自己重力多体系の１次元シミュレーション

物理学科４年宇宙物理学研究室

　丸山典宏

• 球状星団　（約１０５個の恒星の集まり）• 銀河　（約１０１１個の恒星の集まり）• 宇宙の大規模構造　（ダークマター等の粒子の

分布として捉える）

重力の相互作用がはたらく多数の質点からなる系

自己重力多体系

宇宙の様々なスケールの天体の理想的なモデルになる

＝

マクロの力学はミクロの力学と切り離して考えることができない。

系の現実の時間発展は物質のミクロな運動によって決定される。系に含まれる粒子の数が非常に多い場合は、一般

に我々は統計的な手法を用いて、系をマクロに扱う。

物理量（密度、温度、圧力etc…)

通常の物質自己重力多体系 粒子はごく近くにしか相互作用しない。

マクロな物理量の進化はミクロの力学とは独立に決定出来る。

重力は長距離力であり、系内のすべての粒子どうしが相互作用をする。

統計力学、熱力学通常とは異なる熱力学的特徴？

　　まず、個々の粒子の運動方程式を決定し、その運動を計算することによって系全体の時間発展を調べる。

• １次元系は位相空間がコンパクトであるため扱いやすく、力の法則も簡単なため系の時間発展を正確に追跡しやすいというメリットがある。

• 一方、１次元の重力の性質は、３次元のそれとは異なり、自己重力多体系の性質の一部は失われてしまうと考えられる。

今回は、１次元の系について扱った

モデルと基礎方程式• 図のように、質点の集合であるシートがｘ軸にそって並んでいるモデルを考える。

• モデルは原点について対称。• シート同士は衝突せず、すり抜けると仮定する。

0x

x

1i 2 3 i N・・・・・・・・・

• １枚のシートが周囲に作る重力加速度ｇは、ガウスの法則と同様にして

Gg 2

S

GSSg 42

面密度 σ

ｇ

ｇ

シート j がシート i の単位面積あたりに及ぼす重力加速度は

)(2

)(0

)(2

ij

ij

ij

ij

xxG

xx

xxG

g

x

jx

G2

G2

よって、シート i の運動方程式は

N

ijiij

i mGgdt

txd 2

2

2

)12(2)(

1 2 i N

枚im

・・・・・・・・・・・・・・・・・・ ・・・・・・

x

打ち消しあう

エネルギーについて

N

jijii ixtxGtvt

2

1

22 )()(2)(2

)(

時刻ｔに、シート iの持つエネルギーは

系全体のエネルギーは

N

jiij

N

ii txtxGtvtE

22

2

1

2 )()(2)(2

)(

モデル１：密度一様の場合

……

x

h

),3,2,1()()0( 21 Nihixi

解析解が存在する

x

)(ˆ xN

N

)(ˆ xN は、あるｘまでに含まれる粒子の累積数

0

モデル１：密度一様

より、あるシートがｘ（ｔ）＝０となる時間ｔｃは iに依存せず、

2

12

1

22

Gh

Gtc

hixi )()0( 21

)12(2)(

2

2

ii mGdt

txd

（ ρ は平均の密度）

0)0( iv),3,2,1( Ni

モデル１：密度一様 解析解

ｔｃを用いて、時間を規格化する

モデル１：密度一様

x

ct

Ｎ＝３ の場合

• ｔ＝ｔｃで、全てのシートがｘ＝０となり、落下の途中で他のシートに追いつくことは無い。

• シート同士は衝突しないので、全てのシートは周期Ｔ＝４ｔｃで振動を続けると考えられる。

1

1.0

G

各定数は

位相空間内でのシートの運動（Ｎ＝１００）

モデル１：密度一様

0.0ctt 6.1ctt8.0ctt

4.2ctt 2.3ctt 0.4ctt

x

v

各時刻でのシートの分布モデル１：密度一様

0.0ctt

2.0ctt4.0ctt6.0ctt8.0ctt

)(ˆ xN

x

モデル２：中心の密度が高い場合

… …

x

NiN

ixi 3,2,1

)(

2tan)0( 2

1

x

)(ˆ xN

N

0

モデル２：中心高密度

モデル２：中心高密度

0.0ctt 0.2ctt0.1ctt

0.3ctt 0.4cttｔｃは中心の密度を元にしてい

る。

位相空間内でのシートの運動（Ｎ＝１０００）

x

v

各時刻でのシートの分布モデル２：中心高密度

x

)(ˆ xN

各時刻でのシートの分布モデル２：中心高密度

x

50ctt

)(ˆ xN

中心から一定数番目のシートの座標

モデル２：中心高密度

ctt

x

考察：シートの分布の緩和について

• 初期では、中心の密度が高まり、その高密度領域が外側に伝わるような形で、系全体に広がっていくように見える。

• 各シートはそれぞれ振動しながら、時間の経過とともに中心から緩和されていく。

• シート同士は衝突しないが、外側にあるシートと中心付近のシートとは重力によって相互作用をしている。そのため、系は緩和に向かっていると思われる。

APENDIX

自己重力多体系とは？

互いに重力を及ぼしあう多数の質点によって構成される系

1 22

mmF G

r

• 系の現実の時間発展は物質のミクロな運動によって決定される。

• しかし、系に含まれる粒子の数が非常に多い場合は、一般に我々は統計的な手法を用いて、系をマクロに扱う。

　　　　　　＝熱力学、統計力学

　　銀河などの自己重力多体系でも、液体や気体といった通常の物質と同様に統計的な手法を用いることが出来る？

液体、気体といった通常の物質

粒子はごく近くにしか相互作用しない。つまり、局所的な平衡は近くの粒子の状態によって決まる。

マクロ的な物理量が、力の及ぶ範囲よりはるかに大きなスケール内での平均によって決められるのならば、その物理量の進化はミクロの力学とは独立に決定することが出来る。

物理量（密度、温度、圧力etc…)

自己重力多体系

重力は、 1/ｒ ポテンシャルで表現される長距離力であり、その力は引力のみである。つまり、個々の粒子の運動は系内の他の全ての粒子からの力の合計によって決定される。

マクロの力学はミクロな力学と切り離して考えることができない。　　　　　　　　　＝通常とは異なる熱力学的特長を持つ。

物理量（密度、温度、圧力etc…)

モデル２：中心高密度

エネルギーの分布

各エネルギーは、 log(t/tc)に比例して減少

考察１：シートの分布の緩和について

• 初期では、中心の密度が高まり、その高密度領域が外側に伝わるような形で、系全体に広がっていくように見える。

• 各シートはそれぞれ振動しながら、時間の経過とともに中心から緩和されていく。

• シート同士は衝突しないが、外側にあるシートと中心付近のシートとは重力によって相互作用をしている。そのため、系は緩和に向かっていると思われる。

エネルギーの再分配は、どのように行われているのだろうか？

考察２：エネルギー分布の時間変化

• 中心付近のシートは時間の経過と共に重力を通じてより外側のシートにエネルギーを受け渡す。

• その結果、シートは中心付近へと落ち込み、高密度の領域が形成され、その後、緩和しているように見える。

以上のような緩和過程、エネルギーの再分配の性質は、通常の熱統計力学では見られない。