线性代数故事会 — 数学建模融入课程的探索

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线性代数故事会 —数学建模融入课程的探索广东工业大学

郝志峰2010 年 4 月 24 日

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国家“十一五”规划教材高等教育百门精品教材线性代数、学习指导与典型例题

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线性代数（英文版）

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线性代数（教育部新世纪网络课程建设工程）

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一、基础解系二、线性方程组三、线性变换四、矩阵乘法的迷雾五、常用的“模型”

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在城市中，不时听到人们抱怨塞车，这也成为不少城市的“一景”。下面的例子一方面给出了交通堵塞的部分数学解释，另一方面也给基础解系一个生动的刻划。

一、基础解系—繁忙的交通

右图是 2010 年 3 月 2 日，元宵节后上班第一天，广州 BRT(Bus Rapid Transit ，中文名“不让通” ) 工程实施后的照片。

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一、基础解系—繁忙的交通例：设一个“井”字形环路，均为单向行驶，在八个出入口有一个记录口（或收费站），可记录单位时间进出

500

400

550 650

500

600

450350

1x

2x

3x

4x

该路段的车辆数目，已知八个出入口在某一个时间段的数目如右图。

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问路段上的车辆数目？4321 ,,, xxxx

解 : 根据“入出”的准测，四个“十字”路口节点的方程为 :

21

32

43

14

400550)2(350500)3(600450)4(650500)1(

xxxxxxxx

(1)

(4)(3)

(2)

节点


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上述线性方程组的解为1

2

3

4

50 1200 1

k350 1200 1

xxxx


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问题 : (1) 基础解系在该问题中代表了什么？

请您利用该结果对交通管理部门提出若干有用的建议 .

1111


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思考题：图中是某一地区的公路交通网络图，所有的道路都是单行道，且道上不能停车，通行方向用箭头表示，标示的数字为高峰期每小时进出网络的车辆数。（修订版， 2008 ， p.13 ，例 10 ）

200

300

200

100 200

300

300

A

B C

D

E

试从交通流量平衡条件建立起线性代数方程组，并对解作出符合实际意义的解释。


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线性相关（修订版， 2008 ， p.131末）：

1 2 3

2 0 10 2 2

，，

2 2 21 O +H H O2

二、线性方程组 (1)—化学方程式已知化学反应方程式：

该方程式共有两种原子，故可用 2维向量表示：

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线性相关：1 2 3

1 + =2

二、线性方程组 (1)—化学方程式

即：与方程式对应，有向量关系式：

1 2 31 + - =2 0

注意：向量组线性相关的意义这些组分间可能发生化学反应。但：真实发生还需要所谓的“反应条件”

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确定，使两边原子数相等称为配平，方程为1 3 8 2 2 3 2 4 2( ) ( ) ( ) ( )x C H x O x CO x H O

1 2 3 4

3 0 1 08 0 0 20 2 2 1

x x x x

1

2

3

4

3 0 1 0 08 0 0 2 00 2 2 1 0

xxxx

Ax 0-

二、线性方程组 (1)—化学方程式 —配平1 2 3 4, , ,x x x x

写成矩阵方程

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已知一个化学反应系统内有七种组分：并且已知这些组分中部分物质的量（ kmol），注意到这些分子总共涉及三种原子，根据物质不灭定律，系统原子量保持恒定，于是有原子矩阵（修订版，2009， p.22 、例 3 ）

4 2 2 2 2 6

3 7

CH H CO CO H O C C H1 0 1 1 0 1 2 C

B4 2 0 0 2 0 6 H0 0 1 2 1 0 0 O

4 2 2CH H O H、、、

二、线性方程组 (1)—化学方程式 — （非）齐次方程组2 2 6CO CO C C H、、、

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根据物质不灭定律，系统原子量保持恒定，当考虑经过一定时间的变化，如何确定系统内的各组分含量时（修订版，2008 ， p.114 、例 7），有

上述两式一减，注意，非齐次转化为齐次。

4

2

2

2

2 6

CH

H

CO C

CO H3 7

OH O

C

C H

B

n

n

n bn b

bn

nn

4

2

2

2

2 6

CH

H

CO C

CO H3 7

OH O

C

C H

'

'

''B'

''

n

n

n bn b

bn

nn

二、线性方程组 (1)—化学方程式 — （非）齐次方程组

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在本例中，

的秩为，则基础解系有个（需要由化学方法预先测定）齐次方程的解。

4

2

2

2

2 6

CH

H

CO

CO3 7

H O

C

C H

0B 0

0

n

n

nn

n

nn

7 rr


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若齐次方程组，故通解中有四个任意常数，若测出

则可算得：

3 7( B) 3r

二、线性方程组 (1)—化学方程式 — （非）齐次方程组2

2

4

2 6

CO

H O

CH

7C H

0.2kmol

1.2kmol

1.05kmol

10 kmol

n

n

n

n

2

C

H

CO

0.05kmol3.3kmol

0.8kmol

nn

n

注意（通解、特解），则可由得到的转化量确定系统内各组分的含量'n n n

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在本例中，

的秩为，则基础解系有个（需要由化学方法预先测定）齐次方程的解。

4

2

2

2

2 6

CH

H

CO

CO3 7

H O

C

C H

0B 0

0

n

n

nn

n

nn

7 rr


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二、线性方程组 (2)—剑桥食谱

麦当劳是垃圾食品吗？

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世卫组织对垃圾食品的定义是：仅仅提供一些热量，别无其它营养素的食物，或是提供超过人体需要，变成多余成分的食品。


你进了麦当劳，同样价格的汉堡，你选双层吉士汉堡包，还是麦辣鸡腿汉堡？双层吉士汉堡包里吉士能提供你半天的热量，生的生菜保留了原有的维生素 C ，烘焙的面包既富含维生素 B ，又是粗粮能帮助消化，你怎么不选？可你为什么就一定会选麦辣鸡腿汉堡呐？油炸的东西产生亚硝酸盐类物质，不易消化，这个你也知道的吧？

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双层吉士汉堡包满足剑桥食谱？二、线性方程组 (2)—剑桥食谱

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上世纪 80 年代很流行，剑桥大学 Howard博士（ International Journal of Obesety,1978,2,321-332 ），修订版， 2008 ， p.47，例 16：为使食品具有希望数量和比例的营养，在食谱中加入了多种食物，每种食物能提供需要的成分，但关键是正确的比例。例如：脱脂牛奶是蛋白质的主要来源，但含了过多的钙，于是可以考虑用大豆粉来提供蛋白，它只含有少量的钙，但又含了过多的脂肪，于是又加上乳清，因它含的脂肪比较少，但乳清所含的碳水化合物又多了，……。该如何取舍？


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一个食谱的简单例子：三种食物及其每包可食物所含的营养素的数量如下：脱脂牛奶食物 ( 百克 )营养素 (克 ) 大豆粉乳清剑桥食谱每天供应量（克）

蛋白质碳水化合物脂肪

36 51 13 33

45

3

52 39 74

0 7 11


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设脱脂牛奶的用量为个单位（ 100g），大豆面粉的用量为个单位，乳清的用量为个单位，表中的三个营养成分列向量为：

使这个合成的营养与剑桥配方的要求相等，得到 1 1 2 2 3 3 1 2 3

36 51 1352 34 740 7 11

x a x a x a x x x

1

2

3

36 51 13 3352 34 74 450 7 11 3

xxx

Ax = b

二、线性方程组 (2)—剑桥食谱1x

2x 3x

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注意：选取非负解，可以多考虑几个方程组，从而出现无限多解。剑桥食谱：给出了 33种食物提供所需的 31种营养素。


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(10 20 ) / 4(20 40 ) / 4(10 30 ) / 4(40 30 ) / 4

a b c

b a d

c a d

d b c

x x xx x xx x xx x x

二、线性方程组 (3)— 平板稳态温度的计算俄罗斯著名代数学家柯斯特利金的优秀教材《代数学引论》第二卷：线性代数

已知平板的四周温度（可测，求平板上任一点的温度），与气象预测、地形测量对比

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1 0.25 0.25 0 7.50.25 1 0 0.25 150.25 0 1 0.25 100 0.25 0.25 1 17.5

a

b

c

d

xxxx

整理为二、线性方程组 (3)— 平板稳态温度的计算

注意：推广到网格，大规模稀疏矩阵的

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书号的编制（ 2007年 1 月 1 日后）：以新的书：修订版， 2008 为例，有

ISBN 978-7 － 04 － 024900 －2国际标准书号中国出版社社内码校验位

若分别赋予权重 , 即 .9 7 8 － 7 － 0 4 － 0 2 4 9 0 0－ 2

并求和： 9+21+8+21+12+6+4+27+2＝ 1101 1 3 1 3 1 3 1 3 13 31

图书

注意： (mod 10)110 0

三、线性变换 (1)—书号的编制

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书号的编制（ 2007年 1 月 1 日前）：以《线性代数》（第二版）为例，有以《线性代数》（第二版）为例，有

ISBN 7 － 04 － 011882－ 3国际标准书号中文出版社社内码校验位若分别赋予权重若分别赋予权重 , , 即即 ..

7 － 0 4 － 0 1 1 8 8 2－ 3并求和：并求和： 70+32+6+5+32+24+4+370+32+6+5+32+24+4+3 ＝＝ 176176

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1


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注意： (mod 11) 事实上，这对任何一本正式出版的书都是对的，问题： (1) 这两种编码方式的线性变换观点 ? 校验位 . (2) 请您发现一本不编码体系中最末一位是 “X” 的书。 (3) 国际标准期刊号《华南理工大学学报（自然科学版）》 ISSN 1000—565X (4) 这个方法如何推广到一般的情形 ? 代数方法——线性变换。

176 0


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传说中，有一位古代将军命令他的传令兵发出一个“进攻”的信息，他要求该命令必须准确无误地发出，否则将处死传令兵。这可急坏了这位传令兵，要发一条信息并不难，难的是如何保证不出错，真是急得一身汗。正在此时，传令兵突然急中生智，他毫不犹豫地站在传令台上，向前挥舞“进攻”的命令一百次，然后下来。结果当然是信息发了出去，而且接受方也知道了“进攻”。因为接受方虽不能保证一百次看到的都是“进攻”，但可以几乎以概率为 1的把握确定是“进攻”。因为一百次样本还是较大的，接受方理解为“进攻”的可能性很大。

三、线性变换 (2)—密码—古代将军的命令

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现在用向量代数的语言来诠释传令兵的思想，假设发出的信息为 a ，则传令兵发出的信息是：当然我们有理由批评传令兵没有注意保密，因为这个信息有可能被间谍也窃取了。但考虑到传令兵所处的环境，当然也就不会追究了。但现在的研究人员却需要考虑这一点，比如书号的模型就是一例。

100 1

a (1,1, 1,1) 个

三、线性变换 (2)—密码—古代将军的命令

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低维→高维 : 现代加密 , 解密的基本方法 . 人造卫星的信号 . 明文 : 发 : 即

(注 :1低维→高维 , 2 线性变换 ) 收 : 若 :

1 2 3 4 5( , , , , ). {0,1}ia a a a a a X5

1 2 3 4 5 6 61

( , , , , , ). (mod 2)ii

a a a a a a a a

Y

5

5 6 5 6

1 0 0 0 0 1 10 1 0 0 0 1 10 0 1 0 0 1 10 0 0 1 0 1 10 0 0 0 1 1 1

Y = X X E

1 2 3 4 5 6( , , , , , )b b b b b bZ

6

1

)2(mod0i

ib

三、线性变换 (2)—密码—现代通信

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则存在奇数个错 , 且一个错的可能性很大 , 这是因为若一个错的概率为，则出三个错的出错概率为出五个错的出错概率为若：则不能完全判断，若出错，至少有偶数个错，其概率至少为故在民用电报中，上述方法是一个简便的方法。

p3p

5p

2p

)2(mod06

1

i

ib

三、线性变换 (2)—密码—现代通信

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字母 A B C D E F G H I J K L M 表值 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13字母 N O P Q R S T U V W X Y Z表值 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26

三、线性变换 (3)—密码 — Hill密码的加密与解密修订版， 2008 ， p.57 例 19 ，利用可逆矩阵法修订版， 2008 ， p.218 例 4 ，利用线性变换

1

1 2 3 0 1 11 1 2 2 2 10 1 2 1 1 1

A A，

例：发： ACTION ，编码为 1 、 3 、 20 、 9 、 15 、 14

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则乘以可编成“密码”：A

三、线性变换 (3)—密码 — Hill密码的加密与解密1 2 3 1 67 1 2 3 9 811 1 2 3 44 1 1 2 15 520 1 2 20 43 0 1 2 14 43

，

收到信息： 67、 44 、 43 、 81 、 52 、 43 后，可用恢复明码。1A

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如何破译：关键是求得加密矩阵的逆—解密矩阵例如：只要分析出两个（ n 个）明文向量（线性无关）与相应的密文向量。

1 1 3 3

2 2 4 4

b a b ab a b a

A A，

三、线性变换 (3)—密码 — Hill密码的加密与解密

如果： 1 3 1 3

2 4 2 4

b b a ab b a a

A

11 3 1 3

2 4 2 4

b b a ab b a a

A

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姜启源老师的《数学模型》例：已知比赛无平局，只有胜负 ( 如 :排球、乒乓球、羽毛球、网球等 ) ，共有六支队伍，两两之间均比赛过，结果如右图 : 问：如何排定名次 ?

1 2

3

45

6

思考 1 ：“获胜”是关键。于是，寻找一条从起点不断获胜的路径；如：① 1→ 4→6 →3 →2 →5② 4→ 5→6 →3 →1→2明显有不合理且不可行的地方。第一，解明显不唯一。第二，强队一失手，真成千古之恨。（比如巴西负阿根廷，阿根廷再负…，此种传递会得出极荒谬的结论。但注重“获胜”是体育竞赛精神之所在，也是建模的基本依据。

四、矩阵乘法的迷雾 (1)—循环比赛

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思考 2: 国际足联积分制 1队 : 4胜 1负 8 分 2队 : 3胜 2负 6分 3队 : 3胜 2负 6分 4队 : 2胜 3负 4 分 5队 : 2胜 3负 4 分 6队 : 1胜 4负 2 分

这时 1 ， 6两队名次立即分出。但 2 、 3两队，4 、 5 两队呢？以体育界常用的做法， 3胜 2 ，故 3 在 2之前。 4胜 5，故 4 在 5之前。于是名次为： 1 ， 3 ， 2 ， 4 ， 5， 6。但问题或困惑随之而来，就 4 、 5 而言， 5胜的是 3和 6，而 4胜的是 5 和 6。看一看对手的实力，我们又有理由说 5会强一点，因为 5→3→4 。


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2010 年CBA总决赛，目前广东宏远 2:0 新疆广汇

可 4 月 18 日就在第二场比赛结束的一刹那，新疆外援查尔斯与广东队员杜锋发生冲突，查尔斯一记猛拳将广东队员杜锋打倒在地，场面一度失去控制。为何比赛如此激烈？


http://sports.sohu.com/20100418/n271591914_3.shtml

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这说明，排名的学问很深 2009年赛季，广东队正是在总决赛中以总比分 4 ： 1击败新疆队，夺得了总冠军。然而，时隔一年，双方不可同日而语， 2010年常规赛中，广东队（ 30胜 2负），就曾在主客场两负新疆队（ 27胜 5负）。预测： 2010 年赛季总冠军？让我们拭目以待


注： CBA十大冲突之首的处罚结果： 4 月 20 日，中国篮协公布了对“ CBA总决赛第二场中球员之间发生冲突”事件的处罚结果。最终广东队的杜锋和新疆队的外援查尔斯同时被通报批评，两家俱乐部各罚款 5万，广东主场东莞赛区由于球迷不冷静被加罚 5万元。

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综合思路 1 、 2 ，我们有以下的分析：取胜的价值有所不同。由于积分制只关心取胜，不关心失败，所以取胜强队的价值(即分数 )应高一些。依照此思想，在区分 2 、3和 4 、 5时，要给出更精细的分数。以 2 、 3 为例 , 它们的精细分数为： 2 胜 4 、 5、 6，得 4+4+2＝ 10 分 3 胜 1 、 2 、 4 ，得 8+6+4＝ 18 分


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以 4 、 5为例 , 它们的精细分数为 : 4 胜 5、 6，得 4+2＝ 6分 5 胜 3 、 6，得 6+2＝ 8 分需要说明的是这只是精细分数，不是说由于 10>8 ，则 2 在 1之前。这只是为了区分同一名次的。从解决问题的角度来看，做到这里似乎目的达到了。但作为数学建模，这只是开始。我们只是有了些正确的思路，或解决问题的技巧，还没有建立模型。现在，我们朝着模型的方向前进着。


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于是 , 我们转换为矩阵的做法试试看：令

设胜一场得 2 分 , 负一场得 0 分 . 记初始向量为( 为什么 ?)

222222

0e

000100100100110000001011111000111010

654321

654321

A


100-49

10

244668

eeA

21

686

181016

eeA 这就是区分 2 、 3和 4 、 5的过程

这就是国际足协


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注意到

这给出了“矩阵相乘”的一个解释——看对手 .

2 22 0

2 0 0 2 1 2 3 22 0 0 2 0 1 2 22 0 1 0 2 3 3 22 0 0 2 0 0 1 22 1 1 1 1 0 0 22 1 1 0 1 0 0 2

e A e A


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矩阵乘法（修订版， 2008 ， p.27）中究竟是什么？观察注意：当且仅当战胜。所以表明有三个，存在着战胜，战胜。

C AB6

1ij ik kj

k

c a b

16 11 16 12 26 13 36 14 46 15 56 16 66c a b a b a b a b a b a b

0ija i j

16 3c ij

kk

k


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一般的定理 : Perron－ Frobenius 定理

若 A是非负、不可约矩阵，则n

nA xA x

limn

注意 :约束条件不可分矩阵（分块矩阵）对应的图是连通图

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数模竞赛中的类似问题 CUMCM:92B:足球排名 (残缺矩阵 )MCM:96B:快速评卷 .MCM:98B:ABC学院

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思考题：通路矩阵（修订版， 2008 ， p.23 ，练习 4 ）

1d

右图中示明了 d 国三个城市， e国三个城市， f国两个城市相互之间的通路， d 国和 e国之间的通路情况可以用下面的矩阵表示

2d

3d

1e

2e

3e2f

1f

1 2 3

1

2

3

1 1 01 0 11 1 0

e e eddd

问： e国和 f国之间， d 国和 f国之间呢？

四、矩阵乘法的迷雾 (2)— 通路矩阵

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请关注请关注

四、矩阵乘法的迷雾 (3)—Google搜索+ Perron－ Frobenius 定理的应用

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搜索三明学院获得约 370,000 条结果（启用了安全搜索功能），以下是第 1-10 条。（用时 0.13秒）How can google make a raHow can google make a ranking of 370,000 pages in 0.nking of 370,000 pages in 0.13 seconds?13 seconds?

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网络通讯一个网络是由若干个节点和连线组成-计算机-电视机- 卫星

-电话线-有线电视- 无线网络

网络通讯：不同的点有不同的线互联（图论思想）。

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HITS

PageRank

1998 Jon Kleinberg 1998 Jon Kleinberg Cornell UniversityCornell University

19981998 Sergey Brin and Sergey Brin and Larry Page Larry Page Stanford UniversityStanford University

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通过检查整个网络链接结构，确定哪些网页重要性最高；然后进行超文本匹配分析，以确定哪些网页与正在执行的特定搜索相关。在综合考虑整体重要性以及与特定查询的相关性之后， Google 将最相关最可靠的搜索结果放在首位。

四、矩阵乘法的迷雾 (3)—Google搜索

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Page Rank, Google 的搜索引擎所用的排序系统。搜索者是独立的；搜索者是独立的；搜索的内容是独立的；搜索的内容是独立的；搜索仅用到互联网的图结构。搜索仅用到互联网的图结构。

四、矩阵乘法的迷雾 (3)—Google搜索

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Page Rank 通过对由超过 50,000万个变量和 20亿个词汇组成的方程进行计算，能够对网页的重要性做出客观的评价。注意： PageRank 并不计算直接链接的数量，而是将从网页 A 指向网页 B 的链接解释为由网页 A 对网页 B 所投的一票。这样， PageRank 会根据网页 B 所收到的投票数量来评估该页的重要性。

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基本原理“从许多优质的网页链接过来的网页，必定还是优质网页”

超链接 A→B≡A对 B投一票若 A的质量高（如 QQ），则该投票分数高

PageRank（衡量网页质量）

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PageRank示意图

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搜索者是独立的，搜索的内容是独立的,

,

( )

1 ( )

0

( )

m n i j

i j

P a

i jN ia

i j

N i i

存在从网页指向网页的超链接

网页不存在指向网页的超链接

表示从网页向外的链接数目

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Page Rank, Google 的搜索引擎所用的排序系统。

例：六个页面的有向图

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问题：已知 Google矩阵（网页邻接矩阵），如何求出 PageRank? 首先， PageRank可以表示为向量

R=[R1,R2,…,Rn]

PageRank（衡量网页质量）

还是： Perron－ Frobenius 定理

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PageRankPageRank是 Google矩阵的主特征向量

Google矩阵 P 记 P=PT （关注被链接） P（注意每列为和 1 向量，不为 1呢？）

令 x= PageRankPageRank，则求解 x=Px P的最大特征值为 1(主特征值 ) x是主特征值 1 对应的特征向量

PageRank是主特征向量

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GoogleGoogle 公司的秘诀公司的秘诀 ::

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在网球比赛中，观众最兴奋、比赛最精彩之处莫过于 Deuce情形。

四、矩阵乘法的迷雾 (4)— 网球中的 Deuce问题—离散的马氏链

右图是 2010 年 3 月 7日，在广东省江门市举行的 2010 年戴维斯杯网球赛亚洲 /大洋洲第一组的比赛中，中国队以 3比 2 的总比分力克乌兹别克斯坦队，成功晋级下一轮。图为：吴迪在比赛中回球。

100-73

乒乓球比赛也一样， 9平、 10 平、 11平、 12 平、 13 平、…，观众的心都被提到了嗓子眼了，呐喊的、跺脚的，没有一个观众愿意此时离去 (心脏病除外 ) 。这时有一个问题，如果比赛一直平下去，那岂不是把观众紧张死了，这可能出现吗 ? 当然你会说，这决不可能。为什么 ?


100-74

假设你赢一分的可能性为 P，你的对手赢一分的可能性为 1-P，那么比赛一直进行下去的可能性为。这里 , 且故上面的极限是 0 ，即比赛不会持续下去。

lim p (1 p)k l

n

1 lknlk

⑴: 比赛会不会持续下去 ? ⑵: 若甲 ,乙的获胜概率为 P,(1-P). 若此时甲领先 , 问甲最终获胜的概率有多大 ?若甲 ,乙打平呢 ?若甲落后呢 ?


100-75

好了，你将会看到比赛的结局的。但结局的各种可能性是多少呢 ? 这又是一个有趣的问题 ? 让我们来分析一下，就你现在的状态而言，你有 5种情况 : 1.赢了这一局， 2. 只赢一分， 3.打平， 4. 只输一分， 5. 输了这一局。出现情况： 1 、 5则比赛结束， 2 、 3 、 4则仍继续，出现 2 后，出现 1 的可能性为 P、出现 3 的可能性为 1-P,4 、 5不可能出现，如此类推到 3 、 4 ，则有如下的概率转移矩阵：

1 0 0 0 00 1 0 0

0 0 1 00 0 0 10 0 0 0 1

p pp p

p p

A

出现 2 后的一次发球的比赛结果的可能性是由此继续下去的第 k 次发球可能性则是 0 1 0 0 0 A

0 1 0 0 0 kA


100-76

A这个矩阵很有特点，每一行的和为 1 ，且每个元素的值在 0 、 1之间，这个矩阵称为Markov矩阵。我们的问题是问的值是多少 ? 这又是一个是否收敛的问题。要证明它，可采用相似标准形等方法解决，注意 A的一个自然的特征值 1和对应的特征向量。现假设存在，那么它是多少呢 ? 让我们先分析一下，既然存在，那么它一定是稳态的，即只可能处于 1 或 5状态，否则又不同了。

lim 0 1 0 0 0 k

kA

T11111

lim k

kA

lim k

kA

1lim k

k

A


100-77

于是1 1

2 2

3 3

1 0 0 0 00 0 0 1

lim 0 0 0 10 0 0 1

0 0 0 0 1

k

k

a aa aa a

A B

由于 ,所以 AB=B, 解之 , 得 : 1lim limk k

k kA A

pqpqqa

21

2

1

pq

qa21

2

2 pq

qa21

3

3


100-78

以为例（五五波） , 若你现在赢一分 , 则你取胜的可能性是 ; 若你现在与对手打平 , 则你取胜的可能性是 ; 若你现在输一分则你取胜的可能性是 1/4. 在这个模型中 , 你会发现 , 当 A赢一分之后再赢一份的概率保持不变 , 这与现实情况并不完全相同 . 因为你一分在手 , 在比赛中的心情和战术变化也不同 , 应该取胜的可能性也大一些 . 这种模型可能会有变换 , 请你自己动手一下 .

12

p q

134

a 2

12

a


100-79

一个醉汉在床与三步之远的楼梯之间徘徊。每走一步，朝着床走的机会与朝着楼梯走的机会是 3:1 ，如果到了位置1 ，就会摔下楼梯，如果到了位置 4 ，就会睡个好觉到天亮。假设该醉汉不会清醒，也不会伏下，且现在离天亮还有很长的一段时间。请问：①试证明：该醉汉最终一定到床和楼梯这两个位置中的一个； ②假设醉汉现在 (Ⅰ) ：离床两步远 ( 位置 2) ， (Ⅱ) ：离床一步远 ( 位置 3) ，分别计算他到床上去的概率。

位置 1 位置 4位置 2 位置 3

四、矩阵乘法的迷雾 (5)—醉汉问题 —Strang的书

100-80

2000 年考研题：某试验性生产线每年一月份进行熟练工与非熟练工的人数统计，然后将　熟练工支援其他部门，其缺额由招收的新的非熟练工补齐。新、老非熟练工经过培训及实践至年终考核有　成为熟练工。设第 n 年一月份统计的熟练工和非熟练工所占比例分别为　和　，记成向量　　 (1)求　　　与　　的关系式并写成矩阵形式

16

25

nx ny n

n

xy

1

1

n

n

xy

n

n

xy

1

1

n n

n n

x xA

y y

四、矩阵乘法的迷雾 (6)— 考研题

100-81

　　 (2)求　　　　，　　　是 A的两个线性无关的特征向量，并球出相应的特征值；

　　 (3)当时，求。

1

41

1

1

n

n

xy

1

1

1212

xy

2

11

四、矩阵乘法的迷雾 (6)— 考研题

100-82

修订版， 2008 ， p.33 ，例 4 ：分批脱产培训：

0.7 0.6=

0.3 0.4

A

现有不脱产职工 8000 人，脱产参加轮训2000 人。计划每年从不脱产的员工中抽调 30%的人参加轮训，而在轮训队伍中让人 60%的人结业回到工作岗位。如果职工人数不变，问一年后不脱产职工与脱产职工各有多少？两年后呢？

修订版， 2008 ， p.171 ，例 6：农工商的比例：

四、矩阵乘法的迷雾 (7)—同类的

100-83

设在一个大城市中的总人口是固定的。人口的分布则因居民在市区和郊区之间迁徙而变化。每年有 6%的市区居民搬到郊区去住，而有 2%的郊区居民搬到市区。假如开始时有 30%的居民住在市区，70%的居民住在郊区，问 10 年后市区和郊区的居民人口比例是多少？ 30 年、 50 年后又如何？1 0

0.94 0.03 0.3 =

0.06 0.97 0.7

kk k

k

x Ax A x

四、矩阵乘法的迷雾 (8)—转移矩阵 —Strang的书

100-84

地球由大气层包裹，是气液共存态。假设每天有6%的液体蒸发为气体，而又有 2%的气体凝结（降雨、雪）为液体。假如开始时有 30%的液体，70%的气体，问 1 年后气液共存态的地球中气体、液体的比例是多少？ 30 年、 50 年后又如何？

四、矩阵乘法的迷雾 (9)— 地球 —气液共存态

100-85


100-86

五、常用的“模型”—外套、袜子矩阵乘积的逆矩阵（修订版， 2008 ， p.39、图 2-5 ）

矩阵乘积的伴随矩阵-1 -1 -1(AB) =B A

* * *(AB) =B A

100-87

五、常用的“模型”—解析几何与代数坐标变换与线性变换正交矩阵（旋转变换、反射变换）

100-88

五、常用的“模型”—经济学投入产出分析（修订版， 2008 ， p.62 ， 2.6）商品的价格和总价（修订版， 2008 ， p.22 ，例 2；修订版， 2008 ， p.26，例 5）线性方程组在费用分摊、联合收入中的应用（修订版， 2008 ， p.9-13 ，例 1 、 2 ）线性变换将普及、平装、精装的书的数量与原材料纸、布的数量的转换（修订版， 2008 ， p.217，例 3 ）

100-89

五、常用的“模型”—矩阵作对角化一阶常系数常微分方程组与Malthus 模型即考虑如何化为

（修订版， 2009， p.175、 6.2.2.3 ）

d =dy ryx

d =Adtx x

d =Adtx x

d = 1, 2,...di

i iy y i nt ，( ， )

100-90

五、常用的“模型”—正定矩阵 n 元函数的最优化（修订版， 2008 ， p.208 、 6.4.2*）

当时，是函数的极大（极小）值点由二次型负定（正定）来确定

0 0 0 02

1( ) ( ) ( ( )) ( ) ( )2!

T Tf f f H R x x x x x x x x

0( ) 0f x 0x ( )f x0( )H x

100-91

五、常用的“模型”—行列式平面曲线的待定系数法

（修订版， 2008 ， p.93 、例 14 ，抛物线）

2 2( , )f x y ax bxy cy dx ey f

100-92

五、常用的“模型”—行列式—面积三角形的面积：修订版， 2008 ，p.96、习题 3-2 两个向量、张成的平行四边形面积的一半 a b

1 2 3

1 2 3

a a ab b b

i j k

a b

100-93

三大中值定理的归一：罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理基础： Fermat 点（临界点、驻点）在碗中掷毂子，最终落在何处，为什麽？

五、行列式—面积的应用—中值定理

100-94

罗尔中值定理　　闭连开导、　　　　　　、　　则有：　

)()( bfaf

0)(' f


100-95

构造辅助函数：设　　、　　、　　　闭连开导，构造函数　　如下：

)()()()()()()()()(

)(bhbgbfahagafxhxgxf

xF

)(xf )(xg )(xh)(xF

则　　满足罗尔中值定理的条件，故　有 )(xF0)(' F


100-96

令　　　　、　　　，则有拉格朗日中值定理：0

1)(1)(01)('

bbfaaf

f 1)( xh

　　　　　　即即abafbff

)()()('

xxg )(


100-97

注意到，辅助函数：)(

1)(1)(1)(

21 xS

bbfaafxxf

这里，　　表示点　　　　，　　　，　　　　的三角形面积。求得的　恰是　　使得达到极大值的点　　　的值。

)(xS ))(,( afa ))(,( bfb

))(,( xfx

)(xSx


100-98

令　　　　，则有柯西中值定理：0

1)()(1)()(0)()( ''

bgbfagaf

gf

1)( xh

　　　　　　即即 )()()()(

)()(

'

'

agbgafbf

gf


100-99

实际上，辅助函数：)(

1)()(1)()(1)()(

21 xS

bgbfagafxgxf

这里，　　表示点　　　　　　，　　　　　　，　　　　　　的三角形面积（请发挥你的想象）。求得的　同样恰是　　使得达到极大值的点　的值。

)(xS ))(),(( afag))(),(( bfbg ))(),(( xfxg

)(xSx


100-100

谢谢各位专家和代表广东工业大学

郝志峰Email： [email protected]

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线性代数故事会 — 数学建模融入 课程的探索

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