Подготовка школьников к предметным олимпиадам по математике

Математика

Подготовка школьников к предметным олимпиадам по

математике

МБОУ «КРАСНОСЛОБОДСКИЙ МНОГОПРОФИЛЬНЫЙ ЛИЦЕЙ»

Подготовила: Пузина Надежда Васильевна

учитель математики высшей квалификационной категории


а

Система работы с одаренными детьми включает в себя следующие компоненты:

выявление одаренных детей; развитие творческих способностей на уроках; развитие способностей во внеурочной деятельности (олимпиады, конкурсы, исследовательская работа); создание условий для всестороннего развития одаренных детей.


а

Работа олимпиадных элективных занятий строится на следующих принципах

1. Принцип регулярности. 2. Принцип параллельности. 3. Принцип опережающей сложности. 4. Принцип смены приоритетов. 5. Принцип вариативности. 6. Принцип самоконтроля. 7. Принцип работы с текстом.


а

Трудно рекомендовать какой-либо общий план элективного занятия – форма их может

широко варьироваться. Занятия могут проходить в виде: лекции или семинара, олимпиады, математической регаты или математического боя, командного соревнования по решению задач Планирование элективных занятий тоже должно носить гибкий характер: неожиданно возникший на уроке вопрос может послужить темой ближайшего занятия.


аУчителю математики, занимающемуся подготовкой

учащихся к олимпиадам необходимо обеспечить работу с задачами следующих разделов:

1. Ребусы, криптограммы.2. Текстовые задачи.3. Теория чисел.4. Планиметрия.5. Стереометрия.6. Уравнения, неравенства и системы.7. Доказательства числовых неравенств.8. Задачи на взвешивание.9. Логические задачи.10. Комбинаторные задачи.


а

Из каждого раздела не стоит рассматривать случайную выборку задач, нужно выделить основные темы, методы,

способы. Так, например, в разделе «Теория чисел» определить следующие основные темы:

1. Восстановление знаков действий.2. Восстановление цифр натуральных чисел.3. Числовые ребусы.4. Четные и нечетные числа.5. Признаки делимости.6. Простые и составные числа.7. Деление с остатком.8. Перестановка и зачеркивание цифр в натуральном числе.9. Последние цифры натурального числа.10. Степень с натуральным показателем.11. Системы счисления.12. Уравнения в целых числах.13. Неравенства в целых числах.


а

При непосредственной подготовке учащихся к математическим конкурсам и олимпиадам необходимо

акцентировать внимание учащихся на следующих моментах:

в задачах на доказательство требуется полное обоснование если в условии требуется указать все возможные способы решения, то от полноты количества указанных способов зависит и количество полученных баллов если в условии требуется ответить на вопрос «Можно ли…?», то для ответа достаточно привести один положительный пример, а для того, чтобы дать ответ «нельзя». Необходимо рассмотреть все возможные случаи, обобщая их в доказательство


а

Свойства четных и нечетных чисел

Тема: Четные и нечетные числа

Разность четна, если числа а и b одинаковой четности , (тогда эта разность делится на 4) и нечетна, если числа а и b разной четности


а Задачи


а Задачи

Задачи


а Тема: Делимость чисел Признаки делимости

На 25:

На 4:

На 8:

На 11:


а Тема: Делимость чисел Свойства делимости


а Задачи


а Задачи

11)1)

1)2)


а

3) Докажите, что при любом целом m выражение m3 + 17m делится на 6.

Доказательствоm3 + 17m = m3 – m + 18m = (m – 1)m(m + 1) + 18m, т.к. (m – 1)m(m + 1) делится на 6 и 18m делится на 6, то и все выражение делится на 6.

Произведение трех последовательных целых чисел делится на 6 ( по задаче 2)

Задачи


а Задачи

11)3)

11)4)


аТема: Неравенства в целых числах


аТема: Доказательство неравенств

Часто при доказательстве неравенств используются формулы

(частные случаи неравенства Коши)


а Задачи

Докажите, что если a > 0, b> 0, c> 0, abc = 9, то (1 + a)(1 + b)(1 + c) ≥ 24.

Доказательство

Перемножим неравенства


а ЗадачиДокажите, что если a > 0, b> 0, то (a + b)(аb + 16)≥16аb

Доказательство

Перемножим неравенства


а Задачи

Решение

Найдите максимальное значение функции

Поделим и числитель и знаменатель на х.

Ответ: 1/3


а Тема: Уравнения в целых числах

11))

Уравнения, которые не содержат члены с квадратом неизвестных


а Задачи

Уравнения, которые содержат квадрат только одного неизвестного

Задачи

Уравнения, которые содержат квадраты обоих неизвестных

ЗадачиРешите в целых числах уравнение

х2 + у2 = 2 +х + у

1 способ(нерациональный) х2 - х + у2 - у – 2 = 0

Откуда - 4у2 + 4у +9 ≥ 0

т.е. у = -1, 0, 1, 2, подставляя вместо у эти значения получим решения: (1;-1), (0;-1), (2;0), (-1;0), (2;1), (-1;1), (1;2), (0;2)

Решение

ЗадачиРешите в целых числах уравнение

х2 + у2 = 2 +х + у

2 способ(рациональный) (х2 – х) + (у2 – у) = 2х2 – х = х(х-1) и у2 – у = у(у-1) - четные числа, т.к. х2 – х ≥0 и у2 – у ≥ 0 , то либо х2 – х = 0, у2 – у = 2, либо х2 – х = 2, у2 – у = 0

получим решения: (1;-1), (0;-1), (2;0), (-1;0), (2;1), (-1;1), (1;2), (0;2)

Решение

Задачи

Уравнения, которые не имеют решений

Решите в целых числах уравнение

х2 + у2 = 3 +х + у

Заменим в уравнении х2 + у2 = 2 +х + у число 2 на число 3

Уравнение не имеет решений. Почему?

ЗадачиУравнения, которые не имеют решений

1)

2)

рекомендации учителям, работающим над подготовкой к олимпиадам одаренных детей

1. необходимо усиливать теоретическую подготовку2. при подготовке уделять особое внимание геометрическим нестандартным задачам, способу доказательства от противного и смешанным задачам (комбинаторика и теория чисел и др.),3. усилить изучение внепрограммного материала: теория чисел и логические задачи с шахматами),4. обращать внимание на специфику решения задач с параметрами и на интеграцию геометрии и комбинаторики.5. создавать индивидуальные траектории подготовки к олимпиадам 6. готовить задачи с измененным условием 7. развивать мышление одаренных детей в направлении культуры алгоритмизации и пространственного мышления8. формировать навыки исследования,9. использовать склонность одаренных детей к самообучению.

Заключение

http://www. mathematics. ru - Математика в Открытом колледже http://www. allmath. ru - Allmath.ru — вся математика в одном месте http://www. eqworld. ipmnet. ru - EqWorld: Мир математических уравнений http://www. exponenta. ru - Exponenta.ru: образовательный математический сайт http://www. neive. by. ru - Геометрический портал http://www. graphfunk. narod. ru - Графики функций http://www. uztest. ru - ЕГЭ по математике: подготовка к тестированию http://www. tasks. ceemat. ru - Задачник для подготовки к олимпиадам по математике http://www. math-on-line. com - Занимательная математика — школьникам (олимпиады, игры, конкурсы по математике) http://www. problems. ru - Интернет-проект «Задачи» http://www. etudes. ru - Математические этюды http://www. mathem. h1.ru - Математика on-line: справочная информация в помощь студенту http://www. mathtest. ru - Математика в помощь школьнику и студенту (тесты по математике online) http://www. matematika. agava. ru - Математика для поступающих в вузы http://www. zaba. ru - Математические олимпиады и олимпиадные задачи http://www. kenguru. sp. ru - Международный математический конкурс «Кенгуру» http://www. olympiads. mccme. ru/mmo - Московская математическая олимпиада школьников http://www. mathnet. spb. ru - Сайт элементарной математики Дмитрия Гущина http://www. turgor. ru - Турнир городов — Международная математическая олимпиада для школьников

Список ресурсов

Documents

Подготовка школьников к предметным олимпиадам по математике