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阿基米德的得意之作阿基米德的得意之作球體積與球面積球體積與球面積

陳永平 陳永平 電機博士電機博士國立交通大學電機系教授國立交通大學電機系教授

國立交通大學榮譽教學教師國立交通大學榮譽教學教師科技與社會中心執行委員科技與社會中心執行委員新竹凸透透志工團召集人新竹凸透透志工團召集人

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猜一猜猜一猜

阿基米德如果到過中國，那是什麼朝代？阿基米德如果到過中國，那是什麼朝代？ 什麼樣的教育造就阿基米德的成就？什麼樣的教育造就阿基米德的成就？ 阿基米德如何用槓桿原理求球體積？阿基米德如何用槓桿原理求球體積？ 還有誰研究過球體積？用什麼方法？還有誰研究過球體積？用什麼方法？ 阿積米德如何用微積分的觀念求球面積？阿積米德如何用微積分的觀念求球面積？ 球面積有什麼應用？球面積有什麼應用？

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阿基米德的年代阿基米德的年代• 阿基米德阿基米德 (( 前前 287—287— 前前 212)212) 生於生於

西西里島敘拉古西西里島敘拉古• 古希臘哲學家、數學家、物理學古希臘哲學家、數學家、物理學

家、科學家家、科學家

腓尼基

埃及

小亞細亞

地 中 海

希 臘

紅海

海愛琴

黑 海

古希臘地圖

巴比倫

西西里

米利都

克里特

雅典斯巴達

塞浦路斯

羅馬

迦太基

色雷斯

44

阿基米德的年代阿基米德的年代

• 到過埃及亞歷山卓到過埃及亞歷山卓• 發明螺旋抽水機發明螺旋抽水機

55

阿基米德的年代阿基米德的年代

• 對物理學與數學影響深遠對物理學與數學影響深遠• 真假王冠，浮力原理，槓桿原理真假王冠，浮力原理，槓桿原理• 史上三大數學家之首史上三大數學家之首 (( 阿基米德、牛頓、高斯）阿基米德、牛頓、高斯）

66

阿基米德的年代阿基米德的年代

• 第二次布匿戰爭第二次布匿戰爭• 死於羅馬士兵之手死於羅馬士兵之手

77

阿基米德的年代阿基米德的年代

• 阿基米德墓碑上的圖案阿基米德墓碑上的圖案

球體積 球體積 = = 圓柱體積圓柱體積

球面積 球面積 = = 圓柱側面積圓柱側面積

23

R343

R2R2

88

阿基米德的球體積阿基米德的球體積

• 槓桿原理槓桿原理

OV3

2R

吊架

V1

V2

R

32 3

4RV

RRV 223

1 21

RRV 22 23

99

祖暅的球體積祖暅的球體積

• 祖暅又名祖暅之，祖沖之子祖暅又名祖暅之，祖沖之子生年不詳生年不詳

• 南北朝時期之數學家、天文學家南北朝時期之數學家、天文學家• 三度上疏梁武帝採用大明曆三度上疏梁武帝採用大明曆• 父子共同用割圓術，父子共同用割圓術，

以正以正 2457624576 邊形計算圓周率邊形計算圓周率3.1415926~3.14159273.1415926~3.1415927

• 圓周率也稱『祖率』圓周率也稱『祖率』

1010

祖暅的球體積祖暅的球體積

• 父子共同發現祖暅原理父子共同發現祖暅原理 (( 西元西元 510510 年年 )) ，，即即等體積原理等體積原理

• 魏晉時期已有劉徽提出，故亦稱劉祖原理魏晉時期已有劉徽提出，故亦稱劉祖原理• 卡瓦列里卡瓦列里在西元在西元 16351635 年提出年提出

– 義大利數學家，曾受教於伽利略義大利數學家，曾受教於伽利略– 被其譽為「自阿基米德以降，最懂幾何者」被其譽為「自阿基米德以降，最懂幾何者」– 等體積原理：等體積原理：兩物體若是在相同高度處之面積相同，兩物體若是在相同高度處之面積相同，則兩者的體積亦相同則兩者的體積亦相同

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祖暅的球體積祖暅的球體積• 利用祖暅原理於球體、圓柱體與錐體利用祖暅原理於球體、圓柱體與錐體

求得同一高度的切片面積相等求得同一高度的切片面積相等

h

h

R

r

r2=(R2-h2)=R2-h

1212

祖暅的球體積祖暅的球體積

• 球體積球體積

R

R3 R3 R3

43

23

R2

R

R2

R

1313

阿基米德的球面積阿基米德的球面積

• 看圓面積切割看圓面積切割 由圓心徑向切割由圓心徑向切割

成極小的三角形成極小的三角形再攤開成一列再攤開成一列

圓周長 x r = 圓面積12

r

….

底為圓周長 2 r

高為半徑 r

r2

1414

阿基米德的球面積阿基米德的球面積

• 球體切割球體切割 由球心徑向切割極小的三角由球心徑向切割極小的三角錐錐再攤開，再攤開，如剝釋迦如剝釋迦 R

底面積 = 球面積

球面積 xR = 球體積

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1515

阿基米德的得意之作阿基米德的得意之作

• 阿基米德墓碑上的圖案阿基米德墓碑上的圖案

球體積 球體積 = = 圓柱體積圓柱體積

球面積 球面積 = = 圓柱側面積圓柱側面積

23

R343

R2R2

1616

球面積的應用球面積的應用 --完美的對稱完美的對稱

• 太陽每秒散發的光能太陽每秒散發的光能•地球大氣層外每秒每平方米接收太陽能地球大氣層外每秒每平方米接收太陽能 13671367 焦耳焦耳•地球與太陽的距離地球與太陽的距離 11 億億 55 千萬公里千萬公里 (m(m•太陽每秒發散光能太陽每秒發散光能 =4=41.51.5xx101099))22xx13671367 焦耳焦耳

太陽常數

1367 瓦 /m2

1717

球面積的應用球面積的應用 --完美的對稱完美的對稱

• 與點電荷與點電荷 qq相距相距 rr處處的電場強度的電場強度 EE

q

r

E = =q

4r20

kq

r2E

+

1818

想一想想一想

阿基米德如果到過中國，那是什麼朝代？阿基米德如果到過中國，那是什麼朝代？ 什麼樣的教育造就阿基米德的成就？什麼樣的教育造就阿基米德的成就？ 阿基米德如何用槓桿原理求球體積？阿基米德如何用槓桿原理求球體積？ 還有誰研究過球體積？用什麼方法？還有誰研究過球體積？用什麼方法？ 阿積米德如何用微積分的觀念求球面積？阿積米德如何用微積分的觀念求球面積？ 球面積有什麼應用？球面積有什麼應用？