角運動量　　　　 の大きさ

(A)swarm (B)torus

(C)dynamic parallel

(D)highly parallel

torus や swarm 等の魚群の状態を再現できる

torus は整列領域は小さく、吸引領域が大きい時に現れやすい

Boid model から分かった

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魚のモデル ( 運動方程式 )

𝑚𝑑 𝒗𝑑𝑡

=𝑭Newton の運動方程式

粒子に力が働くと加速度が生じ、運動が変化する

𝑭=𝑭 𝑠𝑝𝑝+𝑭𝑎𝑡𝑡𝑟𝑎𝑐𝑡+𝑭 𝑟𝑒𝑝𝑢𝑙𝑠𝑖𝑣𝑒+𝑭𝑜𝑟𝑖𝑒𝑛𝑡𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛+𝜼

[ 推進力と水の抵抗 ]𝑭 𝑠𝑝𝑝=𝑘𝒗−𝑘 𝛽𝒗2𝒗

[ 吸引力 ]

[ 反発力 ]

[ 整列力 ]

[ ノイズ ]𝑭 𝑎𝑡𝑡𝑟𝑎𝑐𝑡=

1𝑁 𝑖 ,𝑎

∑𝑗∈ 𝑆𝑖 ,𝑎

c 1𝒙 𝑗−𝒙 𝑖

𝑟 𝑖𝑗𝑐 2

𝑭 𝑟𝑒𝑝𝑢𝑙𝑠𝑖𝑣𝑒=1

𝑁 𝑖 ,𝑏∑𝑗 ∈𝑆𝑖,𝑟

−c3𝒙 𝑗−𝒙 𝑖

𝑟 𝑖𝑗𝑐 4

𝑭 𝑜𝑟𝑖𝑒𝑛𝑡𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛= 𝐽 ¿

1

√𝛽−1

√𝛽

𝜑0

𝑣

¿𝜼𝒊 (𝑡 )≥0

¿𝜼𝒊 (𝑡 ) ∙𝜼 𝒋𝑻 ( 𝑡′ )>¿ λ𝛿𝑖𝑗 𝛿 ( 𝑡−𝑡′ ) 𝑰

Gaussian white noise

8

魚のモデル ( 運動方程式 )・運動方程式のモデルは速度一定ではない

体長（ BL ）、時間（ｔ）が定義出来ていない。

最近接分布 Torus 状態で一周するのにかかる時間

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7

5

10

15

20

25

30

35

カウ

ント

数

最近接分布実験結果(BL)

カウ

ント

数

0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.300

2

4

6

8

10

12

14

最近接分布実験結果

[ 最近接分布のピーク ]実験結果： 0.28BLシミュレーション：0.065[ 一周にかかる時間 ]実験結果：～50secシミュレーション：～ 15

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魚のモデル ( 解析方法 )

1. 数値シミュレーション　　　確率微分方程式を数値的に解く

t=t0 における位置と速度の情報 t=t0 ＋ Δt における位置と速度

[Euler-Maruyama 法 ]

𝒙 (t+∆ 𝑡 )=𝒙 (t )+𝒗 (t )∆ 𝑡𝒗 (t+∆ 𝑡 )=𝒗 (t )+𝑭 (t )∆ 𝑡+𝜆𝑾 (t+∆ 𝑡 , 𝑡)

2. Kramers 方程式　　　確率微分方程式を一粒子分布関数で記述𝑑𝑑𝑡

𝑓 (𝒙 ,𝒗 ,𝑡 )=− 𝜕𝜕𝒙

𝒗 𝑓 − 𝜕𝜕𝒗

𝑭 (𝒙 ,𝒗 , 𝑡 ) 𝑓 + 12𝜕2

𝜕𝒗 2𝜀 𝑓

Wiener Process

平均 0、分散 Δtの正規乱数

(𝜀=12 𝜆2)

10

シミュレーション結果 (torus の時間発展 )

rv

mag= 1𝑁∑

𝑖=1

𝑁 |𝒓 𝑖×𝒗 𝑖||𝒓 𝑖||𝒗𝑖|

torus の指標

mag

time

重心

の速

さ

time

11

シミュレーション結果 (mag の時間発展 )

Ro=0.4(1.7BL) Ro=0.6(2.5BL) Ro=0.8(3.4BL)

Ra=

4(1

7B

L)R

a=

5(2

1B

L)

・ N=1000

パラメータ

・ k=0.5 ・ =1 ()

・ =1 ・ =1.2 c 1(𝒙 𝑗−𝒙 𝑖)/𝑟 𝑖𝑗𝑐2

・ =0.2 ・ =4 −c3 (𝒙 𝑗−𝒙 𝑖)/𝑟 𝑖𝑗𝑐 4

𝐽 ¿・ =1

・ ・

Boid で torus が出来る条件

Ro~4BL

Ra~18BL

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魚群の回転曲線

[ 銀河の回転曲線問題 ]

Galaxy rotation curve

1980 年代に明らかになった天文学の問題

理論予測 (A) では観測結果 (B) を説明できない

ダークマターの存在！？

[ 魚群の回転曲線問題 ]

D ista n ce

V e lo c it y

Fish rotation curve

??回転速度は中心からの距離とともに　どのように変化するか？

Boid モデルでは説明できない？

運動方程式によるモデルでは　説明できるのか？

0 5 1 0 1 5 2 0 2 5D i s t a n c e B L 0 . 0

0 . 5

1 . 0

1 . 5

2 . 0

V e l o c i t y B L s e c

0 5 1 0 1 5 2 0 2 5D i s t a n c e B L 0 . 0

0 . 5

1 . 0

1 . 5

2 . 0

V e l o c i t y B L s e c

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魚群の回転曲線 ( 実験観察結果 )

[ 場所 ] 佐世保の九十九島水族館「海きらら」

[ 対象 ]マイワシ約 4000 匹 (2012 年 3 月 )

[ 方法 ] カメラを底に設置し、真下から動画撮影

マイワシ約 3000 匹 (2012 年 9 月 )

2012 年 3 月 2012 年 9 月

3 月撮影 (102 匹 ) 9 月撮影 (90 匹 )

0 5 10 15 20 25D ista n ceBL 0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

V elo c it yBL sec

3 月撮影 +9 月撮影

0 5 10 15 20 25D ista n ceBL 0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

V elo c it yBL sec22BL

12BL

0 5 10 15 20 25D ista n ceBL 0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

V elo c it yBL sec

14

魚群の回転曲線 ( シミュレーション結果 )

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5D ista n ce

0.2

0.4

0.6

0.8

V elo c it y

・ N=1000

パラメータ

・ k=0.5 ・ =1 ()

・ =1 ・ =1.2 c 1(𝒙 𝑗−𝒙 𝑖)/𝑟 𝑖𝑗𝑐2

・ =0.2 ・ =4 −c3 (𝒙 𝑗−𝒙 𝑖)/𝑟 𝑖𝑗𝑐 4

𝐽 ¿・ =1

・ ・

5 10 15D ista n ceBL 0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

V elo c it yBL sec

0 5 1 0 1 5 2 0 2 5D i s t a n c e B L 0 . 0

0 . 5

1 . 0

1 . 5

2 . 0V e l o c i t y B L s e c

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魚群の回転曲線( 実験観察結果とシミュレーションの比較 )

simulation

実験 (12 年 9月 )実験 (12 年 3月 )

結果

R<10BL ではよく合っている

R>10BL では simulation の方の傾きが落ち、上手く合わない。

重心から離れたところでは回転面に垂直な z 方向にも比較的大きく動いている… .

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まとめ

・ Newton の運動方程式によるモデルでも魚群の様々な状態　（ swarm ,torus ,parallel ）を再現することが出来た。

・実験観察結果より、魚群の回転速度は　重心からの距離とともに大きくなることが分かった。

・魚群の回転曲線に関して、シミュレーション結果と実験結果は　重心からの距離 R が大きくないところでは上手くフィットした。