第四章 稳定性理论

在控制系统的分析和设计中，首先要解决系统的稳定性问题。动力学系统的稳定机制与其本身的结构密切相关，如何根据动力学系统的构成分析其稳定性受到普遍的重视。

导弹稳定控制 倒立摆稳定控制

本章首先介绍外部温度性和内部稳定性的概念，然后讨论李亚普诺夫稳定性的定义，定理，李亚普诺夫方法在线性系统中的应用。

在控制系统稳定性研究中，李亚普诺夫 (A.M.Lyapunov) 方法得到了广泛的应用。李亚普诺夫方法包括第一方法（也称为间接法）和第二方法（通常称为直接法）。

第一节 外部稳定性和内部稳定性

一 外部稳定性

定义 4.1 （有界输入，有界输出稳定性）对于零初始条件的因果系统，如果存在一个固定的有限常数 及一个标量 ，使得对于任意的 ，当系统的输入 满足 时，所产生的输出 满足 则称该因果系统是外部稳定的，也就是有界输入 - 有界输出稳定的，简记为 BIBO 稳定。

k 0t t ， tu t ku y t y t ak

这里必须指出，在讨论外部稳定性时，是以系统的初始条件为零作为基本假设的，在这种假设下，系统的输入 - 输出描述是唯一的。线性系统的 BIBO 稳定性可由输入 - 输出描述中的脉冲响应阵或传递函数矩阵进行判别。

定理 4.1 [ 时变情况 ] 对于零初始条件的线性时变系统，设 为其脉冲响应矩阵，则系统为 BIBO 稳定的充分必要条件为， 存在一个有限常数 k ，使得对于一切 ， 的每一个元 满足

0t t ，

,t G

, 1,2, , , 1,2, ,ijg t i q j p

0

,t

ijtg t d k

,t G

(4-1)

证明 为了方便，先证单输入 - 单输出情况，然后推广到多输入 - 多输出情况。在单输入 - 单输出条件下，输入 - 输出满足关系

0

,t

ty t g t u d (4-

2)先证充分性 已知式 (4-1) 成立，且对任意输入 满足 , , 要证明输出 有界。由 (4-2) 式，可以方便得到

u t 1u t k 0t t ， y t

0 0

01 1

, ,

( , )

t t

t t

t

t

y t g t u d g t u d

k g t d kk

从而根据定义 4.1 知系统是 BIBO 稳定的。

再证必要性 采用反证法，假设存在某个 使得 1 0 ,t t

0

1,t

tg t d (4-3)

定义如下的有界输入函数 tu

1

1 1

1

1 , 0

gn , 0 , 0

1 , 0

g t t

t S t t g t t

g t t

u

当当当

在上述输入激励下，系统的输出为

1 1

0 01 1 1, ,

t t

t ty t g t u d g t d

这表明系统输出是无界的，同系统是 BIBO 稳定的已知条件矛盾。因此，式 (4-3) 的假设不成立，即必定有

0

1 1, [ , )t

tg t d k t t

现在将上述结论推广到多输入 - 多输出的情况。考察系统输出 y(t) 的任一分量( )iy t

0 0

0 0

0 0

1 1

1 1

1 1

, ,

, ,

, ,

t t

i i ip pt t

t t

i ip pt t

t t

i ip pt t

y t g t u d g t u d

g t u d g t u d

g t u d g t u d

1,2,3,i q ，

由于有限个有界函数之和仍为有界函数，利用单输入 - 单位输出系统的结果，即可证明定理 4.1 的结论。证毕。

0 ijg t dt k

定理 4.2 [ 定常情况 ] 对于零初始条件的定常系统，设初始时刻 ，单位脉冲响应矩阵为 ，传递函数矩阵为 ，则系统为 BIBO 稳定的充分必要条件为，存在一个有限常 k ，使 的每一个元 满足

0 0t tG sG

1,2, , , 1,2, ,ijg t i q j p tG

或者 为真有理分式函数矩阵，且其每一个元传递函数 的所有极点处在左半复平面。

ijg s sG

证明 定理 4.2 第一部分结论可直接由定理 4.1 得到，下面只要证明定理的第二部分。由假设条件， 为真有理分式，则利用部分分式法将其展开为有限项之和的形式，其中每一项均具有形式为

ijg s

1,2, ,

l

l

l

l ms

， (4-4)

这里 为 极点， 和 为常数，也可为零且 式(4-4) 对应的拉普拉斯反变换为：

1 m n l ijg s ll

1 1,2, ,l ltlh t e l m ， (4-5)

当 时，式 (4-5) 为 函数。这说明，由 取拉普拉斯反变换导出 是由有限个形为 (4-5) 式之和构成的，和式中也可能包含 函数。容易看出，当且仅当 处在在半复平面时， 才是绝对可积的，即 为绝对可积，从而系统是 BIBO稳定的。证毕。

0l ijg s

ijg t

1,2, ,l m l1l llt e

ijg t

二 内部稳定性

设系统的外输入 ，初始状态 是有界的。系统的状态解为

0t u 0x

0 0,t t t tx x (4-6)

考虑如下的线性时变系统

0 0 0 ,t t t t t t t

t t t t

x A x B u x x

y C X D u

， ，

这里 为时变系统的状态转移矩阵。如果由系统的初始 引起的状态响应 (4-6) 满足：

,t 0x

0 0lim , 0t

t t

x (4-7)

0 0,0 Att t e x x x

假定系统矩阵 具有两两相异的特征值，则A

则称系统是内部稳定的或是渐近稳定的。若系统是定常的，

则 ，这时 00 0, 0A t tt t e t ，令

11

1

1 2 n

adj

s- s- s-

At

i

e s

s

I A

I AA

为 之特征值

进一步可得

1

1 1

i

n ntAt i

ii i

Qe Q e

s

I A

2

adji

ii s

i n

s sQ

s s s

I A

其中

显然，当矩阵 的一切特征值满足A

0 1,2, ,e i i n R A

则式 (4-7) 成立。内部稳定性描述了系统状态的自由运动的稳定性。

这里顺便说说有界输入，有界状态稳定性（简记为 BIBS）问题。在内部稳定性的定义中，要求系统的输入 。如果对于任意有界输入 以及任意有界初始状态 ，存在一个 标量使得系统状态解满足 ，则该系统称之为有界输入 - 有界状态稳定的。对于线性定常系统而言，满足渐近定常系统而言，满足渐近稳定性时，一定是 BIBS稳定的，详细讨论见参考文献 [9] 。

0t u t ku 0tx

0 00 , ,k t t x t x

三、内部稳定性和外部稳定性的关系

内部稳定关心的是系统内部状态的自由运动，这种运动必须满足渐近稳定条件，而外部稳定性是对系统输入量和输出量的约束，这两个稳定性之间的联系必然通过系统的内部状态表现出来，这里仅就线性定常系统加以讨论。

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定理 4.3 线性定常系统如果是内部稳定的，则系统一定是 BIBO 稳定的

证明 对于线性定常系统，其脉冲响应矩阵为：

t t t G B D

这里 ，当系统满足内部稳定性时，由式 (5-7) 有 Att e

t tlim lim Att e

0

这样， 的每一个元 均是由一些指数衰减项构成的，故满足

0 ijg t dt k

这里 为有限常数。这说明系统是 BIBO 稳定的。证毕。k

tG 1,2, , , 1,2, ,ijg t i q j p

定理 4.4 线性定常系统如果是 BIBO 稳定的，则系统未必是内部稳定的。

证明 根据线性系统的结构分解定理知道，任一线性定常系统通过线性变换，总可以分解为四个子系统，这就是能控能观测子系统，能控、不能观测子系统，不能控、能观测子系统和不能控不能观测子系统。系统的输入 - 输出特性仅能反映系统的能控能观测部分，系统的其余三个部分的运动状态并不能反映出来， BIBO 稳定性仅意味着能控能观测子系统是渐近稳定的，而其余子系统，如不能控不能观测子系统如果是发散的，在 BIBO 稳定性中并不能表现出来。因此定理的结论成立。

定理 4.5 线性定常系统如果是完全能控，完全能观测的，则内部稳定性与外部稳定性是等价的

证明 利用定理 4.3 和定理 4.4易于推出该结论。定理 4.3给出：内部稳定性可推出外部稳定性。定理 4.4给出：外部稳定性在定理 4.5的条件下即意味着内部稳定性，证毕。

系统 设系统方程为 f tx x ，

式中 为 维状态向量，且显含时间变量 。 为任意的线性或非线性、定常或时变的 维函数，其展开式为：

x f tx， 1n tn

第二节 李雅普诺夫对稳定性的有关定义

1 1 1

1

n

n n n

f x x t

f x x t

x

x

， ， ，

， ， ，

假定方程的解为 式中 、 分别为初始状态向量及初始时刻，那么，初始条件 必满足

0 0t tx x； ， 0x 0t0x 0 0 0 0t t x x x； ，

平衡状态 对于所有 ，满足t

0c cf t x x ， (4-8)

的状态 称平衡状态。平衡状态的各分量相对时间不再发生变化。已知状态方程，令 所求得的解 便是平衡状态。

cx0x x

线性定常系统 ，其平衡状态满足 ，只要 非奇异，系统只有唯一的零解，即存在一个位于原点的平衡状态。至于非线性系统， 的解可能有多个，取决于系统方程。

x Ax 0c Ax A

0cf t x，

李雅普诺夫的稳定性定义均针对平衡状态而言。它反映了平衡状态邻域的局部（小范围）稳定性。鉴于线性系统只唯有一个平衡状态，平衡状态的稳定性便表征了系统的稳定性。对于具有多个平衡状态的非线性系统来说，因为各平衡状态的稳定性一般并不相同，故需逐个加以考虑：至于全局（大范围）稳定性，需结合具体初始条件下的运动轨迹来考虑。

稳定性 设系统初始状态位于以平衡状态为球心、半径为的闭球域内，即

0 0c t t x x (4-9)

若能使系统方程的解 在 的过程中都位于以平衡状态 为球心、任意规定的半径为 的闭球域以内，即

0 0t tx x； ， t cx

则称该平衡状态是稳定的，通常称为李雅普诺夫意义下的稳定性。其平面表示见图 4-1(a) 。

0 0 0ct t t t x x x； ， (4-10)

式中 称为向量的范数， 为平衡状态向量端点至初始向量端点和“初始状态偏差向量”的范数，其几何意义为“初始状态偏差向量”的空间距离的尺度，其定义式为：

0 ex x

2 2

0 10 1 0e e n ne x x x x x x (4-11)

同理， 为“状态偏差向量”的空间距离的尺度。 0 0 ct t x x x； ，

要注意到，按李雅普诺夫意义下的稳定性定义，当系统作不衰减振荡运动时，将在平面描出一条封闭曲线，但只要不超出 则认为稳定，同经典理论中线性定常系统稳定性的定义相比是存在差异的。

S

通常时变系统的 与 有关，定常系统的 与 无关。只要 与 无关，这种平衡状态称一致稳定的。

0, t 0t

0t

渐近稳定性 不仅具有李雅普诺夫意义下的稳定性，且存在

0 0 0ct t x x x； ，ilim

(4-12)

则称平衡状态是渐近稳定的。这时，从 出发的轨迹不仅不会超出 ，且当 时收敛于平衡状态或其附近，其平面表示见图 4-1(b) 。显见经典理论中稳定性定义与渐近稳定性对应。当 与 无关时，且称一致渐近稳定。

S S t

0t

大范围（全局）渐近稳定性 当初始扰动 扩展到整个状态空间，但具有渐近稳定性时，称此平衡状态为大范围渐近稳定的，此时， 或 ，由状态空间中任一点出发的轨迹都收敛至平衡状态。若系统是线性的，可将初始扰动扩展至整个状态空间，故线性系统如果是渐近稳定的，必具有大范围渐近稳定性，一般非线性系统的特性与初始扰动条件密切相关，其 总是有限的，故通常只能在小范围内渐近稳定。当 与 无关时，则为大范围一致渐近稳定。

S x、

0t

不稳定性 不管任意给定的 、 有多么小，只要在域 内出发的轨迹超出 以外，则称此平衡状态为不稳定的，其平面表示见图 4-1(c) 。线性系统的平衡状态不稳定，表征系统不稳定；非线性系统的平衡状态不稳定，只说明存在局部发散的轨迹，至于是否趋于无穷远，要看 域外是否存在其它平衡状态，若存在，如有极限环，则系统仍然是李雅普诺夫意义下稳定的。

S

S

S

第三节 线性系统稳定性判据

这里提出的是基于李雅普诺夫对有关稳定性的定义、用状态空间描述的线性系统的稳定性判据。

定常系统的特征值判据 系统 渐近稳定的充要条件是：状态阵 的全部特征值位于复平面左半部，即

Re 0 1, ,i i n

x AxA

(4-13)

证明 假定 有相异特征值，经满秩变换 可 使对角化，于是 ，式中

x Px1x P APxA A

01

1 2

0 n

A P AP

变换后状态方程的解： 0Att ex x

由于 ，故原状态方程的解可表为： 利用 ，故

1 10 0 x P x x P x， 10 0At Att e e x x P P x

11 Ats e

I A

1

21 1

0

0 n

t

tAt At

t

e

ee e

e

P P P P

展开该式， 的每一元素 都的线性组合，进而析出 写成矩阵多项，对应矩阵记以 ，故 一定可记成 的线性组合：

Ate 1 , , nte e 1, , nR R

ite

1 , , nte e Ate

该式以显式表出了 与 的关系。显然，只要式 (4-13) 成立，式 (4-14) 中所有指数项随 而趋于零，且对任意 都成立。如果对某些 有 ，只要 ，式 (4-8) 中的相应项将无限增长，此时系统不稳定。如果 ，表示有零或虚特征值时，式 (4-8) 中含有常数项或 sin 、 cos 的项，将使 不衰减至零，此时系统具有李雅普诺夫意义下的稳定性。至于 A 有重根的情况，结论同上。

tx it 0x

i iRe 0 0 0x

iRe 0 it it

tx

1

tnAt ie eii

R

1 20 01 21

t ttn ti nt e e e enii

x R x R R R x (4-

14)

时变系统的稳定性判据 系统 ，由于 阵不是常数矩阵，不能采用特征值判据，需用状态转移矩阵的范数 （定义为各元素平方和再开方），且有如下充要条件成立，它们均自李雅普诺夫稳定性定义导出。

tx A x tA

0t t ，

若存在某正常数 ，对于任意 有： 0N t0 0t t t和

0 0

0

0tlim 0

t t N t

t t N

t t

， 则系统稳定；

， 则系统一致稳定；

， 则系统渐近稳定。

若存在某正常数 及 ，对于任意 有：0C N

00

C t tt t Ne ，，

0 0t t t和

则系统一致渐近稳定。因为 ，故一致稳定； 因 ，故 ，系统又是渐近稳定的。

0t t N ， 0lim 0C t t

te

0t

lim 0t t

，

第四节 李雅普诺夫第二法稳定性定理

根据古典力学中振动现象，若系统能量随时间推移而衰减，系统迟早会达到平衡状态，不过寻求实际系统的能量函数相当困难。李雅普诺夫提出，可虚拟一个能量函数，一般它与 和t 有关，记以 ；若不显含 t ，则记以 。它是一个标量函数，考虑到能量总大于零，故为一个正定函数。其能量衰减特性用 或 表征。李雅普诺夫利用 及 的符号特征，直接对平衡状态稳定性作出判断，无需求出动态方程的解，故第二法有直接法之称。用此方法解决过一些用其它稳定性判据无法解决的特定非线性系统的稳定性问题，遗憾的是对一般非线性系统仍未形成构造李雅普诺夫函数的一般方法，对线性系统则常用二次型函数 作为李雅普诺夫函数。

1, , nx x V tx， V x

V tx ， V x V V

Tx Px

下面我们不打算对第二法诸稳定性定理在数学上作严格证明，而着重于物理概念的阐述和应用。先简明回顾标量函数正定性概念。

正定性 标量函数 在域 中对所有非零状态（即 ）有 ，且 ，则称 在 域内正定。如 是正定的。

V x S 0x 0V x 0V 0 2 2

1 2V x x x V x S

负定性 标量函数 在域 中对所有非零 有 ，且 则称 在域 内负定。 则正定的。如 是负定的。

V x S x 0V x 0V 0

V x S V x 2 21 2V x x x

负（正）半定性 在域 中的某些状态处有 及 ，其它状态处均有 （ ），则称 在域 内负（正定）半定。 负半定， 同正半定。如 ，有 时， ； 时， 故 负半定。则 为正半定。

0V 0

V x

0V x 0V xS 0V x

V x

S V x V x

21 22V x x x 1 22x x 0V x 1 22x x 0V x V x 21 22V x x x

不定性 在域 中可正可负，则称 不定。如 是不定的。若 正定，则对于 及所有非零状态有 ，且 。其余定义类同。

V x S V x 1 2V x xx

V tx， 0t t 0V t x， 0V t 0，

二次型函数是一类重要的标量函数，记以

11 12 1 1

21 22 2 21

1 2

, ,

n

nTn

n n nn n

p p p x

p p p xx x

p p p x

V x x Px

P ij jip p 0V 0

P式中 为对称阵 ；显然满足 ；其正定性由赛尔维斯特准则判定：当 的各顺序主子行列式均大于零时，即

11 111 12

1121 22

1

0 0 0n

n nn

p pp p

pp p

p p

； ； ；

正定，且称 为正定矩阵。当 的各顺序主子行列式负、正相间时，即

11 1

11 1211

21 221

0 0 1 0n

n

n nn

p pp p

pp p

p p

； ； ；

V x P P

负定，且称 为负定矩阵。 V x P

对应主子行列式且含有等于零的情况时，则 为负半定或正半定的。不属于以上所有情况者为不定的。

V x

下面来介绍李雅普诺夫第二法诸稳定性定理。

设系统状态方程为 ，其平衡状态满足 ，即不失一般性地把原点作为平衡状态；在原点邻域存在向量 的标量函数 ，具有连续一阶偏导数。

f tx x ， 0f t 0，

V tx，x

定理一 若满足下列条件：1． 正定；2． 负定； 则原点是渐近稳定的。浅释： 负定表示能量随时间连续单调地衰减，与渐近稳定性定义叙述一致。

V tx， V tx ，

V tx ，

定理二 若满足下列条件：1． 正定；2． 负半定；3. 负半定表示在非零状态存在 = 0 。在从任意初态出发的轨迹 上若存在 系统将维持某等能量水平运行而不再衰减，但条件 3说明不存在这种情况，状态轨迹只是经历能量不变的状态而不会停留在该状态，系统会继续运行至原点。经校验确知满足条件 3 ， 负半定即可渐近稳定；已知负半定，必须校验条件 3 ， 才能确定稳定性质。

V tx， V tx ，

0 0V t t t x x ； ， ， V tx ， 0 0t tx x； ， 0 0 0V t t t x x ； ， ，

tv x ， tv x ，

定理三 若满足以下条件：1． 正定；2． 负半定；3． 在非零状态存在恒为零；则原点是李雅普诺夫意义下稳定的。

V tx， V tx ，

0 0V t t t x x ； ， ，

定理四 若满足以下条件：1． 正定；2． 负半定；则原点是不稳定的。

V tx， V tx ，

浅释： 正定表示能量函数随时间增大，故状态在原点邻域发散。对线性系统来说，原点不稳定表示系统不稳定；对非线性系统来说，并不能说明系统一定不稳定。

V tx ，

当 正半定，且 在非零状态不恒为零，则原点不稳定；若 在非零状态存在恒为零，则原点仍是李雅普诺夫意义下稳定的。满足定理一、二、三可确定渐近稳定或稳定的 ，习惯上能称李雅普诺夫函数。 的选取不唯一，但只要有一个 满足了定理所述条件，便可对原点稳定性用出判断，不因 选取不同而有所影响。至今尚无构造李雅普诺夫函数的一般方法，这是应用李雅普诺夫稳定性理论的主要障碍，如 选取不当，便导致 不定，便不能作出确定判断。以上定理按照 连续单调衰减的要求来确定稳定性，并未考虑实际稳定系统存在衰减振荡的情况，显见所述条件是偏于保守的，故借稳定性定理判稳定者必稳定，李雅普诺夫稳定性定理所述条件是充分条件。

V tx ， 0 0V t t t x x ； ， ， 0 0V t t t x x ； ， ，

V tx， V tx， V tx，

V tx，

V tx，

V tx ， V tx ，

分析计算时，虚构 ，通常任选一个二次型函数，求其导数，代入所研究的状态方程，再判其负定性等。 关于 在非零状态有无恒为零的分析，可令 及利用状态方程，若能导出非零解，表示非零状态恒为零条件成立；若导出全零解，表示只有原点满足恒为零条件。详见举例。

V t x，

0 0V t t t x x ； ， ， 0V t x ，

例 4-1 设线性系统状态方程为：

1 2xx

2 1 2x x x

试判断平衡状态稳定性。

解 令 ，知原点为平衡。设 ，则 ，显见存在非状 （ 如 ） 使 ， 对于其它任意状态 存在 ，故 负半定。非零状态时，是否存在 恒为零？令 ， 知 ，状态方程中 ，故 ，其状态解只有全零解，表明非零状态 不恒为零，原点是渐近稳定的，且大范围一致渐近稳定。

1 2 0 x x

2 21 2V x x x 2

2( ) 2V x x

1 20 0x x ， 0V x 0V x

V x v x 0v x

2 0x 2 0x 1 0x

v x

点击观看

若设 ，则 ，当 时， 故 不定， 应予重选。

2 21 22V x x x 2 1 22x x x v 1 2 0x x 0v x v x

V x

2 2 21 2 1 2

12

2V x x x x x若设

2 21 2 1 2 1 1 2 2 1 22x x x x x x x x x x v x则

，显见 负定，所得稳定性结论同上。 v x

例 4-2 判断下列线性系统的平衡状态稳定性：

1 2

2 1

0kx k

x

x

x

解 原点是平衡状态。

设 ， ，显见 负半定，且在任意非零状态 恒为零，故系统具有李雅普诺夫意义下的稳定性。

2 21 2V k x x x

1 2 1 22 2 0kx x kx x v v x 1 20 /x x 0或 和

例 4-3 判断下列线性系统的平衡状态稳定性：

1 2

2 1 2

x

x x

x

x

解 原点是平衡状态。设 ， ，由于 与 无关，显见非零状态 有 ，故 正半定。

2 21 2V x x x

222xv v x 1x

1 20,x x 0 0v x v x

令 ，知 ， ，由状态方程知 ，得全零解，表明非零状态不恒为零，故原点不稳定，即线性系统不稳定。

0v x 2 0x 2 0x 1 0x

第五节 线性系统的李雅普诺夫分析

一 定常连续系统

设状态方程为 ， 为 维非奇异矩阵，系统有唯一平衡状态，位于原点。设取如下正定二次型函数作为可能的李雅普诺夫函数：

x Ax A n n

TV x x Px (4-15)

式中 为 维实对称正定常数矩阵。其 且考虑状态方程有：

T T T T v x x Px x Px x A P PA x

P n n v x

(4-16)

T Q A P PA－令 (4-17)

该式称为李雅普诺夫矩阵代数方程，于是有：

Tv x x Qx (4-18)

据渐近稳定定理一，只要 正定（即 负定），则大范围一致渐近稳定。于是渐近稳定的充分条件表示为：给定一正定 ，存在一满足式 (4-17) 的正定 。 就是该系统的一个李雅普诺夫函数。

Q v x

Tx PxP Q

当 或 选取不当时，往往导致 不定，但根据该特定李雅普诺夫函数并不能断定系统稳定性，需另选一个 或 再行校验。以上先选 、后验 的步骤可能要进行多次，在实用上是缺陷的，于是有如下定理进行渐近稳定性的判断。

P V x Q x V x

QPP

定理 系统 的渐近稳定的充要条件为：给定一正定实对称矩阵 ，有唯一正定实对称矩 使 (4-19)

成立。 就是的系统的一个李雅普诺夫函数。

x AxPQ

T A P PA Q－Tx Px

证明 充分性。由于 正定， 是正定二次型函数，其导数为：

由于 正定， 必负定二次型函数，故 的平衡状态具有渐近稳定性。

TV x x Px

T T T v x x A P PA x x Qx

P

Q v x x Ax

必要性。即证明渐近稳定系统对于任意给定的正定对称矩阵 ，其 有唯一正定对称解。首先来验证对于任意给定的正定对称矩阵 ，下式P

Q

Q

0

TA t Ate e dt

P Q

是式 (4-19) 的一个解。只需将式 (4-20)代入式 (4-19) 左端：

(4-20)

0 0 0

00

T T T T

T T

T A t At A t At T A t At A t At

A t At A t At

e e dt e e dt e e e e dt

de e dt e e

dt

A Q Q A A Q Q A

Q Q Q

0TA t At

te Qe ＝

又显见 ，故该 满足对称性； 0 0

T T TA t At A t At Te e dt e e dt

P Q Q P P

推导中利用性质 ，及 具有负特征值时，有 At Ate A Ae A

0 0

0T TT T A t At At Ate e dt e e dt

x Px x Q x x Q x

该式只有当 时等号才成立，故该 正定。0x P

最后来证明唯一性。设 和 都是式 (4-19) 的解，则1P 2P

1 1 2 2T T A P PA Q A P P A (4-21)

tATe

上式左乘 ，右乘 ，并利用矩阵指数求导公式，于是有：TA te Ate

1 2 0TA t Atd

e edt

P P (4-22)

1 2 1 2 0T A P P P P A有 1 2P P

该式说明， 是常数矩阵，与 t 无关。显见

又由于渐近稳定性质，

故 ，证毕。

1 2 1 20

TA t At

te e

P P P P

1 2 0TA t At

te e

P P

1 2

TA t Ate eP P

1 2P P

经以上证明可以确信：先进任意正定对称矩阵 （通常取一单位矩阵最为方便），后按式（ 4-19）验 P阵是否正定对称，只需进行一次计算，便可确定系统是否渐近稳定了。

Q

以上定理给出了判断线性系统是否渐近稳定及构造线性渐近稳定系统李雅普诺夫函数的一般方法。当解得 阵非正定时，系统非渐近稳定。至于具体稳定性质尚不能由本定理作出判定，可用特征值判据加以判定。 阵负定时，系统不稳定（对例 4-4 可验证 )； 阵不定时，可能不稳定（可参见例 4-5），也可能有李雅普诺夫意义下的稳定性（对例 4-3 ）可验证。

P

PP

据渐近稳定性定理二，若系统任意状态轨迹在非零状态不存在

恒为零，则 Q阵可给定为正定的，这时只需令单位阵中主对角线上部分元素为零，而由式 (4-19) 解得的 阵应是正定的。至于正半定矩阵 的取法，则是不唯一的，所取具体形式既应简单、又应能导出确定的平衡状态的解。

Q

( )V xP

例 4-4 试用李雅普诺夫方程判断下列线性系统的稳定性：

1 2

2 1 22

x

x x

x

x

解 利用线性定常系统特征值判据，显见

212 2 1 0

2 1

I A

特征值为 -2、 1 ，故系统不稳定。

令 T A P PA Q I

于是有 11 12 11 12

12 22 12 22

0 2 0 1 1 0

1 1 2 1 0 1

p p p p

p p p p

4 2 1 012 11 12 222 2 2 0 111 12 22 12 22

p p p p

p p p p p

解得11 12

12 22

3 1

4 41 1

4 4

p p

p p

P

校验 的正定性：

1 11 2

3 13 14 40 0

1 14 4

4 4

p

；

故 不定。系统非渐近稳定，属不稳定。

P

P

例 4-5试用李雅普诺夫方程确定下列图 4-3 所示系统 k值的稳定范围。

解 取如图所示的一组状态变量，系统状态方程为：

1 1

2 2

3 3

0 1 0 0

0 2 1 0

0 1

x x

x x u

x K x K

研究稳定性时，可令 。显然 ，故原点为平衡状态。假设取正半定矩 阵为：

0 0 0

0 0 0

0 0 1

Q

0u 0A

Q

由于 ，令 ；由状态方程 确定；由状态方程 ，确定 。表明只有原点满足 恒为零，故可以采用正半定矩阵 来简化分析稳定性。

23

T v x x Qx x 0 03 v x x时， 3 0x1 0x 2 0x

v x Q

T A P PA Q令

11 12 13 11 12 13

12 22 23 12 22 23

13 23 33 13 23 33

0 0 0 1 0 0 0 0

1 2 0 0 2 1 0 0 0

0 1 1 0 1 0 0 1

K p p p p p p

p p p p p p

p p p p p p K

2 12 6

012 2 12 26 3

12 2 12 2 12 26

012 2 12 2

K K K

K KK K K

K K KK

K K

P

为使 成为正定矩阵，其充要条件为： 和 因此，当 时，系统稳定。由于是线性系统，必大范围一致渐近稳定。

12 2 0K 0K 0 6K P

二 时变连续系统

Tt tV x x P x，

设系统状态方程 ，原点是唯一平衡状态。设取如下正定二次型函数作为可能的李雅普诺夫函数：

tx A x

式中 是 维实对称正定、元素为时间的连续函数的矩阵。其 且考虑状态方程有：

tP n n tv x ，

该式称为李雅普诺夫矩阵微分方程，于是有：

Tt tv x x Q x ， (4-26)

Tt t t t t t Q A P P P A令 (4-25)

T T T T T

T T T

T T

t t t t t t

t t t t t

t t t t t

v x x P x x P x x P x x P x x P x

A x P x x P x x P A x

x A P P P A x

，

(4-24)

系统的 渐近稳定的充要条件为：给这一正定实对称矩阵 ，有一正定实对称矩阵 使式 (4-25) 成立。 就是时变系统的一个李雅普诺夫函数。由于是线性系统，渐近稳定必为大范围的；由于是时变系统，状态转移矩阵与 有关，故不是一致的。也可选取 。式 (4-25) 是黎卡提矩阵微分方程的特例。其解 与状态转移矩阵 有关，解得 后再来分析其正定性以判断稳定性。

tx A x tQ tP T tx P x

0t t Q I

0t t ， tP

tP

可综合成如下定理：

三、定常离散系统

设系统状态方程为 ，式中 为 维非奇异矩阵。原点是平衡状态。设取如下一个可能的二次型函数：

1k k x x n n

TV k t k x x Px

式中 为 维对称正定常数矩阵。可用差分 代替

1V k V k V k x x x

n nP V k x v x

1 1T T

T T

T T

V k k k k k

k t k k

k k

x x Px x Px

x P x x Px

x P P x

T Q P P令

该式称离散的李雅普诺夫代数方程。于是有：

TV k k k x x Qx

考虑状态方程有：

系统 大范围一致渐近稳定的充要条件为：给定任一正定实对称矩阵 ，存在一个正定实对称矩阵 ，能使式 (4-30) 成立。 是系统的一个李雅诺夫函数。通常可取 。如果 沿任一解的序列不恒为零， 可取为正半定矩阵。

1k k x x

P

Q

Q T t kx Px

Q I V k x

同样可综合成如下定理：