1

هندسهدرفضا

آشنایی با شکلهای فضایی

هندسه فضاییعنوان

2

مقدمه:

ب�ه • نی�از درک به�تر هندس�ه فض�ایی، قدرت تجسم باالیی دارد.

ام�ا چ�ه ک�نیم ک�ه چ�نین ق�درتی پی�دا •کنیم؟

بع�دی 1• س�ه ببینی�د، بع�دی س�ه )بیاندیشید و تصور کنید.

به این مثالها توجه کنید: •

تجسم مقدمهفضایی

3

به نظر شما این زاویه چند درجه است؟•

تجسم مقدمهفضایی

4

به نظر شما این شکل چیست؟•

تجسم مقدمهفضایی

5

این مکعب را به دو صورت تصور کنید:•

تجسم مقدمهفضایی

6

( در رس�م اش�کال فض�ایی دقت کنی�د ک�ه 2ا�ز عالئم استان�دار آن استفا�ده کنید.

تجسم مقدمهفضایی

7

ق�درت 3 به�تر، و بیش�تر تجس�م ب�ا )تجسم خود را باال ببرید.

به نظر شما این شکل چیست؟•

تصویر از جلو تصویر از چپ

تصویر از باال

تصویر از چپتصویر از جلو

تصویر از باال

تجسم مقدمهفضایی

8

تصویر از چپتصویر از جلو

تصویر از باال

به نظر شما این شکل چیست؟•

تصویر از جلو تصویر از چپ

تصویر از باال

تجسم مقدمهفضایی

9

تصویر از چپتصویر از جلو

تصویر از باال

به نظر شما این شکل چیست؟•

تصویر از جلو تصویر از چپ

تصویر از باال

تجسم مقدمهفضایی

10

تصویر از چپتصویر از جلو

تصویر از باال

به نظر شما این شکل چیست؟•

تصویر از جلو تصویر از چپ

تصویر از باال

تجسم مقدمهفضایی

11

تصویر از چپتصویر از جلو

تصویر از باال

به نظر شما این شکل چیست؟•

تصویر از جلو تصویر از چپ

تصویر از باال

تجسم مقدمهفضایی

12

تصویر از چپتصویر از جلو

تصویر از باال

به نظر شما این شکل چیست؟•

تصویر از جلو تصویر از چپ

تصویر از باال

تجسم مقدمهفضایی

13

:تعریف فضافضا مجموعه تمام نقاط را فضا

مینامیم.:تعریف نقاط همخط

نقاطی که خطی وجود داشتهباشد که شامل تمامی آن نقاط گردد.

:تعریف نقاط همصفحهنقاطی که صفحهای وجود

داشتهباشد که شامل تمامی آن نقاط گردد.

فضاتعریف

14

)اصل موضوع خط( :1اصل •ی�ک • تنه�ا متم�ایز نقط�ه دو ه�ر ازای به

خط وجود دارد که از آنها میگذرد.

دو مطلب مهم را بیان می کند:1اصل ،ی�ک خ�ط وج�ود دارد، ک�ه آن خ�ط، از دو ال�ف(

نقطه مفروض متمایز، می گذرد. )دو نقط�ه متم�ایز ی�ک خ�ط را مش�خض میکند(

است.یکتا این خط ب(

فضااصل خط

15

قضیه: کنن�د، • قط�ع را یک�دیگر خ�ط دو اگ�ر

اشتراکشان تنها یک نقطه است.

X

16

از ه�ر س�ه نقط�ه متم�ایز ناهمخ�ط : 2اص�ل در فضا، یک و تنها یک صفحه، می گذرد.

دو مطلب مهم را بیان می کند:2اصل ،ی�ک ص�فحه وج�ود دارد، ک�ه آن ص�فحه، از س�ه ال�ف( •

ن�قطه م�فروض� غیرو�اقع بر ی�ک خ�ط، �می گذرد. و P1ست. یعنی، اگر دو صفحه یکتااین صفحه ب( •

P2 ه نقطه غیرواقع بر یک خط، مانند�� و A، B از سC بگذرند، این دو صفحه حتما بر هم منطبق

می شوند. پس در واقع، یکی هستند.

فضا2اصل

17

در ه�ر ص�فحه ح�داقل س�ه نقط�ه : 3اص�ل •وجود دارد که بر یک خط قرار ندارند.

ح�داقل چه�ار نقط�ه در فض�ا : 4 اص�ل •وجود دارد که بر یک صفحه قرار ندارند.

ر...دیگ

ی ارت

به عب

فضا4 و 3اصل

18

اگ�ر دو نقط�ه متم�ایز از خطی، : 5اص�ل •در ی�ک ص�فحه باش�ند، آن خ�ط ب�ه تم�امی

در آن صفحه قرار می گیرد.

: ص�فحه تم�رین ه�ر از خ�ارج کنی�د ث�ابت حداقل یک نقطه وجود دارد.

فضا5اصل

19

نامح�دود تذکر: ط�رف دو ه�ر از خ�ط نامح�دود ط�رف هم�ه از ص�فحه اس�ت. ک�ه اس�ت ط�بیعی بن�ابراین، می باش�د، تم�ام ص�فحه را نمی ت�وان در ی�ک تص�ویر، نش�ان داد و آن چ�ه ک�ه مش�اهده می ش�ود

تنها بخشی از صفحه است.

فضاتذکر

20

وضعیت دو صفحه نسبت به هم، در فضا

�ل •�دو : 6اص �ر �اگص�فحه متم�ایز ی�ک �ترک �م�ش �ه ��ن�قط�ند، ��باش �ته ��دا�شی�ک خ�ط، د�ر آنگ�ا�ه �د �خواهن �تر�ک �م�ش

بو�د.فص�ل • دیگ�ر عب�ارت به

�فحه ��ص دو ��تراک��اشم�تق�اطع ی�ک خ�ط �راس�ت

است.

فضا6اصل

21

دو صفحه در فضا، نسبت به هم، سه وضعیت دارند:

( ب�ر هم منطب�ق 1هستند.

( هیچ نقطه مشترکی ندارند.2

( در یک خط مشترک هستند.3

(، 3(، دو صفحه را موازی و در وضعیت )2( و )1در دو وضعیت )دو صفحه را متقاطع می نامند.

فضادو صفحه

22

دو �اطع ��تق �ل ��مح فص�ل مش�ترکص�فحه،

نامی�ده ص�فحه دو آن می شود.

از �ک �����ی�ط، ��خبیش�ما

ر ص�فحه

می گذرد.

فضافصل مشترک

23

وضعیت دو خط نسبت به هم، در فضا

ک�ه ( 1 را در فض�ا دو خ�ط �رار �ق �فحه �ص �ک �ی در �ط ��خ دو �د، ��نمی گیرن

ک�ه ( 2 می نامیم.متنافر را فض�ا در خ�ط دو و �ند �باش �فحه �ص �ک �ی در ی�ا نکنن�د، را قط�ع هم�دیگر دو باش�ند، منطب�ق هم ب�ر

ک�ه ( 3 می نامیم.موازیخط را در فض�ا دو خ�ط مش�ترک نقط�ة ی�ک فق�ط �ط �خ دو �ند، �باش �ته �داش

. متقاطع و یامتوازی اند، یا متنافرنددو خط در فضا نسبت به هم، یا می نامیم.متقاطعبنابراین:

متقاطع نبودن دو خط در فضا به معنای موازی بودن آنها نیست.تذکر:

فضادو خط

24

تمرین: با توجه به این اشکال، به سؤاالت زیر پاسخ دهید.•

A

B

CD

EG

H

AB

CD

F

C

D

F

AB

E

E

نس�بت ب�ه هم، در EH و ABال�ف( وض�عیت دو خ�ط مکعب مستطیل چگونه است؟

خ�ط • دو و ABوض�عیت CD در هم، ب�ه نس�بت نس�بت ب�ه هم، در ه�رم AD و ABوض�عیت دو خ�ط •منشور چگونه است؟

چگونه است؟

تمریندو خط

25

A

B

CD

EG

H

AB

CD

F

C

D

F

AB

E

E

ب( در مکعب مس�تطیل دو خ�ط متن�افر ب�ا بیابید.ABخط

بیابید. AE در منشور دو خط موازی با خط •

می توانید بیابید؟ABدر هرم چند خط متقاطع با خط •

تمریندو خط

26

A

B

CD

EG

H

AB

CD

F

C

D

F

AB

E

E

پ( جاه�ای خ�الی را ب�ا کلم�ات مناس�ب پ�ر .کنید

�ط 1�خ �تطیل، �مس مکعب در )FG و .خط ............ موازیند ( در مکعب مس�تطیل، خ�ط ............ و 2

. متقاطعندBCخط و خط ........... متنافرند.AE( در منشور، خط 3

تمریندو خط

27

�ط 4�خ �ور، �منش در )DF ط��خ و AC..............

A

B

CD

EG

H

AB

CD

F

C

D

F

AB

E

E

و خ�ط ............. DC( در منش�ور، خ�ط 5.موازی است خ�ط 6 ه�رم، در )AC ............... خ�ط و

متنافرند.

تمریندو خط

28

اصل توازی اقلیدساز ه�ر نقط�ه خ�ارج ی�ک خ�ط در : 7اص�ل

فض�ا، ی�ک و تنه�ا ی�ک خ�ط ب�ه م�وازات آن .خط می گذرد

توازی7اصل

بازگشت به قضیه3

29

L1 L2

، دو مطلب مهم را بیان می کند:7اصل

L

A

توازی7اصل

( ی�ک خ�ط وج�ود دارد، ک�ه آن خ�ط، از ی�ک 1خ�ط ی�ک م�وازات ب�ه مف�روض، نقط�ه

مفروض می گذرد.( این خ�ط یکتاس�ت. یع�نی، اگ�ر دو خ�ط 2L1 و L2 د�مانن نقطه ای از A وازات�م ب�ه

این دو خ�ط حتم�ا Lخطی مانن�د بگذرن�د، واق�ع، در پس می ش�وند. منطب�ق هم ب�ر

یکی هستند.

30

مشخص کردن صفحه در فضابه طور کلی، صفحه به صورتهای زیر مشخص می شود:

نقط�ه 1 ه�ر س�ه از )غ�یرواقع ب�ر ی�ک خ�ط، ی�ک و تنه�ا ی�ک ص�فحه

می گذرد.

( از ی�ک خ�ط و ی�ک 2ی�ک آن، خ�ارج نقط�ه ص�فحه ی�ک تنه�ا و

چرا؟می گذرد.

تعیینصفحه

31

�ط 3��خ دو از )متق�اطع، ی�ک و تنه�ا ی�ک ص�فحه می گ�ذرد.

چرا؟

�ط 4��خ دو از )ی�ک م�وازی، متم�ایز ص�فحه ی�ک تنه�ا و

چرا؟می گذرد.

تعیینصفحه

32

پیش از این گفته شد:خطی از متم�ایز نقط�ه دو اگ�ر ب�ه خ�ط آن باش�د، در ص�فحه ای تم�امی در آن ص�فحه خواه�د ب�ود. در نتیج�ه، اگ�ر خطی در ص�فحه ای را آن ی�ا باش�د، نداش�ته ق�رار ی�ک در فق�ط نمی کن�د، ی�ا قط�ع

. )چرا؟(نقطه قطع می کند

وضعیت خط و صفحه نسبت به هم، در فضا

بنابر این:

فضاخط و صفحه

33

خط و صفحه در فضا، نسبت به هم، یکی از سه وضعیت زیر را دارند:

را ( 1 ص�فحه خ�ط قطع نمی کند؛

تم�امی، ( 2 ب�ه خ�ط �رار �ق �فحه �ص در

ص�فحه، ( 3می گیرد؛ و خ�ط �ه ��نقط �ک ��ی در �ع �قط را �دیگر �هم

)می کنند. دو وض�عیت )1در و ب�ا 2( (، خ�ط و ص�فحه (، خ�ط و 3هم م�وازی هس�تند و در وض�عیت )

صفحه با هم متقاطع هستند.

فضاخط و صفحه

34

خطها و صفحه های موازی

موازی بودن یک خط و صفحه در دو حالت رخ می دهد:خ�ط و ص�فحه، ال�ف(

هیچ نقط�ه اش�تراکی ندارن�د، در نتیج�ه خ�ط �رار �ق �فحه �ص در

خ�ط ب�ه تم�امی ب( ندارد.�رار �ق �فحه �ص در

دارد.برای اثبات قضیه های مربوط به توازی تذکر:

خط و صفحه، باید هر دو حالت توازی در نظر گرفته شود.

فضاخط و صفحه

35

P

ب�ا ص�فحه Lاگ�ر خ�ط : 1قض�یه P وازی� ماز ک�ه ه�ر ص�فحه ب�ا Lباش�د، و بگ�ذرد P

L را در ی�ک خ�ط م�وازی Pمتق�اطع باش�د، قطع می کند.

این قض�یه، بره�ان اثب�ات ب�رای :دو ح�الت م�وازی ب�ودن ی�ک خ�ط و ص�فحه در فض�ا را ب�ه تفکی�ک، در

در Lالف( خط نظر می گیریم: قرار Pصفحه

ندارد.

L

P`

L`

PL

` Pفرض کنید صفحه ای گذرنده

را P باشد که Lاز ` قطع Lدر خط

کند.

فضاخط و صفحه

بازگشت به قضیه3

36

L و L فحه�ص در دو ه�ر `P و هس�تند `همدیگر را قطع نمی کنند.ب�ودن متق�اطع از Lزی�را

نتیج�ه می ش�ود ک�ه خ�ط `LوL فحه� را قط�ع می کن�د، P ص

که این خالف فرض است.دو �ابراین، ��بن

و Lخ�ط L` ر�ه �فحه �ص در دو،

P` و �تند ��هس هم�دیگر را قط�ع پس �د، �نمی کنن

با هم موازیند.

LP`

P L`

فضاخط و صفحه

37

P

قرار P در صفحه Lب( خط دارد.

در این ح�الت �فحه �ص �ر �ه

از Pمتم�ایز از �ه �� Lک

�ذرد، �����می گ�فحه �را Pص

در هم�ان خ�ط L ع�����قط

پس می کن�د. �ابت ��ث حکم

میشود.

L

P`

L`

P` `P`

فضاخط و صفحه

38

L

P`

PL`

ب�ا باش�د، م�وازی ص�فحهاي ب�ا خطی اگ�ر م�وازی ص�فحه آن از بیش�ماری خطه�ای

است.

:1نتیجه

ب�ا اگ�ر خطی �فحه ای �����صم�وازی باش�د، �ا �ب �داقل �حاز یکی آن �ای �خطه�فحه ���������صموازی است.

:2نتیجه

فضاخط و صفحه

48 بازگشت به

39

خ�ط : 2قض�یه خطه�ای Lاگ�ر از یکی ب�ا خ�ط Pص�فحه آنگ�اه، باش�د، م�وازی L ا�ب موازی است.Pصفحه

L

P

اگ�ر بره�ان: �ط �در Lخ

�فحه �� Pصحکم باش�د �یه �������قض�رار ������برقپس اس�ت. کنی�د ف�رض

�ط �در Lخ �فحه �� Pص

قرار ندارد.

فضاخط و صفحه

L`,L

40

LP`

P L`

` خطی از ص�فحه Lاگ�رP ا�ب م�وازی L باش�د ک�ه

` متمایزند. L و Lاست،

صفحه ای را که از این دو خط موازی

` Pمی گذردمی نامیم.

فصل مشترک دو ` P وPصفحه

` Lهمان خطاست.

فضاخط و صفحه

41

LP`

P L`

را P ص�فحه Lاگ�ر خ�ط تق�اطع مح�ل کن�د قط�ع روی فص�ل مش�ترک این دارد، ق�رار ص�فحه دو

خ�ط دو وLیع�نی L `متقاطع خواهند شد.

که این خالف فرض است.

Lپس خط را Pصفحه

قطع نمی کند و با

آن موازی است.

فضاخط و صفحه

L

42

از این دو قضیه، نتیجه مهم زیر به دست می آید:شرط توازی خط و

صفحه:ب�ا ص�فحه Lخ�ط P

Lم�وازی اس�ت، اگ�ر، خطه�ای از یکی ب�ا

�فحه ��وازی Pص�م باشد و بالعکس.

L

P L`

فضاخط و صفحه

43

P

م�وازی و P ب�ا ص�فحه Lاگ�ر خ�ط :3قض�یه A فحه� باش�د آنگ�اه، خطی P نقطه ای از ص

رس�م می ش�ود، ب�ه L ب�ه م�وازات Aک�ه از قرار دارد.Pتمامی در صفحه

L

L`A

راهنمایی:مطلب، این از �تیجه ای ��ن

و قضیه 1 �ل �������������اصتوازی اقلید س

است.

P`

فضاخط و صفحه

بازگشت به 47 بازگشت به نتیجه2 بازگشت به 48

44

، خطی P خ�ارج ص�فحه Aاز نقط�ه مس�أله: رسم کنید.Pموازی

فحه�ی�ک Pدر ص ، رس�م Lخ�ط دلخ�واه

�ه کنید. ��نقط ، Aاز L` را م�وازی Lخط

از ` Lبگذرانید. یکی �ا �ب ص�فحه Pخطه�ای

�ت، ��اس �وازی ��مب�ا ص�فحه Lخطبنابراین: `P وازی�م

است.

حل:

L`

P L

A

فضاخط و صفحه

45

� چن�د خ�ط می ت�وان از ی�ک نقط�ه مف�روض تم�رین موازی یک صفحه مفروض گذراند؟

P

A

اگر دو خط با خط دیگری موازی نکته: باشند، آن دو خط با هم موازیند.

فضاخط و صفحه

46

از 2ن�تیجه) قض�یه (قضیه3 دو : ب�ا خطی اگ�ر فص�ل ب�ا باش�د، م�وازی متق�اطع، ص�فحه

مشترک آنها موازی است.L

L`

A

برهان :

ط�خ کنی�د دو Lفرض م�وازی ` باشد.P وPصفحه متقاطع

ترک�مش فص�ل نقط�ه ی�ک از رس�م L` را م�وازی L، خطAمانن�د

م�وازی P ب�ا ص�فحه Lچون خ�ط می کنیم. خط �ت، �در Lاس �امی �تم �ه �ب `

خط قرار دارد. Pصفحه مش�ابه اس�تدالل ب�ه Lبا `` قرار دارد.Pتمامی در صفحه

،پسL همان فصل مشترک دو صفحه `Pو P است ` نیز موازی است و حکم، نتیجه می شود.Lکه با خط

P P`

فضاخط و صفحه

47

چند ویژگی از خطها و صفحه های موازی

در هندس�ه مس�طحه دی�دیم، ک�ه اگ�ر خطی یکی از دو خ�ط م�وازی را قط�ع کن�د، دیگ�ری را هم قط�ع

می کند.�ه � : 1نتیج

�ر ������������ اگ�فحهاي یک�صدو از ی م�وازی خ�ط �ع ���قط را �ری ��د، دیگ�کنرا هم قط�ع

می کند.

A A`

L

P

L`

فضاخط و صفحه

استفاده کنیدقضیه3با برهان خلف شروع کنید و از

48

ص�فحه : 2نتیج�ه دو از یکی خطی اگ�ر م�وازی را قط�ع کن�د، دیگ�ری را هم قط�ع

می کند.L

A

P

P`A`

فضاخط و صفحه

استفاده کنید قضیه3 و 1نتیجه2 از قضیهبا برهان خلف شروع کنید و از و

49

P`

اگ�ر ص�فحه ای یکی از دو ص�فحه :3نتیج�ه م�وازی را قط�ع کن�د، دیگ�ری را هم قط�ع

می کند و فصل مشترکها با هم موازیند.

L`

P

P` L

به تمرین ص53 بازگشت

فضاخط و صفحه

ب$ا Pفرض کنی$د `P در متقاطع باشد.Lخط

در Pحال ی$ک خ$ط در `ی$ک در ک$ه بگیری$د نظ$ر

ب$ا تق$اطع Lنقط$ه در است.

برهان:

در این ص$ورت این خ$ط را قط$ع Pعمال ص$فحه

2میکن$د. پس طب$ق ن$تیجهب$ا م$وازی ص$فحه ،P

قط$ع Pیع$نی ن$یز را واض$ح نتیج$ه در میکن$د.

ن$یز Pاس$ت ک$ه ص$فحه `P.را قطع میکند

50

باش�ند، ه�ر قض�یه: م�وازی اگ�ر دو ص�فحه ب�ا ص�فحه دو ص�فحه، این از یکی از خ�ط

دیگر موازی است.

L

P

P`

فضاخط و صفحه

51

اگ�ر دو خ�ط متق�اطع از ص�فحه ای : 4قض�یه ب�ا دو خ�ط متق�اطع از ص�فحه دیگ�ری دو ب�ه

دو موازی باشند، آن دو صفحه موازیند.

L

P

P`

L`

d

d`

فضاخط و صفحه

L و D ص$فحه P نمیکنن$د قط$ع . را

)چرا؟(بره$$ان ب$$ا حال خل$ف ف$رض کنی$د

P و P درخطی متق$$اطع Tمانن$$د

این در باش$$ند. ، الاق$ل Tص$ورت

خط دو از Lیکی قط$$ع Dو را

میکند.یع$نی مطلب این دو از یکی الاق$ل

وLخط D ص$فحه P را قط$ع میکنن$د

که این ...

برهان:

52

P

از نقط�ه مس�أله: A فحه�از ص ی�ک P خ�ارج ، از نقط�ه بگذرانید.Pصفحه موازی صفحه

A دو ،�ط �������خ�ایز ���متم�وازی ���م

Pص�فحه �م �����رس صفحه اي که از این دو خط می گذرد، 4طبق قضیه می ک�نیم.

همان صفحه مورد نظر است.

حل:

A

از یک نقطه خارج از یک صفحه، می توان صفحه ای موازی آن صفحه

گذراند.

: نتیجه

فضاخط و صفحه

53

Q2

� ث�ابت کنی�د اگ�ر دو ص�فحه تم�رین Q1 و Q2 بگذرن�د، این P ب�ه م�وازات ص�فحه Aاز نقط�ه

دو صفحه بر هم منطبقند.

Q1

P

A

Q2

راهنمایی)برهان خلف(:

از نتیجه 3کمک بگیرید

فضاخط و صفحه

54

�یه ��یه : 5قض�)قض�ا(. �فض در �الس �تم�وازی، ص�فحه های روی دو خ�ط ک�ه آنه�ا �د، �می کنن �ع �قط را پاره خطه�ای متن�اظر �اد ��ایج �ب ��متناس

،Pمی کنن�د، یع�نی اگ�ر Q و R فحه�ص س�ه

دو و باش�ند م�وازی �ط �وLخ L این

ص�فحه ها را ب�ه ت�رتیب و A، Bدر نقطه ه�ای

C و Aو Bو C ،`قطع کنند، آنگاه:

CB

BA

BC

AB

عکس قضیه تالس در فضا، برقرار نیست. یعنی، اگر چند توجه: صفحه در فضا روی دو خط، پاره خطهای متناظر متناسب ایجاد

کرده باشند، لزوما آن صفحه ها موازی نیستند.

L

AP

Q

A`

RBB

`

CC`

L`

فضاخط و صفحه

S

55

` داده ش�ده اند، اگ�ر از L وLدو خ�ط متن�افر روی نقط�ه ی�ا Lه�ر L وازی�م خطی `

قائم�ه ی�ا ح�اده زاوی�ه دیگ�ری رس�م ش�ود، بین این دو خ�ط متق�اطع، زاوی�ه بین آن دو

خط متنافر، نامیده می شود.

خ�ط تعری�ف: و Lدو L دیگر�یک ب�ر عم�ود را `نامیم، هرگاه زاویه بین آنها، قائمه باشد.

A

فضاخط و صفحه

56

�ه ��ر :1نتیج�اگ از یکی ب�ر خطی �وازی �م �ط �خ دو ب�ر باش�د، عم�ود عم�ود هم دیگ�ری

است. و L اگ�ر :2نتیج�ه

L افر�متن خ�ط `دو باش�ند، ی�ک ص�فحه

�امل ��ود Lش�وج �ا �ب �ه �ک ` Lدارد ` یکتاست.L و موازیLمی توان ثابت کرد که صفحه شامل موازی باشد. پیوست کتاب، وسط صفحه(164)صفحه

A

L

PL`

فضاخط و صفحه

57

خط عمود بر صفحه P عم�ود اس�ت، هرگ�اه ص�فحه P ب�ر ص�فحه Lخط

ک�ه از نقط�ه Pرا قط�ع کن�د و ب�ر ه�ر خ�ط ص�فحه تقاطع می گذرد، عمود باشد.

هر صفحه را، با دو خط غیرموازی آن می توان نکته:مشخص کرد، به نظر می رسد که برای عمود بودن یک خط بر صفحه، کافی است آن خط بر دو خط غیرموازی

واما چرا...از آن صفحه عمود باشد.

A

L

P d`

d

فضاخط و صفحه

58

تعام�د(. : 6قض�یه اساس�ی ب�ر d خ�ط )قض�یه عم�ود اس�ت اگ�ر و تنه�ا اگ�ر، ص�فحة Pص�فحه

P یرموازی آن� را قط�ع کن�د و ب�ر دو خ�ط غکه از نقطة تقاطع می گذرند، عمود باشد.

d

P

L` L

ب�ر d اگ�ر خ�ط بره�ان : عم�ود باش�د، Pص�فحه

هرگ�اه تعری�ف طب�ق را قط�ع کن�د Pص�فحه

P، ب�ر ه�ر خ�ط ص�فحه تق�اطع نقط�ه از ک�ه �ود ��عم �ذرد، ��می گاس�ت. در نتیج�ه ب�ر آن م�وازی غ�یر دوخ�ط �ه �نقط از �ده �گذرن

یع�نی و Lتالقی L `نیز عمود است.

تعامدخط و صفحه

59

d

OP

L` L

L`

قط�ع O را در نقط�ه P ص�فحه dبرعکس ف�رض کنی�د و Lک�رده و ب�ر دو خ�ط غ�یر م�وازی این ص�فحه مانن�د

L` ه� ب�ر ه�ر خطی از dعم�ود اس�ت. بای�د ث�ابت ک�نیم کاز ک�ه ص�فحه مانن�د Oاین گ�ذرد، می L` ود�عم

B و Aنقط�ه ه�ای است. روی و L را L`

�ار می ���ان اختی��چنک�نیم ک�ه پ�اره خ�ط

AB ط�خ ، L`` را در �د ���ه ای مانن�� Cنقط

و در دو ط�رف نقط�ه dروی خ�ط قطع کند. O ای� را ب�ه گون�ه `M وM، نقط�ه ه

`OM=OMای انتخ�اب می ک�نیم ک�ه باشد.

AB C

M

M`

تعامدخط و صفحه

60

مثلث MC=M`Cپس و MCM` رأس Cدر میان�ه وارد OCمتس�اوی الس�اقین اس�ت و چ�ون

`MM ب�ر خ�ط OCاس�ت، پس خ�ط `MMب�ر ض�لع خ�ط یع�نی اس�ت. خ�ط dعم�ود ب�ر L` ود�عم

است.

عم�ود OA، خ�ط A و نقط�ه Lدر ص�فحه گذرن�ده از خ�ط .`AM=AM است. پس`MMمنصف پاره خط

`BM=BMبا استدالل مشابه می توان نتیجه گرفت

�وان ����ابراین می ت���بننتیج�ه گ�رفت مثلثه�ای

MAB و M`AB نتیج�ه در همنهش�تند.

M`AC و MACدو زاوی�ه مثلث دو و مس�اویند

MAC و M`AC الت� ب�ه حهمنهش�ت ز ض( )ض

هستند.

O

d

P

L` L

L`

AB C

M

M`

تعامدخط و صفحه

61

با توجه به تعریف عمود بودن دو خط متنافر، تعمیم قضیة اساسی تعامدمی توان نشان داد که اگر خطی بر صفحه ای

عمود باشد، بر هر خط از آن صفحه نیز، عمود است.

P بر صفحه Lخط عمود است اگر و

بر همة Lتنها اگر، Pخطهای صفحة عمود باشد.

قضیة اساسی تعامد را به صورت زیر می توان تعمیم داد:

عمود است اگر و تنها اگر، بر P بر صفحة Lخط عمود باشد.Pدو خط غیرموازی از

A

L

Pd`

d

تعامدخط و صفحه

62

�ه ��ط : 2نتیج�خ دو �ک ��ی �ر ��ب �ود ��عمهم �ا ����فحه، ب���ص

موازیند.ص�فحه : 3نتیج�ه دو

ی�ک خ�ط، ب�ا ب�ر عم�ود هم موازیند.

اگ�ر یکی از : 1نتیج�ه دو خ�ط م�وازی ب�ر ی�ک باش�د، عم�ود ص�فحه آن �ر �ب هم �ری �دیگ

صفحه عمود است.

L

P

L`

L

A P

P`A`

ه ح

فص

درت

بااث

(165

ب(تا

کت

سوپی

65 بازگشت64 بازگشت

تعامدخط و صفحه

بازگشت 69

63

، صفحه ای L روی خط Aاز نقطه : 1مسأله عمود کنید.Lبر خط

Pd`

P``

P`

d

از خطL دو `P` و Pصفحه

را میگذرانیم. درP از نقطه ، `A

d، عمود Lروی خط را وارد میکنیم.

درP از نقطه ، ``A ` d، عمود Lروی خط

را وارد میکنیم. ...

L

A

تعامدخط و صفحه

64

، ی�ک ص�فحه L خ�ارج از خ�ط Aاز نقط�ه تم�رین :

ب�ر ص�فحه Lعم�ود این کنی�د ث�ابت بگذرانی�د. ،

یکتاست.

برای اثبات راهنمایی: نتیجه3یکتا بودن به به

بنابراین، نتیجه مهم زیر به دست می آید:توجه کنید. در فضا، یک و تنها یک Aاز هر نقطه مانند

عمود Lصفحه می گذرد که بر خطی مانند باشد.

L

PA

از نقطهA روی خط L عمود ،AH را وارد

میکنیم. H

x

ازH روی خط L ، را وارد Hxعمود

میکنیم. ...

تعامدخط و صفحه

65

خطی رس�م کنی�د ک�ه Aاز نقط�ه : 2مس�أله عمود باشد.Pبر صفحه

P

LP`

A

d d`

وازی�م غ�یر و dدو خ�ط d فحه�ص در را `P ر�نظ در

میگیریم. ه�نقط را P، ص�فحه Aاز `

ب�ر P و ص�فحه dعم�ود را `` وارد میکنیم.dعمود بر

ترک� P` وPاگ�ر فص�ل مش Lخ�ط `باش�د، این خ�ط ب�ر دو خ�ط غ�یر م�وازی

d و d فحه� عم�ود اس�ت پس P` در صطب�ق قض�یه اساس�ی تعام�د ب�ر ص�فحه

P.عمود است

ط� ب�ر dمیت�وان گفت : خص�فحه خط�وط و Pک�ل `

خط�وط dخ�ط ک�ل ب�ر ` Pصفحه عمود است.`

ق�این خ�ط نتیجه 2طبیکتاست.

P``

تعامدخط و صفحه

66

د�مانن نقط�ه ه�ر و Aاز ی�ک در فض�ا، ب�ر ص�فحه ای ک�ه ی�ک خ�ط می گ�ذرد تنه�ا

عمود باشد.Pمانند

هر نکته: صفحه، با یک نقطه از آن، و یک خط

عمود بر آن، مشخص می شود. L

P

A

H

تعامدخط و صفحه

67

کابرد تعامد در حل مسأله های توازی

در بخش خطه�ا و ص�فحه های ک�ه قبال را زی�ر مث�ال سه م�وازی آنه�ا را دیده ای�د، در نظ�ر بگیری�د. اکن�ون، این س�ه

ص�فحه : 1مث�ال مثال را مجددا`، با کمک مطالب این بخش، حل می کنیم: ص�فحه Pاگ�ر دو ب�ا P1 و P2 ص�فحه دو باش�د، و P1م�وازی P2 هم ب�ا ن�یز

خ�ط حل:موازیند. L ر�ب را �فحه ��ود Pص�عم

و P1 ب�ر Lمی ک�نیم. P2 ود���عم �یز ��ن

می شود. و P1پس، دو ص�فحه

P2 ط��خ �ک �ی �ر �ب عمودن�د. بن�ابراین ب�ا

هم موازیند.

L

P

P1

P2

تعامدخط و صفحه

68

از ص�فحه Aاز نقط�ه : 2مث�ال ، P خ�ارج می گذرد.Pیک صفحه موازی

Aاز نقط�ه حل:را عم�ود Lخ�ط �ر ���م Pب��رس

�نیم. ���������می کس�پس، از نقط�ه

A فحه�ص ،Q را رس�م Lعم�ود ب�ر می کنیم.

و Pدو ص�فحه Q ط� ه�ر دو ب�ر خL ،د����عمودن

هم ب�ا بن�ابراین موازیند.

L

AQ

P

تعامدخط و صفحه

بگذرد در این P یک صفحه دیگر به موازات Aفرض کنید از با هم موازیند و ...Q و Pصورت طبق مثال قبل

69

موازی L2 و L1 با دو خط Lاگر خط : 3مثال نیز با هم موازیند.L2 و L1باشند، دو خط

عمود می کنیم. L را بر خط Pصفحه حل: P بر L1 و L2.(نتیجه1 ) نیز عمود می شود

نتیجه2 ) ب�ر ی�ک ص�فحه عمودن�دL2 و L1 پس، دو خ�ط ، بنابراین با هم موازیند.(

L1

P

LL2

A

تعامدخط و صفحه

70

صفحه عمود منصف یک پاره خطص�فحه ای را ک�ه در وس�ط ی�ک پاره خ�ط، تعری�ف:

آن منص�ف عم�ود ص�فحه باش�د، عم�ود آن ب�ر پاره خط، می نامیم.

صفحه عمود نکته: منصف یک پاره خط،

مکان هندسی نقطه هایی از فضا است که از دو سر آن پاره خط، به یک

فاصله اند.P

L

A

تعامدخط و صفحه

71

�ود دو صفحه عمود برهم�عم را �فحه �ص دو ب�رهم می ن�امیم، هرگ�اه

دو خطی از یکی در داش�ته وج�ود ص�فحه دیگ�ری ب�ر ک�ه باش�د،

عمود باشد.�ف، �تعری این از نتیج�ه می ش�ود ک�ه

�ط �خ �ر ��ر Lاگ�ب �فحه ��ود Pص�عم

�ر ����ه �د، ����باشاز Lص�فحه ای ک�ه

�ر ��ب �ذرد، ��می گ�فحه ��ود Pص�عم

است.در یک مکعب مستطیل، هر مثال:

دو وجه مجاور آن، برهم عمودند.

P

P`L

تعامدخط و صفحه

72

Q

و Pاگ�ر : 7قض�یه Q دو ص�فحه عم�ود ب�رهم باش�ند، خطی �امل �ش �دام �ک �ر �هاس�ت ک�ه ب�ر دیگ�ری عم�ود

است.

اثبات در پیوست

ب�ر ص�فحه Lاگ�ر خ�ط مس�أله: P از ص�فحه ای نباش�د، عم�ود

عم�ود P بگذرانی�د ک�ه ب�ر Lخ�ط باشد.

A از یک نقطه مانند حل:` را L، خط Lروی خط

رسم Pعمود بر صفحه می کنیم.

L و L دو خط `متقاطعند و صفحه ای که از این دو خط می گذرد،

جواب مسأله است.

P

QL`

L``

L

L`

A

P

L

تعامدخط و صفحه

73

مانن�د • نقط�ه ه�ر مانن�د Aبرای و ص�فحه ای P ، عمود است.P می گذرد که بر Aخط یکتایی از

ب�ا • خ�ط این تالقی مح�ل نقط�ه Pاگ�ر را B ت�ا A را فاص�له نقط�ه ABبن�امیم، ط�ول پاره خ�ط

تعریف می کنیم.Pصفحه در صفحه Aاگر نقطه

P ،باشد B همان A Aخواهد بود و فاصله

صفر می باشد.Pتا تمرین � ثابت کنید که، فاصله یک نقطه از یک

صفحه، کوتاهترین فاصله بین آن نقطه تا نقاط آن صفحه است.

فاصله یک نقطه از یک صفحه

P

L

A

B

فاصلهخط و صفحه

74

عمود مشترک دو خط متنافر` دو خ�ط متن�افر باش�ند، خطی ک�ه L و Lاگ�ر

اس�ت، عم�ود آنه�ا ب�ر و میکن�د قط�ع را آنه�ا عمود مشترک این دو خط متنافر نام دارد.

و )چرا؟(* عمود مشترک دو خط متنافر یکتاست کوتاهترین پاره خط متکی بر آن دو خط متنافر

)اثبات در پیوست( .است

A

L

L`

* این مطلب که عمود مشترک دو خط متنافر یکتاست، با برهان خلف و خواص مستطیل قابل

اثبات است.

عمود خط و صفحهمشترک

75

P

روش رسم عمود مشترک دو خط متنافر

L

L`

L1

A

d

مراحل رسم:

از خ�ط 1 )L فحه�را P` ص �ط ��خ �وازات ��م �ه �� Lب

ص�فحه 2میگذرانیم. )Q ر�ب عم�ود را �فحه ��ط Pص�خ از ، L

L1 خ�ط P و Q( فص�ل مش�ترک 3میگذرانیم.ب�ا م�وازی اس�ت Lاس�ت ک�ه چ�ون

هم م�وازی Lنمی توان�د ب�ا متن�افر نقطهای در را آن پس �د. �باش

قطع میکند.Aمانند رس�م میک�نیم. این P عم�ود ب�ر ص�فحه d خطی مانن�د A( از 4

عمود است.L1` و L منجمله Pخط بر تمامی خطوط

` با یکدیگر متنافرند.L و Lدو خط

عم�ود اس�ت، پس ب�ر م�وازی آن یع�نی خ�ط L1 ب�ر d( چ�ون 5L.د 6 نیز عمود است� و L ب�ر دو خ�ط d ، خ�ط 5 و 4( طب�ق بن

L.عمود است، پس عمود مشترک آنهاست `

Q

عمود خط و صفحهمشترک

76

پایان

پایانفضا